Introdução à Estatística

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1. Introdução 
 
 A aplicação da Estatística aumentou nas últimas décadas, pois direta ou indiretamente a 
Estatística está presente em todos os aspectos da vida moderna, já que o estudo estatístico colabora 
como indicador para trabalhar com diversos produtos, possibilitando maiores estratégias na busca 
e no planejamento de soluções. 
 
2. História da Estatística 
 
 A Estatística de acordo com Tiboni (2010) já era observada na Antiguidade de forma 
simples e imprecisa, quando os governantes faziam registros de dados que consideravam 
importantes, tais como informações sobre suas populações e suas riquezas, tendo como objetivo 
fins militares ou tributários. Os governantes investigavam o número de habitantes, de nascimentos 
e óbitos, faziam avaliações dos bens e riquezas do povo para que cobrassem os impostos 
proporcionais. Em guerras, para avaliar o número de “soldados” do próprio povo ou do adversário. 
A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de fatos 
sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os 
primeiros números relativos. 
A palavra Estatística provém da palavra statu, que em latim significa estado, e apareceu 
pela primeira vez no século XVIII, sugerida pelo alemão Godofredo Achenwall. 
 Bernoulli define Estatística como um conjunto de métodos e processos quantitativos que 
serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. 
 
3. Métodos Estatísticos 
 
Com a Administração a Estatística mantém uma relação de complemento, utilizada como 
instrumento de pesquisa para auxiliar na tomada de decisões. A direção de uma empresa, de 
qualquer tipo, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento 
e o uso da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. 
 A Estatística fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação 
de dados. Os resultados podem ser utilizados para planejamentos, tomadas de decisões ou 
formulação de soluções. 
 A metodologia Estatística consiste em seguir alguns passos: definição dos objetivos, 
planejamento e elaboração da coleta de dados, classificação dos dados e apresentação dos valores 
numéricos, análise dos resultados, elaboração do relatório com as conclusões. 
 Divide-se a estatística em duas áreas: 
 
- Estatística descritiva: é a parte da estatística que tem por função descrever os dados observados, 
ou seja, suas atribuições são: 
 
 
Fatec Catanduva 
 
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM GESTÃO EMPRESARIAL 
ESTATÍSTICA APLICADA A GESTÃO 
 
2 
 
(a) Coleta de dados: é normalmente feita através de um questionário ou de entrevistas. 
(b) Organização dos dados: classificar os dados, ou seja, estabelecer categorias que permitam 
a reunião das informações coletadas. 
(c) Apresentação dos dados: os dados devem ser apresentados da maneira mais clara possível, 
em tabelas ou gráficos. 
 
Ainda faz parte da estatística descritiva o cálculo de medidas de posição e dispersão, 
permitindo assim a posterior análise e interpretação dos dados. 
 
- Estatística Inferencial ou indutiva: é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e 
generalizar conclusões que indiquem as vantagens e as desvantagens dos resultados obtidos. 
 
3.1 Conceitos fundamentais 
 
 População ou universo estatístico é o conjunto da totalidade de indivíduos que 
apresentam uma característica em comum, cujo comportamento se quer analisar. A população 
pode ser finita ou infinita, e pode ser constituída por pessoas, animais, minerais, vegetais, etc. 
Por exemplo: 
Pesquisa População 
Febre aviária Aves 
Acidentes de trabalho em uma empresa Funcionários da empresa 
Fiscalização de velocidade numa rodovia Veículos 
Concentração de monóxido de carbono Ar 
Treinamento de resistência física Atletas 
 
 As vantagens de se trabalhar com a população é que o erro processual é zero e tem 
confiabilidade 100%, porém em grandes populações torna-se impossível colher informações de 
toda a população (censo), é caro, lento e quase sempre desatualizado. 
 
 Amostra é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
 Embora a amostra seja constituída por uma parte da população em estudo, a amostra deve 
permitir a obtenção de dados representativos da população. 
 Como exemplo pode-se citar: para verificar a quantidade de minerais existentes na água de 
uma fonte, retira-se uma pequena quantidade de água para a análise; a pesquisa de intenção de 
voto, durante o período que antecede a eleição é feita com uma parte dos eleitores. 
 As vantagens de se trabalhar com amostras é que a pesquisa é mais barata, mais rápida, 
atualizada, sempre viável, porém tem erro processual positivo e confiabilidade menor que 100% 
 
Propriedades Principais da População: 
- Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%. 
- É caro. 
- É lento. 
- É quase sempre desatualizado. 
- Nem sempre é viável. 
Propriedades Principais da amostra 
- Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%. 
- É barata. 
- É rápida. 
- É atualizada. 
- É sempre viável. 
 
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3.2 Classificação das variáveis 
 
 Variáveis são características que podem ser observadas (ou medidas) em cada elemento da 
população, ou, ainda, é um conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Na população 
caracterizada pelos funcionários de uma empresa, podemos definir variáveis como: tempo de 
serviço, idade, estado civil, sexo, etc. 
As variáveis podem ser classificadas em: 
 qualitativas: quando expressa uma qualidade ou atributo. Exemplos: sexo, cor da pele, 
estado civil, cidade natal, fruta preferida, etc. 
 quantitativas: quando os valores são expressos por números: Exemplos: idade, salários, 
notas de avaliação, comprimentos, etc. 
As variáveis quantitativas podem ser: 
 
- Quantitativa contínua: assume inúmeros valores numéricos entre dois limites, ou seja, pode 
assumir valores decimais. Exemplos: tempo de espera em fila de banco, peso, salário, estatura, 
- Quantitativa discreta: assume apenas valores inteiros. Exemplos: número de filhos, número de 
peças fabricadas. 
 
3.3 Números aproximados e arredondamento de dados 
 
 De acordo com a ABNT as regras são: 
 
(a) quando o primeiro algarismo a ser abandonado no arredondamento é menor que 5, fica 
inalterado o último algarismo a permanecer. 
 
(b) quando o primeiro algarismo a ser abandonado no arredondamento é maior que 5 aumenta-se 
uma unidade ao último algarismo a permanecer. 
 
(c) quando o primeiro algarismo a ser abandonado no arredondamento é 5, temos dois critérios: se 
após o algarismo 5 seguir em qualquer casa um número diferente de 0 aumenta-se em uma unidade 
o n; Exemplos: 237,85001 ficará 237,9; 5,5256 ficará 5,53. 
 Agora se após o algarismo 5 não seguir (em qualquer casa) um número diferente de zero, ao 
algarismo que antecede o 5 será acrescentada uma unidade, se for ímpar, e permanecerá como está 
se for par. Exemplos: 247,235 ficará 247,24; 1349,85 ficará 1349,8; 12,1250 ficará 12,12. 
 
 O Excel e as calculadoras científicas não fazem uso do item (c), nestes casos se o primeiro 
algarismo a ser abandonado for o 5, o arredondamento será feito com o aumento de uma unidade 
ao algarismo que antecede o 5. 
 
Exercícios: 
 
1. Em cada item estabeleça a variável e classifique em qualitativa (nominal ou ordinal) ou 
quantitativa (discreta ou contínua). 
 
a) cidade natal dos funcionários de um escritório. 
b) número de acidentes ocorridos durante o ano. 
c) número de casamentos entre pessoas que se conheceram pela internet. 
d) grau de instrução dos funcion 
 
 
 
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3.4 Técnicas de amostragem 
 
 Existem técnicas adequadas para recolher amostras, de forma a garantir (tanto quanto 
possível) a representatividade da população e também o sucesso da pesquisa e dos resultados. 
 Devemos estabelecer um número mínimo de elementospara compor a amostra. O tamanho 
da amostra não segue nenhuma regra fixa, sendo assim, para populações de tamanho relativamente 
pequeno ou médio, sugere-se que o tamanho da amostra não seja menor que 10% do total da 
população. 
 
3.4.1 Amostragem casual simples ou aleatória simples 
 
 Neste tipo de amostragem todos os elementos da população estão disponíveis para serem 
avaliados na a amostra. A seleção ocorre por meio de sorteio (manual ou eletrônico). 
 
3.4.2 Amostragem proporcional estratificada 
 
 A amostragem proporcional estratificada considera a população dividida em estratos, em 
que cada estrato abrange um subconjunto da população que reúne características comuns entre 
seus elementos. Considera também que o número de elementos extraídos de cada estrato deve ser 
proporcional aos respectivos estratos. 
 
Exemplo 1: Uma empresa de telemarketing conta com 480 funcionários, dos quais 288 são do 
sexo feminino e os 192 restantes do sexo masculino. Considerando a variável “sexo” para 
estratificar essa população, foi selecionada uma amostra proporcional estratificada de 50 
funcionários. Calcule quantos funcionários do sexo masculino e quantos do sexo feminino deverão 
compor a amostra. 
 
Exemplo 2: Com o objetivo de levantar o estilo de comunicação ideal preferido pelos 
colaboradores de uma indústria alimentícia, realiza-se o levantamento por amostragem. A 
população é composta por 200 chefes de seção, 4.400 operários especializados e 1.200 operários 
não especializados. Obtenha uma amostra com 5% dos colaboradores da indústria, mantendo as 
mesmas relações de proporcionalidade em cada estrato. 
 
 
3.4.3. Amostragem sistemática 
 
 Este método é um procedimento para a amostragem aleatória, utilizado quando os 
elementos da população já se acham ordenados. Exemplos: as casas e prédios de uma rua, os 
funcionários de uma empresa, listas dos alunos, etc. 
 
Exercícios: 
 
1. Numa indústria, há 650 operários. Qual o tamanho de uma amostra aleatória que represente 10% 
da população? 
 
 
2. Dada uma população de 40 pessoas, qual o tipo de amostra que podemos utilizar para obter uma 
amostra de 6 pessoas. 
 
 
5 
 
3. Numa linha de produção onde a população se apresentam ordenados, para retirarmos uma 
amostra, qual tipo de amostra devemos escolher? 
 
4. Uma loja de móveis fez uma pesquisa de opinião com seus clientes cadastrados. Determinada 
questão sobre a qualidade de atendimento deveria ser respondida mediante a utilização das opções: 
ótimo, bom, regular, ruim e péssimo. Por meio de uma amostragem proporcional estratificada, 
alguns clientes foram selecionados para justificar a respectiva opção. Complete a tabela abaixo. 
 
Tabela: Pesquisa de opinião 
Opções de resposta Número de respostas por 
opção 
Amostra 
Ótimo 900 
Bom 42 
Regular 550 22 
Ruim 350 
Péssimo 
Total 117 
 
3.5 Tabelas e Séries Estatísticas 
 
 As tabelas são recursos utilizados pela estatística, com o objetivo de organizar e facilitar a 
visualização e comparação dos dados. Toda tabela deverá conter um título (explicando o que a 
tabela contém), cabeçalhos, dados e rodapé (quando houver a fonte). 
 As tabelas que apresentam um conjunto de dados estatísticos distribuídos em função da 
época, do local ou da espécie são chamadas de série estatística. 
 
3.6 Distribuição de Frequência 
 
 Dados brutos é uma sequência de valores numéricos não organizados, obtidos diretamente 
da observação de um fenômeno coletivo. 
Notação: X é a característica observada no fenômeno coletivo: x1 é o valor da característica 
obtido na primeira observação do fenômeno coletivo; x2 é o valor da característica obtido na 
segunda observação do fenômeno coletivo e assim sucessivamente. 
 Rol é uma sequência ordenada (crescente ou decrescente) dos dados brutos. 
 Em geral uma distribuição de frequências é formada pelos valores da variável que estamos 
estudando (𝑥𝑖) e pela frequência absoluta (ou simples). Também podemos ter as frequências 
relativas (𝑓𝑟𝑖), freqüência acumulada (𝑓𝑎𝑐𝑖) e a freqüência acumulada relativa (𝑓𝑎𝑐𝑟𝑖), conforme 
tabela abaixo: 
Tabela: Exemplo de distribuição de frequências 
𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑟𝑖(%) 𝑓𝑎𝑐𝑖 𝑓𝑎𝑐𝑟𝑖 (%) 
18 15 
19 10 
21 2 
23 3 
Total 𝑛 = ∑ 𝑥𝑖 = 30 
 
 
 
 
 
6 
 
Exemplo 3: Uma empresa de publicidade realizou uma pesquisa sobre o estado civil dos 
compradores de alimentos congelados de um determinado supermercado, assumindo assim as 
categorias: solteiro, casado, viúvo e separado. Foram encontradas as respostas constantes na tabela 
abaixo: 
 
Solteiro Separado Casado Casado Separado Solteiro Casado 
Viúvo Casado Separado Solteiro Casado Viúvo Solteiro 
Casado Separado Solteiro Casado Separado Separado Casado 
Casado Solteiro Casado Viúvo Casado Solteiro Casado 
Separado Solteiro Separado Solteiro Separado Casado Casado 
Solteiro Separado Casado Separado Solteiro Casado Separado 
Casado Separado Casado Separado Solteiro Casado Separado 
Separado Casado Separado Casado Viúvo Solteiro Casado 
 
a) Classifique a variável. 
b) Qual o número de dados da pesquisa? 
c) Elabore uma distribuição de frequência referente aos dados coletados na pesquisa, inclua 
todos os tipos de frequências na distribuição. 
 
Exercícios: 
 
1. Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualidade selecionou 
48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas. Obteve os 
seguintes dados: 
 
2 0 0 3 3 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 2 0 
0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 
 
(a) Construa uma distribuição de frequências com todas as frequências. 
(b) Interprete a terceira linha da tabela do item (a). 
 
 
2.Com o objetivo de regulamentar a configuração interna de aviões de transporte de passageiros, 
para especificar a distância entre encosto e assente, e a largura das poltronas das aeronaves, uma 
empresa realizou um levantamento das estaturas dos passageiros, através de uma amostra 
composta por um grupo de passageiros, sendo os resultados apresentados na tabela abaixo. 
Construir a distribuição de frequências e porcentagens. 
 
Estaturas 
(em cm) 
Número de 
passageiros (fi) 
 
150 |- 157 7 
157 |- 164 16 
164 |- 171 25 
171 |- 178 26 
178 |- 185 20 
185 |- 192 5 
192 |- 199 1 
TOTAL 
 
7 
 
3.7 Distribuição de frequência para a variável contínua (distribuição de frequências com 
intervalo de classe) 
 
 Podemos usar as variáveis discretas na representação de uma série de valores quantitativos 
quando o número de dados distintos da série for pequeno, caso contrário é preferível usar variáveis 
contínuas. 
Para a construção desse tipo de tabela de distribuição de frequências, é conveniente dar as 
seguintes definições: 
 
 
 Amplitude amostral: é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma série. 
 
𝐴𝐴 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 
 
 Intervalo de classe: é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série estatística. 
Utilizaremos sempre intervalos semi-abertos à direita ( |- ). 
 
 Limites de classe: são os valores de máximo e mínimo de cada classe, representados por 
Li e li respectivamente. 
 
 Número de classes: sejam k o número aproximado (sempre inteiro) de classes e n o número 
de elementos da série, assim: 
 
 
𝐂𝐫𝐢𝐭é𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐚 𝐑𝐚𝐢𝐳 𝑘 = √𝑛 
 
 
𝐅ó𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐝𝐞 𝐒𝐭𝐮𝐫𝐠𝐞𝐬: 𝑘 = 1 + 3,3𝑙𝑜𝑔𝑛 𝑜𝑢 𝑘 = 1 + 3,3
ln 𝑛
ln 10
 
 
 
 Observação: para 𝑛 ≤ 70 as duas fórmulas são equivalentes. Neste caso é preferível usar o 
critério da raiz pela simplicidade. Caso contrário, a fórmula de Sturges dá uma melhor 
aproximação para o número de classes. Quanto maior o valor de n maior é a diferença entre as 
fórmulas. Por exemplo, para n = 1000 o critério da raiz fornece 𝑘 ≅ 32 classes, enquanto que a 
fórmula de Sturges sugere 𝑘 ≅ 11 classes. Geralmente usamosestes critérios para dar uma boa 
aproximação para o número de classes. O resto é feito pelo bom senso e experiência. 
 
 
 Amplitude do intervalo de classe: é a diferença entre os limites de classes, ou o quociente 
entre a amplitude amostral e o número de classes: 
 
ℎ =
𝐴𝐴
𝑘
 
 
Observação: o valor obtido no cálculo da amplitude de classe nem sempre é um valor exato, sendo 
assim, para preservar o número de classes estabelecido, faz-se o arredondamento da amplitude de 
classe para valores (coerentes e convenientes) acima do valor obtido. 
 
 
8 
 
Exemplos 4: Com o objetivo de elaborar um relatório, o gerente de produção realizou o 
levantamento dos salários de todos os operários da linha de produção da empresa. Os dados estão 
registrados na tabela abaixo: 
 
 950 960 980 980 990 1000 1020 1050 1060 1060 
1070 1079 1080 1080 1110 1200 1255 1269 1280 1298 
1300 1330 1333 1339 1340 1390 1398 1410 1430 1450 
1460 1470 1500 1550 1560 1590 1600 1640 1690 1700 
1710 1720 1730 1750 1755 1790 1800 1820 1840 1855 
 
a) Identifique a variável em estudo. 
b) Construa uma distribuição de frequência com intervalo de classe referente aos dados coletados 
na pesquisa. Inclua todos os tipos de frequência (sugestão h=130). 
c) Interprete a terceira linha da tabela. 
 
Exercícios: 
 
1. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas jurídicas em uma agência, em determinado 
dia, obtendo os seguintes saldos: 
 
R$ 3.250,00 R$ 6.830,00 R$ 7.800,00 R$ 12.521,00 R$ 13.123,00 
R$ 13.250,00 R$ 14.751,00 R$ 16.830,00 R$ 17.023,00 R$ 17.603,00 
R$ 18.600,00 R$ 20.320,00 R$ 21.133,00 R$ 23.000,00 R$ 23.250,00 
R$ 25.600,00 R$ 31.350,00 R$ 33.000,00 R$ 33.250,00 R$ 35.300,00 
R$ 37.452,00 R$ 39.610,00 R$ 43.150,00 R$ 48.000,00 R$ 53.240.00 
 
a) Resuma os dados acima, construindo uma tabela de distribuição de frequências e porcentagens 
(sugestão h = 10000). 
b) Interprete os dados da terceira linha da tabela construída. 
 
2. Complete o quadro abaixo: 
 
𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝑓𝑟𝑖(%) 𝑓𝑎𝑐𝑖 𝑓𝑎𝑐𝑟𝑖 (%) 
100 |- 200 1 
200 |- 300 25% 
300 |- 400 14 
400 |- 500 90% 
500 |- 600 2 
Total 
 
3. Uma distribuidora anotou o número de unidades vendidas para cada um dos seus representantes 
no mês de janeiro. Sendo apresentado a seguir: 
61 65 71 77 78 79 80 81 83 85 89 90 90 91 
94 95 96 97 98 99 99 100 100 101 101 105 107 107 
108 108 108 109 109 110 110 111 114 114 115 116 116 116 
117 117 118 118 118 119 119 119 120 120 120 121 121 122 
123 124 125 126 126 127 128 128 129 129 129 130 133 139 
 
a) Quantos representantes a empresa possui. 
b) Construa uma tabela de frequências e porcentagens (sugestão h = 10). 
 
9 
 
4. Medidas de Posição central ou Medidas de Tendência Central 
 
 A análise dos dados coletados pode ser feita sob diferentes aspectos, em que cada foco 
verifica um tipo de informação a respeito do comportamento ou Medidas de posição central 
preocupam-se com a caracterização e a definição do centro dos dados. Podem ser apresentadas sob 
diferentes tipos, como a média, a mediana ou a moda. 
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior 
valor da série. É também um valor em torno do qual os elementos da série são distribuídos e a 
posiciona em relação ao eixo horizontal. 
 Em resumo, a medida posição central procura estabelecer um número no eixo horizontal 
em torno do qual a série se concentra. 
 
4.1. Médias 
 
 A média é, provavelmente, a mais usual medida empregada em estatística. Corresponde a 
um valor representativo do centro geométrico de um conjunto de dados. Apresenta a importante 
característica de ser sensível aos valores discrepantes do conjunto de dados. 
 
4.1.1 Média aritmética simples para dados não agrupados 
Usualmente denominamos apenas média. Dado um conjunto de dados 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 a média 
será calculada da seguinte maneira: �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
Exemplo 5. Um corretor vende apólices de seguro de pessoas (seguros de vida). O número de 
apólices vendidas mensalmente no último ano estão registrados na tabela abaixo: 
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 
16 12 26 29 20 24 13 32 24 15 25 16 
Calcule a média mensal de apólices vendidas durante o ano. 
 
 
 
Exemplo 6: Calcular a média dos dados amostrais X: 1, 5, 6, 8. E verifique as propriedades. 
 
 
 
Algumas propriedades da média: 
 
Propriedade 1: a soma dos desvios calculados de um conjunto de números em relação à média 
aritmética da distribuição é zero. 
 
ix 
desviomédiaxi  
1 
5 
6 
8 
Soma 
 
 
 
10 
 
Propriedade 2: ao somar ou subtrair uma constante a todos ou de todos os valores de uma série 
de dados, a média também será somada ou subtraída dessa mesma constante. 
 
ix 
2ix 
2ix 
1 
5 
6 
8 
Soma = 20 
n = 4 
Média = 5 
 
Propriedade 3: ao multiplicar ou dividir por uma constante todos os valores da série, a média 
também será multiplicada ou dividida por esse mesmo valor. 
 
ix 
2*ix 
2ix 
1 
5 
6 
8 
Soma = 20 
n = 4 
Média = 5 
 
 
4.1.2 Média ponderada para dados agrupados sem intervalos de classe 
 
Para uma sequência numérica 𝑋: 𝑥1, 𝑥2. 𝑥3, … . , 𝑥𝑛 afetados de frequências 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓2, a 
média ponderada, que designaremos por�̅�, é definida por: 
 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
Exemplo 7: Se X: 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, determinar a média. 
 
 
Exemplo 8: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos, 
apresentadas na tabela. Determine a idade média dos alunos. 
 
ixIdade : 𝑓𝑖 
17 1 
18 11 
19 8 
20 7 
21 10 
22 2 
23 1 
Total 40 
 
11 
 
4.1.3 Média ponderada para dados agrupados com intervalos de classe 
 
Usamos o ponto médio da classe para representá-la. Assim, para dados agrupados com 
intervalo de classe, a média resulta da ponderação dos pontos médios pelas frequências. 
 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
 
 
Exemplo 9: Com o objetivo de regulamentar a configuração interna de aviões de transporte de 
passageiros, para especificar a distância entre encosto e assente, e a largura das poltronas das 
aeronaves, uma empresa realizou um levantamento das estaturas dos passageiros, através de uma 
amostra composta por um grupo de passageiros, sendo os resultados apresentados na tabela abaixo: 
 
 Distribuição das estaturas 
Estaturas (em cm) Número de passageiros (fi) 
150 |- 157 7 
157 |- 164 19 
164 |- 171 25 
171 |- 178 26 
178 |- 185 21 
185 |- 192 8 
192 |- 199 3 
Total 
 
(a) qual a estatura média dos passageiros? 
(b) qual a porcentagem de passageiros com altura menor que 164 cm? 
(c) qual a porcentagem de passageiros com altura maior ou igual a 164 cm? 
(d) qual a porcentagem com altura maior ou igual a 171 cm e menor que 192 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Exercícios 
1. A evolução da taxa média mensal de juros ao consumidor está registrada no gráfico abaixo. 
Com base nesses valores calcule a média aritmética dos juros nesse período. 
 
 
2. Na equipe de vôlei de um clube, 8% dos atletas tem altura 1,75 m, 26% tem altura 1,80m, 30% 
tem altura 1,85 m, 20% tem altura um 1,90m, 12% tem altura 1,95m e 4% tem altura 2 m. Calcule 
a média de altura do time. 
 
3. Foi realizada uma pesquisa em 50 residências da cidade de São Paulo com o objetivo de saber 
qual o número de computadores em cada casa. A tabela abaixo representa o resultado da pesquisa. 
Calcule a média ponderada do número de computadores por residência. 
Computadores por residência na cidade de São Paulo 
Número de computadores Número de residências 
0 4 
1 19 
2 16 
3 9 
4 2 
Total n = 50 
 
4. A seguradora Leal forte S.A. verifica em determinado produtoquais são os segurados que estão 
com parcelas atrasadas. O contrato estabelece a cobrança de multa para os pagamentos em atraso. 
A figura abaixo registra o número de clientes versus o número de meses em atraso. Qual a média 
de meses de parcelas em atraso? 
 
7,28 7,25 7,25 7,21 7,23 7,18
7,23 7,25
7,28 7,25 7,29
7,33 7,35
Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul.
Taxa média mensal dos juros ao 
consumidor por um ano de Julho 
a Julho 
12
16
21
15
13
10
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6
Número de meses
Atraso nos pagamentos
Numero de clientes
 
13 
 
5. Numa indústria têxtil temos: 15 operários com salários de R$ 800,00 25 com salário de R$ 
1.200,00, 12 com salário de R$ 1.600,00 e 4 com salário de R$ 1.800,00. Qual a média salarial 
dessa empresa? 
 
 
 
 
 
4.2. Mediana 
 
É um valor real que separa o rol em duas partes deixando metade à sua esquerda e a outra 
metade a sua direita. Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série. 
 
Notação: A mediana será denotada por 𝑀𝑑. 
 
4.2.1 Mediana para dados não agrupados 
 
Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol. 
 
Se n é ímpar – O Rol admite apenas um termo central que ocupa a posição 
𝑛+1
2
. O valor 
do elemento que ocupa esta posição é a mediana. 
 
Se n é par – Neste caso, o rol admite dois termos centrais que ocupam as posições 
𝑛
2
 𝑒 
𝑛
2
+
1. A medida é convencionada como sendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais. 
 
Exemplo 10: Um corretor vende apólices de seguro de pessoas (seguros de vida). O número de 
apólices vendidas mensalmente no último ano estão registrados na tabela abaixo: 
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Jan. 
16 12 26 29 20 24 13 32 24 15 25 16 17 
Calcule a mediana mensal de apólices vendidas durante o período. 
 
 
Exemplo 11: Um corretor vende apólices de seguro de pessoas (seguros de vida). O número de 
apólices vendidas mensalmente no último ano estão registrados na tabela abaixo: 
Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. 
16 12 26 29 20 24 13 32 24 15 25 16 
Calcule a mediana mensal de apólices vendidas durante o ano. 
 
 
 
4.2.2 Mediana para dados agrupados sem intervalo de classe 
 
 O cálculo da mediana para dados agrupados é feito de forma similar àquela empregada para 
dados não agrupados. Porém, neste caso, é aconselhável utilizar a tabela de frequências 
acumuladas, o que facilita o trabalho. A mediana corresponde ao valor que divide a série ordenada 
em duas partes iguais, deixando as mesmas quantidades de elementos acima e abaixo da mediana. 
Quando a tabela apresenta a frequência acumulada, basta localizar o elemento cuja frequência 
acumulada superar pela primeira vez 50% do número de elementos analisados. 
 
 
14 
 
Exemplo 12: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos, 
apresentadas na tabela. Determine a idade mediana dos alunos. 
 
ixIdade : 𝑓𝑖 
17 1 
18 11 
19 8 
20 7 
21 10 
22 2 
23 1 
Total 40 
 
 
4.2.3 Cálculo da Mediana para dados agrupados com intervalo de classe 
 
 Na determinação da mediana com dados agrupados em intervalos de classe devem-se 
executar os seguintes passos: 
 
Passo 1: Calcular a posição da mediana, ou seja, calcular 
𝑛
2
. 
 
Passo 2: Localizar a classe mediana. Sabendo o valor do passo 1, observar na coluna da frequência 
acumulada o número maior ou igual a esse valor. A classe correspondente será a classe mediana. 
 
Passo 3: determinar a mediana através da fórmula: 
 
𝑀𝑑 = 𝑙∗ +
ℎ∗
𝑓∗
[
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡] 
 
𝑙∗ - limite inferior da classe mediana. 
n - número de elementos da série. 
𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡. - Freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. 
ℎ∗- amplitude do intervalo de classe. 
𝑓∗- freqüência simples da classe mediana. 
 De modo geral, todas as medidas calculadas para variável contínua serão valores 
aproximados para estas medidas, uma vez que ao agruparmos os dados segundo uma variável, há 
perda de informações quanto a identidade dos dados. 
 
Exemplo 13: Considerando a distribuição de frequência abaixo, determine a mediana da 
distribuição. 
Variável X FREQÜÊNCIA 
50 |- 100 5 
100 |- 150 10 
150 |- 200 10 
200 |- 250 10 
250 |- 300 5 
 
 
 
 
15 
 
Exemplo 14: Considerando a distribuição de frequência abaixo, determine a mediana da 
distribuição. 
 
Variável X FREQÜÊNCIA 
1000 |- 2000 5 
2000 |- 3000 20 
3000 |- 4000 50 
4000 |- 5000 20 
5000 |- 6000 5 
 
4.3 Moda 
 
É o valor de mais frequência em um conjunto de dados. 
Notação: A moda será denotada por 𝑀𝑜. 
 
4.3.1 Moda para dados não agrupados e agrupados sem intervalo de classe 
 
Exemplo 15: Calcular a moda dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10. 
Neste caso a moda será o valor 5, e é dita modal. 
 
Exemplo 16: Calcular a moda dos dados amostrais X: 1, 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 10. 
Neste caso a moda será Mo1 = 6 e Mo2 = 7. 
 
Exemplo 17: Uma faculdade coletou os seguintes dados referentes às idades de seus alunos, 
apresentadas na tabela. Determine a moda dos alunos. 
ix 
𝑓𝑖 
17 1 
18 11 
19 8 
20 7 
21 10 
22 2 
23 1 
Total 40 
 
Neste caso a moda será o elemento xi que tiver maior fi, logo Mo = 18. 
 
 
4.3.2 Cálculo da Moda para dados agrupados com intervalo de classe 
 
 Quando os dados estão agrupados com intervalos de classe a moda será calculada pela 
fórmula de Czuber. 
 Primeiro passo é determinar a classe modal, ou seja, a classe que contém o maior valor de 
frequência. 
 Segundo passo é calcular a moda através da fórmula: 
 
 
Fórmula de Czuber para moda: 𝑴𝒐 = 𝒍∗ + (
𝒅𝟏
𝒅𝟏+𝒅𝟐
) . 𝒉∗ , onde 
 
 
16 
 
 
 
𝑙∗ - limite inferior da classe modal. 
1d - diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente 
anterior. 
2d - diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe imediatamente 
posterior. 
ℎ∗ - amplitude do intervalo de classe modal. 
 
 
 
4.4 Utilização das Medidas de Tendência Central 
 
Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central. 
Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série. Surge, 
então, a questão: qual a medida deve ser utilizada? 
A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos dados da série. 
Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a mediana e a moda 
coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série. No entanto, 
este caso dificilmente ocorrerá na prática. 
Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e consequentemente a 
medida irá representar bem, apenas os dados da série que situam próximos a este valor. Os dados 
muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela. 
Se uma série apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, a mediana 
e a moda ficam também situadas em sua área central representando bem a série. Como a mais 
conhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. 
Concluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados 
na área central da série. 
Se uma série representa forte concentração de dados em seu início, a mediana e a moda 
estarão posicionadas mais no início da série, representando bem esta concentração. A média que é 
fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da série se deslocara para a direita 
desta concentração não a representando bem. Como a mais conhecida entre a mediana e moda é a 
mediana, esta será a medida indicada neste caso. 
A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados em seu final. 
Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte concentração de 
dados no inícioou no final da série. 
A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries que 
apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja frequência é muito superior à frequência dos 
outros elementos da série. 
 
Exemplo 18: Consideremos a amostra abaixo, representando a venda diária de uma determinada 
pizza durante 10 dias, determine a média e a mediana. Qual das duas medidas representa melhor a 
amostra: 10, 12, 13, 150, 170, 14, 12, 11,10,10. 
 
 A média será de 41,2 pizzas, porém a mediana será 12 o que representa melhor o conjunto 
de dados. 
 
 
 
 
 
17 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Determine a média, mediana e moda das séries: 
 
a) X: 1, 2, 8, 10, 12, 12, 16, 21, 30 
b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 
c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15. 
 
 
2. Um sorveteiro vendeu, nas quatro últimas semanas, 1500, 1300, 1100, e 1800 picolés. Qual é a 
média, mediana e a moda do conjunto de dados? 
 
 
3. Considerando a amostra abaixo que representa o saldo de 25 contas de pessoas físicas em uma 
agência em determinado dia, determine a média e a mediana dos funcionários. 
 
Saldos em R$ Número de funcionário 
0 |- 5.000 5 
 5.000 |- 10.000 10 
10.000 |- 15.000 8 
15.000 |- 20.000 2 
TOTAL 25 
 
4. A seguir, apresentamos na tabela a venda diária de uma determinada pizza durante 30 dias. 
Determine a mediana de vendas? 
 
Quantidade Vendida Nº de dias 
15 2 
18 13 
19 10 
23 5 
Total 30 
 
5. O gerente de produção de uma fábrica quer aumentar a produção de peças para 16500 unidades 
por mês. O registro da produção diária em uma semana de 5 dias trabalhados foi: 690, 730, 718, 
677,710. Tomando-se como base a média diária dessa semana, e que o mês tenha 22 dias 
trabalhados, o objetivo será alcançado? 
 
6. A redução do número de filhos por família está obrigando segmentos que atendem à classe 
média, como as escolas particulares, a readaptarem suas atividades para evitar prejuízos. Sendo 
assim, uma escola pesquisou o número de filhos por família, no bairro Vila Junqueira, conforme 
consta na tabela abaixo, numa amostra composta por 280 famílias. Responda: 
Distribuição do número de filhos por família 
Número de filhos por 
família (xi) 
Famílias do bairro de Vila 
Junqueira (fi) 
0 26 
1 85 
2 130 
3 31 
4 8 
Total 
 
18 
 
a) qual o número médio de filhos por família? 
b) qual a moda? 
c) qual a mediana? 
d) qual o percentual de famílias sem filho? 
e) qual o percentual de famílias com mais de 2 filhos? 
f) qual o percentual de famílias com 1 ou 2 filhos? 
 
7. O consumo de energia elétrica verificado em 250 residências de famílias da classe média, com 
dois filhos, revelou a distribuição abaixo. Determine a média e a mediana da distribuição. 
 
Consumo Kwh Número de famílias 
0 |- 50 2 
50 |- 100 15 
100 |- 150 32 
150 |- 200 47 
200 |- 250 50 
250 |- 300 80 
300 |- 350 24 
Total 
 
8. O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumento de 
produtividade de seus vendedores, resolveu, premiar com um aumento de 5% no salário, a metade 
de seus vendedores mais eficientes. Para isso, fez um levantamento de vendas semanais, por 
vendedor, obtendo a tabela: 
 
Vendas Número de vendedores 
 0 |- 10.000 1 
10.000 |- 20.000 12 
20.000 |- 30.000 27 
30.000 |- 40.000 31 
40.000 |- 50.000 10 
Total 
 
A partir de qual volume de vendas o vendedor será premiado? 
 
 
 
5 Gráficos de informações 
 
Os gráficos processam as mesmas informações das tabelas, porém produzem comunicação 
visual mais rápida, permitindo melhor compreensão das principais características dos dados. 
Os gráficos estatísticos fazem correspondência entre elementos de uma série estatística e 
uma figura geométrica, de tal modo que haja proporcionalidade nessa representação. Os principais 
tipos de gráficos são: os diagramas, gráfico polar ou radar, cartogramas e pictogramas. 
 
5.1 Diagramas 
 Os diagramas são gráficos de representação geométrica num universo de duas dimensões. 
Em geral, utiliza-se o sistema cartesiano para a construção gráfica. Os tipos de gráficos em 
diagramas são: linhas (ou curvas), colunas ou barras, colunas (ou barras) múltiplas e setores (ou 
pizza). 
 
19 
 
a) Gráficos em linhas ou em curvas 
 Os gráficos em linha ou em curva são elaborados no espaço cartesiano e utilizam um par 
de eixo ortogonais, que recebem o nome dos eixos coordenados. Sendo que o eixo das abscissas 
(eixo x) corresponde ao eixo coordenado horizontal e o eixo das ordenadas (eixo y) corresponde 
ao eixo coordenado vertical. 
O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado 
ao longo do tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em 
sequência para que o comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado. 
Exemplo 19: 
 
Distribuição residencial da população brasileira em um exemplo de gráfico em linhas 
 
 
b) Gráfico em colunas e gráfico em barras 
 Nos gráficos em colunas ou em barras, são feitas correspondências entre elementos de uma 
série estatística e a figura geométrica de um retângulo, de tal modo que haja proporcionalidade na 
representação. 
Os Gráficos de coluna, juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, 
geralmente, um dado quantitativo sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem 
de proporções. Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas 
apresentam-se na posição horizontal. 
 
Exemplos 20: 
 
 
Gráfico em colunas apontando as maiores populações do mundo por país 
 
20 
 
Os Gráficos em barra, possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com 
os dados na posição horizontal e as informações e divisões na posição vertical. 
 
Exemplo 21: 
 
Gráfico em barras indicando a taxa de mortalidade infantil no Brasil 
 
c) Gráfico em colunas (barras, linhas) múltiplas 
 É a representação simultânea de dois ou mais fenômenos num mesmo gráfico. Essa 
simultaneidade tem por objetivo permitir a comparação entre os fenômenos estudados. 
 
Exemplo 22: 
1. O gráfico abaixo indica o número de roubos e furtos de veículos no Estado de São Paulo. 
 
 
 Fonte: Folha de São Paulo, 27 de Janeiro de 2014. 
 
21 
 
2. O gráfico abaixo mostra que o crescimento anual do consumo de energia do setor comercial á 
maior que a média em 2013, o que vem justificar o pico de energia para o meio da tarde (entre 
14h30min e 15h30min). 
Exemplo 23: 
 
 
 Fonte: Folha de São Paulo, 27 de Janeiro de 2014. 
 
d) Gráfico de setores (ou pizza) 
 
 O gráfico de setores não deve ser aplicado se houver muitos setores. O total é representado 
por um círculo todo, cada subconjunto é representado por um setor, de tal modo que haja 
proporcionalidade nessa representação. A representação da área de cada setor é obtida por uma 
regra de três simples. O círculo corresponde ao ângulo de 360º e é associado ao valor total, um 
ângulo Xº corresponde a um subconjunto do total (um dos dados). 
Os Gráficos em pizza, são também muito utilizados e indicado para expressar uma relação 
de proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da 
realidade. 
 
 
22 
 
 
Exemplo 24: 
 
Gráfico em pizza com a distribuição da água e da água doce no mundo 
 
Semelhantes aos gráficos de pizza, existem os gráficos circulares. A lógica é a mesma, a divisão 
de uma esfera em várias partes para indicar as diferentes partes de um todo em termos 
proporcionais. 
 
e) Gráfico de áreas 
 
É semelhante ao gráfico em linhas, diferenciando-se apenas por evidenciar uma noção de 
proporção sobre o todo. É também usado para apontar a relação dos diferentes dados entre si. 
Exemplo 25: 
 
Gráfico ilustrativo sobre as taxas populacionais em casos de transição demográfica 
 
23 
 
 A Estatística utiliza esse tipo de gráfico para representaros dados diretamente sobre o 
desenho de uma área geográfica. O impacto visual ajuda na compreensão da informação associada 
ao local. 
5.2 Representação gráfica das distribuições de frequências 
 
 Pode ser feita de três formas: 
 
a) Histogramas 
 
 O histograma é um diagrama de colunas em que cada retângulo está relacionado com uma 
classe da distribuição de frequência. A principal diferença do diagrama de colunas é que no 
histograma não há distanciamento entre as colunas. 
 
Exemplo 26: 
 
 
b) Polígono de frequência 
 O polígono de frequência é obtido unindo por linhas retas os pontos médios das bases 
superiores dos retângulos do histograma. 
Exemplo 27: 
 
 
8
16
42
30
21
12
8
3
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
6 |- 8 8 |- 10 10 |-12 12 |- 14 14 |- 16 16 |- 18 18 |- 20 20 |- 22
F
r
e
q
u
ê
n
c
i
a
Intervalos
Histograma
0
8
16
42
30
21
12
8
3
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a
Ponto médio dos intervalos
Polígono de frequência
 
24 
 
c) Polígono de frequência acumulada 
 O polígono de frequência acumulada ou Ogiva de Galton é obtido marcando no eixo das 
abscissas os pontos médios dos intervalos de classe e no eixo das ordenadas a frequência 
acumulada. 
 
Exemplo 28: 
 
 
 
 
Exercício 
 
1. A prefeitura de determinado município realizou uma pesquisa entre as empresas da região para 
verificar o número de operários alocados por empresa. O objetivo é verificar se há equilíbrio entre 
o crescimento do número de empresas e o aumento do número de posto de trabalho. Os dados 
coletados constam na tabela a seguir: 
 Número de empregados por empresa 
Número de empregados Número de empresas (fi) 
20 |- 80 12 
80 |- 140 39 
140 |- 200 47 
200 |- 260 31 
260 |- 320 25 
320 |- 380 17 
380 |- 440 8 
Total 179 
 
a) Construa um histograma e o polígono de frequência. 
b) Construa o polígono da frequência acumulada. 
 
 
 
8
24
66
96
117
129
137 140
0
20
40
60
80
100
120
140
160
7 9 11 13 15 17 19 21
Fr
e
q
u
ê
n
ci
a 
A
cu
m
u
la
d
a
Pontos médios dos intervalos
Ogiva de Galton ou Polígono de 
frequência Acumulada
 
25 
 
6. Medidas de dispersão ou de variabilidade 
 
6.1. Desvio em relação à média (DMA) 
 
O desvio em relação à média é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores 
e a média aritmética. O desvio é denotado por di. 
Em símbolos temos que: 
xxd
ii
 
No exemplo da produção diária de leite pela vaca Mimosa temos que: 
 
 01414
41418 21416
21412 21412
11415 31411
77
6655
4433
2211




xxd
xxdxxd
xxdxxd
xxdxxd
 
 
Note que a soma dos desvios positivos ( 2 + 1 + 4 = 7) é igual a soma dos desvios negativos, 
desprezando o sinal ( - 3 – 2 – 2 = - 7 ). O que faz sentido já que o valor encontrado como média 
( x ) representa o conjunto de dados. 
 
Propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula: 
 
0
1


k
i
id 
 
No exemplo temos que: 0042)2()2(13
7
1

i
i
d 
 
 Logo o desvio médio absoluto ficará: 𝑫𝑴𝑨 =
∑|𝒙𝒊−�̅�|
𝒏
 
 
 
6.2 Variância e desvio padrão 
 
 Observamos no item anterior que a dificuldade em se operar com o DMA (Desvio Médio) 
se deve à presença do módulo, para que as diferenças x x i  possam ser interpretadas como 
distâncias. 
 Outra forma de se conseguir que as diferenças x x i  se tornem sempre positivas ou nulas 
é considerar o quadrado destas diferenças, isto é: 2i )x x(  . 
 Se substituirmos, nas fórmulas do DMA a expressão x x i  por 
2
i )x x(  , obteremos 
nova medida de dispersão chamada variância. 
 Portanto, variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios 
obtidos entre os elementos da série e a sua média. 
 O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
 
 
26 
 
 
NOTAÇÕES E FÓRMULAS 
 
 POPULAÇÃO 
 
VARIÂNCIA 
 
n
xx
x
i 

2
2 )( 
 
DESVIO-PADRÃO 
)x()x( 2 
 
 No caso de repetições de elementos na série, definimos a variância como sendo uma média 
aritmética ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da série para a média da série. 
 
NOTAÇÕES E FÓRMULAS 
 
 POPULAÇÃO 
 
VARIÂNCIA 
 
n
fxx
x
ii 

2
2 )( 
 
DESVIO-PADRÃO 
)x()x( 2 
 
 
A seguir vamos apresentar uma fórmula simplificada, para a determinação do desvio 
padrão para dados não agrupados. 
 
FÓRMULA SIMPLIFICADA DO DESVIO PADRÃO 
 POPULAÇÃO 
 
VARIÂNCIA 
 








 

n
x
x
n
x
i
i
2
22 1)( 
 
 
DESVIO-PADRÃO 
 
 








 

n
x
x
n
x
i
i
2
21)( 
 
A seguir vamos apresentar uma fórmula simplificada, para a determinação do desvio 
padrão para dados agrupados. 
 
FÓRMULA SIMPLIFICADA DO DESVIO PADRÃO 
 POPULAÇÃO 
 
VARIÂNCIA 
 








 

n
fx
fx
n
x
ii
ii
2
22 1)( 
 
 
DESVIO-
PADRÃO 
 
 








 

n
fx
fx
n
x
ii
ii
2
21)(
 
 
 
27 
 
6.3. Coeficiente de Variação 
 
 Dados quantitativos são sintetizados por meio da apresentação de uma medida de posição 
central, a média, e uma medida de dispersão o desvio padrão. 
 As medidas de dispersão relativamente analisam a média e o desvio padrão de uma única 
vez, através do cálculo da razão existente entre ambos. A mais usual medida de dispersão relativa 
é o coeficiente de variação, representado pela razão entre o desvio padrão e a média aritmética. 
Algebricamente, o coeficiente de variação, ou, simplesmente, CV, pode ser apresentado como: 


CV ou 
x
s
CV  
Onde: x ou  = média aritmética 
  ou s = desvio padrão. 
 
Exercícios: 
1. O número de acidentes do trabalho ocorridos mensalmente numa empresa, durante o ano de 
2009, está registrado no gráfico a seguir. Determine: 
a) a média b) a moda c) a mediana d) desvio padrão e) coeficiente de variação. 
 
 
 
2. Um estudo sobre o comportamento da fila de espera numa loja de uma operadora de telefonia 
celular revelou os dados conforme a tabela abaixo: 
Calcule: a) a média b) o desvio – padrão c) coeficiente de variação. 
 
Distribuição do tempo na fila de espera 
Tempo de espera 
(em minutos) 
fi 
5 4 
10 11 
15 19 
20 24 
25 18 
30 13 
TOTAL 
10
19
20
15
9
18
23
17
3
14
8
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
Jan. Fev. Mar. Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
N
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ro
 d
o
s 
ac
id
e
n
te
s 
d
e
 t
ra
b
al
h
o
Acidentes de Trabalho
 
28 
 
3. Um centro de saúde registrou na tabela seguinte as idades dos pacientes atendidos em uma 
semana do mês de outubro do ano passado. Para a tabela apresentada, encontre: 
a) a média; b) o desvio padrão. c) o coeficiente de variação. 
 
Idades de Pacientes atendidos no Centro de Saúde 
Idade fi 
3 |- 7 5 
7 |- 11 8 
11 |- 15 17 
15 |- 19 6 
19 |- 23 4 
TOTAL 40 
 
 
COMENTÁRIOS 
 
1. No cálculo da variância, quando elevamos ao quadrado a diferença )x x( i  , a unidade de 
medida da série fica também elevada ao quadrado. 
 Portanto, a variância é dada sempre no quadrado a unidade de medida da série. 
 Se os dados são expressos em metros, a variância é expressa em metros quadrados. 
 Em algumas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. 
 É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em litros. A variância será expressa em 
litros quadrados. 
 Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou 
seja: variância não tem interpretação. 
 
2. Exatamente parasuprir esta deficiência da variância é que se define o desvio padrão. Como o 
desvio padrão é a raiz quadrada da variância, o desvio padrão terá sempre a mesma unidade de 
medida da série, e, portanto, admite interpretação. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
- BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. Atlas, 2007. 
- CRESPO, A. A. Estatística Fácil. Saraiva, 2009. 
- MARTINS, G. de A.; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. Atlas, 2006. 
- BUSSAB, W. e MORETIN, Pedro. Estatística Básica. Saraiva, 2006. 
- LAPONI, J.C. Estatística usando Excel. São Paulo: Lapponi, 2002. 
- https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/tipos-graficos.htm. 
 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/tipos-graficos.htm