Matematica_Financeira_and_Engenharia_Eco

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Matemática Financeira e 
 Engenharia Econômica 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 
Florianópolis 
2015-março. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
2 
 
 
 
 
 
 
 
A958m AVILA, Antonio Victorino. 
 Matemática financeira e engenharia econômica / Antonio 
Victorino Avila; Florianópolis. ”Programa de Educação Tutorial 
da Engenharia Civil – UFSC”, 2012. 
297p.: il. color. ; 24 cm. 
 
 
 Inclui Bibliografia. 
 
 
 1. Matemática financeira. 2. Engenharia econômica. 3. 
Juros. 4. Capital. 5. Comissionamento de ativos. 6. 
Substituição de ativos. I. Título. 
 
 CDU 624 
 
Catalogação na publicação por Graziela Bonin – CRB14/1191 
Copyright do autor 
Registro EDA nº 585.911 em 12.12.2012 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
3 
 
 
 
ÍNDICE. 
 
PRÓLOGO ....................................................................................................... 8 
1. Premissas e Conceitos. ............................................................................. 9 
1.1 – Introdução. ......................................................................................... 9 
1.2– Remuneração dos Fatores de Produção. ......................................... 9 
1.3 – Premissas. ........................................................................................ 10 
1.4 - Nomenclaturas das taxas de juros. ................................................. 13 
1.5 – Composição da Taxa Real.............................................................. 15 
1.6 – Definições ......................................................................................... 15 
1.7 – Necessidades de Alternativas. ....................................................... 16 
2. Matemática Financeira ............................................................................ 21 
2.0 - Introdução ......................................................................................... 21 
2.1 – Conceituações de Juros.................................................................. 21 
2.2 – Juros Simples .................................................................................. 22 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. ........................................................ 22 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. ................................................... 22 
2.2.3 - Operações de desconto. .............................................................. 23 
2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas ............................................. 26 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial ........................................................... 27 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos. ................................................................ 27 
2.2.7 – Exercícios Propostos. .................................................................. 30 
2.3 – Juros Compostos. ........................................................................... 32 
2.3.1 - Definição. ..................................................................................... 32 
2.3.2 - Fórmulas Básicas: ........................................................................ 32 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro ..................................................... 33 
2.3.4 - Exemplos ..................................................................................... 37 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. ............................ 37 
2.3.6 - Cuidados a observar. ................................................................... 39 
2.3.7 - Exercício Resolvido. .................................................................... 40 
2.3.8 - Exercícios Propostos. .................................................................. 40 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. ........................................... 41 
2.4.1 – Efeito da Inflação ........................................................................ 41 
2.4.2 – Relação entre taxas. ................................................................... 43 
2.4.3 – Inflação e Índices. ....................................................................... 44 
2.5 – Inflação Acumulada. ........................................................................ 46 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. ....................................................................... 46 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. ............................................ 47 
2.5.3 – Aplicação. .................................................................................... 49 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. ................................................ 51 
3. Séries de Capitais. .................................................................................. 57 
3.0 – Introdução. ...................................................................................... 57 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. .......................................................... 57 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. .................. 58 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. ............................................. 60 
3.1.3 - Exemplo. ...................................................................................... 61 
3.1.4 - Comparando Juros Simples e Compostos. .................................. 61 
3.2 – Série Infinita. .................................................................................... 63 
3.2.1 – Conceituação. ............................................................................. 63 
3.2.2 – Exercício Resolvido. .................................................................... 64 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. ............................................................ 65 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada ........................................... 66 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. .............................................. 67 
3.3.3 – Aplicação. .................................................................................... 68 
3.4 – Série Diferida. ................................................................................... 70 
3.4.1 – Metodologia ................................................................................. 70 
3.4.2 - Aplicação ..................................................................................... 71 
3.5 – Exercícios Propostos. ..................................................................... 72 
4. Amortizações de Dívidas ........................................................................ 77 
4.1 – Tipos de Sistemas. .......................................................................... 77 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC ................................... 78 
4.2.1 – A metodologia ............................................................................. 78 
4.2.2 - Exemplo ....................................................................................... 79 
4.3 - Sistemas de prestação constante ................................................... 80 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
4 
 
4.3.1 - Conceituação ............................................................................... 80 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. .............................................................. 80 
4.3.3 - Exemplo ....................................................................................... 81 
4.4 – O sistema de amortização variável. ............................................... 81 
4.4.1 – Conceituação. .............................................................................81 
4.4.2 - Metodologia .................................................................................. 82 
4.4.3 – Comentários ................................................................................ 82 
4.4.4 - Exemplo ....................................................................................... 83 
4.5 - O sistema americano. ....................................................................... 83 
4.5.1 - Metodologia. ................................................................................. 84 
4.5.2 - Exemplo. ...................................................................................... 84 
4.6 – O sistema alemão. ........................................................................... 84 
4.6.1 – Característica .............................................................................. 84 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. ...................................................... 85 
4.6.3 – Determinação da Prestação. ....................................................... 86 
4.6.4 – Equivalência Financeira. ............................................................. 86 
4.6.5 – Exemplo. ..................................................................................... 87 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE ............................. 88 
4.7.1 – O Sistema .................................................................................... 88 
4.7.2 – A metodologia. ............................................................................ 89 
4.7.3 – Exemplo ...................................................................................... 90 
4.7.4 - Comentários ................................................................................. 90 
4.8 – Correção do saldo devedor. ............................................................ 91 
4.8.1 – Procedimentos ............................................................................ 91 
4.8.2 – Metodologia ................................................................................. 91 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC .......................................................... 92 
4.9 – Exercícios Propostos.................................................................. 94 
5. –Engenharia Econômica. ....................................................................... 101 
5.1 – Conceituação. ................................................................................ 101 
5.2 – Análise de Viabilidade. .................................................................. 102 
5.2.1 - O Processo da Tomada de Decisão. ......................................... 102 
5.2.2 – Métodos de Decisão. ................................................................. 103 
5.3 – O Processo da Análise de Viabilidade. ...................................... 104 
5.3.1 - Orçamento de Investimentos. .................................................... 104 
5.3.2 – Projeções Operacionais. ........................................................... 105 
5.3.3 – Vida Útil ou Horizonte do Investimento...................................... 107 
5.3.4 – O Custo de Capital. .................................................................. 108 
5.3.5 – Fontes de Recursos. ................................................................. 108 
5.4 – O Fluxo de Caixa ........................................................................... 109 
5.4.1 – Conceituação ............................................................................ 109 
5.4.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. ........................................ 109 
5.4.3 – Calculo do Fluxo de Caixa ........................................................ 110 
5.5 – Valor Presente. ............................................................................... 112 
5.5.1 – Valor de um Ativo. ..................................................................... 112 
5.5.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. ........................................... 112 
5.5.3 – Diagrama de Valor Presente ..................................................... 114 
5.5.4 – Exemplo de Aplicação ............................................................... 115 
5.6 – O Custo do capital. ........................................................................ 116 
5.6.1 – Conceitos. ................................................................................. 116 
5.6.2 – A Taxa de Mínima Atratividade - TMA...................................... 117 
5.7 - Fontes de Capital. ........................................................................... 122 
5.8 - Previsão de Fluxo de Caixa. ......................................................... 125 
5.8.1 – Modelo de Procedimento .......................................................... 125 
5.8.2 – Informações Gerenciais. ........................................................... 126 
5.9 – Tributos e Depreciação ................................................................. 126 
5.9.1 – Influência dos Tributos. ............................................................. 126 
5.9.2 – Influencia da Depreciação. ........................................................ 128 
5.10 – Classificação dos Investimentos. .............................................. 128 
5.10.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. ....................................... 129 
5.10.2 – Disponibilidade de Recursos para Investimentos. ................... 130 
5.11 – Exercício Resolvido. .................................................................... 130 
5.12 - Exercícios Propostos. ................................................................. 131 
6. Método do Valor Presente Líquido. ...................................................... 135 
6.1 - Objetivo do Método. ...................................................................... 135 
6.2 – Coerência de Resultados. ............................................................. 135 
6.2.1 - Projetos na mesma classe de risco ........................................... 136 
6.2.2 - A mesma taxa de desconto. ...................................................... 136 
6.2.3 - Projetos com idêntica vida útil. .................................................. 136 
6.2.4 - Distinguir projetos de longa duração .......................................... 137 
6.3 – O Método do valor presente. ........................................................ 137 
6.3.1 – Incremento de Riqueza. ............................................................ 137 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
5 
 
6.3.2 - Decisão ...................................................................................... 138 
6.3.3 – Diagrama de Valor Presente Líquido ........................................ 142 
6.4 - Análise de Sensibilidade e Risco. ................................................. 145 
6.4.1 – Conceituação. ........................................................................... 145 
6.4.2 – Domínio viável de produção. ..................................................... 146 
6.5 – Aplicação. ....................................................................................... 147 
6.6 - Equalização de tempos de projetos. ............................................ 150 
6.6.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes .................................... 150 
6.6.2 – Caso de Rigidez das Alternativas .............................................. 152 
6.6.3 – Caso de Outras Oportunidades. ................................................ 153 
6.7 – Consistência VPL e Custo de Capital........................................... 153 
6.8 – Exercícios Resolvidos. .................................................................. 154 
6.8.1 – Exercício de Fluxo de Caixa. ..................................................... 154 
6.8.2 - Caso da Jazida Mineral. ............................................................155 
6.9 – Exercícios Propostos .................................................................... 157 
7. Método da Recuperação de Capital ...................................................... 167 
7.1 - Introdução ....................................................................................... 167 
7.2 - Metodologia. .................................................................................... 167 
7.3 – Exercício. ........................................................................................ 169 
8. Método do Valor Uniforme Equivalente. .............................................. 171 
8.1 – Introdução ...................................................................................... 171 
8.2 - Decisão ............................................................................................ 172 
8.3 – Metodologia do MVUE. .................................................................. 173 
8.3.1 – Artificio para Reinvestimentos. .................................................. 173 
8.3.2 – Procedimentos .......................................................................... 174 
8.4 – Exemplos de Aplicação. ................................................................ 175 
8.4.1 - Caso .......................................................................................... 175 
8.4.2 – Manutenção em Comissionamento ........................................... 177 
8.4.3 – Análise Crítica. .......................................................................... 179 
8.4.4 – Produção de Novo Produto. ...................................................... 180 
8.5 - Exercícios Propostos. .................................................................... 183 
9. Taxa Interna de Retorno. ....................................................................... 185 
9.1 – Conceituação. ................................................................................ 185 
9.2 – Utilização da TIR. ........................................................................... 186 
9.3 - Decisão ............................................................................................ 186 
9.5 – Aplicações da TIR. ......................................................................... 187 
9.5.1 - Caso de títulos mobiliários. ........................................................ 187 
9.5.2 - Caso de financiamentos............................................................. 188 
9.5.3 – Caso de investimentos produtivos ............................................ 189 
9.6 – Calculo da TIR. ............................................................................... 191 
9.6.1 – Função Polinomial ..................................................................... 191 
9.6.2 - Processo da Bisseção................................................................ 192 
9.6.3 – Aplicação da metodologia ......................................................... 193 
9.7 - Existência de múltiplas TIR ........................................................... 195 
9.8 – Exercícios. ...................................................................................... 197 
10. Métodos Algébricos. ............................................................................ 201 
10.1 – Introdução. ................................................................................... 201 
10.2 - Caso de Prestações Constantes. ................................................ 201 
10.2.1 – O método ............................................................................... 201 
10.2.2 – Aplicação ................................................................................. 202 
10.3 - Caso de Prestações Crescentes. ................................................ 203 
10.3.1 – O Método ................................................................................ 203 
10.3.2 – Aplicação ................................................................................. 203 
10.4 – Caso de Prestações Decrescentes. ........................................... 204 
10.4.1 – O Método. ............................................................................... 204 
10.4.2 – Aplicação. ................................................................................ 205 
10.5 - Exercícios...................................................................................... 205 
11. – Comissionamento de Ativos. ........................................................... 209 
11.1 - Introdução ..................................................................................... 209 
11.2 - Metodologias. ............................................................................... 209 
11.2.1 - Decisão. ................................................................................... 209 
11.2.2 - Compra a vista ......................................................................... 210 
11.2.3 - Compra a prazo ....................................................................... 211 
11.2.4 - Aluguel com devolução do bem ............................................... 211 
11.2.5 - Aluguel sem devolução do bem ............................................... 212 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
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11.3 - Leasing-back. ................................................................................ 213 
11.4 – Exercício Resolvido. .................................................................... 213 
12 – Alienação de Ativos. .......................................................................... 219 
12.1 – Introdução. ................................................................................... 219 
12.2 - Baixa Sem Reposição................................................................... 221 
12.2.1 – Processo de decisão. .............................................................. 221 
12.2.2 – Exemplo. ................................................................................. 221 
12.3 - Baixa com Reposição. .................................................................. 222 
12.3.1 - Reforma ou Substituição por não Similar. ................................ 223 
12.3.2 - Continuidade da Produção com Equipamento Similar. ............ 224 
12.4 - Mudança de Tecnologia. .............................................................. 225 
12.5 - Ativos Com Longa Vida Útil ......................................................... 225 
12.6 – Exercícios. .................................................................................... 226 
12.6.1 - Análise de alienação de ativo .................................................. 226 
12.6.2 - Data de Alienação. ................................................................... 227 
13 – Capital de Giro. ................................................................................... 229 
13.1 – A importância do capital de giro. ............................................... 229 
13.2 – A importância da tomada de decisão. ........................................ 230 
13.3 – Nível do capital de giro. ............................................................... 231 
13.3.1 - Nível Atual. .............................................................................. 232 
13.3.2 – Capital de giro bruto. ............................................................... 232 
13.3.3 - Capital de giro líquido............................................................... 233 
13.3.4 – O capital de giro próprio. ......................................................... 233 
13.3.5 – Aplicação. ................................................................................ 234 
13.4.1 – Método das Relações Médias. ................................................ 236 
13.4.2 – Método Analítico. ..................................................................... 237 
13.4.3 – Método do fluxo de caixa. ........................................................238 
13.4.4 – Fluxo de caixa descontado ...................................................... 243 
13.4.5 – Balanço Projetado. .................................................................. 243 
13.5 – Exercícios. .................................................................................... 244 
13.5.1 – Exercício Resolvido. ................................................................ 244 
13.5.2 – Exercícios Propostos. .............................................................. 246 
14 - Custo de Capital. ................................................................................. 249 
14.1 – Conceitos. ..................................................................................... 249 
14.2 – Fontes de Capital. ........................................................................ 249 
14.3 – Definição do Custo do Capital. ................................................... 251 
14.3.2 – Custo Médio Ponderado.......................................................... 251 
14.3.3 – A Partir do Balanço. ................................................................ 252 
14.3.4 – Consistência Financeira do CMP. ........................................... 253 
14.4 - Teoria do Preço das Ações.......................................................... 254 
14.4.1 – Introdução. .............................................................................. 254 
14.4.2 - Dividendos Constantes. ........................................................... 255 
14.4.3 - Modelo De Gordon. .................................................................. 255 
14.4.4 - Modelo de Modigliani – Miller. .................................................. 256 
14.4.5 – Preço das Ações Preferenciais. .............................................. 257 
14.4.6. - Custo dos Lucros Retidos. ...................................................... 257 
14.5 - Debêntures. ................................................................................... 258 
14.6 – Exercícios. .................................................................................... 258 
14.7 - Artigo: Dividendos e Fluxo de Caixa. ....................................... 262 
Índices de Inflação ..................................................................................... 265 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ........................................................... 271 
ANEXOS - Casos e Trabalhos ............................................................... 272 
Anexo I - Trabalhos. ................................................................................... 273 
I.1 – Trabalho: Análise de Fluxo de Caixa. .......................................... 274 
I.2 - Trabalho: Métodos de amortização. .............................................. 277 
I.3 – Trabalho: Viabilidade de troca de lâmpadas ............................... 279 
Anexo II - Casos em Engenharia Econômica. ........................................ 282 
II.1 – Caso: Ampliação da Sede. .......................................................... 283 
II.2 – Caso: Fabrica de protendidos. ..................................................... 284 
II.3 – Caso: Implantação de Termelétrica. ............................................ 285 
II.4 – Caso: Viabilidade de construção de ponte. ................................. 286 
II.5 – Caso: Refinaria de petróleo .......................................................... 286 
II.6 – Caso: Aquisição de prensas. ........................................................ 287 
II.7 – Caso: Financiamento de residência. ........................................... 287 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
7 
 
II.8 – Caso: Venda de Apartamento. ..................................................... 288 
II.9 – Caso: Plano de Construção ......................................................... 288 
Anexo III ...................................................................................................... 290 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
8 
 
 
 
PRÓLOGO 
 
O objetivo desta publicação é dispor ao aluno de uma 
expressão documental coerente com o conteúdo apresentado 
em sala de aula. E, assim, permitir o acompanhamento e a 
participação nas discussões realizadas. 
 
 O conteúdo abordado abrange a Matemática Financeira e 
a Engenharia Econômica. 
 
 A Engenharia Econômica corresponde ao campo do 
conhecimento que abrange métodos ou modelos que, baseados 
em fatores técnicos, financeiros e sociais, permitem o 
julgamento de conjunto de alternativas propostas para a 
aplicação ou utilização de recursos, sejam naturais, tecnológicos 
ou, financeiros, favorecendo a sua otimização. 
 
 A Engenharia Econômica inicia pelo conhecimento da 
Matemática Financeira, campo da matemática destinada à 
análise de juros, equivalência de capitais de capitais 
considerando, especialmente, sob a ótica do binômio juro versus 
tempo. 
 
 A importância desta área do conhecimento para o 
engenheiro é que, inexoravelmente, no exercício da sua 
profissão e como gestor, se deparará com decisões de inversão 
de capital em: alternativas de investimentos em ativos e 
equipamentos; aplicação de capital financeiro; manutenção, 
baixa e substituição de ativos; previsão de exigibilidades de 
caixa; etc.. 
 
 Além disso, a análise de viabilidade financeira de projetos 
é uma das atividades profissionais dos engenheiros definidas 
pela Lei 5.194 ao elencar o campo das atribuições do 
profissional. 
 
No Brasil, comumente, cinco erros são cometidos em 
processos de decisão: 
 
 Desconsiderar a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo; 
 Não distinguir entre juros descontados de juros 
postecipados; 
 Utilizar a matemática dos juros simples em lugar de juros 
compostos; 
 Confundir juros nominais com juros reais; 
 Respeitar a aritmética dos juros compostos, mas, supondo 
que as taxas de juros se mantenham inalteradas no tempo. 
Erros que podem levar a decisões equivocadas sobre 
decisões de investimentos. E, incorrer em algum erro de decisão 
pode ser fatal para a rentabilidade de um projeto ou da liquidez 
da empresa. 
 
Assim sendo, o conhecimento de Engenharia Econômica 
é uma ferramenta de decisão imprescindível ao profissional ao 
efetuar decisões que considerem aplicação de capital. 
 
 Finalizando, recomenda-se ao interessado consultar a 
bibliografia apresentada, pois o conteúdo exposto não esgota o 
assunto. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
 MSc. Eng.ª de Produção 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
9 
 
 
 
1. Premissas e Conceitos. 
 
 
1.1 – Introdução. 
 
 O objetivo deste capítulo é apresentar ao interessado 
uma série de premissas, conceitos e definições que amparam o 
processo de decisão financeira e os métodos de decisão 
utilizados na Matemática Financeira e na Engenharia 
Econômica. 
 
 Matemática Financeira é definida como sendo a área da 
matemática que descreve as relações entre o binômio tempo e 
dinheiro necessárias a amparar o calculo de decisões 
financeiras. 
 
 Assim sendo, a matemática financeira estuda, 
basicamente, a formação dos juros, os montantes de capital 
gerados, o valor de prestações em séries e a amortização de 
dívidas. 
 
A Engenharia Econômica contempla um conjunto de 
conhecimentos e metodologias que, amparadas na matemática 
financeira, permite realizar o processo de tomada de decisão 
quanto à eleição ou a classificação de alternativas de 
investimentos financeiros. 
 
Esses investimentos podem ser referentes a: aplicação de 
capital em ações; renda fixa ou variável; aquisição de bens e 
equipamentos; implantação de sistemas de produção ou de 
serviços; a baixa e a substituição de equipamentos; etc.. Investimentos Produtivos
 Aplicação de Capital
 Comissionamento de Ativos
Objetivo da
Engenharia Econômica
Análise de 
Viabilidade Financeira
 Melhor Alternativa
 de Aplicação de Capital
Figura 1.1 – Objetivo da Engenharia Econômica
 
 
 
1.2– Remuneração dos Fatores de Produção. 
 
 No sistema econômico em que vivemos a, demanda por 
fatores de capital necessários à produção de bens e serviços 
são: mão de obra; capital; terra; empresas; e a capacidade 
técnica, requer remuneração. 
 
Conforme o caso, esta remuneração recebe denominação 
distinta. Assim sendo, o capital é remunerado pelos juros; a terra 
pelo aluguel; a técnica ou patentes pelos royalties; a empresa 
pelo lucro ou taxa de mínima atratividade, TMA; a mão de obra 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
10 
 
pelo salário, conforme esquema da Figura 1.2 – Remuneração 
dos Fatores de Produção. 
 
Mão de 
Obra
H
Salário
Capital
H
Juros
Terra
H
Aluguel
Empresa
H
Lucro
-TMA-
Técnica
H
Royalties
Figura 1.2 - Remuneração dos Fatores de Produção
Fatores de Capital
 
 
Os juros, tanto podem ser relacionados a um empréstimo 
tomado por pessoa física ou jurídica, como ao financiamento 
tomado na aquisição de bens ou a remuneração do capital de 
sócios. 
 
O objetivo desta obra será discutir a remuneração do 
capital, ou seja, os juros. E, o aumento de riqueza propiciado 
pela aplicação de capital em projetos de investimentos 
produtivos ou financeiros. 
 
 Para tanto, será discutido um conjunto de metodologias 
que permitam a realização de um coerente processo de decisão 
quanto à escolha de investimentos produtivos ou da aplicação 
de capital que atenda, corretamente, aos preceitos da 
Matemática Financeira e da Engenharia Econômica. 
 
 
1.3 – Premissas. 
 
 A matemática financeira e a engenharia econômica, como 
instrumentos de apoio à tomada de decisão, se apoiam nas 
seguintes premissas: 
 
1ª Premissa – MAXIMIZAÇÃO DA RIQUEZA. 
 
O objetivo de utilizar a engenharia econômica e a 
matemática financeira é amparar um processo de decisão capaz 
de eleger a alternativa de investimentos que maximize o lucro e 
a riqueza dos proprietários, sempre. 
 
2ª Premissa – MOMENTO DA DECISÃO. 
 
As decisões financeiras devem enfocar o quanto uma 
ação efetuada no presente resultará em termos de aumento de 
riqueza no futuro. 
 
 Assim, ao ser analisado um empreendimento já em curso, 
a decisão em data presente em continuá-lo, em alterar a sua 
aplicação ou objetivo, ou simplesmente descontinua-lo deverá 
basear-se em perspectivas futuras e não em resultados 
passados. 
 
Só se decide sobre ações relativas ao futuro. O passado 
já ocorreu e sobre ele nada há que decidir. Em relação ao futuro 
só temos expectativas. De modo que as decisões são sempre 
formadas sobre expectativas. 
 
A 2ª Premissa estabelece que o momento da decisão seja 
sempre a data em que a mesma foi tomada: HOJE. 
 
Como se decide sobre expectativas futuras, há que se 
considerar a variação do valor aquisitivo da moeda no tempo 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
11 
 
para que haja consistência quando se compara valores 
monetários. 
 
Isto porque, é de entendimento comum e mesmo de modo 
intuitivo que, disponível uma quantidade de moedas na data de 
hoje, em data futura a quantidade de bens a adquirir com a 
mesma quantidade de moeda é diferente daquela anterior. 
 
Somente se somam ou se subtraem
 valores monetários
 correlacionados à mesma data.
Atenção! Coerência !
 
 
Sob essa consideração, toda operação efetuada com 
valores monetários, seja de adição de valores, ou seja, as 
entradas de caixa. Ou, a diminuição de valores, a exemplo de 
custos incorridos, investimentos realizados ou impostos devidos, 
deve ser correlacionada à data da tomada de decisão. 
 
Dado o exposto, somente se somam ou se subtraem 
valores monetários financeiros quando correlacionados à mesma 
data, dada a variação do valor da morda no tempo. 
 
 
3ª Premissa - VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. 
 
Financeiramente falando, uma soma de dinheiro na data 
de HOJE, e sob determinadas condições, pode ser 
monetariamente equivalente à outra soma diferente de dinheiro 
considerando a variação do tempo. Ver Figura 1.3. 
 
Sob tal premissa, os critérios de decisão de investimentos 
devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e, como 
corolário dessa premissa, a perda do poder aquisitivo do 
dinheiro com o passar do tempo. 
 
tempo
1.500 ≡
R$
5 x 385,00 R$
1 2 3 4 5 
Figura 1.3 – Equivalência de Valores Monetários
 
 
Para que um ativo mantenha o seu valor aquisitivo e, 
consequentemente, não perca valor no tempo, há que ser 
aplicado com um retorno equivalente à taxa de oportunidade 
definida pela empresa ou adotada pelo investidor. 
 
Como exemplo, seja um investidor dispondo de uma 
soma de capital equivalente a R$ 200.000,00 e havendo a 
oportunidade de aplicá-la a taxa de juros i=14,50 % ao ano, ao 
final de um ano a importância inicial montará em R$ 229.000,00. 
 
O valor de R$ 229.000,00, nas condições relatadas é 
financeiramente equivalente ao valor inicialmente aplicado. 
 
Outro exemplo seja o caso do financiamento de um 
televisor, cujo preço de aquisição é de R$ 1.500,00 a ser quitado 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
12 
 
em cinco prestações iguais, mensais e consecutivas no valor de 
R$ 385,00. Ver Figura 1.2 – Equivalência de valores Monetários. 
 
Sob o conceito de equivalência financeira do valor da 
moeda no tempo, o montante das cinco prestações, a um custo 
de oportunidade de 8,94% ao período, é equivalente ao valor do 
financiamento. Ou seja: R$ 1.500,00 ≡ 5 × 385,00 R$. 
 
 
4ª Premissa – CUSTO DE OPORTUNIDADE. 
 
O custo de oportunidade corresponde à melhor 
remuneração a ser obtida por um fator de produção que seria 
obtida por ele, caso fosse aplicado em outra alternativa de 
investimento, mantida a mesma classe de risco. (Sotto Costa & 
Attie, 1984). 
 
Como corolário da definição acima, o custo de 
oportunidade corresponde à maior taxa de desconto a ser 
adotada quando se compara a rentabilidade de um dado projeto 
com a rentabilidade da melhor alternativa já disponível, 
considerando projetos situados na mesma classe de risco. 
 
A literatura existente trata o custo de oportunidade sob 
distintas denominações, tais como: taxa de rentabilidade, taxa 
de oportunidade; taxa de retorno; taxa de atratividade; taxa de 
desconto ou taxa de mínima atratividade - TMA. Como 
nomenclatura nesta obra será a adotada denominação de TMA 
para a taxa de oportunidade. 
 
Dentro dessa premissa, um investidor que dispõe da 
oportunidade de aplicar seus recursos a X%, e os vinha fazendo 
a taxa y% < X%, sua taxa de oportunidade passará a ser X%, 
pois esta será a melhor aplicação disponível para seus ativos. 
 
Qualquer aplicação efetuada a uma taxa inferior que a de 
oportunidade reduz a realização ou a perspectiva de manter 
seus ganhos num determinado patamar de lucratividade, o que 
contraria a 1ª Premissa. 
 
 
Figura 1.4 – Evolução da Taxa de Oportunidade
Tradicionalmente: 
Remuneração a k%
Oportunidade: Remuneração 
a X% sendo X% > k%
TMA E X%
 
 
Como exemplo da evolução da taxa de oportunidade, seja 
uma empresa que, tradicionalmente, remunera seus ativos à 
taxa de 15% ao ano. Esta é a sua taxa de oportunidade e ela 
não aceita em aplicar recursos á uma taxa inferior a ela. Porém, 
se conseguir remunerar a uma taxa mais elevada, tal como 18% 
ao ano, esta passará a ser a sua nova taxa de oportunidade. 
 
O conceito de considerar ou definir a remuneraçãodo 
capital a ser investido como um custo de oportunidade parte do 
entendimento de que ao ser aplicado um capital numa 
alternativa qualquer, a empresa estaria perdendo a oportunidade 
de aplicá-lo em alternativas mais rentáveis a ocorrerem no 
futuro. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
13 
 
 
5ª Premissa – DECISÃO & RESULTADO. 
 
É importante observar a diferença entre boas decisões e 
bons resultados, pois, nem sempre, são diretamente 
proporcionais. 
 
Uma boa decisão é a melhor possível, considerando o 
conhecimento disponível sobre qualquer ação em julgamento, no 
momento de sua realização. Havendo alteração do cenário 
previsto ou ocorrendo azar, uma boa decisão pode redundar 
num mau resultado. É um fato a ser considerado. 
 
A recíproca, porém, dificilmente se mostrará verdadeira, 
ou seja, uma má decisão propiciando em bom resultado. Esta 
assertiva contraria a lei de Murphy que diz: “existindo a 
probabilidade de algum fenômeno dar errado, com certeza ele 
dará errado...“. 
 
A ocorrência de uma boa decisão esta vinculada a 
disponibilidade de dados e informações confiáveis e que as 
alternativas reflitam as condições de mercado da época em que 
foram desenvolvidas. São dados perfeitamente controláveis e 
dependentes da acuidade do decisor. Cabe ao analista, elaborar 
um processo com a melhor qualidade possível, visando à 
fidedignidade dos resultados. 
 
Recomenda-se a realização de auditorias pós - decisão 
visando analisar o processo decisório passado e aperfeiçoar a 
qualidade das decisões futuras. É um processo que educa os 
responsáveis por decisões possibilitando avaliar o desempenho 
da organização. 
 
 
1.4 - Nomenclaturas das taxas de juros. 
 
O mercado de capitais e o comércio utilizam uma 
nomenclatura variada para definir as taxas de juros praticadas, 
muitas vezes utilizando denominação diferente para a mesma 
taxa. 
 
 Visando o entendimento das nomenclaturas utilizadas, 
são apresentadas as seguintes definições: 
 
a) Taxa Básica - é a taxa que estabelece a remuneração do 
capital estabelecida por seu proprietário e medida em termos 
de moeda de poder aquisitivo constante. Moeda de poder 
aquisitivo constante é aquela cujo poder de compra se 
mantém inalterada no tempo. Logo, nesta taxa, não está 
embutido o efeito da inflação. 
 
b) Taxa Real – corresponde à taxa básica acrescida de outros 
custos, tributos e do risco vinculado ao tomador do recurso. 
 
c) Taxa Nominal – corresponde à remuneração do capital 
expressa em termos de valores de moeda corrente. Esta 
taxa engloba a taxa real e a inflação prevista. Também pode 
ser denominada de taxa efetiva. Neste caso corresponde à 
taxa empregada para a atualização e pagamento de valores 
monetários. 
 
d) Taxa Efetiva – É a que corresponde, exatamente, ao custo 
do dinheiro empregado ou tomado emprestado. Pode ser 
definida, também como aquela que incide sobre o capital 
efetivamente exposto ao risco. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
14 
 
Matematicamente, a Taxa Efetiva corresponde à razão entre 
o custo do capital tomado e o valor efetivamente recebido. E, 
deve ser entendida como a efetiva taxa de juros a ser paga pelo 
tomador do recurso. 
 
iEfetiva=
Custo do Capital
Valor Recebido
 
Ou 
 iEfetiva=
∑(Juros + Encargos)
Valor Financiado
 
 
 
e) Taxa Declarada – é aquela declarada ou registrada 
nominalmente nos contratos. Normalmente ela é a base para 
o cálculo do juro a ser pago em uma operação. 
 
A taxa declarada pode ser vista de dois modos. Como 
sendo a taxa nominal quando expressamente estabelecida em 
contrato. Ou, sendo a taxa real quando o contrato estabelecer, 
numa clausula a taxa de juros e, noutra cláusula, o índice de 
correção da inflação. 
 
f) Taxa Bruta e Taxa Líquida – são aquelas referenciadas à 
remuneração bruta ou líquida da inversão financeira. 
 
A taxa bruta expressa a taxa pactuada com a consideração 
dos encargos incidentes sobre a operação de empréstimo 
sejam eles impostos, comissões, incentivos fiscais, etc.. 
 
A taxa líquida corresponde à taxa bruta após a dedução dos 
impostos, comissões, incentivos fiscais, etc. incidentes sobre a 
operação de empréstimo. 
 
Das definições acima, pode-se deduzir que a taxa bruta em 
alguns contratos represente a taxa efetiva de juros. 
 
g) Juros Descontados - os juros são ditos descontados quanto 
pagos no ato da operação financeira que lhes deu origem. 
Considerando que os juros efetivamente pagos são 
calculados sobre o capital efetivamente recebido, a taxa 
efetiva é superior à taxa expressa ou pactuada. Neste caso 
a situação é mais favorável ao fornecedor do recurso. 
 
h) Juros Postecipados – os juros são ditos postecipados 
quando pagos na data de vencimento da operação 
financeira que lhe deu origem. Neste caso, os juros 
efetivamente pagos e pactuados são equivalentes, situação 
em que os juros são mais favoráveis ao tomador do recurso. 
 
Pelo exposto neste item, pode se constatar certo conflito de 
entendimento entre algumas das definições. 
 
 Cabe ao tomador do recurso verificar o conceito ou a 
composição das taxa a ser estipulada em cada contrato, pois 
pode haver entendimento diferente entre instituições financeiras 
distintas quanto a definições de taxas de juros expressas em 
contrato. 
 
No transcorrer deste livro e para efeitos didáticos, serão 
utilizadas como nomenclatura, apenas, a taxa nominal e a taxa 
real. Esta ultima, na maioria dos exercícios considerados neste 
livro, com a conotação de taxa básica. 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
15 
 
 
1.5 – Composição da Taxa Real. 
 
A taxa real de juros praticada no mercado financeiro não é 
uma simples taxa que expressa a remuneração desejada pelo 
capitalista. Ela resulta da composição de custos, tributos e do 
risco incidente sobre uma operação financeira. 
 
Resumidamente, corresponde à soma da remuneração 
básica do capital estipulada pelo capitalista acrescida de uma 
taxa suplementar denominada, no mercado financeiro, de 
spread. 
 
iR = iB + iSPREAD 
 
 A taxa do spread tem por objeto cobrir os seguintes 
custos: comissões de corretagem, iF, (também denominada flat); 
custos vinculados ao processo da intermediação financeira, iC; 
tributos sobre operações financeiras, α; e, uma taxa de 
remuneração de risco, iρ. 
 
 Dado o acima exposto, o modelo passa a ter a seguinte 
expressão, sendo cada uma das variáveis relacionadas 
expressa em percentagem: 
 
iR = iB + ( iF + iC + αIOF + iρ) 
 
 No Brasil, o tributo incidente sobre operações financeiras 
é o IOF, cujas alíquotas são definidas por lei e disponíveis do 
site da Receita Federal. 
 
 O valor da taxa de risco, iρ, é definido segundo a 
classificação do nível de risco atribuída ao tomador do recurso. 
 
Para tanto são consideradas as seguintes variáveis: o 
histórico comercial de crédito do tomador dos recursos, as 
garantias reais que oferece e da vulnerabilidade do mercado 
onde atua. 
 
 A taxa básica de juros, iB, varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC e 
periodicamente estabelecida pelo Banco Central. Nos Estados 
Unidos é denominada de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. 
 
 
1.6 – Definições. 
 
 Neste item são definidos alguns conceitos a serem 
utilizados nesta obra. 
 
 Entender esses conceitos é importante para a gestão de 
qualquer empresa, pois são comuns a áreas do conhecimento 
como a contabilidade e ao controle de custos. Assim sendo, as 
Figuras 1.7 e 1.8 mostram, respectivamente, um modelo do 
ativo e do passivo do balanço patrimonial e a 1.9 o 
demonstrativo de resultadosdo exercício, DRE. 
 
a) Gastos e dispêndios correspondem à assunção de qualquer 
compromisso financeiro a ser quitado à vista ou futuramente 
e que propicie saída de dinheiro do caixa. 
 
b) Custo corresponde a todo dispêndio efetuado com a 
produção de um bem ou serviço. São classificados como 
diretos e indiretos. Os diretos são os custos realizados no 
esforço de produção de um bem ou serviço. Os indiretos são 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
16 
 
alocados ao esforço de produção, comumente, por meio de 
algum processo de rateio. 
 
Contabilmente, os custos são apropriados no DRE, o que 
permite a apuração do resultado do exercício. 
 
c) Despesa corresponde a todo dispêndio que não se identifica 
com o processo de produção de um bem ou serviço. Elas são 
relacionadas aos gastos incorridos com a estrutura comercial 
e administrativa da organização. 
 
Contabilmente, as despesas são apropriadas no DRE, ver 
Figura 5.9, visando à apuração do resultado do exercício. 
 
d) Investimento corresponde a qualquer dispêndio realizado 
com a aquisição de bens móveis, imóveis ou intangíveis que 
integram os ativos da organização, bem como os insumos 
estocados visando consumo futuro. 
 
Contabilmente, os investimentos são apropriados em contas 
do Ativo, ver Figura 1.6, visando registrar o patrimônio, bens e 
direitos, disponíveis pela organização no final de cada exercício. 
 
Assim sendo, os valores de capital de giro e estoques são 
apropriados no Ativo Circulante. 
 
Investimentos em bens móveis ou imóveis e a participação 
societária em outras empresas são apropriados no Ativo Não 
Circulante. 
 
São apropriados no Ativo Não Circulante, também, direitos 
realizáveis em longo prazo e o intangível. 
 
e) Valor Econômico – corresponde ao valor ou soma de valores 
que não consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo. 
 
f) Valor Financeiro – corresponde ao valor ou soma de valores 
que consideram a perda do valor aquisitivo da moeda no 
tempo. 
 
É interessante notar que no balanço são apropriados valores 
econômicos. 
 
 
1.7 – Necessidades de Alternativas. 
 
Cabe ao analista de investimentos desenvolver 
alternativas de projeto visando a aplicação de capital e verificar 
se, ou qual delas, aumenta a riqueza dos proprietários. Não 
havendo alternativa disponível, não há o que decidir. 
 
Para tanto, há desenvolver alternativas viáveis à 
implantação de qualquer empreendimento ou das possíveis 
possibilidades que se apresentam para a sua realização. 
 
Neste contexto, deverá conhecer o processo produtivo, 
os fornecedores de serviços e equipamentos, preços de 
mercado dos concorrentes, a logística, as fontes de capital e 
seus custos, a opção tributária adequada, etc.. 
 
 Dada a experiência do autor, é muito pouco provável que 
o profissional seja chamado para, simplesmente, aplicar a 
técnica apresentada neste livro a um projeto já desenvolvido. 
 
Porém, será chamado a participar de um processo de 
decisão onde terá oportunidade de desenvolver diversas 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
17 
 
alternativas de investimentos, compatibilizar dados, sair em 
busca de informações para amparar o processo estabelecido. 
 
Estará, sem dúvida alguma, envolvido num processo de 
imaginação e criatividade! 
 
 Depois de desenvolvidas o conjunto de possíveis 
alternativas, caberá ao analista de investimentos verificar não 
apenas se um projeto é viável, mas responder e subsidiar a 
tomada de decisão quanto ao modo, opção ou alternativa seja a 
mais interessante para investir e, consequentemente, propicie o 
maior incremento de riqueza ao aplicador. 
 
 
 
 
 
Além disso, considerando ser o resultado de qualquer 
projeto função do comportamento futuro da economia como um 
todo, das peculiaridades do mercado específico onde estiver 
inserido e do desempenho de quem o irá implementar e gerir 
cabe o alerta! Uma boa decisão favorece a obtenção um bom 
resultado. Porém é pouco provável que uma má decisão 
favoreça a um bom resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - Ativo R$ 
1.1 - Circulante 712.823.08 
1.1.1. Caixa e Bancos 
1.1.2. Recebíveis de Clientes 
1.1.3. Aplicações Financeiras 
1.1.4. Prov. Devedores Duvidosos (-) 
1.1.5. Impostos a Compensar 
1.1.6. Estoques Produtos Acabados 
1.1.7. Estoques de Produtos em Elaboração 
1.1.8. Estoques de Matérias Primas 
1.1.9. Adiantamentos a Fornecedores 
1.1.10. Contratos de obras 
44.653.73 
121.033.96 
23.872,07 
4.430,51 
1.037,12 
220.000,00 
57.197,70 
70.934,41 
9.663,58 
160.000,00 
1.2 – Não Circulante. 1.275.176,92 
1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27 
 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas 
 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes 
 1.2.1.3 - Contratos futuros 
13.085,87 
103.322,40 
100.000,00 
1.2.2 - Investimentos 430.347,00 
 1.2.2.1 – Empresa A 
 1.2.2.2 – Empresa B 
130.347,00 
300.000,00 
1.2.3 – Imobilizado 578.282,57 
 1.2.3.1 - Imóveis 
 1.2.3.2 - Equipamentos 
 1.2.3.3 - Veículos 
 (-) Depreciações 
370.000,00 
100.282,57 
129.600,00 
21.600,00 
1.2.4 - Intangível 50.139,08 
 1.2.4.1 - Softwares 
 1.2.4.2 - Patentes 
20.139,08 
30.000,00 
1.3 - Total do Ativo. 1.988.000,00 
Figura 1.7 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas do Ativo. 
 
Qual o modo 
mais interessante para investir? 
 
Uma boa decisão favorece a obtenção de um 
bom resultado. Porém é pouco provável que uma 
má decisão favoreça a obtenção de um bom 
resultado. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
18 
 
 
 
 
 
 
2 - Passivo R$ 
2.1 - Circulante 294.039,54 
2.1. 1. Bancos 
2.1. 2. Fornecedores 
2.1. 3. Obrigações Fiscais a Recolher 
2.1. 4. Encargos Sociais 
2.1. 5. Encargos Trabalhistas 
2.1. 6. Outras Obrigações 
2.1. 7. Provisões 
61.325,00 
165.895,52 
10.181,46 
11.283,18 
10.500,00 
30.070,75 
4.783,63 
2.2 – Exigível de Longo Prazo. 184.602,63 
2.2.1. Financiamentos a Pagar 
2.2.2. Débitos em Coligadas 
2.2.3. Contratos p/ Entrega Futura 
71.104,34 
13.469,61 
100.028,68 
2.3 – Patrimônio Líquido. 1.509.358,23 
2.3.1. Capital Social 
2.3.2. Reservas de Capital 
2.3.3. Reservas de Lucro 
1.156.110.00 
95.545,85 
62.408,78 
2.3.4. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 
2.4 - Total do Passivo. 1.988.000,00 
Figura 1.8 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas do Passivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- DRE - R$ 
3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 
3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos) 
3.2.1 - Tributos 
3.2.2 - Descontos 
(-) 147.764,69 
140.376,26 
7.388,43 
3.3 Receita Operacional Líquida = 808.947,56 
3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65 
 3.4.1 – Produto A 
3.4.2 - Produto B 
3.4.3 – Serviços Técnicos 
92.630,65 
178.230,00 
199.510,00 
3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 
3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59 
 3.6.1 - Despesas com Vendas 
 3.6.2 – Desp. Gerais e Administrativas. 
1.237,04 
39.030,55 
3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA1 298.309,32 
3.8 
3.9 
3.10 
Depreciação 
Amortizações 
Resultado Financeiro 
 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 
 3.10.2 – Juros Pagos (-) 
(-) 5.500,00 
(-) 4.166,51 
(-) 2.728,54 
4.194,35 
6.422,89 
3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 
3.12 Resultado Não Operacional 
 3.12.1 - Receitas Não Operacional 
 3.12.2 - Despesas Não Operacionais 
+ 5.004,01 
7.004,01 
(-) 2.000,00 
3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 
3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 
15%+10%(-) 40.883,93 
3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 
3.16 Lucro Líquido do Exercício = 195.293,60 
Figura 1.9 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício. 
 
 
(1) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. 
Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou 
seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
19 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
20 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
21 
 
 
2. Matemática Financeira 
 
 
2.0 - Introdução 
 
Por definição, a Matemática Financeira corresponde à 
área da matemática que descreve as relações entre o binômio 
tempo e dinheiro. 
 
Neste capítulo serão discutidas essas relações o que 
permite realizar operações de equivalência de capitais visando 
amparar decisões de ordem financeira. 
 
 
 
2.1 – Conceituações de Juros 
 
Juro, também denominado de interesse, é definido como a 
remuneração efetuada tanto a um dinheiro tomado emprestado 
como ao capital empregado em atividade produtiva ou aplicação 
financeira. 
 
Ao ser pactuada uma operação financeira, alguns 
parâmetros devem ser estabelecidos: 
 
E A taxa de juros referente ao período da operação; 
E O prazo de carência; 
E O período de capitalização ou contabilização dos juros; 
E O índice de correção monetária do saldo devedor; 
E O sistema de remuneração do capital. 
 
A remuneração de um capital pode ser efetuada sob dois 
sistemas que diferem conforme a incidência dos juros sobre o 
capital: o dos juros simples e o dos juros compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que a taxa de juros efetivamente paga 
é aquela que incide sobre o capital efetivamente recebido ou 
disponível para o próprio manuseio. 
 
Em operações financeiras é comum serem cobradas do 
tomador: taxas de abertura de crédito; juros pagos 
antecipadamente ao haver uma operação de desconte de título 
de crédito; o pagamento de uma entrada no caso de 
financiamento de bens de consumo. 
 
 Em todos esses casos, sob quaisquer dos dois sistemas de 
juros acima mencionados, o princípio a ser estabelecido é que a 
remuneração do capital tomado emprestado, isto é, os juros, 
sejam sempre calculados sobre a importância efetivamente 
recebida. 
 
Observando esse princípio, é possível verificar quando a 
taxa de juros pactuada e a efetivamente praticada são idênticas 
ou distintas. 
 
 
Juros Compostos 
Juros Simples 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
22 
 
 
2.2 – Juros Simples 
 
2.2.1 – Definição de Juros Simples. 
 
Por definição, no sistema de remuneração de capital sob 
a matemática de juros simples somente o principal rende juros 
durante todo o tempo em que foi pactuado o financiamento. 
Esquematicamente representado na Figura 2.1. 
 
S=P+J
P
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.1 – Diagrama tempo - dinheiro
 
 
Partindo da definição de juros simples, o montante de 
juros a ser pago na data de quitação da operação financeira é 
igual ao produto do principal tomado, pela taxa de juros 
pactuada e pelo número de períodos contratados. 
 
 Considerando que os juros gerados após um único 
período de aplicação de um capital equivalem à taxa de juros 
pactuada multiplicada pelo capital. Matematicamente: J = P  i. 
 
 No caso do capital ser aplicado por “n” períodos, o 
montante dos juros a serem pagos é diretamente proporcional a 
esse numero de períodos. Então: 
 
J = P i n 
 
2.2.2 – Operações com Juros Simples. 
 
2.2.2.1 – Montante dos Juros Pagos. 
 
 Definindo como: P, o principal tomado ou o capital 
inicialmente aplicado; i (%), a taxa de juros expressa em 
porcentagem; n, o número de períodos básicos correspondentes 
ao tempo total da aplicação; e, S, o Montante final de aplicação, 
representando a soma (P+J), em que J é o montante dos juros a 
serem pagos. 
 
 O montante “S” a ser restituído ao aplicador no final do 
período pactuado é constituído pela soma dos juros rendidos no 
período, acrescidos do capital aplicado. Matematicamente: 
 
Sn = P + J  Sn = P + P i n  Sn = P ( 1 + i × n ) 
 
Demonstrando: 
 
S1 = P + P× i = P (1+ i) 
S2 = P + P× i + P × i = P (1+ i × 2) 
S3 = P + P× i + P × i + P × i = P (1+ i × 3) 
………………………………………………………… 
Sn = P + P ×i + P × i + P × i +····+ P × i = P (1+ i × n) 
 
 Generalizando para n períodos, obtém-se a expressão 
canônica do montante de um capital P corrigido a juros simples 
durante n períodos: 
 
Sn = P (1 + in) 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
23 
 
 
 
2.2.2.2 – Equivalência entre Taxas de Juros. 
 
 Um dos questionamentos decorrentes da utilização de 
juros é definir a proporcionalidade entre a taxa de juros 
correspondente a um período maior e àquela correspondente a 
frações inteiras desse mesmo período. 
 
 No caso dos juros simples, ocorre relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
 Assim, adotando como nT um dado período e nf uma 
fração deste período. E, respectivamente, iT e if , as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados, a proporcionalidade 
entre estas duas taxas é expressa por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 
 
 Como exemplo seja uma operação de empréstimo cuja 
taxa mensal de juros foi pactuada em 1,5% a.m. A taxa anual de 
juros, iT, é dada por: 
 
nT
nf
=
iT
if
 ∴
 12
1
=
iT
1,5 
 ∴ iT = 18 % a. a. 
 
Atenção quanto à utilização do modelo acima. Ele 
somente poderá ser utilizado quando adotada a matemática dos 
juros simples. É conceitualmente errado utilizar este modelo 
quando se opera sob a égide dos juros compostos. 
 
2.2.3 - Operações de desconto. 
 
2.2.3.1 – Tipos de desconto. 
 
 Uma operação financeira corriqueira no mercado é a 
denominada de desconto ou deságio efetuada em transações 
com títulos de crédito. 
 
Os descontos ocorrem quando títulos são negociados em 
data anterior à do efetivo vencimento e correspondem aos juros 
pagos pelo serviço havido entre a data do desconto e a do 
efetivo pagamento. Matematicamente, sendo F o valor de face 
de um titulo e o do desconto D, o valor a ser recebido, P, é dado 
por: 
 
P = F - Desconto 
 
Essas operações de desconto servem como fonte de 
financiamento de curto prazo e são lastreadas em cheques “pré-
datados” descontados por empresas de factoring; duplicatas e 
letras de câmbio negociadas antes da data do efetivo 
pagamento; e empréstimos ou vendas garantidos por notas 
promissórias. 
 
O valor de face corresponde ao montante expresso no 
anverso do título, a ser quitado pelo emissor ou o avalista na 
data aprazada e também expressa no título. 
 
Neste caso, a quantia a ser paga ao portador (P), isto é, 
àquele que está negociando o título, deverá ser inferior ao valor 
nominal ou valor de face. Isto porque, na data de vencimento do 
título, este deverá ser quitado pelo valor de face, conforme 
mostrado no desenho da Figura 2.2. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
24 
 
P
F
Valor a ser
 recebido
Data da Operação de 
Desconto
Data do Vencimento
 do Título
1 2 3 4 n 
Desconto
Figura 2.2 - Operações de Desconto
 
O comprador do título, então, o adquire por um valor 
inferior àquele discriminado na face do documento, de forma a 
remunerá-lo durante o período compreendido da data de sua 
negociação até a data do vencimento. 
 
Interessa então, àquele que vende o título, saber qual o 
montante do desconto, ou deságio,a ser efetuado sobre o valor 
de face e qual o montante do capital que ira receber pela venda 
do título. 
 
Dois são os procedimentos realizados pelo mercado para 
calcular o valor do deságio e denominados de: i) Desconto 
Racional ou por Dentro; ii) e Desconto Bancário, Comercial ou 
por Fora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste item será adotada a seguinte nomenclatura: 
 
 F = Valor de Face, importância escrita na face do título e a 
ser honrada pelo emitente na data do respectivo 
vencimento; 
 P = Importância a ser paga ao vendedor do título, quando 
negociado antes da data do vencimento; 
 i = taxa de juros praticados ou pactuados; 
 n = número de períodos que antecedem a data de 
vencimento; 
 DR = valor do desconto racional. 
 Dc = valor do desconto comercial. 
 
 Como será visto no item 2.3.3, o valor de face, F, pode 
ser considerado como sendo o valor futuro do título, quando este 
é negociado antes da data do vencimento ou na data de sua 
emissão. 
 
Isto porque, um título só terá o valor expresso em sua 
face, e força legal para cobrança, quando na data de seu 
vencimento, isto é, em um momento futuro determinado por esta 
data. 
E Desconto Bancário ou Por Fora. 
E Desconto Racional ou Por Dentro. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
25 
 
 
 
 
I - Desconto Racional ou por Dentro. 
 
O desconto racional considera o valor da moeda no tempo 
e é calculado segundo a racionalidade dos juros simples. A taxa 
de juros pactuada pode ser a taxa real ou a taxa nominal em 
havendo a previsão de inflação. 
 
 Assim, o valor nominal do título na data do efetivo 
pagamento expresso na face do mesmo é financeiramente 
equivalente ao valor do mesmo na data em que foi negociado. 
 
Os procedimentos utilizados no desconto racional são 
idênticos àqueles utilizados na matemática dos juros simples. 
 
Porém, deve ser registrado que algumas empresas vêm 
combinando procedimentos estabelecidos pela matemática dos 
juros compostos com os de juros simples. 
 
No caso de ocorrer essa superposição de procedimentos, 
ou seja, quando os juros são referidos a um período maior, a 
taxa básica de juros, efetivamente utilizada em períodos 
menores, é calculada segundo a matemática dos juros 
compostos. 
 
 Obtida a taxa básica, os procedimentos seguem àqueles 
estabelecidos para os juros simples, segundo o expresso a 
seguir. 
 
Definindo o desconto racional, este corresponde ao 
montante dos juros expresso em valor monetário, descontado do 
valor de face de um título dada a negociação do mesmo 
anteriormente à data de vencimento. 
 
 Matematicamente, o desconto racional é definido por: 
 
Dr = F – P 
 
 Da matemática dos juros simples pode-se correlacionar o 
valor de face, F, ao valor a ser recebido, P, considerando ser o 
primeiro o montante disponível no final do período de aplicação 
e o segundo o principal aplicado. Logo: 
 
F= P ∙ (1+iR∙n) ∴ P = 
F
(1+iR∙n)
 
 
 Substituindo “P” na equação acima, obtém-se o montante 
do desconto racional. 
 
DR=F-
F
( 1+iR∙n)
 ∴ DR= 
F∙iR∙n
1+iR∙n
 
 
 
II - Desconto Bancário, Comercial ou Por Fora. 
 
A priori, é importante ressaltar que o desconto “por fora” é 
baseado numa convenção mais simples, não se caracterizando 
por uma cobrança equivalente de juros. Mas, como a simples 
aplicação direta de uma taxa de desconto. Por convenção: 
 
DC = F ∙ iC ∙ n 
 
Neste caso, o valor a ser recebido, P, é calculado 
diminuindo do valor de face o valor do desconto. Logo: 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
26 
 
 
P = F − DC 
 
 Ao se igualar as duas expressões acima, obtém-se o valor 
a ser recebido, P: 
 
P = F − F ∙ iC ∙ n 
 
P = F ∙ (1 − iC ∙ n) 
 
 
 2.2.4 - Relações entre Descontos e Taxas 
 
2.2.4.1 - Relações entre Descontos. 
 
Neste item é analisada a correlação existente entre o 
montante do desconto por dentro e o montante do desconto por 
fora, considerando que as taxas pactuadas nos dois casos 
sejam idênticas, isto é ir = iC. 
 
 Sendo iguais as taxas nominais pactuadas, a taxa real 
praticada no processo de desconto por dentro, ou racional, é 
inferior àquela praticada no desconto por fora, ou bancário. 
 
Tal assertiva pode ser demonstrada igualando as 
expressões dos descontos: 
 
 DR=F-
F
( 1+n∙i)
 
 
E, sendo por convenção, DC = F i n, ao se substituir o 
valor de F na expressão acima se obtém a relação entre os dois 
descontos: 
 
DR =
DC
(1 + n ∙ i)
 
 
 
 
2.2.4.2 - Taxas Equivalentes. 
 
 Um dos questionamentos efetuados no mercado 
financeiro é quanto à correlação entre as taxas praticadas no 
desconto comercial e no racional. 
 
Por definição, diz-se que duas taxas de desconto são 
equivalentes entre si quando, dado um mesmo valor de face, 
depois de realizado o desconto, resultar num mesmo valor a ser 
recebido, P, considerando terem sido praticados sistemas de 
desconto distintos. 
 
P
F = Face
tempo
Figura 2.3 - Equivalência entre Descontos.
Data da Negociação Data do Vencimento
DC≡DR
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
27 
 
 A equivalência entre estas taxas é demonstrada ao se 
igualar os dois valores dos descontos depois de realizadas as 
respectivas operações. 
 
a) Considerando o desconto racional tem-se: 
 
P = F – DR  P = F  (1 + iR ∙ n) 
 
b) Considerando o desconto comercial tem-se: 
 
P = F − D𝐶 ∴ P = F(1 − iC ∙ n) 
 
 Como o valor a ser recebido, P, por definição é igual para 
ambos os casos, podem ser igualadas as expressões acima. 
 
F
(1 + iR ∙ n)
= F ( 1 − iC ∙ n) ∴ ( 1 − iC ∙ n) ∙ (1 + iR ∙ n) = 1 
 
(1 + 𝑖𝑅 ∙ 𝑛) =
1
 ( 1 − 𝑖𝐶 ∙ 𝑛)
 
 
 
2.2.5 – Tempo Exato e Comercial 
 
 Dada uma mesma taxa de juros e um mesmo principal, o 
rendimento ou montante dos juros apurado em tempo comercial 
será ligeiramente superior àquele apurado em tempo real ou 
exato. 
 
 Essa variação é devido à diferença do número de dias 
estabelecida para cada tipo de exercício. Assim, o ano 
comercial, segundo convenção aceita pelo comercio, estabelece 
que o mesmo tenha 360 dias. O tempo exato segue o ano 
calendário com 365 dias. 
 
 Deste modo, o rendimento i devido a uma aplicação P, 
durante um intervalo de tempo t tem-se, respectivamente, para o 
tempo comercial e o tempo exato: 
 
360
i
tPIComercial 
 e 
365
i
tPIExato 
 
 
 Efetuando a relação entre as duas expressões, fica 
demonstrado que a proporcionalidade existente entre o 
rendimento havido durante ano comercial e rendimento havido 
durante ano exato, é função direta do número de dias em que os 
mesmos foram definidos. Então: 
 
0139,1
360
365
I
I
Exato
Comercial

  IComercial = 1,0139 IExato 
 
 
2.2.6 – Exercícios Resolvidos. 
 
Em estudos financeiros recomenda-se:
1º. Desenhar SEMPRE o diagrama dos fluxos de caixa;
2º. Escrever as formulas disponíveis;
3º. Visualizar a solução dos problemas, compatibilizando as 
fórmulas com os fluxos de caixa!
 
Atendendo à recomendação, este procedimento facilita a 
adequada solução dos problemas de engenharia econômica! 
Atenção!
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
28 
 
 
 
2.2.6.1 - Você aplicou a importância de R$ 11.200,00 na 
aquisição de um título, pactuado a juros simples a taxa de 2,2% 
a.m. pelo prazo de 14 meses. Transcorridos oito meses desta 
operação, resolveu vender o título. Qual o montante a ser 
recebido se na data da venda a taxa de juros praticada pelo 
mercado for de 2,9% a.m.? 
 
S = P (1 + i n) 
S = 11.200,00 (1 + 0,022× 14) 
S = R$ 14.649,60 
 
DC = S × i × n 
DC = 14.649,60 × 0,029 × (14-8) 
DC = R$ 2.549,03 
 
VR = S – DC 
VR = 14.649,60 – R$ 2.549,03 
VR = R$12.100,57 
 
 
2.2.6.2 - Um veículo está sendo ofertado em duas condições: a 
vista por R$ 23.200,00. Ou, a prazo, sendo 15% de entrada e o 
saldo dividido em quatro parcelas mensais, consecutivas, 
corrigidas por juros simples à taxa de 42% a.a. 
 
 Nesta condição deseja-se saber: O valor de cada 
prestação; e o montante a ser desembolsado. 
 
 Entrada = R$ 3.480,00 
 Financiamento de cada parcela: R = R$ 4.930,00 
 Taxa mensal de juros: i=42÷12= 3,5% a.m. 
 
1º - Calculo do valor da 1ª prestação: 
VF1 =R1 + (R1 × i × n) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 1) 
VF1 = R$ 4.930,00 + (R$ 172,55)  VF1 = R$ 
 
2º - Calculo do valor da 2ª prestação: 
VF2 = R2 + (R2 × i × n) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 2) 
VF2 = R$ 4.930,00 + (R$ 345,10)  VF2 = R$ 
 
3º - Calculo do valor da 3ª prestação: 
VF3 = R3 + (R3 × i × n) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 3) 
VF3 = R$ 4.930,00 + (R$ 517,65)  VF3 = R$ 
 
4º - Calculo do valor o da 4ª prestação: 
VF4 = R4 + (R4 × i × n) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 4.930,00 × 0,035 × 4) 
VF4 = R$ 4.930,00 + (R$ 690,20)  VF4=R$ 
 
5º - Calculo do valor do montante: 
VFM = VF1 +VF2 +VF3 +VF4  VFM = R$ 
 
 
2.2.6.4 - Uma duplicata cujo valor de face, VF, monta a R$ 
8.500,00 foi emitida há cinco meses passados e tem data de 
vencimento estipulada para daqui a sete meses. Caso seja 
descontada nesta data e se a taxa de desconto comercial for de 
26,4% a.a. solicita-se determinar: 
 
 O desconto comercial, DC. 
 O valor a ser recebido, VR. 
 Por quanto a duplicata foi negociada, se na data desta 
operação o juro comercial vigente era de 33,6% a.a. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
29 
 
 A taxa efetiva de juros no período referente à operação do 
desconto. 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Data
 da 
Ope
raçã
o
VF = 8.500 R$
VR = ?
 
 
1º item - Desconto Comercial. 
DC = VF × i × n 
DC = 8.500,00 × ( 0,264 ÷ 12 ) × 7 
DC = R$ 1.309,00 
 
2º item – Valor Recebido. 
 
VR = VF – DC 
VR = 8.500,00 – 1.309,00 
VR = R$ 7.191,00 
 
3º item - Preço de compra = PC. 
 
VF = PC (1 + i × n) 
8.500,00 = PC (1 + 0,336 × 1) 
PC = R$ 6.362,27 
 
4º item – Taxa real ou efetiva. 
 
 Adotando a matemática dos juros simples e 
considerando que os juros são calculados sobre o valor 
efetivamente recebido: 
 
VF = VR (1 + i × n) 
8.500,00 = 7.191,00 (1 + i × 7) 
1,182 = 1 + 7i 
0,182 = 7i 
i = 0,026 → i = 2,6% a.m e/ou 31,2% a.a. 
 
 
2.2.6.5 - Qual será o valor a ser recebido em operação de 
desconto de uma duplicata cujo valor de face monta a R$ 
1.500.000,00, vencível em 90 dias, pactuada a taxa de 3,5% ao 
mês? Considerar o desconto racional e o comercial. 
 
a) Desconto Racional: 
 
P = 
F
(1 + in)
=
1.500.000,00
1 + 0,035 × 3
=
1.500.000,00
1,1050
= 1.357.466,06 R$ 
 
b) Desconto Comercial: 
 
DC= F∙i∙n = 1.500.000,00 ×0,035 ×3 = 157.500,00 R$ 
 
P= F- DC = 1.500.000,00-157.500,00 =1.342.500,00 R$ 
 
c) Comparando os Descontos Realizados: 
 
 Desconto Comercial = 157.500,00 
 Desconto Racional = 142.533,94 
 Economia = 14.966,06 R$ 
 
Comparando os dois procedimentos verifica-se que o 
desconto racional é mais econômico para o interessado. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
30 
 
2.2.7 – Exercícios Propostos. 
 
2.2.7.1 - A importância de R$ 29.345,00 foi recebida após a 
operação de desconto de uma nota promissória, vincenda em 
120 dias. 
 
 Tendo sido pactuada um taxa de desconto de 42% ao 
ano, solicitam-se, para os dois tipos de desconto, as seguintes 
informações: o valor de face do título; e o montante do desconto. 
(R: R$ 34.122,09/ R$ 33.453,30). 
 
 
2.2.7.2 - Calcular, adotando a matemática dos juros simples, o 
montante a ser recebido após 4 meses quando um empréstimo 
de D$1.000,00 é tomado a 15% ao mês. (R: 1600,00 R$). 
 
 
2.2.7.3 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão a 
juros de 33% ao ano, pactuado a juros simples. Quanto pagará 
na ocasião do resgate se quitar o mesmo em cinco ou em 
dezessete meses? (1.126.923/1.431.538 103 R$). 
 
2.2.7.4 - Qual o capital que a juros simples de 14,5% ao ano 
gerará em sete meses um montante de trezentos mil reais? (R: 
276.603,92 R$) 
 
2.2.7.5 - Um Banco pratica operações de desconto de títulos 
cambiais à taxa de 4,5% ao mês. Solicitam-se as seguintes 
informações visando comparar o resultado do desconto racional 
com o bancário: 
 
 O deságio relativo à operação de desconto de uma 
duplicata cujo valor de face é de R$ 12.500,00, vincenda 
em 90 dias; (R: 1486,78/1687,50 R$). 
 O montante a ser recebido pelo interessado na operação 
de desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.7.6 - A que taxa de remuneração um capital aplicado a juros 
simples triplicará no prazo de três anos? (R: 66,67% a.a.). 
 
2.2.7.7 - Uma empresa descontou uma duplicata, no Banco da 
Esquina, à taxa de 84% ao ano. O desconto praticado foi o 
comercial, que montou a R$ 10.164,00. Se a operação fosse de 
desconto racional, o valor do desconto seria reduzido em R$ 
1.764,00. Qual é o valor de face da duplicata descontada? (R: 
48.400,00 R$). 
 
Nota promissória 
Nº 07/09* R$ 12.500,00 
 Vencimento: 25 de abril de 2.012. 
Ao(s) vinte e cinco dias do mês de abril de dois mil e doze, 
PAGAREI por esta única via de nota promissória a 
Franz von Souza und Silva, CPF nº 111.222.333-44, ou a sua 
ordem, a importância supra de doze mil e quinhentos reais, 
em moeda corrente do País. 
Pagarei em: Florianópolis-SC. 
Emitente: Jose João Jacob .................................. 
CPF nº. 555.666.777-88. assinatura 
Rua Elfo dos Santos nº. 100. 
Florianópolis – SC. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
31 
 
2.2.7.8 - Você deve a um banco a importância de R$ 1.900,00, a 
vencer em 30 dias, garantida por uma nota promissória. Como 
sabe que não poderá quitar a importância na data aprazada, 
propõe que o pagará no prazo de 90 dias após o vencimento 
previsto. Admitindo que a taxa de desconto comercial praticada 
seja de 72% ao ano, qual será o valor de um novo título a ser 
assinado? (R$ 2.317,00). 
 
2.2.7.9 - O Bank of Squire pratica o desconto por fora à taxa de 
3,00% ao mês. Ao aceitar um título cujo valor de face é de R$ 
41.000,00, com prazo de vencimento estabelecido para seis 
meses, quanto o banco pagará pelo título? Qual será a taxa total 
de juros correspondente, sabendo que o banco ainda cobra uma 
taxa de abertura de crédito de 1,0% sobre o valor do título? (R: 
23,46% ao semestre). 
 
2.2.7.10 - A financeira WACS pratica o desconto racional à taxa 
de 4,35% ao mês. Ao efetuar o desconto de uma duplicata cujo 
valor de face monta a R$ 32 mil vincenda em noventa dias, 
cobra uma taxa de administração no valor de R$ 155,00, ao 
efetuar a operação. Informe qual será a taxa de juros mensal, 
efetiva, incidente sobre esta operação. (R: 4,56% a.m.) 
 
2.2.7.11 - Determinar o valor de um título a ser resgatado no 
prazo de 120 dias antes de seu vencimento, pactuado a uma 
taxa de 12,0% ao ano. Sabe-se que a diferença entre o valor do 
desconto comercial e o desconto racional é de R$ 76.923,08. (R: 
R$ 50 milhões). 
 
2.2.7.12 - O Bank of Squire desconta, antecipadamente e por 
fora, os juros na operação de um “papagaio”. Sendo uma 
operação de desconto lastreada numa nota promissória cujovalor de face monta a R$ 30 mil, vincenda em noventa dias e 
pactuada à taxa de 7% ao mês, pergunta-se qual será a taxa 
efetivamente paga por esta operação. (R: 8,86% a.m.) 
 
2.2.7.13 - Você dispõe de uma duplicata cujo valor de face 
monta a R$ 200 mil, vencível em 60 dias. Decida em qual banco 
deverá ser efetuada uma operação de desconto sabendo que: 
 
- o Banco A – pratica o desconto racional à taxa de 8,45% ao 
mês; 
- o Banco B – procede ao desconto comercial à taxa de 7,90% 
ao mês. 
 
2.2.7.14 - Você efetuou uma operação de desconto para um 
título vencível em 60 dias à taxa de 42% ao ano. Montando o 
valor do desconto em R$ 840,00. Pergunta-se qual o valor de 
face do título nos casos de ser adotado o desconto racional ou o 
comercial? (R: 12.840,00 / 12.000,00R$ ) 
 
2.2.7.15 - Você necessita hoje da importância de R$ 50 mil e foi 
ao seu banco efetuar um empréstimo. O empréstimo é lastreado 
numa nota promissória vencível em 120 dias. O banco calcula o 
valor de face deste título adotando o desconto comercial à taxa 
de 4,5% ao mês. Além disto, cobra uma taxa de abertura de 
crédito de 0,55% sobre o valor de face do título e uma taxa de 
administração de R$77,00, ambos embutidos no valor 
financiado. Pergunta-se, qual a taxa de juros efetiva incidente 
sobre esta operação? (R: 5,74% a.m.) 
 
2.2.7.16 - Você resolveu quitar uma dívida, lastreada em nota 
promissória, sessenta dias antes do vencimento. Qual será o 
valor a ser pago se os juros simples pactuados foram de 2,50% 
ao mês e o valor de face da nota monta a R$ 17.700,00? 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
32 
 
2.2.7.17 - Sua empresa previu a necessidade de aquisição de 
um equipamento no valor de R$ 50 mil e o deseja adquirir com 
recursos próprios. Considerando que, neste momento, dispõe da 
importância de R$ 20 mil e o Tesouro Nacional esta 
remunerando as aplicações em 14% ao ano, pergunta-se: em 
quanto tempo poderá dispor do montante previsto? 
 
 
2.3 – Juros Compostos. 
 
2.3.1 - Definição. 
 
O regime de juros composto, também denominado de 
regime de capitalização ou anatocismo, é caracterizado pela 
incorporação ao capital dos juros gerados num período, ou seja, 
capitalizados, passando a gerar juros no período seguinte. 
 
Estudos de análise de viabilidade de investimentos são 
lastreados na matemática dos juros compostos, pois parte-se do 
princípio que investidores e empresas reaplicam os lucros e os 
saldos de fluxos de caixa gerados a cada período, fato que 
contribui para aumentar os lucros esperados futuros. 
 
Pelo acima exposto, torna-se inconsistente a adoção da 
matemática dos juros simples em estudos de viabilidade e, além 
disto, vem de encontro ao estabelecido na primeira premissa 
que estabelece a maximização do lucro dos proprietários. 
 
2.3.2 - Fórmulas Básicas: 
 
 O principal questionamento nesse sistema de 
capitalização é quanto ao montante a ser recebido pela 
aplicação de um capital, após certo número de períodos de 
tempo e conhecidos os juros pactuados. 
 
Visando calcular o montante a ser percebido, será adotada a 
seguinte nomenclatura: n, representando o número de períodos 
de capitalização pactuados; Sn = Montante a ser recebido após 
“n” períodos de capitalização; P = Capital inicialmente aplicado 
ou principal; J = Montante dos juros a serem pagos; i = Taxa de 
juros pactuados. Ver Figura 2.4. 
P0
S1
S3
Sn
Figura 2.4 – Diagrama de Juros Compostos
S2
10 3 n2
Período
 
 
O montante após o primeiro período é calculado de forma 
idêntica ao dos juros simples. A partir desse primeiro período, os 
juros passam a incidir dobre o novo montante, comumente 
denominado de capitalizados. Então, matematicamente se tem: 
 
S1 = P + (P  i) = P (1 + i) 
S2 = S1 + (S1  i) = S1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² 
S3 = S2 + (S2  i) = S2 (1 + i) = P (1 + i)² (1 + i) = P (1 + i)³ 
S4 = S3 + (S3  i) = S3 (1 + i) = P (1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4 
......................................................................................... 
Sn = Sn-1 + ( Sn-1  i ) = Sn-1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )n-1 ( 1 + i ) 
Sn = P ( 1 + i )n 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
33 
 
Assim, a expressão do montante a ser pago após n 
períodos é dada por: 
 
Sn = P (1 + i)n 
 
 O total dos juros gerados, por sua vez, é obtido 
aritmeticamente, depois de efetuada a diferença entre o 
montante a ser percebido e o capital inicialmente aplicado, 
também denominado de Principal. Então: 
 
J = Sn – P 
 
 Fórmula do Montante: Sn = P ( 1 + i )
n
Fórmula dos Juros: J = Sn – P ou,
 J = P ( 1 + i )
n
 - P 
Resumo:
 
 
 
 
2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro. 
 
 Como já comentado, a matemática dos juros compostos é 
a adotada nos estudos financeiros, a exemplo da determinação 
do valor de ativos produtivos, investimentos em ações, títulos de 
capitalização, etc. 
 
A assertiva acima ocorre devido ao entendimento que 
investidores e empresas reaplicam os capitais disponíveis, 
sendo, então, a matemática dos juros compostos a mais 
adequada para avaliar e analisar investimentos. 
 
 Para tanto, ela se ampara no princípio da equivalência de 
capital e operar dois conceitos largamente utilizados nos estudos 
financeiros, quais sejam, o valor presente – VP e o valor futuro – 
VF equivalente a um dado montante e vice versa. 
 
S = VF
P=VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.5 – Equivalência: Valor Futuro
i%
0
 
 
Assim sendo, dado nesta data um principal expresso pelo 
seu valor presente, P=VPn¬i%, após certo número de períodos e 
aplicado a taxa de juros i%, gerará uma soma financeiramente 
equivalente ou seu valor futuro: S=VF n¬i%. Ver Figura 2.5 – 
Equivalência: Valor Futuro. 
 
 Deste modo, considerando o conceito de equivalência de 
capital pode-se escrever: VPn¬i% ≡ VF n¬i%. 
 
 Financeiramente, então, denomina-se VPn¬i% de VALOR 
PRESENTE do montante de VFn¬i%. De modo análogo, VFn¬i% é 
denominado de VALOR FUTURO do capital aplicado, VP n¬i%. 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
34 
 
 
 
 
2.3.3.1 - Pagamento Único. 
 
a) Valor Futuro - VF. 
 
Por definição, o valor futuro – VF associado a uma 
determinada importância P e aplicada durante um período n, é 
equivalente a esta importância quando capitalizada a taxa de 
juros pactuada, i%. 
 
A expressão do montante dos juros compostos 
capitalizados define o VALOR FUTURO a ser recebido pela 
aplicação de um capital, P, denominado de VALOR PRESENTE, 
quando pactuado à taxa de desconto, i%, após “n” períodos de 
rendimento. 
 
Sendo: Sn = P (1 + i)
n, então: 
 
VF ≡ VP (1 + i)n 
 
Essa operação, comercialmente denominada de 
capitalização, é utilizada em operações financeiras de título de 
capitalização, ou seja, de atualização monetária de capital. 
 
 A expressão (1+i)n é denominada de Fator de 
Capitalização ou Fator de Valor Futuro de um Principal, cuja 
representação pode ser efetuada sob as seguintes 
nomenclaturas: 
 
 
VF = VP (1 + i)n = VP s n¬i% = VP s
i
n
 
 
 
b) Valor Presente – VP. 
 
Em operação inversa, o VALOR PRESENTE – VP, nesta data, 
correspondente a uma determinada importância futura, VF, é 
equivalente a esta importância quando descontada durante certo 
período de tempo n a taxa de juros pactuada, i%. 
 
Partindo da fórmula do montante dos juros compostos, 
obtém-se o VALOR PRESENTE, VP, equivalente a um dado 
montante futuro, VF, quando descontado à taxa de juros i%, 
durante certo período, n. 
 
S ≡ VF
P≡VP
R$
1 2 3 n-1 n
Períodos
Figura 2.6 – Equivalência: Valor Presente
i%
0
 
 
 Sabendo-seque VF ≡ VP (1 + i)n, a expressão da 
equivalência de uma importância no presente, conhecido seu 
montante numa data futura é dada por: 
 
VP≡VF 
1
(1+i)n
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
35 
 
Essa operação também é denominada de desconto de um 
capital a valor presente e realizada quando se deseja conhecer o 
valor atual relativo a um capital no futuro. 
 
 A expressão 1/(1+i)n é denominada de Fator de Desconto 
ou Fator de Valor Presente de um capital, cuja representação 
pode ser efetuada sob as seguintes nomenclaturas: 
 
VP ≡ VF 
1
(1 + i)n
= VF × vi
n = VF × vn¬i 
 
 
2.3.3.2 - Pagamentos Diversos. 
 
 
a) Valor Futuro 
 
 Dado uma série de pagamentos como na Figura 27, seja 
estabelecer o valor futuro da soma desses pagamentos. 
 
Nesta situação, a soma desses pagamentos corresponde 
à soma dos valores futuros de cada pagamento singular. 
Noutras palavras, a soma da capitalização de cada pagamento. 
 
Matematicamente: 
 
VF = ∑ Rn × (1 + i)
k−n
K
n=1
 
 
Ou 
 
VR = R1(1 + i)
k−1 + R2(1 + i)
k−2 + R3(1 + i)
k−3 + R4(1 + i)
k−4
+ R5(1 + i)
k−5 
 
Figura 2.7 – Valor Futuro Diversos Pagamentos
 
 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo de 
caixa e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VF = 78 (1,07)4 + 85 (1,07)3 + 100 (1,07)2 + 100 (1,07)1 + 50 
 
VF = 477,86 R$. 
 
 
 Neste caso, o valor futuro ocorre no momento do ultimo 
pagamento. 
 
 
b) Valor Presente 
 
Considerando a sequencia de recebimentos expressos na 
Figura 2.8, a soma do valor presente desses valores 
corresponde à soma dos descontos de cada valor singular. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
36 
 
VP(0)=∑
Rn
(1+i)n
k
n=1
 
 
Ou 
VP(0) =
R1
(1 + i)1
+
R2
(1 + i)2
+
R3
(1 + i)3
+
R4
(1 + i)4
+
R5
(1 + i)5
 
 
 
Figura 2.8 – Valor Presente Diversos Pagamentos
 
 
 
Levando na expressão acima os valores de cada fluxo de 
caixa e adotando uma taxa de juros de 7% tem-se: 
 
VP(0) =
78
(1,07)1
+
85
(1,07)2
+
100
(1,07)3
+
100
(1,07)4
+
50
(1,07)5
 
 
VP(0) = 340,71 R$ 
 
 
2.3.3.3 – Comparação Juros Simples e Composto. 
 
 Ao serem efetuadas operações financeiras, é interessante 
avaliar a evolução do crescimento dos montantes quando 
calculados a juros simples e a juros compostos. 
 
Juros Simples
Juros Compostos
Montante – R$ 
Tempo
P
Figura: 2.9 - Evolução Juros Simples e Compostos.
n
 
 
 Considerando uma mesma taxa de juros totais e até a um 
determinado período, n, o montante dos juros compostos é 
inferior ao dos juros simples. A partir desse período, os 
montantes calculados a juros compostos passam a superar o 
dos juros simples. 
 
 A determinação desse período é efetuada ao se igualar a 
expressão dos dois montantes, considerando uma mesma taxa 
de juros. Matematicamente: SJC=SJS. Considerando que os dois 
principais são os mesmos, tem-se: 
 
(1 + 𝑖𝑆 ∙ 𝑛) = (1 + 𝑖𝐶)
𝑛 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
37 
 
 
 
2.3.4 - Exemplos. 
 
a) Seja definir o valor atual de um capital aplicado por seis 
meses a juros de 7% ao mês, gerou o montante de R$ 
4.502,19? 
 
P=S×
1
(1+i)n 
=S vi
n 
 
Utilizando tabela financeira: 
 
s7 
6 =0,6663 →da Tabela Financeira 
P=S∙ s7 
6 =4.502,19×0,6663=3.000,00R$ 
 
Ou utilizando diretamente o fator de valor presente: 
 
 P=S×
1
(1+i)n 
=4.502,19 ×
1
(1,07)6 
=3.000,00 R$ 
 
b) No caso inverso, seja um capital no valor de R$ 3.000,00, 
qual será o montante a ser recebido após seis meses quando 
aplicado a taxa de juros de 7% ao mês? 
 
S=Psi
n ∴ S=Ps7
6 
 
 E, sendo s
7
6
 = 1,5007  da Tabela Financeira. 
 
S = 3,000 x 1,5007 = 4.502,19 R$ 
 
Ou então: S = P (1+i)n = 3.000×(1,07)6=4.502,19 R$ 
 
 O quadro a seguir mostra a evolução do montante, ou 
seja, a situação do saldo devedor no final de cada período. 
 
 
Período Principal – R$ Juros – 7% Montante – R$ 
0 3.000,00 --- --- 
1 3.000,00 210,00 3.210,00 
2 - 224,70 3.434,70 
3 - 240,43 3.675,13 
4 - 257,26 3.932,39 
5 - 275,26 4.207,65 
6 - 294,54 4.502,19 
 
 
2.3.5 – Correlação Entre Taxas de Juros Compostos. 
 
Identicamente ao sistema de juros simples, um dos 
questionamentos sobre juros compostos é quanto à 
proporcionalidade existente entre a taxa de juros correspondente 
a um período maior com aquela referente a frações inteiras 
deste mesmo período. 
 
No caso de juros compostos, não há relação direta entre 
essas duas taxas de juros. 
 
Por definição, duas taxas de juros são ditas equivalentes 
quando, sujeitas a diferentes períodos de capitalização, 
produzem iguais montantes de juros depois de aplicadas a um 
mesmo volume de capital. 
 
 Adotando como nomenclatura: nT para o período total 
do financiamento ou empréstimo e nF uma fração inteira deste 
mesmo período. E como iT e iF , respectivamente, as taxas de 
juros conexas aos períodos considerados. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
38 
 
 
 Demonstra-se a proporcionalidade entre estas duas taxas 
ao serem igualados os montantes devidos pelo tomador na data 
pactuada para a quitação do contrato, conforme a definição de 
taxas equivalentes. Ou seja: ST = SF. 
0 1 2 3 4 n tempo
Figura 2.9 – Equivalência entre taxas de juros 
ST=SF
S1
if
iT
P
 
 
O montante, ST, a ser pago pela utilização de um capital P 
contratado por um período nT e remunerado à taxa iT é: 
 
ST = P (1+ iT ) 
 
 Por sua vez, o montante SF, a ser pago pela utilização do 
mesmo capital P contratado por um número de períodos nF , 
fração de nT e remunerado à taxa iF é : 
 
SF = P (1+ iF )F 
 
Como ST = SF, pois os dois montantes referem-se à mesma 
operação financeira, e sendo iF uma fração de iT , obtém-se a 
equação de equivalência de juros compostos fazendo: 
 
P (1 + iT ) = P ( 1 + iF )F  ( 1 + iT ) = ( 1 + iF)F 
 
 Da expressão acima surgem duas situações: 
 
a) Conhecida a taxa de juros relativa ao período fracionário, 
deseja-se conhecer a taxa de juros correlata ao período 
total. Então: 
 
𝑖𝑇 = (1 + 𝑖𝐹)
𝐹 − 1 
 
b) Conhecida a taxa de juros relativa a um período maior, 
deseja-se conhecer a taxa de juros correlata a uma fração 
inteira do mesmo. Então: 
 
iF=√1+iT 
F -1 
 
 Esta operação de calcular a taxa menor correlacionada a 
uma taxa maior é denominada de “pro rata tempore”. Expressão 
comumente adotada em contratos de financiamento ou 
aplicação de capital. 
 
 Exemplificando: Seja calcular a taxa de juros trimestral, 
calculada “pro rata tempore”, incidente sobre uma aplicação 
financeira quando pactuada uma taxa de juros de 25% ao ano. 
Matematicamente: 
 
iTRI=√1+iANO 
4 -1= 0,057.371 
 
 Como um ano dispõe de quatro trimestres, a taxa a 
ser considerada no pagamento dos juros é de 5,7371% ao 
trimestre, calculada utilizando a equação de equivalência de 
juros compostos. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
39 
 
 
2.3.6 - Cuidados a observar. 
 
 Nos estudos de viabilidade há que se observar alguns 
cuidados necessários a evitar a incidência em algum erro 
conceitual, fato que inviabiliza a confiabilidade nos resultados 
encontrados, quais sejam: 
 
1º Considerando que empresas, investidores, etc., costumam 
reinvestir quantias geradas, não se justifica a utilização de 
juros simples em estudos econômicos. 
 
2º Ao ser utilizada a matemática dos juros compostos, faz-se 
necessária à verificação de qual aefetiva taxa de juros 
praticada e que correspondente ao período básico de 
capitalização. É comum não ser a taxa de referência 
expressa em contrato a taxa de capitalização efetivamente 
empregada no cálculo dos juros. 
 
3º Efetuar, sempre, um diagrama de fluxo de caixa visando 
visualizar, claramente, os procedimentos a serem 
observados. 
 
4º Quando se trata da capitalização de aplicações, a 
matemática utilizada é a dos juros compostos. 
 
5º Distinguir quando os juros são descontados e quando são 
postecipados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES EM TÍTULOS DO TESOURO NACIONAL
 Abra uma conta corrente em qualquer banco;
O Tesouro Nacional lhe enviará uma senha que o habilitará a 
efetuar a aplicação desejada;
Solicite ao gerente do banco cadastrar sua conta junto ao 
Tesouro Nacional;
Na data aprazada o Tesouro Nacional creditará, 
diretamente em sua conta corrente,
 o valor aplicado acrescido dos encargos pactuados. 
Simultaneamente ao procedimento anterior, o Tesouro Nacional 
efetuará o débito em sua conta corrente da importância aplicada.
 O Tesouro Nacional lhe enviará um e-mail informando da 
aplicação realizada.
Realize sua aplicação, diretamente, através do site:
 www.tesourodireto.gov.br
1º
7º
6º
4º
5º
3º
2º
Passo
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
40 
 
2.3.7 - Exercício Resolvido. 
 
Um terreno foi vendido e faltam pagar duas parcelas de R$ 90 
mil, vencíveis em 90 e 120 dias. Estas parcelas serão corrigidas 
à taxa de 152,00 % ao ano. Pergunta-se qual o valor de quitação 
das prestações na data de hoje? 
 90.000 90.000
mês
 1 2 3 4
R$
 
 
1º - Definir a taxa de juros mensal: 
 
imês= √1+iano 
12 - 1= √1+1,52 
12
- 1=8,00% a.m. 
 
2º - Calcular o Valor Presente das prestações – HOJE. 
 
43 )i1(
2P
)i1(
1P
VP




 
 
69,152.6690,444.71
)08,01(
000.90
)08,01(
000.90
VP
43





 
 
VP = 137.597,59 R$ 
 
 
 
2.3.8 - Exercícios Propostos. 
 
2.3.8.1 - Sendo o rendimento de uma caderneta de poupança 
8% ao trimestre, qual o seu rentabilidade anual? (36,05% aa). 
 
2.3.8.2 - Considerando ser a taxa de inflação anual de 54%, qual 
a taxa média mensal? (3,66% a.m.) 
 
2.3.8.3 - Um contrato foi pactuado à taxa de 83,7337% ao ano. 
Considerando que ele será quitado em prestações mensais, 
iguais e consecutivas, pergunta-se qual deverá ser taxa de juros 
mensais, efetiva, a ser utilizada no cálculo das prestações. (R: 
5,20% a. m.) 
 
2.3.8.4 - Em quantos meses será possível triplicar uma aplicação 
financeira quando pactuada à taxa de juros de 2,37% 
capitalizados mensalmente? (R: ≈ 47 meses). 
 
2.3.8.5 - Em quantos meses se pode levar uma aplicação no 
valor de R$ 45 mil ao montante de R$ 100 mil, quando 
capitalizados à taxa de 1,55% ao mês? ( R: ≈ 52 meses). 
 
2.3.8.6 - Um comerciante obtém um empréstimo de um milhão 
de reais a juros de 33% ao ano, pactuado a juros compostos. 
Quanto pagará na ocasião do resgate se quitar o mesmo em 
cinco ou em dezessete meses? Compare os dados obtidos com 
exercício similar efetuado a juros simples. (R: 1,1262 / 1,4978  
106 R$ ) 
 
2.3.8.7 - A empresa Alfa de Engenharia Ltda. Realizou um 
empréstimo para aplicação em capital de giro junto ao banco 
TDS a ser quitado em noventa dias. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
41 
 
 A importância da operação montou a R$ 750 mil 
pactuados a taxa de 1,5% ao mês (juros compostos), porém 
cobrados antecipadamente. 
 
 Neste contexto solicita-se: o montante dos juros a serem 
pagos; e qual a taxa efetiva da mesma. 
 
2.3.8.8 - O banco TDS apresenta uma lucratividade de 30% ao 
ano. Em quanto tempo os lucros gerados serão equivalentes ao 
capital aplicado pelos acionistas? (R: t = 2 anos e 8 meses). 
 
2.3.8.9 - O Banco TDS efetua empréstimos pessoais cobrando 
a taxa de 4,50% ao mês. Para clientes especiais, ele adota a 
sistemática do juro postecipado. Para clientes normais, o juro 
antecipado. Calcule a taxa efetiva mensal para uma operação de 
90 dias, calculada a juros simples e a juros compostos. 
 
 
2.4 - Relação entre as taxas nominal e real. 
 
 
2.4.1 – Efeito da Inflação. 
 
 A inflação é um fato de capital importância a ser 
considerado nos estudos financeiros, especialmente quanto a 
definição da taxa de juros adotada no pagamento de prestações 
ou na quitação de empréstimos. 
 
Isto porque, a taxa de inflação determinará o valor da taxa 
nominal de juros a ser utilizada no calculo do montante final, 
também denominada de taxa efetiva. 
 
A inflação corresponde a uma taxa de juros que mede a 
desvalorização da moeda a cada período de tempo. Assim 
sendo, a taxa nominal será determinada fazendo incidir sobre a 
taxa real de juros pactuada a variação percentual da inflação 
ocorrida no período. 
);i(fi RN 
 
 
Como será demonstrado no item 2.4.2, a relação entre a 
taxa nominal de juros, a taxa real e a inflação é dada, 
matematicamente, pela seguinte expressão: 
 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
Definindo então estas três taxas que estabelecem o valor 
das prestações ou a remuneração de um capital aplicado: 
 
I - A taxa real é definida como sendo a efetiva remuneração 
desejada por um investidor e é definida em termos de 
moeda de poder aquisitivo constante. Nesta taxa não 
esta considerada a incidência de inflação no período do 
empréstimo. 
 
II - A taxa nominal é aquela empregada no calculo das 
prestações e pagamentos. Ela é expressa em termos de 
moeda de valor corrente e, matematicamente, equivale à 
taxa real acrescida da taxa de inflação ocorrida durante o 
período do empréstimo. 
 
III - A inflação corresponde à perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo, sendo expressa em porcentagem. 
 
 
Uma expedita diferenciação entre estas duas taxas é 
efetuada no seguinte exemplo: Seja verificar qual a taxa real e a 
taxa nominal de juros ocorrida, considerando o financiamento 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
42 
 
relativo à uma importância P=1.000,00 R$ e que após um 
determinado período tenha gerado o montante de R$ 1.500,00. 
 
 
Constatou-se, neste período a ocorrência de uma taxa de 
inflação de 40%? 
 
0 1
P
M0
iR
M1 Φ
iN
Principal
Principal 
+
Juros
0 1
período
Com Inflação M=1.500 R$
Sem Inflação M = 1.071 R$
Figura 2.10 - b: Efeito da Inflação Aplicação.Figura 2.10 – a: Efeito da Inflação.
Inflação
 
 
 
I - Calculo da Taxa Nominal: 
 
 A taxa nominal é definida ao se efetuar a razão entre os 
juros pagos e o montante do principal sobre o qual renderam 
esses juros. Conceitualmente, ela mede o incremento da moeda 
em termos de valor corrente e expresso em percentual. A taxa 
nominal será de 50% no período. Matematicamente: 
 
iN=
M-P
P
 ∴ iN=
M
P
-1 
 
e, iN=
1.500
1.000
-1 → iN=50,00% 
 
 
II - Cálculo da Taxa Real: 
 
Por definição, a taxa real é equivalente à taxa nominal, 
porém em moeda de poder aquisitivo constante, isto é, 
descontado o efeito da inflação. 
 
Considerando ter a taxa de inflação comportamento 
equivalente a uma taxa de juros, tem-se: 
 
M1 = (1 + ) M0  M0 = M1 ÷ (1 + )  
 
M0 = 
1500
1 4
.
,
 = 1.071,43 R$ 
 
 Assim sendo, M1 ≡ M0, ou seja, R$ 1.071,43 é equivalente 
à R$1.500 quando este valor é deflacionando à uma taxa de 
40%. 
 
 A taxa real de juros, então, é medida pela razão entre o 
acréscimo de dinheiro e o valor aplicado. 
 
iR=
1.071,43-1.000
1.000
=
1.071,43
1.000
-1 → iR=7,1430% 
 
Analisando os resultadosobtidos, a taxa nominal foi calculada 
em 50% e a taxa real em 7,10%. 
 
 Pelo exposto é possível verificar que, em face da inflação 
ocorrida no período 01, a taxa nominal, iN, é muito superior à 
taxa real, iR. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
43 
 
 Ao entender a correlação existente entre a taxa real e a 
taxa nominal de juros pode o tomador de recurso financeiro, 
evitar o comprometimento de sua capacidade de pagamento se 
o valor de sua renda evoluir na mesma proporção da inflação. 
 
 
2.4.2 – Relação entre taxas. 
 
 A seguir é demonstrada a relação entre a taxa nominal e 
a taxa real de juros, dada à inflação ocorrida em certo período. 
 
 Adotando como nomenclatura: iN = taxa nominal de juros; 
iR = taxa real de juros;  = taxa de inflação no período; M0 
=montante a ser pago sem considerar a incidência da inflação; 
M1 = montante a ser pago havendo a incidência da inflação; P = 
Principal ou capital tomado emprestado. 
 
 Os procedimentos matemáticos para a atualização de 
uma capital são expostos no quadro abaixo: 
 
1º - Acrescenta-se o juros ao principal.
2º - Aplica-se a taxa de inflação.
Procedimento 
Matemático
 
 
 Partindo do item anterior (Ver Figura 2.10 – Efeito da 
inflação), pode-se afirmar que: 
 
M0 = P (1 + iR) e que M1 = (1 + ) M0 
 
 Pode-se afirmar também, considerando ser um período 
único e a incidência de uma taxa nominal neste período que: 
 
M1 = P (1 + iN) 
 
 Substituindo na expressão acima a variável M1 em função 
da sua expressão por M0: 
 
(1 + ) M0 = P (1 + iN)  (1 + ) P (1 + iR) = P (1 + iN) 
 
 Simplificando a variável P em ambos os lados da 
igualdade chega-se a expressão que relaciona a taxa nominal de 
juros com a taxa real e a da inflação. 
 
(1 + iN) = (1 + iR)  (1 + ) 
 
iN = iR    iR   
 
 Da expressão acima se conclui que a taxa nominal de 
juros é função do somatório da taxa real, da inflação no período 
e do produto da taxa da inflação pela taxa real. 
 
 Finalizando, pode-se determinar a inflação num dado 
período, a taxa real e a taxa nominal de juros, a partir de um 
montante conhecido e do valor investido ou principal, através 
das seguintes expressões: 
P
M
iR
01 
 e 
P
M
iN
1
1  
 
0
1
1
M
M

 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
44 
 
 Como exemplo de aplicação, seja calcular a taxa de juros 
a corrigir o valor de um título vencido há trinta dias, tendo sido 
pactuado que renderia juros de 2% ao mês acrescido da 
correção monetária no período, definida em 1,5% neste último 
mês. 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
(1 + iN) = (1 + 0,02) (1 + 0,015)  iN = 3,53% 
 
 
 
A taxa real de juros é utilizada quando não é 
considerada a ocorrência de inflação. Neste caso, 
parte-se do princípio que a moeda em utilização dispõe 
de poder aquisitivo constante. 
Dinheiro em moeda constante i real.
Memorize!
A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a 
ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do 
princípio da ocorrência de perda de valor aquisitivo da 
moeda, no tempo.
Dinheiro em moeda inflacionada i nominal.
 
 
 
 
 
 
 
2.4.3 – Inflação e Índices. 
 
Inflação é definida como a perda do valor aquisitivo da 
moeda no tempo. 
 
A inflação é expressa em porcentagem e definida depois 
de conhecidos os índices inflacionários atribuídos a cada 
período. 
 
 Os índices inflacionários representam a evolução do 
custo de uma mercadoria, de um serviço por unidade de medida. 
 
 Como exemplo destes índices tem-se: o CUB, que mede 
o custo unitário básico para a construção civil, medido em 
R$/metro quadrado; o INPC, que mede o custo para sustentar 
uma família, medido em R$/cesta de custo incorrido; ou a 
evolução do custo do aço, medida por R$/kg, todos esses 
índices definidos para determinado período ou mês. 
 
Adotando como nomenclatura: I0 para representar o 
índice da inflação no período definido como data base e, In 
representar o índice de inflação medido em uma data futura 
qualquer “n”. E, representando por  a taxa de inflação ocorrida 
no período compreendido entre a data base e a data n. 
 
A seguir será discutida a metodologia do calculo da 
inflação passada, partindo do conhecimento de índices 
inflacionários. 
 
 Por definição, a inflação havida no preço de um bem ou 
serviço medido num período de tempo equivale à razão entre 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
45 
 
o incremento da evolução dos preços no período e o preço 
verificado no período inicial. 
 
t
I0 I1
0
Data Base
n
Data n
Φ
Figura 2.11 - Inflação e Índices
 
 
 Além disso, a taxa percentual de inflação ocorrida num 
período pode ser facilmente estabelecida através da utilização 
de índices inflacionários, como os já citados, que expressam a 
evolução da perda do valor aquisitivo da moeda, medida a partir 
de uma determinada data, definida esta como data base. 
 
 Exprimindo a definição acima em termos matemáticos 
tem-se que, 
P
P

 ou, similarmente, considerando índices 
inflacionários: 
0
n0
I
I



. 
 
Definindo como I0 o índice de inflação atribuído ao início 
de um período, ou seja, à data base e In o índice de inflação 
estabelecido para o final deste mesmo período, ao substituir o 
valor do incremento na expressão acima pelos índices que lhe 
deram origem tem-se: 
 
1
I
I
I
II
o
n
o
on



 
 
 Modelo este que mede a taxa de inflação acumulada e 
ocorrida entre os períodos de tempo zero e n, e expressa em 
termos percentuais. 
 
 
2.4.4 – Tipos de Índices 
 
 Diversos são os tipos de índices inflacionários utilizados 
no País. Cada um deles visando atender a um fim específico e, 
portanto, dispondo de distinta metodologia em sua 
determinação. 
 
 Esses índices podem ser destinados a medir a inflação 
de um modo geral, tais como o INPC – Índice Nacional de 
Preços ao Consumidor; o IPCA – Índice Nacional de Preços ao 
Consumidor Ampliado; o IGP – Índice Geral de Preços, todos 
destinados a medir a inflação incidente sobre o consumo das 
famílias brasileiras ou do comércio em atacado. 
 
 Ou, medir de modo mais específico, a exemplo de custo 
materiais elétricos, serviços de transporte, do alumínio e do aço, 
do custo da construção civil, o CUB, ou de qualquer outro 
segmento industrial. 
 
 Existem publicações que tratam, especificamente, deste 
assunto tais como a revista Conjuntura Econômica uma 
publicação da Fundação Getúlio Vargas – FGV e a revista 
SUMA Econômica, mensalmente publicam uma coleção desses 
índices. Ou sites da internet a exemplo de 
http://www.debit.com.br. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
46 
 
 No Brasil, o organismo responsável por acompanhar e 
divulgar índices oficiais de inflação é o IBGE – Instituto Brasileiro 
de Geografia e Estatística, a exemplo do INPC e do IPCA. 
 
 O IBGE produz índices que medem a inflação ocorrida em 
diversos segmentos sociais do Brasil bem como os preços por 
atacado, sendo os índices adotados oficialmente pelo governo e 
pelos tribunais. 
 
 No âmbito da construção civil, o mais festejado é o CUB – 
Custo Unitário Básico da Construção, elaborado e publicado 
mensalmente pelo Sinduscon – Sindicato da Indústria da 
Construção Civil de cada região, cujo objeto é medir a inflação 
ocorrida tanto em edificações residenciais, como em galpões, 
lojas e andares abertos. 
 
 Finalizando, faz-se um alerta quanto a cuidados a serem 
observados ao serem utilizadas a taxa nominal e a taxa real de 
juros, sob pena de cometer erro conceitual grave. 
 
 A taxa real de juros é utilizada quando não é consideradaa ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio que a 
moeda em utilização dispõe de poder aquisitivo constante. 
 
 A taxa nominal de juros é utilizada quando existe a 
ocorrência de inflação. Neste caso, parte-se do princípio da 
perda de valor aquisitivo da moeda, no tempo. 
 
 
2.5 – Inflação Acumulada. 
 
Inflação acumulada é aquela havida em determinado 
espaço de tempo composto por vários períodos. 
 
 P0 P1 P2 P3 ...... Pn
 0 1 2 3 n
 Φ0→1 Φ1→2 Φ2→3 Φ3→n
Figura 2.12 - Inflação por Período
 
Geralmente, a cada período de tempo, ocorre uma taxa 
de inflação distinta dos outros. 
 
Como já comentado, a inflação corresponde a uma taxa 
de juros que mede a desvalorização da moeda a cada período 
de tempo. 
 
 E, assim sendo, a taxa de inflação acumulada deve ser 
calculada da forma idêntica à taxa de juros compostos. 
 
A Figura 2.12 mostra a existência de inflação havida em 
cada período havido entre o momento 0 e o momento n. 
 
 
2.5.1 – Fórmulas Básicas. 
 
 Neste item serão discutidos os modelos matemáticos 
necessários para calcular a inflação acumulada utilizando as 
taxas periódicas havidas e os índices de inflação. 
 
Adotando como nomenclatura: 
 
 Po = preço no tempo 0; 
 P1 = preço no tempo 1; 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
47 
 
 P2 = preço no tempo 2; 
 Pn = preço no tempo n; 
 o1 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-1; 
 o2 = taxa da inflação existente entre o tempo 0-2; 
  = inflação medida entre dois períodos quaisquer. 
 
 A definição da taxa de inflação ocorrida entre dois 
períodos consecutivos pode ser considerada identicamente 
como o caso de calculo de juros simples incorridos entre dois 
períodos consecutivos. 
 
 Então, para definir a inflação para diversos períodos 
tem-se: 
 
P1 = Po + Po o1 = Po (1+ o1 ) 
P2 = Po ( 1 + o1 ) ( 1 + 12 ) = Po ( 1+ o2 ) 
P3 = Po ( 1 + o1 ) ( 1 + 12 ) ( 1 + 23 ) = Po ( 1+ o3 ) 
................................................................................... 
Pn = Po (1 + o-1) (1 + 1-2) (1 + 2-3)  (1+  (n-1)-n) 
 
 
A expressão acima que permite atualizar monetariamente 
Pn, pode ser expressa sob a seguinte notação, em que  
representa a taxa de inflação medida entre uma data base, 
denominada zero, e uma data qualquer n. Então: 
 
)(PP
n
on
0
1  
 
 
Ao serem igualadas as duas expressões acima pode-se 
escrever a taxa de inflação ocorrida entre um período inicial 0, 
também denominado de data base, e um período qualquer n, 
denominado de período final, em função da taxa de inflação 
medida em cada período intermediário k. Assim: 
)φ1()φ1)(φ1)(φ1()1(
)n)1n(322110
n
0

 
 
 



k
0n
n
n
0
)φ1()1(
 
 
Considerando que os índices inflacionários, In, são 
conhecidos, pois mensalmente determinados e publicados, é 
possível calcular a taxa de inflação, , ocorrida entre um período 
inicial, denominado zero, e um período qualquer denominado de 
n. 
 
 Como já visto a inflação ocorrida entre dois períodos 
quaisquer é dada por: 
 
1
I
I
o
n
n
0

 
 
 Por exemplo, seja calcular a inflação acumulada da 
construção civil, medida em CUB, havida entre os meses de 
junho de 2005 e março de 2006. 
 
%98,31
43,860
68,894
1
I
I 2006
março
2005
março
o
n
n
0

 
 
2.5.2 – Atualização de valores monetários. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
48 
 
 
Basicamente, um valor corrigido, Pn, é equivalente ao 
valor inicial, P0, multiplicado pela taxa nominal de juros relativa a 
todo o período da atualização pactuado. 
 
Pn = P0 × (1 + iNT) 
 
A taxa nominal de juros, como anteriormente visto, é 
função de dois fatores: a remuneração real e periódica do 
capital, iR ,e a correção monetária do período,  . 
 
(1 + iN) = (1 + iR ) ( 1 +  ) 
 
 
Operacionalmente, a remuneração do capital pode ser 
efetuada adotando a matemática dos juros simples ou a dos 
juros compostos. 
 
 A correção monetária, ou seja, atualização monetária do 
valor é realizada segundo o índice pactuado em contrato, sendo 
considerada nos dois casos da mesma maneira, como será 
analisado abaixo. 
 
 
I. - Atualização adotando juros simples. 
 
 A atualização do valor de Po, ou seja, Pn, é efetuada 
partindo da expressão {(1+iN) = (1+ iR ) (1 +  )} , generalizada 
para n períodos. Isto porque, a taxa de juros adotada na 
atualização de valores monetários é a taxa nominal. E esta, a 
taxa nominal, é função da taxa real – iR pactuada, e da inflação 
no período, porém abrangendo todos os n períodos. 
 
 Então, calculando a atualização monetária em função da 
taxa nominal de juros a ser aplicada para o número total de 
períodos n, tem-se: 
Pn = P0 × (1 + iNT) 
 
 Sabendo-se que a expressão da correção monetária de 
um valor é dada por: 
)(PP
n
n
0
0 1 
 
 E que a expressão do montante dos juros simples pode 
ser expressa sob a seguinte forma: 
 
)in(PP Rn  10
 
 
 Substituindo a expressão representativa da taxa nominal 
de juros, (1 + iNT), pelas expressões do produto da taxa real de 
juros para cada período e da correção monetária, chega-se à 
expressão que permite a atualização de um valor monetário em 
se adotando a matemática dos juros simples. 
 
)in()(PP R
n
n  11
0
0
 
 
 
II. - Atualização adotando juros compostos. 
 
 Adotando procedimento idêntico ao anterior, define-se a 
expressão que permite a atualização de um valor monetário em 
se adotando a matemática dos juros compostos. 
 
 Sabendo-se que: 
n
Rn )i(PP  10
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
49 
 
E, utilizando à mesma fórmula da correção da inflação, 
chega-se à: 
 
n
R
n
n )i()(PP  11
0
0
 
 
 Voltando agora para o caso da relação das taxas de juros, 
conforme discutido no item 2.4.2 e sabendo que: 
 
Pn = P0 × (1+ iNT) 
 
 Substituindo a expressão de Pn na expressão anterior, 
têm-se o caso geral da taxa nominal de juros a corrigir um 
pagamento único durante n períodos, considerando a incidência 
da inflação no período e da taxa de remuneração do capital. 
 
n
R
n
NT )i()( )i (1  11
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3 – Aplicação. 
 
 
 
 
2.5.3.1 – Correlação de Taxas de Juros. 
 
 Definir a taxa real, trimestral, de juros relativos a uma aplicação 
de capital realizada pelo prazo de noventa dias. Os juros 
nominais pactuados foram de 123,6543% ao ano. E, a inflação 
no período foi, respectivamente, de: 1,2%; 0,9%; e 1,1% a cada 
mês da aplicação. Considerar a aplicação efetuada sob a 
matemática dos juros simples e juros compostos. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
50 
 
I – Juros Simples. 
 
.t.a%9136,30
4
6543,123
4
i
i ANO
NT

 
 )φ(1)i (1 )i (1
3
1n
nRTN 


 
 
1,309136 = (1 + iRT) x {1,012 x 1,009 x 1,011}  
 
iRT = 26,81% a.t. 
 
 
II – Juros Compostos. 
 
.t.a%29,221236543,11i1i1i 4
NT
T
ANONT

 
 
(1 + iN) = (1 + iR) (1 + ) 
 
.t.a%39,18i
011,1009,1012,1
2229,1
)i (1
RTRT



 
 
 
2.5.3.2 – Correção Monetária de Prestação. 
 
Um dos serviços componentes de um contrato de empreitada foi 
orçado em R$ 115.200,00. O contrato foi firmado em 
10/fevereiro/2013 e o serviço em questão concluso em 
10/setembro/2014. 
 
Pede-se calcular o preço a ser pago pelo serviço, sabendo-se 
que deverá ser corrigido pela variação mensal do CUB.Pn=P0×(1+ ∅0
n) = P0 × 
CUBn
CUB0
∴ 
 
Pn=115.200 ×
1.414,81
1.204,42
 ∴ Pn=135.323,32 R$. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
51 
 
 
 
2.6 – Exercícios Considerando Inflação. 
 
2.6.1 – A construtora CPI Ltda. financiou a aquisição de um 
apartamento durante a construção de um condomínio 
residencial. 
 
Solicita-se calcular o valor da prestação atualizada para a data 
de 10.12.2014, sabendo-se que: 
 
 Valor inicial da prestação: R$ 950,00 
 Data de fechamento da operação: 10.01.2010. 
 Juros pactuados: 8% ao ano. 
 Durante a construção a correção monetária será efetuada 
pela variação mensal do CUB-SC, médio. 
 Após a construção a correção ocorrerá pela variação 
mensal do INPC. 
 Entrega da obra: 25.07.2013. 
 
2.6.2 - Um título cujo valor de face monta a R$ 12.500,00 venceu 
em 01 março de 2005 e não foi quitado na data aprazada. 
 
 Calcular o montante necessário para quitar o título em 
28 de fevereiro de 2006, sabendo que deverá ser corrigido pelo 
INPC, acrescido dos juros de 1,5% ao mês. Efetuar o solicitado 
utilizando a matemática dos juros simples e a dos juros 
compostos. ( R$ 15.397,36 e R$ 15.601,15) 
 
 
2.6.3 - Um título no montante de R$ 7.800,00, vencido em 
31.12.2005, foi quitado em 30.04.2006 pelo valor de R$ 
8.590,86. 
 
30/11 31/12 31/11 28/02 31/03 30/04
7.800,00
8.590,86INPC
Mês 12
INPC
Mês 04
MES
 
 
 Considerando que o valor do título foi atualizado 
monetariamente pelo INPC, calcule a taxa média mensal real de 
juros adotada para remunerar o capital. Seja adotando o calculo 
por juros simples ou compostos. (R: 2,19% e 2,12 % a.m.) 
 
2.6.4 - Um título no montante de R$5.700,00, vencido em 
30.01.2005, foi quitado em 30.06.2005 pelo valor de R$ 
7.639,00. Verifique se a atualização dos valores esta correta, já 
que foi pactuada a correção pelo índice do INPC e os juros em 
2,2 % ao mês (compostos). Caso haja divergência calcule a taxa 
de juros aplicada. 
 
 
2.6.5 - A importância de R$ 2.500 mil foi capitalizada pelo prazo 
de quatorze meses, tendo sido pactuada uma taxa de juros 
bruta, pré-fixada em 45% ao ano. 
 
 Após receber a importância devida, o aplicador 
descobriu que no período da aplicação ocorreu uma inflação 
média mensal de 3,22% ao mês. Pergunta-se qual o ganho de 
capital no período. 
 
2.6.6 - Um capital no montante de D$ 77.000,00 foi aplicado por 
dois anos, tendo sido pactuada uma taxa real de juros 
capitalizada a taxa de 0,50% ao mês. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
52 
 
 Considerando que no primeiro ano da aplicação a inflação 
medida foi de 34% e, no segundo, 48%, deseja-se saber: O 
valor montante a ser recebido no final do período. E, A taxa 
nominal de aplicação para o período completo? 
 
2.6.7 - Uma dívida no valor de R$ 28 mil foi paga com atraso de 
14 meses. Os juros pactuados eram de 10,5% ao mês. Calcule a 
diferença entre os juros pagos quando quitada sob a matemática 
dos juros simples e a do composto. 
 
2.6.8 - Você recebeu uma carta de cobrança relativa a uma 
compra efetuada a vinte e dois meses e não quitada. O valor 
cobrado montava a R$ 2.425,96, sendo que o total da nota fiscal 
de origem da dívida somava a R$ 1.350,00. 
 
Pergunta-se: você concorda com o valor cobrado e qual seria 
a sua proposta, dado seus conhecimentos sobre cobrança e 
a incidência de juros, visando quitar a dívida nesta data? 
 
 
2.6.9 - A importância de R$ 53 mil foi aplicada pelo prazo de 
setenta e sete dias, à taxa de 25,58% ao ano, calculada “pro 
rata tempore”. Qual o montante a ser recebido no final do 
período quando os juros pactuados foram o composto? 
 
2.6.10 - Defina qual o valor da taxa de desconto comercial é 
equivalente à da taxa de desconto racional, quando se sabe que 
um banco pratica uma taxa real de 2,5%, acrescida da inflação, 
considerando operações de desconto de títulos pactuadas em 
noventa dias. E, o banco utilizou juros compostos. 
 
2.6.11 - Você sabe que após 4 períodos vai necessitar da 
importância de R$ 7.000,00. Calcular o Valor Presente - VP e o 
Valor Futuro - VF após onze períodos da data em consideração, 
ao ser adotada uma taxa de desconto de 3% ao período. 
Responder o mesmo questionamento caso ocorrer uma inflação 
de 2,3% a cada período. 
 
2.6.12 - Uma imobiliária vende um terreno em duas prestações 
de R$ 150.000,00 vencíveis em 180 e 270 dias da data do 
negócio. Considerando serem os juros arbitrados em 83,00 % ao 
ano e capitalizados trimestralmente, pergunta-se qual o 
montante a ser pago, à vista, pelo terreno? 
 
2.6.13 - Qual a taxa de juros real pactuada sobre uma aplicação 
financeira de 24 meses cuja taxa efetiva foi pactuada em 52% 
a.a., tendo ocorrido uma inflação de 35% no período da 
aplicação? ( 71,14% no período). 
 
2.6.14 - Considerando a questão anterior, pergunta-se se a taxa 
de 52% pode ser denominada de taxa nominal, efetiva ou bruta. 
Explique cada um dos conceitos. 
 
2.6.15 - Uma aplicação financeira foi pactuada para um período 
de nove meses, capitalizados mensalmente, a uma taxa de juros 
de 27,5% ao ano. Sendo aplicados $ 75.000,00, qual será a 
importância a ser recebida no final do período pactuado? ( R$ 
89.988,46). 
 
 
2.6.16 - Considerando a informação abaixo, informe: 
 
 O crescimento nominal e real da economia ocorrido entre 
1995 e 2005. 
 O crescimento nominal e real da economia entre 2.000 e 
2.008. ( Utilize o INPC-IBGE). 
 Qual o crescimento real médio no período? 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
53 
 
 
 
 
 
Ano 
Produto Interno Bruto Brasil 
Em R$1.000.000 Variação anual real 
Em % Preços Correntes 
1995 705.641 - 
1996 843.966 2,2 
1997 939.147 3,4 
1998 979.276 0,0 
1999 1.065.000 0,3 
2000 1.179.482 4,3 
2001 1.302.135 1,3 
2002 1.477.822 2,7 
2003 1.699.948 1,1 
2004 1.941.498 5,7 
2005 2.147.239 3,2 
2006 2.369.484 4,0 
2007 2.661.345 6,1 
2008 3.031.864 5,2 
2009(*) 3.143.015 - 0,3 
* Estimativa 
 
 
 
2.6.17 - Solicita-se calcular: 
 
- O valor percentual da inflação acumulada entre 
01.01.1995 e 31.01.1998, calculada pelo INPC; 
 
- O montante a ser recebido por uma aplicação de R$ 
700,00, contratada em 31.01.1995, por um prazo de três 
anos, a juros de 7,5% ao ano e acrescido de correção 
monetária. Sendo sua a decisão, qual dos índices você 
escolheria caso fosse o aplicador do recurso: o INPC ou o 
IGP-M? 
 
2.6.18 - Qual o tempo necessário para triplicar um capital 
quando este for capitalizado à taxa de 1,33 % ao mês? ( ≈ 83 
meses). 
 
2.6.19 - Elaborar um único gráfico mostrando a taxa de 
crescimento nominal e a taxa real do lucro de uma empresa, 
conforme abaixo, utilizando como índice de correção monetária 
o Índice Nacional de Preços ao Consumidor do IBGE: 
 
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015 
Lucro 
10³ R$ 
650 760 790 850 880 920 
 
2.6.20 - A caixinha dos funcionários do Braspel, criada para 
atender rapidamente necessidades financeiras de seus 
associados, empresta e aplica dinheiro, praticando sempre a 
taxa de 8% ao período, para qualquer tipo de operação 
financeira. 
 
 A política de gestão da caixinha é a seguinte: Quando ela 
toma capital emprestado, paga os juros no vencimento. Quando 
empresta aos associados, os juros são cobrados 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
54 
 
antecipadamente. Neste caso, o empréstimo tem como garantia 
um cheque pré-datado, a ser descontado no dia do pagamento. 
 
Assim, pergunta-se: 
 
- Se José da Silva emprestar à caixinha a importância de R$ 
40.000,00 quanto a ele será devolvido no final de um mês? 
- Se José desejar retirar da caixinha, exatamente, a 
importância de R$ 40.000,00, qual será o montante do cheque 
(pré-datado) a ser preenchidocomo garantia do empréstimo? 
- Na hipótese anterior, definir a taxa de juros efetivamente 
paga. 
 
2.6.21 - O capital de R$ 5.000,00 foi aplicado em 01.02.2006 e 
capitalizado durante sete meses, tendo rendido a importância de 
R$ 1.077,53 em juros. Pergunta-se qual a taxa mensal de juros 
praticada. 
 
2.6.22 - Defina em qual instituição financeira deverá ser 
descontada uma duplicata emitida pela empresa Rota Norte, 
vincenda em 90 dias. Sabe-se que o banco Brother Inc. pratica 
uma taxa de juros simples de 5,5% ao mês; e, o banco Fast-
Money Ltda, uma taxa de juros compostos de 4,98 % ao mês. 
(Ver, a seguir, o citado título). (R$ 23.300,00/23.139,27 R$). 
 
2.6.23 - O montante de R$ 7.000,00 foi aplicado em 15/12/2004, 
capitalizado por cinco anos e atualizado monetariamente pelo 
INPC. O valor resgatado foi de R$ 14.987,65. Pergunta-se qual a 
taxa real de juros, mensal, incidente nesta operação financeira. 
 
2.6.24 - O Banco STS S/A, lhe propôs uma aplicação em título 
de capitalização de R$ 800,00, pelo prazo de 12 meses, findo 
os quais lhe devolverá R$ 1.080,00. Considerando que a 
aplicação em títulos do Tesouro Nacional remunera o investidor 
a taxa de 15.50 % ao ano acrescido da correção monetária 
prevista para 5% no próximo exercício. Assim, deseja-se saber 
qual a taxa de juros embutida na proposta do STS. E, se é 
vantajoso aplicar no STS, ou melhor, se é uma operação de 
risco. 
 
2.6.25 - Um contrato de empreitada no montante de R$ 333,00 
mil foi firmado em 01.08.2004. A última etapa executada e 
conclusa em 30.03.2005, no valor de R$ 27,00 mil, não foi 
quitada. O contrato previa o pagamento e a correção das etapas 
durante a construção segundo a variação mensal do CUB. 
 
 Solicita-se seja calculado o valor do montante necessário 
para quitar o título em 30.09.2005, sabendo que o índice 
adotado para a correção da divida é o INPC, acrescido dos juros 
de 1,2% ao mês. Efetuar o solicitado utilizando a matemática 
dos juros simples e a dos juros compostos. 
 
2.6.26 - Uma duplicata relativa à venda de material de 
construção foi emitida com pagamento para 30/06/2006. No seu 
valor de face já estava embutida uma remuneração do capital de 
1,5% ao mês (juros compostos) e o principal sendo corrigido 
pela projeção da variação mensal do CUB. Montando o valor de 
face em R$ 22.597,25, pergunta-se qual seria o valor a ser pago 
visando a sua quitação sessenta dias antes de seu vencimento. 
 
 
2.6.27 - Uma empresa negociou a aquisição de um equipamento 
no valor de R$ 22.000,00, financiada pelo fabricante e dividido 
em seis parcelas mensais, iguais e consecutivas, sendo a 
primeira delas quitada na data da assinatura do contrato. 
Calcular o valor efetivo de cada uma das parcelas, sabendo que 
a taxa de juros pactuada é de 3% ao mês. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
55 
 
2.6.28 - ENADE 2011. 
Uma empresa fez um investimento inicial de R$ 100 mil 
com uma taxa de retorno no primeiro mês de 10%; no final 
desse período, necessitou fazer uma retirada de R$ 5 000,00. 
 
 A empresa fez uma segunda aplicação do saldo a uma 
taxa de retorno de 8%. 
 
 Em um terceiro período, a empresa reaplicou, por mais 
um mês, o saldo restante acrescido de R$ 7 000,00, agora a 
uma taxa de retorno de 10%. A movimentação financeira da 
empresa está representada no fluxo de caixa abaixo. 
 
100.000 R$
5.000.00
7.000,00
VF
período
10% 8% 10%
Fonte: ENADE 2011
2 3
1
 
Com base na situação apresentada, o valor final (Valor 
Futuro) do investimento da empresa será de: R$ 134.800,00; R$ 
132.400,00; R$ 128.900,00; R$ 127.700,00; R$ 102.000,00. 
 
2.6.29 - Você, como gerente de uma empresa de engenharia, 
foi aos bancos BVC Inc. e Square Financial, negociar o 
desconto de um conjunto de duplicatas no valor global de 928 
mil reais, vencíveis em 30, 60 e 90 dias. 
Você decidiu e realizou a operação com o BVC Inc. 
 
Em reunião da diretoria da sua empresa, depois de realizada a 
operação de credito, você foi questionado(a) quanto a operação 
realizada, pois os juros cobrados pelo BVC Inc. são superiores 
aos praticados pelo Square Financial. 
 
Dado o contexto pergunta-se: Qual a justificativa técnica que 
amparou a sua decisão? Demonstre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
56 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ROTA NORTE 
 Engenharia e Construções Ltda. 
 
Rua Don João VI nº 1808 – cj. 007 
CGC/MF nº 99.888.777/0001-23 
Insc. Estadual – Isento 
Bairro do Bonaparte – Rio de Janeiro – RJ 
 
Data de emissão: 20 de julho de 2006. 
F A T U R A D U P L I C A T A VENCIMENTO Para uso da Instituição 
Financeira. Valor – R$ Número Valor – R$ Nº de Ordem 
20.10.2006 
100.000,00 1.325 20.000,00 1.433 – C/E 
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
 
A
s
s
in
a
tu
ra
 d
o
 E
m
it
e
n
te
 
Nota(s) Fiscal(is) nº 2.322/ 2323/2.329. 
Desconto de: Até 
Condições Especiais: a vista desconto de 5%. 
Nome do Sacado: Ipsis Literis Editora Ltda. 
Endereço: Rua das Maitacas nº 666. 
Município: Rotunda Ária Estado: ST CEP: 11.111-999 
Praça de Pagamento: 
CGC ou CPF: 123.321.213/0001-02 Insc. Est. nº 31.313-03 
VALOR 
 por extenso 
(vinte mil reais)................................................................................ 
........................................................................................................... 
Reconheço(cemos) a exatidão desta Duplicata de Venda Mercantil, em pagamento parcelado na 
importância acima que pagarei (emos) à Rota Norte Engenharia e Construções Ltda., ou a sua 
ordem, na praça e vencimento indicados. 
 
 
 
 ...................................... ................................................................. 
 Data do aceite Assinatura do Sacado 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
57 
 
 
 
3. Séries de Capitais. 
 
 
3.0 – Introdução. 
 
Por definição uma série de capitais é caracterizada como 
sendo uma sequência de pagamentos periódicos, consecutivos 
e que apresentem alguma lei de formação. 
 
O estudo contido neste capítulo permite efetuar diversas 
operações com juros e pagamentos realizados 
corriqueiramente no comércio, facilitando o cálculo das 
variáveis desejadas através da adoção de modelos 
matemáticos, primordialmente quanto à análise de: 
 
i. Formação de fundos de capitalização, a exemplo de 
depósitos programados em títulos de capitalização ou a 
formação de capital visando à aquisição futura de bens; 
ii. Amortização de dívidas, mediante o pagamento de 
prestações iguais e consecutivas, tais como operações de 
crédito e compras a prazo; 
iii. Comparação dos resultados econômicos de operações 
financeiras ou análise de decisão entre investimentos que 
rendam dividendos periódicos. 
 
Diversos tipos de séries de pagamentos podem ser 
adotados nos empréstimos ou financiamentos, neste capítulo 
serão estudadas aquelas mais comumente utilizadas no 
comercio e no mercado de capitais brasileiro, a saber: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As variáveis a serem consideradas no estudo de séries 
são: a taxa de juros pactuada, o número de períodos da 
operação, o valor presente, o valor futuro dos pagamentos 
realizados e o valor da prestação. 
 
 
3.1 – Série Uniforme Postecipada. 
 
 Uma série uniforme de pagamentos é dita postecipada, 
quando ocorre uma sucessão de pagamentos iguais, R, 
efetuados emintervalos regulares e constantes, sendo o 
primeiro pagamento realizado concomitantemente com o 
PRIMEIRO PERÍODO POSTERIOR à data da operação financeira que 
lhes deu origem. Modelo da série postecipada na Figura 3.1. 
 
Tomando como exemplo de uma série uniforme 
postecipada, Figura 3.1, a série de pagamentos iguais a “R” é 
iniciada após a pactuação do principal “P”, ocorrendo o primeiro 
pagamento no primeiro período e, assim sucessivamente, até 
que o ultimo pagamento seja realizado no período n. 
 
Série Uniforme Postecipada 
Serie Uniforme Antecipada 
Série Uniforme Infinita 
Série Diferida 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
58 
 
 
 0 1 2 3 4 n 
R$
R1 Rn
Figura 3.1 - Modelo de Série Postecipada
período
Valor
 Futuro
Valor Presente
1 Per.
 
 
 Nos itens a seguir, será demonstrado como calcular o 
Valor Presente, VP(SP), e o Valor, VF(SP), Futuro de uma série 
uniforme postecipada, conhecida a prestação R(SP), o número 
de períodos e a taxa de juros pactuada. E, também, como 
determinar a prestação quando conhecidas as demais 
variáveis, fato corriqueiro em empréstimos e vendas a prazo. 
 
 
3.1.1 - Valor Presente ou Valor Atual da Série Postecipada. 
 
Adotando como nomenclatura, Pk como sendo o valor 
presente associado a um pagamento singular qualquer Rk, e 
considerando que, por definição, se dispõe de uma série 
uniforme de pagamentos, iguais, periódicos e consecutivos, 
têm-se que: R1 = R2 = ···· = Rn = R. 
 
Matematicamente, o valor presente da série de 
pagamentos, VP, é obtido ao se efetuar o somatório dos 
valores presentes de cada pagamento singular. Então: 
 
VP = P1+ P2 + P3 +∙∙∙∙∙ + Pn 
 
Sabendo que o valor presente de cada pagamento 
singular é dado pela expressão: Pk = Rk (1+ i)-k e, relacionando 
o valor presente para cada “Pk”, com k variando de 1 a n, tem-
se: 
[
 
 
 
 
P1 = R1 ∙ (1 + i)
−1
P2 = R2 ∙ (1 + i)
−2
P3 = R3 ∙ (1 + i)
−3
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
Pn = Rn ∙ (1 + i)
−n]
 
 
 
 
 
 
 Ao ser somado os Pk para k = 1, 2, 3,...,n, obtém-se a 
expressão geral da soma de uma série de pagamentos iguais e 
consecutivos. 
 
VP(sp) = R(sp) (1 + i )-1 + R (1+ i )-2 + ... + R (1+ i )-n 
 
VP(sp) = R(sp) {(1 + i)-1 + (1+ i)-2 + ... + (1+ i)-n } 
 
A série representativa do segundo termo da expressão 
acima, colocada entre chaves, pode ser caracterizada como 
uma progressão geométrica cuja razão é q = (1 + i)-1 e o 
primeiro termo a = (1 + i)-1. 
 
Considerando que a soma de uma progressão geométrica 
decrescente é dada pela expressão 
q1
)q1(a
)PG(S
n



, após 
serem substituídos seus termos pelos respectivos valores 
financeiros, chega-se a: 
n
n
)i(i
)i(
)PG(S



1
11 , expressão esta 
denominada de fator de valor presente. Demonstrando: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
59 
 
S(PG)= 
a×(1-qn) 
1-q
 ∴ S(PG)=
(1+i)-1×(1-(1+i)-1
n
) 
1-(1+i)-1
 
 
S(PG)=
1
 (1+i)
-
1
(1+i)
×
1
(1+i)n 
1-
1
(1+i)
 ∴ S(PG)=
1
(1+i)
-
1
(1+i)n+1
(1+i)-1
(1+i)
 
 
S(PG)=
(1+i)
i
(
1
(1+i)
-
1
(1+i)n+1
) ∴ S(PG)=
1
i
(
(1+i)
(1+i)
-
(1+i)
(1+i)n+1
) 
 
𝑆(PG) =
1
i
(−
1
(1 + i)n
) c. q. d. S(PG) =
(1 + i)n − 1
i (1 + i)n
 
 
Substituindo a expressão da soma da progressão 
geométrica decrescente, S (PG), na série acima, fica definida a 
expressão do Valor Presente de uma série uniforme de 
pagamentos “R”, no caso do primeiro pagamento ocorrer um 
período após o início da operação financeira que lhe deu 
origem: 
 











n
n
)i(i
)i(
(sp)R(sp)VP
1
11
 
 
O termo entre colchetes expressa um fator que define o 
valor atual da série postecipada quando o valor da prestação é 
a unidade. Por motivo de facilidade de notação, este fator de é 
grafado sob a seguinte notação: 
 
inn
n
aiFVPn
)i(i
)i(











1
11
 
 
 Então, dada a notação, o valor presente de uma série 
postecipada pode ser expresso como: 
 
VP(SP) = R  FVP n¬i = R(SP)  a
in
 
 
 Tanto FVPn¬i como a
in
 são denominados de FATOR 
DE VALOR PRESENTE ou FATOR DE VALOR ATUAL de uma série de 
pagamentos. Ver tabelas do Anexo-I. 
 
 Assim sendo, o fator de valor presente permite 
determinar o montante do valor presente de uma série 
postecipada, ou seja, o valor de um bem na data de hoje, 
quando conhecida a prestação a ser praga, o número de 
períodos envolvidos e a taxa de juros pactuada. 
 
 De modo inverso, ao se deseja conhecer o valor da 
prestação a ser paga, quando conhecidos o capital a ser 
financiado, a taxa de juros, e o prazo de pagamento, a fórmula 
acima é utilizada sob a seguinte forma: 
 











11
1
n
n
)i(
)i(i
(sp)VP(sp)R
 
 
Escrevendo, por facilidade de notação: 
 
 aiFRCn
)i(
)i(i
inn
n
1
11
1 











  
 
 R(SP) = VP(SP)  FRCn¬i 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
60 
 
 As expressões FRCn¬i e 
1
ina
 correspondem à notação 
resumida da expressão entre colchetes acima e são 
denominadas de FATOR DE RECUPERAÇÃO DE CAPITAL a taxa de 
juros i para n períodos. Ver Tabelas do Anexo-I. 
 
 
O VALOR PRESENTE DA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE 
NO PERÍODO IMEDIATAMENTE ANTERIOR AO DO 
PRIMEIRO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
3.1.2 - Valor Futuro da Série Postecipada. 
 
O valor futuro de uma série de capitais postecipada 
corresponde ao valor do somatório de todos os valores 
integrantes da série, iguais e consecutivos, financeiramente 
considerados na data do ultimo período da série. Noutras 
palavras, corresponde ao montante do capital disponível na 
data do último pagamento da série, capitalizado 
financeiramente à taxa pactuada. 
 
Obtém-se o Valor Futuro equivalente a uma série 
postecipada de modo similar ao utilizado para o cálculo do 
Valor Presente, considerando como razão da progressão 
geométrica o fator q = (1+ i). 
 
A expressão da soma de uma progressão geométrica 
crescente é dada por: 
1
1



q
q
)PG(S
n em que n representa o 
número de termos da progressão. Substituindo os valores de q 
por (1+i): 
 
S(PG)=
(1+i)n-1
(1+i)-1
=
(1+i)n-1
i
 
 
 Ao se proceder as devidas substituições e de modo 
idêntico ao caso do valor presente, chega-se a expressão do 
Valor Futuro, VF(SP), de uma série de pagamentos iguais e 
consecutivos. Assim: 
 
 Valor Futuro: 







 

i
)i(
(sp)R(sp)S
n 11
 
 
E, em decorrência o valor da prestação é dado por: 
 
Valor da Prestação: 










11 n)i(
i
(sp)S(sp)R
 
 
 Identicamente ao caso do Valor Presente, as expressões 
entre colchetes são denominadas, respectivamente, de Fator 
de Valor Futuro e Fator de Formação de Capital de uma série 
postecipada. 
 
 Por motivo de facilidade de notação, esses fatores 
podem ser escritos sob forma resumida, quais sejam: 
 
[
(1+i)n−1
i
] ≡ FVFn¬i e, [
i
(1+i)n-1
]≡FFCn¬i 
 
 Assim sendo, a expressão do valor futuro de uma série 
postecipada quando conhecida a prestação e, vice versa, a 
expressão da prestação quando conhecido o valor futuro de 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
61 
 
uma série postecipada, podem ser expressos sob a seguinte 
notação: 
 
S(SP)= R(SP)  FVFn¬i e, R(SP) = S(SP)  FFCn¬i 
 
 
 O Fator de Valor Futuro, FVFn¬i, permite estabelecer, 
por unidade de capital, qual será o montante “S” a ser 
disponível em data futura, quando conhecidos: o valor das 
prestações, o período de capitalização e a taxa pactuada de 
juros, “i”. 
 
 A cultura das áreas econômica e do comércio de capitais 
adota a denominação de taxa de capitalização para a taxa de 
juros “i” quando se deseja conhecer o valor disponível após 
certo número de períodos de aplicação. 
 
 Analogamente, o Fator de Formação de Capital, FFCn¬i, 
permite definir qual o valor das prestações, iguais e 
consecutivas, a serem capitalizadas para que, no final de 
determinado período se obtenha o montante “S”. 
 
 Identicamente ao anteriormente comentado, estes dois 
fatores podem ser calculados e, também, encontrados em 
tabelas financeiras. Ver Anexo - I. 
 
 Finalizando, alerta-se que neste caso de série 
postecipada de pagamentos, o valor futuro da mesma é 
definido coincidentemente com a data do último pagamento. 
 
O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE POSTECIPADA OCORRE 
COINCIDENTEMENTE
 COM A DATA DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
3.1.3 - Exemplo. 
 
 Como exemplo, seja o caso de uma loja de varejo que 
vende um equipamento, a vista, por R$ 2.500,00. Deseja-se 
saber o valor do mesmo quando financiado em seis prestações 
iguais, mensais e consecutivas, sabendo que a loja remunera 
seus ativos à taxa de 2% ao mês? 
 






















10201
0201020
2500
11
1 6
nn
n
),(
),(,
)i(
)i(i
(sp)VP(sp)R
 
R (SP)= 2.500,00  0,1785 = 446,31R$ 
 
 
3.1.4 - Comparando Juros Simples e Compostos. 
 
 Seja o caso do financiamento de um automóvel novo no 
valor de R$ 60 mil. Foi dado como entrada um veículo de 
mesma marca, usado, no valor de R$ 45.000,00. 
 
 O financiamento do saldo, R4 15.000,00, foi pactuado 
para ser quitado em 12 parcelas, a juros de 7% ao mês. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
62 
 
 Pretende-se analisar qual a forma de pagamento permite 
uma maior economia para o comprador. Para tanto será 
comparado se o financiamento deverá ser efetuado em 
parcelas iguais, mensais e consecutivas, o que caracteriza 
juros compostos. Ou por pagamentos crescentes, com cada 
parcela sendo atualizada pela matemática dos juros simples. 
 
 
 
a) Série Uniforme – Juros Compostos. 
 
 Neste caso, o valor a ser financiado monta a R$ 45 mil e 
o valor da prestação será calculado considerando que os 
pagamentos se comportam como uma série uniforme 
postecipada, com o primeiro pagamento ocorrendo trinta dias 
após a data do financiamento. 
 
15.000
R$
Mês
1.888,52 R$/mês
 1 3 6 9 12
 
 









11
1
n
n
)i(
)i(i
(k)VP(k)R
 
 
R(k) = 15.000 ×
0,07 × (1 + 0,07)12
(1 + 0,07)12 − 1
= 1.888,52R$ 
 
 
b) Pagamento por juros simples. 
 
 Neste caso o valor financiado, R$ 15.000,00, será 
quitado em doze parcelas, mensais e consecutivas no valor de 
R$ 1.250,00, corrigidas até a data do efetivo pagamento à taxa 
de juros pactuada: 
 
1ª Parcela: 1.250,00 x (1+1 x 0,07) = 1.337,50 
2ª Parcela: 1.250,00 x (1+2 x 0,07) = 1.425,00 
3ª Parcela: 1.250,00 x (1+3 x 0,07) = 1.512,50 
4ª Parcela: 1.250,00 x (1+4 x 0,07) = 1.600,00 
5ª Parcela: 1.250,00 x (1+5 x 0,07) = 1.687,50 
6ª Parcela: 1.250,00 x (1+6 x 0,07) = 1.775,00 
7ª Parcela: 1.250,00 x (1+7 x 0,07) = 1.862,50 
8ª Parcela: 1.250,00 x (1+8 x 0,07) = 1.950,00 
9ª Parcela: 1.250,00 x (1+9 x 0,07) = 2.037,50 
10ª Parcela: 1.250,00 x (1+10 x 0,07) = 2.125,00 
11ª Parcela: 1.250,00 x (1+11 x 0,07) = 2.212,50 
12ª Parcela: 1.250,00 x (1+12 x 0,07) = 2.300,00 
Valor total: .....................................R$ 21.825,00 
 
 
c) Análise econômica. 
 
 A comparação dos valores obtidos por análise 
econômica mede, simplesmente, apenas a diferença dos 
desembolsos efetuados. 
 
 Total dos desembolsos: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
63 
 
 Juros compostos = 12 ×1.888,52 = 22.662,24 R$. 
 Juros Simples = Σ parcelas pagas = 21.825,00 R$. 
 Comparativo: Δ =Juros compostos - Juros simples 
 Δ = 22.662,24 - 21.825,00 
 Δ = 837,24 R$ 
 
 Fica demonstrada uma economia de R$ 837,24, caso os 
pagamentos fossem realizados adotando a matemática dos 
juros simples. 
 
 
3.2 – Série Infinita. 
 
3.2.1 – Conceituação. 
 
Série infinita, também denominada série perpétua ou 
perpetuidade de uma série postecipada, é definida como a 
sequência de pagamentos “R”, iguais, periódicos e 
consecutivos, contendo um número muito grande de termos, 
pelo qual é considerada infinita. Ver modelo na Figura 3.2. 
 0 1 2 3 4 n →∞
R1 Rn
R$
Figura 3.2 - Modelo de Série Infinita
Períodos
 
Uma série nestas condições é, matematicamente, 
considerada como infinita porque a influência dos últimos 
termos da série no montante do valor presente passa a ser nulo 
ou irrisório. E, este fato é função do grande número de período 
das séries e da taxa de desconto praticada. 
 
𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑝é𝑡𝑢𝑎 → 𝑓(𝑛 → ∞; 𝑖) 
 
Como exemplo de perpetuidade, pode-se citar o caso das 
aposentadorias, prestação da casa própria ou remuneração 
dos fundos de pensão. 
 
Partindo da expressão do valor presente de uma série 
postecipada formada por pagamentos iguais, periódicos e 
consecutivos, tem-se: 
 
VP(SP) = R(SP)  FVPn¬i 
 
Quando n 

, tem-se: 
iFVPnLim (sp)R (si)VP
n


 
 
Substituindo a variável FVPn¬i pela sua expressão 
matemática tem-se: 
 
iFVPnLim
n


 = 








 n
n
n )(i
)i(
Lim
11
11
 = 




















n
n
nn
n
n
)i(
)i(
i
)i()i(
)i(
Lim
1
1
1
1
1
1
  
 
iii
)i(
Lim
n
n
1011
1
1






 
 
 Assim, fica demonstrada a expressão de uma 
Perpetuidade ou Série Perpétua, o que permite calcular o Valor 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
64 
 
Presente, VP(SI), de uma série infinita de prestações iguais, 
periódicas e consecutivas: 
 
VP(si) =
R(si)
i
 
 
 Analisando tabelas financeiras, é possível verificar qual 
o período a partir do qual uma série postecipada pode ser 
considerada como infinita e isto, também, é função direta da 
taxa de juros praticada. 
 
Deste modo, quanto maior a taxa de juros, menor é o 
número de períodos necessários a caracterizar a série como 
perpetuidade. 
 
 Isto porque, qualquer prestação muito distante da data 
de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um 
valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo 
significativamente no aumento do montante do valor presente 
da série. 
 
Isto porque, qualquer prestação muito distante da data 
de início, e conforme a taxa de desconto praticada produz um 
valor presente insignificante ou próximo de zero, não influindo 
significativamente no aumento do montante do valor presente 
da série. 
 
Como exemplo da assertiva, sejam os valores presentes 
de dois fluxos de caixa iguais, no valor de 400 mil reais, tendo 
como taxa de desconto 15%. O primeiro ocorrendo no 12º 
período e o outro no 100º período. 
 
VP(12º)= 
R
(1+i)12 
=
400.000
1,1512
= 
400.000
5,350250
=74.762,86 R$ 
 
𝑉P(100º)= 
R
(1+i)100 
=
400.000
1,15100
= 
400.000
1.174.313,45= 0,34R$ 
 
 
Comparando os dois valores presentes, o que ocorrer no 
100º período apresenta um valor irrisório comparado ao que 
ocorrer no 12º. Assim, fica comprovada a assertiva. 
 
Nas tabelas financeiras pode-se verificar os fatores de 
valor presente cada vez menores com o tempo.. 
 
 
3.2.2 – Exercício Resolvido. 
 
a) Ao completar 10 anos, seu avo lhe abriu uma caderneta 
de poupança programada e passou a depositar a 
importância de R$ 750,00 por mês de então até a data 
de sua formatura, 15 anos depois. Considerando que o 
banco remunera este tipo de investimento à taxa de 8% 
ao ano, capitalizados mensalmente, determine o 
montante disponível na data formatura, a valor de hoje. 
 
i(ano) = 8% aa → i(mês) = 0,66667% a.m. 
 
P(si)= 
R(si)
i
=
750,00
0,0066667
=112499,40 
 
 Dos dados obtidos fazem-se os seguintes comentários: 
 
 O montante de R$112.499,40 corresponde ao valor, em 
termos de valor aquisitivo medido no momento atual, da 
poupança em termos de moeda de poder aquisitivo 
constante, já que desconsiderada a inflação no período. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
65 
 
 
 Além disto, justifica-se o calculo do valor presente utilizando 
o conceito de perpetuidade, pois o horizonte das prestações 
atinge 180 meses e, assim sendo, as últimas prestações 
tem reduzida influência no montante do mesmo. 
 
 
b) Você esta vendendo um apartamento no valor de R$ 
150.000,00. Um comprador lhe fez duas propostas para a 
venda em prestações, nas seguintes condições: 
 
Proposta A: 40% de entrada. O saldo sendo pago em duas 
parcelas sem correção: 
 A primeira equivalente a 40% do saldo, a ser quitada em 
60 dias; 
 A segunda, equivalente a 60% do saldo, a ser paga em 
120 dias. 
 
Proposta B: 30% de entrada e o saldo sendo quitado em quatro 
parcelas iguais, mensais e consecutivas, sem correção, 
vencendo a primeira trinta dias após o fechamento do negócio. 
Analise qual das opções seria a mais vantajosa sabendo 
que você utiliza uma TMA = 3% ao mês. 
Os diagramas de fluxo de caixa a seguir mostram as 
condições propostas. 
Calculando o valor presente para cada proposta tem-se: 
 
$R75,911.141
)03,1(
54000
)03,1(
36000
60000 VP(A)
42

 
 
$R75,911.141
)03,1(
54000
)03,1(
36000
60000 VP(A)
42

 
 
VP(B)=45000+26250∙ FVP4¬3% 
 
 
VP(B)=45000+26250∙ [
(1+0,03)4-1 
0,03×(1+0,03)4
] =142.573,83 R$ 
 
 
 Como VB (B) > VP(A), a Proposta B é a mais vantajosa. 
 
 1 2 3 4 mês
 60.000 36.000 54.000
Prop. A
 1 2 3 4 mês
 45.000
Prop. B
26.250,00
 
 
 
3.3 – Série Uniforme Antecipada. 
 
Uma Série Uniforme Antecipada é definida como sendo 
a sucessão de pagamentos iguais, R, efetuada em intervalos 
regulares e constantes, cujo primeiro pagamento ocorra na 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
66 
 
data da operação financeira que lhe deu origem. O modelo 
desta série é apresentado na Figura 3.3. 
 
 Como exemplo de aplicação deste tipo de série, tem-se 
os casos de: 
 
I. Aplicação em depósito programado, também denominado de 
capitalização, quando é pactuado que uma determinada 
importância “R” será recolhida em períodos pré-
determinados, a partir do momento de pactuação da 
operação financeira e cujo montante “VF” será devolvido ao 
aplicador findo o período programado, um período após o 
pagamento da última importância, e; 
 
II. Aquisição de um bem no valor “VP”, a ser quitado em 
parcelas iguais e sucessivas iguais a “R”, sendo que a 
primeira parcela é quitada no momento da compra. 
 
 
 0 1 2 3 4 n-1 n 
R$
Figura 3.3 - Modelo de Série Antecipada
período
Valor Presente
Valor Futuro
R1 Rn
1 Per.
R2
 
 
Tomando como expressão gráfica de uma Série Uniforme 
Antecipada o desenho da Figura 3.3, fica caracterizado que, 
neste tipo de série de pagamentos iguais, periódicos e 
consecutivos, “R”, o primeiro pagamento ocorre na data da 
operação financeira que lhe deu origem. 
 
Ressalta-se que o primeiro pagamento da série ocorre 
coincidentemente com a data do pactuado. E, que valor futuro 
desta série, VF(SA), ocorre um período após o pagamento da 
ultima prestação. 
 
A seguir é demonstrado como calcular o Valor Presente, 
VP(SA), e o Valor Futuro, VF(SA), da série antecipada de 
pagamentos. 
 
 
3.3.1 – Valor Presente da Série Antecipada. 
 
 Efetuando o valor presente de cada um dos pagamentos 
singulares, VPK, pode-se escrever o valor presente da série de 
pagamentos postecipada como: 
 
VP(SA) = VP1 + VP2+ VP3 + VP4 + ∙∙∙ + VPn 
 
 Escrevendo cada termo da expressão acima em função 
de suas variáveis tem-se: 
 
[
 
 
 
 
 
 
VP1 = R
VP2 = R ∙ (1 + i)
−1 − 1
VP3 = R ∙ (1 + i)
−2 − 1
VP4 = R ∙ (1 + i)
−3 − 1
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
VPn = R ∙ (1 + i)
−(n−1) − 1]
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
67 
 
Substituindo o valor presente de cada pagamento 
individual em função do pagamento a ser realizado, tem-se o 
valor presente da série, VP(sa): 
 
VP(SA) = R + R (1 + i) -1 + R (1 + i) -2 + R (1 + i) –3 + + R (1 + i) –n 
 
VP(SA) = R { 1 + (1 +i ) -1 + (1 + i) -2 + (1+ i) –3 + + (1 + i) –n } 
 
 Como definido anteriormente, a soma de uma 
progressão geométrica decrescente é dada pela expressão 
S(PG)=
a(1-qn)
1-q
 em que, substituindo pelos respectivos valores 
financeiros, chega-se a: 𝑆(PG)=
(1+i)n-1
i ×(1+i)n-1
 
 
Demonstrando o processo: 
 
S(PG)=
a(1-qn) 
1-q
∴ S(PG)=
1 (1-
1
(1+i)n
)
1-
1
(1+i)
∴ 
 
𝑆(PG)= 
(1+i)n -1
(1+i)n
i
(1+i)
=
(1+i)× ((1+i)n -1)
i×(1+i)n
 ∴ 
 
S(PG)=
(1+i)n-1
i ×(1+i)n-1
 
 
Substituindo a expressão da soma da progressão 
geométrica, S(PG), na série acima, fica definida a expressão do 
Valor Presente, VP(SA) de uma série de pagamentos 
antecipados: 
 
 
VP(sa)= R(sa) × {
(1+i)n-1
i ×(1+i)n-1
} 
 
Ao se desejar conhecer o valor da prestação ou 
pagamento, R(SA), conhecido o montante do Valor Presente, 
VP(SA), parte-se da expressão acima. Então: 
 
R(sa)=VP(sa) × {
i×(1+i)n-1
(1+i)n-1
} 
 
 
 
3.3.2 – Valor Futuro da Série Antecipada. 
 
Por definição, o valor futuro, VF(SA), de uma série de 
pagamentos antecipada é definido no primeiro período 
subsequente ao do último pagamento. Modelo na Figura 3.4. 
 
 A determinação do Valor Futuro da série antecipada 
poderá ser efetuada, de modo mais expedito, partindo da 
expressão do Valor Futuro de uma série postecipada. 
 
 Para tanto determina-se, inicialmente, o Valor Futuro da 
Série Postecipada - “S”. Estabelecido o valor de “S” para o 
tempo t(n-1), o Valor Futuro da Série Antecipada – VF é definido 
ao se levar o valor de “S” para o período t(n). 
 
Matematicamente, o valor futuro da série antecipada, 
pode ser obtido ao se multiplicar o valor futuro da série 
postecipada, S, pelo fator de valor futuro de um pagamento 
único. Isto porque, considerando um mesmo número de 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
68 
 
períodos, a série antecipada inicia um período antes que o da 
série postecipada. 
Figura 3.4 – Valor Futuro de Série Antecipada
VP(SA)
 0 1 2 3 4 n-1 n período 
R1 Rn
VF(SA)
VF(SP)≡S
 
 
 Então: VF(sa)=( 1+i) ×VF(sp) 
 
Ao se multiplicar por (1+i) cada termo de umaSérie 
Antecipada, obtém-se o valor de cada termo da série no momento 
seguinte ao de sua realização, passando, então, a se comportar 
como uma Série Postecipada, cuja soma já é conhecida. 
 
VF(sa)=R(n)× {
(1+i)n -1
i
×(1+i)} 
 
No caso inverso, ao ser conhecido o Valor Futuro de 
uma série antecipada, o valor da sua prestação, R(SA), é dado 
por: 
 
R(n)=VF(sa)× {
i
{(1+i)n -1} ×(1+i) 
} 
 
 
 Recomenda-se cuidado na aplicação dessas fórmulas 
que envolvam o valor futuro da série antecipada, pois ele é 
medido um período após a conclusão do período de 
pagamentos. 
 
 
 Como exemplo deste caso, seja a aplicação em 
caderneta de poupança programada ou em título de 
capitalização. O primeiro pagamento da série ocorre no 
momento em que é pactuado o contrato de aplicação. O ultimo 
momento da série ocorre um período após o ultimo pagamento, 
já que este último pagamento deverá gerar juros por ainda mais 
um período. 
 
O VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ANTECIPADA
 É DEFINIDO UM PERÍODO APÓS A DATA
 DE SEU ULTIMO PAGAMENTO.
Memorize !
 
 
 
 
3.3.3 – Aplicação. 
 
a) Você é um profissional liberal e associado a uma 
cooperativa de crédito. A cooperativa oferece uma 
remuneração de 1,25% ao mês para aplicação em 
investimentos programados em títulos de capitalização. 
Pergunta-se, qual a importância a ser investida visando 
adquirir um computador cujo preço é de R$ 5 mil no prazo 
de quatorze meses? 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
69 
 
)i1(}1)i1{(
i
VFR
n 

 
 
$R,
),(}),{(
,
R 97324
01251101251
01250
5000
14



 
 
b) Calcular o montante de capital propiciado pela aquisição 
de um título de capitalização pactuado à taxa de 2% ao 
mês e contratado por um período de dois anos, nas 
seguintes situações: 
 
 A valores da data de fechamento da operação, ou 
seja, na data de hoje; 
 E, o montante no final do período. 
 
 O valor da prestação contratada foi de D$ 700,00 por 
mês. 
 
 
 
0 6 12 18 23 24 mês
R$ - Valor Presente
VF = Valor Futuro
R$ 700,00/mês n =
 24
 me
ses
 
Atenção:
Sendo o caso em pauta associado a uma série antecipada, o 
número de período “´n” da série corresponde à duração total 
pactuada para a operação, ou seja, 24 meses.
A devolução do capital investido ou o Valor Futuro da série ocorrerá 
um período após a realização do ultimo pagamento. 
 
 
 
I - Valor Presente: VP = R  FVP (24; 2%) 
 
11
11



n
n
)i(i
)i(
RVP
 
 
$D,.
)i,(,
),(
VP 5450413
021020
1021
700
23
24




 
 
 
II - Valor Futuro: VF = R  FVF (24;2%) 
 










 )i(
i
)i(
RVF
n
1
11
 
 
$D,,),(
,
),(
VF 2172121021
020
1021
700
24












 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
70 
 
 Deste modo, a aplicação mensal de D$ 700,00 pactuada 
por um prazo de 24 meses à taxa de 2% ao mês, 
corresponderá à importância de D$ 13.504,54 na data da 
aplicação e de D$ 21.721.21 no final do período. 
 
 No fluxo de caixa representativo da operação, ficam 
caracterizadas 24 prestações, pois a primeira delas ocorre na 
data de fechamento da operação financeira. A última 
prestação ocorre um mês antes do final do período, ou seja, no 
23º mês. 
 
 
3.4 – Série Diferida. 
 
 Uma série de pagamentos é dita diferida quando a 
primeira prestação ocorrer após o primeiro período. Ver Figura 
3.5. 
 
O processo de calcular seja o valor presente, valor 
futuro, como a prestação de uma operação financeira em que o 
primeiro pagamento é diferido, é um processo comum no 
comércio varejista. 
 
VP(0)
VP(k)
R R R R
0 1 2 k k+1 k+2 k+3 n∙∙∙∙∙∙∙ ∙∙∙∙∙∙∙
1 Passo2º Passo
Figura 3.5 – Modelo Série Diferida
Período
 
 
Qualquer tipo de série pode ser considerada diferida, seja 
ela uma série uniforme, uma série gradiente ou mesmo uma 
sequência qualquer de pagamentos já que, em termos 
financeiros, diferir significa adiar a data do primeiro pagamento. 
 
 
3.4.1 – Metodologia. 
 
 A determinação do Valor Presente de uma série diferida, 
VP(SD), é efetuada em dois passos: 
 
 1º passo - calcula-se o valor presente da série postecipada, 
VP(k), como anteriormente demonstrado; Neste caso, o 
momento inicial da série corresponde a um momento anterior 
ao do início de pagamentos; 
 
2º passo – disponível o valor presente da série postecipada, 
VP(k), calcula-se o Valor Presente desejado, VP(SD). Para 
tanto, leva-se o valor de VP(k), a valor presente no momento 
zero, ou seja, VP(SD). 
 
k)i(
)k(VP
)SD(VP


1
 
 
 Por sua vez, sabendo-se que o Valor Presente de uma 
série uniforme postecipada composta por (n-k) pagamentos 
iguais e consecutivos de valor R é dada por: 
 
VP(k) = R  FVP (n-k; i%) 
 
 Ao se substituir a expressão de VP(k) acima, na 
expressão de VP(SD), chega-se a expressão geral do valor 
presente de uma série postecipada diferida. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
71 
 
VP(SD) = 
R
(1 + i)k
× FVP (n − k; i) 
 
 É importante ressaltar que o momento k corresponde ao 
“momento zero” da série uniforme, isto é, o período que 
precede o momento em que se iniciam os pagamentos. 
 
 
3.4.2 - Aplicação 
 
a) Calcular o valor da prestação relativa à venda de um 
equipamento cujo preço monta a D$ 300 mil, negociado 
em sete prestações iguais, mensais e consecutivas, 
vencendo a primeira delas cento e vinte dias após o 
fechamento do negócio. A empresa adota uma TMA de 
7% ao mês. 
 
R
300.000,00
Mês
2 4 6 8 10
R$
 
 
 Como primeiro passo, deve-se elaborar o diagrama de 
fluxo de caixa do empreendimento. 
 
O diagrama mostra que a série de pagamentos inicia no 
mês 4, sendo seu momento inicial referido ao mês 3. 
 
Como segundo passo, calcula-se o valor presente da 
série tendo como momento inicial o mês 3. 
 
O terceiro passo corresponde ao calculo do valor 
presente, como pagamento único, tendo como momento 
inicial a data da operação ou seja, a data zero. 
 
VP(0) = R × FVP(n−k)¬i% ×
1
(1+i)k
 
 
300.000 = R × FVP7¬7% ×
1
(1+0,07)3
 
 
300.000 = R × 5,3893 ×
1
(1 + 0,07)3
= 𝑅 × 5,3893 × 0,8163 ∴ 
 
R = 72.966,12 D$/mês 
 
 
b) A empresa Mercado Fácil oferta computadores a serem 
pagos em seis prestações iguais, mensais e consecutivas no 
valor de R$ 588,00, sendo a primeira delas vincenda em 
noventa dias. Qual o valor a ser pago a vista sabendo que a 
empresa pratica juros de 2% ao mês em seus financiamentos? 
 
i) k,-n ( FVP
)i(
R
)SD(VP
k



1
 
 
2%) 6, ( FVP
),(
,
)SD(VP 


20201
00588
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
72 
 
$R,.,
1,0404
588,00
 VP(SD) 74165360145 
 
 
 
3.5 – Exercícios Propostos. 
 
3.5.1 - A empresa Seminovos Veículos Ltda. vende um 
automóvel, a vista, por R$ 110.000,00. Qual será o valor da 
prestação considerando um plano de pagamento para ser 
quitado em 10 meses a juros de 7% ao mês? As prestações 
deverão ser iguais, mensais e consecutivas. 
 
 Considere: 1º) plano com entrada no valor de R$ 10 mil, 
vencendo a primeira em trinta dias; 2º) plano sem entrada, 
vencendo a primeira em trinta dias da operação; 3º) plano com 
o valor da entrada igual ao valor das dez prestações mensais. 
 
3.5.2 - O gerente da empresa Quick-Delivery Lted, empresa do 
ramo de atacado, propôs ao “Controler” da mesma os 
seguintes planos de pagamento visando à venda de lotes de 
televisores Telecor, conforme abaixo. Os lotes vêmsendo 
vendidos, atualmente, por D$110.000,00, porém apresentando 
crescente dificuldade de comercialização, dado o lançamento 
de novos produtos no mercado. 
Sendo o preço de aquisição dos televisores D$ 63.000,00 qual 
será a decisão do Controler? 
 
Considerar uma taxa de desconto de 2,5% ao período. 
b.1. À vista com 20% de desconto. 
b.2. Dez pagamentos, sem entrada, iguais e consecutivos 
no valor de D$10.099,00 por mês, vencendo a primeira 
em trinta dias da operação. 
b.3. Dez pagamentos mensais e consecutivos no 
montante de D$10.777,00 por mês, sem entrada, com o 
primeiro pagamento ocorrendo após 120 dias contados 
da data da compra. 
b.4. Entrada e mais dez pagamentos mensais e 
consecutivos, todos iguais e no valor de D$ 9.899,00 por 
mês. 
 
3.5.3 – O gerente da empresa “Só no Barato Varejão Ltda.” 
analisa a aquisição de um lote de televisores junto à Quick-
Delivery. 
 
Sabe-se que um lote contém 230 televisores e o preço de cada 
aparelho da QUICK é de R$ 569,99. 
 
O gerente planeja vender aparelhos nas seguintes condições: 
 
 A vista com 10% de desconto; 
 Financiamento sem entrada, pago em quatro prestações 
iguais, mensais e consecutivas de R$ 179,99; 
 Financiamento em cinco parcelas iguais, mensais e 
consecutivas no valor de R$ 195,95 cada, com a 
primeira parcela vincenda em 90 dias após a venda. 
 
 A empresa Sónobarato Varejão Ltda. prevê colocar no 
mercado sessenta unidades por mês. O custo de capital 
praticado pelo Varejão é de 18% ao ano e adota um mark-up 
de 33%. Sendo você o diretor financeiro do Varejão pergunta-
se: qual dos planos oferecido será o escolhido? 
 
 
3.5.4 - Você vende um imóvel por D$ 36.000,00, para receber 
nas condições abaixo. Qual seria o valor a vista da cada 
proposta, considerando as abaixo enumeradas, e sabendo que 
você pratica um custo de capital é de 15% a.a.? 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
73 
 
 Com parte à vista e 60% do total no prazo de trinta dias. 
 O 1º pagamento em 6 meses (50%) e o final em um ano. 
 Em 12 pagamentos, iguais, mensais e consecutivos de D$ 
3.000,00. 
 Em 8 pagamentos iguais, mensais e consecutivos de D$ 
4.650,00. 
 Considere as opções acima quando ocorrer uma inflação de 
20,22% ao ano. 
 
 
3.5.5 - Calcular o preço a vista de um produto, sabendo-se 
que o mesmo é ofertado para pagamento em 5 parcelas. A 
primeira equivalente a 30% do valor a vista, quitada no ato da 
compra; As outras quatro parcelas, iguais e consecutivas, no 
valor de R$ 150,00 cada, vencíveis em 30/60/90/120 dias. 
Considerar um custo de capital de 2% ao mês. 
 
3.5.6 - Um fornecedor de computadores pessoais oferece o 
modelo BO-800, a vista, por US$ 1.175,00. Ou, a prazo, em 
pagamentos iguais de US$ 80,00, sendo uma entrada e mais 
20 pagamentos mensais e consecutivos. 
Verifique qual das duas situações lhe é mais interessante. A 
taxa de juros a ser estabelecida é a sua taxa de oportunidade. 
 
 
3.5.7 - Sua empresa necessita da importância de R$ 
175.000,00, no prazo de 15 meses, para ser aplicada num 
novo projeto de investimento. O banco onde operam oferece, 
para clientes institucionais, uma taxa de juros de 3% ao mês 
para contratos de capitalização programados. Quanto deverá 
ser o valor da aplicação mensal, para que sua empresa 
disponha da importância citada no momento desejado? 
 
 
3.5.8 - Você deseja adquirir um veículo cujo preço é de R$ 
36.000,00. Qual será a sua opção de negócio, entre as 
seguintes situações: 
 
1ª) Adquirir o veículo por financiamento através do pagamento 
de 14 prestações mensais, iguais e consecutivas, com juros 
pactuados à taxa de 26,8242% ao ano; 
 
 2ª) ou, utilizando uma poupança mensal, cujo prazo é 
idêntico à anterior, com taxa de oportunidade de 1,3% ao mês 
e adquirir o veiculo após dispor do capital necessário? 
 
3.5.9 - Verifique se sua empresa, efetuando uma poupança 
mensal de US$ 2.500,00 aplicados à taxa de oportunidade de 
1,20% ao mês e após dez meses, disporá de recursos próprios 
para adquirir um equipamento cujo valor de mercado, hoje, 
monta a US$ 26.000,00? 
 
3.5.10 - Um veículo cujo valor de venda, nesta data, é de R$ 
24.500,00, foi anunciado para ser pago em dez prestações 
iguais, mensais e consecutivas no valor de 2.796,00 R$, 
vencível a primeira em sessenta dias. O anunciante proclama 
que os juros cobrados são de 1,5% ao mês, sem correção 
monetária. Verifique se isto é verdade. 
 
 
3.5.11 - Analise a diferença, mensal e total, dos juros pagos 
quando da quitação de uma dívida no montante de R$ 28 mil. 
Os juros foram pactuados em 3,5% ao mês, nas seguintes 
condições: 
 
 Pagamento em seis prestações iguais, mensais e 
consecutivas, com a primeira quitada na data da 
operação; 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
74 
 
 A mesma situação anterior, porém sob a égide dos juros 
simples. 
 
3.5.12 - Considerando os coeficientes definidos no exercício 
anterior, pergunta-se qual será o valor da prestação de um 
veículo cujo preço de tabela monta a R$ 36 mil, negociado nas 
seguintes condições: uma entrada equivalente a 30% do valor 
do bem e o saldo quitado em cinco prestações iguais, mensais 
e consecutivas, vincendo a primeira em sessenta dias? 
 
 
3.5.13 - Analise o interesse da empresa varejista, definida no 
exercício anterior, em promover a venda de seus produtos de 
modo financiado e desestimular as vendas à vista, sabendo-se 
que: 
 
 A empresa não oferece descontos para vendas à vista; 
 Sobre o preço de vendas a empresa recolhe um tributo 
na ordem de 17% do valor agregado, recolhidos ao fisco 
no mês da operação financeira; 
 Sobre os ganhos de financiamento não incide o tributo 
acima; 
 A empresa pratica um mark-up de 35%; 
 Aplicações realizadas no mercado financeiro rendem, 
em média, 1,1% ao mês. 
 
 
3.5.14 - Um veículo no valor de R$ 28 mil foi financiado em 
seis prestações iguais, mensais e consecutivas, no valor de R$ 
5.254,71 cada, sendo que a primeira foi quitada na data do 
fechamento do negócio. A taxa de juros pactuada para o 
financiamento foi de 3,5% ao mês. Se fosse pactuado a juros 
simples, deseja-se saber qual o valor da prestação a ser 
cobrada. 
 
 
3.5.15 - Um título com valor de face de R$ 290,00, vencido em 
31 de março de 2004 foi pago com 27 meses de atraso. O valor 
pago montou a R$ 1.066,91. Deseja-se saber qual a taxa 
efetivamente paga, bem como a taxa real de juros já que o 
mesmo foi corrigido pelo INPC. 
 
 
3.5.16 -- Uma empresa varejista, visando orientar seus 
vendedores, deseja estabelecer coeficientes multiplicadores 
para facilitar o calculo das prestações de seus produtos. 
 
 É política da empresa disponibilizar aos clientes vários 
planos de financiamento, todos apresentando prestações em 
parcelas iguais, mensais e consecutivas. 
 
Além disto, os clientes poderão optar pelo número de 
prestações e por várias datas de início dos pagamentos, 
segundo o plano de financiamento exposto no quadro !Plano 
de Financiamento”. 
 
Considerando que as prestações deverão ser definidas 
com a incidência de diversas taxas de juros que variam 
segundo a característica de cada tipo de financiamento, 
solicita-se estabelecer os multiplicadores dado as condições 
abaixo. 
 
Plano de Financiamento 
Prestação = k  valor financiado 
Finan. 
Tipo 
Numero 
Prestações 
Data da 1ª 
Prestação 
Juros 
Ao Mês 
Coeficiente 
Multiplicador 
1 3 30 dias 1,50% 
2 3 60 dias 1,75% 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
75 
 
3 3 90 dias 2,00% 
4 5 30 dias 1,50% 
5 5 60 dias 1,75% 
6 5 90 dias 2,00% 
7 7 30 dias 1,50% 
8 7 60 dias 1,75% 
9 7 90 dias 2,00% 
 
 
3.5.17 - Uma vantagem da obtenção de um diploma de curso 
superior é aperspectiva de melhores ganhos futuros, em 
comparação com os que não têm titulação. Existe a estima que 
a graduação em uma faculdade tenha um custo equivalente de 
$28.000 a preços da época da formatura. 
 
 Há o entendimento, também, que os benefícios de uma 
formação superior se farão sentir durante quarenta anos de 
vida profissional e que, em comparação com outros 
profissionais não titulados, o mercado vem praticando um 
salário de $3.000/ano superior àqueles, durante os dez 
primeiros anos após a conclusão do curso. 
 
 E, durante os dez anos subsequentes, dado o ganho de 
experiência, ocorre uma previsão de renda anual superior em $ 
6.000 a de profissionais não graduados. 
 
 Durante os vinte anos subsequentes o mercado vem 
apresentado um salário superior em $12.000 acima daquele 
pago a pessoas não graduadas. Admitindo que estas 
estimativas estejam corretas, qual será a taxa interna de 
retorno prevista como resultado do investimento em curso 
superior? 
 
 
 
3.5.18 - Uma empresa negociou uma dívida de R$ 10 mil junto 
a um banco, solicitando pagá-la em parcelas mensais de R$ 
1.800,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada em 
empréstimos deste tipo é de 32,52% ao ano, pergunta-se: 
quantas parcelas serão necessárias para quitar o débito? 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
77 
 
 
 
4. Amortizações de Dívidas 
 
 
4.1 – Tipos de Sistemas. 
 
O modo de pagamento de dívidas ou empréstimos é função 
do prazo pactuado, do montante e dos juros contratados. 
 
 Sob a ótica do prazo, podem ser classificados em: de curto, 
médio ou de longo prazo. 
 
Os empréstimos de curto e médio prazo geralmente 
saldados num prazo de até três anos são calculados conforme 
anteriormente discutido, quando adotados os sistemas de juros 
simples e compostos. 
 
 Nestes casos, o capital tomado rende juros durante todo o 
prazo pactuado. Como exemplos desses empréstimos, citam-
se: compras a prazo realizadas no mercado varejista de bens 
de consumo durável e os empréstimos em conta corrente 
realizados pelos bancos comerciais. 
 
Os empréstimos de longo prazo são aqueles realizados com 
prazos superiores a dois ou três anos, sendo as importâncias 
envolvidas mais vultosas do que as consideradas nos 
empréstimos anteriores. Esses empréstimos são, geralmente, 
adotados para o financiamento de bens de capital utilizados por 
empresas e da casa própria, sendo operacionalizados por 
instituições ou bancos de investimentos. 
 
Nos empréstimos de longo prazo, os juros incidem somente 
sobre o saldo devedor e uma parte de principal é devolvida a 
cada período. Assim, diferentemente do curto prazo, a 
prestação nos empréstimos de longo prazo é composta de 
duas partes: os juros e a amortização. 
 
 
PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO + JUROS DO PERÍODO 
 
A amortização corresponde à devolução do principal ou do 
capital tomado emprestado a cada período o que permite 
reduzir o montante devido. Os juros, por sua vez, são 
calculados período a período sobre o saldo devedor 
apresentado no período imediatamente anterior ao daquele em 
que se vai efetuar o pagamento de uma prestação qualquer. 
 
No Brasil, o procedimento para amortização do saldo 
devedor é definido por lei e deve ser efetuado em 
conformidade com o art. 6º, alínea “c”, da Lei nº. 4.380/64, que 
diz: 
 
“c) ao menos parte do financiamento, ou do preço a ser 
pago, seja amortizado em prestações mensais 
sucessivas, de igual valor, antes do reajustamento, 
que incluam amortização e juros.” 
 
Dentro deste contexto, o novo saldo devedor somente 
deverá ser corrigido depois de amortizada parte da dívida 
existente naquele período. Deste modo, a amortização 
efetuada em determinado período abate parte do saldo 
devedor existente. Após esta operação é que será efetuada a 
correção do saldo devedor, gerando um novo saldo devedor 
para o período subsequente. 
 
 Existem diversas metodologias para a quitação dos 
empréstimos de longo prazo. E, elas são distintas segundo a 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
78 
 
forma de calcular os juros ou a amortização. A seguir são 
apresentadas quatro das metodologias mais utilizadas: 
 
 Sistema de amortização constante - SAC 
 Sistema de prestação constante - PRICE 
 Sistema americano 
 Sistema de amortização variável 
 Sistema de amortização crescente – SACRE/CEF. 
 Sistema Alemão 
 
Conforme o contrato pactuado entre as partes, os juros 
podem ser pagos, ou não, durante o prazo de carência. Por 
prazo de carência é entendido como o período, ou períodos, 
em que não ocorre o pagamento de amortizações. 
 
Ocorrendo a hipótese de não haver pagamento de juros 
durante o prazo de carência, eles são incorporados ao 
principal. Nesse caso, o saldo a cada período fica acrescido 
dos juros vencidos e que são incorporados ao montante do 
financiamento. Sobre esse montante é que serão calculadas as 
prestações e as amortizações. 
 
A individualização do valor da amortização e dos juros que 
compõem cada prestação é importante para a escrituração 
contábil e da definição do fluxo de caixa líquido de cada 
exercício. 
 
 A amortização é lançada no balanço patrimonial como conta 
integrante do ativo imobilizado, registrando o aumento de 
patrimônio da empresa. No caso de avaliação do fluxo de caixa 
da empresa é considerada por seu valor integral. 
 
 Os juros são contabilmente lançados como conta de 
despesa, integrando as contas de resultado do exercício. No 
fluxo de caixa da empresa seu valor é reduzido pela influência 
dos tributos que incidem sobre a renda. 
 
Finalizando, um fator a não ser menosprezado em 
financiamentos é quanto à consideração de impostos, taxas e 
comissões, etc., aplicados sobre operações financeiras e que 
alteram a taxa real a ser paga pelo tomador do empréstimo. 
 
Eles reduzem o valor real disponível pela empresa e podem 
alterar a atratividade de algum financiamento ou projeto de 
investimento. 
 
 
4.2 - Sistemas de Amortização Constante - SAC 
 
4.2.1 – A metodologia 
 
 No sistema de amortização constante, as prestações 
são decrescentes e a amortização proporcional ao número de 
períodos pactuados para a devolução do principal ou do saldo 
devedor. 
 
a=
Saldo Devedor
Período de Amortização 
 
 
 Definida a amortização, os juros são calculados, período 
a período, sobre o saldo devedor existente no início do período, 
sob a égide da matemática dos juros simples. 
 
 A prestação, finalmente, é obtida somando o valor dos 
juros à amortização anteriormente calculada. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
79 
 
 O sistema SAC permite o estabelecimento de prazo de 
carência. Neste caso, os juros poderão, ou não, serem pagos 
durante o prazo de carência. 
 
 Quando ocorre a dispensa do recolhimento de juros 
durante a carência eles são incorporados ao principal gerando 
um novo saldo devedor. E, é sobre esse novo saldo devedor 
que a amortização deverá ser calculada. 
 
 
AMORTIZAÇÃO
JUROS
Prestação
 1 2 3 ............................................ n 
Fig. 4.1 – Modelo de Sistema Amortização Constante
Financiamento
Períodos
 
 
 
 O calculo da prestação, então, segue a seguinte 
metodologia: 
 
1º
Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, os 
juros poderão ser ou não incorporados ao principal;
5º
4º
3º
2º
Calcula-se o novo saldo devedor diminuindo-se do
 saldo havido no início do período o valor da amortização;
A prestação do período é definida somando-se o
 valor da amortização ao valor dos juros calculados;
Calcula-se o valor dosjuros sobre o saldo devedor;
Calcula-se o valor da amortização;
6º
Repete-se sucessivamente esta operação 
até ser definido o valor da ultima prestação.
 
 
4.2.2 - Exemplo. 
 
Seja calcular a prestação relativa a um empréstimo no 
montante de D$100.000,00 cujo prazo da operação foi 
estabelecido em seis anos. Para tanto, foram pactuados juros 
de 10% ao ano e um prazo de carência de trinta e seis meses 
em que os juros incorridos deverão ser pagos durante este 
prazo. 
 
Ano Saque Saldo Amortização 
Juros 
10% 
Prestação 
0 100.000,00 100.000,00 - - - 
1 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 - 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
3 - 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00 
4 - 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00 
5 - 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00 
6 - - 25.000,00 2.500,00 27.500,00 
Tot. - - 100.000,00 45.000,00 145.000,00 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
80 
 
 
 
anoD0000025
4
00000100
oamortizaçã /$,.
,.

 
 
 
 
4.3 - Sistemas de prestação constante 
 
4.3.1 - Conceituação 
 
 O sistema de prestação constante, também denominado 
de Sistema Francês tem como característica principal a 
constância do valor das prestações. 
 
 As prestações são consideradas como uma série 
uniforme de pagamentos postecipados. 
 
 
 
 
 
JUROS
AMORTIZAÇÃO
Prestação 
 R$
 1 2 3 .............................. n 
Fig.4.2 – Modelo de Prestação Constante
Financiamento
Períodos
 
 
 Como o valor da prestação é definido a priori, o 
resultado obtido já engloba o valor dos juros e da amortização. 
 
 Neste caso, então, os juros são definidos, período a 
período, sobre o saldo devedor. E a amortização de cada 
período é obtida diminuindo do valor da prestação o montante 
dos juros calculados. 
 
 Adotando como nomenclatura: R(SP) = saldo devedor e 
R(SP) a prestação. E, sendo o valor da prestação definido 
segundo a metodologia da série de pagamentos postecipada, 
tem-se: 
 
R(SP) = S(SP) x FRC n¬i 
 
 Tendo sido pactuado prazo de carência, os juros 
poderão ser pagos durante este prazo ou então incorporados 
ao principal, da mesma forma que no processo anterior. 
 
 No sistema em pauta, o valor da amortização é 
crescente e o valor dos juros decrescente. 
 
Pelas próprias características do processo de cálculo, é 
possível ocorrer saldo devedor no final do contrato. Porém, 
como foram estabelecidas, em número e valor, as prestações 
devidas, a dívida é quitada concomitantemente com o 
pagamento da última prestação, havendo ou não ocorrência de 
saldo residual. 
 
4.3.2 – Metodologia de Calculo. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
81 
 
 A metodologia de calculo utilizada para definir prestação 
e os seus parâmetros de amortização e juros é a seguinte: 
 
1º
Define-se o montante a ser financiado. Em caso de carência, 
os juros poderão ou não ser incorporados ao principal;
5º
4º
3º
2º
Calcula-se o saldo devedor para o próximo período:
Sn+1 = Sn – An
O valor da amortização é definido ao se diminuir 
do valor da prestação o valor dos juros do período: An =Pn - Jn
Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor;
(Juros)n = i × (Saldo Devedor)n-1
Calcula-se o valor da prestação considerando-a
 como uma série postecipada;
6º
Repete-se a metodologia até se obter os valores
 da amortização e dos juros relativos à ultima prestação.
 
 
 
 
4.3.3 - Exemplo. 
 
 
Seja calcular o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a um empréstimo no montante de 
D$100.000,00 a ser quitado em cinco anos, com juros 
pactuados em 10% ao ano, em que não ocorre prazo de 
carência. 
É importante notar que as prestações correspondem a 
uma série de pagamentos postecipada sendo eles iguais, 
anuais e consecutivos. 
 
O valor da prestação é dado por: R = S  FRC(5¬10%). 
 
Logo: R = 100.000,00  0,2637975 = 26.379,75 R$ 
 
 
Per 
Saldo 
R$ 
Prestação 
R$ 
Amortização 
R$ 
Juros 
I=10% 
0 100.000,00 - - - 
1 83.620,25 26.379,75 16.379,75 10.000,00 
2 65.602,53 26.379,75 18.017,72 8.362,03 
3 45.783,03 26.379,75 19.819,50 6.560,25 
4 23.981,58 26.379,75 21.801,45 4.578,30 
5 0,00 26.379,75 23.981,58 2.398,16 
 131.898,75 100.000,00 31.898,74 
 
 
4.3.4 - O Sistema Price. 
 
 O sistema Price é uma variante do Sistema Francês 
largamente utilizado no comércio e definido com as seguintes 
características: 
 
a) Taxa de juros contratada em termos nominais, normalmente 
referidas ao período de um ano. 
b) O pagamento das prestações comumente pactuado em base 
mensal. 
c) A taxa de cálculo utilizada é proporcional ao período da 
prestação, obtida a partir da taxa nominal. 
 
 
4.4 – O sistema de amortização variável. 
 
4.4.1 – Conceituação. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
82 
 
O Sistema de Amortização Variável é um sistema que 
difere dos anteriores, pois não existe definição de lei de 
formação na definição das prestações ou da amortização. 
 
O objetivo maior desse sistema é adequar a capacidade 
de pagamento do tomador ao fluxo de caixa a ser gerado pelo 
projeto, visando o manter superavitário em todos os períodos. 
 
Nestas condições, tanto as amortizações como as 
prestações podem variar a cada período. 
 
Os juros são calculados sobre o saldo devedor. E, em 
havendo prazo de carência, podem ou não ser incorporados ao 
saldo devedor. 
JUROS
Prestação
 R$
 1 2 3 .................................................. n 
AMORTIZAÇÃO
Figura 4.3 – Modelo de Amortização Variável
Financiamento
Períodos
 
 Pelo exposto, este é um sistema extremamente flexível, 
cujo objetivo é manter a capacidade de pagamento do tomador 
do recurso adequada às condições do fluxo de caixa, visando à 
estabilidade financeira da empresa. 
 
4.4.2 - Metodologia 
 
 As prestações em amortização variável seguem a 
seguinte metodologia: 
 
1º Define-se o montante a ser financiado. 
5º
4º
3º
2º
Calcula-se o saldo devedor para o próximo período:
Sn+1 = Sn – An
Define-se o valor da prestação para o período:
Pn = An + Jn
Calcula-se o valor dos juros sobre o saldo devedor.
(Juros)n = iEFT × (Saldo Devedor)n-1 
O valor da amortização é estabelecido para cada período,
segundo a capacidade de pagamento do tomador.
6º
Repete-se o processo até se chegar 
ao valor da ultima prestação.
 
 
 
4.4.3 – Comentários. 
 
 Como será visto no exemplo a seguir, o sistema de 
amortização variável utiliza a matemática dos juros simples, 
sendo utilizado em financiamentos nacionais ou internacionais. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
83 
 
 Porém a taxa de juros efetiva, iEFT, adotada no calculo 
dos juros pode ser variável a cada período, fato que altera o 
valor previsto para a prestação. 
 
 Nesses casos, é pactuada uma taxa de juros real 
acrescida de uma taxa básica de juros que pode ser variável a 
cada período. 
iEFT = iReal + iBasica 
 
 A taxa básica de juros varia de país para país sendo 
determinada periodicamente pelos respectivos bancos centrais. 
Como exemplos, no Brasil, ela é denominada de SELIC, nos 
Estados Unidos de Prime Rate e na Inglaterra de Libor. 
 
 No Brasil, na data em que foi escrita esta obra, a taxa 
SELIC estabelecida pelo Banco Central estava no patamar de 
14,25% ao ano. 
 
 Qualquer instituição financeira que pactuasse, nesta 
data, um empréstimo à taxa real de 12,50% ao ano, estaria 
praticando uma taxa efetiva de 22,75% ao ano. 
 
 
4.4.4 - Exemplo. 
 
Seja definir as prestações, os juros e a amortização de 
um empréstimo no montante de D$100.000,00, contratado por 
prazo dedez anos, sendo dois de carência e havendo o 
pagamento dos juros relativos a este prazo. 
 
 A taxa de juros foi pactuada em 10% ao período sendo 
as amortizações variáveis segundo proposta do tomador. 
 
O primeiro passo necessário ao estabelecimento do 
valor da prestação é estabelecer, período a período, o valor da 
amortização. 
 
 Ressalta-se que este valor é definido 
administrativamente segundo a necessidade em manter 
positivo o fluxo de caixa da empresa. 
 
O valor dos juros é calculado sobre o saldo devedor 
existente no início de cada período. 
 
A prestação, por sua vez, corresponde à soma dos 
valores acima: 
 
Pn = An + Jn 
 
 
Per Saldo Amortização Juros 10% Prestação 
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00 
2 100.000,00 5.000,00 10.000,00 15.000,00 
3 95.000,00 5.000,00 9.500,00 14.500,00 
4 90.000,00 5.000,00 9.000,00 14.000,00 
5 85.000,00 7.500,00 8.500,00 16.000,00 
6 77.500,00 10.000,00 7.750,00 17.750,00 
7 67.500,00 12.500,00 6.750,00 19.250,00 
8 55.000,00 15.000,00 5.500,00 20.500,00 
9 40.000,00 20.000,00 4.000,00 24.000,00 
10 20.000,00 20.000,00 2.000,00 22.000,00 
Soma - 100.000,00 
 
 
 
4.5 - O sistema americano. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
84 
 
4.5.1 - Metodologia. 
 
O Sistema Americano é caracterizado por não ocorrer 
amortização durante o prazo do contrato. Nestas condições, o 
principal é quitado juntamente com a quitação da ultima 
prestação. 
 
Pk=i∙P e, Pn= P(1+i) 
 
Como o método prevê o pagamento da ultima prestação 
em valor muito elevado, com os juros do período acrescido ao 
principal, aumenta o risco do tomador em conseguir quitar a 
mesma. Este fato inibe sua adoção por parte de tomadores de 
crédito e por organismos financiadores. 
 
 
R$
Prestação = Juros
Figura 4.4 – Sistema Americano
Amortização
 1 2 3 ....................... n 
Períodos
Empréstimo
 
 
Ressalta-se que, tanto o sistema financeiro brasileiro, como 
os organismos internacionais de crédito, via de regra, não 
adotam esse sistema. 
 
 
4.5.2 - Exemplo. 
 
 Como exemplo de aplicação do método americano, seja 
um empréstimo no montante de R$ 100 mil, pactuado por um 
prazo de quatro anos, a juros de 7,00% ao ano. 
 
 
Per. Saldo Devedor Amortização Juros 7% Prestação 
0 100.000,00 - - - 
1 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
2 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
3 100.000,00 - 7.000,00 7.000,00 
4 - 100.000,00 7.000,00 107.000,00 
Total 100.000,00 28.000,00 128.000,00 
 
 
 
4.6 – O sistema alemão. 
 
4.6.1 – Característica. 
 
 O sistema alemão, dado suas características, não 
apresenta equivalência financeira entre o montante emprestado 
e as respectivas contraprestações, dada uma taxa pactuada, A 
equivalência financeira ocorrerá a uma taxa de desconto maior 
do que a pactuada, assunto a ser discutido no item 4.6.4. 
 
Este sistema tem três características: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
85 
 
I. O pagamento dos juros vencíveis no período é 
antecipado, ocorrendo o primeiro pagamento dos juros 
no momento em que ocorre a operação financeira; 
II. As demais prestações são iguais para todos os 
períodos; 
III. Ao ser paga a ultima prestação ocorre, apenas, a 
devolução do resíduo do saldo devedor, porém esse 
resíduo tem o mesmo valor das demais prestações 
pactuadas. 
 
Na Figura 4.5 é mostrado o modelo de fluxo de caixa do 
sistema alemão. 
 
 Pn=an
1 2 3 4 .......... n-1 n
Financiamento
J0=P
a1
J1
Figura 4.5 – Modelo do Sistema Alemão
Per.
 
 
4.6.2 – Relação entre Amortizações. 
 
 Adotando como nomenclatura: M correspondendo ao 
capital inicial ou montante emprestado; J e a, representando, 
respectivamente, os juros e a amortização correspondente a 
cada período. E, P o valor da prestação, pode-se escrever as 
três principais características do Sistema Alemão: 
 
 M = a1 + a2+ a3 + ∙∙∙∙∙ + an-1 + an 
 P0 = J0 
 P1 = P2 = P3 = ∙∙∙∙∙ = Pn-1 = Pn 
 
 Relacionando as prestações em função de suas 
variáveis e sabendo que cada prestação corresponde à soma 
dos juros e da amortização, tem-se: 
 
P = amortização + Juros 
 
P0= M  i 
P1 = a1 + (M – a1 ) i 
P2 = a2 + (M – a1 -+ a2)  i 
P3 = a3 + (M – a1 – a2 - a3)  i 
∙∙·········∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙········∙∙·········∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙········ 
Pn-1 = an-1 + (M – a1 – a2- a3 - ∙∙∙∙∙ - an-1 )  i 
Pn = an + (M – a1 – a2 – a3 - ∙∙∙∙∙ - a n-1 - an)  i = an 
 
 Como as prestações são todas iguais, por definição, 
pode-se escrever: Pn-1 = Pn então; 
 
an-1 + (M - a1 - a2- a3 - ∙∙∙∙∙ - an-1 )  i = 
 = an + (M - a1 - a2 - a3 - ∙∙∙ - an-1 - an)  i 
 
an-1 = an - an  i  an-1 = an  (1- i) 
  
 
 
)i1(
a
a 1nn

 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
86 
 
 
4.6.3 – Determinação da Prestação. 
 
 A determinação do valor da prestação no Sistema 
Alemão é efetuada a partir da série de amortizações. Da 
expressão acima, verifica-se que os valores das amortizações 
estão em progressão geométrica cuja razão é {(n-1)-1}. 
 
 Escrevendo a progressão em ordem decrescente dos 
termos visando facilitar a demonstração e os exprimindo em 
função do último termo, pode-se escrever a seguinte série: 
 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
an = an 
an−1 = an × (1 − i)
1
an−2 = an × (1 − i)
2
an−3 = an × (1 − i)
3
an−4 = an × (1 − i)
4
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
a2 = an × (1 − i)
n−2
a1 = an × (1 − i)
n−1
 
 
 Sabendo-se que o montante do financiamento 
corresponde à soma das amortizações pode-se escrever, de 
modo matemático: 
 
M = a1 + a2 + a3 + ∙∙∙∙∙ + a n-1 + an 
 
M= an + an  (n-1)1 + an  (n-1)2 + an  (n-1)3 + ∙∙∙∙∙ + an  (n-
1)n-2 + an  (n-1)
n-1 
 
 Por característica e definição do sistema alemão, a 
última amortização apresenta o mesmo valor da ultima 
prestação, ou seja, p = an. Assim a expressão acima pode ser 
escrita da seguinte forma: 
 
M = p + an  (n-1)
1 + an  (n-1)
2 + an  (n-1)
3 + ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ + 
an  (n-1)
n-2 + an  (n-1)
n-1 
 
 Como os termos da amortização estão em progressão 
geométrica, o valor financiado M, corresponde à soma de uma 
progressão geométrica cujo primeiro termo é p e a razão (n-1). 
 
 Sabendo que a expressão da soma de progressão 
geométrica decrescente em que “a” corresponde ao primeiro 
termo, “q” a razão e “n” o número de termos da série, é dada 
por: 
S(PG) =
a(1 − qn) 
(1 − q)
 
 
Substituindo na expressão acima os valores da progressão 
geométrica, obtém-se a expressão que define o valor da 
prestação no Sistema Alemão: 
 
𝑝 =
𝑀 × 𝑖
1 − (1 − 𝑞)𝑛
 
 
 
4.6.4 – Equivalência Financeira. 
 
 Como já comentado anteriormente, o sistema alemão 
não apresenta uma equivalência financeira quando se 
compara o valor do empréstimo com a soma das prestações 
pactuadas à taxa estabelecida. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
87 
 
 A definição da taxa real ou efetiva de juros, neste 
sistema, é efetuada de modo mais complexo. 
 
 Para tanto, recomenda-se utilizar a fórmula de Karpin, o 
método de Newton Raphson ou da bisseção, para a definição 
da taxa real de juros, métodos a serem discutidos em capítulos 
posteriores. 
 
 
1 2 3 4 .......... n-1 n
Financiamento
M-Mi
Figura 4.6 – Modelo da Equivalência Financeira
Per.
Prestação
 
 
 
 A taxa real ou efetiva de juros pode ser equiparada à 
Taxa Interna de Retorno do financiamento,já que o soma das 
prestações equivale, financeiramente, ao valor do montante 
recebido e corresponde a uma série de pagamentos 
postecipada. Então: 
 
M - Mi = p  FRC (n¬ iREAL%)  
 
(1-i )  M = p  FRC (n¬ iREAL%) 
 
 
 
 
 
4.6.5 – Exemplo. 
 
 Seja determinar o valor das prestações de um 
empréstimo pactuado sob as seguintes condições: montante 
contratado de R$ 100 mil; taxa de juros pactuada, 5% por 
período; sete anos de duração, sem carência. 
 
 Os procedimentos de cálculo devem ser realizados na 
seguinte ordem: 
 
a) Calculo da Prestação: 
 
𝑝 =
𝑀 × 𝑖
1 − (1 − 𝑖)𝑛
∴ 𝑝 =
100.000 × 0,05
1 − (1 − 0,05)7 
= 16.574,80𝑅$. 
 
 
b) Calculo das Amortizações: 
 
 Sabe-se que a ultima amortização corresponde à ultima 
prestação. Então: a7 = p7. 
 
an =
an−1
(1 − i)
∴ an−1 = an × (1 − i) ∴ 
 
a6 = a7 (1 - 0,05) = 15.746,06 R$ 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
88 
 
c) Cálculo dos Juros: Os juros podem ser calculados de dois 
modos. Fazendo incidir a taxa pactuada sobre o saldo devedor 
ou diminuindo do valor da prestação o valor da amortização. 
 
 
 
 
Período Saldo Juros 5% Amortização Prestação 
0 100.000,00 5.000,00 - 5.000,00 
1 87.816,00 4.390,80 12.184,00 16.574,80 
2 74.990,74 3.749,54 12.825,26 16.574,80 
3 61.490,46 3.074,52 13.500,28 16.574,80 
4 47.279,64 2.363,98 14.210,82 16.574,80 
5 32.320,88 1.616,04 14.958,76 16.574,80 
6 16.574,82 828,74 15.746,06 16.574,80 
7 16.574,82 0,00 16.574,82 16.574,80 
Total - - 100.000,00 - 
 
 Atenção! Visando corresponder à soma das 
amortizações, exatamente, ao montante tomado, foi efetuado 
um ajuste de R$ 0,02 no valor da amortização da ultima 
prestação. 
 
 
4.7 – O sistema de amortização crescente - SACRE. 
 
4.7.1 – O Sistema 
 
 O SACRE, ou sistema de amortização crescente, é um 
sistema de financiamento criado pela Caixa Econômica Federal 
visando calcular a prestação dos empréstimos de aquisição da 
casa própria. 
 
 O objetivo do sistema é permitir a amortização de 
parcela expressiva do empréstimo no menor tempo possível e, 
caso ocorra uma inadimplência do mutuário, reduzir o risco de 
perdas para a CEF. 
 
 O valor da prestação no sistema SACRE é definido pela 
soma de duas variáveis básicas, quais sejam: o encargo 
mensal - EM e o seguro, atendendo ao seguinte modelo: 
 
PM = (EM × CES) + Seguro 
 
 Uma característica do sistema é ter a prestação mensal 
calculada em função do montante financiado e o seguro sobre 
o valor de avaliação do imóvel. 
 
 O CES é um parâmetro referente ao Coeficiente de 
Equivalência Salarial, periodicamente atualizado pela CEF. 
 
 Tanto o CES como o seguro possui uma metodologia 
própria para sua definição, porém fugindo do escopo deste 
curso a sua análise. 
 
 O seguro, por sua vez, é dividido em seguro do imóvel e 
seguro pessoal, que abrange morte e invalidez e são dois 
parâmetros a serem considerados no calculo da prestação. 
 
Pelas regras da CEF atualmente em vigor, o saldo 
devedor é atualizado anualmente pelo valor da TR, taxa 
referencial de juros utilizada no reajuste da poupança. Nos 
dois primeiros anos do financiamento e pode a, partir do 
terceiro ano, ser feito trimestralmente, a critério da CEF. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
89 
 
 
Finalizando, para calcular o saldo devedor a cada 
período em que ocorre o reajuste da prestação, o sistema 
utilizado é o de amortização constante. Porém, considerando a 
variação da TR, a amortização pode variar e mesmo diminuir, 
quando o valor desta for baixo. 
 
 
4.7.2 – A metodologia. 
 
 As prestações são determinadas adotando a 
seguinte metodologia: 
 
1º - Define-se o Encargo Mensal – EM 
 
EM = juros + amortização 
 
  )
n
i(P
n
P
iPEM
1







 
 
 Em que P corresponde ao saldo devedor e n o número 
de meses pactuados para amortizar o financiamento. 
 
 
2º - Define-se o parâmetro CES. 
 
 O CES é fixado por circular da CEF. Para o exercício de 
2006 foi estipulado em 1,12. 
 
3º - Calcula-se o valor do seguro. 
 
 O seguro, ou seja, a taxa do risco a incidir sobre o 
financiamento é composta pela soma de duas variáveis: uma 
destinada a cobrir danos físicos ao imóvel e a outra para cobrir 
o risco de morte ou de invalidez do tomador. 
 
 Assim sendo, estas taxas de seguro são denominadas, 
respectivamente, de: DIF, visando cobrir danos físicos ao 
imóvel; e MIP destinada a cobrir casos de morte ou de invalidez 
do usuário. 
 
Seguro = DIF + MIP 
 
 As taxas de seguro, por sua vez, são calculadas em 
função do valor do imóvel, da taxa de risco e do CES. 
 
 DIF = valor da avaliação × taxa de risco × CES 
MIP = valor da avaliação × taxa de risco × CES 
 
 A definição de cada taxa de risco deverá ser efetuada 
após consulta à CEF. Ressalta-se que estas taxas variam 
segundo a categoria em que for classificado o imóvel. Para 
tanto é leva do em consideração o valor da avaliação do 
imóvel, a idade do tomador e o prazo de quitação. 
 
 Como exemplo de taxas e considerando financiamentos 
realizados após 1994, na Categoria de Risco 6 a taxa definida 
para a DIF é 0,02402 % e para a MIP é de 0,14429%. 
 
4º - Define-se o valor da prestação mensal. 
 
 Como já definido, a expressão da Prestação Mensal é 
dada por: 
PM = (EM × CES) + Seguro 
 
5º - Calcula-se a amortização. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
90 
 
CES
n
P
A 
 
 
6º - Atualização monetária do financiamento. 
 
 É possível que tenha sito pactuado que para o calculo 
de cada prestação o valor financiado deva ser atualizado 
monetariamente, fato a ser considerado quando da quitação 
das mesmas. 
 
7º - Calcula-se o novo saldo devedor. 
 
SD n+1 = SDn – Amortização do período 
 
 
4.7.3 – Exemplo. 
 
 Seja calcular a prestação mensal relativa ao 
financiamento de um imóvel avaliado em de R$ 500 mil, dos 
quais R$ 300 mil serão financiados pela CEF. Os juros foram 
pactuados em 1,5% a.m. e o financiamento previsto para ser 
quitado em 60 meses. 
 
a) Calculo do encargo mensal – EM. 
EM = 300.000 (0,015 + 1/60) 
EM = 9.500,00 R$. 
 
b) Calculo dos seguros 
DIF = 500.000 × 0,02402% × 1,12 = 134,51 
MIP = 500.000 × 0,14429% × 1,12 = 808, 02 
Total do seguro = 942,53. 
 
c) Calculo do valor da prestação. 
PM = (EM×CES)+ Seguro. 
PM = (9.500,00 × 1,12) + (134,51+ 808,02) 
PM = 10.640,00 + 942,53 = 11.582,53 R$ 
 
 
4.7.4 - Comentários 
 
 O cálculo da prestação de um imóvel financiado é 
definido pelo sistema de amortização escolhido no ato da 
compra. Das três opções oferecidas no mercado — Sistema de 
Amortização Crescente (Sacre), Sistema Francês de 
Amortização (Tabela Price) e Sistema de Amortização 
Constante (SAC) —, o Sacre tem se revelado o mais vantajoso 
para o mutuário. 
 
 Embora comece com prestações mensais mais altas, se 
comparado à Tabela Price, o Sacre permite maior amortização 
imediata do valor emprestado, porque reduz simultaneamente a 
parcela de juros sobre o saldo devedor do financiamento. 
 
SD n+1 = SDn – Amortização do período 
 
 Pelo sistema, as prestações mensais mantêm-se 
próximas da estabilidade. No decorrer do financiamento, seus 
valores tendem a decrescer. Muito utilizado pela Caixa 
Econômica Federal, o Sacre tem recálculo das prestações 
corrigido anualmente pelo banco, nos dois primeiros anos do 
contrato, podendo ocorrer trimestralmente a partir do terceiro 
ano. 
 No final de cada ano, a Caixa levanta o saldo devedor e 
aplica a correção pela variação do índice de reajuste dos 
depósitos na caderneta de poupança da pessoa física 
(atualmente, a TR) acrescida as taxas de juros de 8%, 10,5% 
ou 12%, de acordo com a modalidade de financiamento obtida.Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
91 
 
 Na Caixa, o prazo máximo de financiamento pelo Sacre 
é de 20 anos, só podendo ser comprometida 30% da renda 
familiar, no máximo. No final do contrato, pelo sistema, não há 
os desagradáveis resíduos a serem pagos pelo comprador. 
 
 O exercício deste item 4.6 consta do sitio da internet 
http://www.meusite.pro.br. Amortização pelo Sacre traz 
vantagens ao mutuário. Em 25.08.2006. 
 
 
4.8 – Correção do saldo devedor. 
 
 
4.8.1 – Procedimentos. 
 
 Com o objetivo de repor o valor aquisitivo da moeda 
corroída pelo efeito da inflação, efetua-se a correção do saldo 
devedor existente, segundo a periodicidade pactuada. 
 
 Essa correção é efetuada segundo algum índice de 
previamente escolhido e atendendo a procedimentos 
legalmente aceitos. 
 
 No Brasil, dada a jurisprudência vigente, a correção do 
saldo devedor é efetuada depois de quitada a prestação do 
período e efetuada a amortização do saldo devedor. 
 
 Consequentemente, o saldo devedor a render juros no 
período seguinte, SDn, é definido atualizando monetariamente o 
saldo devedor do período anterior, SCn-1,apos ser abatido o 
valor de amortização do saldo devido nesse período anterior. 
 
SDn = (SCn-1 – amortizaçãon-1) × (1+Φ) 
 
 
4.8.2 – Metodologia. 
 
 Seja definir o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a cada período de um empréstimo a ser 
quitado em cinco prestações anuais. Foram pactuadas as 
seguintes condições: 
 
 A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; 
 O sistema de pagamentos ocorrerá por amortização 
constante, SAC; 
 O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. 
 
 Adotando como nomenclatura: SDn representando o 
saldo devedor num período qualquer n; SCn-1 exprimindo o 
saldo devedor no período anterior ja corrigido segundo o índice 
pactuado; a, sendo o valor da amortização; n, o número de 
períodos a amortizar, Jn correspondente ao montante dos juros 
devidos no período n; e In o índice pactuado relativo ao período 
n, qualquer. 
 
 Os procedimentos necessários à determinação das 
prestações são os seguintes: 
 
1º) Calcula-se o valor da amortização para o primeiro período: 
amortizar.per
SC
a nn
1
 
 
2º) Calcula-se o montante dos juros do primeiro período 
relativo ao capital tomado: 
Jn = i × SCn-1 
 
3º) Define-se o valor da prestação: 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
92 
 
Pn = an + Jn 
 
4º) Calcula-se o novo saldo devedor: 
SDn = SCn-1 - a 
 
5º) Atualiza-se o índice de correção e define-se o fator de 
correção do saldo devedor. 
 
6º) Corrige-se o saldo devedor: 
1

n
n
nn
I
I
SDSC
 
 
7º) Repete-se o procedimento até ser obtida a ultima 
prestação. Os juros e a amortizações de qualquer 
período subsequente são calculados tendo por base o 
saldo devedor corrigido. 
 
 
4.8.3 – Aplicação ao Sistema SAC. 
 
 Como aplicação, seja calcular as prestações de um 
financiamento de um equipamento no valor de R$ 250 mil, a 
ser quitado em cinco anos, com juros pactuados a 10% ao 
período, sob o sistema da amortização constante. O saldo 
devedor deverá ser corrigido segundo a variação anual do 
INPC ocorrida no período. 
 
 
INPC 
Período Exercício Índice Fator de Correção 
0 01.01.2001 1,8798 - 
1 01.01.2002 2,0573 1,094. 425 
2 01.01.2003 2,3605 1,147. 378 
3 01.01.2004 2,6056 1,103. 834 
4 01.01.2005 2,7654 1,061. 329 
5 01.01.2006 2,9050 1,050. 481 
 
 
 
 
 
Calculo do Saldo Corrigido 
Saldo 
Devedor 
Períodos 
a amortizar 
Amortização 
Fator de 
Correção 
Saldo 
Corrigido 
250.000,00 - 
200.000,00 5 50.000,00 1,094425 218.885,00 
164.163,75 4 54.721,25 1,147378 188.357,87 
125.571,91 3 62.785,96 1,103834 138.610,54 
69.305,27 2 69.305,28 1.061329 72.803,87 
72.803,87 1 72.803,87 1,050481 --- 
 
 
Determinação das Prestações 
Per 
Saldo 
Amortizado 
Saldo 
Corrigido 
Amortiza 
Juros 
10% 
Prestação 
0 250.000,00 - - - - 
1 200.000,00 218.885,00 50.000,00 25.000,00 75.000,00 
2 164.163,75 188.357,88 54.721,25 21.888,50 76.609,75 
3 125.571,92 138.610,55 62.785,96 18.835,79 
4 
5 
 
 Por facilidade de entendimento dos procedimentos 
efetuados na determinação das prestações expostos da 
tabela acima se demonstra, a seguir, os cálculos das três 
primeiras prestações. 
 
 Solicita-se que o interessado realize os cálculos das 
prestações faltantes. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
93 
 
 
1ª Prestação: 
 
 Na primeira prestação, tanto os juros como a 
amortização são calculados sobre o capital inicial tomado, ou 
seja, R$ 250 mil. Não incide correção sobre este valor. 
 
Valor da 1ª prestação: 
 P1 = a1 + J1 
 P1 = 50.000+25.000 = 75.000,00 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
,.
amortizar.per
SC
a 0000050
5
000002500
1 
 
 
Montante dos Juros: 
 J1 = 250.000,00 × 0,10 = 25.000,00R$. 
 
Saldo Devedor: 
 SD1 = SD0 – a1 
 SD1 = 250.000,00 – 50.000,00 = 200.000,00 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
$R,.
,
,
.
I
I
SDSC 00885218
87981
05732
000200
0
1
11 
 
 
2ª Prestação: 
 
Valor da 2ª prestação: 
 P2 = a2 + J2 
 P2 = 54.721,25 + 21.888,50 = 76.609,75 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
218.885,00
amortizar.per
SC
a 2572154
4
1
2 
 
 
Montante dos Juros: 
 J2 = SD1 × i 
 J2 = 218.885,00 × 0,10 = 21.888,50R$. 
 
Saldo Devedor: 
 SD2 = SD1 – a2 
 SD2 = 218.885,00 – 54.721,25 = 164.163,75 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
1
2
12
I
I
SDSC 
 
 SD2 = 164.163,75 × 1,147378 = 188.357,88 R$ 
 
 
3ª Prestação. 
 
Valor da 3ª prestação: 
 P3 = a3 + J3 
 P3 = 62.785,96 + 18.835,79 = 76.609,75 R$ 
 
Amortização: 
 
$R,.
188.357,88
amortizar.per
SD
a 9678562
3
2
3 
 
 
Montante dos Juros: 
 J3 = SD2 × i 
 J3 = 188.357,88 × 0,10 = 18.835,79 R$. 
 
Saldo Devedor: 
 SD3 = SD2 – a3 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
94 
 
 SD3 = 188.357,88 – 62.785,96 = 125.571,92 R$ 
 
Saldo Corrigido: 
 
2
323
I
I
SDSC 
 
 SD3 = 125.571,92 × 1,103. 834 = 138.610,55R$ 
 
 
 
4.9 – Exercícios Propostos. 
 
 
4.9.1 - Seja um empréstimo de 1 milhão de reais a ser quitado 
em sete anos, com pagamentos anuais, a juros de 9% a.a. e 
carência de dois anos. 
 
 Durante o prazo de carência, também não ocorrerá o 
recolhimento dos juros devidos. Calcular as prestações e os 
juros a serem pagos pelo credor considerando: 
 
O sistema de amortização constante; 
 O sistema de prestações constantes. 
 
4.9.2 - Comparar o montante dos juros pagos, bem como o 
montante do valor das prestações, face os sistemas 
especificados para o calculo de cada financiamento 
considerado no exercício 4.9.1. 
 
4.9.3 - Uma construtora contraiu junto ao BNH um empréstimo 
de 200 mil CUB a ser pago em 10 prestações anuais e 
consecutivas. Qual será a composição da prestação anual, 
juros e principal, no Sistema Francês quando os juros 
pactuados são de 8% ao ano? (Estabeleça a data da operação 
financeira). 
 
4.9.4 - Partindo dos dados especificados no exercício 4.9.2, 
pede-se calcular as prestações devidas. O saldo devedor 
deverá ser atualizado anualmente, segundo a taxa anual de 
inflação abaixo. 
 
Período 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 
Inflação % 3,00 4,50 6,80 8,50 10,10 12,20 15,70 
 
 
4.9.5 - Sua empresa deseja substituir um equipamento cujo 
valor de mercado é de R$ 125 mil, no prazo de 18 meses. Para 
tanto, estuda duas hipóteses: 
 
1ª – Efetuar a aquisição utilizando recursos próprios, através de 
uma poupança programada com juros pactuados de 1.25% ao 
mês. 
 
2ª – Utilizando financiamentode um banco de investimentos, 
que pratica o sistema Price a taxa de 22,0 % ao ano, 
financiáveis em dez anos, sem carência. 
Para ambos os casos definir: o valor da prestação mensal e os 
juros. 
Sabe-se que a TMA da empresa é de 14% ao ano. 
 
4.9.6 - Considerando a aplicação efetuada no item 4.7.2, 
recalcular as prestações adotando o sistema de prestação 
constante. 
 
4.9.7 - Verifique se o calculo da prestação esta correto. 
O caso em questão refere-se a um contrato de compra e 
venda de bem imóvel e mútuo com alienação fiduciária em 
garantia. Condições do contrato: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
95 
 
- Valor do bem financiado: R$ 82. 000,00; 
- Valor pago com recursos próprios: R$ 42.000,00; 
- Valor financiado pela CEF: R$ 40.000,00; 
- Valor da garantia fiduciária: R$ 82.000,00; 
- Sistema de Amortização: SACRE. 
-Prazo Amortização: 240 Meses 
- Taxa Anual Nominal de Juros (%): 12,0000% 
- Taxa Anual Efetiva de Juros (%): 12,6825% 
- Encargo Inicial – prestação (a + j) = R$ 566,66 
- Seguros = R$ 39,36 
- Total a pagar = 39,36 + 566,66 = R$ 606,02 
- Vencimento: 09/07/2001 
- Atualização dos Encargos: nos dois primeiros anos as 
prestações de amortizações + juros + prêmios de seguros, 
serão recalculados a cada 12 meses, levando em conta a 
data inicial do contrato (08/08/2001 a 08/08/2002 e 
08/08/2003). A partir do 3º ano, tais valores poderão ser 
recalculados trimestralmente, no dia correspondente ao da 
assinatura desde contrato, caso venha ocorrer o 
desequilíbrio econômico-financeiro deste contrato. 
 
4.9.8 - Uma empresa em fase de expansão obtém um 
financiamento no montante de R$ 4,8 milhões a ser liberado 
em três parcelas quadrimestrais, segundo o pactuado nos itens 
I e II. 
 
 
 Solicita-se: 
 
 As planilhas que demonstrem o valor de cada prestação, 
os juros incorridos e a amortização a ser efetuada; 
 O custo efetivo, mensal, do empréstimo; 
 Efetue o diagrama de fluxo de caixa do financiamento. 
 
 
 Tabela - I 
Critério de liberação das parcelas Valor em R$ 
1ª parcela - assinatura 1.300.000,00 
2ª parcela - 1º quadrimestre 3.000.000,00 
3ª parcela - 2º quadrimestre 500.000,00 
 Tabela - II 
Condições pactuadas Encargos 
Taxa nominal de juros 9% ao ano 
Período de capitalização Quadrimestral 
Comissão de abertura de crédito 
sobre o valor total do 
financiamento. 
0,5% no ato de liberação junto 
com a 1ª parcela. 
Imposto sobre operações 
financeiras – IOF. 
1% sobre o total geral. 
Valor tomado, valor dos juros e 
da comissão de abertura de 
crédito. 
Carência Quatro (4) quadrimestres. 
Juros durante a carência Serão pagos 
Prazo do financiamento 5 anos 
Sistema de amortização SAC 
Período de amortização Quadrimestral 
 
 
4.9.9 - Seja definir o valor da prestação, dos juros e da 
amortização referentes a cada período de um empréstimo no 
montante de R$ 300 mil, a ser quitado em cinco prestações 
anuais. Foram pactuadas as seguintes condições: 
 A taxa de juros estabelecida em 10% ao ano; 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
96 
 
 O sistema de pagamentos ocorrerá por prestação 
constante; 
 O saldo devedor corrigido pela variação anual do INPC. 
 
4.9.10 - Uma empresa visando implantar um novo projeto de 
produção obteve um financiamento no montante de R$ 750 
mil. Solicita-se a elaboração do diagrama de fluxo de caixa 
associado ao empreendimento, bem como o valor das 
prestações, da amortização e dos juros incorridos. 
 
 
 
Cláusulas pactuadas 
Item Condições Contratuais 
Taxa nominal de juros 9 % ao ano. 
Período de capitalização Semestral. 
Comissão de abertura de 
crédito sobre o valor total 
do financiamento. 
0,5% do valor do contrato cobrado no 
ato de adjudicação do contrato de 
financiamento. 
Taxa de administração 
0,25% do saldo devedor, paga junto 
com a prestação. 
Imposto sobre operações 
financeiras – IOF. Valor 
financiado junto com as 
prestações 
1% sobre o total geral. 
Valor tomado, valor dos juros e da 
comissão de abertura de crédito. 
Carência Dois semestres. 
Juros durante a carência Serão pagos 
Prazo do financiamento 5 anos 
Sistema de amortização Prestação constante 
Período de amortização Semestral 
Saldo devedor 
O saldo devedor é reajustado 
semestralmente pela variação do 
INPC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
97 
 
 
 
4.9.11 - Calcular o valor das prestações dos financiamentos abaixo qualificados. 
 
I – Sistema de Amortização Constante – SAC. 
 
A. - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. 
 
SAC sem carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
B. - Financiamento com carência de três anos e Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos. 
 
SAC com carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Amortização Juros – 10% Prestação 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
98 
 
 
 
 
C - Financiamento com três anos de carência. Juros de 10% ao ano não quitados durante a carência. Prestação corrigida pela 
variação anual do INPC. 
 Operação pactuada em janeiro de 2.000. Prestações anuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SAC com correção monetária e carência 
Per. 
Saldo 
Amortizado 
AS 
Índice de 
Inflação 
Índice de 
Correção 
IC = ÍN ÷ I0 
Saldo Corrigido 
SC = AS x IC 
AMORTIZAÇÃO Juros - 10% aa 
Prestação 
P = A + J 
1/00 250.000,00 - - - - - 
1/01 
1/02 
1/03 
1/04 
1/05 
1/06 
1/07 
Total 
Metodologia: 1º Passo: 
 
1º - Calcular a amortização para o 1º período sobre o saldo financiado; 
2º - Definir o valor dos juros; 
3º - Calcular a prestação: P = A + J. 
4º - Calcular o saldo amortizado; 
5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção monetária 
sobre o saldo amortizado; 
2º Passo: 
 
1º - Para o 2º período calcular o valor da 
amortização sobre o saldo corrigido do 1º 
período. 
............. 
Repetir o processo anterior. 
 
 Atenção: a amortização do período 
subsequente é sempre calculada sobre o saldo 
corrigido. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
99 
 
 
 
 
 
II – Método da Prestação Constante – Francês. 
 
A - Financiamento sem carência com juros de 10% quitados a cada período. Operação de sete anos. 
 
Sistema Francês sem carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
 
B - Financiamento com carência de três anos. Juros NÃO quitados durante a carência. Operação de sete anos. 
 
Sistema Francês com carência 
Per. Saldo Saldo Amortizado Prestação Juros – 10% Amortização 
0 250.000,00 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
Total 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
100 
 
 
 
 
 
C – Financiamento de R$ 250.000,00 com três anos de carência, com base em prestações anuais. 
 Juros de 10% ao ano, pactuados para não serem quitados durante o prazo de carência. 
As prestações deverão ser corrigidas pela variação anual do INPC. 
 Operação pactuada em janeiro de 2.000. 
 
 
 
 
Prestação constante com atualização monetária 
Per. 
Saldo 
Amortizado 
SAÍndice de 
Inflação 
Índice de 
Correção 
IC = IN ÷ I0 
Saldo 
Corrigido 
SC = SA x IC 
PRESTAÇÃO 
P 
Juros - 10% 
AA 
J 
Amortização 
A = P - J 
1/00 250.000,00 - - - - - 
1/01 
1/02 
1/03 
1/04 
1/05 
1/06 
1/07 
Total 
Metodologia: 1º Passo: 
 
1º - Calcular a prestação para o 1º período sobre o saldo 
financiado; 
2º - Definir o valor dos juros; 
3º - Calcular a amortização: A = P - J 
4º - Calcular o saldo amortizado; 
5º - Definir o saldo corrigido ao aplicar o fator de correção 
monetária sobre o saldo amortizado; 
2º Passo: 
 
1º - Para o 2º período calcular o valor da 
prestação sobre o saldo corrigido do 1º período. 
............. 
Repetir o processo anterior. 
 
 Atenção: a prestação do período subsequente 
é sempre calculada sobre o saldo corrigido do 
período anterior. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
101 
 
 
 
5. –Engenharia Econômica. 
 
 
5.1 – Conceituação. 
 
 A engenharia econômica corresponde à área do 
conhecimento cujo objeto é a decisão sobre alternativas 
financeiras de investimentos. 
 
 Como premissa para a tomada de decisão, só tem 
sentido aplicar os métodos propostos havendo a existência de 
alternativas de investimentos possíveis de serem comparadas. 
Não havendo alternativas não haverá decisão a tomar. 
 
 As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na 
ciência denominada Matemática Financeira que, com já visto, 
descreve as relações da equivalência de capital sob a ótica do 
binômio TEMPO- DINHEIRO. 
 
 Para que qualquer alternativa seja considerada num 
processo de decisão há que se estudar a sua viabilidade e, 
deste modo, responder aos seguintes questionamentos: 
 
 
1. Qual o incremento de riqueza que uma alternativa 
propiciará sendo realizada; 
2. Qual o tempo de retorno do capital inicialmente aplicado; 
3. Qual a máxima taxa de desconto possível de ser adotada 
e uma alternativa de projeto permanecer viável; 
4. Qual a taxa de rentabilidade adotada em proposta de 
investimento. 
5. Qual a taxa de rentabilidade de uma aplicação financeira. 
 
 Cabe ao analista de investimentos propor, desenvolver e 
hierarquizar o conjunto de alternativas de investimentos 
disponíveis. 
 
 Porém, deve ter em mente que a decisão de eleger 
qualquer delas é prerrogativa do empresário, ou do decisor, a 
quem caberá a palavra final sobre aquela a ser eleita e a 
melhor oportunidade em deflagrar esse processo. 
 
 
 
Dada a assertiva acima, toda a metodologia de 
análise de investimentos se apoia no sistema de 
juros compostos quando trata do 
estabelecimento de padrões de comparação de 
capital ou na decisão quanto à escolha da 
melhor das alternativas propostas de projetos 
de investimentos.
ATENÇÃO !
 
 
 
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
102 
 
 
5.2 – Análise de Viabilidade. 
 
5.2.1 - O Processo da Tomada de Decisão. 
 
Todas as decisões sobre análise de investimentos ou 
propostas de projetos de investimentos são tomadas a partir do 
desenvolvimento de propostas de alternativas possíveis. 
 
Inexistindo alternativas, não há opção de escolha e, 
portanto, não há decisão a tomar. 
 
 Quando se comparam alternativas de investimentos, 
apenas as diferenças existentes entre elas é que são 
relevantes para análise. 
 
 Como as alternativas competem entre si, uma serve de 
referência para a outra no processo de seleção. Ao ser 
considerada a competição de alternativas, o objetivo é definir o 
projeto vencedor, aquele que mais aumenta a riqueza dos 
proprietários. Isto quer dizer que são comparados, apenas, 
projetos mutuamente exclusivos. 
 
 Decisões separáveis devem ser tomadas 
separadamente. Não há por que considerar num processo de 
decisão projetos definidos como independentes com aqueles 
mutuamente exclusivos. 
 
 O processo de formulação de alternativas deve permitir 
uma visão de cada uma delas, sem entrar em comparações 
irrelevantes, e que perturbem o claro entendimento processo 
decisório. 
 
 
 A seguir é apresentada uma metodologia, disposta em 
cinco etapas, visando o desenvolvimento do processo de 
decisão de um projeto. KRICK, 1971. Apud CASAROTTO 
FILHO e KOPITTKE, 1990. 
 
 
 Formulação do Problema
 Especificação da Alternativa Eleita
 Análise de Viabilidade das Alternativas
 Propostas de Alternativas
 Desenvolvimento do Problema
1º
5º
4º
3º
2º
 
 
 Comentando os itens do quadro acima: 
 
 
1ª Etapa: A formulação do problema - implica na descrição 
das características gerais do projeto a executar e/ou do 
processo produtivo. 
 
2ª Etapa: Desenvolvimento do Problema - corresponde a 
especificação detalhada das características do projeto. Para 
tanto se deve dispor do conhecimento das condições e 
restrições de mercado, local de implantação, condições de 
produção, a planta do projeto e processo de construção, 
processo de comissionamento, restrições legais e ambientais, 
enfim, conhecer todo o processo de implantação e produção. A 
Figura 5.1 mostra as etapas básicas a serem consideradas 
num projeto produtivo de investimento e onde nele se insere a 
análise de viabilidade. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
103 
 
 
 
Análise de Pré Viabilidade
Projeto da Fábrica
Análise de Viabilidade
Implantação
Comissionamento
Operação/ Utilização
Projeto
Projeto de Financiamento
Figura 5.1 - Etapas Básicas de um Projeto Fabril.
Construção Processo Fabril
Licenças e Alvarás
 
 
 
3ª Etapa: Busca de Alternativas – nesta fase são 
desenvolvidas alternativas que atendam as condições e 
restrições do projeto estabelecidas. É interessante ressaltar 
que o local de implantação do projeto, do tamanho da planta, 
do processo de fabricação e das condições de financiamento 
condicionam alternativas distintas. 
 
4ª Etapa: Análise de Viabilidade das Alternativas – corresponde 
à fase em que algum método ou processo de decisão é 
aplicado a cada alternativa visando estabelecer a contribuição 
de cada uma delas para com os objetivos desejados e, 
consequentemente, a hierarquização entre elas. O item 5.2.2 
relaciona os métodos de decisão financeira a serem discutidos. 
 
5ª Etapa: Especificação da Alternativa Eleita – estabelece e 
especifica as condições necessárias à implantação da 
alternativa eleita. 
 
5.2.2 – Métodos de Decisão. 
 
Os métodos discutidos neste livro permitem amparar a 
tomada de decisão financeira ao estabelecer parâmetros 
capazes de permitir a comparação e hierarquização das 
alternativas de investimento segundo o incremento de riqueza 
proporcionado por cada uma das alternativas ou a rentabilidade 
das mesmas. São eles: 
 
E Valor Presente Líquido; 
E Retorno do Capital ou pay-back; 
E Valor Uniforme Equivalente; 
E Taxa Interna de Retorno. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
104 
 
 
É muito possível que a adoção de um único método, 
isoladamente, não satisfaça as exigências de um bom processo 
decisório. 
 
 Visando melhor amparar o processo decisório, 
recomenda-se ao analista elaborar a hierarquização das 
alternativas considerando, conjuntamente, vários dos métodos 
apresentados e não se limitar a simples adoção de apenas um 
deles, procedimento que vem a enriquecer sua qualidade de 
analise. 
 
 
5.3 – O Processo da Análise de Viabilidade. 
 
 Conceitualmente, estudar a viabilidade de um projeto 
significa quantificar suas premissas, construir a projeção dos 
fluxos de caixa e verificar se o projeto propicia um aumento de 
riqueza. 
 
 O quadro abaixo mostra as etapas básicas para a 
realização de um processo de análise de viabilidade. 
 5º - Elaborar o Fluxo deCaixa de Cada Alternativa
1º Estabelecer as premissas do projeto.
4º - Levantar as possíveis alternativas para a execução do projeto
3ª - Definir a taxa de desconto
2º - Definir a vida útil do projeto
7º - Hierarquizar as Alternativas Segundo o Aumento de Riqueza
6º - Calcular o VPL de cada Alternativa ou a TIR.
 
 
A verificação do aumento, ou não, da riqueza do 
proprietário ou do investidor é efetuada ao se adotar um dos 
métodos descritos anteriormente, item 5.2.2, cuja metodologia 
segue os itens descritos no quadro a seguir. 
 
Como já comentado, a consideração do local de 
implantação de um projeto, o tamanho da planta ou capacidade 
instalada de produção, a estrutura e o processo de fabricação, 
e as condições de financiamento condicionam alternativas 
distintas. 
 
 As premissas que permitem analisar a viabilidade de um 
projeto, geralmente, são as seguintes: 
 
I - O orçamento de investimentos; 
II - As projeções operacionais; 
III - 
O horizonte do prazo do investimento ou tempo de 
vida útil do projeto; 
IV - 
O custo de capital, ai considerando o capital próprio 
e o de terceiros; 
V - As fontes de recursos disponíveis. 
 
5.3.1 - Orçamento de Investimentos. 
 
 O orçamento de investimentos considera três tipos de 
capitais: os custos associados à administração da implantação 
do projeto; o investimento em capital fixo ou imobilizado; e o 
investimento em capital de giro. 
 
 Os custos associados à administração da implantação 
do projeto consideram todos os custos e despesas necessários 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
105 
 
a cumprir as fases de pré-viabilidade, viabilidade, construção e 
comissionamento do mesmo. 
 
O investimento em capital fixo ou imobilizado engloba 
todo aquele investimento que não entrará no “giro” dos 
negócios tais como: terrenos, obras civis, equipamentos, 
despesas de engenharia, montagens, administração do projeto, 
despesas financeiras durante a construção, etc. Contabilmente, 
esse capital é apropriado no item Ativo Não Circulante do 
balanço patrimonial. 
 Projetos
 Terrenos
 Construções
 Acessos
 Equipamentos
 Veículos
 Patentes
 Capital de Giro
 Juros Durante a Construção
 Administração do Projeto
 Etc.
Orçamento de
Investimentos
 
 
 O capital de giro representa os recursos necessários à 
operação quotidiana do projeto na fase de operação até que o 
mesmo produza caixa em condições de operação normal. Ele 
compreende os investimentos em: necessidades mínimas de 
caixa; salários e encargos sociais demandados pelos primeiros 
períodos de operação do projeto; estoques de matérias primas, 
de produtos em elaboração e de produtos acabados; custos 
administrativos; financiamento de vendas; etc. 
 
 Contabilmente, esse tipo de capital é apropriado em 
contas do ativo circulante. 
 
 Exige cuidados a definição do nível de aporte de capital 
de investimento, pois ocorre um comportamento distinto no 
fluxo nos dois tipos de investimento durante a vida do 
empreendimento. 
 
 No caso do capital de giro, recomenda-se avaliar a 
oscilação do mesmo para cada nível de produção, pois 
ocorrerá uma exigência distinta no nível de demanda de capital 
de giro a cada nível de produção considerado. 
 
 
5.3.2 – Projeções Operacionais. 
 
 As projeções operacionais de um projeto de 
investimento são constituídas pelas estimativas de: demanda 
do produto; preço de venda do produto; custos de produção a 
cada nível de demanda. 
 
 Demanda do Produto
 Preço de Venda
 Custos de Produção a cada Nível de Demanda
Projeções
Operacionais
 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
106 
 
A demanda do produto corresponde à previsão da 
quantidade do mesmo a ser vendida a cada período de tempo. 
 
 Normalmente, esta quantidade varia com o tempo. Via 
de regra, é crescente até alcançar a quantidade máxima de 
produção instalada e, decrescente quando o produto fica 
tecnologicamente ultrapassado ou prescindível pelos 
consumidores. 
 
 O preço de vendas pode ser estimado de dois modos: 
 
I. Acompanhando o preço praticado pelas empresas 
líderes de mercado; 
II. Ou, impondo o próprio preço ao mercado. 
 
Nestes dois casos recomenda-se definir o próprio preço, a 
partir do orçamento de custo, dos tributos exigidos e do lucro 
desejado para poder avaliar a própria situação de lucratividade 
e comparar o seu preço frente ao praticado pelo mercado. 
 
Finalizando, é importante analisar o custo de produção a ser 
incorrido a cada nível de demanda. 
 
 Considerando que, em especial, os custos variáveis 
oscilam segundo a quantidade produzida, há que se observar e 
analisar qual a quantidade ótima de produção que permite 
realizar o lucro máximo. 
 
E, para tanto, observar qual a quantidade de produção 
que permite economia de escala e a quantidade, ou ponto 
ótimo de produção, a partir do qual se entra num processo de 
deseconomia de escala. 
 
Ao ser iniciado um processo produtivo, o faturamento 
inicia com valor zero, cresce a taxas crescentes e a partir da 
quantidade ótima passa a crescer a taxas decrescentes. 
 
O custo total é função da soma dos custos fixos com os 
custos variáveis para cada nível de produção. Ele já se inicia 
no valor do custo fixo existente no momento que a produção. É 
zero. Assim, os custos totais são crescentes com o aumento de 
produção. 
CT = CFixo + CVariável = CDireto + CIndireto 
 
Lucro = Faturamento − Custo Total 
 
Ponto
Equilíbrio
Inferior
Ponto
Equilíbrio
Superior
Lucro
Máximo
QEinf Qótima QEsup
R$
Produção
Faturamento
Custos Totais
Economia
De Escala
Deseconomia
De Escala
Figura 5.1 - Relações de Produção
 
 
 A Figura 5.1, mostra um modelo clássico do 
comportamento das relações de produção. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
107 
 
 
É importante notar que, dado o comportamento do 
faturamento e dos custos totais, conforme mostrado na Figura, 
ocorrem duas quantidades de produção em que ocorre lucro 
zero. São os denominados pontos de equilíbrio inferior e o 
superior. 
 
 O objetivo primeiro do gestor é definir a quantidade de 
produção a partir da qual o projeto passa a gerar lucro, ou seja, 
a partir do ponto de equilíbrio inferior. E, a quantidade ótima de 
produção na qual ocorre o lucro máximo do projeto produtivo. 
 
Porém, uma produção superior ao da quantidade ótima 
faz com que os lucros entrem em fase declinante e a partir do 
ponto de equilíbrio superior o projeto passa a gerar prejuízos. 
 
 Assim, diz-se que um projeto se encontra em fase de 
economia de escala quando a produção é crescente até chegar 
ao ponto da quantidade ótima de produção, quando ele 
propicia um lucro máximo. A partir da quantidade ótima, o 
projeto entra em fase de deseconomia de escala, passando a 
produzir lucros declinantes e, até mesmo, chegar a prejuízos. 
 
 A quantidade ótima de produção, Qótima, que propicia o 
lucro máximo se situa entre as quantidades QEinf e QEsup. 
Graficamente, ocorre quando a distância entre a curva de 
faturamento e a do custo total é máxima. 
 
5.3.3 – Vida Útil ou Horizonte do Investimento. 
 
 Por definição, horizonte de investimento, tempo de vida 
ou de operação de um projeto corresponde ao espaço de 
tempo que se pretende dispor do mesmo. 
 
O estabelecimento do tempo de vida de um projeto deve ser 
estabelecido considerando ser ele um ativo produtivo ou uma 
aplicação em ativo financeiro. 
 
No caso de investimento produtivo, seu tempo de vida é 
função do tempo de utilização que o leva à obsolescência ou o 
de sua primeira grande manutenção, quando é possível 
aumentar o tempo de vidado mesmo. 
 
 No caso de ativo financeiro, o horizonte de investimento 
dependendo do tempo estabelecido para obter o melhor 
retorno ou a rentabilidade pré-definida. 
 
Horizonte de 
Investimento
Ativo Financeiro
Ativo Produtivo
 
 
 
 Assim, quando se compra ações, regra geral, os 
analistas recomendam ter um horizonte de longo prazo. 
 
 Embora as ações possam ser vendidas a qualquer 
momento, o ideal é que o investidor participe neste mercado 
com uma estratégia de ganhar dinheiro no longo prazo. Não 
convém aplicar hoje em ações o dinheiro que será usado para 
pagar a prestação da casa própria amanhã, por exemplo. 
 
 Esta é uma recomendação natural para investimentos de 
maior risco. Também não se deve comprar um imóvel sabendo 
que será necessário vendê-lo em seis meses. É melhor esperar 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
108 
 
um momento adequado, que pode ser de seis meses, mas 
também pode não ser. 
 
 É interessante notar que, ao termino da vida do projeto, 
havendo Investimento Fixo e/ou Capital de Giro residual, eles 
devem ser incorporados ao fluxo de caixa, como uma entrada 
de caixa, ao final do mesmo. 
 
5.3.4 – O Custo de Capital. 
 
 O custo de capital é, matematicamente, definido como a 
taxa “ï” a ser adotada nos estudos financeiros da empresa, 
para o desconto de seus projetos. A fórmula abaixo, que 
expressa o valor presente de uma série antecipada de 
pagamentos, é um exemplo desta assertiva, onde i expressa o 
custo de capital. 
 
VP(sa)= R(sa) × {
(1+i)n-1
i ×(1+i)n-1
} 
 
 Esta taxa, também denominada de taxa de rentabilidade, 
é taxa de remuneração desejada pelos proprietários pela 
remuneração do capital próprio aplicado. Pode receber, 
também, as denominações de: taxa de mínima atratividade, 
taxa de oportunidade, custo de oportunidade, taxa de desconto 
da empresa. 
 
 Conceitualmente, a taxa de juros difere da Taxa de 
Oportunidade, mesmo que, matematicamente, o tratamento a 
ser dado a estes dois tipo de taxas possa ser idêntico. 
 
 Isto porque, por definição, a taxa de juros corresponde à 
remuneração do capital paga pela utilização de um capital de 
terceiros. 
 
 A Taxa de Oportunidade ou Taxa de Mínima 
Atratividade, por sua vez, é a taxa estabelecida para a 
remuneração da aplicação de capital próprio. Ela corresponde 
à menor taxa de remuneração desejada por uma empresa, ou 
um capitalista, para a remuneração de seus recursos, ao serem 
consideradas alternativas que apresentem a mesma taxa de 
risco. 
 
5.3.5 – Fontes de Recursos. 
 
 Conforme já mostrado na Figura 1.5, considera-se, 
basicamente, duas fontes de capitais necessários à 
implantação de um projeto: 
 
 Capital Próprio; 
 Capital de Terceiros. 
 
 O custo do capital próprio corresponde à remuneração 
estipulada pelo proprietário da empresa ou pela coalizão 
dominante pela utilização seu capital. 
 
 O custo de capital de terceiros corresponde à 
remuneração estipulada por financiadores pelo aporte de seus 
capitais, sejam provenientes de empréstimos de curto prazo ou 
de financiamentos de longo prazo. A definição desses custos já 
foi discutida no item 1.5.2 – Fontes de Capital. 
 
 É importante notar que a análise de projetos futuros 
deve considerar a futura composição de capital da empresa, 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
109 
 
pois cada capital a ser mobilizado, frequentemente, considera 
um custo de capital distinto. 
 
 
5.4 – O Fluxo de Caixa. 
 
5.4.1 – Conceituação. 
 
 A análise da viabilidade financeira de investimentos é 
realizada através da elaboração dos fluxos de caixa projetados 
e associados a cada uma das alternativas desenvolvidas. 
 
 Conceitua-se fluxo de caixa, como uma série de 
pagamentos e recebimentos de dinheiro, distribuídos no tempo. 
 
 O processo de análise financeira e a elaboração do 
fluxo de caixa projetado podem ser realizados disponíveis as 
seguintes informações: 
 
 Avaliação da variação da demanda do produto durante o 
horizonte de projeto; 
 Preço de Venda do Produto; 
 Custos de Produção a cada nível de demanda; 
 Alíquotas dos tributos incidentes sobre o lucro e o 
faturamento; 
 Utilização do capital próprio ou de terceiros; 
 Valor residual dos ativos imobilizados a serem 
alienados; 
 Taxa de mínima atratividade ou de retorno do capital; 
 Horizonte do projeto. 
 
5.4.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa – DFC. 
 
 O “diagrama de fluxo de caixa” é o instrumento que 
permite visualizar clara e concisamente a série de fluxos de 
caixa. 
 
 Graficamente ele é representado em um gráfico 
cartesiano onde, em abscissas, fica determinada a linha dos 
tempos e, em ordenadas, o valor monetário de cada fluxo de 
caixa singular. Como exemplo seja o diagrama da Figura 5.2. 
 
Neste diagrama, receitas ou entradas de dinheiro são 
representadas por setas voltadas para cima, sinal (+). 
Pagamentos ou saídas de dinheiro representadas por setas 
voltadas para baixo, sinal (-). 
 
 Seta voltada para cima indica fluxo de caixa 
superavitário ou positivo;
 Seta voltada para baixo indica fluxo de caixa 
deficitário ou negativo;
 Todo fluxo de caixa é lançado em diagrama 
no momento final do período que tenha 
ocorrido.
Convenções
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
110 
 
 
Cada fluxo de caixa, então, expressa graficamente o 
resultado ou saldo das movimentações de caixa havidas em 
determinado período. E deve ser lançado no diagrama ao final 
do período em que ocorrer. O modelo de calculo do fluxo de 
caixa será discutido no Item 5.4.3. 
 
 F1
F5
F4F3
F2
1
2 3 4 5
R$
F0
Fn
n
Figura 5.2 – Diagrama de Fluxo de Caixa
 
 
 Recomenda-se, especialmente ao iniciante no assunto, 
desenhar o diagrama de fluxo de caixa das alternativas 
propostas. Este procedimento facilitará o acompanhamento e 
entendimento do comportamento do fluxo de cada alternativa e 
permitirá um adequado tratamento matemático ao processo de 
calculo. 
 
 
5.4.2.1 – Premissas e Convenções. 
 
 Para a correta montagem dos diagramas de fluxo de 
caixa, DCF, recomenda-se o cumprimento das seguintes 
premissas: 
 
i - O fluxo de caixa de um período equivale à soma algébrica 
das entradas e saídas de caixa que ocorrerem durante o 
mesmo. 
ii - Lançar como investimento, apenas os capitais demandados 
pelo projeto; 
iii - A priori, não considerar risco ou incerteza. 
iv - Efetuar a definição do montante de capital próprio 
empregado no projeto e o pagamento de dividendos; 
v - Desconsiderar a entrada de capital de dívidas, juros e 
amortizações, não vinculados ao projeto; 
vi - Efetuar o reinvestimento de fundos gerados pelos projetos. 
vii - Desconsiderar decisões financeiras realizadas 
anteriormente ao início do projeto em análise. 
 
 
5.4.3 – Calculo do Fluxo de Caixa. 
 
5.4.3.1 – Modelo do Fluxo de Caixa. 
 
Considerando que um fluxo de caixa, Fk, registra o 
somatório líquido do total das saídas e entradas de caixa 
havidos num dado período, k, genérico. 
 
 E, tendo por nomenclatura: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
111 
 
a) Receitas, Rec, que correspondem ao faturamento ou 
ganhos a serem auferidos pelo projeto, motivo da razão 
social da empresa; 
 
b) Despesas, correspondendo ao somatório dos custos 
diretos, dos custos indiretos e dos tributos incidentes 
diretamente sobre o faturamento; 
 
c) Investimentos, correspondendo ao somatório das inversões 
realizadas em ativo imobilizado, sejam eles imóveis, 
equipamentos ou veículos e em capital de giro; 
 
d) Deduções expressam os incentivos fiscais que podem ser 
considerados como despesas e que permitem reduzir o 
lucro antes da provisão para o imposto de renda e da 
contribuiçãosocial sobre o lucro líquido. Especialmente o 
montante da depreciação dos ativos imobilizados ocorrida 
no período; 
 
e) Valor residual, VR, estabelece o montante do valor das 
desmobilizações ocorridas no final do projeto devido à 
venda dos bens imobilizados e, também, ao retorno do 
capital de giro inicialmente investido. 
 
 O valor do fluxo de caixa em dado período k é dado pelo 
modelo: 
 
Fn=∑Recn-∑Despn-∑Invn-∑Trin+Depn+VRn 
 
Alerta-se ao leitor que o conceito de fluxo de caixa 
transcende ao conceito de lucro. 
 
 O lucro representa o resultado da dedução das 
despesas indiretas, custos de produção ou tributos pagos, no 
período, do valor das receitas havidas. 
 
Lucro = Σ Receitas – Σ Despesas, 
 
 Portanto, pode ocorrer a existência de lucro em um 
determinado período e o fluxo de caixa ser negativo. É 
suficiente, para isto ocorrer, a realização de um nível de 
investimento superior ao somatório do lucro, das deduções e 
do valor residual havidos no período. 
 
 A constatação da assertiva acima pode ser efetuada 
pela análise da expressão abaixo, ao se substituir na 
expressão geral do fluxo de caixa os somatórios das receitas e 
despesas pela expressão do lucro. Então: 
 
Fk = Lucro – Investimentos + Deduções + VR 
 
Do acima exposto e, especialmente, da análise da 
expressão do fluxo de caixa, Fk, pode-se inferir: 
 
• As deduções e o valor residual reduzem o imposto a 
pagar, melhoram a disponibilidade de caixa. 
 
• Pode ocorrer fluxo de caixa negativo, mesmo tendo sido 
apurado lucro no exercício, dependendo do volume 
monetário aplicado em investimentos. 
 
No Brasil, como existem várias opções de regime de 
tributação, a depreciação somente é considerada no caso da 
opção pelo lucro presumido. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
112 
 
5.5 – Valor Presente. 
 
5.5.1 – Valor de um Ativo. 
 
Define-se, financeiramente, como sendo o VALOR de um 
ativo ao valor presente líquido do somatório dos fluxos de caixa 
descontados que ele for capaz de gerar, considerando o valor 
da moeda no tempo. 
 
Decorre dessa definição que o VALOR PRESENTE LÍQUIDO 
de um ativo, ou de qualquer projeto de investimento, é 
equivalente à quantidade de riqueza que ele poderá gerar, 
expressa em valores monetários e medida na data de sua 
análise. 
 
O Valor Presente Líquido, então, é a metodologia 
proposta para medir o acréscimo, ou incremento, de riqueza 
propiciada pela implantação de um projeto de investimento. 
 
VP(p) = Δ RIQUEZA
 
 
 A metodologia leva esta denominação de valor presente 
líquido, pois considera todas as entradas e saídas de caixa 
associadas ao projeto, fato que permite medir o incremento de 
riqueza por ele propiciado e expresso em valor monetário. 
 
 
5.5.2 – Calculo do Valor Presente Líquido. 
 
5.5.2.1 - Valor Presente de Fluxo de Caixa Único. 
 
Como já visto no item 2.3.3 – Valor Presente e Valor Futuro, 
o valor presente VP de um único fluxo de caixa, VF, é dado 
pelo modelo abaixo, em que VP e VF correspondem, 
respectivamente, a uma única saída ou entrada de caixa. 
 
VP ≡ VF∙
1
(1+i)n
 
 
 E, “n”, representa o número de períodos em que 
ocorrerá a entrada de caixa e “i”, a taxa de desconto ou TMA, 
pactuada. 
 
 
5.5.2.2 - Valor Presente de Múltiplos Fluxos de Caixa. 
 
 No caso de ocorrer múltiplos fluxos de caixa, conforme 
Figura 5.2, o valor presente líquido associado a um projeto p 
corresponde ao somatório dos fluxos de caixa individuais. 
 
 Matematicamente, o valor presente líquido pode ser 
expresso pela seguinte expressão canônica, em que, F0, 
corresponde ao fluxo de caixa inicial no momento zero e Fk o 
fluxo de caixa previsto para ocorrer no período k: 
 
VPL(p) = F0 + ∑
Fk
(1 + i)k
k
n=1
 
 
 Ou, de forma extensiva, pelo polinômio: 
 
VPL(p)= F0+
F1
(1+i)1
+
F2
(1+i)2
+
F3
(1+i)3
+⋯+
Fn
(1+i)n
 
 
 Alerta-se, ao ser analisado qualquer projeto de 
investimento ou um conjunto de alternativas de investimentos, 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
113 
 
para se e elaborar tanto o diagrama de fluxo de caixa como o 
de valor presente de cada alternativa de projeto, no intuito de 
visualizar o comportamento de cada fluxo de caixa singular. 
 
 Tal procedimento evita surpresas no processo de 
tomada de decisão, conforme será visto em capítulo posterior. 
 
 Financeiramente, o valor presente líquido de um 
investimento de capital expressa o aumento de riqueza 
propiciado pelo projeto, além da remuneração habitualmente 
desejada, medido na data de hoje. 
 
 Como exemplo, seja um projeto de investimento que 
exigiu um capital inicial no montante de R$ 420. E, houve uma 
previsão do retorno do investimento conforme os fluxos de 
caixa expressos na Figura 5.3. 
 
Considerando que o investidor estabeleceu seu custo de 
oportunidade ou taxa de mínima atratividade em 15% ao ano, o 
valor presente dos fluxos de caixa dos retornos monta a R$ 
510,02. E, em decorrência, o VPL previsto é de R$ 90,02. 
 
Financeiramente, o exemplo acima exposto significa 
que, aplicada a importância de R$ 420,00, além da 
remuneração do capital estabelecida em 15% ao ano, o 
investidor obterá um aumento de riqueza no montante de R$ 
90,02, quando medido na data de HOJE. 
 
 
Figura 5.3 – VPL e Fluxo de Caixa 
$
420
Aplicado 
HOJE
420
90,02
anoano
VPL
Remuneração
 de 15% a.a.
+ 90,02 R$
HOJE
510,02
15%
150
420
ano
1 32
150
170170
130
54
 
 
 
VP= 
130
1,151
+
150
1,152
+
170
1,153
+
170
1,154
+
150
1,155 
 = 510,02 
 
VPL= VP - II = 510,02 - 420 = 90,02 R$. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
114 
 
 
5.5.3 – Diagrama de Valor Presente. 
 
 Um importante instrumento utilizado para a análise do 
comportamento de qualquer fluxo de caixa é o Diagrama de 
Valor Presente. 
 
 Este diagrama exprime, no eixo das abscissas as taxas 
de desconto ou TMA e, em ordenadas, o valor presente do 
fluxo de caixa descontado à taxa de “i%” ao período. 
 
O exemplo exposto na Figura 5.4, mostra o diagrama de 
um fluxo de caixa descontado a taxas de desconto que variam 
entre 4 a 20% e onde é evidenciado o Valor Presente vinculado 
à taxa de desconto de 4% ao período. 
 
 Como será visto no Capítulo-6, disponíveis os diagramas 
de valor presente das alternativas vinculadas a um projeto, 
torna-se mais fácil e definir adequadamente qual delas propicia 
o maior incremento de riqueza. 
 
É interessante ressaltar que a curva representativa da 
função valor presente líquido, expressa na Figura 5.4, se 
comporta de modo decrescente, contínua e convexa, quando 
referida a projetos de investimento convencionais. 
Investimentos definidos e classificados no item 5.6. 
 
 Ao serem analisadas alternativas de projetos de 
investimentos não convencionais, nada se pode afirma a priori 
quanto ao comportamento da curva. Ver Figura 5.5. 
 
Isto porque, é possível ocorrer valores presentes 
negativos entre valores presentes positivos, fato que pode 
induzir o analista a erro ao elaborar suas recomendações. 
 
i%
R$
4 8 12 16 20
Figura 5.4 – Diagrama de Valor Presente – Projeto Convencional
0
VP(4%)
Valor Presenete do fluxo de 
caixa descontado à taxa de 
4% ao período.
 
 
 
No diagrama da Figura 5.5, é possível verificar a 
existência de valores presentes positivos, ocorrendo entre as 
taxas de zero a 6%. Entre as taxas de 6% a 12% ocorrem 
valores presentes negativos. Entre 12% a aproximadamente 
19% ocorrem, novamente, valores presentes positivos. A partir 
de 19%, os valores presentes são negativos. 
 
Constata-se, então, que o projeto é viável entre taxas de 
zero a 6% e de 12 a 19%. Sendo inviávelpara TMA’s entre 6 e 
12% e, acima de 19%. 
 
Sob a ótica matemática, isto quer dizer que o polinômio 
representativo da função valor presente líquido pode 
apresentar diversas raízes reais. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
115 
 
i%
R$
4 8 12 16 20
Figura 5.5 – Diagrama de Valor Presente – Projeto Não 
Convencional
0
 
 
 
 Nestes casos, recomenda-se elaborar graficamente o 
diagrama de valor presente visando amparar a análise de 
decisão, e definir corretamente as taxas de desconto que 
propiciem valores presentes positivos e as que propiciam 
valores negativos. 
 
 
5.5.4 – Exemplo de Aplicação. 
 
 Seja, como exemplo de obtenção de um diagrama de 
valor presente, um projeto representado pelo seu fluxo de 
caixa: 
 
7654321 1
320
1
680
1
630
1
570
1
520
1
450
1
850
1200
)i()i()i()i()i()i()i(
VP














 
 Resolvendo o polinômio acima para cada uma das 
seguintes taxas de desconto: 0,0 %; 3%; 6%; 9% e 12%; 
obtém-se o valor presente líquido associado a cada uma das 
taxas, conforme disposto na tabela abaixo. 
 
Solicita-se preencher os dados faltantes na tabela da 
Figura 5.6, o que permite definir o valor presente do projeto 
para cada TMA especificada. 
 
 Valores Presentes em R$ 
Per. i = 0% i = 3% i =6% i =9% 12% 
0 - 1.200,00 
1 - 850,00 
2 450,00 
3 520,00 
4 570,00 
5 630,00 
6 680,00 
7 320,00 
∑ 1.120,00 754,36 449,67 194,25 -21,08 
Figura 5.6 – Tabela de Valores Presentes dos Fluxos de Caixa 
 
 
Com os dados obtidos, segundo expresso na ultima 
linha da tabela da Figura 5.6: 1.120,00; 754,36; 449,67; 194,25; 
-21,08; pode-se traçar o diagrama de valor presente líquido do 
fluxo de caixa, conforme diagrama expresso na Figura 5.7. 
 
Analisando o diagrama do valor presente, é possível 
constatar que o projeto em questão passa a ser viável para 
investidores que pratiquem taxas de desconto, ou seja, TMA’s 
inferiores a 11,6%. 
 
Para investidores que pratiquem Taxa de Mínima 
Atratividade - TMA superiores a 11,6%, o projeto tornar-se-ia 
inviável, já que os valores presentes passam a apresentar 
valores negativos. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
116 
 
 Financeiramente, significa que a este projeto só 
remunera positivamente o investidor que praticar TMA 
inferiores a 11,6% ao período. 
 
 
200
-200
400
600
800
1.000
1.200
3 6 9
12
15
Figura 5.7 – Diagrama de Valor Presente
Taxa de 
Desconto
i%
Valor Presente 
R$
0,00
TIR
 
 
 
5.6 – O Custo do capital. 
 
5.6.1 – Conceitos. 
 
 O conceito de custo de capital se refere ao retorno 
esperado por uma pessoa física, das firmas individuais, das 
sociedades limitadas e anônimas na aplicação de seus capitai. 
E, também, o quanto uma pessoa paga pela utilização de 
capital de terceiros. 
 
Este capítulo discute o custo de capital sob a ótica da 
empresa, ou seja, quanto ela paga para a utilização dos 
capitais lhes disponibilizados. 
 
 Ao ser utilizado o conceito “custo de capital”, é 
importante entender o contexto em que está sendo empregado. 
Ele pode se referir tanto ao custo a ser pago pela utilização de 
capital que a empresa remunera ao capital aportado pelos 
sócios e por terceiros, como a taxa de desconto adotada na 
análise dos seus projetos. 
 
Há que se evitar a utilização do custo de capital 
empregado dentro de um contexto e aplica-lo em outro 
contexto. Como exemplo, seja o custo ou remuneração de um 
capital destinado ao financiamento de determinado projeto e o 
utilizar, também, como taxa de desconto deste mesmo projeto. 
 
 Este é um erro a ser evitado, pois, a empresa além de 
remunerar o capital dos acionistas, deverá renumerar o 
financiamento contratado, fato que necessariamente decorrerá 
no estabelecimento de uma taxa de desconto ou TMA superior 
às duas citadas. 
 
 No campo financeiro, o conceito “custo de capital” pode 
ser utilizado em diversos contextos, todos no sentido de 
rentabilidade, bem como receber denominações diversas, a 
saber: 
 
a) Custo de Capital, Taxa de Desconto, Custo de 
Oportunidade ou Taxa de Mínima Atratividade expressam o 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
117 
 
retorno desejado na aplicação de algum capital, seja em 
investimento produtivo ou aplicação financeira. 
 
b) Custo de Oportunidade também definido como a taxa de 
rentabilidade ou retorno que se obtém ao se comparar a 
rentabilidade de uma alternativa de projeto com a 
rentabilidade da melhor alternativa já disponível, na mesma 
classe de risco. Também é denominada “Taxa de 
Oportunidade”. 
 
c) Custo de Capital é o preço que a empresa paga pela 
utilização dos fundos obtidos junto às suas fontes de 
capital. 
 
d) Custo de Capital ou Custo Médio Ponderado é a taxa de 
retorno que uma empresa necessita obter sobre seus 
investimentos de forma a manter inalterado o valor de 
mercado da empresa. 
 
 
5.6.2 – A Taxa de Mínima Atratividade - TMA 
 
5.6.2.1 – Conceito de TMA. 
 
Por definição, a Taxa de Mínima Atratividade, TMA, 
corresponde à menor rentabilidade desejada para a 
remuneração de um projeto. 
 
A TMA corresponde à taxa de remuneração, ou 
desconto, a ser adotada num processo de decisão de 
alternativas de investimentos. 
 
Desta forma a TMA corresponde à taxa de desconto, i, 
adotada no calculo do Valor Presente Líquido - VP(p) 
associado às diversas alternativas do projeto. Na Figura 5.8 é 
mostrada a correlação entre uma determinada TMA e o valor 
presente a ela correspondente. 
VPL(p) = F0 + ∑
Fk
(1 + i)k
k
n=1
 
 
VP(p)=F0+ 
F1
(1+i)
+
F2
(1+i)2
+
F3
(1+i)3
+⋯+
Fn
(1+i)n
 
 
Como já comentado, havendo diversas alternativas de 
investimentos propostas para a aplicação de um mesmo 
capital, deverá ser adotada a mesma TMA ≡ i para o calculo do 
valor presente líquido de cada uma delas. 
 
 Isto porque, não há sentido financeiro comparar valores 
presentes associados à alternativas de investimentos 
descontados à taxas distintas ou, noutras palavras, 
remunerados segundo parâmetros diferentes. 
 
Obtidos os valores presentes de cada alternativa, as 
mesmas podem ser hierarquizadas segundo o aumento de 
riqueza quer propiciam. Basicamente, a alternativa que 
apresentar o maior incremente de riqueza será considerada 
como a mais interessante. 
 
A taxa Interna de Retorno – TIR corresponde à taxa que 
zera função valor presente líquido. Ou seja, é a raiz do 
polinômio representado pelo respectivo fluxo de caixa. Ver 
Figura 5.8. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
118 
 
 A definição da TMA deve ser realizada sob a ótica da 
iniciativa pública ou da particular. 
 
 Sob a ótica da iniciativa pública, recomenda-se adotar 
uma TMA=10% para a análise de projetos de investimentos 
governamentais, convenção adotada por bancos de 
investimentos públicos, inclusive pelo Banco Mundial. 
 
 
i%
R$
TMA TIR
Função Valor
Presente Líquido
Figura 5.8. - TIR & TMA.
VPL>0
 
 
 
 Na iniciativa particular, a TMA pode ser definida sob a 
ótica do investidor ou da empresa. 
 
I - Se investidor: Neste caso, o investidor singular determina, a 
seu talante, a taxa de remuneração desejada para o capital 
disponível a ser investido. 
 
 Considerando uma análise de decisão de projeto 
produtivo o empresário iniciante pode encontrar dificuldade em 
estabelecer a TMA do projeto. 
 
Nessa situação sugere-se estabelecer como viáveis 
projetos cujos valores presentes sejam positivos para TMA’s 
situadas entre a taxa de remuneração da caderneta de 
poupança( 6% ao ano) e a taxa SELIC, taxa esta que serve de 
remuneração básica para a aplicação em títulos do Tesouro 
Nacional. 
 
II - Se empresa: No caso das empresas, a TMA corresponde à 
remuneração desejada pelos acionistas, sendo expressa pelo 
custo médio ponderado do capital da empresa. (GITMAN, 
2001). 
 
VPL E TMA = i
Considerando Balanço
Considerando Fontes de 
Capital
Lucratividade Obtida
 Medida a Posteriori. 
Lucratividade Definida
Medida a Priori
Figura 5.9 - Definições da TMA.
 
 
 Como será visto a seguir, TMA e custo médio 
ponderado de capital são conceitos semelhantes e expressam 
a remuneração de todos os capitais disponíveis para o 
financiamento da empresa, a saber: capital próprio, capital de 
terceiros e financiamentos de curto e longo prazo. 
 
 O calculo do custo médio ponderado pode ser efetuado 
adotando duas metodologias: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
119 
 
 A partir do balanço, caso em que demonstra a lucratividade 
que a empresa vem oferecendo para os capitais 
disponíveis; 
 E, considerando os custos dos capitais a serem mobilizados 
pela empresa. Este caso demostra qual deverá ser o 
lucratividade ou TMA da empresa para que tenha condições 
de remunerar os capitais a serem mobilizados conforme o 
custo de cada um. 
 
5.6.2.2 – A TMA e o Balanço. 
 
Esta primeira metodologia utiliza o balanço para definir 
a remuneração ou o custo de capital e demonstra a 
remuneração que a empresa vem apresentando nos exercícios 
passados. 
 
 Matematicamente a TMA de um exercício é definida 
como sendo a razão entre o lucro obtido no exercício e o 
somatório dos capitais disponíveis em longo prazo: 
 
CMP = TMA ≡ i =
Lucro
PL + FLP
 
 
 Em que: 
 
 O lucro é definido pelo valor registrado no DRE; 
 O PL, Patrimônio Líquido, corresponde ao total do 
patrimônio líquido registrado no Passivo; 
 E, o FLP, representa o valor total dos financiamentos de 
longo prazo registrados em contas do exigível de longo 
prazo. 
 
 Neste caso, a TMA expressa e rentabilidade da 
empresa frente aos capitais que mobiliza. 
 
Como exemplo de cálculo, seja o balanço de uma 
empresa conforme expresso nas Figuras 5.11 a 5.13, o valor 
da CMP = TMA ≡ i, é dado por: 
 
𝑖 =
195.293,60
1.509.358,23 + 71.104,34
= 0,1236 → 12,36% 
 
Pelo exposto, o custo de capital ou taxa de desconto da 
empresa é de 12,36 %. 
 
O Custo Médio Ponderado de Capital também pode ser 
obtido a partir de dados disponíveis no balanço patrimonial, 
mais precisamente com as informações apresentadas no DRE 
e no Passivo. 
 
Além disto, utilizando balanço projetado para o próximo 
exercício, a empresa pode avaliar a evolução de seu custo de 
capital, o que a balizará na captação de novos investimentos. 
 
 Analisando os itens do Passivo que contribuem para a 
formação do CMP: 
 
O Passivo Circulante não participa da formação do CMP, 
pois integra o Capital de Giro, além de ser composto por 
exigibilidades de curto prazo. 
 
O Exigível de Longo Prazo participa com as contas 
relativas aos investimentos e dívidas de longo prazo, pois 
esses capitais são destinados à operação da empresa. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
120 
 
Das contas contábeis integrantes do Patrimônio Líquido, 
o capital integralizado participa da formação do CMP, pois 
representa o capital exigível pelos acionistas. 
 
 Porém, quanto às Reservas de Capital, há autores que 
não as consideram, pois argumentam que ninguém dispõe de 
exigibilidades sobre elas. Consideram, também, que reduzem o 
CMP, situação que ocorre em fase passageira enquanto não 
lhes forem dado destino, representando uma situação atípica. 
 
 Outros, porém, consideram as reservas na formação do 
CMP, pois entendem que a firma utiliza estes valores nas suas 
operações. 
 
 O autor é favorável a essa segunda posição, pois, na 
realidade, representa um recurso em utilização. Mesmo que 
não tenham sido pagos em determinado período, esse tipo de 
recurso foi utilizado a custo extremamente favorável. 
 
O CMP pode ser empregado como taxa de desconto, “i”, 
a ser adotada nos estudos de viabilidade da empresa já que 
pode ser entendido como sendo uma medida de competência, 
pois exprime o quanto dos recursos disponíveis pela 
administração da empresa foi transformado em lucro. 
 
 Finalizando ao se desejar conhecer a evolução do CMP 
para exercício futuros, a mesma abordagem acima descrita 
pode ser adotada, porém a partir de balanços projetados. 
 
Como exemplo de calculo do CMP, seja o balanço de 
uma empresa conforme exposto nas Figuras 1.7; 1.8 e 1.9. 
 
Do DRE, tem-se o lucro do exercício no valor de R$ 
195.293,60. O capital disponibilizado corresponde à soma da 
conta Patrimônio Líquido com a conta Exigível de Logo Prazo, 
item 2.2.1 – Financiamentos a Pagar. Calculando: 
 
 
 
CMP = 
Lucro do Exercício 
PL + ELP
 
 
CMP = 
195.293,60
1.509.358,23 + 71.104,34 
= 0,1236 
 
 Então, o CMP = 12,36% ao ano, pois o balanço é dado 
em bases anuais. 
 
 
5.6.2.3 – A TMA e o Custo Médio Ponderado. 
 
 Por definição, o custo médio ponderado corresponde ao 
custo que a empresa paga pelos capitais que mobiliza. Nestes 
termos, a TMA corresponde ao custo médio ponderado, CMP, 
e visa remunerar todos os capitais que a empresa mobiliza ou 
mobilizará. Capitais esses a serem mobilizados em volumes e 
a custos distintos. 
 
 O CMP pode ser estabelecido a priori ou a posteriori. A 
priori, quando se deseja saber a evolução do mesmo a partir 
das fontes de capital a serem mobilizadas. A posteriori, a partir 
do fechamento do balanço patrimonial. 
 
 Assim, a metodologia do CMP permite definir a TMA a 
ser adotada para as seguintes situações: a taxa de desconto 
média em utilização na empresa; a taxa de desconto a ser 
adotada em operações futuras. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
121 
 
 
O objetivo em se estabelecer o custo médio ponderado 
dos capitais é dispor de um parâmetro que indique qual o valor 
máximo a ser remunerado por novos capitais a serem tomados 
sem haver queda na TMA em utilização ou a redução da 
rentabilidade dos controladores. 
 
Matematicamente, o CMP é definido ao se utilizar a 
média ponderada dos custos associados a cada fonte de 
capital e o montante do capital utilizado. 
 
Considerando o montante de cada tipo de capital 
utilizado pela empresa como VM1, VM2,..., VMn e o custo de 
capital a ser pago a cada um deles, respectivamente, C1, 
C2,..., Cn, define-se, matematicamente, o CMP como: 
 
TMA=CMP=
C1 VM1
∑ VMni=1
+
C2 VM2
∑ VMni=1
+
C3 VM3
∑ VMni=1
+⋯+
Cn VMn
∑ VMni=1
 
 
 Já comentado, a expressão acima pode ser utilizada 
tanto para a definição do custo ponderado de capital em 
utilização como para a análise da evolução do mesmo ao 
serem captados novos recursos no mercado. É de expedita 
aplicação. 
 
Como exemplo determinação do CMP, seja os dados 
apresentados no quadro da Figura 5.10 que mostra o caso de 
uma empresa que utiliza quatro tipos de capital. Cada um deles 
com um custo distinto e que variam de 3,19% a 8,88%. 
 
Aplicadas as informações dispostas no quadro abaixo à 
equação acima, o Custo Médio Ponderado obtido é de 
7,7703%. 
 
No caso em pauta e tomando para exemplo de 
determinação do custo de capital de uma das fontes, o item 1- 
Empréstimo de Longo Prazo, seu custo é calculado conforme 
abaixo. 
 
C1∙VM1
∑ VMni=1
=
 150.000 
35.150.000 
× 0,0319 = 0,000136 ∴ CMP = 0,0136% 
 
Os custos das demais fontes de capital são 
determinados de modo similar. 
 
Fontes de 
 Capital 
Valor 
 Em $ 
Escriturado 
% do 
Valor do 
Capital 
Custo do 
Capital 
Em % 
Custo 
MédioPonderado 
1 - Empréstimo 
de Longo Prazo 
150.000,00 0,43 3,19 0,0136 
2 - Empréstimos 
de Curto Prazo 
5.000.000,00 14,22 8,69 1,2361 
3 - Ações 
Ordinárias 
10.000.000,00 28,45 5,16 1,4680 
4 - Ações 
Preferenciais 
20.000.000,00 56,90 8,88 5,0526 
Custo Médio 
Ponderado - CMP 
35.150.000,00 100,00 - 7,7703 % 
Figura 5.10 – Exemplo Determinação do CMP. 
 
 O Custo Médio Ponderado da empresa, CMPE, 
corresponde à soma dos custos de capital de cada fonte 
específica. Matematicamente: 
 
TMAE= CMPE= CC1+CC2+CC3+⋯+CCN 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
122 
 
Definindo o custo médio ponderado de capital da 
empresa, no exemplo acima, tem-se: 
 
 CMP = 0,0136 + 1,2361+1,4680 + 5,0526 = 7,7703%. 
 
Finalizando, é interessante notar que o CMP ou TMA da 
empresa pode variar segundo o custo e o volume dos capitais 
a serem mobilizados em novos projetos. E, mesmo assim, a 
rentabilidade do capital dos acionistas pode ser mantida 
inalterada ao se utilizar a metodologia do CMP. 
 
 
5.7 - Fontes de Capital. 
 
Cada fonte de capital de uma empresa pode ter custo 
diferente das demais, conforme a origem dos capitais a serem 
utilizados, e podem ser classificadas em dois principais grupos: 
Capital Próprio e Capital de Terceiros. 
 
Como exemplo de capital próprio tem-se o caixa, 
estoques e os investimentos de curto prazo. As formas 
comumente utilizadas em sua realização são: 
 
 O capital integralizado pelo proprietário de uma firma 
individual ou pelos sócios de uma sociedade em cotas de 
capital limitada; 
 As ações ordinárias das companhias de capital aberto; 
 A venda de ativos improdutivos ou de baixa rentabilidade; 
 A venda de estoques. 
 
Como exemplos de capitais de terceiros e que causam 
custo para a empresa são aqueles expressos na Figura 5.11 – 
Fontes de Capital. 
 
O modo de avaliar cada custo de capital é função do tipo 
da razão social de cada empresa, a saber: 
 
- Empresa com Proprietário Único - o custo de capital é o 
melhor custo de oportunidade que ele tem num mesmo 
nível de risco quanto à aplicação de seus próprios ativos. 
No mínimo, ele aplica na própria empresa. 
 
- Sociedade Limitada - é a mesma situação da anterior, em 
que reflete o interesse do grupo. 
 
- Sociedade de Capital Aberto - ver teoria do preço das 
ações. GITMANN, 2001. 
 
Para a gestão financeira, determinar o custo de capital 
que a empresa paga por cada um deles e o conhecimento do 
custo total dos capitais mobilizados é de importância 
fundamental, pois permite definir qual sua própria taxa de 
desconto. 
 
 Para tanto, é utilizado o conceito de Custo Médio 
Ponderado de capital que pode ser calculado a partir das 
fontes de capital utilizadas ou diretamente dos dados 
apresentados no Balanço Patrimonial. 
 
As técnicas a serem apresentadas para a obtenção do 
Custo Médio Ponderado podem ser utilizadas tanto para 
determinar o custo de capital ora em utilização, como a 
previsão do custo de capital futuro. 
 
No caso da determinação do custo de capital futuro, a 
técnica recomenda utilizar os balanços projetados para os 
próximos exercícios considerando a mobilização de novas 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
123 
 
fontes de capital pela qual se tem condições de avaliar a 
rentabilidade futura. 
 
 
 
Figura 5.11 - Fontes de Capital.
Fontes de
Capital
Próprio
Térceiros
Sócios
Empréstimos
Ações
Preferenciais
Debêntures
Financiamentos 
Curto Prazo
Descontos
Duplicatas
Ações
Ordinárias
Financiamentos 
Longo Prazo
CAIXA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - DRE R$ 
3.1 Receita Operacional Bruta + 956.712,25 
3.2 Deduções à Receita (Tributos + Descontos) 
3.2.1 - Tributos 
3.2.2 - Descontos 
(-) 147.764,69 
140.376,26 
7.388,43 
3.3 Receita Operacional Líquida = 808.947,56 
3.4 Custo de Produtos Vendidos (-) 470.370,65 
 3.4.1 – Produto A 
3.4.2 - Produto B 
3.4.3 – Serviços Técnicos 
92.630,65 
178.230,00 
199.510,00 
3.5 Lucro Operacional Bruto = 338.576,91 
3.6 Despesas Operacionais. (-) 40.267,59 
 3.6.1 - Despesas com Vendas 
 3.6.2 - Despesas Gerais e Administrativas 
1.237,04 
39.030,55 
3.7 Lucro Operacional Líquido - EBITDA2 298.309,32 
3.8 
3.9 
3.10 
Depreciação 
Amortizações 
Resultado Financeiro 
 3.10.1 – Juros Recebidos (+) 
 3.10.2 – Juros Pagos (-) 
(-) 5.500,00 
(-) 4.166,51 
(-) 2.728,54 
4.194,35 
6.422,89 
3.11 Lucro Operacional = 254.531,74 
3.12 Resultado Não Operacional 
 3.12.1 - Receitas Não Operacional 
 3.12.2 - Despesas Não Operacional 
+ 5.004,01 
7.004,01 
(-) 2.000,00 
3.13 Lucro Antes do Imposto de Renda - LAIR = 259.535,75 
3.14 Provisão p/ o Imposto de Renda – 15%+10% (-) 40.883,93 
3.15 Contribuição Social s/ o Lucro Líquido – 9% (-) 23.358,22 
3.16 Lucro Líquido do Exercício = 195.293,60 
Figura 5.11 – Modelo de Demonstrativo de Resultados do Exercício 
 
 
 
(2) EBITDA = Earnings before interest, tax, depreciation, and amortization. 
Esta é a expressão utilizada em língua inglesa para o lucro operacional líquido. Ou 
seja, o lucro antes da incidência de juros, taxas, depreciação e amortização. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
124 
 
 
 
 
 
1 - Ativo R$ 
1.1 – Circulante. 712.823.08 
1.1.11. Caixa e Bancos 
1.1.12. Recebíveis de Clientes 
1.1.13. Aplicações Financeiras 
1.1.14. Prov. Devedores Duvidosos (-) 
1.1.15. Impostos a Compensar 
1.1.16. Estoques Produtos Acabados 
1.1.17. Estoques de Produtos em Elaboração 
1.1.18. Estoques de Matérias Primas 
1.1.19. Adiantamentos a Fornecedores 
1.1.20. Contratos de obras 
44.653.73 
121.033.96 
23.872,07 
4.430,51 
1.037,12 
220.000,00 
57.197,70 
70.934,41 
9.663,58 
160.000,00 
1.2 – Não Circulante. 1.275.176,92 
1.2.1 – Realizável em Longo Prazo 216.408,27 
 1.2.1.1 – Créditos em Coligadas 
 1.2.1.2 – Financiamentos a clientes 
 1.2.1.3 - Contratos futuros 
13.085,87 
103.322,40 
100.000,00 
1.2.2 – Investimentos. 430.347,00 
 1.2.2.1 – Empresa A 
 1.2.2.2 – Empresa B 
130.347,00 
300.000,00 
1.2.3 – Imobilizado. 578.282,57 
 1.2.3.1 - Imóveis 
 1.2.3.2 - Equipamentos 
 1.2.3.3 - Veículos 
 (-) Depreciações 
370.000,00 
100.282,57 
129.600,00 
21.600,00 
1.2.4 – Intangível. 50.139,08 
 1.2.4.1 - Softwares 
 1.2.4.2 - Patentes 
20.139,08 
30.000,00 
1.4 - Total do Ativo. 1.988.000,00 
Figura 5.12 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas de Ativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Passivo R$ 
2.1 – Circulante. 294.039,54 
2.1.1. Bancos 
2.1.2. Fornecedores 
2.1.3. Obrigações Fiscais a Recolher 
2.1.4. Encargos Sociais 
2.1.5. Encargos Trabalhistas 
2.1.6. Outras Obrigações 
2.1.7. Provisões 
61.325,00 
165.895,52 
10.181,46 
11.283,18 
10.500,00 
30.070,75 
4.783,63 
2.2 – Exigível de Longo Prazo. 184.602,63 
2.2.4. Financiamentos a Pagar 
2.2.5. Débitos em Coligadas 
2.2.6. Contratos p/ Entrega Futura 
71.104,34 
13.469,61 
100.028,68 
2.3 – Patrimônio Líquido. 1.509.358,23 
2.3.5. Capital Social 
2.3.6. Reservas de Capital 
2.3.7. Reservas de Lucro 
1.156.110.00 
95.545,85 
62.408,78 
2.3.8. Lucros Acumulados no exercício 195.293,60 
2.4 - Total do Passivo. 1.988.000,00 
Figura 5.13 – Modelo de Balanço Patrimonial – Contas do Passivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
125 
 
 
5.8 - Previsão deFluxo de Caixa. 
 
5.8.1 – Modelo de Procedimento. 
 
 A definição do fluxo de caixa a ocorrer em cada período 
vindouro é um processo de previsão dos recebimentos e 
pagamentos futuros, investimentos a serem realizados, tributos 
a serem pagos, deduções fiscais e depreciação dos ativos; e, 
do valor residual disponível ao final do projeto. 
 
 Um modelo de procedimento recomendável para a 
elaboração dos fluxos de caixa projetados é seguir o modelo 
contábil do DRE – Demonstrativo de Resultado do Exercício. 
 
O exemplo da Figura 5.14, mostra a composição dos 
fluxos de caixa projetados, relativos aos meses de agosto a 
dezembro de 2.015 e que permite analisar, o fluxo de caixa 
projetado e, também, o nível de disponibilidade de caixa a cada 
período. 
 
O objetivo, então, é projetar: os recebimentos ou 
faturamentos futuros, preferencialmente em função da 
capacidade de produção prevista para cada exercício; os 
custos diretos de produção; as despesas indiretas sejam elas 
administrativas ou de vendas; os investimentos em ativos e em 
capital de giro; a depreciação e a os possíveis incentivos 
fiscais. 
 
Há que ressaltar que o valor residual dos investimentos 
resultante da venda dos ativos ao final do projeto, acrescido do 
retorno do capital de giro devido ao encerramento da produção, 
não constam do DRE. Porém, seu valor é considerado no 
ultimo período do fluxo de caixa. 
 
 
 
Fluxo de Caixa R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil R$ mil 
Exercício 2.015 Ago. Set. Out. Nov. Dez. 
 
1 - Recebimentos 326 523 550 606 630 
 Vendas a vista 42 137 144 159 170 
 Contas a Receber 149 219 230 254 260 
 Outros 0 80 84 92 90 
 
2 – Tributos s/ Faturam. 55 87 92 101 110 
 
3 - Custos de Produção 80 129 136 150 155 
 Insumos 32 52 48 60 65 
 Mão de Obra + ES 38 61 56 71 71 
 Eletricidade 10 16 15 19 19 
 
4 - Despesas 203 226 245 260 268 
 Fornecedores 77 89 106 118 124 
 Honorários 50 60 60 60 60 
 Salários 29 30 32 35 35 
 Aluguel 25 25 25 25 25 
 Impostos 22 22 22 22 24 
 
5 - Depreciação +8 +12 +12 +12 +12 
 
6 – Lucro do Exercício -4 93 89 107 109 
 
7 - Investimentos - 97 - 32 - 94 - 94 0 
 Equipamentos 67 32 94 94 0 
 Capital de Giro 30 0 0 0 0 
 
8 - Fluxo Caixa Líquido -111 61 -5 13 109 
9 - Saldo Caixa Anterior 145 34 95 90 103 
10 -Saldo Caixa - Final. 34 95 90 103 212 
Figura 5.14 – Previsão de Fluxo de Caixa 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
126 
 
Analisando o Fluxo de Caixa da Figura 5.14, verificam-
se: fortes investimentos nos quatro primeiros meses; dois 
fluxos negativos nos meses de agosto e outubro; mensalmente, 
um crescente nível de caixa. 
 
5.8.2 – Informações Gerenciais. 
 
 Disponível a previsão dos fluxos de caixa, o gestor 
dispõe de informações para avaliar os saldos disponíveis de 
caixa e, deste modo, ter condições para: 
 
i) Analisar a viabilidade e o comportamento dos fluxos 
financeiros de projetos, item 9 da Figura 5.14; 
ii) Verificar a necessidade de investimento em capital de giro 
quando a projeção do fluxo de caixa do projeto prever a 
ocorrência de saldo negativo; 
iii) Estabelecer a época e a oportunidade de implantar novos 
projetos ou aplicação de capital em havendo previsão de 
expressivo saldo de caixa. 
iv) Conhecer o saldo final de caixa ao fim de cada período ao 
se somar o saldo de caixa existente em período anterior. 
v) Possibilidade de distribuição de saltos de caixa. 
 
O calculo do fluxo de caixa para cada período, k, em 
função da quantidade a ser produzida, q, é realizado utilizando 
o seguinte modelo matemático: 
 
Fk = Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Deduções + V. Residual 
 
 
 
 
 
5.9 – Tributos e Depreciação. 
 
A importância em conhecer a influência dos tributos e 
da depreciação na composição de um fluxo de caixa e, em 
consequência no calculo do Valor Presente é porque os 
tributos reduzem o valor do fluxo de caixa. E, a depreciação, ou 
qualquer outra dedução fiscal, aumentam o fluxo de caixa, pois 
reduzem tributos a pagar. 
 
 O conteúdo deste item é circunscrito a contratos da 
indústria da construção civil, considerando as situações de 
empreitada ou de serviços de engenharia. 
 
5.9.1 – Influência dos Tributos. 
 
 No Brasil, os tributos influenciam o Fluxo de Caixa de 
dois modos: 
 
I. Diretamente sobre o faturamento; 
II. Sobre o lucro do exercício – LAIR. Recomenda-se 
analisar o exposto no exemplo da Figura 5.10 – 
Demonstrativo do Resultado do Exercício, onde é 
mostrada a incidência dos tributos. 
 
É interessante ressaltar que, conforme a opção tributária 
da empresa, Lucro Real ou Lucro Presumido, há que se 
considerar, separadamente, os tributos incidindo totalmente 
sobre o faturamento ou sobre o faturamento e sobre o lucro. A 
seguir se discutem as duas situações especificadas conforme 
mostrado na Figura 5.15 – Tributos e Fluxo de Caixa. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
127 
 
 
Tributos s/
Faturamento
PIS/Pasep
Cofins, ISS
IPI, ICMS.
Despesa
Lucro Real
Tributos s/
Lucro
Imposto Renda
CSLL
Fluxo Caixa
Tributos s/
Faturamento
PIS/Pasep
Cofins, ISS
IPI, ICMS.
Imposto Renda
CSLL
Despesa
Opção Tributária
Lucro 
Presumido
Figura 5.15 – Tributos e Fluxo de Caixa 
 
 
I – Opção pelo Lucro Real. 
 
 Neste caso, os tributos incidentes sobre o faturamento 
são: o ISS, de competência municipal; o ICMS, de competência 
estadual; o Pis/Pasep, o COFINS e o IPI, estes de competência 
federal. 
 
Considerando que esses tributos incidem diretamente 
sobre o faturamento, eles podem ser tratados na formação do 
fluxo de caixa como sendo uma despesa operacional. 
 
 O Imposto de Renda e a Contribuição Social sobre o 
Lucro Líquido, CSLL, incidem sobre o Lucro antes da provisão 
para o imposto de renda, LAIR. 
 
 Genericamente e inexistindo tributação, um fluxo de 
caixa é dado pelo seguinte modelo: 
 
Fk = Lucro – Inv. + Ded. + VR 
 
 Ao considerar o IR e a CSLL, eles atuam reduzindo o 
lucro operacional e também sobre a depreciação, pois esta 
melhora o Lucro Líquido do Exercício. 
 
 Denominando a soma das alíquotas dos tributos 
incidentes sobre o faturamento de αFAT, o modelo acima pode 
ter a seguinte notação: 
αFAT = αIR + αCSLL 
 
Fk = Lucro - αFAT Lucro - Inv + αFAT Ded + VR 
 
 Fk = (1 - αFAT) Lucro - Inv + αFAT Ded + VR 
 
Fk = (1 - αFAT) Σ Rec(k) - (1 - αFAT) Σ Desp(k) – Inv(k) + 
 αFAT Ded(k) + VR(k) 
 
 
II – Opção pelo Lucro Presumido ou o Simples. 
 
 Neste caso todos os tributos incidem sobre o 
faturamento. E, os tributos podem ser considerados, 
matematicamente, como despesa em que: 
 
TRI = Σ αFAT Σ Rec(k) 
 
 O fluxo de caixa, então, observa o seguinte modelo: 
 
Fk = Σ Rec(k) - TRI - Σ Desp(k) - Inv(k) + VR(k) 
 
 Há que se ter cuidado com a compreensão da 
nomenclatura adotada para os fluxos de caixa, pois, caso a 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
128 
 
opção seja pelo lucro real, αFAT corresponde, apenas, à soma 
das alíquotas do IR e da CSLL. 
 
 Caso seja o lucro presumido, αFAT corresponde ao 
somatório das alíquotas de todos os tributos incidentes: o ISS, 
o ICMS, o Pis/Pasep, o COFINS, do IR e a CSLL. 
 
Alerta-se que não existe o benefício da depreciação na 
formação do fluxo de caixa quando a opção tributária for pelo 
regime do lucro presumido. 
 
5.9.2 – Influencia da Depreciação. 
 
 A depreciação é uma dedução fiscal que permite abater 
a cada exercício fiscal, como se despesa fosse, um percentual 
do investimento efetuado em ativos, a exceção de terrenos. 
 
Este procedimento reduz o imposto de renda a pagar, 
fato que melhora o lucro do exercício.Porém este benefício 
somente é utilizado quando a opção fiscal tenha sido pelo lucro 
real. 
 
 Por definição, o valor da depreciação é função do tempo 
de vida fiscal do bem, definido pela legislação. 
 
 A depreciação deve ser analisada segundo o objetivo 
desejado e que ocorre sob dois aspectos: a depreciação 
técnica e a depreciação legal. A diferença entre as duas 
corresponde ao tempo de vida estabelecido para o ativo. 
 
 Conhecer a depreciação técnica é importante para o 
gestor, pois ela é uma das variáveis consideradas na formação 
do preço e visa repor o valor dos investimentos em ativos fixos 
ou imobilizados realizados. 
 
 A depreciação legal é um benefício fiscal destinado a 
melhorar o fluxo de caixa visando beneficiar a empresa por 
investimentos feitos. 
 
 Existem vários métodos de calcular a depreciação legal. 
Porém, será mostrado o método comumente aceite pela 
Legislação Brasileira. 
 
Nestes termos, a depreciação legal, d, é definida pela 
razão entre o valor do bem conforme lançado na conta do Ativo 
Imobilizado e o tempo de vida do mesmo, conforme o 
estabelecido na legislação fiscal do imposto de renda. 
 
d =
Valor do Bem
Tempo de Vida 
 
 
 É interessante notar que a depreciação só participa na 
formação do fluxo de baixo quando a empresa for optante pelo 
Lucro Real. Assim sendo, ela integra a expressão do fluxo de 
caixa, Fk, conforme modelo expresso no item anterior, sendo o 
valor da depreciação do período multiplicado pela alíquota do 
Imposto de Renda incidente sobre o DRE da empresa. 
 
 
5.10 – Classificação dos Investimentos. 
 
 Os investimentos podem ser classificados segundo: 
 
 A variação dos fluxos de caixa; 
 Ou, conforme a disponibilidade dos recursos para 
investimentos. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
129 
 
5.10.1 – Pela Variação dos Fluxos de Caixa. 
 
 Segundo o número de variações de sinal nos fluxos de 
caixa os investimentos podem ser classificados em: 
 
 Investimento Simples ou Empréstimo; 
 Investimento Convencional; 
 Investimento Não Convencional. 
 
 
I - Investimento Simples ou Empréstimo 
Nº F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
S1 - + + + + + + + + 
 
II - Investimento Convencional 
 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
C1 - - - - + + + + + + + + + 
C2 - - + + + + + + + + 
 
III - Investimento Não Convencional 
 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 
N1 - - - + + - - + + + - - + 
N2 - - + + + - + - + + + + - 
N3 + + + - - - - - - + - + + 
Figura 5.16– Tipificação dos Fluxos de Caixa 
 
 
a) Investimento Simples ou Empréstimo. 
 
 O investimento simples ou empréstimo é caracterizado 
por apresentar uma única variação de sinal em seu fluxo de 
caixa. Ver o projeto nº S1 da Figura 5.16 – Tipificação dos 
Fluxos de Caixa. 
 
 Além disto, o primeiro fluxo de caixa deve ser 
caracterizado por uma saída de caixa, ou seja, um movimento 
negativo, seguido por uma série de fluxos de caixa positivos. 
 
 Este caso é o que comumente ocorre em operações de 
crédito pessoal ou empréstimos à pessoa física, tais como: 
aquisição de um bem de consumo durável a exemplo de 
eletrodoméstico e automóvel financiado pelo comércio 
varejista; empréstimos pessoais realizados por bancos 
comerciais. 
 
b) Investimento Convencional 
 
 O investimento convencional é definido como todo 
aquele em que ocorre, inicialmente, apenas fluxos de saídas de 
caixa (-) e, a seguir, períodos de entrada de caixa (+). 
 
Neste tipo de investimento, a exemplo do anterior, 
ocorre apenas uma variação de sinal no fluxo de caixa. Ver os 
projetos n.º C1 e C2 da Figura 5.16. 
 
 Como exemplo de investimento convencional tem-se a 
implantação de algum complexo fabril, quando o faturamento 
acontecerá após o período de implantação do mesmo, o que 
ocorre em projetos de hidrelétricas, siderúrgicos ou usinas 
beneficiadoras de leite. 
 
 
c) Investimento Não Convencional 
 
 O investimento não convencional distingue-se dos 
anteriores por apresentar mais de uma variação de sinal em 
seu diagrama de fluxo de caixa. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
130 
 
 Como exemplo de investimento não convencional tem-
se o projeto nº N1 disposto na Figura 5.16 – Tipificação dos 
Fluxos de Caixa, que apresenta cinco variações de sinal no 
fluxo de caixa. 
 
{-FO, -F1, - F2, +F3, +F4, - F5, - F6, +F7, + F8, +F9, - F10, - F11, + F12} 
 
 Verificando os exemplos dados na figura citada acima, 
os fluxos de caixa iniciais podem ser tanto positivos como 
negativos. 
 
 É uma situação muito comum de ocorrer na indústria da 
construção civil, quando ocorrem investimentos pré e durante a 
fase de construção, entremeados pela venda de unidades, 
sejam terrenos ou apartamentos. Fato que propicia a existência 
de fluxos de caixa negativos entremeados por positivos, o que 
exige cuidado quanto à decisão e escolha de investimentos 
neste setor. 
 
 
5.10.2 – Disponibilidade de Recursos para Investimentos. 
 
 Os investimentos podem ser classificados, também, 
segundo a restrição de capital o que permite analisar a 
viabilidade de sua realização. São classificados em três 
categorias: 
 
 Investimentos Independentes, 
 Investimentos Dependentes, 
 Investimentos Mutuamente Exclusivos. 
 
a) Investimentos Dependentes. 
 
 Diz-se que uma proposta de investimentos é 
economicamente dependente de outra quando os fluxos de 
caixa esperados da primeira proposta podem sofrer influência 
com a aceitação da segunda. 
 
b) Investimentos Independentes. 
 
 Dois investimentos são considerados independentes 
quando é tecnicamente viável realizar um deles, seja ou não 
aceito o segundo. E, que as receitas líquidas esperadas do 
primeiro não são afetadas pela aceitação ou rejeição do 
segundo investimento. 
 
 Havendo disponibilidade financeira para a execução 
simultânea de dois projetos distintos, não há necessidade em 
compará-los. Mas, simplesmente, verificar se ambos promovem 
o aumento de riqueza dos proprietários. 
 
c) Investimentos Mutuamente Exclusivos 
 
 Dois investimentos são ditos mutuamente exclusivos 
quando as receitas oriundas do primeiro cessarem, 
completamente, havendo a aceitação do segundo. Ou, quando 
for tecnicamente impossível implantar um deles em havendo a 
decisão de executar o outro. 
 
 
 
5.11 – Exercício Resolvido. 
 
 Calcular o Valor Presente e o Valor Futuro do projeto 
abaixo, representado pelo seu Diagrama de Fluxo de Caixa. A 
Taxa de Desconto é de 10% por período. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
131 
 
580
490/período
R$
Período
9420 6 8
 
 
1º - Calculo do Valor Presente. 
 
%10632
FVP
)i1(
1
490
)i1(
1
580VP 




 
 
VP = 580  0,8264 + 490  0,7513  4,3553 = 2.082,66 R$ 
 
 
2º - Calculo do Valor Futuro. 
 
VF = 580 (1+ 0,10) 7 + 490  FVF (6; 10% )  
VF = 580  1,9847 + 490  7,7156 = 4.931,77 R$ 
 
 É importante lembrar, que o Valor Futuro é dado no 9º 
período, coincidentemente com o ultimo período do fluxo de 
caixa. 
 
 
5.12 - Exercícios Propostos. 
 
5.12.1 - Calcular o valor presente e o valor futuro do projeto 
representado pelo diagrama dos fluxos de caixa abaixo. Adotar 
a taxa de 10% ao mês como custo de oportunidade. 
 
420 380
350 350
950
380
1850
420
1
11
10 126
52
Mês
R$
 
5.12.2 - Determinar o valor presente de um projeto com 
horizonte de quatro anos, cujos dados estão relacionados no 
quadro abaixo. Individualizar o que é receita, despesa ou 
investimento. 
 
Item Valor R$ mil 
 Investimentos em capital de giro 3.250,00 
 Salários diretores/mês 8.000,00 
 Salário pessoal da produção/mês 12.500,00 
 Salário pessoaladministrativo/mês 7.500,00 
 Previdência Social/mês 5.900,00 
 Material de consumo/mês 900,00 
 Matérias primas p/ 4 meses. 6.900,00 
 Recebimentos diversos/mês 6.000,00 
 Venda de produtos/mês 33.000,00 
 Venda de equipamento 3.400,00 
 Aluguel de Terreno/mês 4.000,00 
 Aquisição de Máquina 3.000,00 
 Investimentos em imobilizado podem ser vendidos por 25% do 
valor de aquisição findo o prazo do projeto. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
132 
 
 
5.12.3 - Calcular o valor presente de um projeto cujas 
características operacionais estão relacionadas a seguir. 
 
 Sabe-se que: 
 
 O tempo de vida do projeto foi estimado em sete anos; 
 A taxa de mínima atratividade adotada é de 15% ao ano; 
 Os dados relacionados no Quadro 2 mostram o 
percentual de utilização da capacidade instalada em 
cada ano; 
 A previsão de vendas evoluirá segundo as estimativas 
expressas no Quadro 1. 
 
 
Quadro 1 - Previsão Anual de Faturamento sobre a 
 Capacidade Instalada Total. 
Ano 1 2 3 4 5 a 7 
Percentil 40% 50% 60% 70% 100% 
 
Quadro 2 – Informações Contábeis Valor R$ mil 
Investimento inicial 240.555,00 
Salários diretores/ mês 8.000,00 
Salário pessoal da produção/mês 18.500,00 
Salário pessoal administrativo/mês 3.500,00 
Previdência Social - mês 3.900,00 
Material de consumo - mês 1.150,00 
Matérias primas - mês 7.900,00 
Venda de produtos c/ capacidade total – mês 63.000,00 
Valor residual do item 1, Investimento. 48% 
 
 
5.12.4 - Uma empresa remunera seus ativos a uma TMA de 
12% ao período, esta analisando um projeto de investimento 
representado pelo respectivo fluxo de caixa projetado. Assim 
sendo deseja-se saber se a implantação deste projeto é viável 
para a empresa. 
 
 Solicita-se, também, definir o fator de valor presente 
associado e o valor presente associado a cada fluxo de caixa, 
bem como traçar o diagrama de valor presente. 
 
Havendo, simplesmente, a soma dos fluxos de caixa 
projetados, o projeto parece viável por se mostra positivo em 
R$ 765,00. 
 
 Ao ser descontado o fluxo de caixa de cada período a 
TMA de 12%, verifica-se que o projeto é financeiramente 
inviável, pois seu valor presente líquido é de (-) 940,37 R$. 
 
 
Período. 
Fluxo de Caixa 
 $ 
n)i( 

1
1
 Valor Presente 
 $ 
0 -1.400,00 
1 -1.000,00 
2 -420,00 
3 0,00 
4 450,00 
5 510,00 
6 550,00 
7 605,00 
8 680,00 
9 790,00 
∑ (+)765,00 (-) 940,37 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
133 
 
 
 
5.12.5 - Você recebeu a fatura do cartão de crédito, vencível na 
próxima segunda feira. O saldo a pagar da fatura monta a R$ 
2.649,90. 
 
O banco lhe fez duas propostas de refinanciamento do débito: 
 
a) Pagamento em 7 parcelas de R$ 475,30, com a primeira 
parcela vencendo na data do parcelamento. 
b) Pagamento em 5 parcelas de R$ 619,05, com a primeira 
parcela vencendo na data do parcelamento. 
 
Nestes termos pergunta-se: 
i) Qual a TIR de cada operação de parcelamento? 
ii) Qual a sua opinião sobre o caso, especialmente quanto 
à taxa de juros cobrada? 
 
 
5.12.6 – Definir a TMA de uma empresa cujo balanço esta 
expressa nas Figuras 5.10 a 5.12. 
 
 
5.12.7 – O Grupo Ultra Pixel S/A pretende lançar um novo 
empreendimento visando à produção de efusivos marítimos. 
 
O Grupo dispõe em caixa de 55 milhões de reais e, 
tradicionalmente, remunera seus investimentos à taxa de 18% 
ao ano. 
 
Os ativos necessários à implantação e operação da 
nova fábrica estão orçados em R$ 240 milhões, ai 
considerados os ativos imobilizados, equipamentos e capital de 
giro. Este montante esta previsto para ser suprido conforme a 
composição de capital expressa no quadro acima. 
 
A questão: 
 
Considerando que a GUPSA não dispõe de todo o capital 
necessário à implantação do novo empreendimento, pergunta-
se qual a TMA ou CMP a ser adotado pela empresa, já que 
cada capital a ser mobilizado apresenta um custo diferente? 
 
 
Previsão da Composição do Capital do Novo Empreendimento 
Fontes de Capital 
Valores 
 Em R$ 
 Milhões 
 
% do 
Valor 
Total 
Custo do 
Capital 
 Em % 
 Ao ano 
Custo 
 Médio 
Ponderado 
1 - Capital Próprio em ações 
ordinárias 
55 22,92 12,00 
2 - Ações Preferenciais 55 14,00 
3 - Debentures 40 15,00 
4 - Empréstimo BRDE. 70 9,50 
5 - FLIP Invest. Bank Inc. 20 18,00 
Custo Médio Ponderado - CMP 240 100,00 - 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
134 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
135 
 
 
 
6. Método do Valor Presente Líquido. 
 
 
6.1 - Objetivo do Método. 
 
 O método do valor presente líquido tem por objeto definir 
qual das alternativas de investimento propostas para a 
realização de determinado projeto propicia um maior aumento 
de riqueza. 
 
 O método tem sua aplicação recomendada quando se 
estuda a viabilidade de projetos de investimentos produtivos 
tais como: incorporação de imóveis; implantação de unidades 
fabris; implantação de hidrelétricas e linhas de transmissão; 
avaliação do valor de uma empresa já em funcionamento, 
contabilmente denominado de good will; etc.. 
 
A metodologia segue os seguintes procedimentos: 
 
 
 
 
 
1º Estabelecer as premissas do projeto;
6º Calcular o VPL de cada alternativa;
5º Elaborar o diagrama de fluxo de caixa de cada alternativa;
4º Levantar as possíveis alternativas para a execução do projeto;
3º Definir a TMA do projeto;
2º Definir a vida útil do projeto;
7º Hierarquizar as alternativas segundo o aumento de riqueza.
 
 
 
6.2 – Coerência de Resultados. 
 
 Ao se comparar alternativas de investimentos, os 
resultados obtidos devem ser compatíveis financeiramente, 
para que ocorra a coerência nos resultados obtidos. 
 
 Para tanto, os seguintes procedimentos devem ser 
observados: 
 
 Comparar projetos na mesma classe de risco; 
 Adotar a mesma taxa de desconto; 
 Comparar projetos com idêntica vida útil; 
 Distinguir projetos de longa duração ou grande vida útil 
dos demais projetos. 
 
Estes procedimentos são analisados a seguir. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
136 
 
 
6.2.1 - Projetos na mesma classe de risco. 
 
 A coerência dos resultados inicia-se ao se eleger para o 
processo de comparação e análise projetos cujo risco seja 
equivalente, pois não tem sentido comparar alternativas muito 
distintas. 
 
 Como exemplo, seja o caso de duas alternativas: a 
primeira, uma malharia situada no polo têxtil de Santa Catarina 
- Brasil, a segunda, uma mina de ouro na Tanzânia. 
 
 Facilmente se depreende que os riscos associados a 
cada uma das alternativas acima citadas tais como: local do 
empreendimento; política governamental; proficiência da 
gestão na indústria em que atua; conhecimento do risco 
associado a cada uma delas; cultura da mão de obra; 
legislação ambiental e trabalhista de cada local; enfim, o 
comportamento de cada alternativa frente ao mercado em que 
está inserida é muito distinto. Logo, estes projetos são 
incomparáveis. 
 
 Assim sendo, a decisão sobre projetos de investimento 
deve ser realizada comparando alternativas que possuam certa 
semelhança. 
 
6.2.2 - A mesma taxa de desconto. 
 
 Investidores, sejam eles institucionais ou pessoas 
físicas, adotam a TMA – taxa de mínima atratividade ou a TIR – 
taxa interna de retorno como parâmetro de decisão e de 
desconto dos fluxos de caixa. 
 
 A TMA é recomendada para utilização em processos de 
decisão relativos a investimentos produtivos e a TIR é mais 
adequada ao se analisar investimentos financeiros ou em 
aplicações bursáteis (3). 
 
 Assim sendo, alternativasde projetos dentro de uma 
mesma classe de risco devem ser comparadas com a mesma 
taxa de desconto. 
 
Seria ilógico adotar múltiplas taxas de retorno, ou seja, 
taxas distintas para cada projeto, pois se partiria do princípio da 
aceitabilidade da aplicação de um mesmo capital disponível a 
diferentes taxas de remuneração. 
 
 
6.2.3 - Projetos com idêntica vida útil. 
 
 Ao se proceder a comparação de alternativas com 
distintas durações, há que haver a compatibilidade temporal 
entre elas, ou seja, projetos com idêntica vida útil. 
 
Não há sentido financeiro comparar, simplesmente, uma 
alternativa que tenha uma duração de “n” anos com outra 
prevista para durar “k”, sendo kn. 
 
 A assertiva acima é amparada numa premissa da 
análise de investimento e no procedimento de reinvestimento 
de recursos livres comumente adotados por investidores. E, a 
premissa em questão recomenda eleger a alternativa que 
propicie a maximização da riqueza dos proprietários em longo 
prazo. 
 
 
(3) Bursátil, relativo a bolsas de valores ou de mercadorias. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
137 
 
 O longo prazo, nesta situação de alternativas com 
distinta duração, é entendido como sendo o final do horizonte 
de planejamento, horizonte este definido pelo projeto de maior 
duração. 
 
 Investidores, via de regra, ao disporem de recursos 
livres oriundos do término de outros investimentos, os 
reinvestem em outras alternativas disponíveis ou em 
alternativas semelhantes. 
 
 Assim sendo, só se pode comparar projetos que 
apresentem a mesma vida útil. SOTO COSTA & ATTIE, 1984. 
 
 No item 6.3 serão discutidos diversos procedimentos 
capazes de compatibilizar os horizontes de alternativas de 
projetos que apresentem distintas vidas úteis. 
 
 
6.2.4 - Distinguir projetos de longa duração. 
 
 Projetos com previsão de vida útil demasiadamente 
longa, maior do que 15 ou 20 anos de duração, a exemplo de 
plantas de fabricas de cimento ou de usinas elétricas e mesmo 
parte de seus equipamentos como geradores e rotores, devem 
ter seus tempos de duração considerados de modo adequado. 
 
Carece de sentido utilizar os procedimentos relatados 
no item 6.3, pois estes artifícios são adotados para projetos 
com menor horizonte de vida útil. 
 
Justifica-se esta falta de sentido dado ser o tempo de 
exploração do projeto suficientemente longo. 
 
 Nesta situação, tornar-se-ia temerária a elaboração de 
avaliações e o estabelecimento, no presente, de premissas 
sobre oportunidades futuras de investimentos, dado a 
impossibilidade de se prever, antecipadamente, o surgimento 
de novas tecnologias, os interesses dos proprietários ou o 
comportamento da economia a ocorrer em futuro muito 
distante. 
 
Assim sendo, torna-se inverossímil qualquer previsão 
quanto à reaplicação de recursos financeiros e a continuidade 
de projetos sobre qualquer alternativa que será finalizada num 
tempo longínquo. Ressalva-se que a análise desta situação 
foge ao escopo deste curso, pela qual recomendamos 
consultar a bibliografia complementar. 
 
 
6.3 – O Método do valor presente. 
 
6.3.1 – Incremento de Riqueza. 
 
O método do valor presente, melhor denominado de 
VALOR PRESENTE LÍQUIDO, considera o valor da moeda no 
tempo, medido na data em que foi realizada a análise ou 
avaliação de um projeto. 
 
O processo, como o próprio nome diz, visa determinar o 
valor presente líquido associado a uma alternativa de projeto 
de investimento, parâmetro que exprime o INCREMENTO DE 
RIQUEZA PROPICIADO pela adoção de uma alternativa. 
 
VP(p) =  RIQUEZA 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
138 
 
A denominação de valor presente líquido é muito 
adequada, pois cada alternativa deve ser expressa em termos 
de todas as receitas, custos, investimentos e benefícios fiscais 
e tributos nela incidentes. Enfim, de todas as entradas e saídas 
de caixa que afetarão o projeto, permitindo uma análise sobre o 
incremento de riqueza produzido. 
 
 Dado a conceituação acima, o método do valor presente 
é compatível com a 1ª e a 2ª das premissas adotadas em 
investimentos de alternativas de projetos e expostas no 
Capitulo 1, o que o torna este método extremamente atrativo 
como instrumento de decisão. 
 
O método é recomendado para efetuar a hierarquização 
das alternativas disponíveis para o investimento de capital. E, 
especialmente adequado para a decisão sobre investimentos 
produtivos. 
 
 Enfim, o VPL é recomendado para ser utilizada em 
qualquer tipo de decisão financeira, especialmente naquele cujo 
objeto seja a implantação de ativos produtivos, a exemplo de: 
implantação de unidade fabril completa, incorporação de 
edificações, nova linha de produção, campanha publicitária, etc. 
 
 
6.3.2 - Decisão. 
 
 Por definição, o valor presente líquido de um projeto de 
investimento qualquer p, corresponde à soma algébrica dos 
valores presentes associados aos fluxos de caixa integrantes 
do projeto, quando descontados a uma taxa de desconto i, 
sendo i ≡ TMA. 
 
 A TMA, por sua vez, corresponde àquela taxa que 
oferece a melhor remuneração a ser obtida por um fator de 
produção. 
 
 Matematicamente, o valor presente líquido do projeto, 
então, é dado por: 
 
VPL(p)= − F0+ ∑
Fn
(1+TMA)n
k
n=1
 
 
 Em que: F0 representa o fluxo de caixa no momento em 
que é efetuada a decisão ou o fluxo de caixa inicial; Fn um fluxo 
de caixa genérico a ocorrer num momento n, qualquer; VP(p) 
corresponde ao valor atual ou valor presente líquido associado 
ao projeto p; n o número de períodos integrantes do projeto ou 
horizonte de projeto; e, a TMA a taxa de desconto adotada pelo 
investidor como a rentabilidade desejada. 
 
 Estabelecidos os fluxos de caixa, o horizonte do projeto 
e definida a TMA pelo proprietário, depois de calculado o VP(p) 
– Valor Presente Líquido utilizando o modelo acima podem 
ocorrer três situações: 
 
 VPL(P) = 0; neste caso ocorre o que se denomina de 
indiferença de projeto. O investimento é remunerado 
à taxa tradicionalmente obtida, não causando aumento 
na riqueza do proprietário além do que já vem 
obtendo; 
 VPL(P) > 0; este é o caso de projeto viável. O projeto 
aumenta a riqueza do proprietário em um valor 
superior à remuneração estabelecida e igual ΔVPL ; 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
139 
 
 VPL(P) < 0; este é o caso de projeto inviável. Esta 
mostra que o projeto reduz o ganho tradicionalmente 
desejado e ocorre descapitalização. 
VPL(p) > 0 E Projeto Viável
VPL(p) = 0 E Indiferença Financeira
VPL(p) < 0 E Projeto Inviável
Critérios de Decisão
 
 
 No caso de haver a análise de um conjunto de 
alternativas mutuamente exclusivas, o critério de decisão 
deverá eleger a alternativa que apresentar o MAIOR valor 
presente líquido. 
 
 Esse critério de decisão é coerente com o exposto na 1ª 
Premissa da matemática financeira, a que trata da 
maximização da riqueza. 
 
 Comentando as três situações: 
 
I - Quando VPL(P)=0. 
 
 Para que o valor presente líquido de um investimento 
seja zero, há que ocorrer: 
 
VPL(p)= -F0+∑
Fn
(1+TMA)n
k
n=1
= 0 
 
 Nesta condição, o valor presente do retorno esperado é 
equivalente ao valor do capital investido. 
 
 Esta situação configura um caso de indiferença 
financeira, pois, sob a ótica do investidor, a remuneração 
oferecida pelo projeto é equivalente a que vem obtendo 
tradicionalmente para a remuneração de seus ativos. 
 
 Depreendem-se da assertiva acima dois fatos: 
 
 1º) a margem de retorno estabelecida, ou taxa de mínima 
atratividade é mantida sem haver acréscimo de riqueza além 
do habitualmente obtido; 
 
 2º) o projeto foidescontado à maior taxa de remuneração 
que ele pode oferecer, taxa esta denominada de TIR e que, 
neste caso, é igual à TMA. Assunto a ser discutido no Capítulo 
9. Ver Figura 5.8 – TIR e TMA. 
 
 Visando um melhor entendimento dos conceitos 
efetuados e uma análise do resultado obtido, a seguir é 
efetuado um exemplo numérico do caso em questão, atribuindo 
valores aos dois fluxos de caixa, F0 e Fn. 
 
 Seja, então, uma empresa ou investidor que dispõe da 
importância de R$ 150,00 e que analisa os seus investimentos 
adotando uma TMA de 18% ao período. 
 
 Ao ser aplicado este capital em um determinado 
investimento produtivo pelo prazo de cinco períodos, é previsto 
um retorno de R$ 343,16. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
140 
 
Descontado este fluxo de caixa de R$ 343,16 a TMA de 
18%, obtém-se um valor presente de R$ 150,00. 
 
 Somado este valor ao investimento inicial o resultado 
corresponde ao valor presente líquido do investimento 
efetuado, cujo valor é zero. Assim sendo, o investimento não 
propiciou um aumento de riqueza maior do que o 
tradicionalmente obtido pelo aplicador Ver Figura 6.1 – Caso 
da Indiferença de Decisão. 
 
VPL(p)= -F0+∑
Fn
(1+TMA)n
= -150,00+
343,16
(1,18)5
k
n=1
= 0 
 
Aparentemente, como se pode constatar, o projeto é 
rentável já que apresenta um retorno bem superior ao 
investimento inicial de R$ 343,16. 
 
Porém, ele não aumenta a riqueza do investidor já que 
remunera o capital investido exatamente na porcentagem que 
o investidor vem obtendo tradicionalmente pela aplicação de 
seus recursos, ou seja, no valor da TMA de 18%. 
 
 
150
-150
343,16
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.2 - Indiferença na Decisão
 
 
O investimento em pauta, sob a ótica do aplicador que 
deseja uma remuneração de 18% sobre o capital investido, 
simplesmente corrige o capital inicial a uma taxa igual a da TMA 
habitualmente praticada. 
 
 Quando o valor presente líquido de uma alternativa de 
investimento for zero, não é o caso de abandonar pura e 
simplesmente a alternativa, pois ela pode ser a única 
oportunidade dentro da margem de risco desejada. 
 
 Finalizando, quando ocorre o caso de VP(P)=0, projeto 
pode não propiciar um incremento de riqueza, mas remunera 
os ativos investidos à taxa habitualmente praticada, a TMA. 
 
 
II - Quando VPL(P)>0. 
 
 Considerando o modelo de calculo do Valor Presente: 
 
VPL(P)= - F0+∑
Fn
(1+TMA)n
k
n=1
 
 
Para que ocorra VP(P)>0, deve-se ter: 
 
 F0<∑
Fn
(1+TMA)n
k
n=1
 
 
 Financeiramente, significa que o valor presente do 
retorno previsto, descontado à TMA, é financeiramente superior 
ao valor do capital investido. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
141 
 
Nestas condições, fica caracterizado que o projeto 
produz um incremento de riqueza em proporção superior ao 
habitualmente obtido. 
 
 Logo, é uma situação que caracteriza a 
aceitabilidade do projeto sendo o mesmo considerado viável, 
pois propicia um incremento de riqueza em valor superior 
aquele que vem sendo tradicionalmente obtido. Ver Figura 6.2 
– Caso da Aceitabilidade do Projeto. 
 
Exemplificando numericamente, seja um projeto que 
oferece uma projeção de retorno após cinco períodos no 
montante de R$ 395,00. Quando descontado este valor à taxa 
de 18% ao ano obtêm-se um valor presente de R$172,66. O 
valor presente líquido do projeto é calculado em R$ 22,66. 
 
 
172,66
-150
395,00
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.2 – Caso da Aceitabilidade do Projeto
 
 
 
 Matematicamente, o calculo do valor presente líquido do 
fluxo de caixa é dado por: 
 
VPL(P)=-P0+
Fn
(1+TMA)n
=-150+
395
(1,18)5
=+22,66 R$ 
 
 
 No caso de VPL>0 pode-se constatar: 
 
1º. - O projeto remunera o investimento à taxa de 18%; 
2º. - E, além disso, aumenta a riqueza do proprietário em mais 
R$ 22,66, além da remuneração prevista. 
 
Nas condições postas, o projeto deve ser considerado como 
viável. 
 
 
III - Quando VPL(P)<0. 
 
 Para que ocorra VPL(P)<0, deve-se ter: 
 
 F0 >∑
Fn
(1+TMA)n
k
n=1
 
 
 Nesta situação, o valor presente líquido do fluxo de caixa 
projetado descontado à TMA é inferior ao valor do investimento 
inicial. 
 
 Configura-se o caso de rejeição do projeto, pois ele não 
remunera o investimento inicial. Noutros termos, o retorno 
previsto do investimento, do ponto de vista financeiro, é inferior 
ao do investimento inicial. 
 
 Retomando o exemplo anterior e considerando uma 
projeção de retorno, após cinco períodos, no valor de R$ 
320,00, o valor presente deste fluxo de caixa é de R$ 139,87. 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
142 
 
 
Calculado o valor presente líquido do projeto, obtém-se 
um valor de investimento R$ (-) 10,13. Ver Figura 6.3 – Caso 
da rejeição do projeto. 
 
Efetuando o calculo do valor presente líquido do fluxo de caixa: 
 
VPL(P)=-P0+
Fn
(1+TMA)n
=-150+
320
(1,18)5
=-10,13R$ 
 
 Mesmo sendo previsto um retorno superior ao 
investimento inicial, ocorre uma perda financeira, pois ele não 
consegue obter a remuneração desejada do investimento 
efetuado, quando o retorno for descontado à taxa de mínima 
atratividade, ou seja, 18%. 
 
Logo, sendo o valor presente líquido associado ao fluxo de 
caixa projetado de um investimento um valor menor do que 
zero, ou seja, negativo, ele deverá ser considerado inviável. 
 
 Os exemplos acima discutidos consideraram o caso de 
um projeto isolado. Os resultados obtidos podem ser facilmente 
visualizados e entendidos. É interessante notar que, nos três 
casos analisados, o ganho de capital é superior ao 
investimento inicial. 
 
139,87
-150
320,00
VP – R$
1 2 3 4 5
Per.
18%
Figura 6.3 – Caso da Rejeição do Projeto
 
 
 Porém, segundo a remuneração desejada de 18% ao 
período pode ser ou não interessante ao aplicador realizar este 
investimento de capital. 
 
Generalizando o caso analisado, quando se analisa 
projetos que apresentem uma sequência de fluxos de caixa, 
especialmente em projetos não convencionais, torna-se o 
método do valor presente um forte instrumento para amparar a 
tomada decisão. 
 
 Isto porque, os resultados obtidos são de fácil 
interpretação e levam em consideração a dimensão financeira 
do investimento ao invés de, simplesmente, um ganho 
econômico. 
 
 
6.3.3 – Diagrama de Valor Presente Líquido. 
 
 
6.3.3.1 – Traçado do Diagrama. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
143 
 
 O diagrama de valor presente é um forte instrumento 
para amparar a análise de decisão de um projeto conforme 
modelo da Figura 6.4. 
 
Ele exprime, em diagrama cartesiano, a curva do polinômio 
associado ao fluxo de caixa quanto se determina em abscissas 
as taxas de desconto e em ordenadas o valor presente 
associado à cada taxa de desconto. 
 
 O diagrama permite visualizar o comportamento do fluxo 
de caixa, o valor da TIR, fato importante, pois há casos em 
que o fluxo de caixa apresenta mais do que uma TIR. Fato este 
em que a análise do valor presente associado a uma 
determinada TMA deve ser analisada com cuidado. 
 
 Escrevendo a expressão do valor presente liquido sob a 
forma polinomial tem-se: 
 
VP(P) = F0+
F1
(1+i)
1
+
F2
(1+i)
2
+
F3
(1+i)
3
+⋯+
Fn
(1+i)
n 
 
O diagrama da Figura 6.5 é obtido ao se descontar o 
fluxo de caixa a diversas taxas de retorno “i”. 
 
5 10 15 20 25
Figura 6.4 - Modelo de Diagrama
VPL > 0
R$ - Valor Presente
i%
TMA
Este ponto define a 
TIR, a maior taxa de 
remuneração de um 
projeto viável.
 
 
Com o diagrama traçado pode-se verificar, claramente, o 
comportamentodo fluxo de caixa, a taxa de desconto 
equivalente à TIR e o campo de viabilidade financeira do 
projeto. Campo este definido entre a taxa de desconto zero e a 
TIR. 
 
 
6.3.3.2 – Exemplo de Procedimento. 
 
Seja determinar o diagrama de valor presente 
representativo de um dado fluxo de caixa, seja o caso de um 
projeto A, definido pelo seu conjunto de fluxos de caixa 
projetados, conforme abaixo. 
 
FC(A) = { -1.200; 450; 400; 350; 300} 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
144 
 
A função valor presente líquido deste fluxo de caixa, 
expressa em forma polinomial, é dada por: 
 
432 1
300
1
350
1
400
1
450
1200
)i()i()i()i(
)A(VP








 
 
 Calculando o valor presente para a função VP(A), 
considerando uma série de taxas de desconto pré-
estabelecidas, obtêm-se os valores presentes expressos no 
quadro abaixo: 
 
Item Taxa de Desconto - i(%) Valor Presente Líquido - ($) 
1 0 300,00 
2 3 200,78 
3 6 112,02 
4 9 32,31 
5 10,31  TIR 0,00 
6 12 (-) 39,56 
 
O diagrama de valor presente desta função VP(A) é 
efetuado ao se traçar um gráfico elaborado em coordenadas 
cartesianas, em que no eixo das abscissas tem-se o domínio 
das taxas de desconto. E, no das ordenadas, o domínio do 
valor presente em expressão monetária. 
 
 No exemplo, o valor presente do fluxo de caixa 
descontado à taxa i=3% é dado por: 
 
$,
),(),(),(),(
)A(VP 78200
031
300
031
350
031
400
031
450
1200
432

 
 
 
TIR
300
200
100
0
R$ - Valor Presente
i%
3 6 9 12
Figura 6.5 – Diagrama de Valor Presente
 
 
 Lançando o par i(%)×VP($), dispostos na tabela, em um 
diagrama cartesiano, obtém-se à curva representativa do Valor 
Presente conforme exposto na Figura 6.5. 
 
 
 
6.2.3.3 – Diagrama de Valor Presente. 
 
 A metodologia proposta para a elaboração de um 
diagrama de valor presente é a seguinte: 
 
1º - Calcula-se o valor presente à taxa i=0. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
145 
 
 Este procedimento corresponde a desconsiderar o valor 
da moeda no tempo. Caso este valor seja igual ou menor do 
que zero, a alternativa deve ser descartada, pois não apresenta 
rentabilidade para qualquer taxa de remuneração. Ela não 
apresenta ganho financeiro nem econômico; 
 
2º - Arbitra-se uma taxa de desconto e procede-se o calculo do 
fluxo de caixa à taxa arbitrada; 
 
3º - Repete-se o processo definido no item 2º tantas vezes 
quanto o for necessário, de modo a resultar em uma curva a 
mais contínua e representativa possível da função 
polinomial desejada. Para tanto sugere-se variar a taxa em 
valores constantes; 
 
4º - O processo deve ser interrompido ao ser obtido um valor 
presente menor do que zero. 
 
5º - No ponto em que a curva cortar o eixo das abscissas, fica 
definida a taxa interna de retorno – TIR. 
 
Esta é a maior taxa de desconto, ou de oportunidade, que 
um projeto pode apresentar enquanto viável. 
 
 
6.4 - Análise de Sensibilidade e Risco. 
 
6.4.1 – Conceituação. 
 
 A análise de sensibilidade é uma técnica que possibilita 
verificar o domínio da viabilidade financeira de um projeto e, 
consequentemente, realizar uma análise do risco de sua 
implantação. 
 
Para tanto, deve-se definir a máxima e a mínima 
capacidade ou quantidade de produção dentro da qual um 
projeto possa ser financeiramente viável. 
 
 A técnica recomenda que se efetue o calculo do valor 
presente para cada situação limite, em função da quantidade a 
ser produzida. 
 
 
n)i(
Fn
)i(
F
)i(
F
)i(
F
Fo)p(VP








11
3
1
2
1
1
321

 
 
Fk =Σ Rec f(q) - Σ Desp f(q) – Invest. + Valor Residual 
 
 Partindo do princípio que cada nível de produção possa 
ser definido como uma alternativa, a priori, poderá ocorrer três 
situações: 
 
1º. Produção realizada sob a capacidade máxima; 
2º. Produção sob a quantidade mais provável; 
3º. Produção realizada sob uma quantidade mínima viável. 
 
Elaborando, num mesmo diagrama cartesiano, o gráfico de 
valor presente para cada uma das alternativas, pode-se 
estabelecer o campo de domínio financeiro do projeto. Ver 
Figura 6.6. 
 
Assim, como primeira alternativa, considerar-se-á a 
produção sendo realizada sob capacidade máxima. Neste 
caso, adotar-se-á como quantidade de produção a capacidade 
que corresponda à capacidade instalada do projeto ou a 
máxima produção possível de ser efetuada com o mesmo. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
146 
 
Como segunda alternativa, ou seja, a quantidade mais 
provável de ocorrer, o recomendável será adotar a quantidade 
de produção média historicamente utilizada pela indústria onde 
a empresa estiver inserida. 
 
VP – R$
i%
TIRMIN
Quantidade Mínima
Quantidade Provável
Quantidade Máxima
Corte p/ TMA
Figura 6.6 – Campo de Domínio Financeiro
i1 i6i5i4i3i2 i7
 
 
 A terceira alternativa, relativa à quantidade mínima de 
produção, deverá corresponder àquela capacidade, qMIN, cujo 
valor presente líquido do fluxo de caixa, ao ser descontado pela 
TMA, seja zero. Matematicamente: VP f(qMIN) = 0. 
 
A particularidade desta última alternativa é que a sua 
TIR corresponderá à TMA da empresa. 
 
 Noutras palavras, o valor do fluxo da caixa relativo à 
alternativa que adote a quantidade mínima de produção e que 
viabilize financeiramente o projeto, quando descontado à TMA 
da empresa, é zero. E, nesta situação, tem-se: TIR≡TMA. 
 
 
6.4.2 – Domínio viável de produção. 
 
 
 O objetivo deste item é mostrar um procedimento 
derivado do método do valor presente líquido que permite 
mostrar o domínio das quantidades de produção 
financeiramente viáveis, estabelecida uma TMA. 
 
 O primeiro passo do processo é dispor do diagrama de 
valor presente de uma alternativa de investimento 
considerando diversas quantidades a serem produzidas, 
conforme o exposto na Figura 6.6. 
 
Como segundo passo, traçar a curva que contemple o 
domínio das quantidades viáveis de produção, quando 
determinada uma TMA especificada. Ver Figura 6.7. 
 
Para tanto, deve-se efetuar um corte no campo de 
viabilidade de um projeto na altura da TMA desejada. E, com os 
dados obtidos traçar um gráfico “quantidade versus valor 
presente”, em coordenadas cartesianas, mostrado na Figura 
6.7. Assim, devem ser lançadas, em ordenadas, as 
quantidades a serem produzidas. E, em abscissas, o valor 
presente líquido de cada alternativa desenvolvida, descontada 
à TMA previamente estabelecida. 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
147 
 
 
VP f(qk)
qMIN qMAXqPROV
qk
Figura 6.7 – Limites de viabilidade para determinada TMA.
 
 
 
 Da análise da curva obtida, Figura 6.7, depreende-se: 
 
a) O limite inferior da curva indica o limite de viabilidade 
corresponde à quantidade mínima viável de produção, qMIN, 
caso em que a TMA=TIR. 
 
b) O limite superior corresponde à quantidade máxima de 
produção, qMAX , correspondente à capacidade instalada, 
quantidade esta em que o projeto oferece o maior valor 
presente líquido. 
 
c) Se o projeto operar a uma capacidade de produção entre a 
máxima e a mínima, a quantidade mais provável 
apresentará um valor presente líquido maior do que zero. 
 
 Dos limites acima estabelecidos, fica definido o domínio 
do VPL viável para a produção possível. 
 
 
 
6.5 – Aplicação. 
 
 Uma empresa está estudando a aquisição de um 
sistema destinado à confecção de perfis moldáveis. 
 
 O equipamento em questão produz perfis com 6,00 
metros de comprimento sendo a capacidade instalada de 
produção prevista para 45 mil metros mensais. 
 
Dados disponíveis:Item Valores 
- Preço do Sistema R$ 2.600.000,00 
- Vida útil em anos 10 
- Valor residual R$ 260.000,00 
- Comprimento da peça em metros 6 
- Custo operacional anual R$ 1.100.000,00 
- Custo do insumo por unidade R$ 80,00 
- Preço de venda por unidade R$ 125,00 
- Produção Média 83 % 
- Capacidade Máxima em unidades 45.000 
- Custo de oportunidade – TMA ao ano 14% 
 
A vida média do equipamento em análise é de 10 anos 
e, vencido este período, poderá ser vendida a 10% do seu 
valor de aquisição. 
 
 Como informação orçamentária, estima-se que ocorrerá 
um incremento no custo administrativo e de vendas da 
empresa na ordem de R$ 1,1 milhão por ano. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
148 
 
O custo direto de produção orçado em R$ 80,00 por 
unidade produzida. E, o investimento em ativos imobilizados no 
valor de R$ 2.600.000,00. 
 
 Um levantamento efetuado no segmento de mercado em 
pauta indicou que as empresas vêm operando, em média, com 
83% da capacidade instalada. 
 
Porém, existe campo da expansão dado a inexistência 
de produção similar na região. E, que o preço de 
comercialização do produto é de R$ 125,00 por unidade. 
 
 Informações oriundas da contabilidade da empresa 
indicam que ela vem remunerando os seus ativos à taxa de 
14% a.a. Dado o exposto solicita-se: 
 
a) O fluxo de caixa propiciado pelo projeto; 
b) A quantidade anual de produção, em metros, para que a 
aquisição seja viável; 
c) O maior e o mais provável acréscimo de riqueza 
propiciado pelo projeto; 
d) A elaboração de um diagrama lucro/produção; 
e) A confecção de um diagrama que mostre o campo de 
viabilidade do projeto. 
 
 Considerando que se deseja conhecer a quantidade a 
ser produzida, denominou-se de q, a variável respectiva. 
 
 Assim, o projeto será analisado sob três níveis possíveis 
de produção: produção mínima ou viável; produção máxima; e 
produção mais provável. 
 
a) Fluxo de Caixa do Projeto – Figura 6.8: 
 
1 10
Valor 
Residual
260.000
Valor do
 Equipamento
2.600.000,00
R$
Preço de Venda = 125 q
Custo Operacional = 1.100.000
Materia Prima = 80 q
Figura 6.8 – Fluxo de Caixa do Sistema de Perfis
ANOS
 
 
b) Produção viável: 
 
A quantidade mínima de produção que permita tornar viável 
o projeto, quando descontado à TMA da empresa, é aquele que 
zera a função valor presente líquido a ele associado. Nesta 
situação, o VP f(qMIN) = 0. 
 
     
 
0
14,01
000.260
%14;10000.100.1%14;1080125000.600.2
10


 FVPFVPqq
q = 35.222 peças 
 
 O comprimento total dos tubos a serem produzidos é 
dado por: 
 
L = 6 × q = 211.332 metros/ano. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
149 
 
 
c) Máximo acréscimo de riqueza: 
 
A máxima produção de riqueza ocorre sendo possível 
produzir uma quantidade igual à capacidade instalada, durante 
todo o tempo de vida do projeto. A expressão abaixo exprime, 
algebricamente, o exposto no desenho da Figura6.9. 
 
   
 
 101401
000260
14100001001
141000045801250006002
,
.
%;FVP..
%;FVP...VPMAX



 
 
VPMAX = 2.295.040,36 R$ 
 
 
d) Mais provável acréscimo de riqueza: 
 
Esta situação ocorre em sendo possível produzir uma 
quantidade equivalente à capacidade esperada de produção 
durante o tempo de vida do projeto. Ou seja, 83% da 
capacidade instalada. 
 
Quantidade Esperada = 45.000 × 0,83 = 37.350. 
 
   
 
 101401
000260
14100001001
141083000045801250006002
,
.
%;FVP..
%;FVP,...VPMP



 
 
VPMP = 499.392,55 R$ 
 
 
e) Campo de Viabilidade do Projeto. 
 
 
 
 
O diagrama de valor presente mostrado na Figura 6.9, 
mostra campo de viabilidade do projeto, com o 
desenvolvimento de cada alternativa de produção: em 
capacidade mínima de produção, quando a maior taxa de 
retorno corresponde à TMA; a capacidade mais provável; e a 
capacidade máxima, quando ocorre a utilização da capacidade 
instalada durante toda a vida do projeto. 
 
Considerando as curvas de máxima e mínima 
quantidade de produção mostradas na Figura 6.10 e, traçando 
uma reta perpendicular à taxa de 14%, se obtêm o campo de 
variação dos valores presentes das possíveis quantidades 
viáveis de produção. 
-1.000.000
 -
 1.000.000
 2.000.000
 3.000.000
 4.000.000
 5.000.000
0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
Valor 
Presente 
Líquido
Taxas de Desconto - %
Figura 6.9 - Campo de Viabilidade do Projeto
Série1 Série2 Série3
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
150 
 
 
 
f) Diagrama Lucro Produção 
 
Dados de Produção 
Produção – em peças Lucro VPL – R$ 
35.222 0,00 
37.350 499.392,55 
45.000 2.295.040,36 
 
 
 O diagrama da Figura 6.10, derivado do diagrama da 
Figura 6.10, relaciona as quantidades de produção viáveis e 
os respectivos valores presentes líquidos considerando uma 
mesma TMA. 
 
 
 
Este diagrama delimita todo o conjunto de quantidades 
variando de um limite qMIN= 35.222,44 unidades e um limite 
superior qMAX = 45.000 unidades que se mostram viáveis 
considerando tma taxa de desconto, TMA, de 14,00% ao ano. 
 
 Implantado o projeto e as quantidades produzidas e 
vendidas oscilando entre o valor mínimo e máximo citados, a 
empresa tem garantida a ocorrência de um positivo incremento 
de riqueza. 
 
 
6.6 - Equalização de tempos de projetos. 
 
 Como já comentado, para se comparar alternativas de 
investimentos com vidas úteis distintas, há que se adotar 
artifício que iguale os horizontes de projeto de todas as 
alternativas. 
 
 O objetivo do artifício é suprir a lacuna de informações 
existentes quanto a possíveis fluxos de caixa entre os finais 
das alternativas, de modo lógico. Ver Figura 6.11. 
 
 Ao serem analisados investimentos mutuamente 
exclusivos, três situações podem ocorrer, sendo distintas as 
premissas propostas para igualar os tempos de projeto: 
 
 Caso de reinvestimento em ativos semelhantes; 
 Caso de rigidez das alternativas; 
 Caso de outras oportunidades futuras. 
 
 
 
6.6.1 – Reinvestimento em ativos semelhantes. 
 
 0,00 
 500. 
 1.000 
 1.500 
 2.000 
 2.500. 
35.222,44 
Figura 6.10 - Quantidade de Produção x Valor Presente 
37.350,00 45.000 
V
a
lo
r 
P
re
s
e
n
te
-R
$
1
0
³ 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
151 
 
Neste caso ocorre o pressuposto da continuidade de 
vida ou produção do ativo em análise. Isto é, findo o período de 
vida do ativo, a firma reinvestirá em outro ativo com 
características semelhantes à do ativo desmobilizado. 
 
O horizonte de planejamento será, então, o mínimo 
múltiplo comum das vidas das alternativas em comparação. 
 
Exemplificando para o caso da Figura 6.12, em que o 
Projeto A esta previsto para tem um horizonte de 4 anos e o 
Projeto B de 5 anos. 
 
Ao se analisar investimentos produtivos, o horizonte em 
análise deve ser o MMC da vida dos projetos, 4 e 5 anos, o que 
equivale a 20 anos. 
 
 
FA1
FA2 FA3 FA4
FB1
FB2
FB3
FB5
FB4
FB0
Figura 6.11 – Alternativas com vidas úteis distintas.
Projeto A
Projeto B
FA0
Período
2
54321
431
Período
R$
R$
 
 
 
Assim sendo, o Projeto A deve ser repetido 5 vezes e o 
Projeto B 4 vezes para que se obtenha a equalização dos 
tempos de comparação. 
 
A metodologia a ser utilizada no caso de reinvestimento 
em ativos semelhantes será discutida no Capítulo 8 – Valor 
Uniforme Equivalente, que mostra um método de fácil aplicação 
quando as equalizações dos horizontes dos projetos se 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
152 
 
mostram muito grandes, ou seja, muitos distantes da dataatual. 
 
 
6.6.2 – Caso de Rigidez das Alternativas. 
 
 É considerado haver rigidez na continuidade de 
alternativas de investimentos quando não há previsão de 
manutenção na continuidade de um projeto ou na 
impossibilidade de manutenção em operação do ativo em 
análise, pois não há sentido ou possibilidade técnica em 
continuar a exploração do ativo. 
 
 Os exemplos clássicos desta situação são os 
investimentos em minas ou em poços de petróleo, quando 
esgotada a jazida os respectivos equipamentos de exploração 
ficam impossibilitados de serem removidos ou reaproveitados. 
 
 Como o princípio a ser mantido é o de aumento de 
riqueza do proprietário, a equalização dos tempos de vida das 
alternativas em análise é feita considerando que, ao fim da vida 
útil de cada ativo, a firma reinvestirá os lucros oriundos do 
projeto que apresentar a menor duração. Estes lucros serão 
aplicados em ativos que rendam tanto quanto o valor da moeda 
no tempo até alcançar o período do projeto de maior duração. 
 
O diagrama da Figura 6.12, mostra um modelo de 
diagrama de fluxo de caixa recomendado para o caso em 
análise. 
 
Nesta situação, VF equivale à reaplicação dos lucros 
obtidos com o projeto, equivalente ao Valor Futuro dos lucros 
do projeto de menor duração no momento “n”, momento em 
que ocorre o fim de utilização deste projeto. 
 
E, Pt, o valor do fluxo de caixa atribuído ao projeto de 
menor duração no momento “t”, momento este coincidente com 
o término do projeto de maior duração. 
 
 
F(n-1) F(t)
F(n-3)
F(n-2)
F(n-1)
F(n)
F(n-3)
F(n-2)
F(n-1)
F(n)
VF
PT
período
período
Fig. 6.12 – Rigidez de Alternativas
n-3 nn-2 n-1 tt-1
n-3 n-2 n-1 t
Período a
Considerar
R$
 
 
Então: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
153 
 
 VF = Pj (1+i )j , variando j de 1 até “n” e sendo “i” a taxa de 
retorno adotada para o projeto. E, 
 
Pt = (1+ i) (t-n) 
 
Nestes casos duração de projetos com prazos 
rigidamente determinados, o processo de decisão deve ser 
efetuado através do método do valor presente, utilizando o 
artifício proposto. 
 
 Alerta-se que, neste caso, não cabe a utilização do 
método do Benefício Anual Equivalente, pois o mesmo 
pressupõe a repetição dos projetos, fato que é obstado pela 
própria caracterização do projeto em pauta. 
 
 
6.6.3 – Caso de Outras Oportunidades. 
 
 Neste caso, finda a vida do ativo ou o interesse em sua 
exploração, a firma tem interesse de considerar outras 
oportunidades de investimento disponíveis para o futuro, tais 
como a mudança de sistema de produção, o lançamento de 
novos produtos ou mesmo a mudança de ramo. 
 
 Ao analista de investimentos, nestes casos, recomenda-
se criatividade e lógica ao utilizar a metodologia disponível. 
 
Esta recomendação visa alertar quanto à possibilidade 
do processo de decisão transcender a área da Análise de 
Investimentos e haver necessidade ou possibilidade, para 
maior sofisticação e confiabilidade do processo decisório, do 
uso de algum processo de otimização. 
 
 Assim sendo, recomendamos consultar a bibliografia 
que trata especificamente do assunto, pois foge ao escopo 
deste curso. 
 
 
6.7 – Consistência VPL e Custo de Capital. 
 
Considerando que o objetivo da administração financeira 
é maximizar a riqueza do proprietário, a utilização do Custo 
Médio Ponderado de capital no julgamento de projetos é 
consistente com este objetivo. 
 
Sendo assim, a empresa só deverá utilizar capital de 
terceiros cujo custo seja inferior ao custo de capital da firma. 
Adotando este procedimento, garantirá a realização de valores 
presentes maiores, em outras palavras, o aumento da riqueza 
da empresa. 
 
Considerando como iF o custo de capital praticado por 
uma firma, ou CMP, e iNE o custo de utilização de um novo 
capital de empréstimo, a condição para ser tomado esse 
empréstimo é: iNE < iF. 
 
 
 
 
O exemplo da Figura 6.13 mostra o caso em que a 
empresa vem praticando um custo de capital igual a CMP-1 e, 
ao tomar um capital de empréstimo passa a ter um CMP-2 em 
que CMP-2 > CMP-1. Ou seja, iNE > iF. 
 
Condição de Captação de Novo Empréstimo: iNE < iF
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
154 
 
Valor
Presente
ii
Valor
Presente
VP-1
VP-2
y = f(x) = f(i)
TIR TIR
iF = CMP-1
Figura 6.13 – Valor Presente x CMP
iNE = CMP-2
 
 
Nesta situação ocorre descapitalização, tornando os 
valores presentes do projeto inferiores. Isto porque, o CMP se 
reduz, passando de uma situação CMP-1 para CMP-2 o que 
decorre numa redução do valor presente do projeto. 
 
Analisando o gráfico da Figura 6.14, fica patente que ao 
aumentar o CMP por emprestimo, iNE, o valor presente dos 
fluxos de caixa vindouros passa a ser inferior ao atual 
reduzindo o ganho de riqueza da empresa, ou dos sócios. 
 
 Dado o comentário anterior, a utilização do Custo Médio 
Ponderado como parâmetro de decisão para a captação de 
novos recursos e a comparação dos custos deles decorrentes 
com o daqueles em utilização, é compatível com o método do 
valor presente e um referencial para as operações financeiras 
da empresa. 
 
 
 
 
 
6.8 – Exercícios Resolvidos. 
 
6.8.1 – Exercício de Fluxo de Caixa. 
 
Seja definir o diagrama de fluxo de caixa e o diagrama 
de valor presente líquido do projeto cujas projeções 
operacionais estão postas no quadro abaixo. 
 
 
Determinação dos Fluxos de Caixa 
Projeções 
FC-0 FC-1 FC-2 FC-3 FC-4 FC-5 FC-6 
R$ R$ R$ R$ R$ R$ R$ 
+ Receitas - 80 161 190 190 161 140 
- Despesas - 60 - 82 - 96 -96 - 82 - 102 
Depreciação 6 6 6 6 6 - 
Investimentos - 90 - 71 - - - - - 
Val. Residual - - - - - - 27 
E Fluxos de 
Caixa 
- 90 - 45 85 100 100 85 65 
 
 O diagrama representativo dos fluxos de caixa 
determinados na tabela anterior esta expresso na Figura 6.14. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
155 
 
períodos
85,00
R$
100,00 100,00
85,00
45,00
65,00
90,00
 1 2 3 4 5 6
Figura 6.14 - Diagrama de Fluxo de Caixa
 
 
A definição do valor presente líquido para cada taxa de 
desconto é dado pelo modelo: 
 
VPL= - 90 - 
45
(1+i)1
+
85
(1+i)2
+
100
(1+i)3
+
100
(1+i)4
+
85
(1+i)5
+
65
(1+i)6
 
 
 
Tabela: Taxa de Desconto e Valor Presente Líquido. 
Taxa 
I% 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 
VPL 
R$ 
300,00 228,00 172,24 128,43 93,55 65,45 42,57 23,75 8,14 
 
 Dispondo dos dados da tabela acima pode-se traçar o 
diagrama de valor presente como a seguir: 
 
 
 
 
6.8.2 - Caso da Jazida Mineral. 
 
 
Elaborar o diagrama de valor presente do projeto abaixo, 
referente à análise de viabilidade de aproveitamento de uma 
jazida mineral visando à produção de pedra britada. 
 
 As informações do projeto constam da tabela abaixo. E, os 
fluxos de caixa do projeto são apresentados nas Figura 6.15a e 
6.15b. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
156 
 
 
 
 
 Capital Próprios mais Investidores 
 Produção mensal: 30 mil m³ 
 Vida Útil do Projeto: 20 anos 
 Preço de Venda: 32,00 R$/m³ 
 Custo de Produção: 8,50 R$/m³ 
 Preço terreno: 3 milhões de reais 
 Investimento Equipamentos: 7,50 milhões de reais 
 Projetos, autorizações, estudos 
ambientais: 
550 mil reais 
 Opção tributária: Lucro Presumido 
 Tributos  Lucro Presumido 27 % 
Financiamento Finame – BNDES. 
- Prazo financiamento 
- Carência 
- Taxa de juros 
- 
72 meses 
1 ano 
3,50 % ao ano 
 
Invest.
Inicial
5 1510
R$
Ano
Faturamento
Tributos
Custos Operacionais
Financiamento
1 20
Figura 6.15 a – Fluxo de Caixa Conceitual.3.550
5 1510
R$
Ano
11.520
3.110,40
3.060,00
1.719,20
1 20
Figura 6.15 b – Fluxo de Caixa Numérico.
 
 
 
 
Considerando que a TIR ultrapassa a taxa de 70% ao 
ano, fica verificado ser um projeto extremamente viável para 
investidores que adotam uma TMA inferior a 70 %. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
157 
 
 
6.9 – Exercícios Propostos 
 
6.9.1 - Considerando as seguintes propostas de investimentos: 
 
Qual a mais interessante para ser implantada? 
 
 Adotar uma taxa de Descontos de 7% ao período. 
 
 
500,00
 0 1 2 3 4 período
1.000,00
R$
R$ 250,00
R$
330,00
 0 1 2 3 4 período
1.200,00
R$ 380,00
Proposta A
Proposta B
 
 
 
6.9.2 – Avaliar a viabilidade do projeto representado por seu 
fluxo de caixa abaixo, considerando taxas de desconto de 30, 
40 e 50% ao ano. 
 
100,00
38,42
109,76
58,80
28,00
Ano
1 2 43
R$
 
 
6.9.3 - José da Silva pensa alugar uma loja por R$ 24.000,00 
mensais. Porém, fazendo alguns melhoramentos no prédio 
poderá alugar por R$ 31.000,00. Um orçamento de reforma 
apresentou um valor de R$ 600 mil. Sendo sua taxa de 
atratividade mínima de 1,2% a.m., pergunta-se: seria 
financeiramente interessante a execução dos melhoramentos? 
 
 
6.9.4 - Você atua profissionalmente numa firma de assessoria 
e consultoria técnica financeira e lhe coube analisar a aquisição 
de um mesmo equipamento para dois clientes distintos. 
 
 O equipamento em questão, novo, custa 250 mil reais e 
tem condições de oferecer receitas líquidas mensais na ordem 
de R$ 5,10 mil. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
158 
 
 Dada à evolução contínua da tecnologia, há previsão de 
utilizá-lo por cinco anos. 
 
 É procedimento de empresas que atuam no ramo, 
substituir o equipamento antigo e o utilizar como entrada para a 
aquisição de outro mais moderno, de modo a manter o 
processo financeiramente viável. Sabe-se que equipamentos 
com cinco anos de uso custam o equivalente a 15% de um 
novo. 
 
 Analise e comente o resultado do processo de aquisição 
para os seguintes casos: 
- Cliente A, cujo custo de capital é de 7% ao ano; 
- Cliente B, cujo custo de capital é de 16% ao ano. 
Obs.: Calcule em período anual. (27.669 R$ /-31.759 R$.) 
 
6.9.5 - Explique porque é desnecessário levar em consideração 
o efeito inflacionário na análise do valor presente de um ativo 
produtivo, conhecida a projeção dos fluxos de caixa futuros, do 
horizonte de projeto e do custo de oportunidade. 
 
6.8.6 - Uma empresa tomou emprestada uma importância no 
montante de R$ 30.000,00 por 60 dias, à taxa de 12% ao mês. 
 
Ao receber o montante deste primeiro período aplicou 30% à 
taxa de 13,5% ao mês por 45 dias. O restante aplicou à taxa de 
14% a.m., também por 45 dias. 
 
 Deseja-se saber: 
 Qual o fluxo de caixa (montar) desta operação? 
 Qual o montante total destas duas últimas aplicações ao 
final deste 2o período? 
 
6.9.7 - Você é o diretor de uma construtora que atua a nível 
regional e esta analisando a realocação do escritório central da 
empresa, pois os custos operacionais estão crescendo muito, 
dado o incremento de sua carteira de serviços. 
 
 Para tanto, foram desenvolvidas alternativas situadas 
em quatro cidades distintas, cujos custos envolvem o preço de 
terrenos, os custos de operação nas novas condições e a 
construção de instalações de apoio e oficinas necessárias. 
 
Além disso, foi previsto um horizonte de 10 anos de utilização 
para as alternativas e os valores residuais dos investimentos 
realizados estão apresentados na tabela abaixo. 
 
 Sendo a TMA praticada pela empresa estabelecida em 
15% ao ano, definir qual das alternativas é, financeiramente, a 
melhor. 
 
 Solicita-se efetuar o processo de decisão utilizando o 
método do Valor Presente. E, traçar em um único gráfico, o 
diagrama de valor presente de cada alternativa. 
 
 
Cidade 
Investimento 
R$ 
Redução Anual 
 de Custos 
Valor Residual 
R$ 
A 18,00 3,60 14,00 
B 34,00 4,70 27,00 
C 48,00 8,20 41,00 
D 64,00 9,30 70,00 
Valores em R$ 105 mil 
Atenção: considerar a redução anual de custos como uma entrada 
de caixa da empresa. Justifica-se este procedimento, pois com a 
mudança, esses recursos permanecerão no caixa. 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
159 
 
6.9.8 - O executivo chefe de uma empresa distribuidora de 
concreto usinado esta analisando a modernização de uma das 
suas unidades. 
 
 Essa unidade vem apresentando uma queda de 
produtividade. Devido à idade dos equipamentos, apresentam 
paralisações constantes e uma crescente evolução dos custos 
com manutenção. 
 
 Para tanto, dois novos processos de fabricação foram 
considerados e que propiciam níveis de faturamento 
semelhantes. 
 
 Sendo a taxa de oportunidade praticada pela empresa 
de 15% ao ano, deseja saber qual das alternativas é a melhor, 
considerando: 
 Aquisição por compra a vista do equipamento; 
 Aquisição por financiamento com juros de 8% ao ano 
e prazo de cinco anos. Adotar o método da prestação 
constante. 
 
 Investimento 
Processo Alfa 
R$ 
Processo Beta 
R$ 
Equipamentos 50.000,00 30.000,00 
Custo Operacional Anual 13.900,00 18.300,00 
Custo de Manutenção Anual 2.100,00 1.800,00 
Valor Residual do Projeto 25.000,00 16.000,00 
Vida Estimada em anos 10 10 
 
 
6.9.9 - Dado o fluxo de caixa representativo de um projeto, 
solicita-se: 
 
 Demonstrar que, se praticada a taxa de desconto de 12% o 
projeto pode ser viável; 
 Verificar se praticada a taxa de desconto 14,6439%, o 
projeto pode ser aprovado; 
 
Fluxo de caixa Valor R$ Situação 
Fo - 255,00 Investimento inicial 
F1 - 95,00 Investimento no 1º período 
F2 80,00 Fluxo de caixa líquido 
F3 100,00 idem 
F4 120,00 idem 
F5 140,00 idem 
F6 160,00 idem 
 
 
6.9.10 - Deseja-se saber qual o mínimo valor residual de um 
equipamento usado, para que possa ser dado como entrada na 
aquisição de um similar, porém novo e que, financeiramente, o 
processo comercial seja viável. Para tanto, dispõem-se das 
seguintes informações: 
 
 Custo de capital da empresa: 15% ao ano; 
 Vida útil do equipamento: 5 anos; 
 Receitas anuais líquidas: 7,00 mil reais; 
 Preço do equipamento novo: 30,00 mil reais. 
 
6.9.11 - Você como diretor técnico de uma empresa de 
engenharia deve decidir entre dois diâmetros de uma adutora 
necessária à implantação de uma pública; 
 
 Com base nos dados apresentados no quadro a seguir, 
solicita-se: 
 
- O monte o fluxo de caixa dos empreendimentos; 
- O calculo do Valor Presente (VP) de cada alternativa; 
- Decidir qual a alternativa a ser selecionada. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
160 
 
 
DISCRIMINAÇÃO 
ADUTORA 
 = 1,00 m. 
ADUTORA 
 = 1,20 m. 
Custo Inicial (CI) R$3.000.000,00 R$5.000.000,00 
Custo manutenção 
anual (de 0 a 5 anos) 
7% do Custo Inicial 1% do Custo Inicial 
Custo de 
manutenção anual 
 (de 5 a 15 anos) 
10% do Custo Inicial 2% do Custo Inicial 
Custo de revisão e 
Manutenção 
periódica 
10% do Custo Inicial 
no ano 5. 
2% do Custo Inicial 
nos anos 5, 10 e 15. 
Receita 
 (de 0 a 5 anos) 
25% do Custo Inicial 16% do Custo Inicial 
Receitas 
 (de 5 a 15 anos) 
25% do Custo Inicial 18% do Custo Inicial 
Período de cálculo 10 anos 15 anos 
Taxa de Mínima 
Atratividade (TMA) 
12,0% 12,0% 
 
 
6.9.12 - O diretor da MiksCorp, empresa atuante na indústria 
da telecomunicações e informática, após pesquisa de 
mercado, concluiuhaver demanda para absorver o lançamento 
de um novo produto denominado TI-struvspro, equipamento 
com capacidade de atender a convergência digital dos diversos 
tipos de mídia, telefonia, GPS, tratamento de dados, etc. 
 
 Dado o comportamento desse mercado, previu que um 
produto com as características do TI-struvspro teria uma vida 
comercial de sete anos. 
 
 Como a empresa estava com os seus recursos 
empenhados noutros investimentos e não teria capacidade 
financeira para investir neste novo produto, conseguiu suporte 
de um banco de investimentos. 
 
 Assim sendo, verifique: 1º - a viabilidade do projeto dada 
as condições abaixo; 2º - o menor faturamento mensal 
possível, de modo a tornar o projeto viável. 
 
 Condições: 
 
 A Mikscorp pratica um custo de capital de 15% ao ano; 
 Equipamentos do gênero podem ser vendidos, no final da 
vida útil, a 18% do valor de um novo; 
 O diretor prevê receitas mensais na ordem de R$ 36 mil e 
despesas operacionais de R$ 25 mil por mês; 
 A aquisição dos equipamentos de produção requer 
investimentos iniciais no montante de R$ 1.200 mil; 
 A empresa dispõe de instalações físicas para instalação dos 
equipamentos; 
 O BDE, banco de investimentos, propôs as seguintes 
condições de financiamento: aporte do capital necessário à 
produção no fechamento do contrato a ser realizado na data 
de fechamento do contrato; prestações anuais, constantes e 
consecutivas, pagas anualmente a juros de 8% ao ano; 
prazo de pagamento de seis anos sendo dois de carência. 
 
 
6.9.13 - Numa análise realizada em determinada empresa, 
foram detectados custos operacionais excessivamente 
elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização 
de equipamentos velhos e obsoletos. 
 
 Os engenheiros responsáveis pelo problema 
propuseram à gerência duas soluções alternativas. 
 
 A primeira consistindo numa reforma geral da linha, 
exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo resultado 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
161 
 
será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 
anos, após os quais os equipamentos seriam sucatados, isto é, 
sem nenhum valor residual. 
 
 A segunda proposição foi a aquisição de uma nova linha 
de produção no valor de $ 35.000 para substituir os 
equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi 
estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar 
ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor 
residual de $ 10.705 após dez anos. 
 
 Sabendo-se que a empresa pratica uma TMA de 15% ao 
ano, qual das alternativas deve ser preferida pela gerência? 
(Contribuição Dr. Engº Oscar Ciro Lopes). 
 
6.9.14 - Uma empresa mineradora recebeu duas propostas 
visando à aquisição de equipamento de escavação necessário 
à exploração uma jazida mineral até a levar a exaustão. 
 
Previsão dos Fluxos de Caixa 
Equipamento Proposta A Proposta B 
Investimento Inicial - 4.000,00 -6.000,00 
Ano 1 860,00 2.100,00 
Ano 2 900,00 2.300,00 
Ano 3 950,00 2.500,00 
Ano 4 1.000,00 2.590,00 
Ano 5 1.100,00 - 
Ano 6 1.200,00 - 
Valores em R$ 10³ 
 
 Sabe-se que: 
 
- A previsão dos fluxos de caixa líquido, anuais, de cada 
alternativa esta relacionada no quadro de previsão; 
- O custo de oportunidade determinado corresponde a 1, 
1714917 % ao mês; 
- Vencida a vida útil dos equipamentos, eles serão repostos. 
 
 Pede-se: 
- Qual sua recomendação quanto ao melhor projeto sendo os 
fluxos de caixa definidos em períodos anuais; 
- Uma decisão quanto ao melhor projeto, definindo os fluxos 
de caixa em períodos mensais; 
 
6.9.15 - Analise a viabilidade de investir em escritórios 
comerciais tendo por objetivo a cobrança de alugueis. 
 
 Após levantamentos efetuados no mercado imobiliário 
dispõem-se das seguintes informações: 
 
- As empresas construtoras praticam um preço de vendas na 
ordem de 2,2 CUB/m². 
- Foram coletadas informações de três conceituadas empresas 
que atuam no mercado de construção e vendas de imóveis, 
expostas no quadro abaixo. 
 
Empresa Padrão 
Área Sala 
m² 
Custo 
CUB/m² 
Aluguel mensal 
R$ 
PrimeTop Alto 65,00 959,61 490,00 
Nortecon Médio 48,90 679,82 350,00 
Belafonte Baixo 36,95 604,88 270,00 
 
- Como informação adicional, a taxa básica de juros 
estabelecida pelo BCB esta, na data da pesquisa, definida em 
14,25% e há o entendimento no mercado que é adequada a 
remuneração de 12% ao ano para imóveis alugados. 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
162 
 
6.9.16 - Um investidor estudou detidamente várias companhias 
e suas ações ordinárias. Por sua análise concluiu que as ações 
de seis firmas são as melhores entre as muitas que examinou. 
 
Ações 
ordinárias 
Preço por 
Ações 
(em Reais) 
Dividendo 
anual 
por ação 
(em Reais) 
Preço estimado 
ao final dos 4 
anos 
(em Reais) 
Petrocisa 23,75 1,25 32 
Bragantin 45,00 4,50 45 
Flyfight 30,53 0,00 42 
Enervale 33,48 2,00 40 
Rechtam 52,55 3,00 60 
 
Essas seis firmas representam praticamente o mesmo risco, e 
assim, ele deseja determinar a firma em que aplicará seu 
dinheiro. Ele planeja conservar as ações durante quatro anos, 
e exige uma taxa mínima de atratividade de 10% a.a. Que 
ações o investidor deve preferir (usar como método de decisão 
o VPL)? (Contribuição Eng.º Civil Oscar Ciro Lopes, Dr). 
 
 
6.9.17 - Uma firma está estudando três alternativas 
mutuamente exclusivas como parte de um programa de 
melhoramentos na produção. Para tanto sabe-se que: 
 
O valor residual, ao final da vida útil, é zero em qualquer 
uma das alternativas. Ao final da vida útil, cada alternativa 
poderá ser reposta por outra que apresenta custos e benefícios 
idênticos. 
 
 Sendo a taxa de mínima atratividade definida em 14% 
ao ano, qual será a alternativa que Você recomendará? 
(Contribuição Dr. Oscar C. Lopes). 
 
 
Projeto A B C 
Custo instalado - $ 10.000 15.000 20.000 
Benefício anual uniforme - $ 1.625 1.650 1.946 
Vida útil - em anos 10 15 20 
 
 
6.9.18 - Um cliente solicitou sua ajuda para assessorá-lo na 
aquisição de um imóvel. 
 
 Para tanto, lhe informou que, para adquirir a residência 
que hoje possui, foi necessário contrair uma dívida. 
 
 Ele disse que, ao longo de um ano, com o objetivo de 
dar entrada na compra do imóvel, fizera três depósitos 
trimestrais numa conta de poupança de um banco que 
remunerava os seus depósitos a uma taxa nominal de 12 % ao 
ano com capitalização trimestral. 
 
 Depósitos realizados nas seguintes datas: 
 
Data dos depósitos Valor (em R$) 
01/set/2000 6.500 
01/dez/2000 9.500 
01/mar/2001 14.000 
 
 Dado a poupança realizada deram entrada, no dia 
01/jun/2001, na compra da residência. 
 
 Disse, também, que o montante final dos depósitos 
correspondeu a 40% do valor da casa tendo sido necessário, 
portanto, financiar o restante. 
 
 A dívida foi contraída nas seguintes condições: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
163 
 
- Pagamento em 10 prestações mensais iguais. 
- Taxa de juros de 14% ao ano, capitalizados semestralmente. 
 
Após o pagamento da terceira prestação, em 
01/set/2001, Roberto após consulta ao banco, está pensando 
renegociar o saldo devedor nos seguintes termos: 
- O saldo devedor pago em 20 Prestações mensais iguais. 
- Taxa de juros de 16 % ao ano, capitalizados trimestralmente. 
 
 Seu amigo, sabendo que você está no último ano de 
engenharia e conhecendo a sua grande habilidade para 
equacionar este tipo de problemas (montar o fluxo de caixa), 
fez as seguintes perguntas: 
 
 Qual a taxa efetiva anual que o banco pagou para os seus 
depósitos e quais as taxas efetivamente cobradas no 
financiamento? 
 Qual o valor da dívida contraída, ou seja, o valor 
financiado? Qual o valor do saldo devedor renegociado? 
 Qual o valor das prestações da dívida original e da dívida 
renegociada? 
 
 
6.9.19 - O gerente de uma empresa produtora de tecidos de 
decoração e papeis de parede, a WPP Ltda., está negociando 
com um banco um empréstimo cujo objeto é o desenvolvimento 
de um novo produto. 
 
 Ele previu que, a época do lançamento do novo produto 
a empresa poderá incorrer em custos com pesquisa e 
desenvolvimento equivalentes a US $280.000,00 e supõe que 
este deverá ser o valor a ser contratado. 
 
 O banco propôs um financiamento a ser amortizado em 
parcelas semestrais ao longo de cinco anos, adotando o 
Sistema de Amortização Constante e pactuada uma taxa de 
juro de 25% ao ano. 
 
 É entendimento da WPP Ltda. que o desenvolvimento 
do novo produto abre a perspectiva de ocorrer maiores ganhos 
futuros, em comparação com os produtos similares dos seus 
concorrentes. 
 
 Entende, também, que os benefícios oriundos do 
lançamento do produto se farão sentir durante quarenta meses 
e que o produto, poderá ter uma renda superior em 
$30.000/mês em comparação com os dos concorrentes, 
durante os dez primeiros meses após o lançamento. 
 
 Durante os dez meses subsequentes, a WPP Ltda. 
prevê uma renda mensal superior em $60.000,00. E, durante 
os vinte meses restantes, espera que o novo produto tenha 
conquistado uma parcela de mercado que apresente uma 
renda de $120.000 acima dos concorrentes. 
 
 Admitindo que as estimativas da WPP Ltda. estejam 
corretas, informe: 
 
 Caso seja contratado o empréstimo, qual o valor da primeira 
prestação? 
 Qual o valor da sexta prestação e qual o saldo devedor 
imediatamente após o pagamento desta sexta prestação? 
 Qual será a taxa interna de retorno prevista para o projeto? 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
164 
 
 
6.9.20 - Elabore o estudo de viabilidade para o seguinte 
projeto: 
Sendo VOCE diretor técnico de uma empresa de 
construção civil, o Diretor Presidente de sua empresa lhe 
comunicou ser interessante analisar a implantação de uma 
nova fabrica para a produção de peças protendidas para 
estruturas de pontes. 
 Para tanto, deseja saber qual a quantidade mensal 
mínima de produção para que o empreendimento seja 
considerado viável. Além disso, lhe informou que o BNDES 
esta financiando equipamentos de forma vantajosa. 
Sua assessoria lhe forneceu as seguintes informações: 
 
1) Ativos Imobilizados 
1) Investimento R$ Condições 
1.1 - Terrenos 100.000,00 
1.2 - Edificações 120.000,00 
1.3 - Estoques 75.800,00 
1.4 - Equipamentos 240.000,00 Juros de 8% ao ano. 
Financiamento em seis anos com 
dois de carência. Prestações 
constantes. 
 
2) Custos Operacionais R$ 
2.1 – Matérias Primas 3.500,00/ unidade 
2.2 – Mão de Obra Direta 10.500,00/ mês 
2.3 – Vendas – Adm. Central – Custos 
Indiretos 
23.000,00/ mês 
2.4 – Eletricidade 3.950,00/ mês 
2.5 - Embalagens 90,00/ unidade 
 
 
3) Informações Gerenciais Dados 
3.1 – Taxa Mínima de Atratividade 1,1714917 % a.m. 
3.2 – Tempo de vida do produto 10 anos 
3.3 – Preço de venda mínimo/médio 6.380,00 R$/unidade 
3.4 – Impostos sobre a Renda 15,00 % 
3.5 – Depreciação da Edificação 20 anos 
3.6 – Depreciações dos Equipamentos 5 anos 
3.7 – Impostos sobre o faturamento 10,50 % 
 
4) Informações Estratégicas & Comerciais 
4.1 – É pensamento estratégico do grupo vender as instalações após 
a vida do produto e não reinvestir em reformas ou up-grades 
industriais. 
4.2 – Terrenos situados na área industrial, onde esta localizado o 
próprio da empresa, vem sofrendo uma valorização real de 5% ao 
ano. 
4.3 – A perda de valor de edificações industriais do gênero da 
projetada para ser implantada acusa um valor de 70% em dez anos. 
4.4 – Propostas das empresas fornecedoras de equipamentos 
daqueles em estudo informam que seu valor comercial decresce a 
taxa de 7,5% ao ano. 
4.5 – Evolução do mercado: A previsão é que esse mercado cresça à 
taxa de 30% ao ano. 
 
 
6.9.21 - Analise a viabilidade do aproveitamento de uma jazida 
de granito visando à instalação de um britador. 
 
 Solicita-se: 
 
 Efetuar o Diagrama de Fluxo de Caixa do projeto; 
 O Diagrama de Valor Presente; 
 Comentar quanto à viabilidade do mesmo. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
165 
 
 
 
Informações do Projeto: 
 Capital: Próprio e investidores 
 Produção mensal: 30 mil m³ 
 Vida Útil do Projeto: 20 anos 
 Preço de Venda: 32,00 R$/m³ 
 Custo de Produção: 8,50 R$/m³ 
 Preço terreno: 3 milhões de reais 
 Investimento Equipamentos: 7,50 milhões de reais 
 Projetos, autorizações, estudos 
ambientais: 
550 mil reais 
 Opção tributária: Lucro Presumido 
 Carga Tributária: 27 % 
 Financiamento Finame – BNDES. 
 Prazo financiamento 
 Carência 
 Taxa de juros 
 
72 meses 
1 ano 
3,50 % ao ano 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
166 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
167 
 
 
 
7. Método da Recuperação de Capital 
 
 
7.1 - Introdução. 
 
O objetivo deste método é eleger a alternativa de 
investimento que propicie o retorno do capital investido no 
menor prazo possível, a fim de dispô-lo para aplicação em 
futuras oportunidades de investimento. 
 
O método também é conhecido como Método de 
Recuperação da Capacidade de Investimento ou sob a 
terminologia inglesa, pay-back. 
 
 A metodologia adotada consiste em verificar o tempo de 
retorno do capital inicialmente investido em cada alternativa 
disponível, a partir da soma acumulada dos fluxos de caixa. 
Matematicamente: 
 
VPLn+1 = ∑VPL
n
t=0
 
 
O tempo de retorno indicara o grau de imobilização de 
um capital, sendo que a alternativa a ser eleita será aquela que 
apresentar o MENOR TEMPO DE RETORNO. Noutras palavras, o 
menor grau de imobilização do capital. 
 
Justifica a adoção do método o entendimento dos 
investidores que, quanto maior for o tempo de retorno do 
capital investido, maior será o grau de maturação do 
empreendimento e, em consequência, aumentará o risco 
associado ao projeto. 
 
 Isto porque, crescerá a incerteza associada à realização 
esperada dos fluxos de caixa futuros, exigindo um adequado 
nível de controle visando à efetiva realização do planejamento 
inicial. 
 
Ao ser efetuada uma análise de hierarquização de 
alternativas através do MRC, deve estar implícito que os fluxos 
de caixa estejam referenciados a uma moeda de poder 
aquisitivo constante, ou seja, levar em consideração o valor da 
moeda no tempo. 
 
O MRC também pode servir como critério de desempate 
quando se efetua a hierarquização de alternativas de projetos 
produtivos com idêntico VPL. 
 
Do ponto de vista financeiro e do reinvestimento de 
capitais, é de fácil entendimento que, ao apresentarem duas 
alternativas o mesmo Valor Presente Líquido, aquela que 
propiciar um retorno do investimento em menor tempo deverá 
ser a escolhida. 
 
Deste modo, além de propiciar o mesmo retorno, o 
capital inicialmente imobilizado estará disponível para outras 
aplicações futuras. Esta situação confere ao MRC a 
atratividade de ser utilizado como critério de hierarquização e 
desempate entre alternativas, subsidiariamente ao método do 
valor presente líquido. 
 
 
7.2 - Metodologia. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
168 
 
 A metodologia do MRC segue os procedimentos 
conforme abaixo e mostrados na Figura 7.1. 
 
1º Levantam-se as possíveis alternativas para o projeto;
5º 
4º Calcula-se o valor acumulado dos fluxos de caixa;
3º Calcula-se o VPL de cada alternativa;
2º Elabora-se o fluxo de caixa para cada alternativa;
Decide-se pelaalternativa que apresentar o
 Menor Tempo de Retorno.
 
Tn → ∑VPL
n
t=0
≅ 0 
 
 
 
 Pelo exposto, as alternativas de investimento deverão 
ser hierarquizadas iniciando por aquela que apresentar o 
menor tempo de recuperação do capital investido. 
 
 Alerta-se que alguns autores efetuam o somatório dos 
fluxos de caixa sem considerar o valor da moeda no tempo. 
 
 Este autor, porém, entende que deva ser considerado o 
valor da moeda no tempo. 
 
Justifica-se o procedimento acima, pois assim reduzir-
se-á a influência dos fluxos de caixa futuros cujos valores 
sejam sensivelmente superiores aos dos iniciais e, 
consequentemente, apresentem maiores riscos para sua 
realização. 
 
Como exemplo de aplicação do MRC, sejam duas 
alternativas de projeto representadas pelos valores presentes 
de seus fluxos de caixa conforme Figura 7.2. 
 
 Nas colunas discriminadas como Valor Presente dos 
Fluxos de Caixa, o valor aposto já expressa o valor presente de 
cada fluxo de caixa relativo ao período especificado, ambos 
descontados à mesma TMA. 
 
 As colunas denominadas “Fluxo Acumulado”, indicam o 
somatório acumulado dos dados indicados nas colunas “Valor 
Presente – Fluxo de Caixa”. 
 
No caso em pauta, para ambas as alternativas, ocorre a 
previsão de idêntico incremento de riqueza, pois os dois VPL’s 
montam a R$ 250,00. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
169 
 
 Adotando como critério de decisão o MRC, a escolhida 
será a alternativa “A”, por apresentar o retorno do capital 
inicialmente investido no 7º período, em comparação com a 
alternativa “B” cujo retorno aconteceria no 10º período. 
 
Elegendo a alternativa A, o investidor disporá do capital 
investido três períodos antes da alternativa – B, fato que reduz 
a incerteza sobre a realização dos fluxos de caixa em períodos 
futuros. 
 
 
P
e
rí
o
d
o
 Alternativa A Alternativa B 
Valor 
Presente 
do Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
$ 
Valor 
Presente 
do Fluxo de 
Caixa 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
$ 
0 -180,00 -180,00 -180,00 -180,00 
1 -100,00 -280,00 -100,00 -280,00 
2 -40,00 -320,00 -40,00 -320,00 
3 +45,00 -275,00 +30,00 -290,00 
4 +55,00 -220,00 +30,00 -260,00 
5 +85,00 -135,00 +40,00 -220,00 
6 +80,00 -55,00 +40,00 -180,00 
7 +85,00  +30,00 +50,00 -130,00 
8 +60,00 +90,00 +50,00 -80,00 
9 +40,00 +130,00 +50,00 -30,00 
10 +60,00 +190,00 +60,00  +30,00 
11 +20,00 +210,00 +70,00 +100,00 
12 +20,00 +230,00 +50,00 +150,00 
13 +20,00 +250,00 +100,00 +250,00 
VPL(A) 250,00 VPL(B) 250,00 
Obs: os Fluxos de Caixa já estão representados pelo seu valor presente 
Figura 7.2 – Recuperação de Capital 
 
 
 Pelo exposto, fica demonstrado que o método do MRC 
adotado, em complementação ao do VPL, permite atender à 
exigibilidade do retorno do capital inicial. E, também, 
estabelecer como critério à tomada de decisão, a eleição de 
qual projeto produz o retorno do capital em menor tempo. 
 
7.3 – Exercício. 
 
 Verifique qual o projeto apresenta um menor tempo de 
retorno de capital. 
 
 Alternativa Alfa Alternativa Delta 
Ano VPLn 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
R$ 105 
VPLn 
Fluxo de 
Caixa 
Acumulado 
R$ 105 
0 -200 -180 
1 -222 -180 
2 -150 -180 
3 -80 -150 
4 -55 -100 
5 -50 -50 
6 -9 90 
7 70 100 
8 130 120 
9 150 120 
10 170 150 
11 190 150 
12 200 150 
13 200 150 
14 200 130 
15 180 100 
16 170 90 
17 100 -40 
18 -70 -20 
 VPL(A) VPL(B) 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
170 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
171 
 
 
 
8. Método do Valor Uniforme Equivalente. 
 
 
8.1 – Introdução. 
 
O método do valor uniforme equivalente é recomendado 
para decisões relativas inversões na aquisição de 
equipamentos cuja reposição seja efetuada periodicamente ou 
repetitivo. 
 
Um projeto é definido como repetitivo quando, findo o 
período de vida previsto para o investimento inicial, ou parte 
integrante dele, deverá ocorrer a reposição do mesmo visando 
manter a continuidade do processo produtivo. 
 
 Como exemplo de projeto repetitivo tem-se: ônibus de 
concessionárias de serviços públicos; caminhões e 
equipamentos de terraplenagem; partes rodantes de 
equipamentos a exemplo de pneus e lagarta de tratores; tipos 
de escoramento ou formas utilizadas em serviços de 
concretagem sejam em obras pré-fabricadas ou moldadas no 
local; equipamentos de solda e geradores portáteis; 
equipamentos de regulação de tensão de sistemas elétricos, 
etc.. 
 
Assim, o VUE é adequado para amparar decisões 
quanto à aquisição, seja por compra, financiamento ou aluguel 
(leasing), de equipamentos que executem idêntico trabalho. 
 
O método permite, também, estabelecer o tempo ótimo 
de comissionamento de equipamentos. Neste caso cada 
período de tempo pré-determinado corresponde a uma 
alternativa de investimento distinta. 
 
 Em ambos os casos acima comentados, seja em 
aquisição ou definição de tempo, o objetivo VUE é definir qual 
alternativa apresenta o maior benefício ou o menor custo 
equivalente no período. 
 
 É comum o método ser expresso sob duas 
denominações distintas, adotadas quando se analisa, 
preponderantemente, custos ou faturamento em período anual. 
 
 No caso da análise envolver, predominantemente, 
custos, a metodologia é denominada de Custo Anual 
Equivalente - CAE. Caso se analise, predominantemente, 
faturamentos ou o resultado do processo for expresso em 
termos de lucro, o método leva a denominação de Benefício 
Anual Equivalente - BAE. 
 
R$ R$
VPL
R$
t
1 8
I - Fluxo de Caixa II - Valor 
Presente Líquido
III - Série Uniforme 
Equivalente
Figura 8.1 – Etapas Básicas do MVUE. 
t
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
172 
 
Sob qualquer das denominações acima citadas, o 
processo de decisão segue a mesma metodologia básica, 
conforme esquema exposto na Figura 8.1: 
 
Elaborar a projeção do fluxo de caixa de cada alternativa;
Calcular o valor presente das alternativas;
E, definir do valor da série uniforme equivalente, denominado 
de Valor Uniforme Equivalente – VUE.
1º
3º
2º
 
 
Ressalta-se que a unidade da série representativa do valor 
uniforme equivalente associado é dada em unidade monetária por 
período. E, que ela expressa em termos monetários, o custo 
médio incorrido ou o benefício médio propiciado por cada 
alternativa na unidade de tempo, considerando o tempo de vida 
estimado da alternativa. 
 
 Como equação dimensional tem-se: 
 
   
 período
$R
VUE(p) 
 
 
 Assim sendo, a unidade do VUE é dada em R$/mês, R$/ano, 
etc., o que equivale ao custo ou o benefício equivalente ou o 
custo a ocorrer periodicamente. 
 
 
8.2 - Decisão 
 
Dado um conjunto de alternativas em análise, a 
hierarquização das mesmas ocorrerá quando comparados o valor 
da economia ou do retorno das respectivas séries equivalentes. 
 
No caso de estar em análise, predominantemente, a 
comparação de lucro ou faturamento propiciado pelas alternativas 
de investimento, a melhor alternativa será aquela que apresentar 
o MAIOR BENEFÍCIO PERIÓDICO EQUIVALENTE. 
 
 No caso de estar em análise uma comparação de custos, 
a melhor alternativa será aquela que apresentar o MENOR CUSTO 
PERIÓDICO EQUIVALENTE. 
 
Quando a analise das alternativas ocorre em bases anuais, 
a literatura denomina de Benefício Anual Equivalente – BAE ou 
Custo Anual Equivalente – CAE quanto trata, respectivamente, 
uma análise de faturamento ou de custos. Ver Figura 8.2 – 
Critérios de Decisão. 
 Decisão do
VUE(p)
MAIOR BAE
MENOR CAE
Predomina Faturamento
PredominamCustos
Figura 8.2 – Critérios de Decisão.
E
E
 
 
 O modelo matemático básico para a definição do valor 
uniforme equivalente, seja ele expresso em termos de BAE ou 
de CAE, associado a um projeto, qualquer, é dado por: 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
173 
 
VUE(p)=VPL(p)× 
i×(1+i)n
(1+i)n -1 
 
 
A vantagem da adoção do MVU num processo de 
decisão em que as alternativas disponíveis sejam repetidas 
periodicamente, e que tenham tempos de vida distintos, é 
quanto à facilidade de aplicação do método. 
 
Isto porque, matematicamente, o valor da série uniforme 
equivalente relativo ao fluxo de caixa básico ou o valor da 
série para qualquer número de repetições é o mesmo. 
 
VUEBásico = VUE k Repetições 
 
É interessante notar que, sendo um sistema de 
produção composto por vários equipamentos distintos. E, cada 
equipamento apresentando tempos de vidas diferentes onde 
ocorra a necessidade de reposição periódica, o BAE/CAE do 
sistema pode ser estabelecido ao se efetuar a soma dos 
BAE/CAE de cada equipamento componente do sistema. 
 
Matematicamente e adotando o custo como variável 
tem-se: 
CAESistema= ∑ CAEComponentes
n
Comp.=1
 
 
 Como exemplo, seja um sistema de produção composto 
por três equipamentos E1; E2 e E3, cujos tempos de vida estão 
estimados, respectivamente, em t1= 3 anos; t2= 5 anos e t1= 2 
anos. Sendo os custos anuais equivalentes, CAE, dos 
equipamentos CAE1 = 8.430 R$/ano; CAE2 = 12.500 R$/ano; 
CAE3 = 5.780 R$/ano, o CAE do sistema é dado pela soma dos 
custos anuais equivalentes dos equipamentos singulares. Logo: 
 
CAESistema = CAE1 + CAE2 + CAE3 
 
CAESistema = 8.430 + 12.500 + 5780 = 26.710 R$/anos 
 
 Este resultado significa que, independentemente do tempo de 
vida e do custo associado a cada equipamento, mantido o 
processo de produção, os custos anuais do sistema previstos 
montam a R$ 26.750,00 R$. 
 
 
8.3 – Metodologia do MVUE. 
 
8.3.1 – Artificio para Reinvestimentos. 
 
 O MVUE é uma metodologia adequada ao se decidir 
financeiramente sobre a continuidade de utilização de um ativo 
ou a manutenção de bem em produção, expirada a vida útil do 
projeto inicialmente implantado. 
 
 Para tanto, findo o período da vida útil, se pressupõe a 
imediata reaplicação do capital gerado pelo projeto em um 
novo ativo com características semelhantes à do ativo a ser 
desmobilizado. 
 
 Havendo diversas alternativas de investimento que 
apresentem vidas distintas, a técnica de decisão adotando o 
VPL recomenda que o horizonte de análise seja equivalente ao 
mínimo múltiplo comum, MMC, de suas vidas úteis, o que 
permite a equalização dos tempos de vida das alternativas. 
 
Ao ser adotado o MMC das vidas úteis das alternativas 
como horizonte de análise do projeto, o processo de cálculo 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
174 
 
pode se tornar complexo e trabalhoso devido ao grande 
número de fluxos de caixa envolvidos. 
 
O MVUE, porém, permite contornar essa complexidade 
tornando-se um artifício de fácil e rápida aplicação, pois a 
decisão é efetuada considerando o tempo básico de cada 
alternativa, sem haver repetição. 
 
Isto porque, o valor da série uniforme equivalente de 
uma alternativa de investimento e o de qualquer número de 
suas repetições será sempre o mesmo: VUEBásico = 
VUE k Repetições·. 
 
No exercício do item 8.4.2, fica demonstrado que o valor 
da série equivalente de uma repetição ou repetições é igual ao 
valor da série básica. E, a Figura 8.7 mostra a montagem de 
um processo de repetição de modo a manter ininterrupta a 
continuidade de produção. 
 
 
8.3.2 – Procedimentos. 
 
A metodologia para determinar o valor da série uniforme 
equivalente, tanto em termos de BAE como de CAE, segue os 
seguintes procedimentos: 
 
1º Passo - Define-se o fluxo de caixa básico de cada 
alternativa do projeto: 
 
Fk =Σ Rec (p)K - Σ Desp (p)K – I (p)K + Dep + VR(k) 
 
2º Passo - Estabelece-se a TMA do projeto: 
 
3º Passo - Calcula-se o VPL de cada alternativa, sem 
considerar a repetição: 
 
VPL(p)=F0+
F1
(1+i)1
+
F2
(1+i)2
+
F3
(1+i)3
+⋯+
Fn
(1+i)n
 
 
4º Passo - Calcula-se o valor da série uniforme equivalente de 
cada alternativa. 
 
VUE(p) = VP(p) × FRC(n¬i%) ou, 
 
VUE(p)=VPL(p)× 
i×(1+i)n
(1+i)n -1 
 
 
5º Passo - Hierarquizam-se as alternativas em ordem 
decrescente ou crescente, respectivamente, segundo o maior 
beneficio que propiciarem ou o menor custo que apresentarem. 
 
 
Alerta-se que o tempo a ser considerado no calculo da 
série uniforme corresponde ao horizonte de vida previsto para a 
alternativa, ou melhor, do equipamento considerado, quando 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
175 
 
do calculo do valor presente da mesma. Assim cada alternativa 
pode apresentar um horizonte de planejamento próprio. 
 
 
8.4 – Exemplos de Aplicação. 
 
8.4.1 - Caso do Novo Produto. 
 
Uma empresa está estudando a produção de um novo 
produto. Para tanto dispõe de dois processos alternativos cujas 
características estão abaixo especificadas. Decida qual o 
processo que você recomendará para aquisição. 
 
Os equipamentos em análise são previstos para serem 
repostos periodicamente, dado o desgaste contínuo e o alto valor 
do custo de manutenção e operação. 
 
 
Item PROCESSO A PROCESSO B 
Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 
Valor Residual 0,00 30.000,00 
Retorno Anual R$ 50.000,00 50.000,00 
Custo anual de operação Fixo: 30.000,00 R$/ano Variável: Ver diagrama 
Vida útil: 4 anos 6 anos 
TMA da empresa 7% ao ano. 
 
 
I – Processo A 
 
a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo A. 
 
 Para este processo o diagrama de fluxo de caixa foi 
montado lançando, diretamente na escala de tempo, as 
entradas e saídas de caixa previstas, conforme Figura 8.4. 
 
 
b) Calculo do Benefício Anual Equivalente – BAE. 
 
 Ao se analisar o fluxo de caixa deste processo, verifica-
se que, pra a determinação do fluxo de caixa anual equivalente 
torna-se mais imediato calcular a série anual equivalente 
associada ao investimento inicial e somar esta, diretamente, 
aos demais fluxos de caixa, já que são uniformes. 
 
65.000
50.000
-30.000
50.000
-30.000
50.000
-30.000
50.000
-30.000
1 2 3 4 
ano
R$
Figura 8.4 – Processo A – Digrama do Fluxo de Caixa
 
 
- Investimento Inicial: 
 
 Considerando que o investimento inicial corresponde à 
uma saída de caixa, será definido o seu custo anual 
equivalente. 
 
 CAE(A) = P× FRC ( 7%;4) 
 CAE(A) = (- 65.000) × 0,2952 
CAE(A) = -19.188 R$/ano. 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
176 
 
 Como se pode verificar no diagrama de fluxo de caixa, 
Figura 8.5, não há necessidade em calcular os valores 
presentes dos custos anuais ou das receitas, pois já expressos 
em valores iguais, o que caracteriza uma série uniforme. 
 
Com os dados acima, pode-se calcular a série uniforme, 
anual, equivalente do Projeto A, expressa em ternos de 
benefícios – BAE. 
 
 
Item BAE em R$/ano 
Investimento Inicial (-) 19.188,00 
Custo Operacional (-) 30.000,00 
Receitas (+) 50.000,00 
Benefício Anual Equivalente do Projeto A (+) 812,00 R$/ano 
 
 
 
50.000
-30.000
-19.188
812,00
1 2 3 4 
ano
R$
Figura 8.5 – Processo A : BAE(A)
50.000
-30.000
-19.188
812,00
50.000
-30.000
-19.188
812,00
50.000
-30.000
-19.188
812,00
 
 
II - Processo B 
 
a) Diagrama de Fluxo de Caixa do Processo B. 
 
 Os valores do fluxo de caixa relativos aos custos anuais 
deoperação deste processo, que foram previstos como 
variáveis e crescentes, foram lançados diretamente no 
diagrama de fluxo de caixa. Figura 8.6. 
 
 Neste caso, o procedimento de calculo seguido foi o de 
exprimir, tanto o investimento inicial, como os custos anuais 
variáveis e o valor residual, em termos de série anual 
equivalente visando possibilitar a soma de todos os valores e 
definir o BAE do Processo B. 
 
b) Cálculo do Custo Anual Equivalente do Projeto B: 
 
 
b1) Capital Inicial: Pi = 130.000 x FRC (7%,6) 
Pi = - (130.000  0.2098) 
Pi = (- 27.274) R$/ano 
b2) Valor Residual: 
 R = S x FFC ( 7,6 ) = 30.000 x ( 0,1398 )  
 R = 4.194 R$/ano 
 
50.000
- 21.000
29.000
1 2 3 4 5 6
ano
R$
Figura 8.6 – Processo B – Diagrama do Fluxo de Caixa
30.000
50.000
- 26.000
54.000
-130.000
50.000
- 22.000
28.000
50.000
- 23.000
27.000
50.000
- 24.000
26.000
50.000
- 25.000
25.000
 
 
 
b3) Custo Operacional: 
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177 
 
 
- Valor Presente S = 
 
n
ii VFC
 
 
S = -21.000 ( 0,9346 ) - 22.000 ( 0,8734 ) - 23.000 ( 0,8163 ) 
 -24.000 ( 0,7029 ) - 25.000 ( 0,7130 ) -26.000 ( 0,6663 ) 
 
S = - ( 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 + 17.324 ) 
S = - 109.635 R$/ano 
 
 
- Série Uniforme Equivalente: 
 
Po = - 109.635 FFC (7,6) = = - 109.635 (0,2098) 
Po = - 23.001,00 R$/ano 
 
b4) Calculo do Benefício Anual Equivalente. 
 
 O benefício anual equivalente do Processo B é obtido ao 
se proceder a soma dos valores das séries anuais 
equivalentes associadas a cada tipo de custo ou retorno anual 
equivalente (faturamento). Então: 
 
Item BAE em R$/ano 
Investimento Inicial (-) 27.274,00 
Valor Residual (+) 4.194,00 
Custo Operacional (-) 23.001,00 
Receitas (+) 50.000,00 
Benefício Anual Equivalente (+) 3.919,00 R$/ano 
 
 
III – Análise de decisão: 
 
Pelo acima exposto, o Benefício Anual Equivalente - BAE 
relativo ao Processo A é de 812,00 R$/ano e ao Processo B de 
3.919,00 R$/ano. 
 
Assim, a alternativa que apresentou o maior Benefício 
Anual Equivalente foi a Alternativa B. Logo, a mais interessante 
a ser recomendada pra implantação. 
 
 
8.4.2 – Manutenção em Comissionamento. 
 
 Este caso discute a análise de decisão de alternativas 
quando há a previsão de continuidade de produção. 
 
 O caso em questão diz respeito a uma empresa que 
esta comparando duas alternativas de projeto visando à 
instalação de um processo produtivo destinadas à produção de 
um mesmo bem. 
 
 Esses processos são representados por seus fluxos de 
caixa e apresentam tempos de vida útil, distintos. 
25
40
50
60 6060
2525
4040
5050
ANO
Figura 8.7 – Continuidade na Utilização de Ativo
R$
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
178 
 
 O objetivo é definir qual destes dois projetos, 
representados por seus fluxos de caixa é o mais lucrativo, 
sendo adotada uma TMA de 10% ao ano. 
 
Período - anos 0 1 2 3 4 
Projeto “A” -20 -25 45 45 45 
Projeto “B” -60 25 40 50 
Valores em 104 R$ 
 
 
Havendo o pressuposto da continuidade de produção, a 
compatibilidade dos tempos de vida útil é efetuada após a 
equalização dos tempos de vida dos projetos utilizando o 
mínimo múltiplo comum dos períodos em consideração. 
 
Alerta-se, como disposto na Figura 8.7 para que não 
haja solução de continuidade, que uma repetição deva ser 
iniciada no último período da anterior. 
 
 
1º - Decisão por Valor Presente. 
 
 Como a Alternativa A apresenta quatro anos de vida útil 
e a Alternativa B três anos, o mínimo múltiplo comum dos 
tempos é de doze anos. Assim sendo, a Alternativa A deverá 
ser efetuado por três vezes e a Alternativa B por quatro vezes 
para que os seus períodos de vida sejam equalizados. 
 
 O quadro da Figura 8.8 mostra o procedimento de 
repetição relativo aos dois projetos. 
 
Alternativa A Valores em 104 R$ 
Ano 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Básico -20 -25 45 45 45 
1ª Rep -20 -25 45 45 45 
2ª Rep -20 -25 45 45 45 
Final -20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45 
 
Alternativa B 
Básico -60 25 40 50 
1ª Rep -60 25 40 50 
2ª Rep -60 25 40 50 
3ª Rep -60 25 40 50 
Final -60 25 40 -10 25 40 -10 25 40 -10 25 40 50 
Figura 8.8 – Exemplo de Procedimentos de Repetição 
 
Ressalta-se que o início da 1ª repetição e das 
subsequentes, deve acontecer durante o último período da 
repetição anterior. Este procedimento visa evitar possível 
solução de continuidade no processo de produção. 
 
Ao serem somados os fluxos de caixa de cada repetição, 
dispõem-se do fluxo de caixa final das alternativas equalizadas. 
 
 Repetindo o mesmo procedimento para a Alternativa B, 
chega-se à solução abaixo que apresenta os fluxos de caixa 
equalizados. Exemplo na Figura 8.9. 
 
Fluxo de Caixa Final dos Projetos Valores em 104 R$ 
Tempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Projeto 
“A” 
-20 -25 45 45 25 -25 45 45 25 -25 45 45 45 
Projeto 
“B” 
-60 25 40 -10 25 40 -10 25 40 -10 25 40 50 
Figura 8.9 – Procedimento para Repetição de Investimento - B 
 
Efetuada a equalização dos tempos, poder-se-á calcular 
o valor presente líquido de ambos os projetos, o que permitirá 
estabelecer qual dos dois permitirá aumentar mais a riqueza 
dos proprietários. 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
179 
 
 Calculando o valor presente líquido de cada alternativa 
tem=se: VP (A) = 126,84 x 106 R$ e VP (B) = 91,38 106 R$. 
 
 Como a Alternativa A, apresenta um VPL de R$ 126,84 x 
106 R$ sendo, consequentemente, superior ao incremento 
propiciado pela Alternativa B, sendo o recomendado para ser 
realizado. 
 
2º - Decisão por Valor Uniforme Equivalente. 
 
 Ressalta-se que o artifício financeiro de calcular os 
Benefícios Anuais Equivalentes de cada alternativa, sem 
efetuar a repetição dos fluxos, isto é, de simplesmente apenas 
comparar os BAE’s das alternativas base, facilita o processo de 
decisão, mas deve ser utilizado em projetos repetitivos. 
 
 Como já comentado, ao ser calculado o VUE de uma 
alternativa de projeto tomando o seu fluxo de caixa base e o 
VUE desta mesma alternativa repetida, o valor obtido em 
ambos os casos é o mesmo. 
 
 Voltando ao exemplo acima, a obtenção do Benefício 
Anual Equivalente relativo a cada projeto segue os 
procedimentos: 
 
1º - Determina-se o valor presente líquido da alternativa base. 
 
VP(A)= -20+
25
(1,10)1
+
45
(1,10)2
+
45
(1,10)3
+
45
(1,10)4
=59,01 R$ 
 
 
2º - Calcula-se o Benefício Anual Equivalente - BAE 
 
 BAE (A) = VP(P)  FRC (n; i) 
 BAE (A) = 59,01  FRC (4¬10%) = 18,62 R$/ano 
 
 Repetindo o mesmo procedimento para a alternativa B, 
obtém-se os valores indicados no quadro abaixo que 
demonstra, mesmo utilizando ao processo do Beneficio Anual 
Equivalente, a superioridade do projeto A sobre o projeto B. 
 
BAE (B) = 33,35  FRC (3¬10%) = 13,41 R$/ano. 
 
 
Alternativa Período Original de Cada Projeto 
A 
VP(A) = 59,01 R$ 
BAE(A) = 59,01  0,3155 = 18,62 R$/ano 
B 
VP(B) = 33,35 R$ 
BAE(B) = 33,35 0,4021 = 13,41 R$/ano 
 
 
8.4.3 – Análise Crítica. 
 
 No exercício 8.4.2, os resultados obtidos pela aplicação 
dos dois métodos, VPL e VUE, demonstraram haver uma 
superioridade da alternativa A sobre a B. 
 
 O leitor não pode generalizar o resultado obtido no 
exercício quando compara alternativas de investimentos, 
vinculando, necessariamente, a obtenção de um maior 
presente líquido a um maior valor periódico equivalente. 
 
AlternativaMínimo Múltiplo Comum de 12 Anos 
A 
VP(A) = 126,84 R$ 
BAE(A) = 126,84 x 0,1468 = 18,62 R$/ano 
B 
VP(B) = 91,38 R$ 
BAE(B) = 91,38 x 0,1467 = 13,41 R$/ano 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
180 
 
 Uma alternativa pode apresentar um maior VPL em 
relação às outras e não, necessariamente, o maior VUE, seja 
ela calculada em termos de BAE ou de CAE. Os resultados 
dependerão dos valores fluxos de caixa e da duração de cada 
projeto. Como regra geral, a priori, nada se pode inferir. 
 
 Com o objetivo de demonstrar a obtenção de igual 
resultado no calculo do valor periódico equivalente, aplicando o 
método, simplesmente, ao projeto inicial ou a um número 
qualquer de repetições, será vista a situação de se considerar 
o horizonte de projeto de doze anos, às duas alternativas. 
Prazo este equivalente ao mínimo múltiplo comum do tempo de 
vida de cada uma das alternativas em consideração. 
 
 Ao se calcular o valor presente da alternativa repetida 
considerando o horizonte de doze anos, obter-se-á os 
seguintes valores presentes: VP(A) = 126,84 R$ e VP(B) = 
91,38 R$. 
 
 A seguir, calcula-se o Benefício Anual equivalente para 
cada alternativa, definindo a série equivalente pelo prazo de 
doze anos. 
 
 Partindo do caso geral tem-se: 
 
BAE (k) = VP(k)  FRC (n¬i%) 
BAE (k) = VP(k)  FRC (12¬10%) 
 
BAE (A) = 126,84 FRC (12¬10%) = 18,62 R$/ano 
BAE (B) = 91,38  FRC (12¬10%) = 13,41 R$/ano 
 
 
Dos resultados encontrados fica a constatação que os 
diversos BAE associados a um mesmo projeto são sempre 
iguais, independentemente do número de períodos de 
repetição utilizados, situação que facilita o processo de tomada 
de decisão. 
 
 Finalizando, não se deve esquecer que o VUE indica o 
acréscimo de riqueza médio gerado por um projeto a cada 
período de sua vida útil. Ao se desejar saber qual o acréscimo 
de riqueza propiciado pelo tempo em que o projeto será 
explorado, há que ser calculado o Valor Presente do mesmo, 
para o tempo originalmente estabelecido. 
 
8.4.4 – Produção de Novo Produto. 
 
Uma empresa industrial está estudando o lançamento e 
a produção de um novo produto. 
 
 Item PROCESSO A PROCESSO B 
Investimento Inicial R$ 65.000,00 130.000,00 
Valor Residual - 30.000,00 
Faturamento R$ 50.000,00 50.000,00 
Custo de Operação 
R$ 30.000,00 - 
Fixos 
Ano1 = 21.000,00 
Ano2 = 22.000,00 
Ano3 = 23.000,00 
Ano4 = 24.000,00 
Ano5 = 25.000,00 
Ano6 = 26.000,00 
Vida útil Quatro anos Seis anos 
 
Para tanto, dois processos industriais estão em análise 
duas propostas cujas características estão expostas na tabela 
acima. 
 
 Estabelecido o custo de capital da firma em 7% a.a., 
calcular o benefício anual equivalente, associado a cada 
alternativa. 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
181 
 
 
 O método de decisão a ser adotado quanto à escolha da 
melhor alternativa é o do Custo Anual Equivalente dada às 
razões: 
 
a) Há previsão de produção continuada. Esgotada a vida 
útil dos ativos, eles deverão ser repostos, situação que 
recomenda a adoção do método proposto; 
b) Sendo equivalentes os faturamentos previstos para os 
dois processos, pode-se efetuar a análise considerando 
apenas custos. O processo que apresentar o menor 
custo deverá ser o recomendado. 
 
A metodologia adotada seguirá os seguintes passos: 
 
a) Definição do Valor Presente de cada processo, 
isoladamente; 
 
b) De posse do Valor Presente, calcular a série relativa ao 
Custo Anual Equivalente; 
 
c) Disponíveis os valores dos CAE de cada processo, 
comparar os resultados e recomendar para implantação 
o que apresentar o menor Custo Anual Equivalente. 
 
 
I - Processo A - Fluxo Caixa Figura 8.10. 
 
 1 2 3 4 anos
 
 
 
-30.000
 
 1 2 3 4 anos
 
 
 
- 65.000
-49.188
Figura 8.10 – Processo A
Custo de Operação Custo Anual Equivalente - CAE(A)
 
 
a) Custos Operacionais: CO(A) = 30.000 R$/ano. 
 
b) Custo Anual Equivalente do Investimento Inicial: 
 
CAE(IIn) = P  FRC (7%,4 ) 
CAE(IIn) = 65.000  0,2952 
CAE(IIn) = 19.188 R$/ano 
 
c) Custo Anual Equivalente – Processo A. 
 
CAE (A) = CAE (IIn) + CO(A) 
CAE (A) = 30.000,00 + 19.188,00 
CAE (A) = 49.188,00 R$/ano 
 
 
 
II - Processo B - Fluxo Caixa Figura 8.11. 
 
 
 
Eng.º Civil Antonio Victorino Avila 
182 
 
- 1.300
-21.000
- 22.000
- 23.000
- 24.000
- 25.000
-26.000
30.000
Figura 8.11 - Custo de Operação – Processo B
ANO
1 54320
 
 
a) Capital Inicial: 
Pi = 130.000 x FRC (7%,6) = 130.000  0.2098 
Pi = = 27.274 R$/ano 
 
b) Valor Residual: 
R = S x FFC (7%,6) = 30.000  0,1398  
R = 4.194,00 R$/ano 
 
c) Custo Operacional: 
 
n
ii
VPVPCO(B)
 
VPCO(B) = 21.000  0,9346 + 22.000  0,8734 + 23.000 
 0,8163 + 24.000  0,7029 + 25.000  0,7130 + 26.000 
 0,6663 
VPCO(B) = 19.626 + 19.215 + 18.775 +16.870 + 17.825 
+ 17.324 = 109.635,00 R$/ano. 
 
d) Série Uniforme Equivalente do Custo Operacional: 
COE(B) = VPCO(B)  FFC (7%,6). 
COE(B) = 109.635 FFC (7%,6) = 109.635  0,2098 
COE(B) = 23.001,00 R$/ano. 
 
e) Custo Anual Equivalente - Processo B: 
 
CAE(B) = Invest. Inicial + Custo Operacional - Valor Residual. 
 
CAE(B) = 27.274,00 + 23.001,00 - 4.194,00  
CAE(B) = 46.081,00 R$/ano 
 
 
III – Recomendação. 
 
 Sendo o CAE(A) = 49.188 R$/ano e o CAE (B) = 
46.081,00 R$/ano; recomenda-se como o mais interessante a 
ser implantado o Processo-B, já que apresenta o menor Custo 
Anual Equivalente. 
 
 Se, neste exercício, o objetivo fosse o cálculo do 
Benefício Anual Equivalente, o faturamento no valor anual de 
R$ 50.000,00 deveria ser somado às séries de custo anual. 
 
 Os resultados seriam: BAE (A) = 812,00 R$/ano e 
BAE(B) = 3.919,00 R$/ano. A decisão, como não poderia 
deixar de ser, seria a mesma da anterior e inclinada ao 
Processo-B, por apresentar o maior Benefício Anual 
Equivalente. 
 
 
 
 
 
 
Matemática Financeira & Engenharia Econômica 
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8.5 - Exercícios Propostos. 
 
 
8.5.1 - Atualmente, a Universidade utiliza na iluminação do 
campus 150 refletores com lâmpadas de descarga e potência 
de 1.400 W. Ela estuda a possibilidade de substituí-los por 
refletores com LED´s. Assim sendo solicita-se: 
 
 Analise a viabilidade financeira dessa substituição; 
 Mostre a economia mensal pela substituição; 
 Qual o pay-back havendo substituição dos equipamentos. 
 Defina qual o tipo de refletor a ser adquirido sem haver 
redução da luminosidade. 
 
 
8.5.2 – Uma empresa dispõe de um sistema de produção 
composto por três equipamentos singulares a serem 
periodicamente substituídos e cujas vidas úteis estão previstas 
para as seguintes durações: tA = 3 anos; tB = 5 anos; tC = 2 
anos. 
 
 A empresa pratica uma TMA de 15% ao ano e o valor presente 
dos líquidos dos custos anuais associados a cada equipamento 
monta a: VPA= 19.247,59 R$; VPB = 41.901,94 R$; VPC = 
9.396,60 R$. 
 
Solicita-se: a) elaborar o diagrama da série equivalente de 
cada equipamento singular; b) calcular o montante do CAE do 
sistema global e elaborar o diagrama do mesmo. 
 
 
8.5.3 - Qual o tempo ótimo de manter comissionado um 
equipamento de terraplanagem cujo catálogo de especificação 
define sua vida útil em 7 (sete) anos e o valor de aquisição de 
uma unidade nova esta orçada US$ 20 mil? 
 
 Os valores de mercado de equipamentos usados e os 
custos anuais de manutenção estão apresentados no quadro 
abaixo. Como premissa do problema, adotar o custo de capital 
da empresa em 15% a.a. 
 
 Além do acima solicitado,