Relações e Funções Matemáticas

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
PLANO CARTESIANO 
Consideremos dois eixos perpendiculares Ox e Oy, 
para os quais a interseção O seja a origem, e que 
tenham a mesma unidade de medida. 
A um ponto qualquer P, do plano dos dois eixos: 
associamos dois números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IGUALDADE DE PARES ORDENADOS 
Diremos que os pares ordenados (a, b) e (c, d) são 
iguais se, e somente se, são iguais os primeiros 
elementos dos pares e também são iguais os segundos 
elementos dos pares, isto é: 
 
(a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d 
 
PRODUTO CARTESIANO 
Chama-se produto cartesiano de um conjunto não-
vazio A por um conjunto não-vazio B, ao conjunto de 
todos os pares ordenados (x, y) com primeiro elemento 
x em A e segundo elemento y em B. 
 
A x B = {(x, y) | x  A e y  B} 
 
RELAÇÕES 
Dados dois conjuntos A e B uma relação de A em B é 
um subconjunto do produto cartesiano A × B. Dados a 
∈ A, b ∈ B, dizemos que aRb quando (a, b) ∈ R. 
 
Relações Especiais 
Relação Binária: É toda relação de A em A, ou seja, 
de um conjunto nele mesmo. 
Relação Reflexiva: Uma relação R de A em A é dita 
reflexiva se, para todo a ∈ A, temos aRa. 
Relação Simétrica: Uma relação R de A em A é dita 
simétrica se, para todos a, b ∈ A, temos aRb ⇔ bRa. 
Relação Transitiva: Uma relação R de A em A é dita 
transitiva se, para todos a, b, c ∈ A, temos que se aRb 
e se bRc, então bRa. 
Relação de Equivalência: É toda relação que é 
reflexiva, transitiva e simétrica. 
FUNÇÃO 
Seja f uma relação binária de A em B. Dizemos que f é 
uma função de A em B se, e somente se, estão 
verificadas as seguintes condições. 
I. Todo x  A relaciona-se com algum y  B; 
lI. Cada x  A relaciona-se com um único y  B. 
 
O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto 
de chegada. 
Domínio é um sinônimo para conjunto de saída. 
O domínio de uma função também é chamado de 
campo de definição ou campo de existência da função. 
O conjunto de chegada "B“ é chamado de 
contradomínio. 
Conjunto imagem é composto por todos os elementos 
em que as flechas de relacionamento chegam. 
 
FUNÇÕES USUAIS 
Função Constante 
É a função de R em R, que associa a todo x real sempre 
um mesmo número. 
f(x) = c 
 
 
Função Estritamente Crescente 
A função é crescente quando na função, o valor de x 
aumenta e o valor da imagem de x também aumenta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ox é o eixo das abscissas 
Oy é o eixo das ordenadas 
O é a origem do plano cartesiano 
(xp,yp) são as coordenadas do ponto P. 
x2 > x1 → f(x2) > f(x1) 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
Função Estritamente Decrescente 
A função é decrescente quando na função, o valor de x 
aumenta e o valor da imagem de x diminui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS DE UMA FUNÇÃO 
As funções, independentes do grau que ela seja, são 
caracterizadas conforme a ligação entre os elementos 
dos conjuntos onde é feita a relação. 
Uma função A →B pode ser: sobrejetora, injetora e 
bijetora. 
 
Função Injetora 
Uma função será injetora se os elementos do conjunto 
do domínio estiverem ligados a imagens distintas. 
Matematicamente podemos dizer que: f: A → B definida 
por uma fórmula qualquer será injetora se todos os 
elementos de A forem distintos (diferentes) e as 
imagens desses elementos forem distintas 
também. 
 
Função Sobrejetora 
Uma função será sobrejetora se o conjunto imagem for 
igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, o conjunto 
imagem será todos os elementos do conjunto de 
chegada. 
Matematicamente, podemos dizer que: f: A → B 
definida por uma fórmula qualquer será sobrejetora se 
Im(f) = B. 
 
Função Bijetora 
Para que uma função assuma a característica de uma 
função bijetora ela tem que ser ao mesmo tempo 
sobrejetora e injetora. 
O conjunto imagem deverá ser igual ao conjunto do 
contradomínio e todos os elementos do domínio 
deverão estar ligados a imagens distintas. 
 
 
PARIDADE DE UMA FUNÇÃO 
Uma função é dita par quando f(x) = f(-x). 
Uma função é dita ímpar quando f(x) = - f(-x). 
Quando uma função ela não é par e nem ímpar é 
chamada de função sem paridade. 
 
FUNÇÃO INVERSA 
Seja f: A → B. A relação f -1 é uma função de B em A 
se, e somente se, f é bijetora. 
Se f é uma função bijetora de A em B, a relação inversa 
de f é uma função de B em A que denominamos função 
inversa de f e indicamos por f -1. 
 
Propriedade da Função Inversa 
Os gráficos da função f e sua inversa 𝑓−1 são simétricos 
à bissetriz dos quadrantes ímpares(reta y = x). 
Se o gráfico de 𝑓 e se sua função inversa 𝑓−1 possuem 
um ponto ou mais pontos de interseção, esse ou esses 
encontros dar-se-ão ao longo da reta y = x. 
 
FUNÇÃO COMPOSTA 
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B 
e seja g uma função de B em um conjunto C; chama-se 
função composta de g e f à h de A em C definida por 
h(x) = g(f(x)) para todo x em A. 
Também podemos indicar esta aplicação h por g o f; 
portanto (g o f)(x) = g(f(x)); . 
Observe que composta g o f só está definida quando o 
contradomínio da f é igual ao domínio da g. 
 
FUNÇÃO COM MAIS DE UMA SENTENÇA 
Algumas funções podem ser definidas por mais de uma 
sentença. Isso acontece quando nós dividimos o 
domínio em intervalos numéricos e, para cada intervalo, 
há uma sentença definida para esse intervalo. 
Exemplo: Seja a função f, de N em N, definida por 
𝑓(𝑥) = {
2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 é 𝑝𝑎𝑟
 
Determine f(3) e f(8). 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. (EEAr – 2003) A função f: ℕ → ℕ definida por 
n
, se n é par
2
f(n)
n 1
, se n é ímpar
2


= 
+

 é 
a) bijetora 
b) somente injetora 
c) somente sobrejetora 
d) não injetora e não sobrejetora 
 
 
x2 > x1 → g(x1) < g(x2) 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
2. (EEAr – 2003) Se x   e f(x) é uma função tal que 
f(p+q) = f(p) . f(q) e f(2) = 2, então f(0) e f(– 2) são, 
respectivamente, 
a) 1 e 
1
2
 
b) 0 e 
1
2
 
c) 1 e 0 
d) 1 e – 4 
 
3. (EEAr – 2003) É par a função f: ℝ* → ℝ definida por 
a)
2
1
f(x)
x
= 
b) 1
f(x)
x
= 
c) f(x) = x 
d) f(x) = x5 
 
4. (EEAr – 2005) Seja a função f de R - {3} em R - {1}, 
definida por f(x) =
3x
3x
−
+
. Pela inversa de f, o número 5 é 
imagem do número: 
a) 
4
1
 
b) 
3
1
 
c) 4 
d) 3 
 
5. (EEAr – 2006) Seja a função 
f(x) =
1,se x 2 ou x 3
1 1
,se x 2 e x 3
x 2 x 3
− = =


+  
− −
 
O valor da razão 
( )
( )
f 1
f 3
é: 
a) 
3
2
− b) 
1
2
− c) 
1
2
 d) 
3
2
 
 
6. (EEAr – 2007) Seja f: ℝ → ℝ a função representada 
pelo gráfico. Para 4 ≤ x ≤ 8, tem-se 
 
a) 4 ≤ y ≤ 6 
b) 2 ≤ y ≤ 5 
c) 1 ≤ y ≤ 4 
d) 3 ≤ y ≤ 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. (EEAr – 2007) Considere o gráfico da função 
f: ℝ → ℝ e as afirmativas a seguir: 
 
 
 
 
 
 
I) D(f) = R 
II) Im(f) = R 
III) f(-1) = f(1) 
IV) f é crescente no intervalo [1, 3] 
Das 4 afirmativas, 
a) todas são verdadeiras 
b) apenas uma é falsa 
c) duas são falsas 
d) apenas uma é verdadeira. 
 
8. (EEAr – 2007) Seja f: R → R a função definida por 
f(x) = 
3
x1+
 e g a função inversa de f. Então g(2) é: 
a) -4 
b) -1 
c) 3 
d) 5 
 
9. (EEAr – 2008) Considere as funções 
 
É(são) injetora(s) a(s) função(ões): 
a) I e III, apenas. 
b) III, apenas. 
c) I, apenas. 
d) I, II e III. 
 
10. (EEAr – 2008) O conjunto Imagem da função 
f: ℤ → ℝ, definida por ( )
2
1
f x
1 x
=
+
, contém o elemento: 
a) 
1
4
 b) 
1
5
 c) 
1
2
− d) 
1
3
− 
 
11. (EEAr – 2008) Ao comparar o valor de f(1) e f(-1) 
da função f (x) = 5x6 + 4x2 + 3x - 1 , obtém-se 
a) f(1) < f(-1). 
b) f(1) = f(-1). 
c) f(1) > 2f(-1) 
d) f(1) = 2f(-1). 
 
12. (EEAr – 2010) A função f: ℕ → ℕ, definida porf(x) = 3x + 2, 
a) é apenas injetora 
b) é apenas sobrejetora 
c) é injetora e sobrejetora 
d) não é injetora e nem sobrejetora 
 
13. (EEAr – 2010) Sejam f e g duas funções reais 
inversas entre si. Se f(x) = 3x – 2, então g(1) é igual a 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
14. (EEAr – 2011) Considerando D = [0, 10] o domínio 
de uma função y = f(x), um gráfico que poderia 
representá-la é 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
15. (EEAr – 2011) A função g: [-5, 5] → B tem como 
imagem o conjunto I = [20, 30]. Para que ela seja 
sobrejetora é necessário que B seja igual ao intervalo 
a) [5, 20] 
b) [-5, 20] 
c) [-5, 30] 
d) [20, 30] 
 
16. (EEAr – 2012) O conjunto imagem da função 
f: ℝ → ℝ definida por 
2
1
f(x)
1 x
=
+
, contém o elemento 
a) 0 b) 2 c) 
1
2
 d) -1 
 
17. (EEAr – 2013) Analisando o gráfico da função f da 
figura, percebe-se que, nos intervalos [-5, -2] e [-1, 2] 
de seu domínio, ela é, respectivamente, 
 
a) crescente e crescente. 
b) crescente e decrescente 
c) decrescente e crescente 
d) decrescente e decrescente 
 
18. (EEAr – 2013) Para que uma função seja invertível, 
é necessário que ela seja 
a) sobrejetora e positiva 
b) bijetora e positiva 
c) apenas bijetora 
d) apenas injetora 
 
19. (EEAr – 2014) Seja a função f: R → R definida por 
f(x) = 4x – 3. Se f -1 é a função inversa de f, então f -1(5) 
é 
a) 17 
b) 
1
17
 
c) 2 
d) 
1
2
 
20. (EEAr – 2017) Sabe-se que a função 
x 3
f(x)
5
+
= é 
invertível. Assim, f -1(3) é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 12 
 
21. (EEAr – 2017) Sejam as funções polinomiais 
definidas por f(x) = 2x + 1 e g(x) = f -1(x). O valor de g(3) 
é 
a) 3 
b) 2 
c) 1 
d) 0 
 
22. (EEAr – 2017) Considere a função f: R* → R 
definida por 
2x 2
f(x)
x
+
= . Se f(2a) = 0, então o valor 
de a é 
a) -1/2 
b) 1/2 
c) -1 
d) 1 
 
23. (EEAr – 2018) Se 
1 3x
f(x)
x 3
+
=
+
, com x  R e x ≠ -3, 
é uma função invertível, o valor de f -1(2) é 
a) –2 b) –1 c) 3 d) 5 
 
24. (EsSA – 2019) Se, para quaisquer valores x1 e x2 
de um conjunto S(contido no domínio D), com x1 < x2, 
temos f(x1) < f(x2), então podemos afirmar que a função 
f é: 
a) inconstante. 
b) decrescente. 
c) crescente. 
d) alternada. 
e) constante. 
 
25. (EsSA – 2012) Se f(2x + 1) = x2 + 2x, então f(2) vale 
a) 
5
.
4
 b) 
3
.
2
 c) 
1
.
2
 d) 
3
.
4
 e) 
5
.
2
 
 
26. (EsSA – 2015) Sejam f a função dada por 
f(x) = 2x + 4 e g a função dada por g(x) = 3x – 2. A 
função f o g deve ser dada por 
a) f(g(x)) = 6x 
b) f(g(x)) = 6x + 4 
c) f(g(x)) = 2x – 2 
d) f(g(x)) = 3x + 4 
e) f(g(x)) = 3x + 2 
 
27. (EsSA – 2016) Sejam as funções reais dadas por 
f(x) = 5x + 1 e g(x) = 3x – 2. Se m = f(n), então g(m) 
vale: 
a) 15n + 1 
b) 14n – 1 
c) 3n – 2 
d) 15n – 15 
e) 14n - 2 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
28. (EsSA – 2016) Funções bijetoras possuem função 
inversa porque elas são invertíveis, mas devemos 
tomar cuidado com o domínio da nova função obtida. 
Identifique a alternativa que apresenta a função inversa 
de f(x) = x + 3. 
a) f(x)-1 = x – 3. 
b) f(x)-1 = x + 3. 
c) f(x)-1 = - x – 3. 
d) f(x)-1 = - x + 3. 
e) f(x)-1 = 3x. 
 
29. (EsSA – 2017) Com relação às funções injetoras, 
sobrejetoras e bijetoras podemos afirmar que: 
a) se, é sobrejetora e não é injetora, então ela é bijetora. 
b) se, é sobrejetora, então ela é injetora. 
c) se, é injetora e não sobrejetora, então ela é bijetora. 
d) se, é injetora e sobrejetora, então ela é bijetora. 
e) se, é injetora, então ela é sobrejetora. 
 
30. (EsPCEx – 1996) Na função f(x) = 3x – 2, sabemos 
que f(a) = b – 2 e f(b) = 2b + a. O valor de f(f(a)) é: 
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 
 
31. (EsPCEx – 1997) Seja a função 
1,se x é irracional
f(x) .
1,se x é racional

= 
−
 O valor da expressão 
( )
f( ) f(0) f(1,3333...)
3f 2
 − −
é 
a) 1/3 
b) -1/3 
c) -1 
d) 1 
e) 2/3 
 
32. (EsPCEx – 1998) Se f(x) = 5x, com x  ℝ, o valor 
de f(x + 2) – f(x + 1) é: 
a) 30.f(x) 
b) 24.f(x) 
c) 20.f(x) 
d) 9.f(x) 
e) 5.f(x) 
 
33. (EsPCEx – 2001) Se o domínio da função 
f(x) = (x2 – 9).(x2 - 4).x2 é D(f) = {-3, -2, 0, 2, 3}, pode-
se dizer que seu conjunto imagem possui 
a) exatamente 5 elementos. 
b) exatamente 4 elementos. 
c) um único elemento. 
d) exatamente 2 elementos. 
e) exatamente 3 elementos. 
 
34. (EsPCEx – 2002) Seja f uma função real, de 
variável real, definida por 
1,sex for racional
f(x)
0,sex for irracional

= 

 
Assim, pode-se afirmar que 
a) ( )f 2 f(2)= 
b) ( ) ( )f 3 f 2 f(1)− = 
c) f(3,14) = 0 
d) f(π) é irracional 
e) f(x) é racional para todo x real 
35. (EsPCEx – 2004) Sejam as funções reais f(x) e g(x). 
Se f(x) = x + 2 e ( )( )
x
f g x ,
2
= pode-se afirmar que a 
função inversa de g(x) é: 
a) 1 f(x)
g (x)
2
−
= 
b) 1 x 4
g (x)
2
− +
= 
c) g-1(x) = f(x) 
d) g-1(x) = 2f(x) 
e) 1 x 4
g (x)
2
− −
= 
 
36. (EsPCEx – 2009) Considere a função real g(x) 
definida por: 
x
2
5 ,se x 1
3x 3x 17
g(x) ,se 1 x 3
4 2 4
x 1
,se x 3
2 2



−
= + +  


+ 

 
O valor de g(g(g(1))) é 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
37. (EsPCEx – 2013) Na figura abaixo está 
representado o gráfico da função polinomial f, definida 
no intervalo real [a, b]. Com base nas informações 
fornecidas, podemos afirmar que: 
 
a) f é crescente no intervalo [a, 0] 
b) f(x)  f(e) para todo x no intervalo [d, b] 
c) f(x)  0 para todo x no intervalo [c, 0] 
d) a função f é decrescente no intervalo [c, e] 
e) se x1  [a, c] e x2  [d, e] então f(x1) < f(x2) 
 
38. (EsPCEx – 2014) Considere a função bijetora 
f: [1, +) → (-, 3], definida por f(x) = -x2 + 2x + 2 e seja 
(a, b) o ponto de interseção de f com sua inversa. O 
valor numérico da expressão a + b é 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
39. (EsPCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, 
tais que f(x) x 4= + e f(g(x)) = x2 – 5, onde g(x) é não 
negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo 
conjunto contém todos os possíveis valores de x, que 
satisfazem os dados do enunciado. 
a) R - ]-3, 3[ 
b)R 5, 5 − −
 
 
c) 5, 5 −
 
 
d) ]-3, 3[ 
e) R - ]-, 3[ 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
40. (EsPCEx – 2021) Considere a função 
f: [-1, +∞) → [-7, +∞), onde f(x) = x2 + 2x – 6. Sabendo 
que a função f tem uma inversa f-1 e sendo I(a, b) o 
ponto de interseção dos gráficos de f e f-1, a soma 
a + b pertence ao intervalo 
a) (-∞, 0]. 
b) (0, 5]. 
c) (5, 10]. 
d) (10, 15]. 
e) (15, +∞). 
41. (AFA - 98) Seja f: [1, ) → [-3, ) a função definida 
por f(x) = 3x2 - 6x. Se g: [-3,  )→ [1, ) é a função 
inversa de f, então [g(6) - g(3)]2 é 
a) 5 
b) 2 6 
c) 5 - 2 6 
d) -5 + 2 6 
 
42. (AFA - 99) Seja D = {1, 2, 3, 4, 5} e f: D → ℝ, a 
função definida por f(x) = (x - 2)(x - 4). Então, pode-se 
afirmar que f 
a) é bijetora. 
b) é somente injetora. 
c) é somente sobrejetora. 
d) possui conjunto imagem com 3 elementos. 
 
43. (AFA - 2003) Considere a função f: ℝ → ℝ, tal que 
x 1, se x 1
f(x)
1 x, se x 1
− 
= 
− 
 e assinale a alternativa 
verdadeira. 
a) f é sobrejetora. 
b) f é par. 
c) f não é par nem ímpar. 
d) Se f é definida de ℝ em ℝ, f é bijetora. 
 
44. (AFA - 2004) Considere as funções reais 
( )
24x 6x 1, se x 1
f g (x)
4x 3, se x 1
 − − 
= 
+ 
e g(x) = 2x - 3 
Com base nessas funções classifique as afirmativas 
abaixo em VERDADEIRA(S) ou FALSA(S). 
I - f(x) é par. 
II - f(x) admite inversa em todo seu domínio. 
III - f(x) é crescente em {x  ℝ | x < -1 ou x  -1} 
IV - se x < -6 então f(x) > -3 
A sequência correta é: 
a) V, V, F, V 
b) F, F, V, F 
c) F, F, V, V 
d) F, V, V, F 
 
45. (AFA - 2005) Observe os gráficos abaixo, das 
funções f e g, definidas no intervalo [0,1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nos gráficos,assinale a alternativa FALSA. 
a) g(f(0,4))  g(f(x)), x  [0,1] 
b) g(f(0,05))  g(f(0,1)) 
c) g(g(x)) = x, x  [0,3; 0,8] 
d) g(f(0,6))  g(f(1)) 
 
46. (AFA - 2005) Considere as funções f, g e h, todas 
de domínio [a, b] e contradomínio [c, d], representadas 
através dos gráficos abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nos gráficos, é correto afirmar que 
 a) f é uma sobrejeção, g não é uma injeção, h é uma 
sobrejeção. 
b) f é uma sobrejeção, g é uma injeção, h não é uma 
sobrejeção. 
c) f é uma injeção, g não é uma sobrejeção, h é uma 
bijeção. 
d) f é uma bijeção, g não é uma injeção, h não é uma 
sobrejeção. 
 
47. (AFA - 2005) Considere a função 
1, se 0 x 2
f(x)
2, se 2 x 0
 
= 
− −  
 
A função g(x) = |f(x)| – 1 terá o seguinte gráfico: 
 
a) c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
48. (AFA - 2007) No gráfico abaixo está representada 
a função real f: A → B. 
 
Classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa cada 
proposição a seguir sobre a função f. 
( ) No conjunto A existem apenas 15 números inteiros. 
( ) Se B = [–4 , 4], então f é sobrejetora, mas não é 
injetora. 
( ) A composta ( )( ) ( )f f f ...f 4 f 4= ou f(– 4) 
( ) f é função par. 
Tem-se, então, a sequência correta 
a) V – F – V – F 
b) F – V – F – V 
c) F – F – V – V 
d) V – V – F – F 
 
49. (AFA - 2011) Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3} 
e a função f: A → A tal que f(3) = 1 e f(x) = x + 1, se 
x ≠ 3. 
A soma dos valores de x para os quais (f o f o f)(x) = 3 
é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 5 
 
50. (AFA - 2011) Considere o gráfico da função real 
p: A → B 
 
Analise as alternativas abaixo e, a seguir, marque a 
FALSA. 
a) p(x) ≤ 0  {x  R | x < 0 ou c ≤ x ≤ r} 
b) p(p(p(p(p(r))))) = p(p(p(p(r )))) 
c) Existe um único x  A tal que p(x) = c 
d) Im(p) = {–r}  ]–c, c] 
 
51. (AFA - 2012) Considere as proposições abaixo e 
as classifique em (V) verdadeira ou (F) falsa. 
( ) Nas funções reais g : C → A e f : A → B, se existe a 
função composta (f o g) : P → S, então P = C e S = B. 
( ) Se h : {m, n, p} → {m, n, p} é uma função tal que 
h(m) = p, h(n) = m e h(p) ≠ n, então h é uma função 
injetora. 
( ) Se f : {0, 1, 2} → {0, 1, 2} é uma função tal que 
x 1, se x 1e x 2
f(x) x, se x 2
x 1, se x 1
+  

= =
 − =
então ( )
1
f f f (x) 1
−
= se, 
e somente se, x = 0. 
A sequência correta é 
a) F – F – V. 
b) V – V – F. 
c) V – F – V. 
d) F – V – F. 
 
52. (AFA - 2013) O gráfico abaixo descreve uma função 
f: A → B 
 
Analise as proposições que seguem. 
I) A = ℝ* 
II) f é sobrejetora se B = ℝ - [-e, e] 
III) Para infinitos valores de x  A, tem-se f(x) = -b 
IV) f(-c) - f(c) + f(-b) + f(b) = 2b 
V) f é função par. 
VI) x R | f(x) d  = − 
São verdadeiras apenas as proposições 
a) I, III e IV 
b) I, II e VI 
c) I, II e IV 
d) III, IV e V 
 
53. (AFA - 2015) Considere o gráfico da função real 
g: A → A abaixo e marque (V) verdadeiro ou (F) falso. 
 
( ) A função g possui exatamente duas raízes. 
( ) g(4) = –g(–3) 
( ) Im(g) = {–3}  ]–2, 4[ 
( ) A função definida por h(x) = g(x) + 3 NÃO possui raiz. 
( ) ( )g g g ... g ( 2) 2− = 
A sequência correta é: 
a) F-V-F-F-V 
b) F-F-V-F-V 
c) F-V-F-V-F 
d) V-V-F-F-V 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
54. (AFA – 2018) Considere a função real 
1
f(x) ,
2x 2
=
+
 x  -1. Se 
1
f( 2 a) f( a),
5
− + + = − então 
a
f 1 f(4 a)
2
 
− + + 
 
é igual a: 
a) 1 b) 0,75 c) 0,5 d) 0,25 
 
55. (AFA – 2021) Considere as funções 
*f : {2}→ − e *g : {2}→ − definidas por 
1
f(x) 2
2x
= + e g(x) = x + 2 e, também, a função real h 
definida por 1h(x) f (g(x)).−
= 
É correto afirmar que 
a) a função h é par. 
b) h(1) = 2. 
c) a função h NÃO é injetora. 
d) h(x) = -2  
1
x .
4
= − 
 
56. (EFOMM - 2004) Qual das relações abaixo, de 
A = {a1, a2} em B = {b1 , b2 , b3}, constitui uma função? 
a) {(a1, b1), (a2 , b2), (a2 , b3)} 
b) {(a1, b1), (a1 , b2 ), (a1 , b3), (a2 , b1), (a2 , b2), (a2, b3)} 
c) {(a1, b1), (a1, b2), (a1 , b3)} 
d) {(a1, b2), (a2, b2)} 
e) {(a1, b1), (a1 , b2 ), (a2, b3)} 
 
57. (EFOMM - 2010) Seja f: ℝ → ℝ uma função 
estritamente decrescente, quaisquer x1 e x2 reais, com 
x1 < x2 tem-se f(x1) > f(x2) Nessas condições, analise as 
afirmativas abaixo. 
I - f é injetora. 
II - pode ser uma função par. 
III- Se possui inversa, então sua inversa é estritamente 
decrescente. 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas as afirmativas I é verdadeira. 
b) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
58. (EFOMM - 2011) Seja a função f: ℤ → ℚ (sendo ℤ o 
conjunto dos números inteiros e ℚ o conjunto dos 
números racionais) com a seguinte propriedade 
definida por ( )
( )
( )xf
11xf
11xf
−−
=+− . Sabendo-se que 
f(0) = 4, o valor de f(1007) é igual a 
a) - 1 
b) 4 
c)
4
1
− 
d)
3
5
− 
e)
5
3
 
 
 
 
59. (EFOMM - 2014) Se g(x) = 9x - 11 e 
f(g(x)) = 
x
g 1
9
 
+ 
 
 são funções reais, então f(16) vale 
a) 1 
b) 3 
c) 5 
d) 7 
e) 9 
 
60. (EFOMM - 2015) Sejam as funções f: ℝ → ℝ, 
g: ℝ → ℝ. Sabendo que f é bijetora e g é sobrejetora, 
considere as sentenças a seguir: 
I - g f é injetora; 
II - f g é bijetora; 
III - g f é sobrejetora. 
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada 
sentença, obtém-se 
a) V – V – V 
b) V – V – F 
c) F – V – F 
d) F – F – V 
e) V – F – V 
 
61. (EFOMM – 2021) Coloque V nas proposições 
verdadeiras e F nas proposições falsas. 
( ) Dados os conjuntos A = {0, 7, 1} e B = {x, y, 1}. Se 
A = B, podemos afirmar que x = 0 e y = 7. 
( ) Um conjunto A tem  elementos e β subconjuntos; e 
um conjunto B tem três elementos a mais que o 
conjunto A, então o número de subconjuntos de B é 3β. 
( ) Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e C = {1, 2}. O 
conjunto B é tal que B  C = {1} e B  C = A, então 
B = {2, 3, 4}. 
( ) Dados A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6} e a relação binária 
R de A em B tal que R = {(x,y)  A x B | x divide y}, 
então a relação inversa de R é uma função sobrejetora. 
Lendo-se a coluna de parênteses de cima para baixo, 
encontra-se 
a) V – F – V – F 
b) V – F – F – V 
c) F – F – V – F 
d) V – F – F – F 
e) F – F – F – F 
 
62. (EFOMM – 2020) Seja f: ℕ → ℚ uma função tal que 
f(m.n) = n.f(m) + m.f(n) para todos os naturais m e n. Se 
f(20) = 3, f(14) = 1,25 e f(35) = 4, então, o valor de f(8) 
é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
63. (EFOMM – 2018) Se *f : → uma função tal que 
f(1) = 2 e *f( y)
f(xy) , x,y .
x
−
= −   Então, o valor de 
1
f
2
 
 
 
será 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
RELAÇÕES E FUNÇÕES 
Prof. Wellington Nishio 
64. (EN – 2014) Considere f uma função real de variável 
real tal que: 
(1) f(x + y) = f(x).f(y) 
(2) f(1) = 3 
(3) ( )f 2 2.= 
Então ( )f 2 3 2+ é igual a 
a) 108 b) 72 c) 54 d) 36 e) 12 
 
65. (EN – 2015) Considere as funções reais 
x
100
f(x)
1 2−
=
+
 e 
x
2g(x) 2 ,x .=  Qual é o valor da 
função composta ( )1g f (90)− ? 
a) 1 
b) 3 
c) 9 
d) 
1
10
 
e) 
1
3
 
 
GABARITO 
 
A) 2, 3, 12, 22, 25, 26, 27, 28, 47, 48, 51, 52, 53, 59, 62 
B) 6, 7, 9, 10, 13, 14, 17, 30, 38, 40, 44, 49, 57, 63, 64, 
65 
C) 1, 4, 11, 16, 18, 19, 21, 24, 32, 33, 36, 41, 43, 50 
D) 5, 8, 15, 20, 23, 29, 31, 35, 37, 42, 45, 46, 54, 55, 56, 
58, 60 
E) 34, 39, 61