EM_V05_MATEMÁTICA LIVRO DE ATIVIDADES

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Livro do Professor
Saymon Michel Sanches
Volume 5
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
 v. 5 : il.
 ISBN 978-85-467-1502-2
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
©iStockphoto.com/
demiren
©Editora Positivo Ltda., 2017
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogaçã
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584
S211 Sanches, Saymon Michel.
Matemática : livro de atividades 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo
v. 5 : il.
ISBN 978-85-467-1502-2
1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
o, 2017.
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4
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Volume 5
Livro de 
atividades
Matemática
©Editora Positivo Ltda., 2017 
Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP) 
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
S211 Sanches, Saymon Michel.
 Matemática : livro de atividades : livro do professor / Saymon 
Michel Sanches. – Curitiba : Positivo, 2017.
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 ISBN 978-85-467-1502-2
 1. Ensino médio. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
CDD 373.33
Matrizes e 
determinantes
01
Conceito de matriz
Uma matriz do tipo m × n (lê-se “m por n”) tem m linhas e n colunas.
Essa notação é ordenada; sempre nos referimos primeiro ao número de linhas e, em seguida, ao de colunas.
 • Matriz transposta de uma matriz A do tipo m × n é a matriz n × m em que as linhas são ordenadamente iguais às colunas da matriz A. 
Indicamos por At.
 • Matriz simétrica é a que apresenta elementos iguais nas posições simétricas em relação à diagonal principal, ou seja, aij = aji. 
 • Igualdade de matrizes: duas matrizes são iguais quando forem do mesmo tipo e todos os elementos correspondentes forem iguais.
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes 
Dadas duas matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij m n= ×[ ] , a soma A + B é a matriz C cij m n= ×[ ] tal que c a bij ij ij= + .
Dadas duas matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij m n= ×[ ] , a diferença A – B é a matriz C cij m n= ×[ ] obtida pela soma da matriz A com a matriz oposta 
de B. 
Para obter a oposta de uma matriz, basta trocar o sinal de cada um dos seus elementos.
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dada uma matriz A = [aij]m × n e um número real k, a matriz k ⋅ A é obtida pelo produto de todos os elementos da matriz A por k.
Multiplicação de matrizes 
Dadas as matrizes A aij m n= ×[ ] e B bij n p= ×[ ] , o produto A ⋅ B é a matriz C cij m p= ×[ ] , em que cada elemento cij é obtido multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B e somando-se os produtos obtidos. Simbolicamente, 
podemos escrever que:
c a b a b a bij i j i j in nj= ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 2 2
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Quando existir uma matriz B de ordem n tal que A ⋅ B = In e B ⋅ A = In, dizemos que B é a matriz inversa 
de A. Indicamos a matriz inversa de A por A–1.
2 Volume 5
Determinante de uma matriz
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada um número a ela associado, obtido por meio de determinadas regras. Indicamos o 
determinante da matriz A por det A. 
 • Toda matriz quadrada tem um único determinante. 
 • Existe um dispositivo prático para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 denominado Regra de Sarrus.
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n 2 é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos 
respectivos cofatores.
 • O cofator do elemento aij é o produto de (–1)
i + j pelo determinante da matriz obtida ao eliminarmos a linha i e a coluna j.
Propriedades dos determinantes
Lembre-se de que só faz sentido tratar de determinantes para matrizes quadradas.
1. Se todos os elementos de uma fila da matriz A forem nulos, det A = 0.
2. Se duas filas paralelas da matriz A forem iguais ou proporcionais, det A = 0.
3. Os determinantes de uma matriz quadrada A e de sua transposta At são iguais.
4. Se multiplicarmos uma fila da matriz A por um número real k, o determinante da matriz B obtida será igual ao produto do determinante de 
A por k, ou seja, det B = k · det A.
5. Se trocarmos entre si duas filas paralelas de uma matriz A, o determinante da matriz B obtida será igual ao oposto do determinante da matriz 
A, ou seja, det B = –det A.
6. Teorema de Jacobi: se, em uma matriz A, uma fila for substituída pela adição dela com outra fila paralela, previamente multiplicada por uma 
constante, o determinante da matriz B obtida será igual ao determinante de A. 
7. Teorema de Binet: se A e B são matrizes de mesma ordem, então det(A · B) = det A · det B.
8. Se uma matriz A é invertível, então det
det
A
A
− =1 1 .
Atividades
Conceito de matriz
1. (IFG – GO) O fato de uma loja i atender ou não a uma cidade j é representado por 1 ou 0, respectivamente, formal-
mente representado por:
⎧= ⎨
⎩
ij
1, se a loja atende a cidade
a
0, se a loja não atende a cidade
i j
i j
 Assim, essa situação no caso de três lojas e quatro cidades pode ser descrita através de 12 valores, supondo que esta 
relação de atendimento ou não seja descrita pela matriz
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
Matemática 3
 A partir dos elementos dessa matriz, é correto afirmar que
a) a cidade 3 é atendida por três lojas. 
b) a loja 3 não atende à cidade 2. 
c) todas as cidades são atendidas pelo menos por 
duas lojas. 
X d) a loja 2 é a que atende a mais cidades. 
e) as lojas 1 e 3 atendem às mesmas cidades. 
De acordo com o enunciado, 1 indica que a loja i aten-
de a cidade j, e 0 indica que a loja i não atende a 
cidade j. Portanto:
– a loja 1 atende as cidades 1 e 3;
– a loja 2 atende as cidades 1, 3 e 4;
– a loja 3 atende as cidades 2 e 4.
Assim, a alternativa correta é a letra d. 
2. Em uma grande cidade, para estudar o nível de ruído a 
que estavam expostos os habitantes, a prefeitura rea-
lizou quatro medições diárias durante cinco dias em 
um cruzamento de grande movimento. Cada elemento 
aij da matriz a seguir representa o nível de ruído, em 
decibels (dB), registrado na medição i do dia j.
45 62 68 44 63
51 49 72 48 68
39 52 71 52 62
51 45 63 40 69
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 De acordo com a Organização Mundial de Saúde (OMS), 
50 dB é o nível máximo recomendável à exposição do 
ouvido humano.
 Com as informações apresentadas, determine:
a) em qual medição e dia o nível de ruído registrado foi 
o mais alto;
Na segunda medição do terceiro dia.
b) em qual medição e dia o nível de ruído registrado foi 
o mais baixo;
Na terceira medição do primeiro dia.
c) o nível médio de ruídos registrados no quarto dia;
44 48 52 0
4
184
4
46
+ + + = =4
Assim, o nível médio de ruídos registrados no quarto 
dia foi de 46 dB.
Incorreto. É atendida por duas lojas.
Incorreto. A cidade 2 é atendida pela loja 3.
Incorreto. A cidade 2 só é atendida pela loja 3.
Incorreto. As duas lojas atendem cidades diferentes.
d) em quantas medições o nível de ruído registrado fi-
cou acima do máximo recomendável pela OMS.
Em 13 medições.
3. Escreva a matriz B = bij x
⎡⎣ ⎤⎦3 4 definida por b i jij = −3 .
 
j⎣ ⎦3 4x j
b b b b
b b b b
b b b b
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
3 1 1 3 1 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
=
⋅ − ⋅ − 33 1 3 3 1 4
3 2 1 3 2 2 3 2 3 3 2 4
3 3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 4
⋅ − ⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2 1 0 1
5 4 3 2
8 7 6 5
4. Calcule a soma dos elementos da matriz C= cij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 
na qual c
i j se
i jij
=
+ =
− ≠
⎧
⎨
⎩
2
3
,
,
 i j
 se i j
.
c c c
c c c
c c c
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 2 1 3 1 2 3 1 3
3 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
+ ⋅ ⋅ − ⋅ −
⋅ −− + ⋅ ⋅ −
⋅ − ⋅ − + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2 2 3 2 3
3 3 1 3 3 2 3 2 3
3 1 0
5 6 3
8 7 9
5. Com relação à matriz A = aij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 definida por 
a
i se
j se
ij =
<
≥
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2
,
,
 i j
 i j
, avalie os itens a seguir, escrevendo 
V se a afirmação for verdadeira e F se for falsa.
a) ( V ) A matriz A é simétrica.
b) ( F ) O traço da matriz é igual a 36. 
c) ( F ) A soma dos elementos da diagonal secundária 
da matriz é igual à soma dos elementos da dia-
gonal principal.
d) ( V ) O produto dos elementos da segunda linha da 
matriz é igual a 16. 
e) ( V ) O valor da soma a a a11 23 31 é igual a 6.
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1
1 2 2
1 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
=
⎢⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1 1
1 4 4
1 4 9
O traço da matriz é 1 + 4 + 9 = 14.
4 Volume 5
6. Seja a matriz M = mij x
⎡⎣ ⎤⎦8 8, em que m
i j se
i
j
seij
=
+ ≤
>
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2,
,
 i j
 i j
, 
determine o valor de 
m m
m m
45 34
88 74
+
⋅
.
m45 2 4 5 8 25 33
2= ⋅ + = + =
m34
22 3 4 6 16 22= ⋅ + = + =
m88
22 8 8 16 64 80= ⋅ + = + =
m74
7
4
 
m m
m m
45 34
88 74
33 22
80
7
4
55
140
11
28
+
⋅
= +
⋅
= =
7. Sabe-se que a matriz A = aij x
⎡⎣ ⎤⎦3 3 é definida por 
a
i j se i j
i se i j
j se i j
ij =
+ <
=
>
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
,
,
,
. Determine At .
⎩
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
+ +
+
⎡
⎣
⎢
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1 2 1 3
1 2 2 3
1 2 3
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 3 4
1 2 5
1 2 3
At =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1
3 2 2
4 5 3
1
8. Uma matriz é dita antissimétrica quando for igual ao 
oposto da sua transposta, ou seja, uma matriz A é an-
tissimétrica somente se A At= − . Determine os valores 
desconhecidos da matriz abaixo, sabendo que ela é 
antissimétrica.
P
x y
x y z=
+
+ −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
0 2
3 0
5 3 0
Como a matriz é antissimétrica, temos que P Pt= − , então:
0 2
3 0
5 3 0
0 3 5
2 0 3
0
0 2
x y
x y z
x
x y y z
+
+ −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= −
+ −
+ −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⇒
⇒
xx y
x y z
x
x y y z
+
+ −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
− −
− −
− − − +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3 0
5 3 0
0 3 5
2 0 3
0
 
Assim:
2 = –x – 3 ⇒ x = –3 – 2 ⇒ x = –5
x + y = 5 ⇒ –5 + y = 5 ⇒ y = 10
y – z = –3 ⇒ 10 – z = –3 ⇒ –z = –13 ⇒ z = 13
9. Calcule os valores desconhecidos para que as igualda-
des abaixo sejam verdadeiras. 
a) 
p p q+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
5 8
3 2
2
3 2
3
p + 5 = 2p ⇒ p = 5
q3 = 8 ⇒ q = 2
b) 
m n t
m n t
− −
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3
2 3
2 9
21 362
 
Da igualdade, temos:
m n
m n
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
2
2 3 21
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com 
a segunda, temos:
3 3 6
2 3 21
5 15
3
m n
m n
m
m
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Agora, substituindo o valor de m na primeira equação, 
temos:
m – n = –2 ⇒ 3 – n = –2 ⇒ –n = –5 ⇒ n = 5
t
t
t
t
t
t
− = −
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
=
= ±
− = −
= −
3 9
36
36
6
3 9
6
2
Cuidado em relação ao valor obtido para t: para a primeira 
equação, o valor 6 não é válido, pois t – 3 = –9, então 
t = –6.
Portanto, m = 3, n = 5 e t = –6.
10. Dadas as matrizes A =
− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 3
2 2
 e
 B
a b a b
=
−
+ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
, determine os valores de a e b de 
modo que A Bt . 
Do enunciado, temos que A Bt, então:
1 3
2 2
1
2− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
a b
a b
Da igualdade, temos:
a b
a b
a
a
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
⊕ =
=
3
2
1
2
2 1
a + b = 3
1
2
3
5
2
+ = ⇒ =b b
Matemática 5
11. Determine os valores de a, b e c de modo que a matriz 
A seja simétrica. 
A a
b c
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 1 3
1 125
13
Como a matriz é simétrica, temos que A At, então:
1 1 3
1 125
1
1
1 1
3 125 13
3a
b c
a b
c
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
a = 1 b = 3 c
3 125 ⇒ c = 5
12. (UDESC) Dada a matriz A = −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2
2 1 2
1 2 1
, então a soma 
dos elementos da primeira linha da matriz At é:
a) –1 b) 5 c) 2 d) 3 X e) 4
A
2
t = − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 1
2 1 2
2 2 1
Assim, a soma dos elementos da primeira linha da 
matriz transposta de A é 1 + 2 + 1 = 4.
13. (UNESP – SP) Considere três lojas, L1 , L2 e L3 , e três 
tipos de produtos, P1 , P2 e P3 . A matriz a seguir des-
creve a quantidade de cada produto vendido por cada 
loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento 
aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido 
pela loja L j , i, j = 1, 2, 3.
 L L L1 2 3
P
P
P
1
2
3
30 19 20
15 10 8
12 16 11
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 Analisando a matriz, podemos afirmar que
a) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela 
loja L2 é 11. 
b) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela 
loja L3 é 30. 
c) a soma das quantidades de produtos do tipo P3 ven-
didos pelas três lojas é 40. 
d) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi ven-
didos pelas lojas Lj, j = 1, 2, 3, é 52. 
X e) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e 
P2 vendidos pela loja L1 é 45. 2 1 
a) Essa quantidade é 10.
b) Essa quantidade é 20.
c) Essa quantidade é 12 + 16 + 11 = 39.
d) Essa quantidade é 30 + 19 + 20 + 15 + 10 + 8 + 
12 + 16 + 11 = 141.
e) 30 + 15 = 45
Operações com matrizes
14. Sejam as matrizes A =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2 1
3 4
2 0
, B =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 7 0
8 1 5
, 
C =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0 4 2
6 2 8
 e D =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 12
6 6
0 9
. Determine a ma-
triz resultante para cada uma das operações a seguir. 
a) A + 2D
2 1
3 4
2 0
2
3 12
6 6
0 9
2 1
3 4
2 0
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
6 24
12 12
0 18
4 23
15 8
2 18
b) 3B – 4C
3
2 7 0
8 1 5
4
0 4 2
6 2 8
6 21 0
24 3 15
0 16 8
⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−224 8 32
6 5 8
0 11 17− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
c) A
C Dt+ −
2
4
3
 
2 3
2 1
3 4
2 0
0 4 2
6 2 8
2
4
3 12
6 6
0 9
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
t ⎥⎥
⎥
⎥
=
3
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
2 1
3 4
2 0
0 6
4 2
2 8
2
12 48
24 24
0 36
⎥⎥
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
3
2 1
3 4
2 0
0 3
2 1
1 4
4 16
8 8
0 12⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
6 14
3 13
1 8
6 Volume 5
d) 
1
2
1
3
A B Ct − +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
2 1
3 4
2 0
1
3
2 7 0
8 1 5
0 4 2
6 2 8
⋅
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
t
⎣⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
= ⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
1
2
2 3 2
1 4 0
1
3
2 7 0
8 1 5
0 4 2
6 2 8
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
+
−⎡
⎣
1
3
2
1
1
2
2 0
2
3
7
3
0
8
3
1
3
5
3
0 4 2
6 2 8
⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
=
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
−
− −⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
1
3
2
1
1
2
2 0
2
3
19
3
2
26
3
5
3
29
3
=
+ − +
− − − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
1
2
3
3
2
19
3
1 2
1
2
26
3
2
5
3
0
29
3
=
+ −
− − − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
3 2
3
9 38
6
3
3 52
6
6 5
3
29
3
5
3
29
6
3
55
6
1
3
29
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
15. Encontre a matriz X em cada uma das equações a se-
guir, sabendo que M =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 5
2 4
, N =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 3
6 7
, 
P =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 4
1 1
 e Q =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥4 1
6 0
.
a) X = 3M – 2∙(N + M)
X = 3M – 2N – 2M
X = M – 2N
X
X
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥=
3 5
2 4
2
1 3
6 7
3 5
2 4
2 6
12 14
5 111
14 10− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
b) 
X P N Q+ = −3
2 3
 
3∙(X + 3P) = 2∙(N – Q)
3X + 9P = 2N – 2Q
3X = 2N – 2Q – 9P
X
N Q P= − −2 2 9
3
X =
⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥2
1 3
6 7
2
4 1
6 0
9
0 4
1 1
3
X =
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 6
12 14
8 2
12 0
0 36
9 9
3
X =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
6 44
33 5
3
2
44
3
11
5
3
c) 4X + 3M = 2P – (Q + 2N) 
4X + 3M = 2P – Q – 2N
4X = 2P – Q – 2N – 3M
X
P Q N M= − − −2 2 3
4
X =
⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅
− −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ − ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥2
0 4
1 1
4 1
6 0
2
1 3
6 7
3
3 5
2 4
4
X =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
0 8
2 2
4 1
6 0
2 6
12 14
9 15
6 12
4
X =
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
3 2
2 24
4
3
4
1
2
1
2
6
Matemática 7
16. Calcule o valor de x y2 2, sabendo que x e y satisfa-
zem a equação
 
1 2
1 4
3 2
6 4
2
1 2
3 4
x
y
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
− −
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = ⋅
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ . 
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 4
7 8
2 4
6 8
x
y
Da igualdade, temos:
x – 4 = 4 ⇒ x = 8
y – 7 = –6 ⇒ y = 1
x y2 2 2 28 1 64 1 65+ = + = + =
17. Se A = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
12
3
11
, B =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
4
7
 e C = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3
2
6
, então a matriz 
X que representa a solução da equação A + B – C – X = 0 
é:
a) X =
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
7
3
12
b) X = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
13
1
24
 
c) X = −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
11
5
2
X d) X =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
7
3
12
e) X =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
13
1
24
 
⎝ ⎠
A + B – C – X = 0
X = A + B – C
X
X
= −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
= −
⎛
⎝
12
3
11
2
4
7
3
2
6
12
3
11
⎜⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
4
7
3
2
6
7
3
12
18. Sendo A =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
2
3
0
 e B =
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1
0
2
, determine as matrizes X 
e Y, tais que 
X Y A B
X Y A B
− = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
2
.
X Y A B
X Y A B
X A B X
A B
X
− = −
+ = −
⎧
⎨
⎩
⊕
= − ⇒ = −
=
⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
− ⋅
−
2
2 3 2
3 2
2
3
2
3
0
2
1
00
2
2
6
9
0
2
0
4
2
8
9
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠X
⎟⎟
⎟
⎟
⇒ =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
2
4
9
2
2
X
Substituindo a matriz X na segunda equação para encontrar 
a matriz Y, temos:
X Y A B
Y
Y
+ = −
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
+ =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
4
9
2
2
2
3
0
1
0
2
2
33
0
1
0
2
4
9
2
2
2
3
0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟⎟
⎟
+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⇒ =
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1
0
2
4
9
2
2
1
3
2
0
Y
19. Determine os valores de m e n para que cada uma das 
igualdades a seguir seja verdadeira.
a) P Q Rm n× × ×⋅ =2 3 2 3 
m vale 2, pois o número de linhas da matriz R deve ser o 
mesmo da matriz P.
n vale 2, pois o número de linhas da matriz Q precisa ser 
igual ao número de colunas da matriz P. 
b) A B Cm n2 4 2 3× × ×⋅ = 
m = 4, pois o número de linhas da matriz B deve ser igual
ao número de colunas da matriz A.
n = 3, pois o número de colunas da matriz C é o mesmo da
matriz B.
8 Volume 5
c) G F Em n6 4 4 5× × ×⋅ = 
m = 6, pois o número de linhas da matriz E é o mesmo da 
matriz G.
n = 5, pois o número de colunas da matriz E é o mesmo da
matriz F.
20. Calcule os produtos a seguir. 
a) 
5 4
2 3
1
3−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
5 1 4 3
2 1 3 3
17
7
⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
b) 
1 0 2
3 2 0
1 4 3
2
0
5
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 
1 2 0 0 2 5
3 2 2 0 0 5
1 2 4 0 3 5
⋅ −( ) + ⋅ + −( ) ⋅
⋅ −( ) + ⋅ + ⋅
⋅ −( ) + ⋅ + −( ) ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
==
−
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
12
6
17
c) 2 4 2
0
2
2
−⎡⎣ ⎤⎦⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥⎣ ⎦
2 0 4 2 2 2 12⋅ + ⋅ + −( ) ⋅ −( )⎡⎣ ⎤⎦ = [ ]
d) 
2
0
3
1
0 2 1 5
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅ ( ) 
⎝ ⎠
2 0 2 2 2 1 2 5
0 0 0 2 0 1 0 5
3 0 3 2 3 1 3 5
1 0 1 2
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
⋅ ⋅ ⋅ −( ) ⋅
−( ) ⋅ −( ) ⋅ −11 1 1 5
0 4 2 10
0 0 0 0
0 6 3 15
0 2 1 5
( ) ⋅ −( ) −( ) ⋅
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
=
=
−
−
− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
21. Com relação à matriz A aij x=
⎡⎣ ⎤⎦2 2, definida por 
a
i j se
i jij
=
+ =
− ≠
⎧
⎨
⎩
,
,
 i j
 se i j2 2
, obtenha:
a) A2
Obtendo a matriz A, temos 
a a
a a
11 12
21 22
1 1 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
2 2
2 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
+ ⋅ − ⋅
⋅ − ⋅ +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 2
2 4
2 2
2 4
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 2 2 2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + −( ) ⋅ ⋅ −( ) + −( ) ⋅
⋅ + ⋅ ⋅ −(( ) + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4 4
0 12
12 12
b) A At
2 2
2 4
2 2
2 4
2 2 2 2 2 2 2 4
2 2 4 2 2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + −( ) ⋅ −( ) ⋅ + −( ) ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅⋅ + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 4 4
8 4
4 20
22. Calcule o valor de m e n na equação matricial 
3 1
1 3
4
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
n
.
3 1
1 3
4
1
2
3
3
4
8
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
n
m n
m n
Da igualdade, temos:
3 4
3 8
m n
m n
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
9 3 12
3 8
10 20
2
m n
m n
m
m
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Substituindo o valor de m 
na primeira equação, ob-
temos o valor de n:
3 ∙ 2 – n = 4
–n = –2
n = 2
Matemática 9
23. Dadas as matrizes M =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 5
1 3
 e N = ⎡⎣ ⎤⎦4 0 , obte-
nha X tal que X ∙ M = N.
Como a matriz M é do tipo 2 × 2 e N é do tipo 1 × 2, a matriz 
X precisa ser do tipo 1 × 2 para a multiplicação entre X e M 
existir. Escrevendo a matriz X como a b[ ], temos:
X M N
a b
a b a b
⋅ =
[ ] ⋅
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = [ ]
+ −[ ] = [ ]
3 5
1 3
4 0
3 5 3 4 0
Da igualdade, temos:
3 4
5 3 0
a b
a b
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a 
segunda, determinamos o valor de a:
9 3 12
5 3 0
14 12
a b
a b
a
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
a
6
7
Em seguida, substituindo o valor de a na primeira equação, 
obtemos o valor de b:
3
6
7
4
18
7
4
28
7
18
7
10
7
⋅ + =
+ =
= −
=
b
b
b
b
Assim, a matriz X é 
6
7
18
7
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
.
24. (UFG – GO) Para transmitir dados via satélite, dentre 
outros processos da área de telecomunicações, utiliza-
-se atualmente o Código de Hamming. Ele pode garan-
tir que, por meio de um canal de comunicação, uma 
mensagem chegue ao seu destinatário sem erros, sem 
ruídos, ou com possibilidade de correção. 
 Ao transmitir uma mensagem, usa-se um Código de 
Hamming de redundância r = n – k, sendo k um parâ-
metro. Para detectar um erro na transmissão, efetua-
-se a operação matricial H vt , na qual H é uma matriz 
de ordem r × n, o comprimento do código é n r= −2 1 
e, neste caso, Vt é uma matriz coluna, transposta da 
matriz v, que representa a mensagem enviada. A trans-
missão será bem-sucedida se essa multiplicação re-
sultar em uma matriz nula. 
 Com base nestas informações, um código de redun-
dância r = 3 pode detectar erros de transmissão de 
mensagens cuja matriz v é, necessariamente, uma 
matriz
X a) linha, de ordem 1 × 7 
b) coluna, de ordem 3 × 1 
c) linha, de ordem 1 × 3 
d) identidade, de ordem 3 × 3 
e) nula, de ordem 3 × 7
Como r = 3, podemos encontrar o valor de n pela expres-
são n r= −2 1:
n = −2 13 ⇒ n = 8 –1 ⇒ n = 7
Por meio dessa informação e do enunciado, sabemos que 
a matriz H é do tipo 3 × 7 e que a matriz v
t
 é matriz co-
luna, então, para existir o produto entre H e v
t
, a matriz 
v t precisa ser do tipo 7 × 1.
Assim, a matriz v é do tipo 1 × 7.
25. (UEPB) Sejam as matrizes
 A =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
3 5
2 1
0 1
, B =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
3
 e C = ( )2 1 3 .
 Sendo D A B Ct= + ⋅ , a soma dos elementos d12 e 
d22 da matriz D é igual a:
a) 22
X b) 10
c) 20
d) 34
e) 17
D
D
t
=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅( )
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⋅ ⋅
3 5
2 1
0 1
4
3
2 1 3
3 2 0
5 1 1
4 2 4 1 4 ⋅⋅
⋅ ⋅ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
3
3 2 3 1 3 3
3 2 0
5 1 1
8 4 12
6 3 9
11 6 12
11 4 8
D
⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Portanto, d d12 22 6 4 10+ = + = .
26. (UNIRIO – RJ) Um laboratório farmacêutico fabrica 3 
tipos de remédios utilizando diferentes compostos. 
Considere a matriz A = ( aij ) dada a seguir, onde aij 
representa quantas unidades do composto j serão utili-
zadas para fabricar uma unidade do remédio do tipo i.
10 Volume 5
 A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 4
2 5 3
0 1 4
 Quantas unidades do composto 2 serão necessárias 
para fabricar 3 remédios do tipo 1; 2 remédios do tipo 
2 e 5 remédios do tipo 3?
a) 18
X b) 21
c) 24
d) 27
e) 30
3 ∙ 2 + 2 ∙ 5 + 5 ∙ 1 = 6 + 10 + 5 = 21
Matriz inversa
27. Encontre a inversa de cada uma das matrizes a seguir.
a) 
3 4
2 3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
A A I
a b
c d
a c b d
a c b
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
+ +
−1
2
3 4
2 3
1 0
0 1
3 4 3 4
2 3 2 33
1 0
0 1d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
3 4 1
2 3 0
a c
a c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= −
6 8 2
6 9 0
2
a c
a c
c
Substituindo o valor de c na primeira equação, deter-
minamos o valor de a:
3a + 4c = 1
3a + 4 ∙ (–2) = 1
3a – 8 = 1
3a = 9 ⇒ a = 3
II. 
3 4 0
2 3 1
b d
b d
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
6 8 0
6 9 3
3
b d
b d
d
Substituindo o valor de d na primeira equação, deter-
minamos o valor de b:
3b + 4d = 0
3b + 4 ∙ 3 = 0
3b + 12 = 0
3b = –12 ⇒ b = –4
Portanto, a inversa da matriz dada é 
3 4
2 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
b) 
4 3 1
2 1 0
2 0 0
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
A A I
a b c
d e f
g h i
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
−1
3
4 3 1
2 1 0
2 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1⎣⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
+ + + + + +
+ + +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4 3 4 3 4 3
2 2 2
2 2 2
a d g b e h c f i
a d b e c f
a b c ⎥⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Podemos formar três sistemas de equações com base 
nas igualdades entre as colunas:
I. 
4 3 1
2 0
2 0
a d g
a d
a
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2a = 0 ⇒ a = 0
2a + d = 0 ⇒ 2 ∙ 0 + d = 0 ⇒ d = 0
4a + 3d + g = 1 ⇒ como a e d valem zero, podemos 
afirmar que g = 1.
II. 
4 3 0
2 1
2 0
b e h
b e
b
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2b= 0 ⇒ b = 0
2b + e = 1 ⇒ 2 ∙ 0 + e = 1 ⇒ e = 1
4b + 3e + h = 0 ⇒ 4 ∙ 0 + 3 ∙ 1 + h = 0 ⇒ 
⇒ 0 + 3 + h = 0 ⇒ h = –3
III. 
4 3 0
2 0
2 1
c f i
c f
c
+ + =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2c = 1 ⇒ c = 1
2
2c + f = 0 ⇒ 2 ∙ 1
2
 + f = 0 ⇒ f = –1
4c + 3f + i = 0 ⇒ 4 ∙ 1
2
 + 3 ∙ (–1) + i = 0 ⇒ 
⇒ 2 – 3 + i = 0 ⇒ i = 1
Portanto, a inversa da matriz dada é 
0 0
1
2
0 1 1
1 3 1
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
Matemática 11
28. Verifique se a matriz 
4 2
5 3
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é a inversa de 
3 2
5 4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
A A I⋅ =−1 2
3 2
5 4
4 2
5 3
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 4 2 5 3 2 2 3
5 4 4 5 5 2 4 3
1 0
0 1
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥⎥
2 0
0 2
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ≠
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Portanto, a matriz 
4 2
5 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ não é a inversa de 
3 2
5 4
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
29. Determine os valores de a e b, sabendo que a inversa 
de 
a a
a
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
4
5 1
 é a matriz 
b
a
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
2
. 
A A I⋅ =−1 2
a a
a
b
a
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
4
5 1
3
2
1 0
0 1
a b a a a a
a b a a
⋅ + −( ) ⋅ −( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅
−( ) ⋅ + ⋅ −( ) −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎡
⎣
4 2 3 4
5 1 2 5 3 1
⎢⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 0
0 1
ab a a a a
ab b a a
− + − + −
− − − + +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 8 3 4
5 2 3 15
1 0
0 1
2
ab a a a
ab b a
− + −
− − − +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2 8 7
5 2 2 15
1 0
0 1
2
–2a + 15 = 1 ⇒ –2a = –14 ⇒ a = 7, que satisfaz também 
a igualdade a a
2 7 0− = .
ab – 2a + 8 = 1 ⇒ 7 ∙ b – 2 ∙ 7 + 8 = 1 ⇒ 
⇒ 7b – 14 + 8 = 1 ⇒ 7b = 7 ⇒ b = 1, que satisfaz tam-
bém a igualdade ab – 5b – 2 = 0.
Portanto, os valores de a e b são, respectivamente, 7 e 1.
30. Sejam as matrizes A =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
3 2
7 5
 e B =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 1
1 1
. 
Obtenha a matriz resultante da operação A B A⋅ + −1 . 
Cálculo de A ∙ B:
3 2
7 5
1 1
1 1
3 1 2 1 3 1 2 1
7 1 5 1 7 1 5 1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + ⋅
⎡
⎣⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 5
2 12
Cálculo de A–1:
A A I
a b
c d
a c b d
a c b
⋅ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
+ +
−1
2
3 2
7 5
1 0
0 1
3 2 3 2
7 5 7 55
1 0
0 1d
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
3 2 1
7 5 0
a c
a c
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
15 10 5
14 10 0
5
5
a c
a c
a
a
Substituindo o valor de a na primeira equação, determi-
namos o valor de c:
3a + 2c = 1
3 ∙ 5 + 2c = 1
15 + 2c = 1
2c = –14
c = –7
II. 
3 2 0
7 5 1
b d
b d
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
− − =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− =
= −
15 10 0
14 10 2
2
2
b d
b d
b
b
Substituindo o valor de b na primeira equação, determi-
namos o valor de d:
3b + 2d = 0
3 ∙ (–2) + 2d = 0
–6 + 2d = 0
2d = 6
d = 3
Portanto, a inversa da matriz A é 
5 2
7 3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ .
Assim, a matriz resultante da operação 
A B A⋅ + −1 é: 
1 5
2 12
5 2
7 3
6 3
5 15
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ +
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
12 Volume 5
31. (EFOA – MG) Sejam as matrizes A =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 2
2 6
 e 
M
x
y
=
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
, onde x e y são números reais e M é a 
matriz inversa de A. Então o produto yx é:
X a) 
3
2
b) 
2
3
c) 
1
2
d) 
3
4
e) 
1
4
Como M é a inversa de A, então:
A M I
x
y
x
⋅ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) +
2
1 2
2 6
1
1
1 0
0 1
1 2 1 1 1 2 ⋅⋅
⋅ + ⋅ −( ) ⋅ −( ) + ⋅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
− − +
− − +
y
x y
x y
x
2 6 1 2 1 6
1 0
0 1
2 1 2
2 6 2 6yy
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 0
0 1
Assim:
x x
y y y
− = ⇒ =
− + = ⇒ = ⇒ =
2 1 3
1 2 0 2 1
1
2
Portanto, y x⋅ = ⋅ =1
2
3
3
2
32. (UFAM) Seja A aij= ( ) a matriz quadrada de 2.ª ordem, 
definida por 
a i se i j
i j se i j
ij =
=
− ≠
⎧
⎨
⎩
2,
,
 Nestas condições a transposta da inversa de A [nota-
ção: A
t−( )1 ] é igual:
a) 
4
5
1
5
1
5
1
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
b) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
c) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
X d) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
e) 
4
5
1
5
1
5
1
5
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
A
a a
a a
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
11
2
12
21 22
21 1
2 1
1 1
1 4
2
2
A A I⋅ − =1 2
1 1
1 4
1 0
0 1
4 4
1 0
0 1
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
− −
+ +
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
a b
c d
a c b d
a c b d
⎡⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
a c
a c
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
4 0
Multiplicando a primeira equação por –1 e somando 
as equações, determinamos o valor de c:
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= −
a c
a c
c
1
4 0
5 1
Substituindo o valor de c na primeira equação:
a – c = 1 
a – −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
5
= 1 ⇒ a + 1
5
 = 1 ⇒ a = 4
5
II. 
b d
b d
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
0
4 1
Multiplicando a primeira equação por –1 e somandoas equações, determinamos o valor de d:
− + =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
b d
b d
d d
0
4 1
5 1
1
5
Substituindo o valor de d na primeira equação:
b – d = 0
b – 
1
5
= 0 ⇒ b = 1
5
 
Portanto, a inversa da matriz A é 
4
5
1
5
1
5
1−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥5
, e a 
transposta da inversa de A é 
4
5
1
5
1
5
1
5
−⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
⇒ = −c 1
5
Matemática 13
Determinante de uma matriz
33. Calcule os determinantes das matrizes a seguir.
a) 
3 5
1 3
 = –9 – 5 = –14
b) 
0 9
2 5
 = 0 + 18 = 18
c) 
1
1
2
2
1
3
 
= 
1
3
1
4
3
+ =
d) 
1 1 3
2 1 2
1 1 3
 = = + + − − − =
1 1 3
2 1 2
1 1 3
1 1
2 1
1 1
3 2 6 6 2 3 0
e) 
0 3 0
2 3 1
4 2 5
 
34. Calcule o determinante da matriz A, quadrada de or-
dem 3, definida por a
se i j
se i j
se i j
ij
i
j
=
<
=
>
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
1
3
,
,
,
. 
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢11
2
12 1
21 22 23
31 32 33
1 1
1
1 2
1 2 2
3 1 2
3 3 1
3
⎢⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
1 2 2
3 1 4
3 9 1
Cálculo do determinante de A: 
1 2 2
3 1 4
3 9 1
1 2
3 1
3 9
1 24 54 6 36 31= + + − − − =6
35. Com relação à matriz A
x y
x y
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟2 3 , resolva os itens 
a seguir. 
a) Calcule o determinante de A. 
x y
x y
x y y x xy y x
2 3
23 2= ⋅ − ⋅ = ⋅ −( )
= −
−
−
−
= + =
0 3 0
2 3 1
4 2 5
0 3
2 3
4 2
12 30 42
b) Calcule o determinante de A, sabendo que x = 2 e 
y = 3. 
xy y x⋅ − = ⋅ ⋅ − =
= ⋅ − = ⋅ =
( ) ( )
( )
2 2 3 3 2
6 9 2 6 7 42
2
c) Calcule o valor de x quando y = 1 e det A = –6.
xy y x
x x
x x
x x
a b c
b
⋅ − = −
⋅ ⋅ − = −
− = −
− − =
= = − = −
= −
( )
( )
; ;
2 6
1 1 6
6
6 0
1 1 6
2
2
2
2Δ 44
1 4 1 6 25
2
⋅ ⋅
= −( ) − ⋅ ⋅ −( ) =
a c
Δ
 
x
b
a
x
x
x
= − ±
⋅
= ±
⋅
= + =
= − = −
Δ
2
1 25
2 1
1 5
2
3
1 5
2
2
Assim, os possíveis valores para x são 3 e –2.
36. Obtenha o valor de m para que a igualdade a seguir 
seja verdadeira. 
 
m
m
m
+
−
=
−
1 2 3
1 5
3 1 2
4 1
2
Cálculo do determinante de ordem 3:
m
m
m
m
m m m m
+
−
+
=
= − − + + + − − − =
1 2 3
1 5
3 1 2
1 2
1
3 1
2 2 30 3 4 5 5 9 14
Cálculo do determinante de ordem 2:
–8 – m
Dessa forma, temos a igualdade resultante do cálculo dos 
dois determinantes:
14 = –8 – m
m = –8 – 14
m = –22
37. (IFG – GO) O valor real de x da equação 
 
1 0 0
16 8 4
1 1 2
1log log logx x x é:
14 Volume 5
a) 4
X b) 16
c) 2
d) 32
e) 8
Cálculo do determinante de ordem 3:
1 0 0
16 8 4
1 1 2
1 0
16 8
1 1
2 8 4
log log log log log
log log
x x
x x
x x x =
= ⋅ −
Resolução da equação:
2 8 4 1
8 4 1
64 4 1
16 1 16
2
⋅ − =
− =
− =
= ⇒ =
log log
log log
log log
log
x x
x x
x x
x x
38. (IFPE) As matrizes são muito utilizadas na computação 
gráfica para representar translação e rotação, por 
exemplo. Também usamos matrizes para resolver 
sistemas de equações. Na engenharia elétrica, é muito 
difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas 
de transmissão de energia elétrica sem matrizes. 
Trabalhar com uma malha de linha de transmissão 
e passar esse circuito para forma matricial, torna o 
trabalho mais fácil. A rigor, determinante é uma função 
que associa uma matriz quadrada a um número real. 
Esse número real, que é a imagem, é chamado de 
determinante da matriz quadrada. Os determinantes 
simplificam e sistematizam a resolução de sistemas 
de equações lineares. Podemos usar determinante, 
também, para calcular áreas e volumes. Na geometria 
analítica, se conhecemos as coordenadas dos vértices 
de um triângulo, usamos o determinante para calcular 
a área desse triângulo. Considere um triângulo cujos 
vértices são os pontos A(1; 3), B(7; 1) e C(3; 5). Qual é 
a área do triângulo com vértices nos pontos A, B e C ?
X a) 8
b) 9 
c) 12 
d) 14
e) 16
A D
A
= ⋅
= ⋅
1
2
1 3
7 1
3 5
1
2
1 3 1
7 1 1
3 5 1
A
A
A u a
= ⋅ + + − − −
= ⋅
=
1
2
1 9 35 3 5 21
1
2
16
8 . .
39. No plano cartesiano abaixo, represente os pontos 
A(1, 1), B(4, 4), C(7, 4), D(10, 1) e, depois, responda às 
questões propostas.
0
1
–1
–2
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a) Ligando os quatro pontos com segmentos de reta, 
qual é a figura geométrica obtida?
Pode-se obter um trapézio.
b) Calcule a área da figura obtida.
Dividindo o trapézio em dois triângulos, a área pode 
ser obtida por:
Área (ABCD) = Área (ABD) + Área (BCD)
Área ABCD( ) = ⋅ + ⋅1
2
1 1 1
4 4 1
10 1 1
1
2
4 4 1
7 4 1
10 1 1
A = ⋅ + ⋅1
2
1 1 1
4 4 1
10 1 1
1 1
4 4
10 1
1
2
4 4 1
7 4 1
10 1 1
4 4
7 4
10 1
A = ⋅ + + − − − +
+ ⋅ + + − − −
1
2
4 10 4 4 1 40
1
2
16 40 7 28 4 40
A = ⋅ − + ⋅ −1
2
27
1
2
9
A = + = =27
2
9
2
36
2
18
40. (UFAM) Dadas as matrizes A
a a
a
=
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
 e
 B
a
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3 2
1 1
, o produto das raízes da equação 
 det(A + B) = 0 é:
a) 1 b) 2 c) 1
2
d) 
3
2
X e) –1
A B
a a
a
a a a
a
+ =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
− +
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
3 2
1 1
4 2
2 1
Matemática 15
 
det(A + B) = 0
4 2
2 1
0
4 1 2 2 0
4 4 2 4 0
4 6 4 0
2
2
2
2
a a
a
a a a
a a a
a a
a
− +
+
=
⋅ +( ) − − +( )⋅ =
+ + − =
+ − =
+ 33 2 0a − =
O produto das raízes da equação é: x x
c
a
1 2⋅ =
x x1 2
2
2
1⋅ = − = −
41. (UFSCAR – SP) Sejam as matrizes 
 A = 
3 2
0 1 5log ,
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ e B = 
log ,0 01 0
4 3−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 Calcule: 
a) o determinante da matriz (B – A).
log , log log
log , log log
0 1 10 1 10 1 1 1
0 01 10 2 10 2
1
2
= = − ⋅ = − ⋅ = −
= = − ⋅ = −
−
− ⋅⋅ = −1 2
B A− =
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
3 2
1 5
2 0
4 3
3 2
1 5
2 0
4 3
5 2
5 88
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
det B A−( ) =
−
= ⋅ − −( )⋅ = + =5 2
5 8
5 8 5 2 40 10 50
b) a matriz inversa da matriz (B – A).
 
A A I
a b
c d
a c b d
a c
⋅ =
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ ⋅
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
+ +
− + −
−1
2
5 2
5 8
1 0
0 1
5 2 5 2
5 8 55 8
1 0
0 1b d+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
Da igualdade, temos dois sistemas de equações:
I. 
5 2 1
5 8 0
a c
a c
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
Somando as equações, determinamos o valor de c:
5 2 1
5 8 0
10 1
1
10
a c
a c
c c
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
Substituindo o valor de c na primeira equação:
5a + 2∙
1
10
= 1
5a + 
1
5
 = 1
5a = 1 – 
1
5
= 
4
25
II. 
5 2 0
5 8 1
b d
b d
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
Somando as equações, determinamos o valor de d:
5 2 0
5 8 1
1
10
10 1
b d
b d
dd
+ =
− + =
⎧
⎨
⎩
⊕
⇒ ==
Substituindo o valor de d na primeira equação:
5b + 2 ∙ 
1
10
= 0
5b = –
1
5
⇒ b = – 1
25
 
Portanto, a inversa da matriz (B – A) é 
4
25
1
10
25
1
10
1−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
. 
Teorema de Laplace
42. Calcule o valor dos seguintes determinantes:
a) 
2 3 1 2
0 4 3 5
1 2 1 3
0 4 1 0
 
Escolhemos a 1ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅11 11 21 21 11 11 41 41
D a A a A pois a a= ⋅ + ⋅ = =11 11 11 11 21 41 0,
D = ⋅ −( ) ⋅
−
+ ⋅ −( ) ⋅
−
−+ +2 1
4 3 5
2 1 3
4 1 0
1 1
3 1 2
4 3 5
4 1 0
1 1 3 1
D = ⋅ ⋅ − + − −( ) + ⋅ ⋅ − + + −( )2 1 36 10 20 12 1 1 20 8 24 15
D = ⋅ −( ) + ⋅ −( )2 58 1 3
D D= − − ⇒ = −116 3 119
b) 
0 0 0 3
1 2 1 4
3 4 6 1
2 0 4 1
 
Escolhemos a 1ª. linha, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
11 11 12 12 13 13 14 14
14 14 11 12 13, ==
= ⋅ −( ) ⋅
−
=
= ⋅ −( ) ⋅ − + − −( ) = ⋅ −( ) ⋅ −
+
0
3 1
1 2 1
3 4 6
2 0 4
3 1 16 24 8 24 3 1 24
1 4
D
(( ) = 72
16 Volume 5
c) 
8 9 1 3
0 2 1 4
0 0 4 1
0 0 0 1
 
Escolhemos a 1ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A a A
pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
= = =
11 11 21 21 31 31 41 4 11 11
21 31 41
1 ,
00
8 1
2 1 4
0 4 1
0 0 1
8 1 8 64
1 1
D = ⋅ −( ) ⋅ − = ⋅ ⋅( ) =+
Essa matriz é triangular e seu determinante pode ser calcu-
lado pela multiplicação dos elementosda diagonal principal.
43. Resolva as equações a seguir.
a) 
1 1 5 1
0 1
1 2 0 1
1 1 0 1
0
2x x
Escolhemos a 3ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
13 13 23 23 33 33 43 43
13 13 23 33 43, ==
⋅ −( ) ⋅ =
⋅ ⋅ + + − − −( ) =
⋅ −( ) =
+
0
5 1
1
1 2 1
1 1 1
0
5 1 2 1 2 0
5 1 0
5
1
2
2 2
3
x x
x x x x
x
x −− =
= ⇒ =
5 0
5 5 1x x
b) 
1 0 2 0
2 0 0
3 1 2
4 0 1
39
−
−
= −
x
x
x
Escolhemos a 2ª. coluna, pois é a que tem mais zeros. O 
determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
D a A pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= ⋅ = =
12 12 22 22 32 32 42 42
32 32 12 22 42, == 0
1 1
1 2 0
2 0
4 1
39
3 2⋅ −( ) ⋅ − = −+ x
x
1 1 8 4 39
1 11 39
11 39
39
11
⋅ −( ) ⋅ − + −( ) = −
−( )⋅ −( ) = −
= − ⇒ = −
x x x
x
x x
 
44. O determinante da matriz 
−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
1 1 1 0
1 0 2 3
2 3 6 5
2 1 4 0
 vale:
a) –5 X b) 7 c) 0 d) 5 e) –1
Escolhemos a 4ª. coluna, pois é a que contém a maior 
quantidade de zeros. O determinante D é igual a:
D a A a A a A a A
a A a A pois a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅
14 14 24 24 34 34 44 44
24 24 34 34 14, == =
= ⋅ −( ) ⋅
−
−
−
+ ⋅ −( ) ⋅
−
−
= ⋅
+ +
a
D
D
44
2 3 4
0
3 1
1 1 1
2 3 6
2 1 4
5 1
1 1 1
1 0 2
2 1 4
3
4
.
11 12 12 2 6 6 8 5 1 4 1 2 4
3 1 6 5 1 5
⋅ − + − + −( ) + ⋅ −( ) ⋅ − + + −( )
= ⋅ ⋅ −( ) + ⋅ −( ) ⋅ −( )D
DD D= − + ⇒ =18 25 7
Propriedades dos determinantes
45. O valor de cada um dos determinantes a seguir é zero. 
Justifique essa afirmação com a propriedade que ga-
rante a nulidade de cada um deles.
a) 
1 2 3 5
8 2 4 3
3 6 9 15
3 5 6 6
Filas paralelas proporcionais. A 1.ª e a 3.ª linhas são propor-
cionais, pois basta multiplicar os elementos da 1.ª linha por
–3 para obter os elementos da 3.ª linha.
b) 
1 0 2 5
4 0 8 3
1 2 2 1
4 0 8 3
Filas paralelas proporcionais. A 1.ª e a 3.ª colunas são propor-
cionais, pois basta multiplicar os elementos da 1.ª coluna por 2 
para obter os elementos da 3.ª coluna. Também podemos 
justificar a nulidade observando que a 2.ª e a 4.ª linhas são 
iguais.
Matemática 17
c) 
a b c
d e0
0 0 0
Fila nula. A 3.ª linha é formada somente por zeros.
d) 
1 0 1 5
4 0 4 3
1 2 1 1
0 0 0 1
 
Filas paralelas iguais. A 3.ª coluna é igual à 1.ª coluna.
46. (ACAFE – SC) Analise as afirmações abaixo, sabendo 
que: 
a b c
d e f
g h i
= −2
 I. 
d e f
a b c
g h i
2 
 II. 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
6
a b c
d e f
g h i
= − 
 III. 
a b c
g h i
0 0 0 0 
 IV. 
a b c
d a e b f c
g h i
+ + + = −2 2 2 2 
 Assinale a alternativa correta.
X a) Apenas I, III e IV são verdadeiras. 
b) Apenas a afirmação III é verdadeira. 
c) Apenas I e II são verdadeiras. 
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
Verdadeira. Propriedade 5.
Falsa. 3 2 27 2 54
3( ) ( ) ( )⋅ − = ⋅ − = −
Verdadeira. Há uma fila nula.
Verdadeira. Teorema 
de Jacobi. 
47. (IFSC) Após assistir a uma aula sobre determinantes 
de matrizes, Pedro decidiu codificar sua senha ban-
cária. A senha é composta pelos números A, B, C e 
D, justapostos nessa ordem e codificados através dos 
determinantes abaixo:
A
1 2 4
3 1 2
1 2 1
B =
−
−
1 7 1 25
0 3 8 32
0 0 2 11
0 0 0 1
C =
−
− −
− −
−
1 2 0 2
2 4 3 3
4 8 2 1
8 16 0 2
D =
−
−
3 0 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 4 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
 Sobre a senha de Pedro, determine o número 
correspondente à proposição correta ou à soma das 
proposições corretas.
(01) A senha possui dois dígitos nulos. 
X (02) A senha possui seis dígitos. 
(04) O último dígito da senha é zero. 
(08) Os dígitos da senha estão em ordem crescente. 
X (16) A + B + C + D = 45. 
X (32) Os dois primeiros dígitos da senha são 1 e 5. 
Somatório: 50 (02 + 16 + 32)
A = = + + − − − =
1 2 4
3 1 2
1 2 1
1 2
3 1
1 2
1 4 24 6 4 4 15
B é matriz triangular, então B = 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
C = 0, pois a segunda coluna é proporcional à primeira.
D é matriz triangular, então D = (–3) ∙ (–2) ∙ 4 ∙ 1 ∙ 1 = 24.
Incorreta. A senha tem um único dígito nulo.
Incorreta. O último dígito da senha é 4.
Incorreta. Estão em ordem alternada.
18 Volume 5
48. Calcule o determinante 
1 3 1 4
2 3 5 1
3 2 3 5
4 2 4 1
. 
Podemos utilizar o elemento a11 = 1 para anular os elemen-
tos a21 , a31 e a41 . Nesse caso, multiplicamos: 
a 1ª. linha por –2 e adicionamos à 2ª.. 
a 1ª. linha por –3 e adicionamos à 3ª.. 
a 1ª. linha por –4 e adicionamos à 4ª..
1 3 1 4
0 9 7 7
0 7 0 7
0 14 8 15
Escolhendo a 1ª. coluna, para calcular o determinante D, temos:
D a A a A a A a A a A
pois a a a
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅
= = =
11 11 21 21 31 1 1 41 11 11
21 31 41
3 4 ,
00.
D = ⋅ −( ) ⋅
− −
− −
− −
=
− −
− −
− −
−
−
−
=+1 1
9 7 7
7 0 7
14 8 15
9 7 7
7 0 7
14 8 15
9 7
7 0
14 8
1 1
== + − − = −686 392 735 504 161
Há outras possibilidades de resolução.
49. Calcule os determinantes a seguir.
a) 
1 1 1 1
1 3 5 7
1 9 25 49
1 27 125 343
 
Para calcular o determinante da Matriz de Vandermonde, 
fazemos: 
(–3 – 1) ∙ (5 – 1) ∙ (5 – (–3)) ∙ (–7 – 1) ∙ (–7 – (–3)) ∙ (–7 – 5) = 
= (–4) ∙ 4 ∙ 8 ∙ (–8) ∙ (–4) ∙ (–12) = 49 152
b) 
1 3 9 27
1 6 36 216
1 10 100 1000
1 11 121 1331
 
Como o determinante de uma matriz é igual ao da sua 
transposta, então:
1 3 9 27
1 6 36 216
1 10 100 1000
1 11 121 1331
1 1 1 1
3 6 10 11
9 36 100 121
27 216 10000 1331
 
Para calcular o determinante da Matriz de Vandermonde, 
fazemos: 
(6 – 3) ∙ (10 – 3) ∙ (10 – 6) ∙ (11 – 3) ∙ (11 – 6) ∙ (11 – 10) = 
= 3 ∙ 7 ∙ 4 ∙ 8 ∙ 5 ∙ 1 = 3 360
50. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 e det(A) = 6. 
Calcule:
a) det (3A) 
b) det ( At ) 
c) det ( A2 ) 
51. Analise as afirmações abaixo e assinale V se a afirma-
ção for verdadeira e F se a afirmação for falsa.
a) ( F ) O valor de um determinante será nulo se pelo 
menos um de seus elementos for igual a zero.
b) ( V ) O determinante de uma matriz fica multiplicado 
por m quando se multiplica uma fila da matriz 
por m. Propriedade 4.
c) ( F ) O determinante de uma matriz que tem os elemen-
tos de uma coluna iguais aos de uma linha vale 0. 
d) ( F ) O determinante de uma matriz não se altera 
quando se trocam, na matriz, duas filas entre si. 
e) ( V ) O determinante de uma matriz que tem duas 
filas paralelas iguais vale zero. Propriedade 2.
f) ( F ) Quando o número de elementos positivos de 
uma matriz é igual ao número de elementos ne-
gativos, o valor de seu determinante é zero.
(3)3 ⋅ 6 = 27 ⋅ 6 = 162
6
det A ∙ det A = 6 ∙ 6 = 36
Matemática 19
52. O determinante de uma matriz quadrada vale 28. Qual 
o valor do determinante obtido quando os elementos da 
3a. linha de uma matriz quadrada são divididos por 7, 
os elementos da 1a. coluna são multiplicados por 2 e os 
elementos da 2a. coluna são divididos por 4? 
28
7
4 4 2 8
8
4
2= ⋅ = =
53. M é uma matriz quadrada de ordem 4 e det M = –6. 
Calcule:
a) det (2M) 
2 6 16 6 96
4( ) ⋅ −( ) = ⋅ −( ) = −
b) o valor de k tal que det (2M) = k – 30 
det (2M) = k – 30
–96 = k – 30
k = –66
54. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, tal que 
a i i j
j
ij =
=
≠
⎧
⎨
⎩
2
3
, se 
 se i j,
, então determine o valor de 
 det ( A 1) + 2 ∙ det( At ) + det (3A).
Primeiramente, precisamos obter a matriz A e o valor do 
seu determinante:
A
a a a
a a a
a a a
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2
2
1 3 2 3 3
3 1 2 3 3
3 11 3 2 3
1 6 9
3 4 9
3 6 92⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
det A = =
= + + − − − =
1 6 9
3 4 9
3 6 9
1 6
3 4
3 6
36 162 162 162 54 108 36
Assim:
det det detA A At−( ) + ⋅ ( ) + ( ) =
= + ⋅ + ⋅ =
= + =
1
2
2 3
1
36
2 36 3 36
1
36
396
14 257
366
55. (MACKENZIE – SP) Dadas as matrizes A
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
5 1
 
e B
x
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 1
4
, a soma das raízes da equação 
det (A B) 28⋅ = − é:
a) 
5
11
b) 
3
11
c) 
4
5
d) 
11
3
X e) 
11
5
11 3
det
det det
A B
A B
x
x
x x
⋅( ) = −
⋅ = −
⋅ = −⋅ − ⋅( ) ⋅ ⋅ − ⋅( ) =
28
28
1
5 1
2 1
4
28
1 1 5 2 1 4 −−
−( )⋅ −( ) = −
− − + = −
− + + =
−
28
1 5 2 4 28
2 4 10 20 28
10 22 24 0
5 11
2
2
2
x x
x x x
x x
x xx − =12 0
A soma das raízes da equação é:
x x
b
a
x x x x1 2 1 2 1
11
5
11
5
2
+ = − ⇒ + =
− −( )
⇒ + =
56. (UFMS) Considere as matrizes reais 3 × 3, 
A = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 2 3
0 1 2
0 0 3
 e B
c
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 0
0 2 0
0 0 1
, em que c é um 
número real. Sabendo-se que o valor do determinante 
da matriz produto A ∙ B é −60, calcular o valor de c.
det A B⋅( ) = −60
det detA B⋅ = −60
1 2 3
0 1 2
0 0 3
1 0
0 2 0
0 0 1
60− ⋅ = −
c
1 1 3 2 1 60⋅ −( ) ⋅( ) ⋅ ⋅ ⋅( ) = −c
−( )⋅( ) = −3 2 60c
− = −6 60c ⇒ c 10
20 Volume 5
Sistemas lineares
02
Equação linear
Denomina-se equação linear toda equação que puder ser escrita na forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, em que:
• a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados de coeficientes das incógnitas. 
• x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas.
• b é um número real denominado termo independente.
Sistema de equações lineares
Denomina-se sistema linear m × n um conjunto formado por m equações lineares e n incógnitas.
 • Sistema determinado: tem uma única solução. 
 • Sistema indeterminado: tem infinitas soluções. 
 • Sistema impossível: não tem solução. 
Qualquer sistema linear m × n pode ser escrito na forma A · X = B. 
Exemplo:
Sistema linear
x y z
x y z
x y z
− + =
+ + =
− + − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 0
2 6
5 3 7 5
A =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
− −
1 2 1
2 1 1
5 3 7
Matriz dos coeficientes Matriz dos termos independentes
B =
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥−
0
6
5
1 2 1
2 1 1
5 3 7
0
6
5
−
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
x
y
z
Representação matricial
Regra de Cramer
A Regra de Cramer consiste em calcular o valor de uma incógnita dividindo-se dois determinantes. O denominador é o determinante da ma-
triz dos coeficientes, e o numerador é o determinante da matriz obtida quando, na matriz dos coeficientes, substituímos a coluna correspondente 
a essa incógnita pelos termos independentes.
Desse modo, em um sistema com incógnitas x e y, podemos escrever que x
D
D
x e y
D
D
y
.
Matemática 21
Escalonamento de sistemas lineares
É um procedimento para resolver sistemas lineares. Consiste em obter um sistema equivalente ao original, porém mais fácil de resolver. 
Um sistema está escalonado quando a matriz dos seus coeficientes está escalonada.
Uma matriz está escalonada quando:
 • o primeiro elemento diferente de zero de cada linha localiza-se à esquerda do primeiro elemento diferente de zero da linha seguinte;
 • qualquer linha com todos os elementos iguais a zero está abaixo das outras.
Operações permitidas para escalonar uma matriz:
 • trocar duas linhas entre si;
 • multiplicar (ou dividir) qualquer linha por um número real não nulo;
 • substituir uma linha pela adição dela com outra previamente multiplicada por um número real.
Na prática, o importante é que a quantidade de zeros aumente de uma linha para outra, podendo-se dispensar a forma de escada.
Discussão de sistemas lineares
Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, o sistema será determinado. Caso contrário, poderá ser indeterminado ou 
impossível.
O sistema será indeterminado se encontrarmos uma situação do tipo 0x + 0y + 0z = 0, que permite infinitas soluções, e será impossível se nos 
depararmos com 0x + 0y + 0z = k, k ≠ 0.
Atividades
Equação linear
1. Amanda foi realizar um saque de R$ 110,00 num caixa 
eletrônico que dispunha somente de notas de R$ 10,00 
e R$ 20,00. Determine:
a) todas as possibilidades de distribuição de notas que 
podem ser feitas para totalizar os R$ 110,00.
1 nota de 20 e 9 notas de 10; ou 2 notas de 20 e 7 no-
tas de 10; ou 3 notas de 20 e 5 notas de 10; ou 4 notas 
de 20 e 3 notas de 10; ou 5 notas de 20 e 1 nota de 10.
b) escreva a equação linear que representa a situação 
descrita no enunciado.
Nomeando x a quantidade de notas de 10 reais e y a 
quantidade de notas de 20 reais, a equação pode ser 
escrita como 10x + 20y = 110.
2. Verifique quais das ternas abaixo são soluções da 
equação linear x – y + 2z = 3.
a) (2, 5, 3) 
2 – 5 + 2 ∙ 3 = 2 – 5 + 6 = 3 
É solução.
b) (3, 2, 1)
3 – 2 + 2 ∙ 1 = 3 – 2 + 2 = 3
É solução.
c) 
2
3
1
3
1
3
, ,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
2
3
1
3
2
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
1 3− + ⋅ = − + = = ≠
Não é solução.
22 Volume 5
d) 
1
3
2
3
2
3
, ,⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎝ ⎠
1
3
2
3
2
2
3
1
3
2
3
4
3
3
3
1 3− + ⋅ = − + = = ≠
Não é solução.
3. Numa lanchonete, cada coxinha de frango custa 
R$ 5,00 e cada refrigerante custa R$ 4,00. Raul e sua 
família foram lanchar nessa lanchonete. Consumiram x 
coxinhas de frango e y refrigerantes, gastando um total 
de R$ 54,00.
a) Escreva uma equação linear relacionando as variá-
veis x e y.
5x + 4y = 54 
b) Verifique se é possível que a família tenha consumi-
do 5 coxinhas de frango.
Se a família tivesse consumido 5 coxinhas de frango, 
teria gastado 25 reais somente com elas. Assim, 
sobrariam 29 reais consumidos em refrigerantes, o que 
não é possível, pois esse valor não é múltiplo de 4.
c) Escreva todas as possíveis quantidades de coxinhas 
de frango e refrigerantes consumidos pela família.
2 coxinhas de frango e 11 refrigerantes; ou 6 coxinhas 
de frango e 6 refrigerantes; ou 10 coxinhas de frango 
e 1 refrigerante. 
4. Determine p para que (–2, 2, –4) seja solução da equa-
ção px + 2y – z = 6.
p∙(–2) + 2 ∙ 2 – (–4) = 6
–2p + 4 + 4 = 6
–2p = –2
2p = 2 ⇒ p = 1
5. Dada a equação 
x y
3 4
2+ = − , calcule o valor de b para 
que (b, b + 1) torne a sentença verdadeira. 
b b
b b
b b
3
1
4
2
4 3 3
12
24
12
3 24 21
− + = −
− − = −
− = − ⇒ = −
Sistema de equações lineares
6. Classifique cada um dos sistemas lineares a seguir.
a) 
x y
x y
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
5 4
3 2 5
 
⎩
− + =
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
3 15 12
3 2 5
17 17
1
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x – 5 ∙ 1 = –4
x = 1
O sistema é possível e determinado, pois tem uma única 
solução (1, 1).
b) 
2 4 2
4 8 4
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩⎩
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
4 8 4
4 8 4
0 0
x y
x y
O sistema é indeterminado, pois admite infinitas so-
luções.
c) 
2 3 2
8 12 12
x y
x y
− =
− =
⎧
⎨
⎩
 
⎩
− + = −
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
8 12 8
8 12 12
0 4
x y
x y
O sistema é impossível.
(× –3)
(× –2)
(× –4)
Matemática 23
7. Para quais valores de p e q o sistema 
x y
px qy
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎩
3
15
 
é indeterminado?
5 5 15
15
5 5 0
x y
px qy
p x q y
+ =
+ = −
⎧
⎨
⎩
⊕
+( ) + +( ) =
Para que o sistema seja possível e indeterminado, pre-
cisamos ter 0 = 0 na última expressão obtida, desta 
forma:
p + 5 = 0 ⇒ p = –5
q + 5 = 0 ⇒ q = –5
8. Determine os valores de a, b e c para que a terna orde-
nada (2, 5, 2) seja solução do sistema 
x y z a
bx y z a
x y bz c
− + = −
+ − =
+ − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2 7
2 4
4
. 
 I. Resolvendo a primeira equação, obtemos a:
2 – 5 + 2 ∙ 2 = 2a – 7
2 – 5 + 4 = 2a – 7
2a = 8
a = 4
 II. Resolvendo a segunda equação com o resultado obtido 
em I, calculamos b:
b ∙ 2 + 2 ∙ 5 – 4 ∙ 2 = 4
2b + 10 – 8 = 4
2b = 2
b = 1 
III. Resolvendo a terceira equação com o resultado obtido em 
II, calculamos c:
2 + 5 – 1 ∙ 2 = c – 4
2 + 5 – 2 = c – 4
c = 9
Assim, os valores de a, b e c que tornam a terna (2, 5, 2) 
solução do sistema são, respectivamente, 4, 1 e 9.
9. (UNICAMP – SP) As companhias aéreas costumam es-
tabelecer um limite de peso para a bagagem de cada 
passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de ex-
cesso de peso. Quando dois passageiros compartilham 
a bagagem, seus limites são considerados em con-
junto. Em um determinado voo, tanto um casal como 
um senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg 
de bagagem e foram obrigados a pagar pelo excesso 
de peso. O valor que o senhor pagou correspondeu a 
3,5vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o 
(× 5) peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor 
que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que 
um passageiro pode transportar sem pagar qualquer 
taxa (z), pode-se resolver o seguinte sistema linear:
X a) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 60
60
3 5 0,
b) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
60
2 60
3 5 0,
c) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 60
60
3 5 0,
d) 
x z
y z
x y
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
60
2 60
3 5 0,
10. (FUVEST – SP) Em uma festa com n pessoas, em um 
dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram 
convidados na razão de 2 homens para cada mulher. 
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e 
restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres 
para cada homem. O número n de pessoas presentes 
inicialmente na festa era igual a: 
a) 100
b) 105
c) 115
X d) 130
e) 135
Vamos considerar x o número de homens e y o número 
de mulheres que estavam inicialmente na festa.
I. O texto descreve a seguinte situação: “em um dado 
instante, 31 mulheres se retiraram e restaram convi-
dados na razão de 2 homens para cada mulher”, que 
pode ser traduzida por esta equação: 
x
y −
=
31
2
1
 ⇒ x = 2∙(y – 31) ⇒ x = 2y – 62
II. Em outro momento, temos a seguinte situação: “Um 
pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e resta-
ram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres 
para cada homem”, que pode ser traduzida por esta 
equação (lembre-se de manter a continuidade, já saí-
ram 31 mulheres da festa):
x
y
−
−
=55
31
1
3
 ⇒ 3∙(x – 55) = y – 31 ⇒ 
⇒ 3x – 165 = y – 31
Agora, substituindo I em II, temos:
3∙(2y – 62) – 165 = y – 31
6y – 186 – 165 = y – 31
5y = 320
y = 64
E, finalmente, substituindo o valor de y em I ou II, temos:
x = 2y – 62
x = 2 ⋅ 64 – 62
x = 66.
Assim, o número inicial de presentes à festa era de 
64 + 66 = 130.
 
24 Volume 5
11. (IFPE) O cartaz de uma lanchonete anuncia: dois san-
duíches iguais mais três sucos iguais custam R$ 9,00 
e três sanduíches iguais mais dois sucos iguais cus-
tam R$ 11,00. Se você deseja comer nessa lanchonete 
apenas um desses sanduíches da oferta, você irá pagar 
por ele a quantia de:
a) R$ 3,50
X b) R$ 3,00
c) R$ 2,50
d) R$ 2,00
e) R$ 1,50
Nomeando a quantidade de sanduíches por x e a 
quantidade de sucos por y, temos o seguinte sistema:
2 3 9
3 2 11
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
Multiplicando a primeira equação por –3 e a segunda 
por 2 e somando as expressões obtidas, temos:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
6 9 27
6 4 22
5 5
1
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, deter-
minamos o valor de x:
2x + 3 ∙ 1 = 9
2x = 6
x = 3
Portanto, apenas 1 sanduíche custará 3 reais.
12. (FURG – RS) Um feirante estava com a balança defeituosa, 
medindo apenas quantidades acima de 3 quilogramas. 
Como o freguês não estava disposto a levar mais de 3 
quilogramas de cada alimento, o feirante sugeriu pesar 
os produtos dois a dois. O freguês escolheu uma certa 
quantia de cebolas, outra de batatas e outra de tomates. 
As pesagens apontaram a seguinte situação: cebolas e 
tomates juntos pesaram 4,5 quilogramas; cebolas e 
batatas juntas pesaram 4 quilogramas e tomates e batatas 
juntos pesaram 4,5 quilogramas. Com base nesses dados 
é correto afirmar que o freguês levou para casa
a) mais de 2,0 quilogramas de cebola.
b) mais de 2,0 quilogramas de batata.
c) 1,5 quilograma de cebola.
d) 2,0 quilogramas de tomate.
X e) 2,0 quilogramas de batatas. 
Nomeando a quantidade de cebolas por x, a quanti-
dade de batatas por y e a quantidade de tomates por 
z, temos o seguinte sistema:
x z
x y
y z
x z
x y
y z
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
+ =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
4 5
4
4 5
4 5
4
4 5
,
,
,
,
Resolvendo o sistema:
x + z = y + z ⇒ x = y
x + y = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
y = 2 
z = 2,5
13. (UNIFOR – CE) Se a terna (a, b, c) é solução do sistema 
2 4
4
4 1
x y
y z
x z
+ =
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, então
a) a + c = −1
b) a + b = 1
X c) b + c = 2
d) 2a = 2
e) 3b = 3
Resolvendo o sistema:
2x + y = y – z ⇒ 2x = –z
4x + z = 1 
4x – 2x = 1 ⇒ x 1
2
 = a
z = –1 = c
y – z = 4
y + 1 = 4 ⇒ y = 3 = b
Assim, temos que b + c = 2.
14. (UNESP – SP) Numa determinada empresa, vigora a se-
guinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final 
de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, 
se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, 
ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou 
pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão 
sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, 
pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou ne-
gativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se 
o número de pontos acumulados for positivo, o funcio-
nário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um 
desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou 
exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quan-
tidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15.
b) 20.
X c) 25.
d) 26.
e) 28.
Nomeando a quantidade de meses em que o funcionário foi 
pontual por x e a quantidade de meses em que o funcionário 
não foi pontual de y, temos o seguinte sistema:
x y
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
30
3 5 50
Matemática 25
Multiplicando a primeira equação por 5 e somando as 
equações, temos:
5 5 150
3 5 50
8 200
25
x y
x y
x
x
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
⊕
=
=
Portanto, o número de meses em que o funcionário foi 
pontual é 25.
15. (VUNESP – SP) A agência Vivatur vendeu a um turista 
uma passagem que foi paga, à vista, com cédulas de 
10, 50 e 100 dólares, num total de 45 cédulas. O valor 
da passagem foi 1 950 dólares e a quantidade de cé-
dulas recebidas de 10 dólares foi o dobro das de 100. 
O valor, em dólares, recebido em notas de 100 pela 
agência na venda dessa passagem, foi
a) 1 800.
b) 1 500.
c) 1 400.
X d) 1 000.
e) 800.
Nomeando a quantidade de notas de 10 dólares por x, 
a quantidade de notas de 50 dólares por y e a quanti-
dade de notas de 100 dólares por z, temos o seguinte 
sistema:
x y z
x y z
x z
+ + =
+ + =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
45
10 50 100 1950
2
Como x = 2z, podemos substituir nas duas primeiras 
equações, obtendo o seguinte sistema:
2 45
10 2 50 100 1950
3 45
50 120 1950
z y z
z y z
y z
y z
y
+ + =
⋅ + + =
⎧
⎨
⎩
⇒
⇒
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒
++ =
+ =
⎧
⎨
⎩
3 45
5 12 195
z
y z
Multiplicando a primeira equação por –5, e somando as 
equações, temos:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
5 15 225
5 12 195
3 30
10
y z
y z
z
z
Portanto, o valor recebido em notas de 100 dólares foi 
US$ 1.000,00.
Regra de Cramer
16. Utilizando a Regra de Cramer, solucione os sistemas 
lineares a seguir.
a) 
x y
x y
+ =
− = −
⎧
⎨
⎩
2 5
2 3 4⎩
D
Dx
=
−
= ⋅ −( ) − ⋅ = − − = −
=
− −
= ⋅ −( ) − ⋅ −( ) = − + = −
1 2
2 3
1 3 2 2 3 4 7
5 2
4 3
5 3 2 4 15 8 7
DDy = −
= ⋅ −( ) − ⋅ = − − = −1 5
2 4
1 4 5 2 4 10 14
x
D
D
y
D
D
x
y
= = −
−
=
= = −
−
=
7
7
1
14
7
2
A solução do sistema é (1, 2).
b) 
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2
2 3 9
3 3 2 3⎩
D
Dx
=
−
−
−
− = + − + − − =
=
−
−
−
−
1 2 1
2 1 3
3 3 2
1 2
2 1
3 3
2 18 6 8 9 3 10
2 2 1
9 1 3
3 3 2
2 2
9 1
3 33
4 18 27 36 18 3 10
1 2 1
2 9 3
3 3 2
1 2
2 9
3 3
18 18 6 8 9 27
= + − + − − =
=
−
−
= − + − + − + =Dy 220
1 2 2
2 1 9
3 3 3
1 2
2 1
3 3
3 54 12 12 27 6 30Dz = − − = − + + − − + =
x
D
D
y
D
D
z
D
D
x
y
z
10
10
1
20
10
2
30
10
3
A solução do sistema é (1, 2, 3).
26 Volume 5
c) 
x y
x z
y z
+ − =
− − =
− − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
10 0
5 0
3 0
 ⇒
+ =
− =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
x y
x z
y z
10
5
3
 
⎩
D
Dx
= −
−
= + =
= −
−
= − + + =
1 1 0
1 0 1
0 1 1
1 1
1 0
0 1
1 1 2
10 1 0
5 0 1
3 1 1
10 1
5 0
3 1
3 5 10 12
DD
D
y
z
= −
−
= − + + =
= = − −
1 10 0
1 5 1
0 3 1
1 10
1 5
0 3
5 10 3 8
1 1 10
1 0 5
0 1 3
1 1
1 0
0 1
10 3 55 2=
x
D
D
y
D
D
z
D
D
x
y
z
12
2
6
8
2
4
2
2
1
A solução do sistema é (6, 4, 1).
17. Determine o valor de p para que cada sistemaa seguir 
tenha solução única.
a) 
px y
x py
− =
− + =
⎧
⎨
⎩
4 1
9
 
⎩
Para um sistema ter solução única, D deve ser diferente 
de zero, então:
p
p
−
−
≠
4
1
0
p2 4 0− ≠
 p2 ≠ 4
p ≠ ±2 
b) 
4 3 9
8 2 18
6
x y z
x y z
x py z
− + = −
− + − =
− + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪⎩
Para um sistema ter solução única, D deve ser diferente 
de zero, então:
4 3 1
8 2 1
1 1
4 3
8 2
1
0
8 3 8 24 4 2 0
4 15
15
4
−
− −
−
−
−
−
≠
+ + − − − ≠
≠ ⇒ ≠
p p
p p
p p
18. Leia o texto a seguir e faça o que se pede.
 “Sejam A, B e C três livros vendidos em certa loja 
virtual. Sabe-se que o preço do livro A é o mesmo dos 
livros B e C juntos, o preço do livro B é a diferença entre 
o preço de dois livros A e 40 reais e o preço do livro C 
é a diferença entre três livros B e 50 reais.” 
a) Escreva um sistema correspondente à situação cita-
da acima.
A B C
B A
C B
= +
= −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 40
3 50
b) Resolva o sistema.
A B C
B A
C B
A B C
A B
B C
= +
= −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
− − =
− + = −
− + = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 40
3 50
0
2 40
3 50
D =
− −
−
−
−
−
−
= − − = −
1 1 1
2 1 0
0 3 1
1 1
2 1
0 3
1 6 2 7
DA =
− −
−
− −
−
−
− −
= − − − = −
0 1 1
40 1 0
50 3 1
0 1
40 1
50 3
120 50 40 210
DB =
−
− −
−
− −
−
= − − = −
1 0 1
2 40 0
0 50 1
1 0
2 40
0 50
40 100 140
DC =
−
− −
− −
−
−
−
= − + − = −
1 1 0
2 1 40
0 3 50
1 1
2 1
0 3
50 100 120 70
A
D
D
B
D
D
C
D
D
A
B
C
= = −
−
=
= = −
−
=
= = −
−
=
210
7
30
140
7
20
70
7
10
Matemática 27
19. (IFSC) Uma loja de doces comercializa três variedades 
de bombons (recheados, trufados e mesclados) em 
caixas de três tamanhos diferentes (pequena, média 
e grande). O valor de cada caixa é dado pela soma 
dos preços unitários de cada bombom. O quadro 
abaixo mostra o conteúdo e o valor de cada caixa 
comercializada:
Caixa
Bombons em cada 
caixa
Pequena – R$ 19,00
5 recheados, 3 mesclados e 
3 trufados
Média – R$ 36,00
10 recheados, 4 mesclados e 
6 trufados
Grande – R$ 50,00
12 recheados, 18 mesclados 
e 4 trufados
 Com base nas informações referentes às caixas 
de bombons comercializadas, determine o número 
correspondente à proposição correta ou à soma das 
proposições corretas.
X (01) O valor unitário do bombom trufado é igual ao 
dobro do bombom mesclado.
X (02) O bombom recheado custa R$ 2,00 a unidade.
(04) Os três tipos de bombons têm valores unitários 
distintos. 
X (08) Um dos tipos de bombom custa R$ 1,00 a 
unidade.
(16) O bombom trufado custa R$ 2,50 a unidade.
X (32) Os valores unitários de cada bombom podem ser 
expressos por números inteiros.
Somatório: 43 (01 + 02 + 08 + 32)
Nomeando o preço de cada bombom recheado por x, 
de cada bombom mesclado por y e de cada bombom 
trufado por z, temos o seguinte sistema:
5 3 3 19
10 4 6 36
12 18 4 50
5 3 3 19
5 2
x y z
x y z
x y z
x y z
x y
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
+ + =
+ ++ =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3 18
6 9 2 25
z
x y z
D = =
= + + − − − =
5 3 3
5 2 3
6 9 2
5 3
5 2
6 9
20 54 135 30 135 36 8
Dx = =
= + + − − − =
19 3 3
18 2 3
25 9 2
19 3
18 2
25 9
76 225 486 108 513 150 16
Dy = =
= + + − − − =
5 19 3
5 18 3
6 25 2
5 19
5 18
6 25
180 342 375 190 375 324 8
D
x
D
D
z
x
= =
= + + − − − =
= =
5 3 19
5 2 18
6 9 25
5 3
5 2
6 9
250 324 855 375 810 228 16
16
8
==
= = =
= = =
2
8
8
1
16
8
2
y
D
D
z
D
D
y
z
A solução do sistema é (2, 1, 2).
Escalonamento de sistemas 
lineares
20. Verifique se os sistemas a seguir são equivalentes.
a) S
x y
x y1
7
4 2 24
:
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
 e S
x y
x
y2
2 1
5
1
:
= +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪⎩
Resolvendo o primeiro sistema de equações:
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
7
4 2 24
Multiplicando a primeira equação por –4 e somando 
com a segunda, determinamos o valor de y:
− − = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
− = −
=
4 4 28
4 2 24
2 4
2
x y
x y
y
y
Substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x + y = 7
x + 2 = 7
x = 5 
Agora, basta substituir os resultados no segundo sis-
tema e verificar se o par (5, 2) também é sua solução:
x y
x
y
= +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
= ⋅ +
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⇒
=
=
⎧
⎨
⎩
2 1
5
1
5 2 2 1
5
5
1 2
5 5
2 2
Logo, os sistemas são equivalentes, pois o par satisfaz 
ambas as equações.
28 Volume 5
b) S
a b
a b1
2 1
3 11
:
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
 e S
a b
a b2
2 3
:
+ =
=
⎧
⎨
⎩
 
⎩ ⎩
Resolvendo o segundo sistema de equações:
a b
a b
+ =
=
⎧
⎨
⎩
2 3
Substituindo a por b na primeira equação, temos:
b + 2b = 3
3b = 3
b = 1 
Como a = b, então a = 1. 
Agora, basta substituir os resultados no primeiro sistema 
e verificar se o par (1, 1) também é sua solução:
2 1
3 11
2 1 1 1
3 1 1 11
1 1
4 11
a b
a b
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⇒
⋅ − = −
⋅ + =
⎧
⎨
⎩
⇒
= −
=
(falso)
(falsoo)
⎧
⎨
⎩
Logo, os sistemas não são equivalentes, pois o par não 
satisfaz ambas as equações.
21. Determine o valor de p e q para que os sistemas 
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2 5
 e 
px qy
qx py
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2
 sejam equivalentes. 
Inicialmente, resolvemos o primeiro sistema:
x y
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
1
2 5
Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com 
a segunda, determinamos o valor de y:
− + = −
+ =
⎧
⎨
⎩
⊕
= ⇒ =
2 2 2
2 5
3 3 1
x y
x y
y y
E substituindo o valor de y na primeira equação, determi-
namos o valor de x:
x – y = 1
x – 1 = 1 ⇒ x = 2 
Como os sistemas são equivalentes, o par (2, 1) também é 
solução do segundo sistema: 
p q
q p
p q
p q
⋅ − ⋅ = −
⋅ + ⋅ =
⎧
⎨
⎩
⇒
− = −
+ =
⎧
⎨
⎩
2 1 1
2 1 2
2 1
2 2
Multiplicando a segunda equação por –2 e somando com a 
primeira, determinamos o valor de q:
2 1
2 4 4
5 5 1
p q
p q
q q
− = −
− − = −
⎧
⎨
⎩
⊕
− = − ⇒ =
Substituindo o valor de q na primeira equação, determina-
mos o valor de p:
2p – 1 = –1
2p = 0 ⇒ p = 0
 
22. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a 
seguir:
a) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− + = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
12
3 2 14
2 2 3
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 12
3 1 2 14
2 2 1 3
1
2
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –3 e 
somamos com L2.
Multiplicamos L1 por –2 e 
somamos com L3.
1 1 1 12
0 4 1 22
0 4 1 27
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –1 e 
somamos com L3.
A última linha correspon-
de à equação 0 · x + 0 · 
y + 0 · z = –5. Note que 
não existem valores de x, 
y e z que satisfaçam essa 
equação. Assim, o sistema 
é impossível: S = ∅
1 1 1 12
0 4 1 22
0 0 0 5
1
2
3
− − −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
b) 
2 3 11
6
5 2 3 18
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
 
⎩
Matriz ampliada (observe 
que foram trocadas conve-
nientemente de posição as 
duas primeiras linhas do 
sistema).
1 1 1 6
2 3 1 11
5 2 3 18
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e 
somamos com L2.
Multiplicamos L1 por –5 e 
somamos com L3.
1 1 1 6
0 1 1 1
0 3 2 12
1
2
3
− −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por 3 e 
somamos com L3.
1 1 1 6
0 1 1 1
0 0 5 15
1
2
3
− −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
z
+ + =
− = −
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
6
1
5 15
–5z = –15 ⇒ z = 3
y – z = –1 ⇒ y – 3 = – 1 ⇒ y = 2
x + y + z = 12 ⇒ x + 2 + 3 = 6 ⇒ x = 1
A solução é (1, 2, 3). O sistema tem uma única solução, 
logo é determinado.
Matemática 29
c) 
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
0
2 2 4 0
3 0
 
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 0
2 2 4 0
1 1 3 0
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L2.
Multiplicamos L1 por –1 e so-
mamos com L3.
1 1 1 0
0 0 2 0
0 0 2 0
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
z
z
+ + =
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
0
2 0
2 0
2z = 0 ⇒ z = 0
x + y + z = 0 ⇒ x + y + 0 = 0 ⇒ x = –y
A solução é (–y, y, 0). O sistema tem infinitas soluções, 
portanto é indeterminado.
d) 
x y z
x y z
+ − =
+ + =
⎧
⎨
⎩
2
2 3 2 5
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 1 2
2 3 2 5
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤⎦
⎥
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L2.
1 1 1 2
0 1 4 1
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
L
L
Assim:
x y z
y z
+ − =
+ =
⎧
⎨
⎩
2
4 1
y + 4z = 1 ⇒ y = 1 – 4z
x + 1 – 4z – z = 0 ⇒ x = 1 + 5z
A solução é (1 + 5z, 1 – 4z, z). O sistema tem infinitas 
soluções, portanto é indeterminado.
e) 
x y
x y
x y
+ =
− =
+ = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
5
2 9
 
⎩
Matriz ampliada
1 1 2
1 1 5
2 1 9
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –1 e so-
mamos com L2.
Multiplicamos L1 por –2 e so-
mamos com L3.
1 1 2
0 2 3
0 1 13
1
2
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
 
Assim:
x y
y
y
+ =
− =
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2 3
13
Como a segunda e a terceira equações determinam valo-
res diferentes para y, o sistema é impossível.
S = ∅
23. (IFPR) Uma concessionária de veículos na cidade de 
Jacarezinho, no Paraná, vende carros de 1 000 cilin-
dradas, carros de 1 400 cilindradas e carros de 1 600 
cilindradas. O gerente da loja quer fazer o levantamen-
to sobre as vendas desses carros durante 3 finais de 
semana consecutivos:
• No primeiro fim de semana, foram vendidos: 1 car-
ro de 1 000 cilindradas, 2 carros de 1 400 cilindra-
das e 3 carros de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 260.000,00;
• No segundo fim de semana, foram vendidos: 2 car-
ros de 1 000 cilindradas, 1 carro de 1 400 cilindra-
das e 1 carro de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 150.000,00; 
• No terceiro fim de semana, foram vendidos: 4 car-
ros de 1 000 cilindradas, 3 carros de 1 400 cilin-
dradas e 1 carro de 1 600 cilindradas, arrecadando 
R$ 290.000,00. 
 Com base no levantamento obtido pelo gerente, os 
preços unitários dos carros de 1 000, 1 400 e 1 600 
cilindradas são, respectivamente:
a) R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 55.000,00. 
b) R$ 30.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 60.000,00. 
X c) R$ 30.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00. 
d) R$ 30.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00. 
e) R$ 25.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00.
Nomeando o preço de cada carro de 1 000 cilindradas 
por x, de cada carro de 1  400 cilindradas por y e de 
cada carro de 1 600 cilindradas por z, temos o seguinte 
sistema:
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 3 260000
2 150000
4 3 290000
30 Volume 5
 
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada
1 2 3 260 000
2 1 1 150 000
4 3 1 290 000
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por 
–2 e somamos com L2.
Multiplicamos L1 por 
–4 e somamos com L3.
1 2 3 260 000
0 3 5 370 000
0 5 11 750 000
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por 
–5 e somamos com L3 
multiplicada por 3.
1 2 3 260 000
0 3 5 370 000
0 0 8 400 000
1
2
3
− − −
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
z
+ + =
− − = −
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 3 260 000
3 5 370 000
8 400 000
–8z = –400 000 ⇒ z = 50 000
–3y – 5z = –370 000 ⇒ –3y – 5 ∙ 50 000 = –370 000 ⇒ 
⇒ –3y = –120 000 ⇒ y = 40 000
x + 2y + 3z = 260 000 ⇒ x + 2 ∙ 40 000 + 3 ∙ 50 000 = 
= 260 000 ⇒ x = 30 000
24. (UFRN) No início da utilização de mensagens cifradas, 
usava-se a teoria das matrizes para codificar/decodi-
ficar mensagens. A codificação era feita da seguinte 
maneira: os números correspondentes às letras de 
uma palavra formavam uma matriz coluna e depois 
multiplicava-se uma matriz geradora por essa coluna. 
Cada letra do alfabeto corresponde a um valor numéri-
co, segundo a sua ordem: A = 1, B = 2, C = 3 ... Y = 25 
e Z = 26. Uma mensagem foi enviada com os números 
23 – 17 – 70 para uma pessoa que conhecia a matriz 
geradora a seguir.
1 0 1
0 1 2
3 0 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 A palavra enviada foi: 
a) não b) pai c) sim X d) voa
1 0 1
0 1 2
3 0 4
23
17
70
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⋅
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
x
y
z
x z
y z
x z
+
+
+
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
2
3 4
23
17
70
Resolvendo o sistema formado pela igualdade matricial:
Matriz ampliada
1 0 1 23
0 1 2 17
3 0 4 70
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –3 
e somamos com L3.
1 0 1 23
0 1 2 17
0 0 1 1
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x z
y z
z
+ =
+ =
=
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
23
2 17
1
z = 1 
y + 2z = 17 ⇒ y = 15
x + z = 23 ⇒ x = 22
Portanto, a sequência das letras da palavra é 22 – 15 – 1, 
que representa a palavra voa.
25. (UFSM – RS) Na peça “Um xadrez diferente”, que en-
cenava a vida de um preso condenado por crime de 
colarinho branco, foi utilizado como cenário um mosai-
co formado por retângulos de três materiais diferentes, 
nas cores verde, violeta e vermelha. 
 Considere que x, y e z são, respectivamente, as 
quantidades em quilos dos materiais verde, violeta e 
vermelho utilizados na confecção do painel e que essas 
quantidades satisfazem o sistema linear
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
3 2 250
2 5 3 420
3 5 2 430
 Sobre a solução desse sistema e a quantidade dos 
materiais verde, violeta e vermelho utilizada no painel, 
afirma-se:
I. O sistema tem solução única e x + y + z = 120, 
isto é, a soma das quantidades dos três materiais 
empregados é 120 quilos.
II. O sistema não tem solução, é impossível determinar 
a quantidade de cada material empregado. 
III. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é diferente de zero e 
x = 2y e y = 3z. 
IV. O determinante da matriz dos coeficientes a qual 
está associada ao sistema é zero. O sistema tem 
solução, porém, para determinar a quantidade dos 
materiais utilizados, é necessário saber previamente 
a quantidade de um desses materiais. 
 Está(ão) correta(s):
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Incorreta. O sistema é indeterminado.
Correta.
Matemática 31
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e III. 
X e) apenas IV. 
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada (observe 
que foram trocadas con-
venientemente de posi-
ção as duas primeiras 
linhas do sistema)
1 3 2 250
2 5 3 420
3 5 2 430
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –2 
e somamos com L2. 
Multiplicamos L1 por –3 
e somamos com L3. 
1 3 2 250
0 1 1 80
0 4 4 320
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –4 
e somamos com L3. 
1 3 2 250
0 1 1 80
0 0 0 0
1
2
3
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
+ + =
− − = −
⎧
⎨
⎩
3 2 250
80
–y – z = –80 ⇒ y = 80 – z
x + 3y + 2z = 250 ⇒ x + 3 ∙ (80 – z) + 2z = 250 ⇒ 
⇒ x + 240 – 3z + 2z = 250 ⇒ x = z + 10
Portanto, o sistema é indeterminado, pois S = (z + 10, 
80 – z, z).
26. (IFSC) Segundo uma promoção realizada por um time 
de futebol, os associados ganham crédito de R$ 6,00 
em compras, na loja oficial do clube, por vitória do 
time, ganham R$ 2,00 por empate e não ganham, nem 
perdem créditos quando há derrota. Até o momento, 
o time jogou 8 partidas e cada vitória vale 3 pontos 
na tabela do campeonato, cada empate vale 1 ponto 
e cada derrota zero ponto, totalizando 16 pontos no 
campeonato e R$ 32,00 de créditos para associados. 
Em relação aos dados acima, analise as proposições 
abaixo e determine a soma da(s) correta(s). 
X (01) A situação apresentada no enunciado pode ser 
representada por um sistema linear.
(02) Há apenas uma solução para a quantidade de 
vitórias, empates e derrotas do time. 
(04) Não existem valores reais que representem so-
lução para a quantidade de vitórias, empates e 
derrotas do time. 
X (08) Há mais de uma solução para a quantidade de 
vitórias, derrotas e empates do time.
(16) Podemos garantir que a quantidade de vitórias é 
maior que a soma de empates e derrotas.
Somatório: 09 (01 + 08)
Nomeando o número de vitórias por x, o número de empates 
por y e o número de derrotas por z, temos o seguinte sistema:
x y z
x y
x y
+ + =
+ =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
8
3 16
6 2 32
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada
1 1 1 8
3 1 0 16
6 2 0 32
1
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por–3 e so-
mamos com L2. 
Multiplicamos L1 por –6 e so-
mamos com L3. 
1 1 1 8
0 2 3 8
0 4 6 16
1
2
3
− − −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –2 e so-
mamos com L3 multiplicada 
por 3. 
1 1 1 8
0 2 3 8
0 0 0 0
1
2
3
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
+ + =
− − = −
⎧
⎨
⎩
8
2 3 8
–2y – 3z = –8 ⇒ 2y = 8 – 3z 
y
z= −8 3
2
x + y + z = 8 ⇒ x z z+ − + =8 3
2
8 ⇒ 
⇒ x z z= − − −8 8 3
2
 ⇒ x z= +8
2
A solução do sistema indeterminado é 8
2
8 3
2
+ −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
z z
z, , .
27. (UNICAMP – SP) Uma empresa deve enlatar uma 
mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-
-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa 
R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o 
quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata deve 
conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingre-
dientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, 
a quantidade de castanha de caju em cada lata deve 
ser igual a um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a situação 
descrita acima.
Nomeando a quantidade de amendoim por x, a quantidade 
de castanha de caju por y e a quantidade de castanha-do-
-pará por z, temos o seguinte sistema:
x y z
x y z
y
x z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
= +
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⇒
+ + =
+ + =
0 5
5 20 16 5 75
3
0 5
5 20 16
,
,
,
55 75
3 0
,
x y z− + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
32 Volume 5
b) Resolva o referido sistema, determinando as quanti-
dades, em gramas, de cada ingrediente por lata. 
Matriz ampliada: 
1 1 1 0 5
5 20 16 5 75
1 3 1 0
1
2
3
,
,
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –5 e somamos com L2.
Multiplicamos L1 por –1 e somamos com L3.
1 1 1 0 5
0 15 11 3 25
0 4 0 0 5
1
2
3
,
,
,− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
y
+ + =
+ =
− = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
0 5
15 11 3 25
4 0 5
,
,
,
–y – z = –80 ⇒ y = 80 – z
–4y = –0,5 ⇒ y= 0,125 kg = 125 g
15y + 11z = 3,25 ⇒ 15 ∙ 0,125 + 11z = 3,25 ⇒ 
⇒ 11z = 1,375 ⇒ z = 0,125 kg = 125 g
x + y + z = 0,5 ⇒ x + 0,125 + 0,125 = 0,5 ⇒ 
⇒ x = 0,250 kg = 250 g
Portanto: 
castanha de caju – 125 gramas;
castanha-do-pará – 125 gramas;
amendoim – 250 gramas.
Discussão de sistemas lineares
28. (UEL – PR) A tabela a seguir apresenta a capacidade de 
geração de energia C, a área inundada A e a razão da 
capacidade de geração de energia pela área inundada 
E
C
A
, de 5 usinas hidrelétricas brasileiras.
Hidrelétrica
Itaipu
Porto Primavera
Serra da Mesa
Sobradinho
Tucuruí
C (MW)
14.000
1.800
1.275
1.050
8.370
A (km2)
1.350
2.250
1.784
4.214
2.430
E (MW/km2)
10,4
0,8
0,7
0,2
3,4
 O maior valor de E é aquele da Usina de Itaipu. O par 
ordenado (x, y) do sistema linear
3 4 0 2
0 8 0 7
10 4
10 4
, ,
, ,
,
,
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ =
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
x
y
 fornece a quantidade de vezes que se deve aumentar 
o valor de E nos pares de usinas Tucuruí/Sobradinho e 
Porto Primavera/Serra da Mesa para que cada par or-
denado tenha o mesmo valor E de Itaipu. Com base no 
enunciado e nos conhecimentos sobre matrizes, deter-
minantes e sistemas lineares, considere as afirmativas 
a seguir.
 I. O sistema linear dado tem infinitas soluções. 
 II. Para que a Usina de Sobradinho tenha o mesmo 
E da Usina de Tucuruí, é necessário que ela au-
mente 9,7 vezes sua capacidade de geração de 
energia.
 III. A matriz do sistema linear dado tem determinante 
não nulo, portanto a solução do sistema linear é 
única.
 IV. Para que a Usina de Porto Primavera tenha o 
mesmo E da Usina de Itaipu, é necessário que ela 
aumente 13,0 vezes sua capacidade de geração de 
energia. 
 Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e II são corretas. 
b) Somente as afirmativas II e IV são corretas. 
X c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.
d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas. 
e) Somente as afirmativas I, III e IV são corretas. 
Do enunciado, temos o seguinte sistema de equações:
3 4 0 2 10 4
0 8 0 7 10 4
, , ,
, , ,
x y
x y
+ =
+ =
⎧
⎨
⎩
Determinante da matriz dos coeficientes:
3 4 0 2
0 8 0 7
3 4 0 7 0 2 0 8 2 38 0 16 2 22 0
, ,
, ,
, , , , , , ,= ⋅ − ⋅ = − = ≠
Portanto, o sistema é possível e determinado.
29. Discuta os sistemas a seguir em função do parâmetro b.
a) 
3 2
1
x by
x y
+ =
− =
⎧
⎨
⎩
 
⎩
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
3
1 1
0 3 0 3 3
b
b b b
−
≠ ⇒ − − ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ −
Se b = –3, o sistema será indeterminado ou impossí-
vel. Assim, substituímos esse valor de b no sistema e 
escalonamos.
3 3 2
1
x y
x y
− =
− =
⎧
⎨
⎩
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada (observe que foram trocadas conve-
nientemente de posição as duas linhas do sistema).
1 1 1
3 3 2
1
2
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
L
L
Incorreta. O sistema tem solução única.
Incorreta. Como o E da Usina de Tucuruí é 3,4 e o da 
Usina de Sobradinho é igual a 0,2, é necessário que a 
Usina de Sobradinho aumente 17 vezes o valor de E.
Correta.
Correta. Como o E da Usina de Itaipu é 10,4 e o 
da Usina de Porto Primavera é igual a 0,8, é ne-
cessário que a Usina de Porto Primavera aumente 
 13 vezes o valor de E.
Matemática 33
Multiplicamos L1 por –3 e somamos com L2.
1 1 1
0 0 1
1
2
−
−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
L
L
Assim:
x y
x y
− =
+ = −
⎧
⎨
⎩
1
0 0 1
Portanto:
b ≠ –3, o sistema é determinado;
b = –3, o sistema é impossível. 
b) 
2 3 0
4 5 0
3 2 0
x y z
x y z
x by z
− + =
+ − =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 
⎩
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
2 1 3
1 4 5
3 2
2 1
1 4
3
0
−
−
−
≠
b b
16 15 3 2 10 36 0+ + + + − ≠b b
13 3
3
13
b b≠ ⇒ ≠
Caso contrário, se b
3
13
, o sistema será indetermi-
nado, pois, como todo sistema homogêneo, este nunca 
é impossível.
c) 
x y z
x y z
y b z
+ + =
− + =
+ − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
3 3 3
3 2( )
 
⎩
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
1 1 1
3 1 3
0 1 3
1 1
3 1
0 1
0
3 3 3 9 3 0
4 12 3
−
−
− ≠
− + + − + − ≠
− ≠ − ⇒ ≠
b
b b
b b
Caso contrário, se b = 3, o sistema será indeterminado 
ou impossível. Assim, substituímos esse valor de b no 
sistema e escalonamos.
x y z
x y z
y
+ + =
− + =
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
3 3 3
2
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada: 
1 1 1 1
3 1 3 3
0 1 0 2
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –3 e somamos com L2.
1 1 1 1
0 4 0 0
0 1 0 2
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
 
Assim:
x y z
y
y
+ + =
− =
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
4 0
2
Na segunda e na terceira equação, temos dois valo-
res diferentes para y, portanto:
b ≠ 3, o sistema é determinado;
b = 3, o sistema é impossível.
30. Analise as afirmações a seguir para o sistema linear 
ax y
x z
y z
+ = −
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
1
2 0
2
 com relação ao parâmetro a e assinale 
as que estão corretas.
( ) O sistema é possível e determinado para a ≠ − 1
2
.
( X ) O sistema é possível e determinado para a ≠ 1
2
.
( ) Quando a = −
1
2
, o sistema é impossível.
( ) O sistema é possível e indeterminado para a
1
2
.
( X ) Quando a
1
2
, o sistema é impossível. 
2
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
a a
a a a
1 0
1 0 2
0 1 1
1
1 0
0 1
0
1 2 0 2 1
1
2
−
≠
− ≠ ⇒ − ≠ − ⇒ ≠
Caso contrário, se a
1
2
, o sistema será indeterminado 
ou impossível. Assim, substituímos esse valor de a no sis-
tema e escalonamos.
1
2
1
2 0
2
x y
x z
y z
+ = −
+ =
− =
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
 
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada (observe que a primeira linha da matriz 
foi convenientemente multiplicada por 2).
1 2 0 2
1 0 2 0
0 1 1 2
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –1 e somamos com L2. 
1 2 0 2
0 2 2 2
0 1 1 2
1
2
3
−
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Podemos trocar as linhas 2 e 3 entre si.
1 2 0 2
0 1 1 2
0 2 2 2
1
2
3
−
− −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
 
34 Volume 5
Multiplicamos L2 por 2 e somamos com L3.
1 2 0 2
0 1 1 2
0 0 0 2
1
2
3
−
− −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
LL
L
Assim:
x y
y z
x y z
+ = −
− = −
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 2
2
0 0 0 2
Portanto:
a ≠ 1
2
, o sistema é determinado;
a
1
2
, o sistema é impossível.
 
31. Dizemos que uma matriz é singular quando o valor de 
seu determinante é nulo. 
a) O que é possível afirmar a respeito da inversa de 
uma matriz singular?
Se o determinante é nulo, a inversa não existe.
b) Considere a matriz A =
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
1 1
9 1
1 1 3
α
α e determine 
os valores de α que a tornam singular. 
1 1
9 1
1 1 3
1
9
1 1
0
α
α
α
α
− −
=
27 3 1 9 02+ − − + − =α α α
− = −3 192α
α α2 19
3
19
3
= ⇒ = ±
c) Suponha que a matriz A do item b seja a matriz dos 
coeficientes de um sistema linear 3 × 3. Qual clas-
sificação o sistema pode ter caso a matriz A seja 
singular?
O sistema pode ser classificado em indeterminado ou 
impossível. 
32. Discuta o sistema linear 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
β
α 1
1
 em função 
dos parâmetros α e β.
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1
0
1 1 1 1 0
2 2 1
−
− −
−
−
≠
+ − + + + ≠
≠ − ⇒ ≠ −
α
α α
α α
Caso contrário, se α = −1, o sistema será indeterminado 
ou impossível. Assim, substituímos esse valor de α no 
sistema e escalonamos.
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − =
− − = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
β
1
1
Resolvendo o sistema:
Matriz ampliada: 
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1
2
3
β
− −
− − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L1 por –1 e somamos com L2. 
Multiplicamos L1 por –1 e somamos com L3.
1 1 1
0 2 2 1
0 2 2 1
1
2
3
β
β
β
− − −
− − − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Multiplicamos L2 por –1 e somamos com L3. 
1 1 1
0 2 2 1
0 0 0 2
1
2
3
β
β− − −
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
L
L
L
Assim:
x y z
y z
z
+ + =
− − = −
= −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
β
β2 2 1
0 2
Portanto:
α ≠ −1, o sistema é determinado;
α = −1, o sistema é impossível.
Essa discussão independe do valor de β.
33. Escreva o parâmetro a em função do parâmetro b de 
modo que o sistema 
ax by
x y
− =
+ =
⎧
⎨
⎩
7
2 5 1
 admita uma única 
solução. 
O sistema terá solução única quando D ≠ 0, então:
a b
a b
a b a
b
−
≠
+ ≠
≠ − ⇒ ≠ −
2 5
0
5 2 0
5 2
2
5
Matemática 35
34. Discuta os sistemas lineares a seguir em função do 
parâmetro m.
a) 
x y z
x y mz
+ − =
+ + =
⎧
⎨
⎩
2 1
2 4 1
 
⎩
Matriz ampliada: 
1 2 1 1
2 4 1
1
2
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
L
L
Multiplicamos L1 por –2 e somamos com L2.
1 2 1 1
0 0 2 1
1
2
−
+ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
m
L
L
Assim:
x y z
m z
+ − =
+( ) = −
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2 1
2 1
Portanto:
m = –2, o sistema é indeterminado;
m = –2, o sistema é impossível.
b) 
x y
x y
x my
+ = −
− + =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2
2 4
2 0
 
⎩
Matriz ampliada: 
1 1 2
1 2 4
2 0
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥m
L
L
L
Somamos L1 com L2.
Multiplicamos L1 por –2 e somamos com L3.
1 1 2
0 3 2
0 2 4
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥m
L
L
L
Multiplicamos L2 por –2 e somamos com L3.
1 1 2
0 3 2
0 8 0
1
2
3
−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥m
L
L
L
Assim:
x y
y
m y
+ = −
=
−( ) =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2
3 2
8 0
Portanto:
m = 8, o sistema é determinado;
m ≠ 8, o sistema é impossível.
35. (FURG – RS) O sistema: 
 
2 0
0
0
x ky z
x y kz
x ky z
+ + =
+ + =
+ + =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
 é
a) determinado para k = 1. 
b) determinado para todo k ∈ R. 
c) impossível para k = –1. 
d) indeterminado k ≠ 1. 
X e) indeterminado para k = –1. 
O sistema será determinado quando D ≠ 0, então:
2 1
1 1
1 1
2
1 1
1
0
2 2 1 0
1 1
2 2
2
k
k
k
k
k
k k k k
k k
≠
+ + − − − ≠
≠ ⇒ ≠ ±
Caso contrário, se k = ±1, o sistema será indeterminado, 
pois é um sistema homogêneo.
36. (FGV – SP) O sistema linear 
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ + =
− − =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
α 2 0
0
0
 admite 
solução não trivial, se:
X a) α = –2
b) α ≠ –2
c) α = 2
d) α ≠ 2
e) α ∈ R, sendo R o 
conjunto dos núme-
ros reais.
O sistema admite a solução não trivial quando for possí-
vel e indeterminado, portanto D = 0, assim:
1 2
1 1 1
1 1 1
1
1 1
1 1
0
1 2 1 2 0
2 4
2
α α
α α
α
α
−
− − −
=
− + + + + + =
= −
= −
37. (UFG – GO) Um sistema linear tem a seguinte matriz de 
coeficientes:
3 4 5
2 4
1 2 2
k
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
 Uma condição necessária e suficiente sobre k para que 
o sistema tenha uma única solução é:
a) k ≠ 4
b) k ≠ 
12
11
c) k ≠ 0
d) k ≠ −
12
11
X e) k ≠ –4
O sistema terá solução única quando for possível e de-
terminado, portanto D ≠ 0, assim:
3 4 5
2 4
1 2 2
3 4
2
1 2
0
6 16 20 16 24 5 0
4
k k
k k
k
− −
≠
+ − − + − ≠
≠ −
36 Volume 5
Geometria plana
03
Matemática 37
Polígonos
 • Polígono é uma figura plana fechada, formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Um polígono é considerado regular se for 
equilátero e seus ângulos forem todos congruentes. 
 • Medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados: A
n
i = °−
°
180
360
 • Apótema (a) de um polígono regular é a distância do centro da circunferência circunscrita a ele até o ponto médio do seu lado.
Relações métricas em polígonos regulares
 • Triângulo equilátero 
3 3r a
r
3
2 3 3
2 3a
 • Quadrado
4 2r a
r
4
2
2
a4
4
2
 • Hexágono
6 r a
r
6
3
2
Perímetro de um polígono regular: P nn n 
Perímetro da circunferência de raio r: C = 2πr
Áreas de figuras planas
 • Retângulos:
AR = b ∙ h
 • Quadrado: 
AQ = ℓ2
 • Paralelogramos: 
AP = b ∙ h
 • Losango: 
A
D d
L =
⋅
2
 • Trapézio: 
A B b
h
T = +( )
2
 • Triângulos: 
A
b h
t =
⋅
2
 • Polígonos regulares: 
An = p ∙ an
 • Círculo:
AC = πr
2
 • Setor circular: 
=
°
Área do setor circular Área do círculo
Ângulo do setor 360
Atividades
Polígonos
1. Considere um pentágono regular.
a) Calcule, em graus, a soma das medidas dos ângulos 
internos. 
S n= ⋅ −( )180 2º
S = ⋅ −( )180 5 2º
S = ⋅180 3º
S 540º
b) Determine o número de diagonais.
d
n n
d
d
=
⋅ −( )
=
⋅ −( )
= ⋅ =
3
2
5 5 3
2
5 2
2
5
c) É possível recobrir completamente uma superfície 
plana usando exclusivamente peças no formato de 
pentágono regular, sem sobrepô-las? Justifique sua 
resposta.
Não, pois cada ângulo interno do pentágono regular mede 
108°, portanto é impossível completar 360° justapondo
 somente pentágonos regulares.
2. Cada um dos ângulos externos de um polígono regu-
lar mede 45°. Encontre o número de diagonais dessa 
figura. 
a
n
n
n
n
e =
°
=
=
=
360
45
360
45 360
8
d
n n
d
d
d
=
⋅ −( )
=
⋅ −( )
= ⋅
=
3
2
8 8 3
2
8 5
2
20
O polígono é um octógono e tem 20 diagonais.
3. Com relação ao polígono a seguir, para cada uma das 
afirmações, assinale V se ela for verdadeira e F se for 
falsa.
F
E
Dx + 15º
240º – 2x
4x – 33º
2x – 40º
2x + 35º
3x + 3º
A
B C
a) ( F ) O polígono ABCDEF é um heptágono.
b) ( V ) O valor de x é igual a 50°.
c) ( V ) A medida do ângulo externo correspondente ao 
ângulo interno D vale 115°.
d) ( F ) O maior ângulo interno desse polígono mede 
153°.
e) ( V ) A soma das medidas dos ângulos externos do 
polígono é de 360°.
f) ( F ) A soma das medidas dos ângulos internos 
desse polígono vale 540°.
a) Falsa. O polígono tem 6 lados, é um hexágono.
b) Verdadeira. Obtendo o valor de x:
2x – 40° + 2x + 35° + 3x + 3° + x + 15° + 
+ 240° – 2x + 4x – 33° = 720°
10x = 500°
x = 50°
c) Verdadeira. D = 50° + 15° = 65°
180° – 65° = 115°
d) Falsa. Medidas dos ângulos internos do polígo-
no:
D = 65°
A = 2 ∙ 50° – 40° = 60°
B = 2 ∙ 50° + 35° = 135°
C = 3 ∙ 50° + 3° = 153°
E = 240° – 2 ∙ 50° = 140°
F = 4 ∙ 50° – 33° = 167° 
O maior ângulo interno é F = 167°.
e) Verdadeira. A afirmação é verdadeira para todo 
polígono.
f) Falsa. A soma das medidas dos ângulos internos 
de um hexágono é:
S n
S
= °⋅ −( )
= °⋅ = °
180 2
180 4 720
38 Volume 5
4. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização 
de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para 
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não 
são todas as combinações de polígonos que se pres-
tam a pavimentar uma superfície plana,sem que haja 
falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as 
figuras:
 A tabela traz uma relação de alguns polígonos regu-
lares, com as respectivas medidas de seus ângulos 
internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono
Ângulo interno 60° 90° 108°
120° 135° 140°
Hexágono Octógono Eneágono
 Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de 
dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da 
tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhi-
do deverá ter a forma de um:
a) triângulo.
X b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
5. (UFMG) Observe esta figura:
 Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma reta e 
as retas CB e ED são paralelas. Assim sendo, o ângulo 
ABC mede 
a) 39° b) 44º c) 47º X d) 48°
 
Da figura dada, podemos obter as seguintes informações:
F
E D
105º
57º
28º
75º
48º
48º
G
A
BC
O ângulo EAF é externo ao ângulo EAG do triângulo EAG, 
assim EAG mede 75°.
O ângulo G do triângulo EAG mede 180° – 75° – 57° = 48°.
Como as retas CB e ED são paralelas, então o ângulo ABC 
mede 48°, pois ele é correspondente ao ângulo EGA.
6. Considere um quadrado inscrito numa circunferência 
de raio 8 2 cm e calcule o seu perímetro. 
=
= ⋅
= ⋅
=
r
cm
2
8 2 2
8 2
16
ℓ4
ℓ4
ℓ4
ℓ4
O perímetro do quadrado é 4 ∙ 16 = 64 cm.
4. Um dos polígonos escolhidos é o octógono, que tem seus ângulos internos medindo 135°. Ao utilizar um ladrilho octogonal, temos 
360° – 135° = 225°; ao utilizar mais um ladrilho octogonal, temos 225° – 135° = 90°. Logo, para completar 360°, o único polígono 
possível é o quadrado, cujos ângulos internos medem 90°.
Figura
Matemática 39
7. A medida da diagonal de um quadrado inscrito em uma 
circunferência é igual a 5 cm. Determine:
a) a medida do raio da circunferência; 
 
Diagonal do quadrado:
d
cm
= ⋅
= ⋅
=
2
5 2
5 2
2
ℓ4
ℓ4
ℓ4
A diagonal do quadrado inscrito é igual ao diâmetro da 
circunferência. Assim, o raio mede 
5
2
cm . Podemos 
calcular também usando a fórmula 4 2r :
5 2
2
2
5
2
r
r cm
b) o perímetro do hexágono inscrito nessa mesma 
circunferência.
O lado do hexágono é igual ao raio da circunferência. 
5
2
cmℓ6
O perímetro do hexágono é 6
5
2
15⋅ = cm .
8. Um triângulo equilátero cujo lado mede 10 3 cm foi 
inscrito em uma circunferência. Calcule:
a) a medida do raio da circunferência; 
ℓ3 =
= ⇒ =
r
r r cm
3
10 3 3 10
b) o perímetro do quadrado inscrito nessa mesma 
circunferência.
Lado do quadrado:
r
cm
2
10 2
ℓ4
ℓ4
O perímetro do quadrado é 4 10 2 40 2⋅ = cm.
9. Um hexágono regular e um triângulo equilátero foram 
inscritos em uma circunferência. A soma do quadrado 
da medida do apótema do hexágono com a medida do 
apótema do triângulo vale 310. Calcule:
a) a medida do lado do hexágono e do triângulo;
Sabemos que a
r
3
2
 e a
r
6
3
2
, então, da informação 
do enunciado, temos:
a a
r r
r r
r r
6
2
3
2
2
2
310
3
2 2
310
3
4 2
310
3 2 1240
( ) + = ⇒ ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + = ⇒
⇒ + = ⇒
⇒ + = ⇒
⇒ 33 2 1240 02r r+ − =
a b c= = = −
= − ⋅ ⋅ −( )
= + =
3 2 1240
2 4 3 1240
4 14880 14884
2
; ;
Δ
Δ
'
''
2 14884
r
2 3
2 122
r
6
2 122 120
r 20
6 6
2 122 124
r
6 6
− ±=
⋅
− ±=
− += = =
− − −= =
O lado do hexágono mede 20 cm e o lado do triângulo 
mede 20 3 cm .
b) o perímetro do hexágono e o do triângulo.
O perímetro do hexágono é 6 ∙ 20 = 120 cm.
O perímetro do triângulo equilátero mede 
3 20 3 60 3⋅ = cm .
10. Um quadrado inscrito numa circunferência tem perí-
metro medindo 40 cm. Determine:
a) a medida do raio da circunferência; 
Medida do lado do quadrado:
ℓ4
ℓ4
40
4
10
Raio da circunferência:
ℓ4 r
r
r cm
2
10 2
5 2
40 Volume 5
b) a medida do perímetro da circunferência; 
C r
C
C cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
2
2 5 2
10 2
π
π
π
c) a medida do apótema do quadrado. 
A medida do apótema do quadrado é a metade da me-
dida do lado, logo, é 5 cm.
11. O apótema de um hexágono regular inscrito em uma 
circunferência mede 5 3 cm . Determine:
a) a medida do lado do hexágono; 
O lado do hexágono é igual ao raio da circunferência. 
a
cm
6
3
2
5 3
3
2
10
=
= ⇒ =
ℓ6
ℓ6 ℓ6
b) o perímetro do hexágono; 
O perímetro do hexágono é 6 ∙ 10 = 60 cm.
c) o perímetro da circunferência. 
C r
C
C cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
2
2 10
20
π
π
π
 
Áreas de figuras planas
12. Um quadrado de lado 10 cm está inscrito em uma 
circunferência. Determine o raio e o comprimento da 
circunferência e a área do círculo delimitado por ela.
Cálculo do raio da circunferência:
=
=
= ⇒ =
r
r
r r cm
2
10 2
10 2
2
5 2
ℓ4
Usando aproximação com duas casas decimais para 2, 
obtemos r = 7,05 cm.
Cálculo do comprimento da circunferência:
C r
C
C cm
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
2
2 5 2
10 2
π
π
π
Usando aproximações com duas casas decimais para π 
e 2 , obtemos C = 44,27 cm. 
Cálculo da área do círculo:
A r
A
A cm
= ⋅
= ⋅( )
=
π
π
π
2
2
2
5 2
50
Usando aproximação com duas casas decimais para π, 
obtemos A = 157 cm2.
13. Uma circunferência de 5 cm de raio está circunscrita a 
um hexágono regular. Determine o perímetro e a área 
do hexágono.
Cálculo do lado do hexágono:
ℓ6 = r
ℓ6 = 5 cm
Cálculo do perímetro do hexágono:
Perímetro = 6 ∙ 5
Perímetro = 30 cm
Cálculo da área do hexágono:
A
r
A A cm
=
⋅ ⋅
= ⋅
= ⇒ =
6
3
2
2
6 5 3
4
150 3
4
75 3
2
2
2
ℓ6
Para termos uma ideia da medida da área, devemos efetuar 
as operações usando, por exemplo, uma aproximação de 
duas casas decimais para 3 . 
A = 64,87 cm2
Matemática 41
14. O apótema do quadrado inscrito numa circunferência 
é igual a 4 cm. Determine a área do círculo delimitado 
por essa circunferência.
Cálculo do raio da circunferência:
a
r
r
r cm
4
2
2
4
2
2
4 2
=
= ⇒ =
Cálculo da área do círculo:
A r
A
A cm
= ⋅
= ⋅( )
=
π
π
π
2
2
2
4 2
32
15. Sabendo que um círculo de área A e um quadrado de 
área A’ têm o mesmo perímetro, obtenha a razão 
A
A’
 
em função do raio do círculo. 
Sabemos que o comprimento do círculo e o perímetro do 
quadrado são iguais, então:
2 4
2
2
π
π
π
r
r
r
=
=
=
ℓ4
ℓ4
ℓ4
Obtendo a razão entre as áreas, temos:
ℓ4
2
A
A
r
A
A
r
r
A
A
r
r
A
A
’
’
’ ’
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ ⇒ =
π
π
π
π
π π
2
2
2
2
2 2
2
4 4
16. Calcule a área da parte colorida das figuras planas a 
seguir.
a) BD é um arco de circunferência com centro no vér-
tice A do quadrado. 
BC
D A
AD = AB = 6 cm
A área da figura é dada pela área do quadrado de lado 
6 cm subtraída da área de um quarto de círculo de raio 
6 cm:
A
r
A
A cm
= − ⋅
= − ⋅
= −
π
π
π
2
2
4
36
36
4
36 9
ℓ4
2
b) AC é um arco de 180°. 
8 cm
A
B C6 cm
A área da figura é metade da área de um círculo de 
diâmetro igual à hipotenusa do triângulo retângulo:
2 6 8
4 36 64
25 5
2 2 2
2
2
r
r
r r cm
( ) = +
= +
= ⇒ =
A
r
A A cm
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
π
π π
2
2
2
2
5
2
25
2
17. Alexia pretende pintar o símbolo do yin-yang na parede 
do seu quarto. 
 Ela pretende fazê-lo com base no esquema abaixo:
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/re
se
ar
ch
er
97
42 Volume 5
 A circunferência maior tem 60 centímetros de raio. Ela 
tem uma quantidade de tinta preta que possibilita re-
cobrir uma área de 0,5 m2. A tinta será suficiente para 
pintar a figura?
A área pintada de preto corresponde à metade da área 
total do círculo:
A
r
A
A cm cm
= ⋅
= ⋅
=
π
π
π
2
2
2 2
2
60
2
1800 5652
0,5 m2 = 5 000 cm2
Portanto, a tinta não será suficiente para pintar a figura.
18. (FGV – SP) A figura abaixo mostra uma peça plana feita 
de uma folha de metal com a forma de um triângulo 
equilátero de 18 cm de lado, de onde dois triângulos 
equiláteros iguais foram retirados. 
 O perímetro da peça é de 62 cm. A área da peça em 
cm2 é igual a:
X a) 73 3
b) 68 3
c) 85 3
d) 81 3
e) 77 3
O perímetro do triângulo inteiro é 54 cm.
Como o perímetro da peça é 62 cm, o lado do triângulo 
recortado é 4 (62 – 54 = 8; 8: 2 = 4).
A área da peça é igual à área da peça original menos aárea dos dois triângulos equiláteros recortados, então:
A
A
A A cm
= − ⋅
= −
= ⇒ =
18 3
4
2
4 3
4
324 3
4
32 3
4
292 3
4
73 3
2 2
2
19. (IFPE) A casa de Felipe tem uma sala para dois ambien-
tes e ele decidiu revestir o seu piso com cerâmica. A 
figura abaixo representa a sala com as suas medidas em 
metros. Sabe-se que cada caixa contém um metro qua-
drado de cerâmica. Com base nessa informação e nas 
medidas indicadas na figura, que quantidade mínima de 
metros quadrados de cerâmica ele terá que comprar? 
 
4,8 m
a) 38 b) 39 X c) 43 d) 48 e) 50
A área a ser revestida pode ser dividida como mostrado 
acima:
A = 2,5 ∙ 1,2 + 4,8 ∙ 7,5 + 0,8 ∙ 4
A = 3 + 36 + 3,2
A = 42,2 m2
Para revestir todo o piso, ele precisará de, no mínimo, 
43 m2 de cerâmica.
20. (ENEM) Em uma empresa, existe um galpão que precisa 
ser dividido em três depósitos e um hall de entrada 
de 20 m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos 
I, II e III serão construídos para o armazenamento 
de, respectivamente, 90, 60 e 120 fardos de igual 
volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas 
capacidades.
Matemática 43
 A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:
a) 1. b) 2. c) 3. X d) 4. e) 5.
A área total é 10 m ⋅ 11 m = 110 m². Retirando a área do 
hall, obtemos a área dos três depósitos: 110 m² – 20 m² = 
= 90 m².
A A A A A A
A A A
I II III I II III
I II III
90 60 120 90 60 120
90 60 120
= = =
+ +
+ +
= = = 990
270
90 60 120
1
3
A A AI II III= = =
Assim:
I. 
A
A m
I
I
90
1
3
30 2
II. 
A
A m
II
II
60
1
3
20 2
III. 
A
A m
III
III
120
1
3
40 2
Os depósitos têm a forma retangular e conhecemos uma 
de suas dimensões, além da área de cada um. Assim, 
temos:
III. 
A b h
b
b m
III III
III
III
= ⋅
= ⋅
=
40 10
4
I. 
A b h
b
b m
I I
I
I
= ⋅
= ⋅
=
30 10
3
II. 
A A b h
b
b m
II hall II
II
II
+ = ⋅
= ⋅
=
40 10
4
21. (ENEM) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão 
de beleza para melhorar o conforto dos seus clien-
tes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de 
dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 
600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 
35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de 
gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica 
que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente 
com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai 
instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mí-
nimo possível com gás. A área do salão que deve ser 
climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes 
representados por três retângulos e um trapézio).
6 cm
4 cm
 Avaliando-se todas as informações, serão necessários: 
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do 
tipo B. 
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. 
X c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. 
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. 
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do 
tipo B.
Área das quatro salas do salão de beleza:
A
A m
I
I
= ⋅
=
8 5
40 2
 
A
A m
II
II
= ⋅
=
6 5
30 2
 
A
A m
III
III
= ⋅
=
6 4
24 2
 
A
A m
IV
IV
=
+( ) ⋅
=
6 4 7
2
35 2
De acordo com as áreas obtidas, serão necessárias 
duas unidades de aquecedores do tipo A para cobrir 
os ambientes II e III, e duas do tipo B para cobrir os 
ambientes I e IV.
22. (IFSC) Para cobrir com pisos uma área plana retangu-
lar com dimensões 12 m × 8 m, há três modelos de 
piso disponíveis. Todos os modelos custam o mesmo 
valor por metro quadrado e são vendidos em caixas 
de doze unidades. Abaixo estão as dimensões dos três 
modelos: 
 Desconsiderando a fuga entre os pisos e supondo que 
nenhum piso será desperdiçado durante a colocação, 
determine o número correspondente à proposição cor-
reta ou à soma das proposições corretas. 
44 Volume 5
 Sem que haja qualquer superposição delas, essas re-
giões podem ser reagrupadas, formando um quadrado, 
como mostrado na figura II. 
t
t
9
x
y
 Então, é correto afirmar que a área da região α mede:
a) 24 cm2.
b) 28 cm2.
X c) 30 cm2. 
d) 32 cm2.
Nomeamos algumas medidas nas figuras I e II. Temos 
então:
A figura II é um quadrado, então x = t + 9 e sua área 
mede 25 cm ⋅ 9 cm = 225 cm2 (que é a área do retân-
gulo original). Portanto:
x t
t t
t t
t t
⋅ +( ) =
+( ) ⋅ +( ) =
+ + − =
+ − =
9 225
9 9 225
18 81 225 0
18 144 0
2
2
a b c
b a c
= = = −
= − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ −( )
= + =
1 18 144
4
18 4 1 144
324 576 900
2
2
; ;
Δ
Δ
Δ
t
b
a
t
t
t
= − ±
⋅
= − ±
⋅
= − + = =
= − − = − = −
Δ
2
18 900
2 1
18 30
2
12
2
6
18 30
2
48
2
24
1
2
Portanto, o valor de t é 6 e então x = 15 cm.
Na figura I, sabemos que x + y = 25. Como x = 15, 
então y = 10.
Portanto, a área de α mede y t cm⋅ = ⋅ =
2
10 6
2
30 2 .
X (01) Caso se opte pelo modelo A, será preciso comprar 
32 caixas de piso. 96 : 3 = 32
(02) Caso se opte pelo modelo B, será necessário 
cortar algumas unidades de piso durante a 
colocação. 
X (04) Para cobrir a área com o modelo A, serão neces-
sárias 384 unidades de piso. 32 ∙ 12 = 384
X (08) Caso se opte pelo modelo C, será necessário 
cortar algumas unidades de piso durante a 
colocação. 8 m não é divisível por 0,55 m nem por 0,45 m.
(16) O modelo cuja peça tem maior área é o B. 
Somatório: 13 (01 + 04 + 08)
Área total: 12 × 8 = 96 m2
Modelo A: 50 × 50 = 2 500 cm2 ⇒
⇒ 2 500 ∙ 12 = 30 000 cm2 = 3 m2 por caixa
Modelo B: 40 × 60 = 2 400 cm2 ⇒ 
⇒ 2 400 ∙ 12 = 28 800 = 2,88 m2 por caixa
Modelo C: 55 × 45 = 2 475 cm2 ⇒ 
2 475 ∙ 12 = 29 700 = 2,97 m2 por caixa
23. (IFSP) A figura representa dois semicírculos com o diâ-
metro em dois lados consecutivos de um quadrado.
 Sabendo-se que a diagonal do quadrado mede 3 8 cm, 
a área da figura, em centímetros quadrados, é igual a: 
a) 72. X b) 63. c) 54. d) 45. e) 30.
A medida do lado do quadrado é também a medida do diâ-
metro dos semicírculos:
d
cm
=
=
= ⇒ =
2
3 8 2
3 8
2
6
ℓ4
ℓ4
ℓ4 ℓ4
A área da figura é igual à área do quadrado de lado 6 cm 
adicionada à área do círculo de raio 3 cm, então:
A r
A
A cm
= +
= + ⋅
=
π 2
2 2
2
6 3 3
63
ℓ4
2
24. (UFMG) Na figura I, está representado um retângulo, 
cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 9 cm. Esse 
retângulo está dividido nas regiões α, β e γ.
Incorreta. 0,4 m cabe 20 vezes em 8 m e 
0,6 m cabe 20 vezes em 12 m. 
Incorreta. É o modelo A.
Matemática 45
25. (UNIFOR – CE) O Mundo Unifor é um evento realizado 
pela Universidade de Fortaleza que promove a produ-
ção científica, cultural e tecnológica da universidade. 
A foto abaixo representa o logotipo do Mundo Unifor 
realizado em 2011, em que se observam um quadrado, 
um círculo e um triângulo equilátero. 
 Suponhamos que o lado do quadrado, o diâmetro da 
circunferência e o lado do triângulo equilátero sejam 
iguais a L. Qual das expressões abaixo representa 
a soma das áreas dessas três figuras geométricas 
planas?
X a) 
L2
4
4 3+ +( )π 
b) 
L2
4
4 2 3+ +( )π
c) 
L2
4
1 2 3+ +( )π
d) 
L2
4
4 4 3+ +( )π
e) 
L2
4
1 4 3+ +( )π
A soma das áreas é dada pela expressão:
A r= + + ⋅3
4
2πℓ2 ℓ
2
 
Como o diâmetro mede L, o raio mede L
2
.
A L
L L= + + ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
2 23
4 2
π
A L
L L= + +2
2 23
4 4
π
A
L L L= + +4 3
4
2 2 2π
A
L= + +( )
2
4
4 3 π
26. (UDESC – SC) Um fabricante de embalagem recebeu 
uma encomenda de caixas e precisa calcular a área de 
uma delas para comprar o papelão necessário à sua 
confecção. As quatro faces da caixa são trapézios isós-
celes, com as dimensões indicadas no desenho abaixo, 
e as bases (tampa e fundo) são quadrados. A área de 
cada caixa é: 
10 cm
12 cm13 cm
a) 8,80 dm2.
b) 12,80 dm2.
X c) 12,20 dm2.
d) 11,40 dm2. 
e) 1,60 dm2.
Área da tampa:
A = 10 ∙ 10 = 100 cm2
Área do fundo:
No triângulo retângulo assinalado na figura, temos:
13 12
169 144
25
5
2 2 2
2
2
= +
= −
=
=
x
x
x
x cm
Portanto, a medida do lado do quadrado que forma o fun-
do da embalagem é 5 + 10 + 5 = 20 cm.
A = 20 ∙ 20 = 400 cm2.
Área da lateral da caixa:A cm=
+( ) ⋅
= ⋅ =
20 10 12
2
30 12
2
180 2
Como são quatro faces laterais, temos 4 ∙ 180 = 720 cm2.
Portanto, a área da caixa é 100 + 400 + 720 = 1 220 cm2 = 
= 12,20 dm2.
46 Volume 5
27. (UNIRIO – RJ) Construindo-se dois semicírculos cujos 
diâmetros estão apoiados em dois lados consecutivos 
de um quadrado, consegue-se desenhar um coração. 
Usando-se uma cartolina de dimensões 70 cm por 
52 cm, quantos corações, no máximo, poderão ser 
recortados, sabendo que o perímetro do quadrado é 
40 cm? (Considere π = 3,14)
a) 26 b) 24 c) 22 X d) 20 e) 18
Área da cartolina
A = 70 ∙ 52
A = 3 640 cm
2
Área do coração
Como o perímetro do quadrado é 40 cm, a medida do 
lado do quadrado é 10 cm e o raio do círculo é igual à 
metade da medida do lado do quadrado, 5 cm.
A
A cm
= ⋅ + ⋅
=
10 10 3 14 5
178 5
2
2
,
,
Portanto, poderão ser recortados, no máximo, 
3 640 : 178,5 = 20,39 = 20 corações.
Observação: O gabarito oficial da questão prevê que 
cabem na cartolina 20 áreas iguais às do coração. 
Entretanto, só é possível recortar 12 corações inteiros 
iguais a esse, pois haverá perda de regiões da cartolina 
onde não será possível acomodar um desenho inteiro.
28. (ENEM) O proprietário de um parque aquático deseja 
construir uma piscina em suas dependências. A fi-
gura representa a vista superior dessa piscina, que 
é formada por três setores circulares idênticos, com 
ângulo central igual a 60°. O raio R deve ser um nú-
mero natural.
 O parque aquático já conta com uma piscina em formato 
retangular com dimensões 50 m × 24 m. O proprietário 
quer que a área ocupada pela nova piscina seja menor 
que a ocupada pela piscina já existente. 
 Considere 3,0 como aproximação para π.
 O maior valor possível para R, em metros, deverá ser
a) 16. X b) 28. c) 29. d) 31. e) 49.
Área da piscina existente:
A = 50 ∙ 24 = 1 200 m
2
Área da nova piscina:
Como a nova piscina é formada por três setores cir-
culares com ângulo central 60º, a área correspondente 
equivale à de um setor circular de 180º, ou seja, a um 
semicírculo.
A
R
A
R
I
I
= ⋅
=
π 2
2
2
3
2
A A
R
R
I>
>
<
1200
3
2
800
2
2
Assim, o valor máximo para R é 28, pois 28 7842 .
Matemática 47
29. (ENEM) Uma empresa de telefonia celular possui duas 
antenas que serão substituídas por uma nova, mais 
potente. As áreas de cobertura das antenas que serão 
substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferên-
cias se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
 O ponto O indica a posição da nova antena, e sua 
região de cobertura será um círculo cuja circunferência 
tangenciará externamente as circunferências das áreas 
de cobertura menores.
 Com a instalação da nova antena, a medida da área de 
cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em:
X a) 8π.
b) 12π.
c) 16π.
d) 32π.
e) 64π.
Área de cobertura das antenas antigas:
A r
A
A km
= ⋅
= ⋅
=
π
π
π
2
2
2
2
4
Como eram duas antenas, a área de cobertura é igual 
a 8 2π km .
Área de cobertura da antena nova:
Como a antena nova tangencia externamente as 
antenas antigas e estas, por sua vez, tangenciam-se 
entre si, o raio do círculo correspondente à nova antena 
é igual ao diâmetro de uma antena antiga, portanto 
4 km.
A r
A
A km
= ⋅
= ⋅
=
π
π
π
2
2
2
4
16
30. (ENEM) O Esquema I mostra a configuração de uma 
quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados 
de garrafões, correspondem a áreas restritivas.
 Visando atender às orientações do Comitê Central da 
Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, 
que unificou as marcações das diversas ligas, foi pre-
vista uma modificação nos garrafões das quadras, que 
passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.
 Após executadas as modificações previstas, houve 
uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que 
corresponde a um(a):
X a) aumento de 5 800 cm².
b) aumento de 75 400 cm².
c) aumento de 214 600 cm².
d) diminuição de 63 800 cm².
e) diminuição de 272 600 cm².
Área I
A cm=
+( ) ⋅
= ⋅ =
600 360 580
2
960 580
2
278 400 2.
Área II
A = 580 ∙ 490 = 284.200 cm
2
Portanto, após as alterações, a área terá um aumento 
de 5 800 cm2 .
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