exercicios_coordenadas_%20na_%20reta_e_plano

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
1aLISTA DE EXERCÍCIOS
GEOMETRIA ANALÍTICA
1. Sejam a < b respectivamente as coordenadas dos pontos A e B sobre o eixo E. Determine as
coordenadas dos pontos X1, · · · ,Xn−1 que dividem o segmento AB em n partes iguais.
2. Sejam a < x < b respectivamente as coordenadas dos pontos A, X e B do eixo E. Diz-se que o ponto
X divide o segmento AB em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem d(A,X)
d(A,B) =
d(X,B)
d(A,X) .
Supondo que X divide o segmento AB em média e extrema razão, calcule x em função de a e b.
3. Se o ponto O é a origem do eixo E e A é o ponto desse eixo que tem coordenada igual a 1, qual é
a coordenada do ponto X que divide o segmento OA em média e extrema razão? No exerćıcio 2,
calcule a razão áurea d(A,X)
d(A,B) .
4. Os pontos A, B e X sobre o eixo E têm coordenadas a, b e x respectivamente. Se X
′
é o simétrico
de X em relação ao ponto A e X
′′
é o simétrico de X
′
em relação a B, quais as coordenadas de X
′
e X
′′
?
5. Dados os pontos A, B no eixo E, defina a distância orientada δ(A,B) entre eles pondo δ(A,B) =
d(A,B) se A está à esquerda de B e δ(A,B) = −d(A,B) se A está à direita de B. Prove que, para
quaisquer pontos A, B e C do eixo E, tem-se δ(A,B) + δ(B,C) + δ(C,A) = 0.
6. Sejam a < b < c respectivamente a coordenadas dos pontos A, B e C situados sobre um eixo.
Sabendo que a = 17, c = 32 e d(A,B)
d(A,C) =
2
3 , qual é o valor de b?
7. Qual seria a reposta do exerćıcio anterior se soubéssemos apenas que a < c?
8. Sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem sobre um eixo E. Esboce os gráficos das funções
ϕ, f , g: → R, dadas por:
ϕ(X) = d(X,A) + d(X,B),
f(X) = d(X,A) + d(X,B) + d(X,C)
g(X) = d(X,A) + d(X,B) + d(X,C) + d(X,D).
9. Diz- se que o ponto A
′
é o simétrico do ponto A em relação à reta r quando é a mediatriz do
segmento AA
′
. Sabendo que A = (x, y), determine os simétricos de A em relação aos eixos OX e
OY respectivamente.
1
10. O conjunto r, formado pelos pontos (x, 5), cujas ordenadas são iguais a 5, é uma reta paralela ao
eixo OX. Determine o simétrico do ponto P = (3,−2) em relação à reta r.
11. Enuncie e responda uma questão análoga à do exerćıcio anterior, com a reta r
′
= {(a, y); y ∈ R},
paralela ao eixo OY , e o ponto P = (c, d).
12. Dados A = (x, y) com x 6= y, observe que os pontos B = (x,x), C = (y,x) e D = (y, y) formam,
juntamente com A, os vértices de um quadrado de lados paralelos aos eixos. A partir dáı determine
o simétrico de A relativamente à diagonal ∆ = {(x,x);x ∈ R}.
13. Com argumento análogo ao do exerćıcio anterior, determine o simétrico do ponto A = (x, y) em
relação à diagonal ∆ = {(x,−x);x ∈ R}.
14. Qual é o ponto da diagonal ∆ mais próximo de P = (x, y)? E da diagonal ∆
′
?
(Use a coordenadas do ponto médio de um segmento.)
15. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?
16. Dados os pontos A = (2, 5), B = (3, 2) e C = (−1, 3) achar as equações das retas r, paralela a AB
passando por C, E s, perpendicular a AB também passando por C.
17. Qual é a equação da paralela à reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?
18. Ache a equação da perpendicular à reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).
19. Sejam A = (1, 2) e B = (−3,−4). Qual é o ponto de abcissa 5 sobre a reta perpendicular a AB
passando pelo ponto C = (5, 6)?
20. Seja A = (3, 1). Ache B tal que o triângulo OAB seja equilátero.
21. As retas y = ax + b e y = a
′
x + b
′
são perpendiculares e contém o ponto (x0, y0). Conhecendo a e
b, determine a
′
e b
′
.
22. Os lados de um triângulo estão sobre as retas y = 2x + 1, y = 3x− 2 e y = 1− x. Ache os vértices
desse triângulo.
Bibliografia
1.LIMA, Elon Lages. Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. SBM.
2
RESPOSTAS
1. Seja n ∈ N − {0};
X0 ↔ a
X1 ↔ a +
(b−a)
n
...
Xk ↔ a + k
(b−a)
n
para 0 < k < n
...
Xn ↔ b
2. x = −(b−3a)+
√
5(b−a)
2 .
3. x = −1+
√
5
2 ;
d(O,X)
d(O,A) =
−1+
√
5
2 .
4. a = x+x
′
2 ⇔ x
′
= 2a − x.
b = x
′′
+x
′
2 ⇔ x
′′
= 2b − x
′
.
5.
6. b = 27
7. b = 7 ou b = 27
8. Considere X ↔ x, A ↔ a, B ↔ b, C ↔ c e D ↔ d. Como a < b < c < d, temos:
ϕ(X) =| x − a | + | x − b | =
�
���
���
(a + b) − 2x; se x ≤ a
b − a; se a ≤ x ≤ b
2x − (b + a); se x ≥ b
Considere a > 0:
3
f(X) =| x − a | + | x − b | + | x − c | =
�
�����
�����
(a + b + c) − 3x; se x ≤ a
(b − a) + c − x; se a ≤ x ≤ b
x − (b + a) + c; se b ≤ x ≤ c
3x − (a + b + c); se c ≤ x
Considere a > 0:
g(X) =| x − a | + | x − b | + | x − c | + | x − d | =
�
�������
�������
(a + b + c + d) − 4x; se x ≤ a
(b − a) + (c + d) − 2x; se a ≤ x ≤ b
−(b + a) + (c + d); se b ≤ x ≤ c
2x − (a + b + c) + d; se c ≤ x ≤ d
4x − (a + b + c + d); se d ≤ x
Considere a > 0:
4
9. (x,−y) e (−x, y).
10. (3, 12).
11. (2a − c, d).
12. O simétrico do ponto A em relação a 1a bissetriz é o ponto C = (y,x).
13. (−y,−x).
14. (x+y2 ,
x+y
2 )
(x−y2 ,
y−x
2 )
15. Não. Os pontos A e B pertencem a reta y = 2x− 1, e os pontos B e C pertencem a reta y = x + 1.
16. s : y = −3x m : y = 13x +
10
3 .
17. s : y = −2x + 3.
18. m : y = − 13x +
8
3 .
19. C = (5, 6).
20. B = (3+
√
3
2 ,
1−3
√
3
2 ) ou B = (
3−
√
3
2 ,
1+3
√
3
2 ).
21. Como a 6= 0 então a
′
= − 1
a
e b
′
= b + x0(a +
1
a
).
22. (3, 7), (0, 1) e (34 ,
1
4 ).
5