Gab_Cap2_Q08

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Departamento de Estatística e Matemática Aplicada DEMA
Universidade Federal do Ceará Semestre 2020.2
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08. Uma pessoa possui 5 livros diferentes de Matemática 2 livros diferentes de Química e 3 livros
diferentes de Física, que serão dispostos aleatoriamente em prateleira. Calcule as probabili-
dades de que:
a. Os livros de mesmo assunto �quem juntos.
b. Os livros de Matemática não �quem todos juntos.
c. Os livros de Física �quem separados.
d. Os livros de um mesmo assunto apareçam em ordem alfabética mas não necessariamente
adjacentes.
Temos um total L = 5 + 2 + 3 = 10 de livros.
N = n(Ω) = 10!.
Seja o evento A= Os livros de mesmo assunto �quem juntos.
Vamos formar um bloco com os livros de cada assunto. Vamos permutar os 3 blocos e em
seguida permutar os livros de cada assunto dentro dos blocos.
n(A) = 3! × 5! × 2! × 3! = 6 × 120 × 2 × 6 =
n(A) =
(
40
5
)
= 658.008.
P (A) =
8840
3628800
=
1
420
.
Seja o evento B = Os livros de Matemática não �quem todos juntos.
O evento Bc = Os livros de Matemática �quem todos juntos. Vamos fazer um bloco com
livros de Matemática. Agora teremos seis elementos para permutar o bloco, os 2 de Q e os 3
de F. Depois permutar dentro do bloco de Matemática. Assim
n(Bc) = 6! × 5!.
P (Bc) =
6! 5!
10!
=
120
10 × 9 × 8 × 7
=
12
72 × 7
=
1
42
.
e
P (B) = 1 − P (Bc) = 41
42
.
Considere o evento C = Os livros de Física �quem separados. Inicialmente vamos escolher 3
lugares dentre os 10 de modo que não �quem dois lugares juntos. Vamos usar o primeiro lema
de Kaplansky.
n1 = CR
3
10 =
(
8
3
)
= 56
Escolhidos os lugares vamos colocar os livros de Física de
n2 = 3! = 6
Agora é só permutar os restantes:
1
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n3 = 7!
Assim
n(C) = 56 × 6 × 7! = 8 × 7 × 6 × 7!
P (C) =
8 × 7 × 6 × 7!
10 × 9 × 8 × 7!
=
7 × 2 × 3
2 × 5 × 3 × 3
=
7
15
.�
n(C) = N − n(Cc) = 2118508.
P (C) =
2118508
2.118.760
= 0, 9999.
Seja D = Os livros de um mesmo assunto apareçam em ordem alfabética mas não necessari-
amente adjacentes.
Vamos inicialmente escolher os lugares dos livros de Física: Isto pode ser feito de:
n1 =
(
10
3
)
,
e coloco os livros de Física em ordem alfabética( 1 maneira só).
Dos 7 lugares restantes escolho 5 para colocar os livros de Matemática ,
Isto pode ser feito de
n2 =
(
7
5
)
Os dois lugares que sobram coloco os livros de Química de uma maneira na ordem alfabética.
Assim,
n(D) =
(
10
3
)
×
(
10
3
)
=
10!
3!7!
7!
5!2!
==
10!
3!5!2!
=
10!
1440
.
Finalmente
P (D) =
10!
1440
10!
=
1
1440
.�.
2