Física I - Aula 7

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Paulo lemos
assunto: acoPlamentos
frente: Física i
OSG.: 118163/17
AULA 07
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Acoplamentos
Acoplamentos: Polias acopladas por correia ou 
engrenagem
Observe as figuras abaixo:
A
A’
Sentidos opostos
Mesmo sentido
Exceto pelos sentidos das rotações, essas duas
montagens são equivalentes.
B’
B
OO
R’R’
RR
RR
AA
A’A’
OO
R’R’ O’O’
B’B’
Polia acoplada
por correia
V
1
V
1
V
2
V
2
V
1
 = V
2
Polia acoplada
por engrenagem
V
iv
id
pi
xe
ls
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
N
ik
ita
 S
ob
ol
ko
v/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
Para polias acopladas por correia ou engrenagem, as 
velocidades lineares dos pontos das rodas, em contato com a correia 
ou na engrenagem, têm o mesmo valor. 
V
1
 = V
2
 ⇔ w
1
r
1
 = w
2
r
2
 ⇔ 2πf
1
 · r
1
 = 2πf
2
 · r
2
 ⇔ f1 · r1 = f2 · r2
Polias com mesmo eixo
Observe a figura abaixo:
Motor
V
1
R
1
R
2
V
2
ϖ
1
ϖ
2
Rodas acopladas a um mesmo eixo têm mesma velocidade 
angular, mesmo período e mesma frequência. As velocidades lineares 
são diretamente proporcionais aos respectivos raios.
w
1
 = w
2
 ⇔ 
V
r
V
r
1
1
2
2
=
V
r
V
r
1
1
2
2
=
Movimento circular uniformemente 
variado (MCUV)
Quando uma partícula descreve uma trajetória circular, e sofre 
mudança no módulo de sua velocidade angular em um certo intervalo 
de tempo, então este corpo tem aceleração angular (α). 
Dessa forma, temos:
A aceleração escalar angular média (α
m
) é considerada uma 
razão que está entre a variação de velocidade escalar angular e o 
intervalo de tempo.
α
ω
m t
=
∆
∆
As equações angulares do movimento circular uniformemente 
variado são obtidas por analogia com as equações lineares do 
movimento uniformemente variado.
Logo:
MUV MCUV
Grandezas lineares Grandezas angulares
v = v
0
 + at ω = ω
0
 + α · t
s s v t at= + ⋅ + ⋅0 0
21
2
ϕ ϕ ω α= + ⋅ + ⋅0 0
21
2
t t
a
tm
=
∆
∆
ν
α
ω
m t
=
∆
∆
v2 = v
0 
2 + 2α ∆s ω2 = ω
0 
2 + 2α · ∆ϕ
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Módulo de estudo
OSG.: 118163/17
Exercícios
01. (Enem/2006) Na preparação da madeira em uma indústria de 
móveis, utiliza-se uma lixadeira constituída de quatro grupos de 
polias, como ilustra o esquema abaixo. Em cada grupo, duas polias 
de tamanhos diferentes são interligadas por uma correia provida 
de lixa. Uma prancha de madeira é empurrada pelas polias, no 
sentido A → B (como indicado no esquema), ao mesmo tempo 
em que um sistema é acionado para frear seu movimento, de 
modo que a velocidade da prancha seja inferior a da lixa. 
A B
1 2
3 4
 O equipamento acima descrito funciona com os grupos de polias 
girando da seguinte forma
A) 1 e 2 no sentido horário; 3 e 4 no sentido anti-horário.
B) 1 e 3 no sentido horário; 2 e 4 no sentido anti-horário.
C) 1 e 2 no sentido anti-horário; 3 e 4 no sentido horário.
D) 1 e 4 no sentido horário; 2 e 3 no sentido anti-horário. 
E) 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário.
02. (Enem/2013) Para serrar ossos e carnes congeladas, um açougueiro 
utiliza uma serra de fita que possui três polias e um motor. O 
equipamento pode ser montado de duas formas diferentes, P 
e Q. Por questão de segurança, é necessário que a serra possua 
menor velocidade linear.
Montagem P
Motor
Polia 1
Polia 2
Polia 3
Serra
de fitaCorreia
Montagem Q
Motor
Polia 1
Serra
de fita
Polia 2
Polia 3
Correia
 Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a justificativa 
desta opção? 
A) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em 
pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.
B) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que tiver 
maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.
C) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a que tiver 
maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.
D) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares 
em pontos periféricos e a que tiver menor raio terá maior 
frequência.
E) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares 
em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor 
frequência.
03. (Fuvest-SP) Uma criança montada em 
um velocípede se desloca em trajetória 
retilínea, com velocidade constante em 
relação ao chão. A roda dianteira descreve 
u m a v o l t a c o m p l e t a e m 1 s . 
O raio da roda dianteira vale 24 cm e o das 
traseiras, 16 cm. Podemos afirmar que as 
rodas traseiras do velocípede completam uma volta em, 
aproximadamente,
A) 
1
2
s B) 
2
3
s
C) 1s D) 
3
2
s
E) 2s
• (Uerj) Utilize os dados a seguir para resolver as questões de 
números 04 e 05.
Uma das atrações típicas do circo é o equilibrista sobre 
monociclo. O raio da roda do monociclo utilizado é igual a 
20 cm, e o movimento do equilibrista é retilíneo. O equilibrista 
percorre, no início de sua apresentação, uma distância de 
24 π metros.
04. (Uerj) Determine o número de pedaladas, por segundo, necessárias 
para que ele percorra essa distância em 30 s, considerando o 
movimento uniforme.
05. (Uerj) Em outro momento, o monociclo começa a se mover a 
partir do repouso com aceleração constante de 0,50 m/s². Calcule 
a velocidade média do equilibrista no trajeto percorrido nos 
primeiros 6,0 s.
06. (UEL-PR-011) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por 
trechos retos e semicirculares, conforme a figura a seguir: 
0537-F12-G
M
Raia 1Raia 1
Raia 3Raia 3
Raia 4Raia 4 Raia 5Raia 5 Raia 6Raia 6 Raia 7Raia 7 Raia 8Raia 8
8 m
8 m
36,70 m
84,76 m
Raia 2Raia 2
Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na 
parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor 
distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte 
interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.
Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia 
mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna?
Dado: π = 3, 14
A) 10,00 m
B) 25,12 m
C) 32,46 m
D) 50,24 m
E) 100,4 m
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OSG.: 118163/17
Módulo de estudo
07. (UFPA/2013) O escalpelamento é um grave acidente que ocorre nas 
pequenas embarcações que fazem transporte de ribeirinhos nos 
rios da Amazônia. O acidente ocorre quando fios de cabelos longos 
são presos ao eixo desprotegido do motor. As vítimas são mulheres 
e crianças que acabam tendo o couro cabeludo arrancado. Um 
barco típico que trafega nos rios da Amazônia, conhecido como 
“rabeta”, possui um motor com um eixo de 80 mm de diâmetro, 
e este motor, quando em operação, executa 3000 rpm.
 Considerando que, nesta situação de escalpelamento, há um fio 
ideal que não estica e não desliza preso ao eixo do motor e que o 
tempo médio da reação humana seja de 0,8 s (necessário para um 
condutor desligar o motor), é correto afirmar que o comprimento 
deste fio que se enrola sobre o eixo do motor, neste intervalo de 
tempo, é de: 
A) 602,8 m B) 96,0 m
C) 30,0 m D) 20,0 m
E) 10,0 m
08. (FGV-SP) Toda caneta esferográfica possui em sua ponta uma 
pequena esfera feita de liga de tungstênio, cuja finalidade é 
transferir a tinta do reservatório para o papel. Quando um 
desenhista traça uma linha reta, transladando sua caneta com 
velocidade constante v = 0,2 m/s, a pequena esfera de 0,8 mm 
de diâmetro gira sobre seu centro com velocidade angular ω, em 
rad/s, de valor
V
ω
A) 160 B) 200
C) 250 D) 400
E) 500
09. (CPS) Um cidadão brasileiro resolve construir uma bicicleta com 
objetivo de contribuir para a melhoria da qualidade do ar e de 
sua própria saúde. A bicicleta possui uma corrente que liga uma 
coroa dentada dianteira (D) movimentada pelos pedais, a uma 
coroa localizada no eixo da roda traseira (T). O rendimento da 
roda traseira depende do tamanho relativo das coroas.
 Dos esquemas das coroas representadas a seguir, a roda traseira 
que dá o maior número de voltas por pedaladas é:
A) 
T
D
 B)T
D
C) 
T
D
 D) 
T
D
E) 
T
D
10. (UFSCar-SP) Para possibilitar o translado da
fábrica até a construção, o concreto 
precisa ser mantido em constante 
agitação. É por esse motivo que as 
betoneiras, quando carregadas, mantêm 
seu tambor misturador sob rotação 
constante de 4 r.p.m. Esse movimento só é possível devido ao 
engate por correntes de duas engrenagens, uma grande, presa 
ao tambor e de diâmetro 1,2 m, e outra pequena, de diâmetro 
0,4 m, conectada solidariamente a um motor. 
 Na obra, para que a betoneira descarregue seu conteúdo, o tambor 
é posto em rotação inversa, com velocidade angular 5 vezes maior 
que a aplicada durante o transporte. Nesse momento, a frequência 
de rotação do eixo da engrenagem menor, em r.p.m., é
A) 40 B) 45
C) 50 D) 55
E) 60
11. (Fatec-SP) As rodas dentadas A, B e C têm, respectivamente, 32, 
64 e 96 dentes, como mostra a figura a seguir. Sabendo que C, 
de raio 12 cm, tem velocidade angular de 6 rad/s, a velocidade 
linear de um ponto da periferia da roda B e a velocidade angular 
da roda A são, respectivamente,
A) 72 cm/s e 9,0 rad/s B) 36 cm/s e 9,0 rad/s
C) 72 cm/s e 18 rad/s D) 36 cm/s e 18 rad/s
E) 18 cm/s e 36 rad/s
12. (Fuvest-SP) A Estação Espacial Internacional mantém atualmente 
uma órbita circular em torno da Terra, de tal forma que 
permanece sempre em um plano, normal a uma direção 
fixa no espaço. Esse plano contém o centro da Terra e 
faz um ângulo de 40º com o eixo de rotação da Terra. 
Em um certo momento, a Estação passa sobre Macapá, que se 
encontra na linha do Equador. Depois de uma volta completa em 
sua órbita, a Estação passará novamente sobre o Equador em um 
ponto que está a uma distância de Macapá de, aproximadamente,
Equador
N
S
40º
MacapáMacapá
Plano de 
órbita da
estação
Eixo de rotação da terra
0547-F12-G
M
A) zero km B) 500 km
C) 1000 km D) 2500 km
E) 5000 km
Dados da Estação:
Período aproximado: 90 minutos
Altura acima da Terra – 350 km
Dados da Terra:
Circunferência no Equador – 40000 km
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MóduLO dE EstudO
osg.: 116183/17
13. (Fuvest-SP) Um disco de raio r gira com velocidade angular 
constante. Na borda do disco, está presa uma placa fina de 
material facilmente perfurável. Um projétil é disparado com 
velocidade v em direção ao eixo do disco, conforme mostra a 
figura, e fura a placa no ponto A. Enquanto o projétil prossegue 
sua trajetória sobre o disco, a placa gira meia circunferência, de 
forma que o projétil atravessa mais uma vez o mesmo orifício que 
havia perfurado. Considere a velocidade do projétil constante e 
sua trajetória retilínea. O módulo da velocidade v do projétil é
w
r
v
A) 
ω
π
r
 B) 
2ω
π
r
C) 
ω
π
r
2
 D) ωr
E) 
πω
r
14. (UFU-MG) Um relógio com mecanismo defeituoso atrasa 
10 minutos a cada hora. A velocidade angular média do ponteiro 
maior desse relógio, quando calculada com o uso de um relógio 
sem defeitos, vale, em rad/s,
A) π/2160 B) π/2100
C) π/3600 D) π/1500
15. (UEL) A posição média de um satélite geoestacionário em relação 
à superfície terrestre se mantém devido à 
A) sua velocidade angular ser igual à velocidade angular da 
superfície terrestre.
B) sua velocidade tangencial ser igual à velocidade tangencial da 
superfície terrestre.
C) sua aceleração centrípeta ser proporcional ao cubo da 
velocidade tangencial do satélite.
D) força gravitacional terrestre ser igual à velocidade angular do 
satélite.
E) força gravitacional terrestre ser nula no espaço, local em que 
a atmosfera é rarefeita.
Resoluções
01. “Uma prancha de madeira é empurrada 1
3 4
2
BA
 
pelas polias, no sentido A → B …”. 
Ora, as polias apenas empurram a 
prancha. Para empurrar, as duas de 
c ima devem gi rar no sent ido 
anti-horário e as de baixo no horário.
 Resposta: C
02. A velocidade linear da serra é igual à velocidade linear (v) de um 
ponto periférico da polia à qual ela está acoplada. Lembremos que 
no acoplamento tangencial, os pontos periféricos das polias têm 
mesma velocidade linear; já no acoplamento coaxial (mesmo eixo) 
são iguais as velocidades angulares (ω), frequências (f) e períodos 
(T) de todos os pontos das duas polias. Nesse caso, a velocidade 
linear é diretamente proporcional ao raio (v = ωR). Logo, 
v = 2πf · R → f = v/2π.R. Portanto, pontos periféricos de maior raio 
terá menor frequência.
 Resposta: A
03. R
1
 = 24 cm T
1
 = 1 s
R
2
 = 16 cm
V
1
 = V
2
W
1
 · R
1 
= W
2
 · R
2
2 2
2
1
24
2
16
16
24
2
3
1
1
2
2
2
2
π π
π π
T
R
T
R
T
T s
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
= =
 Resposta: B
04. Dado: R = 20 cm = 0,2 m
Determinando o número de pedaladas/segundo (frequência).
Sendo o movimento uniforme (v = cte):
s = v · t ⇒ 2 πR = v · T ⇒ 2
1
πR v= ⋅
f
f = 
v
R2π
 onde v = =
24
30
0 8
π
π, m/s
f = 
0 8
2 0 2
2
,
,
⋅
⋅
=
π
π
 pedaladas/segundo = 2 Hz 
 Resposta: 2 Hz
05. Sendo o movimento variado, temos:
S s v t at S mo o= + + ⇒ = ( )( ) =0 0 2 2
1
2
1
2
0 5 6 9,
V
S
tm
= = =
∆
∆
9
6
1 5, m/s
 Resposta: 1,5 m/s
06. Observe que nos trechos retos as distâncias percorridas pelos 
atletas das partes interna e externa é a mesma. O acréscimo é 
devido apenas à distância do trecho externo de raio R = 8 m.
Logo: ∆S = πR + πR = 2πR = 2 · 3,14 · 8 — ∆S = 50,24 m
 Resposta: D
07. Dados: f = 3000 rpm = 50 Hz; D = 80 mm = 0,08 m; ∆t s= 0 8,
.
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆
∆
S v t S R t
S f
D
t
S m
= ⇒ = ⇒
⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
=
 
 
ω
π2
2
3 14 50 0 08 0 8
10
, , ,
.. 
 Resposta: E
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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OSG.: 116183/17
MóduLO dE EstudO
08. V = 0,2 = 2 · 10–1 m/s — R = 0,8/2 — R = 0,4 mm = 0,4 · 10–3 
— R = 4 · 10–4 m — W = V/R = 2 · 10–1/4 · 10–4 — W = 0,5 · 103 
rad/s — W = 500 rad/s 
 Resposta: E
09. (Veja teoria)
 Resposta: D
10. Velocidade angular do tambor antes de descarregar: 
W
a
 = 2πf
a
 = 2π4 → W
a
 = 8π rad/min → ao descarregar 
W
d
 = 5W
a 
= 5 × 8π = 40π rad/min → frequência ao 
descarregar → W
d
 = 2πf
d
 → 40π = 2πf
d
 → f
d
 = 20 rad/min. 
→ f
d
R
d
 = f
menor
 · R
menor
 → 20 · 0,6 = f
menor
 · 0,2 → f
menor
 = 60 rpm
 Resposta: E
11. Como as rodas giram acopladas cada ponto da periferia de 
cada uma delas possui a mesma velocidade linear (escalar) V
A
 
= V
B
 = V
C
 –– para cada roda o número de dentes é diretamente 
proporcional ao comprimento de cada circunferência, que por 
sua vez é diretamente proporcional a cada raio → R
A
/32 = R
B
/64 
= R
c
/92 → R
A
 = R
B
/2 = R
C
/3 → R
A
 = R
C
/3 = 12/3 → – R
A
 = 4 cm → 
R
B
 = 8 cm → R
A
 = 4 cm → R
B
 = 8 cm e R
C
 → R
C
 = 12 cm → W
C
 
= V
C
/R
C
 → 6 = V
C
/12 → V
C
 = 72 cm/s = V
A
 = V
B
 –– W
A
 = V
A
//R
A
 
–– W
A
 = 72/4 → W
A
 = 18 rad/s
 Resposta: C
12. Velocidade de qualquer ponto da linha do equador (inclusive 
Macapá), após uma volta completa da Terra (T = 24 h) — V ∆S/T 
= 40000/24 — V = 10000/6 km/h — com essa velocidade, no 
tempo que a estação demora para efetuar uma volta completa 
(∆t = 90 min = 1,5 h), Macapá percorreu uma distância de 
V = ∆S/∆t — 10000/6 = ∆S/1,5 — ∆S = 2 · 500 km.
 Resposta: D
13. O projétil descreve linearmente uma distância 2R (diâmetro) no 
mesmo intervalo de tempo em que o corpo dá meia-volta (R), ou 
seja:
Projétil
S = v · t
2R = v · t
t = 
2
1
R
v
( )
Corpo
S = v · t
πR = ω R · t
t
R
R
=
π
ω
( )2
De (1) e (2), temos:
2R
v
=
π
ω
v
R
=
2ω
π
 Resposta: B
14. Num relógio sem defeitos o ponteiro dos minutos ao efetuar 
uma volta completa (60 min) efetua um ângulo de 2π rad — no 
relógio defeituoso, ao efetuar uma volta completa (50 min) ele 
efetuará um ângulo q rad — regra de três — 60 min — 2π rad 
— 50 min — q rad — q = 100π/60 — q = 5π/3 rad — o relógio 
sem defeitos medirá esse ângulo sendo efetuado em 1 h = 3600 
s — W = ∆q/∆t = (5π/3) / 3600 — W = π/2160
 Resposta: A
15. Se o satélite é geoestacionário, ele está em repouso em relação à 
Terra. Para que isso ocorra, a velocidade angular do satélite deve 
ser igual à velocidade angularda Terra. 
 Resposta: A
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Paulo Lemos
DIG.: Raul – REV.: Amélia