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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE LOGARITMOS
Elaborado por: Mathusso Jucuiana1
Lembre-se antes da definição de logaritmo:
logb N = x , com b x = N .
1. Calcule o valor dos seguintes logaritmos:
1
64
a)
log16 64 = x Û log
2 43
= xb) log 625
5
= log 54 5
2
= x
c) log5 (0,000064) = log5
= x
1000000
4
1
1
Û (42 ) x = 43 Û 42 x = 43
Û (54 ) x =
Û 4 x =
6
-1
x
6
2
1
1
2
2
3
Û log 1 -1
= x
Û
=
6
Û 2x = 3 Û x =
1 1
1
10
5
5
2
Û x =
´
Û x =
5
2
4
8
Û -1x = 6 Û -x = 6 /-1 Û x = -6
1
d)
log 49
3
7
= log72 7
3
= x
e) log 5
128 = log
27 = x
f)
1
1+
1
1
log9 (3
3 )
2 )
= log9 3 ´ 3 2
Û (7
)
1
1
(
(2)5
= log32 3
2
x
x
2
1
1
= 7 3
Û
2x =
7
2
x
1
3
5
3
Û
(2)
= 2
Û
x = 7
Û 3
)
=
1 +
Û 2x
=
5
(
2
2
1
1
1
Û x =
´
Û x =
Û x = 7 ´ 5 Û x = 35
Û x =
3
3
2
6
4
g)log2 (8
)= log2
= x
25
= x Û log 2
1
= x
8
26
64
h)
log 2 0,25 = log 2
100
6
6
3
4
Û 2 x
= 2 8
Û x =
Û x =
Û log 2
1
= x Û 2 x
= 2-2
Û x = -2
8
4
22
2. Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício,
aplicando a equivalência fundamental:
a)
3
b)
log 2 N = 8 Û 28
= N
c)
1
9
log5 N = 3
Û
5
= N
Û256=N
log 2 N = -9 Û
= N
Û125= N
2
1
Û
= N
N=2Û(
)2
=NÛ3=N
512
d) log
3
3
3. Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:
a) log a 81 = 4 Û a 4 = 34 Û a = 3 b) log a 1024 = 20 Û a 20 = 1024 Û a 20 = 210 Û (a 2 )10 = 210 Û a 2 = 2 Û a = 2
c) loga 10 = 2 Û a 2 = 10 Û a = 10
d)
log9 a
27=1
Û (9a)2
= 33
Û 9a = 32 ´ 3 Û 32 ´ a = 3 3 Û 3 a = 3 3 Û
a = 3
3
1
2
3
1 1
· a 2 = 3 2 Û a = 3
4. Calcule o valor:
512
c)log 2 (2
´4´8´64)=
a) log3 (3 ´ 81) = log3 3 + log3 81
b) log 2
= log
2 512 - log 2 64
= 1 + log3 34 = 1 + 4 = 5
64
log 2 2 + log 2 4 + log 2 8 + log 2 64
= log 2 2
9 - log 2 26 = 9 - 6 = 3
= 1
+ log 2 2
2
+ log 2
2
3
+ log
2 2
6
= 1
+ 2
+3+6=11
Continua =>
· Licenciado em ensino de Matemática pela Universidade Católica de Moçambique. Lecciona matemática desde 2010 (6ª à 10ª Classe).
1 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
log 7
49 ´ 343
d)
7
· log 7 49 + log 7 343 - log 7 7
· log 7 7 2 + log 7 73 -1
· 2+3-1= 5-1= 4
5. Calcule o valor das expressões:
a)
e) log 2 16 - log 4 32 =
f) log 1
(log5 125) =
log 2 16 = log 2 24
= 4
3
log5 125 = log5 53 = 3
log 4 32 = log
25
=
5
x
-1
2
(log5 125) = log 1
1
1
2
2
log 1
3 Û
=
\log 2 16 - log
432=
4 -
5
3
3
3
3
2
Û x = -1
8 - 5
=
=
3
2
2
b)
27
log10 0,001+ log3 3
- log8 16 =
log 1 8 - log
4
- log
2 1024 =
3
64
1
1
2
3
® log
0,001 = log
= log
= log
10-3 = -3
1 -3
log 1 8 = log
1 23 = log
= -3
10
10 1000
10 103
10
1
1
2
2
2
2
® log 3
= log
3´32
= log
= log
3
3
27
272
27
33
4
-3
3
3
3
1
3
log
= log
= log
4
= -3
3´
3
4
64
4
43
3
= log3 3
2
= log3
32
=
3
3
3
2
log 2 1024 = log 2 210 = 10
® log 16 = log
24
=
4
27
3
\log 1 8 - log 4
- log 2 1024 = (- 3) - (- 3)-10
8
2
3
64
3
4
2
3
= -3+3-10 = -10
\log10 0,001+ log3 3
3 - log8 16 =
-
3
+
-
2
3
(6)
(3)
(2)
=
-18+9-8
= -
17
c)
log 5
4´
log5 5
6
6
log 3 3
5
log 4 3´log 5 4
= 5
lo5 4´log 4
3
= 5
log 5 3
d)
3 -log 5 7´log 3 5
= 3 log 3 5´( -log 5 7 )
= 3
log 3 5´ log 3 7 -1
1log 5 4
log
5 4´
log 5 4
=
log 5 3
= 5
log 4 3
= 5
=
1
log 3 5
5
log 3 5´
log
3 5
log 3 35
log 3
7
-1
log
3 7
-1
log 5 54
4
log 5 3
= 3
= 3
=
3
log
3
7 -1
=
log
3
3 -7
=
=
5
log 5 53
3
=
- 7
e)22 log 2 5
= 2log 2 5
2
Û 2 log2 5 = 2
f)
log3 1 + log10 0,01
0 + log10
1
0 + log10 10-2
=
100
=
Û log
2 2
5
= 2 Û log2 2 = 2 ´ 5
1
-6
´ log 22
3
´ log 4
log 2 2
2
3
log 2
8
- 6 ´ log
= 10
2 2 2
64
2
0+(-2)
- 2
- 2
4
8
2
4
=
=
=
= -2´
= -
= -
3 1
-18
-18
18
9
- 6 ´
- 6 ´
3
2
4
4
2
2 ´
6. Determinar o valor de x para o qual:
a)
log x 128 = 7 Û x 7
= 128 Û x 7 = 27 Û x = 2
b)
log 2 8 = x Û 2 x = 8 Û 2 x = 23 Û x = 3
log 4 (x)
3
1 x
1 x
1
-1
c)
=3Û4
= x Û 64 = x d) log 1
(2) = x Û
= 2 Û
=
Û x = -1
2
2
2
2
Continua =>
2 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
e) log 2
1
= x Û 2
x
=
1
Û 2
x
= 2
-1
Û x = -1
4
3
x
4
3
x
3
-1
2
f) log
3
= x Û
=
Û
=
2
3
4
3
4
4
4
Û x = -1
7. Seja x um número real positivo. Qual é o valor da base b para que o logaritmo de x na base b:
a) Seja igual a 0. Solução: O valor de x deve ser 1.b) Seja igual a 1. Solução: O valor de x deve ser igual a
valor de b.c) Seja igual a -1. Solução: O valor de x deve ser inverso de b.
AI PARTE
1.
Calcule:
1
3
5
log 1 125
= log 1 53 = log
= 3
log 4
32 = log 22 2
= x
a)
log3 27 = log 3 33 = 3
b)
1
c)
5
5
5
5
5
5
Û log
2 2 2
= x Û 22 x
= 2
2
d)
23
3
2
log 2
8
= log 2
= log 2
2
= 3
5
5
5
1
Û 2x =
Û x =
¸ 2 Û x =
´
3
27
3
3
2
2
2 2
3
3
3
Û x =
5
2.
Calcule o valor de x:
4
2
log x
1
= 2
Û x 2
=
1
Û x 2
=
1
Û x =
1
a)
log x 8 = 3 Û x 3
= 23 Û x = 2
b)
16
16
4
4
c)
log 2 x = 5 Û x = 2
5
Û x
= 32
d)
log9 27 = x Û log 2
3
3
= x Û
3
2 x
=
3
3
Û
2x = 3 Û x =
3
3
2
1
x
1 x
1
-5
e)
log 1 32 = x Û
= 25
Û
=
Û x = -5
2
2
2
2
3.
Calcule:
= log 7 7
1
=
1
5log5 7 = 7
d)2log 2 7+log 2 3
= 2log 2 7 ´ 2log 2 3
a)
log
2 2
-3
= -3
b)
log7
7
2
c)
2
=7´3=21
e)
2 2+2 log 2 5
= 2 2 ´ 2 2 log 2 5
= 22 ´2´5= 4´10 = 40
a .b
2
4.
Dados log a = 5, log b = 3 e log c = 2, calcule log
.
c
a ´ b
2
2
- log c = 5 + 3
2
-2=5
+9-2=14-2=12
Solução: log
c
= log a + log b
5.
Sendo logx 2 = a , logx 3 = b calcule log x 3
.
12
1
2
1
Solução: log x
3
12
= log x (22 ´ 3)
= log x 2
3
+ log x 3
3
=
2
log x
2 +
1
log x 3
3
3
3
6. Sendo loga 2 = 20 , loga 5 = 30 calcule log a 100
Solução: log a 100 = log a (2 2 ´ 52 )= log a 2 2 + log a 52 = 2 log a 2 + 2 log a 5
Continua =>
3 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
7. Resolva as seguintes equações:
a)
log 4 (2 x + 10 ) = 2 Û log 2 2
(2 x + 10 ) = 2 Û 2 x + 10 = 2 2 Û 2 x = -10 + 6 Û 2 x = -6 Û x = -
6
Û x = 3
S ={3}
2
b)
log 2 (log 3 (x - 1)) = 2
log3 ( x -1) = 2 Û (x -1) = 32 Û x -1 = 9 Û x = 9 + 1 Û x = 10
S = {10}
c)
log x +1 (x 2 + 7)= 2 Û (x + 1)2 = (x 2 + 7)Û x 2 + 1 = x 2 + 7 Û x 2 - x 2 = 7 - 1
= 0 x 2 = 6⇒ Indeterminado
d) log 2 3 + log 2 (x - 1) = log 2 6 Û log 2 3(x - 1) = log 2 6 Û log 2 (3 x - 3) = log 2 6
· 3 x - 3 = 6 Û 3 x = 6 + 3 Û 3 x = 9 Û x = 9 ¸ 3 Û x = 3
S ={3}
e) log 3 2 + log 3 (x + 1) = 1 Û log 3 2(x + 1) = 1 Û log 3 (2 x + 2 ) = 1 Û 2 x + 2 = 1
Û 2 x = 1 - 2 Û 2 x = -1 Û x = - 1
2
1
S =
-
2
f) 2 log
x = log 2 + log x Û log x 2 = log 2 x Û x 2 = 2 x Û x 2 - 2 x = 0
x = - b ± b 2 - 4ac Û x = 2 ± (- 2)2 - 4 ´1´ 0 Û x = 2 ± 4 Û x = 2 ± 2 Û
2a´1222
x =
2 + 2
Ù x
=
2 - 2
Û x =
4
Ù x
=
0
Û x = 2 Ù x
= 0
2
2
2
1
1
1
S = {2}2
2
2
2
log 2 (x
2
+ 2x - 7)- log
2
+ 2x
- 7
2
2
g)
2 ( x -1) =
2 Û log
x
=
2
Û x
+ 2x - 7
= 4( x -1)
2
x -1
Û x 2 + 2x - 7 = 4x - 4 Û x 2 + 2x - 4x = -4 + 7 Û x 2 - 2x = 3 Û x 2 - 2x - 3 = 0- b ± b 2
- 4ac
2± -2
2 - 4´1´
(- 3)
2 ±
2 ± 4
x =
Û x
=
Û x =
16
Û x =
2a
2 ´1
2
2
Û x =
2 + 4
Ù x
=
2 - 4
Û x =
6
Ù x
=
- 2
Û x = 3 Ù x
= -1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
S ={3}
NB: Para as equações que são preciso recorrer a fórmula
de Báskhara para achar a sua solução, apenas levamos o x com
o qual é possível tornar verdadeira a equação logar itmica. Daí termos apenas uma solução ao invés das duas soluções obtidas. Isto não descarta a ideia de termos duas s oluções numa equação como o caso do número que segu e.
Continua =>
4 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.com
Continuação
8. Determine a solução da equação: log 2 (x - 2 ) + log 2 (x - 3 ) = 1 + log 2 (2 x - 7 )
log 2 (x - 2)+ log 2 (x - 3) = 1 + log 2 (2x - 7) Û log 2 (x - 2)(x - 3) = log 2 2 + log 2 (2x - 7)
· [( x - 2)( x - 3)]= [2(2x - 7)] Û x 2 - 5x + 6 = 4x -14 Û x 2 - 5x - 4x + 6 +14 = 0
· x 2 - 9x + 20 = 0
x = - b ± b 2 - 4ac Û x = 9 ± 92 - 4 ´1´ 20 = x = 9 ± 1 Û x = 9 ± 1
· 12a122
Û x =
9 + 1
Ù x
=
9 -1
Û x =
10
= 5 Ù x
=
8
= 4
2
2
1
2
2
1
2
2
S = {5;4}
5 “A exercitação, é simples, de tal modo que até a sua simplicidade torna fácil a compreensão de qualquer problema”.
(Mathusso:2015) E-mail: phlipwilker@gmail.comMais conteúdos dessa disciplina
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