Prévia do material em texto

Vitória da Conquista/BA 
 
Munelar de Assis Falcão 
M.Sc. Física-Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CADERNO DE EXERCÍCIOS 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Curso: Engenharia Civil / Engenharia Elétrica / Engenharia de Produção 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 2222 
SUMÁRIO 
 
PREFÁCIO ........................................................................................................................... 3 
A. Proposta de revisão 01 ...................................................................................................... 4 
B. Proposta de revisão 02 ...................................................................................................... 5 
1. Funções de várias variáveis .............................................................................................. 7 
1.1 Conceitos básicos ......................................................................................................... 7 
1.2 Funções de duas variáveis ............................................................................................ 9 
2. Limite e Continuidade de funções de duas variáveis ..................................................... 12 
2.1 Limite ......................................................................................................................... 12 
2.2 Continuidade ............................................................................................................... 13 
C. Proposta de revisão 03 .................................................................................................... 14 
3. Derivadas parciais........................................................................................................... 16 
3.1 Derivadas parciais de funções de duas variáveis ........................................................ 16 
3.2 Derivadas parciais de funções com três ou mais variáveis ......................................... 16 
3.3 Aplicações das derivadas parciais no ponto ............................................................... 17 
3.4 Derivadas parciais de ordem maior ............................................................................ 19 
3.5 Diferenciais ................................................................................................................. 20 
3.6 Derivada direcional..................................................................................................... 21 
3.7 Maximização da derivada direcional .......................................................................... 23 
D. Proposta de revisão 04 .................................................................................................... 25 
4. Integrais múltiplas .......................................................................................................... 26 
4.1 Integrais duplas ........................................................................................................... 26 
4.2 Integrais múltiplas sobre regiões genéricas ................................................................ 28 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 3333 
PREFÁCIO 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Este Caderno de Exercícios é uma seleção de problemas oriundos das referências 
citadas abaixo. Possui o intuito de ajudá-lo a exercitar os conteúdos que serão abordados 
nesta disciplina e a se preparar para as atividades avaliativas propostas durante o semestre. 
A utilização desse caderno de exercícios não é obrigatória e, se adotado por você 
para acompanhar a disciplina, não dispensará a leitura de um livro-texto de cálculo. É 
sempre recomendável ler e compreender o conteúdo exposto em sala em um livro-texto 
adotado, em seguida ver e fazer os exercícios resolvidos do próprio livro e somente depois 
lidar com os exercícios propostos, seja desse caderno de exercícios ou de outra fonte a 
qual você quer utilizar. 
Ao resolver as questões não se preocupe somente em chegar na resposta usando um 
raciocínio desconexo e bagunçado, tente sempre tomar como exemplo a forma com que 
os exercícios resolvidos são solucionados nos livros-texto; procure escrever os estágios 
da resolução de cada questão de forma articulada, mostrando o passo a passo do raciocínio 
utilizado com coerência e de forma clara e, se possível, com frases explicativas. Esse 
último ponto é muito importante para você, pois te ajuda a compreender o que fez caso 
necessite de uma consulta futura e a fixar as estratégias utilizadas durante a resolução, 
sem falar do aumento considerável de seu conhecimento do conteúdo que está sendo 
treinado. 
A construção deste caderno de exercícios se dará ao longo do semestre letivo. A 
cada unidade, novas questões serão incorporadas e novas versões serão disponibilizadas. 
A ideia é que a organização deste Caderno de Exercícios se dê em 05 seções e 04 propostas 
de revisão. A primeira proposta de revisão possui o objetivo de te ajudar a relembrar o 
conceito de função e de associar as funções elementares com seu domínio e imagem. A 
segunda proposta de revisão foi feita com o objetivo de te ajudar a relembrar de algumas 
ferramentas básicas de geometria analítica, como, por exemplo, o de esboçar uma reta e 
as seções cônicas no plano cartesiano. Já a terceira e quarta propostas de revisão possuem 
o objetivo de te ajudar a relembrar as técnicas de diferenciação e das principais técnicas 
de integração. As 05 seções envolverão problemas que exploram os conteúdos 
programáticos desta disciplina. 
Por fim, a construção deste Caderno teve o cuidado de expor, ao final de cada 
problema, a referência bibliográfica da qual se oriunda, sempre tomando como base a 
enumeração das referências citadas abaixo. A resposta final que se deseja obter ao se 
finalizar a resolução de cada questão se encontra em um arquivo separado que será 
disponibilizado assim que possível. 
O aperfeiçoamento deste Caderno de Exercícios também conta com sua ajuda. Caso 
você encontre erros ou queira, simplesmente, oferecer alguma sugestão ou crítica, fique 
inteiramente à vontade. 
Seguem, abaixo, as referências bibliográficas utilizadas na construção deste 
documento, enumeradas na forma com que cada problema às remetem: 
1) STEWART, James. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Volume 2. 
2) LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. 
Volume 2. 
3) FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo B – funções de várias 
variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2. ed. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 4444 
A. Proposta de revisão 01 
Funções “de uma variável” 
 
 
A.1. Responda: 
a) Qual o conceito de função? 
 
b) Existem quatro maneiras de se representar uma função. Quais são essas maneiras? 
 
 
A.2. Classifique cada função abaixo quanto ao tipo de função a que ela se enquadra. 
Depois, determine o seu conjunto domínio e o seu conjunto imagem: a) ���) = 2� + 5 f) ���) = 3� b) ���) = � − 4� − 5 g) ���) = "� c) ���) = �# h) ���) = log � 
d) ���) = 1� i) ���) = ln � e) ���) = √� j) ���) = sen � 
 
 
 
Observação: Para maior aprofundamento na revisão de funções recomendo leitura do 
Capítulo 01 da seguinte referência (disponível na pasta compartilhada): 
 
STEWART, James. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. Volume 1. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 5555 
B. Proposta de revisão 02 
Geometria Analítica 
 
 
B. 1. Ache uma equação da reta que satisfaça as condições dadas. 
a) Que passa pelo ponto �2; −3), inclinação 6; 
b) Por �2; 1) e �1; 6); 
c) Por �−1; −2) e �4; 3); 
d) Inclinação 
 # e intersecção com o eixo , igual a 4; 
 
B.2. Ache a inclinação e a intersecção com o eixo , da reta e faça seu esboço no plano 
cartesiano. 
a) � + 3, = 0 b) 3� − 4, = 12 
c) 2� − 3, + 6 = 0 d) 4� + 5, = 10 
B.3. Encontre ovértice da parábola e faça seu esboço no plano cartesiano. 
a) 4� = , b) 4, + � = 4 
c) � = 2, d) , = −12� + 4 
 
B.4. Encontre o raio da circunferência e faça seu esboço no plano cartesiano. a) � + , = 4 b) � + , = 9 c) � + , = 10 
B.5. Encontre os vértices da elipse e faça seu esboço no plano cartesiano. Identifique o 
eixo principal. 
a) � 16 + , 4 = 1 b) � 64 + , 100 = 1 c) 25� + 9, = 225 d) 4� + 25, = 25 
 
B.6. Encontre os vértices e as assíntotas da hipérbole e faça seu esboço no plano 
cartesiano. Identifique o eixo real e o eixo imaginário. 
a) � 144 − , 25 = 1 b) , 16 − � 36 = 1 c) 9, − � = 9 d) � − , = 1 
B.7. Identifique o tipo de curva (se é reta, parábola, circunferência, elipse ou hipérbole). a) , = −� b) , − � = 1 c) � + 4, = 16 d) � + , = 2 e) 16� − 25, = 400 f) 25� + 4, = 100 g) , = � + 2 h), = /3 − � i) , = √2� j), = /10 − 2� 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 6666 
k) , = −/9� − 225 l) , = −√� + 1 
 
 
 
Observação: Para maior aprofundamento no estudo da reta, da circunferência e das seções 
cônicas veja as seguintes referências (disponíveis na pasta compartilhada): 
 
1) STEWART, James. Cálculo, volume 1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2007. Apêndices 
B e C – final do livro. 
 
2) STEWART, James. Cálculo, volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2007. Capítulo 
10, pg. 680. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 7777 
1. Funções de várias variáveis 
 
 
1.1 Conceitos básicos 
 
1) Seja ���, ,) uma função de duas variáveis, tal que ���, ,) = � "#�3. 
a) Calcule ��2; 0). Localize a tripla ordenada formada no ℝ# ou a mostre 
graficamente; 
b) Calcule � 61; − 7#8. Localize a tripla ordenada formada no ℝ# ou a mostre 
graficamente; 
c) Calcule � 6−1; − 7 8. Localize a tripla ordenada formada no ℝ# ou a mostre 
graficamente; 
d) Existe possibilidade de ���, ,) ter como imagem um número negativo? Justifique. 
Fonte: adaptada de Q06 de Exercícios 14.1 da referência 1. 
 
2) Seja ���, ,) uma função de duas variáveis, tal que ���, ,) = ln�� + , − 1). 
 Dos itens (a) ao (d) calcule o valor funcional dado e localize a tripla ordenada no ℝ# 
ou a mostre graficamente: a) ��1; 1) b) ��"; 1) c) ��0; 1) d) ��1; 0) 
e) Existe possibilidade de ���, ,) assumir um valor nulo? Justifique. 
Fonte: adaptada de Q06 de Exercícios 14.1 da referência 1. 
 
3) Seja ���, ,) uma função de duas variáveis, tal que ���, ,) = /25 − � − , . 
 Dos itens (a) ao (d) calcule o valor funcional dado e localize a tripla ordenada no ℝ# 
ou a mostre graficamente: a) ��0; 0) b) ��2; 3) c) ��−2; −3) d) ��8; 6) 
e) Para quais duplas ordenadas ��, ,), ���, ,) = 0? Justifique. 
 
4) Seja uma função : de duas variáveis � e ,, tal que :��, ,) = /� − ,. 
a) Calcule :�3; 5) e localize a tripla ordenada formada no ℝ# ou a mostre 
graficamente; 
b) Calcule :�−4; −9) e localize a tripla ordenada formada no ℝ# ou a mostre 
graficamente; 
c) Existe possibilidade de :��, ,) ter como valor funcional um número positivo? 
Justifique. 
Fonte: adaptada de Q02 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 8888 
5) Em regiões com inverno severo, o índice de sensação térmica (ou temperatura 
aparente) é frequentemente utilizado para descrever a severidade aparente do frio. 
Esse índice ;, medido em ℃, mede a temperatura subjetiva que depende da 
temperatura real =, medida em ℃, e da velocidade do vento >, medida em km/h. 
Assim, ; é função de duas variáveis, = e >, através da lei de formação: ;�=, >) = 13,12 + 0,6215 ⋅ = − 11,37 ⋅ >@,7A + 0,3965 ⋅ = ⋅ >@,7A. 
Determine o valor do índice sensação térmica para os seguintes valores de = e >: 
a) = = 8 ℃ e > = 60 km/h: 
b) = = −5 ℃ e > = 80 km/h 
c) = = −15 ℃ e > = 30 km/h. 
Fonte: adaptada de Q04 de Exercícios 14.1 da referência 1. 
 
6) Seja uma função : de três variáveis �, , e B, tal que :��, ,, B) = /4 − � − , − B . 
Ache: a) :�1; −1; −1); 
b) : C−1 12 ; 32D ; c) :E−2; √3; 1F; d) :E−√2; 1; 1F; 
 e) Existe possibilidade de :��, ,, B) ter como imagem um número negativo? 
Justifique. 
Fonte: adaptada de Q03 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
7) Seja uma função � de três variáveis �, , e B, tal que 
���, ,, B) = 4� + , + B − 9. 
Ache: a) ��1; 2; 3); 
b) � C2; − 12 ; 32D ; c) �E2; − √3; −1F; 
 d) Existe possibilidade de ���, ,, B) ter como imagem o número zero? Justifique. 
Fonte: adaptada de Q03 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
8) A equação de estado de um gás ideial confinado (Equação de Clapeyron), GH = IJ=, 
relaciona as variáveis pressão G, medida em pascal, exercida pelo gás, volume do gás H, medida em metro cúbico e a temperatura =, medida em kelvin com seu número de 
mols I. J é a constante universal dos gases ideias, que vale J = 8,31 Pa⋅m3/mol⋅K. 
Considere a função G = ��H, =, I), que é uma função de três variáveis, e obtenha a 
pressão exercida pelo gás para: 
a) H = 0,05 m3, = = 300 K e I = 6 mols; 
b) H = 100 m3, = = 90 K e I = 1 mol; 
c) H = 150 m3, = = 50 K e I = 4 mols; 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 9999 
9) O circuito da Figura 1 tem quadro 
resistores. A corrente desse circuito, em 
ampère, é função das resistências, 
medidas em ohms, através da expressão 
N = OJ7 + J + J# + JP 
onde O é a tensão da fonte aplicada ao 
circuito, medida em volts. Nesta situação, N é função de quatro variáveis, N =��J7, J , J#, JP). Determine o valor da 
corrente para uma tensão aplicada de 30 V quando: 
a) J7 = 7,5 Ω, J = 5 Ω, J# = 2,5 Ω, JP = 1 Ω; 
b) J7 = 4 Ω, J = 6 Ω, J# = 2 Ω, JP = 3 Ω; 
c) J7 = 9 Ω, J = 4 Ω, J# = 7 Ω, JP = 5 Ω. 
 
 
1.2 Funções de duas variáveis 
 
10) Determine o domínio e estipule a imagem das funções abaixo. Faça um esboço do 
domínio das funções ou descreva-o. a) ���, ,) = "�RS3 b) :��, ,) = /1 + � − , c) ���, ,) = � "#�3 d) ���, ,) = ln�� + , − 1) 
e) ℎ��, ,) = −/16 − � − 4, f) U��, ,) = ln�/4 − � − , ) 
Fonte: Itens b, c, d – adaptados de Q06, Q07 e Q08 de Exercícios 14.1 da referência 1; Item e – adaptado 
de Q08 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
11) Determine o domínio das funções abaixo. Faça um esboço do domínio das funções 
ou descreva-o. 
a) ���, ,) = 44 − � − , b) ���, ,) = /�, 
c) ���, ,) = �,/� + , − 2 d) ���, ,) = 1/16 − � − 4, 
e) ���, ,) = ln�� + ,) f) ���, ,) = /� − , − 1 
g) ���, ,) = /ln��,) h) ���, ,) = 1�, − 3 
i) ���, ,) = ln 64 − /� + , 8 j) ���, ,) = /, − � ln�, + �) 
k) ���, ,) = /� + , − 1 + ln�4 − � − , ) 
Fonte: Itens b, j – Q12, Q14 de Exercícios 14.1 da referência 1; Item k – Q18 de Exercícios 14.1 da 
referência 1 (5ª edição); Itens a, d, e, f – Q06, Q09, Q14 e Q18 de Exercícios 16.1 da referência 2; Item i – 
Q04 (f) de Exercícios 1.4 da referência 3. 
 
 
 
 
Figura 1 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 10101010 
12) Para cada uma das funções abaixo, 
(I) determine o domínio e a imagem; 
(II) faça um esboço do domínio ou descreva-o; 
(III) esboce a curva de intersecção que a representação gráfica da função faz com os 
planos �B e ,B (traços verticais). 
 a) ���, ,) = 1 − � − , b) ���, ,) = 10 − 4� − 5, c) :��, ,) = � + , − 4 d) ℎ��, ,) = 16 − � − , e) U��, ,) = � + 9, f) V��, ,) = /16 − � − , 
g) V��, ,) = /16 − � − 16, h) W��, ,) = /100 − 25� − 4, 
 
13) Encontre e esboce a curva de intersecção do gráfico da função dada no ℝ# com os 
planos dados (traços). 
a) B = ���, ,) = � + , com os planos B = 1; � = 1; , = 1. 
b) B = ���, ,) = /� + , com os planos B = 1; � = 0; , = �. 
c) B = ���, ,) = /4 − � − , com os planos B = 1; , = 0; , = �. 
Fonte: Q14 de Exercícios 1.4 da referência 3. 
 
14) Faça um esboço do mapa de contorno da função � dada, mostrando as curvas de nível 
nos números dados. a) ���, ,) = 6 − 2� + 2, em − 6, −2, 0, 2 e 6. b) ���, ,) = � − , em − 3, −2, −1, 0, 1 e 2. c) ���, ,) = 16 − � − , em − 9, −7, 0, 7 e 12. d) ���, ,) = /100 − 25� − 4, em 0, 2, 4, 6 e 8. e) ���, ,) = �, em − 4, −3, 0, 1 e 2. f) ���, ,) = � − , em − 9, −4, 0, 4, 9. g) ���, ,) = /� + , em 0,5, 6, 8 e 10. 
h) ���, ,) = � − 3, + 2 em − 1, − 14 , 0, 12 , 2. 
Fonte: Itens b, e, f – adaptado de Q37, Q38 e Q43 de Exercícios 14.1 da referência 1 (5ª edição); Itens a, c, 
d, g, h – Q38, Q39, Q40, Q42 e Q44 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
15) Uma camada de metal, localizada no plano �,, tem temperatura =��, ,) em um ponto ��, ,). As curvas de nível de X são chamadas de isotermas porque todos os pontos em 
uma isoterma têm a mesma temperatura. Seja =��, ,) = 4� + 2, . 
Trace as isotermas de X em 12, 8, 4, 1 e 0. 
Fonte: Q52 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
16) Se H��, ,) é o potencial elétrico de um ponto ��, ,) do plano �,, as curvas de nível 
de H são chamadas de curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o 
mesmo potencial elétrico. Seja H��, ,), dado em volts, e 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 11111111 
H��, ,) = 4/9 − � − , . 
Trace as curvas equipotenciais de H em 8, 4, 2, 1 e 7 . 
Fonte: Q49 de Exercícios 16.1 da referência 2. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 12121212 
2. Limite e Continuidade de funções de duas variáveis 
 
 
2.1 Limite 
 
17) Calcule: a) lim��,3) → � ,#) �3� + �, − 2, ) b) lim� → Z3 → S ��Z + 4�#, − 5�, ) 
c) lim��,3) → � ,7) 4 − �,� + 3, d) lim��,3) → �S ,P) ,/�# + 2, 
e) lim� → A3 → # �, cos�� − 2,) f) lim� → @3 → [ ln C
� + ,� + , D 
g) lim��,3) → �@,@) "� + "3cos � + cos , h) lim��,3) → �@,@) sen � + cos ," � + " 3 
i) lim� → 73 → 7 
� − ,�� − , j) lim� → 3 → 
�# − � ,� − , 
k) lim��,3) → �@,7) �P − �, − 1)P� + �, − 1) l) lim� → 3 → 7 
�# + � , − 2�, − 2� − 2� + 4�, + � − 2, − 2 
m) lim� → @3 → @
√� + 3 − √3�, + � n) lim��,3) → �@,@) � + , /� + , + 1 − 1 
Fonte: itens b, c, e, n – Q05, Q06, Q07 e Q17 de Exercícios 14.2 da referência 1; itens a, d, g, h, k – Q01, 
Q04, Q05, Q06 e Q07 de Exercícios 16.2 da referência 2; itens i, j, m – Q21 (g, p) e Q20 (c) de Exercícios 
3.7 da referência 3. 
 
18) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: 
a) lim� → @3 → @ 
� � + , b) lim��,3) → �@,@) �� + , 
c) lim� → @3 → @ 
� , �P + ,P d) lim��,3) → �@,@) 2� ,�P + , 
e) lim� → @3 → @ 
� ,� + , f) lim� → @3 → @ 
�, � + ,P 
g) lim� → @3 → @
�,/� + , h) lim� → @3 → @ 
� , + �, � + , 
i) lim��,3) → �@,@) �, cos ,3� + , j) lim��,3) → �@,@) �P,P�� + ,P)# 
Fonte: item i – Q11 de Exercícios 14.2 da referência 1; itens a, c, g, h, j – Q18, Q19, Q22, Q23, Q25 de 
Exercícios 16.2 da referência 2. 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 13131313 
2.2 Continuidade 
 
19) Determine se a função dada é contínua no ponto indicado. 
a) ℎ��, ,) = \ � − , � + , se ��, ,) ≠ �0, 0) 0 se ��, ,) = �0, 0); G = �0, 0) 
b) U��, ,) = \ �,� + �, + , se ��, ,) ≠ �0, 0)0 se ��, ,) = �0, 0); G = �0, 0) 
 
c) :��, ,) = \ �# + ,#� + , se ��, ,) ≠ �0, 0)0 se ��, ,) = �0, 0); G = �0, 0) 
d) :��, ,) = \ � ,#2� + , se ��, ,) ≠ �0, 0)1 se ��, ,) = �0, 0); G = �0, 0) 
e) W��, ,) = \ � ,�P + , se ��, ,) ≠ �0, 0)0 se ��, ,) = �0, 0); G = �0, 0) 
Fonte: Item a – exercício resolvido 7 da seção 14.2 da referência 1; Itens b, d – adaptado de Q37, Q38 de 
Exercícios 14.2 da referência 1; Item c, e – adaptada de Q10, Q12 de Exercícios 16.3 da referência 2. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 14141414 
C. Proposta de revisão 03 
Cálculo de derivadas 
 
 
Regras de derivação 
C.1. Calcule a derivada das funções abaixo: 1) , = 4^ 2) U��) = −4�7@ 3) , = √�# 4) J�X) = 5XS#/Z 
5) J��) = √10�_ 6) ���) = 3 ⋅ 2� 
7) ��X) = 12 XA − 3XP + X 8) ��X) = √X − 1√X 9) , = sen � + 10 tan � 10) , = 2 cossec � + 5 cos � 11) ���) = √�"� 12) , = 2`�a − 2a) 13) :��) = � ln � 14) B = X sen X 15) W��) = �1 + � ) arctan � 16) ���) = "� ⋅ sen � + 4�# 
17) ℎ�b) = cossec b + "c ⋅ cotan b 18) :��) = 3� − 12� + 1 19) ��X) = 2X2 + √X 20) , = "
�sen � 
21) , = 1 + sen �� + cos � 22) d = tan X − 1sec X 
Fonte: itens 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 – questões 6, 8, 14, 16, 18, 20 e 25 da seção 3.1 Exercícios da referência 1; 
itens 11, 18 e 19 – questões 4, 7 e 21 da seção 3.2 Exercícios da referência 1; itens 9, 10, 17 e 21 – questões 
3, 4 e 10 da seção 3.3 Exercícios da referência 1; item 15 – questão 49 da seção 3.5 Exercícios da referência 
1; item 16 – questão 143 (a) da referência 3. 
 
C.2. Calcule a derivada das seguintes funções compostas: a) , = �1 − � )7@ b) U��) = �� − � + 1)# 
c) , = √4 + 3� d) ���) = "#� e) ���) = ln�5�) f) ���) = ln�� + 10) 
g) , = sen 4� h) :��) = cos 7� 
i) U��) = sen# 3� j) , = tanS7 2� k) ���) = arccos �# l) , = tan�sen �) 
Fonte: itens a, b, f, g, l – questões 1, 2, 3, 4 e 8 da seção 3.4 Exercícios da referência 1; item f – questão 2 
da seção 3.6 Exercícios da referência 1; itens e, k – questões 154 (f) e 163 (b) da referência 3. 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 15151515 
Interpretação geométrica da derivada: reta tangente 
C.3. Considere a parábola , = 4� − � . 
a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola no ponto de abscissa � = 1; 
b) Encontre a equação da reta tangente do item a; 
c) Faça um esboço da parábola e da reta tangente e mostre o ponto de tangencia. 
Fonte: adaptada de questão 3 da seção 2.7 Exercícios da referência 1. 
 
C.4. Considere a parábola , = 4� − � . 
a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola no ponto de abscissa � = 2,5; 
b) Encontre a equação da reta tangente do item a; 
c) Faça um esboço da parábola e da reta tangente e mostre o ponto de tangencia. 
 
C.5 Encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto especificado: 
a) , = sec � , 63̂ , 28 b) , = "� cos � , �0, 1) 
Fonte: questões 21 e 22 da seção 3.3 Exercícios da referência 1. 
 
 
Diferenciais 
C.6 Encontre a diferencial das funções: a) , = � sen�2�) b) , = e1 + 2e 
c) , = f + 1f − 1 d) , = √1 + ln B 
Fonte: questões 11(a), 12(a), 13(a) e 14(b) da seção 3.10 Exercícios da referência 1. 
 
C.7 Compare os valores de Δ, e h, se ���) = �# + � − 2� + 1 se 
a) � variar de 2 para 2,05; 
b) � variar de 2 para 2,01. 
Fonte: exemplo 3 (resolvido) da seção 3.10 Aproximações lineares e Diferenciais da referência 1. 
 
C.8 Compare os valores de Δ, e h, para os valores dados de � e h� = Δ�: 
a) , = 2� − � , � = 2, Δ� = −0,4; 
b) , = √�, � = 1, Δ� = 0,1. 
Fonte: questões 19 e 20 (adaptada) da seção 3.10 Exercícios da referência 1. 
 
 
Observação: Para maior aprofundamento no estudo da reta, da circunferência e das seções 
cônicas veja as seguintes referências (disponíveis no Dropbox): 
 
1) STEWART, James. Cálculo, volume 1. 5. ed. São Paulo: Thomson, 2007. Caps. 2 e 3. 
 
2) FLEMMING, D. M., GONÇALVES, M. B. Cálculo a – funções, limite, derivação e integração. 2. 
ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. Caps. 4 e 5. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 16161616 
3. Derivadas parciais 
 
 
3.1 Derivadas parciais de funções de duas variáveis 
 
20) Determine as derivadas parciais das seguintes funções: a) ���, ,) = �Z + 3�#, + 3�,P b) B = �"#3 
c) ���, ,) = √� ln , d) ���, ,) = � − ,� + , e) ���, ,) = �3 f) d = sen i cos j 
g) ��e, X) = eX e + X h) ��a, e) = a ln�a + e ) i) ���, X) = arctanE�√XF j) f = X"k/l 
Fonte: Q16 a Q27 de Exercícios 14.3 da referência 1 (5ª e 6ª ed.). 
 
21) Ache a derivada parcial indicada: 
a) ��a, b) = a cos b − 2a tan b ; �c�a, b) b) B = "3/� ln m� , n ; oBo� 
Fonte: Q16, Q17 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
22) Determine as derivadas indicadas: a) ���, ,) = sen�2� + 3,) ; ���−6, 4); �3�−6, 4) 
b) ���, ,) = ln 6� + /� + , 8 ; ���3, 4); �3�3, 4) 
c) ���, ,) = arc tan C�,D ; ���2, 3); �3�2, 3) 
d) ��a, b) = a tan b − a sen b ; �7 6√2, 4̂8 ; � �3, ^) 
Fonte: Item a - adaptado de Q36 de Exercícios 14.3 da referência 1 (5ª ed.); Itens b, c - adaptado de Q39, 
Q40 de Exercícios 14.3 da referência1; Item d – Q25 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
 
3.2 Derivadas parciais de funções com três ou mais variáveis 
 
23) Determine as derivadas parciais das seguintes funções: a) ���, ,, B) = �, B# + 3,B b) ���, ,, B) = � "3p c) d = ln�� + 2, + 3B) d) d = /a + e + X e) f = �"Sl sen b f) f = �3/p 
Fonte: Q25 a Q30 de Exercícios 14.3 da referência 1 (5ª ed). 
 
24) Determine as derivadas parciais das seguintes funções: 
a) ���, ,, B, X) = �,B tan�,X) b) ���, ,, B, X) = �, X + 2B c) ℎ�f, >, d, X) = f + > − ln�dX) 
Fonte: Itens a, b – Q35 a Q36 de Exercícios 14.3 da referência 1; Item c – Q45 de 4.5 Exercícios da 
referência 3. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 17171717 
25) Ache a derivada parcial indicada: 
a) f = �� + , + B )S7/ ; ofoB b) f = tanS7��,Bd) ; ofod 
 
c) ���, ,, B) = "�3p + tanS7 C3�,B D ; � ��, ,, B) 
Fonte: Q19, Q20, Q23 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
26) Determine as derivadas indicadas: a) ���, ,, B) = �, + B ; �7�3, 2, 1); � �3, 2, 1); �#�3, 2, 1) b) ��f, >, d) = d tan�f>) ; �q�2, 0, 3); �r�2, 0, 3); �k�2, 0, 3) c) ���, ,, B) = "�3R + ln�, + B) ; �7�3, 0 , 17); � �1, 0 2); �#�0,0,1) 
Fonte: Itens a, b - adaptado de Q37, Q38 de Exercícios 14.3 da referência 1; Item c – Q26 de Exercícios 
16.4 da referência 2. 
 
 
3.3 Aplicações das derivadas parciais no ponto 
 
27) A função ���, ,) = 16 − 4� − , forma uma paraboloide no ℝ#. Determine a 
inclinação da reta tangente à curva de intersecção do paraboloide com o 
a) plano , = 2, no ponto �1, 2, 8); 
b) plano � = 1, no ponto �1, 2, 8). 
 Fonte: adaptado de Q11 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
28) Dada a superfície B = /� + , , determinar a reta tangente às curvas de intersecção 
da superfície no ponto E2, √5, 3F com: 
a) o plano � = 2; 
b) o plano , = √5. 
Fonte: Q36 de Exercícios 4.5 da referência 3. 
 
29) A função ���, ,) = /4 − � − 4, forma a parte superior de um elipsoide no ℝ#. 
Determine a inclinação da reta tangente à curva de intersecção do elipsoide com o 
a) plano , = 0, no ponto E1, 0, √3F; 
b) plano � = 1, no ponto E1, 0, √3F. 
Fonte: adaptado de Q12 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
30) O paraboloide B = 6 − � − � − 2, intecepta o plano � = 1 em uma parábola. 
Determinar a inclinação da reta tangente à essa parábola no ponto �1, 2, −4). 
Fonte: adaptado de Q88 de Exercícios 16.4 da referência 1. 
 
31) Ache a equação da reta tangente à curva de intersecção da superfície � + , +B = 9 com o plano , = 2, no ponto �1, 2, 2). Dica: Usa-se o hemisfério superior da 
esfera, pois B > 0. 
Fonte: Q36 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 18181818 
32) O elipsoide 4� + 2, + B = 16 intercepta o plano , = 2 em uma elipse. 
Determinar a inclinação da reta tangente à essa elipse no ponto �1, 2, 2). Dica: Usa-
se a parte superior do elipsoide, pois B > 0. 
Fonte: adaptado de Q89 de Exercícios 16.4 da referência 1. 
 
33) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado: a) B = 9� + , + 6� − 3, + 5; �1, 2, 18) b) B = /4 − � − 2, ; �1, −1, 1) c) B = , ln � ; �1, 4, 0) d) B = "�RS3R; �1, −1, 1) 
Fonte: Q02, Q03, Q04, Q06 de Exercícios 14.4 da referência 1. 
 
34) A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é = graus Celsius e 
= = 54 − 23 � − 4, . 
Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em 
relação à distância movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos � e ,, 
respectivamente, no ponto �3, 1). Interprete os resultados obtidos. 
Fonte: Q37 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
35) A temperatura em um ponto (� ,, ) de uma placa de metal é dada por 
=��, ,) = 601 + � + , 
onde = é medido em ℃ e �, , em metros. Determine a taxa de variação da temperatura 
com relação à distância no ponto (2, 1), 
a) na direção do eixo � e interprete o resultado; 
b) na direção do eixo , e interprete o resultado. 
Fonte: Q76 de Exercícios 14.3 da referência 1 (5ª ed.). 
 
36) Considere a lei geral dos gases para um gás confinado, GH = t=, 
onde G é a pressão em newton por metro quadrado exercida pelo gás, H, é o volume 
do gás em metro cúbico e =, sua temperatura, em kelvin. t é uma constante de 
proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja 100 m3 
e que a temperatura seja 90 K e t = 8. 
a) Ache a taxa de variação de G por unidade de variação de = se H permanece fixo 
em 100 m3. 
b) Ache a taxa de variação de H por unidade de variação em G se = permanece fixa 
em 90 K. 
Fonte: exemplo 5 – seção 16.4 da referência 1. 
 
37) Se u for a área da superfície em metros quadrados do corpo de uma pessoa, então a 
fórmula que dá o valor aproximado para u será u = 2d@,Pℎ@,_, 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 19191919 
onde d é a massa da pessoa, em quilograma, e ℎ é a altura da pessoa, em metros. Se d = 70 kg e ℎ = 1,8 m, ache vwvk e vwvx e interprete o resultado. 
Fonte: Q41 de Exercícios 16.4 da referência 2. 
 
38) Use a lei dos gases ideais para um gás confinado GH = t=, 
sendo G a pressão em newton por metro quadrado exercida pelo gás, H o volume do 
gás em metro cúbico, =, sua temperatura, em kelvin, e t uma constante de 
proporcionalidade. Mostre que, oHo= ∙ o=oG ∙ oGoH = −1. 
Fonte: Q82 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
39) O potencial elétrico no plano �, é dado por: H��, ,) = 2� − 3, , 
onde H é medido em volts e �, , em metros. Sabe-se que o campo elétrico, {, em um 
ponto é igual ao negativo da taxa de variação do potencial com a distância na direção 
considerada, ou seja, 
{� = − oHo� e {3 = − oHo, , 
onde { é medido em volts por metro. Determine o campo elétrico no ponto �3, 2), 
a) na direção do eixo � e interprete o resultado; 
b) na direção do eixo , e interprete o resultado. 
 
40) O índice sensação térmica (ou temperatura aparente) é modelado pela função ; = 13,12 + 0,6215= − 11,37>@,7A + 0,3965=>@,7A 
onde = é a temperatura real, em ℃, e >, a velocidade do vento, em km/h. 
a) Determine a taxa de variação do índice sensação térmica em relação a temperatura 
real em um local onde = = −15 ℃ e > = 30 km/h. Interprete o resultado. 
b) Determine a taxa de variação do índice sensação térmica em relação a velocidade 
do vento em um local onde = = −15 ℃ e > = 30 km/h. Interprete o resultado. 
Fonte: adaptado de Q84 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
 
3.4 Derivadas parciais de ordem maior 
 
41) Determine as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções: a) ���, ,) = �P − 3� ,# b) ���, ,) = ln�3� + 5,) 
c) B = �� + , d) B = , tan�2�) e) f = "S| sen�X) f) > = /� + , g) B = arc tan � + ,1 − �, h) > = "�[} 
Fonte: Itens a, b, c, d, e, f – Q47 a Q52 de Exercícios 14.3 da referência 1 (5ª ed.); Itens g, h – Q55 e Q56 
de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 20202020 
42) Determine as derivadas parciais indicadas: a) ���, ,) = 3�,P + �#, ; ���3; �333 b) ���, ,) = "�3R; ���3 c) ���, ,, B) = cos�4� + 3, + 2B) ; ��3p , ; �3pp d) ��a, e, X) = a ln�ae X#) ; �̀ ||; �̀ |l 
e) f = "`c sen b ; o#foa ob 
f) B = f√> − d; o#Bof o> od 
Fonte: Q61 a Q66 de Exercícios 14.3 da referência 1; Item b – Q56 de Exercícios 14.3 da referência 1 (4ª 
ed.). 
 
43) Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace f�� + f33 = 0. a) f = � + , b) f = ln /� + , 
Fonte: Itens (a) e (d) da Q72 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
44) Verifique se a função 
f = 1/� + , + B 
é solução da equação de Laplace tridimensional f�� + f33 + fpp = 0. 
Fonte: Q73 de Exercícios 14.3 da referência 1. 
 
 
3.5 Diferenciais 
 
45) Seja B = ���, ,) = � + 3�, − , . 
a) Determine o diferencial hB. 
b) Se � varia de 2 a 2,05 e , varia de 3 a 2,96, compare os valores de ΔB e hB. 
c) Estime o erro relativo no cálculo do valor de B no ponto �2; 3). 
Fonte: Exemplo 4 – seção 14.4 da referência 1. 
 
46) Se B = 5� + , e ��, ,) varia de �1, 2) a �1,05; 2,1), compare os valores deΔB e hB. 
Fonte: Q31 de 14.4 Exercícios da referência 1. 
 
47) Se B = � − �, + 3, e ��, ,) varia de �3, −1) a �2,96; −0,95), compare os 
valores de ΔB e hB. 
Fonte: Q32 de 14.4 Exercícios da referência 1. 
 
48) Ache a diferencial total da função dada: a) B = 4�# − �, + 3, − 7 b) f = , tg�� ) − 2�, 
c) d = �" 3 + "S3 d) d = ln 6/� + , + B 8 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 21212121 
e) d = �,B� + , + B f) d = � tanS7 B − , B 
Fonte: Item d – Q27 de Exercícios 14.4 da referência 1 (5ª ed.); outros itens – Q07, Q08, Q10, Q12, Q13 
de Exercícios 16.5 da referência 2. 
 
49) Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 
10 cm e 25 cm, respectivamente, com possíveis erros nessas medidas de, no máximo, 
0,1 cm. Utilize o diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do 
volume do cone. Interprete o resultado e calcule o erro relativo máximo. 
Fonte: Exemplo 5 da seção 14.4 da referência 1. 
 
50) O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, 
respectivamente, com um erro de medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize os 
diferenciais para estimar o erro cometido no cálculo da área do retângulo. 
Fonte: Q33 de Exercícios 14.4 da referência 1. 
 
51) As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidas como 80 cm, 60 cm e 
50 cm, respectivamente, com erro máximo de 0,2 cm em cada dimensão. Utilize os 
diferenciais para estimar o erro no cálculo da área da superfície da caixa e o erro 
relativo. 
Fonte: Q34 de Exercícios 14.4 da referência 1. 
 
52) Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada 
de 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo 
possui 0,1 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 cm. 
Fonte: Q36 de Exercícios 14.4 da referência 1. 
 
53) A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados 
pela equação GH = 8,31=, onde G medida em quilopascals, H em litros e = em 
kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o 
volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura diminui de 310 K para 305 K. 
Fonte: Q38 de Exercícios 14.4 da referência 1. 
 
 
3.6 Derivada direcional 
 
54) Em cada item abaixo, ache: 
(I) a derivada direcional da função dada na direção e sentido indicados pelo ângulo, 
usando a definição prática; 
(II) a derivada direcional da função dada no ponto indicado. 
a) ���, ,) = � ,# − ,P; b = 4̂ ; G = �2, 1) 
b) ���, ,) = ,"S�; b = 23̂ ; G = �0, 4) c) :��, ,) = /5� − 4,; b = − 6̂ ; G = �4, 1) 
d) ℎ��, ,) = � sen��,) ; b = 3̂ ; G = �2, 0) 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 22222222 
Fonte: Itens a, b, d – Q04, Q05 e Q06 de 14.6 Exercícios da referência 1; Item c – Q05 de 14.6 Exercícios 
da referência 1 (5ª ed.). 
 
55) Ache a derivada direcional da função dada na direção e sentido do vetor unitário f~ , 
usando a definição prática. 
a) ���, ,) = 2� + 5, ; f~ = cos 14 ^ �̂ + sen 14 ^ �̂ b) :��, ,) = 3� − 4, ; f~ = cos 3̂ �̂ + sen 3̂ �̂ 
c) :��, ,) = 1� − , ; f~ = − 1213 �̂ + 513 �̂ 
d) ���, ,) = 1� + , ; f~ = �35 ; − 45� 
Fonte: Q01, Q02, Q05 e Q06 de Exercícios 17.1 da referência 2. 
 
56) Ache o gradiente da função dada. 
a) :��, ,) = �,� + , b) :��, ,) = ln /� + , c) ���, ,) = "3 tan 2� d) U��, ,, B) = �"S 3 sec B e) V��, ,, B) = " p�sen � − cos ,) 
Fonte: Q08, Q09, Q10, 13, Q14 de Exercícios 17.1 da referência 2. 
 
57) Em cada item abaixo, ache: 
(I) o gradiente da função dada; 
(II) o gradiente da função dada no ponto G; 
(III) a taxa de variação da função dada em G na direção e sentido do vetor f~ . 
a) ���, ,) = 5�, − 4�#,; f~ = 513 �̂ + 1213 �̂; G = �1, 2) 
b) :��, ,) = , ln � ; f~ = �− 45 ; 35� ; G = �1, −3) 
c) ℎ��, ,, B) = �" 3p; f~ = 23 �̂ − 23 �̂ + 13 t�; G = �3, 0, 2) 
d) U��, ,, B) = /� + ,B; f~ = �27 ; 37 ; 67� ; G = �1, 3, 1) 
Fonte: adaptada de Q07 a Q10 de Exercícios 14.6 da referência 1. 
 
58) Determine a derivada direcional da função no ponto G dado na direção e sentido do 
vetor >⃗. a) ���, ,) = 1 + 2� /,, G = �3, 4), >⃗ = 〈4, −3〉 b) ���, ,) = ln�� + , ) , G = �2, 1), >⃗ = 〈−1, 2〉 
c) ��a, b) = "S` sin b , G = 60, 3̂8 , >⃗ = 3�̂ − 2�̂ d) :�a, e) = tanS7�ae) , G = �1, 2), >⃗ = 5�̂ − 10�̂ e) ���, ,, B) = �"3 + ,"p + B"�, G = �0, 0, 0), >⃗ = 〈5, 1, −2〉 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 23232323 
f) ���, ,, B) = �, + B , G = �4, 1, 1), >⃗ = 〈1, 2, 3〉 g) :��, ,, B) = �� + 2, + 3B)#/ , G = �1, 1, 2), >⃗ = 2�̂ − t� 
Fonte: Itens a, b, d, e, g – Q11, Q12, Q14, Q15 e Q17 de Exercícios 14.6 da referência 1; Itens c, f – Q14 e 
Q16 de Exercícios 14.6 da referência 1 (5ª ed.). 
 
 
3.7 Maximização da derivada direcional 
 
59) Ache a taxa de variação máxima da função dada no ponto indicado e a direção em 
que isso ocorre. 
a) ���, ,) = , � ; �2, 4) b) ���, ,) = sen��,) ; �1, 0) c) :��, ,, B) = � ,#BP; �1, 1, 1) d) ℎ��, ,, B) = tg�� + 2, + 3B) ; �−5, 1, 1) 
Fonte: Itens a, b, d – Q21, Q23 e Q26 de Exercícios 14.6 da referência 1; Item c – Q24 de Exercícios 14.6 
da referência 1 (5ª ed.). 
 
60) Suponha que a temperatura em um ponto��, ,, B) do espaço seja dada por 
=��, ,, B) = 801 + � + 2, + 3B , 
onde = é medida em graus Celsius e �, ,, B em metros. 
a) Em que direção no ponto �1, 1, −2) a temperatura aumenta mais rapidamente? 
b) Qual é a taxa máxima de aumento? 
Fonte: Exemplo 7 do Cap. 14 da referência 1. 
 
61) A densidade ���, ,) kg/m2 em todos os pontos de uma placa retangular no plano �, 
é 
���, ,) = 1/� + , + 3. 
a) Ache a taxa de variação da densidade no ponto �3, 2), na direção e sentido do 
vetor unitário cos �# �̂ + sen �# �̂. 
b) Ache a direção e sentido e o valor da maior taxa de variação de � em �3, 2). 
Fonte: Q34 de Exercícios 17.1 da referência 2. 
 
62) A temperatura é =��, ,, B) graus em qualquer ponto de um sólido no espaço 
tridimensional, é 
=��, ,, B) = 60� + , + B + 3. 
A distância é medida em centímetros. 
a) Ache a taxa de variação da temperatura no ponto �3, −2, 2), na direção e sentido 
do vetor >⃗ = −2�̂ + 3�̂ − 6t�. 
b) Ache a direção e sentido e o valor máximo da taxa de variação de = em �3, −2, 2). 
Fonte: Q36 de Exercícios 17.1 da referência 2. 
 
63) O potencial elétrico é H��, ,) volts em qualquer ponto do plano �, e H��, ,) = "S � cos 2,. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III P á g i n a | 24242424 
A distância é medida em metros. 
a) Ache a taxa de variação do potencial no ponto �0, ^/4), na direção e sentido do 
vetor unitário cos �A �̂ + sen �A �̂. 
b) Ache a direção e sentido e o valor da maior taxa de variação de H em �0, ^/4). 
Fonte: Q37 de Exercícios 17.1 da referência 2. 
 
64) A equação da superfície de uma montanha é B = 1200 − 3� − 2, , 
onde a distância é medida em metros, o eixo � aponta para o leste e o eixo , para o 
norte. Uma alpinista está no ponto correspondente a �−10, 5, 850). 
a) Qual a direção onde a subida é mais íngreme? 
b) Se a alpinista se move na direção leste, ela está subindo ou descendo, e qual a 
sua taxa? 
c) Se a alpinista se move na direção sudoeste, ela está subindo ou descendo, e qual 
a sua taxa? 
Fonte: Q38 de Exercícios 17.1 da referência 2.