Numeros complexos calculo 4

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DIRETORIA DE GRADUAÇÃO – CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA CÁLCULO 4 – MA64B
RESUMO DE MATEMÁTICA: NÚMEROS COMPLEXOS, SUAS INTERPRETAÇÕES E MANIPULAÇÕES
JAIRO ALVES JUNIOR 
		“A Past and Future Secret “– B.G
21 DE NOVEMBRO DE 2018
LONDRINA
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1
)
1 INTRODUÇÃO
A matemática é um paradigma que vem desde os tempos mais remotos até os dias atuais, onde pouca porcentagem da massa populacional é privilegiada com esse conhecimento – ou “secret”. Mas o que é a matemática? E o que vamos trabalhar?
Segundo a concepção da Matemática - Ciência que estuda o raciocínio lógico e abstrato, quantidades, medidas, espaços, estruturas, variações e estatísticas – um dos conjuntos numéricos importantíssimo para esta ciência é o conjunto dos números irracionais. Os números irracionais são representados pela letra “i”. Estes números não admitem serem escritos na forma de fração, pois em suas formas decimais, consistem em números infinitos não periódicos.
Neste trabalho, o objetivo será de compreender tudo sobre uma variável complexa para que possamos “adentrar no mundo” das transformações de Fourier e de Laplace. Deste modo, iremos visar alguns conceitos e teoremas importantes neste conjunto, como o número de Euler complexo e sua fórmula, Raízes da Unidade, manipulações e interpretações algébricas e geométricas e até mesmo a equação de Cauchy-Riemann.
2 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
2.1 Função de uma variável complexa
		Seja um subconjunto D do plano complexo C. Uma função complexa é uma correspondência que associa a cada elemento z D um único número w=f(z) C. As notações mais comuns para representar uma função complexa são:
f:D C,      f:z D f(z) C      ou      w=f(z)
		O domínio de f, denotado por Dom(f), é o subconjunto D dos números complexos onde a função está bem definida. A imagem de f, denotada por Im(f), é o subconjunto dos números complexos f(D)={f(z):zD}.
		Dada uma função w=f(z), com z=x+iy e w=u+iv, podemos ter a seguinte interpretação geométrica da aplicação f:D C
Figura 1 – Representação geometria de uma função variável complexa.
		É usual considerarmos a regra de definição da função w=f(z) sem especificar o seu domínio, nestes casos fica subtendido que o domínio da função é o maior subconjunto dos números complexos no qual a aplicação w=f(z) faz sentido.
	Exemplos: Alguns exemplos sobre o domínio de funções complexas
1. f(z)=z²=(x+iy)². Como no caso real, funções polinomiais estão definidas para todos os valores de z, sendo assim o domínio desta função é todo o plano complexo.
2. f(z)=1/z. Como não podemos ter divisão por zero, o domínio desta função é todo o plano complexo exceto o número z=0. Como z=x+iy, o domínio é todo o plano complexo exceto os eixos coordenados.
3. f(z)=(z−3i)/(z+8). Neste exemplo o domínio é todo o plano complexo exceto o número z=−8. 
		Usualmente, uma função real é visualizada pelo traçado de seu gráfico y=f(x) em um sistema cartesiano com um dos eixos para a variável do domínio x e outro para a variável da imagem y.
		Para funções complexas f: C C a visualização de gráficos não é tão simples pois o plano complexo C é bidimensional então seria necessário um espaço de quatro dimensões para traçar o gráfico da função w=f(z). Como um espaço de quatro dimensões não é admissível em nossas mentes, outras técnicas são necessárias para a visualização de gráficos de funções complexas.
		O método mais comum é considerar dois planos complexos, um para z e outro para w. No plano w traçamos a imagem da função f sobre algumas curvas e áreas no plano do domínio z.
		A correspondência entre pontos de z e w é chamada de transformação de pontos de z em pontos de w pela função f.
	Exemplos:
1. Um ponto P do plano z, se move descrevendo um círculo unitário de centro na origem e no sentido anti-horário. Se a transformação for dada por w=f(z)=z², a imagem P' de P no plano w descreve 2 voltas completas no círculo unitário de centro na origem no sentido anti-horário enquanto o ponto P descreve uma volta completa no pano z.
2. Se z=reit e o círculo é unitário, segue que |z|=1, r=1 e z=eit.
Assim, w=z²=(eit)²=e 2it denotando por r' e t' as coordenadas no plano w, teremos w=r'e it'=e 2it, logo r'=1 e t'=2t.
Com isto, concluímos que enquanto o ponto P se move no plano z, a imagem P' no plano w se move sobre um círculo de raio unitário e centro na origem pois r'=1 e enquanto P descreve um ângulo t no plano z, a imagem P' descreve um ângulo 2t no plano w.
3. Considere a função f(z)=z² e examinaremos a imagem no plano w transformada por esta função sobre as retas x=± 1 e y=± 1.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z1=−1−i e z2=−1+i é dada por:
z(t)=z1+t(z2−z1)    0<t<1
ou por
z(t)=(−1−i)+t(2i)=−1+i(−1+2t)    0<t<1
Observe que z é uma função de t e w também é uma função de t pois é a composta w=f(z(t))=(z(t))², temos:
w(t)=[−1+i(−1+2t)]²=(4t−4t²)+i(2−4t)   0< t<1
Mostramos um esboço do gráfico no plano w na figura seguinte.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z2=−1+i e z3=1+i é dada por:
z(t)=z2+t(z3−z2)    0<t<1
Obtemos assim
z(t)=(−1+i)+t(2)=(−1+2t)+i    0<t<1
assim,
w(t)=[(−1+2t)+i]²=(−4t+4t²)+i(−2+4t)   0< t<1
Um esboço do gráfico é mostrado na sequência.
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z3=1+i e z4=1−i é dada por:
z(t)=z3+t(z4−z3)    0<t<1
Neste caso
z(t)=(1+i)+t(−2i)=1+i(1−2t)    0<t<1
então,
w(t)=[1+i(1−2t)]²=(4t−4t²)+i(2−4t)   0< t<1
A equação paramétrica do segmento de reta que passa pelos pontos z4=1−i e z1=−1−i é dada por:
z(t)=z4+t(z1−z4)    0<t<1
Temos então
z(t)=(1−i)+t(−2)=(1−2t)−i    0<t<1
assim,
w(t)=[(−1−2t)−i]²=(−4t+4t²)+i(−2+4t)   0< t<1
Então, as imagens no plano w sobre o quadrado x=± 1 e y=± 1 transformadas por w=z² são parábolas como as ilustradas na figura seguinte.
Para retas x=± c e y=± c, onde c é uma constante real, as imagens também serão parábolas como estas com as interseções com os eixo coordenados em outros pontos.
2.2 Manipulações Algébricas e Geométricas dos números Complexos: Operações de adição, subtração, multiplicação e divisão.
		Suponhamos que tenhamos a seguinte expressão algébrica dos números complexos: a+b*i, onde a e b são números reais e que o valor de a é a parte real do número complexo e que o valor de b*i é a parte imaginária do número complexo.
		Podemos então dizer que existe um número complexo z e o mesmo será igual à a + bi (z = a + bi).
		Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte imaginária. 
	Adição:
		Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao os adicionarmos teremos:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
 a + bi + c + di
 Vale a comutação: a + c + bi + di
 a + c + (b + d)i
Portanto: (a + c) + (b + d)*i
Assim, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.
Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:
z1+z2 = (6 + 5i) + (2 – i)
 6 + 5i + 2 – i
 Vale a comutação: 6 + 2 + 5i – i
8 + (5 – 1)i
Portanto: 8 + 4i
Assim, z1 + z2 = 8 + 4i.
Subtração
	Analogamente a adição, na subtração se tivermos dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao subtraímos teremos:
z1 - z2 = (a + bi) - (c + di)
 a + bi – c – di
					a – c + bi – di
					 (a – c) + (b – d)i
Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.
Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:
z1 – z2 = (4 + 5i) – (-1 + 3i)
 4 + 5i + 1 – 3i
 4 + 1 + 5i – 3i
 5 + (5 – 3)i
 5 + 2i
Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.
Multiplicação
	Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos teremos:
z1 * z2 = (a + bi) * (c + di)
 ac + adi + bci + bdi2
ac + adi + bci + bd (-1)
ac + adi + bci – bd
ac - bd + adi + bci
(ac - bd) + (ad + bc)i
Portanto, z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.
Exemplo:
Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:
z1 * z2 = (5 + i) * (2 - i)
 5 . 2 – 5i + 2i – i2
 10 – 5i + 2i + 1
 10 + 1 – 5i+ 2i
 11 – 3i
Portanto, z1 * z2 = 11 – 3i.
Divisão
	Dividir dois números complexos é obter o número complexo z3 resultado da razão entre z1 e z2. Para realizar essa divisão necessitamos aplicar a ideia de conjugado de um número complexo e a propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplo:
Determinar o número complexo, resultado da divisão   . Lembrando que i² = –1
2.3 Fórmula de Euler (números complexos).
 A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial. Ela foi provada por Euler partindo da Série de Taylor.
  . 		Chama-se Fórmula de Euler à expressão:
Ei x = cosx + i sinx,
Onde, x é um número real qualquer e o número i=√-1 é a unidade imaginária, note que o “^” = exponencial.
		Da expressão,
e^(ix) = cosx + i sinx 
		Deduz-se que, 
e^(−ix) = cos(−x) + i sin(−x) = cosx – i sinx.
		Deste modo, temos, adicionando membro a membro as expressões:
e^(ix) = cosx + i sinx
e, 
e^(-ix) = cosx – i senx
 obtém-se,
cosx = [e^(ix) + e^(-ix)] /2
		Subtraindo membro a membro as expressões,
e^(ix) = cosx + i sinx
e,
e^(−ix) = cosx – i sinx,
obtém-se: 
Sinx = [e^(ix) −e^(−ix)] /2i.
2.4 Raízes da Unidade.
As raízes complexas n-ésimas de 1 são chamadas raízes n-ésimas da unidade. A única raiz 1-ésima da unidade é 1. Quando n ≥ 2, temos:
θ = arg(1) = 0 e φk = 2πk n , onde k = 0, 1, · · · , n − 1,
e as raízes complexas n-ésimas da unidade são os pontos :
zk = cos 2πk n + isen 2πk n e k = 0, 1, · · · , n − 1, 
que dividem o círculo em n partes iguais, sendo z0 = 1. Portanto, se n ≥ 3, as raízes n-ésimas da unidade são vértices de um polígono regular n lados inscrito no círculo de centro na origem e raio 1 em C, tendo um dos vértices no ponto 1. Esta interpretação geométrica das raízes n-ésimas da unidade é devida a Euler. 
Exemplo 3.8:
As raízes quadradas da unidade são {1, −1} e as raízes quartas da unidade são {1, i, −1, −i}. Por outro lado, as raízes cúbicas da unidade são {1, − 1 2 + √ 3 2 i, − 1 2 − √ 3 2 i}. Nas Figuras (3.7) e (3.8) apresentamos a representação geométrica das raízes complexas quartas e cúbicas da unidade no círculo de raio 1, centrado na origem, respectivamente. Denotando ζn = z1 = cos 2π n + isen 2π n , temos que zk = cos 2πk n + isen 2πk n = ζ k n , k = 0, · · · , n − 1. Portanto, as n raízes complexas da unidade, denotadas por Un(C), são obtidas como potências de ζn, isto
Un(C) = {ζn, · · · , ζn−1 n , ζn n = 1}.
		Vimos na Proposição (3.1) que cada número complexo não nulo z tem n raízes n-ésimas. Conhecendo uma das suas raízes n-ésimas, podemos determinar todas as outras raízes n-ésimas através da proposição que se segue. Proposição 3.2 ([14], p. 45). Seja z um número complexo não nulo, ω ∈ C uma raiz n-ésima de z e 
ζn = cos 2π n + isen 2π n.
		Então, as raízes n-ésimas de z são ω · ζ r n , r = 1, · · · , n.
 Demonstração:
 Observe que (ω · ζ r n ) n = ω n · (ζ n n ) r = z · 1 r = z. Logo, ω · ζ r n é raiz n-ésima de z, para todo r = 1, · · · , n. Raízes n-ésimas 38. Seja α ∈ C uma raiz n-ésima de z. Então, α n = z = ω n e 1 = α n · ω −n = (α · ω −1 ) n . Portanto, α · ω −1 é uma raiz n-ésima da unidade. Assim, existe r = 0, · · · , n − 1 tal que α · ω −1 = ζ r n , isto é, α = ω · ζ r n , para algum r = 1, · · · , n.
		Vimos na Proposição (3.1) que cada número complexo não nulo z tem n raízes n-ésimas. Conhecendo uma das suas raízes n-ésimas, podemos determinar todas as outras raízes n-ésimas.
2.4 Equação de Cauchy - Riemann.
Recorde a definição de derivada de uma função f em um ponto zo: 
	 
As chamadas equações de Equações de Cauchy-Riemann são:
que podemos escrever da seguinte forma frequentemente usadas em cálculo:
Teorema: Se f(z) = u(x,y) + iv(x,y) é derivável em zo = xo + iyo, então u e v satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em (xo, yo).
Exemplo: Seja f(z) = z². Como é uma função polinomial, f é derivável sobre todo C. Verificando as equações de Cauchy-Riemann: Denote z = x + iy, x, y ∈ R. Então:
e segue que: 
em todo ponto do plano, ou seja, satisfazendo as equações de Cauchy-Riemann.
3 REFERÊNCIAS:
IGM, et al. Equações de Cauchy – Riemann. Goiânia, 2010. Disponível em: <http://www.igm.mat.br/aplicativos/index.php?option=com_content&view=article&id=445%3Acauchy&catid=38%3Aconteudosfvc&Itemid=40>. Acesso em: 20 de novembro de 2018.
RAMOS, Danielle de Miranda. "Adição, subtração e multiplicação de número complexo"; Brasil Escola. Disponível em https://brasilescola.uol.com.br/matematica/adicao-subtracao-multiplicacao-numero-complexo.htm. Acesso em 21 de novembro de 2018.
RAMOS, Filipe. Fórmula de Euler (Números Complexos). Wikiciências. 2014. Disponível em: https://wikiciencias.casadasciencias.org/wiki/index.php/Fórmula_de_Euler_(números_complexos). Acesso em 20 de novembro de 2018.
REZENDE, Josiane de Carvalho. Um Estudo sobre as Raízes da Unidade e suas Aplicações em Matemática. Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro, 2017. Disponível em: https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/148853/rezende_jc_me_rcla.pdf?sequence=3&isAllowed=y. Acesso em: 21 de novembro de 2018.
SILVA, Marcos Noé Pedro. Divisão de Números Complexos. Mundo da Educação. Bol. Disponível em: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/divisao-numeros-complexos.htm. Acesso em: 20 de novembro de 2018.