Calculo 1_expressões algébricas

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VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
1. Calcule o valor numérico das expressões a seguir: 
 
1.1 𝑝(𝑥) = 2 − 𝑥 + 𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −1. 1.2 𝑝(𝑥) = −4𝑥3 + 6𝑥2 − 5𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑥 = 1. 
1.3 𝑝(𝑥) = 1 + 2𝑥 + 4𝑥3 + 6𝑥4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
 𝑥 = −2. 
1.4 𝑓(𝑦) = 𝑦6 − 3𝑦4 + 5𝑦2 + 4, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
 𝑦 = −1. 
1.5 𝑝(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥𝑦 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
 
 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3. 
 
1.6 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥𝑦−3𝑥+4𝑦+1
𝑥2+𝑦2
 , 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2 𝑒 𝑦 = 3. 
1.7 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 𝑦2)𝜋, 𝑝𝑎𝑟𝑎 
𝑥 = 
1
2
 e 𝑦 = 
√3
2
. 
1.8 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 3𝑥𝑦 + 4𝑥 − 7𝑦 + 2, 
 para 𝑥 = −
1
2
 e 𝑦 = 
1
3
. 
Solução: 
𝑓 (−
1
2
,
1
3
) = (−
1
2
)
2
+ (
1
3
)
2
− 3(−
1
2
) .
1
3
+ 4 (−
1
2
) − 7.
1
3
+ 2 = 
=
1
4
+
1
9
+
1
2
− 2 −
7
3
+ 2 = 
=
1
4
+
1
9
+
1
2
−
7
3
=
9 + 4 + 18 − 84
36
=
= −
53
36
 
1.9 
𝑔(𝑥, 𝑦) = −
1
2
( 𝑥3 − 𝑦3) + 3(
𝑥4
4
−
𝑦4
4
) 
Para 𝑥 = 
2
3
 e 𝑦 = −2. 
1.10 ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥𝑧
+ 6𝑦𝑧 
para 𝑥 = −2, 𝑦 = −3 e 𝑧 = −
1
3
 
1.11 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 2, 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = ℎ + 1. 
1.12 𝑔(𝑥) = −2𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 + 1, 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = ℎ − 2 
 
AULA 0 
PROF: KERLY MONROE PONTES 
ÁLGEBRA ELEMENTAR 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
Solução: 
𝒇(𝒉 + 𝟏) = (𝒉 + 𝟏)𝟐 − (𝒉 + 𝟏) + 𝟐 = 
= 𝒉𝟐 + 𝟐𝒉 + 𝟏 − 𝒉 − 𝟏 + 𝟐 = 
𝒇(𝒉 + 𝟏) = 𝒉𝟐 + 𝒉 + 𝟐. 
 
Solução: 
𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐(𝒉 − 𝟐)𝟑 + 𝟒(𝒉 − 𝟐)𝟐
− (𝒉 − 𝟐) + 𝟏 = 
𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐(𝒉𝟑 − 𝟔𝒉𝟐 + 𝟏𝟐𝒉 − 𝟖)
+ 𝟒(𝒉𝟐 − 𝟒𝒉 + 𝟒) − 𝒉
+ 𝟐 + 𝟏 = 
= −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟐𝒉𝟐 − 𝟐𝟒𝒉 + 𝟏𝟔 + 𝟒𝒉𝟐
− 𝟏𝟔𝒉 + 𝟏𝟔 − 𝒉 + 𝟐 + 𝟏
= −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟔𝒉𝟐 − 𝟒𝟏𝒉
+ 𝟑𝟓 = 
𝒈(𝒉 − 𝟐) = −𝟐𝒉𝟑 + 𝟏𝟔𝒉𝟐 − 𝟒𝟏𝒉 + 𝟑𝟓. 
1.13 𝑡(𝑥, 𝑦) =
1
2
(𝑥3 − 𝑦3) −
4
3
 (2𝑥√𝑥 − 𝑦2), 
para 𝑥 = 4, 𝑦 = −1. 
 
1.14 Dado que 𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥. Calcule 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
. 
SOLUÇÃO: 
𝑓(𝑥 + ℎ) = −2(𝑥 + ℎ)3 + 3(𝑥 + ℎ) = 
= −2𝑥3 − 6𝑥2ℎ − 6𝑥ℎ2 − 2ℎ3 + 3𝑥
+ 3ℎ. 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= 
=
−6𝑥2ℎ − 6𝑥ℎ2 − 2ℎ3 + 3ℎ
ℎ
= 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
= −6𝑥2 − 6𝑥ℎ − 2ℎ2 + 3. 
1.15 
Calcule 𝑝(𝑧) = 
𝑧2−1
𝑧2+1
, 
para 𝑧 = 
ℎ+1
ℎ−1
. 
SOLUÇÃO: 
𝑝 (
ℎ + 1
ℎ − 1
) =
(
ℎ + 1
ℎ − 1
)
2
− 1
(
ℎ + 1
ℎ − 1
)
2
+ 1
=
4ℎ
(ℎ − 1)2
2ℎ2 + 2
(ℎ − 1)2
= 
 
𝑝 (
ℎ + 1
ℎ − 1
) =
4ℎ
(ℎ − 1)2
.
(ℎ − 1)2
2ℎ2 + 2
=
2ℎ
ℎ2 + 1
 
1.16 Calcule ℎ(𝑦) = 2𝑦2 + 4𝑦 + 1, 
 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 2𝑥 − 1. 
SOLUÇÃO: 
ℎ(2𝑥 − 1) = 2(2𝑥 − 1)2 + 4(2𝑥 − 1)
+ 1 = 
ℎ(2𝑥 − 1) = 2(4𝑥2 − 4𝑥 + 1) + 8𝑥 − 4
+ 1
= 8𝑥2 − 8𝑥 + 2 + 8𝑥 − 4
+ 1 = 
ℎ(2𝑥 − 1) = 8𝑥2 − 2 
 
1.17 
Calcule 𝑓(𝑡) = 
𝑡+2
−𝑡+1
 , 
para 𝑡 = 
𝑥+1
𝑥−2
 
SOLUÇÃO: 
𝑓 (
𝑥 + 1
𝑥 − 2
) =
𝑥 + 1
𝑥 − 2 + 2
−
𝑥 + 1
𝑥 − 2 + 1
=
3𝑥 − 3
𝑥 − 2
−
3
𝑥 − 2
= 
 
𝑓 (
𝑥 + 1
𝑥 − 2
) = −
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 2)
.
(𝑥 − 2)
3
= 
 
𝑓 (
𝑥 + 1
𝑥 − 2
) = −(𝑥 − 1) = −𝑥 + 1 
 
1.18 
Calcule 𝑓(𝑡) = 
2𝑡+1
−3𝑡+7
 , 
para 𝑡 = 
2𝑦
𝑦+2
. 
 
1.19 
 Calcule 𝑓(𝑧) = 
𝑧2+1
−𝑧2+2
 , 
para 𝑧 = √
2𝑡
𝑡+2
. 
SOLUÇÃO: 
𝑓 (√
2𝑡
𝑡 + 2
) =
(√
2𝑡
𝑡 + 2)
2
+ 1
−(√
2𝑡
𝑡 + 2)
2
+ 2
= 
 
𝑓 (√
2𝑡
𝑡 + 2
) =
2𝑡
𝑡 + 2 + 1
−
2𝑡
𝑡 + 2 + 2
=
3𝑡 + 2
𝑡 + 2
4
𝑡 + 2
= 
 
𝑓 (√
2𝑡
𝑡 + 2
) =
3𝑡 + 2
𝑡 + 2
.
𝑡 + 2
4
=
3𝑡 + 2
4
. 
 
1.20 Calcule 𝑔(𝑥) = √1 − 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥4, 
 
para 𝑥 = 1 − 𝑡2. 
1.21 Dado que 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 − 1. Calcule 
 
1.22 Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥. Calcule 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
. 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
. 
 
1.23 Dado que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1. Calcule 
 
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
. 
 
1.24 
Dado que 𝑓(𝑥) = 
𝑥−1
𝑥+1
. Calcule 
 
𝑓 (
𝑥 + 1
𝑥 − 1
) − 𝑓 (
𝑥 − 1
𝑥 + 1
) 
1.25 
Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦) = 
𝑥2+𝑦2
𝑥2−𝑦2
 
para 𝑥 = √
𝑡2−1
𝑡2+1
 e 𝑦 = √
𝑡2+1
𝑡2−1
 
 
1.26 
Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦) = 
𝑥𝑦
𝑥2−𝑦2
 
para 𝑥 = √
𝑡2−1
𝑡2+1
 e 𝑦 = √
𝑡2+1
𝑡2−1
 
1.27 
Calcule 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 
𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧
 
para 𝑥 = √
𝑡
𝑡−1
 , 𝑦 = √
𝑡−1
𝑡
 e 𝑧 = 
√
𝑡−1
𝑡3
. 
SOLUÇÃO: 
=
(√
𝑡
𝑡 − 1)
2
+ (√
𝑡 − 1
𝑡 )
2
+ (√
𝑡 − 1
𝑡3
)
2
√
𝑡
𝑡 − 1 .
√𝑡 − 1
𝑡 +
√
𝑡
𝑡 − 1 .
√𝑡 − 1
𝑡3
+√
𝑡 − 1
𝑡
√𝑡 − 1
𝑡3
 
=
𝑡
𝑡 − 1+
𝑡 − 1
𝑡 +
𝑡 − 1
𝑡3
1 +
1
𝑡
+
𝑡 − 1
𝑡2
=
𝑡4 + 𝑡2(𝑡 − 1)2 + (𝑡 − 1)2
𝑡3(𝑡 − 1)
𝑡2 + 𝑡 + 𝑡 − 1
𝑡2
= 
 
=
2𝑡4 − 2𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 + 1
𝑡3(𝑡 − 1)
𝑡2 + 2𝑡 − 1
𝑡2
=
2𝑡4 − 2𝑡3 + 2𝑡2 − 2𝑡 + 1
𝑡4 + 𝑡3 − 3𝑡2 + 𝑡
 
 
1.29 
Calcule 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 
𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧
 
 
para 𝑥 = 2𝑟, 𝑦 = 3𝑟 𝑒 𝑧 = −𝑟 . 
1.30 Calcule 
 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 +
𝑦𝑧. 
Para 𝑥 = 𝑟, 𝑦 = −2𝑟 𝑒 𝑧 = 4𝑟. 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE POLINÔMIOS 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
2. Simplifique as expressões a seguir: 
2.1 2𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦2 + 3𝑥2𝑦2 − 10𝑥2𝑦 + 5𝑥2𝑦2 − 6𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 − 𝑥2𝑦2 + 11𝑥2𝑦 − 9𝑥𝑦2 
SOLUÇÃO: 
4𝑥2𝑦 − 19𝑥𝑦2 + 7𝑥2𝑦2 
2.2 𝑢2 + 𝑢𝑣 + 𝑣2 − 2𝑢2 + 3𝑢𝑣 − 4𝑢2𝑣2 − 𝑢𝑣 + 𝑣2 + 3𝑢2 + 12𝑢2𝑣2 − 2𝑣2 + 7𝑢𝑣 
SOLUÇÃO: 
2𝑢2 + 10𝑢𝑣 + 8𝑢2𝑣2 
2.3 4𝑥3𝑦2 − 5𝑥2𝑦3 + 6𝑥4𝑦 − 8𝑥𝑦4 − 12𝑥2𝑦3 + 3𝑥𝑦4 − 4𝑥3𝑦2 + 9𝑥4𝑦 − 𝑥2𝑦3 + 7𝑥𝑦4 
 
SOLUÇÃO: 
−18𝑥2𝑦3 + 15𝑥4𝑦 + 2𝑥𝑦4 
2.4 4ℎ2𝑥 + 5ℎ𝑥2 − 12ℎ𝑥 − 8ℎ𝑥2 + 3ℎ2𝑥 − 11ℎ𝑥2 + ℎ𝑥 − 7ℎ2𝑥 + 10ℎ𝑥2 − 11ℎ𝑥 
SOLUÇÃO: 
−4ℎ𝑥2 − 22ℎ𝑥 
2.5 𝑥2𝑦𝑧 + 3𝑥𝑦2𝑧 − 2𝑥𝑦𝑧2 + 6𝑥2𝑦2𝑧 − 9𝑥2𝑦𝑧2 − 12𝑥𝑦2𝑧2 − 𝑥2𝑦𝑧 − 3𝑥𝑦2𝑧 + 2𝑥𝑦𝑧2 − 6𝑥2𝑦2𝑧
+ 10𝑥2𝑦𝑧2 + 12𝑥𝑦2𝑧2 = 
SOLUÇÃO: 
𝑥2𝑦𝑧2 
2.6 3𝑥2𝑎 − 5𝑥2𝑎−1 + 4𝑥2𝑎−2 + 𝑥2𝑎 + 4𝑥2𝑎−1 + 𝑥2𝑎−2 − 3𝑥2𝑎 − 7𝑥2𝑎−2 + 𝑥2𝑎−1 + 3𝑥2𝑎−2 = 
SOLUÇÃO: 
𝑥2𝑎 + 8𝑥2𝑎−2 
2.7 7𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 4𝑥3𝑧𝑦𝑤+5𝑥𝑤𝑦4𝑧 + 8𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 10𝑥3𝑧𝑦𝑤 + 17𝑥𝑤𝑦4𝑧−8𝑥𝑧𝑦3𝑤 + 9𝑥3𝑧𝑦𝑤 − 7𝑥𝑧𝑦3𝑤
+ 12𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 𝑥𝑧𝑦3𝑤 = 
SOLUÇÃO: 
23𝑥3𝑧𝑦4𝑧 − 5𝑥3𝑧𝑦𝑤 + 22𝑥𝑤𝑦4𝑧 − 16𝑥𝑧𝑦3𝑤 
2.8 (𝑥1 − 𝑥2) + (𝑥2 − 𝑥3) + ⋯+ (𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1) 
SOLUÇÃO: 
𝒙𝟏 − 𝒙𝒏+𝟏 
 
2.9 (𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐) + (𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐2) − (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 − 𝑎𝑐) + (𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2) − (𝑎𝑏 − 𝑏𝑐
− 𝑎𝑐) 
2.10 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)2 + (𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 𝑑)2 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑)2 + (𝑎 + 𝑏 − 𝑐 − 𝑑)2 − 4(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2) 
SOLUÇÃO: 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑 + 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 2𝑎𝑑
+ 2𝑏𝑐 − 2𝑏𝑑 − 2𝑐𝑑 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑 − 2𝑏𝑐 + 2𝑏𝑑 − 2𝑐𝑑 + 𝑎2
+ 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑎𝑑 − 2𝑏𝑐 − 2𝑏𝑑 + 2𝑐𝑑 − 4𝑎2 − 4𝑏2 − 𝑐2 − 4𝑑2 = 0 
 
 
2.11 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 + (𝑎 − 𝑏)2 + (𝑎 − 𝑐)2 + (𝑏 − 𝑐)2 − 3(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) 
2.11 (𝑥 − 𝑦)2 + (𝑥 − 𝑦 + 𝑧)(𝑥 + 𝑦 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑧 + 𝑥)(𝑦 + 𝑧 − 𝑥) + (𝑧 − 𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 𝑥 − 𝑦) + 𝑧(𝑧 − 2𝑥) 
2.12 (𝑎 − 𝑏)(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) + (𝑏 − 𝑐)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) + (𝑐 − 𝑎)(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑎) + (𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑎) 
2.13 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 − (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)3 − 6𝑏[(𝑎 + 𝑐)2 − 𝑏2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E POTÊNCIAS DE MONÔMIOS E RADICAIS 
PROPRIEDADES E RESULTADOS 
I. 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 II. 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
 = 𝑎𝑚−𝑛 
III. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 IV. (𝑎𝑝. 𝑏𝑞)𝑛 = 𝑎𝑝𝑛. 𝑏𝑞𝑛 
𝐼. √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 II. √𝑎𝑚.
𝑛
√𝑎𝑝
𝑞
= 𝑎
𝑚
𝑛 . 𝑎
𝑝
𝑞 = 𝑎
𝑚
𝑛
+
𝑝
𝑞 
III. √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑏
𝑛
 IV. √ √𝑎
𝑚𝑛
= √𝑎
𝑛.𝑚
 
{
𝑆𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 √𝒂𝑛
𝑛
= 𝒂, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝒂.
𝑆𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 √𝒂𝑛
𝑛
= 𝒂, 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝒂 > 𝟎 
 
{
𝑆𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑛𝑏
𝑛
.
𝑆𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 {
𝑎 √𝑏
𝑛
= √𝑎𝑛𝑏
𝑛
, 𝑠𝑒 𝑎 > 0
𝑎√𝑏
𝑛
= −√𝑎𝑛𝑏
𝑛
, 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 
 
3. Multiplique os monômios a seguir: 
3.
1 
(−2𝑥3𝑦4). (+3𝑥4𝑦5). (−4𝑥𝑦6). (−5𝑥2𝑦) 3.
2 
(−𝑟3𝑠2𝑡6). (−3𝑟5𝑠5𝑡7). (+4𝑟7𝑠2𝑡9) 
3.
3 
(−4𝑚−2𝑛−3). (−5𝑚7. 𝑛−2). (+6𝑚−1𝑛5) 3.
4 
(−2√𝑚).(−3√𝑚2
3
) . (+6√𝑚3
4
) 
3.
5 
(−4𝑥2√𝑥𝑦3) . (+5𝑥4𝑦√𝑥3𝑦4
5
) (−7𝑦3√𝑥𝑦) 3.
6 
(−3𝑟5𝑠√𝑟) (+4𝑟𝑠2√𝑟3𝑠2
4
) (−2𝑟2√𝑟5𝑠7
6
) 
3.
7 
(−2𝑢
2
3. 𝑣−2) (+3𝑢−1𝑣
4
3) (−7𝑢−
1
2√𝑣3) 
3.
8 
(+5𝑥
3
2𝑦−2) . (−3√𝑥3
4
𝑦
5
7) . (−2√𝑥√𝑥3𝑦2
4
) 
3.
9 
(−
2
3
𝑎𝑥−2𝑦𝑏3𝑦−𝑥𝑐4𝑥) (+
12
5
𝑎−2𝑥+𝑦𝑏
𝑥
3
−𝑦𝑐−4𝑥) 
3.
10 
(−2𝑥𝑧−3𝑦𝑦𝑥−3𝑧𝑧2𝑥+7𝑦)(+3𝑥2𝑧+3𝑦𝑦4𝑧−5𝑥𝑧−3𝑥) 
3.
1
1 
 (−3𝑥3𝑦2)4 = 
(−
2
3
𝑥−4𝑦5)
−3
= 
(−2𝑚3𝑛−2)3 = 
(+4𝑚−3𝑛
2
3𝑝5)
−3
 
 
3.
12 (−
1
5
𝑢
3
4𝑣7𝑤−
1
2)
4
 (−
3
4
𝑟−
3
4𝑠2𝑡
1
2)
2
 
(−2𝑎2𝑥𝑏4𝑦𝑐−
2
3
𝑧)
2𝑥𝑦𝑧
 (−3
2𝑥𝑎− 3𝑥𝑏7𝑥𝑐5𝑥)−
1
𝑥 
(−3𝑎2𝑏4√𝑎3𝑏
4
)
4
 (𝑥
1
2𝑦3√𝑥4𝑦3
5
√𝑥3𝑦)
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO E POTÊNCIAS DE POLINÔMIOS: PRODUTOS NOTÁVEIS 
Lembrando: 
I. (𝒂 + 𝒃)(𝒄 + 𝒅) = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 
II. (𝒙 + 𝒂)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝒂𝟐 
III. (𝒙 + 𝒂)𝟑 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒂 + 𝟑𝒙𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 
I. (𝒙 + 𝒚 + 𝒛)𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒙𝒛 + 𝟐𝒚𝒛 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
4. Efetue e simplifique os polinômios a seguir: 
4.1 (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) = 
4.2 (−2𝑥 + 6𝑥2)(𝑥3 − 𝑥) = 
4.3 (𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2)(−2𝑥2𝑦3 + 𝑥𝑦) = 
4.4 (𝑥2 − 2𝑥 + 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 
4.5 (3𝑥2 − 4𝑥 + 3)(−𝑥2 + 𝑥 − 2) = 
4.6 (3𝑥 − 1)(3 − 𝑥)(1 − 2𝑥) = 
4.7 (1 − 𝑥)(2 − 𝑥)(3 − 𝑥) = 
4.8 (2𝑥 + 3)2 = 
4.9 (−3𝑥 + 𝑥3)2 = 
4.10 (−4𝑡2 + 5𝑡3)2 = 
4.11 (
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
)
2
= 
4.12 (2𝑥𝑦2 − 4𝑥3𝑦4)2 = 
4.13 
(−
4𝑚3𝑛2
3
+
3
2𝑚𝑛3
)
2
= (−
4𝑚3𝑛2
3
)
2
+ 2. (−
4𝑚3𝑛2
3
) (
3
2𝑚𝑛3
) + (
3
2𝑚𝑛3
)
2
= 
 
=
16𝑚6𝑛4
9
−
4𝑚2
𝑛
+
9
4𝑚2𝑛6
 
4.14 
(−2𝑥 + 𝑥2 − 4𝑥3)2 =
= (−2𝑥)2 + (𝑥2)2 + (−4𝑥3)2 + 2. (−2𝑥). 𝑥2 + 2. (−2𝑥). (−4𝑥3)
+ 2. 𝑥2. (−4𝑥3) = 4𝑥2 + 𝑥4 + 16𝑥6 − 4𝑥3 + 16𝑥4 − 8𝑥5 = 
= 16𝑥6 − 8𝑥5 + 17𝑥4 − 4𝑥3 + 4𝑥2. 
4.15 (4𝑥2𝑦𝑧 −
1
2𝑥𝑦3𝑧2
+ 𝑥3𝑦2𝑧)
2
= 
4.16 (𝑥 − 1)2(3 − 𝑥) = 
4.17 (𝑥 + 1)(2 − 𝑥)2 − 2𝑥(3 − 6𝑥)(1 − 𝑥) = 
4.18 (−𝑥2 + 4𝑥 + 1)(3𝑥2 − 𝑥 + 1)—2𝑥 + 1(5𝑥 − 2) = 
4.19 (𝑡 − 2)(𝑡2 + 2𝑡 + 4) − (𝑡 − 2)3 + 2(4 − 2𝑡) = 
4.20 (𝑡2 − 𝑡)2 − 2𝑡(𝑡2 + 3𝑡) + (𝑡2 + 3𝑡 − 4)2 + (𝑡 − 2)(−𝑡2 + 𝑡 − 4) = 
4.21 (1 − 𝑡)(2 + 𝑡) − 3𝑡(2 − 4𝑡) − 7(𝑡2 − 2𝑡 + 2) = 
4.22 (𝑡 − 𝑡2 + 1)2 + 2𝑡(𝑡 − 1)(6 − 3𝑡) − 3𝑡(𝑡 + 1)2 = 
4.23 2(𝑡 + 4) − 3(8 − 𝑡2) + 6(𝑡2 + 2𝑡) − (−2𝑡 + 𝑡2) = 
4.24 (3 − 𝑥)2(1 + 2𝑥)2 − 3(𝑥 − 4)(8𝑥 − 1) + (−1 + 𝑥)2 + 2(𝑥2 − 3𝑥 + 1)2 = 
4.25 −𝑥(2𝑥 + 3) + 3𝑥(1 − 2𝑥) + (𝑥 − 1)2 = 
4.26 𝑎2(𝑎𝑐 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 − 𝑐) − 𝑏2(𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐) − 𝑐2(𝑏 − 𝑎) − (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)(𝑏 − 𝑐)(𝑏2 − 2𝑐) = 
4.27 [𝑎(𝑎2 + 5𝑎 + 3) − 8𝑏 − 4]𝑏 − (𝑎2 − 3𝑏 − 4)(𝑎 + 𝑏) = 
4.28 (𝑟 − 𝑠)(𝑟 + 𝑠)6 − (𝑠 − 𝑟𝑠 − 𝑡)𝑟 − [(𝑠 − 6)(𝑠 − 𝑡 + 7𝑠𝑟𝑡2) − (𝑠 − 𝑡)(𝑠 + 𝑡)] = 
4.29 (8𝑥5𝑦 + 4𝑥4𝑦3 − 9𝑥2𝑦4 − 𝑥𝑦 − 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦 + 1)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 1) 
4.30 (𝑤 − 1)(𝑤 − 2) − 3𝑤(𝑤 + 3) + 2[(𝑤 + 2)(𝑤 + 1) − 3][(𝑤 − 5)(𝑤2 − 2)] = 
4.31 (4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 7𝑐𝑜𝑠2𝑥)(𝑒𝑥 − 2𝑒2𝑥) − 𝑒2𝑥(5𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) + 3𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 
4.32 
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)[(𝑎 − 𝑏)2 + (𝑏 − 𝑐)2 + (𝑎 − 𝑐)2] 
4.33 (𝑎2 + 2𝑏2 + 2𝑎𝑏)(𝑎2 + 2𝑏2 − 2𝑎𝑏) 
4.34 (√𝑥
3
− √2
3
) (√𝑥2
3
+ √2𝑥
3
+ √4
3
) = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO 
1º TIPO: TERMO COMUM EM EVIDÊNCIA 
𝐴𝑥 + 𝐴𝑦 = 𝐴(𝑥 + 𝑦) 
 
2º TIPO: AGRUPAMENTO 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐴𝑦) + (𝐵𝑥 + 𝐵𝑦) = 
= 𝐴(𝑥 + 𝑦) + 𝐵(𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)(𝐴 + 𝐵) 
3º TIPO: DIFERENÇA DE QUADRADOS 
 
𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) 
4º TIPO: SOMA E DIFERENÇA DE CUBOS 
I. 𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2) 
II. 𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2) 
4º TIPO: QUADRADO PERFEITO 
 
𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2 
5º TIPO: CUBO PERFEITO 
𝐴3 ± 3𝐴2𝐵 + 3𝐴𝐵2 ± 𝐵3 = (𝐴 ± 𝐵)3 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5. Fatore as expressões algébricas a seguir: 
5.1 3𝑥2ℎ − 2𝑥ℎ2 = 5.2 8𝑥3ℎ2 − 4𝑥2ℎ3 + 6𝑥4ℎ2 = 
5.3 4𝑥4𝑦3𝑧5 − 𝑥3𝑦5𝑧4 + 5𝑥5𝑦4𝑧4 = 5.4 12𝑚3𝑛4 − 18𝑚2𝑛5 = 
5.5 5ℎ3 − 10𝑥ℎ2 + 15ℎ4 = 5.6 12𝑥1
3𝑥2
4𝑥3
6 − 30𝑥1
5𝑥2
5𝑥3
7 + 𝑥1
4𝑥2
6𝑥3
5 = 
5.7 
𝑥2𝑦7 + 𝑥6𝑦2 − 𝑥4𝑦3 + 𝑥2𝑦2 − 𝑥9𝑦3
+ 𝑥12𝑦4 = 
5.8 
−30𝑎9𝑏15𝑐3𝑑15 − 105𝑎7𝑏10𝑐8
− 135𝑎12𝑏6𝑐15𝑑4
− 45𝑎9𝑏18𝑐23𝑑11
− 60𝑎19𝑏13𝑐9𝑑12 = 
5.9 𝑥2𝑦4 − 64𝑧4 = 5.10 𝑥8𝑦4 − 16𝑧6 = 
5.11 𝑚3𝑛6 − 64 = 5.12 216𝑚6 − 1 
5.12 𝑥6 − 64𝑦3 = 5.13 𝑥12𝑦6 − 64𝑧18 = 
5.14 𝑥3 + 27𝑦6 = 5.15 125𝑝6 + 𝑞9 = 
 
 
 
 
 
 
 
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
Podemos fatorar polinômios desde que conheçamos uma de suas raízes usando, para isso, o Teorema de 
D’Alembert que diz: 
“ Se 𝑥0 é raiz do polinômio 𝑃(𝑥), isto é, 𝑃(𝑥0) = 0, então 𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑥0, ou seja, 𝑃(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥0)𝑄(𝑥). 
Comentário: Para obtermos a fatoração 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑥0)𝑄(𝑥) basta dividir 𝑃(𝑥) por 𝑥 − 𝑥0 usando o 
MÉTODO DA CHAVE. 
 
Exemplo: O número real 𝑥0 = 2 é raiz do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥
3 − 𝑥2 − 3𝑥 + 2. Logo, pelo teorema de 
D’Alembert é divisível por 𝑥 − 2. Assim, obtemos 𝑄(𝑥) fazendo a seguinte divisão: 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Fatore os seguintes polinômios, sabendo que 𝑥0 é a respectiva raiz: 
 
a) 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 6, 𝑥0 = 2 b) 𝑃(𝑥) = −4𝑥
3 + 23𝑥2 + 9𝑥 − 18, 𝑥0 = 6 
c) 𝑃(𝑥) = −6𝑥3 + 22𝑥2 − 20𝑥, 𝑥0 = 3 d) 
𝑃(𝑥) = −2𝑥4 + 7𝑥3 − 6𝑥2 − 2𝑥 + 3, 𝑥0
= 2 
 
 
 
 
RACIONALIZAÇÃO 
LEMBRE-SE: 
I. O Racionalizante de √𝑎𝑚
𝑛
 é √𝑎𝑛−𝑚
𝑛
 ; 
 
II. O Racionalizante de √𝑎 − √𝑏 é √𝑎 + √𝑏 e vice versa; 
 
 
III. O Racionalizante de √𝑎
3
− √𝑏
3
 é √𝑎2
3
+ √𝑎𝑏
3
+ √𝑏2
3
 e vice versa; 
 
IV. O Racionalizante de √𝑎
3
+ √𝑏
3
 é √𝑎2
3
− √𝑎𝑏
3
+ √𝑏2
3
 e vice versa. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1. Racionalize os denominadores: 
a) 
2
√2
 b) 
2
√3
 
c) 
3
√2
4 d) 
𝑎
√𝑎3
5 
e) 
3
√3 + √2
 f) 
2
√3 − 2
 
g) 
3
√3
3
− √2
3 h) 
3
√2
3
− 1
 
i) 
𝑥 − 2
√𝑥 + √2
 j) 
ℎ
√ℎ + 2 + √2
 
k) 
ℎ
√ℎ + 2
3
− √2
3 l) 
𝑥 − ℎ
√𝑥
3
− √ℎ
3 
 
2. Racionalize o numerador: 
 
 
a) √
5
5
 b) 
√6
36
 
c) √
5
3
5
 d) 
√𝑏3
4
𝑏
 
e) 
3 − √3
1 + √2
 f) 
√3
3
− 1
2
 
g) √
4
3
− √2
3
2
 h) 
√2
3
+ 1
3
 
i) √𝑥 − 1 − √𝑥 j) √1 + √2 − √1 − √2 
k) √𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 l) 
√𝑥2 + 𝑥 − √𝑥
𝑥2
 
m) 
1
√𝑥2 + 𝑥
−
1
𝑥
𝑥2
 
n) √2
(𝑥 + ℎ) − 1
3
− √2𝑥 − 1
3
ℎ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
1. Simplifique as frações algébricas a seguir: 
 
a) 
𝑥2 − 4
𝑥 + 2
 b) 
𝑥3 − 8
𝑥2 − 4
 
c) 
4𝑥2 − 9
2𝑥 + 3
 d) 
𝑥 + 𝑥−2
1 + 𝑥−2
 
e) 
1
𝑥 − 1
𝑥 − 1
 f) 
1
𝑥 + ℎ
−
1
𝑥
ℎ
 
g) 
(𝑥 + ℎ)3 − 𝑥3
ℎ
 h) 
𝑥
𝑥 + 2 −
4
𝑥 + 2
𝑥 − 3 −
6
𝑥 + 2
 
i) 
9 − 𝑥2
5𝑥 − 10
×
5
𝑥 − 3
 j) 
𝑥2 − 4𝑦2
𝑥𝑦 + 2𝑦2
.
2𝑦
𝑥 − 2𝑦
 
k) 
𝑥 +
𝑦 − 𝑥
1 + 𝑥𝑦
1 −
𝑥𝑦 − 𝑥2
1 + 𝑥𝑦
 l) 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
1
𝑎 +
1
𝑏
+
1
𝑐
×
𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐
1
𝑎𝑏
+
1
𝑎𝑐 +
1
𝑏𝑐
 
m) 
1
(𝑥 + ℎ)3
−
1
𝑥3
ℎ
 
n) 
1
√𝑥 + ℎ
−
1
√𝑥
ℎ
 
o) 
2(𝑥 + ℎ)2 − (𝑥 + ℎ) − 2𝑥2 + 𝑥
ℎ
 p) 
1
√𝑥 + ℎ
3 −
1
√𝑥
3
ℎ
 
 
𝑤
𝑤 − 3 −
3
𝑤 + 3
1
𝑤 − 3 −
1
𝑤 + 3
 
1
1 +
1
1 +
1
𝑥 + 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU 
Resolva as equações do 1º e 2º grau: 
a) 2𝑥 = 9 
 
b) −5𝑥 = 15 
 
c) 3
4
𝑥 = 18 
 
d) 
−
9
5
𝑥 =
18
25
 
 
e) 7𝑥 − 5 = 22 − 2𝑥 
 
f) 5𝑥 − (𝑥 − 8) = 2𝑥 + 6 
 
g) 𝑥 + 2
2
= 4 −
2𝑥 + 1
2
 
 
h) 3𝑥(𝑥 + 2) = (𝑥 − 3). 2𝑥 
 
i) 5(7𝑥 − 2) − 10𝑥 = 15 + 2(𝑥 − 5) 
 
j) (2𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) = (5𝑥 − 4)(𝑥 − 3) − 14 
 
k) 2𝑥 + 1
2𝑥 − 1
+
8
1 − 4𝑥2
=
2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
 
 
l) 2𝑥 + 1
6𝑥 − 4
+
8 − 9𝑥2
27𝑥2 − 12
=
8
9𝑥 + 6
 
m) 𝑥
𝑥 − 2
−
𝑥 + 1
𝑥 − 1
=
𝑥 − 8
𝑥 − 6
−
𝑥 − 9
𝑥 − 7
 
n) 5𝑥 − 8
𝑥 − 2
+
6𝑥 − 44
𝑥 − 7
−
10𝑥 − 8
𝑥 − 1
=
𝑥 − 8
𝑥 − 6
 
o) 1
(𝑥 + 1)2
+
4
𝑥(𝑥 + 1)2
=
5
2𝑥(𝑥 + 1)
 
p) 2𝑥 + 19
5𝑥2 − 5−
17
𝑥2 − 1
−
3
1 − 𝑥
= 0 
q) 3𝑥 − 3
2𝑥2 − 2
−
2𝑥 + 2
3𝑥2 + 6𝑥 + 3
=
5(𝑥 − 1)
12𝑥2 − 24𝑥 + 12
 
r) 𝑥 + 𝑎
𝑎 − 𝑥
+
𝑥 − 𝑎
𝑎 + 𝑥
=
𝑎
𝑎2 − 𝑥2
 
s) 𝑥
𝑎
(3𝑎𝑏 + 1) =
3𝑎𝑏
1 + 𝑎
+
(2𝑎 + 1)𝑥
𝑎(𝑎 + 1)2
+
𝑎2
(𝑎 + 1)3
 
t) 𝑘𝑥 − 𝑙𝑥
2𝑘 + 2𝑙
+
𝑘𝑙𝑥
𝑘2 − 𝑙2
−
𝑘 − 𝑥
𝑘 − 𝑙
=
𝑥
2
+
𝑘 + 𝑥
𝑘 + 𝑙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERVALOS DA RETA 
1. Represente cada subconjunto na reta: 
a) [−4,8] b) ]-2,1] ∪ [3,∞) 
c) (−∞, 5] ∪ [6,∞[ d) [4,8[∪ {10,16} 
e) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 3 𝑜𝑢 𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 = 2} f) {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 < 5 𝑒 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 1} 
g) {𝑥 ∈ ℝ|2 ≤ 𝑥 ≠ 5} h) ] − 2,4[∪ {5} 
 
2. Represente os subconjuntos representados na reta na forma de conjunto: 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES DO 1º E 2º GRAU 
Resolva a inequações do 1º e 2º grau: 
a) 2𝑥 − 4 > 0 b) −2𝑥 + 5 ≤ 13 
c) 3(𝑥 − 2) − 2(4 − 2𝑥) < 6(3 + 𝑥) − 2(5𝑥 − 1) d) 𝑥 − 8
2
−
2𝑥
5
<
4𝑥 − 1
3
 
e) 𝑥2 − 4𝑥 − 12 > 0 f) 𝑥2 + 7𝑥 + 10 < 0 
g) −𝑥2 + 𝑥 + 20 ≤ 0 h) −9𝑥2 + 18𝑥 ≥ 0 
i) 2(𝑥 − 3)(−𝑥 + 1) ≥ 3(2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) − 5𝑥(𝑥 − 2) j) 𝑥(𝑥 − 1)
12
−
3𝑥(2𝑥 + 1)
18
<
4 − 𝑥
3
+
5𝑥(𝑥 − 1)
5
 
k) −2𝑥2 + 32 < 0 l) (𝑥 − 3)2 − 16 < 0 
 
 
 
SISTEMAS DE INEQUAÇÃO DE 1 E 2º GRAU 
Resolva os sistemas de inequações: 
a) { 𝑥
2 − 4𝑥 + 3 ≤ 0
𝑥2 − 9𝑥 + 14 < 0
 b) { 𝑥
2 − 4𝑥 < 0
𝑥2 − 6𝑥 + 5 ≥ 0
 
c) 
{ 𝑥
2 − 2𝑥 − 3 ≥ 0
𝑥2 − 2𝑥 − 3 ≤ 3𝑥 − 3
 
d) 
{
𝑥2 − 3𝑥 + 2 > 0
𝑥2 − 2𝑥 − 1 < 0
3𝑥 − 1 < 0
2𝑥 − 3 ≥ 0
 
e) 
{
𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0
−𝑥2 + 6𝑥 < 0
(2𝑥 − 1)2 ≤ (−𝑥 + 3)2
 
f) 
{
−3𝑥2 + 9 ≤ 0
0 < 𝑥2 ≠ 1
−2 < 𝑥2 + 𝑥 ≠ 3
 
g) 
{
3𝑥 − 4𝑥(5𝑥 + 1) ≤ 2𝑥(𝑥 − 1) + 3(2 − 5𝑥)
(3 − 𝑥)(4𝑥 − 3) − 2(𝑥 + 5)(2 − 𝑥) ≤ (3 + 𝑥)2
 
h) 
{
 
 
 
 
𝑥2 − 8 ≥ 0
𝑥4 − 4𝑥2 + 3 ≥ 0
𝑥3 − 4𝑥 < 0
−2𝑥4 + 8 ≥ 0
0 ≤ 𝑥4 + 𝑥2 ≠ 6
 
i) 
2 ≤ 𝑥2 − 𝑥 ≤ 20 − 2𝑥 
h) 
7 ≤ 𝑥2 + 3 < 4𝑥 
j) 
−2𝑥 + 3(𝑥 − 4) ≤ 6 − 2𝑥 + 8𝑥 ≤ 6 − 4𝑥 
k) 
2𝑥2 + 3𝑥 − 5 ≤ 4𝑥 − 4 ≤ 3𝑥2 + 5𝑥 − 8 
 
 
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE 
Resolva as inequações produto e quociente: 
a) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) ≥ 0 b) (−𝑥 − 2)(−3𝑥 − 4) < 0 
c) 3𝑥+9
𝑥−4
 ≥ 0 
d) 5−2𝑥
𝑥+2
 ≥ 1 
e) (9𝑥2−𝑥)(3𝑥−4)
𝑥(2𝑥−5)(−𝑥2+𝑥−3)
 ≤ 0 
f) (𝑥2+2𝑥−3)(𝑥2+5𝑥+6)
−3𝑥−6
 ≥ 0 
g) (𝑥2−3𝑥+4)
3
(−3𝑥2−4𝑥)
4
(2𝑥4−3𝑥2)3
 < 0 
h) (𝑥2+2𝑥−3)(𝑥2+5𝑥+6)
−3𝑥−6
 ≥ 0 
 
 
EQUAÇÕES MODULARES 
Resolva as equações modulares: 
a) |𝑥 − 4| = 1 b) |−2𝑥 + 3| = 4 
c) |3𝑥 − 5| = |2𝑥 + 3| d) |2𝑥2 − 5| = |𝑥2 − 4| 
e) |2𝑥2 − 4𝑥| = 𝑥2 − 3 f) |7 − 2𝑥| = 2 − 6𝑥 
g) |2𝑥3 − 4𝑥| = 𝑥2 + 3𝑥 h) |𝑥 + 1| − |𝑥| = 2𝑥 + 1 
 
 
INEQUAÇÕES MODULARES 
Resolva as inequações modulares: 
a) |𝑥 − 2| < 6 b) | − 3𝑥 + 1| ≤ 3 
c) |2𝑥 + 1| ≥ 7 d) |𝑥 + 2| < | − 4𝑥 + 1| 
e) |3𝑥 − 9| < 𝑥 + 1 f) |4𝑥−2|
|−𝑥+5|
 ≥ 3 
g) |𝑥2 + 3𝑥| + 𝑥2 − 2 > 0 h) |2𝑥 − 1| − |−𝑥 + 3| < 6𝑥 − 3 
i) 𝑥|2𝑥 + 3| − (5𝑥 − 4)|𝑥| ≤ 2 − 𝑥 
 
j) (|𝑥−1|−|2𝑥+4|)
(|8−𝑥|−1)(𝑥|𝑥−1|−2)
 ≤ 0 
 
 
 
POTENCIAÇÃO 
LEMBRE-SE: 
I. 𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏; 
II. 
𝒂𝒎
𝒂𝒏
 = 𝒂𝒎−𝒏; 
III. (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏; 
IV. (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏. 𝒃𝒏; 
V. 𝒂−𝒏 = 
𝟏
𝒂𝒏
 . 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Aplique as propriedades de potenciação a seguir: 
a) 
𝑎𝑥+2𝑎−2𝑥+4𝑎3𝑥+5𝑎−4𝑥−6 
b) 
a) 𝑏2𝑥−4𝑏−4𝑥+5𝑏−3𝑥+5𝑏5𝑥+10𝑏−8𝑥+5𝑏−9𝑥𝑏12𝑥−4 
 
c) 
b) 𝑚3𝑟−9𝑠𝑚8𝑟+9𝑠𝑚−4𝑠−8𝑟𝑚8𝑟+4𝑚−7𝑠−12𝑚6𝑠+1𝑚4𝑟−9 
 
d) 
c) (𝑎2𝑥−1)3. (𝑎4)𝑥−4. (𝑎−5𝑥+3)7. (𝑎𝑥−4)0 
 
e) 
d) (𝑏3)−𝑝+4𝑞(𝑏−8𝑞−𝑝)2(𝑏𝑝+4𝑞)5(𝑏0)9𝑝(𝑏10)
2𝑝+𝑞
10 
 
f) 
(𝑎7: 𝑎2)5: (𝑎8: 𝑎9)3 
 
g) 
𝑐12𝑥+28
𝑐−23𝑥+19
 
h) 
(𝑚−2𝑝+7. 𝑚𝑝+6)4
(𝑚−𝑝+12: 𝑚−3𝑝+9)6
 
 
i) 
𝑚−4𝑝.𝑚32𝑝+5
𝑚−8𝑝−12
 
 
j) 
e) (𝑛2𝑚+5: 𝑛−7𝑚+1)−𝑚+2. (𝑛𝑚−7. 𝑛5𝑚+4)4𝑚 
 
k) 
2−8. 35. 5−6
2−7. 36. 5−5
 
 
l) 
2−4. 3−5. 5−6
2−6. 3−3. 5−6
 
m 
2
1
4. 5−
3
2
2−
7
4. 5−
5
2
 
n) 
4−
1
6. 9
3
8. 6−3
4
5
6. 9−
5
8. 6−3 
 
o) 
(
2−1. 3
1
4
2−3. 3
1
2
)
−2
 
p) 
(
3−4. 5−1
32. 5−3
)
−
1
2
. (
34. 53
32. 54
)
−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LOGARÍTMO 
DEFINIÇÃO: 
 
𝒃𝒙 = 𝒂 ⇔ 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒃 ≠ 𝟏 ∧ 𝒂 > 𝟎 
 
Decorre da definição o seguinte resultado 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎, com 0 < 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑎 > 0. 
PROPRIEDADES: 
I. 𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 0; 
II. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 1; 
III. 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎+𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ; 
IV. 𝑙𝑜𝑔𝑏
𝑎
𝑐
= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 ; 
V. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
𝑚 = 𝑚 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 ; 
VI. 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑚 𝑎 = 
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
𝑚
 , com 𝑚 ≠ 0; 
VII. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
, 0 < 𝑐 ≠ 1 . Consequência: 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 . 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 . 
VIII. ∃ 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 0 < 𝑏 ≠ 1. 
 
OBSERVAÇÃO: Denotamos 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 ≔ 𝑙𝑛𝑥, onde 𝑒 = 2,718… 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Calcule os logarítmos a seguir: 
a) 𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐𝟖 √𝟐
𝟑
 b) 𝒍𝒐𝒈√𝟑 𝟖𝟏 
c) 
𝒍𝒐𝒈𝟐𝟓 √𝟏𝟐𝟓
𝟓
 d) 𝒍𝒐𝒈
√𝟐𝟒𝟑
𝟓
𝟏
𝟑
 
e) 𝒍𝒐𝒈
√𝒂𝟐
𝟓 𝒂𝟑 f) 𝒍𝒐𝒈𝒃𝟓 √𝒃
𝟏𝟎𝟑 
g) 
𝒍𝒐𝒈𝟏
𝟕
𝟒𝟗𝟒 
h) 
𝒍𝒐𝒈𝒂𝟔 √𝒂
𝟓𝟗 
i) 
𝑙𝑜𝑔625√0,2 
j) 
log1000000 √0,0000001
5
 
 
 
 
 
 
 
REVISÃO DE TRIGONOMETRIA 
 
IDENTIDADES FUNDAMENTAIS 
 
▪ 𝑡𝑔𝑥 = 
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
; 
▪ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1; 
▪ sec2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑔2𝑥. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
Mostre as identidades trigonométricas a seguir: 
 
a) 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 b) 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒕𝒈𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 
c) 𝒕𝒈𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒙𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 d) 
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙
𝟏 + 𝒕𝒈𝟐𝒙
= 𝒄𝒐𝒕𝒈𝟐𝒙 
e) 
𝟏
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙
+
𝟏
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙
= 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 f) (𝒂𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒃𝒔𝒆𝒏𝒙)𝟐 + (𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 
 
 
FÓRMULAS DE SOMA E DIFERENÇA DE ARCOS 
 
▪ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ± 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ± 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥; 
▪ cos(𝑥 ± 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦; 
▪ 𝑡(𝑥 ± 𝑦) = 
𝑡𝑔𝑥±𝑡𝑔𝑦
1∓𝑡𝑔𝑥𝑡𝑔𝑦
. 
▪ 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥; 
▪ cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥; 
 
 
 
 
 
VALORES DE SENO E COSSENO PARA ARCOS GERAIS 
 
𝑠𝑒𝑛𝑘𝜋 = 0, 𝑘 ∈ ℤ; 
 
▪ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑘𝜋
2
) = {
0, 𝑠𝑒 𝑘 é 𝑝𝑎𝑟.
1, 𝑠𝑒
𝑘−1
4
∈ ℤ 
−1, 𝑠𝑒 
𝑘+1
4
∈ ℤ
 
 
𝑠𝑒𝑛 [
2𝑘 + 1
2
𝜋] = (−1)𝑘,𝑘 ∈ ℤ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋 = (−1)𝑘, 𝑘 ∈ ℤ 
cos (
2𝑘 − 1
2
𝜋) = 0, 𝑘 ∈ ℤ 
𝑐𝑜𝑠 (
𝑘𝜋
2
) =
{
 
 
 
 
0, 𝑠𝑒 𝑘 é í𝑚𝑝𝑎𝑟.
1, 𝑠𝑒
𝑘
4
∈ ℤ 
−1, 𝑠𝑒 
𝑘 + 2
4
∈ ℤ
 
 
 
OBSERVAÇÃO: Arcos côngruos e simétricos ao arco de 
𝜋
6
 radianos: 
 
(𝜋 −
𝜋
6
) + 2𝑘𝜋 = 𝜋 −
𝜋
6
 ; − (𝜋 − 
𝜋
6
) + 2𝑘𝜋 =
𝜋
6
 
5𝜋
6
(−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 
(𝜋 − 𝜃)(−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 
(2𝜋 − 𝜃)(−1)𝑘 + 2𝑘𝜋 
 
QUADRO DE VALORES DE SENO, COSSENO E TANGENTE DE ALGUNS ARCOS NOTÁVEIS 
 
 
ARCO SENO COSSENO TANGENTE 
00 = 0 𝑟𝑎𝑑 0 1 0 
300 =
𝜋
6
 
1
2
 
√3
2
 
√3
3
 
450 =
𝜋
4
 √
2
2
 
√2
2
 
1 
600 =
𝜋
3
 √
3
2
 
1
2
 √3 
900 =
𝜋
2
 1 0 Não existe 
1800 = 𝜋 0 −1 0 
2700 =
3𝜋
2
 −1 0 Não Existe 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
1. Prove as fórmulas de redução ao primeiro quadrante, usando as fórmulas de soma e 
diferença de arcos: 
 
a) 
 REDUÇÃO DO 2º AO 1º QUADRANTE 
 
𝑠𝑒𝑛(𝜋 − 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
b) 
REDUÇÃO DO 2º AO 1º QUADRANTE 
 
𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
c) 
REDUÇÃO DO 3º AO 1º QUADRANTE 
𝑠𝑒𝑛(𝜋 + 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
d) 
REDUÇÃO DO 3º AO 1º QUADRANTE 
𝑐𝑜𝑠(𝜋 + 𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑥 
e) 
REDUÇÃO DO 4º AO 1º QUADRANTE 
 
𝑠𝑒𝑛(2𝜋 − 𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
f) 
REDUÇÃO DO 4º AO 1º QUADRANTE 
 
𝑐𝑜𝑠(2𝜋 − 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
g) 
ARCO COMPLEMENTAR 
 
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
− 𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
h) 
ARCO COMPLEMENTAR 
 
𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
2
− 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
2. Prove as identidades: 
 
a) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋 + 𝑥) = (−1)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥 b) cos(𝑘𝜋 + 𝑥) = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 
c) 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝜋 − 𝑥) = (−1)𝑘+1𝑠𝑒𝑛𝑥 d) cos(𝑘𝜋 − 𝑥) = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 
e) 
𝑠𝑒𝑛 [𝑥 +
(2𝑘 + 1)𝜋
2
] = (−1)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑘
∈ ℤ. 
f) 
𝑐𝑜𝑠 [𝑥 +
(2𝑘 + 1)𝜋
2
] = (−1)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥,𝑘
∈ ℤ. 
 
 
3. Calcule o valor da expressão 
 
𝐸 =
sen (
3π
2
) ln(𝑒3) − √2𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
4
) + (2𝑙𝑛3)
log2 𝑒 − 4.
𝑙𝑛√9
4
𝑙𝑛3
𝑡𝑔 (
𝜋
4
) − 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
3
) 𝑠𝑒𝑛 (
4𝜋
3
) − 2𝑠𝑒𝑛 (
7𝜋
6
)
 
 
 
FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO 
 
 
a) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 =
1
2
[𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦)]; 
b) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 =
1
2
 [cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦)]; 
c) 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 = −
1
2
[cos(𝑥 + 𝑦) − cos(𝑥 − 𝑦)]. 
d) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥−𝑦
2
) ; 
e) 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥−𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥+𝑦
2
) ; 
f) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 (
𝑥+𝑦
2
) 𝑐𝑜𝑠 (
𝑥−𝑦
2
) ; 
g) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+𝑦
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥−𝑦
2
). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Transforme os produtos trigonométricos em soma ou diferença: 
 
a) 𝑠𝑒𝑛7𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛(−4𝑥)𝑐𝑜𝑠8𝑥 
c) 𝑐𝑜𝑠6𝑥𝑐𝑜𝑠(−4𝑥) d) 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛6𝑥 
e) 2𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 f) 5𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 
 
2. Transforme em produto: 
 
 
 
a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛4𝑥 b) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛8𝑥 
c) 𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 d) cos (
𝑥
3
) + 𝑐𝑜𝑠 (
3𝑥
2
) 
e) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −
𝜋
4
) f) cos (2𝑥 −
𝜋
2
) − cos (3𝑥 +
𝜋
2
) 
 
3. Prove as identidades: 
 
a) 
𝑠𝑒𝑛4𝑥 + 𝑠𝑒𝑛6𝑥
𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠6𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥 b) 
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥
= 𝑡𝑔2𝑥 
c) 
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦
= 𝑡𝑔 (
𝑥 + 𝑦
2
) d) 
𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦
= −𝑐𝑜𝑡𝑔 (
𝑥 + 𝑦
2
) 
 
 
 
FÓRMULAS DO ARCO DUPLO E METADE 
 
a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 
1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
 
b) cos2 𝑥 = 
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
 
 
c) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
d) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = cos2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
 
e) 𝑡𝑔2𝑥 = 
2𝑡𝑔𝑥
1−𝑡𝑔2𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1. Prove as identidades a seguir: 
 
a) 𝑠𝑒𝑛23𝑥 − cos2 3𝑥 b) 4𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) cos (
𝑥
2
) 
c) 𝑠𝑒𝑛22𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
= 4 − 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 
d) 
𝑠𝑒𝑛2 (
𝑥
2
) =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
 
e) 
cos2 (
𝑥
2
) =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
2(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)
 
f) (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
g) 
𝑠𝑒𝑛2𝑥 =
2𝑡𝑔𝑥
1 + 𝑡𝑔2𝑥
 
h) 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1 − 𝑡𝑔2𝑥
1 + 𝑡𝑔2𝑥
 
i) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 + cos4 𝑥 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 j) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 4𝑠𝑒𝑛3𝑥 
k) 
𝑠𝑒𝑛6𝑥 + cos6 𝑥 = 1 −
3
4
𝑠𝑒𝑛22𝑥 
l) 
8𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑠3𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑠5𝑥 
m) 8𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 3 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 n) 1 − 𝑡𝑔𝑥
1 + 𝑡𝑔𝑥
=
𝑐𝑜𝑠2𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥
 
 
 
ALGUMAS INFORMAÇÕES ADICIONAIS SOBRE SENO E COSSENO 
 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ, temos −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1; 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ, temos −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≤ 1; 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {
(2𝑘−1)𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑡𝑔𝑥 ∈ ℝ; 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 ∈ ℝ; 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {
(2𝑘−1)𝜋
2
, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑥 ≥ 1; 
▪ Para todo 𝑥 ∈ ℝ − {𝑘𝜋, 𝑘 ∈ ℤ}, temos 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ≤ −1 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 ≥ 1; 
 
 
 
 
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Resolva as equações trigonométricas, dando a sua solução geral: 
 
 
a) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 0 b) 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥 −
𝜋
3
) = 1 
c) 
cos (
5𝑥
7
) = 0 
d) 
cos (
𝑥
5
+
3𝜋
4
) = −1 
e) 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
3
) =
√3
2
 
f) 
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
√2
 
g) 
𝑠𝑒𝑛5𝑥 = −
1
2
 
h) 
cos (
2𝑥
3
−
3𝜋
4
) = −
3
2√3
 
i) 𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
−
𝜋
3
) j) 𝑠𝑒𝑛4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
k) 𝑠𝑒𝑛5𝑥 = 𝑡𝑔5𝑥 l) 𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 
m) 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑡𝑔2𝑥 n) 𝑠𝑒𝑐 4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐3𝑥