Projéteis texto 2

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Engenharia Mecânica - FÍSICA II Profª Drª Claudia Braga – CINEMÁTICA – 10/09/2014 1/3 
CINEMÁTICA 
( Halliday, Resnick, Walker – Fundamentos de Física, 1 – Mecânica) 
 
 
 Movimento de Projéteis 
 
 O projétil é lançado com uma velocidade inicial que pode ser escrita como: 
 
v0 = v0x . i + v0y .j 
 
 COMPONENTE HORIZONTAL DA VELOCIDADE COMPONENTE VERTICAL DA VELOCIDADE 
 
 As componentes, HORIZONTAL (v0x ) e VERTICAL (v0y ), do vetor velocidade podem ser calculadas 
conhecendo-se o ângulo  entre o vetor velocidade inicial v0 e o semi-eixo positivo x. 
v0x = v0. cos  v0y = v0. sen  
 
 
 v0 
 + 
 
 eixo x (+) 
 
Durante seu movimento bidimensional, o vetor posição r e a velocidade v do projétil mudam 
continuamente, mas seu vetor aceleração a é constante e está sempre direcionado verticalmente para baixo. O 
projétil não possui aceleração horizontal. 
 No movimento de projéteis, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes um do 
outro. Assim o movimento bidimensional de um projétil pode ser representado por dois movimentos 
unidimensionais independentes: um movimento horizontal (com aceleração nula) e outro vertical (com 
aceleração constante para baixo). 
 
Equações para a Análise do Movimento de um Projétil: 
 
 
- movimento horizontal : M.R.U. x = x0 + v0x . t 
 
 
 
 y = y0 + v0y . t – (1/2) g. t
2 
 
- movimento vertical: M.R.U.V. vy = v0.sen - g.t 
 
 (vy)
2 = (v0.sen  )
2 – 2.g.(y – y0) 
 
 
 
g 
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Equação da trajetória do projétil: 
y = (tan0).x – (g. x 
2) / 2 (v0 cos0 ) 
2 
 
Alcance Horizontal (R): 
R = v0 
2 . sen( 20) / g 
 
 
A fórmula do alcance só fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a altura final é igual à 
altura inicial de lançamento. 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
1. Um avião de resgate voa a 198 km/h e a uma altura constante de 500 m em direção a um ponto 
diretamente sobre a vítima de um acidente de barco que se debate na água. O piloto deve soltar a 
cápsula de resgate de tal forma que ela caia na água bem próxima à vítima. 
a) qual deveria ser o ângulo  da linha de visada do piloto até a vítima no instante do lançamento? 
b) no momento em que a cápsula atinge a água qual é sua velocidade v em notação vetorial e em 
notação módulo-ângulo? 
 
2. Um navio pirata está parado a 560 m de um forte que protege a entrada de uma ilha. Um canhão de 
defesa, localizado ao nível do mar, dispara balas com uma velocidade inicial v0 = 82 m/s. 
a) em que ângulo 0 com relação à horizontal as balas devem ser disparadas para acertar o navio? 
b) a que distância do canhão deveria estar o navio pirata para estar fora do alcance máximo das 
balas do canhão? 
 
3. Um avião tem uma velocidade de 290,0 km/h e está mergulhando em um ângulo  = 30,0 º abaixo da 
horizontal quando o piloto libera um míssil despistador. A distância horizontal entre o ponto de 
lançamento e o ponto onde o míssil bate no solo é d = 700m. 
a) quanto tempo o míssil fica no ar? 
b) de que altura o míssil foi liberado? 
 
4. Uma pedra é lançada de uma catapulta em t = 0, com uma velocidade inicial de módulo 20,0 m/s em um 
ângulo de 40,0 º acima da horizontal. 
a) calcule os módulos das componentes iniciais da velocidade na direção:horizontal e vertical; 
b) encontre a posição x e y da pedra para o tempo de 1,10 s; 
c) encontre a posição x e y da pedra para o tempo de 1,80 s; 
d) encontre a posição x e y da pedra para o tempo de 5,00 s; 
 
5. Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 m/s em direção a um ponto 
P, o centro de um alvo de parede. Ele bate em um ponto Q no alvo, verticalmente abaixo do ponto P, 0,19 
s depois. 
a) calcule a distância PQ; b) a que distância do alvo ele é arremessado? 
 
6. Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45,0 m acima de um terreno plano, 
emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. 
a) por quanto tempo o projétil permanece no ar? 
b) a que distância horizontal do ponto de disparo ele atinge o terreno? 
c) qual é o módulo da componente vertical de sua velocidade quanto ele atinge o terreno? 
 
7. Uma pequena bola rola horizontalmente sobre uma mesa de 1,20 m de altura até cair após alcançar sua 
borda. Ela atinge o piso em um ponto horizontalmente a 1,52 m da borda da mesa. 
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a) por quanto tempo a bola fica no ar? 
b) qual é sua velocidade no instante em que ela deixa a mesa? 
 
8. Uma bola é atirada do chão para o ar. Em uma altura de 9,1 m, sua velocidade é: v = (7,6 i + 6,1 j) m/s. 
a) até que altura máxima a bola sobe? 
b) qual a distância horizontal total que a bola percorre? 
 
9. Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com uma velocidade inicial de 42,0 m/s 
direcionada em um ângulo = 60,0 ° acima da horizontal. Após 5,5 segundos do lançamento, a pedra cai 
em um ponto A . Calcule: 
a) a altura h do rochedo; 
b) a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A; 
c) a máxima altura H alcançada acima do chão. 
 
 
 
 
A 
 
 g = 9,8 m/s2 h 
 
  = 60° 
 
 
 
 
 
10. Uma pedra é arremessada do alto de um prédio em um ângulo de 30,0 ° com a horizontal e com uma 
velocidade escalar inicial de 20,0 m/s. O prédio tem uma altura de 45,0 m. 
a) por quanto tempo a pedra permanece em “vôo” ? 
b) qual é a velocidade escalar da pedra logo antes de alcançar o solo? 
c) onde a pedra alcança o solo? 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 48 °; b) módulo de 113 m/s e  = -60,9° 
2- a) 27° ou 63° b) 690 m 
3- a) 10,0 segundos b) 897 m 
4- a) 15,32 m/s e 12,86 m/s b) x = 16,85 m e y = 8,21 m c) x = 27,58 m e y = 7,27 m 
d) x = 76,6 m e y = -58,2 m 
5- a) 0,18 m b) 1,9 m 
6- a) t = 3,03 segundos b) x = 757,5 m c) vy = 29,7 m/s 
7- a) t = 0,5 segundos b) v0x= 3,07 m/s 
8- a) y max = 11 m b) x = 23 m 
9- a) h = 52 m b) v = 18 m/s c) H = 67,5 m 
10- a) 4,22 s b) v = 35,9 m/s c) x= 73 m da base do prédio