1_ª_LISTA_EXERCICIO_-_LINEAR_II

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1a Lista de Exerćıcios - Álgebra Linear II - 1a semestre de 2009.
Turma: T04 - Professora: Marcia Costa Chaves.
Calcule u · v, sendo
1. u = (2, 5,−3) e v = (3, 1, 0)
2. u = (1, 2) e v = (3, 4)
Ache o valor de x tal que
3. (x, 3, 1) · (2, 1, 0) = 3
4. (x, 1, 3) · (1, x, 0) = 4
Determine x, tal que os vetores u e v sejam ortogonais.
5. u = (3, x,−1) e v = (1, 3,−1)
6. u = (2, 5,−3) e v = (3, 1, 0)
7. Seja v um vetor ortogonal a cada um dos vetores v1 e v2. Verifique que v é ortogonal ao
vetor w = c1v1 + c2v2, sendo c1 e c2 constantes.
8. Calcule o ângulo entre o vetor (x, y, z) e cada um dos vetores i, j e k pertencentes ao R3.
9. Sejam u, v ∈ R3. Verifique que ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
10. Em R2 são dados o vetor v = (−1, 2) e o ponto A = (3,−1). Determine o ponto B ∈ R2
tal que o vetor AB = −3v. Trace a representação geométrica.
11. Dado o triângulo OAB com vértices O = (0, 0), A = (−6, 8) e C = (−14, 2).
a) Verifique que o triângulo OAB é isosceles.
b) Determine um vetor unitário na direção de AB.
12. Verifique se a reta que passa pelo ponto P1 = (1, 2) e P2 = (−2,−4) é perpendicular a reta
que passa por Q1 = (6, 4) e Q2 = (12, 1).
13. Sejam os vetores u = (2, 1) e v = (3,−4). Ache// a) A projeção de V em u.
b) u · v.
14. Seja O a origem do R3 e B = (2, 4,−3).
a) Determine o ponto A = (a, a, 0) sobre a reta y = x no plano xy, de modo que o vetor AB
seja perpendicular a reta que passa por OA.
b) Encontre a distância de B ao plano xy.
14. a = 3i + j − k é normal ao plano α1 e b = 2i − j + k é normal a um segundo plano α2.
a) Determine o ângulo entre as duas normais.
b) Os planos α1 e α2 se cortam? Justifique a sua resposta.
15. Considere os planos M1 e M2 de equações 3x+y−2z = 6 e 4x−y+3z = 0 respectivamente.
a) Determine a equação da reta intersecção dos planos M1 e M2.
b) Determine a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0,−1) e Q = (−1, 2, 1) e que
é paralelo a reta encontrado no item (a).
16. Exerćıcios páginas 38, 39, 40, 41 do Livro: Algebra Linear Básica. Autor: Paulo Parga.
Edur- Editora UFRRJ.