TTI MATEMÁTICA FINANCEIRA

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REDRIGUES, Paulo Eduardo Durão. Técnico em Transações Imobiliárias, Matemática 
Financeira. Brasília: Editora, 2003. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 3 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
APRESENTAÇÃO ................................................................................... 4 
INTRODUÇÃO ........................................................................................ 6 
1. Números Proporcionais .................................................................... 7 
2. Operações sobre Mercadorias ........................................................ 12 
2.1 - Preços de custo e venda: ........................................................13 
2.2 - Lucros e Prejuízos: .................................................................. 13 
3. Taxa de Juros ................................................................................... 17 
3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa: ...................................... 18 
3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: ................................................ 20 
4. Inflação .............................................................................................. 21 
5. Capitalização Simples ...................................................................... 24 
5.1 - Juros Simples: ........................................................................ 25 
5.3 - Desconto Simples: ................................................................. 28 
6. Capitalização Composta .................................................................. 32 
6.1 - Juros Compostos: ................................................................... 33 
6.2 - Montante Composto: ............................................................... 34 
6.3 - Desconto Composto: .............................................................. 36 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA ......................................................................40 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
Esta apostila foi elaborada para contribuir com a honrosa profissão de Corretor de 
Imóveis já fazia parte de meus projetos, antes mesmo, de receber o nobre convite do 
COFECI. 
 
Desde pequeno eu acompanhava o trabalho do meu pai, um corretor de imóveis que 
conta hoje com praticamente quarenta anos de profissão, e que sempre se preocupou em 
oferecer um excelente serviço ao cliente, para assim, efetuar a venda do produto – o imóvel. 
 
O serviço prestado ao cliente pode ser classificado como, a parte das relações 
humanas, no processo de venda. É nesta etapa que devemos mostrar o conhecimento da 
linguagem da Matemática Financeira, informando, orientando e trazendo segurança para o 
comprador. 
 
Nossa apostila começa com uma matemática básica e fundamental, necessária para a 
construção de um alicerce bem estruturado, passando pelas operações sobre mercadorias, 
pelas taxas de juros, pela inflação, até chegarmos aos regimes de capitalização. Vários 
autores foram pesquisados na tentativa de se obter bons conteúdos. 
 
No primeiro tópico - Números Proporcionais - foi utilizado como referência o livro 
Matemática Comercial e Financeira com complementos de matemática e introdução ao 
cálculo, de Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio. Nessa bibliografia capturamos os 
fundamentos das razões equivalentes, das proporções, da divisão em partes proporcionais, 
da divisão em partes inversamente proporcionais e das porcentagens. 
Esses conhecimentos serão de grande valia para o entendimento e a resolução de 
alguns exercícios no final da apostila. 
 
No segundo tópico- Operações sobre Mercadorias– são feitos estudos (através de 
exemplos), mostrando-se o cálculo de lucros e prejuízos, referenciando-se nos preços de 
compra e venda. Os livros aqui adotados, Matemática Financeira: noções básicas, de José 
Lineu Marzagão e Matemática Comercial e Financeira, de Rogério Gomes de Faria, foram 
de grande valia, pois proporcionaram uma visão esclarecedora de vários casos de 
negociações de vendas e compras. 
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No terceiro tópico- Taxas de Juros- procurou-se informar como se utiliza o tempo de 
aplicação e a taxa de juros em fórmulas de matemática financeira, bem como, a diferença 
entre juro exato e juro comercial. 
Novamente, os autores Nicolau D’ambrósio e Ubiratan D’ambrósio são nossos esteios 
na elaboração desta lição que, possui também, exemplos resolvidos para a obtenção de 
um melhor entendimento sobre o assunto. É importante compreendermos as taxas, pois as 
mesmas estão presentes nos investimentos e empréstimos. 
 
O assunto Inflação (quarto tópico) utiliza-se de uma linguagem bem tranqüila, baseada 
no livro Guia da inflação para o povo, de Paul Singer, possibilitando ao leitor um 
entendimento geral deste, dito terror, do mundo econômico. 
 
O estudo do regime de Capitalização Simples é o nosso cenário principal no quinto 
tópico da apostila. Aqui, são abordados a conceituação de juros simples, montante simples, 
desconto simples, cálculo de taxa acumulada, sempre com a utilização de vários exemplos. 
Na seqüência, o sexto tópico, é feito o estudo da Capitalização Composta. Neste 
regime de capitalização são analisados os juros compostos, o montante composto e o 
desconto composto. São também estudados o cálculo do montante a partir de uma série 
de vários depósitos e a equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta. 
Sabendo-se que todas as negociações financeiras têm como suporte um dos regimes 
de capitalização, procurou-se dar ênfase aos dois últimos tópicos, estando os seus 
respectivos exemplos de aprendizagem, digitados no estilo passo a passo. A bibliografia, 
aqui utilizada, foi o livro Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira, de Benjamin 
Cesar de Azevedo Costa que, muito nos auxiliou na formatação das etapas finais destes 
estudos. 
 
Através dos conteúdos abordados, a presente apostila tem por objetivo, dar ao aluno 
uma melhor visão dos conceitos matemáticos, possibilitando-o executar transações 
financeiras e também prepará-lo para o exame de proficiência do COFECI na disciplina em 
questão. 
 
O estudo deve ser uma constante na vida do aluno, pois, aquele que conseguir aliar 
fundamentação teórica à prática, terá um poderoso instrumento de trabalho nas mãos, além 
é claro, de clientes para efetuar negócios. 
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INTRODUÇÃO 
 
 
O Capitalismo começou após o enfraquecimento do Feudalismo, por volta do décimo 
segundo século depois de Cristo, constituindo-se em um novo sistema econômico, social 
e político. 
 
Como importantes características do Capitalismo podemos citar: 
a combinação de três centros econômicos (produção, oferta e consumo) formatando 
a economia de mercado; 
o surgimento das grandes empresas; 
as relações de trocas monetárias; 
a preocupação com os rendimentos; 
e principalmente, o trabalho assalariado. 
 
Durante o seu desenvolvimento, o Capitalismo passou por quatro fases, sendo 
atualmente chamado, nos países de primeiro mundo, de Capitalismo Financeiro. Nesta 
fase, as grandes empresas financeiras são as detentoras do maior volume do capital em 
circulação. 
 
Sobre as outras três etapas do Capitalismo podemos, assim, enumerar: 
1ª)Pré-Capitalismo: fase de implantação desse sistema (séculos XII ao XV); 
2ª)Capitalismo Comercial: os comerciantes administravam a maior parte dos lucros 
(séculos XV ao XVIII); 
3ª)Capitalismo Industrial: o capital é investido nas indústrias, transformando os 
industriais em grandes capitalistas (séculos XVIII, XIX, XX). É bom lembrar que esta terceira 
fase ainda acontece. 
 
Então, para existir um melhor entendimento entre as relações de troca, para a 
utilização das melhores taxas em empréstimos e investimentos, para se fazer previsões de 
movimentação de capital no mercado, para cálculo de juros,montante, descontos, dentre 
outros, a matemática foi sendo gradativamente aplicada ao comércio e às finanças; 
Conseqüentemente, originando o seu ramo específico, chamado Matemática Financeira. 
 
A Matemática Financeira deve ser bem entendida, pois, em um mercado econômico 
que não é estático, o conhecimento e a informação representam um grande poder para a 
execução de serviços. 
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1 
Números Proporcionais 
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• Sendo a e b, duas grandezas conhecidas, definimos a razão entre a e b, nesta 
ordenação, como o quociente entre a e b. 
a 
Então, escrevemos: b ou a : b. 
Observação: A grandeza que se encontra no denominador deve possuir, o 
seu valor, diferente de zero. a 
b  ( a é o numerador e b é o denominador). 
 
 
Exemplo: Calcule a razão entre a e b, sabendo-se que a = 32 e b = 28. 
 
 
Solução: a = 32 , então 32 = 16 = 8 . Essas três frações são Razões 
b 28 28 14 7 
Equivalentes pois dividindo-se, o pelo denominador, em cada uma das três frações, 
obteremos o mesmo resultado. 
Resposta: a 
 
8 . 
b 7 
 
 
 
• A igualdade de duas razões equivalentes é chamada de Proporção. 
 
 
Exemplo 1: 16 = 8, 16 e 7 são os extremos da proporção e 14 e 8 são os meios da 
14 7 
proporção. 
 
 
Propriedade Fundamental: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos”. 
 
1 2 16 
Exemplo 2: As razões e 
3 4 
 
são iguais, logo: 
 
12 
 
16 , então: 3 x 16 = 4 x 12. 
3 4 
48 = 48. 
 
 
• Vamos trabalhar agora, com a Divisão em Partes Proporcionais, através da análise 
do exemplo a seguir: 
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Exemplo: Dividir o número 850 em partes proporcionais aos números 1, 4 e 5. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 1
0 
 
 
 
Observação: como a divisão é proporcional à três números, o número 850 
será dividido em três partes. 
Solução: vamos supor que as três partes do número 850 sejam representadas, 
respectivamente, pelas letras X, Y e Z. 
 
850 
X= 
1  4  5 
850 
*1  85 . 
Y= 
1  4  5 
* 4  340. 
850 
Z= 
1  4  5 
* 5  425. 
 
Somando-se os números 85, 340 e 425 obteremos o número 850, provando assim, 
que a divisão em partes proporcionais está correta. 
No cálculo de cada uma das letras ( X , Y e Z ), devemos sempre dividir o número 
principal ( neste caso o número 850 ), pelo somatório das partes proporcionais ( no exemplo 
foram os números 1, 4 e 5), e em seguida, multiplicar o resultado desta divisão por cada 
uma das partes proporcionais. 
 
 
 
• Divisão em Partes Inversamente Proporcionais utilizando uma exemplificação: 
 
 
Exemplo: Dividir o número 1.200 em partes inversamente proporcionais aos números 
2 e 4. 
 
1º passo: Deve-se inverter os números, tornando-os 
1 
e 
1 
. 
2 4 
 
2º passo: Deve-se agora, colocar as frações em um mesmo denominador 
(denominador comum). Vamos fazer o mínimo múltiplo comum e depois dividir, o 
mínimo múltiplo encontrado, pelo denominador. Em seguida multiplicaremos o resultado 
desta divisão pelo numerador, lembrando que, estes cálculos estão acontecendo com as 
1 
frações e 
2 
2 
1 
1 
. Como o valor do mínimo múltiplo comum será 4, as frações se modificarão 
4 
para 
4 
e . 
4 
 
 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 1
1 
 
 
 
3º passo: Um novo problema aparecerá, pois agora serão utilizados apenas 
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os numeradores das novas frações encontradas no item 2º passo. A partir daqui teremos 
uma resolução semelhante à divisão em partes proporcionais , pois o número principal ( 
neste caso o número 1.200 ) será dividido pelo somatório das partes ( números 2 e 1 ), 
sendo o resultado desta divisão multiplicado por cada uma das partes. 
 
1.200 
• 1º parte: * 2  800. 
2  1 
 
 
 
• 2º parte: 
1.200 
*1  400. 
2  1 
 
 
 
4º passo: Somando-se os números 800 e 400 obteremos o número 1.200, 
provando assim que, a divisão em partes inversamente proporcionais está correta. 
 
 
• Nesta parte, vamos estudar noções básicas que serão de grande valia no trabalho 
com porcentagens (percentagens). 
 
Exemplo 1: Escreva a taxa de 14,45% na forma unitária. 
Solução: devemos dividir a taxa por 100. 
14,45% = 14,45 
100 
 0,1445. 0,1445 é a forma unitária. 
 
 
 
3 
Exemplo 2: Colocar a fração 
4 
 
na forma percentual. 
 
Solução: devemos utilizar as Razões Equivalentes e a propriedade 
fundamental das Proporções que estão citadas no início deste tópico. 
3 
 
x 
4 100 
 
4 . x = 3 . 100 
 
 
4x = 300 
x = 75, então 3 = 75 = 75% 
4 100 
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Exemplo 3: Calcular 27% de 270. 
Solução : transformar 27% na forma unitária e depois multiplicar o número 
encontrado por 270. 
27% = 27 = 0,27. Assim: 0,27 x 270 = 72,9. 
100 
72,9 corresponde a 27% de 270. 
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2 
Operações sobre Mercadorias 
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2.1 - Preços de custo e venda: 
 
 
Vamos trabalhar, nesta seção, com problemas de porcentagens relacionados às 
operações de compra e venda. 
Ao se efetuar a venda de uma mercadoria pode-se ter lucro ou prejuízo, sendo que os 
mesmos, podem ser calculados sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda da 
mercadoria em questão. 
 
Fórmula básica : PRV = PRC + LC 
 
 
Onde: • PRV = Preço de Venda; 
• PRC =Preço de Custo ou Preço de Compra; 
• LC = Lucro obtido na Venda. 
 
 
 
 
 
 
2.2 - Lucros e Prejuízos: 
 
 
O estudo desta seção será feito com base nos exemplos a seguir: 
 
 
Exemplo 1: Lucro sobre o custo. 
 
 
Uma mercadoria foi comprada por R$3.000,00 e vendida por R$3.850,00. Calcule o 
lucro, na forma percentual, sobre o preço de compra. 
 
 
Solução: PRC = 3.000 
PRV = 3.850 3.000  100% 
PRV = PRC + LC 850  X 
LC = PRV - PRC 
LC = 3.850 – 3.000 3.000 . X = 100 . 850 
LC = 850 X = 28,333% 
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Obs.: O lucro sobre o custo foi de 28,333%. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Lucro sobre a venda. 
 
 
Uma mesa de escritório foi comprada por R$550,00 e vendida por R$705,00. Calcule 
o lucro, na forma percentual, sobre o preço de venda. 
 
 
Solução: PRC = 550 
PRV = 705 705  100% 
PRV = PRC + LC 155  X 
LC = PRV – PRC 705 . X = 100 . 155 
LC = 705 – 550 X = 21,986% 
LC = 155 Obs.; O lucro sobre o custo foi de 21,986%. 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
Uma mercadoria foi vendida por R$430,00. Sabendo-se que o lucro foi de 15% sobre 
o preço da venda, calcule o mesmo. 
 
Solução: 430  100% 
X  15% 
 
100 . X = 430 . 15 
X = 64,5 
O lucro foi de R$64,50. 
Sendo o lucro calculado sobre o preço da venda, este terá o valor de 100% . 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
 
Um monitor foi vendido por R$670,00, dando um lucro de R$152,00. Calcule o lucro, 
em porcentagem, sobre o preço de custo. 
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Solução: PRV = PRC + LC 518  100% 
PRC = PRV – LC 152  X 
PRC = 670 – 152 
PRC = 518 
518 . X = 100 . 152 
X = 29,344%. 
Sendo o lucro calculado sobre o preço de custo, este terá o valor de 100%. 
 
 
Exemplo 5: 
 
 
Uma mercadoria que foi comprada por R$1.050,00 foi vendida, com um prejuízo de 
42%, sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. 
 
 
 
 
 
Solução: 142%  1.050 
100%  X 
 
142 . X = 100 . 1050 
X = 739,44. 
O preço de venda é R$739,44. 
Como o prejuízo é de 42% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. 
O preço de custo corresponderá então a 142%. 
 
 
Exemplo 6: 
 
 
Uns móveis de escritório foram vendidos com prejuízo de 15% sobre o preço de venda. 
Calcule o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$445,00.Solução: 115%  445 
100%  X 
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115 . X = 100 . 445 
X = 386,96 
O preço venda de é R$386,96. 
Como o prejuízo é de 15% sobre o preço de venda, este corresponderá a 100%. 
O preço de custo corresponderá a 115%. 
 
 
 
Exemplo 7: Utilização de índices. 
 
 
Em uma operação de compra e venda, a taxa de prejuízo para o preço de venda foi de 
4 para 8. Determine o preço de venda sabendo-se que o preço de custo foi de R$2.500,00. 
 
 
Solução: Custo Prejuízo Venda 
2.500 P 
12 4 
2.500 = PRV 
12 8 
 
12 . PRV = 2500 . 8 
PRV = 1666,67. 
 
 
 
O preço de venda é R$1.666,67. 
PRV 
 
 
8 
 
 
 
 
A relação de proporcionalidade entre o prejuízo e o preço de venda é estabelecida 
pela taxa 4 para 8. Temos assim 8 unidades de preço de venda para 4 unidades de 
prejuízo e, conseqüentemente, para cada 12 unidades de custo, neste exercício. 
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3 
Taxa de Juros 
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Quando pedimos emprestado uma certa quantia, a uma pessoa ou a uma instituição 
financeira, é normal, após um certo tempo, pagarmos a quantia que nos foi emprestada, 
mais uma “ outra quantia que representa o aluguel pago pelo empréstimo”. 
 
Essa outra quantia, citada acima, representa o juro; ou seja, representa o bônus que 
se paga por um capital emprestado. 
 
O juro que é produzido em uma determinada unidade de tempo ( ao ano, ao mês, ao 
dia), representa uma certa porcentagem do capital ou do montante, cuja taxa se chama 
Taxa de Juros. 
 
 
 
 
3.1 - Homogeneidade entre tempo e taxa: 
 
 
Sempre o prazo de aplicação (representado pela letra n) deve estar na mesma unidade 
de tempo (anos, meses, dias) em que está a taxa de juros (representada pela letra i ). 
 
 
 
•Considerações Importantes: 
 
 
1º) - O mês comercial possui 30 dias; 
- O ano comercial possui 360 dias; 
- O ano civil possui 365 dias. 
 
 
2º) Normalmente, a taxa de juros i está expressa na forma percentual, assim, para 
usá-la em qualquer fórmula de matemática financeira, deve-se antes, transformá-la para a 
forma unitária. 
Ex.: i = 25,8%  forma unitária  i = 0,258. 
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Exemplo 1: A taxa de juros de 18% ao ano, considerando-se ano comercial, equivale 
a quantos % (por cento) ao dia? 
 
Solução: ano comercial = 360 dias. 
i = 
18% 
 0,0 5% 
360 
ao dia. resposta: 0,05% ao dia. 
 
 
 
Exemplo 2: A taxa de juros de 12% ao ano, equivale a quantos % (por cento) ao mês? 
 
 
Solução: i = 12% ao ano. 
i = 1 2%  1%
 
1 2 
ao mês. resposta: 1% ao mês. 
 
 
Exemplo 3: A taxa de juros de 3% ao mês, considerando-se o mês comercial, equivale 
a quantos % (por cento) ao dia? 
 
Solução: mês comercial = 30 dias. 
i = 
3% 
 0,1% 
3 0 
ao dia. resposta: 0,1% ao dia. 
 
 
 
Exemplo 4: A taxa de juros de 4,5% ao mês, equivale a quantos % ( por cento) ao 
ano? 
 
 
Solução: ( 4,5% ao mês) x 12 = 54% ao ano. 
i = 54% ao ano. resposta: 54% ao ano. 
 
 
 
Exemplo 5: A taxa de juros de 0,03% ao dia, equivale a quantos % ( por cento) ao ano, 
levando-se em consideração o ano civil? 
 
Solução: ( 0,03% ao dia ) x 365 = 10,95% ao ano. 
i = 10,95% ao ano. resposta: 10,95% ao ano. 
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3.2 - Juro Exato e Juro Comercial: 
 
 
Geralmente, nas operações correntes, a curto prazo, os bancos comerciais utilizam o 
prazo n ( tempo ) expresso em dias. Assim, no cálculo do juro exato, teremos a taxa de juros 
i dividida por 365 dias, pois o ano utilizado é o ano civil. 
 
Já, no cálculo do juro comercial, teremos a taxa de juros i dividida por 360 dias, pois o 
ano utilizado é o ano comercial. 
i 
• Juro Exato  J = C x 365 
 
x n. 
i 
• Juro Comercial  J = C x 360 x n. 
 
 
Obs: As fórmulas do juro exato e do juro comercial serão abordadas no tópico 
capitalização simples. Por enquanto, basta compreender que as divisões feitas nas duas 
fórmulas foram necessárias para que, a unidade de tempo, entre n e i, fossem iguais. 
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4 
Inflação 
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(O presente tópico visa dar ao aluno um conhecimento básico sobre o problema 
inflacionário). 
 
De uma maneira global, a inflação é caracterizada por um aumento geral e cumulativo 
dos preços. Esse aumento geral não atinge somente alguns setores, mas sim, o bloco 
econômico como um todo. Já o aumento cumulativo dos preços acontece de forma contínua, 
prolongando-se ainda, por um tempo indeterminado. 
 
O Estado em associação com a rede bancária aumenta o volume do montante dos 
meios de pagamento para, atender à uma necessidade de demanda por moeda legal; mas 
associado ao aumento do montante, acontece também, um aumento dos preços. 
 
O aumento dos preços gera a elevação do custo de vida, popularmente chamado de 
carestia. 
O custo de vida apresenta-se com peso variado nas diferentes classes econômicas. 
Uma família pobre tende a utilizar, o pouco dinheiro conseguido, para comprar gêneros 
alimentícios. O restante do dinheiro geralmente é utilizado para o pagamento de serviços 
de água, luz e esgoto. 
Em uma família abastada, além dos gastos com alimentos, água tratada e eletricidade, 
costuma-se também gastar com roupas, carros, viagens, clínicas de beleza e estética, entre 
outras coisas mais. Assim, um aumento nos preços dos produtos de beleza e 
rejuvenescimento, terá peso zero no custo de vida da família pobre e um acréscimo no 
orçamento da família rica. 
 
Em suma, o custo de vida aumenta, quando um produto que possui um determinado 
peso nas contas mensais, sofre também um aumento. 
 
 
 
• Exemplo para um melhor entendimento do aumento do custo de vida: 
Um casal gasta de seu orçamento mensal 12% com alimentação, 10% com vestuário, 
8% com plano de saúde e 5% com o lazer. 
Acontece então uma elevação geral nos preços, acrescentando um aumento de 3% 
nos gastos com alimento, 5% nos gastos com vestuário, 4% nos gastos com plano de saúde 
e 2% nos gastos com o lazer. Calcule o aumento do custo de vida no mês. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 23 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
Produtos 
 
Gasto 
no 
orçamento 
 
Gasto no 
orçamento na 
forma unitária 
 
Aumento 
dos produ- 
tos 
 
Aumento dos 
produtos 
na forma 
unitária 
Alimentos 12% 0,12 3% 0,03 
Vestuário 10% 0,10 5% 0,05 
Plano de Saúde 8% 0,08 4% 0,04 
Lazer 5% 0,05 2% 0,02 
 
 
Para o cálculo do aumento, proporcionado por cada produto, deve-se multiplicar o 
gasto no orçamento na forma unitária com o aumento dos produtos na forma unitária. 
 
Alimentos: 0,12 x 0,03 = 0,0036. 
Vestuário: 0,10 x 0,05 = 0,005. 
Plano de Saúde: 0,08 x 0,04 = 0,0032. 
Lazer: 0,05 x 0,02 = 0,001. 
 
 
 
 
Produtos 
 
Aumento do custo do 
produto na forma 
unitária 
 
Aumento do custo do pro- 
duto na forma percentual 
Alimentos 0,0036 0,36% 
Vestuário 0,005 0,50% 
Plano de Saúde 0,0032 0,32% 
Lazer 0,001 0,10% 
 
 
Com o somatório dos aumentos de cada produto na forma percentual obtemos o 
aumento do custo de vida no mês em questão: 0,36% + 0,50% + 0,32% + 0,10% = 1,28%. 
 
Nesse mês, o aumento no custo de vida para a família do exemplo foi de 1,28%, 
devido à elevação dos preços de quatro produtos utilizados pelo casal. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 24 
 
 
 
 
 
5 
Capitalização Simples 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 25 
 
 
 
No regime de capitalização simples temos, a taxa ( i ) incidindo somente sobre o capital 
inicial ( C ), proporcionando-nos obter assim, juros simples, ao final do período de tempo( n 
). 
 
 
 
 
5.1 - Juros Simples: 
 
 
 .Juro produzido pelo capital C ao final de um período de tempo: J = C x i ٭
 .Juroproduzido pelo capital C ao final de n ( vários ) períodos de tempo: J = C x i x n ٭
 
 
Fórmula Básica: J = C x i x n Onde: J = juros simples. 
C = capital inicial ou principal. 
i = taxa de juros. 
n = tempo de aplicação ou prazo de tempo. 
 
 
 
Exemplo 1: Se um capital de R$8.825,00 for aplicado durante 2 meses, à taxa de 2% 
ao mês, qual será o valor dos juros simples? 
 
Solução: J = C x i x n 
C = 8825 J = 8825 x 0,02 x 2 
i = 2% ao mês = 0,02 J = 353 
n = 2 meses J = R$353,00 
Obs: i e n estão na mesma unidade de tempo. 
 
 
 
Exemplo 2: Se um capital de R$550,00 for aplicado durante 4 meses, à taxa de 9% 
ao ano, qual será o valor dos juros simples? 
Solução: J = C x i x n. 
C = 550. 
i = 9% ao ano 
n = 4 meses. 
 
9% 

1 2 
0,75% ao mês = 0,0075. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 26 
 
 
 
J = 550 x 0,0075 x 4. 
J = 16,50. 
J = R$16,50. 
 
 
 
Exemplo 3: Calcule o capital necessário para que haja um rendimento de R$650,00, 
sabendo-se que a taxa utilizada é de 5% ao mês e o período de tempo igual a 6 meses. 
 
 
Solução: J = C x i x n, mas isolando-se C temos, C = 
J 
 
 
i.n 
 
J = 650. 
i = 5% ao mês = 0,05. C = 
 
650 
 
 
0,0 5 * 6 
n = 6 meses. C = 2166,67. 
C = R$2.166,67. 
 
 
 
Exemplo 4: Um capital de R$425,00 foi aplicado durante 6 meses, rendendo R$105,00 
de juros simples. Calcule a taxa mensal i. 
 
 
Solução: J = C x i x n, mas isolando-se i temos, i = J .
 
C.n 
 
 
 
 
 
J = 105. 
C = 425. i = 
 
105 
 
 
425 * 6 
n = 6 meses. i = 0,04117 
 
 
i = 0,04117 está na forma unitária. Para colocarmos o resultado na forma 
percentual devemos multiplicar i por 100, ficando então como resposta, i = 4,117% ao 
mês. 
 
Na taxa i a unidade de tempo utilizada foi o mês porque o período de aplicação 
estava, em meses. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 27 
 
 
 
 
 
5.2 - Montante Simples: 
 
À soma dos juros simples (relativo ao período de aplicação) com o capital inicial ou 
principal dá-se o nome de montante simples. 
 
 
Fórmulas: S = J + C ou S = C x i x n + C 
 
 
S = C x ( i x n + 1) 
 
 
 
Onde: S = Montante Simples. 
J = Juros Simples. 
i = Taxa de Juros. 
n = Período de Aplicação. 
 
 
 
Exemplo 1: Um capital de R$1.550,00 foi aplicado durante um período de 8 meses, à 
taxa de 24% ao ano, no regime de capitalização simples. Calcule o montante. 
 
Solução: S = J + C 
C = 1550. 
i = 24% ao ano 
n = 8 meses. 
 
 
 
 
 
 
J = C x i x n. 
 
 
2 4% 
 2% 
1 2 
 
 
 
ao mês = 0,02. 
J = 1550 x 0,02 x 8. 
J = 248. 
S = J + C. 
S = 248 + 1550. 
S = 1798. 
S = R$1.798,00. 
 
 
Exemplo 2: Calcule o tempo, no qual, devo aplicar uma quantia de R$200.000,00, 
para obter um montante simples de R$360.000,00, à taxa de 16% ao mês. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 28 
 
 
 
 
Solução: C = 200.000. S = C x (i x n + 1) 
S = 360.000. 
 
 
i = 16% ao mês = 0,16. 
S 
( i x n + 1 ) = 
C 
(i x n + 1) = 
360.000 
 
 
200.000 
 
(i x n + 1) = 1,8. 
i x n = 1,8 – 1. 
i x n = 0,8. 
0,16 x n = 0,8. 
n = 5 meses. 
A unidade utilizada para n foi meses, devido ao fato, de i também estar em meses. 
 
 
 
 
 
5.3 - Desconto Simples: 
 
 
Toda vez que se paga um título, antes da data de seu vencimento, obtemos um 
desconto (abatimento). 
 
 
• Algumas considerações: 
 
 
Valor Nominal (VN) é o valor indicado no título, na data de seu vencimento. 
Valor Atual (VA) é o valor do título no dia do seu pagamento antecipado, ou seja, antes 
da data de vencimento. 
D =VN – VA Onde D = Desconto. 
 
 
•• Desconto Racional ou “Por Dentro”: 
 
 
Equivale aos juros simples produzidos pelo valor atual, à taxa utilizada e ao período 
de tempo correspondente. 
V A D R V N 
Fórmula: 

1 i.n 

1  i.n Onde: DR = Desconto Racional; 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 29 
 
 
 
VA = Valor Atual; VN 
= Valor Nominal; 
i = taxa; 
n = Período de Tempo. 
Exemplo 1: Calcule o desconto racional para um título com valor atual de R$16.000,00, 
à taxa de 2,6% ao mês e com prazo de 3 meses para o vencimento. 
 
 
Solução: 
V A 
 
D R 
VA = 16.000 
1 i.n 
i = 2,6% ao mês = 0,026 
n = 3 meses. 
 
DR = VA x i x n 
DR = 16.000 x 0,026 x 3 
DR = 1.248 
DR = R$1.248,00 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Se um empréstimo com valor atual de R$750,00, calcule o desconto 
racional, sabendo-se que a taxa de juros é de 12% ao ano e o prazo é de 5 meses para o 
vencimento. 
 
 
 
Solução: 
V A 
 
D R 
VA = 750. 
1 i.n 
i = 12% ao ano 
 

12% 
12 
 
 1% ao mês = 0,01. 
 
DR = VA x i x n 
DR = 750 x 0,01 x 5 
DR = 37,5 
DR = R$37,5. 
 
 
 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 30 
 
 
•• Desconto Bancário ou Comercial ou “Por Fora”: 
 
 
Equivale aos juros simples produzidos pelo valor nominal, à taxa utilizada e ao período 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 30 
 
 
 
de tempo correspondente. 
 
 
Fórmula: V A 
 
D B 
 
V N 
1 i.n i.n 1 
 
Onde: DB = Desconto Bancário; 
VA = Valor Atual; 
VN = Valor Nominal; 
i = Taxa; 
n = Período de Tempo. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Calcule o desconto bancário para um compromisso de valor nominal igual 
à R$2.700,00, à taxa de 18% ao ano, e prazo de 33 dias antes do vencimento. (Considerar 
o ano comercial). 
 
Solução: D B 
 
V N VN= 2.700. 
 
18 % 
i.n 1 
i = 18% ao ano 

360 
 0,05 % 
ao dia = 0,0005. 
 
 
DB = VN x i x n 
DB = 2700 x 0,0005 x 33 
DB = 44,55 
DB = R$44,55. 
 
Exemplo 2: Calcule o desconto “por fora” para um pagamento antecipado, à taxa de 
5,8% ao mês e prazo de 5 meses, sabendo-se que o valor nominal é de R$42.000,00. 
 
 
Solução: 
D B 
i.n 
 
V N 
VN = 42.000 
1 
i = 5,8% ao mês = 0,058. 
 
 
DB = VN x i x n 
DB = 42.000 x 0,058 x 5 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 30 
 
 
DB = 12.180 
DB = R$12.180,00. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 31 
 
 
 
• Considerações finais dentro da capitalização simples: 
 
 
-Como se calcular uma taxa acumulada (ao ano) que é aplicada pelo período de n 
meses: 
 
 
Exemplo: No regime de capitalização simples, calcular a taxa acumulada a 36% ao 
ano, aplicada durante 8 meses. 
 
Solução: 1º) Verifica-se a taxa, neste caso i =36% ao ano; 
2º) Verifica-se o número de meses de aplicação, neste exemplo são 8 meses; 
3º) Calcula-se o valor da taxa i no mês; 
ex.: 36% ao mês. 
12 
 
 
4º) Multiplica-se a taxa encontrada pelo número de meses; 
ex.: 3% x 8 = 24%. 
 
5º) Resultado Final: 24%. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 32 
 
 
 
 
 
6 
 
Capitalização Composta 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 33 
 
 
n 
n 
3 
3 
n 
 
Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma 
remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem um novo 
capital (1º montante). 
 
Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros), 
sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo montante. 
(E assim por diante). 
 
Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período 
anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta. 
 
 
 
 
 
 
6.1 - Juros Compostos: 
 
 
Fórmula: j = C x 1  i 1

Onde: j = Juros Compostos; 
C = Capital Inicial; 
 
( 1+i ) = Fator de Capitalização; 
i = Taxa de Juros; 
n = Período de Tempo. 
 
 
Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização composta, 
por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro obtido? 
Solução: C = 829,30. j = C x 1  i 1
i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x 1  0,024  1
n = 3 meses. j = 829,30 x 1,024  1
j = 829,30 x 1,073742 1
j = 61,15 
j = R$61,15. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 34 
 
 
n 
n 
 
Exemplo 2: Calcule o valor dosjuros compostos para um capital de R$777,56, aplicado 
à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses. 
 
 
 
 
 
Solução: C = 777,56. 
i = 6% ao ano 
 
 
6%
 12 
 
= 0,5% ao mês = 0,005. j = C x 1  in 1
n = 2 meses. j = 777,56 x 1  0,005  1

j = 777,56 x 1,0052  1
j = 777,56 x 1,010025 1
j = 7,80  j = R$7,80. 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 - Montante Composto: 
 
 
Fórmula: s = C x ( 1+i ) Onde: s = Montante Composto; 
C = Capital Principal; 
( 1+i ) = Fator de Capitalização. 
i = Taxa de Juros; 
n = Período de Tempo. 
 
 
Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à 
taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses. 
 
Solução: C = 627,43. 
i = 2% ao bimestre = 0,02. 
n = 6 meses 
 
Como 6 meses correspondem a três bimestres, o n será igual a 3, pois o período de 
2 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 35 
 
 
capitalização é bimestral. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 36 
 
 
 
 
s = C x ( 1+i ) 
s = 627,43 x (1+0,02) 
s = 627,43 x (1,02) 
s = 627,43 x (1,061202) 
s = 665,83 
s = R$665,83. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado à 
taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses. 
 
Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) 
i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072) 
n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072) 
s = 15.600,70 x (1,320623) 
s = 20.602,64. 
s = R$20.602,64. 
 
 
Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à taxa 
de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses. 
Solução: s = 7656,70. 
i = 18% ao ano 
n = 4 meses. 

18% 
12 
 1,5% ao mês = 0,015. 
n 
3 
3 
n 
4 
4 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 37 
 
 
16 
2 
n 
 
Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga gerar 
um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses. 
 
Solução: C = 300. 
s = 4.800 
n = 2 meses 
s = C x (1+i ) 
 
s 
(1+i ) = 
C 
 
(1+i ) 
2  
4.800 
300 
 
(1+i ) = 16. 
(1+i ) = 
1+ i = 4 
i = 4 – 1 
i = 3 
 
 
• i = 3 representa a taxa na forma unitária; 
• Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%; 
• Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de 
tempo n está sendo usado em meses. 
• Resposta: i = 300% ao mês. 
 
 
 
 
 
6.3 - Desconto Composto: 
 
 
No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale ao 
capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual. 
 
Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal. 
n 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 38 
 
 
 
Fórmula: VN = VA x 1  in D = VN - VA 
 
 
 
Onde: VN = Valor Nominal; 
VA = Valor Atual; 
D = Desconto Composto. 
 
 
Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de 
1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento. 
 
Solução : VN = 1.250,52. 
i = 1,7% ao mês = 0,017. 
n = 2 meses. 
VN = VA x 1  in 
 
V N 
VA = 
1  in 
 
1.250,52 
VA = 
1  0,0172 
VA = 
1.250,52 
1,0172 
 
VA = 
1.250 ,52 
 
 
1,034289 
 
VA = 1.209,06. 
 
 
D = VN – VA 
D = 1.250,52 – 1.209,06 
D = 41,46 
D = R$41,46. 
 
 
 
Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano, 3 
meses antes do vencimento. 
 
 
Solução: VN = 753,53. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 39 
 
 
 
 
 
• Considerações finais dentro da capitalização composta: 
 
 
Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos: 
 
Fórmula: M = Dep x 1  i
n 
 1 
i 
 
 
Onde: M = Montante; 
Dep = Depósitos. 
 
Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um, 
efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito. 
 
Solução: Dep = 230. 
i = 2% ao mês = 0,02. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 40 
 
 
1 2 
a m 
12 
1 2 
 
Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta: 
 
Fórmula: 1  ia   1  im 

Onde: i a = Taxa anual composta; 
i m = Taxa mensal composta. 
 
 
Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%. 
 
Solução: 1  i   1  i 1 2 
1  ia   1  0,03
1  ia   1,0 3
1  ia   1,425760
i a = 1,425760 - 1 
i a = 0,425760 
 
 
Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-se o valor da referida 
taxa na forma percentual, ficando o valor igual a 42,5760%.. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 40 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
 
 
 
 
ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora 
Ática, 263p. 
 
 
COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. 
Rio de Janeiro: Oficina do Autor, 206 p. 
 
 
 
CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora 
Saraiva. 
 
 
D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com 
complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia 
Editora Nacional, 287 p. 
 
FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc 
Graw-Hill do Brasil, 219 p. 
 
MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: 
Edição do Autor, 173 p. 
 
SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo 
Ensino Médio – Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p. 
 
 
SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p. 
Centro de Ensino Tecnológico de Goiás - CETEG 50