calculo-ii-aplicaao-derivadas

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Prof. MS. José Flaudemir Alves – Calculo II – Derivadas – exercícios de aplicação 
1 – A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C ( x )=
x3
3
−2 x2+10 x+1ea função de
demanda mensal (D), do mesmo produto, é dada por D(x) = 10 – x. Qual o preço x que deve ser cobrado
para maximizar o lucro?
2 – A empresa “Sempre Alerta” produz um determinado produto, com um custo mensal dado pela função
C ( x )=
1
3
x3−2 x2+10 x+20 . Cada unidade deste produto é vendido por R$ 31,00. Determinar a
quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máximo lucro mensal.
3 – A produção de bicicletas da empresa “Roda Viva” é de x por mês, ao custo dado por C(x) = 100 + 3x. Se
a equação de demanda for D(x)=25−
x
3 , obtenha o numero de unidades que devem ser produzidas e
vendida para maximizar o lucro mensal.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Exercício: DERIVE RESPOSTA
1) y = sen 4x 4 cos 4x
2) y = cos 5x –5 sen 5x
3) y = e3x 3e3x
4) f(x) = cos 8x –8 sen 8x
5) y = sen t3 3t2 cos t3
6) g(t) = ln (2t+1)
7) y = esen t e sen t cos t
8) f(x) = –e
x sen ex
9) y = (sen x + cos x)3 3(sen x + cos x)2 (cos x – sen x)
10) y=√3 x+1 
11) y=
3√ x−1x+1
12) y = e-5x –5e-5x
13) y = ln (t2 +3t+9)
14) f(x) = etg x etg x sec2 x
15) y = sen(cosx) –sen x cos (cos x)
16) g(t) = (t2+3)4 8t (t2 + 3)3
17) f(x) = cos(x2 + 3) –2x sen (x2 + 3)
18) y=√ x+e
x
19) y = tg 3x 3 sec2 3x
20) y = sec 3x 3 sec 3x tg 3x
21) y = xe3x 21. e3x (1+3x)
22) y = ex . cos 2x 22. ex (cos 2x – 2 sen 2x)
23) y = e-xsenx 23. e-x (cos x – sen x)
24) y = e-2t sen 3t 24. e-2t (3 cos 3t – 2 sen 3t)
25) f(x) = + ln (2x + 1) 25. 
26) f ( x )=
e t−e−t
e t+e−t 26. 
27) y=
cos5 x
sen2 x
27. 
28) f(x) = 28. 
29) y = t3 e-3t 29. 3t2 e-3t(1 – t)
30) y = (sen 3x + cos 2x)3 30. 3(sen 3x + cos 2x)2 (3 cos 3x – 2 sen 2x)
31) y=√ x
2
+e−x 31. 
ex−e−x
2√ex+e−x 
1
32) y = x ln (2x + 1) 32. ln (2x+1 )+
2 x
2x+1 
33) y = [ln (x2 + 1)]3 33. 
6 x [ln (x2+1 ) ]
2
x2+1
 
34) y = ln (sec x + tg x) 34. sec x
Calcule as derivadas:
1) f(x) = 16x3 – 4x2 + 3
2) f(x) = (x2 + 3x + 3) . (x + 3)
3) f ( x )=
2 x3
4 x+2
4) f(x) = ln (x2 + 8x + 1)
5) f ( x )=√6 x+2
6) f(x) = x4 . e3x
7) f(x) = sen4 x
8) f(x) = 5 tg 2x
9) f(x) = - 5x3 + 21x2 – 3x + 4
10) f(x) = (2x3 – 3x) (5 – x2)3
11) f ( x )=
−3
√3x−5
12) f ( x )=
5 t−1
2t−7
13) 
x3+¿ x4
y=
5√ x2− 4√¿
14) y=
x2−3 x+2
x2−x+2
15) y=e
x2 +x+1
16) y = sen 2x . cos x
17) y = (2x2 - 4x +1 )8
Calcule a derivada das seguintes funções nos pontos dados:
a) f ( x )=2 x
2
−3 x+4 ; P0=(2,6)
b) f ( x )=
3
x2
;P0=(1, 3)
c) f ( x )=
3√ t ; P0=(8,2) 
d) f ( x )=cosx ; P0=(
π
2
,0) 
e) f ( x )=3 senx; P0(2 π ,0) 
Usando as regras de derivação, calcule a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = 7x4 – 2x3 + 8x + 2 b) f ( x )=
3
x
+2√x−
1
4√ x
c) f ( x )=
4
x2
+
5
x3 d) f(x) = (2x
2 – 1)(1 – 2x)
e) y = (x2 – 3x4)(x5 – 1)
2
Exercício 1:
Uma lata cilíndrica sem tampa superior tem volume 5 cm3. Determine as dimensões da lata, de modo que a
quantidade de material para sua fabricação seja mínima.
Exercício 2:
Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de
largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine
o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume
máximo.
Devemos minimizar a área.
A área do cilindro e da tampa inferior são: 
, respectivamente, onde r e h são o raio e a altura do cilindro; logo, devemos
minimizar:
.
Mas o volume é V=5, logo,
;
Substituindo h na expressão a minimizar, temos:
Derivando e igualando a zero:
obtém-se r=
3√ 5π , ainda, A (r)= {20} over {{r} ^ {3}} +2π>0 , Assim, r= 3√ 5π é o
ponto mínimo e h=
3√ 5π
3
Logo, as dimensões da lata são r=h=
3√ 5π
Exercício 2:
Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de
largura e 15 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine
o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume
máximo.
Exercício 3:
Calcule as dimensões de um cone circular de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio a.
Exercício 4:
Um tanque cônico de aço, sem tampa, tem capacidade de 1000m3. Determine as dimensões do tanque que
minimiza a quantidade de aço usada na sua fabricação.
Exercício 5:
Um pescador está a 2 km de um ponto A de uma praia e deseja alcançar um depósito de combustível no
ponto B, a 3 km de A. Sua velocidade na água é de 5 km por hora e na terra é de 13 km por hora. Determine
o ponto da praia que deve ser alcançado pelo pescador para chegar ao depósito no tempo mínimo.
4
Exercício 6:
Uma folha de aço de 10 metros de comprimento e 4 metros de largura é dobrada ao meio para fazer um
canal em forma de V de 10 metros de comprimento. Determine a distância entre as margens do canal, para
que este tenha capacidade máxima.
Exercício 7:
Em que ponto da curva y = 1 − x2, a reta tangente à curva nesse ponto forma no primeiro quadrante um
triângulo de área mínima? Determine a área.
Exercício 8:
Um fóton (raio de luz) parte de um ponto A para um ponto B sobre um espelho plano, sendo refletido quando
passa pelo ponto P. Estabeleça condições para que o caminho APB seja o mais curto possível.
Exercício 9:
A luz se propaga de um ponto a outro segundo uma trajetória que requer tempo mínimo. Suponha que a luz
tenha velocidade de propagação v1 no ar e v2 na água (v1 > v2). Se a luz vai de um ponto P no ar a um ponto
Q na água, que lei determina este percurso?
Exercício 10:
Um quadro de altura a está pendurado em uma parede vertical, de modo que sua borda inferior está a uma
altura h acima do nível do olho de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador
para que sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo visual seja
máximo?
5
Exercício 11:
Suponha que um cirurgião necessite implantar um vaso sanguíneo numa artéria, a fim de melhorar a
irrigação numa certa área. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos e
artérias tem formato cilíndrico não elástico. Denotemos por A e B o início e o final da artéria e suponhamos
que se deseje implantar o vaso num ponto da artéria, de modo que a resistência ao fluxo sanguíneo entre A
e B seja a menor possível. A lei de Poiseuille afirma que a resistência R do sangue no vaso é:
R=
kd
r4
onde d é o comprimento do vaso, r é o raio do vaso e k uma constante positiva que depende da viscosidade
do sangue. Nossa estratégia será determinar o melhor ângulo do implante. Para isto, consideremos o
seguinte diagrama:
Aplicações diversas das Derivadas
1 – Uma artesã produz certo artigo com um custo mensal dado pela função C ( x )=
1
3
x3−2 x2+10 x+20 .
6
O preço de venda de uma unidade de tal artigo é R$ 31,00. Assinale a alternativa correspondente à
quantidade que deve ser produzida e vendida para que ela obtenha o lucro máximo mensal.
a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
2 – Um paciente com câncer apresenta um tumor com formato esférico. Sabendo-se que o raio do tumor
cresce a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor no instante em que
seu raio for de 0,5 cm?
a) 10p cm3/dia b) p cm3/dia c) 0,1p cm3/dia d) 0,01p cm3/dia e) 0,001p cm3/dia
3 – Um pecuarista possui 200 cabeças de gado, sendo que cada animal pesa, atualmente, 300 kg. Até
agora, ele gastou R$ 380.000,00 com a criação dos bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter
cada um deles. Os animais aumentam seu peso a uma taxa de 1,5kg/dia. O preço de venda, no dia de hoje,
é de R$ 18,00 o quilo, mas sabe-se que diminuirá R$ 0,05 por dia.
Quantos dias o pecuarista deveria aguardar para vender seu gado a fim de obter o lucro máximo?
a) 60 dias. b) 67 dias. c) 72 dias. d) 79 dias. e) 87 dias.
4 – Uma fábrica de latas recebeu uma encomenda de latas cilíndricas cujos volumes devem ser iguais a 500
cm3. As dimensões (altura e raio das bases, respectivamente) com as quais é possível fabricar-se latas
utilizando-se o mínimo de material são:
a) 8,6 cm e 4,3 cm b) 4,3 cm e 8,6 cm c) 5,4 cm e 5,4 cm d) 7,3 cm e 5,6 cm e) 5,6 cm e 7,3 cm
5 – Um navio petroleiro de grandes proporções descarrega petróleo num atracadouro distante 4 km da costa.
A refinaria mais próxima encontra-se 9 km à direita do ponto da costa que está mais próximo do atracadouro,
conforme indicado na figura a seguir. Deseja-se construir uma tubulação que conecte o atracadouro à
refinaria.
O quilômetro de duto subaquático custa R$ 300.000,00; já os dutos terrestres custam R$ 200.000,00, por
quilômetro. Admitindo que a costa seja retilínea, determine a distância do ponto B ao ponto A que minimiza
os custos de construção e marque a alternativa correspondente.
a) 1,71 km
b) 2,22 km
c) 3,58 km
d) 4,63 km
e) 5,42 km
6 – A fim de se preparar para possíveis períodos de recessão, um empresário que fabrica e vende um artigo
popular contrata um analista para determinar quando as vendas de seu produto começarão a cair. O analista
verificou que, até o presente momento, as vendas podem ser modeladas pela equação V(t) = t1/3 + 100, em
que t é o número de dias após o início das vendas e V é o número de vendas por semana. Admitindo que
esta tendência continuará no futuro, o analista respondeu que:
a) as vendas começarão a cair daqui a 100 dias.
b) as vendas começarão a cair daqui a 180 dias.
c) as vendas começarão a cair daqui a 200 dias.
d) as vendas começarão a cair daqui a 360 dias.
e) as vendas jamais começarão a cair.
Gabarito: 1 C; 2 E; 3 B; 4 A; 5 C; 6 E
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