[7724 - 23416]EngenhariaEconomica

Prévia do material em texto

Engenharia Econômica
Disciplina na modalidade a distância
Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Créditos
Universidade do Sul de Santa Catarina – Campus UnisulVirtual – Educação Superior a Distância
Reitor Unisul
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor 
Sebastião Salésio Heerdt
Chefe de Gabinete da 
Reitoria
Willian Máximo
Pró-Reitora Acadêmica
Miriam de Fátima Bora Rosa
Pró-Reitor de Administração
Fabian Martins de Castro
Pró-Reitor de Ensino
Mauri Luiz Heerdt
Campus Universitário de 
Tubarão 
Diretora
Milene Pacheco Kindermann
Campus Universitário da 
Grande Florianópolis 
Diretor 
Hércules Nunes de Araújo
Campus Universitário 
UnisulVirtual
Diretora
Jucimara Roesler 
Equipe UnisulVirtual 
Diretora Adjunta
Patrícia Alberton 
Secretaria Executiva e Cerimonial
Jackson Schuelter Wiggers (Coord.)
Marcelo Fraiberg Machado
Tenille Catarina
Assessoria de Assuntos 
Internacionais 
Murilo Matos Mendonça
Assessoria de Relação com Poder 
Público e Forças Armadas
Adenir Siqueira Viana
Walter Félix Cardoso Junior
Assessoria DAD - Disciplinas a 
Distância
Patrícia da Silva Meneghel (Coord.)
Carlos Alberto Areias
Cláudia Berh V. da Silva
Conceição Aparecida Kindermann
Luiz Fernando Meneghel
Renata Souza de A. Subtil
Assessoria de Inovação e 
Qualidade de EAD
Denia Falcão de Bittencourt (Coord)
Andrea Ouriques Balbinot
Carmen Maria Cipriani Pandini
Iris de Sousa Barros
Assessoria de Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coord.)
Felipe Jacson de Freitas
Je�erson Amorin Oliveira
Phelipe Luiz Winter da Silva
Priscila da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Tamara Bruna Ferreira da Silva
Coordenação Cursos
Coordenadores de UNA
Diva Marília Flemming
Marciel Evangelista Catâneo
Roberto Iunskovski
Assistente e Auxiliar de 
Coordenação
Maria de Fátima Martins (Assistente)
Fabiana Lange Patricio
Tânia Regina Goularte Waltemann
Ana Denise Goularte de Souza
Coordenadores Graduação
Adriano Sérgio da Cunha
Aloísio José Rodrigues
Ana Luísa Mülbert
Ana Paula R. Pacheco
Arthur Beck Neto
Bernardino José da Silva
Catia Melissa S. Rodrigues
Charles Cesconetto
Diva Marília Flemming
Fabiano Ceretta
José Carlos da Silva Junior
Horácio Dutra Mello
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes
Janaína Baeta Neves
Jardel Mendes Vieira
Joel Irineu Lohn
Jorge Alexandre N. Cardoso
José Carlos N. Oliveira
José Gabriel da Silva
José Humberto D. Toledo
Joseane Borges de Miranda
Luciana Manfroi
Luiz G. Buchmann Figueiredo
Marciel Evangelista Catâneo
Maria Cristina S. Veit
Maria da Graça Poyer
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça
Nélio Herzmann
Onei Tadeu Dutra
Patrícia Fontanella
Rogério Santos da Costa
Rosa Beatriz M. Pinheiro
Tatiana Lee Marques
Valnei Carlos Denardin
Roberto Iunskovski
Rose Clér Beche
Rodrigo Nunes Lunardelli
Sergio Sell
Coordenadores Pós-Graduação
Aloisio Rodrigues
Bernardino José da Silva
Carmen Maria Cipriani Pandini
Daniela Ernani Monteiro Will
Giovani de Paula
Karla Leonora Nunes
Leticia Cristina Barbosa
Luiz Otávio Botelho Lento
Rogério Santos da Costa 
Roberto Iunskovski
Thiago Coelho Soares
Vera Regina N. Schuhmacher
Gerência Administração
Acadêmica
Angelita Marçal Flores (Gerente)
Fernanda Farias
Secretaria de Ensino a Distância
Samara Josten Flores (Secretária de Ensino)
Giane dos Passos (Secretária Acadêmica)
Adenir Soares Júnior
Alessandro Alves da Silva
Andréa Luci Mandira
Cristina Mara Schau�ert
Djeime Sammer Bortolotti
Douglas Silveira
Evilym Melo Livramento
Fabiano Silva Michels
Fabricio Botelho Espíndola
Felipe Wronski Henrique
Gisele Terezinha Cardoso Ferreira
Indyanara Ramos
Janaina Conceição
Jorge Luiz Vilhar Malaquias
Juliana Broering Martins
Luana Borges da Silva
Luana Tarsila Hellmann
Luíza Koing  Zumblick
Maria José Rossetti
Marilene de Fátima Capeleto
Patricia A. Pereira de Carvalho
Paulo Lisboa Cordeiro
Paulo Mauricio Silveira Bubalo
Rosângela Mara Siegel
Simone Torres de Oliveira
Vanessa Pereira Santos Metzker
Vanilda Liordina Heerdt
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coord.)
Clair Maria Cardoso
Daniel Lucas de Medeiros
Eduardo Rodrigues
Guilherme Henrique Koerich
Josiane Leal
Marília Locks Fernandes
Gerência Administrativa e 
Financeira
Renato André Luz (Gerente)
Ana Luise Wehrle
Anderson Zandré Prudêncio
Daniel Contessa Lisboa
Naiara Jeremias da Rocha
Rafael Bourdot Back 
Thais Helena Bonetti
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa 
e Extensão
Moacir Heerdt (Gerente)
Aracelli Araldi
Elaboração de Projeto e 
Reconhecimento de Curso
Diane Dal Mago
Vanderlei Brasil
Francielle Arruda Rampelotte
Extensão
Maria Cristina Veit (Coord.)
Pesquisa
Daniela E. M. Will (Coord. PUIP, PUIC, PIBIC)
Mauro Faccioni Filho(Coord. Nuvem)
Pós-Graduação
Anelise Leal Vieira Cubas (Coord.)
Biblioteca
Salete Cecília e Souza (Coord.)
Paula Sanhudo da Silva
Renan Felipe Cascaes
Gestão Docente e Discente
Enzo de Oliveira Moreira (Coord.)
Capacitação e Assessoria ao 
Docente
Simone Zigunovas (Capacitação)
Alessandra de Oliveira (Assessoria)
Adriana Silveira
Alexandre Wagner da Rocha
Elaine Cristiane Surian
Juliana Cardoso Esmeraldino
Maria Lina Moratelli Prado
Fabiana Pereira
Tutoria e Suporte
Claudia Noemi Nascimento (Líder)
Anderson da Silveira (Líder)
Ednéia Araujo Alberto (Líder)
Maria Eugênia F. Celeghin (Líder)
Andreza Talles Cascais
Daniela Cassol Peres
Débora Cristina Silveira
Francine Cardoso da Silva
Joice de Castro Peres
Karla F. Wisniewski Desengrini
Maria Aparecida Teixeira
Mayara de Oliveira Bastos
Patrícia de Souza Amorim
Schenon Souza Preto
Gerência de Desenho 
e Desenvolvimento de 
Materiais Didáticos
Márcia Loch (Gerente)
Desenho Educacional
Cristina Klipp de Oliveira (Coord. Grad./DAD)
Silvana Souza da Cruz (Coord. Pós/Ext.)
Aline Cassol Daga
Ana Cláudia Taú
Carmelita Schulze
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Eloísa Machado Seemann
Flavia Lumi Matuzawa
Gislaine Martins
Isabel Zoldan da Veiga Rambo
Jaqueline de Souza Tartari
João Marcos de Souza Alves
Leandro Romanó Bamberg
Letícia Laurindo de Bon�m
Lygia Pereira
Lis Airê Fogolari
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Marina Melhado Gomes da Silva
Marina Cabeda Egger Moellwald
Melina de La Barrera Ayres
Michele Antunes Corrêa
Nágila Hinckel
Pâmella Rocha Flores da Silva
Rafael Araújo Saldanha
Roberta de Fátima Martins
Roseli Aparecida Rocha Moterle 
Sabrina Bleicher
Sabrina Paula Soares Scaranto
Viviane Bastos
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel (Coord.) 
Letícia Regiane Da Silva Tobal
Mariella Gloria Rodrigues
Avaliação da aprendizagem 
Geovania Japiassu Martins (Coord.)
Gabriella Araújo Souza Esteves 
Jaqueline Cardozo Polla
Thayanny Aparecida B.da Conceição
Gerência de Logística
Jeferson Cassiano A. da Costa (Gerente)
Logísitca de Materiais
Carlos Eduardo D. da Silva (Coord.)
Abraao do Nascimento Germano
Bruna Maciel
Fernando Sardão da Silva
Fylippy Margino dos Santos
Guilherme Lentz
Marlon Eliseu Pereira
Pablo Varela da Silveira
Rubens Amorim
Yslann David Melo Cordeiro
Avaliações Presenciais
Graciele M. Lindenmayr (Coord.)
Ana Paula de Andrade
Angelica Cristina Gollo
Cristilaine Medeiros
Daiana Cristina Bortolotti
Delano Pinheiro Gomes
Edson Martins Rosa Junior
Fernando Steimbach
Fernando Oliveira Santos
Lisdeise Nunes Felipe
Marcelo Ramos
Marcio Ventura
Osni Jose Seidler Junior
Thais Bortolotti
Gerência de Marketing
Fabiano Ceretta (Gerente)
Relacionamento com o Mercado 
Eliza Bianchini Dallanhol Locks
Relacionamento com Polos 
Presenciais
Alex Fabiano Wehrle (Coord.)
Jeferson Pandolfo
Karine Augusta Zanoni
Marcia Luz de Oliveira
Assuntos Jurídicos
Bruno Lucion Roso
Marketing Estratégico
Rafael Bavaresco Bongiolo
Portal e Comunicação
Catia Melissa Silveira Rodrigues 
Andreia Drewes
Luiz Felipe BuchmannFigueiredo
Marcelo Barcelos
Rafael Pessi
Gerência de Produção
Arthur Emmanuel F. Silveira (Gerente)
Francini Ferreira Dias
Design Visual
Pedro Paulo Alves Teixeira (Coord.)
Adriana Ferreira dos Santos
Alex Sandro Xavier
Alice Demaria Silva
Anne Cristyne Pereira
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Daiana Ferreira Cassanego
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Frederico Trilha
Higor Ghisi Luciano
Jordana Paula Schulka
Marcelo Neri da Silva
Nelson Rosa
Oberdan Porto Leal Piantino
Patrícia Fragnani de Morais
Multimídia
Sérgio Giron (Coord.)
Dandara Lemos Reynaldo
Cleber Magri
Fernando Gustav Soares Lima
Conferência (e-OLA)
Carla Fabiana Feltrin Raimundo (Coord.)
Bruno Augusto Zunino 
Produção Industrial
Marcelo Bittencourt (Coord.)
Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
Maria Isabel Aragon (Gerente)
André Luiz Portes 
Carolina Dias Damasceno
Cleide Inácio Goulart Seeman
Francielle Fernandes
Holdrin Milet Brandão
Jenni�er Camargo
Juliana Cardoso da Silva
Jonatas Collaço de Souza
Juliana Elen Tizian
Kamilla Rosa
Maurício dos Santos Augusto
Maycon de Sousa Candido
Monique Napoli Ribeiro
Nidia de Jesus Moraes
Orivaldo Carli da Silva Junior
Priscilla Geovana Pagani
Sabrina Mari Kawano Gonçalves
Scheila Cristina Martins
Taize Muller
Tatiane Crestani Trentin
Vanessa Trindade
Avenida dos Lagos, 41 – Cidade Universitária Pedra Branca | Palhoça – SC | 88137-900 | Fone/fax: (48) 3279-1242 e 3279-1271 | E-mail: cursovirtual@unisul.br | Site: www.unisul.br/unisulvirtual
Joseane Borges de Miranda
Palhoça
UnisulVirtual
2011
Design instrucional
Cristina Klipp de Oliveira 
1ª edição revista, atualizada e ampliada
Engenharia Econômica
Livro didático
Edição – Livro Didático
Professora Conteudista
Joseane Borges de Miranda
Design Instrucional
Cristina Klipp de Oliveira
Assistente Acadêmico
Aline Cassol Daga (1ª ed. rev. atual.)
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Daniel Blass
Jordana Paula Schulka (1ª ed. rev. atual.)
Revisão
B2B
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
Copyright © UnisulVirtual 2011
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
658.152
M64 Miranda, Joseane Borges de
Engenharia econômica : livro didático / Joseane Borges de Miranda ; 
design instrucional Cristina Klipp de Oliveira ; [assistente acadêmico Aline 
Cassol Daga]. – 1. ed., atual. e ampl. – Palhoça : UnisulVirtual, 2011.
149 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
1. Investimentos – Análise. 2. Engenharia econômica. I. Oliveira, Cristina 
Klipp de. II. Daga, Aline Cassol. III. Título.
Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Palavras da professora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 - Introdução à Engenharia Econômica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE 2 - Métodos de análise de investimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
UNIDADE 3 - Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio . . . . . . . . . 55
UNIDADE 4 - Incerteza e riscos em projetos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
UNIDADE 5 - Substituição de equipamentos, Depreciação e Leasing . . . . 93
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Sobre a professora conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 123
Biblioteca Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Engenharia 
Econômica.
O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma 
e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados 
à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática 
e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância, 
proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a 
um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se que sua caminhada, nesta disciplina, será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica 
caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou 
para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores 
e instituição estarão sempre conectados com você.
Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem 
à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como: 
telefone, e-mail e o Espaço Unisul Virtual de Aprendizagem, 
que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e 
recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade. 
Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe 
atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
Palavras da professora
Prezado(a) acadêmico(a),
As organizações estão passando por várias mudanças, dado 
o grau de globalização da economia e o desenvolvimento das 
telecomunicações, assim, para serem mais competitivas, as 
organizações adotam algumas estratégias, dentre elas a análise 
econômica de investimentos, que estudaremos nesta disciplina, 
é de suma importância.
Empresas públicas e privadas, agências do governo e 
investidores sempre estão se defrontando com numerosas 
oportunidades de investimento. A correta escolha de um 
projeto ou investimento, dentre uma gama de oportunidades 
possíveis, pode determinar o sucesso ou o fracasso da entidade, 
seja ela pública ou privada. O estudo da viabilidade econômica 
de investimentos é denominado de Engenharia Econômica. 
A Engenharia Econômica pode ser definida como o conjunto 
de princípios e técnicas necessários à tomada de decisões sobre 
alternativas de investimentos. Em geral, aplicam-se estas 
técnicas para a tomada de decisões de longo prazo. 
Alguns dos problemas em que poderemos aplicar os métodos 
tradicionais de análise de investimentos ou engenharia 
econômica para escolher a alternativa mais adequada são, por 
exemplo, comprar um veículo à vista ou a prazo; alugar ou 
comprar um equipamento; usar lâmpadas incandescentes ou 
fluorescentes para a iluminação.
Estas são algumas decisões importantes para a estratégia 
competitiva das organizações já que são decisões que 
envolvem custos, ou seja, valoração monetária das opções 
de investimento. É claro que ao se levar em conta na análise 
10
Universidade do Sul de Santa Catarina
apenas o que pode ser transformado em valores monetários, 
deixa-se de lado aspectos imponderáveis, tais como a política 
econômica geral, a estratégia da empresa, a satisfação dos 
empregados etc., que muitas vezes podem alterar bastante a 
escolha entre as várias alternativas de investimento.
Sinta-se convidado a estudar e adentrar neste mundo das 
questões financeiras, desta forma, o esperado é que no final da 
disciplina, você tenha em mãos várias ferramentas de análise de 
investimento.
Bons Estudos!
Joseane Borges de Miranda.
Plano de estudo
O plano de estudos visa a orientá-lo no desenvolvimento da 
disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o 
contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva 
em containstrumentos que se articulam e se complementam, 
portanto, a construção de competências se dá sobre a 
articulação de metodologias e por meio das diversas formas de 
ação/mediação.
São elementos desse processo:
 „ o livro didático;
 „ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 „ as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de 
autoavaliação); 
 „ o Sistema Tutorial.
Ementa
Introdução à Engenharia Econômica. Métodos de análise 
de investimentos. Análise de equilíbrio e de sensibilidade. 
Análise de viabilidade. Incerteza e riscos em projetos. 
Depreciação. Substituição de equipamentos. Leasing.
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos
Geral
Desenvolver os conceitos técnicos fundamentais e práticos 
relacionados à análise de investimento e tomada de decisão.
Específicos:
 „ Operar com as ferramentas básicas de matemática 
financeira.
 „ Calcular, analisar e tomar decisão de escolha de projetos 
a partir de métodos de análise de investimento.
 „ Fazer análise de custo-benefício.
 „ Analisar projetos sob as condições de incerteza e risco.
 „ Calcular e analisar os métodos de depreciação de 
equipamentos.
 „ Compreender os conceitos de depreciação e Leasing.
Carga Horária
A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula, 4 créditos.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. 
Unidades de estudo: 5 
13
Engenharia Econômica
Unidade 1 - Introdução à Engenharia Econômica
Esta unidade apresentará as definições e principais terminologias 
que se relacionam à Engenharia Econômica e as principais 
ferramentas de matemática financeira.
Unidade 2 - Métodos de análise de investimentos
Nesta unidade, estudaremos os métodos de análise de 
investimentos e sua utilização nas tomadas de decisões quanto ao 
investimento mais viável financeiramente.
Unidade 3 - Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio
Essa unidade apresentará o levantamento dos custos e das 
receitas. Como avaliar o ponto de equilíbrio.
Unidade 4 - Incerteza e riscos em projetos
Esta unidade tem por finalidade apresentar uma metodologia 
para levantamento e análise das incertezas e dos riscos dos 
projetos de investimento.
Unidade 5 - Substituição de equipamentos, depreciação e Leasing
Nesta unidade, aprenderemos a analisar a viabilidade da 
substituição dos ativos da empresa assim como calcular a 
depreciação. E, também, observar que o Leasing pode ser uma 
alternativa para substituição dos ativos.
14
Universidade do Sul de Santa Catarina
Agenda de atividades/ Cronograma
 „ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da 
realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação 
com os seus colegas e tutor.
 „ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 „ Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas 
ao desenvolvimento da disciplina.
Atividades obrigatórias
Demais atividades (registro pessoal)
1UNIDADE 1Introdução à Engenharia Econômica
Objetivos de aprendizagem
 „ Compreender o conceito e aplicabilidade da Engenharia 
Econômica.
 „ Compreender o conceito de taxas de juros e sua 
aplicabilidade.
 „ Analisar o fluxo de caixa de uma série de pagamentos.
Seções de estudo
Seção 1 O que é Engenharia Econômica e para que serve
Seção 2 Taxa de juros simples e composta
Seção 3 Séries de pagamento
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Caro(a) aluno(a),
A cada dia, nossa sociedade se torna mais complexa e competitiva 
exigindo dos gestores em geral maior rapidez e flexibilidade 
nas respostas às mudanças globais. A Engenharia Econômica 
facilita a resposta a tais mudanças, mas, antes de entrarmos no 
conteúdo típico de Engenharia Econômica, ou seja, análise de 
investimentos, vamos conhecer algumas ferramentas importantes 
de Matemática Financeira. Estas ferramentas nos ajudarão na 
aplicação das técnicas de escolha dos investimentos. Note que a 
solução de problemas típicos de análise de investimentos necessita 
destes conceitos.
Por isso, vamos lá! Mãos à obra.
Seção 1 – O que é Engenharia Eonômica e para que serve
Para o bom andamento de seu estudo, é importante conhecer o 
conceito de Engenharia Econômica e a finalidade de estudar tal 
análise de investimentos. 
 Em qualquer organização comercial, industrial ou prestadora de 
serviços, sempre existirá a necessidade de tomar decisões. Essas 
decisões apresentam o sentido de maximizar a curto, médio ou 
longo prazo o lucro da empresa. Claro que o objetivo de qualquer 
gestor é ter o máximo de lucro possível. 
Devemos observar, também, que nem todas as decisões de 
investimentos dentro de uma organização são baseadas em 
cálculos financeiros, poderiam ser inspiradas por sentimento, por 
exemplo, ou seja, poderiam se basear na simples vontade do dono 
da empresa ou na sua determinação e tal. Vale destacar que, aqui, 
estudaremos as decisões baseadas em ferramentas financeiras de 
tomada de decisão. 
17
Engenharia Econômica
Unidade 1
Desta forma, podemos afirmar que, em uma organização, sempre 
se está tomando decisões: quando se substituem equipamentos 
e materiais, quando se escolhe entre dois novos produtos 
pesquisados ou quando se define qual dos financiamentos 
apresentados é o mais econômico para a empresa.
Neste momento, é pertinente apresentar, então, uma definição para 
Engenharia Econômica, segundo Pilão e Humell (2004, p. 79), 
Engenharia Econômica é:
“um conjunto de técnicas que permitem a comparação, 
de forma científica, entre os resultados de tomadas 
de decisão referentes a alternativas diferentes. Nessa 
comparação, as diferenças que marcam as alternativas 
devem ser expressas, tanto quanto possível, em termos 
quantitativos”.
De acordo com a definição apresentada, a alternativa mais 
econômica deve ser sempre escolhida após a verificação de que 
todas as variáveis que influem no problema foram estudas. 
Por exemplo, no campo financeiro, essas alternativas poderão 
ser entre a escolha de aplicar dinheiro na bolsa de valores ou em 
títulos do governo. Já no setor de marketing, poderia ser entre 
a escolha entre um ou mais canais de distribuição do produto, 
estudando-se, assim, os custos e a eficiência das alternativas. No 
campo da administração de pessoal, pode-se ter como alternativa 
um plano de acréscimo de salário dos colaboradores com base 
em uma taxa por dia trabalhado. Nas questões ambientais, pode-
se calcular as alternativas que envolvem um equipamento mais 
poluente contra um mais eficiente energicamente ou menos 
poluente. 
— Como você pode perceber, são várias as aplicações da Engenharia 
Econômica. Ela serve para muitas e diferentes formas de se tomar 
decisão dentro de uma organização produtiva. O objetivo nesta 
disciplina não é esgotar todas as possibilidades de aplicação, mas 
permitir que você aprenda as ferramentas mais usadas nos casos típicos 
de Engenharia Econômica. 
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Antes de entrarmos nos modelos de Engenharia Econômica, seus 
princípios básicos e algumas limitações, você vai estudar alguns 
conceitos de matemática financeira, que se fazem necessários para 
melhor compreensão da análise de investimento.
Seção 2 – Taxa de juros simples e compostaA Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro em função 
do tempo, ou seja, R$ 100,00 hoje não têm o mesmo valor daqui 
a 30 dias. Isso porque, ao decorrer um mês, o dinheiro rende 
juros. Veremos o conceito de juros. Segundo Vieira Sobrinho 
(2000, p. 19):
“Juro é a remuneração do capital emprestado ser 
entendido, de forma simplificada, como sendo o 
aluguel pago pelo o uso do dinheiro”.
Simplificando: Juros é a remuneração do capital emprestado. E, 
Capital: do ponto de vista da matemática financeira é qualquer 
valor expresso em moeda e disponível em determinada época. 
O período em que uma quantia está sujeita a uma taxa de juros 
chama-se Período de capitalização.
Ao se dispor a emprestar dinheiro, o possuidor tem que cobrar 
uma taxa de juros que cubra os seguintes fatores: 
1. Risco: probabilidade de não pagamento; 
2. Despesas: com boletos, por exemplo;
3. Inflação: queda no poder de compra; 
4. Ganho (ou lucro): custo de oportunidade, o custo de 
oportunidade é determinado dependendo das demais 
oportunidades de investimentos deste capital. Por 
exemplo, você poderia comprar um micro computador 
com R$ 1.000,00 ou emprestar para sua irmã este valor 
e cobrar juros por isto. Então, o custo de oportunidade é 
deixar de comprar o computador.
19
Engenharia Econômica
Unidade 1
Vamos ver os dois conceitos básicos de taxa de juros, ou seja, 
capitalização simples e composta.
a. Taxa de juros simples
É a razão entre juros recebidos ao final de certo período de tempo 
e o capital inicial aplicado:
J
P
i =
Em que:
i = (interest), taxa de juros (%)
J = valor dos juros ($)
P = capital inicial ($), pode ser chamada de:
 ƒ P (principal); 
 ƒ VA (valor atual); 
 ƒ VP (valor presente).
Exemplo
Qual a i cobrada em um empréstimo de $ 1.000,00 a ser 
negociado por $ 1.400,00?
Acompanhe o cálculo passo a passo:
Passo 1: calcular ou juros, ou seja, o valor recebido menos o valor 
principal.
J = 1.400 – 1.000 = 400
Passo 2: calcule a taxa de juros dividindo J por P.
400 0, 401000i = =
Passo 3: multiplique o resultado por 100, as taxas de juros são 
sempre apresentadas em percentuais.
Resposta: A taxa de juros (i) é 40%
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide 
somente sobre o valor do capital inicial (P). Neste regime de 
capitalização, a i varia linearmente em função do tempo (n).
Cálculo dos Juros
J = P × i × n
Em que:
P = valor presente
i = taxa de juros
n = período de tempo
Exemplo
Quais os juros de uma aplicação de R$ 84.975,59 aplicados em 
um CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 1,45 % ao mês?
 ƒ Resolução
para calcular o montante de juros, substituímos o capital inicial 
P = 84.975,59, multiplicando pela taxa de juros unitária, ou seja 
1,45 dividido por 100 e depois multiplicamos pelo período de 
tempo. Note que a pergunta está em mês e o dado do problema 
em dias, então, transformamos 90 d. em 3 m.
J = 84.975,59 × 0,0145 × 3 = 3.696,44
Forma percentual 12% a.a. (ao ano)
Forma unitária 12/100 = 0,12
Para os cálculos e aplicações de fórmulas você sempre usará a 
fórmula unitária.
Montante e valor atual
O montante ou valor futuro (F) é igual à soma do capital inicial 
(P) mais os juros (J) referentes ao período da aplicação.
F = P × (1 + i × n) ou F = P + J
21
Engenharia Econômica
Unidade 1
Exemplo
Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, 
pelo prazo de 12 m. à taxa de 3% a.m. (ao mês)
F = 8.000 × (1 + 0,03 × 12) = 10.880,00
O valor atual ou valor presente (P) é o valor do capital que 
aplicado à dada taxa e em dado prazo, nos dá um montante 
conhecido. A partir da fórmula de F, podemos deduzir a de P.
FP
(1 )i n
=
+ ×
Exemplo
Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de 
R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que 
faltam quatro meses para seu vencimento.
60.000P 50.000
(1 0,05 4)
= =
+ ×
b. Taxa de juros Composta
Os juros incidem sobre o montante, ou juros sobre juros. São 
também chamados de juros capitalizados. É a forma mais 
utilizada no Brasil e em outros países.
F = P × (1 + i)n 
Comparação entre juros simples e compostos
Para visualizar a diferença entre os juros simples e compostos, 
suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10 % a.a. 
por cinco anos. Então: P = 100, i = 0,10 e n = 5.
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
A tabela 1, abaixo, mostra a diferença do valor final após 5 anos 
de juros sobre o capital inicial, note que sempre pagaremos mais 
no regime composto. Isto porque, ele cresce exponencialmente 
enquanto o regime simples cresce linearmente.
Tabela 1.1 - Comparação entre juros simples e compostos, a partir de um mesmo valor
Período F (Juros Simples) F (Juros Compostos)
1 100 + (100 * 0,10) = 110 100,00 + (100 * 0,10) = 110,00
2 110 + (100 * 0,10) = 120 110,00 + (110 * 0,10) = 121,00
3 120 + (100 * 0,10) = 130 121,00 + (121 * 0,10) = 133,10
4 130 + (100 * 0,10) = 140 133,10 + (133 * 0,10) = 146,41
5 140 + (100 * 0,10) = 150 146,41 + (146 * 0,10) = 161,05
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Exemplos
Veja os seguintes exemplos de juros compostos:
 ƒ Exemplo 1
Determine o valor futuro de $ 1.000,00 aplicados a uma taxa de 
10% a.m. por três meses:
F = 1.000 × (1 + 0,1)3 = 1.331,00
Note que, agora, o tempo é exponencial, então, você vai elevar a 
taxa a n e não multiplicar como na taxa de juros simples.
 ƒ Exemplo 2
Miguel aplicou $ 200,00 a uma taxa de 15% a.m, por três meses. 
Quanto obteve de juros e quanto resgatou?
F = 200 × (1 + 0,15)3 = 304,18
J = 304,18 – 200,00 = 104,18
 ƒ Exemplo 3
A loja “Torra Torra” financia a venda de uma mercadoria no valor 
de $ 16.000,00, sem entrada para pagamento em uma única 
prestação de $ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal 
cobrada pela loja?
23
Engenharia Econômica
Unidade 1
Nota: encontrar a taxa de juros a partir da capitalização 
composta é bem mais difícil do que na capitalização simples. 
O trabalho é facilitado para quem possui uma calculadora 
financeira. Mas, para o cálculo com calculadora simples, 
apresentamos três possíveis soluções: 
Solução 1
22.753,61 = 16.000 × (1 + i)8 
1,4221 = (1 + i)8 ou
(1 + i)8 = 1,4221
Como se trata de uma igualdade, o valor de i pode ser obtido 
extraindo-se a raiz oitava de ambos os membros (que é o mesmo 
que elevar ambos os membros ao expoente 1/8).
88 8(1 ) (1,4221)i+ =
((1 + i)8)1/8 = (1,4221)1/8 
(1 + i) = (1,4221)1/8 = 1,0450
i = 1,0450 – 1 = 0,0450 ou
i = 4,5% a.m.
Solução 2
O valor de i também pode ser obtido através de logaritmo, 
definido para qualquer base:
Neperiano:
ln (1 + i)8 = ln 1,4221
8 ln (1 + i) = ln 1,4221
ln (1 + i) = ln1,42218
ln (1 + i) = 035213
8
 = 0,04402
1 + i = antiln 0,04402 = 1,0450
i = 1,0450 – 1 = 0,045
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução 3 Tentativa e erro
Se i = 10% (1,10)8 = 2,14359 indica que a taxa deve ser menor.
i = 5% = 1,47746 ⇒ menor
i = 4% = 1,36857 ⇒ maior
i = 4,55% (resolve)
 ƒ Exemplo 4
Em que prazo um empréstimo de $ 30.000,00 pode ser quitado 
em um único pagamento de $ 51.310,18, sabendo-se que a taxa 
contratada é de 5% a.m.?
F = P×(1 + i)n ⇒ (1 + i)n = FP
(1 + 0,05)n = 51.310,1830.000 = 1,71034
ln (1 + 0,05)n = ln 1,71034
n·ln (1 + 0,05) = ln 1,71034
ln1,71034 0,5367 11
ln1,05 0,0488
n = = = , ou seja, 11 meses.
c. Equivalência de taxas
Diz-se que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia 
quando:
P(1 + ia) = P(1 + im)12 
Ou seja, quando produzem o mesmo montante no final de 
determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial.
(1 + ia) = (1 + im)12 
 ia = (1 + im)12 – 1 ⇒ Taxa anual quando se tem a mensal.
12 (1 ) 1im ia= + − ⇒ im =(1 + ia)
1
12 – 1
25
Engenharia Econômica
Unidade 1
Genericamente:
iq = (1 + it)
q
t – 1
Em que:
iq = taxa para o prazo que se quer.
it = taxa para o prazo que se tem.
q = prazo que se quer.
t = prazo que se tem.
Exemplo
Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% a.a.
Como o que queremos é uma taxa em dias, o ano é transformado 
em dias.
i183 = (1 + i360)183/360 – 1
i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 = 28,99%
Para juros comerciais o ano tem 360 dias e o mês 30 
dias, sempre. Vamos adotar o conceito comercial para 
todos os exercícios.
Formulário básico
Capitalização Composta
Achar Valor Futuro F F F Px i n= +( )1
Achar Valor Presente P
 
P F
i n
=
+( )1 P Fx i
n
= + −( )1
Achar Taxa de Juros i i F
P
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1
1
Achar o Período n
 
n
F
P
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
ln
ln 1
n
F
P
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
log
log 1
Achar os Juros J J = F – P
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 3 – Séries de pagamento
As séries de pagamentos podem ser definidas como uma sucessão 
de pagamento, ou recebimento dentro de certo tempo. Até 
agora, tínhamos apenas um ponto de partida para o cálculo 
do recebimento no futuro, bastava o principal. Numa série de 
pagamentos, teremos várias entradas de capital, ou seja, várias 
prestações. Na Matemática Financeira, temos várias classificações 
de séries de pagamentos até com número de termos infinito. 
Nosso foco será nas séries finitas e uniformes. O cálculo das 
séries de pagamentos é muito útil em casos do tipo, você recebe 
uma proposta para comprar um equipamento em 72 vezes com 
um juro tal, através das técnicas de cálculo, você poderá verificar 
se a taxa de juros é efetivamente a acordada ou, caso você queira 
mudar o valor das prestações, como ficaria o prazo de pagamento. 
Antes de conhecermos as principais formas de cálculo das séries 
de pagamento, vamos aprender como representá-las, visto que a 
visualização das entradas e saídas ajudam na resolução do problema.
Noções sobre fluxo de caixa
Fluxo de caixa pode ser entendido como uma sucessão de 
recebimentos ou de pagamentos, previstos para determinado 
período de tempo.
No exemplo, a seguir, poderemos ver de forma analítica, ou seja, 
uma tabela com os valores a receber e a pagar em um determinado 
tempo. Para facilitar, podemos colocar os recebimentos e 
pagamentos em um fluxo de caixa em forma gráfica. 
Expressão analítica
Tabela 1.2 - Fluxo de caixa - Recebimentos Tabela 1.3 - Fluxo de caixa - Pagamentos
Recebimentos
Dia Valor $
05 3.000
11 8.000
16 2.000
25 6.000
Pagamentos
Dia Valor $
09 6.000
14 8.000
16 3.000
28 9.000
Fonte: Elaboração da autora (2009). Fonte: Elaboração da autora (2009).
27
Engenharia Econômica
Unidade 1
Representação gráfica
Observe, no fluxo de caixa, que as flechas orientadas para baixo 
representam saídas (pagamentos) e flechas orientadas para cima 
representam entradas (recebimentos).
50 10 15 20 25 30
2.000
3.000
3.000
6.000
6.000
8.000
9.0008.000
A representação gráfica do fluxo de caixa é feita de acordo com 
cada caso, veja o exemplo a seguir. O mesmo empréstimo é 
representado de forma diferente, dependendo da ótica do agente 
envolvido.
Exemplo
Um banco concede um empréstimo de $ 40.000,00 a um cliente 
para pagamento em 6 prestações iguais de 9.000,00.
Banco: Cliente:
40.000
9.000 40.000
9.000 (cada)
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Séries de pagamentos iguais com termos vencidos (ou postecipados)
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será 
representado por “A”; as demais variáveis serão representadas 
pelos símbolos já conhecidos:
i = taxa de juros, coerente com a unidade de tempo 
(mês, trimestre, etc.);
n = número de prestações quase sempre coincidente com o 
número de períodos unitários;
P = principal, capital inicial, valor atual ou valor presente;
F = montante ou valor futuro.
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
a. Fator de Acumulação de Capital (FAC)
Baseado em Vieira Sobrinho (2000, p. 67), que utiliza uma 
didática diferente da convencional, em vez de fazermos uma 
demonstração teórica das fórmulas para em seguida aplicá-las na 
solução de problemas, faremos o inverso, ou seja, partiremos do 
desenvolvimento e da solução de casos práticos para chegarmos às 
fórmulas. Para tanto, vamos utilizar somente os conhecimentos 
de Matemática Financeira até agora desenvolvidos, além de 
algumas noções de matemática básica. 
Exemplo
Comecemos com a resolução do seguinte problema.
O objetivo é determinar o valor do montante, no final do 5º mês, 
de uma série de 5 aplicações mensais, iguais e consecutivas, no 
valor de $ 100,00 cada uma, a uma taxa de 4% ao mês. Sabe-se 
que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou 
seja, a 30 dias da data tomada como base (momento zero), e que a 
última, no final do 5º mês, é coincidente com o momento em que 
é pedido o montante.
Dados: A = 100,00 i = 4% n = 5 F = ?
Acompanhe a solução. Em termos de fluxo de caixa, o problema 
pode ser esquematizado como segue:
0 1
100 100 100 100 100
2 3 4 5
4 meses F = ?
Para calcular o montante pedido, vamos utilizar somente os 
conhecimentos desenvolvidos até então. Desta forma, vamos 
calcular o montante de cada prestação no final do 5º mês, 
individualmente. Assim, o montante da primeira, obtido da 
fórmula já conhecida F = P(1 + i)n, será:
F1 = 100·(1,04)4 = 116,99
29
Engenharia Econômica
Unidade 1
O expoente 4 representa o número de meses a decorrer entre a 
data da primeira aplicação e a data fixada para o cálculo do seu 
montante.
Essa mesma consideração é válida para todas as demais 
prestações. Assim, o montante da terceira parcela é obtido como 
segue:
F3 = 100·(1,04)2 = 108,16
Como a última parcela é aplicada exatamente no dia em que se 
pede o valor do montante, não terá rendimento algum. 
F5 = 100·(1,04)0 = 100
Em resumo, os montantes de cada um das 5 aplicações são 
calculados como segue:
F1 = 100·(1,04)4 = 116,99
F2 = 100·(1,04)3 = 112,49
F3 = 100·(1,04)2 = 108,16
F4 = 100·(1,04)1 = 104,00
F5 = 100·(1,04)0 = 100,00
Ft = = 541,63
Sabemos que Ft = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 
Substituindo F1, …, F5 pelos seus respectivos valores:
Ft = 100·(1,04)4 + 100·(1,04)3 + 100·(1,04)2 
 + 100·(1,04)1 + 100·(1,04)0
Ft = 100·[(1,04)4 + (1,04)3 + (1,04)2 + (1,04)1 + (1,04)0] ou,
Ft = 100·[(1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4]
1 1
PGF 1
na q a
q
× −
=
−
Entretanto, o cálculo do 
montante desta forma é 
muito trabalhoso, imagine 
500 prestações.
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Sabendo-se que a1 = (1,04)0 = 1, q = 1,04 e n = 5, temos:
Genérica:
(1 ) 1F A *
ni
i
+ −=
Voltando ao nosso exemplo:
5(1 0,04) 1F 100 541,63
0,04t
+ −= ⋅ = , 
que é o mesmo valor encontrado pelo método mais longo.
Vamos fazer outro exemplo aplicando a fórmula genérica:
Exemplo
Quanto terá, no final de 4 anos, uma pessoa que aplicar $ 500,00 
por mês, durante esse prazo, em um “Fundo de Renda Fixa”, à 
taxa de 3% ao mês?
(1 0,03) 1+ −= ⋅ =
48
F 500 52.204,20.
0,03
Obs.: Facilitando a operação de matemática básica, primeiro 
some o 1 + 0,03, depois eleve a 48, diminua 1 e divida por 0,03, 
depois multiplique este fator por 500.
b. Fator de Valor Atual (FVA)
Exemplo
Vejamos, agora, a resolução do seguinte exemplo: qual o 
valor que, financiado à taxa de 4% ao mês, pode ser pago ou 
amortizado em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 
100,00 cada uma?
Em que (1 ) 1
ni
i
+ − é 
o Fator de Acumulação de 
Capital, representado por 
FAC(i,n) ou 
F = A· FAC(i,n)
31
Engenharia Econômica
Unidade1
Neste exemplo, o que se quer é o valor presente dessa 
série de 5 parcelas iguais. Vamos resolver o problema por 
partes, admitindo-se que cada prestação corresponda a um 
financiamento isolado:
F 1F P(1 ) P P F
(1 ) (1 )
n
n ni i i
= + ⇒ = ⇒ = ⋅
+ +
No problema, cada prestação A = $ 100,00 representa o 
montante (ou valor futuro) individual de um capital inicial que 
desconhecemos, aplicado à taxa de 4% ao mês, e por prazos que 
vão de 1 a 5 meses. O que queremos é determinar o capital inicial 
ou o valor presente dessas prestações no “momento zero”. Então:
1 1
1P 100 96,15
(1,04)
= ⋅ =
Resumindo, os valores presentes das 5 prestações são calculados 
como segue:
1 41 4
2 52 5
3 3
1 1P 100 96,15 P 100 85,48
(1,04) (1,04)
1 1P 100 92,46 P 100 82,19
(1,04) (1,04)
1P 100 88,90
(1,04)
= ⋅ = = ⋅ =
= ⋅ = = ⋅ =
= ⋅ =
Pt = 445,18
Assim, o valor financiado (ou valor presente) que pode ser pago 
ou amortizado em 5 prestações iguais mensais e consecutivas de 
$ 100,00 cada uma, dentro do conceito de série de pagamentos, 
com termos vencidos, é de $ 445,18.
Genericamente:
(1 ) 1P A
(1 )
n
n
i
i i
+ −= ×
+ ×
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
No nosso exemplo:
( )5
5
1 0,04 1
P 100 445,18.
(1 0,04) 0,04
+ −
= ⋅ =
+ ⋅
Vamos dar outro exemplo aplicando a fórmula genérica:
Exemplo
Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, 
mensais e consecutivas, de $ 3.500,00 cada uma, considerando 
uma taxa de 5% ao mês. 
( )24
24
1 0,05 1
P 3.500 48.295,24.
(1 0,05) 0,05
+ −
= ⋅ =
+ ⋅
Tabela 1.4 - Resumo das fórmulas estudadas
Pagamentos Simples Notação Internacional Fórmula
1. Achar F dado P (F/P; i, n) (1 + i)n
2. Achar P dado F (P/F; i, n)
1
(1 + i)n
Série Uniforme
1. Achar F dado A (F/A; i; n)
(1 + i)n –1
i
2. Achar A dado F (A/F; i; n)
i
(1 + i)n – 1
3. Achar P dado A (P/A; i; n)
(1 + i)n – 1
(1 + i)n . i
4. Achar A dado P (A/P; i,n)
(1 + i)n . i
(1 + i)n – 1
Fonte: Elaboração da autora (2011).
33
Engenharia Econômica
Unidade 1
Terminologias usadas na matemática financeira e nas calculadoras 
financeiras, exemplo HP 12c:
P ou PV = Present Value, Valor Presente, Valor Atual, Capital 
Inicial, Valor de aquisição ou ainda Valor à vista.
F ou FV = Future Value, Valor futuro, Valor Nominal, Valor de 
um título, Valor do capital inicial mais juros.
A ou PMT = Periodic Payment, Pagamento, Valor da prestação 
ou Depósito periódico, Valor de uma mensalidade, Valor das 
parcelas.
n = Número de períodos (exemplo sempre o número de períodos 
a que se refere a taxa de juros).
i = Interest, taxa de juros (para as fórmulas, utiliza-se a taxa 
unitária).
a.a. = ao ano.
a.s. = ao semestre.
a.t = ao trimestre.
a.b = ao bimestre.
a.m. = ao mês.
a.d. = ao dia.
Síntese
Nesta unidade, fizemos uma rápida viagem pelos principais 
métodos de matemática financeira. Você aprendeu a calcular 
taxas de juros compostos, esta é uma ferramenta fundamental 
para a Engenharia Econômica e para a tomada de decisões sobre 
troca de equipamentos dentro de uma empresa. Além das taxas 
de juros, você aprendeu a calcular as séries de pagamentos, tanto 
o montante (futuro) quanto o principal.
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Um capital de $ 25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de 
$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente pelo método dos juros 
simples.
2. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação 
de um capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês.
3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição 
financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um 
empréstimo de $ 20.000,00 será resgatado por $ 36.018,23. 
4. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
5. Parte do valor de um veículo é financiado por uma Cia. de crédito, para 
ser paga em 20 prestações iguais de $ 15.000,00 cada uma. Sabendo-
se que essa financeira cobra do mutuário uma taxa de 4% ao mês, 
calcular o valor financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na data do 
contrato.
6. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma aplicação de $ 
1.000,00 por mês, à taxa de 3% ao mês. 
7. Uma TV foi paga em n prestações de $190,00, com taxa de juros de 2% 
a.m., ao final deste tempo seu montante foi de $6.952,00. Em quanto 
tempo a TV foi paga?
8. Parte do valor de um veículo foi financiada por uma Cia de crédito, 
para ser pago em 15 prestações mensais iguais de $ 7.000,00 cada uma. 
Sabendo-se que essa financeira cobra do mutuário uma taxa de 16% 
ao ano, calcular o valor financiado, isto é, o valor entregue ao cliente na 
data do contrato.
35
Engenharia Econômica
Unidade 1
9. Calcular o valor futuro de uma aplicação financeira de $ 15.000,00, 
admitindo-se uma taxa de juros de 2,5% a.m. pelo tempo de 17 meses.
10. Durante quanto tempo uma aplicação de $ 26.564,85 resultou em um 
montante de $ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% a.m.?
11. Qual o valor de um financiamento que deverá ser pago em seis 
parcelas mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias 
após a liberação dos recursos, a taxa de juros é 3,5% a.m.?
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada: 
método algébrico, HP-12c, Microsoft Excel®. São Paulo: 
Pioneira Thomson Leaning, 2002.
LAPPONI, J. C. Excel & Cálculos Financeiros. São Paulo: 
Lapponi Treinamento Editora, 1999.
PILÃO, N. E; HUMMEL, P. Matemática Financeira e 
Engenharia Econômica: a teoria e a prática da análise de 
projetos de investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise 
de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2000.
2UNIDADE 2Métodos de análise de investimentos
Objetivos de aprendizagem
 „ Aprender os principais métodos de escolha de um 
projeto.
 „ Compreender a importância dos métodos na tomada 
de decisão.
 „ Compreender a importância do custo de 
oportunidades dos projetos.
Seções de estudo
Seção 1 Os princípios fundamentais da engenharia 
econômica
Seção 2 O método do período de pay-back
Seção 3 O método do valor presente (VPL)
Seção 4 O método da taxa interna de retorno (TIR)
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Você acompanhou, na unidade anterior, os principais conceitos 
de Matemática Financeira, principalmente, devemos destacar 
os juros compostos e as séries de pagamento. Agora, você irá 
estudar quatro dos principais métodos utilizados na Engenharia 
Econômica para a escolha de projetos. Então, comece, agora, seu 
estudo para saber como esses métodos são calculados.
Seção 1 – Os princípios fundamentais da Engenharia 
Econômica 
Antes de você estudar os métodos de análise de investimento, se 
faz necessário destacar alguns princípios básicos da Engenharia 
Econômica. Princípios estes que limitam e caracterizam as 
possibilidades de emprego dos métodos. Além dos princípios 
fundamentais, vamos destacar o conceito e a importância do 
custo de oportunidade para as empresas.
A Engenharia Econômica como um conjunto de técnicas que nos 
permite avaliar diferentes alternativas de investimentos de forma 
quantitativa, não pode ser usada de qualquer forma. Por tanto, 
vamos listar alguns princípios fundamentais para o emprego 
destastécnicas. 
Segundo Hummell e Taschner (2000), alguns aspectos não devem 
ser levados em consideração quando vamos montar um modelo de 
tomada de decisão em Engenharia Econômica. São eles:
1. Não existe decisão a ser tomada considerando-se alternativa única
Isto significa que, para tomar qualquer decisão, devem ser 
analisadas todas as alternativas e devem ser no mínimo duas, 
porque se fosse apenas uma, a decisão já estaria tomada.
39
Engenharia Econômica
Unidade 2
Como exemplo, podemos utilizar o caso de um produto que já 
está há algum tempo no mercado, se ele apresentar sinais de 
baixa demanda, podemos como opção:
 „ Continuar com o produto atual no mercado, sem novas 
inversões de capital;
 „ Remodelar o produto atual, mudando embalagem, por 
exemplo;
 „ Lançar um novo produto, desde sua concepção, para 
substituir o atual.
2. Só se podem comparar alternativas homogêneas para se poder 
comparar o seu resultado
Isto significa que se as alternativas forem diferentes não podemos 
compará-las, por exemplo: o que é melhor comprar um carro Flex 
por $ 40.000,00 ou um carro a gasolina por $25.000,00? Não é 
possível tal comparação se não conseguimos a homogeneidade 
de dados de comparação, por exemplo, se os dois carros têm a 
mesma capacidade de carga, a mesma qualidade de acabamento, 
o mesmo ano de fabricação, dentre outros. E esta alternativa 
heterogênea é evidenciada também pelo fato que a diferença 
de valores das duas alternativas, no caso, $15.000,00 pode ser 
aplicada no sistema financeiro, por exemplo.
3. Apenas as diferenças de alternativas são relevantes
Isto significa que se as alternativas não forem diferentes, não 
podemos compará-las, por exemplo, numa análise para decidir 
sobre o tipo de ar-condicionado a comprar não é relevante saber o 
consumo de energia dos mesmos se ele for igual para ambos.
4. Sempre serão considerados os juros sobre o capital
As alternativas econômicas devem reconhecer o valor no 
tempo do dinheiro, isso porque, sempre existem alternativas/
oportunidades de se aplicar o dinheiro no sistema financeiro. 
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
5. Apenas o presente e o futuro são relevantes
Em economia, o passado geralmente não é considerado (sunk 
costs). Vamos pegar nosso exemplo do carro Flex do item dois. 
Imagine que você sempre foi muito cuidadoso com ele e gastou 
no último ano R$ 5.000,00. Este custo é passado não é porque 
você gastou os R$ 5.000,00 que o mercado vai valorizá-lo por 
isso. Desta forma, seu carro será avaliado pelo valor de mercado 
independente do custo de oficina dele.
A questão da Taxa de mínima atratividade (TMA)
Como você acabou de ver, o dinheiro no tempo deve ser 
considerado para escolha dentre as alternativas de investimentos, 
desta forma, como estudamos na Matemática Financeira, a 
ferramenta que desloca o dinheiro no tempo é a taxa de juros. 
E para a tomada de decisão nas três técnicas, que veremos 
nas próximas seções, temos que considerar a taxa de juros 
denominada TMA.
A taxa de mínima atratividade (TMA) é a taxa a partir da 
qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros.
Para uma empresa, a TMA seria equivalente ao seu custo de 
capital, que é a taxa de retorno mínima sobre seus investimentos 
de maneira que ela pudesse continuar com o mesmo nível 
de atividades indefinidamente. Para uma pessoa comum, a 
TMA seria, provavelmente, a rentabilidade proporcionada 
pela caderneta de poupança. Pois, caso esta pessoa guardasse 
suas economias embaixo do colchão, ela estaria perdendo 
a oportunidade de auferir o retorno da poupança. Já para o 
dono de uma empresa, a TMA seria o custo de oportunidade 
de deixar de investir em sua empresa, ou seja, se guardar o 
dinheiro embaixo do colchão deixará de auferir os lucros que a 
empresa proporcionaria. Quando se fala de empresas, a TMA 
é denominada de custo de capital e que está associado ao risco 
inerente ao ramo de atividade de cada empresa. 
41
Engenharia Econômica
Unidade 2
Por tanto, em função de onde aplicarmos nosso dinheiro, se não 
colocássemos no negócio analisado, sempre vai se ter um custo, 
que pode ser baseado na TMA, ou seja, a TMA é nosso custo de 
oportunidade.
Seção 2 – O método do período de Pay-back 
Um dos métodos mais simples de análise de investimento. O 
pay-back nada mais é do que calcular o número de períodos 
ou quanto tempo o investidor irá precisar para recuperar o 
investimento realizado. 
Muito embora o período pay-back quebre as regras fundamentais 
da Matemática Financeira e da Engenharia Econômica, vamos 
começar com esta técnica mais simples para chegar ao pay-back 
descontado que leva em conta a taxa de juros dos períodos. Ele 
quebra porque não leva em consideração os juros devidos durante 
o tempo que o projeto decorre.
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), antes de aplicarmos 
qualquer técnica de análise de investimento, devo fazer a seguinte 
pergunta: qual é o objetivo da empresa que pretende investir? 
Antes o objetivo das empresas se pautava no lucro imediato. 
Modernamente, com o advento do planejamento estratégico, 
as empresas passaram a adotar a filosofia e políticas de longo 
prazo. Troca-se o lucro imediato pelos máximos ganhos em 
determinado horizonte de análise. Esta nova filosofia separa a 
contabilidade de custos da contabilidade financeira.
Vamos desenvolver os métodos de cálculo do pay-back e do pay-
back descontado a partir de um exemplo. 
Imagine que sua empresa pretende resolver algum problema de 
poluição gerado por efluentes tóxicos. Para resolver o problema, 
foram apresentados três projetos.
A tabela, a seguir, sumariza os fluxos de caixa dos três projetos de 
investimentos durante quatro anos. Você deverá fazer sua escolha 
de acordo com os métodos a serem discutidos. Suponha que a 
TMA da empresa seja de 8%.
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 2.1 - Fluxo de Caixa (FC) dos projetos
Ano A B C
0 –3.000 –3.000 –3.000
1 300 300 600
2 2.700 600 1.900
3 300 900 1.500
4 –100 3.750 800
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Quando o valor se torna positivo e/ou zera, como no caso acima, 
você para de calcular porque neste momento o projeto se paga. 
Então como conclusão podemos dizer que o projeto A se paga em 
exatamente 2 anos, na maioria dos casos é bem difícil chegar ao 
número exato tempo como veremos na demonstração de cálculo 
dos projetos B e C a seguir.
a. Período de pay-back 
Para se calcular o período de pay-back de um projeto, basta somar 
os valores dos fluxos de caixa auferidos, período a período, até que 
essa soma se iguale ao valor do investimento inicial. O período 
correspondente à ultima parcela da soma será o período de pay-
back procurado. O período de pay-back é o método mais simples 
de se analisar a viabilidade de um projeto ou investimento. Ele é 
definido como o número de períodos (anos, meses, semanas, etc.) 
para se recuperar o investimento inicial.
Use o método do período de pay-back para avaliar os projetos da 
tabela 2.1.
Resolvendo o projeto A:
Tabela 2.2 - Período de pay-back - Projeto A
Ano A FC acumulado Nota explicativa
0 –3.000 –3.000 Repete o investimento inicial que é negativo (flecha para baixo no Fluxo de Caixa (F.C.)
1 300 –2.700 É o investimento inicial menos os 300 que entraram no ano 1.
2 2.700 0 É o saldo anterior menos os 2.700 do ano 2. Neste caso, o projeto se paga no segundo ano.
3 300
4 –100
Fonte: Elaboração da autora (2009).
43
Engenharia Econômica
Unidade 2
Resolvendo os projetos B e C
Tabela 2.3 - Período de pay-back - Projeto B e C
Ano B FC acumulado C FC acumulado
0 –3.000 –3.000 –3.000 –3.000
1 300 –2.700 600 –2.400
2 600 –2.100 1.900 –.500
3 900 –1.200 1.500 1.000
4 3.750 2.550 800
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Para achar a fração de tempoentre esses dois períodos, ou seja, 
entre o último período que o projeto ainda resultava em valores 
negativos (ver FC acumulado) e o primeiro período que o projeto 
apresenta valor positivo, podemos fazer uma regra de três como 
segue:
Projeto B: 
A primeira conclusão que podíamos tirar por estes resultados 
é que o projeto se paga entre 3 e 4 anos, mas vamos ver como 
calcular o quanto é este entre.
Interpolação Linear
Interpolando:
2 550
1 200
1 200 2 550
1 200
.
.
. .
.
= ⇒
+( )
=
+b
a
a b
a
Obs: para os cálculos desconsiderar o sinal
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
O resultado é
1 200 2 550
1 200
3 12
. .
.
,
+( )
=
Como a + b é igual ao período de 1 ano, temos:
3 12 1 1
3 12
0 32,
,
,= ⇒ = = anosano
a
a
Então somamos esta fração de ano com o último ano (período 
que apresentou valores negativos) no saldo, ou seja, para o projeto 
B 3 anos, o que resultaria em 3,32.
Isto significa que o investimento será recuperado em 3,32 
anos, ou seja, aproximadamente 3 anos e quatro meses.
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. 2 anos de período de pay-back 
 „ Projeto B. 3,32 anos de período de pay-back
 „ Projeto C. 2,32 anos de período de pay-back
O melhor projeto segundo o período de pay-back é o projeto A, 
pois se paga em menos tempo. Note que este é um método 
bastante simples, já que não considera o custo de oportunidade 
do dinheiro ao longo do tempo. O pay-back descontado é uma 
técnica mais apropriada de análise de investimentos.
b. Período de pay-back descontado
Este método é muito parecido com o anterior com o adicional 
de se usar uma taxa de desconto antes de se proceder à soma dos 
fluxos de caixa, ou seja, vamos atualizar cada parcela de entrada 
do fluxo de caixa antes de diminuir do investimento inicial, 
atualizar, significa descontar a taxa de juros. Use o pay-back 
descontado para analisar os projetos da tabela 2.1. Use como taxa 
de desconto a TMA da empresa de 8%.
45
Engenharia Econômica
Unidade 2
Resolvendo o projeto A 
Tabela 2.4 - Período de pay-back descontado - Projeto A - Resolução
Ano FC Atualizando As parcelas Nota explicativa
0 –3.000 –3.000,00 O investimento inicial é feito no ponto zero, por isso, não é atualizado
1 300 277,78
Para atualizar a primeira entrada de 300, calculamos:
1
300 277,78,
(1 0,08)
=
+
é a parcela dividida pela taxa de juros, no caso a TMA, 
elevado pelo número de anos que a parcela representa.
2 2.700 2.314,82 2
2.700 2314,82
(1 0,08)
=
+
3 300 238,15 3
300 238,15
(1 0,08)
=
+
4 –100 –73,50 4
100 73,50
(1 0,08)
− = −
+
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Agora que já atualizamos as parcelas do projeto, vamos diminuir 
do fluxo de caixa:
Tabela 2.5 - Período de pay-back descontado - Projeto A 
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 300 277,78 –2.722,22
2 2.700 2.314,82 –407,40
3 300 238,15 –169,25
4 –100 –73,50 –242,75
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Você nunca vai receber o dinheiro de volta deste projeto, porque, 
mesmo depois de quatro anos, o fluxo não se tornou positivo.
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
Resolvendo o projeto B 
Tabela 2.6 - Período de pay-back descontado - Projeto B
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 300 277,78 –2.722,22
2 600 514,40 –2.207,82
3 900 714,45 –1.493,37
4 3.750 2.756,36 1.262,99
Fonte: Elaboração da autora (2009).
O investimento será recuperado em 3,54 anos, ou seja, 
aproximadamente 3 anos e meio.
Resolvendo o projeto C
Tabela 2.7 - Período de pay-back descontado - Projeto C
Ano FC Atualizando As parcelas FC atualizado
0 –3.000 –3.000,00 –3.000,00
1 600 555,56 –2.444,44
2 1.900 1.628,94 –815,50
3 1.500 1.190,75 375,25
4 800 588,02
Fonte: Elaboração da autora (2009).
O pay-back descontado do projeto C está entre 2 e 3 anos.
O investimento será recuperado em 2,68 anos.
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. Não se recupera em 4 anos. 
 „ Projeto B. 3,54 anos de período de pay-back
 „ Projeto C. 2,68 anos de período de pay-back
O melhor projeto segundo o pay-back descontado é o projeto C, 
pois se paga em menos tempo. 
47
Engenharia Econômica
Unidade 2
Entre estes dois métodos, o mais recomendado seria o pay-back 
descontado, porque este leva em consideração o desconto do custo 
de oportunidade ao longo do tempo. Na próxima seção, vamos 
ver mais uma técnica importante para nos auxiliar na tomada de 
decisão.
Nem sempre os métodos convergirão para o mesmo 
projeto.
Seção 3 – O método do valor presente (VPL)
O método do valor presente é uma das técnicas mais usadas na 
análise de investimentos. O VPL consiste em atualizar o fluxo de 
caixa e comparar este valor atualizado com o investimento inicial 
(FC0).
O método do valor presente (VPL) consiste em trazer para a 
data zero, usando como taxa de desconto a TMA da empresa 
ou projeto, todos os fluxos de caixa do investimento e somá-los 
ao valor do investimento inicial. Ou, ainda, é uma técnica usada 
para análise de projetos. É obtido calculando-se o valor presente 
de uma série de fluxos de caixa (pagamento ou recebimento) 
com base em uma taxa de custo de oportunidade conhecida e 
subtraindo-se o investimento inicial.
Matematicamente, pode ser dado pela equação abaixo:
1 2
0 1 2
FCFC FC
VPL FC
(1 ) (1 ) (1 )
n
ni i i
= − + + + +
+ + +
…
Vamos calcular o VPL dos projetos da tabela 1.
A 1 2 3 4
300 2.700 300 100VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + −
+ + + +
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
VPLA = –3.000 + 277,78 + 2.314,82 + 238,15 – 73,50 = –242,75
B 1 2 3 4
300 600 900 3.750VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + +
+ + + +
VPLB = –3.000 + 277,78 + 514,40 + 714,45 + 2.756,36 = 1.262,99
C 1 2 3 4
600 1.900 1.500 800VPL 3.000
(1 0,08) (1 0,08) (1 0,08) (1 0,08)
= − + + + +
+ + + +
VPLC = –3.000 + 555,56 + 1.628,94 + 1.190,75 + 588,02 = 963,27
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. VPL = –242,75, o projeto não deve ser aceito. 
 „ Projeto B. VPL = 1.262,99, o projeto deve ser aceito.
 „ Projeto C. VPL = 963,27, o projeto deve ser aceito.
Entre os três projetos, o melhor é o B, porque apresenta o 
maior VPL.
Vamos ver os critérios de escolha segundo o método do VPL:
Critério de decisão do VPL: 
Aceita-se projetos com VPL ≥ 0; Para uma carteira de 
projetos escolhe-se aquele com o maior VPL. Ou, se 
o VPL > 0, o projeto deve ser aceito, se < 0 deve ser 
recusado e se = 0 é indiferente, o projeto não resulta 
ganho ou prejuízo.
Vamos ver mais um exemplo:
49
Engenharia Econômica
Unidade 2
Exemplo
Um projeto de investimento inicial de R$ 120.000,00 gera 
entradas de caixa de R$ 25.000,00 os próximos 5 anos; em cada 
ano será necessário um gasto de R$ 5.000,00 para manutenção, 
considerando um custo de oportunidade de 10% ao ano. Pede-se: 
Determinar o VPL desta operação.
Resolução:
Passo 1: vamos montar o fluxo de caixa.
Tabela 2.8 - Método do Valor Presente (VPL) - Fluxo de caixa
Ano FC Entradas Saídas Saldo FC (total)
0 –120.000,00 — — — –120.000,00
1 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
2 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
3 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
4 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
5 25.000,00 5.000,00 20.000,00 20.000,00
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Antes de calcularmos o VPL temos que fazer o saldo entre as 
entradas e saídas do projeto.
Neste caso, como todas as entradas são iguais, podemos 
simplificar o cálculo do VPL:
Passo 2: calcular o VPL.
VPL = – FC0 + FC(P/A; i%,n)
(P/A; i%,n) significa uma P/A com taxa de juros i, por um 
período n. No nosso exemplo temos (P/A, 10%,5).
Relembrando a fórmula da P/A que vimos na Unidade 1:
(1 ) 1P A
(1 )
n
n
i
i i
+ −= ×
+ ×
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
Então, temos:
 
5
5
(1 0,10) 1VPL 120.000 20.000
(1 0,10) 0,10
 + −= − +  + × 
VPL = –120.000 + 20.000(3,79)
VPL = –120.000 + 75.800 = –44.200,00, 
ou seja, o projeto deve ser recusado.
A técnica do VPL nos permite o deslocamento do dinheiro no 
tempo, no caso para a data zero (0), para efeito de comparação. 
É interessante os projetos com VPL positivo, isso porque 
representará a quantidade de dinheiro que teremos ganho, em 
dinheiro de hoje, além das expectativas representadas pela TMA 
da empresa.
Seção 4 –O método da taxa interna de retorno (TIR)
Encontrar a TIR de um investimento é encontrar o percentual de 
remuneração que o investimento oferece.
Quando calculamos a TIR de determinado investimento e/ou 
financiamento, estaremos extraindo dele o percentual de ganho 
que ele oferece ao investidor, já que todas as entradas e saídas de 
caixa serão deslocadas para a data 0, de tal forma que não sobre 
ou falte dinheiro, logo, esta será a remuneração efetiva daquele 
negócio analisado.
TIR é a taxa de desconto que zera o valor presente 
líquido dos fluxos de caixa de um projeto, ou seja, faz 
com que todas as entradas igualem todas as saídas de 
caixa do empreendimento.
51
Engenharia Econômica
Unidade 2
Matematicamente, esta taxa (TIR) pode ser encontrada 
resolvendo-se a seguinte equação:
1 2
0 1 2
FCFC
0 FC
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
n
n
FC
= − + + + +
+ + +
…
Vamos calcular a TIR dos projetos da tabela1.
 „ Projeto A: 
1 2 3 4
300 2.700 300 1000 3.000 3,39%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 TIR)
= − + + + − =
+ + + +
 „ Projeto B:
1 2 3 4
300 600 900 3.7500 3.000 19,95%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 )TIR
= − + + + + =
+ + + +
 „ Projeto C:
1 2 3 4
600 1.900 1.500 8000 3.000 21,23%
(1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) (1 )TIR
= − + + + + =
+ + + +
Comparando os três projetos:
 „ Projeto A. TIR = 3,39%. 
 „ Projeto B. TIR = 19,95%.
 „ Projeto C. TIR = 21,23%.
Entre os três projetos o melhor é o C, porque apresenta a 
maior TIR.
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
O cálculo da TIR deve ser feito através de uma calculadora 
financeira ou um software com planilhas de cálculo financeiro. 
Com uma calculadora científica a única forma de se chegar 
aos resultados é por tentativa e erro. Ver, por exemplo, Vieira 
Sobrinho, (2000, p. 172).
Critério de decisão da TIR para projetos independentes e sem 
restrição orçamentária:
Escolhe-se os projetos que tenham a TIR ≥ TMA (custo de 
oportunidade). Para uma carteira de projetos, deve-se escolher 
aquele com maior TIR, desde que ela seja maior que a TMA da 
empresa.
Síntese
Você estudou, nesta unidade, quatro importantes técnicas de 
análise de investimento. O pay-back e o pay-back descontado 
que caracterizam o projeto analisado em termos de tempo de 
recuperação do investimento inicial. O VPL que atualiza o fluxo 
de caixa, o que nos permite comparar com o investimento inicial 
e tomar a decisão sobre a escolha ou viabilidade do projeto. E, 
por fim, a TIR que nos dá o resultado em termos percentuais de 
retorno de cada projeto analisado. Todos estes métodos são de 
suma importância para a escolha de um projeto de investimento 
dentro de uma organização produtiva. Além dos métodos citados, 
você estudou, também, o conceito de TMA, ou seja, a taxa que 
reflete o custo de oportunidade de investimento da empresa.
53
Engenharia Econômica
Unidade 2
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas, esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Abaixo, encontra-se os fluxos de caixa de dois projetos que uma 
empresa poderá escolher, usando a técnica de pay-back descontado, 
qual projeto você escolheria? Justifique. A TMA é 12% a.a.
Tabela 2.9 - Pay-back descontado - Fluxos de caixa de dois projetos
Ano A B
0 –48.000 –18.000
1 20.000 8.000
2 10.000 6.000
3 10.000 6.000
4 15.000 4.000
5 15.000 4.000
Fonte: Elaboração da autora (2009).
2. A partir dos projetos da questão 1, faça escolha utilizando a técnica do 
VPL. Justifique.
3. Calculando a TIR para os projetos e A e B, apresentados na questão 1, 
temos os seguintes resultados TIR(A) = 14,60% e TIR(B) = 19,54%, qual 
dos dois projetos seria escolhido por esta técnica? Por quê?
4. Um projeto de investimento inicial de $ 70.000,00 gera entradas de 
caixa de $ 25.000,00 durante os próximos 5 anos. Porém teremos gastos 
anuais de manutenção de $ 5.000,00. Se a TMA é de 8% a.a., qual o 
valor presente líquido dessa operação?
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASAROTTO FILHO; N. KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
HUMMEL, P.; TASCHNER, M. Análise e decisão sobre 
investimentos e financiamentos: Engenharia Econômica - 
teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2004.
PILÃO, N. E.; HUMMEL, P. Matemática financeira e 
engenharia Econômica: a teoria e a prática da análise de 
projetos de investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise 
de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões Financeiras e 
Análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2000. 
3UNIDADE 3Análise de custo-benefício e ponto de equilíbrio
Objetivos de aprendizagem
 „ Desenvolver uma análise de custo comparando com os 
benefícios do projeto.
 „ Classificar custos e receitas de um projeto de 
investimento.
 „ Compreender o cálculo e a aplicabilidade do ponto de 
equilíbrio de um projeto.
Seções de estudo
Seção 1 Custos 
Seção 2 Receitas
Seção 3 Análise de custo-benefício
Seção 4 Ponto de equilíbrio
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Além dos quatro métodos de análise de um projeto de 
investimento, estudados na unidade anterior, você precisa de 
mais alguns conceitos relacionados a uma unidade produtiva, 
ou seja, uma empresa, para completar a sua análise de 
investimento. Dentre estes, estão os custos e as receitas, dois 
fatores importantíssimos que determinarão o lucro do projeto. 
Além de você estudar os conceitos das variáveis custo e receitas, 
você estudará, também, mais um método de seleção de um 
projeto levando-se em consideração os custos e os benefícios de 
cada projeto. Nesta unidade, você vai estudar alguns exemplos 
relacionados a projetos que envolvem questões ambientais. 
Seção 1 – Custos 
Na literatura acadêmica, principalmente para os cursos de 
administração, economia e ciências contábeis, temos classificação 
de custos de forma um pouco distinta. Antes de você estudar 
os custos para a Engenharia Econômica, objeto desta unidade, 
vamos ver alguns conceitos gerais de custos e de custos 
ambientais.
Segundo De Moura (2003), os custos decorrentes de variáveis 
ambientais dentro de uma unidade produtiva podem ser 
classificados em dois tipos: custo de controle e custos de falta de 
controle.
Os Custos de Controle são:
 „ Custos de prevenção: são custos das atividades que visam 
prevenir (evitar) os problemas ambientais no processo 
industrial, no projeto, no desenvolvimento, bem como 
nas demais fases do ciclo de vida do produto.
 „ Custos de avaliação: são os custos despendidos para 
manter os níveis de qualidade ambiental da empresa, por 
meio de trabalhos de laboratóriose avaliações formais 
do sistema de gestão ambiental ou sistema gerencial que 
57
Engenharia Econômica
Unidade 3
se ocupe de garantir um bom desempenho ambiental da 
empresa. Engloba custos com inspeções, testes, auditorias 
da qualidade ambiental e despesas similares.
Os Custos de falta de controle são:
 „ Custos de falhas internas: é o primeiro dos custos 
decorrentes das falhas (ou falta) de controle. Estes 
custos resultam de ações internas na empresa, tais como 
correções de problemas ambientais e recuperação de 
áreas degradadas, desperdícios de material, de energia, 
de água e outros recursos naturais, além de tempo sem 
atividade de máquinas, como resultado de problemas 
ambientais causados (interdições) e re-trabalhos em 
processos causados por não conformidades ambientais. 
Em resumo, referem-se a todos os custos incorridos pelo 
não atendimento às normas, a padrões, procedimentos 
operacionais explícitos de gestão ambiental e correções 
de não conformidades. 
 „ Custos de falhas externas: compreendem os custos de 
qualidade ambiental insatisfatória e não conformidades 
fora dos limites da empresa, resultantes de uma gestão 
ambiental não adequada. Engloba os custos decorrentes 
de queixas ambientais de consumidores levando à 
existência de despesas de correção, recuperação de áreas 
externas degradadas ou contaminadas pela atividade 
da empresa, pagamento de multas aplicadas por órgãos 
ambientais de controle. Ou indenizações decorrentes 
de ações legais resultantes de disposição inadequada 
de resíduos, acidentes de transportes de produtos 
tóxicos, inflamáveis, corrosivos, prejuízos decorrentes 
de suspensões de vendas e fabricação de produtos, 
demolições de obras determinadas por autoridade 
competente, campanhas publicitárias visando explicar 
acidentes e problemas, demandas trabalhistas decorrentes 
de acidentes ambientais, etc.
 „ Custos intangíveis: são aqueles com alto grau de 
dificuldade para serem quantificados, embora se perceba 
claramente a sua existência. Como, por exemplo, 
tem-se a perda de valor da empresa (ou das ações) como 
resultado de desempenho ambiental insatisfatório, 
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
baixa produtividade dos empregados como resultado 
de um ambiente poluído, contaminado ou inseguro, 
dificuldades e aumento de tempo (e custos) na obtenção 
do licenciamento ambiental como resultado de multas e 
problemas anteriormente constatados.
Vamos ver, então, o conceito de custo:
Custo é a soma de recursos (mão-de-obra, material, 
equipamentos, etc.) usados para produzir bens e 
serviços. Uma medida do que deve ser cedido para 
obter algo (mediante a compra, intercâmbio ou 
produção). Medidas correntes de custos incluem: custo 
per capita da população; custo por paciente; custo por 
serviço prestado; custo por resultado. Custo é também 
o total de dinheiro requerido para alcançar algo.
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), os custos de 
investimentos são decorrentes das transações dos ativos da empresa 
e os custos operacionais são decorrentes da operação dos ativos.
Você vai estudar, agora, a classificação de cada um dos custos 
considerados na análise de um projeto de investimento.
Custos de Investimento
O investimento pode ser classificado de duas formas: 
investimento fixo e investimento de giro.
O investimento fixo representa os equipamentos, as instalações 
industriais para operação dos equipamentos (energia, ar 
condicionado, dentre outras), a montagem e o projeto quando 
houver, as construções civis necessárias e outros como móveis.
O investimento de giro é o capital próprio adicional necessário 
para a operação do equipamento ou da nova fábrica, sendo 
constituído, principalmente, pelo estoque de matérias-primas e 
componentes, e os recursos necessários para sustentar as vendas a 
prazo.
59
Engenharia Econômica
Unidade 3
Custos operacionais
Os custos operacionais, normalmente, são subdivididos em custos 
de produção e despesas gerais. Os custos de produção são aqueles 
que ocorrem até a fabricação do produto. Por exemplo, tem-se o 
custo das matérias-primas ou o custo de manutenção.
As despesas gerais ocorrem do término da fabricação até a 
complementação da venda e, como exemplo, há as despesas com 
vendas e impostos sobre receitas.
Custos de produção
Os custos de produção, por sua vez, são subdivididos em custos 
diretos e indiretos. Os custos diretos referem-se aos fatores 
diretamente utilizados na fabricação dos produtos e variam, 
normalmente, de forma direta com a utilização da capacidade de 
produção. 
Os custos diretos são relacionados com a provisão dos aspectos 
diretos da atenção, incluindo material e mão-de-obra.
Os principais custos diretos são os seguintes: 
 „ Matérias-primas: materiais incorporados ao produto 
final, por exemplo, na fabricação de uma cadeira, uma 
das matérias-primas pode ser o couro para revesti-la.
 „ Embalagens.
 „ Materiais auxiliares: necessários à fabricação, mas 
não incorporados, tais como graxas, lubrificantes ou 
solventes.
 „ Fretes: gastos com o transporte dos itens anteriores.
 „ Mão-de-obra direta: o colaborador que lida com o 
produto ou opera equipamentos de fabricação, incluindo 
os encargos sociais tais como previdência social.
 „ Consumo de energia elétrica e/ou outro tipo de energia 
como gás natural, por exemplo.
 „ Consumo de água se for o caso, quando a água faz parte 
de alguma maneira do processo produtivo.
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Já os custos indiretos são os custos que não são apenas atribuíveis 
a um aspecto da produção, mas que estão distribuídos em muitos 
deles (por exemplo, a enfermaria, o escritório, o prédio, salários 
de supervisores, serviços de secretaria, etc.). A seguir, acompanhe 
exemplos de custos indiretos: 
 „ Mão-de-obra indireta: salários e encargos sociais do 
pessoal de unidades de apoio à produção, tais como 
manutenção, limpeza, administração da produção dentre 
outros. Perceba que são pessoas importantes no processo 
final de produção da empresa, mas não trabalham 
diretamente na fabricação do produto.
 „ Manutenção: peças de reposição e outros materiais.
 „ Seguros: de prédios, instalações e equipamentos.
 „ Demanda de energia elétrica: todo o restante da energia 
que não é utilizado na produção em si.
 „ Arrendamento: aluguel de prédios ou equipamentos 
industriais, caso necessário.
Despesas gerais
As despesas gerais são classificadas em variáveis e fixas, e incidem 
após o produto ter sido fabricado. 
Despesas gerais variáveis: 
 „ Impostos: normalmente, são os impostos estaduais 
(imposto referente à circulação de mercadorias, a serviços 
e transportes – ICMS) incidentes sobre as receitas. 
Os impostos federais (IPI – imposto sobre produtos 
industrializados) também incidem sobre as receitas. 
 „ Despesas com vendas: comissão aos vendedores.
 „ Despesas financeiras: despesas com desconto de 
duplicatas em bancos comerciais (apenas de curto prazo).
61
Engenharia Econômica
Unidade 3
Despesas gerais fixas:
 „ Despesas administrativas: salários de diretores, gerentes 
e pessoal de escritório e encargos, mais as despesas de 
escritório como telefone, cópias, internet.
 „ Despesas municipais: impostos territorial, predial e taxas 
diversas.
Além da classificação dos custos que você estudou, temos ainda 
uma classificação econômica muito importante, ou seja, a divisão 
dos custos em fixos e variáveis.
Na economia a curto prazo, alguns fatores são fixos, qualquer que 
seja o nível de produção. Normalmente, consideramos como fator 
fixo a planta da empresa e os equipamentos de capital.
Custo Fixo (CF): parcela do custo que se mantém fixa, quando 
a produção varia, ou seja, são os gastos com fatores fixos de 
produção, como aluguéis, depreciação, etc. Nãovariam segundo 
o rendimento ou volume produzido.
Custo Variável (CV): parcela do custo que varia, quando a 
produção varia. É a parcela dos custos da empresa que depende 
da quantidade produzida.
Ou seja, são os gastos com fatores variáveis de produção, como 
folha de pagamentos, despesas com matérias-primas, etc.
Então, o Custo Total (CT) é a soma do custo variável 
total com o custo fixo total: 
CT = CF + CV
A classificação dos custos em duas categorias gerais, fixo e 
variável, facilita a análise de viabilidade e de escolha dos projetos, 
como você vai estudar no item que define ponto de equilíbrio de 
um projeto.
Agora que você já sabe como classificar os custos, vamos estudar 
os benefícios, ou seja, as receitas.
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 2 – Receitas 
Para efeito de análise do investimento, as receitas adicionais 
decorrentes de uma nova fábrica ou de um novo equipamento, 
normalmente, são apenas operacionais, ou seja, é o resultado do 
produto do aumento de produção pelo preço unitário. Vamos 
considerar como receita a receita líquida, ou seja, a receita já 
descontada dos impostos.
Vamos acompanhar um exemplo de receita desenvolvido por 
Casarotto Filho e Kopittke, (2000).
Exemplo
Um tear produz 100 m2 de tecido por hora, o que num ano 
de 360 dias seriam 864.000 m2/ano, esta seria a capacidade 
produtiva nominal. 
Se for admitido que este tear consuma 10% de seu tempo para 
manutenção preventiva e para troca de linhas e desenhos, 
a capacidade cairá para 777.600 m2/ano, esta, então, seria a 
capacidade produtiva técnica do tear.
Se ainda se admitir que a empresa trabalhará apenas dois turnos 
de 8 horas/dia, folgando aos domingos, a produção cairá para 
444.340 m2/ano, que seria a produção real do tear.
Se o preço do m2 livre de impostos for $ 1.000,00 a receita 
líquida a ser considerada será de:
R = 444.340,00 × 1.000 = $ 444.340.000,00
Como você estudou nesta unidade, tanto os custos quanto as 
receitas para qualquer tipo de projeto são duas variáveis muito 
importantes para determinar o lucro da unidade produtiva. 
Então, qualquer organização produtiva tenta minimizar seu 
custo, ter a menor combinação de custos possíveis para alcançar 
seu objetivo. E maximizar sua receita, ou seja, obter a maior 
receita possível, com a venda do seu produto, bem ou serviço. 
63
Engenharia Econômica
Unidade 3
Note que o lucro se dá pela diferença entre receita e custo, então, 
receita menos custos é igual a lucro bruto, de forma geral. Na 
próxima seção, você vai estudar mais uma forma de escolher um 
projeto, levando em consideração os conceitos custo e benefício.
Seção 3 – Análise de custo-benefício
Segundo De Moura (2003), a análise de custo/benefício visa 
comparar o custo estimado de um determinado projeto com os 
benefícios esperados. Trata-se de uma forma racional de decidir 
sobre a adequabilidade e aceitabilidade de prosseguir com o 
projeto. Para a realização dessa análise, é necessário atribuir 
valores monetários a todos os custos incorridos e a todos os 
benefícios. Definir os custos é uma tarefa relativamente fácil. 
Realizado um determinado projeto de um sistema ou 
equipamento referente a uma melhoria ambiental, por exemplo, 
para redução da emissão de poluentes, computa-se o custo dos 
estudos e projetos e obtém-se uma cotação de fabricantes e de 
empresas de construção e montagem para os equipamentos, obras 
civis, montagem e testes. Adicionam-se a esses custos as despesas 
de operação (mão-de-obra, insumos) e manutenção (mão-de-
obra, sobressalentes). Por outro lado, obter um valor monetário 
para os benefícios é urna tarefa bem mais difícil, porém, não 
impossível. Para isso, pode-se realizar uma estimativa de quais 
seriam os prejuízos caso aquele projeto não fosse realizado, por 
exemplo, quais seriam as despesas com tratamento de saúde das 
pessoas (problemas respiratórios decorrentes da poluição do ar), 
o custo para tratamento de águas residuais descarregadas, antes 
de sua reutilização, os “custos” de uma morte por acidente ou 
por doença ocupacional, a perda de uma área contaminada por 
resíduos, etc. As estimativas, mesmo que sejam relativamente 
grosseiras resultam em valores numéricos que podem ser 
comparados aos valores dos custos. Por exemplo, o cálculo 
polêmico do “preço de uma vida” pode ser feito calculando-se 
o salário da pessoa que seria acumulado até que ela completasse 
65 anos mais uma indenização à família por danos morais, ou 
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
verificando-se qual o valor do seu seguro de vida (valor que 
a própria pessoa atribui à sua vida). Outros valores de difícil 
avaliação podem ser obtidos por pesquisa de opinião. Por 
exemplo, a perda de um lago ou represa para fins turísticos, a 
poluição da Baía de Guanabara ou a melhoria da qualidade do 
ar das grandes cidades podem ser avaliados fazendo-se, por 
exemplo, uma pesquisa de opinião com perguntas do tipo “está 
sendo preparado um projeto de lei para construir uma estação 
de tratamento de esgotos, de forma que não sejam despejados na 
represa sem tratamento. A pergunta seria: quanto você estaria 
disposto a pagar a mais de imposto para que essa estação seja 
construída”. Verificando-se a média e o número de pessoas 
daquela comunidade, calcula-se o preço que a água limpa 
daquela determinada represa ou lago tem para a comunidade. 
Outro exemplo fictício poderia ser: “está sendo preparado 
um projeto de lei para acabar com o rodízio em São Paulo no 
inverno. Entretanto, para que a poluição do ar não atinja níveis 
intoleráveis, vai ser aplicado um imposto para os motoristas que 
circularem. De quanto deve ser esse imposto, em sua opinião”. 
Da mesma forma, calculando-se a média das respostas e 
multiplicando-se esse valor pelo número de pessoas, avalia-se o 
valor que elas atribuem à qualidade do ar.
Vamos aplicar os conceitos de custo-benefício para selecionar 
um projeto para resolver as enchentes de Imbituba. Imbituba 
é uma cidade com belas praias a cerca de 100 km ao sul de 
Florianópolis. Os dados são fictícios e são baseados em algumas 
soluções propostas para as enchentes de São Paulo, apresentados 
em De Moura, 2003.
Vamos ao exemplo:
Exemplo
A cidade de Imbituba, situada no sul do estado de Santa 
Catarina, famosa por suas belas praias e por ser um berçário 
para a baleia franca, está preocupada com seus indicadores 
ambientais. Um dos municípios limítrofe da cidade de Imbituba 
é o município de Imaruí, que tem como fonte principal de renda 
65
Engenharia Econômica
Unidade 3
a agricultura. O rio Imaruí, que divide os dois municípios, tem 
causado cheias recorrentes, acarretando um prejuízo anual de R$ 
1.000.000,00.
O prefeito recebeu três propostas de solução do problema, são elas:
 „ Construir uma calha, esta calha reduz o prejuízo com 
as cheias para R$ 100.000,00, ou seja, ainda tem 
prejuízo, mas bem menor do que o atual que é de R$ 
1.000.000,00.
 „ Construir um piscinão, que reduziria o prejuízo para 
50.000.
 „ Construir uma barragem, que reduziria o prejuízo para 
20.000.
Os custos de implantação de cada alternativa são:
 „ Atual é zero; pois a situação fica como está.
 „ Calha é de R$ 5.200.000,00 e mais um custo anual por 
conta da manutenção (drenagem) de R$ 300.000,00.
 „ Piscinão é de R$ 6.500.000,00 e mais R$ 250.000,00 de 
manutenção anual.
 „ Barragem é de R$ 6.900.000,00 e mais R$ 180.000,00 
por ano.
Além destes dados preliminares, temos que considerar que:
 „ O prazo dos projetos é de 30 anos.
 „ A taxa de juros é de 6% ao ano.
 „ A calha não tem custo de terreno, pois se aproveitará 
terras do próprio município.
 „ O piscinão terá que ser construído em terreno privado e 
o prejuízo será de R$ 2.500,00 por ano.
 „ A barragem também tem um prejuízo com o terrenonecessário para o depósito dos resíduos da drenagem de 
R$ 3.000,00 por ano.
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
Levando em conta todos esses fatores, qual seria a 
solução mais recomendada?
Proposta de solução: vamos comparar duas a duas as alternativas, 
verificando benefícios e custos. O benefício será quanto 
ganharemos por deixar de existirem os prejuízos. A ideia é que o 
que deixamos de gastar com tal alternativa vire benefício para a 
outra.
Vamos numerar a alternativas:
1 [ATUAL];
2 [CALHA];
3 [PISCINÃO];
4 [BARRAGEM], em que 
B = benefícios e 
C = custos.
1. Comparando [ATUAL] com [CALHA]: para comparar os 
dois primeiros projetos, vamos diminuir os benefícios e os custos 
e depois compará-los, como segue:
B: ([CALHA] – [ATUAL]) = 1.000.000 – 100.000 = 900.000
Para avaliação do custo anual de [CALHA], calcularemos como 
sendo uma anuidade, ou seja, quanto se gasta por ano mais o 
investimento inicial distribuído ao longo dos 30 anos.
C: [CALHA] = 5.200.000(A/P; 6%,30) + 300.000
Como você aprendeu na Unidade 1, vamos calcular uma A/P 
com uma taxa de 6% e para n = 30, então:
n
n
i
i i
30
Sempre escrevemos o 
segundo projeto como o 
primeiro da comparação.
67
Engenharia Econômica
Unidade 3
O que fizemos foi calcular uma anuidade do custo total do 
projeto, agora, podemos somar com o custo anual da calha que 
é 300.000, então, o custo total da calha será: 677.774,34 como 
o custo do atual é zero, porque esta alternativa tem custo de 
implementação já que não se vai fazer nada. Então: 
C: ([CALHA] – [ATUAL]) = 677.774,34 – 0 = 677.774,34
Agora, para comparar custo e benéfico, vamos diminuir o saldo 
do benefício pelo saldo do custo:
B – C = 900.000 – 677.774,34 = 222.225,66,
sempre que este valor for maior que zero, ou seja, positivo, 
escolhemos o primeiro projeto (o projeto escrito no começo da 
comparação), neste caso, a CALHA, então, quando B – C > 0, 
escolhemos o primeiro projeto. Portanto, como uma primeira 
conclusão, é vantajoso realizar a obra da opção [CALHA] 
em relação a não fazer nada. Se o resultado final fosse menor 
que zero, escolheríamos o ATUAL. Bom como escolhemos a 
CALHA, descartamos o ATUAL e vamos compará-la com o 
próximo projeto que é o PISCINÃO.
2. Comparando CALHA com PISCINÃO: 
O benefício adicional será o melhor controle de alagamentos, 
porém, precisaremos também levar em conta os prejuízos 
resultantes da não utilização do solo para outras construções:
B: ([PISCINÃO] – [CALHA]) = 100.000 – (50.000 + 2.500) 
= 47.500
Note que, agora, o prejuízo do piscinão também deve ser levado 
em consideração os 2.500 do terreno, este prejuízo extra não 
temos no caso da calha.
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
O custo da calha já calculado acima, agora, temos que fazer o 
mesmo procedimento para o custo do piscinão.
C: ([PISCINÃO] – [CALHA]) =
= [6.500.000 (A/P; 6%, 30) + 250.000] 
– [5.200.000 (A/P; 6%, 30) + 300.000]
= [722.217.93] – [677.774,34]
C: ([PISCINÃO] – [CALHA]) = 44.443,59
B – C = 47.500,00 – 44.443,59 = 3.056,41,
como B – C > 0, escolhemos o piscinão, ou seja, é a opção 
considerada adequada do ponto de vista econômico.
3. Comparando-se, agora, a opção [PISCINÃO] com a opção 
[BARRAG]:
B:([BARRAGEM] – [PISCINÃO]) =
= (50.000 + 2.500) – (20.000 + 3.000) = 29.500
C:([BARRAGEM] – [PISCINÃO]) =
= [6.900.00 (A/P; 6%, 30) + 180.000] 
– [6.500.00 (A/P; 6%, 30) + 150.000] 
= [681.277,49] – [722.217,93] = –40.940,44
B – C = 29.500 – (–40.940,44) = 70.440,44, 
como B – C > 0, então, o melhor projeto é a barragem. Portanto, 
concluímos que a melhor opção do ponto de vista econômico 
seria realizarmos as obras de barragem, embora continuem 
apresentando prejuízos anuais.
Você aprendeu, nesta seção, mais uma forma de selecionar o 
melhor projeto considerando os custos e benefícios financeiros 
dos projetos apresentados. Na próxima seção, você vai estudar o 
ponto de equilíbrio de dois projetos em termos de custos.
69
Engenharia Econômica
Unidade 3
Seção 4 – Ponto de equilíbrio
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), a finalidade da 
classificação dos custos em fixos e variáveis é que ela permite 
uma comparação melhor entre alternativas com diferentes 
estruturas de custos. Pode-se verificar qual a melhor alternativa 
para diferentes níveis de produção ou demanda, isto é, achar o 
ponto de equilíbrio (break-evenpoint) entre duas alternativas. Em 
projetos, o ponto de equilíbrio também significa que naquele 
nível de produção, os custos se igualam às receitas e, a partir 
deste ponto, ponto de equilíbrio, o negócio se torna lucrativo.
No exemplo abaixo, vamos encontrar o ponto de equilíbrio dos 
dois projetos, ou seja, o ponto em que os custos de ambos os 
projetos se igualam. 
Suponha que tenhamos que escolher um processo de tratamento 
de esgotos, usando filtros (processo A) ou lodo ativado (processo 
B). Os custos respectivos são:
Tabela 3.1 - Ponto de equilíbrio - Processo A e Processo B
Custos Processo A Processo B
Custo inicial (R$) 25.000,00 32.000,00
Custo anual de operação (R$) 2.000,00 1.800,00
Custo com produtos químicos (R$/m3 tratado) 0,30 0,22
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Suponha que a instalação tenha uma previsão de uso por 5 anos. 
A taxa de juros é de 14%. Quantos m3 precisam ser tratados por 
ano, para que os dois sistemas tenham igual custo? Ou seja, qual 
o ponto de equilíbrio dos projetos?
Note que os custos fixos são os custos iniciais equivalentes há 
um ano mais as operações, já os custos de produtos químicos vão 
variar juntamente com a quantidade de m3 de esgoto produzido 
pela a empresa.
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Solução: a primeira providência será distribuirmos os custos 
iniciais (investimentos) pelos 5 anos, à taxa de juros considerada:
 „ Proposta A:
(1 )A P 25.000 0,2912 7282,09
(1 ) 1
n
n
i i
i
 + ⋅= = × = + − 
A mesma forma para B: A = 9.321,07
Assim, o custo total de A, para uma quantidade de x m3 tratados 
no ano, será:
CA = 7.282,09 + 2.000,00 + 0,30x 
CB = 9.321,07 + 1.800,00 + 0,22x 
Igualando os custos totais:
9.282,09 + 0,30x = 11.121,07 + 0,22x 
0,08x = 1.838,98
x = 22.987 m3 
Desta forma, a quantidade de m3 que igualaria os projetos seria 
de 22.987 m3, se a empresa produzir esta quantidade, tanto faz 
escolher o processo A quanto o B.
O ponto de equilíbrio de um projeto nos permite tomar decisão 
de quantidade produzida de um determinado produto, ou 
como no caso acima, de alguma externalidade. Qualquer valora 
abaixo do ponto de equilíbrio não será a melhor solução ou 
não proporcionará a maior lucratividade ou menor custo para a 
empresa.
71
Engenharia Econômica
Unidade 3
Síntese
A partir do estudo desta unidade, você poderá classificar os 
custos e as receitas de um projeto. E aplicando a técnica de 
custo-benefício, você poderá fazer a escolha de um projeto entre 
as várias alternativas disponíveis do mercado. A classificação 
dos custos entre variável e fixo permitem o cálculo do ponto de 
equilíbrio entre os projetos.
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Defina custo fixo e custo variável, e exemplifique estes custos através 
dos dados de uma empresa. Pesquise na internet o balanço patrimonial 
de alguma empresa para ajudá-lo na realização da tarefa.
2. Refaça a análise custo-beneficio do exemplo da cidade de Imbituba 
apresentado na seção 3, substituindo os juros por 8% a.a.
3. Utilizando os mesmo dados da tabela 3.1 vamos calcular o ponto de 
equilíbrio para osprojetos alterando o período para 6 anos e a taxa de 
juros para 10% a.a.
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
DE MOURA, L. A. A. Economia ambiental: gestão de custos 
e investimentos. 2. ed. São Paulo: Juarez de Oliveira, 2003.
HUMMEL, P.; TASCHNER, M. Análise e decisão sobre 
investimentos e financiamentos: Engenharia Econômica - 
teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2004.
PILÃO, N. E.; HUMMEL, P., Matemática financeira e 
engenharia econômica: a teoria e a prática da análise de projetos 
de investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise 
de investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise 
de investimentos. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. São 
Paulo: Atlas, 2000. 
4UNIDADE 4Incerteza e riscos em projetos
Objetivos de aprendizagem
 „ Saber como tomar decisões em condições de 
incertezas.
 „ Saber como tomar decisões em condições de riscos.
Seções de estudo
Seção 1 Análise sob condições de incerteza 
Seção 2 Análise sob condições de riscos
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Até agora, nas unidades que você estudou, os modelos de 
apresentações para avaliação e escolha de projetos eram o que 
chamamos na estatística de problemas determinísticos, ou 
seja, tínhamos todos os dados disponíveis e, a partir deste, 
aplicamos algum modelo ou método e chegamos a um resultado. 
A partir deste resultado, podemos aceitar ou rejeitar um 
determinado projeto. Nesta disciplina, particularmente, você vai 
aplicar metodologias de Matemática Financeira e Engenharia 
Econômica para chegar aos resultados para a tomada de decisão. 
Nesta unidade, vamos introduzir a variável incerteza, ou seja, 
nem sempre as variáveis que trabalhamos, tais como custos, 
preços e receitas, serão possíveis de prever ou determinar, 
qualquer elemento de incerteza poderá mudar a forma de escolha.
Seção 1 – Análise sob condições de incerteza 
Antes de você estudar as técnicas de análise de incerteza, vamos 
estabelecer a diferença teórica entre incerteza e risco. Isso porque, 
na prática, algumas variáveis podem se comportar de uma 
forma não esperada dado algum fator externo à organização, 
um exemplo seria a atual crise de crédito dos Estados Unidos, 
que acabou afetando não só o seguimento imobiliário 
americano, como vários países do mundo. Como os juros estão 
correlacionados inversamente com a quantidade de dinheiro que 
circula no mercado, ou seja, quanto menos dinheiro e/ou crédito 
disponível maior o juro. Uma previsão da nossa organização a 
longo prazo não poderia contar com o efeito de tal crise.
Então, quando estamos falando do futuro, podemos ter risco e 
incerteza. Segundo Pindyck e Rubinfeld (1994, p. 179), alguns 
autores fazem distinção entre incerteza e risco. 
75
Engenharia Econômica
Unidade 4
A incerteza, em geral, se refere às situações para 
as quais muitos resultados futuros são possíveis de 
acontecer, porém, nada se sabe sobre a probabilidade 
de ocorrência de cada um destes resultados. Risco, 
por outro lado, seria a situação onde se conhece todos 
os resultados futuros possíveis e suas respectivas 
probabilidades de ocorrência.
O que se pode observar na prática é que uma situação de absoluta 
incerteza, é difícil de acontecer. Quase sempre será possível 
estabelecer alguns limites de variação dos possíveis valores que 
uma determinada variável possa assumir no futuro. 
Então, o que difere é o grau de probabilidade de ocorrência de 
tal variável que estamos estudando, aqui, você tem que rever os 
conceitos de probabilidade e distribuição de probabilidade.
Assim, segundo Woiler e Franco Mathias (1983), com a 
introdução do risco na análise de investimentos, já não se pode 
dizer que duas alternativas com mesmo valor presente, quando 
descontadas à mesma taxa de juros, sejam economicamente 
equivalentes. Será melhor a alternativa que apresentar uma menor 
possibilidade de variação. 
As técnicas utilizadas para consideração da incerteza são:
1. Análise de sensibilidade;
2. Método de Laplace;
3. Método MAX MIN;
4. Método MAX MAX;
5. Método de Hurwicz;
6. Método de Savage;
7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets.
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, 
teoria que se consagrou no ano de 1994, quando o Prêmio 
Nobel de Economia foi conferido ao americano, John F. Nash, 
ao húngaro, John Harsanyi, e ao alemão, Reinhard Selten, pelo 
desenvolvimento mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação 
em economia. 
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), sob condições de 
incerteza, existem, basicamente, três alternativas para a solução 
dos problemas: 
a) Uso de regras de decisão às matrizes de decisão;
b) Análise de sensibilidade: quando não se dispõe 
de qualquer informação sobre a distribuição de 
probabilidade;
c) Simulação: quando se dispõe de alguma informação para 
que ela possa transformar a incerteza em risco.
Nesta unidade, vamos tratar com mais detalhes as matrizes 
de decisões e a análise de sensibilidade, dado que o estudo da 
simulação requer um estudo mais aprofundado da teoria das 
probabilidades e o uso de planilhas eletrônicas para os cálculos. 
Ou seja, vamos nos concentrar no estudo das técnicas de 1 a 5.
Regras de decisão para matrizes de decisão
As matrizes de decisão ou de receitas (pode ser custos também) 
são tabelas que relacionam alternativas com as diferentes 
eventualidades futuras. Então, você pode compor uma matriz de 
dados, que nada mais é do que uma tabela com dados referentes 
a receitas, por exemplo, só que as receitas serão relacionadas 
com cenários distintos. Nestes cenários, geralmente colocamos 
as alternativas positivas, ou seja, otimistas; as alternativas mais 
ou menos ou intermediárias e as alternativas onde tudo vai dar 
errado, as pessimistas.
77
Engenharia Econômica
Unidade 4
Vamos utilizar o exemplo de Casarotto Filho e Kopittke (2000), 
para aplicar a regra de decisão por matriz. Vamos supor que 
um agricultor está em dúvida na escolha entre três culturas: A, 
B e C. As receitas que ele irá obter dependem das condições 
climáticas, as quais poderão ser boas (b), médias (m) ou ruins (r). 
A tabela, a seguir, mostra as receitas das combinações entre as 
alternativas do agricultor e as condições climáticas. Esta tabela é 
uma matriz de decisão.
Tabela 4.1 - Matriz de decisão
Alternativas 
de Culturas
Condições Climáticas
b m R
A 100 70 30
B 72 60 50
C 90 90 25
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 339).
Para ilustrar as diversas regras de decisão, vamos supor, 
inicialmente, que o agricultor não tenha condições de prever 
quais serão as condições climáticas para a próxima estação, e 
ainda mais que ele não possa estipular uma probabilidade de 
ocorrência destas condições climáticas. Ele deverá decidir em 
condições de incerteza.
1ª Regra: Max Min (quando o problema envolve a receita) 
ou Min Max (quando o problema envolve custos).
É uma regra pessimista, o pessimista tenderá a escolher a 
máxima receita dos piores resultados, ou seja, das mínimas 
receitas. Se o agricultor for extremamente pessimista, ele não 
irá, necessariamente, achar que o tempo será sempre ruim. Ele é 
tão pessimista que dirá “se eu escolher a cultura B, então, poderá 
fazer tempo bom”, mas como ele também pensa que poderá fazer 
tempo ruim se escolher A ou C, então, acaba optando por B, que 
é a decisão que assegura o máximo dos mínimos. Se você analisar 
umamatriz de custos, o raciocínio é o mesmo, só que no lugar do 
máximo das receitas, você quer o mínimo de custos possível.
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2ª Regra: Max Max (problemas de receita) 
ou Min Min (problemas de custos).
Os muito otimistas tendem a utilizar esta regra. O agricultor 
otimista fará as seguintes previsões:
Tabela 4.2 - Regra MAX MAX - previsões de um agricultor
Se escolher O tempo estará E a receita será
A B 100
B B 72
C b ou m 90
Fonte: Elaboração da autora (2009).
A decisão pela regra Max Max será, então, a A que apresenta a 
maior receita.
3ª Regra: Hurwicz.
Esta regra sofistica um pouco as duas regras anteriores, pois 
considera-se que cada pessoa tenha um grau de otimismo (ou 
pessimismo) e a decisão será ponderada em função deste grau.
Supondo que o agricultor seja 50% otimista e 50% pessimista, a 
ponderação a ser feita dá as seguintes receitas (R):
R(A) = 100 × 0,50 + 30 × 0,50 = 65
R(B) = 72 × 0,50 + 50 × 0,50 = 61
R(C) = 90 × 0,50 + 25 × 0,50 = 57,5
Então, a partir das receitas da tabela 4.1 e multiplicando pela 
ponderação de 50% cada, temos, pela regra Hurwicz, a melhor 
alternativa é a A, que representa maior receita.
4ª Regra: Regra de Laplace ou da razão insuficiente.
Se não é possível prever o estado da natureza, então, por que 
não supor que todos os estados sejam igualmente prováveis? 
Esta suposição permite escolher o valor esperado (E) de 
cada alternativa, o valor esperado é a media ponderada das 
alternativas.
79
Engenharia Econômica
Unidade 4
Para calcular a média ponderada, vamos multiplicar cada 
resultado de receita por requisito b, m e r por 1 (peso 1) e dividir 
por 3, que é o número de alternativas:
100 1 70 1 30 1E(A) 66,77
3 3 3
72 1 60 1 50 1E(B) 60,67
3 3 3
90 1 90 1 25 1E(C) 68,33
3 3 3
     × × ×= + + =     
     
     × × ×= + + =     
     
     × × ×= + + =     
     
Pela regra de Laplace o agricultor escolheria a alternativa C.
Você pode notar que as regras são um tanto vagas, mas a 
situação não permite mais detalhamento, cabe ao analista ter a 
sensibilidade de escolher a regra que melhor se adapte à situação 
em estudo. 
Análise de sensibilidade
A análise de sensibilidade é a abordagem que utiliza inúmeros 
valores possíveis para uma determinada variável (fluxo de 
caixa, taxa de juros, etc.), a fim de avaliar o seu impacto na 
rentabilidade do projeto. 
Quando uma pequena mudança no valor uma variável 
resulta em mudança na escolha da alternativa, diz-se 
que a decisão é sensível àquela variável, daí o nome 
de análise de sensibilidade. Ao contrário, a decisão é 
insensível à estimativa quando variações relativamente 
amplas na variável em apreço não modificam a escolha 
da alternativa.
Portanto, é de grande interesse ao analista de investimentos 
determinar os fatores que são sensíveis num dado estudo de 
viabilidade. 
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
Vamos usar um exemplo de Casarotto e Kopttke, (2000, p. 341): 
Em novembro, uma empresa investirá $100 mil em equipamentos 
e treinamento de pessoal para lançar um calçado de verão, nos 
meses de dezembro, janeiro e fevereiro. A previsão de vendas é de 
10 mil pares por mês a um preço de $10/par. Os custos fixos serão 
de $20 mil/mês e os custos variáveis de $4/par. Ao final dos três 
meses, a empresa venderá o equipamento por $30 mil. Analise a 
TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta 
previsão. A TMA da empresa é de 10% ao mês. 
 „ Solução
a) Sob a previsão de vendas original: 
Investimento: $100 mil
Receita mensal: 10 mil × $10 = $100 mil/mês 
Custos variáveis: 10 mil × $4 = $40 mil/mês 
Custos fixos: $20 mil/mês 
Valor residual: $30 mil 
O Fluxo de Caixa será: 
100
40 40 70
A taxa interna de retorno e o valor presente líquido, para uma 
TMA de 10%, serão: 
TIR = 20, 94% a.m > TMA → viável 
VPL = $22,01 > 0 → viável 
Caso sinta necessidade 
de rever este conteúdo, 
retome a leitura da 
Unidade 3 desta 
disciplina.
81
Engenharia Econômica
Unidade 4
b) Admitindo-se variações negativas nas vendas: 
b.1) Variação para menos 10% da receita: 9 mil pares/mês 
Receita mensal: 9 mil × $10 = $90 mil/mês 
Custos variáveis: 9 mil × $4 = $36 mil/mês 
Custos fixos: $20 mil/mês (não se altera) 
O Fluxo de Caixa será: 
100
34 34 64
TIR = 13, 56% a.m > TMA → viável 
VPL = $7,09 > 0 → viável 
b.2) Variação para menos 20% da receita: 8 mil pares/mês 
O Fluxo de Caixa será: 
100
28 28 58
TIR = 6,02% a.m < TMA → não viável 
VPL = –$7,83 < 0 → não viável 69
Portanto, com sucessivas hipóteses de erros de previsão, pode-se 
elaborar uma curva.
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
8
6
10 TMA
TIR
n de pares/mês (×1.000)o
ponto de equilíbrio
13,5
21
8,5 9 10
Pelo gráfico, vê-se que se a empresa não conseguir vender mais 
que 8.500 pares/mês, sua TIR será inferior à sua TMA, ou seja, 
estará abaixo do ponto de equilíbrio e, portanto, apresentará 
prejuízos.
Seção 2 – Análise sob condições de riscos
Conhecendo-se as distribuições de probabilidade das parcelas, é 
possível analisar o problema de forma bastante segura.
Se as parcelas seguirem a distribuição normal, o somatório 
das parcelas conduzirá a uma distribuição normal (teorema do 
limite central). Esta nova distribuição normal terá como média o 
somatório das médias das parcelas e como variância, o somatório 
das variâncias das parcelas. Porém, é muito difícil identificar as 
parcelas como normal. Por isso, é comum recorrer à distribuição 
β como forma de aproximação, visto que a soma de distribuição 
β também conduz a uma distribuição normal. Os resultados 
não serão tão precisos, porém, se constituirão em importantes 
informações para uma tomada de decisão.
A distribuição β é uma distribuição truncada, 
caracterizada por 3 pontos: mínimo (a), máximo (b) e 
mais provável (m).
 
A média é obtida pela formulação E = 
1
6 (a + 4m + b)
 
A variância σ2 = [16 (b – a)]2
83
Engenharia Econômica
Unidade 4
O modelo matemático
R0
R1 R2 Rn
Em que:
R0 = Investimento inicial
Rt = lucro por período
t = 1, …, n (período)
i ’ = TMA
i = TIR
Como estamos falando de Rt (lucro por período) incertos, o 
critério de avaliação do projeto leva em conta o risco. 
A alternativa proposta por Casarotto Filho e Kopttke (2000) é a de 
utilização da distribuição β para a estimativa dos valores de Rt.
A vantagem da utilização da distribuição β é que ela fica 
caracterizada por apenas três valores.
Para este problema teríamos:
Rt(a): Lucro mínimo previsto no período t 
Rt(b): Lucro máximo previsto no período t 
Rt(m): Lucro mais provável no período t 
A média e o desvio padrão são obtidos, respectivamente, por:
Média: E[Rt] = 
1
6 (Rta + 4Rtm + Rtb)
Variância: σ2[Rt] = [16 (Rtb – Rta)]2 
Para ser movimentada no 
fluxo, cada parcela R1, R2 
tem que ter descontada 
uma taxa de juros que 
pode ser a TMA ou a TIR, 
como será explicado no 
decorrer desta unidade. 
Elas são o resultado do 
modelo. Estão, dentro do 
fluxo de caixa.
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
O investimento inicial para lucro por período conhecido é:
R0 = 
1
n
t=
∑Rt·(P/F, i, t), 
em que (P/F) significa o fator do valor presente.
Então, podemos denominar: Rt·(P/F, i, t) = VPt 
Desta forma:
R0 = 
1
n
t=
∑VPt,
ou seja, o investimento inicial é igual à somatória do valor 
presente dos lucros por períodos.
Como sabemos que VPt é diretamente proporcional a Rt, então: 
Rt(a) → VPt(a), pois VPt(a) = Rt(a)·(P/F, i, t)
Rt(b) → VPt(b), pois VPt(b) = Rt(b)·(P/F, i, t)
Rt(m) → VPt(m), pois VPt(m) = Rt(m)·(P/F, i, t)
E, ao invés de utilizarmos a distribuição β paraRt, podemos 
utilizá-la diretamente para VPt.
Sabe-se que o somatório das funções β produz uma função que 
segue distribuição normal e que a média e a variância desta 
distribuição normal são dadas respectivamente pelos somatórios 
das médias e das variâncias das funções β.
Para o problema em questão, podemos denominar de z a 
distribuição normal:
z = 
1
n
t=
∑VPt
Então:
A média de z
E(z) = 
1
n
t=
∑EVPt
Mas, 
85
Engenharia Econômica
Unidade 4
E[VPt] = 
1
6 (VPta + 4VPtm + VPtb) 
= 16 (Rta + 4Rtm + Rtb)·(P/F, i ’, t)
E[VPt] = E[Rt]·(P/F, i, t)
Então: 
E(z) = 
1
n
t=
∑E[Rt]·(P/F, i ’, t)
Analogamente, para variância:
σ2(z) = 
1
n
t=
∑ σ2(Rt)·(P/F, i ’, t)
Possuindo, agora, esta distribuição normal, o valor presente dos 
lucros z, é possível sua comparação com o investimento R0.
Temos a distribuição Normal
E( )z
A probabilidade de que z seja maior ou igual a R0 será a mesma 
de que a Taxa Interna de Retorno TIR (i) seja maior ou igual à 
Taxa Mínima de Atratividade TMA (i ’).
E( )zR0
Então, a probabilidade P
P[z ≥ R0] = P[i ≥ i ’]
86
Universidade do Sul de Santa Catarina
Portanto, agora, pode ser formulado um novo critério para as 
decisões. Define-se, por exemplo, um nível de aceitabilidade, ou 
nível de significância α.
Se:
P[i ≥ i ’] ≥ α → aceita-se.
P[i ≥ i ’] < α → rejeita-se.
Exemplo
Suponha que uma empresa fará investimentos para lançar seu 
produto para a próxima temporada de verão: um novo modelo 
de ventilador doméstico. Note que este produto é sazonal já que, 
na maioria das regiões brasileiras, temos as quatro estações bem 
definidas.
O investimento, em ajuste de equipamentos, treinamento de 
pessoal, pesquisa de mercado e projeto do produto chega a 
R$ 3 milhões.
O estudo de mercado previu para os meses de novembro, 
dezembro, janeiro, fevereiro e março os seguintes números de 
venda:
Tabela 4.3 - Previsão de vendas
Vendas/mês Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
Máximo (b) 1.200 1.600 2.500 1.800 1.000
Mais provável (m) 1.000 1.300 2.000 1.600 800
Mínimo (a) 500 1.100 1.700 1.200 500
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 349).
Estudos anteriores demonstraram que as vendas de cada mês, 
normalmente, independem das vendas dos meses anteriores. A 
dependência maior é das condições climáticas. 
 „ O preço de venda do produto é de R$ 1.000,00.
 „ O custo variável unitário é de R$ 200,00.
 „ O custo fixo total é de R$ 300 mil.
87
Engenharia Econômica
Unidade 4
A empresa deseja conhecer o risco que correrá em não conseguir 
atingir sua TMA que é de 6% ao mês.
 „ Solução:
Vamos começar calculando os lucros mensais Rt (em R$ mil): 
Tabela 4.4 - Cálculo dos lucros mensais
Meses Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
Prev. a m b a m b a m b a m b a m b
Vendas 500 1.000 1.200 1.100 1.300 1.600 1.700 2.000 2.500 1.200 1.600 1.800 500 800 1.000
- CV 100 200 240 220 260 320 340 400 500 240 320 360 100 160 200
- CF 300 300 300 300 300
Rt 100 500 660 580 740 980 1.060 1.300 1.700 660 980 1.140 100 340 500
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 350).
Em que: (a) Mínimo; (m) mais provável; (b) máximo. Rt é o saldo 
entre o que é vendido e os custos. 
Vamos calcular o Rt para novembro com a previsão de 
Mínimo (a), então:
Rt = 500 – (100 + 300) = 100 
e, assim, segue o cálculo de Rt (lucros mensais). Note que as 
vendas de R$ 500 mil, neste caso, são referentes a 500 unidades 
produzidas, já que cada unidade é vendida por R$ 1.000,00. 
Assim como o CV (custo variável) é o resultado de 500 unidades 
vezes R$ 200,00. Já o CF (custo fixo) é igual para todos os casos 
já que ele não varia com a quantidade de unidades produzidas. 
a) Cálculo da média e da variância dos lucros mensais Rt:
Tabela 4.5 - Cálculo da média e da variância dos lucros mensais
Estat./mês Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
E[Rt] 460 753 1.327 953 327
σ2[Rt] 8.711 4.444 11.378 6.400 4.444
Fonte: Elaboração da autora (2009).
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Em que E[Rt] é a média dos lucros para cada mês, para 
novembro temos:
E[Rt] = 
1
6 (Rta + 4Rtm + Rtb) = 
1
6 (100 + 4·(500) + 660) = 460
E a variância (σ2[Rt]) é:
σ2[Rt] = [16 (Rtb – Rta)]2 = [16 (660 – 100)]2 = 8.711
b) Cálculo de E(z) e σ2 
E(z) = 
1
n
t=
∑E[Rt]·(P/F, i ’, t) → E(z) = 
1
n
t=
∑E[Rt]·(P/F, 0,06, t)
O P/F da fórmula indica que devemos calcular o valor presente 
de cada Rt do futuro (F) a uma taxa de 0,06 ou seja TMA da 
empresa de 6% por um t igual a 5 (5 meses).
Então:
Média
1 2 3 4 5
460 753 1.327 953 327E( )
(1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06)
z = + + + +
+ + + + +
E(z) = 433,96 + 670,17 + 1.114,17 + 754,86 + 244,35 
E(z) = 3.217,51
Variância:
σ2(z) = 
1
n
t=
∑ σ2(Rt)·(P/F, i’, t) → σ2(z) = 
1
n
t=
∑ σ2(Rt)·(P/F, 0,06, 
t)
2
1 2 3 4 5
8.711 4.444 11.378 6.400 4.444( )
(1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06)
zσ = + + + +
+ + + + +
σ2(z) = 8.217,92 + 3.955,14 + 9.553,19 + 5.069,39 + 3.320,81
σ2(z) = 30.116,45
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Desvio padrão: ( ) 30.116,45 173,54zσ = =
89
Engenharia Econômica
Unidade 4
c) Cálculo do risco
Temos que procurar a área de probabilidade na tabela da curva 
normal ou tabela z, você encontra esta tabela ao final de livros de 
probabilidade. Desta forma, vamos transformar o valor R0 numa 
função de z:
0 ( ) 3.000 3.217 1,25,
( ) 173
R E z
z
z
− −= = = −
σ
este é o valor normalizado do investimento inicial R0, daí temos 
que procurar este valor na tabela z, procure na linha 1,2 e 
complete o número com a segunda casa da tabela, ou seja, sétima 
coluna. A curva normal é simétrica, o que significa que os valores 
para o lado positivo são iguais para o lado negativo. Então, da 
tabela temos que z = –1,25 é igual a 0,3944, abaixo temos parte 
da tabela normal para ilustrar:
Tabela 4.6 - Curva normal - valores de z
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (1999).
A decisão é 
P[i ≥ i ’] = P[z ≥ R0] = 0,3944 + 0,5000 = 0,8944 ou 89,44%, 
ou seja, temos 89,44% de probabilidade de que os lucros (Rt) 
sejam maiores que o investimento inicial, então, o risco é 100% 
menos 89,44%, ou seja, 10,56%.

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0596 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0596 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,23890,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549
0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
Vamos ver na ilustração da curva normal:
E( ) = 3.217zR = 3.0000
O que equivale em valores de z:
E( ) = 0zR = 1,250
0,3944 0,5000
A curva normal tem 0,5000 ou 50% dos seus valores no lado 
direito e 50% no lado esquerdo.
E( ) = 0zR = 1,250Risco
Como conclusão, podemos dizer que o risco da empresa atingir 
um retorno inferior ao mínimo desejado é de 10,56%.
O cálculo do risco apresenta uma boa estimativa do quanto se 
pode ganhar ou perder com um investimento.
Como você pode perceber, calcular as alternativas sob condições 
de riscos é pouco mais complicado do que sob incerteza. O 
melhor é ter os fatos determinados, mas como nem sempre 
é possível, podemos recorrer aos conceitos desenvolvidos em 
disciplinas de Estatística II ou Probabilidade e Estatística.
91
Engenharia Econômica
Unidade 4
Síntese
Você estudou, nesta unidade, algumas importantes técnicas 
de análise de projeto quando o analista está sob condições de 
incerteza ou risco. A incerteza, propriamente dita, limita bastante 
as conclusões, mas, mesmo assim, podemos fazer algumas 
previsões a partir de regras como as de Hurwicz ou Laplace. 
Quando estamos falando de um risco, podemos calcular a 
probabilidade deste ocorrer comparando os lucros futuros com 
o investimento inicial pressupondo uma TMA desejada. Para o 
cálculo do risco, usamos a distribuição normal de probabilidades.
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Suponha que a matriz de dados abaixo representa a possibilidade de 
plantio de um determinado agricultor:
Tabela 4.7 - Possibilidade de plantio
Alternativas 
de Culturas
Condições Climáticas
b m r
Arroz 90 70 40
Milho 56 30 10
Soja 190 90 55
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Determine qual a melhor cultura para o plantio segundo as regras:
a. Max Max
b. Hurwicz
c. Laplace
2. Calcule o risco para empresa de ventiladores do exemplo desenvolvido 
na seção dois, alterando seus custos fixos para R$ 280 mil.
92
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 4. ed. 
São Paulo: Atual, 1999.
Pindyck, R. S.; Rubinfeld, D. L. Microeconomia. São Paulo: 
Makron Books, 1994.
5UNIDADE 5Substituição de equipamentos, Depreciação e Leasing
Objetivos de aprendizagem
 „ Ter conhecimentos para a tomada de decisão relativa à 
substituição de um ativo.
 „ Compreender o impacto da depreciação no fluxo de 
caixa.
 „ Compreender as vantagens entre comprar ou alugar 
um ativo.
Seções de estudo
Seção 1 Análise de substituição de equipamentos
Seção 2 Depreciação
Seção 3 Leasing
94
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Nesta unidade, você vai conhecer três importantes temas que 
acabam impactando nas análises de fluxo de caixa de uma 
empresa. Primeiro, você vai estudar a questão da substituição 
de um ativo dentro da organização. Um ativo pode ser uma 
máquina que faz parte do processo produtivo ou um carro. 
A ideia é analisar até quando uma máquina pode continuar 
produzindo e se vale a pena trocá-la por uma nova ou continuar 
pagando manutenção. Dentro desta linha, temos na Engenharia 
Econômica um importante conceito que é a depreciação dos 
ativos, apesar de ser um conceito contábil, acaba afetando o 
fluxo de caixa. E para finalizar a unidade, você vai estudar 
uma importante modalidade de financiamento de ativos, 
principalmente, máquinas e veículos, que o leasing. O leasing de 
veículos, por exemplo, pode ser usado por pessoas físicas também, 
não se restringe às empresas.
Seção 1 – Análise de substituição de equipamentos 
Os estudos de substituição de equipamentos são particularmente 
relevantes para empresas que têm um expressivo custo 
operacional centrado em máquinas e/ou veículos. Nesse caso, 
uma redução dos custos de operação desses equipamentos implica 
a expansão da margem de lucro. Substituição de equipamentos 
é um conceito amplo que abrange desde a seleção de ativos 
similares, porém novos, para substituir os existentes, até a 
avaliação de ativos que atuam de modos completamente distintos 
no desempenho da mesma função. 
A característica necessária para estudos de substituição de 
equipamentos é o fato de falhas técnicas poderem ser reparadas, 
colocando-os novamente em uso, sendo que essas falhas tendem 
a se agravar ao longo do tempo com o uso de equipamento. Essa 
deterioração é devido a uma série de fenômenos físico-químicos 
95
Engenharia Econômica
Unidade 5
tais como: vibração, choque, corrosão, etc. Essa característica os 
distingue de equipamentos cuja falha implica uma substituição 
imediata, como é o caso de alguns instrumentos elétricos, algum 
tipo especial de ferramenta, etc. Para estes últimos, diz-se 
que sua “vida econômica” é igual à sua “vida física” e o estudo 
que se realiza nesses casos é determinar se vale a pena ou não 
retirar de uso esses itens antes de completarem a sua vida física, 
considerando-se a probabilidade de falhas e os custos que estas 
implicam (perda de produção, queda de eficiência, etc.).
Mas por que estudar substituição de equipamentos?
Primeiro, porque é um problema que ocorre em todas as empresas, 
em geral em maior intensidade nas indústrias, e cada decisão é 
muito importante. Em substituição de equipamentos, de acordo 
com o tipo de problema, haverá vantagens de se escolher um 
método em detrimento do outro.
As principais razões de uma substituição, segundo Neves, (1982), são:
1. Custo exagerado da operação e da manutenção devido a 
desgaste físico;
2. Inadequação para atender à demanda atual;
3. Obsolescência em comparação aos equipamentos 
tecnologicamente melhores e que produzem produtos de 
melhor qualidade;
4. Possibilidade de locação de equipamentos similares com 
vantagens relacionadas com o Imposto de Renda.
Substituição de equipamentos é um conceito amplo que consiste 
em avaliar a viabilidade econômica da troca de um equipamento 
existente.
No Brasil, se constata que as empresas têm o costume de manter 
os equipamentos velhos em funcionamento mesmo quando sua 
operação não é mais economicamente viável. As despesas de 
manutenção em geral superam em muito o valor dos investimentos. 
96
Universidade do Sul de Santa Catarina
Acredita-se que as empresas não fazem as substituições que 
deveriam fazer por causa de um acomodamento administrativo: as 
decisões de substituição não chegam a ser cogitadas, pois o estilo 
administrativo dominante ainda é o de resolver os problemas só 
em último caso e não se antecipar a eles.
Os tipos de substituição
Geralmente, a substituição é analisada quando há a necessidade 
da troca de um equipamento existente por um novo.
Os modelos de substituição foram desenvolvidos levando-se em 
conta a evolução tecnológica, segundo Casarotto Filho e Kopittke 
(2000), são eles:
 „ Baixa sem reposição:quando o equipamento fica em 
desuso devido à evolução do processo ou produto;
 „ Substituição idêntica: utilizado nos casos onde não há 
evolução tecnológica e as consequências econômicas são 
negligenciáveis;
 „ Substituição não idêntica: quando os novos 
equipamentos são mais aperfeiçoados, porém, não se 
detecta uma evolução econômica contínua;
 „ Substituição com progresso tecnológico: quando a 
evolução é contínua e reflete em economias de custos;
 „ Substituição estratégica: quando a empresa reconhece 
que o equipamento existente não gera lucratividade e, 
consequentemente, não melhora sua posição estratégica 
no mercado e ainda não reduz custos.
Para avaliar toda a análise de substituição, a empresa deverá ter 
dados históricos do desempenho dos equipamentos existentes e 
necessita de um processo periódico para detectar as necessidades 
de substituições. 
Nesta unidade vamos estudar com mais propriedade os dois 
primeiros tipos, ou seja, de baixa sem reposição e substituição 
idêntica.
97
Engenharia Econômica
Unidade 5
Baixa sem reposição
Um equipamento poderá deixar de ser econômico antes de atingir 
sua vida física e não ser desejável a sua substituição. O critério de 
decisão neste caso será:
O ativo deverá ser mantido por mais um período se o 
Valor Presente Líquido (VPL) de sua manutenção neste 
período for maior que zero.
O cálculo do número de períodos (usualmente anos) em que 
ao ativo deve ser mantido, envolve o cálculo do Valor Presente 
Líquido de manutenção do ativo no primeiro período, no 
segundo período e assim por diante, até que se obtenha no 
período “i”:
VPLi < 0.
O ativo deverá, então, ser dispensado no período i – 1 . 
Acompanhe o exemplo a seguir, para compreender melhor este 
cálculo.
Exemplo 1
Foram estimados os seguintes valores de custos e receitas 
relativos à manutenção de um ativo nos próximos três anos:
Tabela 5.1 - Manutencão de um ativo - Valores de custos e receitas
Ano Valor de Venda Custos de Operação Receita
0 400.000 — —
1 300.000 80.000 240.000
2 200.000 100.000 220.000
3 100.000 120.000 200.000
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 169).
98
Universidade do Sul de Santa Catarina
Supondo que a taxa de mínima atratividade antes do imposto é 
de 10% a.a., determine quando o ativo deverá ser vendido.
 „ Solução
A manutenção do ativo no próximo ano implica em investir 
R$ 400.000,00 agora (deixar de receber é, no caso, o mesmo 
que investir) para receber R$ 300.000,00 mais R$ 160.000,00 
(240.000 – 80.000) no final do ano:
1o ano
1
460.000VPL 400.000
(1 0,1)
18.181,82
= − +
+
=
460.000
400.000
Como VPL1 > 0, o ativo deverá ser mantido no primeiro ano. 
Manter o ativo no segundo ano implica em um investimento de 
R$ 300.000,00 para receber R$ 200.000,00 mais R$ 120.000,00 
um período após:
2o ano
2
320.000VPL 300.000
(1 0,1)
9.090,91
= − +
+
= −
320.000
300.000
Como VPL2 < 0, o ativo deverá ser vendido no final do primeiro 
ano.
99
Engenharia Econômica
Unidade 5
O pressuposto do critério de decisão, enunciado anteriormente, é 
que os ativos tendem a se tornar mais onerosos com o passar do 
tempo.
Substituição idêntica e o conceito de “Vida Econômica”
O modelo de substituição idêntica é aplicado nos casos em que 
praticamente não há evolução tecnológica dos equipamentos. 
Estes equipamentos apresentam custos crescentes devido 
ao desgaste e são substituídos por novos com características 
semelhantes.
Neste grupo estão inclusos grande parte dos veículos, motores 
elétricos ou máquinas operatrizes de ampla utilização. O 
intervalo ótimo entre duas substituições é denominado Vida 
Econômica. Existe o balanço de dois custos: custo de investimento 
inicial que tende a tornar a vida do bem o maior possível; custo de 
operação/manutenção que tende a encurtar a vida do bem já que 
são crescentes.
A determinação da vida econômica consiste em achar os custos 
ou resultados anuais uniformes equivalentes (CAUE) do ativo 
para todas as vidas úteis possíveis. O ano para o qual o CAUE é 
mínimo é o da vida econômica do ativo.
O método do Custo Anual Uniforme Equivalente (CAUE), 
segundo Casarotto e Kopittke (2000), consiste em achar a série 
uniforme anual equivalente ao fluxo de caixa dos investimentos 
a uma taxa de mínima atratividade (TMA), ou seja, acha-se 
a série uniforme equivalente a todos os custos e receitas para 
cada projeto com a utilização de uma determinada TMA. Para 
as análises que envolvem equipamentos, faz-se necessário a 
criação de alternativas em que possam ser defrontados o custo 
do equipamento com a vida útil, o valor residual em alienação, e 
os custos para manter o equipamento (HIRSCHFELD, 1989). 
Portanto, mais uma ferramenta de análise de investimento um 
pouco parecida com o VPL, porém o foco é custos.
100
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo
Considerando uma revenda e custos de operação de um carro da 
marca x:
Tabela 5.2 - Revenda e custos de operação de um carro
Ano 1 2 3 4 5
Revenda 500 440 380 300 230
Custos 10 16 24 34 46
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 171).
Preço do carro novo: 580
TMA: 10% a.a.
Qual a vida econômica do carro?
 „ Solução:
1a Tentativa: Ficar com o carro um ano.
580 10
500
CAUE1= (580 × (1 + 0,1)) – 490 = 148*
Obs.: 490 é o resultado de 500 - 10.
* custo anual de possuir o carro do ano da marca X.
2a Tentativa: Ficar com o carro dois anos.
580 10 16
440
CAUE2 = 580(A/P; 0,1; 2) – 434(A/F; 0,1; 2) + 10
CAUE2= 137,53
101
Engenharia Econômica
Unidade 5
Como chegamos aos resultados acima:
580 é o custo total do carro
Para cada ano tem um custo residual de manutenção e um preço 
de revenda do carro, ou seja, entra no fluxo de caixa de forma 
positiva (flechinha para cima no fluxo de caixa).
Então a ideia é uniformizar os custos por ano ou para o ano em 
que você quer analisar.
O 580 é o custo total no tempo zero (hoje), para a segunda 
tentativa ou CAUE 2 temos que dividir este custo para dois anos. 
Em matemática financeira o dinheiro de hoje não é igual ao de 
amanhã porque corre sempre juros em um espaço de tempo, 
como vimos no início da nossa disciplina. Daí decorre que temos 
que calcular o A para este valor com uma taxa de 10% para um 
tempo de dois anos. Como o 580 é um custo de hoje ele é P no 
nosso problema.
580=A.(1,1)^2(-1)/(1,1)^6 *0,1 
 A= 334,20
Na segunda parte você vai calcular o A, porém, tem o F (por 
que é F) porque o valor de revenda está para dois anos, ou seja, 
só depois de dois anos pode ser vendido por 440. Como a ideia 
é padronizar os custos de manutenção e/ou residuais da saída de 
16 no segundo ano, se desconta somente 6 do 440, ficando saldo 
positivo de 434. Depois disso podemos adicionar 10. 
Da mesma forma que calculamos A para o 580 vamos atualizar o 
434 que é o F para o momento de hoje.
434= A(1,1)^2 (-1)/0,1 
A= 206,67
Então chegamos a: CAUE 2 = 334,30 - 206,67 + 10 = 137,53
102
Universidade do Sul de Santa Catarina
A política de manter o carro por dois anos é mais econômica do 
que a de mantê-lo por apenas um ano. Porque o CAUE2 é menor 
do que o CAUE1 , ou seja, os custos de manter o carro dois anos 
são menores do que mantê-lo por um ano.
3a Tentativa: Ficar com o carro três anos.
580 10 2416
380
CAUE3 = 580(A/P; 0,1; 3) + 10 
+ 6(F/P; 0,1; 1)·(A/F; 0,1; 3) 
– 366(A/F; 0,1; 3)
CAUE3 = 134,65
A política de manter o carro por três anos é ainda mais 
econômica do que a de mantê-la por dois anos.
4a Tentativa: Ficar com o carro por quatro anos.
580 10 24 3416
300
4 1 2 3
10 16 24580CAUE (A/P;0,1; 4) 266(A/F;0,1; 4)
(1 0,1) (1 0,1) (1 0,1)
 + + += − + + + 
CAUE4 = 138,39
A partir do terceiro ano, não vale a pena manter o carro, pois 
seuscustos estão aumentando. De fato, a vida econômica deste 
carro é de três anos.
103
Engenharia Econômica
Unidade 5
A substituição de equipamentos é um fator muito 
importante dentro de uma empresa.
Tanto afeta a parte econômica como a linha de produção. A 
troca de um equipamento deve ser cuidadosamente estudada, 
pois pode causar problemas irreversíveis, como um investimento 
desnecessário. A substituição pode ser feita por um equipamento 
idêntico, porém novo ou por um não idêntico, mas que tenha a 
mesma função.
Normalmente, nas empresas quando se trata de investimentos 
algumas barreiras são enfrentadas, preferem continuar usando 
um equipamento ultrapassado a investir na troca. Não se dão 
conta de que muitas vezes o custo de manutenção é muito 
maior que o custo da compra de um novo equipamento e que o 
resultado não é o mesmo. O equipamento antigo já não tem mais 
o mesmo rendimento, seus produtos não têm a mesma qualidade 
e muitas vezes geram re-trabalho.
Na próxima seção, você vai estudar um importante conceito que 
se relaciona com desgastes dos ativos, é a depreciação. 
Seção 2 – Depreciação
Nesta seção, você vai conhecer o conceito de depreciação e a 
forma como é calculada pelas empresas. Você certamente já 
ouviu a expressão: “o câmbio está depreciado”, ou “preciso vender 
meu carro antes que ele se deprecie mais”. Pelo contexto, você 
compreende que depreciação é a redução do valor do bem. 
Depreciação é a perda de valor que sofrem os bens de 
capital por causa dos anos de operação. Bens de capital 
são aqueles bens que são usados para produzirem 
outros bens.
104
Universidade do Sul de Santa Catarina
Alguns conceitos importantes para que você compreenda como 
funciona a depreciação:
 „ Bens depreciáveis: podem ser objeto de depreciação 
todos os bens sujeitos a desgaste ou deterioração pelo uso 
e ou ação da natureza, ou por obsolescência. Isto significa 
que bens, tais como terrenos, não devem ser depreciados.
 „ Início da depreciação: a depreciação é dedutível a partir 
do momento em que o bem é instalado, posto em serviço 
ou em condições de produzir.
 „ Quota de depreciação: a quota de depreciação 
registrável, como custo ou despesa, é determinada 
mediante a aplicação da taxa anual de depreciação sobre 
o custo de aquisição dos bens depreciáveis.
 „ Taxas anuais de depreciação: a taxa anual de 
depreciação é fixada em função do prazo durante o qual 
se possa esperar a utilização econômica do bem pelo 
contribuinte, na produção de seus rendimentos.
Segundo Casarotto Filho e Kopittke (2000), a depreciação é 
contabilmente definida como a despesa equivalente à perda de 
valor de determinado bem, seja por deterioração ou obsolescência. 
Não é um desembolso, porém, é uma despesa e, como tal, 
pode ser abatida das receitas, diminuindo o lucro tributável 
e, consequentemente, o imposto de renda. Esta redução é um 
desembolso real e com efeitos na análise do fluxo de caixa. 
A legislação fiscal adota certos parâmetros com relação ao tempo 
de depreciação, para prédios são 25 anos, equipamentos 10 anos e 
veículos em 5 anos. A depreciação é calculada de forma linear.
A depreciação contábil é feita de forma linear, de modo que 
um equipamento que tenha sido adquirido por R$ 10 milhões, 
deprecie um décimo de valor a cada ano, ou seja, R$ 1 milhão.
105
Engenharia Econômica
Unidade 5
Matematicamente:
DC = fd × P
Em que: 
DC: depreciação contábil 
fd: fator de depreciação = 1N , 
 (sendo N igual ao prazo de depreciação).
P: preço de compra
n: período qualquer de depreciação 
O valor contábil após n anos de depreciação será:
VCn = P – n·DC
Exemplo
Determine o valor residual do equipamento que custou R$ 10 
milhões, após sete anos de depreciação. 
 „ Solução: 
Depreciação Contábil:
DC = 0,1 × R$ 10 milhões = R$ 1 milhão
Valor residual contábil:
VC7 = R$ 10 milhões – (7 × R$ 1 milhão) = R$ 3 milhões.
Existem outros métodos de cálculo da depreciação, mas o linear é 
bastante prático e de fácil aplicação. O cálculo da depreciação se 
resume na aplicação de uma taxa de depreciação sobre o custo do 
bem a partir do momento em que o mesmo começa a ser usado 
até o fim de sua vida útil.
106
Universidade do Sul de Santa Catarina
Seção 3 – Leasing
Para uma empresa realizar algum tipo de investimento uma 
das fontes de recursos para realização é o financiamento. No 
mercado, temos várias modalidades de financiamento, dentre 
elas, temos a modalidade de financiamento classificada segundo 
o tipo de operação. Dentro dos tipos de operações possíveis 
podemos citar: empréstimos; desconto de títulos, arrendamento 
mercantil (leasing e lease-back); operações de mercado (lançamento 
de debêntures). Você vai estudar, nesta seção, o leasing como 
forma de financiamento da empresa. 
Supondo que uma empresa necessita produzir algo, usando para 
isso uma determinada máquina, a qual não possui. A empresa, 
neste caso, deverá escolher uma entre as quatro alternativas a 
seguir:
a) Adquirir o bem com os seus recursos próprios;
b) Comprar o equipamento através de financiamento;
c) Alugar a máquina;
d) Fazer um leasing.
O leasing passou a ser chamado de Arrendamento 
Mercantil em 12 de setembro de 1974, pela Lei nº 
6.099, regulamentando assim as operações e sendo 
fiscalizado pelo Banco Central do Brasil. Outras leis 
emitidas entre 1992 e 1998, também serviram de 
auxílio da regulamentação do leasing.
Atualmente, há um número crescente de empresas que estão 
optando pela alternativa de arrendar os equipamentos em vez 
de comprá-los, tornando o leasing uma prática usual nos meios 
econômicos, como acontece nos países mais desenvolvidos.
O leasing é um acordo no qual uma determinada empresa 
necessita utilizar um determinado bem e que, ao invés de 
comprar, solicita a uma empresa - chamada de arrendadora para 
107
Engenharia Econômica
Unidade 5
que a mesma adquira o bem e arrende-o por prazo determinado, 
através do pagamento de contraprestações. 
Financeiramente falando, pode ser entendido como um 
financiamento de médio a longo prazo. No contrato, pode existir 
uma cláusula para renovação ou venda após o final do prazo. 
Qualquer pessoa física ou jurídica, sediada do país, pode realizar 
o arrendamento de qualquer móvel ou imóvel, sendo ele novo ou 
usado. 
São os seguintes os elementos básicos do leasing:
 „ Arrendadora: é a empresa de leasing que compra o bem 
solicitado pelo cliente com o objetivo de arrendar por 
certo prazo;
 „ Arrendatária: pessoa física ou jurídica que usa do 
bem arrendado, pagando, para isso, contraprestações, 
devolvendo no final do prazo;
 „ Fornecedor: é a empresa responsável pela fabricação 
do bem a ser vendido, na qualidade de intermediário, 
prestador de serviços e manutenção;
 „ Contrato de arrendamento mercantil: é o documento 
que estabelece vínculo entre o proprietário (que recebe 
contraprestações) e o usuário do bem (responsável pela 
conservação do bem);
 „ Objeto de arrendamento: é o bem que será arrendado;
 „ Período de arrendamento: é a duração do contrato. No 
Brasil, os bens com vida útil igual ou inferior a 5 anos, 
tem contratos de no mínimo 24 meses e 36 meses para os 
demais;
 „ Contraprestações: é o valor pago pela utilização do 
bem. Varia de mensal a semestral;
 „ Valor Residual Garantido (VRG): é o valor a ser pago, 
caso ao final do contrato o arrendatário queira comprar o 
imóvel. Este valor é predefinido em comum acordo entre 
as partes no início do contrato.
108
Universidade do Sul de Santa Catarina
A contratação do leasing dá-se da seguinte forma:
Arrendatário
Fornecedor
Termo de recebimento
e aceitação
Contrato de leasing
Contraprestações
Entrega
do bem
Operação de
compra e venda
Empresa de leasing
Figura 5.1 - Processo decontratação do leasing
Fonte: Motta e Calôba (2002). 
A Arrendatária firma um contrato com a empresa de leasing, 
definindo condições de pagamento, reajuste, indexação, período 
de arrendamento, VRG, etc. Quando acertado o contrato, 
o arrendatário emite um termo de recebimento e aceitação, 
concordando com os termos do contrato. As empresas de leasing 
mantêm contato com os fornecedores para a compra e venda 
dos equipamentos, sendo responsáveis pela entrega do bem, 
assim como a sua manutenção. Assim, a arrendatária paga as 
contraprestações e, ao final do contrato, pode optar entre a 
renovação ou mesmo a compra ou devolução do bem.
Modalidades do leasing
O leasing é uma prática dividida em três modalidades 
regulamentadas, descritas a seguir.
Leasing operacional
Caracterizado pela operação direta do fabricante do bem com 
o usuário arrendatário. Normalmente, trata-se de arrendar 
equipamentos de alta tecnologia como microcomputadores, 
automóveis e outros, que apesar de possuírem vida útil maior que 
o prazo do arrendamento, tornam-se tecnicamente obsoletos, 
devido ao intenso avanço da tecnologia. 
109
Engenharia Econômica
Unidade 5
Os contratos de curto em médio prazo (dois a cinco anos) são 
rescindíveis a qualquer momento, sendo que o arrendatário tem a 
opção de compra ao final do prazo.
O arrendatário fica com a responsabilidade da manutenção do 
equipamento ou bem, sendo que algumas arrendadoras oferecem 
assistência técnica. É vantajoso para a empresa arrendadora, já 
que se trata de um financiamento com garantido real: o próprio 
ativo.
Leasing financeiro
O leasing financeiro é composto por três elementos: o fabricante 
do bem (que tem por objetivo vender seu produto), a empresa de 
leasing (arrendadora), que lucra com a taxa de juros das parcelas; 
e a empresa que precisa do bem (arrendatária), que não compra o 
bem para evitar desembolso de grandes quantias.
Financeiramente, esta operação é parecida com um empréstimo 
que possui, como garantia, o ativo contratado, no qual é 
amortizado com parcelas correspondentes à vida útil do ativo, por 
certo período de tempo.
Semelhante ao leasing operacional, as despesas com manutenção 
ficam por conta do arrendatário, o qual não pode rescindir o 
contrato, sendo necessário pagar as parcelas até o final.
Com o término do contrato, o bem pode ser comprado pelo 
valor residual previamente decidido (valor residual garantido), 
podendo, ainda, ser renovado ou devolvido a empresa 
arrendadora.
Lease-back
É caracterizado como a operação pela qual a empresa vende 
algum bem a um banco ou empresa de leasing a fim de obter 
recursos financeiros na forma de capital de giro, depois o arrenda 
com opção de compra. 
As análises podem ser feitas por VP (valor presente) ou pela TIR 
(taxa interna de retorno)
110
Universidade do Sul de Santa Catarina
Vamos resolver um exemplo apresentado em Casarotto Filho e 
Kopittke (2000):
Exemplo
Determine o custo da seguinte operação de lease-back para 
veículos.
Dados 
 „ Prazo de duração: dois anos
 „ Valor do bem: 10.000
 „ Prazo restante de depreciação: quatro anos
 „ Taxa: 30% a.a.
 „ Prestações anuais
 „ Imposto de Renda (IR): 35% pago um ano após
 „ Solução: 
Cálculo da prestação:
Prestação: 10.000·(A/P, 30%, 2) = 7.344
Depreciação anual que deixa de ocorrer: 10.000/4 = 2.500
Fluxo
Tabela 5.3 - Operação de lease-back para veículos
Ano
a b c d(*) e = a + d
Operação Depreciação Deduções IR Após IR
0 –10.000 –10.000
1 7.344 2.500 4.844 7.344
2 7.344 2.500 4.844 –1.695 5.649
3 2.500 –2.500 –1.695 –1.695
4 2.500 –2.500 875 875
5 875 875
Taxa 30% 18,66%
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 232).
Nota: (*) Pago no exercício seguinte.
111
Engenharia Econômica
Unidade 5
A redução de custos foi substancial (de 30% para 18,66%) 
ocasionada pela “peseudoaceleração” da depreciação restante de 
quatro para dois anos. 
O leasing apresenta uma série de vantagens e desvantagens e em 
algumas situações se torna inadequado seu uso. Como acontece 
com todos os investimentos, uma análise prévia deve ser feita. 
Para a arrendadora verificam-se as seguintes vantagens:
 „ Segurança: sendo a arrendadora a dona do bem, tem 
facilidade em recuperá-lo caso o arrendatário seja 
inadimplente. Neste caso, evita o não pagamento das 
contraprestações baseado nesta possibilidade;
 „ O arrendatário fica responsável pelo pagamento do bem 
arrendado até o final do prazo contratual, mesmo que 
não necessite mais dele ou que eles se tornem obsoletos.
Para o arrendatário, observam-se as seguintes vantagens:
 „ Dedutibilidade fiscal das contraprestações: podem ser 
deduzidas do valor tributável. Porém, é necessário que as 
empresas sejam lucrativas, caso haja prejuízo, não haverá 
Imposto de Renda, portanto, sem vantagem alguma;
 „ Depreciação acelerada: quando estabelecido em contrato, 
a diminuição da vida útil (ou valor) do bem devido ao 
intenso uso ou por benefício fiscal, pode ser transferido 
para o arrendatário;
 „ Índices de endividamento/liquidez: não são afetados pelo 
leasing, já que o mesmo não é um financiamento comum, 
não sendo incluído no balanço patrimonial.
Os benefícios operacionais para o arrendatário são:
 „ Inclusão de despesas no contrato de leasing: despesas 
com impostos, taxas, seguros, fretes, etc. podem ser 
incluídos na operação do Arrendamento Mercantil;
112
Universidade do Sul de Santa Catarina
 „ Transparência: a qualquer momento, o arrendador e o 
arrendatário sabem qual é o saldo devedor, as taxas de 
juros praticadas, o valor do equipamento e outros;
 „ Ausência de imobilização: despesas de administração do 
bem como ativo imobilizado não existem.
Ainda para o arrendatário ocorrem algumas vantagens de ordem 
financeira e econômica:
 „ Financiamento total do bem: o arrendatário só precisa 
fazer a série de pagamentos e a amortização do custo do 
equipamento pode ser planejada segundo a necessidade;
 „ Liberação do capital de giro: como o arrendamento é 
feito em parcelas que representam parte do valor do 
equipamento, evitando grandes desembolsos, a empresa 
terá maior disponibilidade do capital de giro;
 „ Prazos mais longos: o leasing trabalha com operações de 
médio a longo prazo, nem sempre presente no sistema 
financeiro;
 „ Taxas de juros mais atraentes: em algumas ocasiões, as 
taxas de juros são praticamente inferiores aos do mercado 
financeiro.
Para algumas situações, o leasing não alcança os objetivos 
da empresa arrendatária, podemos destacar as seguintes 
desvantagens:
 „ Perda de garantias: como o bem arrendado não pertence 
ao arrendatário, este não pode ser utilizado como 
garantia para obtenção de empréstimos e financiamentos;
 „ Impossibilidade de melhorias: como o bem não pertence 
ao arrendatário, o mesmo não pode fazer melhorias no 
bem sem o consentimento do arrendador;
113
Engenharia Econômica
Unidade 5
 „ Dedutibilidade fiscal das contraprestações: só 
representam vantagem para as empresas que apresentam 
resultado líquido positivo;
 „ Risco de ociosidade: mesmo que a arrendatária não 
tenha mais interesse no bem, não poderá devolvê-lo 
ao arrendador, enquanto o prazo contratual não for 
concluído. 
O leasing ou arrendamento mercantil mostra-se como uma 
alternativa cada vez mais aplicada na atualidade quando a pessoa 
física ou empresa não dispõe de recursos ou não pretende abrir 
mão de seu capital de giro para compra dos bens que necessita. 
Esta prática, quando bem empregada, pode trazer inúmeros 
benefícios quando comparado a compras à vista, financiamentos 
ou aluguéis, porém, antes de ser adotada, necessita de uma 
avaliação rigorosa quanto a sua viabilidade. A análise das 
alternativas pode ser feita em contextos diferenciados, levando 
em consideração aspectos financeiros,econômicos entre outros.
Síntese
Você estudou nesta unidade, mais três conceitos importantes em 
Engenharia Econômica que, de alguma forma, acabam afetando 
a lucratividade de uma organização produtiva. A substituição 
de equipamentos obsoletos pode acarretar em menores custos 
de manutenção. A depreciação de um bem acarreta em menor 
imposto de renda a ser pago pela empresa, desta forma, impacta 
de forma positiva no lucro líquido. O lising é uma forma 
muitas vezes mais barata de financiamento de uma máquina e 
equipamento. Esta modalidade de financiamento de um ativo 
produtivo acelera a depreciação e reflete em melhores resultados 
para a empresa.
114
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Ao final de cada unidade, você realizará atividades de autoavaliação. O 
gabarito está disponível no final do livro didático. Mas esforce-se para 
resolver as atividades sem ajuda do gabarito, pois, assim, você estará 
promovendo (estimulando) a sua aprendizagem.
1. Foram estimados os seguintes valores de custos e receitas relativos à 
manutenção de uma máquina nos próximos três anos:
Tabela 5.4 - Manutenção de uma máquina - Valores de custos e receitas
Ano Valor de Venda Custos de Operação Receita
0 400.000 - -
1 300.000 80.000 240.000
2 200.000 100.000 220.000
3 100.000 120.000 200.000
Fonte: Elaboração da autora (2009).
Supondo que a taxa de mínima atratividade é de 12 % a.a., determine o 
quanto o ativo deverá ser vendido.
2. Determine, a partir dos dados da questão anterior, o valor residual de 
um veículo que custou R$ 50.000,00 após 2 anos.
3. Determine o custo da seguinte operação de lease-back para veículos.
Dados:
 „ Prazo de duração: dois anos
 „ Valor do bem: 20.000
 „ Prazo restante de depreciação: quatro anos
 „ Taxa: 30% a.a.
 „ Prestações anuais
 „ Imposto de Renda (IR): 35% pago um ano após
115
Engenharia Econômica
Unidade 5
Saiba mais
Se você desejar, aprofunde os conteúdos estudados nesta unidade 
ao consultar as seguintes referências:
CASAROTTO FILHO; N. KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos: 
matemática financeira, engenharia econômica e tomada de 
decisão. Florianópolis: Ed. da UFSC, 1985.
MOTTA, R. da R.; CALÔBA, G. M. Análise de 
investimentos: tomada de decisão em projetos industriais. São 
Paulo: Atlas, 2002.
NEVES, César das. Análise de Investimentos: projetos 
industriais e engenharia econômica. Rio de Janeiro: Zahar, 1982.
ZDANOWICZ, J. E. Leasing: arrendamento mercantil. Porto 
Alegre: D. C. Luzzatto, 1985.
Para concluir o estudo
Mais uma etapa concluída! Parabéns!
Para chegar aqui, você viu na unidade 1 uma revisão de 
Matemática Financeira, esta revisão tinha como objetivo 
desenvolver alguns importantes conceitos que são 
necessários para avaliação de projetos. O objetivo maior 
da Engenharia Econômica é estudar ferramentas de 
análise de investimentos. Por que precisamos saber como 
analisar um projeto de investimento? Porque esta análise 
minimiza erros e quanto menor for o erro de um gestor, 
maior será sua lucratividade.
Nas unidades 2 e 3, você estudou a principais 
ferramentas de análise de investimento e alguns 
importantes conceitos dentro desta discussão de projetos, 
tais como custos, receitas e ponto de equilíbrio. O 
uso destas ferramentas de análise no cotidiano de um 
engenheiro é frequente. Estas técnicas e ferramentas 
permitem a tomada de decisão não apenas com intuição e 
sim com elementos numéricos. 
Na unidade 4, você estudou dois elementos importantes 
em tomadas de decisão, ou seja, a dificuldade que 
a incerteza e o risco trazem para qualquer tipo de 
análise no cotidiano de um engenheiro. E na unidade 
5, desenvolvemos os conceitos de substituição de 
equipamentos, depreciação e leasing, todos os três 
conceitos estão amplamente relacionados a questões de 
decisão que envolva equipamentos poluidores ou não.
Grande Abraço.
Profª Joseane Borges de Miranda
Referências
CASAROTTO FILHO; N. KOPITTKE, B. H. Análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
CASAROTTO FILHO, N. Análise de investimentos: matemática 
financeira, engenharia econômica e tomada de decisão. 
Florianópolis: Ed. da UFSC, 1985.
CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada: 
método algébrico, HP-12c, Microsoft Excel®. São Paulo: Pioneira 
Thomson Leaning, 2002.
BUSSAB, W. O. ; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 4. ed. São 
Paulo: Atual, 1999.
DE MOURA, L. A. A. Economia ambiental: gestão de custos e 
investimentos. 2. ed. São Paulo: Juarez de Oliveira, 2003. 
HIRSCHFELD, H. Engenharia Econômica e Análise de Custos: 
aplicações práticas para economistas, engenheiros, analistas de 
investimentos e administradores. São Paulo: Atlas, 1989.
HUMMEL, P.; TASCHNER, M. Análise e decisão sobre 
investimentos e financiamentos: Engenharia Econômica - 
teoria e prática. São Paulo: Atlas, 2004.
LAPPONI, J. C. Excel & Cálculos Financeiros. São Paulo: Lapponi 
Treinamento Editora, 1999.
MOTTA, R. da R.; CALÔBA, G. M. Análise de investimentos: 
tomada de decisão em projetos industriais. São Paulo: Atlas, 2002.
NEVES, César das. Análise de investimentos: projetos industriais 
e engenharia econômica. Rio de Janeiro: Zahar, 1982.
PILÃO, N. E.; HUMMEL, P. Matemática financeira e engenharia 
econômica: a teoria e a prática da análise de projetos de 
investimentos. São Paulo: Thomson, 2004.
PINDYCK, R. S.; RUBINFELD, D. L. Microeconomia. São Paulo: 
Makron Books, 1994.
120
Universidade do Sul de Santa Catarina
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de 
investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2002. 
SOUZA, A.; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de 
investimentos. São Paulo: Atlas, 2001. 
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 2000.
ZDANOWICZ, J. E. Leasing: arrendamento mercantil. Porto Alegre: D. C. 
Luzzatto, 1985.
Sobre a professora conteudista
Joseane Borges de Miranda é pós-graduada em 
Economia Industrial pela Universidade Federal de Santa 
Catarina (2000). Foi graduada em Ciências Econômica 
pela UFSC em 1998. Atualmente, é doutoranda do 
EGC (Engenharia e Gestão do Conhecimento), 
também na UFSC. Na Unisul, é professora presencial 
da Engenharias de Produção, Civil e Ambiental, além 
de fazer parte da UBS (Unisul Business School). A 
maioria das disciplinas ministrada são de Probabilidade e 
Estatística. Na UV (Unisul Virtual), é professora virtual 
das disciplinas de Gestão do Conhecimento, Gestão 
da Informação, Finanças Internacionais, Estatística e 
Econometria. É professora on-line da OEA/Unisul do 
curso de Governo Eletrônico. Trabalha com pesquisas 
envolvendo a Gestão do Conhecimento e o e-Gov no 
Brasil. Seu tema de tese é o capital intelectual e EaD. 
É coordenadora do curso de bacharelado em Ciências 
Econômicas na UnisulVirtual.
Respostas e comentários das 
atividades de autoavaliação
Unidade 1
1. Um capital de $ 25.000,00 aplicado durante 7 
meses, rende juros de $7.875,00. Determinar a taxa 
correspondente.
Identificando os dados:
P = 25.000,00
n = 7 m.
J = 7.875,00
Vamos usar a fórmula de juros para achar a taxa de júrus 
(i):
J = P·i·n
7.875 = 25.000· i ·7
Vamos multiplicar o 7 por 25.000 e depois isolar o (i):
7.875 = 175.000·i
7.875 0,045,
175.000
i = =
ou seja, a taxa de juros desta operação foi de 4,5%.
124
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da 
aplicação de um capital de $ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. 
Dados:
 ƒ P = 100.000
 ƒ i = 3,75% m.
 ƒ n = 10 
F = P·(1 + i)n 
F = 100.000·(1 + 0,0375)10 
F = 100.000·(1,4450)
F = 144.500,00
3. Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobradapor uma 
instituição financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo 
em que um empréstimo de $ 20.000,00 será resgatado por $ 
36.018,23. 
Dados:
 ƒ P = 20.000
 ƒ F = 36.018,23
 ƒ i = 12,486% a.t.
 ƒ n = ?
F = P·(1 + i)n 
36.018,23 = 20.000·(1 + 0,12486)n 
36.018,23 (1,12486)
20.000
n=
1,8009 = (1,12486)n 
ln(1,8009) 0,5883 5
ln(1,12486) 0,1176
n = = =
ou seja, o capital será resgatado em 5 t.
125
Engenharia Econômica
4. Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
iq = (1 + it)
q
t – 1 
A taxa que eu tenho é de 2% ao mês, então o que eu tenho é mês 
e o que eu quero é um ano, então:
ia = (1 + 0,02)12/1 – 1
ia = 0,2682, ou seja, 26,82% ao ano.
5. Parte do valor de um veículo é financiado por uma Cia. de 
crédito, para ser paga em 20 prestações iguais de $ 15.000,00 
cada uma. Sabendo-se que essa financeira cobra do mutuário 
uma taxa de 4% ao mês, calcular o valor financiado, isto é, o 
valor entregue ao cliente na data do contrato.
Dados:
 ƒ A = 15.000
 ƒ n = 20
 ƒ i = 4% a.m.
 ƒ P = ?
20
20
(1 ) 1 (1 0,04) 1P A 15.000 203.854,95.
(1 ) (1 0,04) 0,04
n
n
i
i i
+ − + −= ⋅ = ⋅ =
+ ⋅ + ⋅
6. Qual o montante, no final de 8 meses, referente a uma 
aplicação de $ 1.000,00 por mês, à taxa de 3% ao mês. 
Dados:
 ƒ A = 1.000
 ƒ n = 8
 ƒ i = 3% a.m.
 ƒ F = ?
8(1 ) 1 (1 0,03) 1F A 1.000 8.892,34.
0,03
ni
i
+ − + −= ⋅ = ⋅ =
126
Universidade do Sul de Santa Catarina
7. Uma TV foi paga em n prestações de $190,00, com taxa 
de juros de 2% a.m., ao final deste tempo seu montante foi de 
$6.952,00. Em quanto tempo a TV foi paga?
Dados:
A= 190
n= ?
i = 2 % a.m.
F = 6.952
F A
i
i
n
= ∗
+( ) −1 1
6 952 190
1 0 02 1
0 02
.
,
,
= ∗
+( ) −n
6 952
190
1 02 1
0 02
. ,
,
=
( ) −n
36 59
1 02 1
0 02
,
,
,
=
( ) −n
36 59 0 02 1 02 1, , ,∗ = ( ) −n
0 73 1 02 1, ,= ( ) −n
1 73 1 02, ,= ( )n
Para calcular o expoente n usaremos a regra de log-log ou seja, 
passamos ln em ambos os lados da fórmula:
ln , ln ,1 73 1 02= ( )n n
ln ,
ln ,
1 73
1 02( ) =n n
n = =0 5481
0 0198
27 68,
,
,
Ou seja, em aproximadamente 28 meses.
127
Engenharia Econômica
8. Parte do valor de um veículo foi financiada por uma Cia de 
crédito, para ser pago em 15 prestações mensais iguais de $ 
7.000,00 cada uma. Sabendo-se que essa financeira cobra do 
mutuário uma taxa de 16% ao ano, calcular o valor financiado, 
isto é, o valor entregue ao cliente na data do contrato.
Dados:
A= 7.000
n= 15
i = 16% a.a.
P = ?
Como a taxa de juros está em anos e o n em meses temos que 
calcular a taxa de juros equivalente antes de resolver o problema.
Taxa de 16% a.a
Fórmula da equivalência
im = (1 + 0.16)^1/12 – 1
im = 0,0124 a.m à 1,24% a.m 
Resolvendo com a taxa correta:
P = A* (1 + i)n – 1
(1 + i)n * 1
P = 7000* (1,0124)15– 1
(1,0124)15 * 0,0124
P = 7000* 1,20 – 1
1,20 * 0,0124
P = 7000* 0,20
0,0136
P = 7000* 14,70
P = 102.900,00
paginas_finais.indd 127 19/06/15 16:39
128
Universidade do Sul de Santa Catarina
9. Calcular o valor futuro de uma aplicação financeira de $ 
15.000,00, admitindo-se uma taxa de juros de 2,5% a.m. pelo 
tempo de 17 meses.
F P i n= ∗ +( )1
F = ∗ +( )15 000 1 0 025 17. ,
F = 22.824,27
10. Durante quanto tempo uma aplicação de $ 26.564,85 resultou 
em um montante de $ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% a.m.?
n
F
P
i
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
ln
ln 1
n =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
ln . ,
. ,
ln ,
45 562 45
26 564 85
1 0 0098
n = ( )( )
ln ,
ln ,
1 71
1 0098
n = =0 54
0 009
60,
,
R. Em 60 meses.
11. Qual o valor de um financiamento que deverá ser pago em 
seis parcelas mensais de $ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 
30 dias após a liberação dos recursos, a taxa de juros é 3,5% a.m.?
P A i
i i
n
n=
+ −
+
* ( )
( ) *
1 1
1
P = + −
+
1 500 1 0 035 1
1 0 035 0 035
6
6. *
( , )
( , ) * ,
P = −1 500 1 035 1
1 035 0 035
6
6. *
( , )
( , ) * ,
129
Engenharia Econômica
P = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 500 0 2292
0 0430
. * ,
,
P = =1 500 5 33 7 995 00. * , . ,
R. O valor financiado foi % 7.995,00
Unidade 2
1. Abaixo, encontra-se os fluxos de caixa de dois projetos que 
uma empresa poderá escolher, usando a técnica de payback 
descontado, qual projeto você escolheria? Justifique. A TMA é 
12% a.a.
Tabela 2.9 - Pay-back descontado - Fluxos de caixa de dois projetos
Ano A B
0 –48.000 –18.000
1 20.000 8.000
2 10.000 6.000
3 10.000 6.000
4 15.000 4.000
5 15.000 4.000
Fonte: Elaboração do autor (2009).
 ƒ Projeto A
Ano FC Atualizando as parcelas FC atualizado
0 –48.000 –48.000,00 –48.000,00
1 20.000 1
20.000 17.857,14
(1 0,12)
=
+ –30.142,86
2 10.000 2
10.000 7.971,94
(1 0,12)
=
+ –22.170,92
3 10.000 3
10.000 7.117,80
(1 0,12)
=
+ –15.053,12
4 15.000 4
15.000 9.532,77
(1 0,12)
=
+ –5.520,35
5 15.000 5
15.000 8.511,40
(1 0,12)
=
+ 2.991,05
130
Universidade do Sul de Santa Catarina
2.991,05
5.520,35
5.520,35 2.991,05 1,54
5.520,35
1 0,65
1,54
b
a
a
=
 + =
= =
Então 4 anos mais 0,65, prazo deste projeto 4,65 anos.
 ƒ Projeto B
Ano FC Atualizando as parcelas FC atualizado
0 –18.000 –18.000,00 –18.000,00
1 8.000 1
8.000 7.142,85
(1 0,12)
=
+ –10.857,15
2 6.000 2
6.000 4.783,16
(1 0,12)
=
+ –6.073,98
3 6.000 3
6.000 4.270,68
(1 0,12)
=
+ –1.803,30
4 4.000 4
4.000 2.542,07
(1 0,12)
=
+ 738,77
738,77
1.803,30
1.803,30 738,77 1,41
1.803,30
1 0,71
1,41
b
a
a
=
+ =
= =
Então 3 anos mais 0,71, prazo deste projeto 3,71 anos.
O melhor projeto pelo método do pay-back descontado é o 
projeto B, porque se paga em menos tempo.
131
Engenharia Econômica
2. A partir dos projetos da questão 1, faça escolha utilizando a 
técnica do VPL. Justifique.
1 2
0 1 2
FCFC FC
VPL FC
(1 ) (1 ) (1 )
n
ni i i
= − + + + +
+ + +
…
A 1 2 3
4 5
20.000 10.000 10.000VPL 48.000
(1 0,12) (1 0,12) (1 0,12)
15.000 15.000
(1 0,12) (1 0,12)
= − + + +
+ + +
+ +
+ +
VPLA = –48.000 + 17.857,14 + 7.971,94 + 7.117,80 
+ 9.532,77 + 8.511,40
VPLA = –48.000 + 50.991,05 = 2.991,05
B 1 2 3
4 5
8.000 6.000 6.000VPL 18.000
(1 0,12) (1 0,12) (1 0,12)
4.000 4.000
(1 0,12) (1 0,12)
= − + + +
+ + +
+ +
+ +
VPLB = –18.000 + 7.142,85 + 4.783,16 + 4.270,68 
+ 2.542,07 + 2.269,71
VPLB = -18.000 + 21.008,47 = 3.008,47
Ambos os projetos são bons porque apresentam VPL positivo, 
entre os dois escolheríamos o projeto B que apresenta o 
maior VPL.
3. Calculando a TIR para os projetos e A e B, apresentados na 
questão 1, temos os seguintes resultados TIR(A) = 14,60% e 
TIR(B) = 1954%, qual dos dois projetos seria escolhido por esta 
técnica? Por quê?
R. Levando-se em conta a TIR quanto maior for a taxa de 
retorno melhor, então o projeto B seria escolhido.
132
Universidade do Sul de Santa Catarina
4. Um projeto de investimento inicial de $ 70.000,00 gera 
entradas de caixa de $ 25.000,00 durante os próximos 5 anos. 
Porém teremos gastos anuais de manutenção de $ 5.000,00. Se a 
TMA é de 8% a.a., qual o valor presente líquido dessa operação?
VPL =
+
+
+
+
+
+
20 0000
1 0 08
20 0000
1 0 08
20 0000
1 0 08
20
1 2 3
.
( , )
.
( , )
.
( , )
.00000
1 0 08
20 0000
1 0 08
70 0004 5( , )
.
( , )
.
+
+
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
VPL = [18.518,52 + 17.146,78 + 15.876,64 + 14.700,60 + 
13.611,66] -70.000
VPL = 9.854,20
R. VPL > 0, o projeto deve ser aceito.
Unidade 3
1. Defina custo fixo e custo variável, e exemplifique estes 
custos atravésdos dados de uma empresa. Pesquise na internet 
o balanço patrimonial de alguma empresa para ajudá-lo na 
realização da tarefa.
R. Os custos fixos se diferenciam dos variáveis através da 
sua relação com a produção, então o variável vai variar com 
a produção da empresa e os fixos independem da produção. 
Veja definição na unidade. Na internet temos vários balanços 
publicados escolha uma e identifique pelo menos um custo fixo e 
custo variável.
2. Refaça a análise custo-beneficio do exemplo da cidade 
de Imbituba apresentado na seção 3, substituindo os juros 
por 8% a.a.
A cidade de Imbituba situada no sul do estado de Santa Catarina, 
famosa por suas belas praias e por ser um berçário para a baleia 
Franca, esta preocupada com seus indicadores ambientais. Um 
dos municípios limítrofe da cidade de Imbituba é o município 
de Imaruí, que tem como fonte principal de renda a agricultura. 
133
Engenharia Econômica
O rio Imaruí que divide os dois municípios tem causado cheias 
recorrentes, acarretando um prejuízo anual de R$ 1.000.000,00.
O prefeito recebeu três propostas de solução do problema, são 
elas:
 ƒ Construir uma calha, esta calha reduz o prejuízo com 
as cheias para R$ 100.000,00, ou seja, ainda tem 
prejuízo mais bem menor do que o atual que é de 
R$ 1.000.000,00.
 ƒ Construí um piscinão, que reduziria o prejuízo para 
50.000.
 ƒ Construir uma barragem, que reduziria o prejuízo para 
20.000.
Os custos de implantação de cada alternativa são:
 ƒ Atual é zero; pois a situação fica como está.
 ƒ Calha é de R$ 5.200.000,00 e mais um custo anual por 
conta da manutenção (drenagem) de R$ 300.000,00.
 ƒ Piscinão e de R$ 6.500.000,00 e mais R$ 250.000,00 de 
manutenção anual.
 ƒ Barragem é de R$ 6.900.000,00 e mais R$ 180.000,00 
por ano.
Além destes dados preliminares temos que considerar que:
 ƒ O prazo dos projetos é de 30 anos.
 ƒ A taxa de juros é de 8% ao ano.
 ƒ A calha não tem custo de terreno, pois se aproveitará 
terras do próprio município.
 ƒ O piscinão terá que ser construído em terreno privado e 
o prejuízo será de R$ de 2.500,00 por ano.
 ƒ A barragem também tem um prejuízo com o terreno 
necessário para o depósito dos resíduos da drenagem de 
R$ 3.000,00 por ano.
134
Universidade do Sul de Santa Catarina
 ƒ Solução: 
Vamos comparar duas a duas as alternativas, verificando 
benefícios e custos. O benefício será quanto ganharemos por 
deixar de existirem os prejuízos. A idéia é que o que deixamos de 
gastar com tal alternativa vire benefício para a outra.
Vamos numerar a alternativas:
1 [ATUAL];
2 [CALHA];
3 [PISCINÃO];
4 [BARRAGEM], em que 
B = benefícios e 
C = custos.
1. Comparando [ATUAL] com [CALHA]: para comparar os 
dois primeiros projetos vamos diminuir os benefícios e os custos e 
depois compará-los, como segue:
B: ([CALHA] – [ATUAL]) = 1.000.000 – 100.000 = 900.000
Calcular o custo do projeto CALHA:
C:[CALHA] = 5.200.000(A/P, 8%, 30) + 300.000
30
30
(1 ) 1P A
(1 )
(1 0,08) 15.200.000 A
(1 0,08) 0,08
n
n
i
i i
+ −= ⋅
+ ⋅
+ −= ⋅
+ ⋅
A·(1,08)30 – 1 = 5.200.000·(1,08)30·0,08
A·(1,08)30 – 1 = 4.186.065,27
30
4.186.065,27A 461.902,65
(1,08) 1
= =
−
Então o custo da calha será:
C:[CALHA] = 461.902,65 + 300.000 = 761.902,65
135
Engenharia Econômica
Calcular o saldo dos custos dos dois projetos:
C: ([CALHA] – [ATUAL]) = 761.902,65 – 0 = 761.902,65
Comparar custo e beneficio:
B – C = 900.000 – 761.902,65 = 138.097,35
como B – C > 0, escolhemos [CALHA].
2. Comparando CALHA com PISCINÃO: 
B: ([PISCINÃO] – [CALHA]) = 100.000 – (50.000 + 2.500) 
= 47.500
C: ([PISCINÃO] – [CALHA]) =
= [6.500.000 (A/P; 8%, 30) + 250.000] 
– [5.200.000 (A/P; 8%, 30) + 300.000]
Calcular o custo do projeto PISCINÃO:
C:[PISCINÃO] = 6.500.000(A/P, 8%, 30) + 250.000
30
30
(1 ) 1P A
(1 )
(1 0,08) 16.500.000 A
(1 0,08) 0,08
n
n
i
i i
+ −= ⋅
+ ⋅
+ −= ⋅
+ ⋅
A·(1,08)30 – 1 = 6.500.000·(1,08)30·0,08
A·(1,08)30 – 1 = 5.232.581,58
30
5.232.581,58A 577.378,32
(1,08) 1
= =
−
Então o custo do piscinão será:
C:[PISCINÃO] = 577.378,32 + 250.000 = 827.378,32
C:([PISCINÃO] – [CALHA]) = [827.378,32] – [761.902,65] 
= 65.475,67
136
Universidade do Sul de Santa Catarina
B – C = 47.500 – (65.475,67) = – 17.975,67
como B – C < 0, escolhemos a Calha.
3. Comparando-se a opção [CALHA] com a opção 
[BARRAG]:
B:([BARRAGEM] – [CALHA]) =
= (100.000) – (20.000 + 3.000) = 77.000,00
C:([BARRAGEM] – [CALHA]) =
= [6.900.000(A/P; 8%, 30) + 180.000] 
– [5.200.000(A/P; 8%, 30) + 300.000] 
Calcular o custo do projeto BARRAGEM:
C:[BARRAGEM] = 6.900.000(A/P, 8%, 30) + 180.000
30
30
(1 ) 1P A
(1 )
(1 0,08) 16.900.000 A
(1 0,08) 0,08
n
n
i
i i
+ −= ⋅
+ ⋅
+ −= ⋅
+ ⋅
A·(1,08)30 – 1 = 6.900.000·(1,08)30·0,08
A·(1,08)30 – 1 = 5.554.586,60
30
5.554.586,60A 612.909,29
(1,08) 1
= =
−
Então o custo da Barragem será:
C:[BARRAGEM] = 612.909,29 + 180.000 = 792.909,29
C:([BARRAGEM] – [CALHA]) = [761.902,65] – [761.902,65] 
= 31.006,64
B – C = 77.000 – (31.006,64) = 45.993,36
como B – C > 0 então o melhor projeto é a Barragem.
137
Engenharia Econômica
Portanto, concluímos que a melhor opção do ponto de vista 
econômico seria realizarmos as obras da Barragem, embora 
continuem apresentando prejuízos anuais.
3. Utilizando os mesmo dados da tabela 3.1 vamos calcular o 
ponto de equilíbrio para os projetos alterando o período para 6 
anos e a taxa de juros para 10% a.a.
Custo do projeto A, calcular uma parcela anual do custo inicial 
para comparar com os demais dados:
P A i
i i
n
n=
+ −
+
* ( )
( ) *
1 1
1
25 000 1 10 1
1 10 0 10
6
6. *
( , )
( , ) * ,
=
−A
25 000 0 7716
0 1772
. * ,
,
= A
25 000 4 35. * ,= A
25 000
4 35
.
,
= A
A = 5.747,13
CA = 5.747,13 + 2.000 +0,30x
Custo do Projeto B:
P A i
i i
n
n=
+ −
+
* ( )
( ) *
1 1
1
32 000 1 10 1
1 10 0 10
6
6. *
( , )
( , ) * ,
=
−A
32 000 0 7716
0 1772
. * ,
,
= A
138
Universidade do Sul de Santa Catarina
32 000 4 35. * ,= A
22 000
4 35
.
,
= A
A = 7.356,32
CB = 7.356,32 + 1.800 +0,22x
Igualando os dois custos para achar x:
5.747,13 + 2.000 +0,30x =7.356,32 + 1.800 +0,22x
7.747,13 + 0,30x = 9.156,32 + 0,22x
0,30x - 0,22x = 9.156,32 - 7.747,13
0,08x = 1.409,19
x = =1 409 19
0 08
17 614 87. ,
,
. ,
R. a quantidade de equilíbrio é 17.615 m3
Unidade 4
1. Suponha que a matriz de dados abaixo representa a 
possibilidade de plantio de um determinado agricultor:
Tabela 4.7 - Possibilidade de plantio
Alternativas 
de Culturas
Condições Climáticas
b m r
Arroz 90 70 40
Milho 56 30 10
Soja 190 90 55
Fonte: Elaboração do autor (2009).
139
Engenharia Econômica
Determine qual a melhor cultura para o plantio segundo as 
regras:
a) Max Max
Tabela 4.8 - Resolução segundo a regra MAX MAX
Se escolher O tempo estará E a receita será
Arroz b 90
Milho b 56
Soja b 190
Fonte: Elaboração do autor (2009).
A decisão pela regra Max Max será plantar Soja que apresenta a 
maior receita entre as três opções
b) Hurwicz
Vamos supor que o agricultor seja 60% otimista e 40% 
pessimista, segundo estas ponderações:
R(Arroz) = (90 × 0,60) + (40 × 0,40) = 70
R(Milho) = (56 × 0,60) + (10 × 0,40) = 37,60
R(Soja) = (190 × 0,60) + (55 × 0,40) = 136
Pela regra de Hurwicz a melhor alternativa é plantar Soja, que 
apresenta a maior receita.
c) Laplace
E é igual média
(90 70 40)E(Arroz) 66,33
3
(56 30 10)E(Milho) 32
3
(190 90 55)E(Soja) 111,67
3
+ += =
+ += =
+ += =
140
Universidade do Sul de Santa Catarina
A decisão pela regra de Laplace será plantar Soja.
2. Calcule o risco para empresa deventiladores do exemplo 
desenvolvido na seção dois, alterando seus custos fixos para 
R$ 280 mil.
Dados: 
O investimento, em ajuste de equipamentos, treinamento de 
pessoal, pesquisa de mercado e projeto do produto chega a 
R$ 3 milhões.
O estudo de mercado previu para os meses de novembro, 
dezembro, janeiro, fevereiro e março os seguintes números de 
venda:
Tabela 4.3 - Previsão de Vendas
Vendas/mês Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
Máximo (b) 1.200 1.600 2.500 1.800 1.000
Mais provável (m) 1.000 1.300 2.000 1.600 800
Mínimo (a) 500 1.100 1.700 1.200 500
Fonte: Casarotto Filho e Kopittke (2000, p. 349).
Estudos anteriores demonstraram que as vendas de cada mês 
normalmente independem das vendas dos meses anteriores. A 
dependência maior é das condições climáticas. 
 ƒ O preço de venda do produto é de R$ 1.000,00. 
 ƒ O custo variável unitário é de R$ 200,00.
 ƒ O custo fixo total é de R$ 280 mil.
A empresa deseja conhecer o risco que correrá em não conseguir 
atingir sua TMA que é de 6% ao mês.
 ƒ Solução:
Vamos começar calculando os lucros mensais Rt (em R$ mil):
141
Engenharia Econômica
Tabela 4.9 - Lucros Mensais Rt
Meses Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
Prev. a m b a m b a m b a m b a m b
Vendas 500 1.000 1.200 1.100 1.300 1.600 1.700 2.000 2.500 1.200 1.600 1.800 500 800 1.000
- CV 100 200 240 220 260 320 340 400 500 240 320 360 100 160 200
- CF 280 280 280 280 280
Rt 120 520 680 600 760 1.000 1.080 1.320 1.720 680 1.000 1.160 120 360 520
Fonte: Elaboração do autor (2009).
Em que: (a) Mínimo; (m) mais provável; (b) máximo. 
Rt é o saldo entre o que é vendido e os custos. 
a) Cálculo da média e da variância dos lucros mensais Rt:
Em que E[Rt] é a média dos lucros para cada mês:
Novembro:
E[Rt] = 
1
6 (Rta + 4Rtm + Rtb) = 
1
6 (120 + 4·(520) + 680) = 480,00
Dezembro:
E[Rt] = 
1
6 (600 + 4·(760) + 1.000) = 773,33
Janeiro:
E[Rt] = 
1
6 (1.080 + 4·(1.320) + 1.720) = 1.346,67
Fevereiro:
E[Rt] = 
1
6 (680 + 4·(1.000) + 1.160) = 973,33
Março:
E[Rt] = 
1
6 (120 + 4·(360) + 520) = 346,67
142
Universidade do Sul de Santa Catarina
E a variância (σ2[Rt]) é
Novembro:
σ2[Rt] = [16 (Rtb – Rta)]2 = [16 (680 – 120)]2 = 8.711,11
Dezembro:
σ2[Rt] = [16 (1.000 – 600)]2 = 4.444,44
Janeiro:
σ2[Rt] = [16 (1.720 – 1.080)]2 = 11.377,78
Fevereiro:
σ2[Rt] = [16 (1.160 – 680)]2 = 6.400,00
Março:
σ2[Rt] = [16 (520 – 120)]2 = 4.444,44
Resumo dos dados calculados:
Tabela 4.10 - Resumo do cálculo
Estatísticas/mês Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março
E[Rt] 480,00 773,33 1.346,67 973,33 346,67
Σ2[Rt] 8.711,11 4.444,44 11.377,78 6.400,00 4.444,44
Fonte: Elaboração do autor (2009). 
b) Cálculo de E(z) e σ2:
E(z) = 
1
n
t=
∑E[Rt]·(P/F, i ’, t) → E(z) = 
1
n
t=
∑E[Rt]·(P/F, 6%, t)
O P/F da fórmula indica que devemos calcular o valor presente 
de cada Rt do futuro (F) a uma taxa de 0,06 ou seja, TMA da 
empresa de 6% por um t igual a 5 (5 meses)
143
Engenharia Econômica
Então:
Média
1 2 3 4 5
480 773,33 1.346,67 973,33 346,67E( )
(1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06)
z = + + + +
+ + + + +
E(z) = 452,83 + 688,26 + 1.130,69 + 770,97 + 259,05 
E(z) = 3.301,80
Variância:
σ2(z) = 
1
n
t=
∑ σ2(Rt)·(P/F, i ’, t) → σ2(z) = 
1
n
t=
∑ σ2(Rt)·(P/F, 6%, 
t)
2
1 2 3 4 5
8.711,11 4.444,44 11.377,78 6.400,00 4.444,44( )
(1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06) (1 0,06)
zσ = + + + +
+ + + + +
σ2(z) = 8.218,03 + 3.955,54 + 9.553,00 + 5.069,39 + 3.321,14
σ2(z) = 30.117,10
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
Desvio padrão: ( ) 30.117,10 173,54zσ = =
c) Cálculo do risco
Transformar o valor R0 numa função de z:
0R E( ) 3.000 3.301,80 1,74, é igual a 0,4591.
( ) 173,54
z
z
z
− −= = = −
σ
A decisão é P[i ≥ i ’] = P[z ≥ R0] = 0,4591 + 0,5000 = 0,9591 ou 
95,91%, ou seja, temos 95,91% de probabilidade de que os lucros 
(Rt) sejam maiores que o investimento inicial então o risco é 
100% menos este 95,91%, então o risco é de 4,09%.
144
Universidade do Sul de Santa Catarina
Unidade 5
1. Foram estimados os seguintes valores de custos e receitas 
relativos à manutenção de uma máquina nos próximos três anos:
Tabela 5.4 - Manutenção de uma máquina - Valores de custos e receitas
Ano Valor de Venda Custos de Operação Receita
0 400.000 - -
1 300.000 80.000 240.000
2 200.000 100.000 220.000
3 100.000 120.000 200.000
Fonte: Elaboração do autor (2009).
Supondo que a taxa de mínima atratividade é de 12 % a.a., 
determine o quanto o ativo deverá ser vendido.
 ƒ Solução:
Dados:
Primeiro ano:
Investimento hoje: 400.000
Futuro: 300.000 mais o saldo entre custo e receita 
(240.000 – 80.000), então 300.000 + 160.000 = 460.000
Vamos calcular o VPL para o primeiro ano:
1 1
1
460.000VPL 400.000
(1 0,12)
VPL 400.000 410.714,28 10.714,28
= − +
+
= − + =
Como VPL1 > 0, o ativo deverá ser mantido no primeiro ano. 
145
Engenharia Econômica
Segundo ano
Investimento hoje: 300.000
Futuro: 200.000 mais o saldo entre custo e receita 
(220.000 – 100.000), então 200.000 + 120.000 = 320.000
Vamos calcular o VPL para o segundo ano:
2 1
2
320.000VPL 300.000
(1 0,12)
VPL 300.000 285.714,28 14.285,71
= − +
+
= − + = −
Como VPL2 < 0, o ativo deverá ser vendido no final do primeiro 
ano.
2. Determine, a partir dos dados da questão anterior, o valor 
residual de um veículo que custou R$ 50.000,00 após 2 anos.
 ƒ Solução: 
Veículos tempo de depreciação 5 anos
fd = 15 = 0,2
DC = fd × P
Depreciação Contábil:
DC = 0,2 × 50.000 = 10.000
Valor residual contábil:
VCn = P – (n·DC)
VC2 = 50.000 – (2 × 10.000) = 30.000
O valor residual é de R$ 30.000,00
146
Universidade do Sul de Santa Catarina
3. Determine o custo da seguinte operação de lease-back para 
veículos.
Dados:
 ƒ Prazo de duração: dois anos
 ƒ Valor do bem: 20.000
 ƒ Prazo restante de depreciação: quatro anos
 ƒ Taxa: 30% a.a.
 ƒ Prestações anuais
 ƒ Imposto de Renda (IR): 35% pago um ano após
 ƒ Solução: 
Calculo da prestação:
Prestação: 20.000·(A/P, 30%, 2):
2
2
(1 ) 1P A
(1 )
(1 0,3) 120.000 A
(1 0,3) 0,3
0,6920.000 A
0,507
20.000 1,36A
20.000A 14.705,88
1,36
n
n
i
i i
+ −= ⋅
+ ⋅
+ −= ⋅
+ ⋅
= ⋅
=
= =
Calculo da depreciação:
Depreciação anual que deixa de ocorrer: 20.000 5.0004 = .
Na coluna a do fluxo colocamos os valores do investimento inicial 
no ano zero e depois as prestações a pra o ano 1 e 2, na coluna b 
colocamos a depreciação.
Na coluna c vamos diminuir a coluna a da b. O IR (coluna d) 
é calculado sobre o valor da coluna c. Então o primeiro valor é 
12.205,88 vezes 0,35 = 4.272,06, este valor do ano um será pago 
no ano 2 e assim por diante.
147
Engenharia Econômica
Fluxo
Tabela 5.5 - Cálculo de lease-back para veículos
Ano
a b c d(*) e = a + d
Operação Depreciação Deduções IR Após IR
0 –20.000 –20.000,00
1 14.705,88 2.500 9.705,88 14.705,88
2 14.705,88 2.500 9.705,88 –3.397,06 11.308,82
3 2.500 –5.000 –3.397,06 3.397,06
4 2.500 –5.000 1.750,00 1.750,00
5 1.750,00 1.750,00
Taxa 30% TIR 19%
Fonte: Elaboração do autor (2009).
A redução de custos foi substancial de 30% para apenas 0,42%. 
Desta forma o lease-back apresenta vantagens fiscais quando passa 
a depreciação de quatro para dois anos, diminuindo o valor do 
imposto de renda.
Biblioteca Virtual
Veja a seguir os serviços oferecidos pela Biblioteca Virtual aos 
alunos a distância:
 „ Pesquisa a publicações online 
www.unisul.br/textocompleto
 „ Acesso a bases de dados assinadas 
www. unisul.br/bdassinadas
 „ Acesso a bases de dados gratuitas selecionadas 
www.unisul.br/bdgratuitas 
 „ Acesso a jornais e revistas on-linewww. unisul.br/periodicos
 „ Empréstimo de livros 
www. unisul.br/emprestimos
 „ Escaneamento de parte de obra* 
Acesse a página da Biblioteca Virtual da Unisul, disponível no EVA 
e explore seus recursos digitais.
Qualquer dúvida escreva para bv@unisul.br
* Se você optar por escaneamento de parte do livro, será lhe enviado o 
sumário da obra para que você possa escolher quais capítulos deseja solicitar 
a reprodução. Lembrando que para não ferir a Lei dos direitos autorais (Lei 
9610/98) pode-se reproduzir até 10% do total de páginas do livro.