Funcoes-do-2-grau

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 Professor Mauricio Lutz 
 
 
1
FUNÇAO DO 2º GRAU 
 
Definição 
Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: ℜ→ℜ definida 
por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c reais e a ≠ 0. 
 
Exemplo: f(x) = x2 – 3x + 4 (a = 1, b = –3, c= 4) 
 
Zeros da função quadrática 
Raízes ou zeros da função quadrática são os valores de x para os quais 
tem-se f(x) = 0. 
Determinamos os zeros ou raízes da função, resolvendo-se a equação 
do 2º grau ax2 + bx + c = 0. 
Lembre-se que: 
∆ = b2 – 4 . a . c 
x = 
a .2
 b- ∆± (fórmula de Báskara) 
Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas. 
Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais. 
Se 0 <∆ , não existe raiz real. 
 
Exemplos: 1. Determine os zeros das funções reais a seguir: 
a) f(x) = x2 – 3x + 2 
Resolução: 
x2 – 3x + 2 = 0 
∆ = 1 
2
1 3±
=x ⇒ x1 = 2 ou x2 = 1 
 
b) f(x) = x2 + 3x + 5 
Resolução: 
∆ = 9 –20 ⇒ ∆ = –11, raiz ℜ. 
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2
Gráficos da função quadrática 
O gráfico, de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. 
O sinal do coeficiente “a” determina a concavidade dessa parábola. 
Assim: 
Se a > 0, a concavidade é voltada para cima: ∪. 
Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo: ∩. 
 
Vértice da Parábola e imagem da função do 2º grau 
Vértice 
É o ponto da curva correspondente à ordenada (yv) máxima ou 
mínima. 
V (xv, yv) 
 
Coordenadas do vértice 
v = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆
4a
- ,
2a
b - 
Exemplo: Calcule as coordenadas do vértice da função f(x) = x2 – 3x + 2. 
Resolução: 
xv = – 
2a
b ⇒ xv = 
2
3 ∆ = 9 – 8 = 1 yv = – 
a4
∆ ⇒ yv = – 
4
1 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
4
1,
2
3V 
Imagem da função quadrática 
 
 
a > 0 ⇒ Im(f) = { y vy y | ≥ℜ∈ } = [yv, +∞ [ 
 
V é ponto MÍNIMO 
 
 
 
a < 0 ⇒ Im(f) = {y 
4a
 - y | ∆≤ℜ∈ } = ] – ,∞ yv] 
V é ponto MÁXIMO 
 
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3
Estudo do sinal da função quadrática 
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c, significa 
determinar os valores reais de x para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0. 
O estudo do sinal da função quadrática depende do coeficiente 
quadrática depende do coeficiente “a” e do discriminante ∆ = b2 – 4 . a . c. 
Considere x1 < x2 
 a > 0 a < 0 
 
 
∆ > 0 
(x1 ≠ x2) f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2 
f(x) > 0 para x < x1 ou x > x2 
f(x) < 0 para x1 < x < x2 
f(x) = 0 para x = x1 ou x = x2 
f(x) > 0 para x1 < x < x2 
f(x) < 0 para x < x1 ou x > x2 
 
 a > 0 a < 0 
 
 
∆ = 0 
(x1 = x2) f(x) = 0 para x = x1 = x2 
f(x) > 0 para x ≠ x1 
f(x) = 0 para x = x1 = x2 
f(x) < 0 para x ≠ x1 
 
 a > 0 a < 0 
 
∆ < 0 
( raiz 
ℜ) F(x) > 0, ∀ x ∈ ℜ f(x) < 0, ∀ x ∈ ℜ 
 
Inequação do 2º grau na variável x 
É toda desigualdade que pode ser escrita da seguinte forma: 
ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c≥ 0; ax2 + bx + c < 0; ax2 + bx + c≤ 0. 
 
 
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4
Exemplo: Resolva a inequação x2 – 4x + 3 ≤ 0 
Resolução: 
∆ = (-4)2 – 4 . 1 . 3 
∆ = 16 – 12 
∆ = 4 
x’ = 3 e x” = 1 
S = {x ∈ ℜ | 1 ≤ x ≤ 3} 
 
Inequação produto e inequação quociente 
1) (x – 3) . (x2 + 3x – 4) > 0 
Resolução: 
x – 3 = 0 x2 + 3x – 4 = 0 
x = 3 ∆ = 25 
 x1 = 1 e x2 = –4 
 
 
 
 
Quadro resolução ou quadro de sinais 
 
S = 3} ou x 1 x 4 - | {x ><<ℜ∈ 
 
2) 0 
9 - x
12 8x - x
2
2
≤
+ 
Resolução: 
x2 – 8x + 12 = 0 x2 – 9 = 0 
∆ = 15 ∆ = 36 
x1 = 6 e X2 = 2 x1 = 3 e X2 = –3 
 
Quadro de sinais 
 
S = {X 6} x 3ou 2 x 3 - | ≤<≤<ℜ∈ 
 
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5
Exercícios 
1) Dada a função y = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 2 m
1 - m x2 + x + 4, calcule m ℜ∈ , de modo que a parábola 
tenha a concavidade voltada para cima. 
 
2) Calcule as ordenadas do vértice, verifique se é ponto de máximo ou de mínimo e 
o conjunto imagem das seguintes funções: 
a) y = x2 – 2x – 3 b) y = – x2 + 4 c) y = 2x2 – 4x + 4 
 
3) Determine a e b, para que a função y = ax2 + bx + 3 tenha vértice V (2, – 1). 
 
4) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x2 – 4x + m seja – 1.
 
5) Determine os zeros ℜdas funções: 
a) y = x2 – 4x – 5 b) y = x2 – 2x + 6 c) f(x) = x2 + 2x + 1 
 
6) Calcule k de modo que a função y = kx2 – 2x + 3 admita 2 como raiz. 
 
7) Resolva as seguintes inequações: 
a) x2 – 2x + 1 > 0 b) 2x2 + 3x + 5 ≥ 0 c) – 2x2 + 5x - 6 < 0 
d) x2 – 10x + 25 > 0 e) –3x2 + 2x – 1 > 0 
 
8) Resolva as inequações: 
a) (x2 – 2x – 3) (2x2 – 5x + 2) < 0 b) (x2 + x – 6) (x2 – 1) 0 ≥ 
c) (x2 – 3x) (–x + 2) 0 ≥ d) 0 
45x -x
10 7x - x
2
2
>
+
+ e) 0 
3x-x
2 x -
2 ≤
+ f) 8 
2 -x 
x2
< 
 
Gabarito: 1) m < – 2 ou m > 1 3) a = 1 b= –4 4) m = 3 5) a) {–1, 5} b) Ø 
c) {–1} 6) k = 
4
1 7) a) S = ℜ– {1} b) S = ℜ c) S = ℜ d) ℜ – {5) 
e) S = Ø 8) a) {x 3} x 2ou 
2
1 x 1 - | <<<<ℜ∈ b) {x 2} ou x 1 x 1 -ou 3 - x | ≥≤≤≤ℜ∈ 
c) {x 3} x 2ou 0 x | ≤≤≤ℜ∈ d) {x 5} ou x 4 x 2ou 1 x | ><<<ℜ∈ 
e) {x 3} ou x 2 x 0 | >≤<ℜ∈ f) {x 2} x | <ℜ∈