PROJETO DE EIXO COM FLEXÃO ALTERNADA E TORÇAO CONSTANTE

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FACULDADE ESTÁCIO DE SERGIPE “FASE” 
 Campus de Aracaju 
Departamento de Engenharia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA: CCE-0695 – PROJETOS DE MÁQUINAS 
PROJETO DE EIXO PARA FLEXÃO VARIADA E TORÇÃO FIXA 
 
 
 
 
STEFANE DOS SANTOS CORREIA - 201602110603 
 
 
 
 
 
 
Professor: Antônio Júlio Santana Barroso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aracaju - SE 
Maio de 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÃO – PROJETO - AV1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO!! 
 Leia com atenção antes de iniciar seu projeto. Lembre de preencher o cabeçalho; 
 O projeto poderá ser feito individualmente ou em dupla; 
 O projeto deve ser entregue em formato escrito, sendo ele manuscrito ou digitado; 
 Em qualquer caso, ele deve ser entregue no formato PDF; 
 Não serão aceitas entregas após a data da AV1 (12/05/2020, até as 23:59); 
 O arquivo deverá ser postado na aba de Tarefas do Microsoft TEAMS ou enviado por e-mail 
(antonio.julio@estacio.br) até o horário e a data limite; 
 É obrigatório manter todas as operações algébricas (memória de cálculo), gráficos e figuras para 
esclarecer como o aluno procedeu no projeto; 
 Os valores de 𝜷, T, 𝝎 e C.S são apresentados na Tabela 1. Eles são individuais e obrigatórios. 
 Os alunos que decidirem fazer o projeto em dupla devem especificar quais dos dois valores 
disponíveis escolheram; 
 Utilize fator de concentração de tensão para degrau em flexão (𝐾𝑡 = 2,2) de, fator de concentração 
de tensão para degrau em torção (𝐾𝑡𝑠 = 2,0) de e fator de concentração de tensão nas chavetas 
(𝐾𝑡 = 2,2) de 4. A sensibilidade ao entalhe (q e qs) é de 0,5. 
 Considere temperatura ambiente (25°C), uma confiabilidade de 90% e um fator de tamanho de 0,85; 
 Lembre-se: Caso algum valor não atenda a especificação do projeto, você deve fazer outra tentativa 
(reprojeto). Não apague as tentativas que deram erradas, pois elas são parte do projeto. Apenas após 
3 tentativas o projeto pode ser considerado inviável (pode acontecer). 
Boa prova e boa sorte!! 
 
 
1. A figura mostra esquematicamente um redutor de velocidades, com uma 
dupla redução, formado por três eixos cilíndricos (a, b e c), seis mancais (A, 
B, C, D, E, F) e quatro engrenagens de dentes retos (G1, G2, G3 e G4). O 
ângulo de pressão da força na engrenagem é 𝜷. Um motor elétrico de 
acionamento disponibiliza um torque T com rotação de 𝝎 e será conectado 
ao eixo a na sua extrema direita, através de um acoplamento. Projete 
apenas o eixo de entrada “a” (destacado na figura), para uma vida infinita, 
com torção constante e flexão alternada, com um fator de segurança global 
mínimo de C.S. Considere que a flexão limita-se entre os mancais (A e B) e 
existe torque apenas a partir do meio da engrenagem (dente de contato). Os 
passos a seguir são considerados indispensáveis no projeto: 
Nota: Professor: Antônio Barroso Período: 2020.1 / AV. 1 
Data: 12 / 05 / 2020 Disciplina: CCE0695 / Projetos de Máquinas 
Matrícula:201602110602 Nome: STEFANE DOS SANTOS CORREIA 
mailto:antonio.julio@estacio.br
𝑑2 
𝑑1 
a. Escolha o material e esboce um layout (desenho) geral do eixo, 
incluindo as posições para posicionar a engrenagem e o rolamento, 
considerando diâmetros comerciais. 
b. Realizar uma análise das forças para encontrar os diagramas de 
esforço cortante, momento fletor e momento torçor (torque) ao 
longo do eixo. 
c. Determinar os três diâmetros do eixo com base em tensões de fadiga 
nas localizações críticas. Caso necessário, suponha valores iniciais dos 
diâmetros do eixo. Após definidos os diâmetros comerciais, refine os 
coeficientes de segurança do eixo. Os diâmetros 𝑑1 e 𝑑2 estão na 
imagem. O diâmetro 𝑑0 deve ser escolhido como tarugo inicial para 
usinar o eixo final. 
d. Verifique o ângulo de torção (𝜃𝑚𝑎𝑥 =0,5°), assim como declividades 
𝜃𝑚𝑎𝑥 =0,04°) e as deflexões (𝑦𝑚𝑎𝑥 =0,005 in) da flexão, respeitando 
os limites. 
e. Dimensione e escolha o material das chavetas de 1,0 in de 
comprimento para as posições do acoplamento e da engrenagem, 
conforme tabela da ASME. 
f. Faça suas considerações finais sobre a viabilidade do projeto, citando 
os principais valores obtidos. 
 
 
 
TABELA 1 
 
 
Aluno 
β - graus 
(°) T (lbf- 
in) 
ω 
(rpm) 
 
Fator de Segurança (C.S.) 
Stefane do Santos Correia 18,5 2400 1250 2,2 
 
 
 
 
1-INTRODUÇÃO 
 
Eixos de transmissão, ou simplesmente eixos, são usados em praticamente todas as partes de máquinas 
rotativas para transmitir movimento de rotação e torque de uma posição a outra.. Comumente, um eixo 
transmite torque de um dispositivo de comando (motor elétrico ou de combustão interna) através da máquina. 
Os eixos incluem engrenagens, polias ou catracas, que transmitem o movimento rotativo via engrenagens 
acoplantes, correias ou correntes de eixo a eixo. 
Este projeto contempla o dimensionamento de um eixo cujo o carregamento é constituído de flexão alternada e 
torque fixo , e compoem-se de equipamentos tais como mancais, engrenagem e chavetas. Os dados de cada 
equipamento estão supracitados em tabela, e o posicionamento segue ilustrado abaixo: 
 
 
 
 
2-DIMENSIONAMENTO 
 
O material escolhido para este dimensionamento foi aço de baixo carbono SAE 1020, laminado à frio, 
confiabilidade 90% ; Sut: 68 Kpsi; Sy: 57 Kpsi. 
 
Foi realizada uma análise das forças e momentos atuantes no sistema, através do diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 𝑡 °) = 401,51 lbf 
 
 )
 
 ⁄ )
 
 ⁄ 
 
 
Reações nos mancais A e B ( Ra e Rb) 
 
 (
 
 
) 
 
 (
 
 
) 
 
 𝑎 ) 
 
 
 
Momento Fletor 
 
Trecho entre as distâncias 0 in – 9 in 
 
 
 
 ) 
 ) 
 
 
 Trecho entre as distâncias 9 in – 11 in 
 
 𝑥) ( 𝑥 )) 𝑥 𝑥 
 
 
 
 ) ) 
 ) ) 
 
 
 
 
 
*CÁLCULO DAS FORÇAS DE REAÇÕES NOS PLANOS XZ E XY 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*DIAGRAMA DE FORÇAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
*DETERMINAÇÃO DE FATORES MODIFICATIVOS 
 
 
 𝑢𝑡 𝐾 𝑠 𝐾 𝑠 
 
 
 
 
 𝐾 𝑎 𝑢𝑡)
 ) 
 
 
 
 𝐾 𝑠 
 
 
 
*OUTROS FATORES DE CONCENTRAÇÃO (𝐾 𝐾 ) 
 
𝐾 𝐾 ) ) 𝑥 𝑎 𝑡 𝑎𝑑𝑎 
𝐾 𝐾 ) ) 𝑑 𝑎 
 
 
 
*CÁLCULO DOS DIÂMETROS 
 
Usaremos a conotação de d1 referindo-se ao diâmetro 1 da figura, considerando que nele esta posicionada a 
engrenagem. A conotação d2 sera considerada como o d2 da figura, onde na extremidade esta localizado o 
motor. 
 
 
Cálculo do diâmetro d1 
 
𝑑 {
 
 
[(𝐾 
 
 
)
 
 
 
 
(𝐾 
 
 
)
 
]
 
 ⁄
}
 
 ⁄
 
 
 
𝑑 {
 
 
*( 
 
 
)
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
+
 
 ⁄
}
 
 ⁄
 
 
Após encontrar o primeiro valor de 𝑑 , corrige-se o valor de por meio do ajuste do . 
 
 )
 
 𝐾 𝑠 
 
 
Com o ajustado, ajustamos também o d1 
 
𝑑 {
 
 
*( 
 
 
)
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
+
 
 ⁄
}
 
 ⁄
 
 
 
𝑑𝑚𝑚) 
 
 
 
 
 
Cálculo do diâmetro d2 
 
𝑑 {
 
 
*( 
 
 
)
 
 
 
 
( 
 
 
)
 
+
 
 ⁄
}
 
 ⁄
 
 
 
𝑑 𝑚𝑚) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*VERIFICAÇÃO DO ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
Condição: 
 
 
 
 
 𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 (
 
 
 
 
 
) 𝑎𝑑 𝑢 
 
Desta forma verificamos que a deflexão torcional esta dentro do especificado ( ) 
 
*VERIFICAÇÃO DA DECLIVIDADE E DEFLEXÃO 
 
Condição: / 𝑦𝑚𝑎𝑥=0,005 in 
 
 
Trecho de 0 – 9 in 
 𝑥 
 
 
 
Trecho de 9-11 
 𝑥 
 
 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥 
 ) 
 
 𝑑 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) ) 
 
 
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑑𝑥
 𝑥 
 
 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑥 ) 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ∫ 𝑥 ) 𝑑𝑥 
 
 𝜃 𝑥
 𝑥 
 
 
 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑥 𝑥 
 
 𝑑𝑦 𝑥 𝑥 )𝑑𝑥 
 
∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 𝑥 )𝑑𝑥 
 
 𝑥
 𝑥 𝑥 
 
 
 
 
 
 
DECLIVIDADE: 
 
 
 ) 
 
DEFLEXÃO: ∫ 
 
𝑑 𝑦
𝑑𝑥 
 ) 
 𝑑 (
𝑑𝑦
𝑑𝑥
) ) 
 
(
𝑑𝑦
𝑑𝑥
)
𝑑𝑥
 𝑥 
 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 ∫ 𝑥) 𝑑𝑥 
 𝜃 𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑑
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 𝑥 
 𝑑𝑦 𝑥 )𝑑𝑥 
∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑥 )𝑑𝑥 
 𝑥
 𝑥 
 
 
 
 
 
 
Em resumo temos: 
 
Eq. Da declividade 𝜃 𝜃 𝑥
 
Eq. Da deflexão 𝑥
 𝑥 
Eq. Da declividade 𝜃 𝜃 𝑥
 𝑥 
Eq. Da deflexão 𝑥
 𝑥 𝑥 
 
Para encontrar os valores das constantes, aplicaremos as condições de contorno. 
 
1°: x=0 ; 3°: x= 9 ; 𝜃 𝜃 
2°: x=11 ; 4°: x=9 ; 
 
Aplicando a 1° condição 
 
 𝑥
 𝑥 
 ) ) ) 
 
 
Aplicando a 2° condição 
 
 ) ) ) ) 
 ) ) 
 
 
Aplicando a 3° condição 
 
 𝑥 𝑥 𝑥 
 ) ) ) = 
C3-c1= -51349 
 
 
Aplicando a 4° condição 
 
 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 
 𝑥 𝑥 x(c1-c2)+c4 
 
Como c3+c1= -51249 
 
 𝑥 𝑥 𝑥 ) 
 ) ) ) 
 
 
 
Substituindo os valores de c1,c2, c3 e c4 
 
 
Eq. Da declividade 𝜃 𝜃 𝑥
 
 
𝜃 ) 
 ) )
 ) 
 ou -0,012° 
 
 
𝜃 ) 
 ) )
 ) 
 𝑢 
 
 
 
 
Eq. Da deflexão 𝑥
 𝑥 
 
 ) 
 ) ) ) )
 ) 
 
 
 ) 
 ) ) ) )
 ) 
 
 
 
 
 
Eq. Da declividade 𝜃 𝜃 𝑥
 𝑥 
 
𝜃 ) 
 ) ) )
 ) 
 𝑢 
 
𝜃 ) 
 ) ) )
 ) 
 𝑢 
 
 
 
 
Eq. Da deflexão 𝑥
 𝑥 𝑥 
 
 ) 
 ) ) ) ) )
 ) 
 
 
 
 
 ) 
 ) ) ) ) )
 ) 
 
 
 
 
*DIMENSIONAMENTO DA CHAVETA 
 
Tipo: chaveta paralela 
Material: Aço baixo carbono SAE 1010 
Localização: engrenagem 
𝑑 
L= 0,5 in 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑠 
 
 
 √ ) 𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑠𝑎 𝑎𝑚 𝑡 ) 
 
 
 
 
 
 𝑠 
 
 
 
 
 
 𝑠𝑚𝑎 𝑎𝑚 𝑡 ) 
 
 
 
Conforme solicitado no projeto, os coeficientes de segurança para o eixo nessas condições precisam ser 
redimensionados levando em consideração um fator de segurança de tensão nos rasgos das chavetas e as 
dimensões do projeto. 
 
Para 𝑑 
𝐾 ) 𝑚 
 
 
 
{
 
 
 
[
 
 
 √ ) 
 
 
 ) 
 
 
√ ) 
 
 
 ) 
 
]
 
 
 
 
}
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 
 
 ,
 )
 
 [ ]-
 
 ⁄
 ( )
 
 ⁄ 
 
 
 
Refinamos a chaveta da engrenagem no eixo para 2,72. Dessa forma do d1= 1,93 in está coerente . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações Finais 
 
A elaboração de um projeto requer um amplo conhecimento e análise minuciosa sobre o elemento a ser 
projetado. Fatores como carga atuante, momentos envolvidos, componentes, entre outros, influenciam 
diretamente o projeto. Outro detalhe importante para o sucesso é a quantidade de informações sobre os 
materiais utilizados, vimos que a quantidade de informação sobre o material é essencial para o sucesso de um 
projeto. A escolha do material de concepção do eixo foi o AÇO SAE 1020, em virtude de sua alta tenacidade e 
ductilidade, além de ser usinável. O eixo foi dimensionado a partir de um tarugo inicial com 2,25 in, onde o 
diâmetro comercial para o trecho da engrenagem é de 1,93 in e o diâmetro comercial para o trecho do 
acoplamento é de 1,75 in. Notou que em virtude da existência de uma engrenagem localizada no primeiro 
trecho (d1) e de um acoplamento, localizado no segundo trecho (d2), supôs-se que haveriam duas chavetas, 
localizadas em cada um destes elementos, porém foi dimensionada somente a chaveta localizada na 
engrenagem. Para o dimensionamento da chaveta foi escolhido o aço SAE 1010 por possuir uma resistência 
menor que o material do eixo, garantindo que a chaveta irá proteger o eixo, falhando primeiro caso necessário.