Tema 6

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MÓDULO 1 
 Descrever o princípio de Saint-Venant e a deformação elástica de elementos estaticamente determinados 
 
INTRODUÇÃO As grandezas denominadas tensões médias normal (σ) ou cisalhante (τ), assim como as grandezas deformações médias normal (ε) e cisalhante (γ), relacionam-se matematicamente pela Lei de Hooke (σ = E.ε ou τ= G.γ), na qual E e G são constantes características de cada material. Neste módulo, será estudado o alongamento elástico de um corpo sob carregamento axial a partir das grandezas citadas e da Lei de Hooke. É importante ressaltar que o problema é estaticamente determinado e que o carregamento não precisa ser único. 
PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT 
Princípio em homenagem ao cientista francês Barré de Saint-Venant (ver figura 1) que pela primeira vez o observou na metade do século XIX. Para o entendimento desse 
preceito, um artifício didático utilizado por vários autores, dentre eles o Hibbeler, em sua 
obra Resistência dos Materiais, é supor uma barra de seção reta retangular engastada ao chão e, na extremidade livre, a aplicação de uma força F no centroide da seção reta. 
Em termos gerais, a deformação é bem localizada no ponto de aplicação e no 
engastamento, levando a deformações distintas ao longo de um plano paralelo ao chão. 
Por meio da Lei de Hooke, acontece o mesmo com as tensões. Contudo, à medida que o plano paralelo se afasta dos dois pontos de deformações, elas vão se tornando mais 
constantes, ou seja, a deformação no plano é praticamente contínua. Novamente, pelo fato de deformação e tensão serem diretamente proporcionais (Lei de Hooke), efeito similar 
ocorre com a tensão. Observe a figura 2. 
 Figura 2 – Aplicação de uma força axial em uma barra. Fonte: autor 
 
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 No plano 1_1’, próximo ao ponto de aplicação, as tensões distribuem-se de maneira 
irregular, enquanto no plano 2_2’, afastado do ponto de aplicação, a tensão é mais uniforme e confunde-se, matematicamente, com a tensão normal média, ou seja, σm= FA. 
Em resumo, o princípio de Sant-Venant afirma que, à medida que o plano vai se afastando 
do ponto de aplicação da força, vai ocorrendo uma atenuação na curva que descreve a 
tensão, até que essa função se torna constante. 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE ELEMENTOS ESTATICAMENTE DETERMINADOS 
Suponha uma barra engastada em uma das extremidades de comprimento L. Tomando-se 
um eixo, a partir da extremidade engastada, como x paralelo ao eixo longitudinal da barra, 
a deformação sofrida por esta dependerá da Lei de Hooke. 
 Etapa 01 
Inicialmente, será considerada a situação mais genérica possível, isto é, a área da seção 
reta, a força e o módulo de elasticidade variam ao longo de x, ou seja, são funções A = A(x), F = F(x) e E = E(x). 
 Etapa 02 
O estudo matemático se fará a partir de uma fatia infinitesimal da barra de comprimento 
dx. Nesse ponto, a força atuando na área A(X) será dada por F(X). Suponha que a elongação desse infinitésimo da barra tenha uma variação infinitesimal de comprimento 
d(δ). A partir da Lei de Hooke (σ = E.ε), da tensão média normal e da 
deformação média normal e, utilizando os valores para o infinitésimo da barra, obtemos: 
 
 Etapa 03 
Substituindo as expressões de σm e εm em (*), temos: 
 
Organizando a equação (**): 
 
Integrando a expressão anterior, encontra-se a equação 1: 
 
 
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Em muitas situações, a seção reta é constante, assim A(x) = A, a força aplicada em uma 
das extremidades livre é constante e o material homogêneo de tal forma que seu módulo 
de elasticidade ou de Young E é constante. Sendo assim, a equação 1 pode ser simplificada, originando a equação 2 para os casos em que as situações particulares foram 
descritas. 
 
EXEMPLO 1 
Considere uma barra de aço (ver figura 3) de comprimento de 4 m, seção reta 350 mm2 e módulo 
de elasticidade E = 200 GPa. A barra encontra-se engastada no teto quando uma 70 kN é aplicada 
axialmente. Desconsiderando o peso da barra, determine o aumento de seu comprimento. 
 
Figura 3 - Ilustração para Barra de Aço. Fonte: O autor 
Resolução 
 
 
É possível imaginar que uma barra seja a união de várias barras com seções retas 
constantes e distintas entre si, assim como o material de cada barra apresenta um módulo 
de elasticidade (E) próprio. Ademais, novas forças axiais podem ser aplicadas à barra. A 
equação 2 continua válida desde que aplicada para cada uma das partes em que os 
valores de F, A e E sejam constantes. Assim, é necessário fazer a divisão da barra para 
garantir tal condição e aplicar a equação 3. 
 
 
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Comentário A convenção adotada para tensões compressivas (negativas) e tensões trativas (positivas) deve ser utilizada, assim como para as variações no comprimento da barra. Negativo para contrações e positivo para alongamentos. 
Para que essa aplicação fique compreendida perfeitamente, um exemplo numérico será 
realizado. 
EXEMPLO 2 
Suponha a figura 4, a seguir, na qual duas barras de aço (1_2 e 2_3) têm áreas da seção reta iguais a 1.200 mm2 e 1.800 mm2. O módulo de elasticidade E para esse aço é de 200 
GPa e os comprimentos das barras são 1 m e 1,5 m. As forças aplicadas são mostradas 
no desenho. 
Determine o deslocamento do ponto superior 1, em relação ao chão. 
 
 
Resolução 
Inicialmente, para o equilíbrio, age uma força vertical para cima de 360 kN na base da 
coluna (600 – 240). Efetuando-se cortes na barra 1_2 e na barra 2_3 e desenhando seus 
DCLs, temos: 
 
Aplicando a equação 3 e a convenção de sinais ( - 600 kN e - 360 kN), obtemos: 
 
 
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Substituindo os valores: 
 
Perceba que o sinal negativo da variação no comprimento revela que houve uma compressão 
e, então, 1 se aproxima do chão em 4 mm. 
MÃO NA MASSA 
1. (FCC - 2018 - DPE-AM - Analista em Gestão Especializado de Defensoria - Engenharia 
Civil) Uma barra de treliça em aço de perfil duplo T, com 1 m de comprimento e 5 cm2 de área de 
seção transversal está submetida à força de tração de 20 kN. Considerando que o módulo de 
elasticidade do aço é de 200 GPa, o alongamento da barra é, em milímetros, de: 
A) 0,50 B) 0,36 C) 0,40 D) 0,48 E) 0,20 2. (FCC - 2012 - TCE-AM - Analista de Controle Externo - Auditoria de Obras 
Públicas) Após a aplicação de uma carga axial de tração de 60 kN em uma barra de aço, com 
módulo de elasticidade longitudinal de 200 GPa, comprimento de 1,0 m e área da seção transversal 
de 10 cm2, o alongamento produzido na barra, em mm, é: 
 
A) 0,003 B) 0,003 C) 0,300 D) 3,000 E) 30,00 
 
 3. (AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil) Considere uma 
barra prismática com comprimento de 500 mm, seção transversal quadrada com lado de 10 mm, feita 
de material cujo módulo de elasticidade longitudinal é de 200 GPa, que está engastada em uma das 
extremidades. Determine a variação de comprimento que esta barra poder sofrer se ela for tracionada 
na extremidade livre por uma carga axial com intensidade de 20 kN. 
 A) 0,2 mm B) 0,005 mm C) 1,0 mm D) 5,0 mm E) 0,5 mm 
 
 
 
 
 
 
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4. Considere uma barra de comprimento 2 m que se encontra engastada no chão e 
posicionada verticalmente. O material que constitui a barra tem módulo de elasticidade E = 
180 GPa. A seção reta é um círculo de diâmetro 60 mm. Existem duas forças de módulos 70 kN 
e 30 kN atuantes na extremidade livre sobre o centroide. A respeito da deformação 
longitudinal dessa barra é correto afirmar que: 
 A) Alongamento de 0,16 mm B) Contração de 0,16 mm C) Alongamento de 0,28 mm D) Contração de 0,28 mm E) Contração de 0,12 mm 
 5. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Técnico de Suprimentos de Bens e Serviços Júnior - 
Mecânica-2012) Uma barra de 15 cm de comprimento apresenta uma deformação axial de 0,1 mm 
quando solicitada por uma força axial de 1.000 N. Considerando o material da barra como elástico e 
linear, ao ser solicitada por uma carga de 1.500 N, a deformação específica da barra (em μ) será de: 
 A) 100 B) 150 C) 750 D) 1.000 E) 1.500 6. Considere um sistema em que um cabo de aço de comprimento 90 cm e diâmetro 6mm 
ancora uma peça, também de aço, AOB em forma de L de uma estrutura, conforme a figura. A 
peça encontra-se em equilíbrio e vinculada num apoio de 2º gênero. 
 Considere que as medidas AO e OB valem, respectivamente, 4 m e 3 m. Dado que o módulo de 
elasticidade do aço (E) é de 200 GPa, determine o alongamento do cabo de aço. Utilize π = 3. 
A) 2,0 mm B) 2,5 mm C) 3,0 mm D) 3,5 mm E) 4,0 mm 
 
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TEORIA NA PRÁTICA 
Um engenheiro deverá apoiar uma viga horizontal de 6 m de comprimento com peso distribuído uniformemente de 20 kN/m, conforme a figura. Suponha que as barras sejam verticais e de mesmo comprimento L = 1,5 m. O material de cada barra tem módulo de elasticidade E = 80 GPa e seção reta quadrangular de 5 cm x 5 cm. Por questões de projeto, as barras devem ter uma diminuição de comprimento máxima de 1,0 mm. A pergunta que o engenheiro necessita responder é se nas condições descritas a condição do projeto é satisfeita. 
 VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 1. (IBFC - 2017 - EMBASA - Técnico em Eletromecânica - adaptada) Analise as afirmações a 
seguir: 
 
I. Isotropia: O material apresenta as mesmas características mecânicas elásticas em todas as 
direções. 
 
II. Saint-Venant: Sistemas de forças estaticamente equivalentes causam efeitos idênticos em 
pontos suficientemente afastados da região de aplicação das cargas. 
 
III. Lei de Hooke: A força aplicada é proporcional ao dobro da força axial aplicada ao bloco. 
 
Considerando as hipóteses básicas da Resistência dos Materiais, está correto o que se afirma 
em: 
 A) Apenas I e III B) Apenas I e II C) Apenas II e III D) Apenas a II E) I, II e III 
 
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2. Uma barra de seção reta quadrangular tem lado l = 10 mm e comprimento 1,5 m. O material 
é um aço cujo módulo de Young (E) vale 200 GPa. A barra encontra-se presa (“engastada”) em 
uma parede e na extremidade livre é aplicada uma força trativa que provoca uma deformação 
média normal de 0,002 mm/mm. Qual o valor da força aplicada, considerando que atua no 
centroide da seção reta? 
 A) 20 kN B) 30 kN C) 40 kN D) 50 kN E) 60 kN 
MÓDULO 2 
 Calcular a deformação elástica de elementos estaticamente indeterminados 
INTRODUÇÃO 
Na Engenharia, dois tipos de estruturas são muito comuns: a isostática e a hiperestática. Em linhas 
gerais, nas estruturas isostáticas, o número de incógnitas é igual ao número de equações do 
equilíbrio. Por exemplo, para carregamentos no plano, três são as equações do equilíbrio: duas 
para translação (∑Fx=0 e ∑Fy=0) e uma para rotação (∑Mz=0. Dessa forma, três incógnitas surgem 
nas estruturas isostáticas. Porém, nas estruturas hiperestáticas, o número de incógnitas é maior 
que as três equações do equilíbrio equilíbrio (ver figura 6). Assim, uma ou mais equações deverão 
ser adicionadas para solucionar o problema, como as leis de compatibilidade geométrica, equações 
constitutivas etc. 
Na figura 7, há exemplos de vigas isostática e hiperestática. Perceba que na primeira barra 
existem apoios de primeiro e segundo gênero, ou seja, três incógnitas. Utilizando-se as 
três equações do equilíbrio, o problema pode ser resolvido. É uma estrutura isostática. Na segunda barra da figura, são dois apoios de segundo gênero, isto é, quatro forças 
(incógnitas). Com apenas as três equações do equilíbrio não é possível resolver o problema. Trata-se, portanto, de uma viga biapoiada hiperestática. 
 
Neste módulo, a partir da deformação elástica estudada no módulo 1, mais uma equação 
poderá ser escrita e, assim, o problema resolvido. 
 
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ESTUDO DE ESTRUTURAS PLANAS HIPERESTÁTICAS 
Será feito um breve estudo, por meio de um exemplo, apresentando uma estrutura 
simples, a fim de que a metodologia de resolução para estruturas hiperestáticas seja compreendida. Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes 
de peso desprezível. Uma força F de 40 kN passa a atuar no ponto C, tal que AC = 1 m, determine as reações nas paredes. Observe a figura 8 a seguir. 
 
Desenhando o DCL da barra AB (ver figura 9), temos: 
 
 
Há a necessidade de mais uma equação para resolver o problema que possui uma 
equação e duas incógnitas (FA e FB). 
Equação da compatibilidade geométrica: a barra não sofre deformação total, ou seja, a 
seção A não se desloca em relação à seção B, isto é, δA/B=0. 
Agora, cada parte da barra será seccionada (à direita e à esquerda da força F). Observe as figuras abaixo. 
 
 
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Do equilíbrio de cada DCL, temos que a soma algébrica das forças na horizontal é nula, 
isto é: 
 
Cada parte da barra, à esquerda e à direita do ponto C de aplicação de F, terá uma 
variação no comprimento tal que o comprimento total da barra seja nulo. Pelos sentidos 
arbitrados, uma das partes terá um aumento no comprimento (tração) e a outra parte uma contração (compressão) de valores, em módulos iguais. 
 Etapa 1: 
 Para a parte AC: 
 
Para a parte BC: 
 
 
Etapa 2: 
Da compatibilidade geométrica, 
 
Substituindo (**) e (***) em (****), temos: 
 
 
Etapa 3: 
Em (*****), substituindo os valores de AC e BC, temos: 
 
Na equação (*), temos: 
 
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Conhecendo a área A da seção reta da barra e o módulo de elasticidade E do material, as equações 
(**) e (***) determinam as deformações em cada parte da barra. 
Cabe ressaltar que, na equação (*****), a simplificação foi possível por considerar a barra 
constituída de um mesmo material (E) e a seção reta (A) ser constante. 
ESTUDO DA DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE ESTRUTURAS PLANAS HIPERESTÁTICAS 
No item anterior, foi possível determinar para uma estrutura hiperestática as forças de reação a 
partir das equações do equilíbrio (duas estavam satisfeitas e uma envolvia duas incógnitas), pois 
pudemos escrever uma equação de compatibilidade para o problema proposto. Com as duas 
equações foi possível determinar as reações. 
Comentário 
Caso mais dados fossem apresentados no problema, como, por exemplo, a seção reta A e o 
coeficiente de elasticidade do material E, as deformações sofridas por partes da barra poderiam ser 
determinadas. 
Neste item, o procedimento é análogo, exceto pelo fato de também determinarmos as 
deformações em cada parte da barra. 
No exemplo do item Estudo de estruturas planas hiperestáticas, suponha que a área da seção 
reta seja 20 mm2 constante e que o módulo de elasticidade do material seja igual a 200 GPa. 
Determine a variação no comprimento de cada parta da barra, ou seja, AC e BC. 
A partir das equações (**) e (***) já descritas e os valores encontrados para as reações, temos: 
Para a parte AC: 
 
 
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Mão na Massa 
 
1. Considere uma coluna AB de 3 m engastada em suas extremidades. Se uma carga de 120 kN 
é aplicada no ponto médio da viga (C), a respeito do cálculo das reações nos engastes A e B são 
feitas as seguintes afirmativas: 
 
I – A estrutura é hipostática, pois são duas as reações e três as equações de equilíbrio no 
plano. 
 
II – A estrutura é hiperestática e, para resolvê-la, há necessidade de uma equação extra 
oriunda da deformação da viga. 
 
III- É possível determinar as reações utilizando apenas as equações do equilíbrio de um corpo. 
 
É correto afirmar que: 
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira B) Apenas a afirmativa II é verdadeira C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras E) Apenas a afirmativa III é verdadeira 
 
2. Suponha uma barra AB de 1,6 m de comprimento perfeitamente ajustada entre dois pontos, 
tal que AB fique na vertical. Despreze o peso da barra. Uma força de 100 kN é aplicada sobre 
ela no ponto C, tal que AC = 400 mm e CB = 1200 mm. A seção reta da barra apresenta 500 
mm2 e o material que a constitui apresenta módulo de elasticidade E = 210 GPa. Veja a figura a 
seguir. Sobre as deformações de AC (δAC) e CB (δCB), em módulo, é correto afirmar que: 
 
A) B) C) D) E) 
 
 
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3. Suponha uma barra AB de comprimento 4 m engastada em duas paredes de peso 
desprezível. Quando uma força F de 80 kN passa a atuar no ponto C, tal que , 
determine osmódulos das reações nas paredes. Observe a figura a seguir: 
 
A) RA = 40 kN e RB = 40 kN B) RA = 80/3 kN e RB = 160/3 kN C) RA = 160/3 kN e RB = 80/3 kN D) RA = 20 kN e RB = 60 kN E) RA = 60 kN e RB = 20 kN 
 
 
 
4. (CESGRANRIO - 2011 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior - Terminais e 
Dutos) 
 
A viga plana sob flexão, mostrada na figura acima, é estaticamente indeterminada, porque o 
número de equações de equilíbrio da estática e o número de incógnitas são, respectivamente: 
A) 2 e 3 
B) 2 e 4 
C) 3 e 4 
D) 3 e 5 
E) 4 e 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) 
 
Para os casos de estruturas estaticamente indeterminadas, as equações de equilíbrio não são 
suficientes para determinar as ações e as reações na estrutura, a menos que as deformações 
sejam levadas em consideração. Nesse contexto, considere a figura anterior, que mostra uma 
barra constituída de dois trechos (OM e MN) e rigidamente presa nas extremidades. O módulo 
de elasticidade do material da viga é 21.000 kN/cm², a área da seção transversal do trecho OM 
é 5 cm², a área da seção transversal do trecho MN é 7,5 cm² e a força P indicada é igual a 60 
kN. Tendo como referência a figura e as informações apresentadas, além de considerar que o 
sistema esteja em equilíbrio e haja compatibilidade das deformações nos trechos, as 
reações R1 e R2 são iguais, respectivamente, a: 
A) 15 kN e 45 kN 
B) 50 kN e 10 kN 
C) 35 kN e 25 kN 
D) 30 kN e 30 kN 
E) 20 kN e 40 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. (SUGEP - UFRPE - 2016 - UFRPE - Engenheiro Civil) Uma barra cilíndrica de aço está 
sujeita a um carregamento como mostra a figura seguinte. Sabendo que o Eaço = 200 GPa e a área da seção é 200 mm2, a reação em A, a reação em B e o deslocamento da barra são, 
respectivamente: 
 
A) 400 KN, zero e 2 mm 
B) 400 KN, zero e 3 mm 
C) 355 KN, 45 KN e 3 mm 
D) 360 KN, 40 KN e 3 mm 
E) 365 KN, 35 KN e 3 mm 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
Uma barra metálica horizontal com peso desprezível é perfeitamente encaixada entre duas estruturas quando sobre ela não atua nenhum carregamento. A barra AB tem 4 m de comprimento. Duas cargas horizontais de 80 kN e 60 kN nos pontos C e D, tais que AC = BD = 1 m. Por questões de projeto, as estruturas não podem estar submetidas a esforços maiores que certos valores definidos. Um estagiário recebeu a incumbência de determinar as reações nas estruturas, quando a barra está carregada, e procurou mais informações a respeito da barra, descobrindo que sua área da seção reta é 200 cm2 e o módulo de elasticidade do material igual a 180 GPa. Observe a figura abaixo, quando a barra se encontra carregada: 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. (CESGRANRIO - 2011 - PETROQUÍMICA SUAPE - Engenheiro de Manutenção Pleno - 
Mecânica) Em uma viga estaticamente indeterminada, as reações de apoio são determinadas 
 A) Apenas pelas condições de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno. B) Apenas pelas condições de equilíbrio estático. C) Apenas pelas condições de contorno. D) Pelas condições de equilíbrio estático e de compatibilidade de deslocamentos impostas pelas condições de contorno. E) Pelas condições de contorno e pela Lei de Hooke. 
2. (CESGRANRIO - 2012 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval) Uma viga de aço é composta de duas seções circulares com áreas transversais de 250 mm² e 500 mm², com 450 mm e 300 mm de comprimento, respectivamente. Esta barra é engastada em suas extremidades, e uma força de 40 N é aplicada no ressalto entre as seções desta viga. 
 Após a análise desses dados, conclui-se que os valores absolutos das reações nas extremidades 
(Ra e Rb) são, respectivamente, em N: 
A) 10 e 30 B) 15 e 25 C) 20 e 20 D) 25 e 15 E) 30 e 10 
 
 
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MÓDULO 3 
 Descrever o estado plano de tensão e a transformação de tensão no plano 
 INTRODUÇÃO 
Suponha um corpo em equilíbrio e o estudo das tensões (normal e cisalhante) em algum ponto 
deste. A partir de um volume infinitesimal (dV) de arestas dx, dy e dz e, partindo do princípio de que a parte do todo também se encontra em equilíbrio, um modelo físico genérico é criado com todas 
as tensões atuantes nas seis faces do volume dV. Dessa forma, são aplicadas as tensões normais 
(σx, σy e σz) e as tensões cisalhantes (τxy, τyx, τzx, τxz, τzy e τyz). Esse é o denominado estado geral de tensões. A figura 11 representa a descrição do estado geral de tensões. 
 
Figura 11 – Estado geral de tensões. Fonte: o autor 
Observe que no elemento infinitesimal escolhido para o estudo, as tensões atuam nas suas seis faces, aos pares, em faces opostas e com sentidos opostos. Atente para os eixos x, y e z destacados. ESTADO PLANO DE TENSÕES 
No item anterior, foi feita a descrição de um estado genérico para as tensões atuantes num 
elemento de um corpo (o estado geral de tensões). Na Engenharia, em muitas situações é possível 
fazer uma modelagem física mais simples. A partir deste item, será apresentado um caso particular 
do estado geral, o denominado Estado Plano de Tensões (EPT). Como afirma Hibbeler em sua 
obra Resistência dos Materiais, é frequente que os engenheiros façam simplificações no 
carregamento sobre uma estrutura, a fim de que a análise de tensões seja feita em um único plano. 
 
 
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Atenção 
Na figura 11, suponha um carregamento sobre o corpo, tal que torne nulas algumas tensões, 
permanecendo diferentes de zero apenas as tensões pertencentes a um plano paralelo ao 
referente a xy. Nesse caso, dizemos que o estado de tensões é plano. 
A figura 12 mostra esquematicamente o mesmo volume infinitesimal de estudo neste estado. 
Perceba que este estado é caracterizado por dois pares de tensões normais e quatro componentes 
de tensões cisalhantes com mesmo módulo. Na representação, as tensões normais são σx e σy e a 
tensão cisalhante τxy. Para outros planos, por exemplo, paralelo a xz, as tensões normais 
serão σx e σz e a cisalhante τxy. Ademais, é possível fazer a análise a partir de uma visão 
bidimensional, que torna mais simples sua representação no plano. 
 Figura 12 – Estado plano de tensões (EPT). Fonte: o autor 
Observe que na figura anterior, todas as tensões atuantes no volume infinitesimal pertencem a um 
mesmo plano paralelo à base desse elemento, ou seja, paralelo ao plano xy. Como já foi descrito 
para o estado geral de tensões, no estado plano, as tensões agem aos pares, em sentidos opostos. 
Nessa situação, em apenas quatro das seis faces do elemento infinitesimal de estudo. Em termos 
prático, muitas vezes o estado plano é descrito pelas tensões normais σx e σy e a tensão cisalhante τ = τxy= τyx. 
Observe na figura 13, o mesmo estado plano de tensões da sob uma óptica a partir da face superior do elemento infinitesimal. 
 Figura 13 – Vista superior do estado plano de tensões. Fonte: o autor 
 
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CONVENÇÃO DE SINAIS PARA AS TENSÕES 
A figura 13 mostra o estado plano de tensões em que todas as tensões são positivas. Note 
que as tensões normais serão positivas quando estiverem “saindo” da superfície (trativas) e, negativas, quando estiverem “entrando” na superfície, ou seja, compressivas. Em 
relação às tensões cisalhantes, as faces à direita e superior serão tomadas como referências. 
Observando a figura, a tensão cisalhante atuante na face à direita encontra-se para cima, 
ou seja, acompanha o sentido do eixo y. É convencionada como positiva. A tensão que 
atua na face superior atua para a direita, isto é, acompanhando o sentido de x. Ambas são positivas. As demais tensões cisalhantes atuam no sentido de preservar o equilíbrio do 
elemento em estudo, ocorrendo aos pares: a da face esquerda “atua para baixo” e a da 
face inferior “atua para a esquerda”. Essas duas últimas são nos sentidos opostos dos eixos. Qualquer situação distinta, leva a valores negativos para as tensões. 
TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANOA ideia básica deste item é que um mesmo elemento de estudo adotado no estado plano de tensões (σx , σy e τ = τxy), tendo como par de eixos xy, sofrerá uma rotação de um ângulo θ e o par de referência também. Nessa nova posição, os eixos serão 
denominados x’ e y’. Quando se iniciou o estudo do corpo, ele estava sob determinado carregamento e equilíbrio. O primeiro elemento de estudo também se apresentava 
equilibrado estaticamente. Após a rotação, o elemento encontra-se em equilíbrio e sob o 
mesmo estado de tensão (σx’ , σy’ e τ’= τx’y’). A figura 14, mostra a descrição anterior da rotação do elemento (plano xy) de um ângulo θ plano (x’y’). 
 Figura 14 – Rotação do elemento de estudo. Fonte: o autor 
 
Note que para o novo par x’y’ a face A’B’ continua à direita do elemento de estudo, 
estando x’ perpendicular e y’ ao longo (tangente) dessa mesma face. 
Após a percepção geométrica da rotação do elemento de estudo de um ângulo θ, é necessário conhecer as expressões matemáticas que determinam as novas tensões (σx’ , σy’ e τx’y’). Assim, a partir do conhecimento dos valores de σx , σy , τxy e θ, é possível, matematicamente, chegar-se aos valores de σx’ , σy’ e τx’y’. 
As equações 4, 5 e 6 mostram como determinar as tensões no elemento de estudo rotacionados a partir dos valores conhecidos para o primeiro elemento de estudo. 
 
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EQUAÇÃO 4 
 
 
EQUAÇÃO 5 
 
 
EQUAÇÃO 6 
 
 
Com a intenção de auxiliar no entendimento das equações 4, 5 e 6 para a transformação do estado plano de tensões, será realizado um exemplo numérico. 
Somando-se as equações 4 e 5, temos: 
Exemplo: Considere um elemento infinitesimal no estado plano de tensões com as 
tensões, conforme a figura 15. Determine o estado plano de tensões quando o elemento 
infinitesimal é rotacionado de 600 no sentido anti-horário. 
 Figura 15 – Ilustração para exemplo de plano de tensões. Fonte: O autor 
 
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É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas. 
Rotacionando o elemento de estudo de 600 no sentido anti-horário, temos a ilustração da 
figura 16. 
 Figura 16 – Ilustração para exemplo de plano de tensões 2. Fonte: O autor 
 Note que o ângulo também θ = 600 também é positivo. Substituindo os valores de σx , σy , τxy e θ aplicando as equações 4, 5 e 6, temos: 
 
 Etapa 1: 
 
 
 
22 
 Etapa 2: 
 
 
 Etapa 3: 
 
 
TENSÕES NORMAIS PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO 
ESTADO PLANO DE TENSÕES 
Vimos a rotação de um ponto de estudo e a determinação das tensões nesse estado plano 
de tensões. Existe um ângulo θP em que as tensões normais são extremas (máxima e mínima). Nessa situação, essas tensões são ditas principais e a tensão de cisalhamento é 
nula. A partir da equação 4, derivando-a em relação à variável θ e igualando-se a zero, 
determina-se o ângulo θP, cuja expressão é apresentada na equação 7. 
 
Da trigonometria, no intervalo θπθπ0 ≤ θ ≤2π, a equação 7 terá duas raízes, ou seja, dois 
valores para θP cuja diferença é igual a 900. 
 
23 
Uma vez que θP é conhecido, fazendo a substituição nas equações 4 e 5, temos a equação 8 para a determinação das tensões principais. 
 
No exemplo do item anterior, determinar as tensões principais 
(ver figura 17). 
 Figura 17 – Ilustração para exemplo de plano de tensões 3. Fonte: O autor 
 Etapa 1: 
É preciso perceber, pela convenção adotada, que todas as tensões são positivas. O 
próximo passo é determinar o ângulo θP a partir da equação 7. 
 
 
24 
 Etapa 2: 
Substituindo os valores das tensões na equação 8, temos: 
 
 Etapa 3: 
A tensão cisalhante máxima é determinada de maneira análoga à metodologia para a 
determinação das tensões principais. Inicialmente, determina-se a inclinação em que essa situação ocorre e, após, substitui o valor do ângulo na equação 6. Derivando-se a 
equação 6 em relação à variável θ e igualando-se a zero, temos a equação que 
determina a inclinação θs para a tensão cisalhante máxima. 
 
Uma vez que θs é conhecido, fazendo a substituição na equação 6, temos a equação 9 para a determinação da tensão cisalhante máxima. 
 
 Comentário Quando o estado plano de tensão é tal que a tensão de cisalhamento é máxima, também 
ocorre tensão normal no elemento em estudo de valor dado por 
 
25 
MÃO NA MASSA 
 
1. (FCC - 2015 - TRT - 3ª Região (MG) - Analista Judiciário - Engenharia Mecânica) Em um 
ponto de uma estrutura, existem as tensões indicadas no elemento conforme abaixo: 
 A máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ponto, em MPa é: 
A) 80 B) 100 C) 120 D) 144 E) 200 
 
2. No estado plano de tensão, quando as tensões normais principais valem 20 MPa e 80MPa, a 
tensão de cisalhamento atuante é: 
 A) 0 B) 50 Mpa C) 30 Mpa D) 100 Mpa E) 60 Mpa 
3. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro de Equipamento Júnior – Mecânica -2012) 
 
 
26 
 As tensões principais referentes ao estado plano de tensões, ocorrente em um ponto de uma 
peça, são as indicadas na figura. A tensão cisalhante máxima atuante nesse ponto da peça é 
 
A) B) C) D) E) 
 
 
 
4. (CONSULPAM - 2014 - SURG - Engenheiro Civil – adaptada) No estado plano de tensões em 
determinado ponto de uma chapa de aço, a figura a seguir está mostrando as tensões normais σ e as 
tensões de cisalhamento τ: 
 
 
As tensões principais valem: 
A) 80 MPa e 50 Mpa B) 120 MPa e 50 Mpa C) 130 MPa e 60 Mpa D) 130 MPa e 30 Mpa E) 130 MPa e 50 Mpa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
5. (AOCP - 2012 - TCE-PA - Analista de Controle Externo - Engenharia Civil - adaptada) Em um 
ponto na superfície de uma estrutura, o material está submetido ao estado plano de tensões mostrado 
na figura. Analise as tensões neste ponto e determine: as tensões principais (σmáx e σmín) e a tensão de 
cisalhamento máxima (τmáx). 
 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
 
 
 
6. (CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - Naval – adaptada) Na figura, a 
seguir, são apresentadas as tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que 
passam por um ponto de um elemento estrutural sujeito ao estado plano de tensões. 
 
Para essa situação, os valores das tensões principais (σP1 e σP2), no ponto, em MPa, são, respectivamente, 
 
A) 44 e 13 
B) 44 e 18 
C) 22 e 13 
D) 22 e 18 
E) 22 e 44 
 
28 
 
TEORIA NA PRÁTICA 
 
 Um projeto apresenta uma das vigas como principal elemento estrutural. Sob dado carregamento, um ponto na superfície dessa viga encontra-se no estado plano de tensões. O ponto em questão é apresentado na figura a seguir: 
 Para fazer a análise nessa viga, é preciso descobrir o estado plano de tensões principais desse ponto. 
 
29 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (IBFC - 2013 - PC-RJ - Perito Criminal - Engenharia Civil) Após o ensaio em laboratório de uma 
peça que estava em ruína, obteve-se o estado plano de tensões esquematizado na figura a 
seguir: 
 
Os valores das tensões principais máxima (σmáx) e mínima (σmin) para este estado plano de 
tensões são respectivamente: 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
 
 
 
2. No estudo das tensões que agem num corpo sob determinado carregamento, o estado 
plano de tensões é muito frequente de ocorrer. A respeito desse estado, são feitas as 
seguintes afirmativas: 
 
I – No elemento infinitesimal de estudo, todas as faces apresentam tensões normais. 
 
II – Quando não existem tensões cisalhantes nas faces do elemento de estudo, dizemos que as 
tensões normais são as principais. 
 
III – As tensões cisalhantes que agem nas quatro faces do elemento infinitesimal apresentam o 
mesmo módulo. 
 
São corretas: 
A) Apenas a afirmativa I B) Apenas as afirmativas I e II C) Apenas as afirmativas II e III D) Apenas a afirmativa I e III E) Apenas a afirmativa II 
 
30 
MÓDULO 4 
 Descrever o Círculo de Mohr 
INTRODUÇÃO 
No módulo anterior, foi iniciado o estudo de tensões para um ponto genericamente. Por questões 
práticas, optou-se pelo estudo plano de tensões, com grande aplicação na Engenharia. A partir de 
um viés analítico,foram desenvolvidas várias expressões que permitem determinar as tensões 
principais, a tensão cisalhante máxima e as tensões em determinada orientação. 
Neste módulo, o estudo plano de tensões será abordado a partir de uma óptica geométrica, isto é, 
será apresentada uma forma gráfica para resolver as mesmas situações (tensões principais, tensão 
de cisalhamento máxima e tensões em dada rotação do elemento infinitesimal). Trata-se do 
denominado Círculo de Mohr, em homenagem ao seu idealizador, o engenheiro civil alemão 
Christian Otto Mohr, nascido no século XIX (ver figura 18). 
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA 
Antes de fazer o estudo gráfico do estado plano de tensões por meio do Círculo de Mohr, é 
importante relembrar alguns aspectos matemáticos que servirão de subsídios para o 
entendimento da construção deste círculo. Geometricamente, a circunferência é o lugar geométrico (LG) dos pontos equidistantes de um ponto fixo denominado centro. Essa 
distância dos pontos ao ponto fixo é o raio da circunferência. Suponha uma circunferência com centro de coordenadas (xc, yc) e raio R conhecidos. Observe a figura 19 seguinte: 
 Figura 19 – Circunferência de centro (a, b) e raio R. Fonte: O autor 
Veja que a circunferência tem raio R e centro com coordenadas (xc, yc). Suponha um ponto P (x, y) genérico da circunferência. A distância entre o ponto P e o centro da circunferência 
equivale a R. A equação 10 determina a distância entre dois pontos do plano A (xA, yA) e B (xB, yB) quaisquer: 
 
31 
EQUAÇÃO 10 
 
EQUAÇÃO 11 
 
EQUAÇÃO 12 
 
Assim, por exemplo, uma circunferência de centro C (1,2) e raio 4 tem equação dada por: 
 
CÍRCULO DE MOHR 
Como dito, aqui será estudado um método gráfico para o estado plano de tensões. Em linhas gerais, uma circunferência é representada em um par de eixos σ e τ. Ao percorrer a 
circunferência, o elemento infinitesimal está ocupando uma nova posição (rotacionando) e é possível descobrir as novas tensões do estado plano de tensões. Além disso, é possível 
determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
No módulo anterior, foram escritas as equações 4 e 6. A partir dessas equações, serão 
feitas manipulações algébricas convenientes. Observe os passos a seguir: 
 Etapa 1: 
 
 
32 
 Etapa 2: 
 
 Etapa 3: 
 
Desenvolvendo os lados à direita das igualdades das equações (*) e (**) e fazendo a 
adição destas, temos a equação 13: 
 
Lembrando que, no estudo feito no módulo 3, os valores σx , σy e τxy eram conhecidos e σx’ e τx’y’ as variáveis e comparando com a equação generalizada para a circunferência (equação 12) com a equação 13, é possível concluir que a equação 13 representa um 
circunferência de centro , 0 e raio 
 
 
quando se adota um par de eixos σσσx' (fazendo às vezes de x) e τx'y' (fazendo às vezes 
de y). Essa é a equação do Círculo de Mohr representado na figura 20. 
 Figura 20 – Círculo de Mohr. Fonte: o autor 
 
33 
 
Um estado plano de tensão é conhecido, ou seja, os valores de σx , σy e τxy . A partir desses valores e da equação 13, é possível desenhar o Círculo de Mohr. 
Inicialmente, desenham-se os eixos σx' (na horizontal) e τx'y' (na vertical). Feito isso, será 
determinado o centro . Como σx e σy são valores conhecidos, o centro terá coordenadas numéricas. O próximo passo é encontrar numericamente o raio R, ou 
seja, 
Com esses valores é possível desenhar o Círculo de Mohr. Observe na figura 20 os pontos 
1 e 2. Como o centro está na abscissa , para determinar o ponto 2, basta somar a 
esse valor o valor do raio R e, para o ponto 1, basta subtrair. São as tensões principais. 
Um exemplo será realizado para que o entendimento da descrição da construção do Círculo de Mohr seja facilitada. 
EXEMPLO 3 
(CESGRANRIO - 2011 - Transpetro - Engenheiro Júnior - adaptada) Na figura a seguir, são apresentadas as tensões normais e de cisalhamento nos planos horizontal e vertical que passam por um ponto de um elemento estrutural sujeito ao estado plano de tensões. 
 Desenhe o Círculo de Mohr. Resolução 
Olhando o elemento em estudo, todas as tensões apresentam valores positivos de acordo com a convenção adotada. 
Determinação do centro: 
 Determinação do raio: 
 
 
34 
ontos extremos do diâmetro (pontos 1 e 2): 31 - 13 = 18 e 31 + 13 = 44 
Construindo o gráfico: 
 
A partir do exemplo, é possível chegar a conclusões importantes: 
 Os extremos dos diâmetros representam as tensões principais e são determinadas 
somando-se /subtraindo-se o valor do raio à abscissa do centro.  A tensão de cisalhamento máxima equivale ao valor do raio. 
Após a fase de construção do Círculo de Mohr, algumas informações podem ser extraídas 
a partir da simples observação do desenho (tensões principais e tensão de cisalhamento 
máxima). Porém, existem outras situações. Suponha que um ponto esteja sob determinado estado plano de tensão (σx, σy e τxy) e deseja-se, utilizando o Círculo de Mohr, descobrir qual a orientação, por exemplo, do estado plano de tensões principais. 
Aproveitando o exemplo anterior, será trabalhado a rotação do elemento infinitesimal de estudo para se determinar as tensões principais. Será utilizada a face superior para 
determinar as tensões como coordenadas (ponto A na figura anterior). 
Na figura anterior, o triângulo retângulo tem um ângulo agudo feito com a base, cuja 
tangente pode ser determinada por: 
 
Perceba que para chegar ao extremo esquerdo do diâmetro (tensão principal), a rotação 
foi anti-horária. No círculo, um valor igual a 2θP e, no elemento infinitesimal, um valor θP, 
no mesmo sentido. 
 
 
35 
MÃO NA MASSA 
1. (IF-MT - 2014 - IF-MT - Professor - Engenharia Mecânica – adaptada) Observe o Círculo de 
Mohr abaixo. 
 
Considerando o estado plano de tensões, assinale a alternativa que apresenta as tensões 
principais, σmáx e σmín, respectivamente. 
A) 50 MPa e - 20 Mpa B) 40 MPa e - 50 Mpa C) 70 MPa e - 30 Mpa D) 10 MPa e - 40 Mpa E) 30 MPa e – 10 Mpa 
 
 
 
 
 
36 
2. Considere o estado plano de tensões em que as tensões normais são iguais a 30 MPa e 50 
MPa. Construindo o Círculo de Mohr em que os eixos são a tensão normal (eixo horizontal) e 
tensão cisalhante (eixo vertical), quais as coordenadas do centro desse círculo. 
 A) (0, 80) B) (80,0) C) (0, 40) D) (40, 0) E) (20, 0) 
 
 
 
3. (FGV - 2016 - CODEBA - Analista Portuário - Engenheiro Mecânico) A figura, a seguir, 
apresenta o estado de tensões em uma porção infinitesimal de uma peça mecânica 
 
Sabendo que σθ = 100MPa, σ'θ = 100MPa e τθτθ = 40MPa, a máxima tensão cisalhante nesse elemento vale: 
A) B) C) D) E) 
 
37 
4. (CESGRANRIO - 2018 - Petrobras - Engenheiro Naval Júnior) A figura abaixo representa 
o estado plano de tensões de um elemento quadrado e o seu respectivo Círculo de 
Mohr. 
 
Se o elemento for submetido à condição de carregamento axial de tração na direção do eixo x, 
a tensão de cisalhamento máxima será igual a 
A) τxy B) σ 
C) σy/2 D) τxy/2 E) σx /2 
 
 
5. (CESGRANRIO - 2012 - Petrobras - Engenheiro Civil Júnior-2012) Considere o estado de 
tensão, representado no elemento, assim como os eixos e os dados para responder à questão 
que se refere ao estudo do plano de tensões e à construção do Círculo de Mohr. 
 
 
O valor do raio do Círculo de Mohr, em kgf/mm², é de 
A) 1,41 
B) 1,73 
C) 2,82 
D) 3,46 
E) 4,48 
 
 
 
38 
6. (IBFC - 2017 - POLÍCIA CIENTÍFICA-PR - Perito Criminal - Área 5) Em relação à deformação de 
tensão no plano, analise as afirmativas. 
 
I. Quando o estado de tensão é representado pelas tensões principais, nenhuma tensão de 
cisalhamento age sobre o elemento. 
 
II. O estado de tensão no ponto também pode ser representado como tensão de cisalhamento máxima 
no plano. Nesse caso, uma tensão normal média também age no elemento. 
 
III. O elemento que representa a tensão de cisalhamento máxima no plano com as tensões normais 
médias associadas está orientado a 45º em relação ao elemento que representa as tensõesprincipais. 
 
Assinale a alternativa correta. 
 
A) Nenhuma das afirmativas está correta 
B) Estão corretas apenas as afirmativas I e II 
C) Estão corretas apenas as afirmativas II e III 
D) Estão corretas apenas as afirmativas I e III 
E) Estão corretas todas as afirmativas 
 
 
 TEORIA NA PRÁTICA 
Um Engenheiro está supervisionando um projeto de uma estrutura metálica, e em certo ponto superficial de uma coluna, um ponto apresenta o estado plano de tensões apresentado na figura a seguir. 
 Seu objetivo era estudar o estado plano de tensões para diversas orientações e determinar as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima. 
 
39 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (CESPE - 2016 - POLÍCIA CIENTÍFICA - PE - Perito Criminal - Engenharia Mecânica) 
 
 A figura ilustra o Círculo de tensões de Mohr, em que a ordenada de um ponto sobre o círculo 
representa a tensão de cisalhamento (τ) e a abcissa representa a tensão normal (σ). 
Considerando a imagem, assinale a opção correta: 
A) A maior tensão normal é igual ao raio do círculo. B) Uma tensão normal igual a σm atua em cada um dos planos de tensões de cisalhamento máxima e mínima. C) Se σX + σY = 0, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e não se desenvolvem tensões de cisalhamento nesse plano. D) Se σ1 = σ2, então o centro do Círculo de Mohr coincide com a origem do plano σ × τ e verifica-se o estado de cisalhamento puro. E) Nos planos σ1 (maior tensão normal possível) e σ2 (menor tensão normal possível), o valor das tensões de cisalhamento é, em módulo, igual ao raio do círculo. 2. Considere que as tensões principais de um estado plano de tensões valham 20 MPa e 100 
MPa. A partir dessas informações, é desenhado o Círculo de Mohr. O valor do raio e suas 
coordenadas são, respectivamente iguais a: 
 A) 60 e (60,0) B) 40 e (60, 0) C) 60 e (0,60) D) 40 e (0, 60) E) 60 e (60, 40) 
 
40 
CONSIDERAÇÕES FINAIS Tendo como base a Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentamos a variação longitudinal elástica de um corpo sob carregamento axial. Nesse primeiro momento, o problema era estaticamente determinado e o carregamento axial não precisava ser único. No segundo módulo, identificamos as estruturas hiperestáticas, em contraste às isostáticas. Nas estruturas hiperestáticas, não é possível resolvê-las apenas com as três equações do equilíbrio. Por isso, uma ou mais equações foram adicionadas para auxiliar a solução (as equações de compatibilidade geométrica). Em seguida, analisamos as tensões em um ponto infinitesimal do corpo, em particular o estado plano de tensões. Vimos as equações para determinação das tensões principais, tensão cisalhante máxima e tensões para dada rotação do elemento de estudo. Por fim, conhecemos o método gráfico denominado Círculo de Mohr. REFERÊNCIAS BEER, F.P., JOHNSTON, E.R.J., Resistência dos Materiais. 3 ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. 
 EXPLORE+ Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia: Sobre deformações elásticas em corpos estaticamente determinados e indeterminados. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. (capítulo 4: pág 85-106). Sobre estado plano de tensões. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7 ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. (capítulo 9: pág 321-345).