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HÍLDER GÓES
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE 
Autor dos livros A Matemática do Vestibular e 
Elementos Básicos de Estatística
UBALDO TONAR
Licenciatura plena em Matemática pela 
Universidade Estadual do Ceará - UECE e 
Engenheiro Civil pela Universidade Federal do Ceará - 
Professor concursado do Estado do Ceará
MATEMÁTICA PARA
C O N C U R S O
7 -. Edição
Rio - São Paulo - Fortaleza 
2004
© 2004 Hilder Góes e Ubaldo Tonar
© 2004 desta edição cedidos à 
Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda.
P r o je to G r á h c o 
Carlos Alberto A; Dantas 
Roberta de Oliveira
R ev is o r T éc n ic o 
Fernando Antônio Saraiva de Araújo
Capa 
Heron Cruz
Pedidos:
Editora e Gráfica ABC Fortaleza Ltda,
Rua Vergueiro, 439 - Loja 27 - Bairro: Aclimação 
CEP: 01504-001 - São Paulo - São Paulo 
* * *
Rua Eduardo Salgado, 156 - Bairro: Aldeota 
Fone: (0**85) 264-3540; Fax: (0**85) 264-3606 
E-mail: abceditora@baydenetxom.br 
CEP: 60150-140 - Fortaleza - Ceará
Dados Internacionais de Catalogação na Publicaçao (CIP)
G 598m Góes, Hilder Bezerra.
Matemática para concurso. Por Hilder Bezerra Góes e Ubaldo 
Teixeira Góes. Rio — São Paulo - Fortaleza: ABC Editora, 2004.
632 p.
1. Matemática. I. Título. II. Góes, Ubaldo Teixeira.
CDD: 5 10
Para nossa querida filha e neta 
Deísy
com amor e carinho 
do seu pai Ubaldo e 
do seu avô Hilder.
A PRESEN TA ÇÃO
Animados, pela aceitação que tiveram as quatro primeiras 
edições cleste livro, resolvemos, após profundas modificações, tanto 
em seu conteúdo, como em sua explanação, trazer a lume a quin­
ta edição deste clespretencioso trabalho no qual tentamos reunir 
toda a matéria que achamos necessária aos candidatos a concurso 
público de nível médio.
Lembramos, contudo que o enrequecimento deste trabalho, 
não invalida, obviamente, as edições anteriores, as quais serão 
sempre aproveitáveis.
Dividido em duas partes: a primeira, contendo um conjunto 
de conhecimentos básicos e indispensáveis, que reputamos de 
grande importância para um bom desempenho e compreensão 
quando cio estudo da segunda parte, por isso aconselhamos uma 
especial atenção à mesma; na segunda parte inserimos, pratica­
mente, todo o conteúdo da maioria dos concursos, como TRT, 
TRF, TJC e tantos outros.
Na publicação desta quinta edição, ainda não nos moveu o 
interesse pecuniário, nem a vaidade de ser autor mas tão somen­
te, aníma-nos o desejo e a esperança de havermos trazido uma 
modesta contribuição com algo que venha facilitar o aprendizado 
de todos aqueles que pretendem aumentar seu conhecimento nessa 
tão fascinante matéria, em especial, aos interessados em ingressar 
na carreira pública; eis o nosso propósito maior. Como também, 
dizíamos então - e agora repetimos - não haver feito trabalho 
notável ou original.
A aceitação deste livro será por certo, um estímulo e uma 
imposição para que continuemos em nosso propósito.
Muito grato seremos a quantos nos queiram apontar falhas 
que certamente encontrarão.
O S AUTORES
SUMÁRIO
PRIMEIRA PARTE
0 1 Número ................................................................................................................ 1 3
0 2 S istema de N umeração .................................................................................. 2 7
0 3 Números Inteiros ............................................................................................ 3 5
0 4 Números Fracionários .................................................................................. 4 8
0 5 Números D ecimais .......................................................................................... 6 6
0 6 Números C omplexos .................................................................... ................. 7 9
0 7 N úm eros R elativos ......................................................................................... 8 9
0 8 E quação do Prim eiro G r a u ....................................................................... 9 3
0 9 S istema de Equação do P rimeiro G r a u ...................................................1 0 0
1 0 Inequaçào do P rimeiro G r a u ............ .........................................................1 0 6
11 S istema de I n e q u aç à o d o P rimeiro G rau ............................................ . 1 1 1
1 2 Equação do S egundo G r a u .........................................................................1 1 4
1 3 S istema de Equação do S egundo G r a u ..................................................1 2 4
1 4 P o ten ciaç ão ..................................................................................................... 1 2 6
1 5 Radiciação ...........................................................................................................1 4 2
1 6 Q uestões de Concursos ............................................................................. 1 5 7
SEGUNDA PARTE
*‘ 1 7 Números Inteiros ............................................................................................. 1 6 3
1 8 Q uestões de C o n cu r so s.................................................................................2 1 0
1 9 Números Fracionários ................................................................................... 2 2 2
2 0 Q uestões de C o n c u r so s................................................................................2 5 7
2 1 R egra de T r ê s ................................................................................................. 2 6 4
2 2 Q uestões de C o n c u r s o s .................................................................................2 8 5
*23 R a z ã o ....................................................................................................................2 9 5
2 4 Q uestões de C o n c u r so s................................................................................ 3 0 5
25 P roporção .......................................................................................................... 3 0 8
2 6 Q uestões de C o n c u rs o s .................................................................................3 3 1
2 7 D iv isã o P r o p o r c io n a l ............................... .................................................... 3 3 4
/28 M í d i a s ................................................................................................................... 3 5 9
2 9 Números P roporcionais ................................................................................ 3 6 5
3 0 Q uestões de Concursos ............................................................................ 3 ó 7
3 1 R egra de S o c i e d a d e .................................................................................................. 3 7 3
3 2 Q u estões dh C o n c u r s o s ......................................................................................... 3 8 2
3 3 P orcentagem .......•............................................................................................ 3 8 7
'3 4 Q uestões de C o n c u r s o s .......................................................................................... 4 1 8
35 J uro s S imples .................................................................................................... 4 3 2
3 6 P r a z o , T a x a k C apital M é d i o s ..................................................................4 6 9
37 Q uestõ es de C o n c u r s o s .............................................................................................4 7 5
3 8 D esco n to S imples .......................................................................................................4 8 4
3 9 Q u estões de C o n c u r s o s ....................................................................... .....................50 4
4 0 S istem a M étrico D ecim al ...................................................................................... 5 0 9
4 1 Q uestões de C o n c u r so s ............................................................................ ............5 4 2
■ 42' Es c a l a ......................... :v .............., ....................................................................................5 5 1
4 3 Q u estões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 5 4
4 4 F u n ç ão d o P rimeiro G r a u .......................................................................................5 5 6
4 5 Q uestões de C o n c u r so s ................................. : ......................................................5 6 6
4 6 F u n çào Q uadráttca ......................................................................................................5 6 8
4 7 Q uestões de C o n c u r s o s .............................................................................................5 7 8
4 8 D ivisibtlidade ........ ............................................................................................................5 8 0
4 9 N úm eros P r im o s , M últiplos e D iv t so r e s .........................................................5 9 4
tÇO M á x im o D iv iso r C o m um ................................................................................. 6 0 3
*51 M ínim o M úuh plo C o m um ..........................................................................................6 1 4
5 2 Q u estões de C o n c u r s o s ............................................................................................6 2 2
5 3 P ro blem as do S e ç ijn d o G r a u ............................................................................... 6 2 4
PRIMEIRA PARTE
Númi-ho - 1 
S is te m a d e N u m e r a ç ã o - 2 
N ú m e ro s I n t e i r o s ~ 3 
N ú m e ro s F r a c i o n á r i o s - 4 
N ú m e ro s D e c im a is - 5 
N ú m e ro s C o m p le x o s - 6 
N ú m e ro s R e la t i v o s - 7 
E q u a ç ã o d o P r ím e íro G r a u - 8
9 - S íst e m a de E q u a ç ã o d o P rim e ir o G r a u
1 0 - I n e q u a ç ã o d o P rim eiro G rau
1 1 - S ist e m a de ín e q u a ç ã o d o P rim e iro G ra
1 2 - E q u a ç ã o d o S e g u n d o G rau
1 3 - S i s t em a de E q u a ç ã o d o S e g u n d o G ra u
1 4 - P o t e n c s a ç ã o
1 5 - RADI Cia ç ã o
1 6 - Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s
1
NÚMERO
DEFINIÇÃO: E o resultado da comparação de uma grande2a com a 
unidade.
GRANDEZA: E tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado. 
As grandezas se classificam em:
a) Contínuas: São as grandezas que podem ser aumentadas ou diminuí­
das de uma quantidade qualquer.
Exemplos: Uma peça de pano, um rolo de barbante.
b) Descontínuas: São as grandezas que só podem ser aumentadas ou
diminuídas de uma quantidade determinada. 
Exemplos: Uma porção de bolas, um grupo de meninos.
c) Homogêneas: São as grandezas da mesma espécie.
Exemplos: 3 lápis e 5 lápis ou 4 bolas e 7 bolas.
d) Heterogêneas: São as grandezas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 3 cadernos ou 5 bolas e 6 laranjas.
UNIDADE: É uma grandeza que serve para medir outras grandezas da 
mesma espécie. A grandeza escolhida para unidade é arbi­
trária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
CLASSIFICAÇÃO DOS NÚMEROS: Os números se classificam em:
I) POR SUA NATUREZA:
a) Concreto: E o número que determina a espécie de unidade a que se 
refere.
Exemplos: 3 bolas; 5 cadernos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 13
b) Abstrato: É o número que nào determina a espécie de unidade a que 
se refere.
Exemplos: 6, 4, 7.
II) POR SUA ESPÉCIE
a) Homogêneo: E o número que indica coisas da mesma espécie.
Exemplos: 2 lápis e 3 lápis.
b) Heterogêneo: E o número que indica coisas de espécies diferentes.
Exemplos: 2 lápis e 4 livros.
III) PELAS PARTES QUE INDICAM
a) INTEIRO: E o número que consta só de unidades.
Exemplos: 3 cadernos, 6 livros.
Os números inteiros podem ser:
i) Simples: E o número formado de um só algarismo.
Exemplos: 3, 5, 7.
ALGARISMOS sào os símbolos que representam os números.
ii) Composto: É o número formado por dois ou mais algarismos.
Exemplos: 26,138, 1435.
b) FRACIONARIO: é o número que indica uma ou mais partes da unidade.
Exemplos: 2 1 3
3 ’ 5 ’ 7
Os números frandonários se dividem em:
Decimais
Exatos: 0,2: 0,85
f Simples: 0,333 .. 
Periódicos <
i Compostos: 0,4222...
1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
r Puros
Próprios: 2 3
5* 4
Ordinários 1 Impróprios: 7 ? 8^
3 5
t Aparentes: 5 20
c) MISTO: É o número formado por um número inteiro e um número 
fracionário.
Se classificam em:
Decimais: 5,3; 9,3535...
1 2Ordinários: 2- ; 4-
3 5
O número abstrato, isto é, aquele que nào determina a espécie de 
unidade, é o verdadeiro número, pois o concreto é constituído do número 
abstrato, ligado à natureza da unidade escolhida.
O conjunto de processos empregados para se representar os nú­
meros constitui o que se chama de SISTEMA DE NUMERAÇÃO.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base, isto é, pelo 
número de unidades de uma ordem que formam uma unidade de ordem 
imediatamente superior. O número de algarismos de um sistema de nu­
meração é igual à base.
O sistema universalmente adotado é o decimal. Nesse sistema, dez 
unidades de uma ordem, formam uma unidade de ordem imediatamente 
superior. Assim, dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam 
uma centena.
A numeração escrita, tendo como base esse sistema, se norteia no 
seguinte princípio: “Qualquer algarismo escrito à esquerda de outro, vale 
dez vezes esse outro algarismo”.
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS: Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 e 9 são denominados significativos. Um algarismo significativo tem 
dois valores:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 5
Valor Absoluto: É o valor que o algarismo possui quando escrito 
isoladamente. O algarismo 5, como valor absoluto, vale sempre 5; o alga­
rismo 7, sozinho, vale sempre 7; e assim por diante.
Valor Relativo: E o valor que o algarismo possui de conformidade 
com o lugar que ele ocupa no número. Assim, no número 327, o 7 vale 
sete unidades, o 2 vaie duas dezenas e o 3 vale três centenas.
OX - De 345 a 789 incluídos esses números, quantos números inteiros e 
consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do maior número o menor, e somar­
mos uma unidade.
' 789 — 345 = 444 - » 444 + 1 = 445 números
02 - De 480 a 720 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
Solução: 720 — 480 = 240 240 + 1 = 241 números
03 - De 371 a 840 incluídos esses números, calcule quantos números intei­
ros e consecutivos existem.
R; 470
04 - De 31 até 700, calcule quantos números inteiros e consecutivos exis­
tem, incluindo esses números.
R: 670
05 - De 345 a 789 excluídos esses números, calcule quantos números in­
teiros e consecutivos existem.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor e diminuir­
mos uma unidade.
789 — 345 — 444 —> 444 1 = 443 números
16 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - De 132 a 186 excluídos esses números, calcule quantos números 
inteiros c consecutivos existem.
R: 53
07 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem de 20 até 
251, excluindo esses números.
R: 230
08 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem entre 243 
excluído c 527 incluído.
Solução: Basta subtrairmos do número maior o menor 
527 - 243 = 284
09 - Calcule quantos números inteiros e consecutivos existem quando se 
escreve de 180 excluído e 320 incluído.
R: 140
10 - Calculequantos números inteiros e consecutivos existem entre 130 
incluído e 780 excluído.
R: 650
11 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos os.. ——
números de 1, 2 e(3)ilgarismos. ^ | ^ „ i\) - / ~ 3 - ~ B ~ § .3 -1
Solução: Os números de um algarismo, começam~3õTevão até ao
9 incluídos; são, portanto: 9 — 1 ~ B —> 8 + 1 —9
I -ogo, são 9 números de um algarismo e são necessários 9 x 1 = 9 
algarismos para escrevê-los.
• Os números de dois algarismos começam no 10 e vão até o 99 
incluídos; são, portanto: 99 ~ 10 = 89 —*■ 89 + 1 = 90
Então, são 90 números de dois algarismos, sendo necessários
90 x 2 — 180 algarismos para escrevc-los.
* Os números de três algarismos começam no 100 e vão até ao 999
incluídos; há, portanto*. 999 — 100 = 899 —» 899 + 1 900.
Então, sào 900 números de três algarismos, sendo necessários 
900 x 3 ~ 2.700 algarismos para escrevê-los.
Concluímos que, para se escrever todos os números de 1, 2 e 3 
algarismos, serão necessários: 9 + 180 + 2.700 = 2.889 algarismos.
MATÍm ÁTíCA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 7
12 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números naturais de 1 até 88.
Solução:
• De 1 a 9, temos 9 — 1 = 8 —> 8 -í- 1 = 9 números de um algaris­
mo, logo serão necessários 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 88, temos 88 — 10 = 78 —» 78 + 1 ~ -9 números de dois
algarismos, sendo, portanto, necessários 79 x 2 = 158 algarismos. Logo 
serão necessários 9 + 158 = 167 algarismos. ~
13 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever to­
dos os números naturais de 30 a 176.
. R : 371
14 - Calcular o número de algarismos necessários/para se escrever desde
31 até 245.
R: 576
15 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de 30 até 91.
R: 124
16 - Calcule o número de algarismos necessários para se escrever de 37 
até 239.
R: 546
17 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 1 a 934, inclusive.
R: 2.694
18 - Quantos algarismos são necessários para escrevermos todos os nú­
meros de 7 a 32.427, inclusive.
R: 151.023
19 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever tddos 
os números de três algarismos.
R: 2.700
18 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
20 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos
os números de cinco algarismos. C-. 1 6 ; -■
R: 450.000
21 - Calcular o número de algarismos necessários para se escrever todos 
os números de sete algarismos.
R: 63.000.000
22 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números pares de 6 até 281 inclusive.
Solução:
Entre os números 6 e 9 existem dois números pares de um algaris­
mo, que são o 6 e o 8.
• De 10 até 99 existem: '99 - 10 = 89 + 1 = 90 números, dos quais 
45 são pares, de dois algarismos.
• De 100 até 281 existem: 281 - 100 = 181 + 1 = 182 números, 
dos quais 91 são pares, de três algarismos.
Então, para escrevermos os números pares de 6 até 281 utilizaremos:
2 x 1 - 2 -■> f. • - ! J ( - r ■: v " • C -r
4 5 x 2 = 90 '* /.
91 x 3 =273 . J ;
365 algarismos
23 - Determinar o número de algarismos necessários para se escrever os 
números ímpares de 5 até 175 inclusive.
' R: 207
(■24" - Um aluno escreveu do menor número par de 3 algarismos significati­
vos desiguais até o maior número ímpar de 6 algarismos desiguais, incluí­
dos esses números. Calcule quantos algarismos escreveu.
R: 5,814.552 í ^ O
25 - Para numerar as 126 páginas de uma apostila, calcule quantos algaris­
mos foram necessários.
Solução:
• Da página 1 até a 9 foram utilizados 9 — l ~ 8 - - »8 + l = 9 
números de um algarismo. Logo, 9 x 1 = 9 algarismos.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 1 9
• Da página 10 até a 99 foram utilizados 99 —10 = 89 —> 89 + 1 = 90 
números de dois algarismos.
Logo, 90 x 2 = 180 algarismos.
• Da página 100 até a 126 foram utilizados 126 — 100 = 26 —»
—» 26 + 1 = 27 números de três algarismos.
Logo, 27 x 3 = 81 algarismos.
Então, ao todo, foram necessários 9 + 180 + 81 = 270 algarismos.
26 - Em um cinema há 150 poltronas. Calcule quantos algarismos serão 
necessários paira enumerá-las.
R: 342
27 - Em um teatro há 130 cadeiras. Calcule quantos algarismos serão ne­
cessários para enumerá-las.
R: 282
28 - Se um livro tiver 2.593 páginas, quantos algarismos serão necessários 
para enumerá-las?
R: 9.265
29 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 270 algaris­
mos. Calcular quantas páginas tem esse livro, j g _ \
Solução:
• Para enumerar as 9 primeiras páginas usaram-se: 9 x 1 =9 algarismos.
• Para enumerar as 90 páginas seguintes usaram-se 90x2 = 180 algarismos. 
Veja que, até agora, já usamos 180 + 9 = 189 algarismos.
Temos: 270 ~ 189 = 81 algarismos, que serão utilizados para enu­
merar páginas de três algarismos. Logo, 81 3 = 27 páginas. O total de
páginas será, portanto de: 9 + 90 27 = 126.
' s30\ Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 570 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 22$jp
31 - Para enumerar as páginas de um livro foram necessários 1.296 algaris­
mos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 468
20 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR
32 - Para enumerar as páginas de um E v to foram necessários 3.421 alga­
rismos. Calcule quantas páginas tem esse livro.
R: 1.132 .
33 - Uma pessoa, para numerar as páginas de um álbum, cobrou $ 15,30. 
Quantas páginas tinha o álbum, sabendo-se que cobra $ 0,05 por algarismo?
R: 138
34 - Um artista foi contratado para enumerar as páginas de um álbum, 
devendo ganhar $ 5,00 por algarismo desenhado. Recebeu por esse traba­
lho $ 1.710,00. Calcule quantas páginas tinha o álbum.
R: 150
35 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, obtém-se: 1234567891011121314151617... Determine o alga­
rismo que ocupa o 117 3Ü-lugar.
Solução:
• De 1 a 9 escreve-se: 9 x 1 = 9 algarismos.
• De 10 a 99 escreve-se 90 x 2 = 180 algarismos.
Então, até o número 99 escreve-se 189 algarismos. A partir do 100, 
os números são de três algarismos. Logo: 1173 - 189 = 984
Então, 984 -s- 3 = 328 números de. três algarismos. Conta-se, pois, até
o número 99 + 328 = 427. Logo, o algarismo que ocupa o 1173” lugar é o 7.
36 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos. Determinar o algarismo que ocupa o 12002 lugar.
R: 6
37 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, calcule o algarismo que ocupa o 1536a lugar.
R :X
38 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, qual será, o algarismo que ocupa o 3456U lugar.
R: 8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 2 1
39 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 2342a lugat
Solução:
• De 1 a 9 são 9 números de um algarismo. Logo, vocâutiliza 9 algarismos.
• De 10 a 99 são 90 números de dois algarismos. Logo, você utiliza 
180 algarismos.
Veja, que até agora, utilizamos 189 algarismos. Como são 2342 al-' 
garismos, ainda faltam 2342 — 189 = 2153.
Então: 2153 3, temos:
2153|_3__
05 717
23
2
717 números de 3 algarismos. Logo, até agora, temos: 9 + 90 + 717 = 816 
Mas veja que, na divisão, que não é exata, sobraram 2 algarismos 
para você escrever o número 817.
Se o resto tivesse sido 1 você só poderia escrever o 8, mas como 
sobraram 2 algarismos; do número 817 você.pode escrever o 8 e o 1. 
Então, o algarismo que ocupa o 2342- lugar, é o 1.
40 - Escrevendo-se a sucessào dos números naturais sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o 985" lugar.
R: 3
41 - Escrevendo-se a sucessão dos números naturais, sem separar os alga­
rismos, determine o algarismo que ocupa o1234s lugax.
R: 4
42 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 60ü algarismo escrito.
R: 3
43 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, qual é o 500ü algarismo escrito.
R: 0 •
22 HIIJDER GÓES * UBAJLDO TONAR
44 - Escrevendo-se a série natural dos números inteiros, sem separar os 
algarismos, determine o 1800'- algarismo escrito.
R: 6
45 - Determinar o número de vezes que o algarismo 8 ocupa a posição das 
unidades; das dezenas; das centenas, na sucessão natural dos números in­
teiros de X até 10".
Solução:
Como algarismo das unidades, o número 8 aparecerá de 10 em 10. 
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", ele deverá 
aparecer 10“ 10 = 1Ò"'5 vezes como algarismo das unidades.
Como algarismo das dezenas ele aparecerá nos 10 números de cada 
centena terminados em 80, 81, 82,..., 89.
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10w, ele deverá 
aparecer 10 x 10“'-=- 102 = 10“+í -h 102 = IO11'1 vezes como algarismo das 
dezenas.
Como algarismo das centenas o número 8 aparecerá nos 100 nú­
meros de milhares terminados por 800, 801, 8 0 2 , 8 9 9 .
Como estamos considerando a sucessão de 1 até 10", e como existe 
10" •*- 10J — IO”'3 milhares elé aparecerá 100 x 10"'3 = 102 x IO"'3 = 10“' 1 vezes 
como algarismo das centenas.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 23
46 - Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na suces­
são dos números de 1 até 100.000.
Solução:
De 1 até 100.000 eqüivale a de 1 até 10\
Como algarismo das unidades aparece 10"‘!, isto é, 10vl = 104. 
Como algarismo das dezenas aparece 10”'5, isto é, 10'"1 = 104. 
Como algarismo das centenas aparece 10"'’, isto ê, IO5*' = IO4. 
Como algarismo de milhar também aparece 104.
Conclui-se que, de 1 até 105, o algarismo 3 aparece 5 x 104 =
5 x 10.000 — 50.000 vezes.
47 - Determine o número de vezes que o algarismo 8 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 1.000.
R: 300
48 - Determine o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 10.000.
R: 5.000
49 - Determinar o número de vezes que o algarismo 2 aparece na sucessão 
dos números de 1 até 100.000.
R: 50.000
50 - Determinar o número dèVtóès que o algarismo 7 ocupa a posição das 
dezenas na sucessão dos números de 1 até 10.000.
R: 1.000
51 - Escrevendo-se os números de 1 até 537, determine quantas vezes 
aparecerá o algarismo 8-
Solução:
Decompondo-se o número 537, podemos escrever: 537 = 500 + 37. 
Na parte relativa a 37, o algarismo 8 aparece três vezes, senão veja­
mos: 508 - 518-528.
Na parcela relativa a 500, isto é, cinco centenas, o algarismo 8 figu­
rou 10 vezes como unidade em cada dezena e 10 vezes como dezena em 
cada centena. Figurou, portanto: 5 x (10 + 10) = 100 vezes.
24 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAS
Nas centenas nào figurou nenhuma vez, isto porque, ao escrever­
mos o último número 537, nào havíamos chegado a empregar o algarismo 8, 
como algarismo das centenas.
Concluímos, então, que o algarismo 8 aparece 3 + 100 = 103 vezes 
quando se escreve de 1 até 537.
52 - Determinar o número de vezes que .o algarismo 5 aparece quando se 
escreve de 1 até 537.
R: 142
^55j- Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparecerá quando 
se escreve de 1 até 327.
. R:óX~A
ÍB4j- Um aluno escreveu todos os números inteiros desde 1 até 2.850. 
'Determine quantas vezes ele escreveu o algarismo sete.
R :'8 6 5 '-H ^
55 - Que alteração sofre o número 23.486 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 3 e 4.
Solução:
23.000 x 9 = 207.000, aumento sòÊrido.
Senão vejamos: 230.486 — 23.486 = 207.000.
56 Que alteração sofre o número 34.567 quando se introduz dois zeros 
entre os algarismos 5 e 6.
Solução:
34.500 x 99 = 3.415.500, aumento sofrido.
Senão vejamos: 3.450.067 — 34.567 = 3.415.500.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMERO 25
57 - Que alteração sofre o número 2.548 quando se introduz um zero 
entre os algarismos 5 e 4.
R: 22.500
58 - Que alteração sofre o número 1957 quando intercalamos dois zeros 
entre os algarismos 9 e 5.
R: 188.100
59 - Que alteração sofre o número 678, quando se intercala um zero entre 
os algarismos 6 e 7.
R: 5,4.00^
60 - Qual a 1732u letra da seqüência: ABCDEABCDEABCDEABCD.I.
Solução:
Veja que a seqüência é formada por ABCDE seguido de ABCDE, 
isto é, de 5 em 5 letras. Logo, se dividirmos 1732 por 5, teremos:
1732 [ 5
23 346
32
2
De onde se conclui, que escrevemos a seqüência ABCDE, 346 ve­
zes. Mas, veja que a divisão não foi exata: sobraram 2 letras, então você só 
poderá escrever da próxima seqüência as letras AB. Logo, a letra que ocu­
pa 17321 é a letra B.
61 - Qual a 2080- letra da seqüência: DCABDCABDCABDCA...
R: B
62 - Qual a 1993a letra da seqüência: ABCDEDCBABCDEDCBABCDE 
DCBABCD...
R: A
63 - Qual a 1039a letra da seqüência: ABCDEDCABCDEDCABCDEDC AB...
R: C
64 - Determine a letra que ocupa a 1473a da seqüência: CDEFGHCD 
EFGHCDEFGHCD...
R: E
26 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Como já vimos, Sistema de Numeração, é o conjunto de processos 
empregados para se representar os números.
Os sistemas de numeração se caracterizam por sua base.
O número de algarismos de úm sistema é igual a base. Veremos, a 
seguir, como se passa um número escrito em um certo sistema, numa base 
para outro sistema, em outra base.
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e 1 0 p a r a u m 
S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r
01 - Escrever o número 370 no sistema de base 8. 
Solução:
• 37° [_ $
50 . t____
(562),
46
6
02 ~ O número 584 está escrito no sistema decimal, escrevê-lo no sistema 
de base 6.
Solução:
584 I 6
44, 97' 6
2, 37 16 6
T 4 2
Veja como fizemos:
Dividimos o número, pela base desejada, a seguir, dividimos o quo- 
ciente obtido pela base; continua-se dividindo-se os quocientes obtidos 
até encontrarmos um quocíente menor que a base. O número esaáto na 
nova base, será então formado pelo último quociente seguido dos restos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 27
encontrados, escritos em sentido contrário, isto é, do último resto até o 
primeiro.
0 3 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base decimal, escreva-o 
no sistema de base 7.
Solução:
83452 7
13 11921 7
64 49 1703 [7
15 21 30 243 7
12 0 23 33 34 7
5 2 5 6 4
R: (465205),
0 4 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no 
sistema de base 4.
R: (0113330)4
0 5 - 0 número 83452 está escrito no sistema de base 10. Escreva-o no 
sistema de base 5.
R: (231342).
06 - Escreva o número 288 no sistema de base 3.
R: (31200)}
07 - Escreva o número 43456 no sistema de base 6.
R: (533103) 6
P a s s a r u m N ú m e r o d o S is t e m a d e B a s e Q u a l q u e r 
p a r a o S is t e m a d e B a s e D e c im a l
0 8 - 0 número (562) H está escrito no sistema de base 8. Escreva-o no 
sistema de base decimal.
28 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
Solução:
( 5 6 2 ) g = 2 x 8 “ + 6 x 8 ' + 5 x 8 2 
= 2 + 4 8 + 3 2 0
= 3 7 0
0 9 - 0 número (2412)6 está escrito no sistema de base 6. Escreva-o no 
sistema de base 10.
Solução:
(2412) 6 = 2 x 6 ° + l x ó 1+ 4 x 6 2 + 2 x 63 
= 2 + 6 + 144 + 432
= 584
Veja como se faz:
Escreve-se uma SOMA, onde as parcelas sao:
— O algarismo da unidade, vezes à base elevada a zero;
— O algarismo das dezenas, vezes à base elevada a um;
— O algarismo das centenas, vezes à base elevada a dois;
— O algarismo das milhares, vezes à base elevada a três;
E assim por diante ...
10 - Escreva o número (213)4 na base 10.
R: 39
11 - Escreva o número (2416) na base 10.
k :9 9
1 2 - 0 número (465205)? esta escrito no sistema de base 7. Escreva-o no 
sistemade base 10.
R: 8 3 4 5 2
13 - O número (2001), está escrito no sistema de base 2. Escreva-o no 
sistema de base 10.
R: 17
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 29
Passar um Número Escrito em uma Base Q ual­
quer para Outra Base D iferente da Decimal
14 - Escrever o número (213) 4 para um sistema de base 5.
Yeja como se faz:
Passamos o número dado para a base decimal e, em seguida, passamos o 
número resultante para a base desejada.
Solução:
i) Passando (213)4 para a base decimal, temos:
(213), — 3x4° + 1x4' + 2 x 42 
= 3 + 4 + 32
= 39
ii) Agora, passaremos o número 39, que está escrito na base 10, 
para a base pedida, no caso, a base 5.
39 | 5
4 7
2 1
R: (124)s
15 - Escreva o número (2132)3 na base 4.
R: (4z2)4
16 - Escreva o número (1212). na base 2.
R: (510102),
17 - Escreva o número (102). na base 4.
R: (122)4
18 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 23 do 
sistema decimal se escreve 32.
30 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(32) x = 23
2 x * x ° + 3 x x ! = 2 3
2 + 3 x = 2 3
3 x = 2 1 x = 7
19 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 45 do 
sistema decimal se escreve 63.
R: 7
20 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 3.8 do 
sistema de base 10, se escreve 46.
R: 8
21 ~ Calcule a base do sistema de numeração em que o número 223 do 
sistema decimal se escreve 337.
Solução:
Seja x a base desejada, então temos:
(337) ^ = 223
7 x xü + 3 x x1 + 3 x x’ = 223
7 + 3x-+ 3x2 = 223
3x2 + 3x = 216
3x2 + 3x — 216 = 0
Resultou uma equação do 2- grau que resolvida nos dá: 
x’ = — 9 e x” = 8. Desprezamos a raiz negativa, então a base 
procurada será 8.
22 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 38 do 
sistema decimal se escreve 123.
R: 5
23 - Calcule a base do sistema de numeração em que o número 122 do 
sistema decimal, se escreve 145.
R: 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 3 1
24 - Em que base está escrito o número 57 sabendo que no sistema de 
base decimal se escreve 72.
R: 13
25 - Qual é a base do sistema de numeração em que o número 144 na base 
10, se escreve 100.
R: 12
26 - Qualé a base do sistema de numeração em que 243 é o quadrado de 16.
Ri 11
27 - Um número de dois algarismos, escrito na base 7, escreve-se na base
9 com os mesmos algarismos em ordem inversa. Determinar esse número 
na base 10; correspondente ao número na base 7 e na base 9.
Solução:
Seja ab o número. Então temos:
(ab)7 = (ba),
b x 7o + a x 71 = a x 9o + b x 91 
b + 7a = a + 9b 
6a = 8b 
3a = 4b
Para que a igualdade desses dois produtos exista, deveremos ter: 
a = 4 e b = 3.
O número será: (43)7 ou (34)
Na base 10 teremos: (43), = 3 x 7Ü + 4 x T = 3 + 28 = 31 
(34), = 4 x 9o + 3 x 91 = 4 + 27 = 31
28 - Um número de dois algarismos, escrito na base 3, escreve-se na base 
5 com os mesmos algarismos escritos em ordem inversa. Determine esse 
número na base 10; correspondente ao número na base 3 e na base 5.
R: 7
29 - Certo número de dois algarismos escrito no sistema decimal tem 7 
para soma dos seus algarismos. Com a base 6, o número formado pelos 
mesmos algarismos, vale 16 unidades menos do que o primeiro. Achar 
esse primeiro número.
R: 43
32 HODER GÓES * UBALDO TONAR
30 ~ O número 23 se acha escrito em dois sistemas de numeração cujas 
bases diferem de duas unidades. Achar essas bases, sabendo que a soma 
dos dois números é 34.
R: 6 e 8
3731 - Escrever a fracão — na base 8.
J 51
Solução:
Passa-se separadamente, o numerador e o denominador, para a base 8.
37 | 8 => 37 = (45), 51 j 8 => 51 = (63),
5 4 3 6
No que resulta: — = — (8)
M 51 63
32 - Escreva a fracão — na base 9.
J 22
47R: ~ (9 )
24 '
33 - Escreva a feacão — na base 5.
' 27
R: Z i ( 5 )
52 1 ;
34 - Efetuar a divisão de (21374) s por 5. 
Solução: .
(2 1 . 3 7 4), [ 5
(21), = 17 3377
(23), = 19 
(47), = 39
(44), = 36
1
(21)g = 1 x 8o + 2 x 8‘ = 1 + 16 = 17
(23), = 3 x 8a + 2x 8l = 3 + 16 = 19
(47) g = 7 x 8Ü + 4 x 81 = 7 + 32 = 39
(44)s = 4 x 8° + 4 x 81 = 4 + 32 = 36
R: Quociente = 3377 e Resto = 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE NUMERAÇÃO 33
35 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (3414) por 6.
R: Quociente = 4548 e Resto = 4
36-0 número {7513)a está escrito na base 8. Calcule o resto da sua divisão por 3. 
R :0
37 - Calcule o quociente e o resto da divisão de (2632)fi por 4.
R: Quociente = 435 e Resto = 0
34 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
3
NÚMEROS INTEIROS
As operações fandamentais com os números inteiros sâo quatro:
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO:
a) Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição nos 
números naturais.
2 + 0 = 2 0 + 5 = 5
b) Fechamento: A soma de dois ou mais números naturais é sem­
pre um número natural.
2 + 3 = 5 4 + 2 + 3 = 9
c) Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.
2 + 3 + 5 = 1 0
3 + 2 + 5 = 1 0
5 + 3 + 2 = 1 0
d) Associativa: Numa soma indicada de várias parcelas, podemos 
substituir várias de suas parcelas pela sua respectiva soma.
3 + 4 + 6 + 2 — ( 3 + 4) + (6 + 2 ) = 7 + 8 = 1 5
3 + 4 + 6 + 2 = ( 3 + 4 + 2 ) + 6 =9 + 6 = 1 5
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 35
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Quando se aumenta uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica aumentada dessa quantidade.
10 —> 10 + 5 = 15 
+ 6 + 6
16 2 1 - » 2 1 -1 6 = 5
Segunda: Quando se diminui uma parcela de uma certa quantida­
de, a soma fica diminuída dessa quantidade.
10 1 0 - 3 = 7
+ 6 H- 6
16 13 .-> 1 6 -1 3 = 3
01 - Numa adição de duas parcelas, uma delas é 900 e a soma 1.860. Calcu­
le a outra parcela.
R: 960
02 - Numa adição de 5 parcelas, a Ia e a 2- são, respectivamente, 600 e 700; 
a 3* é igual à diferença entre as duas primeiras; a 4a é igual à soma da Ia com 
a 3a, e a 5a é igual à diferença entre a 4- e a 3a. Calcule a soma.
R: 2.700
03 - Uma pessoa ao escrever as duas parcelas de uma soma, enganou-se e 
escreveu a primeira com um erro de 650 unidades para mais e a segunda 
com 165, também para mais. Calcule o erro total cometido.
R: 815
04 - Uma pessoa, ao escrever as três parcelas de uma adição, cometeu três 
erros para menos: de 123, na primeira, de 2 na segunda e de 35, na terceira. 
Calcule a. verdadeira soma, sabendo-se que ela encontrou 2.490.
R: 2.650
05 - Ao efetuar uma adição de duas parcelas, uma pessoa obteve o número 
3.260. Ao confrontá-la com o original, verificou seus erros iniciais quando 
havia copiado as parcelas: na Ia foi de 180, para mais, e na 2a, de 20, para 
menos. Calcule a soma exata.
R: 3.100
36 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - Se acrescentarmos 15 centenas a um número e de outro tirarmos 743 
unidades, a soma desses números fica sendo 4.139. Se o menor deles é 
1.639. Calcule o maior.
R: 1.743
07 - Se tirarmos 757 de um número e 348, de outro, a soma torna-se 293. 
Sendo 1.049 o maior número, calcule o menor.
R: 349
08 - Numa soma de três parcelas, soma-se 3 unidades à primeira, 2 unida­
des à segunda e subtrai-se 9 unidades à terceira. Calcule de quantas unida­
des ficou alterado o resultado.
R: 4
SUBTRAÇÃO;
OBSERVAÇÕES:
Primeira: A subtração não é comutativa, nem associativa e nem 
possui elemento neutro.
Segunda: O minuendo é igual ao subtraendo somado com o resto.
8 minuendo
— 5 subtraendo 8 = 5 + 3
3 —> resto
Terceira:A soma do minuendo com o subtraendo e com o resto, é 
igual ao dobro do minuendo.
7 —> minuendo
— 3 —> subtraendo => 7 + 3+ 4= 14 =^ >14 — 2 x57
4 resto
:E a^opeíãçàô
MKNQR^-; çtiám.ado^áÍD^ DO je. pxitr'8
•número;^ !& Í0 ^ ÍT \r)O j*e!ç^|i
Te.suIi:ádo';(^ ^^ ^ ouRESilÒjjj
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 37
Q uarta: Somando-se ou subtraindo-se o mesmo número do 
minuendo e do subtraendo o resto não se altera.
1 8 - » 1 8 + 3 = 2 1 2 0 - > 2 0 — 3 = 1 7
— 6 —> 6 + 3 — — 9 — 7 —> 7 — 3 — — 4
1 2 1 2 1 3 1 3
Quinta: O resto varia no mesmo sentido que varia o minuendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao minuendo, o resto ficará au­
mentado desse número.
1 8 —> 1 8 + 5 = 2 3
-A ~A
1 4 1 9 - » 1 9 = 1 4 + 5
b) Diminuindo-se qualquer número do minuendo, o resto ficará 
diminuído desse número.
1 4 —> 1 4 - 2 = 1 2
-A -_4
10 8 —» 8 = 10 - 2
Sexta: O resto varia em sentido contrário ao que varia o sub­
traendo, isto é:
a) Somando-se qualquer número ao subtraendo, o resto ficará di­
minuído desse número.
12 12
• —A 4 + 2 = > —_6
8 6 6 = 8 - 2
b) Diminuindo-se qualquer número do subtraendo, o resto ficará 
aumentado desse número.
1 6 1 6
— 6 —> 6 — 2 = > — 4
10 12->12 = 1 0 + 2
Sétima: Somando-se certo número ao minuendo e diminuindo-se 
outro número do subtraendo, o resto ficará aumentado da soma desses 
números.
38 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
20 - » 20 + -6 = 26
— 8 —» 8 —• o — — 3
12 23 - » (23 - 12) = 11 = 6 + 5
Oitava: Diminuindo-se certo número do minuendo e aumentan­
do-se de outro número o subtraendo, o resto ficará diminuído da soma 
desses números.
30 30 - 10 = 20
- J á 14 + 3 = - 17
16 3 (1 6 -3 ) = 13 = 10 + 3
09 - Calcule o minuendo de uma subtração, sabendo que o resto é 15 e o 
subtraendo 115.
R: 130
10 - Numa subtração, o dobro -do minuendo é 160. Calcule o resto, saben­
do que o subtraendo vale 20.
~ R: 60
11 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 120. Houve, porém, 
110 minuendo um erro de 20, para mais e no suba-aendo um erro de 10 
para mais. Calcule a diferença exata.
' R: 110)
12 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 180. Houve, porém, 
no minuendo urrr erro de 50 para mais, e no subtraendo um erro de 30 
para mais. Calcule a diferença esata.
R: 160
13 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 250, Houve, porém, 
no minuendo um erro de 70, para mais e no subtraendo um erro de 30 
para menos. Calcule a diferença exata.
R: 150
1 4 - 0 resto encontrado em uma diferença foi 280. Verificou-se, entretan­
to, que o minuendo havia sofrido um erro de 150, para menos e no 
subtraendo houve um erro de 70 para menos. Calcule o resto exato.
R: 500
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 39
15 - Calculada a diferença de dois números, obteve-se 80. Houve, porém 
no minuendo um erro de 70 para menos e no subtraendo um erro de 20 
para mais. Calcule a diferença exata.
R: 270
16 - Somando-se 72 ao minuendo e 15 ao subtraendo, calcule que altera­
ção sofre o resto da subtração.
R: Fica aumentado de 57 unidades
17 - Somando-se 54 ao minuendo e subtraindo-se 12 ao minuendo, calcule 
de quantas unidades o resto fica alterado.
R: 66
18 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
igual a 90. O resto é inferior ao subtraendo em 19 unidades. Calcule os 
termos dessa subtração.
R: 45, 32 e 13
19 - São dados dois números dos quais o maior é 380. Tirand©~se 180 de 
um e 160 de outro, a soma dos restos obtidos é igual a 240. Calcular o 
número.
R: 200
2 0 - 0 minuendo de uma subtração é 346. O subtraendo e o resto são 
números pares e consecutivos, sendo o resto o maior desses números, 
calcule o subtraendo.
R: 172
21 - Á soma dos três números que figuram em uma subtração é 7492. O 
resto excede o subtraendo de 3438. Calcule os três números.
R: 3746,154 e 3592
22 - Numa subtração, a soma do minuendo, do subtraendo e do resto 
é ígual a 516. O subtraendo é igual ao resto. Calcule o minuendo e.p 
resto.
R: 258 e 129
40 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
23 - A soma dos três números qúe figuram numa subtração é igual a 948. 
Calcular esses três números, sabendo-se que o subtraendo e o resto são 
iguais.
R: 474, 237 e 237
24 - Em uma subtração a soma do minuendo, subtraendo e resto é 1344; 
o subtraendo sendo 621, determine o minuendo e o resta
R: 672 e 51
25 - Numa subtração a soma do minuendo, do subtraendo e do resto é 
1686. O resto excede o subtraendo de 253 unidades. Calcular o minuendo, 
o subtraendo e o resto.
Rx 843, 295 e 548
26 - A soma dos três números que figuram numa subtração é 842. O resto 
excede o subtraendo de 145 unidades. Determinar esses três números.
R: 421,138 e 283
MULTIPLICAÇÃO:
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
a) Elemento Neutro: O um (1) é o elemento neutro da multiplicação.
3 x 1 = 3 4 x 1 = 4
b) Fechamento: O produto de dois números naturais é sempre um 
número natural.
2 x 3 = 6 4 x 5 = 20
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 1
c) Comutativa: A ordem dos fatores não altera o produto.
3 x 2 x 5 = 30
2 x 5 x 3 — 30
5 x 3 x 2 = 30
d) Associativa: Num produto de vários fatores podemos substituir 
dois ou mais deles pelo seu produto.
4 x 3 x 5 x 2 = 12 x 5 x 2 = 12 x 10 = 120
e) Distributiva em Relação a Adição: Para se multiplicar uma soma 
por um número, multiplica-se cada uma das parcelas pelo número dado e 
soma-se os produtos.
(4 + 6) x 3 = 4 x 3 + 6 x 3 = 12 + 18 = 30
£) Distributiva em Relação a Subtração: Para se multiplicar uma di­
ferença por um número, basta multiplicar cada termo da diferença por 
esse número e, a seguir, subtrair os produtos.
(12 - 10) x 2 = 12 x 2 - 10 x 2 = 24 - 20 = 4
g) Elemento Nulo: Quando um dos fatores é zero, o produto é zero.
3 x 0 = 0 2 x 5 x 0 x 6 = 0
h) Quando se soma um certo número a um dos fatores, o produto 
fica aumentado de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
i) Quando se subtrai um certo número de um dos fatores, o produ­
to fica subtraído de uma quantidade igual, ao número multiplicado pelo 
outro fator.
2-> 2 + 5 - 7
2 1 —*>21— 6 = 15 = 5 x 3
x_3
6
2 = 3
x_4
12 - » 20 — 12 = 8 = 2 x 4
x 4 
20
42 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
j) Quando se multiplica um dos fatores por um número, o produ­
to fica multiplicado por esse número.
10 10 x 3 = 30
x 4 x 4
40 120 = 40 x 3
1) Quando se divide um dos fatores por um número, o produto fica 
dividido por esse número
20 20 - 2 - 10 
x 3 x __3
60 30 = 60 4-2
2 7 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicando, o produto será 96. Calcule o multiplicando e o multiplicador.
R: 15 e 8
2 8 - 0 produto de dois números, que é 594 será 429 se diminuirmos 5 do 
multiplicador. Calcule o primeiro e o segundo fatores.
R: 18 e 33
2 9 - 0 produto de dois números é 120, aumentando-se de 5 unidades o 
multiplicador, o produto será 160. Calcule o multiplicador.
R: 8
3 0 - 0 produto de dois números é 120, diminuindo-se de 3 unidades o 
multiplicador, o produto será 75. Calcule o multiplicador.
R; 15
3 1 - 0 produto de dois números é 248. Multiplicando-se um deles por 2 e 
o outro por 3, calcule o produto desses dois novos números.
R; 1.488
3 2 - 0 produto de dois números é 4.176. Subtraindo-se 7 de um dos 
números o produto se reduz a 3.770. Calcule esses números.
R: 1.488
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 43
3 3 - 0 produto de dois números é 630. Somando-se 4 ao multiplicador, 
o produto dos dois fatores fica igual a 798. Determinar os dois fatores.
R: 42 e 15
3 4 - 0 produto de dois números é 96.. Qual é o produto de um número 3 
vezes maior do que o primeiro por outro número 5 vezes maior do que o 
segundo?
R: 1.440
3 5 - 0 produto de dois números é 2496. Determinar esses números, sa- 
bendo-se que, juntando-se 4 ao multiplicador, o produto passa a ser 2688.
R: 48 e 52
3 6 - 0 produto de dois números é 1026. Subtraindo-se 2 aum dos núme­
ros o produto se reduz a 950. Determinar esses números.
R: 38 e 27
DIVISÃO
a) Dividendo: É o número que há de ser dividido.
. b) Divisor: É o número que indica em quantas partes iguais deverá 
ser dividido o dividendo.
c) Quociente: É o resultado da divisão.
d) Resto: É o que sobra da divisão, no caso dela não ser exata.
i) DIVIDENDO = DIVISOR x QUOCIENTE + RESTO
ii) O maior resto de uma divisão, é o divisor menos uma unidade.
44 HIIJDER GÓES * UBALDO TONAR
OBSERVAÇÕES:
Primeira: Multiplicando-se ou dividindo-se o dividendo e o divisor 
por um mesmo número (diferente de zero) o quociente não se altera, mas 
o resto ficará multiplicado ou dividido por esse número.
19 L i . / 19 x 2 = 38 38 1 10 -> 8 = 4 x 2
4 3 \ 5 x 2 = 10 8 3
Segunda: O quociente varia no mesmo sentido do dividendo, isto é:
a) Multiplicando-se o dividendo por um número, o quociente fica 
multiplicado por esse número.
32 4 -* 32 x 2 = 64 4
0 8 0 16 =í>16 = 8 x 2
b) Dividindo-se o dividendo por um número, o quociente fica 
dividido por esse númera
32 1 8 32 4- 2 = 16
0 4 0 2 => 2 = 4 - 2
Terceira: O quociente varia em sentido contrário ao que -varia o 
divisor, isto é:
a) Multiplicando-se o dividor por um número, o quociente fica divi­
dido por esse número.
64 8 => 8 x 2 = 16 => 64 16
0 8 ' ' 0 4 = > 4 = 8- r 2
b) Dividindo-se o divisor por um número, o quociente fica multi­
plicado por esse número.
40 8 8 4 2 = 4 =>40 4
0 5 0 1 0 ^ 1 0 = 5 x 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 45
37 - Calcule o maior numero que dividido por 11 dê um resto igual ao 
quodente.
R: 120
38 - Calcule o quodente de uma divisão, sabendo que, aumentando 52 
unidades ao dividendo e 4 unidades ao divisor, o quodente e o resto não 
se alteram.
R: 13
39 - Numa divisão o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior 
possível. Sabendo que a soma do divisor e do quociente é igual a 6, calcule
o dividendo.
R: 11
4 0 - 0 dividendo de uma subtração é 237, o resto é 16 e o divisor é o 
menor possível, calcule o quociente.
R: 13
41 - Numa divisão, o divisor é 257, o quodente é 59 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 15.419
42 - Numa divisão, o divisor é 12, o quodente é 10 e o resto é o maior 
possível. Calcule o dividendo.
R: 131
43 - Numa divisão, o divisor é 28, o quodente é o quádruplo do divisor e
o resto é o maior possível Calcular o dividendo.
R: 3.163
44 - Numa divisão, o quociente é 48, o resto é a terça parte do quodente 
e é o maior possível. Calcular o dividendo.
R: 832
45 - Numa divisão, o quodente é 12; o divisor é o dobro do quociente e o 
resto é o maior possível. Calcule o dividendo.
R: 311
46 HILDER GÓES * UBAJUDO TONAR
46 - Em uma divisão, o dividendo é 5043, o quociente é 14 e o resto é 
185. Calcule o divisor.
R: 347
47 - Numa divisão, o divisor é 298, o quociente é o triplo do divisor e o 
resto é o maior possível. Determine o dividendo.
R: 266.709
48 - Numa divisão, o divisor é 15, o quociente é 16, e o resto é o maior 
possível. Calcular o -dividendo.
R: 254
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 4 ?
4
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
INTRODUÇÃO
Poderemos dizer que:
a) a criança comeu 3 das 5 partes, isto é, três quintos da barra de 
chocolate.
b) a criança deixou de comer 2 das 5 partes, isto é, dois quintos da 
barra de chocolate.
Observe que os três quintos que a criança comeu da barra de cho­
colate e os dois quintos que deixou de comer, foram tirados da unidade 
que era uma barra de chocolate.
Os números três quintos e dois quintos, são chamados Números 
Fracionários ou Frações Ordinárias. Daí a definição.
Ilustrando o exemplo dado, temos: 
a barra de chocolate a barra de chocolate
três quintos dois quintos
NOTAÇÃO: Pata representarmos uma fração, são necessários dois 
números chamados termos da fração.
Sejam a e b números, com b ^ 0.
t â /Daí: — ou /. Onde a é o numerador e b é o denominador, 
b /b
48 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
a) O numerador indica o número de partes tomadas da unidade
b) O denominador indica em quantas partes a unidade foi dividida. 
A fração 3/5 da barra de chocolate que a criança comeu, indica que a 
unidade foi dividida em 5 partes e ela comeu 3 dessas partes.
CLASSIFICAÇÃO: As frações se classificam em:
a) Própria: Numerador MENOR do que o denominador.
j>, 4
3 ’ 7* 5
b) Imprópria: Numerador MAIOR do que o denominador.
7 , 8 , 4
2 ’ 5 ’ 3
c) Aparente: Numerador IGUAL ou MÚLTIPLO do denominador.
4 , 1§
6 * 2 ’ 5
d) Homogêneas: São as frações que possuem o mesmo denominador
1 3 - 7
5 * 5 ’ 5
e) Heterogêneas: São as frações que possuem denominadores diferentes:
3 2 4
4 ’ 5 ’ 9
f) Inversas: Duas frações se dizem inversas quando o numerador e
o denominador de uma for o denominador e o numerador da outra.
l e i Ae_í
5 2 4 3
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 49
g) Equivalentes: Duas ou mais -frações são ditas equivalentes, quando 
representam a mesma parte da unidade ou do inteiro:^ 2 e 3 _
2 5 4 ó ’
Veja graficamente <
CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DE UMA FRAÇÃO:
Chamamos de Classe de Equivalência de uma fração, aoxonjun- 
to formado por todas as frações equivalentes a uma fração dada.
Exemplo: Calcule a classe de equivalência da fração
2Solução:
3
4 6 ' JS 1 0 1 2 ' 1 4
. 6 ’ 9 5 1 2 ’ 1 5 * 1 8 ’ 2 1
01 - Assinale as frações próprias:
1 2 7 8 7
02 - Assinale as frações impróprias:
1 11 7. ,— > — j
'h 4
50 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
03 - Assinale as frações aparentes.
3 8 3 5 8 14 4, _ j , —, — , —
5 4 1 5 3 7 3
04 - Dentre as frações seguintes, destaque as homogêneas entre si.
3 J 5 1 2 4 7 4-- J - J - J (*-- > ?- 5 -- > --
5 7 3 5 5 7 3
05 ~ Dentre as frações seguintes, destaque as heterogênas
1 rl 1 J l 1 1 1
4 5 3 ’ 4 7 5 4 * 4 ’ 4
306 - Escreva anco frações equivalentes à fração — >
PROPRIEDADES DAS FRAÇÕES:
a) Quando multiplicamos, os dois termos de uma fração, por um número 
diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
1Seta a fração — > multiplicando o numerador e o denominador por
2
2 32, resulta — • por 3 resulta—.
4 ’ 6
1 2 3As frações — e — são equivalentes.
2 4 6 M
b) Quando dividimos os dois termos de uma fração, por um núme­
ro diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à fração dada.
Seja a fração — > dividindo o numerador e o denominador por 2,
resulta — > por 3 resulta ™. As frações — » — e -=- são equivalentes. 
15 10 ' 30 15 10 M
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 1
c) Multiplicando o numerador de uma tração por um aúmero dt- 
ferente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
2 6Multiplicando o numerador da fração — por 3, teremos —- que é
8 8
três vezes a fracão ~ .
Visualize, graficamente/
d) Dividindo o numerador de uma fração por um número diferente 
de zero, a fração fica dividida por esse número.
4 2 'Seja a fração — , dividindo o numerador por 2, temos: -y - .
Visualize, graficamente<
e) Multiplicando o denominador de uma fração, por um número 
diferente de zero, a fração fica dividida por esse número.
Visuaiize, graficamente
1
3
1 „1 
3 x 2 6
f) Dividindo o denominador de uma fração, por um número dife­
rente de zero, a fração fica multiplicada por esse número.
Visuaiize, graficamente1 2 4
52 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO
Quando os termos de uma fraçào admitem um divisor comum,
pode-se substituir essa fração por outra equivalente, com os termos com
menores valores.
BI 27
Seja a fração ~ ~ > dmdindo-se ambos os termos por 3, resulta: — 
108 36
81
que é uma fração equivalente a porém, com os termos mais
simplificados.
OBSERVAÇÃO:
. .ssfr -T iín ac lòr^
81
Na fraçào , ao dividirmos os seus termos pelo máximo divisor
3
comum de 81 e 108 que é 27, teremos a fraçào ~ , que é a forma irredutível 
81
fração — .
REDUÇÃO DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
3 1 7
Seiam as frações —, — e — •
' 5 4 10
a) Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, o qual 
será o denominador comum das frações dadas. O m.m.c. (5, 4,10) = 20.
b) Dividimos o denominador comum 20, pelo denominador de 
cada fraçào.
20 - 5 = 4, 20 -r 4 = 5, 20 * 10 = 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 3
c) Multiplicando esses quocientes pelos respectivos numeradores,
i r 12 5 14obtemos os numeradores das frações. e ^
07 - Reduza, os conjuntos de frações abaixo, ao mesmo denominador.
3 3 3 1 , . 2 1 1 3 7 1 2 1
a) — b) — c)—
5 7 2 5 5 7 2 8 11 3 5 9
2 1 1 2 2 1 3 3 7 1 2 2
^ 7 ’ 8 ’ 3 ’ 4 t\ >6 , 4 , 2 8 ’ 3 ’ 5 ’ 1
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
a) Frações com o mesmo denominador
Exemplo:
4 2 5 3
—- é maior do que — - é maior do que ~
5 5 7 /
08 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
2 1_ 9 7 1 0 4_ 8
3 3 3 3 3 3 3
09 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor:
4 3 5 9 2 1 8
s V s V s V s
b) Frações com o mesmo numerador
Exemplos:
■2 , . , 2 1 1
— é maior do que — — é maior do que —5 7 2 4
54 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
10 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
1 1 1 1 
7 ’ 8 ’ 9 ’ 4
11 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a maior:
3 3 _3_
i V l l
12 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
I I 1 i
5 ’ 7 ’ 8 ’ 9
13 - Dentre as frações abaixo, dizer qual a menor.
i i I
2 ’ 4 ’ 3
c) Frações com numeradores e denominadores diferentes 
■''Dçyerôo s jréduzii:;^ détionun <> d< >r. rei^ürido sxo;\
Exemplo:
2 1 8 3 2 , 1
—, — =>— , — => — e maior do que —
3 4 1 2 1 2 3 4
14 - Colocar em ordem decrescente:
4 3 2 1 9
15 - Pôr em ordem decrescente:
i 1 1 1 1 1
8 ’ 8 5 8 ’ 8 *8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 5 5
16 - Pôr em ordem crescente:
2 2 2 2 2 
5 ’ 7 J 4 ’ 3 ’ 9
17 - Pôr em ordem crescente:
i i 1 1 _ !
4 >3 ’ 8 ’ 7 >10
18 - Escrever em ordem crescente:
5 ’ 5 * 3 ’ 7 ’ 2
19 - Escrever em ordem crescente:
1 1 1 1 1 
3 V 4 ’ 7 ’ 2
NÚMERO MISTO
2 + 1 3 + 1
4
< )lhe ConiumeiUe o nmrie.tpíiítíÃtp eltpjrésínínaq s'eüi;b,'?íi\rJ.dcràt%ão; Bn
' ^ . ^ C V # ' - Y f
V/.-:' ..■:-2-tTí;='-2-:-:-&\o t . . - - - v a . . v\ ■ . - "■ ■
TRANSFORMAÇÃO DE UM NÚMERO MISTO EM 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA
Hicarsé o-ii/^ero/iíifeii'». pelp:
se o nun
aõ\rés.ultátip sõ 
fraoío dada - '
56 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplos:
0 1 = 2x 3 + 1 _ 7 1 _ 4 x 2 + l _ 9
“ 3 3 3 2 2 ~2
20 - Transformar em frações impróprias, os números mistos abaixo 
relacionados.
- 1 1 1a) 3 - d) 1- g) l i
b) 2 j e) 4-1 h) 2 j
4 5 5
C) 3 - f) 2 - 9 5 -
3 5 2
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
ADIÇÃO
a) Frações com o mesmo denominador
■ ..!v r• ■v-; r! àenam in^dot/cònilim ::r ':'r :y r í v ; \:A ■■ ?■ vV
ü i 5 3 7 15E xem p los:---- h — H---- — —
17 17 17 17
Efetue as seguintes adições:
^ 4 1 222 - !----!—
5 5 5
™ 2 3 123 - — l-----1—
7 7 7
5 3 22 4 ------ + - + —
6 6 6
3 1 3 2 _ 1 3 7 825 ---- !----- i------i---- 26 - —l----------1---- h —
11 11 11 11 9 9 9 9
™ 2 3 5 127 - -----1------1------1----
15 15 15 15
2 4 7 11
28- — + — + — + —
12 12 12 12
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 57
...
d) Frações com denominadores diferentes
2 3 8 9
Exemplos: — 1— = — -í---- = —
r 3 4 12 12 12
1 3 5 9— 4— —--- —
3 5 15 15
Efetue as adições abaixo:
1 3 1
2 9 - 1 + Í - + -
2 4 3
. , 2 1 5 
3 1 “ — i— ~
3 4 6
1 3 73U - — -----------
5 7 35
3 2
3 2 1— + __ + _ 
10 5 6
SUBTRAÇÃO:
a) Frações com o mesmo denominador 
';:;-;:;íÍ:S,úbLrai'‘Se os numeiradoíesvêjíão ^ 'esiiitádo, dá^ stí-lh^ .-eí-'
ü „ A - i L í - 1 - 1
15 15 _ 15 8 8 ~ 8
E etue as seguintes subtrações:
- 0 3 1 3 2
3 3 - - - - 3 4 - — - 3 5 -
S 8 4 4 7 7
8 3
/C
5 8 2
3 6 - J L _ . Í _ 3 7 - - - 3 8 - -----------
1 5 1 5 7 1 7 1 3 1 3
, « 7 2 9 3 3 2
3 9 --------------------- 4 0 -------------- 4 1 -
9 9 1 4 1 4 5 5
58 HILDER GÓES * UBÀÍJDO TONAR
b) Frações com denominadores diferentes
llcd ;se.‘ja$Vfí'açoes-ao;íiíésm^
8 Ei.S6^i^ BS#Si85iiliS
4 3 _ 16 15 _ 1
5 4 ~ 20 20 ~ 20
Efetue as subtrações abaixo:
4 2 - Í - í 
5 3
3 245 - ~ ~ -
43-
46- - -
_9_
21
44-
47
24
A
12
MULTIPLICAÇÃO:
a) Multiplicação de uma fração por um número 
" . ' ‘ "" ' ’ ' p^um
iofíiiíiiiíèíifdái£rrfèí>rn
2 -v - 6 — x 3 = — 
7 7
' 3 155x —=— 
4 4
b) Produto de duas ou mais frações
1 1 - 12. 
3 ' 4 ~~ 12
i 1 1 - l í 
3 5 2 ~~ 30
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
2 2 ^ 3 0
4 8 - - x 2 49 - - x 5 50- - x 2
5 7 7
51- 7 x - 5 2 - 1 2 x i 53- 7 x -
9 8 3
54 ~ — x 8 55 - 9 x — 56- 2 1 x 1
15 5 4
„ 2 8 c o 2 2 c a 7 25 7 ---- x — 5 8 -----X” 59- — x —
4 16 3 9 5 8
^ 8 3 1 2 3 1 1 3 26 0 ---- x —-x— 61- — x —x — 62- — x — x~~
4 7 2 5 2 4 2 2 3
Efetuar as seguintes multiplicações:
OBSERVAÇÕES:
i) O inverso de um número
Exemplos: ^
O inverso de 3 é — O invetso de 13 é —
3 13
ii) O inverso de uma fração.
1
Exemplos: 3 4 2 7
O inverso de — é — O inverso de — é —
4 3 7 ' 2'
DIVISÃO:
a) Divisão de uma fração por um número
r.;
60 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
T? 1 3 . . 3 T 3 2 2 1 2Exemplos: —-h 5 = —x —= — . — -i- 3 = - x — = —
4 . 4 5 ' 20 5 5 3 15
Efetuar as divisões abaixo:
63- 3— — 3 
5
64 -
8
65- —+5
9
6 6 -
12
67-
14
68 - 1 , 2
9
69- 1 , 6
8
70- 3 , — -s-5
14
71- - - 5
7
b) Divisão de um número por -uma fração
í : íu 1 tijpiicíí
-o ! * 3 „ 4 8 2 5 15Exemplos: 2 — = 2 x — = — 3 - —= 3 x — = —
4 v 3 3 5 2 2
Efetuar as divisões abaixo:
72- 2 -r-i 7 3 - 3 - 1 7 4 - 3 * -
5 7 5
75- 8-5-- 7 6 - 4 - ™ 7 7 - 8 - -
3 3 9
2 4 778- 1 6 4 - - 7 9 _ 9 ^ _ 8 0 - 7 - —
3 7 15
c) Divisão de uma fração por outra fração
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 l
Exemplos: — —
4 7
1 ' 1 - Z L
4 5 ” 20
2 . ^ 1 - ! 3 _ 6
5 ’ 3 ~ 5 4 _ 20
Efetuar as divisões abaixo:
81- 3 _ 2 
5 ‘ 5
82- 2 , 3 
4 * 7
83- 8 . 3 
12 ’ 6
OO 4*- ( 1 . 3 
5 ’ 5
85- 7 , 2
8 ’ 5
86 - 1 . 2
6 ‘ 7
iOO 2 t 3 
5 ’ 8
88- 3 , 5 
7 ‘ 8
89- 3 . 1 
9 ‘ 7
OBSERVAÇAO:
t, , 2 1 2 3 4 9 13Exemplos: — h 1 — — — H----- = — 1— = —
3 2 3 2 6 6 6
EXPRESSÕES FRACIONÁRIAS
É a reunião de números fracionários, unidos entre si, pelas opera­
ções de adição, subtração, multiplicação e divisão.
Na solução de uma expressão fracionária, devemos efetuar as ope­
rações na seguinte ordem de prioridade
a) Divisão
b) Multiplicação
c) Adição e subtração, simultaneamente
;::Vejá: .Qítt ndó,'iiumfèxp.íréss íiç-- fracLphávíí\j^ gúra£,."ós) nais dè ;i;eüxiÍ2ó,' 
■' '•Y;tãísi£çii»p:;C^^ cS í^eí&dó/Yv;'
62 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplo: Calcule a expressão: —h i + l - í
3 15 5j\ 3
Solução : *{ — + _ 2 | M ,5 + 6
3 j 1 2 " í 15
2 + 1 5 3 J ” 3 0 * 3 0 3 0 ~ 3 0
MÁXIMO DIVISOR COMUM DE FRAÇÕES
O m.d.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m.d.c dos numeradores das frações dadas e para denominador o m.m.c. 
dos denominadores das mesmas frações.
Exemplo: Calcular o maior divisor comum das frações:
6 3 12
7 * 5 C 15
m.&c. (6, 3, 12) = 3 
m.m.c. (7, 5,15) = 105
Então, o M.D.C. será -1 —
105
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE FRAÇÕES
O m.m.c. de várias frações, é uma fração que tem para numerador o 
m.m.c. dos numeradores das frações dadas e para denominador, o m.d.c. 
dos denominadoresdas mesmas frações.
Exemplo: Calcular o menor múltiplo comum das frações:
7 5 15
6 * 3 6 1 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 6 3
m.m.c. (7, 5, 15) = 105 
m.d.c. (6, 3,12) = 3
. 105Logo, o m.m.c. seta -----
1 1
FRAÇÃO EQUIDISTANTE DE DUAS OUTRAS
Para se calcular uma fração equidistante de duas outras frações, re­
duzimos as frações ao mesmo-denominador, sorriamos as frações resul­
tantes e dividimos por dois.
Exemplo: Calcule a fração equidistante das fracoes — e
S 1 . 1 1 3 5 ' 5 3Solução: — e — =i> — , —
5 3 15 15 -
A J L - A
15 15 “ 15
^ 2 - A ~ ±
15 ' ~ 30 ~ 15
Olhe: —4_ 1
15 5
4 - 3
15 15
l _ 4 _ 
3 15
5 - 4
15
_5_
15
Calcule as expressões abaixo relacionadas:
7 1 2 1
3— - + -
90 - -JL 91 _ _3. 92. 5— 3
o 1 3 13 - 2 - -------
4 6 4 7
64 HILDER GÓES * UBAJLDO TONAR
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS
NÚMEROS DECIMAIS
DEFINIÇÃO
ínero aeciii^^^ partes;
Parte Inteira: É a que fica à esquerda da vírgula 
Parte Decimal: E a que fica à direita da vírgula 
Exemplo: No número 34,285 temos: 34 é a parte inteira e 285 é a 
parte decimal.
PROPRIEDADES DOS NÚMEROS DECIMAIS
Prim eira: Um número decimal não se altera quando se acrescen­
tam ou se suprimem um ou mais zero à direita de sua parte decimal
Exemplos: 1,2 = 1,20 = 1,200 = 1,2000 ...
0,5000 “ 0,500 = 0,50 = 0,5
Segunda: Para se multiplicar um número dedmal por 10,100,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a direita; uma, duas, três,..., casas decimais.„
Exemplos: Efetuar as seguintes operações:
a) 3,42 x 10 b) 0,165 x 100 c) 1,5 x 1000
Solução:
a) 3,42 x 10 — 34,2 b) 0,165 x 100 = 16,5 c) 1,5 x 1000 = 1500
6 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Terceira: Para se dividir um número decimal por 10 ,100,1000,..., 
basta deslocar a vírgula para a esquerda; uma, duas, t r ê s , c a s a s decimais.
Exemplo: Efetuar as seguintes divisões:
a) 35,4 - 5- 10
b) 228,72 + 100
c) 23,4 - 1000
Solução:
a) 35,4 +. 10 = 3,54
b) 228,72 - 100 = 2,2872
c) 23,4 + 1000 = 0,0234
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
a) As partes inteiras são diferentes:
"'; ■.¥>.‘m aior
Exemplos:
3,2 é maior do que 1,879 2,1 é maior do que 1,32274
b) As partes inteiras são iguais
á f ' :ys '.!'30■ - ■ V'*% r v^-':-'0. ^ í :''r.‘;,:;'Iguála;mo§;-ó/nú ^ ^eros.-■. r
v ; - .Q tn^òt tiiunié^s'é'i '^ir<âüd^ Gtídmal .-1
Exemplo:
Sejam os números 2,42 e 2,523
Igualando as casas decimais, resulta: 2,420 e 2,523. Como 523 é 
maior do que 420, então: 2,523 é maior do que 2,42.
Exemplo:
Sejam os números 2,6 e 2,542
Igualando as casas decimais, resulta: 2,600 e 2,542. Como 600 é 
maior do que 542, então 2,6 é maior do que 2,542.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 67
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
ADIÇÃO: ^yírgijíà^dçíiaí^; cle: y í
Exemplos 1,25 + 3,2 + 0,412 0,27 + 21,412 + 322,4
1, 25
3, 2 
0, 412
4, 862
0, 27 
21, 412 
322, 4 
344, 082
Efetuar as adições abaixo:
01 - 43,21 + 3,423 + 0,59
02 - 39,04 + 431,2 + 9,007
03 - 4,932 + 27,3005 + 74,007
04 - 9,007 + 0,53 + 0,92 + 40,009
05 - 7,95 + 1,8 + 9,82 + 8,2
06 - 9,4 + 0,28 + 0,074 + 9,0
07 - 2,8 + 13,24 + 29,35
08 - 9,78 + 3,09 + 5,36 + 0,0019
Respostas: 01 - 47,223 05 - 27,77
02 - 479,247 06 - 18,754
03 - 106,2395 07 - 44,69
04 - 50,466 08 - 18,2319
SUBTRAÇÃO; iC o iò á í^ sç^ g^
Exemplos: 2,6 — 1,234 
2,600 
_ 1,234 
1,366
32,4 - 13,27 
32,40 
13,27 
19,13
6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Efetue as subtrações abaixo:
09 - 43,2 - 21,234
10 - 19,378 - 8,6
11 - 0,533 - 0,2
12 - 37,25 - 9,8762
13 - 3,84 - 1,95438
14 . 3 _ 1/7495
15 - 2,784 - 1,9
16 - 8,005 - 7,08956
Respostas: 09 - 21,966
10 - 10,778
11 - 0,333
12 - 27,3738
13 - 1,88562
14 - 1,2505
15 - 0,884
16 - 0,91544
MULTIPLICAÇÃO:
Exemplos: 4,08 x 0,18
4,08 
x 0,18
3264
408
0,7344
3,84 x 2,5
3,84 
x 2,5
1920
768
9,600
Efetue as multiplicações abaixo:
17-4 ,6 x 2,8
18-2 ,4 x 0,6 
19 - 31,2 x 4,2 
20-4 ,74 x 0,39
21-47,845 x 1,035
22 - 0,844 x 3,5
23 - 12,8 x 3,2 
24- 10,52 x 0,015
Respostas: 17 - 12,88 21-49,519575
18 - 1,44 22 - 2,954
19-131,04 23-40,96
20-1,8486 24-0,1578
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 69
Exemplos: 
'5,580 4- 2,5 0,16 h- 0,0025
5,580 2,500. 0,1600 0,0025
5800 2,232 100 64
800 000
5000
000
Efetue as divisões abaixo:
25 - 37,78 -r 1,6 29 - 8,4 + 280
26 - 48,7 4- 0,8 30-0 ,16 + 0,0025
27-0,84816 + 0,72 31-7,56 -s- 3,6
28-0,648 - 0,036 32-0 ,84 + 1,4
Respostas: 25-23,6125 29-0,03
26 - 60,875 30 - 64
27-1,178 31-2,1
28 -18 32-0,6
CONVERSÃO DE FRAÇÃO ORDINÁRIA EM DECIMAL
Para obtermos o número decimal equivalente à fração dada, dividi­
mos o numerador pelo denominador.
Vejamos, agora, algumas divisões separadas por casos:
1* CASO: ~ = 3,5 “ = 2,5 - =. 1,75
2 2 4
í$.à£es'íjjtados;':ebÜ^
7 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
2Q CASO:
- = 1,66... — = 0,33.
3 3 .
5 16
— = 0,4545... — = 1,77...
11 9
2 • 11 
-— = 0,1333... — = 1,833...
15 - 6
= 1,166...
Observe que a parte decimal do quociente é formada por algaris­
mos que se repetem indefinidamente.
. Os resultados obtidos são chamados de Números Decimais Pe­
riódicos ou Dízimas Periódicas.
*erí(ido:' e- á' par té; ^ úa,í.e’;repeí-.e; iadéfíhidaiiiontc nunrhi
: Olhe: À pe^òdÍGid.adé cjé um número ^ ^im^LijD^de
0,333 ... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 
0,41666 ... = 0,41(6) = 0,416 = 0,416
Converter as frações ordinárias abaixo, em números decimais:
1 333 - — 34- —
2 5
35- 36 - — 37 - — 38 - —
11 12 18
Respostas:
33- 0,5 
37 - 0,41666...
34 - 0,06 35 - 0,625
38 - 3,88 . . . .
36 - 0,3636.
DIZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES E COMPOSTA
Observe as seguintes divisões:
5 1 5 16
— = 1,66... —=0,33... --=0,4545... — = \77...3 3 11 9
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NtJMEROS DECIMAIS 71
Veja que os quocientes obtidos não são números decimais exatos. 
Isto porque os números 6, 3, 45 e 7 se repetem indefinidamente.
Números como 1 ,6 6 — ; 0,33... ; 0,4545... e 1,77 ... são chamados 
de Dízimas Periódicas Simples.
Veja as seguintes divisões:
— -0,133... — = 0,4166... “ = 1,833...
15 12 6
Observa-se, também, , que nào são números decimais exatos. Nú­
meros como 0,133...; 0,4166... e 1,833... são chamados de Dízimas 
Periódicas Compostas.
Dízima Periódica Simples: 1,666...: 
Dízima Periódica Composta: 1,933...
parte inteira: 1 
período: 6 
parte inteira: 1 
parte nào periódica: 9 
período: 3
Você deve ter observado que, tanto as dízimas periódicas simples 
como as compostas, se originaram da divisão do numerador pelo denomi­
nador de certas frações.
Essas frações que deram origem, que geraram as dízimas, sao cha­
madas de GERATRIZ da dízima periódica. Então, Geratriz da Dízima 
Periódica é a fraçao que deu origem à dízima.
Vejamos, agora, as regras para calcularmos a geratriz das dízimas, 
isto é, as frações que deram origem às dízimas.
72 HILDER GÓES * UBÀLDO TONAR
a) Cálculo da Geratriz de um a D ízima Periódica Simples
É a fração que tem como numerador o período e como denomina­
dor um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos do 
período.
Exemplo: Calcular a geratriz das dízimas: 0,33...; 0,4545... e 1,666...
Solução: 0,333... = — = — 0,4545... = — = —
9 3 99 11
6 15 5
1,666... = 1 + 0,666... = 1 + - = — = -
9 9 3
b) Cálculo da Geratriz de uma Dízima Periódica Composta
E uma fração que tem como numerador a parte não periódica se­
guida de um dos períodos, menos a parte nào periódica; e, para denomina­
dor, um número formado de tantos noves quantos forem os algarismos 
do período, seguido de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte 
não periódica.
Exemplo: Calcular as geratrízes das dízimas: 0,133...; 0,41666...e 1,833...
13~1 12 2 
Solução: 0 ,1333 .--—— = — = —
* 90 90 15
0>4 i 6 6 6 . . . i í ^ = ^ = Í -
900 900 12
* „ 83 — 8 „ 75 165 11
1,833...— 1 + 0,833...-1 "i---------— H----- — — -- —
90 90 90 6
Calcular as geratrízes das seguintes dízimas periódicas simples.
39-0,4242... 43-0,611611...
40 - 0,7272... 44 - 0,135135...
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 7 3
41 - 0,711711 45 - 0,234234...
42 - 0,036036... 46 - 8,513513..,
Respostas: 
39 - 14/33 
43 - 611/999
40 - 8/11 41- 79/111 42- 4/111
44 - 5/37 45 - 26/111 46 - 945/111
Calcular as gera triz es das seguintes dízimas periódicas compostas.
47 - 0,34848...
48 - 0,45888...
49 - 0,344...
50 - 0,566...
Respostas:
47 - 23/66
51 - 0,2355...
52 - 0,488...
53 - 0,38222...
54 - 2,210303...
48 - 413/900 49 - 31/90 50 - 17/300
51 - 53/225 52 - 22/45 53 - 86/225 54 - 3647/1650
Calcular as seguintes expressões:
1 5 255 - l — 0,666...-^ -~+—
7 6 7
57- 0 ^ | - 0 3 3 3 „ j x | - I
56 - 0,1313...-5- —x —
7 9
58 - l,333...x — -~- — +0,111.
4 3
Respostas: 55 - 22/35 56 - 91/891 57 - 5/16 58 - 3 1/4
a59 - Se -g- = 0,37272..., sendo a e b primos entre si, calcule b — a.
R: 69
74 HII-BER GÓES ❖ UBAIDO TONAR
60 - Se 0,4333... é escrito como fração irredutível, calcule a soma do 
numerador com o denominador desta fração.
R :43 3 12 — + 1 —
p . , 4 2
61 - Seja a forma irredutível do número --------------------- + 1,2336...
* A 1 1 14 ------------ 1
Calcule a valor de p — q. 
R: 98
4 2
CARACTERES DE CONVERTIBILIDADE
Primeiro: Uma fração ordinária irredutível, que não contém no 
denominador outros fatores diferentes de 2 e de 5, converte-se em um 
número decimal exato. O número de algarismos decimais é dado pelo 
maior expoente que tiver um dos fatores 2 e 5.
5 5Exemplo: — = —r como o denominador não contém outro fator 
r 16 24
diferente de 2, a fração se converte num número decimal exato e terá 4 
algarismos decimais, pois o expoente do fator 2 é 4.
Veja: A = 0,3125
16
7 7
Exemplo: —....— - y - converte-se em um número deamal exato,
pois não contém outros fatores além do 2 e do 5; e terá 3 casas decimais já 
que o 3 é o maior expoente dentre os fatores 2 e 5.
Veja: ^ = 0,028
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS DECIMAIS 75
Segundo: Uma fração irredutível, cujo denominador nào contém
o fator 2 nem o fator 5, converte-se em uma Dízima Periódica Simples.
Exemplo: C onverter as frações 2/3, 5/3 e 5/11 em números 
decimais
Solução: como os denominadores das frações nào contém os fato­
res 2 e 5, concluímos que o resultado será uma Dízima Periódica Simples:
Terceiro: Uma fração irredutível, cujo denominador contiver os 
fatores 2 ou 5 juntamente com fatores primos diferentes, converte-se em 
uma Dízima Periódica Composta. O número de algarismo da partè nào 
periódica é dado pelo maior expoente que tiver um dos fatores 2 ou 5.
Exemplo: Converter a fração 7/12 em um número decimal
Solução: Converte-se em uma Dízima Periódica Composta pois,
7 7
— _ ------- além do fator 2 aparece o fator 3; e a parte nào periódica terá
12 2" x 3
dois algarismos que é o expoente 2 do fator 2.
Em que espécie de número decimal se convertem as frações.
R: 62 - Decimal exata
63 - Dízima periódica composta
64 - Dízima periódica simples
65 - Dízima periódica simples
66 - Dízima periódica composta
2 — = 1,666... 
3
5
— = 0,4545... 
11
Veja: 7/12 = 0,58333...
76 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Relembre:
0,3333... = 0,(3) = 0,3 = 0,3 _ 
0,2454545 ... = 0,2(45) = 0,245 = 0,245
67 - Calcular, exatamente, a operação: 2,555... + 0,6363...
19
'R :.3-99
68 ~ 3,(18) + 1,(45) +0,27 + 5,(09)
R: 10
69 - (0,5 + 0,333... x 0,25) * (0,833... ~ 0,25)
R; 1
7 0 -(0,75 + 0,833...) + (0,166... + 0,625)
R; 2
0,35 + 0,0(6)
71- ™------------~~
0,(3) + 0,2 — —
R: 1
72 - Com base nos denominadores, dizer a espécie de números decimais
que geram as frações: 5/8 e 4/13
R: Decimal' exato; dízima periódica simples
73 ~ Determine, com base nos denominadores, que espécie de números
19 7
decimais geram as frações: e
R: Dízima periódica simples; decimal exato
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS DECIMAIS 77
74 - Convertendo-se as frações 5/16 e 7/250 em números decimais, ob­
tém-se números decimais exatos. Com base nos denominadores, quantos 
algarismos decimais tem cada número.
R: 4 e 3
75 - Convertendo-se as frações 17/54 e 19/48 em números decimais, 
obtém-se dízimas periódicas compostas. Calcule, com base nos denomi­
nadores, quantos algarismos tem cada parte não periódica.
R: 1 e 4.
78 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
NÚMEROS COMPLEXOS
Num sistema de medir, quando a unidade fundamental e as suas 
unidades secundárias, isto é, múltiplos e submúltiplos, não estiverem em 
relação decimal, o sistema é denominado não-decímal ou complexo.
Chamamos, então, de número complexo, ao número que repre­
senta a medida de uma grandeza aferida num Sistema Complexo, ou 
Sistema não Decimal. Em nosso estudo, veremos as medidas de tem­
po, ângulo e velocidade.
UNIDADE DE TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o SEGUNDO, representado
por seg. que é o intervalo de tempo igual à fração ~ ~ do dia solar
86400
médio, definido de acordo com as convenções da Astronomia.
Os seus múldplos mais-usuais, são:
• minuto (min.) = 60seg.
• hora (h) = 60min. — 3.600seg.
• dia (d) = 24h = 1.440min. = 86.400seg.
UNIDADE DE ÂNGULO
A unidade fundamental de ângulo é o GRAU, representado por (°)
que é o ângulo equivalente a — do ângulo reto que mede 90°.
Os seus múltiplos mais usuais, são:
• o minuto, representado por (’)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 79
• o segundo, representado por (”).
Veja:
a) Um grau é equivalente a 60 minutos (Io = 605)
b) Um minuto é equivalente a 60 segundos (1’ ~ 60”)
c) Um grau é equivalente a 3.600 segundos (1° = 3.600”)
OBSERVAÇÕES:
a) Não se pode representar as unidades de tempo usando a vírgula 
da representação decimal.
Desse modo, nunca se deve, para representar 8h e lOmin., escrever 
8,1 Oh pois na realidade estaríamos representando 8 horas e 6 minutos (um 
décimo de hora). Deve-se, pois, escrever: 8hl0min.
b) Não se pode confundir o minuto e o segundo das unidades de tem­
po com o minuto de ângulo ou segundo- de ângulo e muito menos usá-las 
simultaneamente na representação do mesmo número complexo.
Assim, 8hl5min23seg não pode ser representado por 8hl5723”.
UNIDADE DE VELOCIDADE
A unidade fundamental da velocidade é o metro por segundo, re­
presentado por m/seg.
Se na unidade m/seg substituirmos o medro por qualquer unidade 
de comprimento e o segundo por qualquer unidade de tempo, obteremos 
outras unidades de velocidade, tais como: km/h, m/min, etc.
MUDANÇAS DE UNIDADES COM 
NÚMEROS COMPLEXOS
Temos dois tipos de mudanças a considerar:
Primeiro: Transformar um número complexo em unidades inferiores.
8 0 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR
01 - Exprimir 5h lOmin 20seg, em segundos:
Solução:
Valendo 1 hora 60 minutos, temos que: 5h x 60 = 300min. 
Somando os 300min com os lOmin dados, 
resulta: 300min + lOmin = 310min.
Como lmin vale 60 segundos, vem: 310min x 60 ~ 18.600seg. 
Adicionando-se os 20seg dados, temos:
18,600seg -r 20seg = 18.620seg.
Logo, 5h lOmin 20seg = 18.620seg.
02 - Exprimir, em segundos, o intervalo de tempo de 5h 20min 32seg.
R: 19.232seg
03 - Converter: 2d 12h 15min, em minutos.
R: 3.615min
04 ~ Converter 36R12730” em segundos.
R: 130.350”
Segundo: Transformar um número expresso em unidades inferi­
ores em um número complexo.
05 - Exprimir 15.674 segundos a uma unidade complexa.
Solução:
Como cada 60 segundos eqüivalem a 1 min, temos
15674 1 60 
367 261min
74
14seg
Òu seja: 15.674seg = 261min + 14seg.
Dividindo-se os 261 min. por 60, encontraremoso número de horas.
261 | 60 Por tanto: 26 lm in = 4h 4- 21min.
21 4h Logo: 15.674seg = 4h21minl4seg.
^ — min
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 81
06 - Reduzir a segundos 89"36'7”.
R: 322.567”
07 - Reduzir a segundos 7d 7h 7seg.
R: 630.007 seg.
08 - Converter 35°5’18”.
R: 126.318”
09 - Converter 72t,48’52” em segundos.
R: 262.132”
10 - Calcule quantos minutos tem o dia.
R: 1.440min
11 - Calcule quantos minutos tem os 3/4 do dia.
R: 1.080min
12 - Exprimir a velocidade de 180km/h em m/seg.
Solução:
Devemos, tão somente, transformar km em metro e hora em segunda
Então, temos: 2 i0kro = 1?L 0-00m = 50m/Seg
h 3.600seg
13 - Exprimir em cm/seg a velocidade de 5,2m/seg.
R: 520cm/seg
14 - Exprimir em m/seg a velocidade de 372cm/seg.
R: 3,72m/seg
15 - Exprimir em km/h a velocidade de 2m/seg.
R: 7,2km/h
Veja:
a) Para transformar km/h em m/seg, basta dividir a velocidade 
dada por 3,6.
b) Para transformar m/seg em km/h, basta multiplicar a velocidade 
dada por 3,6.
82 HILDER GÓES * ÜBAJLDO TONAR
16 - Um automóvel desenvolve uma velocidade média de 90km/h. Ex­
primir essa velocidade em metros por segundo.
R: 25m/seg
17 - Um ciclista fez uma excursão desenvolvendo uma velocidade média 
de 20m/ seg. Exprimir essa velocidade em quilômetros por hora.
R: 72km/h
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
AD I ÇÃO: S^oníàtii^ se;; sè j^ a$a^
^ddn: .áparíir
18 - Calcule (27“10’20”) + (10“2’15”).
Soíuçao:
27" 10’ 20” 
+ 10° T 15” 
37° 12’ 35”
19 - Calcule (52°35’42”) + (19“50’28”).
Soiução:
52“ 35’ 42” 
+ 19° 50’ 28” 
71" 85’ 70”
Veja que 70” =' V + 10”. Esse V soma~se com os 85’, no que 
resulta 86’ = Io + 26’. Esse 1" soma-se aos 71°, no que resulta 72". Então, 
temos: 72°26’10”.
MATEMÁTICA PA.RA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 8 3
20 - Efetue a subtração (76°38’45”) - (25''18’40’0-
Solução:
76u 38’ 45”
- 25° 18’ 40”
51° 20’ 5”
21 - Efetue a subtração (14h 30min 20seg) — (8h 40min 50seg).
Solução:
. 14h 30min 20seg
- 8h 40min 50seg
- Na subtração dos segundos, veja que o minuendo 20seg é menor 
que o subtraendo 50seg
Toma-se, então, emprestado dos 30min — 29min + 60seg os óOseg 
para se adicionar aos 20seg, no que resulta 80seg. Agora podemos operar;
- 80seg — 50seg = 30seg.
Agora temos 14h 29min, veja que foi tirado um minuto dos 30. 
Desses 29min você também não pode subtrair os 40min. Então, toma-se 
emprestado Ih = 60min das 14 horas e se adiciona aos 29min, resultando 
60min + 29min = 89min - 40min = 49min. Como das 14h eu tirei lh , 
sobraram 13h, Então: 13h - 8h = 5h.
Logo: (14h 30min 20seg) — (8h 40min 50seg) = 5h 49min ,30seg.
22 - Efetue a subtração: (18h 25min 53seg) - (12h 30min 41seg).
R: 5h 55min 12seg
23 - Calcule a diferença entre 3ó°40? e 12°455,
R: 23055’
24 - Calcule (90°) - (70°10’29”).
R: 19°49’31”
84 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
MULTIPLICAÇÃO
25 - Calcule o quádruplo de 7"10’13”.
Solução:
T 10’ 13”
____ x 4
28“ 405 52”
26 - Calcule o triplo da medida do ângulo dc 10<>25’30”.
Solução:
10" 25’ 30” 
x 3 .
30" 755 90”
Os 90” eqüivalem a 1’ + 30” Somando-se 1’ aos 75\ temos: 
30“76I30”
Os 76’ eqüivalem a 1“ + 16’. Somando-se l u aos 30", teremos:
31 °16*30”.
27 - Calcule o quádruplo da medida do ângulo de 7°30’17”.
R: 30‘T18”
28 - Calcule os produtos indicados:
a) 2 x (7°10’40”) c) 3 x (20**10’32”)
b) 4 x (10(117’1'2”) d) 3 x (16“18’25^
R: a) 14£’21’20”; b) 41t,8,48”; c) 60“31’36”; d) 48"55’15”
29 - Calcule o produto: 5 x (3h 53min 8seg). 
R: 19h 25min 40seg
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 85
DIVISÃO: '13rvJ<3e-se -cída*unidade do^touiplcxo^j^elo‘QÔa 
mtum v cLiIuã-m. as rvucoijs sunpu cs ic j.otuc 
aecxásam&T -•
30 - Determinar o valor da quinta parte do ângulo 23”18’45”.
Solução:
23° [_5__
30 40
Sobraram 3o. Então, 3o x 60 = 180’ + 18’ = 198’
1985 l_5___
48 38’
3’
Sobraram 3’. Então, 3’x 60 = 180” + 45” = 225”
225” [__5__
25 45”
0
Logo, como resultado temos: 4°38’45”.
31 - Calcule os quocientes:
a) (24°18’20”) * 2 b) (25°6’30”) - 3
R: a) 12t>9,10” b) 8°22510”
32 - Um homem tem 36 anos, 9 meses e 21 dias e seu filho tem um terço
de sua idade. Calcule a diferença entre as idades do pai e do filho.
R: 24 anos, 16 meses e 14 dias
33 - Um automóvel fez 3/4 de uma viagem em 3h 48min. Viajando com 
a mesma velocidade, calcule em quanto tempo fará o resto da viagem.
R: lh lómin
.34 - As 9 horas da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 minutos em 
cada 24 horas. Calcule que horas são, na verdade, quando o relógio marcar
5 horas da tarde.
R: 4h 58min
8 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
35 - Uma pessoa saiu de casa, para fazer compras, às 14h 30min 20seg, e 
voltou às 17h 20min lOseg. Calcule o tempo que ela passou fora de casa. •
R: 2h 49min SOseg
36 - Um carro parte de uma cidade A às 21 horas e 45 minutos e chega a 
uma cidade B às 23 horas e 36 minutos/ parando uma só vez durante 6 
minutos. A distância entre as cidades À e B é de 105km. Calcule, em km/h, 
a velocidade média desenvolvida pelo carro.
R: 60km/h
37 - Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.
R: 7 meses e 15 dias
38 - Numa viagem de trem, um viajante consulta o relógio no momento 
exato em que o trem passa no marco quilométrico 237. Eram 8 horas e 17 
minutos. As 8 horas e 25 minutos, o trem passa no marco 249. Calcule a 
velocidade do trem em km/h.
R: 90km/h
39 - Um relógio atrasa-se 22min 30seg em 5 dias e 5/8 do dia. Calcule 
quantos minutos ele se atrasa por dia.
Solução:
Transformando todas as unidades para segundo, temos:
. 22min = 22 x 60 - 1.320seg + 30seg ” 1.350seg.
5d ~ 5 x 24 = 120h, que deverá ser somado com 5/8 do dia., isto é, 
5/8 x 24h = 15h.
Então: 120h + 15h = 135h
Logo, 135h x 60 = 8.100min x 60 = 486.000seg.
Armando-se uma regra de três, resulta:
Se em 486.000seg atrasa 1.350 seg
em ld = 86.400seg atrasará x =>
86.400x1.350x = ----------------- = 240seg
486.000
240seg -f- 60 = 4 minutos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS COMPLEXOS 87
40 - Certo automobilista percorreu determinada distância em três etapas 
de 2h 20min 32seg; lh 47mÍp50seg e 3h 38min 46,9seg, respecdvamente. 
Fez duas paradas de 25min 34,1 seg e de 31 min 29seg entre essas etapas. 
Calcule quanto tempo gastou para percorrer essa distância.
R: 8h 44min 12seg
41 - Sabe-se que um relógio adianta-se por dia Imin lOseg. Corrigido numa 
certa hora, determine de quanto deveremos atrasar o relógio após 7 dias e
6 horas da última correção.
R: 8min e 27,5seg
42 - Um relógio adianta-se 3 minutos por dia. Se ele for acertado ao 
meio-dia, calcule quantos dias transcorrerão para que ele esteja certõ no­
vamente.
R: 20 dias
43 - Por estar mal fechada a torneira de um reservatório, perdem-se 3 
gotas d’água por segundo. Calcule quantos litros de água serão perdidos 
entre 7h 45min e 16h 15min, sabendo que 1.500 gotas de água eqüivalem 
a um litro.
R: 612 litros
8 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
7
NÚMEROS RELATIVOS
DEFINIÇÃO:
Exemplos: +3, —2, —6, +1/2, + 0,2.
CLASSIFICAÇAO: Os números relativos sào classificados em:
I) Positivos: Sào os números precedidos do sinal -h 
Exemplos: +2, + 8, + 1,2.
II) Negativos: São os números precedidos do sinal
Exemplos: —1, ~4, —3/4.
Observações:
a) Os sínais + e — fazem parte integrante do número, não signifi­
cando, portanto, as operações da adição e da subtração.
b) O zero é neutro, nem é positivo nem é negativo.
VALOR ABSOLUTO OU MÓDULO
Valor absoluto ou módulo de um número relativo é o número sem 
o sinal.
Exemplos: O valor absoluto de +3 é 3, o valor absoluto de —4 é 4.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 89
NÚMERO RELATIVOS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS
Dois números relativos são opostos ou simétricos, quando possu­
em o mesmo vaiorabsoluto e sinais contrários.
Exemplos: O oposto de —3 é + 3.
O oposto de +5 é — 5.
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS RELATIVOS
a) O zero é maior que qualquer número negativa
0 > ~ 3 0 > - 18
b) O zero é menor que qualquer número positivo.
0 < +1 0 < +20
c) Qualquer número positivo é maior do que qualquer número 
negativo.
+1 > - 8 +2 > - 7
d) Entre dois números posiüvos, o maior é o que possui maior 
valor absoluto.
+3 > +1 +7 > +2
e) Entre dois números negativos, o maior é o que possui menor 
valor absoluto.
- 2 > - 8 - 1 > - 6
OPERAÇÕES COM NÚMEROS RELATIVOS 
ADIÇAO
Primeiro Caso: Os números possuem o mesmo sinal.
Calcule as adições abaixo:
01) (+2) + (+3)
02) (+5) + (+4)
05) (+2) + (+1) + (+3)
06) (-4) + (-2) + (-3)
90 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
03) (—2) + (-5)
04) (-3) + (-1)
07) (+2) + (+3) + (+4)
08) (-2) + (-1) + (-2) + (-3)
Respostas:
01) +5 02) +9 03)-7' 0 4 )-4
05) +6 t)6) -9 07) +9 ’ 08) - 8
Segundo Caso: Os números possuem sinais contrários.
JDá-sè^o^sin^I do ■miraeJL,o cle'maíç*r vaíoíWli^oltfto^e súbtfèii-sé/' . . 1
Calcule as adições abaixo:
09) (+7) + (-2)
10) (—8) + (+6)
11) (+3) + (—7)
12) (_4) + (+8)
Respostas:
09) +5 10) -2
13)-4 14)-5
13) (+4)+(-8)
14) (_7) + (+2)
15) (-9) + (+3)
16) (-12) + (+8)
11) ^
- 15) -6
12) +4 
16) -4
SUBTRAÇÃO
Efetuar as subtrações abaixo:
17) (+7)-(-2)
18) (-2) - (-5)
19) (-4) - (+7)
20) (+3)-(+5)
Respostas:
17) +9 18) +3
21) 0 22) +3
21) (-5) - (-5)
22) (+8) - (+5)
23) (+8) - (+3)
24) (+4)- (-2)
19) -11
23) +5
20 )-2 
24) +6
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS RELATIVOS 9 1
MULTIPLICAÇÃO
Sinais dos fatores Sinal do produto
+ X ■f* 4-
— X +
+ X ~ -
— X + -
Efetue as multiplicações abaixo:
2 5 ) ( + 2 ) x ( + 3 )
2 6 ) ( - 5 ) x ( + 2 )
2 7 ) ( + 1 ) x ( - 3 )
2 8 ) ( + 4 ) x ( + 2 )
Respostas:
2 5 ) + 6 2 6 ) - 1 0
2 9 ) + 8 3 0 ) - 9
2 9 ) ( - 4 ) x ( - 2 )
3 0 ) ( + 3 ) x ( - 3 )
3 1 ) ( + 2 ) x ( ~ 3 )
3 2 ) ( - 2 ) x (—3 )
2 7 ) - 3 2 8 ) + 8
3 1 ) - 6 3 2 ) + 6
DIVISÃO
fááíivo-põ^
:V vc iitò 'to s/ d ^ 'slpáis -iguais.;: ■■
■irénre.s, rçsültaüo -négatí^a '-
Efetue as divisões abaixo:
3 3 ) ( + 9 ) - ( - 3 ) 3 7 ) ( + 6 ) - ( - 3 )
3 4 ) ( + 8 ) + ( + 4 ) 3 8 ) ( - 6 ) - ( - 2 )
3 5 ) ( - 3 ) - ( + 1 ) 3 9 ) ( + 6 ) - f ( + 3 )
3 6 ) ( - 8 ) - ( - 4 ) 4 0 ) ( - 4 ) - ( + 2 )
Respostas:
3 3 ) - 3 ; 3 4 ) + 2 ; 3 5 ) - 3 ; 3 6 ) + 2 ; 3 7 ) - 2 ; 3 8 ) + 3 ; 3 9 ) + 2 ; 4 0 ) - 2
92 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Quando duas expressões algébricas estiverem ligadas pelo sinal de 
igualdade teremos, o que chamamos em matemática, uma igualdade algé­
brica. Poderemos ter, também, uma igualdade, quando tivermos uma ex­
pressão algébrica unida, pelo sinal de igualdade, a um número.
Exemplos: lOx — 5 = 9x + 4 e 3x + 2x = 10
Há duas espécies de igualdades algébricas: a identidade e a equação. 
IDENTIDADE
E a igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos às 
letras que a compõem. Assim, a igualdade (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 é uma 
identida.de, porque qualquer que sejam os valores atribuídos às letras x e 
y, resultará uma igualdade numérica.
Exemplo: Se a = 2 e b = 3, calcule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2 + 3)2 = 22 + 2.2.3 + 32
52 = 4 + 12 + 9 => 25 = 25
EQUAÇÃO
E a igualdade que só se verifica para determinados valores atribuí­
dos às letras que a compõem. Assim, a igualdade 5x — 6 = 2x + 3 é 
uma equação, porque ela só será verdadeira pára x = 3 porque, para x = 3, 
as expressões algébricas 5x — 6 e 2x + 3 possuem o mesmo valor numé­
rico que será 9, ao passo que, para qualquer outro valor atribuído à x, 
seus valores numéricos serão diferentes.
Toda equação possui dois membros, que são os membros da igual­
dade que a constitui.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 93
Na equação 5x — 6 = 2x + 3 temos: 5x — 6 primeiro membro e 2x + 3 
segundo membro. /
Chamamos de raiz de uma equação, ao valor encontrado para a 
variável ou incógnita x, que torna a equação uma igualdade. No exemplo 
dado, a raiz da equação 5x — 6 — 2x + 3 é 3. Resolver uma equação do 
primeiro grau é determinar a sua raiz, que será o conjunto verdade ou 
conjunto solução da equação.
Na solução de uma equação, ela sofre sucessivas transformações mas 
sempre resultando em equações equivalentes à equação inicial. Estas trans­
formações são baseadas em alguns princípios .qüe passaremos a estudá-los.
PRIMEIRO PRINCIPIO
Exemplo: Seja a equação: 5x - 8 = 3x. Somando-se 8 a ambos os 
membros da equação $ada, teremos: 5x — 8 + 8 = 3 x + 8.
Aplicação do Primeiro Princípio
' : -v 5 ^ ‘í'-tt? sin-áí. deèse’ Eetino. \
. ■ Exemplo: Seja a equação: 5x — 8 = 3x. Passando-se — 8 para o 
segundo membro e 3x para o primeiro, resulta: 5x — 3x = 8 que é uma 
equação equivalente à inicial.
SEGUNDO PRINCÍPIO
íia/cqüiiÇfiQjiao sfèaíreríi c^ Vaúdof;ps.AVèúk-dQÍ^m^ 
^■licadqs;\Òu''d^ ^^
2x
Exemplo: Seja a equação — —8 Multiplicando-se, por 4, os dois 
membros da equação, resulta: 2x = 32.
94 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Primeira Aplicação do Segundo Princípio
Este princípio nos permite eliminar os denominadores de uma equa­
ção, quando multiplicamos os dois membros da equação pelo menor múl­
tiplo comum dos denominadores.
Regra Prática
a) determina-se o m.m.c. dos denominadores;
b) divide-se o m.m.c. pelo denominador de cada fração, obtendo-se, 
assim,- quocientes;
c) multiplica-se esses quocientes pelos respectivos numeradores.
Observação: Um termo inteiro deverá ser considerado como uma 
fração, cujo denominador seja a unidade.
3x 2x _
Exemplo: Seja a equação: —----- -- — x — 1
2 3
a) o m.m.c. de 2 e 3 é 6;
b) dividindo-se 6 por cada denominador teremos 3, 2, 6 e 6 por 
quocientes;
c) multiplicando-se esses quocientes pelos respectivos numerado­
res, resulta: 9x — 4x = 6x — 6 que é uma equação equivalente à 
equação dada.
Segunda Aplicação do Segundo Princípio
Uma equação não,se altera, quando trocamos os sinais de todos os 
seus termos, porque, isso, eqüivale a multiplicar os dois membros da equa­
ção por —1.
Exemplo: Seja a equação: 3x - 9x = -12. Multiplicando-se toda a 
equação por —1 vem: —3x + 9x — 12 que é uma equação equivalente à 
equação dada.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 95
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO Ia GRAU
Baseados nos princípios estudados, devemos proceder da seguinte 
maneira:
l 2) Elimina-se os denominadores* se houverem;
2-) Efetua-se as multiplicações indicadas;
3a) Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contive­
rem a incógnita, que estiverem no segundo membro;
4-) Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos.independentes 
que estiverem no primeiro membro;
5a) Reduz-se os termos semelhantes;
6a) Divide-se toda a equação, pelo coeficiente da incógnita.
01) Resolver a equação: 8x — 5 = 3x + 10 
Solução:
Passando 3x para o primeiro membro e ~5 para o segundo, vêm: 
8x ~ 3x = 10 + 5
n a s iãVi tf '
;. - yvv1.'■ W.-.
Reduzindo os termos semelhantes, temos: 5x = 15.
Dividindo toda equação, pelo coeficiente daincógnita, resulta: x = 15/5,
donde x = 3. Logo; V = {3}.
* 6
02) Resolver a equação: 5x + 8-= 7x + 4 
Solução:
Passando 7x para o primeiro membro e 8 para o segundo membro, 
resulta: 5x - 7x = 4 - 8.
Reduzindo" a termos semelhantes, vem: —2x = -4.
Multiplicando toda equação por (—1), temos: 2x = 4.
Dividindo toda equação, pelo coeficiente da variável, resulta: x = 4/2, 
donde x = 2. Logo: V = {2}.
96 HCUOER GÓES * UBALDO TONAR
Resolver as equações abaixo relacionadas:
03) 3x = 12 08) 2x — 3 = 0
04) 6x — 36 ~ 0 09) 3 x - 2 5 = - x - 9
05) 2x + 8 = 0 10) 5x — 5= 2x + 4
06) 3x — 6 = 3 11) 2x + 5 = 4x + 3
07) 7x - 28 = 0 12) 2x +.3 = 3 x - 4
Respostas:
. 03) V = {4} 04) V = {6} 05) V = {- 4}
06) V = {3} o <i II o OO <5 ll
II>a?o 10) V = {3} U )V = {1}
12) V = {7}
13) Resolver a equação: 4(x — 1) =■ 2(x + 4).
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 4x - 4 = 2x + 8 
Passando os termos que contém x para o primeiro membro e os 
que não os contém para o segundo, temos: 4x — 2x = 8 + 4 
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x = 12.
. . ■ . 12 Dividindo toda a equação pelo coeficiente de x, temos: x = — , don­
de x =%. Então: V = {6}.
14) Resolver a equação: 3(2x — 5) + 4(4 — x) = 0.
Solução: Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 
6 x - 1 5 '+ 1 6 — 4 x —0
Reduzindo os termos semelhantes, vem: 2x + 1 = 0.
Transpondo o termo independente para o segundo membro, te­
mos: 2x = — 1.
. . . -1 ■ M
Dividindo toda a equação por 2, resulta: x = — . Logo: S — 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 97
Resolver as equações abaixo relacionadas:
/
15) 3(x ~ 4)= 0 16) 3x - 4 = 2 (x + 3)
17) 2(x - 3) - -3(x - 3) 18) 2(5 + 3x) = 5(x + 3)
19) 6(x + 1) - 5(x + 2) - 6 = 0 20) 7(x - 3) = 9(x + 1) - 38
21) 5(x - 3) - 4(x + 2) = 1 - 5x 22) 5(x + 1) + 6(x + 2) = 9(x + 3)
23) 4(5x - 3) - 64(3 - x) - 3(12x - 4) = 96
24) 10(x + 5) + 8(x + 4) = 5(x + 13) + 121
Respostas:
15) S = {4} 16) S = (10)17) S = {3} 18) S = {5}
19) S = {10} 20) S = {4} 21) S = {4} 22) S = {5}
23) S = {6} 24) S = {8}
2x 2x25) Resolver a equação: —----- — = x — 1.
Solução:
Eliminando os denominadores, vem: 6x ~ 4x = óx — 6 
Passando 6x para o primeiro membro, vem: óx — 4x — 6x = —6. 
Reduzindo os termos semelhantes no primeiro membro, temos:
- 4x = - 6.
Multiplicando toda a equação por - 1, resulta 4x — 6.
Então: S = {3/2}
x +1 x + 2
26) Resolver a equação: —- — = 8.
Solução:
Eliminando os denominadores, temos: 2(x + 1) + 3(x + 2) = 48. 
Efetuando as multiplicações indicadas, vem: 2x + 2 + 3x + 6 = 48. 
Passando os termos independentes para o segundo membro, vem: 
2x + 3x — 48 — 2 — 6.
Reduzindo os termos semelhantes temos: 5x = 40 
Dividindo toda equação pekecoeficiente de x, resulta: x = 8.
Logo, V = { 8}.
98 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
Resolver as equações abaixo relacionadas:
x x x „ . 4 x -6 3x -^ 2x~9 x - 4
2 7 ) I + i - - = 14 3 2 ) —
x 3x 4x 5x 10 4x +1
28) x + - + — = 18 33) —----— + 18 = —- —
2 4 . 5 4 9
3x 5x 7 3x+ l 2x x —1
29) — = ------- 3 4 ) ------=KH— —-
; 4 2 2 ; 2 3 6
x x 7 + 2x 3 x -2 4 - x 7 x -2
30) í +i =— 35> ~ — r =2^ “
7x + 4 3 x -5 x +2 x -3 * x~ l
31) — ---x= — — 36) i -= x - 2~
2
Respostas:
27) V = {24} 28) V — {8} 29) V = {z}
30) V = {14} 31) V = {3} 32) V = {4}
33) V = {20} 34) V = {14} 35) V = {2}
■36) V = {7}
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 99
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Chamamos de sistema de equação, ao conjunto-formado por 
duas ou mais equações. O nosso estudo se restringirá apenas, aos sistemas 
de duas equações.
As equações que entrarão na sua formação, serão da forma: ax + by — c, 
onde: x e y são as variáveis; a e b os coeficientes e c o termo independente.
Como estudaremos apenas os sistemas formados por duas equa­
ções, a sua forma geral será:
Equações do tipo ax + by = c, isto é, do primeiro grau com duas 
variáveis, possuem uma infinidade de soluções.
Resolver um sistema de duas equações é achar os valores das variá­
veis x e y, que satisfaçam, ao mesmo tempo, cada uma das equações. Logo, 
as equações que constituem um sistema deverão admitir a mesma solução. 
Equações desse tipo são chamadas de equações simultâneas.
Na resolução de um sistema de duas equações simultâneas do pri­
meiro grau, empregamos os processos de Adição, Substituição e Compa­
ração, os quais passaremos a estudá-los separadamente.
ADIÇÃO
a) Multiplicam-se, ambos os membros de uma ou de cada uma das 
equações, por números, tais que, a incógnita que se deseja elimi­
nar tenha, nas duas equações o mesmo coeficiente, porém de 
sinais contrários;
b) Somam-se, membro a membro, as duas equações, resultando, 
assim, uma única equação com uma incógnita;
c) Resolve-se esta equação, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita;
1 0 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das èqua- 
ções do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita, 
conseqüentemente, a solução do sistema.
ÍX4- 2y = 11
01) Resolver o sistema: 1 c> [x — y = 5
Solução:
Como a variável y já possui sinais contrários, basta multiplicarmos 
a segunda equação por 2, no que resulta: 
fx +-2y = l l 
|2x-2y=10
Somando, membro a membro, as duas equações, vem: 3x = 21, 
logo: x = 7.
Substituindo o valor de x na primeira equação, resulta: 7 + 2y = 11, 
que resolvida dará: y = 2. Logo, V = (7, 2) que é o conjunto verdade da 
equação.
02) Resolver o sistema: <
(5x - 2y = 1
Solução: Multiplicando-se a primeira equação por 2 e a segunda
Somando, membro a membro, teremos: I9x = 19, onde x = 1. 
Substituindo na primeira equação, o valor de x, vem: 2 + 3y = 8, 
que resolvida dará: y = 2. Então, o conjunto solução será: S = {1,2}.
2x + 3y - 8
Resolver os sistemas abaixo, pelo método da ADIÇÃO:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMADE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 1 0 1
Respostas:
03) S = (21,11) 04) S = (7,10) 05) S = (1,1)
06) S = (2-2) 07) S = (6,1) 08) S = (1,2)
09) S = (5,1) 10) S = (2,1) 11) S = (3,2)
12) S = (5,1)
SUBSTITUIÇÃO
a) Resolve-se uma das equações, em relação à incógnita que se de­
seja eliminar;
b) Substitui-se, na outra equação, a incógnita pelo seu valor obtido 
na primeira;
c) Resolve-se a equação resultante dessa substituição; encontran­
do-se, dessa forma, o valor dessa incógnita;
d) Substitui-se o valor dessa incógnita em qualquer uma das equa­
ções do sistema obtendo-se, assim, o valor da outra incógnita e, 
em conseqüência, a solução do sistema.
Solução:
Resolvendo a primeira equação, em relação a x,' temos: x = 1 — 2y. 
Substituindo, na segunda equação, o valor de x, isto é, 1 - 2y, vem: 
2x — y = 7.
2(1 - 2y) — y — 7 que resolvida, dará: y = —1.
Substituindo o valor de y em x = 1 — 2y, temos: x = 3.
Logo: S = (3, —1) que é o conjunto verdade da equação.
HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Solução:
Tirando o valor da variável x na primeira equação, temos: x = 10 - y.
Substituindo, na segunda equação, o valor de x, vem: 10 — y - y = 2, 
que resolvida, resulta: y = 4.
Substituindo o valor de y em qualquer uma das equações do siste­
ma ou na expressão x = 10 — y, encontraremos o valor da variável x que 
serã: x = 6.
Então, o conjunto solução será: S = (6,4).
Resolver os sistemas abaixo, pelo método da SUBSTITUIÇÃO:
Respostas:
15) S = (6,5) 
18) S = (3,6) 
21) S - (4,3)
16) S = (30,16) 17) S = (2,1)
19) S = (5,1) 20) S = (1,2)
22) S = (2 - lV f 23) S - (6,1)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 103
COMPARAÇÃO
a) Resolve-se as duas' equações, em relação à incógnita que se dese­
ja eliminar;
b) Compara-se os dois valores desta incógnita e resolve-se a equa­
ção resultante, obtendo-se, assim, o valor de uma incógnita;
c) Substitui-se o valor dessa incógnita, em qualquer uma das equa­
ções do sistema, obtendo-se o valor da outra incógnita e, em 
conseqüência, a solução do sistema
Solução:
Tirando-se o valor de x em cada equação, temos: x = 5 - y e 
x = 1 + y
Comparando-se os dois valores e resolvendo a equação resultante, 
temos: 5 — y = 1 + y, que resolvida nos dá y = 2.
Substituindo o valor de y em x + y = 5, resulta x = 3. Logo: S - (3,2).
Comparando-se os dois valores resultantes, vem: 15 — y = 1 + y 
Resolvendo-se a equação, temos: y = 7.
Substituindo-se o valor de y em qualquer uma das equações ounas 
expressões x = 15 - y ou x = 1 + y, encontraremos x = 8. Logo, o 
conjunto solução será: S = (8,7).
Resolver os sistemas abaixo, pelo método da COMPARAÇAO:
25) Resolver o sistema:
26) Resolva o sistema:
Solução: Tirando-se o valor de x, em cada equação, temos: 
x ~ 15 — y e x = 1 + y
104 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
31)
* - 1= 2 
3 2
2 3
33)
Jx + y=7 
l3x-y=5
35)
|2x + 4y = 16 
[5x~y = 7
32)
j2x + 3y = 23 
15x - 3y = 5
34)
|2x + 3y=5 
[7x-3y=4
Respostas:
27) S = (7,-1)
30) S = (2,11)
33) S = (3,4)
36) S = (4,2)
28) S = (5,2)
31) S = (6,0)
34) S = (1,1)
29) S = (3,-1)
32) S = (4,5)
35) S = (2,3)
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO -SISTEMA DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 1 0 5
' 10 
INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU
DESIGUALDADES
As desigualdades são indicadas da seguinte forma:
Sejam a e b números: 
a > b —» a é maior do que b 
a < b —> a é menor do que b 
a > b —» a é maior ou igual a b 
a < b —> a é menor ou igual a b
âe huiijérps- e-letra
Exemplo: 3x - 12 > 2x + 3 
OBSERVAÇÕES
a) A letra que figura numa inequaçào é denominada incógnita ou 
variável;
b) Os valores da incógnita que verificam a desigualdade são cha­
mados de Raízes; ^
c) Resolver uma inequação e determinar as suas raizes;
d) Uma inequação possui dois membros, ou sejam: o primeiro 
que fica a esquerda do sinal da desigualdade e o segundo, que 
fica a direita desse sinal.
e) As desigualdades 3x + 7 > 2x + 12 e 2 x - 3 > 9 - x possuem
o mesmo sentido;
f) As desigualdades 3x + 7 > 2x-+ 12 e 3 - 2x < x — 9 possuem 
sentidos contrários.
A resolução de uma inequação será feita tendo-se como base algu­
mas propriedades das desigualdades a seguir especificadas:
106 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Primeira: Uma inequação não muda de sentido quando se soma 
aos seus dois membros ou deles se subtrai uma mesma quantidade.
Segunda: Uma inequação não muda de sentido quando se multi­
plicam ou dividem seus dois membros por uma mesma quantidade dife­
rente de zero e positiva.
Terceira: Uma inequação muda de sentido quando se multiplicam 
ou dividem seus dois membros por uma mesma quantidade negativa.
01 - Resolver a inequação: 3x — 12 > 2x + 3
Solução:
Passando 2x para o primeiro membro e —12 para o segundo, temos: 
3x ~ 2x > 3 + 12
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: x > 15
02 - Resolver a inequação: 7x — 4 < 5x + 2
Solução:
Transpondo 5xpara o primeiro membro e -4 para o segundo, temos: 
7x - 5x < 2 + 4
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 2x < 6 
Dividindo a inequação pelo coeficiente da incógnita, vem: x < 3
03 - Resolver a inequação: —10 + 3x < — 20 + 5x
Solução:
Passando 5x para o primeiro membro e — 10 para o segundo, vem: 
3x — 5x < —20 + 10
Reduzindo os termos semelhantes, temos: — 2x < — 10 
Dividindo toda inequação por - 2, resulta: x > 5
Resolver as inequações abaixo:
04-2x + 4 > x - 2 09 - 4x - 7 < 3x + 2
05 - x — 1 < 3x — 5 10 - 5x — 12 < 3x — 4
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 107
06 - 3x - 1 < 2x + 4 11 - x - 6 > 21 - 8x
07 - 5x + 25 < O 12^ 3x - 14 > 7x - 2
08 - x - 5 < 2x ~ 613 - 2x - 3 > 3x
Respostas:
04) x > - 6 05) x > 2 06) x < 5 07) x < - 5
08) x > 1 09) x <9 10) x < 4 11) x> 3
12) x < — 3 13) x < — 3
14 - Resolver a inequaçâo: 3(2x + 2) > 2(9 — 3x)
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 6x + 6 > 18 — 6x 
Transpondo - 6x para o primeiro membro e 6 para o segundo, vem: 
6x + 6x > 1 8 - 6
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 12x >12 
Dividindo toda inequaçâo por 12, coeficiente da variável, vem: x >1
15 - Resolver a inequaçâo: 5(x - 3) < 6(2x.+ 1)
Solução:
Efetuando as multiplicações indicadas, resulta: 5 x - 1 5 < 1 2 x + ó 
Transpondo 12x para o primeiro membro e —15 para o segundo, vem: 
5x - 12x < 6 + 15
Reduzindo os termos semelhantes, temos: ~7x < 21 
Dividindo toda inequaçâo por -7 , vem: x > -3
Resolver as inequações abaixo:
16 - 6(x — 2) - 3x > 0
17 - 2x - 5(3x + 1) > 19 — x
18 - 2(4x + 3) > 2(x + 6)
19 - 3(x - 2) - 2(x - 4) < 5
20 - 4(x - 1) + 2(x + 3) > 14
21 - 5(x — 2) > 2(x. - 2)
22 - 3 < - 2(x - 2) + 3(x - 1)
23 - 4(x + 1) - 3(2x + 2) > 6(— x + 3)
24 - 5(2 + x) - 7(x + 2) > 0
25 - 3(x - 4) < 2(x — 2)
1 0 8 HILDER GÓES 4- UBALDO TONAR
Respostas:
16) x > 4 17) x < — 2 18) x > 1 19) x < 3 20) x > 2
21) x > 2 22) x > 2 23) x > 5 24) x < ~ 2 25) x <
3x — 1 34-x26 — Resolver a inequação:------- >-------
2 4
Solução:
O m.m.c. (2,4) = 4, g o que resulta: 2(3x — 1) > 3 + x 
Efetuando a multiplicação, temos: 6x — 2 > 3 + x 
Transpondo x para o primeiro membro e - 2 para o segundo, vem: 
6x — x > 3 + 2
Reduzindo os termos semelhantes, obtemos: 5x > 5 
Dividindo toda inequação pelo coeficiente da variável, resulta: x > 1
27 - Resolver a inequação: — - — — ——— > 1
3 2
Solução:
O m.m.c. (3,2) — 6, no que resulta: 2(5x + 2) — 3(x — 3) > 6 
Efetuando as multiplicações indicadas, temos: 10x + 4 — 3x + 9 > 6 
Reduzindo os termos semelhantes, vem: 7x + 13 > 6 
Transpondo 13 para o segundo membro, temos: 7x > — 7 
Dividindo toda inequação por 7, vem: x > - 1
x 3x o r 1
28 - — + 2 > x 33 - — -f 3 < 5x—
3 2 2
x +2 1 x —2 x —1
29- -------4- 2 > x 34 - - < -------- +------
5 2 3 2
3x 1 3x + 7 5x + l 17
3 0 - — + - < 5 x - 3 35 - x + -------- <-------- + —
2 2 9 18 6
4 x 2 3x 3x + 7 1 15x + l 17
3 1 _ ------------------< ---------------- 3 6 _ ------------------+ ---------------------------- < ------------- x
6 2 3 4 9 9 18 6
x - 3 5 + 2x 3 x + 1
32 . ------+--------- > 3x + — 37 - 1-------- > 0
4 3 2 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 109
Respostas:
28) x < 3
29) x < 3
30) x ^ 1
31) x < 0
32) x < - 7
33) x > 1
34) x > 2
35) x < 2
36) x < 4
37) x < 1
1 1 0 HILDEE GÓES * UBALDO TONAR
11
SISTEMA DE INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU
. Um sistema de inequação é formado por duas ou mais inequações. 
Esta daremos apenas o sistema constituído de duas inequações.
Resolver um sistema de inequação é determinar os valores da variável 
que satisfaçam simultaneamente as duas inequações.
A esses valores damos o nome de conjunto solução ou conjunto 
verdade do sistema.
í 2x + 2 > 6
01 — Resolver o sistemax
J3x - 1 > 2
Solução:
Resolvendo a primeira inequação, temos: 2x + 2 > 6
2x > 4 
x > 2
Graficamente: ................. . 0 1111 i i IHH-M-H1
2
Resolvendo a segundo inequação, temos: 3x — 1 > 2
3x > 3 
x > 1
Graficamente: OHH 11 i 111 í H-HH-B-1+
1
Reunindo os dois gráficos, resulta: '
Primeiro: ................ - o j I I i HH-H l H I t f
2
Segundo: QIU I Hl III l l ílll 111II
1 :
i
Interseção: ■ ói l i n m iM H)}
MATEMÁTICA PARA CONCURSO -SISTEMA DE INEQUAÇÀO DO PRIMEIRO GRAU 1 1 1
í x - y l > 1
02 - Resolver o sistema: i
|3x + l > 2 x - 2
Solução:
Resolvendo a primeira inequaçâo, temos: x — 2 > 1
x > 3
Graficamente: - o i l l ] H11II 1 fr-H i
3
Resolvendo a segunda inequaçâo, temos: 3x + 1 > 2x + 2
3x — 2x > 2 — 1 
x > 1
Graficamente: ...— OH-H-H1111 H1 1II i 1111
1
Reunindo os dois gráficos, resulta:
Primeiro: -------------O 11 H-Hl UH-H) l-
3
Segundo: ------ 0H4HH f H-HI l lH+l H'
1 i
Interseção:-------------ó Ml l l l l l i i I I III
3
V".- .-.-—. . ' A --r' v.•'ir:.■*•"" ; * ■ ................... ■ v** ■ vs
Í3x - 2 < 10
03 - Resolver o sistema: i
|3x - 2 > 1
Solução:
Resolvendo a primeira inequaçâo, temos: 3x — 2 < 10
3x < 12 
x < 4
Graficamente: M-H 111 i i 1 1 1 1 I I O
4
Resolvendo a segunda inequaçâo, temos: 3x — 2 > 1
3x > 3 
x > 1
Graficamente: ------ Ql lM 11II 1*1 IH f W l t l'
1
1 1 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Reunindo os dois gráficos, resulta:
Primeiro: U l I l i U l i l i ll I i 11 i o4
Segundo:
Interseção:
1
..I l i l lN H Í M I
1 4
Resolver os sistemas abaixo relacionados:
x +1> 4
04-
05
06-
07-
[3x + 1 > 2x 4- 2
2x + 2 > x + 6 
4x ~~ 2 > 3x +1
2x - 3 <1 
2x ~ 3 > - 9
09-
10
11-
12
J2x — 3<5x~15 
[ôx - 1 0 > 25
: 2x — 6 < 3x +1 
3x + 1 < 5x — 3
3(x - 3) > 2^x -
2(x - 1) < 3(x + 2)
3(x - 2) - 2(x - 4) < 5 
: 5(x - 2) > 2(x - 2)
Í5x. - 2 < 18 
08 ’ [2x + 1 > 3
x - 2 4— < — 
x —1 5
13 _ | x +1 1— > — 
x - 2 2
Respostas:
04) x > 3
08) 1 < x < 4
12) 2 < x < 3
05) x > 4
09) x > 4
13) — 4 < x < 6
06) x > 4
10) x > 2
07) - 6 < x < 1
11) x > 6
MATEMÁTICA PARA CONCURSO-SISTEMA DE INEQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU 1 13
1
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Uma equação é do segundo grau quando se apresenta sob a forma 
ax2 + bx + c = 0 para quaisquer valores atribuídos a a, b e c, mas a =£ 0. 
Na forma ax2 + bx + c — 0, temos: 
x é a incógnita ou variável 
a e b os coeficientes 
c o termo independente.
Exemplo: Na equação x2 — 3x + 2 = 0, temos 
a = 1; b - - 3 e c — 2
Uma equação do segundo grau é dita incompleta se, pelo menos 
b = 0 o u c = 0 o u b = c = 0,
Logo, as equações incompletas serão da forma: 
para c = 0 temos ax2 + bx = 0
para b = 0 tem os ax2 + c = 0
para b = c = 0 temos ax2 = 0
Resolveremos, a seguir, os dois primeiros tipos de equações incom­
pletas do segundo grau.
EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + bx = 0 
Solução:
Colocando x em evidência, temos: x(ax + b) = 0
Observe que temos um produto igual a zero, mas para que um
produto seja igual a zero, é necessário que pelo menos um de seus fatores
seja igual a zero, isto é: x = 0 ou ax + b - 0.
De ax + b — 0, temos ax = —b, logo: x = -------
a
Então, as raízes da equação da forma ax2 + bx — 0 são: x’ = 0 e
1 1 4 HILDER GÓES ❖ UBAUDO TONAR
01 - Resolver a equação: 3x2 — 18x = 0.
Solução:
Colocando-se x em evidência, temos: 
x(3x - 18) = 0
Então ou x = 0 ou 3x — 18 = 0 
Resolvendo-se a equação 3x — 18 = 0, resulta: 
3x - 18 = 0 
3x = 18 
x = 6
Logo, as raÍ2és da equação são: x!— 0 e x”= 6
Resolver as equações abaixo relacionadas:
02 - x3 - 9x = 0
03 - 2x3 + 8x = -0
04 - 25x2 - lOOx = 0
05 - x 2 - 7x = 0
06 - x2 — óx = 0
07 - 2x2 - 4x = 0
08 - 9x2 ~ 4x = 0
09 - 4x2 - 20x = 0
10 - 3x2 + 18x = 0
11 — x2 + 3x = 0
Respostas:
02 - x> (1 O e xJ = 9 0 3 - x ’ li o e x’ = _ 4
04- xJ = 0 e x5 _= 4 05 - x’ = 0 e x’ = 7
06 - xJ = 0 e x’ = 6 i
o = o e x’ = 2
08 - x* = 0 e x5 - 2/ 73 09 - x’ = 0 e x’ = 5
■o = 0 e x’ — - 6 11 - x’ = 0 e x" = 3
EQUAÇÃO DA FORMA: ax2 + c = 0 
Solução:
Transpondo a constante c para o segundo membro, resulta: ax2 = — c 
Dividindo ambos os membros da equação pelo coeficiente a, temos:
2 c
x = -----
a
Extraindo a raÍ2 quadrada de ambos os membros, vem: x = ±
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÁO DO SEGUNDO GRAU 1 1 5
c
b) Se — ~ < 0, isto é, negaüvo, a equação não terá solução no
3
conjunto dos números reais, estando fora, portanto, do objetivo desse 
livro.
12 - Resolver a equação: x2 — 49 = 0.
Solução: Passando - 49 para o segundo membro, temos: x2 = 49 
Extraindo a raiz quadrada, vem: x = ± VÍ9, portanto x ~ ± 7 
Assim: x’ = — 7 e x” = 7 são as raizes da equação.
Resolver as equações abaixo relacionadas:
1 3 - 2 x 2 - 3 2 = 0 1 8 - 2 5 x 2 - 1 6 - 0
1 4 - 3 x ? - 3 = 0 1 9 - l II o
1 5 - x 2 - 2 5 = 0 i
oCO oii'3-
>
1
1 6 - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 0 2 1 X 2 - 5 = 0
1 7 - 9 x 2 - 1 = 0 2 2 - i VO II o
Respostas:
13 - x ? ---- 4 e x” = 4 14 - x* = — 1 e x” = 1
15 - x’ = - 5 e x>} — 5 16 - x’ = — 3 e x” = 3
17 -x ’ = -1 1 3 e x” = 1/3 18 - x ’ = - 4 / 5 e x” = 4/5
19 - x ’ = — 6 e x” = 6 2 0 - x 5= - 2 e x” = 2
21- x’ = - 75 e x” = V5 22 - x’ = - 3 / 2 e x” = 3/2
116 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
EQUAÇÃO COMPLETA DO SEGUNDO GRAU
Como já vimos, é toda equação da forma ax- + bx + c = 0. 
A sua fórmula resolutiva é
23 - Resolver a equação: x2 ~ 8x + 15 = 0. 
Solução:
Aplicando a fórmula, vem:
x —
8 + ^64 - 4(1) (15)
2 x l
8 ± Vó4 - 60 8 ± s[Ã 8 ± 2
2 2 2
no que resulta:
f 8 - 2 M 8 +2 c
x = ---------= 3 e x —--------~5
2 2
24 - Resolver a equação: x2 — 9x + 18 = 0. 
Solução:
Aplicando a fórmula, temos: -
x =
9 ± a/B1 - 7 2 9 ± -y/õ 9 ± 3
2
no que resulta:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 117
Resolver as equações abaixo relacionadas:
/
25 - x2 — 3x + 2 — 0 30 - x(x — 3) + 2 — 0
26 - x2 - 5x + 6 — 0 31 - x(x — 2) = 3(x — 2)
x2 3x
27 - x 2 - 7x + 12 = 0 3 2 - — .=------ 3
6 2
"1
28 - — x2 + 6x - 5 = 0 33 - 2x2 - ™ + - = 0
2 4
2x2 1 4x 12x 1
29 - x 2 + 2x - 8 = 0 3 4 - ------------+ ------------ = x -----
5 6 3 5 2
Respostas:
25 - x> = 1 e x” = 2 2 6 - x ’ = 2 e x" = 3
27 - x’ = 3 e x” = 4 28 - x’ = 1 e x” = 5
29 - x’ = - 4 e x” = 2 3 0 - x ’ = l e x” = 2
31 - x’ = 2 e x” = 3 32 - x’ = 3 e x” = 6
1 1 1
33 - x* = - e x” = - 34 - xs = - e x” = 5
4 2 6
Veja Com Atenção:
Quando numa equação do segundo grau o coeficiente do termo do 
2a grau, isto é ,o a for igual a 1, como por exemplo: x2 — 7x + 12 — 0
Devemos, para maior facilidade, aplicar a fórmula: x2 — Sx + P = 0
onde P representa o produto das raízes e — S, o simétrico da soma das raízes.
No caso da equação x2 — 7x + 12 = 0, você deverá tentar desco­
brir dois números que multiplicados dê 12 e somados dê 7.
Siga o seguinte roteiro:
Primeiramente, olhe para o sinal do produto, se ele for positivo 
você deverá concluir que as raízes possuem o mesmo sinal, isto porque:
1 1 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Se ele for negativo, é porque as raízes possuem sinais contrários, 
isto porque:
Em seguida veja o sinal da soma das raízes, se ele for positivo é 
porque a soma das raízes deverá ser-negativa; e se ele for negativo é por­
que a soma das raízes deverá ser positiva pois — S indica o simétrico da 
soma das raízes da equação.
Então, na resolução de uma equação do tipo x2 — 7x + 12 = 0 não 
há necessidade <le ser recorrer a fórmula já conhecida.
Conclua que xJ = 3 e xM = 4 pois 3 x 4 = 12 e 3 + 4 = 7.
35 - Resolva as equações abaixo relacionadas:
a) x3 — 5x + 6 = 0- d) x2 — 12x + 20 = 0
b) x~ - 9x + 20 = 0 e) x2 - 6x - 16 = 0
c) x2 + 4x - 21 = 0 f) X 2 - l lx + 28 = 0
Respostas:
a) x’ = 2 e x” = 3 d )x , = 2 e x ” = 10
b) x5 = 4 e x” = 5 e) x’ = — 2 e x” = 8
c) x’ = - 7 e x” = 3 f) x’ = 4 e x” = 7
EXISTENCIA DAS RAIZES
Depende, do sinal de À = b2 — 4ac. 
para Á > 0 a equação terá duas raízes reais e disdntas; 
para Á = O.a equação terá duas raízes reais e iguais; 
para Á < 0 a equação não possui raiz real
36 - Determine os valores de m para que a equação abaixo admita raízes 
reais e desiguais. 3x2 — 6x + m = 0 
Solução:
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
b2 - 4ac > 0.
Como a = 3; b = ~ 6 e c = m, temos:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1 1 9
(— 6)1 - 4 x 3 x m > 0
36 — 12m > 0 — t2m > — 36 => m < 3
Logo, m deverá ser menor do que 3, para que a equaçào admita 
raízes reais e distintas.
36 - Determine o valor de m para que a equação x2 - 6x + 3m = 0 admita 
raízes reais e iguais.
Rj 3
37 - Determinar os valores de m na equação x2 — lOx + 2m — 1 = 0 para 
que suas raízes sejam reais e desiguais.
R: m > 13
38 - Qual o valor de k para que a equação x2 — 4x + k — 3 = 0 tenha raízes 
reais e desiguais.
R: k < 7
39 - Dada a equaçào 3kx2 — 2x — 1 = 0 determinar k para que eía tenha 
raízes reais iguais.
40 - Determinar k na equaçào 4x2 — 8x + 2k = 0, para que a equaçào 
possua raízes desiguais.
R: k < 2
41 - Determinar o valor de m para que a equação abaixo admita raízes 
iguais, x2 + 2x 4- 2mx + m2 = 0
1R: m = - -
42 - Calcular m na equação mx3 — 2mx + 3 de modo que ela possua duas 
raízes reaise iguais.
R: m = 4
120 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES
Soma das Raízes 
Produto das Raízes
Diferença das Raízes
43 - Achar a soma, a diferença e o produto das raízes da equação:
x* + x — 12 = 0.
R; x> + x” = - 1 
x’ _ x” = 7 
x’ x x” = - 12
44 - Determinar o valor de k para que as raízes da equação 2x2 - 5x + k — 0 
sejam inversas.
Solução:
Se as raízes sào' inversas é claro que o produto das raízes é igual a 1.
c k
Como xJ x” — “ , temos x5 >r x” = —.
a 2
k _
X^ ogo^ ^ ■ 1 -—^ k 2
45 - Determine o valor de m para que as raízes da equação (m + 4)x2 +
7x + 3m = 0 sejam inversas.
R: 2
46 - D eterm inar m, de modo que uma das raízes da equação
(m - l)x2 — 8x + 3 “ 0 seja o inverso da outra.
R: 4
=> x’ ■+' x” =
xJ X x”
x’ - x” =
Vb2 - 4 a c
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1 2 1
47 - Calcular n de modo que a soma das raízes da equação:
x2 - (2m — l)x + nr — n — 12 = 0 seja 9.
R: 5
48 - Determine k na equação (k + 2)x2 — 5x + 2k = 0 para que suas raízes 
sejam inversas.
R: 2
49 - Calcule o valor de m na equação 2x2 + (4m - 8)x + 50 = 0 de modo 
que as raízes sejam simétricas.
R: 2
50 - Dada a equação x2 — 2(a — b)x + (a + b)2 = 0, calcule a média 
aritmética e a média geométrica de suas raízes.
R: Ma = a - b Mg = a + b
51 - Determinar m na equação (m — 2)x2 — (2m — 1) 4- m + 2 = 0 para que
1
a soma das raízes seja
52 - Calcule h na equação (h + 3)x2 — (2h — 2)x + h + 4 — 0 de modo que
1
a soma dos inversos das raízes seja igual a — - 
R: 2
53 - Sendo R e S as raízes da equação 2x2 ~ 4x — 7 = 0 calcule o valor da
expressão (R + S + 1) (R + S — 1).
R: 3
54 - Determine k na equação x2 — 4x + k — 0, sabendo que R e S são as
raízes da equação e que Ss x RR x SR x Rs = 16.
R: k = 2
1 2 2 HILDER GÓES ❖ UBAUDO TONAR
55 - Determinar k na equação x2 + kx + 36 — Q, de modo que entre suas
1 1 _ 5
raízes exista a relação ” + — ~rz.x 12
R: - 15
56 - Calcular m de modo que a média harmônica das raízes da equação 
2x2 — x + m — 0 seja igual a 10.
R: 5
57 - Determinar k na equaçào x2 — 4x + k = 0 sendo R e S as suas raízes
e Ss* RR x SR x Rs = 256
R: 4
58 - Dada a equação x2 — 5x + m = 0, achar m de modo que a soma dos 
inversos das raízes sè:ja —.
R: 4
59 - Determinar k na equação x2 — lOx + k = 0, de modo que uma raiz 
seja o quádruplo da outra.
R: 16
60 - Determinar k na equação x2 - 7x + k = 0, de modo que suas raízes 
sejam números inteiros positivos e consecutivos.
R: 12
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1 2 3
13
SISTEMA DE EQUACAO DO SEGUNDO GRAU
É todo sistema de equações formado por uma equação do pri­
meiro grau e uma equação do segundo grau.
Podemos também dizer que é todo sistema de equação no qual 
aparece uma equação do segundo grau ou no qual a sua resolução nos 
conduz a uma equação do segundo grau.
Todo sistema de equação do segundo grau deverá ser resolvido pelo 
processo da substituição.
Isolamos o valor de uma das variáveis na equação do primeiro grau 
e substituímos esse valor na equação do segundo grau, que resolvida, nos 
dá a solução do sistema.
1
01 - Resolver o sistema:
Solução:
Tirando o valor de x na primeira equação, vem: 
x = 3 _ y. '
Sübstituindo na segunda equação, temos:
(3 - y)y = 2 
_y2 + 3 y _ 2 = 0 
y2 - 3y + 2 = 0
Equação do segundo grau, que resolvida nos dá: 
y x = 1 e y, = 2
124 HILDER GÓES * UBAI-DO TONAR
Substituindo esses valores na equação x + y = 3, resulta:
Para y{ — 1 :=> x + 1 = 3 => x? = 2
Para y, = 2 x + 2 = 3 x, = 1
Então: o seu conjunto solução será: S = {(2,1)(1,2)}.
Observe que uma solução de um sistema com duas variáveis é um 
par ordenado. No exemplo acima, o sistema possui duas soluções.
Resolver os sistemas abaixo relacionados:
j x - y = l fx + y = 6
02 - 1 , n 03 - i ,(xy= 30 [xy = 5
íx“-3y=--ll fx + y = -1 5
04-1 OA 05-1[xy- 20 (xy=56
fx + y = - l íx + y = 3
06 - 1 , 07 - i , 2 ,( x y - y =1 !x~ + y =5
x + 2y~5 fx-2y-~17
y2 =7~~3x 09" 1y2 +5x=-29
J 6x + 3y = l l f x - 2y - 10
10 ’ [xy = 1 11~|x2_ y2=„ 33
Respostas: .
0 2 - ( - 5 , - 6) (6, 5) 03 -(5 ,1 ) (1,5)
04 - (4,5) (-14, - Í ) 05 - ( - 7, - 8) ( - 8 , - 7 )
06 - (0, - 1) 07 - (2,1) (1, 2)
08 - (1, 2) ( - 3, 4) 09 - (~ 45, - 14) ( - 9, 4)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - SISTEMA DE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU 1 2 5
POTENCIAÇÃO
Sejam os produtos 3 x 3 x. 3 x 3 ou 2 x 2 x 2, onde todos os 
fatores são iguais. Esses produtos especiais, como também esses outros 
4 x 4 x 4 e 5 x 5 onde todos os fatores sao iguais, podem ser escritos de 
uma maneira mais simplificada como: 34, 23, 43 e 52 dando lugar a uma 
nova operação chamada “Potenciação” que é a operação pela qual po­
demos elevar um número a qualquer outro número.
De um modo geral, se tivermos a x a x a . . . a x a podemos escrever 
a x a x a x a ... a = am.
Produto este com m fatores, onde a é a BASE da potência, isto é, o 
fator que se repete e m o EXPOENTE, número que indica quantas vezes 
a base será tomada como fator. Daí a definição:
fiírpi*tD'cI\atánios;;i^à:e^JgiihÍí; f .
bás;é;qu<m^
Verifica-se, pela definição, que a Potenciação só estará definida para 
expoentes superiores à unidade, pois não existem produtos com menos 
de dois fatores, mas isto não exclui a possibilidade de aparecerem potências 
com expoentes iguais a um, zero ou negativo, como veremos mais adiante.
TIPOS DE POTÊNCIA
a) Potências de m esma base: São as potências que possuem uma 
base comum.
Exemplos: 52, 53 ou 22, 24
b) Potências semelhantes: São as potências que possuem o mes­
mo expoente e bases diferentes.
Exemplos: 23, 43, 73
1 2 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS
1) Produto de Potências de Mesma Base:
Seja o produto, 23 x 24. Como 23 = 2 x 2 x 2 e como 24 — 2 x 2 x 2 x 2 , 
poderemos escrever 23 x 24 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2:, por definição. 
Então 23 x 24 = 23 + 4 = 27. De onde se conclui que:
Exemplos: 23 x 25 = 28 32 x 3 x 34 = 37
Neste último exemplo, observe que, para o fator 3 está subtendido
o expoente um.
OBSERVAÇÕES:
a) Base zero:
Pela definição de potência temos que:
O3 = 0 x 0 x 0 = 0. Veja que, um produto onde todos os fatores são 
iguais a zero, é claro que o resultado deverá ser zero. Logo:
Exemplos: O2 = 0 x 0 = 0, O5 = 0, (F = 0
b) Base um:
Seja a potência l 3, por definição, temos que 1} = 1 x 1 x 1 = 1. Um 
produto onde todos os fatores são iguais a um, o resultado deverá ser um. 
Então:
Exemplos: l 2 = 1 x 1 = 1 l 5 = 1, l 23 = 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 127
2) Divisão de Potências de Mesma Base
/
Seja a divisão 4S + 43. Observe que 45 43 =
45 4 x 4 x 4 x 4 x 4 , , o--------------------- — 4 x 4 = 4 “
4 4 x 4 x 4
Pelo exposto, teremos 45 4J = 43 3 — 42, generalizando-se temos:
Exemplos: 27 - 24 = 23, 36 - 32 = 34
Observações:
a) Expoente Zero
De acordo com a regra de potências de mesma base, temos que:
9-t 4- 9-* = 94-4 -
Como o expoente indica quantos fatores deverá possuir o produto, 
este resultado 2° não encontra apoio na definição, visto que não existe um 
produto sem fatores. Entretanto, quando numa divisão, o divisor é igual 
ao dividendo, o quociente será igual a um, isto é, 24 -e- 24 = 1.
Na matemática existe um princípio que diz: 'Duas quantidades di­
ferentes, sendo iguais a uma. terceira, elas serão iguais entre si”.
Como: 24 24 = 2o e 24 4- 24 = 1 então 2o = 1. De onde podemos
concluir que:
Exemplos: 3o = 1, (0,23)° = 1
b) Expoente um:
Observe que 3l é Outra expressão que não encontra apoio na definição de 
potência, pois não existe produto com apenas um fator. Mas, por conven­
ção, temos que:
1 2 8 HILDER GÓES 4* UBALDO TONARExemplos: 2} — 2, 256’“ 256
c) Expoente negativo
Seja 4l -r 45. Baseado na regra da divisão de potência de mesma 
base, teremos: 43 -f- 45 = 43~:> - 4~2.
Resultado este que não se enquadra na definição de potência, visto 
que não poderá haver. .um. produto com um número negativo de fatores. 
Mas, por outro lado, tem-se que:
A 3
43 + 45 -
4 x 4 x 4
4 x 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 4 ‘
Como 4J ~ 4'* = 4 2 e 4J 43 e tendo como base o mesmo
princípio, enunciado anteriormente podemos escrever que: 4 -
De onde se conclui que:
Exemplos: 5
3) Potência de Outra Potência
Seja (23y . Observe que a base relativa ao expoente 4 é 23. Logo, pela 
definição de potência e pela regra de multiplicação de potências de mes­
ma base, tem-se: (23)4 = 23 x 23 x 23 x 2i = 23+3+3+3 = 212. Então:
Exemplos: (23)2 = 2f‘ (34)5 = 32í)
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÂO 129
OBSERVAÇÃO:
7
Veja que (23)2 23 , pois (2Í)2 = 26 = 64 e 23 = 2!’ = 512. Neste caso, quem
está elevado a 2 é somente o 3. De um modo geral, tem-se: (a"1)1’ ^ a”1 .
4) Potência de uma Fração:
Seja a potência J ” j • Por definiçào, temos que:
2 V 2 2 2 _ 23
— - - x - x - = — . De onde podemos concluir que:
37 3 3 3 3'
' {3 \ 3
Exemplos: \~ j \^2 J r
Veja!! Quando se tratar de um número misto, devemos primeira­
mente transformá-lo numa fração imprópria para, em seguida, aplicarmos 
a regra anterior.
Exemplos: = g l =.!■ Í2 ± ] = í| ]
5) Uma Fração Elevada a um Expoente Negativo
2 ' 2
Seja ~ elevado ao expoente — 2, isto é, j . De acordo com a 
regra do expoente negativo, vem: ----- -. De acordo com a regra da
130 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
6) Potência de Um Produto
Seja o produto (2 x 4)J. Aplicando a definição de potência, podemos 
escrever: (2 x 4}3 = 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x 4 = 2 x 2 x 2 x 4 x 4 s 4 = 23 x 4 l 
De. onde se conclui que:
Exemplos:
( 3 x 2 x 4 )3 = 3 3 x 23 x 4 J 
(2* x 4 2)5 = 2 '5 x 4 íf) 
(22 x 3 ) 4 = 2 S x 34.
7) Potência de Base Dez
Sejam as seguintes potências 10', 102,103,104. Aplicando-se a defi­
nição de potência, temos:
101 = 10
102 = 10 x 10 = 100
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTÊNCIAÇÂO 1 3 1
103 = 10 X 10 X 10 - 1.000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000.
Pelos exemplos expostos, é fácil concluir que;
Exemplos:
107 = 10.000.000, 105 = 100.000, 10_i =
103 1.000
8) Potência de um Número Decimal
Sejam as potências (0,2)\ (0,5)2 e (0,25)2.
Aplicando-se a definição de potência, obteremos os seguintes re­
sultados:
(0,2)3 = 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008
(0,5)2 = 0,5 x 0,5 = 0,25 
(0,25)2 = 0,25 x 0,25 = 0,0625
Pelos resultados obtidos, podemos concluir que:
' "párã a csqueúí a ^ t à ri e ;ii ? ü s decimais quantas ;.f< ^ do’
expoçníc pelo íiuiiierò/de caá decíiriíiis: :,e s^;té;n tes :n.Q;fiúmçroX^ "
Exemplo: Seja calcular (2,14)3. Deveremos elevar o número 214 à 
terceira potência, sem nos preocupar com a vírgula e encontraremos 
9.800.344. Mas veja que, no número resultante, deverá existir 6 casas deci­
mais decorrentes do produto de 2 (duas casas decimais existentes no nú­
mero dado) por 3 (expoente da potência). Logo, temos: (2,14)3 = 9,800344.
132 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
9) Potência De Números Relativos
Ia CASO: Potência de um número positivo.
;^>òsi.üvt
Exemplos: (+2)2 — +4
(+2)3 = +8
' (+2y = +16
(+2)5 = +32
2fl CASO: Potência de um número negativo.
Exemplos: (— 2)2 — + 4
( - 2 ) ^ - 8
(_ 3 y = +81 
(„ 3y = _ 27
Veja: Pata n par, teremos: (— a)u -a11. Pois no primeiro membro, 
a base da potência é — a, logo o sinal pertence à base, ao passo que, no 
segundo membro, o sinal nào pertence à base.
Então: ( - 2)4 -£ ~ 24 pois ( - 2)4 = +16, enquanto que - 24 = - 16.
10) Soma e Subtração de Potência
Não existem regras especiais para o caso de soma e subtração de 
potências. Em taís casos, calcula-se o valor de cada potência e efetua-se as 
operações indicadas.
Exemplos:
23 + 25 = 8 + 32 = 40
3^ 3 + 42 = ç _ 3 + Í6 = 22
11) Comparação De Potências
Sejam a, m e p números quaisquer diferentes de zero, onde a e a 
base e m e p os expoentes.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 133
Ia CASO: A base é maior do que um, isto é, a >1.
j am > a^ se m > p 
[a 01 < a^ se m < p
Exemplos: 104 > 102, 3’ > 32, 22 < 23
2fl CASO: A base está compreendida entre zero e um, isto é:
0 < a < 1.
{ixi p ^a > ar se m < p
m . p a < ar se m > p
Exemplos:
1 i v W i ' »
01) Calcular as potências abaixo relacionadas:
a) 34 b) O5 c) V
d) (0,13)° e) (1>5)2 f) 104
g ) -
1
h) (0,12)“2 i) (1
j) 1) m)
n)
2 - 2~ 
23 + 2 '
Respostas:
a) 81 b) 0
f) 10.000 g) - 64
1
1) 512 m) 4
P) 
c) 1
h)
1
d) 1
______ A
0,0144 l) 27 
63
65
o) 3
e) 2,25 
D 9
4
P) 7T
134 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
02) Classificar em verdadeira (V) ou falsa (F) as igualdades abaixo relaci­
onadas:
a ) 3 J x 3 : = 3'' ( ) f) 2J x 3 = ó3 ( )
b) (2 + 3)2 = 22 + 33 ( ) g) 2_l - 3~1 = 6~1 ( )
c )(4 2)J = 4‘ ( ) h) 52 — 4: = 3’ ( )
d ) 2 -3= - 8 ( ) i ) 2 - 1+ 3 “ i = ^ ( )
e) 3 x 3"1 = 1 ( ) j) (2^ = (21)3 ( )
Respostas:
a) F b) F c) V d) F e) V
f)F g )V h )V i)F j ) v
03) Calcule o número natural x sabendo que:
a) x = 2> - 53 b) x = 42 - 16’ c) x = 32 - 9”
d) x = 31 - 3° e) x = 10“ - 2--’ f) x = 8° + 2* - 32
Respostas:
3
a) 7 b) 0 c) 8 d) 2 e)~ í) 0
04) Transforme em potência de 10: 
a) 0,001 b) 1.0005 c) 0,013
Respostas:
a) 10“3 b) 10li c) 10"
05) Efetuando a operaçào (2"1 + 5 l) x
^ - 1
, , obteremos: 4.
52 10 13 13
^ 10 ^ 13 ^ 160 ^ 10
R: d
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 1 3 5
06) Qual das igualdades abaixo é verdadeira: 
a) (a2)m x (a3)“ = (as)ra + n / b) (a2)m x (a3)" = (a6)m x ■
c) (a2)m x (a3)" = a3m + 2u d) (a2)m x (a3)n = a2m + 3n
R: d
07) Sendo a e b dois números naturais, diferentes de zero, e sabendo que 
a = b, pode-se concluir que a expressão verdadeira é: 
a) a x b — 0 b) a x b = 2a
c) a x b = 1 d) a x b = a2
R: d
3° -K-2f -
08) Seja A , o valor de A é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: b
09) A expressão
a) 0,0625 
R: a
(0,25) é equivalente a:
b) 0,5 c) 5 d) 6,25
10) O valor do produto a*+ r x ax~y é: 
a) a19 b) a* c) ay d) a3*
Rx d
a - U b " 111) Ao simplificar a expressão - — =—=— obtém-se:
(ab f1
a) a + b b) a ~ b c) a d) b
R: a
136 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
12) A expressão 3*+ 3 x 3X 3 é igual a: 
a) 3x2 b) 9* c) 81 d) 27
R: b
13) O valor da expressão E = —~ , onde: a = 2 4 , b = 4 — 2 * e
c
0 -1 , 
c — 3 + 2 e:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: b
8°+(-4)2 - í i
14) O valor da expressão-------------^ —~— é igual a:
' l ' '
2
2 22 7 13
* > 7 b ) T c ) 2 d ) T
R: c
15) Efetuando-se a soma (0,1)’ + (0,1)2 + (0,1)3 obtemos:
a) 111 b) 11,1 c) 1,11 d) 0,111
R: d
16) Somando-se 256aM x 2560,09 com 6250,17 x 625ü'üíi, temos:
a) 4 b) 256 c) 9 d) 625
R: c
17) O valor da expressão j —J + -q-x2 é igual:
a) | b) 2 c) 1 d) 3
R: b
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO 1 3 7
18) Verificar se IO20 é menor que 90“'
R: Falso
- 5 ° x l 5 c-2 .19) O valor de A na expressão —õ ~ ^ e:
5 xA
a) 1 b) 5 c) 25 d) 3
R: a
20) Sabendo-se que a2 = 56, b3 = 57 e c4 = 58, então temos que (a. b. c)9 vale:
a) 521 b ) 5u c ) Sm d) 566
R: d
21) Sabendo-se que “n” é um número par e “a” é diferente de zero, a
an + (-a f
expressão------ §n— pode ser escrita como:
2a
a) a" b) a~" c) a2'1 d) zero
R: b
22) Calcule o valor de k = — , onde a ~ 2 + 2 ,b~~3 +3 e c - 2 +3
1
R: k = ~
4
23) Sendo x e y diferentes de zero, é falsa a igualdade:
a) 10* x 10>- ~ 10x + >' b) 10" + 10»’ = 10*^
c) (10<)5 = (10v)x d) (10*)* = IO2*
R: d
24) A expressão (3~2)3 é igual a:
1 1
a ) ------
' 81
| 00
c) ( - 6)2 d) 3°
R: b
138 HILDERGÓES * UBALDO TONAR
6x10 3 xlO 4 xlGs
25) Simplificando a expressão ---- ~—lO ^xT tf J temos:
a) 10° b) 101 c) IO"- d) IO’3
R: c
26) Calcule o valor de x na igualdade lOx — \2) 2
2~~l
R: 2
x + 5 x — 1 2
27) Sabendo que ”7" _ “7” > calcule x — 3x.* eL X íi —*• 5t
R: 10
_ a J + a 2 +( a“)3 + (a3)2
28) Calcule y sabendo que y ------------- 5----- 5---------------
a + a +2 
R: a
3 _ (0,1X0,001) x 10” 1
29) Se x = 10 , determine M' 10 x 0,0001
R: lOx
30) Se 10u = a, então IO4 vale:
a) 100a b) 10a c) 10a2 d) 2a
R: c
31) Se K é um número inteiro e positivo, então y = (—l)k + (—1)
a) 2 b) 1 c) 0 d) depende de I<
R: c ,
32) Simplificando (2 ) , obtemos:
a) 8Ã b) 22í c ) l ó 8 d) 2M'
R: d
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ POTENCIAÇÃO
33) Se A = (<r x 95) 4, então A é igual a:
1 1 - 24 - 6 1
c)3 x 2 d ) ^ i ^
R: d
a4 xb2
34) Simplificar a expressão
jb8 x n f f
42 - 2 4
R: a x b
35) Qual a representação decimal de 0,01J?
R: 0,000001
1 _ 2 _ 2
36) Sendo a ^ 0 e b ^ 0 simplifique _2 x 4 x (a ” +1* ) .
R: b x (b + a )
37) Calcule xp x x z' = xp * s + E, então:
a )x = y ^ 2 b) x = y = z c) x = 2 ^ y d) z ^ y x
R: b
38) Se a2 = 990, b3 = 99? e c1 = 998, então (a x b x c) !2 vale:
a) 99«« b) 99w c) 9912 d) 992S
R: a
39) A metade de 2~ é: 
a) 2n b) 1
R: d
c) 11 d) 221
1 4 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
40) Calcule o valor da expressão 4 x (q^4 + *J0725 + 8 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
R: a
76 96y r°3" 2“41) Ao se efetuar a divisão: 2 4 - 4 resulta:
a )0 b) 1 c) 2 d) 4
R: c
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - POTENCIAÇÃO
1
RADiCIAÇÃO
DEFINIÇÃO
Um número b é chamado de raiz enésíma aritmética exata de um 
número a, isto é, ^ - b se, e somente se, a = b11. Onde:
*J~ é o radical a é o radicando
b é a raiz n é o índice do radical
Exemplos: s/g = 2 porque 2' = 8 ^/32~2 porque 271 ~ 32
Observações:
a) O termo “enésima” é um termo geral. Será raiz quadrada para 
n = 2; raiz cúbica para n = 3, etc.
b) No caso de n = 2, isto é, da raiz quadrada, não se escreve o 
índice do radical, por convenção.
Importante:
Decorrente da definição dada, temos que:
^ 4. = 2 e nào J 4 ~ ± 2 = 3 e nào -Jç) = + 3
Entretanto, as sentenças — l f$ = — 2, — «J4 = — 2 e + = + 3
são verdadeiras. Isto porque o radical nào é responsável pelo sinal ou 
sinais que o antecedem.
RADICAIS SEMELHANTES
São aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando. 
Exemplos: 3 ^ 2 mesmo índice 3 e mesmo radicando 2.
1 4 2 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
Primeira:
Exemplos: =\f2 3 - v 3
Segunda:
Exemplos
Terceira:
2 1 4
Exemplos: . =4/4 multiplícando-se por 2.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÃO 143
Quarta:
Exemplos: -y/a2b =Vã^xVb^ = aVb
^/8Í=V?=^35x 3 = # ' x l j í= $ [ ò
Quinta:
jz^üçstóáidfrüiSá'.fraçãp,.extrai- se a'' 
ésiroa do1 liuüieradòríéidó .deiidmitiádòr;:::'!'
n r _ V9 _ 3
Exemplos: ^ 5 “ ^ “ 5
27 .^ 27
64 3/64
Sexta:
ia' raiz-qualquer -de. íim.‘radical,- istG..é;‘ 
1icnL duplo, por Aíiiiradicítl simples, 
çaròs mdices-dós radicais.- 0 ' ..
Exemplos: ~ /^ó4 —■\f2 ~~2
\j\la6b n =1-^a6b12 — b lyf^ = b V ã
144 HILDER GÓES 4“ UBALDO TONAR
Observações:
Seja Vã% • Pe a^ primeira propriedade podemos escrever que 
Vanb = aVb então pek propriedade simétrica da igualdade temos que
aVb^=Vã^b" de onde concluímos que: para escrever, um número, que
esteja fora do radical, no radicando, basta elevarmos esse número a uma 
potência igual ao índice do radical.
■ ..Exemplos: aVb=Vã^b 3V ã= V 9ã-
Importante:
- J á 2 + b2 n ã o é i g u a l a V ã 2" + Vb2"
•^/a2 - b 2 n à o é i g u a l a V ã ~ ^ - V ?
- J a + b n ã o é i g u a l a V ã + V b
•^/a - b n ã o é i g u a l a V ã ~ V b
REDUÇÃO DE RADICAIS A UM MESMO ÍNDICE 
Regra Prática:
a) Acha-se o M.M.C. dos índices dos radicais. Esse será o índice 
comum.
b) Divide-se o índice comum achado pelo índice de cada radicai, 
os quocientes obtidos multiplicam-se pelos expoentes dos res­
pectivos radicandos.
Exemplo: Reduzir ao mesmo índice os radicais:
Solução: O M.M.C. (3, 2, 4) = 12 que será o índice comum dos 
radicais.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICÍAÇÃO 1 4 5
Dividindo-se 12 por cada índice temos 12-^3 — 4; 12 ^ 2 — 6 e
1 2 - 4 = 3
Multiplicando-se esses quocientes pelos expoentes de cada radi­
cando, teremos: 1^ ã^> ■
OPERAÇÕES COM RADICAIS
a) Adição e Subtração: Só podemos somar e subtrair radicais 
semelhantes, isto é, aqueles que possuem o mesmo índice e o mesmo 
radicando.
erice;6^;ogc'Rdéj^ - ■■■
Exemplos:
i) 2^fã + 6^/1 ~3j~& =5^[ã
ii) 3^b - 2 Vã + 2 Vb — 4 Vã"=5 Vb — óVã
b) M ultiplicação e Divisão: Só podemos multiplicar ou dividir 
radicais de mesmo índice. Se os radicais forem de índices diferentes deve­
mos reduzi-los a um índice comum.
; ftirá ■ mãi s: 'radíça í5: cie;mêsmò "ifijdííev e- bVsb||§
.colocai: "è prqdul^^bpdo sob. tfiilfp 
... í;'V; / - ':íafficáhdè'iiTtèsTno.ix)dice;dq's radícais/tiosnitores?. '
Exemplos:
i)V 2xV 4xV 5= 74Õ
ii)V2xV3xV4=V24
1 4 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Exemplos:
i) ^ 8 1 + ^3=V27=3 
Ü)VÍ6 - ^ 4= 7 4 =2
Olhe: Qualquer radical pode ser transformado em uma potência 
de expoente fracionário e vice-versa. Veja com atençao.
Exemplos:
2 __
3^ = J , V ?= a
RACIONALIZAÇÃO DE RADICAIS
Fração Irracional: É toda fração em que pelo menos um de seus 
termos é constituído por um radical.
Exemplos:
2. 2 Ê 
f í Í5 3
Racionalizar uma fração em cujo numerador ou denominador figu­
ra um radical, é encontrar outra fração equivalente à fração dada em cujo 
numerador ou denominador não contenha mais o radical. O mais comum 
é racionalizar o denominador.
Estudaremos os casos mais simples da Racionalização:
Primeiro Caso: O denominador contém um só radical.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÃO 147
Relembre que: /^ã"~=a
7 í l £ i . . 1 r ■ ?
Generalizando, temois: ~j~ Multiplicamos ambos os ter­
mos da fração por ^/b.
~4^=> Multiplicamos ambos os temos da fraçào por porque 
y b
^bxV bT=^/b? =b.
3
01 - Racionalizar a fração —j= .
Solução: Multiplicando-se ambos os termos da fraçào por ,
3 V5 3V5 3V5obteremos: —— x—— ------
V5 V5 V25 5
0 2 -R a c io n a f e a r a f r a ç ã o ^ .
Solução:
Multiplicando-se ambos os termos da fração por # obtemos:
2 V ? 21&
6
03 - Racionalizar a fração '
Solução:
6 ^2 _6V2_6 V2 _3V2
5V2J V2 5VÍ 5.2 5
148 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR
04 - Racionalizar as frações abaixo relacionados:
15
a) 41 b) 7 5
7
C ) 2 f i d)
2
V í
5
e) M
5
9 òS
6
g ) 5 S h)
10
Respostas:
a) 3^5
2^3 
”> 3 c ) 2^ d) V2
e) -----
2 0 ^} 3
, 2& 
8) 5 h)
2#
5
Segundo Caso: O denominador é formado pela soma ou diferen­
ça de dois termos dos quais um, pelo menos, é um radical.
01he:i) Chama-se conjugado da soma (a + b) a diferença (a — b).
u) Chama-se conjugado da diferença (a - b) a soma (a + b). 
iü) Relembre que: (a + b)(a — b) = a: — b2.
05 - Seia racionalizar: - 7=----
V5 +• v2
Solução:
Multiplicando-se os dois termos da fração pelo conjugado -J$ —-J~2 , 
obteremos:
3
- Vs - (V?+V4/5 -&Y
í[S-'Í2]_ 3(V5-V2) g- ^
5 - 2 3
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÃO 1 4 9
06 - Racionalizar a fraçào ___ ^
Solução: ^
Multiplicando-se os doxs termos da fração pelo conjugado ■J7 + 73 , 
obteremos:
2 v 7 7 + 7 3 __ 2(77-t-V3)
r— I~“~ XV T - SiíTT—
V7 -V3 V7+V3 (V 7-V 3j(y7+ V 3j
_ 2(77+73) ^ 2(77+7?) _ 77+73
7 - 3 4 ” 2
2
07 - Racionalizar a fração
f_ _, i \
2___ 272 + 73 _ 2(272+ 73)
Solução: r** r~* /— y—
2 72 ~V3 2^2 + 7 3 5
08 - Racionalizar as frações abaixo:
1 5 4
a> Ts-VI b> c) 77+7?
3 4 5
d) 3 - V 2" e) 273- 7 2 $ 4V2+2V3
Respostas:
75+77 sfTs+Ts) r- r-
a) — b) ----- * c) 7 7 - 7 3
„ 3(3 + V2*) n 2(273+ 72) 272 - 73
d ) “ ^ — £) 5—
1 5 0 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
01) Reduzir os radicais ao mesmo índice:
a) b) c) -,,f2,iÍ2,'-'Í2
d ) ,^477,*4Ã e) 47,47,47 f> 47,47
Respostas:
ay V ^ .V F b) '47,'47 ,'47 c) W .^.^2
a) 47,477,‘M e) '47:47:47 í) ,V T \ 1V I 7 ’
02) Simplificar os radicais:'
a) V6 b) $ í c) V ií
d ) 4 7 7 e) ! ^ V f) V í b 7
Respostas:
a)V3 b)V3 c)3
d ) Çí\fb e ) 4 7 7 0 :ib"iab2
03) Introduzir sob o radicai os fatores de cada uma das expressões abaixo:
a) 3V2 b) 2^5 c) 2^2
d) 3V3 e) 2V2 í) a2bVc
Respostas:
a) V S b) $JÕ c) */l28
d ) V Ü e) \/32 0 V a V c
04) Colocar fora do radical os fatores dos radicandos:
a) V 75 b) VÍ8Õ c) Vgg" d) ^ 32 e) ^ a V 0 VaV"
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ RADICIAÇÃO 1 5 1
Respostas:
a) b S
d) W ã
t>) óVs
ç) a3b4Vã
05) Efetuar as operações abaixo:
a) 3V2+4V2-Í-2V2
c) 5 ^ 5 -2 ^ 5 4-3^5'
c) V32-V50 +V98 “ a/18
g) V24~V81+Vl92+V3
c) 7V2
f) ab2í ? b
b) 2V5+3V5+3V5
d) 6 ^ 2 +V2 —4 /^2 —^2^/2 'b^ J~2. 
f) VÍ35-V4Õ+V320-V5
h) V12+2V27 +5V75-2-\/4g
Respostas:
a) 9V2 
e) 3V2
b) 8-n/s 
í) 4^5
c) <5^ 5 
g) 4^3
d) 2V2
b) 25s/3
06) Efetue as multiplicações a seguir: 
a) V5xV3 b) V2xV8 c)
d) 2^3 x3->/4 x4-s/s e) s\ lã2b x3Vãb x4 í\/a3b4
f) 4 ^ V x 5 l^ V x 2 ^
Respostas:
a) VÍ5 
d) 24 VóÕ
b)VÍ6 :) 4\/24
-) í) 40i^ V r
1 5 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
07) Efetue as divisões abaixo:
a) V 8 -hV2 b) l/ is c) V36+V9
d) \ fii + a/ó" e) Vãb Va2b2 í) 18^/a2y + 6\jxzy
Respostas:
a) 2 b) Vã c) V?
2 12
Q
a y
08) Simplificando a expressão 2^ /3 - ^ /zf'+3J lS , obteremos:
H: 14^3
09) Simplificando a expressão > obteremos:
R : ^
10) Simplificando a expressão ^ 0,0625 — 8 3 > obtém-se: 
R; 0
11) Efetuando-se ^12 + ^12 + ^ 12 +~52 > obtém-se: 
R: 2
/ .--- ----
12) Simplificando-se a expressão 1^/25 x v 2 2 / > obtém-se:
R: 16^2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RADICIAÇÂO
13) O valor da expressão (x*)'-5' x, para x = , é:
R: 3
/
/^-n/225 —7 
■1
R: 1
14) Simplificando a expressão 4 3^^ ^ —7 > obtém-se:
15) Simplificando a expressão tJ 2-\j 2-J~2-j2 > obteremos:
15
R: 2 16
16) Simplificando a expressão 3^2 — 2-JíS + 3-^72> obteremos:
R: 5V2
■ . j V l7 -V 22517) Determine o valor de
V17 + V225
1
R: ~~
4
18) Se a e b são números reais estritamente positivos, simplificando
W b 4/-
expressão j -^=-xvd ? obteremos:
R: Va
19) Se x - ^2 e y = ^98 - ^ 32 - VÊ, então: 
R: y = x
154 HILDER -GÓES * UBALDO TONAR
20) Simplificando a -expressão /—1= , temos:
VW x
V4x V8xf yjsjÃ
21) Calcular o valor de K — —
R: 8
^axa-
22) Simplificar a expressão _ .
VVa
R: a í2
23) Simplificar a expressão + ^6a4 ■
R: 2a
24) Simplificando a expressão ^31 -f ^10 - -^83 - sfÃ- > obtém-se:
R: 2
25) Resolver e simplificar i j l + -Jé
R: 2
26) Calcule o valor da expressão -^ 9-y] 16^256 ■
R: 12
27) Calcule o valor da expressão y y i j y y s 2411 
R: 25
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RAJDICIAÇÂO
a/3+V27+5VÍ2
28) Calcule &J3
“ * 9-\/9-\/9^ «1/9^\/ Áj V 16 V >6
7
R : -
4
/ .....
29) Calcule
R: 64
2V2 4V2 V32
30) Calcule: j— x ~ x ^
R: 72
31) Calcule o valor da expressão: 2>/3x3V3 + 5^2x~~j= m
R: 28
32) Simplificando as somas abaixo:
a) V8Õ + V2Õ b) 3-\/5 + V45 - 2V2Õ c) 2VlSO ~ 4-\/54 + 6a/24 
Respostas: 
a) óV5 b) 2-v/5 c) 10V6
33) Determine o valor da expressão . ^2 ^ 9
R: a) 1/8 b) 1/6 c) - 1/8 d) - 1/6
156 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
16
QUESTÕES DE CONCURSOS
X—2x 6 —3x 1 — x
01) TRT - Resolva a inequação, sendo U = Q “ + ~ > r :5 ti z
a) | x e Q/x<“ “ | b) { * e Q / x > - j j }
C) j x e Q / x < - j j j d ) | x e Q / x > ^ - | e) NDR
02) TRT - Resolva a equação, sabendo que o conjunto universo é Q.
3x+l 2 —x _ 4x—1 2x—5
13 2 ~~ 5 3
a ) V = j ! | b)V={4} c )V = { - 2 } d )V = |-|| e) NDR
2 1 _ + _
03) AFRE - O valor de J — ~ é:
2 3
5 3 22 7 13
a) — b) — c) ---- d) — e) ----
4 } 2 } 35 9 15
04) BNB - Resolva a seguinte equação exprimindo o resultado na sua 
forma mais reduzida: 5 (x + 2a) - 7a = 2 (a + x)
05) BB - Valor de x na expressão x — (4,8 - 1,02) -r 0,4 é: 
a) 2,25 b) 4,15 c) 5,75 d) 9,45 e) 9,7
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 157
A + B 1 1
06) BEC - Resolver: --------- sendo A = —; B = ~
; 1 —AB 2 3
07) BEC - Efetue: 6 ■*- (— 3) + 2(~ 1) - 20 ^ (-4 ) é igual 
0,2 x 0,3
08) BEC - Resolva:
3 ,2 -2
0 , 0 1 5 ( -0 ,01- V 0 ,5
09) TRT - Simplificando-se a expressão: I Q + Q 0q2 J : q , obtém-sf-:
a) 0,025 b) 0,11 c) 0,25 d) 1,1 e) 2,5
10) TRE - Efetuando-se ^~ -0 ,025^ 0 ,04 obtém-se:
25 15 35 25 35
a) — b) — c) T d) — e) —
11) PRF - O valor de - Ü - M i é de:
0,12 0,2
a) 0,75 b) 1,245 c) 1,25 d) 12,45 e) 12,5
12) TRT - Sabendo que a, x e y são números inteiros positivos quaisquer, 
assinalar a expressão equivalente a 2 ( ax + y):
a) 2ax 4- 2y b) 2a . 2x + 2y c) 2ax + y d) ax + 2y e) 2a + 2x + 2y 
1 7 2 R
13) TRT - O valor de —----- é:
x 0,12
a) 144 b) 14,4 c) 1,44 d) 0,144 e) 0,0144
14) TRT - A expressão —í — + — 1 é idêntica a:
6 U o 15 ;
a 1 15a 2 3a 10 a 1 13
a) — f*— b ) -------1"— c ) ----- 1----- d) — !■” e) —
} 4 9 J 60 15 ; 10 90 J 2 3 } 36
158 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
15) TRE - Se a = - , b = - e c = - , então:
4 2 3
a) a : b ^ c b) a — b + c c) a = b : c d) a — b . c e) a ~ b = c
16) TRT - Na expressão abaixo, o traço horizontal sobre o número indica
o período da dízima periódica: 0,222.0,0404-*-2,166... + 0,4166... x 0,2666... 
Resolvendo essa expressão, obtêm-se:
a) 3 4/9 b) 29/9 c) 0,84 d) 3,2 e) 0,1666...
17) DNER - A dízima periódica 0,1454545... é igual a:
a) 11 *>) 55 c)
29
ISO d)
29
198
145 
e) -----> 999
+ (- 4)2 -{1/3) 1
18) BNB - Calcule o valor da expressão: } .
(l/2)
19) BB - ( - 1)2 l)? - 14 - ( - 1)7 + ( - l f - (+ l)ü - 15 - ( - í f é igual a:
a) 2 b) 0 c) 6 d) —4 e) —1
20) CEF - Se x - ( - 2)3 - ( - 1)2 + ( - 3)2 - ( - 2 f , então:
a) x < - 8 b) — 8 < x < - 5 c) -5 < x < -1 d) -1 < x < 7 e) x > 7
21) CEF - O valor da expressão x3 - 3x2y + 3xy2 ~ y3 , para x = 1/2 e 
y =• — 112 é:
a) - 1 b) - 1/5 c) 0 d) 1/8 e) 1
22) TRT - Resolver a seguinte expressão: ! _ I +i
3 6 ) 2
a) 3 b) 4
11 à ) 16
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 159
0,0525.10
23) TRT - Calcular ------ ------- :
J 10 '
a) 52,5 b) 5,25 c) 525 d) 5.250 e) 52.500
24) TRT - Reduzir a uma única potência:
a) 102 b) 10J c) 104 d) 105
10 '
10
e) IO6
D
25) TRT - Efetuar os cálculos: '(2-1,5)*' — 2,5 + ~x 1,56;
a) 5,35 b) 2,6 c) 1,81 d) 0,6 e) 0,35
26) BM - Efetuando-se + [(~2)2]\ obtém-se:
a) - 8 b) - 4 c) - 1 d) 1 e) 8
27) TRE - Efetue as operações indicadas na expressão:
( 2~3 + 5° 2 x 2~2 V 1 20
3 - 4
a) 7/8 b) 8/7 c) 5/7 d) 7/5 e) NDR
i
a
01) A 02) B 03) C 04>t
05) D 06) 1
07) 1 08) 1/20 09) D 10) C 11) D 12) A
13) B 14) A 15) C 16) A 17) B 18)7/2
19) B 20) C 21) E 22) A 23) D 24) C
25) E 26) A 27) B
1 6 0 HILDER GÓES * UBAIJDO TONAR
SEGUNDA PARTE
N ú m e ro s I n t e i r o s -1 7 
Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 18 
N ú m e r o s F r a c i o n á r i o s - 19 
QUESTÔES di: C oncaiusos ~ 20 
R e g r a d e T r ê s - 21 
Q u e s t õ e s o u C o n c u r s o s ~ 22 
R a z ã o ~ 23 
Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 24 
P r o p o r ç ã o - 25 
Q u e s t õ e s d i: C o n c u r s o s - 26 
D i v is ã o P r o p o r c i o n a l - 27 
M é d ia - 28 
N ú me ro s P r o p o r c i o n a i s — 29 
Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 30 
R k g r a d e S o c i e d a d e - 31 
Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s — 32 
P o r c e n t a g e m - 33 
Q u e s t õ e s d e C o n c u r s o s - 3 4 
J u r o s S im p le s — 35
36 - P r azo , T axa k C a p ita l M édios
37 - Q uestões de C oncursos
38 - D esconto S im p i.es
39 - Q uestões de C oncursos
40 - S istema M étrico D ecimal
41 - Q uestões de C oncursos
42 — Esc a ia
43 - Q uestões de C oncursos 
44 - F unção do P rimeiro G rau
45 — Q uestões de C oncursos
46 - F unção Q uadrãtica
47 - Q uestões de Concursos
48 - D i v is ib il idad e
49 — N ú m e ro s P rimos , M últiplos f.
D ivisores
50 - M á x ím o D ív isor Co m um
51 - M ín im o M últiplo C om um
52 - Q uestões de C oncursos
53 — P roblemas do S egundo G.rau
17
NÚMEROS INTEIROS
Comumente, os livros de matemática destinados à preparação 
para concursos, tratam da resolução de problemas referentes a núme­
ros inteiros baseados nas regras de aritmética. Como essas são o resul­
tado da solução dos problemas generalizados da álgebra, preferimos 
marchar para a solução dos problemas de números inteiros através da 
própria Álgebra, diretamente, por nos parecer de mais fácil entendi­
mento por parte do aluno. Não pretendemos, com isso, ser diferente 
ou mesmo inovar, mas simplesmente seguir o desenvolvimento orde­
nado do nosso trabalho.
Outra razão da conveniência do modelo aqui proposto, é ligado à 
generalização dos fatos que, na aritmética, requer um raciocínio diferente 
para cada problema, enquanto que, na Álgebra, basta a formulação de 
uma equação ou de um sistema de equações e sua simples resolução. As­
sim, os problemas aqui propostos deverão ser vistos como questões algé­
bricas, em que se apresentam uma ou mais quantidades conhecidas - que 
são os DADOS DO PROBLEMA - e se busca a identificação de uma ou 
mais quantidade desconhecidas, que são as INCÓGNITAS.
A solução algébrica de um problema qualquer consta de três partes:
Ia) a formulação da equação ou do sistema de equações;
2a) a resolução propriamente dita da equação ou do sistema de 
equações;
3a) a discussão da solução.
A primeira parte consiste em se expressar, em linguagem algébrica, 
através de símbolos matemáticos, a relação que existe entre as quantidades 
conhecidas e as incógnitas, de modo que, a equação formulada, satisfaça 
as condições do problema. Na segunda parte, procede-se à solução da 
equação ou sistema anteriormente formulado. A formulação da equação 
ou sistema de equações é a etapa mais importante para a solução dos pro­
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1 6 3
blemas. O estudante deverá saber traduzir e interpretar sob a forma de 
equaçào o enunciado do problema, o que nem sempre é facilmente conse­
guido, exigindo, às vezes, um esforço de raciocínio lógico capaz de dispor 
os elementos do problema.
A terceira parte consíste em verificar se os resultados encontra­
dos na solução da equação ou do sistema são, de fato, as soluções do 
problema.
Somente o exercício constante levará o aluno'a desenvolver esta 
habilidade, com a vantagem adiciònal de estimular cada vez mais o seu 
raciocínio.
01 - Adicionando-se a um número, a sua metade e em seguida a sua quinta 
parte, resulta 34. Calcular esse número.
Solução:
Seja x o número procurado. Pelo enunciado do problema podemos 
x x
escrever: x + — + — — 34 . Resolvendo a equação, temos: x = 20.
02 - Qual o número cuja metade mais a terça parte é igual a 25.
Solução:
X X
Se a x este número, de acordo com o enunciado, temos: — i— — 25 . 
J 5 ’ 2 3
Que resolvida, nos dá: x = 30.
03 - Qual o número que, somado com o triplo de si mesmo, resulta 52.
Solução:
Seja x o número procurado, então podemos escrever; x + 3x ~ 52. 
Logo, x = 13.
0 4 - 0 dobro de um número; mais cinco unidades é 27. Qual é esse número.
R: 11. a < i
x ; / y - }}■
0 5 - 0 triplo de um número aumentado de sua terça parte é igual a 60. 
Calcule esse número.
R: 18.
164 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - Determinar o número cujo dobro aumentado da metade do mesmo 
número é igual ao triplo do número diminuído de .4-
R: 8.
07 - Qual é o número que somado com a sua terça parte resulta 12.
R: 9. '
08 - O dobro de um número diminuído de 8 é igual à sua quarta parte 
aumentada de 13. Calcule esse número.
R: 12.
09 - Qual é o número cujo dobro somado com 5 é igu.al ao seu triplo 
menos 19.
Solução:
■ Seja x o número. Então, temos: 2x 4- 5 = 3x — 19, que resolvida 
nos dá: x = 24.
10 - Acrescentando-se a um número a sua metade, e em seguida, a sua 
terça parte e depois a sua duodécima parte, obtém-se por soma 46. Calcu­
le esse número.
Solução:
Seja x o número procurado, 
nos dá: x = 24.
11 - Qual é o número que, se for multiplicado por sete, e ao produto se
adicionar três e depois dividir tudo por dois e desse quociente subtrair 
quatro, resultará 15. >• -r "i - Z 1 S
R: 5 '
12 - A metade do triplo de um número, menos o dobro de sua terça parte, 
é uma unidade menos que o número dado.'Calcule esse número.
R: 6
13 - Dividiu-se um número por quatro e o resultado por 6. Somando-se os 
dois quocientes obtém-se 35. Calcular o primeiro dividendo.
R: 120 ^ - s ^ ^ : 2 ^ 4 2 - 5 ^ X - X
H 1 fr '_________________ ~
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1Ó5
14 - Dividiu-se um número por 5, o resultado por 9 e o novo resultado 
por 7. A soma dos dois últimos quocientes é 24. Calcular o número.
R: 945 \ ^ - -v "
/15yi O dobro da minha idade, aumentada de 1/2, dos 2/5, dos 3/10 dela 
e de 40 anos, resulta 200 anos. Achar a minha idade.
R: 50 anos
* 16 - Depois de duplicar um número e diminuí-lo de duas unidades, duplica-se 
de novo o resultado, para, em seguida,.subtrair duas unidades. Duplicando-se 
o novo resultado, encontramos 68 para resultado final. Calcule esse número. 
R: 10 : ?..K ~ z • ...I ~ - S j
17 - Uma pessoa possui um certo número de laranjas. Cada vez que se 
dobrar esse número ela dará 80 laranjas aos amigos. Dobraram-no três 
vezes, e, depois da terceira vez a pessoa ficou sem nenhuma laranja. Calcu­
le quantas laranjas essa pessoa tinha no princípio. \ _ go i ,2 - "
R: 70
18/ Uma pessoa para dar esmola, disse: Se me duplicarem o que possuo, 
'darei $ 60,00 e cada vez que duplicarem acrescentarei $ 10,00 à esmola 
precedente. Mias para dar a quarta esmola faltam $ 50,00. Calcule quanto 
essa pessoa possuía no início.
R: $ 60,00
19 - Dentre três números, calcule o segundo, sabendo que a soma do pri­
meiro com o segundo é 70; a soma do primeiro com o terceiro é 90 e a 
soma do segundo com o terceiro é 120.
Solução:
Sejam a, b e c o primeiro, segundo e terceiro números. Então, temos: 
a + b = 70; a + c — 90; b + c = 120.
Somando-se membro a membro as três equações, resulta:
2a + 2b -7- 2c = 280.
Dividindo-se a equação resultante por 2, temos: a + b + c = 140. 
Como a + c = 90, temos que 90 + b = 140.
Logo, b — 50.
1 6 6 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
20 - Dentre três números, calcule o primeiro, sabendo que a soma do
primeiro com o segundo seja 200; a do primeiro com o terceiro seja 208 
e a do segundo com o terceiro seja 216. ■? - ' l 2 0
R: 96
- ç ' '' ’
21 - As idades de Roberto e Deisy somam 9 anos: a de Deisy e José 13
anos; a de José e Roberto 12 anos. Calcule a idade de Deisy. % ^ p ='*'
R: 5 o - • ' •
>
22 - Dentre três. números, calcule o terceiro, sabendo que a soma do pri­
meiro com o segundo é 50; a soma do primeiro com o terceiro é 60 e a 
soma do segundo com o terceiro é 70. f * ? ' V- ^
R: 40 ír ^
z"1 -,^23 -^ Numa compra, três homens gastaram certa quantia. O primeiro e o 
segundo gastaram $ 200,00 mais do que o terceiro; o primeiro e o terceiro 
juntos gastaram$ 600,00 mais do que o segundo; enfim, o segundo e o 
terceiro juntos gastaram $ 100,00 mais do que o primeiro. Calcule quan­
to gastou o primeiro.
R: $ 400,00
24 - Três pessoas possuem certa quantia. A primeira e a terceira juntas têm 
$ 4.000,00 mais qúe a segunda. A segunda e a terceira juntas têm $ 6.000,00 
mais que a primeira. A primeira e a segunda juntas têm $ 2.000,00 mais 
que a terceira. Calcule quanto possui a segunda pessoa.
R: % 4.000,-00
* 25 - O peso total de três caixas cheias de certa mercadoria é 60 kg. As 
caixas vazias pesam: a primeira com a segunda 7 kg; a primeira com a 
terceira 10 kg; a segunda com a terceira 11 kg. Calcule o peso da mercado­
ria das três caixas. ? j- j .. r í ; - '
R: 46 kg : -
26 - Dentre quatro números, a soma dos três primeiros é 8.500; a soma dos 
três últimos é 12.500; a soma dos dois primeiros e do último é 10.500,00 e a 
soma do primeiro com os dois últimos é 12.000. Calcule o primeiro número. 
R: 2.000
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 167
27 - Calcular a idade da terceira pessoa, num grupo de quatro pessoas,
sabendo-se que a soma das idades das três primeiras é 73 anos; das três 
últimas é 60 anos; que, das duas primeiras e da última, vale 68 anos; e da 
primeira com as duas últimas vale 63 anos. p + - -
R: 20 anos : ^ - - - :
28 - A soma de dois números inteiros e consecutivos é 45. Calcule o pri­
meiro número.
Solução:
Os números inteiros consecutivos são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Veja que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 1. En­
tão, chamando-se de x o primeiro número, o segundo será x + 1. Temos: 
x + x + l =4 5 =>2 x = 44=>x — 22
29 - Determinar o maior, dentre três números inteiros e consecutivos, cuja
soma é 102. • ■
R: 35 ' - • 3
30 - A soma de dois números intekos e consecutivos é igual a 17 vezes a
sua diferença. Qual o maior dos números. r . ^
R: 9*'
31 - Calcule o menor dentre dois números pares e consecutivos, cuja soma 
é 106.
Solução:
Os números pares e consecutivos são: 0, 2, 4, 6, 8, 10,...
Observe que a diferença entre eles é constante e sempre igual a 2. 
Chamando-se o primeiro número de x, o outro será x + 2. Então, 
temos: x + x + 2 = 106 => 2x = 104 :=> x = 52.
/
32 - Calcule o menor dentre três números pares e consecutivos cuja soma 
é 366.
R: 120
33 - Calcule dois números pares è consecutivos cuja.soma seja igual a 11
vezes a sua diferença. > + ,, v . . ,
R: 10 e 12
1 6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
34 - Calcular dois números pares e consecutivos cuja soma é 65 vezes a
sua diferença. x .. v C .
R: 64 e 66
35 - Calcule o menor dentre três números ímpares e consecutivos cuja 
soma é 33.
Solução:
Os números ímpares são: 1, 3, 5,7, 9 ,11,... A diferença entre eles é 
constante e sempre igual a 2. Logo, se o primeiro designarmos por x, o s 
outros serão x + 2 e x + 4. Então, teremos: 
x + x + 2 + x + 4 = 33 
3x + 6 = 33 
3x = 27
36 - Dentre quatro números ímpares e consecutivos, calcular o terceiro, 
sabendo que a soma do primeiro com o quarto é 76.
R: 39 ^ x ^ . s • - = ; ; ’ -■■■. , .
37 - Dois números pares e consecutivos mais o ímpar subsequente so­
mam 95. Calcule o número ímpar.
R: 33 > ^ x-v v 4 > -
3 8 -A soma de três múltiplos consecutivos de 5 é 195. Calcule o segundo 
múltipla x - -.>• ••• " - - . ; •' ■;
R: 65 ' - ■"
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1 6 9
39 - Achar três múltiplos consecutivos de 7, cuja soma seja igual a 273.
R: 84,91 e 98 * ; ; J ;
40 - A soma de três múltiplos de 4 com quatro múltiplos de 3 é igual a 144. 
Calcule o primeiro múltiplo desses números.
R: 12
41 - Uma pessoa possui galinhas e coelhos, ao todo 20 cabeças e 58 pés. 
Calcular o número de animais de cada espécie
Solução:
Faça: x ~ número de galinhas 
y = número de coelhos 
Então: x + y = 20 (cabeças). Como as galinhas possuem dois pés e 
os coelhos quatro pés, vem: 2x + 4y = 58 (pés)
x + y = 20 
2x + 4y = 58 
Que resolvido, nos dá: 11 galinhas e 9 coelhos*
42 - Num jardim há cisnes e coelhos contando-se.ao todo 58 cabeças e
178 pernas. Calcule o número de cisnes. { % -• \ '
R: 27 ' ■' ' " '
43 - Tenho marrecos e cabritos, num total de 39 cabeças e 104 pés. Calcule
o número de aves e caprinos. c - \ ■'
R: 26 e 13 .. . -/•* - ~
44 - Num depósito há 85 viaturas, sendo umas de oito rodas e outras de 
três. Calcule o número de veículos de oito rodas, sabendo que o total de 
rodas é 320. ■' ^ VVi _r % c
R: 13 . < . ^ „= i ' >•
45 - Em um depósito há viaturas de 4 e de 6 rodas num total de 39 viaturas 
e 190 rodas. Calcule quantas viaturas há de cada espécie.
R: 22 e 17 q, o
170 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Juntando-se as duas equações resulta o sistema:'
46 - Num caderno estào desenhados triângulos e quadrados, num total 
de 35 figuras e 125 lados. Calcule o número de quadrados.
R: 20 r T-r $ r
/ m S ^ \ ■>
47 - Num livro encontramos triângulos e pentágonos, num total de 40 
polígonos e 156 lados. Calcule o número de pentágonos.
R: 18 - i - i r s .
48 - Uma. pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48 cabeças e 
130 pés. Calcule quantos coelhos existem. J> a .vC ~
R: 17 ? ^ Mc
49 - Num quintal existem galinhas e porcos, ao todo, 135 cabeças e 352 
pés. Calcule quantos animais existem de cada espécie.
R: 94 galinhas e 41 porcos " .; f = t V'-
50 - Num caderno estao desenhados triângulos, quadrados e pentágonos.
Ao todo, 18 figuras e 74 lados. Calcule o número de quadrados, sabendo
que o número deles é o dobro do número de triângulos.
R: 8
r( 51 -! Um aluno ganha 5 pontos por cada exercício que acerta e perde 3 
'^pontos por exercício que erra. Ao fim de 20 exercícios, lem 36 pontos. 
Quantos exercícios acertou.
Solução:
Seja: x o número de exercícios que acerta 
y o número de exercícios que erra.
í x + y =20
Entao temos o seguinte sis tema: _ 3 y—3ó
Que resolvido, nos dá: x = 12.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1 7 1
52 - Um aluno ganha 5 pontos por exerddó que acerta e perde 3 pontos
por exercício que erra. No fim de 30 exercícios tinha 110 pontos. Calcule 
quantos exercícios errou. •- , . , 5
R: 5 1 í V ~;.:3
53 - Um atirador ganha 4 pontos por tiro acertado no alvo e paga a
metade, por multa, cada vez que erra. Após 32 tiros, tinha 86 pontos. 
Calcule quanto tiros acertou. í- - „ ■?..
R: 25 * ^ ~
54 - Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa 
e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule 
quantas certas houve se o aluno não recebeu nenhum ponto.
R: 9 i , • •
- ‘
55 - Um professor promete a um aluno 10 pontos por resposta certa, 
e tira-lhe 6 pontos por resposta errada. Sobre 24 respostas, calcule 
quantas certas houve se o aluno ficou devendo 32 pontos.
R: 7 f io c '{?(: - ~M
' c .. •; -
56 - Um aluno ganha 6 pontos por cada exercício que acerta e perde
4 por exercício que erra. Ao fim de 30 exercícios tinha 60 pontos. 
Calcule quantos exercícios ele acertou.
R: 18
57 - Achar uma fração tal que, somando-se 4 a cada um de seus termos, ela 
torna-se igual a 2/3, e subtraindo-se 1 de cada um de seus termos, torna- 
se igual a 1 /2.
x x+ 4 2 x - 1 1
Solução: Seja ” a fiação. Então, temos: e
. Preparando, resulta o sistema:
172 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
J3x - 2y=—4 
[2x - y = l
Que resolvido, nos dá: x — 6 e y = 11.'
6
Então, a fração procurada é ~ •
58 - Se subtrairmos 3 de ambos os termos de uma fração, ela ficará igual 
a 1/4; mas se juntarmos 5 a ambos os termos, ela ficará igual a 1/2. 
Calcule a fração.
R: 7/19. - H ^ ^ c- 'L
59 - Se juntarmos 8 ao numerador de uma fração, ela ficará igual a 2;
mas se subtrairmos 5 do denominador, a fração ficará igual a 3. Calcule 
■a fração. ><.+•? r- £
R: 6/7. " i ?
6 0 - 0 denominadorde uma fração excede ao numerador de 5 unida­
des. Se ao denominador se adiciona 7, o valor da fração fica sendo igual 
a 1/2. Determinar a fração.
R: 12/17
61- A soma dos termos de uma fração é 34. Substituindo-se o numera­
dor pelo seu sucessivo a fração resultante eqüivale a 4. Escrever essa 
fração.
R: 27/7.
62 ~ Se dividirmos as idades de A e B aumentadas de um ano, encontra­
remos uma fração igual a 1/2 e, se dividirmos diminuídas de um ano, 
encontraremos uma fração igual a 1/3. Calcule a idade de A e B.
R: 3 e 7 anos.
63 - Achar os números que devem ser adicionados aos termos da fração 
5/13 para que se obtenha uma fração que seja o dobro dela e na qual a 
soma dos termos seja 46.
R: 15 e 13.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 173
64 - Calcule uma fração sabendo que somando-se uma unidade ao seu 
numerador ela fica equivalente a 18/30, e somando-se uma unidade ao 
denominador da fração anterior ela fica equivalente a 5/10.
R: 2/5. .
65 - Achar um número de dois algarismos, sabendo que a soma desses 
algarismos é 6 e que subtraindo 36 unidades do número, ele fica escrito na 
ordem inversa.
Solução:
Observe que qualquer número de dois algarismos-pode-ser escrito 
como uma soma de um certo número de dezenas com um certo número 
de unidades.
Veja por exemplo:
25 = 2 x 10 + 5
38 = 3 x 10 + 8
76 = 7 x 10 + 6 
Voltemos ao problema.
Como o número é formado de dois algarismos podemos 
simbolizá-lo como xy. Pelos dados fornecidos temos: 
x + y = 6 e xy — 36 “ yx.
Vamos, agora, trabalhar somente com a segunda equação, isto é, 
com xy - 36 = yx.
Aplicando nessa equação, o que foi visto nos exemplos numéricos 
acima, temos:
xy - 36 = yx lOx + y — 36 = lOy + x que é igual a:
lOx + y — lOy — x = 36
Reduzindo os termos semelhantes, resulta: 9x — 9y — 36 
Dividindo toda a equação por 9, temos: x - y = 4 
Que, com a primeira equação, resulta o sistema:
íx + y=6
1 / Resolvendo-o, temos: x = 5 e y = 1| x - y = 4 7
Então, o número será 51.
Veja: Quando invertemos os dois algarismos de um número a 
diferença entre os dois números resultantes formados pelos dois algaris­
mos, é sempre múltiplo de 9.
21 - 12 = 9; 72 - 27 = 45; 82 - 28 = 54
174 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
66 - á soma do algarismo das dezenas e do algarismo das unidades de
um número é 15; se ao número se subtraí 9, os algarismos se invertem. 
Determinar o número. r / S '
R : 8 7 1 , o * - " ^ - ' " •
67 - Um número é formado de dois algarismos cuja soma é 10. So-
mando-se 54 ao número, ele fica escrito em ordem inversa. Calcule esse 
número. Q í - n ~ i*-'; ' '
R : 2 8 "
68 - A soma dos dois algarismos de um número é 7. Diminuindo-se 27 
unidades deste número, resulta o número primitivo invertido. Calcular 
esse número. ;' a. t s - 7
R : 5 2 / j £ * * ' x
69 - Um número é tal que a soma de seus dois algarismos é 7. Calcule este 
número sabendo que, invertendo os seus algarismos, o número resultante 
vale duas vezes o primeiro, mais duas unidades.
R : 2 5 * + ' N ? " \ ' i •
70 - A soma dos dois algarismos de um número é 15. Invertendo-se a 
ordem destes algarismos, forma-se. um segundo número que vale 23/32 
do primeiro. Calcule esse número.
R : 9 6 .
71 - Um número é composto de dois algarismos cuja diferença é 3. Es- 
crevendo-se o número em ordem inversa, obtém-se os 4/7 do número 
dado. Calcule esse número.
R : 6 3
72 h Achar um número de dois algarismos, no qual 5 vezes o algarismo
das dezenas, menos duas vezes o algarismo das unidades é igual a 7; e, 
invertendo-se a ordem dos algarismos, obtém-se um número que excede 
ao primeiro de 36. í x ^ - "V-
R: 59 : . . v , >
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS ESTEIROS 1 7 5
7 3 - 0 total de pontos obtidos por uma duna é um número de dois 
algarismos. Invertendo-se a ordem dos algarismos, encontra-se um novo 
número que somado ao primeiro número resulta 187. O primeiro núme­
ro dividido pelo segundo dá quociente 1 e resto 9. Calcule o número de 
pontos alcançados pela aluna/ [ox * vi f 'to'j tx -= i ■^~l 
R: 98 1
l [ ü l 1
74 - Um número de dois algarismos é tal que, dividido pela diferença 
entre seus algarismos, dá o quociente 12; invertendo-se os algarismos, 
somando 9 ao número assim formado e dividindo o resultado pela soma 
dos algarismos, obtém-se 8 por quociente. Calcule esse número, saben­
do-se que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das dezenas.
R: 36
75 - Um número tem 3 algarismos cuja soma dos valores absolutos é 12. 
O algarismo das unidades é 5. Se este algarismo das unidades se coloca na 
posição do algarismo das centenas, conservando-se a ordem dos outros 
dois, o número diminui de 54 unidades. Calcule esse número.
R: 615
Olhe: Escrever um número em sua forma polinomial, é escrever 
esse número como uma soma. Generalizando-se, temos:
Número de dois algarismos: xy = lOx + y
Número de três algarismos: xyz — lOOx + lOy + 2
Número de quatro algarismos: xyzt = lOOOx + lOOy + lOz + t
76 - Um número tem três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 21. O 
algarismo das dezenas é 9. Substituindo-se os outros algarismos pelos seus su­
cessivos e invertendo-se a ordem dos mesmos, conservada a posição dos alga­
rismos das dezenas, o número aumenta de 497 unidades. Calcule esse número.
R: 498
77 - Um certo número é composto de três algarismos, cuja soma é 18. O
algarismo das unidades é o dobro do das centenas e quando se juntam ao 
número 297 unidades, obtém-se o mesmo número invertido. Calcule esse 
número. *
R: 396
176 HILDER GÓES * UBALDO TONAR 1
78 - Um número é formado de quatro algarismos cuja soma é 13. A 
soma dos dois últimos algarismos é igual ao segundo e a soma dos alga­
rismos extremos é igual à metade desse segundo algarismo. Subtraindo-se 
o número dado, do mesmo número escrito em ordem inversa, a diferen­
ça será 819. Calcule esse número.
R: 1.642
79 - A data da invenção da imprensa por Gutemberg é expressa por um 
-número de quatro algarismos. Achar este número sabendo-se que a soma 
dos valores absolutos dos algarismos é 14 e o valor absoluto do algarismo 
das dezenas é a metade dos das unidades; o valor absoluto dos algarismos 
das centenas é igual a soma dos valores absolutos dos algarismos das 
dezenas e o das milhares.- Somando-se 4.905 a este número, obtém-se o 
número escrito em ordem inversa. Encontre esse número.
R: 1.436
80 - Em 1938, uma moça tinha tantos anos quantos expressavam os dois 
últimos algarismos do ano em que nascera. Ao contar isso a sua avó, ambas 
espantaram-se ao perceberem que o mesmo ocorria com a velha senhora. 
Calcule quantos anos tinha cada uma.
R: Moça: 19 anos 
Avó: 69 anos
81 - Um número de seis algarismos começa, à esquerda, por 1. Levando-se 
este algarismo para o último lugar, à direita, o novo número é o triplo do 
número inicial Calcular o número inicial.
R: 142.857
82 - Um carro com movimento uniforme passa, num dado momento, 
num marco quilométrico de uma estrada, que tem escrito um número 
formado de dois algarismos. Uma hora depois, passa num outro marco 
com os algarismos escritos em ordem inversa. Uma hora mais tarde, 
passa num terceiro marco que tem os mesmos algarismos do primeiro 
marco, porém, com um zero intercalado. Determinar os algarismos dos 
três marcos.
R: 16, 61 e 106
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 177
83 - Um pai deu 5 laranjas a cada filho e ficou com 30 laranjas. Se tivesse 
dado 7 laranjas a cada um, teria ficado cpm apenas 4 laranjas. Calcule o 
número de filhos.
Solução:
Seja x o número de filhos.
5x + 30 = 7x + 4. Que resolvida nos dá: x = 13.
84 - Dei 15 laranjas a cada menino e fiquei com 30 laranjas. Se tivesse dado
20 a cada um, teria ficado com apenas 20. Calcule o número de meninos.
85 - Se eu colocar 8 laranjas emcada caixa que possuo, sobram 4 laranjas. 
Se eu colocar 10, uma das caixas ficará faltando 2 laranjas. Calcule quantas 
sào as caixas e as laranjas.
Solução:
Seja x o número de caixas. Temos: 8x + 4 = lOx — 2. Que resolvida 
nos dá x = 3, isto é, o número de caixas. O número de laranjas será: 
8 x 3 + 4 = 28. Que deve ser igual ao segundo membro da equa­
ção, isto é: 10 x 3 - 2 = 28.
86 - Se eu colocar 9 laranjas em cada caixa que possuo, sobrarão 14 
laranjas; mas, se eu colocar uma dezena em cada caixa, em uma dessas 
caixas ficarão faltando 4 laranjas. Calcule quantas são as caixas e as laranjas.
R: 18 e 176 / q c v r - :
\ .V "
87 - Se uma pessoa colocar 8 abacates em cada cesto, sobrarão 4 abacates;
se, porém, colocar 10, faltarão 4 abacates em um dos cestos. Calcular o 
número de cestos e de abacates. •• #
, R : 4 e 36 i o 0 " "
88 - Se uma pessoa guardar 12 pêssegos em cada caixa que possui, sobram
10 pêssegos; mas se guardar 15, ficam faltando 8 pêssegos em uma das 
caixas. Calcular o número de caixas e de pêssegos.
Solução:
Seja x o número de caixas. Então, temos: 12x + 10 — 15x — 8 
Que resolvida nos dá x = 6, isto é, o número de caixas.
O número de pêssegos será: 12 x 6 + 10 = 82.
178 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
89 - Se uma professora desse 2 lápis a cada um dos seus alunos, sobrar- 
Ihe-iam 14 lápis. Tendo, porém, faltado 5 alunos, verificou que se desse 4 
lápis a cada um dos que compareceram, não sobrariam nenhum lápis. Cal­
cular o número de lápis e o número de alunos, f 2 A x 1 ‘v‘ ' ~
90 - Num vagão de um trem viaja determinado número de pessoas, 42 das 
quais em pé. Por determinação do chefe do trem, em cada banco passa­
ram a sentar-^e 3 passageiros, ao invés de 2. Mesmo assim, duas pessoas 
ficaram em pé. Gi’rular o número de passageiros no vagão.
R: 122 J
l
91 - Num microônibus, cada banco está ocupado por dois passageiros, 
havendo ainda dois passageiros em pé. Para que nào existissem nenhum 
em pé} um dele teve a idéia de mandar que seus companheiros de viagem 
se sentassem três em cada banco, ficando assim dois bancos desocupados. 
Calcular o número de passageiros.
Solução:
Seja x o número de bancos. Então, temos: 2x + 2 = 3x ~ 6 
Por que menos ó? Olhe! Quando passaram a sentar-se 3 em cada 
banco, sobraram 2 bancos desocupados e, nesses dois bancos, se 
sentariam 2 x 3 = 6 passageiros.
Resolvendo-se a equação, encontramos: x = 8, isto é, o número de 
bancos.
Então, o número de passageiros será: 2 x 8 + 2=18. Como tam­
bém poderia ser calculado usando-se o segundo membro da equação, as­
sim: 3 x 8 - 6 — 18.
92 - Em um ônibus viajam 35 passageiros em pé quando dois passageiros
sentavam em cada banco. Se três passageiros sentassem em cada banco, 
sobrariam 5 bancos vazios. Determine o número de bancos e quantos 
passageiros viajavam no ônibus. ^ •.
R: 50 bancos e 135 passageiros „ r~ ;
93 - Certa quantidade de pacotes, precisa ser transportada em caixas. Se 
colocarmos dois pacotes em cada caixa, sobram treze pacotes; mas, se
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 179
colocarmos três pacotes em cada caixa, sobram crês caixas desocupadas. 
Calcule quantos pacotes devem ser transportados.
R: 57
94 - Numa árvore pousam pássaros. Estando 4 pássaros em cada galho,
sobram 2 galhos sem pássaros. Se pousassem 2 pássaros em cada galho, 
dois pássaros ficariam voando. Calcule o número de galhos e o número de 
pássaros. „
R: 5 galhos e 12 pássaros ^
95 - Comprei certo número de pássaros e gaiolas. Se eu pusesse um pássa­
ro em cada gaiola, 18 pássaros ficariam sem gaiola; porém, se eu pusesse 
três pássaros em cada gaiola, haveria lugar para mais 6 pássaro?. Quantos 
pássaros e quantas gaiolas comprei? ^ i , Ç! &
R: 30 pássaros e 12 gaiolas _ / ■=.- f
96 - Um professor de uma ciasse mandou que seus alunos se sentassem S
em cada banco do jardim da escola e ficaram ainda 4 alunos em pé. Mas, 
verificou que se se sentassem 9 alunos em cada banco, ficavam no último 
banco apenas 7 alunos sentados. Calcule quantos alunos há na classe e 
quantos são os bancos do jardim. , 3 > u ~ y
R: 52 alunos e 6 bancos . - <) t 7 1' r
97 - Distribuiu-se certa quantidade de bombons pata um grupo de crian­
ças, recebendo cada uma 5 bombons. Entretanto, se resolvêssemos dar 7 
bombons para cada criança, ficariam 4 crianças com um bombom cada 
uma. Calcule quantas crianças eram e quantos bombons foram distribuídos.
R: 12 crianças e 60 bombons ' S - ~
98 - Certo número de bolas foi repartido entre várias crianças, cabendo a 
cada uma 5 bolas. Se tivéssemos dado apenas 2 bolas a cada uma, poderí­
amos ter presenteado a mais 31 crianças e ainda sobraria uma bola. Calcu­
le o número de crianças e o número de bolas distribuídas.
R: 21 crianças e 105 bolas - o ^
! I ; ^
99 - Uma doceira vendeu todos os doces que levava a dois clientes: 
ao primeiro, vendeu a metade mais um doce; ao segundo, vendeu a
180 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
metade do resto mais dois doces. Calcule quantos doces ela levava 
inicialmente. y • •• ' - / .• -- - : - "
R: 10 ' ? .
100 - Uma pessoa levava limões para vender. Ao primeiro freguês vendeu a 
metade do que possuía e deu cinco limões. Ao segundo, vendeu a metade do 
resto e deu três. Ao terceiro, vendeu a metade do novo resto e deu um, ficando 
assim, sem nenhum limão. Calcule quantos limões essa pessoa levava inicialmente
R: 30 a-**
101 - Uma pessoa levava objetos ao mercado para vendê-los ao preço 
de $ 100,00. No caminho, porém, quebraram-se 10 objetos. Para não ter 
prejuízo, teve que vender o restante ao preço de % 150,00 cada um. Calcu­
le quantos objetos essa pessoa levava a princípio.
R: 30 . / •-
102 - Uma pessoa levava objetos para vender por $ 100,00 cada um. Tendo 
quebrado, na viagem 15 objetos, vendeu o restante por $ 120,00 cada um, 
obtendo assim, uma vantagem de $ 4.200,00 em relação à -venda de todos 
que levava para vender. Calcule quantos objetos levava essa pessoa.
R: 300 fy ' , '
103 - Uma pessoa levava objetos para vender. Se vender a $ 150,00 
cada um, lucrará $ 1.380,00. Mas, se vender a % 60,00 cada um, perderá 
$ 690,00. Calcular quantos objetos essa pessoa levava.
R: 23 ' ’ /$. , • • - v
104 ~ Com o dinheiro que tinha, comprei certo número de entradas a 
$ 130,00 cada uma e sobraram-me $ 800,00. Se cada entrada me ti­
vesse custado a importância de $ 190,00, ter-me-iam faltado $ 160,00.
v Calcule quantas entradas comprei'e quanto em dinheiro possuía.
R: 16 entradas e $ 2.880,00 j í 5 ^ £ t %'J" '
105 - Se eu receber o que me é devido* eu pagarei o que devo e ainda me 
sobram 2/9 do que me devem. Sabendo que o que eu devo e o que me 
é devido somam $ 3.840,00, calcular o quanto devo e quanto me devem.
R: Devo: $ 1.680,00. e devem-me:'$ 2.160,00
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 181
106 - Comprei um certo número de laranjas; deram-me uma laranja a
mais em cada dúzia e eu recebi 351 laranjas. Calcule quantas dúzias 
comprei. ^ ^ ^ ' '
R: 27
107 - A diferença entre dois números é 6.289; a divisão do maior pelo 
menor dá 23 de quociente e 41 de resto. Determine o maior número.
Solução:
jx - y — 6.289
Faça: x e y os números, comx > y. Temos o sistema: 1 x „ 23y + 41 
que resolvido, resulta: x = 6.573.
108 - Determinar dois números, sabendo-se que têm por soma 59, por 
quociente'8 e o resto é o maior possível, c
R: 53 e 6 / ! ? * ■ C
Vej a: O maior resto possível em uma divisão é o divisor menos 
uma unidade.
109 - A diferença entre dois números é 84. Se cada um fosse uma unidade 
maior, o produto deles cresceria de 379. Calcule esses dois números.
R: 231 e 147 > * - M -- ? , n ■ f
110 - Se o produto de dois números inteiros e positivos aumenta de 10 
unidades quando os mesmos são substituídos pelos seus consecutivos, 
calcule a soma desses números,r x ,m ~ f
^ ^ / Í K- i í ) í ) - Ç 4V_ •
. 111 - A diferença de dois números é 4. Sabendo-se que cinco vezes o 
maior mais três vezes o menor é igual a 84, calcule -o número maior. 
Solução:
Faça: x = número maior e y - número menor
f x - y = 4 
Armando o sistema, temos: <
[5x+3y=84
Que resolvido, resulta: x — 12.
1 8 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
112 - Achar um número que dá o mesmo resultado somando-se a ele 5
unidades ou multiplicando-o por 5. ^+_ c, ' c,x
R: 5/4
113 - Um número é composto de três algarismos cuja soma dos valores 
absolutos é 6. O valor absoluto do algarismo das unidades é a soma dos 
valores absolutos do algarismo das centenas e o das dezenas. O valor ab­
soluto do algarismo das centenas é igual ao dobro do das dezenas. Escreva
j . ~ ^é i. > esse numero. c • ■- - ; •• - - - • - -
R: 213 ^i
114 - Um copo cheio’de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, 
o peso do conjunto se reduz a 180g. Calcule o peso do copo vazio.
Solução:
Seja: x = peso do copo vazio e y — peso da água
x + y =325
Armando-se o sistema, temos: x + Z —}go
2
Que resolvido, nos dá: x = 35g,
115 - Um vaso cheio de água pura pesa 14 kg; tirando-lhe os 3/4 da 
água, nào pesa mais que 5 kg. Calcule o peso da água e do vaso.
R: 12 kg e 2 kg.
116 - Doze pessoas fazem uma excursão e devem pagá-la em comum, 
porém três pessoas não puderam pagar e cada uma das restantes teve que 
acrescentar mais $ 200,00 ao valor a ser pago. Calcule o valor da excursão.
R: $ 7.200,00 i t j - r
(Hf^d r 100) f
. 117. - Um grupo de 30 alunos entre rapazes e moças alugou um ônibus por 
$ 3.000,00. Os rapazes não permitiram que as moças pagassem. Com isto, a 
parte de cada rapaz ficou aumentada de $ 50,00. Calcule o número de moças. 
R: 10
118 - Calcular dois números cuja soma seja 50 e que os resultados sejam 
iguais quando se retira 5 unidades do maior para se acrescentar ao menor.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 183
Solução:
Como existe um número maior do que outro, façamos: 
x = número maior e y = número menor
Podemos, então, escrever o sistema:
Que resolvido, nos dará: x = 30 e y = 20.
119 - Dois números são tais que: se tirarmos uma unidade do primeiro e 
adicionarmos ao segundo, este ficará sendo o dobro do primeiro; e se 
tirarmos uma unidade do segundo e adicionarmos ao primeiro, eles ficam 
iguais. Qual é ò segundo número? r - i) v ^r '
120 - Dividir 32 em duas partes de modo que seja igual a 6 a soma dos quoci- 
entes que resultam, dividindo a primeira parte por 6 e a segunda parte por 5, 
Solução:
Como existem primeira e segunda parte, façamos: 
x == primeira párte e y - segunda parte
Que resolvido, nos dá: primeira parte 12 e segunda parte 20;
121 - Dois jogadores entram em um jogo, o primeiro com $ 2.900,00 e o 
segundo com $ 3.100,00. Depois de uma partida ganha pelo segundo, este 
tem o quádruplo do dinheiro do primeiro. Calcule o valor da partida.
R: $ 1.700,00 ; ' J - ' ■ v
122 - Duas pessoas economizam por dia $ 350,00. A primeira possui atu­
almente $ 31.500,00 e a segunda $ 6.300,00. Calcule daqui a quantos dias 
a quantia da primeira será o quádruplo da quantia da segunda. -
R: 7 J
x 4- y = 32
Podemos, então, escrever o sistema: j JE. + X — <5
.6 5
R: 6 dias
184 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
123 - A diferença entre as quantias que duas pessoas possuem é de
$ 5.000,00. A cada dia essas quantias aumentam em $ 200,00 e no fim 
de cinco dias, uma pessoa possui o dobro da outra. Calcule a quantia 
primitiva de cada pessoa. K Y - v.-OP
R: $ 9.000,00 e $ 4.000,00 _ , - , ' .X - - - - '
124 - Dois grupos de operários, com o mesmo salário por dia, receberam: 
cf primeiro $ 8.100,00 e o segundo $ 5.700,00 por um trabalho feito em 
comum. Calcule o preço do dia de trabalho do segundo grupo, sabendo 
que o primeiro grupo possui 40 operários mais do que o segundo grupo.
R: $ 60,00
125/- Por 12 dias de trabalho, dos quais 7 com o filho, uma pessoa rece­
beu a importância de $ 222,00. Outra vez, ganhou $ 150,00 por 8 dias de 
trabalho, durante 5 dos quais fez-se ajudar pelo filho. Calcule quanto rece­
be por dia essa pessoa.
R: $ 15,00
126 - Um fazendeiro promete a seu empregado $ 1.400,00 e 4 ovelhas por 
doze dias de serviço. Depois de quatro dias, o empregado é despedido e 
recebe três ovelhas e $ 50,00. Calcule o preço de cada ovelha.
Solução:
Seja x o preço de uma ovelha. O empregado tem direito a receber, 
1.400,00+ 4x
por dia: -------~ ------- . Despedido, deram-lhe para cada dia dos quatro
3x + 50,00
que trabalhou:
4
1.400,00+ 4x__3x + 50,00 
Temos, pois a equaçao: -------“ --------------- -------
Que resolvida, nos dá: x = $ 250,00.
127 - Por 10 dias de serviços prestados, uma pessoa deveria rece­
ber $ 1.200,00 e um presente. Retira-se depois de 6 dias e então recebe o 
presente devolvendo, porém, $ 400,00. Calcule o preço do presente.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 185
Solução:
Chame x o preço do presente, então temos:
1 . 2 0 0 ,0 0 + x _ x ~ 4 0 0 ,0 0 
10 ~~ 6 
Que resolvida, nos dá: x = $ 2.800,00.
128 - Por um ano de ordenado, um empregado deve receber a soma 
de $ 2.400,00 e um temo de roupa. Retira-se depois de 4 meses, e então 
recebe o terno, devolvendo % 400,00. Calcule o preço do^terno.
R: $ 1.800,00
129 -Josérecebeu por 15 dias de serviços $ 700,00 mais 5.000 tijolos. João 
recebeu por 45 dias do mesmo serviço 6.000 tijolos mais % 3.000,00. Cal­
cule o preço de um djolo e de um dia de serviço.
R: $ 0,10 e $ 80,00
130 - Em uma cesta há 135 laranjas, em outra há 85. Tirando-se quantida­
des iguais de ambas as cestas, a primeira passa a ter o dobro da segunda. 
Calcule quantas laranjas foram tiradas de cada cesta.
Solução:
Seja x o número de laranjas redradas. Então, temos: 135—x = 2 (85 — x) 
Que resolvida, nos dá: x = 35.
131 - Em um cesto e numa caixa existem 23 laranjas. Se tirarmos 5 laranjas 
do cesto e pusermos 2 na caixa, ficarão com o mesmo número de laranjas. 
Calcule quantas laranjas há no cesto e na caixa. ( x 4 V - 2 <>
R: No c e s to : 15. Na caixa: 8 . ~: v - "
132 - Dois irmãos tinham áo todo 1.800 selos. O mais velho vendeu 500 
selos e o mais novo 300. O mais velho ficou com o quádruplo dos selos 
do mais novo. Calcule quantos selos tinha o irmão mais novo.
R: 500 '' -1 1 4
133 - Uma pessoa possui um certo número de bolas em cada mão; se ela 
passasse 4 bolas da mão esquerda para a direita, teria nesta o quádruplo 
das que teria naquela. Se, ao contrário, isto é, passasse 2 bolas da mão
186 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
direita paia a esquerda teria então, na esquerda o quádruplo das que teria 
na direita. Calcule quantas bolas essa pessoa possui em cada mão.
R: 6 bolas na mão esquerda e 4 bolas na mão direita ( ^ í ' - ::
134 - Em uma estante tem-se 80 livros em cada prateleira. Séaumentar-
mos 3 prateleiras, ficará com 50 livros em cada uma. Calcule o número de 
livros. f. o , f - í-
R: 400 L
135 - João diz a Pedro: se me derem 15 bolas terei tantas quantas tens; mas 
se me derem 28, terei sobre as que tu tens um excedente igual à metade das 
que tens. Calcule quantas bolas possui Pedro.
R: 26
136 - Tenho certo número de bolas; se me dererfi mais 24, então esse novo 
número de bolas excederá 80, tanto quanto 80 excede ao número primiti­
vo, Calcule o número de bolas.
R: 68
137 - De uma caixa tiram-se algumas bolas. Se dvessem tirado mais 5, teria
ficado na caixa o triplo das bolas redradas, mas se tivessem tirado menos 
8, teria ficado o quádruplo das bolas retiradas. Calcule o número de bolas 
que havia na caixa e quantas bolas foram retiradas. K - C^ i - 9 ) ~ 3
R: Número de bolas: 260 Bolas retiradas: 60 x, - (_v - ? ) = H '-'1
138 - Fernando Filho e Fernando Vinícius possuem cada um, certo nú­mero de laranjas. Porém, se o Ia der 5 laranjas ao 2-, eles ficariam com 
igual número de laranjas; se pelo contrário, o 2- der 5 laranjas ao Ia, este 
ficaria com o quíntuplo de laranjas do 2~. Calcule quantas laranjas cada 
um possui.
Solução:
Faça: x = número de laranjas do l fl e y — número de laranjas do 2a
í x ~ 5 = y + 5
Armando-se o sistema, temos: j 5(y _ 5)~ x + 5 
Que resolvido, nos dá: x = 20 e y — 10.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 187
139 - Um fazendeiro tinha dois cavalos que lhe custaram certo preço cada
um; depois comprou uma sela por $ 1.000,00. Quando ele colocava a 
sela no primeiro cavalo, este com a sela valia o dobro do segundo; e 
quando colocava a sela no segundo cavalo, este valia o triplo do primeiro. 
Calcule quanto lhe custou cada cavalo. ' =3 - - r:
R: $ 600,00 o primeiro e ? 800,00 o segundo ;
140 - Uma balança ficou em equilíbrio colocando-se no primeiro prato 3
moedas de 50 centavos e 2 moedas de 10 centavos; e, no segundo prato, 2 
moedas de 50 centavos, 3 moedas de 10 centavos e um peso de duas gra­
mas. Passando uma moeda de 50 centavos do segundo prato para o pri­
meiro, restabeleceu-se o equilíbrio colocando-se um peso de 10 gramas no 
segundo prato. Calcular o peso de cada moeda. » Ç '
R: Moeda de 50 centavos: 5g. Moeda de 10 centavos: 3g7? Hc "
141 - Uma construtora tem que colocar postes telegráficos ao longo de 
uma estrada. Se os colocar a 25 metros de 'distância uns dos outros, fal­
tam-lhe 150 postes; se os colocar a 30 metros, sobram-lhe 70 postes. Cal­
cule o número de postes e qual o comprimento da estrada.
R: 1.170 e 3.300m
142 ~ Uma pessoa percorre 44 km, uma parte com velocidade de 4 km/h e 
o resto a 5 km/h. Se tivesse caminhado 5 km por hora durante o tempo 
que caminhou 4, e 4 km por hora durante o tempo que caminhou 5, teria 
percorrido 2 km a mais no mesmo tempo. Calcule por quanto tempo essa 
pessoa caminhou.
R: 10 horas
143 - Em um arrozal voavam muitos pássaros, não eram 100. Mas se a eles 
se juntassem outros tantos, mais metade, mais a quarta parte de seu núme­
ro e mais um, seriam 100. Calcule o número de pássaros.
Solução:
Faça: x = número de pássaros. Então, temos; 
x x
x + x + ™ + — +1=1 00 . Que resolvendo-se a equaçào, temos: 
x = 36.
1 8 8 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
144 - Em um viveiro haviam muitos pássaros, nào eram 80. Entretanto, 
se a eles se juntassem outros tantos, mais a terça parte, mais a quinta parte 
e mais quatro, seriam 80. Calcule o número de pássaros.
R: 30 ^ % v . — -
> :v
145 - Em uma lagoa havia alguns patos, não eram 65. Mas se a eles se 
juntasse a sua metade, mais o dobro e mais o triplo deles, seriam 65. Cal­
cule o número de patos na lagoa.
R: 10 ; ^ > , >• - - 3. > - ^ •'
146 - A soma das idades de três irmãos é 60 anos. Sabendo-se que a idade 
do mais velho é o triplo da do maís novo e que a idade do segundo é igual 
a diferença entre a do mais velho e a do mais novo, pede-se as idades de 
cada um.
Solução:
Como não houve referência à idade do mais novo, vamos designá- 
la por x. Então, teremos: Idade do mais novo = x. Idade do mais 
velho = 3x. Idade do segundo = 3x — x = 2x. Armando-se a 
equação, temos: x + 2x + 3x = 60. Que resolvida, nos dá: x = 10. 
Então, as idades são: 10, 20 e 30 anos.
147 - Repartiu-se 80 bolas entre três meninos, de tal forma que o primeiro 
recebeu 10 bolas a mais que o segundo, e este 20 bolas a mais que o tercei­
ro. Calcule quantas bolas o primeiro e o segundo receberam juntos. f
R: 70 f - -• * -- r w . r - 7o
148 - Repartiu-se 400 bolas entre três meninos de forma que o primeiro 
recebeu o triplo do que coube ao segundo, e o terceiro recebeu o quádru­
plo do que coube aos dois primeiros. Calcule quantas bolas o primeiro e o 
segundo receberam juntos. f - ' ;"
R: 60 S.' - :'
149 - Repartiu-se 120 bolas entre três meninos de forma que o primeiro 
recebeu o dobro do que coube ao segundo e o terceiro recebeu o triplo 
do que coube aos dois primeiros. Calcule quantas bolas recebeu o segun­
do menino.
R: 20 s • ...
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 189
150- José tem o dobro do que tem Augusto e Carlos tem tento quanto os 
dois anteriores. Calcule quanto José possui, se os três juntos possuem $ 6.240,00. 
R: $ 2.080,00 5*
£ >
 ^' 11151 - Um mastro está dividido em três partes: a primeira tem 9 metros; a 
terceira vale a primeira mais a metade da segunda e a segunda vale tanto 
quanto as duas outras reunidas. Calcule o comprimento do mastro.
R: 72 metros
152 - Em três caixas há 161 limões: na primeira há o quádruplo da segunda 
mais sete limões; na terceira há tanto quanto nas duas primeiras, menos 
três limões. Calcular quantos limões há na primeira caixa.
Solução:
Como não houve referência à segunda caixa, faça:
Segunda — x. Primeira = 4x + 7. Terceira = x +• 4x +*7 — 3 — 5x + 
4. Armando-se a equação: x + 4x + 7 + 5x + 4 = 161. 
Resolvendo, temos: x = 15. Logo, a primeira caixa terá portanto:
4 x 15 + 7 — 67 limões.
153 - Quatro rapazes compraram um objeto por % 60,00. O primeiro rapaz 
pagou a metade da soma do. valor pago pelos outros rapazes; o segundo 
rapaz pagou um terço da soma do valor pago pelos outros rapazes; o 
terceiro rapaz pagou um quarto da soma do valor pago pelos outros rapa­
zes. Calcule quanto pagou o quarto rapaz.
R: $ 13,00
154 - Um pichador escalou um prédio pelo lado de fora e alcançou o 
topo em 2 horas e meia, tendo sido preso logo em seguida. Se ele tivesse 
escalado o prédio subindo 2 metros a mais. em cada minuto, ele teria 
gasto apenas 50 minutos. Calcule a altura do prédio.
R: 150m * V •• x -
155 - Pedro e José têm juntos $ 450,00. Pedro gastou 1/6 do que possui 
e José ganhou de seu pai 1/4 do que tinha. Sabendo-se que após essas 
ocorrências, ambos passaram a ter a mesma importância, calcule quanto 
José ganhou de seu pai. p \ -
R: $ 45,00
1 9 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
156 - Repartiu-se 550 boias entre três meninos. Sabendo-se que o segun- 
■ do recebeu 30 bolas a mais que o primeiro e 40 a menos que o terceiro,
calcule quantas bolas recebeu o terceiro menino.
Solução:
Seja x o número de bolas que o primeiro recebeu. Como o pro­
blema nos diz que o segundo recebeu 30 bolas mais que o primei­
ro, entào o segundo recebeu x + 30. Se o segundo recebeu x.+ 30 
bolas e recebeu 40 boias menos que o terceiro é porque o terceiro 
recebeu 40 bolas mais que o segundo, então o terceiro recebeu x + 70- 
Então, temos: Primeiro = x. Segundo = x + 30. Terceiro = x + 70 
Armando-se a equaçào, resulta: x + x + 30 + x + 70=: 550- 
Resolvendo-se, encontramos: x = 150. Logo, o terceiro recebeu
150 + 70 ~ 220 bolas.
157 - Repartiu-se 770 bolas entre quatro pessoas, de sorte que a segunda 
recebeu 50 bolas mais do que a primeira e 70 menos do que a terceira; e 
esta recebeu 80 menos do que a quarta. Calcule quantas bolas recebeu a 
segunda pessoa. f -
R: 150 - >• ^ .1 "■ ó. .. N y - '
158 *- Repartiu-se 1 157.000,00 entre quatro pessoas, de sorte que a segun­
da receba $ 5.000,00 mais do que a primeira e receba $ 7.000,00 menos 
do que a terceira; e esta receba $ 8.000,00 menos do que a quarta. Calcule 
quanto recebeu a terceira pessoa. f - -
R: $ 42.000,00 1
T : N - ' : ’ -
'■á~ 7
159 - Um pai dividiu $ 450,00 entre seus sete filhos, de modo que cada 
um dos dois primeiros recebeu cinco vezes o que cada um dos cinco 
últimos receberam. Calcular quanto recebeu o primeiro filho.
' R: $ 150,00
160 - A, B, C e D receberam $ 219.000,00 e repartiram entre si de maneira 
que A recebeu $ 27.000,00 menos do que B; este recebeu $ 34.000,00 
menos do que C e D recebeu $ 47.000,00 mais do que C. Calcule quanto 
o B recebeu.
R: $ 32.900,00
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 1 9 1
161 - Quantos dias já se passaram do ano, se os dias transcorridos sãoiguais à.terça parte dos que faltam
Veja com atenção:
Para esses tipos de problemas, faça sempre assim: chame x os dias, 
horas ou minutos que já passaram. r j - -
Se já se passaram x dias do ano, faltam 360 — x. ;
Se já se passaram x dias do mês, faltam 30 - x. p ~ X
Se já se passaram x dias da semana, faltam 7 — x.
Se já se passaram x horas do dia, faltam 24 — x.
Se já se passaram x minutos da hora, faltam 60 - x.
Solução:
Voltando ao problema, temos: seja x o número de dias já transcor-
360--x
ridos, então faltam 360 — x. Logo: x= — -— } que resulta x = 90.
162 - Se à metade dos dias decorridos desde o princípio do ano, juntar­
mos 1/3 do que resta, obtém-se o número de dias decorridos. Calcule
quantos dias já se passaram. ' {■ - :• - V.
R: 144 dias ; „ ;
163 - Se aos dias decorridos desde o princípio do mês, juntarmos a metade 
dos que restam, teremos o dobro dos dias decorridos. Calcule quantos 
dias já se passaram. f" i s' ' ?; --
R: 10 dias . .
V' "
164 - Quantos dias já se passaram da semana, se os dias que faltam são
iguais aos 2/5 dos que já passaram, f ^ f
R: 2-días í X v - 'x ^ y r ^
165 - Que horas sao, se as horas decorridas do dia são iguais à terça parte
das horas que faltam ; f 4 f ; •
R: 6 horas ' t '
166 - Que horas são, se as horas que já passaram do dia são iguais à
metade das que faltam passar. { 1 r
R: 8 horas ^ . ; ;
192 HHJDER GÓES * UBAIJDO TONAR
167 - Que horas são, se 1/4 do tempo que resta do dia é igual ao tempo
decorrido. P í r ■/ '■
R: 4hH8min Y’ ~
168 ~ Que horas são, quando os 2/5 da parte do dia que já passou 
igualam aos 2/3 da que está para passar.
R: 15 horas '> f f f -
7 ... x f
169 - Que horas são, se as horas "que passam do meio dia são iguais à
metade das horas que faltam para meia noite. C p + p - \'L !
R: 16 horas. / p -• " '7
170 - Que horas são quando 1/3 das horas que faltam para a meia noite 
é igual às que passam do meio dia.
R: 15 horas
171 - As horas que passam do meio dia são 3/5 das horas que faltam para 
a meia noite. Calcule que horas são.
R: 16h 30min
172 - Que horas são, se o número de horas decorridos a partir do meio dia 
excede 5 unidades o sêxtuplodo número de horas restantes até meia noite.
R: 11 horas
173 - Dois carros partiram ao mesmo tempo dos extremos de uma estrada 
de 300km de extensão; um, com velocidade de 70 km/h e outro com a 
velocidade de 80 km/h. Calcule quantashoras gastaram para se encontrar.
Solução:
Divide-se a extensão da estrada, pela soma das velocidades: 
300 km 4-150 km/h = 2 horas.
Isto é, se encontraram depois de 2 horas.
174 - A distância entre as cidades A e B é de 180 km. Um carro parte da
cidade A com uma velocidade de 40 km/h e, no mesmo instante, outro 
carro parte da cidade B com uma velocidade de 20 km/h. Calcule quantas 
horas gastaram para se encontrar. £ p u r, i? -í 1 - 1 S
R: 3 horas 1 -------— ! r r %
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 193
175 - A distância entre duas cidades é de 480 km. Dois carros partiram
dessas cidades, ambos com uma velocidade de óO km/h. Calcule depois 
de quantas horas haverá o encontra '• ... -• ; - - ■
R: 4 horas •• '<
176 - De uma cidade partiram dois carros em sentidos opostos. Um, com 
uma velocidade de 80 km/h e o outro com uma velocidade de 70 km/h. 
Calcule depois de quantas horas a distância que os separa será de 600 km.
Solução:
* Divide-se a distância pela soma das velodd^.cs, no que resulta: 
600 km +150 km/h = 4 horas. Isto é, depois de 4 horas.
Veja com atenção:
Nos dois casos estudados os móvds se movimentam em SENTI­
DOS OPOSTOS. Em ambos os casos, divide-se a distância que 
os separa, pela soma das veloddades.
177 - De um local partem dois dclistas em sentidos opostos. Um, com 
uma veloddade de 30 km/h e o outro com uma veloddade de 40 km/h. 
Calcule depois de quantas horas a distânda que os separa será de 350 km.
R: 5 horas l -z? 1 ’ : ' " ;; '
T ' -
178 - Dois carros partiram ao mesmo tempo dos extremos de uma estra­
da de 210 km de extensão; um com a velocidade de 40 km/h e o outro 
com a velocidade de 30 km/h. Calcule depois de quantas horas haverá o 
encontro. " , . ••• .. r v > c
R: 3 horas
179 ~ De uma estação parte um trem com uma veloddade de 50 km/ 
h. Depois de três horas saiu um carro no mesmo sentido, com uma velo­
ddade de 80 km/h. Calcule em quantas horas o carro alcança o trem.
Solução:
Quando o carro partiu, o trem já havia percorrido: 50 km/h x 3 
h = 150 km. Como o carro anda a 80 km/h e o trem a 50 km/h, em 
cada hora, o carro tira 80 km — 50 km = 30 km da distância que o 
separa do trem. Logo, os 150 km serão tirados em 150 + 30 = 5 horas.
194 HHJDER GÓES * UBALDO TONAR
180 - De uma cidade parte um ônibus com uma velocidade de 50 km/ 
h. Depois de duas horas parte um carro, no mesmo sentido, com uma 
velocidade de 70 km/h. Calcule em quantas horas o carro alcançará o ônibus.
R: 5 horas £>o. ? 1 %(, ~ - - 1 ~ -
181 - De uma estação parte um trem com uma velocidade de 20 km/h. 
Depois de 3 horas saiu outro no mesmo sentido, andando 25 km/h. Cal­
cule em quantas horas o segundo trem alcançará o primeiro.
R: 12 horas / ■ " -• - - * c . . - - ? . . ' .. -.w
182 ~ As cidades A e B distam 700 km. Um trem, cuja velocidade é de
50 km/h, sai de A às jr horas; outro sai do mesmo lugar às 7 horas e 
percorre 60 km/h. Calcule a que distância da cidade A se encontrarão e 
a que horas. / . í o - '
R: 600 km e às 17 horas jí r - - • 1 :
183 - Dois homens saem ao mesmo tempo das cidades A e B e caminham 
um de encontro ao outro. O que sai da cidade A^ caminha 5 vezes mais 
ligeiro do que aquele que sai da cidade B. Se a distância entre as cidades é 
de 180 km, calcule a que distância da cidade A se dará o encontro.
R: 150 km
184 - De uma cidade A parte um trem com uma velocidade de 70 km/h e
de uma cidade B parte um automóvel com uma velocidade de 110 
km/h. Sabendo-se que a distância entre as duas cidades é de 540 km, 
calcule, depois de quantas horas eles irão se encontrar e a que distância 
da cidade A. ‘ ^ 7 .■ "
R: 3 horas e a 210 km de A ’ - - : ~
185 - Duas cidades A e B distam 200 km. Âs 8 horas parte de A para B um
trem com a velocidade de 30 km/h e duas horas depois, parte de B para
A um outro trem com a velocidade de 40 km/h. Calcule a que distância
de A dat-se-á o encontro dos dois trens. ^ — 1 - n-
R: 120 km J ' - : W "
; • . 'éj3c> f~ -!ç.~
186 ~ A distância entre as cidades A e B é de 240 km. Um ciclista parte da 
cidade A com uma velocidade de 50 km/h e, no mesmo instante, outro
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 195
ciclista parte da cidade B com uma velocidade de 30 km/h. Calcule quantas 
horas gastaram para se encontrar e a que distância da cidade B.
R: 3 horas e a 90 km de B '2 w £>
187 - A distância entre as cidades A e B é de 740 km. Um automóvel 
parte de A em direção a B, às 6 horas, com uma velocidade média de 70 
km/h e outro parte de B em direção a A com uma velocidade média de
80 km/h, às 8 horas. Calcule a que hora se dará o encontro e a que distân­
cia dos pontos de partida.
R: 12 horas, a 420 km de A e a 320 km de B
188 - Dois rapazes A e B começam, no mesmo instante, uma corrida 
entre duas cidades distantes 60 km uma da outra. A corre 4 km/h mais 
devagar do que B. Sendo B mais rápido, completa o percurso de ida e 
inicia imediatamente a volta. Depois de percorrer 12 km de volta, cruza 
com A que ainda está no percurso de ida. Calcule a velocidade de A.
R: 8 km/h
189 - A distância entre as cidades A e B é de 300 km. Carlos sai às 8 horas 
da cidade A para a cidade B em seu carro que desenvolve 70 km/h. No 
mesmo instante, Pedro sai da cidade B para a cidade A com a velocidade 
de 80 km/h. Quando se encontram foram juntos para a cidade B. Calcule 
a que horas chegaram à cidade B, sabendo-seque ambos voltaram com 
uma velocidade de 40 km/h.
R: 14 horas
190 - Um pedestre tem que percorrer certa distância. Depois de percor­
rer 20 km, acelerou a marcha de 1 km por hora. Se üvesse andado sem­
pre com esta última velocidade, teria percorrido a distância em 40 minutos 
menos; se tivesse conservado a velocidade primitiva, chegaria 20 minutos 
mais tarde. Que distância percorreu.
a) 30 km b) 20 km c) 15 km d) 10 km
191 - Um pai tem 49 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a 
idade do pai será o triplo da idade do filho.
196 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Solução:
Faça x = número de anos.
Veja que, daqui a x anos, o pai que tem 49 anos, terá 49 + x; e o 
filho que tem 15 anos, terá 15 + x. Como o problema nos diz que 
o pai terá o triplo da idade do filho, resulta a seguinte equação:
49 + x — 3(15 + x)
Resolvendo, encontramos: x = 2, isto é, daqui a 2 anos.
192 - Um pai tem 32 anos e o filho 4 anos. Depois de quantos anos a idade 
do pai será o triplo da idade do filho. ? Z-1 \ .z- 1 4 v y '
R: 10 anos
193 - Um filho tem 11 anos e sua mãe 35 anos. Daqui a quantos anos a 
idade da mãe será o triplo da idade do filho.
R: 4-2 a-nos i i ? • ' ; : " ■ " v
194 ~ Há 6 anos eu tinha a metade da idade que terei daqui a 12 anos.
Calcule a minha idade. - >. rr Kjr_±Z
R: 24 anos
195 - Uma pessoa tem 31 anos e outra 13. Há quantos anos a idade da 
mais velha foi igual ao quádruplo da idade da mais nova.
Solução:
Faça x = número de anos.
Veja que, há x anos a mais velha que tem 31 anos, tinha 31 - x e a 
mais nova, que tem 13 anos, tinha 13 — x. O problema nos dÍ2 que 
a idade da mais velha há x anos era o quádruplo da idade da mais 
nova. Então, temos a seguinte equação: 31 — x = 4(13 - x) 
Resolvendo-a, temos: x = 7. Portanto, foi há 7 anos.
196 ~ Uma pessoa tem 35 anos e outra 15 anòs. Há quantos anos a idade 
da primeira foi igual ao quíntuplo da idade da segunda.
R: 10 anos - >• " / r ~
197 - Tenho 42 anos e meu filho 15 anos. Há quantos anos a idade do meu 
filho foi igual a quarta parte da minha idade.
R: 6 anos ; ; ' ... v ^ ' ’ ' ; - '■
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 197
198 - Um pai tem 55 anos e seus filhos, 9,11 e 13 anos. No fim de quanto 
tempo a idade do pai será igual à soma das idades dos filhos.
Solução:
Seja x o número de anos. Veja que, daqui a x anos, o pai terá 55 + 
x e os filhos terão, cada um: 9 + x, 11 + x e 13 + x, respectiva­
mente. Como a idade do pai será igual a soma das idades dos 
filhos, temos: 55 + x = 9 + x + l l 4- x + 13 + x.
Resolvendo a equação, resulta: x = 11. Isto é, daqui há l l anos.
199 - Um pai tem .48 anos e seus; três filhos; 30, 20 e 6 anos, respectiva­
mente. Há quantos anos a idade do pai foi igual à soma das idades dos 
filhos. 2~> - x 4- <■> - x_ 11 $ " v
R:14 anos
200 - Três irmãos têm, respectivamente, 15, 24 e 22 anos e o pai 53. Há 
quantos anos a idade do pai era igual à soma das idades dos três filhos.
R ^ a io s i S - x i v i , . . . , - ç - >
201 - Uma pessoa tem 53 anos e seus quatro filhos têm: 33,32,31 e 29. Há 
quantos anos a idade dessa pessoa foi igual à soma das idades dos filhos.
R : 24 anos ? - * 4 ■. ■: .. y. '/a: - x, ~ 9 1 -K
202 - Dois irmãos têm juntos 21 anos; se a íd,ade do mais moço fosse 
triplicada, ela excederia de 3 anos a idade do mais velho. Calcular a idade 
dos dois irmãos.
Solução:
Faça x = idade do mais velho e y = idade do mais moço
Resolvendo-o, teremos: x = 15 e y — 6.
203 - Um pai e seu filho têm juntos 96 anos. Tirando-se 22 anos da idade 
do pai e acrescentando-os à idade do filho, elas tornam-se iguais. Calcule 
a idade do pai. p . r -
R: 70 anos
198 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
f y =21
Podemos, então, escrever o si ,7 5 —- v - L
204 - As idades de duas pessoas somam 120 anos. Subtraindo-se 10 anos 
da idade da mais velha e acrescentando-os à da mais nova, as idades tor­
nam-se iguais. Calcule a idade da mais nova.
R: 50 anos Cx . f v n o
205 - A diferença entre as idades de um pai e de um filho é de 24 anos. Daqui 
a 5 anos a idade do pai será o triplo da do filho. Calcule a idade do pai.
Solução:
Faça: x = idade do pai. e y - idade do filho.
Armando-se o sistema, temos: fx — y = 24
+ 5 = 3(y + 5)
Resolvendo-se, temos;,x = 31.
206 - A soma das idades de um pai e a do filho é hoje 78 anos. Há 9 anos,
a idade do pai era 3 vezes a idade do filho. Calcule a idade do pai.
R: 54 anos 'p -t- f ^ £
■
207 - Um pai disse ao filho: há 7 anos a minha idade era igual a 7 vezes a 
sua; dentro de 3 anos será o triplo. Calcule a idade do filho.
R: 12 anos f - 1 - I í r - ^ )
? \ l = ■ > C. ? + ? )
208 - Há 7 anos a idade de Samuel era três vezes a idade de Elias e de hoje 
à 7 anos, será o dobro. Calcule a idade de Elias.
R: 21 anos 5 " ^ r ^ t e ^ 1
5 H 7 ~ Z( r
209 - Um pai tem atualmente o dobro da idade do filho. Há 10 anos a 
idade do pai era o triplo da idade do filho. Calcule a idade d.o pai.
R: 40 anos í f - ? P
1 3 ( f ■
210 - José, há 18 anos, tinha o dobro da idade de Paulo. Daqui a 9 anos 
José terá 5/4 da idade de Paulo. Calcule a idade de José.
R: 36 anos ~ w *■ £ )
211 - Um pai tem o quíntuplo da idad e do filho. Daqui a 5 anos ele terá o
triplo da idade do filho. Calcule a idade do filho.
R: 5 anos x $ r- s
f t ; ? C f
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 199
212 - Qual a idade de uma pessoa que, há dez anos tinha 3/5 da idade
que terá daqui a dez anos? [/> -- '< { K \ o )
R; 40 anos
213 - Calcular a idade de uma pessoa, sabendo que, dentro de 20 anos 
essa ídade será igual ao dobro da idade que essa pessoa tinha há 20 anos.
R: 60 anos K+ Z&)
214 - Um pai tem 30 anos a mais que o filho; mas se triplicássemos a
idade do filho, esta excederia de 50 anos a idade do pai. Calcule a idade 
do pai. f ~ ^ v \ 6
R: 70 anos ^
r" i
215 - As idades de duas pessoas estão entre si como 2 está para 3. Há 10
anos esta relação era igual a 1/4. Achar as idades de cada uma.
R: 12 e 18 anos I.-7. _ -
216 - Numa família há 5 pessoas sucedendo-se com 5 anos de intervalo.
Calcular a soma das suas idades, sabendo-se que o primogênito tem o 
dobro da idade do mais novo. * y„ - s 4 ^ ‘ i > t - " ^ -7
R: 150 anos * - U*■- ■
217 - Um pai tem 30 anos mais do que o filho. Se este tivesse nascido dois
anos mais tarde, sua idade seria, atualmente, a terça parte da Ídade do pai. 
Calcule a idade atual do filho. r ; r 4- \ c
R: 18 anos _ •;
218 - Meu irmão nasceu 2 anos antes de mim e minha irmã é mais nova
4 anos do que eu. Quando a soma das idades desses meus dois irmãos 
for 30 anos, que idade teria minha írmã. I : A > l ■ - >
R: 12 anos
219 - O produto das idades de dois irmãos é tal que o seu 1/20 iguala a 
3/5 da idade do irmão mais velho, e os seus 4/5 valem o quadrado da 
idade do irmão mais novo. Calcule quantos anos tem o irmão mais velho.
R: 15 anos
200 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
220 - Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade 
que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, íi diferença entre nossas 
idades será de 5 anos. Calcule nossas idades.
Solução:
Façamos um quadro onde estarão representados o passado, o pre­
sente e o futuro, bem como, Eu e Tu. O problema diz: a) Eu tenho 
(presente) o dobro da idade que Tu tinhas (passado). Então, se Tu 
tinhas x anos Eu tenho 2x. ■.. . ,
Passado Presente Futuro
Eu 2 x
Tu X
b) Quando Eu tinha (passado) a idade que Tu tens (presente). En- s . 
tão, se Tu tens y anos eu tinha y anos.
Passado Presente Futuro
Eu y .. 2x
Tu X y
c) Quando Tu tiveres (futuro) a minha idade (presente), que já sa­
bemos ser 2x, então Tu terás 2x.
Mas, como não sei a minha idade no futuro, chamo-a de uma letra 
qualquer “A”.
Preenchendo o restante do quadro, temos:
Passado Presente FuturoEu Y 2 x A
Tu ' X . y 2x
Observe com atenção que:
Se uma pessoa tiver hoje 40 anos e uma outra, 35 anos; é claro que 
essa diferença, hoje, é de 5 anos.
Relacionando o presente com o passado, por exemplo, há 10 anos, 
quanto era essa diferença? E claro que era de 5 anos. Há 17 anos, de 
quanto era essa diferença? Era também de 5 anos.
A diferença será sempre constante. Então, podemos escrever:
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 201
2x - y = y - x 
2x + x — j + y 
3x = 2y
2
* - - y .
Relacionando, agora, o futuro com o presente. Como a diferença 
das idades hoje, é de 5 anos, no exemplo dado, daqui a 10 anos ou a 20 
anos ou a 40 anos, será, sempre, de 5 anos. Então, podemos escrever:
A — 2x = 2x — y
Mas, A - 2x = 5, substituindo na equação anterior, teremos:
5 = 2x - y
2 _ . 
Mas, veja que x é igual a ~~J que, substituído na equação anterior
3
2
resulta: 5 = 2 x ~ y — y
Que resolvida, nos dá: y = 15, que é tua idade no presente.
2
Se y = 15, então: x = ~ x 15 x = 10.
J 3
Então, no presente, a minha idade é 20 anos.
221 - Eu tenho quatro vezes a idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade
que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, terei 9 anos a mais que tu. 
Calcule as nossas idades. % -A i » - S - - ■ ; • g i
R: Eu = 24 e Tu = 15 ~ : • ....■ ^
\ '
222 - Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade
que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença de nossas idades 
será de 20 anos. Calcule as nossas idades. _
R: Eu = 60 e Tu ~ 40 { '
223 - Eu tenho o triplo da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade
que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, a diferença de nossas idades 
será de 10 anos. Determine nossas idades. '\j
R: Eu = 30 e Tu — 20
2 0 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
224 - Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade
que tu tens. Quando tu tiveres a minha idade, teremos juntos 54 anos. 
Calcule nossas idades. f íí - H >
R: Eu — 24 e Tu = 18 r >
225 - Uma raposa está adiantada 60 pulos sobre um cão que a perse­
gue. Enquanto o cão dá 4 pulos a raposa dá 5; mas 3 pulos do cão 
valem 6 da raposa. Calcule quantos pulos tem que dar o cão para alcan­
çar a raposa.
Sohjção:
Se 3 pulos do cão valem 6 pulos da raposa, então os 4 pulos do cão 
vão corresponder a 8 pulos da raposa. Senão, vejamos:
3 pulos do cão 6 pulos da raposa
4 x 6 __04 pulos do cão x o x = - — 8
Veja que quando o cão dá 4 pulos a raposa dá 5, mas os 4 pulos do 
cão correspondem a 8 pulos da raposa. Então, quando o cão dá 4 pulos 
tira 3 pulos da dianteira, isto é: 8 - 5 = 3.
Então, se para tirar 3 pulos da dianteira foi necessário dar 4 pulos, 
para tirar os 60, teremos:
Se para tirar 3 foram preciso dar 4, para tirar 60 será preciso dar x.
60x4 
x = --------= 80 pulos.
3 ' 6-
226 - Um cão está perseguindo uma lebre, que tem 50 pulos de diantei­
ra. Enquanto o cão dá 4 pulos, a lebre dá 5; porém, 6 pulos do cão 
valem 9 pulos da lebre. Calcule quantos pulos deverá dar o cão para 
alcançar a lebre. £ : '
R: 200 pulos. u v - - r _ ,
227 - Uma raposa tem 60 pulos de dianteira sobre um cão que a perse­
gue. A raposa dá 9 saltos enquanto o cão dá 6; mas 3 saltos do cão valem 
tanto como 7 saltos da raposa. Calcule quantos saltos dará o cão para 
alcançar a raposa. ^ - j j ■, - í r c.
R: 72 saltos. -
L * " >
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 203
228 - Uma raposa perseguida por um cão, tem 63 pulos de dianteira. En­
quanto o cão dá 3 pulos a raposa dá 4; porém, 6 pulos do cão valem 10 
pulos da raposa. Calcule quantos pulos deverá dar o cão para alcançar a 
raposa. :
R: 189 pulos _ ' ■ ■■ ^ '• < ' c. ---
229 - Um cão persegue uma lebre que tem 63 pulos de dianteira. Enquan­
to o cão dá 11 pulos, a lebre dá 14; porém, 5 pulos do cão valem 8 pulos da 
lebre. Calcule quantos pulos o cão deverá dar para alcançar a lebre- _
R: 192,5 pulos z /■ • U l^ L ílL Z —-
230 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
quando ele marca 16 horas.
Vej a: Para resolução desse tipo de questão observe o seguinte:
a) a circunferência se divide em 360°.
b) entre uma determinada hora e a outra consecutiva, isto é, entre 
2h e 3h ou entre 6h e 7h, existe 30°.
Solução: Graficamente, temos:
É fácil de se concluir, que o ângulo x será deí \ 4 x 30° = 120"
231 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio,
quando ele marca 15 horas. Oi /
R: 90"
232 - Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um reló­
gio, quando ele marca 18 horas. x - s ç
R: 180°
233 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
quando ele marca 20 horas.
R: 120° f.:
204 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
234 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
quando ele marca 12h 20 minutos.
Solução:
Para a resolução desse üpo de questão, devemos fazer duas figuras. 
Primeira: 12 h (hora exata) Segunda: 12h 20 min (hora dada)
Veja que, nas 12 h, os ponteiros estão superpostos (primeira figu­
ra); mas quando o relógio estiver marcando 12h e 20 min (segunda figura), 
o ponteiro grande estará no 4, isto é, percorreu 120", enquanto o ponteiro 
pequeno percorreu um ângulo a (alfa) desconhecido até agora, isto é, não 
estará mais em correspondência com o 12.
Olhe: Quando o ponteiro grande percorre 360°, o ponteiro 
pequeno percorre 30°. j , ^ ■ „.
Então, temos a seguinte regra de três: "
360° 30°
120° a z ^ a = 10°
Veja que, entre 12h e 4h, existe 120°. Então: 120l! menos o ângulo 
a , que é de 10°; o ângulo x será de 110°.
235 - Calcuie o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
quando ele marca lhora e 30 minutos. v - : . '• -
R: 135° - r - • / ’ , : ;
236 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio
quando ele marca 2h e 20min. f c . - . t c - - ; ■ - -
Rr-83,511 C, q ° 0 *■
237 - Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, 
quando ele marca 20h 20min.
R: 130° z
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 205
238 - A que horas exatas, entre 4 e 5 horas, os ponteiros de um relógio 
estarão superpostos?
Leia com atenção o seguinte raciocínio:
Quando o relógio marca 12 horas, é claro que os ponteiros estão 
superpostos.
Quando o relógio for marcar 1 (uma) hora, o ponteiro grande per­
correrá 360“, enquanto o ponteiro pequeno, apenas 30°.
Você deve observar também que, entre 12h e lh , o ponteiro grande 
não fica superposto ao ponteiro pequeno; pelo fato de ambos partirem no 
mesmo instante e a velocidade ;dò ponteiro grande ser maior do que a do 
ponteiro pequeno pois, enquanto o grande percorre doze espaços o pe­
queno só percorre um.
Somente entre lh e 2h e as demais, até lOh e l lh é que haverá a 
superposição.
Vejamos a situação quando for uma hora.
r /Í9 v 3 j
V8 v
V 4 3 /
Paxa dax 2 horas, 0 ponteiro grande vai sair do 12 e, é 
claro, chegar novamente no 12 percorrendo portan­
to, 360° ou 12 espaços; enquanto que 0 ponteiro pe­
queno, vai sair do 1 e chegar no 2 percorrendo 1 espaço.
Será somente nesse intervalo, entre lh e 2h que haverá a primeira 
superposição dos ponteiros, isto é, haverá um instante em que 0 ponteiro 
grande estará em cima do ponteiro pequeno.
Veja a situação nessa nova figura.
fm
+9 K 3 j
V8 J
Observe que 0 ponteiro grande percorreu lh mais 5 
minutos (entre 12 e 1) e mais x segundos entre (1 e 
2); enquanto que 0 ponteiro pequeno percorreu 5 
minutos entre (12 e 1) mais x segundos entre (1 e 
2).
Então, podemos escrever: 
Grande Pequeno
60 + 5 + x 5 + x
20Ó HILDER GÓES v UBAUDO TONAR
Como a velocidade do ponteiro grande é 12 vezes a do pequeno; 
para que haja a igualdade, multiplica-se pbr 12 a expressão relativa ao 
ponteiro pequeno, no que resulta: 60 + 5 + x =■ 12(5 + x)
Resolvendo, temos:
65 +x = 60 + 12x
65 - 60 = 12x - x
5 = l lx 
l l x = 5 
x — 5/11 seg.
Então, para o primeiro encontro,' temos o seguinte resultado: 
lh 5min 5/11 seg. -
Esta expressão, resolve qualquer tipo de problema dessa natureza, 
isto é, de superposição de ponteiros.
Se o problema pedir a que horas os ponteiros de um relógio estarão 
superpostos entre 3h e 4h ou entre 6h e 7h, para resolvê-lo, basta multipli­
car a expressão lh 5min e 5/11 seg pela menor hora, no que resultaria: 
3(lh 5min 5/11 seg) ou 6(lh 5min 5/11 seg).
No nosso problema, que pede entre 4 e 5 horas a sua resolução será: 
4(lh 5min 5/11 seg) = 4h 20min 20/11 seg.
Mas veja que 20/11 seg = 11/11 + 9/11 que é igual a Imin e 9/11 
seg. Somando lmin com os 20min, teremos: 4h 21min 9/11 seg.
239 - A que horas exatas entre 2 e 3 horas, os ponteiros de um relógio
estarão superpostos. ^ ; -s ■- : -
R: 2h lOmin 10/11 seg.
240 - A que horas exatas entre 6 e 7 horas os ponteiros de um relógio
estarão superpostos. • ^ . .. - .• %
R: 6h 32min 8/11 seg
241 - Que horas são quando os dois ponteiros de um relógio estão 
superpostos entre 7 e 8 horas.
• R: 7h 38min 2/11 seg.
242 - A que horas exatas entre 19 e 20 horas os ponteiros de um relógio 
estarão superpostos.
R: 19h 38min 2/11 seg.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 207
243 “ Um grupo de garotos,, colegas do mesmo bairro, resolveu se reunir 
para comprar uma bola no valor de $ 120,00, com a participação igual de 
todos. Após o acordo, dois garotos não puderam contribuir forçando 
um aumento de $ 2,00 na cota de cada um dos demais. Quantos garotos 
compunham o grupo inicial. ( U ^ O - ? 7 -3
R: 12 ' . „ - , o : } ‘
244 - Quatro irmãos possuem juntos $ 450,00. Se a quantia do primeiro 
fosse aumentada de $ 20,00 e a do segundo retirado $ 20,00, enquanto 
que a. quantia do terceiro fosse duplicada e a do quarto, reduzida à meta­
de; todos ficariam com igual importância, em dinheiro. Determine quanto 
possui cada um dos irmãos.
R: l ü) % 80,00 2a) $ 120,00 3“) $ 50,00 4Ü) % 200,00
245 - Um grupo de jovens é formado por rapazes e mocas. Dois meses 
após a formação do grupo, 15 moças abandonaram o grupo e ai, se 
observou que cada rapaz podia abraçar exatamente duas moças. Decor­
ridos mais seis meses 45 rapazes deixaram o grupo e ai, cada rapaz pode­
ria ser abraçado exatamente por 5 moças. Calcule o número de rapazes e 
moças quando o grupo foi formado. ^
R: Rapazes = 75 e Moças = 165 M : "
246 ~ Pai e filho têm 100 fichas cada um, começaram um jogo. O pai 
passava 6 fichas ao filho, a cada partida que perdia e recebia dele 4 fichas 
quando ganhava. Depois de 20 partidas o número de fichas do filho era 
três vezes a do pai. Calcule quantas partidas o filho ganhou.
R: 13
247 - Qual é o número que dividido por 2 dê o resto 1, dividido por 3 dê 
o resto 1 e dividido por 4 dê o resto 3; se a soma desses quocientes 
inteiros vale o próprio número.
R: 19
248 - Quatro rapazes compraram um objeto por $ 60,00. O primeiro 
rapaz pagou a metade da soma do valor pago pelos outros rapazes; o 
segundo rapaz pagou um terço da soma do valor pago pelos outros 
rapazes; o terceiro rapaz pagou um quarto da soma do valor pago pelos 
outros rapazes. Calcule quanto pagou o quarto rapaz.
R: % 13,00
2 0 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
249 - Um grupo de abelhas, cujo número era igual à raiz quadrada da 
metade de todo enxame, pousou sobre um jasmim havendo deixado 
para trás 8/9 do enxame. Somente uma abelha do mesmo enxame volteava 
em torno de um lótus atraída pelo zumbido de uma de suas amigas que, 
imprudentemente, havia caído no cálice da linda flor de doce fragância. 
Determine o número de abelhas do enxame.
R: 72 ' A ? ■ v
250 - Um fazendeiro tem milho para alimentar 15 galinhas durante 20 
dias. No fim de 2 dias, compra 3 galinhas; 4 dias depois dessa compra, 
uma raposa mata várias galinhas. O fazendeiro pode alimentar as que res­
tam durante 18 dias. Calcule quantas galinhas a raposa matou.
Solução:
Supondo-se uma ração para cada dia, teremos: ’ r' v -
15 (galinhas) x 20 (dias) = 300 (total de ração). V
No fim de 2 dias foram consumidos: 1 ■' r '>
2 (dias) x 15 (galinhas) = 30 rações 
Restam, portanto: 300 — 30 = 270 rações.
Comprou mais 3 galinhas, ficando com 15 + 3 = 18 galinhas.
Nos 4 dias, as galinhas consumiram 18 x 4 = 72 rações. Restando: 
270 - 72 = 198 rações.
198 (rações) ^ 18 (dias) = 11 galinhas.
18 (galinhas) —11 (galinhas) — 7 galinhas.
Logo, a raposa matou 7 galinhas.
251 - Em um acampamento de 500 soldados, há víveres para 80 dias. Após
28 dias de acampamento chegam mais 150 soldados. Calcule durante 
quantos dias poderão permanecer os soldados acampados mantendo a 
mesma ração para todos eles. - •> V7
R: 40 dias . *
252 - Um navio tem víveres para uma tripulação de 250 soldados durante 
uma viagem de 90 dias. Após 15 dias de viagem, desembarcaram em um 
porto 30 soldados e 20 dias depois o navio recolhe a tripulação de um 
barco naufragado, consdtuída de 67 homens.
Calcule durante quantos dias poderá ainda navegar, mantendo a 
mesma quantidade de ração para os tripulantes e para os náufragos.
R: 50 dias
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS INTEIROS 2 0 9
1
QUESTÕES DE CONCURSOS
01) CJF - Numíi eleição em que dois candidatos disputaram o mesmo
cargo, votaram 2.150 eleitores. O candidato vencedor obteve 148 votos a 
mais que o candidato derrotado. Sabendo-se que houve 242 votos nulos, 
quantos votos obteve cada candidato. ? J -
a) 1.149 e 1.001 b) 1.100 e 952 c) 1.223 e 1.075 
d) 1.028 e 880 e) 1.001 e 907 x
02) AFRE - Uma fábrica dispõe de duas máquinas que produzem diaria­
mente um total de 1.600 peças, sendo que a primeira máquina produz 200 
peças a mais que a segunda. Examinando-se a produção de certo dia, veri­
ficou-se que havia 80 peças defeituosas no total, tendo a primeira máqui­
na, 10 peças defeituosas a mais que a segunda. Neste dia, o total de peças 
boas, produzidas pela primeira máquina foi de: - í '
a) 900 peças b) 885 peças c) 855 peças
d) 825 peças e) 700 peças
03) AFRE - Num jogo disputado entre Alfredo e Mário, combinou-se 
que Mário receberia $ 100,00 por partida ganha e pagaria $ 40,00 cada vez 
que perdesse uma partida. Após 30 partidas Mario recebeu $ 2.160,00. 
Pode-se afirmar que Mário errou:
a) 8 partidas b) 5 partidas c) 6 partidas
d) 2 partidas e) 4 partidas
04) AFRE - Os ingressos para um teatro custam $ 400,00 mas os estu­
dantes pagam $ 250,00. Num dia foram vendidos 120 ingressos e foi arre­
cadado um total de $ 43.200,00. O número de ingressos vendidos para 
estudantes, foi de :
a) 108 b) 72 c) 64 d) 54 e) 32
2 1 0 HILDER GÓES 4* UBALDO TONAR
05) AARE - Um negociante, num dia, recebeu 108 ovos, que os colocou
em duas cestas. A um freguês vendeu 1/3 dos ovos da primeira cesta e a 
outro freguês vendeu 1/6 dos ovos da segunda cesta. As duas cestas têm 
agora o mesmo número de ovos. Quantos ovos havia em cada cesta. - A * 
a) 65 e 43 b) 60 e 48 c) 50 e 58 d) 70 e 38 e) 55 e 53
06) TCC - Se uma nave espacial partiu da terra às 8h 13 min 15s do dia 24 
de março e retomou às 14h 05min 23s do dia 28 do mesmo mês, pergun­
ta-se: o tempo de duração da viagem foi de:
a) 4d 5h 52min 8s b) 4d 13h 22min 38$ ; c) 3d 22h 13min 38s
d) 3d 14h 05min 23s e) 4d 5h42m inl8s
07) TRE - Qual o número que, somado a um quarto deie próprio, mais
dois quartos dele próprio, mais três quartos dele próprio, dá 100. í v ■ 
a) 40 b) 30 c) 25 d) 732 e) 122
08) BB - O carro A, movido a gasolina, consumiu 20 litros em 300 Km e 
o carro B, movido a álcool, consumiu 24 litros em 288 Km. O litro do 
álcool custa $ 360,00 e o da gasolina, $ 600,00. Supondo serem constantes 
os níveis de consumo de combustíveis, após 30.000 Km de percurso:
a) o carro B gastou $ 300.000,00 a menos que A
b) o carro A gastou $ 180.000,00 a menos que Bc) o carro A e o carro B gastaram a mesma quantia
d) o carro A gastou $ 250.000,00 a mais que B
e) o carro B gastou $ 200.000,00 a mais que A
09) BB - Um atirador ganha $ 10,00 por tiro acertado e perde §15,00 por
üro errado. Se num total de 100 tiros, lucrou $ 250,00 quantos tiros errou, 
a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 - ? ! ':
»c.-; - ■' ■ ?
10) BB - A soma dos dois algarismos de um número é 12. Se trocarmos a
ordem' desses algarismos, o número aumenta em 18 unidades. Determine 
á terça parte desse número: . ^ 1 - ~ ':
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 ■
11) BB - O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio, quando
este indica lOh 10 min, é: . /T-'- *
a) 85° b) 95° c) 105° d) 115° e) 125°
NIaÕÊmÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 2 1 1
12) BEC - As idades de um pai e de um Slho hoje são de 60 e 21 anos. Há 
quantos anos a idade do pai era o quádruplo da idade do filho.
13) BEC - Comprei 12 dúzias de canetas e 15 dúzias de chaveiros por 
$ 2.760,00. Uma dúzia de chaveiros é mais cara do que uma dúzia de 
canetas $ 40,00. Qual o preço de um chaveiro.
14) BEC - Qual é o número que somado a sua metade mais sua quinta
parte é igual ao próprio número menos 12. ^ x _ ^
* 5-"
15) BEC - A terça parte de um número somado com outro dá 7. A meta­
de do primeiro menos 1/3 do segundo é igual a 3 1/6. Quais os números.
A 4 v
* 7- . > &16) BEC - Em um local existem homens e mulheres. A quantidade de 
mulheres era 3/5 dos homens, se 5/12 dos homens e duas mulheres saís­
sem ficariam quantidades iguais. Quantos homens e mulheres existiam.
17) BEC - Em uma classe 4/3 das mulheres é igual a quantidade de ho­
mens. Se tirasse 8 homens e duas mulheres ficariam quantidades iguais. 
Quantos homens e mulheres existiam.
18) CEF - Os preços dos ingressos de certo baile eram $ 500,00 para
mulheres e $ 800,00 para homens. Se 154 pessoas pagaram ingressos, arre­
cadando-se o total de $ 101.000,00. O número de ingressos vendidos para 
mulheres foi de:
a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78
19) CEF - Após meia hora de trabalho, dois caixas de um banco verifica­
ram que o total de cheque que ambos tinham recebido, era 28. Se o produ­
to do número de cheques que cada um recebeu era 192, então o número 
de cheques recebidos, nessa meia hora, por um dos caixas foi:
a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16
20) MPU - Numa divisão o divisor é 14, o quociente é 26 e o resto é o 
maior possível. Qual é o dividendo.
a) 496 b) 378 c) 377 d) 376 e) 372
2 1 2 HRDER GÓES * UBAUDO TONAR
21) MPU - Pedro, João e Antônio têm juntos 1.500 figurinhas. Pedro tem 
254 figurinhas. João tem o triplo das figurinhas de Pedro. Quantas figurinhas 
tem Antônio:
a) 1210 b) 1014 c) 762 d) 686 e) 484
22) MPU - Os professores e alunos de uma escola somara 3.841 pessoas.
O número de professores é 64. O total de meninos é o dobro do total de 
meninas. Quantos são os meninos.
a) 2518 b) 2045 c) 1859 d) 1259 e) 1184
23) MPU - Uma pessoa comprou dois caminhões carregados de cocos da 
Bahia a $ 14.000,00 a unidade; a carga de um dos caminhões custou 
$ 630.000,00 a mais que a do outro. Retirando-se do primeiro 5/13 do 
conteúdo e do segundo 1/5, o resto, nos dois, torna-se igual. A quantida­
de de cocos em cada caminhão é de:
a) 1.500 e 1.545 b) 350 e 395 c) 250 e 295
d) 150 e 195 e) 2.500 e 2.545
24) MPU - Que horas são agora, se 1 /4 do tempo que resta do dia é igual 
ao tempo já decorrido.
a) 8 horas b) 4 horas c) 4h 48 min d) 6h 48min e) 5h 48min
25) TRT -U m comerciante pretendia vender as laranjas de seu estoque 
a $ 3.000,00 a dúzia. Entretanto, -estragaram-se 3 dúzias e, para não ter 
prejuízo, resolveu vender o restante a $ 3.200,00 a dúzia. Quantas dúzias 
de laranjas ele tinha inicialmente.
a) 42 b) 48 c) 50 d) 56 e) 58
26) TRT - As idades de doís irmãos somam, hoje 22 anos. Se, há 4 anos,
o produto de suas idades era 48, atualmente o mais velho tem:
a) 8 anos b) 9 anos c) 10 anos d) 11 anos e) 12 anos
27) TRT - A velocidade de um veículo é 72 Km/h. Essa velocidade é 
equivalente a:
a) 0,02 Km/seg b) 0,2 Km/seg c) 1,2 Km/seg
d) 2 Km/seg e) l^Km/Seg
MATEMÁTICA PAEA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 213
28) TRT - Um setor de uma repartição recebeu um lote de processos. 
Desse lote, cada funcionário arquivou 15 processos, restando 5 processos. 
Se cada funcionário tivesse arquivado & processos, restariam 33. O núme­
ro de funcionários desse setor é:
a) 4 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10
29) TRT -N o alrnoxarifado de uma empresa há um estoque de lápis e 
borracha, num total de 750 unidades. Se o número de lápis é o triplo do 
número de borrachas menos 450, o número de lápis é:
a) 300 b) 400 * c) 450 d) 500 e) 550
30) TRE - Dividindo-se um número natural X por 5, obtém quociente 33 
e o resto é o maior possível. Esse número X é:
a) menor que 1 centena b) maior que 2 centenas
c) igual a 3 centenas d) quadrado perfeito e) cubo perfeito
31) TRE - Um comerciante comprou 20 dúzias de camisetas peio preço 
de $ 62.400,00. Vendeu-as em oferta ao preço de 3 por $ 1.100,00. O íucro 
obtido nessa venda foi de:
a) $ 1.280,00 b) % 3.600,OO5 c) $10.200,00
d) $16.800,00 e) $25.600,00
32) TRE - João e Cláudio receberam um total de 180 documentos para pro­
tocolar Se João desse a Cláudio a metade do total de documentos que rece­
beu, Cláudio ficaria com 130 documentos. Nestas condições, é verdade que:
a) Cláudio recebeu a metade do número de documentos que Joao recebeu
b) João recebeu 120 documentos
c) Cláudio recebeu 80 documentos
d) João recebeu 10 documentos a mais que Cláudio
e) João recebeu 40 documentos a mais que Cláudio
33) TRE - Numa seção de uma repartição pública trabalham 20 atendentes 
judiciários a menos que o número de auxiliares judiciários. Se o número de 
auxiliares correspondem a 3/4 do número total de funcionários dessa se­
ção, o número de atendentes é:
a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22
2 1 4 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
34) TRE - De 50 pessoas que trabalham mima empresa, os 0,4 desse 
número recebem salário mensal de $ 15.000,00 cada e as restantes rece­
bem $ 22.000,00 cada. A folha de pagamento desses'funcionários perfaz 
um total de:
a) % 660.000,00 b) $ 820.000,00 c) $ 890.000,00
d) $ 930.000,00 e) ? 960.000,00
35) TRE - Dispõe-se de um pacote de balas que devem ser distribuídas
entre algumas crianças, de modo que cada uma receba igual número de
balas. Sabendo-se que, se cada criança receber 20 balas, restarão 12 balas 
no pacote. Entretanto, se cada uma receber 15 balas, restarão 42- Quantas 
existem nesse pacote.
a) 102 b) 132 c) 148 d) 164 e) 180
36) TRE - Numa reunião, o número de mulheres excede o número de 
homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo nú­
mero de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é:
a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36
37) TJC - "Domjuanito" é comerciante e comprou 36 bonecas por $ 9.360,00. 
Deu 6 bonecas para seis crianças pobres. As restantes, vendeu-as pelo preço 
total de compra. Então, "Dom Juanito” vendeu cada boneca por %.
a) 260,00 b) 312,00 c) 1.560,00 d) 520,00 e) 624,00
38) TTN - A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade 
que ele terá daqui a 20 anos e a terça parte dá que teve 5 anos atrás. 
Podemos então afirmar que atualmente.
a) Carlos é uma criança de menos de 12 anos
b) Carlos é um jõvem de mais de 12 anos e menos de 21 anos
c) Carlos tem mais de 21 anos e menos de 30 anos
d) Carlos já passou dos 30 anos e não chegou aos 40-anos
e) Carlos tem mais de 60 anos
39) TTN - Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo 
decorrido.
a) 7h e 40 min b) 7h c) 4h- d) 5h e) 6h e 24 min
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 215
40) TTN -U m negociante comprou alguns bombons por % 720,00 e
vendeu-os a $ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons,
o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombomfoi de: 
a) $ 12,00 b) $ 75,00 c) 9 60,00 d) $ 40,00 e) $ 15,00
41) TTN - Para passar totalmente uma ponte de lOOm de comprimento, 
um trem de 200m, a 60 Km/h, leva:
a) 6s b) 8s c) lOs d) 12s e) 18s
42) TTN ~ Duas estações, A e B, de uma linha férrea, distam 180 Km. Um 
trem parte da estação A para B com a velocidade de 10 m/s; no mesmo 
instante, parte de B para A, um segundo trem, com velocidade de 5 m/s. A 
que distância de A se encontrarão.
a) 100 Km b) 110 Km c) 115 Km d) 120 Km e) 125 Km
43) TTN - Há 8 anos a idade de A era o triplo da de B e daqui a 4 anos a
idade de B será os 5/9 da de A. Achar a razão entre as idades de A e B. 
a) 1/2 b) 2/1 c) 3/2 d) 2/3 e) 3/1
44) TTN - Certa quanddade de sacos precisa ser transportada e para isto 
dispôem-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, so­
bram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento sobram três 
jumentos desocupados. Quantos sacos precisam ser carregados.
a) 44 b) 45 c) 57 d) 22 e) 30
45) TTN - Comprou-se vinho a $ 4,85 o litro e chope a $ 2,50 o litro. O 
número de litros de chope ultrapassa o de vinho em 25 e a soma paga pelo 
vinho foi de $ 19,75 a mais do que a paga pelo chope. A quantidade de 
litros de vinho comprada foi de:
a) 60 b) 40 c) 65 d) 35 e) 25*
46) TTN - Uma pessoa, ao fazer um cheque, inverteu o algarismo das 
dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de 
$ 270,00. Sabendo-se que os dois algarismos estão entre si como 1 está 
para 2, o algarismo, no cheque, que está na casa das dezenas é o:
a) 6 b) 2 c) 1 d) 3 e) 4
2 1 6 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
47) TRE - Um fabricante de palitos de fósforos acondicionou uma certa 
quantidade de palitos em 5 dúzias de caixas, cada uma contendo 80 pali­
tos. Se, como medida de economia, resolvesse colocar 96 palitos em cada 
caixa, a quantidade de caixas que economizaria é:
a) meia dezena b) meia dúzia c) uma dezena d) uma dúzia
e) uma dezena e meia
48) TRE ~ Uma seção de uma Repartição recebeu um lote de processos 
para arquivar. Foram dados 12 processos a cada funcionário da seção, res­
tando 8 processos do lote; se fossem dados 8 processos a cada funcioná­
rio, restariam 24. O total de processos do lote era:
a) 46 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56
49) TRE - A soma de 100 números inteiros de um conjunto é igual a S. Se 
cada número do conjunto é aumentado de 3 unidades e o resultado multi­
plicado por 3, então a soma dos números do novo conjunto é igual a:
a) 3S b) 3S + 300 c) 3S + 900 d) S + 100 e) S + 300
50) PRF - Para numerar as páginas de um livro de 468 páginas quantos
algarismos são escritos.
a) 468 b) 936 c) 1.296 d) 1.324 e) 1.428
51) PRF - A casa de João, fica a 10 Km da rodoviária. João chegou à 
rodoviária às 17 horas, e sua mulher saiu às 17 horas para buscá-lo. João 
impaciente, pôs-se a andar. Encontrou sua mulher no caminho e foram 
juntos para casa. Á que horas chegaram, se João anda a 5 Km/h e sua 
mulher dirige a 45 Km/h.
a) 17h b) 17h 12min c) 17h 24min d) 17h 36min
e) 17h 48min
52) PETROBRAS - As estações A e B d e uma ferroviária distam entre si 
700 Km. Em A, há carvãb disponível ao preço de 50 URVs por tonelada, 
e em B, há carvão ao preço de 40 URVs por tonelada. O transporte de 
uma tonelada de carvão custa 0,2 URV por quilômetro. O ponto da ferro­
via, no qual é indiferente comprar carvão em A ou em B, se situa a quantos 
quilômetros de A.
a) 250 b) 275 c) 300 d) 325 e) 350
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 2 1 7
53) CPRM - Daqui a 140 meses estaremos em: (OBS.: A prova foi realiza­
da no mês de maio). ;
a) dezembro b) janeiro c) fevereiro d) março e) abril
54) CPRM - Em uma prova de 25 questões, cada. acerto vale +4 pontos,
e cada erro vale — 1 ponto. Se Eduardo obteve 60 pontos, a diferença entre
o número de acertos e o número de erros de Eduardo é igual-a:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
55) TRT ~ Um digitador ganha % 800,00' por página digitada e calcula que 
leva 12 minutos para digitar uma página. Se ele trabalhar durante 15 dias 
das 14h 40min às 18h 16min., ele vai receber:
a) $ 376.000,00 b) $ 225.600,00 c) $ 201.600,00
d) $ 336.000,00 e) $ 216.000,00
56) TRF - Dois programadores compraram disquetes, gastando um total 
de $ 36.000,00. Se o mais novo deles gastou f 10.000,00 a menos que o 
outro, então o mais velho gastou:
a) $ 21.000,00 b) $ 21.500,00 c) $ 22.000,00
d) $ 22.500,00 e) % 23.000,00
57) TRF - Um período de 4.830 segundos corresponde a: 
a) 1 hora, 2 min e 3 seg b) 1 hora, 20 min e 30 seg
c) 3 horas, 6 min e 6 seg d) 3 horas, 21 min e 6 seg
e) 6 horas, 42 min e 12 seg
58) BM - Em uma agência bancária trabalham 82 funcionários, entre ho­
mens e mulheres. Se o número de mulheres excede de 16 unidades a metade 
do número de homens, quantos homens trabalham nessa agência.
a) 36 b) 38 c) 42 d) 44 e) 48 í > " ’ '
59) BM - Passadas 170 horas das 14 horas de uma segunda-feira estare­
mos em:
a) um domingo às 10 horas b) uma outra segunda-feira às 16 horas
c) uma outra segunda-feira às 18 horas
d) uma terça-feira às 2 horas e) uma terça-feira às 8 horas
218 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
60) DNER - Quantos inteiros há entre — 13,25 e 27,42?
a) 37 b) 38 c) 39 d) 40 e) 41
61) DNER - A solução da inequação 2x + 9 < 4x + 5 é:
a) — 2 < x < 2 b) x < — 2 c) x > — 2 d ) x < 2 e ) x >2
62) DNER - Raimundo comprou rádios e vendeu-os todos por $ 371,00 
com lucro total de $ 35,00. Se tivesse vendido cada rádio por $ 46,00 teria 
tido um prejuízo de $ 14,00. Cada rádio custou a Raimundo:
a) $47,00 b) $ 48,00 c) $ 53,00 d) $ 55,00 e) $ 60,00
63) TRT - Um motorista está fazendo uma viagem entre duas cidades. 
Saiu às 6h 40min e percorreu 350 Km até as l lh 20min.Faltam ainda 230 
Km para percorrer; se ele mantiver a mesma velocidade, chegará às:
a) 13h 55min b) 14h 24min c) 14h 35min
d) 15h 15min e) 15h 4min
64) TRT - Um trem, de 400m de comprimento, tem velocidade de 10 
Km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma 
ponte de 300m de comprimento.
a) lmin 48s b) 2min 24s c) 3mín 36s
d) 4min 12s e) 5min
65) TRE - Em uma viagem 1/3 da distância foi percorrida a 60 Km/h e 
2/3 da distância, a 80 Km/h. O tempo gasto na viagem seria o mesmo se 
a distância toda fosse percorrida a:
a) 68,8 Km/h ' b) 70 Km/h c) 72 Km/h
d) 73,3 Km/h e) 75 Km/h
66) TRE - Em uma mesa de um restaurante estavam a família Silva (um 
casal e duas crianças) e a família Costa (um casal e uma criança). A conta 
de | 75,00 foi dividida de modo que cada adulto pagasse o triplo de cada 
crianças. Quanto pagou a família Silva.
a) $40,00 b )$ 42,00 c) $ 43,00 d) $ 44,00 e) $ 45,00
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 2 1 9
67) TJCE - Pedro gastou § 540,00 na compra de certo número de rádios
portáteis. Se ele aumentasse a sua compra em mais 5 unidades teria gasto 
| 690,00. Nessas condições, a quantidade de rádios que Pedro comprou: 
a) 24 b) 22 ' c) 19 d) 20 e) 18 . —/2
68) TJCE - Na Páscoa, foram distribuídos 60 bombons da seguinte for­
ma: a primeira pessoa ficou com mais 02 bombons que a segunda e esta 
com mais 05 que a terceira. Sobraram 03 bombons que foram dados ao 
entregador. Quantos bombons coube à pessoa que mais ganhou. < x 5 
a) 30 b) 22 c) 15 d) 20 e) 25
j: X
69) TJCE - Hortência, Paula e Marta, em um jogo de basquete, fizeram a
maioria das cestas. Juntas Hortência e Paula fizeram 45 pontos; Paula e Marta,
42 pontos; Hortência e Marta, 57 pontos. Quantos pontos Paula fez. 
a) 27 b) 35 c) 10 d) 15 e) 30
70) TJCE - Uma sacola de moedas é dividida entre algumas pessoas, fi­
cando cada uma com 24 moedas. Se uma das pessoas distribuir a sua parte 
entre as demais, cada uma fica com 4 moedas a mais. Quantas moedas 
continha a sacola. ' q u , y z
a) 144 b) 168 c) 240 d) 112 e) 120-í r ^ n 'n\( . f - í
Í
71) TJCE - Se um menino faltar, as meninas da classe serão o dobro dos
meninos.Se, em vez disso, faltarem 11 meninas, haverá um mesmo número 
de meninos e meninas na classe. O número de meninos nessa classe é de: 
a) 25 b) 11 c) 13 d) 20 e) 22
72) TJCE - Foi elaborada uma prova com 39 questões. Na primeira parte 
da prova havia X questões valendo 3 pontos cada; na. segunda parte, havia 
Y questões valendo 2 pontos cada. A prova toda valia 100 pontos. A quan­
tidade de questões da primeira parte era de:
a) 17 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
2 2 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
RESPOSTAS
01) D 02) C 03)
06) A 07) A 08)
11) D 12) 8 13)
16) 120 e 72 17) 24 e 18 18)
21) E 22) A 23)
26) E 27) A 28)
31) E 32) C 33)
36) D 37) B 38)
41) E 42) D 43)
46) D 47) C 48)
51) C 52) D 53)
56) E 57) B 58)
61) E 62) B 63)
66) A 67) E 68)
71) C 72) B
C 04) E 05) B
A 09) C 10) D
10 14)40 15) 9 e 4
C 19) E 20) C
D 24) C 25) B
A 29) C 30) D
A 34) E 35) B
B 39) E 40) C
B 44) C 45) D
E 49) C 50) C
B 54) D 55) E
D 59) B 60) E
B 64) D 65) C
B 69) D 70) B
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕEÍS DE CONCURSOS 221
19
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Antes de iniciarmos a resolução dos problemas de números fracio­
nários, devemos atentar para algumas observações muito importantes que 
facilitarão a resolução desses problemas.
Primeira: . A unidade é o número básico para resolvermos proble­
mas de números fracionários.
Segunda: Para maior facilidade de cálculos, devemos escrever a 
unidade como uma fração aparente, isto é, na qual o 
numerador seja igual ao denominador, isto dependen­
do da situação de cada problema.
Olhe:
a) Se você perdeu 2/5 do que possuía, era porque você possuía 1, 
mas você escreve 5/5.
5 , 2 3
~ (possuía) — “ (perdeu) — ~ (resto)
5 5 5
b) Se você deu 3/7 do que tinha, era porque você tinha 7/7
7 3 4
~ (tinha) - — (deu) - “ (resto)
Terceira: Para se saber quanto é uma fração de um número ou de
outra fração, multiplica-se a fração pelo número ou pela 
outra fração.
222 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
3 3 60
a) Quanto é ~ de 20. faca: "7 x 20— “7 — 15
4 4 4
2 4 2 4 8
b) Quanto é - d e - , faça: “ X—
Quarta: Quando se tem uma fração que eqüivale ou corresponde 
a um número ou a uma quantia, e se deseja saber o TO­
TAL, multiplica-se o número ou a quantia pela fraçào 
invertida.
Veja:
Olhe:
a) 2/3 de um número corresponde a 60. Calcule esse número.
Éaca: 6 0 x -= — =90
2 2
b) Se 3/4 do que possuo eqüivale a $ 1.200,00. Calcule quanto 
possuo.
A
faca: $ 1.200,00 x —= $ 1.600,00
3
Quinta; Na resolução da maioria dos problemas de números 
fracionários é de fundamental importância, você encon­
trar uma fração que corresponda a um número ou a uma 
quantia em dinheiro, por exemplo. Depois de achada essa 
fraçào, resta-lhe apenas, aplicar a quarta observação vista 
anteriormente.
Veja com Atenção:
Nunca some ou subtraia fração com qualquer outra coisa, por 
exemplo, com ovos, com laranja, com dinheiro, etc.; a não ser com 
fração.
01— Uma criança perdeu 3/5 dos bombons que possuía. Calcule que fra­
ção de bombons ainda lhe resta.
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 223
Solução:
Se ela perdeu 3/5, é porque possuía 5/5, isto é, a unidade. Então
temos:
5 3 2
— (total) - ” (perdeu) = ~ (resto). Logo, a criança ficou com 2/5
5 5 5
dos bombons.
02 — Uma pessoa percorreu 3/8 de uma estrada. Calcule que fração ainda 
lhe resta para percorrer.
Solução:
Se ela percorreu 3/8 da estrada, era porque a estrada toda era 8/8, 
isto é, a unidade.
8 3 5
~ (a estrada toda) — “ (que percorreu) — ~ o que resta da estrada
para ser percorrido.
Veja: Nos dois exercícios anteriores, substituímos a unidade, que 
representa o total de qualquer coisa, pelas fraçòes 5/5 e 8/8; para maior 
facilidade de cálculo.
03 — Uma pessoa deu 3/7 do que possuía. Com que fração ficou?
R: 4/7
04 — Uma pessoa emprestou os 5/6 da quantia que possuía, a um amigo; 
a outro emprestou 1/9. Calcule com que parte ficou.
. R: 1/18
05 ~ De uma peça de tecido foi retirado 1/3 e depois 2/5. Calcule que 
fração restou.
R: 4/15
06 — Depois de gastar a metade de um quarto do meu dinheiro, com que 
parte ficarei?
R: 7/8
224 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
07 — Depois de gastar a terça parte da metade do que tenho mais a metade 
da terça parte. Calcule com que parte ficarei.
R: 2/3
08 — Numa cesta há 80 ovos. Calcule quantos ovos correspondem a 3/4.
Solução:
3
Basta efetuarmos a multiplicação: x 80 = 60.
4
09 — Um objeto custa $ 320,00; calcule o valor dos seus 3/8.
Solução:
Como desejamos saber quanto é 3/8 de $ 320,00; basta efetuarmos
3
a multiplicação. — x 320,00 = $ 120,00 
8
10 — Um filho tem 2/5 da idade do pai. Se o pai tem 40 anos, calcule a 
idade do filho.
R: 16 anos.
11 - Numa prova de 30 questões, um aluno acertou 4/6. Calcule quantas 
questões o aluno acertou.
R: 20
12 — Numa classe de 60 alunos 1/5 não compareceu. Calcule quantos 
alunos não compareceram.
R: 12
13 - Em minha biblioteca existe 1.335 livros. Quantos livros corresponde a 2/5.
R: 534
14 — Um avião tem 40 lugares. Estando ocupados mais de 1/4 e menos de 
3/10. Calcule quantos lugares vazios ainda existem.
R: 29
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 2 2 5
15/- Por 3/5 de uma coleção paguei mais 18 livros do que se tivesse com- 
■ í^rado 3/7. Calcule quantos livros tem essa coleção.
R: 105
fl<| — Por 3/4 de uma coleção, paguei mais 10 livros do que se tivesse 
xcomprado 2/3. Calcule quantos livros tem essa coleção.
R: 120.
17 — Dos 120 alunos de uma classe 2/3 foram aprovados. Calcule o núme­
ro de alunos reprovados.
Solução:
Se 2/3 foram aprovados é porque o total ê 3/3. Então, temos:
3 2 1
(total) — ~ (aprovados) — ~~ (reprovados). Basta agora cal-ó 3 3
1 1
cular — de 120. isto é, — x 120 = 40.
3 3
18 — Dos 6.000 candidatos inscritos em um concurso, 2/10 foram aprova­
dos. Calcule o número de alunos reprovados.
R: 4.800
19 — Num concurso público, os 2/5 dos candidatos inscritos foram apro­
vados. Foram reprovados 120 candidatos. Calcule o número total de can­
didatos inscritos.
R: 200
20 — Os 4/5 dos alunos de uma classe passaram de ano e 20 ficaram para 
recuperação. Calcule o número de alunos dessa classe.
R: 100
21 ~ Se 2/3 de um número eqüivale a 60, calcule esse número.
Solução:
2 2 6 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
Gomo temos uma fração correspondente a um número e deseja­
mos saber o total, isto é, qual é esse numero, basta multiplicarmos o nú­
mero pela fração invertida.
6 0 /k ^ = 9d / '
22 — A quinta parte dos alunos de uma classe corresponde a 9 alunos. 
Calcule quantos alunos há nessa classe.
R: 45
23 — Uma pessoa gastou 3/5 do seu dinheiro, correspondente a $ 150,00. 
Calcule quanto possuía essa pessoa.
R: $ 250,00
24 ~ Os 3/5 do que possuo corresponde a $ 426,00. Calcule quanto 
possuo.
R: $ 710,00
25- Para ladrilhar os 7/25 de uma sala foram gastos 84 ladrilhos. Calcule 
quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar a sala toda.
R: 300
26 — Os 2/5 de um número eqüivale a 64. Calcule os 7/16 desse número. 
Solução:
Devemos inicialmente, calcular o número, isto é, o total, para em 
seguida, calcular os 7/16 desse número. Senão vejamos:
Se 2/5 do número vale 64, para obter o número todo, basta multi­
plicar 64 pelo inverso da fração. No que resulta:
5
64 x — = 160 
2
Como agora temos o todo, no caso 160 e queremos saber quanto é 
7/1-6 desse todo, basta efetuar a multiplicação. Isto é: ~ x 160 = 70
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 227
27 — Os 4/9 dos operários de uma fábrica e o 128 pessoas. Calcular o 
número de operários correspondentes a 1/6.
R: 48
28 — Os 3/5 dos alunos de um colégio são 360 alunos. Calcular os seus 
7/12.
R: 350
29 - Os 3/4 das aves de um galinheiro são 420 aves.Calcular os 4/7 das 
aves desse galinheiro.
R: 320
30 — A soma dos 
número.
Solução:
2_ 7_
5 5
5
180 x —' = 100
9
31-A soma dos 3/8 e dos 6/8 de um número vale 630. Calcule esse número. 
R: 560
32 - Numa fábrica os 2/3 dos operários são homens e 1/4 são mulheres, 
esses operários eqüivalem a 110 do total de operários. Calcule quantos 
operários existem na fábrica.
R: 120
33 — Para ladrilhar os 3/11 mais os 2/5 de uma sala, são necessários 518 
ladrilhos. Calcule quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar a sala 
toda,
R: 770
2/5 e dos 7/5 de um número vale 180. Calcule esse
= ~ fração correspondente a 180. Entao temos:
2 2 8 HILDER GÓES * UBAIDO TONAR
34 - Os 2/3 dos 3/5 de um número são 312. Calcule esse número.
Solução:
Primeiramente, vamos calcular 2/3 dos 3/5. Basta efetuarmos a 
2 3 _ 2
muldpEcação. Entao temos: ^X 5 _ 5 clue corresPon^e a 312. Para saber­
mos o total, multiplicamos o número pela fração invertida. Logo
5
312 x - = 780.2
35 — Os 3/7 dos 4/11 de um número são 480. Calcule esse número.
R: 3.080
36 — Os 2/5 dos 4/9 do comprimento de uma peça de fazenda são 840 
metros. Calcule quantos metros mede a peça toda.
R: 4.725
37 - Em um colégio os 2/3 dos 4/5 dos alunos matriculados são 560 
alunos. Calcule o número total de estudantes deste colégio.
R: 1.050
38 — Somando a um número 4/11 dos mesmo número, o resultado é 195. 
Calcule esse número.
Solução:
Como somamos 4/11 do número é porque o número é 11/11.. En~
'4 11 15 ,
tão tem os:----!— = — que corresponde a 195. Para se calcular o numero,
11 11 11 M ^ '
basta multiplicar 195 pela fração invertida. Então, vem: 195 x ~ - i43.
39 — Subtraindo-se de um número, 3/7 do mesmo número, o resultado é 
160. Calcule esse número.
R: 280
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 2 ^ 9
40 - Diminuindo-se de um número os 5/9 do mesmo número, restam 
320. Calcule esse número.
R: 720
41 - Tinha dinheiro para comprar 9 objetos de mesmo valor. Gastei 
1/3, depois 1/5, depois 2/5 e fiquei com $ 72,00; Calcule quanto custa 
cada objeto.
R: $ 120,00
42 — A metade de um número mais a quinta parte é igual a 35. Calcule esse número.
R: 50
43 — A terça parte de um número diminuída da oitava parte é igual al5. 
Calcule esse número.
R: 72
44 — Uma pessoa que ganha $ 1.080,00 por mês, faltou 4 dias. Calcule quanto 
deve receber no fim do mês se, em cada falta, perdeu 2/3 do ordenado diário.
R: $ 984,00
45 — Se num galinheiro tivesse mais 1/5 das aves que tem, ficaria com 360 
pés de aves. Calcular quantas aves há no galinheiro.
R: 150
46 - Calcular o número de funcionários de uma empresa, sabendo-se que 
se do número deles diminuirmos a sua metade, a sua terça parte e em 
seguida acrescentamos ao resto a sexta parte, resulta 800 funcionários.
R: 2.400 '
47 — Há bananas num cesto e num saco. Os 6/7 do número de bananas 
contidas no cesto são iguais a 42 bananas e os 9/14 das bananas contidas 
no saco sào iguais a 36 bananas. Determine onde há mais bananas, se no 
cesto ou no saco e quantas.
R: No saco, 7 bananas.
230 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
48 - Num dia, um tear tece 1/4 de uma encomenda. No dia seguinte, tece 
mais 3/8. Desse modo, o tear completou 540 metros. Calcuie quantos 
metros tem a encomenda toda.
R: 864m
49 — Num dia um viajante percorreu 3/8 de uma estrada, no dia seguinte 
percorreu mais 1/4. Nesses dois dias o viajante percorreu 20 km. Calcule 
quantos quilômetros falta percorrer.
R: 12 km
50 - Calcule quanto eu possuía se, numa feira, gastei 2/7 em frutas, 1/5 
em verduras e 3/7 em mantimentos e ainda voltei com $ 90,00.
Solução:
2 1 3 10+7 + 15 32 
Somando-se as fracÕes, temos: * 1 — : ” T
7 5 7 35 35
Observe que 32/35 é a fraçào que representa o que foi gasto. Como 
foi gasto 32/35
35 32 3
Logo: ~~ (total) - ~ (gasto) = ~ (resto) que corresponde
35 35 ' 35
a $ 90,00 que sobraram. Então, para se calcular o total, vem:
35
90,00 x ” = $ 1.050,00
3
51 — Um homem esteve 1/4 de sua vida, solteiro. 3/5 casado e 12 anos 
viúvo. Calcule a idade que tinha quando morreu.
R: 80 anos
52 - Achar o número de alunos de uma sala, se 1/3 deles está lendo; 1/4 
escrevendo e os 20 restantes fazendo contas.
R: 48 alunos
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 2 3 1
' 53/- Numa sala de aula, 3/8 das carteiras estão ocupadas por rapazes; 
'por moças e ainda existem 6 carteiras vazias. Calcule quantas carteiras 
existem nessa sala.
R: jt-8 carteiras
*■? li L-
54 - Um viajante fez uma viagem de 240 km. Os 3/4 do percurso foi feito 
de trem; 1/6 de automóvel e o resto a cavalo. Calcule quantos quilôme­
tros ele andou a cavalo.
R:.20..km
55 - Uma pessoa gastou, num dia 3/5 do seu dinheiro e depois, durante 
três dias, 1/8 em cada dia e ainda ficou com $ 20,00, Calcule quanto essa 
pessoa possuía.
R: $ 800,00
56 — Um certo número de laranjas foi dividido em três partes. A primeira 
1/8; a segunda 1/3 e a terceira as 65 laranjas restantes. Calcule o total de 
laranjas.
R: 120 laranjas
57 — Num quintal, 1/5 das aves são galinhas; 2/3 sao pombos. Calcule o 
total de aves, sabendo que existe 32 perus.
Solução:
1 2 3+10 13
T + - - — ---- --- fração equivalente ao número de galinhas e
5 3 15 15
pombos.
15 13 ' 2
~ (total) - ~ (galinhas e pombos) = ~ ‘(perus).
15
Logo: 32 x ~ — 240
232 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
58 - Numa indústria 2/3 dos operários são homens e 1/4 são mulheres. 
Os 30 restantes são meninos. Calcular o número de mulheres.
R: 90 mulheres
59 — Pitágoras interroga a respeito do número de seus alunos, respondeu: 
metade estuda matemática; um quarto, os mistérios da natureza; um séti­
mo medita em silêncio e há ainda, meia dúzia que nào sabe o que quer. 
Calcule o número de alunos de Pitágoras.
R: 56 alunos
60 — A obra de determinado escritor foi classificada exn romances, contos 
e poemas. 1/5 dos volumes de sua obra é constituída de romances e 2/3 
de contos. Sabendo-se que ele escreveu de poemas, 4 volumes, pede-se 
calcular o número de volumes de contos por ele escrito.
R: 20 volumes
61 — Uma pessoa repartiu o seu dinheiro entre três outras. A primeira 
recebeu 1/3; a segunda 1/9 e a terceira o restante que é 2/7 de $ 350,00. 
Calcule quanto possuía essa pessoa.
R: % 180,00
62 — Dividiu-se certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 1/3; a 
segunda 1/4 e a terceira o restante. Calcule quanto recebeu a terceira pes­
soa, se os 5/6 da quantia dividida valem $ 540,00.
R: $ 270,00
63 — Os alunos de um colégio foram separados em três grupos. No pri­
meiro grupo ficaram 2/5 mais 30 alunos; no segundo, 3/8 mais 50 e no 
terceiro os 100 alunos restantes. Calcular o número total de alunos.
Solução:
2 3
Somando com —, temos:
5 8
MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 233
2 3 164-15 _ 31
—!—=---------—~— fracão correspondente as partes fracionárias
5 8 40 ; 40 r
do primeiro e do segundo grupo.
40 31 9
— (total) - —* = — (resto). Fração que corresponde a
40 40 40
180 = (30 + 50 + 100) restante dos alunos.
Só nos resta calcular o total de alunos; multiplicando-se o número
40
pela fração invertida: 180 x “ — 800 
R e l e m b r e :
Nunca some ou subtraia fração com outra coisa a não ser com fração.
/
64 — Uma pessoa repartiu certa quantia entre três outras: a primeira rece­
beu 1/8 mais $ 100,00; a segunda recebeu 5/20 mais % 400,00 e a terceira 
recebeu $ 500,00. Calcule quanto recebeu a primeira pessoa.
R : $ 300,00
65 — A comprou 1/6 de certo terreno. B e C compraram, respectivamente, 
2/5 e 2./15 do resto. Calcular a área primitiva, do terreno, sabendo que 
sobraram 1.470 m2 após a última venda.
R ; 3.780 m2
66 — Uma peça de fazenda foi dividida entre três pessoas. A primeiraficou com 
2/5 da peça menos 4 metros; a segunda com 1/3 mais 5 metros; a terceira com 
os 7 metros restantes. Calcular quantos metros recebeu a segunda pessoa.
R : 15m
67 — Três irmãos devem dividir certa importância de modo que: o primei­
ro, receba 2/3 menos $ 200,00; o segundo, receba 1/3 menos $ 400,00 e
o terceiro receba 1/2 menos $ 500,00. Calcule a quantia dividida.
R : $'2.400,00
234 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
68 — Indicar as menores frações equivalentes a 9/10 e 7/12 onde o 
numerador da primeira seja igual ao denominador da segunda.-
Solução:
Calcula-se o M.M.C do numerador da primeira com o denomina­
dor da segunda
_ 36
M.M.C (9,12) = 36—>
36^9=4x10=40 e 36-^12=3x7=21 
36 21
No que resulta: — ,—
H 40 36
69 — Apresente uma fração equivalente a 3/8 e outra a 7/11, de tal modo 
que o numerador da primeira e o denominador da segunda sejam iguais.
R: 33/88, 21/33
70 — Escreva três frações equivalentes a 1/3, 4/5 e 1/6 de modo que o 
denominador da primeira, o numerador da segunda e o denominador da 
terceira, sejam todos iguais.
' R: 4/12,12/15e 2/12
71 — Calcule as menores frações equivalentes a7/10el5/16 onde o deno­
minador da primeira seja igual ao numerador da segunda.
R: 21/30 e 30/32
72 — Indicar as menores frações equivalentes a 4/3 e 5/2 nas quais os 
numeradores sejam iguais.
R: 20/15e 20/8
73 — Escreva duas frações equivalentes, respectivamente a 2/9 e 4/5 
tais que o denominador da primeira seja o sêxtuplo do numerador da 
segunda.
R: 48/216e 36/45
MATEMÁTICA PARA CONCURSO- NÚMEROS FRACIONÁRIOS 235
74 — Escreva três frações respectivamente equivalentes a 1/3, 2/5 e 1/2 
tais que, o denominador da primeira seja igual ao numerador da segunda e
o denominador desta; igual ao numerador da terceira.
R : 2/6, 6/15,15/30
75 - Escreva três frações equivalentes, respectivamente, a 7/9,11/42 e 1/21, 
de modo que o numerador da primeira seja a terça parte do denominador 
da segunda e este o quíntuplo do denominador da terceira.
R : 70/90, 55/210 e 2/42
76 — Calcule quatro frações respectivamente equivalentes a 4/7s 8/11, 
5/12 e 13/16, tais que os numeradores das duas primeiras sejam iguais aos 
denominadores das duas últimas.
R : 48/84,48/66, 20/48 e 39/48
77 — Gastei 2/5 do que tinha. Depois 1/3 do resto e ainda fiquei 
com % 640,00. Calcule quanto eu possuía.
Solução:
Se gastei 2/5, era porque possuía 5/5.
5 2 3 '
Então: ~~ (total) — ~ (que gastei) — ~~ (resto)
5 5 5
Como depois gastei 1/3 do resto, então gastei:
1 3 1
~ x “ = — . O meu resto era 3/5 , menos 1/5 que gastei, fiquei
3 5 5
3 1 2
com Resto final, que corresponde a $ 640,00. Para o cálculo
5 5 5
5
do total, temos: 640,00 x — = $ 1.600,007
78 — Calcule quantos alunos há em um colégio, se 1 J l foi reprovado, 1/3 
do resto ficou para a segunda época e 256 foram aprovados.
R : 448 alunos
236 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
79 — Um fazendeiro vendeu 1/3 da sua colheita de café, depois 4/7 do 
resto. Calcule quantas sacas de café ele colheu, se ficou ainda com 120 
sacas.
R: 420 sacas
80 - Uma pessoa gastou 2/7 do que possuía, depois emprestou 1/5 do 
resto e ficou com $ 800,00. Calcule quanto essa pessoa possuía.
R: 1 1.400,00
81 — Um jardineiro deixa a um amigo 1/2 dos pêssegos que colheu; dá 1/4 
do resto a outro amigo, e ficou ainda com 6 pêssegos. Calcule quantos 
pêssegos ele colheu.
R; 16 pêssegos
82 — Um jardineiro propôs-se de trazer 16 laranjas para os seus filhos. 
Quer dar a um amigo 1/3 do que colher e 1/5 do resto a uma família 
pobre. Calcule quantas laranjas deverá colher.
R: 30 laranjas
83 — Uma pessoa gastou 2/5 do que possuía. Deu 3/5 do resto e perdeu 
1/5 do novo resto e ainda ficou com $ 480,00. Calcule quanto essa pessoa 
tinha inicialmente.
R: % 2.500,00
84 “ Uma pessoa despendeu a sétima parte do que possuía; deu a um 
amigo 3/8 do que restou; gastou 2/5 do novo resto e ainda ficou com 
$ 900,00. Calcule quanto essa pessoa tinha inicialmente.
R: $ 2.800,00
85 — Um corpo cada vez que é mergulhado na água, perde 1/3 de seu peso. 
Depois do terceiro mergulho, pesava 16 kg. Calcule o peso inicial do corpo.
R: 54 kg
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 237
86 — Um rebanho de ovelhas foi atacado por lobos, 3/7 das ovelhas fugi­
ram, mas depois, 2/3 das que fugiram voltaram. Calcule quantas ovelhas 
tinha o rebanho, se agora existe 36 ovelhas.
R: 42 ovelhas
87 - Depois de gastar a metade do meu dinheiro, em seguida 3/4 do que 
me sobrou, recebi uma quantia igual a 7/5 da que me restara. Como agora 
tenho ? 300,00, calcule quanto eu tinha a princípio.
R: $ 1.000,00
88 - Uma pessoa perdeu 2/7 do que possuía. Em seguida ganhou $ 320,00 
e ficou com o triplo do que possuía inicialmente. Calcule quanto possuía 
esta pessoa.
Solução:
Se perdeu 2/7 era porque possuía 7/7
7 2 • 5
Então ~ (possuía) - ~ (perdeu) = ~ (quanto ficou)
5 21
“ (quanto ficou) + $ 320,00 (quanto ganhou) =>
Olhe: 21/7 é o triplo do que possuía inicialmente, que era 7/7,
7 21
senão vejamos: 3 x — — ~
21 5 16
Então, temos: ~ ~~ ~ ~ ~ que é a fração correspondente a
$ 320,00. Logo, a quantia total que essa pessoa'possuía; será dada por: 
" 7
320 x — = $ 140,00
16
89 - Uma pessoa emprestou 2/5 do seu dinheiro. Ganhou, em seguida, 
$ 140,00 e ficou como dobro do que possuía inicialmente. Calcule quanto 
possuía essa pessoa.
R :$ 100,00
238 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
90 — Um número foi subtraído dos seus 3/5. Acrescentaram-lhe 120 
unidades e ele se tornou o dobro do seu valor primitivo. Calcule esse 
número.
R: 75
91 —Das laranjas de um saco apodreceram 3/7. As laranjas que sobraram, 
juntaram-se 153 e a quantia primitiva triplicou. Calcule quantas frutas ha­
via no saco.
R: 63 frutas
92 — Uma pessoa tinha um certo número de livros. Emprestou 1/3. Rece­
beu 120 exemplares e ficou com o dobro do que possuía. Calcule quantos 
eram os livros.
R: 90 livros
93 - Uma pessoa pagou somente 3/15 de sua dívida. Todavia, se possu­
ísse mais $ 900,00 teria pago a metade da dívida. Calcule quanto essa pes­
soa devia.
R: % 3.000,00
94 — Se, após ter vendido 3/7 dos ovos que levei ao mercado, acrescentar
52 ao que me resta, o número primitivo se encontrará aumentado da me­
tade. Calcule quantos ovos levei ao mercado.
R; 56 ovos
95 — Um tanque contém 2/ 9 de sua capacidade de água; se receber mais 800
litros, ele ficará com os 6/7 cheios. Calcule a capacidade do tanque, em 
litros. $
R: 1.260 /
96 - De um número foram subtraídos 2/5 da metade. Acrescentaram-lhe
160 unidades e o número quadruplicou. Calcule esse número.
R: 50 V
MATEMÁTICA PARA CONCURSO -.NÚMEROS FRACIONÁRIOS 239
97 — Perdendo-se 2/9 das ovelhas de um rebanho, um pastor comprou mais 
15 e ficou com 365 ovelhas. Calcule, de quantos animais compunha o rebanho.
R: 450 animais
98 — Os 5/6 das laranjas que possuo diminuídos de 30 eqüivalem a 260 
laranjas. Calcule o total de laranjas.
R: 345 laranjas
99 — Com a sexta parte do dinheiro que possui, um menino compra 2 
sorvetes. Quantos sorvetes poderá comprar com a metade do que possuí?
R: 6 sorvetes
100 — Com $ 1.200,00 comprou-se certo número de objetos; 1/2 a $ 20,00 
cada um; 1/5 a $ 30,00 cada um e o restante a $ 40,00 cada um. Quantos 
objetos de cada espécie foram comprados?
R: 30, 8 e 9
101 — Uma pessoa ficou com os 2/7 das frutas de uma caixa e repartiu o 
resto em partes iguais entre amigos recebendo, cada um, 5/35. Calcule 
quantos amigos essa pessoa possui.
Solução:
Se a pessoa ficou com 2/7 é porque possuía 7/7.
7 2 5
Mas: ~ (total) — ~ (que ficou) = ~ (resto)
Veja que, dividindo-se o que restou pela parte que cada amigo rece­
beu, teremos o número de amigos. Então:
5 5 __5 35
7"IT7X7 =5
102 - Um pai comprou um melão,guardou 1/4 para si e repartiu o resto 
em partes iguais entre seus filhos, cabendo 3/20 a cada um. Calcule quantos 
filhos ele tem.
R: 5 filhos
240 HILDER GÓES * UBAXDO TONAR
103 — Calcule quantos dias demorou um viajante para percorrer certa dis­
tância, sabendo-se que no primeiro, dia andou 1/10, no segundo 1/15 e 
depois 5/72 em cada dia.
R: 14
104 — Uma família gasta por dia 1/3 'de 1/4 de quilo de manteiga. Calcule
1
quantos dias duram 2 ~ kg.
R: 30 dias
105—Um recipiente tem 1/3 de sua capacidade cheia de água. Após se retirarem 
5 litros, ele fica com apenas 1/4 de sua capaddade. Deseja-se dekar o redpiente 
completamente cheio. Quantos litros de água devem ser acrescentados? 
Soíução:
1 l _ 4 - 3 _ 1
A diferença entre as frações------ —--------— — eqüivale aos 5 litros.
3 4 12 12 H
' , 12Então a capacidade total será 5 x “ =60 litros.
1 ^ 1
Veja que ~ de 60 é: ~ x 60 = 15 litros.
4 4
Logo, para que o recipiente fique cheio devemos acrescentar 
60 — 15 = 45 litros.
106 — Uma mãe distribuiu em partes iguais entre seus quatro filhos os 4/5 
das pêras contidas numa cesta, ficaram-lhe, ainda, os 3/8 das pêras menos 
7. Quantas pêras recebeu cada um dos quatro filhos.
R: 8 pêras
107 - Dividiu-se uma quantia entre três pessoas. A primeira ficou com 1/3;
a segunda com 2/5 e a terceira, que ficou com o resto, recebeu $ 60,0Òy. 
menos do que a primeira. Calcule a quantia dividida.
R: % 900,00
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 2 4 1
108 — De uma estrada 1/4 está asfaltada; 1/3 está apenas preparando para 
receber o asfalto. Sabendo-se que a terceira parte que não está preparada 
excede em 30 km a parte que está apenas preparada para receber o asfalto, 
calcule a extensão da estrada que está asfaltada.
R: 90 km
109 — Um pastor, interrogado sobre o número de ovelhas, responde: somai 
a metade; o l/ 3 eo 1/5 do meu rebanho e achareis 3 ovelhas a mais do 
que tenho. Calcule quantas ovelhas tem o pastor.
R: 90
110 ~ Um homem bebe 1 /3 de um copo de vinho. Encheu de água e bebe 
a metade do copo cheio; enche-o a segunda vez de água e bebe a metade 
do copo cheio. Calcular que fraçào de vinho Eca no copo.
R: 1/6
111 — Uma pessoa verifica que, durante 10 dias, seu dinheiro aumenta, cada 
dia, 1/4 do que tinha no princípio do primeiro dia. Verifica então que, se 
seu dinheiro tivesse aumentado 3/4, cada dia, no mesmo período e na mes­
ma condição, teria mais § 2.000,00. Calcule quanto essa pessoa tinha no início.
R: $ 400,00
112 - Um trem parte de uma estação com certo número de passageiros. 
Na primeira parada, saltaram 3/7 do número de passageiros e na estação 
seguinte entraram 40. Na penúltima estação saltaram 5/8 dos passageiros. 
Calcule com quantos passageiros ele saiu da estaçào inicial, sabendo que 
chegou à estaçào final com 36 passageiros.
R: 98 passageiros
113 — Dois objetos de mesmo custo foram vendidos, com lucros respecti­
vos de 2/7 e 1 /4, por % 852,00. Calcuie o preço de venda dos dois objetos.
Solução:
Se o primeiro foi vendido com 2/7 de lucro o seu custo era de 7/7. 
242 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
7 2 9
~ (custo) + — (lucro) = ~ ■ (por quanto foi vendido). Se o segun­
do foi vendido.com 1/4 de lucro o seu custo era de 4/4. Logo:
4 1 5
— (custo) --- (lucro) = ~ (por quanto foi vendido). Como o
4 4 4
problema diz que os dois foram vendidos por $ 852,00, a fração que re­
presenta $ 852,00, será:
Ia 2a l u 2y Total
9 5 _ 36+35__71
7 4 ~~ 28 ~ 28
Como as frações possue^o^ mesmo denominador, podemos 
eliminá-los. Então o número que representa $ 852,00 será 71. Basta, então, 
dividir $ 852,00 por 71 e multiplicar o quociente obddo por 36 e 35 que 
são os números que representam a venda do primeiro e do segundo obje­
to, respectivamente $ 852,00 + 71 — $ 12,00 
$ 12,00 x 36 = $ 432,00 primeiro 
$ 12,00 x 35 = | 420,00 segundo
114 — Uma pessoa vendeu dois objetos. No primeiro lucrou 1/5 e no 
segundo perdeu 1/3. Recebeu pela venda $ 224,00. Calcule por quanto 
vendeu cada objeto.
Solução:
Se o primeiro foi vendido com 1/5 de lucro, o seu custo era de 5/5.
Então:
5 1 6
~ (custo) + — (lucro) — ~~ (por quanto foi vendido)
5 5 5
Se o segundo foi vendido com 1/3 de prejuízo, o seu custo era de 3/3.
Entào:
3 1 ^ 2
~ (custo) — ~ (prejuízo) — — (por cjuanto foi vendido)
3 3 3
Então:
MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 243
6 2 18 10 28
—I— _ -----1--- _ — . j?ntào, temos: $ 224,00 4- 28 = $ 8,00
5 3 15 15 15
Primeiro: $ 8,00 x 18 = $ 144,00
Segundo: $ 8,00 x 10 = $ 80,00
115 - Dois objetos do mesmo custo foram vendidos um com prejuízo de 
1/5 e o outro com lucro de 2/3. Calcule por quanto foi vendido cada 
objeto, sabendo que os dois foram vendidos por $ 1.850,00
R : $600,00 e$ 1.250,00
116 - Uma pessoa vendeu dois objetos iguais com prejuízos de 1/7 
e 1/8 res'pectívamente, por $ 2.910,00. Calcule o valor real de cada 
objeto.
R : $ 1.440,00 e $ 1.470,00
117 - Um vestido foi vendido com'lucro de 2/5 e uma saia com prejuízo 
de 1/4, ambos por $ 215,00. Calcule por quanto foi vendido cada peça.
R : 1 140,00 e$ 75,00
118 - Uma pessoa vendeu três objetos do mesmo valor. Dois deles com 
lucro de 1/5 e l/ 3 e o outro com prejuÍ2o de 1/4, recebendo pela venda 
$ 630,40. Calcule por quanto foi vendido cada objeto.
R : $ 230,40; $ 256,00 e $ 144,00
119 — Quatro objetos do mesmo custo foram vendidos da seguinte manei­
ra. O primeiro e o segundo com prejuízo de 1/5 e 2/5; e o terceiro e o 
quarto com lucros de 1/3 e 2/3. Todos por $ 6.600,00. Calcule por quan­
to foi vendido o segundo objeto.
R: $ 90,00
120 — Quatro objetos de mesmo custo foram vendidos do seguinte modo:
o primeiro e o segundo com prejuízo de 2/9 e 3/9; e o terceiro e o quarto
Io 2o Io 2o Total
244 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
com lucro de 4/9 e 5/9. Todos por § 2.400,00. Calcule por quanto foi 
vendido o quarto objeto.
R: $ 840,00
121 — Em um orfanato há 104 crianças; 1/3 do número de meninas é igual 
a 1/5 do número de meninos. Calcule quantos são as meninas e os meninos.
Solução:
..1 l_5+3__ 8
Somándo-se as frações, temos:
3 5 15 15
Como elas possuem o mesmo denominador, podemos eliminá-los. 
Então temos: 5 + 3 = 8. Veja que o 8 representa o total; logo, para achar­
mos o número de meninos e de meninas, fazemos assim:
Meninos —> 104 4- 8 = 13 x 5 = 65; Meoinas|^-> 104 -r- 8 = 13 x 3 = 39
122 — Um vendedor vai ao mercado levando laranjas e bananas, num total 
de 152 frutas. Os 3/5 do número de laranjas são iguais aos 2/3 do núme­
ro de bananas. Calcule o número de laranjas e de bananas.
R: 80 e 72
123 ~ Em uma fábrica há 132 operários. Os 2/5 do número de trabalhado­
res do sexo masculino são iguais a 1/3 do número de mulheres. Calcule 
quantos operários há do sexo masculino e do sexo feminino.
R: 60 e 72
124 — Em dois reservatórios há 320 litros de vinho. Os 2/3 do que há no 
primeiro são iguais aos 2/5 do segundo. Quantos litros de vinho há no 
primeiro reservatório?
R: 200 í
125 — Um avicultor tinha 153 aves entre galinhas e perus. Vendeu 2/3 das 
galinhas e 1/5 dos perus e agora o número de galinhas e perus é o mes­
mo. Calcule quantos eram as galinhas e perus.
R: 45 e 108
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 245
126 - Duas pessoas tinham, juntas $ 504,00. A primeira gasta os 3/4 de seu 
dinheiro e a segunda os 4/5 de sua importância. Tendo ambas ficado com 
quantias iguais, caicule quanto possuía a primeira e a segunda, inicialmente. 
R: $ 280,00 e $ 224,00
127—Um professor dividiu 9 folhas de papel em quartos, deu a cada aiuno 1 /4 de 
cada folha e conservou 3/4 de uma folha. Calcule quantos alunos há na classe. 
Solução:
Cada folha dividida em quartos resulta 4 pedaços; como são 9 fo­
lhas, teremos um total de 36 pedaços. Masveja que o professor conservou 
3/4 de uma folha para ele e, 3/4 de uma folha são 3 pedaços.
Então, o número de alunos será: 36 — 3 = 33
128 — Um professor dividiu 8 folhas de cartolina em quintos, dando a cada 
um de seus alunos 1/5 de uma folha e ficando com 2/5 de cinco folhas. 
Calcule quantos alunos ele possuía.
R: 30 alunos
129 — Um professor possui 10 folhas de papel. Seis delas ele repartiu em 
quintos, dando a cada um dos seus alunos 1 /5 de uma folha e ficando com 
3/5 de duas folhas; e as quatro folhas restantes ele repartiu em quartos, 
dando 1/4 de uma folha a cada aluno e ficando com 1/4 de duas folhas. 
Calcule quantos alunos possui esse professor.
R: 38 alunos
130 — Um negociante obteve no primeiro mês de trabalho um lucro de 2/5 
do seu capital inicial. No segundo mês teve um prejuízo de 1/5 do seu 
novo capital. No fim desse tempo verificou que havia tido um lu­
cro de $ 9.000,00. Calcule o seu capital inicial.
Solução:
Se no primeiro mês ele ganhou 2/5, então o seu capital inicial era
, 5 2 7
5/5, logo: — (capital inicial) + — (lucro) = — (novo capital)
246 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
No segundo mês perdeu 1/5 do seu novo capital, isto é, de 7/5. 
1 7 _ 7 Então, ele perdeu —— .
7 7
Como tinha — e perdeu — , ficou com:
7 7 3 5 -7 28
(capitd ^
Como o capital final foi de 28/25 era porque o capital inicial era de 
25/25, obtendo, assim um lucro de 3/25. Senão, vejamos:
25 3 28
— (capital inicial) + — (lucro) = ” (capital final)
Logo, 3/25 corresponde a $ 9.000,00. Então o seu capital inicial
era:
25
$ 9.000,00 x = $ 75.000,00 
3
131 — Um negociante ganhou no primeiro mês de negócio, 1/3 do seu 
capital No segundo mês ganhou 1/4 do novo capital, obtendo assim um 
lucro de % 2.000,00. Calcular o capital inicial do negociante.
R: $ 3.000,00
132 - Um negociante obteve no primeiro ano de trabalho um lucro de 2/5 
do seu capital inicial. No segundo ano perdeu 2/3 do seu novo capital e no 
terceiro ano obteve um lucro de 2/3 do novo capital. No fim desse tempo, 
verificou que havia tido um prejuízo de % 10.000,00. Calcule o capital 
inicial.
R: $ 45.000,00
133 — Um negociante, no primeiro ano, teve um lucro de 3/4. No segun­
do ano, ganhou metade do novo capital. No terceiro ano perdeu 1/3 do
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 247
que possui atualmente. No quarto ano, teve um prejuízo de 3/8 do capitai 
inicial. Deu balanço e verificou que estava com um lucro de % 45.000,00. 
Calcule com quanto o negociante começou o negócio.
R: % 120.000,00
134 - Em um tanque há duas torneiras. A primeira enche o tanque em 3 
horas, e a segunda em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as 
duas torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o tanque estará cheio?
Observações:
a) Na solução desses tipos de questões, deveremos sempre levar a 
produção para o dia, a hora ou o minuto.
b) Se uma torneira enche um tanque em 5 horas, em uma hora 
encherá 1/5.
c) Se um operário faz um serviço em 7 dias, em um dia ele fará 1/7. 
Solução:
Voltando ao problema, temos:
A primeira torneira enche o tanque em 3 horas, logo em uma hora 
encherá 1/3.
A segunda que enche o tanque em 6 horas,' em uma hota encherá 
1/6. Então:
1 1 2 + 1 3
— + - =------ fração do tanque que é cheio pelas duas torneiras
3 6 6 6
em uma hora e é claro que o tanque todo será 6/6.
- lh 
6
— x-2horas
6
135 - Um homem faz um trabalho em 8 horas e um rapaz faz o mesmo trabalho 
em 12 horas. Se trabalharem juntos, em quanto tempo fariam o serviço?
R: 4h 48 min
248 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
1 3 6 — Uma torneira enche um tanque em 4 horas e uma outra em 6 horas. 
Em quanto tempo se enche o tanque, abrindo-se as duas torneiras simul­
taneamente?
R: 2h 24 min
137 — Um homem cava um buraco em 10 horas e um outro em 14 horas. 
Trabalhando juntos, em quanto tempo cavarão o buraco?
R: 5h 50 min
1 3 8 — Uma turma de operários seria capaz de fazer um serviço em 12 
hòras e uma outra o faria em 6 horas. Trabalhando juntas, em quanto 
tempo o serviço será feito?
R :4h
1 3 9 — Uma torneira enche um tanque em 2 horas e outra seria capaz de 
esvaziá-lo em 3 horas. Estando o tanque vazio, em quanto tempo as duas 
torneiras seriam capazes de enchê-lo?
Solução:
Se uma enche em duas horas, em uma hora enche 1/2 do tanque. 
Se uma esvazia em três horas, em uma hora esvazia 1 /3 do tanque.
1 1 _ 3 - 2 _ 1
Então, juntas em uma hora encheriam ~—^ d o tanque.
Olhe: Subtraímos 1/3 porque a torneira está esvaziando o tanque:
i ih
6
— x=ó horas
6
140 — Um tanque é cheio por uma torneira em 4 horas. Existe um ralo 
capaz de esvaziar o mesmo tanque em 5 horas. Estando o tanque vazio, 
em quanto tempo estará cheio se a torneira e o ralo trabalharem conjun­
tamente?
R: 20h
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ NÚMEROS FRACIONÁRIOS 249
141 — Um reservatório possui duas torneiras que conseguem enchê-lo em 
15 horas e 12 horas respectivamente; e um ralo que o esvazia em 10 horas. 
Se abríssemos, simultaneamente, todo o conjunto, em quanto tempo o 
reservatório ficará cheio?
R: 20h
142 — Uma torneira enche um tanque em 8 horas; uma segunda tornei­
ra o encheria em 9 horas e uma válvula seria capaz de esvaziar em 6 
horas. Abrindo-se as três, depois de quanto tempo o tanque ficará cheio?
R; 24h
143 — Uma torneira enche um tanque em 12 horas, outra pode enchê-lo 
em 8 horas. Em quanto tempo, funcionando conjuntamente, poderão en­
cher 2/15 do tanque?
R: 38 min 24 seg
144 — Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 5 horas 
e a segunda o esvazia em 8 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo 
tempo, e estando o tanque vazio, em quantas horas o tanque ficará cheio?
R: 13 h 20 min
145 — Uma torneira enche um tanque em 10 horas; òutra torneira o vasa 
em 15 horas. Vazio o tanque, que tempo levarão as duas torneiras abertas 
para enchê-lo?
R: 30 h
146 — Duas pessoas juntas cavariam uma vala em 6 días. A primeira, sozi­
nha, cavaria em 15 dias. Calcule em quantos dias, a segunda pessoa cavaria 
a vala sozinha.
Solução:
Se a primeira cavaria em 15 dias; em um dia cavaria 1/15. Nos 6
. 1 6 
dias cavaria 6x— ——
15 15
2 5 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
15 6 9
^ (serviço todo)
serviço que o 2- fez n o s 6 dias). Logo:
_9_
15
15
15
6d
x = ^ 1 = 1 0 d i a s
9
147 — Dois pedreiros fazem um trabalho em 9 dias; o primeiro faria em 15 
dias. Calcule em quanto tempo o segundo pedreiro faria o trabalho sozinho.
148 — Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho, o primeiro 
sozinho levaria 20 horas. Calcule em quanto tempo o segundo levaria para 
fazer o trabalho sozinho.
R: 30 horas
149 — Uma torneira “A” enche um tanque em 3 horas. Duas torneiras “A” 
e “B” juntas enchem o mesmo tanque em 2 horas. Calcule em quanto 
tempo a torneira “B”, sozinha, encheria o tanque.
R: 6 horas
150 — Três operários fazem um trabalho em 4 dias. O primeiro e o segun­
do seriam capaz de fazê-lo sozinho em 9 dias e 12 dias respectivamente. 
Em quantos dias o terceiro executaria o trabalho sozinho?
R: 18 dias
151 — Uma pessoa dá 6 pulos em 2 minutos; outra dá 8 pulos em 4 minu­
tos. Em quanto tempo, pulando juntas, poderão dar 60 pulos?
R: 12 minutos
1R: 22 — dias2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 251
152 - Uma pessoa faz 1/4 de um trabalho em 10 dias; outra faz 1/3 em
8 dias. Trabalhando juntas, em quanto tempo farão o trabalho.
Solução:
1 110 dias — (do trabalho) 8 dias ~~ (do trabalho)
4 3
1 . 1 '1 dia x = ”“ 1 dia x — —-
40 24
1 1 3+5 8
---- 1-----—------ —----- fracão do trabalho feito pelas duas em 1 dia
40 24 120 120 J r
---- ld
120
120 120---- x=------=15 dias
120 8
153 — Uma pessoa faz 1/5 de um trabalho em 12 dias, outra faz 1/3 do 
resto em 6 dias. Emquanto tempo, poderão fazer o serviço todo, traba­
lhando juntas?
R: 16 dias, 21 min e 36 seg
154 — Um pai e um filho cavariam um poço em 15 dias. Depois de traba­
lharem juntos durante 6 dias, o filho acabou sozinho em 30 dias. Calcule 
quantos dias precisaria o filho para, sozinho, cavar esse poço.
R: 50 dias
155 — Três pessoas podem fa2er um trabalho: a primeira em 10 dias, a 
segunda em 8 dias. Depois de dois dias a primeira abandonou o trabalho; 
após 3 dias do acontecido, a segunda também abandonou o trabalho. Em 
quanto tempo a terceira pessoa poderá fazer o trabalho todo, se fez o 
restante em 14 dias?
R: 80 dias
252 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
156 — Três turmas de trabalhadores podem fazer um trabalho: a primeira 
em 15 dias, a segunda em 8 dias e a terceira em 4 dias. Se fizermos uma 
nova turma com 1/4 da primeira, 2/3 da segunda e 1/4 da terceira, em 
quanto tempo ficará pronto o trabalho?
2
R: 6 — dias
13
157 — Duas turmas de trabalhadores podem fazer um trabalho. A pri­
meira em 15 dias e a segunda em 8 dias. Se fizermos uma turma com 1/4 
da primeira e 2/3 da segunda, em quanto tempo o trabalho será feito?
R: 10 dias
158 — Havia 9 dias que “A” trabalhava e tinha realizado 3/8 de uma certa 
obra; quando chegou “B” para auxiliá-lo e, juntos, gastaram ainda 3 dias 
para terminá-la. Calcule em quantos dias “B” teria realizado o trabalho 
sozinho.
R: 6 dias
159 — Três torneiras enchem um tanque. A primeira e a segunda em 12 
horas; a primeira e a terceira em 15 horas e a segunda e a terceira com 20 
horas. Estando o tanque vazio, em quanto tempo as três torneiras enche­
riam o tanque se funcionassem simultaneamente?
Solução:
Chamando as torneiras de primeira, segunda e terceira, respectiva­
mente de A, B e C, temos:
1
A e B —> 12 h /. em uma hora —
12
1
A e C —> 15 h em uma hora —
15
1
B e C —> 20 h em uma hora —
MATEMÁTICA PASACONCURSO~NÚMEROS FRACIONÁRIOS 253
1 1 1 5+4+3 12
Somando-se, temos: ^ + ^
Veja que: 12/60 é a fração do tanque que foi cheio pelas 6 tornei­
ras, visto que cada uma delas entrou duas vezes. Dividindo, portanto,
12 12
12/60 por 2 temos -^-+2 — —— que é a fração do tanque que foi cheio
12
 lh
120
• pelas três em uma hora. Logo: 120 120
 x=------- —lOhoras
120 12
160 — Três operários fazem um serviço: José e Paulo em 4 dias; José e 
Pedro em 3 dias e Paulo e José em 6 dias. Calcule em quantos dias os três 
operários trabalhando juntos fariam o serviço, se o dia de trabalho é de 9 
horas.
R: 2 dias e 6 horas
161 — Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as 
torneiras A, B e C enchem o tanque em 10 horas;B, C eD em 15 horas; 
A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em 
quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem 
conjuntamente?
R: 12 horas
162 - Uma máquina A produz 1.200 peças em uma hora, outra máquina B 
produz 800 peças em 1 hora e 20 minutos. Calcule em quanto tempo as 
máquinas A eB , trabalhando juntas, produzirão 2.500 peças.
R: lh 23 min e 20 seg
163 - Uma turma de operários faz um trabalho em 4 dias. A metade dessa 
turma juntamente com a metade de outra turma, faria em um dia 13/72
254 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
do mesmo trabalho. Calcule em quantos dias a segunda turma sozinha 
faria o trabalho todo.
R: 9
164 — Uma torneira “A” enche um tanque em 20 minutos e outra “B” 
enche o mesmo tanque em 30 minutos. Funcionaram juntas durante 5 
minutos, quando então <CB” é fechada. Calcule o tempo gasto pela torneira 
“A” para completar o tanque.
Solução:
1 5A —>20 min—>— x5=—
20 20
1 5B~»30minH>— x5=—
30 30
A 5 154-10 _ 25
20 30 ~ 60 ~ 60
■^-(tanque todo)--^-=-— (o que falta para encher)
60 60 60 .
1 , . 3 .— Imin — mm lm in 
20 60
:r£>
35 3 5 x = 35
60 60 3
R: 11 min e 40 seg
165 — Uma torneira “A” enche um tanque em 6 horas e uma torneira 
“B” enche o mesmo tanque em 8 horas. A torneira “A” começa a en­
cher o tanque sozinha, mas depois de 2 horas de funcionamento, para 
por causa de um defeito. A torneira “B” então começa a trabalhar, 
porém depois de 3 horas funcionando, também para por causa de um 
defeito. Depois de ambas consertadas recomeçam a funcionar juntas.
MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - NÚMEROS FRACIONÁRIOS 255
Calcule em quanto tempo as duas torneiras encheram o restante do 
tanque.
R: 6 horas
166 — Uma torneira “A” enche um tanque em 6 horas e uma torneiras “B” 
em 12 horas. A torneira “A” trabalha duas horas e para. Em seguida a 
torneira “B" trabalha 3 horas e para. Logo após as duas funcionam con­
juntamente. Calcule em quanto tempo elas gastaram para encher o restan­
te do tanque.
R: 6 horas e 40 minutos
167 - Um tanque é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-
lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em que tempo as duas torneiras 
poderão encher esse tanque, se abrirmos a segunda torneira uma hora 
após a primeira.
R: 2 horas 46 min. 20 seg.
168 - Um tanque é alimentado por 4 torneiras. A primeira demora 15 
horas para encher sozinha o tanque, a segunda gasta 20 horas, a terceira 30 
horas e uma quarta 60 horas. Após ficarem abertas juntas durante 4 horas, 
fecharam as duas primeiras. Calcule quanto tempo demorarão as duas úl­
timas ficando abertas, para terminar de encher o tanque.
R: 6 horas 40 minutos ^ •. ■:> -
i j. -
L ' 4
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2 5 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
NÚMEROS FRACIONARIOS - Questões de Concursos
01) CJF — Numa certa cidade, 3/12 dos moradores são de nacionalidade 
estrangeira. Sabendo-se que o total de habitantes é 11.760, o número de 
brasileiros nessa cidade é:
a) 8.250 b) 9.600 c) 10.780 d) 8.500 e) 8.820
02) TST — Depois de gastar a metade do meu dinheiro, gastei 3/4 do que
sobrou e recebi uma quantia igual a 7/5 do que restava. Quanto tinha se 
agora tenho % 30.000,00?
a) $ 50.000,00 b) $ 60.000,00 c) $ 80.000,00
d) | 90.000,00 e) $ 100.000,00
03) AFEB - Se % 1.100.000.000,00 é o valor de 2/3 de uma obra, então o 
valor de 3/11 dessa mesma obra é:
a) $ 430.000.000,00 b) $ 435.000.000,00 c) $ 440.000.000,00
d) $ 445.000.000,00 e) $ 450.000.000,00
04) TTN - Em uma amostra retirada de um lote de feijão constatou-se 
que 3/7 dele era feijão branco e o resto de feijão preto. Sabendo-se que a 
diferença entre as quantidades de sacos de um e outro tipo de feijão é 120, 
os sacos de feijão branco eram, portanto, em número de:
a) 840 b) 480 c) 360 d) 240 e) 120
05) BB — Retirei, inicialmente, uma quinta parte de minha conta bancária. 
Depois saquei uma quarta parte do resto e ainda sobraram $ 7.500,00. 
Qual era o saldo.
a) 12.750,00 b) 12.500,00 c) 12.250,00 d) 10.200,00 e) 9.600,00
06) BB - Um pai faleceu deixando uma herança para ser dividida em 
partes iguais por 5 filhos, um dos quais é viúvo e possui 4 filhos. Sabendo-
MATEMÁTTCA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 257
se que a parte que cabe ao viúvo é metade dele e metade dividida em 
partes iguais entre seus filhos, podemos afirmar que cada filho do viúvo 
receberá:
a) 1/40 b) 1/25 c) 1/11 d) 1/10 e) 1/9
07) BB — Gastei 5/12 do-que tinha com gasolina; 3/8 com compras de 
mercadorias; 1/9 com despesas de hotel; com o restante saldei uma divida 
de $ 35.000,00. Quantos quilômetros percorri sabendo-se que o litro de 
gasolina estava a $ 75,00 e meu carro fazia 10 Km/litro.
a) 200 b) 2.000 c) 2.200 d) 20.000 e) 22.000
08) BB — Uma quantia foi dividida entre três pessoas. A primeira recebeu 
3/4 desta quanda menos $ 23.000,00. A segunda recebeu a sexta parte da 
quantia, mais $ 18.000,00 e a terceira recebeu os $ 16.000,00 restantes. 
Qual o valor da quantia.
a) 213.000,00 b) 162.000,00 c) 156.000,00
d) 132.000,00 e) 123.000,00
09) BB - Fui às compras e gastei 1/6 do meu salário; depois paguei 
uma dívida $ 16.000,00 e ainda sobraram % 54.000,00.Qual o meu 
salário.
a) % 48.000,00 b) $ 72.000,00 c) $ 84.000,00
d) $ 86.000,00 e) $ 90.000,00
10) BB — Num escritório, 3 funcionários receberam 400 fichas cada um, 
para datilografar. Na hora do lanche o primeiro já havia cumprido 5/8 de 
sua tarefa, o segundo 3/5 e o terceiro 6/10. Quantas fichas restavam para 
ser datilografadas.
a) 470 b) 500 c) 610 d) 730 e) 950
11) MPU ~ Um comerciante vendeu 4/7 de uma peça de tecido e ainda 
restavam 450 cm. Quantos metros tinha a peça
a) 1050 m b) 150,5 m c) 105 m d) 45,50 m e) 10,50 m
12) MPU - Uma bola de tênis é abandonada de uma altura de 1,2 m. 
Sabendo-se que ela volta até os 3/8 da altura de onde caiu, pergunta-se
258 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
quantos metros percorreu essa bola desde que foi abandonada até bater 
no chão pela segunda vez.
a) 1,56 m b) 1,65 m c) 2,10 m d) 2,2 m e) 3,2 m
13) MPU - Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria
25 dias. Os dois começam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o 
trabalho; 2 dias após a saída deste, Carlos também abandona. Antônio, 
sozinho, consegue terminá-lo em 24 dias. Para realizar a construção do 
muro, sozinho, Antônio levaria:
a) 48 dias b) 60 dias c) 12 dias e 12 horas d) 75 dias e) 50 dias
14) TST — Dois trabalhadores fazem juntos um serviço em 10 dias. Se um 
deles sozinho realiza a mesma tarefa em 15 dias, o outro seria capaz de 
realizar a mesma tarefa em:
a) 18 dias b) 20 dias c) 25 dias d) 27 dias e) 30 dias
15) TRT - Do total de ingressos para um espetáculo, 2/5 foram compra­
dos por homens e 3/8 por mulheres. Se ainda restam 135 ingressos para 
serem vendidos, o número de ingressos comprados por homem foi:
a) 240 b) 270 c) 320 d) 450 e) 600
16) TRE — Um certo número X de relatórios foi distribuído entre 3 pes­
soas, sabendo que a primeira recebeu 1/5 do total; a segunda 1/3 do nú­
mero restante; a terceira,-as 96 restantes. O número X é:
a) 150 b) 180 c) 195 d) 210 e) 240
17) TRE ~ Para revestir com azulejos 1/4 de uma parede, seria necessários 
80 azulejos iguais* Depois de revestida toda a parede, notou-se que 1/10 do 
número total de azulejos estavam defeituosos. O número de azulejos nào 
defeituosos era:
a) 353 b) 320 c) 310 d) 288 e) 32
18) TRE ~ De 50 pessoas que trabalham numa empresa, os 0,4 desse número 
recebem salário mensal de $ 15.000,00 cada e as restantes recebem % 22.000,00 
cada. A folha de pagamento desses funcionários perfaz um total de:
a) $ 660.000,00 b) $ 820.000,00 c) ■$ 890.000,00
d) $ 930.000,00 e) $ 960.000,00
MAXEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 259
19) TJC — Um motorista oficial do 1J/CE abasteceu seu carro com 60 
litros de combustível e gastou 3/5 do mesmo. Então sobraram:
a) 24 litros de combustível b) 3/5 do combustível
c) 48 litros de combustível d) 5/3 do combustível
e) 2/3 do combustível
\20) TTN — Três irmãos devem dividir uma determinada quantia, de modo
que o primeiro receba 2/3 menos $ 600,00; o segundo 1/4 e o terceiro, a 
metade menos $ 4.000,00. O valor que o primeiro irmão deve receber é de: 
a) $ 6.760,00 b) $ 1.520,00 c) $ 2.760,00
d) $2.520,00 e )$ 11.040,00
21) TRE — Uma pessoa recebeu como tarefa conferir um certo número de 
requerimentos. Conferiu 1/3 do total de requerimento pela manhã e 1/5 do 
número restante à tarde. A fração que corresponde aos números de reque­
rimentos não conferidos é:
a) 1/5 b) 4/15 c) 2/5 d) 7/15 e) 8/15
22) PETROBRAS - Um tanque é abastecido por três torneiras A, B e 
C. Juntas, A e B, enchem o tanque em 18 minutos; A e C, em 12 minutos; 
B e C, em 9 minutos. Em quantos minutos A, B e C juntas encherão o 
tanque.
a) 4 min b) 5 min . c) 6 min d) 7 min e) 8 min
23) TRT — Um tanque é alimentado por duas torneiras. Se apenas a pri­
meira torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 2 horas. Se apenas, a 
segunda torneira for aberta, o tanque ficará cheio em 3 horas. Se as duas 
torneiras forem abertas ao mesmo tempo, o tanque ficará cheio em:
a) 1 hora b) 1 hora e 2 minutos c) 1 hora e 12 minutos 
d) 1 hora e 20 minutos e) 1 hora e 30 minutos
24) BM - Ao encerrar-se o expediente de uma agenda bancária, diversas 
pessoas aguardavam, na fila, para serem atendidas por três caixas: A, B e 
C. Se A atender ao dobro do número de pessoas de B, B atender à metade 
de C e este atender à terça parte do total de pessoas da fila, a fração que 
representa o número de pessoas que ainda aguardam na fila é:
a) 1/6 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 5/6
2 6 0 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
25) TTN — O s2/3de5/3do preço de uma moto eqüivalem a 3/2 de 2/5
do preço de um automóvel, avaliado em $ 9.600,00. O preço da moto é de: 
a) % 5.760,00 b) $ 8.640,00 c) % 6.400,00
d) $16.000,00 e) 15.184,00
26) AFRE — 3 torneiras quando abertas sozinhas, enchem um reservató­
rio em 36h,-6h e 18h, respectivamente. Abertas simultaneamente, a piscina 
estará cheia em:
a) 9h b) 7h c) óh d) 4h e) 3h
27) AFRE — Uma pessoa comprou dois objetos pagando preços iguais e 
vendeu-os por $ 4.900,00 no total. Um dos objetos foi vendido pelo preço 
de compra e no outro obteve-se um lucro de 1/3 sobre o preço da com­
pra. O custo do primeiro objeto foi:
a) ? 2.100,00 b) $ 1.900,00 c) % 1.750,00
d) $1.690,00 e)$ 1.850,00
28) AFRE ~ Na planilha de previsão orçamentária de uma empresa para 
um certo mês, consta um total de gasto equivalente a $ 216.000,00. Deste 
total, 1/2 destina-se ao pagamento de funcionários, 1/4 a pagamento de 
impostos e 1/6, a gastos com documentação. O restante, que se destina a 
despesas miúdas, é de:
a) $ 108.000,00 b) $ 54.000,00 c) $ 36.000,00
d) $ 18.000,00 e) $ 16.000,00
' 29) MPU - Uma costureira confecciona 40 blusas em 3 dias de 7 horas de 
trabalho; outra costureira confecciona o mesmo número de blusas em 2 dias 
de 9 horas. Trabalhando juntas, em quantos dias de 7 horas farão 260 blusas, 
a) 7 b) 36 c) 12 d) 9 e) 8
30) TTN — Uma caixa d’água com capacidade para 960 m3 possui uma 
tubulação que a alimenta e que a enche em 7 horas. Possui também um 
“ladrão” que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a 
caixa e o “ladrão” funcionando simultaneamente, em que tempo a caixa 
d’água ficará cheia.
a) 16h 8min b) 14h 8min c) 16h 28min
d) 16h 48min e) 14h 48min
MATEMÁTICA PARA CONCURSO- QUESTÕES DE CONCURSOS 2 6 1
31) PRF - joão faz um muro em 20 dias e Pedro faz o mesmo muro em 
30 dias. Tendo trabalhado juntos durante 5 di is, passaram a ser ajudados 
por Carlos e terminaram o muro em 3 dias. Em quantos dias, Carlos cons­
truiria o muro sozinho.
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10
32) TRF — Seja X o número de fichas cadastrais recebidas para arquivo. 
Dois funcionários, A e B, trabalhando juntos, arquivaram 3/5 de X em 8 
horas. Se A, trabalhando sozinho, consegue arquivar 1/4 de X em 10 ho­
ras, quantas horas levará B para arquivar a metade de X.
a) 15 b) 14 c) 12 d) 11 e) 10
33) TRE — A máquina Á tira 800 cópias em 1 hora e a máquina B tira 800 
cópias em 1 hora e 20 minutos. Em quanto tempo, as máquinas A e B, 
juntas, tirarão 2.100 cópias.
a) lh 15min b) lh 20min c) lh 25min d) lh 30min e) lh 40min
34) TTN - Um tanque é alimentado por duas torneiras; a primeira pode 
enchê-lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em que tempo se pode encher 
esse tanque, sé abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira.
a) 3h lOmin b) 3h 15min c) 3h 15min lOs
d) 2h 46min 40s e) 2h lOmin lOs
35) TRE — O tanque de gasolina de um carro tem a capacidade fjara>65 
litros. No momento, ele apresenta apenas 2/5 de gasolina. Quantoè litros 
de gasolina há nesse tanque.
a) 30 litros b) 32 litros c) 18 litros d) 26 litros e) NDR
36) TRE — Numa viagem entre duas cidades, fiz uma parada após percor­
rer 4/9 do percurso. Faltaram 150 quilômetros para o final. Qual a distân­
cia entre essas cidades.
a) 180 km b) 240 km c) 270 km d) 140 km e) NDR
37) TJCE — Em 4 horas duas torneiras enchem um tanque.Sozinha, uma 
delas encheria o tanque em 7 horas. Quanto tempo seria necessário para a 
segunda torneira encher o tanque.
a) 9h 30min b) 9h 40min c) 9h 50min d) 9h e) 9h 20min
262 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
38) TJCE — Joao fez 5/8 de um trabalho em 15 dias. O resto do trabalho 
fê-lo com o auxílio de Pedro em 5 dias. Em quantos dias Pedro, trabalhan­
do só, poderia fazer esse trabalho.
a) 18 b) 35 ' c) 30 d) 24 e) 20
39) TJCE — 7/8 de certa quantia valem $ 910,00. Essa quantia foi reparti- 
^da entre 3 pessoas. A Ia recebeu 1/4; a 2a, 2/5 e a 3a pessoa, o resto. A
terceira pessoa recebeu a importância de:
a) $ 227,50 b) $ 416,00 c) $ 364,00 d) $ 318,50 e) $ 260,00
40) TJCE — Dois trabalhadores podem fazer um trabalho em 15 dias e 18 
dias, respectivamente, trabalhando sozinhos. Com o auxílio de um tercei­
ro podem fazê-lo em 6 dias. Em que tempo o terceiro trabalhador pode 
fazer o serviço, trabalhando só.
a) 24 dias 22 horas b) 20 dias 12 horas c) 20 dias 22 horas
d) 22 dias 12 horas e) 22 dias 22 horas
41) TJCE — Uma caixa d’água tem um vazamento que a esvazia em 8 
horas. A torneira que a abastece pode enchê-la em 6 horas. Com a torneira 
aberta, em quanto tempo a caixa dJágua ficará cheia.
a) óOh b) 12h c) 24h d) 3óh e) 48h
RESPOSTAS
01) E 02) E 03) E 04) C 05) B
06) A 07) D 08) D 09) C 10) A
11) E 12) C 13) E 14) E 15) A
16) B 17) D 18) E 19) A 20) A
21) E 22) E 23) C 24) A 25) E
26) D • • 27) A 28) D . 29) D 30) D
31) D 32) E 33) D 34) D 35) D
36) C 37) E 38) C 39) C 40) D
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 263
1
REGRA DE TRÊS
Chama-se "regra de três" a certos problemas nos quais, sendo da­
dos valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo, 
três, podendo, entretanto, ser 5, 7, 9 , propôs-se determinar o valor de 
uma, e somente uma, grandeza desconhecida. No método a seguir, não 
levaremos em consideração o que seja regra de três simples ou composta, 
bem como regra de tirês direta ou inversa.
MÉTODO DE RESOLUÇÃO
a) Escrevemos, em duas linhas horizontais, os dados do problema;
b) Devemos sempre colocar as grandezas correspondentes, uma 
debaixo da outra, isto é, dia debaixo de dia, hora debaixo de hora, metro 
debaixo de metro, etc..., e um x debaixo daquela grandeza correspondente 
à que se deseja determinar;
c) Depois de havermos escrito em duas linhas horizontais ps dados 
do problema, deveremos, sem exceção, proceder da seguinte maneira: Es­
crever o x, igual a um traço de fração e, em cima desse traço, isto é, no 
numerador, escrever o número que está em correspondência com o x.
d) Veja que os problemas de regra de três são compostos de pares 
de números e, em cada par, existe um número maior e outro menor. Deve­
remos então, com perguntas convenientes, comparar cada "par de núme­
ro" com o par no qual figura a incógnita x; isto é, independente dos valores 
que constituem os outros pares.
Importante:
í) Se o resultado da pergunta der mais, o número m aior irá para o- 
numerador e o menor para o denominador.
ii) Se o resultado da pergunta der menos, será o número menot 
que irá para o numerador e o maior para o denominador.
264 HILDER GÓES *1* UBALDO TONAR
01 - Um homem percorreu 30 km em 5 horas. Quantos quilômetros per­
correrá em 18 horas.
Solução:
5 h 30 km
18 h x
Se em 5 horas um homem percorre 30 km, em 18 horas ele percor­
rerá mais. Como deu mais, o número maior, no caso o 18 irá para o nume-
__ 30x18
rador e o menor, o 5, para o denominador. Então fica: x - - 108
02 - Se em 5 dias uma máquina produz 12.000 pregos, quantos pregos 
produzirá em 3 dias.
Solução:
5 dias 12.000
3 dias x
Se em 5 dias uma máquina produz 12.000, em 3 dias ela vai produ­
zir menos. Como deu menos, o 3 que é menor do que o 5 irá para o
_12.000 x 3 _n nrin
numerador e o 5 para o denominador. Então fica: x — - 7.200
03 - Uma olaria fabrica 1.200 tijolos em 5 dias. Quantos tijolos seriam 
fabricados em 3 dias/
R: 720 tijolos
0 4 - 8 pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quantas horas levarão 6 
pedreiros para fazer outro muro igual.
R: 96h
05 - Um carro faz um percurso entre duas cidades em 4 horas, com uma 
velocidade de 120 km/h. Se a velocidade fosse de 80 km/h, quantas horas 
gastaria.
. R: 6h
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 265
06.- Na construção de uma casa, 6 operários gastam 18 dias. Quanto tem­
po levariam 12 operários para construir a mesma casa.
R: 9 dias
07 - Um automóvel com velocidade média de 60 km/h percorre uma certa 
distância em 4 horas. Quantas horas levaria se tivesse uma velocidade média 
de 80 km/h.
Solução:
60 km/h 4 h 
80 km/h x
Se desenvolvendo 60 km/h percorre a distância em 4 horas, desen­
volvendo 80 km/h percorrerá ém menos horas. Como deu menos o 60
que é menor do que o 80 vai para o numerador e o 80 para o denominador.
4x 60 „x —---------- 3
80
08 - Um automóvel com velocidade de 75 km/h faz um percurso em 6 
horas. Qual seria o tempo gasto se a sua velocidade fosse de 90 km/h.
R: 5h
09 - Um parafuso penetra 3,2 mm a cada 4 voltas. Quantas voltas deverá 
dar para penetrar 16 mm.
R: 20 voltas
10 - 40 pintores pintam um edifício em 10 dias. Querendo fazer o mesmo 
serviço em 8 dias, quantos pintores seriam necessários.
R: 50 pintores -
11 - Üm relógio atrasa 4 minutos em cada 24 horas. Quantos minutos 
atrasará em 60 horas.
R: lOmin.
12 - Um muro terá 40 metros de comprimento. Em 3 dias foram 
construídos 12 metros do muro. Supondo que o trabalho contínua a ser 
feito no mesmo ritmo, em quantos dias ò restante do muro será 
construído.
2 6 6 HILDER GÓES * UBAI£>0 TONAR
Observação: Quando num problema aparecer expressões como: 
"terá", "pretende fazer", "deseja realizar" ou qualquer outra semelhante; o 
número que a eles se relaciona, não entra na formulação do problema;
serve, apenas, de base para, dele, se tirar outro número
Solução:
O muro terá 40 metros. Como já foram feitos 12 metros, o restante . 
é de 28 metros:
12 m 3 d
28 m x
Para se fazer 12 metros foram necessários 3 dias, para. se fazer 28 
metros serão necessários mais dias. Logo) o 28, que é maior do que o 12, 
vai para o numerador e o 12 para o denominador.
3x28 „x ~ --------= 7
12
13 ~ Uma roda de automóvel dá 1.500 voltas em 3 minutos. Quantas voltas 
dará em 10 minutos, supondo-se que a velocidade permaneça constante.
R: 5.000 voltas
14 - Se 15 operários fazem uma.obra em 16 dias. Quantos dias levarão 24 
operários para fazerem a mesma obra.
R: 10 dias
15 - Uma árvore de 4 metros de altura projeta no solo uma sombra de 6 
metros de comprimento. Qual deve ser a altura de uma torre que no mes­
mo instante projeta uma sombra de 21 metros de comprimento.
R: 14m
16 - A sombra de uma torre mede ó,5m e a de uma vara l,4m quando 
colocadas verticalmente no mesmo momento. Calcule a altura da torre, 
sabendo que a vara tem 4,2m de comprimento.
R: 19,5m
17 - Se 10 operários fazem em 8 dias 2/5 de um serviço, em quantos dias 
12 operários farão o resto do serviço.
M ATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 267
Solução:
Se foram feitos 2/5 do serviço, é porque o serviço todo é 5/5.
Logo, o resto será ^ .
Para maior facilidade de cálculos, não trabalhamos com os denomi­
nadores das frações, o que não alterará o resultado; isto porque esses de­
nominadores são iguais. Ficando portanto, 2 serviços e 3 serviços. No que 
resulta:
10 op. 8 d 2 s
12 op. x 3 s
Se 10 operários fazem um serviço em 8 dias, 12 operários farão o 
mesmo serviço em menos dias. Então, o 10, que é menor que o 12 vai para 
o numerador, e o 12 para o denominador
Se 2 serviços são feitos em 8 dias, 3 serviços serão feitos em mais 
dias. Logo, o 3 que é maior que o 2 vai para o numerador e o 2 para o
__ 8x1 0x3 __1A
denominador. Então temos: x ------ ——- —10
12x2
18 -Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas. Se houvesse 30 
linhas em cada página, quantas páginas teria o mesmo livro.
R: 300 páginas
19 -'Um livro possui 180 páginas, cada uma com 50 linhas e cada linha 
com 60 letras. Se houvesse 90 linhas em cada página e cada linha com 40 
letras, quantas páginas teria o mesmo livro.
R: 150 páginas
20 - Em uma máquina existem 2 rodas engrenadas uma na outra* A pri­
meira tem 40 dentes e a segunda 30. Sabendo-se que a primeira deu 450 
voltas em um determinado tempo; quantas voltas deu asegunda no mes­
mo tempo.
R: 600 voltas
2 6 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
21 - Um tear, trabalhando com certa velocidade, dá 60 batidas para produ­
zir em 90 minutos um metro de tecido. Quantas batidas precisará dar para, 
em 40 minutos, produzir a mesma quantidade de tecido.
R : 135 batidas
22 - Para fazer um serviço em 4 horas foram necessários 15 homens. 
Quantos homens seriam necessários para fazer o mesmo serviço em 
12 horas.
Observação: Quando no problema surgirem grandezas como ho­
mens e horas, é conveniente colocar op. .(abreviatura de operário) em 
vez de h (abreviatura de homem) para nào confundir com o h (abrevia­
tura de hora).
Solução: ^ ^
Armando-se o problema, temos:
4 h 15 op.
12 h x
* Se para fazer o serviço em 4 horas foram necessários 15 operá­
rios, para fazer em 12 horas serão necessários menos operários. Logo, 
o 4 que é menor do que o 12 irá para o numerador e o 12 para o 
denominador.
15x4 c X —: ------------- = 5
12
23 - Para fazer 180 metros de um muro, foram necessários 15' homens, 
trabalhando 18 dias de 10 horas. Quantos dias, de 6 horas, serão necessá­
rios para 30 homens fazerem 60 metros do mesmo muro?
Solução:
Armando-se o problema, temos:
180 m 15 op. 18 d 10 h
60 m 30 op, x 6 h
• Se para fazer 180 metros foram necessários 18 dias de trabalhos, 
pará fazer 60 m, serao necessários menos dias. Como deu menos, o núme­
ro menor, no caso o 60, irá para o numerador e o maior, o 180, para o 
denominador.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA PE TRÊS 2 6 9
• Se 15 operários fazem determinado serviço em 18 dias, 30 operá­
rios farão esse serviço em-menos dias. Como deu menos, o número me­
nor, no caso o 15, irá para o numerador e o maior, o 30, para o denominador.
* Trabalhando-se 10 horas por dia, foram necessários 18 dias para 
se fazer determinado serviço, trabalhando-se 6 horas por dia serão neces­
sários mais dias para se fazer esse mesmo serviço. Nesse caso deu mais, 
então o número maior, o 10, irá para o numerador, e o menor, o 6, irá para 
o denominador. Entao temos:
_ 18x60x15x10 
180 x 30 x 6
24 - Se 15 operários gastam 3 horas para transportar 3.000 tijolos numa 
distância de 2 km; quantas horas gastarão 10 operários para transportarem
2.000 tijolos, numa distância de 3 km?
R: 4 horas e 30 minutos
25 - Uma turma de trabalhadores fez um trabalho, cujo coeficiente de 
dificuldade é 0,2 em 8 dias. Em quantos dias a mesma turma faria o mes­
mo trabalho, se o coeficiente de dificuldade fosse, agora, de 0,25?
R: 10 dias
26 - Para construir 300 metros de um muro, 12 homens, trabalhando 5 
horas por dia, trabalharam 6 dias. Trabalhando 4 horas por dia, 18 homens 
durante 5 dias, quantos metros construirão? .
R: 300m
27 ~ 8 operários desejam construir um muro de 20 metros de comprimen­
to. Depois de 6 horas *de trabalho fizeram apenas 12 metros. Quantos 
operários serão necessários para, trabalhando 16 horas por dia, termina­
rem o serviço.
Relembrando: Em regra de três, os dados contidos em expressões 
como "desejam fazer", "pretendem construir", "queriam realizar" ou ou­
tras de igual sentido, não entram na solução do problema, servem apenas 
de base para que possamos tirar dados reais e concretos para se armar o 
problema.
270 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
No nosso exemplo, os.operários "desejavam construir" 20 metros 
mas, de fato, só fizeram 12, restando, portanto, 8 metros para serem 
construídos. Teremos então:
8 op. 6 h 12 m (fizeram)
x 16.h ■- 8 m (resto)
Solução:
• Trabalhando-se 6 horas, foram necessários 8 operários para fazer 
determinado serviço; trabalhando-se 16 horas, serão necessários menos 
operários- Então, o número menor, no caso o 6, irá para o numerador, o
16 para o denominador.
• Se, para construir 12 metros de muro, são precisos 8 operários; 
para se construir 8 metros serão precisos menos operários. Então, o 8 que 
é menor que o 12 irá para o numerador e o 12 para o denominador. No 
que resulta:
8 x 6 x 8x =---------- — 2
16x12
2 8 - 8 operários fizeram em 5 dias de trabalho 2/3 de uma obra. Em 
quantos dias, 15 operários poderão fazer o serviço todo.
Solução:
• Se foram feitos 2/3 é porque a obra toda é 3/3. Como os 
denominadores são iguais podemos desprezá-los ficando 2 serviços e
3 serviços.
Armando o problema, temos:
8 op.. 5 d- 2 s
15 op. x .3 s
• Se 8 operários gastam 5 dias para fazer um serviço, 15 operários 
gastarão menos dias. Como deu menos, o 8 que é menor do que o 15, irá 
para o numerador e o 15 para'o denominador.
• Se para fazer 2 serviços foram precisos 5 dias, para fazer 3 servi­
ços serão necessários mais dias. Como deu mais, o 3 que é maior do que o
2 irá para o numerador e o 2- para o denominador. Então resulta:
5 x 8 x 3x =-----------— 4
15x2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 271
- Em 28 dias, 12 operários fizeram a metade de certa obra. Quanto 
tempo levam ainda para terminá-la com 4 operários a menos?
R: 42 dias
\ - 2 operários produzem, em 5 dias, 300 peças de um certo produto.
Quantas peças serão produzidas por 5 operários em 12 dias?
R: 1.800 peças
V‘ 31/- Uma máquina funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregosdurante 6 dias. Quantas horas, por dia, deveria funcionar, para fabricar
20.000 pregos em 20 dias?
R: 2 horas
‘■s 32 \ 20 operários de capacidade 4, fazem uma obra em 15 dias. Quantos 
operários de capacidade 5 fariam a mesma obra em 20 dias?
R: 12 operários
’ 33 r Num haras, são consumidos 210 kg de alfafa na alimentação de 3 
cavalos durante 7 dias. Para alimentar 8 cavalos durante 10 dias, quantos 
quilos de alfafa serão necessários?
R: 800kg
34 - Um ciclista percorre 75 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em 
quantos dias faria uma viagem de 200 km, pedalando 4 horas por dia?
R: 4 dias
Relembrando:
1) Devemos armar o problema em duas linhas horizontais, colo­
cando natureza debaixo de natureza;
2) Escrever x, igual a um traço de fração e no numerador o número 
que está em correspondência com o x;
3) comparar cada par de número, independente dos outros pares, 
com o par em que figura o x. Quando der mais o número maior vai para o 
numerador e, quando der menos, o número menor vai para o numerador.
Observação: Se um par for constituído de números iguais, pode­
mos eliminar esse par sem alterar o resultado do problema.
272 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
3 5 - 6 operários, em 15 dias, fizeram metade do trabalho de que fo­
ram encarregados. No fi.tn desse tempo, 4 operários abandonaram o 
trabalho. Em quanto tempo os operários restantes poderão terminar 
o trabalho?
R: 45 dias
3 6 - 10 operários em 16 dias de serviços, fizeram 2/5 de uma obra. Se 16 
operários, em 20 dias, fizeram o restante do serviço; qual a dificuldade 
desse segundo grupo, se a do primeiro é 3.
37 - Sabendo-se que 8 operários trabalharam 15 dias, de 10 horas, para 
abrir um canal de 48 metros de comprimento, em um terreno de dureza 
5. Calcular quantos dias de 9 horas seriam necessários para 7 operários 
abrirem outro canal de 252 metros de comprimento, num terreno de 
dureza 2.
R: 40 dias
38 - Um datilografo com capacidade para 150 toques por minuto, traba­
lhando 3 horas por dia, em 16 dias, datilografa 15 livros. Quantos dias
ques por minuto, trabalhatído 4 horas por dia.
R: 20dias
39 - Uma máquina trabalhando 6 horas por dia, produz 20.000 pregos em 
10 dias. Em quantas horas, outra máquina que é duas vezes mais ativa do 
que a primeira, precisará trabalhar por dia, para produzir 36.000 pregos 
em 12 dias?
Observação: Cuidado com as expressões: duas vezes e duas vezes 
mais ou tres vezes e três vezes mais. Pois, duas vezes indica que uma é 1 e 
a outra é 2. Enquanto que duas vezes mais, indica que é uma 1 e a outra é 
3; pois existe entre 1 e 3 uma diferença de 2. Em três vezes temos: 1 e 3. E, 
em três vezes mais, temos: 1 e 4. E assim por diante:
Armando-se o problema, temos:
R: 4
6 h 20.000 p 
36.000 p
10 d 
12 d
1 cap. 
3 cap.x
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 273
Solução:
• Se para fabricar 20.000 pregos foram necessários 6 horas de tra­
balho; para se fabricar 36.000, serão necessárias mais horas. Logo, o 36.000, 
que é maior do que o 20.000, irá para o numerador e o 20.000 para o 
denominador.
• Se em 10 dias, para se fazer certo serviço, foi preciso trabalhar 6 
horas por dia; trabalhando-se 12 dias para fazer o mesmo serviço, será 
preciso menos horas. Logo, o 10 que é menor do que o 12 irá para o 
numerador e o 12 para o denominador.
• Se com uma capacidade 1, foram necessárias 6 horas de trabalho 
para se fazer certo serviço; com uma capacidade 3 será preciso menos 
horas. Se deu menos, o 1 que é menor que o 3 irá para o numerador e o 3 
para o denominador.
6x36.000x10x1 
No que resulta: x = rrTTT—71 ~
M 20.000x12x3
40-14 homens gastam 20 dias para fazer 45 metros de um muro. Quanto 
tempo levará a metade desses homens para fazer 18 metros de outro muro, 
cuja dificuldade é três vezes maior que a anterior.
R: 64 dias
41 -10 operários, trabalhando 6 horas por dia durante 5 dias, realizaram 
certo serviço. Em quantos dias, 12 operários trabalhando 10 horas por 
dia, poderão fazer outro serviço, cuja dificuldade é quatro vezes a dos 
primeiros.
R: 10 dias
42 - No revestimento de um muro de 16 metros de comprimento e 2,5 
metros de altura, foram gastos 84 kg de reboco. Quantos quilos serão 
necessários para revestir outro muro de 30 metros de comprimento e 1,8 
metros de altura.
Temos:
16 m/c 2,5 m/a 84 kg
30 m/c 1,8 m/a x
274 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
Solução:
• Se para 16 metros foram gastos 84 kg, para 30 metros serão gas­
tos mais quilos. Como deu mais, o 30 é maior do que o 16, irá para o 
numerador.
• Se para 2,5 metros foram gastos 84 kg, para 1,8 metros serão 
gastos menos quilos. Como deu menos, o 1,8 que é menor do que o 2,5 é 
quem irá para o numerador. No que resulta:
84x30x1,8
16x2,5
43 - 20 operários cavam 400 metros de um poço, em 15 dias de 8 horas. 
Em quantos dias de 9 horas, 15 operários cuja capacidade de trabalho é 
três vezes a dos primeiros, poderão fazer 900 metros de outro poço, cuja 
dificuldade seja 3/5 da do primeiro.
R: 8 dias
44 -50 homens têm provis^s para 20 dias, à razão de 3 rações diárias. Se 
as rações diminuem de 1/3 e se o número de homens aumenta de 10. 
Quantos dias durarão os mantimentos.
R: 25 dias
?
Veja Com M uita Atenção:
a) Se foram feitos 2/7 de um serviço temos:
Í) o serviço todo é 7/7 ü ) o resto será 5/7
b) Se uma velocidade aumenta de 1/5, é porque eia era 5/5, fican­
do portanto em 6/5;
c) Se uma vd.ocidade diminui em 4/7, é porque ela era 7/7 ficando, 
portanto, em 3/7;
d) Se a dificuldade ou habilidade de uma segunda turma é 5/8 da 
primeira turma, é porque a dificuldade ou habilidade dessa primeira turma 
é de 8/8; sendo portanto a segunda turma 5/8 de 8/8 que é 5/8.
e) Quando os denominadores forem iguais, devemos eliminá-los.
X, di S
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 275
45-15 homens cavaram um poço em 10 dias, trabalhando 8 horas diárias. 
Em quantos dias, 40 homens cavarão outro igual, trabalhando 12 horas 
por Hia/ sabendo que a dificuldade da segunda obra aumentou em 3/5.
R: 4 dias
46 - Em 10 dias, um homem percorre 150 km, à razão de 5 horas diárias de 
marcha. Qual será a distância que percorrerá em 8 dias à razão de 6 horas 
de marcha, se diminui a velocida.de de 1/8.
R: 126km
47 - Em 20 dias, um viajante andando 12 horas por dia, faz 1.440 km. 
Quantas horas deverá andar por dia, para viajar 1.890 km, se caminhar 25 
dias, e se diminuir a sua veloddade de 3/10.
R: 18 horas
48 - Viajando 6 horas por dia, um avião percorre, em 4 dias, 5.750 km. 
Aumentando de 1/10 a sua velocidade e viajando 8 horas por dia, em 9 
dias, que distânda percorrerá.
R :^ e 08-km I ^
49 - Um viajante andando 12 horas por dia, durante 20 dias, faz 1.440 km; 
quantas horas deverá andar, por dia, para fazer 1.890 km, se andar 15 dias 
com a velocidade diminuída de 1/10.
R: 23 horas e 20 minutos
50 - Se um ciclista aumentasse de 1/5 a sua velocidade, quantas horas por 
dia deveria pedalar para fa2er em 4 dias o caminho que havia feito em 5 
dias, pedalando 6 horas por dia.
R: 6 horas e 15 minutos
51 - 1/3 de uma turma faz 4/5 de um serviço em 2/3 de uma hora. 
Calcular em quanto tempo o restante da turma fará o serviço todo.
R: 25 minutos
276 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
52 - Verificou-se que 3/5 de certo trabalho foram feitos por 20 operários, 
em 9 dias de 9 horas. Quantas horas deverá trabalhar 27 operários para 
executar a metade do resto do mesmo trabalho, em 5 dias.
R: 4 horas
Observação: Quando o problema solicitar de quanto foi o acrésci­
mo ou de quantos homens teriam de ser reforçados, atente para:
i) Se o número resultante for maior do que o dado no problema, a 
resposta será a diferença, isto é, se no problema for 10 e você encontrou 
15, então a resposta será 5.
ii) Se o número resultante for menor do que o dado no problema, a 
resposta será esse número, isto é, se no problema for 10 e você encontrou 
1, então a resposta será 7;
iü) Se o número resultante for igual ao dado no problema, isto é, se 
no seu problema for ó e você encontrou 6, a resposta será "nenhum".
53 - Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias, certa 
obra. Ao cabo de 9 dias somente fizeram 3/9 da obra. .Com quantos 
homens essa turma teria de ser reforçada para concluir a obra no tempo 
fixado.
R: 39 homens
■54 - 10 homens se comprometeram a realizar em 24 dias certa obra. 
Trabalharam 6 dias à razao de 8 horas diárias. A fim de acabar a obra 8 
dias antes do prazo marcado, aumentou-se o número de operários, que 
passaram a trabalhar todos, 12 horas por dia. De quantos operários foi o 
acréscimo.^
R: ^ operários
55 - Sabendo-se que 3/4 de certa obra foram feitos por 33 pessoas em um 
ano de trabalho, calcular quantas pessoas seriam necessárias para fazer a 
obra na metade do tempo.
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 277
Solução:
Se foram feitos 3/4 da obra, isso indica que a obra toda é 4/4. Um 
ano, fazemos igual a 12 meses. Logo, a metade será 6 meses. Relembre que 
podemos desprezar os denominadores.
Armando-se o problema, temos:
3 s 33 op. 12 meses
4 s x 6 meses
* Se para fazer 3 obras ou serviços, foram necessários 33 pessoas, 
para fazer 4, serão necessários mais pessoas. Logo, o 4 vai para o numera­
dor e o 3 para o denominador.
• Se para fazer uma certa obra em 12 meses foram necessários 33 
pessoas, para fazer em 6 meses, serão necessários mais pessoas. Logo, o 
12 vai para o numerador e o 6 vai para o denominador.
x = 3 3 * 4 x l 2 =g8
3x6
56 - Uma rua de 50 metros de comprimento e 8 metros de largura foi 
pavimentada com 20.000 paralelepípedos. Quantos seriam necessários para 
pavimentar outra rua com o dobro de comprimento e cuja largura é igual 
a 3/4 da largura da rua anterior.
R: 30.0000 paralelepípedos
57 - Em 50 dias, com 15 homens que trabalham 8 horas por dia,-foram 
feitos 3/5 de um serviço. Tendo sido empregados mais 5 homens e fa­
zendo-os trabalhar 2 horas amais por dia, em quantos dias terminarão o 
serviço.
R: 20 dias
58 - Um terço de certa obra foi feito em 12 dias por 21 operários traba­
lhando 8 horas por dia. Quantos dias levariam para terminar a obra, 24 
operários trabalhando 7 horas por dia.
R: 24 dias
278 HILDER GÓES * UBAUDO TONAR
5 9 - 8 homens, trabalhando durante 12 dias, à razão de 8 horas por 
dia ftzefam 2/5 de uma obra. Admitindo-se mais 4 homens e traba­
lhando agora à razão de 6 horas diárias, em quanto tempo a obra
ficará pronta.
R: 16 dias
60-5 operários deveriam fazer uma obra em 17 dias. Depois de 12 dias de 
10 horas de trabalho, haviam feito 2/3 da obra. Quantas horas devem 
trabalhar por dia, daí por diante, para terminar a obra no prazo fixado.
Solução:
Se deveriam fazer em 17 dias e já trabalharam 12 dias, então faltam
5 dias. Se já fizeram 2/3, a obra toda é 3/3, logo falta 1/3 para ser conclu­
ída. Armando-se o problema, temos:
12 d 10 h 2 ob.
5 d x 1 ob.
• Se trabalhando 12 dias foi necessá rio - trabalhar 10 para se fazer 
determinada obra, trabalhando apenas 5 dias será necessário mais horas 
por dia. Logo, o 12 no numerador e o 5 no denominador.
• Se para fazer 2 obras foram necessários 10 horas de trabalho, para 
se fazer 1 obra será necessário menos horas. Então o 1 no numerador e o -
2 no denominador.
10x12x1
x =-------------= 12
5 x 2
61 - Um estudante resolve 6 problemas em meia hora, mas fuma 3 cigar­
ros e bebe uma xícara de café. Se considerarmos que o cigarro diminui a 
eficiência e o café a estimula, quantos exercícios resolverá fumando 8 ci­
garros e bebendo 4 xícaras de café, em 2 horas.
R: 36 exercícios
62 - Com 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, certo engenheiro 
poderá concluir a construção de uma casa em 45 dias. Desejando, po-
MATFAÍÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 279
rém, terminá-la 15 dias antes, contrata mais 6 operários. Quantas ho­
ras por dia deverão todos trabalhar para que a obra fique terminada 
nesse prazo.
R: 10 horas
63 - Uma tropa de campanha com 380 animais, tem forragem, para 
30 dias, dando a cada um 8kg por dia. De quanto deverá ser diminu­
ída a ração diária para que & mesma quantidade de forragem possa 
durar 48 dias.
R: 3kg
64 - Com 12 lâmpadas de igual intensidade, acesas durante 5 horas por dia 
o consumo de energia elétrica de certa residência, em 39 dias, atinge a 26 
quilowatts. Conservando acesas 9 lâmpadas, durante 4 horas por dia, quanto 
se consumirá em 30 dias.
R: 12 quilowatts
65 - Uma turma de 10 operários faz um serviço em 16 dias. Calcule em 
quantos dias uma turma de 8 operários faria o mesmo serviço, sabendo 
que a dificuldade da segunda turma esta para a da primeira como 3 está 
para 5.
Observação: Dizer que a dificuldade da segunda turma está para a 
da primeira como 3 está para 5, ou na razão de 3 para 5, é a mesma coisa de 
se dizer que a dificuldade da segunda turma é 3/5 da dificuldade da primeira. 
Solução: Pela observação anterior, temos que: a dificuldade da pri-
5 3 5 3
meira
já sabe, eliminar os denominadores. Armando-se o problema, temos:
10 op. 16 d 5 dif.
8 op. x 3 dif.
• Se 10 operários fazem um serviço em 16 dias, 8 operários 
farão o serviço em mais dias. Logo, 10 para o numerador e 8 para o 
denominador.
turma e — e da segunda é ~ de ~ que e ~ . Devemos, como você 
5 5 5 5
2 8 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
• Se com a dificuldade 5, foram necessários 16 dias para se fazer um 
serviço, com uma dificuldade 3 serão necessários menos dias. Então 3 
para o numerador e o 5 para o denominador.
16x1 0x3
x - ------------- =12
8 x 5
66 - Em 18 dias de 10 horas, 7 operários abriram uma vala de 30 metros de 
comprimento. Trabalhando 11 horas por dia, quantos dias gastarão 15 
operários para abrir outra vala, de 55 metros de comprimento, se a habili­
dade da primeira turma está para a da segundycomo 3 está para 4 e a 
dificuldade dos serviços, como 7 está para 4.
R: 6 dias
67 - Cinco operários preparam 30 jardins em 6 dias de 8 horas. Quantos dias 
de 12 horas levarão 9 operários para preparar 90 jardins se a dificuldade do 
segundo trabalho está para o primeiro como 4 está para 5 e a habilidade dos 
operários da segunda turma está para a da primeira c o m o 2 está para 3
R: 8 dias
•
68 t 48 operários, que trabalham 9 horas por dia, gastaram 24 dias para 
.abrir uma vaia, que mede 32 m de comprimento; 1,2 m de largura e 1,5 m 
de profundidade. Trabalhando 8 horas por dia, quantos dias, 30 operários; 
levarão para abrir outra vala, que mede 25 m de comprimento; 1,4 m de 
largura e 1,6 m de profundidade, sabendo-se que as atividades dos operá­
rios estão na razão 3/4 e que as dificuldades dos trabalhos sao inversa­
mente proporcionais aos números 6 e 5.
R: 37,8 dias
69 - Um carro, desenvolvendo a velocidade de 50 km/h, faz um percurso 
entre as cidades "A" e "B" em 8 horas. Depois de percorrer 100 km, 
permanece parado uma hora. Que velocidade deve desenvolver daí por 
diante para chegar na cidade "B" na hora prevista.
R: 60 km/h
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 281
70 - Um trem, correndo com a velocidade de 42 km por hora, deve, per­
correr uma distância em 9 horas. Depois de haver percorrido 126 km hou­
ve um defeito na locomodva e o trem teve que parar 45 minutos. Com que 
velocidade deve continuar a viagem para chegar à estação terminal à hora 
fixada.
R: 48 km/h
71 - Um gato corre 100 metros à frente de um cão que o persegue. En­
quanto o gato anda 9 metros, o cão anda 10. Que distância tem que per­
correr o cão para cobrir 1/4 da distância que o separa do gato.
R: 25 Om
72 - Se 15 operários levam 5 dias, trabalhando 8 horas por dia, para fazer 
180 metros de uma certa obra, sendo a capacidade de cada um e a dificul­
dade do serviço equivalentes, respectivamente a 6 e 3, quantas horas por 
dia terão de trabalhar 12 operários para, em 8 dias, fazerem 360 metros da 
mesma obra, porém com operários de capacidade equivalente a 5 e sendo 
a dificuldade do serviço apenas equivalente a 2.
R: 10 horas
^4 73 - Um acampamento com 60 operários tem mantimentos para 4 me­
ses, os operários comendo 6 rações diárias. Depois de 2 meses chegam 
mais 20 operários e o chefe do acampamento verifica que os trabalhos 
devem durar mais 2 meses do que se previa. Quantas rações diárias de­
vem comer.
R: 4 rações diárias
74 - Trinta operários, trabalhando 8 hora por dia, fizeram 150 metros de 
certo tecido, em 12 dias. Quantos operários, de capacidade de trabalho 8/5 
da dos primeiros, serão necessários, trabalhando 9 horas por dia, para 
fazer 153 metros do mesmo tecido, cuja largura é 5/3 da largura do pri­
meiro em 10 dias.
R: 34 operários
2 8 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
75 - Quinze operários, trabalhando 15 dias, 8 horas por dia, abriram um 
fôsso de 240 metros de comprimento e 5 metros de largura. Qual será o 
comprimento de um outro fôsso da mesma largura, aberto por 60 operá­
rios, cuja advidade é 3/4 da dos primeiros, em 30 dias, a 10 horas por dia, 
em um terreno 2 vezes mais difícil de trabalhar.
R: 600m
76 - 64 operários, trabalhando 4 horas diárias, durante 18 dias, abriram 
uma vala de 36 metros de comprimento, em terreno de dureza 4. Determi­
nar o comprimento de outra vala, aberta por 56 operários que trabalham 5 
horas por dia, durante 16 dias, em terreno de dureza 2.
R; 70m
77 - Se 3/5 de uma turma faz 3/4 de um serviço em 2/3 de uma hora* 
calcule, em quanto tempo, o restante da turma faria o serviço todo, saben­
do que a dificuldade da segunda turma aumentou em 1/2.
R: 2 horas
78 - Em 30 dias, 36 operários, trabalhando 10 horas por dia, cavaram 
um buraco com 60 metros de comprimento; 2,5 metros de largura e 4 
metros de profundidade. Quantos operários serão precisos, trabalhan­
do 12 horas por dia, para cavarem, em 18 dias, um buraco com75 
metros de comprimento, 3 metros de largura e 3,2 metros de profundi­
dade; sabendo que a dificuldade do primeiro trabalho está para a do 
segundo como 5 está para 6 e a força de um operário da primeira tur­
ma está para a força de um operário da segunda turma como 1 está 
para 4.
R: 18 operários
79 - Um livreiro imprimi suas obras: uma de 25 volumes, tendo cada um
14 folhas de impressão, com 33 linhas de 48 letras por linha, foi composta 
por 5 operários em 18 dias de trabalho de 11 horas por dia; a outra, tendo 
cada volume 18 folhas de impressão, com 42 Hnhas de 50 letras por linha,
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - REGRA DE TRÊS 283
foi composta por 9 operários, em 15 dias, trabalhando 13 horas por dia. 
Calcule o número de volumes da segunda obra.
R: 26 volumes
80 - Uma turma de operários pretende fazer certa obra em 30 dias, traba­
lharam 10 dias a razão de 8 horas diárias. Quantos dias terao de trabalhar 
para fazer o restante da obra, trabalhando 5 horas por dia.
R: 32 dias
81 - Uma turma de 20 operários pretende realizar um serviço em 18 dias. 
Trabalharam 6 dias à razão de 6 horas por dia. Com quantos operários 
teriam de ser reforçados, para terminar o serviço na época pactuada, tra­
balhando 10 horas por dia.
R: 12 operários
82 - Numa gráfica uma certa encomenda pode ser feita em 5 dias por 8 
máquinas funcionando ininterruptamente 6 horas diárias. Se três dessas 
máquinas quebrarem, em quanto tempo as restantes poderão realizar essa 
tarefa.
R: 8 dias
284 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
REGRA DE TRÊS - Q uestões de C oncursos
01) CJF - Uma torneira despeja 180 litros de água em 9 minutos. Quantos 
litros despejará em 2 horas e um quarto.
a) 2.345 b) 1.800 c) 1.890 d) 2.360 e) 2.700
02) CJF - Se cada passo que você dá eqüivale a 0,6m; quantos passos você 
dará para andar 2,4 km.
a) 4.000 b) 400 c) 40.000 d) 3.600 e) 400.000
03) CJF — Percorri de carro 300 Km em 4 horas. Quanto tempo gastarei 
para percorrer 450 Km, se aumentar a velocidade do carro em 1/5.
a) 5 horas b) 4 horas e 30 minutos c) 5 horas e 30 minutos
d) 5 horas e 10 minutos e) 4 horas
04) CJF - Se 8 homens, trabalhando 10 dias, durante 8 horas diárias, fa­
zem 2/5 de uma obra, quantos dias serão necessários para 10 homens 
trabalhando 6 horas por dia, terminarem o resto da obra.
a) 16 b) 12 c) 14 d) 13 e) 9
05) TST O motorista de um automóvel deseja fazer em 8 dias um
trajeto já feito anteriormente em 10 dias de 5 horas com a velocidade de
60 Km/h. Quantas horas por dia deverá fazer, se aumentar a velocidade 
da quarta parte da anterior.
a) 8h por dia b) 7h por dia c) 4h por dia
d) 5h por dia e) 6h por dia
06) TRE — Um motociclista, mantendo velocidade constante, percorre a 
‘ distancia de 1.080 Km em 2 dias, viajando 8 horas por dia. Nas mesmas
condições, quantos quilômetros ele poderá percorrer se viajar 6 horas por 
dia, durante 3 dias.
'a ) 1.215 b) 1.420 c) 915 d) 540 e) 1.315
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 285
07) TRE — Um carro percorre uma distância de 240 Km. Quantos quilô­
metros percorrerá se quadruplicarmos sua velocidade média e reduzir­
mos a 1/3 o tempo do percurso.
a) 360 b) 320 c) 350 d) 280 e) 275
08) AFRE — Se 8 homens, trabalhando 8 horas por dia, levam 8 dias para 
fabricar 8 unidades de um artigo, então, em 12 dias, o número de unidades 
do mesmo artigo fabricado por 12 homens de mesma capacidade de tra­
balho que os primeiros, trabalhando 12 horas por dia, é:
a) 12 b) 24 c) 27 d) 32 e) 35
09) AFRE — Uma creche tem alimentos suficientes para alimentar 18 crian­
ças durante 45 dias. Após 30 dias recebe mais 12 crianças. Quantos dias 
durará o alimento.
a) 7 dias b) 6 dias c) 12 dias d) 9 dias e) 5 dias
10) AFRE - Um grupo de 10 pessoas foi acampar, levando alimentação 
suficiente para 16 dias com três refeições diárias. Chegando ao local, mais 
dez pessoas se juntaram ao grupo. Fazendo apenas duas refeições diárias, 
os alimentos deverão durar:
a) 10 dias b) 12 dias c) 14 dias d) 16 dias e) 18 dias
11) ARRE — Uma artesã deve fazer dois tipos de tapetes, tais que a dificul­
dade de confeccionar o primeiro está para o segundo, assim como 4 está 
para 6. Quantos metros do segundo tapete poderá ela fazer em 60 horas, 
supondo-se que fez 180 metros do primeiro em 90 hõras?
a)180m b) 160m c) 120m d) 80m e) ÓOm
12) TCC — Seis pedreiros constroem uma parede de 40m de comprimento, 
em 20 dias. Quantos dias 10 pedreiros levarão para construir 50m de uma 
parede do mesmo tipo.
a) 18 b) 15- c) 14 d) 10 e) 22
13) TCC — Se 50 operários produzem 150 automóveis em 30 dias traba­
lhando 8 horas por dia, quantos automóveis produzirão 60 operários tra- . 
balhando 6 horas por dia, durante 50 dias.
a) 200 b) 215 c) 150 d) 180 e) 225
286 h ild e r góes ❖ u ba ldo to n a r
14) TGC — 18 máquinas impressoras imprimiram certa quantidade de li­
vros em 10 dias, trabalhando 6 horas por dia. Tendo quebrado 1/3 das 
máquinas, quanto tempo levarão as demais máquinas para imprimir a mes­
ma quantidade de livros, trabalhando 9 horas por dia.
a) 12 dias b) 11 dias c) 13 dias d) 10_çiias e) 14 dias
15) TRE - Uma refinaria de petróleo produz 500 litros de gasolina a cada 
período de 10 minutos. Quantos litros produzirá ao fim de 24 horas.
a) 720.000 b) 72.000 c) 50.000 d) 12.000 e) 7.200"
16) TRE — Um navio cargueiro, com 30 homens de tripulação, encontrou 
uns .náufragos durante a viagem, e reduziu a ração de cada homem de 96 
dag para 576 g Quantos eram os náufragos.
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40
17) TRE — Certa máquina produz 90 peças trabalhando durante 50 minu­
tos. Quantas peças produzirá em 1 hora e 20 minutos.
a) 120 . b) 144 c) 180 d) 190 e) 201
18) TRE — Uma torneira jorra 10 litros d’água por minuto, enchendo um 
tanque em 8 horas. Sabendo-se que a torneira lança 25 litros d5água por 
minuto, o tempo necessário para encher o mesmo tanque é de:
a) 2h 35min b) 2h 46min c) 3h lOmin d) 3h 12min e) 3h 15min
19) BB - Uma indústria dispõe de 15 máquinas produzindo, cada uma,
120 peças por dia. Quantas peças a empresa produzirá diariamente, se 
aumentar em 20% o seu parque de máquina.
a) 1.920 b) 2.160 . c) 2.196 d) 2.220 e) 2.232
20) BB - Com 210 sacos de farinha, de 60 quilos cada um, podem-se
fazer 180 sacos de paes com 40 Kg cada um. Quantos quilogramas de 
farinha serão necessários para produzir 120 sacos de paes, pesando 80 
Kg cada um: ’ \
a) 9.450 b) 9.600 c) 16.800 d) 20.800 e) 21.600
21) BB - Quinze operários, trabalhando 8 horas por dia, em 30 dias ma­
nufaturam 900 pares de sapato. Quantos pares serão manufaturados por 8
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 287
operários, trabalhando 40 dias de 6 horas, sabendo-se que os novos sapa­
tos apresentam o dobro da dificuldade dos primeiros: 
a) 85 b) 135 c) 240 d) 480 e) 960
22) BB — Uma linha de produção de 100 operários funciona 12h/dia, 
cinco dias por semana. A direção da empresa resolve diminuir o número 
de empregados em 20% e aplicar a semana de trabalho em mais um dia. 
Para que a produção seja mantida, a jornada diária passará a ser de:
a) 12h 15 min b) 12h 30 min c) 12h 45 min
d) 13h OOmin e) 13h 15 min
23) BEC -1 2 animais durante 20 dias comeram 400 Kg de farelo. Quantos 
animais comeriam 600 Kg de farelo durante 24 dias.
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
24) CEF - Numa gráfica, 8 máquinas executam um c e r to serviço em 5 
dias, trabalhando 5 horas por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalha­
rem 8 horas por dia, executarão o mesmo serviço em:
a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias
25) MPU — Para se pintar a metade de um muro foram necessárias 2h 30
min 45s. Quanto será necessário para se pintar o muro todo.
a) 6h 2 min 15s b) 5h 1 min 30s c) 5h 5 min 30s
d) 4h 30 min 15s e) 3h 1 min 40s
26) MPU — Um carro percorre 45 Km em meia hora. Quantos quilôme­
tros percorreráem 148 minutos.
a) 276 • b) 222 c) 254 d) 216 e) 180
27) MPU — Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, 
trabalhando 8 horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 
0,4 da obra estavam prontos. Pãra entregar o serviço na data fixada, quantas 
horas por dia devem'os operários trabalhar nos dias restantes.
a) 10 horas b) 15 horas c) 9h 36 min d) 16 horas e) 12 horas
28) MPU - 540 operários, cuja capacidade de trabalho está avaliada pelo 
número 5, construíram 18 Km de uma estrada, trabalhando 300 dias de 8
2 8 8 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
horas cada um. Qual a capacidade de trabalho de 270 operários que cons­
truíram outro trecho de 27,720 Km da mesma estrada, em 640 dias, traba­
lhando 8h e 45 min por dia.
a) 9,6 b) 3,6 c) 6,6 d) 7,2 e) 2,8%
29) TST — Dois lavradores plantam em 5 dias 320 mudas de pinheiros. 
Quantas mudas serão plantadas por 5 lavradores trabalhando 8 dias.
a) 1.280 mudas b) 1.360 mudas c) 1.600 mudas
d) 1.800 mudas e) 1.900 mudas
30) TST — Uma equipe de 10 datüógrafos prepara 5.000 páginas 
datilografadas, em 20 dias de trabalho, trabalhando 4 horas por dia. A 
equipe recebeu a incumbência de datilografar 6.000 páginas em 15 dias, 
mas teve dois de seus datilógráfos afastados por motivo de saúde. Nessas 
condições, para poder atender o pedido no prazo determinado, a jornada 
de trabalho deve ser prorrogada em:
a) 2 horas b) 2h 30 mine) 3 horas d) 3h 30 mine) 4 horas
31) TRT - Uma certa quantidade de ração é suficiente para alimentar 50
cavalos durante 2 meses. A mesma quantidade de ração alimentaria 40 
cavalos em:
a) 48 dias b) 70 dias c) 72 dias d) 75 dias e) 90 dias
32) TRT — Para revestir um muro de 3,2m de comprimento por 0,5 metro 
de altura, sào usadas 16,8 K!g de reboco. Quantos quilos de reboco serão 
necessários para revestir outro muro que tem 9m de comprimento por 2m 
de altura.
a) 150 b) 189 c) 190 d) 192 e) 200
33) TRT - Quinze impressoras, todas de igual rendimento, produzem 
durante um certo período de tempo 51.000 impressos. Se 7 daquelas má­
quinas forem desligadas, o número de impressos que serão produzidos 
pelas restantes, no mesmo período de tempo é:
a) 27.200 b) 26.400 c) 25.800 d) 24.500 e) 23.800
34) TFR — Uma turma dè 12 operários deveria executar certa obra. De­
pois de 5 dias de trabalho, 2 operários adoecem e abandonaram o serviço. 
/ ______________________ ______________________
MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 289
Em quantos dias os operários restantes poderão concluir o trabalho, se, 
quando os 2 operários se retiraram, a turma completa já havia feito a me­
tade da obra.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
35) TFR - Cinco datilógrafos preparam 2.500 páginas em 21 dias, traba­
lhando 6 horas por dia. Um trabalho de 4.000 páginas, com 7 datilógrafos, 
trabalhando 8 horas por dia, será feito em:
a) 15 dias b) 17 dias c) 18 dias d) 20 dias e) 21 dias
36) TRE — Uma máquina, funcionando ininterruptamente, produz 1.200 
peças em lh 30 min. Quantas peças produzirá em 2h 45 min, trabalhando 
nas mesmas condições:
a) 1.500 b) 1.850 c) 1.960 d) 2.080 e) 2.200
37) TRE - Um escriturário datilografou um texto usando 160 páginas, 
tendo cada páginas 35 linhas e cada linha, em média, 50 letras. Se tivesse 
datilografado o mesmo texto em 280 páginas, com 20 linhas em cada uma, 
quantas letras teria usado, em média, por linha?
a) 42 b) 46 c) 48 d) 50 e) 52
38) TJC — Sabendo-se que 6 operários constroem um muro em 120 dias,
13 trabalhadores constroem a mesma obra em exatamente:
a) 55d 9h 13 min 50. 10/13s b) 55d 9h 13 min 53. ll/13s
c) 55d 9h 13 min 54. ll/13s d) 55d 9h 13 min 56. ll/13s
e) 55d 9h 13 min 58. 10/13s
39) TTN — 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço em 10 dias, 
trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias estará a obra terminada, 
sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho 
diminuído de uma hora por dia.
a) 8 b) 11 c) 12 d) 21 e) 18
40) TTN -N o transporte de areia para a construção de um prédio foram 
utilizados 18 caminhões de 4m3 cada um. Quantos caminhões de 6m3 cada 
um seriam necessários para fazer o mesmo transporte.
a) 10 b) 9 c) 18 d) 27 e) 12
2 9 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
41) TTN — 20 operários, trabalhando 6 horas por dia, constroem uma 
casa em 40 dias. 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, farão a mesma 
obra em quantos dias.
a) 80 b) 40 c) 30 d) 20 e) 15
42) TTN - Um automóvel, com velocidade de 80 Km/h, percorre uma 
estrada em lh 30min. Em qiianto tempo o mesmo automóvel percorrerá . 
3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial.
a) 3h 36 min b) 3h c) 3h 30 min d) 2h 16 min
e) 2h 36 min
43) TTN 12 pedreiros, constroem 27 m2 de um muro em 30 dias, de 8 
horas. Quantas horas deverão trabalhar por dia 16 pedreiros, durante 24 
dias, para construírem 36 m2 do mesmo muro.
a) 7 b) 8 c) 10 d) 12 e) 17
44) TTN — Um navio, com uma guarnição de 300 homens, necessita de
120.000 Etros de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a 
guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros, determine qual poderá 
ser a duração da viagem:
a) 24 dias b) 22 dias. c) 20 dias d) 18 dias e) 16 dias
45) TTN — Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários
trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 
operákios, trabalhando 10 horas por dia em:
a) 7 dias b) 6 dias c) 2 dias d) 4 dias e) 3 dias
46) TRE — Uma pessoa realiza um trabalho em 12 horas. Uma outra
pessoa, 40% menos eficiente que a primeira, realiza o mesmo trabalho em: 
a) 15 horas b) 16 horas c) 18 horas d) 20 horas e) 21 horas
47) TRE — Em uma fábrica, 5 máquinas, de igual capacidade de produção, 
levam 5 dias para produzir 5 peças, se operarem 5 horas por dia. Quantas 
peças seriam produzidas por 10 máquinas iguais às primeiras, trabalhando 
10 horas por dia, durante 10 dias.
a) 10 b ) 15 c) 20 d) 25 e) 40
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 2 9 1
48) PETROBRAS - 6 homens, trabalhando 6 horas por dia, constroem
6 muros em 6 dias. Em quantos dias 12 homens, trabalhando 12 horas por 
dia, construirão 12 muros?
a) 3 b) 6 c) 12 d) 36 e) 48
„^49) PETROBRAS — Em um acampamento, havia comida para alimentar
10 pessoas presentes, durante 5 dias. Após uma permanência de 3 dias , 2 
pessoas foram embora. A comida restante pode alimentar as 8 pessoas 
que ficaram durante alguns dias mais. Quantos, 
a) 13 b) 15 c) 16 d) 18 e) 24
50) CPRM — Um ônibus faz 2/3 de uma viagem em três horas. Em quan­
to tempo ele fará 4/9 dessa viagem.
a) lh b) 2h c) 3h d) 4h e) 9h
51) TTN - Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 
dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por 
dia, a estrada será concluída em:
a) 90 dias b) 84 dias c) 72 dias d) 128 dias e) 60 dias
52) TRF - Um motorista fez um certo percurso em 5 dias, viajando 6 
horas por dia com a velocidade média de 70 Km/h. Se quiser repetir o 
percurso em 4 dias, viajando 7 horas por dia, a velocidade média deverá 
ser de:
a) 48 Km/h b) 65 Km/h c) 75 Km/h d) 80 Km/h e) 102 Km/h
53) TRT — Uma família de 4 pessoas gasta $ 350.000,000 a cada 7 dias, de 
mercado. Se a família tiver 5 pessoas e a compra for a cada 10 dias, qual 
será a despesa. .
a) $ 700.000,00 b) $ 625.000,00 c) $ 500.000,00
d) $ 437.500,00 e) $ 300.000,00
54) TRT — Um serviço é feito por duas pessoas, em 5 dias se elas traba­
lharem 6 horas, por dia. Se apenas uma pessoa trabalhar 10 horas, por dia, 
quantos dias serão necessários para fazer o mesmo serviço.
a) 10 dias b) 8 dias c) 6 dias d) 3 dias e) 2,5 dias
2 9 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
55) TTN — Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, 
iniciando a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas por dia. Decorri­
dos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que 
deslocar 4 operários paraoutro projeto. Nessas condições, para terminar a 
obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais:
a) 2 h 30 min ’ b) 2 h , c ) 3h d) 1 h e) 1 h 30 min
56) TJCE ~ Doze (12) trabalhadores cavam uma vala em. 24 dias, em um 
turno de 6 horas por dia. Pretende-se construir uma nova vala igual à primeira, 
mas devido ao menor grau de compactação do solo, o trabalho apresenta um 
grau de dificuldadeigoai a 3/4 do anterior. Nessas condições, em 18 dias, com 
iim’turao de 8 horas diárias, o número de trabalhadores necessários é de
a) 11 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
57) TJCE — Um automóvel percorre 12 Km em 2 minutos. Aumentando- 
se em 25% sua velocidade, em quanto tempo percorreria a mesma distância, 
a) 1 min. 36 s b) 1 min 3,6 s c) 1 min 0,06 s d) 1 min 6 s
e) 1 min 0,6 s
58) TJCE — Um pneu de boa qualidade roda em média 40.000 Km/ano e 
custa $ 56,00. Um pneu de qualidade inferior roda 32.000 Km/ano. Nes­
sas condições, é interessante adquirir o pneu de qualidade inferior até o 
preço máximo de:
a) $46,80 b )$ 44,79 c) $ 45,00 d) $ 45,20 e) $ 50,00
59) TJCE - Para alimentar 30 porcos durante 40 dias preciso de certa
quantidade de ração balanceada. Quanto tempo duraria a metade da raça o 
se tivesse,,que alimentar 20 porcos.
a) 28 d b) 30 d c) 20 d d) 25 d e) 35 d
60) TJCE - Um empreiteiro contratou a construção de 200 metros de calça­
da para ser efetuada em 30 dias. Ao final de 16 dias constatou que tinha sido 
construídos, apenas, 60 metros de calçada, com 7 operários, em um túmo de
6 horas por dia. Para terminar a obra no prazo pactuado resolve prolongar o 
turno por 8 horas diárias e aumentar o número de operários. Nessas condi­
ções, o empreiteiro deve aumentar o número de operários em mais:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 4 e) 5
MATEMÁTICA PARA. CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 293
RESPOSTAS
01) E 
06) A 
11) D 
16) A 
21) C 
26) B 
31) D 
36) E 
41) D 
46) D 
51) C 
56) D
02) A 
07) B 
12) B 
17) B 
22) B 
27) B 
32) B 
37) D 
42) A 
47) E 
52) C 
57) A
03) A 
08) C 
13) E 
18) D 
23) E 
28) C 
33) A 
38) A 
43) C 
48) A 
53) B 
58) B
04) A 
09) D 
14) D 
19) B 
24) C 
29) A 
34) B 
39) D 
44) D 
49) B 
54) C 
59) B
05) D 
10) B 
15) B 
20) C 
25) B 
30) E 
35) C 
40) E 
45) C 
50) B 
55) C 
60) B
294 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
RAZÃO
RAZÃO DE DOIS NÚMEROS
Chama~se razão de dois números, dados numa certa ordem com o 
segundo número diferente de zero; a expressão que indica uma relação 
entre o primeiro e o segundo número.
Notação:
Sejam a e b números, com b s* 0. A razão entre eles será indicada
a
por ~ ou a : b; e que se lê: a dividido por b, ou razão de a para b, ou ainda 
a está para b.
, 8 __2
a razão entre 8 e 4 é ~ — —
4 1
, 0,18 _ 0,06
a razão entre 0,18 e 3 é --------------
3 1
1
1— sa razao entre 3
a razão entre 6 e
1 , , l 5 30— e ó + — = 6 x ~ = — 
5 5 1 1
MATEMÁTICA PARA CONCURSO ~ RAZÃO 295
TERMOS DA RAZÃO
Chamamos de termos de uma razão, os números que a constituem. Na 
ârazão ~ , a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo termo ou
conseqüente. Na razão ~ 2 é o antecedente e 5 é o conseqüente.
5
RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS
Chama-se razão entre duas grandezas, expressas numa mesma uni­
dade, a razão dos números que exprimem as suas medidas.
A razão entre duas grandezas, será sempre um número abstrato, 
isto é, a razão não determina a espécie de unidade a que se refere.
Assim, por exemplo, dados dois segmentos AB = 10 cm e CD = 5 
cm; que poderia ser em metros ou em qualquer outra unidade, a razao
2
entre esses dois segmentos, será de — e não 2 cm ou 2 m.
PROPRIEDADES DAS RAZÕES
As- razões gozam das mesmas propriedades das frações.
Veja com atenção:
Embora as razões tenham a mesma forma que as frações, e gozem das 
mesmas propriedades, elas se diferenciam em todos aspectos. Senão vejamos:
a) Os termos de uma fração são sempre números inteiros, já os de 
uma razão podem ser inteiros, fracionários ou decimais;
b) Se numa classe de 20 alunos, faltaram 5, vamos determinar a 
razao entre os que comparecem para o total de alunos.
Se o total são 20 alunos e faltaram 5 é porque 15 estão presentes.
15 _ 3.
Logo, a razão será — — — .
& 20 4
2 9 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Como razão, este quociente lhe indica que: para cada 4 alunos do 
total, 3 estão presentes e nunca a expressão três quartos. Então, nunca leia 
uma razão como se fosse uma fração.
RAZÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES:
Duas razões são ditas iguais ou equivalentes, quando os quocientes 
por elas indicados são iguais.
12 15
As razpes e ~g— são iguais pois possuem o mesmo quociente 3.
PROPRIEDADES DAS RAZÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES
O produto do antecedente da primeira razão, pelo conseqüente da 
segunda; é igual ao produto do conseqüente da primeira pelo antecedente 
da segunda.
4 8
A razão ~ é igual a razão ~ por terem o mesmo quociente igual 
8 jfó
a 0,5. Aplicando-se a propriedade das razões iguais, teremos:
4 x 16 = 64 (antecedente da l 3 pelo conseqüente da 2a).
8 x 8 = 64 (conseqüente da Ia pelo antecedente da 2a).
RAZÕES INVERSAS OU RECIPROCAS
Duas razões são ditas inversas oü recíprocas, quando o antecedente 
da primeira for igual ao conseqüente da segunda; e o conseqüente da pri­
meira for igual ao antecedente da segunda.
3 5
As razões ~ e — são inversas pois, o 3, antecedente da primeira
razão é igual a 3, conseqüente da segunda e o 5, conseqüente da primeira é 
igual a 5, antecedente da segunda.
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - RAZÃO 297
PROPRIEDADE DAS RAZÕES INVERSAS OU RECÍPROCAS
O produto de duas razoes inversas é igual a unidade.
2 5 . 2 5
Como — e — sao razões inversas, temos: ~ x ~ — i
5 2 5 2
01 - Qual o antecedente de uma razão igual a 3/4, cujo conseqüente é 20.
Solução:
x __ 3
Chamamos de x o antecedente, temos: ~ ~~ . Aplicando a pro-
íXj
priedade das razões iguais, obtemos: 4x = 20 x 3 => x = 15.
02 ~ Qual o conseqüente de uma razão igual a 8/16, cujo antece­
dente é 2 .
R: 4
0 3 - 0 triplo do conseqüente de uma razão igual a 2/3 é 18. Qual é o seu 
antecedente.
Solução:
Como 18 é o triplo do conseqüente, ele é igual a 6.
x 2 _ _
Chamando de x o antecedente, teremos: — =>3x~12 ^ x = 4
6 3
0 4 - 0 dobro do antecedente de uma razão igual a 12/15 é ígual a 8. 
Calcule o seu conseqüente.
R: 6
05 - Numa classe há 30 alunos dos quais 16 são moças. Escreva as 
razões:
a) entre os números de rapazes e os de moças;
b) entre os números de moças e os de rapazes.
R: 7/8e 8/7
2 9 8 HEUDER GÓES * UBALDO TONAR
06 - A razão entre os volumes de dois recipientes é de 2 para 3 e o menor 
deles tem 12 litros. Determinar o número de litros do maior.
R: 18 litros
07 - Numa prova de 20 questões, um aluno acertou 12 questões. Determi­
ne a razão do número de questões que ele errou para o número de ques­
tões da prova.
R: 2/5
08 - A razao entre dois números pares e consecutivos é igual a 7/8. Calcu­
lar esses números.
Solução:
Como os números são pares e consecutivos, podemos representá-
x 7
los por x e x + 2. Logo, teremos: ------ = ~~ => 8x = 7x +14 x —14
x 4* 2 8
Então os números são: 14 e 16.
09 - A razão entre dois números pares e consecutivos é igual a 3/4. Calcu­
le o produto desses dois números.
R: 48
10 - A razão entre dois números ímpares e consecutivos é igual a 10/14. 
Calcular a soma desses números.
Solução:
Como os números são ímpares e consecutivos, podemos representá- 
los por x e x + 2. Logo, teremos:
x 10------ ~ — => 14x = lOx + 20 => 4x = 20 => x = 5
x-f.2 14
Os números são: 5 e 7 então a soma será 12.
11 - A razão entre dois números ímpares e consecutivos é igual a 39/45. 
Determine a diferença entre o conseqüente e o antecedente dessa razão.
R: 17
MATEMÁTICAPARA CONCURSO - RAZÃO 2 9 9
12- A razão entre um número par e o impar subsequente é igual a 24/27. 
Calcule a soma desses dois números.
R: 17
13 - Em uma sala há uma porta e uma janela cujas larguras sào, respectiva­
mente: l,5m e 200 cm. Calcule a razão entre a largura da porta e a da 
janela.
Solução:
Nas razoes, os seus termos devem estar expressos numa mesma
150 cm 3
unidade. Então, temos: 1,5 m = 150 cm. De onde resulta: ~ r —
200 cm 4
Veja que poderíamos fazer da seguinte maneira, também. 200 cm — 2 m. 
1,5 m 1,5
No que resulta: -------- ------- . O resultado é o mesmo pois as'razões
2 m 2
3 1,5_ e ____ s^0 porque possuem o mesmo quociente 0,75. Obser­
ve, também, que os resultados foram dados sem levarmos em conta a 
unidade, isto é, se em centímetros ou em metro, pois ra2ào é, como você já 
sabe, é um número abstrato.
14 - Pedro ganha $ 8,00 por hora e Paulo ganha $ 160,00 por jornada de
10 horas, então, qual a razão entre o que ganha Pedro e o que ganha 
Paulo.
R: 1/2
15 - Ana ganha 16 bombons e Deisy 18. Ana chupou 6 e Deisy 8. Estabe­
lecer as razões entre os bombons recebidos e chupados por Ana e Deisy, 
respectivamente.
R: 8/3 e 9/4
16 - Que horas são se a razão das horas que já passaram, para as que faltam 
é igual a 3/7.
300 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
Solução:
Seja x as horas que já passaram. Como o dia tem 24 horas e já 
passaram x horas, faltam, portanto, 24 — x. Então, temos.
x 3 72-"-
: — => 7x ~ 72 - 3x lOx = 72 => x = — => x — 7,2 horas
Veja que, 7,2 — 7 — horas. Logo, são 7h 12 minutos. Os doze 
minutos, foram calculados de 1 /5 da hora, isto é, de 60 minutos.
17 - Que horas são se a razão entre a metade das horas que já passaram 
para os 2/3 das que faltam é igual a 3/4.
R: 12 horas
18 ~ Gastei 2/5 do que possuía. Qual a razão entre o que eu tinha para o 
que me restou.
Solução:
Se gastei 2/5 é porque tinha 5/5. Logo o que restou é
19 - Uma pessoa deu 2/5 do que possuía e, em seguida, emprestou 1/3 do 
resto. Calcule a razão entre o que ela possuía e o resto final.
R: 5/2
- i
20 - Um funcionário desconta do seu salário bruto, 1/4 para o Imposto de 
Renda e 1/8 para a sua Associação. Calcule a razão entre os seus descon­
tos e o seu salário líquido.
R: 3/5
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - Bã^ZÃO 301
21 - Dos 120 alunos de uma classe, 1 /3 não compareceu às provas. Saben­
do que 7/10 foram aprovados; calcular a. razão entre os reprovados e os 
que não compareceram às provas,
R: 3/5
22 - Admitindo-se que a razão ideal do número de habitantes de uma 
cidade para cada metro quadrado fosse de 2 para 5; calcule a população 
máxima que deveria ter uma cidade de 400.000 n r de área.
Solução:
x 2
Chamando de x o número de habitantes, temos: ------------ = —
400.000 5
que resolvida, resulta: 160.000 habitantes.
23 - Um menino e uma menina têm juntos 27 anos. Calcule a razão entre 
a idade dele daqui a 8 anos e a idade dela há 5 anos, sabendo que ela tem 
hoje 15 anos.
R: 2/1
24 - Um viajante percorreu 2/3 de uma estrada A e outro, falta percorrer 
1/ .^ de uma estrada B. Calcule a razão entre o que falta ser percorrido na 
estrada A, pelo já percorrido na estrada B.
R: 4/9
25 - Os 2/5 dos pássaros de um viveiro correspondem a 120 aves. O 
dono vendeu 1/6 e soltou 1/10 das que ficaram. Caícule a razão entre as 
aves que foram soltas para as que foram vendidas.
R: 5/3
26 - Um cubo A tem 64 cm3 de volume; um outro cubo B possui aresta 
igual à metade da aresta do cubo A. Calcule a razao entre os volumes dos 
cubos B e A.
R: 1/8
302 HILDER GÓES * UBALDO TONAJR
27 - Escreva uma razão na qual a soma de seus termos vale 60 e o conse­
qüente menos o triplo do antecedente, vale 32.
R: 7/53
28 - A soma dos termos de uma razão é 96 e o antecedente é a terça parte 
do conseqüente. Escreva a razão.
R: 24/72
29 - Numa razão, a diferença entre o antecedente e o conseqüente é 9 e o 
dobro do conseqüente mais o antecedente é 57. Então a razào é:
R: 25/16
30 - Qual a razão entre 3 litros de vinho para 0,006 m3 do mesmo vinho:
Solução:
No estudo do Sistema Métrico Decimal, você vai saber que um 
decímetro cúbico corresponde a um litro. Como os termos de uma ra­
zão devem estar expressos em uma mesma unidade; vamos transformar 
0,006 m5 em dmJ. Temos 0,006 mJ = 6 dm3 que é igual a 6 litros. Logo, a
3 litros 1
razão será: —-------— — .
6 litros 2
31 - Num ano letivo de um colégio, deveria haver 180 dias úteis de aula 
para a oitava série, sendo que, em cada dia, haveria 5 aulas. Um estudante 
faltou 30 dias úteis e houve 10 feriados. Calcule a razão entre o número 
de aulas que o aluno faltou para o número de aulas realmente havidas.
R: 3/17
32 - Seja uma razão equivalente a 3/7. Se aumentarmos o antecedente e 
diminuirmos o conseqüente de uma mesma quantidade a razão resultante 
é equivalente a 2/3. Achar a razão resultante.
R: 4/6
MATEMÁTICA PARA CONCURSO — RAZÃO 303
33 - Numa caixa existem bolas brancas e bolas pretas. Se tirarmos 16 bolas 
brancas, a razao entre as bolas brancas e as pretas será de 1 para 3. Em 
seguida, retiram-se 7 bolas pretas, restando na caixa a razão entre 1 bola 
branca para 2 bolas pretas. Determine quantas bolas de cada cor havia 
inicialmente na caixa.
R: 23 brancas e 21 pretas.
304 HILDER GÓES * UBAUX) TONAR
RAZÃO - Q uestões de C oncursos
0 1 ) B N B - Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 nào foram 
vacinadas e 92 vacinadas morreram* Entre as galinhas vacinadas, qual a 
razão do número de mortas para o número de vivas.
0 2 ) A A R E - Uma mistura apresenta 0,5 dal de água e 100 dl de álcool. 
Dentre as razões apresentadas, a ra^ão falsa é:
a) água emistura = 1/3 b) álcoole água = 2/1 c) água eálcool = 1/2
d) mistura e água = 1/3 e) álcool e mistura = 2/3
03) C E F - Um certo número de impressos deve ser preenchido por dois 
funcionários e eles os dividem entre si, na razão inversa de seus tempos de 
serviços na empresa. A razão entre os números de impressos que caberão 
ao funcionário que trabalha há 8 meses e àquele que trabalha há 3 anos, 
nessa ordem, é:
a) 11/2 b) 9/2 c) 8/3 d) 3/8 e) 2/9
0 4 ) T R E - Uma funcionária recebeu um relatório para datilografar. 
No primeiro dia datilografou 1/5 do número total de páginas e no 
segundo dia o dobro do que havia datilografado na véspera. A razão 
entre o número de páginas já datilografadas e o número de páginas do 
relatório é:
a) 5/3 b) 3/5 c) 1/2 d) 2/5 e) 3/10
0 5 ) T R E - Em uma Repartição Pública, o número de funcionários do
sexo masculino eqüivale a 5/8 do número total de funcionários. A razão 
entre o número de homens e o de mulheres que trabalham nessa reparti­
ção é, nessa ordem:
a) 3/8 b) 2/5 c) 1/2 d) 5/3 e) 4/5
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 3 0 5
0 6 ) T R E ) Um funcionário tinha um lote de documentos para proto­
colar. Se já. executou a quinta parte de sua tarefa, então a razão entre o 
número de documentos já protocolados e o número restante, nessa 
ordem é:
a) 1/20 b) 1/5 c) 1/4 d) 4 e) 5
0 7 ) P E T R O B R A S - Uma jarra contém uma mistura de suco de laranja 
com água, na proporção de 1 para 3, e outra jarra contém uma mistura de 
suco de laranja com água na proporção de 1 para 5. Misturando partes 
iguais dos conteúdos das jarras, obteremos uma mistura de suco de laranja 
com água na proporção de:
a) 1 para 4 b) 3 para 11 c) 5 para 19 d) 7 para 23 e) 25 para 32
0 8 ) T R F - A razão entre os números 0,125 e 2,5; nessa ordem é:
a) 1/20 b) 1/4 c) 1/2 d) 20 e) 40
0 9 ) B B - Se a razão entre o valor bruto e o líquido de certo salário é de
6/5, a fração do salário líquido que foi descontada é:
a) 1/5 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/6 e) 5/6
1 0 ) T R E - Para obter tinta azul claro, um pintor misturou tinta branca 
com tinta azul-marinho,na razão de 6 partes da primeira para 1 parte da 
segunda. Usando 15 litros de tinta branca, quantos litros da tinta azul claro 
ele obterá,
a) 16 b) 16,5 c) 17 d) 17,5 e) 18
1 1 ) T R T - Qual das seguintes razões não corresponde a 1,75.
6 - 7 49 92 175
a) 1- b) ~ c) — d) — e) --------
' 8 ' 4 28 52 7 100
12) T R E - Num teste com 20 questões, uma pessoa acertou 12 questões. 
Determine a razão do número de questões erradas para o número total de 
questões:
a) 2/5 b) 3/4 c) 2/3 d) 4/6 e) NDR
3 0 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
1 3 ) T R E - Um lote de terreno tem 8.000 m2 de área. Sabendo que a área 
construída é de 1.200 n r, determine a razão da medida da área livre para a 
medida da área do terreno.
a) 15/13 b) 7/9 c) 17/20 d) 14/11 e) NDR
R E S P O S T A S
0 1 ) 1/4 0 2 ) D
0 3 ) B 0 4 ) B
0 5 ) D 0 6 ) C
0 7 ) C 0 8 ) A
0 9 ) A 1 0 ) D
1 1 ) D 1 2 ) A
1 3 ) C
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 3 0 7
PROPORÇÃO
DEFINIÇÃO: Chamamos de proporção, a igualdade entre duas 
razões equivalentes, isto é, duas razões de mesmo quociente.
a c a c ,_ = —= fe .e — = k
b d b d
sendo k um número real qualquer.
Notação: De uma maneira geral, sendo dados quatro números a, 
b , c e d com b ^ 0 e d =£ 0 poderemos ter as seguintes notações: •
a _ c
— — — ■ ' a : b = c : d a : b : : c : d
b d
a _ c
Se a, b, c e d formam uma proporção, isto é, se , dizemos
b d
que: a está para b assim como c está para d.
TERMOS DE UMA PROPORÇÃO
Toda proporção é formada por quatro números que são chamados
a __ c
de termos da proporção. Na proporção > temos:
1) a é o primeiro termo 5) a e c são os antecedentes
2) b é o segundo termo 6) b e d são os conseqüentes
3) c é o terceiro termo 7) b e c são os meios
4) d é o quarto termo 8) a e d são os extremos
3 0 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES
Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a _ c
— — ~ b x c = a x d
b d
PROPRIEDADE RECIPROCA
A recíproca da propriedade fundamental é válida; veja por exem­
plo: 4 x 9 = 3 x 1 2 , como esses produtos são iguais, eles nos permite
escrever:
4 12
a c
De um modo geral se: b x c = a x d => “ r ou seja:
b d
■' l .......... .... ,. ■* f k '
01 - Tendo-se a igualdade 7a = 8b, escrever a relação entre a e b. 
Solução:
a . 8 A relação entre a e b, isto é, — deve ser igual a ~ , pois se
a 8
tivermos “ = — , poderemos escrever 7a = 8b.
02 - Dada a igualdade 2x = 5y, escreva as relações entre y e x e entre x e y. 
R: 2/5 e 5/2
0^ - Formar uma proporção e calcular o valor de x, com os fatores 
7x x — 42 x 2.
R: 12 ' _
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 0 9
T R A N S F O R M A Ç Õ E S D E U M A P R O P O R Ç Ã O
Qualquer proporção pode ser escrita de oito maneiras diferentes 
sem, contudo, alterá-la. São as trocas de posições dós seus termos, mas 
que não modificam a propriedade fundamental. Consiste em A l t e r n a r , 
I n v e r t e r e T r a n s p o r .
a _ c
Seja a proporção -------
b d
a ) Alternar: É trocar a posição dos meios ou dos extremos.
a __ c a _ b
i) Meios: ~ => — r
b d c d
a _ c d % c
ii) Extremos:----— =>— — —
b d b a
b ) Inverter: E a troca, em cada razão, do antecedente pelo conse­
qüente.
a _ c b _d
b d a c
c ) Transpor: É trocar a posição das razões,
a __ c c __ a
— — - (Proporção transposta)
b d d b
d ) Alternar a Transposta:
c a c d
i) Meios: ------- ^ —-------
d b a b
c a b a
ii) Extremos: — — — —-----
d b d c
c _ a d __ b
e ) Inverter a Transposta: "7 - — => —-----
d b c a
3 1 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
C Á L C U L O D E U M T E R M O D E S C O N H E C I D O
Baseado na propriedade fundamental, poderemos calcular o valor 
de um termo qualquer de uma proporção, quando são conhecidos os ou­
tros três.
1) Cálculo de um dos meios:
04 - Calcular o valor de x na proporção 
Solução:
Como x é um dos meios, temos:
1 ~ 1 í 
2 ~ S
_ 2 - i 1 + 1
05 - Calcular o valor de x na proporção -----ÍL - 2.— á.
x 15
R : 2 0
2) Cálculo de um dos extremos:
' í/V VVn''érnò.-élguíií àq.biodúfi
3 _ 1 2
06 - Calcular o valor de x na proporção ~ —
2 x
Solução:
2 x12
Como x é um dos extremos, podemos escrever x — ~ x
x 5 4
07 - Calcular o valor de x na proporção ^ .
R : 4
MAIEMÁTíCA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 311
08 - Calcular o valor de x na proporção ^ ^ = —
_ - x 
3
R: 1/4
1 ^ 1 j.
QUARTA PROPORCIONAL
De um modo geral, designando-se por x a quarta proporcional en-
a _ c
tre os números a, b e c, teremos - —, onde x é a quarta proporcional.
O
09 - Determinar a quarta proporcional dos números 7, 2 e 14.
7 _ 14
Solução: Chamando-se de x a quarta proporcional, temos: ~ — —
2x14
Como x é extremo, podemos escrever: x = —~— => x = 4.
10 - Calcule a quarta proporcional dos números 3,4 e 12.
R: 16
11 - Calcule a quarta proporcional dos números 4, 2 e 7.
R: 7/2
PROPORÇÃO CONTÍNUA
. . . . . . . . : .....
Umàíjpropòi’Kíp'^con^iíày-'^ü‘áncio eI^\^§ssl»:ò$:_ípeios ■:oú; ■ ’
3 1 2 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Genéralizando-se temos:
a _ b . . . a _ c
------- (meios iguais) ou ~ — ~ (extremos iguais)
12 - Se 9, x e 49 formam uma proporção contínua, calcule o valor de x. 
R: 21
TERCEIRA PROPORCIONAL
Sejam a e b número dados. A terceira proporcional dos números a
a b X — Terceira Proporcional
e b será: — = — <
b X í b = Média proporcional ou geométrica, isto é, o
número que se repete
13 - Calcular a terceira proporcional dos números 5 e 15.
Solução: Chamando-se de x a terceira proporcional, temos:
5 15 15x15
— = — = X = 45
15 x 5
1 1
14 - Calcule a terceira proporcional dos números ~ £ ~ .
R: 4/3
15 - Calcule a terceira proporcional dos números 0,2 e 0,4
R: 4/5
16 - Calcule a terceira proporcional dos números 4 e 8, sendo o 4 a média 
proporcional ou geométrica.
R: 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 1 3
17 - Calcule a terceira proporcional dos números 6 e 2, sendo o 6 a média 
geométrica.
R: 18
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES
Primeira Propriedade:
|odá--pM pqrç^.^ J
íi-irmiiro’ çóü s^egiVj ^ ^ís/ulrimós . p
"í.VJV.;..-.:';' ■■/■r.-v'e'stá^para rytérb£jrò;:jp íi^^
. \ ;/■ r.:*
. . . . . . . . . . . . . . .
'■■:.}■-‘-'J'--:>» v>-•- '■ ,■; .
18 - Calcular dois números cuja soma seja 54 e estejam entre si como 2 
está para 7.
Solução:
x 2
x + y = 54 e
y v
x 2
Aplicando a propriedade na proporção j teremos:
x + y _ 2 + 7 54 _ 9 54 x 2
------ --------- m s^ x + — 54 então — — ~ donde x = --------- :=> x = 12
x 2 J ■ x 2 ■ 9
Tendo-se o valor de x, poderemos encontrar o de y, substituindo o
x 2
12; tanto em x + y = 54, como em y . Nó que resulta: y 42
3 1 4 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
19 - Calcule um número cuja soma de seus dois algarismos é 9, sabendo 
que eles estão entre si na razão de 15 para 12.
R: 54
20 - As idades de um pai e a de um filho, somam 55 anos e estão na ra2ão 
de 8 para 3. Calcule a idade do filho.
R: 15
21 - Num número de dois algarismos, o valor absoluto do algarismo das 
dezenas está para o das. unidades como 3 está para 4. Calcule esse número, 
sabendo que a soma dos seus algarismos é 14.
R: 68
22 - A soma de dois números é 60 e o menor está para o maior assim 
como 5 está para 7. Calcule esses números.
R: 25 e 35
23 - Dada a fração 5/8, achar outra fração que lhe seja equivalente' e tenha 
para soma dos termos 39.
R: 15/24
Segunda Propriedade:
24 - Calcular dois números cuja diferença é 50 e estejam entre si como 8 
está para 3.
/ '
x _ 8
Solução: x — y =■ 50 e — “ T
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 315
. , , x~ y__8-3Aplicando-se, na proporção,a propriedade, terem os:----------—~ ,
X o
50 5 50x8
como x - y = 50 vem: — - — onde x = —-— => x = 80.
x o o
80 _ 8 80 x 3
Substituindo o valor de x em - resulta - ondey——~—y j y j g
=r> y = 30.
25 - Calcular dois números cuja diferença é 10 e estejam entre si na razão 
de 9 para 7.
R: 45 e 35
x 5
f na proporção
R: 35 e 14
a 5
3 na proporção
R: 25 e 15
26 - Calcular x e y na proporção 9 , sendo x — y — 21.
27 - Calcular a e b na proporção "— ~ , sendo a - b = 10.
b 3
y _ 12
28 - Achar os valores de x e y na proporção ~ “ > sabendo-se que y - x = 20.
R: x = 10 e y = 30
29 - A soma de três números é 1.523. O primeiro está para o segundo 
como 9 está para 4 e a diferença entre estes dois números é 425. Calcular 
o terceiro número.
R: 418
30 - A diferença de dois números é 104 e a sua razão 15/2. Achar esses 
números.
R: 120 e 16
3 1 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
31 - Dividir o número 72 em duas partes que estejam entre si como 4 está 
para 5.
R: 32 e 40
32 - A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é. igual a 90°. 
Calcular esses ângulos sabendo-se que eles estão entre si como 2 está para 3. 
R: 36a e 54°
Terceira Propriedade:
: EiiV; l;ò:dá: prÔpürçâà (oja .diferencfi).
• •' v : ...sòMâ-(ou:;.di'fel:en :do^çânsequéntes;,' ássiiii;;çó.mó-.^ i
•.. ■ V •. 7;;' i;c^ esira;p:Vrá’ ò seu'rcs.£è£tíyò;.ço^
■; -a : ± G - ’ á ; :-:y . - 7 :
$ S % 'Hví
V-.: i
a _ b
33 - Na proporção ~ — ~ , s e a + b = 32, calcule o valor de a.
Solução:
a + b __ a
Aplicando-se, na proporção, a propriedade resulta -™— ■■ - ~ mas
32 a 32 x 3 
a + b = 32, então temos: ~ — —-—
8 3 8
a — 12.
x _ y
34 - Calcular x e y na proporção ~ — ~ sabendo-se que y ~ x = 5-
O
R: 15 e 20
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 317
35 - Calcular x e y na proporção ~ ~ sendo x — y — 21.
R: 35 e 14
x _ y
36 - Calcular x e y na proporção ” — ~ , sendo que x + y = 252.
R :119 e 133
a b
na proporção
R: 42 e 14
x _ y
37 - Calcular a e b na proporção ~ sendo a — b — 28.
a __ b
38 - Dada a proporção — , calcule a + b, sabendo que 3a + 2b = 22.
3 12
Solução:
Veja que a relação que você tem é 3a + 2b = 22, então devemos 
fazer com que apareça o 3a e o 2b como antecedentes, para, em seguida, 
se aplicar a propriedade. Para tanto, multipliça-se a prkneira rázao por 3,
3a 2b
no que resulta ~ ; e a segunda razão por 2, no que resulta ~ . Lembre-
se que as razoes gozam das mesmas propriedades das frações, logo essas 
duas razões são equivalentes as razões dadas.
3a 2b
Podemos escrever: — - “ . Aplicando-se a propriedade, resulta:
J
3a + 2b a 22 a 22 x 3
~7— — ~~. Como 3a 4- 2b = 22 temos: TT — — a — —~— =>a = 2.
9 + 24 3 33 3 33
Substituindo o valor de a na proporção inicial, temos:
2 b , 12x 2
—----- ;z>b —-------- b — 8.
3 12 3
Então: a + b = 10
3 1 8 HILDER GÓES ❖ UBALDO TONAR
a b
39 - Se ~ — ~ e 5a — 2b =2, calcule a e b.
3 6
R: 2 e 4
x _ y
40 - Se ~ — —■ e 4x + 2y — 20. Calcule o valor de x.
5 9
R: 2
x y
41 - Calcule o valor de x e y na proporção ~ = —, sabendo que 5x + 3y = 33.
4 8
R: 3 e 6
Quarta Propriedade:
2
42 - Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é — e o
produto 150.
Solução:
x __ 2
- ~ J e x . y . = 150
x _ 2 . x y
Permutando-se os meios na proporção temos: — — ~ . Apli­
cando-se a propriedade, resulta: — — = — mas x . y - 150, então resulta
2 .3 4
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 1 9
x _ 2 , j £ _ 2
Substituindo-se o valor de x em ~ , temos: — y = 15.y o y o J
43 - Calcule dois números cujo produto é 288 e estão entre si como 2 está 
para 9.
R: 8 e 36
44 - Calcular dois números sabendo-se que o produto é 525 e estão entre 
si como 3 está para 7.
R: 15 e 35
45 - Achar dois números cujo produto é 315 e que estão na razão de 7/5.
R: 21 e 15 ^
46 - Calcule dois números sabendo que a razão entre eles é 4/9 e o produ­
to vale 900.
R: 20 e 45
Quinta Propriedade:
a __ c
Seja a proporção ~ ~ . Elevando-se os dois membros à potência 
b d
mv e m : | - | - ( t I no que resulta ^ ^
3 2 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Seja a proporção > elevando-se ambos os membros à segun-
4 _ 16
da potência, por exemplo, resulta: ~ ~ . Como 9 x 16 ~ 4 x 36, concluí-
4 __ 16
mos que ~ — “ continua sendo uma proporção.
2 _ 4
Sexta Propriedade:
a _ c
Seja a proporção Extraindo-se a raiz n de cada membro
b d
b Vd °U V b “ ^/d‘
4 _ 16
Seja a proporção — — Extraindo-se a raiz quadrada de todos
41 4í 6 2 4 -.
os termos, vem: ~~ ^“ no que resulta “ ~ ~ que continua sendo
uma proporção, pois 3 x 4 = 2 x 6.
a _ b
47 - Calcular a e b n a proporção ~ ~ ~ sabendo que a2 + b 2 - 125.
/ í *T
2 u2 a _ b
Solução: Elevando-se cada razão ao quadrado, tem os:----------- .
* . • 49 196
■ a2 + b2 _ a2'
Aplicando a terceira propriedade resulta:----------------- , mas a2 + b2 =125.
r ^ F 49 + 196 49
125 _ a2 .
Então, temos: -^ 7 — — , simplificando os termos da primeira razão por
MATEMÁTICA PARA CONCURSO — PROPORÇÃO 321
5 resulta: — . Como os conseqüentes são iguais, implica que os an­
tecedentes são iguais, logo a3 = 25 => a = 5.
5 _ bSubstituindo-se o valor de a na proporção inicial, temos “ — “ 
b = 10.
x _ y
48 - Determinar os valores de x e y na proporção ~ - — , sabendo-se que
x2 + f - 20. 
R: 2 e 4
a b
49 - Calcule os valores de a e b na proporção ------ - , sabendo-se que
3 12
a2 + b2 = 68.
R: 2 e 8
a _ b
50 - Determinar a e b na proporção ~ ~ s sabendo-se que a2 — b2 = 12. 
R: 4 e 2
a _ b
51 - Calcular a e b na proporção — — — , sabendo-se que a2 + b2 = 100.
3 4
R: 6 e 8
a _ b
52 - Calcular a e b na proporção ~ — sabendo-se que 2a2 + b2 = 44.
R: 2 e 6
a _ b
53 - Calcular a e b na proporção ~ ~ , sabendo-se que 2a2 + b2 = 24.
R: 2 e 4
322 HILDER GÓES * UBAXDO TONAR
Sétima Propriedade:
a _ c a _ d
54 - Sabendo-se que ~ — “ e “ — — , calcule a se c + d = 18.
. 1 3 9
Solução: Aplicando-sé a propriedade nas duas proporções, resulta:
c d c + d c 18 c 9x18
_____ c omo c + d = 18, temos t---- - - — ^ c = — —'
9 18 ’ 9 + 18 9 27 9 27
a _ c
=> c = 6. Levando o valor de c = 6 para a proporção ” ~~ teremos:
6x3
a — —:— a — 2
a _ m m __ b
55 - Calcular a e b nas proporções -------e — — ~ 5 sendo a + b = 45.
7 3 3 8
R: 21 e 24
x a- y __ a
56 - Calcular x e y nas proporções e — — — 5 sendo x + y = 33.
R: 21 e 12
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS
a _ c _ e _ g 
b~ d~~f ~"h"'
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 2 3
PROPRIEDADES DAS SERIES DE RAZÕES IGUAIS
a c e a + c + e. a c e
Sendo: — — — ~ ~~ temos: ----------- ------ — — — —
b d f b + d + f b d f
x _ Y _ 257 - Dadas as razões > calcular x , y e z, sabendo-se que
x + y + z = 150.
Solução:
Aplicando-se a propriedade, temos:
x + y +z __ x _ y _ z
2 + 5 + 8 2 ™ 5 _ 8
150 _ x 150 y 150 __ z
Como x + y + z = 150, resulta: —~ — — ou -----— — ou ----- — —
7 15 2 15 5 15 8
que resolvidas nos dá: x = 20; y = 50 e z = 80.
1 - 1 - 1 
x y z58 - Calcular x, y e z em v sendo x + y + z = 60.
R: 20, 28 e 12
x _ y _ z
59 - Sendo ~ — — — —, calcular x, sabendo que x + y + z = 64. 
R: 8
a __ b __ c
60 - Sendo ~ ~~ 20 ~ *14 5 ca c^u a^r sabendo que a + b + c 
R: 40
7 _ 2 5
61 - Sendo — — ~ e a+b + c — 70, calcule a + c,
a b c
R: 60
324 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
x _ y y _ 2
62 - Calcule x nas proporções ~ ~ e — — — s sendo x + y + z = 60. 
R: 15
x _ y _ z
63 - Dadas as razões — — — — — e sabendo-se que 5x + 2y + z = 420,
2 5 8 ^ 1
calcule a quarta proporcional entre x, y e z.
Solução:
Como precisamos de 5x, 2y e z para empregarmos o valor de sua 
soma, isto é, 420, multiplicaremosos termos da primeira razao por 5 e os
5x _ 2y _ z
da segunda por 2, no que resulta. “ — ~ ~ . Aplicando-se a proprieda-
5x + 2y + z _ 5x _ 2y _ z 
de da série de razões iguais vem: ——~ —— — ~ ~~ — — no que resulta:
6 10 + 10+8 10 10 8 1
420 _ x 420 _ y 420 _ z
— “ 2 * ~ J e “ g ■ Calculando x, y e z, encontramos: x = 30,
y — 75 e z = 120.
Devemos agora, calcular a quarta proporcional dos números 30, 75
30 120 , 75x120
e 120. Então, temos: — —■— => k ~ — — => k ~ 300.
75 k 30
x _ y _ z
64 - Se — — e x + 3y + 2z = 76. Calcule a terceira proporcional
entre x e y.
Solução:
Como precisamos de x, 3y e 2z para empregarmos o valor de sua 
soma que no caso é 76; multiplicaremos os termos da segunda razão por 3
x _ 3y __ 2z
e os da terceira por 2, no que resulta ~ — ~ ” . Aplicando-se a proprie-
x + 3y + 2 z _ x _ _ 3 y _ 2 z __ 76 _ x
dade das séries, v em :------------------- — ~~ — ~~~, então, temos: ~~~~~ e
2 + 9 + 8 2 9 8 19 2
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 3 2 5
76 _ y , que nos dá: x = 8 e y = 12. Veja que nào há necessidade de
calcularmos o z, pois o problema nos pede a terceira proporcional de x e
8 _ 12
y, isto é, de 8 e 12. Calculando-se, temos: ~ ~ T ~ => k = 18.
7 12 k
a __ b _ c
65 - Calcule a -1- b em --------- ~ sendo 2a + 3b — c = 42.
6 3 7
R: 27
a _ b _ c
66 - Calcular a e b em ----------T , sendo a — b + c = 22.
5 3 9 ’
R: 10 e 6
a _ 2b 1,5 c
67 - Dadas as razões------------------ e a relação a + 3b — 2c = 100. Calcule
5 6 3 v
a + b + c.
R: 100
3 _ 5 _ 7 _ 4
68 - Calcular a e d na sér ie---- -- --------- ~ sendo b 4- c = 60.
a b c d
R: 15 e 20
a _ b x
69 - Na série de razões ^ — “ , sabendo-se que a + b = 13 e y — x = 1.
Calcular x e y.
R: x — 2 e y = 3
70 - Repartir 40 em três partes, de modo que a primeira dividida por 2, a 
segunda por 3 e a terceira por 5, resulte sempre o mesmo quociente.
R: 8, 12 e 20.
3 2 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
71 - Sabendo-se que 5xy = 2yz = 8xz, calcule a quarta proporcional 
entre x, y e z, nesta ordem, se x + y + z = 150.
Solução:
Dividindo-se toda expressão 5xy = 2yz = 8xz por xyz, supondo
5xy _ 2yz _ 8xz
que nenhum deles sei a igual a zero, resulta: , aplicando-^ ; ’ xyz xyz xyz r
5 _ 2 _ 8 _
se a lei do cancelamento para efeito de simpliBcacão, temos: - “ .z x y
5+2+8 5 2 8
Aplicando-se a propriedade das séries, vem: ~ — “ ou
1 L - Í - - 1 1 - 1 15 _ 8
-i cn “ ; k a ~ e i trn ~ que resolvidas, nos dá: z = 50; x = 20 e150 z 150 x 150 y n
y = 80. Calculando-se a quarta proporcional de x, y e z; isto é, de 20, 80
20 50
e 50; tem o s:-------~~ => k = 200.
80 k
72 - Sabendo-se que 2xy = 3yz.= 4xz. Calcule x x y x z, sendo que 
x + y + z = 18.
R: 192
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
A quarta propriedade pode ser aplicada numa série de razoes iguais, 
generalizada.
3 3 3•x a _ c _ £ a x c x e _ a __ c _ e
i) b “ d ~ ^ b x d x f ~ b3 ” dF ” f 3
4 4 4 4a _ c _ e _ _ g a x c x e x g a _ c __e _ g 
^ b ~ â ~ l ~ h ~ * b x d x f x h ” br _ dT ”" " F _ h?
De onde se conclui que: o antecedente e o seu respectivo conseqüente deverão 
ser elevados a um expoente igual ao número de raspes existente na série.
MATEMÁTICA. PARA CONCURSO - PROPORÇÃO 327
7 3 - 0 produto das idades de Paulo, Luiz e Roberto é 3.840. Sabendo que 
essas idades estão representadas pelas razões 3, 4 e 5 respectivamente. 
Calcule essas idades.
Solução:
Sejam x, y e z as idades de Paulo, Luiz e Roberto, respectivamente,
x __ y _ 2
temos que: x x y x z — 3.840 e — — — — Baseado no que foi dito na
x x y x z _ x3 __ y 3 _ zJ
observação anterior, poderemos escrever---------------------------------
v 3 x 4 x 5 27 64 125
3.840 _ x 3 3.840 _ y3 3.840 z3-------------------------- — e ---------- ----- qUe resolvidas nos da: x = 12:
60 27 60 64 60 125 ^
y = 16 e z = 20.
x __ y _ z _ w
7 4 - S e x ^ y x z x w = 384 e ---- ------- — calcule x . y . 2 e w.
J 1 2 3 4 .
R: 2, 4, 6 e 8
17 25 '26 30
7 5 - Se a xbx c xd = 26.851.500 e — — ~ —-------- . Calcule a + b ■+ c + d.
a b c d
R: 294
3 15 6 9
7 6 - S e a x b x c x d = 7.680 e --- -----— — Calcule a.
a b c d
R: 4
77 - Numa proporção a soma dos extremos é 12 e a soma dos meios é 9 e 
o produto dos quatros termos é 400. Calcule os quatro termos.
Olhe: Qualquer problema que der o produto dos quatro termos da 
proporção, recorra sempre à propriedade fundamental.
Solução:
a _ c
Seja 7" — ~ temos a + d = 12; b + c — 9 e a x b x c x d = 400. 
b d
3 2 8 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
A propriedade fundamental nos diz que, a x d = b x c, então, 
substituindo em a x b x c x d = 400 a x d por b x c tem-se: b x c x b x c = 
400 ou b2 x c2 = 400, logo b x c = 20 onde implica que a x d = 20 pois a x 
d = b x c.
S e b x c = 2 0 e b + c = 9, vê-se facilmente que os números são 
b = 4 e c = 5. Por analogia se a x d = 20 e a + d = 12, conclui-se que os
10 _ 5
números são: a = 10 e d = 2. Logo — —
& 4 2
Atente que essa proporção poderia ser escrita de outra forma.
78 - Numa proporção a soma dos extremos é 17, a soma dos meios é 13 e 
o produto dos quatro termos é 1.764. Achar a proporção.
79 - Determinar os quatro termos de uma proporção contínua, sabendo- 
se que o produto de seus quatro termos é 1.296 e que o primeiro termo é 
igual a 1/3 da soma dos meios.
R: 4, 6, 6 e 9
8 0 - 0 produto de quatro termos de uma proporção é 14.400. Achar os 
conseqüentes sabendo que os antecedentes são 15 e 40.
R: 3 e 8
8 1 - 0 produto dos quatro termos de uma proporção contínua é 10.000. 
O quarto termo é o dobro da média proporcional e o quádruplo do pri­
meiro termo. Escrever a proporção.
5 10
R: — = —
10 20
82 - A soma de três números é 39 e o produto 729. O segundo é média 
proporcional ou geométrica entre os dois outros. Calcule os três números. 
R: 3, 9 e 27
matemática. PARA. CONCURSO—PROPORÇÃO 329
83 - Escrever uma proporção, sabendo que a soma de seus termos é igual 
a 65 e que cada um dos três últimos termos é igual a 2/3 do seu respectivo 
precedente.
27 12
R; 18 “ s
84 - Dois números não nulos tais que o valor absoluto de sua diferença 
está para 1 assim como a sua soma está para 7 e assim como o seu produto 
está para 24. Calcule o produto destes números.
Ri 48
85 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e seu produto 
sejam proporcionais a 5, 3 e 8, respectivamente.
R: 2 e 8
86 - Achar dois números tais que a sua soma, sua diferença e o produto 
dos quadrados dos números sejam, respectivamente, proporcionais a 17,9 
e 2.704.
R: 4 e 13.
87 - Dividir 180 em três partes tais que a metade da primeira, a terça parte 
da segunda e um quarto da terceira, sejam iguais.
R: 40, 60 e 80.
88 - Numa proporção a soma dos meios é 7 e a dos extremos é 8 e a soma 
dos quadrados de todos os termos é 65. Escrever a proporção.
6 4
R: - = -
3 2
3 3 0 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
26'
PROPORÇÃO - Q uestões de C oncursos
01) CJF — À sucessão x, yt z é formada com números inversamente 
proporcionais a 12, 8 e 6 e o fator de proporcionalidade é 24. O valor 
de x, y, z é:
a) 2, 3, 6 b) 3, 5, 7 c) 2,4 , 6 d) 3, 6, 8 e) 2, 3, 4
02) TRE — A idade de um pai está para a idade de seu filho assim como 
cinco está para dois. Calcule essas idades, sabendo que a diferença entre 
elas é de 21 anos.
a) 37 e 16 anos b) 36 e 15 anos c) 49 e 28 anos
d) 35 e 14 anos e) 33 e 12 anos
X Y Z
03) AFRE - 1 = - ~ ~ e 2x + 3y — z = 42, então 3x + 2y + z é igual a:
a) 91 b) 93 c) 95 d) 97 e) 99
04) TRE — Sabendo-se que 2 e 8 são antecedentes e 4 e 16 são conseqüen­
temente, a proporção assim formada é:
2 8 4 8 2 16 2 8 16 4
a) — — — b) — — — c) — _ — d) — e) — — ~~
M 6 4 y 2 16 1 8 4 ’ 4 16 J 2 8
05) TRE — A razão entre dois números éde 2/3. Se o maior deles é igual 
a 24, então o menor é igual a:
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16
06) BB — Se dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles 
excede o menor em $ 25.000,00, então a soma desses capitais é de:
a) $75.000,00 b) $ 70.000,00 c) $ 65.000,00
d) 160.000,00 e )$ 55.000,00
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 331
07) BEC — Qual a fração equivalente a 7/3, cuja diferença entre os ter­
mos é 16.
08) CEF — Sejam os números reais m e n tais que m/7 = n / 2 e m - n = 
30. A soma m + n é um número
a) quadrado perfeito b) múltiplo de 7 c) divisível por 9 
d) menor que 47 e) maior que 70
09) TRT — Relativamente aos funcionários de uma empresa, sabe-se que 
o número de homens excede o número de mulheres em 30 unidades. Se a 
razão entre o número de mulheres e o de homens, nessa ordem, é 3/5, 
qual o total de funcionários dessa empresa.
a) 45 b) 75 c) 120 d) 135 e) 160
10) TRT — Os salários de duas pessoas estão entre sí na razão de 3:4. Se o 
triplo do menor dos salários menos o dobro do outro é igual a $ 14.000,00,
o maior salário é:
a) % 42.000,00 b) $ 48.000,00 c) $ 50.000,00
d) $ 52.0000,00 e) $ 56.000,00
11) TFR — Em duas caixas dJágua há 6.600 litros de água. Determine as 
capacidades das caixas, sabendo que as suas capacidades estão entre si, 
como três está para cinco.
a) 3.125 litros e 3.475 litros b) 4.200 litros e 2.400 litros
c) 4.225 litros e 2.375 litros d) 4.125 litros e 2.475 litros
e) 4.175 litros e 2.425 litros
12) TJtE — Certo dia, das 24 pessoas que trabalham em um escritório, 
faltaram 6. Em outro escritório, onde trabalham 80 pessoas, se a fre­
qüência fosse na mesma razão, quantas pessoas teriam comparecido ao 
trabalho.
a) 64 b) 60 c) 56 d) 48 e) 20
13) TRE — Numa seção do TRE trabalham 32 funcionários dando atendi­
mento ao público. A razão entre o número de homens e o número de 
mulheres, nessa ordem é de 3 para 5. E correto afirmar que, nessa seção, o 
atendimento é dado por:
3 3 2 HILDER GÓES *f* UBALDO TONAR
a) 20 homens e 12 mulheres b) 18 homens e 14 mulheres
c) 16 homens e 16 mulheres d) 12 homens e 20 mulheres
e) 10 homens e 22 mulheres
14) TRT - Se ~~~ ~ 7 ~ ~ 7~ e x + y + z = 37,1, então:
' 3,2 1,8 5,6 J
a) x - y = 4,9 b) y + z = 17,5 c) x + z = 25,9
d) x + y = 6,3 e) z — x = 30,8
15) TRT — As seguintes sucessões de números são, respectivamente, as 
medidas, em metros, da largura e do comprimento de dois terrenos. Se os 
terrenos são semelhantes, as medidas formam uma proporção, na ordem 
dada. Qual é o único caso dado, em que os terrenos não tem formatos 
semelhantes?.
a) 8,16,24, 48 b) 10, 30, 20, 60 c) 12, 20,18, 30
d) 15, 25, 60,100 e) 20, 50, 50,120
16) TRT — Na ordem dada, qual sucessào de números não forma uma 
proporção.
a) 40, 60, 80,100 b) 30, 50,45, 75 c) 50, 60, 60, 72
d) 45, 75, 36, 60 e) 35, 45, 56, 72
RESPOSTAS
01) E 02) D 03) B 04) D
05) E 06) E 07) 28/12 08) C
09) C 10) E 11) D 12) B
13) D 14) A 15) E 16) A
MATEMÁTICA PARA CONCURSO - QUESTÕES DE CONCURSOS 3 3 3
DIVISÃO PROPORCIONAL
0 estudo da divisão proporcional tem por finalidade a divisão, como
o próprio nome indica, de um número ou quantia, em partes que sejam 
proporcionais a outros números dados. A esses outros números nós os 
chamaremos de Números Proporcionais.
Todo e qualquer problema de Divisão Proporcional será resolvido 
com auxílio de "Números Representativos" e de Regra de Três.
Você deverá ter sempre em mente que serão dos Números Pro­
porcionais, que você retirará o Número Representativo de qualquer nú­
mero ou valor dado no problema.
Deveremos, sempre, comparar o total de qualquer coisa (número 
ou quantia) com a SOMA dos números proporcionais.
Quando se tratar de uma diferença, devemos encontrar dentre os 
Números Proporcionais, uma diferença que corresponda à diferença dada 
no problema.
Observe, também, que se um problema lhe der um valor que 
corresponda ao que, por exemplo a primeira e a segunda pessoa recebe­
ram de uma certa quantia; o Número Representativo que corresponderá a 
esse valor, será dado pela soma do primeiro com o segundo Número Pro­
porcional.
TIPOS DE DIVISÃO PROPORCIONAL
Os tipos, mais comuns, de divisão proporcional, sào:
1 - Direta
2 - Inversa
3 - Direta x Direta
4 - Inversa x Inversa
5 - Direta x Inversa
6 - Inversa x Direta
334 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Entretanto, poderá aparecer mais dc duas proporcionalidades, isto 
c, poderá surgir uma divisào que seja por exemplo: Direta x Direta x Inversa 
ou Inversa x Direta x Inversa, isto é, com três ou quatro proporcionalidades, 
mudando-se somente a ordem dessas proporcionalidades.
Veja com atenção: Havendo mais de uma proporcionalidade, ha­
verá sempre uma multiplicação entre os números proporcionais.
DIVISÃO PROPORCIONAL DIRETA
01 - Dividir 180 diretamente proporcional a 2, 3 e 4.
Solução: 180 = total a ser dividido.
2 + 3 + 4 = 9, total dos números proporcionais. Veja, que você já 
possui dois totais, então você já pode compará-los. Resta, agora, formar 
tantas regras de três quantas forem necessárias.
9 180
180x2
9
9 ISO
=40
a 180x3 í c\3 x =---------- -6 0
9
9 180
, 180x4 OA4 x ~---------- =30
02 - Dividir o número 200 em partes proporcionais a 2, 3 e 5.
Solução:
200 — total a ser dividido.
2 + 3 + 5 = 10, soma dos números proporcionais. Então temos:
10 200
o 200x2 /n2 x = -----------= 4010
MATEMÁTICA PAKA CONCURSO - DIVTSÁO PROPORCIONAL 335
10 200 10 200
3 x
200x3 ^ ---------=60 5 x10 10
Observação: Quando o problema mencionar apenas "em partes 
proporcionais” fica subtendido que é diretamente proporcional
03 - Dividir 540 em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 8.
R: 120, 180 e 240
04 - Dividir 240 em partes proporcionais a 2, 4 e 6.
R: 40, 80 e 120.
05 - Dividir 120 em partes proporcionais a 1, 2, e 3.
R: 20, 40 e 60
06 - Dividir 135 em partes proporcionais a 2/3, 5/6 e 3/8
R: 48, 60 e 27.
07 - Três pessoas receberam $ 2.250,00. Sabendo-se que a primeira traba­
lhou 12 dias, a segunda 16 dias e a terceira 17 dias, calcule quanto recebeu 
a segunda pessoa.
R: $ 800,00
08 - Um número foi dividido diretamente proporcional a 2, 3 e 5. Calcule 
esse número sabendo que a segunda parte é superior à primeira, em 20 
unidades.
Solução:
20 unidades foi quanto a segunda parte ficou maior do que a pri­
meira, logo, o seu número representativo será a diferença entre:
3 (segunda parte) — 2(primeira parte) = 1.
3 3 6 HILDER GÓES * UBALDO TONAR
Como o problema quer o número, isto é, o TOTAL, o seu número 
representativo será a soma dos números proporcionais, isto é, 2 + 3+ 5 — 10. 
Então, temos:
1 20
20x10 _
10 x --------- -200
Relembre: Será sempre dos Números Proporcionais que você de­
verá tirar os Números Representativos para qualquer situação.
09 - Um pai dividiu certa quantia entre seus três filhos, em partes propor­
cionais as suas idades que sào 5, 7 e 8 anos. Calcuie quanto recebeu o filho 
mais velho, sabendo-se que aos dois mais novos coube $ 360,00.
R: % 240,00
10 - Dividiu-se um número em partes proporcionais a 2, 3 e 5. Verificou- 
se que a parte correspondente a 2 era 180. Calcule esse número.
R: 900
11 - Certo número de laranjas foi dividido entre três meninos diretamente 
proporcionais às suas idades que são: 1,4 e 9 anos. Sabendo-se que os dois 
mais novos receberam 10 laranjas, calcule quantas laranjas recebeu o mais 
velho.
R: 18 laranjas
12 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 3, 7 e 12. Saben­
do-se que a terceira é maior em 100 unidades do que a segunda; calcule a 
parte correspondente à primeira.
R: 60
13 - Um número foi dividido em partes proporcionais a 1/2, 2/5 e 1/3. 
Calcule esse número, sabendo que a maior parte vale 300.
Solução:
Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.