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Formas diferenciais
Marcela M.Paula Karina T. Pereira Nicole M. Rabelo
25 de novembro de 2015
Resumo
Este trabalho baseia-se no assunto de formas diferenciais e suas apli-
cações. A partir dos Teoremas Fundamentais do Cálculo (Teorema de
Green, Teorema de Gauss e Teorema de Stokes), a fomentação da teo-
ria de formas diferenciais foi estabelecida, sendoque as formas diferenciais
podem ter grau in�nitesimal (n = 1, 2, 3, ......). Contudo neste trabalho
especi�caremos as formas de grau 1, 2 e 3 e suas aplicações em um de-
terminado espaço. As aplicações físicas também serão expostas para um
maior entendimento do estudo. Portanto, o objetivo da pesquisa foi de
abrir o conceito de formas diferenciais com base no cálculo vetorial como
a utilização de integral de linha, rotacional, divergênciae os teoremas,
analisando as regiões dos campos vetoriais.
Palavras-chave: formas diferenciais, aplicações, Teoremas Fundamen-
tais do Cálculo e cálculo vetorial.
1 Introdução
As formas diferenciais, são ferramentas cruciais para diversos campos de
estudo. No cálculo vetorial, na física, na geometria analítica, e em muitos cam-
pos da ciência, constituem um papel importante na passagem do local para o
global.A análise vetorial oferece uma maneira mais conveniente para tratar pro-
blemas da física, tornando-os mais concisos. Em busca de um contexto dusual,
apresenta-se os principais teoremas do cálculo vetorial. O Teorema de Green,
querelaciona uma integral dupla sobre uma região plana de uma curva simples.
O teorema de Gauss,relaciona uma integral tripla com o �uxo na fronteira de
uma superfície. O Teorema de Stokes, traz a relação entre a integral de uma
forma diferencial e sua derivada exterior. Este trabalho traz o estudo de N-
formas diferenciais, introduzindo a integral de linha sobre uma curva (1-forma),
a integral de superfície (2-formas) e a integral de volume sobre uma região (3-
formas). O cálculo vetorial proporcionou uma uni�cação à álgebra vetorial,
que sem dúvidas é uma ferramenta para a resolução de inúmeros problemas.Os
teoremas abordados possuem aplicações na termodinâmica, no estudo do eletro-
magnetismo, em simetrias de equações diferenciais, na geometria, em leis físicas,
entre outros.
1
2 Teoremas Fundamentais
2.1 Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral dupla de uma certa região com a
integral de linha da curva que a delimita (relaciona com a fronteira da região).
O Teorema de Green baseia-se na postulação de que tendo uma certa curva (C)
plana, fechada percorrida no sentido anti-horário e contínua, que delimitauma
região (R) e um certo P e Q que possuem suas derivadas parciais de primeira
ordem em um espaço aberto que contenha a região R, então:∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)dA
Esse teorema exerce papel fundamental na determinação de áreas de regiões
limitadas por curvas fechadas simples. Para entender a sua contribuição para
o cálculo de tais regiões, podemos comparar com os antigos métodos de men-
suração de regiões planas. Em 1854 foi criado o planímetro, instrumento capaz
de medir áreas de regiões planas limitadas: possui dois braços que variam o ân-
gulo de 0o a 180o, conforme contorna a curva na superfície. A Integral de linha
obtida pelo Teorema de Green é igual ao múltiplo da área da região delimitada
da curva C pelo planímetro, e o campo de vetores gerado pelo instrumento, está
em acordo com o teorema.O Teorema de Green constitui-se portanto, de uma
ferramenta utilizada em diversas ciências físicas, que torna possível e viável a
mensuração e aplicação de diversos conceitos.
2.2 Teorema de Gauss
O Teorema de Gauss também chamado de Teorema da Divergência relaciona
a integral tripla da divergência de um campo com o �uxo na fronteira de uma
superfície. ∮ ∮
S
~Fd~S =
∫∫∫
E
∇~Fdv
O estudo da superfície Gaussiana permite relacionar o �uxo de linhas de força
de um campo elétrico através de uma dada superfície. Como o �uxo de linhas
de campo através de uma superfície fechada é proporcional à massa (ou carga)
dentro dessa superfície, sabe-se da relação entre a carga contida em um volume,
e o �uxo de campo elétrico. Se a super�cie for dividida in�nitesimalmente dA,
considerando o campo eletrico E constante, e considerando todos os pontos com
formacao de um angulo com dA, o campo eletrico e dado por:
dΦ = EdA cos θ
O �uxo através de toda a superfície é uma integral:
Φ =
∮
~Ed ~A =
∮
EdA cos θ
2.3 Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície de uma certa região
com a integral ao redor da curva que delimita a região citada anteriormente.
2
A conceituação do teorema se baseia na ideia de que um certo F simboliza um
campo vetorial que possua componentes com derivadas parciais existentes em
um espaço aberto que contenha uma região (S), que seja delimitada por uma
curva (C) simples, fecha e positiva.∮
C
~Fd~r =
∫∫∫
S
(∇X ~F )d~S
Analisando uma superfície β orientada, com um número �nito de arestas (suave
por partes),e com fronteira formada por uma curva simples; o Teorema de Stokes
relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície β com uma integral
ao redor da fronteira de β. A partir do Teorema de Stokes é possível trabalhar
com equações válidas para campos vetoriais. É utilizada na lei de Ampére e
tem diversas outras aplicações no cálculo das variáveis do eletromagnetismo.
3 N�formas
De posse do conhecimento de que cada espaço vetorial possui um espaço
associado, o dual, e que ao se associar cada elemento pertencente de um conjunto
aberto contido nessa região a um funcional linear correspondente ao seu dual,
tem-se uma aplicação. Isto é, uma forma diferencial(diferenciavel) de grau p é
uma aplicação diferencial (diferenciavel).
3.1 Funcional linear e o espaço dual
Serão relatadas as bases do estudo de formas diferenciais: funcionais line-
ares e o espaço dual.Os quais tratam-se de fundamentos importantes da álge-
bra linear. Seja S um espaço vetorial de n dimenções em R. Chama-se por
S∗ = H(S,R)o espaço vetorial dos funcionais lineares F : SemR, denominado
espaço dual de S,o qual satisfaz dimS∗ = dimS. Dada uma base A = v1, ..., vn
de S, tem-se uma base A∗ = F1, ..., Fn de S∗ denominada base dual de A
satisfazendo:
Fi(vj) = Zij, ondeZij =
{
0 , se i 6= j
1 , se i = j
Assim, para v ∈ S com
F =
n∑
i=1
αivi
segue que para Fi(v) = αai, i = 1, ..., n. Outra forma de se expressar:
v = F1(v)v1 + F2(v)v2 + ...+ Fn(v)vn
Para um funcional linear F ∈ S∗, supondo F =
∑n
i=1 θiF i, tem-se que F (vi) =
αi, i = 1, ..., n.Logo,
F = F (v1)F1 + F (v2)F2 + ...+ F (vn)Fn
3
4 1�formas
Iniciaremos com a formalização de 1-formas em Rn, embora seja comumente
utilizada para n e (1,2 e 3).
De�nição 1 Uma forma diferencial de grau 1, de�nida em um aberto U ⊂ Rn
é uma aplicaçãoW que a cada x ∈ U associa um funcional linearW (x)→ (Rn),
i.e,
W (x) =
n∑
i=1
ci(x)dxi
W (x) = c1(x)(dx1)+, ...,+cn(x)(dxn)
Sendo ci funções, tais que ci : UXRn → R, i = 1, ..., n e dxi tais que dx1, .., dxn ⊂
(Rn), é a base dual canônica.
Que satisfaz:
(1) Para p0 ∈ U , �xo, e estimando β(p0, u) dependente apenas de u, tem-se
uma aplicação linear de RnemR;
(2) Para u0 ∈ Rn, �xo, e estimando β(p, u0) dependente apenas de p, tem-se
uma função diferenciavel de UemR;
Desde que p ∈ U tenha sido �xado, de�nimos βp como sendo a transformação
linear
βp : Rn → R
dada por
β|p(v) = β(p, v)
para qualquer v ∈ Rn. A forma-1 é representada de forma concreta por um
sistema de coordenada em Rn
� = e1, ..., en
a base canônica. Dado um campo vetorial em Rn, e v como um vetor qualquer,
tem-se:
v = b1e1 + ...+ bnen
, em que b1, b2, ...bn são coe�cientes reais. Esse campo é diferenciavel quando
as funções ai : U → R para i = 1, ..., n são diferenciáveis. Seja, agora, um ponto
p �xo em U e a partir de (1),
β(p, u) = b1β(p, e1) + ...+ bnβ(p, en)
.
Representando por dxi a transformação linear de RnemR por meio da qual
é extraido até o i-esimo termo de um vetor
dxi(k) = ci
podendo ser reescrito na forma
β(p, u) = β(p, e1)dx1(u) + ...+β(p, en)dxn(u)
4
Como o vetor ei é �xado, de modo que, conforme a propriedade (2), β(p, ei) é
diferenciavel para cada 1 < i < n. Assim escrevendo,
ai(x1, ..., xn) = β((x1, ..., xn), ei)
obtem-se uma função diferenciavel
ai : U → R
Desse modo,
β(p, u) = a1(p)dx1(u) + ...+ an(p)dxn(u)
para todo p ∈ Ueu ∈ Rn. De forma equivalente:
β = a1dx1 + ...+ andxn
em UXRn.
4.1 Diferencial
A diferencial de�ne uma transformação linear de O(U), composta por um
conjunto de funções diferenciaveis em U , que produz 1(U), a qual é determinada
em f2O(U) pela fórmula
df =
∂f
∂x1
dx+ ...+
∂f
∂xn
dn
Ou então, por
d(fg) = fd(g) + gd(f)
Quando f, g ∈ O(U), sendo esta conhecida como a fórmula de Leibniz.
5 2-formas
De�nição 2 Uma forma diferencial de grau 2, de�nida em um aberto U ⊂ Rn
é uma aplicação
α : UxRnxRn → R
Que satisfaz: (1) Para p0 ∈ U , �xo, e estimando W (p0, v, u) dependente apenas
de u e v, tem-se uma aplicação bilinear de RnxRnemR; (2) Para v0eu0 ∈
Rn, �xo, e estimando β(p, v0, u0) dependente apenas de p, tem-se uma função
diferenciavel de UemR; Segundo a propriedade 1,
Wp : RnxRn → R
composta por
Wp(v, u) = W (p, v, u)
Supondo que os vetores veu estejam representados com base em suas coordena-
das na base canônica
Wp =
∑
1≤i≤j≤n
cij(p)dxi ∧ dxj
5
Já que dxidxj(ei, ej) = 1
W (p, ei, ej) = aij(p)
Assim, conforme a propriedade (2)
aij : U → R
sao funções diferenciaveis em U .Desse modo, podemos inferir que toda 2-forma
diferencial de�nida em uma dada região UdeRn pode ser expressa da seguinte
maneira:
W =
∑
1≤i≤j≤n
cijdxi ∧ dxj
em que aij = aij(x1, ..., xn) são diferenciáveis em U . A partir disso, �ca fácil
veri�car as propriedades anteriores. Uma maneira mais simplicada de represen-
tar o conjunto das 2-formas diferenciais de�nidas em U seria por Ω. Através
do qual, há uma serie de operações que podem ser realizadas, sendo a soma a
mais simples.Partido de ωeκ, 2-formas diferenciais em U , sua soma φ+ κ esta
de�nida em um ponto (p, v, u) ∈ UxRnxRn por
(ω + κ)(p, v, u) = ω(p, v, u) + κ(p, v, u)
Para p ∈ U , �xo,
(ω + κ)(p, v, u) = (ωp+ κp)(v, u)
Conforme foi visto em 1-formas,a soma de 2-forma constantes é uma 2-forma
constante também.Isso quer dizer que ω + κ é bilinear alternada, provando a
prop 1. Ao �xarmos dois vetores v0eu0doRn, e considerarmos
(ω + κ)(p, v0, u0) = ω(p, v0, u0) + κ(p, v0, u0)
como uma função dependente apenas de p.Tendo em vista que ω(p, v0, u0) e
κ(p, v0, u) são ambas diferenciaveis, além disso que a soma de funções diferen-
ciaveis também o são. Logo,
(ω + κ)(p, v0, u0)
é uma funcao diferenciavel de p, o que prova 2.
5.1 Produto exterior
Sejam θ e γ exemplos de 1-formas diferenciais em U,a operação produto
exterior pode ser expressa por θ ∧ γ em um ponto
(p, v, u) ∈ UXRnXRn
pela seguinte fórmula
(θ ∧ γ)(p, v, u) = det
(
θ(p, v) γ(p, v)
θ(p, u) γ(p, u)
)
são satisfeitas as seguintes propriedades:
6
Anti-comutatividade:
θ ∧ γ = (−γ ∧ θ)
Distribuitividade:
θ + kγ ∧ τ = θ ∧ τ + k(γ ∧ τ)
cujo τ ∈ Ω é tambem uma 1-forma e k um escalar. Para toda 1-forma com
θ ∈ U , a primeira propriedade implica que
θ ∧ θ = 0
O produto exterior nos permite escrever qualquer 2-forma em U como
a1dx1 ∧ dx2 + a2dx1 ∧ dx3 + a3dx2 ∧ dx3
em que a1, a2, a3 ∈ O(U). A partir dele podemos de�nir a diferencial total da
1-forma
θ =
n∑
i=1
cidxi
como sendo igual a
dθ =
n∑
i=1
dci ∧ dxi
6 3-formas
A 3 � formas podem ser deduzidas a partir da 1 � formas e 2 � formas,
lembrando que a integral 2 � formas pode ser convertida em 3 � formas através
do Teorema de Stokes. A expressão da 3 � formas é de�nida como: f∧dx∧dy∧dz
(multiplicação de formas). A 3 � forma dxdydz representa um volume orientado.
De�nição 3 Uma forma diferencial de grau 3, de�nida em um aberto S, sendo
entendida como t : SXRnXRnXRn → R
Com as premissas de que,
(1) Quando se �xa um certo x0 e a�rma que a função t(x0, y, z, w) só depende
de u, vew, há uma aplicação linear como: RnXRnXRn → R.
(2) Quando se �xa y0, z0ew0 e a�rma que a função t(x, y0, z0, w0) só depende
de x, então há uma função diferenciável de S no conjunto dos reais.
Para o melhor entendimento das 3 � formas, consideramos, assim como em
1 � formas, uma transformação linear, no caso, t(y, z, w) e a base canônica:
� = e1, e2, e3, obtendo assim,
t(y, z, w) = a1t(e1, z, w) + a2t(e2, z, w) + a3t(e3, z, w)
Dessa forma, os vetores da base canônica, determinando a, bec constantes
quaisquer pertencentes ao conjunto dos reais, será da forma:
v = ae1 + be2 + ce3
7
Mas os t(ej, v, w) são 3 � forma constante (quando se troca 2 entradas a
forma diferencial troca de sinal), por isso a forma linear alternada é equivalente
ao produto da transformação linear em função das bases canônicas pelo deter-
minante da matriz de termos com todas as colunas, exceto a coluna j. Isso se
consegue quando abrimos as formas de v e w em, por exemplo:
v = 2e1 + 3e2 + 5e3
w = 7e1 + 4e2 + 10e3
6.1 Integração de 3 � formas
Vamos analisar o caso de um 3 � forma de um 3 � retângulo no espaço
tridimensional. Seja N pertencente a um espaço S, que contém o 3 � retângulo
([a, a′]X[b, b′]X[c, c′]), então ele pode ser escrito como:
N = f(r, s, t)dr ∧ ds ∧ dt
E a integral de N �ca: ∫
R
N =
a′∫
a
b′∫
b
c′∫
c
fdrdsdt
Com essa conclusão, podemos inferir que:∫
M
t =
∫
R
M ∗ (t)
Para uma certa 3 - célula M, que a imagem está contida em uma região R, então
a integral do vetor t será:
7 Aplicações
7.1 Relações Termodinâmicas de Maxwell
O matemático James Clerk Maxwell postulou relações entre as variáveis
termodinâmicas através da aplicação da geometria. Com o surgimento do estudo
de formas diferenciais, foi criado a lógica por trás das relações de Maxwell. As
relações abrangem as variáveis: pressão, volume, entropia, número de moles,
temperatura, etc. Uma das várias relações entre os termos termodinâmicos é a
que envolve entropia (S) e volume (V ).
7.2 Lei de Faraday
O inglês Michael Faraday realizou experimentos, passando uma corrente elé-
trica induzida através da diferença de potencial em uma bobina concêntrica e
ele percebeu que havia um �uxo magnético através da bobina. A partir desse
experimento, Faraday através do estudo de formas diferenciais, considerando ~E
o campo elétrico e ~B o vetor densidade de �uxo magnético.
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8 Conclusão
Foi possível concluir com o trabalho que as formas diferenciais são bons ope-
radores que generalizam o estudo vetorial. As n � formas descrevem um âmbito
para a resolução de problemas físicos como o estudo das relações de Maxwell,
que interpreta as propriedades termodinâmicas como a entropia, temperatura
e número de moles, a Lei de Faraday, que utiliza não só de formas diferenciais
como também o Teorema de Stokes para propor uma relação matemática entre
um campo elétrico induzido e o �uxo de um campo magnético e outros pro-
blemas de termodinâmica e eletromagnetismo. Além disso, esta pesquisa nos
mostrou as aplicações matemáticas de formas diferenciais, citadas aqui a 1 �
formas, 2 � formas e 3 - formas, como na diferenciação, integração e produto
exterior e que as n � formas é uma generalização dos teoremas e leis das formas
diferenciais, já que um padrão das formas 1, 2 e 3 foi observado.
Referências
1 CASTRO, Fernando Rossales.Folheações de dimensão 2 de R3 induzidas
por 1-formas diferenciais.Unesp.Apresentado como tese de mestrado. 81
páginas. São José do Rio Preto.Março de 2012.
2 S. C. Coutinho.Cálculo vetorial com formas diferenciais. 172 páginas.
3 PERDIGÃO, Manfredo do Carmo. Formas diferenciais e aplicações.Impa,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada.Apresentado como monogra-
�a.234 páginas.Rio de Janeiro.1983.
CASTRO, Fernando Rossales Sobrenome maiusculo, resto nome normal.titulo
do artigo em negrito.faculdade, apresentado como tese, .., quantidade de pags,
lugar, ano. titulo de onde tirei. autor. disponivel em: nome do site. Acesso em:
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