AULA 1

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MATRIZES 
 
Quando um problema que envolve um grande número de 
dados, a disposição destes numa tabela de dupla entrada 
propicia uma visão global do mesmo. As tabelas assim 
formadas são chamadas matrizes. 
Os conceitos básicos sobre matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos 
de problemas e são essenciais, não apenas porque eles “ordenam e simplificam” o problema, 
mas também porque fornecem novos métodos de resolução. Empresas dos mais diferentes 
ramos (metalúrgicas, padarias, mercados) utilizam “matrizes” para organizar seus controles de 
gastos, de estoque, de vendas etc. 
 
2.1 Definição 
 Uma matriz é um arranjo de números/variáveis cada um tendo um lugar ordenado na 
matriz. Os números em cada fila horizontal recebem o nome de linhas e os números em cada 
fila vertical recebem o nome de colunas. 
 O número de linhas (m) e o número de colunas (n) define as dimensões ou ordem da 
matriz, que será dada por (m, n). Portanto, dados dois números m e n naturais e não nulos, 
chama-se matriz m por n (m x n) toda tabela formada por números reais ou complexos, 
polinômios, funções, etc, distribuídas em m linhas e n colunas. 
 
Representação: ( ), [ ], ‖ ‖. 
 
 Exemplos 
𝐴 = [
3 5 −1
0 4 5⁄ 2
]
2𝑥3
 𝐵 = [
1 −5 0
−2 3 8
4 5 9
1 2⁄ 7 10
]
4𝑥3
 𝐶 = (
2
3
−5
)
(3,1)
 𝐷 = ‖2 0.3 √2‖(1,3) 
 
 2 
2.2 Representação genérica de uma matriz 
 Representaremos uma matriz de “m” linhas e “n” colunas por: 
 
𝐴𝑚𝑥𝑛 = [
𝑎11 𝑎12 𝑎13 . . . . 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 . . . . 𝑎2𝑛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 . . . . 𝑎𝑚𝑛
] = [𝑎𝑖𝑗]𝑚𝑥𝑛 onde i = linha e j = coluna. 
 
Uma matriz é representada por uma letra maiúscula do alfabeto e os seus elementos são 
representados pela letra minúscula correspondente. No caso acima a matriz é chamada de A e 
seus elementos de aij, onde o índice i representa a posição da linha, e o índice j representa a 
posição da coluna, na matriz dada. Para sabermos quantos elementos há em uma matriz basta 
multiplicarmos o número de linhas pelo número de colunas. 
 
Exemplo 
Construa as matrizes abaixo, segundo sua lei de formação. 
a) A=(aij)2x3, onde 𝑎𝑖𝑗 = −𝑖 + 3𝑗 b) B=(bij)3x3, onde 𝑏𝑖𝑗 =
𝑖
𝑗
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Alguns tipos de matrizes 
 
2. Matriz Coluna (ou vetor coluna) : 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥1, é uma matriz formada por uma única 
coluna. 
 
3. Matriz Linha (ou vetor linha): 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)1𝑥𝑛, é a matriz formada por uma única linha. 
 
 3 
4. Matriz Nula ou Matriz Zero: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, onde 𝑎𝑖𝑗 = 0, aquela que possui todos os 
elementos iguais a zero,. 
 
5. Matriz Quadrada: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑚, aquela cujo número de linhas é igual ao número de 
colunas. Toda matriz quadrada é dita de ordem m. 
 
6. Matriz Diagonal: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑚 com 𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗, é uma matriz quadrada onde os 
elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Somente os números da diagonal 
principal não são nulos. 
 
7. Matriz Identidade ou Unidade: 𝐼𝑛 = 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑚 = {
𝑎𝑖𝑗 = 0 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
 , é uma matriz 
diagonal onde os elementos da diagonal principal são unitários. 
 
8. Matriz Transposta: AT , chamamos de matriz transposta de uma matriz A, a matriz que é 
obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas. 
 
Exemplos: 𝐴 = (
2 1
0 3
−1 4
)
3𝑥2
 𝐴𝑇 = (
2 0 −1
1 3 4
)
2𝑥3
 
 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
P1: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das matrizes transpostas. 
(A + B)T = AT + BT 
P2: A transposta da transposta de uma matriz é igual a matriz dada. 
(AT)T = A 
P2: A transposta do produto de duas matrizes é o produto das transpostas na ordem inversa. 
(AB)T=BTAT 
 
 
 4 
9. Matriz Oposta: é a matriz obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os seus 
elementos. 
Exemplo 𝐴 = [
2 −1 0
−1 3 4
0 4 3
] B= [
−2 1 0
1 −3 −4
0 −4 −3
] 
 
10. Matriz Simétrica: é aquela em que m = n e aij = aji, ou seja, A = AT. 
Exemplos: 𝐴 = [
1 5 9
5 3 8
9 8 7
] 𝐵 = [
2 −1 0
−1 3 4
0 4 3
] 
 
11. Matriz Singular: é uma matriz que não admite inversa. 
Se uma matriz 𝐴 é singular, então o problema 𝐴𝑥 = 𝑏 ou não possui solução ou possui infinitas 
soluções. 
1.2. Igualdade de matrizes 
Duas matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), de ordem (m, n) são iguais, se e somente se, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗, 
ou seja, duas matrizes A = B, see, todos os elementos que ocupam a mesma posição são 
idênticos. 
 
Exemplos 
1) Determine os números reais x e y tais que: (
2𝑥 − 𝑦 8
3 𝑥 + 𝑦
) = (
5 8
3 1
). 
 
 
 
2) Determine o valor de x e y , de modo que A = B 
𝐴 = [
2 4
−1 𝑥2 − 1
3 2
] B = [
2𝑦 − 4 4
−1 8
3 2
] 
 
 
 
 5 
 
1.3. Operações com matrizes 
Situação- Problema: Uma empresa, concessionária de automóveis, realizou um estudo sobre a 
aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatro primeiros dias de janeiro, em suas duas 
lojas. Os dados das lojas A e B, foram apresentados da seguinte forma: 
 𝐴 = (
2 3 1 5
1 2 5 3
) 𝐵 = (
3 0 2 3
4 2 4 5
) sendo que: 
 a matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento ija é o número 
de unidades vendidas do modelo i no dia j; por exemplo, o elemento a23 = 5 informa que 
foram vendidas cinco unidades do modelo 2 no dia 3. 
 a matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de 
unidades vendidas no modelo i no dia j. 
 O responsável da empresa reorganizou estes dados de modo a apresentar a quantidade 
vendida desses dois modelos, nas duas lojas, nos primeiros quatro dias de janeiro, para analisar 
qual foi o dia de maior venda, e qual foi o modelo mais escolhido. Para isso apresentou os 
dados numa matriz C2x4, na qual cada elemento (cij) foi obtido pela a soma dos elementos 
correspondentes nas matrizes A e B, isto é, C = A + B. 
 
 Adição de matrizes – A soma de matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), de ordem (m, n) é uma 
matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗), tal que: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 
 
Exemplos 
1. Dadas as matrizes abaixo efetue, se possível: 
𝐴 = [
2 −3 7
3 4 2
6 9 10
]       𝐵 = [
−4 5
9 1
8 4
]        𝐶 = [
2 7 4
3 5 9
0 1 −2
]           𝐷 = [
−4 7
7 −1
1 −4
]       
 
a) A + C b) D + B c) B + C 
 
 
 6 
 
 
Observação 
A diferença A – B de duas matrizes de ordem (m, n) é uma matriz C tal que: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 
 
d) C – A e) D – B 
 
 
 
 
Propriedades da adição de matrizes 
 I) Comutativa: A + B = B + A 
 II) Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C 
 III) Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A 
 IV) Elemento Oposto: A + (-A) = 0 
 
 Produto de uma matriz por um escalar – se k é um escalar, o produto de uma matriz 
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) por esse escalar é uma matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) tal que: 𝑏𝑖𝑗 = 𝑘 𝑎𝑖𝑗 . 
Exemplos 
 Dadas as matrizes 𝐴 = [
2 −3 7
3 4 2
6 9 10
]        𝐵 = [
−4 5
−2 1
3 4
]            𝐶 = [
−4 7
7 −1
1 −2
]        efetue: 
 
a) 3B b) 3A – 2C 
 
 
 
 
 
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar 
I) k(𝐴 + 𝐵)  =   k𝐴   +   kB 
 II) (𝑘1  + 𝑘2)𝐴  =   𝑘1𝐴   +   𝑘2𝐴 
 7 
 III) 0. 𝐴  =   0 
 IV) 𝑘1(𝑘2𝐴)   =   (𝑘1𝑘2)𝐴 
 V) 1. 𝐴   =   𝐴 
Situação- Problema: O comprador de uma empresa deve adquirir de seus fornecedores três 
tipos de produto denominados P1, P2 e P3. Para isso, fez orçamentos com dois fornecedores 
denominados F1 e F2. 
 Organizando os dados coletados nesses orçamentos, o comprador construiu três 
matrizes A, B e C de modo que cada elemento ija da matriz A = (100 200 300) indica a 
quantidade de unidades do produto j que o comprador deve adquirir; cada elemento ijb da 
matriz 𝐵 = [
58 62
53 59
55 61
] representa o preço, em reais, de cada unidade do produto i, cobrado pelo 
fornecedorj; e cada elemento ijc da matriz C = (100.58 + 200.53 + 300.55 100.62 + 200.59 + 
300.61) indica o valor do orçamento apresentado pelo fornecedor j. A matriz C é chamada de 
matriz produto de A por B, nessa ordem, e representa-se A.B = C ou AB = C. Observe que, 
desse modo, os dados numéricos dessa consulta de preços podem ser apresentados por: 
 (100 200 300) ⋅ (
58 62
53 59
55 61
) = (329000 36300 ) 
 
Antes de definirmos a multiplicação de matrizes, vamos definir produto de linha por coluna. 
Existe o produto AB se, e somente se, o número de colunas de A for igual ao número 
de linhas de B. 
 
A matriz C possui o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B. 
 
 
 Produto de uma matriz por outra 
 8 
 
para cada 𝑖 e j com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚 e 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝. 
 
Exemplos 
1) Dadas as matrizes 𝐴 = [
2 1
1 3
]       e      𝐵 = [
4 2 0
5 1 3
], calcule: 
a) AB 
 
 
 
b) 2AB 
 
 
 
 
c) (2A)(−3B) 
 
 
 
 
 
 
2) Dadas as matrizes A= [
1 2 3
5 −1 2
2 1 3
]     𝑒     𝐵 = [
4 1
0 2
6 0
] , calcule, se possível. 
 
a) AB b) BA 
 
 
 
 9 
 
 
 
 
3) Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois orfanatos da seguinte forma: 
 Para o primeiro são doados 25 kg de arroz, 20 kg de feijão, 30 kg de carne e 32 kg de 
batata. 
 Para o segundo são doados 28 kg de arroz, 24 kg de feijão, 35 kg de carne e 38kg de 
batata. 
O empresário faz a cotação de preços em dois supermercados. Veja a cotação atual em 
reais: 
PRODUTO ( 1 kg) SUPERMERCADO 1 SUPERMERCADO 
2 
Arroz 9,00 9,50 
Feijão 10,50 10,20 
Carne 11,50 10,70 
Batata 2,50 3,70 
 
Represente a situação em forma matricial e determine o gasto mensal desse empresário, por 
orfanato, supondo que todos os produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que 
este represente a melhor opção de compra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
Lista 01: Operações com matrizes 
1. Determine os valores de “a e b” tais que: 
3a
2b
3b
1a2




 . 
2. Determine os valores de x e y nas igualdades: 
 
3. Calcule x, y e z tais que: 
















z00
100
14y0
x01x
2
2
 
4. Determine x, y z e w nas matrizes 








31
21
A , 







31
yx
B e 






wz
21
C tais que A=B=C. 
 
5.Ache x, y, z e w se 


















10
01
43
32
wz
yx
 
6. Sejam: A=  12D
4
2
1
C
103
102
B
112
321
























 
a) A.C b) B.C c) C.D d) D.A e) D. B 
 
7.Calcule a matriz X tal que X+A=B+C onde: 







86
42
A 








17
31
B 







29
85
C . 
8. Calcule os valores de x, y e z nas matrizes:





 

03
x
A 2
1
 









34
y5
B e 







3z
42
C de modo que B+C=2A. 
 
9. O anel rodoviário de uma grande metrópole passa pelos pontos indicados no mapa 
ao lado. Os elementos da matriz  
55xij
aA , associada a esse mapa, são tais que: 
ija = 0, se os pontos i e j estiverem ligados entre si ou se i = j 
ija = 1, se os pontos i e j não estiverem ligados. 
 Construa a matriz A 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
 11 
Resp: 1)  1b;1a  2) a)  3;81  yx b) 1;2  xx e 2;2  xx logo: x=2 (satisfaz as duas 
equações) 
c)  1y;1x  3) 1;21  zyx 
 4)  3;1;2;1  wzyx 
5)  3;2;3;4  zwyx 6)a) 






 4
15 b) 






1
6 c) 













48
24
12
 d)  730 e)  107 
7)








78
74
X 8)








 10z;5y;
2
3
x 
9) 
 
 
Para trabalhar com matrizes no GeoGebra digita-se usa-se { }, os elementos de cada linha 
devem ser digitados separados por vírgulas entre chaves {{a,b},{c,d}}. 
 12 
2. DETERMINANTES 
A teoria dos determinantes surgiu durante pesquisas realizadas com o objetivo de se 
encontrar processos que viessem a facilitar a resolução de um sistema de equações lineares. Por 
exemplo, a matriz A é matriz associada ao sistema S. 
 
Estudando as matrizes quadradas associadas a um sistema de equações lineares, verificou-
se ser possível associar a cada matriz quadrada um único número real, chamado determinante 
da matriz. 
O determinante de uma matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o 
somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos 
da diagonal secundária. 
A representação de determinante de uma matriz A como det(A) ou simplesmente |A|. 
2.1 Diagonais da matriz 
Toda matriz possui diagonal principal e diagonal secundária. A diagonal principal é 
formada pelos elementos em que i = j. A diagonal secundária é composta por elementos em 
que a soma de i com j sempre resulta em uma mesma solução. Veja como identificamos as 
diagonais de uma matriz: 
 
 
 
 
 13 
 
Um pouco da história 
- Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) foi um matemático francês que inventou um método para 
o encontrar os determinantes das matrizes quadradas de ordem 3 conhecido como a "Regra 
de Sarrus". 
- O "Teorema de Laplace", um método para calcular o determinante de qualquer tipo de 
matriz quadrada, foi inventado pelo matemático e físico francês Pierre Simon Marquis de 
Laplace (1749-1827). 
 
2.2 Determinante de uma matriz de ordem 
O determinante da matriz A = [ 11a ], indicada por det (A) ou | 11a |, é o próprio elemento 11a . 
 
Exemplos 
a) se A = [-2], então 
b) |A|= -2 b) se B = 





3
1
, então det (B) =
1
3
 
2.3 Determinante de uma matriz de ordem 2 
 
 
 
 14 
Exemplos 
1) Dadas as matrizes A, B e C, encontre o determinante de cada uma delas. 
 
 
 
 
 
 
2) Resolva a equação |
𝑥 + 3 2
𝑥 − 1 5
| = 0 
 
 
 
 
 
2.4 Determinante de uma matriz de ordem 3 
A Regra de Sarrus ou esquema de Sarrus é um método e um esquema de memorização para 
calcular o determinante de uma matriz 3×3. O nome refere-se ao matemático francês Pierre 
Frederic Sarrus (SARRUS (1798 - 1861) – matemático francês que se destacou em estudos dos 
determinantes. 
Considerando uma matriz 3x3 
 
 
o seu determinante pode ser calculado pelo seguinte esquema: 
 
Primeiro, copie as 2 primeiras colunas da matriz à direita da 3ª coluna, de modo que seja obtida 
uma sequência de 5 colunas. Em seguida, some os produtos das diagonais que partem de cima 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mnem%C3%B3nica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Determinante
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fr%C3%A9d%C3%A9ric_Sarrus
 15 
para baixo (linhas cheias) e subtraia os produtos das diagonais que vão de baixo para cima 
(linhas tracejada). Isso produz 
 
 
 
 
Exemplos 
1) Calcular o determinante da matriz 𝐴 = [
2 0 2
1 5 6
−1 3 4
] 
 
 
 
 
 
 
2) Encontrar o valor de x na equação |
3𝑥 −3 −1
1 0 3
4 2 2𝑥 − 1
| = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
Propriedades dos determinantes 
 P1 - Determinante nulo: Condições que produzem um determinante nulo 
 
 P2 - Determinante de um múltiplo escalar de uma matriz 
 
 P3 - Determinante de uma transposta 
 
 P4 - Determinante de uma matriz quadrada inversível 
 
 P5 - Determinante de uma matriz inversa 
 
 P6 - Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz 
muda de sinal. 
 17 
 P7 - Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, temos a seguinte igualdade para 
o cálculo do determinante da matriz produto: det(AB) = det(A) det(B). 
 
Exemplos 
1) Analise cada determinante abaixo e identifique a propriedade associada a ele. 
( )|
1 3
2 7
| = |
1 2
3 7
| = 1 ( )|
0 2 3
0 −3 5
0 1 −4
| = 0 
 
()|
3 0 1
−6 2 −2
−3 5 −1
| = 0 ( ) |
1 2 3
2 1 −1
3 2 1
| = −4 |
2 1 −1
1 2 3
3 2 1
| = 4 
 
 
 
2) Analise cada afirmação e identifique como verdadeira (V) ou falsa(F). 
( ) Permutar duas linhas de uma matriz quadrada não muda o sinal de seu determinante. 
( ) Multiplicar uma coluna de uma matriz quadrada por uma constante não nula resulta no 
determinante multiplicado pela mesma constante. 
( ) Se duas linhas de uma matriz quadrada forem iguais, então seu determinante é nulo. 
( ) Se uma linha de uma matriz quadrada é múltipla de outra linha, então o determinante é 0. 
( ) quando alteramos a ordem do produto de duas matrizes quadradas o seu determinante 
muda de sinal, ou seja, det(AB) = - det(BA). 
 
 
2.5 Menores e Cofatores 
Para definir o determinante de uma matriz quadrada de ordem superior a 2, é conveniente 
usar menores e cofatores. 
 18 
 
 
Por exemplo, se A é uma matriz de ordem 3, então os menores e os cofatores de a21 e a22 
são como mostrado abaixo. 
 
 
Os menores e cofatores de uma matriz podem diferir apenas no sinal. Para obter os cofatores 
de uma matriz, primeiro encontre os menores e, em seguida, aplique o padrão de tabuleiro de 
xadrez de + e - mostrado abaixo. Observe que as posições ímpares (nas quais 𝑖 + 𝑗 é impar) 
possuem sinais negativos e as posições pares (nas quais 𝑖 + 𝑗 é par) têm sinais positivos. 
 
Padrão de sinais para cofatores 
 
 
 
 19 
Exemplo 
Encontre todos os menores cofatores da matriz A 
 
 
 
2.6 Teorema de Laplace 
O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes 
quadradas de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator. 
 
 
 20 
Exemplo 
Encontre o determinante da matriz A 
 
 
 21 
2.7 Matriz Inversa 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é inversível se existe uma matriz 
B tal que 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴 = 𝐼. Dessa forma B é a inversa de A e é representada por 1A . Então 
podemos reescrever 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐼. 
 
Exemplo 
 Mostre que a matriz 𝐵 = [
3 2⁄ −1/2
−2 1
] é a inversa de 𝐴 = [
2 1
4 3
]. 
 
2.8 Matriz dos Cofatores 
Em uma matriz dos cofatores cada elemento aij é trocado pelo seu respectivo cofator Cij. 
 
 
2.9 Matriz Adjunta 
É a matriz transposta da matriz dos cofatores. 
 
 
Exemplo 
Encontre a matriz adjunta de A 
 
 22 
 
Generalização da Matriz Inversa 
 
Exemplo 
Use a adjunta de A para encontrar sua inversa 
 
 
 
 
Lista 02: Determinantes 
 23 
1) Calcular os seguintes determinantes: 
a)











































5313128
438712
541831
00000
214741
)
115
423
001
)
112
317
931
)
15
31
dcb e)













12250
11170
0010
4438021
 
f)
2 3 4 1
0 0 2 0
3 1 1 1
1 0 2 3















 
g)
12 4
1 0 4,
 h)
7 3
4 2


 i)
2 3 4
2 1 2
0 5 6

 j)
1 2 4
1 3 9
1 4 16
 
2) Calcular o valor de x nas igualdades abaixo 
a)
3 3
4 3
0
x
x 
 b)
3 1
8
02
3
x
x
 c)
1 0 1
1 3
1 3
0

x
x
 d)
2 1 3
4 1 1
0
12  x
x x
 
3) Em IR, a solução da equação: 9log5
121
114
3
3


xx
 é a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
4) Calcule os determinantes: 
0123
2040
0312
5001
)
1332
0211
0102
0135
)





ba
 















3213
5120
2031
1324
)c
 
 
Respostas: 1. a) –14 b) 40 c) –6 d) 0 e) 21 f) 70 g) 4/5 h) -2 i) 68 j) –70 
2. a)  4x;1x  b)  2x  c)  4x;1x  d)  6x;2x  3) C 4) a) 2 b) -230 c) 
4