Matematica basica

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1 
 
 
 
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NIVELAMENTO 2007/1 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Núcleo Básico 
da Primeira Fase 
 
 
 
 2
 
 
 
 
Instituto Superior Tupy 
Nivelamento de Matemática Básica 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
1. Regras dos Sinais ............................................................................................................... 3 
 
2. Operações com frações ...................................................................................................... 3 
2.1 Adição e Subtração .............................................................................................. 3 
2.2 Multiplicação ....................................................................................................... 3 
2.3 Divisão ............................................................................................................... 4 
2.4 Potenciação ........................................................................................................ 4 
2.5 Radiciação .......................................................................................................... 4 
 
3. Seqüência de Operações ..................................................................................................... 4 
 
4. Produtos Notáveis .............................................................................................................. 4 
4.1 Quadrado da soma de dois termos ....................................................................... 4 
4.2 Quadrado da diferença de dois termos .................................................................. 5 
4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos ..................................................... 5 
 
5. Fatoração .......................................................................................................................... 6 
 
6. Equação do 1º Grau ............................................................................................................7 
6.1 Resolução de uma equação do 1º grau ................................................................. 7 
 
7. Equação do 2º Grau ............................................................................................................7 
7.1 Resolução de uma equação do 2º grau ................................................................. 7 
 
8. Equações Irracionais .......................................................................................................... 9 
 
9. Sistemas de Equações do 1º Grau ....................................................................................... 10 
9.1 Método da Substituição ........................................................................................ 10 
9.2 Método da Adição ................................................................................................ 10 
 
10. Trigonometria no Triângulo Retângulo ............................................................................... 12 
10.1 Teorema de Pitágoras ........................................................................................ 12 
10.2 Relações Trigonométricas ................................................................................... 13 
 
 
 
 
Anotações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acadêmico(a): _______________________________________________ Turma: _____________ 1º semestre de 2007. 
 3 
 
 
 
 
 
 
Instituto Superior Tupy 
Nivelamento de Matemática Básica 
 
 
1. REGRAS DOS SINAIS 
 
 
1.1 Adição e Subtração 
 
Regra: 
 
Sinais iguais: 
Adicionamos os algarismos e mantemos o sinal. 
 
Sinais diferentes: 
Subtraímos os algarismos e aplicamos o sinal do maior. 
 
Exemplos: 
 
336)
336)
936)
936)
−=+−
=−
−=−−
=+
d
c
b
a
 
 
 
1.2 Multiplicação e Divisão 
 
Regra: 
 
Sinais iguais: 
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal positivo. 
 
Sinais diferentes: 
Operamos os algarismos e aplicamos o sinal negativo. 
 
Exemplos: 
 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1836)
1836)
1836)
1836)
−=+⋅−
−=−⋅+
=−⋅−
=+⋅+
d
c
b
a
 
 ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 236)
236)
236)
236)
−=+÷−
−=−÷+
=−÷−
=+÷+
h
g
f
e
 
 
 
2. OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
2.1 Adição e Subtração 
 
Para adicionar ou subtrair frações, devemos proceder da 
seguinte maneira: 
 
 
 
 
• Reduzimos as frações ao mesmo denominador, isto é, 
devemos calcular o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) 
dos denominadores; 
• Adicionamos ou subtraímos os numeradores e 
conservamos o denominador comum; 
• Simplificamos o resultado sempre que possível. 
 
Exemplos: 
a) 
10
31
 = 
10
15 + 16
 = 
2
3
 
5
8
+ 
 
b) 
30
1
 = 
30
36 20 + 15
 = 
5
6
 
3
2
 +
2
1
−
−
− 
 
c) 
9
2
18
4
18
389
6
1
9
4
2
1
2
2
==
+−
=+−
÷
÷
 
 
2.2 Multiplicação 
 
Para multiplicarmos frações, procedemos da seguinte 
forma: 
• Multiplicam-se os numeradores entre si; 
• Multiplicam-se os denominadores entre si; 
• Simplifica-se a fração resultante, sempre que 
possível. 
 
Exemplos: 
a) 
10
21
 = 
5 2
7 3
 = 
5
7
 
2
3
⋅
⋅
⋅ 
b) ( ) ( ) 5
1
5
- = 
3
15
- = 
31
53-
= 
3
5
 3
3
3
−=
⋅
⋅






⋅−
÷
÷
 
 
 4
c) 
27
1
3
1
1
1
9
1
6
1
7
2
9
7
6
1
7
2
9
7
27
27
+=





−⋅





+⋅





−
=





−⋅





+⋅





−
=





−⋅





+⋅





−
÷÷
÷÷
 
 
Observação: 
Numa multiplicação de frações, pode-se simplificar os 
fatores comuns ao numerador e ao denominador, antes 
de efetuá-la, conforme o exemplo c. 
2.3 Divisão 
 
Para dividir duas frações, procedemos da seguinte 
forma: 
• Multiplica-se a primeira fração pelo inverso da 
segunda fração; 
• Simplifica-se o resultado sempre que possível. 
 
Exemplos: 
a) 
2
5
 
3
7
 = 
2
5
 . 
7
3
 = 
14
15
÷ 
 
b) 
16
1
 = 
80
5
 =
20
1
 . 
4
5
 = 20 
4
5
5
5
--
÷
÷






−÷





− 
 
2.4 Potenciação 
 
Para elevar uma fração a um certo expoente, eleva-se o 
numerador e o denominador a esse expoente. 
 
Exemplos: 
a) 
9
4
 = 
3
2
 = 
3
2
2
22
++





− 
 
b) 
10
23 23
0
0





 = 
10
 = 
1
1
 = 1
0
 
 
c) 
27
8
 = 
3
2
 = 
2
3
3
33
++





+
−
 
 
d) 
36
25
6
5
 = 
6
5
 = 
5
6
2
22-2
+=+





−





− 
 
Observações:• Elevando um número ao expoente par, o resultado 
será positivo, conforme o exemplo a. 
• Elevando um número a um expoente ímpar, o 
resultado terá o sinal do próprio número, conforme o 
exemplo c. 
 
2.5 Radiciação 
 
Para obter a raiz de uma fração, extrai-se as raízes do 
numerador e do denominador. 
 
Exemplos: 
 a) 
16
25
 = 
16
25
 = 
4
5
 
b) 
2
1
 = 
8
1
 = 
8
1
3
3
3 
c) ∉−
9
4
 � 
 
Observações: 
• Quando o índice da raiz for par não existirá a raiz de 
um número negativo, conforme o exemplo c. 
• � → conjunto dos números reais 
 
 
3. SEQÜÊNCIA DE OPERAÇÕES 
 
As expressões numéricas e algébricas devem ser 
resolvidas obedecendo a seguinte ordem de operação: 
 
1º → Potenciação e Radiciação; 
2º → Multiplicação e Divisão; 
3º → Adição e Subtração. 
 
Essas operações são assim realizadas: 
 
1º → Parênteses; 
2º → Colchetes; 
3º → Chaves. 
 
 
4. PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
Certos produtos aparecem com bastante freqüência no 
cálculo algébrico, em Geometria Analítica, por exemplo. 
Os Produtos Notáveis, como o próprio nome já diz, 
 5 
significa: produto → “resultado da multiplicação”, e 
notável → “que se destaca”. O único problema é que, às 
vezes, eles aparecem e a gente nem nota! Estes 
Produtos Notáveis acontecem quando, na multiplicação 
entre dois termos, aparecem variáveis. Tais produtos 
poderão ser calculados usando-se a propriedade 
distributiva (conhecida como “chuveirinho”), ou então, 
de forma mais direta, através de algumas regras que 
veremos a seguir. 
 
 
4.1 Quadrado da Soma de dois Termos 
 
( ) ( ) ( )bababa +⋅+=+ 2 22 bababa +++= 
 
Portanto: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, podemos estabelecer a seguinte regra: 
 
“O quadrado da soma de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo mais duas vezes o 
produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado do 
segundo termo”. 
 
Exemplos: 
a) (x + y)2 = (x) 2 + [ 2 . (x) . (y) ] + (y) 2 
 x2 + 2xy + y2 
 
b) (3a + 2)2 = (3a) 2 + [ 2 . (3a) . (2) ] + (2) 2 
 9a2 + 12a + 4 
 
 
4.2 Quadrado da Diferença de dois Termos 
 
• Quadrado da Diferença de dois Termos pode ser 
enunciado da mesma maneira que o quadrado da 
soma de dois termos. 
 Então temos: 
 
( ) ( ) ( )bababa 2 −⋅−=− 22 bababa +−−= 
 
Portanto: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 
 
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: 
 
“O quadrado da diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes 
o produto do 1º pelo 2º termo, mais o quadrado 
do segundo termo”. 
 
Exemplos: 
a) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
 
b) (3a – 5)2 = (3a)2 – [ 2.(3a).(5) ] + (5)2 = 
 9a2 – 30a + 25 
 
4.3 Produto da Soma e Diferença de dois Termos 
 
• O Produto da Soma pela Diferença de dois Termos 
segue o mesmo raciocínio dos casos anteriores. 
 Veja: 
 
( ) ( )baba −⋅+ 2222 babababa −=−+−= 
Portanto: (a + b).(a – b) = a2 – b2 
 
Logo podemos estabelecer a seguinte regra: 
 
“O produto da soma pela diferença de dois termos 
é igual ao quadrado do primeiro termo menos o 
quadrado do segundo termo”. 
 
Exemplos: 
 a) (x + y).(x – y) = x2 – xy + yx – y2 
 Logo: (x + y).(x – y) = x2 – y2 
 
b) (3a – 5).(3a + 5) = (3a)2 – (5)2 = 9a2 – 25 
 
 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
 
1) Calcule os quadrados e os produtos: 
a) (a + 5)2 f) (x + 3).(x – 3) 
b) (x + 1)2 g) (2x – 1).(2x + 1) 
c) (2x + 3y)2 h) (7 + a).(– a + 7) 
d) (a – 2)2 i) (¾ – 4y).(4y + ¾) 
e) (x – 1)2 j) (m2 – ½).(m2 + ½) 
 
Respostas: 
4
1)16
16
9)49)
14)9)12)44)
9124)12)2510)
422
2222
2222
−−−
−−+−+−
++++++
mjyiah
xgxfxxeaad
yxyxcxxbaaa
 
2) Simplifique as expressões: 
a) (a – 2)2 – 2(a + 2) = 
b) (y + 5)2 – y(y + 10) = 
c) (a + b)2 + (a – b) 2 = 
d) (x – 3)2 + (x + 3) 2 = 
e) (x + y)(x – y) + (x + y)2 – 2xy = 
Primeiro 
termo 
Segundo 
termo 
Quadrado 
do 2º termo 
Quadrado 
do 1º termo 
2 vezes o 1º pelo 2º termo 
 6
 
Respostas: 
22222 2)182)22)25)6) xexdbacbaaa ++− 
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
 
1) Efetue as operações: 
 
a) (2x + 1)2 + (2x – 1)2 = 
b) 3(y2 – 1)2 + 2(2y + 2)2 = 
c) (2xy + 3)(x2 – 2) – (x – 1)2 = 
d) (2x + 1)2 + 2x(x – 1)2 = 
e) (ab + 1)2 + ab(ab + 2) = 
f) (4ay – 1)2 – 4(ay – 1)2 = 
Respostas: 
 
32212)14222)1632)
7222432)11162243)228)
−++++
−++−++++
yafabbaexxd
xxxyyxcyyybxa
 
 
2) Nos exercícios abaixo, obtenha os produtos notáveis: 
 
a) (3m2 + 4n)2 = e) (3a2 – 2b6)2 = 
b) (7y2 + 3y4)2 = f) (1 + x5)2 = 
c) (b4 + c5)2 = g) (– x + 3)2 = 
d) (x2 – 3)2 = h) (– x – 2y)2 = 
 
Respostas: 
 
2442)962)
10521)124621249)9264)
105428)89642449)21622449)
yxyxhxxg
xxfbbaaexxd
ccbbcyyybnnmma
+++−
+++−+−
++++++
 
 
3) Calcule os seguintes produtos notáveis: 
 
a) =





−
2
4
12xy d) =





−
2
22
6
1
4
1 yx 
 
b) =





−
22
3
3 bab e) =





+
22
7
4
5
1 m
 
 
c) =





−
2
32 2
3
1
abba 
 
Respostas: 
4
49
162
35
8
25
1)4
36
122
12
14
16
1)
62443
3
424
9
1)
9
432229)
16
1224)
mmeyyxxd
bababacbabbabxyyxa
+++−
+−+−+−
 
 
 
CURIOSIDADE: 
 
Quando não se dispõe de uma máquina de calcular, 
podem-se utilizar os conceitos dos produtos notáveis 
para facilitar alguns cálculos específicos. Veja: 
 
Qual o produto de (41).(39)? 
 
Transformando a multiplicação para um produto notável, 
temos: 
 
(40 + 1).(40 – 1) = 40² – 1² = 1600 – 1 = 1599 
 
Agora tente você! 
 
Calcule (101).(99) utilizando um produto notável. 
 
 
RESUMINDO: 
 
 ( ) ( ) 2222 2 babababa ++=−−=+ 
 ( ) ( ) 2222 2 babababa +−=+−=− 
 ( )( ) ( )( ) 22.. bababababa −=+−=−+ 
 
5. FATORAÇÃO 
 
Fatorar uma expressão é reescrevê-la em fatores 
(partes) que se multiplicam. Estas partes (fatores) 
podem apresentar números e/ou variáveis que devem 
ser escritas com os menores números possíveis, e, as 
variáveis (letras), com o menor expoente natural 
possível. 
 
Observe a igualdade abaixo: 
 
5a + 5b = 5(a + b) 
 
Como 5a + 5b poder escrito 5(a + b), dizemos que 
expressão 5a + 5b foi fatorada, tendo como fator 
comum o número “5”, que foi colocado em evidência. 
Exemplos: 
 
a) ab + ac = a(b + c) → fator comum “a” 
 
b) 6x2 + 2x3 = 2x2(3 + x) → fator comum “2x2” 
 
c) 10m + 20m2 = 10m(1 + 2m) → fator comum “10m” 
 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Fatore as expressões: 
 
a) aaa 18126 23 +− 
b) 432 302015 xxx −− 
c) 543 20125 aaa +− 
d) 22 93 xyyx − 
e) )()(2 yxxyx −−− 
f) )(6)(3 babax +++ 
 
Respostas: 
 
a) 6a(a2 – 2a + 3) b) 5x2(3 – 4x – 6x2) c) a3(5 – 12a + 20a2) 
 
d) 3xy(x – 3y) e) (x – y)(2 – x) f) 3(a + b)(x + 2) 
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
 
1) Simplifique as expressões dadas: 
 
 7 
a) 
4
44 ba +
 e) 2
23 1115
x
zxyx −
 
 
b) 
a
ayax
5
2510 −
 f) 
ba
baba
37
73 322
−
+−
 
 
c) 
3
1812 yxy −
 g) 2
32
2
48
yx
xyyx
−−
−−
 
 
d) 
nm
nm
−− 77
 
 
Respostas: 
 
a) a + b b) 2x – 5y c) 2y(2x – 3) 
 
d) 7 e) 15xy – 11z f) a2 b g) 4xy 
 
 
6. EQUAÇÃO DO 1°°°° GRAU 
 
Equação do 1° grau é toda equação que se reduz à 
forma ax + b = 0, onde a e b são números reais, 
com a ≠≠≠≠ 0. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) ⇒+=− 13579 xx 
 0204013759 =−⇒=−−− xxx 
 
b) ⇒
−
=
−
−
+
2
43
6
94
3
12 xxx
 
 
0212
1299424
6
)43(3
6
)94()12(2
=+
⇒−=+−+
⇒
−
=
−−+
x
xxx
xxx
 
 
 
6.1 Resolução de uma Equação do 1°°°° Grau 
 
Resolver uma equação do 1° grau é determinar o valor 
de “x” (variável) que satisfaz a igualdade. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) 13579 +=− xx 
 
5
4
20
204
71359
=⇒=
=
+=−
xx
x
xx
 
Temos então que: { }5=S 
 
 
b) 
2
43
6
94
3
12 xxx −
=
−
−
+
 
 
 
( ) ( ) ( )
6
1
12
2
212
2991244
6
129
6
9424
6
433
6
941122
2
2
−=⇒−=
−=
−−=+−
−
=
+−+
−⋅
=
−⋅−+⋅
÷
÷
xx
x
xxx
xxx
xxx
 
 
Logo, temos: 






−=
6
1S 
 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Resolva as equações a seguir: 
a) ( ) ( )12424 −+=− xx 
 
b) ( )[ ] ( )1932425 +=++− xxx 
 
c) 
4
1
3
2
26
1
+−=−
xx
 
 
d) 
4
313
2
1
8
52 +
=
−
+
− mmm
 
 
e) 
( ) ( )
4
235
3
12
3
14 +
=
+
+
+ xxx
 
 
Respostas: 
{ } { }


















−−
7
6
)
4
3
)
2
1
)2)5) edcba 
 
 
 
 
7. EQUAÇÃO DO 2°°°° GRAU 
 
Equação do 2° grau é toda equação que se apresenta na 
forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números 
reais, com a 
 
 ≠≠≠≠ 0. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) 3x2 – 7x + 2 = 0 a = 3; b = –7; c = 2 
b) 2x2 – 10x = 0 a = 2; b = 10; c = 0 
c) –x2 + 5 = 0 a = –1; b = 0; c = 5 
d) 4x2 = 0 a = 4; b = 0; c = 0 
 
 
7.1 Resolução de uma Equação do 2°°°° Grau 
 
A resolução de uma equação do 2º grau pode ser obtida 
através de uma fórmula, usualmente chamada Fórmula 
de BHÁSKARA: 
 
 8
02 =++ cbxax 
 
a
acbb
x
2
42 −±−
= 
 
A expressão cab ⋅⋅− 42 , chamada de discriminante 
da equação, é geralmente representada pela letra grega 
∆∆∆∆ (lê-se: delta). 
 
Então: ac4b 2 −=∆ 
Logo, se 0≥∆ , podemos escrever: 
 
a
b
x
2
∆±−
= 
 
Observe que, quando 0<∆ , a equação não admite 
raízes reais. 
Exemplo: 
 
a) Resolva a equação 2x2 + 7x + 3 = 0 
 
Valores: a = 2; b = 7; c = 3 
 
Fórmula: 
a
acbb
x
2
42 −±−
= 
 
Substituindo os valores, temos: 
 
22
32477 2
⋅
⋅⋅−±−
=x 
4
24497 −±−
=x 
4
57
22
257 ±−
=
⋅
±−
=x 
Então: 
4
2
4
57
1 −=
+−
=x 
2
1
1 −=∴ x 
 
4
12
4
57
2 −=
−−
=x 32 −=∴ x 
 
Logo, o conjunto-solução, também chamado de 
conjunto-verdade é: 
 






−−= 3,
2
1V 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Determine o conjunto-verdade das equações: 
 
a) 01522 =−+ xx 
 
b) 0103 2 =− pp 
c) 02012
2
=++ yy 
 
d) 0642 =−x 
 
e) 0806010 2 =+− xx 
 
f) 
1
10
2 −
=
y
y
 
 
g) yy 12159 2 −=+ 
 
h) 
2
51
1
=
+
+
+ x
x
x
x
 
 
i) 332122 −=− xx 
 
Respostas: 
{ } { } { }
{ } { } { }
{ }3,33)
1,2)
3
2
)4,5)2,4)
8,8)10,2)
10
3
0)5,3)
−=
−=−=−==
−=−−==−=












Vi
VhVgVfVe
VdVc,VbVa
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
(Equação do 1º Grau) 
 
1) Determine o conjunto-solução das equações abaixo: 
 
a) ( ) ( ) 201.23.5 =−−+ xx 
 
b) ( ) ( )4.33.25 −−=+− xxx 
 
c) 
8
7
8
3
2
11 +=++ x 
 
d) 
3
12
2
14 +−
=
− xx
 
 
e) 
( )
x
xxx
2
1
4
3
12
3.5
3
=
−
+
−
+ 
 
f) 
( ) ( ) xxx 5
6
112.
2
5
3
3.2
=+−+
+
 
 
 
2) Resolva as equações, apresentando o conjunto 
verdade: 
 
 9 
a) 
12
342
−
−=−
a
 b) 
xx
x
x 3
4
2
1
3
10
22 =
−
− 
 
c) 3
2
4
2
3
−=
+
+
+ xx
x
 d) 22 9
8
18
11
nnn
n
=−
−
 
 
e) 1
2
3
4
2
=
−
−
− xx
 f) 3
3
52
1
1
=
−
−
+
−
+
x
x
x
x
 
 
Respostas: 
 
1a) S = {1} 1b) S = {3} 1c) S = {–1/4} 1d) S = {5/16} 
 
1e) S = {4} 1f) S = {1/2} 2a) V = {3/4} 2b) V = {23/11} 
 
2c) V = {–5/3} 2d) V = {2} 2e) V = {0} 2f) V = {7/3} 
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
(Equação do 2º Grau) 
1) Determine o conjunto-solução das equações: 
 
a) 0654 2 =−− xx b) 01710 2 =+− xx 
 
c) 036122 =+− xx d) 0532 =+− xx 
 
e) 052 2 =−− xx f) 07 2 =+ xx 
 
g) 092 =− xx h) 0322 2 =−x 
 
i) 0624 2 =+− x j) 0273 2 =+− x 
 
l) 017,01,0 2 =+− xx 
 
m) 0422 =−+ xx 
 
n) 
4
4
2
2
2
1
2
−
=
−
+
+
−
x
x
xx
x
 
 
o) 1
1
3
1
2
=
−
−
+
+
−
x
x
x
x
 
 
p) 0121762 =+− xx
 
 
q) 1
1
1
1
2
2 −=+
+
− xx
 
 
r) 
5
55
5
5
−
+=
−
+
xx
x 
 
s) 
( )
4
1
7
4
16
39
7
13 22 −
−
−
=
+
−
− xxxx
 
 
Respostas: 
 
a) {2, –3/4} b) {1/2, 1/5} c) {6} d) {x ∉ �} e) {0, –5/2} 
 
f) {–1/7, 0} g) {0, 9} h) {± 4} i) { 2/62± } j) {± 3} 
 
l) {2, 5} m) { 22− , 2 } n) {3} o) {0, 5} 
 
p) {2/3, 3/4} q) {0} r) S = ∅ s) {5, 11/12} 
 
 
8. EQUAÇÕES IRRACIONAIS 
 
É toda equação que apresenta, pelo menos uma, variável 
no radicando. 
 
Veja os exemplos: 
a) xx 52 =− b) 022 =+− xx 
 
Para se resolver uma equação do tipo irracional, normal–
mente isolamos o termo que possui a variável no radican 
do e, em seguida, elevamos os 2 membros da equação a 
uma potência conveniente. 
 
Exemplo: 
Encontre o conjunto-solução da equação irracional dada 
por: xx =++ 51 . 
 
Resolução: Para se resolver a equação dada, deve–se 
observar que todas as raízes (soluções) encontradas, de–
vem dar sentido a expressão 5+x , ou seja, 
05 ≥+x . Pode–se dizer também que a condição de 
existência (CE) da equação em questão é 05 ≥+x . 
Logo: CE: 5−≥x 
 
Continuando: xx =++ 51 
15 −=+ xx 
( ) ( )22 15 −=+ xx 
125 2 +−=+ xxx 
0125 2 =−+−+ xxx ⇒ 
0432 =++− xx .( –1) 
0432 =−− xx 
 
Aplicando a fórmula de Bháskara, encontraremos: 
 
x1 = 4 e x2 = – 1 
 
Para garantirmos a veracidade da solução, sempre 
devemos fazer uma verificação de todos os valores 
encontrados: 
 
11 51 xx =++ 22 51 xx =++ 
4541 =++ 1511 −=+−+ 
491 =+ 141 −=+ 
 143 −= 121 −=+ 
 33 = 13 −= (Absurdo!) 
 
Portanto, o conjunto-solução será: S = { 4 }. 
 10 
 
Observação Importante: 
 
Note que: ||2 xx = , e que: 



<−
≥
=
0,
0,||
xsex
xsex
x 
 
Como exemplo: 7772 −==∴= xouxx . 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Determineo conjunto-verdade que satisfaz cada uma 
das equações: 
 
a) 1192 +=− xx 
 
b) 1332 =+− xx 
 
c) 53 −=− xx 
 
d) xx −=+ 42 
e) xx −=12 
 
f) 
2
4
4
x
x
x −
=
−
 
 
g) 137 =−− xx 
 
Respostas: 
 
1a) V = {– 4, 5} 1b) V = {1, 2} 1c) V = {7} 
 
1d) V = {2} 1e) V = {9} 1f) V = {2} 1g) V = {1, 4} 
 
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
(Equações Irracionais) 
 
1) Encontre o conjunto-solução das equações irracionais: 
 
a) 71212 =++ x 
 
b) xx 4123 −=+ 
 
c) 6)3(.)8( =++ xx 
 
d) 2225 −=+− xx 
 
e) xxx =−− 241 
 
f) 22147 =−+ x 
 
g) 11224 3 =−− x 
 
h) 013 23 =−−+ xxx 
 
i) 4716 +=+++ xxx 
 
Respostas: 
 
1a) S = {4} 1b) S = {9} 1c) S = {1} 
 
1d) S = {9} 1e) S = {1} 1f) S = {1/2} 
 
1g) S = {1} 1h) S = {±1} 1i) S = {3} 
 
 
9. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Resolver um sistema de equações do 1º grau é 
determinar o par ordenado (x, y) para o qual, as duas 
equações são verdadeiras. Vamos recordar dois métodos 
de resolução: o método da substituição e o método da 
adição. 
9.1 Método da Substituição 
 
Vejamos um exemplo: 
a) Resolva o sistema: 



− II3
I5
 
 y = x 
 x + y = 
 
Resolução: 
Isolando o valor de “x” em I: 
x + y = 5 → x = 5 – y 
Substituindo “x” por (5 – y) em II, temos: 
x – y = 3 
(5 – y) – y = 3 → 5 – y – y = 3 → 
– y – y = 3 – 5 → – 2y = –2 → 
2y = 2 → y = 
2
2
 → y = 1 
Substituindo y = 1 em x = 5 – y , temos: 
x = 5 – (1) → x = 5 – 1 → x = 4 
 
Então, encontramos o par ordenado que gera a solução: 
 S = { (4 , 1) } 
 
9.2 Método da Adição 
 
Vejamos um exemplo: 
a) Resolva o sistema: 



− II 5
I 9
 
 y = x 
x + y = 
 
Resolução: 
Adicionando membro a membro as equações, de modo 
que a soma de uma das variáveis torne-se nula: 
 11 
142
5
9
 
x = 
 y = x 
y = x + 



−
+
 
 x = 
14
2
 → x = 7 
Substituindo x = 7 em I, temos: 
x + y = 9 
7 + y = 9 
 y = 9 – 7 → y = 2 
 
Assim, temos o par ordenado que gera a solução: 
 
S = { (7 , 2) } 
 
 
 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Determine a solução para cada um dos sistemas 
abaixo: 
 
a) 



− 1323
6
y = x 
x + y = 
 
 
b) 



− 8
132
 y = x 
x + y = 
 
 
c) y x ara p
 y = x 
 = 
x + y
x
−≠





− 1
5
3
 
 
d) 0
43
5
≠





−
ypara 
y = x 
 = 
y
x
 
 
e) yx ara p
 y = x 
 = 
x + y −≠





− 1
2
33
 
 
f) yx ra pa
 = 
 yx 
 = 
x + y
x
±≠







−
−
24
3
1
 
 
g) 2
24
1
2
3
≠−≠






−
−
 xey x para 
 = 
x + y
 = 
 x 
y
 
 
h) 0
232
2
 y para 
 y = x + 
 = 
y
x
≠





−
 
 
i ) 3
1
5
7
3
12
−≠





−
 y para 
 y = x 
 = 
y + 
x + 
 
 
Respostas: 
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }
( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }2,3)4,8)1,1)4,2)
2
1
,
2
3)2,10)2,3)1,7)1,5)
==−−==














===−==
SiShSgSf
SeSdScSbSa 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
(Sistemas de Equações do 1º Grau) 
 
1) Resolva os sistemas de equações: 
 
a) 



=−
=+
125
832
yx
yx
 b)



=−
−−=−
734
2)(2
yx
yxyx
 
 
c) 



=−
=+
1,221,3
35,05,01,0
yx
yx
 
 
2) Se o par ( )ba, é a solução do sistema 
 



−=+
=+
1252
423
yx
yx
 , calcule o valor de ba + . 
 
 
3) Resolva o sistema abaixo: 
 
( )






−=−−
+
=
+
+
−
12
2
1
3
2
6
7
3
3
2
baba
baba
 
 
4) Resolva o sistema: 






+
=+
−
=
+
−
2
3
3
0
2
12
yxyx
yx
 
 
 12 
5) Se o par ordenado ( )yx, é a solução do sistema 
abaixo, calcule o valor de 22 yx − . 
 







+
+
+
=
−
−
+
−
+
=
−
+
1
1
82
3
13
1
1
2
4
12
y
y
x
x
y
y
x
x
 
 
Respostas: 
 
1a) S = {(1, 2)} 1b) S = {(1, –1)} 1c) S = {(1, 1/2)} 
 
2) S = {0} 3) S = {(2, –1)} 4) S = {(8,2)} 5) S = {45} 
 
 
# EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES (FIXAÇÃO) # 
(Problemas envolvendo 
Equações do 1º e 2º Graus) 
 
1) A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 
211. Qual é esse número? 
 
2) Quando diminuímos 8 anos da idade de Helena, 
obtemos 5
3
 de sua idade. Qual é a idade de Helena? 
3) Se adicionarmos um número natural com o seu 
sucessor e multiplicarmos o resultado por 5, vamos obter 
635. Qual é o número natural considerado? 
 
4) Se do número 2 subtrairmos o quíntuplo do inverso 
de um número, obteremos a fração 
2
3
. Qual é o 
número? 
 
5) Divide-se um número pelo seu consecutivo. Soma-se 
ao resultado dessa divisão o dobro do inverso do número 
e obtém-se 1. Qual é esse número? 
 
6) Uma sala retangular tem 3m a mais de comprimento 
que a largura. Se a área da sala é de 54m2, qual é o seu 
perímetro? 
 
7) Juntos, dois terrenos quadrados ocupam uma área de 
296 m2. O lado de um dos terrenos tem 4m a mais que o 
lado do outro. Qual é área de cada terreno? 
 
8) Diminuindo 3m de cada lado de um terreno 
quadrado, obteremos um novo terreno de área 196m2. 
Qual é a área do terreno original? 
 
9) Se do quadrado de um número subtrairmos 12, 
obteremos o próprio número. Qual é esse número? 
 
Respostas: 
 
1) 37 2) 20 anos 3) 63 4) 4
15 5) – 2 
 
6) 30 m 7) 196m2 e 100m2 8) 289 m2 9) 4 ou –3 
 
 
 
 
10. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO 
RETÂNGULO 
 
10.1 Teorema de Pitágoras 
 
Em todo triângulo retângulo temos que: 
 
"O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos catetos". 
 
 
Podemos escrever: (hip)2 = (cat)2 + (cat)2 
 
Ou ainda: a2 = b2 + c2 
 
 
Observações: 
 
• Um triângulo é dito “retângulo” quando possui um 
ângulo reto (90º). 
 
• A hipotenusa sempre será o maior lado de um triângulo 
retângulo, figurando sempre à frente do ângulo reto. 
 
Exemplo: 
1) Calcular o valor de “x” no triângulo retângulo abaixo: 
 
52525
16943
2
2222
=⇒=⇒=
⇒+=⇒+=
xxx
xx
 
 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Aplicando o Teorema de Pitágoras, calcule os valores 
de “x” para cada caso: 
 
 
 
a) 
• 
• 
• 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Usando o teorema de Pitágoras, calcule: 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1a) 35 1b) 9 1c) 3 1d) 3 1e) 7,5 1f ) 5 1g) 38,75 
 
2a) x = 53 , y = 52 2b) x = 6, y = 4,8 2c) x = 8, y = 4,8 
 
10.2 Relações Trigonométricas 
 
Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos: 
 
O cálculo do Seno (sen), Cosseno (cos) e Tangente(tg) de um ângulo agudo: 
 
H
CO
Hipotenusa
OpostoCateto
sen ==θ 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 14 
 
H
CA
Hipotenusa
AdjacenteCateto
==θcos 
 
CA
CO
AdjacenteCateto
OpostoCateto
tg ==θ 
 
O que determina se o cateto é oposto ou adjacente é a 
sua posição em relação ao ângulo escolhido. 
 
Observações: 
• Num triângulo a soma dos seus ângulos internos 
mede 180o. 
• A área (superfície) do triângulo é dada por: 
 
2
hbS
2
altura x baseS ⋅=⇒= 
 
As razões trigonométricas podem ser obtidas através de 
tabelas trigonométricas ou em calculadoras. 
 
ângulo seno cosseno tangente 
30
o
 2
1
= 0,500 
2
3
≅ 0,866 
3
3
≅ 0,577 
45o 
2
2
≅ 0,707 
2
2
≅ 0,707 1 
60o 
2
3
≅ 0,866 2
1
= 0,500 3 ≅ 1,732 
90o 1 0 
 
Exemplos: 
 
1) No triângulo retângulo da figura abaixo, calcular a 
medida x. 
 
Dados: 




o30 de ângulo ao oposto cateto = x
hipotenusa = 6
 
3
2
6
 =x 
62x2x = 61
 
6
x
 = 
2
1
 
6
x
 = 30 
30
o
=⇒
⇒=⇒⋅
⇒⇒
=
x
sen
H
CO
sen o
 
 
2) Calcular a medida da altura do prédio, sabendo que 
existe um observador a 3m do prédio observando sob 
um ângulo de 60º. 
Dados: 




o
o
60 de ângulo ao oposto cateto = x
60 de ângulo ao adjacente cateto = 3m
 
m 33x
3
x
 = 3
3
x
 = 60 tg o =⇒⇒ 
ou 
m 5,196x
3
x
 =,7321
3
x
 = 60 tg o =⇒⇒ 
Resposta: 
A altura do prédio é de .m196,5oum33 
 
## EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS – EXERCÍCIOS ## 
 
1) Em cada caso, calcule sen αααα, cos αααα e tg αααα. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
• 
• 
 15 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
2) Uma pessoa de 1,70 m de altura vê o topo de um 
prédio segundo um ângulo de elevação de 60°. 
a) Qual a altura do prédio, se a distância da pessoa a ele for 
30m? 
b) Qual a distância da pessoa a ele, no caso de um prédio ter 
40m de altura? 
 
3) A distância de uma pessoa a uma árvore é de 45m. 
Essa pessoa tem 1,80m de altura e o ângulo de elevação 
segundo o qual ela vê o topo da árvore é de 25°. 
Determine a altura dessa árvore. 
(tg 25º = 0,466; sen 25º = 0,422; cos 25º = 0,906) 
4) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada 
numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de depressão 
de 30°. Qual é a distância da torre até a praia? 
 
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 
30° em relação ao plano horizontal. Quando percorrer, 
em linha reta, 5.000m, qual será a altura atingida pelo 
avião? 
 
 
6) Do alto de uma torre de 50 m de altura, avista-se a 
praia sob um ângulo de 45° em relação ao plano 
horizontal. Para transportar material da praia até a 
torre, um carroceiro cobra R$ 0,10 por metro. Quanto 
ele recebe para cada transporte que faz? 
 
 
7) Na construção de um telhado, foram usadas telhas 
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação 
ao plano horizontal. Sabendo que, em cada lado da casa, 
foram construídos 6m de telhado e que, até a laje do 
teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se 
encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa. 
(sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,939; tg 20° = 0,363) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 
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 16 
8) Determine o valor de “x” na figura abaixo: 
 
 
 
9) Nas figuras abaixo, calcular o valor de “x” e “y”: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1a) sen α = 0,45 / cos α = 0,89 / tg α = 0,50 
1b) sen α = 0,60 / cos α = 0,80 / tg α = 0,75 
1c) sen α = 0,83 / cos α = 0,55 / tg α = 1,50 
2a) 53,66m 2b) 22,11m 3) 22,77m 4) 86,60m 
5) h = 2500m 6) R$ 5,00 7) x = 5,05m 8) x = 3 
9a) x = 2 , y = 4 9b) x = 28,39 
 
 
Para refletir.... 
 
“Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade 
matemática; os países socialmente atrasados são aqueles em que a 
atividade matemática é nula ou quase nula”. 
(Jacques Chapellon) 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (comentadas) 
 
• GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. 
Matemática: uma nova abordagem. v.1. São Paulo: 
FTD, 2000. 
 
���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios 
envolvendo trigonometria no triângulo retângulo (logo no 
início do livro). 
 
• GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; 
GIONVANNI JR, José Ruy. A Conquista da 
Matemática: teoria e aplicação. 7ª série. São Paulo: 
FTD, 1992. 
 
���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios 
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações 
algébricas, equação do 1º grau e sistema de equações 
do 1º grau. 
 
• GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. 
Aprendizagem e Educação Matemática, 7. São 
Paulo: FTD, 1990. 
 
���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios 
envolvendo produtos notáveis, fatoração, frações 
algébricas, equação do 1º grau e sistemas de equações 
do 1º grau. 
 
• GIOVANNI, José Ruy; GIONVANNI JR, José Ruy. 
Aprendizagem e Educação Matemática, 8. São 
Paulo: FTD, 1990. 
 
���� Neste livro você encontrará toda teoria e exercícios 
envolvendo equações do 2º grau e trigonometria no 
triângulo retângulo. 
ANOTAÇÕES E LEMBRETES: 
 
 
 
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