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1. TIPOS DE FUNÇÃO 
 
1.1. Funções monotônicas: 
 
Chama-se monotônica ou monótona a função que é sempre crescente ou decrescente no seu domínio. 
 
Seja a função f :A B→ , então: 
• f é crescente (não decrescente) se 1 2x , x A  tais que 
( ) ( )1 2 1 1 2 2x x y f x f x y .  =  = 
• f é decrescente (não crescente) se 1 2x , x A  tais que 
( ) ( )1 2 1 1 2 2x x y f x f x y .  =  = 
• f é estritamente crescente (crescente) se 1 2x , x A  tais que 
( ) ( )1 2 1 1 2 2x x y f x f x y .  =  = 
• f é estritamente decrescente (decrescente) se 1 2x , x A  tais que 
 
Note que, no caso das funções estritamente crescentes e crescentes, quando o valor de x aumenta, o valor 
de y aumenta (ou permanece constante). 
Já, no caso das funções estritamente decrescentes e decrescentes, quando o valor de x aumenta, o valor de 
y diminui (ou permanece constante). 
 
São funções crescentes ( )f x 3x 1,= − ( )
xf x 2= e ( ) 3f x x .= 
São funções decrescentes ( )f x 2x 5,= − + ( )
x
1
f x
2
 
=  
 
 e ( ) 3f x x .= − 
As funções ( ) 2f x x= e ( )f x sen x= não são crescentes e nem decrescentes em , ou seja, não são 
monótonas. 
 
Esses conceitos são facilmente observados no gráfico da função. Nas funções crescentes o gráfico “sobe” 
para a direita, enquanto nas funções decrescentes o gráfico “desce” para a direita. 
 
 
Função crescente Função decrescente 
 
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Já a função a seguir não é monótona, pois ela é decrescente numa parte do domínio e crescente em outra. 
 
 
A função ( ) 2f x x= não é monótona em todo o seu domínio, mas é estritamente decrescente em − e 
estritamente crescente em .+ 
 
Vamos resolver um exercício que envolve essa ideia. Esse conceito voltará a ser tratado mais para frente 
em exercícios que abordam outras características das funções. 
 
 
(EsPCEx 2014) Na figura abaixo está representado o gráfico da função polinomial f, definida no intervalo 
real  a, b . Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos afirmar que: 
 
a) f é crescente no intervalo  a,0 . 
b) ( ) ( )f x f e para todo x no intervalo  d, b . 
c) ( )f x 0 para todo x no intervalo  c,0 . 
d) a função f é decrescente no intervalo  c,e . 
e) se  1x a,c e  2x d,e então ( ) ( )1 2f x f x . 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: d 
a) INCORRETA, pois no intervalo    c,0 a,0 a função é decrescente. 
b) INCORRETA, pois ( ) ( )f e f x para todo  x d, b . 
c) INCORRETA, pois ( )f x 0 para todo  x c,0 . 
d) CORRETA, pois 1 2x x  em  c,e tem-se ( ) ( )1 2f x f x , ou seja, f é decrescente em  c,e . 
e) INCORRETA, pois ( ) ( )1 2f x 0 f x .  
 
 
1.2. Paridade 
 
Seja A um conjunto tal que x A x A −  e a função f : A B.→ Diz-se que f é uma função par se 
( ) ( )f x f x ,− = para todo x no domínio A de f. 
 
f é par ( ) ( )f x f x , x A − =   
 
Exemplos: ( ) 2f x x= e ( )f x cos x= . 
 
O gráfico das funções pares é simétrico em relação ao eixo Oy, pois ( ) ( )x, y f x, y f  −  . 
 
 
 
Seja A um conjunto tal que x A x A −  e a função f : A B.→ Diz-se que f é uma função ímpar se 
( ) ( )f x f x ,− = − para todo x no domínio A de f. 
 
f é ímpar ( ) ( )f x f x , x A − = −   
 
Exemplos: ( ) 3f x x= e ( )f x sen x= . 
 
 
 
 
 
 
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O gráfico das funções ímpares é simétrico em relação a origem, pois ( ) ( )x, y f x, y f.  − −  
 
 
 
Se uma função não é nem par nem ímpar dizemos que ela não possui paridade. 
 
Exemplo: A função ( ) 2f x x x 1= + − 
 
Propriedades: 
 
(1) O produto de duas funções ímpares é uma função par. 
 
Demonstração: 
Sejam f e g funções ímpares, então, para todo x, temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( )  ( )  ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f x g x f g x − = −  − = −  − =  =  
Logo, f g é uma função par. 
 
(2) O produto de duas funções pares é uma função par. 
 
Demonstração: 
Sejam f e g funções pares, então, para todo x, temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x − = −  − =  =  
Logo, f g é uma função par. 
 
(3) O produto de uma função ímpar por uma função par é uma função ímpar. 
 
Demonstração: 
Sejam f uma função ímpar e g uma função par, então, para todo x, temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( )  ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x − = −  − = −  = −  
Logo, f g é uma função ímpar. 
 
(4) A soma de duas funções pares é uma função par. 
 
Demonstração: 
Sejam f e g funções pares, então, para todo x, temos: 
 
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( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )f g x f x g x f x g x f g x+ − = − + − = + = + 
Logo, f g+ é uma função par. 
 
(5) A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. 
 
Demonstração: 
Sejam f e g funções ímpares, então, para todo x, temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( )  ( )  ( ) ( )  ( )( )f g x f x g x f x g x f x g x f g x+ − = − + − = − + − = − + = − + 
Logo, f g+ é uma função ímpar. 
 
(6) A soma de uma função par com uma função ímpar não é nem par e nem ímpar. 
 
Demonstração: 
Sejam f uma função par e g uma função ímpar, então, para todo x, temos: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )  ( )( )f g x f x g x f x g x f g x+ − = − + − = + − = − 
Note que, em geral, a função ( )f g− é diferente de ( )f g . + 
Logo, f g+ não é par e nem ímpar. 
 
(7) Se uma função é par e ímpar, então ela é constante e igual a 0. 
 
Demonstração: 
Sejam f uma função par, então, para todo x, temos: 
( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x 0− = = −  = 
 
Vamos aplicar esses conceitos em alguns exercícios. 
 
 
(ITA 2002) Sendo par a função dada por ( )
ax b
f x
x c
+
=
+
, c x c−   , então ( )f x , para c x c−   , é 
constante e igual a 
a) a b+ b) a c+ c) c d) b e) a 
 
RESOLUÇÃO: e 
f é par 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )2 2
a x b ax b
f x f x
x c x c
ax b ac x bc ax b ac x bc b ac 0 b ac
− + +
 − =  =
− + +
 − + − + = − − − +  − =  =
 
( )
ax b ax ac
f x a
x c x c
+ +
 = = =
+ +
 
 
 
 
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(ITA 2003) Mostre que toda função  f : \ 0 ,→ , satisfazendo ( ) ( ) ( )f xy f x f y= + em todo seu 
domínio, é par. 
 
RESOLUÇÃO: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f 1 1 f 1 f 1 f 1 2f 1 f 1 0 = +  =  = 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f 1 1 f 1 f 1
0 f 1 2 f 1 f 1 0
−  − = − + −
 = =  −  − =
 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f 1 x f 1 f x
0 f x f x
 − = −  = − + =
= + =
 
Logo, f é par. 
 
 
(ITA 1979) Seja f uma função real definida para todo x real tal que: f é ímpar; ( ) ( ) ( )f x y f x f y ;+ = + e 
( )f x 0, se x 0. Definindo ( )
( ) ( )f x f 1
g x ,
x
−
= se x 0. Sendo n um número natural, podemos 
afirmar que: 
a) f é não decrescente e g é uma função ímpar. 
b) f é não decrescente e g é uma função par. 
c) f é não decrescente e ( ) ( )0 g n f 1 .  
d) f não é monótona e ( ) ( )0 g n f 1 .  
e) não é possível garantir que ( ) ( )0 g n f 1  . 
 
RESOLUÇÃO: c 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
x x x x 0 f x x 0 f x f x 0 f x f x 0
f x f x
  −   −   + −   −  
 
 
Logo, f é não decrescente. 
De enunciado, temos: ( ) ( ) ( )f x y f x f y .+ = + 
Sendo n , tem-se ( )f n n f (1).=  
Isso pode ser verificado pelo P.I.F., notando que: 
1º) ( )f 0 0= 
f é ímpar ( ) ( ) ( )f 0 f 0 f 0 0 = −  = 
2º) Hip. de Indução: ( ) ( )f k k f 1 ,=  para algum k natural. 
3º) Prova para k 1.+ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f k 1 f k f 1 k f 1 f 1 k 1 f 1+ = + =  + = + 
Logo, pelo Princípio da Indução Finita, ( ) ( )f k k f 1 ,k .=    
 
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( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f n f 1 n f 1 f 1 n 1
g n f 1 0 g n f 1
n n n
−  − −
 = = =    
 
 
(ITA 1986) Consideremos as seguintes afirmações sobre uma função f : .→ 
1. Se existe x tal que ( ) ( )f x f x − então f não é par. 
2. Se existe x tal que ( ) ( )f x f x− = − então f é ímpar. 
3. Se f é par e ímpar então existe x tal que ( )f x 1.= 
4. Se f é ímpar então f f (f composta com f) é ímpar. 
Podemos afirmar que estão corretas as afirmações de números 
a) 1 e 4 b) 1, 2 e 4 c) 1 e 3 d) 3 e 4 e) 1, 2 e 3 
 
RESOLUÇÃO: a 
1. CORRETA 
f é par ( ) ( )f x f x , x − =   
A negação dessa proposição é: f não é par ( ) ( )x tal que f x f x  −  
Logo, se existe x tal que ( ) ( )f x f x − então f não é par. 
2. INCORRETA 
f é ímpar ( ) ( )f x f x , x − = −   
Não basta existir um x ou alguns x que satisfaçam a propriedade. Tem que ser todos os valores de x do 
domínio da função. 
3. INCORRETA 
f é par ( ) ( )f x f x , x − =   
f é ímpar ( ) ( )f x f x , x − = −   
f é par e ímpar ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x , x f x 0, x − = = −    =   
4. CORRETA 
f é ímpar ( ) ( )f x f x , x − = −   
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f f x f f x f f x f f x f f x− = − = − = − = − 
Logo, f f é ímpar. 
 
 
(ITA 2008) Seja ( ) ( )2f x ln x x 1 ,= + + x . Determine as funções h,g : → tais que 
( ) ( ) ( )f x g x h x ,= + x ,  sendo h uma função par e g uma função ímpar. 
 
RESOLUÇÃO: 
f (x) g(x) h(x)= + , x  
h(x) é par h(x) h( x), x = −   
g(x) é ímpar g(x) g( x), x . = − −   
Assim, para todo real x, temos: 
 
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( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )f x g x h x f x f x f x f x
h x g x
2 2f x g x h x g x h x
 = + + − − −
 =  =
− = − + − = − +
 
Neste caso, de fato, h é par e g é ímpar. 
Assim, temos: 
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2 2 2
2 2 4 2
1 1
h(x) ln x x 1 ln x x 1 ln x x 1 x x 1
2 2
ln x x 1 x x 1 ln x x 1
   = + + + − + = + + − + =   
= + + − + = + +
 
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
1 1 x x 1 x x 1
g(x) ln x x 1 ln x x 1 ln ln .
2 2 x x 1 x x 1
 + + + + = + + − − + = =   
− + − + 
 
 
 
1.3. Função limitada 
 
Diz-se que uma função f é limitada se existe um k real e positivo tal que para todo x pertencente ao 
domínio de f, tem-se 
( )f x k. 
 
Exemplos: 
A função ( )f x sen x= é uma função limitada, pois x ,  temos 1 sen x 1 sen x 1.−     
A função ( ) 2f x x= não é limitada, pois fK 0, x D    tal que ( )
2f x x K.=  
 
 
1.4. Função periódica 
 
Uma função f é periódica se, e somente se, p 0  tal que ( ) ( ) ff x f x p , x D .= +   
 
Isso significa que os valores da função se repetem em intervalos de tamanho p 0. O menor número 
positivo p com essa propriedade é chamado período da função. 
 
Os exemplos mais comuns de funções periódicas são as funções trigonométricas. A função ( )f x sen x,= 
por exemplo, é uma função periódica de período 2 , pois ( )sen x 2 sen x, x .+  =   
 
 
Seja  f : 3→ − uma função com a propriedade que existe 0 tal que ( )
f (x) 5
f x ,
f (x) 3
−
+ =
−
 para 
todo x . . Sobre a função f pode-se afirmar que: 
a) não é periódica 
b) é periódica de período  
c) é periódica de período 2 
d) é periódica de período 3 
 
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e) é periódica de período 4 
 
RESOLUÇÃO: e 
( )
f (x) 5
f x
f (x) 3
−
+ =
−
 
( )
f (x) 5
5
f (x ) 5 f (x) 3
f x 2
f (x) 5f (x ) 3
3
f (x) 3
4f (x) 10 2f (x) 5
2f (x) 4 f (x) 2
−
−
+ − −
+  = = =
−+ −
−
−
− + −
= =
− + −
 
( )
2f (x) 5
5
f (x 2 ) 5 f (x) 2
f x 3
2f (x) 5f (x 2 ) 3
3
f (x) 2
3f (x) 5 3f (x) 5
f (x) 1 f (x) 1
−
−
+  − −
+  = = =
−+  −
−
−
− + −
= =
− + −
( )
3f (x) 5
5
f (x 3 ) 5 f (x) 1
f x 4
3f (x) 5f (x 3 ) 3
3
f (x) 1
2f (x)
f (x)
2
−
−
+  − −
+  = = =
−+  −
−
−
−
= =
−
 
Logo, a função f é periódica de período 4 . . 
 
 
Seja f (x) uma função par e periódica de período 2. Sabendo que, no intervalo  0,1 , 
1
2006f (x) x ,= pode-
se afirmar que: 
a) 
98 104 101
f f f
19 15 17
     
      
     
 
b) 
101 104 98
f f f
17 15 19
     
      
     
 
c) 
104 98 101
f f f
15 19 17
     
      
     
 
d) 
98 101 104
f f f
19 17 15
     
      
     
 
e) 
101 98 104
f f f
17 19 15
     
      
     
 
 
RESOLUÇÃO: e 
98 16 16 16
f f 6 f f
19 19 19 19
       
= − = − =       
       
 
101 1 1 1
f f 6 f f
17 17 17 17
       
= − = − =       
       
 
 
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104 14 14
f f 6 f
15 15 15
     
= + =     
     
 
Como f é crescente em  0,1 e 
1 16 14
17 19 15
  , então: 
101 98 104
f f f .
17 19 15
     
      
     
 
 
 
(EFOMM 2011) Seja a função f  → (sendo o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos 
números racionais) com a seguinte propriedade definida por ( )
( )
( )
f x 1 1
f x 1 1 .
f x
− −
− + = Sabendo-se que 
( )f 0 4,= o valor de ( )f 1007 é igual a 
a) 1− b) 4 c) 
1
4
− d) 
5
3
− e) 
3
5
 
 
RESOLUÇÃO: d 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x 1 1 f x 1 1
f x 1 1 f x
f x f x 1 1
− − − −
− + =  =
− +
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
f x 1 1
1
f x 1 2 1f x 1 1
f x 1
f x 1 1f x 1 2 f x 1 f x 1
1
f x 1 1
− −
−
− − −− +
+ = = = =
− −+  − −
+
− +
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
f x 1 1 f x 1 1f x 1
f x 2
1f x 1 1 f x 1 1
1
f x 1
−
−
+ − − − −−
+ = = = =
−+ + − −
+
−
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x 1 1
1
f x 2 1 2f x 1f x 1 1
f x 3 f x 1
f x 1 1f x 2 1 2
1
f x 1 1
− − −
−
+ − − −− −
+ = = = = −
− − −+ + −
+
− −
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x 3 1 f x 1 1
f x 4 f x
f x 3 1 f x 1 1
+ − − −
+ = = =
+ + − +
 
Logo, a função f é periódica de período 4, o que implica ( ) ( )f x 4 n f x , n .+  =   
( ) ( ) ( )f 1007 f 3 4 251 f 3 = +  = . 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f 1 1 1 f 0 1 4 1 5
f 1 2 f 3
f 1 1 1 f 0 1 4 1 3
− − − − − − −
+ =  = = = −
− − − −
 
 
 
 
 
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(IME 1996) Seja f uma função real tal que x,a :  ( )  
21
f x a f(x) f(x) .
2
+ = + − f é periódica? 
Justifique. 
 
RESOLUÇÃO: f é periódica de período 2a 
( )  
21
f x a f(x) f(x)
2
+ = + − (*) 
( )
  ( )
2
1
f x
2
f(x) f(x) 0 0 f x 1


 
 −    
( )
1
f x 1
2
   
(*) ( )   ( )  ( )  
2
22 21 1
f x a f(x) f(x) f x a f x a f(x) f(x)
2 4
 
 + − = −  + − + + = − 
 
 
( )  ( )  
2 2 1
f x a f x a f(x) f(x)
4
 + − + = − − 
Substituindo x por x a :− 
( )  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
2 22 21 1
f x f x f x a f x a f x a f x a f x f x
4 4
− = − −  −  −   −  − − = − −    
( )  ( ) ( )  ( )
2 2
f x a f x a f x a f x a + − + = − − − 
( ) ( )  ( ) ( ) f x a f x a f x a f x a 1 0 + − −  + + − − = 
( ) ( ) ( )
1
f x 1 f x a f x a
2
   + = − 
Logo, f é periódica de período 2a. 
 
 
2. TIPOLOGIA DAS FUNÇÕES 
 
As funções podem ser classificadas, segundo a tipologia, em injetoras, sobrejetoras, bijetoras ou não estar 
em nenhuma dessas três categorias. 
 
2.1. Funções sobrejetoras 
 
Uma função f : A B→ é sobrejetora quando todo elemento do contradomínio B está associado por f a 
pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem da função é igual ao seu contradomínio. 
 
( ) ( )
f : A B é sobrejetora
y B, x A tal que x, y f ou y f x
→
     =
 
 
No diagrama de flechas,todo elemento do contradomínio B recebe pelo menos uma flecha (1 ou mais). 
 
 
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No gráfico, retas horizontais traçadas a partir de pontos do contradomínio intersectam o gráfico em pelo 
menos um ponto. 
 
Exemplo: A função f : → dada por ( ) 3f x x 2x 1= − + é sobrejetora, mas não é injetora. Observe que 
as retas horizontais traçadas intersectam o gráfico em um, dois ou três pontos. 
 
 
 
2.2. Funções injetoras 
 
Uma função f :A B→ é injetora quando cada elemento do contradomínio B está associado por f a no 
máximo um elemento de A, ou seja, elementos distintos de A estão associados a elementos distintos de B. 
 
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
f é injetora
x , x A, x x f x f x
ou
x , x A, f x f x x x
    
  =  =
 
 
 
 
 
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No diagrama de flechas, não há elemento em B que receba mais de uma flecha, ou seja, cada elemento de 
B recebe no máximo uma flecha (0 ou 1). 
 
 
 
No gráfico, retas horizontais traçadas a partir de pontos do contradomínio intersectam o gráfico em no 
máximo um ponto. 
 
Exemplo: A função f : → dada por ( ) xf x 2= é injetora, mas não é sobrejetora. Observe que as retas 
horizontais traçadas intersectam o gráfico em um ou nenhum ponto. 
 
 
 
 
2.3. Funções bijetoras 
 
Uma função f :A B→ é bijetora se, e somente se, é sobrejetora e injetora, ou seja, todo elemento de B 
está associado por f a um único elemento de A. 
 
 
 
 
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No diagrama de flechas, todo elemento de B recebe exatamente uma flecha. 
 
 
 
No gráfico, retas horizontais traçadas a partir de pontos do contradomínio intersectam o gráfico em 
exatamente um ponto. 
 
Uma característica importante das funções bijetoras é que sua relação inversa é uma função, que 
chamamos de função inversa e denotamos por 1f .− 
 
Exemplo: A função f : → dada por ( ) 3f x x= é bijetora. Observe que as retas horizontais traçadas 
intersectam o gráfico em exatamente ponto. 
 
 
 
 
2.4. Algumas propriedades relacionadas à tipologia 
 
Toda função estritamente crescente ou estritamente decrescente é bijetora. 
 
Demonstração: 
Supondo, sem perda de generalidade, que f seja estritamente crescente. 
Sejam 1 2x x , e supondo, sem perda de generalidade, 1 2x x , então ( ) ( )1 2f x f x , ou seja, 
( ) ( )1 2f x f x , o que implica que f é injetora. 
 
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Seja uma função f :A B→ , onde A e B são conjuntos finitos e suas quantidades de elementos são dadas 
por ( )# A e ( )# B , respectivamente, então 
• se f é sobrejetora, então ( ) ( )# A # B ; 
• se f é injetora, então ( ) ( )# A # B ; e 
• se f é bijetora, então ( ) ( )# A # B= . 
 
 
Vamos aplicar esses conceitos em alguns exercícios. No próximo capítulo, retomaremos essas ideias em 
questões relacionadas à funções compostas e inversas. 
 
 
(ITA 2005) Seja  D / 1= e f :D D→ uma função dada por ( )
x 1
f x
x 1
+
=
−
. 
Considere as afirmações: 
I − f é injetiva e sobrejetiva. 
II − f é injetiva, mas não sobrejetiva. 
III − ( )
1
f x f 0,
x
 
+ = 
 
 para todo x D, x 0. 
IV − ( ) ( )f x f x 1, − = para todo x D. 
Então, são verdadeiras: 
a) apenas I e III 
b) apenas I e IV 
c) apenas II e III 
d) apenas I, III e IV 
e) apenas II, III e IV 
 
RESOLUÇÃO: a 
1º) ( ) ( ) 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
x 1 x 1
f x f x x x x x 1 x x x x 1 x x
x 1 x 1
+ +
=  =  − + − = + − −  =
− −
 
 f é injetiva 
2º) 
x 1 y 1
y yx y x 1 x ,
x 1 y 1
+ +
=  − = +  =
− −
 com y 1. 
( )  Im f \ 1 = 
Assim, x D  (domínio), y D  (contradomínio) tal que ( )f x y,= então f é sobrejetiva. 
3º) ( )
1
1
1 x 1 x 1 1 xxf x f 0
1x x 1 x 1 1 x
1
x
+
+ + + 
+ = + = + = 
− − −  −
 
4º) ( ) ( )
( )
( )
x 1x 1 x 1 x 1
f x f x 1
x 1 x 1 x 1 x 1
− −+ − + +
 − =  =  =
− − − − − +
 
 
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Entretanto, ( )f x− não está definida para todo  x D \ 1 , = pois para x 1,= − tem-se ( ) ( )f x f 1− = 
que não está definida. 
I (V) II (F) III (V) IV (F) 
 
 
(ITA 1990) Seja f : → a função definida por ( ) 2
x 2, se x 1
f x x , se 1 x 1.
4, se x 1
+  −

= −  


 Lembrando que se A  
então ( ) ( ) 1f A x : f x A ,− =   considere as afirmações: 
(I) f não é injetora e  ( )  1f 3,5 4 .− = 
(II) f não é sobrejetora e  ( )  ( )1 1f 3,5 f 2,6 .− −= 
(III) f é injetora e  ( )  1f 0,4 2, .− = − + 
Então podemos garantir que: 
a) apenas as afirmações II e III são falsas. 
b) as afirmações I e III são verdadeiras. 
c) apenas a afirmação II é verdadeira. 
d) apenas a afirmação III é verdadeira. 
e) todas as afirmações são falsas. 
 
RESOLUÇÃO: d 
A imagem de y x 2,= + com x 1, − é  1Im ,1 .= − 
A imagem de 
2y x ,= com 1 x 1,−   é  2Im 0,1 .= 
A imagem de y 4,= com x 1, é  3Im 4 .= 
Logo, a imagem de f é    f 1 2 3Im Im Im Im ,1 4 .=   = −  
(I) FALSA 
f não é injetora, pois ( ) ( )f 2 f 3 4.= = 
 ( ) ( )     1f 3,5 x : f x 3,5 1, .− =   = + 
Note que ( )   ( )f x 3,5 f x 4.  = 
(II) VERDADEIRA 
f não é sobrejetora, pois    fIm ,1 4 .= −   
 ( ) ( )     1f 3,5 x : f x 3,5 1, .− =   = + 
 ( ) ( )     1f 2,6 x : f x 2,6 1, .− =   = + 
 ( )  ( )1 1f 3,5 f 2,6− − = 
(III) FALSA 
f não é injetora, pois ( ) ( )f 2 f 3 4.= = 
 ( ) ( )           1f 0,4 x : f x 0,4 2, 1 1,1 1, 2,− =   = − −  −  + = − + 
 
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(ITA 1988) Seja f : → uma função estritamente decrescente, isto é, quaisquer x e y reais com x y 
tem-se ( ) ( )f x f y . Dadas as afirmações: 
I. f é injetora. 
II. f pode ser uma função par. 
III. Se f possui inversa então sua inversa também é estritamente decrescente. 
Podemos assegurar que: 
a) apenas as afirmações I e III são verdadeiras. 
b) apenas as afirmações II e III são falsas. 
c) apenas a afirmação I é falsa. 
d) todas as afirmações são verdadeiras. 
e) apenas a afirmação II é verdadeira. 
 
RESOLUÇÃO: a 
I. VERDADEIRA 
Sejam 1 2x x , e supondo, sem perda de generalidade, 1 2x x , então ( ) ( )1 2f x f x , ou seja, 
( ) ( )1 2f x f x , o que implica que f é injetora. 
II. FALSA 
Para que f seja par, devemos ter ( ) ( )f x f x ,− = x .  Isso implica que f não é injetora, o que já foi 
demonstrado em I. 
III. VERDADEIRA 
Supondo que exista 1f ,− então 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 11 2 1 2 1 2 1 2x x f x f x f f x f f x f x f x− −       
Sejam ( )1 1f x y= e ( )2 2f x y ,= então ( ) ( )
1 1
1 2 1 2y y f y f y ,
− −   o que implica 
1f − é estritamente 
decrescente. 
 
 
(ITA 1989) Sejam A e B subconjuntos de , não vazios, possuindo B mais de um elemento. Dada uma 
função f : A B,→ definimos L:A A B→  por ( ) ( )( )L a a,f a ,= para todo a A. Podemos afirmar que 
a) A função L sempre será injetora. 
b) A função L sempre será sobrejetora. 
c) Se f for sobrejetora, então L também o será. 
d) Se f não for injetora, então L também não o será. 
e) Se f for bijetora, então L será sobrejetora. 
 
RESOLUÇÃO: a 
a) CORRETA 
Inicialmente, observemos que dois pares ordenados são iguais se, se somente se, ambos os elementos são 
iguais. 
Sejam 1 2a ,a A, com 
( )( ) ( )( )1 2 1 1 2 2a a a ,f a a ,f a   
 
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( ) ( )1 2L a L a ,  o que implica L é injetora, independentemente de f. 
b) INCORRETA 
Observe que, para cada primeiro elemento a do par ordenado de L, há um único valor do segundo elemento 
( )f a . Como B possui mais de umelemento, se o par ordenado ( )( )a, f a está na imagem de L, então há 
pelo menos um par ordenado de primeiro elemento a que não está. Logo, L nunca é sobrejetora. 
c) INCORRETA 
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora. 
d) INCORRETA 
Vide a demonstração de a). L sempre será injetora, independentemente de f. 
e) INCORRETA. 
Vide a demonstração de b), onde se mostrou que L nunca será sobrejetora. 
 
 
(ITA 2009) Seja  f : \ 0→ uma função satisfazendo às condições: ( ) ( ) ( )f x y f x f y ,+ =  para todo 
x, y e ( )f x 1, para todo  x \ 0 . 
Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar. 
II. ( )f 0 1.= 
III. f é injetiva. 
IV. f não é sobrejetiva, pois ( )f x 0 para todo x . 
é (são) falsa(s) apenas 
a) I e III. b) II e III. c) I e IV. d) IV. e) I. 
 
RESOLUÇÃO: e 
I. FALSA 
f é ímpar se, e somente se, ( ) ( )f x f x− = − para todo x pertencente ao domínio de f. 
( )
2
x x x x x
f f f f x f 0, x
2 2 2 2 2
        
+ =   =           
        
 
Logo, f não pode ser ímpar. 
II. VERDADEIRA 
( ) ( ) ( ) ( )f x 0 f x f 0 f 0 1,+ =   = pois ( )f x 0 
III. VERDADEIRA 
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
f y y f y f y 1 f y
f y
+ − =  − =  − = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
1
x y x y 0 f x y 1 f x y f x f y 1 f x 1 f x f y
f y
  −   −   − =  −       
Logo, f é injetiva. 
 
 
 
IV. VERDADEIRA 
 
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( )
2
x x x x x
f f f f x f 0, x
2 2 2 2 2
        
+ =   =           
        
 
Dessa forma, a imagem de f está contida em *+ sendo, portanto, diferente do seu contradomínio. 
Logo, f não é sobrejetiva. 
 
 
(ITA 2013) Considere funções f ,g, f g :+ → . Das afirmações: 
I. Se f e g são injetoras, f g+ é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, f g+ é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, f g+ não é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, f g+ não é sobrejetora, 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. b) apenas I e II. c) apenas I e III. d) apenas III e IV. e) todas. 
 
RESOLUÇÃO: a 
I. FALSA 
Contra exemplo: As funções ( )f x x= e ( )g x x= − são injetoras, mas a função ( )( )f g x 0+ = não é 
injetora. 
II. FALSA 
Contra exemplo: As funções ( )f x x= e ( )g x x= − são sobrejetoras, mas a função ( )( )f g x 0+ = não é 
sobrejetora. 
III. FALSA 
Contra exemplo: As funções ( ) 2f x x x= + e ( ) 2g x x= − não são injetoras, mas a função ( )( )f g x x+ = 
é injetora. 
IV. FALSA 
Contra exemplo: As funções ( ) 2f x x x= + e ( ) 2g x x= − não são sobrejetoras, mas a função 
( )( )f g x x+ = é sobrejetora.