AULA - 4

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31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva
31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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CONVERSA INICIAL
Olá, seja bem-vindo(a) a esta aula. Nela, vamos falar sobre cargas distribuídas, forças internas e
diagrama de momento fletor e força cortante.
Sempre que nos deparamos com uma carga distribuída, podemos representá-la como uma única
força resultante aplicada em seu centro geométrico ou centroide de área. Esse assunto é importante,
pois simplifica o carregamento e permite a obtenção de outras forças que envolvem o problema.
Calcular forças internas é um assunto que serve como base para construir diagramas de
momento fletor e força cortante, permitindo-nos compreender como as cargas de momento e de
cisalhamento se distribuem ao longo de uma viga. Este último assunto é muito valioso no projeto de
eixos de máquinas, como o eixo de uma caixa de transmissão de um automóvel, projeto de vigas,
longarinas, chassis, entre outros.
TEMA 1 – REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO
SIMPLES
O assunto abordado neste tema é de grande valia, pois grande parte das cargas sobre as
estruturas que envolvem nosso dia a dia se distribui numa superfície. Imagine uma caixa d’água
apoiada sobre um suporte (Figura 1a). Devido ao peso, a carga da água se distribui sobre a superfície
inferior do reservatório (Figura 1b). Para calcular as dimensões do reservatório e do suporte que irá
sustentá-lo, precisamos substituir a carga distribuída em função do peso da água por uma força
resultante concentrada no centro geométrico do tanque (Figura 1c).
Figura 1 – Modelo real (a), carga distribuída (b) e força
concentrada (c)
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Fonte: Iralu/Shutterstock.
1.1 CARREGAMENTO UNIFORME AO LONGO DE UM EIXO
Na prática da engenharia, o tipo mais comum de carga distribuída é geralmente uniforme ao
longo de um único eixo, como mostra a Figura 2a. Veja que o modelo é tridimensional, mas a carga é
aplicada apenas na direção vertical ao longo do eixo. Assim, podemos simplificá-lo se o tratarmos
como um problema no plano, como mostra a Figura 2b.
Figura 2 – Carga distribuída ao longo de uma viga (a) e simplificação do modelo no plano (b)
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2011.
A carga distribuída  é uma função de x, ou seja, varia com o eixo x. Podemos substituir essa
carga distribuída por uma força resultante, dada pelo cálculo da área abaixo da “curva” da carga
distribuída. Ou seja:
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Sendo   o comprimento do elemento infinitesimal mostrado na Figura  2b,   a área do
elemento infinitesimal, e  a área total abaixo da função da carga distribuída.
Essa força resultante deve ser posicionada no centro geométrico ou centroide sob o
carregamento distribuído, , conforme a Figura 3.
Figura 3 – Resultante de um sistema de carga distribuída
Fonte: Hibbeler, 2011.
Esse ponto (centro geométrico ou centroide) é obtido pelo equilíbrio de momentos e resulta na
seguinte equação:
Vamos aos exemplos para aplicar as Equações 1 e 2 e compreender como reduzir um sistema de
carga distribuída a uma força concentrada e como determinar a posição dessa força.
Exemplo 1: Calcule a intensidade e a posição da força resultante equivalente do carregamento
distribuído mostrado na figura.
Fonte: Hibbeler, 2011.
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Solução: para resolver o problema, temos que aplicar inicialmente a Equação 1, cuja função 
 corresponde a , conforme a figura. Logo, substituindo  na Equação 1 por , temos:
O limite superior de integração, , corresponde ao comprimento da viga (2 m); logo, como 60 é
uma constante e pode sair da integral, ficamos com:
A solução da integral de um polinômio é dada pela seguinte “regra”:
 corresponde ao grau do polinômio, que no nosso exemplo é 2 ( ). Logo, resolvendo a integral
para calcular a força resultante, temos:
Aplicando o teorema fundamental do cálculo, ou seja, substituindo os limites de integração,
ficamos com:
O próximo passo é determinar a posição dessa carga, e isso pode ser feito se aplicarmos a
Equação 2. Logo, substituindo ,  e  na Equação 2, ficamos com:
No numerador dessa equação, temos 60, que é uma constante e pode sair da integral, ficando:
Aplicando a Equação 3 para resolver a integral de um polinômio, temos:
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Aplicando o teorema fundamental do cálculo, ficamos com:
O problema apresentado é mais teórico, porém os conceitos envolvidos nele podem ser
aplicados aos problemas mais práticos. A partir de agora vamos considerar situações em que a carga
distribuída é dada por uma figura geométrica simples, como retângulos e triângulos, visto que
conhecemos as equações para obter suas áreas e a posição do centroide dessas figuras.
Para retângulos e/ou quadrados, a área é dada por:  sendo  a base e  a altura (que é a
carga distribuída), e o centro geométrico está exatamente no meio da figura, ou seja, . Veja essas
dimensões na Figura 4:
Figura 4 – Redução de um carregamento distribuído do tipo retangular
Fonte: Silva, 2020.
Aplicando o mesmo raciocínio para um triângulo retângulo, a área é dada por:  sendo  a
base e  a altura (carga distribuída), e o centro geométrico corresponde a , medido com base na
aresta vertical do triângulo. Veja as duas possibilidades de reduzir um sistema de cargas distribuídas
em figuras do tipo triângulo retângulo:
Figura 5 – Redução de um carregamento distribuído do tipo triangular
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Fonte: Silva, 2020.
Vamos aos exemplos para aplicar essa ideia aos problemas mais gerais e com geometria simples.
Exemplo 2: calcule a intensidade e a posição da força resultante equivalente do carregamento
distribuído (mostrado na figura) em relação à origem da viga.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: a carga distribuída do problema em tela é do tipo linear, definida pelo triângulo
apresentado na figura. Logo, a força concentrada é calculada pela área desse triângulo, cuja base é 9
m e cuja altura é 1440 N/m. Assim, temos:
O centro geométrico dessa figura é , analisado com base na aresta da altura do triângulo,
conforme a segunda configuração apresentada na Figura 5. Porém, é solicitada a distância do centro
geométrico em relação à origem da viga. Essa distância é representada na seguinte figura:
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Fonte: Silva, 2020, com base em Hibbeler, 2011.
Temos o seguinte cálculo para determinar a posição da força resultante:
Agora vamos aplicar esse conceito em carregamentos distribuídos que podem ser divididos em
mais de uma figura geométrica simples. Nesse caso, temos que determinar a força resultante e o
centro geométrico de cada figura em relação a um ponto específico. A força resultante total é dada
pela soma da força resultante de cada figura, e o centro geométrico é dado por:
Sendo  o número de segmentos (figuras) do carregamento distribuído. Vamos ao exemplo:
Exemplo 3: calcule a intensidade e a posição da força resultante equivalente do carregamento
distribuído mostrado na figura em relação à origem da viga.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: o carregamento distribuído mostrado na figura pode ser dividido em duas figuras: um
retânguloe um triângulo. Veja-os destacados na seguinte imagem:
Fonte: Silva, 2020, com base em Hibbeler, 2011.
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A força resultante do primeiro segmento é obtida se calcularmos a área do triângulo. Observe
que a base corresponde a 9 m, e a altura (   em kN/m), a 100  −  50 = 50 kN/m. Logo, a força
resultante é:
Aplicando a mesma ideia ao segmento 2 (retângulo), temos o seguinte cálculo para a força
resultante:
Note que a carga distribuída do retângulo equivale a 50 kN/m.
Trabalhando com os centros geométricos dos segmentos, para o triângulo temos   em
relação à sua altura. Logo:
Para o segmento 2 (o retângulo), o centro geométrico fica exatamente no centro da figura. Logo:
Agora vamos calcular a força resultante. Isso pode ser feito se simplesmente somarmos a força
resultante do segmento 1 com a do segmento 2. Ou seja:
A determinação do ponto em que vamos colocar a força resultante se dá pela aplicação da
Equação 4. Logo:
A maioria dos casos práticos envolve cargas distribuídas e, para projetarmos as estruturas,
precisamos aplicar essa simplificação, substituindo a carga distribuída por uma força resultante
aplicada no centro geométrico (centro de gravidade) do carregamento.
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TEMA 2 – FORÇAS INTERNAS DESENVOLVIDAS EM MEMBROS
ESTRUTURAIS
Toda estrutura é projetada a fim de suportar um determinado tipo de carregamento. Você não
ficaria aborrecido se esquecesse o celular no bolso de trás da calça e, ao sentar, ele amassasse como
na Figura 6a? E quando vamos a uma festinha de aniversário e, ao espetar o bolo, o garfinho quebra
(Figura 6b)? Também é uma situação desagradável, não é?
Figura 6 – Celular amassado (a) e garfinho quebrado (b)
(a) (b) 
Fonte: Lucas Rizzi; Ahmad Fozi/Shutterstock.
As duas situações nos mostram que os objetos simples e complexos sofrem cargas, e é
necessário compreendê-las a fim de projetá-los, para que eles atuem de forma adequada e segura.
Os dois exemplos citados são simples, mas logicamente, na engenharia, encontramos estruturas mais
complexas que, se não operarem de forma adequada, podem trazer, além das perdas materiais,
perdas irreparáveis, como a vida de pessoas.
Essa reflexão nos mostra a importância dos projetistas e dos projetos, bem como da sua
execução correta. Você possivelmente trabalhará numa área de projetos que, na maioria dos casos, é
de grande responsabilidade. Então vamos ao tema que determina as cargas internas de uma
estrutura.
Três tipos de esforço podem estar presentes nas estruturas:
1.  Força normal: essa força atua na mesma direção do elemento analisado, ou seja, a força pode
estar saindo do elemento ou entrando, provocando uma tração ou compressão do objeto. Podemos
observar essa força nas treliças trabalhadas anteriormente ou quando brincávamos de cabo de guerra
e aplicávamos esse tipo de força para vencer a outra equipe. A força normal é representada por . A
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Figura 7a mostra essa força aplicada a uma viga qualquer, e a Figura 7b mostra um caso prático de
uma ponte estaiada, cujos cabos sofrem tração, e o poste principal sofre compressão (ambas são
forças normais):
Figura 7 – Força normal aplicada (a) a uma viga e nos cabos de uma ponte estaiada (b)
(a) (b) 
Fonte: Nahlik/Shutterstock.
2.  Força cortante (cisalhamento): essa força atua na direção transversal da viga, fazendo com
que ela seja “cortada”. Esse efeito é chamado de cisalhamento, e essa força também é comumente
denominada força de cisalhamento ou força cisalhante. Esse efeito pode ser observado se cortarmos
um pão (Figura 8a; ou qualquer outro alimento em que aplicamos uma força que corte o objeto,
literalmente – Figura 8b):
Figura 8 – Força cortante aplicada ao cortar um pão (a) e ao cortar um cabo (b)
(a) (b) 
Fonte: Master1305; Serhii Ivashchuk/Shutterstock.
Essa força é representada pela letra  na literatura. A Figura 9a mostra a aplicação dessa força
numa viga qualquer, e a Figura 9b mostra o caso prático de uma máquina que corta chapas de aço.
Figura 9 – Força cortante aplicada a uma viga (a) e a uma chapa de aço (b)
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(a) (b) 
Fonte: Vadim Gavrilo/Shutterstock.
3.  Momento fletor: esse tipo de esforço ocorre se aplicarmos uma força que gera momento –
por exemplo, se quebrarmos um biscoito ao meio (Figura  10a) ou dobrarmos uma barra de aço
(Figura 10b):
Figura 10 – Momento fletor aplicado ao quebrar um biscoito (a) e ao dobrar uma barra (b)
(a) (b) 
Fonte: Snow Toy; Funtay/Shutterstock.
Esse tipo de esforço é representado pela letra . A Figura 11a mostra a aplicação dessa força
numa viga qualquer, e a Figura 11b mostra um caso prático de cantoneiras feitas com base numa
força de flexão que dobra as chapas até o formato desejado.
Figura 11 – Momento fletor aplicado a uma viga (a) e ao dobrar chapas (b)
(a) (b) 
Fonte: Myfotoprom/Shutterstock.
2.1 CONVENÇÃO DE SINAL
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Na engenharia, é muito comum assumir uma convenção de sinal, como já temos feito para as
forças em x e em y. Mas neste tema assumiremos uma convenção de sinal específica para as forças
internas ,  e , representada pela Figura 12.
Figura 12 – Convenção de sinal para as forças internas: normal (a), cortante (b) e momento fletor
(c)
(a)  (b) (c)
Fonte: Silva, 2020.
O passo a passo para determinar as forças internas atuantes num determinado ponto de uma
estrutura é descrito a seguir:
Antes de seccionar a estrutura no ponto de interesse, pode ser necessário determinar as reações
de apoio. Seccione a estrutura e escolha um dos lados da seção para determinar as forças
internas (escolha sempre o lado mais fácil, ou seja, o que contém o menor número de forças e
momentos);
Desenhe o DCL do lado da seção escolhida;
Aplique as equações de equilíbrio vistas anteriormente, (   ), para
obter a força normal ( ), a força de cortante ( ) e o momento fletor ( ).
Observação: se o resultado for um valor negativo, isso significa que o sentido adotado conforme
a convenção de sinal não está correto.
Exemplo 4: calcule as forças internas que atuam no ponto C da estrutura mostrada.
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: o primeiro passo é analisar se é necessário determinar as reações de apoio. Sabemos
que essa viga será seccionada no ponto C; logo, analisando o lado esquerdo desse ponto, temos o
apoio do tipo rolete em A e, analisando o lado direito, temos um pino em B.
Temos que escolher um dos lados da seção para determinar as forças internas; logo, não é
necessário determinar as reações para ambos os apoios. Vamos determinar somente a força de
reação no rolete em A. O DCL para calcular essa reação é mostrado a seguir:
Para determinar a reação , basta fazer o somatório de momentos em relação ao ponto B. Logo:
Finalizamos o passo 1. O próximo passo é escolher um dos lados da seção sobre o ponto C para
trabalhar. Já analisamos isso antes e escolhemos o lado esquerdo. Portanto, o DCL do lado esquerdo
da seção em C fica assim:
Aplicando as equações de equilíbrio como sugere o passo 3, temos:
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O sinal indica que o momento interno  não é no sentido anti-horário, mas no horário.
Exemplo 5: calcule as forças internas que atuam no ponto C da estrutura mostrada.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: novamente,tanto do lado esquerdo do ponto C quanto do lado direito, existem apoios.
Vamos escolher o lado direito por ser mais simples e conter menos forças. Logo, temos que
determinar as forças de reação no pino B. O DCL dessa estrutura é mostrado na seguinte figura:
A força resultante  proveniente da carga distribuída é calculada se aplicarmos o Tema anterior,
ou seja, a área abaixo desse carreamento. Logo,  A posição dessa força resultante
é o centro geométrico do retângulo, ou seja, o meio, conforme a figura anterior.
Para determinarmos as reações  e , basta fazer o somatório de forças em x e o somatório de
momentos em relação ao ponto A, respectivamente:
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Fazendo a seção em C e escolhendo o lado direito desse ponto, temos o seguinte DCL:
Aplicando as equações de equilíbrio como sugere o passo 3, temos:
O sinal indica que o momento interno  não é no sentido horário, mas no anti-horário.
Vamos resolver um último exemplo para consolidar o conhecimento adquirido.
Exemplo 6: a barra aparafusada está sujeita a uma força de tração de 400 N. Calcule as forças
internas que atuam no ponto C dessa barra.
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Fonte: Silva, 2020, com base em Hibbeler, 2011.
Solução: como as únicas forças do problema são as aplicadas no parafuso, não há reações de
apoio que precisamos calcular, e não faz diferença analisar o lado esquerdo ou direito do ponto C,
pois são simétricos. Logo, podemos partir do passo 2 e elaborar o DCL da estrutura seccionada.
Assim, temos a seguinte figura:
Aplicando as equações de equilíbrio, temos:
A operação  transforma a distância de 150 milímetros (mm) em 150 metros (m).
Este tema serve de suporte para o próximo tema, no qual vamos obter a função de força cortante
e de momento fletor. Ou seja, em vez de obter esses dois parâmetros para um único ponto da
estrutura, podemos obter para todos os pontos e, assim, conseguir verificar qual é o ponto mais
crítico e que tem mais chances de falhar por cisalhamento ou flexão.
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TEMA 3 – EQUAÇÕES E DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E
MOMENTO FLETOR
Como mencionado no final do Tema 2, é possível compreender o comportamento da força
cortante e do momento fletor ao longo de toda uma viga. Para isso, apresentaremos dois métodos:
método das seções e método das integrais.
Neste tema abordaremos o primeiro método, que basicamente consiste em aplicar seções na
viga à medida que houver mudança de carregamento. O seguinte passo a passo nos ajudará a
construir esses diagramas:
1.  Determine as reações nos apoios (veja nos conteúdos anteriores);
2.  Pelo lado esquerdo da viga, faça uma seção após a primeira força concentrada ou
momento concentrado que aparece na viga. Se houver uma carga distribuída, a seção deverá
passar sobre essa carga;
3.  Obtenha a função de força cortante (uma função de x que varia com o comprimento da
viga);
4.  Obtenha a função de momento fletor (uma função de x que varia com o comprimento
da viga);
5.  Volte ao passo 2 para desenhar a próxima seção, que deve passar pela próxima força
concentrada ou momento concentrado. Repita os passos subsequentes até ter considerado
todos os carregamentos ao longo de toda a viga;
6.  Construa o diagrama (gráfico) de força cortante (ordenada) versus comprimento da viga
(abscissa);
7.  Construa o diagrama (gráfico) de momento fletor (ordenada) versus comprimento da
viga (abscissa).
Exemplo 7: construa os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo apoiado pelos
mancais mostrados na figura. O mancal em A é do tipo axial, ou seja, exerce reações em x e y, e o
mancal em C é do tipo radial, exercendo reação apenas em y (veja nos conteúdos anteriores).
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: o primeiro passo é determinar as reações de apoio nos mancais em A e C. Como não há
forças externas na direção x, a reação de apoio no mancal em A nessa direção é zero; ou seja, .
Como a força de 5 kN se aplica exatamente no centro desse eixo, para manter o equilíbrio,
metade dessa carga é reagida pelo apoio em A, e a outra metade, pelo apoio em C; logo, 
, e , ambas com sentido para cima. Portanto, o DCL com as cargas citadas é mostrado na
seguinte figura:
Fonte: Hibbeler, 2011.
O passo 2 nos orienta a fazer uma seção após a primeira força concentrada ou momento
concentrado que aparece na viga. Nesse exemplo, temos três forças concentradas: 2,5 kN, 5 kN e 2,5
kN. Portanto, temos que fazer uma seção entre a força de 2,5 kN e a força de 5 kN, ficando da
seguinte forma o corte (a) e o DCL da seção (b):
Observe que o corte foi feito num ponto qualquer entre o início da viga (  e o ponto de
aplicação da força de 5 kN ( ). Portanto, o intervalo avaliado é . Observe também
que a força normal não é considerada nesse tipo de problema.
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O terceiro passo é obter a função de força cortante. Para isso, aplicamos a equação do somatório
de forças em y. Assim, temos:
O quarto passo é obter a função de momento fletor. Para isso, aplicamos a equação do
somatório de momentos em relação à seção. Assim, temos:
O quinto passo nos orienta a voltar ao segundo passo e selecionar a próxima seção. Conforme o
critério estabelecido, a próxima seção deve ser após a próxima força concentrada, ou seja, após a
força de 5 kN. Portanto, temos a seguinte figura, que representa a próxima seção (a) e o DCL dessa
seção (b):
Observe que o corte foi feito num ponto qualquer entre a força de 5 kN (  e a força de 2,5
kN ( ), que corresponde ao final da viga. Portanto, o intervalo avaliado é .
Aplicando o terceiro passo, vamos ao somatório de forças em y:
Aplicando o quarto passo, vamos ao somatório de momentos:
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Como a próxima força concentrada está no final da viga, em , não podemos fazer uma
seção após essa força. Portanto, finalizamos essa etapa. Agora vamos ao sexto passo, que nos orienta
a construir o diagrama de força cortante (ordenada) versus o comprimento da viga (abscissa). Para
isso, desenhamos os respectivos eixos do gráfico:
Agora vamos considerar as duas funções de forças cortantes. A primeira nos diz que ,
e é válida para o intervalo de . Logo, como a função é uma constante, faremos uma linha
horizontal em 2,5 no eixo y, iniciando em  e terminando em :
A próxima função para a força constante é   e é válida para o intervalo de
. Logo, como a função também é uma constante, faremos uma linha horizontal em −2,5
no eixo y, iniciando em  e terminando em :
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Finalmente, o último passo nos orienta a construir o diagrama de momento fletor (ordenada)
versus o comprimento da viga (abscissa). Logo, iniciamos pela construção dos eixos do gráfico:
Agora vamos considerar as duas funções de momentos fletores. A primeira nos diz que
  e é válida para o intervalo de . Logo, como a função é uma reta (ou
equação do 1° grau), substituímos nessa equação os valores do intervalo. Desse modo, para ,
temos   e, consequentemente, . Para , temos   e,
consequentemente, . Portanto, faremos uma reta que se inicia em para   e
termina em  para :
A próxima função para o momento fletor é  e é válida para o intervalo de
. Logo, como a função também é uma reta (ou equação do 1° grau), substituímos nessa
equação os valores do intervalo. Desse modo,para , temos   e,
consequentemente, . Para , temos . Logo, .
Portanto, faremos uma reta que se inicia em e termina em :
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Concluímos o exemplo e construímos os dois diagramas. Mas o que é importante observar
nesses diagramas? Um engenheiro deve perceber que no meio do eixo há uma força cortante de
magnitude igual a 5 kN (2,5 a −2,5) e que o momento fletor máximo também ocorre no centro desse
eixo. Portanto, na hora de projetar o diâmetro desse eixo, a força cortante e o momento fletor que
devem ser considerados nos cálculos são os valores máximos obtidos nos diagramas.
Exemplo 8: construa os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga engastada
mostrada na figura.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: construindo o DCL para obter as reações de apoio do engaste no ponto B, temos:
Note que a força resultante proveniente do carregamento distribuído é 3  kN, pois
Como já sabemos calcular as reações de apoio, vamos descrevê-las de forma mais direta:
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A primeira força concentrada está no início da viga, em , e o próximo carregamento se deve
à carga distribuída que se inicia em . Logo, a primeira seção deve ser feita entre essas duas
cargas, como mostra a figura (a), no intervalo de . A figura (b) mostra o DCL da seção:
Aplicando o somatório de forças em y e o somatório de momentos na seção, vamos obter  e
, respectivamente:
A próxima seção será feita dentro do carregamento distribuído, ou seja, em . Logo, a
figura (a) mostra a seção, e a figura (b) mostra o DCL da viga seccionada:
Observe que a força resultante proveniente do carregamento distribuído é dada pela área do
retângulo e, como a seção passa por um ponto qualquer desse retângulo, sua base não é mais ,
mas , e o ponto de aplicação da força resultante corresponde ao centro geométrico do
retângulo, ou seja, , sendo  a base do retângulo. Por isso, seu centro é .
Aplicando o somatório de forças em y e o somatório de momentos na seção, vamos obter  e
, respectivamente:
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Considerando as duas funções de forças cortantes, vamos construir seu respectivo diagrama. A
primeira equação nos diz que  e é válida para o intervalo de . Logo, como a
função é uma constante, faremos uma linha horizontal em −2 no eixo y, iniciando em   e
terminando em :
A segunda função para a força constante é   e é válida para o intervalo de
. Logo, como a função é do 1° grau, temos que substituir os valores do intervalo de .
Para , temos ; consequentemente, . Para , temos
; logo, . Portanto, faremos uma reta que se inicia em e termina
em :
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Aplicando a mesma ideia para construir o diagrama de momento fletor, temos que a primeira
função é . Substituindo o   pelos valores do primeiro intervalo, temos que, para
, , e, para ,   Logo, como é uma função do 1º
grau, faremos uma reta que começa em 0 e termina em −4:
Para a segunda função de momento fletor, temos . É uma função do
2° grau (parábola). Substituindo o   pelos valores do primeiro intervalo, temos que, para ,
, e, para ,
  Logo, como é uma função do 2º grau, faremos uma
parábola com concavidade para baixo, pois o sinal da função é negativo ( ), começando em
−4 e terminando em −11:
Em ambos os diagramas, percebemos que, no ponto de engaste, se encontram a força de
cisalhamento e o momento fletor máximos dessa viga.
No próximo tema você aprenderá a obter esses diagramas utilizando o método das integrais.
TEMA 4 – RELAÇÕES ENTRE CARGA DISTRIBUÍDA, ESFORÇO
CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Este tema dedica-se à aplicação do método das integrais para construir os diagramas de força
cortante e de momento fletor de uma estrutura.
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O método apresentado anteriormente torna-se muito trabalhoso à medida que o número de
forças e momentos do problema se amplia. Uma das vantagens em trabalhar com o método das
integrais é poder aplicá-lo a problemas que envolvem várias forças e/ou momentos concentrados e a
cargas distribuídas, pois baseia-se nas relações diferenciais entre as forças do problema, o esforço
cortante e o momento fletor.
Para desenvolver esse método, vamos considerar as seguintes relações:
1.  Relação entre a carga distribuída e o esforço cortante: no intervalo dentro do
carregamento distribuído , temos que a variação da força cortante é dada por:
O termo da integral corresponde à área sob a curva do carregamento distribuído. Ou seja, se
tivermos um carregamento distribuído na estrutura, no diagrama de momento fletor desenharemos
uma função com um grau acima da função que descreve a carga distribuída, e sua magnitude é dada
pelo cálculo da área sob a carga distribuída;
2.  Relação entre esforço cortante e momento fletor: o momento fletor sempre será um grau
acima da função de força cortante. Por exemplo: se no diagrama de força cortante tivermos uma reta
(função do 1° grau) dentro de um determinado intervalo, no diagrama de momento fletor teremos
uma parábola (função do 2° grau); logo, a variação do momento fletor é dada por:
O termo da integral corresponde à área sob o diagrama de esforço cortante no intervalo
avaliado;
3.  Relação de força concentrada e diagrama de força cortante: sempre que houver uma força
concentrada na estrutura analisada, haverá um salto no diagrama de força cortante. Esse salto será
para cima se a força concentrada tiver sentido para cima; caso contrário, o salto será para baixo. A
função a ser desenhada é do tipo constante e vale até a próxima força aplicada;
4.  Relação de momento concentrado e diagrama de momento fletor: sempre que houver um
momento concentrado na estrutura analisada, haverá um salto no diagrama de momento fletor. Esse
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salto será para cima se o momento concentrado tiver sentido horário; caso contrário, o salto será
para baixo. A função a ser desenhada é constante.
Exemplo 9: considere o Exemplo 7 e construa os diagramas de força cortante e de momento
fletor utilizando o método das integrais.
Solução: na solução do Exemplo 7, obtivemos as reações nos apoios dos mancais. O próximo
passo é construir o diagrama de força cortante de forma direta, considerando os tipos de força e
momentos aplicados ao eixo. Para isso, analisaremos o seguinte DCL:
Fonte: Silva, 2020, com base em Hibbeler, 2011.
A primeira força que aparece, analisando o eixo da esquerda para a direita, é a de 2,5 kN. Como
essa força é concentrada, aplicaremos a relação 3. Logo, no diagrama de força cortante haverá um
salto para cima no valor da força, e esse salto deve ser desenhado com base no ponto de aplicação
dessa força até a próxima força sobre o eixo; ou seja, temos que desenhar uma função constante no
intervalo de 0 a 2 m, pois a partir de 2 m há outra força concentrada aplicada. Assim, temos:
Em , há uma força concentrada no valor de 5 kN com sentido para baixo; logo, no
diagrama de força cortante, nesse ponto, o diagrama saltará para baixo no valor de 5 kN. Como a
força atual é de 2,5 (para cima) e vamos aplicar 5 para baixo, ficamos com 2,5 − 5 = −2,5 kN. Essa
função vale com base na posição de 2  m até a próxima força sobre o eixo. Ou seja, temos que
desenhar uma função constante no intervalo de 2 a 4 m, pois a partir de 4 m há outra força aplicada.
Assim, temos:
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Porfim, em  há uma força concentrada no valor de 2,5 kN com sentido para cima; logo,
no diagrama de força cortante, nesse ponto, o diagrama saltará para cima no valor de 2,5 kN. Como a
força atual é de −2,5 (para baixo) e vamos aplicar 2,5 para cima, ficamos com −2,5 + 2,5 = 0 kN. Logo,
como não há mais eixo após esse ponto, finalizamos o diagrama de força cortante com esse salto,
terminando em :
O diagrama de momento fletor é construído ao analisarmos o diagrama de força cortante e
algum momento concentrado fornecido no problema. Como nesse exemplo não existe nenhum
momento concentrado, vamos focar somente o diagrama de força cortante para desenhar o
diagrama de momento fletor aplicando a relação 2. Como em   não há nenhum momento
concentrado, no diagrama de momento fletor iniciaremos com um momento igual a zero nesse
ponto.
Vimos na relação 2 que a variação do momento fletor é determinada pelo cálculo da área abaixo
do diagrama de força cortante. Logo, analisando o retângulo construído dentro do intervalo de
, sua área é base vezes altura. A base é 2 m, e a altura, 2,5 kN; logo, .
Como no diagrama de força cortante temos uma função constante, no diagrama de momento fletor
teremos uma função de um grau acima, ou seja, uma função linear (1° grau); logo, faremos uma reta
que sai de 0 em  e vai a 5 em :
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A próxima área a ser avaliada no diagrama de força cortante está no intervalo de , e
tem valor negativo para o eixo vertical; logo, a área desse retângulo é . Note que
a base é 2 m, pois está entre 2 e 4; logo, 4 − 2 = 2 m.
No diagrama, já desenhado, estamos em , com um momento igual a , e vimos
que, por meio da área do diagrama de força cortante, temos uma variação do momento fletor em
. Logo, o momento final para   é dado pela soma desses momentos; ou seja,
  Portanto, como no diagrama de força cortante a função no intervalo avaliado é
constante, no diagrama de momento fletor teremos uma função linear (1° grau); logo, faremos uma
reta que sai de 5 em  e termina em 0 em :
Exemplo 10: considere o Exemplo 8 e construa os diagramas de força cortante e de momento
fletor utilizando o método das integrais.
Solução: na solução do Exemplo 8, obtivemos as reações nos apoios do engaste. O próximo
passo é construir o diagrama de força cortante de forma direta, considerando os tipos de força e os
momentos aplicados à viga. Para isso, analisaremos o seguinte DCL:
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A primeira força que aparece, analisando a viga da esquerda para a direita, é de 2 kN. Como essa
força é concentrada, aplicaremos a relação 3. Logo, no diagrama de força cortante haverá um salto
para baixo de −2  kN, pois a força tem sentido para baixo, desenhado com base no ponto de
aplicação dessa força até a próxima força sobre a viga; ou seja, temos que desenhar uma função
constante no intervalo de 0 a 2 m, pois a partir de 2 m há um carregamento distribuído. Assim, temos:
Em , inicia-se um carregamento distribuído que vai até . Nesse caso, temos que
aplicar a relação 1, ou seja, calcular a área do carregamento distribuído e, com essa informação,
vamos traçar uma função de um grau acima no diagrama de força cortante.
Para descobrir as reações de apoio, tínhamos calculado a força resultante proveniente do
carregamento distribuído , pois . Como o carregamento distribuído
tem sentido para baixo, o sinal da força resultante entrará como valor negativo (−3 kN) no diagrama.
Em , estamos com um valor de −2 kN. Como o carregamento distribuído produz uma
força de −3 kN, ficamos com −2 −3 = −5 kN. Logo, entre o intervalo de , teremos que
desenhar uma reta (função do 1° grau), pois o carregamento distribuído é uma função constante. Essa
reta se inicia com valor de −2, em , e termina em −5, com :
Para finalizar, em  há uma força concentrada devido à reação  no valor de 5 kN. Logo,
temos que desenhar um salto no diagrama de força cortante devido a esse valor e nessa posição,
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ficando com o seguinte diagrama:
O diagrama de momento fletor é obtido ao considerarmos as áreas em cada intervalo do
diagrama de força cortante. Como não há nenhum momento concentrado em , o diagrama de
momento fletor se inicia com valor 0. Analisando o diagrama de força cortante, para o primeiro
intervalo  a , temos que determinar a área do retângulo de base igual a 2 m e altura
igual a ; logo, a área é . Como é uma função constante, no diagrama de
momento fletor desenharemos uma função linear.
Analisando o segundo intervalo   a   do diagrama de força cortante, temos que
determinar a área composta por um retângulo de base igual a 2 m e altura igual a −2 kN, resultando
em , e do triângulo de base igual a 2 m e altura igual a ; logo, a
área é . A soma das duas áreas resulta em . Como a função desse
intervalo é linear, desenharemos uma função do 2° grau com concavidade para baixo, por ser um
valor negativo, começando em   para   e terminando em   para
.
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Como em   existe um momento concentrado de   no sentido horário,
desenharemos um salto positivo no diagrama com esse valor, ficando nesse ponto o valor de
:
Vamos aplicar os conhecimentos adquiridos no próximo tema com um exercício completo,
abrangendo os conteúdos vistos nesta aula.
TEMA 5 – EXEMPLO PRÁTICO: APLICANDO OS DOIS MÉTODOS
PARA CONSTRUIR DIAGRAMAS
Chegamos ao último tema desta aula. Aqui, resolveremos um único exercício, aplicando os
conhecimentos adquiridos nos temas anteriores.
Estudo aplicado: para sair do chão e voar, um avião precisa que sua força de sustentação seja
maior que sua força peso (Figura a). Analisando as forças envolvidas em uma das asas de um avião,
podemos observar a distribuição do peso da asa, a distribuição da força de sustentação e o peso da
turbina (Figura b). Um modelo simplificado da magnitude dessas forças é apresentado na Figura c
(observação: nem todas as forças de um caso real foram consideradas nesse modelo).
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Fonte: Vchal/Shutterstock.
Para o modelo simplificado apresentado na Figura c, determine a força resultante proveniente
das cargas aplicadas sobre a asa, calcule a as forças de reação na junta que conecta a asa à aeronave
(engaste) e construa o diagrama de momento fletor e força cortante.
Solução: analisando a Figura c, observamos cinco tipos de carregamento, sendo quatro
distribuídos e uma força concentrada.
Os dois carregamentos distribuídos destacados pelas setas pretas correspondem ao peso da asa.
Para calcular a força resultante e sua localização – proveniente desses dois carregamentos –, vamos
aplicar a metodologia descrita no Tema 1. Considerando primeiro o carregamento retangular e
subsequentemente o carregamento triangular, temos:
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Note que a localização dessas forças resultantes toma como referência a origem da asa (ponto
A).
Os dois carregamentos distribuídos destacados pelas setas vermelhas correspondem à força de
sustentação feita pelo ar quando a aeronave se desloca a uma certa velocidade. Vamos calcular as
forças resultantes e suas localizações, considerando primeiro o carregamento retangular e,
posteriormente, o triangular:
A seguinte figura mostra as forças resultantes e suas posições na asa:
A força resultante é obtida pela soma das forças resultantes. Lembre-se de considerar o sinal
conforme o sentido para sabermos se essa força é para cima ou para baixo.31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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Portanto, como o resultado é positivo, sabemos que a força resultante tem sentido para cima,
direção vertical e módulo equivalente a 70 kN. Para determinar o centroide, vamos aplicar a Equação
4, considerando o sentido dos momentos em relação ao ponto A:
O próximo passo é determinar as reações de apoio no engaste da asa. Para isso, vamos
aproveitar os cálculos feitos anteriormente. O DCL com as reações de apoio é apresentado na
seguinte figura:
Aplicando as equações de equilíbrio, temos:
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Poderíamos determinar as forças internas em algum ponto específico da asa, mas melhor que
isso é determinar o comportamento da força de cisalhamento e do momento fletor ao longo de toda
a asa. Para isso, vamos construir os diagramas de força cortante e de momento fletor utilizando o
método das integrais (mais fácil).
Em , temos a força concentrada  com sentido para baixo. Logo, desenharemos
um salto para baixo com valor de −70 no diagrama de força cortante, que fica assim:
No intervalo entre   e , existem dois carregamentos distribuídos que são funções
constantes. Já calculamos a força resultante proveniente de cada carregamento. Logo, o próximo
passo é descobrir a força resultante naquele intervalo; ou seja,
  (sinal positivo indica que a força é para cima). Portanto,
desenharemos uma reta que se inicia em −70 para   e termina em −70 + 40 = −30 kN em
:
Em  há uma força concentrada no valor de 2 kN (ou −2kN, pois está para baixo); logo,
devemos subtrair esse valor da força de −30 kN, ficando −30 −2 = −32 kN. Plotando esse valor no
diagrama, temos:
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Por fim, no intervalo entre   e   (comprimento total da asa), existem dois
carregamentos distribuídos que são funções lineares (1° grau). Já calculamos a força resultante
proveniente de cada carregamento; logo, o próximo passo é descobrir a força resultante naquele
intervalo. Ou seja,   (sinal positivo indica que a força é para
cima). Portanto, desenharemos uma parábola que se inicia em −32 para  e termina em −32 +
32 = 0 kN para .
Agora vamos construir o diagrama de momento fletor baseando-se na figura do DCL com as
reações de apoio da asa e na figura acima do diagrama de força cortante.
No DCL notamos um momento concentrado, , com sentido horário e magnitude de 335,33
kN.m em . Logo, seguindo a relação 4, vista no tema anterior, teremos que desenhar um salto
positivo no diagrama para :
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Não há mais momentos concentrados na estrutura, então, a partir de agora, vamos analisar
somente o diagrama de força cortante.
Temos que obter a área dentro do diagrama de força cortante entre   e , como
mostra a figura:
A área do primeiro segmento é , e a área do segundo
segmento é . Portanto, a área total entre
 e  é  Note que a função dentro desse intervalo
é linear (equação do 1°  grau); logo, temos que desenhar uma função do 2° grau (parábola) no
diagrama de momento fletor.
O ponto atual no diagrama é de 335,33 kN.m, em , e a área total dentro do intervalo é −250
kN.m. Portanto, em , temos como resultado a soma desses valores, ou seja, 335,33 − 250 =
85,33 kN.m. O desenho do diagrama de momento fletor fica da seguinte forma:
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No intervalo entre  e , temos uma parábola que começa em −32 kN e termina
em 0 no diagrama de força cortante. Para obtê-la, temos que integrar a equação da reta do
carregamento distribuído, em que temos um triângulo com altura de 1 kN e outro com altura de 9
kN, e ambos com a mesma base. Portanto, o triângulo que vamos analisar para obter tal equação tem
a altura equivalente de 9 kN – 1 kN = 8 kN (positivo, pois as forças estão para cima):
Vamos considerar o intervalo de 0 a 8 para ficar mais fácil de obter a equação da reta, cuja
equação geral da reta é . Analisando o triângulo anterior, temos que, para , o
. Substituindo na equação geral da reta, ficamos com: ; logo, . E, para
, o ; substituindo na equação geral da reta, ficamos com: ; logo, .
Portanto, a equação da reta para o triângulo mostrado é: .
Agora vamos descobrir a função da parábola desenhada no diagrama de força cortante. Para
isso, temos que integrar a equação da reta obtida. Logo:
A constante   pode ser obtida se analisarmos a equação geral da parábola, dada por:
. Para , o , conforme diagrama de força cortante. Logo, substituindo
na equação geral da parábola, temos: ; portanto, .
Temos então que a função da parábola mostrada no diagrama de força cortante é
.
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Lembre-se: o que queremos calcular é a área abaixo dessa parábola, e isso pode ser obtido se
integrarmos essa função que acabamos de obter. Assim, temos:
Sabemos que precisamos desenhar uma função do 3° grau (um grau acima da função no
diagrama de força cortante) e que ela começa no ponto em que paramos (em ) e termina
em   “mais” a área da parábola do diagrama de força cortante; ou seja,
. O diagrama final fica assim:
Há uma ferramenta online para construir diagramas de força cortante e de momento fletor. Você
pode acessá-la pelo site: <http://www.viga.online/index.php>. O último exemplo foi resolvido
utilizando essa ferramenta, e você pode acessá-la aqui: <http://www.viga.online/index.php#L(13):E(0):
W(0,5,1000,1000)W(5,13,1000,0)W(0,5,-9000,-9000)W(5,13,-9000,0)F(5,2000)>. Acesso em: 16 dez.
2020.
Observe que essa ferramenta fornece todo o descritivo de cálculos, desde o cálculo das reações
de apoio até a seção de cada segmento, para obter as funções em cada intervalo avaliado, pois utiliza
o método das seções. Por fim, plota os diagramas para o engenheiro analisar.
Problemas que envolvem cargas distribuídas triangulares são mais complexos, e é necessário
aplicar os conhecimentos básicos de cálculo integral. Por isso, uma ferramenta como essa facilita a
construção desses diagramas. Mas, lembre-se que, para desenvolver uma ferramenta assim, é
http://www.viga.online/index.php
http://www.viga.online/index.php#L(13):E(0):W(0,5,1000,1000)W(5,13,1000,0)W(0,5,-9000,-9000)W(5,13,-9000,0)F(5,2000)
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necessário ter os conhecimentos adquiridos nesta aula e, é claro, aplicar uma lógica de programação
utilizando uma determinada linguagem.
FINALIZANDO
Nesta aula você aprendeu a obter a força resultante e sua posição se houver um carregamento
distribuído sobre uma estrutura. Aprendeu também a determinar os esforços internos em um ponto
qualquer de uma estrutura e em todos os pontos, mediante os diagramas de força cortante e de
momento fletor.
No nosso livro-texto, você encontrará outros exemplos resolvidos e muitos exercícios para
praticar. Aproveite para plotar esses diagramas de força cortante e momento fletor utilizando a
ferramenta Vigas Online.
REFERÊNCIAS
DADOS da viga: comprimento – 13 m. Viga Online, [S.l.], [s.d.]. Disponível em:
<http://www.viga.online/index.php#L(13):E(0):W(0,5,1000,1000)W(5,13,1000,0)W(0,5,-9000,-9000)W(5,
13,-9000,0)F(5,2000)>. Acesso em: 16 dez. 2020. Exercício resolvido nesta aula.
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011.