Aula 2 - +éngulos

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GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
DEFINIÇÃO 
Ângulo é a região do plano limitada por 
duas semirretas de mesma origem. 
 
Vértice : O
Elementos
Lados : OA e OB



 
 


AOB ou BOA
Nomenclatura
O
OA ^ OB










 
 
SISTEMA SEXAGESIMAL PARA 
A MEDIÇÃO DE ÂNGULOS 
Unidade Padrão: Grau (°) 
1
1º
360
 da circunferência 
Minuto (')
Submúltiplo
Segundo ('')



 
1º 60 '
Re lações 1' 60 ''
1º 3.600 ''
 




 
 
Nota: Uma circunferência possui 360°. 
 
Tipos de ângulos 
a) Reto - abertura igual a 90°. 
 
 
b) Agudo - abertura menor que 90°. 
 
 
c) Raso ou meia volta - abertura igual a 
180°. 
 
 
d) Obtuso - abertura compreendida 
entre 90° e 180°. 
 
 
e) Cheio, pleno ou uma volta - abertura 
igual a 360°. 
 
 
f) Reentrante ou côncavo - abertura 
compreendida entre 180° e 360°. 
 
 
GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
Nota: Todo ângulo positivo cuja abertura é 
menor que 180° é dito saliente ou convexo. 
 
Ângulos consecutivos 
Dois ângulos são consecutivos quando 
possuem um lado comum. 
Exemplos: 
 
- Os ângulos AOB e AOC são consecutivos. 
- Os ângulos AOB e BOC são consecutivos. 
- Os ângulos AOC e BOC são consecutivos. 
 
- Os ângulos ABC e BCD são consecutivos. 
Ângulos adjacentes 
Dois ângulos são adjacentes quando 
possuem o mesmo vértice, um lado comum 
e os lados não comuns, chamados de lados 
exteriores, situados em semiplanos 
distintos determinados pela reta suporte 
do lado comum. 
 
Nota: Dois ângulos adjacentes são ângulos 
consecutivos cujo lado comum está entre 
os não comuns. 
AOB e BOC são adjacentes 
AOB e AOC não são adjacentes 
 
Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) 
Dois ângulos são opostos pelo vértice 
quando os lados de um deles são os 
prolongamentos dos lados do outro. 
 
a e q são opostos pelo vértice. 
 
Importante: 
Dois ângulos o.p.v. são congruentes, daí: 
a q 
 
 
GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
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Bissetriz de um ângulo 
É a semirreta que parte do vértice do 
ângulo dividindo-o em dois outros ângulos 
congruentes. 
 
OX

 é bissetriz de AOB , então: 
 AOX XOB 
 
Complemento, suplemento e 
replemento 
a) Dois ângulos complementares são 
aqueles cuja soma vale 90°. O 
complemento de um ângulo é o que 
falta à sua medida para completar 
90°. 
b) Dois ângulos suplementares são 
aqueles cuja soma vale 180°. O 
suplemento de um ângulo é o que 
falta à sua medida para completar 
180°. 
c) Dois ângulos replementares são 
aqueles cuja soma vale 360°. O 
replemento de um ângulo é o que 
falta à sua medida para completar 
360°. 
 
Retas paralelas cortadas por 
transversal ou secante 
Na figura abaixo, supondo que a 
transversal t não é perpendicular às 
paralelas r e s, formam-se oito ângulos de 
soma 720°, dos quais quatro são agudos (a, 
c, e, g) e congruentes e quatro são obtusos 
(b, d, f, h), também congruentes entre si. 
 
Nomenclatura 
a) Correspondentes, são ângulos que 
ocupam posições análogas em 
relação às paralelas (a e e , b e f , c 
e g , d e h ). 
b) Alternos internos: são ângulos que 
estão em lados opostos em relação à 
transversal e entre as paralelas (c e 
e , d e f ) 
c) Alternos externos: são ângulos que 
estão em lados opostos em relação à 
transversal e exteriores às paralelas 
(a e g , b e h ). 
d) Colaterais Internos: são ângulos que 
estão do mesmo lado da transversal 
e entre as paralelas (c e f , d e e ). 
e) Colaterais externos: são ângulos que 
estão do mesmo lado da transversal 
e exteriores às paralelas (a e h , b e 
g ). 
 
 
GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
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Nota: 
(I) Dois ângulos correspondentes ou 
alternos são congruentes. 
(II) Dois ângulos colaterais são 
suplementares. 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Quantos segundos há em 5°? 
 
2) Quantos minutos há em 34°? 
 
3) Quantos segundos há em 23° 19' 43"? 
 
4) Quantos graus há em 7.080'? 
 
5) Resolver: 
a) 37° 18' 42" + 11° 54’ 33" + 16° 43’ 
29" 
b) 72° 26' 39" + 27° 33' 21" 
c) 52° 39' 48" - 31° 44' 59" 
d) 240° - 19° 33’ 42’’ 
e) 26° 34' 58" x 5 
f) 41° 58' 49" x 6 
g) 125° 32' 42"  6 
h) 141° 27’ 33’’  5 
 
6) Os ângulos a 3x 12º  e b x 46º  
são opostos pelo vértice. Calcule-os. 
7) Dois ângulos a e b são opostos pelo 
vértice. Sabendo - se que 
3a 2b 200º  , determine o valor de 
a 3b . 
 
8) Os lados não comuns de dois ângulos 
adjacentes proporcionais a 2,3 e 2,7, 
formam um ângulo reto. Determine-
os. 
 
9) Os ângulos a = 5x + 20° e b = 4x – 2° 
são adjacentes e têm os lados 
exteriores colineares. Calcule-os. 
 
10) Em um plano, em torno de um ponto, 
são marcados cinco ângulos de 
medidas 2x + 10°, x + 30°, 2x – 10°, 
4x – 20° e x + 40°. Determine a soma 
das medidas do menor e do maior 
ângulo. 
 
11) Em um mesmo plano, em torno de 
um ponto são traçados quatro 
ângulos proporcionais a 3, 1, 4 e 2. 
Calcule-os. 
 
12) Calcule o complemento de 74° 
 
13) Calcule o suplemento de 36° 
 
14) Calcule o replemento de 227° 
 
15) Dois ângulos complementares são 
expressos por 5x – 10° e 2x + 30°. 
Calcule-os 
 
 
 
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ÂNGULOS 
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16) Os ângulos a = 7x + 3° e b = 2x – 12° 
são suplementares. Determine suas 
medidas 
 
17) Os ângulos m = x – 10° e n = 3x + 50° 
são replementares. Calcule-os 
 
18) Determine as medidas de dois 
ângulos complementares que 
diferem de 12°. 
 
19) Dois ângulos suplementares são 
proporcionais a 5 e 13. Determine-
os. 
 
20) A soma de três ângulos é 200°. 
Calcule-os, sabendo- se que os dois 
primeiros são suplementares e os 
dois últimos são complementares. 
 
21) A soma de três ângulos é 230°. 
Calcule-os, sabendo- se que os dois 
primeiros são suplementares e os 
dois últimos são complementares. 
 
22) A soma de cinco ângulos é 550°. 
Calcule-os, sabendo que os dois 
primeiros são suplementares, os dois 
últimos são replementares, o 
segundo e o terceiro são 
complementares e o terceiro e o 
quarto são suplementares. 
 
23) O dobro do complemento de um 
angulo vale 70°. Qual é o suplemento 
desse ângulo? 
 
24) Determine o ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio às 4h 36min. 
25) Duas retas concorrentes formam 
dois ângulos proporcionais a 3,5 e 
5,5. Determine as medidas de todos 
os ângulos formados. 
 
26) Na figura abaixo, tem-se 
 x y z 210º   . Determine a medida 
do ângulo α 
 
 
27) Nas figuras que se seguem, as retas r 
e s são paralelas. Determine o valor 
de x em cada uma delas. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA 
ÂNGULOS 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 18.000 13. 144° 
2. 2.040 14. 133° 
3. 83.983 15. 40° e 50° 
4. 118 16. 150° e 30° 
5. 17. 70° e 290° 
a. 65°56’44’’ 18. 51° e 39° 
b. 100° 19. 50° e 130° 
c. 20°54’49’’ 20. 110°, 70° e 20° 
d. 220°26’18’’ 21. 140°, 40° e 50° 
e. 132°54’50’’ 
22. 100°, 80°, 10°, 
170° e 190° 
f. 251°52’54’’ 23. 125° 
g. 20°55’27’’ 24. 78° ou 282° 
h. 
''
3
28º17 '30
5 
25. 2 de 70° e 2 de 
110° 
6.   75º   26. 150° 
7. 160° 27. 
8. 41°24’ e 48°36’ a. 150° 
9. 110° e 70° b. 70° 
10. 156° c. 150° 
11. 108°, 36°, 144° e 
72° 
d. 50° 
12. 16°