Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção das retas \( r: 3x + 5y = 0 \) e \( s: 2x + y + 7 = 0 \) e que é paralela à reta \( t: y = -3x + 1 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar o ponto de intersecção das retas \( r \) e \( s \): - Resolva o sistema de equações formado por \( r \) e \( s \). A partir de \( r: 3x + 5y = 0 \), podemos expressar \( y \) em função de \( x \): \[ 5y = -3x \implies y = -\frac{3}{5}x \] Substituindo \( y \) na equação de \( s \): \[ 2x + \left(-\frac{3}{5}x\right) + 7 = 0 \] \[ 2x - \frac{3}{5}x + 7 = 0 \] Multiplicando toda a equação por 5 para eliminar a fração: \[ 10x - 3x + 35 = 0 \implies 7x + 35 = 0 \implies 7x = -35 \implies x = -5 \] Agora, substitua \( x = -5 \) na equação de \( r \) para encontrar \( y \): \[ 3(-5) + 5y = 0 \implies -15 + 5y = 0 \implies 5y = 15 \implies y = 3 \] O ponto de intersecção é \( (-5, 3) \). 2. Encontrar a equação da reta paralela a \( t \): A reta \( t \) tem a inclinação \( -3 \). Como a reta que queremos encontrar é paralela, ela também terá a mesma inclinação. Usando a forma ponto-inclinação da equação da reta: \[ y - y_0 = m(x - x_0) \] onde \( (x_0, y_0) = (-5, 3) \) e \( m = -3 \): \[ y - 3 = -3(x + 5) \] \[ y - 3 = -3x - 15 \] \[ y = -3x - 12 \] Portanto, a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção e é paralela à reta \( t \) é: \[ y = -3x - 12 \]