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UNIVERSIDADE POTIGUAR – UnP
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – NEaD
Matemática Financeira
Livro-texto EaD
Natal/RN
2011
DIRIGENTES DA UNIVERSIDADE POTIGUAR – UnP
Reitoria
Sâmela Soraya Gomes de Oliveira
Pró-Reitoria de Graduação e Ação Comunitária
Sandra Amaral de Araújo
Pró-Reitoria de Pesquisa, Extensão e Pós-Graduação
Aarão Lyra
NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
DA UNIVERSIDADE POTIGUAR – UnP
Coordenação Geral 
Barney Silveira Arruda
Luciana Lopes Xavier
Coordenação Pedagógica
Edilene Cândido da Silva
Coordenação de Produção
de Recursos Didáticos
Michelle Cristine Mazzetto Betti
Coordenação de Produção de Vídeos
Bruna Werner Gabriel
Coordenação de Logística 
Helionara Lucena Nunes
Revisão de Linguagem
e Estrutura em EaD
Priscilla Carla Silveira Menezes
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Úrsula Andréa de Araújo Silva
Apoio Acadêmico
Flávia Helena Miranda de Araújo Freire
Assistente Administrativo
Eliane Ferreira de Santana
Gabriella Souza de Azevedo 
Gibson Marcelo Galvão de Sousa
Giselly Jordan Virginia Portella
B715m Bonin, Maria Albertina Schmitz. 
 nanceira / Maria Albertina 
 Schmitz Bonin. – Natal: EdunP, 2011. 
 262p. : il. ; 20 cm
 Ebook – Livro eletrônico disponível on-line.
 ISBN 978-85-61140-80-9
 nanceira. I.Título.
15 UDC FSCB/PnU/NR
Maria Albertina Schmitz Bonin
Matemática Financeira
1a edição
Natal/RN
2011
EQUIPE DE PRODUÇÃO DE RECURSOS DIDÁTICOS DA UnP
Coordenação de Produção de Recursos Didáticos
Michelle Cristine Mazzetto Betti
Revisão de Estrutura e Linguagem em EaD
Úrsula Andréa de Araújo Silva
Ilustração do Mascote
Lucio Masaaki Matsuno
EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO
Delinea - Tecnologia Educacional
Coordenação Pedagógica
Margarete Lazzaris Kleis
Coordenação de Editoração
Charlie Anderson Olsen
Larissa Kleis Pereira
Coordenação de Revisão e Linguagem em EaD
Simone Regina Dias
Revisão Gramatical e Linguagem em EaD
Jacqueline Iensen
Coordenação de Diagramação
Cristina Assumpção
Diagramação
Valdir Siqueira
Ilustrações
Alexandre Beck
MARIA ALBERTINA SCHMITZ BONIN
Olá! Sou graduada em Administração pela Universidade 
Federal de Santa Catarina – UFSC (1998) e recebi o título de mestre 
em Administração, pela mesma universidade, no ano 2001. 
Em 2000, iniciei como docente no Curso de Administração da 
Universidade do Vale do Itajaí – UNIVALI para ministrar as disciplinas 
de Teorias da Administração. Desde então, já conduzi as disciplinas de 
Estágio em Administração e Teorias da Administração. Atualmente, 
ministro as disciplinas voltadas para a área financeira, no mesmo 
curso, como Matemática Financeira, Avaliação Financeira de 
Investimentos, Administração Financeira e Administração Financeira 
e Orçamentos. No Curso de Logística, sou responsável pela disciplina 
de Avaliação de Investimentos.
Também tive a oportunidade de atuar no Curso de 
Administração a distância como professora, de várias disciplinas, 
conteudista e webtutora. 
Em projetos de extensão participei de programa voltado 
para o associativismo no artesanato, com pessoas de baixo poder 
aquisitivo. No momento, em parceria com outra colega, desenvolvo 
um projeto semelhante, cujo objetivo é estruturar um grupo, em 
forma de cooperativa ou de associação, com mulheres do meio 
rural, para gerar emprego e renda.
Além do que foi já apresentado, também orientei trabalhos 
de iniciação científica, em projetos denominados Art. 170. Ao longo 
do tempo que estou na UNIVALI, oriento trabalhos de conclusão de 
estágio nas áreas, financeira, planejamento estratégico, plano de 
marketing e plano de negócio. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Tenho muita satisfação em estar com você! Estamos iniciando a 
disciplina de Matemática Financeira. Ela foi elaborada com o propósito 
de fazê-lo compreender, de forma prática e didática, as atividades 
relacionadas aos juros simples e compostos, descontos, compras 
a prazo, como também decisões sobre investimentos. Para isto, foi 
elaborada e disponibilizada uma quantidade razoável de exemplos e 
atividades para você desenvolver no decorrer da disciplina.
Talvez, neste começo, algumas questões pairam sobre 
sua mente: onde é possível aplicar o que irei estudar? Em quais 
situações de meu cotidiano eu poderei aplicar os conhecimentos 
que irei adquirir? Esta disciplina pode contribuir para a organização 
das minhas finanças?
Posso afirmar que o campo de aplicação é bem amplo, porque 
suas técnicas e teorias são necessárias para operações realizadas nos 
bancos, nas lojas, nas indústrias, na agricultura e pecuária e entre as 
pessoas. Aplicamos nos financiamentos de qualquer modalidade, crédito 
a pessoas físicas e empresas, crédito ao consumidor ou outro contratante.
Para melhor organização do estudo, a disciplina foi configurada 
em oito capítulos, cujo objetivo é apresentar os conceitos de 
Matemática Financeira e sua aplicação na resolução de problemas. 
Durante o desenvolvimento da disciplina, em algumas partes do 
material, você encontrará instrumentos para conhecer a utilização 
da Calculadora Financeira. 
Espero que você aproveite bem os conteúdos que serão 
trabalhados, pois eles lhe propiciarão conhecer e discutir aspectos 
econômico-financeiros que atingem não somente as empresas, mas 
as pessoas de modo geral.
Gostaria de parabenizá-lo pela iniciativa de fazer um curso 
superior. Você já é um vitorioso, pois são poucas as pessoas que 
conseguem atingir este objetivo, e muitos gostariam de fazê-lo. 
Desejo bons estudos e muito sucesso!
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Capítulo 1 - Juros simples .......................................................................... 13
1.1 Contextualizando .......................................................................................................... 13
1.2 Conhecendo a teoria .................................................................................................... 14
 1.2.1 Juros simples ......................................................................................................... 14
 1.2.2 Conceito de juros ................................................................................................ 15
 1.2.3 Regimes de capitalização ................................................................................. 18
 1.2.4 Capitalização simples ........................................................................................ 19
 1.2.5 Fluxo de caixa ....................................................................................................... 28
 1.2.6 Cálculo dos juros, da taxa e do tempo ........................................................ 30
 1.2.7 Montante e valor atual ...................................................................................... 34
1.3 Aplicando a teoria na prática .................................................................................... 36
1.4 Para saber mais .............................................................................................................. 38
1.5 Relembrando .................................................................................................................. 39
1.6 Testando os seus conhecimentos ............................................................................ 40
Onde encontrar ..................................................................................................................... 40
Capítulo 2 - Desconto simples ................................................................... 41
2.1 Contextualizando ........................................................................................................... 41
2.2 Conhecendo a teoria ..................................................................................................... 422.2.1 Conceito de desconto ........................................................................................ 42
 2.2.2 Tipologia dos descontos .................................................................................... 45
 2.2.3 Desconto simples comercial (ou bancário) ................................................ 46
 Cálculo da taxa e do período do desconto bancário simples ............................................46
 Cálculo do valor líquido (valor atual) ..........................................................................................50
 Cálculo do valor nominal do título ..............................................................................................51
 2.2.4 Desconto simples racional ................................................................................ 52
 Cálculo do desconto simples racional ........................................................................................53
 Cálculo dos componentes do desconto simples racional ...................................................53
 2.2.5 Valor atual e valor nominal ............................................................................... 54
 Cálculo do valor líquido ou do valor de resgate .....................................................................56
 2.2.6 Cálculo do período de desconto .................................................................... 56
 Cálculo da taxa e do período de desconto ...............................................................................58
2.3 Aplicando a teoria na prática ..................................................................................... 61
2.4 Para saber mais ............................................................................................................... 62
2.5 Relembrando ................................................................................................................... 62
2.6 Testando os seus conhecimentos ............................................................................. 64
Onde encontrar ...................................................................................................................... 64
Capítulo 3 - Capitalização composta ........................................................ 65
3.1 Contextualizando ........................................................................................................... 65
3.2 Conhecendo a teoria ..................................................................................................... 65
 3.2.1 Características dos juros compostos ............................................................. 66
 3.2.2 Comparação entre juros simples e juros compostos .............................. 66
 3.2.3 Cálculo do montante .......................................................................................... 68
 3.2.4 Taxas proporcionais e equivalentes .............................................................. 77
 Taxa proporcional e nominal ........................................................................................................78
 Taxa equivalente e efetiva ..............................................................................................................80
 3.2.5 Cálculo da taxa nominal e efetiva .................................................................. 82
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S
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 3.2.6 Cálculo do tempo e do valor atual .......................................................................................... 83
 3.2.7 Cálculo do período de capitalização ...................................................................................... 85
 3.2.8 Operacionalização da calculadora fi nanceira ..................................................................... 89
3.3 Aplicando a teoria na prática .............................................................................................................. 89
3.4 Para saber mais ........................................................................................................................................ 91
3.5 Relembrando ............................................................................................................................................ 92
3.6 Testando os seus conhecimentos ...................................................................................................... 93
Onde encontrar ............................................................................................................................................... 94
Capítulo 4 - Desconto composto ................................................................................... 95
4.1 Contextualizando .................................................................................................................................... 95
4.2 Conhecendo a teoria .............................................................................................................................. 96
 4.2.1 Conceito de desconto ................................................................................................................. 96
 4.2.2 Tipologia de desconto composto ........................................................................................... 98
 4.2.3 Desconto composto comercial (ou bancário) ................................................................... 98
 Cálculo do valor nominal ou atual de um título ...................................................................................................99
 Cálculo do valor presente ou valor atual ..............................................................................................................102
 Cálculo do desconto ....................................................................................................................................................104
 Cálculo da taxa e do período de antecipação ....................................................................................................106
 4.2.4 Desconto composto racional ..................................................................................................110
 Cálculo do valor nominal ...........................................................................................................................................110
 Cálculo do desconto ....................................................................................................................................................112
 4.2.5 Valor atual e valor nominal de um título ............................................................................115
 Cálculo do valor presente ou valor atual ..............................................................................................................115
 Cálculo do período de desconto .............................................................................................................................117
 Comparação entre desconto simples e desconto composto .......................................................................120
 4.2.6 Operacionalização da calculadora fi nanceira ...................................................................120
4.3 Aplicando a teoria na prática ............................................................................................................121
4.4 Para saber mais ......................................................................................................................................122
4.5 Relembrando ..........................................................................................................................................123
4.6 Testando os seus conhecimentos ....................................................................................................124
Onde encontrar .............................................................................................................................................125
Capítulo 5 - Séries fi nanceiras I ....................................................................................1275.1 Contextualizando ..................................................................................................................................127
5.2 Conhecendo a teoria ............................................................................................................................128
 5.2.1 Séries antecipadas e postecipadas .......................................................................................129
 Conceito e classifi cação de séries fi nanceiras .....................................................................................................131
 5.2.2 Cálculo do valor presente (valor atual) ...............................................................................133
 5.2.3 Cálculo do número de prestações .......................................................................................137
 5.2.4 Cálculo da taxa .............................................................................................................................140
 5.2.5 Cálculo do valor futuro (montante) ......................................................................................144
 Cálculo do valor do depósito ....................................................................................................................................146
 Cálculo da prestação ....................................................................................................................................................148
 Cálculo da taxa de remuneração dos depósitos ................................................................................................150
 Conceito de série antecipada ...................................................................................................................................151
 Cálculo do valor presente de uma série antecipada ........................................................................................152
 5.2.6 Operacionalização da calculadora fi nanceira ...................................................................154
5.3 Aplicando a teoria na prática ............................................................................................................154
5.4 Para saber mais ......................................................................................................................................156
5.5 Relembrando ..........................................................................................................................................156
5.6 Testando os seus conhecimentos ....................................................................................................157
Onde encontrar .............................................................................................................................................158
Capítulo 6 - Séries fi nanceiras II ..................................................................................159
6.1 Contextualizando ..................................................................................................................................159
6.2 Conhecendo a teoria ............................................................................................................................160
 6.2.1 Séries diferidas e infi nitas (perpétuas) ................................................................................160
 Classifi cação das séries fi nanceiras diferidas ......................................................................................................162
 6.2.2 Cálculo do valor presente (valor atual) ...............................................................................162
 Cálculo do valor das prestações ..............................................................................................................................165
 6.2.3 Cálculo do número de prestações ........................................................................................167
 6.2.4 Cálculo da taxa .............................................................................................................................169
 6.2.5 Cálculo do valor futuro (montante) ......................................................................................171
 Cálculo do valor do depósito ....................................................................................................................................175
 Cálculo no número de depósitos ............................................................................................................................176
 Conceito de séries infi nitas ou perpétuas ............................................................................................................178
 Cálculo do valor presente de uma série infi nita ................................................................................................179
 Cálculo do valor da prestação de uma renda perpétua ..................................................................................179
 6.2.6 Séries variáveis (gradiente) ......................................................................................................180
 Tipologia de séries em gradiente ............................................................................................................................180
 Cálculo do valor presente (valor atual nas séries em gradiente) .................................................................180
 6.2.7 Operacionalização da calculadora fi nanceira ...................................................................183
6.3 Aplicando a teoria na prática ............................................................................................................183
6.4 Para saber mais ......................................................................................................................................185
6.5 Relembrando ..........................................................................................................................................186
6.6 Testando os seus conhecimentos ....................................................................................................187
Onde encontrar .............................................................................................................................................187
Capítulo 7 - Noções de análise de investimentos I ....................................................189
7.1 Contextualizando .................................................................................................................................189
7.2 Conhecendo a teoria ............................................................................................................................190
 7.2.1 Taxa mínima de atratividade (TMA) ......................................................................................197
 7.2.2 Investimentos iniciais ................................................................................................................199
 7.2.3 Fluxo de caixa ...............................................................................................................................199
 7.2.4 Ingressos (receitas) .....................................................................................................................206
 7.2.5 Desembolsos (custos) ................................................................................................................206
 7.2.6 Valor residual ................................................................................................................................207
 Etapas de uma análise de investimentos .............................................................................................................207
 Métodos de análise de investimentos ...................................................................................................................208
 7.2.7 Cálculo do valor presente líquido (VPL) .............................................................................2107.2.8 Operacionalização da calculadora fi nanceira ...................................................................212
7.3 Aplicando a teoria na prática ............................................................................................................213
7.4 Para saber mais ......................................................................................................................................215
7.5 Relembrando ..........................................................................................................................................216
7.6 Testando os seus conhecimentos ....................................................................................................217
Onde encontrar .............................................................................................................................................218
Capítulo 8 - Noções de análise de investimentos II ...................................................221
8.1 Contextualizando ..................................................................................................................................221
8.2 Conhecendo a teoria ............................................................................................................................222
 8.2.1 Valor presente ..............................................................................................................................222
 8.2.2 Taxa interna de retorno de um investimento ...................................................................228
 8.2.3 Retorno do investimento (Payback) .....................................................................................239
 8.2.4 Análise de cenários .....................................................................................................................243
 Análise de sensibilidade .............................................................................................................................................245
 8.2.5 Operacionalização da calculadora fi nanceira ..................................................................248
8.3 Aplicando a teoria na prática ............................................................................................................249
8.4 Para saber mais ......................................................................................................................................250
8.5 Relembrando ..........................................................................................................................................251
8.6 Testando os seus conhecimentos ....................................................................................................253
Onde encontrar .............................................................................................................................................254
Referências ....................................................................................................................257
Capítulo 1
13Matemática Financeira
JUROS SIMPLES
CAPÍTULO 11
 1.1 Contextualizando
Quando fazemos compras e pagamos a prazo, ou tomamos dinheiro 
emprestado, estamos usando um recurso que é de outros. Ao usar um valor de 
que não dispomos, pagamos uma certa quantia. 
Em situação semelhante, quando aplicamos um certo valor, também 
recebemos uma espécie de aluguel por disponibilizarmos nosso dinheiro a 
outros que estão necessitando. Nas duas situações, o valor pago ou recebido, 
dá-se o nome de juros.
Existem duas formas de aplicação dos juros: o regime de capitalização 
simples (juros simples) e o regime de capitalização composta (juros compostos). 
Cada regime tem sua taxa, em função do prazo de aplicação e dos riscos 
envolvidos. Então, por meio do estudo dos juros, podemos avaliar as formas 
de aplicação do dinheiro, como também do pagamento de empréstimos. 
Neste capítulo você vai conhecer e interpretar os procedimentos para 
o cálculo dos juros simples. Também aprenderá a aplicar os conceitos sobre 
capitalização simples, calcular juros simples e montante, calcular taxas 
proporcionais e período de tempo envolvido nas situações problema. 
Dois componentes principais fazem parte do cálculo dos juros, o capital, 
que é o valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) aplica ou toma 
emprestado de outra, durante um certo período de tempo. A taxa de juros diz 
respeito à porcentagem que incide sobre o valor do capital, e é expressa em 
unidade de tempo.
Capítulo 1
14 Matemática Financeira
O capítulo 1 tem por objetivo conceituar juros e exercitar sua aplicação 
nas diversas situações que envolvem capitalização simples. 
Ao longo dos seus estudos, você entenderá os conceitos de capitalização 
composta aplicados à resolução de problemas de juros compostos nas várias 
situações que se apresentam. Espero que você compreenda e aplique o valor 
dos juros compostos, valor do principal, capital ou valor presente, valor 
futuro, taxa e período de capitalização.
 1.2 Conhecendo a teoria
A partir deste ponto, trataremos da capitalização simples, também 
conhecida como juros simples. São apresentados os fundamentos que 
sustentam os cálculos das várias situações em que o capital é aplicado 
ou emprestado, envolvendo determinado período de tempo e uma taxa 
de juros.
Vamos começar entendendo o que significam juros simples.
1.2.1 Juros simples 
A capitalização simples consiste em adicionar os juros ao capital ao final do 
período que está sendo considerado. Segundo Hazzan e Pompeo (2007), neste 
regime, o juro gerado, em cada período, é constante e igual ao valor do capital 
multiplicado pela taxa, sendo os juros pagos somente ao final da operação.
O possuidor do dinheiro, para Vieira Sobrinho (2000, p. 18), deve 
considerar alguns aspectos quando estiver disposto a emprestar uma quantia:
 • risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar o 
dinheiro;
 • despesas: todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias 
para a formalização do empréstimo e a efetivação da cobrança;
 • inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda 
previsto para o prazo de empréstimo;
Capítulo 1
15Matemática Financeira
 • ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de 
investimentos (custo de oportunidade); justifica-se pela privatização 
por parte do seu dono, da utilidade do capital.
Sendo assim, para este autor, a receita de juros deve ser suficiente 
para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital 
emprestado, além de proporcionar algum lucro para quem está aplicando 
(VIEIRA SOBRINHO, 2000).
Como você pode constatar, vários aspectos são observados na utilização 
dos juros simples. Então, já foi possível saber o que são juros. Agora, vamos 
conhecer o conceito de juros e os fatores principais que compõem este 
tema?
O conceito de juros surgiu no momento 
em que o homem percebeu a existência 
de uma afinidade entre o dinheiro e o 
tempo. As situações de acúmulo de capital 
e desvalorização monetária davam a ideia 
de juros, pois isso acontecia devido ao valor 
momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas 
matemáticas se caracterizavam pela organização dos dados e textos 
relatavam o uso e a repartição de insumos agrícolas através de 
operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos em 
tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de 
crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas 
e endossos. Essas tábuas retratavam documentos de empresas 
comerciais, algumas eram utilizadas como ferramentas auxiliares 
nos assuntos relacionados ao sistema de peso e medida. Havia tábuas 
para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados, cubos e 
exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente 
ligadas aos cálculos relacionados a juros compostos e as de inverso 
eram utilizadas na redução da divisão para a multiplicação.
CURIOSIDADE
1.2.2Conceito de juros
Apresentaremos alguns conceitos importantes para o desenvolvimento 
de cálculos financeiros, e que estão direcionados ao tema em estudo, que são 
os juros simples.
Capítulo 1
16 Matemática Financeira
Para Vieira Sobrinho (2000, p. 19), “juros é a remuneração do capital 
emprestado, podendo ser entendido como o aluguel pago pelo uso do 
dinheiro”. 
Este autor ainda ressalta que quem possui recursos pode utilizá-lo 
na compra de bens de consumo, ou de serviços, na aquisição de bens de 
produção, na compra de imóveis para uso próprio ou venda futura. Ainda 
pode emprestá-lo a outras pessoas, ou adquirir títulos de renda fixa ou 
variável. 
Além destas opções, pode deixá-lo depositado para atender imprevistos e 
eventualidades. Ou também guardá-lo, na expectativa de uma oportunidade 
melhor para sua utilização, como também pela simples satisfação de ter dinheiro.
Assim, podemos entender que o dinheiro possui um preço. Quem pede 
dinheiro emprestado, a um banco ou a uma financeira, deverá devolver a 
quantia recebida, acrescida de um valor extra por estar usando o dinheiro 
que não é seu. Este acréscimo pode ser entendido como um “aluguel” a ser 
pago pelo uso temporário do dinheiro. Então, esta quantia extra constitui, na 
prática, o preço do dinheiro, isto é, os juros. 
Para o cálculo dos juros, necessitamos conhecer melhor os elementos 
que estão diretamente relacionados: o capital, a taxa, o período de tempo 
previsto para sua utilização e o montante.
Para Milone (2006), capital diz respeito à quantidade de moeda que uma 
pessoa (física ou jurídica) tem disponível para ceder a outra, durante certo 
período de tempo e certas condições de retorno.
No mesmo sentido, Hazzan e Pompeo (2007) afirmam que capital é 
qualquer valor monetário que outra pessoa (física ou jurídica) empresta para 
outra durante certo tempo.
Como você pode constatar, os autores apresentam ideias concordantes a 
respeito do que significa capital na operacionalização dos juros.
Já a taxa de juros, segundo estes mesmos autores, é o valor do juro em 
uma certa quantidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital 
ou de forma decimal.
Capítulo 1
17Matemática Financeira
Segundo Milone (2006), a taxa de juros de uma operação é um referencial 
financeiro determinado pelo mercado e condicionado por uma série de distintos 
fatores, uns objetivos e outros subjetivos (estes últimos difíceis de transformar 
em dinheiro). 
A taxa de juros pode ser apresentada nas seguintes formas:
Taxa percentual – exemplo: 12,25 % ao ano
Taxa unitária (decimal) – exemplo: 0,1225 ao ano
A conversão da taxa percentual em taxa unitária (decimal) é feita 
pela divisão da notação em porcentagem por 100. E para retornar à forma 
percentual, basta multiplicar por 100. Observe os exemplos a seguir.
Taxa percentual Taxa unitária (decimal)
3,75% ao mês (percentual) 3,75%=
3,75
100
=0,0375 0,0375 ao mês (unitária)
36,18% ao ano (percentual) 36,18%=
36,18
100
=0,3618 0,3618 (unitária)
A taxa de juros, geralmente expressa em termos percentuais, é o 
coeficiente que permite a determinação dos juros. Na determinação da taxa, 
deve-se observar os seguintes fatores:
 • risco;
 • despesas; 
 • inflação; 
 • desvalorização do poder aquisitivo da moeda;
 • ganho: fixado em função das demais oportunidades de investimentos 
(custo de oportunidade); justifica-se pela privação por parte de seu 
dono, da utilidade do capital.
Capítulo 1
18 Matemática Financeira
Nas fórmulas, todos os cálculos são realizados 
utilizando-se a taxa unitária (decimal). Tanto 
o prazo da operação (n) como a taxa de juros 
(i) devem obrigatoriamente estar expressos na 
mesma unidade de tempo. Assim, se o período 
de tempo estiver em meses, a taxa deverá ser 
expressa ao mês. Caso não esteja, deveremos 
converter um deles para que ambos estejam 
expressos na mesma unidade de tempo.
SAIBA QUE
O período de utilização do dinheiro é o intervalo de tempo em que o capital 
estará disponível. Corresponde ao número de períodos envolvidos na operação, 
que podem ser expressos em dias, meses, trimestres, bimestres, semestres e anos.
E o montante é o valor resultante, ao final do período, do capital 
emprestado ou aplicado acrescido dos juros, tanto do empréstimo como de 
uma aplicação financeira. 
Depois de conhecermos os elementos que compõem os juros, vamos agora 
estudar os tipos de capitalização, isto é, como os juros podem ser aplicados.
1.2.3 Regimes de capitalização
No entendimento de Hazzan e Pompeo (2007), quando um capital 
é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa, por período, o montante 
poderá aumentar de acordo com duas convenções, denominadas regimes de 
capitalização. Existe o regime de capitalização simples (ou juros simples) e o 
regime de capitalização composta (ou juros compostos). 
Neste capítulo, estudaremos somente a capitalização simples e, mais à 
frente, vamos conhecer a capitalização composta.
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. 
Estão incluídos: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, 
empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como caderneta de 
poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos 
uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, 
e do processo de desconto simples de duplicatas.
Capítulo 1
19Matemática Financeira
Estes conceitos são importantes para o entendimento e aplicação dos 
assuntos que seguem. 
1.2.4 Capitalização simples
A capitalização simples, segundo Vieira Sobrinho (2000, p. 21), “é aquela 
em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, 
pois, sobre os juros acumulados”. Este autor ressalta que, neste regime de 
capitalização, a taxa varia linearmente em função do tempo. 
Então, podemos entender que o juro simples é caracterizado pelo fato 
de apenas o valor do principal, ou capital inicial, ser remunerado ao longo do 
tempo de aplicação. E a remuneração é diretamente proporcional ao seu valor 
e ao tempo de aplicação. 
A capitalização simples estabelece que se calcule o juro produzido em 
cada unidade de tempo sempre a partir do capital inicialmente aplicado. 
Uma das consequências disso é a impossibilidade de se incorporar os juros 
produzidos por cada unidade de tempo ao valor do capital para a apuração 
do valor da dívida ou do valor a que tem direito, no período seguinte 
(MILONE, 2006).
Este autor ainda destaca que, por não prever a capitalização do juro, seja 
ele devido ao final de cada período ou ao final da operação, será sempre pago 
sem qualquer acréscimo.
Então, você pode concluir que o montante, apurado ao final da 
operação a juros simples, corresponde ao capital investido, ou emprestado, 
acrescido de tantas unidades de juros quantos forem as unidades de tempo 
consideradas.
Mas atenção! Na capitalização simples, a taxa de juros incide somente 
sobre o capital inicial, não há juros sobre juros. 
E segundo Braga (2008), a taxa de juros é linear:
Taxa diária × 30 = taxa mensal; taxa mensal × 12 = taxa anual, etc.
Capítulo 1
20 Matemática Financeira
É importante você entender que os juros refletem o valor do dinheiro 
no tempo e estão associados a um sacrifício de consumo no presente, ao 
impedimento temporário de realizar outros negócios lucrativos com a quantia 
cedida e também à possibilidade de o devedor não pagar seu compromisso na 
data do vencimento (BRAGA, 2008).
Vieira Sobrinho (2000) acrescenta que os indivíduos que possuem 
recursos podem utilizá-los para comprar bens de consumo, ou de serviços, 
na aquisição de bens de produção, na compra de imóveis para uso próprio 
ou venda futura; podem ainda emprestá-los a terceiros ou adquirir títulos de 
renda fixa ou variável, deixá-lo depositado para atender a eventualidades. 
E também guardá-lo na expectativade uma oportunidade melhor para sua 
utilização, ou ainda pela simples satisfação de ter dinheiro.
Vieira Sobrinho (2000) nos apresenta a expressão que permite calcular o 
valor dos juros simples:
J = Pxixn
Em que: J = valor dos juros.
P = valor do capital inicial ou principal.
I = taxa de juros.
n = prazo.
 (1)
Dessa forma, para você encontrar o valor dos juros devidos em qualquer 
período, basta multiplicar a taxa de juros pelo capital inicial da operação e 
pelo número de períodos. A operação de adição dos juros ao capital recebe 
o nome de capitalização simples. Observe como ocorre com os juros por meio 
do exemplo a seguir.
Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00 foi entregue a um banco que lhe 
prometeu juros de 10% ao período. Qual será o saldo credor ao final de cada 
um dos próximos quatro anos?
Capítulo 1
21Matemática Financeira
PERÍODO
SALDO NO INÍCIO 
DO PERÍODO (R$)
JUROS EM CADA
PERÍODO (R$)
JUROS AO FINAL
DO PERÍODO (R$)
0 - - 1.000,00
1 1.000,00 1.000,00 . 0,10 = 100,00 1.100,00
2 1.100,00 1.000,00 . 0,10 = 100,00 1.200,00
3 1.200,00 1.000,00 . 0,10 = 100,00 1.300,00
4 1.300,00 1.000,00 . 0,10 = 100,00 1.400,00
Tabela 1 - Capitalização simples
Fonte: elaborada pelo autor.
Para entendermos melhor como acontece a adição dos juros ao 
capital inicial, vamos saber o que é o fluxo de caixa. Também, na sequência, 
iremos desenvolver alguns exemplos que mostram o cálculo dos juros e seus 
componentes.
Taxas equivalentes
Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na 
mesma unidade da taxa. 
Segundo Hazzan e Pompeo (2007), o procedimento inverso também 
pode ser adotado, ou seja, podemos converter a taxa na mesma unidade de 
tempo que está expresso o prazo. Então, para que isto ocorra, devemos saber 
converter taxas de um período para outro.
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros simples quando 
aplicadas em um mesmo capital durante um mesmo prazo resultarem valores 
iguais (HAZZAN; POMPEO, 2007).
Para você entender melhor, vamos acompanhar um exemplo? 
Exemplo - Qual a taxa anual equivalente a juros simples a 2% a.m.?
Observe a resolução:
Seja i a taxa anual procurada, P o capital (principal) e um ano o prazo. 
Então, devemos ter:
Capítulo 1
22 Matemática Financeira
P× i × 1 = P(0,02)×12
i = (0,02)×12= 0,24 = 24% a.a.
Sendo assim, a taxa anual equivalente a 2% a.m. é 24% a.a. Observamos 
que se tivéssemos adotado outro prazo, por exemplo, dois anos, chegaríamos 
ao mesmo resultado. A equação correspondente seria:
P× i × 2 = P(0,02)×24 (a taxa deve ser sempre dividida por 100)
2 × i = (0,02)×24
×= = =(0,02) 24i 0,24 24%a.a.
2
Exemplo - Considerando os juros simples, qual a taxa mensal equivalente 
a 9% a.t.?
Veja a resolução:
Seja i a taxa mensal procurada, P o capital aplicado e um ano o prazo.
Devemos ter:
P× i × 12 = P×(0,09) × 4
×= = =(0,02) 24i 0,24 24%a.a.
2
Como você pode comprovar nos exemplos que foram mostrados, as taxas 
equivalentes são proporcionais aos respectivos prazos a que se referem. Isto 
pode ser comprovado da seguinte forma: sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes 
e sejam d1 e d2 os prazos (em dias) das referidas taxas. 
Como elas são equivalentes, considerando um capital P e um prazo de 
aplicação de um ano, devemos ter:
Capítulo 1
23Matemática Financeira
P × i1 × 
 360 = P × i2 ×
 360 
 d1 d2
i1 = 
 d1
i2 d2
Assim, esta expressão comprova o fato de as duas taxas serem 
proporcionais aos respectivos prazos. Você observou que utilizamos o 
ano comercial (360 dias) e os prazos expressos em dias, sem prejudicar a 
generalidade (HAZZAN, POMPEO, 2007, p. 17).
Desta forma, podemos escrever:
 • 4% a.b. (ao bimestre) é equivalente a 2% a.m.
 • 6% a.t. (ao trimestre) é equivalente a 2% a.m.
 • 12% a.s. (ao semestre) é equivalente a 2% a. m.
 • 24% a.a. (ao ano) é equivalente a 2% a.m.
Vamos acompanhar mais um exemplo?
Exemplo – Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de 
investimento rendeu, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 5.000,00 e 
que o valor de resgate foi de R$ 5.525,00 após sete meses?
Vamos à resolução?
Como você pode verificar, os juros da aplicação foram de R$ 525,00 
(diferença entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de i a taxa 
mensal de juros, aplicamos a fórmula:
J = P × i × n
525 = 5.000 × i × 7
525 = 35.000 × i
35.000 × i = 525
i = 525 
 35.000
i = 0,015 = 1,5% a.m.
Capítulo 1
24 Matemática Financeira
E se desejarmos a taxa anual, multiplicamos por 12, como segue, 
12×(1,5%)= 18% ao ano.
Veja outro exemplo a seguir.
Exemplo - Quais os juros obtidos quando aplicamos o valor de R$5.000,00 
pelo período de 2 anos, à taxa de 20% ao ano?
Observe a resolução!
Dados da questão:
PV = 5.000
n = 2 anos 
i = 20% a. a. = 0,20 a. a.
J = ?
Aplicando a fórmula dos juros simples, teremos:
J = P× i × n
J = 5.000 × 0,20 × 2
J = 2.000
Utilizando os mesmos dados do problema anterior, porém alterando a 
taxa de juros para 5% ao trimestre. Vamos também converter o prazo de 2 
anos para 8 trimestres, para fazer o prazo concordar com a taxa. Vejamos 
como fica o resultado.
J = P× i × n
J = 5.000 × 0,05 × 8
J = 2.000
Como as taxas de 20% ao ano e 5% ao trimestre quando aplicadas ao 
mesmo capital de R$ 5.000,00 durante o mesmo intervalo de tempo de 2 
anos, produziram o mesmo juro de R$ 2000,00, podemos afirmar que elas são 
equivalentes.
Na capitalização simples, as taxas proporcionais são também taxas 
equivalentes!
Capítulo 1
25Matemática Financeira
Juros ordinários
Quando se utiliza o ano comercial para estabelecer a homogeneidade 
entre a taxa e o tempo, temos os juros ordinários. 
No entendimento de Kuhnen e Bauer (2001), em juros ordinários, todos 
os meses têm 30 dias e o ano tem 360 dias.
Vamos ver um exemplo para saber como se calcula este tipo de juros? 
Posso afirmar que é da mesma forma que se calcula os juros simples.
Exemplo – Calcule os juros ordinários produzidos por um capital de R$ 
100.000,00, que foi aplicado durante os meses de junho, julho e agosto, a uma 
taxa de 12% a.a.
Agora, vamos à resolução.
Os dados da questão estão relacionados a seguir:
P = 100.000,00
Juros = ?
i = 12% a.a. = 0,12 
n = 3 meses = 90 dias = 90÷360 = 0,250000
Agora que já temos a taxa e o prazo na mesma unidade de tempo, 
podemos calcular os juros, como é possível verificar a seguir.
J = P × i × n
J = 100.000 × 0,12 × 0,250000
J = 3.000,00
Então, os juros ordinários são de R$ 3.000,00.
A partir de agora, vamos aprender a utilizar a calculadora financeira. 
Em alguns exercícios, mostraremos a sua operacionalização. Acompanhe, na 
sequência, os passos do cálculo quando utilizamos esta ferramenta.
Para resolver esta questão utilizando a calculadora financeira, sugiro 
que você digite:
Capítulo 1
26 Matemática Financeira
f Fin f 2
100.000 CHS PV
12 i
3 enter 30× n
f INT
A sua calculadora vai mostrar no visor o mesmo valor que você encontrou 
resolvendo pela fórmula, isto é, R$ 3.000,00.
Juros exatos
Os juros exatos são os que se usa o tempo na mesma quantidade exata 
em dias, observando a quantidade de dias que tem cada mês, sendo a taxa 
expressa ao ano. Neste tipo de juros, utiliza-se o ano civil, que considera o ano 
com 365 dias para estabelecer a homogeneidade entre a taxa e o tempo.
Caso o tempo não esteja em dias, devemos transformá-lo, e se a taxa não 
for anual, também devemos transformá-la.
Vamos ver um exemplo para verificar como este tipo de juros é calculado? 
Exemplo – Calcule os juros exatos gerados por um capital de R$ 100.000,00, 
aplicado durante os meses de junho, julho e agosto a uma taxa de 12% a.a.
Agora, acompanhe a resolução.
Vamos primeiramente identificar os dados contidos na questão:
P = 100.000,00
Juros = ?
i = 12% a.a. = 0,12 a.a.
n = 92 dias (dias exatos dos meses) = 92÷365 = 0,252055
Aplicando a fórmulados juros simples teremos:
J = P× i × n
J = 100.000 × 0,12 × 0,252055
J = 3.024,66
Sendo assim, os juros exatos desta aplicação são de R$ 3.024,66.
Capítulo 1
27Matemática Financeira
Este problema você pode resolver facilmente utilizando a calculadora 
financeira. Para isto, digite:
f Fin f 2
100.000 CHS PV
12i
92 n
f INT
R 
X<>y
Sua calculadora vai apontar no visor o valor de R$ 3.024,66, o mesmo 
valor encontrado por meio da fórmula.
Juros simples pela regra dos banqueiros
Este é o cálculo em que, para estabelecer a homogeneidade entre taxa 
e período de tempo, é usado o ano comercial, isto é, ano com 360 dias, como 
nos juros ordinários, mas o tempo (número de dias) segue o princípio dos juros 
exatos, ou seja, segue o calendário civil (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 35).
Exemplo – Determine os juros, pela regra dos banqueiros, gerados por 
um capital de R$ 100.000,00, aplicado durante os meses de junho, julho e 
agosto, a uma taxa de 12% a.a.
Passemos à resolução.
Inicialmente vamos conhecer os dados do problema:
P = 100.000,00
Juros = ?
i = 12% a.a. = 0,12 a.a.
n = 92 dias (dias exatos dos meses) = 92÷360 = 0,255556
Capítulo 1
28 Matemática Financeira
Aplicando a fórmula dos juros simples teremos:
J = P× i × n
J = 100.000 × 0,12 × 0,255556
J = 3.066,72
Você pode também resolver este problema utilizando a calculadora 
financeira. Digite então:
f FIN f 2
100.000 CHS PV
12 i
92 n
f INT
Aparecerá no visor o mesmo valor que você encontrou calculando pela 
fórmula, ou seja, R$ 3.066,67.
1.2.5 Fluxo de caixa
O fluxo de caixa tem por finalidade demonstrar, para certo horizonte de 
tempo, o comportamento dos ingressos e desembolsos de dinheiro em uma 
organização. 
O diagrama do fluxo de caixa de uma operação, segundo Hazzan e 
Pompeo (2007), é uma representação esquemática muito útil na resolução dos 
problemas. Basicamente, se resume em um eixo horizontal onde é marcado o 
tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser 
(ano, meses, dias, etc.). 
As entradas de dinheiro, em um determinado instante, são indicadas 
por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, 
com sentido voltado para cima. As saídas de dinheiro são indicadas da 
mesma forma, mas com o sentido das setas voltado para baixo. Para você 
entender melhor como é um diagrama de fluxo de caixa, vamos ver um 
exemplo.
Capítulo 1
29Matemática Financeira
Na extremidade de cada seta, você deve escrever o valor do capital. Pode 
entender da seguinte forma: quando recebemos algum dinheiro, esse capital 
é um valor positivo no nosso caixa “positi¬vo”, “para cima”, receber dinheiro. 
Entradas ou recebimentos de dinheiro (ou um valor positivo) são sempre 
representados por setas para cima. 
De modo similar, saiba que uma seta para baixo significa saída ou 
aplicação de dinheiro (um valor negativo). Para simplificar ainda mais a 
visualização, convenciona-se que entradas são representadas acima do eixo 
horizontal e saídas abaixo do mesmo. 
Não há um rigor quanto ao tamanho das setas, mas se você desejar, pode 
representar capitais maiores por setas maiores, sem necessariamente ser tão 
rigoroso com as proporções.
Exemplo 2: Uma pessoa aplicou R$ 50.000,00 em um banco e recebeu 
R$ 6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa sob o ponto de vista 
do aplicador foi:
12 meses
50 000
56 500
Figura 1 - Diagrama do fl uxo de caixa
Fonte: Hazzan; Pompeo (2007, p. 8).
O diagrama que mostra o capital no horizonte de tempo depende do 
ponto de vista, assim, também, você pode apresentar sob o ponto de vista do 
banco. O fluxo de caixa sob o ponto de vista do banco foi:
Capítulo 1
30 Matemática Financeira
12 meses
56 500
50 000
Figura 2 - Fluxo de caixa
Fonte: Hazzan; Pompeo (2007, p. 8).
Então, como você pode observar, as situações envolvendo juros também 
podem ser configuradas em forma de um diagrama representativo. Em vários 
assuntos que iremos estudar, faremos uso desta representação gráfica para 
melhor visualização das situações problema.
1.2.6 Cálculo dos juros, da taxa e do tempo
A partir desta etapa, vamos aprender a calcular os juros e os demais 
componentes que compõe a capitalização simples. Como já apresentado, 
neste tipo de capitalização, os juros são iguais em todos os períodos, valendo 
o produto do capital pela taxa naquele período. 
Para entender melhor, vamos considerar um capital ou principal (P), 
aplicado a juros simples, à taxa i por período, durante n períodos de tempo. 
Vamos deduzir a fórmula dos juros, após os n períodos. Este desenvolvimento 
foi apresentado por Hazzan e Pompeo (2007, p. 10):
Capítulo 1
31Matemática Financeira
Juros após 1 período: J1 = P × i ×1
Juros após 2 período: J2 = P × i + P × i = P × i × 2
Juros após 3 período: J3 = P × i + P × i + P × i = P × i × 3
 ... = ................................
Juros após n períodos Jn = P × i + P × i + P × i = P × i n
Portanto, eliminando o índice n, teremos a fórmula:
J = P × i × n (2) 
Para calcular os juros, é só multiplicar o valor do principal (capital) pelo 
valor da taxa e pelo período de tempo em que foi considerada a operação, 
que pode ser de empréstimo ou de aplicação.
Para o cálculo da taxa você vai usar a mesma fórmula, porém isolando o 
(i). Veja como fica.
J= P x i x n
i
J
P n
=
x
 
(3)
O cálculo do período de tempo se procede de forma similar, isto é, 
isolando agora o (n). Observe como fica a fórmula:
J= P × i × n
n
J
P i
=
x 
 (4)
Capítulo 1
32 Matemática Financeira
Para o cálculo do capital (principal) também podemos usar o mesmo 
procedimento. Observe o que é mostrado a seguir.
J= P × i × n
P
J
n i
=
× 
 (5)
Assim, temos como calcular cada elemento que compõe os juros simples.
Você pode resolver alguns problemas pela fórmula, ou utilizando as 
teclas da calculadora financeira. Veja como é fácil a sua operacionalização.
Exemplo – Calcule os juros produzidos por um capital de R$ 30.000,00, 
pelo período de 8 meses, a uma taxa de juros de 14,4% ao ano.
Vamos resolver pela fórmula.
Primeiramente, identificamos os dados da questão:
P = 30.000,00
i = 14,4% a.a.= 0,144 a.a.
n= 8 meses = 8÷12 = 0,666667
J =?
J = P × i × n
J = 30.000 × 0,144 × 0,666667
J = 2.880,00
Este resultado você pode obter utilizando a calculadora financeira. Para 
isto, digite:
f FIN f 2
30.000 CHS PV
14,4 i
8 enter 30× n
f INT 
Capítulo 1
33Matemática Financeira
Como você pode verificar, o resultado obtido é o mesmo encontrado por 
meio da fórmula, isto é, R$ 2.880,00.
Agora vamos ver um exemplo com o cálculo da taxa. Acompanhe o 
exercício.
Exemplo - O valor de R$ 30.000,00 foi aplicado durante 8 meses, rendendo 
R$ 2.880,00 de juros. Qual a taxa de juros desta operação?
Vamos identificar os dados e resolver a questão:
P = 30.000,00
J = 2.880,00
n= 8 meses = 8÷12 = 0,666667
i =?
J = P× i × n
2.880 = 30.000 × i × 0,666667
2880 = 20.000,01× i
20.000,01× i = 2.880
i = 2880 ÷ 20.000,01
i = 0, 144 × 100 = 14,4 % a.a
Equivalência de capitais no regime de capitalização simples
Vamos supor que aplicaremos hoje R$ 3000,00 por 1 ano à taxa simples 
de 5% ao ano. O montante (F) desta aplicação no final de um ano será:
F = PV × (1 + i × n) = 3000,00 × (1 + 0,05 × 1) = 3.150
Podemos afirmar que, para a taxa de 5% ao ano, é indiferente receber 
R$ 3000,00 hoje ou R$ 3150,00 ao final de um ano, logo, R$ 3000,00 e R$ 
3150,00 são equivalentes à taxa de 5% a.a, na data focal de um ano após a 
data de hoje. Um ano após a data de hoje é a data de avaliação, também dita 
data focal
Se possuímos hoje R$ 3000,00, podemos aplicar, por um ano, à taxa de 5% 
a.a e teremos ao final do período R$ 3150,00. De modo análogo, se possuímos 
um título que vence daqui a um ano no valor de R$ 3150,00, perguntamos: 
que valor é equivalente hoje para a taxa dada?
Capítulo 1
34 Matemática Financeira
F = P × (1 +i × n), então, podemos escrever esta mesma fórmula, como 
apresentamos a seguir:
P = F = 3.150 = 3150 = 3.000
 1 + i×n 1+0,05 ×1 1,05
Concluímos, então, que dois capitais P e F são equivalentes a juros simples 
se, quando avaliados em determinada época (data focal), para a mesma taxa i 
de juros simples, apresentarem valores iguais. 
Importante saber que, devido ao regime linear dos juros simples, capitais 
equivalentes em determinada época (data focal) não serão equivalentes em 
outra data focal.
É fundamental que você leve em conta que 
o problema econômico decorre da escassez, 
ou seja, do fato de que as necessidades das 
pessoas são satisfeitas por bens e serviços cuja 
oferta é limitada. Ao longo do processo de 
desenvolvimento das sociedades, o problema de 
satisfazer as necessidades foi solucionado por 
meio da especialização e do processo de troca 
de um bem pelo outro.
A noção de juros decorre do fato de que a maioria das pessoas 
prefere consumir seus bens no presente e não no futuro. Em sendo 
assim, havendo uma preferência temporal para consumir, as pessoas 
querem uma recompensa pela abstinência. Este prêmio para que 
não haja consumo é o juro (MATHIAS; GOMES, 2000).
SAIBA QUE
1.2.7 Montante e valor atual
Quando um investidor ou qualquer pessoa aplica ou toma emprestado 
um capital (principal), a determinada taxa, no final do período ele tem a 
disposição ou uma dívida não só do valor inicial (principal ou capital), mas 
também os juros que incidiram sobre o valor. O total a ser pago ou recebido é 
chamado de montante.
Capítulo 1
35Matemática Financeira
Para Vieira Sobrinho (2000), montante (ou valor futuro), que vamos 
indicar por F, é igual a soma do capital inicial mais os juros referentes ao 
período da aplicação.
Assim tem-se:
F = P + J
 
(6)
Esta fórmula pode ser escrita de outra maneira, veja a seguir. 
 F = P + P x i x n, pois J = P x i x n
E a fórmula fica assim configurada:
F = P + P × i × n = P(1 + in) (7)
Exemplo 3: Calcular o montante da aplicação de um capital de R$ 
20.000,00, pelo prazo de 12 meses à taxa de 3% ao mês.
F= ?
F P (1 + i . n)
F = 20.000 (1 + 0,03 × 12)
F = 20.000 × 1,36 = 27.200
Assim, o montante para este problema resultou em R$ 27.200,00.
O valor atual (valor presente ou principal) que indicamos por P, é o valor 
do capital que, aplicado a uma determinada taxa e prazo, resulta o montante F. 
E como F = P(1 + i.n), a fórmula do valor atual é determinada como segue:
P = 
F
1 + i x n 
 (8)
Capítulo 1
36 Matemática Financeira
Vejamos um exemplo.
Exemplo: Determinar o valor atual de um título cujo valor futuro 
(nominal) é de R$ 30.000,00, sabendo que a taxa de juros é de 36% ao ano, e 
que faltam quatro meses para o vencimento. 
F = 30.000
i = 36% ao ano i = 
0,36
12
= 0 03, ao mês
n = 4 meses
Agora que a taxa e o tempo estão concordantes, podemos aplicar a 
fórmula (6) e teremos o seguinte resultado:
P = 30000 = 30000 = 26.785,71
 1+0,03×4 1,12
Então, o valor atual deste título é R$ 26.785,71.
Tente resolver a questão descrita a seguir: 
João aplicou 3/5 de seu capital à taxa de 5,5% 
ao mês. O restante foi aplicado a 30% ao 
semestre. Decorrido 1 ano, 7 meses e 23 dias, 
recebeu R$ 18.650,00 de juros. Qual o capital 
total investido?
DESAFIO
 1.3 Aplicando a teoria na prática
Afinal, é verdadeira a frase “tempo é dinheiro”? Ela tem algum 
fundamento na Matemática financeira?
Capítulo 1
37Matemática Financeira
Vejamos. Apresento a você um pequeno caso e convido a resolvê-lo.
Tendo em vista que estava enfrentando problemas financeiros já 
há alguns meses, com atraso, inclusive, de dois meses de aluguel de sua 
moradia, Maria Joana tomou um empréstimo de R$8.000,00 no banco 
pelo prazo de 7 meses, à taxa de 1,5% ao mês. Mas Maria Joana ficou 
intrigada: quanto é que ela terá que pagar de juros? Mas não foi somente 
nisso que ela pensou: ela deseja saber também qual a função dos juros na 
economia? Por que o valor do dinheiro muda com o tempo? 
Será que você pode ajudar Maria Joana a responder tais 
questionamentos?
Provavelmente você já usou boa parte dos conhecimentos adquiridos 
neste capítulo para auxiliar nas repostas que Maria Joana necessita. 
Primeiramente, vamos verificar quanto ela vai pagar de juros. 
E então, vamos à solução?
Inicialmente, vamos identificar os dados do problema.
P= R$ 8.000,00
n = 7 meses
i = 1,5% ao mês
j = ?
Lembre-se de transformar a taxa em forma unitária (decimal), 
dividindo por 100. Como o prazo está expresso em meses, e a taxa está ao 
mês, não precisa fazer a transformação do período. 
Aplicando a fórmula dos juros simples, temos:
j = P × i × n
j = 8.000 × 0,015 × 7
j = 840
Portanto, o valor dos juros correspondente ao empréstimo de Maria 
Joana é de R$ 840,00.
Capítulo 1
38 Matemática Financeira
Você também deve ter considerado que a relação entre o mundo 
imaginário da matemática e o estudo da matemática financeira é 
fundamental para a análise de como o dinheiro se comporta com o 
transcorrer do tempo. Afinal de contas, o sujeito que possui dinheiro 
pode emprestá-lo àquele que não o possui. E para isso, terá de se privar 
dele por determinado tempo. Isso significa que o detentor do dinheiro 
(nesse caso de Maria Joana, o banco) ficará momentaneamente sem o 
valor emprestado. Como precisa se privar por um tempo de algo que lhe 
pertence, o proprietário do capital irá cobrar uma taxa pelo uso do valor 
emprestado daquele que for usá-lo, como se fosse um aluguel. E é por isso 
que o valor do dinheiro muda com o tempo.
Lembre-se da explicação de Mathias e Gomes (2000): a noção de 
juros decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus 
bens no presente e não no futuro. Sendo assim, havendo uma preferência 
temporal para consumir, as pessoas querem uma recompensa pela 
abstinência. 
E fica o conselho a Maria Joana: que seja criteriosa em seus gastos 
para não ter de recorrer novamente ao empréstimo.
 1.4 Para saber mais
Você poderá aprofundar este estudo visitando os endereços da web e 
consultando os livros indicados nas referências. Também poderá pesquisar 
em outros livros que tratam deste tema, pois existe um farto material 
disponível. Este assunto, como você pode constatar, possui muita relação 
com o nosso cotidiano. Algumas das situações problema mencionadas e 
resolvidas no texto são extraídas de relatos da vida real. É possível traduzir 
estas situações e convertê-las para suas experiências pessoais. Sugiro que 
você consulte:
Título: Matemática Financeira
Autor: MATHIAS, W.F.; GOMES, J.M. Editora: Atlas, SP Ano: 2009
 Ao potencializar seu conhecimento sobre juros, você tem condições 
de aplicá-lo em sua vida profissional, bem como melhorar suas 
finanças, utilizando corretamente os recursos e evitando pagamento 
de juros altos e desnecessários. 
Capítulo 1
39Matemática Financeira
Título: Matemática Financeira
Autor: VERAS, L.L. Editora: Atlas, SP Ano: 1999
Ao potencializar seu conhecimento sobre juros, você tem condições 
de aplicá-lo em sua vida profissional, bem como melhorar suas 
finanças, utilizando corretamente os recursos e evitando pagamento 
de juros altos e desnecessários. 
 1.5 Relembrando
O capítulo 1 abordou:
 • as situações em que se toma dinheiro emprestado ou quando se 
aplica um certo valor, considerando a capitalização simples;
 • conceito de juros, capital, taxa e montante;
 • fluxo de caixa, que é a representação gráfica do cálculo dos juros;
 • como se procede para calcular os juros, a taxa de juros, o período de 
tempo, o capital e o montante;
 • ressaltou sobre a importância de compatibilizar a taxa e o tempo para 
o mesmo período de tempo.
Resumo das fórmulas:
Juros simples J = PV x i x n
Montante simples FV = PV + J FV = PV × (1 + i x n)
Cálculo da taxa iJ
P n
=
x
Cálculo do período de tempo n
J
P i
=
x
Calculo do capital (Principal) P
J
n i
=
×
Capítulo 1
40 Matemática Financeira
 1.6 Testando os seus conhecimentos
1) Determinar o capital necessário para gerar um montante de R$ 8.950,00 ao 
final de 1 ano e 7 meses, a uma taxa de 6,5% ao trimestre.
2) Que quantia se deve investir à taxa de 4,5% ao mês, para que se tenha ao 
final de 9 meses e 27 dias um montante de R$ 4.350,00?
3) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual 
a 1/5 do seu valor?
4) Um capital ficou depositado durante 2 anos a juros simples de 4% ao ano. 
Findo este período, o montante foi reaplicado a juros simples de 6% ao ano, 
durante 18 meses. Determinar o capital inicial, sabendo que o montante final 
foi de R$ 17. 658,00.
5) Uma aplicação de R$ 800,00 a juros simples teve um resgate de R$ 908,00 
após 135 dias. Determine a taxa mensal e anual desta aplicação.
 Onde encontrar
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. São Paulo: Saraiva, 2007.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
MILONE, G. Matemática financeira. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2006.
Capítulo 2
41Matemática Financeira
DESCONTO SIMPLES
CAPÍTULO 22
2.1 Contextualizando
Neste capítulo, você vai conhecer e interpretar as operações que 
envolvem descontos no regime de juros simples. Também aprenderá os tipos 
de descontos que são aplicados pelos bancos e agentes financeiros e poderá 
calcular os componentes destas operações. 
Alguns elementos merecem destaque nas operações de desconto: o 
valor nominal do título, valor líquido (valor atual), valor do desconto, a taxa 
cobrada e o tempo de antecipação de resgate.
Ao contrair uma dívida para pagamento futuro, o devedor normalmente 
oferece um título que comprova tal obrigação. De posse desse título, o credor 
poderá negociar o seu resgate antecipado, junto às instituições financeiras. 
Títulos de crédito, na maioria das vezes, são negociados em operações de 
desconto junto a instituições financeiras:
1) notas promissórias; 4) cheques pré-datados;
2) duplicatas; 5) títulos nominais.
3) letras de câmbio;
A operação de se liquidar um título, antes de seu vencimento, envolve 
geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. 
Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor 
futuro de um título e o seu valor atual apurado n períodos antes de seu 
vencimento (HAZZAN; POMPEO, 2007).
Capítulo 2
42 Matemática Financeira
Espero que, ao final deste capítulo, você seja capaz de aplicar os 
componentes de uma operação financeira.
2.2 Conhecendo a teoria
Os títulos de crédito têm sempre um valor nominal ou de face que é o 
valor de resgate na data do vencimento e que está indicada no documento. 
Este valor pode sempre ser entendido como um valor futuro (FV). Caso o 
portador do título deseje resgatá-lo antes, esse sofrerá uma redução em seu 
valor que é o desconto. O valor líquido a ser recebido pelo portador do título 
é denominado de valor atual ou valor presente. 
2.2.1 Conceito de desconto
Segundo Kuhnen e Bauer (2001), desconto simples é o abatimento 
concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado. 
Representa, então, os juros cobrados e descontados antecipadamente pelos 
bancos nas operações de desconto simples.
Dando prosseguimento à abordagem de desconto simples, esses autores 
acrescentam que o valor nominal (FV) de um título é o valor de face, isto é, 
o valor expresso nele, representando o que deve ser pago na data de seu 
vencimento.
Então, fique ligado! Quando falamos em descontos, é preciso ter claro que:
 • valor nominal menos o desconto é igual ao valor presente;
 • valor nominal menos o valor presente é igual ao desconto;
 • valor presente mais o desconto é igual ao valor nominal.
Um documento muito usado é a nota promissória. Segundo Veras (1999), 
é um documento celebrado entre pessoas físicas, podendo também ser emitido 
por pessoa jurídica ou em favor de uma instituição.
Na concepção de Hazzan e Pompeo (2007), as notas promissórias surgem 
quando, por alguma razão, um devedor assume uma dívida junto a um credor. 
A nota promissória, para esses autores, é um papel que representa uma 
promessa de pagamento ao credor, feita pelo devedor. 
Capítulo 2
43Matemática Financeira
Figura 1 - Reprodução de nota promissória
Fonte: <http://www.vitrinedocalcado.com.br/NP%20wvr.jpg>.
A figura 1 mostra a imagem de uma nota promissória em que aparece o 
valor de face e as condições em que foi contratada. Constam, obrigatoriamente, 
da nota promissória, além da quantia a ser paga (valor nominal) e da data em 
que essa quantia será paga (data do vencimento), o nome e a assinatura do 
devedor ou emitente e o nome do credor ou portador. 
Já a duplicata é emitida por uma empresa (pessoa jurídica) contra 
seu cliente (pessoa física ou jurídica) para quem vendeu mercadorias ou 
prestou serviços a prazo (VERAS, 1999). Essa autora acrescenta que a 
emissão da duplicata decorre da emissão de uma nota fiscal. O cliente 
assina a duplicata dando o seu consentimento, isto é, declarando-se 
devedor daquela quantia e obrigando-se a pagar na data estabelecida.
Figura 2 - Reprodução de duplicata
Fonte: < http://www.grafi cajr.com/home/images/stories/Duplicata%20Coletora.jpg>.
Capítulo 2
44 Matemática Financeira
Na figura 2, podemos observar um modelo de duplicata, em que 
aparece o nome do credor ou emitente e do devedor ou sacado, o aceite 
deste último e o número da nota fiscal correspondentes às mercadorias 
vendidas ou serviços prestados.
Como exemplo, temos uma situação em que uma empresa emitiu uma 
duplicata de R$ 5.000,00 para vencimento dentro de três meses. Necessitando 
de dinheiro, a empresa levou a duplicata a um banco, que lhe propôs um 
adiantamento de R$ 4.700,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que 
o banco propôs um desconto de R$ 300,00 (R$ 5.000 menos R$ 4.700).
Outro título de crédito é a letra de câmbio, emitida por uma empresa com 
aceite de uma sociedade de crédito, financiamento e investimento. Segundo 
Veras (1999), é colocada no mercado com a finalidade de captar recursos para 
serem aplicados no próprio mercado sob forma de financiamentos. Nesta 
operação, são cobradas taxas de juros maiores do que aquelas pagas por 
portadores das letras de câmbio.
Como você pode observar por meio da figura 3, constam da letra de 
câmbio, além do valor nominal e da data de vencimento, o nome do órgão 
emissor e o nome de seu titular ou credor.
Figura 3 - Letra de câmbio
fonte:<http://www.tvletrasdecambio.com/2010/04/letra-de-cambio.html>
A ideia de desconto, como já mencionada anteriormente por Kuhnen e 
Bauer (2001), está relacionada a um abatimento dado a um valor monetário 
em determinadas condições.
Capítulo 2
45Matemática Financeira
As operações de desconto de duplicatas e promissórias, sendo bastante 
comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem 
caracterizada chamada desconto comercial ou bancário, que na sequência 
passaremos a estudar.
Atividades similares a do desconto já podiam 
ser observadas na Antiguidade, como por 
exemplo, no período greco-romano. Claro 
que não podemos afirmar que a existência do 
fenômeno do desconto, tal qual o conhecemos 
atualmente, mas sim pequenas atividades 
isoladas de antecipações de somas em dinheiro, 
mediante o empréstimo de valores com vencimentos posteriores.
No século 17, tornou-se comum na prática bancária inglesa a 
antecipação de soma pecuniária sobre letras de câmbio não vencidas 
que os clientes cediam ao banco por via de endosso. No fim desse 
século, quando se fundou o Banco da Inglaterra, o desconto foi previsto 
como operação essencial à nova instituição financeira, tomando seus 
contornos jurídicos atuais.
Fonte: <http://academico.direitorio.fgv.br>CURIOSIDADE
2.2.2 Tipologia dos descontos
A operacionalização do cálculo do desconto pode ser feita por duas 
formas. A primeira forma de se operacionalizar o desconto de títulos é 
denominada de desconto bancário, comercial ou “por fora”. Para se definir o 
desconto bancário ou comercial, será adotada a seguinte nomenclatura:
 • FV – valor nominal;
 • PV – valor atual ou valor descontado;
 • I – taxa de desconto por período;
 • n – tempo ou tempo de antecipação (tempo que decorre entre a data 
do desconto e a data de vencimento do título), em períodos; 
 • Db – desconto comercial ou por fora.
Capítulo 2
46 Matemática Financeira
A segunda é chamada de desconto racional ou “por dentro” e para sua 
definição será adotada a seguinte nomenclatura: 
 • FV – valor nominal;
 • PV – valor atual ou valor descontado;
 • i – taxa de juros de desconto por período;
 • n – tempo ou tempo de antecipação, em períodos; 
 • Dr – desconto racional ou por dentro.
CONCEITOCONCEITO
Os títulos de crédito mais utilizados em operações 
financeiras são a nota promissória, a duplicata 
e a letra de câmbio. A nota promissória é um 
comprovante da aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado. É um título muito 
usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física 
e instituição financeira. A duplicata é um título emitido por uma 
pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o 
qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem 
pagos no futuro, segundo um contrato. A letra de câmbio, assim 
como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de 
capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao 
portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.
2.2.3 Desconto simples comercial (ou bancário)
Cálculo de desconto bancário simples
É o método utilizado pelos bancos para o cálculo de remunerações do 
capital, representa os juros simples calculados sobre o valor nominal (FV) do 
título de crédito (por fora) (KUHNEN; BAUER, 2001).
Por ser mais usado nos bancos, chamaremos de desconto bancário (Db).
 
Db = FV × i × n 
 
(1)
 
Capítulo 2
47Matemática Financeira
Conceitualmente, sabemos que Db = FV – PV (2), de onde deduzimos que 
PV = FV – Db
 
(3)
Substituindo o Db da equação (1), temos que:
PV = FV – Db 
PV = FV – FV × i × n 
Estas equações são muito úteis para a solução dos problemas que iremos 
desenvolver.
Vamos, então, conhecer um exemplo? Tenho certeza que você vai 
entender com muita facilidade, pois este assunto tem muita semelhança com 
os juros simples.
Exemplo 1 – Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00, com 
vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto, precisando do dinheiro, 
descontou o título num banco que cobra 2% ao mês de desconto bancário. 
Determine o valor do desconto bancário (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 48).
Veja como encontrar a solução para o problema.
Inicialmente, vamos identificar o período de tempo que foi antecipado o 
resgate do dinheiro. Vamos utilizar os dias corridos que adota o ano civil (365 
dias) para o cálculo.
FV = R$ 8.000,00
i = 2% a.m. = 2/100 = 0,02 a.m.
n = 16/08 a 03/11 = 79 dias (15+30+31+3) = 79/30 = 2,633333 
Como já identificamos os dados informados no problema, vamos então 
aplicar a fórmula (1) para calcular o desconto bancário.
PV = FV (1 – i × n) 
 
(4)
Capítulo 2
48 Matemática Financeira
Db = FV × i × n (1)
Db = 8.000 × 0,02 × 2,633333 =
Db = 421,33
Então, o valor procurado é R$ 421,33.
Vamos, a partir de agora, aprender a operacionalizar a calculadora 
financeira. Veja como fica.
f fin f 2 
8.000 CHS PV
2 enter 12 × i 
79 n
f INT
Com este procedimento, a calculadora fornecerá o desconto bancário 
simples: R$ 421,33.
Cálculo da taxa e do período do desconto bancário simples
Obtém-se o cálculo do valor da taxa aplicando a fórmula 1, pois ela 
contém todos os componentes do desconto. Vamos considerar o exemplo 2.
Exemplo 2 – O desconto de uma duplicata gerou um crédito de R$ 
70.200,00 na conta de uma empresa. Sabendo que o valor do título era de R$ 
98.000,00 e que foi descontado 85 dias antes de seu vencimento, pelo desconto 
bancário simples, calcule o valor da taxa MENSAL cobrada pelo banco.
Figura 4 - Calculadora fi nanceira
Fonte: <http://www.hp.com>.
Capítulo 2
49Matemática Financeira
Acompanhe o raciocínio: inicialmente, sempre devemos identificar os 
dados fornecidos no problema.
PV = R$ 70.200,00
FV = R$ 98.000,00
 n = 85 dias (como a taxa deve ser expressa ao mês, l devemos converter 
o tempo em meses) = 2,83333 meses.
i = ?
Sabemos que Db = FV – P
 Db = 98.000 – 70.200 = 27.800
Utilizaremos a fórmula (1) para o cálculo do desconto e isolamos a taxa.
Db = FV × i × n 
27.800 = 98.000 × i × 2,83333
27.800 = 277.666,34 × i
27.800/277.666,34 = i
0,10008 = i
i = 0,10×100 = 10% ao mês
Então, a taxa cobrada nesta operação foi de 10% ao mês.
Para o cálculo do período de tempo, também utilizaremos o mesmo 
procedimento, isto é, a aplicação da fórmula 1. Para você entender melhor o 
cálculo, vamos utilizar mais um exemplo:
Exemplo 3 – Determine quantos dias faltam para o vencimento de uma 
duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu um desconto bancário simples 
de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano.
Fique ligado nas etapas!
Vamos, então, identificar os dados do problema.
FV = R$ 9.800,00
Db = 548,50
 i = 32% ao ano = 32/100 = 0,32/360 = 0,000889 (para concordar com o 
período do tempo).
Capítulo 2
50 Matemática Financeira
Vamos novamente recorrer à fórmula (1):
Db = FV × i × n
548,50 = 9.800 × 0,000889 × n
548,50 = 8,712200 × n
548,50/8,712200 = n
n = 62,957690  63 dias
Então, faltam 63 dias para o vencimento da duplicata.
Cálculo do valor líquido (valor atual)
O valor atual ou de resgate é calculado pela diferença entre o valor 
nominal (FV) e o valor do desconto bancário (Db), ou seja PV = FV – Db. 
Substituindo o desconto bancário por sua fórmula, Db= FV x i x n, teremos:
PV = FV – FV × i × n
Colocando FV em evidência a fórmula (4):
PV = FV (1 – i × n) 
Acompanhe o problema e, em seguida, a solução.
Exemplo 4 – Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 12.000,00, com 
vencimento futuro. Ao necessitar do valor, descontou a mesma, 5 meses e 
10 dias antes de seu vencimento. Sabendo que o banco cobra 2% ao mês de 
desconto bancário, calcule o valor de resgate da duplicata.
Solução
Vamos inicialmente identificar os dados do problema.
FV = R$12.000,00
i = 2% a. m.= 2/100= 0,02 a.m.
n= 5 meses e 10 dias = 160 dias (ano comercial)= 160/30 = 5,333333 meses.
Aplicando a fórmula 3, temos:
PV = FV (1- i × n) 
PV = 12.000 (1 – 0,02 × 5,33333)
Capítulo 2
51Matemática Financeira
PV = 12.000 (1- 0,10667)
PV = 12.000 × 0,89333
PV = 10.719,96
Então, o valor de resgate é R$ 10.719,96.
Resolvendo por meio da calculadora financeira:
F fin f2
12.000 CHS PV
2 enter 12 × i
f INT CHS
RCL PV CHS +
Com este procedimento, a calculadora financeira fornece o valor 
atual (PV) em desconto bancário simples, neste caso, R$ 10.720,00, com o 
valor arredondado. 
Cálculo do valor nominal do título
Para você entender como é o cálculo do valor nominal, vamos utilizar 
um exemplo.
Exemplo 5 – Determine o valor nominal de uma letra de câmbio que, 
descontada pelo desconto bancário simples, 3 meses e 10 dias antes do 
seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., produziu um desconto bancário 
simples de R$ 400,00.
Veja como encontrar a resposta para o cálculo.
Identificando os dados do problema:
FV = ?
n = 3 meses e 10 dias = 100 dias = 3,333333 meses 
(convertemos o tempo em meses para concordar com a taxa)
i = 10% ao mês.
Db = R$ 400,00
Para o cálculo, aplicamos a fórmula (1)
Db= FV × i × n
400 = FV . 0,10 × 3,33333
Capítulo 2
52 Matemática Financeira
400 = FV × 0,333333
400/ 0,33333 = FV
FV = 1200
Então, o valor nominal da letra de câmbio é de R$ 1.200,00.2.2.4 Desconto simples racional
É o desconto simples calculado sobre o valor atual (PV), da mesma 
maneira como são calculados os juros simples. O desconto racional simples 
será representado por Dr. 
Então, se o desconto racional é calculado sobre o valor atual (PV) e os 
juros também são calculados sobre o valor atual (PV), a maneira de calcular 
é bem semelhante. A única mudança é da denominação de juros (J) para 
desconto racional (Dr) (KHUNEN; BAUER, 2001).
Como, na prática, o valor atual do título é sempre uma incógnita, sendo 
conhecido o nominal, o prazo e a taxa de desconto, utilizaremos as variáveis 
conhecidas para deduzir a fórmula do desconto simples.
Assim, temos para o cálculo dos juros a seguinte fórmula:
J = PV × i × n
e em desconto racional simples, temos:
Dr = PV × i × n
Existe uma semelhança entre as fórmulas, porém há de se considerar a 
situação em que estão sendo aplicadas.
CONCEITOCONCEITO
Os títulos de crédito têm sempre um valor 
nominal, ou valor de face, que é o valor de 
resgate do título na data do vencimento que 
também é especi ficado no documento. Na 
prática, o valor nominal ou de face é sempre um 
valor futuro conhecido e saber o valor presente 
ou o valor do desconto. Desconto é a quantia a 
ser subtraída do valor nominal. 
Capítulo 2
53Matemática Financeira
Cálculo do desconto simples racional
Para o cálculo do desconto racional simples, podemos utilizar uma das 
fórmulas a seguir apresentadas:
Dr = PV x i x n 
 
(5)
Segundo Kuhnen e Bauer (2001), para calcular o valor do desconto (Dr), 
precisamos conhecer primeiro o valor de resgate ou valor líquido (valor atual), 
que podemos calcular de forma semelhante à forma dos juros simples. Se você 
observar cuidadosamente as fórmulas apresentadas, verá que o desconto 
racional corresponde ao juro simples (J) da operação proposta. Em síntese, o 
desconto racional se vale de todas as fórmulas estudadas para juros simples, 
por se apoiar neste tipo de capitalização.
Cálculo dos componentes do desconto racional simples
Podemos calcular o valor atual (PV), partindo do montante (FV), como 
visto no capítulo 1 em juros simples. 
PV
FV
i n
=
+ ×1
 
(6)
Vamos ver como é isso na prática? 
Exemplo 6 – Um título que vence daqui a 60 dias foi descontado em 
um banco e o valor do desconto foi R$ 370,37. O banco opera em desconto 
racional simples e cobra juros de 4% a.m. (ao mês). Qual o valor nominal e o 
valor líquido (valor atual) desse título?
Solução
Inicialmente, vamos identificar os elementos do problema.
n = 60 dias (2 meses para concordar com a taxa)
Dr = R$ 370,37
i = 4% a.m./100 = 0,04 
Capítulo 2
54 Matemática Financeira
(lembre-se que a taxa deve sempre estar na forma unitária)
 Utilizando a fórmula 5, podemos calcular o valor líquido (valor atual). 
Vejamos:
370,37 = PV × 0,04 × 2
370,37 = 0,08 PV
370,37 : 0,08 = PV
PV = 4.630
Para o cálculo do valor nominal do título (FV), deduzimos que:
Se Dr = FV – PV, então: 
FV = PV + Dr
FV = 4.630 + 370,37 = 5.000
Concluímos que o Valor Nominal é R$ 5.000,00 e o Valor Atual é R$ 4.630,00.
2.2.5 Valor atual e valor nominal
Para você entender melhor como é calculado o valor nominal de um 
título pelo desconto racional simples, vamos utilizar o exemplo a seguir.
Exemplo 7 – Um título foi resgatado 145 dias antes do seu vencimento sendo 
negociado uma taxa de juros de 23% a.a., tendo sido recebido um valor líquido 
de R$ 1.921,95. Qual o valor nominal do título, pelo desconto racional simples?
Solução:
Identificamos inicialmente os dados informados no problema.
 n = 145 dias (vamos dividir por 360 e converter em ano para concordar 
com a taxa) = 145/360 = 0, 40278 ano
i = 23% a.a.
PV = R$ 1.921,95
FV ?
Para o cálculo, vamos usar a fórmula 6, que com um pequeno ajuste 
poderemos obter o resultado facilmente. Vamos lá, então?
PV
FV
i n
PV i n FV
=
+ ×
+ ×( ) =
1
1
Capítulo 2
55Matemática Financeira
Aplicando a fórmula:
FV = PV (1+ i × n)
FV = 1921,95 (1 + 0,23 × 0,40278)
FV = 1921,95 (1+ 0,09264) 
FV= 1921,95 × 1,09264 
FV = 2.099, 99 ou 2.100,00 
Então, o Valor Nominal que estamos procurando é R$ 2.100,00.
Para que você não tenha dúvidas ao calcular o valor nominal de um título, 
vamos desenvolver mais um exemplo. Tenho certeza de que você vai melhorar seu 
entendimento sobre este item. Vamos ver?
Exemplo 8 – Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 
meses, o desconto racional é de R$ 1300,00. Qual será o valor nominal do 
título se a taxa de juros empregada nos descontos for de 24% a.a.?
Vamos ver a solução desta questão?
Identificamos os dados, como fazemos em todas as resoluções.
n = 5 meses
i = 24% a.a. 
(temos que converter ao mês dividindo por 100 e depois por 12)= 0,02
Dr = 1.300,00
F = ?
Como você percebeu, não temos o valor líquido do título, assim não 
podemos aplicar a fórmula 5 e nem a fórmula 6. No entanto, sabemos que o 
desconto é a diferença entre o valor nominal do título e o valor líquido recebido.
Então, acompanhe o raciocínio:
FV = PV (1 + i × n)
 E Dr = FV – PV
Assim podemos deduzir que 
Dr = PV(1 + i × n) – PV 
Dr = PV[(1+i × n) –1]
 
 (7)
Capítulo 2
56 Matemática Financeira
Substituindo os dados temos:
1300 = PV × [(1 + 0,02 × 5) - 1]
1300 = PV × [(1+0,10) -1]
1300 = PV × [1,10 -1]
1300 = PV × 0,10
1300 : 0,10 = PV
PV = 13.000
Como também sabemos que:
 
FV = PV + Dr
Concluímos, então, que:
FV = 1300+ 13.000
FV = 14.300
O valor nominal do título procurado é de R$ 14.300,00.
Cálculo do valor líquido ou do valor de resgate 
A taxa de desconto, segundo Mathias e Gomes (1996, p. 66), é a taxa de 
juros que aplicada sobre o valor descontado, gera no período considerado um 
montante igual ao valor nominal. Sendo:
i = taxa efetiva
F = valor nominal do título
Dr = valor do desconto racional
n = número de períodos antes do vencimento 
Para você compreender a forma de se calcular a taxa e o período de tempo 
pelo desconto racional simples, nada melhor do que um exemplo, não é mesmo? 
Então, vamos considerar a situação a seguir para você aprender o cálculo da taxa.
2.2.6 Cálculo do período de desconto
Exemplo 9 – O desconto racional para um título de valor líquido 
igual a R$ 600,00 e prazo de antecipação de 5 meses foi R$ 57,63. Qual é 
a taxa de juros aplicada?
Capítulo 2
57Matemática Financeira
Solução
Identificando os dados do problema:
PV = R$ 600,00
n = 5 meses
Dr = 57,63
i = ?
LEMBRETELEMBRETE
Não esqueça!
O resultado da taxa resultará SEMPRE na mesma 
unidade de tempo em que estiver expresso o tempo.
Para o cálculo, a melhor opção é aplicar a fórmula 5.
Dr = PV × i × n
57,63 = 600 × i × 5
57,63 = 3.000 × i
57,63 : 600 = i 0,01921 = i
Se multiplicarmos o resultado por 100, temos a taxa em forma percentual.
i = 0,01921 . 100 = 1,921 % a.m. ou, de forma aproximada,
i = 1,92 % ao mês
Então, o resultado da taxa é de 1,92% ao mês.
Vamos mostrar mais um exemplo para você ter certeza de que entendeu 
o processo de cálculo da taxa. Vamos exercitar?
Exemplo 10: Um título de valor nominal igual a R$ 25.000,00 a vencer 
foi resgatado com antecipação de 150 dias, pelo valor líquido de R$ 21.000,00. 
Qual a taxa anual cobrada nesta operação?
Capítulo 2
58 Matemática Financeira
Identificando os dados da questão:
FV = 25.000,00
 n = 150 dias (como a questão solicita a taxa ao ano, vamos converter o 
prazo de antecipação em uma fração do ano) = 150 : 360 = 0,41667 ano
PV = 21.000,00
i = ?
Como temos o valor do FV e do PV, podemos calcular facilmente o valor 
do desconto. Veja como fica:
Dr = FV – PV 
Dr = 25.000 – 21.000
Dr = 4.000
Para o cálculo da taxa, basta aplicar a fórmula 5. Vamos resolver, então? 
Veja como é o procedimento:
Dr = PV × i × n
4.000 = 21.000 × i × 0,41667
4.000 = 8.750,07 × i
4.000 : 8.750,07 = I
i = 0,45714 × 100 (forma percentual) = 45,71 % a.a.
A taxaanual procurada é 54,71% ao ano.
Cálculo da taxa e do período de desconto
Até esta etapa, você teve oportunidade de aprender a calcular os vários 
componentes do desconto bancário simples e do desconto racional simples. 
E para finalizar esta sequência de cálculos, vamos mostrar como é o cálculo 
do período de tempo de antecipação de um título, pelo desconto racional 
simples. Podemos começar?
Exemplo 11 – Um título de valor nominal $ 1.300,00 foi resgatado antes 
de seu vencimento; o desconto racional foi de $ 238,78. Qual o prazo para o 
vencimento desse título se a taxa de juros aplicada foi 27% a.a.?
Capítulo 2
59Matemática Financeira
Solução
Sempre identificamos os dados do problema apresentado.
FV = R$1.300,00
Dr = R$ 238,78
n = ?
i = 27% a.a. (dividir por 100)= 0,27
LEMBRETELEMBRETE
Não esqueça!
O resultado do período de tempo resultará 
SEMPRE na mesma unidade em que estiver 
expressa a taxa.
Para o cálculo, vamos utilizar a fórmula 5, pois é mais fácil de aplicar.
Antes, precisamos conhecer o valor do PV. Como sabemos que PV = FV 
– Dr, então:
PV = 1.300 – 238,78 = 1.061,22
E agora, podemos aplicar a fórmula facilmente.
Dr = PV × i × n
238,78 = 1.061,22 × 0,27 × n
238,78 = 286,52940 × n
238,78 : 286,52940 = n
0,83335 = n 
Não chegou a completar um ano. Para sabermos o resultado em meses, 
basta fazermos uma regra de três, como segue.
 Ano Meses
 1 12 meses
0,83335 X
Então, o prazo de antecipação do resgate do título foi de 10 meses.
1
0 83335
12
10 00023
,
,
=
=
X
X meses
Capítulo 2
60 Matemática Financeira
Para reforçar a explicação do cálculo do prazo de antecipação, vamos 
desenvolver mais um exemplo.
Exemplo 12 – Uma empresa descontou uma duplicata cujo valor é $ 
15.000,00 e recebeu um valor líquido de R$ 11.000,00. Sabendo que a taxa 
cobrada é de 4,8% ao mês, calcule o prazo de antecipação.
Para a solução desta questão, inicialmente precisamos identificar os dados. 
FV = 15.000,00
PV = 11.000,00
 i = 4,8% a.m. (dividindo por 100) = 0,048
n =?
Agora depois de identificados os dados, siga, então, o desenvolvimento 
a seguir. 
Como sabemos o valor do FV e do PV, podemos calcular o valor do 
Dr e calcular o prazo de antecipação aplicando a fórmula 5. Então, veja 
o resultado:
Dr = FV – PV
Dr = 15.000 – 11.000
Dr = 4.000
Agora podemos aplicar a fórmula r do desconto. Veja o desenvolvimento:
Dr = PV × i × n
4.000 = 11.000 × 0,048 × n
4.000 = 528 × n
4.000 : 528 = n
7,57576 = n
n = 7,6 meses (corresponde a 7 meses e 18 dias)
Capítulo 2
61Matemática Financeira
PRATICANDOPRATICANDO
Uma nota promissória no valor nominal de R$ 
16.800,00 foi descontada em um banco que 
cobra 1% de taxa de serviço. O valor descontado 
bancário recebido foi de R$ 215.000,00 e a taxa 
de juros considerada foi de 33% a.a. Com base 
nestas informações, pergunta-se: qual foi o 
prazo de antecipação do resgate? (MATHIAS; 
GOMES, 1996, p. 82)
2.3 Aplicando a teoria na prática
Temos o seguinte caso. André Luiz possui uma nota promissória a ser 
descontada. Como ele está precisando de recursos financeiros, ele decidiu 
descontá-la antes do prazo. No caso, o valor líquido (atual) da referida nota 
descontada 3 meses antes do seu vencimento é de R$ 11.400,00. Qual será a 
taxa de juros efetiva, se a taxa de desconto bancário for de 27% a.a. e a taxa 
administrativa for de 1,25? (adaptado de MATHIAS; GOMES, 1996, p. 85)
Inicialmente, vamos identificar os elementos do problema:
PV = R$ 11.040,00
n = 3 meses (vamos converter em uma fração do ano) = 3 : 12 = 0,25 ano
i = 27% a.a.
h = 1,25 (taxa de administração)
Como você verificou, temos mais um componente, que é a taxa de administração, 
e vamos ter que incluí-la no cálculo. Veja, então, como deveremos fazer.
 
PV FV 1 (h in)
11.040 FV 1 (0,0125 0,27 0,25)
11.040 FV 1
= − +[ ]
= − + ×[ ]
= −− +[ ]
= −[ ]
= ×
=
(0,0125 0,06750)
11.040 FV 1 0,08
11.040 FV 0,92
FV 11.0440
0,92
FV 12.000=
Capítulo 2
62 Matemática Financeira
O valor nominal do título é de R$ 12.000,00, porém precisamos saber 
qual foi a taxa efetiva cobrada nesta operação. A taxa efetiva if é obtida por 
meio da aplicação da fórmula 6 ajustada.
FV = PV (1+in)
12 000 11 040 1 0 25
12 000
11 040
1 0 25
1 08696 1 0 25
. . ,
.
.
,
, ,
= + ×( )
= +
− =
i
i
i
00 08696 0 25, ,= i 
0 08696
0 25
0 34783
,
,
,
=
=
i
i 
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual, ou seja, 0,34783 
× 100 = 34,78% ao ano.
2.4 Para saber mais
Site: Somatematica
URL: www.somatematica.com.br
Você poderá solucionar suas dúvidas de matemática básica neste 
site. Este endereço é excelente para orientar o aprendizado de 
matemática em nível médio e superior.
Site: Books google
URL: http://books.google.com.br
Alguns livros sobre finanças estão disponíveis na web que você 
poderá reproduzi-los ou salvar em sua pasta de arquivos. Estes 
livros estão disponíveis de forma gratuita e este é um dos sites 
para você encontrá-los. Recomendo também arquivos sobre a 
operacionalização da calculadora financeira que existem em 
forma de arquivo executável na web, que você pode salvar em seu 
computador e se divertir aplicando-os.
2.5 Relembrando
No capítulo 2 você aprendeu que:
 • conceito de desconto: está relacionado ao desconto de duplicatas, 
promissórias, títulos, letras de câmbio, com um certo prazo de antecipação. 
Capítulo 2
63Matemática Financeira
Ele é obtido exatamente da mesma forma que o juro simples, com a 
diferença que o desconto corresponde a uma descapitalização. O 
desconto simples incorpora os conceitos de juros simples. Ele é obtido 
multiplicando-se o valor atual do título pela taxa de desconto, e este 
produto pelo prazo a decorrer até o vencimento do título;
 • o entendimento de desconto bancário ou comercial: o desconto 
bancário é calculado sobre o valor do título, da promissória, da 
duplicata ou da letra de câmbio. Este é conhecido como desconto “por 
fora”. O desconto bancário simples é o tipo de desconto aplicado no 
comércio, e a taxa de desconto é única para cada prazo determinado;
 • os procedimentos para o cálculo dos componentes do desconto 
bancário. Neste aspecto, aprendemos as fórmulas que permitem 
solucionar as diversas situações que se apresentam sobre desconto. 
Para o desconto racional, aplicamos as seguintes fórmulas:
Dr = PV × i × n
FV = PV × (1 + i × n)
Dr = PV × [(1 + in) –1]
Para o cálculo do desconto bancário, aplicamos as fórmulas:
D
b = FV × i × n
PV = FV (1 – i × n)
FV
PV
=
× (1- i n)
 • o desconto racional é calculado a partir do valor líquido, e também 
é conhecido por desconto “por dentro”. Você também aprendeu a 
calcular o prazo de antecipação de uma operação de desconto (n), 
bem como a taxa estipulada na negociação (i), por meio das fórmulas 
indicadas para cada tipo de desconto. Para o cálculo do prazo de 
antecipação, devemos estar atentos para o período que estiver 
indicada a taxa, pois o resultado é no mesmo período de tempo. Para 
o cálculo da taxa, ocorre o mesmo, resultará no mesmo período de 
tempo que estiver expresso o prazo de antecipação.
Capítulo 2
64 Matemática Financeira
Então, ao final deste capítulo, espero que você tenha entendido 
sobre as várias particularidades do tema desconto, e que não tenha ficado 
nenhuma dúvida. No próximo tópico, você terá oportunidade de exercitar 
sobre o que foi abordado.
2.6 Testando os seus conhecimentos
1) Um título de R$90.000,00 é descontado 8 meses antes do vencimento 
pelo desconto bancário simples, pelo valor de R$64.000,00. Considerando a 
capitalização bimestral, qual é a taxa?
2) Um título de R$ 398.000,00 é descontado antes do seu vencimento por 
desconto bancário simples pelo valor de R$ 303.000,00 a uma taxa de 
3,0765% ao trimestre. Qual o tempo de antecipação do título? 
3) Calcule o valor do desconto racional simples de um título de valor nominal de 
R$ 12.000,00, descontado 4 meses antesdo seu vencimento, à taxa de 2,5% a.m. 
4) Uma empresa emitiu um título para ser pago em data futura, pelo desconto 
bancário, a uma taxa de 36% ao ano. Sabendo que este título foi resgatado 5 meses 
e 20 dias antes de seu vencimento pelo valor de R$ 7.578, 67, calcule o seu valor.
5) Um título a ser pago foi descontado 5 meses antes do seu vencimento. 
Sabendo-se que o valor nominal do título é de R$ 12.000,00 e a taxa de 
desconto racional utilizada é de 3,5% a.m. Calcule o valor líquido liberado 
na operação.
Onde encontrar
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
Capítulo 3
65Matemática Financeira
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
CAPÍTULO 33
3.1 Contextualizando
No regime de capitalização simples, apenas o capital inicial rende juros 
diretamente proporcional ao tempo e à taxa. 
Neste capítulo, você vai conhecer e interpretar as operações, e os 
componentes que integram a capitalização composta. Também aprenderá a 
calcular os componentes destas operações. Vamos trabalhar ainda vários conceitos 
relacionados com a capitalização composta, como o cálculo do montante, taxas 
proporcionais e nominais, taxas equivalentes e efetivas, cálculo do valor presente 
(capital), cálculo dos juros, da taxa e do período de capitalização.
Este tipo de capitalização é o regime mais utilizado pelas instituições 
financeiras e tem grande importância porque retrata melhor a realidade. Os 
juros gerados pela aplicação são incorporados ao capital, passando a gerar 
novos juros no período seguinte. Vamos aos estudos!
Ao fim deste capítulo, você vai estar apto a interpretar e executar as 
principais operações de capitalização composta.
3.2 Conhecendo a teoria
Desde o ínicio da disciplina você já teve a oportunidade de conhecer os 
mecanismos básicos da matemática financeira como, por exemplo, o conceito 
de juros. O entendimento do tema é fundamental para que você prossiga os 
seus estudos. 
Capítulo 3
66 Matemática Financeira
3.2.1 Características dos juros compostos
A capitalização composta, segundo Vieira Sobrinho (2000), é aquela em 
que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados 
até o período anterior. Neste regime de capitalização, segundo o autor, os 
juros crescem em função do tempo.
Na capitalização composta, os juros produzidos em um período são 
incorporados ao principal e passam a render juros também nos períodos 
subsequentes. A capitalização composta também é chamada de regime de 
juros sobre juros, considerando-se que a base de cálculo para os juros em 
um período é o valor capitalizado até o período imediatamente anterior, 
caracterizando-se por uma função exponencial (MATHIAS; GOMES, 2004).
O intervalo, após o qual os juros serão acrescidos ao capital, é denominado 
de período de capitalização. Assim, se a capitalização for mensal, é após o 
período de um mês que os juros incorporam-se ao capital, passando a render 
juros para o mês seguinte. Se for trimestral, a cada três meses, os juros se 
incorporam ao capital e, assim, sucessivamente, de acordo com a capitalização 
dos juros especificada. 
Neste regime, a taxa varia exponencialmente em função do tempo, ou 
seja, para transformar uma taxa, de uma unidade para outra, é necessário usar 
equivalência.
3.2.2 Comparação entre juros simples e juros compostos
Na capitalização simples, como você estudou no capítulo anterior, os 
juros incidem sempre sobre o capital inicial. 
Na capitalização composta, os juros são capitalizados não no final do 
prazo e, sim, no final de cada período. Isto é, o juro do primeiro período é 
adicionado ao capital inicial e, sobre o montante, é calculado o juro do segundo 
período, até o último período que está sendo considerado na questão.
Capítulo 3
67Matemática Financeira
Observe os quadros 1 e 2 a seguir e verifique a diferença!
PERÍODO
SALDO NO INÍCIO DO 
PERÍODO (R$)
JUROS EM CASA 
PERÍODO (R$)
JUROS AO FINAL DO 
PERÍODO (R$)
0 - - 1.000,00
1 1.000,00 100,00 1,100,00
2 1,100,00 100,00 1.300,00
3 1.200,00 100,00 1.300,00
4 1.300,00 100,00 1.400,00
Quadro 1 - Capitalização simples
PERÍODO
SALDO NO INÍCIO DO 
PERÍODO (R$)
JUROS EM CASA 
PERÍODO (R$)
JUROS AO FINAL DO 
PERÍODO (R$)
0 - - 1.000,00
1 1.000,00 100,00 1,100,00
2 1,100,00 110,00 1.210,00
3 1.210,00 121,00 1.331,00
4 1.331,00 133,10 1.464,10
Quadro 2 - Capitalização composta
Observe que o montante do primeiro período foi utilizado para o cálculo 
dos juros do segundo período e, assim, até o final do prazo que está sendo 
considerado.
Então, de forma resumida, a diferença entre a capitalização simples 
e a capitalização composta está na forma como são calculados os juros. Na 
capitalização simples, utiliza-se sempre o capital inicial e na capitalização 
composta, o capital será sempre o montante do período anterior.
Capítulo 3
68 Matemática Financeira
Em Nova York, o preso Michael Mathie tinha 
em 1999 uma renda bruta estimada em 
quase 900 mil dólares, além de investimentos 
em um imóvel e vários carros. Como ele fez 
fortuna? Por telefone. Ele afirmava que tinha 
conseguido negociar 8 milhões de dólares em 
ações na bolsa de valores. Ele realizava os 
negócios telefonando a cobrar para seu pai de 
um telefone público - mais de 10 vezes por dia - 
quando o mercado estava mais agitado. Então, 
seu pai realizava os negócios pela Internet. 
F o n t e : < w w w. g u i a d o s c u r i o s o s . c o m . b r /
categorias/3467/1/deu-a-louca-no-mundo.html>
CURIOSIDADE
3.2.3 Cálculo do montante
Como você já observou no item anterior, o montante, que daqui para frente 
denominaremos (FV - Future Value), é resultante de uma aplicação do capital (PV- 
Present Value), que também denominaremos desta forma, a uma taxa de juros 
compostos i (por período de capitalização) durante n períodos de capitalização é 
resultante do desenvolvimento que apresentaremos na sequência.
Vamos supor a aplicação de um capital (PV), durante n períodos, a uma 
taxa de juros compostos i ao período. Vamos calcular o montante (FV), no final 
de n períodos utilizando o processo a seguir (MATHIAS; GOMES, 2004):
FV1 = PV(1 + i)
FV2 = FV1 (1 + i) = PV(1+i)(1+i) = PV(1+i)
2
FV3 = FV2 (1 + i) = PV(1+i)
2(1 + i) = PV(1+i)3
Veja que, para o montante no primeiro período, fica:
FV1= PV(1 + i) 
Para o montante do segundo período, encontramos:
FV2= PV(1 + i)
2 
Capítulo 3
69Matemática Financeira
Para o montante do terceiro período, temos:
FV3= PV(1 + i)
3 
É fácil, então, concluir que a fórmula geral para o cálculo do montante 
em qualquer período é:
FVn= PV(1 + i)
n (1)
Nesta fórmula, a taxa de juros i se refere à mesma medida de tempo 
utilizada para n períodos e, além disso, deve ser expressa na forma unitária 
porque estamos operando algebricamente. E, como você pode observar, a 
fórmula expressa o montante (FV) ao final de n períodos, é como uma função 
exponencial do capital inicial aplicado (MATHIAS; GOMES, 2004).
Nesta fórmula, destacam Hazzan e Pompeo (2007), o fator (1 + i)n é 
chamado de fator de acumulação de capital para pagamento único. Pode ser 
obtido diretamente em uma calculadora ou ainda por meio de uma tabela 
financeira, encontrada em vários livros.
Como já vimos, este fator guarda uma semelhança com o fator de 
acumulação de capital dos juros simples, dado pela expressão (1 + ixn). Tanto 
no regime de juros simples quanto no regime de juros compostos, o montante 
é dado pelo produto do capital pelo respectivo fator de acumulação.
Lembre-se que n deve estar sempre expresso na mesma unidade de 
tempo estipulada na taxa. Se o período das capitalizações não coincidir com o 
da taxa, devemos calcular a taxapara o período dado pela capitalização.
O procedimento para converter a taxa, para que ela fique de acordo com 
a unidade de tempo de n, será estudado nos próximos capítulos.
A partir deste capítulo, também vamos utilizar a calculadora financeira 
para realizar os cálculos. As calculadoras financeiras permitem computar, 
diretamente, qualquer valor das quatro variáveis da fórmula, dados os valores 
das outras três. A terminologia utilizada é a seguinte:
Capítulo 3
70 Matemática Financeira
PV = (do inglês Present Value) representa o capital
FV= (do inglês Future Value) representa o montante
i = representa a taxa
n = representa o número de períodos
É importante destacar que, na maioria das 
calculadoras, os valores de PV e FV aparecem, 
um com sinal positivo e, o outro, com sinal 
negativo. Isto se deve ao fato de que nas teclas 
financeiras, uma entrada de caixa é representada 
por um valor positivo, ao passo que uma saída 
é representada por um número negativo. 
Assim, em uma operação a juros compostos 
com pagamento único, para o tomador do 
empréstimo, PV é positivo e FV é negativo. Para 
o emprestador, PV é negativo e FV é positivo.
SAIBA QUE
Daqui para frente, você vai acompanhar alguns exemplos para entender 
melhor a metodologia de cálculo. Inicialmente, vamos aprender como se 
calcula o montante.
Exemplo 1 – Seja uma aplicação de R$ 10.000,00 a uma taxa de juros 
compostos de 8% a. m., pelo prazo de 2 anos, calcule o montante.
Como já procedemos em outros exemplos, sempre vamos identificar os 
dados da questão. 
PV = R$ 10.000,00
i = 8% a. m. (dividimos por 100 para ficar unitária) = 0,08 a.m.
n = 2 anos (24 meses para concordar com a taxa)
Vamos encontrar a solução para este problema?
Capítulo 3
71Matemática Financeira
O primeiro passo é usar a fórmula 1.
FVn= PV(1 + i)
n 
FV = 10.000 (1+ 0,08)24
FV = 10.000 (1,08)24
FV = 10.000 × 6,34118
FV = 63.411,80
Então, o montante é R$ 63.411,81.
Para você resolver o exemplo 1 na calculadora financeira, digite:
f REG f 2
10.000 CHS PV
8 i
24 n
FV, vai aparecer no visor o valor de 63.411,81.
No próximo item, você vai aprender como devemos proceder se o prazo 
é fracionário. Vamos ver, então?
Período fracionário
Mesmo quando efetuamos cálculos, por meio de juros compostos, podemos 
ter um número de períodos de capitalização não inteiro. É possível ter, por 
exemplo, um valor aplicado durante 3 meses e 18 dias e a capitalização ser mensal. 
Neste caso, temos um período fracionário, afirmam Kuhnen e Bauer (2001).
Então, para darmos início ao cálculo, vamos separar a parte inteira e a 
parte fracionária. Para a parte inteira, fazemos o cálculo normal, pois está 
tudo de acordo (taxa e prazo) para começar o processo.
A parte fracionária vai necessitar de um tratamento diferente. 
Normalmente são admitidas duas alternativas. A primeira:
 • se o período for fracionário, calcula-se o montante composto até 
o último período inteiro. Em seguida, somam-se os juros da parte 
fracionária, que são calculados sobre o montante dos períodos 
inteiros, mas como juros simples.
Capítulo 3
72 Matemática Financeira
Para você entender melhor, vamos desenvolver um exemplo apresentado 
pelos autores Kuhnen e Bauer (2001, p. 83).
Exemplo 2 – Calcule o montante de R$ 18.000,00, durante 2 anos, 4 
meses e 8 dias, a juros de 5% ao trimestre, capitalizáveis trimestralmente, 
acrescentando juros simples na parte fracionária.
Comece identificando os dados da questão: 
PV = 18.000,00
FV = ?
i = 5% a.t. (dividindo por 100) = 0,05 a.t.
n = 2 anos, 4 meses e 98 dias = 9 trimestres e 38 dias
Vamos solucionar o problema?
Inicialmente, é preciso calcular os juros compostos somente dos períodos 
inteiros, utilizando a fórmula 1.
FV = PV × (1+ i)n
FV = 18.000 × (1+ 0,05)9
FV = 18.000 × (1,05) 9
FV = 18.000 × 1,551328
FV = 27.923,91
Calculados os juros sobre a parte inteira, agora, vamos calcular os juros 
simples sobre o prazo fracionário, utilizando o montante calculado para 
o prazo inteiro. Para isto, vamos utilizar a fórmula do montante dos juros 
simples que você já conhece.
FV = PV x (1 + i × n)
FV = 27.923,91 × (1 + 0,05 . 38)
 90
FV = 27.923,91 × (1+ 0,021111)
FV = 27.923,91 × 1,021111
FV = 28.513,41
Esta metodologia de cálculo é também conhecida por convenção 
linear, que consiste em calcular o montante a juros compostos durante a 
parte inteira do período. Sobre o montante obtido, você deve aplicar juros 
Capítulo 3
73Matemática Financeira
simples durante a parte não inteira do período considerado. Esta última 
convenção raramente é utilizada na prática (HAZZAN; POMPEO, 2007).
Pela calculadora financeira calculadora financeira:
f REF f 2
18.000 CHS PV
5 i
848 enter 90 : (divisão) n
FV
Com este comando FV, a calculadora fornecerá o resultado, neste caso, 
R$ 28.513,41.
Fique ligado! Devemos observar que, no visor da calculadora financeira 
calculadora financeira, não deve estar visível a letra C, a qual, quando visível, 
estabelece que o cálculo será realizado utilizando a taxa efetiva e juros 
compostos também na parte fracionária. Para fazer parecer ou desaparecer a 
letra C no visor, devemos pressionar a sequência de teclas STO e EEX. Então, a 
resposta é R$ 28.513,41.
Exemplo 3 – Calcule o montante de R$ 18.000,00, durante 2 anos, 4 meses 
e 8 dias, a juros de 5% ao trimestre, capitalizáveis trimestralmente, totalmente 
a juros compostos (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 84).
Vamos identificar os dados da questão?
PV = 18.000,00
FV ?
i = 5% a.t. (dividindo por 100) = 0,05 a.t
 n = 2 anos, 4 meses e 8 dias = 9 trimestres e 38 dias = 848 dias : 90 = 
9,422222 trimestres.
Agora aplique a fórmula 1, pois o tempo está concordando com o 
período da taxa.
FV = PV × (1 + i)n 
FV = 18.000 × (1+ 0,05)9,422222
FV = 18.000 × (1,05) 9,422222
FV = 18.000 × 1,583617
FV = 28.505,11
Capítulo 3
74 Matemática Financeira
Não esqueça!
O tempo deve estar sempre em concordância com a taxa!
O montante é de R$ 28.505,11, um pouco diferente do valor 
encontrado anteriormente. Isto se deve à diferença que há entre os juros 
simples e os juros compostos. 
 • Na segunda alternativa, a forma de calcular é conhecida por convenção 
exponencial e adota o mesmo regime de capitalização para todo o 
período, tanto para a parte inteira como para a parte fracionária, 
como você pode constatar. A solução matemática dessa expressão 
pode ser obtida facilmente com o auxílio de uma calculadora que 
possua a função potência yx.
Pela calculadora financeira:
f REF f 2
18.000 CHS PV
5 i
848 enter 90:n
FV
Com este comando, a calculadora fornecerá o resultado. Neste caso, 
R$ 28.505,11.
Observação: 
Existe uma diferença entre os montantes
Pela convenção linear = R$ 28.513,41
Pela convenção exponencial = R$ 28.505,11
Diferença = R$ 8,30
Isto se deve à formação de juros simples no prazo fracionário da 
convenção linear.
Capítulo 3
75Matemática Financeira
LEMBRETELEMBRETE
Você deve ficar atento, pois a calculadora 
financeira efetua os dois cálculos: aparecendo 
na parte inferior do visor o indicador de 
estado C, significa que todo o prazo, mesmo 
fracionário, foi calculado a juros compostos. 
Não estando presente este indicador, a parte 
fracionária estará sendo realizada a juros 
simples. Para fazer aparecer ou desaparecer no 
visor o indicador de estado C, basta pressionar 
a sequência de teclas STO e EEX.
Exemplo 4 – Calcule o montante de um capital de R$ 1.500,00, aplicados 
a juros compostos de 60% a.a. durante 3 anos, 8 meses e 20 dias, totalmente 
a juros compostos.
Inicialmente, vamos identificar os dados do problema:
FV = ?
PV= 1.500,00
i = 60% a.a. (vamos dividir por 100)= 0,60
n = 3 anos, 8 meses e 20 dias. 
Observe que o prazo não está pronto, pois existe mais de uma unidade 
de tempo. Então, a primeira etapa é converter o prazo em uma unidade única 
de tempo. E neste caso, o melhor é converter tudopara ano, pois a taxa está 
expressa ao ano. 
Você sabe que 8 meses constitui uma parte do ano e 20 dias também. 
Assim, podemos então ajustar estes prazos fazendo da seguinte forma:
8 : 12 = 0,666666 ano = 0,67ano (arredondado)
20:360 = 0,05555 ano = 0,056 ano (arredondado)
Logo, fazendo o prazo total, teremos:
n = 3 + 0,67 + 0,056 = 3,726 anos
Capítulo 3
76 Matemática Financeira
Agora sim, podemos aplicar a fórmula 1 e calcular o montante, pois 
temos somente uma unidade de tempo, e ainda, que concorda com o 
tempo em que está expressa a taxa. Vamos começar?
FV = PV (1 + i)n 
FV = 1.500 × (1 + 0,60)3,726
FV = 1.500 × ( 1,60)3,726
FV = 1500 × 5,76171
FV = 8.642,57
O montante desta aplicação é R$ 8.642,57, totalmente calculado a juros 
compostos.
Você pode calcular o montante usando a calculadora financeira. 
Digite os dados:
f REG 
1500 CHS PV
60 i
3,726 n
FV = 8.642,57.
Não esqueça de acionar as teclas para fazer com que apareça o C na 
parte inferior do visor. Para que ele fique visível, você deve digitar STO 
e EEX. Assim sua calculadora vai lhe dar o tempo fracionado, também 
em juros compostos. Se você não executar esta ação, sua calculadora vai 
realizar a operação do tempo fracionário como fosse juro simples.
Espero que você tenha aprendido como se calcula o montante, tanto 
na convenção linear quanto na convenção exponencial. Na prática, como já 
ressaltaram os autores, utilizaremos sobretudo a convenção exponencial.
Na sequência, você aprenderá os passos para calcular o valor 
investido, também conhecido por valor presente (PV) ou valor atual.
Capítulo 3
77Matemática Financeira
3.2.4 Taxas proporcionais e equivalentes
Para o cálculo do capital investido, ou tomado emprestado, ou ainda o 
valor do principal, procedemos de forma semelhante ao cálculo do montante. 
Vamos ver um exemplo.
Exemplo 5 – Qual o capital aplicado a 10% ao semestre, produz o 
montante de R$ 1.331,00, após 3 semestres (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 68)?
Identificando os dados:
PV = ?
i = 10% a. s.(: por 100 para ficar unitária)= 0,10 a.s.
FV = 1.331,00
n = 3 semestres (concorda com o período da taxa)
Como a taxa e o tempo estão em concordância, já podemos calcular o PV 
utilizando a fórmula 1.
Veja a solução!
FVn= PV(1 + i)
n 
1.331 = PV(1 + 0,10)3
1.331 = PV × 1,331
1.331/1,331 = PV
1.000 = PV
Assim, o valor do capital aplicado é R$ 1.000,00.
Para você resolver o exemplo1 na calculadora financeira, digite:
f REG
1.331 CHS FV
10 i
3 n
PV, aparecendo no visor o valor de 1.000,00.
Exemplo 6 – Qual o valor aplicado em uma operação a juros compostos, 
com prazo de 160 dias, resultando em um montante de R$ 170.000,00 à taxa 
de 2,2% a.m.?
Capítulo 3
78 Matemática Financeira
Hora de identificar os dados!
PV = ?
FV = 170.000,00
i = 2,2 % a.m. (dividindo-se por 100) = 0,022
n = 160 dias (convertendo em meses) = 5,33333 = 5,34 (arredondado)
Nesta questão, você pode observar que o tempo não é inteiro e não 
concorda com a taxa. Ao aplicar a fórmula 1, podemos encontrar facilmente o 
resultado. Vamos resolver?
Solução:
FV = PV (1 + i)n 
170.000= PV × (1 + 0,022)5,34
170.000 = PV × (1,022)5,34
170.000 = PV × 1,1232276
PV × 1,1232276 = 170.000
PV =
170 000
1 1232276
.
.
PV = 151.349,56
Então, o valor da aplicação é de R$ 151.349,56.
Taxa proporcional e nominal
Para Kuhnen e Bauer (2001), os juros são rendimentos produzidos por 
um capital em determinado tempo. Em capitalização composta, os juros 
aumentam a cada período de capitalização exatamente o valor dos juros 
produzidos pelos juros do período imediatamente anterior.
Sabemos que o montante é o valor (PV) acrescido dos juros, logo:
PV + J = PV(1 + i)n 
J = PV(1 + i)n - PV
J = PV [(1 + i)n -1] (fórmula 2)
Vamos ver dois exemplos para você aprender como são calculados os juros.
Capítulo 3
79Matemática Financeira
Exemplo 7 – Determine os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, 
aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, durante 1 ano e seis meses 
(adaptado de KUHNEN; BAUER, 2001).
Identifique os dados:
PV = 1.000,00
i = 10% a.s.= 0,10 (taxa unitária)
n = 1 ano e seis meses (3 semestres para concordar com a taxa)
Agora, vamos conhecer a solução!
Utilizando a fórmula 2, vamos calcular o que a questão pede.
J = PV [(1 + i)n –1] 
J = 1.000 [ (1 + 0,1)3 –1]
J = 1.000 [(1,1)3 –1]
J = 1.000[1,331 –1]
J = 1.000[0,331]
J = 331,00
Então, o valor dos juros é R$ 331,00.
Para você resolver o exemplo 5 na calculadora financeira, digite:
f REG f 2
1.000CHS PV
10 i
3 n
FV
RCL PV
+
Exemplo 8 – Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado durante um 
período de 9 meses à taxa de 12% ao trimestre. Quanto recebeu de juros 
nesta operação?
Dados da questão:
PV = 20.000,00
 i = 12% a.t. (dividimos por 100 para tornar unitária)= 0,12
n = 9 meses (vamos ajustar para trimestres para concordar com o período 
Capítulo 3
80 Matemática Financeira
da taxa)= 9 : 3 = 3 trimestres.
J = ?
Conheça a solução!
Vamos aplicar a fórmula 2 e facilmente encontraremos o resultado.
J = PV x [(1 + i)n –1] 
J = 20.000 × [(1 + 0,12)3 – 1]
J = 20.000 × [(1,12)3 –1]
J = 20.000 × [1,40493-1]
J = 20.000 × 0,40493
J = 8.098,60
Então, o juro obtido nesta operação é de R$ 8.098,60.
Para você resolver o exemplo 6 na calculadora financeira, digite:
f REG f 2
20.000CHS PV
12 i
3 n
FV
RCL PV
+ 
Vai aparecer no visor o valor de 8.098,56, pois fizemos arredondamentos 
no valor da potência.
Taxa equivalente e efetiva
Você já aprendeu que a taxa é o percentual da remuneração do 
capital. Então, vamos aprender como se calcula o valor da taxa na 
capitalização composta, por meio de um exemplo.
Exemplo 9 – A loja Preço Alto financia a venda de uma mercadoria 
no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma única 
prestação de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada 
pela loja?
Identifique os dados da questão:
Capítulo 3
81Matemática Financeira
PV = R$ 16.000,00
FV = R$ 22.753,61
n = 8 meses
i = ?
Veja como calcular o resultado!
Vamos utilizar a fórmula 1 para encontrar a solução:
FV = PV(1 + i)n 
22.753,61 = 16.000(1 + i)8
22 753 61
16 000
1
1 42210 1
8
8
. ,
.
,
= +( )
= +( )
i
i
A solução matemática dessa expressão pode ser obtida facilmente com 
o auxílio de uma calculadora que possua a função potência yx. Como se trata 
de uma igualdade, o valor de i pode ser obtido extraindo-se a raiz oitava de 
ambos os membros da igualdade. 
1,42210 (1 i)
1,045 1 i
1 i 1,045
i 1,045 1
i 0,045 
8 88
multip
= +
= +
+ =
= −
= llicando por 100 tornamos o resultado em valor percentual
i == ×
=
0,045 100
i 4,5% a.m
Então, o resultado para a taxa é 4,5% ao mês.
Pela calculadora financeira:
f REG f 2
16.000 CHS PV
22.753,61 FV
8 n
i 
No visor aparecerá o valor de 4,5. Na calculadora financeira, o resultado 
sempre será em valor percentual. Então, é o mesmo que 4,5% a.m.
Capítulo 3
82 Matemática Financeira
Quando você calcula a taxa, o resultado sempre 
estará expresso na mesma unidade de tempo 
em que estiver indicado o prazo da questão. 
Resumindo: a periodicidade da taxa resulta 
sempre na unidade em que estiver expresso o 
tempo. Quando o tempo for fracionado, e você 
estiver utilizando a calculadora financeira, deverá 
digitar STO e depois EEX. No visor aparecerá a letra 
C. Quando aparecer na parte inferior o indicador 
de estado C, significa que todo o prazo, mesmo 
fracionário, foi calculado a juros compostos. 
Se não estiver presente este indicador, a parte 
fracionária estará sendo realizada a juros simples 
(KUHNEN; BAUER, 2001).
SAIBA QUE
Na sequência, você terá oportunidade de conhecer os procedimentos 
para operacionalizar a taxa nominal e a taxa proporcional.
3.2.5 Cálculo da taxa nominal e efetiva
A taxa nominal é expressa, na maioria das vezes, para o período anual, 
sendo transformada em taxa para o período menor de forma proporcional, 
conforme mostrado a seguir:• 24% a.a.com capitalização trimestral;
 • 48% a.a. com capitalização mensal;
 • 10,5% a.s. com capitalização trimestral;
 • 13,5% a.t. com capitalização mensal; 
 • 6% a.m. com capitalização diária.
A transformação de uma taxa nominal, em efetiva na unidade do 
período de capitalização a que a taxa nominal se refere, é realizada 
aplicando-se a proporção. A proporcionalidade não altera o período de 
capitalização dos juros.
Vamos converter as taxas anteriormente apresentadas?
Capítulo 3
83Matemática Financeira
 • 24% a.a com capitalização trimestral 
 0,24/4 (o ano tem 4 trimestres)= 0,06 x 100= 6% a.t.
 • 48% a.a. com capitalização mensal.
 0,48/12 (o ano tem 12 meses) = 0,04 x 100 = 4% a.m.
 • 10,5% a.s. com capitalização trimestral.
 0,105/2 (o semestre tem 2 trimestres) = 0,0525 x 100 = 5,25% a.t.
 • 13,55 a.t. com capitalização mensal.
 0,135/3 (o trimestre tem 3 meses) = 0,045 x100 = 4,5% a.m.
 • 6% a. m. com capitalização diária
 0,06/30 (o mês tem 30 dias) = 0,002 x 100 = 0,02% a.d.
A taxa nominal, geralmente, é fornecida em termos anuais. O 
período de capitalização pode ser diário, mensal, bimestral, trimestral, 
quadrimestral, semestral e anual.
3.2.6 Cálculo do tempo e do valor atual 
A taxa efetiva é aquela que realmente é paga no período em que foi 
fornecida, independente do período de capitalização. Isto quer dizer que se 
um capital foi aplicado durante um tempo, a determinada taxa, não importa 
o período de capitalização, que o resultado final, o montante será o mesmo. E 
quando queremos ajustar uma taxa ao período de capitalização, utilizamos a 
equivalência de taxas (KUHNEN; BAUER, 2001).
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e durante o 
mesmo prazo de aplicação, produzem montantes iguais (HAZZAN; POMPEO, 2007).
Por exemplo, as taxas i1 = 2% a.m. e i2 = 26,82418% a.a. são equivalentes, 
pois aplicadas ao mesmo capital de R$ 1.000,00, pelo prazo de dois anos, 
produzem montantes iguais.
Vamos verificar se, de fato, isto ocorre?
Calculando o montante para a primeira taxa, você tem:
FV = PV(1+ i)n
FV = 1.000(1+0,02)24
FV = 1.000 × 1,608437
FV = 1.608,437
Capítulo 3
84 Matemática Financeira
Calculando o montante para a segunda taxa, temos:
FV = PV(1+ i)n
FV = 1.000(1+0,2682418)2
FV = 1.000 × 1,608437
FV = 1.608,437
O cálculo da taxa equivalente é dado pela fórmula:
PV( 1 + ia) = PV(1 + im)12 meses
Taxa mensal
Taxa anual
Estendendo para os demais períodos: 
( 1 + is) = (1 + im)
6 ( 1 + it) = (1 + ib)
1,5
( 1 + is) = (1 + it)
2 ( 1 + ia) = (1 + it)
4
( 1 + ia) = (1 + iq)
3 ( 1 + ib) = (1 + im)
2
( 1 + is) = (1 + iq)
1,5 ( 1 + ia) = (1 + ib)
6
( 1 + is) = (1 + ib)
3 ( 1 + ia) = (1 + im)
12
Exemplo 10 – Calcule a taxa trimestral equivalente a taxa de 34,75% a.a.
Dados da questão:
ia = 34,75% a.a. = 0,3475 a.a
it = ? (1 ano tem 4 trimestres)
( 1 + ia) = (1 + it)
4
(1 + 0,3475) = (1 + it)4
1,3475 (1 i )
1,077413 1 i
1 i 1,077413
i 1,077413 1
i
4
t
44
t
t
t
t
= +
= +
+ =
= −
= 00,077413 00
i 7,7413% a.t.t
×
=
1
Portanto, a taxa equivalente trimestral é 7,74% a.t.
Capítulo 3
85Matemática Financeira
Exemplo 11 – Determine a taxa para 210 dias equivalente a 18% ao semestre.
Veja que este exemplo não se parece com nenhuma das questões 
propostas. Por isso mesmo escolhi este exercício: para você aprender como se 
calcula. Vamos, então, ver como se resolve?
Dados do problema:
is = 18% a.s.
i210 = ?
Para simplificar nosso cálculo, vamos converter 210 dias em uma parte 
do semestre, ou seja, 210/180=1,16667 semestres. Vamos, então, estabelecer a 
fórmula de cálculo. Assim, podemos proceder da seguinte forma:
( 1 + i1,16667) = (1 + is)
1,16667
( 1 + i1,16667) = (1 + 0,18)
1,16667
1 + i1,16667 = 1,213004
i1,16667 = 1,213004 –1
i1,16667 = 0,213004
Multiplicando por 100 para tornar o resultado percentual, temos:
i1,16667 = 21,30% para 210 dias
3.2.7 Cálculo do período de capitalização
Os períodos de capitalização são os intervalos de tempo preestabelecidos, 
findos os quais são calculados os juros que, somados ao capital, forma um 
novo valor atual, valor presente, capital (PV), para o próximo período, ou 
ainda para o próximo intervalo. A capitalização pode ser diária, mensal, anual 
e outros (KUHNEN; BAUER, 2001).
Em juros compostos, assinalam estes autores, o n não representa o 
número de dias, meses, anos, mas o número de períodos de capitalização. 
A este respeito, ainda destacam que a taxa e o tempo devem sempre ser 
homogêneos ao período de capitalização. 
Para calcularmos o período de capitalização, utilizaremos a fórmula 1, 
que você já conhece.
FV = PV(1 + i)n 
Capítulo 3
86 Matemática Financeira
Vamos, então, desenvolver um exemplo para você aprender como se 
calcula o período de capitalização.
Exemplo 12 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 1.000,00 e recebeu 
um montante de R$ 1331,00, à taxa de 10 % ao semestre. Calcule por quanto 
tempo este capital ficou aplicado.
Veja os dados do problema:
PV = R$ 1.000,00
FV = R$ 1.331,00
i = 10% a.s. (dividimos por 100 para transformá-la em taxa unitária) = 0,10
n = ?
Aplicando a fórmula 1, podemos encontrar a solução.
Acompanhe o raciocínio:
FV = PV(1 + i)n 
1.331 = 1.000(1+ 0,10)n
1 331
1000
110
1 331 110
.
,
, ,
= ( )
= ( )
n
n
Vamos agora utilizar o logaritmo neperiano (ln) para determinar o 
número de períodos de capitalização, pois a maioria das calculadoras tem 
esta operação. No entanto, se a calculadora que você estiver utilizando não 
dispuser desta ferramenta, pode usar o logaritmo decimal (log). Ao final, o 
resultado será o mesmo.
ln(1,1)n= ln 1,331
Vamos recordar uma das propriedades do logaritmo: o logaritmo de uma 
potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência.
Em outras palavras, quando, por exemplo, o logaritmando tiver expoente, 
como neste caso (1,1)n, podemos multiplicar o expoente n pelo logaritmo de 
1,1 (KUHNEN; BAUER, 2001).
Capítulo 3
87Matemática Financeira
n × ln 1,1 = ln 1,331
n × 0,095310 = 0,285931
n
n
=
=
0 285931
0 095310
3
,
,
Pela calculadora financeira
f REG
1.000 CHS PV
1.331 FV
10 i
n aparece no visor o valor 3, ou seja, 3 semestres, pois a taxa resulta na 
mesma unidade do tempo que aparece a taxa.
Exemplo 13 – O capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 3% ao mês 
resultou em um montante de R$ 3.892,34. Pergunta-se: quanto tempo foi 
necessário para conseguir este valor?
Identificando os dados da questão:
PV = 1.000,00
FV = 3.892,34
i = 3% a. m. (dividindo por 100) = 0,03
n = ?
Para encontrarmos o resultado, vamos aplicar a fórmula 1.
FV = PV × (1 + i)n
3.892,34 = 1.000(1 + 0,03)n
3 892 34
1 000
1
3 892 34 1 0 3
3 892 34 1 0 3
. ,
.
. , ,
. , ,
= +( )
= +( )
= +( )
i
In
In
n
n
n
33 892 34 1 0 3
1 359011 0 029559
0 029559 1 359011
. , ,
, ,
, ,
= × +( )
= ×
× =
n
n
n
n
nn
n
=
=
1 359011
0 029559
45 976217
,
,
,
Capítulo 3
88 Matemática Financeira
Então, o tempo necessário para conseguir o montante foi de 45,976217 
meses, que se desejarmos ajustar para ano e meses podemos aplicar a regra 
de três, como segue:
Ano Meses
 1 12
 x 45
Pela calculadora financeira:
f REG
1.000 CHS PV
3.892,34 FV
3 i
n = 46 meses
A calculadora financeira não irá apresentar um resultado fracionário 
para n; caso isto ocorra o resultado aparecerá arredondado para o primeiro 
inteiro maior.
Se desejarmos um resultado mais preciso, podemos ajustar a taxa para 
um período de capitalização menor. Por exemplo, se a taxa apresentada é 
anual, devemos transformá-la em taxa semestral, trimestral ou mensal, de 
forma equivalente e, então, realizar o cálculo novamente. Procederemos desta 
forma se estivermos utilizando a calculadora financeira.
Uma pessoa depositou R$ 40.000,00 numa 
instituição financeira por 3 anos a uma taxa 
nominal de 36%a.a. Calcule o montante 
compostosabendo que, no primeiro ano, os 
juros são capitalizados semestralmente e, no 
segundo ano, trimestralmente. No terceiro 
ano, o juro será mensal.
DESAFIO
1 12
45
12 45
45
12
3 8311351 3 9 29
x
x
x
x meses anos meses e dias
=
=
=
= =, ,
Capítulo 3
89Matemática Financeira
3.2.8 Operacionalização da calculadora financeira
Caro estudante: como você pode verificar, já desenvolvemos vários 
exemplos de aplicação da calculadora financeira. Esta ferramenta contribui 
sobremaneira para a obtenção da solução dos problemas de juros compostos. 
Mas fique atento(a), porque ela pode apontar falhas quando você utiliza 
as fórmulas, pois pode obter o resultado com maior facilidade. É mais uma 
forma que você tem para agregar novas informações que vão facilitar no seu 
aprendizado de matemática financeira.
Apesar de algumas funções da calculadora financeira parecerem complexas, 
elas são relativamente fáceis de serem operacionalizadas se dominamos os 
conceitos da matemática financeira, sob o ponto de vista teórico e prático.
Você deve estar atento para alguns detalhes da aplicação desta calculadora, 
porque ela guarda algumas diferenças em relação a outras calculadoras. Siga 
as recomendações que estão no texto, quando são apresentados os passos de 
operacionalização.
Você também encontra na web diversos manuais sobre a operacionalização 
da calculadora financeira que vão auxiliar seus estudos.
3.3 Aplicando a teoria na prática
Um determinado valor da empresa Pipoka´s, de Santarém, ficou depositado 
durante dois anos a juros simples de 4%a.a. Findo este período, o montante foi 
reaplicado a juros simples de 6%a.a. durante 18 meses. Determine o capital inicial, 
sabendo que o montante final foi de R$ 17.658,00.
Vamos inicialmente identificar os dados da questão:
PVinicial = ?
FVfinal = 17.658,00
n1 = 2 anos
i1 = 4% a.a.
n2 = 18 meses = 1,5 ano
i2 = 6 % a.a.
Capítulo 3
90 Matemática Financeira
Agora, vamos resolver esta questão utilizando o seguinte procedimento: 
como conhecemos somente o montante final (FVfinal), com este valor 
determinamos o capital final (PVfinal) que, por sua vez, é o montante da 
primeira aplicação (FV1). Isto é, resolvendo o problema começando do final.
 Vamos novamente utilizar a fórmula 1:
FV= PV(1 + i)n 
17.568 = PVfinal (1 + 0,06)1,5
PVfinal (1 + 0,06)
1,5 = 17.658
PVfinal . 1,09134 = 17658
PV
PV
final
final
=
=
17 658
1 09134
16 180 16
.
,
. ,
Este valor é o montante da primeira aplicação que foi aplicado novamente. 
Sendo assim, vamos utilizá-lo como montante inicial para calcularmos o capital 
inicial. Segue o cálculo, então, utilizando a mesma fórmula.
FV= PV(1 + i)n 
16.180,16 = PVinicial (1 + 0,04)
2
PVinicial (1 + 0,04)
2 = 16.180,16
PVinicial × 1,0816 = 16.180,16
Pv
Pv
inicial
inicial
=
=
16 180 16
1 0816
14 959 46
. ,
,
. ,
Então o capital inicial procurado é R$ 14.959,46
Se você desejar calcular utilizando a calculadora financeira, é só digitar 
inicialmente a primeira parte e, depois, a segunda, como segue.
1ª Etapa 2ª Etapa
f REG f REG
17.658 CHS FV 16.180,16CHS FV
6 i 4 i
1,5 n 2 n
Capítulo 3
91Matemática Financeira
PV 16.180,16 PV= 14.959,46
Você pode comprovar: o capital inicial é de R$ 14.459,46.
3.4 Para saber mais
Você poderá consultar outros livros para aprofundar estes conhecimentos. 
Recomendo consultar as seguintes referências:
Sites: Somatematica/Bertolo/Ibre
URL: http://www.somatematica.com.br
URL: http://www.bertolo.pro.br/matfi an/index.htm
URL: http:/www.ibre.fgv.br
Nestes endereços, você vai encontrar explicações e exemplos dos 
cálculos que desenvolvemos nesta unidade. Entre estes, você 
encontrará o cálculo do montante, do capital aplicado, da taxa e do 
período de tempo. Você poderá complementar seu entendimento 
sobre taxa nominal e taxa efetiva. Também vai encontrar vídeos-aulas 
com professores explicando o conteúdo apresentado neste capítulo.
Título: Matemática financeira: objetiva e aplicada
Autores: PUCCINI, A. de L.; PUCCINI, A. Editora: Saraiva, SP Ano: 2006
Neste livro, você pode complementar seus conhecimentos sobre juros 
compostos e suas aplicações. Por meio de exemplos e resoluções 
de casos referentes aos juros compostos, é possível sanar algumas 
dúvidas que ficaram em relação à aprendizagem da capitalização 
composta. Você encontra também explicações passo a passo da 
operacionalização da calculadora financeira.
Título: Matemática financeira
Autor: VIEIRA SOBRINHO, J. D. Editora: Atlas, SP Ano: 2000
A leitura desta obra orienta e explica sobre taxa nominal e taxa 
efetiva, e complementa com a aplicação da calculadora financeira. 
Por meio de inúmeros exercícios resolvidos, você pode complementar 
seu conhecimento de matemática financeira, principalmente, sobre o 
cálculo dos componentes da capitalização composta.
Capítulo 3
92 Matemática Financeira
3.5 Relembrando
No capítulo 3, você aprendeu que:
 • a capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide 
sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o 
período anterior;
 • na capitalização simples utiliza-se sempre o capital inicial, e na 
capitalização composta, o capital será sempre o montante do 
período anterior;
 • o cálculo do montante denominado (FV- FutureValue) é resultante 
de uma aplicação do capital (PV- Present Value), a uma taxa 
de juros compostos i (por período de capitalização) durante n 
períodos de capitalização;
 • o valor presente (PV) é a quantia a ser aplicada em um 
investimento, como também pode ser uma dívida para se pagar 
no futuro. Para o cálculo do PV, precisamos da taxa que incide 
sobre o seu valor, do montante, como também do período que o 
capital ficou investido. Isto se aplica também quando se tratar de 
uma dívida;
 • a taxa de capitalização (i) é o percentual que incide sobre o capital 
(PV). Para calcular o seu valor, devemos extrair a raiz, cujo índice 
é igual ao período de tempo;
 • para o cálculo do período de tempo (n) de capitalização do capital 
(PV), necessitamos conhecer o valor do capital (PV), da taxa e do 
montante. Para a obtenção deste valor, aplicamos a operação 
do logaritmo, que nesta unidade optamos pelo (ln), logaritmo 
neperiano;
 • a taxa nominal é a que indica um período, mas é capitalizada em 
outro, e não pode ser aplicada de imediato, precisa ser convertida 
de forma proporcional para o período em que for capitalizada. A 
transformação de forma proporcional segue os procedimentos do 
cálculo de uma regra de três simples;
Capítulo 3
93Matemática Financeira
 • a taxa efetiva é a que produz o mesmo montante, mesmo se estiver 
expressa em períodos diferentes. Caso seja necessário mudar o 
período em que está expressa, o fazemos de forma equivalente. 
Esta metodologia de cálculo segue a fórmula indicada a seguir: 
(1 + in)
l = (1 + ib)
n sendo n a quantidade de períodos contidos no 
período maior. Tem-se como exemplo: 1 ano corresponde a 12 
meses, 6 bimestres, 4 trimestres, 3 quadrimestres e 2 semestres.
Vamos ver agora se você aprendeu mesmo a calcular juros compostos. 
Então, é a sua vez de testar se as explicações e exemplos foram bem 
assimilados. Espero que consiga resolver os exercícios sem dificuldade. 
Bom trabalho!
3.6 Testando os seus conhecimentos
1) Quanto se obterá de juros em 2 anos, ao se aplicar R$ 1.500,00 a uma taxa 
de 24%a.a. capitalizado mensalmente? 
2) Qual o montante acumulado em 5 anos, a uma taxa de 15%a.a., a partir de 
um principal que rendeu de juros US$ 424,36? 
3) Um capital de US$ 3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 
meses, gerando um montante de US$ 4.500,00. Qual a taxa mensal?
4) Um certo investidor colocou R$ 25.000,00 a juros compostos de 7%a.m., 
durante 3 meses e 20 dias. Em seguida, reaplicou o montante obtido a juros 
compostos de 10%a.m. No final da operação, recebeu 38.500,00. Qual o 
período total que o capital ficou aplicado? 
5) Identifique astaxas semestrais proporcionais e equivalentes a:
a) 5% a.m. 
b) 8% a.t. 
Capítulo 3
94 Matemática Financeira
Onde encontrar
HAZZAN, S; POMPEO. Matemática financeira. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2004.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
Capítulo 4
95Matemática Financeira
DESCONTO COMPOSTO
CAPÍTULO 44
4.1 Contextualizando
Vamos continuar nosso estudo sobre matemática financeira com a 
abordagem de desconto composto. Vamos aplicar os conceitos que foram 
estudados. A partir de agora vamos aplicar sobre desconto simples, e também 
o desconto composto, alterando apenas o regime de capitalização.
Você aprendeu que, quando trabalhamos juros simples, eles aumentam 
proporcionalmente com o tempo de aplicação. No mesmo sentido, quando 
trabalhamos os juros compostos, percebemos que o crescimento dos 
juros é exponencial. Então, vamos verificar como se comporta o desconto 
composto?
O capítulo 4 tem como principal propósito distinguir, no regime de 
capitalização composta, desconto racional (ou por dentro) de desconto 
comercial (ou bancário ou por fora); calcular o desconto comercial, bem como 
o valor nominal, taxa, tempo e valor atual das operações. 
Vamos identificar situações reais para aplicação destes fundamentos.
Ao finalizarmos este capítulo, somado ao que já estudamos até aqui, você 
terá condições de aplicar corretamente os conceitos de desconto composto 
nas modalidades racional e bancário, na resolução de problemas, bem como 
calcular o valor dos descontos, valor nominal de um título ou valor atual, taxa 
de desconto e período de desconto.
Então, bons estudos e aproveite para aplicar suas aprendizagens na 
resolução dos exercícios.
Capítulo 4
96 Matemática Financeira
4.2 Conhecendo a teoria
O entendimento do desconto composto é bastante semelhante ao 
estudado no regime de juros simples. Já sabemos que o desconto é o 
abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou 
a venda de um título antes de seu vencimento. Ao tratar do regime 
de desconto composto, é preciso observar os critérios da capitalização 
composta. 
Da mesma forma que no desconto simples, no desconto composto 
também é preciso considerar a existência dos descontos, comercial ou bancário 
(por fora) e o racional (por dentro).
Vamos recordar os elementos principais do desconto composto, que são 
os mesmos já estudados no desconto simples:
FV = valor nominal do título que deve ser descontado;
PV = valor atual ou valor descontado ou valor líquido;
D = valor do desconto;
i = taxa de desconto;
n = número de períodos de antecipação.
4.2.1 Conceito de desconto
Você já sabe que o desconto é o abatimento concedido sobre um título 
por seu resgate antecipado ou a venda de um título antes de seu vencimento. 
Ao tratar do regime de desconto composto, é preciso observar os critérios da 
capitalização composta. 
Segundo Veras (1999), os descontos compostos podem ser considerados 
como uma sucessão de descontos simples calculados período a período.
No sistema de capitalização composta, também devem ser estabelecidos 
os dois tipos de desconto que foram definidos para o regime de capitalização 
simples, qual seja, o desconto bancário e o desconto racional.
Para Vieira Sobrinho (2000, p. 55), “desconto composto é aquele que 
a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzido dos 
descontos acumulados até o período imediatamente anterior”. 
Capítulo 4
97Matemática Financeira
O autor ainda enfatiza que, no caso do desconto simples, a taxa de 
desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes quantos 
forem os períodos unitários, ou seja,
D = FV × i × n
Como PV = FV – D, deduzimos que PV = FV (1- i x n) (desconto bancário).
Já no caso do desconto bancário composto, para n períodos unitários, 
a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor futuro do 
título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor 
correspondente ao primeiro período; no terceiro período, sobre o valor 
futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e 
ao segundo período e assim, sucessivamente, até o período desejado, isto 
é, o enésimo período. 
De forma resumida, o desconto é o preço a pagar para se dispor de um 
capital em um momento de tempo anterior ao do seu vencimento.
Segundo Veras (1999), no sistema de capitalização composta, também 
podem ser definidos os dois tipos de descontos que foram fixados para o 
regime de capitalização simples, isto é, o desconto bancário ou comercial e o 
desconto racional. Na sequência, você terá oportunidade de aprender como 
são calculados estes dois tipos de desconto. 
LEMBRETELEMBRETE
Para os casos em que a taxa de desconto e o prazo 
não estiverem na mesma unidade de tempo, é 
sempre mais fácil alterar o prazo. No entanto, quando 
estivermos estudando as séries uniformes, isso não 
será mais possível, pois não podemos alterar a forma 
de pagamento. Sendo assim, você poderá converter 
a taxa, como foi explicado nos juros compostos. Se a taxa for nominal, 
é só fazer um ajuste de forma proporcional. Se a taxa for efetiva, 
utilize a equivalência para converter a taxa de acordo com o período 
de antecipação informado no enunciado da questão. Sugiro que você 
revisite o capítulo 3 para lembrar como se faz a conversão de taxas. 
Capítulo 4
98 Matemática Financeira
4.2.2 Tipologia de desconto composto
Quando você estudou o regime de capitalização simples, definimos 
dois tipos de descontos, o desconto racional, que é calculado sobre o 
valor atual do título, e o desconto comercial, que é calculado sobre o 
valor nominal do título. 
Para o regime de capitalização composta, são definidos os mesmos 
dois tipos de descontos (racional e o bancário ou comercial) já apresentados 
quando estudamos o re¬gime de capitalização simples.
Agora, é importante que você tenha claro que existe uma diferença 
na aplicação do tipo de desconto. O desconto bancário é utilizado em 
depreciação enquanto o racional é utilizado para equivalência de capitais 
a juros compostos. 
FV = valor nominal do título que deve ser descontado
PV = valor atual ou valor descontado ou valor líquido
D = valor do desconto
i = taxa de desconto
n = número de períodos de antecipação
O desconto racional é calculado sobre o valor atual, as fórmulas se 
equivalem às de juros compostos, considerando, é claro, que o desconto 
significa o abatimento sobre títulos de crédito.
4.2.3 Desconto composto bancário
O desconto bancário composto, ou “por fora”, é calculado sobre o valor 
nominal do título.
Suponha que um título de valor nominal FV vai ser descontado pelo 
desconto bancário composto n períodos antes de seu vencimento com taxa de 
desconto i. Seu valor atual PV poderá ser calculado como se o seu valor nominal 
sofresse n descontos comerciais sucessivos, um para cada período que falta para 
o seu vencimento (VERAS, 1999).
Capítulo 4
99Matemática Financeira
Vamos ver como se desenvolve a expressão que permite calcular qualquer 
componente do desconto composto, por meio da descrição a seguir.
PV1 = FV - FV × i = FV(1 - i)
PV2 = FV(1 - i) - FV(1 - i) × i = FV(1 - i)(1 - i) = FV(1 - i)
2
PV3 = FV(1 - i)
2 - FV(1 - i)2 × i = FV(1 – i)2(1 - i) = FV(1 - i)3
PVn = FV(1 - i)
n -1 - FV(1 - i)n-1 × i = FV(1 - i)n-1(1- i) = FV(1 - i )n
Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários, 
calculado com base no desconto composto, é dado pela expressão;
 PV =FV(1 - i)n (1)
Vamos, então, aprender como se aplica esta fórmula e como se resolve os 
problemas deste tipo de desconto. 
Cálculo do valornominal ou atual de um título
Antes de começar o desenvolvimento de alguns problemas que vão 
esclarecer melhor todo o processo de cálculo, vamos recordar o que estudamos 
sobre desconto bancário simples?
Ao contrair uma dívida para pagamento futuro, o devedor normalmente 
oferece um título que comprova tal obrigação. De posse desse título, o credor 
poderá negociar o seu resgate antecipado, junto às instituições financeiras.
Títulos de crédito são normalmente negociados em operações de 
desconto junto a instituições financeiras:
 • notas promissórias;
 • duplicatas;
 • letras de câmbio;
 • cheques pré-datados;
 • títulos nominais.
Capítulo 4
100 Matemática Financeira
Para você entender melhor o cálculo do valor nominal, vamos desenvolver 
o exemplo 1?
Exemplo 1 – Qual o valor nominal do título que foi descontado um 
ano antes de seu vencimento pelo valor de R$ 16.290,13, à taxa de desconto 
bancário composto, de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente 
(KUHNEN; BAUER, 2001)?
Vamos resolver esta questão?
A primeira etapa é identificar os dados do problema. Em seguida, aplique 
a fórmula 1 que você já conhece.
PV = 16.290,13 Calculadora financeira
FV = ? F fin2
i= 5% a.t. = 0,05 a.t. 16.290,13CHS FV
n = 1 ano = 4 trimestres 4n
PV =FV(1 – i)n 5 CHS i
16.290,13 = FV(1 - 0,05)4 PV = 20.000
16.290,13 = FV × 0,814506 
16 290 13
0 814506
. ,
,
= FV
FV = 20.000,00
Com este comando PV, a calculadora fornecerá o resultado, neste caso, 
R$ 20.000,00. Não estranhe a operacionalização da calculadora financeira: é a 
forma definida pela calculadora. No desconto bancário, é assim que devemos 
proceder. O valor nominal é de R$ 20.000,00.
Vamos desenvolver mais um exemplo para você realmente fixar bem 
esta forma de cálculo?
Exemplo 2 – Um título foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento, 
pelo valor líquido de R25.000,00. Sabendo que a taxa de desconto bancário 
foi de 18% a.a. capitalizável mensalmente, calcule o valor nominal do título.
Capítulo 4
101Matemática Financeira
Neste exemplo, você pode verificar se aprendeu realmente a calcular o 
valor nominal pelo desconto bancário composto. Vamos identificar os dados?
PV = 25.000,00
n = 8 meses
i = 18 % a.a capitalizável mensalmente (taxa nominal)
FV = ?
Neste exemplo, a taxa não concorda com o período de antecipação, 
então devemos ajustá-la. Como é uma taxa nominal por meio da proporção, 
para converter ao mês, basta fazer uma simples divisão. Neste caso, não basta 
alterar o tempo, pois se trata de uma taxa nominal. 
i = 18% a.a = 0,18/12 = 0,015 = 1,5% a.m.
Agora sim, podemos pensar em aplicar a fórmula 1. Vamos começar?
PV = FV(1 – i)n 
25.000 = FV(1- 0,015)8
25.000 = FV(0,985)8
25.000 = FV . 0,886115
25 000
0 886115
28 213 05
.
,
. ,
=
=
FV
FV
Calculadora financeira
F fin2
25.000 CHS FV
8 n
1,5 CHS i
PV = 28.213,05
O resultado do valor do título FV é R$ 28.213,05. Mesmo que lhe pareça 
errado a forma de cálculo pela calculadora financeira, é assim que se calcula, 
acionando a tecla PV ao final. Isto só ocorre para o desconto bancário.
Capítulo 4
102 Matemática Financeira
Os juros têm sido utilizados ao longo da história 
desde que o homem percebeu que existia 
uma relação entre dinheiro e tempo. Os juros 
eram uma prática na sociedade antiga. Um 
dos primeiros indícios apareceu na Babilônia 
no ano 2000 a.C. quando eram pagos pelo 
uso de sementes ou de outras mercadorias 
emprestadas. Os juros eram condenados pela Igreja Católica no 
século 10. Apesar de o clero lutar contra os juros, com maldições e 
ameaças como fogo eterno, não pode conter a avidez por ganhos 
e lucros das pessoas. Tanto que o desenvolvimento do comércio, 
com a evolução do capitalismo, passou a fazer parte do sistema, 
fortalecido com a criação das redes bancárias nos séculos 10 a 15.
Fonte: <www.diaadiaeducacao.pr.gov.br>.
CURIOSIDADE
Cálculo do valor presente ou valor atual
Como nos juros compostos, aqui podemos fazer uma sucessão de 
descontos simples para chegar ao valor atual do título. Mas, utilizando a 
fórmula 1, facilmente encontraremos o resultado. Por meio de um exemplo, 
vamos aprender como se calcula este valor?
Exemplo 3 – Calcule o valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado 
um ano antes do vencimento, com uma taxa de desconto bancário composto de 
5% ao trimestre. 
Acompanhe o raciocínio!
PV ? Calculadora financeira 
FV = 20.000,00 20.000CHS PV
i = 5% a. t. 4 n 
n = 1 ano = 4 trimestres 5 CHS i
PV= FV(1 - i )n FV
PV = 20.000,00(1 - 0,05)4 FV=16.290,13
Então, com o comando FV, o resultado do valor atual PV é R$ 16.290,13. 
Você deve estar se questionando sobre este procedimento, porém, nos cálculos 
do desconto bancário, é desta forma que devemos proceder.
Capítulo 4
103Matemática Financeira
Acompanhe mais um exemplo de cálculo do valor atual para você não ficar 
com dúvidas!
Exemplo 4 – Calcule o valor atual de um título de R$ 258.000,00, 
descontado um ano, 2 meses e 18 dias antes do vencimento com uma taxa de 
desconto bancário composto de 3 % ao mês.
Vamos acompanhar a solução? Identifique os dados, pois assim fica mais fácil 
de resolver.
PV = ?
FV = 258.000,00
n= 1 ano, 2 meses e 18 dias 
i = 3% ao mês = 0,03 a.m
Antes de iniciarmos o cálculo, precisamos ajustar o tempo à taxa.
Como temos o período de antecipação igual a 1 ano, 2 meses e 18 dias, 
vamos converter tudo em meses.
1 ano = 12 meses
 2 meses
18 dias = 18: 30 = 0,6 meses Total – 14,6 meses
Agora podemos aplicar a fórmula 1 para encontrar o resultado.
PV = FV(1 – i)n
PV = 258.000(1-0,03)14,6
PV = 258.000(0,97)14,6
PV = 258.000 × 0,641014
PV = 165.381,61
Calculadora financeira
258.000 CHS PV
14,6 n
3 CHS i
FV= 165.381,54
Então, com o comando FV, temos o resultado do valor atual PV igual a 
R$ 165.381,54. Temos uma pequena diferença devido ao arredondamento do 
período de antecipação.
Capítulo 4
104 Matemática Financeira
Espero que você tenha entendido o procedimento do cálculo do valor 
atual, mesmo que pela calculadora financeira pareça estranho. Veja o lembrete 
a seguir indicado pelos autores.
LEMBRETELEMBRETE
As calculadoras financeiras foram programadas 
para cálculo de juros compostos ou desconto 
racional composto. Para utilizarmos as 
calculadoras financeiras em desconto bancário 
composto, é necessário observarmos os 
seguintes passos:
 • na tecla FV é digitado o valor atual (presente) ou seja, o valor 
líquido recebido;
 • na tecla PV digita-se o valor nominal do título ou o valor futuro (FV);
 • a taxa de juros deve ser informada com sinal negativo;
 • os demais itens são normais (KUHNEN; BAUER, 2001).
Cálculo do desconto
Como já aprendemos, no desconto bancário simples, o valor do desconto 
bancário composto é a diferença entre o valor nominal do título e o valor atual.
Então, podemos escrever a fórmula, que nos permite calcular o desconto 
bancário sem precisar conhecer os valores de FV e de PV. Basta saber o valor de FV, 
isto é, do valor do título.
Db = FV - PV
Db = FV - FV(1 - i)n
Db = FV × [1 - (1 - i)n] fórmula 2
Para você aprender a calcular o valor do desconto bancário, vamos 
demonstrar um exemplo.
Exemplo 5 – Calcule o valor do desconto bancário composto de um título 
de R$ 42.000,00, resgatado um ano antes de seu vencimento com uma taxa de 
15% ao semestre capitalizável mensalmente.
Fique ligado na solução desta questão! Mas antes, vamos identificar os 
dados e fazer os ajustes no período de antecipação.
Capítulo 4
105Matemática Financeira
FV = 42.000,00
n =1 ano = 12 meses
i = 15% a.s. capitalizável mensalmente = 0,15 : 6 = 0,025 a. m.
Db = ?
Agora é só aplicar a fórmula 2:
Db = FV [1 - (1 - i)n ] Calculadora financeira
Db = 42.000 [1 - (1 - 0,025)12] 42.000 PV
Db = 42.000 [1 - 0,73800] 2,5 CHS i
Db = 42.000 × 0,26200 12 n
Db = 11.004,00 FV
 RCL PV +
Ao acionar a tecla RCL PV + na sua calculadora financeira, obterá o 
mesmo valor calculado pela fórmula, isto é, R$ 11.004,00.
Exemplo 6 – Calcule o valor do desconto bancário composto de um título, 
cujo valor é de R$ 20.000,00, descontado um ano antes do vencimento a uma 
taxa de 5% a trim., capitalizável trimestralmente.
Vamos, então, acompanhar a solução? Identifique os dados. 
FV = 20.000,00
i = 5% a. t.
n = 1 ano = 4 trimestres (para concordar com a taxa)
Db = ?
Agora é só aplicar a fórmula 2!
Db = FV [1 - (1 - i)n ] Pela calculadora financeira
Db = 20.000 [1 - (1 - 0,05)4] 20.000 CHS PV
Db = 20.000 [1 - 0,814503] 5 CHS i
Db = 3.709,88 4 n
 FV
 RCL PV +
Então, você pode perceber que, com este comando RCL PV +, o valor do 
desconto é de R$ - 3.709,88.
Capítulo 4
106 Matemática Financeira
Observe que o valor registrado em PV (CHS) 
é negativo e o resultado apresentado pela 
calculadora, quando comandamos para calcular o 
valor futuro, será positivo. Logo, a soma de um 
valor negativo mais (+) um valor positivo será a 
diferença entre eles. Obtemos, assim, o resultado, 
neste caso, – 3.709,88, que será apresentado com 
sinal negativo porque informamos o valor nominal 
do título negativo. Como este valor é maior, o resultado assumirá este 
sinal, o que não significa que o desconto bancário é negativo, mas é 
apenas uma consequência da forma como utilizamos os valores quando 
os informamos para a calculadora (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 95).
SAIBA QUE
Cálculo da taxa e do período de antecipação
A taxa de desconto é o percentual que incide sobre o valor nominal do título. 
Para você entender como se calcula a taxa de desconto, acompanhe um exemplo. 
Pode-se calcular a taxa utilizando a fórmula 1 do desconto bancário composto.
PV = FV(1 - i )n
 
(1)
Exemplo 7 – Agora, seu desafio é calcular a taxa de desconto bancário 
composto de um título de R$ 20.000,00, descontado 4 meses antes do 
vencimento, recebendo o valor líquido de R$ 16.290,13. Veja como é o 
procedimento do cálculo da taxa. 
Inicialmente, vamos identificar os dados da questão.
FV = 20.000,00
PV = 16.290,13
n = 4 meses
i = ?
Aplicando a fórmula 1, temos:
Capítulo 4
107Matemática Financeira
PV= FV( 1 - i )n
16.290,13 = 20.000(1 - i)4
16.290,13 : 20.000 = (1 - i)4
0,81451 = (1 - i)4
0 81451 1
0 95 1
1 0 95
1 0 95
0 05 1
0 05 100 5
4 44,
,
,
,
,
,
= −( )
= −
− =
− =
=
= × =
i
i
i
i
i %% .am
Pela calculadora financeira
20.000 CHS PV
16.290, 13 FV
4 n
i
Então, o resultado da taxa é 5% a.m.
Dando continuidade ao estudo do desconto bancário composto, 
vamos desenvolver um exemplo de cálculo do período de antecipação.
Exemplo 8 – Um título de R$ 398.000,00 é descontado antes do seu 
vencimento por desconto bancário composto por R$ 303.000,00 a uma taxa 
de 6,12085% ao trimestre. De quantos meses foi o prazo de antecipação 
do título?
A primeira etapa é identificar os dados da questão.
FV = 398.000,00
PV = 303.000,00
i = 6,12085% ao trimestre= 0,0612085 a.t.
Como a resposta deve ser em meses, já vamos converter a taxa ao mês. 
Você observou que a taxa é efetiva? Pois bem, então vamos aplicar a fórmula 
para a transformação da taxa ao mês, para que a resposta resulte em meses. 
Vamos lá, então?
Capítulo 4
108 Matemática Financeira
(1 + im)
3 = (1 + it)
1
(1 + im)
3 = (1 + 0,0612085)
1 1 0612085
1 1 020000
1 020000 1 0 02
0 0
33 3+( ) =
+( ) =
= − =
=
i
i
i
i
m
m
m
m
,
,
, ,
, 22 100 2× = % . .am
n = ?
Depois de convertermos a taxa, já podemos aplicar a fórmula 1 para 
calcularmos o período de antecipação.
PV = FV × ( 1 - i )n
303.000 = 398.000,00 . (1 - 0,02)n
303.000 : 398.000= (0,98)n
0,761307 = (0,98)n
Aplicando o logaritmo para encontrarmos o resultado:
ln 0,761307 = ln(0,98)n
- 0,272719 = n × (-0,020203) × (-1)
0,272719 : 0,020203 = n
13,498936 = n
Portanto, o prazo de antecipação, em meses, é de 13 meses e meio, o 
que equivale a 1 ano, 1 mês e 15 dias aproximadamente.
Pela calculadora financeira:
303.000 CHS FV
398.000 PV
2 CHS i
n = 14
Lembre-se que, para o cálculo dos componentes do desconto 
bancário, sempre vamos inverter a ordem de digitação do PV e FV. Caso 
contrário, a calculadora apresentará erro.
Com o comando n, a calculadora nos fornecerá o resultado inteiro 
igual a 14 meses. A calculadora financeira sempre dá o resultado com o 
número inteiro imediatamente superior.
Capítulo 4
109Matemática Financeira
Para ter certeza de que você assimilou o processo de cálculo do 
período de antecipação, vamos desenvolver mais um exemplo?
Exemplo 9 – Um título de R$ 20.000,00 foi descontado em um banco, 
pelo desconto bancário composto, a uma taxa de 5% a.m, sendo creditada, 
na conta do cliente, a importância de R$ 16.290,13. Quanto tempo antes 
do vencimento foi descontado este título (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 96)?
Vamos ver como fica? Comece sempre identificando os dados da 
questão para facilitar a resolução do problema.
FV = 20.000,00
PV = 16.290,13
i = 5% a.m. = 0,05 a.m.
n =?
Aplicando a formula 1 que você já conhece, temos:
PV= FV x ( 1 - i )n Pela calculadora financeira digite:
16.290,13 = 20.000 . (1 – 0,05)n 20.000 CHS PV
16.290,13 : 20.000 = (0,95)n 16.290,13 FV
(0,95)n = 16.290,13 : 20.000 5 CHS i
(0,95)n = 0,814507 n = 4
ln(0,95)n = ln 0,814507
n . ln 0,95 = ln 0,814507
n . - 0,051293 = - 0,205173 (x -1)
n
n
n meses
=
=
=
0 205173
0 051293
3 999994
4
,
,
,
Com o comando n, aparecerá no visor o número 4, correspondente a 4 
meses. Portanto, o prazo de antecipação foi de 4 meses.
Agora que você já aprendeu como calcular o desconto bancário 
composto, vamos ver como acontece o processo de cálculo do desconto 
racional composto.
Capítulo 4
110 Matemática Financeira
4.2.4 Desconto composto racional
Este tipo de desconto também é conhecido como “desconto por dentro”. 
Segundo Kuhnen e Bauer (2001), o valor do desconto é calculado sobre o valor 
atual, assim como no desconto racional simples, divergindo apenas pelo fato 
de agora considerarmos uma capitalização, ou seja, usarmos potenciação 
como em capitalização composta. 
CONCEITOCONCEITO
Desconto racional ou desconto por dentro 
composto é a diferença entre o valor nominal e 
o valor atual de um título descontado n períodos 
antes de seu vencimento, ou seja, Dr = FV – PV 
(KUHNEN; BAUER, 2001).
Já aprendemos, nos juros compostos, que FV = PV(1 +i )n. Para o 
cálculo dos elementos do desconto racional composto, vamos utilizar esta 
fórmula.
Então, deste ponto em diante, vamos aprender a calcular os 
componentes do desconto racional composto, como já procedemos para o 
desconto racional simples.
Cálculo do valor nominal
CONCEITOCONCEITO
Valor nominal é o montante a ser pago no 
final da operação, caso seja cumprido o prazo 
estabelecido na negociação e que consta no 
título. E como nos juros compostos, vamos 
utilizar a fórmula FV = PV(1 +i)n. (Vamos 
denominá-la fórmula 3). 
Para você entender o procedimento de cálculo, vamos desenvolver 
um exemplo.
Capítulo 4
111Matemática Financeira
Exemplo 10 – Uma nota promissória gerou uma quantia líquida de R$ 
4.300,00, tendo sido descontada pelo desconto racional composto a uma 
taxa de 5,4%a.m., faltando 135 diaspara o seu vencimento. Calcule o valor 
nominal da promissória.
Para facilitar a resolução, vamos identificar os dados da questão!
F = ? Pela calculadora financeira
PV = 4.300,00 4.300 CHS PV
i = 5,4 % a.m.= 0,054 a. m. 5,4 i
n = 135 dias (135 : 30 = 4,5 meses) 4,5 n
FV = PV × (1 + i)n FV = 5.448,10
FV = 4.300 × (1 + 0,054)4,5
FV = 4.300 × (1,054)4,5
FV = 4.300 × 1,267018 
FV = 5.448,18 
Observe que, no desconto racional composto, a operacionalização da 
calculadora é igual ao dos juros compostos. Os sinais de FV e PV se comportam 
de forma semelhante. Existe uma pequena diferença nos centavos, devido à 
aproximação dos resultados.
Vamos fazer mais um exercício?
Exemplo 11 – Uma promissória a ser paga daqui a 280 dias foi descontada 
4 meses antes de seu vencimento, pelo desconto racional composto à taxa de 
18% a.a., com capitalização mensal e produziu R$ 20.726,00 de valor líquido. 
Qual o valor desta promissória?
Vamos identificar os dados para organizar a resolução da questão. Fique 
ligado na resolução!
FV = ?
PV = 20.726,00
i = 18% a.a. com capitalização mensal 
Como é uma taxa nominal, vamos convertê-la em taxa efetiva de 
forma proporcional, isto é, dividindo por 12, pois o ano tem 12 meses. 
Capítulo 4
112 Matemática Financeira
0,18 : 12 = 0,015 a.m. 
n = 280 dias = 280 : 30 = 9,333334 meses
Aplicando a fórmula 3, temos:
FV = PV × (1 + i)n 20.726 CHS PV
FV = 20.726 × (1, 015)9,333334 1,5 i
FV = 20.726 × 1,149079 9,333334 n
FV = 23.815,80 FV = 23.815,80
Cálculo do desconto 
A diferença entre o valor nominal, o valor futuro e o valor atual, 
valor presente ou valor líquido, resulta o desconto racional composto, cujo 
compromisso foi saldado antes do vencimento. Então, já sabemos que Dr = 
FV-PV, como já abordado no desconto racional simples.
Se fizermos algumas operações na expressão, podemos obter a fórmula 
que nos permite calcular o desconto racional composto. 
Acompanhe o raciocínio.
Dr = FV – PV, mas FV = PV(1 +i)n (fórmula 3)
Dr = PV x (1 +i)n - PV
Dr = PV x [(1 +i)n - 1] 
 
(5)
Por decorrência também podemos escrever:
Dr FV FV
(1 i)
Dr FV 1 1
1 i
Dr FV [1 1 i ] 
n
n
n
= −
+
= −
+( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= − +( )−
 
(6)
Capítulo 4
113Matemática Financeira
Para você aprender a calcular o valor do desconto racional composto, 
vamos desenvolver um exemplo.
Exemplo 13 – Um título de valor nominal de R$ 155.000,00 foi resgatado 
5 meses e 20 dias antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 
4,5 % a.m., qual o desconto racional composto concedido?
Como sempre fazemos, vamos identificar primeiro os dados da questão.
FV = 155.000,00
i = 4,5% a. m.= 0,045 a.m.
n=5 meses e 20 dias = 170 dias = 5,666667 meses.
Dr = ?
Aplicando a fórmula 6, pois não temos o valor de PV, fica:
Dr = FV × [1 - (1 +i)-n]
Dr = 155.000 × [1 - (1+0,045)-5,666667]
Dr = 155.000 × [1 - (1,045)-5,666667] 
Dr = 155.000 × [1 - 0,779246]
Dr = 155.000 × 0,220754
Dr = 34.216,87
Calculando pela calculadora financeira:
155.000 FV
4,5 i
5,666666 n
PV
RCL FV
+
Com este comando PV RCL FV +, a calculadora financeira nos fornecerá 
o resultado, neste caso, R$ 34.216,92. Como o tempo é fracionado, existe uma 
pequena diferença nos centavos.
Exemplo 14 – Agora você vai determinar o valor do desconto racional 
composto de um título resgatado pelo valor de R$ 25.860,00, 3 trimestres 
antes de seu vencimento, a uma taxa de 46,41% a.a. 
Vamos inicialmente identificar os dados da questão:
Capítulo 4
114 Matemática Financeira
PV = 25.860,00
i = 46,41% a.a
n = 3 trimestres
Para resolver esta questão, podemos converter o tempo em ano para 
fazer concordar com a taxa. É a forma mais fácil. Veja como fica:
4 trimestres = 1 ano
3 trimestres = 3: 4 = 0,75 ano
E agora, com o período de antecipação em concordância com a taxa, é 
só aplicar a fórmula 5 a seguir.
Dr = PV × [(1 +i)n - 1] 
Dr = 25.860 × [(1+ 0,4641)0,75 - 1]
Dr = 25.860 × [(1,4641)0,75 - 1]
Dr = 25.860 × [ 1,331 -1]
Dr = 25.860 × 0,331
Dr = 8.559, 66
Pela calculadora financeira , o cálculo fica assim:
25.860 PV
46,41 i
0,75 n
FV
RCL PV +
Com este comando FV RCL PV +, a calculadora financeira informará o 
resultado 8.559,66, que é o valor do desconto procurado.
Então, você pode calcular o desconto racional composto conhecendo 
somente o valor nominal, como também conhecendo somente o valor 
atual ou valor líquido. Nos dois casos, devemos ter os valores da taxa e do 
período de antecipação.
O próximo tópico aborda o cálculo da taxa e do período de antecipação 
para o desconto racional composto.
Capítulo 4
115Matemática Financeira
4.2.5 Valor atual e valor nominal de um título
CONCEITOCONCEITO
Cálculo do valor presente é o valor do resgate, 
valor líquido ou valor presente de um título, 
resgatado ou descontado antes de seu 
vencimento (KUHNEN, BAUER, 2001, p. 98).
Já sabemos que
FV = PV(1+i)n 
 
(3)
Cálculo do valor presente ou valor atual
Então, fazendo algumas modificações, podemos utilizar a mesma 
fórmula para calcular o valor atual, valor líquido ou valor presente. 
Veja como fica:
FV = PV(1+ i)n 
PV(1+i)n = FV
PV
FV
i n
=
+( )1
 
(4)
Exemplo 12 – Qual o valor de resgate (valor atual) de um título de valor 
nominal igual a R$ 16.504,00, vencível daqui a nove meses, à taxa efetiva de 
desconto racional composto de 46,5761% a.a. 
Vamos começar, então? Para resolver a questão, sempre vamos identificar 
os dados. Observe como é a resolução.
FV= 16.504
PV = ?
i = 42,5761 % a.a. (taxa efetiva, vamos convertê-la ao mês de forma 
equivalente).
Capítulo 4
116 Matemática Financeira
n = 9 meses
Conversão da taxa ao mês
(1 + im)
12 = (1 + ia)
(1 + im)
12 = (1 + 0,425761) ( ajuste sempre a taxa para a forma unitária - 
decimal)
(1 + im)
12 = (1,425761)
1 1 425761
1 1 030000
1 030000 1
0 03 1
1212 12+( ) =
+( ) =
= −
= ×
i
i
i
i
m
m
m
m
,
,
,
, 000 3= % . .am
Agora que ajustamos a taxa já podemos aplicar a fórmula 4. Vamos ver 
como fica?
PV
FV
i
PV
PV
PV
n
=
+( )
=
+( )
=
( )
=
1
16 504
1 0 03
16 504
1 03
16 504
1 30
9
9
.
,
.
,
.
, 44773
12 648 94PV = . ,
Calculando pela calculadora financeira:
16.504 CHs FV
3 i
9 n
PV = 12.648,94
Então, acionando o comando PV, a calculadora indicará o valor atual de 
R$ 12.648,94.
Capítulo 4
117Matemática Financeira
Ao estudarmos o sistema financeiro, notamos 
que o mecanismo atualmente utilizado nas 
operações é o juro composto, ou seja, juros sobre 
juros. Aplicações financeiras e empréstimos são 
efetuados por inúmeras pessoas no dia a dia, 
as quais utilizam os produtos oferecidos pelo 
mercado financeiro, como: promissórias, letras 
de câmbio, ações de empresas, títulos do tesouro 
nacional, financiamentos, leasing, consórcios 
entre outros. Ao realizarmos uma aplicação, 
nosso dinheiro é submetido a um fator de 
capitalização, que depende do valor da taxa de 
juros e do tempo da aplicação. Nas situações de 
desconto, utiliza-se um fator de descapitalização, 
conhecido pela expressão (1 + i)–n.
SAIBA QUE
Cálculo do período de desconto
A taxa de juros i do desconto racional composto é o percentual que vai 
incidir sobre o valor atual pelo período de antecipação n. Pode ser calculada 
pela fórmula 3, que vimos anteriormente. 
Para você entender melhor, acompanhe mais um exemplo.
Exemplo 15 – Determine a taxa de desconto racional composto, 
tomando-se por base os seguintes dados: um título de R$ 16.504,00 foi 
descontado 3 meses antes do vencimento por R$ 12.400,00 (KUHNEN; BAUER, 
2001).
Vamos identificar os dados da questão, como fazemos sempre.
FV = 16.504,40
PV = 12.400,00
n = 3 meses
i = ?
FV = PV(1+i)n 
16.504,40 = 12.400(1+i)3
Capítulo 4
118 Matemática Financeira
16.504,40
12.400
(1 i)
1,331 (1 i)
1,331 (1 i)
1,10 1 i
1
3
3
3 33
= +
= +
= +
= +
+ ii 1,10
i 1,10 1
i 0,10 x 100
i 10%a.m.
=
= −
=
=
Calculando pela calculadora financeira:16.504,40 CHS FV
12.400PV
3 n
i = 10%
Com o comando i, a calculadora informa o resultado, neste caso, 10% a.m.
Cabe lembrá-lo que o período de tempo do período de antecipação está 
diretamente relacionado ao período da taxa. Se o período de tempo está em 
meses, a taxa resultará ao mês.
Para você entender o processo de cálculo do período de antecipação, 
vamos acompanhar o exemplo a seguir.
Exemplo 16 – Uma promissória de R$ 7.450,00 com desconto racional 
composto teve uma redução de R$1.400,00. Considerando uma taxa de 6% a. 
m, calcule o prazo da operação.
Para resolver esta questão, vamos primeiro identificar os dados. Fique 
ligado na resolução.
FV = 7.450,00
Dr = 1.400,00
i = 6% a.m.
n= ?
Nessa questão, vamos aplicar a fórmula 3, pois como temos o valor do 
desconto e do valor nominal, é só fazer PV = FV – Dr, para sabermos o valor de 
PV. Veja como fica:
Capítulo 4
119Matemática Financeira
PV= 7.450 - 1400 
PV = 6.050
Agora aplicando a fórmula 3:
FV = PV(1+ i)n 
7.450 = 6050(1 + 0,06)n
7.450
6050
(1,06)
1,231405 (1,06)
ln1,231405 ln(1,06)
ln1,2
n
n
n
=
=
=
331405 n x l n(1,06)
0,208156 n x 0,058269
n x 0,058269
=
=
==
=
=
 0,208156
n 0,208156
0,058269
n 3,572328
Como o tempo ficou fracionado podemos ajustar para meses e dias. O 
resultado então é 3 meses e meio aproximadamente.
Veja o cálculo pela calculadora financeira:
7.450 FV
6.050 PV
6 i
n 
Com o comando n a calculadora financeira vai fornecer o resultado do 
período de antecipação, porém arredondando para o valor inteiro maior, 
teremos 4 meses. A calculadora financeira não calcula tempo fracionado.
PRATICANDOPRATICANDO
Um título no valor nominal de R$ 8.500,00 com 
vencimento para 6 meses é trocado por outro 
de R$ 7.890,00 com vencimento para 4 meses. 
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 
48% a.a. com capitalização mensal, pergunta-se: 
são os dois títulos equivalentes pelo desconto 
racional composto?
Capítulo 4
120 Matemática Financeira
Comparação entre desconto simples e desconto composto
Com tantas fórmulas de desconto, você pode acabar se confundindo 
na hora de aplicá-las, principalmente se forem em um momento de pressão, 
como é o da prova ou de um concurso. Então, para facilitar a sua memorização, 
indicamos um quadro resumo, em que são apresentadas as fórmulas do valor 
atual (líquido), para todas as modalidades de desconto.
O quadro 1, a seguir, vai ajudá-lo a memorizar as fórmulas e facilitar o 
seu uso, em qualquer das situações apresentadas. O conceito fundamental é 
D = FV - PV.
VALOR ATUAL RACIONAL BANCÁRIO
SIMPLES PV
FV
1 i x n
=
+
PV FV i n= − ×( )1
COMPOSTO PV
FV
(1 i)n
=
+
PV FV i n= −( )1
Quadro 1 - Fórmulas para o cálculo do desconto composto
Fonte: adaptado de Veras (1999, p. 116-118).
4.2.6 Operacionalização da calculadora fi nanceira
Nos seus estudos, você já percebeu que a calculadora financeira é uma 
excelente ferramenta de apoio para a solução dos problemas sobre séries. Mas 
como toda ferramenta, tem as suas limitações. 
Nos cálculos dos elementos das séries infinitas, por exemplo, não é possível 
usar a calculadora financeira porque não existem comandos que levem ao 
resultado correto. 
No entanto, quando você precisa calcular séries gradientes, 
utilizamos as teclas azuis e o fluxo de caixa na calculadora. Estas questões 
você teve oportunidade de aprender e testar durante o desenvolvimento 
do conteúdo. 
Capítulo 4
121Matemática Financeira
4.3 Aplicando a teoria na prática
Um empresário, necessitando de dinheiro para aplicar em uma 
oportunidade de negócio imperdível, dirige-se ao banco para antecipar o 
resgate de um título cujo valor nominal é igual a R$ 7.500,00. Como o resgate 
ocorreu dois anos antes de seu vencimento, a uma taxa de 25% a.a. com 
capitalização trimestral, precisamos que você o ajude a calcular o valor do 
desconto utilizando o desconto bancário composto. E também lhe explique o 
que é o desconto composto.
Vamos, então, acompanhar o desenvolvimento da solução? 
Você deve ter explicado ao empresário que o conceito de desconto 
composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor 
futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente 
anterior. Vimos que no caso do desconto simples, a taxa de desconto incide 
somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes quantos forem os 
períodos unitários, ao passo que no caso do desconto bancário composto, para 
n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre 
o valor futuro do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título 
menos o valor correspondente ao primeiro período; no terceiro período, sobre 
o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro 
e ao segundo período e assim, sucessivamente, até o período desejado, isto é, 
o enésimo período. 
De forma resumida, o desconto é o preço a pagar para se dispor de um 
capital em um momento de tempo anterior ao do seu vencimento.
Para ajudar o empresário a calcular o valor do desconto, primeiramente, 
você deve ter identificado os dados:
FV = 7.500,00
n= 2 anos = 8 trimestres
i = 25% a.a. com capitalização trimestral (taxa nominal) = 0,25: 4 = 0, 0625
Db = ?
Capítulo 4
122 Matemática Financeira
Como conhecemos o valor nominal, vamos aplicar a fórmula 2.
Db = FV x [1 - (1 – i)n] fórmula 2
Db= 7.500 x [1 – (1 – 0,0625)8]
Db = 7.500 x [1 – (0,9375)8]
Db = 7.500 x [1 – 0,596719]
Db = 7.500 x 0,403281
Db = 3.024,60
Acompanhe o cálculo pela calculadora financeira:
7.500 PV
6,25CHS i
8 n
FV
RCL PV +
Observe que se digitamos o PV sem o CHS, o desconto resultará positivo. 
Isto é, R$ 3.024,60, como o resultado realizado por meio da fórmula.
4.4 Para saber mais
Você poderá consultar outros livros para aprofundar estes conhecimentos. 
Recomendo consultar as seguintes referências.
Título: Matemática financeira
Autor: MILONE, G. Editora: Thompson Learning, SP Ano: 2006
No livro, os assuntos foram organizados em uma sequência lógico-
didática, a fim de orientar o estudo e facilitar a compreensão das 
demonstrações de fórmulas. A obra traz 120 exemplos e 741 exercícios, 
resolvidos de modo algébrico e com uso da calculadora financeira, 
ajudando a fixar os conteúdos. Para tornar o assunto mais leve, procurou-
se dar aos exemplos e exercícios credibilidade e humor, apresentando-os 
em linguagem coloquial e ilustrando-os com personagens e histórias 
emprestadas da literatura e da música, tanto popular como erudita.
Capítulo 4
123Matemática Financeira
Título: Fundamentos e técnicas de administração fi nanceira
Autor: BRAGA, R. Editora: Atlas, SP Ano: 2008
Organizado para transmitir conceitos e técnicas de eficácia 
comprovada, imprime ao tema uma visão prática, tornando-o 
adequado para os profissionais que 
necessitam dominar os fundamentos da disciplina no contexto da 
realidade empresarial brasileira.
Site: Somatematica
URL: http://www.somatematica.com.br
Neste site você encontra textos de matemática financeira básica, 
jogos e exercícios.
Site: Bertolo
URL: http:///www.bertolo.pro.br
Assinado pelo professor Luiz Bertolo, contém as informações 
relevantes para a disciplina de matemática financeira, incluindo 
apostilas, gabaritos de exercícios e questionários. O site é atualizado 
periodicamente.
4.5 Relembrando
Neste capítulo, aprendemos sobre o cálculo e particularidades do 
desconto composto. Existem duas categorias de desconto composto, o desconto 
bancário, que é conhecido por desconto por fora. E o desconto racional, que 
também recebe o nome de desconto por dentro.
O desconto bancário composto é calculado sobre o valor nominal do 
título, duplicata, promissória ou letra de câmbio. Já o desconto racional 
composto incide sobre o valor atual, valor presente ou valor líquido. 
Para o desconto bancário, foram utilizadas as seguintes fórmulas:
PV = FV × (1 - i)n
FV PV
(1 i)n
=
−
Db = FV [1 - (1- i)n ] 
Capítulo 4
124 Matemática Financeira
Você aprendeu também a calcular o valor do desconto, tanto o desconto 
bancário como o desconto racional composto. O desconto é a quantia que 
se diminui quando ocorre uma antecipação do pagamento de uma dívida, 
como também pelo resgate antecipado de um valor que deve ser recebido 
no futuro. 
Para o desconto racional, aplicamos as fórmulas apresentadas na 
sequência:
FV = PV(1 + i)n
PV FV
(1 i)n
=
+
Dr = PV × [(1 +i)n - 1] 
Foram desenvolvidos também exemplos sobre o cálculo da taxa de 
desconto, bem como do período de antecipação. Nesses itens, ressaltamos 
os tempos dos resultados, tanto da taxa como do período de antecipação. 
Resumindo: o tempo depende da taxa e, por sua vez, a taxa é dependente 
do tempo.
Espero que, com a variedade de exemplos apresentados, você tenha 
assimilado o conteúdo sobre desconto composto. Agora é a sua vez de testar 
o que aprendeu, resolvendo os exercícios sugeridos a seguir. Bom trabalho!
4.6 Testando os seus conhecimentos
1) O banco libera a um cliente R$ 680.000,00 proveniente do desconto bancário 
composto de um título de valor nominal de R$ 900.000,00 descontado a taxa 
de 18% a. a. com capitalização bimestral. Calcule o prazo em (anos, meses e 
dias) de antecipação que foi descontado este título.
2) Numa antecipação de 6 meses, calcule o valor do desconto racional 
composto, sabendo que o valor do título é de R$ 550.000,0 e que a taxa de 
juros é 72% a.a. com capitalização mensal.
3) Um título de valor nominal de R$ 120.000,00 foi resgatado 8 meses antes de 
seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 4,5 % a.m., qual o desconto 
racional composto concedido?
Capítulo 4
125Matemática Financeira
4) Um título de R$740.000,00 é descontado 8 meses antes do vencimento por 
desconto racional composto, pelo valor de R$ 642.000,00. Considerando a 
capitalização bimestral, qual é a taxa anual cobrada?
Onde encontrar
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
Capítulo 4
126 Matemática Financeira
Capítulo 5
127Matemática Financeira
SÉRIES FINANCEIRAS I
CAPÍTULO 55
5.1 Contextualizando
Você estudou nos juros simples e compostos, situações em que um 
capital era aplicado para a formação de um montante ou uma dívida era 
saldada de uma única vez. Nas mesmas condições também realizamos 
operações financeiras de descontos de títulos. Neste capítulo, vamos 
estudar o pagamento ou o recebimento do dinheiro, por meio de uma 
sucessão de operações.
Quando você efetua uma compra a prazo, ocorre o processo de 
amortização da dívida. Já quando você quer constituir uma quantia para uma 
data futura, acontece o processo de capitalização.
Este capítulo lhe apresentará os modelos de séries financeiras ou 
anuidades, também conhecidas por rendas, que são as bases para os 
principais modelos de financiamentos de dívidas que são praticadas 
no nosso dia a dia. Você também vai conhecer, por meio de exemplos, 
as relações existentes entre os diversos elementos que compõem uma 
série financeira. Estes elementos são: número de pagamentos, valor dos 
pagamentos, taxa de juros e as equivalências financeiras que permitem 
determinar o valor presente, que podemos interpretar também por valor 
à vista, e o valor futuro equivalente da série.
Então, vamos estudar as operações financeiras que envolvem conjuntos 
de capitais disponíveis em datas diferentes. Além disso, sabemos que, em 
algumas operações financeiras, o capital pode ser recebido de uma só vez ou, 
ainda, por meio de parcelas. Isto é, por meio de uma série finita ou infinita de 
pagamentos ou recebimentos.
Capítulo 5
128 Matemática Financeira
Como resultado do seu esforço, espero que você conheça o significado de 
séries diferidas e aplique nas várias situações de compras a prazo e depósitos 
com diferimento. 
Depois de aprender sobre as séries perpétuas ou infinitas, ao final deste 
capítulo, você será capaz de resolver as situações-problemas sobre taxa, valor 
das prestações e valor presente. Bons estudos!
5.2 Conhecendo a teoria
Em determinada oportunidade de sua vida, você já deve ter estado à 
frente de um ou de dois fatos seguintes:
 • você financiou a compra de um bem em 24 prestações mensais iguais, 
ou outro número; ou
 • resolveu fazer doze (12) depósitos mensais iguais numa caderneta de 
poupança para, com o resultado, comprar algum produto.
Nesses dois casos, tem-se uma sucessão de pagamentos (ou recebimentos) 
que se dá, genericamente, o nome de séries financeiras, séries e também rendas.
No primeiro fato, você se valeu do conjunto de pagamentos para 
amortizar uma dívida, e no segundo, para acumular uma poupança. 
Acumular uma poupança significa efetuar vários pagamentos ou depósitos 
sucessivos numa conta para utilização futura do resultado; esse resultado 
é o montante equivalente da renda (FV). Já o pagamento de uma dívida 
significa que o gasto ou dispêndio inicial foi substituído por um conjunto 
de pagamentos futuros que lhe é equivalente; assim, o valor presente da 
renda (PV) equivale ao conjunto de prestações futuras que serão pagas 
(KUHNEN; BAUER, 2001).
Pode ocorrer o caso em que tenhamos pagamento pelo uso sem que 
tenhamos amortização, como é o caso dos aluguéis.
Estas situações caracterizam a existência de rendas ou séries de 
pagamentos ou de recebimentos.
Capítulo 5
129Matemática Financeira
5.2.1 Séries antecipadas e postecipadas
Chamamos de série de pagamentos ou recebimentos, séries de 
prestações ou anuidades, a toda sequência finita ou infinita de pagamentos 
ou recebimentos em datas previamente estipuladas.
Consideremos a sequência de capitais y1, y2, y3, y4 .......... yn respectivamente 
nas datas 1, 2, 3, 4....n (a unidade de tempo pode ser mês, semestre, ano, etc.). 
Dizemos que esse conjunto constitui uma sequência uniforme se 
y1 = y2 = y3 =y4 = ........ = yn = R
Isto é, se todos os capitais são iguais, indicando esse capital constante 
por R, (A ou PMT para a calculadora financeira. A representação gráfica da 
sequência uniforme é a seguinte:
 
R R R R R ......... R
1 2 3 4 5 ......... n
0
Por definição, segundo Hazzan e Pompeo (2007, p. 151), o valor atual 
(na data 0) da sequência uniforme, a uma taxa de juros i na unidade de tempo 
considerada, é:
 
PV
R
i
R
i
R
i
R
i
R
i
PV R
n n= +
+
+( )
+
+
+
+
+
+
= ×
+
−( ) ( )
.....
( ) ( )
(
1 1 1 1 1
1
1
1 2 3 1
ii i i i in n) ( ) ( )
....
( ) ( )1 2 3 1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥−
O valor entre os colchetes poderia ser calculado somando-se termo a termo. 
Contudo, para valores altos de n, este procedimento se tornaria um procedimento 
demorado.
Os autores ressaltam que simplificações podem ser feitas e, como você 
pode observar, a expressão que está entre colchetes é a soma dos termos 
de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo (a1) é igual a 1
1+ i
Capítulo 5
130 Matemática Financeira
e cuja razão é q
i
=
+
1
1
.Utilizando a expressão da soma dos termos de uma 
progressão geométrica S
a q
q i
n
=
−( )
−
1 1
e considerando a1 = 
1
1+ i
 e q
i
=
+
1
1
 
podemos representar a expressão atual ou do valor presente da seguinte forma:
Pv R
i
i i
n
n
=
+( ) −
+( ) ×
1 1
1 . Esta expressão pode ser resumida por meio de operações 
matemáticas e ficar ainda mais simples. Vamos, então, adotar para as nossas 
resoluções este novo formato. Veja como fica:
PV PMT
1 1 i
i
n
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
 (1)
Você deve ter observado que trocamos a letra R, que significa 
recebimentos paraPMT. Fizemos isso para seguirmos a nomenclatura da 
calculadora financeira, em que PMT é a abreviatura de payment, uma palavra 
em inglês que significa pagamento (HAZZAN; POMPEO, 2007).
O valor presente, ou seja, o valor atual pode ser calculado pela fórmula, 
pela calculadora financeira ou ainda pelas tabelas financeiras que você 
encontra no final de alguns livros que foram referenciados em nosso material.
As calculadoras financeiras permitem encontrar qualquer uma das 
variáveis (PV, PMT, i e n), dados os valores das outras três. As teclas usadas são:
 • PV – Present Value, que corresponde a V (valor atual, valor presente ou 
valor à vista).
 • PMT – Payment, que corresponde a R (valor de cada prestação);
 • i – que corresponde à taxa de juros na unidade de tempo adotada;
 • n – que corresponde ao número de pagamentos.
Para você entender melhor e visualizar a situação apresentada nas 
questões, vamos esboçar a situação problema por meio do diagrama de 
fluxo de caixa, mostrado na figura 1, a seguir, que aprendemos no início 
desta disciplina.
Capítulo 5
131Matemática Financeira
R R R R R R 
R
1 2 3 4 5 6 
n
0
PV
Figura 1 - Modelo de fl uxo de caixa
Fonte: adaptada de Kuhnen e Bauer (2000).
LEMBRETELEMBRETE
Este modelo de série é o mais importante e nele 
se baseiam os demais. Ele apresenta as seguintes 
características e pode ser visualizado na figura 1.
• o número de termos é limitado; 
• os termos são todos iguais;
• os períodos entre dois termos consecutivos são sempre iguais;
• a série é postecipada (também chamada de vencida) – quando o 
primeiro desembolso é efetuado no final do primeiro período e os 
desembolsos ocorrem sempre no final de cada período de tempo. 
Observe que a primeira das n prestações acontece no final do primeiro 
período de tempo (data 1); todas as n prestações possuem valores 
iguais a R ou PMT (payments em inglês) e a periodicidade é constante.
Conceito e classificação de séries financeiras
As séries, também denominadas por anuidades, segundo Kuhnen e Bauer 
(2001, p. 123), “poderão ser classificadas em certas e aleatórias. Anuidades 
certas são aquelas cuja duração e pagamentos são predeterminados, não 
dependendo de condições externas”. Já nas anuidades aleatórias, conforme 
estes mesmos autores, os valores e/ou datas de pagamentos ou recebimentos 
podem ser variáveis. 
Para ilustrar, Mathias e Gomes (1996) citam como exemplo o que ocorre 
com os seguros de vida: os valores são certos, mas são aleatórios o valor do 
seguro a receber e a data de recebimento. Estes tipos de séries são estudados 
no segmento da matemática atuarial.
Capítulo 5
132 Matemática Financeira
As séries, segundo Kuhnen e Bauer (2001), podem ser classificadas de 
acordo com quatro dados: prazo, o valor, a forma e o período.
Quanto ao prazo, as séries podem ser:
 • temporárias – com duração limitada;
 • perpétuas – com duração ilimitada, como aluguel, condomínio e outros.
Já quanto ao valor, as séries, tanto de recebimentos quanto de 
pagamentos, podem ser:
 • constantes – com todos os pagamentos e recebimentos em valores iguais;
 • variáveis – quando os pagamentos e os recebimentos não são de 
valores iguais.
No que diz respeito à forma de pagamentos, recebimentos ou depósitos 
podemos ser:
 • imediatas – quando o primeiro pagamento, recebimento ou depósito 
ocorre no primeiro período. Elas podem ser postecipadas (ocorrem no 
final do período, sem entrada) ou antecipadas (no início do período, 
ou seja, com entrada igual às das demais prestações);
 • diferidas (com carência) – quando o primeiro pagamento, recebimento 
ou depósito não ocorre no primeiro período. Nessa categoria, elas podem 
ser postecipadas ou antecipadas. Quando desconsiderada a carência, 
temos uma situação idêntica a das séries imediatas postecipadas. Isto 
é, o primeiro pagamento, recebimento ou depósito ocorre um período 
após o término da carência ou deferimento. Nas diferidas antecipadas é 
também desconsiderada a carência e temos uma situação idêntica a das 
séries imediatas antecipadas. A diferença é que o primeiro pagamento 
ou recebimento coincide com o final da carência ou diferimento.
Quanto ao período, as séries podem ser:
 • periódicas – quando todos os intervalos entre os pagamentos, 
recebimentos ou depósitos são iguais;
Capítulo 5
133Matemática Financeira
 • não periódicas – quando os intervalos não são iguais entre as parcelas.
5.2.2 Cálculo do valor presente (valor atual) 
Para determinarmos o valor atual ou valor presente (PV) de uma 
sucessão de pagamentos ou recebimentos, somamos o valor atual do 
desconto racional composto de cada parcela da série, ou seja, calculamos 
o valor atual de cada parcela da série de pagamento ou recebimento pelo 
desconto racional composto, e, em seguida, somamos os valores assim 
encontrados (KUHNEN; BAUER, 2001).
Cada parcela de uma série de pagamentos ou recebimento é denominada 
prestação (PMT).
Para você entender melhor, vamos ver o exemplo a seguir.
Exemplo 1 – Uma loja vende um eletrodoméstico a prazo, em 6 pagamentos 
mensais e iguais de R$ 540,00, vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a 
loja cobra uma taxa de juros de 5% ao mês, qual o seu preço à vista?
Vamos proceder como já fizemos em outros exercícios, identificando os 
dados informados na questão.
n = 6 pagamentos mensais
R = PMT = 540,00
i = 5 % ao mês.= 0,05 (forma decimal)
PV = ?
Vamos ver como fica o desenvolvimento da solução? Para encontrarmos 
o resultado, vamos aplicar a fórmula 1, que mostramos anteriormente.
Capítulo 5
134 Matemática Financeira
Pv PMT
i
i
Pv
Pv
n
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−
−
1 1
540
1 1 0 05
0 05
1
6,
,
5540
1 1 05
0 05
540
1 0 746215
0 05
540
6− ( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
−,
,
,
,
Pv
Pv
00 253785
0 05
540 5 075700
2 740 88
,
,
,
. ,
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ×
=
Pv
Pv
Então, o valor à vista é de R$ 2.740,87.
Você pode também resolver esta questão utilizando a calculadora 
financeira. Para encontrar o resultado, digite:
fn f2
540 CHS PMT
5 i
6 n 
PV = 2.740,87
Observe como é simples resolver a questão pela calculadora financeira. 
Esta calculadora é mesmo uma beleza, você concorda?
Para ficar bem entendido, vamos ver mais um exemplo? Siga, então, o 
desenvolvimento.
Exemplo 2 – Determine o valor presente para a série postecipada constituída 
por 8 (oito) prestações semestrais de $ 1.000,00 e taxa de juros de 6% a.s.
O primeiro passo é identificar os dados da questão:
PV = ?
i = 6% a.s.= 0,06 (forma unitária)
n= 8 prestações semestrais
PM T = 1.000,00
Capítulo 5
135Matemática Financeira
Aplicando a fórmula 1, encontraremos o resultado.
PV PMT
i
i
PV
PV
n
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
−
1 1
1000
1 1 0 06
0 06
1
8,
,
==
− ( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
−
1000
1 1 06
0 06
1000
1 0 627412
0 06
8,
,
,
,
PV
PV 11000
0 372588
0 06
1000 6 209800
6 209 80
,
,
,
. ,
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ×
=
PV
PV
Como você pode verificar, o resultado do valor presente da série é R$ 6.209,80.
Resolvendo por meio da calculadora financeira, temos:
fn f2
1.000CHS PMT
6 i
8 n
PV = 6.209,80
LEMBRETELEMBRETE
Na resolução das questões sobre séries, também 
devemos fazer a taxa concordar com o número de 
prestações. E, neste caso, a forma de pagamento 
não pode ser alterada, isto é, se forem 20 prestações 
semestrais, não poderemos fazer 10 prestações anuais. 
Temos que respeitar a forma de pagamento. Sendo assim, vamos sempre 
ajustar a taxa, como ela estiver indicada, tanto de forma proporcional, se 
for taxa nominal, como de forma equivalente, se for efetiva.
Capítulo 5
136 Matemática Financeira
O valor da prestação é a quantia que o cliente vai pagar ou receber, 
conforme o que reza no contrato de compra ou de recebimento. Para calcular 
o valor da prestação, vamos resgatar fórmula 1 e fazer alguns ajustes e obter 
a fórmula que nospermitirá encontrar a prestação PMT.
PV PMT 
1 1 i
i
PMT PV
1 1 i
i
PMT PV 
n
n
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−
−
××
− +( )⎡⎣ ⎤⎦
−
 i
1 1 i
 
n fórmula 2
Para entendermos melhor o cálculo do valor da prestação, vejamos um exemplo.
Exemplo 3 – Uma mercadoria à vista custa R$ 101.530,00, podendo ser 
adquirida em 10 prestações mensais, sendo a primeira paga um mês após a 
compra, à taxa de 4% ao mês. Calcule o valor de cada prestação.
Como sempre fazemos, vamos identificar os dados da questão.
PV = 101.530,00
i = 4% a.m. = 0,04 a.m.
n = 10 prestações mensais.
PMT = ?
Siga agora o raciocínio:
PMT
PV i
i
PMT
n
=
×
− +( )⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
×
− +( )⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
−
−
1 1
101 530 0 04
1 1 0 04 10
. ,
,
PPMT
PMT
PMT
=
− +( )⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
−
=
−
4 061 20
1 1 0 04
4 061 20
1 0 675564
10
. ,
,
. ,
.
44 061 20
0 324436
12 517 72
. ,
,
. ,PMT =
Capítulo 5
137Matemática Financeira
Pela calculadora financeira, digite:
fnf2
101.530CHS PV
4 i
10n
PMT = 12.517,72
Como pode constatar, o valor da prestação é de $ 12.517,72.
O uso do cheque como meio de pagamento está 
perdendo espaço desde 1994, ano do Plano Real, 
que controlou a inflação. Mas uma projeção da 
Associação Brasileira das Empresas de Cartões de 
Crédito e Serviços (ABECS) indica que o meio de 
pagamento baseado em papel timbrado por um 
banco com a assinatura do portador deverá ficar relegado a situações 
específicas. Até 2018, apenas 3% dos pagamentos vão ser realizados 
com cheques, metade do que foi registrado em 2008. Os brasileiros 
assinaram 1,23 bilhão de cheques no ano de 2009 – um número 37% 
menor do que em 2004, segundo dados do Banco Central. 
Fonte: <www.meionorte.com.br/noticias/economia>
CURIOSIDADE
5.2.3 Cálculo do número de prestações
Podemos verificar que, como ocorre com o valor da prestação (PMT), 
o número de prestações (n) também pode ser calculado partindo-se do 
valor atual ou do montante, dependendo da situação problema que 
temos, embora sejam raras as situações reais onde se deseja calcular o 
número de prestações para atingir um determinado montante. Vamos, 
então, acompanhar algumas situações para você entender o processo de 
cálculo. Fique ligado na resolução!
Exemplo 4 – Um aparelho de televisão custa R$ 500,00 à vista, mas será 
vendido em parcelas mensais de R$ 134,51. Sabendo que a taxa efetiva de 
mercado é 42,5761% a.a., em quantas prestações mensais foi vendido?
Vamos inicialmente identificar os dados da questão. Vamos ver como fica?
Capítulo 5
138 Matemática Financeira
PV = 500,00
i = 42,5761% a.a. (taxa efetiva)
n = ?
PMT = 134,51
Como você pode verificar, a taxa é efetiva, e não está na mesma unidade 
de tempo que as prestações. Sendo assim, precisamos converter a taxa para 
mês. Acompanhe, então:
Conversão da taxa
1 1
1 1 0 425761
1 1 425761
12 1
12
1212 12
+( ) = +( )
+( ) = +( )
+( ) =
i i
i
i
m a
m
m
,
,
11 1 030000 1
0 03 100
3
+ = −
= ×
=
i
i
i am
m
m
m
,
,
% . .
Deste ponto em diante, podemos aplicar a fórmula que nos permite 
encontrar o resultado. Vamos começar?
PV PMT
i
i
n
n
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
−
1 1
500 134 51
1 1 0 3
0 03
,
,
,
5500
134 51
1 1 0 3
0 03
3 717196 0 03 1 1 03
,
,
,
, , ,
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
× = − ( )
−
−
n
n⎡⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − ( )
( ) = −
( ) =
−
−
−
0 111516 1 1 03
1 03 1 0 111516
1 03 0 88
, ,
, ,
, ,
n
n
n 88484
Você deve lembrar que, no cálculo do n nos juros compostos, nós aplicamos 
o logaritmo. Para o cálculo do número de prestações nas séries financeiras 
também procederemos da mesma forma. Vamos adotar o (ln), que é o logaritmo 
neperiano, e que a maioria das calculadoras tem disponível. Veja:
Capítulo 5
139Matemática Financeira
ln(1,03)-n = ln 0,888484
-n × ln (1,03) = ln 0,888484
-n × 0,029559 = - 0,118224
n =
−
−
0 118224
0 029559
,
,
n = 4 prestações
Você pode também obter este resultado por meio da calculadora financeira.
fn f2
500 CHS PV 
134,51 PMT
3 i
n
Como você pode constatar, o resultado são 4 prestações. E para que você 
não fique com dúvidas, vamos desenvolver mais um exemplo.
Exemplo 5 – Em quantas prestações trimestrais de R$ 8.000,00, sem 
entrada, pode ser liquidada uma dívida de R$ 60.848,64 se a taxa contratada 
for de 10%a.t.?
Então, você já pode tentar resolver esta questão sem dificuldade. Vamos 
identificar os dados e resolver a questão?
PMT = 8.000,00
PV = 60.848,64
i = 10% a.t.= 0,10 a. t
n = ?
Como a questão considera prestações trimestrais, não precisamos fazer 
nenhuma transformação na taxa. Vamos somente aplicar a fórmula das séries 
postecipadas.
Capítulo 5
140 Matemática Financeira
PV PMT 
1 1 i
i
60.848,64 8.000 
1 1 0,10
n
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= ×
− +( )
−
−−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
n
n
0,10
60.848,64
8.000
1 (1,10)
0,10
7,606080 0,10 1 (1,10)
0,760608 1 (1,10)
(1,10) 1 0,760
n
n
n
× = −⎡⎣ ⎤⎦
= −
= −
−
−
− 6608
(1,10) 0,239392
ln (1,10) ln 0,239392
-n ln1,10 l
n
-n
− =
=
= nn 0,239392
Vamos ver como se calcula pela calculadora financeira?
fn f 2
60.848,64 CHS PV
8.000 PMT,
10 i
n
Como você teve a oportunidade de verificar, o resultado são 15 
prestações. A calculadora sempre arredonda o n para o inteiro imediatamente 
superior. Agora que você já sabe calcular o número de prestações das séries 
postecipadas, vamos aprender no próximo item como se calcula a taxa.
5.2.4 Cálculo da taxa 
Aqui temos a opção de calcular pela tabela financeira, fazendo uma 
interpolação nos casos em que não encontramos o índice na tabela, por 
tentativa e erro, ou pela calculadora financeira, em que, por estar preparada 
para os cálculos financeiros, somente precisamos inserir os dados dos quais 
dispomos e o restante é calculado por ela (KUHNEN; BAUER, 2001).
Deduzimos fórmulas para cálculo de PV, PMT, e para n, mas não é possível 
criar uma fórmula para o cálculo de i, quando conhecemos as demais variáveis. 
-n x 0,095310 -1,429653
n - 1,429653
- 0,095310
n
=
=
==15
Capítulo 5
141Matemática Financeira
O cálculo de i só é possível por aproximações sucessi vas. 
Quando temos em mãos uma calculadora financeira, podemos procurar 
o valor que mais se aproxima do fator FAP n i
PV
PMT
/( ) =
Vamos acompanhar um exemplo? 
Exemplo 6 – Um aparelho que custa R$ 101.513,84, à vista, será vendido 
em 6 prestações mensais de R$ 20.000,00, sendo a primeira paga um mês após 
a compra. Qual é a taxa de juros?
Comece identificando os dados da questão:
PV = 101.513,84
PMT = 20.000,00
n = 6
i =? (a taxa vai resultar ao mês, pois as parcelas são mensais)
Pela tabela financeira, teremos:
FAP i
FAP i
6
101 513 84
20 000
6 5 075692
/
. ,
.
/ ,
( ) =
( ) =
Conhecendo este fator, procuramos na tabela, no encontro de n que, 
no caso, é 6, com FAP(6/i) para encontrar o número 5,075692. Na linha 
correspondente ao valor 5,075692, encontraremos a taxa procurada, ou 
seja, 5%.Podemos facilmente encontrar o resultado utilizando a calculadora 
financeira.
f finf 2
101.513,84 CHS PV
20.000 PMT
6 n
i 
No visor da calculadora vai aparecer 5, que corresponde a 5%, que no 
caso é ao mês.
Capítulo 5
142 Matemática Financeira
Nem sempre encontramos a taxa exata pela tabela financeira, que você 
visualiza no apêndice de alguns livros. Quando não encontramos o fator 
procurado na tabela financeira, podemos procurar uma taxa aproximada 
fazendo a interpolação linear.
Vamos ver como é a forma de cálculo? 
Exemplo 7 – Um objeto que custa, à vista, R$ 1.000,00, está sendo vendido 
em 10 prestações mensais de R$ 200,00. Qual será a taxa de juros cobrada?
Vamos identificar os dados da questão e seguir o desenvolvimento da resolução.
PV = 1.000,00
PMT = 200,00
n = 10
i = ? a.m.
Para a resolução, vamos utilizar a tabela financeira e depois fazer a 
aproximação pela interpolação linear.
FAP(n/i) = 
1 000
200
.
FAP(10/i)= 5,00000.
Depois de conseguirmos este dado, procuramos na tabela financeira 
este fator. Se você não encontrar, busque um fator com valor superior e 
outro com valor inferior.
Depois de encontrados os dois valores, um maior e um menor, 
podemos concluir que a taxa está situada entre as duas taxas que formam 
estes dois fatores, pois qualquer índice, como neste exemplo, que seja 
menor que 15% e maior que 16%, não chegará ao fator procurado, 
5,00000 (KUHNEN; BAUER, 2001).
Encontrados os dois índices, é hora de montar a regra de três para 
calcular a interpolação linear. Veja como fica.
FAP(10/15%) -------------- 5,018769 FAP(10/15%) -------------- 5,018769
FAP(10/16%) -------------- 4,833227 FAP(10/i) -------------------- 5,000000
Capítulo 5
143Matemática Financeira
1% __________________ 0,185542 Δ______________ 0,018769
E chegamos aos seguintes dados:
1% __________________ 0,185542 
Δ___________________ 0,018769 
Logo:
Δ. 0,185542 = 1 . 0,018769 
Δ =
Δ =
1 0 018769
0 185542
0 101157689
. ,
,
,
Como vimos anteriormente, a taxa fica entre 15% e 16%; necessitamos 
agora somar o valor de Ä ao ponto de análise, logo: 15% + 0,101157689 = 
15,101157689% a.m., sendo a taxa procurada.
Não vamos desenvolver a questão por tentativa e erro porque é um 
trabalho exaustivo e leva muito tempo. Então, se você dispõe de uma 
calculadora financeira, poderá obter o resultado de forma bem simples, 
como já foi mostrado no exercício anterior e como mostraremos na 
sequência.
Pela calculadora financeira, temos: 
f fin f2
1.000 CHS PV
200 PMT
10 n
i = 15,0984145 %
Como você pode observar, há uma pequena diferença entre o resultado obtido 
pela interpolação linear e pela calculadora financeira. Ocorre que a calculadora 
processa o cálculo de forma exponencial e a interpolação, de forma linear.
Capítulo 5
144 Matemática Financeira
LEMBRETELEMBRETE
Lembre-se que a limpeza das memórias financeiras 
da calculadora financeira, que recomenda realizar 
antes da utilização da calculadora financeira, é 
feita acionando as teclas amarelas f. CLEAR FIN, 
ou então, f CLEAR REG.
5.2.5 Cálculo do valor futuro (montante)
O montante ou valor futuro (FV) de um fluxo de caixa nada mais é do 
que a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos da anuidade, ou 
seja, a soma dos valores de todos os pagamentos capitalizados para a data 
focal n para uma dada taxa de juros i (KUHNEN; BAUER, 2001).
Estudaremos agora as parcelas, também denominadas de depósitos, que 
se relacionam com um valor futuro, um montante após determinado número 
de depósitos. 
Devemos observar quando a série é postecipada ou antecipada, pois nas 
séries postecipadas, o valor futuro ocorre na data do último depósito. Já nas 
séries antecipadas, o valor futuro ocorre um período antes, necessitando de 
um ajuste.
Para Hazzan e Pompeo (2007, p. 174), “chamamos de montante da série, 
na data n, a soma dos montantes de cada capital R (PMT), aplicado desde a 
data considerada até a data n”.
Assim, se denominarmos FV o montante, teremos:
FV = PMT(1+i)n-1+ PMT(1+i)n-2 + PMT(1+i)n-3 +...+ PMT
O segundo membro dessa expressão é a soma dos termos de uma 
progressão geométrica (PG) finita, em que:
 q
i
=
+
1
1
 e a1= PMT(1+i)n-1
Capítulo 5
145Matemática Financeira
Lembrando a fórmula da soma da PG finita,
S
a q
q i
n
=
−( )
−
1 1
Resulta, no caso de nossa expressão, em:
FV PMT (1 i) 1
i
n
=
+ −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ fórmula 4
O fator 
1 1+( ) −i
i
n
 é chamado de fator de acumulação de capital.
As calculadoras financeiras permitem obter diretamente o valor de qualquer 
uma das quatro variáveis (FV, PMT, n, i), dados os valores das outros três.
As teclas utilizadas são:
FV – (Future Value) que corresponde ao montante;
PMT – (Payment) que corresponde às prestações;
I – que corresponde à taxa de juros;
n – corresponde ao número de depósitos.
Para você entender como é o procedimento do cálculo, vamos a mais um 
exemplo.
Exemplo 7 – Um investidor aplica mensalmente a quantia de R$ 2.000,00 
em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros 
compostos de 2% a.m. Se o investidor fizer sete (7) aplicações, qual o montante 
no instante do último depósito?
Identifique os dados da questão:
PMT = 2.000
i = 2% a.m.= 0,02 a.m. (forma unitária)
n = 7 aplicações mensais
FV =
Aplicando a fórmula 4, teremos:
Capítulo 5
146 Matemática Financeira
FV PMT (1 i) 1
i
FV 2.000 (1 0,02) 1
0,02
FV
n
7
= ×
+ −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= ×
+ −⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
== ×
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
= ×
−⎡
⎣⎢
⎤
2.000 (1,02) 1
0,02
FV 2.000 1,148686 1
0,02
7
⎦⎦⎥
= × ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ×
=
FV 2.000 0,148686
0,02
FV 2.000 7,4343
FV 14.868,,60
Vamos obter este resultado utilizando a calculadora financeira:
f finf2
 2.000 CHS PMT
2 i
7 n
FV 
Você vai ter no visor o resultado que obtivemos aplicando a fórmula, ou 
seja, R$ 14.868,60. 
Cálculo do valor do depósito
O valor das prestações também pode ser calculado a partir do montante 
de séries, apenas posicionando antes da igualdade o PMT, que é a representação 
do valor do depósito (KUHNEN; BAUER, 2001).
Vamos utilizar a fórmula do montante ou valor futuro e fazer alguns 
ajustes para efetuar o cálculo dos depósitos.
Capítulo 5
147Matemática Financeira
FV PMT
i
i
PMT
FV
i
i
PMT
FV i
i
n
n
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
×
+(
1 1
1 1
1 )) −n 1 fórmula 5
Vamos ver um exemplo para você aprender como fazer o cálculo?
Exemplo 8 – Uma pessoa deseja comprar daqui a 5 meses mercadorias no 
valor de R$ 35.678,00. Quanto deverá depositar mensalmente se a instituição 
financeira paga juros de 5,5% a.m.
Vamos ver como fica o cálculo? Inicialmente, precisamos identificar os dados.
PMT = ?
FV = 35.678,00
i = 5,5% a.m. = 0,055 a.m.
n= 5 meses
Aplicando a fórmula 5, teremos:
PMT
FV i
i
PMT
PMT
n
=
×
+( ) −
=
×
+( ) −
=
1 1
35 678 0 055
1 0 055 1
1 962 29
1
5
. ,
,
, ,
,0055 1
1 962 29
1 306960 1
1 962 29
0 306960
6 3
5( ) −
=
−
=
=
PMT
PMT
PMT
, ,
,
, ,
,
. 992 66,
Capítulo 5
148 Matemática Financeira
Resolvendo pela calculadora financeira:
f fin f2
35.678 CHS FV
5,5 i
5 n
PMT
Como você pode constatar, o resultado é R$ 6.392,66.
Cálculo da prestação
Podemos determinar o número de depósitos aplicando a fórmula 4.
FV PMT
i
i
n
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1 1
Vamos acompanhar um exemplo para que você aprenda a calcular.
Exemplo 9 – Quantos depósitos mensais de R$ 6.000,00 deverá realizar 
uma pessoa para que tenha no ato do último depósito o saldo de R$ 38.457,00, 
recebendo uma taxa de 3,5% a.m.?
Identificando os dados do problema, temos:
PMT = 6.000,00
FV = 38.457
i = 3,5% a.m.
n = ?
Vamos aplicar a fórmula 4 para encontrar o resultado. Fique atento 
à resolução!
Capítulo 5
149Matemática Financeira
38 457 6 000
1 0 035 1
0 035
6 409500
1 035 1
0
. .
,
,
,
,
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
( ) −
n
n
i
,,
, , ,
, ,
035
6 409500 0 035 1 035 1
0 224333 1 035 1
0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
× = ( ) −
= ( ) −
n
n
,, ,
, ,
, ,
,
224333 1 1 035
1 224333 1 035
1 035 1 224333
1 0
+ = ( )
= ( )
( ) =
n
n
n
In 335 1 224333
1 035 1 224333
0 0344014 0 202396
( ) =
=
× =
=
n In
n In In
n
n
,
, ,
, ,
55 883365,
Podemos concluir que são necessários 6 depósitos (valor arredondado) 
para formar o montante desejado.
Este cálculo pode ser realizado pela calculadora financeira. Digite, então:
f fin f2
38.457 CHS FV
6.000PMT
3,5 i
n 
Como você pode constatar, a calculadora apontou também 6 depósitos, 
confirmando o cálculo realizado pela fórmula.
LEMBRETELEMBRETE
Você deve ter em mente que a calculadora 
financeira sempre arredonda o número de 
períodos para o inteiro maior, que nas séries 
financeiras são os depósitos, pagamentos e 
recebimentos.
Capítulo 5
150 Matemática Financeira
Cálculo da taxa de remuneração dos depósitos
O cálculo da taxa utilizando o valor futuro também é um poucotrabalhoso, a exemplo do que ocorreu no cálculo da taxa, com a fórmula 
do valor presente (valor atual). Para melhor entendimento, neste tipo 
de cálculo podemos aplicar, também, a interpolação linear por meio 
da tentativa e erro, e pela calculadora financeira. Neste capítulo, não 
utilizaremos o formato da tentativa e erro, por ser um cálculo demorado 
e exaustivo.
Vamos ver um exemplo, então?
Exemplo 10 – Uma pessoa deposita mensalmente a quantia de R$ 5.000,00 
em uma caderneta de poupança e, no momento do quinto (50) depósito, seu 
saldo era de R$ 28.753,70. Determine a taxa de juros paga pelo banco.
O primeiro passo você já sabe: identifique os dados da questão.
FV = R$ 28.573,70
PMT = 5.000,00
n= 5 depósitos mensais
i= ?
Aplicando o cálculo do fator e utilizando a tabela financeira, temos:
FMP n i
FV
PMT
FMP i
FMP i
/
/
. ,
.
/ ,
( ) =
( ) =
( ) =
5
28 753 70
5 000
5 5 750740
Neste caso, procurando na tabela financeira, encontraremos FMP 
(5,7%)= 5,750739, que apresenta uma diferença que não é significativa e 
não precisamos nos preocupar. O valor da taxa se obtém adotando o mesmo 
procedimento adotado para o cálculo da taxa quando se utiliza o valor 
presente. Relembrando:
No encontro do n, que neste caso é 5 com linha correspondente ao valor 
de 5,750739 encontramos a taxa 7%.
Capítulo 5
151Matemática Financeira
Se quisermos saber com exatidão a taxa, deveremos utilizar o método 
de tentativa e erro, como foi mencionado quando calculamos a taxa pelo 
valor atual. Isto é, experimentando os valores até encontrar o valor exato 
que satisfaça a igualdade.
Mas você pode obter a taxa de uma maneira bem fácil utilizando a 
calculadora financeira. Siga os passos:
F finf2
28.753,70 CHS FV
5.000 PMT
5 n
i
Isto é, a taxa procurada é de 7% ao mês.
Todas as fórmulas só podem ser usadas se a taxa “i” 
for efetiva e o período de capitalização for igual ao 
período entre dois termos consecutivos, ou seja, se 
as prestações forem trimestrais, a taxa i deverá ser 
efe tiva trimestral; se as prestações forem semestrais, 
a taxa deverá ser semestral, e, assim sucessivamente. 
Lembre-se também que a taxa deve ser unitária.
SAIBA QUE
Conceito de série antecipada
As series antecipadas são aquelas nas quais os pagamentos se dão ao 
início de cada período; exemplos deste tipo de séries são as compras financiadas 
em que o primeiro pagamento se dá no ato da compra (entrada) ou uma 
operação de arrendamento mercantil (leasing) na qual os pagamentos se dão 
no início de cada período (KUHNEN; BAUER, 2001).
As anuidades antecipadas possuem as características a seguir:
 • o número de termos é limitado; 
 • os termos são todos iguais;
 • os períodos entre dois termos consecutivos são sempre iguais.
Capítulo 5
152 Matemática Financeira
O primeiro desembolso é efetuado no ato (data zero). Os desem bolsos ocorrem 
sempre no início de cada período (antes) e essa é a razão do nome “antecipada”. 
São exemplos de anuidades antecipadas as compras a prazo, em 
prestações iguais, onde a primeira é dada no ato (entrada) e os contratos de 
aluguel onde o valor é pago um mês antes da utilização do imóvel (aluguéis 
pagos antecipadamente).
Procedendo-se aos descontos dos pagamentos (PMT) e somando-se os 
valores, tem-se:
PV PMT
(1 i)
PMT
(1 i)
PMT
(1 i)
..... PMT
(1 i)0 1 3 n 1
=
+
+
+
+
+
+ +
+ −
Observe que o primeiro pagamento não sofre desconto por estar na 
data focal 0. Tratando-se algebricamente essa expressão, conforme já visto 
anteriormente, chega-se a:
PV PMT
i
i
i
n
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
× +( )
−1 1
1 fórmula 6
Como você pode perceber, a determinação da relação entre valor 
dos pagamentos e valor atual é semelhante à forma do cálculo das séries 
postecipadas. Isto é, com o raciocínio de que o valor presente da série é a 
soma dos valores de todos os pagamentos, devidamente descontados para a 
data focal 0 (zero).
Então, por meio desta fórmula e realizados alguns ajustes, podemos 
calcular qualquer componente da série antecipada. Vamos, então, aprender 
como procedemos para obter o resultado do valor presente ou valor à vista.
Cálculo do valor presente de uma série antecipada
Se você comparar esta fórmula com aquela deduzida para o modelo 
postecipado, vai perceber que elas são muito semelhantes e diferem apenas 
pelo fator (1 + i). Este fato pode lhe ajudar para facilitar o cálculo do PV do 
modelo antecipado.
Capítulo 5
153Matemática Financeira
Para que você aprenda, com mais facilidade, o cálculo do valor presente 
de uma série antecipada, vamos acompanhar a resolução da questão a seguir.
Exemplo 11 – Considere uma série antecipada constituída por uma 
série de 4 pagamentos mensais, iguais, antecipados e sucessivos, no valor 
de R$ 3.000,00. Determine o valor à vista desta série, considerando uma taxa 
efetiva de 2,5% ao mês.
Vamos identificar os dados da questão e aplicar a fórmula 6:
n = 4 pagamentos mensais
PMT = 3.000,00
i = 2,5% a. m = 0,025 a.m.
PV = ?
PV PMT
i
i
i
PV
n
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
× +( )
= ×
− +( )
−
−
1 1
1
3 000
1 1 0 025
0 025
4
.
,
,
⎡⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
× +( )
= ×
− ( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
×
−
1 0 025
3 000
1 1 025
0 025
1 025
4
,
.
,
,
,PV (( )
= ×
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
× ( )PV 3 000 1 0 905951
0 025
1 025.
,
,
,
= ×PV 3 000
0 94049
0
.
,
,,
,
. , ,
. ,
025
1 025
3 000 3 76196 1 025
11 568 03
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
× ( )
= × ×
=
PV
PV
Este cálculo você pode realizar utilizando a calculadora financeira, porém 
deverá acionar a tecla g (azul) BEGIN (beg).Vamos, então, comprovar o resultado?
f finf2
g beg
3.000 CHS PMT
2,5 i
4 n 
PV
Capítulo 5
154 Matemática Financeira
Como você pode ver, o resultado que apareceu no visor é R$ 11.568,07, 
com pequena diferença em relação ao resultado obtido manualmente pela 
fórmula. Para você excluir a função g BEGIN, basta digitar g END (tecla 8).
PRATICANDOPRATICANDO
Pedro está interessado em comprar um carro 
cujo preço à vista é de R$ 40.000,00. Se a entrada 
for de R$ 5.000,00 e o restante for parcelado em 
24 prestações mensais iguais, qual o valor das 
prestações se a taxa acertada foi de 30% a.s. 
com capitalização mensal? 
5.2.6 Operacionalização da calculadora fi nanceira
Como você já notou, desenvolvemos vários exemplos de aplicação da 
calculadora financeira, ferramenta que contribui para a obtenção da solução 
dos problemas de juros compostos. Ela pode apontar falhas no momento do 
desenvolvimento da questão, quando utilizamos as fórmulas, pois podemos 
obter o resultado mais facilmente.
Apesar de algumas funções da calculadora financeira parecerem complexas, 
elas são relativamente fáceis de serem operacionalizadas se dominamos os 
conceitos da matemática financeira, sob o ponto de vista teórico e prático.
Já vimos que esta ferramenta pode auxiliar na agilidade dos cálculos. 
Mas é preciso, obviamente, saber operá-la.
E então, já está habituado ao uso da calculadora financeira?
5.3 Aplicando a teoria na prática
Vamos a um estudo de caso?
João Loureiro tem uma padaria. O negócio está dando certo e cada dia, 
ele observa que e precisa investir R$ 10.000,00 para dar conta da demanda 
dos clientes pelos produtos que fabrica. Ele pretende juntar a soma com oito 
depósitos trimestrais.
Capítulo 5
155Matemática Financeira
Determine o valor de oito (8) depósitos trimestrais de um fluxo de 
caixa, capaz de produzir o montante de R$ 10.000,00, com uma taxa de 
1,96128% a.m.
E então, arriscou responder ao problema? Bem, como observamos por 
meio dos exemplos, é uma série postecipada, pois os depósitos não são 
antecipados. Para a resolução, vamos identificar os dados da questão.
FV = 10.000,00
i = 1,96128% a.m. ( como os depósitos são trimestrais, vamos converter 
a taxa ao trimestre = 0,0196128 a.m= 0,06 = 6% a.t.)
PMT = ?
n = 8 depósitos trimestrais
Aplicando a fórmula 5, temos:
PMT
FV i
i
PMT
PMT
n
=
×
+( ) −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
×
+( ) −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
1 1
10000 0 06
1 0 06 18
. ,
,
6600
1 06 1
600
1 593848 1
600
0 593848
101
8,
,
,
( ) −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
−
=
=
PMT
PMT
PMT 00 36,
Vamos resolver a questão pela calculadora financeira:
f fin f2
10.000 CHS FV
6 i
8 n
PMT
Você pode perceber: o resultado que aparece no visor é o mesmo que 
encontramos no cálculo realizado pela fórmula, isto é, R$ 1010,36.
Capítulo 5
156 Matemática Financeira
5.4 Para saber mais
Site: Proativams
URL: http://wwwproativams.com.br
Neste site do professor Ernesto Coutinho Puccini, você vai encontrar 
downloads de livros, manual para calculadora financeira e tabelas 
financeiras. A página também disponibiliza vídeos, comentários e 
outras informações que vão auxiliar na sua formação. Boa pesquisa!
5.5 Relembrando
Neste capítulo, você aprendeu que séries financeiras, ou anuidades, 
são sucessões de pagamentos ou recebimentos, como também depósitos de 
valores. Aprendeu também que as séries podem ser classificadas em: 
 • quanto ao valor dos termos da renda – sob este ponto de vista, as 
séries podem ser classificadas em:
– séries constantes – quando os valores dos termos que as compõem 
são constantes. Exemplo: prestações iguais em uma compra a 
crédito; e,
– séries variáveis – quando os valores dos termos que as compõem 
são variáveis. Exemplo: depósitos crescentes em uma conta de 
poupança;
 • quanto à periodicidade dos pagamentos – as rendas podem ser 
classificadas em:
– séries periódicas – quando o intervalo entre dois termos consecutivos 
é constante (pagamentos mensais, semestrais ou anuais, por 
exemplo); e,
– séries não periódicas – quando o intervalo entre dois termos 
consecutivos é variável;
 • quanto ao vencimento dos termos – as rendas podem ser classificadas em:
Capítulo 5
157Matemática Financeira
– séries postecipadas – quando os pagamentos ocorrem no fim de cada 
período. Exemplo: compra financiada em três pagamentos mensais, 
ocorrendo o primeiro pagamento 30 dias após a compra; 
– séries antecipadas – quando os pagamentos ocorrem no início de 
cada período. Exemplo: compra financiada em três pagamentos 
mensais, ocorrendo o primeiro pagamento no ato da compra;
 • quanto ao início dos pagamentos – sob este ponto de vista, as rendas 
podem ser classificadas em:
– séries imediatas – quando o primeiro pagamento é devido no 
primeiro período contado da origem da renda; 
– séries diferidas – quando o primeiro pagamento só é devido no 
período subsequente ao período m, denominado período de 
diferimento. Quando os pagamentos são devidos ao início de cada 
período, tem-se um modelo de série diferida antecipada; quando 
os pagamentos são devidos ao final de cada período, tem-se um 
modelo de série diferida postecipada.
5.6 Testando os seus conhecimentos
1) Quantos depósitos mensais de R$ 12.000,00 deverá realizar uma pessoa que 
tenha no ato do último depósito o saldo de R$ 337.588,62, sabendo que a 
instituição paga juros de 5%a.m.? 
2) Uma pessoa deposita trimestralmente em caderneta de poupança o valor de R$ 
2.000,00. Sabendo que o banco paga juros de 24% a.a. com capitalização trimestral, 
quanto possuirá no momento do terceiro depósito, incluindo o mesmo? 
3) Depositando R$ 2.620,00 no início de cada mês em uma instituição que 
paga juros de 5% a.m., qual será o montante no final de 30 meses? 
4) A que taxa devo aplicar mensalmente a quantia de R$ 2.500,00 para obter 
R$ 48.417,60 ao final de 15 meses, sabendo-se que as aplicações são feitas ao 
final de cada mês? 
Capítulo 5
158 Matemática Financeira
Onde encontrar
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A. C. Matemática financeira. Disponível em <www.find-docs.com>. 
Acesso em: 05 out. 2010.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
Capítulo 6
159Matemática Financeira
SÉRIES FINANCEIRAS II
CAPÍTULO 66
6.1 Contextualizando
Quando efetuamos uma compra a prazo, temos várias opções para 
efetuar o pagamento. No mesmo sentido, quando fazemos depósitos, também 
temos possibilidades de realizar estas movimentações em nossa conta corrente 
ou de investimento. 
Em algumas formas de pagamento, é disponibilizado um prazo antes 
de iniciar o pagamento, (pelo menos do segundo período em diante). Nos 
investimentos em agronegócio esta operação ocorre com frequência. O banco 
financia a compra de uma máquina, insumos de produção, ou um tipo de 
beneficiamento para pecuária e concede ao financiado um prazo para o início 
do pagamento das parcelas do financiamento. 
A este prazo, que antecede o início dos pagamentos, chama-se prazo 
de carência ou diferimento. Para você entender como ocorre a capitalização 
e o cálculo das séries diferidas, discorremos ao longo deste capítulo sobre as 
questões que envolvem este tema.
Ao final deste capítulo, espero que você conheça o significado de séries 
diferidas e aplique nas várias situações de compras a prazo e depósitos com 
diferimento. 
Você também estará apto a trabalhar com as séries perpétuas ou infinitas 
e resolver os exercícios sobre taxa, valor das prestações e valor presente. Bons 
estudos!
Capítulo 6
160 Matemática Financeira
6.2 Conhecendo a teoria
6.2.1 Séries diferidas e infinitas (perpétuas)
Como já estudamos na classificação do capítulo anterior, as séries 
financeiras são aquelas em que existe um prazo de carência, também 
denominado de diferimento. 
As séries diferidas possuem as características a seguir:
 • o número de termos é limitado; 
 • os termos são todos iguais;
 • os períodos entre dois termos consecutivos são sempre iguais;
 • o primeiro desembolso é efetuado após o primeiro período (pelo me-
nos, do segundo período em diante). É como se a primeira prestação 
fosse exigível a partir de certo período de carência. Imagine que 
estamos pegando o conjunto de prestações do modelo básico e 
deslocando o bloco todo de um intervalo de tempo igual à carência. 
Observe que as três primeiras características são iguais no modelo das 
séries postecipadas. A única diferença entre o modelo das séries postecipadas 
e o modelo diferido está no fato de que: no modelo das séries postecipadas, o 
primeiro desembolso é efetuado ao final do primeiro período (data 1), enquanto 
no diferido, ele ocorre do segundo período em diante (data 2 ou após).
Por meio da figura 1, você pode observar a diferença entre o modelo de 
série postecipada e o modelo diferido. Observe o diagrama.
Modelos de séries postecipadas
PV PMT
1 1 i
i
n
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
Capítulo 6
161Matemática Financeira
Modelo de séries diferidas
PMT
PVmodelo diferido = ???
1 2 3 m - 1 m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m + 5 m + m
0 1 2 3 4 5 n - 1 n
0
PV PMT 
1 1 i)
imodelo postecipado
n
= ×
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−
Figura 1 – Modelo das séries postecipadas e diferidas
Fonte: adaptada de Veras (1999).
Como mostra a figura 1, a primeira prestação ocorre após o período 
de carência. Sendo assim, o valor presente para série postecipada ocorre no 
período m, que corresponde ao último período de carência. Na sequência, 
serão explicadas as particularidades das séries diferidas.
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Se pesquisarmos no dicionário Aurélio, 
encontraremos uma definição de carência no 
sentido econômico, como sendo: “período 
entre a concessão de um empréstimo 
ou financiamento e o princípio de uma 
amortização: o pagamento do empréstimo será 
em 20 prestações mensais após dois anos de 
carência.” Na mesma referência, encontramos 
o sinônimo de diferimento como sendo 
adiamento (FERREIRA, 1985).
Capítulo 6
162 Matemática Financeira
Classificação das séries financeiras diferidas
As séries diferidastambém podem ser postecipadas ou antecipadas. 
As séries diferidas antecipadas, segundo Kuhnen e Bauer (2001), em 
relação a um valor atual, “são aquelas em que a primeira parcela vence 
juntamente com a carência, enquanto as séries postecipadas são aquelas 
em que a primeira parcela vence um período após a carência”. Neste 
capítulo, vamos somente trabalhar com as séries diferidas postecipadas.
Quando estamos calculando algum componente das séries diferidas, 
utilizaremos as fórmulas do modelo de séries postecipadas e as fórmulas de 
capitalização composta, com alguns ajustes, como você poderá constatar. 
Vamos trabalhar as séries diferidas fazendo referência às séries 
postecipadas e, assim, adaptaremos as principais fórmulas das séries 
postecipadas às séries diferidas. Você deve ter em mente que consideraremos 
para as séries diferidas os componentes das séries postecipadas, de acordo 
com o que segue: n é o número de prestações; PV é o valor presente - 
valor atual, na data focal zero (um período antes da primeira prestação); 
PMT é o valor das prestações; FV é o montante, imediatamente, após (na 
data da) última prestação e i é a taxa efetiva da mesma periodicidade da 
prestação. 
6.2.2Cálculo do valor presente (valor atual)
Para calcular o valor atual, utilizaremos como recursos as fórmulas das 
anuidades postecipadas, como você estudou no capítulo 5, e o montante 
composto, correspondente ao tema do capítulo 3.
Então, para calcularmos o valor presente na data zero, precisamos trazer 
o valor presente da série postecipada (que resultou em um valor futuro FV, 
pois está localizado no período m) para a data zero. 
A operação que traz o valor presente da série postecipada para a data 
zero é o cálculo do PV de uma operação de juros compostos. Parece complicado, 
não é mesmo? Mas você vai perceber que, na prática, é fácil de entender. A 
fórmula 1 vai nos permitir calcular o valor presente e os demais componentes 
das séries diferidas. 
Capítulo 6
163Matemática Financeira
Se você observar a figura 1, poderá verificar que o PVsérie postecipada 
é um valor futuro FV em relação ao PVsérie diferida, e para calcularmos o 
PVsérie diferida, basta descapitalizarmos o PVsérie postecipada m períodos 
de tempo. Sendo assim, podemos escrever PVsérie diferida m= +( )
PV 
1 i
série postecipada .
E assim, podemos escrever que:
PV PVsériediferida sériepostecipada m= +( )
1
1 i
. O item “m”, que aparece na fórmula, 
vamos utilizar a nomenclatura “carência”, pois fica mais compreensível.
Reforçando o que foi colocado anteriormente, na parte referente às 
prestações das séries diferidas, Kuhnen e Bauer (2001) recomendam aplicar a 
fórmula da série postecipada, e no período de carência, o cálculo do PV pela 
fórmula dos juros compostos, como é mostrado a seguir:
PV
PMT x 
1 1 i
i
1 i
n
n=
− +( )
+( )
−
 fórmula 1
A fórmula 1 pode ser simplificada escrevendo da seguinte forma:
PV PMT 
1 1 i
i
 x 
1
1 i
n
carência
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ +( )
−
 
(1)
Para você entender todo este processo de cálculo, vamos ver um 
exemplo.
Exemplo 1 – Determine o valor de um empréstimo, que deverá 
ser devolvido em de 5 pagamentos mensais e consecutivos de $ 500,00, 
sabendo-se que o primeiro pagamento ocorre 4 meses após o empréstimo. 
A taxa de juros cobrada na operação é de 18% ao trimestre com 
capitalização mensal.
Vamos começar? Identifique os dados da questão.
PV = ?
PMT = 500,00
Capítulo 6
164 Matemática Financeira
n= 5
i = 18% a. t com capitalização mensal.
carência = 3 meses
Como você pode verificar, a taxa é nominal e precisamos convertê-la ao 
mês para torná-la efetiva, pelo fato das prestações também serem mensais. 
Para ajustar a taxa, devemos utilizar a proporção, que nada mais é do 
que uma regra de três simples. De forma simplificada, basta dividir a taxa (já 
na forma decimal, por 3), pois cada trimestre tem 3 meses. O resultado é 0,18 
: 3 = 0,06 (forma decimal). 
Aplicando a fórmula 1, temos:
PV PMT
1 1 i
i
1
1 i
PV 500
1 1 0,06
0
n
carência
5
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
×
+( )
=
− +( )
−
−
,,06
1
1 0,06
PV 500
1 0,747258
0,06
1
1,19101
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
×
+( )
=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
×
66
PV 500
0,252742
0,06
0,839619
PV 500 4,212367 0,83961
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
×
= × × 99
PMT 1.768,39=
Você pode realizar este cálculo utilizando a calculadora financeira. Só que 
faremos em duas etapas, pois a calculadora não dispõe de um comando para 
obter o resultado em um único processo. Para obter o primeiro resultado, digite:
500 CHS PMT
6 i
5n
PV
O visor da calculadora mostrou o valor de 2.106,18.
Este valor representa o valor atual da série postecipada que, por sua 
vez, é um valor futuro para série diferida. Logo, falta ainda calcular o valor 
presente da carência, que é a segunda etapa do processo de cálculo. Para 
isso, você deve considerar o resultado encontrado na primeira etapa como 
Capítulo 6
165Matemática Financeira
o valor futuro do período da carência.
E para encontrar o resultado final, você vai acionar as mesmas teclas de 
quando calculava o valor presente nos juros compostos. Siga o raciocínio:
2.106,18 CHS FV
6 i
3 n
PV
Assim, o resultado que aparece no visor é o resultado final do PV, ou seja, 
R$ 1.768,39, que é o mesmo valor encontrado por meio da fórmula. 
Cálculo do valor das prestações
O cálculo do valor das prestações segue a mesma metodologia de cálculo 
do valor presente, isto é, aplicando a fórmula 1, só que destacando a PMT. E 
nada melhor do que um exemplo para que você entenda como se chega ao 
resultado.
Exemplo 2 – Uma TV no valor de R$ 2.500,00 pode ser comprada à vista, 
mas a loja abriu a possibilidade de pagar em cinco pagamentos iguais, mensais, 
sendo o primeiro pagamento efetuado quatro meses após a compra. Se a taxa 
de juros vigente for 2% a.m, qual será o valor de cada prestação pagamento? 
Para a resolução deste problema, vamos identificar os dados.
PV = 2.500,00
i = 2%
n = 4 prestações
carência = 3 meses
PMT = ?
Aplicando a fórmula 1, temos:
Capítulo 6
166 Matemática Financeira
PV PMT x 
1 1 i
i
 x 
1
1 i
2.500 PMT x 
1
n
carência
=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ +( )
=
−
−
11 0,02
0,02
 x 
1
1 0,2
2.500 PMT x 
1 0,905731
0
5
3
+( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ +( )
=
−
−
,,02
 x 
1
1,061208
2.500 PMT x 
0,094269
0,02
 x 094
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
22322
2.500 PMT x 4,71345 x 0,942322
2.500 PMT x 4,441588
P
=
=
MMT x 4,441588 2.500
PMT
2.500
4,441588
PMT 562,86
=
=
=
Para calcular as prestações pela calculadora financeira, devemos 
desenvolver o cálculo em duas etapas.
1a etapa – levar a valor futuro o valor da TV à vista, pois as prestações só 
iniciam após três meses.
2500 CHS PV
2i
3n
FV
O visor vai mostrar o valor de 2.653. Este valor é o novo valor presente, depois 
de transcorrida a carência de três meses. Para encontrar o valor das prestações, 
basta digitar as teclas para o cálculo das prestações, como é explicado a seguir.
2a etapa – calcular o valor das prestações. Para obter o resultado, digite:
2.653 CHS PV
2i
5n
PMT
No visor, vai aparecer o valor de 562,86. O mesmo valor que encontramos 
desenvolvendo por meio da fórmula.
Capítulo 6
167Matemática Financeira
Espero que você não tenha dificuldades em resolver este tipo de questão. 
No próximo item, vamos aprender como se calcula o número de prestações 
pelo modelo de séries diferidas
6.2.3 Cálculo do número de prestações
Para calcular o número de prestações, devemos capitalizar o valor 
presente (PV) até um período antes da primeira prestação e então proceder 
como se estivéssemos calculando o valor de cada prestação ou anuidade do 
modelo das séries postecipadas (KUHNEN; BAUER, 2001).
Para você aprender o processo do cálculo, vamos desenvolver um exemplo.
Exemplo 3 – A loja “Torra Tudo” está financiando certo tipo de móveis 
de cozinha para serem pagos em oito prestações mensais, sem entrada. 
Sabendo-seque a taxa cobrada é de 18% a.a. composta mensalmente; que 
as prestações são de R$4.000,00, a primeira vencerá seis meses após a data do 
contrato, calcule o valor à vista dos móveis.
Acompanhe o desenvolvimento. Antes, vamos identificar os dados.
PV = 27.795,57 
i = 18% a.a. composta mensalmente. (taxa nominal)= 0,18: 12 = 0,015 a.m.
PMT = 4.000,00
n = ?
Carência = 5 meses
Para obtermos o resultado, vamos aplicar a fórmula 1.
Capítulo 6
168 Matemática Financeira
27.795,57 PMT x 
1 1 i
i
 x 1
1 i
27.795,
n
carência=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ +( )
−
557
4.000
1 1 0,015
0,015
 x 1
1 0,015
6,948893
n
5=
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ +( )
=
−
 
1 1,015
0,015
 x 1
1,077284
6,948893 
1- 1,015
-n− ( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
( )−−
−
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
− ( )
n
n
0,015
 x 0,928260
6,948893
0,928260
1 1,015
0,0115
7,485934 x 0,015 1 1,015
0,112289 1 1,015
1,015
n
n
= − ( )
= − ( )
(
−
−
)) = −−n 1 0,112289
Aplicando o logarítmo neperiano vamos obterr
n . ln1,015 ln 0,887711
n .0,0148886 0,119109 . ( 1)
n
− =
− = − −
=
00,119109
0,0148886
n 8=
Este resultado você pode obter utilizando a calculadora financeira. 
Vamos ver como fica? Como é uma série diferida, vamos fazer em duas etapas. 
1a etapa – calcular o valor futuro do PV até o início das prestações
f fin f2
27.795,57CHS PV
1,5 i
5 n
FV
O visor lhe mostrará o valor de 29.943,72. Com este valor, vamos chegar 
ao valor das prestações. Vamos calcular?
F fin f2
29.943,72 CHS PV
4.000 PMT
1,5 i
n
Capítulo 6
169Matemática Financeira
Com esses comandos, você obterá o 8, que é número de prestações desta 
compra.
LEMBRETELEMBRETE
No cálculo das séries diferidas, você deve estar 
atento aos detalhes que já estudamos nas 
séries postecipadas. A taxa deve sempre estar 
concordante com o período de tempo. Se a 
taxa for nominal, devemos fazer a conversão de 
forma proporcional, e se for efetiva, de forma 
equivalente. A fórmula da equivalência é (1+ia) 
= (1+ib)
n , sendo n o número de períodos que está 
contido na taxa de período maior.
6.2.4 Cálculo da taxa
Podemos calcular a taxa em série postecipada diferida utilizando uma 
tabela financeira, por tentativa e erro, ou por meio da calculadora financeira. 
Vejamos um exemplo.
Exemplo 4 – Uma mercadoria que custa R$ 121.927,30 à vista foi 
vendida em 12 prestações mensais de R$ 20.000,00, sendo a primeira 
prestação paga 12 meses após a compra. Qual foi a taxa de juros cobrada? 
(KUHNEN; BAUER, 2001).
Vamos aos dados da questão?
PV= 121.927,30
PMT = 20.000,00
n = 12 prestações mensais
carência = 11 meses
i = ?
Utilizando o fator da tabela, fazemos:
Capítulo 6
170 Matemática Financeira
FAP(n)
1 i n
PV
PMT
FAP( )
1 i
121.927,30
20.000
FAP( )
1
11
i
n
i
n
i
+( )
=
+( )
=
++( )
=
i
6,09636511
Devemos agora procurar substituir a taxa i, nos dois lugares, para 
satisfazer a igualdade.
Encontramos na tabela financeira, no apêndice, o FAP (12/4%)= a 
9,385074, que dividimos pelo resultado (!+0,04)11, que é 1,539454, encontrando 
a igualdade. Encontramos, então, a taxa, que é 4% a.m.
Para utilizar a calculadora financeira, deveremos proceder de forma 
diferente, tendo em vista que pela fórmula a variável ï aparece em dois 
lugares, não possibilitando a separação em dois cálculos, como fizemos nos 
outros cálculos com séries diferidas. Vamos, portanto, usar o fluxo de caixa na 
calculadora. Digite, então:
f fin f2
121.927,30 CHS g CF0
0 g CFj
11 g Nj
20.000g CFj
12 g NJ
f IRR
Com o comando f IRR na calculadora financeira, você obterá o resultado, 
neste caso, 4,00 ou 4% a.m.
Capítulo 6
171Matemática Financeira
Na calculadora financeira, quando pressionamos 
a sequência de teclas “g” ”CF0”, informamos 
para a calculadora que este é o valor da data 0 
(zero), no ato da realização da operação. Ressalta-
se que a sequência “g” “CFj”i nforma os demais 
valores, devendo ser obedecida rigorosamente 
a ordem cronológica. Quando temos o mesmo 
valor repetido várias vezes seguidas, digitamos 
o número correspondente a quantas vezes 
ocorre o valor informado por meio da g CFj anterior, pressionando 
a sequência “g””Nj”. A calculadora financeira tem a capacidade de 
suportar um fluxo de 7 a 20 valores para a função g CFj, além do valor 
a ser informado para g CF0 . Para cada vez que é usado Nj, o número 
máximo a ser informado é de 99 (KUHNEN; BAUER, 2001).
SAIBA QUE
Na sequência, você vai estudar o cálculo do montante das séries diferidas, 
bem como do valor e número de depósitos.
6.2.5 Cálculo do valor futuro (montante)
Para o montante, a carência não existe antes dos depósitos; se 
considerarmos alguma carência, esta deverá ser após o último depósito, 
afirmam Kuhnen e Bauer (2001).
A fórmula do montante equivalente das séries postecipadas foi deduzida 
para calcular o montante na data da última prestação. Se fossem depósitos, 
seria como se nós fizéssemos o último depósito e sacássemos tudo minutos 
após o depósito. Para o modelo diferido, também desejamos o montante 
logo após a data da última prestação, logo, é o mesmo montante do modelo 
das séries postecipadas e a fórmu la não necessita de nenhuma adaptação. 
Compare as datas dos montantes confrontando os dois fluxos da figura 
a seguir e certifique-se de que “estão” na mesma data. São datas dos seus 
valores futuros.
Capítulo 6
172 Matemática Financeira
Modelo de série postecipada
FV PMT x 
1 i 1
isériepostecipada
n
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
PMT
FV
1 2 3 4 5 n - 1 n
Modelo de séries diferidas
FV PMT x 
1 i) 1
imocelo póstecipado
n
=
+ −( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
PMT
FV
1 2 3 m - 1 m m + 1 m + 2 m + 3 m + 4 m + 5 m + m
0 1 2 3 4 5 n - 1 n
0
Figura 3 – Comparação entre o montante das séries postecipadas e montante das séries diferidas
Fonte: adaptado de Milone (2006, p. 174).
FV FV PMT
1 i 1
imodelodiferido seriepostecipada
n
= =
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 
(2)
Capítulo 6
173Matemática Financeira
Assim, podemos calcular o montante FV utilizando a fórmula do valor 
futuro das séries postecipadas, como você estudou no capítulo 5. Vamos, na 
sequência, acompanhar um exemplo.
Para calcular o montante da parte que se refere aos depósitos, podemos 
utilizar a fórmula das séries postecipadas. Somente devemos ter o cuidado 
de identificar a época do montante calculado. Vamos acompanhar o 
desenvolvimento de um exemplo?
Exemplo 5 – Uma pessoa efetua sete depósitos mensais de R$ 4.000,00, a 
uma taxa de 3% ao mês de juros. Quanto terá esta pessoa quatro meses após 
o último depósito?
Dados da questão:
n = 7 depósitos 
i = 3% a.m. (dividimos por 100) = 0,03 a. m.
PMT = 4.000,00
carência = 4 meses
Inicialmente, aplicamos a fórmula do cálculo do montante das séries 
postecipadas, sem considerar a carência.
FV PMT
1 i 1
i
FV 4.000
1 0,03 1
0,03
FV 4
n
7
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= ..000 1,229874 1
0,03
FV 4.000 0,229874
0,03
FV 4.00
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 00 7,662467
FV 30.649,87
×
=
Capítulo 6
174 Matemática Financeira
Agora, necessitamos calcular o montante do período de carência, que 
neste caso é de 4 meses. Vamos ver como fica?
FV=PV(1+i)n
FV=30.649,87(1+0,03)4
FV=30.649,87x1,125509
FV=34.496,70
Agora, vamos realizar o mesmo cálculo pela calculadora financeira.
f fin f2
4.000 CHS PMT
3 i
7 n
FV
O visor mostrará o valor de R$ 30.649,87.
Este é o montante calculado pelo modelo das séries postecipadas. 
Necessitamos, agora, calcular o montante para o período após o último 
depósito que é a carência. Digite, então:
f fin f2
30.649,87 CHS PV
3 i
4 n
FV
O visor mostrará o valor de 34.496,7. Este valor tem uma pequena 
diferença em relação ao cálculo realizado por meio da fórmula devido aos 
arredondamentos.
Na sequência, vamos aprender o cálculo do valor dos depósitos, 
considerando o montante nas séries diferidas.
Capítulo 6
175Matemática Financeira
Cálculo do valor do depósito
Para o cálculo dovalor do depósito nas séries diferidas, também 
utilizaremos as fórmulas das séries postecipadas e da capitalização composta. 
Vejamos um exemplo.
Exemplo 6 – O saldo em uma conta, quatro meses após o oitavo depósito 
mensal, era de R$ 334.865,68. Sabendo que os juros são de 4% a.m., qual foi o 
valor depositado mensalmente?
Dados da questão:
FV = 334.865,68
i = 4% a.m.
n= 8 depósitos
carência = 4 meses
PMT = ?
Calculamos inicialmente o valor atual ou valor presente do período da 
carência, pois o valor de R$ 334.865,68 é o montante final, utilizando a fórmula 
da capitalização composta. Vamos seguir o raciocínio.
FV PV 1 i
334.865,68 PV 1 0,04
334.865,68 PV.1,169859
1,1
n
4
= +( )
= +( )
=
669859PV 334.865,68
PV 334.865,68
1,169859
PV 286.244,48
=
=
=
O valor encontrado é o valor no momento do último depósito, valor 
atual do período de carência e, portanto, o montante da série de depósitos. 
Necessitamos calcular agora o valor dos depósitos. Vamos, então, aplicar a 
fórmula do montante das séries postecipadas.
Capítulo 6
176 Matemática Financeira
FV PMT
1
i
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
1
286 244 48
1 0 04 1
0 04
8
i
PMT
n
. ,
.
,
⎥⎥
⎥
=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
286 244 48
1 368569 1
0 04
286 244 48
0 36856
. ,
,
,
. ,
,
PMT
PMT
99
0 04
286 244 48 9 214225
9 214225 286 244 48
,
. , ,
, . ,
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ×
× =
PMT
PMT
PPMT
PMT
=
=
286 244 48
9 214225
31 065 50
. ,
,
. ,
Resolvendo agora pela calculadora financeira, temos:
f fin f2
286.244,48 CHS FV
4 i
8 n
PMT
Você terá no visor o valor de R$ 31.065,50, que é o valor da prestação.
Cálculo do número de depósitos
Para o cálculo do número de depósitos das séries diferidas, considerando 
o montante, vamos usar também as fórmulas da capitalização composta e das 
anuidades das séries postecipadas. Vejamos um exemplo.
Exemplo 7 – Uma pessoa depositou parcelas mensais e iguais de R$ 
4.000,00, recebendo 3% a.m. de juros. Sabendo que quatro meses após o último 
depósito seu saldo era de R$ 334.865,68, quantos depósitos foram feitos?
Dados da questão:
FV = 334.865,68
PMT = 4.000,00
Capítulo 6
177Matemática Financeira
i = 4% a.m.
carência = 4 meses
Vamos inicialmente calcular o valor presente, que neste caso é o valor 
atual do período de carência, e, portanto o montante da série de depósitos.
FV PV 1 i
334.865,68 PV 1 0,04
334.865,68 PV.1,169859
PV.
n
4
= +( )
= +( )
=
11,169859 334.865,68
PV 334.865,68
1,169859
PV 286.244,48
=
=
=
Agora, para saber quantos depósitos foram feitos, utilizamos a fórmula 
do montante das séries postecipadas.
FV PMT
1 i 1
i
286.244,48 4.000
1 0,04 1
0,04
n
n
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤⎤
⎦
⎥
⎥
=
( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
286.244,48 4.000
1,04 1
0,04
286.244,48
4.000
n
11,04 1
0,04
71,56112 0,04 1,04 1
2,862445 1 1,04
1,0
n
n
n
( ) −
× = ( ) −
+ = ( )
44 3,862445
nln1,04 ln3,862445
n 0,039221 1,351300
n 1,351
n( ) =
=
× =
=
3300
0,039221
n 35 depósitos=
Dando sequência, vamos estudar agora as séries infinitas ou 
perpétuas.
Capítulo 6
178 Matemática Financeira
Conceito de séries infinitas ou perpétuas
Para Kuhnen e Bauer (2001), são as séries, cujo prazo é ilimitado, que 
não tem previsão de terminar. Não podemos calcular o montante das séries 
infinitas por não termos a quantidade de prestações definidas.
São as séries cujo número de pagamentos é infinito (ou, em casos práticos, 
é muito grande). Nesse caso, só há interesse em determinar a relação entre o 
valor presente da série e a série periódica associada. 
Para uma série postecipada, basta determinar matematicamente o valor 
de PV quando n tende para infinito. Não vamos mostrar este cálculo, pois 
envolve conhecimento da teoria de limites.O valor atual da sequência é:
PV PMT
1 i
PMT
1 i
PMT
1 i
....... PMT
1 i
......1 2 3 n= +( )
+
+( )
+
+( )
+
+( )
+
Segundo Hazzan e Pompeo (2007), o segundo membro dessa expressão é 
a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita, em que o primeiro 
termo é a
PMT
i1 1
=
+
 e a razão é q
i
=
+
1
1
.
Como a razão está entre 0 e 1 e a matemática elementar ensina que a 
soma desses infinitos termos é dada por S
a
i
=
+
1
1
, segue que:
PV
PMT
1 i
1 1
1 i
PMT
1 i
i
1 i
PMT
i
PV PMT
i
 
= +
−
+
= +
+
=
=
Por meio desta fórmula, vamos calcular o valor presente, o valor da 
prestação e o valor da taxa.
Capítulo 6
179Matemática Financeira
Cálculo do valor presente de uma série infinita
Para você entender o processo de cálculo das séries infinitas, vamos 
demonstrar um exemplo, como segue.
Exemplo 8 – Quanto um investidor deverá aplicar hoje em uma caderneta 
de poupança, que rende uma taxa efetiva de 0,75% ao mês, para ter uma 
renda perpétua mensal (infinita) de R$4.500,00? Considere a primeira retirada 
um mês após a aplicação.
Acompanhe a solução. 
PMT = 4.500,00
I = 0,75% a.m.= 0,0075 a.m.
PV = ?
PV
PMT
i
PV
PV
=
=
=
4 500
0 0075
600 000
.
,
.
Então, este investidor deverá aplicar na poupança a quantia de R$ 
600.000,00, para ter uma renda perpétua de R$4.500,00 mensais.
Cálculo do valor da prestação de uma renda perpétua
O cálculo do valor da prestação segue o mesmo procedimento do 
cálculo do valor presente ou valor atual. Vamos utilizar um exemplo para você 
conhecer o procedimento de cálculo.
Exemplo 9 – Calcule o valor do rendimento mensal perpétuo (infinito) 
de uma aplicação, cujo valor foi de R$ 200.000,00, considerando uma taxa de 
juros anual de 18 % a.a. com capitalização mensal.
Acompanhe a resolução, observando os dados.
PV = 200.000,00
i = 18% a.a.com capitalização mensal (taxa nominal) = 0,18: 12 = 1,5% 
a. m.= 0,015 
Capítulo 6
180 Matemática Financeira
PMT =?
PV PMT
i
200.000 PMT
0,015
PMT
0,015
200.000
PMT 200.000 0,015
PM
=
=
=
= ×
TT 3.000=
A aplicação renderá o valor de R$ 3.000,00 mensais por um período 
infinito.
6.2.6 Séries variáveis (gradiente)
Na concepção Kuhnen e Bauer (2002, p. 245), denomina-se série em gradiente 
“as anuidades variáveis, que variam na forma de progressão aritmética”. 
Na progressão aritmética, temos a razão, que é a quantidade que 
uma parcela aumenta ou diminui em relação à imediatamente seguinte ou 
anterior, e na série em gradiente, a diferença entre duas parcelas chamaremos 
de gradiente (KUHNEN; BAUER, 2001, p. 245).
Tipologia de séries em gradiente
As séries em gradiente podem ser crescentes e decrescentes. Nas séries 
em gradiente crescente, as parcelas aumentam segundo um mesmo valor, que 
denominamos gradiente. Em nosso estudo, vamos considerar os intervalos 
entre as parcelas constantes.
Já as séries em gradiente decrescente são as que diminuem em progressão 
aritmética, cuja razão é o gradiente.
Cálculo do valor presente (valor atual nas séries em gradiente)
O primeiro exemplo vai abordar a série gradiente crescente. A fórmula 
que utilizaremos para o cálculo é a que segue. Não apresentaremos a dedução 
desta fórmula devido à complexidade dos cálculos.
Capítulo 6
181Matemática Financeira
PV PMT
1 i 1
1 i i
G
i
1 i 1
1 i i
n
1 i
n
n
n
n n=
+( ) −
+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡
⎣⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ 
(4)
Exemplo 10 – Um financiamento foi amortizado mediante os seguintes 
pagamentos mensais subseqüentes: R$ 500,00, R$650,00, R$ R$ 800,00, R$ 950,00, R$ 
1.100,00 e R$ 1.250,00. A taxa cobrada é de 3,5% a.m. Então, qual o valor financiado?
Siga a identificação dos dados e o desenvolvimento da resolução.
PMT = 500,00
G = 150
n = 6
i = 3,5% a.m.= 0,035 a. m.
PV = ?
PV PMT
1 i 1
1 i i
G
i
1 i 1
1 i i
n
1 i
n
n
n
n n=
+( ) −
+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −
+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+PV 500
1 0,035 1
1 0,035 0,035
150
0,0
6
6 335
1 0,035 1
(1 0,035 0,035
6
1 0,035
PV 500
6
6 6
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
00,229255
0,043024
4.285,71 0,229255
0,0430246
1,229255
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
+ −⎡⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= + −[ ]
=
PV 500.5,328538 4.285,7 5,328538 4,881005
PV 2.664,227 4.285,7.0,447533
PV 2.664,27 1918,00
PV 4.582,27
+
= +
=
Para você obter este resultado pela calculadora financeira, deverá proceder 
da seguinte forma:
f fin f2
500 g CFJ
650 g CFJ
800 g CFJ
950 g CFj
1.100 g Cfj
1.250 g CFj
3,5 i
f NPV
Capítulo 6
182 Matemática Financeira
Com pequena diferença nos centavos, devido aos arredondamentos, 
obtemos o resultado obtido pela fórmula, ou seja, R$ 4.582,34.
Exemplo 11 – Qual o valor atual de uma série de sete pagamentos cujo 
primeiro valor é de R$ 1.000,00 e os demais decrescem em uma razão de 
R$100,00. A taxa cobrada é de 7,5% ao mês.
Vamos, então, acompanhar a resolução. Você observou que o cálculo 
é um tanto trabalhoso. Devemos ter cuidado neste cálculo, pois a série é 
decrescente, e devemos diminuir ao invés de somar. Aplicando a fórmula 4 
ajustada, teremos:
PV PMT
1 i 1
1 i i
G
i
1 i 1
1 i i
n
1 i
n
n
n
n n=
+( ) −
+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −
+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−PV 1.000
1 0,075 1
1 0,075 0,075
100
0
7
7 ,,075
1 0,075 1
(1 0,075 0,075
7
1 0,075
PV 1
7
7 7
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= ..000 0,659049
0,124429
1.333,34 0,659049
0,124429
7
1,65
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− −
99049
PV 1.000.5,296587 1.333,34 5,296587 4,219285
PV
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= − −[ ]
== − ×
= −
=
5.296,59 1.333,34 1,077302
PV 5.296,59 1.436,41
PV 3.860,188
Utilizando a calculadora financeira, vamos desenvolver o mesmo cálculo. 
Digite, então:
f fin f2
1.000 gCFj
900 g CFj
800 g CFj
700 g CFj
600 g CFj
500 g CFj
400 g CFj
7,5 i
F NPV
Capítulo 6
183Matemática Financeira
Você pode perceber que o visor lhe mostrará o mesmo valor encontrado 
por meio da fórmula, ou seja, o valor de R$ 3.860,18.
O Sr. Luiz resolve fazer 17 aplicações mensais, à 
taxa de 3,5% ao mês. Sabendo-se que o valor da 
1a parcela será de R$ 6.000,00 e que as seguintes 
decrescerão a uma razão constante de R$ 
200,00, calcule o montante no final do 17o mês.
DESAFIO
6.2.7 Operacionalização da calculadora fi nanceira 
A calculadora financeira é uma excelente auxiliar para o cálculo 
dos temas que foram trabalhados neste capítulo como as séries diferidas 
e infinitas, cálculo do valor presente (valor atual), valor futuro e valor 
presente de uma série infinita, entre outros temas trabalhados neste 
capítulo.
Mas atenção! Para que você desfrute de todas as possibilidades de 
uso que o equipamento oferece é importante que além de conhecer o 
manual, você busque na web dicas de uso para sua calculadora financeira. 
Boa pesquisa!
6.3 Aplicando a teoria na prática
Observe o seguinte caso: Joaquim Medeiros cursa Psicologia e está gostando 
muito do Curso. Desejando acumular uma determinada quantia para investir na 
festa de sua formatura, que será em grande estilo e que ocorrerá daqui a 20 meses, 
ele deposita, mensalmente, a quantia de R$ 1.800,00. Sabendo que a primeira 
parcela será feita de forma postecipada, isto é, após 30 dias e que serão feitos 14 
depósitos iguais, mensais e consecutivos, e a taxa contratada é de 3,5% ao mês, o 
acadêmico deseja saber quanto terá no final de 20 meses. Então, você, que conhece 
matemática financeira, pode ajudá-lo a calcular. 
Vamos inicialmente identificar os dados da questão?
Capítulo 6
184 Matemática Financeira
FV = ?
n = 14 meses
PMT = 1.800
i = 3,5 % a.m.
carência = 6 meses
Vamos calcular o valor do montante, sem considerar que existe carência, 
aplicando a fórmula do cálculo do montante das séries postecipadas.
FV PMT
1
i
FV 1.800
1 0,035 1
0,035
F
14
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
+( ) −⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
1 i n
VV 1,618695 1
0,035
FV 0,618695
0,035
FV
=
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1 800
1 800
.
.
== ×
=
1.800 17,6770
FV 31.818,60
Agora, para calcularmos o montante depois de 20 meses, necessitamos 
aplicar a fórmula dos juros compostos para obter o resultado. Vamos ver o 
desenvolvimento?
FV PV 1 i
FV 31.818,60 1 0,035
FV 31.818,60 1,229255
FV
n
6
= +( )
= × +( )
= ×
= 339.113,17
E resolvendo este problema pela calculadora financeira, temos:
Cálculo do montante da série postecipada
f fin f2
1800 CHS PMT
3,5 i
14 n
FV
Capítulo 6
185Matemática Financeira
No visor aparecerá o valor de 31.818,57. Com este valor, você vai calcular 
o montante do período da carência. Siga, então, os passos.
31.818,57 CHS PV
3,5 i
6 n
FV
Encontramos o mesmo valor calculado pela fórmula, ou seja, R$ 39.113,15.
6.4 Para saber mais
Você poderá melhorar o entendimento dos conteúdos estudados, 
consultando os materiais referenciados a seguir.
Título: Matemática fi nanceira
URL: http://www.fi nd-docs.com/baixar-livro-matematica-fi nanceira-puccini.html
Autor: PUCCINI, A.C. 
Você acessa este livro facilmente pela web e também pode reproduzi-
lo. Nele vai encontrar explicações e exercícios sobre as séries uniformes, 
tanto postecipadas, como antecipadas e diferidas. Neste livro você 
também encontra links para acessar outros materiais da web.
Título: Matemática fi nanceira: objetiva e aplicada
Autor: PUCCINI, A. de L.; PUCCINI, A. Editora: Saraiva Ano: 2006
Esta obra contém a resolução de exercícios por meio da calculadora 
financeira. Você poderá melhorar seu entendimento sobre 
operacionalização da calculadora financeira. Estão disponíveis 
também vários exemplos resolvidos para você consultar.
Título: Matemática fi nanceira
Autor: MILONE, G. Editora: Thomson Learning Ano: 2006
Este livro oferece explicações e exercícios resolvidos sobre os 
componentes de uma série. O autor trabalha o valor presente diferido, o 
montante diferido e a partir destes os cálculos dos outros componentes 
como valor da prestação, valor do depósito, número de prestações ou 
de depósitos, como também o cálculo da taxa. Espero que você tenha 
conseguido assimilar estes conhecimentos, que constituem uma parte 
substancial no aprendizado da matemática financeira.
Capítulo 6
186 Matemática Financeira
Site: Unifel
URL: http://www.iepg.unifei.edu.br/edson
Neste endereço, clique em download e você terá a exposição de 
vários temas da matemática financeira, não somente sobre o assunto 
abordado neste capítulo. Você poderá consultar para complementar 
seu conhecimento e entendimento dos assuntos abordados até aqui.
6.5 Relembrando
Neste capítulo, você teve a oportunidade de aprender sobre os vários 
aspectos do cálculo das séries diferidas, o cálculo das séries com carência, 
cálculo das séries infinitas ou perpétuas e o cálculo do valor atual das séries 
em forma de gradiente. Você aprendeu que:
 • as séries diferidas são aquelas cujo primeiro pagamento ocorre 
após um período sempre igual a dois ou superior. Estas séries são 
comumente utilizadas pelos bancos que, ao concederem empréstimos 
oferecem um período, anterior ao início do pagamento da dívida. O 
comércio também utiliza esta forma como meio de pagamento;
 • para o cálculo do valor presente, do valor da prestação, do número da 
prestação e da taxa, utilizamos a fórmula das séries postecipadas ajustadas 
para o modelo diferido. Isto é, descapitalizando o período da carência;
 • para os cálculos referentes ao montante, ao valor dos depósitos 
e do número de depósitos, utilizamos a fórmula do montante das 
séries postecipadas e para a carência usamos também a fórmula da 
capitalização composta;
 • as séries infinitas são aquelas que não têm limite para terminar, e por 
isso não podemos calcular o montante nem o número de prestações, 
calculamos somente o valor presente, a prestação e da taxa;
 • as séries em gradiente são aquelas que, nos instantes 1, 2, 3, ...,n, 
os capitais constituem uma progressão aritmética (PA), cujo primeiro 
termo é zero e cuja razão é G. O valor presente é calculado pela 
Capítulo 6
187Matemática Financeira
seguinte fórmula: PV PMT
1 i 1
1 i i
G
i
1 i 1
1 i i
n
1 i
n
n
n
n n=
+( ) −+( ) ×
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+( ) −
+( ) ×
−
+( )
⎡
⎣⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
.
6.6 Testando os seus conhecimentos
1) Qual o valor da prestação mensal referente a um financiamento de 
R$25.000,00, a ser liquidado em dois anos, à taxa de 1,2% a.m., sendo que a 1ª 
prestação vence 120 dias da data do contrato?
2) Determine o valor presente de uma renda infinita de depósitos de R$ 1.000,00, 
os quais ocorrem a cada ano, sabendo-se que a taxa de juros é de 5,8300524% 
ao semestre.
3) Determine o valor atual de cinco pagamentos mensais e consecutivos de R$ 500,00, 
R$ 400,00, R$ 300,00, R$ 200,00 e R$ 100,00, respectivamente, sabendo-se que a taxa 
de juros é de 18% ao trimestre com capitalização mensal.
4) Uma pessoa efetua 30 depósitos de R$ 1.450,00 mensais, recebendo uma 
taxa de 5% a.m. de juros. Qual o valor que terá esta pessoa oito meses após o 
último depósito? 
Onde encontrar
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
Investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1996.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000
Capítulo 6
188 Matemática Financeira
.
Capítulo 7
189Matemática Financeira
NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS I
CAPÍTULO 77
7.1 Contextualizando
A análise de investimentos é uma atividade que permite conhecer, 
antecipadamente, o sucesso ou o fracasso de um investimento. Atualmente, 
considerando-se a competitividade das empresas, não é permitido errar 
por falta de informações a respeito dos resultados de um investimento. O 
tema reveste-se de importância, dado que o mesmo se aplica a várias áreas 
que desejam avaliar se um empreendimento é atrativo e o momento certo 
de realizá-lo.
Vamos desenvolver os conteúdos visando perceber como uma decisão, 
pautada em dados consistentes e na escolha de técnicas acertadas, pode fazer 
a diferença no momento de realizar um investimento, ou na aplicação de 
recursos para uma organização. Na prática, consiste em discutir e analisar os 
fatores que norteiam a análise de investimentos e trata de aplicar os métodos 
mais conhecidos para a seleção de alternativas. 
O estudo envolve decisões de aplicação de recursos, normalmente de 
longo prazo, com o objetivo de verificar se o retorno dos recursos aplicados 
vão dar retorno adequado aos proprietários.
Você sabe que qualquer empreendimento necessita de fatores de 
produção. Precisamos conhecer as relações que se estabelecem entre estes 
fatores de produção e o mercado. Compete ao administrador a coordenação 
e conjunção desses fatores, com vistas à maximização da produção e 
minimização dos riscos, à obtenção de uma produtividade compatível 
com os requisitos dos produtos frente ao mercado e à rentabilidade do 
investimento.
Capítulo 7
190 Matemática Financeira
Ao final deste capítulo, você estará apto a discriminar o processo de 
análise de investimentos por meio de um método amplamente conhecido e 
aplicado, o Valor Presente Líquido (VPL). 
Você vai ter oportunidade de conhecer os vários aspectos que são 
considerados na análise de um investimento, como fluxo de caixa, taxa mínima 
de atratividade, suas particularidades e componentes, bem como a relação 
que se estabelece entre eles.
7.2 Conhecendo a teoria
Em qualquer modalidade de investimento, o processo de decisão deve 
ser o mesmo. Em empresas organizadas, o processo de decisão de investimento 
está formalizado na política que estabelece o procedimento de apresentação 
de uma proposta de investimento. Este ato inclui os níveis de aprovação 
da proposta de acordo com a estimativa de desembolso requerido pelo 
investimento (LAPPONI, 2000).
No entendimento desse autor, para manter a empresa operando de 
forma saudável e crescendo, os gerentes e administradores devem investir 
em projetos que criem valor para a empresa e para os acionistas. Se for uma 
pequena empresa, formada por um único dono ou grupo de sócios, as tarefas 
mais importantes, e que tomam a maior parte do tempo disponível, estão 
relacionadas com as operações e com o faturamento. Já em uma empresa 
maior, existe espaço e tempo para preparar o orçamento anual, incluindo o 
orçamento de capital com os projetos de investimento.
As decisões de investimento de capital, em sua maioria, estão 
subordinadas ao planejamento operacional que, por sua vez, deve ser uma 
parte do planejamento global ou do planejamento estratégico da empresa.
Uma das decisões que pode ser considerada mais complexa pelos 
administradores são os investimentos a longo prazo. Estes recursos envolvem 
desembolsos consideráveis e, em grande parte, são irreversíveis. Um 
investimento de longo prazo representa o compromisso da empresa com 
determinada linha de ação. E os retornos são incertos, eles dependem de 
eventos futuros, muitos deles fora do controle da administração.
Capítulo 7
191Matemática Financeira
Considerando que as empresas façam uma série de investimentos a longo 
prazo, o mais significativo para uma empresa industrial é o investimento em 
ativos fixos, ou seja, em ativos imobilizados. Sob a concepção de Gitman (2002), 
os ativos, na maioria das situações, são denominados de ativos rentáveis, pois 
fornecem a base de geração de lucros e valor para a empresa.
Neste capítulo, serão discutidos os critérios de avaliação de investimento 
em longo prazo, suas particularidades e componentes, bem como a relação 
que se estabelece entre eles.
Na concepção de Kuhnen e Bauer (2001), o conceito de análise de 
investimento pode ser hoje um conjunto de técnicas que permitem a 
comparação entre os resultados de tomada de decisões referentes a alternativas 
diferentes de uma maneira científica.
Ao se fazer comparações, as diferenças que marcam as alternativas 
devem ser apresentadas, tanto quanto possível, em termos quantitativos. Para 
expressar em termos quantitativos estas diferenças entre as alternativas em 
uma tomada de decisões, vamos recorrer aos fundamentos da ferramenta 
denominada matemática financeira.
Nesse sentido, estes autores ressaltam que muitos teóricos consideram 
a engenharia econômica, que estuda as operações que envolvem análise 
de investimentos, é, em parte, uma aplicação das técnicas de matemática 
financeira. E que tratam dos problemas de tomada de decisões, envolvendo 
análise de investimentos, substituição de equipamentos e mesmo o estudo 
da depreciação.
O objetivo final da análise de investimento é a fundamentação de um 
processo decisório do qual resulta uma ação. Frequentemente, a decisão 
é simplesmente aceitar ou rejeitar uma proposta de investimento, sendo 
baseada em comparações que devem responder a questão: “Qual a melhor 
das alternativas?”, ou, algumas vezes, responder a dúvida do tipo: “A melhor 
alternativa é suficientemente atrativa?”
A iniciativa para a realização de um investimento pode decorrer de diversas 
motivações, entre as quais as mais frequentes são um novo empreendimento, 
expansão ou ampliação, modernização, necessidades sociais, exigências 
governamentais.
Capítulo 7
192 Matemática Financeira
Um investimento para a empresa é um desembolso feito visando gerar 
um fluxo de benefícios futuros, usualmente superior a um ano. Na perspectiva 
de Souza e Clemente (2008), em tempos recentes, devido à dinâmica dos 
negócios, as técnicas de análise de investimentos estão sendo usadas para 
a avaliação de empresas, de unidades de negócios e para investimentos de 
porte. Também estão sendo utilizadas nas operações de curto prazo, como é o 
caso das compras à vista versus compras a prazo.
Segundo Sousa (2007, p. 27), “estuda-se investir em um novo 
empreendimento quando se está criando um negócio ou montando uma 
sociedade”. Sendo assim, sob essas circunstâncias,recomenda-se maior critério 
nas previsões de médio e de longo prazo, como também a realização de 
pesquisas sobre negócios equivalentes com resultados favoráveis.
Sob a mesma concepção, Souza e Clemente (2008, p. 66) consideram que 
“a decisão de fazer investimentos de capital é parte de um processo que envolve 
a geração e a avaliação das diversas alternativas que atendam as especificações 
técnicas dos investimentos”. Depois de relacionadas as alternativas viáveis 
tecnicamente é que se analisa quais delas são atrativas financeiramente. E é sobre 
esta última parte que os indicadores gerados auxiliarão o processo decisório.
Segundo Clemente (2002), um aspecto fundamental para a decisão 
de investimento é a estimativa de retorno esperado e do grau de risco 
associado a este retorno. 
Este autor ainda destaca que, embora não seja possível eliminar o risco 
e enquadrá-lo em uma escala, o investidor pode melhorar a sua percepção 
do risco elevando o nível de informação a respeito do projeto e analisando 
os indicadores associados ao risco.
O grande campo de aplicação das técnicas de 
análise de investimentos está associado ao processo 
de geração de indicadores utilizados na seleção de 
alternativas de investimentos e, mais recentemente, 
na avaliação de impacto desses investimentos no 
EVA (Economic Value Added ou valor econômico 
agregado) de unidade de negócio.
SAIBA QUE
Capítulo 7
193Matemática Financeira
Para a realização de uma análise de investimentos, alguns princípios 
devem ser respeitados. 
A seguir, o quadro 1 apresenta uma síntese explicativa destes princípios 
apresentados pelos autores.
PRINCÍPIO DESCRIÇÃO
• Não existe decisão com 
alternativa única.
Isto significa que para tomar qualquer decisão devemos 
analisar todas as alternativas viáveis, sendo estas, no 
mínimo, duas.
• Só se pode comparar 
alternativas homogêneas.
Não é possível estabelecer comparações se não 
conseguirmos a homogeneidade de dados.
• Apenas as diferenças de 
alternativas são relevantes.
Se em duas alternativas tivermos uma série de custos ou 
receitas iguais, eles não são necessários para decidir qual 
das alternativas é melhor, uma vez que existindo nas duas 
alternativas no mesmo momento, sua diferença se anula.
• Os critérios para decisão de 
alternativas econômicas devem 
reconhecer o valor do dinheiro 
no tempo.
Para fazer a comparação, temos que igualar o tempo de 
vida ou de utilização das alternativas. Como exemplo 
ilustrativo, não se pode comparar simplesmente se a 
alternativa A de investir 1 milhão e receber 3 milhões 
em 2 anos, é melhor do que a alternativa B, investir 1 
milhão e receber 5 milhões em 4 anos, porque existe uma 
defasagem das alternativas com relação ao tempo.
• Não se pode esquecer o 
problema do capital escasso.
De nada adianta existir uma alternativa 
excepcionalmente rentável, se o capital próprio mais o 
capital conseguido com terceiros não são suficientes para 
cobrir as necessidades de capital dessa alternativa.
• Decisões separáveis devem 
ser tratadas separadamente.
Este princípio requer que todos os problemas e 
alternativas econômicas de investimento sejam 
cuidadosamente avaliados para determinar o número, 
tipo e seqüência de decisões necessárias.
• Deve-se sempre atribuir 
certo peso para os graus 
relativos de incerteza 
associados às previsões 
efetuadas.
Como em todas as alternativas de investimento, sempre 
temos valores estimativos; deve-se tomar a precaução 
de atribuir a cada um destes eventos certo grau de 
incerteza.
Capítulo 7
194 Matemática Financeira
PRINCÍPIO DESCRIÇÃO
• As decisões devem também 
levar em consideração 
os eventos qualitativos 
não quantificáveis 
monetariamente.
A seleção de alternativas requer que as possíveis 
diferenças entre alternativas sejam claramente 
especificadas e, se possível, quantificadas em uma 
unidade comum, geralmente unidade monetária, para 
fornecer uma base para a seleção dos investimentos. 
Os eventos não quantificáveis devem ser, entretanto, 
claramente especificados a fim de que os responsáveis 
pelas decisões tenham todos os dados necessários.
• Realimentação de 
informações.
A realimentação de informações para os técnicos que 
avaliam os investimentos constitui um processo vital, 
para um possível reajuste das alternativas realizadas, 
além de permitir o aumento do grau de sensibilidade, 
bem como para prevenir erros nas decisões futuras.
• Dados econômicos/
gerenciais.
No estudo de alternativas, deve-se ter sempre presente 
que os valores e os dados que interessam são sempre os 
econômicos e gerenciais. Os dados contábeis econômicos 
só são importantes na avaliação após o imposto de renda.
Quadro 1 - Princípios fundamentais do estudo de viabilidade
Fonte: Kuhnen e Bauer (2001, p. 389-392).
Complementando esta abordagem, o Serviço Brasileiro de Apoio às 
Micro e Pequenas Empresas (Sebrae) acrescenta que, antes que se tome 
uma decisão sobre determinado investimento, alguns dados básicos devem 
ser ponderados.
Para o primeiro trabalho de campo, não se espera que você prepare 
um estudo de viabilidade, mas que tenha respostas a indicadores da 
viabilidade do projeto. Tais indicadores incluem os seguintes aspectos:
 Viabilidade mercadológica:
 • produto;
 • mercado alvo;
 • tamanho do mercado alvo;
 • situação de oferta e demanda;
 • concorrência;
 • práticas de marketing.
Capítulo 7
195Matemática Financeira
Viabilidade técnica:
 • tecnologia;
 • fonte de tecnologia;
 • matéria-prima;
 • infraestrutura e instalações;
 • localização;
 • habilidades;
 • custo.
 Viabilidade administrativa e organizacional:
 • habilidades, competências, capacidades, valores e motivações dos principais 
funcionários, da administração, frente aos requisitos do projeto;
 • personalidade jurídica adequada e organização.
Viabilidade financeira:
 • custo do projeto;
 • fontes de financiamento;
 • lucratividade;
 • retorno sobre o investimento; 
 • prazo de recuperação do investimento; 
 • taxa de remuneração do investimento. 
 • análise de sensibilidade;
 • outros métodos para situações de riscos e incertezas.
Para estudos de viabilidade econômica e financeira de um investimento, 
existem vários critérios, como os mencionados, para a tomada de decisão. Vamos 
conhecê-los em sua maioria, porém, vamos aprofundar os mais utilizados.
Investimentos mutuamente exclusivos
Esta modalidade corresponde aos investimentos concorrentes com o 
mesmo objetivo. A aceitação de um dos investimentos em estudo implica 
desconsiderar a possibilidade de realizar alternativas existentes (SOUSA, 2007).
A compreensão deste conceito é importante porque o analista ou o 
investidor fará uma aposta definitiva, pelo menos em princípio, por uma entre 
Capítulo 7
196 Matemática Financeira
outras opções. E neste sentido, somente o futuro confirmará se a decisão foi a 
melhor ou se ele desprezou a que poderia ter sido a melhor.
Quando a opção que venha a ser feita eliminar as demais é a que 
caracteriza os investimentos como mutuamente exclusivos. E, neste caso, a 
escolha deve se pautar em técnicas consistentes, que embasem a decisão e 
permitam sinalizar a melhor alternativa.
Para Sousa (2007), na avaliação de investimentos independentes, o 
analista deve trabalhar com a possibilidade de todas as alternativas serem 
aceitáveis. Sua análise será concluída com a ordenação dos investimentos 
estudados em ordem de classificação, segundo algum critério previamente 
definido. Dentre os critérios que podem ser adotados para a seleção, citam-
se: o valor presente líquido (VPL), a taxa interna de retorno (TIR), o período 
de recuperação do Investimento (período de payback) ou outro que seja 
defensável. Estes métodos serão abordados com mais profundidade, em parte, 
ainda neste capítulo e os demais no capítulo 8.
Investimentos independentes
Estes investimentos, no entendimento de Sousa (2007), caracterizam-se 
pela elevada interdependência recíproca, um complementao outro para que 
ambos sejam viáveis.
As condições de acesso podem ser fatores decisivos para a viabilização 
de um hotel, um parque de diversão ou mesmo uma fábrica. Estas condições 
podem ser de natureza ampla, com infraestrutura produzida pelo setor 
público e colocada à disposição de toda a sociedade: estradas, aeroportos, 
terminais de carga ou de passageiros. O autor ainda destaca que podem ser 
identificáveis como parte do empreendimento objeto de estudo.
Desta forma, podemos citar alguns investimentos que dependiam de obras 
públicas para serem viabilizados, como o complexo hoteleiro Costa do Sauípe, 
que buscou formas de acesso menos penosas aos turistas. Outro exemplo é o 
Hotel Transamérica da Ilha de Comandatuba, na Bahia, onde foi necessário 
construir um aeroporto para atender especificamente ao hotel. Isto porque a 
rodovia de acesso era deficiente e penalizava os turistas com visuais indesejáveis 
de paisagens devastadas e de núcleos habitacionais precários localizados nas 
proximidades do destino. 
Capítulo 7
197Matemática Financeira
Esses exemplos são típicos de investimentos complementares, que 
precisam ser estudados em conjunto com o investimento principal, dado que 
não se viabilizam individualmente, mas tem um papel decisivo no resultado de 
todo o empreendimento (SOUSA, 2007).
7.2.1 Taxa mínima de atratividade (TMA)
Ao começar um estudo de viabilidade, é recomendável que se defina a 
taxa a ser utilizada para descontar os fluxos de caixa de um projeto, antes de 
se passar à descrição destes critérios de análise. Na avaliação de investimentos, 
é preciso definição prévia de alguns parâmetros mínimos de comparabilidade, 
como por exemplo, a taxa mínima de atratividade (TMA), período mínimo de 
atratividade, entre outros. 
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Segundo Souza e Clemente (2008, p. 74), 
entende-se por taxa de mínima atratividade 
a melhor taxa, com reduzido grau de risco, 
disponível para a aplicação do capital em 
análise. A decisão de investir terá sempre, pelo 
menos, duas alternativas para serem apreciadas: 
investir no projeto ou “investir na taxa de 
mínima atratividade”. A base para estabelecer 
uma estimativa da TMA é a taxa de juros 
praticada no mercado.
Quando analisamos uma proposta de investimento, devemos considerar 
a possibilidade de estar perdendo a oportunidade de alcançar retornos 
pela aplicação, do mesmo capital, em outros projetos (CASAROTTO FILHO; 
KOPITTKE, 2000). Sendo assim, a nova proposta deve render, no mínimo, a 
taxa de juros equivalente à rentabilidade das aplicações correntes e de pouco 
risco. Para estes autores, esta é a TMA.
As taxas de juros que mais impactam a TMA são: taxa básica financeira 
(TBF); taxa referencial (TR); taxa de juros de longo prazo (TJLP) e a taxa do 
sistema especial de liquidação e custódia (Selic).
Capítulo 7
198 Matemática Financeira
Para pessoas físicas, no Brasil, é comum considerar como TMA a rentabilidade 
da caderneta de poupança. Já para as empresas, a determinação da TMA é mais 
complexa e depende do prazo ou da importância estratégica das alternativas.
O entrelaçamento das diversas taxas de captação e de aplicação existentes 
no mercado confirma a dificuldade de estabelecer um valor exato para a TMA a 
ser utilizada na descapitalização do fluxo esperado de benefícios de um projeto 
de investimento. A razão dessa dificuldade é a oscilação, ao longo do tempo, das 
taxas que servem de piso e de teto para a TMA (SOUZA; CLEMENTE, 2008, p. 74).
Ao abordar os parâmetros de viabilidade, Kassai et al. (2000, p. 58) 
destacam que “o rendimento das cadernetas de poupança pode, em diversas 
situações, ser considerado como um parâmetro mínimo sobre o qual deve 
ser acrescido o risco da alternativa da TMA que pode ser adotado pelas 
pessoas físicas”. Já para as pessoas jurídicas ou para investimentos de grandes 
proporções, a determinação da TMA é mais complexa.
Nesses casos, enfatizam estes autores, deve-se levar em consideração 
não apenas taxas de remuneração de capital, como CDBs ou custo médio de 
captação, mas também uma taxa para remunerar o risco envolvido. A esse 
respeito, o risco de uma empresa se origina de duas fontes: risco operacional 
(risco do negócio) e risco financeiro (estrutura de capital) (KASSAI et al., 2000).
Outro aspecto de significativa importância é o conhecimento dos fatores 
que compõem o fluxo de caixa, que abordaremos a seguir.
Na análise de investimentos, deve-se buscar o 
equilíbrio operacional e o equilíbrio financeiro. 
Um investimento que cubra todos os aspectos 
operacionais e passe a gerar resultados a partir, 
por exemplo, de 30% da capacidade instalada 
terá os outros 70% para gerar lucros operacionais. 
Seria uma situação mais confortável do que se 
precisasse comprometer, por exemplo, 80% da 
capacidade instalada apenas para equilibrar-se 
operacionalmente e ficasse apenas com 20% para a 
geração de lucros operacionais (SOUSA, 2007, p. 21).
SAIBA QUE
Capítulo 7
199Matemática Financeira
7.2.2 Investimentos iniciais
Você terá a oportunidade de saber o significado de investimento inicial 
e suas particularidades, quando abordamos o item fluxo de caixa. 
Para Souza e Clemente (2008), fluxo de caixa significa todo o aporte 
de capital necessário para colocar o projeto em funcionamento. Geralmente, 
é composto pelos investimentos em ativos fixos, despesas pré-operacionais e 
aporte inicial em capital de giro. Então, fique ligado no item a seguir!
7.2.3 Fluxo de caixa
Conceito de fluxo de caixa
Na concepção de Hoji (2007), o fluxo de caixa é um esquema que 
representa os ingressos e desembolsos de caixa ao longo do tempo. Em um 
fluxo de caixa, deve existir pelo menos uma entrada e uma saída. 
Sob a mesma perspectiva, Zdanowicz (2004) denomina fluxo de caixa o 
conjunto de ingressos e desembolsos ao longo de um período projetado. Levando 
em consideração todas as fontes de recursos e as aplicações em itens do ativo, o 
fluxo de caixa consiste na representação da situação financeira da empresa.
Elaboração do fluxo de caixa
A elaboração do fluxo de caixa em determinado período de tempo, pelo 
investidor, necessita de informações relevantes, tais como os principais ingressos 
e desembolsos, para que ele possa visualizar possíveis déficits ou sobras.
Capítulo 7
200 Matemática Financeira
A figura 1, a seguir, mostra a movimentação de ingressos e desembolsos 
de recursos que possam ocorrer por conta das atividades da empresa, quer de 
serviços ou de bens.
CF0
CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF1 CF1
nn - 154321
Figura 1 - Diagrama do fl uxo de caixa
Fonte: Souza e Clemente (2008).
O símbolo CF0 representa o investimento inicial e cada CFj (j= 1,2,3...n-
1, n) significa o ingresso ou saída de caixa no período j. A obtenção desses 
valores se faz aplicando as informações necessárias para a projeção do fluxo 
de caixa que se descreve a seguir.
Vamos explicar o que significa o investimento inicial. Para Souza e 
Clemente (2008), significa todo o aporte de capital necessário para colocar o 
projeto em funcionamento. Geralmente, é composto pelos investimentos em 
ativos fixos, despesas pré-operacionais e aporte inicial em capital de giro.
Os ativos fixos compreendem os terrenos, obras civis, máquinas e 
equipamentos, veículos, ferramentas, infraestrutura de comunicação, 
hardware e software, móveis e utensílios, etc. É a infraestrutura básica. As 
edificações são, em geral, parte significativa das obras civis e abrangem a 
administração, a fábrica ou setor de produção, os depósitos, cozinha industrial, 
refeitórios, entre outros. Já as instalações elétricas, hidráulicas e cabeamentos 
de comunicação não fazem parte das obras civis, por apresentarem vida útil e 
taxa de depreciação distintas (SOUZA; CLEMENTE, 2008).
Capítulo 7
201Matemática Financeira
A tabela 1, a seguir, mostra um exemplo de itens que compõem os 
investimentos iniciais.
Tabela 1 - Investimento inicial
DESCRIÇÃO VALOR
Ativofixo na área industrial 240.000
Ativo fixo na área administrativa 25.000
Ativo fixo na área comercial 30.000
Ativos fixos de uso compartilhado 25.000
Capital de giro 40.000
Despesas pré-operacionais 20.000
Total 380.000
Fonte: Souza e Clemente (2008, p.108).
As despesas pré-operacionais compreendem os desembolsos realizados 
antes de o projeto entrar em funcionamento. Eles representam gastos que 
seriam lançados como despesas operacionais, caso o projeto já estivesse 
em funcionamento. Os itens que compõem esta categoria são pesquisa 
e desenvolvimento, ponto, marcas, direitos e patentes industriais, obras 
preliminares e complementares (SOUZA; CLEMENTE, 2008).
Esses autores destacam que as últimas despesas citadas abrangem todos 
os melhoramentos e obras integradas aos terrenos, bem como os serviços e 
instalações provisórias, necessários à construção e ao andamento das obras, 
como limpeza do terreno, terraplenagem, drenagem, arruamento, pátios, 
cercas, muros, jardins, portões, guaritas, instalações elétricas e hidráulicas.
Capítulo 7
202 Matemática Financeira
A tabela 2, a seguir, mostra um exemplo com os itens que podem compor 
as despesas operacionais.
Tabela 2 - Despesas operacionais
DESCRIÇÃO VALOR
Obras preliminares 11.000
Pesquisa de marketing 6.000
Material de expediente 800
Procedimentos legais e contábeis 700
Registro de marcas e patentes 600
Visitas a fornecedores 500
Outros 400
Total 20.000
Fonte: Souza e Clemente (2008).
O capital de giro inicial, destacam Souza e Clemente (2008), é o volume 
de recursos para a empresa se sustentar até que seu volume de vendas 
proporcione caixa suficiente para fazer face aos desembolsos decorrentes 
de sua operação. São necessários recursos para pagamento de fornecedores, 
inclusive dos serviços (luz, água, gás e outros), para sustentar a folha de 
pagamentos, as despesas administrativas e comerciais, para pagar os serviços 
terceirizados e saldar outros compromissos periódicos. 
Estes autores ainda enfatizam que o capital de giro inicial ainda é 
influenciado pelos níveis médios de estoques de matérias-primas, de produtos 
em elaboração e de produtos acabados, como também pelos prazos médios de 
pagamento de fornecedores e de recebimento de vendas.
Outro item que deve ser considerado é a depreciação. Embora não 
se caracterize como desembolso, a depreciação afeta a renda tributável e, 
portanto, os desembolsos referentes ao imposto de renda e contribuição 
social sobre o lucro líquido. Então, a depreciação influencia o demonstrativo 
de resultados do exercício e, por decorrência, o fluxo de caixa (SOUZA; 
CLEMENTE, 2008).
Capítulo 7
203Matemática Financeira
O quadro 2, a seguir, mostra uma estrutura genérica do demonstrativo 
de resultados do exercício, em que aparece também a depreciação.
RECEITA R$
Custo do produto vendido R$
Material direto R$
Mão de obra direta R$
Custos indiretos de fabricação R$
Mão de obra indireta R$
Material indireto R$
Depreciação de equipamentos R$
= Lucro bruto R$
- Despesas administrativas R$
- Despesas comerciais R$
- Despesas financeiras R$
= Lucro líquido R$
- Imposto de Renda R$
- Contribuição Social sobre o Lucro Líquido R$
= Lucro após o I.R. e CSLL R$
Quadro 2 - Demonstrativo de resultado do exercício
Fonte: adaptado de Souza e Clemente (2008, p.109).
Objetivos do fluxo de caixa
Zdanowicz (2004, p. 23) argumenta que o fluxo de caixa tem como objetivo 
básico a projeção das entradas e saídas de recursos financeiros para determinado 
período, cujo propósito é prognosticar a necessidade de captar empréstimos ou 
aplicar excedentes de caixa nas operações mais rentáveis para a empresa.
Complementando sua justificativa, Zdanowicz (2004, p. 24) afirma que 
outros objetivos podem ser considerados na elaboração de um fluxo de caixa, 
sendo estes os principais:
 • proporcionar o levantamento de recursos financeiros necessários para 
a execução do plano geral de operações, bem como na realização das 
transações econômico-financeiras da empresa;
 • empregar da melhor forma possível os recursos financeiros disponíveis na 
empresa, evitando que fiquem ociosos e estudando, antecipadamente, 
a melhor aplicação, o tempo e a segurança dos mesmos;
Capítulo 7
204 Matemática Financeira
 • planejar e controlar os recursos financeiros da empresa, em termos de 
ingressos e desembolsos de caixa, por meio das informações constantes 
nas projeções de vendas, produção e despesas operacionais;
 • saldar as obrigações da empresa na data de vencimento;
 • buscar o perfeito equilíbrio entre ingressos e desembolsos de caixa da 
empresa;
 • analisar as fontes de crédito que oferecem empréstimos menos 
onerosos, em caso de necessidade de recursos pela empresa;
 • evitar desembolsos vultosos pela empresa, em época de baixo encaixe;
 • desenvolver o controle dos saldos de caixa e dos créditos a receber 
pela empresa;
 • permitir a coordenação entre recursos que serão alocados em ativo 
circulante, vendas, investimentos e débitos.
Para a facilidade, ou não, da aplicação dos métodos quantitativos, os 
fluxos de caixa podem ser convencionais ou não convencionais, acrescentam 
Kassai et al. (2000). 
Os fluxos de caixa convencionais são os fluxos cujo padrão convencional 
consiste numa saída inicial (-Si) de caixa seguida por uma série de entradas 
(+E), ou seja, com apenas uma inversão de sinal. A figura 2 mostra um exemplo 
deste tipo de fluxo.
Figura 2 - Diagrama de fl uxo de caixa convencional
Fonte: Kassai et al. (2000, p. 61).
-Si
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
Capítulo 7
205Matemática Financeira
Os fluxos de caixa não convencionais são aqueles em que ocorrem saídas 
alternadas com as entradas, além da saída inicial. Quando isso ocorre, surgem 
sérias dificuldades para se avaliarem projetos, conforme mostrado na figura 3, 
no exemplo a seguir.
-Si
E1 E2
E3
E4 E5 E6
E7
E8
Figura 3 - Diagrama de fl uxo de caixa não convencional
Fonte: Kassai et al. (2000, p. 61).
Zdanowicz (2004, p. 146) apresenta uma descrição dos principais itens 
que devem compor o fluxo de caixa:
 • ingressos: “são as entradas de caixa e bancos em qualquer período, 
como as vendas à vista que serão lançadas diretamente no fluxo, ou as 
vendas a prazo que necessitam de mapas auxiliares de recebimento”;
 • desembolsos: “são todas as operações financeiras decorrentes de 
pagamentos gerados pelo processo de produção, comercialização e 
distribuição de produtos pela empresa”. E composto pelas compras à 
vista e a prazo, os salários, com os encargos sociais de mão-de-obra direta 
e indireta, despesas indiretas de fabricação e despesas operacionais;
 • diferença do período: é a comparação dos ingressos com os 
desembolsos, ou seja, o resultado entre os recebimentos e pagamentos 
da empresa num determinado período;
 • saldo inicial de caixa: é o mesmo valor do saldo final do exercício anterior;
 • disponibilidade acumulada: “é o resultado da diferença do período 
apurada, mais o saldo inicial de caixa”;
Capítulo 7
206 Matemática Financeira
 • nível desejado de caixa: “é a projeção do disponível para o período 
seguinte, ou seja, a determinação do capital de giro líquido necessário 
pela empresa, em função do volume de ingressos e desembolsos futuros”;
 • empréstimos ou aplicações de recursos financeiros: são empréstimos 
captados para suprir as necessidades de caixa, a partir do saldo da 
disponibilidade acumulada;
 • amortizações ou resgates das aplicações: “amortizações são as 
devoluções do principal tomado emprestado, enquanto que os resgates 
das aplicações financeiras constituem-se nos recebimentos do principal”;
 • saldo final de caixa: é o nível de caixa projetado para o período 
seguinte, sendo este o saldo inicial do próximo período.
Para Kassai et al. (2000), uma vez dimensionado o fluxo de caixa do projeto, 
com todos os valores econômicos envolvidos, pode-se aplicar as ferramentas 
disponíveis de análise de investimento,que são apresentados a seguir.
7.2.4 Ingressos (receitas)
Os ingressos correspondem às entradas positivas do fluxo de caixa, 
provenientes das receitas oriundas das operações de venda de bens e serviços 
bem como de retorno de aplicações financeiras, em forma de juros, em 
dinheiro.
Para Gitman (2004), entradas de caixa são ingressos de caixa incrementais, 
após os impostos, originadas do projeto por toda sua vida.
7.2.5 Desembolsos (custos)
Os desembolsos, também considerados como saídas de caixa, dizem 
respeito aos pagamentos efetuados em decorrência de compras e amortização 
de dívidas provenientes de empréstimos.
Zdanowicz (2000) complementa que, em sua elaboração, devem ser 
discriminados todos os valores a serem recebidos e pagos pela organização. 
Quanto mais específica for a descrição dos itens, melhor será o controle sobre 
as entradas e saídas de caixa, verificando assim suas defasagens.
Capítulo 7
207Matemática Financeira
7.2.6 Valor residual
Algumas vezes, pode ser necessário depreciar alguns bens para um valor 
residual ou valor de sucata. Portanto, é possível estimar o valor residual final 
para imóveis ou mesmo equipamentos e máquinas. 
Valor residual consiste no fluxo de caixa não-operacional; após o imposto 
de renda, são ocorridas no final do projeto, decorrentes de sua liquidação 
(ZDANOWICZ, 2000).
Etapas de uma análise de investimentos 
Para o estudo, implantação e acompanhamento de projetos de 
viabilidade, Chiavenato (2000) descreve as etapas que devem ser percorridas 
até a decisão final. 
O processo de escolha, segundo este autor, percorre as fases descritas a 
seguir:
 • percepção da situação: descreve as características do problema;
 • análise e definição do problema: especificação detalhada das 
características do problema ou do objetivo, incluindo as restrições, 
definição dos critérios e sua ponderação para posterior análise das 
alternativas;
 • definição dos objetivos: devem ser classificados em obrigatórios e 
desejáveis e, se possível, ponderados;
 • procura de alternativas de solução ou de curso de ação: identificação 
de alternativas que atendam as especificações e restrições;
 • escolha (seleção) da alternativa mais adequada ao alcance dos 
objetivos: confronto dos resultados quantitativos e qualitativos 
por meio de critérios estipulados na fase de análise do problema, 
analisando-se igualmente o grau de adequação às restrições e após a 
análise, elege-se a melhor solução;
 • implantação da alternativa escolhida.
Capítulo 7
208 Matemática Financeira
Após a realização das etapas, a empresa se encarrega das duas últimas 
fases do processo implantando os projetos segundo os planos recomendados, 
acompanhando e ajustando os resultados.
Em situações reais, a sequência das etapas envolvidas em quase todos os 
problemas de análise de viabilidade e análises econômicas, em geral, são as 
mesmas, contudo, muitas etapas permitem uma superposição em suas execuções.
Métodos de análise de investimentos 
Na sequência, iremos descrever os principais métodos utilizados quando 
se deseja verificar a viabilidade de um investimento, seguindo os conceitos 
de alguns autores, que são largamente utilizados pelas empresas e outras 
entidades institucionais para avaliarem seus investimentos. O quadro 3, a 
seguir, mostra a descrição de cada um deles.
MÉTODOS DE ANÁLISE DE 
VIABILIDADE
DESCRIÇÃO
Valor presente líquido 
(VPL)
É um dos métodos mais conhecidos e descrito como o que 
procura concentrar na data zero, isto é na data atual, o 
valor presente de todos os fluxos de caixa do investimento, 
descontados a uma taxa previamente estabelecida, 
Valor presente anualizado 
– valor anual uniforme 
equivalente – (VAUE)
Consiste determinar a serei uniforme anual (A) equivalente 
a todos os custos e receitas para cada projeto utilizando a 
taxa requerida (TMA).
Índice benefício/custo (IBC) Também chamado de índice de lucratividade, mostra o 
retorno que a empresa obtém para cada R$1,00 investido 
em um determinado projeto. O índice de lucratividade faz 
uma comparação entre o valor presente das entradas de 
caixa futuras com o investimento inicial numa base relativa.
Taxa interna de retorno 
(TIR)
Este indicador requer o cálculo da taxa que zera o valor 
presente dos fluxos de caixa doas alternativas. A TIR é a taxa de 
remuneração que se obtém sobre determinado fluxo de caixa.
Taxa interna de retorno 
modificada
Refere-se à modificação no cálculo da TIR, utilizando-se 
taxas diferentes na análise do fluxo.
Capítulo 7
209Matemática Financeira
MÉTODOS DE ANÁLISE DE 
VIABILIDADE
DESCRIÇÃO
Ponto de Fisher O ponto de Fisher representa a taxa de remuneração exata 
que torna duas alternativas de investimentos indiferentes, 
por proporcionar o mesmo ganho, ou seja, um VPL igual.
Taxa média de retorno 
(TMeR)
É uma taxa que utiliza os lucros gerados, e não os fluxos 
de caixa. Permite aproximar a avaliação do retorno dos 
investimentos já feitos pela empresa em seus orçamentos 
operacionais. Resulta da divisão do lucro líquido médio pelo 
investimento médio.
Payback simples Este indicador se obtém utilizando as entradas de caixa nas 
datas em que se espera que ocorram, sem a aplicação de 
nenhuma taxa de desconto.
Payback descontado Período do payback é o tempo necessário para a empresa 
recuperar o investimento inicial em um projeto calculado, a 
partir de seus fluxos de caixa de entrada, considerando uma 
taxa de desconto.
Ponto de equilíbrio É o ponto em que não há lucro nem prejuízo. A receita 
proveniente das vendas equivale à soma dos custos fixos 
e variáveis. Pode-se calcular o ponto de equilíbrio em 
unidades e em valores monetários.
Quadro 3 - Métodos de análise de investimentos
Fonte: Lapponi (2000); Sousa (2007); Casarotto; Kopittke (2000).
Alguns destes métodos serão abordados neste capítulo e no próximo, 
ocasião em que aprenderemos a aplicá-los por meio de casos práticos e exemplos, 
tornando mais compreensivos os conteúdos desenvolvidos. Destaca-se que serão 
estudados os métodos mais utilizados pelos administradores e consultores.
Capítulo 7
210 Matemática Financeira
7.2.7 Cálculo do valor presente líquido (VPL)
O valor presente líquido (VPL) ocorre quando são somados os valores do 
fluxo de caixa, ou seja, as entradas e saídas na data inicial (HOJI, 2007). 
Dornelas (2008, p. 160) apresenta a fórmula para o cálculo do Valor 
Presente Líquido na figura 4:
VLP
F
K
F
K
F
K
Fn
K
INV
n
=
+( )
+
+( )
+
+( )
+ +
+( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
1
1
2
1
3
1 11 2 3
…
Figura 4 - Fórmula para o cálculo do VPL
Fonte: Dornelas (2008, p. 160).
Onde:
VPL = valor presente líquido
Fn = fluxo de caixa após imposto no ano n
n = vida do projeto em anos
K = taxa de desconto (taxa de retorno exigido para o projeto).
INV = investimento inicial
Na figura anterior, vemos que a soma de vários períodos de fluxo 
de caixa resulta no VPL, após o imposto no ano, dividido pela taxa de 
desconto exigida mais um, sendo que o investimento inicial é subtraído 
após o último período. 
Para Souza e Clemente (2008), o método do valor presente líquido (VPL) 
é a técnica robusta de análise de investimento mais conhecida e mais utilizada. 
O valor presente líquido, como o próprio nome indica, nada mais é do que 
a concentração de todos os valores esperados de um fluxo de caixa na data 
zero. Para tal, utiliza-se como taxa de desconto a taxa mínima de atratividade 
(TMA), estipulada pelos investidores ou proprietário que desejam conhecer a 
viabilidade do investimento. 
Capítulo 7
211Matemática Financeira
Segundo estes mesmos autores, o VPL é a operacionalização mais simples 
do conceito de atratividade de um projeto. A figura 5, a seguir, mostra o 
cálculo do VPL de um fluxo de caixa.
VPL 380 30
1,12
50
1,12
70
1,12
90
1,12
110
1,121 2 31 4
= − +
( )
+
( )
+
( )
+
( )
+
( ))
+
( )
+
( )
+
( )
+
( )5 6 7 8 9
130
1,12
130
1,12
130
1,12
130
1,12
Figura 5 - Cálculodo VPL
Fonte: Souza e Clemente (2008, p.74).
O resultado do cálculo do VPL apresentado na figura 7 é R$ 80,14.
O cálculo do VPL pode ser realizado de forma mais rápida com o auxílio 
da calculadora financeira. Veja como é fácil.
Digite f fin 
380 CHS g CF0
30 g CFj
50 g CFj
70 g CFj
90 g CFj
110 g CFj
130 g CFj
4 g Nj
12 i
FNPV
O visor vai mostrar o mesmo valor calculado pela fórmula, ou seja, 
R$ 80,14. Você também poderá realizar o cálculo utilizando os comandos 
do aplicativo Excel. E, para isto, basta ativar a função fx financeira (VPL) 
e preencher os argumentos da função, mas antes digite os dados em uma 
planilha para depois acionar os comandos descritos. Experimente esta 
nova modalidade de cálculo. Tenho certeza de que você irá gostar de 
utilizar esta nova forma!
Capítulo 7
212 Matemática Financeira
O Sr. José quer se aposentar nos próximos anos e:
 • pretende comprar um táxi = R$ 25.000,00;
 • pretende colocar uma placa comercial = R$ 
10.000,00;
 • pretende contratar um motorista para 
trabalhar nos próximos 5 anos = R$ 6.000,00 
por ano;
 • estimam-se as despesas = R$ 6.000,00 para 
o 1º ano e acréscimo de R$ 1.000,00 nos 
próximos anos;
 • estima-se que o faturamento anual será de R$ 24.000,00.
Ao final, o Sr. José pretende vender a placa pelo mesmo valor de 
aquisição e o veículo por um valor residual de 40% do valor inicial.
O negócio que o Sr. José pretende fazer é economicamente viável, 
considerando uma taxa mínima de atratividade de 15% ao ano?
DESAFIO
7.2.8 Operacionalização da calculadora fi nanceira
A calculadora financeira é uma ferramenta de apoio para a solução dos 
problemas sobre séries. Já para os cálculos dos elementos das séries infinitas 
não é possível, pois não existem comandos que levem ao resultado. No caso das 
séries gradientes utilizamos as teclas azuis e o fluxo de caixa na calculadora. 
Estas questões você teve a oportunidade de aprender e testar durante o 
desenvolvimento do conteúdo. 
E já vimos que para o uso adequado da calculadora financeira, é preciso 
que você conheça os detalhes de suas funções. Ao treinar o uso com atenção, 
ela pode lhe auxiliar em muitas tarefas. 
Capítulo 7
213Matemática Financeira
7.3 Aplicando a teoria na prática
A Skinred S.A. precisa trocar uma de suas prensas. A Maquibrasa lhe 
oferece dois modelos:
 • modelo M1: com vida útil de três anos, custa R$ 115.000,00 e proporciona 
um lucro líquido mensal de R$ 9.000,00, sem valor residual;
 • modelo M2: custa R$ 128.000,00, com vida útil de quatro anos e proporciona 
lucro líquido mensal de R$ 11.000,00. Não apresenta valor residual. 
Utilizando o método do Valor Presente Líquido, analise qual das propostas 
é mais atrativa. A taxa mínima de atratividade é de 2,35% a.m.
E então, resolveu a questão? Afinal, qual a proposta mais atrativa?
Vamos aos dados do modelo M1:
Investimento Inicial = 115.000
Lucro líquido mensal (modelo 1) = R$ 9.000,00
TMA = 2,35% a.m.
n1 = 3 anos = 36 meses
Cálculo do VPL do modelo 1
VPL M
VPL M
( ) . .
,
,
( )
1 115 000 9 000
1 1 0 0235
0 0235
1
36
= − +
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
== − +
=
115 000 217 015 39
1 102 015 39
. . ,
( ) . ,VPL M
VPL(M1) = 102 015,39
Capítulo 7
214 Matemática Financeira
Solução pela calculadora financeira
Modelo 1
115.000 CHS gCF0
9.000 g CFJ
36 g Nj
2,35 i
f NPV
VPL (M1) = 102 015,39
Cálculo do VPL do modelo 2:
Identificação dos dados Modelo M2
Investimento inicial = 128.000
Lucro líquido mensal (modelo 1) = R$ 11.000,00
TMA = 2,35% a.m.
n2 = 4 anos = 48 meses
VPL(M2) 128.000 11.000
1 1 0,0235
0,0235
VPL(M2
48
= − +
− +( )⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
)) 128.000 314.585,18
VPL(M2) 128.000 314.585,18
= − +
= − + = 186 585 1, 88
VPL (M2) = -128 000 + 314 585,18 = 186 585,18
Solução pela calculadora financeira
Modelo 2
128.000CHS gCF0
11.000 g CFj
48 g Nj
2,35 i
f NPV
VPL(M1) = 186 585,18
A proposta mais atrativa, então, é a do modelo 2, pois apresenta maior 
valor presente líquido (VPL).
Capítulo 7
215Matemática Financeira
7.4 Para saber mais
Você observou que incluímos novas referências em nosso estudo. Isto se 
fez necessário, pois a análise de investimentos está alicerçada em bases mais 
complexas e requer uma fundamentação mais consistente.
Além dos autores já trabalhados neste capítulo, recomendo consultar as 
seguintes referências:
Título: Análise de investimentos: matemática fi nanceira; 
engenharia econômica; tomada de decisão. Estratégia 
empresarial
Autores: CASAROTTO FILHO, 
N.; KOPITTKE, B. H. Editora: Atlas Ano: 2000
Este livro já foi referenciado no texto, mas recomendo que você 
o leia, pois mostra muitas particularidades e outros métodos 
não convencionais de se analisar um investimento. Entre estes 
métodos, os autores trabalham os modelos probabilísticos, análise 
sob condições de risco ou incerteza, uso da árvore de decisão e 
de programação linear. Os autores ainda oportunizam um apoio 
computacional na análise de investimento, sendo mais uma 
metodologia que você pode se utilizar.
Site: Sebrae
URL: http://www.sebraesp.com.br
Neste endereço, os consultores ensinam detalhadamente como 
você deve proceder para identificar os vários itens que compõem 
um plano de negócio. As várias áreas de uma empresa são descritas 
detalhadamente, incluindo projeção dos investimentos iniciais, 
projeção de receitas e despesas, além do demonstrativo de resultado 
e as técnicas de análise de investimento.
Título: Projetos de investimento: construção e avaliação do 
fl uxo de caixa
Autor: LAPPONI, J. C. Editora: Lapponi Ano: 2000
Este livro apresenta detalhadamente as técnicas de análise de 
investimentos e as várias particularidades envolvidas na tarefa de se 
implantar uma nova organização. A obra dá ênfase na área financeira, 
e você pode então aprender detalhes sobre o levantamento e cálculos 
envolvidos em uma análise de investimentos.
Capítulo 7
216 Matemática Financeira
7.5 Relembrando
Neste capítulo, você estudou alguns conceitos que embasam a análise de 
investimentos. Vimos:
 • TMA: taxa mínima de atratividade, que é a melhor taxa, com reduzido 
grau de risco, disponível para a aplicação do capital em análise;
 • os objetivos da análise de investimentos, que devem estar em 
consonância com os objetivos da organização, se já estiver em 
atividade, como também para uma nova que será instalada;
 • as etapas que compõem a análise de um investimento, como: a 
percepção da situação, análise e definição do problema, definição 
dos objetivos, a procura de alternativas de solução, a avaliação 
e comparação dessas alternativas, a escolha da alternativa mais 
adequada e a implementação da alternativa escolhida;
 • a projeção do fluxo de caixa, que mostra em valores os resultados obtidos 
com a implantação do investimento. Sobre estes valores, serão aplicadas 
as técnicas de análise que apontarão se o investimento é atrativo ou não;
 • as técnicas de análise de investimentos mais recorrentemente utilizadas, 
como: o valor presente líquido (VPL), que traz para a data de hoje a 
projeção futura das receitas e de custos decorrentes do novo investimento; 
taxa interna de retorno (TIR), que é a taxa que remunera o investimento. 
É uma taxa que, se comparada com a TMA, deve ser sempre superior, 
caso contrário, o investimento não é atrativo; e o prazo de retorno do 
investimento (Payback) que indica em quanto tempo o investimento será 
recuperado. Estes últimos serão estudados no próximo capítulo.
 • que o valor presente líquido é um método intensivamente utilizado em 
análise de investimentos. Esta taxa permite visualizar antecipadamente 
se o investimento trará resultados positivos, mostrando se é atrativo 
ou não. Este cálculo requer a indicação de uma taxa de desconto e, 
nesse caso, utiliza-se a TMA.
Bem! Chegamos ao final de mais um capítulo. Você entendeu bem 
todos os pontos abordados? Cumpriu todas as atividades? Se realizou as ações 
Capítulo 7
217Matemática Financeirapropostas, está uma vez mais de parabéns e apto a ir para o oitavo e último 
capítulo da disciplina.
7.6 Testando os seus conhecimentos
1) A gerência de uma fábrica está considerando a possibilidade de instalar 
uma nova máquina. A proposta de investimento envolve um gasto inicial 
de R$ 10.000,00, objetivando uma redução de custo na ordem de R$ 
2.000,00 por ano, durante os próximos dez anos. Sendo a taxa mínima de 
atratividade para a empresa igual a 10%a.a., deseja-se saber se é atrativo 
o investimento. 
2) Um investidor dispõe de um capital de R$ 500.000,00 e pode aplicá-lo 
num empreendimento que lhe renderá R$ 190.000,00 em cada um dos 
próximos cinco anos. Uma outra alternativa para o investidor é aplicar os 
mesmos R$ 500.000,00 e receber R$ 880.000,00 após três anos. Sabendo 
que o investidor consegue aplicar seu dinheiro a 15% a.a., qual a melhor 
alternativa?
3) Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados 
custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, 
em decorrência da utilização de equipamentos velhos e obsoletos. Os 
engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas 
soluções alternativas. Primeira, consistindo numa reforma geral da linha, 
exigindo investimentos estimados em R$ 10.000,00, cujo resultado será 
uma redução anual de custos igual a R$ 2.000,00 durante 10 anos, após 
os quais os equipamentos seriam sucateados sem nenhum valor residual. 
A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção 
no valor de R$ 35.000,00 para substituir os equipamentos existentes que 
seriam sucateados e cujo valor líquido de revenda é estimado em R$ 
5.000,00. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de R$ 4.700,00 
por ano, apresentando ainda um valor residual de R$ 10.705,00 após dez 
anos. A TMA é de 8% a.a.
4) Um fabricante estuda a possibilidade de lançamento de um novo 
produto. Pesquisas de mercado indicam a possibilidade de demanda 
anual de 30.000 unidades a um preço de 10 UM por unidade. Alguns 
equipamentos existentes seriam utilizados, sem interferir na produção 
Capítulo 7
218 Matemática Financeira
atual, com um custo adicional de 4.000 UM por ano. Novos equipamentos 
no valor de 300.000 UM seriam necessários, sendo a sua vida econômica 
de 5 anos. O valor da revenda aos 5 anos seria de 20.000 UM e o custo de 
manutenção estimado é de 10.000 UM por ano. A mão de obra direta e 
o custo da matéria-prima seriam, respectivamente, de 4 UM e 3UM por 
unidade, não havendo alteração de despesas de administração, vendas, etc. 
Impostos municipais montarão a 3% do investimento inicial, anualmente. 
Onde encontrar
CASAROTTO FILHO, N.; KOPPTTKE, B. H. Análise de investimentos. 9. ed. São 
Paulo: Atlas, 1993.
CHIAVENATO, I. Introdução à teoria geral da administração. 6. ed. Rio de Janeiro: 
Campus, 2000.
CLEMENTE, A. Projetos empresariais e públicos. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2002.
DORNELAS, J. C. A. Empreendedorismo: transformando ideias em negócios. Rio de 
Janeiro: Campus, 2001.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 
2007.
GITMAN, L. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: Harbra, 2002.
HOJI, M. Administração financeira: uma abordagem prática: matemática 
financeira aplicada, estratégias financeiras, análise, planejamento e controle 
financeiro. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
KASSAI, J. R. et al. Retorno de investimento: abordagem matemática e contábil 
do lucro empresarial. São Paulo: Atlas, 2000.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
LAPPONI, J. C. Avaliação de projetos de investimento. São Paulo: Lapponi 
Treinamentos e Editora, 2000.
Capítulo 7
219Matemática Financeira
SOUSA, A. F. Avaliação de investimentos: uma abordagem prática. São Paulo: 
Saraiva, 2007.
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de investimentos. 6. ed. 
São Paulo: Atlas, 2007.
ZDANOWICZ, J. E. Fluxo de caixa: uma decisão de planejamento e controle 
financeiro. 10. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.
Capítulo 7
220 Matemática Financeira
Capítulo 8
221Matemática Financeira
NOÇÕES DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS II
CAPÍTULO 88
8.1 Contextualizando
Depois de conhecer e aprender sobre os aspectos que permeiam a análise 
de investimentos, neste capítulo você terá oportunidade de aprofundar 
o conhecimento sobre outros métodos mais utilizados para identificar se 
determinado investimento é viável para a empresa. 
Nesse sentido, o conhecimento que você vai adquirir fornece a qualquer 
instituição governamental as informações necessárias para conhecer 
o desempenho financeiro antes mesmo de implementá-lo. Ao aplicar 
corretamente os métodos de análise, existe uma significativa possibilidade de 
se obter êxito.
De um modo geral, chamamos de investimentos toda aplicação de 
dinheiro visando ganhos. A aplicação pode ser no mercado financeiro, como 
caderneta de poupança, fundos de investimentos e ações, como também em 
unidades produtivas de empresas em geral.
Para auxiliar a tomada de decisão, foram desenvolvidos métodos de 
comparação entre alternativas envolvendo desembolsos financeiros. Esses 
métodos, como você já estudou sobre o valor presente líquido, consideram 
o custo de posse de dinheiro e procuram identificar qual a melhor maneira 
de empregá-lo.
Os métodos não conseguem eliminar por completo os riscos dos fatores 
imponderáveis. Entre estes riscos, temos as eventuais ações governamentais, 
que podem, durante o tempo de desenvolvimento do projeto, mudar a 
conjuntura econômica, influenciando os resultados que já tinham sido 
Capítulo 8
222 Matemática Financeira
estimados previamente. No entanto, estes métodos permitem perceber quais 
resultados podem ser esperados para cada uma das opções de que se dispõe e 
selecionar a que traz resultados mais atrativos. Neste capítulo, serão abordados 
os métodos mais utilizados pelos avaliadores e consultores de investimentos. 
Ao final deste capítulo, você estará apto a identificar alguns métodos 
de avaliação de investimentos e mostrar o desenvolvimento dos cálculos em 
situações simuladas da taxa interna de retorno, isto é o cálculo da taxa que 
remunera o fluxo de caixa esperado para o projeto em estudo.
Inicialmente, vamos relembrar e reforçar o que estudamos no capítulo 7 
com relação ao método do Valor Presente Líquido – VPL. Depois, estudaremos 
os demais métodos, bem como a análise de cenários, finalizando com o estudo 
da análise de sensibilidade.
8.2 Conhecendo a teoria
 8.2.1 Valor presente
Este método consiste em determinar o valor atual (valor presente) de 
todos os valores que compõem o fluxo de caixa das alternativas disponíveis 
e, a partir destes valores, empregando a taxa mínima de atratividade (TMA), 
selecionar a mais atrativa. Consiste, então, na comparação de todas as entradas 
e saídas de dinheiro de um fluxo de caixa na data atual (data zero).
Alguns critérios são considerados no momento de decisão, quando se 
adota o método do VPL.
Se a soma de todos os retornos do projeto na data zero for maior que o 
investimento I, então o VPL do projeto de investimento será positivo. O critério 
do método do VPL estabelece que sempre que o valor presente dos retornos for 
maior que o valor presente do investimento, calculando com a taxa mínima de 
atratividade, o projeto deverá ser aceito (LAPPONI, 2000, p. 91).
Capítulo 8
223Matemática Financeira
Se VPL > 0, então haverá um ganho adicional ou lucro extra gerado 
pelo projeto (expresso em valores de hoje), e pode-se afirmar que o 
investimento será atrativo e o mesmo deverá ser aceito.
Se o VPL < 0, então terá uma perda (expressa em valores de hoje), o 
investimento não será atrativo e o projeto não deve ser aceito. 
Se o VPL = 0, seria indiferente aceitar ou não o projeto. Entretanto, 
Lapponi (2000) ressalta que é preferível incluir essapossibilidade 
como parte da decisão de rejeitar o projeto.
Então, em síntese, como na análise de investimentos trabalhamos com 
estimativas futuras, podemos dizer que se o VPL > 0, o investimento será:
 • recuperado;
 • remunerado, com a taxa mínima de atratividade – TMA;
 • o projeto gerará um lucro extra na data zero igual ao VPL.
Você deve se lembrar da expressão do VPL estudada no capítulo 7, 
mostrada a seguir:
VPL
FC
(1 K)
It t
t 1
n
=
+
−
=
∑
 
(1)
Esta expressão mostra que o VPL de um projeto de investimento 
convencional é o resultado da soma do investimento e os valores presentes 
dos retornos calculados com a taxa mínima de atratividade.
Vou destacar, a partir de agora, alguns exemplos para facilitar seu 
entendimento sobre este método de análise de investimento.
Exemplo 1 – A gerência de novos investimentos da empresa está 
realizando a análise preliminar do lançamento de um novo tipo de cotonetes. 
Depois de consultar os setores da empresa envolvidos no projeto, o analista 
conseguiu estabelecer as seguintes estimativas:
Capítulo 8
224 Matemática Financeira
 • prazo de análise do investimento fixada em cinco anos;
 • valor total do investimento R$ 400.000,00, ocorrendo na data zero;
 • retornos anuais depois dos impostos iguais a R$100.000,00;
 • taxa mínima de atratividade igual a 10% ao ano.
Verifique se o projeto deve ser aceito, aplicando o método do VPL.
Vamos buscar a solução? 
Com os dados, construímos o fluxo de caixa do projeto, registrados na 
tabela a seguir.
Tabela 1 - Fluxo de caixa do projeto
ANOS CAPITAIS
0 (R$ 4000.000)
1 R$ 100.000,00
2 R$ 100.000,00
3 R$ 100.000,00
4 R$ 100.000,00
5 R$ 100.000,00
Fonte: Lapponi (2000, p. 94).
Substituindo os dados do exemplo no modelo matemático do VPL 
(observe que só estamos considerando o saldo positivo dos retornos), obtemos:
VPL
FC
(1 K)
I
VPL 100.000
1 0,10
400.000
V
t
t
t 1
n
5
t 1
5
=
+
−
=
+( )
−
=
=
∑
∑
PPL 379.078,68 400.000
VPL (20.921,32) negativo
= −
=
Este resultado você também pode obter utilizando a calculadora financeira. 
Veja como se faz.
f fin
400.000 CHS g CF0
100.000 g CFj
5 g Nj
Capítulo 8
225Matemática Financeira
10 i
F NPV
O visor mostrará o valor de (R$ 20.921,32). Os parênteses identificam o 
valor como negativo.
Como o VPL é negativo, a gerência de novos investimentos da empresa 
recomendará que o projeto de investimento não seja aceito (LAPPONI, 2000, p. 94).
Vamos utilizar o exemplo 1 e tentar melhorar o resultado. 
O gerente de novos projetos sugeriu incluir o valor residual do 
equipamento na data terminal do projeto, de valor estimado igual a R$ 
90.000,00. Verifique se o projeto deve ser aceito.
Solução: o novo fluxo de caixa está registrado na tabela 2 a seguir.
Tabela 2 - Fluxo de caixa com valor residual
ANOS CAPITAIS
0 (R$ 4000.000)
1 R$ 100.000,00
2 R$ 100.000,00
3 R$ 100.000,00
4 R$ 100.000,00
5 R$ 100.000,00
5 R$ 90.000,00
Fonte: Lapponi (2000, p. 94).
O valor residual de R$ 90.000,00 foi registrado em uma nova linha da 
tabela, mantendo a mesma data cinco, para mostrar a existência do valor 
residual. O valor residual pode ser incorporado ao retorno do quinto ano, 
formando uma única parcela de R$ 190.000,00. Substituindo os dados do 
exemplo no modelo matemático do VPL, mantendo o valor residual separado, 
fica da seguinte forma:
Capítulo 8
226 Matemática Financeira
VPL 100.000
1 010
190.000
1 0,10
400.000
VPL 316.9
4
t 1
4
5= +( )
+
+( )
−
=
=
∑
886,54 117.975,05 400.000
VPL 424.961,59 400.000
VPL 34.961,
+ −
= −
= 660
Incorporando o valor residual no retorno do quinto ano, obteremos o mesmo 
VPL mudando apenas o procedimento de cálculo, como é desenvolvido a seguir.
VPL 100.000
1 010
190.000
1 0,10
400.000
VPL 316.9
4
t 1
4
5= +( )
+
+( )
−
=
=
∑
886,54 117.975,05 400.000
VPL 424.961,59 400.000
VPL 34.961,
+ −
= −
= 660
Este cálculo pode ser desenvolvido também pela calculadora financeira. 
Siga os passos:
f fin
400.000 CHS g CF0
100.000 g CFj
4 g Nj
190.000 g CFj (temos que incorporar R$ 90.000,00 para que fique na data 
cinco).
10 i
f NPV
O visor mostrará o mesmo valor obtido com a aplicação da fórmula, 
confirmando o resultado, isto é, R$ 34.961,60.
Deve-se analisar de forma crítica a relevância 
das informações, se estão ou não completas, se 
são ou não consistentes, ajustá-las e, finalmente, 
condensar tudo em uma previsão. Não devemos 
tomar como base os resultados contábeis, 
pois estes consideram as responsabilidades 
assumidas e não quando ocorrem. Devem ser 
contempladas as entradas e saídas efetivas de 
caixa (FONSECA; BRUNI, 2010).
SAIBA QUE
Capítulo 8
227Matemática Financeira
Exemplo 2 – As pesquisas de mercado antecipam que o lançamento de 
um sabonete líquido terá sucesso, pois atenderá a expectativa de novidades no 
mercado de cosméticos. As estimativas de mercado, de produção e de engenharia 
definiram o fluxo de caixa do projeto de investimento, depois dos impostos, 
registrado na tabela 3, a seguir. O retorno do sétimo ano é de R$ 750.000,00. No 
entanto, o valor registrado na tabela 4 é de R$ 1.000.000,00, pois inclui o valor 
residual do investimento estimado em R$ 250.000,00. Verifique se este projeto 
de investimento deve ser aceito aplicando o método VPL, considerando a taxa 
mínima de atratividade de 10%.
Tabela 3 - Fluxo de caixa
ANOS CAPITAIS
0 (R$ 2.500.000,00)
1 R$ 350.000,00
2 R$ 450.000,00
3 R$ 500.000,00
4 R$ 750.000,00
5 R$ 750.000,00
6 R$ 800.000,00
7 R$ 1.000.000,00
Fonte: Lapponi (2000, p. 95).
Vamos calcular a solução? Substituindo os dados no modelo matemático 
do VPL, temos:
VPL 350.000
1 0,10
450.000
1 0,10 2
500.000
1 0,10
750
1 3  

 

 

..000
1 0,10
750.000
1 0,10
800.000
1 0,10
1.000.000
4 5 6 

 

 

11 0,10
2.500.000
VPL 318.181,82 371.900,83 375.657,40 5
7 

    112.260,09 465.690,99 451.579,14 513.158,12 2.500.000
VPL 3
   
 ..008.428,39 2.500.000
VPL 508.428,39


O projeto de investimento deve ser aceito, pois VPL > 0. Concluindo, 
podemos afirmar que o capital investido de R$ 2.500.000,00 será recuperado, 
remunerado à taxa de juros de 10% ao ano, e o projeto aponta um lucro extra 
de R$ 508.428,39, na data zero.
Este resultado pode ser obtido por meio da aplicação da calculadora 
financeira. Veja como é feito:
Capítulo 8
228 Matemática Financeira
f fin
2.500.000 g CF0
350.000 g CFj
450.000 g CFj
500.000 g CFj
750.000 g CFj
750.000 g CFj
800.000 g CFj
1.000.000 g CFj
10 i
f NPV
O visor irá mostrar o valor de R$ 508.428,39, o que confirma o resultado 
obtido pelo cálculo por meio da fórmula.
A técnica de análise pelo critério do VPL permite aos administradores 
ou proprietários de uma empresa identificar o custo ou benefício exato da 
decisão de investir ou obter financiamento.
De acordo com Bruni e Famá (2001, p. 32), as principais vantagens do VPL são:
 • identifica se há aumento ou não do valor da empresa;
 • analisa todos os fluxos de caixa do projeto;
 • permite a adição de todos os fluxos de caixa na data zero;
 • considera o custo de capital;
 • embute o risco no custo de capital.
A principal dificuldade da utilização deste método consiste na definição 
da taxa de atratividade do mercado - custo de oportunidade do capital -, 
principalmente quando o fluxo é muito longo.
 8.2.2 Taxa interna de retorno de um investimento
O método consiste em determinar, para cada investimento que se 
pretenda realizar, a taxa de juros que remunera o fluxo de caixa esperado 
para o investimento.
Na concepção de Gitman (2001, p. 330), “a TIR é definida como a taxa de 
Capítulo 8
229Matemática Financeira
desconto que iguala o valor presente das entradas de caixa ao investimento 
inicial de um projeto”.
Para a tomada de decisão entre aceitar ou rejeitar, Gitman (2001, p. 303) 
apresenta os seguintes critérios:
 • se a TIR é maior do que o custo de capital, aceitaro projeto;
 • se a TIR é menor do que o custo de capital, rejeitar o projeto.
“Esses critérios garantem que a empresa consiga pelo menos seu retorno 
exigido. Tal resultado deve aumentar o valor de mercado da empresa e, por 
conseguinte, a riqueza de seus proprietários.” (GITMAN, 2001, p. 303)
Souza e Clemente (2008) conceituam a TIR como a taxa que torna o valor 
presente líquido (VPL) de um fluxo de caixa igual a zero. Assim, para um fluxo 
de caixa genérico, tal como apresentado na figura 1, a seguir.
CF0
CF1 CF2
1
CF3 CFN - 1 CFN
2 n - 13 n
Fluxo esperado de benefícios
Tempo
Figura 1 - Diagrama do fl uxo de caixa
Fonte: Souza e Clemente (2008).
A taxa interna de retorno é conhecida, também, como taxa de 
desconto de fluxo de caixa. É uma taxa de juros implícita entre pagamentos e 
recebimentos, que tem como função descontar um valor futuro ou aplicar o 
fator de juros sobre um valor presente, onde a soma das saídas deve ser igual 
à soma das entradas, para se anularem (HOJI, 2000).
Cabe destacar que o investimento é atrativo quando a taxa de retorno é 
maior que a taxa mínima de atratividade (TMA).
Capítulo 8
230 Matemática Financeira
Exemplo 3 – Calcule a TIR mensal de um projeto cujo investimento é 
R$100.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 30.000,00, 
R$ 50.000,00 e R$40.000,00. Elabore o fluxo de caixa, tomando-se como 
referência o doador de recursos. 
= − +
+( )
+
+( )
+
+( )
Vamos determinar a taxa i que anula o VPL.
O único procedimento possível de ser aplicado 
utilizando a definição de TIR, que procura a taxa 
de juros que anula o VPL do fluxo de caixa, é um 
método numérico de tentativa e erro ou método 
de aproximações sucessivas. O método consiste 
em atribuir valores de TIR até conseguir que o VPL 
seja igual a zero. É um trabalho relativamente 
demorado quando realizado de forma manual, 
aplicando diretamente a fórmula do VPL. 
Entretanto, com as calculadoras financeiras ou os 
recursos do Excel, é possível reduzir o trabalho de 
cálculo (LAPPONI, 2000, p. 161).
SAIBA QUE
O cálculo manual da TIR consiste em calcular VPL’s para diversas taxas de 
juros, até conseguir a mudança no sinal do VPL que permita uma interpolação 
linear. Assim, a solução desse problema é feita como segue:
 • construa uma tabela, e veja o exemplo a seguir, em que mostra os 
resultados do VPL quando a taxa i varia, por exemplo, de 0% a 12% 
em intervalos de 3%;
Capítulo 8
231Matemática Financeira
TAXAS VPL
0% 20.000,00
3% 12.861,68
6% 6.386,48
9% 494,27
12% (4.883,38)
 • a TIR procurada está no intervalo de 9% a 12%;
 • fazendo a interpolação linear, você encontra a TIR, assim:
9% VPL = 494,27
i VPL = 0
12% VPL = - 4.883,38
i
12% 9%
0 494,27
4.883,38 494,27
i
3%
494,27
5.377,65
5.377,
−
=
−
− −
=
−
−
665i 1.482,81
i 1.482,81
5.377,65
=
=
TIR = 9% + 0,27 = 9,27% ao mês
Portanto, a taxa interna de retorno deste investimento é 9,27% a.m. Quanto 
mais próximas estiverem as taxas do intervalo, mais preciso será o resultado.
Exemplo 4 – Caetano dispõe de R$ 105.000,00; ele se encanta com um 
empreendimento que promete R$ 9.000,00 nos dois primeiros anos, R$ 12.000,00 
nos três anos seguintes e, no demais anos, R$ 15.000,00 até atingir nove anos. 
Ofereceram outra proposta, sendo um título nominal igual a R$ 153.000,00, 
com vencimento em nove anos. A taxa mínima de atratividade que está sendo 
considerada é de 1,0% a.a. Pergunta-se: qual das propostas é mais economicamente 
atrativa? Utilize o método da taxa interna de retorno para a análise. 
Para calcular a TIR, procederemos da mesma forma que no exemplo 
anterior. Neste exemplo, temos que comparar as duas propostas e, além 
disso, verificar se são maiores ou menores que a taxa mínima de atratividade 
(TMA).
Capítulo 8
232 Matemática Financeira
Vamos analisar a primeira proposta? Siga os passos:
 • construa uma tabela para cada proposta, em que mostre os resultados 
do VPL quando a taxa i varia, por exemplo, de 0% em intervalos de 0,5%;
TAXAS VPL
0% 9.000,00
0,5% 5.953,06
1,0% 3.018,78
1,5% 192,17
2,0% (2.531,51)
 • a TIR procurada está no intervalo de 1,5 e 2%;
 • fazendo a interpolação linear, você encontra a TIR, assim:
1,5% VPL = 192,17
i VPL = 0
2% VPL = - 2.531,51
i
2% 1,5%
0 192,17
2.531,51 192,17
i
0,5%
192,17
2.723,68
2.7
−
=
−
− −
=
−
−
223,68i 96,085
i
96,085
2.723,68
0,035
=
= =
TIR = 3% + 0,55 = 3,55% a.a.
Para calcular a taxa interna de retorno pela calculadora financeira, você 
usa a função IRR (Internal Rate Return). Logo, a solução deste exemplo é feita 
como segue:
f fin
105 000CHS g CF0
9 000 g CFj
2 g Nj
12 000 g CFj
3 g Nj
Capítulo 8
233Matemática Financeira
15 000 g CFj
4 g Nj
f IRR, aparece no visor 1,53%
O visor da calculadora mostrará o valor de 1,54; como os períodos são 
anuais, a taxa resultará ao ano, ou seja, 1,54% a.a.
E se Caetano optar pela segunda proposta? Será que ela é mais atrativa? 
Como temos um valor presente e um valor futuro em um horizonte de 
tempo, basta utilizar a fórmula dos juros compostos. Vamos ver como fica?
Vamos aos dados da questão!
PV = 105.000,00
FV = 153.000,00
n = 9 anos
TIR =?
Agora, aplique a fórmula dos juros compostos, siga então o raciocínio.
FV = PV × (1 + i)n
153.000 = 105.000(1 + i)9 
153.000 : 105.000 = (1 + I)9 
1,45714 = (1+ i)9 
1 457149 , = +( )
= +
+ =
= −
=
1 i
1,04272 1 i
1 i 1,04272
i 1,04272 1
i 0,04272
99
 x 100
i 4,27% a.a.=
Este cálculo é obtido pela calculadora financeira procedendo da seguinte forma:
f fin
105.000 CHS PV
153.000FV
9n
i
Capítulo 8
234 Matemática Financeira
O visor mostrará o valor 4,27%. , pois a calculadora financeira já calcula, 
em percentual, o mesmo valor obtido pela fórmula.
Por meio da aplicação deste método, escolheremos a alternativa dois, 
pois apresenta uma taxa interna de retorno maior. Além disso, esta taxa é 
superior à taxa mínima de atratividade – TMA, que é de 1,0 % a.a.
Exemplo 5 – A Inglaterra emprestou uma importância de US$ 200.000.000,00 
para a Islândia. O plano de pagamento estabelecido foi o seguinte:
 • durante os três primeiros anos não seria feito qualquer pagamento;
 • no fim de cada ano, a contar do 4º até o 18º, ambos inclusive, seria 
pago US$10.000.000,00;
 • no fim do 18º ano seria pago US$ 180.000.000,00;
 • qual a taxa de juros cobrada pela Inglaterra?
Hora de calcular a solução!
Construa uma tabela para cada proposta em que mostre os resultados do 
VPL quando a taxa i varia, por exemplo, de 0% em intervalos de 1%. E note que:
TAXAS VPL
0% 130.000,00
1% 85.055.950,29
2% 47.110167,28
3% 14.980.046,62
4% (12.304.878,80)
 • a TIR procurada está no intervalo de 3% e 4%, pois o VPL muda de 
sinal. Para encontrarmos a TIR que torna o VPL igual a zero, podemos 
fazer por meio de tentativas sucessivas ou utilizar a interpolação linear;
 • fazendo a interpolação linear, você encontra a TIR, assim:
3% VPL = 14.980.046,62
i VPL = 0
4% VPL = -12.304.878,80
Capítulo 8
235Matemática Financeira
i
4% 3%
0 14.980.046,62
-12.304.878,80 -14.980.046,62
i
1%
14.
−
=
−
=
− 9980.046,62
27.284.925,42
27.284.925,42 i 14.980.046,62
i 14
−
=
=
..980.046,62
27.284.925,42
0,55=
TIR = 9% + 0,53 = 3,55% ao ano
Cálculo utilizando calculadora financeira
Para calcular a taxa de retorno pela calculadora financeira, você usa a função 
IRR (Internal Rate Return). Logo, a solução deste exemplo é feita como segue:
f fin
200 000.000CHS g CF0
 0 g CFj
3 g Nj
10 000 000 g CFj
14g Nj
190. 000 000 g CFj
f IRR, aparece no visor 3,53%
 
Como você pode constatar, a resposta obtida por meio da interpolação 
linear é a mesma obtida pela calculadora financeira, a de 3,53% a.a. O cálculo 
da calculadora financeira apresenta pequena diferença, pois o cálculo que ela 
realiza é mais preciso.
Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)
Partindo do conceito de que, em um fluxo de caixa, a TIR calculada, 
segundo Kassai et al.(2000), é a taxa que remunera todos os valores, quer 
seja para trazer os fluxos de caixa a valor presente, ou levá-los a valor futuro, 
podemos modificar o diagrama de fluxo de caixa e calcular a TIR modificada.
A TIRM é uma taxa interna de retorno em que os lucros são remunerados a 
uma taxa condizente com a realidade da empresa e os investimentos são financiados 
a taxas compatíveis com as do mercado; consequentemente, a uma taxa de retorno 
de investimento mais realista. Assim, utilizam-se as seguintes taxas:
Capítulo 8
236 Matemática Financeira
 • taxa de reinvestimento (TR) – representa a taxa média do período do 
fluxo de caixa mais conveniente para reaplicar os lucros gerados em 
cada ano, isto é, a taxa condizente para reaplicar os lucros gerados no 
decorrer do projeto;
 • taxa de financiamento (TF) – representa a taxa média do período do 
fluxo de caixa mais compatível com a captação de recursos financeiros 
para os investimentos, isto é, refere-se a uma taxa que julgamos 
razoável para ajustar os fluxos negativos de caixa (investimentos).
A TIRM é uma nova versão da TIR, melhorada, e que elimina aqueles problemas 
matemáticos da existência de raízes múltiplas e das taxas de financiamento e 
reinvestimento divergentes da realidade do mercado (KASSAI et al., 2000).
Enquanto a comparação numérica da TIR com a TMA não apresenta um 
significado real, no caso da TIRM, essa relação é possível e fácil de entender. 
O excedente é 0 % ao ano, que é apurado excluindo-se a TMA da TIRM, da 
seguinte forma:
(1 + TIRM) / (1 + TMA) - 1 = sendo 23,91% TIRM e 15,00% TMA
1,2391 / 1,15 - 1 = 7,75%
Esse excedente de 7,75% representa ganho real do projeto.
Exemplo 6 – Certa alternativa de investimento requer um dispêndio 
integral de capital de R$ 250.000,00, estimando-se um retorno de R$ 75.000,00, 
R$ 80.000,00, R$ 100.000,00, R$ 120.000,00 e R$ 140.000,00, respectivamente, 
ao final de cada um dos próximos cinco anos. Admitindo-se que os quatro 
primeiros fluxos de caixa possam ser reinvestidos até o prazo final da vida da 
alternativa às taxas de 24%, 22%, 20%, e 18%, respectivamente, determine a 
TIR dessa operação, considerando as diferentes taxas de reinvestimentos.
Solução:
Capítulo 8
237Matemática Financeira
75.000 80.000 100.000 120.000 140.000
250.000
1 2 43 5
Inicialmente, vamos calcular o FV do primeiro valor, aplicando à taxa 
indicada, e depois, o segundo e, assim, sucessivamente até o último, que será 
o quarto, pois o valor de R$ 140.000,00 já está no último período e não é 
possível calcular o valor futuro.
FV1 = 75.000(1 + 0,24)
4 = 177.316,03
FV2 = 80.000(1 + 0,22)
3 = 145.267,84
FV3 = 100.000(1 + 0,20)
2 = 144.000,00
FV4 = 120.000(1 + 0,18)
1 = 141.600,00
FV5 = 140.000
Vamos agora calcular o montante total, somando os montantes parciais.
FVtotal = 748.183,87
A TIR pode ser calculada aplicando a fórmula dos juros compostos como 
segue:
FV = PV (1 + i)n
748183,87 = 250.000(1 + i)5
Capítulo 8
238 Matemática Financeira
FV PV i
i
n= +( )
= +( )
= +
1
250 000 1 5748183,87
748183,87
250.000
(1 i)
2
5
.
,,992735 (1 i)
2,992735 (1 i)
1,245127 1 i
1,245127 1 i
i
5
5 55
= +
= +
= +
− =
== =0,245127x100 24,51% a.a.
Assim, a TIR Modificada com o reinvestimento dos valores do fluxo de 
caixa resultou em 24,51% a.a.
Cálculo utilizando calculadora financeira
Em primeira etapa, calculamos os valores futuros de cada reaplicação, 
como já fizemos anteriormente com o auxílio da fórmula. Vamos lá! Vou 
colocar em uma tabela para o cálculo ficar mais organizado.
f fin
75.000 CHS PV
24 i 
4 n 
FV = 177.316,03
f fin
80.000 CHS PV
22 i 
3 n 
FV = 145.267,84
f fin
100.000 CHS PV
20 i 
2 n 
FV = 144.000,00
f fin
120.000 CHS PV
18 i 
 1 n 
FV = 141.600,00
140.000,00 FVTOTAL = 748.183,87
A calculadora financeira não realiza este cálculo em um único 
procedimento, sendo assim, devemos, novamente, acionar as teclas para obter 
o resultado final, para isso utilizaremos a metodologia de cálculo dos juros 
compostos como já fizemos pela fórmula. Vamos ver, então, como fica.
Capítulo 8
239Matemática Financeira
F fin
748.183,87 CHS FV
250.000PV
5 n
I
O visor da calculadora mostrará o valor de 24,51% a.a., o mesmo 
resultado calculado pela fórmula.
Agora que você já aprendeu a calcular o valor presente líquido, a taxa 
interna de retorno e a taxa de retorno com reinvestimentos – TIRM, vamos 
estudar o prazo de retorno do investimento.
8.2.3 Retorno do investimento (Payback)
A técnica do payback corresponde ao período de recuperação de um 
investimento e consiste na identificação do prazo em que o montante do 
dispêndio de capital efetuado seja recuperado por meio dos fluxos líquidos de 
caixa gerados pelo investimento.
Payback simples
Souza e Clemente (2004, p. 91) afirmam que o payback é outro indicador 
de risco de projetos de investimentos. O payback nada mais é do que o período 
de recuperação do investimento. 
Segundo esses autores, o payback é o número de períodos necessários 
para que o fluxo de benefícios supere o capital investido. O payback ou 
prazo para recuperação do capital é um indicador voltado à medida do 
tempo necessário para que um projeto recupere o capital investido, a 
partir do fluxo de caixa estimado. Existem dois métodos de avaliação: o 
simples e o descontado, também chamado de econômico.
O método de payback simples (PBS) compara o tempo necessário para 
recuperar o investimento com o máximo de tempo tolerado pela empresa 
para o tipo de investimento. O método PBS requer que sejam observados 
certos preceitos:
Capítulo 8
240 Matemática Financeira
 • o primeiro capital do fluxo de caixa deverá ser um investimento;
 • os capitais do fluxo de caixa do investimento deverão apresentar uma 
única mudança de sinal, ou seja, um fluxo simples ou convencional;
 • definir o TMT – Tempo Máximo Tolerado pela empresa para 
recuperar o capital investido (este é um valor arbitrado, pois surge de 
considerações práticas).
A rejeição de projetos pelo PBS pode ser realizada comparando-se o valor 
do indicador obtido ao tempo máximo tolerado. O projeto seria descartado 
por esse critério caso se verifique que o valor PBS de um projeto seja superior 
ao valor do TMT; se o valor PBS for igual ao TMT, o projeto poderá ou não ser 
aceito e se PBS inferior ao TMT.
Exemplo 7 – Seja um projeto de investimento de $ 25.000,00, cujas 
receitas líquidas encontram-se configuradas na tabela a seguir.
Tabela 4 - Fluxo de caixa de um projeto de investimento
ANOS CAPITAIS ACUMULADO
0 25.000 -25.000
1 12.000 -13.000
2 11.000 -2.000
3 10.000 8.000
4 15.000 23.000
5 24.000 47.000
Fonte: Kassai et al. (2000, p. 85-86).
Segundo Kassai et al. (2000), visualmente, o investimento será 
recuperado no terceiro ano. Ao final do segundo ano, faltava recuperar 
$ 2.000,00 de capital investido e, no ano seguinte, ocorreu um lucro de $ 
8.000,00. Para sabermos o prazo exato, basta aplicarmos uma regra de três 
(interpolação linear):
 dinheiro tempo (ano)
Falta recuperar R$2.000 x 
Recuperado no terceiro ano R$10.000 1 
 
2.000
10.000
x
1
10.000x 2.000
x
2.000
10.000
x 0,2
= ⇒ =
=
=
Capítulo 8
241Matemática Financeira
Portanto, o payback simples deste projeto de investimento é de 2,2 anos, 
ou ainda dois anos, 2 meses e 12 dias.
Payback descontado
Para Souza e Clemente (2006, p.91), o payback “é o número de períodos 
necessários para que o fluxo de benefícios supere o capital investido”. Pode 
ser interpretado como uma medida de risco do projeto. Quando o payback 
se aproxima do final de sua vida econômica, o projeto apresenta alto grau 
de risco. 
Sob esta mesma perspectiva, Gitman (2001, p. 300) menciona que o “período 
do payback é o exato montante de tempo necessário para a empresa recuperar 
seu investimentoinicial em um projeto calculado a apartir de seus fluxos de caixa 
de entrada”. Este autor ainda argumenta que para tomar decisões entre aceitar 
ou rejeitar o período do payback, é necessário analisar os seguintes critérios:
 • se o período de payback é menor do que o período de payback 
máximo aceitável, aceitar o projeto;
 • se o período de payback é maior do que o período máximo aceitável, 
rejeitar o projeto.
O método do payback descontado (PBD) busca contornar a deficiência 
do PBS de não considerar o valor do dinheiro no tempo. A ideia é simples, 
como os fundos alocados no investimento.
Exemplo 8 – Uma empresa está analisando um projeto, cujo fluxo de 
caixa é apresentado no quadro a seguir. O custo de capital da empresa é de 
14% a.a. Calcule o payback descontado pra este projeto. Analise, por meio dos 
resultados obtidos, se este projeto é viável. 
Capítulo 8
242 Matemática Financeira
Tabela 5 - Fluxo de caixa de um projeto
ANOS CAPITAIS
0 - 600.000
1 120.000
2 150.000
3 200.000
4 150.000
5 150.000
6 180.000
7 80.000
Vamos calcular a solução?
Tabela 6 - Fluxo de caixa de um projeto
ANOS CAPITAIS VP DOS CAPITAIS BALANÇO DO PROJETO
0 - 600.000 - 600.000 -600.000
1 120.000 107.143 -492.857
2 150.000 119.579 -373.278
3 200.000 142.356 -230.922
4 220.000 139.814 -91.108
5 150.000 85.114 -5.994
6 180.000 91.194 85.200
7 80.000 36.188 121.388
Taxa mínima de atratividade 12% a.a.
Para o cálculo do payback descontado, procede-se da mesma forma que 
para o cálculo do payback simples.
 dinheiro tempo (ano)
Falta recuperar $5.994 x 
Recuperado no terceiro ano $91.194 1 
Capítulo 8
243Matemática Financeira
 
5.994
91.194
x
1
91.194x 5.994
x
5.994
91.194
x 0,0657
= ⇒ =
=
=
Portanto, o payback descontado (PBD) deste projeto de investimento é 
de 5,0657 anos, ou ainda 5 anos e 24 dias.
A rejeição de projetos pelo PBD pode ser realizada comparando-se o 
valor do indicador obtido ao tempo máximo tolerado. O projeto é descartado 
por esse critério caso se verifique que o valor PBD de um projeto seja superior 
ao valor do TMT; se o valor PBS for igual ao TMT, o projeto poderá ou não ser 
aceito, e se o PBD for inferior ao TMT, deverá ser aceito.
8.2.4 Análise de cenários
A análise de cenários considera desde as identificações, ordenações e 
avaliações de variáveis ambientais usadas como base para o desempenho de 
ações organizacionais (TAVARES, 2000).
Para Lapponi (2000), a técnica começa definindo três valores possíveis 
de cada uma das estimativas participantes do projeto, denominadas como 
estimativas: mais provável, otimista e pessimista.
Como escolher os valores dos cenários mais provável, otimista e 
pessimista? Lapponi (2000, p. 330) recomenda o seguinte procedimento:
 • o cenário mais provável é aquele que nasce de estimativas realizadas 
por pessoas experientes no ramo ao qual se destina o projeto. É o 
valor esperado ou média de cada estimativa;
 • o cenário otimista tem uma probabilidade de 5% de serem excedidas 
ou melhoradas;
 • o cenário pessimista tem uma probabilidade de 5% de serem pioradas 
e 95% de serem melhoradas. 
Complementando esta abordagem, Gitman (2001) afirma que a análise 
de cenários tem a finalidade de avaliar o impacto causado por variáveis 
Capítulo 8
244 Matemática Financeira
simultâneas como entradas de caixa, saídas de caixa e custo de capital no 
retorno da empresa. 
Exemplo 9 – Os analistas prepararam os três cenários: otimista, mais 
provável e pessimista, indicados na tabela 7.
Tabela 7 - Cenários
PESSIMISTA
MAIS 
PROVÁVEL
OTIMISTA
Investimento $ 75.000 $ 60.000 $ 54.000
Receitas $25.000 $28.000 $30.000
Custos $13.000 $10.000 $9.000
Taxa requerida 17% 15% 14%
Fonte: Lapponi (2000, p. 331).
Calcule e analise os VPL’s dos três cenários do projeto, considerando os 
outros dados informados na tabela 6.
Busque a solução!
Os resultados registrados na tabela 8 mostram o Fluxo de Caixa e o VPL 
dos três cenários.
Tabela 8 - Fluxo de caixa nos três cenários
PESSIMISTA
MAIS 
PROVÁVEL
OTIMISTA
Investimento $ 75.000 $ 60.000 $ 54.000
Prazo de análise 10 10 10
Receitas $25.000 $28.000 $30.000
Custos $13.000 $10.000 $9.000
Taxa requerida 17% 15% 14%
Depreciação $ 7.500 $ 6.000 $ 5.400
Fluxo de caixa $ 10.425 $13.800 $15.540
VPL ($ 26.434) $ 9.259 $ 27.058
Fonte: Lapponi (2000, p. 331).
No cenário pessimista, o VPL é negativo (R$ 26.434), não devendo ser 
aceito o projeto de investimento. Nos cenários mais provável e otimista, 
respectivamente, R$ 9.259 e R$ 27.058, o VPL é positivo, recomenda-se aceitar 
o projeto de investimento. O VPL verdadeiro estará entre os valores extremos 
de VPL definidos pelos três cenários (LAPPONI, 2000, p. 331).
Capítulo 8
245Matemática Financeira
Você achou interessante esta forma de análise? Então, para aprofundar 
ainda mais como se procede para analisar um investimento, vamos aprender 
agora sobre a análise de sensibilidade.
Análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade tem por objetivo trazer mais segurança para 
as decisões financeiras, os valores obtidos fornecem variáveis mais críticas 
no projeto e o grau de risco que uma ou outra variável pode apresentar 
(AJZENTAL; CECCONELLO, 2008). 
Segundo estes mesmos autores (2008, p. 267), essa análise baseia-se nas 
seguintes variáveis-chave:
 • volume de vendas;
 • preços unitários;
 • gastos variáveis;
 • gastos fixos;
 • investimentos em permanente.
Bordeaux-Rêgo et al. (2007, p. 116) afirmam “que ela é útil em ambientes 
de negociação (comprador versus fornecedor), na solicitação de descontos ou 
de condições mais favoráveis, examinando em tempo real os seus reflexos na 
viabilidade do projeto”.
Já como fator negativo, esses mesmos autores (2007, p. 116) apontam 
que a “análise de sensibilidade não considera a gama de valores que podem 
assumir as suas variáveis em sua distribuição de probabilidades”. 
Para Camargo (2007, p. 130), a análise de sensibilidade “é uma maneira 
popular de descobrirmos como a situação de viabilidade de um investimento 
muda se as receitas, os gastos, a taxa de desconto ou outros fatores variarem 
ao longo do tempo”.
O ponto mais importante da análise de sensibilidade é a análise de 
retorno a diferentes taxas de reaplicação, por meio de cálculo da TIRM e 
também as variações cambiais, pois em países com instabilidade econômica, 
deve ser efetuada a análise de sensibilidade a variações diferenciadas de 
inflação para cada componente do fluxo de caixa (CASAROTTO FILHO, 2002).
Capítulo 8
246 Matemática Financeira
Para uma melhor compreensão deste modelo de análise, é mostrado o 
exemplo a seguir.
Exemplo 9 – Dois projetos de investimentos independentes estão sendo 
estudados com base em seus fluxos de caixa, os quais podem ser visualizados 
na tabela 9. Ocorre que a taxa de desconto do mercado pode variar entre 
7% e 9% ao período, sendo mais provável ficar na média entre estes valores. 
Sendo assim, determine qual dos projetos é mais sensível e, portanto, mais 
arriscado em função da variação da taxa de juros.
Tabela 9 - Fluxo de caixa dos investimentos A e B
0 1 2 3 4 5 6 7
Projeto A - 8.000 1.250 1.250 1.250 1.250 1.250 1.250 4.150
Projeto B - 23.000 4.250 4.000 4.000 4.500 4.500 4.500 7.000
Fonte: Camargo (2007, p. 130).
A solução desta questão envolve o cálculo do retorno do investimento 
(VPL) para diversas taxas situadas entre 7% e 9% ao período. Assim, a tabela 
que segue nos mostra os resultados de lucro econômico encontrado com as 
variações na TMA.
Tabela 10 - Análise de sensibilidade com variação da TMA
VPL
PROJETO A PROJETO B
TMA = 7,00% R$ 542,59 R$ 1.730,16
TMA = 7,25% R$ 455,00 R$ 1.500,41
TMA = 7,50% R$ 368,74R$ 1.273,89
TMA = 7,75% R$ 283,78 R$ 1.050,55
TMA = 8,00% R$ 200,08 R$ 830,32
TMA = 8,25% R$ 117,64 R$ 613,17
TMA = 8,50% R$ 36,43 R$ 399,03
TMA = 8,75% - R$ 43,58 R$ 187,85
TMA = 9% - R$ 122,41 - R$ 20,42
Fonte: Camargo (2007, p. 131).
Capítulo 8
247Matemática Financeira
Como destacado na tabela 10, a taxa média de 8% é a mais provável 
de ocorrer, destaca Camargo (2008). Assim, iremos analisar a variação dos 
resultados em relação ao retorno obtido com a taxa de 8%. Isso possibilitará 
a verificação da variabilidade dos retornos sem a análise de seus valores 
absolutos. Para encontrar a variação percentual entre os VPL’s, devemos 
utilizar a seguinte fórmula, a qual será aplicada em seguida.
(variação) %
valoratual
base
1 .100Δ = −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 
(2)
PROJETO A PROJETO B
TMA = 7,00% R$ 542,59 R$ 1.730,16
TMA = 8,00% R$ 200,08 R$ 830,32
Variação A%
,
,
. ,= −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
542 59
200 08
1 100 17119
Variação A%
,
,
. , %= −⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
1730 16
830 32
1 100 108 37
Todas as variações do VPL estão apresentadas na tabela 11, a seguir:
Tabela 11 - Variação percentual nos resultados da análise de sensibilidade
VPL
PROJETO A PROJETO B
TMA = 7,00% + 171,19 % + 108,37 %
TMA = 7,25% + 127,41 % + 80,70 %
TMA = 7,50% + 84,30 % + 53,42 %
TMA = 7,75% + 41,83 % + 26,52 %
TMA = 8,00% 100 % 100 %
TMA = 8,25% - 41,20 % - 26,15 %
TMA = 8,50% - 81,79 % - 51,94 %
TMA = 8,75% - 121,78 % - 77,38 %
TMA = 9% - 161,18 % - 102,46 %
Fonte: Camargo (2008, p. 132).
Capítulo 8
248 Matemática Financeira
Por meio dos valores relativos, torna-se mais fácil visualizar a 
variabilidade dos resultados em relação ao seu valor médio. É possível 
constatar, então, que o projeto A é mais sensível a pequenas modificações 
na taxa de juros, pois seus resultados se distanciam mais da média quando 
fazemos suposições sobre esta variável. Se analisarmos comparativamente, 
o projeto A é mais arriscado (CAMARGO, 2008, p.132)
PRATICANDOPRATICANDO
Certa alternativa de investimento requer 
um dispêndio integral de R$ 280.000,00, 
estimando-se um retorno de R$ 65.000,00, R$ 
85.000,00, R$ 95.000,00, R$105.000,00 e R$ 
120.000,00, respectivamente, ao final de cada 
um dos próximos cinco anos. Admitindo-se que 
os quatro primeiros fluxos de caixa possam ser 
reinvestidos até o prazo final da vida da alternativa, às taxas 
de 28%, 26%, 24% e 22%, respectivamente, determine a taxa 
interna de retorno dessa operação considerando as diferentes 
taxas de reinvestimentos.
8.2.5 Operacionalização da calculadora fi nanceira
Como você já notou, desenvolvemos vários exemplos de aplicação da 
calculadora financeira, ferramenta que pode ser sua aliada na execução dos 
cálculos. Ela pode apontar falhas no momento do desenvolvimento da questão, 
quando utilizamos as fórmulas, pois podemos obter o resultado mais facilmente.
Apesar de algumas funções da calculadora financeira parecerem 
complexas, já assinalamos que elas são relativamente fáceis de serem 
operacionalizadas se dominamos os conceitos da matemática financeira, sob 
o ponto de vista teórico e prático.
Obviamente, você deve estar atento para alguns detalhes da aplicação 
desta calculadora, seguindo as recomendações colocadas no texto, quando 
são apresentados os passos de operacionalização.
E então, já está apto a utilizá-la? 
Capítulo 8
249Matemática Financeira
8.3 Aplicando a teoria na prática
José é um investidor. Necessitando de um financiamento de R$ 10.000,00, 
recorre a Pedro dos Anjos e propõe devolver o valor em três parcelas mensais 
consecutivas de R$ 2.800,00, R$ 3.500,00 e R$ 4.500,00. Para que Pedro aceite 
a proposta, necessita conhecer o custo efetivo mensal deste financiamento. 
Então, ele recorre a você, que conhece bem como se calcula a taxa interna de 
retorno, e solicita que lhe explique como se calcula este custo. Sente-se apto 
em ajudá-lo? Espero que sim!
Vamos calcular a solução? O custo efetivo mensal do financiamento é a 
taxa de retorno do fluxo de caixa (sob o ponto de vista de quem emprestou o 
dinheiro), mostrado na tabela a seguir.
Anos 0 1 2 3
CAPITAIS (R$) (10.000,00) 2.800,00 3.500,00 4.500,00
Precisamos calcular a taxa i que vai zerar o VPL, como mostramos a seguir:
VPL
i i i
= − +
+( )
+
+( )
+
+( )
=10 000
2 800
1
3 500
1
4 500
1
0
2 3
.
. . .
Para calcular a taxa interna de retorno, vamos inicialmente utilizar a 
interpolação linear, aplicando o VPL a algumas taxas como segue:
TAXAS VPL
0% 800,00
1% 570,97
2% 349,64
3% 135,67
4% (-71,26)
Como a taxa de 4% fez o VPL ficar negativo, isto indica que a taxa 
procurada está entre 3% e 4%, basta somente encontrar o valor mais próximo.
Capítulo 8
250 Matemática Financeira
3% VPL = 135,67
i VPL = 0
4% VPL = - 71,26
i
4% 3%
0 135,67
-71,26 -135,67
i
1%
135,67
206,93
206,93 i
−
=
−
=
−
−
= 135,,67
i 135,67
206,93
0,65
TIR 3% 0,65 3,65% ao ano
= =
= + =
Agora, para calcular a taxa interna de retorno na calculadora financeira, 
você digita:
f fin
10.000 CHS g CF0
2.800 g CFj
3.500 g CFj
4.500 g CFj
F IRR.
No visor, aparecerá o valor de 3,65%, pois na calculadora financeira o 
resultado é percentual. Assim, o custo efetivo do financiamento é de 3,65% 
ao mês.
8.4 Para saber mais
Você poderá consultar os materiais relacionados a seguir para 
complementar seu estudo. Você deve ter observado que foram 
acrescentadas novas referências neste capítulo. Isto é porque este assunto 
requer uma abordagem mais aprofundada e alicerçada nas ideias de 
outros autores.
Capítulo 8
251Matemática Financeira
Título: Análise de investimentos: demonstrativos fi nanceiros
Autor: CAMARGO, C. Editora: IBPEX Ano: 2007
Este livro apresenta exemplos e explicações para você ampliar seus 
conhecimentos sobre os métodos de análise de investimentos. A 
autora aborda os assuntos de matemática financeira de forma clara 
e didática. Além dos métodos que foram explicados, o livro ensina 
outros métodos de análise como: o ponto de Ficher, taxa média de 
retorno e índice de benefício custo.
Título: Avaliação de investimentos: com calculadora fi nanceira e Excel
Autores: BRUNI, A. Editora: Atlas Ano: 2008
Apresenta o processo de avaliação de investimentos de forma simples, 
com muitos exemplos e exercícios, facilitados por meio do uso da 
calculadora financeira e da planilha eletrônica Microsoft Excel. O 
texto discute inicialmente o papel e as decisões usuais em Finanças, 
apresentando em seguida a importância da projeção dos fluxos de 
caixa livres e do cálculo do custo de capital. Posteriormente, aborda o 
uso das diferentes técnicas, como as técnicas de avaliação contábil e as 
técnicas financeiras mais usuais, como o payback, o VPL e a TIR. Mais 
adiante, discute aspectos relativos à avaliação de empresa e ao estudo 
das decisões sob incerteza e risco. Ao final, o texto discute o processo 
de modelagem financeira no Excel, apresentando tópicos avançados, 
como o uso do método de Monte Carlo ou o uso de opções reais em 
avaliação de investimentos. Para tornar o aprendizado mais efetivo, 
diversos modelos prontos estão apresentados.
Site: Mundo dos sites/ciências exatas
URL: http://www.mundosites.net/cienciasexatas/matematica.htm
Neste endereço eletrônico, você tem explicações e exemplos que 
podem sanar suas dúvidas, se elas existirem. Aborda os métodos de 
investimentos estudados aplicando-os em estudo de caso.
8.5 Relembrando
Neste capítulo, trabalhamos os diferentes métodos que podem ser 
utilizados quando estamos diante de alternativas de investimento. Estudamos 
sobre os métodos mais intensivamente utilizados, como o valor presente 
líquido, conhecido pela sigla VPL. Você aprendeu também que:
 • este método permite determinar na data presente se o fluxo de caixa 
gerado pelas atividades do investimento trará lucro ou prejuízo. 
Capítulo 8
252 Matemática Financeira
Este valor é calculado fazendo o desconto de uma taxa, chamada 
de taxa mínima de atratividade, que o investidor,proprietário ou 
empreendedor considere uma taxa referência para o seu negócio. 
Alguns empresários utilizam a taxa SELIC muito utilizada em cálculos 
financeiros. Esta taxa, segundo o Banco Central (2010) “é a obtida 
mediante o cálculo da taxa média ponderada e ajustada, das operações 
de financiamento por um dia, lastreadas em títulos públicos federais 
e cursadas no referido sistema ou em câmaras de compensação 
e liquidação de ativos, na forma de operações compromissadas”. 
Também pode-se acrescentar a esta taxa um percentual de risco, 
livrando assim de algum imprevisto no decorrer da vida útil do projeto;
 • a taxa de retorno de investimento, também conhecida por TIR, 
que representa a taxa de remuneração do investimento. Esta taxa 
traduz a rentabilidade dos recursos investidos. O cálculo da TIR se faz 
aplicando o método VPL, pois é a taxa que torna o VPL igual a zero. 
Obtemos por meio de tentativas sucessivas, pela interpolação linear 
e mais facilmente pelas funções da calculadora financeira. Você pode 
também determinar esta taxa utilizando o aplicativo Excel, acionando 
a função fx. No meio empresarial e acadêmico, é considerada uma 
taxa confiável;
 • o prazo de retorno de investimento (payback) é uma técnica que 
indica em quanto tempo o investimento será recuperado. É um 
referencial que o investidor, empresário ou empreendedor podem se 
valer para conhecer se o investimento levará pouco ou muito tempo 
para retornar. Caso o investimento não seja recuperado dentro do 
prazo máximo tolerado, rejeita-se a proposta, pois não é possível 
esperar um longo tempo para começar a ter lucro. O payback simples 
não considera a taxa de desconto, ou TMA, é uma técnica simples. Já 
o payback descontado revela com mais precisão o tempo que levará 
para o investimento ser recuperado.
Neste capítulo, ainda foram mostradas duas abordagens distintas, como 
a análise de cenários e a análise de sensibilidade, que complementam o estudo 
sobre a análise de investimentos. Destaca-se que este tema é muito amplo e 
não se resume aos tópicos abordados no capítulo. Existem outras metodologias 
mais complexas, que não cabem ser apresentadas pelo grau de dificuldade e 
aprofundamento.
Capítulo 8
253Matemática Financeira
Espero que você tenha conseguido assimilar os conteúdos apresentados 
para esta disciplina e não somente cumprir uma mera formalidade de completar 
a matriz, mas que sirva de orientação para o planejamento das finanças pessoais.
8.6 Testando os seus conhecimentos
1) Uma empresa está analisando um projeto. O fluxo de caixa é apresentado 
na tabela a seguir. O custo de capital da empresa é 16% a.a. 
Calcule o período de payback descontado e payback simples para este 
projeto para os dois projetos.
Indique se o projeto é viável considerando seu tempo de vida. 
ANOS CAPITAIS
0 - 400.000
1 120.000
2 150.000
3 200.000
4 220.000
5 150.000
2) Certa alternativa de investimento requer um dispêndio integral de capital 
de R$ 150.000,00, estimando-se um retorno de R$ 45.000,00, R$ 60.000,00, R$ 
70.000,00, R$ 80.000,00 e R$ 100.000,00, respectivamente, ao final de cada 
um dos próximos cinco anos. Admitindo-se que os quatro primeiros fluxos de 
caixa possam ser reinvestidos até o prazo final da vida da alternativa, às taxas 
de 28%, 26%, 24%, e 22% respectivamente, determine a TIR dessa operação, 
considerando as diferentes taxas de reinvestimentos.
3) A gerência de certa empresa está considerando a mecanização de seus 
serviços de embalagem. Atualmente, os produtos são acondicionados 
manualmente a um custo anual de R$ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos 
capazes de executar a mesma função encontram-se disponíveis no mercado, 
apresentando as seguintes características:
Capítulo 8
254 Matemática Financeira
DISCRIMINAÇÃO EQUIPAMENTO A EQUIPAMENTO B
Custo inicial R$ 100.000,00 R$ 90.000,00
Receita anual R$18.000,00 R$15.000,00
Custo operacional anual R$ 9.000,00 R$ 11.000,00
Valor residual R$ 23.000,00 R$ 25.000,00
Vida econômica 10 anos 10 anos
Verifique, por meio do valor presente líquido, se algum equipamento 
deve ser adquirido, considerando uma taxa mínima de atratividade – TMA de 
12% ao ano. Em caso afirmativo, qual equipamento deve ser escolhido?
Onde encontrar
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Taxas de juros, cálculos, índices e cotações · Câmbio e 
capitais internacionais · Indicadores econômicos: Normas e manuais do BC e do CMN... 
Banco Central do Brasil. Disponível em: <www.bcb.org.br. Acesso em: 16 dez. 2010.
BORDEAUX-RÊGO, R. et al. Viabilidade econômico-financeira de projetos. Rio 
de Janeiro: FGV, 2007.
BRUNI, A. L; FAMÁ, R. Matemática das finanças: com aplicações na calculadora 
financeira e Excel. São Paulo: Atlas, 2008.
CASAROTTO FILHO, N. Projeto de negócio: estratégias e estudos de viabilidade: 
redes de empresa, engenharia simultânea, plano de negócio. São Paulo: Atlas, 2002.
CECCONELLO, A. R.; AJZENTAL, A. A construção do plano de negócio. São 
Paulo: Saraiva, 2008.
FONSECA, Y. D.; BRUNI, A. L. l. Técnicas de análise de investimentos: uma breve 
revisão da literatura. Disponível em: <www.desenbahia.ba.gov.br>. Acesso 
em: 10 mar. 2010.
GITMAN, L. J. Princípios da administração financeira essencial. 2. ed. Porto 
Alegre: Bookman Editora, 2001.
Capítulo 8
255Matemática Financeira
HOJI, M. Administração financeira: uma abordagem prática: matemática 
financeira aplicada, estratégias financeiras, análise, planejamento e controle 
financeiro. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
KASSAI, J. R. et al. Retorno de investimento: abordagem matemática contábil 
do lucro empresarial. São Paulo: Atlas, 2000.
LAPPONI, J. C. Avaliação de projetos de investimento. São Paulo: Lapponi 
Treinamentos e Editora, 2000.
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análises de investimentos: 
fundamentos, técnicas e aplicações. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2006.
TAVARES, M. C. Gestão estratégica. São Paulo: Atlas, 2000.
Capítulo 8
256 Matemática Financeira
257
 Referências
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Taxas de juros, cálculos, índices e 
cotações. Câmbio e capitais internacionais. Disponível em: <www.bcb.
org.br>. Acesso em: 16 dez. 2010.
BORDEAUX-RÊGO, R. et al. Viabilidade econômico-financeira de 
projetos. Rio de Janeiro: FGV, 2007.
BRUNI, A. L.; FAMÁ, R. Matemática das finanças: com aplicações na HP 
12C e Excel. São Paulo: Atlas, 2008.
CASAROTTO FILHO, N. Projeto de negócio: estratégias e estudos 
de viabilidade: redes de empresa, engenharia simultânea, plano de 
negócio. São Paulo: Atlas, 2002.
CECCONELLO, A. R.; AJZENTAL, A. A construção do plano de negócio. 
São Paulo: Saraiva, 2008.
CHIAVENATO, I. Introdução à Teoria geral da administração. 6. ed. Rio 
de Janeiro: Campus, 2000.
CLEMENTE, A. Projetos empresariais e públicos. 2. ed. São Paulo: 
Atlas, 2002.
DORNELAS, J. C. A. Empreendedorismo: transformando idéias em 
negócios. Rio de Janeiro: Campus, 2001.
FONSECA, Y. D.; BRUNI, A. L. Técnicas de análise de investimentos: 
uma breve revisão da literatura. Disponível em: <www.desenbahia.
ba.gov.br>. Acesso em: 10 mar. 2010.
GITMAN, L. Princípios de administração financeira. 7. ed. São Paulo: 
Harbra, 2002.
HOJI, M. Administração financeira: uma abordagem prática: 
matemática financeira aplicada, estratégias financeiras, análise, 
planejamento e controle financeiro. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
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C
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R
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F
E
R
Ê
N
C
IA
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Referências
KASSAI, J. R. et al. Retorno de investimento: abordagem matemática e contábil 
do lucro empresarial. São Paulo: Atlas, 2000.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 
2007.
KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira e aplicada e análise de 
investimentos. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2001.
LAPPONI, J. C. Avaliação de projetos de investimento. São Paulo: Lapponi 
Treinamentos e Editora, 2000.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira.2. ed. São Paulo: Atlas, 
2002.
MILONE, G. Matemática financeira. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
PUCCINI, A. C. Matemática financeira. Disponível em: <http://www.find-docs.
com/baixar-livro-matematica-financeira-puccini.html>. Acesso em: 05 out. 
2010.
SEBRAE. Estudo de viabilidade e pesquisa de campo. Sebrae. Disponível em: 
<www.sebrae.sp.gov.br>. Acesso em: 30 jan. 2010.
SOUSA, A. F. de. Avaliação de investimentos: uma abordagem prática. São 
Paulo: Saraiva, 2007.
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de investimentos. 6. 
ed. São Paulo: Atlas, 2008.
TAVARES, M. C. Gestão estratégica. São Paulo: Atlas, 2000.
VERAS, l. l. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2000.
ZDANOWICZ, J. E. Fluxo de caixa: uma decisão de planejamento e controle 
financeiro. 10. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.