Teorema de Castigliano

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Teorema de 
Castigliano
Engenharia Mecânica 
Segundo Teorema de Castigliano
Descrito por Alberto Castigliano em livro 
publicado em 1879.
Método para determinar o deslocamento e a 
inclinação em um ponto em um corpo. 
Aplica-se somente a corpos que tenham: 
• Temperatura constante 
• Material com comportamento linear elástico.
O deslocamento em um ponto é igual à derivada 
parcial de primeira ordem da energia de deformação 
no corpo em relação a uma força que age no ponto e 
na direção do deslocamento. 
A inclinação da tangente em um ponto em um corpo é 
igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de 
deformação no corpo com relação a um momento que 
age no ponto e na direção do ângulo da inclinação.
Considere um corpo de forma arbitrária, submetido a uma série de n forças.
O trabalho externo realizado por essas forças equivale
à energia de deformação interna armazenada
𝑈" = 𝑈$
O trabalho externo é função das cargas externas
𝑈$ =%&𝑃𝑑𝑥
Como 𝑈$ = 𝑈", o trabalho interno também é função das 
cargas externas.
𝑈" = 𝑈$ = 𝑓(𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0)
E, se qualquer uma das forças externas, por exemplo 𝑃2, aumentar 
de uma quantidade diferencial 𝑑𝑃2 , então o trabalho interno também 
aumentará
𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" +
𝜕𝑈"
𝜕𝑈56
𝑑𝑃2
Mas esse valor não deve depender da sequência na qual as n forças são 
aplicadas ao corpo. 
Se a carga fosse aplicada ao corpo na sequência: 
𝑑𝑃2 𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0
𝑑𝑃2 provocaria um deslocamento do corpo 𝑑Δ8 na direção 𝑑𝑃2
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑈$ =
1
2𝑃2 Δ2
Então o incremento na energia de deformação 𝑑𝑈$ =
,
.
𝑑𝑃2 𝑑Δ2
Mas, essa quantidade é uma diferencial de segunda ordem e 
pode ser desprezada.
Quando as cargas 𝑃,, 𝑃., … , 𝑃0 são aplicadas, 𝑑𝑃2 se 
deslocará Δ>
Então, a energia de deformação será:
Assim sendo, 
𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" +
𝜕𝑈"
𝜕𝑈56
𝑑𝑃2 = 𝑈" + 𝑑𝑃2Δ2
Δ2 =
𝜕𝑈"
𝜕𝑈56
𝑈" + 𝑑𝑈" = 𝑈" + 𝑑𝑃2Δ2
Ou seja: o deslocamento Δ2 na direção 
de 𝑃2 é igual à derivada parcial de 
primeira ordem da energia de 
deformação em relação a 𝑃2
Teorema de Castigliano aplicado a treliças
Como os elementos de uma treliça estão sujeitos a 
esforços axiais: 𝑈" =
𝑁.𝐿
2𝐴𝐸
Δ =%𝑁
𝜕𝑁
𝜕𝑃
𝐿
𝐴𝐸
Δ =
𝜕
𝜕𝑃%
𝑁.𝐿
2𝐴𝐸
Δ - deslocamento da articulação da treliça
P - força externa de intensidade variável aplicada a 
uma articulação de treliça na direção de Δ.
N - força axial interna em um elemento provocada 
por ambas, a força P e as cargas sobre a treliça
L - comprimento de um elemento
A - área da seção transversal de um elemento
E - módulo de elasticidade do material
Para determinar a derivada parcial
CD
C5
, será
necessário tratar P como uma variável, e
não como uma quantidade numérica
específica. Em outras palavras, cada força
axial interna N deve ser expressa em função
de P.
Obs:
Determine o deslocamento vertical da articulação C da treliça de aço 
mostrada na abaixo. A área da seção transversal de cada elemento é de 
400𝑚𝑚.. Considere E=210GPa.
Solução
1. Aplicar uma carga P ao ponto onde se deseja calcular o deslocamento
2. As reações nos suportes da treliça em A e D são então calculadas
Solução
3. Usando o método dos nós, as forças N em cada membro são 
calculadas.
Os resultados e suas derivadas parciais são listados na tabela:
Solução
Teorema de Castigliano aplicado a vigas
A energia de deformação interna para uma viga é provocada elos 
esforços de flexão e cisalhamento.
Porém, se a viga for longa e esbelta, a energia de deformação decorrente 
do cisalhamento pode ser desprezada em comparação com a de flexão.
Aplicando o segundo teorema de Castigliano:
𝑈" = &
𝑀.
2𝐸𝐼
𝑑𝑥
Teorema de Castigliano aplicado a vigas
Δ = &
I
J
𝑀
𝜕𝑀
𝜕𝑃
𝑑𝑥
𝐸𝐼
Em vez de elevar a expressão ao quadrado para o
momento interno M, integrar e então calcular a 
derivada parcial, em geral é mais fácil derivar antes 
da integração.
Δ - deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que agem sobre a viga
P - força externa de intensidade variável aplicada à viga na direção de Δ.
M - momento interno na viga, expresso em função de x e provocado por ambas, a
força P e as cargas sobre a viga
E - módulo de elasticidade do material
I - momento de inércia da área da seção transversal, calculado em torno do eixo
neutro
Caso seja necessário determinar a inclinação da tangente em um ponto 
sobre a linha elástica, temos que determinar a derivada parcial do momento 
interno M em relação a um momento externo M' que age no ponto.
Finalmente, para um carregamento múltiplo, devem ser combinadas 
todas as componentes de energia dos esforços
Determine o deslocamento no ponto B sobre a viga mostrada na Figura 
14.42a. E é constante.
A força vertical P é colocada sobre a viga
em B
A equação do momento interno em função de P e sua derivada
parcial são calculados:
Igualando P a zero, temos:
e
Aplicando o segundo teorema de Castigliano:
e
Determine o deslocamento vertical do ponto C da viga de aço mostrada na 
Figura. Considere E = 200 Gpa , 𝐼 = 125 l 10mn𝑚o
Uma força vertical P é aplicada no ponto C. Mais adiante, essa força 
será igualada ao valor fixo de 5 kN.
O momento interno é calculado:
Para 𝑥,
Para 𝑥.
Segundo Teorema de Castigliano
Obrigado
Leitura Recomendada: Hibbeler cap. 14
Exercícios
14.122
14.125
14.131
14.133
14.151
14.154