Capacitores e Indutores em Circuitos Elétricos

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ELETRICIDADE 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Felipe Neves Souza 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Conforme apresentado na primeira aula, em circuitos elétricos existem 
os elementos ativos e passivos. Os primeiros fornecem energia elétrica, como 
as fontes de corrente e tensão (independente ou dependente). Já os elementos 
passivos são os que absorvem energia elétrica, como os resistores, 
capacitores e indutores. 
Até o momento foram apresentados os métodos de análise e teoremas 
aplicados aos circuitos puramente resistivos. Porém, a maioria dos 
equipamentos elétricos que utilizamos no nosso dia a dia contém capacitores e 
indutores. 
Nesta aula, serão apresentados o princípio de funcionamento dos 
capacitores e indutores e a aplicação destes componentes em circuitos de 
primeira ordem, denominados RC e RL. Por fim, serão abordados os circuitos 
de segunda ordem, compostos por resistores, indutores e capacitores (RLC). 
TEMA 1 – CAPACITORES 
Enquanto os resistores dissipam energia elétrica, o capacitor é um 
elemento passivo que armazena energia em seu campo elétrico. Os 
capacitores são elementos muito utilizados em equipamentos eletrônicos, 
computadores etc. 
1.1 Funcionamento dos capacitores 
O capacitor é constituído fisicamente por duas placas condutoras, 
utilizando materiais como alumínio, cobre, ouro, prata etc. Estas placas são 
separadas por um material dielétrico, também chamados de isolante elétrico, 
como o ar, cerâmica, papel, vidro, mica e principalmente plásticos, como 
poliéster, teflon, propileno, policarbonato e poliestireno. 
 
 
 
3 
Figura 1 – Capacitor 
 
A propriedade elétrica do capacitor é denominada capacitância, sendo 
medida em Farads (F). A capacitância é a razão entre a carga armazenada e a 
tensão entre seus terminais e depende diretamente da sua geometria. 
A capacitância é diretamente proporcional à área do capacitor e 
inversamente proporcional à distância entre suas placas, sendo calculada da 
seguinte forma: 
𝐶 = 𝜖.
𝐴
𝑑
 
 
Em que 𝜖 é a permissividade do material, 𝐴 é a área da placa condutora 
e 𝑑 é a espessura do dielétrico ou a distância entre as placas condutoras. 
Desta equação, pode-se afirmar que, quanto maior a área das placas e a 
permissividade do material, maior será a capacitância. Além disso, quanto 
maior a distância entre as placas, menor será a capacitância. 
Quando uma diferença de potencial é aplicada entre os terminais de um 
capacitor, uma carga positiva (q) é depositada em uma das placas, enquanto 
uma carga negativa (–q) é depositada na placa oposta. A quantidade de cargas 
positivas será sempre igual à quantidade de cargas negativas. Desta forma, 
podemos afirmar que a carga do capacitor é diretamente proporcional à tensão 
aplicada, podendo ser descrita pela seguinte equação: 
𝑞 = 𝐶 . 𝑉 
Sendo q a carga em Coulombs (C), C a capacitância em Farads (F) e V 
a tensão em Volts (V). 
Comercialmente, encontramos diversos tipos de capacitores, os quais 
podem ter formas geométricas variadas, construídos com diferentes tipos de 
materiais. Como exemplo podemos citar o capacitor de poliéster, eletrolítico, 
 
 
4 
cerâmico, cerâmico eletrolítico, de tântalo, de mica, variável, SMD, entre 
outros. 
Alguns destes capacitores citados apresentam polaridade fixa, ou seja, 
têm um polo positivo e outro negativo, enquanto outros modelos não 
apresentam polaridade fixa. A figura a seguir apresenta a simbologia utilizada 
para capacitores em circuitos. O primeiro símbolo representa um capacitor não 
polarizado. Os demais representam capacitores polarizados, em que o sinal 
positivo (+) indica o ponto de maior potencial. 
Figura 2 – Símbolos para capacitores 
 
Saiba mais 
Para entender melhor o funcionamento de um capacitor, assista aos dois 
vídeos a seguir: 
 <https://www.youtube.com/watch?v=GpEwamRX-6M>; 
 <https://www.youtube.com/watch?v=r5UrM79CmDI>. 
Para complementar os estudos, recomendamos a leitura do seguinte 
material: 
 <http://www.eletronicadidatica.com.br/componentes/capacitor/capacitor.h
tm>. 
1.2 Equacionamento dos capacitores 
Para obtermos a relação entre tensão e corrente de um capacitor, 
devemos recorrer à equação: 𝑞 = 𝐶 . 𝑉. Derivando ambos os termos, teremos: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
=
𝑑(𝐶 . 𝑣)
𝑑𝑡
 
Conforme apresentado nas primeiras aulas, temos que a corrente 
elétrica é a variação da carga em relação tempo, ou seja: 
𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 
 
 
5 
Substituindo 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 por i na primeira equação e retirando a constante C da 
derivada, teremos que a relação corrente-tensão para um capacitor será dada 
por: 
𝑖 = 𝐶 . 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Para obtermos a relação tensão-corrente, vamos reescrever esta 
equação da seguinte forma: 
𝑑𝑣 =
1
𝐶
 . 𝑖 . 𝑑𝑡 
Integrando ambos os lados da igualdade: 
𝑣 =
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡
𝑡
−∞
 
Portanto: 
𝑣 =
1
𝐶
∫ 𝑖 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑣(𝑡0) 
Em que: 𝑣(t0) é a tensão do capacitor no instante de tempo 𝑡 = 0 
segundo. 
A potência armazenada no capacitor pode ser obtida por meio da 
equação já apresentada, ficando: 
p = v . i = v . 𝐶 . 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
A energia armazenada no capacitor será dada pela integral da potência 
no tempo: 
𝜔 = ∫ 𝑝 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 = ∫ 𝑣 . 𝐶 . 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
 = 𝐶 ∫ 𝑣 . 𝑑𝑣
𝑡
𝑡0
 = 
1
2
𝐶 . 𝑣² |
𝑡
𝑡0
 
 
Considerando que o capacitor estava descarregado no instante de 
tempo t = t0, teremos: 
𝜔 =
1
2
 . 𝐶. 𝑣² 
 
Vamos entender melhor como aplicar estas equações. Sabendo que um 
capacitor com capacitância de 10 pF é conectado a uma fonte de tensão 
contínua de 50 V, deseja-se saber qual será o valor da carga e da energia 
armazenadas. 
 
 
6 
Sabendo que 𝐶 = 10 nF e 𝑣 = 50 V, a carga armazenada será calculada 
da seguinte forma: 
𝑞 = 𝐶. 𝑣 = 10. 10−9. 50 
𝑞 = 500 𝑛𝐶 
A energia armazenada será: 
𝜔 =
1
2
𝐶 𝑣² =
10. 10−9. (50)2
2
 
𝜔 = 12,5 𝜇𝐽 
Neste segundo exemplo, vamos considerando um capacitor de 10 µF 
conectado a uma fonte de tensão alternada 𝑣(𝑡) = 50 . 𝑆𝑒𝑛(2000.𝑡) V. Para 
determinarmos a função da corrente que circulará no capacitor, basta aplicar as 
equações: 
𝑖 = 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 10. 10−6.
𝑑(50. 𝑆𝑒𝑛(2000. 𝑡))
𝑑𝑡
 
𝑖 = 10. 10−6. 50.2000. 𝐶𝑜𝑠(2000. 𝑡) 
𝑖 = 1. 𝐶𝑜𝑠(2000𝑡) 𝐴 
1.3 Associação de capacitores 
Assim como os resistores, os capacitores podem ser associados em 
série ou em paralelo, de forma que podemos substituir um conjunto de 
capacitores por um único equivalente. 
O cálculo da associação de capacitores em série é similar ao cálculo de 
resistores em paralelo, em que a capacitância equivalente é igual à soma dos 
inversos de cada uma das capacitâncias em série. 
Figura 3 – Associação de capacitores em série 
 
= 
 
1
𝐶𝑒𝑞
=
1
𝐶1
+
1
𝐶2
+ ⋯ +
1
𝐶𝑛
 
 
 
 
7 
Entretanto, o cálculo da capacitância equivalente para capacitores em 
paralelo será similar ao cálculo da resistência equivalente para resistores em 
série, bastando somar os valores de todas as capacitâncias. 
Figura 4 – Associação de capacitores em paralelo 
 
= 
 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑛 
TEMA 2 – INDUTORES 
Os indutores também são elementos passivos que armazenam energia 
elétrica em seu campo magnético. Estes componentes são amplamente 
utilizados em circuitos elétricos, eletrônicos, sistemas de potência, fontes, 
transformadores, motores etc. 
Qualquer material condutor de corrente elétrica tem propriedades 
indutivas. Para aumentar este efeito indutivo, este material é enrolado em 
formato de bobina cilíndrica, formando diversas espiras. 
Um indutor está ilustrado na figura a seguir, em que temos uma bobina 
de um fio condutor com N voltas. Este fio está enrolado em material com 
núcleo magnético de comprimento l e seção transversal A. 
Figura 5 – Associação de capacitores em série 
 
 
 
 
8 
2.1 Equacionamento dos indutores 
A propriedade de oposiçãoà variação de corrente elétrica em um indutor 
é chamada de indutância, sendo medida em Henrys (H). A indutância de um 
indutor vai depender das suas dimensões e dos materiais utilizados, sendo 
dada pela seguinte equação: 
𝐿 =
𝑁2. 𝜇. 𝐴
𝑙
 
 
Em que N é o número de espiras (voltas), 𝑙 é o comprimento do núcleo, 
𝜇 é a permeabilidade magnética do meio e A é a área da seção transversal do 
núcleo. 
A relação entre tensão-corrente em um indutor será dada pela equação 
a seguir. Esta equação descreve que, se uma corrente elétrica flui por meio de 
um indutor, a tensão que surge em seus terminais será diretamente 
proporcional à variação desta corrente. 
𝑣 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
 
A relação corrente-tensão pode ser obtida seguinte forma: 
𝑑𝑖 =
1
𝐿
. 𝑣. 𝑑𝑡 
 
Integrando ambos os lados da igualdade: 
𝑖 =
1
𝐿
∫ 𝑣(𝑡). 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑖(𝑡0) 
 
Sendo 𝑖(𝑡𝑜) a corrente total para o instante de tempo em que 𝑡 < 𝑡0. 
A potência no indutor poderá ser calculada por meio da relação p = v . i. 
Conforme já mencionado, o indutor é projetado para armazenar energia 
em seu campo magnético. Esta energia pode ser calculada por meio da integral 
da potência do indutor no tempo. Desta forma, temos que: 
 
𝜔 = ∫ 𝑝. 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= ∫ 𝐿. (
𝑑𝑖
𝑑𝑡
) . 𝑖𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
= 𝐿 ∫ 𝑖.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
. 𝑑𝑖
𝑡
𝑡0
= 𝐿 ∫ 𝑖. 𝑑𝑖
𝑡
𝑡0
 
𝜔 =
1
2
. 𝐿. 𝑖2.
𝑑𝑣
𝑉𝑆 − 𝑣
 
 
 
9 
 
Considerando que o indutor estava inicialmente carregado, esta equação 
pode ser simplificada: 
𝜔 =
1
2
. 𝐶. 𝑣² 
Considerando que uma corrente 𝑖 = 10 𝑡𝑒−5𝑡 flui por meio de indutor de 
0,1 H, podemos determinar a energia armazenada utilizando a equação 
anterior. 
Primeiramente precisamos determinar a tensão no indutor: 
𝑣 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
A derivada da corrente será: 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 10 . 𝑒−5𝑡 + 𝑡(−5). 𝑒−5𝑡 = 10. 𝑒−5𝑡 − 5. 𝑡. 𝑒−5𝑡 
 
Substituindo: 
𝑣 = 10
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 → 𝑣 = 𝑒−5𝑡 − 0,5. 𝑡𝑒−5𝑡𝑉 
 
Por fim, a energia armazenada será: 
𝜔 =
1
2
. 𝐿. 𝑖2 =
1
2
. (0,1). (10 𝑡𝑒−5𝑡)² 
𝜔 = 5. 𝑡2. 𝑒−10𝑡𝐽 
2.2 Associação de indutores 
Assim como os resistores e capacitores, podemos substituir um circuito 
composto por indutores associados em série ou paralelo por um único indutor 
equivalente. 
O cálculo da indutância equivalente para um circuito com indutores em 
série é similar ao cálculo da equivalência de resistores em série ou capacitores 
em paralelo, bastando somar todos os elementos: 
 
 
 
10 
Figura 6 – Associação de indutores em série 
 
= 
 
𝐿𝑒𝑞 = 𝐿1 + 𝐿2 + ⋯ + 𝐿𝑛 
 
A obtenção do valor da indutância equivalente de um circuito com 
indutores em paralelo é similar ao cálculo da equivalência de resistores em 
paralelo ou capacitores em série. Neste caso, o inverso da indutância 
equivalente será igual à somatória dos inversos de cada um dos elementos em 
paralelo. 
Figura 7 – Associação de indutores em paralelo 
 
= 
 
1
𝐿𝑒𝑞
=
1
𝐿1
+
1
𝐿2
+ ⋯ +
1
𝐿𝑛
 
TEMA 3 – CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RC) 
Tendo conhecimento do princípio de funcionamento e da relação 
corrente-tensão dos três elementos passivos (resistores, capacitores e 
indutores), podemos dar início à análise de circuitos que envolvam uma 
combinação destes elementos. O primeiro circuito a ser apresentado será o 
composto por um resistor e um capacitor, chamado de circuito RC. Este 
circuito, apesar de simples, apresenta diversas aplicações em soluções 
eletrônicas. 
 
 
11 
Em circuitos puramente resistivos, quando aplicadas as leis de Kirchhoff, 
eram obtidas equações algébricas. Agora, ao aplicar as leis de Kirchhoff em 
circuitos RC, obteremos equações diferenciais de primeira ordem. Por isso, 
este circuito é dito como um circuito de primeira ordem. 
Como os capacitores armazenam energia em seu campo elétrico, 
quando eles são utilizados em circuitos, temos dois casos a observar. O 
primeiro é quando o capacitor está inicialmente carregado e a alimentação do 
circuito será proveniente desta carga armazenada. Este caso é chamado de 
resposta natural. O segundo caso ocorre quando o capacitor está inicialmente 
descarregado e a energia do circuito é proveniente de uma fonte externa, 
realizando a carga deste capacitor. Este caso é chamado de resposta forçada. 
3.1 Circuito RC sem fonte (resposta natural) 
Para entendermos melhor este conceito, considere um circuito em que 
um capacitor ficou conectado por um longo período de tempo e a fonte de 
tensão ou corrente foi removida de forma repentina. Neste instante, a energia 
que estava armazenada no capacitor será fornecida para o resistor. Este 
circuito está ilustrado na figura abaixo: 
Figura 8 – Circuito RC sem fonte 
 
 
A tensão inicial do capacitor será: 
𝑣(0) = 𝑉0 
A energia armazenada inicialmente no capacitor é obtida por: 
𝜔0 =
1
2
. 𝐶. (𝑉0)² 
Se aplicarmos a LCK ao nó do circuito, teremos: 
𝑖𝐶 + 𝑖𝑅 = 0 
 
 
12 
A corrente do capacitor é dada por: 
𝑖𝐶 = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Substituindo na equação, teremos: 
𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝑅
= 0 
Esta equação pode ser reescrita da seguinte forma: 
1
𝑣
 . 𝑑𝑣 = −
1
𝑅𝐶
𝑑𝑡 
A resolução passo a passo pode ser observada no livro-texto da 
disciplina, em que se obteve a seguinte equação de tensão: 
𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
Por meio desta equação, podemos observar que a tensão do circuito 
terá um comportamento no qual diminuirá exponencialmente ao longo do 
tempo. Como esta resposta se deve à energia armazenada no capacitor e ao 
circuito em que ele se encontra conectado, ela é denominada resposta natural 
de um circuito RC. 
A figura a seguir ilustra a resposta natural de um circuito RC, no qual 
podemos observar que, para o instante de tempo t < 0 segundo, a condição 
inicial é obedecida. Após este instante, a tensão decaíra. A velocidade com que 
a tensão diminui está expressa em termos da constante de tempo do circuito 
(𝜏). 
Figura 9 – Resposta natural de um circuito RC 
 
 
A constante de tempo, expressa pela letra grega tau (𝜏), representa o 
tempo necessário para que a resposta desse circuito decaia 36,8% do seu 
valor inicial e/ou por um fator de 1/e. 
 
𝒗(𝒕) = 𝑽𝟎𝒆
−𝒕 𝑹𝑪⁄ 
 
 
13 
Para calcularmos o valor da constante de tempo, devemos saber em 
qual instante de tempo a tensão terá diminuído até 36,8% do seu valor inicial, o 
que acontece no tempo 𝑡 = 𝜏: 
𝑣(𝑡=𝜏) = 0,368. 𝑉0 =
1
𝑒
 . 𝑉0 = 𝑒
−1. 𝑉0 
Se substituirmos na equação anterior: 
𝑒−1. 𝑉0 = 𝑉0. 𝑒
−𝜏 𝑅𝐶⁄ 
Portanto, para o circuito RC tempo: 
𝜏 = 𝑅. 𝐶 
Podemos reescrever a equação da tensão para o circuito RC sem: 
𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
 
Analisando a razão entre a tensão do capacitor em diferentes instantes 
de tempo e a tensão inicial, obteremos a seguinte tabela: 
Tabela 1 – Valores de 𝑣(𝑡) = 𝑉0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
𝒕 
𝒗(𝒕)
𝑽𝟎
 
𝜏 0,36788 
2𝜏 0,13534 
3𝜏 0,04979 
4𝜏 0,01832 
5𝜏 0,00674 
Por meio desta tabela, é possível observar que, para o instante de 
tempo 5𝜏 (cinco constantes de tempo), a tensão será menor do que 1% do 
valor da tensão inicial. Desta forma, podemos dizer que o capacitor está 
completamente descarregado após o período de tempo maior ou igual a cinco 
constantes de tempo (5𝜏). 
Na figura a seguir estão ilustradas as tensões de circuitos RC com 
constantes de tempo diferentes. 
 
 
 
14 
Figura 10 – Comportamento da tensão para diferentes constantes de tempo 
 
3.2 Circuito RC com fonte (resposta forçada) 
No circuito RC da figura a seguir, temos representada uma chave aberta 
que será fechada no instante de tempo t = 0 segundo. Para qualquer instante 
de tempo t < 0, podemos considerar que o circuito se encontra aberto e, 
portanto, não há passagem de corrente elétrica. A partir do instante em que a 
chave for fechada, todos os elementos serão conectados em série. 
Figura 10: Circuito RC com fonte 
 
Quando a chave for fechada, a fonte de tensão contínuaserá 
subitamente ligada ao circuito. Esta condição pode ser modelada por uma 
função degrau. Na figura a seguir, encontra-se ilustrada uma função degrau 
para uma fonte de tensão ou corrente, as quais partem de zero ao valor 
máximo em 𝑡 = 0. 
 
 
 
15 
Figura 11 – Função degrau 
 
Para calcularmos a resposta forçada do circuito correspondente ao 
degrau aplicado, vamos aplicar a LTK na malha: 
𝑉𝑆 = 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝑣 
 
A tensão do capacitor será dada por: 
𝑣 =
1
𝐶
∫ 𝑖 . 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑣(𝑡0) 
Desta forma: 
𝑉𝑆 = 𝑅. 𝑖(𝑡) +
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡 + 𝑣(𝑡0)
𝑡
𝑡0
 
A resolução completa desta equação pode ser verificada nos livros da 
bibliografia básica, em que se chegou a: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
Portanto, para qualquer instante de tempo menor do que zero (chave 
aberta), a tensão do capacitor será igual à sua carga inicial V0. 
𝑣(𝑡) = 𝑉0 
Para qualquer instante de tempo maior do que zero (chave fechada), a 
tensão do capacitor será dada por 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ , 
Esta é conhecida como resposta completa de um circuito RC a uma 
função degrau. A figura a seguir apresenta esta resposta para um circuito com 
um capacitor inicialmente carregado. 
 
 
 
16 
Figura 12 – Resposta completa do circuito RC com um capacitor inicialmente 
carregado 
 
Considerando que o capacitor deste circuito está inicialmente 
descarregado, ou seja, 𝑉0 = 0, logo temos que, para qualquer instante de 
tempo menor do que zero: 
𝑣(𝑡) = 0 
E para qualquer instante de tempo t > 0: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆. (1 − 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ ), 
A corrente que flui por meio do capacitor é obtida pela equação 𝑖 =
𝑑𝑣/𝑑𝑡: 
𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝐶
𝑅𝐶
. 𝑉𝑆 . 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
Então: 
𝑖(𝑡) =
𝑉𝑆
𝑅
 . 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
A figura a seguir apresenta a tensão do capacitor (VC) e a tensão do 
resistor (VR) ao longo do tempo. 
Figura 13 – Resposta para um circuito com um capacitor inicialmente 
descarregado 
 
 
 
17 
Com base neste gráfico, podemos observar que, conforme o capacitor 
está carregando, a tensão sobre o resistor diminui exponencialmente, até que 
após cinco constantes de tempo o capacitor atinge a tensão máxima, e a 
tensão no resistor é nula. 
Para a carga do capacitor, a constante de tempo representa o período 
de tempo em que ele vai atingir 63,2% da tensão máxima. 
3.3 Equação geral 
Examinando a equação obtida para a resposta ao degrau em um circuito 
RC com o capacitor inicialmente carregado, observamos que esta tem dois 
componentes, podendo reescrevê-la da seguinte forma: 
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑆 + (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝑅𝐶⁄ 
𝑣 = 𝑣𝑓 + 𝑣𝑛 
Em que: 
𝑣𝑓 = 𝑉𝑆 
𝑣𝑛 = (𝑉0 − 𝑉𝑆). 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑣𝑓 é a resposta forçada do circuito, pois ela ocorre em virtude de 
uma força externa ao circuito, proveniente de uma fonte de tensão ou corrente. 
Ela representa a condição forçada que o circuito deve assumir devido a uma 
excitação da entrada. A resposta forçada também é conhecida como regime 
permanente, pois o circuito tende a permanecer no mesmo estado após ter 
sido excitado. 
Por outro lado, 𝑣𝑛 é a resposta natural do circuito, conforme visto 
anteriormente. Parte desta resposta decairá para quase zero após as cinco 
constantes de tempo. Esta resposta também é chamada de transitória, por ser 
uma resposta que vai acabar com o tempo. 
Podemos concluir que a resposta completa do circuito é a somatória da 
resposta natural e da resposta forçada, sendo reescrita conforme indicado 
abaixo: 
𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + [𝑣(0) − 𝑣(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑣(0) é a tensão inicial do capacitor e 𝑣(∞) é a tensão do 
capacitor após cinco constantes de tempo. 
Com essa equação geral, em vez de precisarmos calcular todas as 
derivadas conforme demonstrado, podemos determinar a resposta ao degrau 
de um circuito RC de forma sistemática. 
 
 
18 
O mesmo se aplica para a equação de corrente do circuito RC, em que: 
𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + [𝑖(0) − 𝑖(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑖(0) é a corrente inicial do capacitor e 𝑖(∞) é a corrente do 
capacitor após cinco constantes de tempo. 
TEMA 4 – CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM (RL) 
Neste tema vamos abordar o funcionamento de um circuito composto 
por um resistor e um indutor. 
O método de análise de circuitos RL é similar ao dos circuitos RC, 
apresentado anteriormente. Veremos que o circuito RL também é caracterizado 
por uma equação diferencial de primeira ordem. 
Assim com o capacitor, o indutor também é capaz de armazenar energia 
elétrica e, quando utilizado em circuitos, a energia do circuito poderá ser 
fornecida por uma fonte externa ou pela energia armazenada no campo 
magnético deste indutor. 
4.1 Circuito RL sem fonte (resposta natural) 
Para entender a resposta natural de um circuito RL, vamos considerar a 
situação de um circuito RL em que a fonte é removida repentinamente. A 
energia que havia sido armazenada no indutor será fornecida para o resistor, 
conforme indicado na figura. O indutor e o resistor ilustrados podem ser uma 
associação de diversos resistores. 
Figura 14 – Circuito RL sem fonte 
 
A corrente inicial no indutor será: 𝑖(0) = 𝐼0 
Enquanto a energia armazenada neste indutor será dada por: 
 
 
19 
𝜔0 =
1
2
. 𝐿. (𝐼0)² 
Aplicando a LCK na malha, teremos: 
𝑣𝑅 + 𝑣𝐿 = 0 
Conforme visto anteriormente, a tensão em um indutor é obtida pela 
equação: 
𝑣𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 
Substituindo na equação anterior: 
𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅. 𝑖 = 0 
A resolução completa desta equação pode ser verificada no livro 
indicado na bibliografia básica, em que se chegou a: 
𝑖(𝑡) = 𝐼0. 𝑒
−𝑡𝑅 𝐿⁄ 
Por meio desta equação, podemos observar que o comportamento da 
corrente do circuito RC sem fonte apresenta um decaimento exponencial. 
Como o comportamento desta resposta deve-se a uma excitação externa (fonte 
de tensão ou de corrente), ela é denominada resposta natural de um circuito 
RL, sendo ilustrada na figura abaixo. 
Figura 15 – Resposta natural de um circuito RC 
 
 
Observa-se que a condição inicial é obedecida para o instante de tempo 
t < 0 e que, em seguida, ocorre a diminuição da corrente de acordo com a 
constante de tempo do circuito. 
A obtenção da constante de tempo para o circuito RL é similar ao do 
circuito RC, em que temos que a constante de tempo será dada por: 
𝜏 =
𝐿
𝑅
 
 
𝒊(𝒕) = 𝑰𝟎. 𝒆
−𝒕𝑹 𝑳⁄ 
 
 
20 
A equação da corrente pode ser reescrita: 
𝑖(𝑡) = 𝐼0. 𝑒
−𝑡 𝜏⁄ 
As correntes de um circuito RL para diferentes valores de constantes de 
tempo estão apresentadas na figura a seguir, em que novamente vemos que, 
quanto maior a constante de tempo, maior será o tempo de decaimento. 
Figura 16 – Correntes de um circuito RL para diferentes constantes de tempo 
 
4.2 Circuito RL com fonte (resposta forçada) 
O circuito abaixo apresenta um circuito em série composto por uma fonte 
de tensão, um resistor e um indutor. Neste circuito, está indicada a presença de 
uma chave. Quando ela for acionada, o circuito será abruptamente ligado. A 
resposta do circuito a essa conexão abrupta é chamada de resposta ao degrau. 
A tensão da fonte é indicada por VS, enquanto a tensão inicial no indutor 
é 𝑣(0) = 𝑉0. 
O circuito da figura a seguir representa esta conexão súbita de uma 
fonte de tensão por meio de uma chave que pode abrir ou fechar o circuito. A 
tensão da fonte é constante e tem um valor de 𝑉𝑆. A tensão 𝑣 nos terminais do 
capacitor é o que desejamos estudar, e a tensão inicial do capacitor é 𝑣(0) =
𝑉0. 
 
 
 
21 
Figura 17 – Circuito RL com fonte 
 
Assim como para capacitores, em vez de trabalharmos com equações 
diferenciais, podemos utilizar a equação geral para determinar a corrente deste 
indutor. Esta corrente será composta pela somatória da resposta forçada e 
resposta natural. 
𝑖 = 𝑖𝑛 + 𝑖𝑓 
Resultando em: 
𝒊 =
𝑽𝑺
𝑹
+ (𝑰𝟎 −
𝑽𝑺
𝑹
) 𝒆−𝒕 𝝉⁄ 
 
A figura abaixo apresenta a correntepara este circuito RL, considerando 
o indutor inicialmente carregado (a), em que observamos que a energia 
armazenada foi sendo liberada até que a corrente estabilizou após cinco 
constantes de tempo. Para o indutor inicialmente descarregado (b), o indutor 
acumulou energia até que atingiu a corrente máxima após cinco constantes de 
tempo. 
Figura 18 – Corrente para um circuito RL com o indutor inicialmente carregado 
(a) e corrente para um circuito RL com o indutor inicialmente descarregado (b) 
 
 
(a) (b) 
 
 
22 
Para a carga do indutor, a constante de tempo representa o período de 
tempo em que ele vai atingir 63,2% da tensão máxima. 
4.3 Equação geral 
Assim como para o circuito RC, em vez de precisarmos calcular todas as 
derivadas conforme demonstrado, podemos determinar a resposta ao degrau 
de um circuito RC de forma sistemática utilizando as equações gerais, sendo: 
𝑣(𝑡) = 𝑣(∞) + [𝑣(0) − 𝑣(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
𝑖(𝑡) = 𝑖(∞) + [𝑖(0) − 𝑖(∞)]. 𝑒−𝑡 𝜏⁄ 
Em que 𝑖(0) é a corrente inicial do indutor, 𝑣(∞) é a corrente do indutor 
após cinco constantes de tempo, 𝑣(0) é a tensão inicial do indutor e 𝑣(∞) é a 
tensão do indutor após cinco constantes de tempo. 
TEMA 5 – CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM (RLC) 
Agora que entendemos o funcionamento dos circuitos com dois 
elementos passivos, RC e RL, vamos estudar os circuitos com três elementos 
passivos, sendo eles: resistores, indutores e capacitores, também chamados 
de circuito RLC. Estes elementos podem ser conectados em série ou em 
paralelo. Os dois casos serão apresentados a seguir. 
A equação que rege o comportamento de um circuito RLC é uma 
equação diferencial de segunda ordem, por isso esses circuitos são chamados 
de circuitos de segunda ordem. 
5.1 RLC série sem fonte (Resposta natural) 
A figura a seguir ilustra um circuito RLC série, o qual é excitado pela 
energia inicialmente armazenada no capacitor (V0) e no indutor (I0). 
Figura 19 – Circuito RLC série sem fonte 
 
 
 
23 
No instante inicial de tempo t = 0 segundo, a tensão do capacitor e a 
corrente do indutor serão respectivamente: 
𝑣(0) =
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝑉0 
𝑖(0) = 𝐼0 
Ao aplicar a LTK na malha, teremos: 
𝑅 . 𝑖 + 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡
𝑡
−∞
= 0 
Com o intuito de eliminar a integral da equação, vamos derivar esta 
equação, resultando em: 
𝑑2𝑖
𝑑𝑡2
+
𝑅
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
𝑖
𝐿. 𝐶
= 0 
 
Portanto, o comportamento do circuito RLC série sem fonte pode ser 
expresso por essa equação diferencial de segunda ordem, visto que há uma 
segunda derivada. Para resolver esta equação, é necessário ter as condições 
iniciais do circuito, como o valor da corrente inicial e sua derivada ou, então, o 
valor da sua tensão inicial e sua derivada. 
A solução desta equação diferencial encontra-se apresentada no livro de 
referência da disciplina, no qual foi obtida a equação auxiliar ou equação 
característica: 
𝑆² +
𝑅
𝐿
𝑆 +
1
𝐿. 𝐶
= 0 
Esta é uma equação quadrática e tem duas soluções, indicadas como 
S1 e S2. Para resolvê-la, basta aplicar a fórmula de Bháskara. As raízes serão 
dadas por: 
𝑆1 = −
𝑅
2. 𝐿
+ √(
𝑅
2. 𝑙
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
𝑆2 = −
𝑅
2. 𝐿
− √(
𝑅
2. 𝑙
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
Podemos apresentar estas equações de forma mais simples, sendo: 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼² − 𝜔0² 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼² − 𝜔0² 
 
 
 
24 
Em que: 
𝛼 =
𝑅
2. 𝐿
 
𝜔0 =
1
√𝐿. 𝐶
 
As raízes 𝑆1 e 𝑆2 são chamadas de frequências naturais, medidas em 
Nepers por segundo, pois elas estão associadas à resposta natural do circuito. 
A variável 𝜔0 é chamada de frequência de ressonância ou estritamente de 
frequência natural não amortecida, expressa em radianos por segundo (𝑟𝑎𝑑/𝑠). 
A variável 𝛼 é a frequência neperiana ou fator de amortecimento, expresso em 
Nepers por segundo. 
A equação característica pode ser reescrita em função de 𝛼 e 𝜔0. 
𝑆2 + 2. 𝛼. 𝑆 + 𝜔0² = 0 
Os valores das raízes obtidas satisfazem a equação diferencial dada. 
Assim obtemos: 
𝑖1 = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 
𝑖2 = 𝐴2. 𝑒
𝑆2𝑡 
Sendo as constantes 𝐴1 e 𝐴2 determinadas por meio condições iniciais 
do circuito. 
Como a equação diferencial é uma equação linear, qualquer combinação 
linear das suas soluções distintas 𝑖1 e 𝑖2 também será uma solução da equação 
diferencial. A solução completa requer a combinação linear entre 𝑖1 e 𝑖2, e a 
resposta natural de um circuito RLC série será: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2. 𝑒
𝑆2𝑡 
Por meio das raízes da equação característica, podemos obter três tipos 
de soluções: 
1. Se 𝛼 > 𝜔0, a resposta será superamortecido. 
Quando 𝛼 > 𝜔0, as raízes da equação serão reais e diferentes. Isso 
ocorre quando: 
𝐶 >
4. 𝐿
𝑅2
 
A corrente do circuito será dada por: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 + 𝐴2 . 𝑒
𝑆2𝑡 
A qual decai e se aproxima de zero com o aumento de 𝑡. 
2. Se α = ω0, a resposta será criticamente amortecido. 
Quando α = ω0, a solução terá raízes reais e iguais. Isso ocorre quando: 
 
 
25 
 
𝐶 =
4. 𝐿
𝑅2
 
Para este caso, a solução será: 
𝑖(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou então, 
𝑖(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2. 𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
 
3. Se 𝛼 < 𝜔0, teremos a resposta subamortecido. 
Para 𝛼 < 𝜔0, as raízes serão imaginárias. Isso ocorre quando: 
𝐶 <
4. 𝐿
𝑅2
 
As raízes serão dadas por: 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
Em que: 
𝑗 = √−1 
𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼² 
Sendo 𝜔𝑑, chamada de frequência amortecida. 
A resposta natural será: 
𝑖(𝑡) = (𝐴1. 𝑒
𝑗𝜔𝑑𝑡 + 𝐴2. 𝑒
−𝑗𝜔𝑑𝑡). 𝑒−𝛼𝑡 
Aplicando a identidade de Euler: 
𝑒±𝑗𝜃 = 𝐶𝑜𝑠(𝜃) ± 𝑗𝑆𝑒𝑛(𝜃) 
A resposta será: 
𝑖(𝑡) = [(K1 + 𝐾2). 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝑗(𝐾1 − 𝐾2). 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou de forma simplificada: 
𝑖(𝑡) = [𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Para todos os casos, as constantes 𝐴1 e 𝐴2 devem ser determinadas por 
meio de condições iniciais do circuito. 
Na figura a seguir, encontram-se ilustrados os três tipos de resposta 
(superamortecido, criticamente amortecido e subamorterido). 
 
 
 
26 
Figura 20 – Respostas superamortecido, criticamente amortecido e 
subamortecido 
 
5.2 Paralelo 
A figura a seguir ilustra um circuito RLC paralelo. Assim como o circuito 
anterior, a excitação dos elementos se dará pela energia inicialmente 
armazenada no capacitor (𝑉0) e no indutor (𝐼0). 
Figura 21 – Circuito RLC série sem fonte 
 
No instante de tempo inicial, em que t = 0 segundo, a corrente do indutor 
e a tensão no capacitor serão, respectivamente: 
𝑖(0) =
1
𝐿
∫ 𝑣. 𝑑𝑡
0
−∞
= 𝐼0 
𝑣(0) = 𝑉0 
 
Como os três elementos estão em paralelo, eles têm a mesma tensão 𝑣. 
Se aplicarmos a LCK ao nó superior, teremos: 
𝑣
𝑅
+
1
𝐿
∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑡
−∞
+ 𝐶.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0 
 
 
27 
Com o intuito de remover a integral desta equação, vamos derivá-la: 
𝑑2𝑣
𝑑𝑡2
+
1
𝑅. 𝐶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑣
𝐿. 𝐶
= 0 
Por meio desta equação diferencial de segunda ordem, vamos obter a 
seguinte equação característica: 
𝑆2 +
1
𝑅. 𝐶
. 𝑆 +
1
𝐿. 𝐶
= 0 
As raízes da equação característica serão: 
𝑆1 = −
1
2. 𝑅. 𝐶
+ √(
1
2. 𝑅. 𝐶
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
𝑆2 = −
1
2. 𝑅. 𝐶
− √(
1
2. 𝑅. 𝐶
)
2
−
1
𝐿. 𝐶
 
Podemos simplificar estas equações da seguinte forma: 
𝑆1 = −𝛼 + √𝛼
2 − 𝜔0
2 
𝑆2 = −𝛼 − √𝛼² − 𝜔0² 
Sendo: 
𝛼 =
1
2. 𝑅. 𝐶
 
𝜔0 =
1
√𝐿. 𝐶
 
Os nomes dos termos 𝛼 e 𝝎𝟎 são os mesmos que foram apresentados 
para o circuito RLC série, frequência neperiana ou fator de amortecimento e 
frequência de ressonância ou estritamente de frequência natural não 
amortecida, respectivamente. 
Novamente, existem três possíveis soluções, dependendo se 𝛼 > 𝜔0, 
𝛼 = 𝜔0 ou 
𝛼 < 𝜔0. 
1. Se 𝛼 > 𝜔0, teremos o caso superamortecido. 
Quando 𝛼 > 𝜔0, as raízes serão reais e diferentes. Isso ocorre quando: 
𝐿 > 4. 𝑅2. 𝐶 
A resposta será dada por: 
𝑣(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
𝑆1𝑡 +𝐴2. 𝑒
𝑆2𝑡 
A qual decai e se aproxima de zero com o aumento de 𝑡. 
 
2. Se α = ω0, teremos o caso criticamente amortecido. 
 
 
28 
Quando α = ω0, as raízes serão reais e iguais. Isso ocorre quando: 
𝐿 = 4. 𝑅2. 𝐶 
Para este caso, a solução será: 
𝑣(𝑡) = 𝐴1. 𝑒
−𝛼𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛼𝑡 
Ou então: 
𝑣(𝑡) = (𝐴1 + 𝐴2. 𝑡). 𝑒
−𝛼𝑡 
3. Se 𝛼 < 𝜔0, teremos o caso subamortecido. 
Para 𝛼 < 𝜔0, as raízes serão complexas. Isso ocorre quando: 
𝐿 < 4. 𝑅2. 𝐶 
As raízes serão dadas por: 
𝑆1 = −𝛼 + √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 + 𝑗𝜔𝑑 
𝑆2 = −𝛼 − √−(𝜔0
2 − 𝛼2) = −𝛼 − 𝑗𝜔𝑑 
Em que, 𝑗 = √−1e𝜔𝑑 = √𝜔0² − 𝛼², a qual é chamada de frequência 
amortecida. 
A resposta será: 
𝑣(𝑡) = [𝐴1. 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑑 . 𝑡) + 𝐴2. 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝑑 . 𝑡)]. 𝑒
−𝛼𝑡 
Para todos os casos, as constantes 𝐴1 e 𝐴2 devem ser determinadas por 
meio de condições iniciais do circuito. 
5.3 Circuito RLC série e paralelo com fonte (resposta forçada) 
Considere os circuitos RLC série (a) e paralelo (b) com uma fonte que foi 
conectada ao circuito abruptamente. Vimos que esta conexão abrupta é 
conhecida como resposta ao degrau. 
Figura 22 – Circuito RLC série (a) e paralelo (b) com fonte 
 
 
(a) (b) 
 
Assim como para os circuitos RC e RL, as respostas ao degrau para o 
circuito RLC série e paralelo serão respectivamente: 
 
 
29 
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑛(𝑡) + 𝑣𝑓(𝑡) 
𝑖(𝑡) = 𝑖𝑛(𝑡) + 𝑖𝑓(𝑡) 
Em que a resposta forçada do circuito RLC série é o regime permanente, 
ou valor final de 𝑣(𝑡). No circuito da figura anterior, o valor da tensão final do 
capacitor será o valor da fonte 𝑉𝑆, . Logo: 
𝑣𝑓(𝑡) = 𝑣(∞) = 𝑉𝑆 
Enquanto a resposta natural será obtida conforme apresentado 
anteriormente. 
Entretanto, para o circuito RLC paralelo, o valor final da corrente será a 
corrente total sobre o indutor IS. Logo: 
𝑖𝑓(𝑡) = 𝑖(∞) = 𝐼𝑆 
A resposta natural será obtida conforme apresentado anteriormente. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram apresentados dois novos componentes largamente 
utilizados no nosso dia a dia: os capacitores e os indutores. Além disso, vimos 
como realizar associações destes componentes. Também foram apresentados 
circuitos que utilizam mais de um componente (RC e RL) e os circuitos que 
utilizam três componentes (RLC) ligados em série e em paralelo. 
Estes assuntos são fundamentais para a continuidade do nosso curso, e 
o conhecimento adquirido será utilizado no decorrer da graduação. 
É muito importante que você não fique com dúvidas a respeito deste 
assunto. Continue estudando e aumentando seu conhecimento não só com 
esta aula, mas praticando exercícios do livro-texto. 
 
 
 
30 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M, N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013. 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 10. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2015.