V_Teorico

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Fenômenos de Transporte
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
Hidrodinâmica II
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• Trajetória e linha corrente
• Características dos tubos de corrente
• Definição da equação da continuidade
 · Esta Unidade tem como principal objetivo analisar o transporte de um fluido 
sob diferentes condições de ramais de tubulações em um regime permanente de 
processo.
Caro(a) aluno(a)
Leia atentamente o conteúdo desta Unidade, que possibilitará conhecer os conceitos básicos 
de regimes de escoamentos permanentes em diversos tipos de tubulações.
Você também encontrará uma atividade composta por questões de múltipla escolha, 
relacionada ao conteúdo estudado. 
Além disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no fórum de 
discussão.
É extremante importante que você consulte os materiais complementares, pois são ricos 
em informações, possibilitando o aprofundamento de seus estudos sobre este assunto. 
Hidrodinâmica II
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Unidade: Hidrodinâmica II
Contextualização
Caro(a) aluno(a)
Para iniciar esta Unidade, leia o texto disponível no link abaixo e reflita sobre a questão das 
variadas aplicações dos conceitos de continuidade dos fluidos. 
Explore: Aplicações de alguns Princípios de Hidrodinâmica e Fluidodinâmicahttp://goo.gl/ohVwRE
Oriente sua reflexão a partir do seguinte questionamento: Onde mais é possível aplicar os 
conceitos? Quais seriam algumas possíveis aplicações desse conceito em prol da humanidade?
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Trajetória e linha corrente
Quando se analisa uma partícula individualmente em vários momentos, em função de sua 
trajetória e do tempo, observa-se a obtenção de uma equação da trajetória, conforme se pode 
verificar na Figura 1. 
Uma análise melhor somente é viável acrescentando corante em um flutuante para a 
observação.
Figura 1. Representação de um � utuante colorido colocado num � uido em movimento. 
Fonte: Brunetti, 2008.
Com relação à linha corrente, é possível afirmar que o tempo não é considerado, mas a 
tangente dos vetores de velocidade. 
Para melhor visualização, podem ser adicionadas serragens para verificar o perfil da linha 
corrente, conforme representado na Figura 2.
Figura 2. Representação de uma linha corrente e do instante t na fotogra� a. 
Fonte: Brunetti, 2008.
Analisando-se geometricamente as linhas de trajetória e corrente, estas coincidem em um 
regime permanente, conforme mostrado na Figura 3.
Figura 3. Representação das linhas de corrente em regime permanente.
Fonte: Brunetti, 2008.
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Unidade: Hidrodinâmica II
Características dos tubos de corrente
Existem algumas características dos tubos correntes que devem ser levadas em consideração, 
tais como: 
a) em um regime permanente os tubos de corrente não apresentam nenhuma variação nas 
propriedades do fluido e são fixos; 
b) não ocorre passagem de nenhuma partícula independente de seu tamanho pelo tubo de 
corrente.
Vale ressaltar que todas as partículas em um fluido que entram de um lado saem pelo outro 
sem haver perda no decorrer do transporte dele.
Defi nição da equação da continuidade
Como descrito anteriormente, no escoamento de um fluido em um tubo corrente não há 
perda de massa. Ou seja, a vazão em massa que entra na tubulação em um regime permanente 
deverá ser a mesma na saída do fluido. 
A Figura 4 representa que, numa certa faixa de tempo, o fluido que passa na seção de 
entrada (1) é o mesmo que passa na seção de saída (2).
Figura 4. Representação da equação da continuidade no transporte em massa de um � uido.
Fonte: Simões.
Portanto, pode-se definir matematicamente a equação da continuidade como:
m1 = m2 = m (1)
∑mentrada = ∑mentrada (2)
Qm1 = Qm2 = Qm = constante (3)
ρ1 × Q1 = ρ2 × Q2 = ρ × Q = constante (4)
ρ1 × v1 × A1 = ρ2 × v2 × A2 = ρ × v × A = constante (5)
Pode-se concluir que durante um regime permanente, no transporte de um fluido, a massa 
que passa em qualquer seção de escoamento é a mesma, ou seja, constante.
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Agora, em fluidos incompressíveis, como os líquidos, matematicamente temos:
m constante
V
ρ = = (5)
1 2 constanteρ ρ ρ= = = (6)
1 2Q Q Q constante= = = (7)
1 1 2 2v A v A v A constante× = × = × = (8)
Pode-se concluir que, durante um regime permanente, no transporte de um fluido 
incompressível, a vazão que passa em qualquer seção de escoamento é a mesma, ou seja, 
constante.
Agora, quando se tem mais de uma seção de entrada ou de saída, devemos determinar a 
equação da continuidade por meio da vazão mássica, como mostrado nas seguintes equações:
∑ ∑=Q Qm de entrada m de saída� � � � � (9)
∑ ∑=Q Qentrada saída (10)
Exemplo 
Demonstre a aplicação do conceito da equação da continuidade na figura a seguir.
Resolução
Aplicando-se o conceito da equação da continuidade, onde:
Q Q
1 2
=
v A v A
1 1 2 2
× = ×
E analisando-se a figura e a definição matemática, pode-se observar que a velocidade na 
seção (2) é maior, pois sua área é menor quando comparada com a seção (1).
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Unidade: Hidrodinâmica II
Exercícios
1. Certo fluido gasoso passa por uma tubulação em regime permanente como representado 
na figura. Calcule a velocidade com que esse fluido atravessa a seção (2), sabendo que as 
áreas nas seções (1) e (2) são, respectivamente, 25 cm2 e 15 cm2. 
Dados
ρ1 = 5 kg/m3 
v1 = 20 m/s
ρ2 = 14 kg/m3
Resolução
Aplicando-se a equação da continuidade
Q Qm m1 2=
ρ ρ
1 1 1 2 2 2
× × = × ×v A v A
v v A
A2
1 1 1
2 2
=
× ×
×
ρ
ρ
v
2
20 5 25
14 15
=
× ×
×
v m s2 11 90= ,
2. O tubo do tipo Venturi é muito utilizado em diversos projetos de Engenharia. Sendo um 
fluido incompressível que passa pelo tubo representado na figura, calcule a velocidade 
na menor seção (garganta) de área correspondente a 8 cm2, sabendo que na seção com 
maior área, 30 cm2, a velocidade de entrada é de 1 m/s.
Resolução
Aplicando-se a equação da continuidade
Q Qentrada garganta=
v A v Ae e g g× = ×
1 30 8× = ×vg
vg =
×1 30
8
3,75 g mv s=
11
3. Os tanques 1 e 2 são cheios por seus tubos representados na figura a seguir e demoram 
cerca de 200 e 750 segundos, respectivamente. Calcule a velocidade na seção de entrada (A). 
Resolução
Dados do 
enunciado t s1 200= aresta m1 5= ∅ =A m1�
t s
2
750= aresta m2 10= vA = ?
Aplicando-se a Equação da Continuidade:
∑ ∑=Q Qentrada saída
Q Q QA = +1 2
Cálculo de Q1
Q V
t1
1
1
=
Q
1
3
5
200
=
3
1 0,625mQ s=
Cálculo de Q2
Q V
t2
2
2
=
Q
2
3
10
750
=
Q m s2
2
1 33= ,
Cálculo de QA
Q Q QA = +1 2
Q m sA = + =0 625 1 33 1 955
3
, , ,
Cálculo de vA
Q v AA A A= ×
Q vA A= ×
×∅π 2
4
1 955
1
4
2
, = ×
×va
π
1 955 4
1
,
�
×
×
=
π
vA
v m sA = 2 49,
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Unidade: Hidrodinâmica II
4. A tubulação a seguir apresenta uma redução de diâmetro quando comparamos a entrada 
com a seção de saída. Determine as vazões volumétrica, mássica e em peso na tubulação 
e também a velocidade em (2), sabendo que os valores das áreas nas seções (1) e (2) são, 
respectivamente, 20 cm² e 10cm². 
Dados v1 = 1 m/s.
Resolução
Dados do 
enunciado A1 = 20 cm2 v m s1 1=
A2 = 10 cm2
Cálculo da velocidade na seção (2)
Aplicando-se a equação da continuidade:
∑ ∑=Q Qentrada saída
Q Q
1 2
=
v A v A
1 1 2 2
× = ×
1 20 10
2
× = ×v
v
2
1 20
10
=
×
v m s2 2=
Cálculo da vazão volumétrica
A cm
m
cm1
2
2
220
1
100
= ×
( )
( )
A m
1
3 2
2 10= × −
Aplicando-se a equação da continuidade:
Q Q v A
1 2 1 1
= = ×
Q
1
3
1 2 10= × ×( )−
Q m s1
3
3
2 10= × −
13
Cálculo da vazão em massa
Aplicando a equação da continuidade:
∑ ∑=Q Qm entrada m saída� � �
Q Q Qm m 1 1= = ×ρ
Qm .1
31 000 2 10= × ×( )−
Q kg sm = 2
Cálculo da vazão em peso
Aplicando a equação da continuidade:
∑ ∑=Q Qwentrada w saída� � �
Q Q g Qw w= = × ×ρ
Qw .1
31 000 10 2 10× × −
Q N sw = 20
5. Em um mesmo tanque, são adicionados água e óleo e sai uma mistura dos dois. Calcule 
a massa específica dessa mistura e a velocidade com que ela sai do tanque, sabendo-se 
queas vazões de água correspondem a 25 L/s e de óleo a 15 L/s. 
Dados ρH2O= 1000 kg/m3
ρóleo = 800 kg/m3
A3 = 20 cm
2
Resolução
Dados do 
enunciado ρágua kg m=1 000 3.
Q L
s
m
L
m
ságua = = =25
1
1 000
0 025
3 3
,
ρóleo
kg
m= 800 3
Q L
s
m
L
m
sóleo = = =15
1
1 000
0 015
3 3
,
A cm
m
cm
msaída = =
( )
( )
= × −20
1
100
2 102
2
2
3 2
ρsaid aídae v ?
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Unidade: Hidrodinâmica II
Aplicando-se a equação da continuidade:
∑ ∑=Q Qentrada saída
Q Q Qágua óleo mistura+ =
0 025 0 015, ,+ =Qmistura
Q m smistura = 0 04
3
,
Cálculo da velocidade de saída (mistura)
Q v Amistura mistura mistura= ×
4 2 10 3× −v a
vmsitura = × −
0 03
2 10
3
,
v m smistura =15
Cálculo da massa específica de saída (mistura)
Aplicando-se a equação da continuidade:
∑ ∑=Q Qm entrada m saída� � �
Q Q Qm água m ólao m mistura� � �+ =
ρ ρ ρágua água ólao ólao mistura misturaQ Q Q×( ) + ×( ) = ×( )�
1 000 0 025 800 0 015 0 04. , ,× ρmistura
25 12 0 04+ = ×( )ρmistura ,
ρmistura =
37
0 04,
ρmistura
kg
m= 925 3
6. Na figura a seguir, está representado um trecho de tubulação. Para esse tipo de tubulação, 
calcule: a) velocidade e a vazão no ponto (3); b) a velocidade no ponto (4).
Dados v1 = 1,5m/s ∅2 = 0,1m
v2 = 2,5m/s ∅3 = 0,20m
∅1 = 0,25m ∅4 = 0,10m
Resolução
Aplicando-se a equação da continuidade
∑ ∑=Q Qentrada saída
Q Q Q
1 2 3
+ =
e Q Q3 4=
15
Cálculo de Q1
Q v A1 1 1= ×
Q v
1 1
2
4
= ×
×∅π
Q
1
2
1 5
0 25
4
= ×
×
,
,π
Q m s1
3
0 074=
Cálculo de Q2
Q v A2 2 2= ×
Q v
2 2
2
4
= ×
×∅π
Q
2
2
2 5
0 15
4
= ×
×
,
,π
Q m s2
3
0 044= ,
Substituindo na equação da continuidade
Q Q Q
1 2 3
+ =
0 074 0 044 3Q
Q m s3
3
0 118= ,
Cálculo da velocidade na seção (3)
Q v A3 3 3= ×
Q v
3 3
2
4
= ×
×∅π
0 118
0 2
4
3
2
,
,
= ×
×v π
v
3 2
4 0 118
0 2
=
×
×
,
,π
v m s3 3 75= ,
Aplicando-se a equação da continuidade
Q Q
3 4
=
Q v A
3 4 4
= ×
Q v
3 4
2
4
= ×
×∅π
0 118 0 1
44
2,×v π
v
4 2
4 0 118
0 1
=
×
×
,
,π
v m s4 15 02= ,
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Unidade: Hidrodinâmica II
Material Complementar
Vídeos:
Cinemática dos fluidos - Equação da continuidade
https://www.youtube.com/watch?v=QJfrNuJ9ULQ
Hidrodinâmica - Vazão e equação da continuidade física
https://www.youtube.com/watch?v=lphMaJB8yc8
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Referências
BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2.ed.rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
GASPAR, A. Física. São Paulo: Ática, 2009.
INSTITUTO de Ciências Agrárias – Universidade Federal Rural da Amazônia 
Disponível em: <www.portal.ufra.edu.br>. Acesso em: jan. 2015.
INSTITUTO Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo. Disponível 
em: <http://spo.ifsp.edu.br/>. Acesso em: jan. 2015.
SIMÕES, J. G. F. Mecânica dos Fluidos. Universidade Santa Cecília. <http://cursos.
unisanta.br/mecanica/ciclo4/Mecanica_dos_Fluidos.pdf>. Acesso em: jan. 2015.
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos. 6.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2010
WIGGERT, D. C.; POTTER, M. C. Mecânica dos Fluidos. Pioneira Thomson, 2004.
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Unidade: Hidrodinâmica II
Anotações