MATEMÁTICA FINANCEIRA

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Este livro tem como objetivo que as pessoas, sejam elas estudantes ou 
profissionais atuantes no mercado financeiro, tenham à disposição os 
conceitos básicos de matemática financeira, que podem ajudá-las a tomar 
as decisões corretas e proporcionar excelentes resultados.
Muitas pessoas não detêm conhecimentos sobre os cálculos utilizados 
nessa área, por isso, esta obra aborda diversos tópicos de maneira 
clara e didática, tendo em vista que, dessa maneira, o estudo se torna 
mais agradável e produtivo. Os conceitos observados aqui – como 
porcentagens, cálculos de juros e descontos, tipos de taxas, rendas e 
séries uniformes, indicadores financeiros, correção monetária e outros –, 
foram contextualizados em situações práticas comuns em nosso dia a dia.
MATEMÁTICA FINANCEIRA
LUIZ ROBERTO DIAS DE MACEDO
Código Logístico
59329
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6620-9
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 2 0 9
Matemática Financeira 
Luiz Roberto Dias de Macedo
IESDE BRASIL
2020
© 2020 – IESDE BRASIL S/A. 
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO 
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
M122m
Macedo, Luiz Roberto Dias de
Matemática financeira / Luiz Roberto Dias de Macedo. - 1. ed. - 
Curitiba [PR] : IESDE, 2020. 
220 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6620-9
1. Matemática financeira. I. Título.
 20-62761 CDD: 513.2
CDU: 51-7
Luiz Roberto Dias 
de Macedo
Mestre em Educação pela Pontifícia Universidade 
Católica do Paraná (PUCPR). Especialista em Magistério 
da Educação Básica pelo Instituto Brasileiro de Pós-
Graduação e Extensão (IBPEX). Graduado em Matemática 
pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Professor 
no ensino básico e superior, nas modalidades de ensino 
presencial e a distância. Autor de obras nas áreas de 
matemática aplicada e matemática financeira.
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SUMÁRIO
1 Capitalização simples 9
1.1 Porcentagens 9
1.2 Conceitos financeiros 11
1.3 Aplicações 13
1.4 Juro comercial e juro exato 15
1.5 A regra do banqueiro 17
1.6 Juro do cheque especial 18
2 Desconto simples 23
2.1 Desconto simples 23
2.2 Desconto bancário 28
2.3 Desconto racional simples 29
2.4 Títulos equivalentes 32
3 Capitalização composta 39
3.1 Capitalização composta 39
3.2 Equivalência de taxas 46
3.3 Tipos de taxa 49
4 Desconto composto 58
4.1 Desconto composto 58
4.2 Desconto composto comercial 59
4.3 Desconto racional composto 62
4.4 Títulos equivalentes 65
5 Rendas ou séries uniformes 75
5.1 Fluxo de caixa 75
5.2 Rendas ou séries de pagamentos 79
5.3 Modelo básico de renda 83
5.4 Renda antecipada 91
5.5 Rendas diferidas ou com carência 94
5.6 Séries perpétuas ou perpetuidade 97
5.7 Equivalência de fluxos de caixa 99
5.8 Arrendamento mercantil - leasing 103
6 Taxa interna de retorno e valor presente líquido 111
6.1 Taxa interna de retorno (TIR) 111
6.2 Valor presente líquido (VPL) 116
6.3 Índice de lucratividade e taxa de rentabilidade 119
6.4 Comparação entre os métodos de análise de investimentos 
 para projetos independentes 122
7 Correção monetária, indicadores e depreciação 137
7.1 Moeda 137
7.2 Correção monetária 138
7.3 Depreciação 143
8 Sistema de amortizações 155
8.1 Sistemas de amortização 155
8.2 Amortização sem correção monetária 157
8.3 Amortizações com correção monetária 182
8.4 Sistema de amortização crescente (Sacre) 193
APRESENTAÇÃO
Provavelmente, você já escutou algo parecido com a expressão “as boas decisões 
são aquelas que conduzem a bons resultados”. Devemos ter em mente que, para bons 
resultados serem atingidos, as decisões que levam a eles devem ser fundamentadas em 
conceitos corretos e bem conhecidos. Sendo assim, este livro tem como objetivo que as 
pessoas, sejam elas estudantes ou profissionais atuantes no mercado financeiro, tenham à 
disposição os conceitos básicos de matemática financeira, que podem ajudá-las a tomar as 
decisões corretas e proporcionar excelentes resultados.
Muitas pessoas não detêm conhecimentos sobre os cálculos utilizados nessa área, por 
isso, esta obra aborda diversos tópicos de maneira clara e didática, tendo em vista que, 
dessa maneira, o estudo se torna mais agradável e produtivo. Os conceitos observados 
aqui foram contextualizados em situações práticas comuns em nosso dia a dia. 
Iniciamos este livro com as operações financeiras básicas, nos regimes de capitalização 
simples e composta, com foco nos cálculos de juros e de descontos, sem deixar de estudar 
antes, evidentemente, as diversas aplicações de porcentagens. É importante esclarecer que, 
nas diferentes situações abordadas, faz-se necessário que o leitor distinga corretamente 
os diversos tipos de taxas com as quais o mercado financeiro opera: taxas nominal, efetiva 
e real – também abordadas nesta obra. Na sequência, trataremos das rendas e das séries 
uniformes, estudo que, além de muito importante, leva a cálculos que proporcionam o 
discernimento necessário para as tomadas de decisões em relação a investimentos e 
empréstimos; também estudamos o modelo básico de renda, as rendas antecipadas e 
postecipadas (com ou sem carência), as equivalências de fluxos de caixa e o arrendamento 
mercantil, da taxa interna de retorno e do valor presente líquido.
Tendo conhecimento desses importantes tópicos, podemos estudar a depreciação, os 
indicadores financeiros e a correção monetária, que faz o poder aquisitivo da moeda variar 
com o passar do tempo. Finalizamos com o estudo dos diversos sistemas de amortização 
existentes, com e sem correção monetária, sistemas esses aplicados a diversos tipos de 
financiamentos de bens de consumo, inclusive os habitacionais.
Esperamos que com esta leitura seja possível que você desenvolva habilidades que 
possibilitem boas tomadas de decisões e que proporcionem excelentes resultados. 
Bom estudo!
Capitalização simples 9
1
Capitalização simples
Vamos pensar na seguinte situação: você pagou todas as suas contas 
e obrigações mensais e, ao final do mês, verificou que está com uma so-
bra do seu salário. O que você pode fazer com esse dinheiro? Algumas 
das respostas a essa pergunta são: comprar algo que deseja e que nunca 
“sobrava” dinheiro para comprar ou guardar esse dinheiro para poder uti-
lizá-lo em uma situação futura em que seja necessário.
Se optar pela primeira opção, ótimo. Você adquirirá algo que lhe fará 
feliz. Mas, caso opte pela segunda, que tal ganhar mais dinheiro guardan-
do essa sobra, ou seja, que tal lucrar algo? Vamos supor que você tenha 
optado pela segunda alternativa. Para não ser enganado ao decidir guar-
dar o dinheiro e aplicá-lo, você deve saber como aplicar essa quantia.
Basicamente, existem dois tipos de regimes para se fazer aplicações 
financeiras: o regime de capitalização simples e o de capitalização com-
posta. Neste capítulo, nos dedicaremos ao primeiro. Para tanto, neces-
sitamos saber trabalhar, corretamente, com porcentagens e conceitos 
financeiros básicos. 
Vamos, então, colocar a mão na massa!
1.1 Porcentagens
Vídeo O primeiro conceito que veremos, neste capítulo, é o de porcentagem. “Porcen-
tagem, ou percentagem, indica uma taxa ou proporção calculada em relação ao 
número 100 (por cem). A porcentagem consiste em uma fração em queo deno-
minador é 100 e é representada pelo símbolo %” (SIGNIFICADOS, 2020, grifos do 
original). Portanto, podemos representar uma porcentagem utilizando o símbolo 
de porcentagem ou por uma fração com o denominador 100. Por exemplo:
2% = 
2
100 = 0,02 9% = 
9
100
 = 0,0910% = 
10
100
= 0,10 
Essas porcentagens estão escritas em três formatos diferentes. O formato que 
aparece com o símbolo % é denominado formato percentual. Já o que aparece como 
uma fração de denominador 100, é denominado razão centesimal. E o formato que 
10 Matemática Financeira
aparece como número decimal (com vírgula) é denominado formato unitário ou 
formato centesimal.
Mas, como se calcula uma porcentagem de um valor qualquer? Veremos, agora, 
que o cálculo da porcentagem de um valor qualquer é extremamente simples. Ob-
serve, atentamente, os exemplos dados a seguir.
1. Para determinarmos o valor que corresponde a 6% de R$ 1.248,00, pode-
mos fazer a seguinte conta:
6% de 1.248 = 
6
100
 . 1.248 = 
6 1 248
100
�. .
 = 
� .7 488
100
 = 74,88.
Ou seja, 6% de R$ 1.248,00 é igual a R$ 74,88. Também podemos usar o 
número decimal, ou seja, o formato unitário, para realizar a mesma conta, 
como no exemplo a seguir:
6% de 1.248 = 0,06 . 1.248 = 74,88.
Resposta: o valor que corresponde a 6% de R$ 1.248,00 é R$ 74,88.
2. Para fixarmos as formas de calcular a porcentagem, dessa vez sem pensar 
em valores monetários, vamos ao segundo exemplo: quanto é 2,5% de 690? 
Assim como no primeiro exemplo, começaremos a conta com a razão cen-
tesimal, ou seja, a porcentagem em fração de denominador 100.
2,5% de 690 = 
2,5
100
 . 690 = 
2,5�.�690
100
 = 
1.725
100
 = 17,25.
Assim como no exemplo anterior, outra forma de resolvermos é:
2,5% de 690 = 0,025 . 690 = 17,25. 
2,5% de 690, portanto, é equivalente a 17,25.
Resposta: o valor de 2,5% de 690 é igual a 17,25.
3. Em uma loja, João viu um cartaz (Figura 1). 
 
Se João comprar duas gravatas, qual será o va-
lor total de sua compra?
Para resolvermos o problema, devemos, 
primeiramente, calcular o valor de descon-
to que será aplicado na compra da segunda 
gravata. Para isso, fazemos:
12% de 48,5 = 
12
100
 . 48,5 = 
12�.�48,5
100
 = 
582
100
 = 5,82.
Para realizarmos cálculos em 
fórmulas matemáticas, devemos 
colocar as porcentagens no 
formato unitário ou centesimal.
Atenção
Σxemρlos
Você conhece a origem do sím-
bolo %? Acesse o blog Origem 
dos símbolos matemáticos e 
descubra.
Disponível em: https://sites.
google.com/site/simbolosma-
tematicosuninove2017/home/
simbolos/porcentagem. Acesso 
em: 13 abr. 2020.
Curiosidade
Figura 1
Exemplo de cartaz de promoção
Gravata
Na compra de duas, 
ganhe um desconto 
de 12% na segunda.
R$48,50
GGG
Exercite seus conhecimentos 
sobre porcentagens acessando 
o QR Code. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Capitalização simples 11
Ou, usando o formato centesimal:
12% de 48,5 = 0,12 . 48,5 = 5,82.
O preço da 2ª gravata será de R$ 48,50 – R$ 5,82, que é igual a R$ 42,68. Por-
tanto, ao levar as duas gravatas, João gastará R$ 48,50 + R$ 42,68 = R$ 91,18. 
Resposta: João gastará, ao comprar duas gravatas, R$ 91,18.
 Viu como é fácil?
1.2 Conceitos financeiros
Vídeo Além de sabermos operar corretamente com as porcentagens, devemos conhe-
cer alguns conceitos financeiros básicos, como: capitalização, capital, juro, taxa ou 
taxa de juro, prazo ou período e montante. Alguns desses conceitos são intuitivos e 
abordaremos todos nesta seção.
Capital 
É o valor que se dispõe para aplicar. Muitos autores, para a designação do capi-
tal, utilizam outros termos, como: principal, valor atual, valor presente ou valor apli-
cado. Nesta obra, utilizaremos a denominação Capital e a representaremos com a 
letra maiúscula C.
Prazo ou período
Também podemos denominar como prazo de aplicação ou período de aplicação. 
Representa o tempo que o capital ficará disponível para ser aplicado. Para sua repre-
sentação, utilizaremos a letra minúscula n.
Juros
De acordo com o site Significados,
Juros é o rendimento que se obtém quando se empresta dinheiro por 
um determinado período. Os juros são para o credor (aquele que tem algo 
a receber) uma compensação pelo tempo que ficará sem utilizar o dinheiro 
emprestado.
Por outro lado, quem faz um empréstimo em dinheiro ou faz uma compra a 
crédito, geralmente terá que pagar um acréscimo pela utilização do dinheiro 
ou pelo parcelamento da totalidade do valor do bem. A esse acréscimo tam-
bém dá-se o nome de juro. (2020, grifos do original)
Utilizaremos, como representação dos juros, a letra maiúscula J, e, sempre que 
falarmos de juros, trataremos dos juros remuneratórios.
12 Matemática Financeira
De acordo com Puccini (2017), os juros podem ser tan-
to remuneratórios, quanto moratórios, os juros remune-
ratórios representam:
 • a remuneração do capital do credor por este ficar 
privado do seu uso, não podendo usar o capital fi-
nanciado até o dia do recebimento, com risco de não 
receber o capital de volta (inadimplência);
 • custo do capital financiado pelo tomador do finan-
ciamento para este ter o direito de usar o capital em-
prestado até o dia do pagamento;
 • a remuneração paga pelas instituições financeiras 
sobre o capital nelas aplicado (PUCCINI, 2017, p. 2).
Sobre os juros moratórios, ainda que não sejam nosso 
foco ou da obra do autor, é importante sabermos que “eles 
constituem a indenização pelo prejuízo resultante do retar-
damento do pagamento por parte do devedor” (2017, p. 2).
Taxa ou taxa de juros
É uma porcentagem que exprime o quanto se receberá de juros pela aplicação 
de um certo capital por um determinado tempo. Utilizaremos, para a representa-
ção da taxa de juros, a letra minúscula i.
Devemos estar atentos para o fato de que, ao nos referirmos a uma taxa de 
juros, temos que especificar a unidade de tempo (ao ano, ao semestre ou ao mês), 
ou seja, não podemos colocar somente um percentual, e essa unidade de tempo 
deve ser compatível com a unidade de tempo do prazo de aplicação.
Ou seja, se colocarmos:
 • 12% a.a. (ao ano), o prazo de aplicação deve estar em anos;
 • 8% a.s. (ao semestre), o prazo de aplicação deve estar em semestres;
 • 4% a.m. (ao mês), o prazo de aplicação deve estar em meses.
É muito importante prestar atenção nessa colocação, pois caso não haja essa 
compatibilidade de unidades, os cálculos estarão errados.
Montante
O montante nada mais é do que o resultado da soma do capital aplicado com os 
juros recebidos pela aplicação deste capital. Utilizaremos, para sua representação, 
a letra maiúscula M, representando esse cálculo pela seguinte fórmula matemática:
M = C + J
Entenda mais sobre a proporcio-
nalidade das taxas acessando o 
QR Code. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Capitalização simples 13
Capitalização
De acordo com o site Significados (2020, grifos do original),
capitalização é aplicação para acumulação de capital.
É quando o capital é aplicado e sobre ele incide uma taxa de juros, que acaba 
por acumular mais capital.
É um termo utilizado na economia para relacionar as formas de juntar valo-
res, também chamado de capitalização de juros. 
Além disso, temos o regime de capitalização, que indica como os juros serão 
acrescentados ao capital. Nesse aspecto, existem duas possibilidades: o regime de 
capitalização simples e o regime de capitalização composta. 
Regime de 
capitalização simples
Quando os juros 
obtidos incidem 
somente sobre o capital 
inicialmente aplicado.
Regime de 
capitalização composta
Quando os juros 
obtidos incidem sobre o 
capital acrescido dos juros 
do período considerado.
É conveniente ressaltarmos que, nesta parte do estudo, trabalharemos espe-
cificadamentecom o regime de capitalização simples. O regime de capitalização 
composta será abordado oportunamente.
1.3 Aplicações
Vídeo Após termos visto os conceitos matemáticos básicos, podemos 
nos dedicar ao estudo de situações-problema envolvendo o cálculo 
de juros simples, no regime de capitalização simples. Para isso, utili-
zaremos apenas duas fórmulas matemáticas. Para calcular os juros 
simples, usamos:
J = C . i . n
Já para calcular o montante:
M = C + J
Caso realizemos a substituição do valor dos juros (1ª fórmula) na 
fórmula do montante, encontraremos uma outra fórmula matemáti-
ca que também poderá ser utilizada:
M = C + J ∴ M = C + C . i . n ∴ M = C . (1 + i . n)
Para fixação, observe os exemplos a seguir.
∴ é um símbolo matemático 
para indicar uma conclusão 
óbvia, pode ser lido como “por-
tanto”, “logo” ou “em conclusão”. 
Atenção
14 Matemática Financeira
Σxemρlos
1. Suponha que você tomou emprestada, em uma instituição financeira, a im-
portância de R$ 5.500,00, para pagamento em um prazo de 2 anos, à taxa 
de 8% a.a. (ao ano). Qual será o valor dos juros que você deverá pagar à ins-
tituição financeira que lhe emprestou o dinheiro? Qual é o montante a ser 
restituído para a instituição financeira no final do período do empréstimo?
Devemos, em primeiro lugar, verificar se a taxa de juros e o período estão 
em unidades compatíveis. Como a taxa de juros do enunciado é de 8% a.a., 
e o prazo é de 2 anos, as unidades são compatíveis. Então, podemos calcular 
o valor dos juros que serão cobrados pelo empréstimo utilizando a seguinte 
fórmula:
J = C . i . n ∴ J = 5.500 . 0,08 . 2 ∴ J = 880.
Para determinarmos o valor do montante a ser devolvido à instituição finan-
ceira, temos:
M = C + J ∴ M = 5.500 + 880 ∴ M = 6.380.
Portanto, de acordo com os cálculos desenvolvidos, o valor de juros a ser 
pago é de R$ 880,00, e o total que deverá ser devolvido à instituição finan-
ceira é de R$ 6.380,00.
Resposta: será feito o pagamento de R$ 880,00 de juros e se devolverá à insti-
tuição financeira, ao final do período do empréstimo, a quantia de R$ 6.380,00.
2. Suponha que você tenha recebido uma proposta para aplicar o capital de 
R$ 16.780,00 pelo prazo de 3 anos. Determine o valor da taxa da aplicação 
sugerida, sabendo que lhe informaram que você receberá R$ 1.258,50 de 
juros. Utilizando a fórmula que determina o valor dos juros, obtemos:
J = C . i . n ∴ 1.258,5 = 16.780 . i . 3 ∴ 1.258,5 = 50.340 . i ∴ i = 
1.258,5
50.340
 ∴ i = 0,025.
Para sabermos a porcentagem de aplicação necessária para chegar a esse 
valor de juros, devemos transformar a taxa que está no formato centesimal 
para o formato percentual, acrescentando a respectiva unidade de tempo, 
correspondente ao prazo de aplicação. Assim, a taxa anual será de 2,5% a.a., 
pois o tempo está dado em anos.
Resposta: a taxa da aplicação que foi sugerida a você é de 2,5% a.a.
3. Uma aplicação de R$ 8.500,00 obteve um montante de R$ 9.647,50 pelo 
prazo de 9 meses. Qual é a taxa anual dessa aplicação?
Utilizando a fórmula que determina o montante da aplicação, obtemos:
M = C . (1 + i . n) ∴ 9.647,5 = 8.500 . ( 1 + i . 9 ) ∴ 
9.647,5
8.500
 = 
Para cálculos com fórmulas 
matemáticas, devemos colocar 
o valor da taxa de juros no for-
mato decimal e não no formato 
percentual. Para isso, dividimos o 
valor da taxa percentual por 100.
Atenção
O folder Sonhos: a educa-
ção financeira pode ajudar, 
publicado pelo Banco 
Central do Brasil, não 
fala especificadamente 
de capitalização simples, 
mas passa informações 
importantes que dizem 
respeito à educação 
financeira e, portanto, à 
matemática financeira.
Banco Central do Brasil. Disponível 
em: https://www.bcb.gov.br/
content/cidadaniafinanceira/
documentos_cidadania/Folhe-
tos_Serie_II_Financas_Pessoais/
folder_serie_II_sonhos_a_educa-
cao_financeira_pode_ajudar.pdf. 
Acesso em: 3 fev. 2020.
Leitura
Capitalização simples 15
1 + i . 9 ∴ 1,135 – 1 = 9 . i ∴ 0,135 = 9 . 1 ∴ 
0,135
9
 = i ∴
i = 0,015 ao mês.
Como o problema pediu a taxa anual, devemos fazer a conversão para a 
unidade solicitada da seguinte maneira:
0,015 a.m. . 12 = 0,18 a.a. = 18% a.a.
Resposta: a taxa anual da aplicação é de 18% a.a.
4. Qual é o capital que, aplicado durante 1 ano e 2 meses, à taxa de 0,75% ao 
mês, produz um montante de R$ 91.162,50?
Utilizando a fórmula que determina o montante da aplicação, obtemos:
M = C . (1 + i . n) ∴ 91.162,5 = C . (1 + 0,0075 . 14) ∴ 91.162,5 = 
C . 1,105 ∴ 91.162,5
1,105
 = C ∴ C = 82.500.
Resposta: o capital é de R$ 82.500,00. 
5. Durante quanto tempo devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, à taxa de 
12% a.a., para obtermos um montante de R$ 5.242,50?
Utilizando a fórmula para determinar o montante da aplicação, obtemos:
M = C . ( 1 + i . n ) ∴ 5.242,5 = 4.500 . ( 1 + 0,12 . n ) ∴ 5.242,5
4.500
 = 
1 + 0,12 . n ∴ 1,165 – 1 = 0,12 . n ∴ 
0,165
0,12
 ∴ n = 1,375.
Como ninguém fala uma data com vírgula, ou seja, 1,375 ano, devemos rea-
lizar uma alteração para que ela se transforme em uma data dita de uma 
maneira mais usual. Para realizar essa mudança, devemos multiplicar a par 
te decimal para a unidade imediatamente inferior a ano, que é mês, multi-
plicando por 12. Assim, 0,375 . 12 = 4,5 meses.
Como ainda aparece uma data com vírgula, procedemos da mesma maneira 
para transformar a parte decimal na unidade inferior, ou seja, dias. Por-
tanto: 0,5 mês . 30 = 15 dias. Então, 1,375 anos = 1 ano, 4 meses e 15 dias. 
Logo, esse é o tempo necessário de aplicação do capital de R$ 4.500,00 para 
produzir o montante de R$ 5.242,50.
Resposta: o valor de 2,5% de 690 é igual a 17,25.
Exercite seus conhecimentos 
sobre aplicações acessando o 
QR Code. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
1.4 Juro comercial e juro exato
Vídeo O cálculo de juros simples é mais comum em cálculos de capitalização simples. 
Nessas contas utilizamos o ano comercial (para o qual o ano possui 12 meses, to-
dos com 30 dias, o que totaliza 360 dias). Ao obtermos o número de dias por esse 
processo, obtemos o tempo aproximado entre as datas e estamos calculando o 
que é denominado juro simples comercial ou juro simples ordinário.
16 Matemática Financeira
Entretanto, podemos calcular os juros fazendo uso do número exato de dias do 
ano, ou seja, o ano civil, com 12 meses, totalizando 365 ou 366 dias. Utilizando esse 
outro conceito, trabalharemos com o que é denominado juro simples exato. Ao reali-
zar a contagem de dias por esse procedimento, trabalharemos com o tempo exato 
entre as datas.
Σxemρlo
Considere uma aplicação de capital no valor de R$ 25.800,00, realizada entre o 
dia 12 de maio de 2018 e o dia 27 de setembro de 2019, à taxa de 7,5% a.a. Deter-
mine o valor do juro comercial e o valor do juro exato obtido com essa aplicação.
1°. Vamos determinar a quantidade de dias entre as duas datas:
a) Cálculo da quantidade de dias aproximado, para calcular o juro comercial:
 • número de dias em que o capital ficou aplicado no mês de maio de 2018 – 18 dias;
 • número de dias dos meses de junho, julho, agosto, setembro, outubro, novem-
bro e dezembro de 2018 (considerando meses com 30 dias cada um) – 210 dias;
 • número de dias dos meses de janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, 
julho e agosto de 2019 (considerando meses com 30 dias cada um) – 240 dias;
 • número de dias em que o capital ficou aplicado no mês de setembro de 
2019 – 27 dias;
 • somando a quantidade de dias entre as duas datas, obtemos 495 dias 
(18 + 210 + 240 + 27 = 495).
Para saber como determinar o número de dias comerciais, por intermédio da 
utilização de uma planilha do Microsoft Excel, você deve:
 digitar na célula A1: data mais antiga;
 digitar na célula A2: data mais recente;
 digitar na célula A3: n. de dias exatos;
 digitar na célula B1: 12/05/2018;
 digitar na célula B2: 27/09/2019;
digitar na célula B3: =DIAS360(B1;B2).
Aparecerá, na célula B3, o valor 495, que corresponde à quantidade de dias 
comerciais entre as duas datas digitadas nas células B1 e B2.
Dica
É importante cuidar da ordem na 
qual você deve digitar as células 
que correspondem às datas.
A B
1 Data mais antiga 12/05/2018
2 Data mais recente 27/09/2019
3 N. de dias comerciais 495
b) Cálculo da quantidade de dias exatos para calcular o juro exato:
 • número de dias do mês de maio de 2018 – 19 dias;
 • número de dias dos meses de junho, setembro e novembro de 2018 (meses 
com 30 dias cada um) – 90 dias;
 • número de dias dos meses de julho, agosto, outubro e dezembro de 2018 (meses 
com 31 dias cada um) – 124 dias;
 • número de dias dos meses de janeiro, março, maio, julho e agosto de 2019 (me-
ses com 31 dias cada um) – 155 dias;
 • número de dias dos meses de abril e junho de 2019 (meses com 30 dias cada 
um) – 60 dias;
Capitalização simples 17
 • número de dias do mês de fevereiro de 2019 – 28 dias;
 • número de dias do mês de setembro de 2019 – 27 dias;
 • somando a quantidade de dias entre as duas datas obtemos 503 dias (19 + 90 
+ 124 + 155 + 60 + 28 + 27 = 503).
Assim como para determinar o número de dias comerciais, você pode calcular o 
número de dias exatos no Excel. Veja:
digitar na célula A1: data mais antiga;
digitar na célula A2: data mais recente;
digitar na célula A3: n. de dias exatos;
digitar na célula B1: 12/05/2018;
digitar na célula B2: 27/09/2019;
digitar na célula B3: = DIAS(B2; B1).
Aparecerá na célula B3 o valor 503, que corresponde à quantidade tempo exato 
entre as duas datas digitadas nas células B1 e B2.
Dica
A B
1 Data mais antiga 12/05/2018
2 Data mais recente 27/09/2019
3 N. de dias exatos 503
2°. Determinação do juro comercial:
J = C . i . n ∴ J = 25.800 . 0,075
360
 . 495 ∴ 
J = 25.800 . 0,00020833... . 495 ∴ J = 2.660,625 ∴ J = 2.660,63.
3°. Determinação do juro exato:
 J = C . i . n J = 25.800 . . 503 J = 25.800 . 0,00,075
365
∴ 00020548... .503∴ 
 J = 2.666,5890411 ∴ J = 2.666,59.
Resposta: o valor do juro comercial a receber é de R$ 2.660,63 e do juro 
exato é de R$ 2.666,59.
Exercite seus conhecimentos 
sobre juro comercial e juro exato 
acessando o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
1.5 A regra do banqueiro 
Vídeo Uma outra opção para calcularmos o valor do juro simples é utilizando a regra do 
banqueiro. Para realizarmos o cálculo pela aplicação dessa regra, devemos utilizar 
a taxa de aplicação (i), determinada pela utilização do ano comercial, mas o período 
de tempo (n), determinado pelo ano civil.
Σxemρlos
1. Determinar, utilizando a regra do banqueiro, o valor do juro da aplicação 
do capital de R$ 5.600,00, sabendo que a taxa da aplicação é de 8% a.a. e o 
período da aplicação é de 15 de julho de 2019 a 23 de dezembro de 2019. 
 
Precisamos, primeiro, determinar a quantidade de dias entre as duas datas, 
utilizando o ano civil, obtendo 161 dias.
Utilizando a fórmula que determina o valor dos juros, obtemos:
J = C . i . n J = 5.600 J = 5.600 . 0,00022222... ,0 08
360
∴ .. . 161∴ 
J = 200,35555556... ∴ J = 200,36.
18 Matemática Financeira
Resposta: o valor do juro da aplicação, calculado pela regra do banqueiro, 
é de R$ 200,36.
2. Suponha que você tenha aplicado a quantia de R$ 3.800,00 em uma institui-
ção que lhe ofereceu a aplicação a uma taxa de 11,5% a.a., pelo período que 
compreendeu os meses de agosto, setembro e outubro de 2019. Quanto você 
recebeu de juros, sabendo que foram calculados pela regra do banqueiro?
Utilizando a fórmula que determina o valor dos juros, obtemos:
 J = C . i . n J = 3.800 . . 92 J = 3.800 . 0,00030,115
360
11944... . 92∴ 
 J = 111,67777778... ∴ J = 111,68. 
Resposta: o valor do juro que você recebeu pela aplicação, calculado pela 
regra do banqueiro, foi de R$ 111,68.
1.6 Juro do cheque especial
Vídeo Muitas pessoas têm a curiosidade de saber – mas a maioria ainda não sabe 
– como os bancos fazem os cálculos dos juros cobrados quando um correntista 
utiliza o limite do seu cheque especial.
Primeiro, é bom saber que o método utilizado é denominado de método 
hamburguês. Para a utilização desse método de cálculo de juros simples, utilizamos 
a seguinte fórmula matemática:
J�=�i�. C .n
k�=�1
n
k k� ��� � �
Em que:
 • i → taxa de juros a ser utilizada;
 • Ck → diversos capitais utilizados. No caso do cálculo dos juros do cheque es-
pecial, são os diversos valores do limite de crédito que o correntista possui e 
que utilizou para algum tipo de transação financeira;
 • nk → diversos prazos utilizados. No caso do cálculo da utilização do limite do 
cheque especial, correspondem aos períodos em que o correntista ficou com 
seu saldo de conta-corrente negativo.
Σxemρlo
Vamos ver o cálculo da aplicação do método hamburguês por intermédio de um 
exemplo: ao verificar o saldo bancário de sua conta-corrente, você percebeu que, 
em um determinado mês, sua conta apresentou os seguintes saldos:
Saldo Quantidade de dias
+ R$ 250,00 5
– R$ 420,00 3
+ R$ 310,00 12
– R$ 405,00 8
+ R$ 95,00 2
Exercite seus conhecimentos 
sobre a regra do banqueiro 
acessando o QR Code. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Segundo publicação do Banco 
Central do Brasil, desde 6 de 
janeiro, os juros cobrados de 
pessoas físicas e Microempreen-
dedores Individuais (MEIs), em 
todas as novas operações de cré-
dito com cheque especial, estão 
limitados a 8% ao mês (BANCO 
CENTRAL DO BRASIL, 2020).
Saiba mais
Capitalização simples 19
Sabendo que o banco em que você possui conta-corrente opera com uma taxa de 
juros simples de 6,75% a.m., sobre a utilização do limite do cheque especial, quanto 
você deverá pagar de juros por ter utilizado seu limite?
Em primeiro lugar, devemos perceber que os juros serão cobrados apenas du-
rante os períodos em que o saldo de sua conta-corrente ficou negativo. Utilizando 
a fórmula matemática para o cálculo dos juros pelo método hamburguês, temos:
J�=�i�. C �.n �J�=�0,0675
30
.� 420�.�3�+�405�.�8
k�=�1
n
k k� � � � ��� ���
J�=�0,00225�.� 1.260�+�3.240 � �J�=�0,00225�.�4.500� �J�=�� � � � 110,125.
Resposta: você pagará ao banco, por ter utilizado o limite do cheque especial 
por 11 dias, o valor de R$ 10,13.
Exercite seus conhecimentos sobre 
juro do cheque especial acessando 
o QR Code. 
Esses exercícios são atividades-ex-
tras que possibilitam a prática dos 
conteúdos abordados nesta seção 
e, por isso, não são apresentadas as 
resoluções, apenas as respostas.
Na prática
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo você iniciou seu estudo no campo da Matemática Financeira e viu 
como trabalhar com as diversas maneiras de se realizar cálculos para obter juros no 
regime de capitalização simples. Esperamos que este capítulo tenha despertado sua 
curiosidade para enfrentar os demais conteúdos desta importante ferramenta: a ma-
temática financeira.
ATIVIDADES
1. Suponha que você tenha visto o preço de um produto no supermercado. Ele 
custava R$ 12,85. Havia, também, um cartaz que informava que, se levasse três 
produtos, pagaria pelos três o total de R$ 36,00. Se você levar os três, de quanto 
será o percentual de redução de preço de um produto?
2. Caroline ganha 12% a mais que Marcio. Se Caroline tiver o valor de seu salário reajustado 
em 8% enquanto Marcio não recebeu nenhum aumento, qual será o percentual da 
diferença entre os salários dos dois?
3. Determine as taxas proporcionais solicitadas:
a) 30% a.a. (ao ano) = ? a.m. (ao mês). 
b) 0,08% a.d. (ao dia) = ? a.m. (ao mês).
c) 8% a.t. (ao trimestre) = ? a.a. (ao 
ano).
d) 24% a.s. (ao semestre) = ? a.m. (ao 
mês).
4. Você realizou a compra de um objeto, que custa R$ 750,00, para pagar em 2 
meses emeio. A loja financia essa compra a uma taxa de juros simples de 12,6% 
a.a. Quanto você deverá pagar de juros por ter feito a compra?
5. Você aplicou R$ 22.580,00 em uma instituição financeira. Quanto você receberá 
de juro, ao fim de 3 anos, 4 meses e 15 dias, se a taxa de juros simples com qual a 
instituição financeira trabalha é de 0,4% ao mês?
20 Matemática Financeira
6. Se você realizar uma aplicação financeira em um banco, que opera com uma taxa 
de juros simples de 9,8% a.a., no valor de R$ 10.280,00, pelo período de 5 meses, 
quanto você resgatará ao final do período de aplicação do valor que você aplicou?
7. Uma blusa feminina é oferecida em uma determinada loja de departamentos por 
R$ 108,00 à vista ou com 15% de entrada e um pagamento de R$ 123,00, quarenta 
dias após a compra. Calcule a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja.
8. Durante quanto tempo você tem que aplicar qualquer capital, à taxa de juros 
simples de 5% ao mês, para que ele triplique de valor?
9. Foi proposto que você fizesse uma aplicação financeira cujo valor de resgate seria 
de R$ 53.500,00, após 4 meses de aplicação. Você perguntou o valor da taxa de 
juros simples a ser aplicada e lhe informaram que essa taxa é de 21% a.a. Nessas 
condições, de quanto deve ser o valor que você precisa disponibilizar para realizar 
a aplicação?
10. O capital de R$ 9.850,00 foi aplicado em uma instituição financeira de 20 de 
março de 2018 a 20 de maio de 2019. Se a instituição financeira opera com a taxa 
semestral de 4,2%, determine o montante exato obtido com essa aplicação.
11. Uma aplicação financeira foi realizada entre 10 de abril a 25 de novembro de 
2019. Se o capital aplicado foi de R$ 6.000,00 e a instituição financeira trabalha 
com a taxa de 15% a.a., determine o valor do montante obtido, considerando 
como processo de cálculo a regra do banqueiro.
12. Verificando o extrato de sua conta-corrente, você percebeu que o saldo dela 
permaneceu 6 dias com R$ 272,65 negativo e 10 dias com saldo negativo de R$ 
156,85. Se o banco em que você é correntista cobra a taxa de juros de 7,25% 
quando o limite do cheque especial é utilizado, calcule quanto você pagará de 
juros no mês em questão.
REFERÊNCIAS
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Limite de juros do cheque especial começa a valer. Brasília, 2020. Disponível 
em: https://www.bcb.gov.br/detalhenoticia/402/noticia. Acesso em: 3 fev. 2020.
PUCCINI, A. de L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
SIGNIFICADOS. 2020. Disponível em: https://www.significados.com.br/. Acesso em: 3 fev. 2020.
GABARITO
1. Nessa questão, deve-se calcular, em primeiro lugar, qual é o preço a ser pago por um produto quando 
se levam os três. Devemos fazer:
36
3
 = 12.
Vamos, agora, calcular o valor de redução do preço em um produto:
12,85 – 12 = 0,85.
Então, o percentual de redução do preço em um produto:
�0,85�.�100
12,85
 = 6,61478599%.
Resposta: o percentual de redução que ocorreu no preço de um produto foi de 6,61%.
2. Supondo que o valor do salário de Marcio seja de R$ 1.000,00. Então, o valor do salário de Caroline 
seria de R$ 1.120,00 (12% superior ao valor do salário de Marcio).
Capitalização simples 21
Caso Caroline tenha um aumento de 8% em seus vencimentos, receberá um aumento de:
8% . 1.120 = 8
100
 . 1.120 = 8�.�1.120
100
 = 
8.960
100
 = 89,60.
Então, o valor de seu salário passará a ser de R$ 1.120,00 + R$ 89,60 = R$ 1.209,60.
A diferença entre os salários passará a ser de:
1.209,6 – 1.000 = 209,6 que corresponde ao percentual de:
209,6
1.000
 = 0,2096 ∴ 20,96%.
Resposta: a diferença percentual entre os dois salários será de 20,96%.
3. 
a) Devemos, em primeiro lugar, passar o percentual dado para formato unitário e depois dividir pela 
quantidade de meses que um ano possui. Posteriormente, passamos o resultado obtido para o for-
mato percentual novamente:
30% a.a. = 0,30
12
 = 0,025 a.m. = 2,5% a.m.
b) Devemos, em primeiro lugar, passar o percentual dado para o formato unitário e depois multiplicar 
o resultado obtido pela quantidade de dias que o mês possui:
0,08% a.d. = 0,0008 . 30 = 0,024 a.d. = 2,4% a.m.
c) Devemos, em primeiro lugar, passar o percentual dado para o formato unitário e depois multiplicar 
o resultado obtido pela quantidade de trimestres que o ano possui:
8% a.t. = 0,08 . 4 = 0,32 a.d. = 32% a.a.
d) Devemos, em primeiro lugar, passar o percentual dado para o formato unitário e depois dividir o 
resultado obtido pela quantidade de meses que o semestre possui:
24% a.s. = 
0,24
6
 = 0,04 a.m. = 4% a.m.
4. Vamos transformar a taxa dada, anual, em taxa mensal e no formato unitário:
12,6% a.a. = 0,126
12
 a.m. = 0,0105 a.m.
Determinando o valor dos juros simples da operação financeira, obtemos:
J = C . i . n ∴ J = 750 . 0,0105 . 2,5 ∴ J = 19,6875.
Resposta: você deverá pagar R$ 19,69 de juros simples na compra realizada.
5. Devemos, em primeiro lugar, transformar o período de aplicação em dias:
3 anos, 4 meses e 15 dias = 3 . 360 + 4 . 30 + 15 = 1.215 dias.
Agora, vamos transformar a taxa dada mensal em taxa diária e no formato unitário:
0,4% a.m. = 
0,004
30
 a.d. = 0,000133333... a.d.
Aplicaremos, então, a fórmula de cálculo para a obtenção do valor dos juros.
J = C . i . n ∴ J = 22.580 . 0,00133333... . 1.215 ∴ J = 3.657,96.
Resposta: você receberá R$ 26.237,96 de juro pela aplicação que realizou.
6. Em primeiro lugar, devemos deixar o período de aplicação compatível com a taxa de juros simples 
que o banco opera. Assim, como o período de tempo está em meses, devemos passar a taxa de juros 
simples para uma taxa mensal. Portanto:
9,8% a.a. = 0,098
12
 a.m. = 0,00816667 a.m.
Agora, podemos aplicar a fórmula de juros simples:
J = C . i . n ∴ J = 10.280 . 0,00816667 . 5 ∴ J = 419,766667.
Determinando o valor do montante, temos:
M = C + J ∴ M = 10.280 + 419,77 ∴ M = 10.699,77.
Ou você pode fazer:
M = C . (1 + i . n) ∴ M = 10.280 . (1 + 0,00816667 . 5) ∴ M = 10.699,7667.
Resposta: você resgatará, ao final do período de aplicação, R$ 10.699,77.
22 Matemática Financeira
7. Determinando o valor que foi dado como entrada, obtemos:
15% . 108 = 15
100
� . 108 = 16,20.
Restaram, portanto, R$ 108,00 – R$ 16,20 = R$ 91,80 para ser pago após quarenta dias da data da 
compra.
Aplicando a fórmula de juros simples, teremos:
J = C . i . n ∴ 123 – 91,8 = 91,8 . i . 40 ∴ 31,2 = 3.672 . i ∴ i = 
31 2
3 672
,
.
� ∴
i = 0,00849673... a.d. ∴ i = 0,8496732... % a.d.
Assim:
i = 0,8496732... % a.d. . 30 = 25,49019608... % a.m.
Resposta: a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja foi de 25,49% a.m.
8. Pelo dito no enunciado do problema, um capital deve triplicar de valor, ou seja, o montante a ser 
recebido deve ser igual a três vezes o valor do capital aplicado.
Portanto, devemos aplicar a fórmula do cálculo do valor do montante. Assim:
M = C . (1 + i . n) ∴ 3 . C = C . (1 + 0,05 . n) ∴ 3�.�C
C
 = 1 + 0,05 . n ∴
3 = 1 + 0,05 . n ∴ 3 – 1 = 0,05 . n ∴ 2 = 0,05 . n ∴ n = 2
0,05
�∴ n = 40 meses.
Como 40 meses é igual a 3 anos e 4 meses, você deve aplicar qualquer capital por 3 anos e 4 meses 
para que triplique de valor, à taxa de juros simples de 5% a.m.
Resposta: você deve aplicar qualquer capital, à taxa de juros simples de 5% a.m., por 3 anos e 4 me-
ses para que triplique de valor.
9. Determinando o valor da taxa mensal da aplicação, no formato unitário, já que o período de tempo 
está em meses, obtemos:
21% a.a. = 0,21
12
 = 0,0175 a.m.
Utilizando a fórmula para o cálculo do valor do montante, obteremos:
M = C . (1 + i . n) ∴ 53.500 = C . (1 + 0,0175 . 4) ∴ 53.500 = C . 1,07 ∴
C = 53.500
1,07
 ∴ C = 50.000.
Resposta: o valor que você deverá aplicar deve ser de R$ 50.000,00.
10. Determinando a quantidade exata de dias entre as duas datas, obtemos 426 dias.
Encontrando a taxa diária da aplicação, temos:
4,2% a.s. = 
0,042
180
 = 0,00023333 a.d.
Aplicando a fórmula para determinar o montante da aplicação, temos:
M = C . (1 + i . n) ∴ M = 9.850 . (1 +0,00023333 . 426) ∴
M = 9.850 . 1,0994 ∴ M = 10.829,09.
Resposta: o montante exato obtido com a aplicação será de R$ 10.829,09.
11. Determinando a quantidade exata de dias entre as duas datas, obtemos 229 dias.
Encontrando a taxa diária da aplicação, vem:
4,2% a.s. = 0,15
360
 = 0,00041667 a.d.
Aplicando a fórmula para determinar o montante da aplicação, temos:
M = C . (1 + i . n) ∴ M = 6.000 . (1 + 0,00041666... . 229) ∴
M = 6.000 . 1,09541666... ∴ M = 6.572,50.
Resposta: o montante exato obtido com a aplicação foi de R$ 6.572,50.
12. Utilizando a fórmula matemática para o cálculo dos juros pelo método hamburguês, temos:
J�=�i�. C �.n �J�=�0,0725
30
.� 272,65�.�6�+�156,85�
k�=�1
n
k k� � �� ..�10 �� �
J�=�0,00241667�.� 1.635,9�+�1.568,5 ��J�=�0,00241667�.�3.2� � 004,4�
J�=�7,74397735. 
Resposta: você pagará ao banco, por ter utilizado o limite do cheque especial por 16 dias, o valor de 
R$ 7,74.
Desconto simples 23
2
Desconto simples
Dentre as operações que movimentam dinheiro, seja entre pessoas, 
entre pessoas e instituições financeiras ou apenas entre as instituições 
financeiras, os empréstimos bancários são muito comuns. Muitas dessas 
transações envolvem os denominados títulos de crédito, instrumentos legais 
de crédito que têm garantias legais e, por possuírem essas garantias, podem 
ser comercializados livremente, desde que antes da data de vencimento.
A troca de papéis, isto é, a troca de um documento de crédito por 
outro, é uma transação financeira muito comum no mercado financeiro; 
e, nesses tipos de transações, o mais usual é a prática de descontos. Fica 
evidente que quem vai receber o título de crédito de outro deve receber 
algum tipo de compensação para realizar esse tipo de transação financei-
ra. Essa vantagem, em grande parte das negociações, vem em forma de 
desconto. Neste capítulo conheceremos os tipos de descontos e como 
são aplicados.
2.1 Desconto simples
Vídeo Caso você precise de dinheiro, pode dirigir-se a uma instituição 
financeira e solicitar um empréstimo. Se seu cadastro for aprovado 
para receber o valor necessário, o agente financeiro pedirá que você 
assine um contrato, no qual constará um documento que estipula a 
devolução da quantia emprestada em uma data futura. Neste capí-
tulo, estudaremos a situação da devolução do valor emprestado em 
uma única vez, em uma data futura.
Como já dito, a instituição financeira fará com que você assine 
alguns documentos para a realização do empréstimo e um deles é 
denominado título de crédito.
Esses títulos de crédito podem ser, basicamente, de três tipos:
Nota promissória
Título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e 
instituição financeira. De acordo com o site Significados,
na promissória, uma pessoa assume que deve determinado 
montante a outra, e se compromete a pagar esse valor em dia 
e local específicos. (2020, grifos do original)
Esse título de crédito ao qual a lei, através do artigo 585, I, do 
De acordo com o Dicionário Finan-
ceiro (2020), “o título de crédito é 
um documento que contém um 
direito de crédito e representa a 
obrigação desta dívida com as 
informações nele inscritas”. 
Disponível em: https://www.dicio-
nariofinanceiro.com/titulos-de-cre-
dito/. Acesso em: 26 fev. 2020.
Importante
24 Matemática Financeira
Código de Processo Civil, atribuiu eficácia executiva extrajudicial, consiste ba-
sicamente em uma promessa de pagamento que depende de duas partes 
para existir:
• Emitente ou subscritor: é o devedor; a pessoa responsável por emitir 
a nota promissória.
• Beneficiário ou tomador: é o credor do montante em dívida; a pessoa 
que receberá o pagamento do valor devido.
A promissória é um documento que tem valor judicial, ou seja, é reconhecido 
pela justiça.
Duplicata
Título emitido por uma pessoa jurídica, contra seu cliente, que pode ser pessoa 
física ou jurídica, como forma de cobrança por serviços prestados ou produtos ven-
didos que devem ser pagos futuramente. Segundo o site Significados (2020, grifos 
do original),
duplicata é um título de crédito, pelo qual o comprador se obriga a pagar 
dentro do prazo a importância representada na fatura. A Duplicata ou du-
plicata mercantil é um documento nominal emitido pelo comerciante, com 
o valor global e o vencimento da fatura.
A duplicata é uma ordem de pagamento emitida pelo credor, ao vender uma 
mercadoria ou serviço que prestou e que estão representados em uma fatu-
ra, que deve ser paga pelo comprador das mercadorias ou pelo tomador dos 
serviços. Uma duplicata só pode corresponder a uma única fatura e deve ser 
apresentada ao devedor em no máximo 30 dias.
Letra de câmbio
É um título de crédito ao portador, emitido por uma instituição financeira. 
Conforme o site Dicionário Financeiro (2020, grifos do original):
a letra de câmbio, também conhecida como LC, é um tipo de título de crédito 
feito por escrito que vincula uma ordem de pagamento de uma pessoa para 
outra.
As LCs são uma das opções de investimento de renda fixa realizadas através 
de instituições financeiras, ou seja, empresas que atuam com oferecimento 
de crédito, sendo assim, de rentabilidade maior do que a poupança.
No contrato desses títulos devem estar especificadas várias informações, entre 
elas a data de vencimento. Quando o devedor faz o pagamento do título antes 
dessa data, temos o que chamamos de desconto simples, que reflete o abatimento 
que será dado ao tomador de um empréstimo pelo pagamento antecipado de sua 
dívida. Esse tipo de desconto tem por base os conceitos de capitalização simples, 
dos juros simples. O cálculo do valor do desconto simples envolve alguns dados 
que devem ser entendidos:
 • O valor de face (valor nominal ou valor de resgate) do título de crédito, 
seja uma nota promissória ou uma duplicata.
 • A taxa de juros simples envolvida na operação de concessão do empréstimo.
 • O período de antecipação do pagamento da dívida.
Devemos estar atentos, pois é frequente a confusão entre juros e descontos. 
Trata-se de dois critérios distintos, claramente caracterizados. Enquanto no cálculo 
Para conhecer as infor-
mações que devem estar 
presentes em uma Letra 
de Câmbio, Nota Promis-
sória e Duplicata, acesse o 
Decreto n. 57.663, de 24 
de janeiro de 1966.
BRASIL. Brasília: Diário Oficial da 
União,1966. 
Disponível em: http://www.planalto.
gov.br/ccivil_03/decreto/Antigos/
D57663.htm. Acesso em: 26 fev. 2020.
Saiba mais
Empréstimo ou finan-
ciamento é um contrato 
entre o cliente e uma ins-
tituição financeira (banco, 
cooperativa de crédito, 
caixa econômica) pelo qual 
o cliente recebe uma quan-
tia em dinheiro que deverá 
ser devolvida em prazo 
determinado, acrescida dos 
juros acertados (BANCO 
CENTRAL DO BRASIL, 2020).
Saiba mais
Desconto simples 25
dos juros simples a taxa de juros referente ao período da operação incide sobre o 
capital inicial, na operação de desconto simples a taxa do período de antecipação 
incide sobre o valor de face (montante).
Devemos saber que existem duas maneiras de se realizar os cálculos para ob-
ter o valor do abatimento que será dado pela antecipação do pagamento de uma 
dívida, ou seja, existem dois tipos diferentes de desconto simples: o desconto co-
mercial e o desconto racional.
2.1.1 Desconto comercial simples
Esse tipo de desconto também é denominado desconto por fora, e, nessa cate-
goria, o abatimento incide sobre o valor de face do título de crédito. É amplamente 
utilizado no Brasil nas operações financeiras de curto prazo, seja em desconto de 
duplicatas, notas promissórias ou cheques.
Devemos saber, também, que nas operações de desconto comercial existe, ain-
da, a inclusão de outros custos, tais como:
 • Taxa de despesas administrativas, calculada sobre o valor de face do título 
de crédito.
 • Imposto sobre Operações Financeiras (IOF), que incide sobre as remunera-
ções de todas as atividades bancárias e financeiras, com exceção dos juros. 
É recolhido aos cofres do Governo Federal.
Vamos, agora, compreendercomo é que devemos proceder para realizar os 
cálculos que envolvem desconto comercial simples.
2.1.1.1 Fórmulas matemáticas para calcular o desconto comercial 
simples
Faremos a representação do desconto comercial simples por DC; o valor de 
face do título de crédito por VF; o valor a ser pago para a quitação da dívida, ou seja, 
o valor atual da dívida ou valor líquido da dívida, por VA; a taxa de desconto co-
mercial simples por i; e o período de antecipação do pagamento da dívida por n.
Devemos lembrar, como já foi dito, que o valor do desconto comercial simples 
deve ser calculado sobre o valor de face do título de crédito no dia de seu venci-
mento. Portanto, a fórmula de cálculo é:
DC = VF . i . n
Depois de encontrarmos o valor do desconto comercial, para obter o valor atual 
do título de crédito, fazemos:
VA = VF – DC ou VA = VF – (VF . i . n) ∴ VA = VF . (1 – i . n)
Agora, vamos a alguns exemplos, mostrando a você como solucionar situações 
que envolvem esse tipo de desconto.
Acesse a página Taxas de 
Juros, disponível no site do 
Banco Central do Brasil e 
conheça as taxas de juros 
pré-fixadas para diversas 
operações financeiras.
Disponível em: https://www.bcb.gov.
br/estatisticas/txjuros. Acesso em: 26 
fev. 2020. 
Saiba mais
De acordo com o site Dicionário 
Financeiro (2020, grifos do original), 
“o Imposto sobre Operações 
Financeiras (IOF) é um tributo 
federal que incide sobre operações 
de crédito, câmbio, seguros, ou 
operações com títulos ou valores 
mobiliários. É regulamentado, 
atualmente, pelo decreto n. 
6.306 de 2007, que o denomina 
como Imposto sobre Operações 
de Crédito, Câmbio e Seguro, 
ou relativas a Títulos ou 
Valores Mobiliários”.
Saiba mais
Quando as situações problemas 
não especificarem o tipo de 
desconto que deve ser calculado, 
devemos calcular o desconto 
comercial simples.
Importante
No cálculo do desconto comercial 
simples, o valor de n correspon-
de ao tempo que falta para o 
vencimento do título de crédito, 
ou seja, é o tempo que falta para 
vencer a dívida.
Atenção
26 Matemática Financeira
Σxemρlos
1. Uma duplicata no valor de R$ 580,00 foi descontada 3 meses antes do ven-
cimento, à taxa de desconto de 4% a.m. Determine o valor do desconto e o 
valor líquido pago.
Dados do problema:
VF = 580; n = 3 meses; i = 4% a.m. = 0,04 a.m.
Utilizando a fórmula de desconto comercial simples, teremos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 580 . 0,04 . 3 ∴ DC = 69,6
e
VA = VF . (1 – i . n) ∴ VA = 580 . (1 – 0,04 . 3) ∴ VA = 580 . (1 – 0,12) ∴ 
VA = 580 . 0,88 ∴ VA = 510,4
ou
DC = VF – VA ∴ 69,6 = 580 – VA ∴ VA = 580 – 69,6 ∴ VA = 510,4.
Resposta: o valor do desconto foi de R$ 69,60 e o valor líquido pago, o valor 
atual do título no momento da liquidação do título, foi de R$ 510,40.
2. Qual é o valor do desconto que você receberá sobre um título de crédito no 
valor de R$ 756,00, caso realize o pagamento 2 meses e 10 dias antes do ven-
cimento, considerando que o agente financeiro lhe concederá uma taxa de 
desconto de 2,5% a.m.?
Dados do problema:
VF = 756; i = 2,5% a.m. = 0,00083333... a.d.; n = 2 meses e 10 dias = 70 dias.
Aplicando a fórmula para chegarmos ao valor do desconto comercial sim-
ples, obtemos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 756 . 0,00083333 . 70 ∴ DC = 44,1
e
VA = VF . (1 – i . n) ∴ VA = 756 . (1 – 0,00083333 . 70) ∴ 
VA = 756 . (1 – 0,05833333) ∴ VA = 756 . 0,94166667 ∴ VA = 711,9
ou
DC = VF – VA ∴ 44,1 = 756 – VA ∴ VA = 756 – 44,1 ∴ VA = 711,9.
Resposta: você obterá o desconto comercial de R$ 44,10 e pagará, pela an-
tecipação do pagamento, o valor atual de R$ 711,90.
3. A empresa em que você trabalha descontou, junto a um dos bancos em que 
possui conta, uma duplicata no valor de R$ 600,00, 3 meses antes da data 
de vencimento. Foi creditado na conta da empresa o valor de R$ 480,00. De-
termine qual foi a taxa de desconto comercial anual utilizada na operação.
Na realização de cálculo mate-
máticos devemos trabalhar com 
todas as casas decimais.
Atenção
Desconto simples 27
Dados do problema:
VF = 600; n = 3 meses; DC = 120; VA = 480,00.
Com a utilização das fórmulas de desconto comercial simples, que já são de 
nosso conhecimento, obtemos:
DC = VF . i . n ∴ 120 = 600 . i . 3 ∴ i = 
120
600 3�.��
 ∴ i = 0,0666666... a.m.
Como o enunciado solicita a taxa anual de desconto comercial, devemos fazer:
i = 0,066666667... . 12 . 100 = 80% a.a.
ou
VA = VF . (1 – i . n) ∴ 480 = 600 . (1 – i . 3) ∴ 
480
600
 = 1 – 3 . i ∴ 
0,80 – 1 = -3 . i ∴ 0,20 = 3 . i ∴ i = 0,20
3
 ∴ i = 0,06666666... ∴ i = 80% a.a.
Resposta: a taxa oferecida na transação foi de 80% a.a.
4. Uma duplicata no valor de R$ 120,00 foi descontada em um banco, gerando 
um crédito de R$ 90,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 6% a.m., 
qual foi o prazo da operação em dias?
De acordo com o enunciado, temos:
VF = 120,00; i = 6% a.m. = 0,002 a.d.; DC = 30,00; VA = 90,00.
Utilizando as fórmulas matemáticas que já são de nosso conhecimento, 
obtemos:
DC = VF . i . n ∴ 30 = 120 . 0,002 . n ∴ n = 
30
20�.�0,002
� ∴ n = 125 dias
ou
VF = VA . (1 – i . n) ∴ 90 = 120 . (1 – 0,002 . n) ∴ 90
120
 = 1 – 0,002 . n ∴ 
0,75 – 1 = – 0,002 . n ∴ 0,25 = 0,002 . n ∴ n = 0,25
0,002
 ∴ n = 125 dias.
Resposta: o título foi resgatado 125 dias (4 meses e 5 dias) antes de seu 
vencimento.
5. Foi resgatado, em 16 de abril de 2019, uma nota promissória cujo venci-
mento estava marcado para 11 de junho de 2019. O desconto obtido foi de 
R$ 122,76, calculado com uma taxa mensal de desconto comercial de 2,7%. 
Qual é o valor nominal da promissória?
Dados do problema:
n = 16/04/2019 a 11/06/2019 = 55 dias; i = 2,7% a.m. = 0,0009 a.d.; DC = 
122,76
Vamos utilizar a fórmula de desconto comercial simples:
DC = VF . i . n ∴ 122,76 = VF . 0,0009 . 55 ∴ VF =
122,76
0,0009 . 55 
 ∴ VF = 2480.
Resposta: a nota promissória tinha o valor de face de R$ 2.480,00.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre os cálculos 
que envolvem o desconto comer-
cial simples.
Esses exercícios são atividades-ex-
tras que possibilitam a prática dos 
conteúdos abordados nesta seção 
e, por isso, não são apresentadas 
as resoluções, apenas as respostas.
Na prática
Utilize o procedimento para o 
cálculo do número de dias entre 
duas datas. 
Importante
28 Matemática Financeira
2.2 Desconto bancário
Vídeo Já vimos que o desconto simples comercial pode vir acompanhado de uma taxa 
cobrada pela instituição financeira – taxa de despesa administrativa, chamada de 
ta. Quando o caso for esse, o desconto comercial simples passará a ser denomina-
do de desconto bancário simples, que trataremos por DB.
Assim, o valor atual do título de crédito passará a ser calculado por:
VA = VF – DC – VF . ta ou VA = VF . (1 – i . n – ta)
Sendo assim, o valor do desconto bancário será dado por:
DB = VF – VA
Σxemρlos
Vamos resolver alguns exemplos de cálculo envolvendo desconto bancário, 
quando aplicada a taxa de despesa administrativa e, também, quando envolve esse 
tipo de taxa com o IOF.
1. Um título de crédito de R$ 9.400,00 foi descontado 2 meses antes de seu 
vencimento. Se a taxa de desconto comercial simples for de 15% a.a., qual é o 
desconto bancário e o valor a ser pago ao dono do título de crédito, sabendo 
que o banco cobra, a título de taxa de despesa administrativa, 0,75% sobre o 
valor do título?
Verificando os dados do problema, percebemos que temos:
VF = 9.400; i = 0,15 a.a = 0,0125 a.m.; n = 2; ta = 0,75%
Por intermédio da fórmula de desconto comercial simples, obtemos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 9.400 . 0,0125 . 2 ∴ DC = 235
Para calcularmos o valor atual do título, fazemos:
VA = VF – DC – VF . ta ∴ VA = 9.400 – 235 – 9.400 . 0,0075 ∴ 
VA = 9.400 – 235 – 70,5 ∴ VA = 9.094,5
ou
VA = VF . (1 – i . n – ta) ∴ VA = 9.400 . (1 – 0,0125 . 2 – 0,0075) ∴ 
VA = 9.400 . (1 – 0,025 – 0,0075) ∴ VA = 9.400 . 0,9675 ∴ VA = 9.094,5.
O valor do desconto bancário será de:
DB = VF – VA ∴ DB = 9.400 – 9.094,5 ∴ DB = 305,5.
Resposta: o valor do desconto bancário é de R$ 305,50e será pago ao dono 
do título de crédito o valor de R$ 9.094,50.
2. Um correntista de uma instituição financeira possui uma duplicata que tem 
valor de face de R$ 14.000,00. Essa duplicata foi descontada 50 dias antes de 
seu vencimento. A instituição financeira em que foi realizado o desconto da 
duplicata opera com uma taxa de desconto comercial simples de 1,75% a.m. 
e cobra uma taxa de despesa administrativa de 1,5%. Sobre a operação de 
Acesse o QR Code e exercite 
seus conhecimentos sobre 
cálculos que envolvem desconto 
bancário.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Desconto simples 29
desconto é cobrado, ainda, o IOF de 0,38% mais 0,0082% ao dia. Determine 
o valor líquido liberado para o detentor da duplicata.
Dados do problema:
VF = 14.000; n = 50 dias; i = 0,0175 a.m. = 0,00058333 a.d.; ta = 1,5% = 0,015;
IOF = 0,38% + 0,0082% . 50 = 0,0038 + 0,0041 = 0,0079.
Vamos calcular o valor do desconto comercial simples:
DC = VF . i . n ∴ DC = 14.000 . 0,00058333 . 50 ∴ DC = 408,33333333...
Determinando o valor atual pago pelo resgate da duplicata:
VA = VF – DC – VF . ta – VF . IOF ∴ 
VA = 14.000 – 408,3333333... – 14.000 . 0,015 – 14.000 . 0,0079 ∴ 
VA = 14.000 – 408,3333333... – 210 – 110,6 ∴ VA = 13.271,0666666...
Resposta: o valor líquido liberado para o correntista, o detentor da duplica-
ta, é de R$ 13.271,07.
Esses tipos de problemas requerem um pouco mais de atenção e envolvem 
um número maior de cálculos, mas é só prestar atenção que você acertará.
Devemos multiplicar a taxa 
cobrada por dia pela quantidade 
de dias da antecipação do 
desconto da duplicata. 
Atenção
2.3 Desconto racional simples 
Vídeo O desconto racional simples também reflete um abatimento so-
bre o valor de um título de crédito, mas corresponde ao equivalente 
ao juro simples calculado sobre o valor atual (VA) do título. Rece-
be, também, a denominação de desconto real (verdadeiro) ou descon-
to por dentro. Representa a diferença entre o valor de face do título 
de crédito e o valor real que esse título possui. 
2.3.1 Fórmulas matemáticas para calcular o 
desconto racional simples
Para o cálculo do desconto racional simples, que representare-
mos por DR; VA é o valor atual do título; VF é o valor de face do títu-
lo; i é a taxa de desconto racional simples aplicada; e n é o período 
de tempo de antecipação em relação à data do resgate do título.
As fórmulas matemáticas utilizadas para o cálculo do desconto 
racional (ou desconto por dentro) são as seguintes:
DR = VA . i . n
ou
DR = VF – VA
ou
DR = 
VF�.�i�.�n
1�+�i�.�n
Esse tipo de desconto raramente 
é utilizado no Brasil.
Curiosidade
30 Matemática Financeira
Σxemρlos
Vamos, agora, resolver vários exemplos utilizando esse tipo de desconto.
1. Um título de crédito, cujo valor de face é de R$ 10.000,00, foi resgatado 
25 dias antes do seu vencimento com a taxa de desconto racional simples 
de 15% a.a. Qual é o valor do desconto dado pela instituição financeira ao 
portador do título e o valor de resgate creditado na conta-corrente do pro-
prietário do título de crédito?
Verificando os dados do problema, percebemos que:
VF = 10.000; n = 25 dias; i = 15% a.a. = 0,000416666... % a.d.
Vamos calcular o valor do desconto racional simples.
DR = 
VF�.�i�.�n
1�+�i�.�n
 ∴ DR = 
10.000�.�0,000416666�.�25
1�+�0,000416666�.�25
 ∴ 
DR =
104,16666667
1,01041667
 ∴ DR = 103,09278351.
Determinando o valor atual do título de crédito, obtemos:
VA = VF – DR ∴ VA = 10.000,00 – 103,09278351 ∴ VA = 9.896,90721649.
Resposta: o valor do desconto racional simples dado pela instituição finan-
ceira é de R$ 103,09 e o valor atual, valor creditado para o detentor do título, 
é igual a R$ 9.896,91.
2. Considere um título de crédito de valor de face igual a R$ 4.000,00, vencível 
em um ano. Esse título está sendo liquidado 3 meses antes de seu venci-
mento. Sabendo que a taxa de desconto racional simples praticada na ope-
ração é de 24% a.a., determine o valor do desconto e o valor atual do título 
de crédito resultante dessa operação.
Verificando o enunciado do problema, temos os seguintes dados:
VF = 4.000; n = 3 meses; i = 24% a.a. = 0,02 a.m.
Determinando o valor do desconto racional simples:
DR = 
VF�.�i�.�n
1+�i�.�n
 ∴ DR = 
4.000�.�0,02�.�3
1+�0,02�.�3
 ∴ DR = 
240�
1,06�
 ∴ 
DR = 226,41509434.
Então, o valor descontado será obtido fazendo:
DR = VF – VA ∴ 226,41509434 = 4.000 – VA ∴ VA = 4.000 – 226,41509434 ∴ 
VA = 3.773,58490566.
Resposta: o valor do desconto racional simples será de R$ 226,42 e o valor 
atual do título de crédito será de R$ 3.773,58.
Desconto simples 31
3. Qual é a taxa mensal de desconto racional simples de um título negociado 
2 meses e 18 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de face igual a 
R$ 22.640,00 e o valor atual, na data em que foi descontado, de R$ 21.494,35?
Observando o enunciado do problema, percebemos que os dados são:
VF = 22.640,00; n = 2 meses e 18 dias = 78 dias; VA = 21.494,35.
Vamos determinar o valor do desconto racional simples:
DR = VF – VA ∴ DR = 22.640 – 21.494,35 ∴ DR = 1.145,65
Para o cálculo do valor da taxa, devemos fazer:
DR = 
VF�.�i�.�n
1+�i�.�n
 ∴ 1.145,65 = 22.640�.�i�.�78
1+�i�.�78
 ∴ 
1.145,65 . (1 + i . 78) = 1.765.920 . i ∴ 
1 + i . 78 = 1.765.920�.�i��
1.145,65�
 ∴ 1 + i . 78 = 1.541,41317156 . i ∴ 
1.541,41317156 . i – 78 . i = 1 ∴ i = 
1��
1.463,41317156�
 ∴ 
i = 0,00068333... a.d. ∴ 
i = 0,00068333... . 30 a.m. ∴ i = 2,05000205% a.m.
Resposta: a taxa mensal de desconto racional simples foi de 2,05% a.m.
4. Calcule o desconto comercial, ou por fora, de um título de crédito vencível 
em 45 dias, à taxa simples de 6,3% ao mês, sabendo que o desconto racio-
nal, ou por dentro, é de R$ 450,00.
Pelo enunciado do problema, percebemos que os dados são:
DR = 450; n = 45 dias; i = 6,3% a.m. = 0,21 % a.d.
Vamos, primeiro, calcular o valor de face do título:
DR = 
VF�.�i�.�n
1+�i�.�n
 ∴ 450 = VF�.�0,0021�.�45
1+�0,0021�.�45
 ∴ 450 . 1,0945 = 0,0945 . VF ∴ 
VF = 492,525��
0,0945�
 ∴ VF = 5.211,9047619048.
DC = VF . i . n ∴ DC = 5.211,9047619048 . 0,0021 . 45 ∴ DC = 492,525
!
Resposta: o valor do desconto comercial para esse título de crédito é igual 
a R$ 492,53.
2.3.2 Relação entre desconto comercial simples e desconto 
racional simples
Subtraindo o valor do desconto racional simples do valor do desconto comercial 
simples, teremos:
Perceba que este valor é idêntico 
ao numerador da fórmula do 
desconto racional.
Atenção
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre os cálculos 
que envolvem desconto racional 
simples.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
32 Matemática Financeira
DC – DR = VF . i . n – VA . i . n ∴ DC – DR = i . n . (VF – VA) ∴ 
DC – DR = i . n . DR ∴ DC = DR + DR . i . n ∴ DC = DR . (1 + i . n)
Por essa fórmula, verificamos que o desconto comercial simples é maior do que 
o desconto racional simples, ou seja:
DC > DR
Dessa relação, podemos deduzir que:
VAC < VAR
Ou seja, o valor atual de um título de crédito calculado pelo processo de des-
conto comercial simples é menor do que o valor atual calculado pelo processo de 
desconto racional simples.
2.4 Títulos equivalentes 
Vídeo É muito comum necessitarmos substituir um título de crédito por outro. Esse 
tipo de situação normalmente ocorre quando percebemos que não conseguiremos 
pagar o título de crédito na data de vencimento ou por querermos antecipar a data 
de vencimento do título.
Para realizarmos essa substituição, devemos ter a certeza de que os títulos se-
rão títulos equivalentes. É importante salientar que para os títulos serem conside-
rados equivalentes, a taxa de desconto deve ser a mesma, ou seja, se as taxas de 
desconto foremdiferentes, a equivalência entre os títulos desaparecerá.
Na prática mercadológica, dizemos que desejamos realizar uma troca de pa-
péis. Para que possamos estabelecer a equivalência de títulos de crédito é necessá-
rio, como um primeiro passo, escolhermos uma data para a realização dos cálculos. 
Essa data é denominada de data de referência ou, mais comumente, data focal. Na 
data escolhida, a data focal e os valores atuais dos dois títulos de crédito devem, 
obrigatoriamente, ser iguais.
Vamos trabalhar a equivalência de títulos para o caso de desconto comercial 
simples. Pela fórmula que determina o VA de um título de crédito, calculado pelo 
processo de desconto comercial simples, temos:
VA = VF . (1 – i . n)
Na equivalência de dois títulos de crédito, teremos:
VA = VA1 ∴ VF . (1 – i . n) = VF1 . (1 – i . n1) ∴ VF1 = 
VF�.�(1� �i�.�n)
1� �i�.�n1
−
−
, 
que é a fórmula matemática utilizada para realizar a equivalência entre dois títulos 
vencíveis em períodos de tempo diferentes: n e n1.
Veremos, agora, como resolver situações que envolvem esse conceito.
Saiba mais sobre liquida-
ção antecipada acessando 
o FAQ (perguntas fre-
quentes) do site do Banco 
Central do Brasil.
Disponível em: https://www.bcb.gov.
br/acessoinformacao/perguntasfre-
quentes-respostas/faq_liquidacaoan-
tecipada. Acesso em: 27 fev. 2020.
Saiba mais
Desconto simples 33
Σxemρlos
1. Você possui um título de crédito de valor de face igual a R$ 5.200,00, vencí-
vel em 4 meses. Verificando que não conseguirá liquidá-lo no vencimento, 
propõe à instituição financeira a troca por outro título de crédito que seja 
vencível em 6 meses. Se a instituição financeira opera com uma taxa de 
desconto comercial de 1,25% a.m., determine qual deve ser o valor de face 
do novo título.
Pelo enunciado do problema, temos:
VF = 5.200; n = 4 meses; i = 1,25% a.m. = 0,0125 a.m.; n1 = 6 meses.
Se aplicarmos a fórmula de equivalência de títulos, obtemos:
VF1 = 
VF�.�(1� �i�.�n)
1� �i�.�n1
−
−
 ∴ VF1 = 
5.200�.�(1� �0,0125�.�4)
1� �0,0125�.�6
−
−
 ∴
VF1 = 
4.940
0,925
 ∴
VF1 = 5.340,54054054.
Resposta: o novo título deverá ter valor de face de R$ 5.340,54 para que seja 
equivalente ao título original.
2. Você é o proprietário de uma empresa que deve pagar duas duplicatas a um 
determinado banco. A primeira duplicata possui valor de face de R$ 2.560,00 
e vencerá em 2 meses. A segunda duplicata tem valor de face de R$ 3.440,00 
e vencerá em 5 meses. Como você está prevendo que não conseguirá liqui-
dá-las nos seus respectivos vencimentos, propõe ao banco credor que elas 
sejam substituídas por uma única duplicata com vencimento para daqui 8 
meses. Determine o valor de face da nova duplicata, considerando que o ban-
co opera com uma taxa de desconto comercial simples de 14,4% a.a.
Pelos dados do problema, sabemos que:
VF1 = 2.560; n1 = 2 meses; VF2 = 3.440; n2 = 5 meses; i = 14,4% a.a. = 0,012 a.m.
Dessa maneira, teremos:
VF = 
VF �.�(1� �i�.�n )
1� �i�.�n
1 1−
−
 + 
VF �.�(1� �i�.�n )
1� �i�.�n
2 2−
−
 ∴ 
VF = 2.560�.�(1� �0,012�.�2)
1� �0,012�.�8
−
−
 + 3.440�.�(1� �0,012�.�5)
1� �0,012�.�8
−
−
 ∴ 
 VF = 
2.498,56
0,904
 + 
3.233,6
0,904
 ∴ 
VF = 2.763,89380531 + 3.576,99115044 ∴ VF = 6.340,88495575.
Resposta: o valor da duplicata equivalente às outras duas duplicatas é igual 
a R$ 6.340,88.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre títulos 
equivalentes.
Esses exercícios são atividades-
-extras que possibilitam a prática 
dos conteúdos abordados nesta 
seção e, por isso, não são apre-
sentadas as resoluções, apenas as 
respostas.
Na prática
34 Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro aluno, neste capítulo você verificou como se trabalha com os diversos tipos 
de descontos de títulos de crédito no regime de capitalização simples. Esperamos que 
tenha gostado e que se sinta cada vez mais motivado para os conteúdos que virão pela 
frente, ampliando cada vez mais seus conhecimentos.
ATIVIDADES
1. A empresa da qual você é proprietário possui uma duplicata com valor de face de 
R$ 37.600,00. Você verifica que poderá pagá-la 25 dias antes do vencimento. Se a 
taxa de desconto comercial com a qual a instituição credora da duplicata opera é 
de 11,6% ao ano, determine o valor do desconto que você obterá junto à instituição 
financeira se realizar esse pagamento antecipadamente.
2. Uma empresa descontou uma nota promissória com valor nominal de R$ 15.000,00 
6 meses e 20 dias antes do vencimento e recebeu a quantia de R$ 14.200,00. 
Sabendo que foi utilizado o critério de desconto simples comercial, determine a 
taxa anual de desconto.
3. Determine o prazo de antecipação, em dias, para o vencimento de um título de 
crédito que apresenta valor de face de R$ 49.560,00, considerando que ele sofreu 
um desconto de R$ 1.595,83 a uma taxa de desconto de 18,4% ao ano.
4. Uma duplicata com data de vencimento em 20 de junho de 2019 foi descontada 
por fora, à taxa de 1,6% ao mês, no dia 10 de fevereiro precedente. Nessa operação, 
o valor pago foi de R$ 21.870,67 (valor atual). Qual é o valor nominal (de face) dessa 
duplicata?
5. Uma nota promissória de valor de face de R$ 19.750,00 vencível em 20 de maio de 
2019 foi descontada comercialmente em 10 de abril de 2019. Se a taxa de desconto 
comercial simples for de 16,2% a.a., determine o valor a ser pago ao dono do título 
de crédito e do desconto comercial simples, sabendo que o banco cobra, a título de 
taxa de despesa administrativa, 2,25% sobre o valor da nota promissória.
6. Você possui uma duplicata que tem valor de face de R$ 54.880,00. Precisando de 
dinheiro, você apresentou essa duplicata 1 mês e 10 dias antes do vencimento ao 
banco, que opera a uma taxa de desconto comercial simples de 24,2% a.a. e cobra 
uma taxa de despesa administrativa de 3,15%. Considerando essas informações, 
determine o valor líquido liberado. Não se esqueça que sobre esse tipo de operação 
de desconto é cobrado o IOF de 0,38% mais 0,0085% ao dia.
7. Você apresentou a uma instituição financeira um título de crédito no valor de 
R$ 12.300,00, 28 dias antes do vencimento. A instituição lhe ofereceu uma taxa de 
desconto simples racional de 1,65% ao mês. Calcule o valor do desconto e o valor 
liberado para você receber em troca do título de crédito.
8. Uma duplicata sofreu uma redução de R$ 115,23 por ter sido resgatada 1 mês e 
18 dias antes do vencimento à taxa do desconto simples racional de 16,2% ao ano. 
Calcule o valor nominal da duplicata.
9. Um título no valor de face de R$ 8.260,00 foi resgatado 2 meses e 5 dias antes do 
vencimento por R$ 8.015,14. Calcule a taxa mensal de desconto simples racional 
envolvida na operação.
Desconto simples 35
10. Calcule o desconto comercial (ou por fora) de um título de crédito vencível em 
2 meses e 15 dias à taxa simples de 18,8% ao ano, sabendo que o desconto 
racional (ou por dentro) é de R$ 125,80.
11. Um título de crédito com valor de face de R$ 26.365,80 vencerá em 2 meses e 
10 dias. O proprietário do título, ao verificar que não conseguirá liquidá-lo no 
vencimento, propõe a troca por outro título de crédito que seja vencível em 
4 meses e meio. Considerando que a instituição financeira opera com uma taxa 
de desconto comercial de 3,15% a.m., determine qual deve ser o valor de face 
do novo título.
12. Uma empresa deve pagar duas duplicatas a um determinado banco. 
A primeira possui valor nominal de R$ 98.500,00 e vencerá em 1 mês e 20 dias. 
A segunda tem valor nominal de R$ 105.750,00 e vencerá em 3 meses e 24 dias. 
Como a empresa não conseguirá liquidá-las nos seus respectivos vencimentos, 
propõe ao banco credor que elas sejam substituídas por uma única duplicata com 
vencimento para 6 meses e 10 dias. Qual é o valor de face da nova duplicata, 
considerando que o banco opera com uma taxa de desconto comercial simples 
de 16,4% a.a.?
REFERÊNCIAS
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Empréstimos e Financiamentos. Série I – Relacionamento com o Sistema 
Financeiro. Brasília, 2020. Disponível em:https://www.bcb.gov.br/pre/pef/port/folder_serie_I_
emprestimos_e_financiamentos.pdf. Acesso em: 26 fev. 2020.
DICIONÁRIO FINANCEIRO. 2020. Disponível em: https://www.dicionariofinanceiro.com. Acesso em: 27 fev. 
2020.
SIGNIFICADOS. 2020. Disponível em: https://www.significados.com.br. Acesso em: 27 fev. 2020.
GABARITO
1. De acordo com o enunciado do problema, temos:
VF = 37.600; n = 25 dias; i = 11,6% a.a.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
11,6% a.a. = 
0,116
360
 = 0,00032222... a.d.
Utilizando a fórmula de desconto comercial simples, teremos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 37.600 . 0,00032222... . 25 ∴ DC = 302,8888888...
Resposta: o valor do desconto que você obterá é de R$ 302,89.
2. Retirando os dados do enunciado do problema, temos:
VF = 15.000; n = 6 meses e 20 dias = 200 dias; VA = 14.200.
Determinando o valor do desconto comercial, obtemos:
DC = VF – VA ∴ DC = 15.000 – 14.200 ∴ DC = 800.
Utilizando a fórmula de desconto comercial simples, teremos:
DC = VF . i . n ∴ 800 = 15.000 . i . 200 ∴ i = 
800
15.000�.��200
 ∴ i = 0,00026666... a.d. ∴ 
i = 0,096 a.a. ∴ i = 9,6% a.a.
Resposta: o valor da taxa anual com que a instituição financeira opera é de 9,6% a.a.
3. Retirando os dados do enunciado do problema, temos:
VF = 49.560; DC = 1.595,83; i = 18,4% a.a.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
18,4% a.a. = 0,184
360
 = 0,00051111... a.d.
36 Matemática Financeira
Utilizando a fórmula de desconto comercial simples, teremos:
DC = VF . i . n ∴ 1.595,83 = 49.560 . 0,00051111... . n ∴ 
n = 
1.595,83
49.560�.�0,00051111… ∴ n = 63,000058... dias.
Resposta: o título de crédito foi descontado comercialmente 63 dias antes de seu vencimento.
4. Calculando o número de dias entre 10 de fevereiro de 2019 e 20 de junho de 2019 temos 130 dias.
Então, de acordo com os dados do enunciado do problema, temos:
VA = 21.870,67; n = 130 dias; i = 1,6% a.m.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
1,6% a.m. = 0,016
30
 a.d. = 0,00053333... a.d.
Utilizando a fórmula matemática para o cálculo do valor atual, teremos:
VA = VF . (1 – i . n) ∴ 21.870,67 = VF . (1 – 0,00053333... . 130) ∴ 
21.870,67 = VF . 0,93066666 ∴ VF = 21.870,67
0,93066666…
 ∴ VF = 23.500,00358166...
Resposta: o valor de face dessa duplicata é de R$ 23.500,00.
5. Devemos, em primeiro lugar, determinar o período de aplicação em dias, ou seja, a quantidade de 
dias comerciais entre as datas.
Entre 10 de abril de 2019 e 25 de maio de 2019 temos 45 dias.
Verificando os dados do problema, percebemos que:
VF = 19.750; i = 16,2% a.a.; n = 45 dias; ta = 2,25%.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
16,2% a.a. = 
0,162
360
 a.d. = 0,00045 a.d.
Por intermédio da fórmula de desconto comercial simples, obtemos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 19.750 . 0,00045 . 45 ∴ DC = 399,9375.
Para calcularmos o valor atual do título, fazemos:
VA = VF – DC – VF . ta ∴ VA = 19.750 – 399,9375 – 19.750 . 0,0225 ∴ 
VA = 19.750 – 399,9375 – 444,375 ∴ VA = 18.905,6875.
ou
VA = VF . (1 – i . n – ta) ∴ VA = 19.750 . (1 – 0,00045 . 45 – 0,0225) ∴ 
VA = 19.750 . (1 – 0,02025 – 0,0225) ∴ VA = 19.750 . 0,95725 ∴ 
VA = 18.905,6875.
O valor do desconto bancário será de:
DB = VF – VA ∴ DB = 19.750 – 18.905,6875 ∴ DB = 844,3125.
Resposta: o valor do desconto bancário é de R$ 844,31 e será pago ao dono do título de crédito o 
valor de R$ 18.905,69.
6. Os dados do problema são:
VF = 54.880; n = 40 dias; i = 24,2% a.a.; ta = 3,15% = 0,0315.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
24,2% a.a. = 0,242
360
 a.d. = 0,00067222... a.d.
Calculando o IOF que será cobrado:
IOF = 0,38% + 0,0085% . 40 = 0,0038 + 0,0034 = 0,0072.
Calculando o valor do desconto comercial simples, temos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 54.880 . 0,00067222... . 40 ∴ DC = 1.475,66222222...
Determinando o valor atual pago pelo resgate da duplicata:
Desconto simples 37
VA = VF – DC – VF . ta – VF . IOF ∴ 
VA = 54.880 – 1.475,66222222... – 54.880 . 0,0315 – 54.880 . 0,0072 ∴ 
VA = 54.880 – 1.475,66222222... – 1.728,72 – 395,136 ∴ VA = 51.280,48177778...
Resposta: o valor líquido liberado para você será de R$ 51.280,48.
7. Verificando os dados do problema, percebemos que:
VF = 12.300; n = 28 dias; i = 1,65% a.m.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
1,65% a.m. = 0,0165
30
 a.d. = 0,00055 a.d.
Vamos calcular o valor do desconto racional simples.
DR = 
VF�.�i�.�n
1�+�i�.�n
 ∴ DR = 
12.300�.�0,00055�.�28
1�+�0,00055�.�28
 ∴ DR = 
189,42
1,0154
 ∴ 
DR = 186,54717353.
Determinando o valor atual do título de crédito, obtemos:
VA = VF – DR ∴ VA = 12.300 – 186,54717353 ∴ VA = 12.113,45282647.
Resposta: o valor do desconto racional simples dado pela instituição financeira é de R$ 186,55 e o 
valor atual, valor creditado para o detentor do título, é igual a R$ 12.113,45.
8. Verificando os dados do problema, percebemos que:
DR = 115,23; n = 1 mês e 18 dias = 48 dias; i = 16,2% a.a.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
16,2% a.a. = 0,162
360
 a.d. = 0,00045 a.d.
Utilizando a fórmula matemática que calcula o valor do desconto racional simples, temos:
DR = 
VF�.�i�.�n
1�+�i�.�n
 ∴ 115,23 = VF�.�0,00045�.�48
1�+�0,00045�.�48
 ∴ 115,23 . 1,0216 = VF . 0,0216 ∴ 
117,718968 = VF . 0,0216 ∴ VF = 117,718968
0,0216
 ∴ VF = 5.449,95222222...
Resposta: o valor nominal da duplicata é de R$ 5.449,95.
9. Observando o enunciado do problema, percebemos que os dados são:
VF = 8.260; n = 2 meses e 5 dias = 65 dias; VA = 8.015,14.
Vamos determinar o valor do desconto racional simples:
DR = VF – VA ∴ DR = 8.260 – 8.015,14 ∴ DR = 244,86.
Para o cálculo do valor da taxa, devemos fazer:
DR = 
VF�.�i�.�n
1+�i�.�n
 ∴ 244,86 = 8.260�.�i�.�65
1+�i�.�65
 ∴ 244,86 . (1 + i . 65) = 536.900 . i ∴ 
1 + i . 65 = 
536.900�.�i��
244,86�
 ∴ 1 + i . 65 = 2.192,6815323 . i ∴ 
2.192,6815323 . i – 65 . i = 1 ∴ i = 1��
2.127,6815323
 ∴ i = 0,00047 a.d. ∴ 
i = 0,00047 a.d. . 30 ∴ i = 0,01409985 a.m. ∴ i = 1,40998545% a.m.
Resposta: a taxa mensal de desconto racional simples foi de 1,41 % a.m.
10. Pelo enunciado do problema, percebemos que os dados são:
DR= 125,8; n = 2 meses e 15 dias = 75 dias; i = 18,8% a.a.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
18,8% a.a. = 0,188
360
 a.d. = 0,00052222... a.d.
38 Matemática Financeira
Vamos calcular o valor de face do título:
DR = 
VF�.�i�.�n
1+�i�.�n
 ∴ 125,8 = VF�.�0,00052222...�.�75
1+�0,00052222...�.�75
 ∴ 
125,8 . 1,03916666... = 0,03916666... . VF ∴ 
VF = 130,72716666 �
0,03916666 �
…
…
 ∴ VF = 3.337,71495043.
DC = VF. i . n ∴ DC = 3.337,71495043 . 0,00052222... . 75 ∴ DC = 130,72711326.
Resposta: o valor do desconto comercial para esse título de crédito é igual a R$ 130,73.
11. Pelo enunciado do problema, temos que:
VF = 26.365,8; n = 2 meses e 10 dias = 70 dias; i = 3,15% a.m.; n1 = 4 meses e meio = 135 dias.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
3,15% a.m. = 0,0315
30
 a.d. = 0,00105 a.d.
Aplicando a fórmula de equivalência de títulos, obtemos:
VF1 = 
VF�.�(1� �i�.�n)
1� �i�.�n1
−
−
 ∴ VF1 = 
26.365,8�.�(1� �0,00105�.�70)
1� �0,00105�.�135
−
−
 ∴ VF1 = 
24.427,9137
0,85825
 ∴ 
VF1 = 28.462,46862802.
Resposta: o novo título deverá ter valor de face de R$ 28.462,47 para que seja equivalente ao 
título original.
12. O enunciado do problema nos fornece os seguintes dados:
VF1 = 98.500; n1 = 1 mês e 20 dias = 50 dias; VF2 = 105.750; n2 = 3 meses e 24 dias = 114 dias; 
i = 16,4% a.a.; n = 6 meses e 10 dias = 190 dias.
Determinando a taxa diária para a operação de desconto comercial, obtemos:
16,4% a.a. = 0,164
360
 a.d. = 0,00045555... a.d.
Dessa maneira, aplicando a fórmula de equivalência de títulos, obtemos:
VF = 
VF �.�(1� �i�.�n )
1� �i�.�n
1 1−
−
 + 
VF �.�(1� �i�.�n )1� �i�.�n
2 2−
−
 ∴ 
VF = 98.500�.�(1� �0,00045555 �.�50)
1� �0,00045555 �.�190
� �
� �
 + 105.750�.�(1� �0,00045555 �.�114)
1� �0,00045555 �.�190
� �
� �
 ∴ 
VF = 96.256,3888888
0,91344444
…
…
 + 
100.258,05
0,91344444…
 ∴ 
VF = 105.377,38717908 + 109.758,23500791 ∴ VF = 215.135,62218699.
Resposta: o valor da duplicata equivalente às outras duas duplicatas é igual a R$ 215.135,62.
Capitalização composta 39
3
Capitalização composta
No regime de capitalização simples, apenas o capital inicial produz ju-
ros, e estes são proporcionais ao período de tempo da aplicação e à taxa 
de juros utilizada. Já no regime de capitalização composta, o processo de 
geração de juros não funciona dessa maneira. É um pouco mais complexo, 
mas representa melhor o que ocorre na prática do mercado financeiro.
Assim, há diferenças importantes entre os dois tipos de regimes de ca-
pitalização. Devemos saber quais são essas diferenças e como operar com 
elas – algumas estão diretamente ligadas aos tipos de taxas de juros que 
se aplicam no regime de capitalização composta e às relações existentes 
entre elas. Nos dedicaremos, neste capítulo, ao estudo desse importante 
regime de capitalização, a capitalização composta, e também ao estudo 
das taxas, seus tipos e relações.
3.1 Capitalização composta
Vídeo De acordo com Puccini, “a expressão capitalização composta refere-se ao cresci-
mento do dinheiro no regime de juros compostos, que contempla a remuneração 
de juros sobre juros, desde que os juros dos períodos não sejam integralmente pa-
gos no final dos respectivos períodos” (2017, p. 41, grifos do original).
Nesse tipo de regime, os juros são calculados sobre o capital inicial, acrescido 
dos juros produzidos acumulados anteriormente. Se colocarmos em uma repre-
sentação gráfica a evolução do montante produzido por um capital aplicado a uma 
determinada taxa de juros nos dois tipos de regime de capitalização, obteremos:
350 M
n
300
250
200
150
100
50
0 1 42 53 6 7 8 9 10 11 12
Capitalização composta
Capitalização simples
40 Matemática Financeira
Por meio dessa representação gráfica, podemos perceber que, para o inves-
tidor, é muito melhor colocar seu capital para ser remunerado no regime de 
capitalização composta do que no regime de capitalização simples, o que ocorre 
pela diferença que existe entre as fórmulas matemáticas utilizadas em cada um 
dos regimes.
Independentemente das fórmulas e pelo simples aspecto do gráfico, vemos 
que, no regime de capitalização simples, a variação ocorre de maneira linear, pro-
porcional. Já no regime de capitalização composta, a variação não ocorre assim, 
mas de maneira exponencial.
Dessa forma, de maneira bastante simplificada, podemos dizer, de acordo com 
Mathias e Gomes (2009, p. 81):
No regime de juros compostos, que tem grande importância financeira por 
retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação será incorporado 
à mesma passando a participar da geração de juros no período seguinte. Di-
zemos então que os juros são capitalizados, e como não só o capital inicial 
rende juros mas estes são devidos também sobre os juros formados anterior-
mente, temos o nome de juros compostos.
Os elementos que utilizaremos para nossos cálculos são
 • juros: simbolizado por J;
 • capital inicial: representado por C;
 • taxa de juros compostos: que caracterizado por i;
 • período de aplicação do capital: para o qual utilizamos n;
 • montante: simbolizado por M.
Veremos, agora, as fórmulas matemáticas a serem utilizadas no regime de ca-
pitalização composta.
3.1.1 Fórmulas matemáticas
A fórmula matemática que utilizaremos para o cálculo do montante produzido 
por um certo capital inicial, aplicado a uma certa taxa de juros compostos durante 
um período de tempo pré-determinado, será:
M = C . (1 + i)n
É importante sabermos que “o fator (1 + i)n é denominado fator de capitalização 
ou fator de acumulação de capital” (CRESPO, 2009, p. 154) .
Já a fórmula matemática que utilizaremos para a determinação do juro obtido 
nesse tipo de regime de capitalização será:
J = M – C
Se, nessa última fórmula, substituirmos o montante pela expressão que o de-
termina, obteremos:
J = M – C ∴ J = C . (1 + i)n – C ∴ J = C . [ (1 + i)n – 1]
Perceba que o período de tempo, 
n, aparece em um expoente 
nessa fórmula matemática. Esse 
é o motivo de se afirmar que, no 
regime de capitalização compos-
ta, o processo de cálculo dos juros 
é um processo exponencial. 
Importante
Capitalização composta 41
Com a utilização dessa última fórmula, podemos calcular o valor do juro obtido 
em um regime de capitalização composta sem precisar utilizar o valor do montante.
3.1.2 Observações
Devemos, sempre, estar atentos com as seguintes considerações, para não er-
rarmos nossos cálculos:
 • a taxa de juros (i) deve sempre estar em formato unitário;
 • o período de tempo (n) e a taxa de juros (i) devem, obrigatoriamente, estar na 
mesma unidade de tempo, ou seja:
 • taxa anual e tempo em anos;
 • taxa mensal e tempo em meses;
 • taxa diária e tempo em dias.
 • nesse tipo de regime de capitalização, sempre calculamos o valor do montan-
te em primeiro lugar. Após encontrar o valor do montante é que podemos 
determinar o valor do juro.
Σxemρlos
Para entendermos melhor como é o funcionamento do regime de capitalização 
composta, vamos nos dedicar, agora, à resolução de vários exemplos de aplicação.
Usaremos estes exemplos a fim de mostrar o desenvolvimento dos cálculos 
para encontrarmos cada um dos componentes das fórmulas matemáticas a serem 
utilizadas em capitalização composta. Em alguns, calcularemos o valor do montan-
te e o valor dos juros no regime de capitalização composta. Em outros, mostrare-
mos o processo para se obter o valor da taxa ou o valor do capital que deve ser 
aplicado ou o período de aplicação.
1. Você tem uma reserva financeira de R$ 12.500,00. Para obter juros sobre essa 
reserva, decide aplicá-la em uma instituição financeira, sob o regime de capi-
talização composta. Se a instituição financeira lhe oferece rendimento com 
base em uma taxa de juros compostos de 1,05% a.m., determine o montante 
e os juros obtidos por essa aplicação se a realizou pelo prazo de 6 meses 1 .
Analisando o enunciado do problema, percebemos que os dados são:
C = R$ 12.500,00; n = 6 meses; i = 1,05% a.m.
Percebemos que o período de aplicação e a unidade de tempo da taxa de 
juros são compatíveis, ou seja, estão na mesma base: as duas em meses. 
Podemos, então, aplicar a fórmula matemática que calcula o montante da 
aplicação.
M = C . (1 + i) n ∴ M = 12.500 . (1 + 0,0105)6 ∴ M = 12.500 . (1,0105)6 ∴ 
M = 12.500 . 1,06467709 ∴ M = 13.308,46356991
Agora, podemos determinar o valor dos juros que você receberá pela aplica-
ção financeira realizada. Para tanto, fazemos:
Lembre-se de que, na utilização 
das fórmulas matemáticas, a taxa 
de juros deve ser colocada no 
formato unitário.
1
Para realizar essa operação, você 
vai precisar fazer uso de uma cal-
culadora científica. Como existem 
muitas disponíveis no mercado, 
você deve consultar como fazer 
esse tipo de operação matemática 
(potenciação) na calculadora que 
você possui.
Você também pode realizar esse 
cálculo utilizando o Microsoft Excel 
da seguinte maneira:
• digite na célula A1 a base da 
potência, nesse caso: 1,0105;
• digite na célula A2 o valor do 
expoente: 6;
• digite na célula A3: = POTÊN-
CIA(A1;A2) e pressionar Enter.
Fácil, né?
Atenção
42 Matemática Financeira
J = M – C ∴ J = 13.308,46356991 – 12.500 ∴ J = 808,46356991.
Podemos, também, determinar o valor do juro utilizando a fórmula que cal-
cula esse valor diretamente fazendo:
J = C . [(1 + i)n – 1] ∴ J = 12.500 . [(1 + 0,0105)6 – 1] ∴ 
J = 12.500 . [(1,0105)6 – 1] ∴ J = 12.500 . [1,06467709 – 1] ∴ 
J = 12.500 . 0,06467709 ∴ J = 808,46356991.
Resposta: o montante da aplicação que você receberá será de R$ 13.308,46, 
e os juros compostos da aplicação realizada correspondem a R$ 808,46.
2. Uma empresa temum capital disponível de R$ 160.000,00. Como o geren-
te financeiro da empresa sabe que não necessitará desse valor por pelo 
menos 4 meses, ele resolve aplicá-lo no banco em que a empresa possui 
conta-corrente. O analista financeiro do banco aconselha ao gerente da em-
presa uma aplicação dessa quantia e lhe oferece remuneração com uma 
taxa de juros compostos de 1,15% a.m. Determine o montante que será cre-
ditado na conta-corrente da empresa e o valor dos juros obtidos com essa 
aplicação financeira.
Pelo enunciado do problema, percebemos os seguintes dados:
C = R$ 160.000,00; n = 4 meses; i = 1,15% a.m.
Estando o período de aplicação e a taxa de juros em unidades compatíveis, 
é possível aplicar a fórmula matemática para encontrar o montante da apli-
cação financeira. Portanto:
M = C . (1 + i) n ∴ M = 160.000 . (1 + 0,0115)4 ∴ M = 160.000 . (1,0115)4 ∴ 
M = 160.000 . 1,0467996 ∴ M = 167.487,93615841.
Para determinarmos o valor dos juros que a aplicação financeira realizada 
produzirá, fazemos:
J = M – C ∴ J = 167.487,93615841 – 160.000 ∴ J = 7.487,93615841.
Resposta: o montante da aplicação que o gerente financeiro da empresa 
fará será de R$ 167.487,94, e os juros compostos da aplicação realizada cor-
respondem a R$ 7.487,94.
3. Você resolve fazer a aplicação financeira de R$ 22.850,00. O gerente do seu 
banco lhe informa que poderá realizar uma aplicação financeira que lhe pro-
porcionará juros compostos de R$ 777,02 se o período de aplicação for de três 
meses e meio. Você sabe que somente valerá a pena fazer a aplicação finan-
ceira se a taxa de juros compostos for superior a 0,9% a.m. Pela proposta feita 
pelo gerente de seu banco, você fará ou não a aplicação financeira?
Do enunciado do problema, temos os seguintes dados:
C = R$ 22.850,00; J = R$ 777,02; n = 3,5 meses.
Devemos determinar o valor do montante da aplicação financeira. Fazemos:
J = M – C ∴ 777,02 = M – 22.850 ∴ M = 777,02 + 22.850 ∴ M = 23.627,02.
Capitalização composta 43
Utilizando a fórmula matemática que determina o montante de uma aplica-
ção realizada em regime de capitalização composta, obteremos o valor da 
taxa de juros compostos. Para isso, fazemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 23.627,02 = 22.850 . (1 + i)3,5 ∴ 
23.627,02
22.850
 = (1 + i)3,5 ∴ 
1,03400525 = (1 + i)3,5∴ 1,034005253,5 = 1 + i ∴ 
1,00960003 = 1 + i ∴ i = 1,00960003 – 1 ∴ i = 0,00960003 a.m. ∴ 
i = 0,96% a.m.
Resposta: como a taxa de juros composta calculada é superior a 0,9% a.m., 
concluímos que você deve fazer a aplicação financeira.
4. Um cliente de uma loja comprou uma mercadoria no valor de R$ 1.600,00. 
Essa mercadoria foi financiada para pagamento em uma única prestação no 
valor de R$ 2.147,95. Qual é a taxa mensal cobrada nessa operação, saben-
do que a aplicação foi realizada no regime de capitalização composta, e que 
o pagamento deve ser realizado em 8 meses?
Pelo enunciado, os dados do problema são:
M = R$ 2.147,95; C = R$ 1.600,00; n = 8 meses.
Utilizando a fórmula matemática que determina o montante de uma apli-
cação realizada em regime de capitalização composta, obteremos:
M = C . (1 + i)n ∴ 2.147,95 = 1.600 . (1 + i)8 ∴ 2.147,95
1.600
 = (1 + i)8 ∴ 
1,34246875 = (1 + i)8 ∴ 1 342468758 , = 1 + i ∴ 1,0374998 = i + 1 ∴ 
1,0374998 – 1 = i ∴ i = 0,03749981 a.m.
Passando este resultado par ao formato percentual, vem:
i = 0,03749981 . 100 ∴ i = 3,749981% a.m.
Resposta: a taxa mensal cobrada na operação foi de 3,75% a.m.
5. Determine o valor do capital que deve ser aplicado, no regime de capitali-
zação composta, que produzirá o montante de R$ 9.636,80, sabendo que a 
taxa de juros desta aplicação foi de 2,4% a.m. e que o período de aplicação 
foi de um mês e meio.
Quais são os dados do problema?
São: M = R$ 9.636,80; n = 1,5 meses; i = 2,4% a.m.
Utilizando a fórmula matemática do montante de uma aplicação no regime 
de capitalização composta, teremos:
M = C . (1 + i)n ∴ 9.636,8 = C . (1 + 0,024)1,5 ∴ 9.636,8 = C . (1,024)1,5 ∴ 
9.636,8 = C . 1,03621514 ∴ 
9 636 8
1 03621514
. ,
,
 = C ∴ C = 9.299,99919297.
Resposta: o capital que foi aplicado era de R$ 9.300,00.
6. Júlio realizou, junto a um banco, um empréstimo contratado hoje. Ele sabe 
que, no final de 2 anos, deverá pagar o valor de R$ 154.605,37 referente ao 
Para a realização dessa operação de 
radiciação, você deverá fazer uso de 
uma calculadora científica. Como 
existem muitas disponíveis no mer-
cado, você deve verificar como fazer 
esse tipo de operação matemática 
(radiciação) na calculadora que 
você possui.
Também é possível transformar a 
operação de radiciação em uma 
operação de potenciação com 
expoente fracionário. Para realizar 
tal procedimento, faz-se:
valor valorn n= ( )
1
Esse procedimento é utilizado para 
calcular o valor de uma raiz de ín-
dice diferente de 2 (raiz quadrada) 
no Microsoft Excel.
Nesse caso, devemos:
• digitar na célula A1 o valor do 
radicando: 1,03400525;
• digitar na célula A2 o valor do 
índice da raiz: 3,5;
• digite na célula A3: = A1 (̂1/A2).
Atenção
Perceba que o valor foi arredon-
dado para duas casas após a 
vírgula, pois representa um valor 
financeiro que possui apenas 
dois dígitos após a vírgula – 
correspondentes aos centavos.
Atenção
44 Matemática Financeira
empréstimo contratado hoje, mais os juros devidos. Júlio sabe que a taxa 
utilizada para a contratação do empréstimo foi de 3,06% a.m. Determine o 
valor do empréstimo, sabendo que o regime de aplicação foi o de capitali-
zação composta.
Verificando os dados fornecidos pelo enunciado do problema, obtemos:
M = R$ 154.605,37; n = 2 anos = 24 meses; i = 3,06% a.m.
M = C . (1 + i)n ∴ 154.605,37 = C . (1 + 0,0306)24∴154.605,37 = C . (1,0306)24 ∴ 
154.605,37 = C . 2,06140495 ∴ C = 
154 605 37
2 06140495
. ,
,
 ∴ C = 74.999,99931942.
Como esse é um valor financeiro, deve ter, no máximo, duas casas após a 
vírgula, que correspondem a centavos. Então, C = 75.000,00.
Resposta: o empréstimo realizado por Júlio foi de R$ 75.000,00.
7. Determine o prazo da aplicação, no regime de capitalização composta, em 
que deve ser aplicado o capital de R$ 6.250,00 para produzir um montante 
de R$ 6.410,73, sabendo que a taxa de aplicação dessa aplicação financeira 
foi de 0,85% a.m.
Verificando os dados do problema, vemos que ele nos fornece:
M = R$ 6.410,73; C = R$ 6.250,00; i = 0,85% a.m.
Se utilizarmos a fórmula matemática que determina o montante de uma 
aplicação financeira a juros compostos, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 6.410,73 = 6.250 . (1 + 0,0085)n ∴ 
6 410 73
6 250
. ,
.
log (1,0085)10
n = (1,0085)n ∴ 1,0257168 = (1,026)n.
Para resolver uma equação como essa, que a variável (n) aparece em um 
expoente, devemos utilizar logaritmos. Assim:
a. utilizando logaritmos de base 10, temos:
log ,10 1 0257168� � = log (1,0085)10 n∴ log , � � �.�log ( , )10 101 0257168 1 0085� ��n ∴
0,01102747 = n . 0,0036759 ∴ n = 0 01102747
0 0036759
,
,
 ∴ n = 2,99993502 meses.
b. usando logaritmos naturais, temos:
ln (1,0257168) = ln (1,0085)n ∴ ln (1,0257168) = n . ln (1,0085) ∴ 
0,02539169 = n . 0,00846408 ∴ n = 0 02539169
0 00846408
,
,
 ∴ n = 2,99993502 meses.
Resposta: a aplicação financeira foi realizada por 3 meses.
8. Durante quanto tempo Marcos precisa aplicar a quantia de R$ 32.000,00, 
a uma taxa de juros compostos de 3,32% a.m., para que, no final do período 
de aplicação, ele tenha o dobro do capital aplicado?
Verificando os dados do problema, encontramos:
C = R$ 32.000,00; i = 3,32% a.m.; e como é para Marcos obter o dobro do que 
vai aplicar, concluímos que M = R$ 64.000,00.
Para realizar o cálculo da letra (a), 
você necessita de uma calculadora 
científica.
Para calcular o valor de um 
logaritmo de base 10 no Microsoft 
Excel, você deve:
• digitar na célula A1 o valor do 
logaritmando: 1,0257168;
• digitar na célula A2: 
=LOG10(A1).
Atenção
Para realizar o cálculo da letra (b), 
você precisa de uma calculadora 
científica.
Para calcular o valor de um 
logaritmo natural, ou seja, um 
logaritmo de base “e”(nº de Euler) 
no Microsoft Excel, você deve:
• digitar na célula A1 o valor do 
logaritmando: 1,0257168;
• digitar na célula A2: =LN(A1).
Atenção
Capitalização composta 45
Com o uso da fórmula do montante a juros compostos, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 64.000 = 32.000 . (1 + 0,0332)n ∴ 64 000
32 000
.
.
 = (1,0332)n ∴ 
2 = (1,0332)n.
Utilizando logaritmos decimais de base 10 para a realização desse cálcu-
lo, obtemos:
log � �log ( , )10 102 1 0332� �� n ∴ log � � �.�log ( , )10 102 1 0332� ��n ∴ 
0,30103 = n . 0,0141844 ∴ n = 
0 30103
0 0141844
,
, 
∴ n = 21,22261419 meses.
Como ninguém fala do tempo dessa maneira, devemos fazer as devidas altera-
ções para determinar o prazo de aplicação, ou seja:
n = 21,22261419 meses = 21 meses + 0,22261419 de um mês ∴ 
n = 1 ano + 9 meses + (0,22261419 . 30) dias ∴ 
n = 1 ano + 9 meses e 6,6784257 dias ∴ n = 1 ano, 9 meses e 7 dias.
Resposta: Marcos deve aplicar seu capital durante 1 ano, 9 meses e 7 dias, 
à taxa de juros compostos de 3,06% a.m., para que seu capital duplique.
9. Dois capitais foram aplicados durante um ano no regime de capitalização 
composta: o primeiro capital foi aplicado com uma taxa de juros compos-
tos de 1,25% a.m., e o segundo capital, a uma taxa de juros compostos de 
1,05% a.m. Sabe-se que o primeiro capital corresponde ao triplo do segundo 
capital. E que rendeu R$ 2.789,81 a mais de juros compostos que o segundo 
capital. Determine o valor de cada um dos capitais aplicados.
Devemos, em primeiro lugar, ler com bastante atenção o problema. Fazendo 
isso, teremos:
n1 = n2 = 1 ano = 12 meses; C1 = 3 . C2; i1 = 1,25% a.m.; i2 = 1,05%  a.m.; 
J1 = 2.789,81 + J2
Utilizando a fórmula matemática que determine o valor do juro composto, 
dada por J = C . [(1 + i)n – 1], teremos:
J1 = C1 . [ 1 1
1� ��� �i n – 1] ∴ J1 = C1 . [( 1 + 0,0125)12 – 1] ∴ J1 = C1 . 0,16075452.
J2 = C2 . [ 1 2
2� ��� �i n – 1] ∴ J2 = C2 . [( 1 + 0,0105)12 – 1] ∴ J2 = C2 . 0,1335373.
Como J1 = 2.789,81 + J2, podemos escrever:
C1 . 0,16075452 = 2.789,81 + C2 . 0,1335373
E sendo C1 = 3 . C2, teremos:
3 . C2 . 0,16075452 = 2.789,81 + C2 . 0,1335373 ∴ 
0,48226355 . C2 = 2.789,81 + C2 . 0,1335373 ∴ 
0,48226355 . C2 – 0,1335373 . C2 = 2.789,81 ∴ 0,34872625 . C2 = 2.789,81 ∴ 
C2 = 
2 789 81
0 34872625
. ,
,
 ∴ C2 = 7999,9999273. Ou seja: C2 = 8.000.
Como o enunciado afirma que C1 = 3 . C2, temos:
C1 = 3 . 8.000 ∴ C1 = 24.000.
Resposta: o primeiro capital (C1) é igual a R$ 24.000,00, e o segundo capital (C2) 
é igual a R$ 8.000,00.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre Capitalização 
Composta. 
Esses exercícios são atividades-ex-
tras que possibilitam a prática dos 
conteúdos abordados nesta seção 
e, por isso, não são apresentadas 
as resoluções, apenas as respostas.
Na prática
46 Matemática Financeira
3.2 Equivalência de taxas
Vídeo Em primeiro lugar, devemos saber que “taxas equivalentes são aquelas que, 
referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o 
mesmo montante num mesmo tempo” (CRESPO, 2009, p. 167). As taxas equivalen-
tes são também taxas proporcionais.
Nas palavras de Assaf Neto (2012, p. 8):
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em 
operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, 
descontos bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos 
sobre saldo devedor de conta-corrente bancária etc.
Mas, no estudo de capitalização composta, a proporcionalidade de taxas não fun-
ciona. Por isso, temos que tomar muito cuidado na conversão das taxas em períodos 
de tempo diferentes, principalmente quando estivermos trabalhando com capitaliza-
ção composta, embora o conceito de taxas equivalentes permaneça válido.
Como na capitalização composta, na fórmula de cálculo do montante é obtida 
de maneira exponencial, a expressão matemática utilizada para o cálculo de taxa 
equivalente composta é a seguinte:
1 + ik = (1 + i)n
Em que:
 • ik → taxa de juros no período maior de tempo;
 • i → taxa de juros no período menor de tempo;
 • n → quantidade de vezes que o período menor cabe dentro do período maior 
de tempo.
A taxa equivalente composta, calculada dessa maneira, é também denominada 
taxa efetiva, ou seja, dizemos que estamos frente a uma taxa de juros efetiva quan-
do a unidade de referência do período de tempo coincide com a unidade de tempo 
da capitalização dos juros.
Vejamos alguns exemplos de como se determina a taxa de juros equivalente 
composta na prática.
Σxemρlos
1. Sabemos que a caderneta de poupança paga juros de 6% a.a., com capita-
lização mensal, ou seja, o crédito dos juros – valor dos juros – é creditado 
mensalmente na conta poupança. Assim, podemos dizer que:
• taxa nominal de juros da caderneta de poupança é de 6% a.a., com capi-
talização mensal;
10% a.a. = 5% a.s. = 
0,083333...% a.m. = 
0,0277777...% a.d.
Essas taxas são proporcionais, pois 
produzem montantes iguais ao 
serem aplicadas ao mesmo capital 
durante um mesmo período, sob o 
regime de capitalização simples.
Importante
Capitalização composta 47
• taxa efetiva de juros da caderneta de poupança é de 0,5% a.m. 2 , com 
capitalização mensal.
Então, para determinarmos a taxa anual equivalente a uma taxa de 0,5% a.m., 
com capitalização mensal, temos as seguintes informações:
i = 0,5% a.m. = 0,005 a.m.; n = 12 (número de vezes que o período menor – 
mês – cabe no período maior – ano).
Portanto, aplicando a fórmula da taxa equivalente composta, obteremos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + ik = (1 + 0,005)
12 ∴ 1 + ik = (1,005)
12 ∴ 1 + ik = 1,061677812 ∴ 
ik = 1,061677812 – 1 ∴ ik = 0,061677812 a.a. ∴ ik = 6,1677812% a.a. ∴ ik = 6,17% a.a.
Resposta: a taxa equivalente anual é de 6,17%, com capitalização anual.
2. Determine a taxa equivalente efetiva composta mensal que corresponde à 
taxa de juros compostos de 6,17% a.a., com capitalização mensal.
Do enunciado temos:
ik = 6,17% a.a.; n = 12 (número de vezes que o período menor – mês – cabe 
no período maior – ano).
Aplicando a fórmula da taxa equivalente composta obtemos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴1 + 0,0617 = (1 + i)12 ∴ 1,0617 = (1 + i)12 ∴ 
1 + i = 1 061712 , ∴ 1 + i = 1,00500175 ∴ i = 1,00500175 – 1 ∴ 
i = 0,00500175 a.m. ∴ i = 0,500175% a.m.
Resposta: a taxa efetiva equivalente mensal à taxa de 6,17% a.a., capitaliza-
ção mensal, é igual a 0,5% a.m.
3. Se uma aplicação financeira foi realizada com a taxa de juros de 19,2% a.a., 
com capitalização mensal, determine as taxas efetivas equivalentes ao ano, 
ao semestre, ao trimestre e ao bimestre.
Em primeiro lugar, devemos encontrar a taxa correspondente no período de 
capitalização, ou seja, 0 192
12
, = 0,016 a.m.
A partir dessa taxa, podemos determinar as taxas efetivas equivalentes 
solicitadas:
 • ao ano: 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,016)
12 – 1 ∴ ik = 0,20983041;
 • ao semestre: 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,016)
6 – 1 ∴ ik = 0,09992291;
 • ao trimestre: 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,016)
3 – 1 ∴ ik = 0,0487721;
 • ao bimestre: 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,016)
2 – 1 ∴ ik = 0,032256;
Resposta: as taxas efetivas equivalentes solicitadas são 20,98% a.a.; 
9,99% a.s.; 4,88% a.t.; 3,23% a.b.
4. Suponha que em um determinado mês ocorreu uma taxa de inflação de 
0,67%. Determine a taxa efetiva de inflação anual equivalente a essa taxa 
mensal de inflação.
6% a.a. = 
0 06
12
,
 = 0,005 a.m. 
= 0,5% a.m.
2
Para saber mais sobre a 
remuneração das caderne-
tas de poupança, acesse a 
página Remuneração dos 
Depósitos de Poupança, 
no site do Banco Central 
do Brasil.
Disponível em: https://www.bcb.
gov.br/acessoinformacao/legado?ur-
l=https:%2F%2Fwww4.bcb.gov.
br%2Fpec%2Fpoupanca%2Fpoupan-
ca.asp. Acesso em: 3 mar. 2020.
Saiba mais
48 Matemática Financeira
De acordo com as informações do enunciado, temos:
i = 0,67% a.m. = 0,0067 a.m.; n = 12 (número de vezes que o período menor 
– mês – cabe no período maior – ano).
Portanto, aplicando a fórmula da taxa equivalentecomposta, obteremos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + ik = (1 + 0,0067)
12 ∴ 1 + ik = (1,0067)
12 ∴ 1 + ik = 1,08342992 ∴ 
ik = 1,08342992 – 1 ∴ ik = 0,08342992 a.a. ∴ ik = 8,342992% a.a. ∴ 
ik = 8,342992% a.a.
Resposta: a taxa de inflação efetiva equivalente anual é de 8,34%.
5. Um cliente realizou um empréstimo bancário que tinha por base uma taxa 
de juros de 16,55% a.a. com capitalização mensal. Considerando isso, qual é 
a taxa efetiva equivalente mensal do empréstimo realizado?
De acordo com o enunciado do problema, sabemos que:
ik = 16,55% a.a.; n = 12 (número de vezes que o período menor – mês – cabe 
no período maior – ano).
Aplicando a fórmula da taxa equivalente composta, obtemos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,1655 = (1 + i)12 ∴ 1,1655 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 1165512 , ∴ 
1 + i = 1,0128443 ∴ i = 1,0128443 – 1 ∴ i = 0,0128443 a.m. ∴ i = 1,28443% a.m.
Resposta: a taxa efetiva mensal equivalente à taxa de 16,55% a.a., em capi-
talização mensal, é igual a 1,28% a.m.
6. Se um determinado ano apresentou uma taxa de inflação de 14,58%, determine 
a taxa efetiva mensal equivalente para esse ano.
Os dados para nossos cálculos são:
ik = 14,58% a.a.; n = 12 (número de vezes que o período menor – mês – cabe 
no período maior – ano).
Aplicando a fórmula da taxa equivalente composta, obtemos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,1458 = (1 + i)12 ∴ 1,1458 = (1 + i)12 ∴ 
1 + i = 1145812 , ∴ 1 + i = 1,01140649 ∴ i = 1,01140649 – 1 ∴ 
i = 0,01140649 a.m. ∴ i = 1,140649% a.m.
Resposta: a taxa efetiva mensal equivalente à taxa inflacionária de 14,58% a.a., 
capitalização mensal, é igual a 1,14% a.m.
7. Você aplicou um determinado capital no banco A por 7 meses, em re-
gime de capitalização composta. Essa aplicação produziu o montante de 
R$ 6.520,00. Sabendo que o banco A opera com uma taxa de juros compos-
tos de 19,2% a.a., determine o valor desse capital.
Verificando os dados do problema, percebemos que temos:
n = 7 meses; M = R$ 6.520,00; i = 19,2% a.a.
Percebemos, pelos dados, que o período de tempo da aplicação e a taxa de 
juros compostos não estão na mesma unidade, ou seja, não são compatíveis.
Temos, então, duas opções: alterar o período de tempo para anual ou encon-
trar a taxa efetiva equivalente mensal. Vamos resolver das duas maneiras.
Capitalização composta 49
a. Mudando o período de tempo para anual.
Como o período de tempo está em meses, para passar para anos, devemos 
apenas dividir o período de tempo dado pela quantidade de meses que um 
ano possui.
Assim, na fórmula resolutiva, para encontrar o valor do montante com capi-
talização composta, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 6.250 = C . 1 0 192
7
12� � ,�� � ∴ 6.250 = C . 1192 0 58333333, ,� � � ∴ 
6.250 = C . 1,10788449 ∴ C = 
6 250
110788449
.
,
 ∴ C = 5.641,3823446.
b. Determinando a taxa mensal efetiva equivalente à taxa anual dada, temos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,192 = (1 + i)12 ∴ 1,192 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 119212 , ∴ 
1 + i = 1,01474368 ∴ i = 1,01474368 – 1 ∴ i = 0,01474368 a.m. ∴ i = 1,474368% a.m.
Agora, utilizaremos a fórmula para o cálculo do montante:
M = C . (1 + i)n ∴ 6.250 = C . 1 0 01474368 7� � ,�� � ∴ 6.250 = C . 1 01474368 7,� � ∴ 
6.250 = C . 1,10788449 ∴ C = 
6 250
110788449
.
,
 ∴ C = 5.641,3823446.
Resposta: o valor do capital que foi aplicado é R$ 5.641,38.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre equivalência 
de taxas.
Esses exercícios são atividades-
-extras que possibilitam a prática 
dos conteúdos abordados nesta 
seção e, por isso, não são apre-
sentadas as resoluções, apenas as 
respostas.
Na prática
Repare que o resultado em 
destaque é o mesmo obtido 
pelo cálculo (a) (com a potência 
fracionária).
Atenção
3.3 Tipos de taxa
Vídeo Agora que aprendemos a calcular a taxa efetiva equivalente na capitalização 
composta, conheceremos como classificar as taxas da maneira correta.
Taxa nominal 
O juro só é creditado ao final do período estipulado. Na grande maioria dos 
casos, as taxas de juros são informadas anualmente, mesmo que os juros sejam 
incorporados ao capital em períodos de tempo diferentes. Dessa maneira, você 
pode se deparar com informações de taxas de juros escritas da seguinte forma:
 • juros de 12% a.a., capitalizados mensalmente;
 • juros de 9% a.a., capitalizados mensalmente.
As taxas de juros especificadas dessa forma são denominadas taxas nominais.
Portanto, de acordo com Crespo (2009, p. 171, grifos do original), “taxa nomi-
nal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se 
refere”.
Taxa efetiva
Chamamos de taxa de juros efetiva a taxa de juros expressa em unidade de 
tempo igual à unidade de tempo do período de capitalização.
50 Matemática Financeira
Assim, são taxas efetivas de juros:
 • 0,45% a.m., com capitalização mensal;
 • 1,27% a.t., com capitalização trimestral;
 • 5,5% a.s., com capitalização semestral.
Devemos saber, também, que não importa o período de tempo que um capital 
fique aplicado, a formação do montante será sempre a mesma. Além disso, os juros 
produzidos são capitalizados uma única vez ao capital, exatamente no período a 
que a taxa está se referindo. A fórmula matemática para o cálculo da taxa efetiva 
equivalente a uma taxa nominal dada é
1 + ik = (1 + i)n
Taxa aparente e taxa real
Quando você procura uma instituição financeira para aplicar seu dinheiro e re-
cebe a informação de que sua aplicação renderá com a taxa de juros nominal de 
1,75% a.m., será que esse será realmente o rendimento que você obterá com a 
aplicação que está fazendo?
A resposta para esse questionamento é não. Sabe por quê? Porque, da taxa que 
lhe informaram, devemos descontar a taxa de inflação do período. Portanto, após 
ser descontada a taxa inflacionária, o rendimento de sua aplicação será menor do 
lhe foi informado. A taxa que a instituição lhe informou, portanto, é denominada 
taxa aparente, ou seja, é a taxa que não leva em consideração a taxa inflacionária 
do período.
Se for levada em consideração a taxa de inflação do período, passamos a ter o 
que é denominado de taxa real, isto é, a taxa de rendimento obtida após ser realiza-
da a correção dos juros, levando em consideração a taxa inflacionária do período.
A fórmula matemática que nos permite calcular a taxa real de uma aplicação 
realizada é:
ir = 
1�+�i
1�+�i
a
f
 – 1, em que:
 • ir representa a taxa de juros real;
 • ia representa a taxa de juros aparente;
 • if representa a taxa de juros da inflação.
Σxemρlos
1. Uma aplicação financeira foi realizada com uma taxa aparente de 1,38% 
a.m. pelo período de um mês. Se no mês em que a aplicação foi feita a taxa 
de inflação correspondeu a 0,46%, qual é a taxa real da aplicação?
De acordo com o enunciado, temos as seguintes informações:
ia = 1,38% a.m.; if = 0,46% a.m.
Muitas taxas são regu-
lamentadas, ou seja, as 
instituições financeiras não 
podem fazer o que bem 
quiserem. Para ver os di-
ferentes tipos de taxas de 
juros, tanto para pessoas 
físicas como para pessoas 
jurídicas, acesse a página 
Taxas de Juros, disponi-
bilizada no site do Banco 
Central do Brasil.
Disponível em: https://www.bcb.gov.
br/estatisticas/txjuros. Acesso em: 3 
mar. 2020.
Saiba mais
Caso a taxa de inflação tenha 
um valor numérico maior que 
a taxa de juros do período da 
aplicação financeira, é possível 
que a taxa real resulte em um 
valor negativo.
Atenção
Capitalização composta 51
Aplicando a fórmula matemática para obter o valor da taxa real da aplica-
ção, obtemos:
ir = 
1
1
� �
� �
+
+
i
i
a
f
 – 1 ∴ ir = 
1 0 0138
1 0 0046
� � ,
� � ,
+
+
 – 1 ∴ ir = 
1 0138
1 0046
,
,
 – 1 ∴ 
ir =1,00915787 – 1 ∴ir = 0,00915787 a.m.
Resposta: a taxa real da aplicação realizada foi de 0,92% a.m.
2. No contrato que Marcos assinou com um banco para aplicar uma determi-
nada quantia, estava estipulado que a taxa de juros seria de 11,76% a.a., 
pelo período de um mês. No mês em que a aplicação foi realizada, a in-
flação registrou uma taxa de 1,04%. Calcule a taxa real da aplicaçãofeita 
por Marcos.
Verificando os dados do problema, obtemos:
ia = 11,76% a.a.; if = 1,04% a.m.
Determinando o valor da taxa aparente mensal, temos:
ia = 
0 1176
12
,
 ∴ ia = 0,0098 a.m.
Aplicando a fórmula matemática para obter o valor da taxa real da aplica-
ção, obtemos:
ir = 
1
1
� �
� �
+
+
i
i
a
f
 – 1 ∴ ir = 
1 0 0098
1 0 0104
� � ,
� � ,
+
+
 – 1 ∴ ir = 
1 0098
1 0104
,
,
 – 1 ∴ 
ir = 0,99940618 – 1 ∴ ir = – 0,00059382 a.m.
Resposta: a taxa real da aplicação realizada por Marcos foi de – 0,06% a.m. 
O fato de, após a aplicação da fórmula matemática, obtermos um resultado 
negativo, significa que Marcos perdeu dinheiro com a aplicação que fez, ou 
seja, o valor que ele resgatou foi inferior ao valor que ele aplicou.
3. Suponha que você pegou um empréstimo em uma instituição financeira. 
O valor do empréstimo era de R$ 35.000,00. Para a aprovação desse em-
préstimo, você pagou despesas no valor de R$ 575,00. Ao final do período 
de contratação do empréstimo, deverá pagar o montante de R$ 40.084,57. 
Com base nessas informações, determine as taxas nominal, efetiva e real 
do empréstimo sabendo que, no período estipulado em contrato, a taxa de 
inflação foi de 2,75%.
Verificando os dados do problema, temos:
C = R$ 35.000,00; M = R$ 40.084,57; despesas = R$ 575,00; if = 2,75%
Para determinar a taxa nominal, a que consta do contrato de emprésti-
mo, podemos utilizar a fórmula de cálculo do montante de uma aplica-
ção, ou seja:
M = C . (1 + i)n
O período de tempo de duração do empréstimo não foi disponibilizado pelo 
enunciado. Nesse caso, portanto, podemos colocar que foi igual a 1 (um 
período de tempo). Assim:
52 Matemática Financeira
M = C . (1 + i)n ∴ 40.084,57 = 35.000 . (1 + i)1 ∴ 
40 084 57
35 000
. ,
.
 = 1 + i ∴ 
1,14527343 = 1 + i ∴ i = 1,14527343 – 1 ∴ i = 0,14527343 ∴ 
i = 14,527343% a.p.
Para determinar a taxa efetiva, devemos subtrair o valor das despesas do 
valor do empréstimo, pois o empréstimo foi solicitado, mas também houve 
o pagamento de R$ 575,00 de despesas, ou seja, você não levou efetivamen-
te R$ 35.000,00, mas o resultado da subtração das despesas pagas nesse 
valor. Assim, ao utilizarmos a fórmula do montante de uma aplicação, com 
capitalização composta, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 40.084,57 = (35.000 – 575) . (1 + i)1 ∴ 
40 084 57
34 425
. ,
.
 = 1 + i ∴ 
1,1644029 = 1 + i ∴ i = 1,1644029 – 1 ∴ i = 0,1644029 ∴ i = 16,44029% a.p.
Devemos perceber, então, que ao pagar as despesas para a realização 
do empréstimo, a taxa contratual aumenta, pois, efetivamente, o valor 
estipulado no contrato não é totalmente entregue.
Par calcular a taxa real, devemos utilizar a fórmula própria, ou seja:
ir = 
1
1
� �
� �
+
+
i
i
a
f
 – 1 ∴ ir = 
1 0 14527343
1 0 0275
� � ,
� � ,
+
+
 – 1 ∴ ir = 
114527343
1 0275
,
,
 – 1 ∴ 
ir = 1,11462134 – 1 ∴ ir = 0,11462134 ∴ ir = 11,462134% a.p.
Resposta: as taxas referentes ao empréstimo que você realizou são: taxa no-
minal de 14,53% a.p.; taxa efetiva de 16,44% a.p.; e taxa real de 11,46% a.p.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, você aprendeu a trabalhar com capitalização composta. Deve ter 
percebido que, para realizar corretamente os cálculos, deve prestar muita atenção nas 
taxas de juros composto que são fornecidas. Muitas pessoas, na prática do dia a dia, 
sentem dificuldade em saber diferenciar as taxas e operar corretamente com elas. Se 
você não tomar cuidado, pode acabar sendo enganado ao precisar realizar operações 
financeiras que envolvam capitalização composta.
ATIVIDADES
1. José aplicou a quantia de R$ 5.680,00 em uma instituição financeira, sob o regime 
de capitalização composta. A instituição ofereceu uma taxa de juros compostos 
de 0,7% a.m. Determine o montante e os juros obtidos por José se a operação 
financeira foi realizada durante 4 meses.
2. Suponha que você recebeu a informação de que o banco X possibilita a aplicação da 
quantia de R$ 20.000,00 por 3 anos, em regime de capitalização composta, gerando 
um montante igual ao dobro do capital investido. De acordo com essa informação, 
de quanto será a taxa anual da aplicação?
3. Um determinado capital, aplicado no banco X por 5 meses, em regime de 
capitalização composta, produziu o montante de R$ 4.500,00. Sabendo que o 
Como não sabemos o período 
de tempo, colocamos a.p., que 
significa ao período.
Atenção
Acesse o QR Code a seguir e 
exercite seus conhecimentos 
sobre tipos de taxas.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Capitalização composta 53
banco X opera com uma taxa de juros compostos de 18,4% a.a., determine o valor 
desse capital.
4. Durante quanto tempo se deve aplicar em um banco a quantia de R$ 800,00, a uma 
taxa de juros compostos de 1,75% a.m., para que, no final do período de aplicação, 
sejam resgatados R$ 1.050,00?
5. Você sabe que necessitará de R$ 14.000,00 daqui a 8 meses para quitar uma dívida. 
Quanto você terá que aplicar hoje, em uma instituição financeira, para obter esse 
valor, sabendo que essa instituição opera com uma taxa de juros compostos de 
10,69% a.a.?
6. Você aplicou, em um determinado banco, a quantia de R$ 3.920,00. Após 5 meses, 
verificou que sua aplicação já estava com R$ 4.075,28. Qual é a taxa de juros mensal 
com que a instituição financeira está remunerando sua aplicação?
7. Você dispõe da quantia de R$ 1.200,00. Para ganhar rendimento sobre esse valor, 
quer aplicá-lo em um banco. Após quanto tempo de aplicação o montante será 
R$ 1.292,87?
8. Dois capitais foram aplicados durante um ano no regime de capitalização composta: 
o primeiro foi aplicado com uma taxa de juros compostos de 0,98% a.m., e o 
segundo, a uma taxa de juros compostos de 1,15% a.m. Sabe-se que o segundo 
capital corresponde a dois terços do primeiro capital e que rendeu R$ 339,33 
a mais de juros compostos que o segundo. Determine o valor de cada um dos 
capitais aplicados.
9. Determine o solicitado:
a) a taxa anual equivalente a 0,75% a.m.
b) a taxa mensal equivalente a 22,4% a.a.
c) a taxa anual equivalente a 0,025% a.d.
d) a taxa trimestral equivalente a 15,92% em 2 anos.
e) a taxa anual equivalente a 0,5% à quinzena.
f) a taxa para 183 dias, equivalente a 13% a.a.
g) a taxa para 491 dias, equivalente a 1,2% a.m.
h) a taxa para 27 dias, equivalente a 5,85% a.t.
10. Verificar se as taxas de juros compostos de 5,3424109% a.t. e 16,8987214% para 
9 meses são equivalentes.
11. Suponha que você realizou uma aplicação financeira em que, no contrato assinado, 
consta uma taxa nominal de 2,07%, pelo período de dois meses. Se no período em 
que a aplicação foi feita, a taxa de inflação correspondeu a 0,84%, qual foi a taxa real 
da aplicação que você realizou?
12. Você se dirigiu a um banco e solicitou um empréstimo no valor de R$ 48.000,00. 
Para a aprovação do empréstimo, você teve que pagar despesas no valor de 
1,25% do valor de empréstimo solicitado. O gerente do banco lhe informou 
que, no final do período de contratação do empréstimo, você deverá restituir ao 
banco R$ 50.824,21. De posse dessas informações, determine a taxa nominal 
do empréstimo, bem como suas taxas efetiva e real, sabendo que, no período 
estipulado em contrato, a taxa de inflação foi de 1,44%.
Nos itens c), f ), g) e h) considere 
o ano comercial de 360 dias, cada 
mês com 30 dias. 
Importante
54 Matemática Financeira
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
CRESPO, A. A. Matemática financeira fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
GABARITO
1. O enunciado do problema nos informa que:
C = R$ 5.680,00; n = 4 meses; i = 0,7% a.m.
Como o período de aplicação e a unidade de tempo da taxa de juros são compatíveis,podemos apli-
car a fórmula matemática que calcula o montante da aplicação:
M = C . (1 + i)n ∴ M = 5.680 . (1 + 0,007)4 ∴ M = 5.680 . (1,007)4 ∴ 
M = 5.680 . 1,02829537 ∴ M = 5.840,7177266
Em seguida, devemos determinar o valor dos juros que José receberá:
J = M – C ∴ J = 5.840,7177266 – 5.680 ∴ J = 160,7177266.
Podemos, também, determinar o valor do juro utilizando a fórmula que calcula esse valor direta-
mente, fazendo:
J = C . [ (1 + i)n – 1] ∴ J = 5.680 . [ (1 + 0,007)4 – 1] ∴ 
J = 5.680 . [(1,007)4 – 1] ∴ J = 5.680 . [1,02829537 – 1] ∴ 
J = 5.680 . 0,02829537 ∴ J = 160,7177266.
Resposta: José receberá o valor de R$ 5.840,72, sendo R$ 160,72 de juros.
2. De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:
C = R$ 20.000,00; M = R$ 20.000,00; n = 3 anos
Utilizando a fórmula do montante de uma aplicação realizada em regime de capitalização com-
posta, temos:
M = C . (1 + i)n ∴ 40.000 = 20.000 . (1 + i)3 ∴ 40 00020 000
.
. = (1 + i)
3 ∴ 2 = (1 + i)3 ∴ 
� �23 = 1 + i ∴ 1,25992105 = 1 + i ∴ i = 1,25992105 – 1 ∴ i = 0,25992105 a.a.
Resposta: a taxa de juros composta que o banco X oferece para essa aplicação é de 25,99% a.a.
3. Sabemos que M = R$ 4.500,00; n = 5 meses; i = 18,4% a.a.
Devemos, em primeiro lugar, perceber que as unidades de tempo não são compatíveis. Nesse caso, 
é melhor calcular quanto 5 meses representa em um ano do que calcular a taxa efetiva equivalente 
mensal da taxa anual dada. Ambos os resultados a serem obtidos serão iguais. Assim, temos:
5
12 = 0,4166666... ano
Utilizando a fórmula matemática do montante de uma aplicação no regime de capitalização com-
posta, teremos:
M = C . (1 + i)n ∴ 4.500 = C . (1 + 0,184)0,4166666... ∴ 4.500 = C . (1,184) 0,4166666... ∴ 
4.500 = C . 1,07290979... ∴ 
4 500
1 07290979
.
, … = C ∴ C = 4.194,20162764
Resposta: o valor do capital que deve ser aplicado é de R$ 4.194,20.
Observação: Se preferir transformar a taxa anual em sua efetiva equivalente mensal, deve encon-
trar a taxa de 1,41743955% a.m.
4. Os dados do problema são:
C = R$ 800,00; i = 1,75% a.m., M = R$ 1.050,00.
Utilize a fórmula de taxa efetiva 
equivalente:
1 + i
k
 = (1 + i)n . 
Atenção
Capitalização composta 55
Com o uso da fórmula do montante a juros compostos, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 1.050 = 800 . (1 + 0,0175)n ∴ 1 050
800
.
 = (1,0175)n ∴ 
1,3125 = (1,0175)n ∴ log , � �log ( , )10 101 3125 1 0175� �� n ∴ log , � � �.�log ( , )10 101 3125 1 0175� ��n n∴
0,11809931 = n . 0,00753442 ∴ n = 
0 11809931
0 00753442
,
, ∴ n = 15,67464318 meses ∴ 
n = 1 ano, 3 meses e 20 dias.
Resposta: deve-se aplicar a quantia por 1 ano, 3 meses e 20 dias.
5. De acordo com o enunciado, temos:
M = R$ 14.000,00; i = 10,69% a.a.; n = 8 meses
Aplicando a fórmula para o cálculo do montante de uma aplicação a juros compostos, temos:
M = C . (1 + i)n ∴ 14.000 = C . 1 0 1069
8
12� � ,�� � ∴ 14.000 = C . (1,1069)0, 666666... ∴ 
14.000 = C . 1,07005375... ∴ C = 14 000
1 07005375
.
, …
 ∴ C = 13.083,45497116.
Resposta: você deverá aplicar R$ 13.083,45 para receber o montante desejado.
6. Do enunciado do problema, temos os seguintes dados:
C = R$ 3.920,00; M = R$ 4.075,28; n = 5 meses.
Utilizando a fórmula do montante de uma aplicação realizada em regime de capitalização composta, 
fazemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 4.075,28 = 3.920 . (1 + i)5 ∴ 4 075 28
3 920
. ,
.
 = (1 + i)5 ∴ 
1,03961224 = (1 + i)5 ∴ � , �1 039612245 = 1 + i ∴ 1,00779982 = 1 + i ∴ 
i = 1,00779982 – 1 ∴ i = 0,00779982 a.m.
Resposta: a taxa de juros composta que o banco está remunerando sua aplicação financeira é de 
0,78% a.m.
7. Os dados do problema são:
C = R$ 1.200,00; i = 10,45% a.a.; M = R$ 1.292,87.
Utilizando a fórmula para determinar o montante de uma aplicação a juros compostos, fazemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 1.292,87 = 1.200 . (1 + 0,1045)n ∴ 1 292 871 200
. ,
. = (1,1045)
n ∴ 
1,07739167 = (1,1045)n ∴ log , � �log ( , )10 101 07739167 11045� �� n ∴
log , � � �.�log ( , )10 101 07739167 11045� ��n n ∴ 
0,03237361 = n . 0,04316572 ∴ n = 0 032373610 04316572
,
, ∴ n = 0,74998429 do ano
Como ninguém fala um período de tempo dessa maneira, devemos fazer as devidas alterações para 
determinar o prazo de aplicação:
n = 0,74998429 do ano = 0,74998429 . 12 = 8,99981149 meses.
Resposta: a aplicação deverá ser realizada durante 9 meses para resultar no montante de R$ 1.292,87.
8. As informações do enunciado são:
n1 = n2 = 1 ano = 12 meses; C2 = 
2
3� �
 . C1 ; i1 = 0,98% a.m.; i2 = 1,15% a.m.; J1 = 339,33 + J2.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor do juro composto, dada por J = C . [(1 + i)n – 1], 
temos:
J1 = C1 . [ 1 1
1� ��� �i n – 1 ∴ J1 = C1 . [( 1 + 0,0098)12 – 1] ∴ J1 = C1 . 0,12415034
J2 = C2 . [ 1 2
2� ��� �i n – 1] ∴ J2 = C2 . [( 1 + 0,0115)12 – 1] ∴ J2 = C2 . 0,14707191.
Como J1 = 339,33 + J2, podemos entender que:
C1 . 0,12415034 = 339,33 + C2 . 0,14707191
E sendo C2 = 
2
3� �
 . C1, temos:
56 Matemática Financeira
C1 . 0,12415034 = 339,33 + 
2
3� �
 . C1 . 0,14707191 ∴ 
C1 . 0,12415034 – 
2
3� �
 . C1 . 0,14707191 = 339,33 ∴ 
0 37245102 0 29414382 1 017 99
3
1 1, �.� � � , �.� � � . ,C C� � ∴ C1 . 0,0783072 = 1.017,99 ∴ 
C1 = 
1 017 99
0 0783072
. ,
, 
∴ C1 = 12.999,95402722 ∴ C1 = R$ 12.999,95.
Como o enunciado afirma que C2 = 
2
3� �
 . C1, temos:
C2 = 
2
3� �
 . 12.999,95 ∴ C2 = 8.666,63333333 ∴ C2 = 8.666,63.
Resposta: o primeiro capital (C1) é igual a R$ 12.999,95, e o segundo capital (C2) é igual a R$ 8.666,63.
9. 
a. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,0075)12 – 1 ∴ ik = 0,0938069... ∴ ik = 9,38% a.a.
b. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ i = 1 0 22412 � � ,+ – 1 ∴ i = 0,01698634... ∴ i = 1,698634... ∴ ik = 1,70% a.m. 
c. 1 + ik = (1 + i)n ∴ ik = (1 + 0,00025)360 – 1 ∴ ik = 0,09416198... ∴ ik = 9,42% a.a. 
d. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ i = 1 0 15928 � � ,+ – 1∴ i = 0,01863782... ∴ i = 1,86378198... ∴ ik = 1,86% a.t.
e. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = (1 + 0,005)24 – 1 ∴ ik = 0,12715978... ∴ ik = 12,72% a.a.
f. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ ik = 1 0 13
183
360� � ,�� � – 1 ∴ ik = 0,06409779... ∴ ik = 6,409779... ∴ 
ik = 6,41% a.p.
g. 1+ ik = (1 + i)
n∴ ik = 1 0 012
491
30�� �� , – 1∴ik = 0,21559169...∴ ik = 21,559169... ∴
ik = 21,56% a.p.
h. 1 + ik = (1 + i)
n ∴ i = 1 0 012
27
90� � ,�� � – 1 ∴ i = 0,01720212... ∴ i = 1,720212... ∴ 
ik = 1,72% a.p.
10. Calculando uma das taxas para a unidade de tempo da outra, ou seja, a taxa trimestral para 
9 meses, temos:
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + ik = (1 + 0,053424109)3 – 1 ∴ ik = 0,16898721 ∴ ik = 16,898721% a.p.
Como o resultado obtido coincide com o valor da taxa para 9 meses, as taxas fornecidas são equivalentes.
Resposta: as taxas de juros compostos fornecidas são taxas equivalentes.
11. De acordo com o enunciado, temos os seguintes dados:
ia = 2,07% a.p.; if = 0,84% a.m.
Aplicando a fórmula matemática para obter o valor da taxa real da aplicação, obtemos:
ir = 
1
1
� �
� �
+
+
i
i
a
f
 – 1 ∴ ir = 
1 0 0207
1 0 0084
� � ,
� � ,
+
+ – 1 ∴ i
r = 
1 0207
1 0084
,
, – 1 ∴ ir = 1,01219754 – 1 ∴ 
ir = 0,01219754 a.p.
Resposta: a taxa real da aplicação por você contratada foi de 1,22% a.p.
12. Os dados do problema são:
C = R$ 48.000,00; M = R$ 50.824,21; if = 1,44%.
Devemos, primeiro, calcular o valor das despesas que tiveram que ser pagas:
1,25% . 48.000 = 600.
Para determinar a taxa nominal, a que consta do contrato de empréstimo, podemos utilizar a fór-
mula de cálculo do montante de uma aplicação. Verificamos que não foi dado o valor do período de 
duração do empréstimo, então podemos colocar que foi igual a 1. Assim:
M = C . (1 + i)n ∴ 50.824,21 = 48.000 . (1 + i)1 ∴ 50 824 21
48 000
. ,
.
 = 1 + i ∴ 
1,05883771 = 1 + i ∴ i = 1,05883771 – 1 ∴ i = 0,05883771 ∴ i = 5,883771% a.p.
Para determinar a taxa efetiva, devemos subtrair o valor das despesas do valor do empréstimo, pois 
foi solicitado o empréstimo, mas foram pagos R$ 600,00 em despesas, ou seja, você levou o resul-
Capitalização composta 57
tado da subtração do valor total de empréstimovalor e das despesas pagas. Assim, ao utilizarmos a 
fórmula do montante de uma aplicação, com capitalização composta, obtemos:
M = C . (1 + i)n ∴ 50.824,21 = (48.000 – 600) . (1 + i)1 ∴ 50 824 21
47 400
. ,
.
 = 1 + i ∴
1,07224072 = 1 + ∴ i = 1,07224072 – 1 ∴ i = 0,07224072 ∴ i = 7,224072% a.p.
Devemos perceber que, ao pagar as despesas para a realização do empréstimo, a taxa contratual 
aumenta, pois, efetivamente, o valor estipulado em contrato não foi entregue a você.
Para calcular a taxa real, devemos utilizar:
ir = 
1
1
� �
� �
+
+
i
i
a
f
 – 1 ∴ ir = 
1 0 05883771
1 0 0144
� � ,
� � ,
+
+
 – 1 ∴ ir = 
1 05883771
1 0144
,
,
 – 1 ∴ 
ir = 1,04380689 – 1 ∴ ir = 0,04380689 ∴ ir = 4,380689% a.p.
Resposta: portanto, as taxas referentes ao empréstimo que você realizou são: taxa nominal de 
5,88% a.p.; taxa efetiva de 7,22% a.p.; e taxa real de 4,38% a.p.
58 Matemática Financeira
4
Desconto composto
Se tivermos um título de crédito (nota promissória, duplicata, letra de 
câmbio ou cheque) e desejarmos resgatá-lo antes da data de seu venci-
mento, teremos que solicitar a troca do título por dinheiro. Esse tipo de 
operação financeira envolve o que chamamos de desconto. O modo de se 
calcular o valor desse desconto depende do regime de capitalização que 
será utilizado. Nos dedicaremos, neste capítulo, ao estudo dos descontos 
em regime de capitalização composta. 
Uma outra situação que ocorre, e com certa frequência, é sermos 
detentores de um título de crédito e percebermos que não poderemos 
liquidá-lo na data prevista. Então, vamos ao credor do título e solicitamos 
a troca desse título de crédito por outro, com uma nova data de venci-
mento, para que não haja prejuízo para nenhuma das partes – credor e 
devedor. Nesse caso, os títulos de crédito devem ser equivalentes. Esse 
procedimento também será estudado neste capítulo. 
4.1 Desconto composto 
Vídeo O desconto é um benefício dado a quem antecipa o pagamento 
de uma dívida, ou sobre o resgate antecipado de um título de crédito, 
como cheques, letras de câmbio, notas promissórias e duplicatas. 
Uma das vantagens, se não for a principal, do desconto de um título 
de crédito é que essa operação financeira proporciona aos possuido-
res desses títulos a possibilidade de adiantar os valores que têm para 
receber em datas futuras.
Desta maneira, segundo Assaf Neto (2012, p. 40, grifos do original):
desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor 
nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n pe-
ríodos antes de seu vencimento. Por outro lado, o valor des-
contado de um título é o seu valor atual na data do desconto, 
sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o 
desconto. 
Devemos entender como funcionam as operações que calculam 
os descontos, que também podem ser realizados no regime de ca-
pitalização composta. Mas é preciso tomar cuidado ao realizar ope-
rações assim. 
O site do Banco Central do 
Brasil nos traz estatísticas 
que mostram as diferentes 
taxas oferecidas pelos maiores 
bancos que operam no país 
para a realização de desconto de 
cheques – um dos tipos de título 
de crédito – de pessoas físicas. 
Acesse o site e conheça as taxas 
praticadas. 
Disponível em: https://www.
bcb.gov.br/estatisticas/
reporttxjuros/?path=con-
teudo%2Ftxcred%2FRe-
ports%2FTaxasCredito-Con-
solidadas-porTaxasAnuais.
rdl&nome=Pessoa%20
F%C3%ADsica%20-%20
Desconto%20de%20che-
ques&parametros=tipopes-
soa:1;modalidade:302;encar-
go:101&exibeparametros=-
false&exibe_paginacao=false. 
Acesso em:13 abr. 2020.
Saiba mais
Desconto composto 59
Observe a seguinte situação: um título de crédito que possui valor nominal (va-
lor de face) de R$ 54.500,00 foi comercializado com a taxa de desconto comercial 
simples de 26,8% a.a. Considerando que o período de antecipação para o venci-
mento desse título de crédito é de 4 anos, qual é o valor do desconto comercial?
O desconto comercial simples deve ser calculado pela fórmula DC = VF . i . n.
O problema nos fornece os seguintes dados: VF = R$ 54.500,00; i = 26,8% a.a.; 
n = 4 anos.
Aplicando a fórmula, teremos:
DC = VF . i . n ∴ DC = 54.500 . 0,268 . 4 ∴ DC = 58.424.
Mas, como é possível que o valor do desconto seja maior que o do título de 
crédito? Tal situação leva a um absurdo. Por isso, devemos saber que os descon-
tos simples, comercial e/ou racional somente devem ser utilizados em operações 
financeiras de curto ou de curtíssimo prazo, normalmente, nas situações em que 
o período de antecipação para o pagamento do título de crédito seja inferior a um 
ano. Para situações como a exposta anteriormente, devemos adotar o regime de 
capitalização composta, que não produz resultados como o visto.
Enquanto os descontos calculados no regime de capitalização simples são utili-
zados em operações de curto (ou curtíssimo) prazo, os descontos compostos são 
utilizados nas chamadas operações de longo prazo.
Tal como os descontos calculados com regime de capitalização simples, os descon-
tos calculados com o regime de capitalização composta – denominados descontos com-
postos – podem apresentar dois tipos específicos: o desconto composto comercial e 
o desconto composto racional.
De acordo com Assaf Neto (2012, p.53):
o desconto composto “por fora” (ou comercial) é raramente empregado no 
Brasil, não apresentando uso prático. O desconto “por dentro” (racional) en-
volve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime 
de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática. 
4.2 Desconto composto comercial 
Vídeo O desconto composto comercial, nosso objeto de estudo nesta seção, segundo 
Müller e Antonik (2012, p. 123, grifos do original),
não é usado na prática e é análogo ao cálculo do juro composto. O que faze-
mos é calcular a diferença entre o valor nominal (valor futuro) e o valor atual 
(valor presente) do compromisso na data em que se propõe que seja feito o 
desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal, 
e o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. 
Para realizarmos os cálculos que envolvem esse tipo de desconto composto, 
utilizaremos a seguinte nomenclatura:
 • Dc → valor do desconto comercial composto;
 • VF → valor de face do título de crédito;
 • i → taxa de desconto composto comercial;
 • VAC → valor atual do título de crédito.
60 Matemática Financeira
4.2.1 Fórmulas matemáticas para o desconto comercial 
composto
As fórmulas matemáticas que utilizaremos para o cálculo do valor atual de um 
título de crédito, ou seja, o valor que deverá ser pago no momento da antecipação 
do pagamento:
VAC = VF . (1 – i )n e DC = VF – VAC
Para obtermos a fórmula que calcula o valor do desconto comercial, quando 
conhecemos apenas o valor de face do título de crédito, usamos as seguintes 
fórmulas:
DC = VF – [VF . ( 1 – i )n ] ou DC = VF . [ 1 – ( 1 – i )n ]
Σxemρlos
Para entendermos melhor como resolver situações-problema que envolvem 
desconto composto comercial, vamos nos dedicar à resolução de vários exemplos 
de aplicação.
1. Uma empresa possui uma duplicata de valor nominal de R$ 7.300,00 e deseja 
descontá-la 3 meses antes de seu vencimento. O banco oferece à empresa 
uma taxa de desconto comercial composto de 1,6% a.m., capitalizável men-
salmente. Qual o valor do desconto que a empresa terá e quanto pagará no 
ato de antecipação, quando realizar o pagamento da duplicata?
De acordo com o enunciado, temos:
VF = R$ 7.300,00; n = 3 meses; i = 1,6% a.m.
Como já sabemos, para resolver qualquer problema, devemos prestar aten-
ção se as unidades da taxa de desconto e do período de tempo são compa-
tíveis. No caso do exemplo, são compatíveis, pois ambas estão em meses.
Então, aplicando a fórmula matemática que calcula o valor atual da duplica-
ta, temos:
VAC = VF . (1 – i)
n ∴ VAC = 7.300 . (1 – 0,016)
3 ∴ VAC = 7.300 . (0,984)
3 ∴
VAC = 7.300 . 0,9527639 ∴ VAC = 6.955,1764992.
Para o cálculo do valor do desconto comercial composto, podemosfazer:
DC = VF – VAC ∴ DC = 7.300 – 6.955,1764992 ∴ DC = 344,8235008
ou
DC = VF . [ 1 – (1 – i)
n] ∴ DC = 7.300 . [1 – (1 – 0,016)
3] ∴
DC = 7.300 . [1 – (0,984)
3] ∴ DC = 7.300 . [1 – 0,9527639] ∴
DC = 7.300 . [0,0472361] ∴ DC = 344,8235008.
Resposta: o valor da duplicata a ser paga pela empresa será de R$ 6.955,18, 
sendo o desconto comercial composto obtido de R$ 344,82.
Vale lembrar que o desconto 
comercial composto raramente é 
utilizado na prática. 
Atenção
Não se esqueça que, na utiliza-
ção de fórmulas matemáticas, 
o valor da taxa de desconto 
comercial composto deve ser 
colocado no formato unitário. 
Atenção
Desconto composto 61
2. Foi apresentada a um banco uma nota promissória cujo valor nominal era 
de R$ 4.750,00 para ser descontada um ano antes de seu vencimento. O 
banco oferece uma taxa de desconto comercial composto de 2,7% a.b. 
Quanto o banco pagará ao detentor da duplicata? De quanto será o descon-
to concedido?
O enunciado do problema nos informa que:
VF = R$ 4.750,00; n = 1 ano e i = 2,7% a.b.
Como as unidades do período de antecipação e da taxa de desconto co-
mercial composto não são compatíveis (não estão na mesma unidade), de-
vemos converter uma delas. É mais fácil realizar conversão do período de 
antecipação do desconto da nota promissória.
Assim, n = 1 ano ∴ n = 6 bimestres.
Aplicando as fórmulas matemáticas para encontrar o valor atual da nota 
promissória e o valor do desconto comercial composto, temos:
VAC = VF . (1 – i)
n ∴ VAC = 4.750 . (1 – 0,027)
6 ∴ VAC = 4.750 . (0,973)
6 ∴
VAC = 4.750 . 0,84854923 ∴ VAC = 4.030,60882307.
DC = VF – VAC ∴ DC = 4.750 – 4.030,60882307 ∴ DC = 719,39117693
ou
DC = VF . [ 1 – (1 – i)
n ] ∴ DC = 4.750 . [ 1 – (1 – 0,027)
6 ] ∴
DC = 4.750 . [1 – (0,973)6] ∴ DC = 4.750 . [1 – 0,84854923] ∴
DC = 4.750 . [ 0,15145077] ∴ DC = 719,39117693.
Resposta: o banco pagará ao cliente R$ 4.030,61, com valor de desconto 
comercial composto de R$ 719,39.
3. Uma nota promissória de valor nominal R$ 10.530,00 foi resgatada por um 
lojista por R$ 9.255,02. Se a instituição financeira em que o lojista fez a nego-
ciação trabalha com uma taxa de desconto comercial composto da ordem 
de 3,05% a.m., determine quanto tempo antes do vencimento o lojista rea-
lizou o pagamento da nota promissória.
O problema nos fornece os seguintes dados:
VF = R$ 10.530,00; VAC = R$ 9.255,02; i = 3,05% a.m.
Aplicando a fórmula que determina o valor atual comercial, temos:
VA VF iC
n n � � � � �. ( - ) , . ( , )1 9255 02 10530 1 0 0305 92555 02
10530
0 9695, ( , )� �n 
0 87891928 0 9695 0 87891928 0 969510 10, ( , ) log , log ( , ) � � � � � �n n 
log 0,8789192810 � � � �� � �n n.log ( , ) , .( ,10 0 9695 0 05605101 0 013452119)� 
n n� � �-� ,
-� ,
,0 05605101
0 01345219
4 16668392 meses.
Como não falamos períodos de tempo com vírgula, devemos proceder à 
transformação desse valor, ou seja:
n = 4 meses + 0,16668392 . 30 dias ∴ n = 4 meses + 5,00051773 dias.
Resposta: a negociação foi realizada, pelo lojista, 4 meses e 5 dias antes do 
vencimento da nota promissória.
Não precisa se preocupar com 
os valores negativos obtidos, 
pois, na próxima etapa do 
cálculo, faremos a regra de sinal 
da divisão.
Atenção
Para exercitar seus conhecimen-
tos sobre desconto comercial 
composto, acesse o QR Code a 
seguir e resolva os exercícios 
selecionados.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
62 Matemática Financeira
4. Determine a taxa de desconto comercial composto que incidiu sobre uma 
duplicata de valor nominal de R$ 12.850,80, se ela foi descontada cinco me-
ses antes de seu vencimento, gerando um valor pago, no ato da apresenta-
ção da duplicata à instituição financeira, de R$ 11.556,96.
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
VF = R$ 12.850,80; VAC = R$ 11.556,96; n = 5 meses.
Aplicando a fórmula matemática que calcula o valor atual de um título de 
crédito, obtemos:
VA VF i ic
n� � � � � �.( ) . , . , .( )1 11 556 96 12 850 80 1 5 11.556,96
12.850,800
� �( )1 5i 
VA VF I i iC
n� � � � � � � � �.( )1 1 1 0978999990,899318335 
i = 0,02100001 a.m.
Resposta: a taxa de desconto comercial composto que incidiu na operação 
realizada foi de 2,1% a.m.
A taxa deve ser colocada ao mês, 
pois o período de antecipação 
para o resgate da duplicata está 
em meses.
Atenção
4.3 Desconto racional composto 
Vídeo Conforme foi citado, o desconto comercial composto raramente é utilizado no 
Brasil. Vamos, então, nos dedicar, agora, ao estudo do desconto racional composto, 
ou desconto composto por dentro.
Esse tipo de desconto é determinado segundo as regras do regime de capitali-
zação composta. Então, podemos dizer que o valor descontado equivale ao capital 
aplicado no regime de juros compostos.
4.3.1 Fórmulas matemáticas para desconto racional 
composto
De acordo com Müller e Antonik:
este tipo de desconto é largamente utilizado no Brasil. É chamado também de 
desconto composto real, o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal 
(valor futuro – VF) e o valor atual (valor presente – VP) de um compromisso fi-
nanceiro que será pago “n” períodos antes do seu vencimento. Para uma melhor 
compreensão, podemos dizer que o desconto racional composto passa a ser si-
nônimo de juro composto (2012, p. 123, grifos do original).
Portanto, podemos especificar que as fórmulas matemáticas necessárias 
para resolver situações-problemas que envolvem esse tipo de desconto, são as 
seguintes:
 • para a determinação do valor do desconto racional composto:
DR = VF – VAR
 • para chegar ao do valor atual racional, valor a ser pago no ato de antecipação 
do pagamento do título de crédito:
VAR ��
�� ��
VF
1�+�i n
Desconto composto 63
 • para determinar o valor de face (valor nominal) do título de crédito:
VF = VAR . (1 + i)n
Se substituirmos o valor de VAR (2ª fórmula) na fórmula do desconto racional 
composto (1ª fórmula), obteremos:
D VF D VFVF
i i
R Rn n �� �� ��
���� ��
�� ��
���� ��
��
��
��
����
��
��
��
����1
1 1
1� � � �
.
Nessas fórmulas, os elementos correspondem a:
 • DR → valor do desconto racional composto;
 • VF → valor nominal ou valor de face do título de crédito;
 • VA → valor atual do título, valor a ser pago no ato em que o título de crédito 
será resgatado;
 • i → taxa de desconto racional composto;
 • n → período de tempo de antecipação para o resgate do título.
Agora, só nos resta praticar a utilização dessas fórmulas na aplicação de situa-
ções-problema que encontramos em nosso dia a dia.
Σxemρlos
1. Uma empresa deve um título de crédito de valor nominal de R$ 32.725,00 
que vencerá daqui a 3 meses. Se o gerente financeiro da empresa desejar 
quitá-lo hoje, de quanto será o desconto racional composto? O banco de-
tentor do título de crédito oferece uma taxa de desconto racional compos-
to de 1,45% a.m. Determine, também, o valor que o gerente da empresa 
deve ter para quitar o título de crédito.
O enunciado do problema nos informa os seguintes dados:
VF = R$ 32.725,00; n = 3 meses; i = 1,45% a.m.
Aplicando a fórmula matemática que determina o valor atual do título de 
crédito, obtemos:
VA VA VA VR R R�
� �
� �
�
� � �
VF
1�+�i n
32 725
1 0 0145
32 725
1 04413383
.
( , )
.
,
AAR � 31 341 768692. , .
 
Para determinar o valor do desconto racional composto, fazemos:
DR = VF – VAR ∴ DR = 32.725 – 31.341,768692 ∴ DR = 1.383,231308
ou podemos fazer:
D VF DR R� �
� �
�
�
�
��
�
�
�
��
� � �
�
�
�
��
�
�
. . .
( , )
1 1
1�+�i n
32 725 1 1
1 0 0145 3
����
D DR R� �
�
�
�
�
�
�� � � �32 725 32 725 1 0 95773166. . . .( , )1
1
1,0441338
DR = 32.725 . 0,04226834 ∴ DR = 1.383,231308.
64 Matemática Financeira
Resposta: o desconto oferecido ao gerente da empresa será de R$ 1.383,23 
e o valor que deverá ser dado para quitar o desconto do título de crédito 
deverá ser de R$ 31.341,77.2. O proprietário de uma loja de departamentos possuía uma duplicata no 
valor de R$ 83.982,50, vencível em quatro meses e meio. Ele conseguiu an-
tecipar o pagamento dessa duplicata, quitando-a, hoje, por R$ 77.367,05. 
Determine o valor do desconto racional composto e a taxa de desconto ra-
cional composto utilizados na operação realizada.
Verificando os dados fornecidos pelo problema, vemos que:
VF = R$ 83.982,50; VAR = R$ 77.367,05; n = 4,5 meses.
Para determinar o valor do desconto comercial composto, fazemos:
DR = VF – VAR ∴ DR = 83.982,5 – 77.367,05 ∴ DR = 6.615,45.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor atual racional, 
temos:
VF VA i iR
n� � � � � �.( ) . , . , .( ) ,1 83 982 5 77 367 05 1 4 5 83.982,5
77.367,055
� � �( ) ,1 4 5i 
1 08550733 1 1 1 1 01844 5, ( ) ,,
!
� � � � � � � � �i i i1,085507334,5 
i = 1,0184 – 1 ∴ i = 0,0184
Resposta: o valor do desconto racional composto foi de R$ 6.615,45 e o valor 
da taxa de desconto racional composto foi de 1,84% a.m.
3. O cliente de um banco possuía uma nota promissória de valor nominal igual 
a R$ 156.780,00. Ele foi ao banco e propôs o resgate da nota promissória; foi 
atendido, pagando R$ 146.637,50 no ato da operação de desconto. Se a taxa 
de desconto racional composto oferecida pelo banco era de 1,76% a.m., deter-
mine o tempo de antecipação para o vencimento da nota promissória e o valor 
do desconto racional composto obtido pelo cliente do banco.
Pelo enunciado do problema, temos os seguintes dados:
VF = R$ 156.780,00; VAR = R$ 146.637,50; i = 1,76% a.m.
Para determinar o valor do desconto racional composto, fazemos:
DR = VF – VAR ∴ DR = 156.780 – 146.637,5 ∴ DR = 10.142,5.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor atual racional, po-
demos fazer:
VF VA iR
n n� � � � � �.( ) . . , .( , )1 156 780 146 637 5 1 0 0176 156.780
146.637,,5
� �( , )1 0176 n 
1 06916716 1 0176 1 0691671610, , log ( , ) log 1,017610
n
� � �� � � � �n
log 1,06916716 10 � � � � �n n.�log ( , ) , . ,10 1 0176 0 02904561 0 00775771� 
 n n� � �0,02904561
0,0075771
 meses.3 83334242, 
Devemos transformar o resultado, pois não falamos unidades de tempo 
com vírgula. Então, fazemos:
Para exercitar seus conhecimen-
tos sobre desconto racional com-
posto, acesse o QR Code e resolva 
os exercícios selecionados.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Desconto composto 65
n = 3,83334242 meses = 3 meses + 0,83334242 . 30 = 3 meses + 25,00026614 dias.
Resposta: a promissória foi resgatada 3 meses e 25 dias antes do seu ven-
cimento, gerando um desconto racional composto no valor de R$ 10.142,50.
4.4 Títulos equivalentes 
Vídeo Já trabalhamos com equivalência de títulos quando estudamos capitalização simples.
Muitos autores se referem à equivalência de títulos como equivalência de capi-
tais diferidos. Vejamos o que diz a respeito Crespo:
às vezes temos a necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou 
outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pa-
gamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à 
equivalência de capitais diferidos 1 (2009, p. 144, grifos do original).
O conceito não muda ao trabalharmos com capitalização compos-
ta, mais especificamente com desconto composto, ou seja, continua-
mos tendo que encontrar um título de crédito que seja equivalente a 
outro, ou a outros, em uma determinada data, denominada de data 
focal. Nessa data, obrigatoriamente, os valores atuais dos títulos de-
vem ser iguais.
Esse conceito é referenciado por Müller e Antonik (2012, p.126) que afirmam 
que “dois capitais podem se equivaler se igualados e levados a valor presente (mes-
ma data base ou data focal) com a mesma taxa de juros e nas mesmas condições”. 
Segundo Samanez (1995, p. 33, apud MÜLLER E ANTONIK, 2012, p.126), “nos cál-
culos realizados com taxas efetivas, os capitais podem se equivaler em qualquer 
instante de tempo”, por isso, os autores orientam que a equivalência seja calculada 
no instante 0.
Devemos relembrar que, para que os títulos sejam equivalentes, a taxa de des-
conto, em regime de capitalização simples ou de capitalização composta, deve ser 
a mesma. Assim, a substituição de títulos pode ocorrer quando se deseja antecipar 
ou adiar o pagamento de um título.
Como já comentamos, o desconto comercial composto é rara-
mente aplicado no Brasil. Sendo assim, somente estudaremos a 
equivalência de títulos no caso de capitalização composta, desconto 
racional composto, fixando uma determinada data focal ou data de 
referência.
4.4.1 Fórmulas matemáticas para títulos equivalentes
Se chamarmos de FV1 o valor nominal do novo título, para um novo prazo n1, 
deve-se ter, na mesma data escolhida para o novo título, a data focal, os valores 
atuais iguais, ou seja, VA1 deve ser igual a VA2.
Dessa maneira, as fórmulas matemáticas nos mostram que:
São denominados de capitais 
diferidos os capitais que 
possuem vencimentos em datas 
diferentes.
1
O instante 0 (zero) é o momento 
da assinatura do título de crédito, 
ou seja, é a data focal 0 (zero).
Atenção
66 Matemática Financeira
VA VA
VF
i
1 2
1
11
�� ��
��
��
�� ��( )n
2
n2
VF
1�+�i
Se tivermos diversos títulos de crédito, com valores de face diferentes VF1, VF2, VF3, 
... , VFm, vencíveis em datas também diferentes n1, n2, n3, ... , nm, eles serão equivalen-
tes a um único título de crédito, de valor de face VF, na data focal zero, utilizando-se 
desconto racional composto, calculado adotando uma taxa única i, fazendo-se:
 VA
VF
i
0
1
1
��
���� ��
��
�� ��
��
�� ��
�� ��
�� ��n1
2
n2
3
n3
m
nm
VF
1�+�i
VF
1�+�i
VF
1�+�i
...
Para entendermos melhor como essa troca de papéis funciona, devemos resol-
ver alguns exemplos que esclareçam nossas dúvidas.
Σxemρlos
1. Uma empresa possui um título de crédito com valor nominal de R$ 3.270,00, 
vencível em 3 meses. O diretor financeiro da empresa, prevendo que não 
conseguirá quitar essa dívida na data especificada, propõe ao banco a subs-
tituição do título por outro com vencimento para daqui 5 meses. Se o ban-
co opera com uma taxa de desconto racional composto de 1,08% a.m., de 
quanto será o valor de face desse novo título?
Identificando os dados que o enunciado do problema nos fornece, obtemos:
FV1 = R$ 3.270,00; n1 = 3 meses; n2 = 5 meses; i = 1,08% a.m.
Como as unidades de tempo são compatíveis, utilizando a fórmula matemá-
tica que determina a equivalência de títulos, devemos fazer:
 
VF
(1+i)
VF
(1+i)
3270
(1+0,0108)
VF
(1+0,0108)
3270
1
1
n1
2
n2 3
2� � � �
5 ,,03275118
VF
1,05517907
2� �
 
VF VF2 2 3 341 0134128� � �
3.270�.�1,05517907
1,03275118
. , .
 
Resposta: o banco deve oferecer ao diretor financeiro da empresa o novo 
título de crédito com valor de face de R$ 3.341,01.
2. Determine o valor da taxa mensal de desconto racional composto para que 
o título de crédito que possui valor nominal de R$ 4.630,00, vencível em 5 
meses, seja equivalente a outro título de crédito que tem valor de face de 
R$ 4.833,28 e vencível em 9 meses.
O problema nos fornece os seguintes dados:
VF1 = R$ 4.630,00; n1 = 5 meses; VF2 = 4.833,28 e n2 = 9 meses.
Utilizando a fórmula matemática para equivalência de títulos, temos:
VF
i
VF
i i
i
n n
1
1
2
2 5
9
1 1
4 630
1
1
1( ) ( )
.
( )
( )
(�
�
�
�
�
� �
�
�
4.833,28
(1+i)9 ii)5
� �
4.833,28
4.630
 
( ) , ,1 1 04390497 1 1 1 010800024� � � � � � � � �i i i1,043904974 
i = 1,01080002 – 1 ∴ i = 0,01080002 a.m.
É possível escolher outra data 
focal. Devemos, caso isso ocorra, 
tomar cuidado com os tempos 
de antecipação de todos os 
títulos à data focal escolhida. 
Atenção
Uma das propriedades do cálculo 
de operações com potências diz 
que, na divisão de potências de 
mesma base, repete-se a base e 
subtraem-se os expoentes. Essa 
propriedade foi utilizada para 
resolvereste cálculo. 
Atenção
Desconto composto 67
Resposta: a taxa de desconto racional composto para que os títulos sejam 
equivalentes é de 1,08% a.m.
3. Marcos possui um título de crédito de valor nominal de R$ 6.750,00, vencível 
em 6 meses. A ele foi feita uma proposta para trocar esse título por outro 
de valor nominal de R$ 6.481,53, com vencimento para 4 meses. Se a taxa 
de desconto composto racional considerada for de 2,05% a.m., a troca de 
títulos será vantajosa para Marcos ou não?
Os dados do problema são: FV1 = R$ 6.750,00; n1 = 6 meses; FV2 = R$ 6.481,53; 
n2 = 4 meses.
Sendo as unidades compatíveis, para saber se Marcos terá vantagem com 
a troca de papéis, precisamos ver se há equivalência dos títulos. Para tanto, 
devemos escolher um, por exemplo o título que Marcos já possui, e verificar 
se o outro título é ou não equivalente ao mesmo.
Portanto, fazemos:
VF
(1+i)
VF
(1+i)
6.750
(1+0,0205)
VF
(1+0,0205)
6.7501
n1
2
n2 6
2
4
� � �
11,12947872
VF
1,08455614
2� �
 
VF VF2 2 6 481 53330857� � �
6.750�.�1,08455614
1,12947872
. , . 
Como obtivemos o valor de face do segundo título, não há vantagem para 
Marcos realizar a troca de papéis, pois os títulos são equivalentes.
Resposta: Marcos não obterá vantagem com a troca de papéis, pois os títu-
los são equivalentes.
4. Um banco é detentor dos títulos de crédito relacionados abaixo, com suas 
respectivas datas de resgate. Verifique se os títulos que o banco possui são 
equivalentes à taxa de desconto racional composto de 0,95% a.m.
Número Título de crédito Tempo de resgate
1 R$ 2.568,00 2
2 R$ 2.641,89 5
3 R$ 2.670,00 7
4 R$ 2.743,72 9
Dados que o enunciado do problema nos informa:
FV1 = R$ R$ 2.568,00; n1 = 2 meses; FV2 = R$ 2.641,89; n2 = 5 meses; FV3 = R$ 2.670,00; 
n3 = 7 meses; FV4 = R$ 2.743,72; n4 = 9 meses e i = 0,95 a.m.
Sendo as unidades compatíveis, podemos efetuar os cálculos sem a neces-
sidade de nenhuma transformação.
Vamos escolher um dos títulos para ser o título base. Então, vamos ver se os 
demais títulos são equivalentes ao título escolhido.
Escolhendo como título base o 1, precisamos, primeiro, verificar se o título 2 
é equivalente ao título 1:
Só haveria vantagem para 
Marcos realizar a troca de papéis 
se o valor calculado fosse maior 
que o valor de face do 2º título. 
Assim, se Marcos esperasse o 
tempo do vencimento do título, 
ele receberia um valor maior, ou 
seja, mais dinheiro, pelo título 
de crédito. 
Importante
68 Matemática Financeira
VF VF 2.568 VF 2.561 2 2
( ) ( ) ( , ) ( , )1 1 1 0 0095 1 0 00951 2 2 5�
�
�
�
�
�
�
�
i in n
88
1,0190925
VF
1,04841111
2� � 
VF VF VF2 2 22 641 88548774 2� � � � �
2.568�.�1,04841111
1,01909025
 . , .. , .641 89 
Como o valor de face obtido é igual ao valor de face do 2º título, os títulos 
são equivalentes. Em seguida devemos verificar se o título 3 é equivalente 
ao título 1:
VF
i
VF
i
VF
n n
1
1
3
3 2
3
71 1
2 568
1 0 0095 1 0 0095
2 56
( ) ( )
.
( , ) ( , )
.
�
�
�
�
�
�
�
�
88
1 01909025,
� �
VF
1,06842554
3
 
VF VF VF3 3 32 692 31974217 2� � � � �
2.568�.�1,06842554
1,01909025
. , .6692 31, .
Como o valor de face obtido é diferente (maior) que o valor de face do 3º 
título, os títulos não são equivalentes. Por fim, verificamos se o título 4 é 
equivalente ao título 1:
VF VF 2.568 VF 2.561 4 4
( ) ( ) ( , ) ( , )1 1 1 0 0095 1 0 00951 4 2 9�
�
�
�
�
�
�
�
i in n
88 VF
1,08882206
4
1 01909025,
� �
 
VF VF VF4 4 42 743 71679913 2� � � � �
2.568�.�1,08882206
1,01909025
. , .7743 72, .
Como o valor de face obtido é o mesmo do valor de face do 4º título, os 
títulos são equivalentes.
Resposta: são equivalentes os títulos de número 1, 2 e 4, sendo que o de 
número 3 não é equivalente aos demais.
5. Uma determinada empresa possui as seguintes duplicatas:
Número Valor de face das duplicatas
Tempo de resgate
(em meses)
1 R$ 3.200,00 2
2 R$ 4.150,00 4
3 R$ 6.780,00 7
A empresa entrou em contato com o banco credor e, conversando com o 
gerente de operações financeiras, solicitou que as duplicatas fossem tro-
cadas por outras duas, de mesmo valor nominal, vencíveis em 6 e 9 meses. 
Como o banco trabalha com uma taxa de desconto racional composto de 
2,04% a.m., se houver um acordo, qual deverá ser o valor nominal das 
novas duplicatas?
Como as unidades de tempo são compatíveis, podemos efetuar os cálculos 
sem necessidade de nenhuma transformação de unidade.
Então, retirando os dados do enunciado, obtemos:
O site do Banco Central 
do Brasil apresenta as 
taxas oferecidas pelos 
maiores bancos que 
operam no país para a 
realização de desconto 
de duplicadas de pessoas 
jurídicas. Acesse o site 
e conheça as taxas 
praticadas. 
Disponível em: https://www.
bcb.gov.br/estatisticas/reporttx-
juros/?path=conteudo%2Ftx-
cred%2FReports%2FTaxasCre-
dito-Consolidadas-porTaxasAnuais.
rdl&nome=Pessoa%20jur%C3%A-
Ddica%20-%20Desconto%20
de%20duplicata&parametros=-
tipopessoa:2;modalidade:301;en-
cargo:101&exibeparametros=-
false&exibe_paginacao=false <. 
Acesso em: 14 abr. 2020.
Saiba mais
Desconto composto 69
VF1 = R$ 3.200,00; n1 = 2 meses; VF2 = R$ 4.150,00; n2 = 4 meses;
VF3 = R$ 6.780,00; n3 = 7 meses; n4 = 6 meses; n5 = 9 meses.
Como há a informação de que as três duplicatas que a empresa possui de-
vem ser equivalentes às duas novas, de mesmo valor, à mesma taxa de ju-
ros compostos de 2,04% a.m., temos:
VA VA VA VA VA
n n n1 2 3 4 5 1 2 3
� � � � � � � �
FV
(1+i)
FV
(1+i)
FV
(1+i)
FV
(1
1 2 3 4
++i)
FV
(1+i)
5
n n4 5
� � 
3.200
(1�+�0,0204)
4.150
(1�+�0,0204)
6.780
(1�+�0,0204)
F
2 4 7
� � �
VV
(1�+�0,0204)
FV
(1�+�0,0204)6 9
� � 
3 073 329173 3 827 950357 5 886 220735. , . , . , FV
(1�+�0,0204)6
� � � �� �
FV
(1�+�0,0204)9
 
12 787 500265. , � � �FV
(1,0204)
FV
(1,0204)6 9
 
12.787,500265�.�(1�+�0,0204) �=�FV�.�(1�+�0,0204) +�FV��
(1
9 3
,,0204)9
 15.336,268563 = 1,06245697 . FV + FV ∴ 15.336,268563 = 2,06245697 . FV ∴
 FV FV� � �15.336,268563
2,06245697
7 435 92171307. , . 
Resposta: os dois novos títulos, com vencimento para daqui a seis e nove 
meses, serão de R$ 7.435,92.
Para exercitar seus conhecimen-
tos sobre títulos equivalentes, 
acesse o QR Code e resolva os 
exercícios selecionados.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Não calculamos as potências, 
pois é mais fácil fazer o MMC 
(mínimo múltiplo comum) com 
os expoentes indicados, que 
indicará a potência do maior 
expoente. 
Importante
Após retirar o MMC, dividi-lo 
pelo denominador antigo e 
multiplicar o resultado pelo 
numerador de cada uma das 
frações, podemos cortá-lo. 
Importante
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estudamos neste capítulo os conceitos de descontos compostos – comercial e 
racional – e como aplicá-los em situações-problemas do dia a dia, ou seja, resgates 
de títulos de crédito em virtude da antecipação de resgate. As situações que foram 
abordadas são bastante adotadas no mercado financeiro, em operações bancárias, 
principalmente as que utilizam o desconto racional composto, visto que o desconto 
comercial composto praticamente não é utilizado no Brasil.
Vimos também que existe a possibilidade da troca ou negociação de títulos de cré-
dito – cheques, duplicatas ou notas promissórias. Para que isso seja possível, existem 
cálculos e determinações regulamentadas pelo Banco Central do Brasil, por exemplo 
quanto à taxa de desconto – que deve ser a mesma –, para que se saiba se os títulos 
que estão sendo negociados são, ou não, equivalentes.
Para quem trabalha com operações financeiras, esses tópicos são de extrema im-
portância. Para consumidores e comerciários também. Principalmente para que não 
sejam lesados em algumas operações financeiras importantes – as de desconto com-
posto e as de equivalência de títulos de crédito.
70 Matemática Financeira
ATIVIDADES
1. Suponha que você tenha recebido umdinheiro extra e decidiu descontar hoje 
uma nota promissória de valor nominal de R$ 9.550,00 que vence em dois 
meses e meio. Seu gerente lhe ofereceu uma taxa de desconto comercial 
composto de 2,35% a.m., capitalizável mensalmente. Considerando os dados 
informados, quanto você economizará realizando o pagamento da nota pro-
missória? Qual será o valor pago?
2. Uma loja de móveis fez uma negociação com um cliente por uma cozinha 
planejada. O orçamento dado foi de R$ 12.780,00. O cliente aceitou a pro-
posta da loja e foi acertado o pagamento em uma parcela única para quan-
do o apartamento do cliente ficasse pronto, o que ocorreria em 10 meses. 
O cliente deu um cheque no valor do orçamento para o lojista. Este, após 
a negociação, apresentou o cheque ao banco em que possui conta-corren-
te para descontá-lo imediatamente. O gerente de conta do lojista ofereceu 
uma taxa de desconto comercial composto de 3,75% a.b. Se o lojista concor-
dar com a proposta do gerente do banco, quanto será depositado na conta- 
-corrente do lojista pelo desconto do cheque? De quanto será o desconto 
concedido?
3. Uma duplicata de valor de face de R$ 8.720,00 foi apresentada em um ban-
co, gerando um desconto comercial composto de R$ 1.160,00. Determine a 
taxa de desconto comercial composto que incidiu sobre esse desconto, se 
ela for descontada quatro meses e meio antes de seu vencimento.
4. O diretor financeiro de uma empresa deve quitar uma nota promissória 
cujo valor de face é de R$ 120.940,00 em 2 meses. Apresentou-a hoje ao 
banco A, que ofereceu a melhor taxa de desconto composto para realizar 
negociação, taxa esta que é de 2,78% a.m. Determine o valor de resgate da 
nota promissória e o valor do desconto que o banco dará pelo resgate dela.
5. O proprietário de uma loja de departamentos possui uma duplicata no valor 
de R$ 62.395,78, vencível em três meses e meio, e conseguiu fazer o paga-
mento dela hoje, pagando o valor de R$ 57.481,36. Considerando as infor-
mações do enunciado, determine o valor do desconto racional composto e 
a respectiva taxa utilizada na operação realizada.
6. Um banco era credor de uma nota promissória no valor nominal de 
R$ 43.695,98. O devedor foi ao banco e quitou sua dívida, pagando 
R$ 40.125,75. Considere que a taxa de desconto racional composto ofereci-
da pelo banco foi de 3,84% a.m. e determine quanto tempo antes do venci-
mento da nota promissória a negociação foi realizada. Determine, também, 
o valor do desconto racional composto obtido pelo devedor ao realizar a 
negociação com o banco.
7. Um empresário é detentor de um título de crédito que possui valor nominal 
de R$ 8.564,35, vencível em 2 meses. Prevendo que não conseguirá quitar 
Desconto composto 71
essa dívida na data que consta para o vencimento do título, propôs ao ban-
co credor a substituição por outro, com vencimento para daqui 5 meses. 
Se o banco aceitar a negociação proposta pelo empresário, sabendo que a 
instituição financeira opera com uma taxa de desconto racional composto 
de 2,16% a.m., calcule o valor nominal do novo título.
8. Determine o valor da taxa mensal de desconto racional composto para que 
uma duplicata de valor nominal de R$ 50.397,62, vencível em 2 meses, seja 
equivalente a outra duplicata de valor nominal de R$ 57.389,27 e com data 
de vencimento para daqui a 7 meses e meio.
9. O cliente de um banco possui uma nota promissória cujos dados são: valor 
nominal igual a R$ 10.375,67 e data de vencimento para 3 meses. A esse 
cliente foi feita uma proposta para trocar essa duplicata por outra com os 
seguintes dados: valor nominal de R$ 10.500,00, com data de vencimen-
to para 4 meses. Considerando a taxa de desconto composto racional de 
3% a.m., a troca de títulos será vantajosa ao cliente?
10. Pedro possui, hoje, em sua conta-corrente do banco A, o saldo positivo de 
R$ 3.368,55. O gerente do banco A propõe a Pedro uma nota promissória, 
de valor nominal igual a R$ 3.600,00, com vencimento para 5 meses, em 
troca do saldo positivo da conta-corrente. Se for considerada a taxa de des-
conto racional composto de 4,05% a.m. que o banco A opera para desconto 
de duplicatas, Pedro deve aceitar essa proposta? Justifique sua resposta.
11. Um correntista possui várias duplicatas que devem ser quitadas em um 
banco. Veja a relação abaixo:
Número Duplicatas Tempo de resgate (em meses)
1 R$ 4.780,10 2
2 R$ 5.135,70 5
3 R$ 7.435,87 8
Como está com problemas de caixa e não sabe se poderá honrar esses com-
promissos, ele vai ao banco e procura fazer uma negociação. Ao conversar 
com o gerente, surge a proposta de o correntista trocar as duplicatas que 
ele possui por duas novas duplicatas, de mesmo valor nominal, mas com 
datas de vencimento para 4 e 9 meses. Se o banco opera com uma taxa de 
desconto de duplicatas de 2,31% a.m., qual deverá ser o valor nominal des-
sas novas duplicatas?
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
CRESPO, A. A. Matemática financeira fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
MÜLLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática financeira: instrumentos financeiros para tomada de decisão 
em marketing, finanças e comércio. São Paulo: Saraiva, 2012.
72 Matemática Financeira
GABARITO
1. Os dados do problema são:
VF = R$ 9.550,00; n = 2,5 meses; i = 2,35% a.m.
Aplicando a fórmula matemática que calcula o valor atual da nota promissória, temos:
VAC = VF . (1 – i)
n ∴ VAC = 9.550 . (1 – 0,0235)
2,5 ∴ VAC = 9.550 . (0,9765)
2,5 ∴
VAC = 9.550 . 0,9422814 ∴ VAC = 8.998,78738113.
Para o cálculo do valor do desconto comercial composto podemos fazer:
DC = VF – VAC ∴ DC = 9.550 – 8.998,78738113 ∴ DC = 551,21261887.
Resposta: você obterá um desconto comercial composto no valore de R$ 551,21, pagando o total de 
R$ 8.998,79 pela nota promissória.
2. O enunciado do problema nos informa que:
VF = R$ 12.780,00; n = 10 meses e i = 3,75% a.b.
Transformando o período de antecipação para a mesma unidade da taxa de desconto comercial: 10 
meses = 5 bimestres.
Aplicando a fórmula matemática para determinar o valor atual do cheque:
VAC = VF . (1 – i)
n ∴ VAC = 12.780 . (1 – 0,0375)
5 ∴ VAC = 12.780 . (0,9625)
5 ∴
VAC = 12.780 . 0,82604497 ∴ VAC = 10.556,85471389.
Calculando o desconto comercial composto:
DC = VF – VAC ∴ DC = 12.780 – 10.556,85471389 ∴ DC = 2.223,14528611.
Resposta: o banco pagará ao lojista R$ 10.556,85, com valor de desconto comercial composto de 
R$ 2.223,15.
3. O enunciado nos fornece os seguintes dados:
VF = R$ 8.720,00; DC = R$ 1.160,00; n = 4,5 meses.
Calculando o valor atual pago pela duplicata:
DC = VF – VAC ∴ 1.160 = 8.720 – VAC ∴ VAC= 8.720 – 1.160 ∴ VAC = 7.560.
Aplicando a fórmula matemática que calcula o valor atual de um título de crédito, obtemos:
VA VF i iC
n
� � � � �� � � � � � 7.560
8.720
. . . . ,1 7 560 8 720 1 14 5 �� � �i 4 5,
0 86697248 1 1 1 0 9687764 5, ,, 0,86697248 4,5� � � � � � �� � �i i i 007�
i = 0,03122393 a.m.
Resposta: a taxa de desconto comercial composto que incidiu na operação realizada foi de 3,12% a.m.
4. Os dados para a negociação são:
VF = R$ 120.940,00; n = 2 meses; i = 2,78% a.m.
Calculando o valor atual do título de crédito, obtemos:
VA VF
i
VA VAR n R R� �
� �
�
� � �
( )
.
( , )1
120 940
1 0 0278 2
120.940
1,05637284
VAR = 114.486,09375455.
O desconto racional composto será:
DR = VF – VAR ∴ DR= 120.940 – 114.486,09375455 ∴ DR = 6.453,90624545.
Resposta o desconto racional composto foi de R$ 6.453,91 e o valor de resgate é de R$ 114.486,09.
5. Verificando os dados fornecidos pelo problema, vemos que:
VF = R$ 62.395,78; VAR = R$ 57.481,36; n = 3,5 meses.
Determinando o desconto comercial composto:
Desconto composto 73
DR = VF – VAR ∴ DR = 62.395,78 – 57.481,36 ∴ DR = 4.914,42.
Determinando o valor da taxa de desconto racional composto, utilizando a fórmula do valor atual, temos:
VF VA i iR
n� � � � � �.( ) . , . , .( ) ,1 62 395 78 57 481 36 1 3 5 62.395,78
57.481,,36
� �( ) ,1 3 5i
108549589 1 1 1 02371513 5, ,, 1,08549589 3,5� � � � �� � � � �i ii 998�
i = 0,02371598.
Resposta: o valor do desconto racional composto foi de R$ 4.914,42 e o valor da taxa de desconto 
racional composto foi de 2,37% a.m.
6. Os dados são:
VF = R$ 43.695,98; VAR = R$ 40.125,75; i = 3,84% a.m.
Determinando o valor do desconto racional composto:
DR = VF – VAR ∴ DR = 43.695,98 – 40.125,75 ∴ DR = 3.570,23.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor atual racional, teremos:
VF = VAR . (1 + i)
n ∴ 43.695,98 = 40.125,75 . (1 + 0,0384)n ∴
43.695,98
40.125,75
 � �� � � � � �1 0384 1 08897603 1 0384, , ,n n
log 1,08897603 log 1,0384 log 1,08897603 log10 10 10 10� � � � � � � � �
n n. 11,0384� �� 
0 03701832 0 01636468 2 2, . , , 0,03701832
0,01636468
 � � � � �n n n 66208653 meses.
Transformando o resultado em meses e dias, temos:
n = 2,26208653 meses = 2 meses + (0, 26208653 . 30) = 2 meses + 7,86259601 dias.
Resposta: a promissória foi resgatada 2 meses e 8 dias antes do seu vencimento, gerando um des-
conto racional composto no valor de R$ 3.570,23.
7. Os dados que o enunciado do problema nos fornece são:
FV1 = R$ 8.564,35; n1 = 2 meses; n2 = 5 meses; i = 2,16% a.m.
Utilizando a fórmula matemática que determina a equivalência de títulos, devemos fazer:
VF
1�+�i
VF
1�+�i
8.564,35
1�+�0,0216
VF
1�+�0,0
1
n1
2
n2 2
2
� �
�
� �
�
� �
�
2216
8.564,35 VF
1,04366656 1,112767475
2
� �
� � �
VF VF2 2 9 131 39353832� � �
8.564,35�.�1,11276747
1,04366656
. , .
Resposta: o banco deve oferecer ao empresário um novo título de crédito, com valor de face de R$ 9.131,39.
8. O problema nos fornece os seguintes dados:
VF1 = R$ 50.397,62; n1 = 2 meses; VF2 = 57.389,27; n2 = 7,5 meses.
Utilizando a fórmula matemática para equivalência de títulos, temos:
VF
1�+�i
VF
1�+�i
50.397,62
1�+�i
57.389,27
1�+�i
1
n1
2
n2 2� �
�
� �
�
� �
�
�� �
�
� �
� �
�
7,5
7,5
2
1�+�i
1�+�i
57 389 27
50 397 62
. ,
. ,
1 113872977 1 1 1 02390175 5 1,13872977 5,5� � � � � � � �� �i i i, , , 99�
i = 1,02390179 – 1 ∴ i = 0,02390179 a.m.
Resposta: a taxa de desconto racional composto para que os títulos sejam equivalentes é de 2,39% a.m.
9. Os dados do problema são:
FV1 = R$ 10.375,67, n1 = 3 meses; FV2 = R$ 10.500,00; n2 = 4 meses.
Verificando se a nova duplicata é equivalente à duplicata que o cliente possui, fazemos:
VF
1�+�i
VF
1�+�i
10.375,67
1�+�0,03
VF
1�+�0,03
1
n1
2
n2 3
2
� �
�
� �
�
� �
�
�� �
� � �
4
210.375,67 VF
1,092727 1,12550881
VF VF2 2 10 686 9401� � �
10.375,67�.�1,12550881
1,092727
. , .
Como foi obtido um valor superior ao valor nominal do novo título, não há vantagem na troca das 
duplicatas.
74 Matemática Financeira
Resposta: o cliente não obterá vantagem com a troca das duplicatas, pois o valor nominal da nova 
duplicata deveria ser maior do que R$ 10.500,00.
10. Os dados do problema são:
Saldo positivo da conta-corrente de Pedro: FV1 = R$ 3.368,55; n1 = 0;
FV2 = R$ 4.000,00; n2 = 5 meses e i = 4,05% a.m.
Verificando o valor atual da duplicata, na data focal zero, data do saldo da conta-corrente de Pedro:
VA VA VA2 2 2
4 000
1 2195803
�
� �
� �
� �
� �
VF
1�+�i
4.000
1�+�0,0405
2
n2 5
.
, 66
3 279 81666772� �VA . , .
Como foi obtido um valor inferior ao que Pedro possui em sua conta-corrente, não há vantagem para 
Pedro aceitar a proposta.
Resposta: Pedro não deverá aceitar a proposta, pois o valor da nova duplicata, na data focal zero, é 
inferior ao saldo que Pedro tem em sua conta-corrente.
11. Retirando os dados do enunciado, obtemos:
VF1 = R$ 4.780,10; n1 = 2 meses; VF 2 = R$ 5.135,70; n2 = 5 meses;
VF 3 = R$ 7.435,87; n3 = 8 meses; n4 = 4 meses; n5 = 9 meses; i = 2,31% a.m.
Como há a informação de que as três duplicatas que a empresa possui devem ser equivalentes às 
duas novas, de mesmo valor nominal, devemos fazer:
VA VA VA VA VA1 2 3 4 5� � � � �� � � �
FV
(1+i)
FV
(1+i)
FV
(1+i)
FV
(
1
n1
2
n2
3
n3
4
11+i)
FV
(1+i)n4
5
n5
� �
4.780,1
(1�+�0,0231)
5.135,7
(1�+�0,0231)
7.435,87
(1�+�0,02 5
� �
2231)
FV
(1�+�0,0231)
FV
(1�+�0,0231)8 4 9
� � �
4 566 682444 4 581 516166 6 194 226918. , . , . , FV
(1�+�0,0231)
� � �
44 9
FV
(1�+�0,0231)
� �
15 342 425528. , FV
(1,0231)
FV
(1,0231)4 9
� � �
15.342,425528�.�(1�+�0,0231) �=�FV�.�(1�+�0,0231) +�FV��
(1
9 5
,,0231)9
∴
18.843,292338 = 1,12096079 . FV + FV∴ 18.843,292338 = 2,12096079 . FV ∴
FV FV� � �18.843,292338
2,12096079
 8 884 3190439. , .
Resposta: os dois novos títulos, com vencimento para daqui a quatro e nove meses, serão de R$ 8.884,32.
Rendas ou séries uniformes 75
5
Rendas ou séries uniformes
Neste capítulo, nos dedicaremos ao estudo dos fluxos de caixa e das ren-
das, ou séries, de pagamentos. Estudaremos os diversos critérios de classifica-
ção das séries uniformes, bem como os modelos: básico de renda, de rendas 
antecipadas, de rendas postecipadas, de rendas diferidas e, por fim, de rendas 
perpétuas. Ainda, abordaremos a equivalência de fluxos de caixa e o arrenda-
mento mercantil, também conhecido como leasing.
5.1 Fluxo de caixa 
Vídeo
Quando pagamos uma dívida ou poupamos quantias, ao receber valores ou 
fazer depósitos em parcelas ao longo de um período estipulado, temos o que cha-
mamos no mercado financeiro de renda ou séries de pagamentos.
Caso o objetivo de uma pessoa, com esses depósitos, seja o pagamento de uma 
dívida, dizemos que esses pagamentos caracterizam uma amortização. Se o obje-
tivo se destinar a formar um montante futuro, a sequência de depósitos realizada 
para atingir o objetivo caracterizará uma capitalização.
O valor de uma quantia está associado “ao valor do dinheiro no tempo, que, 
por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros” (PUCCINI, 2017, p. 18). 
Para entendermos melhor o funcionamento desse tipo de equivalência financeira, 
quando envolve quantias separadas em parcelas, devemos saber operar com fluxo 
de caixa, que é a representação gráfica de sequências de pagamentos ou de rece-
bimentos ao longo de determinado período.
Ainda de acordo com Puccini (2017, p. 19),
denomina-se fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) 
ao longo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, investimentos, 
projetos, operações financeiras etc. Eles são indispensáveis na análise de cus-
tos e da rentabilidade de operações financeiras e, no estudo de viabilidade 
econômica de projetos e investimentos.
Portanto, podemos afirmar que: “um fluxo de caixa representa uma série de 
pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo 
de tempo” (ASSAF NETO, 2012, p. 105).
A representação de fluxos de caixa, na realidade, pode ser feita de duas formas: 
em tabelas (planilhas) ou em gráfico (ao longo de uma linha de tempo horizontal).
76 Matemática Financeira
A seguir, observe a representação do fluxo de caixa de um período (12 dias) de 
uma empresa, com seus recebimentos e pagamentos, realizada das duas formas.
a. No formato de planilha:
Dia Recebimentos Dia Pagamentos
01 R$ 400,00 05 R$ 450,00
04 R$ 900,00 08 R$ 1.000,00
07 R$ 2.000,00 10 R$ 800,00
09 R$ 1.750,00 12 R$ 1.050,00
11 R$ 890,00
b. No formato de gráfico:
0
R$ 400,00
R$ 900,00
R$ 450,00
R$ 1.000,00
R$ 1.050,00
R$ 1.750,00
R$ 2.000,00
R$ 890,00
R$ 800,00
1 4 5 7 8 9 10 11 12
dias
Na representação gráfica (b), também denominada representação esquemática, 
as entradas de valores financeiros (entradas de caixa) são representadas por 
setas que apontam para cima – associadas a valores positivos. As saídas de valo-
res financeiros (saída de caixa) são ilustradas com setas apontando para baixo 
– associadas, portanto, a valores negativos.
Caso haja entradas e saídas no mesmo dia, podemos representar as duas se-
tas, uma para cima (entrada) e outra para baixo (saída), ou podemos representar 
uma única seta com o resultado da diferença entre os valores financeiros, com o 
sentido da seta correspondente ao valor dessa diferença(se positivo, para cima; 
se negativo, para baixo). Nesse tipo de representação, a linha horizontal repre-
senta a linha de tempo, que deve ser adequada ao tempo a que o fluxo de caixa 
diz respeito – diário, mensal, anual ou outro período conveniente.
Nos cálculos, representaremos a linha de tempo pela letra n. É importante sa-
lientar que as distâncias entre as marcações da linha de tempo devem ser iguais, 
representando períodos iguais.
Caso haja uma quantidade muito grande de marcações na linha de tempo, que 
acabem dificultando a visualização do fluxo de caixa em gráfico, o formato de pla-
nilha deve ser adotado.
Rendas ou séries uniformes 77
Além disso, é importante observarmos que, dependendo do ponto de vista de 
quem monta o fluxo de caixa, o aspecto da representação pode mudar, isto é:
 • do ponto de vista de quem pagar um valor financeiro em determinada data, 
a seta do fluxo de caixa será para baixo; e
 • do ponto de vista de quem receber um valor financeiro em determinada data, 
a seta do fluxo de caixa será para cima.
Em alguns casos, teremos ao lado da especificação do período (acima ou abaixo) 
a taxa de juros que está sendo utilizada, mas não é um registro obrigatório.
Para facilitar a visualização dos fluxos de caixa, podemos utilizar símbolos para 
a representação das entradas/saídas, ou seja, podemos denominar as entradas 
pela letra maiúscula E, e as saídas, pela letra maiúscula S, ambas acompanhadas de 
um índice, um valor subscrito, que indica a qual entrada estamos nos referindo, por 
exemplo: E1; E2; ... ; S1; S2 etc. É de suma importância identificá-las no enunciado do 
problema ou em uma legenda específica.
Σxemρlos
A seguir, observe alguns exemplos que evidenciam as situações elencadas 
anteriormente.
1. Considerando o ponto de vista do proprietário de um comércio que vendeu 
uma mercadoria que custa R$ 840,00, em cinco prestações mensais e iguais 
no valor de R$ 168,00, com vencimento da primeira prestação 30 dias após 
a compra. A representação do fluxo de caixa seria feita da seguinte maneira:
 
0
1 32 4 5 meses
R$ 840,00
R$ 168,00
É importante não esquecermos de que pelo ponto de vista do proprietário da 
loja, no momento da venda, saiu dinheiro do seu caixa (o valor da mercado-
ria). Logo, só haverá entradas de caixa quando o cliente pagar as prestações.
2. O fluxo de caixa do exemplo anterior, pelo ponto de vista do cliente da loja 
que adquiriu a mercadoria, seria diferente. Ao comprar a mercadoria, o di-
nheiro (produto) entrou em seu caixa e passou a ser de sua propriedade. Do 
mesmo modo, cada prestação paga representa a saída de dinheiro de seu 
caixa. Assim, a representação do fluxo será:
Quando as entradas de caixa forem 
iguais, devemos colocar todas as 
setas com o mesmo tamanho. Um 
segmento de reta pontilhado entre 
elas pode ser usado, indicando 
apenas uma vez o respectivo valor. 
Atenção
78 Matemática Financeira
0 1 32 4 5
meses
R$ 840,00
R$ 168,00
3. Um cliente de um banco realizou um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, 
pagando em 50 prestações mensais e iguais de R$ 1.102,34, com o pagamen-
to da primeira prestação para 60 dias após a contratação do empréstimo.
Do ponto de vista do banco que concedeu o empréstimo, o valor de 
R$ 50.000,00 representa uma saída de caixa, no dia em que o empréstimo 
foi concedido. Vamos representar esse valor por S1.
Como o cliente pagará 50 prestações de R$ 1.102,34, cada prestação paga 
fará entrar dinheiro no caixa do banco. Então, vamos representá-las por E1, 
E2, ... , E50.
A representação de todos os pagamentos implicaria um fluxo de caixa muito 
longo, portanto podemos truncá-lo, desde que não deixe de representar 
todas as informações necessárias. Observe:
1
E1
S1
meses
E2 E3 E49 E50
2 3 49 50
Legenda:
• S1 = R$ 50.000,00
• E1 = E2 = ... = E49 = E50 = R$ 1.102,34 
Devemos perceber que, mesmo com todas as prestações sendo iguais, nesse 
fluxo de caixa, optamos por não colocar a linha pontilhada ligando as pres-
tações. Esse procedimento não prejudicou a leitura do fluxo de caixa, pois 
tomamos o cuidado de representar todas as setas de entrada com o mesmo 
tamanho.
4. Suponha que uma mercadoria, cujo valor à vista era de R$ 800,00, foi adqui-
rida em quatro prestações de R$ 120,00, R$ 180,00, R$ 240,00 e R$ 300,00. A 
primeira prestação deverá ser paga 60 dias após a compra. Representando 
o fluxo de caixa do consumidor que comprou a mercadoria, o gráfico ficaria 
assim:
Observe que os sentidos das setas 
do fluxo de caixa, em relação ao 
exemplo anterior, foram invertidos, 
pois agora é o ponto de vista do 
cliente que comprou a mercadoria. 
Atenção
Veja que representamos um sal-
to na quantidade de prestações 
com uma “reta quebrada”. Isso 
não gerou ônus à representação. 
Mas só foi possível fazer isso, 
pois a prestações são todas 
iguais.
Atenção
0
Para melhor compreensão das 
informações, pode ser necessário, 
como neste caso, colocar uma 
legenda mostrando os dados.
Atenção
Rendas ou séries uniformes 79
meses
R$ 300,00
R$ 240,00
R$ 180,00
R$ 120,00
R$ 800,00
0 1
2 3 4 5
Como temos a informação de que a primeira prestação será 60 dias após a com-
pra, sabemos que no primeiro mês não haverá pagamento, por isso não haverá 
seta no mês 1. Ainda, devemos perceber que o tamanho das setas é diferente, pois 
o valor das prestações também é. Alguns autores de livros da área colocam as setas 
todas do mesmo tamanho, mas, nesse caso, é obrigatória a colocação dos valores 
que cada uma representa.
5.2 Rendas ou séries de pagamentos
Vídeo Já estudamos que rendas são procedimentos que envolvem parcelas, que po-
dem ser de pagamentos ou de recebimentos. Agora, vamos nos aprofundar um 
pouco mais nesse assunto.
De acordo com Müller e Antonik (2012, p. 75, grifos nossos):
[...] renda é a remuneração obtida pelo uso dos fatores de produção, sendo um 
desses os salários pagos aos trabalhadores. Talvez por isso a palavra é associada 
ao recebimento de recursos, principalmente salário. Em Matemática Financeira o 
conceito de renda abrange ambos os lados, de quem paga e de quem recebe os 
recursos, sendo também chamada de série de pagamentos ou anuidades.
Como existem diversos tipos de rendas, analisaremos, nas seguintes subseções, 
como classificá-las.
5.2.1 Classificação das rendas ou séries uniformes
Renda ou série uniforme é uma sequência de depósitos/saques; recebimen-
tos/pagamentos, em períodos diferentes, destinados a conseguir um montante 
– capitalização – ou a quitar uma dívida – amortização.
É importante destacar que, em Matemática Financeira, estudamos as denomi-
nadas rendas certas ou determinísticas, que são rendas com duração e prestações 
predeterminadas, ou seja, não influenciáveis por fatores externos. Isto quer dizer 
que os elementos que fazem parte dos cálculos dessas rendas, como o valor das 
80 Matemática Financeira
parcelas, período de duração da renda, taxa de juros utilizada etc., são fixos, e 
não podem ser modificados.
Existem, ainda, alguns outros tipos de renda em que os valores e/ou os perío-
dos de pagamento/recebimento podem sofrer modificações durante a vigência da 
renda, como os seguros de vida, visto que os valores das parcelas (mensalidades) 
podem ser modificados ao longo da vigência, além de não se saber quando o se-
guro vai ser resgatado, o que pode tornar o valor de resgate também aleatório. 
Esses tipos de renda são estudados por outro ramo da Matemática: a Matemática 
Atuarial, portanto não são nosso objeto de estudo nesta obra.
Dentro das rendas ou séries uniformes, a classificação pode ser realizada se-
gundo quatro das variáveis envolvidas: o período de vigência (prazo), o valor das 
parcelas, a forma de pagamento das parcelas e a periodicidade da renda.
5.2.1.1 Classificação das rendas quanto ao prazo de vigência
Com relação ao prazo de vigência de uma renda, podemos classificá-las em:
 • Temporárias: quando possuem início e fim da vigência predefinidos.
 • Perpétuas: quando têm início predefinido,mas fim indefinido, ou seja, apre-
sentam a quantidade de prestações infinita.
Desse modo, podemos dizer que o recebimento de aluguel de um imóvel reali-
zado por um tempo fixo, como anual, é uma renda temporária, pois findará com o 
término do contrato de aluguel. Já a aposentadoria de um trabalhador se caracte-
riza como uma renda perpétua, por findar apenas com o falecimento do segurado.
5.2.1.2 Classificação das rendas quanto ao valor das parcelas
Com relação ao valor das parcelas pagas ou recebidas em uma renda, podemos 
classificá-las em:
 • Constante: caso o valor de todas as parcelas, de pagamentos ou de recebi-
mentos, sejam iguais.
 • Variável: caso os valores das parcelas, de pagamentos ou de recebimentos, 
sejam diferentes.
Como exemplo de uma renda constante, podemos citar o recebimento, por par-
te de um lojista, das parcelas de uma compra feita por um prazo definido. Já como 
renda variável, um exemplo é o financiamento imobiliário com parcelas crescentes 
ou decrescentes. O agente financiador receberá as parcelas de valores diferentes 
durante a vigência do financiamento.
5.2.1.3 Classificação das rendas quanto à forma 
de pagamento das parcelas
Ao considerarmos o início do recebimento/pagamento das parcelas das rendas, 
podemos classificá-las em:
Rendas ou séries uniformes 81
 • Imediata: quando a primeira parcela for paga/recebida no primeiro período 
da vigência da renda. Devemos perceber, também, que essa primeira parcela 
pode ser paga de maneira:
 • postecipada – pagamento/recebimento ocorre no fim do período da 
vigência da renda; e
 • antecipada – pagamento/recebimento ocorre no início do período da 
vigência da renda.
 • Diferida: quando o pagamento/recebimento da primeira parcela da renda 
não ocorre no primeiro período de vigência da renda, havendo, assim, um 
período de carência, de diferimento, para iniciar o pagamento/recebimento 
da renda. Nesse caso, também, há a possibilidade da classificação em:
 • postecipada – pagamento/recebimento da primeira parcela da renda 
ocorre um período após o fim do período de carência; e
 • antecipada – pagamento/recebimento da primeira parcela da renda 
ocorre coincidindo com o fim do período de carência.
Como exemplo de uma renda imediata postecipada, podemos citar o recebi-
mento, pelo lojista, das parcelas de uma venda realizada sem entrada. Se a venda 
for realizada com entrada, será uma renda imediata antecipada. Agora, caso a ven-
da feita pelo lojista for com o primeiro pagamento 3 meses após a realização da 
venda – carência de 3 meses –, com o primeiro pagamento exatamente no primeiro 
dia após o término dos 3 meses de carência, será uma renda diferida antecipada. 
Na hipótese de o pagamento ocorrer no último dia após o término do período de 
carência, a renda será diferida postecipada.
5.2.1.4 Classificação das rendas quanto à periodicidade da renda
Com relação à periodicidade das rendas, podemos classificá-las da seguinte 
maneira:
 • Periódicas: quando o intervalo de pagamento/recebimento das parcelas da 
renda for sempre o mesmo.
 • Não periódicas: quando o intervalo de recebimento/pagamento das parce-
las da renda não for constante.
O recebimento das parcelas de um crediário, por uma loja, por exemplo, se ca-
racteriza como uma renda periódica, pois o intervalo de tempo entre as prestações 
é sempre de 1 mês. Já o pagamento da venda de livros de um autor, é considera-
do não periódico, uma vez que ocorre nos meses seguintes à venda, assim se as 
vendas ocorrerem nos meses de janeiro, março, junho e julho, os pagamentos não 
seguirão um período específico.
Agora, vamos representar vários tipos de renda por intermédio de seus fluxos 
de caixa.
82 Matemática Financeira
5.2.1.5 Representação de rendas ou séries uniformes por fluxos de caixa
Muitas vezes, a visualização de situações do dia a dia fica mais fácil se as repre-
sentarmos por intermédio de fluxos de caixa.
Vamos a alguns exemplos, em que representaremos os fluxos de caixa do ponto 
de vista de quem está recebendo os valores financeiros.
Σxemρlos
1. Renda imediata postecipada de 5 parcelas mensais de R$ 100,00, ou seja, 5 
parcelas sem entrada:
R$ 100,00
0 1 2 3 4 5 n
i
2. Renda imediata antecipada de 5 parcelas mensais de R$ 100,00, ou seja, 1 + 
4 parcelas, veja que, nesse caso, há pagamento como entrada:
R$ 100,00
0 1 2 3 4 n
i
3. Renda diferida antecipada de 5 parcelas mensais iguais, com 3 meses de 
carência:
1
1
2
2
3
3 4 5
0 n
i
Devemos perceber que, nos exemplos anteriores, como não foi mencionado o 
valor da taxa de juros que se está operando, foi colocada a taxa “i”, que representa 
uma taxa genérica no fluxo de caixa.
Rendas ou séries uniformes 83
5.3 Modelo básico de renda
Vídeo Iniciaremos, agora, o estudo das rendas cuja classificação seja, simultaneamen-
te, temporária, constante, imediata postecipada e periódica. Essas rendas, no 
mercado financeiro, recebem a denominação modelo básico de renda.
5.3.1 Fórmulas matemáticas para modelo básico de renda
Em todas as fórmulas matemáticas que estudaremos na sequência, utilizare-
mos as seguintes nomenclaturas:
 • M → valor do montante;
 • VA → valor atual da renda;
 • p → valor da parcela (prestação) da renda;
 • i → taxa de juros (compostos); e
 • n → período de vigência da renda.
5.3.2 Calculando o montante
A fórmula matemática que permite o cálculo do montante M, quando se sabe o 
valor da parcela, é:
M�=�p�.�
1�+�i 1
i
n� � �
A expressão 1�+�i 1
i
n� � � é denominada fator de acumulação de capital (FAC).
Σxemρlos
Agora, vamos resolver alguns exemplos sobre a aplicação do modelo básico de 
renda para determinar o valor do montante de uma aplicação.
1. Qual o valor do montante do fluxo de caixa representado a seguir? Conside-
re que a taxa de juros compostos da operação financeira é de 3,5% ao mês 
e o valor das prestações mensais é de R$ 1.000,00.
R$ 1.000,00
0 1 2 3 4 5
meses
i = 3,5% a.m.
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
p = R$ 1.000,00; n = 5 meses; i = 3,5% a.m.
84 Matemática Financeira
Aplicando a fórmula que determina o valor do montante, quando se conhe-
ce o valor das parcelas, temos:
M = p . 1�+�i 1
i
n� � � ∴M = 1.000 . 1�+�0,035 1
0,035
5� � � ∴ M = 1.000 . 0,18768631
0,035
 ∴
M = 1.000 . 5,36246588 ∴ M = 5.362,46587563.
Resposta: o montante obtido é de R$ 5.362,47. 
2. Um investidor efetuou 4 depósitos anuais, no valor de R$ 15.600,00, indica-
dos no fluxo de caixa a seguir.
R$ 15.600,00
0 1 2 3 4 anos
i = 5% a.a.
Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa efetiva de 
juros compostos de 5% ao ano, calcule o valor acumulado por esse investi-
dor ao fim do quarto ano, nas seguintes condições:
a. imediatamente após a realização do quarto depósito;
b. imediatamente antes da realização do quarto depósito.
O enunciado nos fornece: p = R$ 15.600,00; i = 5% a.a.; n = 5 anos.
Utilizaremos, portanto, a fórmula matemática que calcula o valor do mon-
tante quando é conhecido o valor da parcela:
M = p . 1�+�i 1
i
n� � � ∴ M = 15.600 . 1�+�0,05 1
0,05
4� � � ∴ M = 15.600 . 0,21550625
0,05
 ∴
M = 15.600 . 4,310125 ∴ M = 67.237,95.
Esse valor obtido corresponde ao valor que o investidor terá após fazer o 4º 
depósito.
Para encontrar o valor que ele terá antes de realizar o 4º depósito, devemos 
subtrair o valor de uma parcela, ou seja:
67.237,95 – 15.600 = 51.637,95.
Resposta: o investidor terá R$ 62.237,95 após a realização do 4º depósito e 
R$ 51.637,95 antes de realizar o 4º depósito.
5.3.4 Calculando o valor da parcela
A fórmula matemática que permite o cálculo da parcela, sendo conhecido o va-
lor do montante, segue o mesmo raciocínio da vista anteriormente, mas o valor 
isolado, agora, é da variável que representa o valor da parcela p, ou seja:
Rendas ou séries uniformes 85
p = M . 
i
1�+�i 1n� � �
A expressão 
i
1�+�i 1n� � �
 é denominada fator de formação de capital (FFC).
Σxemρlos
Observe o exemplo para compreender melhor como determinar o valorda par-
cela de uma aplicação, quando é conhecido o valor do montante que se quer atin-
gir, seguindo o modelo básico de renda:
1. Qual o valor dos seis depósitos trimestrais que uma pessoa deve efetuar em 
uma aplicação financeira para obter o montante de R$ 42.750,00 ao fim de 
um ano e meio de aplicação? O fluxo de caixa está representado a seguir. 
Sabe-se que a instituição financeira opera com a taxa de juros compostos 
de 3% a.t.
p = ?
0 1 2 3 4 5 6 trimestres
i = 3 % a.t.
M = R$ 42.750,00
Ao lermos o enunciado do problema vemos que:
M = R$ 42.750,00; i = 3% a.t. e n = 1 ano e meio.
Ao utilizarmos a fórmula matemática que calcula o valor da parcela, quando 
conhecido o valor do montante, teremos:
p = M . i
1�+�i 1n� � �
 ∴ p = 42.750 . 
0,03
1�+�0,03 16� � �
 ∴ p = 42.750 . 0,03
0,1940523
 ∴
p = 42.750 . 0,1545975 ∴ p = 6.609,04314425.
Resposta: a pessoa deve fazer depósitos de R$ 6.609,04.
2. João deve fazer cinco depósitos iguais e mensais para obter o montante de 
R$ 9.000,00. Considerando que a taxa do investimento de João remunera 
os depósitos com uma taxa de 18% a.a., capitalizados mensalmente, qual o 
valor das parcelas?
Os dados do problema são:
M = R$ 9.000,00; n = 5 meses; i = 18% a.a., capitalizados mensalmente.
Devemos determinar o valor da taxa de juros com unidade de tempo compatível 
ao número de parcelas. Então:
i = 0,18
12
 ∴ i = 0,015 a.m. ∴ i = 1,5% a.m.
86 Matemática Financeira
Agora, podemos utilizar a fórmula matemática que determina o valor das parce-
las conhecido o valor do montante:
p = M . 
i
1�+�i 1n� � �
 ∴ p = 9.000 . 
0,015
1�+�0,015 15� � �
 ∴ p = 9.000 . 0,015
0,077284
 ∴
p = 9.000 . 0,19408932 ∴ p = 1.746,80390786.
Resposta: João deve realizar cinco depósitos mensais no valor de R$ 1.746,80, 
para chegar ao montante de R$ 9.000,00, após a realização do 5º depósito.
5.3.5 Calculando o valor do prazo de aplicação da renda
Para calcularmos o prazo de aplicação da renda, devemos isolar o n na fórmula 
matemática utilizada para o cálculo do montante, quando conhecido o valor da par-
cela p, e calcular os logaritmos do dividendo e do divisor, dividindo os resultados 
obtidos.
Teremos, então:
n = 
log M�.��i
p
��+�1
log 1�+�i
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
Outra opção, é usarmos os logaritmos naturais, de base e. A fórmula ficará:
n = 
ln M�.��i
p
�+1
ln(1�+�i)
�
�
�
�
�
�
Σxemρlos
Para compreender como se determina a quantidade de parcelas que devem 
ser depositadas, conhecendo o valor do montante e das prestações, obser-
ve os exemplos a seguir.
1. Determine a quantidade de parcelas que devem ser depositadas em uma 
aplicação financeira para produzir o montante de R$ 35.000,00, em parcelas 
de R$ 1.081,95. Considere que, para essa operação financeira, a instituição 
oferece uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m.
De acordo com o enunciado, sabemos que:
M = R$ 35.000,00; p = R$ 1.081,95; i = 2,5% a.m.
Substituindo os valores na fórmula que determina a quantidade de parce-
las, teremos:
n = 
log M�.��i
p
��+�1
log 1�+�i
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 35.000�.��0,025
1081,95
��+�1
log 1�+�0,025
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 1,80872499
log 1,025
10
10
� �
� � ∴
n = 0,25737254
0,01072387
 ∴ n = 23,99997845 meses.
Rendas ou séries uniformes 87
Ou podemos utilizar os logaritmos naturais. Veja:
n = 
ln M�.��i
p
�+�1
ln(1�+�i)
�
�
�
�
�
�
∴ n = 
ln 35.000�.��0,025
1081,95
�+�1
ln(1�+�0,025)
�
�
�
�
�
�
∴ n = 
ln 1,80872499
ln(1,025)
� �
∴ 
n = 0,59262217
0,02469261
∴ n = 23,99997845 meses.
Resposta: devem ser depositadas 24 parcelas no valor de R$ 1.081,95, para 
obtermos o montante de R$ 35.000,00.
2. Quantos depósitos devem ser realizados por uma pessoa que pretende ter 
um montante de R$ 22.800,00? Sabe-se que ela tem disponibilidade de de-
positar mensalmente R$ 1.748,30. O banco onde será realizada a operação 
financeira a remunera com uma taxa de juros compostos de 18% a.a., com 
capitalização mensal.
O enunciado do problema nos fornece os seguintes dados:
M = R$ 22.800,00; p = R$ 1.748,30; i = 18% a.a., capitalização mensal.
Vamos determinar o valor da taxa de juros com unidade de tempo compatí-
vel ao do número de parcelas:
i = 0,18
12
 ∴ i = 0,015 a.m. ∴ i = 1,5% a.m.
Agora, podemos utilizar a fórmula matemática que determina a quantidade 
de parcelas, ou seja:
n = 
log M�.��i
p
��+�1
log 1�+�i
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 22800�.��0,015
1748,3
��+�1
log 1�+�0,015
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 1,1956186
log 1,015
10
10
� �
� �
 ∴
n = 0,07759266
0,00646604
 ∴ n = 12,00002413 meses.
Se preferirmos, podemos utilizar os logaritmos naturais. Observe:
n = 
ln M�.��i
p
�+�1
ln(1�+�i)
�
�
�
�
�
�
∴ n = 
ln 22800�.��0,015
1748,3
�+�1
ln(1�+�0,015)
�
�
�
�
�
�
∴ n = 
ln 1,1956186
ln(1,015)
� �
∴ n =
0,17866371
0,01488861
∴ n = 12,00002413 meses.
Resposta: serão 12 parcelas de R$ 1.748,30, que devem ser realizadas para 
compor o montante de R$ 22.800,00.
5.3.6 Calculando o valor da taxa de aplicação da renda
A taxa de juros de uma série uniforme de pagamentos/recebimentos é a taxa 
que capitaliza os valores da série. O cálculo dessa taxa requer que seja resolvida, 
para descobri-la, a seguinte equação matemática:
VA = 
p
1�+�i 1� �
 + 
p
1�+�i 2� �
 + 
p
1�+�i 3� �
 + ... + 
p
1�+�i n� �
.
88 Matemática Financeira
Existem vários métodos iterativos que permitem o cálculo do valor da taxa exa-
ta, como o método de Newton-Raphson, mas são métodos demorados e traba-
lhosos para se realizar manualmente. Assim, não veremos nenhum dos métodos 
para encontrar a solução matemática do valor da taxa. Utilizaremos, para obter 
o valor da taxa de uma renda ou série uniforme, um dos recursos do Microsoft 
Excel®, que será mostrado ao resolvermos os exemplos a seguir.
Σxemρlos
1. Qual a taxa efetiva mensal de uma operação financeira que tenha pro-
duzido um montante de R$ 7.300,00, com depósitos mensais e iguais de 
R$ 1.157,24, por um prazo de meio ano?
Os dados do enunciado são:
M = R$ 7.300,00; p = R$ 1.157,24; n = 0,5 ano = 6 meses.
Como a resolução desse tipo de problema, com a utilização de fórmu-
las, é muito complicada, trabalhosa e demorada, faremos uso da fórmu-
la para calcular a taxa de juros compostos (efetiva) com a utilização do 
Microsoft Excel®.
Para obter o resultado pretendido, devemos preencher a fórmula de ma-
neira correta.
A sintaxe de preenchimento deve ser:
TAXA(nº de parcelas;valor da parcela;0;–valor do montante;0)
No preenchimento dessa fórmula, devem ser colocados os seguintes 
elementos:
 • o 1º valor corresponde à quantidade de parcelas que serão depositadas;
 • o 2º valor refere-se ao valor da parcela que será depositada;
 • o 3º valor indica o valor atual – no caso de sequências de depósitos, para 
formar um montante no futuro, deve ser colocado “0”, pois não há nenhum 
valor já depositado;
 • o 4º valor corresponde ao valor do montante que se pretende formar; e
 • o 5º valor indica o tipo de renda. Se for colocado “0” ou omitido o valor, 
significa valor no final do período – sem entrada. Se for colocado “1”, 
significa valor no início do período – com entrada.
Também devemos observar que, para utilizar essa fórmula do Microsoft 
Excel corretamente, devemos colocar os valores das parcelas e do montan-
te a ser obtido com valores de sinais trocados, seguindo o sentido das setas 
do fluxo de caixa.
Observe como devemos fazer para colocar os dados do problema em uma 
planilha do Microsoft Excel:
Rendas ou séries uniformes 89
A B
1 Montante 7.300
2 Valor da parcela 1.157,24
3 Número de parcelas 6
4 Taxa de juros compostos 2,00%
Como vemos, o valor da taxa dessa aplicação deverá ser de 2% a.m.
Resposta: a taxa efetiva mensal da operação financeira realizada foi de 
2% a.m.
2. Calcule a taxa efetiva mensal de aplicação de um investimento de 8 depó-
sitos mensais, iguais e sucessivos, no valor de R$ 1.240,08, que produziram 
um montante de R$10.550,00, ao fim do 6º mês, imediatamente após a 
realização do 6º depósito.
O problema dado nos fornece os seguintes dados:
M = R$ 10.550,00; n = 8; p = R$ 1.240,08.
Aplicando a fórmula do Microsoft Excel, devemos fazer:
TAXA(8;1240,08;0;– 10550;0).
O resultado obtido é de 1,75% a.m.
Resposta: a taxa efetiva mensal da aplicação realizada foi de 1,75% a.m.
5.3.7 Calculando o valor atual de uma renda
A fórmula matemática que nos permite o cálculo do valor atual de uma renda, 
quando conhecemos o valor da parcela, é obtida da seguinte maneira:
Já vimos que M = VA . (1 + i)n e M = p . 
1�+�i 1
i
n� � ��
�
�
�
�
�
�
�
Como os montantes devem, obrigatoriamente, ser iguais, temos:
VA . (1 + i)n = p . 1�+�i 1
i
n� � ��
�
�
�
�
�
�
�
Se isolarmos o valor atual no 1º membro da equação, teremos:
VA�=�p�.
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
A expressão 1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� � �
 é denominada fator de valor atual (FVA).
Nesta célula, você deve digitar: = 
TAXA(B3;B2;0;-B1;0).
Devemos nos lembrar de 
aumentar as casas decimais dessa 
célula, pois, se não fizermos isso, 
a taxa aparecerá somente com 
o número inteiro (sem vírgulas). 
Para formatar a quantidade 
de algarismos após a vírgula, 
devemos ir ao menu principal e 
escolher as opções: Formatar e, 
em seguida, Células .Na janela 
que se abrirá, escolher a opção 
Categoria; na opção Categoria, 
escolher Número; e na opção 
Casas decimais, preencher 
como o número de casas decimais 
desejado. 
Atenção
90 Matemática Financeira
Σxemρlos
Para melhor compreensão das fórmulas, observe os exemplos a seguir.
1. Calcule o valor atual de um financiamento realizado com uma taxa efetiva 
de 2,5% ao mês, no regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 
9 parcelas mensais, sucessivas e iguais de R$ 1.438,54.
O problema nos fornece os seguintes dados:
p = R$ 1.438,54; i = 2,5% a.m.; n = 9.
Com a aplicação da fórmula matemática que determina o valor atual de 
uma renda, quando é conhecido o valor da parcela, obtemos:
VA = p . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 1.438,54 . 
1�+�0,025 1
1�+�0,025 .�0,025
9
9
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 1.438,54 . 0,24886297
0,03122157
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 1.438,54 . 7,97086553 ∴
VA = 11.466,40889844.
Resposta: o valor atual do financiamento realizado é de R$ 11.466,41.
2. Considere que uma aplicação financeira foi realizada com uma taxa efetiva 
de juros compostos de 4,5% a.a. Determine o valor atual dessa aplicação fi-
nanceira, sabendo que ela foi realizada em 7 parcelas anuais de R$ 5.771,20.
Os dados fornecidos são:
p = R$ 5.771,20; n = 7; i = 4,5% a.a.
Ao aplicar a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda, 
quando é conhecido o valor da parcela, obtemos:
VA = p . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 5.771,2 . 
1�+�0,045 1
1�+�0,045 .�0,045
7
7
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 5.771,2 . 0,36086183
0,06123878
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 5.771,2 . 5,89270094 ∴
VA = 34.007,95566718.
Resposta: o valor atual do financiamento realizado é de R$ 34.007,96.
5.3.8 Calculando o valor da parcela (conhecido o valor atual)
Se a intenção for obter o valor da parcela, sabendo qual é o valor atual da renda, 
a fórmula matemática que permite chegar a esse valor é:
p = VA . 
i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
Rendas ou séries uniformes 91
Σxemρlos
A seguir, para melhor compreensão sobre a fórmula, veja a resolução de alguns 
exemplos a respeito da aplicação do modelo básico de renda para determinar o 
valor da parcela, quando se sabe o valor atual de uma aplicação financeira.
1. Calcule o valor das parcelas mensais de um financiamento realizado com a 
taxa efetiva de 2,5% ao mês, no regime de juros compostos, sabendo que o 
valor atual é de R$ 1.665,53 e que o prazo da operação é de 5 meses.
Os dados fornecidos são: VA = R$ 1.665,53; i = 2,5% a.m.; n = 5 meses.
Ao aplicar a fórmula matemática que determina o valor da parcela, sendo 
conhecido o valor atual da aplicação, temos:
p = VA . i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 1.665,53 . 0,025�.� 1�+�0,025
1�+�0,025 1
5
5
� �
� � �� �
�∴
p = 1.665,53 . 0,02828521
0,13140821
 ∴ p = 1.665,53 . 0,21524686 ∴ p = 358,50010425.
Resposta: o valor das parcelas mensais desse financiamento é de R$ 358,50.
2. Um cliente de uma loja deseja financiar em 8 parcelas mensais uma geladei-
ra que custa R$ 3.890,00 à vista. Para essa operação, a loja utiliza uma taxa 
de juros compostos de 1,75% a.m. Qual o valor de cada uma das parcelas 
que o cliente pagará?
O problema nos fornece os seguintes dados:
VA = R$ 3.890,00; n = 8 parcelas; i = 1,75% a.m.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor da parcela, sendo 
conhecido o valor atual, temos:
p = VA . 
i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 3.890 . 0,0175�.� 1�+�0,0175
1�+�0,0175 1
8
8
� �
� � �� �
�∴
p = 3.890 . 0,02010543
0,14888178
 ∴ p = 3.890 . 0,13504292 ∴ p = 525,31697177.
Resposta: o valor das parcelas mensais desse financiamento é de R$ 525,32.
Exercite seus conhecimentos 
sobre o cálculo de diversas 
variáveis envolvidas no modelo 
básico de renda acessando o 
QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
5.4 Renda antecipada
Vídeo Em primeiro lugar, devemos saber que a renda antecipada se difere do modelo 
básico de renda, pois, nesse tipo de renda, as parcelas são pagas de maneira ante-
cipada, ou seja, é uma renda, simultaneamente, temporária, constante, imedia-
ta antecipada e periódica.
92 Matemática Financeira
5.4.1 Fórmulas matemáticas para renda antecipada
Nesse tipo de renda, como os pagamentos ocorrem no início de cada período, 
as fórmulas matemáticas que utilizaremos nas operações são as que estão discri-
minadas a seguir, dependendo do objetivo do cálculo.
a. Para o cálculo do valor atual ou capital a ser investido:
VA = p . (1 + i) . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
b. Para o cálculo das parcelas :
p = VA . 1
1�+�i�
�.�
1�+�i �.�i
1�+�i � �1
n
n
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
c. Para o cálculo do montante:
M = p . (1 + i) . 
1�+�i 1
i
n� � ��
�
�
�
�
�
�
�
Σxemρlos
Para compreender na prática cada uma dessas fórmulas, observe os seguintes 
exemplos:
1. Determine o valor à vista (valor atual) de um produto que foi adquirido em 
15 parcelas mensais e iguais de R$ 125,50, com entrada, financiado à taxa 
de 1,24% a.m.
Representando o fluxo de caixa da situação exposta, temos:
VA = ?
p=R$125,50
0
1 2 3 13 14 15
meses
i=1,24% . m.
Ao verificar o enunciado do problema, percebemos que os dados são:
n = 15 parcelas; p = R$ 125,50; i = 1,24% a.m.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda 
antecipada:
VA = p . (1 + i) . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 125,5 . (1 + 0,0124). 1�+�0,0124 1
1�+�0,0124 .�0,0124
15
15
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
∴
Rendas ou séries uniformes 93
VA = 125,5 . (1,0124). 
1,0124 1
1,0124 .�0,0124
15
15
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 125,5 . (1,0124). 0,20304548
0,01491776
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 125,5 . (1,0124) . 13,61098649∴
VA = 1.729,3602213.
Resposta: o valor à vista do produto é R$ 1.729,36.
2. Qual o valor das prestações do financiamento de um estofado que à vista 
custa R$ 1.989,90, considerando que o pagamento será feito em 6 parcelas 
mensais e iguais, com entrada, à taxa de 2,15% a.m.?
Os dados do enunciado são:
VA = R$ 1.989,90; n = 6 parcelas; i = 2,15% a.m.
O fluxo de caixa que representa a situação é:
0
1 32 4 5
i=2,15% a.m.
VA=R$1.989,90
p=?
meses
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor da parcela, temos:
p = VA . 
1
1�+�i�
�.�
1�+�i �.�i
1�+�i � �1
n
n
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� ∴
p = 1.989,9 . 1
1�+�0,0215��.�
1�+�0,0215 �.�0,0215
1�+�0,0215 � �1
6
6
� �
� � �
�
�
�
�
��
�
�
�
 ∴
p = 1.989,9 . 1
1,0215�
�.�
1,0215 �.�0,0215
1,0215 � �1
6
6
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
∴
p = 1.989,9 . 1
1,0215�
�.�0,02442692
0,13613575
�
�
�
�
�
� ∴ p = 1.989,9 . 
0,02442692
0,13906267�
�
�
�
�
�
� ∴
p = 1.989,9 . 0,17565404 ∴p = 349,53397708.
Resposta: cada prestação será de R$ 349,53.
3. O preço de um aparelho eletrônico é R$ 869,90 à vista. Foi efetuada a com-
pra em 4 prestações mensais de R$ 222,55, com entrada. Qual a taxa de 
juros cobrada na negociação?
94 Matemática Financeira
No enunciado, encontramos os seguintes dados:
VA = R$ 869,90; n = 4 parcelas; p = R$ 222,55.
Ao elaborar o fluxo de caixa que representa a situação, encontramos:
VA=R$869,90
meses
i=?
1
p=R$222,55
0
2 3
Já vimos que a resolução desse tipo de problema, com a utilização de fór-
mulas, é muito complicada, trabalhosa e demorada. Por isso, faremos uso 
da fórmula para calcular a taxa de juros compostos (efetiva) com a utilização 
do Microsoft Excel®.
Assim:
A B
1 Valor atual 869,9
2 Número de prestações 4
3 Valor das prestações 222,55
4
5 Taxa de juros 1,5599%
O valor da taxa dessa aplicação aparecerá na célula B5, formatado com o 
número de casas decimais que se colocou. Nesse caso: 1,5599% a.m., com 
4 casas decimais.
Resposta: a taxa efetiva mensal da operação financeira realizada foi de 
1,56% a.m.
5.5 Rendas diferidas ou com carência
Vídeo Esse tipo de renda apresenta carência, um prazo de diferimento entre o mo-
mento de aplicação do valor atual e o início do recebimento/pagamento.
Para resolver situações-problemas que envolvem rendas diferidas, dependendo 
do que queremos calcular, utilizamos as fórmulas matemáticas dadas a seguir.
a. Para determinar o valor atual (capital investido):
VA = p . 
1
1+�i
.
1�+�i 1
i�. 1�+�i �m 1
n
n� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
Exercite seus conhecimentos 
sobre cálculos envolvendo 
rendas antecipadas acessando o 
seguinte QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Rendas ou séries uniformes 95
b. Para determinar o valor das parcelas – valor das prestações:
p = VA . (1 + i)m – 1 . 
i�. 1�+�i
1�+�i 1
n
n
�� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
c. Para determinar o valor do montante:
M = p . 1�+�i 1
i
n� � ��
�
�
�
�
�
�
�
Na aplicação dessas fórmulas, devemos notar que aparece o parâmetro m, que 
representa o tempo de diferimento, ou seja, o tempo de carência.
Σxemρlos
A seguir, observe a resolução de alguns exemplos que envolvem rendas diferi-
das para compreender a aplicação das fórmulas.
1. Determine o valor atual de um empréstimo bancário realizado em 12 pa-
gamentos mensais e iguais de R$ 245,60, apresentando uma carência de 3 
meses. Considere que a taxa de juros compostos utilizada na operação foi 
de 0,96% a.m.
Os dados do problema são:
p = R$ 245,60; n = 12 parcelas; m = 3 (período de carência); i = 0,96% a.m.
Representando a situação em um fluxo de caixa, temos:
VA = 7
i = 0,96% a.m.
meses0 1
1
2
2
3
3 4 11 12
p = R$ 245,60
Devemos perceber que o 1º depósito coincide com o final do período de 
carência.
Aplicando a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda 
diferida, temos:
VA = p . 1
1+�i
.
1�+�i 1
i�. 1�+�i �m 1
n
n� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
 ∴
VA = 245,6 . 1
1+�0,0096
.
1�+�0,0096 1
0,0096�. 1�+�0,0096 �3 1
12
12� �
� � �
� �
�
�
� �
��
�
�
�
�
�
 ∴
A fórmula C nos permite 
determinar o valor do montante 
sendo conhecido o valor da parcela 
em um modelo básico de renda, 
conteúdo visto na seção 5.3
Atenção
96 Matemática Financeira
VA = 245,6 . 1
1,01929216
. 0,12148147
0,01076622�
�
�
�
�
�
�∴ VA = 245,6 . 
0,12148147
0,01097393
�
�
�
�
�
� ∴
VA = 245,6 . 11,07001014 ∴ VA = 2.718,7944915.
Resposta: o valor atual da aplicação é de R$ 2.718,79.
2. Determine o valor das parcelas mensais e iguais que devem ser pagas pelo 
financiamento de um veículo que custa R$ 42.990,00 à vista, se este for pago 
em 10 vezes, com carência de 4 meses. A taxa de juros compostos utilizada 
na operação será de 1,42% a.m.
Os dados do problema são:
VA = R$ 42.990,00; n = 10 parcelas; m = 4 meses (carência); i = 1,42% a.m.
Representando a situação, por intermédio de um fluxo de caixa, temos:
VA=42.990,00
i=1,42% a.m.
meses
p=?
0 1
1
2
2
3
3 9 10
4
Aplicamos a fórmula matemática que determina o valor das parcelas em 
uma renda diferida:
p = VA . (1 + i)m – 1. i�. 1�+�i
1�+�i 1
n
n
�� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
∴
p = 42.990 . (1 + 0,0142)4 – 1. 
0,0142�.� 1�+�0,0142
1�+�0,0142 � �1
10
10
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
∴
p = 42.990 . 1,04320778 . 0,01635025
0,15142608
�
�
�
�
�
� ∴ p = 42.990 . 1,04320778 . 
0,10797513 ∴ 
p = 4.842,41480908
Resposta: cada parcela do financiamento será de R$ 4.842,41.
Para exercitar seus conhecimen-
tos sobre rendas diferidas, acesse 
o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Rendas ou séries uniformes 97
5.6 Séries perpétuas ou perpetuidade
Vídeo Devemos entender séries perpétuas ou perpetuidade como um conjunto de va-
lores periódicos, consecutivos e iguais, que ocorrem indefinidamente. Esse tipo de 
série pode ser denominado também como série infinita ou série de custo capitalizado.
Para determinar o valor atual de uma perpetuidade, devemos calcular o valor 
do limite da expressão que determina o valor atual do modelo básico de renda, 
quando o número de parcelas (n) tender ao infinito. A fórmula matemática resul-
tante desse cálculo será: VA = p . 1
�i�
.
Caso o cálculo seja referente a uma anuidade antecipada, ou seja, com uma ren-
da perpétua antecipada, o valor presente será dado por VA = p . 1�+�i
�i�
 . Entretanto, 
se estivermos tratando de uma renda perpétua que apresente carência, o valor 
presente será determinado pela fórmula matemática VA = 
p
�i�.� 1�+�i m� �
.
Assim, o valor atual de uma série perpétua, ou seja, qual deverá ser o depósito 
inicial, para obtermos as parcelas da renda – p – com base em certa data, será de-
terminado pela aplicação das fórmulas anteriores.
Σxemρlos
1. Determine o valor que deve ser depositado em um fundo de aplicações, 
para que se receba, perpetuamente, o valor anual de R$ 1.500,00. Conside-
re a taxa de juros compostos anual de 6,35%.
Os dados do problema são: p = R$ 1.500,00 e i = 6,35% a.a.
Se aplicarmos a fórmula matemática para determinar o valor atual de uma 
perpetuidade, teremos:
VA = p . 1
�i�
 ∴ VA = 1.500 . 
1
�0,0635�
 ∴ VA = 23.622,04724409.
Resposta: devemos depositar no fundo de aplicações o valor de R$ 23.622,05.
2. Uma pessoa deseja receber, mensalmente, um complemento para sua 
aposentadoria no valor de R$ 3.000,00. Determine o valor que deve ser de-
positado em uma aplicação financeira para que essa pessoa receba, até o 
momento de seu óbito, o valor mensal pretendido, considerando a taxa de 
juros compostos anual de 5,48%.
Os dados do problema são: p = R$ 3.000,00; i = 5,48% a.a.
Como a pessoa deseja receber a quantia pretendida mensalmente, deve-
mos calcular a taxa efetiva de juros compostos mensal.
1 + ik = (1 + i)n ∴ 1 + 0,0548 = (1 + i)12∴ i = 1,054812 – 1∴ i = 1,00445583 – 1∴
i = 0,00445583 a.m.
98 Matemática Financeira
Ao aplicar a fórmula matemática para determinar o valor atual de uma per-
petuidade, temos:
VA = p . 1
�i�
 ∴ VA = 3.000 . 
1
�0,00445583� ∴ VA = 673275,37211759.
Resposta: devemos depositar na aplicação financeira o valor de R$ 673.275,37.
3. Determine o valor teórico de um apartamento que rende, de aluguel, men-
salmente R$ 950,00, contanto que ele não fique vazio por nenhum momen-
to. Considere a taxa de juros compostos de mercado de 0,89% a.m.
Os dados do problema são: p = R$ 950,00; i = 0,89% a.m.
Considerando o recebimento do aluguel mensal de um apartamento como 
uma perpetuidade, podemos encontrar o valor teórico do apartamento:
VA = p . 
1
�i�
 ∴ VA = 950 . 
1
�0,0089 ∴ VA = 106.741,57303371.
Resposta: o valor teórico do apartamento é de R$ 106.741,57.
4. Uma dívida no valor de R$ 15.400,00 deverá ser resgatada em prestações 
perpétuas mensais, com 5 meses de carência e juros compostos à taxa efe-
tiva de 0,92% a.m. Qual será o valor das prestações?
O problema nos fornece os seguintes dados:
VA = R$ 15.400,00; m = 5 meses (carência); i = 0,92% a.m.
Ao aplicarmos a fórmula correspondente, temos:
VA = 
p
�i�.� 1�+�i m� �
 ∴ 15.400 = 
p
�0,0092�.� 1�+�0,0092 5� �
 ∴15.400 = 
p
�0,00963106
 ∴
p = 15.400 . 0,00963106 ∴ p = 148,31830628.
Resposta: a dívida será quitada em parcelas perpétuas de R$ 148,32.
5. Uma dívida no valor de R$ 12.750,00 será resgatada em prestações perpé-
tuas trimestrais de R$ 582,00. Determine a taxa de juros efetiva trimestral e 
a taxa de juros efetiva mensal da operação financeira.
O problema nos fornece os seguintes dados:
VA = R$ 12.750,00; p = R$ 582,00 (trimestrais)
Ao aplicarmos a fórmula matemática para determinar o valor da taxa de 
juros compostos, temos:
VA = p . 
1
�i�
 ∴ 12.750 = 582 . 1
�i�
 ∴ i = 582
�12.750�
 ∴ i = 0,04564706 a.t., pois as 
prestações são trimestrais.
Agora, vamos calcular a taxa de juros compostos efetiva mensal:
1 + ik = (1 + i)n ∴ 1 + 0,04564706 = (1 + i)3 ∴ i = 1,04567063 – 1 ∴
i = 1,01498987 – 1 ∴ i = 0,01498987 a.m.
Resposta: a taxa de juros compostos efetiva trimestral é de 4,56%, e a taxa 
efetiva de juros compostos mensal é de 1,50%.
Exercite seus conhecimentos 
sobre séries perpétuas acessando 
o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Rendas ou séries uniformes 99
5.7 Equivalência de fluxos de caixa
Vídeo No estudo de equivalência de fluxos de caixa, a taxa de juros deve ser a mesma 
para os fluxos de caixa que estão sendo comparados. Isso significa que se a taxa de 
juros for alterada, por quaisquer motivos, a equivalência poderá deixar de existir.
Devemos, também, verificar se os valores atuais dos fluxos de caixa em estudo 
são iguais na data focal escolhida, não necessariamente na data focal zero, momento 
inicial dos fluxos de caixa. Caso os fluxos de caixa sejam equivalentes, eles possuirão 
valores atuais iguais e montantes iguais, após n períodos de tempo.
Σxemρlos
1. Verifique se as quatro propostas de financiamento de R$ 7.200,00 são equi-
valentes, considerando a taxa de juros compostos de 1,05% a.m.
a) 1ª proposta: uma parcela única a ser paga, ao fim do 7º mês, pelo valor 
de R$ 7.746,16.
b) 2ª proposta: pagamento de 6 parcelas mensais e iguais, sem entrada, no 
valor de R$ 1.244,48.
c) 3ª proposta: 4 parcelas mensais e iguais no valor de R$ 1.299,71; e 
pagamento de uma 5ª parcela de R$ 2.320,85, ao fim do 8º mês.
d) 4ª proposta: pagamento em 3 parcelas mensais, a 1ª de R$ 882,24, ao fim 
do 2º mês; a 2ª de R$ 1.404,15, ao fim do 4º mês; e a 3ª de R$ 5.256,81, ao 
fim do 5º mês.
Primeiro, vamos esquematizar cada uma das propostas com seus respecti-
vos fluxos de caixa.
Para a 1ª proposta:
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
i = 1,05% a.m.
M = R$ 7.746,16
Para a 2ª proposta:
0 1 2 3 5 64
p = R$ 1.244,48
meses
i = 1,05% a.m.
100 Matemática Financeira
Para a 3ª proposta:
10 2 3 4 5 6 7 8
p = R$ 1.299,71
M = R$ 2.320,85
i = 1,05% a.m.
meses
Para a 4ª proposta:
2 3 4 51 meses
i = 1,05% a.m.
R$ 882,24
R$ 1.404,15
R$ 5.256,81
0
Para verificarmos as equivalências de fluxos de caixa, devemos trazer para a 
data focal zero todos os valores envolvidos nos fluxos de caixa, ou seja, calculamos 
todos os valores atuais de cada um deles.
Então, para a 1ª proposta, como se trata de um único valor, utilizaremos a fór-
mula matemática que determina o montante em um regime de capitalização com-
posta. Assim:
M = VA . (1 + i)n ∴ 7.746,16 = VA . (1 + 0,0105)7 ∴ VA = 
7.746,16
1,0105 7� � ∴
VA = 7.199,99572067 ∴ VA = 7.200,00.
Na 2ª proposta, devemos calcular o valor atual de um modelo básico de renda. 
Logo:
VA = p . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 1.244,48 . 
1�+�0,0105 1
1�+�0,0105 .�0,0105
6
6
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 1.244,48 . 0,06467709
0,01117911
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 1.244,48 . 5,78553114 ∴
VA = 7.199,97779859 ∴ VA = 7200,00.
Para chegarmos ao valor atual da 3ª proposta, calculamos o valor atual de um 
modelo básico de renda nas 4 primeiras parcelas e somamos com o valor atual de 
uma capitalização composta da 5ª parcela. Portanto:
VA = p . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 + 
M
1�+�i n� �
�∴
Rendas ou séries uniformes 101
VA = 1.299,71 . 1�+�0,0105 1
1�+�0,0105 .�0,0105
4
4
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 + 2320,85
1�+�0,0105 8� �
 ∴
VA = 1.299,71 . 
0,04266614
0,01094799
�
�
�
�
�
� + 
2320,85
1,08715269
 ∴
VA = 1.299,71 . 3,89716651 + 2134,79672299 ∴
VA = 5.065,18628471 + 2.134,79672299 ∴ VA = 7.199,9830077∴VA = 7.200,00.
Para a 4ª proposta, devemos determinar o valor atual de cada um dos mon-
tantes dados, capitalização composta, e somar os resultados obtidos. Assim, 
teremos:
VA = 
M
1�+�i
1
n� �
 + 
M
1�+�i
2
n� �
 + 
M
1�+�i
3
n� �
 ∴
VA = 
882,24
1�+�0,0105 2� �
 + 
1.404,15
1�+�0,0105 4� �
 + 
5.256,81
1�+�0,0105 5� �
 ∴
VA = 864,00072862 + 1.346,69185328 + 4.989,31232472 ∴
VA = 7.200,00490662 ∴ VA = 7.200,00.
Como obtivemos valores atuais iguais, os fluxos de caixa são equivalentes à 
taxa de juros compostos dada.
Resposta: todas as propostas dadas são equivalentes.
2. Verifique se os fluxos de caixa dados, a seguir, são equivalentes à taxa de 
juros compostos de 1,34% a.m.
a) Fluxo de caixa 01:
1 2 3 4 5 6 7 meses
i = 1,34% a.m.
R$ 9.264,22
0
b) Fluxo de caixa 02:
0 1 2 3 4 5 meses
i = 1,34% a.m.
p = R$ 1.756,46
102 Matemática Financeira
Fluxo de caixa 03:
meses
R$ 427,65
0 1 2 3 4 5 6 7 8
R$ 702,71
R$ 1.984,58
R$ 2.285,43
R$ 3.755,34
i = 1,34% a.m.
Se os fluxos de caixa forem equivalentes, todos deverão apresentar o mes-
mo valor atual na data focal zero. Portanto, para o 1º fluxo de caixa, como se 
trata de um único valor, utilizaremos a fórmula matemática que determina 
o montante em um regime de capitalização composta. Assim:
M = VA . (1 + i)n ∴ 9.264,22 = VA . (1 + 0,0134)7 ∴ VA = 
9.264,22
1,0134 7� �
 ∴
VA = 8.440,00220591 ∴ VA = 8.440,00.
No 2º fluxo de caixa, devemos calcular o valor atual de um modelo básico 
de renda. Logo:
VA = p . 1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 1.756,46 . 
1�+�0,0134 1
1�+�0,0134 .�0,0134
5
5
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 1.756,46 . 0,06881982
0,01432219
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 1.756,46 . 4,80511996 ∴
VA = 8.440,00100343 ∴ VA = 8.440,00
Para o 3º fluxo de caixa, devemos determinar o valor atual de cada um dos 
montantes dados, capitalização composta, e somar os resultados obtidos. 
Assim, teremos:
VA = 
M
1�+�i
1
n� �
 + 
M
1�+�i
2
n� �
 + 
M
1�+�i
3
n� �
 + 
M
1�+�i
4
n� �
 + 
M
1�+�i
5
n� �
 ∴
VA = 
427,65
1�+�0,0134 1� �
 + 
702,71
1�+�0,0134 3� �
 + 
1.984,58
1�+�0,0134 5� �
 + 
2.285,43
1�+�0,0134 6� �
 + 
3.755,34
1�+�0,0134 8� �
∴
VA = 421,99526347 + 675,2015553 + 1.856,79565244 + 2.110,00033465 + 
3.375,99708937 ∴ VA = 8.439,98989523 ∴ VA ≅ 1 8.440,00.
Como todos os cálculos chegaram ao mesmo valor, os fluxos de caixa são 
equivalentes à taxa de juros compostos dada.
Resposta: todas as propostas dadas são equivalentes.
Exercite seus conhecimentos 
sobre equivalência de fluxos de 
caixa acessando o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas asresoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Este é o símbolo matemático 
de aproximadamente igual. Se 
colocarmos o valor encontrado 
com duas casas decimais, teremos 
8439,99.
1
Rendas ou séries uniformes 103
5.8 Arrendamento mercantil - leasing
Vídeo A Lei n. 6.099/74 é a uma lei federal que dispõe sobre arrenda-
mento mercantil, que nada mais é do que um tipo de operação 
financeira. Essa lei foi modificada pela Lei n. 7.132/83, e atualmente 
esse tipo de operação financeira é denominada leasing.
De acordo com o Banco Central do Brasil (2020),
Os principais tipos de operações de crédito são: empréstimos, 
financiamentos e arrendamento mercantil (leasing).
Os empréstimos não possuem uma finalidade ou destinação 
específica. O devedor pode utilizar o valor que tomou de em-
préstimo como bem entender.
Nos financiamentos, os recursos financeiros concedidos pela 
instituição credora devem ser destinados a uma finalidade es-
pecífica, estabelecida em contrato.
No arrendamento mercantil, o bem é arrendado, ou seja, sua 
propriedade permanece com a instituição financeira (arren-
dadora), que concede o direito de uso desse bem ao cliente 
(arrendatário) durante o prazo de vigência do contrato. Dessa 
forma, essas operações também estão vinculadas a uma des-
tinação específica como nos financiamentos. Porém, apesar 
de o tomador escolher qual será o bem objeto do arrenda-
mento e de poder utilizá-lo durante a vigência do contrato, o 
bem é propriedade da instituição credora.
E que tipos de leasing existem no mercado financeiro? São duas 
modalidades: o leasing financeiro e o leasing operacional. De 
acordo com o Banco Central do Brasil (2020), o leasing financeiro: 
“assemelha-se a uma operação de financiamento, pois ao final do 
contrato o cliente (arrendatário) já pagou quase a totalidade do valor 
do bem e pode optar pela sua aquisição”, já o operacional
assemelha-se a uma locação, pois envolve um contrato mais 
curto e geralmente envolve situações em que o arrendatário 
possui interesse temporário no bem ou deseja trocá-lo por 
outro mais moderno ou mais novo assim que possível, não 
podendo exercer a opção de aquisição desse bem. Normal-
mente o arrendador é o próprio fabricante do bem e o bem 
pode ser arrendado novamente ou revendido a terceiros pelo 
arrendador ao final do contrato.
Nas operações de arrendamento mercantil, de leasing, percebe-
mos que o bem arrendado continua de propriedade do arrendatário 
até o fim do prazo estipulado contratualmente, em geral, como ga-
rantia do pagamento do financiamento. Ao fim do contrato, o arren-
datário tem três opções: adquirir o bem; renovar o contrato por mais 
um período; ou devolver o bem ao arrendador.
O leasing financeiro deve ser realizado por instituições financeiras 
legalmente credenciadas. Uma das principais características desse 
tipo de operação financeira é que o arrendatário, após decorrido o 
Saiba mais sobre o conteúdo da 
Lei n. 6.099/74 acessando: http://
www.planalto.gov.br/ccivil_03/
leis/L6099.htm.
Saiba mais
Conheça a Lei n. 7.132/83 aces-
sando: http://www.planalto.gov.
br/ccivil_03/leis/L7132.htm.
Saiba mais
“Existe ainda a modalidade conhe-
cida por sale and leaseback, por 
meio da qual o arrendatário vende 
o bem a um terceiro, mas o aluga 
de volta, continuando a fazer uso 
do bem, mas sem a propriedade 
do mesmo. Nessa modalidade, 
o arrendatário somente pode 
ser pessoa jurídica” (BRANCO DO 
BRASIL, 2020). 
Atenção
104 Matemática Financeira
prazo contratual, pode adquirir o bem financiado pelo seu valor residual garan-
tido (VRG), que é um valor contratualmente garantido pelo arrendatário como o 
valor mínimo que será recebido quando há a venda a terceiros do bem que foi ar-
rendado. Esse valor residual pode, também, ser amortizado ao longo do período de 
vigência do contrato de arrendamento ou, ainda, dado como entrada da operação 
financeira.
Já o leasing operacional visa, primordialmente, a locação de bens móveis, como 
computadores e equipamentos de informática, uma vez que esses bens estão su-
jeitos a ficarem obsoletos muito rapidamente em virtude da evolução tecnológica. 
Nessa situação, os contratos de leasing operacional não envolvem períodos muito 
longos. São contratos de duração mais curta, justamente para podermos repor os 
equipamentos mais rapidamente.
Nas operações de leasing não há incidência de imposto sobre operações finan-
ceiras (IOF), mas as operações de leasing financeiro ou as operações de “sale and 
leaseback” devem pagar imposto sobre serviços (ISS). 
Atualmente, várias instituições bancárias estão ofertando, também, o leasing 
imobiliário, que não deixa de ser um tipo de leasing financeiro, mas voltado especi-
ficadamente para o ramo imobiliário.
Σxemρlos
Como as operações de leasing são operações de financiamento, veremos 
alguns exemplos a respeito desses tipos de operações financeiras.
1. A empresa X fez um contrato de leasing com o banco A, para a aquisição de 
equipamentos de informática no valor de R$ 50.000,00. O contrato assina-
do tem prazo de 2 anos e deve ser liquidado mensalmente com prestações 
iguais, sendo que a primeira deverá vencer 30 dias após a assinatura do 
contrato e a respectiva liberação do valor financiado. Para esse tipo de ope-
ração, o banco opera com uma taxa de juros compostos efetiva de 1,95% 
a.m. O valor residual do contrato foi estabelecido em 15% do valor do con-
trato assinado. Determine o valor das prestações mensais a serem pagas 
pela empresa X.
O enunciado nos fornece os seguintes dados:
VA = R$ 50.000,00; M = VR ! = R$ 7.500,00 (15% do valor a ser financiado); 
n = 2 anos; i = 1,95% a.m.
Para obter o valor das prestações, devemos calcular o valor residual na data 
focal zero. Para tanto, utilizamos a fórmula matemática do montante de 
uma capitalização composta:
M = VR = VA . (1 + i)n∴ 7.500 = VA . (1 + 0,0195)24∴ 7.500 = VA . 
1,58962075∴VA = 7.500
1,58962075
 ∴ VA = 4.718,10650901.
Valor residual 
!
Rendas ou séries uniformes 105
Logo, o valor atual a ser financiado será o valor do contrato subtraído do 
valor atual do valor residual, ou seja:
VA = 50.000 – 4.718,10650901 ∴ 45.281,89349099.
Com esse valor, podemos aplicar a fórmula matemática para determinar o 
valor das parcelas a serem pagas pela empresa X.
p = VA . i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 45.281,89349099 . 
0,0195�.� 1�+�0,0195
1�+�0,0195 1
24
24
� �
� � �� �
�∴
p = 45.281,89349099 . 0,0309976
0,58962075
 ∴ p = 45.281,89349099 . 0,05257211 ∴
p = 2.380,56451281.
Resposta: a empresa X deverá pagar mensalmente ao banco A, pelo arren-
damento mercantil realizado, a quantia de R$ 2.380,56.
2. Um equipamento foi financiado por uma empresa por intermédio de um 
leasing operacional. Pelo contrato assinado, não haverá valor residual ao 
fim do prazo de arrendamento mercantil. No momento da realização da 
operação financeira, o preço do equipamento era de R$ 452.780,00, e o 
prazo de financiamento de 3 anos, com parcelas no valor de R$ 14.652,49, 
considerando o pagamento da 1ª parcela um mês depois da assinatura do 
contrato. Determine o valor da taxa efetiva de juros compostos da operação 
de leasing operacional realizado pela empresa.
O enunciado do problema nos fornece as seguintes informações:
VA = R$ 452.780,00; n = 3 anos = 36 parcelas mensais; p = R$ 14.652,49.
Como já explicamos anteriormente, o cálculo do valor da taxa por intermé-
dio de fórmulas matemáticas é extenso e complicado, por isso faremos no-
vamente uso da fórmula resolutiva com a utilização do Microsoft Excel®. A 
sintaxe de preenchimento deve ser:
TAXA(36;14652,49;– 452780;0;0).
Observe:
A B
1 Número de parcelas 36
2 Valor atual 452.780
3 Valor das prestações 14.652,49
4 Taxa de juros compostos 0,00850
Resposta: a taxa efetiva de juros compostos utilizada na operação de lea-
sing operacional realizado foi de 0,85% a.m.+
Exercite seus conhecimentos 
sobre arrendamento mercantil - 
leasing acessando o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extrasque possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
 Devemos nos lembrar de formatar 
a célula onde será calculado o 
valor da taxa de juros com mais 
casas decimais, nesse caso, com 
5 casas.
Atenção
106 Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, estudamos os conceitos de rendas, ou séries uniformes, de diver-
sos tipos, como: o modelo básico de renda; as séries uniformes antecipadas e poste-
cipadas; as séries diferidas e de fluxos de caixa. Estudamos, também, o arrendamento 
mercantil, o leasing. Após a leitura deste capítulo, devemos estar cientes de que exis-
tem inúmeros tipos de séries uniformes diferentes. Por isso, o estudo desses tipos de 
rendas não deve findar apenas com os tipos explicados.
Com relação aos fluxos de caixa, devemos saber que para representação de situa-
ções financeiras, esse tipo de ferramenta pode ajudar muito, uma vez que evidencia o 
que devemos calcular. Entender essas operações financeiras realizadas por instituições 
financeiras é de extrema importância para todos, para que não sejamos enganados.
ATIVIDADES
1. Uma pessoa resolveu fazer uma aplicação financeira para ter, após 3 anos, um 
valor disponível para realizar uma viagem. Calcule quanto essa pessoa terá, 
considerando que ela pode depositar o valor de R$ 375,00, mensalmente, e que 
a instituição financeira remunera esse tipo de aplicação com uma taxa de juros 
compostos efetiva de 1,05%. Elabore, também, o fluxo de caixa que representa 
essa situação.
2. O cliente de um banco deseja ter um montante de R$ 75.680,00. Determine o 
prazo dos depósitos nessa aplicação financeira, sabendo que as parcelas que 
serão depositadas são de R$ 2.649,42, e a taxa de juros compostos que o banco 
oferece para o tipo de aplicação é de 1,48% a.m.
3. Determine a taxa efetiva mensal de juros compostos de uma operação financeira 
que produziu um montante de R$ 11.250,00, sabendo que foram realizados 
depósitos mensais e iguais no valor de R$ 560,71, por um prazo de 1 ano e meio.
4. Determine o valor atual de um financiamento realizado por 1 ano e 2 meses, com 
uma taxa efetiva de juros compostos de 1,84%, ao mês, e que deve ser liquidado 
em parcelas mensais, sucessivas e iguais a R$ 2.142,11.
5. De quanto será cada parcela mensal de um financiamento realizado com a taxa 
efetiva de juros compostos de 2,04% ao mês, sabendo que o valor atual é de 
R$ 5.335,83 e que a aplicação foi realizada pelo prazo de 8 meses?
6. Determine o valor à vista (valor atual) de um produto que foi pago durante 2 anos, 
em parcelas mensais e iguais de R$ 405,60 com entrada, sabendo que a taxa de 
juros compostos utilizada na operação financeira foi de 0,98% a.m.
7. Determine o valor de um bem de consumo, considerando que sua compra foi 
financiada em 1 ano e meio em pagamentos mensais e iguais cujo valor era de 
R$ 306,78. O financiamento foi realizado com uma carência de 2 meses e com a 
taxa efetiva de juros compostos de 1,12% a.m.
Rendas ou séries uniformes 107
8. Uma pessoa quer receber perpetuamente, como complemento de sua 
aposentadoria, o valor mensal de R$ 2.890,00. Que quantia ela deve depositar 
em um fundo financeiro de aplicações para que se receba esse valor mensal, 
considerando a taxa de juros compostos anual de 7,15%?
9. Verifique se os fluxos de caixa dados a seguir são equivalentes à taxa de juros 
compostos de 1,27% a.m.
a) Fluxo de caixa 01:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 meses
i = 1,27% a.m.
R$ 12.038,32
b) Fluxo de caixa 02:
0 1 2
p = R$ 1.871,41
i = 1,27% a.m.
meses3 4 5 6
c) Fluxo de caixa 03:
0 1 2
i = 1,27% a.m.
meses
R$ 551,02
R$ 904,17
R$ 2.518,06
R$ 2.934,57
R$ 4.876,48
3 4 5 6 7 8 9 10
10. Uma empresa assinou um contrato de leasing com um banco para a aquisição de 
equipamentos no valor de R$ 650.000,00. O contrato tem prazo de 5 anos e deve 
ser liquidado mensalmente com prestações iguais, sendo que a primeira prestação 
deverá vencer 1 mês após a liberação do valor financiado. Nessa operação, o banco 
opera com uma taxa de juros compostos efetiva de 0,89% a.m. O valor residual do 
contrato foi estabelecido em 10% do valor do contrato assinado. Determine o valor 
das prestações mensais a serem pagas pela empresa.
108 Matemática Financeira
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Quais são os principais tipos de operações de crédito existentes no mercado? 
Brasília, 2020.
BRASIL. Lei n. 6.099, de 12 de setembro de 1974. Diário Oficial da União, Poder Executivo, Brasília, DF, 13 
set. 1974. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L6099.htm. Acesso em 15 de fev. de 
2020.
BRASIL. Lei n. 7.132, de 26 de outubro de 1983. Diário Oficial da União, Poder Executivo, Brasília, DF, 12 
dez. 2014. Disponível em: http://www.planalto.gov.br/ccivil_03/leis/L7132.htm. Acesso em 15 de fev. de 
2020.
CRESPO, A. A. Matemática financeira fácil. 14.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
MÜLLER, A. N.; ANTONIK, L. R. Matemática financeira: instrumentos financeiros para tomada de decisão 
em marketing, finanças e comércio. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
GABARITO
1. O fluxo de caixa que representa essa situação é:
p = R$ 375,00
meses
i = 1,05% a.m.
0 1 2 3 34 35 36
Os dados são: p = R$ 375,00; n = 36 meses; i = 1,05% a.m.
Aplicando a fórmula que determina o valor do montante desejado, temos:
M = p . 
1�+�i 1
i
n� � �
 ∴ M = 375 . 
1�+�0,0105 1
0,0105
36� � �
 ∴ M = 375 . 
0,45648978
0,0105 ∴
M = 375 . 43,47521748 ∴ M = 16.303,20655569.
Resposta: o montante que a pessoa obterá será de R$ 16.303,21.
2. O enunciado do problema nos informa que: M = R$ 75.680,00; i = 1,48% a.m.; p = R$ 2.649,42.
Substituindo os valores na fórmula que determina a quantidade de parcelas, teremos:
n = 
log M�.��i
p
��+�1
log 1�+�i
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 75680�.��0,0148
2649,42
��+�1
log 1�+�0,0148
10
10
�
�
�
�
�
�
� �
 ∴ n = 
log 1,42275819
log 1,0148
10
10
� �
� � ∴
n = 
0,15313109
0,00638046 ∴ n = 24,00001389 meses.
Resposta: devem ser depositadas 24 parcelas, ou seja, os depósitos deverão ser realizados por 2 
anos.
3. O enunciado nos fornece os seguintes dados: M = R$ 11.250,00; p = R$ 560,71; n = 1,5 ano ∴ 18 meses.
A resolução desse tipo de problema com a utilização de fórmulas é muito complicada, portanto va-
mos utilizar a fórmula do cálculo da taxa do Microsoft Excel. A sintaxe de preenchimento deve ser: 
TAXA(18;560,71;0;– 11250;0).
Na célula em que foi digitada a fórmula, precedida do sinal de igual, apresentará o valor 0,01260, com 
5 casas decimais. Esse valor representa a taxa no formato unitário.
Resposta: a taxa efetiva mensal da operação financeira realizada foi de 1,26% a.m.
4. Os dados são: p = R$ 2.142,11; i = 1,84% a.m.; n = 14 meses (1 ano e 2 meses).
Aplicando a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda, quando é conhecido o 
valor da parcela, obtemos:
Rendas ou séries uniformes 109
VA = p . 1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 2142,11 . 1�+�0,0184 1
1�+�0,0184 .�0,0184
14
14
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 2.142,11 . 0,29079558
0,02375064
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 2.142,11 . 12,24369512 ∴
VA = 26.227,34174384.
Resposta: o valor atual procurado é de R$ 26.227,34.
5. Os dados fornecidos são: VA = R$ 5.335,83; i = 2,04% a.m.; n = 8 meses.
Aplicando a fórmula matemática que determina o valor da parcela sendo conhecido o valor atual da 
aplicação, temos:
p = VA . i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 5.335,83 . 
0,0204�.� 1�+�0,0204
1�+�0,0204 1
8
8
� �
� � �� �
�∴
p = 5.335,83 . 0,02397694
0,17534022
 ∴ p = 5.335,83 . 0,13674524 ∴ p = 729,64933939.
Resposta: o valor das parcelas mensais desse financiamento é de R$ 729,65.
6. Os dados são: n = 24 parcelas (2 anos); p= R$ 405,60; i = 0,98% a.m.
Utilizando a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda antecipada, temos:
VA = p . (1 + i) . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 405,6 . (1 + 0,0098). 1�+�0,0098 1
1�+�0,0098 .�0,0098
24
24
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
∴
VA = 405,6 . (1,0098). 0,26371399
0,0123844
�
�
�
�
�
�
∴ VA = 405,6 . (1,0098) . 21,29405138∴
VA = 8.721,50853991.
Resposta: o valor à vista do produto é R$ 8.721,51.
7. Os dados do problema são: p = R$ 306,78; n = 18 parcelas (1 ano e meio); m = 2 (período de carência); 
i = 1,12% a.m.
Aplicando a fórmula matemática que determina o valor atual de uma renda diferida, temos:
VA = p . 
1
1+�i
.
1�+�i 1
i�. 1�+�i �m 1
n
n� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
 ∴
VA = 306,78 . 
1
1+�0,0112
.
1�+�0,0112 1
0,0112�. 1�+�0,0112 �2 1
18
18� �
� � �
� �
�
�
� �
��
�
�
�
�
� ∴
VA = 306,78 . 1
1,0112
. 0,22198844
0,01368627�
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 306,78 . 
0,22198844
0,01383956
�
�
�
�
�
� ∴
VA = 306,78 . 16,04014089 ∴ VA = 4.920,79442361.
Resposta: o valor atual da aplicação é de R$ 4.920,79.
8. O problema nos fornece os seguintes dados:
p = R$ 2.890,00; i = 7,15% a.a.
Como a pessoa quer receber a quantia mensalmente, devemos calcular o valor da taxa efetiva men-
sal de juros compostos.
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,0715 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 1,0715
12
 ∴ 1 + i = 1,00577155∴
i = 1,00577155 – 1∴ i = 0,00577155
Agora, aplicando a fórmula matemática para determinar o valor atual de uma perpetuidade, temos:
VA = p . 1
�i�
 ∴ VA = 2.890 . 1
�0,00577155
 ∴ VA = 2.890 . 173,26359336 ∴
VA = 500.731,78482425.
110 Matemática Financeira
Resposta: para receber a quantia solicitada, essa pessoa deve depositar no fundo de aplicações o 
valor de R$ 500.731,78.
9. Se os fluxos de caixa forem equivalentes, todos deverão apresentar o mesmo valor atual na data 
focal zero.
Então, para o 1º fluxo de caixa, como se trata de um único valor, utilizaremos a fórmula matemática 
que determina o montante em um regime de capitalização composta. Assim:
M = VA . (1 + i)n ∴ 12.038,32 = VA . (1 + 0,0127)9 ∴ VA = 
12.038,32
1,12028182 ∴
VA = 10.745,79605091 ∴ VA = 10.745,80.
No 2º fluxo de caixa, devemos calcular o valor atual de um modelo básico de renda. Logo:
VA = p . 
1�+�i 1
1�+�i .�i
n
n
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴ VA = 1.871,41 . 
1�+�0,0127 1
1�+�0,0127 .�0,0127
6
6
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
 ∴
VA = 1.871,41 . 0,07866071
0,01369899
�
�
�
�
�
� ∴ VA = 1.871,41 . 5,74208056 ∴
VA = 10.745,78698074 ∴VA = 10.745,79 ∴ VA ≅ 10.745,80.
Para o 3º fluxo de caixa, devemos determinar o valor atual de cada um dos montantes dados, capita-
lização composta, e somar os resultados obtidos. Assim, teremos:
VA = 
M
1�+�i
1
n� �
 + 
M
1�+�i
2
n� �
 + 
M
1�+�i
3
n� �
 + 
M
1�+�i
4
n� �
 + 
M
1�+�i
5
n� �
 ∴ 
VA = 
551,02
1�+�0,0127 2� �
 + 
904,17
1�+�0,0127 4� �
 + 
2.518,06
1�+�0,0127 5� �
 + 
2.934,57
1�+�0,0127 7� �
 + 
4.876,48
1�+�0,0127 10� � ∴
VA = 537,28626984 + 859,6602649 + 2.364,07921294 + 2.686,45025777 + 4.298,3160708 ∴ VA = 
10.745,79207625 ∴ VA ≅ 10.745,80.
Resposta: como obtivemos valores atuais iguais, os fluxos de caixa são equivalentes à taxa de juros 
compostos dada.
10. Os dados do problema são:
VA = R$ 650.000,00; M = VR = R$ 65.000,00 (10% do valor a ser financiado); n = 5 anos = 60 meses; 
i = 0,89% a.m.
Determinando o valor residual na data focal zero:
M = VA . (1 + i)n ∴ 65.000 = VA . (1 + 0,0089)60 ∴ 65.000 = VA . 1,70171694∴
VA = 
65.000
1,70171694 ∴ VA = 38.196,71678812.
Assim, o valor atual a ser financiado será:
VA = 650.000 – 38.196,71678812 ∴ 611.803,28321188.
Aplicando a fórmula matemática para determinar o valor das parcelas a serem pagas pela empresa X:
p = VA . 
i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 611.803,28321188 . 0,0089�.� 1�+�0,0089
1�+�0,0089 1
60
60
� �
� � �� �
�∴
p = 611.803,28321188 . 0,01514528
0,70171694
 ∴ p = 611.803,28321188 . 0,02158318 ∴
p = 13.204,65841965.
Resposta: a empresa deverá pagar mensalmente para o banco, pelo arrendamento mercantil reali-
zado, a quantia de R$ 13.204,66.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 111
Taxa interna de retorno e 
valor presente líquido
Investimentos não devem ser feitos, como se diz popularmente, por 
impulso. Antes, é necessário realizar algumas análises cautelosas para 
que o investidor tenha certeza de que fará um bom negócio. Isso vale 
tanto para investirmos nosso próprio dinheiro como para as empresas.
Entre os cálculos que devemos fazer para verificar a viabilidade de um 
investimento, temos o da taxa interna de retorno (TIR) e o do valor presente 
líquido (VPL) e, neste capítulo, compreenderemos como confirmar a viabili-
dade ou não de aplicações financeiras ou financiamentos por meio desses.
Devemos ter em mente que as técnicas que serão vistas nesta obra, para 
avaliação de investimentos, são, primordialmente, instrumentos para apoiar 
as tomadas de decisão de quem as utilizar. Além disso, é igualmente im-
portante que, junto com a aplicação dessas técnicas, seja feito um estudo a 
respeito dos objetivos estratégicos que o investidor quer atingir, dos aspec-
tos econômicos e políticos da região (cidade, estado e/ou país) em que está 
inserido, além de outros que se façam necessários e pertinentes.
6.1 Taxa interna de retorno (TIR)
Vídeo Ao realizarmos um investimento, seja ele qual for, é necessário, e aconselhável, 
verificarmos se ele é adequado, ou seja, se é rentável. Uma das formas de fazermos 
esse tipo de análise é por intermédio da denominada taxa interna de retorno. Trata-
-se de um dos indicadores financeiros mais importantes para analisarmos investi-
mentos; podemos dizer que é ela que nos indicará a rentabilidade do investimento.
A Taxa Interna de Retorno, também denominada, em inglês, de Internal Rate of 
Return (IRR), é a taxa de juros, em termos percentuais, que utilizamos para analisar 
o retorno que esperamos obter ao realizarmos um determinado projeto, ou seja, é 
a taxa que desejamos ter no crescimento desse projeto.
De acordo com o Dicionário Financeiro (2020, grifos do original), essa “é uma 
taxa usada como referência para quando um investimento pode ter retorno igual 
a zero. A TIR é utilizada como uma taxa de desconto, pois atualizamos os valores 
para o momento inicial do investimento, diferente das taxas de juros em que o va-
lor final está capitalizado, ou seja, acumulado”.
6
112 Matemática Financeira
Segundo Puccini (2017, p. 142), a taxa interna de retorno é a “taxa que faz o va-
lor presente das parcelas futuras do fluxo de caixa ser igual ao investimento inicial”. 
Também é possível entender a taxa interna de retorno como a taxa de oportuni-
dade para se realizar um determinado investimento, que pode ser considerado 
um projeto a ser executado, como modernizar os equipamentos já pertencentes a 
uma indústria ou comprar equipamentos novos para substituir os existentes. Nes-
se caso, o gestor ou proprietário da indústria deverá decidir o que é mais atrativo 
e o que possibilitará um melhor retorno para a indústria, podendo o cálculo de TIR 
ajudar nessa decisão.
6.1.1 Fórmula matemática para o cálculo da TIR
Para chegarmos à taxa interna de retorno, que nada mais é do que uma taxa 
de desconto composto, em determinado momento de um fluxo de caixa, devemos 
igualar os valores referentes às entradas de dinheiro – recebimentos – aos valores 
referentes às saídas – pagamentos – que aparecerem ao longo do período de tem-
po do fluxo de caixa do projeto em análise.
É muito comum, mas não obrigatório, adotarmos a data focal zero – momento 
inicial do fluxo de caixa – para estabelecermos essa comparação, isto é, para calcu-
larmos todos os valores atuais presentes no fluxo de caixa.
Sendo assim, podemos, para calcular a taxa interna de retorno, utilizar a seguin-
te fórmula matemática:
FC
FC
1�+�ij�=�1
0 �
� �
�
�
�
�
�
�
�
��n
j
j
�
 
Em que:
 • FC0 → valor do fluxo de caixa no momento zero, seja de um recebimento ou 
empréstimo, seja de um pagamento ou investimento;
 • FCj → fluxos de caixa relativos às entradas ou saídas de caixa, nos diversos 
períodos de tempo;
 • i → taxa de desconto que iguala, na data focal escolhida, as entradas de caixa 
com as saídas de caixa, ou seja, representa a taxa interna de retorno.
Se expandirmos a fórmula acima, obteremos:
FC �=�
FC
1�+�i
�+�
FC
1�+�i
�+�
FC
1�+�i
�+� �+�
FC
1�+
0
1
1
2
2
3
3� � � � � �
� n
��i� �n
Devemos entender que, na aplicação desse método, estamos considerando o 
valor do dinheiro ao longo do tempo. Isso significa que o método de cálculo da taxa 
interna de retorno expressa a rentabilidade do fluxo de caixa, se estivermos anali-
sando uma aplicação (investimento). Caso estejamos analisando um empréstimo, a 
taxa interna de retorno representa o custo efetivo desse financiamento.
Na hipótese de estarmos trabalhando com uma aplicação ou um financiamento, 
devemos, antecipadamente, definir a taxa mínima que nos propomos a ganhar com 
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 113
o investimento ou, no caso de um empréstimo, a taxa máxima que estamos dispostos 
a pagar. Essa taxa que buscamos é denominada taxa mínima de atratividade.
Se estivermos analisando a possibilidade de um investimento, a decisão de efe-
tivar a aplicação deverá apresentar uma taxa interna de retorno superior à taxa 
mínima de atratividade definida inicialmente. Para o caso de empréstimos, a de-
cisão será tomada caso a taxa interna de retorno seja inferior à taxa mínima de 
atratividade que estejamos dispostos a pagar.
Σxemρlos
Vamos, agora, resolver alguns exemplos para entendermos melhor como se de-
termina a taxa interna de retorno.
1. Um empresário solicitou um empréstimo de R$ 45.000,00 em um banco 
e recebeu uma proposta para liquidá-lo em duas parcelas iguais de R$ 
23.750,00, vencíveis em 30 e 60 dias. Determine o custo dessa operação 
bancária, calculado pelo método da taxa interna de retorno. Considerando 
que o empresário está decidido a realizar o empréstimo apenas se a taxa 
mínima de atratividade for igual ou menor a 3,8% a.m., ele deverá ou não 
realizar o empréstimo?
Se representarmos a situação exposta por intermédio de um fluxo de caixa, 
obteremos:
R$ 45.000,00
R$ 23.750,00
1
0
2
meses
R$ 23.750,00
Os dados do problema são:
FC0 = R$ 45.000,00; FC1 = R$ 23.750,00; n1 = 1; FC2 = R$ 23.750,00; n2 = 2; 
TMA = 3,8% a.m.
Assim, aplicando a fórmula matemática, teremos:
FC
FC
�i
FC
�i �i
0
1
1
2
2 11 1
45 000 23 750
1
2
�
�� �
�
�� �
� �
�� �
��
�
� �
�
. � � .
�
� � 33 750
1 1 1
45 000
2 0
1
1
2
2
.
�
����� �
�
� �
�
. �
�� �
�
�� �
�
�� �
� �
�i
FC
FC
�i
FC
�i
�� .
�
� � .
�
�����23 750
1
23 750
11 2�� �
�
�� ��i �i
Calcular o valor da variável i, ou seja, o valor da taxa interna de retorno, 
implica a utilização de um processo de cálculo complicado e demorado, de-
nominado processo de interpolação 1 , que não é oportuno nem indicado 
para explicarmos nesse momento. Sendo assim, para determinar a taxa in-
terna de retorno devemos, em uma planilha do Microsoft Excel, digite:
É um processo em que se deter-
mina o valor procurado da variável 
em função de um ponto interno 
de um intervalo, levando em con-
sideração os valores dos extremos 
desse intervalo. É um processo de 
tentativa e erro, até se encontrar o 
valor da variável em estudo.
1
114 Matemática Financeira
 • na célula A1, o valor do empréstimo que a empresa irá fazer;
 • na célula A2, o valor do 1º pagamento que será realizado, com sinal 
contrário do valor do empréstimo;
 • na célula A3, o valor do 2º pagamento, com sinal contrário do valor do 
empréstimo;
 • na célula A4: =TIR(A1:A3) 2 .
É importante que os sinais das entradas e das saídas de caixa sejam opostos para a aplicação da fórmula que calcula o valor da taxa 
interna de retorno, com a utilização da fórmula do Microsoft Excel.
Podemos, também, visualizar esse aspecto pelos sentidos das setas, que aparecem no fluxo de caixa representativo da situação em 
análise. Setas de mesmo sentido apresentam sinais iguais, sendo todas com sinais positivos ou todas com sinais negativos. Já as setas 
de sentido diferentes devem apresentar sinais diferentes.
Atenção
Teremos, para o exemplo que estamos resolvendo, com a utilização da planilha 
do Microsoft Excel, o cálculo:
A B
1 45.000
2 –23.750
3 –23.750
4 3,6815%
Para aprender a formatar a quantidade de algarismos após a vírgula – quantidade de casas 
decimais – acesse o artigo Como formatar/personalizar células e números no Excel, produzido 
por Maximiliano Meyer, publicado no site AE Aprender Excel em 2013 e atualizado em 2018.
Acesso em: 17 mar. 2020. 
https://www.aprenderexcel.com.br/2013/artigos/como-formatar-e-personalizar-celulas-e-numeros-no-excel
Artigo
Para comprovarmos que o resultado obtido anula o valor atual na data focal 
zero, vamos observar o cálculo abaixo:
VA
FC
1�+�i
FC
1�+�i
�FC0
1
1
2
2 0� �
�
� �
� �� � � ��
VA0 1 2
23 750
1 0 036815
23 750
1 0 036815
45 00�
�� �
�
�� �
.
� � , ��
� � .
� � ,
�- . 00��
VA0 = 22.906,69020028 + 22.093,32446027 – 45.000∴
VA0 = 45.000,01466055 – 45.000∴ VA0 = 0,01466055
!
Resposta: encontramos a taxa interna de retorno igual a 3,68%, isso sig-
nifica que o custo efetivo do empréstimo é de 3,68% a.m. Logo, como o 
empresário havia estipulado uma taxa mínima de atratividade de 3,8% a.m., 
ele deve aceitar a proposta oferecida pelo banco, já que a taxa interna de 
retorno é maior do que a taxa de atratividade.
Observe que o intervalo das 
células deve ser digitado com o 
sinal de dois pontos, : , entre as 
células envolvidas no cálculo que 
será realizado.
2
Devemos aumentar o número de 
casas decimais da célula A4.
Atenção
O valor não ficou igual a zero, por 
causa da quantidade de casas 
decimais utilizadas. Se esse nú-
mero for aumentado, o resultado 
se aproximará mais do valor zero. 
Faça o cálculo e comprove.
Atenção
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 115
2. Uma indústria está prestes a realizar uma modernização em seu parque 
industrial. Para isso, o proprietário recebeu a proposta de investir a 
quantia de R$ 145.830,00. Estudos encomendados, que constam da 
proposta, mostram que, após a modernização do parque industrial, a 
produção aumentará, gerando receitas maiores. Nos quatro meses após 
a modernização da indústria estar concluída, as vendas do 1º mês gerarão 
receitas maiores do que as atuais, em R$ 33.630,00; no 2º mês, R$ 36.420,00; 
no 3º mês, R$ 39.690,00; e, por fim, no 4º mês, R$ 41.270,00. O proprietário 
da empresa resolve, então, calcular a taxa interna de retorno embutida na 
proposta apresentada e decide que fará a modernização sugerida caso esse 
valor seja inferior à taxa mínima de atratividade – taxa mínima de custo 
efetivo – de 1,2% a.m. Qual a decisão que o proprietário da empresa tomará?
Os dados do problema são: FC0 = R$ 145.830,00; FC1 = R$ 33.630,00; 
FC2 = R$ 36.420,00; FC3 = R$ 39.690,00; FC4 = R$ 41.270,00; TMA = 1,2% a.m.
O fluxo de caixa representativo da proposta é:
R$ 33.630,00
R$ 145.830,00
R$ 36.420,00
R$ 39.690,00
R$ 41.270,00
1 2 3 4
0
meses
Determinando o valor da TIR, obtemos, com a utilização do Microsoft Excel:
A B
1 -145.830
2 33.630
3 36.420
4 39.690
5 41.270
6 1,36295%
Não devemos esquecer de aumentar as casas decimais da célula A6, onde 
foi digitada a fórmula: =TIR(A1:A5).
O valor da TIR que encontramos foi de 1,36% a.m., superior à taxa mínima 
de atratividade estipulada em 1,2% a.m.
Para comprovar que o investimento deverá ser realizado, podemos fazer:
VA
FC
1�+�i
FC
1�+�i
FC
�i
FC
1�+�i
0
1
1
2
2
3
3
4
1
� � � � �
�
�� ��
� �
�
� �
�
�� �
�
� �44
0� �� ��FC
VA 33.630
1�+�0,0136295
36.420
1�+�0,0136295
0 1 2
39� � � � � ��
� �
�
� �
�
..
� � ,
�� � � .690
1 0 0136295
145 830
3 4
�� �
�
� �
��� 41.270
1�+�0,0136295����
Exercite seus conhecimentos 
sobre taxa interna de retorno 
(TIR) acessando o QR Code a 
seguir.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
O valor digitado na célula A1 é ne-
gativo, pois representa uma saída 
de dinheiro do caixa da empresa 
(seta para baixo no fluxo de caixa). 
Os demais valores são positivos, 
visto que representam entradas de 
valores no caixa da empresa (setas 
para cima no fluxo de caixa).
Atenção
116 Matemática Financeira
VA0 = 33.177,803132 + 35.447,161056 + 38.110,388364 + 39.094,665624 
– 145.830 ∴ VA0 = 145.830,018176 – 145.830∴ VA0 = 0,018176
Resposta: o proprietário da indústria deve realizar a modernização do 
parque industrial, pois a TIR calculada é de 1,36% a.m., superior à TMA 
de 1,2% a.m.
6.2 Valor presente líquido (VPL)
Vídeo Valor presente líquido (VPL), ou Net Present Value (NPV), do inglês, é um cálculo 
de verificação para analisarmos alternativas de investimentos ou de financiamen-
tos, que também está diretamente ligado à análise de fluxos de caixa, mais precisa-
mente com os cálculos do valor atual de fluxos de caixa, que muitos chamam de 
valor presente. Daí o nome desse tipo de cálculo.
De acordo com Müller e Antonik (2012, p. 235) “O VPL é uma poderosa arma 
para calcular preços de produtos e serviços, verificar a viabilidade econômica de 
projetos ou investimentos [...]”. Nesse tipo de cálculo, atualizamos o fluxo de caixa 
do investimento a ser realizado para o momento inicial, a data focal zero, utilizando 
uma taxa de desconto composto.
O VPL, de acordo com o Dicionário Financeiro (2020), “é calculado para saber-
mos qual o valor atual de um investimento, bem como a sua rentabilidade. O cálcu-
lo do VPL é feito atualizando todo o fluxo de caixa de um investimento para o valor 
de hoje, utilizando uma taxa de desconto no cálculo conhecida como Taxa Mínima 
de Atratividade (TMA)”.
Então, percebemos que, segundo Assaf Neto (2012, p. 162): “o método do valor 
presente líquido para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor 
presente dos benefícios (ou pagamentos) previstos de caixa, e o valor presente do 
fluxo de caixa inicial (valor do investimento, do empréstimo ou do financiamento)”.
Para sabermos se um projeto é viável, seja ele de aplicação financeira ou de 
financiamento, pela utilização desse método (VPL), devemos saber que, após o cál-
culo realizado, se encontrarmos um valor:
 • negativo, significa que o projeto que estamos analisando é inviável, pois apre-
senta mais despesas que receitas;
 • positivo, significa que o projeto que estamos analisando é viável, porque 
apresenta receitas maiores que despesas;
 • igual a zero, significa que o projeto em análise apresenta receitas e despesas 
iguais, sendo, portanto, neutra a decisão de realizar o investimento ou o em-
préstimo, isto é, não será possível tomar uma decisão unicamente com esse 
procedimento de cálculo.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 117
6.2.1 Fórmula matemática para cálculo do VPL
Para aplicarmos esse método de cálculo, devemos calcular a diferença entre o 
valor atual das receitas previstas no fluxo de caixa e o das despesas, ou seja, é a 
soma algébrica de todos os valores que constam do fluxo de caixa: a soma de todas 
as entradas de caixa menos a soma de todas as saídas de caixa.
Devemos observar que a taxa de desconto composto, que deve ser utilizada nos 
cálculos, é a taxa mínima de atratividade.
A fórmula matemática que expressa esse cálculo é:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� 0
Se expandirmos essa fórmula matemática, obteremos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
1�+�i
+ +
FC
1�+�i
FC1
1
2
2 0� �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�n
n
Nessas duas fórmulas:
 • FCj representa os valores de entrada ou de saída de caixa, previstos nos inter-
valos de tempo e no fluxo de caixa;
 • FC0 indica o valor do empréstimo, da aplicação financeira ou do financiamen-
to realizado, no momento inicial, data focal zero;
 • i caracteriza a taxa mínima de atratividade da operação financeira.
Σxemρlos
Vamos, agora, resolver alguns exemplos para entendermos melhor como se cal-
cula o VPL e como se interpreta o resultado obtido.
1. Uma empresa de rádio táxi está analisando a possibilidade de adquirir, 
para a atualização de sua frota, veículos novos. O valor unitário de cada 
um dos veículos é de R$ 69.900,00. A empresa estima que, para os próxi-
mos 5 anos, suas receitas líquidas serão, respectivamente, de: R$ 21.740,00; 
R$ 22.180,00; R$ 20.550,00; R$ 23.920,00; R$ 26.480,00. Ao final do quinto 
ano, o valor residual de cada um dos veículos será de R$ 15.470,00. Verifi-
que se a empresa deve ou não investir nesses veículos, para uma taxa míni-
ma de atratividade estipulada em 10,4% ao ano.
118 Matemática Financeira
Resolução
Representando a situação exposta em um fluxo de caixa, temos:
R$ 69.900,00
R$ 21.740,00
R$ 22.180,00
R$ 20.550,00
R$ 23.920,00
R$ 26.480,00
i = 10,4% a.a.
1 2 3 4 5
0
anos
Utilizando a fórmula matemática que realiza o cálculo do VPL, teremos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 21.740
1+0,104
22.180
1+0,104
20.550
1+0,104
23
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..920
1+0,104
41.950
1+0,104
69.900
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL�= 21.740
1,104
22.180
1,218816
20.550
1,34557286
23.920
1,4
� � �
88551244
41.950
1,64000574
69.900��
�
�
�
�
� � �
VPL = 19.692,02899 + 18.197,98887 + 15.272,30561 + 16.102,18759 + 
2.5579,17883 – 69.900
VPL = 94.843,68989 – 69.900 ∴ VPL = 24.943,68989.
O valor obtido é positivo, o que significa que o projeto em análise é viável, 
ou seja, apresenta receitas maiores do que despesas.
Resposta: como o VPL resultou um valor positivo, significa que, com a 
taxa mínima de atratividade estimada, de 10,4% ao ano, o valor presente 
líquido resulta em R$ 24.943,69. Logo, a empresa deve investir na aquisi-
ção desses veículos.
2. O gestor de uma determinada empresa está avaliando a realização de um 
investimento para modernizar um dos setores da sua organização. O valor 
a ser aplicado seria de R$ 860.000,00. Após a modernização, o gerente es-
pera retornos anuais, nas receitas da empresa, de R$ 218.500,00 no 1º ano; 
R$ 237.980,00 no 2º ano; R$ 310.740,00 no 3º ano; R$ 372.530,00 no 4º ano. 
Considerando como taxa mínima de atratividade 9,8% a.a., verifique se o 
investimento é viável ou não.
O fluxo de caixa da situação exposta é:
!
O valor residual deve ser 
acrescentado no valor da receita 
do último período, ou seja, 
da última parcela da receita 
estimada.
!
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 119
R$ 860.000,00
R$ 218.500,00
R$ 237.980,00
R$ 310.740,00
R$ 372.530,00
i = 9,8% a.a.
1 2 3 4
0
anos
Com a utilização da fórmula matemática que realiza o cálculo do valor pre-
sente líquido, teremos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 218.500
1+0,098
237.980
1+0,098
310.740
1+0,098� �
�
� �
�
� �1 2 3
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
372.530
1+0,098
860.000
4
VPL�= 218.500
1,098
237.980
1,205604
310.740
1,32375319
372.53
� � �
00
1,453481
860.000�
�
�
�
�
� � �
VPL = 198.998,17851 + 197.394,83280 + 234.741,64359 + 
256.301,93911 – 860.000∴
VPL = 887.436,59401 – 860.000 ∴ VPL = 27.436,59401.
O projeto que estamos analisando é viável, já que o VPL é positivo, o que 
significa que apresenta receitas maiores que despesas.
Resposta: como o VPL resultou um valor positivo, significa que, com a taxa 
mínima de atratividade estimada de 9,8% ao ano, o valor presente líquido 
seria de R$ 27.436,59. Logo, o gestor da empresa deve investir na moderni-
zação do setor da empresa.
Exercite seus conhecimentos 
sobre valor presente líquido 
(VPL), acessando o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordadosnesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
6.3 Índice de lucratividade e 
taxa de rentabilidadeVídeo
O índice de lucratividade e a taxa de rentabilidade são dois mé-
todos de análise de investimentos 3 que também consideram a me-
todologia do fluxo de caixa descontado, como os cálculos do valor 
presente líquido e da taxa interna de retorno, estando matematica-
mente ligados a esses cálculos.
Um investimento pode ser 
considerado um empréstimo, 
dependendo do ponto de vista do 
qual se analisa o fluxo de caixa. 
Pela perspectiva de quem recebe o 
valor financeiro, é uma entrada de 
caixa. Já pela de quem empresta 
o valor financeiro, é uma saída 
de caixa.
3
120 Matemática Financeira
O cálculo do índice de lucratividade, que designaremos por IL, é determinado 
pela divisão entre o valor atual dos fluxos das entradas de caixa e o valor atual das 
saídas de caixa. Se o IL resultar um valor superior a um (IL >1,0), significa que existe 
atratividade econômica no investimento, ou seja, o valor atual das entradas de cai-
xa supera o valor atual das saídas de caixa, provocando um valor presente líquido 
positivo. Caso contrário, se o resultado de cálculo do IL for inferior a um (IL < 1,0), 
não haverá interesse econômico no investimento, pois haverá um valor presente 
líquido negativo.
A taxa de rentabilidade, que representaremos por TR, caracteriza a divisão en-
tre o resultado do VPL e os valores atuais de desembolsos do fluxo de caixa. Caso o 
cálculo da taxa de rentabilidade, que devemos expressar em porcentagem, resultar 
um valor positivo (TR > 0), o investimento é rentável. Caso contrário, isto é, se a 
taxa de rentabilidade for negativa (TR < 0), o investimento não é rentável e, nessa 
situação, haverá um resultado de VPL também negativo.
Σxemρlos
Agora, vejamos alguns exemplos destinados a calcular o índice de lucrativida-
de e a taxa de rentabilidade dos investimentos, para compreendermos na prática 
como se faz ambos os cálculos.
1. Um cliente que necessita de um empréstimo bancário de R$ 600.000,00 
solicitou o financiamento a um agente financeiro e propôs pagá-lo em 
quatro parcelas anuais, sendo as duas primeiras no valor de R$ 200.000,00 
e as outras duas de R$ 300.000,00. Se o agente financeiro opera, para 
esse tipo de operação financeira, com uma taxa de desconto composto de 
20% a.a., determine se é viável para esse agente realizar o empréstimo, 
tomando por base o índice de lucratividade e a taxa de rentabilidade da 
operação a ser realizada.
Elaborando o fluxo de caixa da operação financeira, sob o ponto de vista do 
agente financeiro, teremos:
R$ 600.000,00
R$ 200.000,00
R$ 300.000,00
i = 20% a.a.
1 2 3 4
0
anos
Para determinarmos, na data focal zero, o valor presente das entradas de 
caixa, devemos fazer:
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 121
VA�=
FC
1�+�i
VA�= 200.000
1�+�0,2
+� 200.
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
0000
1�+�0,2
300.000
1�+�0,2
300.000
1�+�0,2� �
�
� �
�
� �
�
2 3 4
VA = 166.666,6666 + 138.888,8888 + 173.611,1111 + 144.675,9259 ∴
VA = 623.842,59259.
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL� �
VA
VA
��IL� 623.842,59259��
600.000
IL�Entradas
Saídas
= =� � �� ==� , �1 03973765 !
Para calcularmos a taxa de rentabilidade, devemos calcular o valor presente 
líquido da operação financeira.
VPL�=
FC
1�+�i
FC VPL�=�623.842,59259 60
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 00.000�
VPL = 23.842,59259.
Então, a taxa de rentabilidade será:
T T TR R R� � � � � � � � ,� � � � �
VPL
VA
� 23.842,59259
600.000Saídas
0 039737665 3 97376543�� %�� �TR � � , .
Resposta: como obtivemos um índice de lucratividade superior a um e uma 
taxa de rentabilidade positiva, o investimento, para o agente financeiro, é 
rentável.
2. Suponha que um cliente que necessita de um empréstimo bancário, no 
valor de R$ 600.000,00, procurou um agente financeiro e propôs pagar 
tal financiamento em quatro parcelas anuais, sendo a 1ª parcela de 
R$ 180.000,00; a 2ª de R$ 200.000,00; a 3ª de R$ 250.000,00; e a última 
parcela de R$ 300.000,00. Se o agente financeiro opera, para esse tipo de 
operação financeira, com uma taxa de desconto composto de 20% a.a., 
determine se é viável a realização do empréstimo para o agente, tomando 
por base o índice de lucratividade e a taxa de rentabilidade da operação a 
ser realizada.
Elaborando o fluxo de caixa da operação financeira, sob o ponto de vista do 
agente financeiro, teremos:
R$ 600.000,00
R$ 200.000,00
R$ 250.000,00
R$ 300.000,00
R$ 180.000,00
i = 20% a.a.
1 2 3 4
0
anos
Isso significa que para cada R$ 1,00 
que o agente financeiro empreste 
ao cliente, haverá um retorno de R$ 
1,04, aproximadamente.
Atenção
122 Matemática Financeira
Para determinarmos, na data focal zero, o valor presente das entradas de 
caixa, devemos fazer:
VA�=
FC
1�+�i
VA�= 180.000
1�+�0,2
+� 200.
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
0000
1�+�0,2
250.000
1�+�0,2
300.000
1�+�0,2� �
�
� �
�
� �
�
2 3 4
VA = 150.000 + 138.888,8889 + 144.675,92593 + 144.675,9259 ∴
VA = 578.240,74074.
Agora, determinaremos o índice de lucratividade da operação financeira:
IL� �
VA
VA
IL 57.8240,74074
600.000
ILEntradas�
Saídas
� � � � �
�
� � ,0 966373457.��
Para calcularmos a taxa de rentabilidade, devemos calcular o valor presente 
líquido da operação financeira.
VPL�=
FC
1�+�i
FC VPL�=�578.240,74074 60
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 00.000�
VPL = – 21759,25926.
Então, a taxa de rentabilidade será:
T T TR R R� � � � �� � � ,� � �
�
� ��
VPL
VA
� �� �21.759,25926
600.000Saídas
0 033626543 3 626543� � � � , %.� ��TR
Como obtivemos um índice de lucratividade inferior a um e uma taxa de ren-
tabilidade negativa, o investimento, para o agente financeiro, não é rentável.
Resposta: o investimento para o agente financeiro não é rentável, pois 
apresenta um índice de lucratividade inferior a um e uma taxa de rentabili-
dade negativa.
Exercite seus conhecimentos 
sobre índice de lucratividade e 
taxa de rentabilidade acessando 
o QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
6.4 Comparação entre os métodos de análise de 
investimentos para projetos independentes Vídeo
Se tivermos um único projeto de investimento ou mais de um projeto (desde 
que sejam independentes e possam ser implementados simultaneamente), os 
métodos de análise de investimentos – VPL, TIR, IL e TR – devem convergir para o 
mesmo tipo de decisão. Para mostrarmos a veracidade dessa afirmação, vamos 
analisar a situação exposta a seguir.
O gestor de uma empresa solicitou ao departamento financeiro estudos para a 
modernização de três setores da linha de produção. Após o prazo dado para que 
esses estudos fossem realizados, recebeu as informações discriminadas pelos flu-
xos de caixa dados abaixo, em relação aos setores A, B e C da linha de produção, 
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 123
que mostram o desembolso necessário para a implantação e os retornos espera-
dos de entradas de caixa para os cinco meses posteriores à implantação dos pro-
jetos a serem realizados.
Para o projeto A:
R$ 32.850,00
R$ 34.720,00
R$ 37.920,00
R$ 40.470,00
R$ 41.630,00
R$ 135.000,00
i = 6,8% a.m.
1 2 3 4 5
0
meses
Para o projeto B:
R$ 248.600,00
R$ 62.500,00
i = 6,8% a.m.
1 2 3 4 5
0
meses
Para o projeto C:
R$ 186.400,00
R$ 36.950,00
R$ 38.930,00
R$ 43.720,00
R$ 49.860,00
R$ 52.900,00
i = 6,8% a.m.
1 2 3 4 5
0
meses
O gestor solicitou os cálculos com uma taxa mínima de atratividade de 
6,8% a.m. Sabendo que os projetos são independentes, com base nos mé-
todos de cálculo da taxa interna de retorno do valor presente líquido, do 
índice de lucratividade e da taxa de rentabilidade, qual(is) projeto(s) se mos-
tra(m) viável(is)para implantação na empresa?
124 Matemática Financeira
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto A, obteremos:
 • cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2 3
2 2
1 1 1 1
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �44 5
2
1
� �
�
�
�� �
�
FC
�i
���
135 000 32 850
1
34 720
1
37 920
11 2 3
. � � .
�
� � .
�
� � .
�
�
�� �
�
�� �
�
�� ��i �i �i
�� � .
�
� � .
�
��
�� �
�
�� �
40 470
1
41 630
14 5�i �i
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos:
A B
1 Investimento inicial –135.000
2 1º pagamento 32.850
3 2º pagamento 34.720
4 3º pagamento 37.920
5 4º pagamento 40.470
6 5º pagamento 41.630
7
8 Taxa de desconto 0,068
9
10 TIR 11,5241%
 • Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 32.850
1+0,068
34.720
1+0,068
37.920
1+0,068
40
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..470
1+0,068
41.630
1+0,068
135.000
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 30.758,42697 + 30.439,47874 + 31.128,24031 + 31.106,28836 + 
29960,57523 – 135.000
VPL = 153.393,00961 – 135.000 ∴ VPL = 18.393,00961.
 • Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 32.850
1+0,068
34.720
1+0,068
37.920
1+0,068
40.
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
4470
1+0,068
41.630
1+0,068� �
�
� �
�
4 5
VA = 153.393,00961.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 125
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL� �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,153 393 00961
135 000
1133624452.
 • Cálculo da TR:
T T TR R R� � � �
. ,
.
� � � ,� � � � �VPL
VASaídas
18 393 00961
135 000
0 13624452�� � �� , %.� �TR 13 624452
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto B, obteremos:
 • cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2
3
3
4
1 1 1 1
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
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�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �44
5
51
� �
�
� ����
�� �
�
FC
�i
248 600 62 500
1
62 500
1
62 500
11 2 3
. � � .
�
� � .
�
� � .
�
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�� �
�
�� �
�
�� ��i �i �i
�� � .
�
� � .
�
��
�� �
�
�� �
62 500
1
62 500
14 5�i �i
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos:
A B
1 Investimento inicial –248.600
2 1º pagamento 62.500
3 2º pagamento 62.500
4 3º pagamento 62.500
5 4º pagamento 62.500
6 5º pagamento 62.500
7
8 Taxa de desconto 0,068
9
10 TIR 8,1440%
 • Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 62.500
1+0,068
62.500
1+0,068
62.500
1+0,068
62
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..500
1+0,068
62.500
1+0,068
248.600
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 58.520,59925 + 54.794,568592 + 51.305,77583 + 48.039,11595 + 
44.980,44564 – 248.600
VPL = 257.640,50526 – 248.600 ∴ VPL = 9.040,50526.
 • Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
126 Matemática Financeira
VA�= 62.500
1+0,068
62.500
1+0,068
62.500
1+0,068
62.
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
5500
1+0,068
62.500
1+0,068� �
�
� �
�
4 5
VA = 257.640,50526.
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL� �
VA
VA
IL� �IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,257 640 50526
248 600
1 003636567.
 • Cálculo da TR:
T T TR � � � � �
VPL
VA
�� ��
Saídas
R� R��
. ,
.
� ,9 040 50526
248 600
0 03636567�� , %.������ �TR ��3 636567
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto C, obteremos:
 • cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2
3
3
4
1 1 1 1
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �44
5
51
� �
�
�
�� �
�
FC
�i
�������
186 400 36 950
1
38 930
1
43 720
11 2 3
. � � .
�
� � .
�
� � .
�
�
�� �
�
�� �
�
�� ��i �i �i
�� � .
�
� � .
�
��
�� �
�
�� �
49 860
1
52 900
14 5�i �i
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos:
A B
1 Investimento inicial -186.400
2 1º pagamento 36.950
3 2º pagamento 38.930
4 3º pagamento 43.720
5 4º pagamento 49.860
6 5º pagamento 52.900
7
8 Taxa de desconto 0,068
9
10 TIR 5,7849%
 • Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 36.950
1+0,068
38.930
1+0,068
43.720
1+0,068
49
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..860
1+0,068
52.900
1+0,068
186.400
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 34.597,37828 + 34.130,44088 + 35.889,41631 + 38.323,68514 + 
38.071,44919 – 248.600
VPL = 181.012,36980 – 186.400 ∴ VPL = – 5.387,63020.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 127
 • Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 36.950
1+0,068
38.930
1+0,068
43.720
1+0,068
49.
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
8860
1+0,068
52.900
1+0,068� �
�
� �
�
4 5
VA = 181.012,36980.
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,181 012 36980
186 400
0 97110964.
 • Cálculo da TR:
T T T TR R R� � �
�
� �� �� � � . ,
.
� � ,VPL
VASaídas
5 387 63020
186 400
0 0289036 RR ��� � , %.�2 89036
Se fizermos um quadro resumindo as informações calculadas, obteremos:
Projeto TIR VPL IL TR Decisão
Projeto A 11,52% R$ 18.393,01 1,13624 13,624% Aceitar
Projeto B 8,14% R$ 9.040,51 1,03637 3,637% Aceitar
Projeto C 5,78% – R$ 5.387,63 0,97110 – 2,890% Rejeitar
De acordo com os resultados obtidos, verificamos que os projetos A e B 
possuem taxa interna de retorno superior à taxa mínima de atratividade, 
valores presentes líquidos positivos, índices de lucratividade superiores a 
um e taxa de lucratividade positivas.
Já o projeto C apresenta taxa interna de retorno inferior à taxa mínima de 
atratividade, valor presente líquido negativo, índice de lucratividade inferior 
a um e taxa de rentabilidade negativa.
Resposta: esses resultados indicam que o gestor da empresa deve implan-
tar os projetos A e B, mas deve rejeitar o projeto C.
Exercite seus conhecimentos 
sobre métodos de análise de 
investimentos para projetos 
independentes acessando o 
QR Code.
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo estudamos alguns dos mais importantes tópicos de matemática 
financeira: taxa interna de retorno (TIR), valor presente líquido (VPL), índice de lucrativi-
dade (IL) e taxa de rentabilidade (TR). Esses são alguns dos cálculos que devemos fazer 
para analisar a viabilidade de se fazer investimentos e/ou empréstimos.
É importante salientar que as decisões não devem se basear unicamente nos mé-
todos vistos, mas que esses devem fazer parte de um processo, muitas vezes mais 
complexo, para a tomada de decisões. Proprietários de empresas, diretores, gestores 
e gerentes devem saber fazer esses cálculos, aliados a outros fatores que precisam ser 
observados, para ajudar a tomar as decisões corretas.
128 Matemática Financeira
ATIVIDADES
1. Uma empresa precisa fazer um empréstimo de R$ 76.480,00 e recebeu uma proposta 
de financiamento desse valor em duas parcelas iguais de R$ 39.450,00, vencíveis em 
30 e 60 dias. Determine o custo dessa operação bancária, calculado pelo método da 
taxa interna de retorno. Após saber o custo, indique se a empresa deve ou não realizar 
o empréstimo, considerando que o proprietário está decidido a fazer o financiamento 
somente se a taxa mínima de atratividade for igual a 2,15% a.m.
2. O diretor financeiro de uma indústria está propenso a realizar a modernização de 
uma das linhas de produção do seu parque industrial. Ao fazer alguns estudos para 
verificar a viabilidade dessa modernização, chegou à conclusão de que necessitaria 
da quantia de R$ 1.458.300,00. De acordo com os estudos realizados, após a linha 
de produção estar em funcionamento, as receitas, nos quatro primeiros anos, 
seriam superiores às receitas anuais atuais em R$ 369.900,00; R$ 398.700,00; 
R$ 449.600,00; R$ 485.400,00. O proprietário da empresasomente aceitará que 
a modernização da linha de produção seja realizada se a taxa interna de retorno 
superar a taxa mínima de atratividade de 6% a.a. Calcule a TIR da operação 
financeira e indique se o proprietário da empresa aceitará realizar a modernização 
da linha de produção ou não. Justifique sua resposta.
3. O proprietário de uma determinada loja deseja abrir uma filial em outro bairro da 
cidade. Para isso, ele deve adquirir ponto comercial, móveis e expositores novos. 
O orçamento dessas aquisições fica em R$ 565.500,00. Ele tem a expectativa de, 
após a nova loja estar funcionando, ter receitas líquidas de R$ 105.000,00 nos cinco 
meses após a sua inauguração. Sabe-se que o valor residual dos equipamentos ao 
final desse período de tempo será de R$ 75.000,00. Determine se é viável para o 
proprietário da loja realizar esse novo projeto, considerando uma taxa mínima de 
atratividade de 1,5% a.m.
4. Um empresário deseja adquirir maquinários novos para modernizar sua empresa. 
O valor unitário de cada uma das máquinas é de R$ 112.800,00. A empresa estima 
que, para os próximos cinco anos, suas receitas líquidas sejam superiores às 
atuais, em R$ 31.470,00 nos dois primeiros anos e R$ 40.200,00 nos três anos 
seguintes. Ao final do quinto ano, o valor residual de cada uma das máquinas seria 
de R$ 12.000,00. Verifique se a empresa deve ou não investir no novo maquinário, 
considerando uma taxa mínima de atratividade estipulada em 9,8% ao ano.
5. O proprietário de um apartamento, para alugá-lo por um valor maior, está propenso 
a reformá-lo. O valor previsto para a reforma é de R$ 65.000,00. Após finalizá-la, 
ele espera fazer um contrato de locação por 5 anos, recebendo R$ 18.000,00 por 
ano. Considerando uma taxa mínima de atratividade de 9,4% a.a., verifique se o 
investimento é viável ou não. Justifique sua resposta com o resultado do cálculo do 
valor presente líquido.
6. O proprietário de uma indústria de panificação está cogitando adquirir novas 
máquinas para aumentar a produção de pães. O custo dessa aquisição é de 
R$ 45.000,00. Depois que as novas máquinas estiverem em funcionamento, 
irão gerar receitas líquidas estimadas de R$ 5.075,00 mensais, por 8 meses. O 
maquinário terá valor residual de R$ 10.000,00, após esse período de tempo. 
Considerando que o custo de capital (taxa mínima de atratividade) seja de 
1,85% a.m., determine, justificando sua resposta com o resultado do valor presente 
líquido, se o proprietário da indústria deve ou não adquirir as máquinas.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 129
7. Uma empresa que necessita de um empréstimo bancário de R$ 850.000,00 
procurou um agente financeiro e propôs pagá-lo em quatro anos: no 1º e no 2º ano 
os pagamentos totalizariam R$ 300.000,00; nos dois anos seguintes, os pagamentos 
totalizariam R$ 410.000,00. Considerando que o agente financeiro opera, para esse 
tipo de operação financeira, com uma taxa de desconto composto de 10,6% a.a., 
determine se é viável que esse agente realize o empréstimo, tomando por base o 
índice de lucratividade e a taxa de rentabilidade da operação a ser realizada.
8. Um cliente que necessita de um empréstimo bancário de R$ 710.000,00 procurou 
um banco e propôs pagá-lo em quatro parcelas anuais:
 • a 1ª parcela de R$ 175.000,00;
 • a 2ª parcela de R$ 190.000,00;
 • a 3ª parcela de R$ 245.000,00;
 • a 4ª parcela de R$ 284.500,00.
Considerando que o agente financeiro opera, para esse tipo de operação financeira, 
com uma taxa de desconto composto de 9,5% a.a., determine se é viável ou não 
realizar o empréstimo, tomando por base o índice de lucratividade e a taxa de 
rentabilidade da operação a ser realizada.
9. O gestor de uma empresa solicitou ao departamento financeiro estudos para a 
modernização de dois setores da empresa. Ele recebeu as informações de que, 
para o 1º setor, o investimento deverá ser de R$ 172.125,00 e proporcionará 
receitas líquidas, nos 5 meses após a implantação, de: R$ 41.800,00; R$ 44.260,00; 
R$ 48.340,00; R$ 51.600,00; R$ 53.075,00. Para o 2º setor, o investimento será de 
R$ 185.000,00 e o retorno nos 5 meses posteriores à implantação serão todos 
iguais a R$ 44.750,00. O gestor solicitou os cálculos com uma taxa mínima de 
atratividade de 6,75% a.m. Sabendo que os projetos são independentes, com base 
nos métodos de cálculo da taxa interna de retorno, do valor presente líquido, do 
índice de lucratividade e da taxa de rentabilidade, quais se mostram viáveis para 
implantação na empresa? Justifique sua resposta.
10. O gestor de uma empresa solicitou ao departamento financeiro estudos para a 
modernização de três setores da empresa. Após o prazo dado para que os estudos 
fossem realizados, recebeu as informações discriminadas de que os investimentos 
necessários para a modernização dos três setores (A, B e C) da empresa fariam 
com que houvesse desembolsos de R$ 145.125,00 para o setor A; R$ 263.516,00 
para o setor B; R$ 205.972,00 para o setor C. O gestor, então, entrou em contato 
com o banco da empresa e solicitou os valores necessários. Sabendo que o banco 
trabalha com uma taxa de desconto composto para esse tipo de operação de 
9,2% a.m., fez a proposta para os pagamentos em cinco parcelas mensais, para 
cada um dos valores a serem emprestados, da seguinte maneira:
 • para o 1º valor, relativo ao setor A, os seguintes pagamentos: R$ 35.149,50; 
R$ 36.976,80; R$ 40.195,20; R$ 43.707,60; R$ 45.376,70.
 • para o 2º valor, relativo ao setor B, os seguintes pagamentos: R$ 68.750,00; 
R$ 68.437,50; R$ 69.375,00; R$ 69.687,50; R$ 70.625,00.
 • para o 3º valor, relativo ao setor C, os seguintes pagamentos: R$ 41.236,20; 
R$ 42.978,72; R$ 49.097,56; R$ 55.843,20; R$ 60.570,50.
Sabendo que os projetos são independentes, com base nos métodos de cálculo da 
taxa interna de retorno, do valor presente líquido, do índice de lucratividade e da 
taxa de rentabilidade, quais valores o banco deve liberar para o gestor da empresa?
130 Matemática Financeira
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
DICIONÁRIO FINANCEIRO. 2020. Disponível em: https://www.dicionariofinanceiro.com. Acesso em: 09 
mar. 2020.
MÜLLER, A. N, ANTONIK, L. R. Matemática financeira: instrumentos financeiros para tomada de decisão em 
marketing, finanças e comércio. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUCCINI, A. L. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
GABARITO
1. Os dados do problema são:
FC0 = R$ 76.480,00; FC1 = R$ 39.450,00; n1 = 1; FC2 = R$ 39.450,00; n2 = 2; TMA = 2,15% a.m.
Assim, aplicando a fórmula matemática, teremos:
FC
FC
�i
FC
�i �i
0
1
1
2
2 11 1
76 480 39 450
1
3
�
�� �
�
�� �
� �
�� �
��
�
� �
�
. � � .
�
� � 99 450
1 2
.
�
�
�� ��i
Calculando o valor da TIR, utilizando o Microsoft Excel, teremos:
A B
1 Investimento inicial 
(valor do empréstimo)
76.480
2 1º pagamento -39.450
3 2º pagamento -39.450
4
5 Taxa interna de retorno 2,10220%
Resposta: como a TIR é de 2,10% a.m., sendo menor que a TMA (2,15% a.m.) pensada pelo proprietá-
rio, o empréstimo não deve ser realizado.
2. Os dados do problema são: FC0 = R$ 1.458.300,00; FC1 = R$ 369.900,00; FC2 = R$ 398.700,00; 
FC3 = R$ 449.600,00; FC4 = R$ 485.400,00; TMA = 6% a.a.
Determinando o valor da TIR, obtemos, com a utilização do Microsoft Excel:
A B
1 Investimento inicial 
(valor do empréstimo)
1.458.300
2 1º pagamento -369.900
3 2º pagamento -398.700
4 3º pagamento -449.600
5 4º pagamento -485.400
6
7 Taxa interna de retorno 6,21346%
Resposta: o valor da TIR que encontramos foi de 6,21% a.a., superior à taxa mínima de atratividade 
estipulada, de 6% a.a.; portanto, o proprietário deve realizar a modernização da linha de produção.
3. Os dados do problema são: FC0 = R$ 565.000,00; FC1 = FC2 = FC3 = FC4 = R$ 105.000,00; FC5 = 180.000,00 
(é acrescido o valor residual); TMA = 1,5% a.m.
Determinando o valor da TIR, obtemos, com a utilização do Microsoft Excel:
A B
1Investimento inicial 
(valor do empréstimo)
565.500
2 1º pagamento -105.000
3 2º pagamento -105.000
4 3º pagamento -105.000
(Continua)
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 131
5 4º pagamento -105.000
6 5º pagamento -180.000
7
8 Taxa interna de retorno 1,85038%
Resposta: considerando que o valor da TIR que encontramos foi de 1,85% a.m., superior à taxa míni-
ma de atratividade estipulada, de 1,5% a.m., o proprietário deve, sim, montar a nova loja.
4. Os dados do problema são: FC0 = R$ 112.800,00; FC1 = FC2 = R$ 31.470,00; FC3 = FC4 = R$ 40.200,00; 
FC5 = R$ 52.200,00 (R$ 40.200,00 + R$ 12.000,00 = VR); i = 9,8% a.a.
Utilizando a fórmula matemática que realiza o cálculo do valor presente líquido, temos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 31.470
1+0,098
31.470
1+0,098
40.200
1+0,098
40
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..200
1+0,098
52.200
1+0,098
112.800
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 28.661,202186 + 26.103,09853 + 30.368,19873 + 27.657,74019 + 32.708,36251 – 112.800
VPL = 145.498,60214 – 112.800 ∴ VPL = 32.698,60214.
Resposta: como o VPL resultou um valor positivo, com a taxa mínima de atratividade estimada de 
9,8% ao ano, o valor presente líquido resulta em R$ 32.698,60. Logo, a empresa deve investir na aqui-
sição do novo maquinário.
5. Os dados do problema são: FC0 = R$ 65.000,00; FC1 = FC2 = FC3 = FC4 = FC5 = R$ 18.000,00; i = 9,4% a.a.
Com a utilização da fórmula matemática que realiza o cálculo do valor presente líquido, teremos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 18.000
1+0,094
18.000
1+0,094
18.000
1+0,094
18
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..000
1+0,094
18.000
1+0,094
65.000
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 16.453,38208 + 15.039,65456 + 13.747,39905 + 12.566,17829 + 11.486,45182 – 65.000∴
VPL = 69.293,06578 – 65.000 ∴ VPL = 4.293,06578.
Resposta: como o VPL resultou um valor positivo, com a taxa mínima de atratividade estimada de 
9,4% ao ano, o valor presente líquido resulta em R$ 4.293,07. Logo, o proprietário do apartamento 
deve realizar a reforma.
6. Os dados do problema são: FC0 = R$ 45.000,00; FC1 = FC2 = FC3 = FC4 = FC5 = FC6 = FC7 = R$ 5.075,00; 
FC8 = R$ 15.075,00 (R$ 5.075,00 + R$ 10.000,00 = VR); i = 1,85% a.m.
Com a utilização da fórmula matemática que realiza o cálculo do valor presente líquido, teremos:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�=� 5.075
1+0,0185
5.075
1+0,0185
5.075
1+0,0185
5
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
..075
1+0,0185
5.075
1+0,0185
+�
� �
�
� �
�
�
�
� 4 5
5.075
1+0,0185
5.075
1+0,0185
15.075
1+0,0185
45
� �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
6 7 8
..000��
VPL = [4.982,81787 + 4.892,31013 + 4.803,44637 + 4.716,19673 + 4.630,53189 + 4.546,42307 + 
4.463,84199 + 13.018,743] – 45.000 ∴
VPL = 46.054,3111 – 45.000 ∴ VPL = 1.054,3111.
Resposta: como o VPL resultou um valor positivo, com a taxa mínima de atratividade estimada de 
1,85% ao mês, o proprietário da indústria deve adquirir as novas máquinas.
132 Matemática Financeira
7. Os dados do problema são: FC1 = FC2 = R$ 300.000,00; FC3 = FC4 = R$ 410.000,00; i = 10,6% a.a.; 
VASaídas = R$ 850.000,00.
Para determinarmos, na data focal zero, o valor presente das entradas de caixa, devemos fazer:
VA�=
FC
1�+�i
VA�= 300.000
1�+�0,106
+� 30
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
00.000
1�+�0,106
410.000
1�+�0,106
410.000
1�+�0,106� �
�
� �
�
� �2 3 4
��
VA = 271.247,7396 + 245.251,1208 + 303.052,922 + 274.008,0669 ∴
VA = 1.093.559,849.
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . . ,
.
� ,1 093 559 849
850 000
1 2866541.����
Para calcularmos a taxa de rentabilidade, devemos calcular o valor presente líquido da operação 
financeira.
VPL�=
FC
1�+�i
FC VPL�=�1.093.559,849 85
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 00.000 VPL�=�243.559,849.�
A taxa de rentabilidade, portanto, será:
T T T TR R R R� � � � � � �� � �
. ,
.
� � , �VPL
VASaídas
243 559 849
850 000
0 286541 �� , %.28 6541
Resposta: o investimento para o agente financeiro é rentável, pois apresenta um índice de lucrativi-
dade superior a um e uma taxa de rentabilidade positiva.
8. Os dados do problema são: FC1 = R$ 175.000,00; FC2 = R$ 190.000,00; FC3 = R$ 245.000,00; 
FC4 = 284.500,00; i = 9,5% a.a.; VASaídas = 710.000,00.
Para determinarmos, na data focal zero, o valor presente das entradas de caixa, devemos fazer:
VA�=
FC
1�+�i
VA�= 175.000
1�+�0,095
+� 19
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1
00.000
1�+�0,095
245.000
1�+�0,095
284.500
1�+�0,095� �
�
� �
�
� �2 3 4
��
VA = 159.817,352 + 158.462,084 + 186.605,194 + 197.890,886 ∴ VA = 702.775,515.
Para determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL �
VA
VA
IL� �� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,702 775 515
710 000
0 989982467.����
Para calcular o valor presente líquido da operação financeira:
VPL�=
FC
1�+�i
FC VPL�=�702.775,515 710.
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �0 0000 VPL�=� 7224,485.� �
A taxa de rentabilidade será:
T T T TR R R R� � �
�
� � � �� � � . ,
.
� , �VPL
VASaídas
7 224 485
710 000
0 01017533 ���� , %.1 017533
Resposta: como obtivemos um índice de lucratividade inferior a um e uma taxa de rentabilidade 
negativa, o agente financeiro não deve realizar o investimento, pois não é rentável.
9. Os dados do problema são, para o 1º investimento: VASaídas = FC0 = 172.125,00; FC1 = R$ 41.800,00; 
FC2 = R$ 44.260,00; FC3 = R$ 48.340,00; FC4 = 51.600,00; FC5 = 53.075,00; i = 6,75% a.m.;.
Para o 2º investimento: VASaídas = FC0 = 185.000,00; FC1 = FC2 = FC3 = FC4 = FC5 = 44.750.
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto A, obteremos:
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 133
• cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2 3 4
3 4
1 1 1 1
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�
� �
�
� �
�
� �
�
�� �
�
�
�� �
�
FC
�i
������5
51
172 125
1 2 3
. �� � � � ��
� �
�
� �
�
� �
41.800
1�+�i
44.260
1�+�i
48.340
1�+�i
�� ��� � � ���������
� �
�
� �
51.600
1�+�i
53.075
1�+�i4 5
Utilizando o Microsoft Excel, com a função que determina o cálculo da TIR, obteremos o valor 
11,50% a.m.
• Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 41.800
1+0,0675
44.260
1+0,0675
48.340
1+0,0675� �
�
� �
�
� �1 2 3
��
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
51.600
1+0,0675
53.075
1+0,0675
172.125
4 5
VPL = 23.631,70.
• Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 41.800
1+0,0675
44.260
1+0,0675
48.340
1+0,0675� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
551.600
1+0,0675
53.075
1+0,0675� �
�
� �
�
4 5
VA = 195.756,70.
IL �
VA
VA
�IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,195 756 70
172 125
1137299383.��
• Cálculo da TR:
T T T TR R R R� � � � � � �� � �
. ,
.
� , � �VPL
VASaídas
236 31 70
172 125
0 13729383 113 729383, %.
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto B, obtemos:
• cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2 3
3 4
1 1 1 1
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �44 5
5
1
� �
�
�
�� �
�
FC
�i
���
185 000
1 2 3
. � � �� � ��
� �
�
� �
�
� �
44.750
1�+�i
44.750
1�+�i
44.750
1�+�i
�� � � � ��������
� �
�
� �
44.750
1�+�i
44.750
1�+�i4 5
Utilizando o Microsoft Excel, com a função que determina a TIR, obteremos o valor 6,69% a.m.
• Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 44.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675� �
�
� �
�
� �1 2 3
��
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
44.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675
185.000
4 5
VPL = – 281,39.
134 Matemática Financeira
• Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 44.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675� �
�
� ��
� �
�
1 2 3
444.750
1+0,0675
44.750
1+0,0675� �
�
� �
�
4 5
VA = 184718,61
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,184 718 61
185 000
0 998478897.��
• Cálculo da TR:
T T TR R R R� � �
�
� � � � �� � � ,
.
� , � �VPL
VA
�T
Saídas
281 39
185 000
0 00152103 ��0 1521, %.
Com o quadro resumo das informações calculadas, obteremos:
Projeto TIR VPL IL TR Decisão
Projeto A 11,50% R$ 23.631,70 1,13729 13,7293% Aceitar
Projeto B 8,14% R$ 9.040,51 0,99848 – 0,1521% Rejeitar
Resposta: esses resultados indicam que o gestor da empresa deve implantar o projeto A, mas deve 
rejeitar o projeto B.
10. Os dados do problema são: para o 1º investimento: VASaídas = FC0 = 145.125,00; FC1 = 
R$ 35.149,50; FC2 = R$ 36.976,80; FC3 = R$ 40.195,20; FC4 = 43.707,60; FC5 = 45.376,70; i= 9,2% a.m..
Para o 2º investimento: VASaídas = FC0 = 263.516,00; FC1 = R$ 68.750,00; FC2 = R$ 68.437,50; 
FC3 = R$ 69.375,00; FC4 = 69.687,50; FC5 = R$ 70.625,00.
Para o 3º investimento: VASaídas = FC0 = 205.972,00; FC1 = R$ 41.236,20; FC2 = R$ 42.978,72; FC3 = 49.097,56; 
FC4 = 55.843,20; FC5 = R$ 60.570,50.
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto A, obteremos:
• cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
��
FC
�i
��
FC
�i
0
1
1
2
2 3
3 4
1 1 1 1
� �
�
� �
�
�
� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� ��
�
�� �
�
4 5
5
1
� �
�
FC
�i
��������
145 125
1 2
. � � � � ��
� �
�
� �
�
35.149,50
1�+�i
36.976,80
1�+�i
40.195,20
11�+�i �i
45.376,70
1�+�i� �
�
�� �
�
� �3 4 5
43 707 60
1
� � . ,
�
� � ��
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos o valor da TIR de 11,43%.
• Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 35.149,50
1+0,092
36.976,80
1+0,092
40.195,20
1+0,� �
�
� �
�
1 2 0092
43.707,60
1+0,092
45.376,70
1+0,092
14
� �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 4 5
55.125�
VPL = 8.899,77.
• Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 35.149,50
1+0,092
36.976,80
1+0,092
40.195,20
1+0,0� �
�
� �
�
1 2 992
43.707,60
1+0,092
45.376,70
1+0,092� �
�
� �
�
� �
�
3 4 5
VA = 154.024,77.
Taxa interna de retorno e valor presente líquido 135
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,154 024 77
145 125
1 06132..
• Cálculo da TR:
T T T TR R R R� � � � � � �� � �
. ,
.
� , � � ,VPL
VASaídas
8 899 77
145 125
0 06132 6 1322%.
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto B, obteremos:
• Cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2
3
3
4
1 1 1 1
� �
�
� �
�
� �
�
� �
�
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �44
5
51
� �
�
�
�� �
�
FC
�i
��������
263516 68 750
1
68 437 5
1
69 375
11 2 3
�
�� �
�
�� �
�
�� �
.
�
� � . ,
�
� � .
�
�
�i �i �i
��
�� �
�
�� �
� . ,
�
� � .
�
�����69 687 5
1
70 625
14 5�i �i
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos o valor da TIR de 9,87%.
• Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 68.750
1+0,092
68.437,5
1+0,092
69.375
1+0,092� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
669.687,5
1+0,092
70.625
1+0,092
263.516
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
4 5
VPL = 4.600,27.
• Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 68.750
1+0,092
68.437,5
1+0,092
69.375
1+0,092
6
� �
�
� �
�
� �
�
1 2 3
99.687,5
1+0,092
70.625
1+0,092� �
�
� �
�
4 5
VA = 268116,27.
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� ,268 116 27
263 516
1 01745..
• Cálculo da TR:
T T T TR R R R� � � � � � �� � �
. ,
.
� , � � ,VPL
VASaídas
4 600 27
263 516
0 01746 1 7466%.
Calculando os valores da TIR, do VPL, do IL e da TR para o projeto C, obteremos:
• cálculo da TIR:
FC
FC
�i
FC
�i
FC
�i
FC
�i
0
1
1
2
2
3
3
4
41 1 1 1
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�� �
�
�
� �
�
� �
�
� �
�
�� �
�
�
�� �
�
FC
�i
�������5
51
205972 41 236 2
1
42 978 72
1
49 097 56
11 2
�
�� �
�
�� �
�� . ,
�
� � . ,
�
� � . ,
��i �i ��� �
�
�� �
�
�� ��i �i �i3 4 5
55 843 2
1
60 570 5
1
� � . ,
�
� � . ,
�
���
Utilizando o Microsoft Excel, obteremos o valo da TIR de 6,32%.
• Cálculo do VPL:
VPL�=
FC
1�+�i
FC
j�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �0 �
VPL�= 41.236,2
1+0,092
42.978,72
1+0,092
49.097,56
1+0,0� �
�
� �
�
1 2 992
55.843,2
1+0,092
60.570,5
1+0,092
205.9
� �
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 4 5
772�
VPL = – 16.184,38.
136 Matemática Financeira
• Cálculo do IL:
VA�=
FC
1�+�ij�=�1
n
j
j� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
VA�= 41.236,2
1+0,092
42.978,72
1+0,092
49.097,56
1+0,09� �
�
� �
�
1 2 22
55.843,2
1+0,092
60.570,5
1+0,092� �
�
� �
�
� �
�
3 4 5
VA = 189.787,62.
Vamos, agora, determinar o índice de lucratividade da operação financeira:
IL �
VA
VA
IL� IL�Entradas
Saídas
� � � � �� . ,
.
� , .189 787 62
205 972
0 9214
• Cálculo da TR:
T T T TR R R R� � �
�
� � � � ��� � � ,
.
� , � �VPL
VASaídas
16184 38
205 972
0 07858 7,, %.858
Se fizermos um quadro resumindo as informações calculadas, obteremos:
Projeto TIR VPL IL TR Decisão
Projeto A 11,43% R$ 8.899,77 1,06132 6,132% Aceitar
Projeto B 9,87% R$ 4.600,27 1,01745 1,746% Aceitar
Projeto C 6,32% – R$ 16.184,38 0,92142 – 7,858% Rejeitar
Resposta: esses resultados indicam que o banco deve liberar os valores correspondentes aos em-
préstimos dos projetos A e B, mas deve rejeitar o do projeto C.
Correção monetária, indicadores e depreciação 137
7
Correção monetária, 
indicadores e depreciação
Neste capítulo, vamos compreender como ocorre a correção monetá-
ria e como calculá-la. Também serão identificados os principais indicado-
res para se realizar esse tipo de operação e a maneira de aplicá-los. Outro 
conceito importante que será estudado é o da depreciação: compreende-
remos o que é e como trabalhar com ela.
7.1 Moeda
Vídeo No início das atividades comerciais, os comerciantes faziam ape-
nas a troca de mercadorias, a qual acontecia da seguinte maneira: 
um comerciante, que possuía uma determinada mercadoria e neces-
sitava de outra, procurava quem a tinha e propunha uma troca. Esse 
procedimento ficou conhecido como escambo.
Com o passar do tempo, alguns mercadores passaram a afirmar 
que a mercadoria que produziam valia mais que outras e, por isso, 
não queriam mais realizar as trocas. Assim se criou um impasse: qual 
mercadoria valia mais? E quanto a mais?
Verificou-se, então, segundo Crespo (2009), a necessidade da cria-
ção de uma mercadoria única, que fosse facilmente transportada, 
aceita por todos os mercadores e de valor constante. “Essa mercado-
ria passou a ser o padrão de trocas e de comparação de valores dos 
demais produtos. Esse padrão tornou-se, assim, a moeda da comu-
nidade” (CRESPO, 2009, p. 100).
Ainda assim, continuavam alguns impasses, como: qual mercado-
ria valia mais? E que mercadoria seria essa terceira, aceita por todos 
os comerciantes?
Várias mercadorias passaram a ser consideradas aceitas por to-
dos os comerciantes como mercadoria de troca, entre elas, o gado, 
principalmente o bovino, o sal e, até mesmo, os escravizados. Mas 
ainda persistia o problema: qual mercadoria valia mais? Ou seja, 
quantas cabeças de gado valia uma peça de tecido? Como fazer 
essa conversão?
escambo: “troca de mercadorias 
sem que haja uso de dinheiro” 
(DICIO, 2020).
Glossário
138 Matemática Financeira
Nesse contexto, uma mercadoria começou a se destacar: o metal, que apresen-
tava inúmeras vantagens em relação às outras, pois era facilmente fracionado e 
transportado. Tornou-se, então, a principal unidade de valor para a troca de mer-
cadorias. Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural. Depois, passou 
a ser comercializado em formato de barras e de joias.
Crespo (2009, p. 100) nos esclarece que, dessa forma, “chegou-se à conclusão 
de que a melhor moeda seria o metal: de fácil transporte, grande durabilidade e 
que permitia a obtenção de ‘pedaço’ parapagamentos menores”.
No século VII a.C., foram cunhadas as primeiras moedas na forma como conhe-
cemos atualmente, ou seja, no formato de pequenos círculos, com o seu valor ex-
posto e perfeitamente definido, aparecendo, com clareza, quem as confeccionou, 
o que atestava o seu valor.
De acordo com o Banco Central do Brasil (2020, grifo nosso):
a cunhagem de moedas em ouro e prata se manteve durante muitos séculos, 
sendo as peças garantidas por seu valor intrínseco, isto é, pelo valor comer-
cial do metal utilizado na sua confecção. Assim, uma moeda na qual haviam 
sido utilizados vinte gramas de ouro, era trocada por mercadorias desse 
mesmo valor.
Durante muitos séculos os países cunharam em ouro suas moedas de maior 
valor, reservando a prata e o cobre para os valores menores. Esses sistemas 
se mantiveram até o final do século 19, quando o cuproníquel e, posterior-
mente, outras ligas metálicas passaram a ser muito empregadas, passando a 
moeda a circular pelo seu valor extrínseco, isto é, pelo valor gravado em sua 
face, que independe do metal nela contido.
Ainda de acordo com informações do Banco Central do Brasil (2020):
na Idade Média, surgiu o costume de se guardar os valores com um ourives, 
pessoa que negociava objetos de ouro e prata. Este, como garantia, entre-
gava um recibo. Com o tempo, esses recibos passaram a ser utilizados para 
efetuar pagamentos, circulando de mão em mão e dando origem à moeda 
de papel.
Originou-se, assim, o que conhecemos hoje como papel-moeda, que pode ser 
as cédulas e os cheques – instrumento de circulação da moeda bancária.
Apesar de todas as garantias que o órgão emissor das moedas tomava, algumas 
moedas passaram a valer mais que outras, por vários motivos, entre eles, a prefe-
rência por determinada moeda, ou seja, quanto mais se preferia uma determinada 
moeda, mais valor ela ganhava. Tal fato faz com que ocorram desvalorizações de 
algumas moedas.
7.2 Correção monetária
Vídeo Para tratarmos de correção monetária, devemos, antes, ter conhecimento do 
significado de inflação e deflação. O valor de uma moeda, ou seja, o poder aquisitivo 
que uma moeda tem representa o que ela pode adquirir, seja em produtos, bens 
ou serviços.
cuproníquel: “liga de cobre e 
níquel” (DICIO, 2020). 
Glossário
As cédulas retratam a cultura do 
país emissor e, nelas, pode-se 
observar motivos característicos 
muito interessantes, como 
paisagens, tipos humanos, fauna e 
flora, monumentos de arquitetura 
antiga e contemporânea, líderes 
políticos, cenas históricas etc.
As cédulas apresentam, ainda, 
inscrições, geralmente na língua 
oficial do país, embora em muitas 
delas se encontre, também, as 
mesmas inscrições em outros 
idiomas. Essas inscrições, quase 
sempre em inglês, visam possi-
bilitar a leitura da peça para um 
maior número de pessoas (BANCO 
CENTRAL DO BRASIL, 2020a).
Atenção
Correção monetária, indicadores e depreciação 139
Uma moeda pode ser classificada como estável quando mantém seu valor ao 
longo do tempo, isto é, quando mantém o seu poder aquisitivo. Se ocorrer perda 
do poder aquisitivo, afirmamos que está ocorrendo a depreciação da moeda. Essa 
depreciação, redução do poder aquisitivo, é denominada inflação.
Devemos tomar cuidado em definir corretamente inflação. De acordo com Cres-
po (2009, p. 100), devemos observar:
que o aumento dos preços de alguns bens e serviços, resultante, por 
exemplo, de uma escassez típica das entressafras, não é o bastante para 
caracterizar um processo inflacionário. Este só fica caracterizado se todos 
os bens e serviços acusam uma tendência de alta generalizada e contínua.
Portanto, para termos um processo inflacionário, deve ocorrer um aumento ge-
neralizado de preços de produtos, bens e serviços, disponíveis para a sociedade em 
geral, de maneira contínua e persistente, sem motivos eficazes e justificados para 
tais aumentos.
É conveniente ressaltar que, se ocorrer o fenômeno inverso, ou seja, uma dimi-
nuição persistente e generalizada dos preços de bens, produtos e serviços disponí-
veis para a comunidade em geral, o processo é denominado deflação.
Caso estejamos frente a um processo inflacionário, para minimizar os seus im-
pactos na economia:
foi institucionalizado, no Brasil, o princípio da correção monetária. Por meio 
desse princípio, os valores monetários (preços de bens e serviços, salários, 
empréstimos, financiamentos, aplicações financeiras, impostos etc.) pode-
riam ser reajustados com base na inflação ocorrida no período anterior, 
medida por um índice de preços calculado por uma entidade credenciada, 
normalmente pela FGV (Fundação Getulio Vargas) ou pelo IBGE (Instituto Bra-
sileiro de Geografia e Estatística). (VIEIRA SOBRINHO, 1997, p. 261)
Assim, podemos alegar que a correção monetária, também denominada atua-
lização monetária e índice de inflação, é a maneira de se realizar a correção dos 
valores financeiros, utilizando-se a variação de algum índice econômico do período 
que se está considerando.
O objetivo principal dessa correção é, basicamente, a compensação das perdas 
de valores financeiros decorrentes da inflação.
7.2.1. Índices econômicos
Devemos perceber que, dependendo da atualização monetária que desejamos 
realizar, há índices específicos que devem ser utilizados.
Os principais índices econômicos, para a realização de atualizações monetárias, 
são calculados por três principais órgãos:
 • Fundação Getulio Vargas (FGV)
 • Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE)
 • Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (FIPE)
entressafra: “intervalo 
entre uma safra e outra, entre um 
período de colheita e o próximo” 
(DICIO, 2020).
Glossário
140 Matemática Financeira
De acordo com Pereira (2019, n.p.):
os Índices Gerais de Preços da Fundação Getulio Vargas foram divulgados 
pela primeira vez em novembro de 1947, no número de estreia da Revista 
Conjuntura Econômica. Desde então registram as variações de preços de ma-
térias-primas agrícolas e industriais, de produtos intermediários, e de bens e 
serviços finais.
Essa Fundação é responsável por calcular e publicar índices econômicos, como:
a. Índices Gerais de Preços (IGP)
b. Índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA)
c. Índice de Preços ao Consumidor (IPC)
d. Índice Nacional de Custo da Construção (INCC)
 Entre os índices que o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística é responsá-
vel pelos cálculos e divulgação estão:
a. Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA)
b. Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC)
c. Índice de Preços ao Produtor (IPP)
Já a Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas é o órgão responsável pelo 
cálculo e divulgação dos seguintes índices:
a. Índice de Preços do Setor de Asseio e Conservação (IPAC)
b. Índice de Preços ao Consumidor (IPC-FIPE)
c. Índice de Preços de Obras Públicas (IPOP)
Os índices econômicos possuem diversas utilizações. Vamos, então, indicar em 
que situações os principais índices econômicos são utilizados.
Índice Geral de Preços do Mercado
É um indicador macroeconômico muito importante, talvez o mais importante 
de todos, pois tem como um dos objetivos medir a inflação da economia do país.
Também é utilizado como indexador de muitos contratos, como os de aluguel, 
além das tarifas públicas, de seguros, das mensalidades escolares, dos planos de 
saúde e outros reajustes diversos, sendo o mais importante o dos contratos de 
aluguéis, tanto comerciais como residenciais.
Esse indicador econômico também está atrelado a muitos tipos de investimen-
tos financeiros, gerando, portanto, interferências nos rendimentos de diversas apli-
cações financeiras.
Índice de Preços ao Consumidor
O IPC mede a inflação que atinge os consumidores em suas despesas diárias. 
Uma de suas utilizações é o reajuste de salários. É importante salientarmos que 
o Índice de Preços ao Consumidor da 3 Idade (IPC-3i) é uma versão do IPC que 
leva em consideração exclusivamente a variação de preços de produtos e serviços 
A consulta às informa-
çõessobre cada um dos 
índices calculados por 
essas instituições pode ser 
feita diretamente em seus 
sites (acessos em: 31 mar. 
2020):
FGV: https://portalibre.fgv.
br/estudos-e-pesquisas/
indices-de-precos/igp/.
IBGE: https://www.ibge.gov.br/
indicadores.
FIPE: https://www.fipe.org.br/pt-br/
indices.
Saiba mais
Correção monetária, indicadores e depreciação 141
que afetam indivíduos com mais de 60 anos de idade. Esse índice é utilizado como 
referência para a execução de políticas públicas das áreas de saúde e previdência.
Índice Nacional de Custo da Construção
O INCC é o índice oficial do custo da construção civil do país e é um dos três itens 
que entram no cálculo do IGP. Esse índice econômico mede a variação do custo das 
construções habitacionais. O seu cálculo influencia diretamente o valor das parce-
las a serem cobradas dos consumidores que pretendem adquirir imóveis ainda na 
planta ou em fase de construção.
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo 
O IPCA é considerado o índice oficial de inflação do Brasil. Esse índice moni-
tora a variação nos preços dos produtos de mercado para o consumidor final, 
servindo como um indicador das perdas do poder de compra dos consumidores. 
Também está atrelado ao cálculo da taxa Selic 1 , a qual influencia diretamente 
investimentos financeiros.
Índice Nacional de Preços ao Consumidor
O INPC é um índice econômico criado para proteger o poder de compra dos 
consumidores brasileiros. É o índice mais utilizado para recompor os salários de 
diversas categorias, entrando nos cálculos dos dissídios e dos reajustes salariais 
em geral.
É importante salientarmos que os segurados da Previdência Social, aqueles que 
recebem mais do que o salário-mínimo, tiveram reajuste em seus benefícios calcu-
lados pelo valor do INPC.
7.2.2 Fórmula matemática para cálculo de correção 
monetária
Para calcularmos a correção monetária, ou índice de inflação, devemos estar 
cientes que, sendo referente à atualização do poder aquisitivo da moeda, ela deve es-
tar atrelada a um dos índices oficiais informados pelo governo. Esse índice também 
deve constar no contrato que as duas partes assinam, sendo pactuado por ambos os 
envolvidos na transação, tendo, inclusive, uma observação no caso de o índice eco-
nômico ser extinto, indicando qual será o índice econômico que o substituirá.
A fórmula matemática que é utilizada para o cálculo da correção monetária de 
um determinado período é:
CM = índice�do�período�indicado
índice�do�período�anterior
 – 1
Caso o objetivo seja determinar a correção monetária tendo vários períodos 
envolvidos, a fórmula matemática que devemos utilizar é:
CMt = (1 + CM1) . (1 + CM2) . (1 + CM3) . ... . (1 + CMn) – 1
Selic é a abreviatura de Sistema 
Especial de Liquidação e Custódia. 
De acordo com o Banco Central do 
Brasil, é a taxa básica de juros da 
economia, o principal instrumento 
de política monetária utilizado 
pelo Banco Central (BC) para 
controlar a inflação. Ela influencia 
todas as taxas de juros do país, 
como as de juros dos emprésti-
mos, dos financiamentos e das 
aplicações financeiras (BANCO 
CENTRAL DO BRASIL, 2020b).
1
O valor máximo das aposentado-
rias e pensões pagas pelo Instituto 
Nacional do Seguro Social (INSS) 
sofreu reajuste de 4,48% em 
2020 e passou de R$ 5.839,45 
para R$ 6.101,06. O novo valor foi 
fixado por uma portaria publicada 
pelo Ministério da Economia, 
no Diário Oficial da União de 
terça-feira (14/01). O reajuste 
leva em consideração a inflação 
medida pelo Índice Nacional de 
Preços ao Consumidor (INPC) no 
ano passado (BRASIL, 2020).
Curiosidade
142 Matemática Financeira
Contudo, se o objetivo for determinar a correção monetária média do cálculo 
envolvendo vários períodos, devemos utilizar a fórmula matemática:
CMm = 1�+�CMt
1
�n�� � – 1
É importante prestar atenção na simbologia utilizada para os cálculos. Nessas 
fórmulas, temos:
 • CM → correção monetária;
 • CMt → correção monetária total;
 • CMn → correção monetária do período de tempo considerado; e
 • CMm → correção monetária média.
Vamos, agora, resolver alguns exemplos para entendermos melhor como é que 
se determina a correção monetária, utilizando alguns dos índices econômicos.
Σxemρlos
1. Considere a tabela a seguir. Nela, constam os índices econômicos divulga-
dos por órgãos oficiais no período de fevereiro de 2019 a janeiro de 2020.
Tabela 1
Índices econômicos
Mês
IGP-M
FGV
INPC
IBGE
IPCA
IBGE
IGP-DI
FGV
IPC
FIPE
(em porcentagem)
Fevereiro/2019 0,88 0,54 0,43 1,25 0,54
Março/2019 1,26 0,77 0,75 1,07 0,51
Abril/2019 0,92 0,60 0,57 0,90 0,29
Maio/2019 0,45 0,15 0,13 0,40 – 0,02
Junho/2019 0,80 0,01 0,01 0,63 0,15
Julho/2019 0,40 0,10 0,19 – 0,01 0,14
Agosto/2019 – 0,67 0,12 0,11 – 0,51 0,33
Setembro/2019 – 0,01 – 0,05 – 0,04 0,50 0,00
Outubro/2019 0,68 0,04 0,10 0,55 0,16
Novembro/2019 0,30 0,54 0,51 0,85 0,68
Dezembro/2019 2,09 1,22 1,15 1,74 0,94
Janeiro/2020 0,48 0,19 0,21 0,09 0,29
Acumulado de
12 meses
7,82 4,30 4,19 7,70 4,08
Fonte: Elaborada com base em Fundação Getulio Vargas (2019); Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (2019) e Fundação Instituto de Pesquisas 
Econômicas (2019).
Vamos calcular a correção monetária do índice IGP-M da FGV do mês de 
junho de 2019 em relação ao mês de maio de 2019:
CM = 
índice� de�junho/2019
índice de� maio/2019
 – 1 ∴ CM = 1,008
1,0045
 – 1 ∴ CM = 1,00348432 – 1 ∴
CM = 0,00348432 ∴ CM = 0,348432%.
Correção monetária, indicadores e depreciação 143
O resultado obtido significa que a correção monetária do mês de maio de 
2019 para o mês de junho de 2019 é de 0,3484%, ou seja, o valor do índice 
de junho de 2019 é 0,3484% maior que o valor do índice de maio de 2019.
Agora, vamos calcular a correção monetária total do período indicado, ou 
seja, de fevereiro de 2019 a janeiro de 2020.
CMt = (1 + CM1) . (1 + CM2) . (1 + CM3) . ... . (1 + CMn) – 1 ∴
CMt = (1 + 0,0088) . (1 + 0,0126) . (1 + 0,0092) . (1 + 0,0045) . (1 + 0,008) . 
(1 + 0,004) . (1 – 0,0067) . (1 – 0,0001) . (1 + 0,0068) . (1 + 0,003) . (1 + 0,209) 
. (1 + 0,0048) – 1 ∴ CMt = (1,0088) . (1,0126) . (1,0092) . (1,0045) . (1,008) . 
(1,004) . (0,9933) . (0,9999) . (1,0068) . (1,003) . (1,0209) . (1,0048) – 1 ∴
CMt = 1,07822252 – 1 ∴ CMt = 0,07822252 ∴ CMt = 7,82225202%.
Determinando a correção monetária média, obteremos:
CMm = 1�+�CMt
1
�n�� � � – 1 ∴ CMm = 1�+�0,07822252
1
�12�� � – 1 ∴
CMm = 1,00629589 – 1 ∴ CMm = 0,00629589 ∴ CMm = 0,62958922%.
É importante que façamos os demais cálculos, para comprovarmos os va-
lores constantes do índice acumulado de 12 meses, nas demais colunas da 
tabela dada.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre a correção 
monetária. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
7.3 Depreciação
Vídeo Qualquer bem, depois de adquirido, com o passar do tempo, 
perde seu valor. Isso é denominado depreciação. De acordo com 
o Dicionário financeiro (2020), “a depreciação é a perda de valor 
de um bem decorrente de seu uso, do desgaste natural ou de sua 
obsolescência”. Tal fato influencia diretamente todos os bens que 
adquirirmos, principalmente os chamados de bens duráveis.
É conveniente ressaltarmos que alguns poucos bens não sofrem 
depreciação. De acordo com informações constantes na página do 
IOB, esses bens, denominados não depreciáveis podem ser:
a) terrenos, salvo em relação aos melhoramentos ou constru-
ções; b) prédios e construções não alugados nem utilizados 
na produção dos rendimentos da empresa ou destinados à 
revenda; c) bens que normalmente aumentam de valor com 
o tempo, como obras de arte e antiguidades e d) bens para os 
quais sejam registradas quotas de exaustão (florestas destina-
das ao corte e jazidas minerais). (IOB, 2020).
Em todos os demais casos, principalmente em se tratando de 
bens duráveis, devemos sempre considerar a sua depreciação.Se ela nos afeta como consumidores, ao comprar um veículo, por 
exemplo, para as empresas a depreciação é um conceito que deve 
obsolescência: “estado do que 
está prestes a se tornar inútil, 
ultrapassado ou obsoleto; processo 
pelo qual algo passa até se tornar 
antigo ou ultrapassado” (DICIO, 
2019).
Glossário
bens duráveis: “mercadoria 
que tem o objetivo de satisfazer 
as necessidades de consumo de 
um indivíduo ou família; pode ser 
classificado como bem durável 
(automóvel, geladeira), bem 
semi-durável (roupa, calçado) e não 
durável (alimento)” (DICIO, 2019).
Glossário
144 Matemática Financeira
ser levado muito a sério, pois interfere diretamente em seus bens, principalmente 
quando relacionada aos seus equipamentos.
Devemos perceber que são vários os motivos que nos levam a considerar a 
depreciação dos bens. Ela pode advir do envelhecimento do produto, do desgaste 
natural ou pode ser provocada pelo avanço das tecnologias, o qual é evidente nos 
equipamentos de informática, por exemplo.
Sendo assim, podemos considerar que os equipamentos e/ou bens sofrem de-
preciação real, ou seja, perdem o seu valor financeiro devido à sua utilização e ao 
desgaste que sofrem com o passar do tempo.
De acordo com Costa e Saraiva Jr. (2012, p. 6):
a depreciação real pode ser por uso ou funcional. A depreciação “por uso” de-
corre da ação de elementos como: choque, vibração, abrasão etc.; deteriora-
ção – ação de componentes químicos como corrosão, decomposição química, 
etc.; desgaste, deterioração, exaustão ou manutenção excessiva dos ativos 
fixos; por acidentes ou combinação de fatores. Já a depreciação “funcional” 
decorre da obsolescência, por exemplo, ou de situações independentes do 
ativo fixo resultantes das alterações das condições normais de sua operação, 
levando a retirar de serviço, muitas vezes, equipamentos de funcionamen-
to satisfatório. A depreciação funcional também é resultante de inovações 
tecnológicas ou por inadequação ou insuficiência resultante de incapacidade 
produtiva do ativo fixo para executar os serviços, por várias causas (aumento 
ou queda da demanda; mudança de processos, etc.).
Com a ocorrência da depreciação de um equipamento e/ou bem de consumo, 
chegaremos a um momento em que devemos trocá-lo por outro, mais moderno ou 
mais adequado. Para realizar essa troca, é necessário sabermos se o equipamento 
ou bem que possuímos pode ser dado como parte do pagamento do novo equipa-
mento ou bem, ou se não possui mais valor nenhum. Caso o equipamento antigo 
possua ainda algum valor, esse valor é denominado valor residual. Se não possuir 
nenhum, dizemos que seu valor residual é nulo ou igual a zero.
Sendo assim, podemos dizer que a depreciação real é a diferença entre o valor 
da aquisição do equipamento ou bem de consumo e o seu valor residual após um 
determinado tempo de uso, mas também deve levar em consideração a correção 
monetária do período de utilização do equipamento e, no caso de empresas, deve 
considerar todo o patrimônio da empresa a cada processo de depreciação que seja 
realizado. Por esse motivo, não nos preocuparemos com o cálculo do valor da de-
preciação real de um bem de consumo. Vamos nos ater a calcular a denominada 
depreciação teórica, pois, para esse tipo de cálculo, existem métodos já consagrados 
pelo uso.
7.3.1 Método linear ou de quotas constantes
A depreciação teórica é calculada pelo método linear ou de quotas (cotas) cons-
tantes, o qual é o mais utilizado para se determinar o valor da depreciação de um 
equipamento e/ou bem de consumo, sendo, inclusive, aceito pela Receita Federal 
do Brasil, que periodicamente edita instruções normativas, atualizando a legislação 
Correção monetária, indicadores e depreciação 145
que regulamenta como as empresas devem realizar a depreciação de seus bens e 
equipamentos.
Para obtermos o valor da depreciação de equipamentos e/ou bens de consumo 
com a utilização desse método fazemos uso da seguinte fórmula:
DL = V V
n
A R−− 
Em que:
 • DL → valor da depreciação linear;
 • VA → valor de aquisição do equipamento e/ou bem de consumo;
 • VR → valor residual do equipamento e/ ou bem de consumo, e;
 • n → vida útil do equipamento e/ou bem de consumo.
Convém ressaltarmos que é muito difícil estabelecer o período de vida útil de 
um equipamento. Normalmente, determina-se esse período por informações da-
das pelo fabricante, levando em consideração os desgastes naturais da utilização, 
o obsoletismo e o surgimento de substitutos mais modernos e mais adequados.
Σxemρlos
1. Determine o valor da depreciação de um equipamento, utilizando o método 
da depreciação linear, sabendo que o bem de consumo foi adquirido por 
R$ 17.500,00 e que a vida útil dele é estipulada em 6 anos, tendo como valor 
residual, após esse período, R$ 3.800,00.
O problema nos fornece os seguintes dados:
VA = R$ 17.500,00; VR = R$ 3.800,00 e n = 6 anos.
Com a aplicação da fórmula matemática, obteremos:
DL = 
V V
n
A R− ∴ DL = 
17.500� 3.800
6
−�
 ∴ DL = 2.283,33333333 ... ∴ DL = R$ 2.283,33.
Logo, se elaborarmos uma tabela, denominada de tabela de depreciação ou 
de plano de depreciação, obteremos:
ANO Valor do equipamento Depreciação linear Valor residual
1 R$ 17.500,00 R$ 2.283,33 R$ 15.216,67
2 R$ 15.216,67 R$ 2.283,33 R$ 12.933,33
3 R$ 12.933,33 R$ 2.283,33 R$ 10.650,00
4 R$ 10.650,00 R$ 2.283,33 R$ 8.366,67
5 R$ 8.366,67 R$ 2.283,33 R$ 6.083,33
6 R$ 6.083,33 R$ 2.283,33 R$ 3.800,00
Percebemos, assim, que o valor encontrado pela aplicação do método de 
depreciação da taxa constante nos leva ao valor residual ao final do período 
de vida útil do equipamento.
Resposta: o valor da depreciação do equipamento, calculado pelo método 
linear, é de R$ 2.283,33 por ano de vida útil do equipamento.
146 Matemática Financeira
2. Uma determinada máquina foi adquirida, por uma indústria, pelo valor de 
R$ 248.000,00. O fabricante estipula que, se a manutenção dela for realiza-
da anualmente, o equipamento terá o valor residual, ao final da vida útil, de 
R$ 24.000,00. Sabendo que o valor da depreciação da máquina, calculado 
pelo método de depreciação linear, é de R$ 44.800,00, determine a vida útil 
da máquina.
Os dados do problema são:
VA = R$ 248.000,00; VR = R$ 24.000,00; DL = R$ 44.800,00.
Aplicando a fórmula matemática, obteremos:
DL = 
V V
n
A R− ∴ 44.800 = 248.000� 24.000
n
−� ∴ n = 
224.000
44.800
 ∴ n = 5.
Resposta: a vida útil da máquina será de 5 anos.
7.3.2 Método da taxa constante
O método da taxa constante, como o próprio nome diz, deve estabelecer uma 
taxa de depreciação que deve ser uniforme, isto é, constante, no decorrer do perío-
do da vida útil do bem de consumo.
A fórmula matemática que utilizamos para realizar esse método de depreciação é:
(1 – i)n = 
V
V
R
A
Em que:
 • i → taxa constante de depreciação;
 • VA → valor de aquisição do equipamento e/ou bem de consumo;
 • VR → valor residual do equipamento e/ou bem de consumo; e
 • n → vida útil do equipamento e/ou bem de consumo.
Devemos perceber que, após o n-ésimo período de depreciação, o valor resi-
dual é determinado por VR = (1 – i)n . VA
Também é fundamental percebermos que, ao utilizarmos esse método de de-
preciação, é a taxa de depreciação que é constante e não o valor da depreciação, 
como no método linear.
Σxemρlos
1. Determine o valor da taxa de depreciação de um equipamento, utilizando o 
método da taxa constante, sabendo ele que foi adquirido por R$ 17.500,00 e 
tem vida útil estipulada em 6 anos, com valor residual, após esse período, de 
R$ 3.800,00. Construa, também, o plano de depreciação do equipamento.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre o método 
linear de depreciação. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Correção monetária, indicadores e depreciação 147
Os dados do problema são:
VA = R$ 17.500,00; VR = R$ 3.800,00e n = 6 anos.
Com a aplicação da fórmula matemática, obteremos:
(1 – i)n = 
V
V
R
A
 ∴ (1 – i)6 = 
3.800
17.500
 ∴ (1 – i)6 = 0,21714286 ∴ 1 – i = 0,217142866 ∴
i = 1 – 0,77527823 ∴ i = 0,22472177 ∴ i = 22,472177% a.a.
Se elaborarmos uma tabela de depreciação, ou plano de depreciação, 
obteremos:
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 17.500,00 R$ 3.932,63 ! R$ 13.567,37
2 R$ 13.567,37 R$ 3.048,88 R$ 10.518,49
3 R$ 10.518,49 R$ 2.363,73 R$ 8.154,75
4 R$ 8.154,75 R$ 1.832,55 R$ 6.322,20
5 R$ 6.322,20 R$ 1.420,74 R$ 4.901,47
6 R$ 4.901,47 R$ 1.101,47 R$ 3.800,00
Resposta: a taxa de depreciação, calculada pelo método da taxa constante, 
é de 22,47% a.a. O plano de depreciação está na tabela acima.
2. Uma determinada máquina foi adquirida, por uma indústria, pelo valor de 
R$ 248.000,00. O fabricante estipula que, se a manutenção for realizada 
anualmente, comprará a máquina, ao final de sua vida útil, por R$ 24.000,00. 
Sabendo que a taxa de depreciação da máquina, calculada pelo método da 
taxa constante, é de 37,3167% a.a., determine a vida útil dela.
Os dados do problema são:
VA = R$ 248.000,00; VR = R$ 24.000,00; i = 37,3167% a.a.
Aplicando da fórmula matemática, obteremos:
(1 – i)n = V
V
R
A
 ∴ (1 – 0,373167)n = 
24.000
24.8000
 ∴ (0,626833)n = 0,09677419 ∴ 
n�=
log 0,09677419
log 0,626833
n�= -�1,01424044
-�0,20
10
10
� �
� � �� 2284815 � �n�=�4,99999852.� ��
Resposta: a vida útil da máquina adquirida pela indústria é de 5 anos.
7.3.3 Método da soma dos algarismos dos anos da vida útil 
(método de Cole)
Para a aplicação do método de Cole, devemos adotar os passos a seguir.
a. Somar os algarismos da vida útil do equipamento e/ou bem de consumo, ou 
seja, 1 + 2 + 3 + ... + n.
b. Multiplicar o valor do equipamento subtraído do valor residual, ano por ano 
da vida útil dele, por uma fração que possui como denominador o resultado 
Para obter o valor da depreciação, 
devemos multiplicar o valor do 
equipamento pelo valor unitário 
da taxa de depreciação calculado, 
ou seja, para essa linha da tabela, 
R$ 17.500,00 x 0,22472177, o 
que resultará R$ 3.932,63. Esse 
procedimento deve ser adotado 
em todas as demais linhas dessa 
coluna. 
!
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre cálculos 
envolvendo o método de depre-
ciação com a taxa constante. 
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Para mais informações sobre 
diversos métodos de depreciação, 
inclusive alguns que não foram 
abordados nesta obra, acesse o 
seguinte documento.
Disponível em: https://docs.infor.
com/ln/10.4/pt-br/lnolh/help/
tf/onlinemanual/000180.html#B. 
Acesso em: 13 abr. 2020.
Saiba mais
148 Matemática Financeira
da soma realizada no item a. O numerador, para o 1º ano de vida do bem de 
consumo é igual a n; do 2º ano em diante, devemos subtrair uma unidade 
desse valor por ano, ou seja, para o 1º ano → n; para o 2º ano → n – 1; para o 
3º ano → n – 2 etc.
Vamos perceber que, na aplicação desse método, a depreciação do equipamen-
to vai diminuindo a cada ano, pois entendemos que o custo de manutenção au-
menta a cada ano, por conta do desgaste da utilização.
Σxemρlos
1. Elabore o plano de depreciação, utilizando o método da soma dos algaris-
mos dos anos da vida útil (método de Cole), para um equipamento adquiri-
do por uma empresa por R$ 17.500,00 e que tenha vida útil estipulada em 
6 anos. Esse equipamento terá valor residual, após o período de vida útil, 
de R$ 3.800,00.
Os dados do problema são:
VA = R$ 17.500,00; VR = R$ 3.800,00 e n = 6 anos.
A soma dos algarismos da vida útil do equipamento é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 1º ano, devemos fazer:
6
21
 . (17.500 – 3.800) = 6
21
 . (13.700) = 3.914,28571429...
Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 2º ano, devemos fazer:
5
21
 . (17.500 – 3.800) = 
5
21
 . (13.700) = 3.261,9047619...
Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 3º ano, devemos fazer:
4
21
 . (17.500 – 3800) = 
4
21
 . (13.700) = 2.609,52380952...
Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 4º ano, devemos fazer:
3
21
 . (17.500 – 3.800) = 
3
21 . (13.700) = 1.957,14285714...
Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 5º ano, devemos fazer:
2
21
 . (17.500 – 3.800) = 2
21
. (13.700) = 1.304,76190476...
Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 6º ano, devemos fazer:
1
21
 . (17.500 – 3.800) = 1
21
 . (13.700) = 652,38095238...
Resposta: o plano de depreciação, calculado pelo método da soma dos al-
garismos da vida útil (método de Cole) será:
Correção monetária, indicadores e depreciação 149
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 17.500,00 R$ 3.914,29 R$ 13.585,71
2 R$ 13.585,71 R$ 3.261,90 R$ 10.323,81
3 R$ 10.323,81 R$ 2.609,52 R$ 7.714,29
4 R$ 7.714,29 R$ 1.957,14 R$ 5.757,14
5 R$ 5.757,14 R$ 1.304,76 R$ 4.452,38
6 R$ 4.452,38 R$ 652,38 R$ 3.800,00
Observação: esse método de depreciação pode ser aplicado sendo os va-
lores da depreciação decrescentes, como no exemplo acima, mas também 
pode ser aplicado com os valores da depreciação crescentes. Para resolver-
mos dessa outra maneira, apenas devemos iniciar o cálculo da depreciação 
com o numerador da fração sendo 1 (um) e terminar, no último ano da vida 
útil, com o valor de n.
Vamos resolver o mesmo exemplo utilizando essa forma. Observe:
Os dados do problema são:
VA = R$ 17.500,00; VR = R$ 3.800,00 e n = 6 anos.
A soma dos algarismos da vida útil do equipamento é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 1º ano, devemos fazer:
1
21
 . (17.500 – 3.800) = 
1
21
 . (13.700) = 652,38095238...
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 2º ano, devemos fazer:
2
21
 . (17.500 – 3.800) = 
2
21
. (13.700) = 1.304,76190476...
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 3º ano, devemos fazer:
3
21
 . (17.500 – 3.800) = 3
21
 . (13.700) = 1.957,14285714...
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 4º ano, devemos fazer:
4
21 . (17.500 – 3.800) = 
4
21 . (13.700) = 2.609,52380952...
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 5º ano, devemos fazer:
5
21
 . (17.500 – 38.00) = 
5
21
 . (13.700) = 3.261,9047619...
Para calcular a depreciação do equipamento relativa ao 6º ano, devemos fazer:
6
21 . (17.500 – 3.800) = 
6
21
 . (13.700) = 3.914,28571429...
Resposta: o plano de depreciação, calculado pelo método da soma dos algaris-
mos da vida útil (método de Cole), com valores da depreciação crescentes, será: 
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 17.500,00 R$ 652,38 R$ 16.847,62
2 R$ 16.847,62 R$ 1.304,76 R$ 15.542,86
3 R$ 15.542,86 R$ 1.957,14 R$ 13.585,71
4 R$ 13.585,71 R$ 2.609,52 R$ 10.976,19
5 R$ 10.976,19 R$ 3.261,90 R$ 7.714,29
6 R$ 7.714,29 R$ 3.914,29 R$ 3.800,00
Acesse o QR Code e exercite 
seus conhecimentos sobre 
cálculos envolvendo método 
de depreciação da soma dos 
algarismos dos anos da vida útil 
(método de Cole).
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
150 Matemática Financeira
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste capítulo, estudamos vários conceitos importantes de matemática financeira, 
como a correção monetária – muito utilizada para cálculos de porcentagens de infla-
ção ou deflação – com a utilização dos índices econômicos. Observamos, também, que 
esses índices são determinados, e divulgados, por vários órgãos oficiais, sendo que 
cada um deles é responsável por indicadores econômicos diferentes.
Em seguida, aprendemos como se procede para realizar a depreciação de equi-
pamentos e/ou bens de consumo, utilizando os métodos de cálculo mais recorren-
tes. Vale a penasalientar que existem outros métodos para se realizar o cálculo de 
depreciação de bens de consumo, mas estudamos os mais utilizados e aquele que é 
utilizado pela Receita Federal do Brasil (o método de depreciação linear).
ATIVIDADES
1. Considere a tabela abaixo, em que constam os percentuais dos índices econômicos 
divulgados por órgãos oficiais no período de novembro de 2018 a outubro de 2019.
Ano 2018 2019
Mês Nov. Dez. Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out.
IPCA – 0,21 0,15 0,32 0,43 0,75 0,57 0,13 0,01 0,19 0,11 – 0,04 0,10
IGP-DI – 1,14 – 0,45 0,07 1,25 1,07 0,90 0,40 0,63 – 0,01 – 0,51 0,50 0,55
Em seguida, determine:
a) a correção monetária, calculada por intermédio do índice IPCA, do mês de 
setembro de 2019 em relação ao mês de agosto de 2019.
b) a correção monetária total do período indicado na tabela, ou seja, de 
novembro de 2018 a outubro de 2019, calculado pelo índice econômico 
IGP-DI.
c) a correção monetária média do ano de 2019 (de janeiro a outubro), calculada 
pelo índice econômico IPCA.
2. Determine o valor da depreciação de um equipamento, utilizando o método da 
depreciação linear, sabendo que ele foi adquirido por R$ 35.782,00 e que tem vida 
útil estipulada em 6 anos, com valor residual, após esse período, de R$ 4.226,00. 
Elabore, também, o plano de depreciação.
3. Uma determinada máquina foi adquirida, por uma indústria, pelo valor de 
R$ 322.750,00. O fabricante estipula que, se a manutenção for realizada anualmente, 
comprará a máquina, ao final da vida útil dela, por R$ 44.925,00. Sabendo que o 
valor da depreciação da máquina, calculado pelo método de depreciação linear, é 
de R$ 69.456,25, determine a vida útil da máquina.
4. Determine o valor da taxa de depreciação de um equipamento, utilizando o método 
da taxa constante, sabendo que ele foi adquirido por R$ 82.560,00 e que tem vida 
útil estipulada em 8 anos, tendo valor residual, após esse período, de R$ 12.740,00. 
Elabore, também, o plano de depreciação desse equipamento.
Correção monetária, indicadores e depreciação 151
5. Uma determinada máquina foi adquirida, por uma indústria, pelo valor de 
R$ 738.630,00. O fabricante estipula que, se a manutenção for realizada anualmente, 
comprará a máquina, ao final de sua vida útil, por R$ 81.575,00. Sabendo que a 
taxa de depreciação da máquina, calculada pelo método da taxa constante, é de 
30,7337% a.a., determine a vida útil da máquina.
6. Elabore o plano de depreciação, utilizando o método da soma dos algarismos 
dos anos da vida útil (método de Cole) com depreciação decrescente, para um 
equipamento adquirido por uma empresa por R$ 135.790,00 e que tenha vida útil 
estipulada em 5 anos. Esse equipamento terá valor residual, após o período de vida 
útil igual a 10% do valor de aquisição.
7. Elabore o plano de depreciação, utilizando o método da soma dos algarismos 
dos anos da vida útil (método de Cole) com depreciação crescente, para um 
equipamento adquirido por uma empresa por R$ 470.135,00 e que tenha vida útil 
estipulada em 8 anos. Esse equipamento terá percentual residual, após o período 
de vida útil, de 15% do valor de aquisição.
REFERÊNCIAS
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Origem e Evolução do Dinheiro. Brasília, 2020a. Disponível em: https://www.
bcb.gov.br/htms/origevol.asp?frame=1. Acesso em: 31 mar. 2020.
BANCO CENTRAL DO BRASIL. Taxa Selic. Brasília, 2020b. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/
controleinflacao/taxaselic. Acesso em: 19 mar. 2020.
BRASIL. Ministério da Economia, 2020. Teto de benefício sobe para R$ 6.101,06 e altera salário de participação 
na Funpresp. Disponível em: http://www.economia.gov.br/noticias/2020/01/teto-de-beneficio-sobe-para-
r-6-101-06-e-altera-salario-de-participacao-na-funpresp. Acesso em: 9 mar. 2020.
COSTA, R. P.; SARAIVA JR., A. F. Análise comparativa entre as depreciações econômica, contábil e real. 
In: 32º ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – Desenvolvimento sustentável e 
responsabilidade social: as contribuições de engenharia de produção. ANAIS [...] Bento Gonçalves: Enegep, 
out. 2012. Disponível em: http://www.abepro.org.br/biblioteca/enegep2012_TN_STO_159_926_20922.
pdf. Acesso em: 31 mar. 2020.
CRESPO, A. A. Matemática financeira fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
DICIO. Dicionário Online de Português. 2020. Disponível em: https://www.dicio.com.br. Acesso em: 31 
mar. 2020.
DICIONÁRIO FINANCEIRO. 2020. Disponível em: https://www.dicionariofinanceiro.com. Acesso em: 31 
mar. 2020.
IOB. 2020. Depreciação – Bens não depreciáveis.  Disponível em: https://www.iob.com.br/noticiadb.
asp?area=contabil&noticia=13909. Acesso em: 31 mar. 2020.
IBGE. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. 2019. Índice nacional de preços ao consumidor. 
Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/economicas/precos-e-custos/9258-indice-nacional-
de-precos-ao-consumidor.html?edicao=26615&t=series-historicas. Acesso em: 31 mar. 2020.
Fundação Instituto de Pesquisa Econômicas. FIPE, 2019. Índice de preços ao consumidor (IPC). Disponível 
em: https://www.fipe.org.br/pt-br/indices/ipc/#indice-mensal. Acesso em: 26 mar. 2020.
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. IBGE, 2019. Índice nacional de preços ao consumidor – INPC. 
Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/economicas/precos-e-custos/9258-indice-nacional-
de-precos-ao-consumidor.html?edicao=26615&t=series-historicas. Acesso em: 26 mar. 2020.
PEREIRA, J. B. JUS.com.br, 2019. Inflação e índices aferidores da economia. Disponível em: https://jus.com.
br/artigos/73429/inflacao-e-indices-aferidores-da-economia. Acesso em: 31 mar. 2020.
VIEIRA SOBRINHO. J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
152 Matemática Financeira
GABARITO
1. 
 a) CM = índice�de�setembro/2019
índice�de�agosto/2019
 – 1 ∴ CM = 0,9996
1,0011
 – 1 ∴ CM = 0,99850165 – 1 ∴ 
 CM = – 0,00149835 ∴ CM = – 0,14983518%.
b) Calculando a correção monetária total do período indicado, ou seja, de novembro de 2018 a 
outubro de 2019, pelo índice econômico IGP-DI.
CMt = (1 + CM1) . (1 + CM2) . (1 + CM3) . ... . (1 + CMn) – 1 ∴ 
CMt = (1 – 0,0114) . (1 – 0,0045) . (1 + 0,0007) . (1 + 0,0125) . (1 + 0,0107) . (1 + 0,009) . (1 + 0,004) . 
(1 – 0,0063) . (1 – 0,0001) . (1 – 0,0051) . (1 + 0,005) . (1 + 0,0055) – 1 ∴ CMt = (0,9886) . (0,9955) . 
(1,0007) . (1,0125) . (1,0107) . (1,009) . (1,004) . (1,0063) . (0,9999) . (0,9949) . (1,005) . (1,0055) – 1 ∴ 
CMt = 1,03280791 – 1 ∴ CMt = 0,03280791 ∴ CMt = 3,280791%.
c) Calculando a correção monetária total do período indicado, ou seja, de janeiro de 2019 a outu-
bro de 2019, pelo índice econômico IPCA, temos:
CMt = (1 + CM1) . (1 + CM2) . (1 + CM3) . ... . (1 + CMn) – 1 ∴ 
CMt = (1 + 0,0032) . (1 + 0,0043) . (1 + 0,0075) . (1 + 0,0057) . (1 + 0,0013) . (1 + 0,0001) . (1 + 0,0019) 
. (1 – 0,0011) . (1 – 0,0004) . (1 – 0,01) – 1 ∴ 
CMt = (1,0032) . (1,0043) . (1,0075) . (1,0057) . (1,0013) . (1,0001) . (1,0019) . (1,0011) . (0,9996) . 
(1,001) – 1 ∴ 
CMt = 1,02596914 – 1 ∴ CMt = 0,02596914 ∴ CMt = 2,596914%.
Determinando a correção monetária média, obteremos:
CMm = 1�+�CMt
1
�n�� � – 1 ∴ CMm = 1�+�0,02596914
1
�10�� � – 1 ∴ 
CMm = 1,00256706 – 1 ∴ CMm = 0,00256706 ∴ CMm = 0,2567056%.
 Resposta:
a) A correção monetária, utilizando o índice IPCA do mês de setembro de 2019 em relação ao 
mês de agosto de 2019 é igual a – 0,14983518%.
b) A correção monetária total de novembro de 2018 a outubro de 2019, calculada pelo índice 
econômico IGP-DI é igual a 3,280791%.
c) A correção monetária média do ano de 2019 (de janeiro a outubro), calculada pelo índice eco-
nômico IPCA, é igual a 0,2567056%.
2. O problema nos fornece os seguintes dados:
 VA = R$ 35.782,00; VR = R$ 4.226,00; n = 6 anos.
 Com a aplicação da fórmula matemática, obteremos:
 DL = 
V V
n
A R− ∴ DL = 
35.782� 4226
6
−�
 ∴ DL = 5.259,333333... ∴ DL = R$ 5.259,33.
 Resposta: o valor da depreciação do equipamento calculado pelo método linear é de R$ 5.269,33 por 
ano de vida útil do equipamentoe o plano de depreciação é:
ANO Valor do equipamento Depreciação linear Valor residual
1 R$ 35.782,00 R$ 5.259,33 R$ 30.522,67
2 R$ 30.522,67 R$ 5.259,33 R$ 25.263,33
3 R$ 25.263,33 R$ 5.259,33 R$ 20.004,00
4 R$ 20.004,00 R$ 5.259,33 R$ 14.744,67
5 R$ 14.744,67 R$ 5.259,33 R$ 9.485,33
6 R$ 9.485,33 R$ 5.259,33 R$ 4.226,00
Correção monetária, indicadores e depreciação 153
3. Os dados do problema são:
 VA = R$ 322.750,00; VR = R$ 44.925,00; DL = R$ 69.456,25.
 Aplicando a fórmula matemática, obteremos:
 DL = 
V V
n
A R− ∴ 69.456,25 = 32.2750� 44.925
n
−� ∴ n = 27.7825
69.456,25
 ∴ n = 4.
 Resposta: a vida útil da máquina será de 4 anos.
4. Os dados do problema são:
 VA = R$ 82.560,00; VR = R$ 12.740,00 e n = 8 anos.
 Com a aplicação da fórmula matemática, obteremos:
 (1 – i)n = 
V
V
R
A
 ∴ (1 – i)6 = 12.740
82.560
 ∴ (1 – i)8 = 0,15431202 ∴ 1 – i = 0,154312028 ∴ 
 i = 1 – 0,79168054 ∴ i = 0,20831946 ∴ i = 20,831946% a.a.
 Resposta: a taxa de depreciação, calculada pelo método da taxa constante, é de 20,83% a.a. O plano 
de depreciação é:
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 17.500,00 R$ 3.932,63 R$ 13.567,37
2 R$ 13.567,37 R$ 3.048,88 R$ 10.518,49
3 R$ 10.518,49 R$ 2.363,73 R$ 8.154,75
4 R$ 8.154,75 R$ 1.832,55 R$ 6.322,20
5 R$ 6.322,20 R$ 1.420,74 R$ 4.901,47
6 R$ 4.901,47 R$ 1.101,47 R$ 3.800,00
5. Os dados do problema são:
 VA = R$ 738.630,00; VR = R$ 81.575,00; i = 30,7337% a.a.
 Aplicando da fórmula matemática, obteremos:
 (1 – i)n = V
V
R
A
 ∴ (1 – 0,307337)n = 
81.575
738.630
 ∴ (0,692663)n = 0,11044095 ∴ 
 
 
n�=
log 0,11044095
log 0,692663
n�= -�0,95686986
-�0,15
10
10
� �
� � �� 9947801 n�=�6,00001127.� ��
 Resposta: a vida útil da máquina adquirida pela indústria é de 6 anos.
6. Os dados do problema são:
 VA = R$ 135.790,00; VR = R$ 13.579,00 (10% de R$ 135.790,00) e n = 5 anos.
 A soma dos algarismos da vida útil do equipamento é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 1º ano, devemos fazer:
 5
15
 . (135.790 – 13.579) = 
5
15
. (122.211) = 40.737
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 2º ano, devemos fazer:
 
4
15
 . (135.790 – 13.579) = 4
15
 . (122.211) = 32.589,6
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 3º ano, devemos fazer:
 
3
15
 . (135.790 – 13.579) = 
3
15
 . (122.211) = 24.442,2
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 4º ano, devemos fazer:
 
2
15
 . (135.790 – 13.579) = 2
15
 . (122.211) = 16.294,8
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 5º ano, devemos fazer:
 1
15
 . (135.790 – 13.579) = 
1
15
 . (122.211) = 8.147,4
154 Matemática Financeira
 Resposta: o plano de depreciação, calculado pelo método da soma dos algarismos da vida útil (mé-
todo de Cole), com depreciação decrescente, será:
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 135.790,00 R$ 40.737,00 R$ 95.053,00
2 R$ 95.053,00 R$ 32.589,60 R$ 62.463,40
3 R$ 62.463,40 R$ 24.442,20 R$ 38.021,20
4 R$ 38.021,20 R$ 16.294,80 R$ 21.726,40
5 R$ 21.726,40 R$ 8.147,40 R$ 13.579,00
7. Os dados do problema são:
 VA = R$ 470.135,00; VR = R$ 70.520,25 (15% de R$ 470.135,00); n = 8 anos.
 A soma dos algarismos da vida útil do equipamento é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 1º ano, devemos fazer:
 1
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 1
36
 . (3.99614,75) = 11.100,4097222...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 2º ano, devemos fazer:
 
2
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 
2
36
 . (399.614,75) = 22.200,8194444...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 3º ano, devemos fazer:
 3
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 
3
36
 . (399.614,75) = 33.301,22916667...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 4º ano, devemos fazer:
 4
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 
4
36
 . (399.614,75) = 44.401,6388888...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 5º ano, devemos fazer:
 5
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 
5
36
 . (399.614,75) = 55.502,0486111...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 6º ano, devemos fazer:
 6
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 6
36
 . (399.614,75) = 66.602,4583333...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 7º ano, devemos fazer:
 7
36
 . (470.135 – 70.520,25) = 7
36
 . (399.614,75) = 77.702,8680555...
 Para calcular a depreciação do equipamento, relativa ao 8º ano, devemos fazer:
 8
36
 . (470.135 – 705.20,25) = 
8
36
 . (399.614,75) = 88.803,2777777...
 Resposta: o plano de depreciação, calculado pelo método da soma dos algarismos da vida útil (mé-
todo de Cole), com valores da depreciação crescentes, será:
ANO Valor do equipamento Depreciação Valor residual
1 R$ 470.135,00 R$ 11.100,41 R$ 459.034,59
2 R$ 459.034,59 R$ 22.200,82 R$ 436.833,77
3 R$ 436.833,77 R$ 33.301,23 R$ 403.532,54
4 R$ 403.532,54 R$ 44.401,64 R$ 359.130,90
5 R$ 359.130,90 R$ 55.502,05 R$ 303.628,85
6 R$ 303.628,85 R$ 66.602,46 R$ 237.026,40
7 R$ 237.026,40 R$ 77.702,87 R$ 159.323,53
8 R$ 159.323,53 R$ 88.803,28 R$ 70.520,25
Sistema de amortizações 155
8
Sistema de amortizações
Muitas pessoas e empresas já passaram por alguma situação em que 
foi necessário fazer algum tipo de dívida, como empréstimo, compra de 
um veículo a prazo e compra de um imóvel financiado, no caso de pessoas 
físicas, ou, no das pessoas jurídicas, compra financiada de equipamentos 
novos e empréstimo para comprar mobiliário para um setor de uma em-
presa, por exemplo.
Em todos esses exemplos, temos a seguinte situação: a obtenção de 
uma dívida. É evidente que, se contraímos uma dívida, devemos pagá-la. 
Quem nos emprestou o dinheiro, normalmente uma instituição financeira, 
quer recebê-lo de volta; porém, não apenas o valor emprestado, como 
também seu lucro, com o pagamento de juros.
A forma de realizar o pagamento das dívidas com o pagamento dos 
respectivos juros, que passaremos a estudar neste capítulo, é o que deno-
minamos de sistemas de amortização.
8.1 Sistemas de amortização 
Vídeo Primeiramente, vamos entender o significado do termo amorti-
zar. Segundo Vianna, “amortizar é pagar uma parte da dívida para 
que ela reduza de tamanho até a sua eliminação” (2018, p. 105). Por-
tanto, para amortizar uma dívida, devemos pagá-la em prestações, 
de modo gradual, até conseguirmos quitá-la, isto é, até que a dívida 
seja extinta.
Uma dívida pode ser amortizada de várias formas, mas, se olhar-
mos para o seu período de pagamento, podemos classificá-las em 
dívidas de curto, médio ou longo prazo. As dívidas de curto e de 
médio prazo recebem essa classificação se o seu período para pa-
gamento for de até 3 anos. As dívidas classificadas como de longo 
prazo possuem um tratamento diferenciado, que será abordado 
neste capítulo.
As condições para a devolução do valor emprestado, junto com 
os juros que serão cobrados, devem estar claramente estipuladas 
156 Matemática Financeira
em contrato assinado pelas duas partes – o devedor 1 , quem pegou o dinheiro 
emprestado, e o credor 2 , aquele que emprestou o dinheiro.
Os denominados sistemas de amortização ou sistemas de financiamentos são os 
tópicos de Matemática Financeira que estudam a maneira como o valor empresta-
do, juntamente com os juros estipulados 3 e com os encargos financeiros corres-
pondentes, deverão ser restituídos ao credor.
Os principais tipos de sistemas de amortização, de acordo com Assaf Neto 
(2012, p. 205), são:
a. Sistema de Amortização Constante (SAC);
b. Sistema de Prestação Constante (SPC), também conhecido por Sistema 
Francês de Amortização (SFA);
c. Sistema de Amortização Misto (SAM);
d. Sistema de Amortização Americano (SAA);
e. Sistema de Amortizações Variáveis.
É conveniente ressaltarmos que, em todos os tipos de sistemas de amortiza-
ção, os juros devem ser calculados sobre o saldo devedor da dívida, considerando 
o regime de juros compostos. Esses juros podem ser, também, denominadosde 
encargos financeiros ou despesas financeiras.
É uma prática muito comum as instituições financeiras cobrarem – além dos 
juros efetivos, especificados no contrato devidamente assinado por ambas as 
partes – alguns outros tipos de encargos financeiros, entre os quais destacamos: 
o imposto sobre operações financeiras (IOF), comissões, taxas administrativas e 
valor de um seguro sobre o valor emprestado.
Além disso, devemos ressaltar que os encargos financeiros apresentam dois 
tipos: prefixados e pós-fixados. Segundo Assaf Neto (2012, p. 206),
o que distingue essas duas modalidades é a correção (indexação) da dívida 
em função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior (pós-fixa-
ção) do comportamento de determinado indexador.
Em outras palavras, nas operações pós-fixadas, há um desmembramento dos 
encargos financeiros em juros e correção monetária (ou variação cambial, no 
caso da dívida ser expressa em moeda estrangeira) que vier a se verificar no 
futuro; e nas prefixadas estipula-se uma taxa única, a qual incorpora eviden-
temente uma expectativa inflacionária, para todo o horizonte de tempo. 
Como indexador, devemos entender um dos índices econômicos oficiais; esses 
são divulgados por órgãos oficiais do Brasil e devem estar claramente indicados no 
contrato assinado pelas partes.
Podemos entender, então, que, se o sistema de amortização baseia-se em uma 
operação pós-fixada, a taxa de juros da operação deve ser uma taxa real, ou seja, 
deve estar acima do índice de inflação, projetado para o prazo da amortização da 
dívida, e prever a correção monetária do saldo devedor. A taxa de juros precisa ser 
definida dessa forma para que seja possível que o credor recupere o poder aquisi-
tivo do valor financeiro emprestado ao devedor.
Também recebe a denominação 
de mutuário, que, de acordo com 
Dicio (2020), é a “pessoa que re-
cebe, por empréstimo, os recursos 
financeiros para aquisição de um 
bem, de um imóvel, o mutuário é 
responsável pelo pagamento do 
empréstimo ao banco”.
1
Também denominado de 
mutuante, que, segundo 
Dicio (2020), é: ”aquele que, num 
contrato de mútuo, cede alguma 
coisa por empréstimo”.
2
A maneira como os juros serão 
aplicados deve ser definida em 
contrato, conforme determina a Lei 
n. 8.078/90, o Código de Defesa do 
Consumidor (CDC).
3
Sistema de amortizações 157
Se estiver programado, em contrato, que a operação financeira siga uma mo-
dalidade prefixada para os encargos financeiros, deverá ser utilizada uma taxa de 
juros única, que contemple os juros exigidos pelo credor da dívida somados a uma 
expectativa de inflação do prazo contratual. Assim, deve contemplar, no mínimo, a 
correção monetária projetada para a vigência do contrato.
Outro aspecto para o qual devemos estar atentos é que, em muitas das ope-
rações de amortização de dívidas, pode estar prevista, contratualmente, uma ca-
rência para o início do pagamento das parcelas do empréstimo. Esse período de 
carência, normalmente, significa a dívida obtida começará a ser paga ao término 
desse período, podendo ou não os juros serem pagos durante a carência, fato que 
também deve estar contemplado no contrato.
Em nosso estudo dos principais sistemas de amortização – tendo consciência 
de que os sistemas de amortizações de empréstimos e de financiamentos são, ba-
sicamente, as diferentes formas em que o capital emprestado, juntamente com os 
encargos financeiros, são devolvidos ao credor desse capital –, faremos uma sepa-
ração desses sistemas em duas partes: sem a utilização de correção monetária e 
com a utilização de correção monetária.
8.2 Amortização sem correção monetária
Vídeo Quando não houver correção monetária, devemos supor que ela 
esteja embutida na taxa de juros estipulada contratualmente entre as 
partes envolvidas, credor e devedor.
8.2.1 Sistema de Amortização Americano (SAA)
O Sistema de Amortização Americano (SAA) é o mais simples entre 
todos os sistemas de amortização, pois consiste no ressarcimento ao 
credor da dívida em uma parcela única no final do prazo estipulado 
contratualmente. Muitas instituições financeiras concedem um período 
de carência ao devedor, mas devemos saber que, durante esse período, 
haverá a cobrança de juros.
8.2.1.1 Sem pagamento periódico de juros
O SAA pode ocorrer com ou sem pagamento periódico de juros; a 
segunda opção é utilizada por muitas instituições financeiras, quando 
oferecem, principalmente, títulos de renda fixa com rendimentos pagos 
ao final do período de contratação, tais como os Certificados de Depó-
sitos Bancários (CDB); os Recibos de Depósitos Bancários (RDB) e as 
Letras de Câmbio 4 .
Segundo Assaf Neto (2012, p. 183), “a diferença básica entre os títu-
los é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso, e 
o RDB é intransferível”. 
Para compreendermos, na prática, de que maneira isso ocorre, veja 
o seguinte exemplo.
Convém ressaltar que, sobre os 
rendimentos desses títulos de 
crédito, há a incidência de imposto 
de renda, o qual pode ser pago no 
momento do resgate do título, o 
que ocorre geralmente, ou quando 
a aplicação é feita, ou seja, na fonte.
4
158 Matemática Financeira
Σxemρlos
1. Um cliente de um banco realizou um empréstimo de R$ 12.000,00, a ser 
pago em uma parcela única ao final de 6 meses. Na assinatura do contra-
to, ficou estabelecido que o valor emprestado será amortizado segundo o 
Sistema de Amortização Americano (SAA), sem pagamento periódico de ju-
ros. Quanto o cliente deverá pagar ao banco, ao final do prazo de contrata-
ção, sabendo que a instituição opera com uma taxa de juros compostos de 
1,04% a.m.? Elabore uma planilha ilustrando a situação.
Os dados do empréstimo são:
SD ! = C = R$ 12.000,00; i = 1,04% a.m.; n = 6 meses.
Esse tipo de operação financeira é solucionado com a aplicação da fórmula 
para o cálculo do montante de uma capitalização composta, ou seja:
M = C . (1 + i)n ∴ M = 12.000 . (1 + 0,0104)6 ∴ M = 12.000 . (1,0104)6 ∴ 
M = 12.000 . 1,06404507 ∴ M = 12.768,54088188...
A planilha solicitada evidencia a situação, sendo o período zero (0) o mo-
mento da contratação do empréstimo (assinatura do contrato e liberação 
do valor financeiro). Observe:
Período de
tempo
Saldo devedor
(SD)
Amortização Juros
Parcela a
ser paga
0 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
1 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 124,80 R$ 0,00
2 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 126,10 5 R$ 0,00
3 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 127,41 R$ 0,00
4 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 128,73 R$ 0,00
5 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 130,07 R$ 0,00
6 R$ 12.000,00 R$ 12.000,00 R$ 131,43 R$ 12.768,54 6
Total R$ 768,54 R$ 12.768,54
Resposta: o cliente deverá restituir ao banco, ao final do prazo de contra-
tação do empréstimo, a quantia de R$ 12.768,54. A planilha elucidativa da 
situação está exposta acima.
8.2.1.2 Com pagamento periódico de juros
No SAA com pagamento periódico de juros, deve ocorrer, como o próprio nome 
diz, o pagamento dos juros da operação realizada de maneira periódica. Esse sis-
tema pode ser implementado, por exemplo, quando uma pessoa faz a penhora 
de joias na Caixa Econômica Federal (CEF) ou quando o Governo Federal realiza os 
pagamentos dos juros da dívida externa brasileira, isto é, o Governo Federal não 
consegue pagar a totalidade da dívida, então se obriga a realizar os pagamentos 
periódicos dos juros.
Chamaremos o valor do emprésti-
mo, isto é, o valor do capital em-
prestado, de saldo devedor (SD).
!
Para obtermos o valor dos juros 
do segundo mês, devemos fazer 
incidir, sobre os juros do primeiro 
mês, a taxa de juros da operação 
contratada. Fazemos o mesmo pro-
cedimento para os meses seguintes.
5
Para obtermos esse valor, devemos 
somar o valor de todos os juros 
mensais dos primeiros cinco meses 
(que não foram pagos) aos juros do 
sexto mês e ao valor emprestado.
6
Sistema de amortizações 159
Para compreender melhor esse sistema, observe os seguintes exemplos.
Σxemρlos
1. Um cliente de um banco realizou um empréstimo de R$ 12.000,00, a ser 
pago em umaparcela única ao final de 6 meses. Na assinatura do contra-
to, ficou estabelecido que o valor emprestado será amortizado segundo o 
Sistema de Amortização Americano (SAA), com pagamento periódico de ju-
ros. Quanto o cliente deverá pagar ao banco, ao final do prazo de contrata-
ção, sabendo que a instituição opera com uma taxa de juros compostos de 
1,04% a.m.? Elabore uma planilha ilustrando a situação.
Os dados do empréstimo são:
SD = C = R$ 12.000,00; i = 1,04% a.m.; n = 6 meses.
Como no contrato está especificado que haverá pagamento mensal dos ju-
ros, eles podem ser calculados com a capitalização simples ou composta, 
portanto:
J = C . i . n ∴ J = 12.000 . 0,0104 . 1 ∴ J = 124,8 ou
J = C . [ (1 + i)n – 1] ∴ J = 12.000 . [(1 + 0,0104)1 – 1] ∴ J = 124,8.
Esse valor deverá ser pago a cada mês pelo devedor, sendo, então, a presta-
ção a ser paga. Assim, o devedor deverá pagar nos 5 primeiros meses:
5 . 124,8 = R$ 624.
No sexto mês, além dos juros, o devedor deverá amortizar a dívida, pagan-
do, então:
12.000 + R$ 124,8 = R$ 12.124,8.
Logo, o valor total a ser pago pelo devedor será de:
12.124,8 + 624 = R$ 12.748,8.
Colocando esses cálculos em forma de uma planilha, conforme solicitado 
pelo enunciado, obtemos:
Período de
tempo
Saldo devedor
(SD)
Amortização Juros
Parcela a
ser paga
0 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
1 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 124,80 R$ 124,80
2 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$' 124,80 R$ 124,80
3 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 124,80 R$ 124,80
4 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 124,80 R$ 124,80
5 R$ 12.000,00 R$ 0,00 R$ 124,80 R$ 124,80
6 R$ 12.000,00 R$ 12.000,00 R$ 124,80 R$ 12.124,80
Total R$ 748,80 R$ 12.748,80
Resposta: O cliente deverá restituir ao banco, ao final do prazo de contratação 
do empréstimo, a quantia de R$ 12.748,80.
160 Matemática Financeira
Observação: podemos ver que os dados desse exemplo são os mesmos do 
exemplo resolvido com o Sistema de Amortização Americano (SAA) sem o pa-
gamento periódico de juros, mas com a alteração para ter o pagamento pe-
riódico de juros. Percebemos, assim, que o valor total a ser pago é um pouco 
menor, pois não houve a soma dos juros produzidos sobre os juros que de-
veriam ser pagos no primeiro mês (124,8 . 0,0104 = R$ 1,3, sendo o valor exa-
to R$ 1,29792). O mesmo procedimento ocorreu nos meses subsequentes.
2. Uma empresa realiza um empréstimo de R$ 148.750,00 em um banco. Ficou 
acertado entre as partes, no momento da assinatura do contrato, que o em-
préstimo deverá ser amortizado pelo Sistema de Amortização Americano 
(SAA), com pagamentos mensais dos juros da operação financeira, no prazo 
de 8 meses, sendo a taxa de juros da operação de 1,76% a.m. De posse des-
ses dados, determine quanto a empresa deverá restituir ao banco e elabore 
uma planilha que ilustre a situação.
Os dados do empréstimo são:
SD = C = R$ 148.750,00; i = 1,76% a.m.; n = 8 meses.
Para determinar o valor dos juros a serem pagos mensalmente pela empre-
sa, fazemos uso da fórmula de cálculo do juro do regime de capitalização 
simples:
J = C . i . n ∴ J = 148.750 . 0,0176 . 1 ∴ J = 2.618.
Como os juros serão pagos mensalmente, a empresa pagará R$ 2.618,00 
por 8 meses, o que totalizará R$ 20.944,00 (2.618 . 8).
Então, ao final de 8 meses, a empresa deverá restituir ao banco a quantia de:
148.750 + 20.944 = R$ 169.694.
A planilha solicitada evidencia a situação, sendo o zero (0) o momento da 
contratação do empréstimo (assinatura do contrato e liberação do valor fi-
nanceiro). Observe:
Período de
tempo
Saldo devedor
(SD)
Amortização Juros
Parcela a
ser paga
0 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00
1 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
2 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
3 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
4 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
5 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
6 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
7 R$ 148.750,00 R$ 0,00 R$ 2.618,00 R$ 2.618,00
8 R$ 148.750,00 R$ 148.750,00 R$ 2.618,00 R$ 151.368,00
Total R$ 20.944,00 R$ 169.694,00
Resposta: a empresa deverá restituir ao banco a quantia de R$ 169.694,00. 
A planilha ilustrativa da situação está acima.
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre Sistema de 
Amortização Americano (SAA).
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Sistema de amortizações 161
8.2.2 Sistema Francês de Amortização (SFA)
O Sistema Francês de Amortização (SFA) é muito utilizado no Brasil, principal-
mente para calcular empréstimos de curto prazo (financiamentos de bens de con-
sumo em parcelas) e de médio prazo (financiamento de veículos, por exemplo). 
Além disso, é utilizado para financiamentos imobiliários, mas, nesse caso, confor-
me estipulado por norma do Banco Central do Brasil (2019), pelo SFA, “o valor do 
financiamento não pode ultrapassar 80% do valor do imóvel”.
Esse sistema é também conhecido como sistema price, tabela price ou sistema de 
prestação constante (SPC). A designação desse último nome se justifica, pois, nesse 
tipo de sistema, todas as prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas, ou 
seja, adota-se o modelo básico de renda.
De acordo com Vianna (2018, p. 106):
o Sistema Francês foi desenvolvido pelo matemático e físico belga Simon Ste-
vin no século XVI. Foi utilizado pelo economista e matemático inglês Richard 
Price, no século XVIII, no cálculo previdenciário inglês da época, e ficou conhe-
cido no Brasil como Sistema Price.
Como as parcelas devem ser sempre iguais, devemos estar cientes de que, à 
medida que as parcelas são pagas, o saldo devedor (SD) vai diminuindo e, por se-
rem determinados sobre o valor desse saldo, o mesmo ocorre com os juros, o que 
fará com que o valor da amortização aumente durante o prazo de pagamento.
As fórmulas matemáticas a serem utilizadas são:
p = SD . 
i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � ���
; p = a + J e J = i . SD
Em que:
 • p → valor da parcela;
 • SD → saldo devedor, igual ao valor atual (VA) no modelo básico de renda;
 • i → taxa de juros do empréstimo/financiamento;
 • n → prazo do empréstimo/financiamento;
 • a → valor da amortização;
 • J → valor do juro.
Devemos ressaltar que esse tipo de sistema de amortização pode ser utiliza-
do em financiamentos de bens de consumo, de veículos e imobiliários, havendo a 
possibilidade de ter prazo de duração de vários anos, o que o torna extremamente 
extenso se feitos os cálculos e as planilhas exemplificando essas situações. Portan-
to, faremos as explicações necessárias, mas com prazos de duração menores. Para 
prazos maiores, siga os seguintes exemplos.
Σxemρlos
Realizaremos a resolução de três exemplos. O primeiro com a 1ª parcela 
vencendo um mês após a contratação do financiamento, ou seja, sem ca-
rência. O segundo com um período de carência e sem o pagamento de juros 
162 Matemática Financeira
nesse período. O terceiro com um período de carência, mas com pagamen-
to de juros durante esse período. Observe.
1. Uma pessoa está interessada na compra de um veículo cujo valor, à vista, 
é R$ 95.990,00. Na concessionária, soube que necessitaria dar 10% do va-
lor do carro como entrada e financiar o restante pelo Sistema Francês de 
Amortização (SFA) em dez parcelas, vencendo a 1ª prestação um mês após a 
concretização do negócio, com uma taxa de juros compostos de 1,08% a.m. 
Considerando essas informações, determine o valor da prestação que o 
comprador deverá pagar caso aceite essa proposta bem como o valor dos 
juros a serem pagos nesse financiamento e elabore uma planilha ilustrando 
a operação financeira realizada.
Os dados do problema são:
Valor do veículo = R$ 95.990,00; entrada = R$ 9.599,00 (10% de R$ 95.990,00); 
n = 10 meses; i = 1,08% a.m.
Determinando o saldo devedor:
SD = 95.990 – 9.599 = R$ 86.391,00
Calculando o valor das prestações, temos:
p = SD . i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �∴ p = 86.391 . 0,0108�.� 1�+�0,0108
1�+�0,0108 1
10
10
� �
� � �� �
 ∴ 
p = 86.391 . 0,01202475
0,11340286
 ∴ p = 9.160,52958282.
Determinando o valor do juro a ser pago na 1ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 86.391 ∴ J = 933,0228.
Calculando o valor da amortização da 1ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 933,0228 ∴ a = 9.160,52958282 – 933,0228 ∴
a = 8.227,50678282.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 1ª parcela, será igual a:
SD = 86.391 – 8.227,50678282 ∴ SD = 78.163,49321718.
Determinando o valor do juro a ser pago na 2ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 78.163,49321718 ∴ J = 844,16572675.
Calculando o valor da amortização da 2ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 844,16572675 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 844,16572675 ∴ a = 8.316,36385607.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 2ª parcela, será igual a:
SD = 78.163,49321718 – 8.316,36385607 ∴ SD = 69.847,12936111.
Determinando o valor do juro a ser pago na 3ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 69.847,12936111 ∴ J = 754,3489971.
Calculando o valor da amortização da 3ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 754,3489971 ∴ 
Sistema de amortizações 163
a = 9.160,52958282 – 754,3489971 ∴ a = 8.406,18058572.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 3ª parcela, será igual a:
SD = 69.847,12936111 – 8.406,18058572 ∴ SD = 61.440,94877539.
Determinando o valor do juro a ser pago na 4ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 61.440,94877539 ∴ J = 663,56224677.
Calculando o valor da amortização da 4ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 663,56224677 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 663,56224677 ∴ a = 8.496,96733605.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 4ª parcela, será igual a:
SD = 61.440,94877539 – 8.496,96733605 ∴ SD = 52.943,98143934.
Determinando o valor do juro a ser pago na 5ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 52.943,98143934 ∴ J = 571,79499954.
Calculando o valor da amortização da 5ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 571,79499954 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 571,79499954 ∴ a = 8.588,73458328.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 5ª parcela, será igual a:
SD = 52.943,98143934 – 8.588,73458328 ∴ SD = 44.355,24685606.
Determinando o valor do juro a ser pago na 6ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 44.355,24685606 ∴ J = 479,03666605.
Calculando o valor da amortização da 6ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 479,03666605 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 479,03666605 ∴ a = 8.681,49291677.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 6ª parcela, será igual a:
SD = 44.355,24685606 – 8.681,49291677 ∴ SD = 35.673,75393929.
Determinando o valor do juro a ser pago na 7ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 35.673,75393929 ∴ J = 385,27654254.
Calculando o valor da amortização da 7ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 385,27654254 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 385,27654254 ∴ a = 8.775,25304028.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 7ª parcela, será igual a:
SD = 35.673,75393929 – 8.775,25304028 ∴ SD = 26.898,50089901.
Determinando o valor do juro a ser pago na 8ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 26.898,50089901 ∴ J = 290,50380971.
Calculando o valor da amortização da 8ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 290,50380971 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 290,50380971 ∴ a = 8.870,02577311.
164 Matemática Financeira
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 8ª parcela, será igual a:
SD = 26.898,50089901 – 8.870,02577311 ∴ SD = 18.028,4751259.
Determinando o valor do juro a ser pago na 9ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 18.028,4751259 ∴ J = 194,70753136.
Calculando o valor da amortização da 9ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 194,70753136 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 194,70753136 ∴ a = 8.965,82205146.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 9ª parcela, será igual a:
SD = 18.028,4751259 – 8.965,82205146 ∴ SD = 9.062,65307444.
Determinando o valor do juro a ser pago na 10ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 9.062,65307444 ∴ J = 97,8766532.
Calculando o valor da amortização da 10ª parcela:
p = a + J ∴ 9.160,52958282 = a + 97,8766532 ∴ 
a = 9.160,52958282 – 97,8766532 ∴ a = 9.062,65292962.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 10ª parcela, será igual a:
SD = 9.062,65307444 – 9.062,65292962 ∴ SD = 0,00014482.
Como estamos trabalhando com valores financeiros, esse último saldo de-
vedor é igual a R$ 0,00, comprovando que a amortização do financiamento 
do veículo está encerrada.
Elaborando a planilha elucidativa do financiamento do veículo, teremos:
Nº da parcela
Valor da
parcela
Valor do juro 
da parcela
Valor da 
amortização
Saldo
devedor
0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 86.391,00
1 R$ 9.160,53 R$ 933,02 R$ 8.227,51 R$ 78.163,49
2 R$ 9.160,53 R$ 844,17 R$ 8.316,36 R$ 69.847,13
3 R$ 9.160,53 R$ 754,35 R$ 8.406,18 R$ 61.440,95
4 R$ 9.160,53 R$ 663,56 R$ 8.496,97 R$ 52.943,98
5 R$ 9.160,53 R$ 571,79 R$ 8.588,73 R$ 44.355,25
6 R$ 9.160,53 R$ 479,04 R$ 8.681,49 R$ 35.673,75
7 R$ 9.160,53 R$ 385,28 R$ 8.775,25 R$ 26.898,50
8 R$ 9.160,53 R$ 290,50 R$ 8.870,03 R$ 18.028,48
9 R$ 9.160,53 R$ 194,71 R$ 8.965,82 R$ 9.062,65
10 R$ 9.160,53 R$ 97,88 R$ 9.062,65 R$ 0,00
Total – R$ 5.214,30 R$ 86.391,00 –
Resposta: o valor das parcelas do financiamento é de R$ 9.160,53. O valor 
total de juros a serem pagos é R$ 5.214,30.
2. Uma empresa está interessada na compra de um novo equipamento para 
sua linha de produção. Tal equipamento custa, à vista, R$ 102.550,00. O res-
ponsável pelas compras da empresa foi à loja que vende esse tipo de equi-
Sistema de amortizações 165
pamento e soube que precisaria dar 12,5% do valor total do equipamento 
como entrada e financiar o restante em 8 parcelas pelo Sistema Francês de 
Amortização (SFA), com uma carência de 4 meses, vencendo a 1ª prestação 
um mês após o término do período de carência, com uma taxa de juros 
compostos de 14,02% a.a. Se o proprietário da empresa concordar com 
essa negociação, qual será o valor das prestações que deverão ser pagas e 
o valor dos juros do financiamento? Elabore uma planilha ilustrando a ope-
ração financeira realizada.
Os dados do problema são:
Valor do equipamento = R$ 102.550,00; entrada = R$ 12.818,75 (12,5% de 
R$ 102.550,00); m = 4 meses (período de carência); n = 8 meses; i = 14,02% a.a.
Logo, o valor a ser financiado será de:
102.550 – 12.818,75 = R$ 89.731,25.
Como a taxa de juros dada pela loja está em anos, devemos calcular a taxa 
efetiva mensal, pois o financiamento será em 8 meses.
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,1402 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 1,140212 ∴ i = 1,01099363 – 1 ∴
i = 0,01099363 ∴ i = 1,09936312% a.m.
Apesar do proprietário da empresa não pagar parcelas no período de ca-
rência, os juros serão incorporados ao saldo devedor nesse período. Então, 
para sabermos o valor do saldo devedor que o proprietário da empresa 
deverá financiar, fazemos, com auxílio da fórmula do montante no regime 
de capitalização composta, o seguinte cálculo:
M = SD = C . (1 + i)n ∴ M = SD = 89.731,25 . (1 + 0,01099363)4 ∴ 
M = SD = 89.731,25 . (1,01099363)4 ∴ M = SD = 89.731,25 . 1,46071217 ∴ 
M = SD = 93.742,6863179 ∴ M = SD = R$ 93.742,69.
Determinando o valor da prestação a ser paga no financiamento:
p = SD . i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 93.742,69 . 
0,01099363�.� 1�+�0,01099363
1�+�0,01099363 1
8
8
� �
� � �� �
 ∴ 
p = 93.742,69 . 0,01199854
0,09140856
 ∴ p = 12.304,9268594.
Determinando o valor do juro a ser pago na 1ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 93.742,6863179 ∴ J = 1.030,57240859.
Calculando o valor da amortização da 1ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 1.030,57240859 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 1.030,57240859 ∴ a = 11.274,35445081.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 1ª parcela, será igual a:
SD = 93.742,6863179 – 11.274,35445081 ∴ SD = 82.468,33186709.
Determinando o valor do juro a ser pago na 2ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 82.468,33186709 ∴ J = 906,62632726.
Calculando o valor da amortização da 2ª parcela:
166 Matemática Financeira
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 906,62632726∴ 
a = 12.304,9268594 – 906,62636819 ∴ a = 11.398,30053214.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 2ª parcela, será igual a:
SD = 82.468,33186709 – 11.398,30053214 ∴ SD = 71.070,03133495.
Determinando o valor do juro a ser pago na 3ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 71.070,03133495 ∴ J = 781,31762858.
Calculando o valor da amortização da 3ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 781,31762858 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 781,31762858 ∴ a = 11.523,60923082.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 3ª parcela, será igual a:
SD = 71.070,03133495 – 11.523,60923082 ∴ SD = 59.546,42210413.
Determinando o valor do juro a ser pago na 4ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 59.546,42210413 ∴ J = 654,63133244.
Calculando o valor da amortização da 4ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 654,63133244 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 654,63133244 ∴ a = 11.650,29552696.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 4ª parcela, será igual a:
SD = 59.546,42210413 – 11.650,29552696 ∴ SD = 47.896,12657717.
Determinando o valor do juro a ser pago na 5ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 47.896,12657717 ∴ J = 526,55229402.
Calculando o valor da amortização da 5ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 526,55229402 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 526,55229402 ∴ a = 11.778,37456538.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 5ª parcela, será igual a:
SD = 47.896,12657717 – 11.778,37456538 ∴ SD = 36.117,75201179.
Determinando o valor do juro a ser pago na 6ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 36.117,75201179 ∴ J = 397,06520205.
Calculando o valor da amortização da 6ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 397,06520205 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 397,06520205 ∴ a = 11.907,86165735.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 6ª parcela, será igual a:
SD = 36.117,75201179 – 11.907,86165735 ∴ SD = 24.209,89035444.
Determinando o valor do juro a ser pago na 7ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 24.209,89035444 ∴ J = 266,1545769.
Calculando o valor da amortização da 7ª parcela:
Sistema de amortizações 167
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 266,1545769 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 266,1545769 ∴ a = 12.038,7722825.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 7ª parcela, será igual a:
SD = 24.209,89035444 – 12.038,7722825 ∴ SD = 12.171,11807194.
Determinando o valor do juro a ser pago na 8ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 12.171,11807194 ∴ J = 133,80476877.
Calculando o valor da amortização da 8ª parcela:
p = a + J ∴ 12.304,9268594 = a + 133,80476877 ∴ 
a = 12.304,9268594 – 133,80476877 ∴ a = 12.171,12209063.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 8ª parcela, será igual a:
SD = 12.171,11807194 – 12.171,12209063 ∴ SD = – 0,00401869.
Como estamos trabalhando com valores financeiros, esse último saldo de-
vedor é igual a R$ 0,00, comprovando que a amortização do financiamento 
do veículo está encerrada.
Elaborando a planilha elucidativa do financiamento do equipamento, teremos:
Nº da 
parcela
Valor da
parcela
Valor do juro 
da parcela
Valor da 
amortização
Saldo
devedor
0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 89.731,25
1 R$ 0,00 R$ 986,47 7 R$ 0,00 R$ 90.717,72
2 R$ 0,00 R$ 997,32 R$ 0,00 R$ 91.715,04
3 R$ 0,00 R$ 1.008,28 R$ 0,00 R$ 92.723,32
4 R$ 0,00 R$ 1.019,37 R$ 0,00 R$ 93.742,69
5 → 1 R$ 12.304,93 R$ 1.030,57 R$ 11.274,35 R$ 82.468,33
6 → 2 R$ 12.304,93 R$ 906,63 R$ 11.398,30 R$ 71.070,03
7 → 3 R$ 12.304,93 R$ 781,32 R$ 11.523,61 R$ 59.546,42
8 → 4 R$ 12.304,93 R$ 654,63 R$ 11.650,30 R$ 47.896,13
9 → 5 R$ 12.304,93 R$ 526,55 R$ 11.778,37 R$ 36.117,75
10 → 6 R$ 12.304,93 R$ 397,07 R$ 11.907,86 R$ 24.209,89
11 → 7 R$ 12.304,93 R$ 266,15 R$ 12.038,77 R$ 12.171,12
12 → 8 R$ 12.304,93 R$ 133,80 R$ 12.304,93 R$ 0,00
Total – R$ 4.696,73 R$ 93.742,69 8 –
Resposta: o valor das parcelas do financiamento a serem pagas será de 
R$ 12.304,93 e serão pagos R$ 4.696,73 de juros.
3. Uma empresa interessada na compra de um novo equipamento que custa, 
à vista, R$ 102.550,00, descobriu que, para a compra, precisaria dar 12,5% 
do valor do equipamento como entrada e financiar o restante pelo Sistema 
Francês de Amortização (SFA) em 8 parcelas, com uma carência de 4 meses, 
vencendo a 1ª prestação um mês após o término do período de carência, 
com uma taxa de juros compostos de 14,02% a.a. Também foi proposto 
que, durante o período de carência, o proprietário da empresa pagasse os 
juros mensais correspondentes. Considerando que o proprietário da em-
Para determinar o juro do 1º mês, 
multiplicamos o saldo devedor do 
mês anterior pelo valor da taxa de 
juros mensal:
89.731,25 . 0,01099363 = 
986,47216194.
O saldo devedor será obtido com a 
soma do valor encontrado mais o 
saldo devedor do mês anterior.
Para os outros meses da carência, 
fazemos o mesmo tipo de cálculo.
7
Perceba que esse valor é igual ao 
valor do saldo devedor do mês em 
que acaba o período de carência.
8
168 Matemática Financeira
presa concordou com essa negociação, determine o valor das prestações 
que ele deverá pagar e o valor dos juros do financiamento e elabore uma 
planilha ilustrando a operação financeira realizada.
Os dados do problema são:
Valor do equipamento = R$ 102.550,00; entrada = R$ 12.818,75 (12,5% de 
R$ 102.550,00); m = 4 meses (período de carência); n = 8 meses; i = 14,02% a.a.
Logo, o valor a ser financiado, ou seja, do saldo devedor, será de:
102.550 – 12.818,75 = R$ 89.731,25.
Como a taxa de juros dada pela loja está em anos, devemos calcular a taxa 
efetiva mensal, pois o financiamento será em 8 meses.
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,1402 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 1,140212 ∴ i = 1,01099363 – 1 ∴
i = 0,01099363 ∴ i = 1,09936312% a.m.
Apesar do proprietário da empresa não pagar parcelas no período de carên-
cia, os juros serão pagos nesse período. O valor dos juros mensais a serem 
pagos será obtido ao fazermos:
J = SD . i ∴ J = 89.731,25 . 0,01099363 ∴ J = R$ 986,47216194.
Determinando o valor da prestação a ser paga no financiamento, fazemos:
p = SD . 
i�.� 1�+�i
1�+�i 1
n
n
� �
� � �� �
 ∴ p = 89.731,25 . 0,01099363�.� 1�+�0,01099363
1�+�0,01099363 1
8
8
� �
� � �� �
 ∴ 
p = 89.731,25 . 
0,01199854
0,09140857
 ∴ p = 11.778,37412019.
Determinando o valor do juro a ser pago na 1ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 89.731,25 ∴ J = 986,47216194.
Calculando o valor da amortização da 1ª parcela:
p = a + J ∴ 89.731,25 = a + 986,47216194 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 986,47216194 ∴ a = 10.791,90185467.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 1ª parcela, será igual a:
SD = 89.731,25 – 10.791,90185467 ∴ SD = 78.939,34814533.
Determinando o valor do juro a ser pago na 2ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 78.939,34814533 ∴ J = 867,83007708.
Calculando o valor da amortização da 2ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 867,83007708 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 867,83007708 ∴ a = 10.910,54404311.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 2ª parcela, será igual a:
SD = 78.939,34814533 – 10.910,54404311 ∴ SD = 68.028,80410222.
Determinando o valor do juro a ser pago na 3ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 68.028,80410222 ∴ J = 747,88358017.
Sistema de amortizações 169
Calculando o valor da amortização da 3ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 747,88358017 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 747,88358017 ∴ a = 11.030,49054002.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 3ª parcela, será igual a:
SD = 68.028,80410222 – 11.030,49054002 ∴ SD = 56.998,3135622.
Determinando o valor do juro a ser pago na 4ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 56.998,3135622 ∴ J = 626,61843573.
Calculando o valor da amortização da 4ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 626,61843573 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 626,61843573 ∴ a = 11.151,75568446.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 4ª parcela, será igual a:
SD = 56.998,3135622 – 11.151,75568446 ∴ SD = 45.846,55787774.
Determinando o valor do juro a ser pago na 5ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 45.846,55787774 ∴ J = 504,02014701.
Calculando o valor da amortização da 5ª parcela:p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 504,02014701 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 504,02020037 ∴ a = 11.274,35397318.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 5ª parcela, será igual a:
SD = 45.846,55787774 – 11.274,35397318 ∴ SD = 34.572,20390456.
Determinando o valor do juro a ser pago na 6ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 34.572,20390456 ∴ J = 380,07405792.
Calculando o valor da amortização da 6ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 380,07405792 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 380,07405792 ∴ a = 11.398,30006227.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 6ª parcela, será igual a:
SD = 34.572,20390456 – 11.398,30006227 ∴ SD = 23.173,90384229.
Determinando o valor do juro a ser pago na 7ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 23.173,90384229 ∴ J = 254,76535125.
Calculando o valor da amortização da 7ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 254,76535125 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 254,76535125 ∴ a = 11.523,60876894.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 7ª parcela, será igual a:
SD = 23.173,90384229 – 11.523,60876894 ∴ SD = 11.650,29507135.
Determinando o valor do juro a ser pago na 8ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,01099363 . 11.650,29507135 ∴ J = 128,07904685.
170 Matemática Financeira
Calculando o valor da amortização da 8ª parcela:
p = a + J ∴ 11.778,37412019 = a + 128,07904685 ∴ 
a = 11.778,37412019 – 128,07904685 ∴ a = 11.650,29507334.
Então, o saldo devedor, após o pagamento da 8ª parcela, será igual a:
SD = 11.650,29507135 – 11.650,29507334 ∴ SD = – 0,00000199.
Como estamos trabalhando com valores financeiros, esse último saldo de-
vedor é equivalente a R$ 0,00, comprovando que a amortização do financia-
mento do veículo está encerrada.
Elaborando a planilha elucidativa do financiamento do equipamento, teremos:
Nº da 
parcela
Valor da
parcela
Valor do juro 
da parcela
Valor da 
amortização
Saldo
devedor
0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 89.731,25
1 R$ 986,47 R$ 986,47 9 R$ 0,00 R$ 89.731,25
2 R$ 986,47 R$ 986,47 R$ 0,00 R$ 89.731,25
3 R$ 986,47 R$ 986,47 R$ 0,00 R$ 89.731,25
4 R$ 986,47 R$ 986,47 R$ 0,00 R$ 89.731,25
5 → 1 R$ 11.778,37 R$ 986,47 R$ 10.791,90 R$ 78.939,35
6 → 2 R$ 11.778,37 R$ 867,83 R$ 10.910,54 R$ 68.028,80
7 → 3 R$ 11.778,37 R$ 747,88 R$ 11.030,49 R$ 56.998,31
8 → 4 R$ 11.778,37 R$ 626,62 R$ 11.151,76 R$ 45.846,56
9 → 5 R$ 11.778,37 R$ 504,02 R$ 11.274,35 R$ 34.572,20
10 → 6 R$ 11.778,37 R$ 380,07 R$ 11.398,30 R$ 23.173,90
11 → 7 R$ 11.778,37 R$ 254,77 R$ 11.523,61 R$ 11.650,30
12 → 8 R$ 11.778,37 R$ 128,08 R$ 11.650,30 R$ 0,00
Total - R$ 4.495,74 R$ 89.731,25 10 -
Resposta: o valor das parcelas do financiamento a serem pagas será de R$ 
11.778,37. Serão pagos R$ 4.495,74 de juros e, por fim, a planilha elucidativa 
do financiamento está acima.
8.2.3 Sistema de Amortização Constante (SAC)
No Sistema de Amortização Constante (SAC), como o próprio nome diz, o valor 
das amortizações é igual durante todo o prazo do financiamento. O valor dessa 
amortização é obtido ao dividirmos o valor do saldo devedor pelo número de par-
celas a serem pagas, ou seja:
a = SD
n
 
Devemos saber, também, que continuam válidas as fórmulas matemáticas, vis-
tas na seção anterior:
p = a + J e J = i . SD
Para determinar os juros a serem 
pagos mensalmente, multipli-
camos o saldo devedor do mês 
anterior pelo valor da taxa de juros 
mensal: 89.731,25 . 0,01099363 
= 986,47216194. O saldo devedor 
será sempre o mesmo, visto que os 
juros serão pagos todos os meses.
9
Perceba que esse valor é igual ao 
valor do saldo devedor do mês 
onde acaba o período de carência.
10
Acesse o QR Code e exercite seus 
conhecimentos sobre o Sistema 
Francês de Amortização (SFA).
Esses exercícios são ativida-
des-extras que possibilitam a 
prática dos conteúdos abordados 
nesta seção e, por isso, não são 
apresentadas as resoluções, 
apenas as respostas.
Na prática
Sistema de amortizações 171
Em que:
 • p → valor da parcela;
 • SD → saldo devedor, igual ao valor atual (VA) no modelo básico de renda;
 • i → taxa de juros do empréstimo/financiamento;
 • n → prazo do empréstimo/financiamento;
 • a → valor da amortização;
 • J → valor do juro.
É importante percebermos que, nesse tipo de sistema de amortização, o valor 
das parcelas a serem pagas diminui ao longo do prazo de financiamento, o que 
ocorre, também, com o valor dos juros a serem pagos periodicamente. O SAC, bem 
como o SFA, é muito utilizado no Brasil em financiamentos imobiliários, de acordo 
com a Caixa Econômica Federal (2020a).
Σxemρlos
Para compreender como se dá a amortização constante, observe a resolu-
ção de três exemplos. Os enunciados são iguais aos exemplos que foram 
usados na seção anterior de Sistema Francês de Amortização; entretanto, 
agora, o objetivo é fazermos a comparação entre o que ocorre com a aplica-
ção dos dois tipos de sistemas de amortização.
O primeiro exemplo é o com a 1ª parcela vencendo um mês após a contrata-
ção do financiamento, ou seja, sem carência. O segundo com um período de 
carência e sem o pagamento de juros nesse período. O terceiro também com 
um período de carência, mas com pagamento de juros durante este período.
1. Uma pessoa está interessada na compra de um veículo cujo valor, à vista, é 
R$ 95.990,00. Na concessionária, soube que necessitaria dar 10% do valor 
do carro como entrada e financiar o restante pelo Sistema de Amortização 
Constante (SAC) em 10 parcelas, vencendo a 1ª prestação um mês após a 
concretização do negócio, com uma taxa de juros compostos de 1,08% a.m. 
Considerando que a pessoa concordou com essa negociação, determine o 
valor total dos juros a serem pagos nesse financiamento e elabore uma pla-
nilha ilustrando a operação financeira realizada, discriminando os valores 
das parcelas a serem pagas mensalmente.
Os dados do problema são:
Valor do veículo = R$ 95.990,00; entrada = R$ 9.599,00 (10% de R$ 95.990,00); 
n = 10 meses; i = 1,08% a.m.
Assim, o saldo devedor será de:
SD = 95.990 – 9.599 = R$ 86.391.
Determinando o valor da amortização, temos:
172 Matemática Financeira
a = 
SD
n
 ∴ a = 86.391�
10
 ∴ a = R$ 8.639,1.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 1ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 86.391 ∴ J = 933,0228.
Determinando o valor da 1ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 933,0228 ∴ p = 9.572,1228.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 1ª parcela, será de:
SD = 86.391 – 8.639,1 ∴ SD = 77.751,9.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 2ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 77.751,9 ∴ J = 839,72052.
Determinando o valor da 2ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,10 + 839,72052 ∴ p = 9.478,82052.
O saldo devedor, após o pagamento da 2ª parcela, será de:
SD = 77.751,9 – 8.639,1 ∴ SD = 69.112,8.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 3ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 69.112,8 ∴ J = 746,41824.
Determinando o valor da 3ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,10 + 746,41824 ∴ p = 9.385,51824.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 3ª parcela, será de:
SD = 69.112,8 – 8.639,1 ∴ SD = 60.473,7.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 4ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 60.473,7 ∴ J = 653,11596.
Determinando o valor da 4ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,10 + 653,11596 ∴ p = 9.292,21596.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 4ª parcela, será de:
SD = 60.473,7 – 8.639,1 ∴ SD = 51.834,6.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 5ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 51.834,6 ∴ J = 559,81368.
Determinando o valor da 5ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,10 + 559,81368 ∴ p = 9.198,91368.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 5ª parcela, será de:
SD = 51.834,6 – 8.639,1 ∴ SD = 43.195,5.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 6ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 43.195,5 ∴ J = 466,5114.
Determinando o valor da 6ª parcela:
O saldo devedor de um mês para o 
mês seguinte é calculado subtrain-
do-se o valor da amortização do 
saldo devedor do mês.
Atenção
Sistema de amortizações 173
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 466,5114 ∴ p = 9.105,6114.Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 6ª parcela, será de:
SD = 43.195,5 – 8.639,1 ∴ SD = 34.556,4.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 7ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 34.556,4 ∴ J = 373,20912.
Determinando o valor da 7ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 373,20912 ∴ p = 9.012,30912.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 7ª parcela, será de:
SD = 34.556,4 – 8.639,1 ∴ SD = 25.917,3.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 8ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 25.917,3 ∴ J = 279,90684.
Determinando o valor da 8ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 279,90684 ∴ p = 8.919,00684.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 8ª parcela, será de:
SD = 25.917,3 – 8.639,1 ∴ SD = 17.278,2.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 9ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 17.278,2 ∴ J = 186,60456.
Determinando o valor da 9ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 186,60456 ∴ p = 8.825,70456.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 9ª parcela, será de:
SD = 17.278,2 – 8.639,1 ∴ SD = 8.639,1.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 10ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,0108 . 8.639,1 ∴ J = 93,30228.
Determinando o valor da 10ª parcela:
p = a + J ∴ p = 8.639,1 + 93,30228 ∴ p = 8.732,40228.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 10ª parcela, será de:
SD = 8.639,1 – 8.639,1 ∴ SD = 0,00.
Como o último saldo devedor é igual a R$ 0,00, comprova-se que a amorti-
zação do financiamento do veículo está encerrada.
Elaborando a planilha elucidativa do financiamento do veículo, temos:
Nº da 
parcela
Valor da
amortização
Valor do juro 
da parcela Valor da parcela
Saldo
devedor
0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 86.391,00
1 R$ 8.639,10 R$ 933,02 R$ 9.572,12 R$ 77.751,90
2 R$ 8.639,10 R$ 839,72 R$ 9.478,82 R$ 69.112,80
(Continua)
174 Matemática Financeira
3 R$ 8.639,10 R$ 746,42 R$ 9.385,52 R$ 60.473,70
4 R$ 8.639,10 R$ 653,12 R$ 9.292,22 R$ 51.834,60
5 R$ 8.639,10 R$ 559,81 R$ 9.198,91 R$ 43.195,50
6 R$ 8.639,10 R$ 466,51 R$ 9.105,61 R$ 34.556,40
7 R$ 8.639,10 R$ 373,21 R$ 9.012,31 R$ 25.917,30
8 R$ 8.639,10 R$ 279,91 R$ 8.919,01 R$ 17.278,20
9 R$ 8.639,10 R$ 186,60 R$ 8.825,70 R$ 8.639,10
10 R$ 8.639,10 R$ 93,30 R$ 8.732,40 R$ 0,00
Total R$ 86.391,00 R$ 5.131,63 R$ 91.522,63
Resposta: o valor total dos juros pagos nesse financiamento é de R$ 5.131,63. 
A discriminação dos valores das parcelas a serem pagas mensalmente está 
na tabela apresentada anteriormente.
2. Uma empresa está interessada na compra de um novo equipamento para 
sua linha de produção. Esse equipamento custa, à vista, R$ 102.550,00 e, 
para financiá-lo, a empresa precisa dar 12,5% do valor do equipamento 
como entrada e financiar o restante pelo Sistema de Amortização Constante 
(SAC) em 8 parcelas, com uma carência de 4 meses, vencendo a 1ª presta-
ção um mês após o término do período de carência, com uma taxa de juros 
compostos de 14,02% a.a. Considerando que o proprietário da empresa te-
nha concordado com essa negociação, mas sem o pagamento de juros du-
rante o período de carência, determine o valor das prestações que deverão 
ser pagas e o valor dos juros a serem pagos e, por fim, elabore uma planilha 
ilustrando a operação financeira realizada.
Os dados do problema são:
Valor do equipamento = R$ 102.550,00; entrada = R$ 12.818,75 (12,5% de 
R$ 102.550,00); m = 4 meses (período de carência); n = 8 meses; i = 14,02% a.a.
Logo, o valor a ser financiado será de:
102.550 – 12.818,75 = R$ 89.731,25.
Como a taxa de juros dada pela loja está em anos, devemos calcular a taxa 
efetiva mensal, pois o financiamento será em 8 meses.
1 + ik = (1 + i)
n ∴ 1 + 0,1402 = (1 + i)12 ∴ 1 + i = 1,140212 ∴ i = 1,01099363 – 1 ∴ 
i = 0,01099363 ∴ i = 1,09936312% a.m.
Como o proprietário da empresa não pagará parcelas no período de ca-
rência, os juros serão incorporados ao saldo devedor após o término desse 
período. Então, para sabermos o valor do SD que o proprietário da empresa 
deverá financiar, fazemos, com auxílio da fórmula do montante no regime 
de capitalização composta, o seguinte cálculo:
M = SD = C . (1 + i)n ∴ M = SD = 89.731,25 . (1 + 0,01099363)4 ∴ 
M = SD = 89.731,25 . (1,01099363)4 ∴ M = SD = 89.731,25 . 1,46071217 ∴ 
M = SD = 93.742,6863179.
Sistema de amortizações 175
Determinando o valor da amortização:
a = SD
n
 ∴ a = �93.742,6863179�
8
 ∴ a = R$ 11.717,83578974.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 1ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 93.742,6863179 ∴ J = 1.030,57250233.
Determinando o valor da 1ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 1.030,57250233 ∴ p = 12.748,40829207.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 1ª parcela, será de:
SD = 93.742,6863179 – 11.717,83578974 ∴ SD = 82.024,85052816.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 2ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 82.024,85052816 ∴ J = 901,75093954.
Determinando o valor da 2ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 901,75093954 ∴ p = 12.619,58672928.
O saldo devedor, após o pagamento da 2ª parcela, será de:
SD = 82.024,85052816 – 11.717,83578974 ∴ SD = 70.307,01473842.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 3ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 70.307,01473842 ∴ J = 772,92937675.
Determinando o valor da 3ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 772,92937675 ∴ p = 12.490,76516649.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 3ª parcela, será de:
SD = 70.307,01473842 – 11.717,83578974 ∴ SD = 58.589,17894868.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 4ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 58.589,17894868 ∴ J = 644,10781395.
Determinando o valor da 4ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 644,10781395 ∴ p = 12.361,94360369.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 4ª parcela, será de:
SD = 58.589,17894868 – 11.717,83578974 ∴ SD = 46.871,34315894.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 5ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 46.871,34315894 ∴ J = 515,28625116.
Determinando o valor da 5ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 515,28625116 ∴ p = 12.233,1220409.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 5ª parcela, será de:
SD = 46.871,34315894 – 11.717,83578974 ∴ SD = 35.153,5073692.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 6ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 35.153,5073692 ∴ J = 386,46468837.
176 Matemática Financeira
Determinando o valor da 6ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 386,46468837 ∴ p = 12.104,30047811.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 6ª parcela, será de:
SD = 35.153,5073692 – 11.717,83578974 ∴ SD = 23.435,67157946.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 7ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 23.435,67157946 ∴ J = 257,64312558.
Determinando o valor da 7ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 257,64312558 ∴ p = 11.975,47891532.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 7ª parcela, será de:
SD = 23.435,67157946 – 11.717,83578974 ∴ SD = 11.717,83578972.
Calculando o valor dos juros a serem pagos na 8ª parcela:
J = i . SD ∴ J = 0,010993631 . 11.717,83578972 ∴ J = 128,82156279.
Determinando o valor da 8ª parcela:
p = a + J ∴ p = 11.717,83578974 + 128,82156279 ∴ p = 11.846,65735253.
Assim, o saldo devedor, após o pagamento da 8ª parcela, será de:
SD = 11.717,83578972 – 11.717,83578974 ∴ SD = – 0,00000002.
Como estamos trabalhando com valores financeiros, esse último saldo de-
vedor é igual a R$ 0,00, comprovando que a amortização do financiamento 
do equipamento está encerrada.
Elaborando a planilha elucidativa do financiamento do equipamento, temos:
Nº da 
parcela
Valor da
amortização
Valor do juro 
da parcela Valor da parcela
Saldo
devedor
0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 89.731,25
1 R$ 0,00 R$ 986,47 R$ 0,00 R$ 90.917,72
2 R$ 0,00 R$ 997,32 R$ 0,00 R$ 91.715,04
3 R$ 0,00 R$ 1.008,28 R$ 0,00 R$ 92.723,32
4 R$ 0,00 R$ 1.019,37 R$ 0,00 R$ 93.742,69
5 → 1 R$ 11.717,84 R$ 1.030,57 R$ 12.748,41 R$ 82.024,85
6 → 2 R$ 11.717,84 R$ 901,75 R$ 12.619,59 R$ 70.307,02
7 → 3 R$ 11.717,84 R$ 772,93 R$ 12.490,77 R$ 58.589,18