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ROTEIRO DE PRÁTICA 
Tema 
Estudo do Produto Escalar e Produto Vetorial no 
GeoGebra 
Semana nº 02 
Local onde 
acontecerá a 
prática 
 Laboratório de Informática Disciplina (s) 
Álgebra Linear 
Computacional 
Pontuação 
Data da última 
atualização 
08/01/2020 
I. Instruções e observações 
 
LEIA COM ATENÇÃO AS SEGUINTES INSTRUÇÕES E OBSERVAÇÕES 
1. A atividade prática será realizada no Laboratório de Informática, no dia indicado pelo professor. 
2. É importante o conhecimento prévio do conteúdo sobre vetores, produto escalar e produto vetorial. 
3. É imprescindível ter o roteiro da prática em mãos, pois as respostas serão escritas nesse roteiro e ao final da 
aula será entregue ao professor. 
4. Essa atividade deve ser realizada, preferencialmente, em dupla. 
II. Materiais 
Descrição Quantidade 
Software GeoGebra 3D - 
Roteiro da prática Um por equipe 
Calculadora científica Um por equipe 
III. Introdução 
A compreensão dos conceitos, bem como a execução dos cálculos, que envolvem os temas Produto Escalar e 
Produto Vetorial são de suma importância aos estudantes e profissionais das Engenharias/Ciências. Tal importância 
surge da grande variedade de aplicações desses produtos nas diversas disciplinas e na modelagem de problemas 
típicos dessas áreas. Entre outras aplicações, podemos citar: 
 Cálculo de ângulos, áreas e volumes. 
 Determinação do momento de uma força. 
 Trabalho realizado por uma força. 
 Fluxo de água através de uma mangueira. 
Nessa atividade, você utilizará o software GeoGebra (https://www.geogebra.org/) para determinação do ângulo e 
do produto vetorial entre dois vetores, além do cálculo da área de um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV. Objetivos de Aprendizagem 
 
 Ao término desta atividade o aluno deverá ser capaz de determinar o ângulo e o produto vetorial entre dois 
vetores, bem como calcular a área de um triângulo a partir do produto vetorial. 
 Utilizar o software GeoGebra para determinação do ângulo e do produto vetorial entre dois vetores. Além disso, 
usando a ferramenta de medição, calcular a área de um triângulo. 
 
 V. Experimento 
 
ETAPA 1: determinação do ângulo entre dois vetores 
 
PASSO 1: Esboce, no GeoGebra 3D, os vetores ��⃗ � �1,1,1� e 	⃗ � �1,1,3�. O Geogebra reconhece os vetores a partir 
de letras minúsculas. 
 
PASSO 2: Ainda usando o GeoGebra, insira três pontos no espaço, sendo eles a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e as extremidades dos vetores já representados: � � �0,0,0�, 
 � �1,1,1� e ��1,1,3�. Esses pontos 
servirão para identificarmos o ângulo entre os vetores ��⃗ e 	⃗, conforme PASSO 3 abaixo. 
 
PASSO 3: Usando a ferramenta de medição ÂNGULO , clique sequencialmente nos pontos 
��. Qual o 
ângulo apresentado? 
 
 
 
 
PASSO 4: Calcule, usando a fórmula abaixo, o ângulo entre os vetores ��⃗ e 	⃗ e compare o resultado com o valor 
encontrado no PASSO 3. 
��⃗ ∙ 	⃗ � |��⃗ | |	| cos ���⃗ , 	⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29,5°
5 = √(3) * √(11) * cosα
cosα = 5 / √(33)
cosα = 0,87
α = 29,3°
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 2: determinação do produto vetorial 
 
PASSO 5: Calcule, no espaço abaixo, o produto vetorial entre os vetores ��⃗ e 	⃗. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO 6: Usando o GeoGebra, represente o vetor ���⃗ � ��⃗ � 	⃗. Para isso, digite a função ���⃗ � ��⃗ ⊗ 	⃗. Compare o 
resultado com o vetor determinado no PASSO 5. 
Observação: o operador ⊗ pode ser encontrado a partir do seguinte procedimento: 
 
u * v = (2,-2,0)
 
 
 
 
 
PASSO 7: Usando o mesmo procedimento realizado nos PASSOS 2 e 3, identifique o ângulo entre os pares de 
vetores ���⃗ , ���⃗ � e �	⃗, ���⃗ �. O resultado verificado era previsível? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ETAPA 3: determinação da área de um triângulo a partir do produto vetorial 
 
PASSO 8: Utilizando a ferramenta de esboço de polígonos , clique nos pontos �, 
 e � para representar o 
triângulo �
�� . 
 
PASSO 9: Identifique a área do polígono �
�� , clicando na ferramenta de medição de área e, em sequência, 
no polígono representado. Qual o valor da área encontrada? 
 
 
 
 
PASSO 10: Utilize produto vetorial para comprovar o resultado encontrado no PASSO 9. Lembrete: � �
�
�
|��⃗ � 	⃗|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os ângulos entre os vetores ("u" e "w") e ("v" e "w") são de 90°
Area ABC = 1,41
u*v= (2,-2,0)
l u*v l = √(2²+(-2)²)
l u*v l = 2√2
A = I u*v I / 2
A = (2√2) / 2
A = 1,41
 
 
 
 
 
 
VI. Avaliação da prática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Descrição Atende Não atende 
1 Participação da equipe na atividade 
2 Determinação do ângulo entre os vetores 
3 Cálculo do produto vetorial 
4 Cálculo da área do triângulo 
VII. Referências 
 
 PAULO WINTERLE. Vetores e geometria analítica, 2ed. Pearson 256 ISBN 9788543002392. 
 
 SANTOS, Fabiano José dos. Geometria analítica. Porto Alegre ArtMed 2009 1 recurso online ISBN 9788577805037.