AP3 2009.2 MD2

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Fundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiroducação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de JaneiroCentro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
APAPAPAP 3333 2009/22009/22009/22009/2 Met. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. II Data: 13/12Data: 13/12Data: 13/12Data: 13/12 GabaritoGabaritoGabaritoGabarito 
 
1ª questão1ª questão1ª questão1ª questão (3,0 pontos) 
Considere a função 
12
16
)(
+
−=
x
x
xf . 
a.a.a.a. (0,4 ponto) Determine o domínio da função f . 
b.b.b.b. (1,2 ponto) Calcule os limites: 
b.1. (0,5 ponto) )(lim
2
1
xf
x
−
−→
 
b.2. (0,5 ponto) )(lim
2
1
xf
x
+
−→
 
b.3. (0,2 ponto) )(lim
2
1
xf
x −→
 
c.c.c.c. (0,7 ponto) A reta 
2
1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f ? 
Justifique a sua resposta. 
d.d.d.d. (0,7 ponto) O gráfico de f possui assíntotas horizontais? Caso 
afirmativo indique a(s) assíntota(s). Justifique sua resposta. 
 
Solução:Solução:Solução:Solução: 
a.a.a.a. (0,4 ponto) Determine o domínio da função f . 





−−=
2
1
)( IRfD 
 
b.b.b.b. (1,2 ponto) Calcule os limites: 
b.1. (0,5 ponto) )(lim
2
1
xf
x
−
−→
 
+∞=−=
+
−= −
−→−→
−− 0
4
12
16
)( limlim
2
1
2
1 x
x
xf
xx
 
 
b.2. (0,5 ponto) )(lim
2
1
xf
x
+
−→
 
−∞=−=
+
−= +
−→−→
++ 0
4
12
16
)( limlim
2
1
2
1 x
x
xf
xx
 
 
b.3. (0,2 ponto) )(lim
2
1
xf
x −→
 
A função f não admite limite quando x tende a 
2
1− . 
 
 
c.c.c.c. (0,7 ponto) A reta 
2
1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f ? 
Justifique a sua resposta. 
 
Como os limites laterais são infinitos, então podemos dizer que a reta 
2
1−=x é uma assíntota vertical ao gráfico de f . 
 
 
d.d.d.d. (0,7 ponto) O gráfico de f possui assíntotas horizontais? Caso 
afirmativo indique a(s) assíntota(s). Justifique sua resposta. 
2
6
1
2
1
6
1
2
1
6
12
16
)( limlimlimlim =
+
−
=





 +





 −
=
+
−=
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xf
xxxx
 
2
6
1
2
1
6
1
2
1
6
12
16
)( limlimlimlim =
+
−
=





 +





 −
=
+
−=
−∞→−∞→−∞→−∞→
x
x
x
x
x
x
x
x
xf
xxxx
 
Logo, podemos dizer que a reta 
2
6=y é uma assíntota horizontal ao 
gráfico de f . 
 
 
 
2222ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) 
Seja 





≥
<<−+
−≤+
=
22
21
123
)(
xse
xseBAx
xsex
xf
x
. 
Determine o valor das constantes A e B para que a função f seja contínua 
em 1−=x e 2=x . 
 
Solução:Solução:Solução:Solução: 
Para que uma função seja contínua, devemos ter )()(lim afxf
ax
=
→
. 
Para 1−=x : 
1)1(
)(
123)(
limlim
limlim
11
11
−=−
+−=+=
−=+=
++
−−
−→−→
−→−→
f
BABAxxf
xxf
xx
xx
 
Logo, devemos ter 1−=+− BA . 
 
Para 2=x : 
4)2(
422)(
2)(
2
22
22
limlim
limlim
=
====
+=+=
++
−−
→→
→→
f
xf
BABAxxf
x
xx
xx
 
Assim, temos 42 =+ BA . 
Temos, portanto, um sistema: 



=+
−=+−
42
1
BA
BA
, cuja solução é 






=
=
3
2
3
5
B
A
. 
 
 
3333ª questãoª questãoª questãoª questão (2,0 pontos) 
Calcule a derivada das funções a seguir: 
 
a. (1,0 ponto) 
3
5 652
4
)( 





+−
+=
xx
x
xf 
b. (1,0 ponto) 
43
64
)(
2 ++
+=
xx
x
xf 
 
Solução:Solução:Solução:Solução: 
 
a. 
3
5 652
4
)( 





+−
+=
xx
x
xf 
 
'
5
2
5 652
4
652
4
3)(' 





+−
+






+−
+=
xx
x
xx
x
xf 
 





+−
+−+−+−+






+−
+=
25
552
5 )652(
)'652)(4()652()'4(
652
4
3
xx
xxxxxx
xx
x
 
 





+−
−+−+−






+−
+=
25
452
5 )652(
)510)(4()652(
652
4
3
xx
xxxx
xx
x
 
 
45
452
25
455
25
2
)652(
)26408()4(3
)652(
)2040510652(
)652(
)4(
3
+−
+−−+=
+−
+−+−+−
+−
+=
xx
xxx
xx
xxxxx
xx
x
 
 
b. ( )( ) 2
1
2
2
4364
43
64
)(
−+++=
++
+= xxx
xx
x
xf 
 ( ) ( ) ( )
'
2
1
22
1
2 436443)'64()(' 




 +++++++= −− xxxxxxxf 
 ( ) ( ) ( ) 




 +++−++++= −− 2
3
22
1
2 43
2
)32(
322434 xx
x
xxx 
 ( ) ( ) ( ) 2322212 4332434 −− +++−++= xxxxx 
 ( ) ( ) ( )( )22232 3243443 +−++++= − xxxxx 
 ( ) ( )91241612443 22232 −−−++++= − xxxxxx 
 ( )
( ) ( )32232
2
3
2
43
7
43
7
437
++
=
++
=++= −
xxxx
xx 
 
 
 
 
 
4444ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) 
Calcule a área dada pela integral definida ∫
−
+
1
1
)2ln( dxx e esboce o seu 
gráfico, a partir do gráfico da função dada e dos limites de integração. 
 
Solução:Solução:Solução:Solução: 
Resolveremos primeiramente a integral indefinida ∫ + dxx )2ln( . Fazendo 
2+= xt , obtemos dxdt = . Daí, 
 
∫∫ =+ dttdxx )ln()2ln( . Aplicando a técnica de integração por partes, façamos 
)ln(tu = e dtdv = . Então dt
t
du
1= e tv = . 
 
Assim, 
 
∫ ∫∫ +−=+−=−=−= CttCtttdtttdtttttdtt )1)(ln()ln()ln(
1
)ln()ln( 
 
Como 2+= xt , temos Cxxdxx +−++=+∫ )1)2)(ln(2()2ln( 
 
Logo, 
.23ln3)10()13(ln3)11(ln)13(ln3)1)2)(ln(2()2ln( |
1
1
1
1
−=−−−=−−−=−++=+
−
−
∫ xxdxx