Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Trigonometria - Relações Trigonométricas Fundamentais no Círculo

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JACKY25/03/08
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relações Trigonométricas Fundamentais no Círculo 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GEORGE CHRIST 
Fa
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 –
 2
00
9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
06
2 
 
1. SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM 
ARCO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO. 
 Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de 
um arco x no ciclo trigonométrico é necessário conhecer 
os seguintes eixos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo 
centro O da circunferência trigonométrica e o eixo dos 
cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo 
ponto. 
 O eixo das tangentes também é vertical, porém passa 
pelo ponto A da circunferência, isto é, o eixo é tangente à 
circunferência no ponto A. 
Onde: 
• x é um arco cuja origem é o ponto A e a 
extremidade é o ponto P; 
• A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e 
é indicada por cos x; 
• A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é 
indicada por sen x; 
• Prolongando-se o segmento OP obtém-se a 
tangente de x, indicada por tg x. 
 
 Exemplo: 
01. Represente no ciclo trigonométrico o seno, cosseno e 
tangente de 45º. 
 Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. CRITÉRIOS DE POSITIVIDADE. 
 Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente 
de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em 
busca de critérios de positividade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A análise acima pode ser resumida no seguinte 
esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
A 
1 
 
1 
P 
 – 1 
 – 1 
tg 
sen 
cos 
cos x 
sen x 
tg x 
x 
O 
x 
A 
1 
 
1 
P 
 – 1 
 – 1 
tg sen 
cos 
cos 45º 
sen 45º 
tg 45º 
x 
O 
2 0,7
2
≅ 
2 0,7
2
≅ 
1 
Lembre-se que: 
2sen 45º 0,7
2
2cos 45º 0,7
2
tg 45º 1
= =
= =
=
 
Grave a Frase: USA SEMPRE A TUA CABEÇA 
U: todos são positivos; 
S: o seno é positivo; 
T: a tangente é positiva; 
C: o cosseno é positivo. 
US
CT
x 
A 
P 
cos(+) 
x 
O 
sen(+) 
tg(+) 
x 
A 
P 
cos(–) 
x 
O 
sen(+) 
tg(–) 
x 
A 
P 
cos(–) x 
O 
sen(–) 
tg(+) 
x 
A 
P 
cos(+) 
x 
O 
sen(–) 
tg(–) 
1º QUADRANTE 
( )
sen x 0 (positivo)
cos x 0 (positivo)
tg x 0 positiva
>
>
>
 
2º QUADRANTE 
( )
sen x 0 (positivo)
cos x 0 (negativo)
tg x 0 negativa
>
<
<
 
3º QUADRANTE 
( )
sen x 0 (negativo)
cos x 0 (negativo)
tg x 0 positiva
<
<
>
 
4º QUADRANTE 
( )
sen x 0 (negativo)
cos x 0 (positivo)
tg x 0 negativa
<
>
<
 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
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3. VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS. 
 Seja x um arco qualquer. 
 Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo 1− 
e no máximo 1. 
 
 
 
 A tangente de x pode assumir qualquer valor real, 
porém não existem as tangentes de 90º, 270º e seus 
côngruos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tangente de um arco x existe para todo x diferente 
de 90º, de 270º e de seus côngruos. 
 Em símbolos: tg x, x | x k . , k
2
π∃ ∀ ∈ ≠ + π ∈� � 
 
 Observe a tabela de valores a seguir: 
 0º 90º 180º 270º 360º 
sen 0 1 0 – 1 0 
cos 1 0 – 1 0 1 
tg 0 não existe 0 
não 
existe 0 
 
4. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL). 
 
01. (MACK) 
I) cos 225º cos 215º< 
II) 5 5tg sen
12 12
π π> 
III) sen 160º sen 172º> 
 Das afirmações acima: 
a) Todas são verdadeiras 
b) Todas são falsas 
c) II e III são verdadeiras 
d) II é verdadeira 
e) I e II são verdadeiras 
 
02. (FATEC) Sobre as sentenças 
I) sen 40º sen 50º< 
II) cos 190º cos 200º> 
III) tg 60º tg 240º= 
É correto afirmar que somente: 
a) I é verdadeira 
b) II é verdadeira 
c) III é verdadeira 
d) I e II são verdadeiras 
e) I e III são verdadeiras 
03. (UFRS) Se 85ºθ = , então: 
a) tg cos senθ < θ < θ d) sen tg cosθ < θ < θ 
b) sen cos tgθ < θ < θ e) cos tg senθ < θ < θ 
c) cos sen tgθ < θ < θ 
 
04. (VUNESP) Se x é a medida de um ângulo em 
radianos e 3x
2 4
π π< < , então: 
a) cos x 0> c) tg x 0> e) sen 2x 0> 
b) cos 2x 0< d) sen x 0< 
 
05. (UNIFOR) A sentença cos x 2m 1= − é verdadeira 
para todo número real x se, e somente se, m pertence ao 
conjunto: 
a) 0,+ ∞⎡ ⎡⎣ ⎣ b) 0,1⎡ ⎤⎣ ⎦ c) � d) +� e) 1,1−⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 
06. (UFRS) Sendo x um número real, o menor e o maior 
valor possíveis da expressão ( )
42
5 2 sen 10x− são, 
respectivamente: 
a) 6 e 14 c) 14
5
− e 42
25
 e) – 14 e – 6 
b) – 21 e 42
5
 d) – 42 e 42 
 
07. (MACK) A soma dos valores máximo e mínimo de 
222 cos x
3
+ é: 
a) 8
3
 b) 10
3
 c) 4 d) 14
3
 e) 16
3
 
 
08. (FUVEST) Qual das afirmativas a seguir é verdadeira? 
a) sen 210º cos 210º tg 210º< < 
b) cos 210º sen 210º tg 210º< < 
c) tg 210º sen 210º cos 210º< < 
d) tg 210º cos 210º sen 210º< < 
e) sen 210º tg 210º cos 210º< < 
 
09. (IBMEC) O Valor monetário de uma ação é dado por 
( )V(t) 120 80.cos t= + , onde t é um número real positivo. 
De acordo com este modelo, o valor monetário máximo 
que essa ação pode assumir é: 
a) 120 b) 200 c) 880 d) 40 e) 240 
 
10. (FUVEST) Em cada um dos itens a seguir, qual dos 
números é maior? 
a) sen 830º ou sen 1195º 
b) ( )cos 535º− ou cos 190º 
 
 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
C E C B B A D B B 
a) sen 830º 
b) cos 190º 
1 sen x 1− ≤ ≤ 
1 cos x 1− ≤ ≤ 
tg x ∈ � 
90º 
A 
P 
90º 
O 
tg 
270º 
A 
P 
270º 
O 
tg