Geo Jeca parte 2

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I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF
k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b c
d e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a c
d f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
Jeca 84
I) Semelhança de triângulos.
Definição.
 Dois triângulos são semelhantes se 
têm os ângulos dois a dois congruentes 
e os lados correspondentes dois a dois 
proporcionais.
Definição mais "popular".
 Dois triângulos são semelhantes se 
um deles é a redução ou a ampliação 
do outro.
A
BC
D
EF
DABC DDEF ~ >
A D
B E
C F 
 e
AB AC BC
DE DF EF
k= =
K - razão da semelhança
ou
constante de proporcionalidade.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade se mantém constante para quaisquer 
dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios 
das circunferências circunscritas, perímetros, etc.
II) Casos de semelhança. (Como reconhecer a semelhança de triângulos)
1) Caso AA (importantíssimo). 3) Caso LAL.2) Caso LLL.
 Dois triângulos são semelhantes 
se dois ângulos (AA) de um deles 
são congruentes a dois ângulos do 
outro.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm um ângulo congruente e os 
dois lados de um triângulo adjacen-
tes ao ângulo são proporcionais 
aos dois lados adjacentes ao ângu-
lo do outro triângulo.
 Dois triângulos são semelhantes 
se têm os três lados dois a dois or-
denadamente proporcionais.
a b
a b
a b
c
d e
f
a b c
d e f
k= = =
a
a
a
c
d
f
a c
d f
k= =
III) Como aplicar a semelhança de triângulos.
a) Reconhecer a semelhança através dos "casos de semelhança".
b) Desenhar os dois triângulos separados.
c) Chamar de a, b e g os três ângulos de cada triângulo.
d) Escolher um triângulo para ser o numerador da proporção.
e) Montar uma proporção entre segmentos correspondentes, mantendo sempre o mesmo triângulo no 
numerador da proporção.
Exercício 01 - Utilizando a técnica de aplicação da semelhança de triângulos acima descrita, determine o 
valor de x na figura abaixo.
A
B C
D
12
4
x
=
a
a
semelhante
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 08
Semelhança de triângulos.
Jeca 84
A
B Cx
a
16
ab q b
q 4
x
Semelhança de triângulos
x
4
16
x=
2
x = 64
Portanto x = 8 (resp)
A
B C
D E
A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A
B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE.
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
Jeca 85
A
B C
D E
02) Na figura abaixo o segmento DE é paralelo à 
base BC, AB = 9 cm, AC = 13 cm, BC = 12 cm e a me-
dida de DE é 8 cm. Determine as medidas dos seg-
mentos AD e AE. A
B
C
D
E
03) Na figura abaixo, AB = 7 cm, BC = 5 cm, ED = 6 cm 
e BE mede 10 cm e é paralelo a CD. Determine a 
medida dos segmentos AE e CD.
A
B C
D
E
04) Na figura, AB = 5 cm, BE = 3 cm e AE = 7 cm. De-
termine a medida dos segmentos AC e CD, sabendo 
que BE é paralelo a CD e que o perímetro do triângu-
lo ACD mede 45 cm.
A B
CD
E
05) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. As diagonais AC e BD 
interceptam-se no ponto E. Determine a distância 
entre o ponto E e a base CD.
d
A B
CD
06) Na figura, o trapézio ABCD tem bases AB = 8 cm, 
CD = 18 cm e altura 12 cm. Sendo E o ponto de inter-
secção dos prolongamentos dos lados AD e BC, de-
termine a altura relativa à base AB do triângulo ABE.
A
B C
D
E
07) Na figura, AB // DE, AB = 8 cm, DE = 4 cm e BD 
mede 14 cm. Determine a medida do segmento CD.
Jeca 85
8
12
x y
9
13
Semelhança de triângulos
x
9
y
13
8
12
==
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 13 . 8 / 12 = 26/3 cm (resp)
7
5
6
x
10
y
a
b
q
b
a
Semelhança de triângulos.
7
12
=
x
x + 6
10
y=
12x = 7x + 42
5x = 42
x = 42/5 cm 
7y = 120
y = 120/7 cm
Respostas
5
3
7
Per = 45 cm ACD
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
Semelhança de triângulos.
7
AD
3
CD
5
AC
=
PerABE
PerACD
7 + 5 + 3
45
15
45
1
3
= = = = =
5
AC
=
1
3
AC = 15 cm
3
CD
=
1
3
CD = 9 cm
Respostas
8 cm
18
12
12 - d
D ABE ~ D CDE
8
18
=
12 - d
d
8d = 216 - 18d
26d = 216
d = 108/13 cm Resposta
8
18
12
d
8
=
18
d
d + 12
18d = 8d + 96
d = 96/10 = 48/5 = 9,6 cm Resposta
8
4
x
14 - x
b
a
b
a
x
14 - x
=
4
8
8x = 56 - 4x
12x = 56
x = 56/12 = 14/3 cm Resposta
P
A
B
C
x
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triânguloABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h
 =
 6
 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
P
A
B
C
x
y
z50º
40º
45º
13) (ESPM) Um mastro vertical é mantido nessa posi-
ção por 3 cabos esticados que partem da extremidade 
P e são fixados no chão nos pontos A, B e C, confor-
me a figura abaixo. Sendo x, y e z as distâncias 
respectivas desses pontos ao pé do mastro, determine 
o valor de z em função de x e y.
A
B C
DE
F
08) Na figura, AB = 8, BC = 12 e BFDE é um losango 
inscrito no triângulo ABC. Determine a medida do lado 
desse losango.
A
B C
D E
h
10) Na figura abaixo, o triângulo ADE tem base DE = x 
e altura h. Sabendo-se que o triângulo ABC tem base 
BC = y e as bases BC e DE são paralelas, determine a 
medida da altura H do trapézio BCED em função de x, 
y e h.
H
x
y
A
B CD E
FG
h
 =
 6
 c
m
11) Os quadrados representados na figura abaixo têm 
lados 9 cm, 6 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
9 cm 6 cm x
12) Na figura abaixo, AB = 8 cm, BD = 20 cm e 
DE = 5 cm. Determine a medida de BC.
A
B C D
E
Jeca 86
8
12
x
x
x
x 12 - x
DABC ~ DCDF
12 - x
12
=
x
8
12x = 96 - 8x
20x = 96
x = 96/20 = 4,8 cm (resp)
Semelhança de triângulos
base
Base
altura
Altura
=
x
y
h
h + H
=
xh + xH = yh
xH = yh - xh
H = (yh - xh) / x (resp)
ou H = h(y - x) / x (resp)
a
b a
b
8
x 20 - x
5
Semelhança de triângulos.
x
5
8
20 - x
= >
2
x - 20x + 40 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 10 + 2 15 cm ou x = 10 - 2 15 cm (resp)
45º
50º
40º
D
DPDC é isósceles
DC = PD = z
DADP ~ DBDP
z
x
z
z
y=
z = x . y (resp)
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de altura 6 
cm e cuja base BC mede 12 cm. DEFG é um qua-
drado com o lado DE sobre o segmento BC. Deter-
mine a medida do lado desse quadrado.
(GeoJeca)
x
x
12 cm
6 - x
Semelhança de triângulos.
x
12
6 - x
6
=
6x = 72 - 12x
18x = 72
x = 4 cm Resposta
3
6
x6 - x
Semelhança de triângulos.
x
6
=
6 - x
3
3x = 36 - 6x
9x = 36
x = 4 cm
Per = 4.x = 16 cm Resposta
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, 
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l 
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
B
P
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
l
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )
2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centro O. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
IV) Potência de um ponto em relação a uma circunferência.
 Dada uma circunferência l e um ponto P, P não pertencente a l, 
se A e B são os pontos de intersecção entre l e a reta secante a l 
por P, define-se potência de P em relação a l o produto PA x PB.
Propriedade.
 Dados l e P, a potência de P em relação a l é constante, 
qualquer que seja a reta AB secante a l por P.
A
B
P
l
Potência = PA x PB
1º caso: O ponto P é interior a l. 2º caso: O ponto P é exterior a l.
A
BP
l
C
D
E
F
G
H
PA x PB = PC x PD = PE x PF = PG x PH = cte
O
P
l
O
T
A
B
C
D
T é ponto de tangência
PA x PB = PC x PD = PT = cte( )
2
A
B
C
D
P
O
14) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, PB = 8 
e que PD = 12, determine a medida do segmento PC.
A
B
C
P
O
15) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência l. Sabendo que PA = 4, AB = 12, de-
termine a medida do segmento PC.
l
l
A B
C
D
P
O l
16) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D perten-
cem à circunferência l. Sabendo que PA = 6, AB = 8 
e CD = 5, determine a medida do segmento PD.
A
B
P O
l
17) Na figura abaixo, os pontos A e B pertencem à 
circunferência de centro O. Determine a medida do 
raio da circunferência sabendo que PA = 6, PB = 10 e 
PO = 4.
Jeca 87
Potência de ponto
PA . PC = PB . PD
6 . x = 8 . 12
x = 96/6 = 16 cm
 (resp)
6
8
12
x
C
D
6
10
4
R
PC = R - 4
PD = R + 4
Potência
PA x PB = PC x PD
6 x 10 = (R - 4).(R + 4)
2 2
R - 4 = 60
2
R = 76
R = 2 19 uc (resp)
Potência de ponto
2
PA . PB = PC
2
4.(4 + 12) = PC
2
PC = 64
PC = 8 (Resp.)
6 8
5
x
Potência de ponto
PA x PB = PC x PD
6 . 14 = x.(x + 5)
2
x + 5x - 84 = 0
Raízes
x = -12 (não convém)
x = 7 cm Resposta
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
D
E
18) Na figura, AB = 5 cm, BC = 12 cm e DE = 3 cm. 
Determine a medida do segmento EC.
20) Na figura abaixo, os segmentos AB, AC e BC 
medem, respectivamente, 8 cm, 10 cm e 7 cm e AC é 
a bissetriz do ângulo BCD. Determine a medida do 
segmento CD.
a
a
A
B
C
D
21) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o 
lado BC foi prolongado, como mostra a figura, até o 
ponto P, formando-se o triângulo PAB, semelhante ao 
triângulo PCA. Determine o comprimento do segmen-
to PC.
A B
C
P
19) (UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros pa-
ralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramen-
te abalados. Os moradores se reuniram e decidiram 
escorar os muros utilizando duas barras metálicas, co-
mo mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm 
alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do 
nível do chão as duas barras se interceptam ? 
Despreze as espessuras das barras.
h
3 m
9 m
Jeca 88
A
B C
E
D
C
5
12
3
y
x
a
b
ba
2 2 2
Pitágorasy = 5 + 12
 y = 13 cm
Semelhança de triângulos
x = 39/5 cm (resp)
x
13
=
3
5
P
A B
P
A
Cx + 7
x
y y
6
8
a
a
b
b q
q
Semelhança de triângulos
x + 7
y
y
x
8
6
= =
y 8x
6
= =
4x
3
8y = 6(x + 7)
8.(4x/3) = 6x + 42
32x = 18x + 126
x = 126/14 = 9 uc (resp)
A
B C
D
E
x y
DABE ~ DCDE DBFE ~ DBCD
39
= yx
F
x
x + y
h
3
== x + y
12
x + y
h
3x
=x + y =
12x
9
=
12x
9h
3x
h = 9/4 = 2,25 m (resp)
b b
q
q
8
10
7 x
Semelhança de triângulos
x
10
=
10
7
x = 100/7 cm (resp)
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
O
22) (Ibmec) Na figura, AB é o diâmetro da circunferên-
cia de raio 10 cm e a reta PA é tangente a essa 
circunferência. Determine a medida do segmento BQ, 
sabendo que o segmento PQ mede 3 cm.
A t
B
C
D E
24) (ITA-SP) Na figura, a reta t é tangente à 
circunferência no ponto A e paralela ao segmento 
DE. Se AD = 6, AE = 5 e CE = 7, a medida do 
segmento BD será:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
25) (ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunfe-
rência. Os segmentos EA e ED interceptam essa 
circunferência nos pontos B e A, e, C e D respectiva-
mente. A corda AF da circunferência intercepta o 
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, 
GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
23) (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo ABC é 
retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o 
ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao 
catero BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC, de tal 
forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, 
então a área do paralelogramo DECF vale
a)
b)
c)
d)
e)
63
25
12
5
58
25
56
25
11
5
A
B C
D
E
F
Jeca 89
A B
P
Q
A B
x
x + 3
2 10
2 10
a
b
ba
Semelhança de triângulos
x + 3
2 10
=
x
2 10
2
x + 3x - 40 = 0
x = -8 ou x = 5
x = 5 cm (resp)
6 5
7
a
b q
q
b
b
P
Os ângulos
PAB , ADE e BCA são
congruentes e iguais a b.
PAB e ADE são colaterais internos
PAB = b é ângulo de segmento
BCA = b é ângulo inscrito
Semelhança de triângulos.
60 = 6x + 36
6x = 24
x = 4 (resp)
6
12
=
5
x + 6
x
A
D
B
C
E
F
G
5
7
4
3
6
x
y
Potência de ponto 
EB.EA = EC.ED
5.(5 + 7) = 4.(4 + y + 3)
y = 8
Potência de ponto
AG.GF = DG.GC
6 . x = 3 . 8
x = 4 Resposta d
4
3
5
3/2h
b3 - b
Semelhança de triângulos
h
4
3 - b 3/2
5
=
3
=
h = 12/10
b = 21/10
S = b . h 12
10
21
= .
10
=
252
100
S 63
25
= Resposta a
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6
 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4
 c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
01) Na figura abaixo, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Provar que os triângulos ABC e ADE são 
semelhantes e calcular as medidas dos segmentos AD e AE.
A
B C
D E
12 cm
8 cm
x y
9 
cm
11 cm
A
B
C D
E
02) Na figura abaixo, AB = 8 cm, DE = 5 cm, BC = 10 cm. Provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e 
calcular as medidas dos segmentos AC, CD e CE.
A B
CD
E
8 cm
14 cm
d
6
 c
m
03) Na figura abaixo, o ponto E é o ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD. Sendo AB = 8 cm, 
CD = 14 cm e tendo o trapézio 6 cm de altura, provar que os triângulos ABE e CDE são semelhantes e 
determinar a distância d entre o ponto E e a base maior CD.
3 cm
5 cm
x
4
 c
m
04) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Semelhança de triângulos e
Potência de ponto.
Exercícios complementares da aula 08.
Jeca 90
Semelhança de triângulos
x = 9 . 8 / 12 = 6 cm
y = 11 . 8 / 9 = 88 / 9 cm (resp)
x
9
y
11
8
12
= =
D AEB ~ D CDE
6 - d b
B
h
H
=
=8
14
6 - d
d
d = 42/11 cm (Resp.)
a
b
b
a
8
5
10
x
y
z
Pitágoras
2 2 2
x = 8 + 10
2
x = 64 + 100 = 164
x = 2 41 cm
 Os triângulos ABC e DEC são semelhantes pelo
caso AA.
8
5
=
10
y
x
z=
8.y = 50
y = 50/8 = 25/4 cm
8.z = 5.x = 5 . 2 41
z = 5 41 /4 cm
Semelhança de triângulos.
3
5
=
x
x + 4
5x = 3x + 12
2x = 12
x = 6 cm Resposta
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3
 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h
 =
 8
 c
m
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como função de x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados AB = 4 cm e AD = 3 cm. Provar que os triângulos ABC, ABE 
e BCE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos AE e BE.
A B
CD
E
3
 c
m
4 cm
A
B C
D
06) Na figura abaixo, AD = 10 cm e CD = 4 cm. Provar que os triângulos ABC e BCD são semelhantes e 
determinar a medida do segmento BC. 
A B
CD
E
P
07) Na figura abaixo, os pontos A, B, D e E pertencem à circunferência de centro C. Provar que os triângulos 
ABP e DEP são semelhantes e que vale a relação AP x PE = DP x PB.
a
a
08) Na figura abaixo, ABC é um triângulo de base BC = 16 cm e altura 8 cm. Provar que os triângulos ABC e AGF 
são semelhantes e determinar a área do quadrado DEFG inscrito no triângulo ABC.
A
B CD E
FG
h
 =
 8
 c
m
A
E
x
09) Na figura abaixo, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar uma expressão que 
forneça t como funçãode x , y e z.
B C Dy z
t
Jeca 91
a b
b
b a
a
4 cm
2 2 2
Pitágoras (AC) = 3 + 4 = 25
 AC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
DADC ~ DABE
AD
BE
=
AC
AB
DC
AE
=
= =
3
BE
5
4
4
AE
BE = 3 . 4 / 5 = 12 / 5 cm
AE = 4 . 4 / 5 = 16 / 5 cm (resp)
A
B C
D
B C
14
x
4
x
a
a
b
c
c
b 4
x
x
14
=
2
x = 4 . 14
x = 2 14 cm (Resp.)
C é um vértice comum aos
dois triângulos.
Os triângulos são semelhantes
pelo caso AA.
a q
q
a
b
b
Os triângulos ABP e DEP são semelhantes pelo caso AA.
AP
DP
=
PB
PE
Portanto AP x PE = DP x PB (CQD)
a b
q
a b
x
x
8 - x
Os triângulos AGF e ABC são semelhantes pelo caso AA.
x
16
=
8 - x
8
16 cm
128 - 16x = 8x
24x = 128
x = 128/24 = 16/3 cm
2 2 2
S = x = (16/3) = (256/9) cm Resposta
a
9
0
 - a
90 - aa
Os triângulos CDE e ABC são semelhantes pelo caso AA.
t
y =
z
x
t =
y . z
x
Resposta
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
A
B C
D
E
10) Na figura abaixo, AB = 12 cm, BC = 8 cm, AC = 9 cm e DE = 5 cm. Sabendo-se que os ângulos ACB e ADE são 
congruentes, provar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes e determinar as medidas dos segmentos 
AE e CE.
A
B CD
E
11) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo cujos catetos AB e AC medem respectivamente 3 cm e 4 cm. 
Sendo AE igual a 1 cm, provar que os triângulos ABC e CDE são semelhantes e determinar a medida do 
segmento DE.
12) Sabendo-se que BE = 5 cm e CF = 4 cm são duas alturas de um triângulo ABC de lado AB = 6 cm, 
determinar a medida do lado AC desse triângulo.
13) O triângulo ABC da figura abaixo é eqüilátero de lado 10 cm e M é o ponto médio do lado AB. Sendo CD = 6 
cm, determinar a medida do segmento CN.
A
B C
D
N
M
14) Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um 
diâmetro desta circunferência e AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, 
AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcule a altura AD.
h
A
B C
D
E
O
Jeca 92
A
B C
A
D
E
a
b
a
q
a
b
qb
q
q
b
12
8
9
5
AB
AE
=
AC
AD
BC
DE
=
= =
12
AE
9
AD
8
5
AE = 12 . 5 / 8 = 15 / 2 cm
AD = 9 . 5 / 8 = 45 / 8 cm (resp)
P
5
5
5 5 6
11
60º
120º60º
120º
Seja P ponto médio de BC.
Então MP // AC 
MP = AC/2 = 10/2 = 5 cm
DBMP é equilátero..
Então os ângulos MPD e NCD são congruentes.
Semelhança de triângulos DMPD ~ DNCD
NC = 30/11 cm (resp)
5 NC
5
6
11
=
3
4
3
x
a b
a
b
 Os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
Pitágoras
2 2 2
y = 3 + 4 = 25
y = 5
y
Semelhança de triângulos
x
3
=
3
5
x = 9/5 cm Resposta
A
B C
E
F
4
5
6
 c
m
C
F
4
B
E
5
A
a
b
a
b
6
 c
m
Semelhança de triângulos
x
x
6
4
5
=
x = 24/5 cm Resposta
a
a
b
b 10
30
6
Semelhança de triângulos.
 D ABD ~ D ACE
6
30
=
h
10
h = 2 cm Resposta
Observação - Os ângulos ABC e AEC são
congruentes pois são ângulos inscritos no 
mesmo arco AC.
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4
 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
15) Na figura abaixo, determinar o valor de x sabendo-se que os dois quadrados representados têm lados 5 cm 
e 8 cm.
12 cm
8 cm
8 cm
5 cm
x
x
xt y
16) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados t e y. Determinar a medida de x em função de t e 
de y.
17) Os quadrados representados na figura abaixo têm lados 12 cm, 8 cm e x cm. Determinar a medida do 
perímetro do menor quadrado.
A B
CD M
P
h
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo cujo lado BC mede 9 cm. Sendo M o ponto médio do lado CD, 
provar que os triângulos ABP e MCP são semelhantes e determinar a altura h do triângulo MCP.
A M N B
PQ
C
4
 c
m
19) No triângulo acutângulo ABC, a base AB mede 4 cm e a altura relativa a essa 
base também mede 4 cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem 
ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q, ao lado AC. Determinar o perímetro desse 
retângulo.
20) O trapézio ABCD abaixo tem base menor AB = 8 cm, base maior CD = 14 cm 
e altura igual a 6 cm. Sendo P a intersecção dos prolongamentos dos lados não 
paralelos do trapézio, determine a distância entre o ponto P e a base maior de 
ABCD. 
A B
CD
Jeca 93
5
8 - 5 = 3
Semelhança de triângulos.
x = 5 . 5 / 3 = 25 / 3 cm (resp)
5
3
5
5
x
=
y
y
t - y
y
x =
t - y
y
Semelhança de triângulos
2
y = x.(t - y)
2
x = y /(t - y) Resposta
4
8 - x x
x
8 
=
8
8 - x
4
Semelhança de triângulos
4x = 64 - 8x
12x = 64
x = 64/12 = 16/3 cm
Per = 2p = 4x = 64/3 cm Resposta
9
x x
a b
ab
9 - h
2xOs triângulos ABP e MCP são semelhantes pelo caso AA.
2x
x
=
9 - h
h
2h = 9 - h
3h = 9
h = 3 cm Resposta
4 cm
x
y
4 - xSemelhança de triângulos.
y
4
=
4 - x
4
x + y = 4
Per = 2p = x + y + x + y
Per = 4 + 4 = 8 cm Resposta
8
14
6
h
Semelhança de triângulos.
h
h + 6
=
8
14
14h = 8h + 48
6h = 48
h = 8 cm
d = h + 6
d = 8 + 6
d = 14 cm Resposta
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferência de centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2
 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
1
2
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm
11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6
 c
m
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
21) Considere as três circunferências da figura, de mesmo raio R, tangentes externamente. Calcular a medida da 
corda BC em função de R, sabendo que a reta r é tangente à circunferênciade centro O .3
A
B
C
O O O1 2 3
r
22) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x1
2
 c
m
14 cm
10 cm
15 cm
23) Na figura, ABCD é um retângulo tal que a base é o dobro da altura. Determine 
a medida do perímetro desse retângulo.
1
2
 c
m
16 cm
A B
CD
a
a
24) No triângulo ABC abaixo, sendo DE // BC, determine as medidas de AD e AE.
A
B C
D E
16 cm
5 cm
9 
cm
11 cm
25) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
x
6
 c
m
5 cm
7 cm
a
a
26) Na figura abaixo, sendo AB = 16 cm, AC = 9 cm, BC = 15 cm e DE = 7 cm, determinar AD e AE.
A
B C
D
E
x
x
Jeca 94
R R R R R
R
R
x
Semelhança de triângulos.
x = 3R / 5
2 2 2
Pitágoras R = y + (3R/5)
2 2 2 2 y = R - 9R /25= 16R /25
BC = 2y = 2 . 4R/5 = 8R/5 Resposta 
3R
5R
=
x
R
y
12
24
x
14
15
a
b
q
b q
a
Semelhança de triângulos
x
12
=
15
24
x = 12 . 15 / 24 = 180 / 24
x = 15/2 cm Resposta
h
2h
12 - h
Semelhança de triângulos
2h
16
=
12 - h
12
24h = 192 - 16h
40 h = 192
h = 192/40
Perímetro = 2p = 6h
2p = 6 . 192/40 = 144/5 cm Resposta
x y
Semelhança de triângulos
x
x + 9
y
=
y + 11
5
16
=
16x = 5x + 45
11x = 45
x = 45/11 cm
16y = 5y + 55
11y = 55
y = 55/11 = 5 cm cm
Respostas
5
6
6
 +
 x 12
a
a
b
b
q
q
Semelhança de triângulos
6 + x
5
=
12
6
36 + 6x = 60
6x = 24
x = 24/6 = 4
x = 4 cm Resposta
7
15
9
16
x
y
a b
q
q
a
b
Semelhança de triângulos
x
9
=
y
16
7
15
=
x = 9 . 7 / 15
x = 21 / 5 cm
y = 16 . 7 / 15
y = 112 / 15 cm
Respostas
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
27) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sabendo-se que AP = 4 cm, 
PC = 6 cm e PD = 8 cm, determine a medida do segmento BP e cite a propriedade utilizada na solução do 
exercício.
A
B
C
DP
O
A
B
C
D
M
O
28) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo M ponto médio do 
segmento BD, AM = 9 cm e CM = 4 cm, determine a medida do segmento BD e cite a propriedade utilizada na 
solução do exercício.
A
B C
D
P
O
29) Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem à circunferência de centro O. Sendo PD = 5 cm, AD = 9 cm 
e BC = 10 cm, determine a medida do segmento PC e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
C
B
P
D
30) Os pontos A e B pertencem à circunferência de centro C e raio 6 cm. A reta PD é tangente à circunferência 
no ponto D. Sendo PB = 5 cm, determine a medida de PD e cite a propriedade utilizada na solução do exercício.
A
B
C
D
E
F
31) Os pontos B, D, E e F pertencem à circunferência de centro C. Sendo AB = x, BD = y, AE = z e EF = t, 
determine t em função de x, y e z.
Jeca 95
Potência de ponto. 
PA x PC = PB x PD
4 . 6 = PB . 8
PB = 24 / 8 = 3 cm (resp)
4
6
8
Potência de ponto. 
AM x MC = BM x MD
9 . 4 = x . x
2x = 36
x = 6 cm
BD = 2.x = 12 cm Resposta
x
x
9
4
Potência de ponto. 
PA x PD = PB x PC
5 . (5 + 9) = x . (x + 10)
2x + 10x - 70 = 0
Raízes
x = - 95 - 5 (não convém)
x = ( 95 - 5) cm Resposta
5
9
10 x
Potência de ponto. 
2
(PD) = PA x PB
2
x = 17 . 5
x = 85 cm Resposta
6
x
5
6
x
y
z
t
Potência de ponto. 
AD x AB = AF x AE
x.(x + y) = z.(z + t)
2
x.(x + y) = z + z.t
2
x.(x + y) - z = z.t
2
t = [x.(x + y) - z ] / z Resposta
Respostas dos exercícios da Aula 08.
01) 8
02) 6 cm e (26 / 3) cm
03) (42 / 5) cm e (120 / 7) cm
04) 15 cm e 9 cm
05) (108 / 13) cm
06) (48 / 5) cm
07) (14 / 3) cm
08) 24 / 5
09) 4 cm
10 ) h(y - x) / x
11) 16 cm
12) (10 - 2 15 ) cm ou (10 + 2 15 ) cm
13) x . y
14) 16
15) 8
16) 7
17) 2 19
18) (39 / 5) cm
19) (9 / 4) m
20) (100 / 7) cm
21) 9
22) 5 cm
23) a 
24) c
25) d
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 96
Respostas dos exercícios complementares da Aula 08.
01) 6 cm e (22 / 3) cm
02) 2 41 cm, (25 / 4) cm e (5 41 / 4) cm
03) (42 / 11) cm
04) 6 cm
05) (16 / 5) cm e (12 / 5) cm
06) 2 14 cm
07) demonstração - Utilizando ângulos inscritos 
prova-se que os triângulos são semelhantes.
2
08) (256 / 9) cm
09) y . z / x
10) (15 / 2) cm e (3 / 2) cm
11) (9 / 5) cm
12) (24 / 5) cm
13) (30 / 11) cm
14) 2 cm
15) (25 / 3) cm
2
16) y / (t - y)
17) (64 / 3) cm
18) 3 cm
19) 8 cm
20) 14 cm
21) 8R / 5
22) (15 / 2) cm
23) (144 / 5) cm
24) (45 / 11) cm e 5 cm
25) 4 cm
26) (21 / 5) cm e (112 / 15) cm
27) 3 cm - potência de ponto.
28) 12 cm - potência de ponto.
29) ( 95 - 5) cm - potência de ponto.
30) 85 cm - potência de ponto.
2
31) [x(x + y) - z ] / z
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
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 Jeca
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Jeca 97
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 09
Relaçõesmétricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
I) Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema.
 Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à 
hipotenusa divide o triângulo original em dois 
triângulos menores, que são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo original.
A
B CH
b
c
a
m n
h
2 2 2
c = a . m b = a . n h = m . n a . h = b . c
II) Teorema de PItágoras.
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
A
B C
bc
a
2 2 2
a = b + c
A
B CH
III) Exercícios.
01) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AB = 5 cm e AC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, BH, HC 
e AH.
A
B CH
02) Na figura abaixo, sabendo-se 
que BH = 3 cm e HC = 9 cm, deter-
mine as medidas de BC, AC, AB e 
AH.
A
B CH
03) Na figura abaixo, sabendo-se 
que AH = 3 cm e AC = 5 cm, deter-
mine as medidas de HC, HB, AB 
e BC.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 09
Relações métricas no triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Jeca 98
5 9
m n
h
a
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 9 + 5 = 81 + 25 = 106
a = BC = 106 cm
2
c = a . m
2
5 = 106 . BH
BH = 25 / 106 = 25 106 / 106 cm
2
b = a . n
2
9 = 106 . HC
HC = 81 / 106 = 81 106 / 106 cm
a . h = b . c
 106 . h = 9 . 5
h = 45 / 106 = 45 106 / 106 cm
3 9 cm
BC = 3 + 9 = 12 cm
2
(AC) = 12 . 9 = 108
AC = 108 = 6 3 cm
2
(AB) = 12 . 3 = 36
AB = 6 cm
2
(AH) = 3 . 9 = 27
AH = 3 3 cm 
2
b = a . n
2
c = a . m
2
h = m . n
3
5 cm
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + (HC)
HC = 4 cm
2
3 = 4 . BH
BH = 9/4 cm
2
(AB) = (4 + 9/4) . 9/4 = 225/16
AB = 225/16 = 15/4 cm
BC = BH + HC = 9/4 + 4 = 25/4 cm 
2
h = m . n
2
c = a . m
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13
 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
06) Num retângulo ABCD tem-se AB = 15 e BC = 8. 
Sobre o lado AB, marca-se um ponto P de modo que 
PB =12 e sobre o lado CD, marca-se um ponto Q de 
modo que DQ = 7. Qual é a distância entre os pontos 
P e Q ?
a) 83
b) 4 5
c) 78
d) 2 19
e) 89
05) Qual é o perímetro, em cm, de um losango cujas 
diagonais medem 12 cm e 6 cm ?
a) 4 39
b) 12 5
c) 16 3
d) 8 13
e) 8 14
07) No retângulo ABCD abaixo tem-se AB = 15 cm e 
BC = 8 cm. Sobre o lado BC, marca-se um ponto P tal 
que PB = 1 cm e sobre o lado AD, marca-se um ponto 
Q tal que DQ = 2 cm. Qual é, em cm, a distância entre 
os pontos P e Q ?
A B
CD
a) 274
b) 269
c) 2 14
d) 5 10
e) 246
08) Qual é o raio de uma circunferência, se uma reta 
secante que dista 5 cm do centro da mesma, 
determina nessa circunferência uma corda de 
comprimento 24 cm ?
a) 8 cm
b) 13 cm
c) 15 cm
d) 17 cm
e) 19 cm
a
b
c
d
09) Na figura abaixo, medida de a, em função de b, 
c, e d, é :
2 2 2a) a = b + c + d
2 2 2b) a = b + c - d 
2 2 2c) a = b - c - d 
2 2 2d) a = d - b - c 
2 2 2 e) a = d - b + c
x13
 cm
10 cm
04) Determine o valor de x no triângulo retângulo abai-
xo.
Jeca 99
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
Pitágoras
2 2 2
13 = 10 + x
2
x = 169 - 100 = 69
x = 69 cm (resp)
3
6 cm
x
Pitágoras
2 2 2
x = 3 + 6
2
x = 9 + 36 = 45
x = 45 = 3 5 cm 
Perímetro = 2p = 4 . x 
2P = 12 5 cm Resposta b
A B
CD
3 12P
3 4 8
8 cm8 x
Q
Pitágoras
2 2 2x = 8 + 4 
2x = 64 + 16 = 80
x = 80 = 4 5 cm Resposta b
2
5
1
8
15 cm
x
Pitágoras
2 2 2x = 5 + 15 
2x = 25 + 225 = 250
x = 250 = 5 10 cm Resposta d
5
12 
cm
R
Pitágoras
2 2 2
R = 5 + 12
2
R = 25 + 144 = 169
R = 13 cm Resposta b
x
Pitágoras
2 2 2
x = a + b
2 2 2 2 2 2
d = x + c = a + b + c
2 2 2 2
a = d - b - c
2 2 2
a = d - b - c Resposta d
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cm
presilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
1
2
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada. Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
A B
CD
E
F
G
H
P1
11) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, o quadrado EFGH 
tem lado a, e é obtido através de uma rotação de 45º 
do quadrado ABCD em torno do centro O. Se EP = 1, 
então a mede:
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 - 1
2
3 - 1
2
2 - 1
2
2
2
10) (FUVEST-SP) Um triângulo retângulo tem cate-
tos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um pon-
to P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual é a 
distância AP ?
13) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, M é o ponto 
médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O 
segmento RM é perpendicular a PQ e RM 
Calcule:
a) o raio da circunferência;
b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da 
circunferência.
4 3=
3
.
P
Q
R
M
O
A B
CD
d
d d
12) Na figura, o quadrado ABCD tem lado 16 cm. De-
termine a distância d entre P e A sabendo que o 
ponto P é equidistante de A, de B e da reta CD.
P
8 cm
x
24 cm
presilha
parede
tubo
parafuso
15) (ESPM-MG) Um tubo de aço foi fixado a uma pare-
de por meio de uma presilha retangular, como mostra a 
figura abaixo. A distância x, da presilha até a parede, 
vale:
a) 16 cm
b) 17 cm
c) 18 cm
d) 19 cm
e) 20 cm
A
B
C D
E
1
2
 c
m
16 cm
14) A figura abaixo representa um retângulo e três cir-
cunferências, sendo duas idênticas maiores e uma 
menor destacada.Determine o raio da circunferência 
menor, sabendo que A, B, C, D e E são pontos de 
tangência.
Jeca 100
A
B
C
P
E
d
d
4
3
 -
 d
3 b
a
2 2 2
Pitágoras (BC) = 3 + 4
BC = 5 cm
Semelhança de triângulos.
5d = 12 - 4d
9d = 12
d = 12/9 = 4/3 
3 - d
b
5
=
d
4
R
R - 8
12
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 8) + 12
Resolvendo, tem-se
R = 13 cm
x = 2R - 8 = 26 - 8 = 18 cm Resposta c
1a
(Diagonal do quadrado de lado a) d = a 2
a 2 = 1 + a + 1
a 2 = a + 2
a 2 - a = 2
a = 2
2 - 1
Resposta e
16
8
16 - d
8
Pitágoras
2 2 2
d = 8 + (16 - d)
2 2
d = 64 + 256 - 32d + d
32d = 320
d = 10 cm Resposta
4
4
R
R - 
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (R - )
2 2
R = 16 + R - 8R 3 /3 + 16/3
R 3 = 8
R = 8 3 /3 cm Resposta
b) sen (MOQ) = 4/R = 3 /2 MOQ = 60º
Portanto POQ = 2 . MOQ = 2 . 60 = 120º Resposta
4 3
3
4 3
3
4 3
3
a)
44 4 4
R
R
 +
 4 8 - R
Pitágoras
2 2 2
(R + 4) = (8 - R) + 4
2 2
R + 8R + 16 = 64 - 16R + R + 16
24R = 64
R = 64/24 = 8/3 cm Resposta
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
16) (FUVEST-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de 
madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme a 
figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio 
da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros é:
h
a)
b)
c)
d)
e)
1 + 7
7
2
3
1 +
1 + 7
3
1 + 7
4
7
4
1 +
2,5
C
A D E
B
O
17) Na figura abaixo, determine o raio da circunferência 
sabendo que AC e AD tangenciam a circunferência 
nos pontos C e D, respectivamente, e que BE = 2 cm, e 
AE = 9 cm.
A
B C
O
18) Na figura, o triângulo isósceles ABC está inscrito 
na circunferência de centro O. A base BC mede 6 cm 
e AB = 3 10 cm. Determine o raio da circunferência.
O
P
T
A
19) Na figura, a reta PT tangencia a circunferência de 
centro O, os pontos P, A e O estão alinhados e as 
distâncias PT e PA valem, respectivamente 15 cm 
e 9 cm. Determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 101
1 m
3/4 m
x
Pitágoras
2 2 2
1 = x + (3/4)
2 x = 1 - 9/16 = 7/16
x = 7 / 4
h = x + 1 = 1 + 7 / 4 m (resp) 
R
2
9
9 - R
R - 2
2Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + (9 - R)
2 2 2
R = R - 4R + 4 + 81 - 18R + R
2
R - 22R + 85 = 0
Raízes
R = 17 cm (não convém porque é maior que 9)
R = 5 cm Resposta
3
 
 1
0
3 3
Pitágoras
2 2 2
(3 10 ) = h + 3
2
90 = h + 9
2
h = 81
h = 9 cm
Pitágoras
h
R
9 - R
2 2 2
R = 3 + (9 - R)
2 2
R = 9 + 81 - 18R + R
18R = 90
R = 5 cm Resposta
15 cm
9
R
R
Pitágoras
2 2 2
(R + 9) = R + 15
2 2
R + 18R + 81 = R + 225
18R = 144
R = 8 cm Resposta
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
A
B CH
D
E
20) O triângulo ABC abaixo é retângulo em A, tem 
catetos AB = 12 cm, AC = 16 cm. O arco DHE tem 
centro no vértice A e tangencia a hipotenusa BC no 
ponto H. Determine a área da região sombreada na 
figura. A
B CD
21) O triângulo ABC abaixo tem lados AB, AC e BC 
que medem, respectivamente, 5 cm, 7 cm e 10 cm. 
Determine a medida da altura AD do triângulo ABC.
A B
CD
E
22) A figura abaixo representa um quadrado de lado 
16 cm, um arco de circunferência com centro em A e 
raio AB e uma circunferência de centro em E, que 
tangencia o arco e os lados do quadrado. Determine a 
medida do raio da circunferência.
O
A
B
C D
E
23) Na figura abaixo, os pontos A, B e C pertencem 
à circunferência de centro O. Os pontos A, O, C e D 
estão alinhados. Determine a medida do raio da cir-
cunferência, sabendo que ED = 9 cm, AB = 8 cm e 
AE = 15 cm.
Jeca 102
12 16h
a
2 2 2
Pitágoras a = 12 + 16 = 144 + 256 = 400
a = 20 cm
20 . h = 16 . 12
h = 192 / 20 = 48 / 5 cm
mas h = raio do setor circular
2
S = S - S = 12 . 16 / 2 - p . (48/5) / 4Triâng Setor
2
S = (96 - 576p/25) cm (resp)
a . h = b . c
r x
r
16
AC = diagonal
AC = 16 2
EC = diagonal
EC = r 2
AC = 16 + r + r 2
16 2 = 16 + r + r 2
2
r = 16( 2 - 1) 
r = 16(3 - 2 2 ) cm (resp)
5 7
10
h
x 10 - x
Pitágoras
2 2 2 2 2
5 = h + x h + x = 25
2 2 2
7 = h + (10 - x)
2 2
49 = h + 100 - 20x + x
2 2
49 = (h + x ) - 20x + 100
49 = 25 - 20x + 100
20x = 125 - 49 = 76
x = 76/20 = 19/5
2 2
h + (19/5) = 25
2
h = 25 - 361/25 = (625 - 361)/25 = 264/25
h = 264/25 = 2 66 /5 cm Resposta
9
8 cm
7 
R R
x
Pitágoras
2 2 2
15 = 9 + x
2
x = 225 - 81 = 144
x = 12 cm
Semelhança de triângulos
2R
15
=
8
12
2R = 120/12 = 10
R = 5 cm Resposta
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7
 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12
 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
01) No triângulo retângulo ABC abaixo, determine a , m , n e h.
h
m n
6 
cm
8 cm
a
A
B C
02) No triângulo retângulo abaixo, determine o valor de x, y, z e t.
x
y z
t
3 cm9 cm
03) Na figura, ABC é um triângulo retângulo em A. Sendo AB = 9 cm e AC = 12 cm, determine x, y, z e t.
A
B
C
x
y
zt
04) Determine o valor de x nos triângulos retângulos abaixo.
a)
x
7
 c
m
9 cm
13 cm
12 cm
x
x12
 cm
9 cm
b) c)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras.
Exercícios complementares da aula 09.
Jeca 103
2 2 2
a = b + c
2 2
 = 8 + 6 = 100
a = 10 cm (resp)
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
8 = 10 . n
n = 64/10 = 32/5 cm (resp)
2
6 = 10 . m
m = 36/10 = 18/5 cm (resp)
10 . h = 8 . 6
h = 48/10 = 24/5 cm (resp)
x = 9 + 3 = 12 cm
2
y = 9. 3 = 27
y = 3 3 cm
2
h = m . n
Pitágoras
2 2 2
t = y + 9 = 27 + 81 = 108
t = 108 = 6 3 cm
2
z = 12 . 3 = 36
z = 6 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
9
12
Pitágoras
2 2 2
x = 9 + 12 = 225
x = 15 cm
2
9 = 15 . y
y = 81 / 15 = 27/5 cm
2 2 2
a = b + c
2
b = a . n
2
c = a . m
a . h = b . c
2
12 = 15 . z
z = 144 / 15 = 48 / 5 cm
15 . t = 9 . 12
t = 108 / 15 = 36 / 5 cm
Pitágoras
2 2 2
x = 7 + 9
2
x = 49 + 81 = 130
x = 130 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
13 = x + 12
2
x = 169 - 144 = 25
x = 5 cm Resposta
Pitágoras
2 2 2
12 = x + 9
2
x = 144 - 81 = 63
x = 3 7 cm Resposta
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
d
a a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 
cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
05) No triângulo retângulo abaixo, determinar x em função de y e z.
x
y
z
06) Determinar a medida da diagonal de um quadrado de lado a.
d
a a
a
a
07) Determinar a altura de um triângulo eqüilátero de lado a.
a
a a
h
08) Determine x, y e z na figura abaixo.
1 
cm
1 cm
1 cm
1 
cmx
y
z
09)( ESAN) Na figura abaixo, determine o valor de x e y.
x
y 10
14
6
10) (FUVEST-GV) Queremos desenhar no interior de um retângulo ABCD, um losango AICJ com vértice I sobre 
o lado AB do retângulo e vértice J sobre o lado CD. Se as dimensões dos lados do retângulo são AB = 25 cm e 
BC = 15 cm, calcule a medida do lado do losango.
Jeca 104
2 2 2
y = x + z
2 2 2
x = y - z
2 2
x = y - z (resp)
A B
CD
I
J
x
x
x
x
25 - x
1515
Pitágoras
2 2 2
x = 15 + (25 - x)
Resolvendo, tem-se
x = 17 cm (Resposta)
Pitágoras
2 2 2 2
d = a + a = 2a
2
d = 2a
d = a 2 Resposta
a/2
Pitágoras
2 2 2
a = h + (a/2)
2 2 2
h = a - (a/2)
2 2
h = 3.a /4
h = a 3 /2 Resposta
Pitágoras
2 2 2
x = 1 + 1 = 2
x = 2
2 2 2
y = x + 1 = 2 + 1 = 3
y = 3
2 2 2
z = y + 1 = 3 + 1 = 4
z = 4 = 2 Respostas
Pitágoras
2 2 2
6 = x + y
2 2
x + y = 36
2 2 2
14 = x + (y + 10)
2 2
196 = x + y + 20y + 100
196 = + 20y + 100
20y = 196 - 100 - 36 = 60 y = 3
2
x = 36 - 9 = 27 x = 3 3 Resposta
36
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
11) (COVEST-PE) Na figura abaixo, o triângulo ABC é 
eqüilátero e cada um dos seus lados mede 8 cm. Se 
AD é uma altura do triângulo ABC e M é o ponto médio 
de AD, calcule a medida de CM em centímetros.
A
B CD
M
13) (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E 
é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo ABE me-
de 60º e os ângulos EBC e BCD são retos. Sabe-se 
também que AB = CD = 3 e BC = 1. Determine a 
medida de AD.
A
B C
D
E
60º
3
3
1
14) (Jeca) Na figura ao lado, A, B, C e D são os pontos 
médios dos lados de um quadrado de perímetro 4. 
Determine o raio da circunferência inscrita no 
quadrado ABCD.
A
B
C
D
16) A figura abaixo representa um quadrado de lado k 
e duas circunferências interiores tangentes entre si e 
tangentes ao quadrado. Determine o raio da circun-
ferência menor em função de k.
15) No trapézio retângulo ABCD da figura abaixo, 
determine a medida da diagonal AC sabendo-se que 
AB = 10 cm, BC = 5 cm e CD = 6 cm.
A B
CD
A
BC D
12) Na figura abaixo, o ponto A é o ponto de tangência 
da reta AB com a circunferência de centro C. Sendo 
AB e BD iguais a 10 cm e 6 cm, respectivamente, 
determine a medida do raio da circunferência.
Jeca 105
8 8
4 4
2 2 2
(AD) = 8 - 4 = 64 - 16 = 48
AD = 48 = 4 3 cm
DM = AD/2 = 2 3 cm
2 2 2
(CM) = (DM) + (CD)
2 2 2
(CM) = (2 3 ) + 4 
2
(CM) = 12 + 16 = 28
CM = 28 = 2 7 cm
 (resp)
a
tg a = 3 /1 = 3
a = 60º
Pitágoras
2 2 2
y = ( 3 ) + 1 = 4
y = 2
O triângulo ADB é retângulo
2 2 2
x = ( 3 ) + 2
Portanto x = 7 (Resposta)
= 30º
x
y
10 cm
6
R
R
Pitágoras
2 2 2
(R + 6) = R + 10
2 2
R + 12R + 36 = R + 100
12R = 64
R = 64/12 = 16/3 cm Resposta
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
2R
2R
Pitágoras
2 2 2
(2R) = (1/2) + (1/2)
2
4R = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
2
R = 1/8
R = 1/8
R = 1 / 2 2
R = 2 /4 Resposta
6 cm
5 cm
6 4
h
Pitágoras
2 2 2
5 = 4 + h h = 3 cm
2 2 2
(AC) = 6 + 3 = 36 + 9 = 45
AC = 45 = 3 5 cm Resposta
r
r 2
r
r
k/2O
A
E
E
A
OA = (k/2) 2 (diagonal de um quadrado de lado k/2)
k/2
k 2
2
=
k
2
+ r 2r + k( 2 - 1)
2
r(1 + 2 )=
r =
k(3 - 2 2 )
2
Resposta
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine o raio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
17) As bases de um trapézio isósceles circunscrito a 
um círculo medem 8 cm e 2 cm. Calcular a altura desse 
trapézio.
8 cm
2 cm
h
18) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem, respectivamente, 8 cm e 3 cm e a distância 
entre os centros, 13 cm. Calcule a medida de PQ, 
sendo P e Q pontos de tangência.
A
A
B
B
P
P
Q
Q
19) Os raios das circunferências de centros A e B 
medem 5 cm e 2 cm, respectivamente e a distância 
entre seus centros, 9 cm. Sendo P e Q pontos de 
tangência, calcule a distância PQ. 
20) Na figura abaixo, o lado do quadrado mede 8 cm. 
Calcule o raio da circunferência da figura, sendo T 
ponto de tangência.
O
T
22) Na figura abaixo, as quatro circunferências são 
tangentes entre si. Sendo C o centro da circunferência 
maior, A, B e D os centros das demais e AC = BC = 2, 
determine oraio da circunferência menor.
A BC
D
21) Na figura abaixo, determine o valor de x.
x
6
8
12
Jeca 106
4
1
3
2 2 2
5 = 3 + h
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
3
2
9 cm
5
2
2
d
d
Pitágoras
2 2 2
9 = 7 + d
2
d = 81 - 49 = 32
d = 4 2 cm (Resposta)
y
Pitágoras
2 2 2 2 2 6 = x + y x + y = 36
2 2 2
12 = y + (x + 8)
2 2
144 = y + x + 16x + 64
144 = 36 + 16x + 64
16x = 144 - 100
x = 44/16 = 11/4 Resposta
>
5
3 3
13 cm
x
x
Pitágoras
2 2 2
13 = 5 + x
2
x = 169 - 25 = 144
x = 12 cm Resposta
4 4
R 8 - R
R
Pitágoras
2 2 2
R = 4 + (8 - R)
2 2
R = 16 + 64 - 16R + R
16R = 80
R = 5 cm Resposta
2 2
2
R
R
4 - R
Pitágoras
2 2 2
(2 + R) = 2 + (4 - R)
2 2
4 + 4R + R = 4 + 16 - 8R + R
12R = 16
R = 16/12 = 4/3 Resposta
10 cm
3 cm 3 cm
A
B
D
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a 
medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 
cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8
6
x
A B
C
D
E
6 6 
2
 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
10 cm
3 cm 3 cm
A
B
D
C
23) Na figura abaixo, determine AB e AD.
20 cm
24) (Jeca) Na figura, estão representados dois 
círculos de raios 5 cm e 8 cm, tangentes entre si e 
tangentes aos lados do retângulo ABCD. Determine a 
medida do lado AD do retângulo.
A B
CD
27) Uma circunferência de raio 3 cm é inscrita num 
triângulo isósceles. Sabendo-se que a altura do 
triângulo é 8 cm, determinar as medidas dos lados 
desse triângulo e o seu perímetro.
25) Duas circunferências de raios 6 cm e 8 cm são 
tangentes externamente. Determine a medida de um 
segmento AB, sendo A e B os pontos de tangência da 
reta AB com as circunferências. 8 cm
y
7 
cm
x
26) Na figura abaixo, determine o valor de x, y e h.
A B
8
6
x
A B
C
D
E
6 6 
2
 
28) Na circunferência de centro C, AD = DB = 6 cm e 
ED = 2 cm. Determine a medida do segmento CD.
h
A
B C
Jeca 107
2 2 2
10 = 6 + y 
2
y = 100 - 36 = 64
y = 8 cm
2 2 2
x = 3 + 8 
2
x = 9 + 64 = 73
x = 73 cm (resp)
xy
8
x
5
8 + 5 = 13
8 5y
8 + y + 5 = 20
y = 20 - 13 = 7
Pitágoras
2 2 2
13 = 7 + x
2
x = 169 - 49 = 120
x = 120 = 2 30
AD = 8 + x + 5
AD = (13 + 2 30 ) cm (resp) 
142
x
Pitágoras
2 2 2
14 = 2 + x
2
x = 196 - 2 = 192
x = 8 3 cm
Resposta
Pitágoras
2 2 2
(x + y) = 7 + 8 = 113
x + y = 113 cm
Relações métricas no triângulo retângulo.
2
c = a . m
2
b = a . n
2
7 = 113 . x
x = 49 . 113 / 113 cm
2
8 = 113 . y
y = 64 . 113 / 113 cm
Respostas
3
5
3
x
Pitágoras
2 2 2
5 = 3 + x
x = 4 cm
y
Semelhança de triângulos
3
y
x
8
=
3
y
4
8
=
y = 6 cm
Pitágoras
2 2 2
(AB) = 6 + 8 AB = 10 cm
AB = AC = 10 cm , BC = 2 . 6 = 12 cm
Perímetro = AB + AC + BC = 32 cm Respostas
R
R - 2
Pitágoras
2 2 2
R = (R - 2) + 6
2 2
R = R - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10 cm 
CD = R - 2 = 10 - 2
CD = 8 cm Resposta
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 
cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura abaixo tem lados AB = 
40 cm e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a 
medida do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
30) A figura abaixo representa 4 circunferências de 
raio 8 cm, tangentes duas a duas e uma circunferência 
menor tangente às quatro maiores. Determinar o raio 
da circunferência menor.
29) No triângulo ABC abaixo, determine a altura h.
h
A
B C
5 
cm
2 13 cm
9 cm
A B
CD E
F
31) O retângulo ABCD da figura tem lados AB = 40 cm 
e BC = 30 cm. Sendo CE = 10 cm, determinar a medida 
do segmento BF.
33) Na figura abaixo, as circunferências têm raio 10 
cm, tangenciam a reta AB nos pontos A e B, são 
tangentes entre si e tangentes ao quadrado que tem 
base na reta AB. Determine a medida do lado desse 
quadrado.
A B
34) (FUVEST) Uma folha retangular de papel com 
dimensões 6 x 8 é dobrada de modo que dois vértices 
diagonalmente opostos coincidam. Determine o 
comprimento do vinco (dobra).
6
8
32) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figu-
ra 2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a dis-
tância de A a D’.
figura 1 figura 2
A B
CD
A BD’x
 Determine a função que expressa a área do triângulo 
sombreado em função de x.
(Fazer a resolução em outro espaço)
Jeca 108
x 9 - x
2 2 2
x + h = 5 = 25
2 2 2 2 2
(2 13 ) = h + (9 - x) = h + 81 - 18x + x 
2 2
52 = x + h - 18x + 81 = 25 - 18x + 81
18x = 54
x = 3
2 2
3 + h = 25
2
h = 25 - 9 = 16
h = 4 cm (resp)
a
a
90 - a
6
y
x
8 - 2y
8
 - y 6
y
y
8 - y
A B
CD
E
F
G
6
Os triângulos AEF e ADG são congruentes pelo caso A.L.A.
2 2 2
Pitágoras (8 - y) = 6 + y
y = 7/4
O triângulo FGH é retângulo
Pitágoras
2 2 2
x = 6 + (8 - 2.7/4) = 36 + 81/4 = 225/4
 x = FG = 15/2 Resposta
yH
8
8
8 8
8
8
2r
Diagonal do quadrado de
lado 16 cm
d = 16 2 cm
Mas d = 8 + 2r + 8
 d = 16 + 2r
Então 16 2 = 16 + 2r
2r = 16 2 - 16 = 16( 2 - 1)
r = 8( 2 - 1) cm Resposta
x x
10 10 - x
10 - (x/2)
Pitágoras
2 2 2
10 = (10 - x) + [10 - (x/2)]
2
x - 24x + 80 = 0
Raízes 
x = -20 (não convém pois é maior que o raio)
x = 4 cm Resposta
x/2
Resolução na próxima página
Pitágoras
2 2 2
(BD) = (AB) + (BC)
2 2 3
(BD) = 40 + 30 
2
(BD) = 2 500
 BD = 50 cm
Semelhança de triângulos 
D ABF ~ D DEF
x
50
 - x
a
ab
b
q
q
1030
40
40
30
x
50 - x
=
2 000 - 40 x = 30 x
2 000 = 70 x
x = 2 000/70 = 200/7 cm Resposta
Jeca 109
figura 2
A BD’
x
y
2
1
 -
 y
2
1
21 - y
Pitágoras
2 2 2
(21 - y) = y + x
2 2 2
441 - 42y + y = y + x
2
-42y = x - 441
2
42y = 441 - x
2
y = (441 - x ) / 42
Área do triângulo
S = b . h /2 = x . y /2
S =
x .
2
(441 - x )
42
2
=
3
441x - x
84
Respostas dos exercícios da Aula 09.
01) 
 106 cm, (25 106 / 106) cm, (81 106 / 106) cm 
e (45 106 / 106) cm
02)
12 cm, 6 3 cm, 6 cm e 3 3 cm
03) 
4 cm, (9 / 4) cm, (15 / 4) cm e (25 / 4) cm
04) 69 cm
05) b
06) b
07) d
08)b
09) d
10) 4 / 3
11) e
12) 10 cm
13) 
a) 8 3 / 3
b) 120º
14) (8 / 3) cm
15) c
16) e
17) 5 cm
18) 5 cm
19) 8 cm
2
20) (96 - (576p / 25)) cm 
21) (2 66 / 5) cm
22) 16(3 - 2 2 ) cm
23) 5 cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 110
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 
05) x = y - z 
06) d = a 2
07) h 
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 3
2
=
=
k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=
3
-x + 441x
84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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Jeca 111
2
cm
Respostas dos exercícios complementares da Aula 09.
01) a = 10 cm, m = 3,6 cm, n = 6,4 cm, h = 4,8 cm
02) x = 12 cm, y = 3 3 cm, z = 6 cm, t = 6 3 cm
03) x = 15 cm, y = 27/5 cm, z = 48/5 cm, t = 36/5 cm
04) a) x = 130 cm b) x = 5 cm c) x = 3 7 cm
2 2 
05) x = y - z 
06) d = a 2
07) h 
08) x = 2 cm y = 3 cm z = 2 cm
09) x = 3 3 y = 3
10) x = 17 cm
11) CM = 2 7 cm
12) r = 16 / 3 cm
13) AD = 7
14) r = 2 / 4
15) x = 3 5 cm
16) r
17) h = 4 cm
18) d = 12 cm
19) d = 4 2 cm
20) R = 5 cm
a 3
2
=
=
k(3 - 2 2 )
2
31) BF = 200 / 7 cm
32) A
33) x = 4 cm
34) d = 15 / 2
=
3
-x + 441x
84
21) x = 11 / 4
22) r = 4 / 3
23) AB = 8 cm AD = 73 cm
24) AD = (13 + 2 30 ) cm
25) AB = 8 3
26) x = 49 113 / 113 cm y = 64 113 / 113 cm
27) AB = AC = 10 cm BC = 12 cm Perím = 32 cm
28) CD = 8 cm
29) h = 4 cm
30) r = 8( 2 - 1 ) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
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Jeca 111
2
cm
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
 Em todo triângulo, a razão entre a medida de um 
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o 
dobro do raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de qualquer lado 
depende das medidas dos outros dois lados e do 
ângulo entre eles.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
R
O
Lei dos senos
=
2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado 
opõe-se o maior ângulo e ao menor 
lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de 
qualquer lado é menor que a soma 
e maior que a diferença das medi-
das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo.
 Quanto à natureza um triângulo 
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
 Reconhecimento da natureza de 
um triângulo.
 Seja a o maior lado de um triân-
gulo de lados a, b e c.
2 2 2
- Se a = b + c triângulo 
 retângulo.
2 2 2
- Se a > b + c triângulo
 obtusângulo.
2 2 2
- Se a < b + c triângulo 
 acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir um triân-
gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
I) Lei dos senos. II) Lei dos cossenos.
 Em todo triângulo, a razão entre a medida de um 
lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale o 
dobro do raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de qualquer lado 
depende das medidas dos outros dois lados e do 
ângulo entre eles.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R=
A
B C
R
O
Lei dos senos
=
2 2 2 x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos cossenos
xa
b
a
III) Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, ao maior lado 
opõe-se o maior ângulo e ao menor 
lado opõe-se o menor ângulo.
2) Condição de existência de um 
triângulo.
 Em todo triângulo, a medida de 
qualquer lado é menor que a soma 
e maior que a diferença das medi-
das dos outros dois lados.
3) Natureza de um triângulo.
 Quanto à natureza um triângulo 
pode ser:
a) triângulo retângulo;
b) triângulo obtusângulo;
c) triângulo acutângulo.
 Reconhecimento da natureza de 
um triângulo.
 Seja a o maior lado de um triân-
gulo de lados a, b e c.
2 2 2
- Se a = b + c triângulo 
 retângulo.
2 2 2
- Se a > b + c triângulo
 obtusângulo.
2 2 2
- Se a < b + c triângulo 
 acutângulo.
b - c < a < b + c
Condição de existência.
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
a
b
c
a
b
g
a < b < c a < b < g
onde a, b e c são as medidas
dos lados do triângulo.
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
cos (a + b) = cos a . cos b - sena . sen b
sen 2a = 2 . sen a . cos a
2 2
cos 2a = cos a - sen a
IV) Pré-requisitos de trigonometria. (Poderão ser usados em exercícios mais complexos deste capítulo)
Exercícios.
01) Dados três segmentos de medidas 12 cm, 8 cm e 15 cm, verificar a possibilidade de se construir umtriân-
gulo com esses segmentos. Se for possível, determinar a natureza desse triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 10
Relações métricas num triângulo qualquer.
Jeca 112
a
bc
Existência
|b - c| < a < b + c
|12 - 8| < 15 < 12 + 8
4 < 15 < 20 Verdadeiro
Esse triângulo existe.
Natureza
2 2
a = 15 = 225
2 2 2 2
b + c = 12 + 8 = 144 + 64 = 208
225 > 208
2 2 2
a > b + c
Esse triângulo é obtusângulo.
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
02) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 8 cm, 15 cm e 17 cm. b) 8 cm, 15 cm e 16 cm.
c) 8 cm, 15 cm e 13 cm. d) 2 cm, 4 cm e 7 cm.
e) 5 cm, 8 cm e 13 cm. f) 10 cm, 11 cm e 12 cm.
h) 4 cm, 9 cm e 9 cm.g) 5 cm, 9 cm e 12 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Jeca 113
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 17 < 8 + 15
7 < 17 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 17 = 289
2 2 2 2
b + c = 8 + 15 
2 2
b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 16 < 8 + 15
7 < 16 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 16 = 256
2 2 2 2
b + c = 8 + 15 
2 2
b + c = 64 + 225 = 289
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|8 - 15| < 13 < 8 + 15
7 < 13 < 23 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 15 = 225
2 2 2 2
b + c = 8 + 13 
2 2
b + c = 64 + 169 = 233
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|2 - 4| < 7 < 2 + 4
2 < 7 < 6 Falso
Esse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c
|5 - 8| < 13 < 5 + 8
3 < 13 < 13 Falso
Esse triângulo não existe
|b - c| < a < b + c
|10 - 11| < 12 < 10 + 11
1 < 12 < 21 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 10 + 11 
2 2
b + c = 100 + 121 = 221
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
|b - c| < a < b + c
|5 - 9| < 12 < 5 + 9
4 < 12 < 14 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 5 + 9 
2 2
b + c = 25 + 81 = 106
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo
|b - c| < a < b + c
|4 - 9| < 9 < 4 + 9
5 < 9 < 13 Verdadeiro
Esse triângulo existe
2 2
a = 9 = 81
2 2 2 2
b + c = 9 + 4 
2 2
b + c = 81 + 16 = 97
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo
03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que exista o triângulo de lados a, b e c.
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-
pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine 
as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-
da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-
reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
03) Dados os segmentos a = 7 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que exista o triângulo de lados a, b e c.
05) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado AB, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
08) Na figura abaixo, os ângulos A e B medem, res-
pectivamente 75º e 45º. O raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC mede 6 cm. Determine 
as medidas dos lados AB e AC.
A
B C
06) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 60º e 45º. Determine a medi-
da do lado AC, sabendo que a medida de AB é 4 cm.
A
B C
07) No triângulo ABC abaixo os ângulos B e C me-
dem, respectivamente, 45º e 30º. Determine a medi-
da do lado BC, sabendo que a medida de AC é 8 cm.
A
B C
A
B C
Jeca 114
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Utilizando a lei dos cossenos, determine a natu-
reza de um triângulo de lados 10 cm, 12 cm e 16 cm.
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|7 - 9| < c < 7 + 9
2 < c < 16 Resposta
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|10 - 12| < 16 < 10 + 12
2 < 16 < 22 (o triângulo existe)
Natureza
2 2
a = 16 = 256
2 2 2 2
b + c = 10 + 12 
2 2
b + c = 100 + 144 = 244
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo Resposta
45º 30º
8 cmx
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 30º
=
8
sen 45º
x
=
8
1
2
2
2
x = 4 2 cm Resposta
60º 45º
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 60º
=
4
sen 45º
x
=
4
2
2
2
x = 2 6 cm Resposta
x4
3
x
8 cm
45º 30º
105º
8
sen 45º
=
x
sen 105º
sen 105º = sen(45º + 60º) = sen 45º.cos 60º + sen 60º.cos 45º
sen 105º =
2 + 6
4
8
=
x
2
2
2 + 6
4
x = 4( 3 + 1) cm Resposta
75º
45º
R
 =
 6
 c
m
60º
x y
x
sen 60º
=
y
sen 45º
2 . 6=
x = AB = 12 . sen 60º = 6 3 cm
y = 12 . sen 45º = 6 2 cm Respostas
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-
mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-
ne a medida do lado AC e o raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno 
desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
14) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do seno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
Jeca 115
09) Na figura, os ângulos A e C medem, respectiva-
mente, 45º e 15º. Sabendo que BC = 12 cm, determi-
ne a medida do lado AC e o raio da circunferência 
circunscrita ao triângulo ABC.
10) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 5 cm e 7 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
60º.
12) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do menor ângulo interno 
desse triângulo.
A
B C
11) Um triângulo ABC tem lados AB e BC que me-
dem, respectivamente, 6 cm e 8 cm. Determine a 
medida do lado AC, sabendo que o ângulo B mede 
120º.
13) Dado um triângulo de lados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
14) Dado um triângulo delados 5 cm, 7 cm e 8 cm, 
determine o valor do seno do maior ângulo interno 
desse triângulo.
Jeca 115
45º
15º
120º
12 cm
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
AC
sen 120º
=
12
sen 45º
2R=
AC
 3
=
12
2
2R=
22
AC = 6 6 cm (resp)
R = 6 2 cm (resp)
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
5
7
60º
x
2 2 2
x = 5 + 7 - 2 . 5 . 7 . cos 60º
2
x = 25 + 49 - 2 . 5 . 7 . 1/2
2
x = 39
x = 39 cm Resposta
5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-
or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-
nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 2
5 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos a
25 - 49 - 64 = -112 cos a
cos a = 11/14 Resposta
A
B C
120º
6
8 cm
x
2 2 2
x = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos 120º
2
x = 36 + 64 - 2 . 6 . 8 . (-0,5)
2
x = 148
x = 2 37 cm Resposta
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
5
7
8
Propriedade - Em todo triângulo, ao mai-
or lado opõe-se o maior ângulo e ao me-
nor lado opõe-se o menor ângulo.
a
2 2 2
8 = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
64 - 49 - 25 = -70 cos a
cos a = 1/7 Resposta
5
7
8
a
 Do exercício anterior, tem-se que
cos a = 1/7
2 2
sen a + cos a = 1
2 2
sen a + (1/7) = 1
sen a = 4 3 /7 Resposta
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e 
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. 
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
A
B C
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
 base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente 
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das 
duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja 
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
M
5
5
9
5
a
d
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a 
2 2 2
No DABC, tem-se 9 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a 
cos a = (81 - 125) / (-100)
cos a = -44 / (-100) = 11/25
2 2 2
No DABM, tem-se d = 5 + 5 - 2 . 5 . 5 . cos a 
2
d = 25 + 25 - 50 . 11/25 = 50 - 22 = 28
d = 28 = 2 7 cm (resp)
Condição de existência
|b - c| < a < b + c
|6 - 9| < c < 6 + 9
3 < c < 15
Natureza
Considerando 9 como sendo o maior lado, tem-se
2 2 2 9 < c + 6
2
81 - 36 < c
2
c > 45
c > 3 5
Considerando c como sendo o maior lado, tem-se
2 2 2
c < 9 + 6 = 81 + 36 = 117
c < 117 = 3 13
Portanto 
3 5 < c < 3 13 Resposta
1
1 + 3
1
 +
 
 3
1
1 1
y
Pitágoras
2 2 2
y = 1 + ( )
2
y = 1 + 1 + 3
2
y = 2 + 3
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
No exercício
x = 1
a = b = y
2 2 2
1 = y + y - 2 . y . y . cos a
1 = 2 + 3 + 2 + 3 - 2 . (2 + 3 ).cos a
1 - 4 - 2 3 = -2 . (2 + 3 ).cos a
-(3 + 2 3 ) = -2 . (2 + 3 ).cos a
cos a =
-(3 + 2 3 )
-2 . (2 + 3 )
=
3
2
a = 30º Resposta
4 5
6
a
2 2 2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
cos a = 9/16
2 2
sen a + cos a = 1
2 2
sen a + (9/16) = 1
sen a = 5 7 /16 
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
5
sen a
2R=
5 2R=
5 7
4
R =
8
7
8 7
=
7
cm Resposta
15) Na figura, o triângulo ABC tem lados AB, AC e 
BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm. 
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
16) Determine o raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
18) (Fuvest) As páginas de um livro medem 1 dm de
 base e 1 + 3 dm de altura. O livro é parcialmente 
aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas é 
60º. Determinar o ângulo formado pelas diagonais das 
duas páginas.
a
60º
Jeca 116
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
17) Dados os segmentos a = 6 cm, b = 9 cm e c, de-
termine o intervalo de valores que c pode assumir 
para que o triângulo de lados a, b e c exista e seja 
um triângulo acutângulo.
(GeoJeca)
A
B C
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, 
determine a altura desse triângulo relativa ao maior 
lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e 
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o 
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado 
BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um 
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado 
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. 
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada 
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a 
distância entre o farol e o navio no instante em que fez 
a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, 
em margens distintas de um precipício, um engenhei-
ro, que estava na mesma margem que o ponto A, 
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um 
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. 
Com uma calculadora científica obteve os valores de 
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base 
nesses valores, determine a distância AB, calculada 
pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
A
C300 m
58º 67º
Jeca 117
19) Dado um triângulo de lados 4 cm, 5 cm e 6 cm, 
determine a altura desse triângulo relativa ao maior 
lado.
20) Em um triângulo acutângulo de lados AB = 5 cm e 
AC = 7 cm, a projeção ortogonal do lado AC sobre o 
lado AB mede 1 cm. Determine a medida do lado 
BC desse triângulo.
21) Um navio, deslocando-se em linha reta, visa um 
farol e obtém a leitura de 30º para o ângulo formado 
entre a sua trajetória e a linha de visada do farol. 
Após navegar 20 milhas, através de uma nova visada 
ao farol, obtém a leitura de 75º. Determine a 
distância entre o farol e o navio no instante em que fez 
a 2ª leitura.
22) Para medir a distância entre dois pontos, A e B, 
em margens distintas de um precipício, um engenhei-
ro, que estava na mesma margem que o ponto A, 
adotou um segmento AC = 300 m. Através de um 
teodolito, obteve os ângulos BAC = 58º e BCA = 67º. 
Com uma calculadora científica obteve os valores de 
sen 67º = 0,9205 e sen 55º = 0,8192. Com base 
nesses valores, determine a distância AB, calculada 
pelo engenheiro.
precipício
margem B
margem A
B
A
C300 m
58º 67º
Jeca 117
4
5
6 cm
h
A
B CD
Lei dos cossenos.
2 2 2
5 = 4 + 6 - 2 . 4 . 6 . cos a
25 - 16 - 36 = -48 cos a
cos a = -27 / (-48) = 9 / 16
2 2
Relação fundamental sen a + cos a = 1
2 2
sen a = 1 - (9/16) = (256 - 144)/256 = 7/16
sen a = 7 / 4
No DABD, tem-se sen a = h/5
 7 / 4 = h/5
Portanto h = 5 7 / 4 cm (resp)
a
55ºx
Lei dos senos
x
sen 67º
300
sen 55º
=
x
0,9205
300
0,8192
=
x = 300 . 0,9205 / 0,8192
x = 337 m Resposta
A
B C
1
4
7 cm
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
x
a
cos a =
ca
hip
1
7
=
2 2 2
x = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos a
2
x = 49 + 25 - 2 . 7 . 5 . 1/7 = 64
x = 8 cm Resposta
Farol
d
20 milhas
75º30º
105º
Lei dos senos
d
sen 30º
20
sen 45º
=
d 20
=
45º
1 2
22
d = 10 2 milhas Resposta
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
01) Dadas as medidas de três segmentos, verificar se é possível construir um triângulo com esses segmentos e 
determinar a natureza desse triângulo, se o mesmo existir. 
a) 6 cm, 8 cm e 10 cm. b) 6 cm, 8 cm e 9 cm.
c) 6 cm, 8 cm e 12 cm. d) 6 cm, 8 cm e 15 cm.
e) 9 cm, 5 cm e 12 cm. f) 12 cm, 5 cm e 13 cm.
h) 14 cm, 12 cm e 13 cm.g) 3 cm, 4 cm e 7 cm.
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Existência Natureza Existência Natureza
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Relações métricas num triângulo qualquer.
Exercícios complementares da aula 10.
Jeca 118
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 10 < 6 + 8
2 < 10 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 10 = 100
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 9 < 6 + 8
2 < 9 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 9 = 81
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 12 < 6 + 8
2 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 6 + 8 = 36 + 64 
2 2
b + c = 100
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c
|6 - 8| < 15 < 6 + 8
2 < 15 < 14 falso
Esse triângulo nãoexiste.
|b - c| < a < b + c
|9 - 5| < 12 < 9 + 5
4 < 12 < 14 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 12 = 144
2 2 2 2
b + c = 9 + 5 = 81 + 25 
2 2
b + c = 106
2 2 2
a > b + c 
Esse triângulo é obtusângulo.
|b - c| < a < b + c
|12 - 5| < 13 < 12 + 5
7 < 13 < 17 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 13 = 169
2 2 2 2
b + c = 12 + 5 = 144 + 25 
2 2
b + c = 169
2 2 2
a = b + c 
Esse triângulo é retângulo.
|b - c| < a < b + c
|3 - 4| < 7 < 3 + 4
1 < 7 < 7 falso
Esse triângulo não existe.
|b - c| < a < b + c
|14 - 12| < 13 < 14 + 12
2 < 13 < 26 verdadeiro
Esse triângulo existe.
2 2
a = 14 = 196
2 2 2 2
b + c = 12 + 13 = 144 + 169 
2 2
b + c = 313
2 2 2
a < b + c 
Esse triângulo é acutângulo.
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 c
m x
45º
8 
cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 
cm
x
6
 c
m
9 cm
x
6 cm
9 cm
x
120º
8 cm
10 cm
x
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 
cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de 
cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 c
m
x
8 cm
Jeca 119
02) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
30º
10 cm
8 c
m x
45º
8 
cm
9 cm
x
60º
14 cm
9 
cm
x
6
 c
m
9 cm
x
6 cm
9 cm
x
120º
8 cm
10 cm
x
135º
A
B C11 cm
8 cm
6 
cm
a
09) No triângulo ABC abaixo, determine o valor de 
cos a.
03) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
04) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
05) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
06) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
07) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
08) Na figura abaixo, encontre o valor de x e cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
150º
8 c
m
x
8 cm
Jeca 119
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
2 2 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . 3 / 2
2
x = 64 + 100 - 80 3
x = 2 (41 - 20 3 ) cm (resp)
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 8 + 9 - 2 . 8 . 9 . cos 45º
2
x = 64 + 81 - 2 . 8 . 9 .
2
x = 145 - 72 2
x = 145 - 72 2 cm Resposta
2
2
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 9 + 14 - 2 . 9 . 14 . cos 60º
2
x = 81 + 196 - 2 . 9 . 14 .
2
 x = 151
x = 151 cm Resposta
1
2
Pitágoras
2 2 2
x = 6 + 9 = 117
x = 117 = 3 13 cm 
 Resposta
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 6 + 9 - 2 . 6 . 9 . cos 120º
2
x = 36 + 81 - 2 . 6 . 9 . (-0,5) = 171 
x = 171 = 3 19 cm Resposta
2 2 2
x = 8 + 10 - 2 . 8 . 10 . cos 135º
2
x = 64 + 100 - 2 . 8 . 10 . ( - )
2
x = 164 + 80 2 = 4(41 + 20 2 )
x = 2 41 + 20 2 cm Resposta
2
2
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 8 + 8 - 2 . 8 . 8 . cos 150º
2
x = 64 + 64 - 2 . 64 . (- 3 )
2
x = 128 + 64 3 = 64 (2 + 3 ) 
x = 8 2 + 3 cm Resposta 
2
2 2 211 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
121 - 36 - 64 = - 96.cos a
21 = - 96.cos a
cos a = -21/96 = -7/32 Resposta
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, 
relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 
cos b.
10 cm
8 cm
5 
cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 
cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.
A
B C
D
a
6 cm 4 cm
5 
cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências 
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e 
tangenciam uma circunferência menor. Determine o 
raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do 
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm 
e AC = 13 cm, determine :
a) o cosseno do ângulo B.
b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AB = 7 cm, BC = 8 
cm e AC = 9 cm, determinar a medida da mediana AM, 
relativa ao lado BC.
10) No triângulo ABC abaixo, determinar o cos a e 
cos b.
10 cm
8 cm
5 
cm
b
a g
A
B CM
12) No triângulo ABC abaixo, determinar o valor de 
cos a, sen a e tg a.
a
12 cm6 cm
8 cm
14) Na figura abaixo, determine :
a) o cosseno do ângulo a.
b) a medida do segmento AD.
A
B C
D
a
6 cm 4 cm
5 
cm
8 cm
15) (Jeca) Na figura ao lado, as três circunferências 
maiores têm raio 1 cm, tangenciam-se entre si e 
tangenciam uma circunferência menor. Determine o 
raio da circunferência menor.
13) No triângulo ABC abaixo, o ponto M é medio do 
segmento BC. Sa bendo que AB = 6 cm, BC = 10 cm 
e AC = 13 cm, determine :
a) o cosseno do ângulo B.
b) a medida da mediana AM.
M
A
BC
Jeca 120
2 2 2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = (64 - 25 - 100) / (-100) = -61 / (-100)
cos a = 61/100 (resp)
2 2 2
10 = 5 + 8 - 2 . 5 . 8 . cos b
cos b = (100 - 25 - 64) / (-80)
cos b = 11 / (-80) = -11 / 80 (resp)
Lei dos cossenos.
2 2 2
12 = 6 + 8 - 2 . 6 . 8 . cos a
cos a = (144 - 36 - 64) / (-96)
cos a = 44 / (-96) = -11 / 24 (resp)
Relação fundamental da trigonometria
2 2 sen a + cos a = 1
2 2
sen a+ (-11 / 24) = 1
sen a = 455 / 24 (resp)
tg a = sen a / cos a = ( 455 / 24) / (-11 / 24)
tg a = - 455 / 11 (resp)
4 4
9
7
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
q
2 2 2
9 = 7 + 8 - 2 . 7 . 8 . cos q
cos q = 2/7
No D ABM , tem-se
2 2 2
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . cos q
2 2 2
x = 7 + 4 - 2 . 7 . 4 . 2/7
2x = 49
x = 7 cm Resposta
x
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
13 = 6 + 10 - 2 . 6 . 10 . cos q
cos q = -11/40
No D ABM , tem-se
2 2 2
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos q
2 2 2
x = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . (-11/40)
2
x = 61 + 33/2 = 155/2 = 310/4
x = 310 / 2 cm Resposta
y
5 5
6
13
q
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
y
2 2 2
8 = 5 + 10 - 2 . 5 . 10 . cos a
cos a = 61/100
No D ABD , tem-se
2 2 2
y = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos a
2
y = 25 + 36 - 60 . 61/100 = 488/5 
y = 122/5 = 610 / 5 cm Resposta
12
0º
1 +
 r
1
1
1 + r
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
2 = (1 + r) + (1 + r) - 2 . (1 + r) . (1 + r) . cos 120º
2
3r + 6r - 1 = 0
r =
2 3 - 3
3
cm Resposta
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º
12 cmx
A
B C
120º
45º
x16
 c
m
A
B C
R
 =
 8
 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
1
2
 c
m
1
2
 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
18) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
45º30º
A
B C
8 cmx
60º
75º
12 cmx
A
B C
120º
45º
x16
 c
m
A
B C
R
 =
 8
 c
m
x
45º
O
x
x45º 45º
1
2
 c
m
1
2
 c
m
6 6 cm
19) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
20) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
21) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
22) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
23) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
6 6 cm
60º
x
10 cm
79 cm
16) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
17) Na figura abaixo, encontre o valor de x. Cite a pro-
priedade geométrica utilizada na solução do exercício.
120º
14 cm
10 cm
x
Jeca 121
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercício
x = 14
a = x
2 2 2
14 = x + 10 - 2 . x . 10 . (-1/2)
2
196 = x + 100 + 10x
2
x + 10x - 96 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se
x = -16 cm ou x = 6 cm (resp)
cos 120º
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = a + b - 2 . a . b . cos a
No exercício
x = 79
a = x
2 2 2
( 79 ) = x + 10 - 2 . x . 10 . cos 60º
2
x - 10x + 21 = 0
Resolvendo, tem-se
x = 7 cm
ou
x = 3 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 45º
=
8
sen 30º
x
=
8
2 2
2 1
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 45º
=
12
sen 60º
x
=
2
2
x = 4 6 cm Resposta
45º
12
2
3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
16
sen 45º
=
x
sen 120º
=
2
2
x = 8 6 cm Resposta
16 x
2
3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x 2 . 8 = 16=
2
2
x = 8 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 45º
=
6 6
sen x
=
2
2
12 6 6
sen x
sen x =
2
3
x = 60º ou x = 120º Resposta
y
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 45º
=
6 6
sen y
sen y =
2
3
Portanto y = 60º ou y = 120º
Se y = 60º, então
x + 60 + 45 = 180
x = 75º
Se y = 120º, então
x + 120 + 45 = 180
x = 15º
x = 15º ou x = 75º Resposta
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C
60º 45º
x
8
 c
m
AB
C
30º 120º
12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º
118
º
x
20 
cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm
5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
12 cm
30
º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
24) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
A
B C
60º 45º
x
8
 c
m
AB
C
30º 120º
12 cm
x
30º
105º
x
20 cm
30º
118
º
x
20 
cm
sen 118º = 0,88
25) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
28) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
29) Na figura abaixo, determine o valor de x e o raio da 
circunferência circunscrita ao triângulo.
7 cmx
120º
135º
y
z
3 cm
5 cm
30º
26) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
27) No triângulo abaixo, determine o valor de x e cite a 
propriedade geométrica utilizada na solução do 
exercício.
12 cm
30
º
x
15º
30º
18 cm
x
30) Na figura abaixo, determine as medidas de x, y e z.
Jeca 122
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 60º
=
8
sen 45º
2R=
x
=
8 2R=
3
2 2
2
x =
8 3
2
=
8 6
2
= 4 6 cm (resp)
8 2R=
2
2
> R = 4 2 cm (resp)
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
x
sen 30º
=
12
sen 120º
x
=
12
1
2 2
3
30º
x =
12 3
3
cm Resposta= 4 3
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
12
sen 30º
2R=
12 2R=
1
2
2R = 24 
R = 12 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
135
º
x
sen 135º
=
18
sen 30º
x
=
18
1
22
2
x = 18 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
20
sen 45º
=
x
sen 30º
x
=
1
22
2
x = 10 2 cm Resposta
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
20
sen 118º
=
x
sen 30º
x
=
1
2
x = 11,36 cm Resposta
45º
20
0,88
20
Pitágoras
2 2 3
7 = x + 3
x = 2 10 cm
Lei dos cossenos
2 2 2
y = 7 + 5 - 2 . 7 . 5 . cos 120º
2
y = 49 + 25 - 70 . (- 0,5)
2
y = 49 + 25 + 35 = 109
y = 109 cm
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
y
sen 135º
=
z
sen 30º
z
=
1
22
2
109
 2 . 109 z =
2
=
218
2
cm
 Resposta
A
B C
D
E
F
G
H J
L
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as 
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam 
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-
mente, as bissetrizes dos ângulosBCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com 
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
4
5
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-
xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2
d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =
sen a
sen q
sen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, 
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
A
B C
D
E
F
G
H J
L
33) (Ibmec- SP) Na figura abaixo, suponha que as 
medidas dos segmentos BC, BD, CF, BG e CG sejam 
todas iguais a 2 e que CF e BD sejam, respectiva-
mente, as bissetrizes dos ângulos BCE e CBG.
a) Determine a medida do segmento BE.
b) Calcule sen 75º (Sugestão: 75º = 45º + 30º)
c) Determine a medida do segmento BF.
32) Dado um triângulo de lados 4, 5 e 6, com 
ângulos internos a, b e c, prove que a = 2b.
4
5
6
a
bc
34) (ITA-SP) No quadrilátero ABCD da figura abai-
xo, temos BC = CD. Então podemos garantir que:
a
b
g
q
A
B
C
D
a)
b) g . b = a . q
c) tg a = tg g
2
d) (BC) = AD . BD
e) tg a . tg b = tg g . tg q
sen b =
sen a
sen q
sen g
Jeca 123
A
B
C
D
E
31) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, 
AB = BC = CD = DE = 2 e ABC = BCD = 2p / 3 e
CDE = p / 2. Calcule a distância entre os pontos A e E.
2
2 2
2
120º
x y
d
30º 45º
45º
2 2 2
Pitágoras y = 2 + 2
y = 8 = 2 2 
Lei dos cossenos.
2 2 2
x = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . (-1/2)
2
x = 12
x = 2 3 
Lei dos cossenos.
2 2 2
d = x + y - 2 . x . y . cos 45º
2 2 2
d = (2 3 ) + (2 2 ) - 2 . 2 3 . 2 2 . 2 / 2
2
d = 20 - 8 3
d = 2 5 - 2 3 (resp)
30º
30º
15
º
30º
30º
45º
D BCF é isósceles
Portanto BFC = FBC = 75º
No D BCE, tem-se
B = 75º , C = 60º , E = 45º
a) Lei dos senos
Portanto BE = 6 Resposta
b) sen 75º = sen(30º + 45º) = 
= sen 30º.cos 45º + sen 45º.cos 30º
 sen 75º Resposta
2
sen 45º
= BE
sen 60º
=
2 + 6
4
c) Lei dos cossenos no D BCF
2 2 2
(BF) = 2 + 2 - 2 . 2 . 2 . cos 30º
BF = 2 2 - 3 Resposta
c) Pela Lei dos senos
2
sen 75º =
BF
sen 30º
Resolvendo, tem-se BF = 6 - 2 Resposta
Observação - 2 2 - 3 = 6 - 2 (mesma resposta)
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a
2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =
1
8>
2 2 2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
4
2 2sen b + cos b = 1 sen b = 7
4
2 2cos 2b = cos b - sen b = 9
16
7 2 1
8
=
cos a = cos 2b = 
>
>>
16 16
=
1
8
Portanto a = 2b
x
x
y
No D ABC , tem-se pela Lei dos senos
x
sen a =
y
sen b
No D ADC , tem-se pela Lei dos senos
Portanto 
sen g sen q
x
=
y
= sen b
sen ax
y
= sen q
sen gx
y
sen b
sen a
= sen q
sen g
Resposta a
Respostas dos exercícios da Aula 10.
01) existe e é obtusângulo
02)
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo acutângulo
d) não existe o triângulo
e) não existe o triângulo
f) triângulo acutângulo
g) triângulo obtusângulo
h) triângulo acutângulo
03) S = {c c R I 2 < c < 16 }
04) triângulo obtusângulo
05) 4 2 cm
06) 2 6 cm
07) 4( 3 + 1) cm
08) 6 3 cm e 6 2 cm
09) 6 6 cm e 6 2 cm
10) 39 cm
11) 2 37 cm
12) 11 / 14
13) 1 / 7
14) 4 3 / 7
15) 2 7 cm
16) (8 7 / 7) cm
17) S = { c | 3 5 < c < 3 13 }
18) 30º
19) (5 7 / 4) cm
20) 8 cm
21) 10 2 milhas
22) 337 metros
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 124
R
Respostas dos exercícios complementares da Aula 10.
01) 
a) triângulo retângulo
b) triângulo acutângulo
c) triângulo obtusângulo
d) não existe
e) triângulo obtusângulo
f) triângulo retângulo
g) não existe
h) triângulo acutângulo
2) 2 41 - 20 3 cm
3) 145 - 72 2 cm
4) 151 cm
5) 117 = 3 13 cm
6) 171 = 3 19 cm
7) 2 41 + 20 2 cm
8) 8 2 + 3 cm
9) -7 / 32
10) cos a = 61 / 100 cos b = -11 / 80
11) 7 cm
12) cos a = -11 / 24 sen a = tg a = 
13) 
a) -11 / 40 
b) 310
14) 
a) 61 / 100 
b) 610 cm
455
24
455
11
2
5
15) (2 3 - 3 / 3) cm
16) 6 cm
17) 3 cm ou 7 cm
18) 8 2 cm
19) 4 6 cm
20) 8 6 cm
21) 8 2 cm
22) 60º ou 120º
23) 15º ou 75º
24) x = 4 6 cm e R = 4 2 cm
25) 4 3 cm
26) 12 cm
27) 18 2 cm
28) 10 2 cm
29) 11,36 cm
30) x = 2 10 cm y = 109 cm z cm
31) 2 5 - 2 3
32) demonstração abaixo
33) 
a) 6
b) ( 2 + 6 ) / 4
c) 6 - 2
34) a
=
218
2
4
5
6
a
bc
Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2 a b cos a
2 2 2
6 = 4 + 5 - 2 . 4 . 5 . cos a cos a =
1
8>
2 2 2
4 = 5 + 6 - 2 . 5 . 6 . cos b cos b = 3
4
2 2sen b + cos b = 1 sen b = 7
4
2 2cos 2b = cos b - sen b = 9
16
7 2 1
8
=
cos a = cos 2b = 
Resolução.
32)
>
>
16 16
=
1
8 Portanto a = 2b
Jeca 125
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
r
a
P
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de 
raio 7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo 
perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que 
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por 
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não 
deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar 
cada roda de um automóvel na velocidade linear 
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada 
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a 
rolagem. (adotar p = 3,14)
Jeca 126
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 11
Circunferência e círculo.
I) Elementos da circunferência.
A
B
C
D
r
r
r
a
P
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
Dados sobre a circunferência (ou sobre o círculo)
c = 2pr - perímetro ou comprimento da circunferência.
2
S = p r - área do círculo.
360º - abertura, em graus, de uma volta completa na circunferência.
2p rad - abertura, em radianos, de uma volta completa na circunferência.
II) Exercícios.
01) Determinar o perímetro e a área de um círculo de 
raio7 m.
02) Determinar o diâmetro e a área de um círculo cujo 
perímetro mede 36p cm.
03) A roda de um automóvel tem um diâmetro que 
mede 50 cm. Determine a distância percorrida por 
esse veículo após uma de suas rodas completar 1750 
voltas. Adotar p = 3,14 e supor que a roda não 
deslize durante a rolagem.
04) Determine quantas voltas por segundo deve dar 
cada roda de um automóvel na velocidade linear 
constante de 31,4 m/s, sabendo que o raio de cada 
roda é 25 cm e que a roda não desliza durante a 
rolagem. (adotar p = 3,14)
Jeca 126
c = 2pR = 2 . p . 7 = 14p cm
2 2 2
S = pR = p7 = 49p cm
c = 2pR = 36p cm
R = 36p / 2p = 18 cm
d = 2R = 2 . 18 = 36 cm
2 2 2
S = pR = p . 18 = 324p cm Resposta
2R = 50 cm R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR = 1 750 . 2 . p . 0,25
d = 1 750 . 2 . 3,14 . 0,25 = 2 747,5 m Resposta
R = 25 cm = 0,25 m
d = n . c = n . 2pR 
31,4 = n . 2 . 3,14 . 0,25
n =
31,4
2 . 3,14 . 0,25
= 20 volta Resposta
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-
culares ligadas por uma correia. A roldana maior, 
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por 
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor 
girar. Admita que a correia não escorregue.
 Para que a roldana menor faça 150 rotações por 
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o 
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 
1 cm, como mostra a figura.
1 rad
1 c
m
"monstro"
 A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e 
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do 
"monstro", em cm, é:
a) p - 1
b) p + 1
c) 2p - 1
d) 2p
e) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, 
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o 
raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de 
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, 
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à 
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu 
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o 
piloto, aproximadamente:
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio 
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-
tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 
25 minutos é:
a) 15
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10
O
A
B
C
D
a
Jeca 127
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-
mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e 
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
06) (UNIFESP-SP) A figura mostra duas roldanas cir-
culares ligadas por uma correia. A roldana maior, 
com raio de 12 cm, gira fazendo 100 rotações por 
minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor 
girar. Admita que a correia não escorregue.
 Para que a roldana menor faça 150 rotações por 
minuto, seu raio, em centímetros, deve ser:
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
07) (VUNESP-SP) Em um jogo eletrônico, o 
"monstro" tem a forma de um setor circular com raio de 
1 cm, como mostra a figura.
1 rad
1 c
m
"monstro"
 A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e 
o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do 
"monstro", em cm, é:
a) p - 1
b) p + 1
c) 2p - 1
d) 2p
e) 2p + 1
05) (UFRJ-RJ) Precorrendo uma distância de 450 m, 
as rodas de um automóvel dão 250 voltas. Calcule o 
raio das rodas.
08) (UFJF-MG) Testes efetuados em um pneu de 
corrida constataram que, a partir de 185 600 voltas, 
ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à 
segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu 
é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o 
piloto, aproximadamente:
a) 93 km
b) 196 km
c) 366 km
d) 592 km
e) 291 km
10) (Mack-SP) O ponteiro dos minutos de um relógio 
mede 4 cm. Supondo p = 3, a distância, em centíme-
tros, que a extremidade desse ponteiro percorre em 
25 minutos é:
a) 15
b) 12
c) 20
d) 25
e) 10
O
A
B
C
D
a
09) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p cm e 4,8p cm , respectiva-
mente. Sendo os segmentos AB e CD congruentes e 
iguais a 2 cm, determine a medida do segmento OB.
Jeca 127
d = n . c = n . 2pR
450 = 250 . 2pR
R = 450 / 500p = 9 / 10p m (resp)
x 2
x 
- 2
AC = a
2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
BD = a
2p
2 . p . x
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4p
x - 2
=
4,8 p
x
x = 12 Resposta
n . 2pR = n . 2pRM M m m
100 . 2 . p . 12 = 150 . 2 . p . Rm
R = = 8 cm Resposta a m
100 . 2 . p . 12
150 . 2 . p
O ângulo central do arco de circunferência tem 
abertura (2p - 1) radianos.
Perímetro = d + 1 + 1
2p rad ------------- c = 2pR
(2p - 1) rad ----------- d
d =
2.p.1.(2p - 1)
2p
= 2p - 1
Perímetro = d + 1 + 1 = 2p - 1 + 1 + 1 = 2p + 1
Resposta e
d = 185 600 . c = 185 600 . 2.p.R
R = 0,25 m
d = 185 600 . 2 . 3,14 . 0,25 = 291 392 m
Aproximadamente 291 km Resposta e
150ºR = 4
25 minutos corresponde a um ângulo central de 150º
d = 2.p.R . 150/360
d = 2 . 3 . 4 . 150 / 360
d = 10 cm Resposta e
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um 
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo 
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O 
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas 
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
 Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre 
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo 
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cm
b) 102,4 cm
c) 92,8 cm
d) 50 cm
e) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm 
está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-
rência, um arco de medida 100º, em centímetros, 
tem comprimento:
a) 3p / 5
b) 5p / 6
c) p
d) 5p / 3
e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está 
inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, 
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 
120º é:
a) 10 2 p / 3
b) 5 p / 3
c) 5 7 p / 3
d) 10 3 p / 2
e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentos AB e 
BC correspondem, respectivamente, aos lados de 
um hexágono regular e de um quadrado, ambos 
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-
mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre 
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-
to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-
forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o 
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, 
igual a:
a) p / 2
b) p
c) 3p / 2
d) 2p
e) 3p
A
B
Jeca 128
12) (UFLa-MG) Os raios das rodas traseiras de um 
trator medem 75 cm e dão 30 voltas, ao mesmo 
tempo em que as rodas dianteiras dão 90 voltas. O 
raio de cada uma das rodas dianteiras é:
a) 20 cm
b) 30 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 22 cm.
11) (Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas 
por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.
 Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre 
seus centros é de 30 cm, qual das medidas abaixo 
mais se aproxima do comprimento da correia ?
a) 122,8 cm
b) 102,4 cm
c) 92,8 cm
d) 50 cm
e) 32,4 cm
13) (Unisa-SP) Um hexágono regular de lado 3 cm 
está inscrito numa circunferência. Nessa circunfe-
rência, um arco de medida 100º, em centímetros, 
tem comprimento:
a) 3p / 5
b) 5p / 6
c) p
d) 5p / 3
e) 10p / 3
14) (UFPI-PI) Numa circunferência na qual está 
inscrito um quadrado de lado 10 cm, o comprimento, 
em cm, de um arco dessa circunferência, medindo 
120º é:
a) 10 2 p / 3
b) 5 p / 3
c) 5 7 p / 3
d) 10 3 p / 2
e) 5 2 p / 3
15) (UEG-GO) Na figura abaixo, os segmentosAB e 
BC correspondem, respectivamente, aos lados de 
um hexágono regular e de um quadrado, ambos 
inscritos na circunferência que tem raio 6 cm. Deter-
mine o comprimento do arco ABC.
A
B
C
16) (Unifesp-SP) Um inseto vai se deslocar sobre 
uma superfície esférica de raio 50 cm, desde um pon-
to A até um ponto B, diametralmente opostos, con-
forme a figura abaixo. O menor trajeto possível que o 
inseto pode percorrer tem comprimento, em metros, 
igual a:
a) p / 2
b) p
c) 3p / 2
d) 2p
e) 3p
A
B
Jeca 128
30 cm
d = 2 . 30 + 2 . c/2 = 2 . 30 + 2 . p . 10
d = 60 + 2 . 3,14 . 10 = 122,8 cm (resp)
aH aQ
R = 6 cm
a = 360/60 = 60ºH
a = 360/4 = 90ºQ
A medida do arco ABC é 150º
Regra de três
360º -------------- 2pR
150º --------------- x
x = 150 . 2 . p . 6 / 360
x = 5p cm Resposta
 A menor distância entre os pontos A e B é uma semicircunfe-
rência de raio 50 cm.
d = 2.p.R / 2 = 2 . p . 0,50 /2 = p/2 Resposta a
R = 3
3
3
3
100º
x
 Se o hexágono tem lado 3 cm, então a circunferência tem raio 
3 cm.
 Regra de três
360º --------------------- 2pR
100º --------------------- x
x = 2 . p . 3 . 100 / 360 = 5p/3 Resposta d 
10
10
120º
x
R
R
Pitágoras
2 2 2
(2R) = 10 + 10 = 200
R = 5 2
x = 2.p.R . 120/360 = 2.p.5 2 . 120/360
x = 10p 2 /3 cm Resposta a
 A distância percorrida por uma roda dianteira é igual à distância 
percorrida por uma roda traseira.
d = dD T
n . 2pR = n . 2pRD D T T
90 . 2 . p . R = 30 . 2 . p . 75D
R = D
30 . 2 . p . 75
90 . 2 . p
= 25 cm Resposta c
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um 
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, 
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada 
pelos segmentos RQ e QP.
 Além do que indicam as figuras, sabe-se que o raio 
da roda mede 3 m e que ela gira sobre a rampa sem 
deslizar em falso. Sendo assim, o comprimento da 
rampa RQ + QP, em m, é igual a:
a) 5p + 2 3
b) 4p + 3 5
c) 6p + 3
d) 7p - 3
e) 8p - 3 5
50 cm
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros 
equidistantes 50 cm, como representado na figura 
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da 
correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-
culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem 
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
A
B
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento 
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-
cunferência maior e três semicircunferências menores 
congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-
rências sabendo que B, C e D são os centros das 
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são 
colineares. (Adotar p = 3,14)
D
E
Jeca 129
12
0º
R Q
P
A
12
0º
R Q
P
A
figura 1
figura 3
R Q
P
A
figura 2
17) (UFSCAR-SP) A sequência de figuras mostra um 
único giro do ponto A, marcado em uma roda circular, 
quando ela rola, no plano, sobre a rampa formada 
pelos segmentos RQ e QP.
Q
A
50 cm
18) (J) Três polias de raio 10 cm têm os seus centros 
equidistantes 50 cm, como representado na figura 
abaixo. Adotando p = 3, determine o comprimento da 
correia que envolve as três polias.
correia
polia
correia
20) (FUVEST-SP) A figura representa duas polias cir-
culares C e C de raios R = 4 cm e R = 1 cm, 1 2 1 2
apoiadas em uma superfície plana em P e P , 1 2
respectivamente. Uma correia envolve as polias, sem 
folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P 1
e P é 3 3 cm, determine o comprimento da correia.2
P1 P23 3 cm
A
B
C
19) (J) Uma pista de automobilismo tem comprimento 
de 1 milha (1640 m) e é composta por uma semicir-
cunferência maior e três semicircunferências menores 
congruentes. Determinar os raios das semicircunfe-
rências sabendo que B, C e D são os centros das 
semicircunferências e os pontos A, B, C, D e E são 
colineares. (Adotar p = 3,14)
D
E
Jeca 129
R
P
S
T
3
0
º
30º
60º
60º
RS tem o comprimento de um arco de 150º
ST tem o comprimento de um arco de 60º
TP tem o comprimento de um arco de 150º
SQ = QT é o cateto oposto do triângulo CSQ
tg 30º = x/3 SQ = x = 3 tg 30º = 3 3 / 3 = 3 m
RQ + QP = RS + SQ + QT + TP = 2(RS + SQ)
RQ + QP = 2(150 . 2 . p . 3 / 360 + 3 ) 
RQ + QP = 5p + 2 3 m (resp)
C
3
x
>
a
3
1
1
3 3 cm
tg a = co / ca = =
a = 60º
d - comprimento da correia
d = 2 . 3 3 + 2 . p 1 + 2 . p . 4
d = 6 3 + +
d = 6( 3 + p) cm (resp) 
3
3 3 
3
120º
240º
120
360
240
360
2p
3
16p
3
60º
120
º
50 cm
 O comprimento da correia é a soma de três trechos retos de 
comprimento 50 cm e três arcos de circunferência de raio 10 
cm e ângulo central 120º.
 Os três arcos somados são iguais a uma circunferência com-
pleta.
C = 3 . 50 + 2pR = 3 . 50 + 2 . p . 10
C = 150 + 20p = 10(15 + 2p) cm
p = 3
C = 210 cm Resposta
R R
R R
R R
1 640 2.p.R
2
1 2.p.3R3. + .
2
=
1 640 = 3pR + 3pR = 6pR
R = 1 640 / 6p = 1 640 /18,84
R = 87,05 m
R' = 3R = 261,15 m Resposta
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-
cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular 
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de 
voltas que ele deve dar é:
a) 500
b) 350
c) 450
d) 400
e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da 
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à 
razão entre os comprimentos de uma circunferência 
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.
b) verdadeira, e a razão referida vale p.
c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.
d) verdadeira, e a razão referida vale 2p.
e) falsa.
O
A
B
C
D
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. 
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 
2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m 
de comprimento e pretende fazer duas circunferên-
cias concêntricas com ela; uma circunferência menor 
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira 
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície 
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas 
completas para a roda percorrer uma distância maior 
que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios 
de dois lados de um pentágono regular de perímetro 
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do 
setor circular, determine o perímetro da região som-
breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Circunferência e círculo.
Exercícios complementares da aula 11.
01) (UEPB-PB) Um ciclista de uma prova de resistên-
cia deve percorrer 502,4 km sobre uma pista circular 
de raio 200m. Considerando p = 3,14, o número de 
voltas que ele deve dar é:
a) 500
b) 350
c) 450
d) 400
e) 300
02) (UCS-RS) A razão entre os comprimentos da 
Linha do Equador e do diâmetro da Terra é igual à 
razão entre os comprimentos de uma circunferência 
qualquer e de seu diâmetro. Essa afirmação é:
a) verdadeira, e a razão referida vale p / 2.
b) verdadeira, e a razão referida vale p.
c) verdadeira, e a razão referida vale 3p / 2.
d) verdadeira,e a razão referida vale 2p.
e) falsa.
O
A
B
C
D
a
04) (J) A figura abaixo representa um setor circular de 
centro O e ângulo central a. Os arcos AC e BD 
têm comprimentos 4p e 4,8p , respectivamente. 
Sendo os segmentos AB e CD congruentes e iguais a 
2 cm, determine a medida do ângulo a.
06) (J) Uma pessoa dispõe de uma corda com 46p m 
de comprimento e pretende fazer duas circunferên-
cias concêntricas com ela; uma circunferência menor 
de raio 10 m e outra maior, conforme a figura abaixo.
Determine a distância d entre as circunferências.
d
03) (UFRJ-RJ) Uma roda de 10 cm de diâmetro gira 
em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície 
lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas 
completas para a roda percorrer uma distância maior 
que 10 m.
A
B
05) (J) Na figura abaixo, A e B são os pontos médios 
de dois lados de um pentágono regular de perímetro 
60 m. Sendo C um vértice do pentágono e o centro do 
setor circular, determine o perímetro da região som-
breada. (Adote p = 3)
C
Jeca 130
n = número de voltas
c = 2pR = comprimento de uma volta
d = 502 400 m = distância percorrida
d = n . c = n . 2pR = n . 2 . 3,14 . 200 = 502 400
n = 502 400 / 2 . 3,14 . 200 = 400 voltas (resp)
c = 2pR - comprimento da linha do Equador.
d = 2R - diâmetro da Terra
c
d
=
2pR
2R
p= Resposta b
c = 2.p.R = 2 . 3,14 . 10 = 62,8 cm
10 m = 1 000 cm
n . 62,8 = 1 000
n = 1 000/62,8 = 15,92 voltas
Portanto, n = 16 voltas Resposta
AC = a
2p
2 . p . (x - 2)
AC = a .(x - 2)
4p = a .(x - 2)
a = 4p / (x - 2)
BD = a
2p
2 . p . x
BD = a . x
4,8 p = a . x
a = 4,8 p / x
4p
x - 2
=
4,8 p
x
x = 12 a = 4,8p/12 = 0,4p = 2p/5 radianos = 72º
Resposta
12
12
12
6
6
6
6
xa
a = 540 / 5 = 108º
Comprimento do arco x
x = 2pR . 108/360
x = 2 . 3 . 6 . 108/360
x = 10,8 cm
Perímetro da região sombreada
Per = 2p = 2 . 6 + 3 . 12 + x
Per = 2p = 48 + 10,8 = 58,8 cm Resposta
Comprimento da circunferência 
menor
c = 2pR = 2.p.10 = 20p m
Comprimento da circun-
ferência maior
c' = 46p - 20p = 26p m
Raio da circunferência maior
26p = 2pR'
R' = 26p/2p = 13 m
Distância d = R' - R = 13 - 10 = 3 m Resposta
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, 
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um 
arco de circunferência de comprimento 60 cm. 
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais 
comprido que a corda AC. Determine a medida do 
raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o 
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido 
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-
cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior 
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que 
a correia que une as polias não escorregue, determine 
o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos 
numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que 
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
07) (J) Uma mesa circular deve acomodar 8 pessoas, 
de tal forma que cada pessoa tenha disponível um 
arco de circunferência de comprimento 60 cm. 
Adotando p = 3, determine o raio da mesa.
60ºO
A
B
C
08) (J) Na figura abaixo, o arco ABC é 1 cm mais 
comprido que a corda AC. Determine a medida do 
raio da circunferência.
09) Uma circunferência tem raio R. Aumentando-se o 
raio para R + d, determine:
a) o comprimento da circunferência original;
b) o comprimento da circunferência após o raio ter sido 
aumentado;
c) o aumento do comprimento da segunda circunferên-
cia em relação à circunferência original.
10) (J) A figura abaixo representa duas polias de raios 
30 cm e 20 cm. Um motor aclopado à polia maior 
trabalha com 1750 rotações por minuto. Supondo que 
a correia que une as polias não escorregue, determine 
o nº de rotações por minuto da polia menor.
11) Calcule o comprimento de um arco de 2 radianos 
numa circunferência de raio 40 cm.
12) Calcule o raio de uma circunferência, sabendo que 
um arco de 3p / 2 radianos mede 50 cm.
Jeca 131
45º
6
0
 cm
R
360 / 8 = 45º
Regra de três
360º 2pR
 45º 60 cm
2 . 3 . R = 360 . 60 / 45 = 480
R = 480 / 6 = 80 cm (resp)
R
R
R
AC = AC + 1 = R + 1
AC =
a
360
2pR.
AC =
60
360
2pR.
AC =
pR
3
AC = AC + 1 = R + 1
pR
3
= R + 1 pR = 3R + 3 R(p - 3) = 3
R =
3
(p - 3)
cm Resposta
a) c = 2pR
b) c' = 2p(R + d) = 2pR + 2pd
c) Dc = c' - c = (2pR + 2pd) - 2pR = 2pd
 A distância percorrida por um ponto A na 1ª polia é igual à dis-
tância percorrida por um ponto B na 2ª polia.
A
B
d = d n . 2pR = n . 2pRA B A A B B
1 750 . 2 . p . 30 = n . 2 . p . 20B
n = 2 625 rpm RespostaB
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR
2 Radianos ----------------------- x
x =
2 . 2pR
2p
= 2.R = 2 . 40 = 80 cm
x = 80 cm Resposta
Regra de três
2p Radianos ---------------- c = 2pR
3p/2 Radianos ----------------- 50
2pR . 3p
2
= 2p . 50
R =
100
3p
cm Resposta
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a 
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de 
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número 
máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, 
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
N + 1.
 Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em 
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1
d
d/2
d/2
d d
A
E
C
D
F
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois 
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º 
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão 
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento 
CF e do arco de circunferência AD, em função de d, 
é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)
6
(3 + p)
d
6
(4 3 + p)
12
d
d(12 + p)
24
(2 3 + p)
12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura 
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro 
circular plano, no qual pretende-se plantar duas 
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m 
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
a) 22
b) 88
c) 231
d) 462
e) 924
60º
Jeca 132
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm 
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus 
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-
reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
13) (UFSCar-SP) Uma pizza circular será fatiada, a 
partir do centro, em setores circulares. Se o arco de 
cada setor medir 0,8 radiano, obtém-se um número 
máximo de N fatias idênticas, sobrando, no final, 
uma fatia menor que é indicada na figura por fatia
N + 1.
 Considerando p = 3,14, o arco da fatia N + 1, em 
radiano, é
a) 0,74
b) 0,72
c) 0,68
d) 0,56
e) 0,34
fatia 1
fatia 2
fatia 3
fatia N
fatia N + 1
d
d/2
d/2
d d
A
E
C
D
F
14) (FGV-SP) Na figura estão representados dois 
quadrados de lado d e dois setores circulares de 90º 
e raio d. Sabendo que os pontos A, E e C estão 
alinhados, a soma dos comprimentos do segmento 
CF e do arco de circunferência AD, em função de d, 
é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
(2 3 + p)
6
(3 + p)
d
6
(4 3 + p)
12
d
d(12 + p)
24
(2 3 + p)
12
d
d
15) (UESB-BA) O setor de 60º destacado na figura 
abaixo, corresponde à superfície de um canteiro 
circular plano, no qual pretende-se plantar duas 
roseiras por metro quadrado. Se o canteiro tem 42 m 
de diâmetro, quantas roseiras deverão ser plantadas ?
(Use p = 22/7)
a) 22
b) 88
c) 231
d) 462
e) 924
60º
Jeca 132
2p = 2 . 3,14 = 6,28 radianos (arco de uma volta)
6,28 / 0,8 = 6,85
Portanto6,28 = 7 . 0,8 + x = 5,6 + x
x = 6,28 - 5,6 = 0,68 radianos (resp)
16) (J) A figura abaixo representa duas polias que têm 
raios 58 cm e 18 cm e a distância entre os seus 
centros é de 80 cm. Determine o comprimento da cor-
reia que envolve as duas polias. (p = 3)
correia
(GeoJeca)
d/2
d
d
(2 3 + p) d
6
Se d = 42 m , então R = 21 m
2 2 2
Área do círculo S = pR = p(21) = 441 . 22/7 = 1 386 m
Área do setor circular
S =
a
360
2
pR =
360
60 . 1 386 2231 m=
 Se serão plantadas duas roseiras por metro quadrado, então o 
número de roseiras plantadas será
N = 2 . 231 = 462 roseiras Resposta d
18
40
80
18
a
sen a =
40
80
1
2
a = 30º=
120º240º
60º
60º
a
b
c
 O comprimento da correia será a soma dos comprimentos dos 
arcos a e b e dos dois segmentos retos c.
cos 30º = c80
c = 80.cos 30º = 80 3 /2 = 40 3 cm 
a =
q
360
.2pR =
360
. 2 . 3 . 58240 = 232 cm
b =
q
360
.2pR =
360
. 2 . 3 . 18120 = 36 cm
Comprimento total da correira
d = a + b + 2c = 232 + 36 + 2(40 3 ) 
d = (268 + 80 3 ) cm Resposta
a
a
d/2
d
1sen a =
co
hip
= =
2
Portanto a = 30º
AD = 30
360
2.p.d pd=
6
tg a = tg 30º = CF / EF = CF / d
3 =
CF
d3
CF = d 3 /3
AD + CF = 
pd
6
+ d 3
3
=
Resposta a
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, 
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um 
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de 
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de 
cada um dos dois barbantes e fizer uma 
circunferência com cada um deles, haverá uma folga 
d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
 Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 2
2 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual 
o aumento necessário no raio desse círculo para se 
obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a 
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião 
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). 
Determine a máxima rotação por minuto que uma 
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer 
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo 
como base um pentágono regular e cinco círculos 
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do 
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada 
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3. (GeoJeca)
17) (UFLa-MG) Amarre um barbante, bem ajustado, 
em volta de uma bola de futebol. Agora amarre um 
barbante, bem ajustado, em volta de uma bola de 
gude. Se você aumentar 1 m no comprimento de 
cada um dos dois barbantes e fizer uma 
circunferência com cada um deles, haverá uma folga 
d entre a bola de futebol e o primeiro barbante e uma 1
folga d entre a bola de gude e o segundo barbante.2
 Assinale a alternativa correta.
a) d > d1 2
b) d < d1 2
c) d = d + 11 2
d) d = d1 2
2 2
e) p(d - d ) = 12 1
d1 d2futebol
gude
18) (J) Dado um círculo C de área S, determinar qual 
o aumento necessário no raio desse círculo para se 
obter um segundo círculo de área 3S.
19) (J) Estudos aerodinâmicos recomendam que a 
velocidade escalar da ponta de uma hélice de avião 
seja inferior à velocidade do som no ar (340 m/s). 
Determine a máxima rotação por minuto que uma 
hélice de diâmetro 1,70 m pode atingir para obedecer 
o recomendado pela aerodinâmica. (Adote p = 3,14)
Jeca 133
c = 2pRA A
R = c / 2pA A
c = c + 1 = 2pRB A B
R = (c + 1) / 2pB A
d = R - R1 B A
d = (c + 1 - c ) / 2p 1 A A
d = 1 / 2p1
c = 2pRC C
R = c / 2pC C
c = c + 1 = 2pRD C D
R = (c + 1) / 2pD C
d = R - R2 D C
d = (c + 1 - c ) / 2p 2 C C
d = 1 / 2p2
Portanto d = d (resp)1 2
e = 360/5 = 72º
108º 2
5
2
º
162º
10
8º
162º
20) (J) Uma pista automobilística foi traçada tendo 
como base um pentágono regular e cinco círculos 
congruentes, cujos centros estão sobre os vértices do 
pentágono e se tangenciam. Sabendo que a pista tem 
3 648 m de comprimento, determine o raio de cada 
círculo e o comprimento da única reta dessa pista.
Adote p = 3. (GeoJeca)
108
162
162
108
252
792º
R
R
R
R
R
R
R
R
R
 O comprimento total da pista é uma reta de comprimento 2R e 
a soma dos arcos de circunferência, cujo total é 792º.
Regra de três
360º ----------- 2pR
792º ----------- x
x = 792 . 2 . p . R / 360
x = 13,2 R
d = x + 2R
3648 = 13,2 R + 2R = 15,2 R
R = 3648/15,2 = 240 m
a)
R = 240 m
 Resposta a)
b) Comprimento da
reta = 2R
2R = 2.240 = 480 m
 Resposta b)
r R
2
S = p.r
2
r = S/p
r 
2
3S = p.R
2
R = 3S/p
R 
=
S
p =
S.p
p
3S
p= =
3.S.p
p
Aumento necessário do raio
DR = R - r = 3.S.pp -
S.p
p
S
3S
DR =
 3 . S.p - S.p
p =
DR = S.p .( 3 - 1)p
Resposta
Se d = 1,70 m , então R = 0,85 m
Comprimento de uma volta
c = 2pR = 2 . 3,14 . 0,85 = 5,338 m
n = nº de voltas da hélice em 1 segundo
n . c = n . 5,338 < 340 (restrição aerodinâmica)
n < 340 / 5,338
n < 63,694 voltas por segundo
Por minuto, tem-se
RPM = 63,694 . 60 = 3821 voltas Resposta
Respostas dos exercícios da Aula 11.
2
01) 14p m e 49p m
2
02) 36 cm e 324p cm
03) 2747,5 m
04) 20 voltas
05) (0,90 / p) m
06) 8 cm
07) e
08) e
09) 12 cm
10) e
11) a
12) c
13) d
14) a
15) 5p cm
16) a
17) a
18) 210 cm
19) 87,05 m e 261,15 m
20) 6( 3 + p) cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 134
Respostas dos exercícios complementares da Aula 11.
01) d
02) b
03) 16 voltas
04) 72º
05) 58,8 m
06) 3 m
07) 80 cm
08) (3 / p - 3) cm
09)
a) 2pr
b) 2p(r + d)
c) 2pd
10) 2625 rpm
11) 80 cm
12) (100 / 3p) cm
13) c
14) a
15) d
16) (80 3 + 268) cm
17) d) 
18) DR = [ S.p .( 3 - 1)] / p
19) 3821 rpm
20) 240 m e 480 m
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 135
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
 Todo hexágono regular pode ser 
dividido em seis triângulos equiláte-
ros.
l
l
l
l
l
l
l
l
l l
ll
R
 =
 l
r
l 3
2
 =r R = ll 3
6
 =r R = l
2
 =r R =l 3
3
l 2
2
r
30º
R
BICO
 Em todo triângulo equilátero os 
quatro pontos notáveis (BICO) coin-
cidem num mesmo ponto.
R
r
45º
III) Apótema de um polígono regular.
 O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um 
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de 
polígonos regulares.
Jeca 136
I) Polígono regular.
e
e
e
e
e
i
i
i
ii
a
 Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
 etc
Classificação dos polígonos regulares
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
i =
Si
n >
180 (n - 2)
i = n
e =
Se
n >
360e = n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa circunferência.
ângulo
central
C
II) Principais polígonos regulares.
1) Triângulo equilátero. 3) Hexágono regular.2) Quadrado.
60º
 Todo hexágono regular pode ser 
dividido em seis triângulos equiláte-
ros.
l
l
l
l
l
l
l
l
l l
l
l
R
 =
 l
r
l 3
2
 =r R = ll 3
6
 =r R = l
2
 =r R =l 3
3
l 2
2
r
30º
R
BICO
 Em todo triângulo equilátero os 
quatro pontos notáveis (BICO) coin-
cidem num mesmo ponto.
R
r
45º
III) Apótema de um polígono regular.
 O apótema de um polígono regular é a distância entre o centro do polígono e o ponto médio de qualquer lado.
O apótema é o raio da circunferência inscrita no polígono.
Exercício 01 - Determinar o raio da circunferência inscrita e o raio da circunferência circunscrita em um 
quadrado de lado 12 cm.
12 cm
l - lado do polígono regular
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 12
Inscrição e circunscrição de 
polígonos regulares.
Jeca 136
R
r
r = 12 / 2 = 6 cm
R = d / 2 = 12 2 / 2 = 6 2 cm
 (resp)
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-
ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num 
triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita 
num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-
crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-
culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-
gono regular de lado 2k.
Jeca 137
02) Determine o raio da circunferência inscrita num tri-
ângulo equilátero de lado 4 cm.
03) Determine o raio da circunferência circunscrita num 
triângulo equilátero de lado 8 cm.
04) Determine o raio da circunferência circunscrita 
num quadrado de lado 14 cm.
05) Determine o lado de um hexágono regular circuns-
crito em uma circunferência de raio 3 cm.
06) Determine o lado de um quadrado inscrito num cír-
culo de raio k.
07) Determine o raio de um círculo inscrito num hexá-
gono regular de lado 2k.
Jeca 137
30º
30º
2 2
r
tg 30º = co / ca = r / 2
r = 2 tg 30º
r = 2 3 / 3 cm (resp)
30º
4
R
4
cos 30º
=
ca
hip
4
R
=
4R
cos 30º
=
=
8 3
3
cm 
Resposta
45º
7 cm
R
sen 45º =
co
hip
7
R
=
7
=R
sen 45º
= 7 2 cm
Resposta
60º
l
3
l
l
sen 60º =
co
hip
3
=
3
=
sen 60º
= 2 3 cm
Resposta
l
l
2k
x
x
Pitágoras
2 2 2 2
(2k) = x + x = 2x
2 2
4k = 2x
2 2 2
x = 4k /2 = 2k
2
x = 2k = k 2 Resposta
2k 2k
2k
r
60º
sen 60º =
co
hip
r
2k
=
r = 2k.sen 60º = 2k 3 /2
r = k 3 Resposta
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero 
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 
cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero 
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-
látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num 
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 
7 cm.
Jeca 138
R
r
h
08) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero 
é 8 cm, determine:
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
8 cm
8 
cm
8 cm
09) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero 
é 12 cm, determine:
a) o lado do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
R
r
h
10) Determine a medida do lado de um triângulo equi-
látero inscrito numa circunferência de raio 5 cm.
11) Determine o raio da circunferência inscrita num 
hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 
7 cm.
Jeca 138
60º
a) sen 60º = h / 8
 h = 8 sen 60º
 h = 8 3 / 2
 h = 4 3 cm (resp)
b) r = h / 3 = 4 3 / 3 cm (resp)
c) R = 2.r = 2 . 4 3 / 3
 R = 8 3 / 3 cm (resp)
60º
12l
b) r = h/3 = 12/3 = 4 cm
a)
c) R = 2r = 2 . 4 = 8 cm
sen 60º co
hip
=
sen 60º =
12
l
l = 12
sen 60º
l = 8 3 cm
l
R =
 5
l/2
30º
cos 30º =
ca
hip
=
l/2
5
l
=
2
5.cos 30º =
5 3
2
l = 5 3 cm Resposta R = 7
60º
r
sen 60º =
co
hip
r
7
=
r = 7.sen 60º = 7. 3 /2
r = 7 3 /2 cm Resposta
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-
tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-
lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-
gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero 
inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular 
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa 
mesma circunferência ?
Jeca 139
12) Qual é a razão entre o lado de um triângulo equilá-
tero e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
13) Qual é a razão entre o lado de um hexágono regu-
lar e o lado de um quadrado circunscritos à mesma 
circunferência ?
14) Qual é a razão entre o perímetro do hexágono re-
gular circunscrito e o perímetro do triângulo equilátero 
inscrito numa mesma circunferência ?
15) Qual é a razão entre o lado do hexágono regular 
circunscrito e o perímetro do quadrado inscrito numa 
mesma circunferência ?
Jeca 139
L /2Q
L /2 T
30º
r
L lado do quadradoQ
L lado do triânguloT
L = 2rQ
tg 30º = r / L /2T
L .tg 30º = 2.rT
L = 2r / ( 3 / 3)T
L = 2r . 3 / 3T
L = 2r 3 cmT
LT
LQ
=
2r 3
2r
= 3 (resp)
L /2H
L /2Q
3
0
º
tg 30º =
co
ca =
L /2H
L /2Q
3
3
=
LH
LQ
LH
LQ
3
3
= Resposta
LH
L /2TR
R
30
º
30º
cos 30º =
ca
hip
R
LH
=
LH =
R
cos 30º
=
2R 3
3
cos 30º =
ca
hip R
=
L /2T
cos 30º
2R
=
LT
LT = 2R.cos 30º = 2R 3 /2 = R 3
PerH
PerT
=
6.LH
3.LT
=
6. 2R 3
3
3.R 3
= 4
3
Resposta
LH L /2Q
RR
45º30º
cos 45º =
ca
hip R
=
L /2Q
LQ
=
2
R.cos 45º =
R 2
2
LQ = R 2
cos 30º =
ca
hip
R
=
LH
LH =
R
cos 30º 
=
2R 3
3
LH
PerQ
=
4.LQ
LH =
2R 3
3
4.R 2
=
6
12
Resposta
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferênciacircunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
c) o perímetro do quadrado.
rR
l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Inscrição e circunscrição de polígonos
 regulares. 
Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
1) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o apótema do triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o lado do triângulo.
R
R
r
r
h
h
l l
l
2) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 5k, determinar em função de k :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita e o apótema.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
5k 5k
5k
3) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita a um quadrado é 8 cm, determinar :
a) o apótema e o raio da inscrita.
b) o lado do quadrado.
c) o perímetro do quadrado.
rR = 8
l
l
l
l
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Inscrição e circunscrição de polígonos
 regulares. 
Exercícios complementares da aula 12.
Jeca 140
3
60º
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm (resp)
b) a = r = 1 cm (resp)
c) R = 2r = 2 . 1 = 2 cm (resp)
d) sen 60º = h/l = 3/l
3
2
=
3
l
l =
3
6
=
6 3
3
= 2 3 cm (resp)
60º
a)
b) r = h/3 =
c) R = 2r = 
sen 60º co
hip
=
h
h
=
5k
h = 5k.sen 60º = 5k 3 /2
5k 3 /2
3
=
5k 3
6
a = r =
5k 3
6
5k 3
3
45º
b) l = 2r = 8 2 cm 
a)
c) Perímetro = 4l = 32 2 cm
sen 45º =
co
hip
r
8
=
a = r = 8.sen 45º = 8 2 /2 = 4 2 cm
rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita.
4) Sabendo-se que um quadrado tem lado k, determinar em função de k :
a) o perímetro do quadrado.
b) o apótema do quadrado e o raio da circunferência inscrita no quadrado..
c) a diagonal do quadrado e o raio da circunferência circunscrita. rR
k
k
k
k
5) Sabendo-se que um hexágono regular tem lado 7 cm, determinar :
a) o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.
b) o apótema e o raio da circunferência inscrita no hexágono.
c) o perímetro do hexágono.
6) Sabendo-se que o apótema de um hexágono regular é 3k, determinar em função de k :
a) o raio da circunferência inscrita no hexágono.
b) o raio da circunferência circunscrita no hexágono.
c) o lado e o perímetro do hexágono.
Jeca 141
a) 2p = 4k (resp)
b) a = r = k/2 (resp)
2 2 2 2
c) Pitágoras d = k + k = 2k 
 
 d = k 2 (resp)
 d = 2R
 R = d/2 = k 2 / 2 (resp)
R = 7 cm
R R
a) O triângulo é equilátero. Portanto R = lado = 7 cm
60º
7 
cm r
b) sen 60º =
co
hip
r
7
=
r = 7.sen 60º = 7 3 /2 cm
apótema = raio da inscrita (a = r = 7 3 /2 cm)
c) Perímetro = 2p = 6 . 7 = 42 cm 
Resposta
Resposta
Resposta
a) apótema = raio da inscrita 
Portanto a = r = 3k
3kR
60º
b) sen 60º =
co
hip
3k
R 
=
R
=
3k
sen 60º
= 2k 3
c) l = R = 2k 3
Perímetro = 6.l = 12k 3
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos 
numa mesma circunferência.
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a 
razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre 
o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
Jeca 142
7) Determinar a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero e o perímetro de um hexágono regular inscritos 
numa mesma circunferência.
8) Na figura abaixo, o quadrado e o triângulo equilátero estão inscritos numa mesma circunferência. Determinar a 
razão entre o raio da circunferência inscrita no quadrado e o raio da circunferência inscrita no triângulo.
9) Um quadrado e um hexágono regular são circunscritos a uma mesma circunferência. Determinar a razão entre 
o raio da circunferência circunscrita ao hexágono e o raio da circunferência circunscrita ao quadrado.
Jeca 142
R
R
L /2T30º
LH
L lado do hexágonoH
L = RH
L lado do triânguloT
cos 30º = R / (L / 2)T
3
2
=
R
LT
2
3 LT
6 LH
=
6R
3 LT
6 LH
=
 3
2
(resp)
R 3=LT
3R 3
30º
R
R
RQ
RT
45º
sen 45º =
co
hip
RQ
R
R = R.sen 45º = R 2 /2Q
=
sen 30º =
co
hip
RT
R
R = R.sen 30º = R/2T
=
RQ
RT
=
R 2 /2
R/2
2= Resposta
RH
R Q
RH
RQ
R
R
30º
45º
cos 45º =
ca
hip
=
R
RQ
RQ =
R
cos 45º
= R 2
cos 30º =
ca
hip
=
R
=
R
cos 30º
=
2R 3
RH
RH 3
=
2R 3
3
R 2
=
6
3
Resposta
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse octógono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse dodecágono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
Jeca 143
10) Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio 12 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse octógono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse octógono.
11) Um dodecágono regular está inscrito numa circunferência de raio 7 cm. Determinar :
a) o lado e o perímetro desse dodecágono.
b) o raio da circunferência inscrita nesse dodecágono.
Jeca 143
12
12
22
,5º
22,5º
r
LO
L lado do octógonoO
Lei dos cossenos
2 2 2
L = 12 + 12 - 2 . 12 . 12 . cos 45ºO
2
L = 144 + 144 - 144 2O
L = 288 - 144 2 = 144(2 - 2 )O
L = 12 2 - 2 cm Per = 96 2 - 2 cm (resp)O
a)
b)
2 2 2
Pitágoras 12 = r + (L /2)O
2 2
144 = r + [12 2 - 2 )/2]
2 2
r = 144 - (6 2 - 2 ) = 144 - [36(2 - 2)] = 144 - 72 + 36 2
2
r = 72 + 36 2 = 36(2 + 2 )
r = 36(2 + 2 ) = 6 2 + 2 cm (resp)
7 c
m
30º
r
a) Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
2 2 2
x = 7 + 7 - 2. 7. 7. cos 30º
2
x = 49 + 49 - 49 3
x = 7 2 - 3 cm
Perímetro = 2p = 84 2 - 3 cm
b) Pitágoras
2 2 2
7 = r + (x/2) 
2
r = 49 - 49(2 - 3 ) /4 = 49(2 - 3 ) /4
r = 7 2 - 3 /2 
x
Respostas dos exercícios da Aula 12.
01) 6 cm e 6 2 cm
02) (2 3 / 3) cm
03) (8 3 / 3) cm
04) 7 2 cm
05) 2 3 cm
06) k 2 
07) k 3
08) 
a) 4 3 cm
b) (4 3 / 3) cm
c) (8 3 / 3) cm
09)
a) 8 3 cm
b) 4 cm
c) 8 cm
10) 5 3 cm
11) (7 3 / 2) cm
12) 3
13) 3 / 3
14) 4 / 3
15) 6 / 12
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 144
Respostas dos exercícios complementares da Aula 12.
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
01)
a) 1 cm
b) 1 cm
c) 2 cm
d) 2 3 cm
02) 
a) 5k 3 / 2
b) 5k 3 / 6
c) 5k 3 / 3
03) 
a) 4 2 cm
b) 8 2 cm
c) 32 2 cm
04) 
a) 4k
b) k / 2
c) k 2
d) k 2 / 2
05) 
a) 7 cm
b) (7 3 / 2) cm
c) 42 cm
06)
a) 3k
b) 2k 3
c) 2k 3
d) 12k 3
07) 3 / 2
08) 2 
09) 6 / 3
10)
a) 12 2 - 2 cm e 96 2 - 2 cm
b) 6 2 + 2 cm
11) 
a) 7 2 - 3 cm e 84 2 - 3 cm
b) (7 2 + 3 / 2) cm
Jeca 145
I) Áreas das figuras planas.
 Área é a medida de superfície.
II) Áreas das figuras poligonais.
1) Área do retângulo. 2) Área do quadrado. 3) Área do paralelogramo.
4) Área do trapézio. 5) Área do losango. 6) Área do triângulo.
S = b . h
b
h
2
S = l
l
l S = b . hb
h
b
B
h
S=
b + B h
2
.( )
d
D
S =
d . D
2 b
h
S =
b . h
2
III) Outras fórmulas para o cálculo da área de um triângulo.
IV) Áreas das figuras circulares.
2) Em função dos 3 lados (Fórmula de Hierão)1) Em função de dois lados e do ângulo entre eles.
3) Em função do raio da circunferência inscrita. 4) Em função do raio da circunferência circunscrita.
a
a
b
a . b. sen a1
2
S =
(Importantíssima)
a
b
c
p.(p - a)(p - b)(p - c)S =
p - semiperímetro
a + b + c
2
p =
r
a
b
c
S = p . r
p - semiperímetro
a + b + c
2
p =
R
a
b
c
S =
a . b . c
4 R
1) Área do círculo. 2) Área da coroa circular.
Área do círculo
Perímetro do círculo
S =
2
p r
c = 2 p r
r
r - raio do círculo.
R
r
S =
2 2
p R - p r
R - raio do círculo maior
r - raio do círculo menor
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Aula 13
Áreas das figuras planas.
Jeca 146
3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.
r - raio do círculo.
a
r
r
C
r
r
C
a
Regra de três
2
360º p r
a Ssetor
Ssetor =
a
360
2
p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo
Lembrar que a área
do triângulo é dada por
a . b. sen a1
2
Striângulo =
V) Áreas das figura semelhantes.
 Duas figuras planas são 
ditas semelhantes se uma 
delas é a redução ou a 
ampliação da outra. l1
l2
S1
S2 l1S1
S2
=
l2
( )
2
Se duas figuras planas
são semelhantes, então vale
a relação:
 - comprimento
S - área
l
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, 
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que 
compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2
S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8
A B
C D E F G H
I J K
L M
O
N
P
S6 S7
S8
S4
S5
S1
S2 S3
1 cm
Jeca 147
3) Área do setor circular. 4) Área do segmento circular.
r - raio do círculo.
a
r
r
C
r
r
C
a
Regra de três
2
360º p r
a Ssetor
Ssetor =
a
360
2
p r. S = S - Ssegmento circular setor triângulo
Lembrar que a área
do triângulo é dada por
a . b. sen a1
2
Striângulo =
V) Áreas das figura semelhantes.
 Duas figuras planas são 
ditas semelhantes se uma 
delas é a redução ou a 
ampliação da outra. l1
l2
S1
S2 l1S1
S2
=
l2
( )
2
Se duas figuras planas
são semelhantes, então vale
a relação:
 - comprimento
S - área
l
Exercício 01 - A figura abaixo é um quadriculado onde cada quadradinho tem lado 1 cm. Todos os pontos, A, 
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O e P estão exatamente sobre os cruzamentos das linhas que 
compõem o quadriculado. Com base no desenho e nestas informações, calcule a área de cada polígono (S , S , 1 2
S , S , S , S , S e S ). Faça os cálculos dentro do próprio desenho.3 4 5 6 7 8
A B
C D E F G H
I J K
L M
O
N
P
S4
1 cm
Jeca 147
S1
S2
S6 S7
S8
S5
S3
S = d . D / 21
S = 8 . 14 / 21
2
S = 56 cm1
S = [(b + B) . h / 2] + [(b' + B') h / 2]2
S = [(7 + 17).7/2] + [7 + 3).7/2]2
2
S = 84 + 35 = 119 cm2
S = b . h / 23
S = 13 . 7 / 23
2
S = 91 / 2 cm3
S = b . h5
2
S = 11 . 11 = 121 cm5
S = (b + b) . h / 26
S = (6 + 22) . 13 / 26
2
S = 182 cm6
S = b . h = 10 . 78
2
S = 70 cm8
S = b . h / 27
 S = 9 . 16 / 27
2
 S = 72 cm7
S = S - S - S - S 4 RET T1 T2 T3
S = 176 - 28 - 44 - 324
2
S = 72 cm4
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de 
lado 16 cm.
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 
4 cm.
04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-
crito numa circunferência de raio 8 cm.
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 
6 cm e 7 cm.
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, 
determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo 
e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, 
determinar o raio da circunferência circunscrita nesse 
triângulo.
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
12
0º
6 
cm
15 cm
09) Determinar a área do trapézio abaixo.
12 cm
15 cm
5 cm
Jeca 148
02) Determinar a área de um triângulo equilátero de 
lado 16 cm.
03) Determinar a área de um hexágono regular de lado 
4 cm.
04) Determinar a área de um dodecágono regular ins-
crito numa circunferência de raio 8 cm.
05) Determinar a área de um triângulo de lados 5 cm, 
6 cm e 7 cm.
06) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, 
determinar o raio da circunferência inscrita no triângulo 
e a altura relativa ao lado que mede 6 cm.
07) Dado um triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm, 
determinar o raio da circunferência circunscrita nesse 
triângulo.
08) Determinar a área do paralelogramo abaixo.
12
0º
6 
cm
15 cm
09) Determinar a área do trapézio abaixo.
12 cm
15 cm
5 cm
Jeca 148
S = a . b . sen a 
1
2
S = 16 . 16 . sen 60º 
1
2
S = 16 . 16 . 
1
2 2
3
2
S = 64 3 cm (resp)
4
4 4
4
4 4 4
60º
S = 6.S = 6. .a . b . sen aHEX TRIÂNG
S = 6 . . 4 . 4 . ( 3 / 2)HEX
2
S = 24 3 cm (resp)HEX
1
2
1
2
S = 12 . S = 12 . . a . b . sen aDODEC TRIÂNG
a = 360 / 12 = 30º
2
S = 12 . . 8 . 8 . = 192 cm (resp)DODEC
1
2
1
2
1
2
Fórmula de Hierão - S = p(p - a)(p - b)(p - c)
p - semiperímetro p = (a + b + c) / 2
p = (5 + 6 + 7)/2 = 18/2 = 9 cm
2
S = 9(9 - 5)(9 - 6)(9 - 7) = 6 6 cm (resp)
2
Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG
S = p . r - área do triângulo em função do raio da inscrita
p = (a + b + c)/2 = (5 + 6 + 7)/2 = 9
2
6 6 = 9 . r r = 6 6 / 9 = (2 6 / 3) cm (resp)
S = B . h / 2
6 6 = 6 . h / 2 h = 2 6 cm (resp)
>
>
2
Do exercício nº 05, tem-se que S = 6 6 cmTRIÂNG
S = a . b . c / 4R - área do triângulo em função do raio da
 circunscrita
6 6 = 5 . 6 . 7 / 4R 4R 6 = 35
R = 35 / 4 6 = (35 6 / 24) cm (resp)
>
>
15 cm
6 
cm
12
0º
S = 2 S = 2. . a . b. sen aPARALEL TRIÂNG
S = 2 . . 6 . 15 . ( 3 / 2)PARALEL
2
S = 45 3 cm (resp)PARALEL
1
2
1
2
3
h
Pitágoras
h = 4 cm
S= ( )h = ( ) . 4TRAP
2
S = 54 cm (resp)TRAP
b + B
2
12 + 15
2
A B
CD
E
F
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os 
centros dos dois semicírculos e B o centro do setor 
circular e sabendo que as figuras circulares 
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a 
área da região sombreada. (deixar em função de p)
2 cm
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro 
do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do 
setor circular e sabendo que as figuras circulares 
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a 
área da região sombreada. (deixar em função de p)
A
B C
D
E
F
2 cm
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro 
do semicírculo e B e C os centros dos setores circular 
e sabendo que as figuras circulares tangenciam os 
lados dos quadradinhos, determine a área da região 
sombreada. (deixar em função de p)
A B
CD
E
3 cm
A B
CO
60º
13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e 
o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 
3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k 
e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
3 2 2 2
a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k
a
b
k
A B
CD
P
15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. 
Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a 
área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e 
de b, é :
a)
b)
c)
d)
e)
k(k )a
2
b
2
k(k )a
2
b
2
+
k(k )a
2
b
2
+ +
k(k )a
2
b
2
+
2
k ( )a
2
b
2
+
Jeca 149
A B
CD
E
F
10) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 16 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E e F os 
centros dos dois semicírculos e B o centro do setor 
circular e sabendo que as figuras circulares 
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a 
área da região sombreada. (deixar em função de p)
2 cm
11) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 36 quadradinhos de lado 2 cm. Sendo E o centro 
do semicírculo, F o centro do círculo e B o centro do 
setor circular e sabendo que as figuras circulares 
tangenciam os lados dos quadradinhos, determine a 
área da região sombreada. (deixar em função de p)
A
B C
D
E
F
2 cm
12) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, dividido 
em 36 quadradinhos de lado 3 cm. Sendo E o centro 
do semicírculo e B e C os centros dos setores circular 
e sabendo que as figuras circulares tangenciam os 
lados dos quadradinhos, determine a área da região 
sombreada. (deixar em função de p)
A B
CD
E
3 cm
A B
CO
13) Na figura abaixo, A, B e C são pontos de tangência e 
o círculo está inscrito no setor circular de centro O, raio 
3 cm e ângulo central 60º. Determinar a área do círculo.
14) Um trapézio tem base maior 5k, base menor 2k 
e altura 4k. A área do trapézio, em função de k, é :
3 2 2 2
a) 7k b) 11k c) 7k d) 14k e) 12k
a
b
k
A B
CD
P
15) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de lado k. 
Sendo P um ponto que dista a de BC e b de CD, a 
área do quadrilátero ABPD, em função de k, de a e 
de b, é :
a)
b)
c)
d)
e)
k(k )a
2
b
2
k(k )a
2
b
2
+
k(k )a
2
b
2
+ +
k(k )a
2
b
2
+
2
k ( )a
2
b
2
+
Jeca 149
S1 S2
S3
S1
S2
S3
S1
S2
S3
2 2
S = p . 2 = 2p cm 1
1
2
2 2
S = p . 4 = 4p cm 2
1
4
2 2
S = p . 4 = 8p cm 3
1
2
2
S = 8 . 8 = 64 cmQuad
2
S = 64 - 2p - 4p - 8p = 64 - 14p = 2(32 - 7p) cm (resp)Somb
2 2
S = p . 8 = 16p cm 1
1
4
2 2
S = p . 4 = 8p cm 2
1
2
2 2
S = p . 2 = 4p cm 3
2
S = 12 . 12 = 144 cmQuad
2
S = 144 - 16p - 8p - 4p = 144 - 28p = 4(36 - 7p) cm (resp)Somb
2 2
S = p . 9 = 81p / 2 cm 1
1
2
2 2
S = p . 9 = 81p / 4 cm 2
1
4
2 2
S = p . 6 = 9p cm 3
1
4
2
S = 18 . 18 = 324 cmQuad
2
S = 324 - 81p/2 - 81p/4 - 9p = 9(36 - 31p/4) cm (resp)Somb
R
3 -
 R
R
30º
30º
sen 30º = R / 3 - R
R = sen 30º (3 - R)
R = (3 - R)
3R / 2 = 3 / 2
R = 1 cm 
2
S = pR
2
S = p.1
2
S = p cm
1
2
k - a a
b
k 
- 
b
2
S = k - a . b - [(k - a).b / 2] - [(k - b).a / 2]SOMB
S = k[k - (a / 2) - (b / 2)] (resp)SOMB
S = ( )h = ( ) . 4kTRAP
2
S = 14k (resp)TRAP
b + B
2
2k + 5k
2
17) Na figura abaixo, estão representados quatro 
círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado 
de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro 
2
círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
a) 100p - 100
b) 100p - 25
c) 75p / 2
d) 50p / 3
e) 75p / 4
O
a
b
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são 
concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a 
área da região hachurada.
6 2 cm
3
 2
 c
m
C
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência 
de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-
minar a área da região sombreada.
19) Determinar a área da coroa circular abaixo, 
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo 
interno. A
B
21) Na figura abaixo estão representados dois 
octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm 
e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre 
as diagonais do maior. Determine a área da região 
sombreada.
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a 
altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o 
centro da circunferência, determine a área da região 
externa ao triângulo e interna à circunferência.
C
B
A
Jeca 150
17) Na figura abaixo, estão representados quatro 
círculos congruentes tangentes entre si e um quadrado 
de lado 5 cm, cujos vértices são os centros dos quatro 
2
círculos. A área da região sombreada, em cm , é :
a) 100p - 100
b) 100p - 25
c) 75p / 2
d) 50p / 3
e) 75p / 4
a
16) (UFV-MG) As circunferências da figura abaixo são 
concêntricas e têm raios de 1 cm e 2 cm. Determine a 
área da região hachurada.
6 2 cm
3
 2
 c
m
C
18) A figura abaixo representa uma semi-circunferência 
de centro C , onde existe um retângulo inscrito. Deter-
minar a área da região sombreada.
19) Determinar a área da coroa circular abaixo, 
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo 
interno. A
B
21) Na figura abaixo estão representados dois 
octógonos regulares. A medida do lado do maior é 8 cm 
e o octógono menor tem os seus lados apoiados sobre 
as diagonais do maior. Determine a área da região 
sombreada.
20) Na figura abaixo, o diâmetro AB coincide com a 
altura do triângulo equilátero de lado 12 cm. Sendo C o 
centro da circunferência, determine a área da região 
externa ao triângulo e interna à circunferência.
C
B
A
Jeca 150
a
a
b
a
q q
a + b = 120º
q = b / 2
cos a = 1/2
a = 60º
b = 60º 
q = 30º 2
2
1
SA
SV
S = 4 S + 4 S - SSomb A V Círculo
2
S = 4 1 . 2 . sen 30º + 4 1 . 2 .sen 60º - prSomb
1
2
1
2
2
S = 4 1 . 2 . + 4 1 . 2 . - p1Somb
1
2
3
2
1
2
1
2
2
S = 2 + 2 3 - p = [2(1 + 3 ) - p)] cm (resp)Somb
120º
12
0º
R = h/2
R R
60º
2
S = 2(S - S ) = 2( pR - .a . b . sen a)SOMB SETOR TRIÂNG
2
S = 2( p(3 3 ) - 3 3 . 3 3 .( 3 / 2)SOMB
2
S = 18[p - (3 3 / 4)] cm (resp) SOMB
a
360
1
2
sen 60º = co / hip = h / 12
h = 12 . sen 60º = 12 3 / 2
h = 6 3
R = h / 2 = 3 3 cm
120
360
1
2
1 2 3 4
5 6
7 8
9 10 11 12S = 12 . S / 4SOMB CÍRCULO
2
S = 12 . p . (5 / 2) / 4SOMB
2
S = (75p / 4) cm (resp)SOMB
5/2 5/2
R
3 2 cm
R = d onde d é a diagonal do quadrado
d = l 2 onde l = 3 2 é o lado do quadrado
Portanto R = 6 cm
S = S / 2 - SSOMB CÍRCULO RETÂNGULO
2
S = p . 6 / 2 - 6 2 . 3 2 = 18p - 36SOMB
2
S = 18(p- 2) cm (resp)SOMB
r
R
5
5
Pitágoras
2 2 2
R = r + 5
2 2
R - r = 25
Área da coroa circular
2 2
S = pR - prCOROA
2 2
S = p(R - r )COROA
2S = p . 25 = 25p cm (resp)COROA
8
135
º
45º
x
x x
8
x
x
Lei dos cossenos
2 2 2
8 = x + x - 2 . x . x . cos 135º
2 2
64 = 2x - 2x 2 / 2
2
64 = x (2 - 2 )
2
x = 64 / (2 - 2 ) = 32(2 + 2 )
2 2 2
S = 8 S = 8.x /2 = 4.x = 128(2 + 2 ) cm (resp)SOMB TRIÂNG
A
B
D
E
F
G
23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. 
Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que 
AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo 
ABC vale :
a) 9K
2
b) 9K
c) 3K
2
d) 3K
e) 6K 
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de 
mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles 
você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro 
você corta em 3 partes iguais para formar os três 
círculos da figura 2.
 Se S é a área do círculo maior e s é a área de um 
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada 
por:
a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
figura 1
figura 2
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 
4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-
gulo ABC e do trapézio BCDE.
A
B C
DE
h
x
A
B C
D E
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura 
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, 
determinar o valor de x para que a área do triângulo 
ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
h
x
A
B C
D E
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura 
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, 
determinar o valor de x para que a área do triângulo 
ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
A B
C
D
E
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-
xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do 
quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar 
a medida de AD na unidade adotada para que a área 
do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo 
ABC.
C
Jeca 151
A
B
D
E
F
G
23) Na figura abaixo, o triângulo ADF tem área K. 
Sabendo-se que DF // BC e que AD = DE = EB e que 
AF = FG = GC, pode-se afirmar que a área do triângulo 
ABC vale :
a) 9K
2
b) 9K
c) 3K
2
d) 3K
e) 6K 
25) (Unifesp) Você tem dois pedaços de arame de 
mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles 
você usa para formar o círculo da figura 1, e o outro 
você corta em 3 partes iguais para formar os três 
círculos da figura 2.
 Se S é a área do círculo maior e s é a área de um 
dos círculos menores, a relação entre S e s é dada 
por:
a) S = 3s b) S = 4s c) S = 6s d) S = 8s e) S = 9s
figura 1
figura 2
22) (Fuvest-SP) Na figura, BC é paralelo a DE, AB = 
4 e BE = 5. Determine a razão entre as áreas do triân-
gulo ABC e do trapézio BCDE.
A
B C
DE
h
x
A
B C
D E
26) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura 
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, 
determinar o valor de x para que a área do triângulo 
ADE seja o dobro da área do trapézio BCED.
h
x
A
B C
D E
27) Na figura abaixo, o triângulo ABC tem altura 
h = 12 cm. Sabendo-se que DE é paralelo a BC, 
determinar o valor de x para que a área do triângulo 
ADE seja um terço da área do trapézio BCED.
A B
C
D
E
24) (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura abai-
xo, adota-se como unidade de comprimento o lado do 
quadrado sombreado. DE é paralelo a BC. Determinar 
a medida de AD na unidade adotada para que a área 
do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo 
ABC.
C
Jeca 151
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
S - área do triângulo ABC.ABC
S - área do triângulo AEDAED
S - área do trapézio BCDEBCDE
4
5
SABC
SAED
=
4
9
2( ) = 1681
S = - BCDE SAED S = - = ABC
> SABC =
16
81
SAED
SAED
16
81
SAED 65
81
SAED
SABC
S BCDE
=
16
81
SAED
65
81
SAED
=
16
65
(resp)
Áreas de figuras
 semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
S
S
S = SADE
S = 2 SABC
x
8
2( )=S2 S
x
8
1
2
2x
64
=
2
x = 32 x = 4 2 uc (resp)> >
Áreas de figuras
 semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
2( )=Ss CC/3
S
s =
9C
C
S = 9s (resp)
S
2 S S = 2 SADE
S = 3 SABC
2( )=2 S3 S
x
12
2
144 . 2 = 3 . x
2
x = 96
x = 4 6 cm (resp)
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
S = SADE
S = 4 SABC
2( )=S4 S
x
12
2
x = 36
x = 6 cm (resp)
3 S
S
Áreas de figuras semelhantes.
S1
S2
l1
l2
2( )=
d
d
d
S = kADF
2
S = 2 . S = 4kAEG ADF
2
S = 3 . S = 9k (resp)ABC ADF
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
12 cm
7
 c
m
8 cm
8
 c
m
7
 c
m
11 cm
A B
CD
AB//CD
AD//BC
16 cm
7
 c
m
6 cm11 cm
10 cm
8
 c
m
10 cm
15 cm
1
2
 c
m
12 cm20 cm
1
4
 c
m
14 cm
6
 c
m
8 
cm
8 cm
8 cm
13 cm
8
 c
m
120º
30º
10
 cm
12 cm
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Áreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Jeca 152
01) Determinar a área de cada figura abaixo.
12 cm
7
 c
m
8 cm
8
 c
m
7
 c
m
11 cm
A B
CD
AB//CD
AD//BC
16 cm
7
 c
m
6 cm11 cm
10 cm
8
 c
m
10 cm
15 cm
1
2
 c
m
12 cm20 cm
1
4
 c
m
14 cm
6
 c
m
8 
cm
8 cm
8 cm
13 cm
8
 c
m
120º
30º
10
 cm
12 cm
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria plana
Áreas das figuras planas.
Exercícios complementares da aula 13.
Jeca 152
2
S = b . h = 12 . 7 = 84 cm (resp)
2
S = b . h = l . l = 8 . 8 = 64 cm (resp)
2
S = b . h = 11 . 7 = 77 cm (resp)
S = (b + B).h / 2
S = (10 + 15) . 8 / 2
2
S = 100 cm (resp)
2 2 2
Pitágoras 10 = 6 + h
h = 8 cm
S = (b + B).h / 2
S = (11 + 17) . 8 / 2
2
S = 112 cm (resp)
S = d . D / 2
S = 7 . 16 / 2
2
S = 56 cm (resp)
S = b . h / 2
S = 20 . 12 / 2
2
S = 120 cm (resp)
S = b . h / 2
S = 12 . 14 / 2
2
S = 84 cm (resp)
S = b . h / 2
S = 14 . 6 / 2
2
S = 42 cm (resp)
S = . a . b . sen a
S = . 10 . 12 . sen 30º
2
S = . 10 . 12 . = 30 cm (resp) 
1
2
1
2
1
2
1
2
S = . a . b . sen a
S = . 8 . 13 . sen 120º
2
S = . 8 . 13 . = 26 3 cm (resp) 
1
2
1
2
3
2
1
2
S = . a . b . sen a
S = . 8 . 8 . sen 60º
2
S = . 8 . 8 . = 16 3 cm (resp) 
1
2
1
2
3
2
1
2
60º
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de 
raio 13 cm.
03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-
tro c = 14p cm.
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 
2
área A = 64p cm .
05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
r
R
R = 11 cm
r = 9 cm
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, 
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo 
interno.
A
B
07) Determinar o perímetro do círculo maior da coroa 
2
circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença 
entre os raios é igual a 3 cm.
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e 
ângulo central igual a 135º.
09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e 
ângulo central 2 radianos.
C
C
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm 
cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c
 =
 3
0
 c
m
C
11) Determinar a área da região sombreada.
r = 7 cm
Jeca 153
02) Determinar a área e o perímetro de um círculo de 
raio 13 cm.
03) Determinar a área e o raio de um círculo de períme-
tro c = 14p cm.
04) Determinar o raio e o perímetro de um círculo de 
2
área A = 64p cm .
05) Determinar a área da coroa circular abaixo.
r
R
R = 11 cm
r = 9 cm
06) Determinar a área da coroa circular abaixo, 
sabendo-se que AB mede 10 cm e tangencia o círculo 
interno.
A
B
07) Determinar o perímetro do círculomaior da coroa 
2
circular de área 39p cm , sabendo-se que a diferença 
entre os raios é igual a 3 cm.
08) Determinar a área do setor circular de raio 9 cm e 
ângulo central igual a 135º.
09) Determinar a área do setor circular de raio 8 cm e 
ângulo central 2 radianos.
C
C
10) Determinar a área de um setor circular de raio 12 cm 
cujo arco correspondente tem comprimento c = 30 cm.
c
 =
 3
0
 c
m
C
11) Determinar a área da região sombreada.
r = 7 cm
Jeca 153
2 2 2
S = pr = p . 13 = 169p cm 
c = 2pr = 2 . p . 13 = 26p cm
c = 2pR = 14p
R = 7 cm (resp)
2
S = pR
2
S = p.7
2
S = 49p cm (resp)
2
S = pR = 64p
R = 8 cm (resp)
c = 2pR 
c = 2.p.8
c = 16p cm (resp)
2 2
S = pR - prCOROA CIRCULAR
2 2
S = p.11 - p.9CC
S = 121p - 81pCC
2
S = 40p cm (resp)CC
R
r
5
5
Pitágoras
2 2 2
R = r + 5
2 2
R - r = 25
2 2
S = pR - prCOROA CIRCULAR
2 2
S = p(R - r )CC
2
S = 25p cm (resp)CC
R
R
 +
 3
2 2
39p = p(R + 3) - pR
2 2
39p = p(R + 6R + 9) - pR
2 2
39 = R + 6R + 9 - R
39 = 6R + 9
6R = 30
R = 5 cm 
c = 2p(R + 3) = 2.p.8 = 16p cm (resp)
2
S = pRSETOR CIRCULAR
a
360
135º
R = 9
2
S = p.9SC
2
S = 243p / 8 cm (resp)SC
135
360
2
S = pRSETOR CIRCULAR
a
2p
2
S = p.8SC
2
S = 64 cm (resp)SC
2p
2
(a em radianos)
2
S = pRSETOR CIRCULAR 2pR
2
S = p.12SC
2
S = 180 cm (resp)SC
30
2.p.12
l
(área do setor em função do 
comprimento do arco)
2
S = pRSETOR CIRCULAR
a
360
2
S = p.7SC
2
S = 49p / 4 cm (resp)SC
90
360
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
A B C D E
G
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do 
triângulo BCF em função de S.
C
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
(Dado sen 9º = 0,1564)
HIJ F
Jeca 154
12) Determinar a área do segmento circular de raio 9 cm e ângulo central 120º
13) Na figura abaixo, o hexágono é regular e tem lado 4 cm. Determinar a área da região hachurada.
15) Determinar a área de um dodecágono regular inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
A B C D E
G
17) Sendo S a área do retângulo AEFJ, AB = BC = CD = DE e AJ // BI // CH // DG // EF, determinar a área do 
triângulo BCF em função de S.
C
14) Determinar a área de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 14 cm.
16) Determinar a área de um polígono regular com 40 lados inscrito numa circunferência de raio 7 cm.
(Dado sen 9º = 0,1564)
HIJ F
Jeca 154
2
S = S - S = pr - a . b . sen aSEG SET TRIÂNG
a
360
1
2
2
S = S - S = p9 - a . b . sen 120ºSEG SET TRIÂNG
120
360
1
2
2
S = 27p - 81 3 / 4 = 27[p - (3 3 /4)] cmSEG
2
S = S - S = pR - 6.SSOMB CÍRCULO HEXÁGONO TRIÂNG
2
S = p.4 - 6 . . 4 . 4 . sen 60ºSOMB
2
S = 16p - 24 3 cm SOMB
2
S = 8(2p - 3 3 ) cm (resp)SOMB
60º
4
4
4
1
2
S = 8.S = 8. . a . b . sen aOCT TRIÂNG
S = 8. .14 . 14 . sen 45ºOCT
S = 8 . . 14 . 14 .OCT
2
S = 392 2 cm (resp) OCT
45º
14
14
a = 360/12 = 30º
1
2
1
2
1
2 2
2
S = 12.S = 12. . a . b . sen aDOD TRIÂNG
S = 12. . 7 . 7 . sen 30ºDOD
S = 12 . . 7 . 7 .DOD
2
S = 147 cm (resp) DOD
1
2
1
2
1
2
30º
1
2
a = 360/8 = 45º
7
7
S = 40.S = 40 . . a . b . sen a40 TRIÂNG
S = 40. . 7 . 7 . sen 9º40
S = 40 . . 7 . 7 . 0,156440
2
S = 153,27 cm (resp) 40
1
2
1
2
1
2
a = 360/40 = 9º
b b b b
h
S = S = 4b . hRETÂNGULO
b . h = S / 4
S = b . h / 2 = (S / 4) / 2 = S / 8TRIÂNG
S = S / 8 (resp)TRIÂNG
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de 
ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
A B
CD
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a 
área da região sombreada.
A B C D
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da 
região sombreada.
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar 
a área da região sombreada.
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região 
sombreada.
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. 
Determinar a área da região sombreada.
A
B C
D E
E
F
A B C D E F
Jeca 155
18) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo de lados k e 2k onde as regiões circulares tangenciam os lados de 
ABCD. Determinar a área das regiões sombreadas em função de k.
A B
CD
19) Na figura abaixo, as partes circulares tangenciam os lados do quadrado de perímetro 16 cm. Determinar a 
área da região sombreada.
A B C D
20) Na figura abaixo, B e C são os centros dos semi-círculos. Sendo AB = BC = CD = 8 cm, determinar a área da 
região sombreada.
21) Os três semi-círculos abaixo têm centros B, C e E. Sendo BC = CD = DE = EF = 2 cm e AB = 4 cm, determinar 
a área da região sombreada.
22) O triângulo abaixo é equilátero de lado 16 cm e está inscrito em um círculo. Determinar a área da região 
sombreada.
23) O triângulo abaixo é equilátero de lado k e DE é um arco de circunferência tangente ao lado BC do triângulo. 
Determinar a área da região sombreada.
A
B C
D E
E
F
A B C D E F
Jeca 155
2 2
S = 2(S - S /4) = 2(l - pr /4)Somb Quad Círc
2 2 2 2
S = 2(k - pk /4) = 2k (1 - p/4) = k (4 - p)/2 (resp)Somb
4
4
4
4
S = 2(S - S )SOMB SETOR TRIÂNG
2
S = 2( pR - b . h / 2)SOMB
2
S = 2( p . 4 - 4 . 4 / 2)SOMB
2
S = 8(p - 2) cm (resp) SOMB
a
360
90
360
4
4
2 x ( )
60º
8
8
8
S = S + 2.SSOMB TRIÂNG SEGMENTO CIRCULAR
2
S = . a . b . sen a + 2( pR - .a . b . sen a)SOMB
2 2
S = . 8 . 8 . + 2( p . 8 - . 8 . 8 . ) = [16(4p - 3 3 ) / 3] cm (resp)SOMB
a
360
1
2
1
2
1
2 2
3
360
60 1
2 2
3
A
B
C
4 2 2 2 2
6
S = S - S - SSOMB A B C
2 2 2
S = . p . 6 - . p . 4 - . p . 2SOMB
2S = 18p - 8p - 2p = 8p cm (resp)SOMB
1
2
1
2
1
2
30º
8 8
R
cos 30º = 8 / R
R = 16 3 / 3
2
S = S - S = pR - .a . b . sen aSOMB CÍRCULO TRIÂNG
2 2
S = p(16 3 / 3) - . 16 . 16 . 3 / 2 = 256[(p/3) - ( 3 /4)] cm (resp) SOMB
1
2
1
2
k k
k
h = R
60º
sen 60º = h / k
h = R = k 3 / 2
2
S = S - S = .a.b.sen a - pRSOMB TRIÂNG SETOR
2 2 2
S = .k.k. 3 /2 - .p.(k 3 /2) = k (2 3 - p) / 8 uc (resp)SOMB
1
2
a
360
1
2
a
360
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do 
setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
110º
O
25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão 
representados um quadrado de lado 4, uma de suas 
diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-
minar a área da região hachurada.
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma 
quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma 
corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre 
é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar 
o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 
metros de comprimento, do ponto em que está presa 
até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sem- 
pre esticada de tal forma que inicialmente sua 
extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-
se um contorno no chão, em volta da casa, até que a 
extremidade livre toque a parede CD.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calculea área da região exterior à casa, delimitada 
pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são 
concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas 
são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário 
sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do 
maior é 13 m.
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao 
círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua 
bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede
 5 cm, calcular a área da figura hachurada.
O
A
B
M xC
29) Calcular a área da região hachurada.
2a
2a
Jeca 156
24) (MACKENZIE - SP 2000) Determinar a área do 
setor assinalado no círculo de raio 1 e centro O.
110º
O
25) (Fuvest - SP 2000) Na figura seguinte, estão 
representados um quadrado de lado 4, uma de suas 
diagonais e uma semi-circunferência de raio 2. Deter-
minar a área da região hachurada.
26) (Unicamp - SP) No canto A de uma casa de forma 
quadrada ABCD, de 4 metros de lado, prende-se uma 
corda flexível e inextensível, em cuja extremidade livre 
é amarrada uma pequena estaca que serve para riscar 
o chão, o qual se supõe que seja plano. A corda tem 6 
metros de comprimento, do ponto em que está presa 
até sua extremidade livre. Mantendo-se a corda sem- 
pre esticada de tal forma que inicialmente sua 
extremidade livre esteja encostada à parede BC, risca-
se um contorno no chão, em volta da casa, até que a 
extremidade livre toque a parede CD.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a área da região exterior à casa, delimitada 
pelo traçado da estaca.
27) (Cesgranrio - RJ) Na figura, os três círculos são 
concêntricos e as áreas das duas regiões hachuradas 
são iguais. Determinar o raio do círculo intermediário 
sabendo-se que o raio do círculo menor é 5 m e o do 
maior é 13 m.
28) (Vunesp - SP) O ângulo central AÔB referente ao 
círculo da figura adiante, mede 60º e OX é sua 
bissetriz. Se M é o ponto médio do raio OC que mede
 5 cm, calcular a área da figura hachurada.
O
A
B
M
x
C
29) Calcular a área da região hachurada.
2a
2a
Jeca 156
220º
140º
Setor circular
2
S = prSETOR
a
360
2
S = p . 1SETOR
140
360
S = SETOR
7p
18
2
uc (resp)
2 2
2
1
4
S = S + SSOMB TRIÂNG CÍRCULO
2
S = (b . h / 2) + p.RSOMB
2 2
S = 2 . 2 / 2 + p . 2 = (2 + p) uc (resp)SOMB
1
4
1
4
A
2
6
4
b)
2 2
S = p . 6 + p . 2
2
S = 27p + 2p = 29p m (resp)
3
4
2
4
a)
13
5
d
S = SMENOR MAIOR
2 2 2
p.5 = p . 13 - p(5 + d)
2
25p = 169p - p(25 +10d + d )
2
d + 10d - 119 = 0 
d = 7 R = 5 + 7 = 12 m (resp)>
30º
5
5
2
S = S - 2.SSOMB SETOR TRIÂNG
2
S = pR - 2. a.b.sen qSOMB
2
S = p.( 5 ) - 2 . 5 . . SOMB
2
S = [5(2p - 3) / 12] cm (resp) SOMB
a
360
1
2
60
360
1
2
5
2
1
2
S
S
S
S
A B
C
2
S = S = 2a . 2a / 2 = 2a (resp)SOMB ABC
x
x
x
x
30) A bandeira retangular representada na figura mede 
4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura 
cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a 
medida de x.
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma 
circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse 
losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está 
circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem 
um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse 
trapézio.
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-
do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-
lar de lados iguais a 10 cm.
a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?
b) Calcule a área do octógono.
r = 2 cm
70º
40º
35) Determinar a área da região sombreada.
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-
lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-
secção de r com a reta determinada por D e C. 
Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 
10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED 
é 21, então a área do triângulo BCE é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
A
B
C
D
E
r
Jeca 157
x
x
x
x
30) A bandeira retangular representada na figura mede 
4 m de comprimento por 3 m de largura. A faixa escura 
cobre 50% da superfície da bandeira. Determinar a 
medida de x.
32) (Fuvest-SP) Um losango está circunscrito a uma 
circunferência de 2 cm de raio. Calcule a área desse 
losango, sabendo que um de seus ângulos mede 60º.
31) (Fuvest-SP) Um trapézio isósceles está 
circunscrito a uma circunferência de raio 2 cm e tem 
um ângulo interno de 60º. Determinar a área desse 
trapézio.
34) (Fuvest-SP) Cortando-se os cantos de um quadra-
do, como mostra a figura, obtém-se um octógono regu-
lar de lados iguais a 10 cm.
a) Qual a área total dos quatro triângulos cortados ?
b) Calcule a área do octógono.
r = 2 cm
70º
40º
35) Determinar a área da região sombreada.
33) (FUVEST-SP) Na figura abaixo, a reta r é para-
lela ao segmento AC, sendo E o ponto de inter-
secção de r com a reta determinada por D e C. 
Se as áreas dos triângulos ACE e ADC são 4 e 
10, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED 
é 21, então a área do triângulo BCE é:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
A
B
C
D
E
r
Jeca 157
S = 3
S =
 3
S =
 3
S = 3
4 - x
3
 -
 x
S = b . h / 2 = (4 - x) . (3 - x) / 2
2
3 = 12 - 7x + x
2
x - 7x + 6 = 0
x = 6 (não convém)
x = 1 m (resp)
70º
a - área do segmento de 110º
b - área do setor de 110º
c - área do triângulo de 110º
d - área do segmento de 70º
e - área do setor de 70º
f - área do triângulo de 70º
S = a - d = b - c - (e - f) = b - c - e + fSOMB
2 2
S = p.2 - .2.2.sen 110º - p.2 + .2.2.sen 70ºSOMB
Mas sen 110º = sen 70º e as áreas c e f se anulam.
2
S = = cm (resp)SOMB
110
360
1
2
1
2
70
360
11p
9 9
7p
9
4p
40º
h
h
4
10
7
S = 10ADC
S = 4ACE
S - 21 - 10 - 4 = 7ABE
 Os triângulos ABE e BEC têm a mesma base e a mesma 
altura.
2
 Portanto têm a mesma área. S = S = 7 uc (resp)ABE BEC
10
x
x
Pitágoras
2 2 2
10 = x + x
x = 5 2 cm
a) 
2
S = 4 . x /24TRIÂNG
2
S = 4(5 2 ) / 24TRIÂNG
2
S = 100 cm (resp)4TRIÂNG
b)
S = S - SOCT QUADR 4TRIÂNG
2 2
S = (10 + 2x) - 100 = (10 + 2 . 5 2 ) - 100OCT
2
S = 200( 2 + 1) cm (resp) OCT
30º
30º
2
60º
a
b
30º
60º
x
y
2
2
b = 2x - base menor
B = 2y - base maior
h = 4 cm
tg 60º = 2 / x x = 2/( 3) = 2 3 / 3 cm
tg 30º = 2 / y y = 2 / ( 3 / 3) = 6 3 / 3 = 2 3 cm
2
S = ( ).h = ( ).4 = (32 3 / 3) cm (resp)
>
>
b + B
2
2x + 2y
2
D
A
B
C
E
q
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de 
intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q 
é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e 
ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :
a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
A
B C
D
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo 
lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-
rência de centro C e raio k, e o outro é uma 
semicircunferência de centro no ponto médio de BC e 
de diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-
to na circunferência. Sabendo que a medida do lado 
do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-
ada.
C
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados 
medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o 
centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área 
hachurada ?
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado 
na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 
1 cm. Determine a área desse triângulo.
y
x
A(x , y)B
C DO
41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-
crito na semi-circunferência de centro na origem. Se 
(x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a 
área da região exterior ao quadrado e interior à semi-
circunferência em função de x e y.
Jeca158
D
A
B
C
E
36) (FUVEST-SP) Na figura seguinte, E é o ponto de 
intersecção das diagonais do quadrilátero ABCD e q 
é o ângulo agudo BÊC. Se EA = 1, EB = 4, EC = 3 e 
ED = 2, então a área do quadrilátero ABCD será :
a) 12sen q b) 8sen q c) 6sen q d) 10cos q e) 8cos q
A
B C
D
38) (UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo 
lado mede k. Um dos arcos está contido na circunfe-
rência de centro C e raio k, e o outro é uma semicir-
cunferência de centro no ponto médio de BC e de 
diâmetro k. Determinar a área da região hachurada.
39) (UEL-PR) Na figura abaixo, o quadrado está inscri-
to na circunferência. Sabendo que a medida do lado 
do quadrado é 4 m, determinar a área da parte sombre-
ada.
C
37) (FUVEST-SP) Os quadrados da figura têm lados 
medindo 10 cm e 20 cm, respectivamente. Se C é o 
centro do quadrado de menor lado, qual o valor da área 
hachurada ?
40) (FUVEST-SP) Considere o triângulo representado 
na malha pontilhada com quadrados de lados iguais a 
1 cm. Determine a área desse triângulo.
y
x
A(x , y)B
C DO
41) (FUVEST-SP) Considere o quadrado ABCD ins-
crito na semi-circunferência de centro na origem. Se 
(x , y) são as coordenadas do ponto A, determinar a 
área da região exterior ao quadrado e interior à semi-
circunferência em função de x e y.
Jeca 158
180 - q
q1
4
3
2
sen q = sen(180 - q)
S = 1.2.senq + 4.3.senq + 1.4.sen(180 - q) + 2.3.sen(180 - q)
S = sen q + 6sen q + 2sen(180 - q) + 3sen(180 - q)
Mas sen q = sen (180 - q)
Então S = sen q + 6 sen q + 2 sen q + 3 sen q = 12 sen q (resp)
1
2
1
2
1
2
1
2
C
a
90 - a
a
5
5
A
B
DEF
 Pelo caso A.L.A. , pode-se afirmar que os triângulos
 ABC e EFC são congruentes.
 Portanto a área sombreada é igual à area do quadrado
BCFD de lado 5 cm.
 A área sombreada é constante qualquer que seja a 
posição do quadrado maior.
2
 S = 5 . 5 = 25 cm (resp)SOMB
k
k
k/2 k/2
S = S - SSOMB CÍRCULO MAIOR CÍRCULO MENOR
1
2
1
4
2 2 2 2 2
S = pk - p(k/2) = pk /4 - pk /8 = pk /8 (resp)SOMB
1
2
1
4
4
4
R
R R
d - diagonal do quadrado
R - raio
Pitágoras
2 2 2 2
4 = R + R = 2R
R = 2 2 m
S = S + SSOMB CÍRCULO TRIÂNG
S = SOMB
2
S = 2p + 4 = 2(p + 2) cm (resp)SOMB
4
11
4
2
 p(2 2 ) + 2 2 . 2 2 / 2
11
4
1
1
2
b = 4 2 cm
h = 2 / 2 cm 
S = b . h / 2 = 4 2 . ( 2 / 2) / 2
2
S = 2 cm (resp)
h
x
yR
2 2 2 2 2
Pitágoras R = x + y R = x + y>
2 2 2 2 2
S = pR - (2x) = p(x + y ) - 4xSOMB
2 2
ou S = p(x + y ) - 2xy (resp)SOMB
1
2
1
2
B
C
N
M
AO
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo 
tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos 
eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-
nar a área da região hachurada.
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 
2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-
de A a D’. Determinar a função que expressa a área 
do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
A B
CD
E
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 
1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, 
centrados em A e D, respectivamente. Determinar a 
área da região hachurada.
A B
CD
M
N
P
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 
10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos 
quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar 
a medida de CD.
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a 
mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do 
círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é 
R. (Figuras semelhantes)
1 cm
2 cm
1 cm
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, 
exibida a seguir, construída no interior de um quadrado 
de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-
cunferência que aparecem nos cantos do quadrado 
têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada 
raio mede 1 cm, pedem-se :
a) a área não sombreada do quadrado;
b) a área da região sombreada R.
Jeca 159
B
C
A BD’
C’
E
x
A
D
B
C
N
M
AO
42) (Fuvest) A circunferência dada pela figura abaixo 
tem centro em C, raio igual a 2 cm e é tangente aos 
eixos coordenados x e y nos pontos A e B. Determi-
nar a área da região hachurada.
44) (UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de 
um quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus 
vértices A, B, C, D, conforme figura 1. A seguir, dobre-a 
de maneira que o vértice D fique sobre o lado AB (figura 
2). Seja D’ esta nova posição do vértice D e x a distân-
de A a D’. Determinar a função que expressa a área 
do triângulo retângulo sombreado, em função de x.
A B
CD
E
45) (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 
1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1, 
centrados em A e D, respectivamente. Determinar a 
área da região hachurada.
A B
CD
M
N
P
46) (FUVEST) O trapézio ABCD abaixo é tal que AB = 
10, M é médio de AD, BN = 2NC e as áreas dos 
quadriláteros ABNM e CDMN são iguais. Determinar 
a medida de CD.
47) (Jeca) Na figura abaixo, a coroa circular tem a 
mesma área que o círculo menor. Determinar o raio do 
círculo menor, sabendo-se que o raio do círculo maior é 
R. (Figuras semelhantes)
1 cm
2 cm
1 cm
43) (UFSCAR-SP) Considere a região R sombreada, 
exibida a seguir, construída no interior de um quadrado 
de lado medindo 4 cm. Sabendo-se que os arcos de cir-
cunferência que aparecem nos cantos do quadrado 
têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada 
raio mede 1 cm, pedem-se :
a) a área não sombreada do quadrado;
b) a área da região sombreada R.
Jeca 159
a
q
2
2
S = S + SHACH TRIÂNG SETORES
Mas a + q = 90º
2
S = S + S / 4 = 2 . 2 / 2 + p . 2 / 4 HACH TRIÂNG CÍRCULO
2
S = (2 + p) cm (resp)HACH
S1 S2
S1
S2
x
x
x
10
y
q
180 - q
h
S = SAMN DMN
mesma base
mesma altura
Portanto
S = SABN CDN
1
2
10 . 2x . sen(180 - q) = y . x . sen q
Mas sen q = sen (180 - q)
Então 10x sen q = x . y . sen q
y = 20 uc (resp)
1
2
1
2
b
b
60º
30º
S1
S2
S2
S - área do triângulo1
S - área do setor circular2
S = S - S - 2.SSOMB QUADR 1 2
2 2
S = l - a.b.sen 60º - 2. prSOMB
2 2
S = 1 - 1 . 1 . - p1 = 1 - - (resp)SOMB
1
2 360
30
1
2
3
2
1
6
3
4 6
p
1
1
1
A B
CD
A BD’
C’
E
x
21 - x
y
2
1
 -
 y
21 - y
2 2 2
Pitágoras (21 - y) = y + x
2 2 2
441 - 42y + y = y + x
2 2
y = (x - 441) / -42 = (441 - x ) / 42
3
S = x . y / 2 = (441x - x ) / 84 (resp)
a) 
S = 4.S + 4.S /4NS TRIÂNG CÍRCULO
2
S = 4(2 . 2 / 2) + 4.p1 /4NS
2
S = (8 + p) cm (resp)NS
b) 
S = S - SS QUADR NS
2
S = 4 - (8 + p)S
S = 16 - 8 - p S
2
S = (8 - p) cm (resp)S
h
R
r S = S - SCOROA MAIOR MENOR
S = SCOROA MENOR
S = S - SMENOR MAIOR MENOR
S = 2.SMAIOR MENOR
2 2
pR = 2.pr
2 2
r = (R /2)
r = R 2 / 2 (resp)
Respostas dos exercícios da Aula 13.
2 2 2
01) S = 56 cm S = 140 cm S = (91/2) cm1 2 3
2 2 2
 S = 72 cm S = 121 cm S = 182 cm4 5 6
2 2
 S = 72 cm S = 70 cm7 8
2
02) 64 3 cm
2
03) 24 3 cm
2
04) 192 cm
2
05) 6 6 cm
2
06) 2 6 / 3 cm, 2 6 cm
2
07) (35 6 / 24) cm
2
08) 45 3 cm
2
09) 54 cm
2
10) 2(32 - 7p) cm
2
11) 4(36 - 7p) cm
2
12) 9(36 - 31p / 4) cm
2
13) p cm
14) d
15) a
2
16) (2( 3 + 1) - p) cm
17) e
2
18) 18(p - 2) cm
2
19) 25p cm
2
20) 18(p - 3 3 / 4) cm
2
21) 128(2 - 2 ) cm
22) 16 / 65
23) a
24) 4 2 uc
25) e
26) 4 6 cm
27) 6 cm
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a respostaerrada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
 Obrigado.
 Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 160
Respostas dos exercícios complementares da Aula 13.
Importante para mim.
 Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma 
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail jecajeca@uol.com.br 
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 Obrigado.
 Jeca
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01)
2
a) 84 cm
2
b) 64 cm
2
c) 77 cm
2
d) 100 cm
2
e) 112 cm
2
f) 56 cm
2
g) 120 cm
2
h) 84 cm
2
i) 42 cm
2
j) 30 cm
2
k) 26 3 cm
2
l) 16 3 cm
2
02) 169p cm e 26p cm
2
03) 49p cm e 7 cm
04) 8 cm e 16p cm
2
05) 40p cm
2
06) 25p cm
07) 16p cm
2
08) (243p / 8) cm
2
09) 64 cm
2
10) 180 cm
2
11) (49p / 4) cm
2
12) (27(4p - 3 3 ) / 4 ) cm
2
13) 8(2p - 3 3 ) cm
2
14) 392 2 cm
2
15) 147 cm
2
16) 153,27 cm
17) S / 8
2
18) k (4 - p) / 2
2
19) 8(p - 2) cm
2
20) (16(4p - 3 3 ) / 3) cm
2
21) 8p cm
2
22) (64(4p - 3 3 ) / 3) cm
2
23) k (2 3 - p) / 8
24) 7p / 18
25) 2 + p
26) 
a) desenho
2
b) 29p m
27) 12 m
2
28) (5(2p - 3) / 12) cm
2
29) 2a
30) 1 m
2
31) (32 3 / 3) cm
2
32) (32 3 / 3) cm
33) b
34) 
2
a) 100 cm
2
b) 200( 2 + 1) cm
2
35) (4p / 9) cm
36) a
2
37) 25 cm
2
38) pk / 8
2
39) 2(p + 2) m
2
40) 2 cm
2 2
41) (p(x + y ) / 2) - 2xy
2
42) (p + 2) cm
43) 
2
a) (p + 8) cm
2
b) (8 - p) cm
3 2
44) (441x - x ) / 84) cm
45) 1 - ( 3 / 4) - (p / 6)
46) 20
47) R 2 / 2A
Jeca 161
Fim
Jeca 162
Ilusões da vida.
Quem passou pela vida em branca nuvem
E em plácido repouso adormeceu;
Quem não sentiu o frio da desgraça,
Quem passou pela vida e não sofreu,
Foi espectro de homem - não foi homem,
Só passou pela vida - não viveu.
Francisco Otaviano de Almeida Rosa (1825 - 1899)
Poeta Brasileiro
Demonstração da fórmula de Herão.
A B
C
m
ab
c
h
Teorema de Pitágoras
2 2 2
h = b - m
Lei dos cossenos
2 2 2
a = b + c - 2bc cos A
Mas cos A = m/b 
2 2 2
Portanto a = b + c - 2bc m/b
2 2 2
a = b + c - 2mc
2 2 2
2mc = b + c - a
2 2 2
Portanto m = (b + c - a ) / 2c
Teorema de Pitágoras
2 2 2 2 2 2
h = b - [(b + c - a ) / 2c]
2 2 2 2 2 2 2 2
h = [4b c - (b + c - a ) ] / 4c
2 2 2 2 2 2 2 2
4h c = 4b c - (b + c - a )
Fatorando a diferença dos quadrados, tem-se:
2 2 2 2 2 2 2 2
4h c = [2bc - (b + c - a )] [2bc + (b + c - a )]
2 2 2 2 2 2 2 2
4h c = (2bc - b - c + a ) (2bc + b + c - a )
Agrupando como o quadrado da diferença, tem-se
2 2 2 2 2 2
4h c = [a - (b - c) ] [(b + c) - a ]
2 2
4h c = [a - (b - c)] [a + (b - c)] [ (b + c) - a] [(b + c) + a]
Fazendo p = (a + b + c) / 2 semiperímetro
[a - (b - c)] / 2 = (a - b + c) / 2 = (a + b + c - 2b) / 2 = p - b
[a + (b - c)] / 2 = (a + b - c) / 2 = (a + b + c - 2c) / 2 = p - c
[(b + c) - a] / 2 = (b + c - a) / 2 = (a + b + c - 2a) / 2 = p - a
[(b + c) + a] / 2 = (a + b + c) / 2 = p
2 2
Lembrar que x - y = (x - y)(x + y)
2 2
Lembrar que x - y = (x - y) (x + y)
1 3 4
1
2
2
3
4
2 2
4h c 
2 2 h c / 4 = (p - b).(p - c).(p - a).p
2 2
h = 4.[p.(p - a).(p - b).(p - c)] / c
h p.(p - a).(p - b).(p - c)
1
2
3 4
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
2
2 2 216
=
c
2
=
S triângulo =
base x altura
2
c . hc=
2
S triângulo = 2
c
c
2 p.(p - a).(p - b).(p - c)
S triângulo = p.(p - a).(p - b).(p - c)
onde p = (a + b + c) / 2
 (semiperímetro)
Fórmula de Herão
CQD
 Aproveitando esta demonstração, temos também 
que as alturas de um triângulo podem ser obtidas por
= p.(p - a).(p - b).(p - c)ha
2
a
= p.(p - a).(p - b).(p - c)hb
2
b
= p.(p - a).(p - b).(p - c)hc
2
c
onde p é o semiperímetro
a, b e c são os lados do triângulo
>
3 3
A
3
R
R
N
N
 Lei dos cossenos
2 2 2
x = a + b - 2.a.b.cos a
Lei dos senos.
a
sen A
=
b
sen B
c
sen C
2R= =
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