Matemática Financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
GRADUAÇÃO
Unicesumar
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor Executivo de EAD
William Victor Kendrick de Matos Silva
Pró-Reitor de Ensino de EAD
Janes Fidélis Tomelin
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Diretoria Executiva
Chrystiano Minco�
James Prestes
Tiago Stachon 
Diretoria de Graduação e Pós-graduação 
Kátia Coelho
Diretoria de Permanência 
Leonardo Spaine
Diretoria de Design Educacional
Débora Leite
Head de Produção de Conteúdos
Celso Luiz Braga de Souza Filho
Head de Curadoria e Inovação
Tania Cristiane Yoshie Fukushima
Gerência de Produção de Conteúdo
Diogo Ribeiro Garcia
Gerência de Projetos Especiais
Daniel Fuverki Hey
Gerência de Processos Acadêmicos
Taessa Penha Shiraishi Vieira
Gerência de Curadoria
Carolina Abdalla Normann de Freitas
Supervisão de Produção de Conteúdo
Nádila Toledo
Coordenador de Conteúdo
Juliana Moraes da Silva
Designer Educacional
Lilian Vespa
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Arte Capa
Arthur Cantareli Silva
Ilustração Capa
Bruno Pardinho
Editoração
Lucas Pinna Silveira Lima
Qualidade Textual
Eloisa Dias Lourenço
Ilustração
Marta Sayuri Kakitani
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; 
OSHITA, Marcela Gimenes Bera; SILVA, Juliana Moraes da.
 
 Matemática Financeira. Marcela Gimenes Bera Oshita; Juliana Moraes da 
Silva. 
 Maringá-Pr.: Unicesumar, 2019. 
 280 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Matemática. 2. Financeira. 3. EaD. I. Título.
ISBN 978-85-459-1774-8
CDD - 22 ed. 513.93
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Em um mundo global e dinâmico, nós trabalhamos com prin-
cípios éticos e profissionalismo, não somente para oferecer 
uma educação de qualidade, mas, acima de tudo, para gerar 
uma conversão integral das pessoas ao conhecimento. Base-
amo-nos em 4 pilares: intelectual, profissional, emocional e 
espiritual.
Iniciamos a Unicesumar em 1990, com dois cursos de gradu-
ação e 180 alunos. Hoje, temos mais de 100 mil estudantes 
espalhados em todo o Brasil: nos quatro campi presenciais 
(Maringá, Curitiba, Ponta Grossa e Londrina) e em mais de 300 
polos EAD no país, com dezenas de cursos de graduação e 
pós-graduação. Produzimos e revisamos 500 livros e distribu-
ímos mais de 500 mil exemplares por ano. Somos reconheci-
dos pelo MEC como uma instituição de excelência, com IGC 4 
em 7 anos consecutivos. Estamos entre os 10 maiores grupos 
educacionais do Brasil.
A rapidez do mundo moderno exige dos educadores soluções 
inteligentes para as necessidades de todos. Para continuar re-
levante, a instituição de educação precisa ter pelo menos três 
virtudes: inovação, coragem e compromisso com a qualidade. 
Por isso, desenvolvemos, para os cursos de Engenharia, me-
todologias ativas, as quais visam reunir o melhor do ensino 
presencial e a distância.
Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimen-
to, formando profissionais cidadãos que contribuam para o 
desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária.
Vamos juntos!
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um proces-
so de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja 
ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, 
transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que 
forma o fazemos? Criando oportunidades e/ou estabelecendo mudanças 
capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os 
desafios que surgem no mundo contemporâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, 
o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): 
“Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontram-se 
integrados à proposta pedagógica, contribuindo no processo educacional, 
complementando sua formação profissional, desenvolvendo competências 
e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de 
maneira a inseri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm 
como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conte-
údo”, desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca 
dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de crescimento e construção do 
conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos 
pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, 
acesse regularmente o STUDEO – Ambiente Virtual de Aprendizagem, 
interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das 
discussões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de professores 
e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-
-lo(a) em seu processo de aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com 
tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica.
A
U
TO
R
Professora Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Mestrado em Controladoria pela Universidade 
Estadual de Maringá (UEM). Especialização em 
Gestão Contábil e Financeira pela Universidade 
Estadual de Maringá. Graduação em Ciências 
Econômicas e Contábeis também pela UEM. Atua 
como professora no Centro de Ensino Superior – 
Unicesumar e no Departamento de Administração 
do Instituto Adventista Paranaense.
Link: <http://lattes.cnpq.br/7867304750238505>
Professora Me. Juliana Moraes da Silva
Mestrado em Ciências Contábeis pela Universidade 
Estadual de Maringá (UEM/2016). Graduação em 
Licenciatura em Matemática pela UEM (2001). 
Bacharelado em Ciências Contábeis pela UEM 
(2006). Atualmente é coordenadora e docente dos 
Cursos de Ciências Contábeis e Gestão Financeira 
na modalidade a distância do Centro Universitário 
Maringá (Unicesumar).
Link: <http://lattes.cnpq.br/0551257296562180>
Seja bem-vindo(A)!
Olá, caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à nossa disci-
plina Matemática Financeira. Gostaríamos de iniciar 
o nosso conteúdo destacando que essa temática é 
um ramo da matemática que se dedica ao estudo 
das transformações monetárias no tempo e ao estu-
do dos fluxos de caixas. Você alguma vez já pensou 
que a matemática financeira está o tempo todo pre-
sente em nossas tomadas de decisões - sobre o que 
comprar, como pagar, onde ou em que ativo investir? 
Pois bem, você perceberá, estudando a nossa discipli-
na, que o bom entendimento desse conteúdo é vital 
para podermos tomar a melhor decisão, de forma a 
otimizar os recursos. Em termos gerais, aprenderemos 
que a aplicação da matemática financeira está mais 
próxima do nosso cotidiano do que você imagina, 
pois ela nos dá embasamento para conhecer os juros 
aplicados, por exemplo, em um financiamento ou em 
um investimento. Essa disciplina oferecerá subsídios 
conceituais e ferramentas para que se tomem deci-
sões racionais sobre as operações financeiras e alter-
nativas, considerando o valor que o dinheiro apre-
senta ao longo do tempo. 
APRESENTAÇÃO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Legal! Agora que você já sabe a importância da 
matemática financeira para tomada de decisões 
diárias, seja no contexto pessoal seja empresarial, 
convido-o(a) a navegar por esse universo de forma 
a absorver esse conhecimento a fim de tomar as 
melhores decisões ao longo de sua jornada pessoal 
ou profissional. Para isso, iniciamos a Unidade I com 
os conceitos e aspectos básicos sobre os conceitos 
fundamentais e juros simples, o valor do dinheiro no 
tempo, conceitos dos elementos financeiros, taxas 
de juros, sistemas de capitalização e fluxo de caixa. 
Na Unidade II, você terá a oportunidade de conhe-
cer o sistema de capitalização simples, como: juros 
simples,equivalência simples e desconto simples. 
Na Unidade III, avançaremos na matemática finan-
ceira, para isso veremos os aspectos do sistema de 
capitalização composta, juros compostos, equiva-
lência composta e desconto composto. 
Na Unidade IV, imergiremos em rendas e anuidades, 
classificação de rendas e anuidades, rendas certas, 
rendas diferidas e rendas perpétuas. Por fim, na 
Unidade V, entraremos na temática dos sistemas de 
amortização e aplicações, Sistema de Amortização 
Constante (SAC), Sistema Francês de Amortização 
(SAF) e as aplicações dos sistemas de amortização.
APRESENTAÇÃO
Diante disso, eu o convido a embarcar nesta jorna-
da e, para conseguir atingir a finalidade desta disci-
plina, utilize as referências indicadas neste material. 
Reforço, também, a indicação das leituras comple-
mentares, que serão de grande valia.
A partir do seu avanço no conhecimento sobre a área, 
comece na prática ajudando alguém da família ou um 
colega que não entende do assunto, mas que precisa 
tomar uma decisão com relação aos aspectos financei-
ros. Ofereça-se para ajudar sempre, pois, assim, apren-
derá na prática os aspectos da matemática financeira, 
que, de início, pode parecer complicada, mas, na ver-
dade, não é. No entanto ela exigirá de você a realiza-
ção de muitos exercícios e também aplicações práticas 
para poder fixar os inúmeros detalhes exigidos na uti-
lização desta área do conhecimento.
Pois bem, agora que já conhece o assunto com que 
trabalharemos, eu o convido a embarcar nesta jorna-
da que será de grande valia para você. Bons estudos 
e muito sucesso na aplicação da matemática finan-
ceira no seu cotidiano, seja pessoal seja empresarial.
APRESENTAÇÃO
SUMÁRIO
UNIDADE I
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
16 Introdução
18 O Valor do Dinheiro no Tempo 
25 Conceitos dos Elementos Financeiros 
36 Taxas de Juros 
42 Sistemas De Capitalização 
50 Fluxo de Caixa 
54 Considerações Finais 
UNIDADE II
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
74 Introdução
76 Juros Simples 
92 Equivalência SimpleS 
108 Desconto Simples 
115 Considerações Finais 
124 Referências 
125 Gabarito 
SUMÁRIO
UNIDADE III
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
129 Introdução
131 Juros Compostos 
144 Equivalência Composta 
155 Taxas Nominal e Efetiva 
164 Desconto Composto 
169 Considerações Finais 
179 Referências 
180 Gabarito 
UNIDADE IV
RENDAS E ANUIDADES
189 Introdução
191 Classificação De Rendas E Anuidades 
196 Rendas Certas 
212 Rendas Diferidas 
217 Rendas Perpétuas 
219 Considerações Finais 
227 Referências 
228 Gabarito 
SUMÁRIO
UNIDADE V
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
236 Introdução
238 Sistema de Amortização Constante (SAC) 
243 Sistema Francês de Amortização (SAF) 
256 Aplicações dos Sistemas de Amortização 
266 Considerações Finais 
276 Referências 
279 Conclusão 
U
N
ID
A
D
E I
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
E JUROS SIMPLES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 ■ Explicar ao discente os conceitos do valor 
do dinheiro no tempo.
 ■ Demonstrar os conceitos dos elementos 
financeiros.
 ■ Explanar a definição de taxa de juros.
 ■ Instruir acerca dos sistemas de 
capitalização.
 ■ Ensinar sobre o fluxo de caixa.
U
N
ID
A
D
E
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que você 
estudará nesta unidade:
 ■ O valor do dinheiro no tempo
 ■ Conceitos dos elementos financeiros
 ■ Taxas de juros
 ■ Sistemas de capitalização
 ■ Fluxo de caixa
I
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
E JUROS SIMPLES
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
16
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), esta unidade dará início ao 
processo de entendimento sobre os conceitos fun-
damentais da matemática financeira, bem como 
acerca da taxa de juros simples. Aprenderemos 
porque, ao pegarmos um dinheiro emprestado 
ou ao realizarmos uma compra a prazo, paga-
-se um valor extra pela antecipação do consumo 
(juros). Da mesma forma, quando colocamos o 
dinheiro em um investimento financeiro, verifi-
caremos porque recebemos um valor maior do 
que aquele investido (remuneração).
Neste contexto, veremos que o dinheiro tem 
um valor no tempo e, por isso, é importante saber 
que uma unidade monetária de hoje não vale a 
mesma coisa do que uma unidade monetária de 
ontem ou de amanhã. Desta forma, trabalharemos 
os conceitos dos elementos financeiros para que 
você possa entender o conceito básico da mate-
mática financeira, como valor presente e valor 
futuro. 
Nesta perspectiva, você passará a entender o 
conceito de taxas de juros, o custo de empréstimos 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
17
ou remuneração pelo uso do capital, respectiva-
mente, para o tomador e para o emprestador. Logo, 
veremos que o uso do dinheiro exige um pagamento 
que denominamos de remuneração do capital. 
Aprenderemos, também, sobre os sistemas de 
capitalização simples e composta. Na capitalização 
simples, os juros incidem apenas sobre o valor do 
capital inicial, que cresce de forma linear, o que sig-
nifica que não há existência de juros sobre juros. Por 
sua vez, na capitalização composta, os juros incidem 
sobre o capital inicial e sobre os juros e o montante 
cresce de forma geométrica. 
Por fim, entenderemos o conceito de Fluxo de caixa 
visto que as decisões financeiras são tomadas com 
base nele, em que as entradas e saídas de dinheiro 
ocorrem em momentos diferentes no tempo. Pois 
bem, agora que já conhece o assunto com que traba-
lharemos nesta unidade, convidamos a iniciar esta 
jornada que será de grande valia para você.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
18
O VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
Muitos de nós assistimos às histórias do Tio Patinhas, 
criação de Walt Disney, ou já ouvimos falar delas, em 
que nos acostumamos a ver o Tio Patinhas curtindo 
sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre. No 
mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dis-
postas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, quem 
tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo 
consigo, ao contrário, ele procura alguma maneira 
de empregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja 
na aquisição de bens, no mercado financeiro seja 
simplesmente emprestando-o a terceiros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
19
A matemática financeira trata, em essência, do 
estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu 
objetivo básico é efetuar análises e comparações dos 
vários fluxos de entrada e saídas de dinheiro de caixa, 
verificadas em diferentes momentos. Receber uma 
mesma quantia, hoje ou no futuro, não é, eviden-
temente, a mesma coisa. A princípio, uma unidade 
monetária, hoje, é preferível a mesma unidade mone-
tária disponível amanhã. Postergar a entrada de caixa 
por certo período de tempo envolve sacrifício finan-
ceiro, o qual deve ser pago mediante uma recompensa.
Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: 
quem empresta dinheiro espera recebê-lo, depois 
de certo tempo, acrescido de uma quantia adicio-
nal cobrada a título de recompensa ou aluguel do 
dinheiro, conforme representado na Figura 1.
Quantia
emprestada
Quantia
adicional
Quantia
que se
pretende
receber
de volta
Figura 1 - Representação da quantia adicional
Fonte: as autoras.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
20
A quantia adicional cobrada a título de aluguel do 
dinheiro emprestado é o que chamamos de juro. As taxas 
de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar:
a. O risco envolvido na operação, representado, gene-
ricamente, pela incerteza com relação ao futuro.
b. A perda do valor de compra motivada pela inflação.
c. O valor emprestado/aplicado, gerando um ganho 
ao proprietário.
Neste contexto, ao refletir sobre a palavra valor, 
podemos observar que ela varia ao longo do tempo, 
independentemente do bem.
Caro(a) aluno(a), pense: quanto você estaria disposto a 
pagar por um disquete de computador ou uma fita cassete? 
Ainda, qual o valor deuma empresa que fabrica disco de 
vinil? Acredito que a sua resposta seria: “Depende do perí-
odo, isto é, da época”.
Nesta perspectiva, ao tomarmos uma decisão, seja 
de consumo ou investimento, faremos olhando para 
o futuro, pois o presente é um instante em que, ao 
pensarmos nele, já se torna passado. Desta forma, 
podemos dizer que tomamos decisões que dão o iní-
cio a um futuro. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
21
Observe que os bens e o dinheiro possuem valor 
no tempo. As pessoas que possuem dinheiro podem 
adquirir bens e serviços no momento desejado. Por sua 
vez, as que não possuemnecessitam esperar um tempo 
até que consigam o dinheiro para realizar tal transação. 
Para destacar que a quantia de dinheiro varia 
ao longo do tempo, observe que a quantidade de 
dinheiro que você utiliza hoje para comprar determi-
nado alimento, por exemplo, provavelmente, é bem 
maior do há alguns anos. Neste sentido, se você for 
ao mercado com a mesma quantia de tempos atrás, 
com certeza, voltará com menos mercadorias, con-
forme a Figura 2. Isto acontece por causa da inflação 
(perda do poder de compra da moeda).
Figura 2 - Redução do poder de compra do dinheiro 
em relação ao tempo
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
22
A decisão de emprestar dinheiro, independentemente 
da inflação, só será tomada se, ao final do período, o 
indivíduo superavitário puder comprar uma quan-
tidade maior de bens e serviços, quando comparado 
com a quantidade original (MULLER; ANTONIK, 
2012). Assim, o indivíduo só realizará a troca de abrir 
mão do consumo presente em prol do consumo futuro 
se isso lhe permitir adquirir maior quantidade de 
bens, o que significa que ele exigirá ganho real sobre 
o valor emprestado, independentemente da infla-
ção do período. “O valor do dinheiro no tempo está 
sedimentado na matemática financeira” (MULLER; 
ANTONIK, 2012, p. 4). 
Prezado(a) estudante, cabe destacar que “outro 
aspecto que reforça o valor diferente do dinheiro no 
tempo é o risco” (CORREIA NETO, 2011, p. 198). O 
risco é uma função crescente do prazo à medida que, 
ao optar por receber o dinheiro em uma data futura, é 
mais arriscado do que no presente, visto que o futuro 
é incerto Nesta perspectiva, podemos observar que a 
essência da matemática financeira é estudar “o valor 
do dinheiro no tempo” (MULLER; ANTONIK, 2012, 
p. 3). O seu objetivo básico é o de efetuar análises e 
comparações dos vários fluxos de entrada e saídas de 
dinheiro de caixa verificadas em diferentes momentos.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
23
Exemplificaremos o valor do dinheiro em relação 
ao tempo: imagine que você precise de R$10.000,00 
para atender a uma necessidade financeira pessoal. 
Uma determinada instituição financeira propõe-
-lhe um empréstimo de, exatamente, R$10.000,00, 
que deverá ser pago após quatro meses. O valor será 
depositado em sua conta, e você pagará à instituição 
o valor R$13.000,00 ao final desse período Observe 
que esta situação leva você a identificar os elemen-
tos que serão estudados na disciplina de matemática 
financeira, segundo Puccini (2011): 
1. Ocorreu uma transação financeira entre o agente 
credor (banco) e o tomador (você/cliente), que 
podemos chamar de operação financeira.
2. A transação financeira com duração de três 
meses tem um valor inicial de R$ 10.000,00 
(valor no início da operação) e um valor final 
de R$13.000,00 (valor no final da operação). 
A matemática financeira ajudará você, no contex-
to dos negócios, a quantificar no tempo o valor de 
juros, despesas, riscos, dinheiro, impostos, lucros, 
inflação, taxa de juros, entre outros.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
24
3. Observe que a diferença entre o valor do início 
para o valor final é o acréscimo, denominado 
juro da operação. 
4. Neste exemplo, o juro será um custo para você 
e uma remuneração para o banco.
5. O agente que empresta o dinheiro é o credor, e 
o que toma o dinheiro emprestado é o devedor.
Agora, sabemos que o dinheiro não tem o mesmo 
valor no tempo. Não perca tempo, aprenderemos a 
calcular os elementos financeiros, juro, prazo, taxa 
de juros, capital e montante.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
25
CONCEITOS DOS ELEMENTOS FINANCEIROS
Caro(a) aluno(a), você já conhece os aspectos do valor 
do dinheiro no tempo, avançaremos para os conceitos 
gerais da matemática financeira. Você pode observar 
que, na seção anterior, trabalhamos o conceito mais 
simples de cálculo de juros. Agora, estudaremos as 
terminologias da taxa de juros utilizadas no mercado. 
JUROS
Juros é a remuneração (recompensa) do valor 
emprestado/aplicado. Para quem investe, os juros cor-
respondem ao retorno (recompensa) do investimento, 
para quem toma emprestado, os juros correspondem 
ao custo (aluguel) pelo empréstimo.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
26
Os juros são expressos em uma unidade mone-
tária (R$, US$, €, ...) e indicado pela letra J.
Exemplo: juros = J = R$ 10,00
CAPITAL OU VALOR PRESENTE
Capital ou Valor Presente é qualquer quantia monetá-
ria disponível em determinada operação, referenciada, 
geralmente, na data focal zero. O capital que dá início a 
uma operação financeira é chamado de capital inicial ou 
principal. O capital é expresso em uma unidade mone-
tária e indicado pela letra C ou PV (Valor Presente).
Exemplo: Capital Inicial = Valor Presente = C = 
PV = R$ 250,00
PRAZO OU PERÍODO
Prazo é o tempo que decorre desde o início até o 
final de uma dada operação financeira ou os perío-
dos fracionados de uma operação (para pagamentos 
parcelados). É contado em períodos de tempo, sendo 
o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, 
semestre, ano, ...) e indicado pela letra n.
Exemplo: Prazo = n = 7 meses
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
27
Na prática, o prazo pode ser contado a partir de 
duas convenções:
a. Prazo exato: aquele que conta os dias de acordo com 
o chamado ano civil, no qual os dias são contados 
pelo calendário, podendo o ano ter 365 ou 366 dias.
Exemplo 1: fevereiro tem 28 dias; fevereiro tem 
29 dias; abril tem 30 dias; dezembro tem 31 dias.
Exemplo 2: Alberto comprou uma camisa em 15 
de março, para liquidar em 20 dias. Considerando o 
prazo exato, qual a data de vencimento? 04 de abril, 
observe que março tem 31 dias. 
b. Prazo comercial: é aquele que conta os dias de 
acordo com o chamado ano comercial, no qual o 
mês é considerado sempre como tendo 30 dias, e o 
ano 360 dias.
Exemplo 1: fevereiro tem 28 dias; abril tem 30 
dias; dezembro de 30 dias.
Exemplo 2: Alberto comprou uma camisa em 15 
de março para liquidar em 20 dias. Considerando o 
prazo comercial, qual a data de vencimento? 05 de 
abril. Observe que março tem 30 dias, como todos 
os outros meses do ano. 
Destaca-se que, em algumas operações de curto 
prazo, é comum ou conveniente utilizar taxas de 
juros simples diárias equivalentes, isto é, os prazos 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
28
são contados em dias, e a taxa de juros são anuais. 
Neste caso, você terá duas opções, utilizar juros exato 
e juro comercial ou bancário. Conforme abordado, 
o juro exato considera que o ano civil tem 365 ou 
366 dias, e cada mês tem os números de dias respec-
tivos; por sua vez, os juros comercial ou bancário 
considera o ano com 360 dias e o mês com 30 dias. 
Caro(a) estudante, como saber qual desses uti-
lizar? Comumente, utiliza-se a convenção de juros 
comerciais (HAZZAN; POMPEO, 2007). 
Vamos ver a diferença entre os dois, por meio do 
exemplo: um capital de R$10.000,00 (VP) foi apli-
cado por 43 dias (n) à taxa (i) de 30% a.a, no regime 
de juros simples. 
a. Juros exatos:
 . . $10.000,00 . 0,30 . 43 10.000,00 . 0,30 . 43 $129.000 353,42
365 365 365 365
VP i n R RJ = = = = =
b. Juros comerciais ou bancários:
 
 . . $10.000,00 . 0,30 . 43 10.000,00 . 0,30 . 43 $129.000 358,33
360 360 360 360
VP i d R RJ = = = = =
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
29
Observe que os juros exatos anuais são menores queos juros comerciais. Caso você queria saber mais 
sobre a utilização de taxas de curto prazo com juros 
simples, pesquise sobre as operações de Hot Money.
TAXA DE JUROS
Taxa de juros é o coeficiente obtido pela relação estabelecida 
entre o valor do juro do período e o capital emprestado/
aplicado, ou seja, é a remuneração do fator capital utili-
zado/aplicado durante um certo período de tempo.
Juro é a remuneração sob o capital empregado. Quando 
cedemos dinheiro a alguém, abrindo mão do seu usu-
fruto, o valor acrescido a esse dinheiro é o juro. Neste 
sentido, se abrirmos mão de gastar R$ 1.000,00 (mil reais) 
para recebermos R$ 1.200,00 (mil e duzentos reais), daqui 
a um ano, o diferencial de R$ 200,00 (duzentos reais) 
denominamos de juro. Observe que o juro é a relação 
entre a quantia inicial e a futura. Logo, temos:
$200,00 0,20 20% .
$1 .000,00
J Ri ou a a
C R
= = =
 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
30
Onde:
J = juros recebidos 
C = capital empregado na operação 
Preste atenção, a taxa de juros citada anteriormente 
está ao ano (a.a), isto quer dizer que se deve especi-
ficar a taxa de juros no período de tempo. As taxas 
de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo 
(dia, mês, ano), indicadas pela letra i, e podem ser 
representadas de duas maneiras: taxa percentual e 
taxa unitária.
a. Taxa percentual: representa o juro de cem unida-
des do capital, no período tomado como unidade 
de tempo, ou seja, refere-se aos “centos” do capital.
Exemplo: taxa = i = 30% ao mês = 30% am.
b. Taxa unitária (ou centesimal): representa o juro de 
uma unidade do capital no período tomado como 
unidade de tempo.
Exemplo: taxa = i = 0,30 ao mês = 0,30 am.
Utilizamos o cálculo da taxa de juros para fazer 
um financiamento, uma simples compra a prazo e 
também para realizar um investimento. Entretanto 
muitas pessoas, ao realizar o ato de consumir ou 
investir no tempo, não conhece a composição de tal 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
31
taxa e, muito menos, a diferença no tempo. Por isso, 
a taxa de juros pode ser calculada diaria, mensal, 
semestral ou anualmente, tudo depende do obje-
tivo que se busca. Todavia, quando você escutar 
na televisão que a taxa básica de juros da econo-
mia está 6,5%, isto significa que é a taxa anual. Ou 
seja, comumente, as taxas de juros de investimentos 
e financiamentos são divulgadas com percentuais 
anuais. Por exemplo, se a taxa de juros for de 6,5% 
anual, significa que você receberá ou pagará no final 
6,5% do principal, isto é, sobre o capital (empres-
tado ou investido).
As terminologias de taxas de juros utilizadas são 
abreviadas, conforme apresentado na Figura 3.
Figura 3 - Terminologias utilizadas para expressar a 
taxa de juros no tempo
Fonte: as autoras.
a.d = ao dia
a.m = ao mês
a.b = ao bimestre
a.t = ao trimestre
a.q = ao quadrimestre
a.s = ao semestre
a.a = ao ano
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
32
Observe “que a taxa de juros (i) e os períodos (n) 
devem estar expressos na mesma referência tem-
poral. Se a taxa de juros for mensal, por exemplo, o 
tempo deve ser mensal também” (CORREIA NETO, 
2011, p. 202). 
Você pode estar pensando que, para achar a taxa 
de juros equivalente mensal é só dividir a taxa anual 
por 12, ou para obter a taxa anual é só multiplicar a 
mensal por 12. Pois bem, veremos, durante o nosso 
estudo, que encontrar a equivalência entre taxa de 
juros e o tempo pode envolver certa complexidade. 
MONTANTE OU VALOR FUTURO
Montante ou valor futuro corresponde a uma cumu-
lação relativa à aplicação de um capital C, é definido 
como o capital acrescido de seu respectivo juro, 
expresso em uma unidade monetária e indicado pelas 
letras M ou S ou FV (valor futuro).
Exemplo: Montante = Valor futuro = M = FV = 
R$ 2.500,00.
Cabe ressaltar, que o Valor Nominal (VN) de uma 
operação financeira é o valor constante do título de 
crédito (por exemplo, na fatura de cartão de crédito), 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
33
independentemente se é o valor presente ou o valor 
futuro da operação. 
Verifique que, entre as notações técnicas, está apre-
sentado o valor presente e o valor futuro. Como o 
nome já diz, o valor presente (VP) é o valor da ope-
ração financeira iniciada hoje, isto é, na data presente. 
Como o valor presente e o capital coincidem, eles são 
tratados como sinônimos. No entanto o valor futuro 
(VF) é o valor de uma operação financeira entre a 
data atual ou presente e o vencimento da operação. 
O capital mais os juros também podemos considerar 
como sinônimo de montante. Assim, o valor futuro 
pode ser representado, matematicamente, por:
 VF VP J= +
ou
 M C J= +
Por fim, temos que o valor devolvido no futuro 
corresponde ao valor original somado ao adicional 
(aluguel do dinheiro), isto é, montante igual capi-
tal mais o juro. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
34
Observe que a percentagem faz parte do univer-
so da matemática financeira. Desta forma, per-
centagem (%) significa por cento ou por cem. Isto 
é, representa valores em relação a cem (100). Por 
exemplo:
5050%
100
=
 2020%
100
=
 1010%
100
=
Pense que esta fração centesimal pode ser escrita 
em forma decimal. Observe o exemplo a seguir:
5050% 0,5 
100
= = 
2020% 0,2
100
= = 
1010% 0,10
100
= =
Note que podemos calcular porcentagem de um 
número de várias formas, para isso, pegaremos 
um dos exemplos anteriores: 
5050% 0,5
100
= =
Agora, escreveremos a porcentagem em forma 
decimal e multiplicaremos por um número. Ima-
gine que 50% das 20.000 (vinte mil) pessoas vota-
ram no candidato X. Quantas pessoas votaram no 
candidato X?
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
35
Agora, para deixar clara a nomenclatura que utili-
zaremos no livro, adotaremos algumas simbologias 
que facilitem o entendimento, não só da taxa de juros 
no tempo, mas também outras notações técnicas 
encontradas no estudo da matemática financeira. 
No Quadro 1, você observa a notação técnica utili-
zada neste livro.
Quadro 1 - Notações técnicas
i Taxa unitária de juros. Exemplo: 0,10 am.
r ou i Taxa percentual de juros. Exemplo: 10% am.
j ou J Juros simples, decorridos “n” períodos.
J ou j Juros compostos, decorridos “n” períodos.
n Número de períodos.
PMT Termo, prestação ou série de pagamentos uniformes.
C Capital ou valor presente (VP).
5050% 0,5 0,5 . 20.000 1 0.000
100
= = = =
Logo, o candidato X recebeu 10.000 votos. Por-
tanto, as taxas podem ser expressas de duas for-
mas: em percentual (10%) ou unitária ou decimal 
(0,10).
Fonte: as autoras
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
36
VP Valor atual ou valor presente (PV).
P Principal valor atual ou valor presente.
VF Valor futuro ou montante (M).
M Montante de capitalização simples – valor futuro.
S Montante de capitalização composta – valor futuro.
Fonte: adaptado de Muller e Antonik (2012, p. 5).
Ressaltamos que os conceitos de prestações (PMT) 
e o sistema de capitalização composta serão abor-
dados em outras unidades desta obra. 
TAXAS DE JUROS
Você sabia que as tran-
sações financeiras são 
fundamentadas na deter-
minação antecipada de 
taxas de juros? “Os juros 
representam as compen-
sações financeiras nas 
operações ativas e passivas” (CORREIA NETO, 
2011, p. 200). Assim, para o investidor, os juros são 
remunerações dos investimentos (operação ativa) e, 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
37
para o tomador, eles representam o custo do capital 
(operação passiva) (CORREIA NETO, 2011). Neste 
sentido, quem paga tem custo, despesa ou prejuízo, 
e quem recebe obtém ganho de capital, isto é, ren-
dimento ou receita financeira. 
Cabe ressaltar que a taxa de juros pode ser influen-
ciada pela inflação, risco da operação, utilidade e custo 
de oportunidade do capital: a inflação leva à perda de 
poder de compra da moeda, isto é, corroendo o capital 
de forma que se compra cada vez menos com a mesma 
quantia em dinheiro, o que exige que o investimento pro-
duza resultado maior queo capital investido, que deve ser 
superior a inflação do período. Observe, quanto maior a 
inflação, maior a taxa de juros (CORREIA NETO, 2011). 
O risco da operação cresce com relação ao prazo, 
ou seja, a incerteza quanto ao futuro. Desta forma, 
quanto maior o risco, maior será a remuneração exi-
gida, isto é, maior a taxa de juros. Agora, perceba que 
investimentos com menor risco, fornecem uma taxa 
de retorno mais baixas (CORREIA NETO, 2011).
“O conceito de utilidade também influencia o 
comportamento da taxa de juros” (CORREIA NETO, 
2011, p. 201). Isto quer dizer que quando você decide 
investir impede que o dinheiro circule na econo-
mia, isto é, que esse dinheiro seja utilizado para 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
38
o consumo. Assim, para você abrir mão do capi-
tal, hoje, e ficar sem consumir, exigirá um prêmio. 
Quanto maior a utilidade do capital, mais alta deve 
ser a taxa de juros (CORREIA NETO, 2011).
Por fim, o custo de oportunidade é um ponto deter-
minante das taxas de juros, na medida em que você, 
ao selecionar uma oportunidade de investimentos, 
abrirá mão de outra oportunidade em que, por sinal, 
não será remunerado. Desta forma, há um custo de 
oportunidade representado pelo que se deixou de 
ganhar. De fato, quanto maior o custo de oportuni-
dade, maior será a taxa exigida do investimento. 
“A taxa de juros é a razão entre o juro recebido (ou 
pago) no final de um período de tempo e o capital, 
inicialmente, empregado. Assim, a taxa será sempre 
relacionada com uma unidade de tempo” (MULLER; 
ANTONIK, 2012, p. 10, grifo nosso). Perceba que há 
uma diferença entre taxa de juros e o valor dos juros. 
A taxa de juros é o percentual aplicado ao capital 
inicial para que ele seja resgatado no futuro. Assim, 
a taxa de juros, como já vimos, é expressa em:
$20,00 0,20 20% . .
$1 00,00
J Ri ou a a
C R
= = =
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
39
Em contrapartida, o juro é o valor expresso em 
dinheiro, por exemplo, em reais, referente à remune-
ração do capital inicial empregado, é o valor gerado 
por meio da capitalização (simples ou composta) de 
um investimento transcorrido no tempo. 
Nos juros simples ou capitalização simples, os 
juros incidem apenas sobre o valor inicial, isto é, o 
capital. Por sua vez, na capitalização composta, no 
final de cada período de capitalização, os juros incor-
poram-se ao valor inicial, tornando um novo valor 
que passa a render juros (juros sobre juros). 
Por exemplo: Um empréstimo de R$10.000,00 é 
adquirido pelo prazo de 3 meses, com taxa de juros 
de 10% a.m (ao mês). 
Cálculo de juros simples
 . . Juros simples VP i n=
Juros simples = 10.000,00 . 0,10 . 3 = R$ 3.000,00
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
40
Cálculo dos juros compostos
 . (1 )nValor Futuro VP i= +
Valor Futuro = 10.000,00 . (1+ 0,10)3 = R$ 13. 310,00
 Juros VF VP= −
Juros = 13.310,00 −10.000 = R$ 3.310,00
Observe que os juros compostos são maiores que os 
juros simples, pois, neste modelo, o cálculo leva em 
consideração os juros sobre juros.
Nas próximas unidades, compreenderemos as 
definições e aplicações de juros simples e juros 
compostos.
Variação percentual
Pense que, em um determinado mês, o preço de 
um produto seja R$ 50,00 e, no mês seguinte, o pre-
ço tenha sido alterado para R$ 55,00. A alteração 
de preço foi positiva em R$ 5,00. Assim, a variação 
percentual de preço nas datas consideradas foram:
0
0
 tV VJ
V
−
= => 
55,00 50,00
50,00
J −= = 0,10 = 10%
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
41
Cabe ressaltar que “não se pode comparar ou somar 
dinheiro a menos que ele esteja no mesmo instante 
de tempo” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 1). Não 
obstante, caso o “dinheiro não esteja no mesmo ins-
tante de tempo para somá-lo, é necessário mover o 
dinheiro no tempo associado a uma taxa de juros” 
(MULLER; ANTONIK, 2012, p. 1). Neste contexto, 
sempre que há concessão de dinheiro, o disponibili-
zador do recurso (credor) deverá receber o dinheiro 
emprestado adicionado a uma taxa de juros. Logo, 
quem empresta o dinheiro tem expectativa de rece-
bê-lo com uma taxa de retorno, isto é, a taxa de juros.
Observe, que o juro ou a variação percentual di-
ferença entre o preço na data futura (Vt) e a data 
inicial (V0), dividido pelo preço da data inicial 
(V0). Neste sentido, quando a variação percentual 
é positiva, denominamos taxa de crescimento, e, 
quando negativa, decrescimento.
Fonte: adaptado de Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2013)
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
42
SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO
Os regimes de capitalização esclarecem como os 
juros são calculados e incorporados ao capital, ou 
seja, como o montante varia no tempo. Logo, “o 
regime de capitalização é uma forma contínua no 
tempo que descreve como o juro é adicionado ao 
capital” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 12). 
Fique atento(a), pois há dois regimes de capita-
lização: simples (juros simples) e composto (juros 
compostos). “Quando a taxa de juros incide no decor-
rer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos 
que há um sistema de capitalização simples (juros 
simples) ou aplicado de forma linear” (MULLER; 
ANTONIK, 2012, p. 12). 
Imagine que ofereceram a você um empréstimo de 
R$ 1.000,00, com prazo de 5 anos e taxa de 10% ao 
ano a juros simples, conforme indicado na Tabela 1:
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
43
Tabela 1 - Capitalização simples
ANO
SALDO NO 
INÍCIO DE 
CADA ANO 
($)
JUROS APURADOS 
PARA CADA ANO ($)
SALDO DEVEDOR AO 
FINAL DE CADA ANO ($)
CRESCIMENTO ANUAL DO 
SALDO DEVEDOR ($)
Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
-
1.000,00
1.100,00
1.200,00
1.300,00
1.400,00
-
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.000,00 = 100,00
1.000,00
1.100,00
1.200,00
1.300,00
1.400,00
1.500,00
-
100,00
100,00
100,00
100,00
100,00
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 4).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
44
Observe que os juros incidem somente sobre o capi-
tal, o que apresenta valores idênticos no final de cada 
ano. Como consequência, o crescimento dos juros 
é linear, o que revela um comportamento igual ao 
de uma progressão aritmética, com o valor de R$ 
500,00 no final do período (ASSAF NETO, 2012). 
Verifique que, neste caso, não ocorre o fenômeno 
dos juros sobre juros. Como o juro é simples, você 
pode converter a taxa anual para a mensal simples-
mente dividindo 10% a.a por 12 meses (10% a.a: 12 
meses = 0,833%am).
Exemplo de capitalização simples: 
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por qua-
tro anos à taxa de 5% a.a, em um regime de juros 
simples. 
Resolução:
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 2.000,00 
(0,05) = 100,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 2.000,00 
(0,05) = 100,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 2.000,00 
(0,05) = 100,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 2.000,00 
(0,05) = 100,00
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
45
Assim, como somente o capital aplicado rende 
juros, o montante, no final dos quatro anos, foi de 
R$ 2.400,00. Conquanto, no regime de capitalização 
composta o juro do 1º período agrega-se ao capital 
resultante no montante. No 2º período, agrega-se a 
taxa de juros do período anterior ao montante e se 
calcula uma nova taxa de juros e adiciona ao mon-
tante. E assim, consecutivamente, de forma que se 
agrega a taxa de juros ao montante no início do perí-
odo e passa a render juros. 
Observe, que, no regime de capitalização com-
posta, ocorre um comportamento equivalente à 
progressão geométrica (ASSAF NETO, 2012). Pense 
que você adquiriu uma dívida de R$ 1.000,00, e a 
ela deve ser paga em juros compostos a uma taxa 
de 10% ao ano, a sua situação fica, conforme apre-
sentado na Tabela 2:
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
46
Tabela 2 - Capitalização composta
ANO SALDO NO INÍCIO DE CADA ANO ($)
JUROS APURADOS PARA 
CADAANO ($)
SALDO DEVEDOR AO FINAL DE 
CADA ANO ($)
Início do 1º ano
Fim do 1º ano
Fim do 2º ano
Fim do 3º ano
Fim do 4º ano
Fim do 5º ano
-
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,10
-
0,10 . 1.000,00 = 100,00
0,10 . 1.100,00 = 110,00
0,10 . 1.210,00 = 121,00
0,10 . 1.331,00 = 133,10
0,10 . 1.464,10 = 146,41
1.000,00
1.100,00
1.210,00
1.331,00
1.464,10
1.610,51
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 5).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
47
Caro(a) estudante, você deve ter observado, na tabela 
anterior, que os juros não incidem sobre o capital ini-
cial de R$1.000,00, mas sobre o saldo total existente 
a cada ano (ASSAF NETO, 2012). O crescimento 
dos juros acontece de forma exponencial ao longo 
do tempo. 
Exemplo de capitalização composta:
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por qua-
tro anos, à taxa de 5% a.a, em um regime de juros 
compostos. 
Resolução:
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 2.000,00 
(0,05) = 100,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 2.100,00 
(0,05) = 105,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 2.205,00 
(0,05) = 110,25
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 2.315,25 
(0,05) = 115,76
Assim, como somente o capital aplicado rende juros, o 
montante no final dos quatro anos, foi de R$ 2.431,01.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
48
Na capitalização composta, a taxa de juros fica 
maior do que na capitalização simples por levar 
em consideração os juros sobre juros. Nesta pers-
pectiva, “a capitalização composta proporciona 
crescimento do capital de forma exponencial, ao 
contrário do crescimento linear da capitalização 
simples” (CORREIA NETO, 2011, p. 206). Desta 
forma, o regime de capitalização composta cresce 
mais do que o de capitalização simples. Observe o 
exemplo: um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado por 
quatro anos, à taxa de 5% a.a, conforme indicado 
no Quadro 2:
Quadro 2 - Diferença entre capitalização simples e 
composta
ANO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
0 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00
1 R$ 2.100,00 R$ 2.100,00
2 R$ 2.200,00 R$ 2.205,00
3 R$ 2.300,00 R$ 2.315,25
4 R$ 2.400,00 R$ 2.431,01
 Fonte: as autoras.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
49
É importante ressaltar que você poderá encontrar 
no mercado a capitalização contínua e descontínua. 
De acordo com Assaf Neto (2012), a capitalização 
contínua promove uma sequência na capitalização 
distribuída ao longo do tempo, e não apenas na data 
final de período. Entretanto este tipo de regime de 
capitalização é pouco utilizado pela sua dificuldade 
de aplicação prática. 
Por sua vez, na capitalização descontínua, Assaf 
Neto (2012) ressalta que os juros são formados 
somente ao final de cada período de capitalização. 
Um exemplo são as cadernetas de poupança que 
remuneram com juros no final do mês, e não durante 
o mês. Cabe destacar que “a capitalização descontí-
nua pode ser identificada em juros simples e juros 
compostos” (ASSAF NETO, 2012, p. 6).
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
50
FLUXO DE CAIXA
A matemática financeira estuda as relações dos movi-
mentos monetários ao longo do tempo. Movimentos 
esses que são identificados no tempo por meio de 
entradas e saídas que denominamos fluxo de caixa 
(ASSAF NETO, 2012). O fluxo de caixa é de grande 
valia na matemática financeira, no sentido que per-
mite visualizar o que ocorre com o capital no tempo, 
como representado na Figura 4:
Figura 4 - Fluxo de caixa
Fonte: adaptada de Assaf Neto (2012, p. 2).
Na Figura 4, a linha horizontal representa o hori-
zonte de tempo da operação. O ponto zero indica 
o momento inicial e, os demais, as datas no tempo 
(ASSAF NETO, 2012). As setas para cima repre-
sentam as entradas de caixa ou recebimentos de 
dinheiro (+), as setas para baixo indicam as saídas 
ou aplicações de dinheiro (-) (ASSAF NETO, 2012). 
Entradas de
caixa (+)
Saídas de
caixa (-)
0 1 2
+ + + + +
3 54 6 7 (Tempo)8
- -
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
51
De fato, as entradas podem ser iguais ou diferentes, 
bem como os intervalos de tempo que podem ser 
regulares, ou não. 
Observe que o fluxo de caixa (PMT) retrata 
uma série de pagamentos ou recebimentos que se 
estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. 
Exemplos de fluxo de caixa: empréstimos, investi-
mentos e dividendos. Neste sentido, baseados nestes 
fluxos, são realizados os planos de amortização de 
pagamentos. Além disso, o fluxo de caixa pode ser 
utilizado para avaliação de empresas e/ou opções 
de investimentos para verificar qual seria a melhor 
opção do ponto de vista financeiro. 
O fluxo de caixa pode ser classificado de acordo 
com o período de ocorrência: postecipado e anteci-
pado. No fluxo de caixa postecipado, há a entrada 
ou saída no final de um período, após a ocorrência 
do fato. Por exemplo: ao adquirir um empréstimo 
para a primeira parcela (PMT) após 30 dias, con-
forme podemos observar na Figura 5:
0 1 2 3 n t
PMT PMT PMT PMT
Figura 5 - Fluxo de caixa postecipado
Fonte: as autoras.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
52
Por sua vez, no fluxo antecipado, muito comum na 
ocorrência de investimentos, há o desembolso no 
início do período, conforme indicado na Figura 6. 
Isto é, quando você adquire um imóvel, por exemplo, 
paga a entrada no início e, na sequência, as demais 
parcelas. 
0 1 2 3 n t
PMTPMT PMT PMT PMT
Figura 6 - Fluxo de caixa antecipado
Fonte: as autoras.
Os fluxos de caixas podem ser periódicos ou não 
periódicos. Assim, os periódicos apresentam um 
intervalo igual entre os fluxos de caixa, por exemplo, 
os pagamentos são realizados todo mês. Por outro 
lado, aos não periódicos os intervalos são diferentes. 
Com relação à duração do fluxo de caixa, ele pode 
ser limitado (finito) ou indeterminado (indefinido). 
A duração limitada ocorre quando os prazos dos 
pagamentos ou recebimentos são conhecidos, como 
um financiamento por 4 anos que será pago neste 
intervalo de tempo. Em contrapartida, os indeter-
minados ou indefinidos ocorrem, por exemplo, no 
pagamento de aluguel e projetos de investimentos. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
53
Ainda, os valores do fluxo de caixa podem ser cons-
tantes ou variáveis. Por constante, entende-se que os 
pagamentos e/ou recebimentos são iguais entre si. 
Não obstante, os valores variam ao longo do tempo. 
Nesta unidade, caro(a) aluno(a), pudemos ter 
um parâmetro do estudo da matemática financeira. 
Falamos sobre os aspectos do valor do dinheiro no 
tempo, conceitos dos elementos financeiros, taxa de 
juros, sistemas de capitalização e fluxo de caixa. Pois 
bem, agora que você já conhece esses elementos fun-
damentais da matemática financeira, poderá avançar 
em seu conhecimento sobre o tema. Bons estudos!
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES
54
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Prezado(a) aluno(a), chegamos ao fim desta unidade, com 
a qual demos início ao processo de entendimento sobre 
os conceitos fundamentais para trabalhar a matemática 
financeira. Acima de tudo, passamos a compreender o 
valor do dinheiro no tempo. Vimos que, ao antecipar 
o consumo, paga-se um valor extra que denominamos 
juros, podendo ser simples ou compostos. Não obstante 
os empréstimos são comumente realizados a juros com-
postos. De forma semelhante acontece com os nossos 
investimentos que, em alguns casos específicos, pode 
acontecer de empregarmos o nosso capital e ora rece-
bermos juros simples, ora compostos. 
Aprendemos que o dinheiro possui valor no tempo, 
isto é, uma unidade monetária, neste momento, não 
tem o mesmo valor que uma unidade monetária de 
ontem ou de amanhã. Neste sentido, trabalhamos 
conceitos dos elementos financeiros essenciais para 
que se possa entender conceitos básicos da matemá-
tica financeira, como valor presente e valor futuro. 
Desta forma, passamos a compreender o conceito 
de taxas de juros, que pode ser para o tomador ou 
investidor, custo de empréstimos ou remuneração 
pelo uso do capital, respectivamente. Neste contexto, 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS E JUROS SIMPLES55
vimos que o uso do dinheiro exige um pagamento 
que é denominado remuneração do capital. 
Conhecemos os sistemas de capitalização simples 
e composta e aprendemos que capitalização simples, 
os juros, incidem apenas sobre o valor principal (VP 
ou capital inicial), que cresce em progressão aritmé-
tica e/ou linear, o que induz a concluir que não há 
existência de juros sobre juros. Ao contrário, na capi-
talização composta, os juros sobre o principal crescem 
de forma geométrica e/ou exponencial. 
Aprendemos, também, o conceito de Fluxo de 
caixa, em que as entradas e saídas de dinheiro podem 
ser diferentes e ocorrem em momentos distintos 
no tempo. Por fim, prezado(a) acadêmico(a), agora 
que você já tem uma base inicial sobre a matemá-
tica financeira, nós o convidamos a continuar esta 
jornada. Bons estudos!
1. Complete o quadro a seguir:
TAXA DE 
JUROS
TAXA DE 
JUROS NA 
FORMA 
PERCENTUAL
TAXA DE 
JUROS NA 
FORMA 
UNITÁRIA
2% ao dia 2% ad 0,02 ad
 24% am 
 0,503 ab
90,05% ao se-
mestre 
 3,15 aa
0,50% ao dia 
2. Vimos a diferença entre juros exato e comercial, 
que compreende calcular os juros levando em 
consideração os 365, 366 ou 360 dias. Um capi-
tal de R$10.000,00 (VP) foi aplicado por quaren-
ta dias (d), à taxa (i) de 20% a.a. no regime de 
juros simples. 
Calcule o valor dos juros exato e comercial, e as-
sinale a alternativa correta:
a. Juros exato, 219,17, e comercial 222,22.
b. Juros exato, 223,23, e comercial 219,25.
c. Juros exato, 225,10, e comercial 228,20.
d. Juros exato, 228,20, e comercial 225,20.
e. Juros exato, 219,17 e comercial 242,22.
3. Pudemos observar que os juros são os pilares da 
matemática financeira. Nesta perspectiva, con-
sidere um capital de R$ 25.000,00, que foi apli-
cado durante três meses, gerando um montan-
te de R$ 30.000,00. Calcule a taxa de juros do 
período e assinale a alternativa correta:
a. 0,12 ou 12%.
b. 0,15 ou 15%.
c. 0,2 ou 20%.
d. 0,25 ou 25%.
e. 0,31 ou 31%.
4. Temos dois tipos de juros: simples e compostos. 
O juro simples incide sempre sobre o valor do 
capital, e o composto sobre o montante. Desta 
forma, um empréstimo de R$ 20.000,00 é adqui-
rido pelo prazo de três meses, após esse período, 
quem disponibilizou o dinheiro para o emprés-
timo recebeu um montante de R$ 26.000,00. 
Calcule a taxa de juros simples do período. 
 5. Na matemática financeira, encontramos diver-
sas simbologias, visto que o estudo do dinhei-
ro no tempo é realizado por meio de equações, 
em que se encontram relacionadas as diversas 
variáveis econômicas. Neste contexto, descreva 
a diferença entre valor presente (VP) e valor fu-
turo (VF). 
 6. Compreende-se como capitalização simples a 
taxa de juros aplicada somente ao capital inicial, 
diferentemente da capitalização composta em 
que incorre juros sobre juros. Nesta perspecti-
va, um capital de R$ 3.000,00 foi aplicado por 
quatro anos, à taxa de 10% a.a. Calcule o valor 
dos juros total ao longo do período pelo regime 
de juros simples e, em seguida, pelo composto.
 7. Represente as informações a seguir em um fluxo 
de caixa:
a. Tempo 0, saída de caixa de R$ 4.000,00.
b. Tempo 1, saída de caixa de R$ 2.000,00.
c. Tempo 2, entrada de caixa de R$ 500,00.
d. Tempo 5, saída de caixa de R$ 2.500,00.
e. Tempo 6, entrada de caixa de R$ 5.200,00.
f. Tempo 8, saída de caixa de R$ 3.500,00.
8. Converta a taxa simples indicada em taxa diária:
a. 120% aa 
b. 36% am 
c. 72% as
9. Converta a taxa simples indicada em taxa mensal:
a. 0,1% ad
b. 28% ab
c. 6% aq
a. 258% aa
 10. Converta a taxa simples de 24% aa em taxa di-
ária, mensal, bimestral, trimestral e semestral.
INSTRUMENTAL MATEMÁTICO
O objetivo desta leitura complementar não é ensi-
nar nem revisar matemática básica, mas explanar e 
discutir conceitos e aplicações indispensáveis para 
os conteúdos de matemática financeira.
Precisão nos cálculos
1. Arredondamento
Se você parar para analisar, verá que grande parte 
dos cálculos financeiros envolvem fração. Algumas 
delas têm precisão finita (20/10 = 2) e outras infini-
ta (10/3 = 3,333). Se estivermos buscando um va-
lor em reais, no primeiro caso, a resposta seria R$ 
2,00, de forma precisa. Todavia, no segundo caso, 
temos um problema de precisão em apresentação 
em valores reais, já que a moeda permite até duas 
casas decimais (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015). Neste 
caso, somos forçados a arredondar para 3,33, que 
é o número mais próximo da resposta correta. 
Exemplos de arredondamento de casas decimais:
 ■20,5685 é arredondado para 20, 57.
 ■28,1249 é arredondado para 20,12.
 ■2,99499 é arredondado para 2,99.
 ■8,00500 é arredondado para 8,01.
2. Precisão
Compreenda que, para evitar arredondamento 
desnecessário e uma maior precisão nos cálculos, 
o arredondamento só deve ser feito na resposta fi-
nal (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015). Para isso, é im-
portante utilizar-se de recursos da calculadora, fa-
zendo cálculos de forma sequencial. Por exemplo: 
4
6
100x
 pode ser feito de duas formas:
 ■
4
6
0 67 0 67 100� eapós x,, ;
 ■ � �
4
6
100 4 100
6
66 67x x ,
Observe que a segunda opção é mais precisa que 
a primeira. A diferença é que na primeira ocorreu 
um arredondamento nos cálculos intermediários 
(0,67), e o resultado foi a perda de precisão (DE 
CASTRO; DAL ZOT, 2015).
Razão e proporção
Pense que você abriu um negócio e, no primeiro 
ano, obteve receita de R$ 100.000,00 e, no segundo 
ano, as receitas foram de R$ 150.000,00. Ao compa-
rar os valores, observamos que a diferença é de R$ 
50.000,00. Entretanto esta comparação não oferece 
a ideia de crescimento das vendas de um ano para o 
outro. Para isso, é necessário efetuarmos uma com-
paração, dividindo as receitas do segundo ano pelas 
receitas do primeiro ano (150.000,00/100.000,00). O 
resultado desta razão é igual 1,5. Diante disso, dize-
mos que a receita do segundo ano é 1,5 vezes maior 
que a do primeiro ano. 
Agora, vamos imaginar que as receitas do terceiro ano 
sejam de R$ 80.000,00 e, no quarto ano, de R$ 120.000,00. 
Observe que a razão das receitas do ano quatro é de 
120.000,00/80.000,00, que é igual a 1,5. Pois bem, a razão 
do quarto ano equivale à razão 150.000,00/100.000,00, 
que pode ser visualizada a seguir:
150.000,00 120.000,00
100.000,00 80.000,00
=
Portanto, “essa igualdade de duas razões é chamada 
de proporção” (IEZZI; HAZZAN; DEGENSZAJN, 2013, 
p. 2), e pode ser ditada da seguinte forma: 150.000,00 
está para 100.000,00, assim como 120.000,00 está 
para 80.000,00. Isto é, há uma sentença de igualda-
de que denominamos de proporção. 
Potenciação
Você deve ter observado que, para calcular os juros 
compostos, precisará relembrar a potenciação. Pense 
que a potenciação é um número multiplicado por ele 
mesmo inúmeras vezes. Por exemplo: an = a*a*a*a….*a.
Sendo “a” a base que é o número multiplicado por 
ele mesmo, e “n” o expoente, em outras palavras, é 
o número de vezes que o número é multiplicado. 
Para entendermos melhor, vamos imaginar o nú-
mero 33, em que temos:
33 = 3 x 3 x 3 = 9 x 3 = 27
Sendo
3 – Base
3 – Expoente
27 – Resultado do produto 
Fonte: adaptado de De Castro e Dal Zot (2015) e 
Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2013). 
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Matemática Financeira: 
instrumentos financeiros 
para a tomada de decisão 
em Administração, 
Economia e Contabilidade.
Aderbal Nicolas Muller e
Luis Roberto Antonik
Editora: Saraiva
Sinopse: este é um livro-texto que se propõe 
a ser um manual prático, completo e com 
aplicações a serem utilizadas também no 
cotidiano das empresas e de seus gestores 
nos processos de tomadas de decisão. Esta 
obra conta com as nuances da matemática 
financeira e comercial. Traz diversos 
exemplos práticos ilustrados, tanto para uso 
com calculadoras tipo HP-12c, como para 
aplicações em Excel. Conta com material de 
apoio e planilhas de casos práticos aplicados à 
tomada de decisão em negócios.
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Prezado(a) aluno(a), como vimos, os juros 
dependem do capital, da taxa de juros edo tempo, 
por isso, convidamos você a assistir este vídeo a fim 
de reforçar seus conhecimentos sobre o tema.
Web: <https://www.youtube.com/
watch?v=YmKSgHY_pGQ>. 
REFERÊNCIAS
ASSAF, N. Matemática Financeira. São Paulo: Edi-
tora Atlas, 2012.
CORREIA NETO, J. F. Excel para profissionais de fi-
nanças: manual prático. 2. ed. Rio de Janeiro, 2011. 
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financei-
ra. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D. M. Funda-
mentos de matemática elementar: Matemática 
Comercial, Matemática Financeira e Estatística Des-
critiva. [S.l]: Atual, 2013.
MULLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática Finan-
ceira: instrumentos financeiros para a tomada de 
decisão em Administração, Economia e Contabili-
dade. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira e análise de 
investimentos. Florianópolis: Departamento de Ci-
ências da Administração/UFSC; Brasília: CAPES, 2011.
GABARITO
1)
TAXA DE 
JUROS
TAXA DE 
JUROS NA 
FORMA 
PERCENTUAL
TAXA DE JUROS 
NA FORMA 
UNITÁRIA
2% ao dia 2% a.d 0,02 a.d
24% ao 
mês 24% a.m 0,24 a.m 
50,3% ao 
bimestre 50,3% a.b 0,503 a.b
90,05% ao 
semestre 90,5% a.s 0,905 a.s
315% ao 
ano 315% a.a 3,15 a.a
0,50% ao 
dia 0,5% a.d 0,005 a.d
2) A.
3) C.
4) Taxa de juros = 6.000/20.000 = 0,3 ou 30%. 
5) O valor presente é o capital empregado e/ou em-
prestado, e o valor futuro é a soma do valor presente 
e/ou o capital mais os juros incorridos no período. 
GABARITO
6) 
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 
3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 
3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 
3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 
3.000,00 (0,10) = 300,00
Capitalização simples, valor dos juros R$ 1200,00
Ao longo do 1º ano, o juro originado foi de 
3.000,00 (0,10) = 300,00
Ao longo do 2º ano, o juro originado foi de 
3.300,00 (0,10) = 330,00
Ao longo do 3º ano, o juro originado foi de 
3.630,00 (0,10) = 363,00
Ao longo do 4º ano, o juro originado foi de 
3.993,00 (0,10) = 399,30
Capitalização composta, valor dos juros R$ 1.392,30
GABARITO
7) 
500
4000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
2000 2500 3500
5200
8) 
120 : 360 = 0,333% a.d
36 : 30 = 1,2% a.d
72 : 180 = 0,4% a.d
9)
0,1 x 30 = 3% a.m
28 : 2 = 14% a.m
6 : 4 = 1,5% a.m
258 : 12 = 21,5% a.m
GABARITO
10)
24 : 360 = 0,0667% a.d
24 : 12 = 2% a.m
24 : 6 = 4% a.b
24 : 4 = 6% a.t
24 : 2 = 12% a.s
U
N
ID
A
D
E II
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 ■ Instruir o acadêmico a respeito dos juros 
simples.
 ■ Orientar o aluno quanto à equivalência 
simples.
 ■ Ensinar o discente acerca do desconto 
simples.
U
N
ID
A
D
E
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que 
você estudará nesta unidade:
 ■ Juros simples
 ■ Equivalência simples
 ■ Desconto simples
II
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
74
INTRODUÇÃO
Prezado(a) aluno(a), a cada momento ocorre uma 
transferência de recursos entre os agentes econômi-
cos. Esta utilização do dinheiro no sistema econômico 
gera mais dinheiro, isto é, lucros. Uma vez que o preço 
do dinheiro é calculado via taxa de juros, precisamos 
nos aprofundar nos conceitos inerente às operações 
financeiras.
De fato, nesta unidade, aprofundaremos-nos em con-
ceitos sobre juros simples, equivalência simples e desconto 
simples, que são a base para avançarmos na matemática 
financeira, de forma a passarmos a compreender as ope-
rações mais complexas que envolvem juros compostos.
Assim, aprenderemos que os juros simples são calcula-
dos com base no capital. Logo, não há incidência de juros 
sobre juros, isto é, os juros são os mesmo ao longo do 
período. Este tipo de operação pode ser encontrado no 
mercado de investimentos em operações de curtíssimo 
prazo, em que a taxa de juros é calculada diariamente. 
Para trabalharmos juros simples, utilizaremos as fór-
mulas matemáticas algébricas e a calculadora financeira 
(HP-12C). 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
75
A equivalência simples envolve analisar quando dois 
ou mais capitais, com diferentes vencimentos, são con-
duzidos para uma mesma data, e a mesma taxa ocasiona 
valores iguais. Você verá que a equivalência de capitais é 
utilizada por pessoas, empresas, instituições financeiras, 
entre outros, na busca de compatibilização de entrada e 
saída ao longo do tempo. 
Além disso, trabalharemos o desconto simples ou des-
conto por fora, que nada mais é do que antecipações 
de valores a receber ou a pagar. Aprenderemos, de fato, 
caro(a) estudante, dois tipos de desconto: o comercial e 
o racional.
Pois bem, agora que já conhece o assunto com que 
trabalharemos nesta unidade, nós o(a) convidamos a se 
aprofundar nos estudos, pois o conhecimento gerado 
servirá como base para a operacionalização da matemá-
tica financeira ao longo dos seus estudos.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
76
JUROS SIMPLES
Caro(a) aluno(a), o 
juro envolvido em uma 
operação financeira é 
chamado juros simples, 
quando sua geração, 
em cada um dos perí-
odos a que se refere a 
taxa aplicada durante 
todo o seu prazo da operação, for feita, exclusiva-
mente, com base no capital inicial (principal). Vale 
ressaltar que, na operação de juros simples, os juros 
são pagos somente no final da operação (do con-
trato), sem parcelamento. 
Você verá que os juros simples são aplicados direta-
mente sobre o capital e compreendem, normalmente, 
aplicações de curto prazo. Deste modo, os juros simples 
são de fácil entendimento, pois a matemática financeira 
exige apenas cálculos utilizando equações lineares. 
Considere um empréstimo de R$ 20.000,00, à taxa 
de juros simples de 30% ao ano, a ser paga no final de 
4 anos. Para apresentar a evolução da dívida, colocare-
mos em forma de quadro para verificar a memória de 
cálculo, no Quadro 1.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
77
Quadro 1 - Evolução dos juros simples
ANO SALDO INICIAL
JUROS 
SIMPLES
SALDO 
FINAL
0 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00
1 R$ 20.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 26.000,00
2 R$ 26.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 32.000,00
3 R$ 32.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 38.000,00
4 R$ 38.000,00 20.000 . 0,30 = R$ 6.000 R$ 44.000,00
Fonte: as autoras.
Você sabia que, comumente, em juros simples, não há 
capitalização intermediária durante o período, isto 
é, o merecedor dos juros adquire o direito somente 
no final do período. A fim de obtermos a relação 
para o cálculo de juros simples, consideraremos uma 
situação modelo. Apliquei um capital C à taxa i pelo 
prazo n. Quanto gerei de juros simples?
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
78
Resolução:
Juros após 1 período: J1 = C i
Juros após 2 períodos: J2 = Ci + Ci = 2 (Ci)
Juros após 3 períodos: J3 = Ci + Ci + Ci = 3 (C . i)
...
Juros após n períodos: Jn = Ci + Ci + Ci + . . .+ Ci = n (Ci)
 
 . . J C i n=
ou
 . . J VP i n=
Onde
J = Juros
C = VP = Capital
i = Taxa
n = Prazo
Cabe ressaltar que i e n devem referir-se a um mesmo 
período de tempo.
Vamos considerar o seguinte exemplo: um capital apli-
cado por 6 meses a uma taxa simples de 10% a.m.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
79
 
R$50,00
R$40,00
R$30,00
R$20,00
R$0,00
R$-
Período 1 Período 2 Período 3 Período 4
Figura 1 - Comportamento dos juros lineares
Fonte: as autoras.
A fórmula algébrica matemática não é a única 
forma de resolução de exercícios. O uso de cal-
culadoras auxilia na busca pelas respostas aos 
exemplos, exercícios e às aplicações. Nas opera-
ções de juros simples, calculadoras simples que 
realizam as quatro operações matemáticas são 
suficientes. Um tipo de calculadora muito útil, 
inclusive, nas operações de juros compostos, 
rendas e anuidades bem como nos sistemas de 
amortizações, é a Calculadora Financeira, como, 
a HP-12C.SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
80
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
EM JUROS SIMPLES
A relação J = C . in foi estabelecida de modo a acei-
tar somente a taxa e o prazo referindo-se a mesma 
unidade de tempo. Caso isso não ocorra, devemos 
transformar uma destas grandezas (ou mesmo as 
duas).Para tanto, necessitamos, às vezes, do con-
ceito de taxas equivalentes.
a. Taxas equivalentes: duas (ou mais) taxas de juros 
são equivalentes quando, ao serem aplicadas a capi-
tais iguais, por prazos também iguais, produzem 
juro igual.
Utilizando a Calculadora HP-12C para apuração 
dos Juros Simples: 
[CHS] [PV] (valor do capital)
[ i ] (taxa de juros sempre anual) 
[ n ] (tempo sempre em dia)
[ f ] [ int ]
Fonte: as autoras. 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
81
Nos problemas que envolvem o sistema de capitali-
zação simples, a obtenção da taxa equivalente a uma 
dada taxa pode ser conseguida facilmente, pois duas 
taxas equivalentes são também taxas proporcionais.
b. Taxas proporcionais: duas (ou mais) taxas de juros 
simples são ditas proporcionais quando seus valo-
res e seus respectivos períodos de tempo, reduzidos 
a uma mesma unidade, formam uma proporção.
Assim, por exemplo, as taxas 3% ad e 90% a.m são 
proporcionais, pois:
Taxa período
3% 1 dia 3 = 1 
90% 30 dias 90 30
Na prática, a obtenção da taxa proporcional de certa taxa 
simples pode ser feita facilmente, bastando, para tanto, 
efetuar uma multiplicação (ou divisão) conveniente.
Exemplo 1: um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado 
a juros simples, durante 5 anos, com uma taxa de 
2% a.m. Obtenha o valor dos juros. 
Resolução Algébrica:
A taxa de 2% a.m equivale a 24% aa, em juros simples. 
Como um ano tem doze meses, a taxa anual é doze vezes 
a taxa mensal.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
82
 . .J VP i n=
J = 10.000 . 0,24 . 5
J = R$ 12.000,00
Resolução HP-12 C
10000 [CHS] [PV]
24 [ i ]
1800 [ n ]
[ f ] [ int ]
R$ 12.000,00
Exemplo 2: um capital de R$ 7.000,00 foi aplicado 
a juros simples, durante um ano e meio, com uma 
taxa de 8% a.s. Obtenha o valor dos juros.
Resolução Algébrica:
8% ao semestre é proporcional a 16% ao ano (como 1 
ano tem dois semestres, logo, a taxa anual é duas vezes 
a taxa simples do semestre).
 . .J VP i n=
J = 7000 . 0,16 . 1,5
J = R$ 1.680,00
Resolução HP-12 C
7000 [CHS] [PV]
16 [ i ]
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
83
540 [ n ]
[ f ] [ int ]
R$ 1.680,00
Exemplo 3: uma aplicação financeira de R$ 100,00 
rendeu juros simples de R$ 12,00, durante o perí-
odo de um ano. Obtenha a taxa mensal de juros da 
aplicação.
Resolução Algébrica:
 . .J VP i n=
12 = 100 . i . 1
i = 12 : 100 = 0,12 ao ano ou 12% ao ano
Como um ano tem doze meses, 12% ao ano, dividido 
por 12 meses corresponde à taxa proporcional de 1% ao 
mês.
Resolução HP-12 C
100 [enter]
12 [ %T ]
1 [ / ] 
12% ao ano
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
84
MONTANTE SIMPLES
Montante (M) ou Valor Futuro (FV) relativo à aplica-
ção de um capital C é definido como sendo o capital 
C acrescido de seu respectivo juro J. No sistema de 
capitalização simples, o montante ou valor futuro é 
apurado da seguinte forma:
 M C J= +
Como J = Cin
Então,
 . . M C C i n= +
( ) 1 . M C C i n= + +
ou
( ) 1 . FV PV i n= +
Exemplo 1: encontrar o montante obtido na apli-
cação de um capital de R$ 10.000,00, à taxa simples 
de 5% am, durante um período de 8 meses.
Resolução Algébrica:
( ) 1 . M C C i n= + +
M = 10.000 ( 1 + 0,05 . 8)
M = 10.000 (1,40) = R$ 14.000,00
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
85
Exemplo 2: no dia 08 de fevereiro de 20XX, uma pes-
soa tomou emprestado a quantia de R$ 185.500,00, 
comprometendo-se a liquidar a dívida em 1 mês e 
10 dias, pagando o empréstimo por R$ 296.800,00. 
A que taxa simples diária se deu-se esta operação?
Resolução Algébrica:
( ) 1 . M C C i n= + +
296.800 = 185.500 (1 + i . 40)
296.800 / 185.500 = 1 + 40 i
1,60 = 1 + 40 i
1,60 - 1 = 40 i
0,60 = 40 i
i = 0,60 / 40
i = 0,015 a.d ou 1,5% a.d
Exemplo 3: em quantos meses um capital dobra de 
valor, se aplicado a juros simples de 2% a.m? 
Resolução Algébrica:
( ) 1 . M C C i n= + +
2C = C (1 + 0,02 n)
2C / C = 1 + 0,02n
2 = 1 + 0,02 n
2 - 1 = 0,02 n
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
86
1 = 0,02 n
n = 1 / 0,02
n = 50 meses
Exemplo 4: qual é o capital que aplicado à taxa sim-
ples de 2% a.b, durante 1 ano e 7 meses resultou num 
montante de R$ 1.120,00?
Resolução Algébrica:
Taxa de 2% a.b é proporcional a 1% a.m.
( ) 1 . M C C i n= + +
1.120 = C (1 + 0,01 19)
1120 = C ( 1 + 0,19)
1120 = 1,19 C
C = 1120 / 1,19
R$ 941,18
Neste sentido, podemos verificar que os cálculos 
financeiros, muitas vezes, são realizados por meio de 
calculadoras e, por isso, não podemos nos esquecer 
delas, já que simplificam o processo no que tange 
a resolução de problemas financeiros. Nesta pers-
pectiva, vamos trabalharemos o método algébrico 
(ALG), utilizado na maioria das calculadoras e o 
RPN (Notação Polonesa Reversa) para calculado-
ras HP. 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
87
Agora, utilizando nosso exemplo, vamos refazer 
os cálculos dos juros:
RPN ALG
20.000 [ENTER] 20.000 [X]
0,3 [X] 0,3 [X]
4 [X] 4 [=]
->24.000 ->24.000
 
Vamos refazer os cálculos do Valor Futuro:
RPN ALG
0,3 [ENTER] 0,30 [X]
4 [X] 4 [+]
1 [+] 1 [X]
20.000 [X] 20.000
-> 44.000 -> 44.000
Exercício resolvido 1-
Qual valor futuro ou montante e o valor dos juros gera-
dos numa aplicação financeira de R$ 16.000,00, durante 
12 meses, com taxa de 1,4% ao mês?
VP = 16.000,00
n = 12 meses
i = 1,4% ao mês
VF = ?
J = ?
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
88
Valor Futuro
( )1 .VF VP i n= +
VF = 16.000 (1 + 0,014.12) VF
= 16.000 (1+ 0,168)
VF = 16.000 (1,168)
VF= 18.688
Valor dos Juros
 . .J VP i n=
J = 16.000 . 0,014 . 12 = 
2.688
ou
 J VF VP= −
J = 18.688 - 16.000 = 2.688
Resolução: o valor presente é de R$ 16.000,00, e o 
valor dos juros é de R$ 2.688,00.
Agora, caro(a) estudante, se quisermos determi-
nar o valor presente tendo os dados do valor futuro, 
basta isolar a fórmula atual do montante ou valor 
futuro (VF). Observe que a “fórmula do montante é 
suficiente para resolver qualquer problema de juros 
simples” (BUENO; RANGEL; SANTOS, 2011, p. 6)
( )1 .
VFVP
i n
=
+
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
89
Exemplo 5: uma aplicação rendeu, após 4 anos, o 
montante de R$ 30.000,00 a uma taxa de juros anual 
de 20%. Qual o valor aplicado?
( ) ( )
30.000 30.000 16.666,67
1 0,2 . 4 1,8
VP = = =
+
Verifique que o valor inicial aplicado no investi-
mento foi de R$ 16.666,67. Vamos refazer os cálculos 
na calculadora:
RPN ALG
30.000 [ENTER] 30.000 [÷]
0,2 [ENTER] (0,2 [X] 4 [+] 1 )
4 [X] 1 [+] [÷] =
-> 16.666,67 ->16.666,67
Observe que, utilizando a calculadora na forma algé-
brica, você terá que calcular, a princípio, o valor dos juros 
vezes o tempo somado 1. Conforme: 
( )4
30.000
1 0,2 ⋅+
.
Exercício resolvido 2
Qual valor presente ou capital e o valor dos juros 
gerados numa aplicação financeira de R$ 18.688,00, 
durante 12 meses, com taxa de 1,4% ao mês?
 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
90
( )1 
VFVP
i n
=
+ ⋅
( )
18.688
1 0,014 12
VP =
+ ⋅
( )
18.688
1 0,1680
18.688
(1,1680)
16.000
VP
VP
VP
=
+
=
=
 . . 
16.000 0,014 12 2.688
J VP i n
J
=
= ⋅ ⋅ =
ou
 
18.688 16.000 2.688
J VF VP
J
= −
= − =
Resolução: o valor presente é de R$ 16.000,00, e o 
valor dos juros é de R$ 2.688,00.
Imagine, agora, que você quer saber qual seria o 
tempo necessário para um capital ou valor presente 
de R$ 2.500, aplicado com taxa de 10% ao mês e pro-
duz R$ 500 de juros. 
?
?
12 meses
1,4% ao mês
18.688
VP
J
n
i
VF
=
=
=
=
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
91
J = R$ 500
VP = R$ 2.500
i = 10% a.m
n = ?
Resolução:
Isolando o “n” na fórmula básica [ ] . .J VP i n=
 
Jn
VP i
=
⋅
500 2
2500 0,10 
n = =
⋅
Assim, o tempo necessário para que o capital pro-
duza juros de R$ 500,00 é de dois meses. Observe 
que a taxa estava em meses caso estivesse ao ano, o 
resultado seria doisanos, e não dois meses. Por isso, 
para realizar esta conta, é importante prestar aten-
ção no período da taxa de juros: dia, mês, bimestre, 
trimestre, semestre e ano. 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
92
EQUIVALÊNCIA SIMPLES
Observe que nos exemplos de 
juros simples, considerou-se que 
os períodos dos juros são iguais 
à capitalização ou ao pagamento 
dos juros, isto é, a taxa e o tempo 
estavam no mesmo período, por 
exemplo: se a taxa de juros é men-
sal, o período de capitalização deve 
ser mensal também. Entretanto, na vida real, nem 
sempre é assim, é comum você encontrar taxa de 
juros anuais e períodos de capitalização mensais. 
Ainda, dívidas vincendas podem ser substituídas 
por outras, de modo a não favorecer, nem prejudi-
car as partes envolvidas, ou seja, busca-se manter o 
equilíbrio monetário.
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS 
No caso de juros simples, realizar a conversão entre 
as taxas mensais para as anuais e as anuais para as 
mensais é, relativamente, simples. Por exemplo: ima-
gine que você queira saber a taxa anual equivalente à 
taxa mensal de 1%. Para isso, basta você multiplicar 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
93
por 12 meses. Isso mesmo, se a taxa de juros for sim-
ples, é só pegar a taxa e multiplicar ou dividir, sem 
complexidade. Neste caso, o valor da taxa anual é: 
12 0,12 ou 12%0,01⋅ = . 
Outro exemplo é considerar os juros simples, qual a taxa 
mensal equivalente a 12% ao trimestre. Para achar, é só 
dividir 12% por 3 (0,12/3 = 0,04 ou 4%). Assim:
 ■ 6% a.b (ao bimestre) é equivalente a 3% a.m
 ■ 9% a.t (ao trimestre) é equivalente a 3% a. m
 ■ 18% a.s (ao semestre) é equivalente a 3% a. m
 ■ 36% a.a (ao ano) é equivalente a 3% a. m
Podemos dizer, prezado(a) acadêmico(a), que as 
taxas são equivalentes quando aplicamos o mesmo 
capital, durante determinado período de tempo, e 
originam os mesmos juros. Um capital R$ 4.000,00 
pode ser aplicado à taxa de juros de 1 % ao mês ou 
12% a. a. Com um prazo de dois anos, veremos se 
as taxas são realmente equivalentes:
 . . 
4.000 0,01 24
960
J VP i n
J
J
=
= ⋅ ⋅
=
 . . 
4.000 0,12 2
960
J VP i n
J
J
=
= ⋅ ⋅
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
94
Assim, em juros simples, as taxas de 1% a.m e 12% 
a.a são equivalentes.
Exercício resolvido 3
Qual a taxa anual de juros simples que um deter-
minado investimento rendeu, visto que o capital 
aplicado foi de R$ 10.000,00, e o valor de resgate foi 
de R$ 11.050,00, após 12 meses?
Resolução:
A taxa de juros anual foi de 10,5%. Utilizando a calculadora:
RPN ALG
1.050 [ENTER] 1.050 [/]
10.000 [/] 10.000 [X] 1
1 [X] =
-> 0,105 ou 10,5% ->0,105 ou 10,5%
J
VP
VF
n meses ano
i
i J
VP n
i
 
 
 
 
1 050
10 000
11 050
12 1
1 050
.
.
.
?
.
.
� �
�
�
�
110 000 1
0 105 10 5
. .
, , %� ou
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
95
Você sabia que quando há divergências entre taxas 
de juros e período de tempo é sempre o tempo que 
deve ser convertido, e não a taxa? Por exemplo: se 
a taxa de juros está mensal, e o tempo está em dias, 
então, preciso transformar o tempo em meses, e 
não o contrário. Vejamos: qual é o rendimento de 
uma aplicação financeira de R$ 4.859,00, após 149 
dias à taxa de 2,9% ao mês (a.m)? Para resolver este 
problema, precisamos transformar o tempo de dia 
(149) para mês.
Dados:
Observe que precisamos de uma informação antes 
de prosseguir, isto é, o prazo está em dias, e a taxa 
está em mês.
?
4.859,00
2,9% (0,029) .
149 4,966666666 meses
30
J
VP
i a m
dn
=
=
=
= =
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
96
Preste atenção nos arredondamentos neste caso, por 
exemplo: n= 4,96666....
Se esse valor for arredondado antes de se calcular a 
resposta final, pode-se perder a precisão. Conforme 
podemos observar a seguir:
ARREDONDANDO 
N = 149 DIAS 
PARA...
RESULTADO DE J=VP.I.N
4,9 94 4.5 ,8 0,029 ,9 9 652 0⋅ ⋅ =
4,96 0,29 4,96 660,0814.589 ⋅ ⋅ = 
4,966 0,029 4,966 660,8804.589 ⋅ ⋅ = 
4,966666666 
(mais precisão 
possível)
0,029 4,9666666 660,9689674.589 ⋅ ⋅ = 
(sendo essa a resposta mais 
correta)
 
1494.589 0,029
30
1494.589 0,029
30
660,968967
J VP i n
J
J
J
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
97
Comumente, a exatidão é exigida por meio de duas casas 
após a vírgula, no entanto, neste caso, qualquer arredonda-
mento forneceria respostas inexatas ao problema estudado. 
Neste sentido, para obter mais precisão, seria importante 
utilizar todas as casas após a vírgula. Agora, veremos como 
resolver este exercício na calculadora:
RPN ALG
4.589 [ENTER] 4.589 [x]
0,029[x] 0,029 [X]
149 [X] 149 [/]
30 [/] 30 [=]
->660,968967 ->660,968967
Agora, caro(a) aluno(a), imaginaremos que foi realizado 
um empréstimo no valor de R$ 4.000,00 à taxa de juros 
simples de 36% a.a (ao ano) comercial, para ser quitado 
após 30 dias. Observe que a taxa de juros está anual e 
é preciso convertê-la para diária. Para isso, utiliza-se a 
regra do banqueiro, isto é, por meio da conversão.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
98
Dados:
Foram pagos rendimentos no valor de R$ 120,00. 
Utilizando a calculadora:
RPN ALG
4.000 [ENTER] 4.000 [x]
0,36 [X] 0,36 [X]
30 [X] 30 [ / ]
360 [ / ] 360 [=]
->120 ->120
Vamos calcular, agora, o valor principal, isto é, o 
capital necessário para aplicar num investimento 
que remunere a taxa de juros simples de 30% ao ano 
para conseguir um valor de R$ 700,00 e 50 dias.
?
4.000
36%(0,36) .
3030 d 0,83333333 anos
360
J
VP
i a a
n
=
=
=
= = =
 4.000 0,36 0,83333333 120J VP i n= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
99
Dados:
Assim, é necessário realizar uma aplicação de R$16.800,00. 
Avançando no assunto de equivalência, calcularemos 
a taxa de juros em que uma aplicação financeira de R$ 
5.000 rende juros de R$ 550,00, após 340 dias. Para isso, 
precisaremos achar a taxa de juros simples anual utilizada.
?
700
30%
5050 d
360
VP
J
i
n
=
=
=
= = J VP i n= ⋅ ⋅
 /
700 / (0,3 50 / 360) 16.800
VP J i n
VP
= ⋅ ⋅
= ⋅ =
5.000
550
340340 d
360
?a
VP
J
n
i
=
=
= =
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
100
Dados: 
 
Assim, a taxa anual é de 11,65%. Utilizando a cal-
culadora temos:
RPN ALG
550 [ENTER] 550 [ / ]
5.000 [ENTER] (5.000 [X] 340 [ / ] 360)
340 [X] 360 [ / ] [ / ] =
->0,1165 ou 11,65% ->0,1165 ou 11,65%
Neste instante que você já conhece como calcular 
a taxa de juros, aprenderemos a trabalhar a equi-
valência no cálculo do prazo. Para isso, considere 
um empréstimo de R$ 6.500, que rende juros de R$ 
890,00 à taxa mensal de juros simples de 3,5% a.m. 
Qual o número de meses que durou o empréstimo?
 J VP i n= ⋅ ⋅
( )
( )
 /
550 / 5.000 340 / 360 0,1165 ou 11,65%
i J VP n
i
= ⋅
= ⋅ =
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
101
Dados:
Assim, a duração do empréstimo foi de 3,91 meses. 
Se você quiser saber o número de dias que durou o 
empréstimo, terá que converter o número de meses 
em dias. Agora, utilizaremos a calculadora:
RPN ALG
890 [ENTER] 890 [ / ]
6.500 [ENTER] (6.500 [X] 0,035 )
0,035 [X] [ / ] ->3,91
->3,91 [X] 30
30[X]
->117,36 dias ->117,36 dias
Pois bem, calcularemos agora o montante. Imagine um 
capital no valor de R$ 10.000 emprestado à taxa de juros 
simples de 48% a.a (ao ano). Qual o montante após 550 dias?
6.500
890
3,5%(0,035) .
? em meses
VP
J
i a m
n
=
=
=
= J VP i n= ⋅ ⋅
( ) /
890 / (6500 0,035) 3,91
n J VP i
n
= ⋅
= ⋅ =
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
102
Dados:
O montante foi de R$ 17.333,33. Utilizando a cal-
culadora temos:
RPN ALG
0,48 [ENTER] 0,48 [X]
550 [X] 550 [/]
360 [/] 360 [+]
1 [+] 1 [ X]
10.000 [X] 10.000 [=]
->17.333,33 ->17.333,33
10.000
48%(0,48) .
550 d 550 / 360
?
VP
i a a
n
VF
=
=
= =
=
( ) 1
10.000(1 0,48 550 / 360)
17.333,33
VF VP i n
VF
VF
= + ⋅
= + ⋅
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
103
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL
A Equivalência Financeira constitui-se no raciocínio 
básico da matemática financeira. Conceitualmente, 
dois ou mais capitais representativos em uma certa 
data se dizem equivalentes quando, a umataxa de 
juros, produzem resultados iguais numa data comum.
Exemplo 1: o valor de R$ 120,00 vencível daqui a 1 ano 
e R$ 100,00 hoje são equivalentes a uma taxa de juros 
simples de 20% a.a.
Se com um capital de R$ 100,00 à taxa de 20% a.a, obti-
vermos R$ 120,00 em um ano, então, dizemos que R$ 
100,00, hoje, equivale a R$ 120,00 daqui a 1 ano.
Exemplo 2: determine se R$ 438.080,00 vencíveis 
daqui a 8 meses são equivalentes a se receber, hoje, 
R$ 296.000,00, admitindo uma taxa de juros simples 
de 6% a.m.
( ) 1
100(1 0,20 1)
100(1 0,20)
100 1,20
$120,00 logo são equivalentes
M C i n
M
M
M
M R
= + ⋅
= + ⋅
= +
= ⋅
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
104
Para serem equivalentes, R$296.000,00, hoje, devem 
corresponder a R$ 438.080,00 daqui a 8 meses, com 
taxa de 6% a.m.
( ) 1M C i n= + ⋅
A equivalência de capitais pode, então, ser genera-
lizada a partir da seguinte representação gráfica:
 
Os capitais A1, A2, B1, B2 e B3, dizem-se equivalen-
tes se, quando expressos em valores de uma data 
comum (data de comparação ou data focal) e a uma 
mesma taxa de juros, apresentam resultados iguais.
Sendo o momento escolhido 6 (data focal), tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3A 1 5i A 1 4i B 1 3i B 1 2i B 1 1 i+ + + = + + + + +
8)
296.000(1 0,48)
296.000 1,48
$438.080,00 logo, são equivalentes
296.000(1 0,06M
M
M
M R
⋅
= +
= ⋅
=
= +
0 1
A1 B1A2 B2 B3 ?
2 3 4 5 6 11
.............
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
105
A equivalência de capitais em juros simples é depen-
dente da data de comparação escolhida (data focal).
Exemplo 3: admita que Fulano deve a Beltrano os 
seguintes pagamentos:
 ■ R$ 50.000,00, de hoje a 4 meses.
 ■ R$ 80.000,00, de hoje a 8 meses.
Propõe-se substituir pelo pagamento de R$ 10.000,00 
hoje, R$ 30.000,00 de hoje a 6 meses, e o restante 
ao final de um ano (12 meses). Sabendo que a taxa 
de juros simples é de 24% a.a, apurar o saldo a ser 
pago. Para serem equivalentes, os pagamentos devem 
produzir os mesmos resultados à determinada taxa de 
juros, em qualquer data comum. Admita, inicialmente, 
que a data focal selecionada é o momento hoje.
80.00050.000
10.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
?30.000
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
106
Considerando 0 (zero) como data focal, tem-se:
Montante 1 = 50.000, gera um Capital 1
Montante 2 = 80.000, gera um Capital 2
Montantes 1 e 2 são equivalentes a:
Capital 3 = 10.000.
Montante 4 = 30.0000, gera um Capital 4
Montante 5 = ?, gera um Capital 5
Na equivalência financeira em juros simples, é im-
portante ressaltar que os prazos não podem ser 
desmembrados (fracionados) sob pena de alterar os 
resultados.
Capital1 Capital 2 10.000 Capital 4 Capital 5
50.000(1 0,02 4) 80.000(1 0,02 8) 10.000 30.000(1 0,02 6)
50.000 1,08 80.000 1,16 10.000 30.000 1,12
54.000 92.800 10.000 33.600
$103.200,0
M
M
M
M R
+ = + +
+ ⋅ + + ⋅ = + + ⋅ +
⋅ + ⋅ = + ⋅ +
+ = + +
= 0
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
107
Exemplo 4: verifique se o montante no final de dois 
anos de R$ 100,00 aplicados hoje à uma taxa de juros 
de 20% a.a, equivale a R$ 140,00. No entanto este 
processo de capitalização linear não pode ser fra-
cionado de forma alguma. Por exemplo, não pode 
apurar, inicialmente, o montante ao final do pri-
meiro ano, e, a partir disso, chegar ao montante do 
segundo ano envolve a capitalização de juros (juros 
sobre juros), prática esta não adotada em regime de 
juros simples.
Dois capitais equivalentes, ao fracionar os seus 
prazos, deixam de produzir mesmo resultado na 
data focal pelo critério de juros simples.
( ) 1
100(1 0,20 2)
$140,00 logo, $100,00 e $140,00 são equivalentes
M C i n
M
M R R R
= + ⋅
= + ⋅
=
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
108
DESCONTO SIMPLES
Caro(a) estudante, a pala-
vra desconto dá a entender 
que é um abatimento de um 
valor monetário em determi-
nada condição. Por exemplo, 
quando você compra à vista 
ou adquire determinada quantidade, é comum você 
conseguir um desconto por preço ou por quanti-
dade. Logo, nestas condições, o desconto costuma 
ser um percentual aplicado sobre o preço (HAZZAN; 
POMPEO, 2007). 
Neste sentido, “o desconto é uma operação financeira 
que objetiva fazer antecipação de recursos recebíveis, de 
quaisquer espécies: duplicatas, cheques, notas promissó-
rias, vale refeição” (MULLER; ANTONIK, 2012, p. 117). 
O desconto por preço ocorre quando o valor de uma 
mercadoria a prazo é R$ 400,00, e o vendedor oferece 
um desconto de 10% para pagamento à vista. O valor do 
desconto será de R$ 40,00, e o preço à vista da mercado-
ria R$ 360,00. Agora, o desconto por quantidade pode 
ser realizado por unidade, isto é, caso o comprador leve 
mais que quatro unidades, ele ganha um desconto de 
5% na unidade. Imagine que o preço seja R$ 40,00, com 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
109
um desconto de 5%, que é igual a R$ 2,00, o novo preço 
passa a ser R$ 38,00.
Pode ocorrer outra situação envolvendo o desconto. 
Por exemplo, uma empresa vende a prazo e emite um 
boleto para o cliente, ou pega um cheque pré-datado 
para 30 dias. Caso a empresa precise do dinheiro antes, 
ela vai até o banco e faz um borderô, isto é, troca a dupli-
cata ou o cheque por dinheiro. 
Assim, o desconto simples é uma modalidade de 
desconto mais utilizada no mercado, e os cálculos são 
realizados com conceito de juros simples. Neste sentido, 
há dois tipos de desconto - o racional, ou por dentro, 
e o comercial, conhecido como bancário ou por fora 
(MULLER; ANTONIK, 2012).
DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO 
“POR FORA”
O desconto comercial ou desconto por fora é muito 
utilizado no mercado e no comércio em geral, ele 
pode ser realizado pela seguinte fórmula:
= ⋅ ⋅D N d n 
ou
 D VF VP= −
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
110
Onde,
D = Desconto
N = Valor Nominal (VF)
d = Taxa de desconto
n = Tempo
VP = Valor Presente
Agora, considere uma operação de troca de duplicata com 
valor de R$ 30.000,00, com vencimento para 2 meses e 
taxa de juros de desconto simples de 8% a.m (ao mês). 
. .=D N d n 
30.000 0,08 2 4.800D = ⋅ ⋅ =
Observe que o valor do desconto foi de 4.800. 
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG
30.000 [ENTER] 30.000 [X] 
0,08 [X] 0,08 [X] 
2 [X] 2 [X] 
->4.800 ->4.800
Agora, precisamos conhecer o valor líquido do título, 
isto é, o valor descontado (Vd) ou valor atual comer-
cial. Para isso, utilizaremos a seguinte fórmula.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
111
Vd N D= −
ou
VP VF D= −
Onde
( ) Vd valor descontado VP=
Continuando o exemplo anterior, o valor descontado,
30.000 4.800 25.200,00Vd = − =
Exercício resolvido 4
Considere uma duplicata de R$ 10.000,00 descon-
tada em um banco 48 dias antes do vencimento, a 
uma taxa de desconto comercial de 3% a. m. 
 ■ Qual o valor do desconto? 
. .=D N d n 
0,0310.000 48 480,00
30 
D = ⋅ ⋅ =
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
112
 ■ Qual o valor líquido recebido pela empresa, 
sabendo que o banco cobrou uma taxa de ser-
viço de 1% do valor da duplicata, pago no dia 
que se realizou o desconto?
Taxa de serviço: 0,01(10.000,00) = 100,00
 ■ Qual a taxa efetiva de juros da operação no 
período?
Valor recebido pela empresa: 10.000,00 - 480,00 
-100,00 = 9.420,00
10.000 1 0,0616 6,16% . 
9420 
i ou ao período= − =
DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR 
DENTRO”
Na prática, este tipo de desconto não é muito utilizado. 
Também é conhecido como desconto verdadeiro, e 
é calculado de forma semelhante aos juros simples. 
Valor descontado:
( )
 
1 
VF i nD
i n
⋅ ⋅
=
+ ⋅
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
113
Considere uma operação cujo título tem valor nomi-
nal de R$ 30.000 com vencimento para 2 meses e 
taxa de juros de desconto simples por dentro de 8% 
a.m (ao mês). Qual o valor descontado?
( )
30.000 0,08 2 4.137,93
1 0,08 2 
D ⋅ ⋅= =
+ ⋅
O valor descontado foi de R$ 3.000. Agora, calcu-
laremos o valor presente que o indivíduo receberá: 
VP VF D= −
30.000 4.137,93 25.862,07VP = − =
Assim, o valor presente do títuloé de R$ 25.862,07. 
Desta forma, caro(a) estudante, vamos imaginar um 
título que vence daqui a 60 dias. O banco opera com 
desconto racional simples e cobra taxa de juros de 8% 
ao mês. Sabendo que o valor descontado é de R$ 4.137,93, 
qual o valor nominal e o valor presente deste título?
 ( )
 
1 
VF i nD
i n
⋅ ⋅
=
+ ⋅
( ) ( )
 0,08 2 0,164.137,93 
1 0,08 2 1,16 
VF VF⋅ ⋅ ⋅
= =
+ ⋅
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
114
 0,16 4.137,93 1 ,16VF = ⋅
 0,16 4.799,99VF =
( )
4.799,99 
0,16 
VF =
 29.999,99 30.000,00VF ou aproximadamente=
Observe que o valor nominal ou futuro do título foi 
de 30.000. Assim, o valor descontado do título é: 
30.000 4.137,93 25.862,07VP = − =
Prezado(a) estudante, nesta unidade, pudemos 
conhecer a base da matemática financeira, por meio 
dos juros simples, equivalência simples e desconto 
simples. Assim, este ensinamento permitirá a você 
avançar na disciplina, conhecendo a dinâmica dos 
juros compostos, descontos compostos e equivalên-
cia composta. Desta forma, desejamos bons estudos!
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
115
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), aprendemos, nesta unidade, que 
a movimentação financeira de curto prazo entre os 
tomadores e poupadores pode gerar a taxa de juros 
simples, que é a base da matemática financeira, isto é, 
a partir dela trabalharemos, mais à frente, o conceito 
de juros compostos. Nesta perspectiva, as transfe-
rências de recursos entre os agentes, possibilita a 
geração de recursos, que denominamos lucros. 
Passamos a perceber que as operações financeiras estão 
mais próximas do nosso cotidiano do que imaginávamos. 
Para compreendermos, de forma mais profunda, vimos 
como realizar os cálculos, por meio da fórmula matemá-
tica e HP-12C. Observe que, dependendo do lugar em 
que estiver, seja no escritório, em casa, seja na rua, você 
terá meios para calcular a taxa de juros. Por isso, é acon-
selhável ter uma calculadora sempre próxima de você. 
Vimos que o capital é a base para o cálculo dos juros 
simples no tempo. Ao aplicarmos os conceitos em exem-
plos práticos, pudemos perceber que não há incidência 
de juros sobre juros, ou seja, os juros não mudam ao 
longo do período. Nesta perspectiva, você, provavel-
mente, encontrará a taxa de juros simples no mercado 
em investimentos e operações de curtíssimo prazo. 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
116
Passamos a compreender o que é equivalência simples, 
utilizada por empresas, instituições financeiras e por pes-
soas que buscam a compatibilização de entrada e saída 
ao longo do tempo. Por fim, trabalhamos o desconto por 
fora, ou desconto simples, isto é, as antecipações de valo-
res a receber ou a pagar. 
Diante disso, esta unidade permitiu a você, aluno(a), 
ter um panorama geral de como calcular a taxa de juros 
e analisar a equivalência de forma linear. Por sua vez, o 
conhecimento gerado até o momento servirá como base 
para o seu avanço na matemática financeira, por isso, 
incentivo você a não parar por aqui, pois a prática e o 
aprofundamento permitirão a você avançar nesta área.
1. Considere um empréstimo de R$ 20.000,00 à 
taxa de juros simples de 20% ao ano, a ser paga 
no final de 4 anos. Calcule o valor dos juros e 
assinale a alternativa correta:
a. 12.000,00.
b. 16.000,00.
c. 18.000,00.
d. 20.000,00.
e. 22.000,00.
 2. Imagine um empréstimo de R$ 30.000,00 à taxa 
de juros simples de 20% ao ano, a ser paga no 
final de 5 anos. Calcule o valor do montante ou 
valor futuro (VF), juros, e assinale a alternativa 
correta:
a. 60.000,00.
b. 55.000,00.
c. 50.000,00.
d. 45.000,00.
e. 40.000,00.
 3. Considere uma operação de troca de duplica-
ta com valor de R$ 40.000,00, com vencimento 
para 2 meses (60 dias) e uma taxa de juros de 
desconto de 5% a.m. Calcule o valor do descon-
to e, em seguida, o valor descontado, e assinale 
a alternativa correta: 
a. D = 1.000 e Vd = 39.000.
b. D = 2.000 e Vd = 38.000.
c. D = 2.500 e Vd = 37.500.
d. D = 3.000 e Vd = 37.000.
e. D = 4.000 e Vd = 36.000.
 4. Uma aplicação rendeu, após 5 anos, o montan-
te de R$ 50.000,00, taxa de juros anual de 15%. 
Realize os cálculos (desconto por fora) para en-
contrar o valor da aplicação inicial, isto é, o va-
lor presente da operação, e assinale a alternati-
va que corresponde ao valor aplicado: 
a. 25.781,35.
b. 26.881,53.
c. 27.425,47.
d. 28.571,43.
e. 29.341,72.
 5. Calcule o valor necessário para aplicar num in-
vestimento que remunere a taxa de juros sim-
ples de 30% ao ano, para conseguir um valor de 
R$ 800,00, em 55 dias. 
 6. Verifique se o valor de R$ 5.600,00, vencível da-
qui a 60 meses, e R$ 3.250,00 hoje são equiva-
lentes à taxa de juros simples de 14,4% a.a.
Taxas de inflação
Vimos que o fenômeno que causa o aumento gene-
ralizado de preços dos produtos e serviços denomi-
na-se inflação. Isto é, a perda do poder de compra 
da moeda, que leva à perda do poder aquisitivo dos 
salários, aluguéis (elevando a desigualdade social) e, 
também, à desorganização do mercado de capitais. 
Isto ocorre porque as pessoas trocam ativos mone-
tários, por ativos reais, o que ocasiona aumento na 
procura por aquisição de casas, terrenos, entre ou-
tros, a fim de se defenderem da inflação. 
Por outro lado, temos a deflação, fenômeno que cau-
sa queda persistente dos preços dos bens e serviços. 
A deflação ocasiona problemas, como a queda do in-
vestimento e da produção, aumenta o desemprego, 
o que pode levar o país à depressão econômica.Ob-
serve que tanto a inflação quanto a deflação tra-
zem prejuízos às famílias e às empresas, mas, in-
felizmente, precisamos lidar com elas. No Brasil, o 
fenômeno da inflação é mais comum e já trouxe 
grandes problemas ao longo da história do país. 
Pois bem, como não temos como evitar a infla-
ção, temos que aprender a lidar com ela. Para isso, 
precisamos ter expertise e utilizar o conhecimen-
to sobre a matemática financeira para tomada de 
decisões. Isto é, se não soubermos calcular corre-
tamente este fenômeno no período, pode levar a 
empresa à redução do seu poder de compra. Logo, 
a organização poderá reduzir de tamanho. 
A inflação, comumente, é medida por meio da 
composição de uma cesta de produtos determi-
nada, representando a cesta de bens de uma fa-
mília, por exemplo. A variação mensal do preço 
desta cesta é que compõe a taxa de inflação do 
período. Por exemplo, ao admitirmos que a cesta 
foi constituída por dois produtos (A e B), com os 
preços, em janeiro, de R$ 120,00 e R$ 60,00, res-
pectivamente. Assim, o valor da cesta deste mês 
será de 120,00 60,00 180,00V = + = . Agora, imagine 
que os preços dos bens passaram, em fevereiro, a 
custar R$ 130,00 e R$ 65,00, e a cesta teria o valor 
130,00 65,00 195,00V = + = . Assim, a taxa de inflação de 
fevereiro foi de:
195,00 1 0,0833 8,33%
180,00
i ou= − =
 
Você, enquanto gestor(a) de uma organização, 
deve estar atento(a) às variações da taxa da infla-
ção, porque ela impacta no preços dos insumos, 
dos salários, aluguéis e lucros. Por isso, saber como 
calcular a inflação do período a fim de repassá-las 
para os preços é importante para manter o poder 
de compra da organização. No caso de taxas men-
sais de inflação, de meses sucessivos, a taxa acu-
mulada de inflação é dada por:
( )( )( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1 1 nj j j j j= + + + + −
Exemplo: em outubro, novembro e dezembro, as 
taxas de inflação foram 1%, 1,5% e 2%, respectiva-
mente. Para calcular a taxa do trimestre, temos:
( )( )( )1 0,01 1 0,015 1 0,02 1 0,0457 4,57%j = + + + − = = 
Assim, a taxa acumulada do trimestre foi de 4,57%.
Fonte: adaptado de Iezzi, Hazzan e Degenszajn (2013). 
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Matemática Financeira: 
fundamentos e aplicações
Wuli Dal Zot e Manuela Longoni de 
Castro
Editora: Bookman
Sinopse: este livro ensina os 
fundamentos da matemática para 
que se compreenda o seu impacto no nosso dia a dia. 
Com ele, o(a) leitor(a) vai entender como a matemática 
explica os juros do seu investimento, o custodo seu 
imóvel, a tomada de decisões financeiras, o planejamento 
das empresas os seguros e as transações de valores 
mobiliários. Para isso, apresenta conceitos seguidos de 
exemplos, problemas acompanhados de solução e o 
passo a passo com o uso de calculadoras. Os exemplos 
foram retirados do mundo dos negócios e enriquecidos 
pela experiência dos autores no ensino da disciplina.
Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, estudamos as 
Relações de Equivalência da Matemática Financeira, 
agora, convidamos você a assistir este vídeo a fim 
de reforçar os seus conhecimentos sobre o tema.
Web: <https://www.youtube.com/
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
BUENO, R. L. S.; RANGEL, A. S.; SANTOS, J. C. S. 
Matemática financeira moderna. São Paulo: 
Cengage Learning, 2011.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Finan-
ceira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
MULLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática Fi-
nanceira: instrumentos financeiros para a to-
mada de decisão em Administração, Economia e 
Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2012.
REFERÊNCIAS
GABARITOGABARITOGABARITO
1) B.
2) A.
3) E.
4) D.
5) ?
800
30%
5555 d
360
VP
J
i
n
=
=
=
= =
 VP = ?
Assim, neste caso, é necessário realizar uma 
aplicação de R$17.454.
6) 60) 3250(1,72) $5.590,003250(1 0,012M R= + ⋅ = =
Logo, R$ 3.250,00 e R$ 5.600,00 não são 
equivalentes.
 
800 17.454,55550,3
360
J VP i n
JVP
i n
VP
= ⋅ ⋅
=
⋅
= =
⋅
UNIDADE III
U
N
ID
A
D
EIII
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 ■ Instruir o acadêmico sobre juros compostos
 ■ Orientar o aluno quanto a equivalência 
composta
 ■ Diferenciar taxa nominal de taxa efetiva
 ■ Ensinar o discente a respeito do desconto 
composto
U
N
ID
A
D
E
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que 
você estudará nesta unidade:
 ■ Juros compostos.
 ■ Equivalência composta.
 ■ Taxas nominal e efetiva.
 ■ Desconto composto.
III
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
129
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), acredito que você, ao realizar um 
investimento, provavelmente, gostará de ver seu 
dinheiro crescer de forma exponencial. Por outro 
lado, ao realizar um financiamento, você deseja pagar 
a menor remuneração possível pelo uso do dinheiro. 
Pois bem, nesta unidade, vamos nos aprofundar nos 
conceitos inerentes às operações financeiras que 
envolvem juros.
Estudaremos de forma prática, os conceitos sobre juros 
compostos, equivalência composta e desconto com-
posto, que são uma evolução na matemática financeira. 
Passaremos a compreender operações mais complexas 
que envolvem juros compostos. Assim, aprenderemos que 
os juros compostos são calculados com base no capital 
somados aos juros do período anterior. Logo, há incidên-
cia de juros sobre juros, isto é, o juro não é o mesmo ao 
longo do período. Este tipo de operação pode ser, diver-
samente, encontrado no mercado em investimentos e 
nos financiamentos. Para trabalharmos juros compos-
tos, utilizaremos as fórmulas matemáticas algébricas e a 
calculadora financeira (HP-12C).
A equivalência composta, seguindo a mesma lógica 
dos juros simples, envolve analisar quando dois ou mais 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
130
capitais, com diferentes vencimentos, são conduzidos 
para uma mesma data, a mesma taxa de juros, e nas 
mesmas condições, leva a valores iguais. Entretanto a 
equivalência composta é diferente da simples, pois, para 
encontrá-la, você não poderá simplesmente dividir a taxa 
anual pelo número de meses. Além disso, trabalhare-
mos, o desconto composto ou desconto por dentro, que, 
na prática, nada mais é do que antecipações de valores 
a receber ou a pagar. Aprenderemos, de fato, o desconto 
racional. Pois bem, agora que já conhece o assunto com 
que vamos trabalhar nesta unidade, nós o(a) convidamos 
a se aprofundar nos estudos visto que este conhecimento 
poderá ser muito utilizado tanto em suas operações coti-
dianas, como em tomadas de decisões empresariais.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
131
JUROS COMPOSTOS
Durante o nosso estudo, você perceberá que o 
dinheiro investido a juros compostos cresce de forma 
exponencial, isto porque a base de cálculo dos pró-
ximos períodos é baseada no principal somados aos 
juros do período atual. Enquanto o cálculo dos juros 
simples é sempre baseado no principal original, os 
compostos crescem mais rápido do que quando apli-
cado em juros simples a mesma taxa de juros (DE 
CASTRO; DAL ZOT, 2015).
Desta forma, se tivermos um principal de R$ 200,00 a 
uma taxa de juros de 10% ao ano, em juros simples tanto 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
132
os juros do primeiro ano quanto os do segundo serão R$ 
20,00 cada um P i� � �� �200 0 10, . “Nos juros compostos, 
haverá uma diferença entre os juros calculados no primeiro 
e no segundo ano” (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015, p. 23).
Observe que, no primeiro ano, os juros serão R$ 20,00 
P i� � � �� �200 0 10 20 00, , , igualmente aos juros simples, 
entretanto no segundo ano o cálculo do juros será R$ 
22,00 P i� � � �� �220 0 10 22 00, , . Vejamos que a diferença 
entre sistemas de juros simples e compostos, deve-se, no 
segundo ano, ao fato de que a base de cálculo dos juros 
compostos não é apenas o principal original, mas sim 
aquele principal acrescido dos juros calculados nos perí-
odos passados, neste caso, os R$20,00do primeiro ano.
Considere um empréstimo de R$10.000,00, a ser reali-
zado com uma taxa de 30% ao ano, durante 10anos. Ao 
fazer um comparativo, na Figura 1, entre os juros simples 
e compostos podemos visualizar facilmente a diferença 
da evolução do montante que ambos produzem ao longo 
dos 10 anos.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
133
S
Juros compostos
137.858,49
40.000,00
10.000,00
Juros simples
e
n (anos)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 1 - Cotejamento de juros simples e compostos
Fonte: De Castro e Dal Zot (2015, p. 25).
Assim, “os juros simples também são denominados 
juros lineares, enquanto os juros compostos são tam-
bém chamados de juros exponenciais” (DE CASTRO; 
DAL ZOT, 2015, p. 25). Desta forma, nos juros com-
postos, os montantes aumentam, conforme uma 
progressão geométrica. Assim, considere a fórmula 
do montante:
VF VP i n= + )1
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
134
Agora, considere uma aplicação financeira de 
R$15.000,00 que será resgatada após 26 meses, à 
taxa de juros de 3 5, % a.m .
VF
VP R
n
i
VF VP i
VF
n
=
=
=
=
= +( )
= +
?
$ . ,
, %
. ,
15 000 00
26
3 5
1
15 000 1 0
 meses
0035 36 689 3826( ) = R$ . ,
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 035. ENTER� � 1 035. yx�� ��
f fin� �� �
26 yx��
�
�
26 x� � 3 5, i� �
15000 x� � 15000 = 26 n� �
� � 36 689 38. , � � 36 689 38. , 15000 PV FV� �� �
� � �36 689 38. ,
Observe que o valor encontrado pela calculadora 
financeira é negativo. Isso ocorre por causa da inter-
pretação de que todo empréstimo funciona como um 
fluxo de caixa: “se o principal é positivo (entrada) 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
135
significa que quem faz o cálculo é o tomador do 
empréstimo e, logo, deverá restituir o valor de resgate 
representando uma saída (negativo)” (DE CASTRO; 
DAL ZOT, 2015, p. 26).
Juros compostos com a calculadora financeira
Para fazer o cálculo na HP-12-C de uma das vari-
áveis, você deve informar as variáveis conhecidas, 
digitando o valor na memória de cálculo e, em se-
guida, clicar na tecla que corresponde à incógnita 
cujo valor pretende descobrir, e a calculadora fará 
o cálculo para você. Vamos conhecer um pouco so-
bre as funções da calculadora:
n = corresponde ao número de períodos de tempo
i = corresponde à taxa de juros (informar a taxa 
percentual)
PV = corresponde ao valor presente
PMT = corresponde ao valor da prestação
FV = corresponde ao montante ou valor futuro
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
136
Cálculo do valor presente
Paratransformar o valor futuro em valor presente, em 
juros compostos, basta colocar n (tempo) em exponencial.
VP VF
i n)1
Exemplo: para que um investimento atinja o valor de 
R$75.000,00 após 1 080. dias, com taxa de juros compos-
tos de 45% ao ano, qual deve ser o valor inicial?
VP
VF R
n dias
i a a
=
=
=
=
?
$ . ,
.
% .
75 000 00
1 080
45
 
 
Cabe ressaltar que, se digitarmos na calculadora 
um valor positivo para PV e quisermos que ela 
calcule o PMT , a resposta apresentada será nega-
tiva. Portanto, o leitor deve observar que, quando 
for calcular a taxa ou o prazo, os sinais das variá-
veis que representam valores (PV, PMT ou FV) de-
vem ser contrários. Para isso, utilize a tecla CHS .
Fonte: adaptado de De Castro e Dal Zot (2015).
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
137
Observe que, neste exemplo, o prazo está diferente 
da unidade de tempo da taxa. Por isso, devemos con-
verter o tempo pela regra do banqueiro.
n anos= =1 080
360
3. 
Pois bem, agora resolveremos o exemplo:
VP
VF R
n anos
i a a
=
=
=
=
?
$ . ,
% .
75 000 00
3
45
 
 
VP �
�� �
�
75 000
1 0 45
24 601 253
.
,
. ,
Assim, o capital inicial a ser investido deve ser R$24.601,25.
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
75000 [ENTER] 75000 �� � f fin� �� �
1 45. ENTER� � 1 45 3. yx�� ��� � � 45 i� �
3 yx��
�
�
� � 24 601 25. , 3 n� �
�� � 75000 FV PV� �� �
� � 24 601 25. , � � �24 601 25. ,
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
138
Cálculo da taxa de juros
Podemos também realizar o cálculo da taxa de juros. 
Para isso, precisamos isolar i na fórmula do montante:
Pois bem, agora que conseguimos obter a fórmula da 
taxa de juros, podemos prosseguir com nosso exem-
plo: considere uma dívida de R$10.000,00, que foi 
resgatada por R$16.000,00, após 11 meses. Vamos, 
então, calcular a taxa de juros mensal da operação.
i
VP R
VF R
n meses
=
=
=
=
?
$ . ,
$ . ,
10 000 00
16 000 00
11 
 i = ?
.
.
, ,
i VF
VP
i ou
n1
1 11
1
16 000
10 000
1 0 0436 4 3 66%
VF VP i
VF
VP
i
VF
VP
i i
i VF
VP
n
n
n
n n
)1
1
1 1
1 1
1
1
n
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
139
Neste exemplo, a taxa de juros mensal foi de 4 36, % ao mês.
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
16000 [ENTER] 16000 �� � f fin� �� �
10000 �� � 10000 yx�� �� 16000 FV� �
11 1 X� � 11 1 X� � 11 n� �
yx��
�
� - 10000 CHS PV� �� �
1 �� � � � 0 0436, i� �
� � 0 0436, � � 4 36,
É importante destacar que na HP-12C as teclas PV� � 
e FV� � devem ter sinais opostos, CHS� � troca o sinal 
fazendo a função da tecla � �� � de algumas calculadoras.
Cálculo do prazo
Agora, calcularemos o prazo necessário para que uma 
aplicação acumule um determinado valor. Para isso, 
precisamos da fórmula do prazo, em que é necessário 
isolar o n na fórmula do montante.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
140
 
VF VP i
VF
VP
i
In VF
VP
i
In VF
VP
n
n
n
n
)1
1
1
1 i
n
In VF
VP
In i( )1
Por exemplo: quantos meses são necessários para que 
uma aplicação de R$25.000,00 acumule-se em um saldo 
de R$50.000,00 à taxa de juros compostos de 3 5, % . . a m?
n
VP R
VF R
i a m
=
=
=
=
?
$ . ,
$ . ,
, % .
25 000 00
50 000 00
3 5 
 N=?
n
n
In
In
In
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
ln VF
VP
ln i1
50 000
25 000
1 0 035
2
.
.
,
�� �
�� �
�
� �
� �
�
In
In
In1 0 035
0 693147
0 034401
20 14
,
,
,
,
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
141
O prazo necessário é de 20 14, meses.
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
50000 ENTER� � 50000 �� � f fin� �� �
25000 �� � 25000 �� � 50000 FV� �
LN
LN
� �
� �1 035.
LN� � �� � 3 5. I� �
�� � 1 035. LN� � 25000 CHS PV� �� �
� � 20 14, � � 20 14, n� �
� � 21 meses
*Observe que, neste caso, a HP-12C arredonda o resultado.
Temos também os períodos não inteiros. Por exemplo: 
considere um investimento de R$20.000,00 a uma taxa de 
juros de 90% . a a . Qual o valor do resgate após 800 dias?
O valor de resgate é de R$ 83.268,81.
O valor de resgate é de R$ 83.268,81.
VF
VP
i a a
n d a a
VF VP i n
�
�
� � �
� � �
� �� �
?
. ,
% , .
.
20 000 00
90 0 9
800 800 360
1
 
VVF � �� � �20 000 1 0 9 83 268 81800 360. , . ,
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
142
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C*
1 9, ENTER� � 1 9, yx�� �� f fin� �� �
800 ENTER� � 800 360�� �� � 90 I� �
360 �� � X� � 800 360ENTER n� � �� �� �
yx��
�
� 20000 �� � 20000 PV� �
20000 X� � � � 83 268 81. , FV� �
� � 83 268 81. , � � � �83 268 82. ,
Ao utilizar a Fórmula HP-12C para períodos não 
inteiros, coloque a calculadora em modo C , por 
meio das teclas STO� �e, após, EEX� � .
Depois de realizar a conta, pode clicar nas mesmas 
teclas para tirar o modo C .
Exemplo 1: CDB ou RDB
Mário procurou o Banco Marcondes S/A, pois queria 
realizar um investimento. O gerente deu duas opções: 
investir em CDB R$5.000,00. durante 2 anos, a juros 
compostos de 2% a.m., ou investir RDB R$5.000,00 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
143
durante 1 ano a juros compostos de 3%ao mês. O que 
é mais vantajoso?
VF VP i
VF
VF
n1
5 000 1 0 02 8 042 18
5 000 1 0 03
24
1
. $ . ,
. , 22 7 128 80$ . ,
R
R
Observe que, ao comparar os investimentos, o melhor é 
em CDB.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
144
EQUIVALÊNCIA COMPOSTA
Na unidade anterior, estudamos a equivalência de 
taxas e de capitais no sistema de capitalização simples. 
Nesta unidade, abordaremos os mesmos conceitos, 
os mesmos problemas de finanças, mas sob outro 
enfoque, agora, utilizando o sistema de capitalização 
composta. Vale ressaltar que, devido à equivalência 
de taxas e capitais, a escolha da data focal no sistema 
composto é irrelevante (PARENTE, 1996).
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
145
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS
Agora, seguiremos a mesma lógica utilizada com 
juros simples, mas aplicado aos juros compostos. 
Assim, a equivalência de taxa de juros composta é 
diferente da capitalização simples visto que na sim-
ples a taxa de juros é proporcional, enquanto na 
composta o juro é exponencial.
 
ie 1 1ic nt nc
em que
ieq = taxa equivalente
ic = taxa conhecida
nt = prazo da taxa procurada
nc = prazo da taxa conhecida
Nesta perspectiva, taxa equivalente dá-se pela com-
paração de duas taxas que, aplicando sobre um 
mesmo montante e num mesmo período, produz 
o mesmo juro. Por exemplo: qual é a rentabilidade 
mensal de uma aplicação financeira com taxa de 
juros compostos de 15% a.a?
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
146
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 ENTER� � 1 15, yx�� �� f fin� �� �
0 15. �� � 30 360�� �� � 15 l� �
30 ENTER� � �� �1 100 CHS PV� �� �
360 �� � x� � 30 n FV� �� �
Y X��
�
� 100 360 n i� �� �
1 �� � 1,1714% a.m. 1,1714% a.m.
100 X� �
1,1714% a.m.
Agora, considere o exemplo de aplicação financeira 
em que temos taxa de 5% a.m. e queremos taxa equi-
valente a 45 dias. Vejamos:
ieq
ieq
ieq
� �� ���
�
�
�
� �� ���
�
�
�
� �� �
1 1
1 0 15 1
1 0 15
30 360
1 1
ic nt nc
,
,
/
22 1
1 0117 1 1 1714
�
�
�
�
�
� � �ieq , , % .a m
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
147
i oeq � �� ���
�
�
� � � ���
�
�
� � � �1 0 05 1 1 05 1 1 07593 1 0 0759245 30 1 5, , , ,, uu 7 592, % 
isto é, a taxa no período foi de 7 592, % .
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 ENTER� � 1 05, yx�� �� clear fin � �
0 05. �� � 45 30�� �� � 5 I� �
45 ENTER� � �� �1 100 CHS PV� �� �
30 �� � x� � 45 n FV� �� �
Y x��
�
� 100 30 n i� �� �
1 �� � 7,592% a.p 7,592% a.p
100 X� �
7,592% a.p
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
148
Considere mais um exemplo: uma instituição pegou 
emprestado R$ . ,200 00 00 à taxa de juros de 15% a.a, 
pelo prazo de 90 dias ou 1 trimestre. Verificaremos 
qual foi a taxa trimestral equivalente do empréstimo 
e o montante pago.
ieq � �� ���
�
�
� � � ���
�
�
� � � �1 0 15 1 1 15 1 1 035558 1 0 03555890 360 1 4, , , , ou a t3 5558, % .
Assim, a taxa trimestral que equivale à taxa anual 
de 15% . a a é de 3 5558, % . a t .
Agora se você quiser calcular o montante para o final do 
período, basta utilizar a fórmula do valor futuro VF() .
Considere uma aplicação financeira com uma ren-
tabilidade mensal com taxa de juros compostos 
de 18%a.a.
ieq � �� ���
�
�
� � � ���
�
�
� � � �1 0 18 1 1 18 1 1 0138 1 0 0138830 360 1 12, , , , ouu 1 388, % . .a m
Vejamos, agora, um título que rende 5% num pra-
zo de 45 dias. Qual a taxa anual?
ieq � �� ���
�
�
� � � ���
�
�
� � �1 0 05 1 1 05 1 0 4774 47 74360 45 8, , , , %
VF
VF
� �� �
�
200 000 00 1 0 15
207 111 61
90 360
. , ,
. ,
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
149
Podemos, também, encontrar a taxa de juros apurada 
durante um prazo n , formada de forma exponen-
cial, por meio dos períodos de capitalização. Essa 
taxa tem como finalidade medir o juro efetivo ief� �
produzido por um capital.
i ief
q� �� ���
�
�
�1 1
Por exemplo, uma taxa efetiva de 3% .a m produz 
juro de 42 57, % no prazo de um ano.
i a aef � �� � � � �1 0 03 1 0 4257 42 57
12
, , , % .
Assim, é indiferente ter uma taxa de 3% . .a m ou uma 
taxa de 42 57, % . . a a durante um ano. Entretanto você 
pode estar pensando em investir seu dinheiro em 
uma aplicação financeira e o gerente do banco sugere 
uma taxa de juros anual de 42 57, % . . a a com capitali-
zação composta mensal. Cabe ressaltar que a taxa 
nominal é a taxa de juros contratada em uma opera-
ção financeira, ela é expressa num período de tempo 
e não coincide com o período em que ela é referida.
i a mnom = =
42 57
12
3 5475, % , % . taxa nominal mensal.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
150
Agora, calcularemos a taxa efetiva:
i ou a aef = +( ) − =1 0 03547 1 0 5194 51 94
12, , , % . 
Assim, a taxa nominal produziu uma taxa efetiva de 
51 94, % . . a a Entretanto, é necessário tomar cuidado 
ao tratar de taxa nominal visto que esta é conver-
tida por meio de taxas proporcionais. Isto é, após ser 
convertida em taxa efetiva do período de capitali-
zação, é capitalizada por meio de juros compostos. 
Comumente, a taxa nominal em período anual é 
convertida em taxa efetiva em períodos menores, 
como mês, trimestre ou semestre.
Desta forma, a taxa efetiva de 3% . a m é resultado 
da divisão da taxa nominal de 36% . a a por 12, isto é, 
número de meses do ano. Assim, taxa efetiva de 3% capi-
talizada de forma composta, mensalmente, corresponde 
a 42 57, % . . a a
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
151
Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 
6% . . a a com capitalização mensal?
A taxa nominal de 6% . . a a é convertida com juros sim-
ples para a taxa efetiva de 0 5, % . . a m visto que o ano 
tem 12 meses, e a taxa efetiva mensal de 0 5, % é capi-
talizada a juros compostos 12 vezes, transformando-
-se em taxa efetiva de 6 167, % . . a a como segue:
Conversão da taxa nominal de 6% . . a a em taxa men-
sal efetiva: 6
12
0 5% , %= que é a taxa efetiva mensal.
Capitalização de 12 vezes da taxa mensal efetiva:
1 0 005 0 06167 100 6 16712�� � � � �, , , % taxa de juros efetiva 
anual.
Veja que a taxa nominal de 6% . . a a transforma-se 
em taxa efetiva de 6 167, % . . a a em consequência da 
capitalização composta da taxa efetiva de 0 5, % . . a m
Agora realizaremos, a conversão da taxa nominal 
inom� � em taxa efetiva por meio de fórmula. Todavia 
a fórmula apresentada é válida somente para situa-
ções em que o período de capitalização é “menor” 
do que o período da taxa nominal.
i ouef � �
�
�
�
�
�
� � �1
0 06
12
1 0 6167 6 16
12
,
, , % 
Fonte: as autoras.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
152
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL
O conceito de equivalência de capital no sistema de 
capitalização composta possibilita alterar as datas e as 
formas de pagamentos (ou recebimentos) em outras 
equivalentes, mantendo o equilíbrio financeiro entre 
as partes e, consequentemente, cotejar as alternati-
vas. Na aplicação de equivalência, devedor não pagar 
valores além dos devidos, e credores não recebem 
valores diferentes das condições contratadas.
Considere os valores de dois capitais, x e y , separados 
um do outro por um período n de tempo, por exemplo, 
o primeiro capital x na data 0 (zero), e o segundo, y , 
na data n . Diz-se que x e y são equivalentes se, ao apli-
carmos uma taxa de juros composto i sobre x da data 
0 (zero) até a data n , e o montante obtido for igual a y. 
Dizemos, também, que x é o valor atual de y .
Exemplo 1: Considere uma nota promissória de 
R$ . ,1 500 00, com vencimento daqui a 3 meses. Se apli-
carmos taxa de juros compostos de 2% . .a m , determine 
o valor equivalente da promissória hoje:
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
153
VF VP i
VP
VP
VP R
n1
1 500 1 0 02
1 500 1 061208
1 413
3. ,
. ,
$ . ,, 48
Exemplo 2: Uma indústria de detergentes prevê o 
pagamento de uma duplicata de R$ . ,200 000 00 daqui a 
um mês e outra de R$ . ,500 000 00 daqui a três meses. 
Quanto a indústria deverá aplicar, hoje, à taxa com-
posta de 1 5, % . .a m para fazer frente a essas duplicatas 
em seus respectivos vencimentos?
 
0 1
200.000 500.000
2 3
Valor Futuro 1 de R$ . ,200 000 00 , gera um Valor Presente 1.
Valor Futuro 2 de R$ . ,500 000 00 , gera um Valor Presente 2.
A soma dos dois Valores Presentes corresponde ao 
valor que deve ser aplicado hoje (momento zero).
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
154
VF VP i
VP
VP
VP R
n1
200 000 1 0 015
200 000 1 015
197
1. ,
. ,
$ .. ,044 34
VF VP i
VP
VP
VP R
n1
500 000 1 0 015
500 000 1 0456784
3. ,
. ,
$$ . ,478 158 50
Aplicação de R$ . ,675 202 84 (soma de VP ).
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
155
TAXAS NOMINAL E EFETIVA
Em alguns tipos de operação financeira, costuma-
-se expressar a taxa de juro no mesmo período de 
pagamento. Exemplo, taxa mensal com capitaliza-
ção mensal, taxa anual com capitalização anual. No 
entanto há muitas operações as taxas são expressas 
em percentual anual, mas os períodos de capitali-
zação são diferentes das taxas, exemplo, taxa anual 
com capitalização mensal, bimestral, semestral.
Desse fato, decorrem situações em que a taxa de juro é 
expressa em um período de capitalização não coincidente 
com o período de tempo ao qual se refere. Nesses casos, faz-
-se necessária a distinção entre taxa efetiva e taxa nominal.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
156
Taxa efetiva
A taxa efetiva é aquela que, como o próprio nome 
já diz, efetivamente, verifica uma operação. É a taxa 
cobrada.
Exemplos:
 ■ 5% .a m , capitalizado mensalmente - período da 
taxa é mensal, período em que os encargos são 
juntados ao capital também é mensal.
 ■ 7% . .a b , capitalizado bimestralmente - período 
da taxa é bimestral, período em que os encar-
gos são juntados ao capital também é bimestral.
Na taxa efetiva, o período da taxa é igual ao perí-
odo de capitalização.
Taxa nominal
A taxa nominal é uma taxa aparente (escrita, contra-
tada) que só pode ser definida quando a periodicidade 
da taxa a que se refere é diferente da periodicidade 
da capitalização.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
157
Exemplos:
 ■ 10% .a a , capitalizado bimestralmente - período 
da taxa é anual, período que os encargos são 
juntados ao capital é bimestral.
 ■ 4% . .a m , capitalizado diariamente - período da 
taxa é mensal, período em que os encargos são 
juntados ao capital é diário.
Verifica-se que a taxa é nominal quando o período 
da taxa é diferente da periodicidade da capitalização.
Considerando os conceitos de taxas, na hora de con-
tratar um financiamento, empréstimo, ou pagar alguma 
dívida, o consumidor deve ficar atento se a taxa esti-
pulada em contrato é nominal ou efetiva. Geralmente, 
os contratos de financiamentos informam a taxa de 
juros nominal. Entretanto a que realmente vigora para 
o cálculo das prestações e do saldo devedor é a taxa 
efetiva, que é sempre maior do que a primeira.
Exemplo: uma taxa de juros nominal contratada de 
12% .a a, capitalizados mensalmente corresponderá, na 
prática, à taxa efetiva cobrada de 12 6825, %aa (taxa efe-
tiva é maior que taxa nominal). A taxa efetiva é aquela 
que realmente incide em determinada operação. Por 
sua vez, a taxanominal é aquela divulgada para o perí-
odo. No entanto a que sempre nos é cobrada é a efetiva.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
158
Taxas proporcionais e taxas equivalentes compostas
Taxas proporcionais e taxas equivalentes são deno-
minações de um mesmo conceito, são taxas que 
geram o mesmo resultado financeiro se aplicadas 
ao mesmo montante, durante o mesmo período de 
tempo. A diferença entre os dois conceitos consiste 
no modelo de juros utilizado para cálculo, onde:
Taxas proporcionais são calculadas no modelo de juros simples.
Taxas equivalentes são calculadas no modelo de juros 
compostos.
Exemplo: aplicando certa quantia 0 5, % . .a m , informe 
qual será a taxa anual.
 ■ Em juros simples será 6 0 5 12% . ,a a meses ×( ) .
Uma instituição financeira remunera um fundo 
de investimento com taxa nominal de 12% .a a , ca-
pitalizada mensalmente. A taxa de juros utilizada 
nos cálculos é de 12% .a a ? NÃO, a taxa efetiva é de 
1% .a m ou 12 6825, % .a a
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
159
A apuração de taxas proporcionais é realizada por 
meio de operações de multiplicação e divisão.
 ■ Em juros compostos será 6 16778, % . .a a
A apuração da taxa equivalente é realizada por meio 
de operação de exponenciação.
 ■ Na HP-12C
Para calcular taxa de juros de uma frequência menor 
para uma maior:
f g
CHS PV
xxx n
xxx i
FV
RCL PV
� �� �
� �� �
� �
� �
� �
� �� � �� �
Re
100
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
160
Para calcular taxa de juros de uma frequência maior 
para uma menor:
f g
CHS PV
xxx x n
xxx i
FV
RCL PV
� �� �
� �� �
� �� �
� �
� �
� �� � �� �
Re
100
1
Exemplo 1: Apure a taxa efetiva:
a. 6%a.a , capitalizados mensalmente
6 12 0 5% / , % . .a.a meses a m= (efetiva, pois 0 5, % . .a m, capi-
talizada mensalmente, tem mesma periodicidade).
Para apurar a taxa efetiva anual, é preciso apli-
car a taxa equivalente:
ieq � �� ���
�
�
�1 1ic nt nc
i a aeq = − =1 06168 1 6 168, , % .
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
161
b. 12%a.s, capitalizados mensalmente
12 6 2% / % . .a.s meses a m= (efetiva, pois 2% .a m, capita-
lizada mensalmente, tem mesma periodicidade).
Para apurar a taxa efetiva semestral, é preciso 
aplicar a taxa equivalente:
 
ieq = +( )


−
= − =
1 1
1 12616 1 12 616
ic
i a s
nt nc
eq , , % .
c. 9% a.t , capitalizados mensalmente
9 3 3% / % . .a.t meses a m= (efetiva, pois 3% .a m, capitali-
zada mensalmente, tem mesma periodicidade).
Para apurar a taxa efetiva trimestral, é preciso 
aplicar a taxa equivalente:
 
ieq = +( )


−
= +( )


−
= − =
1 1
1 0 03 1
1 09273 1 9 27
3 1
ic
i
i
nt nc
eq
eq
,
, , 33% .a t
4% . .a m , capitalizados diariamente
4 30 0 133333% / , %am dias a.d= (efetiva, pois 
0 1333, % . .a d , capitalizada diariamente, tem mesma 
periodicidade).
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
162
Para apurar a taxa efetiva mensal, é preciso apli-
car a taxa equivalente:
i iceq
nt nc� �� ���
�
�
�1 1
Exemplo 2: Em juros compostos, uma empresa 
tem duas opções de aplicações: opção 1 - aplicar 
um capital à taxa de 33% . .a a ; ou opção 2 - aplicar o 
mesmo capital à taxa de 7 5, % . .a t , capitalizada men-
salmente. Qual a melhor alternativa para um ano 
de investimento?
Na opção 1 - taxa anual de 33% . .a a
Na opção 2 - taxa nominal de 7 5, % . .a t (período da taxa 
é trimestral e período de capitalização é mensal).
7 5 3 2 5, % / , %at meses ao mês= (efetiva, pois período e taxa 
e da capitalização são mensais).
Para apurar a taxa efetiva anual, é preciso aplicar a taxa 
equivalente:
i
i a m
eq
eq
� �� ���
�
�
�
� � �
1 0 0013333 1
1 040782 1 4 0782
30 1
,
, , % . .
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
163
ieq � �� ���
�
�
�1 1ic nt nc
Logo, a melhor alternativa é a opção 2, aplicar o capi-
tal à taxa de 7 5, % . .a t , capitalizada mensalmente.
i
i
eq
eq
= +( )


−
= − =
1 0 25 1
1 344889 1 34 4889
12 1,
, , % . .a a
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
164
DESCONTO COMPOSTO
O desconto composto refere-se ao valor a ser aba-
tido de um determinado título de crédito (MULLER; 
ANTONIK, 2012). Assim, o valor descontado é a 
diferença entre o valor nominal do título e o des-
conto. Neste contexto, de forma conceitual existe 
somente o desconto racional por fora. Entretanto o 
mercado utiliza o desconto comercial ou bancário 
(desconto por dentro).
Desconto comercial
Apesar do desconto Comercial Composto por fora 
não ser utilizado na prática, vamos tratá-lo, aqui, visto 
que Muller e Antonik (2012) destacam esse tipo de 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
165
desconto como análogo ao juro composto já que ele 
é análogo ao cálculo do juro composto. Se pensar-
mos no tempo como n = 1, a forma de cálculo seria:
Para n = 2 devemos calcular da seguinte forma:
Nesta sequência, poderíamos considerar:
Assim, o valor do desconto é de:
D N VP
Considere uma empresa que contraiu um emprés-
timo no valor de R$ . ,200 000 00, com uma taxa de juros 
de 10% . .a m e o prazo de vencimento de três meses. 
Qual o desconto comercial?
VP i1
VP i2 1 1
VP in
n( )1
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
166
N
i a m
t meses
VP N i
VP
n
n
n
=
=
=
= −
= −
200 000 00
10
3
1
200 000 1 0 1
. ,
% .
( )
. ( , )33
145 800 00
200 000 145 800 52 200
VP
D N VP
D
n =
= −
= − =
. ,
. . .
Assim, o valor descontado foi de R$ . ,145 800 00 , e o 
valor do desconto de R$ . ,52 200 00.
Desconto racional
Agora, passaremos a entender o desconto racional 
por dentro, que é amplamente utilizado no Brasil, e 
que “o desconto é obtido pela diferença entre o valor 
futuro e o valor atual de um compromisso financeiro 
que será pago em n períodos antes do vencimento” 
(MULLER; ANTONIK, 2012, p. 123).
D VF VP
Entretanto, como VF VP i n)1
D N n( )1
 ou D N n( )1 1
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
167
Ou, também,
VP N
i n)1
Considere um exemplo que, nas operações de des-
conto, os juros são pagos antecipadamente. Imagine 
que uma empresa contraiu um empréstimo em uma 
instituição financeira no valor de R$ .8 000 , sendo 
35% .a a de desconto composto racional e prazo de 
vencimento de 3 meses.
Inicialmente, é necessário encontrar a taxa equivalente mensal:
i oueq� �� ���
�
�
� �1 0 35 1 0 0253 2 5330 360, , , % 
Agora, encontraremos o valor descontado da operação:
VP
VP
�
�� �
�
8 000
1 0 0253
7 422 27
3
.
,
. ,
Assim, o valor descontado da operação foi de 
R$ . ,7 422 27 . Desta forma, o valor do desconto foi 
D R= − =8 000 00 7 422 27 577 73. , . , $ , .
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
168
Caro(a) acadêmico(a), nesta unidade, conhece-
remos a matemática financeira utilizada em nosso 
cotidiano, por meio dos juros compostos, equivalên-
cia composta e desconto composto. Nesta perspectiva, 
esse ensinamento permitirá a você avançar na disci-
plina, conhecendo e aprofundando na classificação 
de rendas e anuidades, rendas certas, rendas diferi-
das e rendas perpétuas.
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
169
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Pois bem, chegamos ao fim da nossa unidade, em que 
estudamos os conceitos inerentes às operações finan-
ceiras que envolvem juros. Agora, você já tem bases 
para iniciar a realização de cálculos de juros sobre 
investimentos bem como financiamentos, uma vez 
que você teve a oportunidade de ter contato com os 
cálculos, seja com lápis e borracha, isto é, por meio 
de fórmulas matemáticas e, já por meio das calcu-
ladoras, inclusive a HP-12C.
Acredito que você, a partir dos conhecimentos 
gerados, ao decidir investir, ou emprestar recursos, 
pensará e analisará a dinâmica dos juros, antes de 
tomar a decisão. Haja vista que, se pensarmos racio-
nalmente, optaremos por um investimento que trará 
melhor retorno sob um risco calculado. Por outro 
lado, ao realizar um financiamento, optamos por 
aquele com a menor taxa do mercado.
Neste contexto, pudemos aprender que os juros com-
postos são calculados com base no capital, somados 
aos juros do período anterior. Por isso, há incidência 
de jurossobre juros uma vez que o valor dos juros não 
é mesmo ao longo do período. Aprendemos ainda, que 
equivalência composta, apesar de ter a mesma lógica da 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
170
equivalência simples, a fórmula de cálculo é diferente 
da simples, pois, para encontrá-la, você poderá sim-
plesmente dividir a taxa anual pelo número de meses.
Ainda, aprendemos sobre o desconto composto 
ou desconto por dentro, na prática, isto é, anteci-
pações de valores a receber ou a pagar. Portanto, 
agora que você já conhece o universo composto da 
matemática financeira, já pode começar a praticar. 
Chame a família e os amigos e se ofereça para calcu-
lar os juros sobre as operações financeiras que eles 
forem realizar. Assim, terá oportunidade de praticar 
a matemática financeira, e ainda, poderá auxiliá-los 
a tomarem as melhores decisões. Bons estudos!
1. Considere uma aplicação financeira de R$ . ,25 000 00 
que será resgatada após 26 meses, a uma taxa 
de juros de 3 5, % . .a m Calcule o Valor Futuro da 
operação e assinale a alternativa correta.
a. R$ . ,61 148 96.
b. R$ . ,62 248 33.
c. R$ . ,63 336 25.
d. R$ . ,59 338 78.
e. R$ . ,57 999 66.
 2. Para que um investimento atinja o valor de 
R$ . ,95 000 00, após 1.440 dias, com taxa de juros 
compostos de 45% ao ano, qual deve ser o va-
lor inicial? Antes de resolver, observe que, neste 
exemplo, o prazo está diferente da unidade de 
tempo da taxa. Por isso, é necessário converter 
o tempo pela regra do banqueiro. Assinale a al-
ternativa correta:
a. R$ . ,15 142 92.
b. R$ . , .16 349 93
c. R$ . , .17 736 20
d. R$ . , .19 738 70
e. R$ . , .21 490 75
 3. Considere uma dívida de R$ . ,20 000 00 que foi res-
gatada por R$ . ,26 000 00, após 11 meses. Calcule 
a taxa de juros mensal da operação e assinale a 
alternativa correta:
a. 1 89, %.
b. 2 29, %.
c. 2 41, %.
d. 2 99, %.
e. 3 5, %.
 4. Uma empresa solicita um financiamento de 
R$ . ,48 700 00 no Banco dos Brasileiros, com prazo 
de vencimento em parcela única, 30 dias após a 
liberação do empréstimo. Considerando a taxa 
de juros composta de 19 5, %a.a, calcular o mon-
tante a pagar:
 5. A indústria de confecção Belas Peças possui uma 
nota promissória de valor nominal R$ . ,50 000 00, 
que vence daqui a um mês. O devedor propõe 
a troca por outra nota promissória, a vencer da-
qui a 3 meses. Considerando uma taxa de juros 
de 2%a.m na equivalência composta, qual deve 
ser o valor da nova nota promissória?
Taxa nominal e taxa real
A taxa nominal é aquela que encontramos no mer-
cado adotada comumente em operações corren-
tes, o que inclui os efeitos inflacionários previstos 
para o prazo da operação. Isto é, aquela taxa que 
incorpora os efeitos da inflação, em outras pa-
lavras, constitui-se uma taxa prefixada de juros. 
Logo, num contexto inflacionário, você encontrará 
uma taxa nominal (prefixada), devido à inflação, e 
a taxa real, que reflete os juros reais pagos ou re-
cebidos. Por isso, nesta leitura complementar, nós 
aprenderemos como apurar a taxa de juros real, li-
vre dos efeitos inflacionários. Isto é, o quanto você 
ganhou, ou perdeu, sem a interferência das varia-
ções de preços (inflação).
Assim, o cálculo da taxa real r� � tem como obje-
tivo expurgar a indexação da taxa total de juros 
(nominal), de forma a expressar o juro real. Por 
exemplo, publicou-se que a remuneração de de-
terminado título foi de 12 8, % , num intervalo de 
tempo, sendo 9 2 %, a taxa de inflação no mesmo 
período. Assim, quem aplicou R$ . ,200 000 00 , no iní-
cio do período obteve um rendimento nominal 
de R R$ . , , % $ . ,25 600 00 12 8 200 000 00×( )no perío-
do totalizando um montante de $ . ,225 600 00 . Em 
contrapartida, para manter inalterado o seu po-
der de compra, o capital acumulado do aplica-
dor deve atingir, ao final do período, a soma de 
R R$ . , $ . , ,218 400 00 200 000 00 1 092×( ) . Como o valor de 
resgate soma $ . ,225 600 00R , conclui-se pela exis-
tência de um lucro real, em valores monetários, 
R R R$ . , $ . , $ . ,7 200 00 225 600 00 218 400 00−( ). Isto é, o 
aplicador obteve um ganho real, acima do princi-
pal investido, corrigido pela inflação de R$ . ,7 200 00
. Em termos percentuais, o retorno real da ope-
ração, determinado pela relação entre o lucro 
(ganho) e o valor aplicado, ambos expressos em 
moeda de mesmo poder de compra, é igual a 
3 3 7 200 00 218 400 00, %($ . , / $ . , ). De uma forma geral, a 
fórmula de apuração da taxa real é a seguinte:
Taxa real r taxa i
taxa I
r
 nominal
 de ção
( ) ( )
( )
( )
1
1
1
11 0 128
1 0 092
1 1 128
1 092
1 3 3 3 3,
,
,
,
, % , %
Assim, a partir da identidade da taxa real r� � , pode-
-se calcular a taxa nominal i� � e a taxa de inflação I� � :
Taxa real r
taxanominal i
taxadeinflação I
�
� � �
� � � �
�� � � � � �
� � �
�
1
1
1
ii r I
I
i
r
�� �� � � �
�
�
�
� �� � �� ��
�
�� �
�� �
�
1 1 1
1
1
1
1
Pode ocorrer, não obstante, de a da taxa real ser 
negativa, isto ocorre quando a inflação supera a 
variação nominal dos juros, por exemplo o aumen-
to no dólar. Considere que o dólar apresentou au-
mento de 7 5, %, abaixo da inflação de 9 2, %. Quem 
aplicou $ . ,200 000 00R neste ativo no período conse-
guiu resgatar $ . , $ . , ,215 000 00 200 000 00 1 075×( )R . Como 
precisava obter um montante de $ . ,218 400 00R 
para manter o poder de compra da moeda com 
base na taxa de inflação da economia, conclui-
-se que o investidor teve uma perda real de 
$ . , $ . , $ . ,3 400 00 215 000 00 218 400 00−( )R . Ou, em termos 
percentuais, a perda real atingiu a taxa negativa 
de 1 56 3 400 00 218 400 00, % $ . , / $ . ,�� �, isto é, o investidor 
obteve somente 98 44 215 000 00 218 400 00, % $ . , $ . ,� �do 
valor de seu investimento corrigido, perdendo, em 
consequência, 1 56, % em capacidade de compra. 
Pela expressão de cálculo da taxa real, tem-se:
 
r variação nominal dodólar
taxadeinflação
1
1
1 1 00 075
1 0 092
1 1 56, %
Fonte: adaptado de Assaf Neto (2017).
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Matemática financeira com a 
utilização da HP-12C
Arnaldo José Tosi
Editora: Atlas
Sinopse: este livro destina-se ao 
profissional ou estudante da área 
financeira que busca informações 
técnicas atualizadas sobre a matemática financeira 
e sua utilização na solução dos problemas que 
envolvem o atual mercado financeiro brasileiro. 
Apresenta a teoria de forma simples, objetiva e 
didática, amparada em inúmeros casos práticos e 
exemplos resolvidos. A obra enfoca os conceitos 
que regem a matemática financeira, como: juros 
simples e compostos, séries uniformes, equivalência 
de taxas, tipos de taxas, desconto de títulos, 
sistemas de amortização, métodos para avaliação 
de alternativas de investimentos, a utilização da 
calculadora HP-12C e algumas terminologias do 
mercado financeiro (CDI, Selic, Cetip, taxa over).
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Khan Academy é um dos recursos de internet que 
auxiliam cálculos matemáticos. O link a seguir 
corresponde a uma maneira simples de visualizar 
a aplicação de juros compostos de forma 
dedutiva.
Web: <https://pt.khanacademy.org/
economics-finance-domain/core-finance/
interest-tutorial/compound-interest-tutorial/v/
introduction-to-compound-interest>.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas 
aplicações. [S.l]: Atlas, 2000.
DE CASTRO, M. L.; DAL ZOT, W. Matemática Finan-
ceira: fundamentos e aplicações. [S.I.]: Bookman 
Editora, 2015.
MULLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática Fi-
nanceira: instrumentos financeiros para a to-
mada de decisão em Administração, Economia e 
Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2012.
PARENTE, E. A. M. Matemática Comercial e Fi-
nanceira. São Paulo: FTD, 1996.
REFERÊNCIAS
GABARITOGABARITOGABARITO
1. A.
Resolução
VF
VP R
n meses
i
VF VP i
VF
n
=
=
=
=
= +( )
= +
?
$ . ,
, %
. ,
25 000 00
26 
3 5
1
25 000 1 0 0335 61 148 9626( ) = . ,
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 035. ENTER� � 1 035. yx�� �� clear fin � �
26 yx��
�
� 26x� � 3 5, i� �
25000 x� � 25000 = 26 n� �
� � 61 148 96. , � � 61 148 96. , 2500 PV FV� �� �
� � �61 148 96. ,
GABARITO
2. E.
VP
VF R
n dias
i a a
=
=
=
=
?
$ . ,
.
% .
95 000 00
1 440
45
 
Observe que, neste exemplo, o prazo está diferente 
da unidade de tempo da taxa. Por isso devemos con-
verter o tempo pela regra do banqueiro.
n anos= =1 440
360
4.
Pois bem, agora resolveremos o exemplo:
VP
VF R
n anos
i a a
=
=
=
=
?
$ . ,
% . .
95 000 00
4
45
VP �
�� �
�
95 000
1 0 45
21 490 754
.
,
. ,
GABARITO
Assim, o capital inicial a ser investido deve ser 
R$ . ,21 490 75.
Utilizando a calculadora temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
95000 ENTER� � 95000 �� � clear fin � �
1 45. ENTER� � 1 45 4. yx�� ��� � � 45 i� �
4 y���
�
� � � 21 490 75. , 4 n� �
�� � 95000 FV PV� �� �
� � 21 490 75. , � � �21 490 75. , 
3. C.
i
VP R
VF R
n meses
=
=
=
=
?
$ . ,
$ . ,
20 000 00
26 000 00
11 i VF
VP
i
i
n
� �
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
� � �
� �
�
1
1 11
1
26 000
20 000
1
26 000
20 000
.
.
.
.
��
�
�
� � �
1 11
1 0 02413 2 41, , % ou
GABARITO
Neste exemplo, a taxa de juros mensal foi de 2 41, % ao mês.
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
26000 ENTER� � 26000 �� � clear fin � �
20000 �� � 20000 yx�� �� 26000 FV� �
11 1 X� � 11 1 X� � 11 n� �
yx��
�
�
− 20000 CHS PV� �� �
1 �� � � � 0 02413, I� �
� � 0 02413, � � 2 41,
4. 
VP R
VF
n mês
i aa
=
=
=
=
$ . ,
?
, %
48 700 00
1
19 5
 
Para apurar a taxa efetiva mensal, é preciso aplicar 
a taxa equivalente:
i ic
i
i
eq
nt nc
eq
eq
= +( )


−
= +( )


−
= − =
1 1
1 0 195 1
1 0149563 1
1 12,
, 11 49563, % .a.m
GABARITO
VF VP i
VF R
n)
, $ . ,
1
R$48.700 1 0 0149563 49 428 371
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 014963, ENTER� � 1 014963, yX�� �� clear fin � �
1 yx��
�
� 1 X� � 1 49563, i� �
48700 x� � 48700 = 1 n� �
� � 49 428 370. , � � 49 428 370. , 48 700. PV FV� �� �
� � �49 428 370. ,
5. 
 VP R
VF
n meses
i am
VF i
VF
n
=
=
=
=
= +( )
= +(
$ . ,
?
%
. ,
50 000 00
2
2
1
50 000 1 0 02
 
)) =2 52 020 00. ,
GABARITO
Utilizando a calculadora:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 02, ENTER� � 1 02, yx�� �� clear fin � �
2 yx��
�
�
2 x� � 2 i� �
50000 x� � 50000 = 2 n� �
� � 52 020 00. , � � 52 020 00. , 50000 PV FV� �� �
� � �52 020 00. ,
 
UNIDADE IV
U
N
ID
A
D
EIV
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
RENDAS E ANUIDADES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 ■ Explanar acerca da classificação de rendas 
e anuidades.
 ■ Ensinar o aluno a respeito das rendas certas.
 ■ Instruir o acadêmico com relação a rendas 
diferidas.
 ■ Explicar ao aluno os aspectos das rendas 
perpétuas.
U
N
ID
A
D
E
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que 
você estudará nesta unidade:
 ■ Classificação de rendas e anuidades
 ■ Rendas certas
 ■ Rendas diferidas
 ■ Rendas perpétuas
IV
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
RENDAS E ANUIDADES
RENDAS E ANUIDADES
189
INTRODUÇÃO
Prezado(a) acadêmico(a), nesta unidade, você pas-
sará a compreender algumas das operações com que 
têm contato diariamente, a partir de decisões pes-
soais ou empresariais. Inicialmente, aprenderemos 
sobre a classificação de rendas em anuidades bem 
como a classificação das sequências de pagamentos.
Aprofundaremos, de forma prática, os concei-
tos sobre rendas certas, postecipadas e antecipadas, 
muito utilizadas em operações de empréstimos ou 
financiamentos do cotidiano, seja para pessoa física 
seja jurídica. Compreende-se como renda poste-
cipada a prestação a ser paga em um período (por 
exemplo, 30 dias), após a realização do empréstimo 
ou financiamento. Por sua vez, a renda antecipada 
é aquela em que você dá a entrada em operação de 
financiamento, por exemplo. Desta forma, passare-
mos a compreender as operações mais complexas 
na matemática financeira.
Assim, aprenderemos, também, que há alguns 
tipos de financiamentos que envolvem rendas diferi-
das, isto é, existe um prazo de carência para iniciar o 
pagamento das prestações. Este tipo de financiamento 
RENDAS E ANUIDADES
190
é muito comum em operações de financiamento para 
investimentos em infraestrutura ou bens de capital.
Por fim, você passará a entender os aspectos que 
envolvem a renda perpétua de termos constantes 
ilimitados. Isto é, a perpetuidade é uma série uni-
forme de fluxos de caixa com duração infinita. Entre 
outras formas, você poderá utilizar a renda perpétua 
como uma técnica de avaliação de empresas (valua-
tion) que utiliza o método de valor descontado dos 
fluxos de caixa combinado com a perpetuidade.
Pois bem, agora que já conhece o assunto que 
estudaremos nesta unidade, nós convidamos você a 
mergulhar nos estudos a fim de poder lidar com situa-
ções que envolvem a tomada de decisões de realização 
de empréstimos, financiamentos ou investimentos.
RENDAS E ANUIDADES
191
CLASSIFICAÇÃO DE RENDAS E ANUIDADES
É denominado renda ou anuidade uma sequência 
de pagamentos ou recebimentos que incorrem em 
datas pré-estabelecidas, isto é, séries periódicas uni-
formes. Podemos verificar as séries de pagamento 
por um diagrama de tempo ou fluxo de caixa, que 
podem ser pagos em uma ou várias parcelas. Vejamos, 
na Figura 1, um exemplo de um projeto cujo inves-
timento é de R$ . ,50 000 00, que, nos próximos 4 anos, 
gera entradas de caixa de R$ . ,20 000 00.
RENDAS E ANUIDADES
192
Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático da operação
Fonte: Assaf Neto (2017, p. 109).
Observe que as sequências uniformes são muito comuns 
em operações comerciais de financiamento de veícu-
los, viagens, eletroeletrônicos, empréstimos pessoais, 
entre outros (ASSAF NETO, 2017). Neste sentido, os 
pagamentos e recebimentos são representados por 
PMT (Periodic Payment). Quando a finalidade é inves-
timento para resgatar numa data futura, a partir de 
depósitos sucessivos, tem-se o processo de capitali-
zação. Por outro lado, quando o objetivo é pagar uma 
dívida, tem-se o processo de amortização (ASSAF 
NETO, 2017). Assim, as sequências de pagamentos 
podem ser classificadas:
R$ 20.000,00
R$ 50.000,00
R$ 20.000,00 R$ 20.000,00 R$ 20.000,00
RENDAS E ANUIDADES
193
 ■ Quanto ao prazo, como temporárias e perpétuas.
 ■ Quanto ao valor dos termos, como constantes 
e variáveis.
 ■ Quanto à forma termo imediato ou diferido.
 ■ Quanto à periodicidade, como periódicas e não 
periódicas.
Conforme detalhado no Quadro 1:
Quadro 1 - Classificação da sequência de pagamentos
CLASSIFICAÇÃO DESCRIÇÃO
Prazo
Temporárias ou finitas: 
quando ocorrem durante 
um período predetermina-
do de tempo (exemplo: fi-
nanciamento de veículos).
Perpétuas ou infinitas: 
quando ocorrem de forma 
ad aeternum, isto é, quando 
os pagamentos ou recebi-
mentos duram infinitamen-
te (exemplo: condomínio).
RENDAS E ANUIDADES
194
Valor dos termos
Constante ou uniforme: 
com todos os pagamentos 
ou recebimentos em valo-
res iguais (exemplo: em-
préstimo bancário).
Variável ou não uniforme: 
quando os pagamentos ou 
recebimentos não são de 
valores iguais (exemplo: fi-
nanciamento imobiliário 
pelo sistema de amortiza-
ção crescente – Sacre).
Forma
Imediato: quando o primei-
ro pagamento ou recebi-
mento ocorre no primeiro 
período (postecipado ou 
antecipado).
Diferido: quando o primeiro 
pagamento ou recebimen-
to não ocorre no primeiro 
período (período de carên-
cia).
RENDAS E ANUIDADES
195
Periodicidade
Periódica: quando todos os 
intervalos entre os paga-
mentos ou recebimentos 
são iguais.
Não periódica: quando os 
intervalos entre as parcelas 
não são iguais.
Fonte: Assaf Neto (2017, p. 111).
Agora, conheceremos as rendas temporárias, perió-
dicas e constantes, em que o vencimento da primeira 
prestação pode ser postecipada, antecipada ou dife-
rida (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015).
A postecipada é quando a primeira parcela ou 
prestação ocorre após o primeiro período (1 mês, 
1 bimestre etc.), após a data do empréstimo, isto 
é, comumenteconhecido como empréstimo sem 
entrada. A antecipada ocorre na data da realização 
do empréstimo, isto é, quando você dá a entrada 
ao financiar algo. Por fim, é denominada diferida 
quando a data da primeira prestação ocorre mais 
de um período após a data do empréstimo (DE 
CASTRO; DAL ZOT, 2015).
RENDAS E ANUIDADES
196
RENDAS CERTAS
Uma renda pode ser exemplificada como a compra 
a prazo com pagamentos mensais e número deter-
minado de parcelas de valor fixo, que pode, ainda, 
ser paga com ou sem entrada, isto é, antecipada ou 
postecipada, respectivamente. Esse tipo de renda, 
geralmente, é utilizado para pagamento de dívida 
contraída na aquisição de um bem. Outro exemplo 
pode ser sequência de certo número de depósitos em 
caderneta de poupança de valores iguais e em datas 
determinadas que vai sendo capitalizado com a inten-
ção de acumular uma quantia em dinheiro no futuro.
RENDAS E ANUIDADES
197
Rendas postecipadas
Como vimos, as rendas postecipadas acontecem 
sem a entrada, isto é, você só começará a pagar, por 
exemplo, após 30 dias, conforme apresentado no 
diagrama a seguir:
Cabe ressaltar que o valor atual da anuidade deve 
ser igual ao valor presente VP� � e as rendas posteci-
padas são representadas por PMT .
VP PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
in n
�
�� �
�
�� �
� �
�� �
�
�� ��1 1 1 11 2 1

VP PMT
i i i i
VP PMT
n n� �� �
�
�� �
� �
�� �
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2 1
( ���
�
i jj
n
)1
O somatório
j
n
ji�
�
�� �1
1
1�� corresponde à soma dos n , pri-
meiros termos de uma progressão geométrica, cujo 
primeiro termo é 
a
i1
1
1
�
�
, em que a razão é 
q
i
�
�� �
1
1��
, 
assim teremos:
RENDAS E ANUIDADES
198
j
n
j
n n n
ni
a q
q a i
i
i
i
i i1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
( )
=
Desta forma, o relacionamento entre as variáveis 
valor presente VP� � , a prestação PMT� � , o número de 
prestações n e a taxa de juros i :
VP PMT
i
i i
n
n�
�� � �
�� �
1 1
1
Observe que a taxa de juros utilizada em rendas é a 
taxa composta, devido aos juros compostos. Vejamos 
um exemplo em que calcularemos o valor do princi-
pal em função da prestação: uma empresa financiou 
um conjunto de sofás em 4 prestações mensais iguais 
a R$ . ,1 500 00, sem entrada, sendo a primeira delas 
a ser paga 30 dias após a compra à taxa de juros de 
3 5, % ao mês. Qual o valor à vista da compra?
PMT R
n
i a m
VP
=
=
= ( )
=
$ . ,
, % , . .
?
1 500 00
4
3 5 0 035
 meses
RENDAS E ANUIDADES
199
Resposta: R$ . ,5 509 62
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 035. ENTER� � 1 035. yx�� �� clear fin� �
4 1yx��
�
� �� � 4 �� � 1500 PMT� �
1 035 4. ENTER yx� � �� �� 1 1 035�� � �� ��� �. yx 4 n� �
0 035. x� � �� � 4 0 035x x� � � �. 3 5. i� �
1500 x� � 1500 �� � PV� �
� � 5 509 62. , � � 5 509 62. , � � �5 509 62. ,
Agora, imagine que o cliente de uma loja adquiriu 
uma geladeira no valor de R$ . ,3 000 00 à vista, em 5
prestações mensais iguais e sem entrada, com uma 
taxa de juros de 2% ao mês. Qual o valor da presta-
ção que o cliente vai pagar?
VP PMT
i
i i
VP
n
n�
�� � �
�� �
�
�� � �
�� �
�
1 1
1
1500
1 0 035 1
0 035 1 0 035
15
4
4
,
, ,
000 0 147523
0 040163
5 509 62,
,
. ,�
RENDAS E ANUIDADES
200
VP R
n pm
i
PMT
=
=
=
=
$ . ,
.
%
?
3 000 00
5
2
Resposta: R$ , .636 47
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 02. ENTER� � 1 02. yx�� �� clear fin� �
5 0 02y xx��
�
� � �, 5 x� � 3 000. PV� �
1 02 5. ENTER yx� � �� �� 0 02 1 02, .�� �� �� ��y
x 5 n� �
1 �� � �� � 5 1�� � �� �x 5 i� �
3 000. x� � 3 000. �� � PMT� �
� � 636 47, � � 636 47, � � �636 47,
VP PMT
i
i i
PMT VP
i i
i
PMT
n
n
n
n�
.
,
�
�� � �
�� �
� �
�� �
�� � �
�
1 1
1
1
1 1
3 000
0 02 1��� �
�� � �
� �
�
0 02
1 0 02 1
3 000 0 022082
0 104081
636 47
5
5
,
,
.
,
,
,
PMT
PMT
RENDAS E ANUIDADES
201
Cálculo da taxa de juros
Imagine o financiamento de um celular no valor de 
R$ . ,5 000 00, feito em 12 prestações mensais iguais 
a R$ ,500 00 , sendo a primeira com vencimento 30 
dias após a compra. Qual a taxa de juros?
VP R
n p m
PMT R
i
=
=
=
=
$ . ,
.
$ ,
?
5 000 00
12
500 00
Como podemos observar na equação: 
VP PMT
i
i i
n
n�
��
��
�
�� � �
�� �
1 1
1 , 
é matematicamente impossível separar a taxa de juros, 
para resolver esse problema, podemos utilizar os recur-
sos da calculadora financeira:
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
5 000. PV� �
12 n� �
500 CHS PMT� �� �
i� �
� � 2 922584.
Resposta: 2 92, % .a m
RENDAS E ANUIDADES
202
Agora, para saber a taxa de juros anual, basta conti-
nuar a fórmula, conforme podemos observar a seguir:
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
5 000. PV� �
12 n� �
500 CHS PMT� �� �
i� �� � 2 922854.
0 7 064 99PMT FV� �� �� . ,
1 41 299898n i� �� �� � ,
Podemos, a partir das rendas postecipadas, calcular 
também o valor futuro dos n termos de uma anui-
dade (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015). Por exemplo: 
imagine que José transfere R$ ,500 00 do seu salário para 
uma conta poupança que remunera a taxa de 10% ao 
mês. Qual seria o valor da poupança de José após a 
décima segunda transferência?
PMT R
n p m
i a m
VF
=
=
= ( )
=
$ ,
. .
% , . .
?
500 00
10
10 0 10
RENDAS E ANUIDADES
203
Resposta: R$ . , .10 692 14
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 10. ENTER� � 1 10. yx�� �� clear fin� �
12 yx��
�
� 12 �� � 500 PMT� �
1[-] 1[] 12 n� �
0 10, �� � 0 10, �� � 0 10, i� �
500 �� � 500 �� � FV� �
� �10 692 14. , � �10 692 14. , � � �10 692 14. ,
VF VP i
VP PMT
i
i i
VF PMT
i
i
VF
n
n
n
n
� �� �
�
�� � �
�� �
�
�� � �
�
�
1
1 1
1
1 1
500
1 0 1, 00 1
0 10
10 692 14
12� � �
�
,
. ,VF
RENDAS E ANUIDADES
204
Você sabia que podemos calcular também a presta-
ção em função do valor futuro? Pois bem, vejamos 
um exemplo: quanto é necessário depositar mensal-
mente num fundo de investimentos cuja taxa de 
juros é de 2% ao mês para que, após o trigésimo mês, 
se alcance um saldo de R$ . , .50 000 00
VF PMT
i
i
PMT VF i
PMT
i
n
n
. ,
,
1 1
50 000 0 02
1 0 02
1 1
30 11
1 232 49PMT . ,
Resposta: R$ . , .1 232 49
VF R
n p m
i a m
PMT
=
=
= ( )
=
$ . ,
. .
% , . .
?
50 000 00
30
2 0 02
RENDAS E ANUIDADES
205
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
0 02. ENTER� � 0 02 1 01. .�� � �� ��� yx clear fin� �
1 02. ENTER� � 30 1�� � � �� � 50000 FV� �
30 yx��
�
� 50000 �� � 30 n� �
1 �� � �� � 2 i� �
50000 �� � PMT� �
� �1 232 49. , � �1 232 49. , � � �1 232 49. ,
Rendas Antecipadas
As rendas antecipadas ocorrem na data da realização do 
empréstimo, ou seja, quando se dá entrada ao financiar 
algo (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015). Assim, temos:
PMT VP
i i
i
n
n�
��
��
�
�� �
�� � �
�1
1 1
1
Vejamos um exemplo em que João adquiriu uma 
televisão cujo valor à vista é de R$ . ,1 300 00 , em 3 
prestações mensais, a primeira na entrada, com uma 
taxa de juros de 3% . .a m Vamos calcular o valor da 
prestação:
RENDAS E ANUIDADES
206
VP R
n
i a m
PMT
=
=
= ( )
=
$ . ,
% , . .
?
1 300 00
3
3 0 03
PMT VP
i i
i
PMT
n
n
.
, ,
,
1
1 1
1 300
0 03 1 0 03
1 0 03
1
3 1
3 1
446 10PMT R$ ,
Resposta: R$ , .446 10
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 03. ENTER� � 1 03. yx�� �� clear fin g� � � �BEG
2 0 03yx��
�
� �� �. 2 �� � 1300 PV� �
1 03. ENTER� � 0 03 1 03. .�� �� �� ��y
x 3 n� �
3 1yx��
�
� �� � �� � 3 1�� � � �� � 3 i� �
1300 �� � 1300 �� � PMT� �
� � 446 20, � � 446 20, � � �446 20,
RENDAS E ANUIDADES
207
Agora, calcularemos o valor presente VP� � em função 
da prestação PMT� �. Para isso, considere um financia-
mento com 6 prestações mensais iguais a R$ ,650 00 , 
a primeira entrada, sabendo que a taxa de juros foi 
de 2 5, %.
VP R
n
i a m
PMT R
=
=
= ( )
=
$?
, % , . .
$ ,
6
2 5 0 025
650 00
Observe que, para realizar o cálculo na calculado-
ra financeira, é necessário utilizar a opção begin. 
Assim, ao trabalhar com rendas antecipadas, você 
terá que acionaras teclas azuis g� � depois BEG� �. 
Entretanto, ao finalizar a utilização para calcula-
dora voltar ao normal, é necessário acionar as te-
clas azuis g� � depois END� � .
Fonte: as autoras.
RENDAS E ANUIDADES
208
Resposta: R$ . ,3 669 78
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 025. ENTER� � 1 025. yx�� �� clear fin g� � � �BEG
6 1yx��
�
� �� � 6 �� � 650 PMT� �
1 025. ENTER� � 1 1 025�� � �� ��� . yx 6 n� �
5 0 025yx��
�
� �� � �� �, 5 0 025�� � � �� �, 2 5. i� �
650 �� � 650 �� � PV� �
� � 3 669 78. , � � 3 669 78. , � � �3 669 78. ,
PMT VP
i i
i
VP PMT
i
i i
VP
n
n
n
n
1
1 1
1 1
1
650
1
1
1
0 025 1
0 025 1 0 025
650 0 159693
0 025285
3 66
6
6 1
,
, ,
,
,
.
VP
VP 99 78,
RENDAS E ANUIDADES
209
Calculando a taxa de juros
De acordo com De Castro e Dal Zot (2015), con-
sidere um financiamento no valor de R$ . ,4 000 00
, realizado em 12 prestações iguais de R$ ,400 00 , a 
primeira entrada. Calculemos a taxa de juros da 
operação:
VP R
n
i
PMT R
=
=
=
=
$ . ,
?
$ ,
4 000 00
12
400 00
Como no caso das postecipadas, a taxa deve satisfazer 
a equação VP PMT�= 1 1
1 1
��
��
�� � �
�� � �
i
i i
n
n
, em que não é possível iso-
lar a taxa i .
Por isso, realizaremos, os cálculos na calculadora financeira.
FÓRMULA HP-12C
clear fin g BEG � � � �
4000 PV� �
12 n� �
4000 CHS PMT� �� �
i� �
� � 3 503153.
Resposta: 3 5, %
RENDAS E ANUIDADES
210
Podemos, também, realizar o cálculo do valor futuro 
dos n de uma unidade, em que a data focal é um perí-
odo após o último termo da anuidade (DE CASTRO; 
DAL ZOT, 2015). Para isso, considere um valor de 
R$ ,600 00 depositado mensalmente em um fundo que 
remunera a taxa de juros de 2 4, % ao mês. Agora, calcu-
laremos o saldo acumulado um mês após o trigésimo 
período.
VF
n
i a m
PMT R
=
=
= ( )
=
?
, % , . .
$ ,
30
2 4 0 024
600 00
Resposta: R$ . ,26 548 12
VF VP i
VP
PMT i
i
VF PMT
i
i
i
VF
n
n
n
� �� �
�
�� � �
�
�� � �
�� �
�
�
1
1 1
1 1
1
600
1 0 02, 44 1
0 024
1 0 024
600 1 03703598
0 024
1 024
600 4
30� � �
�� �
� � �
� �
,
,
.
,
,VF
VF 33 2 1 024
26 548 12
, ,
. ,
� �
�VF
RENDAS E ANUIDADES
211
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 024. ENTER� � 1 024. yx�� ��
clear fin g BEG � � � �
30 1yx��
�
� �� � 30 �� � 600 PMT� �
0 024. �� � 1 0 024�� � �� �. 30 n� �
1 024. �� � 1 024. �� � 2 4. i� �
600 �� � 600 �� � FV� �
� � 26 548 12. , � � 26 548 12. , � � �26 548 12. ,
RENDAS E ANUIDADES
212
RENDAS DIFERIDAS
As rendas diferidas ocorrem quando há um prazo dila-
tado para o primeiro pagamento. Desta forma, ocorre um 
período maior para pagamento da primeira parcela do 
financiamento ou empréstimo. Por exemplo, compre hoje 
e comece a pagar daqui a 120 dias (ASSAF, NETO, 2017).
Em juros simples, a conversão de taxa ocorre por meio 
de divisão ou por multiplicação, em juros compostos 
por meio de taxa equivalente. Em rendas e anuidades 
que, obrigatoriamente, realizasse conversão de taxas, 
e não de prazos.
RENDAS E ANUIDADES
213
As rendas diferidas possuem um intervalo de perío-
dos em que não ocorrem pagamentos. Intervalo esse 
que se dá o nome de carência, simbolizado, nesta dis-
ciplina, pela letra k . Assim, o ponto de referência é a 
anuidade postecipada cuja carência k é zero. Logo, 
quando o primeiro termo de uma anuidade vence a 
dois períodos do ponto zero, diz-se que a carência k 
é igual a 1 (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015).
Considerando que k é o número de períodos entre 
o ponto zero e o vencimento do termo, temos:
PMT VP
i i
i
n k
n�
��
��
�
�� �
�� � �
�1
1 1
Onde
k +1 é igual a prazo da primeira prestação, iso-
lando o VP , obtendo a fórmula:
VP PMT i
i i
n
n k
)
)
1 1
1
Considere uma loja que financia um carro no valor de 
R$ . ,13 000 00 , em 12 prestações mensais iguais, a pri-
meira vencendo após 4 meses depois da compra com 
RENDAS E ANUIDADES
214
uma taxa de juros de 3% . .a m Vamos calcular o valor da 
prestação:
VP R
n
k m m
i a m
PMT
=
=
= −( ) =
= ( )
=
$ . ,
% , .
?
13 000 00
12
4 1 3
3 0 03
PMT VP
i i
i
n k
n .
, ,
,
1
1 1
13 000
0 03 1 0 03
1 0 03
12 3
12 1
13 000 0 04673902
0 42576089
1 427 11
. ,
,
. ,PMT
Resposta: R$ . ,1 427 10
RENDAS E ANUIDADES
215
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 03. ENTER� � 1 03. yx�� ��
clear fin g END � � � �
15 0 03yx��
�
� �� �, 15 �� � 13000 12 3PV n i� � � � � �
1 03. ENTER� � 0 03 1 03. .�� � �� ��� yx PMT STO VP� �� �� �
12 yx��
�
�
12 1�� � � 0 PMT� �
 
1 1300�� � �� � �� � �� � �� �1300 3 n FV� �� �
� �1 427 10. , � �1 427 10. , � �1 427 10. ,
Agora, considere um financiamento de uma casa, rea-
lizado em 48 prestações mensais iguais a R$ . ,3 000 00, a 
primeira vencendo 13 meses após a compra. Sabendo 
que a taxa de juros utilizada foi de 1 5, % . .a m Segue o 
cálculo do valor à vista do imóvel:
VP
n
k m m
i a m
PMT R
=
=
= − =
= ( )
=
?
.
, % , .
$ . ,
48
13 1 12
1 5 0 015
3 000 00
RENDAS E ANUIDADES
216
VP PMT
i
i i
VP
n
n k�
�� � �
�� �
�
�� � �
�� �
�
1 1
1
3 000
1 0 015 1
0 015 1 0 015
48
.
,
, ,
448 12 3 000
1 04347829
0 03664830
85 418 28� � �.
.
,
. ,
Resultado: R$ . , .85 418 28
Utilizando a calculadora, temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 015. ENTER� � 1 015. yx�� �� clear fin� � � �g END
48 1yx��
�
� �� � 48 1�� � �� � 3000 48 1 5PMT n i� � � � � �.
1 015. ENTER� � 1 015.� �� ��y
x PV STO FV� �� �� �
60 yx��
�
�
60 0 015x� � �. 0 PMT� �
0 015 3000. �� � �� � �� � �� � �� �3000 12 n PV� �� �
� � 85 418 28. , � � 85 418 28. , � � 85 418 28. ,
RENDAS E ANUIDADES
217
RENDAS PERPÉTUAS
Renda perpétua é a anuidade que não tem previ-
são de término. O número de termos é infinito, por 
exemplo, o pagamento de aluguel ou das despesas 
de um condomínio residencial. O valor do termo ou 
prestação é exatamente o valor dos juros ou remu-
neração sobre o determinado capital.
VA PMT
i
�=
RENDAS E ANUIDADES
218
Exemplo 1: Qual o valor da renda perpétua mensal 
de R$ ,100 00 , considerando que a taxa de juros apli-
cada sobre o capital seja de 1 2, %a.m?
 
VA PMT
i
VA
VA
,
. ,
�
�
�
100
0 012
8 333 33
Exemplo 2: Um apartamento que vale R$ . ,60 000 00 está 
alugado por R$ ,900 00. Qual a taxa correspondente?
VA PMT
i
i
i a m
.
, , .
=
=
=
60 000 900
0 015 1 5 ou 
Prezado(a) estudante, nesta unidade, pudemos conhecer, de 
forma prática, as rendas e anuidades, vimos as rendas pos-
tecipadas e antecipadas bem como a renda diferida, em que 
há um período de carência para o pagamento da primeira 
prestação. Neste sentido, esse ensinamento permitirá a você 
avançar na disciplina, conhecendo a dinâmica das rendas e 
anuidades, de forma a ter a base para realizar as operações 
com sistemas de amortização. Assim desejamos bons estudos!
RENDAS E ANUIDADES
219
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesta unidade, você passou a entender algumas das 
operações que comumente temos contato no nosso 
cotidiano, como ao realizamos uma compra a prazo. 
Ela pode ocorrer mediante entrada no momento 
da compra, ou a primeira parcela paga 30 dias após 
a aquisição. Isto é, inicialmente, passamos a com-
preender a classificação de rendas em anuidades 
antecipadas e postecipadas.
Aprofundamos, de forma prática, nos concei-
tos sobre rendas certas, postecipadas e antecipadas, 
constantemente utilizadas em operações do coti-
diano das pessoas ou empresas. Desta forma, a renda 
postecipada ocorre quando na operação a presta-
ção passa ser paga no período subsequente. Por sua 
vez, a renda antecipada é aquela em que você dá a 
entrada numa operação de financiamento. Assim, 
passamos a compreender as operações mais com-
plexas na matemática financeira.
Aprendemos, também, que em alguns tipos de 
financiamentos podemos envolver as rendas diferi-
das, ou seja, aquelas que exigem um prazo de carência 
para iniciar o pagamento das prestações. Este tipo 
de financiamento é muito utilizado em operações 
RENDAS E ANUIDADES
220
de financiamentohabitacionais, quando você finan-
cia um apartamento, e a obra ainda está inacabada, 
ou também nos casos em que as empresas realizam 
investimentos em infraestrutura ou bens de capital.
Você passou a compreender os aspectos que envol-
vem a perpetuidade em que é uma série uniforme de 
fluxos de caixa com duração infinita, isto é, perpé-
tua. Agora, você poderá utilizar este conhecimento 
como uma técnica de avaliação de imóveis, empre-
sas ou investimentos em geral, que utiliza o método 
de valor descontado dos fluxos de caixa combinado 
com a perpetuidade.
Assim, agora que já se aprofundou no assunto 
desta unidade, nós o (a) convidamos a praticar por 
meio das atividades, Bons estudos!
1. Um produto é vendido à vista por R$ . ,1 000 00 ou 
em até 12 prestações mensais, sem entrada, 
cobrando-se, porém, 5%a.m de juros. Qual de-
verá ser o valor das prestações para um cliente 
que propõe comprar em 10 prestações mensais 
e iguais, iniciando os pagamentos somente 90 
dias após a data da compra?
2. Uma pessoa efetuou 8 depósitos mensais 
de R$ . ,20 000 00 cada, recebendo uma taxa de 
10% a.m de juros. Quanto terá esta pessoa 4 me-
ses após o último depósito?
3. Euler adquire um carro para ser pago nas se-
guintes condições: 4 parcelas mensais, iguais 
e sucessivas de R$ . ,2 626 24 cada, sem entrada, 
cujo vencimento se dará no fim de cada mês a 
partir do mês seguinte à aquisição, com juros 
compostos contratados de 2% a.m. Qual foi o 
preço negociado à vista?
4. Um televisor em cores custa, à vista, R$ . ,2 000 00, 
mas pode ser pleiteado nas seguintes condições: 
sem entrada e 10 pagamentos mensais com ven-
cimento no fim de cada mês, à taxa de 3% a.m. 
Calcular o valor de cada parcela.
5. Um aparelho celular está em promoção sob 
as seguintes condições: R$ ,150 00 de entrada e 
3 parcelas mensais iguais de R$ ,122 55 , todas a 
vencer no final do mês. Se o juro cobrado no 
mercado for 2 5, %a.m para esse tipo de financia-
mento, qual o valor à vista do aparelho?
Matemática financeira e engenharia econômica
Você sabia que a engenharia econômica é o estudo 
dos métodos e das técnicas usados para a análise 
econômico-financeira de investimentos? Pois bem, 
esses métodos e essas técnicas devem ter base 
científica e encontram na matemática financeira as 
suas justificativas. Isto é, a necessidade de analisar 
investimentos propõe os problemas, a engenharia 
econômica apresenta as técnicas de solução e a 
matemática financeira justifica essas técnicas.
Neste sentido, a análise de investimentos compre-
ende não apenas as alternativas entre dois ou mais 
investimentos para escolha do melhor, mas tam-
bém a análise de um único investimento com a fi-
nalidade de julgar se é de seu interesse, ou não.
Na análise de investimentos, só serão levados em 
conta os fatores quantificáveis, ou seja, que pude-
rem ser expressos em unidades de capital. Se fatores 
não quantificáveis vão influir na tomada de decisão, 
essa análise não poderá ser feita com um estudo ma-
temático. Desta forma, na escolha entre dois bens 
de capital, por exemplo, não teria sentido uma aná-
lise matemática que envolvesse preços, capacidade 
de produção, custos operacionais, durabilidade etc., 
se a pretensão fosse adquirir o mais estético ou o 
de menor porte. Também não teria sentido analisar 
investimentos que não apresentassem viabilidade 
de escolha por falta de recursos financeiros ou de 
quaisquer outras condições.
Quando apenas um investimento é analisado 
quanto à sua rentabilidade, costuma-se fazer uma 
comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa 
ideal, ou seja, que o investidor estabelece como a 
taxa mínima de renda para que o investimento seja 
considerado atraente do ponto de vista financeiro. 
Essa taxa ideal chama-se taxa mínima de atrativi-
dade (TMA) ou apenas taxa de atratividade do in-
vestidor. É comum adotar como taxa de atrativida-
de a taxa de mercado, isto é, a taxa a qual qualquer 
capital pode ser aplicado sem dificuldade.
Há diversos métodos para análise de investimen-
tos, mas somente os chamados métodos exatos são 
dignos de credibilidade, pois só estes se baseiam 
nos princípios de equivalência de capitais. São eles: 
o método do valor presente líquido, o método do 
valor periódico uniforme e o método da taxa inter-
na de retorno.
Assim, os três métodos, citados anteriormente, são 
equivalentes. Logo, se forem aplicados com proprie-
dade, conduzirão ao mesmo resultado. Conforme o 
tipo de análise que se quer fazer, um método pode 
ser mais apropriado que os outros ou simplesmen-
te mais cômodo por envolver menos cálculos.
Fonte: Veras (2012).
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Matemática financeira
Assaf Neto
Editora: Atlas
Sinopse: este livro foi elaborado 
para atender plenamente ao 
programa de ensino de cursos 
superiores em que a disciplina 
de Matemática Financeira é oferecida. A principal 
contribuição do livro é oferecer conteúdo de 
qualidade e atualizado, que permita um estudo 
mais direcionado de acordo com as necessidades 
e objetivos definidos pelas escolas brasileiras. 
Por fim, o livro é rico em exercícios propostos e 
resolvidos. Livro-texto para a disciplina Matemática 
Financeira dos cursos de Administração de 
Empresas, Ciências Contábeis, Economia e 
Engenharia de Produção. Livro complementar para 
as disciplinas Engenharia Econômica, Elaboração 
e Análise de Projetos, Administração Financeira e 
Mercado de Capitais dos cursos de Administração, 
Economia, Ciências Contábeis e Engenharia. 
É indicado também para cursos intensivos de 
treinamento e cursos de MBA.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira. Edição 
Universitária. São Paulo: Atlas, 2017.
DE CASTRO, M. L.; DAL ZOT, W. Matemática Finan-
ceira: fundamentos e aplicações. [S.l]: Bookman 
Editora, 2015.
VERAS, L. L. Matemática financeira: uso de cal-
culadoras financeiras, Aplicações ao Mercado Fi-
nanceiro, introdução à Engenharia Econômica, 
300 exercícios resolvidos e propostos com res-
postas. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
REFERÊNCIAS
GABARITOGABARITOGABARITO
1. ANTECIPADA
0 1 2 3
RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12C
Primeiro:
1 000
3
5
. [ ][ ]
[ ]
[ ]
CHS PV
n
i
O FV de R$ 1.157,625 é o VP da segunda operação.
Segundo:
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
. , [ ][ ]
[ ]
[ ]
CLx
f CLx
f x y
g
CHS PV
n
i
PMT
��
7
1 157 625
10
5
Resposta: PMT = R$ 142,78
GABARITO
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA
M C i
M
M
n� �
� �
�
( )
. ( , )
. ,
1
1 000 1 0 05
1 157 62
3
PV PMT i
i i
PMT
n
n�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
( )
( )
. ,
( , )
,
1 1
1
1 157 625 1 0 05 1
0
1
10
005 1 0 05
1 157 625 8 10780497
142 78
9
( , )
. , . ,
,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
PMT
PMT
POSTECIPADA
0 1 2 3
GABARITO
RESOLUÇÃO NA CALCULADORA HP 12C
Primeiro:
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
. [ ][ ]
[ ]
[ ]
CLx
f CLx
f x y
CHS PV
n
i
FV
��
1 000
2
5
O FV de R$ 1.102,50 é o PV da segunda operação.
Segundo:
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
. , [ ][ ]
[ ]
[ ]
CLx
f CLx
f x y
CHS PV
n
i
PMT
��
1 102 50
10
5
Resposta: PMT = R$ 142,78
GABARITO
RESOLUÇÃO ALGÉBRICA
M C i
M
M
n� �
� �
�
( )
. ( , )
. ,
1
1 000 1 0 05
1 102 50
2
PMT PV i i
i
PMT
n
n�
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�
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�
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�
( ) .
( )
. ,
( , ) . ,
(
1
1 1
1 102 50 1 0 05 0 05
10
11 0 05 1
1 102 50 0 129504
142 78
10� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, )
. , . ,
,
PMT
PMT
2. 
20 000
10
8
4
334 865 68
.
$ . ,
CHS PMT
i
n
m
FV R
� �� �
� �
� �
� �
� � �
 
GABARITO
3. 4 2626 24 2 10 000 01n CHS PMT i PV� � � �� � � � � �; , ; ; . , 
4. 10 3 200 234 46n i CHS PV PMT� � � � � �� � � �; ; ; , 
5. 3 122 55 2 5
350 150 500 00
n CHS PMT i PV� � � �� � � � � �
� �
; , ; , ;
,
UNIDADE V
U
N
ID
A
D
E V
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E 
APLICAÇÕES
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 ■ Instruir o discente com relação ao sistema 
de amortização constante
 ■ Ensinar o acadêmico quanto ao sistema 
francês de amortização e orientaro aluno 
acerca do sistema Price 
 ■ Instruir o discente sobre as aplicações dos 
sistemas de amortização
U
N
ID
A
D
E
PLANO DE ESTUDO
A seguir, apresentam-se os tópicos que você 
estudará nesta unidade:
 ■ Sistema de amortização constante (SAC).
 ■ Sistema francês de amortização (SAF).
 ■ Aplicações dos sistemas de amortização.
V
Professoras
Me. Marcela Gimenes Bera Oshita
Me. Juliana Moraes da Silva
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E 
APLICAÇÕES
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
236
INTRODUÇÃO
Nesta unidade, você terá a oportunidade de conhe-
cer alguns sistemas de amortizações de pagamentos. 
Assim, passará a compreender as formas de devolu-
ção do principal e dos juros deste principal, isto é, 
quanto deve ser pago em cada parcela de um deter-
minado empréstimo. Nesta perspectiva, há inúmeras 
formas de pagar os empréstimos, devendo as con-
dições de cada operação estarem estabelecidas em 
contrato entre o credor e devedor.
Veremos agora, as seguintes formas de se amortizar: 
Sistema de Amortização Constante (SAC) e Sistema 
Francês de Amortização (SAF), isto é, o Sistema Price. 
Cabe ressaltar que nessas modalidades de pagamen-
tos a serem estudadas é a utilização exclusiva do 
critério de juros compostos em que os juros incidi-
rão sobre o montante apurado no período anterior.
O Sistema de Amortização Constante (SAC) é 
muito utilizado em financiamentos imobiliários, 
pois compreende em amortizações iguais de parte do 
valor emprestado. Veja que, neste sistema, você reduz 
a dívida a cada pagamento de forma igual. O Sistema 
Francês de Amortização (SAF) é conhecido pelas 
características das prestações serem sempre iguais. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
237
Este tipo de amortização é muito usado quando 
você adquire um automóvel financiado ou pega um 
empréstimo pessoal. Por fim, realizaremos as apli-
cações dos sistemas de amortização. 
Pois bem, caro(a) aluno(a), veremos que, para 
cada sistema de amortização, SAC ou SAF, deve ser 
construída uma planilha financeira, que contenha 
os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos, 
dentro de certa padronização.
Haja vista que já exploramos um pouco do assunto 
que estudaremos nesta unidade, convidamos você a ini-
ciar esta jornada, aplicando os conhecimentos no seu 
cotidiano. Para isso, veja se conhece um amigo ou um 
familiar que está pensando em realizar um financia-
mento e faça a simulação para ele. Assim, você acabará 
aplicando os conceitos com que estamos trabalhando, 
o que permitirá consolidar o seu conhecimento.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
238
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Prezado(a) acadêmico(a), quando se fala em emprés-
timo e financiamento, a diferença entre eles é que, no 
financiamento, o valor liberado tem uma finalidade 
específica, por exemplo, para a compra de imóvel, 
automóvel ou importação. Por sua vez, o emprés-
timo é um recurso concedido sem a necessidade de 
vinculá-lo a alguma finalidade, por exemplo, conta 
garantida, cheque especial, desconto de duplicata, 
entre outros (MASAKAZU, 2016). 
Assim, antes de iniciarmos os estudos sobre os 
sistemas de amortização, é importante conhecer 
alguns termos empregados em operações que envol-
vem empréstimos e financiamentos, de acordo com 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
239
Assaf Neto (2017):
 ■ Os encargos financeiros representam os juros 
da operação, isto é, representam um custo para 
o devedor e uma receita para o credor. 
 ■ A amortização refere-se ao pagamento do capi-
tal emprestado, realizado de forma periódica 
(mensal, trimestral etc.). 
 ■ O saldo devedor é o valor da dívida em deter-
minado momento, após redução do valor já 
pago ao credor. 
 ■ Prestação é composto pelo valor da amortiza-
ção adicionado os encargos financeiros. 
 ■ A carência refere-se ao tempo para início dos 
pagamentos. Por exemplo, em um empréstimo, 
o primeiro pagamento iniciar somente após 2, 3 
ou até mais meses após a liberação dos recursos. 
Pois bem, agora que você já conhece alguns ter-
mos com que trabalharemos na nossa unidade, 
iniciaremos nosso conteúdo tratando do sistema 
de amortização constante (SAC). Como o nome já 
diz, os valores das amortizações são constantes, con-
forme apresentado na Tabela 1.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
240
Tabela 1 - Sistema de Amortização Constante (SAC)
SALDO 
INICIAL JUROS CALC.
SALDO APÓS 
JUROS PGTO. AMORT.
JUROS 
PAGOS
SALDO 
FINAL
n Sn−1 Jn Sn
j Rn = An + Jn Sn
S in−1. S Jn n� �1 � A Jn n+ � S Rnj n− �
1 800 00, 80 00, 880 00, 280 00, 200 00, 80 00, 600 00,
2 600 00, 60 00, 660 00, 260 00, 200 00, 60 00, 400 00,
3 400 00, 40 00, 440 00, 240 00, 200 00, 40 00, 200 00,
4 200 00, 20 00, 220 00, 220 00, 200 00, 20 00, 0 
Totais 200 00, 1 000 00. , 800 00, 200 00,
Fonte: De Castro e Dal Zot (2015, p. 99).
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
241
Ademais, é importante conhecer outra caracterís-
tica além da amortização constante, os valores das 
prestações são decrescentes e dos juros também 
(MASAKAZU, 2016). Nesta perspectiva, o valor refe-
rente à amortização é calculado da seguinte forma:
A P
n
=
. 
Onde, P é igual o principal e o n é o tempo. Então, temos:
Observe, na Tabela 1, que a coluna das amortiza-
ções pode ser preenchida em primeiro lugar. Desta 
forma, o pagamento de cada ano é dado pela soma 
da amortização mais os juros. Por isso, depois de 
calcular o valor da amortização, calcula-se os juros 
sobre o saldo devedor:
A = =800 00
4
200 00, ,
j VP i� �� �
j � � �800 00 10 80 00, % ,
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
242
Agora, o valor da prestação é a soma da amortiza-
ção e o juro:
No período seguinte, o valor dos juros será: 
Assim, o valor da prestação do período será:
 
E assim consecutivamente. Observe que, se somarmos 
a coluna da amortização, o valor final será 8000 00, .
Exemplo 01: Mário procurou o gerente do Banco 
Marcondes S/A querendo financiar uma casa no valor 
de R$ .150 000 para pagar em 5 meses. O gerente pas-
sou a taxa de financiamento que era de 1% . .a m e o 
sistema de amortização era o SAC. Qual é o valor da 
prestação mensal que Mário terá que pagar?
PMT A j
PMT , , ,200 00 80 00 280 00
j � � �600 00 10 60 00, % ,
PMT � � �200 00 60 00 260 00, , ,
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
243
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SAF)
O Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema 
Price é o mais utilizado no mercado financeiro e no 
comércio. Neste sistema, as prestações são uniformes 
e com periodicidade constante. Assim, o devedor, 
ao obter o financiamento, passa a pagar prestações 
comumente mensais de valores iguais até o final 
do financiamento, constituídas de amortização e 
de juros (MASAKAZU, 2016), conforme podemos 
observar na Tabela 2:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
244
Tabela 2 - Sistema Francês de Amortização
SALDO 
INICIAL JUROS CALC.
SALDO APÓS 
JUROS PGTO. AMORT. JUROS PAGOS
SALDO 
FINAL
n Sn−1 Jn Snj Rn = An + Jn Sn
S in−1. S Jn n� �1 � A Jn n+ � S Rn
j
n− �
1 800 00, 80 00, 880 00, 252 38, 172 38, 80 00, 627 62,
2 627 62, 62 76, 690 38, 252 38, 189 62, 62 76, 438 00,
3 438 00, 43 80, 481 80, 252 38, 208 58, 43 80, 229 42,
4 229 42, 22 94, 252 36, 252 36, 229 42, 22 94, 0 
Totais 209 50, 1 009 50. , 800 00, 209 50,
Fonte: De Castro e Dal Zot (2015, p. 96)
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
245
Assim, o cálculo da anuidade postecipada é obtido 
mediante a seguinte fórmula:
4
4
(1 ) 0,10(1 0,10) 800 252,38
(1 ) 1 (1 0,10) 1 
n
n
i iPMT VP
i
+ +
= = =
+ − + −
. 
Observe que, ao montar-se o plano financeiro, a coluna 
dos pagamentos deve ser a primeira a ser preenchida, 
conforme podemos verificar na Tabela 2. Veja, que 
o primeiro pagamento ainda é a soma da amortiza-
ção 172 38, mais os juros do período 80 00, , totalizando 
o valor de 252 38, .
Utilizando a calculadora temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 10. ENTER� � 1 10. yx�� �� clear fin� � 
4 0 10yx��
�
� �� �. 4 �� � 800 PV� � 
1 10 4. ENTERyx� � �� �� 0 10 1 10, .�� �� �� ��y
x 4 n� � 
1 �� � �� � 4 1 10�� � �� ��� . yx 10 i� � 
800 �� � 800 �� � PMT� � 
� � 252 38, � � 252 38, � � �252 38,
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
246
Exemplo 02: Mário procurou o banco Marcondes S/A, 
pois quer comprar um carro no valor de R$ . ,60 000 00 
para pagar em 60 prestações mensais iguais. O gerente 
do banco informou que a taxa mensal é de 2% . Qual o 
valor da prestação a ser paga pelo comprador? E qual 
o valor do montante final que Mário vai ter que pagar?
Utilizando a calculadora temos:
RPN ALG FÓRMULA HP-12C
1 02. ENTER� � 1 02. yx�� �� clear fin� �
60 0 02yx��
�
� �� �. 60 �� � 60000 PV� �
1 02 60, ENTER yx� � �� �� 0 02 1 02, .�� � �� ��� yx 60 n� �
1 �� � �� � 60 1�� � �� �x 2 i� �
60000 �� � 60000 �� � PMT� �
� �1 726 07. , � �1 726 07. , � � �1 726 07. ,
1 0
60
1 1
PMT VP i i
i
n
n
) . ( )
,
1 000 0 02 1 0 02
02
60
)
. ,60 1
1 726 07
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
247
Valor presente da dívida
Você sabia que, muitas vezes, não basta saber o valor 
da prestação de um financiamento visto que a qual-
quer momento você poderá quitá-lo? Por isso é 
importante saber calcular o valor presente da dívida. 
Considere o exemplo: Ana paga R$ ,500 00 reais de 
prestação de um carro. Restam ainda, 18 parcelas 
para quitá-lo. Assim, ela foi ao Banco Marcondes 
S/A com um montante para quitá-lo na hora. Qual 
seria o valor presente da dívida de Ana se a taxa de 
juros é de 1 62, % .a m ?
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
500 PMT� � 
18 n� �
1 62, i� �
PV� � 
� � �7 752 52. , 
Você sabia que pode calcular o saldo devedor, amor-
tização e juro em um período qualquer no tempo? 
Pois bem, você pode. Para isso, considere t como 
a quantidade de períodos vencidos, saldo devedor 
SDt� � , amortização At� �e juro Jt� � então, vejamos:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
248
SD VP
i i
i
VP
i
A
t
n t
n
t
�
�� � �� �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�� � � �
� � �
��
1 1
1 1
1
� �
�� �
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�� �
�� �
�
�
� �� �
�
�
t
n
t
n t
i
J
i
i
VP i
i
i
1
1
1
1
1
1
1
�
�
� � �
��
nn �
�
�
�
�
�
�
�
�1
Exemplo 03: José emprestou R$ . ,120 000 00 a ser pago em 
12 prestações mensais, sem entrada, com juros de 3% . .a m 
Vamos calcular as prestações mensais e o saldo devedor no 
oitavo mês, isto é, após o pagamento da oitava prestação. 
1. Prestações PMT� � 
1 01 1
PMT VP
i i
i
n
n .
.1
120 000
0 03 1 0 03
03
12
12 1
120 000 0 04277283
0 42576089
12 055 45
. .
.
. ,PMT
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
249
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
120.000 PV 
12 n� �
3 i� �
PMT� � 
� � �12 055 45. , 
2. Saldo devedor
1 0
120
1 1
1 1
SD VP
i i
i
SD
t
n t
n
t 000
11 0 03 1 0 03
03 1
120
12 8
12
,
SDt 0000
44 811 29
1 42576089 1 26677008
0 42576089
. ,
. .
.
SDt
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
250
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
120.000 CHS PV
12 n� �
3 i� �
PMT� �
8 f AMORT� �� � 
RCL PV� �� �
� � �44 881 29. , 
3. Juro a ser pago no quinto mês
J VP i
i i
i
J
t
n t
n
t
� �
�� � � �� �
�� � �
�
�
�
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�
�
�
� �
�
�1 1
1 1
120 000 0 03
1 0 0
1
. ,
, 33 1 0 03
1 0 03 1
120 000 0 03 1 425
12 5 1
12
� � � �� �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
,
,
. ,
.Jt
776089 1 1250881
0 42576089
2 538 76
��
��
�
��
�
.
.
. ,Jt
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
251
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
120.000 CHS PV 
12 n� �
3 i� � 
PMT� � 
4 f AMORT� �� �
1 f AMORT� �� �
� � 2 538 76. , 
4. Amortização do décimo mês
A
i i
i
A
t
t
n
t
�
�� � �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� � �
�
�
�
1
1 1
120 000
1 0 03 0 03
1
1
10 1
.
, ,
00 03 1
120 000 0 03914320
0 42576089
12
,
.
,
,
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
��
�
��
�
A
A
t
t 111 032 44. ,
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
252
FÓRMULA HP-12C
clear fin� �
120.000 CHS PV
12 n� �
3 i� �
PMT� �
9 f AMORT� �� �
1 f AMORT� �� �
X Y�� 
11 032 44. , 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
253
Considere um apartamento no valor de 
R$ . ,747 029 12 , que está sendo financiado por oito 
anos, à taxa de juros de 22 4744887, % ao semes-
tre. As amortizações anuais são realizadas pelo 
SAF. Qual o momento aproximado em que o sal-
do devedor da dívida esteja reduzido a 2 3 do va-
lor financiado?
Solução:
Taxa anual taxa semestrali
i
� � � �� � � � � � � �
�
1 1 1 22474487 1 0 52 2, ,
�� � �
�
�� � � �� �
�� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
0 5 50
1 1
1 1
2
3
1 5 18
, %
,
SD VP
i i
i
VP
t
n t
n
,,
,
, , ,
, ,
5
1 5 1
2
3
1 5 1 5 16 4193
1 5 9 209
8
8
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � � �
� � �
t
t
t 66
t
t anos
�
� �
�
log ,
log ,
,
9 2096
1 5
5 48
Fonte: adaptado de Azevedo (2015, p. 134). 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
254
SISTEMA PRICE (DERIVAÇÃO DO SAF)
O sistema Price de Amortização representa uma 
variante do sistema francês. O sistema Price, fun-
damentalmente adotado quando os períodos das 
prestações (normalmente mensais, mas não neces-
sariamente) apresentarem-se menores que o da taxa 
de juros, tem como característica básica o uso da 
taxa proporcional (linear) simples em vez da taxa 
equivalente composta de juros.
Exemplo 04: Considere uma série de pagamentos 
com prestações mensais, iguais e sucessivas. 
Considerando que a taxa contratada seja de 30% .a.a 
a. Qual a taxa mensal aplicada no Sistema Francês de 
Amortização?
No SAF, a conversão de taxa corresponde à taxa 
equivalente composta, logo: 
i
i
i
eq
eq
eq
1 1
1 0 30 1
1 0221045
1 12
ic nt nc/
/,
, 11 2 2104, % . .a m
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
255
A taxa de 2 2104, % a.m é a taxa aplicada para apu-
rar as prestações mensais no SAF.;
b. Qual a taxa mensal aplicada na Tabela Price?
Na Tabela Price, utiliza-se taxa proporcionar linear, 
logo: 
30% a.a: 12 meses = 2 5, % a.m 
A taxa de 2 5, % a.m é a taxa aplicada para apurar 
as prestações mensais na Tabela Price.]
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
256
APLICAÇÕES DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Caro(a) aluno(a), trataremos de algo muito presente 
em nosso cotidiano: as compras a crédito.
Quando um vendedor nos oferece um financia-
mento para a compra de um objeto, ele está fazendo 
uso de tabelas que foram produzidas por sua gerên-
cia financeira, com base nos tópicos que trataremos.
a. Saldo devedor: é a diferença entre o valor financiado 
reajustado e o valor total que já foi amortizado (pago) 
até o momento. É o valor que ainda resta a ser pago.
b. Amortização: é a redução gradual do valor de uma dívida, 
por meio do pagamento de prestações regulares até que 
o montante total emprestado tenha sido reembolsado.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
257
As formas de pagamentos de dívidas, na prática, 
podem ocorrer como:
a. SAC – Sistema de Amortização Constante
b. SAF – Sistema Francês de Amortização
c. SAM – Sistema de Amortização Misto
d. SAA – Sistema de Amortização Americano
e. Price – Tabela Price (derivação do sistema SAF)
O sistema de amortização constante não é muito 
praticado no Brasil, mas em operações de financia-
mento habitacional ainda é encontrado.
São características do sistema de Amortização Constante:
a. Amortizações iguais
b. Juros decrescentes
c. Amortizações decrescentes
O sistema Francês de amortização é amplamente utilizado, 
mas se deve tomar muito cuidado para não confundir com 
a Tabela Price. Em ambos os sistemas, as prestações são 
iguais e constantes, no entanto diferem na conversão de 
taxa de juros praticadas.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
258
Operações de financiamentos
 ■ Características do contrato.
 ■ Condições contratadas.
 ■ Valor do Bem.
 ■ IOC ou IOF – Imposto sobre Operação 
Financeira.
 ■ TAC – Tarifa de Abertura de Crédito.
 ■ TEC – Tarifa de Emissão de Carnê.
 ■ Serviços de Terceiros.
 ■ Número de parcelas.
 ■ Taxa de juros mensais.
 ■ Taxa de juros anual. 
Tanto no SAF como na Tabela Price, a sériede paga-
mentos tem prestações constantes (iguais). Como 
diferenciar? Enquanto no SAF utiliza-se a taxa equi-
valente composta, na Tabela Price, utiliza-se a taxa 
proporcional simples.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
259
Exemplo 01: considere que você assinou um con-
trato de financiamento em uma instituição financeira 
em 01/09/20XX, com as seguintes características:
Valor do principal: R$ . ,1 000 00
Sistema de amortização: Tabela Price
Taxa de juros: 12% .a a , capitalizada mensalmente
Prazo de amortização: 12 meses
Seguros: R$ ,50 00 mensais
Taxa de administração: R$ ,20 00 por parcela
Pede-se: Monte a planilha de evolução do financiamento. 
Resolução: Como o sistema é de Tabela Price, a taxa 
mensal é a proporcional simples, ou seja, 1% ao mês.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
260
N JUROS AMORT PARCELA SEGURO TX ADM DESEMBOLSO SALDO
A B=C-A C D E F=C+D+E G
1.000,00
1 10,00 78,85 88,85 50,00 20,00 158,85 921,15
2 9,21 79,64 88,85 50,00 20,00 158,85 841,21
3 8,42 80,43 88,85 50,00 20,00 158,85 761,08
4 7,61 81,24 88,85 50,00 20,00 158,85 679,84
5 6,80 82,05 88,85 50,00 20,00 158,85 597,79
6 5,98 82,87 88,85 50,00 20,00 158,85 514,92
7 5,15 83,70 88,85 50,00 20,00 158,85 431,22
8 4,31 84,54 88,85 50,00 20,00 158,85 346,68
9 3,47 85,38 88,85 50,00 20,00 158,85 261,30
10 2,61 86,24 88,85 50,00 20,00 158,85 175,07
11 1,75 87,10 88,85 50,00 20,00 158,85 87,97
12 0,88 87,97 88,85 50,00 20,00 158,85 0,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
261
Exemplo 02: considere que você assinou um contrato 
de financiamento de sua bicicleta em uma institui-
ção financeira, em 01/09/20XX, com as seguintes 
características:
Valor da bicicleta: R$ . ,1 000 00
Sistema de amortização: SAC
Taxa de juros: 12% .a a, capitalizada semestralmente
Prazo de amortização: 12 meses
Seguros: R$ ,50 00 mensais
Taxa de administração: R$ ,20 00
Pede-se: Monte a planilha de evolução do financiamento
Resolução:
12%a.a, capitalizada semestralmente = taxa nominal
12%a.a: 2 semestres no ano = 6% ao semestre = taxa efetiva
 
i ic
i
i
eq
nt nc
eq
eq
1 1
1 0 06 1
1 0097588 1
1 6
/
/,
, 00 97588, % .a m
 
A taxa de 0 97588, % a.m é a taxa aplicada sobre 
saldo devedor no sistema SAC.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
262
N JUROS AMOST PARCELA SEGURO TX ADM DESEMBOLSO SALDO
A B=SD:12 C=A+B D E F=C+D+E G
0 1.000,00
1 9,76 83,33 93,09 50,00 20,00 163,09 916,67
2 8,95 83,33 92,28 50,00 20,00 162,28 833,33
3 8,13 83,33 91,47 50,00 20,00 161,47 750,00
4 7,32 83,33 90,65 50,00 20,00 160,65 666,67
5 6,51 83,33 89,84 50,00 20,00 159,84 583,33
6 5,69 83,33 89,03 50,00 20,00 159,03 500,00
7 4,88 83,33 88,21 50,00 20,00 158,21 416,67
8 4,07 83,33 87,40 50,00 20,00 157,40 333,33
9 3,25 83,33 86,59 50,00 20,00 156,59 250,00
10 2,44 83,33 85,77 50,00 20,00 155,77 166,67
11 1,63 83,33 84,96 50,00 20,00 154,96 83,33
12 0,81 83,33 84,15 50,00 20,00 154,15 -
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
263
Exemplo 03: Considere que você tenha assinado um 
contrato de financiamento em uma instituição finan-
ceira, em 01/09/20XX, com as seguintes características:
Valor do bem: R$ . ,1 000 00
Sistema de amortização: SAF
Taxa de juros: 12% .a a , capitalizada anualmente
Prazo de amortização: 12 meses
IOF financiado: 2% do valor do bem
Seguros: R$ ,50 00 mensais
Pede-se: Monte a planilha de evolução do financiamento.
Resolução:
i ic
i
i
eq
nt nc
eq
eq
� �� ���
�
�
�
� �� ���
�
�
�
� �
1 1
1 0 12 1
1 0094888 1
1 12
/
/
,
, �� 0 94888, % . .a m
 
A taxa de 0 94888, % a.m é a taxa aplicada aplicada 
sobre saldo devedor no sistema SAF.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
264
N JUROS AMORT PARCELA SEGURO IOF DESEMBOLSO SALDO
A B=C-A C D E F=C+D+E G
0 20,00 1.020,00
1 9,68 80,65 90,33 50,00 - 140,33 939,35
2 8,91 81,42 90,33 50,00 - 140,33 857,93
3 8,14 82,19 90,33 50,00 - 140,33 775,73
4 7,36 82,97 90,33 50,00 - 140,33 692,76
5 6,57 83,76 90,33 50,00 - 140,33 609,00
6 5,78 84,55 90,33 50,00 - 140,33 524,45
7 4,98 85,36 90,33 50,00 - 140,33 439,09
8 4,17 86,17 90,33 50,00 - 140,33 352,92
9 3,35 86,98 90,33 50,00 - 140,33 265,94
10 2,52 87,81 90,33 50,00 - 140,33 178,13
11 1,69 88,64 90,33 50,00 - 140,33 89,48
12 0,85 89,48 90,33 50,00 - 140,33 0,00
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
265
Caro(a) acadêmico(a), nesta unidade, conseguimos 
mostrar a utilização prática e contínua da mate-
mática financeira nos negócios realizados no dia a 
dia das empresas. Neste momento, você está apto a 
efetuar cálculos de juros, descontos, séries de paga-
mentos e sistemas de amortização, operações estas 
presentes nas finanças dos negócios e também nas 
finanças pessoais. 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
266
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), nesta unidade, você teve a opor-
tunidade de avançar nos seus conhecimentos sobre 
o assunto de matemática financeira, a partir dos sis-
temas de amortização de empréstimos. Agora, você 
passou a compreender o funcionamento das formas 
de financiamento a longo prazo, em que se obtém 
um recurso emprestado e as formas de devolução 
incluem o principal adicionados, os juros. Ou seja, 
o valor total de cada parcela de um determinado 
empréstimo. 
Neste contexto, você pode conhecer as duas for-
mas mais utilizadas no mercado para financiamento 
de longo prazo, isto é, o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e Sistema Francês de Amortização 
(SAF), isto é, o Sistema Price. Ainda, você pode cons-
tatar que nessas modalidades de pagamentos que 
foram estudadas é de utilização exclusiva do crité-
rio de juros compostos. 
Aprendemos que o SAC é mais voltado para 
financiamentos imobiliários, já que compreende 
amortizações iguais de parte do valor emprestado, isto 
é, reduz-se a dívida a cada pagamento de forma igual. 
Por sua vez, vimos que o SAF é muito utilizado no 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES
267
mercado na aquisição de empréstimos pessoais e 
também em financiamentos corriqueiros, como o 
de automóveis. Desta forma, aprendemos que o sis-
tema SAF tem como características as prestações 
serem iguais. 
Portanto, aprendemos que cada sistema de amor-
tização, SAC ou SAF, tem suas características e 
especificidades. Por isso, deve-se construir uma 
planilha financeira padronizada, que contenha os 
diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.
Agora que você já conhece os principais elementos 
da matemática financeira, é hora de sair pratican-
do-a, visto que você utilizará esses conhecimentos 
em toda a sua jornada, seja profissional seja pes-
soal. Os empréstimos e financiamentos bem como 
os investimentos estão toda hora batendo à porta. 
Por isso, esperamos que você faça um bom uso da 
matemática financeira para tomar as melhores deci-
sões pessoais ou profissionais. 
1. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema de Amortização Constante.
2. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema de Amortização Constante. Carência de 
Juros e Principal de 2 meses.
3. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema de Amortização Constante. Carência so-
mente de Principal de 2 meses.
4. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema Francês de Amortização.
5. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema Francês de Amortização. Carência de 
Juros e Principal de 2 meses.
6. Construa a tabela de amortização de um emprés-
timo de R$ . ,10 000 00 para ser pago em 4 presta-
ções mensais, com taxa de juros de 2%a.m, pelo 
Sistema Francês de Amortização. Carência so-
mente de Principal de2 meses.
Sistema de Amortização Crescente - Sacre
Podemos encontrar, além do Sistema SAC e o Price, 
também o Sacre, em financiamento de imóveis. As 
prestações pelo Sacre são determinadas a cada 
período de 12 meses, pela soma do valor da amor-
tização e dos juros, calculadas como segue:
Valor daamortização Saldodo financiamento
Númerode pres
� � � � �
� �
=
ttações remanescentes�
Valor dos juros = Saldo do �nanciamento taxa de juros�
 Valor da prestação = Valor da amortização � valor dos juros
 
Por exemplo: utilizando o conjunto de fórmulas 
da 1ª à 12ª:
Valor da amortização
Valor dos juros 100
100 000
36
2 777 78. . ,
..000 0,986358%=986,36
Valor da prestação 2 777 78 986 36 3. , , .. ,764 14
 
Agora vamos obter o valor da 13ª à 24ª prestação:
Valor da amortização
Valor dos juros
70 280 75
24
2 928 36
7
. , . ,
00.280 0,986358%=693,22
Valor da prestação 2 928 36 693 22. , , 33 621 58. ,
Agora vamos obter o valor da 24ª à 36ª prestação:
Valor da amortização
Valor dos juros
37 475 81
12
3 122 98
3
. , . ,
77
3 122 98 369
.475,81 0,986358%=369,65
Valor da prestação . , ,665 3 492 63. ,
Sistema de Amortização Americano (SAA)
No SAA, o valor do empréstimo ou financiamento é li-
quidado somente ao final da operação, isto é, em uma 
única vez. Neste tipo de amortização, os juros são pa-
gos comumente durante o período de carência. No en-
tanto podem ocorrer operações em que os juros são 
integrados ao capital e pagos no vencimento da ope-
ração. Ainda, o SAA possui as seguintes características: 
a) A amortização ocorre, geralmente, ao final da 
operação.
b) Os valores dos juros são constantes. 
c) Os valores das prestações são constantes e com-
postos somente de juros, com exceção da última 
prestação.
Características comuns a todos os sistemas de 
amortização
Como pudemos observar, o sistema de amortiza-
ção é um fluxo de caixa concedido no início do 
prazo da operação financeira, e esse valor, acresci-
do de juros (e “atualização monetária”, em algumas 
modalidades), é amortizado até o (ou no) venci-
mento da operação.
Do ponto de vista do fluxo de caixa, a diferença 
entre os diversos sistemas de amortização de em-
préstimos e financiamentos está tão somente na 
forma de determinação do valor das prestações 
PMT� � , que pode ser “postecipada”, antecipada ou 
diferida. Com exceção deste item, todos os siste-
mas de amortização possuem as seguintes carac-
terísticas comuns: 
a) Os juros J� � são devidos sempre sobre o saldo 
devedor do mês anterior SDj�� �1 ; logo, se não há 
saldo devedor, não há juro. 
b) O saldo devedor do mês corrente SDj� � é calcu-
lado como segue:
Saldo anterior: 
(+) Juros
(–) Prestação
(=) Saldo atual
c) Em financiamentos de médio e longo prazo, o sal-
do devedor SD� � do mês corrente (mês n ) é atuali-
zado, monetariamente, com um índice predetermi-
nado TR TJLP etc, ,� � antes de calcular os juros. 
d) A amortização A� � é a diferença entre a prestação 
PMT� � e o juro j� � ; portanto, a soma das amortiza-
ções e juros é igual à soma das prestações. 
e) O saldo devedor, ao final da operação, deve ze-
rar com a fórmula:
Saldo inicial: 
(–) Soma das amortizações
(=) Saldo final
f ) Caso exista atualização monetária, o cálculo é 
feito mediante a seguinte fórmula:
Saldo inicial:
(+) Soma das parcelas de atualização monetária
(–) Soma das amortizações
(=) Saldo final
Fonte: adaptado de Masakazu (2016). 
MATERIAL 
COMPLEMENTAR
Matemática financeira 
com ênfase em produtos 
bancários
Armando José Tosi
Editora: Atlas
Sinopse: este livro destina-se 
ao profissional ou estudante da 
área financeira que busca informações técnicas 
atualizadas sobre a matemática financeira e 
sua utilização na solução dos problemas que 
envolvem o atual mercado financeiro brasileiro.
REFERÊNCIASREFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira. Edição 
universitária. São Paulo: Atlas, 2017.
AZEVEDO, G. H. W. Matemática financeira: prin-
cípios e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2015. 
DE CASTRO, M. L.; DAL ZOT, W. Matemática Finan-
ceira: fundamentos e aplicações. [S.l]: Bookman 
Editora, 2015.
MASAKAZU, H. Matemática financeira: didática, 
objetiva e prática. 1. ed. São Paulo: Atlas, 2016.
GABARITO
1. 
n JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 20,00 2.500,00 2.700,00 7.500,00 
2 150,00 2.500,00 2.650,00 5.000,00 
3 100,00 2.500,00 2.600,00 2.500,00
4 50,00 2.500,00 2.550,00 -
2. 
 JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 200,00 10.200,00 
2 204,00 10.200,00
3 208,08 2.601,00 2.809,08 7.803,00 
4 156,06 2.601,00 2.757,06 5.202,00
5 104,04 2.601,00 2.705,04 2.601,00
6 52,01 2.601,00 2.653,02 -
3. 
JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 200,00 200,00 10.000,00
2 200,00 200,00 10.000,00
3 200,00 2.500,00 2.700,00 7.500,00
4 150,00 2.500,00 2.650,00 5.000,00
5 100,00 2.500,00 2.600,00 2.500,00
6 50,00 2.500,00 2.550,00 -
GABARITO
4. 
JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 200,00 2.426,24 2.626,24 7.573,76
2 151,48 2.474,76 2.626,24 5.099,00
3 101,98 2.524,26 2.626,24 2.574,74
4 51,49 2.574,74 2.626,24 -
5. 
 
JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 200,00 10.200,00
2 204,00 10.404,00
3 208,08 2.524,26 2.732,34 7.879,74
4 157,59 2.574,74 2.732,34 5.305,00
5 106,10 2.626,24 2.732,34 2.678,76
6 53,58 2.678,76 2.732,34 - 0,00
6. 
JUROS AMORTIZAÇÃO PRESTAÇÃO SALDO DEVEDOR
0 10.000,00
1 200,00 200,00 10.000,00
2 200,00 200,00 10.000,00
3 200,00 2.426,24 2.626,24 7.573,76
4 151,48 2.474,76 2.626,24 5.099,00
5 151,48 2.474,76 2.626,24 2.574,74
6 51,49 2.574,74 2.626,24 -
CONCLUSÃO
Neste livro, caro(a) aluno(a), descobrimos que a 
matemática financeira está mais próxima do nos-
so cotidiano do que imaginávamos. Vimos que ela 
está o tempo todo presente em nossas tomadas de 
decisões sobre investimentos ou financiamentos. 
Assim, durante a nossa disciplina, pudemos com-
preender que a matemática financeira nos dá em-
basamento para conhecer como os juros são apli-
cados no mercado, dando subsídios conceituais e 
ferramentas para que se tomem decisões racionais 
sobre as operações financeiras, considerando o va-
lor que o dinheiro apresenta ao longo do tempo. 
Iniciamos os nossos estudos conhecendo os con-
ceitos e os aspectos iniciais sobre os juros sim-
ples, o valor do dinheiro no tempo, os conceitos 
dos elementos financeiros, as taxas de juros, os 
sistemas de capitalização e o fluxo de caixa.
Na sequência, tivemos a oportunidade de apren-
dermos, na prática, os sistemas de capitalização 
simples, como: os juros simples, a equivalência 
simples e o desconto simples. Posteriormente, 
avançamos para o sistema de capitalização com-
posta, os juros compostos, a equivalência com-
posta e o desconto composto. 
CONCLUSÃO
CONCLUSÃO
Neste livro, você passou a ter o entendimento so-
bre as abordagens de rendas e anuidades, com-
preendeu rendas certas, rendas diferidas e rendas 
perpétuas. Por fim, passamos a entender os siste-
mas de amortização (SAC e SAF) e suas aplicações.
Agora que você já aprendeu sobre as aplicações 
da matemática financeira, está apto para iniciar 
um mergulho no seu horizonte profissional. Es-
peramos que, a partir do seu avanço no conhe-
cimento sobre a área, você já tenha começado a 
praticar a matemática financeira, mesmo que em 
decisões pessoais, ou seja numa compra a prazo, 
no financiamento de um bem ou imóvel ou até 
em investimentos no mercado financeiro. Deseja-
mos a você muito sucesso neste universo fantásti-
co da matemática financeira.