Apostila Mat Médio II

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Centro Estadual de Educação Continuada – CESEC Betim 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
 
MÓDULO II 
 
Ensino: Médio 
Professor: Alan Gouveia 
 
 
ATENÇÃO 
 
Não escreva nada nesta apostila, fazer os exercícios em folha separada e entregar junto 
com esta apostila ao professor. 
 
No site indicado abaixo, tem exemplos e respostas de alguns exercícios deste módulo, 
qualquer dúvida pode consultar o site ou o professor no CESEC. 
 
INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Olá estudante! 
 
Neste segundo módulo de matemática estudaremos um pouco de Princípio Multiplicativo, 
Probabilidade e Teorema de Tales, qualquer dúvida vocês podem consultar esta apostila, 
qualquer livro de matemática ou a internet, se mesmo assim persistir a dúvida procure o professor 
no CESEC. 
 
Bons Estudos; 
Professor: Alan Gouveia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ 
PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO 
Através da leitura deste tutorial acreditamos que você poderá compreender o conceito da 
Contagem. A simulação Princípio Multiplicativo, trata questões com enfoque na introdução do 
Princípio Fundamental da Contagem a partir da análise de diagramas. Esperamos que este texto 
possa auxiliá-lo no entendimento do cálculo das probabilidades. 
Princípio Fundamental da Contagem é um método algébrico para determinar o número de 
possibilidades de escolha, sem precisar descrever todas as possibilidades. 
Se um acontecimento (ou escolha) pode ocorrer por várias etapas independentes, de tal modo 
que: 
 p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa (ou escolha) 
 p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa (ou escolha) 
 ... 
 pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa 
 Então: p1 . p2 . ... pk é o número de possibilidades (ou escolha) total 
Ou seja, podemos calcular todas as possibilidades (ou escolhas) através da multiplicação de 
todas as etapas, que podemos também avaliar através da análise dos diagramas de 
possibilidades. 
Vejamos alguns exemplos: 
1) Uma moeda é lançada por três vezes seguidas, vamos avaliar todos os resultados possíveis, 
sendo C (cara) e K (Coroa): 
 
 
Através da análise do diagrama, podemos concluir 
que temos 8 opções diferentes de resultados para 
os três lançamentos. Sendo: {(C,C,C,), (C,C,K), 
(C,K,C), (C,K,K,) (K,C,C), (K,C,K), (K,K,C), (K,K,K)} 
 
 
 
 
 
2) Marina tem 3 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas 
roupas? 
 
3 x 2 = 6 
Ela pode se vestir de 6 modos diferentes. 
 
3) De quantos modos 3 anéis podem ser colocados nos dedos (um anel em cada dedo) de uma só 
mão? 
Resposta: 
 ____ ____ ____ ____ ____ 
Opções: 3 . 2 . 1 = 6 
 3 . 2 . 1 = 6 
 3 . 2 . 1 = 6 
 1 . 3 . 2 = 6 
 2 . 1 3 = 6 
 
Logo: 6 . 5 = 30 
Começando da esquerda para direita temos 30 modos e se começarmos da direita para esquerda 
teremos mais 30 modos. 
Então: 30 + 30 = 60 
São 60 modos. 
 
4) Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal? 
 
Resposta: 
10, 12, 14, 16, 18, 
20, 22, 24, 26, 28, 
........................... 
90, 92, 94, 96, 98 
 
9 x 5 = 45 
São 45 números. 
 
 
 
1
6
= 0, 16 =16
1
4
=0, 25= 25
3
6
= 0,5 =50
PROBABILIDADE 
 
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento 
aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados 
mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser 
apresentada na forma percentual. 
As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis(o que eu quero 
que ocorra) pelo número de resultados possíveis (total de resultados possíveis), ou seja: 
 
P = resultados favoráveis 
 resultados possíveis 
 
Exemplos: 
 
1) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado? 
Resposta: 
Temos uma chance em seis, 
Então: 
 A probabilidade é de 16% 
 
2) Lançando uma moeda duas vezes para cima, qual a probabilidade de obter COROA na face 
voltada para cima nos dois lançamentos? 
Resposta: 
cara cara, cara coroa, coroa cara, coroa coroa, 
Temos uma chance em quatro possibilidades, 
Então: 
 A probabilidade é de 25% 
 
3) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar no lançamento de um dado? 
Resposta: 
Temos três chances em seis, 
Então: 
 A probabilidade é de 50% 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/chances-um-evento-acontecer.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm
2
4
=
3
x
2x = 4 . 3
2x = 12
x =
12
2
x = 6
TEOREMA DE TALES 
 
O teorema de Tales, cuja tradição atribui este teorema ao filósofo grego Tales de Mileto, afirma 
que quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos 
segmentos delimitados nas transversais são proporcionais. 
 
Exemplo: 
1) Sabendo que a//b//c, determine o valor de X usando o Teorema de Tales. 
 Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Vamos encontrar o valor de x (o segmento desconhecido): Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transversal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Retas_paralelas
 
 
ATENÇÃO: não escreva nada nesta folha, fazer os exercícios em folha separada e 
entregar junto com esta folha ao professor. 
INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ 
 
ATIVIDADES DE MATEMÁTICA – MÓDULO II 
 
1) Responda em uma folha separada: 
a) Uma hora tem quantos segundos? 
 
b) Um dia tem quantos segundos? 
 
c) Uma semana tem quantas horas? 
 
d) Quantos minutos são 3h45min? 
 
e) Uma década tem quantos anos? 
 
f) Quantos minutos 5h05min? 
 
g) Quantos minutos se passaram das 
9h50min até às 10h35min? 
 
h) Quantos segundos tem 35min? 
 
2) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos 
modos diferentes ela pode se vestir com 
essas roupas? 
3) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. 
Quantos casais podem ser formados? 
4) Renato vai a um clube no qual existem 4 
portas de entrada que dão acesso a 2 
elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De 
quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 
 
5) Quantos números pares de 2 algarismos 
podem ser formados no sistema decimal? 
6) Uma pessoa possui 10 envelopes 
diferentes e 8 selos diferentes. De quantos 
modos essa pessoa pode enviar uma carta 
utilizando 1 envelope e 1 selo? 
7) Sabendo que números de telefone não 
começam com 0 nem com1, calcule quantos 
diferentes números de telefone podem ser 
formados com 7 algarismos. 
8) Dispomos de quatro cores diferentes entre 
si, todas elas devem ser usadas para pintar 
as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de 
uma só cor, e de modo que as vogais sejam 
as únicas letras pintadas com a mesma cor. 
De quantos modos pode ser feito isso? 
9) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 são 
formados números de 4 algarismos distintos. 
Entre eles, são divisíveis por 5? 
10) Uma loja de revenda de automóveis 
possui 4 marcas diferentes, nas cores: azul, 
vermelho e branco. Quantas são as 
diferentes possibilidades de comprar um 
automóvel? 
 
11) Qual a probabilidade de ocorrer o 
número 5 no lançamento de um dado? 
12) Qual a probabilidade de se obter um 
número par no lançamento de um dado? 
13) Em uma urnacontém 4 bolas brancas e 
5 vermelhas, qual e a probabilidade de retirar 
1 bola branca? 
14) Lançando uma moeda para cima, qual a 
probabilidade de obter CARA na face voltada 
para cima? 
15) Lançando uma moeda duas vezes para 
cima, qual a probabilidade de obter COROA 
na face voltada para cima nos dois 
lançamentos? 
16) De acordo com o Teorema de Tales, 
determine o valor de X, sendo r//s//t. 
 
17) Sabendo que a//b//c, determine o valor 
de X usando o Teorema de Tales. 
 
 
 
 
18) Ao realizar a instalação elétrica de um 
edifício, um eletricista observou que os dois 
fios r e s eram transversais aos fios da rede 
central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo 
disso, calcule o comprimento x e y da figura. 
Obs.: os fios da rede central são paralelos. 
 
19) De quantas formas diferentes três 
pessoas podem se sentar em um sofá de 
cinco lugares? 
20) Quantos números naturais de dois 
algarismos diferentes podem ser formados 
utilizando-se os algarismos 3, 7, 8 e 9? 
21) Quantos e quais números naturais, de 
dois algarismos, podem ser formados 
utilizando-se os algarismos 3, 7, 8 e 9? 
22) Quantas diagonais podem ser traçadas 
em um heptágono convexo? 
 
 
 
23) Quantos números naturais pares de três 
algarismos diferentes podem ser formados 
utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
 
24) Em uma escola foi realizada a venda de 
85 bilhetes de uma rifa. Os bilhetes eram 
numerados de 1 a 85 e um dos alunos 
comprou todos os bilhetes cujos números 
eram múltiplos de 4. Quantos bilhetes ele 
comprou? Qual a probabilidade de ele 
ganhar o prêmio? 
25) Dois irmãos compraram bilhetes de duas 
rifas diferentes. O mais velho comprou 3 
bilhetes de uma rifa com 60 números e o 
mais novo comprou 8 bilhetes de uma rifa 
com 140 números. Qual e a probabilidade de 
cada um ganhar? Qual deles tem maior 
chance de ganhar? Por que? 
26) Um feixe de paralelas é cortado por duas 
transversais. Calcule o valor de x a partir das 
medidas indicadas na figura. 
27) Um feixe de paralelas é cortado por duas 
transversais. Calcule o valor de x a partir das 
medidas indicadas na figura. 
28) (Fafi-MG) Sabendo que DC = 2, AE = 3, 
EB = 4 e que CB é paralelo a DE, conforme a 
figura ao lado, é possível dizer que o valor de 
AD é: 
(Sugestão: trace, passando pelo ponto A, um 
segmento paralelo ao segmento DE e monte 
o esquema das três paralelas cortadas por 
transversais.) 
 
 
29) Calcule o valor de x e, a partir dele, as 
medidas dos segmentos dados pela figura 
formada por três paralelas cortadas por duas 
transversais. 
 
 
30) O gráfico mostra o tempo gasto para uma 
pessoa ir de sua casa ao local de trabalho e 
o tempo de volta, durante os cinco dias da 
semana. Observe que neste gráfico é 
utilizada a noção de tempo com o uso de 
dois-pontos separando a hora dos minutos. 
Por exemplo, a notação 4:55 significa 4 
horas e 55 minutos. Agora, responda ao que 
se pede: 
 
a) Qual é o total de tempo gasto nas viagens 
de ida durante a semana? 
 
b) Qual é o total de tempo gasto nas viagens 
de volta durante a semana? 
 
c) Quanto tempo foi gasto nas duas viagens 
de quinta-feira? 
 
d) Calcule a média aritmética das cinco 
viagens de ida. 
 
e) Calcule a média aritmética das cinco 
viagens de volta. 
 
f) Calcule a média aritmética das dez viagens 
da semana.