Matemática Financeira

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gente criando o futuro
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Organizadora Rafaela Rodrigues de Oliveira Amaro
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Organizadora Rafaela Rodrigues de Oliveira Amaro
M
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ática Financeira
GRUPO SER EDUCACIONAL 
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Bibliotecária: Maria Isabel Schiavon Kinasz, CRB9 / 626 
Amaro, Rafaela Rodrigues Oliveira 
Rodrigues Oliveira Amaro, Isabella Cristina Dantas Valentin - Recife: 
Telesapiens, 2020.
164 p.: il.; 29cm
ISBN 978-65-86073-62-1
II. Título.
CDD 650.01513 (22.ed)
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Matemática Financeira
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Olá! Meu nome é Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro. 
Sou licenciada em Matemática e especialista em Metodologia 
do Ensino de Matemática, com ampla experiência docente 
nas esferas do Ensino Fundamental, Médio e Superior. Sou 
apaixonada pelo que faço, pela matemática, e adoro lecionar 
e transmitir essa disciplina fascinante. Por isso, fui convidada 
pela Editora Telesapiens a integrar seu elenco de autores 
independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você nessa 
fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
A AUTORA
RAFAELA RODRIGUES DE OLIVEIRA AMARO
Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/7630524977124650
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ICONOGRÁFICOS
Esses ícones que irão aparecer em sua trilha de aprendizagem 
significam:
OBJETIVO
Breve descrição do objetivo 
de aprendizagem; +
OBSERVAÇÃO
Uma nota explicativa 
sobre o que acaba de 
ser dito;
CITAÇÃO
Parte retirada de um texto;
RESUMINDO
Uma síntese das 
últimas abordagens;
TESTANDO
Sugestão de práticas ou 
exercícios para fixação do 
conteúdo;
DEFINIÇÃO
Definição de um 
conceito;
IMPORTANTE
O conteúdo em destaque 
precisa ser priorizado;
ACESSE
Links úteis para 
fixação do conteúdo;
DICA
Um atalho para resolver 
algo que foi introduzido no 
conteúdo;
SAIBA MAIS
Informações adicionais 
sobre o conteúdo e 
temas afins;
+++
EXPLICANDO 
DIFERENTE
Um jeito diferente e mais 
simples de explicar o que 
acaba de ser explicado;
SOLUÇÃO
Resolução passo a 
passo de um problema 
ou exercício;
EXEMPLO
Explicação do conteúdo ou 
conceito partindo de um 
caso prático;
CURIOSIDADE
Indicação de curiosidades 
e fatos para reflexão sobre 
o tema em estudo;
PALAVRA DO AUTOR
Uma opinião pessoal e 
particular do autor da obra;
REFLITA
O texto destacado deve 
ser alvo de reflexão.
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SUMÁRIO
UNIDADE 1
Capitalização Simples 10
Juros e Montante Simples 10
Juros exatos, ordinários 20
Capitalização Composta 22
Juros e Montante Composto 22
Diferença entre os Regimes de Capitalização 27
Homogeneidade entre taxa e tempo 30
Taxas 32
Taxa Proporcional e Equivalente 32
Taxa Nominal e Efetiva 38
Fluxo de Caixa e Equivalência Financeira 44
Fluxo de Caixa 45
Equivalência Financeira 46
UNIDADE 2
Conhecendo o Desconto Simples 53
Desconto Simples 53
Desconto Simples Comercial 54
Desconto Simples Racional 56
Aplicando o Desconto Composto 59
Desconto Composto 59
Desconto Composto Comercial ou Bancário 60
Desconto Composto Racional 62
Séries de Pagamentos, Classificação e Séries Postecipadas..........66
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Séries de Pagamentos 66
Classificação 67
Séries Postecipadas 69
Pagamentos antecipados e Séries Diferidas 76
Pagamentos antecipados 77
Séries Diferidas 81
UNIDADE 3
Compreendendo os índices de atualização e inflação 90
Índices de atualização 90
Índices de inflação 92
Aplicando as variações de índices 99
Correção Monetária 99
Conhecendo as taxas de juros nominal, efetiva, real e aparente.....104
Taxa de Juros 105
Taxa de juros nominal x Taxa de juros efetiva 106
Taxa de Juros Aparente x Taxa de Juros Real 107
Definindo e aplicando a taxa de desvalorização da moeda 113
Taxa de desvalorização da moeda 113
UNIDADE 4
Compreendendo o Sistema Americano de Amortização.....124
Sistemas de Amortização.........................................................124
Sistema Americano de Amortização (SAA)...........................127
Entendendo o Sistema de Amortização Constante..............130
Sistema de Amortização Constante..........................................131
Identificando o Sistema Price ou Francês de amortização...137
Sistemas Price ou Francês de Amortização (SFA)...................138
Aprendendo o Sistema de Amortização Misto.....................145
Sistemas de Amortização Misto (SAM).................................145
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UNIDADE
01
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA
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Caro(a) aluno(a), imagine-se em uma reunião empresarial, 
onde serão discutidos diversos assuntos pertinentes à realidade 
desse setor e, por isso, deve-se adotar uma linguagem financeira 
específica para tal situação. Bem, nesse cenário, torna-
se necessária a efetiva compreensão dos diversos termos e 
conceitos comuns no universo empresarial, como juros, taxa 
de juros, capitalização simples e composta, fluxo de caixa. A 
partir dessa necessidade, nossa primeira unidade se apresenta 
como uma base sólida para entendermos o mundo em que se 
situa a Matemática Financeira. Os principais fundamentos dessa 
vertente da Matemática, que subsidiarão o desenvolvimento 
de conceitos mais complexos, serão abordados nessa unidade 
inicial, para facilitar e viabilizar o prosseguimento do nosso 
curso de Matemática Financeira. Bons estudos!
TEMAS
Nesta unidade, você verá:
• Capitalização simples
• Capitalização composta
• Taxas
• Fluxo de caixa e equivalência financeira
INTRODUÇÃO
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Matemática Financeira 9
Seja muito bem-vindo(a) à Unidade 1 - Capitalização 
simples e composta. Nosso objetivo é auxiliar você no 
atingimento dos seguintes objetivos de aprendizagem, até o 
término dessa etapa de estudos:
OBJETIVOS
1 Compreender o regime de capitalização simples e os elementos que o constituem.
2 Definir o regime de capitalização composto e seus respectivos itens, diferenciando-o da capitalização simples.
3 Entender e distinguir os tipos de taxas mais utilizadas no mercado financeiro.
4 Conceituar equivalência financeira e fluxo de caixa, apresentando suas aplicações.
Vamos, juntos, adentrar em um mundo interessante e muito 
útil para nossa vida financeira! Ao trabalho! Avante, caro(a) 
aluno(a)!
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Matemática Financeira10
Capitalização Simples 
Ao término deste estudo, você será capaz de compreender os 
conceitos relacionados à capitalização simples e aos seuscomponentes: capital, montante, taxa de juros e período. 
Além disso, seremos apresentados às definições de juros exatos 
e juros ordinários . Então, vamos lá. Avante!
OBJETIVO
Juros e Montante Simples 
Com certeza em algum momento de vida acadêmica ou 
social já se deparou com notícias do tipo:
 � “Adquira seu carro com pequena entrada e parcele o 
restante de sua compra sem juros”
 � “Juros menor possibilita aumento na compra de imóveis.”
 � “Juros fecham em queda, com alívio do cambio e melhora 
na percepção geopolítica.” 
 � “Juros do cartão de crédito e cheque especial sobem no 
mês de novembro.”
 � “Cheque especial agora com juros limitados.”
Mais comuns do que se possa imaginar, as situações 
relacionadas a juros estão intimamente conectadas ao nosso 
cotidiano, uma vez que essa representação matemática é bastante 
recorrente para indicar diferentes operações financeiras.
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Para iniciarmos nossa jornada definiremos juro, que 
conforme Castanheira e Macedo (2013):
Juro é a remuneração do capital.
DEFINIÇÃO
O conceito de juro mais trivial é o descrito anteriormente, 
mas, ainda conforme os mesmos autores, outras proposições mais 
populares também caracterizam juros: 
 �Quantia paga pelo uso do dinheiro emprestado, isto é, 
custo do capital de terceiros colocados a nossa disposição;
 �Recompensa do capital agregado em atividades produtivas;
 �Remuneração paga pelas instituições financeiras a 
partir do capital nelas aplicado; e
 �Remuneração do capital emprestado, ou seja, aluguel 
pago pela utilização do dinheiro.
A ideia de juros é antiga em nossa sociedade. Os primeiros 
registros são identificados quando os juros eram remunerados 
por sementes, entre os agricultores, e pagos após a colheita. 
Era comum a prática de remunerar através de empréstimos de 
determinados produtos e/ou serviços nas transações comerciais.
A forma pela qual os juros são incorporados permite sua 
categorização. Dessa maneira, eles podem ser classificados 
como simples ou compostos. Na modalidade simples, os juros 
incidem sobre o capital inicial.
Mas e a capitalização simples? De que modo esse 
conceito se atrela ao de juros? Essencialmente, capitalizar se 
associa às ideias de juntar, agregar, acumular. Na Matemática 
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Matemática Financeira12
Financeira, essa concepção se mantém ligada a outros conceitos. 
A capitalização simples é definida por Castanheira e Macedo 
(2013) como um modelo de capitalização no qual os juros 
simples são utilizados.
Logo, na capitalização simples, para cada período, temos 
a mesma taxa de juros calculada sob o mesmo capital. Dessa 
maneira, é possível ter uma previsão de seu total multiplicando-
se o total de juros por intervalo pelo total de intervalos.
Destaca-se que, na determinação dos juros simples, a 
curva do capital é linear, ou seja, é gerada uma função linear na 
qual cada adicional de juros é associado diretamente ao valor 
inicialmente investido.
Ademais, Castanheira e Macedo (2013) enfatizam que o 
juro é sempre obtido intermediado por uma taxa incidida sobre 
o capital. Essa medida se relaciona a uma unidade de tempo,
que pode ser diária, mensal, semestral ou anual. As taxas mais
comuns no universo financeiro são:
� a.d. = ao dia
� a.m. = ao mês
� a.b = ao bimestre
� a.t. = ao trimestre
� a.q. = ao quadrimestre
� a.s = ao semestre
� a.n. = ao ano
Como exemplo de utilização dessas taxas, admita uma taxa 
de 134% a.s., na prática qual seu significado? Ora, basicamente 
essa taxa produzirá juros de 134% a cada semestre, isto é, seis 
meses. E uma taxa de 0,14% a.d.? Essa indica que a remuneração 
do capital emprestado é diária, por isso os juros são obtidos 
diariamente gerenciados por uma taxa de 0,14%.
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Matemática Financeira 13
Os juros são regidos por taxas em porcentagem, que, 
geralmente, são prefixadas por índices determinados pelo 
governo ou interligadas a políticas financeiras. Tais operações 
permitem o reajuste de preços de diversos produtos, de maneira 
geral, e aplicações financeiras (ASSAF NETO, 2012). Daí a 
tamanha importância desses índices.
Constantemente, associamos juros a uma ideia pejorativa, 
mas por quê? Existem duas facetas desse conceito. Afinal, os 
juros podem agregar ou depreciar nossa vida financeira, uma vez 
que essa operação pode acelerar o crescimento de uma renda ou 
atrapalhá-lo, a partir do momento em que são adquiridos.
Por que, então, a prática de juros? Qual a necessidade 
da admissão desse quantitativo nas operações financeiras? De 
acordo com Assaf Neto (2012), as taxas de juros são eficientes 
em relação aos seguintes aspectos:
 �O risco inerente a operação (empréstimo ou aplicação), 
indicado pela incerteza em relação ao futuro;
 �A diminuição de compra do capital impulsionada pela 
inflação, uma vez que este fator corrói o capital, diminuindo a 
capacidade de compra de posse do mesmo montante;
 �O capital aplicado e/ou emprestado, os juros devem 
agregar lucro ao proprietário do capital de maneira a compensar a 
privação do uso capital emprestado durante certo período de tempo.
Existe uma legislação que orienta a utilização dos juros em 
operações financeiras, a Lei n. 8.078 de 1990 do Código de Defesa 
do Consumidor. Esta institui a maneira na qual a aplicação dos 
juros deve ser definida em um contrato entre as partes envolvidas.
SAIBA MAIS
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Para nos aprofundarmos nos cálculos e relações, no 
contexto da Matemática Financeira, definiremos alguns termos 
comumente utilizados. Vamos lá?!
O capital é indicado por C e possui outros significados, 
como: valor presente ou valor atual e conforme Castanheira e 
Macedo (2013):
Capital se refere a qualquer valor expresso na 
moeda corrente de uma nação e disponível para 
operações financeiras.
Este quantitativo é muito importante no contexto finan-
ceiro, uma vez que fundamentado nele a proporção de lucro ou 
prejuízo será calculado.
Outro componente importante nos cálculos financeiros é o 
montante que é caracterizado por:
O resultado do somatório entre o capital e os juros, 
correspondendo a um quantitativo capitalizado, após 
determinado período de tempo.
Como já aprendemos os juros são calculados por taxas que 
são descritas conforme a seguir. 
Taxa de juros é um percentual que se aplica sobre o 
capital durante certo período.
Outro fator importante na relação com o dinheiro é o 
tempo. Pois, baseando-se nele, é possível se estabelecer relações 
financeiras.
Período é o tempo que o quantitativo financeiro 
estará submetido a determinada taxa de juros.
A partir de agora, com todos esses conceitos, será possível 
determinar uma relação que permite o cálculo dos juros simples; 
Ela, basicamente, depende de três fatores, como apresentado na 
Figura 1 seguir:
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Figura 1 – Composição dos Juros. 
Fonte: a autora. 
Assim, a fórmula que possibilita o cálculo dos juros 
simples é dada por: 
J = C . i . n
Ainda neste contexto de juros simples, existem relações 
específicas para a determinação do montante e do capital 
envolvido em diversas operações financeiras.
M = C (1 + . i . n)
M = C + J
Perceba que as fórmulas são equações polinomiais do 1º grau, 
que, graficamente, são representadas por retas que possuem como 
característica a permanência do mesmo coeficiente angular ou a 
inclinação da reta tangente. Isso demonstra que, a cada período, 
os juros são os mesmos e sempre acrescentados ao capital inicialaplicado a certo investimento.
É de suma importância realçar que todas as fórmulas 
apresentadas anteriormente podem ser reescritas, substituindo-
se o capital pelo termo valor presente (PV = present value) e o 
montante, por valor futuro (FV = future value). Esses termos são 
muito utilizados na linguagem financeira, e suas abreviações (PV 
e FV) representam teclas contidas na calculadora financeira HP-
12C, na qual pode ser feita grande parte dos cálculos inerentes ao 
mercado financeiro.
Então as fórmulas serão reescritas da seguinte forma:
FV = PV (1 + . i . n)
FV = PV + J
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Matemática Financeira16
É necessário frisar que a dinâmica de entrada de valores na 
calculadora HP-12C é diferente da que ocorre nas calculadoras 
tradicionais. Para facilitar seu uso, pode ser importante que você 
leia alguns manuais.
No site da fabricante HP há disponível um manual de utilização 
da calculadora HP- 12C que pode ser acessado pelo link:
http://bit.ly/2TCHgcQ
ACESSE
Vamos agora exercitar estas relações que embasam 
os cálculos dos juros simples? Lembrando que as fórmulas 
se diferenciam devido aos elementos que a compõe, logo a 
escolha de utilização dependerá do contexto do problema a 
ser solucionado. Em toda resolução será apresentado à versão 
algébrica e outra com base na calculadora HP-12C. Vamos lá!
Exemplo: Patrícia emprestou durante um semestre a quantia 
de R$10.000, a uma taxa de 2,5% a.m. (ao mês). De quanto serão 
os juros obtidos neste período?
Sempre iniciaremos a resolução de um exercício desta-
cando as informações contidas no enunciado, logo:
n = 6
i = 2,5% = 2,5100 = 0,025
C = 10.000
J = ?
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Matemática Financeira 17
Observe que o período foi definido como “6”, em referência 
a “um semestre”, porque a taxa de juros é mensal. A taxa de 
juros sempre deve ser transformada para sua forma decimal, 
isto é, deve-se encontrar seu número decimal correspondente, 
e, para isso, basta dividir o valor informado por 100. Como foi 
solicitado o cálculo dos juros nesse período, basta substituirmos 
as informações recolhidas anteriormente e aplicá-las na relação:
J = C . i . n
J = 10.000 . 0,025 . 6
J = 1500,00
Cálculo na Calculadora HP-12C
10000 enter
2,5 %
6 x
Assim, para encontrarmos o valor acumulado após seis 
meses, basta somarmos o valor do capital com o valor dos juros 
encontrados, o que equivale a R$ 11.500,00.
Para se elucidar com mais propriedade a resolução desse 
problema, é possível elaborar uma planilha eletrônica ou tabela 
para a determinação do juro mensal até a conclusão de seu total 
semestral. Observe a Tabela 1, com os valores referentes a esse 
exemplo.
Tabela 1: Capitalização Simples
Fonte: A autora
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Matemática Financeira18
Atente-se ao fato de que o valor de juros encontrado, nessa 
modalidade, é sempre o mesmo, pois a base de referência para 
o cálculo não se modifica no decorrer do tempo. Observe essa
característica na representação gráfica a seguir, correspondente
à mesma situação-problema.
Gráfico 1: Capitalização Simples. 
Fonte: a autora. 
Na Matemática Financeira, existem o ano civil e o 
ano comercial, que se diferenciam pela quantidade de dias 
contabilizados. O ano civil é constituído por 365 dias ou 366 
dias, e o ano comercial é formado por 360 dias.
Exemplo: A quantia de R$ 12.000,00 foi gerada a partir de 
um capital de R$ 3.000,00, aplicado a juros simples de 5% ao 
mês. Qual foi o período dessa operação financeira?
Informações do problema:
M ou FV = 12.000
C ou PV = 3.000
I = 5% = 5100 = 0,5
N = ?
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Matemática Financeira 19
Logo:
M = C(1 + i . n) → FV = PV (1 + . i . n)
12.000 = 3.000(1 + 0,5 . n)
12.000
3.000 = (1 + 0,5n)
4 = 1 + 0,5n
4 – 1 = 0,5n
3 = 0,5n → n = 6
Desse modo, o período necessário para se obter tal 
montante foi de 60 meses.
Cálculo na Calculadora HP-12C
3000 enter
12000 ∆%
5 ÷
Exemplo: Uma empresa aplicou R$ 10.000 e recebeu, 
após sete anos, um montante de R$ 28.500,00. Qual foi a taxa de 
juros simples incidida nessa transação?
Informações do problema:
M ou FV = 28.500
C ou PV = 10.000
N = 7 anos
I = ?
Logo:
M = C(1 + i . n) → FV = PV(1 + . i . n)
28.500 = 10.000(1 + i . 7)
25.500
10.000 = (1 + 7i)
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Matemática Financeira20
2,85 = 1 + 7i
2,85 – 1 = 7i
I = 2,85-17 → i ≅ 0,2643 ≅ 26,43% a.a.
Assim, a taxa anual aplicada nessa operação 
corresponde a 26,43% a.a.
Cálculo na Calculadora HP-12C
10000 enter
28500 ∆%
7 ÷
Juros exatos e ordinários 
Os juros, como já aprendemos, correspondem, 
resumi- damente, a um “aluguel” pago pela utilização de 
certa quantia. Esse valor pode ser adicionado ou retirado 
da quantidade inicial, variando conforme a modalidade 
adotada. No entanto, a base de cálculo referente ao período 
estabelecido causa diferença: se calculado em 40 dias, será 
obtido determinado valor; se alterado para 41 dias, será 
outro. Tendo em vista essa diferenciação, conheceremos 
com mais detalhes os juros exatos e ordinários.
Conforme destaca Assaf Neto (2012), os juros exatos 
são assim descritos:
Modalidade de juros em que se adota a quantidade 
exata de dias que compõe um ano civil, que pode 
variar entre 365 dias e 366 dias, caso o ano seja 
bissexto.
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Matemática Financeira 21
Castanheira e Macedo (2013) caracterizam juro 
ordiná- rio da seguinte forma:
É o juro que utiliza como referência o ano comercial, 
isto é, considera que todos os meses são compostos por 
30 dias, e, por consequência, o ano, que é constituído por 
doze destes, possui 360 dias.
RESUMINDO
O que achou do que aprendemos? Gostou? Agora, só para 
termos certeza de que você entendeu o tema de estudo 
deste capítulo, vamos resumir o que vimos. Você deve se 
lembrar do regime de capitalização simples, que utiliza os 
juros simples. Nessa dinâmica, é necessário se estabelecer 
uma taxa de juros, um período, assim como o capital e 
o montante, que também podem ser chamados de 
valor presente e valor futuro, respectivamente. É 
importante destacar que o cálculo da taxa, na 
modalidade simples, é um valor constante, por isso 
não se altera no período estabelecido. Também 
aprendemos sobre juros que podem ser exatos ou 
ordinários, sendo a diferença básica entre eles
o período, que compõe um ano, de 365 (ou 366) dias ou 
360 dias, respectivamente.
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Matemática Financeira22
Capitalização Composta 
Ao fim deste capítulo, você será capaz de conhecer a 
capitalização composta, identificando o modo pelo qual os juros 
são capitalizados. E, por fim, será possível diferenciar o regime 
de capitalização composta do regime de capitalização simples.
OBJETIVO
Juros e Montante Composto 
A principal característica do regime de capitalização 
composta é a reincidência de juros sobre o capital. Assim, 
quando determinado valor já está interligado a uma parcela de 
juros, essa taxa de juros é incidida mais uma vez, mas agora 
sobre o total acumulado. Assaf Neto (2012) apresenta a seguinte 
definição:
Capitalização composta é um regime que adota 
a taxa de juros composta, isto é, o juro produzido 
em determinado tempo será acrescido ao valor 
produzido pelo capital, passando, ambos, juro e 
capital, a render juro no próximo período. Nessa 
dinâmica financeira, cada intervalo em que o juro 
é agregado ao valor que o gerou é chamado de 
períodode capitalização.
Ao realizarmos um empréstimo, uma compra a prazo ou 
um financiamento de imóvel ou automóvel em certa instituição 
financeira, sempre estamos pagando juros, e, na grande maioria 
das vezes, esses juros são compostos.
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Matemática Financeira 23
O que, basicamente, diferencia os juros simples dos juros 
compostos é o capital, que, no caso dos últimos, a cada período, é 
alterado. Pois, a cada término de um período de capitalização, é 
obtido um montante ou valor futuro (FV) parcial. Dessa forma, as 
relações que permitem a utilização dos juros compostos são dadas 
por:
M = C + J ou FV = PV + J
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
J = C[(1 + i)n – 1] ou J = PV[(1 + i)n – 1]
Vale lembrar que, como destacado na figura 2, na linguagem 
financeira utilizamos as seguintes denominações:
Figura 2 -Termos utilizados na matemática financeira.
Fonte: a autora. 
Ter conhecimento dessa linguagem facilita a manipulação 
de calculadoras financeiras, assim como interpretar os resultados 
obtidos. Vamos praticar? Resolveremos juntos alguns exercícios, 
e será apresentada a resolução algebricamente intermediada por 
cálculos matemáticos e na linguagem própria da calculadora 
HP-12C.
Exemplo: Qual o montante produzido por um capital de 
R$10.000, a uma taxa de 5% a.m. durante vinte meses?
Retirando as informações do enunciado:
n = 20
i = 5% = 0,05
C = 10.000
M = ?
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Matemática Financeira24
Substituindo as informações nas relações apresen-tadas, 
encontramos:
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
M = 10.000(1 + 0,05)20
M = 26532,98
Cálculo na Calculadora HP-12C
10000 CHS PV
5 i
20 n
FV 26532,98
Para você, caro(a) aluno(a), compreender melhor a dinâmica 
da capitalização composta, foi elaborada a Tabela 2, na qual você 
pode acompanhar como os juros compostos funcionam.
Tabela 2: Capitalização Composta
Período Capital Juros Montante
0 10.000 - 10.000
1 10.000 10.000 (1+0,05) = 10.500
2 10.500 10.500 (1 + 0,05) = 11.025
3 11.025 11.025 (1 + 0,05) = 11.576,25
:
.
:
.
:
.
:
.
20 25.269,50 25.269,50.(1+0,05) = 26.532,98
Fonte: A autora.
Chamo a sua atenção para o fato de que o capital no qual 
incide a taxa de juros, a cada período, é sempre alterado. Por 
isso, essa modalidade é conhecida como juros sobre juros.
Utilizaremos em nossos cálculos sempre duas casas 
decimais nos cálculos necessários em virtude do Sistema 
Monetário Brasileiro, assim é necessário relembrar as regras de 
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Matemática Financeira 25
arredondamento que instituem que para arredondar a segunda 
casa após a virgula é necessário observar o número que ocupa a 
terceira casa decimal, se este valor for igual ou menor que cinco, 
este último algarismo será mantido, caso contrário, acrescenta-
se uma unidade ao algarismo que ocupa a segunda casa após a 
virgula.
Gráfico 2: Capitalização Composta. 
Fonte: a autora.
Exemplo: Uma poupança foi criada com a entrada de R$ 
20.000,00 e ficou capitalizando, em um período de 12 anos. Após 
esse tempo, foi comunicado, ao cliente detentor dessa conta, que 
o valor presente era de R$ 32.000,00. Logo, qual taxa de juros
compostos foi aplicada a esse capital?
As informações do enunciado são:
n = 12 anos
I = ?
C = PV = 20.000
M = FV = 32.000,00
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Matemática Financeira26
Assim, substituindo as informações nas relações apresen-
tadas, encontramos:
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
32.000,00 = 20.000(1 + i)12
32.000
20.000 = (1 + i)
12
1,6 = (1 + i)12
12√1,6 = 12√(1+i)12
1,0399 = 1 + i
1,0399 – 1 = i → i = 0,0399 = 3,99%
Cálculo na Calculadora HP-12C
20000 CHS PV
32000 FV
12 n
i 
Exemplo: Uma poupança foi aberta com um saldo de R$ 
23.400,00, e, após determinado período, sob uma taxa de juros 
compostos de R$ 1,2% ao mês, obteve-se um montante de R$ 
29.150,00. Determine o período.
As informações do enunciado são:
C = PV = 23.400
M = FV = 29.150
i = 1,2% = 0,012
N = ?
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Matemática Financeira 27
Assim, alterando as informações nas fórmulas apresentadas, 
encontramos:
Cálculo na Calculadora HP-12C
23400 CHS PV
28150 FV
1,2 i
n
Observe que o cálculo realizado na calculadora financeira 
HP-12C é bem mais rápido e não demanda manipulações 
algébricas, como no cálculo tradicional. No entanto, é necessário 
conhecimento prévio de sua dinâmica de funcionamento..
Diferença entre os regimes de 
capitalização 
A capitalização é o espaço de tempo em que a aplicação 
produz os juros contratados. Sendo assim, um período de três anos, 
com os juros capitalizados semestralmente, produz seis períodos de 
capitalização. No entanto, a modalidade pela qual o valor presente 
é determinado, adicionado ao juro obtido ou não, é que permite 
categorizar em simples ou composto (NETO,2012). 
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Matemática Financeira28
A capitalização simples se enquadra em um modelo linear, 
pois, a cada período, acrescenta a mesma parcela de juros. 
Enquanto a capitalização composta obedece a um estereótipo 
exponencial, caracterizado por acrescentar sempre, ao valor 
presente, uma parcela corrigida a partir do montante anterior.
Graficamente, a distinção entre essas duas modalidades de 
capitalização pode ser observada a seguir, ambas em um mesmo 
plano cartesiano..
Gráfico 3: Comportamento da capitalização Simples e Composta
Fonte: Assaf Netto (2012, p.5)
Observe, no gráfico, que a curva da capitalização composta 
é bem mais inclinada em relação à capitalização simples. 
Essa diferença reflete diretamente no juro obtido nas relações 
financeiras.
Exemplo: Suponha que você tenha R$ 100.000,00 e 
aplique esse valor em determinado investimento, regido por uma 
taxa de juros de 0,75% a.m.. Durante um ano, qual o montante 
gerado? Conforme as informações do problema:
n = 12
i = 0,75% = 0,0075
C = PV = 100.000
M = FV = ?
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Matemática Financeira 29
a. Capitalização simples:
M = C(1 + i . n) ou FV = PV(1 + i . n)
= 100.000(1 + 0,0075 . 12)
= 109.000,00
Cálculo na Calculadora HP-12C
100000 enter
0,75 %
12 x
10000. +
A calculadora HP-12C calcula juros simples com base em 
um período que pode ser de 360 dias ou 365 dias. Além disso, 
com o juro acumulado no visor, a quantia total pode ser calculada 
(principal somado ao juro acumulado) pressionando-se +. Assim, 
para calcular os juros em um período de 360 dias ou 365 dias, é 
necessário seguir os passos abaixo:
 �Digite ou calcule o número de dias e pressione n.
 �Digite a taxa de juros anual e pressione i.
 �Digite a quantia do principal e pressione CHS PV
 � Pressione:
f INT para calcular e exibir o juro acumulado em 360 dias.
 f INT R ↓ X ≥ Y para calcular e exibir o juro acumulado 
em 365 dias.
 � Pressione + para calcular o total do principal e o juro 
acumulado agora no visor.
Lembrando que os valores de n, i e PV podem ser inseridos 
em qualquer ordem.
b. Capitalização composta:
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
= 100.000(1 + 0,0075)12
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Matemática Financeira30
= R$109.380,69
Cálculo na Calculadora HP-12C
100000 CHS PV
12 n
0,75 i
FV = 109.938,69 
Atente-se ao fato de que, no período de um ano, houve 
uma diferença de R$ 380,69 (R$ 109.380,69 – R$ 109.000,00). 
Grande, não é mesmo? Agora, imagine esse incremento em 
transaçõesrealizadas em 10, 20, 30 anos? Aumenta ainda mais! 
Por isso, o juro composto é muito utilizado nas transações mais 
comuns no mercado financeiro.
Homogeneidade entre taxa e tempo 
Em transações financeiras, sempre o período (n) deve estar 
condizente com a unidade de tempo (dias, meses e anos) em que 
foi estabelecida a taxa de juros. Lembrando que: 
 �O ano civil equivale a 365 dias;
 �O ano comercial é igual a 360 dias;
 �O mês comercial compreende 30 dias.
Um exemplo da importância de realizar a transformação de 
uma taxa para outra: em um empréstimo, é comum estar incidida 
uma taxa de juros capitalizada anualmente, mas um cliente pode 
querer contratá-lo em um período de meses.
Vamos entender como ocorre, na prática, esse processo de 
transformação? Avante, caro(a) aluno(a)!
Exemplo: Determine a equivalência de uma taxa de juros 
de 16% anual para:
a. Taxa diária;
b. Taxa mensal;
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Matemática Financeira 31
c. Taxa bimestral;
d. Taxa semestral.
Para se obter tais transformações, basta realizar a divisão
da taxa anual indicada pelo período em que se almeja a 
transformação, logo:
a. Taxa diária = 16360 0,04% a.d.
b. Taxa mensal = 1612 1,33% a.m.
c. Taxa bimestral = 162 8% a.b.
d. Taxa semestral = 166 2,67% a.s.
RESUMINDO
E então? Gostou do que foi apresentado neste capítulo? Agora, 
só para termos certeza de que você realmente entendeu o tema 
de estudo, vamos resumir o que vimos! Você conheceu com mais 
propriedade a dinâmica da capitalização composta, isto é, os 
juros compostos, modalidade na qual a taxa de juros é calculada 
sobre o montante obtido anteriormente. Observe que, em ambas 
as categorias de capitalização, é preciso estabelecer uma taxa de 
juros, um período, assim como o capital e o montante. A principal 
diferença entre o juro simples e o composto consiste no valor no 
qual se incide o cálculo da taxa. Na modalidade simples, esse 
valor é constante. Já na composta, esse número sempre aumenta 
e é variável. Também aprendemos que, em várias transações 
financeiras, o período tem que ser igual à unidade de tempo 
(dias, meses e anos) em que se é capitalizada a taxa de juros, 
representando a homogeneidade entre taxa e tempo.
Matemática Financeira.indd 31Matemática Financeira.indd 31 06/08/2021 04:22:04 PM06/08/2021 04:22:04 PM
Matemática Financeira32
Taxas 
Ao término deste capítulo, é esperado que você, estimado(a) 
aluno(a), compreenda as taxas de juros e as operações possíveis de 
serem executadas com elas, identificando o tipo de manipulação 
mais condizente com o regime de capitalização estabelecido. Já 
estudamos o conceito e a aplicação das taxas no contexto financeiro. 
Agora, é importante conhecer um pouco mais sobre esse índice 
e diferenciá-lo. Assim, iniciaremos esse conteúdo apresentando 
as técnicas para conversão de taxas relacionadas ao período de 
capitalização: taxa proporcional e taxa equivalente.
OBJETIVO
Taxa proporcional e equivalente 
As taxas proporcional e equivalente possuem a mesma 
função, que, basicamente, é transformar uma taxa que capitaliza 
os juros perante certo período para outro. A grande diferença entre 
ambas consiste na categoria de juros: a taxa proporcional é aplicada 
aos juros simples, enquanto a taxa equivalente se relaciona aos juros 
compostos. Veja, na Figura 3, essa distinção.
Figura 3 – Organograma sobre a classificação de taxas conforme o tipo de juros. 
Fonte: a autora.
Duas taxas são ditas proporcionais quando possuem 
períodos de capitalização diferentes e, se aplicadas a um mesmo 
capital inicial, produzem um mesmo valor final.determinado 
Matemática Financeira.indd 32Matemática Financeira.indd 32 06/08/2021 04:22:05 PM06/08/2021 04:22:05 PM
Matemática Financeira 33
São aplicadas somente ao regime de capitalização simples, 
no qual a razão entre as taxas é igual à razão entre os respectivos 
períodos (ASSAF NETO, 2012).
Matematicamente, isso corresponde à definição que será 
apresentada a seguir. 
i1
i2
 = 
n1
n2
Através da propriedade fundamental da proporção, o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou seja:
i1 . n2 = i2 . n1
Uma vez considerando:
 � i1 e i2 taxas de juros
 � n1 e n2 períodos
Exemplo: Admitindo uma taxa anual igual a 45%, 
determine esse índice proporcional:
a. Mensal;
b. Trimestral;
c. Semestral;
Para solucionar esse exercício, inicialmente basta substituir 
as informações na relação apresentada anteriormente:
a. Mensal:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este
período é constituído por 12 meses, logo:
i1 = 0,45 e n1 = 12
i2 = ? e n1 = 1
Assim:
i1 . n2 = i2 . n1 → 0,45 . 1 = i2 . 12 → i2 = 
0,45
12 = 0,0375 = 
3,75% a.m.
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Matemática Financeira34
b. Trimestral:
Como a taxa de juros de 45%, o período tem 4 trimestres,
logo:
i1 = 0,45 e n1 = 4
i2 = ? e n1 = 1
Assim:
i1 . n2 = i2 . n1 → 0,45 . 1 = i2 . 4 → i2 = 
0,45
4 = 0,1125 = 
11,25% a.t.
c. Semestral:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este
período é constituído por 2 semestres, logo:
i1 = 0,45 e n1 = 2
i2 = ? e n1 = 1
Assim:
i1 . n2 = i2 . n1 → 0,45 . 1 = i2 . 4 → i2 = 
0,45
2 = 0,225 = 
22,5% a.s.
Agora, de volta ao contexto da capitalização composta, 
conheceremos mais sobre as taxas equivalentes, bem como as 
técnicas admissíveis de serem utilizadas. Vamos lá?!
Assaf Neto (2012) declara que as taxas equivalentes são 
descritas conforme a seguir. 
Duas taxas são denominadas equivalentes se, 
quando aplicadas a juros compostos e considerando 
um mesmo capital produzem um mesmo valor de 
montante (NETO,2012).
Existe uma relação matemática especifica que possibilita 
determinar essa equivalência, dada por:
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)n2
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Matemática Financeira 35
Onde:
 � i1 e i2 são taxas de juros
 � n1 e n2 são períodos
Mas em quais situações devo utilizar de tais relações? É o 
que veremos na prática nos exemplos a seguir!
Exemplo: Qual a taxa bimestral, semestral e anual equiva-
lente a taxa mensal de 3%?
Para solucionar tal situação, utilizaremos, como referência, 
um bimestre como 2 meses ou 60 dias; um semestre, como 6 
meses ou 180 dias; e um ano, como 12 meses ou 360 dias.
 �Bimestral:
Solução na Calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03 +
60 ENTER
30 ÷
yx1
–
100 X
Matemática Financeira.indd 35Matemática Financeira.indd 35 06/08/2021 04:22:05 PM06/08/2021 04:22:05 PM
Matemática Financeira36
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, equivale 
a uma taxa bimestral de 6,1%.
 Semestral:
Cálculo na Calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03 +
180 ENTER 
30 ÷
yx
1 –
100 X
Então, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, 
equivale a uma taxa semestral de 19,40%.
 Anual:
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Matemática Financeira 37
Cálculo na Calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03 +
360 ENTER 
30 ÷
yx1
1 –
100 X
Dessa forma, uma taxa de juros compostos de 3% mensal 
equivale a uma taxa anual de 42,58%. 
Basicamente as fórmulas que permitem realizar as conversões 
mais comuns são apresentadas na tabela a seguir, na qual:
t = Prazo inicial (informação que tenho relativo ao período);
q = Prazo final (prazo solicitado);
it = Taxa informada (taxa fornecida no exercício);
iq = Taxa a ser determinada (taxa procurada);
Tabela 3 - Fórmulas para equivalência entre taxas.
Fonte: A autora.
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Matemática Financeira38
Taxa nominal e efetiva 
Ao realizarmos um empréstimo, é comum questionarmos 
o valor da taxa incidida na operação. Como resposta, somos
informados de que a taxa anual praticada é de 38%. Porém, o
prazoreferente à constituição do juro, assim como sua agregação
ao capital que o gera, costumeiramente, são mensais.
Na maioria das vezes, o mercado financeiro institui, para 
uma mesma operação, expressões distintas de juros para sua forma 
de capitalização. No cheque especial, por exemplo, é comum se 
utilizar tanto a taxa efetiva quanto a taxa nominal de juros. Desse 
modo, para se comparar o custo para realizar tal transação, é 
essencial conhecer a fundamentação teórica de cada modalidade 
de taxa. A partir de situações como essa, surge a necessidade de 
identificar, bem como diferenciar, a taxa nominal e a efetiva e, 
posteriormente, efetuar a transformação entre ambas.
Castanheira e Macedo (2013) reiteram que a taxa:
É chamada de nominal quando o intervalo de tempo 
que se refere à taxa não se equipara ao período de 
capitalização.
Tendo como exemplo uma taxa de 16%, semestral, a 
capitalização trimestral é tida como uma taxa nominal, pois 
a taxa se refere ao semestre. No entanto, a capitalização dos 
juros ocorre trimestralmente, isto é, existem quatro períodos de 
capitalização em um ano.
Vamos, portanto, caro(a) aluno(a), considerar, para tornar
mais clara essa definição, a resolução do exemplo a seguir.
Exemplo: Determine o valor futuro de um capital de R$ 
7.000,00, aplicado à taxa nominal de 32% ao ano, durante um 
ano, capitalizado:
a. Bimestralmente;
b. Semestralmente;
Chamo sua atenção, para o fato de que o período varia
conforme a modalidade de capitalização. Então, será preciso 
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Matemática Financeira 39
mudar o número correspondente ao tempo percorrido, 
lembrando-se de que sempre será considerado, nessas operações, 
o juro composto. Caso sejam os juros simples, será especificado
no comando da questão.
a. Bimestralmente: como um bimestre compreende dois
meses, para determinar o período basta calcular a razão: 122 = 6 
bimestres, assim como a taxa deve também ser modificada para 
32%
6
 = 5,33%
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
= 7000(1 + 0,0533)6 = 9558,96
Solução pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
5 i
6 n
FV
b. Semestralmente: como um semestre compreende seis
meses, para determinar o período basta, calcular a razão: 126 =2 
semestres. Assim, como a taxa deve também ser modificada para 
32%
2
 ≅ 0,16
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
= 7000(1 + 0,16)2 = 9.419,20
Cálculo pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
16 i
2 n
FV
É comum surgirem dúvidas quanto à maneira de converter 
períodos, conforme a periodicidade de conversão. Assim, para 
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facilitar sua compreensão, basta identificar na tabela a seguir a 
alteração necessária a ser realizada no exercício proposto.
Quando o período da taxa é maior que o período de 
capitalização, a transformação ocorre dividindo -se valores. 
Observe a Tabela 4, a seguir:
Tabela 4: Transformação de taxa com período maior ao período de capitalização.
Taxa Capitalização Operação
Anual
Semestral ÷ 2
Trimestral ÷ 4
Bimestral ÷ 6
Mensal ÷ 12
Diária ÷ 360 
Semestral
Trimestral ÷ 2
Bimestral ÷ 3
Mensal ÷ 6
Diária ÷ 180
Trimestral
Bimestral ÷ 1,5
Mensal ÷ 3
Diária ÷ 90
Bimestral
Mensal ÷ 2
Diária ÷ 60
Mensal Diária ÷ 30
Fonte: A autora
Em contrapartida, quando o período da taxa é menor que o 
período de capitalização, a transformação ocorre multiplicando-
se valores. Observe a próxima tabela.
Tabela 5: Transformação de taxa com período menor ao período de capitalização.
Taxa Capitalização Operação
Diária
Anual × 360
Semestral × 180
Trimestral × 90
Bimestral × 60
Mensal × 30
Mensal
Anual × 12
Semestral × 6
Trimestral × 3
Bimestral × 2
Bimestral
Anual × 6
Semestral × 3
Trimestral × 1,5
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Matemática Financeira 41
Trimestral
Anual × 4
Semestral × 2
Semestral Anual × 2
Fonte: A autora
Agora que finalizamos as definições relacionadas à taxa 
nominal, conheceremos outra modalidade de taxa, a efetiva, 
que, de acordo com Castanheira e Macedo (2013) é:
quando o prazo referente a uma taxa coincide com 
o período de formação e incorporação do juro ao
capital que o produziu.
Na dinâmica de taxa efetiva, não importa o prazo no qual 
o capital será acrescentado de juros. Pois, o resultado, isto é, o
montante, será sempre o mesmo, porque o juro é capitalizado uma
única vez no período correspondente à taxa (ASSAF NETO, 2012).
Inicialmente, as definições da taxa nominal e da taxa efetiva 
podem parecer confusas. Mas a maneira mais fácil de entender 
essas definições é a partir das distinções entre ambas. Como? 
Observe, atentamente, as informações a seguir e compreenderá 
esse comando.
Figura 4: Comparação entre taxa nominal e efetiva.
Fonte: a autora. 
É importante destacar que a taxa nominal não é usada nos 
cálculos financeiros, e, sim, a taxa efetiva. Por convenção, a 
transformação da taxa nominal para a taxa efetiva é realizada 
proporcionalmente.
Agora, vamos praticar?
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Matemática Financeira42
Exemplo: Determine o montante e a taxa efetiva incidido 
sobre um empréstimo de R$5.000,00 a ser pago em parcela 
única em um ano. Considere uma taxa nominal de 11% anual, 
com capitalização mensal.
Retirando as informações do exercício, encontramos:
 � i = 11% a.a. É preciso realizar a conversão para taxa 
nominal, logo proporcionalmente uma taxa anual para mensal: 
11%
12
 = ≅ 0,92% = 0,0092%
C = PV = 5.000
n = 12
Agora substituindo na fórmula de juros compostos:
M = C(1 + i)n ou FV = PV(1 + i)n
= 5000(1 + 0,0092)12 = 5580,81
Cálculo pela calculadora HP-12C
5000 CHS PV
16 i
0,92 n
FV = 5.580.81
Sabemos que o montante é igual a R$ 5.580,81. Para 
determinarmos a taxa efetiva pertencente a essa operação, 
retornamos com os valores do montante encontrado e do 
capital. Em contrapartida, o período é modificado para um, pois 
encontraremos a taxa efetiva anual. Veja:
5580,81 = 5000(1 + i)1
= 5580,815000 = 1 + i
1,1162 = 1 + i
i = 0,1162 = 11,62% a.a. (taxa efetiva)
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Matemática Financeira 43
Cálculo pela calculadora HP-12C
1 n
i 
Outra maneira de se determinar a taxa efetiva é através da 
relação:
if = (1 + i)q - 1
Em que:
 � if = taxa efetiva;
 � a = número de períodos de capitalização de juros;
Resolvendo-se o exemplo anterior diretamente na fórmula, 
encontramos:
if = (1 + i)q - 1
if = (1 + 0,0092)1 - 1
if = 0,1162
Exemplo: Uma instituição financeira possui, em sua 
cartela de produtos, uma aplicação financeira que paga 40% ao 
ano. Determinado cliente, após o prazo de um mês, solicitou a 
rentabilidade efetiva, considerando os juros de 40% a.a., como:
a. Taxa Efetiva;
b. Taxa Nominal.
Hora de praticar caro(a) aluno(a)! Vamos lá?
a. Taxa Efetiva: a rentabilidade mensal corresponde a
taxa equivalente composta de 40% a.a.; logo:
Taxa nominal: a rentabilidade mensal de 40% a.a. é 
encontrada pela taxa proporcional. Assim:
b.
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Matemática Financeira44
RESUMINDO
O que achou deste capítulo? Aprendeu satisfatoriamente? Para 
fixarmos o tema de estudo, vamos fazer um breve resumo. Você 
deve ter aprendido sobre a classificação das taxas de juros e 
suas respectivas peculiaridades. Elas podem ser calculadas 
proporcionalmente, manejando-se os juros da modalidade 
simples, e podem ser encontradas equivalentemente, no trabalho 
com os juros compostos. Além disso, você deve ter conhecido as 
taxas efetivas e nominais. Essas se diferenciam e se classificam 
quanto ao período em que ocorre a capitalização e o período deincidência e cálculo da taxa de juros. Quando esses indicativos 
são iguais, recebem a denominação de taxas efetivas, e, se 
forem diferentes no período, são chamadas de taxas nominais.
Ao fim deste capítulo, esperamos que você, estimado(a) 
aluno(a), compreenda o que é fluxo de caixa, um dispositivo 
gráfico muito útil na administração, e entenda o conceito de 
equivalência financeira, que relaciona a igualdade de capitais, 
conforme determinado período.
OBJETIVO
Fluxo de caixa e equivalência financeira 
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Matemática Financeira 45
Fluxo de caixa 
Fluxo de caixa e equivalência financeira são conceitos 
imprescindíveis em uma administração consciente dos recursos 
financeiros de uma empresa. Detalharemos sobre eles, a seguir.
A Matemática Financeira estuda a relação do dinheiro com 
o tempo. Nesse sentido, o fluxo de caixa é muito importante 
nas operações dessa área, porque possibilita a visualização da 
variação do capital. Assaf Neto (2012) define fluxo de 
caixa como:
Representação gráfica de um conjunto de entradas
e saídas em uma linha do tempo.
O fluxo de caixa não é o mesmo sempre, pois os valores 
e a quantidade de entradas e saídas variam. Entretanto, há um 
estereótipo definido para essa representação, identificado na 
Figura 5:
Figura 5: Fluxo de Caixa.
Fonte: Assaf Netto (2012, p.2)
Para construir essa representação, temos que seguir 
algumas regras. São elas:
 �A linha horizontal indica uma escala de tempo, isto é, o 
horizonte financeiro da operação;
 �O ponto zero indica o período inicial e os demais 
pontos, as datas com registro financeiro;
 � Setas acima da linha do tempo indicam recebimentos ou 
entradas;
 � Setas para abaixo da linha do tempo sinalizam aplicações 
ou saídas de dinheiro. 
Matemática Financeira.indd 45Matemática Financeira.indd 45 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
Matemática Financeira46
 � PV ou valor presente simboliza o capital no momento atual.
 � FV ou valor futuro que simboliza o montante obtido 
após o investimento de certo capital em determinado período.
 � PMT indica o valor de uma parcela que pode ser adicio-
nada ou subtraída do montante a cada período.
Equivalência Financeira 
Imagine a seguinte situação: você vai ao banco, e um 
atendente afirma que R$ 1.000,00 reais, hoje, equivalem a R$ 
1.200,00, daqui a um ano. Essa situação deixa você intrigado. 
Afinal, será verdadeira tal afirmação? Sim, é! No âmbito da 
Matemática Financeira, um valor, hoje, pode, sim, ser equivalente 
a outro, no futuro. Pois, ambos os capitais produzem, em uma 
determinada data e submetidos à determinada taxa, resultados 
semelhantes.
A equivalência financeira se relaciona diretamente à 
equivalência entre capitais. Esse conceito é bastante útil em 
ocasiões nas quais se deseja postergar ou antecipar o vencimento 
de diferentes títulos. Teoricamente, Assaf Neto (2012) discorre:
Dois ou mais capitais são ditos equivalentes quando, 
a uma certa taxa de juros, produzem resultados 
iguais, em uma data comum. A data para o qual 
os capitais são transferidos recebe o nome de data 
focal.
No caso do fluxo de caixa, haverá equivalência se os 
valores presentes, quando submetidos à mesma taxa de juros, 
forem idênticos. 
É importante enfatizar que, para a capitalização simples, 
a equivalência entre capitais depende da escolha da data focal. 
Por isso, na prática, não é muito utilizada.
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Matemática Financeira 47
Na capitalização composta, por sua vez, a data focal pode 
ser qualquer uma, já que, se dois ou mais capitais são equivalentes 
em determinada data, serão em qualquer data.
Desse modo, considerando que os capitais V1, V2, V3 ... 
Vn , com vencimentos para datas t0, t1, t2 ... tn ,são equivalentes, 
mantém-se a seguinte proporção:
E na prática? Como, algebricamente, conseguimos 
comprovar a equivalência entre dois ou mais capitais? Existem 
diferentes relações para quando os vencimentos são anteriores 
à data focal ou posteriores a ela, assim como nos regimes de 
capitalização simples ou composta.
Vamos resolver mais um exemplo? Avante!
Exemplo: Considere dois títulos, nos valores de R$ 
15.205,18 e R$ 17.107,13, com vencimentos de 5 meses e 8 
meses, respectivamente, e submetidos a uma taxa de 4% ao mês.
Para identificar a equivalência ou não desses capitais, 
inicialmente, retiraremos as informações do enunciado, que são:
V1 = 15.205,18
V2 = 17.107,13
t1 = 5 meses
t2 = 8 meses
I = 4% = 0,04
Agora, basta substituir estes valores na relação apresentada 
anteriormente e verificar se obtemos valores coincidentes.
A equivalência de capitais pode nos ajudar a analisar até que ponto é 
interessante adquirir um produto à vista ou parcelado. Basta trazermos 
todos os valores para uma determinada data focal e fazer a comparação.
EXEMPLO
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Matemática Financeira48
Logo, é possível concluir que os capitais são equivalentes.
Cálculo pela calculadora HP-12C
15208,18 CHS PV
4 i
3 n
FV
E depois conferir com o outro cálculo:
17107,13 CHS PV
4 i
3 n
FV
RESUMINDO
Gostou do nosso conteúdo? Como foi sua aprendizagem? Para 
nos certificarmos de que você absorveu as informações, vamos 
retomá-las brevemente. Você aprendeu sobre um dispositivo 
gráfico que apresenta diversas operações financeiras pertinentes 
a uma empresa e que recebe o nome de fluxo de caixa. Por meio 
dessa representação, é possível visualizar as movimentações 
com o caixa da empresa, conforme o período. Por fim, você 
conheceu o conceito de equivalência financeira, que se refere à 
igualdade entre os mesmos valores de capitais, quando regidos
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Matemática Financeira 49
BIBLIOGRAFIA
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e 
suas aplicações. 12ª. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática financeira 
fundamental. São Paulo: Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz 
Roberto Dias de. Matemática Financeira Aplicada. Curitiba: 
Intersaberes, 2013. 275 p.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira: uma 
Abordagem Moderna. 2ª.ed. Rio de Janeiro:Ltc LTC,1994.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. 
Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1996.
nas diferentes técnicas de capitalização: simples ou composta. 
Esse conceito é bastante utilizado em instituições financeiras, na 
prática de liquidação de débitos, para se identificar o valor a ser 
pago por uma antecipação de saldos.
Matemática Financeira.indd 49Matemática Financeira.indd 49 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
UNIDADE
02
DESCONTOS E SÉRIES DE PAGAMENTOS
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Matemática Financeira 51
Caro(a) aluno(a), você sabia que a ideia de desconto se 
associa ao abatimento de dado valor monetário? Pois bem, 
quem nunca pediu um desconto? Ou foi direcionado a conceder 
desconto de acordo com certa situação? Na Matemática 
Financeira, seremos apresentados ao desconto simples, que é 
interligado à metodologia da capitalização simples, e o desconto 
composto, que é inerente à capitalização composta. Dando 
sequência aos nossos estudos, seremos apresentados às séries de 
pagamentos: sua definição, classificação, as séries potenciadas, 
séries antecipadas e diferidas, assim como seu modelo geral e 
seus modelos variáveis. Ao longo deste estudo, vamos mergulhar 
juntos nesse universo! 
TEMAS
Nesta unidade, você verá:
• Conhecendo o desconto simples
• Aplicando o desconto composto
• Séries de pagamentos, classificação e séries postecipadas
• Pagamentos antecipados e séries diferidasINTRODUÇÃO
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Matemática Financeira52
Seja muito bem-vindo à Unidade 2 - Descontos e séries de 
pagamentos! Nossa expectativa é que você atinja os seguintes 
objetivos de aprendizagem até o término desta etapa de estudos:
OBJETIVOS
1 Definir e solucionar problemas relacionados ao desconto simples; 
2 Conceituar e resolver situações-problemas de desconto composto;
3 Compreender as séries de pagamentos postecipados;
4 Entender as séries de pagamentos antecipados e diferidos.
Vamos, juntos, adentrar em um mundo interessante e muito 
útil para nossa vida financeira! Ao trabalho! Avante, caro(a) 
aluno(a)! 
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Matemática Financeira 53
Conhecendo o Desconto Simples
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender como 
funciona a dinâmica do desconto simples. Aprenderá sobre 
os diferentes tipos de desconto simples, como identificá-los e 
diferenciá-los. Motivado para desenvolver essa competência? 
Então, vamos lá! Avante!
OBJETIVO
Desconto Simples
A prática de aplicar desconto é um ato inerente às relações 
comerciais. Costumeiramente, solicitamos desconto ou somos 
atraídos por propagandas que ofertem algum tipo de desconto. 
De regra, a prática de desconto é realizada quando temos ciência 
do montante ou valor nominal de um título de crédito e se almeja 
encontrar o valor atual desse título.
Existem dois tipos de título de crédito: a nota promissória 
e a duplicata. A primeira se caracteriza por ser um comprovante 
de aplicação de um capital com vencimento predeterminado. Já 
a segunda se caracteriza por ser um título criado por uma pessoa 
jurídica contra o seu cliente, que pode ser uma pessoa física ou 
jurídica. Matematicamente, Castanheira e Macedo (2013, p.39) 
discorrem que:
“Desconto é o abatimento concedido sobre um título 
de crédito em virtude de seu resgate antecipado”.
Para calcular o desconto, é necessário conhecer a taxa 
de desconto, assim como o período, que corresponde ao tempo 
faltante para o vencimento do título ou dívida, uma vez que 
representa a retirada do juro calculado pelo banco 
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Matemática Financeira54
nas operações de capitalização simples, proporcionalmente 
ao prazo antecipado de pagamento. (CASTANHEIRA; 
MACEDO, 2013). Aprenderemos, juntos, as duas categorias 
pertinentes à modalidade de desconto simples. Observe a 
apresentação na Figura 1, a seguir.
Figura 1 - Classificação de Desconto Simples.
Fonte: a autora.
Agora, vamos desvendar cada categoria de desconto 
simples, conhecendo sua definição e resolvendo vários exercícios 
relacionados a esse assunto. Vamos lá?
Desconto Simples Comercial
O desconto simples comercial, ou desconto “por fora”, é 
representado por Dc e utilizado a partir da incidência de uma 
taxa de desconto da dívida no dia do seu vencimento. A relação 
matemática que permite esse cálculo é dada por:
Dc = M . i . n
EXEMPLIFICANDO
Suponha que, ao receber um cheque de R$ 1.500,00, com 
vencimento para daqui a dois meses, você foi trocá-lo no banco, 
pois precisava do dinheiro. Porém, para sua surpresa, o valor 
recebido foi de R$ 1.380,00. Por qual razão isso aconteceu? A 
resposta é simples: o dinheiro sofre desvalorização ao longo do 
tempo, logo, ao adiantar um dinheiro que iria receber no futuro, 
ele deverá ser descontado.
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Matemática Financeira 55
Onde:
 Dc = Desconto comercial simples
i = taxa de juros
n = tempo que falta para vencer a dívida
Se determinado o desconto, é possível calcularmos o valor 
atual (Vc) para a data de resgate do título, pois o valor atual é 
o resultado da diferença entre o montante e o desconto simples,
isto é:
Vc = M – Dc
Vc = M – (M . i . n) 
Vc = M . (1 – i . n) 
Assim, a fórmula que possibilita a determinação do valor 
atual é:
Vc = M . (1 – i . n)
Chamo sua atenção, estimado (a) aluno(a), para o fato que 
nestas relações não há ocorrência de uma taxa administrativa 
bancária, que é uma prática comum no mercado financeiro; e 
neste contexto surge o desconto comercial bancário, que será 
indicado por Db e pode ser calculado pela fórmula:
Db = Dc + M . h
Onde h, representa a taxa de despesa administrativa.
Para compreendermos como funciona a aplicação destes 
conceitos vamos resolver alguns exemplos, acompanhe a 
resolução detalhada a seguir!
Exemplo: Determinado título de R$ 8.600,00 foi descontado 
dois meses antes de seu vencimento. Sabe-se que a taxa corrente 
em desconto comercial é de 23% ao ano. Determine o desconto 
comercial e o valor que o dono do título recebeu.
Retirando as informações do enunciado, obtemos:
i = 23% a.a. = 0,23 a.a. = 0,2312 a.m.
n = 2 meses
M = 8.600,00
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Matemática Financeira56
Dc = ?
Vc = ?
Assim, o desconto comercial é encontrado da seguinte forma:
Dc = M . i . n
Dc = 8.600,00 . 0,2312 . 2
Dc ≅ 329,67
Para determinar o valor do título recebido, basta
substituir na fórmula de valor atual:
Vc = M – Dc
Vc = 8.600,00 – 329,67
Vc = 8.270,33
Logo, o desconto comercial foi de R$329,67 e o valor 
recebido pelo dono do título foi de R$ 8.270,33.
Cálculo pela calculadora HP-12C
8600 CHS PV
23 i (taxa ao ano)
2 ENTER
30 x n (perdido em dias)
f INT (desconto comercial = 329,67)
RCL PV
+ (valor atual = 8.270,33)
Desconto Simples Racional
O desconto racional simples, indicado por Dr é encontrado 
a partir da aplicação da taxa de desconto sobre o valor atual (Vr) 
do título de crédito, determinada por:
Dr = Vr . i . n
Matemática Financeira.indd 56Matemática Financeira.indd 56 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
Matemática Financeira 57
Onde n representa o tempo faltante para o vencimento da 
dívida.
Já o valor atual (Vr) pode ser encontrado por duas relações:
Vr = M – Dr
Vr = M1 + i . n 
Simples, não é mesmo? Vamos partir para a prática agora 
caro (a) aluno(a). Avante!
Exemplo: Encontre o valor do desconto racional simples e 
o valor a ser resgatado de um título R$ 25.700,00, vencível em 3
meses e 10 dias, descontado a uma taxa de juros de 27% ao ano.
Retirando as informações do enunciado, obtemos:
i = 27% a.a. = 0,27 a.a.
n = 2m 10d = 70d = 70360 a
M = 25.700,00
Dr = ?
Vr = ?
Para descobrir o desconto racional é necessário determinar 
inicialmente o valor racional, que será determinado da seguinte 
forma:
Vr = M1 + i . n
Vr = 25.7001 + 0,27 . 70/360
Vr = 24.418,05
Já para determinar o valor do título recebido, basta 
substituir na fórmula de valor atual:
Dr = Vr . i . n
Dr = 24.418,05 . (0,27/360).70 
Dr = 1.281,95
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Matemática Financeira58
RESUMINDO
Prezado(a) aluno(a), gostou da temática deste capítulo? Aprendeu 
tudo? Para refrescar sua memória, vamos relembrar, juntos, 
os pontos essenciais para seu sucesso nesse conteúdo. Neste 
capítulo, aprendemos sobre um conceito muito utilizado no 
nosso dia a dia, o desconto, mas agora sob uma concepção mais 
formal, fundamentado em fórmulas matemáticas adequadas. 
Aprendemos que o desconto comercial simples é calculado 
sob o valor total da dívida no dia do seu vencimento, enquanto 
o desconto racional simples é incidido sobre o valor atual do
título de crédito. Essa é a diferença fundamental entre essas duas
modalidades de desconto simples.
Logo, o desconto racional foi de R$1.281,95 e o valor 
recebido pelo dono do título foi de R$ 24.418,05.
Cálculo pela calculadora HP-12C
25700 CHS PV
27 i (taxa ao ano)
2 ENTER
30 x n 
f INT 
RCL PV
+ 
Matemática Financeira.indd 58Matemática Financeira.indd58 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
Matemática Financeira 59
Aplicando o Desconto Composto
Desconto composto
Castanheira e Macedo (2008, p.65) afirmam que desconto 
consiste em um abatimento concedido sobre um título de crédito 
em virtude de seu resgate antecipado.
Mas qual a distinção existente entre os tipos de desconto? 
Basicamente, o desconto composto se assemelha muito ao 
desconto simples. A diferença pontual consiste na modalidade 
em que se incide a taxa de desconto, que, nesse caso, é a 
capitalização composta.
O desconto composto também se subdivide em duas categorias: 
o desconto composto comercial, popularmente chamado de
desconto bancário, e o desconto composto racional, como
apresenta, a seguir, a Figura 2.
Figura 2 -Classificação de Desconto Composto.
Fonte: a autora. 
Ao término deste capítulo objetivamos que você, estimado (a) 
aluno (a), seja capaz de conhecer sobre a prática de desconto 
simples, compreendendo sua definição, assim como as relações 
que fundamental essa dinâmica. Através de exemplos resolvidos 
passo a passo você conseguirá entender essa nova definição.
OBJETIVO
Matemática Financeira.indd 59Matemática Financeira.indd 59 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
Matemática Financeira60
A partir de agora vamos desvendar juntos cada categoria 
relacionada aos descontos compostos. Vamos lá?
Desconto Composto Comercial ou 
Bancário
Conforme Castanheira e Macedo (2013, p.80) elucidam, 
“o desconto composto comercial é calculado sobre o valor da 
dívida no dia do seu vencimento”. O desconto comercial é 
encontrado mediante a aplicação de uma taxa de desconto sobre 
o valor nominal (M) do título de crédito.
A relação matemática que possibilita o cálculo do Dc é 
encontrada a partir da associação de desconto relacionada à 
capitalização composta e é dada por:
Dc = M – Vc
Onde o valor comercial (Vc) é encontrado pela igualdade:
Vc = M . (1 – i)n
Unindo-se a fórmula direcionada ao desconto comercial e 
o valor comercial, é possível encontrar uma relação que orienta
o cálculo do desconto comercial a partir do montante (M), da
taxa de juros (i) e do período (n), que é obtida por:
Dc = M – Vc
Dc = M – [M . (1 – i)n] 
Dc = M . [1 – (1 – i)n 
Agora vamos colocar em prática a aplicação destas 
fórmulas? Vamos lá?!
Exemplo: Encontre o valor do desconto composto comercial 
de um título de R$ 14.000,00, descontado seis meses antes do 
vencimento, submetido a uma taxa de desconto de 1,5% a.m.
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
Matemática Financeira.indd 60Matemática Financeira.indd 60 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
]
Matemática Financeira 61
i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.
n = 6 meses
M = 14.000,00
Dc = ?
Vc = ?
Já sabemos que o desconto comercial é encontrado pela relação:
Dc = M . [1 – (1 – i)n]
Dc = 14.000,00 . [1 – (1 – 0,015)6]
Dc = 1.213,68
Para determinar o valor do título recebido, basta substituir 
na fórmula de valor atual:
Dc = M – Vc
1.213,68 = 14.000,00 – Vc
Vc = 12.786,32
Assim, concluímos que o desconto composto comercial 
foi de R$1.213,68 e o valor recebido foi de R$ 12.786,32.
Cálculo pela calculadora HP-12C
14000 CHS PV
1,5 CHS i (taxa de desconto)
6 n
FV (valor de resgate do título)
RCL PV (recupera o valor de PV)
+
Exemplo: Determine a taxa de desconto composto comercial 
concedida a um título de R$ 32.674,00 descontado nove meses 
antes do vencimento, uma vez que o valor liquido recebido foi de 
R$ 28.434,00.
Matemática Financeira.indd 61Matemática Financeira.indd 61 06/08/2021 04:22:06 PM06/08/2021 04:22:06 PM
Matemática Financeira62
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
M = 32.674
Vc = 28.234
n = 9
i = ?
Sabemos que a fórmula para o cálculo do valor a ser 
recebido é:
Vc = M . (1 – i)n
28.434 = 32.674 . (1 – i)9
28.434
32.674 = (1 – i)
9
0,8702 = (1 – i)9
9√0,8702 = 9√(1 – i)9
0,9846 = 1 – i
i ≅ 0,0154 = 1,54%
Logo, a taxa de desconto equivale a 1,54%.
Cálculo pela calculadora HP-12C
32674 CHS PV
28434 FV
9 n
i
Desconto Composto Racional
Semelhantemente ao desconto simples racional, o desconto 
composto racional é calculado sobre o valor do título (Vr), 
dependendo do montante em questão, e sua relação algébrica é 
descrita por:
Dr = M – Vr
Matemática Financeira.indd 62Matemática Financeira.indd 62 06/08/2021 04:22:07 PM06/08/2021 04:22:07 PM
Matemática Financeira 63
Uma vez que o valor atual do título é encontrado por:
Vr = M(1 + i)n
Onde: 
Dr = Desconto composto racional
i = taxa de juros
n = tempo que falta para vencer a dívida
M = valor nominal do título
De maneira a facilitar e agilizar nossos cálculos, vamos 
unir a fórmula relacionada ao desconto racional com o do valor 
do título atual, assim obtemos a seguinte relação:
Dr = M – Vr
Dr = M – M(1 + i)n
Dr = M . 1 – M(1 + i)n
Vamos partir para a prática? Avante caro(a) aluno(a)!
Exemplo: Suponha que você deva um título a determinado 
banco no valor de R$ 45.108,50, com previsão de vencimento para 
daqui a cinco meses, e deseja liquidá-lo hoje. Considere uma taxa 
de desconto composto racional de 2,5% mensais. Qual o valor 
referente ao desconto e o valor referente à quantia a ser paga?
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
M = 45.108,50
i = 2,5% = 0,025
n = 5
Dr = ?
Vr = ?
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Matemática Financeira64
Para encontrar o desconto racional, partiremos da determi-
nação do valor atual do título. Assim:
Vr = M(1 + i)n
Vr = 45108,50(1 + 0,025)5
Vr = 39.869,34
De posse deste valor, encontramos o desconto composto 
racional:
Dr = M – Vr
Dr = 45.108,50 – 39.869,34
Dr = 5.239,16
Logo, o desconto composto racional será de R$ 5.239,16 e 
valor a ser pago é de R$ 39.869,34.
Cálculo pela calculadora HP-12C
45108,5 CHS FV
5 n
2,5 i
PV (valor recebido = 39.869,34)
RCL FV
+ (desconto racional com sinal negativo = -5.239,16)
CHS (trocar o sinal)
Exemplo: Um título de R$ 10.000,00 foi resgatado antes de 
seu vencimento, sob uma taxa de desconto composto racional de 
2,03% ao mês. Uma vez que o resgate foi efetuado por R$8.678,65, 
determine quanto tempo antes do vencimento esse título foi pago. 
Identificando as informações do enunciado, obtemos:
M = 10.000,00
i = 2,03% = 0,0203
Vr = 8.678,65
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Matemática Financeira 65
n = ?
Para encontrar o tempo decorrido, utilizamos a relação:
Vr = M(1 + i)n
8.678,65 = 10000,00(1 + 0,0205)n
(1,0205)n = 10000,008678,65 (1,0203)
n = 1,1522
log(1,0205)n = log1,1522
n . log(1,0205) = log1,1522
n = log1,1522log1,0205 n ≅ 7 meses
Logo, o título foi quitado 21 meses antes do previsto. 
Cálculo pela calculadora HP-12C
10.000 CHS PV
8.678,65 FV
2,05 in
RESUMINDO
Estimado(a) aluno(a), gostou deste capítulo? Interessou-se por 
essa temática? Para instigar mais seu interesse, vamos, juntos, 
revisar o que aprendemos nesse conteúdo de Matemática 
Financeira. O desconto composto não utiliza as mesmas 
fórmulas do desconto simples, pelo fato de a taxa de juro ser 
calculada ao modo “juros sob juros”, isto é, sob capitalização 
composta. Nesse contexto, somos apresentados às modalidades 
de desconto composto: o comercial e o racional. O desconto 
composto comercial se caracteriza por, também, poder ser 
chamado de “desconto bancário” e é determinado sobre o valor 
da dívida no seu dia de vencimento. Já o desconto composto 
racional é calculado sobre o valor atual do título. Essa diferença 
pode parecer, inicialmente, irrelevante, mas altera, e muito, os 
resultados obtidos, após aplicação das taxas de juros compostos.
Matemática Financeira.indd 65Matemática Financeira.indd 65 06/08/2021 04:22:07 PM06/08/2021 04:22:07 PM
Matemática Financeira66
Séries de Pagamentos, Classificação e 
Séries Postecipadas
Pretendemos, com o estudo deste capítulo, que você, caro(a) 
aluno(a), compreendaa definição de séries de pagamentos, 
suas possíveis classificações, bem como a modalidade de séries 
postecipadas.
OBJETIVO
Séries de Pagamentos
É bem provável que você, estimado(a) aluno(a), já tenha se 
deparado com alguma situação referente às operações financeiras 
que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados, não é 
mesmo? Com toda certeza, sua resposta a esse questionamento é 
SIM! Nesse contexto, iniciamos este tópico com a definição de 
séries de pagamentos, conforme Assaf Neto (2012, p.198):
“Uma série de pagamentos ou anuidades representa 
as operações financeiras em um dado período, sobre 
um investimento ou dívida”.
Geralmente, as séries de pagamentos estão sujeitas a uma 
taxa de juros, previamente especificada e fixada. Ressalta-se 
que pode haver mudança na taxa de juros, conforme a série. 
Situações como aquisição de bens e empréstimos exemplificam 
bem as séries de pagamentos.
A representação gráfica referente a uma série de paga- 
mentos é exibida na Figura 3, a seguir:
Matemática Financeira.indd 66Matemática Financeira.indd 66 06/08/2021 04:22:07 PM06/08/2021 04:22:07 PM
Matemática Financeira 67
Figura 3 - Representação de uma série de pagamentos.
Fonte: FUSINATO(2010, p. 3) http://bit.ly/2wNIoS2
Classificação 
As séries de pagamentos podem ser classificadas mediante 
quatro critérios, que estabelecem diferenças entre vários 
aspectos, apresentados na Figura 4, a seguir.
Figura 4 - Classificação das Series de Pagamentos.
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Matemática Financeira68
Com relação à quantidade de pagamentos, existem 
duas categorias:
 �Temporária: quando existe um número limitado de 
pagamentos;
 � Infinita: quando a quantidade de pagamentos é ilimitada.
Quanto à periodicidade, característica que indica a 
frequência dos pagamentos há duas divisões:
 � Periódicas: pagamentos ocorrem em intervalos de tempo 
iguais;
 �Não-periódicas: pagamentos ocorrem em intervalos de 
tempo variáveis.
Em relação ao valor dos pagamentos, que são descritos 
pelo valor de cada parcela, os subgrupos são:
 � Fixos ou uniformes: os valores dos pagamentos são 
iguais;
 �Variáveis: os valores dos pagamentos são diferentes.
Em relação ao período de ocorrência da primeira 
prestação, existem três possibilidades:
 � Imediata: o pagamento ocorre no primeiro período da 
série;
 �Antecipadas: o primeiro pagamento ocorre no “ato” do 
negócio.
 � Postecipadas: o primeiro pagamento ocorre em um 
período após o “ato” do negócio;
 �Diferidas:o pagamento ocorre em períodos 
subsequentesao primeiro.
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Matemática Financeira 69
Séries Postecipadas
Caro(a) aluno(a), uma série recebe o nome de postecipada 
quando os pagamentos ou recebimentos são realizados ao 
final de cada intervalo de tempo relacionado à taxa de juros 
considerada. Abaixo, o fluxo de caixa desse tipo de operação 
está representado pela figura
O valor presente de uma série de pagamentos uniforme 
postecipada, com uma taxa periódica de juros, é determinado pelo 
somatório dos valores presentes de cada um de seus valores.
Logo temos:
Onde consideraremos:
PV = valor presente 
PMT = valor do pagamento periódico
i = taxa de juros
n = período
an,i = fator de valor presente
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Matemática Financeira70
A abreviação PMT tem origem na expressão inglesa 
Periodic Payment Amount e se refere a pagamentos de um 
mesmo valor. Na calculadora financeira HP-12C, encontramos 
uma sigla já referente a essa operação, com a simbologia PMT.
Estudaremos juntos o exemplo a seguir:
Exemplo: Indique o valor referente a um capital aplicado 
a um determinado investimento para a retirada de R$ 1.000,00, 
ao final de cada mês, durante os próximos nove meses, com uma 
taxa de juros mensal de 3%.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
PV = ?
PMT = 1.000,00
n = 9
i = 3% = 0,03
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Assim, de modo a realizar retiradas no valor de R$1.000,00, 
é necessário um valor presente de R$ 7.786,11.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g BEG
9 n
3 i
1000 CHS PMT
PV
Ainda no contexto das séries postecipadas, podemos 
encontrar, também, o valor futuro (FV), capitalizando cada um 
dos valores da série para o último período. Logo, temos:
Matemática Financeira.indd 70Matemática Financeira.indd 70 06/08/2021 04:22:07 PM06/08/2021 04:22:07 PM
Matemática Financeira 71
Onde será adotado
FV = valor futuro
PMT = valor do pagamento periódico
i = taxa de juros
n + período
Existem funções financeiras do Excel, como a PGTO, para 
o cálculo do valor da prestação. É necessário escolher o “tipo 0”
(ou não especificado) para o valor presente PV da série, em um
período anterior ao primeiro termo, e o valor futuro FV na data
do último termo. E é preciso escolher “1” para o valor presente
PV da série, na data do primeiro termo, e o valor futuro FV em
um período depois do último termo. Iremos ver a utilização no
exemplo a seguir:
Exemplo: Camila almeja criar uma reserva para possíveis 
imprevistos financeiros e estipulou que, no presente momento, 
pode guardar a quantia de R$ 250,00, mensalmente, pelo período 
de um ano. Nesse contexto, determine o total arrecadado por 
Camila após esse período, considerando uma taxa de juros de 
2,25% ao mês.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
FV = ?
PMT = 250,00
n = 12
i = 2,25% = 0,0225
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
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Matemática Financeira72
Assim, ao final de um ano Camila acumularia um total de 
R$3.400,55.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
g BEG
12 n
2,25 i
250 CHS PMT
FV
Ainda nas séries postecipadas, utilizaremos relações 
específicas para a determinação do valor exato das prestações, 
ou seja, o PMT. Elas se diferenciam quanto à informação que 
for disponibilizada no exercício, isto é, para quando é informado 
o valor presente (PV) ou para quando conhecemos o valor
futuro (FV). Então, basta isolar o valor PMT nas fórmulas já
encontradas anteriormente.
Vamos lá? Partiremos para dois exemplos, que 
resolveremos juntos. No primeiro, o valor presente será 
informado no enunciado. No segundo exemplo, a informação se 
destinará ao valor futuro.
Exemplo: Na venda de seu automóvel usado, Arthur 
recebeu R$ 8.100,00. Esse valor será utilizado para a compra 
de outro automóvel, cujo valor à vista equivale a R$ 20.100,00. 
O saldo faltante para a compra do veículo será quitado em 15 
prestações mensais, postecipadas. Considerando uma taxa de 
juros compostos de 2,3% ao mês, determine o valor referente a 
cada prestação
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Matemática Financeira 73
Identificando as informações do enunciado, encontramos:
PV = 20.100 – 8.100 = 12.000
PMT = ?
n = 15
i = 2,3% = 0,023
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Logo, o valor referente as prestações será de R$954,99.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
15 n
2,3 i
PMT
Exemplo: Uma família sairá de férias e deseja se planejar 
financeiramente por alguns meses; o total da viagem equivale 
a R$10.000,00. Qual o valor a ser economizado mensalmente, 
uma vez que o dinheiro será aplicado a uma taxa de 0,45% ao 
mês nos próximos oito meses?
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos
FV = 10.000,00
PMT = ?
n = 8
i = 0,45% = 0,0045
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Matemática Financeira74
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Logo para alcançar um total de R$10.000,00ao final de oito 
meses serão necessarios parcelas correspondentes a R$1230,45.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
10000 CHS FV
8 n
0,45 i
PMT
Ainda é possível encontrar uma taxa aproximada de juros 
referente a um contrato que parcelas em sua composição; basta 
conhecermos o valor de cada prestação, o valor presente e a 
quantidade de parcelas; essa determinação é encontrada através 
da seguinte fórmula.
Exemplo: Determine a taxa de juros mensal efetiva, consi-
derando a obtenção de um empréstimo no valor de R$50.000,00, 
que será parcelado em 24 prestações mensais de R$2.900,00, 
considerando prestações postecipadas.
Identificando as informações do enunciado, encontramos:
PV = 50.000,00
PMT = 2900,00
n = 24
i = ?
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Matemática Financeira 75
Substiuindo estes dados na relação adequada, temos:
Verificamos, na tabela de fator de valor presente, abaixo, 
que, para n = 24, o fator de valor presente encontrado acima está 
entre as taxas de 2% e 3%.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
50.000 CHS PV
2900 PMT
Fonte: Editora Atlas
 Assim, é possível afirmar que a taxa de juros acometida
nessa operação foi de, aproximadamente, 2,8%, quando realizado
o cálculo pela HP-12C.
Matemática Financeira.indd 75Matemática Financeira.indd 75 06/08/2021 04:22:07 PM06/08/2021 04:22:07 PM
Matemática Financeira76
24 n
i
Dando continuidade ao capítulo anterior, agora você será capaz 
de compreender as séries antecipadas, outra categoria das séries 
de pagamentos. Além disso, compreenderá a definição de séries 
diferidas, assim como seu modelo geral e as variáveis.
OBJETIVO
Na calculadora HP-12C, ao se ativar a função azul END 
(g END), o valor presente (PV) da série está localizado em um 
período antes do primeiro termo; e o valor futuro (FV), na data 
do último termo. Já acionando a função azul BEG (g BEG), o 
valor presente (PV) da série está localizado na data do primeiro 
termo; e o valor futuro (FV), em um período após o último termo.
Gostou do que mostramos? Aprendeu mesmo? Agora, só 
para termos certeza de que você entendeu o tema de estudo deste 
capítulo, vamos resumir o que vimos. Você deve ter aprendido 
que as séries de pagamentos, ou anuidades, indicam operações 
financeiras em um dado período, sobre investimentos ou 
dívidas, sujeitas a uma taxa de juros pré-fixada. Também vimos 
que as séries de pagamentos podem ser classificadas mediante 
os seguintes critérios: quantidade de pagamentos, valor dos 
pagamentos, periodicidade, e período de ocorrência do primeiro 
pagamento. Por fim, aprofundando o conteúdo de séries de 
pagamentos, conhecemos mais sobre as séries postecipadas, nas 
quais o primeiro pagamento ocorre um período após o “ato” do 
negócio, isto é, não imediato.
Pagamentos antecipados e séries 
diferidas
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Matemática Financeira 77
Pagamentos antecipados
Nos pagamentos antecipados, as parcelas são pagas no 
início de cada período, isto é, no ato do contrato, já se deve 
quitar a primeira parcela, conforme é representado graficamente 
abaixo.
Assim como nas séries de pagamentos postecipados, 
existem relações específicas para a determinação do valor 
presente e valor futuro.
O valor presente de uma série de pagamentos uniformes 
antecipados, com uma taxa periódica de juros, também é 
determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um 
de seus valores:
Logo, nesse caso, temos:
Onde consideraremos:
PV = valor presente 
PMT = valor do pagamento periódico
i = taxa de juros
Matemática Financeira.indd 77Matemática Financeira.indd 77 06/08/2021 04:22:08 PM06/08/2021 04:22:08 PM
Matemática Financeira78
n = período
Vamos agora resolver juntos o exercício a seguir:
Exemplo: Qual o valor à vista de um notebook, comprado 
por 1 + 11 prestações mensais de R$ 750,00, sob uma taxa de 
juros de 1,75% a.m.?
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
PV = ?
PMT = 750,00
n = 12
i = 1,75% = 0,00175
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
Com o objetivo de realizar retiradas no valor de R$750,00, 
durante um ano é necessário um valor presente de R$8.898,46.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
12 n
1,75 i
750 CHS PMT
PV
Da mesma forma que nas séries postecipadas, podemos 
encontrar o valor futuro (VF) capitalizando cada um dos valores 
da série para o último período. Logo, temos:
Matemática Financeira.indd 78Matemática Financeira.indd 78 06/08/2021 04:22:08 PM06/08/2021 04:22:08 PM
Matemática Financeira 79
Uma situação hipotética será explanada a seguir, para 
entendermos juntos a importância e aplicação desta relação.
Exemplo: Um fundo de reserva deseja ser criado guardando 
a quantia mensal de R$ 650,00, num período de quatorze meses, 
seguindo uma série de pagamentos antecipados sob uma taxa de 
juros mensal de 1,83%. Determine o total arrecadado.
Reconhecendo as informações do enunciado, encontramos:
FV = ?
PMT = 650,00
n = 14
i = 1,83% = 0,0183
Substiuindo estes dados na relação obtida anteriormente:
O total acumulado é de R$10.453,68.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
14 n
1,83 i
650 CHS PMT
FV
Para determinarmos o valor da parcela de uma série de 
pagamentos antecipados, devemos isolar o termo pretendido 
em quaisquer uma das fórmulas anteriores, a depender se o 
problema envolve valor presente (VP) ou valor futuro (VF). 
Veja os exemplos que seguem:
Exemplo: um imóvel de R$ 400.000,00 será obtido após 
uma entrada imediata de R$ 50.000,00. O restante será financiado 
Matemática Financeira.indd 79Matemática Financeira.indd 79 06/08/2021 04:22:08 PM06/08/2021 04:22:08 PM
Matemática Financeira80
sob uma taxa de juros de 3,74% em 60 parcelas. Determine 
o valor de cada parcela, sabendo que a série de pagamento é
antecipada.
Identificando as informações do enunciado, encontramos:
PV = 350.000,00
PMT = ?
n = 60
i = 3,74% = 0,0374
Substituindo os dados na relação adequada, temos:
Assim, a prestação será equivalente a R$14.185,04.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
g END
350000 CHS PV
60 n
3,74 i
PMT
Exemplo: Com o objetivo de poupar um valor equivalente 
a R$ 100.00,00, Paulo quer guardar, durante dez meses, certa 
quantia. Sabendo que a taxa de juros equivale a 0,5% a.m., qual 
o valor a ser arrecadado mediante uma série de pagamentos
antecipados?
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Matemática Financeira 81
Identificando as informações do enunciado, encontramos
FV = 100.000,00
PMT = ?
n = 10
i = 0,5% = 0,005
Substituindo os dados na relação adequada, temos:
Assim para alcançar um total de R$ 100.00,00 ao final 
de dez meses, serão necessarios parcelas de aproximadamente 
R$9.728,41.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
10000 CHS FV
10 n
0,5 i
PMT
Séries Diferidas
Caro(a) aluno(a), você já deve conhecer a palavra 
diferimento, não é mesmo? Pois bem, seu significado se 
relaciona à ação de diferir, ou seja, adiar, transferir para um outro 
momento ou data. Na Matemática Financeira, especificamente 
nas séries de pagamentos, o diferimento se refere a um período 
de carência previamente estabelecido, ou seja, o período que 
abrange o começo da operação até o início do pagamento da 
primeira parcela.
Matemática Financeira.indd 81Matemática Financeira.indd 81 06/08/2021 04:22:08 PM06/08/2021 04:22:08 PM
Matemática Financeira82
Nesse tipo de série, existe uma sequência de capitais de 
valores que são iguais e uniformes, com exceção do primeiro, que 
recebe o nome de carência. Essas características são apresentadas 
na figura a seguir.
Neste tipo de série existe uma sequência de capitais de 
valores que são iguais e uniformes, com exceção do primeiro, 
que recebe o nome de carência. Estas características sãoapresen-tadas na Figura a seguir.
Figura 5 - Composição de séries diferidas.
A fórmula que possibilita trazer para o presente um valor 
mediante determinada carência é dada por:
Onde será adotado:
VP = valor presente
PMT = valor da parcela 
i = taxa de juros
n = período
k = período de carência
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Matemática Financeira 83
Vamos, juntos, estimado(a) aluno(a), partir para a prática 
desse novo conceito. Avante!
Exemplo: Um empréstimo no valor de R$ 25.000,00 
foi financiado em vinte prestações mensais iguais. A primeira 
prestação vence daqui a três meses, sob uma taxa de juros de 
1,5% a.m.. Calcule o valor da prestação:
PV = 25.000,00
PMT = ?
n = 20
K = c = 2
i = 1,5% = 0,015
Substiuindo estes dados na relação indicada:
Assim, regido por uma série de pagamentos diferida e 
após uma carência, a prestação será de R$1.500,15.
Calculo pela calculadora financeira HP-12C
f REG
25000 CHS PV
2 k
1,5 i
FV (valor futuro)
CHS PV
FV (zerar o valor futuro)
20 n (quantidade de prestações)
PMT
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Matemática Financeira84
Exemplo: Um automóvel, no valor à vista de R$ 40.000,00, 
está sendo vendido nas seguintes condições:
- Entrada igual a 20%.
- Restante pago em 24 prestações mensais, iguais e
sucessivas, vencendo a primeira daqui a dois meses.
Determine o valor das prestações, admitindo uma taxa de 
juros de 2% a.m.
Os dados obtidos pelo enunciado são:
VP = Valor a financiar = 40.000,00 – 20% . 40000 = 39.920
PMT = ?
n = 24
k = 1
i = 2% = 0,02
Substituindo os dados na relação indicada:
Logo, após uma carência de três meses, a prestação será 
de R$2.152,83.
Cálculo pela calculadora financeira HP-12C
f REG
4000 CHS PV
1 k
2 i
FV (valor futuro)
CHS PV
FV (zerar o valor futuro)
24 n (quantidade de prestações)
PMT
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Matemática Financeira 85
RESUMINDO
E, então? O que achou do que estudamos? Agora, só para nos 
certificarmos de seu aprendizado, vamos resumir o que vimos 
neste capítulo. Conhecemos as séries de pagamentos antecipados, 
que funcionam baseadas em termos antecipados, ou seja, os 
pagamentos ou recebimentos ocorrem no início de cada período 
unitário. Desse modo, a primeira prestação é sempre quitada ou 
recebida na data do contrato do empréstimo ou financiamento. 
Além disso, neste capítulo, aprendemos sobre as séries diferidas, 
que ocorrem quando o vencimento do primeiro termo se dá 
no fim de um determinado número de períodos, a contar da 
data zero, ou seja, após uma carência. Como exemplo dessa 
modalidade, podemos citar a compra de um bem a prazo, em 
prestações mensais e pré-determinadas, pagando-se a primeira 
prestação ao final de um determinado número de meses.
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Matemática Financeira86
BIBLIOGRAFIA
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e 
suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira 
fundamental. São Paulo: Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz 
Roberto Dias de. Matemática Financeira aplicada. Curitiba: 
Intersaberes, 2013. 
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira: uma
abordagem moderna. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria.
Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 1996.
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UNIDADE
03
INFLAÇÃO E DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA
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Nas unidades antecedentes, nos familiarizamos com 
alguns conceitos fundamentais de Matemática Financeira, sem 
considerar o contexto da inflação. Não levar em conta os efeitos 
desse desequilíbrio, em um cenário econômico, modifica muito o 
resultado de uma operação financeira. Com certeza, você já ouviu 
ou leu nos noticiários algo que se refere direta ou indiretamente à 
inflação. Atualmente, ela está teoricamente estável, no nosso país, 
mas já passamos por períodos de hiperinflação, quando os preços 
subiam exponencialmente todos os dias. Nos anos de 1980 e início 
da década de 1990, esse era o contexto brasileiro. Nesse período, 
o valor do dinheiro se alterava rapidamente, devido aos efeitos da
inflação. Mas, afinal, o que é inflação? O que são os índices de
atualização? O que é taxa aparente e real? E taxa de desvalorização
da moeda? Respostas a essas indagações serão o roteiro que nos
guiará no desenvolvimento desta nossa terceira unidade. Prontos
para mais uma imersão na Matemática Financeira? Vamos lá!
TEMAS
Nesta unidade, você verá:
• Compreendendo os índices de inflação
• Aplicando variações de índices
• Conhecendo as taxas de juros nominal, real e aparente
• Definindo e aplicando a taxa de desvalorização da moeda
INTRODUÇÃO
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Seja muito bem-vindo à Unidade 3 - Inflação e desvalorização 
da moeda. Até o final desta etapa de estudos, esperamos que você 
alcance os seguintes objetivos de aprendizagem:
OBJETIVOS
1 Compreender os índices de atualização e inflação;
2 Definir e aplicar técnicas de variações de índices;
3 Conhecer e identificar as taxas de juros: nominal, real e aparente;
4 Determinar a taxa de desvalorização da moeda.
Vamos, juntos, adentrar em um mundo interessante e muito 
útil para nossa vida financeira! Ao trabalho! Avante, caro(a) 
aluno(a)!
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Compreendendo os índices de atualização 
e inflação
Ao findar este capítulo, você será capaz de entender como 
funcionam os índices de atualização e inflação, que estão 
disponíveis em nosso mercado financeiro, além de suas 
respectivas distinções. Está motivado para desenvolver essa 
competência? Então, vamos lá. Avante!
OBJETIVO
Índices de atualização
Caro(a) aluno(a), como é bom retornar, com você, 
nossos estudos, desta vez com uma temática que interfere em 
diversos fatores do nosso cotidiano. Os índices de atualização 
possibilitam atualizar valores, oportunizando, assim, a correção 
monetária.
Castanheira e Macedo (2013) elucidam que correção 
monetária é:
a revisão estipulada pelas partes de um contrato, 
ou definida por lei, que tem como referência a 
desvalorização da moeda.
Além disso, é viável descrever correção monetária como 
o ato de realizar ajustes contábeis e financeiros, realizados
para demonstrar os preços de compra da moeda que está em
circulação no país — no nosso caso, o real, desde 1994 —
levando-se em consideração o valor das moedas de outros países,
o ajuste cambial, os índices de inflação ou a cotação do mercado
financeiro.
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Mas como essa definição interfere em minha vida? É 
uma dúvida comum, não é mesmo? Acompanhe um exemplo 
de incidência da correção monetária: imagine que você efetuou 
uma compra, em euros, no cartão de crédito, e, na data de 
fechamento da fatura, o valor do euro estava diferente, mais caro 
ou mais barato do que o valor da data da compra. Essa diferença, 
denominada correção, é o ajuste do valor da moeda, da data da 
compra até o valor da moeda na data atual.
Com certeza, quem já realizou operações cambiais se 
atentou a esse detalhe durante a compra. Por isso, quem tem o 
hábito de adquirir moeda estrangeira com o cartão de crédito 
necessita de um cuidado adicional,para não gerar uma fatura 
com valor muito mais alto do que havia planejado, devido a essa 
variação.
Esse conceito, muito presente na área de economia, refere-
se ao ajuste periódico de alguns valores econômicos, tendo 
como base o índice de inflação de um período pré-determinado. 
Sua meta é a compensação da perda de valor da moeda corrente.
Em 1994, o Brasil passou pela sua pior crise de inflação, denominada 
hiperinflação. Nessa época, os balanços eram demonstrados com 
alguns ajustes, devido à correção monetária de balanços, conforme 
a lei 6.404/76. Com o fim da hiperinflação, os ajustes originários 
dessas atualizações passaram a ser feitos em razão das altas taxas de 
juros das instituições financeiras e, também, do câmbio flutuante, 
que oportuniza grandes oscilações na cotação do dólar americano 
em relação ao real.
SAIBA MAIS
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Índices de inflação
Caro(a) aluno(a), podemos afirmar que todo processo 
inflacionário possibilita consequências positivas e negativas para 
investidores e credores. Desse modo, avaliar a inflação como 
boa ou ruim é questão de ponto de vista. Conforme Mathias 
e Gomes (2007), o Brasil tem uma cultura inflacionária que 
tende a acomodar os conflitos distributivos e as transferências 
de renda por meio da própria inflação. Castanheira e Macedo 
(2013) definem inflação como:
a deterioração do poder aquisitivo da
moeda. 
Bem, com o passar do tempo, o capital vai perdendo poder 
aquisitivo, não é mesmo? Um carro que compramos hoje, por 
determinado valor, ao ser revendido, daqui a um... dois... três 
anos, não terá o mesmo preço com o que hoje é comercializado. 
Figura 1 – Inflação 
Fonte: pixabay
É comum considerarmos a inflação apenas quando os 
valores se elevam gradativamente em determinado período. 
Porém, as elevações de preços sazonais, isto é, a variação de 
demanda sobre determinado produto ou serviço, de acordo com 
a época ou o período do ano, não são consideradas inflacionárias. 
É o que acontece com os preços dos produtos agrícolas, que 
dependem das safras (queda) e das entressafras (alta).
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Em contrapartida, Castanheira e Macedo (2013) afirmam 
que deflação pode ser descrita como:
o oposto da inflação, ou seja, é um processo de
queda nos preços das mercadorias durante um
intervalo de tempo.
Essa definição pode nos surpreender, mas a verdade é que 
a deflação acontece praticamente com a mesma frequência da 
inflação. Um exemplo prático consiste no lançamento de um 
modelo novo de celular, que acarreta uma deflação no preço do 
modelo que o antecede, o qual passa a ser considerado velho 
ou defasado. Assim como a inflação, a deflação implica em 
consequências para a economia como um todo.
A deflação considerada boa é consequência do aumento 
da produção de vários segmentos, uma vez que, com mais 
peças no mercado, a demanda também aumenta. Sendo mais 
fácil encontrar determinados itens, e com uma gama maior de 
possibilidades, os preços tendem a cair.
Em 1993, a inflação, no País, alcançou uma taxa de 
2.700%. Após a implantação da nova moeda, o valor da inflação 
média dos governos seguintes se manteve constante: 12,6%, na 
presidência de Fernando Henrique Cardoso, e 6,3%, no mandato 
de Lula. Analisando o Índice Geral de
Quer se aprofundar neste tema? Recomendamos o acesso à 
seguinte fonte de consulta e aprofundamento: O que é inflação? 
Vídeo elaborado pelo IBGE e acessível pelo link: http://bit.
ly/33erR60.
SAIBA MAIS
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Preços (IGP), sabemos que foi a partir de 1958 que o 
aumento descontrolado da inflação teve início, no Brasil, com 
índices anuais superiores a 30%. O auge ocorreu em 1964, 
quando a inflação atingiu 86% (MORAES, 2018).
Caro(a) aluno(a), como vimos, os conceitos de inflação e 
deflação são opostos em sua concepção. Enquanto o primeiro 
diminui o poder de compra, o outro eleva. Tais distinções são 
sinalizadas na Figura 2, a seguir:
Figura 2 - Inflação versus Deflação.
Fonte: a autora. 
A chamada inflação de demanda ocorre quando a procura 
ultrapassa a produção disponível de algum produto. Esse fato 
é comum no aumento de produção próximo do emprego de 
recursos. Para se eliminar a inflação de demanda, é preciso que 
a política econômica lance mão de recursos que estimulem a 
redução da procura agregada.
O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) 
produz dois dos mais importantes índices de preços: o 
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), 
considerado o oficial pelo Governo Federal, e o Índice Nacional 
de Preços ao Consumidor (INPC). Vamos conhecê-los melhor 
a seguir.
Ambos os índices, o IPCA e o INPC, têm como propósito 
a medição da variação de preços de uma cesta de produtos e 
serviços consumida pela população. O resultado demonstra se 
os preços aumentaram ou diminuíram, tendo como referência 
o período de um mês. Considera-se, não apenas a variação de
preço de cada item, mas o peso que ele exerce no orçamento
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familiar. A Tabela 1, a seguir, apresenta o valor direcionado a 
esses índices no mês de janeiro de 2020.
Tabela 1 -IPCA e INPC registrado em janeiro de 2020.
Fonte: IBGE.
O IPCA engloba uma grande parcela da população e aponta 
a variação do custo de vida médio de famílias que possuem renda 
mensal de um a quarenta salários mínimos.
Gráfico 1 - Variação do IPCA de julho de 1994 a dezembro de 2020.
Fonte: IBGE.
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O IBGE produz e divulga o IPCA desde 1980. Entre 
aquele ano e 1994, ano de implantação do Plano Real, o índice 
acumulado foi de 13 342 346 717 671,70%! A maior variação 
mensal do IPCA foi em março de 1990 (82,39%), enquanto a 
menor variação, em agosto de 1998 (-0,51%).
Já o INPC identifica a variação do custo de vida médio 
apenas de famílias que possuem renda mensal de um a cinco 
salários mínimos. Esses grupos são mais sensíveis às variações 
de preços, já que tendem a gastar todo o seu rendimento mensal 
em itens básicos para a sobrevivência, tais como alimentação, 
medicamentos e transporte.
Outros índices também são importantes no contexto 
econômico, como demonstra a Figura 3
Figura 3 - Índices de Inflação.
Fonte: a autora. 
Já fomos apresentados aos conceitos dos mais importantes 
índices de atualização: o INPC e IPCA. Agora, conheceremos 
um pouco mais sobre os outros índices.
O Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo 
Especial (IPCA-E) é calculado pelo IBGE e divulgado ao final 
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de cada trimestre, sendo formado pelas taxas do Índice de 
Preços ao Consumidor Amplo-15 (IPCA-15) de cada mês. 
Possui como objetivo realizar um balanço trimestral da inflação.
O IPCA-15, por sua vez, também medido pelo IBGE, foi 
constituído com a meta de oferecer a variação dos preços no 
mercado varejista, mostrando, assim, o incremento do custo de 
vida da população. 
Castanheira e Macedo (2011) discorrem sobre outros índices 
inflacionários costumeiramente utilizados na economia, como:
� Índice Geral de Preços (IGP), medido pela Fundação 
Getúlio Vargas (FGV), apresenta a inflação de preços desde 
matérias-primas agrícolas e industriais até bens e serviços 
finais. Ele é composto pela média de três índices que refletem 
a economia: Índice de Preços por Atacado (IPA), Índice de 
Preços ao Consumidor (IPC), e Índice Nacionalde Custos da 
Construção (INCC).
� O Índice Geral de Preços-10 (IGP-10) é uma das 
categorias do IGP, mensurado pela Fundação Getúlio Vargas, 
com base nos preços apurados dos dias 11 do mês anterior ao dia 
10 do mês da coleta.
� O Índice Geral de Preços-Mercado (IGP-M) é uma 
das versões do Índice Geral de Preços. Apura informações sobre 
a variação de preços do dia 21 do mês anterior ao dia 20 do mês 
da coleta.
� O Índice Geral de Preços - Disponibilidade Interna 
(IGP-DI), outra versão do IGP, coleta informações sobre a variação 
de preços do dia 1 ao dia 30 do mês da coleta.
� O Índice de Preços ao Consumidor Semanal (IPC-S), 
calcula a variação de preços de produtos e serviços em sete capitais 
específicas do País. É medido pela Fundação Getúlio Vargas.
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 �O Índice de Preços ao Consumidor, da Fundação 
Instituto de Pesquisas Econômicas (IPC-Fipe) é medido pela 
Fipe e mensura, especificamente, a inflação na cidade de São 
Paulo.
 �O Índice de Preços ao Consumidor-São Paulo (IPC-
SP) calcula a variação de preços de produtos e serviços da cidade 
de São Paulo e é calculado pela Fundação Getúlio Vargas.
RESUMINDO
O que achou do nosso conteúdo? Vamos revisar o que 
aprendemos neste capítulo. Vimos que inflação é o nome dado 
ao aumento dos preços de produtos e serviços diversos. Esse 
valor é calculado pelos índices de preços, que, costumeiramente, 
recebem o nome de índices de inflação. O INPC e o IPCA são 
os índices mais utilizados na medição da inflação em nosso país. 
Ambos possuem a capacidade de medir a variação de preços 
de uma cesta de produtos e serviços consumida pela população, 
e o resultado apresenta o aumento ou a diminuição dos preços 
de um mês para o outro. O IPCA aponta a variação do custo de 
vida médio de famílias com renda mensal entre um e quarenta 
salários mínimos, enquanto o INPC verifica a variação do custo 
de vida médio apenas de famílias com renda mensal de um a 
cinco salários mínimos, o que representa a grande parcela de 
toda a população. Também conhecemos outros índices que 
possibilitam a mensuração da inflação sob diferentes aspectos.
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Aplicando as variações de índices
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender como 
calculamos a correção monetária, conforme determinados 
índices. Através desses resultados, será possível estabelecer 
contratos, levando-se em conta a inflação ou a deflação. Está 
motivado para desenvolver essa nova competência? Então, 
sigamos. Avante!
OBJETIVO
A correção monetária teve origem, no Brasil, em 16 de 
julho de 1964, pela Lei nº 4.357, intermediada pela Obrigação 
Reajustável do Tesouro Nacional (ORTN), cujo valor seria 
reajustado por mês, em virtude das oscilações de preços de 
determinados bens e serviços, evidenciados pelos índices que 
são calculados pela Fundação Getúlio Vargas (CASTANHEIRA; 
MACEDO, 2013).
É importante ressaltar que a correção monetária, associada 
aos juros, pode ser aplicada em diversas situações, bastando que 
exista alguma decisão judicial instituída, que precisará da devida 
atualização dos valores financeiros.
A respeito da correção monetária, quanto aos tributos, 
ocorreram as seguintes mudanças:
 �Obrigatória sua incidência sobre o valor original dos 
bens do ativo imobilizado das pessoas jurídicas;
 � Permitida sobre o custo de aquisição do imóvel, na 
venda por pessoa física;
Correção monetária
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� Obrigatória sobre débitos fiscais decorrentes do 
não recolhimento na data de vencimento.
Existem tabelas de atualizações monetárias judiciais que 
possuem como objetivo preservar o poder aquisitivo da moeda, 
mediante determinados critérios utilizados pelas diferentes 
esferas da Justiça, seja pela aplicação da Lei e da doutrina ou 
pelo entendimento jurisprudencial dos Tribunais Superiores. Há, 
também, as tabelas extrajudiciais, nas quais podem ser usados um 
ou vários indexadores encadeados, permitindo a atualização de 
obrigações contratuais em geral, não contratuais, como tabelas do 
INPC, da Taxa Referencial (TR), do IGP-M, etc.
Conforme Castanheira e Serenato (2011), dois são os 
procedimentos usados para a aplicação da correção monetária 
nos planos de pagamentos no Brasil:
a. Prefixado: Determina-se uma taxa de juro
contratual, independentemente do comportamento futuro da 
inflação. Nesse contexto, a taxa de juro real de cada período e 
a taxa de inflação devem ser agregadas em uma única taxa, 
que denominamos de taxa prefixada. Como exemplos dessa 
aplicação no mercado financeiro, temos os papéis de renda fixa e 
crédito direto ao consumidor;
b. Pós-fixado: Nesse modelo, a correção monetária tem seu
valor conhecido com o passar do tempo, à medida que os índices 
oficiais do governo são divulgados. Assim, os saldos devedores, 
as parcelas de juros e a amortização são corrigidos conforme 
a inflação. Como exemplos, é possível citar os contratos com 
correção pelo IGPM e os contratos em moeda estrangeira.
Hoje, a correção monetária é determinada pelo Conselho 
Federal de Contabilidade e se trata de um Princípio Fundamental 
da Contabilidade. Antes de ser controlada pelo Conselho 
Federal, a indicação dos valores era feita pelo Governo Federal e 
era chamada de correção monetária de balanço. Em 1994, como 
medida para conter a inflação, que, na época, era muito elevada, 
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houve a mudança de quem deveria estabelecer os valores 
associados aos índices.
A correção monetária, indicada em um determinado 
período, é encontrada por meio da variação percentual entre 
o índice no final do período previamente indicado e o índice
encontrado no final do período anterior. Matematicamente, a
relação que possibilita tal cálculo é fornecida por:
CM = índice período indicadoíndice período anterior – 1
No entanto, quando os índices se referem a vários períodos, 
o cálculo da correção é determinado pela seguinte fórmula:
CMm = (1 + CMt)
1/n – 1
Onde:
 �CMm = correção monetária média
 �CMt = correção monetária do período
 � n = período
Vamos resolver juntos um exemplo para compreendermos 
na prática a utilização destas relações.
Exemplo: Determine a correção monetária referente ao 
primeiro semestre de 2019 e a média mensal de inflação. Admita 
os dados do IPC-Fipe, conforme a tabela apresentada a seguir:
Tabela 2 – Índices de Preço ao Consumidor de dez/2018 a jun/2019. Fonte: a autora.
Período Mensal (%) Índice
Dezembro/2018 - 100
Janeiro/2019 0,58 100,58
Fevereiro/2019 0,5368 101,12
Março/2019 0,5043 101,63
Abril/2019 0,2853 101,92
Maio/2019 -0,01962 101,90
Junho/2019 0,1472 102,05
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Vamos lá inicialmente! sempre devemos retirar os dados 
do enunciado, que, neste caso estão disponibilizados na tabela:
 � Índice período indicado = 102,05.
 � Índice período anterior = 100.
Logo: 
– 1CM = índice período indicado 
índice período anterior
CM = 102,5/100 -1 
CM = 1,0205 – 1 = 0,0205 
CM = 2,05% ao semestre
Logo, a correção monetária referente ao semestre analisado 
foi de 2,05%.
Já a média mensal da inflação é obtida por:
CMm = (1 + CMt)t
1/n – 1 
CMm = (1 + 0,025)
1/6 – 1 
CMm = (1,0205)
1/6 – 1 
CMm ≅ 0,0034 = 0,34%
Assim, a correção monetária média referente ao semestre 
foi de 0,34%.
Exemplo: Calcule a correção monetária e a média mensal 
referentes ao período de abril/2019 a dezembro/2019, considerando 
os dados do INPC do IBGE, conforme a tabela apresentadaa seguir:
Tabela 3 – Índice Nacional de Preço ao Consumidor de abr/2018 a dez/2019. 
Período Mensal (%) Índice
abril/2019 - 100
maio/2019 0,15 100,15
junho/2019 0,01 100,16
julho/2019 0,10 100,26
agosto/2019 0,12 100,38
setembro/2019 -0,05 100,33
outubro/2019 0,04 100,37
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novembro/2019 0,54 100,91
dezembro/2019 1,21 102,13
Fonte: a autora.
Identificando os dados disponibilizados na tabela:
 � Índice período indicado = 102,13
 � Índice período anterior = 100
Logo: 
CM = índice período indicadoíndice período anterior – 1
CM=102,13/100 -1
CM = 1,0213 – 1 = 0,0213
CM = 2,13%
Logo, a correção monetária referente ao semestre analisado
foi de 2,13%.
Já a média mensal da inflação é obtida por:
CMm = (1 + CMt)
1/n – 1 
CMm = (1 + 0,0213)
1/8 – 1 
CMm = (1,0213)
1/8 – 1 
CMm ≅ 0,0026 = 0,26%
Assim, a correção monetária média referente ao semestre 
foi de 0,26%.
O aplicativo Calculadora do Cidadão, do Banco Central 
do Brasil, possibilita ao usuário a simulação das operações 
de suas finanças, com base nas informações disponibilizadas 
pelo próprio usuário. As simulações de cálculos de serviços 
financeiros são realizadas com base nas informações fornecidas. 
Com esse recurso, é possível fazer correções monetárias com o 
emprego de séries históricas de taxas e indicadores financeiros 
armazenados no Banco Central do Brasil. Além disso, pode-se 
comparar o custo de se pagar parte da fatura do cartão de 
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RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo? 
Agora, para termos certeza de que você entendeu o tema de 
estudo deste capítulo, vamos resumir o que vimos. Você deve ter 
aprendido que a correção ou atualização monetária é a revisão 
estipulada pelas partes de um contrato previamente estabelecido, 
ou definida por lei, que tem como referência a desvalorização da 
moeda. A correção monetária pode ser calculada por uma relação 
específica, que considera a variação percentual entre o índice no 
final do período previamente indicado e o índice encontrado no 
final do período anterior. A correção monetária média também é 
determinada por uma fórmula específica, que leva em conta as 
correções monetárias média e do período e o período em questão.
crédito rotativo com outros tipos de crédito. Para usufruir 
dessa facilidade, basta acessar: http://bit.ly/2w0suDS.
Neste capítulo, você vai compreender a definição de taxa de juros 
nominal e real, além de aprender a resolver diferentes exercícios 
relacionados a tais conceitos. Preparado para desenvolver essa 
nova competência? Então, vamos lá! Avante!
OBJETIVO
Conhecendo as taxas de juros nominal, 
efetiva, real e aparente
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Taxa de Juros
Estimado(a) aluno(a), você, provavelmente, já ouviu falar 
ou leu em algum lugar algo relacionado à taxa de juros, não 
é mesmo? Embora seja um termo popular, nem todos sabem 
exatamente o que significa. E, afinal, como calculá-la? Qual a 
finalidade dela?
Matematicamente, taxa de juros consiste na razão entre os 
juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período e 
o capital inicialmente emprestado. É representada por um valor
numérico, obtido pelo quociente entre os capitais e o tempo
considerado. Basicamente, a taxa de juros está diretamente
relacionada à diferença entre o valor emprestado e o valor
devolvido.
Na resolução de problemas com o uso das fórmulas, a 
taxa de juros deve estar na forma unitária. Quando utilizamos a 
calculadora financeira HP-12C, a taxa deve ser inserida na forma 
percentual. Já no Excel, são aceitos os dois formatos.
Na especulação de operações financeiras, utilizamos 
dois tipos de taxas úteis para a comparação de índices. Essa 
subdivisão é descrita na figura a seguir.
Figura 4 - Categorias de taxas de juros.
Fonte: a autora. 
A taxa bruta é gerada tomando-se como referência os 
valores presente e futuro do capital utilizado, desconsiderando-
se o desconto do imposto devido. A taxa líquida, por sua vez, 
é encontrada baseando-se nos valores presente e futuro e 
admitindo-se o desconto do imposto devido.
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Matemática Financeira106
Taxa de juros nominal x Taxa de juros efetiva
É comum questionarmos sobre a taxa anexada a determi- 
nada operação financeira, e a resposta costuma diferenciar quanto 
ao período de capitalização. Leia, a seguir, algumas afirmações 
para chegarmos, juntos, a uma mesma conclusão.
I. 140% ao semestre, com capitalização mensal.
II. 16% ao mês, com capitalização mensal.
III. 300% ao ano, com capitalização trimestral.
IV. 1.250% ao ano, com capitalização bimestral.
V. 250% ao semestre, com capitalização semestral.
O que essas afirmações têm em comum? Bem, observe
que, nas I, III e IV, o período de formação e a incorporação 
dos juros são diferentes. Ora, na asserção I, o juro é semestral, 
com capitalização mensal. Na asserção III, o juro é anual, com 
capitalização trimestral, e, por fim, na asserção IV, o juro é anual, 
com capitalização bimestral. Aos contextos que apresentam 
essa relação, relacionamos o conceito de taxa nominal, que, 
de acordo com Castanheira e Macedo (2013), pode ser assim 
descrita:
A taxa nominal é quando o período de formação 
e incorporação dos juros ao capital não coincide 
com aquele a que a taxa está referida. 
Em contrapartida, quando avaliamos as afirmações 
restantes, isto é, as II e V, o período de formação e a incorporação 
dos juros são iguais. Observe que, na asserção II, o juro é mensal, 
com capitalização mensal, e, na asserção V, o juro é semestral, 
com capitalização semestral. Para essa condição, é destinado o 
nome de taxa efetiva, que Castanheira e Macedo definem por:
A taxa efetiva é quando o período de formação 
e incorporação dos juros ao capital coincide com 
aquele a que a taxa está referida. 
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Matemática Financeira 107
A taxa nominal é muito utilizada em diversas transações 
do mercado financeiro e se caracteriza por não utilizar o regime 
de capitalização composta em seu cálculo. Enquanto a taxa 
de juros efetiva é bastante popular entre nós, brasileiros, pois 
é comum ver esse termo incorporado a transações financeiras, 
principalmente em títulos de capitalização.
Taxa de Juros Aparente x Taxa de Juros Real
Seria correto afirmar que as aparências enganam, quando 
trabalhamos com juros? A resposta é sim! Costumei- ramente, 
somos levados a acreditar que certa quantia de dinheiro, quando 
aplicada em uma poupança, em um único mês, rendeu 1,5% ao 
mês. 
Mas porque essa afirmação é uma ilusão? Bem, nesse 
percentual, está incluída a inflação do período considerado. 
Retirando-se essa diferença, o rendimento, na verdade, é bem 
inferior ao afirmado.
Assim, considerando-se a dinâmica do mercado em 
que estamos inseridos, no qual vimos que a inflação é um 
componente a ser considerado, vamos conhecer, juntos, dois 
conceitos fundamentais na Matemática Financeira: a taxa de 
juros aparente e a taxa de juros real. Vamos lá? 
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Matemática Financeira108
A definição de taxa aparente é elaborada por Castanheira 
e Macedo (2013) como:
É a taxa que não contabiliza a inflação do período.
Essa taxa é a que é contratada ou declarada em uma 
operação financeira. Por exemplo, se um banco oferece um fundo 
de investimento que remunera 23% ao ano, essa é a taxa aparente, 
também chamada de nominal.
No outro extremo, a taxareal é descrita por Castanheira e 
Macedo (2013) como:
É a taxa que utiliza a inflação do período.
A taxa real de juros é a que, realmente, gera lucro ao 
investidor, pois remunera acima da inflação. É importante 
ressaltar que a taxa real pode ser positiva ou negativa, no caso 
de a correção realizada sobre o capital ter sido inferior à inflação 
inserida no período (ASSAF NETO, 2012). 
Os rendimentos financeiros são os responsáveis pela 
correção de capitais investidos mediante determinada taxa de 
juros. As taxas de juros, desse modo, são corrigidas pelo governo 
conforme os índices inflacionários referentes a um período. Todo 
esse processo ocorre no intuito de corrigir a desvalorização dos 
capitais aplicados durante uma crescente alta da inflação.
EXEMPLIFICANDO
Digamos que você investiu R$ 10.000,00, a uma taxa Selic de 2%, e que 
a inflação no período seja de 2%. Isso demonstra que o seu rendimento 
será igual à inflação, ou seja, você estará, somente, compensando a 
variação da inflação, e não aumentando o seu patrimônio.
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Matemática Financeira 109
As taxas real e aparente se relacionam mediante a 
demonstração matemática abaixo. Ela se baseia, inicialmente, em 
um período em que não houve inflação (1) e em outro, em que o 
capital foi acrescido da taxa real (i) e da taxa de inflação. Logo:
(1) M = C . (1 + ia)
(2) M = C . (1 + i) . (1 + l)
Igualando as expressões (1) e (2):
C . (1 + ia) = C . (1 + i) . (1 + l)
(1 + ia) = (1 + i) . (1 + l)
Que pode ser reescritas, de maneira mais fácil, da seguinte
fórmula:
Taxa real = 1 + taxa aparente1 + taxa de inflação
Observe que, se a taxa de inflação for nula, ou seja, igual a 
zero, as taxas de juros nominal e real serão coincidentes, isto é, 
terão o mesmo índice percentual.
Mas, na prática, como essa relação é trabalhada em 
situações cotidianas? Vamos descobrir juntos?!
Exemplo: Em uma aplicação financeira em que a taxa 
aparente foi de 32% ao ano, durante um ano em que a taxa de 
inflação ficou definida em 10,75%, qual foi a taxa real de juros?
Identificando as informações do enunciado:
Taxa real = ?
Taxa de inflação = 10,75% = 0,1075
Taxa aparente = 32% = 0,32
Agora, substituindo os dados na relação entre as taxas, 
obtemos:
Taxa real = 
Taxa real = 1,1919 – 1 = 0,1919 = 19,19%
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Matemática Financeira110
Assim, é possível afirmar que a taxa real de juros, nesse 
período, foi de 19,19%.
No cálculo manual da taxa real, é sempre necessário 
subtrair um (1) do resultado, devido à equivalência de 100% ou 
seja, 100
100
 = 1.
Cálculo pela calculadora HP–12C
ENTER 0,32
ENTER 0,1035
+
1 –
Exemplo: Encontre a taxa de rendimento real de determinada 
aplicação, cuja taxa aparente ficou definida em 5,25% mensal, em 
um mês em que a taxa de inflação fixou em 8,1%
Identificando as informações do enunciado:
Taxa real = ?
Taxa de inflação = 8,1% = 0,081
Taxa aparente = 5,25% = 0,0525
Agora, substituindo os dados na relação entre as taxas, obtemos:
Taxa real = 1 + taxa aparente1 + taxa de inflação
Taxa real = 1 + 0,05251 + 0,081 = 
1,0525
1,081 = 0,9736
Taxa real = 0,9736 – 1 = –0,0264 = –2,64%
Observe que o resultado da taxa real foi negativo; tal infor-
mação indica que houve prejuízo para o aplicador neste período.
Logo, é possível afirmar que no período determinado a 
taxa real foi de -2,64%.
Cálculo pela calculadora HP–12C
ENTER 0,0525
ENTER 0,081
+
1 –
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Matemática Financeira 111
Perceba que as taxas aparente e de inflação devem, sempre, 
estar na mesma unidade de tempo, ou seja, se a taxa aparente for 
anual, a taxa de inflação correspondente também deve ser anual; 
se a taxa aparente for semestral, a taxa de inflação também deve 
ser contabilizada semestralmente.
Exemplo: Um investidor adquiriu um título de renda fixa 
por R$ 10.000,00 e o resgatou pela quantia de R$ 15.130,00, após 
um período de seis meses. Determine a taxa de retorno real desse 
investimento, considerando uma taxa de inflação para o período 
de 25% a.s.. Reconhecendo as informações do enunciado:
Taxa real = ?
Taxa de inflação = 25% = 0,25
Taxa aparente = ?
PV = 10.000
FV = 15.130
n = 6 meses = 1 semestre
Observe que foi solicitada a determinação da taxa real. No 
entanto, é preciso encontrar a taxa aparente, para substituir na 
relação existente. Para tal tarefa, recorremos à fórmula de juros 
compostos, à qual já fomos apresentados na unidade inicial. 
Logo:
FV = PV(1 + i)n
15.130 = 10.000(1 + i)1
15130
10000 = 1 + i
1,513 = 1 + i
i = 1,513 – 1 = 0,513 = 51,3% a.s.
De posse dessa informação, basta substituimos os dados 
na relação entre as taxas aparente e real:
Taxa real = 1 + taxa aparente1 + taxa de inflação
Taxa real = 1 + 0,5131 + 0,25 = 
1,513
1,25 = 1,2104 
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Matemática Financeira112
Taxa real = 1,2104 – 1 = 0,2104 = 21,04%
Logo, a taxa real incidida nessa transação financeira, sob 
as condições estabelecidas equivale a 21,04%.
Cálculo pela calculadora HP–12C
15130 CHS FV
10000 PV
1 n
i
2 ENTER 0,0525
2 ENTER 0,0,081
+
1 –
RESUMINDO
O que você acha do que aprendemos? Não foi interessante!? Com 
a finalidade de fixarmos os pontos principais, vamos recapitular. 
Você aprendeu sobre os conceitos de taxa aparente e taxa real, 
assuntos recorrentes no mundo das finanças e dos investimentos. 
A taxa real positiva é a que possibilita, a um investidor, aumentar 
seu capital. Como taxa aparente consideramos aquela que está 
inserida nas operações correntes. Já a taxa real é o rendimento 
ou custo de uma operação, seja de aplicação ou de captação 
calculadas, depois de extraídos os efeitos inflacionários. No caso 
da taxa real de juros, o efeito inflacionário não existe, por isso ela 
tende a ser menor que a taxa aparente. Esse fato ocorre porque ela 
é formada através da correção da taxa efetiva pela taxa de inflação 
do período da operação.
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Matemática Financeira 113
Definindo e aplicando a taxa de 
desvalorização da moeda
Com o capítulo que se inicia, você poderá compreender a 
definição formal de taxa de desvalorização da moeda, além 
de conhecer e exercitar a fórmula matemática que possibilita 
seu cálculo. Está pronto e motivado para desenvolver essa nova 
competência? Então, vamos lá! Avante!
OBJETIVO
Taxa de desvalorização da moeda
A taxa de desvalorização da moeda tem a inflação como 
fator impactante que movimenta sua engrenagem, como 
observamos na representação da Figura 6:
Figura 6 - Composição da taxa de desvalorização da moeda. 
Fonte: a autora. 
A relação matemática que possibilita a determinação da 
taxa de desvalorização da moeda é dada por:
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Matemática Financeira114
TDM = INF1 + INF
Onde:
 �TDM = taxa de desvalorização da moeda
 � INF = taxa de inflação 
É importante ressaltar que, quanto maior for a taxa de 
inflação, maior será a taxa de desvalorização da moeda, isto é, 
quanto maior for a taxa de desvalorização da moeda, menor será 
o poder de compra do cidadão. Por isso, identificamos que, ao se
ter um aumento geral nos preços de bens e serviços, nosso poder
aquisitivo diminui, o que ocasiona perda do poder de compra.
Exemplo: Considerando a inflação de 12,11%, em 
determinado período, determine a taxa de desvalorização da 
moeda que ocasionou esse resultado negativo no poder de 
compra. Dados do exercício:
 �TDM = ?
 � INF = 12,11% = 0,1211
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF1 + INFTDM = 0,12111 + 0,1211
TDM ≅ 0,1080 = 10,80%
Assim, é possível afirmar que, com uma inflação de 12,11%, 
há uma redução do poder de compra da moeda igual a 10,8%, 
isto é, com esse percentual de evolução dos preços, as pessoas 
adquirem 10,8% a menos de bens e serviços do que costumam 
consumir.
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Matemática Financeira 115
Exemplo: A taxa de inflação de determinado país ficou 
definida em 4,25%, em 2019. Considerando-se esse contexto, 
qual foi a taxa de desvalorização da moeda (TDM) nesse período?
Dados do exercício:
 �TDM = ?
 �TDM = 4,25% = 0,0425
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF1 + INF
TDM = 0,04251 + 0,0425
TDM ≅ 0,0408 = 4,08%
Logo, com uma inflação de 4,25%, há uma redução do 
poder de compra da moeda igual a 4,08%, isto é, com esse 
percentual de evolução dos preços, os consumidores adquirem 
4,08% a menos de bens e serviços.
Exemplo: A moeda nacional de um país fechou o ano 
de 2019 com uma taxa de desvalorização da moeda de 8,3%. 
Considerando a relação existente entre a taxa de desvalorização 
da moeda e a inflação, determine a respectiva taxa de inflação 
para o mesmo período.
Informações do exercício:
 �TDM = 8,3% = 0,083
 � INF = ?
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF1 + INF 
0,083 (1 + INF) = INF
0,083 + 0,083INF = INF
0,083 = INF – 0,083INF
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Matemática Financeira116
0,083 = 0,917INF
INF = 0,0830,917
INF ≅ 0,0905 = 9,05%
Assim, é possível afirmar que uma redução do poder de 
compra da moeda igual a 8,3% foi ocasionada por uma inflação 
igual a 9,05%.
Exemplo: Para a moeda nacional de certo país, ficou 
fixado, como taxa de desvalorização da moeda, o valor de 10,4%. 
Considerando a relação existente entre a taxa de desvalorização 
da moeda e a inflação, indique a taxa de inflação para o respectivo 
período.
Informações do exercício:
TDM = 10,4% = 0,104
INF = ?
Agora, substituindo as informações, encontramos:
TDM = INF1 + INF 
0,104(1 + INF) = INF
0,104 + 0,104INF = INF
0,104 = INF – 0,014 INF
0,104 = 0,896 INF
INF = 0,1040,896
INF ≅ 0,1161 = 11,61%
Então, é viável afirmar que uma redução do poder de 
compra da moeda igual a 10,4% foi ocasionada por uma inflação 
igual a 11,61%.
Âncora cambial é o nome destinado a um instrumento 
de política econômica que visa atrelar a moeda nacional a 
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Matemática Financeira 117
uma moeda estrangeira forte (geralmente o dólar americano), 
buscando-se, com isso, a estabilização da moeda nacional.
Nesse contexto de valorização/desvalorização da moeda 
nacional, também é importante conceituarmos a taxa de câmbio, 
que consiste na relação entre as moedas correntes de dois ou 
mais países e disponibiliza informações sobre as transações 
comerciais e relações de troca entre as nações. Essa taxa é 
expressa por um preço, um valor que se distingue na hora da 
compra e da venda. O Gráfico 2, a seguir, apresenta a variação 
da taxa de câmbio no ano de 2018. Observe.
Gráfico 2 -Taxa de câmbio Real/Dólar
Fonte: http://www.sinfacrs.com.br/info/2018/35/2018-35-economia.html.
A taxa de câmbio pode ser classificada em três categorias, 
como apresentado na Figura 7, a seguir:
Figura 7 - Categorias das Taxas de Câmbio. 
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Matemática Financeira118
Fonte: a autora. 
Ainda conforme Assaf Neto (2012), cada subdivisão dessa 
taxa de câmbio pode ser descrita como:
 �Taxa de câmbio fixa: o Banco Central estabelece 
um preço fixo de uma moeda estrangeira em moeda nacional. 
A conversão de moeda nacional em moeda estrangeira, e 
vice- versa, é garantida pelo Banco Central àquele preço. Essa 
modalidade de taxa é utilizada com o intuito de estabilizar o 
valor de uma moeda, ao fixá-lo diretamente sob uma taxa pré- 
determinada em relação à moeda âncora, que é mais estável e 
predominante internacionalmente.
 �Taxa de câmbio flutuante: as taxas mudam livremente 
ou sob a lei da oferta e demanda do mercado. O governo não 
interfere no mercado cambial, uma vez que o objetivo é valorizar 
ou desvalorizar a taxa de câmbio. A única interferência do Banco 
Central consiste em evitar variações muito grandes nas cotações, 
ou mesmo influenciar na taxa de câmbio.
 �Taxa de câmbio atrelada: Trata-se de um misto entre o 
câmbio flutuante e o câmbio fixo. Nesse regime, a taxa de câmbio 
se altera todos os dias dentro de bandas fixadas pelo governo. 
O Banco Central intervém no mercado para manter o preço da 
moeda no contexto das bandas determinadas. determinadas. 
Ressalta-se que, para que esse regime funcione corretamente, 
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Matemática Financeira 119
é necessário que o Banco Central tenha reservas internacionais 
suficientes para estabelecer as operações de compra e venda de 
moeda, mesmo em períodos de crises.
O coeficiente de pass-through se relaciona com o câmbio, 
a inflação, os juros, e, portanto, com o crescimento econômico. 
Basicamente, ele fornece o tamanho do repasse das variações 
cambiais para os preços, indicando o quanto um aumento ou 
declínio na taxa de câmbio faz a inflação crescer ou decrescer. É 
uma estimativa precária, nem sempre muito confiável, mas que 
tem uma função crucial para a tomada de decisões pelo Banco 
Central. Baseado nesse coeficiente, o Banco Central projeta a 
inflação futura, o que o permite aumentar ou diminuir as taxas 
de juros.
O Banco Central é uma autarquia que exerce suas funções 
com autonomia, sem subordinação a outro órgão do poder 
público. Foi instituído em 1964 e é a instituição responsável 
por garantir a estabilidade econômica do País, por meio da 
manutenção do poder de compra da moeda e da regulação do 
sistema financeiro brasileiro
RESUMINDO
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu pra valer? 
Agora, vamos rever o que estudamos. A taxa de desvalorização 
da moeda avalia o quanto o nosso dinheiro se desvalorizou 
perante o tempo, indicando um acréscimo ou decréscimo em 
nosso poder de compra. Descobrimos, também, que essa taxa 
depende unicamente do valor associado à inflação do período 
analisado. Ainda no contexto econômico, aprendemos mais sobre 
a taxa de câmbio, que se caracteriza por apresentar a relação 
entre as moedas correntes de dois ou mais países e disponibilizar 
informações sobre as transações comerciais e relações de troca 
entre as nações. Ela pode ser classificada em taxa de câmbio fixa, 
flutuante e atrelada
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Matemática Financeira120
BIBLIOGRAFIA
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e 
suas aplicações. 12. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira 
fundamental. São Paulo: Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, Nelson P.; MACEDO, Luiz Roberto 
Dias de. Matemática Financeira aplicada. Curitiba: 
Intersaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, Nelson P.; SERENATO, Verginia S. 
Matemática Financeira e análise financeira para todos 
os níveis: soluções algébricas e soluções na HP-12c. 2. ed. 
CURITIBA: Juruá, 2011. 
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e 
Financeira: com exercícios e cálculos em Excel e HP-12C. 
São Paulo: Ática, 2007.
LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira: uma
abordagem moderna. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria.
Matemática Financeira. São Paulo: Editora Atlas, 2007.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: 
objetiva e aplicada. 9. ed. São Paulo: Elsevier, 2011.
Matemática Financeira.indd 120Matemática Financeira.indd 120 06/08/202104:22:12 PM06/08/2021 04:22:12 PM
Matemática Financeira 121
UNIDADE
04
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
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Matemática Financeira122
Caro(a) aluno(a), é com imenso prazer que iniciamos 
nossa última unidade do curso de Matemática Financeira! 
Aprendemos, juntos, muita coisa por aqui, não é mesmo? E, 
nesta unidade, conheceremos com mais propriedade os sistemas 
de amortização, planos de pagamento de uma dívida contraída, 
que podem adotar diferentes formatos. Como exemplos desse 
segmento, podemos citar operações comuns a todos nós: a 
compra da casa própria, financiada pelo sistema financeiro 
de habitação; as dívidas decorrentes de tributos, sejam eles 
municipais, estaduais ou federais; os empréstimos bancários para 
pagamento em parcelas periódicas; dentre outros. Entendeu? 
Bem, no decorrer desta quarta unidade letiva, iremos mergulhar 
juntos nesse universo!
TEMAS
Nesta unidade, você verá:
• Compreendendo o Sistema Americano de Amortização
• Entendendo o Sistema de Amortização Constante
• Identificando o Sistema Price ou Francês de Amortização
• Aprendendo sobre o Sistema de Amortização Misto
INTRODUÇÃO
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Matemática Financeira 123
1
2
3
4
Olá. Seja muito bem-vindo a nossa Unidade 4 – Sistema 
de Amortização. Nesta unidade, o nosso objetivo é auxiliá-lo no 
desenvolvimento das seguintes competências profissionais: 
OBJETIVOS
Compreender o Sistema Americano de 
Amortização;
Entender o Sistema de Amortiização Constante;
Conhecer o Sistema Price ou Frances de 
Amortização;
Aprender sobre o Sistema de Amortização Misto.
Vamos, juntos, adentrar em um mundo interessante e muito 
útil para nossa vida financeira! Ao trabalho! Avante, caro(a) 
aluno(a)!
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Matemática Financeira124
Compreendendo o Sistema Americano 
de Amortização
Sistemas de Amortização
Na língua portuguesa, amortizar tem significado 
relacionado aos atos de “abater, descontar, extinguir, quitar, 
pagar”. No contexto financeiro, esses verbos ainda são válidos. 
Entretanto, estão associados ao pagamento de uma dívida, que, 
geralmente, ocorre em parcelas, mas que também pode ser feito 
em uma única vez. Amortizar é pagar um débito de maneira 
antecipada. Outra definição é apresentada por Castanheira e 
Macedo (2013):
Amortizar é devolver o capital que se tomou emprestado.
Há diversas maneiras de se amortizar uma dívida. As 
condições de cada operação devem estar estabelecidas em 
contrato firmado entre o credor e o devedor.
Os sistemas de amortização são empregados, basicamente, 
para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, 
com desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. 
Os sistemas que estudaremos aqui utilizam, exclusivamente, o 
critério de juros compostos.
OBJETIVO
Ao terminar este capítulo, você será capaz de compreender em 
que consiste um sistema de amortização, bem como definir e 
caracterizar a dinâmica do Sistema Americano de Amortização 
(SAA). Instigado para aperfeiçoar esse novo conhecimento? 
Então, vamos lá! Avante!
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Matemática Financeira 125
A prestação de um financiamento (empréstimo) é composta 
pelos elementos descritos abaixo:
 �Encargos financeiros (juros): Representam os juros 
da operação, caracterizando-se como custo, para o devedor, e 
retorno, para o credor. Podem ser prefixados ou pós-fixados. O 
que diferencia as duas modalidades é a correção da dívida, em 
função de uma expectativa (prefixação) ou verificação posterior 
(pós-fixação) do comportamento de determinado indexador.
 � Saldo devedor: Representa o valor do principal da 
dívida em um determinado momento, após a dedução do valor 
já pago ao credor (amortização).
 �Amortização: Refere-se, exclusivamente, ao 
pagamento do principal.
 �Prestação: É composta pelo valor da amortização, mais 
os encargos financeiros, em um determinado período de tempo.
Prestação = amortização + encargos financeiros
A parte que corresponde à amortização é calculada a partir 
do saldo devedor, fazendo-se com que a dívida seja decrescida a 
cada período. Os juros, por sua vez, são calculados, inicialmente, 
sobre o total da operação a ser realizada. Observe, na Figura 1, 
essa relação.
Figura 1: Composição de uma parcela de financiamento
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Matemática Financeira126
No Brasil, existem várias regras para a amortização, e 
cada uma com suas peculiaridades. Estudaremos, nesta unidade, 
quatro dos sistemas de amortização mais utilizados, apresentados 
na figura adiante
Figura 2: Exemplares dos sistemas de amortização
SAIBA MAIS
Existem, ainda, outros sistemas básicos de amortização. Você 
pode estudar os sistemas montante, sinking fund, americano e 
alemão na leitura complementar LC62, disponível em: https://
bit.ly/2XYBpS2.
Fonte: a autora
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Matemática Financeira 127
Sistema Americano de Amortização (SAA)
Dentre os sistemas de amortizações disponíveis no 
mercado financeiro, o Sistema Americano de Amortização 
(SAA) é considerado o mais simples, uma vez que sua dinâmica 
consiste em devolver o capital emprestado em um pagamento 
único, no término do prazo contratado. Sendo assim, é comum 
a disponibilização de uma carência ao tomador do empréstimo 
(CASTANHEIRA; MACEDO, 2013).
Essa modalidade de amortização é amplamente utilizada 
nas operações relativas a papéis de renda fixa com renda quitada 
no final, além das letras de câmbio e os certificados de depósitos 
com renda final.
Conforme destacam Castanheira e Macedo (2013), as 
características associadas ao Sistema Americano de Amortização 
(SAA) são:
 �Os juros são calculados sobre o valor original da dívida.
 �O contratante pode saldar seu débito a qualquer 
momento.
 �Existe maior controle no fluxo de caixa para saldar 
adívida.
 � Permite o pagamento fracionado da dívida, reduzindo o 
valor dos juros, proporcionalmente.
Você tem conhecimento sobre o que são letras de câmbio? Nesse 
vídeo disponível no link https://bit.ly/2xGHK9Z, há uma breve 
explicação desse título de crédito. Vale a pena assistir! 
ACESSE
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Matemática Financeira128
 �Aconselhado quando está previsto o recebimento 
deuma quantia futura suficiente para saldar a dívida.
 �O principal é liquidado, em parcela única, no término 
do prazo do financiamento.
Os juros referentes a essa modalidade de amortização 
podem ser saldados apenas no vencimento do principal — 
caracterizando o Sistema Americano Bullet — ou liquidados 
em parcelas periódicas (“cupons”), caracterizando o Sistema 
Americano Padrão. Esses sistemas se distinguem pelo fato de 
que, no Sistema Padrão, ocorre menor pagamento de juros, quando 
comparado ao Sistema Bullet, uma vez que, com a quitação 
dos juros em cada período, não é preciso sua incorporação no 
principal, isto é, juros compostos (ASSAF NETO, 2012).
Agora, considere a seguinte situação: uma pessoa jurídica 
adquiriu um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, a ser quitado 
no término de quatro meses, sendo firmada entre as partes que 
os juros seriam pagos a cada período. Queremos saber de quanto 
será o montante equivalente a esse contexto, uma vez que a 
taxa de juros utilizados na operação é de 2%, com capitalização 
mensal.
As informações do problema são:
 � PV = 50.000 
O SAA é interessante para quem quer montar seu próprio 
negócio, na perspectiva de,no futuro, conseguir recursos para 
quitar a dívida contraída
EXEMPLIFICANDO
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Matemática Financeira 129
 � i = 2% = 0,02 
 � n = 4 
Para visualizarmos esse processo, é essencial a elaboração 
de uma planilha e sua posterior interpretação.
Quadro 1 - Sistema de Amortização Americano (SAA). 
Fonte: a autora. 
Utilizando o mesmo exemplo anterior, vamos 
construir outra planilha, considerando, dessa vez, que os 
juros serão pagos apenas no final do prazo do financiamento
.
SISTEMA DE AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO (SAA)
Principal
R$50.000,00
Taxa de Juros
2% a.m. Saldo 
Devedor
Período Juros Amortização Pagamento
1 R$1.000,00 0.00 R$1.000,00 R$50.000,00
2 R$1.000,00 0.00 R$1.000,00 R$50.000,00
3 R$1.000,00 0,00 R$1.000,00 R$50.000,00
4 R$1.000,00 R$50.000,00 R$51.000,00 0,00
Total R$4.000,00 R$50.000,00 R$54.000,00 -
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Matemática Financeira130
Entendendo o Sistema de Amortização 
Constante
 Chamo a sua atenção, estimado(a) aluno(a), para a diferença 
entre os tipos de sistemas de amortização americanos, visto que 
os juros poderão ser pagos em cada período (“cupons”), como 
no primeiro quadro, ou apenas ao fim do prazo do financiamento 
(Bullet), juntamente à amortização única
RESUMINDO
Gostou do nosso estudo? Aprendeu mesmo? Então, para nos 
certificarmos, vamos resumir o que foi abordado. Você deve 
ter aprendido a definição de amortização e os tipos de sistema 
de amortização utilizados no Brasil, em diversas operações 
financeiras. Além disso, conhecemos o Sistema Americano 
de Amortização (SAA), que se caracteriza, principalmente, 
pelo cálculo dos juros sobre o valor original da dívida, pela 
possibilidade de o contratante saldar sua dívida quando for 
oportuno, pelo maior controle no fluxo de caixa e o menor 
pagamento parcial da dívida, devido à redução do valor dos 
juros, proporcionalmente. Bem, chegamos ao final de mais um 
capítulo da disciplina. Vamos seguir!
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender como ocorre 
o processo de amortização seguindo os parâmetros do Sistema
de Amortização Constante (SAC), bem como compreenderá
como funciona a base de cálculo nessa metodologia. Preparado
para desenvolver mais essa competência? Então, vamos lá!
Avante!
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Matemática Financeira 131
Sistema de Amortização Constante
Na grande maioria dos sistemas de amortização os 
pagamentos são constantes, em contrapartida, o que é constante 
no Sistema de Amortização Constante (SAC) é a parcela de 
amortização. 
Outra característica deste sistema de amortização, é que 
os juros decrescem, objetivando prestações decrescentes no 
decorrer do tempo; já os pagamentos permanecem compostos 
por dois elementos, sendo o somatório entre a amortização que 
é constante ao longo de todo o plano de pagamentos, e os juros 
que são mensurados a partir dos saldos devedores dos períodos 
anteriores (CASTANHEIRA; SERENATO, 2008).
Observe no gráfico 1 a seguir a relação entre o valor das 
prestações e a quantidade de prestações.
Gráfico 1 - Relação entre quantidade de prestações e valor das prestações no SAC. 
Fonte: a autora. 
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Matemática Financeira132
Veja que, à medida em que a dívida começa a ser 
amortizada, a parcela dos juros e, consequentemente, o valor 
associado a cada prestação, como um todo, tendem a decrescer, 
uma vez que o próprio saldo devedor se reduz. Por consequência, 
no SAC, o saldo devedor e a sua prestação tendem a encolher 
permanentemente, a partir do início do financiamento, e não 
deixam resíduo. Nesse contexto, existe menos exposição aos 
aumentos de indexadores do contrato, durante o financiamento.
No Sistema de Amortização Constante (SAC), a prestação 
inicial é um pouco maior, quando comparada a outras modalidades 
de amortização, pois a quantia a ser paga pela amortização 
também é maior. Isso pode parecer um pouco inviável, já que 
se trata do início da liquidação de uma dívida. No entanto, o 
processo a ser realizado consiste em um abatimento maior no 
valor do débito e, consequentemente, menos juros ao longo do 
contrato.
As características gerais dessa metodologia, como suas 
vantagens e desvantagens, estão listadas na figura a seguir:
Um indexador é um índice utilizado como parâmetro para um 
reajuste contratual ou do valor de um ativo. Esse percentual 
possui grande utilidade para se estabelecer a rentabilidade de 
alguns ativos e serve de base para o reajuste de contratos na 
economia.
CURIOSIDADE
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Matemática Financeira 133
Figura 3 -Características do Sistema de Amortização Constante (SAC). 
Fonte: a autora. 
Conforme descrito por Castanheira e Macedo (2013), a 
relação que possibilita o cálculo da parcela é dado por:
Onde consideraremos:
 � a = parcela correspondente a amortização
 � c = capital (saldo devedor total)
 � n = quantidade de parcelas de amortização
Além dessa igualdade, trabalharemos com outras, que 
permitem o cálculo referente à parcela correspondente ao juro 
cobrado e ao valor de cada prestação. Observe.
Para o cálculo dos juros de cada período, utilizaremos
Jn=SDn-1.i
R = A + Jn 
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Matemática Financeira134
Onde consideraremos:
 � Jn = juros incididos na parcela no período desejado.
 �R = prestação.
 � SDn-1 = saldo devedor do período anterior.
Agora, vamos resolver, juntos, um exemplo, para 
compreendermos como ocorre esse sistema de amortização.
Um imóvel no valor de R$ 100.000,00 foi financiado pelo 
Sistema de Amortização Constante, sem correção monetária, 
sob as condições de:
 �Entrada de R$30.000,00
 � Sete parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 
dias da assinatura do contrato;
 �Taxa de juro composto de 1,8% ao mês.
Quais os valores referentes as parcelas, amortizações e o 
saldo devedor considerando o SAC? 
Com base nos resultados dos cálculos, preencheremos 
uma tabela, assim como fizemos em nosso estudo do SAA, 
apresentando, ao longo do tempo, as amortizações, o valor das 
parcelas e o saldo devedor.
Inicialmente, foi dada uma entrada no valor de R$ 
30.000,00. O valor a ser financiado será de R$ 100.000,00 – R$ 
30.000,00 = R$ 70.000,00. Logo, a parcela de amortização será 
dada por:
Para se encontrarem os valores referentes às parcelas, é 
preciso determinar o valor do juro de cada período. Considerando-
se que o saldo devedor inicial é de R$ 70.000,00, vamos usar a 
relação:
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Matemática Financeira 135
Jn = SDn-1.i
J1 = SD0.i = 70.000 . 0,018
J1 = 1.260,00
Como a parcela é encontrada pelo somatório entre a 
parcela de amortização e o juro:
R1 = A + J1
R1 = 10.000,00 + 1.260,00
R1 = 11.260,00 
Para se encontrar o novo saldo devedor, basta subtrair o 
valor da amortização do saldo devedor, ou seja, R$ 70.000,00 
– R$ 10.000,00 = R$60.000,00. Desse modo, o juro e o valor da
segunda parcela serão dados por, respectivamente:
J2 = SD1.i
J2 = 60.000.0,018
J2 = 1.080
Assim como a prestação é encontrada pela adição da 
amortização e o juro:
 R2 = A + J2
R2 = 10.000,00 + 1.080,00
R2 = 11.080,00
A partir daí, calculamos o novo saldo devedor de R$ 
60.000,00 – R$ 10.000,00 = R$ 50.000,00.
O cálculo das outras partes (juro, prestação e saldo 
devedor) dos períodos posteriores é feito de forma semelhante. 
As informações são dados no quadro a seguir
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Matemática Financeira136
Fonte: a autora.
Ao digitarmos um número qualquer, n, e as teclas f 
AMORT, obtemos os juros acumulados referentes aos n 
primeiros períodos. Se, em seguida, digitarmos outro número 
qualquer, acompanhado das teclas f AMORT, teremos os juros 
acumulados referentes aos períodos posteriores. Assim, após 
encontrarmos os juros acumulados referentes a n períodos, 
obteremos a amortização acumulada desse mesmo 
tempo pressionando a tecla .Pressionando RCL PV, 
obteremos o saldo devedor.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃOCONSTANTE (SAC)
Principal
R$70.000,00
Taxa de Juros
1,8% a.m. Saldo 
DevedorNº da 
Parcela
Valor da 
Parcela
Amortização Juro da 
Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$11.260,00 R$10.000,00 R$1.260,00 R$60.000,00
2 R$11.080,00 R$10.000,00 R$1.080,00 R$50.000,00
3 R$10.900,00 R$10.000,00 R$900,00 R$40.000,00
4 R$10.720,00 R$10.000,00 R$720,00 R$30.000,00
5 R$10.540,00 R$10.000,00 R$540,00 R$20.000,00
6 R$10.360,00 R$10.000,00 R$360,00 R$10.000,00
7 R$10.180,00 R$10.000,00 R$180,00 R$0,00
Total R$75.040,00 R$70.000,00 R$5.040,00 0,00
Gráfico 2 - Relação entre quantidade de prestações e valor das prestações no PRICE.
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Matemática Financeira 137
Identificando o Sistema Price ou Francês 
de amortização
O que achou do que lhe mostramos? Aprendeu, mesmo, todo 
o conteúdo apresentado nesse capítulo? Para termos certeza de
que você entendeu, vamos formular um resumo do que vimos.
Você deve se lembrar de que a amortização se refere a um
abatimento no valor principal do financiamento, uma vez que os
juros representam os valores pagos à instituição que emprestou
o dinheiro. A partir dessas concepções, aprendemos mais
detalhadamente sobre outro sistema de amortização utilizado
no Brasil: o Sistema de Amortização Constante (SAC). Nessa
metodologia, o valor a ser financiado é fracionado em parcelas
de valores distintos, durante a vigência de todo o contrato. Logo,
as parcelas de amortização que são pagas periodicamente e
mensalmente, adicionadas aos juros, são constantes, ou seja, a
parte destinada a amortizar o saldo devedor não sofre variações
em seus valores.
RESUMINDO
OBJETIVO
Com este capítulo, você vai entender como se baseia a 
metodologia do Sistema Francês de Amortização ou Sistema 
Price. Conhecerá sua definição formal, aplicação e as relações 
que viabilizam a determinação de suas parcelas. Está animado 
para desenvolver essa competência? Então, vamos lá! Avante!
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Matemática Financeira138
Sistemas Price ou Francês de Amortização 
(SFA)
O Sistema Francês de Amortização (SFA), que também 
pode ser referenciado por Sistema Price, foi criado por um 
pensador e matemático inglês, Richard Price (1723 – 1791), 
mas foi adotado na França, a partir do século XIX (NETO, 2012).
Essa metodologia de amortização é amplamente usada por 
instituições financeiras e imobiliárias. Nela, é adotado o conceito 
de rendas imediatas, isto é, a amortização acontece em parcelas 
periódicas, sucessivas e iguais, e o primeiro pagamento ocorre 
ao final do primeiro período estabelecido (CASTANHEIRA; 
MACEDO, 2013).
No SFA, o principal associado aos juros é devolvido 
em prestações iguais e periódicas, calculadas segundo uma 
série uniforme postecipada. Observe, no Gráfico 2, que, 
diferentemente do que ocorre no SAC, o valor referente a cada 
uma das prestações é constante. 
Gráfico 2 - Relação entre quantidade de prestações e valor das prestações no PRICE. 
Fonte: a autora. 
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Matemática Financeira 139
À medida em que as parcelas são quitadas, o saldo devedor 
decresce, e o juro, que também é calculado sobre o saldo 
devedor, diminui. Por isso, as quantias referentes à amortização 
(devolução do total emprestado) aumentam no decorrer do 
tempo, uma vez que as parcelas são iguais, periódicas e 
sucessivas (CASTANHEIRA; SERENATO, 2013).
Os pontos mais significativos da dinâmica de aplicação do 
Sistema Francês de Amortização estão expostos na Figura 4, a 
seguir.
Figura 4 -Características do Sistema Francês de Amortização (PRICE).
Fonte: a autora. 
CURIOSIDADE
Existe uma extensão para a planilha do Excel com simulador 
da tabela Price, esta funciona como um simulador de 
financiamento, onde é possível calcular as prestações, taxas de 
juros e amortização, sem a necessidade de aplicação da fórmula 
matemática. Basicamente essa planilha é composta por três 
campos amarelos que devem ser preenchidos com o valor do 
financiamento ou empréstimo, prazo de pagamento em meses e 
a taxa de juros anual ou custo efetivo total, que consiste em uma 
informação que deve ser disponibilizada pelo banco ou empresa.
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Matemática Financeira140
Para calcular o valor das parcelas (prestações), nesse 
sistema de amortização, usamos a fórmula de cálculo de valor 
presente das séries uniformes de pagamentos postecipadas, dada 
por:
 Onde será adotado:
 � PV = capital
 �R = parcelado financiamento
 � i = taxa de juros
 � n = quantidade de parcelas 
Além dessa fórmula, trabalharemos com as mesmas já 
conhecidas no Sistema de Amortização Constante, que indicam 
a relação a ser utilizada para o cálculo referente à parcela 
correspondente ao juro cobrado e ao valor correspondente a cada 
prestação. 
Jn = SDn-1.i
R = An + Jn
Onde consideraremos:
 � Jn = juros incididos na parcela, no período.
 �R = prestação
 � SDn-1 = ssaldo devedor do período anterior.
Agora, partiremos para a resolução da mesma situação-
problema que resolvemos no estudo do SAC e que é comum em 
nosso cotidiano. Vamos, juntos, entender o funcionamento do 
SFA e, ao final, estabelecermos uma comparação entre os dois 
métodos de amortização.
Um imóvel no valor de R$100.000,00 foi financiado pelo 
Sistema francês de amortização, sem correção monetária, sob as 
condições de:
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Matemática Financeira 141
 �Entrada de R$30.000,00.
 � Sete parcelas mensais, a primeira com vencimento após 
30 dias da assinatura do contrato.
 �Taxa de juros compostos de 1,8% ao mês.
Quais os valores referentes às parcelas, amortizações e o 
saldo devedor considerando o SFA? 
Para o cálculo das parcelas, utilizamos a fórmula 
apresentada anteriormente:
Logo, esse financiamento será composto por sete 
prestações fixas e iguais a R$ 10.732,84.
No pagamento da primeira parcela do saldo devedor, que 
é de R$ 70.000,00, é possível determinar a parcela referente à 
amortização pela relação:
J1 = SD0.i
J1 = 70.000,00 . 0,018
J1 = 1.260 
Resta encontrarmos a amortização do pimeiro período, 
através da relação:
R = A1 + J1 → A1 = R - J1
A1 = R$ 10.732,84 - 1.260,00
A1 = 9.472,84
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Matemática Financeira142
Logo, o novo saldo devedor é de R$ 70.000,00 – R$ 
9.472,84 = R$ 60.527,16. Assim, o juro e o valor da segunda 
parcela serãodados por, respectivamente:
J2 = SD0.i
J2 = 60.527,16 . 0,018 = 1.089,49
R = A2+J2 → A2 = R - J2
A2 = R$ 10.732,84 – 1.089,49
A2 = 9.643,35
O novo saldo devedor é de R$ 60.527,16 – R$ 9.643,35 = 
R$ 50.883,81. De forma análoga, todos os valores do respectivo 
período serão encontrados.
Com isso, podemos preencher o Quadro 3, a seguir, com 
os dados correspondentes ao exemplo resolvido, tendo como 
base a dinâmica do SFA
Quadro3: Sistema Francês de Amortização (SFA)
SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFC)
Principal
R$70.000,00
Taxa de Juros
1,8% a.m. Saldo 
DevedorNº da 
ParcelaValor da 
Parcela
Amortização Juro da 
Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$10.732,84 R$9.472,84 R$1.260,00 R$60.527,16
2 R$10.732,84 R$9.643,35 R$1.089,49 R$50.883,81
3 R$10.732,84 R$9.816,93 R$915,91 R$41.066,88
4 R$10.732,84 R$9.993,64 R$739,20 R$31.073,24
5 R$10.732,84 R$10.173,52 R$559,32 R$20.899,72
6 R$10.732,84 R$10.356,65 R$376,19 R$10.543,07
7 R$10.732,84 R$10.543,07 R$189,77 R$0,00
Total R$75.129,88 R$70.000,00 R$5.129,88 R$0,00
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Matemática Financeira 143
Estimado(a) aluno(a), os cálculos realizados anteriormente 
podem, também, ser efetuados na calculadora HP-12C. Para 
isso, basta seguir estes passos:
Cálculo pela calculadora HP-12C 
100000 ENTER
30000 - CHS PV
1.8 i
7 n
PMT (10.732,84)
1 f AMORT (juro na parcela 1 = 1.620,00) 
 (amortização na parcela 1 = 9.472,84)
RCL PV (novo saldo devedor = 60.527,16)
1 f AMORT (juro na parcela 2 = 1.089,49) 
 (amortização na parcela 2 = 9.643,35)
RCL PV (novo saldo devedor = 50.883,81
1 f AMORT (juro na parcela 3 = 915,91) 
 (amortização na parcela 3 = 9.816,93)
RCL PV (novo saldo devedor = 41.066,88)
1 f AMORT (juro na parcela 4 = 739,20)
CURIOSIDADE
A calculadora financeira HP-12C realiza os cálculos relacionados 
ao PMT ou anuidades, com a metodologia do Sistema Price. Por 
isso, ao fazer uso desse dispositivo, é necessário se atentar a essa 
configuração.
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Matemática Financeira144
 (amortização na parcela 4 = 9.993,64)
RCL PV (novo saldo devedor = 31.073,24)
1 f AMORT (juro na parcela 5 = 559,32) 
 (amortização na parcela 5 = 10.173,52)
RCL PV (novo saldo devedor = 20.889,72)
1 f AMORT (juro na parcela 6 = 376,19)
 (amortização na parcela 6 = 10.356,65)
RCL PV (novo saldo devedor = 10.732,84)
1 f AMORT (juro na parcela 7 = 189,77) 
 (amortização na parcela 7 = 10.543,07)
RCL PV (novo saldo devedor = 0,00)
RESUMINDO
Você deve ter aprendido que o Sistema Francês de Amortização ou 
Sistema Price está presente na maioria da compras parceladas, em que 
o preço à vista da mercadoria se distribui do valor parcelado com os
juros compostos, que estão inseridos especialmente nos financiamentos
populacionais; este sistema possui como característica principal o fato
de utilizar um valor constante para as parcelas que se referem à dívida
adquirida; a variável que se altera conforme o período estabelecido é a
parcela que se refere à amortização, uma vez que essa quantia cresce
a cada parcela, não obstante o juro incidido nesta operação financeira
diminui a cada período, até se chegar a um saldo devedor nulo, ou seja,
a quitação da dívida adquirida.
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Matemática Financeira 145
Aprendendo o Sistema de Amortização 
Misto
Sistemas de Amortização Misto (SAM)
O Sistema de Amortização Misto (SAM), como o próprio 
nome sugere, é o resultado da combinação das concepções do 
Sistema de Amortização Constante e o Sistema Francês de 
Amortização. De acordo com Castanheira e Serenato (2011), o 
SAM foi criado pelo extinto Banco Nacional de Habitação, em 
1979.
Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em 
parcelas, que resultam, cada uma delas, da média aritmética 
entre os valores encontrados para as prestações do sistema Price 
e do SAC. Por consequência, os juros, saldos devedores e as 
amortizações, em cada período, também são compostos, cada 
um, pela média aritmética, entre eles, do sistema Price e do 
SAC. Observe, na Figura 4, essa representação.
OBJETIVO
Ao término deste capítulo, você será capaz de entender como 
funciona o Sistema de Amortização Misto, que surge da junção 
entre o Sistema de Amortização Constante e o Sistema Francês 
de Amortização. Você será apresentado à definição formal e aos 
cálculos dessa metodologia. E então? Motivado para desenvolver 
essa nova e interessante competência? Então, vamos lá! Avante!
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Figura 5 -Composição do Sistema Misto. 
Fonte: a autora. 
Ressaltamos que, na prática, nem sempre é viável calcular 
esses valores, por isso apenas as prestações são determinadas 
como médias aritméticas. Desse modo, as prestações, as parcelas 
de amortização e os juros são indicados através das respectivas 
relações:
Onde será adotado:
 �PSAM: prestação no sistema de Amortização Misto.
 �PPRICE: prestação no sistema de amortização Price. 
 �PSAC- : prestação no Sistema de Amortização Constante.
Onde será adotado:
 �ASAM: parcela de amortização no Sistema de Amortização 
Misto.
 �APRICE: parcela de amortização no sistema de 
amortização Price.
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 � ASAC: parcela de amortização no Sistema de Amortização 
Constante.
Onde será adotado:
 � JSAM: juros no sistema de Amortização Misto.
 � JPRICE: juros no Sistema Francês de Amortização. 
 � JSAC: juros no Sistema de Amortização Constante
Vamos partir para a resolução de mais um exemplo! 
Utilizaremos, novamente, os dados obtidos na dinâmica dos 
sistemas Price e de amortização constante.
Para encontramos os valores pretendidos de prestação, 
amortização, juro e saldo devedor, de cada, período no SAM, 
precisamos buscar os respectivos valores de cada período do SAC 
e do Price, em suas tabelas, para calcular a média aritimética.
CURIOSIDADE
O Sistema de Amortização Crescente (Sacre) é considerado 
o tipo de financiamento imobiliário mais popular, no Brasil,
por abranger características do Price e do SAC e por gerar um
aumento nas parcelas até determinado valor máximo.
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Matemática Financeira148
No Sistema de Amortização Constante, encontramos 
como valor de prestação, de parcela de amortização e de juros, 
respectivamente:
Pelo sistema Price, encontramos, como valor de prestação, 
de parcela de amortização e de juros, respectivamente:
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃOCONSTANTE (SAC)
Principal
R$70.000,00
Taxa de Juros
1,8% a.m. Saldo 
DevedorNº da 
Parcela
Valor da 
Parcela
Amortização Juro da 
Parcela
0 - - - R$70.000,00
1 R$11.260,00 R$10.000,00 R$1.260,00 R$60.000,00
2 R$11.080,00 R$10.000,00 R$1.080,00 R$50.000,00
3 R$10.900,00 R$10.000,00 R$900,00 R$40.000,00
4 R$10.720,00 R$10.000,00 R$720,00 R$30.000,00
5 R$10.540,00 R$10.000,00 R$540,00 R$20.000,00
6 R$10.360,00 R$10.000,00 R$360,00 R$10.000,00
7 R$10.180,00 R$10.000,00 R$180,00 R$0,00
Total R$75.040,00 R$70.000,00 R$5.040,00 0,00
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Logo, utilizando os dados das tabelas anteriores, 
preenchemos a tabela do Sistema de Amortização Misto, com a 
média aritmética entre o SAC e o PRICE.
Observe, caro(a) aluno(a), que a média aritmética entre 
os valores gera um valor intermediário, isto é, as quantias 
são um pouco maiores do que as do Sistema de Amortização 
Constante e um pouco menores do que as do Sistema Francês de 
Amortização.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃOMISTO (SAM)
Principal
R$70.000,00
Taxa de Juros
1,8% a.m. Saldo 
DevedorNº da 
Parcela
Valor da 
Parcela
Amortização Juro da 
Parcela
0 - - - R$70.000,00
1
11.260,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.996,42
10.000,00 + 
9.472,844 / 2 = 
R$ 9.732,42
1.260,00 + 
1.260,00 / 2 = 
R$ 1.260,00
R$60.263,58
2
11.080,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.906,42
10.000,00 + 
9.643,35 / 2 = 
R$ 9.821,67
1.080,00 + 
1.080,49 / 2 = 
R$ 10.084,74
R$50.441,91
3 10.900,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.816,4210.000,00 + 
9.816,93 / 2 = 
R$ 9.908,46
900,00 + 
915,91 / 2 = 
R$ 907,95
R$40.533,45
4 10.720,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.726,42
10.000,00 + 
9.993,64 / 2 = 
R$ 9.996,82
720,00 + 
739,20 / 2 = 
R$ 729,60
R$30.536,63
5 10.540,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.636,42
10.000,00 + 
10.173,52 / 2 = 
R$ 10.086,76
540,00 + 
559,32 / 2 = 
R$ 549,66
R$20.449,87
6 10.360,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.546,42
10.000,00 + 
10.356,655 / 2 
= R$ 10.178,32
360,00 + 
376,19 / 2 = 
R$ 368,09
R$10.271,55
7 10.180,00 + 
10.732,84 / 2 = 
R$ 10.456,42
10.000,00 + 
10.543,07 / 2 = 
R$ 10.271,53
180,00 + 
189,77 / 2 = 
R$ 184,88
R$0,02
Total R$75.080,94 R$70.000,00 R$5.084,92 R$0,002
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Concluímos que as características do SAM são indicadas 
por alguns pontos significativos, como demonstra a Figura 6:
Figura 6 -Características do Sistema de Amortização Misto (SAM). 
Fonte: a autora. 
RESUMINDO
Você deve ter aprendido que o Sistema de Amortização Misto 
(SAM) é composto pela união do Sistema Francês de Amortização 
(SFA) e o Sistema de Amortização Constante (SAC). Os valores 
calculados são encontrados através da média aritmética desses 
dois sistemas, respectivamente. Concluímos que, no SAM, as 
amortizações são crescentes, e os valores dos juros, assim como os 
das prestações, são decrescentes. Além disso, nessa metodologia, 
o valor referente à prestação inicial é superior, quando comparado
ao SFA, e inferior ao do SAC. No Brasil, é uma das dinâmicas
de amortização mais usadas pelas instituições de créditos
imobiliários, particularmente a Caixa Econômica Federal.
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BIBLIOGRAFIA
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Intersaberes, 2013. 
CASTANHEIRA, Nelson P.; SERENATO, Verginia S. 
Matemática Financeira e análise financeira para todos 
os níveis: soluções algébricas e soluções na HP-12c. 2. ed. 
CURITIBA: Juruá, 2011. 
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Resolução CFC nº. 1.027, de 15 de Abril de 2005. Aprova a 
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PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: 
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