20170842706_Isaac Neto

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Nome do aluno: Isaac Simões Neto 
Matrícula: 20170842706 
Turma: C847TA 
Primeira atividade avaliativa de Análise Real I 
1) Prove que o número 1 é efetivamente o supremo do conjunto: 
𝑨 =
𝟏
𝟐
<
𝟐
𝟑
<
𝟑
𝟒
< ⋯ <
𝒏
𝒏 + 𝟏
< ⋯ 
Mostrando que, dado ε > 0, existe N tal que: 
𝒏 ≥ 𝑵 ⟹ 𝟏 − 𝛆 <
𝒏
𝒏 + 𝟏
 
Para mostrar que o número 1 é efetivamente o supremo do conjunto A, devemos iniciar 
da definição de cota superior. Considerando 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑆. 
I) 
𝑛
𝑛+1
≤ 𝑆 
IV) Dado 𝜀 > 0 ∃ (
𝑛
𝑛+1
) ∈ 𝐴: 𝑆 − 𝜀 <
𝑛
𝑛+1
< ⋯ 
Para I): 
Primeiramente vamos provar que 1 pertence a cota superior. Veja que os elementos do 
conjunto são frações dispostas de maneira crescente: 
1
2
<
2
3
<
3
4
< ⋯ <
𝑛
𝑛 + 1
< ⋯ 
Nenhuma dessas frações é maior que 1, logo 
𝑛
𝑛+1
< 1. Sendo assim, podemos concluir 
que 1 pertence a cota superior de A. 
Para II): 
Da definição de supremo, iremos considerar um 𝜀 > 0, e temos 𝑁 >
1
𝜀
− 1. 
𝑁 >
1
𝜀
− 1 ⟹ 𝑁 >
1 − 𝜀
𝜀
⟹
1
𝑁
<
1 − 𝜀
𝜀
⟹
1
𝑁
<
1 − 1 + 𝜀
1 − 𝜀
 
⟹
1
𝑁
<
1 − (1 − 𝜀)
1 − 𝜀
⟹
1
𝑁
<
1
1 − 𝜀
.
(1 − 𝑒)
1 − 𝜀
⟹
1
𝑁
<
1
1 − 𝜀
− 1 
⟹
1
𝑁
+ 1 <
1
1 − 𝜀
⟹
1 + 𝑁
𝑁
<
1
1 − 𝜀
⟹
𝑁
𝑁 + 1
> 1 − 𝜀 
⟹ 1 − 𝜀 <
𝑁
𝑁 + 1
 
Portanto, para qualquer 𝑛 ≥ 𝑁 temos 1 − 𝜀 <
𝑛
𝑛+1
, logo 𝑆 = 1. 
2) Prove que todo conjunto limitado inferiormente tem ínfimo. 
Como ℝ é completo temos que todo subconjunto não vazio, limitado superiormente, 𝑦 ⊂
ℝ, possui supremo 𝑏 = 𝑠𝑢𝑝𝑌, logo: 
i) ∀𝑦 ∈ 𝑌, tem-se que 𝑦 ≤ 𝑏; 
ii) Se 𝑐 ∈ ℝ é tal que 𝑦 ≤ 𝑐 ∀𝑦 𝑒 𝑌 então 𝑏 ≤ 𝑐. 
Agora consideremos o conjunto 𝑥 = {−𝑦, 𝑦 ∈ 𝑌}, então: 
i) ∀𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑋, tem-se −𝑥 ≤ −𝑏, ou seja 𝑦 ≤ −𝑏; 
ii) Se −𝑐 ∈ ℝ é tal que 𝑥 = −𝑦 ≥ −𝑐 para todo 𝑥 ∈ 𝑋, então −𝑏 ≥ −𝑐. 
Portanto 𝑎 = −𝑏 é o ínfimo de X. 
3) Prove que não existe um número racional 𝒓 tal que 𝒓𝟐 = 𝟐. 
Suponhamos, por absurdo, que se tenha (
𝑝
𝑞
)
2
= 2, ou seja 𝑝2 = 2𝑞2, com 𝑝 e 𝑞 inteiros. 
O fator 2 aparece um número par de vezes na decomposição de 𝑝2 e de 𝑞2 em fatores 
primos. Logo 𝑝2 contém um número par de fatores iguais a 2 enquanto 2𝑞2 contém um 
número ímpar desses fatores. Assim sendo, não se pode ter 𝑝2 = 2𝑞2. Logo, não existe 
um número 𝑟 racional tal que 𝑟2 = 2. 
4) Prove que não existe um número racional 𝒓 tal que 𝒓𝟐 = 𝒑, onde 𝒑 é um número 
primo qualquer. 
Dado 𝑟 ∈ ℚ, assim 𝑟 =
𝑚
𝑛
, supondo que 𝑚 e 𝑛 são primos entre si, temos: 
𝑟2 = 𝑝 ⟹
𝑚2
𝑛2
= 𝑝 ⟹ 𝑚2 = 𝑝𝑛2 
Assim, 𝑚2 é múltiplo de 𝑝. Dessa maneira: 
𝑚𝑚 = 𝑝𝑛𝑛 ⟹ 𝑚. 𝑚 = (𝑝𝑛)𝑛 
Logo 𝑚 = 𝑝𝑛 ou 𝑚 = 𝑛. Se 𝑚 = 𝑛, então contraria a condição de 𝑚 e 𝑛 serem primos 
entre si, então 𝑚 = 𝑝𝑛. Portanto: 
𝑚2 = 𝑝𝑛2 ⟹ (𝑝𝑛)2 = 𝑝𝑛2 ⟹ 𝑝2𝑛2 = 𝑝𝑛2 ⟹ 𝑝 = 1 
Concluímos que 𝑝 = 1, porém o número 1 não é primo. 
5) Prove que o conjunto 𝑬 = {𝒆 ∈ ℚ; 𝒆 > 𝟎, 𝒆𝟐 > 𝟐} não tem mínimo. 
De fato, dado qualquer 𝑒 ∈ 𝐸, temos 𝑒 > 0 e 𝑒2 > 2. Logo poderemos obter um número 
racional 𝑟 tal que 0 < 𝑟 <
𝑒2−2
2𝑒
. Então 2𝑟𝑒 < 𝑒2 − 2 e daí (𝑒 − 𝑟)2 = 𝑒2 − 2𝑟𝑒 + 𝑟2 >
𝑒2 − 2𝑟𝑒 > 2. Note-se também que 𝑟 <
𝑒
2
−
1
𝑒
, donde 𝑟 < 𝑒, isto é 𝑒 − 𝑟 é positivo. 
Assim, dado 𝑒 ∈ 𝐸 arbitrário, podemos obter 𝑒 − 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑒 − 𝑟 < 𝑒. 
6) Prove que 𝒂 > 𝟏 ⟹ 𝒂𝒏 > 𝒂 para todo inteiro 𝒏 > 𝟏. 
Utilizando indução matemática: 
i) Para 𝑛 = 2, temos: 𝑎 > 1 
𝑎. 𝑎 > 1. 𝑎 ⟹ 𝑎2 > 𝑎 
ii) Hipótese de indução: 𝑎𝑟 > 𝑎 
iii) Para 𝑛 + 1: 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑎 > 𝑎. 𝑎 … (hipótese de indução) 
𝑎𝑛+1 > 𝑎2 > 𝑎 … (item i) 
𝑎𝑛+1 > 𝑎 
Portanto, 𝑎𝑛 > 𝑎, para todo inteiro 𝑛 > 1, se 𝑎 > 1. 
7) Prove que 𝟎 < 𝒂 < 𝟏 ⟹ 𝒂𝒏 < 𝒂 para todo inteiro 𝒏 > 𝟏. 
i) Para 𝑛 = 2, temos: 𝑎 > 1 
⟹ 𝑎. 𝑎 > 1. 𝑎 (pois 𝑎 > 0) 
ii) Hipótese de indução: 𝑎𝑟 < 𝑎 
iii) Para 𝑛 + 1: 
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛. 𝑎 < 𝑎. 𝑎 < 𝑎 
⟹ 𝑎𝑛+1 < 𝑎 
Portanto 𝑎𝑛 < 𝑎, para todo inteiro 𝑛 > 1, se 0 < 𝑎 < 1. 
9) Sejam A e B conjuntos numéricos não vazios. Prove que: 
𝑨 ⊂ 𝑩 ⇒ 𝒊𝒏𝒇𝑨 ≥ 𝒊𝒏𝒇𝑩 𝒆 𝒔𝒖𝒑𝑨 ≤ 𝒔𝒖𝒑𝑩 
Pela definição de ínfimo, ∀𝜀 > 0, 𝐴 ∩ [𝑖𝑛𝑓𝐴; 𝑖𝑛𝑓𝐴 + 𝜀[≠ ∅. 
Suponha (por contradição) que 𝑖𝑛𝑓𝐴 < 𝑖𝑛𝑓𝐵, dado 𝜀 < 𝑖𝑛𝑓𝐵 − 𝑖𝑛𝑓𝐴 ⟹ ∃ 𝜀 >
0; 𝑖𝑛𝑓𝐴 + 𝜀 < 𝑖𝑛𝑓𝐵 como 𝐴 ∩ [𝑖𝑛𝑓𝐴; 𝑖𝑛𝑓𝐴 + 𝜀[≠ ∅ ⟹ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴; 𝑠𝑢𝑝𝐵 < 𝑥 e 𝑥 ∈
[𝑖𝑛𝑓𝐴; 𝑖𝑛𝑓𝐴 + 𝜀[, mas isso é um absurdo, pois 𝐴 ⊂ 𝐵, logo 𝐴 − 𝐵 = ∅. Portanto, 𝑖𝑛𝑓𝐴 ≥
𝑖𝑛𝑓𝐵. 
Pela definição de supremo, ∀𝜀 > 0, 𝐴 ∩ [𝑠𝑢𝑝𝐴 − 𝜀; 𝑠𝑢𝑝𝐴[≠ ∅. 
Suponha (por contradição) que 𝑠𝑢𝑝𝐵 < 𝑠𝑢𝑝𝐴, dado 𝜀 < 𝑠𝑢𝑝𝐴 − 𝑠𝑢𝑝𝐵 ⟹ ∃ 𝜀 >
0; 𝑠𝑢𝑝𝐵 < 𝑠𝑢𝑝𝐴 − 𝜀 como 𝐴 ∩ [𝑠𝑢𝑝𝐴 − 𝜀; 𝑠𝑢𝑝𝐴[≠ ∅ ⟹ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴; 𝑠𝑢𝑝𝐵 < 𝑥 e 𝑥 ∈
[𝑠𝑢𝑝𝐴 − 𝜀; 𝑠𝑢𝑝𝐴[, mas isso é um absurdo, pois 𝐴 ⊂ 𝐵, logo 𝐴 − 𝐵 = ∅. Portanto 
𝑠𝑢𝑝𝐴 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝐵. 
10) Sejam 𝑨 e 𝑩 dois conjuntos numéricos não vazios, tais que 𝒂 ≤ 𝒃 para todo 𝒂 ∈
𝑨 e todo 𝒃 ∈ 𝑩. Prove que 𝒔𝒖𝒑𝑨 ≤ 𝒊𝒏𝒇𝑩. Prove ainda que 𝒔𝒖𝒑𝑨 = 𝒊𝒏𝒇𝑩 se, e 
somente se, qualquer que seja ε > 0, existem 𝒂 ∈ 𝑨 e 𝒃 ∈ 𝑩 tais que 𝒃 − 𝒂 < 𝜺. 
Suponha (por contradição) que 𝑖𝑛𝑓𝐵 < 𝑠𝑢𝑝𝐴. Tome ε =
𝑠𝑢𝑝𝐴−𝑖𝑛𝑓𝐵
2
⟹ 𝑖𝑛𝑓𝐵 + ε =
supA − ε. Pela definição de ínfimo e supremo, temos que: 𝐵 ∩]𝑖𝑛𝑓𝐵; 𝑖𝑛𝑓𝐵 + ε[≠ ∅ e 
𝐴 ∩]𝑠𝑢𝑝𝐴 − ε; supA[≠ ∅ ⟹ ∃ b ∈ B; b < infB + ε e ∃ 𝑎 ∈ 𝐴; 𝑠𝑢𝑝𝐴 − ε < a ⟹ b <
infB + ε = supA − ε < a, que é um absurdo, portanto 𝑠𝑢𝑝𝐴 ≤ 𝑖𝑛𝑓𝐵. 
Agora vamos provar que 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓𝐵 se, e somente se, qualquer que seja ε > 0, existem 
𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵 tais que 𝑏 − 𝑎 < 𝜀. 
Suponhamos primeiro que 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓𝐵. Tome 𝜀 > 0, pela definição de supremo e 
ínfimo temos 𝐵 ∩]𝑖𝑛𝑓𝐵; 𝑖𝑛𝑓𝐵 +
𝜀
2
[≠ ∅ e 𝐴 ∩]𝑠𝑢𝑝𝐴 −
𝜀
2
; 𝑠𝑢𝑝𝐴[≠ ∅ ⟹ ∃ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈
𝐵; 𝑠𝑢𝑝𝐴 −
𝜀
2
< 𝑎 < 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓𝐵 < 𝑏 < 𝑖𝑛𝑓𝐵 +
𝜀
2
⟹ 𝑎 − 𝑏 < 𝜀. 
Temos que 𝑎 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝐴, ∀𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑎 ≤ 𝑏, ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, logo 𝑠𝑢𝑝𝐴 ≤ 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝐵. Mas 
𝑖𝑛𝑓𝐵 ≤ 𝑏, ∀𝑏 ∈ 𝐵 ⟹ 𝑠𝑢𝑝𝐴 ≤ 𝑖𝑛𝑓𝐵. 
Suponha que 𝑠𝑢𝑝𝐴 ≠ 𝑖𝑛𝑓𝐵, como 𝑠𝑢𝑝𝐴 < 𝑖𝑛𝑓𝐵. Dado 𝛿 =
𝑖𝑛𝑓𝐵−𝑠𝑢𝑝𝐴
2
> 0, podemos 
obter 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑏 ∈ 𝐵 tais que 𝑎 − 𝑏 < 𝛿 ⟹ 𝑏 − 𝑎 <
𝑖𝑛𝑓𝐵−𝑠𝑢𝑝𝐴
2
, como 𝑎 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝐴 <
𝑖𝑛𝑓𝐵 ≤ 𝑏, ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵, mas isso é um absurdo, pois deveria ocorrer que 𝑖𝑛𝑓𝐵 −
𝑠𝑢𝑝𝐴 < 𝑏 − 𝑎. 
Portanto, 𝑠𝑢𝑝𝐴 = 𝑖𝑛𝑓𝐵. 
11) Sejam A e B dois conjuntos numéricos não vazios, limitados inferiormente, e r 
um número 
tal que r ~ a + b para todo a E A e todo s « B. Prove que r ~ inf A + inf B. Enuncie e 
demonstre resultado análogo para os supremos. 
Como r :S a + b para todo a E A (e b fixo), devemos ter r:S inf A + b (se não ... ); e como 
Isto é verdade para todo b E B, devemos ter também r :S inf A + inf B. 
14) Mostre que o conjunto ℕ dos números inteiros positivos não tem cota superior. 
Suponha por absurdo, que ℕ é limitado superiormente. Então existe 𝛼 = 𝑠𝑢𝑝𝑁. 
Temos que 𝛼 − 1 < 𝛼. Então, existe 𝑛 ∈ ℕ tal que 𝛼 − 1 < 𝑛 < 𝛼. Assim, 𝛼 < 1 + 𝑛 o que 
é contradição. 
Logo, ℕ não tem cota superior. 
15) Mostre que dado um real positivo 𝒂, existe um inteiro positivo 𝒏 tal que 
𝟏
𝒏
< 𝒂. 
Como 𝑥 > 0, pela propriedade de Arquimedes, existe um número natural 𝑛 tal que 𝑛𝑥 >
1 e, portanto, 
1
𝑛
< 𝑥. É importante observar que como 𝑛𝑥 > 1, logo 𝑛 ≠ 0. 
16) Mostre que o corpo dos reais é arquimediano, isto é, dados dois reais 𝒂, 𝒃 com 
𝒂 < 𝒃, existe um inteiro 𝒏 tal que 𝒏𝒂 > 𝒃. 
Suponhamos o contrário. Seja 𝐴 = {𝑛𝑎 ∈ ℝ; 𝑛𝑎 ≤ 𝑏, 𝑛 ∈ N}. Note que 𝐴 ≠ ∅, visto que 
𝑎 ∈ 𝐴. Além disso, 𝐴 é limitado superiormente. Logo existe S = 𝑠𝑢𝑝𝐴. 
Como 𝑎 > 0, temos que 𝑎 + 𝑆 > 𝑆 ou 𝑆 − 𝑎 < 𝑆. Dessa maneira, podemos dizer que 𝑆 − 
𝑎 não é cota superior de 𝐴. Segue-se que existe 𝐾 ∈ ℕ tal que 𝑆 − 𝑎 < 𝐾𝑎. Então: 
𝑆 < (𝐾 + 1)𝑎 
O que é uma contradição. Logo, o conjunto ℝ é arquimediano. 
18) Mostre que ℚ é denso em ℝ.Em outras palavras, dados dois números reais 
quaisquer 𝒙 < 𝒚, existem racionais 𝒓 tais que 𝒙 < 𝒓 < 𝒚. 
De fato, sendo 𝑥 < 𝑦, então: 
𝑥 + 𝑥 < 𝑥 + 𝑦 < 𝑦 + 𝑦 ⟹ (1 + 1)𝑎 < 𝑎 + 𝑏 < (1 + 1)𝑏 ⟹ 𝑎 < 
𝑎 + 𝑏
1 + 1
< 𝑏. 
19) Mostre que √𝟐 é irracional. 
Existe um número positivo cujo quadrado é 2, pois 𝑎2 = 𝑏2 = 2 ⟹ 0 = 𝑎2 − 𝑏2 =
(𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 0 ou 𝑎 − 𝑏 = 0. No primeiro caso, 𝑎 = −𝑏 (logo não 
podem ser 𝑎 e 𝑏 ambos positivos) e no segundo 𝑎 = 𝑏. Pelo Lema de Pitágoras, √2 não 
é um número racional. 
 
17-Uma sequência na é limitada inferiormente se existir um número real x tal que, 
para todo número natural n, temos na ≥ r. 
Todo intervalo [x, r] está contido num intervalo maior da forma [−c, c] com c > 0, basta 
fazer c = max {|x| , |r|}. 
Uma vez que na ∈ [−c, c] é o mesmo que |na| ≤ c, a sequencia (na) é limitada se, e 
somente se, existe um numero real c > 0 tal que |na| ≤ c para todo n ∈ IN, e portanto (na) 
é limitada se, e somente se, (|na|) é limitada.