Estatística Aplicada às Ciências Sociais

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PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 1 Cap. 1 –– IntroduçãoIntrodução
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
EstatísticaEstatística
• Problema de estudo
• Coleta dos dados
• Dados
• Análise descritiva dos dados
• Análise exploratória dos dados
• Inferências
• Interpretação dos resultados à luz do problema
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Estatística descritiva e análise exploratória de dadosEstatística descritiva e análise exploratória de dados
• Distribuição de freqüências;
• Tabelas e gráficos
• Medidas-resumo
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DadosDados
• Pesquisa em uma amostra de famílias de um bairro de Florianópolis
núm. local p.a.p instr. tam. renda
1 1 0 3 4 10,3
2 1 0 3 4 15,4
3 1 1 2 4 9,6
4 1 0 2 5 5,5
5 1 1 3 4 9
6 1 1 1 1 2,4
7 1 0 3 2 4,1
8 1 1 3 3 8,4
9 1 1 3 6 10,3
10 1 1 2 4 4,6
11 1 0 2 6 18,6
12 1 1 1 4 7,1
13 1 0 2 4 12,9
14 1 0 2 6 8,4
15 1 0 3 3 19,3
16 1 0 2 5 10,4
17 1 1 3 3 8,9
18 1 0 3 4 12,9
... ... ... ... ... ...
RÓTULOS
local 1=Monte Verde, 
2=Parque da Figueira, 
3= encosta do morro
p.a.p (programa de alimentação popular)
0=não usa
1=usa
instr. (grau de instrução do chefe da casa)
1=nenhum
2=fundamental
3=médio
tam. número de moradores
renda renda familiar em salários mínimos
Que informações têm nos dados ?
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Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências
• A distribuição de freqüências compreende a 
organização dos dados de acordo com as ocorrências dos 
diferentes resultados observados.
• Exemplos: 
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Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências
Nível de instrução do chefe da casa 
32%
32%
36%
nenhum
fundamental
médio
Figura 1.1 Distribuição de freqüências do nível de instrução do chefe
da casa. Amostra de 120 famílias do bairro Saco Grande II, 
Florianópolis-SC, 1988. 
Que informações você extrai do gráfico?
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Distribuição de freqüênciasDistribuição de freqüências
Distribuição da renda familiar. Amostra de 120 famílias do bairro
Saco Grande II, Florianópolis-SC, 1988. 
Renda (em sal. mín.)
Fr
eq
üê
nc
ia
Que informações você extrai do gráfico? 
E se você quisesse informações por localidade?
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MedidasMedidas--resumoresumo
• Exemplo:
Local Num. Média Mediana Desvio padrão
Monte Verde 40 8,09 7,7 4,28
Pq. da Figueira 42 5,83 5,5 2,57
Morro 37 5,02 3,9 4,52
Medidas descritivas da renda familiar (em sal. mín.),
por localidade
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ConceitosConceitos
• População é o conjunto de elementos para os quais 
desejamos que as nossas conclusões sejam válidas – o 
universo de nosso estudo. Uma parte desses elementos é 
dita uma amostra. 
• Um parâmetro é uma medida que descreve certa 
característica dos elementos da população. 
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Inferência: EstimaçãoInferência: Estimação
• Conhecer aproximadamente (estimar) uma característica 
da população (parâmetro) através dos resultados de uma 
amostra.
• Exemplos: pesquisas de mercado, pesquisas eleitorais, 
pesquisas do IBGE.
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AMOSTRAPOPULAÇÃO
π = ?
π = p ± erro amostral
Exemplo: Pesquisa eleitoralExemplo: Pesquisa eleitoral
X1 X2 X3 ...Voto do eleitor: p
Parâmetro
Estatística
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Inferência: Testes de HipótesesInferência: Testes de Hipóteses
• Analisar a admissibilidade de uma certa hipótese sobre 
alguma característica populacional, usando como base de 
decisão os dados amostrais.
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Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
• Exemplo: Qual sistema computacional é melhor para a 
Empresa? 
– Sistema 1 ou Sistema 2 ?
• Hipótese: Um dos sistemas, em média, funciona melhor.
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Pesquisa experimental para comparação de dois Pesquisa experimental para comparação de dois 
sistemas computacionaissistemas computacionais
sistema 1 sistema 2
Cargas de trabalho
(1) (2) ... (n)
x11 x12 x1n... x21 x22 x2n...
Cargas de trabalho
(1) (2) ... (n)
Observação do
desempenho
(dados):
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Inferência estatística:Inferência estatística:
Estimação e Testes de HipótesesEstimação e Testes de Hipóteses
universo do estudo (população)
dados observados
O raciocínio indutivo da estimação e dos testes estatísticos
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ProbabilidadeProbabilidade
• Mensuração da chance de ocorrência de fenômenos 
aleatórios, mostrando como poderão ocorrer os fatos.
• Base teórica para a inferência estatística (Estimação de 
parâmetros ou Teste de hipóteses).
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ProbabilidadeProbabilidade
Universo do estudo (população)
Hipóteses, conjeturas, ...
Resultados ou 
dados observados
O raciocínio dedutivo da probabilidade
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O processo iterativo da evolução do O processo iterativo da evolução do 
conhecimento. conhecimento. 
dados informações novos conhecimentos, 
novas hipóteses.
pesquisa
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• Como planejar adequadamente a coleta dos dados
• Como alguns conceitos básicos da Estatística podem 
auxiliar no planejamento da pesquisa
• Capítulos 2 e 3
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 2 Cap. 2 –– Pesquisas e DadosPesquisas e Dados
Este capítulo teve a participação da Profa
SÍLVIA MODESTO NASSAR (INE – CTC – UFSC)
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Pesquisa, dados e estatísticaPesquisa, dados e estatística
Metolo-
-logia
estatís-
tica
Tema, definição do problema, objetivos, ...
Planejamento da pesquisa
Dados
Análise dos dados
Resultados
Conclusões
Execução da pesquisaExecução da pesquisa
Metodo-
-logia da
área em
estudo
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Tipos de Pesquisa quantitativaTipos de Pesquisa quantitativa
• DE LEVANTAMENTO
Características de interesse de uma 
população são levantadas (observadas
ou medidas), mas sem manipulação.
• EXPERIMENTAL
Grupos de indivíduos (ou animais,
ou objetos) são manipulados para se 
avaliar o efeito de diferentes tratamentos.
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Pesquisa de levantamento ou Pesquisa de levantamento ou observacionalobservacional
POPULAÇÃO: todos os 
funcionários da empresa
AMOSTRA: parte dos 
funcionáriosda empresa
Plano de amostragem
Aplicação de um 
questionário
Conjunto de dados observados
• Exemplo 2.1:
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Pesquisa experimentalPesquisa experimental
• Exemplo 2.2:
Grupo 1 de funcionários
Grupo 2 de funcionários
Amostra 1 de valores 
de produtividade
Amostra 2 de valores 
de produtividade
Método padrão
Método novo
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PesquisaPesquisa
• Quem?
– os elementos a serem pesquisados POPULAÇÃO
• O quê?
– características a serem observadas VARIÁVEIS
• Como?
– o instrumento de coleta de dados QUESTIONÁRIO / 
ENTREVISTA ESTRUTURADA
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POPULAÇÃOPOPULAÇÃO (Quem?)(Quem?)
• População é o conjunto de elementos (p. ex., 
indivíduos) que queremos abranger em nosso estudo e 
que são passíveis de serem observados, com respeito às 
características (variáveis) que pretendemos levantar.
– Muitas vezes vamos chamar de população a todo o conjunto de 
observações da variável de interesse. 
Abrangência
da pesquisa
Toda a população Censo
Parte da população Amostragem
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VARIÁVEISVARIÁVEIS (O quê?)(O quê?)
• Variáveis são as características que podem ser 
observadas (ou medidas) em cada elemento da 
população, sob as mesmas condições.
– A variável deve estar definida de tal forma que cada elemento 
observado tenha um – e apenas um – resultado (valor ou 
atributo) associado a essa variável.
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Dados e variáveisDados e variáveis
• Ex: Alunos da turma
Variáveis
Dados
............
8,000masc.10
5,406masc.9
7,304fem.8
7,002fem.7
4,909fem.6
6,300fem.5
10,000masc.4
8,505fem.3
9,001masc.2
9,202masc.1
NotaFaltasSexoAluno
Casos
(elementos
observados da
população)
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Dados e variáveisDados e variáveis
Variável
qualitativa 
ou categórica
quantitativa
dados qualitativos 
ou categorizados
dados quantitativos
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Instrumentos de coleta de dadosInstrumentos de coleta de dados (Como?)(Como?)
• Questionários
• Entrevistas
• Instrumentos da Web
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Exemplo de questionárioExemplo de questionário
1) Qual é o curso que você está realizando na UFSC? _____________.
2) Qual é a fase predominante em que você se encontra? __________.
3) Dê uma nota de 1 (um) a 5 (cinco), sendo 1 o nível mínimo e 5 o nível máximo, para 
as seguintes características relacionadas com você e seu curso.
a) Didática dos professores de seu curso ( 1 2 3 4 5 )
b) Nível de conhecimento dos professores ( 1 2 3 4 5 )
c) Bibliografia disponível ( 1 2 3 4 5 )
d) Laboratórios e outros recursos materiais ( 1 2 3 4 5 )
e) Conteúdo dos programas das disciplinas oferecidas( 1 2 3 4 5 )
f) Encadeamento das disciplinas ( 1 2 3 4 5 )
g) Satisfação com o curso, num sentido geral ( 1 2 3 4 5 )
4) Apresente o principal ponto positivo e negativo de seu curso.
POSITIVO:________________________________________________.
NEGATIVO:_______________________________________________.
5) Anote o seu Índice de Aproveitamento Acumulado _____________ (ver tabela com o 
aplicador). 
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Dados da pesquisaDados da pesquisa
no do 3(a) 3(b) 3(c) 3(d) 3(e) 3(f) 3(g) 4(a) 4(b) 5
quest. didat. conhec. bibl. labor. disc. curric. satisf. posit. negat. desemp.
1 2 4 2 1 2 2 2 1 2 1,95
2 2 3 2 1 2 3 3 9 1 1,72
3 3 2 1 1 3 2 3 3 3 2,39
4 2 2 3 1 4 4 3 3 5 2,57
5 3 3 4 3 3 4 2 3 1 2,51
... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Item do questionário
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 3 Cap. 3 –– Técnicas de Técnicas de 
amostragemamostragem
Este capítulo teve a participação da Profa
SÍLVIA MODESTO NASSAR (INE – CTC – UFSC)
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POPULAÇÃO
X1 X2 X3 ...Característica X observável:
População e a variável a ser observadaPopulação e a variável a ser observada
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AMOSTRA:
uma parte dos 
eleitores
X1 X2 X3Voto do eleitor:
POPULAÇÃO:
eleitores brasileiros
Pesquisa eleitoral: um exemplo dePesquisa eleitoral: um exemplo de
levantamento por amostragemlevantamento por amostragem
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Amostragem e Inferência estatísticaAmostragem e Inferência estatística
Universo do estudo (população)
Dados observados
(amostra)
Amostrageminferência
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PopulaçãoPopulação
• População: é o conjunto de elementos para os quais 
desejamos que as conclusões da pesquisa sejam válidas, 
com a restrição de que esses elementos possam ser 
observados ou mensurados sob as mesmas condições. 
– Muitas vezes vamos chamar de população a todo o conjunto de 
observações da variável de interesse.
– Parâmetro é uma medida que descreve certa característica dos 
elementos da população (uma média, uma proporção,... da 
variável de interesse).
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Amostra e amostragemAmostra e amostragem
• Amostra: parte dos elementos de uma população.
– Muitas vezes vamos se referir à amostra como uma parte das 
possíveis observações de uma variável de interesse.
• Amostragem: o processo de seleção da amostra.
– Estimativa: valor calculado com base na amostra, e usado com 
a finalidade de avaliar aproximadamente um parâmetro. 
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AMOSTRAPOPULAÇÃO
π = ?
π = p ± erro amostral
Exemplo: Pesquisa eleitoralExemplo: Pesquisa eleitoral
X1 X2 X3 ...Voto do eleitor: p
Parâmetro
Estatística
Amostragem
Resultado estatístico:
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• Censo: Estudo através da observação de todos 
os elementos da população.
• Amostragem: Estudo por meio da observação 
de uma amostra.
Censo x AmostragemCenso x Amostragem
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Por que fazer amostragem?Por que fazer amostragem?
• Economia
• Menor tempo
• Maior qualidade nos dados levantados
• População infinita
• Mais fácil, com resultados satisfatórios.
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Quando fazer censo?Quando fazer censo?
• População pequena (tamanho da amostra 
grande em relação ao da população).
• Quando se exige o resultado exato.
• Quando já se dispõe dos dados da população.
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N
n
Amostra representativa:
10% da população
Tamanho da amostra Tamanho da amostra (n)(n) ee
tamanho da população tamanho da população (N)(N)
100 1.000
10
100
A relação não é linear
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N
n
IMPORTANTE: forma de seleção da amostra
Tamanho da amostra (n)Tamanho da amostra (n) ee
tamanho da população (N)tamanho da população (N)
10
10
10.000
Bem menos que 10.000PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Amostragem Amostragem 
• O processo de seleção da amostra
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Técnicas de Amostragem Técnicas de Amostragem 
• Amostragem probabilística (aleatória) - a probabilidade 
de um elemento da população ser escolhido é conhecida.
– Usa alguma forma de sorteio - aleatoriedade
• Amostragem não-probabilística (não-aleatória) - Não se 
conhece, a priori, a probabilidade de um elemento da 
população vir a pertencer à amostra.
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Amostragem ProbabilísticaAmostragem Probabilística
• Amostragem aleatória simples
• Amostragem sistemática
• Amostragem estratificada
• Amostragem por conglomerados
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Amostragem Aleatória Amostragem Aleatória 
Simples (Simples (AASAAS))
• Faz-se uma lista da população e sorteiam-se os 
elementos que farão parte da amostra. 
• Pode-se utilizar uma tabela de números aleatórios. 
• Propriedade básica: cada subconjunto da população com 
o mesmo nº de elementos tem a mesma chance de ser 
incluído na amostra. Em particular, cada elemento da 
população tem probabilidade p = n/N de pertencer à 
amostra.
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ExemploExemplo
05. Bernardino
10. Hercílio
15. Fabrício
20. João da Silva
25. José de Souza
30. Mauro
04. Bartolomeu
09. Ermílio
14. Felício
19. Hiraldo
24. José da Silva
29. Ma Cristina
03. Arnaldo
08. Cláudio
13. Francisco
18. Getúlio
23. Joaquina
28. Maria José
02. Anastácia
07. Carlito
12. Endevaldo
17. Gabriel
22. Joaquim
27. Josefina
32. Paulo César
01. Aristóteles
06. Cardoso
11. Ernestino
16. Geraldo
21. Joana
26. Josefa
31. Paula
População:
Selecionar uma amostra de n = 5 elementos.
Números aleatórios:
59 58 48 36 47 92 85 05 38 65 47 49 10 41 05 10 75 59 75 99 17 28 97 99 75
53 26 21 50 21 37 93 85 52 86 86 22 75 34 37 69 85 25 03 78 50 26 18 25 10
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59 58 48 36 47 92 85 05 08 65 47 49 10 41 05 10 75 59 75 99 17 28 97 99 75
53 26 21 50 21 37 93 85 52 86 86 22 75 34 37 69 85 25 03 78 50 26 18 25 10
ExemploExemplo
05. Bernardino
10. Hercílio
15. Fabrício
20. João da Silva
25. José de Souza
30. Mauro
04. Bartolomeu
09. Ermílio
14. Felício
19. Hiraldo
24. José da Silva
29. Ma Cristina
03. Arnaldo
08. Cláudio
13. Francisco
18. Getúlio
23. Joaquina
28. Maria José
02. Anastácia
07. Carlito
12. Endevaldo
17. Gabriel
22. Joaquim
27. Josefina
32. Paulo César
01. Aristóteles
06. Cardoso
11. Ernestino
16. Geraldo
21. Joana
26. Josefa
31. Paula
População e amostra:
Números aleatórios:
Obs. Há um erro no livro (6 ed.): foi pulado o número 08, associado ao Cláudio.
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Amostragem SistemáticaAmostragem Sistemática
• Os elementos da população apresentam-se 
ordenados e são retirados periodicamente (de 
cada k elementos, um é escolhido)
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Amostragem EstratificadaAmostragem Estratificada
• Usada quando a população pode ser dividida em 
subgrupos (estratos) relativamente homogêneos.
• A seleção em cada estrato deve ser aleatória
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POPULAÇÃO: 
comunidade da escola
20%
60%
20%
professor
servidor
aluno
AMOSTRA: parte da
comunidade da escola
20%
20%
60%
Ilustração de uma amostragem estratificada 
proporcional
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Amostragem Estratificada. Amostragem Estratificada. ExemplosExemplos
• Pesquisas de mercado:
– homens e mulheres;
– faixas etárias.
• Pesquisas eleitorais:
– região demográfica; 
– cidades pequenas médias e grandes;
– área urbana e rural.
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Amostragem por ConglomeradosAmostragem por Conglomerados
• Usada quando a população pode ser naturalmente dividida em 
vários subgrupos (conglomerados).
– Ao contrário dos estratos, espera-se que os conglomerados sejam quase 
tão heterogêneos quanto à população toda.
• Num primeiro estágio, a amostragem é feita sobre os conglomerados, 
e não mais sobre os indivíduos da população.
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☺☺☺
2° ESTÁGIO:
seleção aleatória de 
elementos
☺
☺
☺
☺☺☺☺☺
☺☺☺
☺☺☺
☺☺
1° ESTÁGIO: seleção 
aleatória de conglomerados
Amostragem por ConglomeradosAmostragem por Conglomerados
Amostra:
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Tamanho da amostraTamanho da amostra
• Supondo amostragem aleatória simples.
• Supondo que o objetivo é estimar determinadas 
proporções. 
• Quantos elementos da população devemos pesquisar?
– Digamos que não queremos errar em mais que E0, com alto 
nível de confiança (digamos 95%). Ou seja, a proporção a ser 
calculada na amostra não deve diferir da verdadeira proporção 
(na população) em mais que E0 unidades, com 95% de 
probabilidade.
– E0 = limite superior provável para o erro amostral.
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Tamanho da amostraTamanho da amostra
• Uma expressão genérica (mais detalhes 
no Cap. 9 ) : E
1 = n
0
20
0n =n se N é muito grande ou desconhecido
n+ N
n.N =n 
0
0 se N não for muito grande e for 
conhecido
n = n0 de elementos da amostra
N = n0 de elementos da população
Exemplos 3.8 e 3.9: ler e discutir.
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N
n
Tamanho da amostra (n)Tamanho da amostra (n) ee
tamanho da população (N)tamanho da população (N)
10
10
10.000
Bem menos que 10.000
Considerando a relação acima, pense como ficam as inferências
sobre subgrupos de uma população.
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Fazer Exercício 8Fazer Exercício 8
Numeração dos domicílios:
Número de cômodos (variável X de estudo) :
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
40 50 60 70 80 90 100
Taxa de alfabetização
0
2
4
6
8
10
12
Fr
eq
ü
ên
ci
a 
de
 m
u
n
ic
íp
io
s
Avaliação
Bom
45%
Regular
35%
Ruim
20% Informação
Dados
Pesquisa
Conhecimento
Novas hipóteses
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
• Como extrair informações dos dados.
• Como construir, apresentar e interpretar tabelas, gráficos 
e medidas descritivas.
• Capítulos 4, 5 e 6
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 4 Cap. 4 –– Dados categorizadosDados categorizados
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Dados (ver Anexo do Cap. 4)Dados (ver Anexo do Cap. 4)
..................
7,14nenhumusaMonte Verde12
18,66fundamentalnão usaMonte Verde11
4,64fundamentalusaMonte Verde10
10,36médiousaMonte Verde9
8,43médiousaMonte Verde8
4,12médionão usaMonte Verde7
2,41nenhumusaMonte Verde6
94médiousaMonte Verde5
5,55fundamentalnão usaMonte Verde4
9,64fundamentalusaMonte Verde3
15,44médionão usaMonte Verde2
10,34médionão usaMonte Verde1
RendaTam.InstruçãoP.A.P.Local Família
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Classificação simplesClassificação simples• Distribuição de Freqüências: organização dos 
dados de acordo com as ocorrências dos 
diferentes resultados observados.
Pode ser apresentada:
em tabela ou em gráfico;
com freqüências absolutas ou relativas.
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Variável:Variável:
Nível de instruçãoNível de instrução
Nível de instrução do chefe da casa, numa amostra de 40 
famílias do Conj. Resid. Monte Verde, Florianópolis, SC, 
1988. 
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Distribuição de FreqüênciasDistribuição de Freqüências
• Formas gráficas.
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0 4 8 12 16 20 24
Gráfico de BarrasGráfico de Barras
nenhum
nível fundam.
nível médio
Número de famílias
Nível de Instrução do Chefe da Casa
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Cuidados na Construção de GráficosCuidados na Construção de Gráficos
• O gráfico deve ser ressaltado. Linhas auxiliares e eixos 
devem ser “discretos”.
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Gráfico de BarrasGráfico de Barras
0 4 8 12 16 20 24
nenhum
nível fundam.
nível médio
número de famílias
Nível de Instrução do Chefe da Casa
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• A escala das freqüências deve iniciar no zero.
Cuidados na Construção de GráficosCuidados na Construção de Gráficos
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4 8 12 16 20 24
Gráfico de BarrasGráfico de Barras
nenhum
nível fundam.
nível médio
número de famílias
Nível de Instrução do Chefe da Casa
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Gráfico em colunasGráfico em colunas
Nível de instrução do chefe da casa
0
5
10
15
20
25
nenhum fundam. médio
nú
m
er
o 
de
 fa
m
ília
s
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Gráfico de SetoresGráfico de Setores
Nível de Instrução do Chefe da Casa
nenhum (15,0 %)
nível fundam.
(27,5 %)
nível médio 
(57,5 %)
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GráficosGráficos
• Que tipo de gráfico usar?
– Ver comentários no livro (final da seção 4.2) 
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Distribuição de FreqüênciasDistribuição de Freqüências
MúltiplaMúltipla
LocalidadeNível de
Instr ução
nenhum
médio
fundam.
Total
Pq. da
Figue ira
14 (32,6)
14 (32,6)
15 (34,8)
43 (100,0)
Encosta
do Mo rro
18 (48,7)
13 (35,1)
6 (16,2)
37 (100,0)
Monte
Verde
6 (15,0)
11 (27,5)
23 (57,5)
40 (100,0)
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Distribuição de Freqüências MúltiplaDistribuição de Freqüências Múltipla
Nível de Instrução do Chefe da Casa
0 10 20 30 40 50 60 70
Morro
Pq. da Figueira
Monte Verde
Porcentagem de famílias
nenhum
fundamental
médio
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Dupla classificaçãoDupla classificação
• Permite verificar se os dados de duas variáveis indicam 
alguma associação.
• A associação entre duas ou mais variáveis implica que o 
conhecimento de uma altera a probabilidade de algum 
resultado da outra. 
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Dupla classificaçãoDupla classificação
1 3 0
Dados
família
Nível de
instrução
uso de
programas
2 3 0
3 2 1 / /
4 2 0
5 3 1 / /
. . . . . . . . .
construção da tabela
uso de Nível de instrução
programas 1 2 3
1
0 /
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Distribuição ConjuntaDistribuição Conjunta
Uso de Nível de Instrução do Chefe da Casa
programas nenhum fundam. médio Total
sim 31 22 25 78
não 7 16 19 42
Total 38 38 44 120
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Uso de Nível de Instrução do Chefe da Casa
programas nenhum fundam. médio Total
sim 31 (81,6) 22 (57,9) 25 (56,8) 78 (65,0)
não 7 (18,4) 16 (42,1) 19 (43,2) 42 (35,0)
Total 38 (100,0) 38 (100,0) 44 (100,0) 120 (100,0)
Perfil ColunaPerfil Coluna
Interpretar
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Uso de Nível de Instrução do Chefe da Casa
programas nenhum fundam. médio Total
sim 31 (39,7) 22 (28,2) 25 (32,1) 78 (100,0)
não 7 (16,7) 16 (38,1) 19 (45,2) 42 (100,0)
Total 38 (31,7) 38 (31,7) 44 (36,7) 120 (100,0)
Perfil LinhaPerfil Linha
Interpretar
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 5 Cap. 5 –– Dados quantitativosDados quantitativos
Análise descritiva e exploratória de variáveis 
quantitativas
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Variáveis quantitativasVariáveis quantitativas
• O resultado é um número numa escala determinada
• Ex.
– número de filhos,
– renda,
– tempo de resposta de um sistema.
Discreta
Contínua
Variável 
quantitativa
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Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
discretasdiscretas
• Exemplo (Tabela de freqüências): Distribuição de freqüências do número de 
pessoas residentes no domicílio, numa amostra de quarenta residências do 
Conjunto Residencial Monte Verde, Florianópolis – SC, 1988. 
Freqüência Porcentagem
de residências de residências
1 1 2,5
2 3 7,5
3 6 15
4 13 32,5
5 11 27,5
6 4 10
7 0 0
8 2 5
Número de 
pessoas
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
discretasdiscretas
• Exemplo (Gráfico de freqüências): Distribuição de freqüências do número de 
pessoas residentes no domicílio, numa amostra de quarenta residências do 
Conjunto Residencial Monte Verde, Florianópolis – SC, 1988. 
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8
Número de pessoas residentes
Fr
eq
ü
ên
ci
a 
de
 r
es
id
ên
ci
as
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
discretasdiscretas
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8
Número de pessoas residentes
Fr
eq
ü
ên
ci
a 
 d
e 
re
si
dê
n
ci
as
 
• Exemplo (Gráfico de freqüências): Distribuição de freqüências do número 
de pessoas residentes no domicílio, numa amostra de quarenta residências do 
Conjunto Residencial Monte Verde, Florianópolis – SC, 1988. 
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
contínuascontínuas
• Diagrama de pontos: quando se tem poucas observações 
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Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
contínuascontínuas
• Exemplo (Diagrama de pontos): Índice de Desenvolvimento 
Humano (IDH) de duas amostras aleatórias de quatorze 
municípios: uma da Região Sul e outra da Região Norte. 
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Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
contínuascontínuas• Exemplo: Valores da taxa de alfabetização, relativos a uma amostra 
aleatória de municípios brasileiros, ano 2000. 
57,25 76,85 92,90 89,07 75,49 84,33 65,28 94,59 71,20 82,30 
72,81 66,01 90,52 87,94 58,88 86,34 45,37 81,15 94,83 81,42 
54,70 67,95 69,91 95,02 77,62 57,14 91,22 64,65 85,70 81,34 
59,07 68,04 73,22 95,34 88,40 83,52 64,19 64,17 95,34 84,66 
 
classes contagem freqüência
40 |— 50 | 1
50 |— 60 ||||| 5
60 |— 70 ||||| ||| 8
70 |— 80 ||||| | 6
80 |— 90 ||||| ||||| || 12
90 |— 100 ||||| ||| 8
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Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
contínuascontínuas
• Exemplo (Tabela de freqüências):
Freqüência Porcentagem
de de
municípios municípios
40 |— 50 45 1 2,5
50 |— 60 55 5 12,5
60 |— 70 65 8 20
70 |— 80 75 6 15
80 |— 90 85 12 30
 90 |— 100 95 8 20
Classes da 
taxa de 
alfabetização
Ponto 
médio
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Distribuição de freqüências para variáveis Distribuição de freqüências para variáveis 
contínuascontínuas
• Exemplo (Histograma de freqüências):
40 50 60 70 80 90 100
Taxa de alfabetização
0
2
4
6
8
10
12
Fr
eq
ü
ên
ci
a 
de
 m
u
n
ic
íp
io
s
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
5,2 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9,1
5,5 6,2 4,9 5,7 6,3 5,1 8,4 6,2
8,9 7,3 5,4 4,8 5,6 6,8 5,0 6,7
8,2 7,1 4,9 5,0 8,2 9,9 5,4 5,6
5,7 6,2 4,9 5,1 6,0 4,7 18,1 5,3
4,9 5,0 5,7 6,3 6,0 6,8 7,3 6,9
6,5 5,9
Salários (em quantidade de salários mínimos) dos Salários (em quantidade de salários mínimos) dos 
50 funcionários da Empresa AAA:50 funcionários da Empresa AAA:
ExemploExemplo
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
DADOS:
4,7 18,1
4 195 6 7 ...
5,2 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9,1
5,5 6,2 4,9 5,7 6,3 5,1 8,4 6,2
8,9 7,3 5,4 4,8 5,6 6,8 5,0 6,7
8,2 7,1 4,9 5,0 8,2 9,9 5,4 5,6
5,7 6,2 4,9 5,1 6,0 4,7 18,1 5,3
4,9 5,0 5,7 6,3 6,0 6,8 7,3 6,9
6,5 5,9
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
5,2 6,4 5,7 8,3 7,0 5,4 4,8 9,1
5,5 6,2 4,9 5,7 6,3 5,1 8,4 6,2
8,9 7,3 5,4 4,8 5,6 6,8 5,0 6,7
8,2 7,1 4,9 5,0 8,2 9,9 5,4 5,6
5,7 6,2 4,9 5,1 6,0 4,7 18,1 5,3
4,9 5,0 5,7 6,3 6,0 6,8 7,3 6,9
6,5 5,9
DADOS:
4 195 6 7 ...8 9
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
salário
nú
m
er
o 
de
 fu
nc
io
ná
rio
s
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4 6 8 10 12 14 16 18
HistogramaHistograma dos salários dos funcionários da dos salários dos funcionários da 
Empresa AAA:Empresa AAA:
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
salário
nú
m
er
o 
de
 fu
nc
io
ná
rio
s
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
4 6 8 10 12 14 16 18
Polígono de freqüênciasPolígono de freqüências dos salários dos dos salários dos 
funcionários da Empresa AAA:funcionários da Empresa AAA:
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Polígonos de freqüências: Polígonos de freqüências: distribuição de renda distribuição de renda 
em duas localidadesem duas localidades
0
8
16
24
32
40
48
0 5 10 15 20 25 30
Renda familiar (em salários mínimos)
P
or
ce
nt
ag
em
 d
e 
fa
m
íli
as
 
Monte Verde
Encosta do Morro
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Formas de uma distribuição de freqüênciasFormas de uma distribuição de freqüências
(b) Distribuições diferentes 
quanto à dispersão
(a) Distribuições diferentes 
em termos da posição 
central
(c) Distribuição simétrica (d) Distribuição assimétrica
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
RamoRamo--ee--folhasfolhas
57 76 92 89 75 84 65 94 71 82
72 66 90 87 58 86 45 81 94 81
54 67 69 95 77 57 91 64 85 81
59 68 73 95 88 83 64 64 95 84
4 5
5 78479
6 56794844
7 651273
8 942761151834
9 24045155
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
RamoRamo--ee--folhasfolhas
57 76 92 89 75 84 65 94 71 82
72 66 90 87 58 86 45 81 94 81
54 67 69 95 77 57 91 64 85 81
59 68 73 95 88 83 64 64 95 84
4 5
5 78479
6 56794844
7 651273
8 942761151834
9 24045155
4 5
5 47789
6 44456789
7 123567
8 111234456789
9 1244555
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 6 Cap. 6 –– Medidas descritivasMedidas descritivas
Análise descritiva e exploratória de variáveis 
quantitativas
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Medidas DescritivasMedidas Descritivas
• Descrevem características importantes de distribuições de valores
• Exemplo:
Famílias Renda média
Local observadas (sal. mín.)
Monte Verde 40 8,1
Pq. Da Figueira 42 5,8
Encosta do Morro 37 5,0
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ExemploExemplo
• Notas finais dos alunos de três turmas
Turma Notas dos alunos
A 4 5 5 6 6 7 7 8
B 1 2 4 6 6 9 10 10
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5
• Qual turma teve melhor desempenho?
– Vamos calcular as médias
n
X
X ∑=
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ExemploExemplo
• Notas finais dos alunos de três turmas
• A média é uma medida-resumo (não fornece todas as 
informações dos dados)
n
X
X ∑=
Turma Notas dos alunos Média da 
turma
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6,00
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6,00
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5 6,00
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Diagrama de PontosDiagrama de Pontos
A: 4 5 5 6 6 7 7 8
4
Média
5 6 7 8
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Diagrama de pontos das três turmas e Diagrama de pontos das três turmas e 
indicação das respectivas médiasindicação das respectivas médias
0 2 4 6 8 10 12
notas
Turma A
Turma B
Turma C
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Como medira dispersão?Como medira dispersão?
Exemplo: Turma A (4 5 5 6 6 7 7 8)
4 5 6 7 8
Distância (desvio) de um valor em relação à média
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Desvios quadráticos e a variânciaDesvios quadráticos e a variância
Descrição Notação Resultados numéricos Soma
Valores (notas dos alunos) X 4 5 5 6 6 7 7 8 48
Média 6
Desvios -2 -1 -1 0 0 1 1 2 0
Desvios quadráticos 4 1 1 0 0 1 1 4 12
X
XX −
( )2XX −
( )
1
2
2
−
−
= ∑
n
XX
S
S2 = (4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4) / 7 = 12 / 7 = 1,71
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Desvio Padrão: SDesvio Padrão: S
• O desvio padrão (S) é a raiz quadrada da variância. 
• Ex:
31,171,1 ==S
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Comparação das três turmas pela média e Comparação das três turmas pela média e 
desvio padrãodesvio padrão
turma notas X S
A 4 5 5 6 6 7 7 8 6 1,31
B 1 2 4 6 6 9 10 10 6 3,51
C 0 6 7 7 7 7,5 7,5 6 2,69
Interpretar
PEDROA. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Cálculo de Cálculo de SS
X: 4 5 5 6 6 7 7 8
X2: 16 25 25 36 36 49 49 64
6=X
∑ =3002X
1
22
−
−∑
=
n
XnXS
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Cálculo de Cálculo de SS
6=X ∑ =3002X
1,31 = 
7
12 = 
7
288 300 = 
7
)8.(6 300 = S
2 −−
1
22
−
−∑
=
n
XnXS
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TABELA Medidas descritivas das notas 
finais dos alunos de três turmas
Turma Número de
alunos
Média Desvio
padrão
A
B
C
20
40
30
6,0
8,0
9,0
3,3
1,5
2,6
Outro exemploOutro exemplo
Interpretar
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25%
25%
25%
25%
Medidas baseadas na 
ordenação dos dados
QI
Quartil
inferior
Md
mediana
QS
Quartil
superior
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0 10 20 30 40 50 60 70
Md = 22,5 X = 24,7
50% dos valores 50% dos valores
Média e mediana
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50%50%
média = mediana
(a) Distribuição
simétrica
50%
50%
mediana média
(b) Distribuição
assimétrica
Média e mediana
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Cálculo da mediana
• Conjunto de notas da Turma C: {0; 6; 7; 7; 7; 7,5 7,5}
• Posição da mediana com os dados ordenados: (n+1)/2
posição: (7+1)/2 = 4 Md = 7. 
• E se n for par, fazendo com que (n+1)/2 seja fracionário?
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Dados:
{2, 0, 5, 7, 9, 1, 3, 4, 6, 8}
Md = (4+5)/2 = 4,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Cálculo da mediana
n = 10
“Posição da mediana” : (n + 1) / 2 = 5,5
Ordenando os dados:
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Qi = 2 Qs = 7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Md = 4,5
Cálculo dos quartis
Ei = 0 Es = 9
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Qi = 2,5 Qs = 7,5
Exercício:
Cálculo dos quartis
Ei = 0 Md = 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
Es = 100
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Diagrama em caixasDiagrama em caixas
25%
25%
25%
25%
25% 25%
25%
25%
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Diagrama em caixasDiagrama em caixas
QS + 1,5(QS – QI)
QI
Md
QS
ES
EI
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Diagrama em caixasDiagrama em caixas
3
8
13
18
23
28
Monte
Verde
Encosta
do Morro
Renda
familiar
(sal. mín.)
Interpretar
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Análise exploratória de dadosAnálise exploratória de dados
Análise 
univariada
Variável 
qualitativa
Variável 
quantitativa
Distribuição de 
freqüências
Percentagens
Tabela
Gráfico de 
barras, 
colunas ou 
setores
Distribuição de 
freqüências
Medidas descritivas (média, 
desvio padrão, mediana etc.)
Histograma
Ramo-e-folhas
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Análise exploratória de dadosAnálise exploratória de dados
Análise 
biivariada
Uma variável quantitativa e 
outra qualitativa
Duas variáveis qualitativas
Duas variáveis quantitativas
Medidas descritivas da variável 
quantitativa em cada categoria da 
qualitativa
Diagrama em caixas múltiplo
Tabela de contingência
Diagrama de dispersão
Coeficiente de correlação
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• Como usar modelos de probabilidade para entender 
melhor os fenômenos aleatórios
• Capítulos 7 e 8. 
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 7 Cap. 7 –– Modelos de Modelos de 
probabilidadeprobabilidade
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
ProbabilidadeProbabilidade
Universo do estudo (população)
Hipóteses, conjeturas, ...
Resultados ou 
dados observados
O raciocínio dedutivo da probabilidade
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Modelos de probabilidadeModelos de probabilidade
• Os modelos probabilísticos são construídos a 
partir de certas hipóteses ou conjeturas sobre o 
problema em questão e constituem-se de duas 
partes: 
1) dos possíveis resultados – o espaço amostral e 
2) de uma certa lei que nos diz quão provável é cada 
resultado (ou grupos de resultados) – as 
probabilidades. 
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Exemplo de um Exemplo de um 
experimento aleatórioexperimento aleatório
• Selecionar uma pessoa ao acaso e observar 
se é homem ou mulher.
• Resultados possíveis: homem, mulher
• Espaço amostral = {homem, mulher}
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Probabilidade de um resultadoProbabilidade de um resultado
• Qual a probabilidade de homem 
e de mulher?
• P(homem) = 0,5
• P(mulher) = 0,5
• A probabilidade é um número 
entre 0 e 1, sendo que a soma 
das probabilidades de todos os 
resultados possíveis deve ser 1.
50% homens
50% mulheres
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Modelo de probabilidadesModelo de probabilidades
20%
30%
50%
bom/ótimo
regular
ruim/péssimo
POPULAÇÃO
Opinião a respeito
do governo
AMOSTRA:
uma pessoa observada
ao acaso
Resultado Probab.
bom/ótimo 0,20
regular 0,30
ruim/péssimo 0,50
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ExemploExemplo
• Lançar um dado e observar a face voltada para cima. 
Suponha que o dado seja perfeitamente equilibrado e o 
lançamento imparcial.
• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
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EventoEvento
• Evento = um conjunto de resultados (um subconjunto 
do espaço amostral)
Ex.
• Espaço amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Probabilidades: P(1) = P(2) = ... = P(6) = 1/6
• Eventos: A = número par, B = núm. menor que 3
• A = {2, 4, 6} B = {1, 2}
• P(A) = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3
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Variável aleatóriaVariável aleatória
• Variável aleatória = característica numérica dos 
resultados de um experimento
• Ex.
X = número de caras em 2 lançamentos de uma moeda;
Y = percentagem de intenções de voto do candidato AAA numa 
amostra de 2.000 eleitores a ser extraída aleatoriamente em Santa 
Catarina.
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Exemplo de distribuição de probabilidadesExemplo de distribuição de probabilidades
X = número de caras em
dois lançamentos de 
uma moeda;
x p(x)
0 0,25
1 0,5
2 0,25
0
0,25
0,5
1 2 3
x
p(x)
0 1 2
0
0,25
0,5
1 2 3
x
p(x)
0 1 2
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Construção de distribuições de probabilidades. Construção de distribuições de probabilidades. 
Ex:Ex:
Sortear n = 2 bolas
com reposição
X = número de bolas pretas na amostra
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3/5
2/5
3/5
2/5
3/5
2/5X = número de bolas 
pretas na amostra
x p(x)
0 9/25 (0,36)
1 12/25 (0,48)
2 4/25 (0,16)
(10) (20)
Sortear n = 2 bolas
com reposição
Exemplo:Exemplo:
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3/5
2/5
2/4
2/4
3/4
1/4
X = número de bolas 
pretas na amostra
x p(x)
0 6/20 (0,30)
1 12/20 (0,60)
2 2/20 (0,10)
(10) (20)
Sortear n = 2 bolas
sem reposição
Exemplo:Exemplo:
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
X = número de bolas
pretas na amostra
x p(x)
0 0,30
1 0,60
2 0,10
Distrib. de X
sem reposição
Distrib. de X
com reposição
x p(x)
0 0,36
1 0,48
2 0,16
independência
Sortear n = 2 bolas
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IndependênciaIndependência
• Dois eventos são independentes quando a 
ocorrência de um deles não altera a 
probabilidade da ocorrência do outro. 
• Tem-se independência:
– em amostragens aleatórias com reposição;
– em amostragens aleatórias sem reposição, mas 
quando a população for muito maior que a 
amostra (p. ex., N > 20n).
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Experimento binomialExperimento binomial
• consiste de n ensaios;
• cada ensaio tem somente dois resultados: sim / não;
• os ensaios são independentes, com P(sim) = π
(0 < π < 1 constante ao longo dos ensaios).
X = número de sim nos n ensaios
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Distrib. de X
x p(x)
0 0,36
1 0,48
2 0,16
binomial com
n = 2 e π = 0,40
Ver Tabela 2
(apêndice)
Sortear n = 2 bolas
com reposição
X = número de bolas
pretas na amostra
Exemplo:Exemplo:
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70%
30%
favorável
contrário
POPULAÇÃO
Opinião a 
respeito
do governo
AMOSTRA: 10 pessoas
observadas ao acaso
X = núm. de favoráveis
na amostra
binomial com
n = 10 e π = 0,7
Experimento binomial (Exemplo)Experimento binomial (Exemplo)
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Experimento binomial (exemplo)Experimento binomial (exemplo)
• Qual a probabilidade de exatamente 
sete indivíduos da amostra serem 
favoráveis?
• (X é binomial n = 10 π = 0,7)
• P(X = 7) = p(7) = 0,2668
n x π = 0,70
10 0 0,0000
1 0,0001
2 0,0014
3 0,0090
4 0,0368
5 0,1029
6 0,2001
7 0,2668
8 0,2335
9 0,1211
10 0,0282
Tabela da binomial
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Experimento binomial (exemplo)Experimento binomial (exemplo)
• Qual a probabilidade de a maioria da 
amostra ser de favoráveis?
• (X é binomial n = 10 π = 0,7)
• P(X > 5) = 
= p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + 
p(10) 
n x 0,70
10 0 0,0000
1 0,0001
2 0,0014
3 0,0090
4 0,0368
5 0,1029
6 0,2001
7 0,2668
8 0,2335
9 0,1211
10 0,0282
Tabela da binomial
= 0,8497
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,1
0,2
0,3
x
p(x)
X > 5
X é binomial com n = 10 π = 0,7
P(X > 5) = 0,8497 (Tabela 2)
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Média e variânciaMédia e variância
• X: variável aleatória 
• possíveis valores: X1, X2, ... Xk
• probabilidades: p1, p2, ... pk
• Média:
• Variância: 
∑=µ
i
iipX 
( ){ }∑ µ−=σ
i
i
2
i
2 p X 
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Média e variânciaMédia e variância
na na distribdistrib. binomial. binomial
• X: binomial n, π. Então:
– Média: µ = nπ
– Variância: σ2 = nπ(1 - π)
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 8 Cap. 8 –– Distribuições contínuas Distribuições contínuas 
e modelo normale modelo normal
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Variável aleatóriaVariável aleatória
variável 
aleatória
discreta
os possíveis resultados estão 
contidos em um conjunto 
finito ou enumerável
contínua
os possíveis resultados 
abrangem todo um intervalo 
de números reais
0 1 2 3 4 ... 0
Número de filhos
Ex. Ex.
Altura de um indivíduo
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Exemplo (Exemplo (com variável discreta)com variável discreta)
• Um jogo de azar é realizado da 
seguinte forma: toma-se um círculo e 
divide-se-o em quatro partes iguais, 1
a 4. Sobre o centro do círculo, é 
fixado um ponteiro, o qual é girado e 
anota-se o número do setor onde a 
ponta do ponteiro parou.
00
43
2 1
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x p(x)
1 0,25
2 0,25
3 0,25 
4 0,25
Total 1
Distribuição de probabilidadesDistribuição de probabilidades
1 2 3 4
0,25 0,25 0,25 0,25
x
p(x)
0,25
0
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Exemplo 8.1: com variável aleatória Exemplo 8.1: com variável aleatória 
contínuacontínua
• Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é 
girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo 
horizontal, como na figura a seguir.
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Exemplo 8.1Exemplo 8.1
• Construir a 
distribuição de 
probabilidades para o 
ângulo (α) obtido 
neste experimento.
α
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f(x)
0o 360o
x
Área = 1
1
360
X = variável aleatória que 
indica o ângulo formado
Exemplo 8.1Exemplo 8.1
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Exemplo 8.1Exemplo 8.1
• Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 
30o e 60o?
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Exemplo 8.1Exemplo 8.1
f(x)
0o 360o
x
1
360
= área = 0,0833
P(30o < X < 60o)
30o 60o
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, 
um estudante do sexo masculino. Seja X a sua altura, 
em centímetros.
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
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Distribuição normalDistribuição normal
µ + σµµ -σ x
σ
σ
f(x)
área total = 1
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
Representar:
• o evento: “o estudante selecionado ter 180 cm 
ou mais” (X ≥ 180) e
• a probabilidade deste evento: P(X ≥ 180)
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
X ≥ 180
P(X ≥ 180)
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• Identificada pela 
média (µ) e pelo 
desvio padrão (σ) .
xµ
σ
Distribuição normalDistribuição normal
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Média e Desvio PadrãoMédia e Desvio Padrão
xµ1
Mesmo σ e diferentes µ
µ2 (µ2 > µ1) 
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.Média e Desvio PadrãoMédia e Desvio Padrão
µ
σ1
σ2
x
Mesmo µ e diferentes σ
(σ2 > σ 1)
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• Simetria em relação à média.
xµ
50%
Distribuição normalDistribuição normal
xµ µ+aµ−a
a a
Áreas iguais
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• O valor z (valor padronizado) é uma medida relativa. 
Mede o quanto x se afasta da média (µ), em unidade 
de desvio padrão (σ). 
Valor padronizadoValor padronizado
σ
x - µz = 
xµ
σ
x
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
• Se a altura de um indivíduo for x = 190 cm, então qual 
é o escore padronizado z correspondente?
2
10
170190
=
−
=
−
=
σ
µxz
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
2 z0
190
µ = 170
σ = 10
x
170 180
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Exemplo 8.2Exemplo 8.2
-1 1-3 32-2 z0
160 180140 200190150
µ = 170
σ = 10
x
170
σ
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Distribuição normalDistribuição normal
µ+σµ-σ µ
x
z
10-1
área = 68,3%
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Distribuição normalDistribuição normal
µ+2σµ-2σ µ x
z20-2
área = 95,4%
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Distribuição normalDistribuição normal
µ+3σµ-3σ µ x
z30-3
área = 99,7%
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Distribuição normal padrãoDistribuição normal padrão
P(X > 180) = P(Z > 1)
1
10
170180
=
−
=
−
=
σ
µxz
Distribuição de Z:
normal padrão
Distribuição de X:
normal com µ = 170 e σ = 10
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Tabela da distribuição normal padrãoTabela da distribuição normal padrão
(área na cauda 
superior )
0,4168
0,0
0,1
0,2
...
9...210z
segunda decimal de z
(pela tabela)
Ex. Qual é a área acima de z = 0,21?
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Exercício: uso da tabelaExercício: uso da tabela
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z > 1)
z0 +1
0,1587 (tabela)
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ExercícioExercício
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
b) P(Z > 1,23)
z0 1,23
0,1093 (tabela)
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ExercícioExercício
c) P(-2 < Z < 2)
z0 2-2
0,0228 (tabela)
P(-2 < Z < 2) = 1 - 2.(0,0228) = 0,9544
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ExercícioExercício
• Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um 
estudante do sexo masculino. Seja X o valor de sua altura, 
em centímetros. Admitindo que nesta universidade os 
estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão 
de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter 
altura superior a 185 cm?
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RespostaResposta
• x = 185 cm (µ = 170, σ = 10)
z = ?
5,1
10
170185
=
−
=
σ
µ−
=
xz
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Resposta:Resposta:
P(X > 185) = P(Z > 1,5) =
z0 1,5
0,0668 (tabela)
Então, P(X > 185) = P(Z > 1,5) = 0,0668
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Aproximação da binomial pela normalAproximação da binomial pela normal
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Aproximação da binomialAproximação da binomial
pela normalpela normal
• Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, 
a distribuição binomial pode ser aproximada por uma 
distribuição normal com: 
– média 
– desvio padrão:
)1( ππ -nσ = 
πµ = n
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Distribuições binomiais para diferentes valores de Distribuições binomiais para diferentes valores de nn e e ππ. . 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2
p(x )
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2
p(x )
x
n = 2
π = 0,5 π = 0,2
n = 2
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Distribuições binomiais para diferentes valores de Distribuições binomiais para diferentes valores de nn e e ππ. . 
n = 10
π = 0,5 π = 0,2
n = 10
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(x )
x 0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(x )
x
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Distribuições binomiais para diferentes valores de Distribuições binomiais para diferentes valores de nn e e ππ. . 
n = 50
π = 0,5 π = 0,2
n = 50
0
0,05
0,1
5 15 25 35 45
p(x )
x 0
0,05
0,1
0,15
0 10 20 30
p(x )
x
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Distribuições binomiais para diferentes valores de Distribuições binomiais para diferentes valores de nn e e ππ. . 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2
p(x )
x 0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2
p(x )
x
0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(x )
x 0
0,1
0,2
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p(x )
x
0
0,05
0,1
5 15 25 35 45
p(x )
x 0
0,05
0,1
0,15
0 10 20 30
p(x )
x
n = 50
n = 10
n = 2
π = 0,2π = 0,5
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Aproximação da binomial pela normalAproximação da binomial pela normal
• Em geral, a distribuição binomial pode ser aproximada 
por uma normal quando:
nπ ≥ 5 e
n(1-π) ≥ 5
• Nesse caso,
)1( ππ -nσ = πµ = n
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Exemplo 8.9Exemplo 8.9
• Seja Y o número de caras em 10 lançamentos de uma 
moeda perfeitamente equilibrada.
– Então, Y é binomial com n = 10 e π = 0,5.
• Calcular a probabilidade de ocorrer exatamente 4 caras.
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Cálculo pela normal e pela binomialCálculo pela normal e pela binomial
0 
0,1 
0,2 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f(x ) 
x 
P(Y = 4 ) = 0 ,2051 
pela b inom ial 
(Tabela 2 ) P(3,5 < X < 4 ,5 ) = 
área sob a curva 
de um a norm al 
3 ,5 4 ,5 
Exercício: fazer o cálculo pela normal (ver solução no livro)
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ExemploExemplo
• Em dez lançamentos de uma moeda “honesta”, qual é a 
probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? 
• Pela binomial:
• P(Y > 6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10)
= 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 
= 0,172
• E pela normal?
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ExemploExemplo
0,001 0,01
0,246
0,01 0,001
0,117
0,0440,044
0,205
0,117
0,205
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P(Y > 6) = 0,172
Observe que em termos de área devemos considerar
acima de 6,5 (correção de continuidade)
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ExemploExemplo
x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X>6,5)
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ExemploExemplo
x5 6,5
P(X>6,5)
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ExemploExemplo
z = 
x - µ
σ
6,5 - 5
1,581139
= = 0,95
µ = 5
σ = 1,581139
x = 6,5
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ExemploExemplo
z0 0,95
0,1711
Lembrando:a probab. exata
(pela binomial) 
é de 0,1720
POPULAÇÃO: 
eleitores brasileiros
AMOSTRA: 
uma parte dos eleitores 
brasileiros
amostragem
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
• Como generalizar resultados de uma amostra para a população de onde ela foi 
extraída – estimação de parâmetros (Cap. 9).
• Como testar hipóteses com base em amostras – testes de hipóteses (Cap. 10)..
inferência
Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 9 Cap. 9 –– Estimação de Estimação de 
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Cap. 9 Cap. 9 –– Estimação de Estimação de 
parâmetrosparâmetros
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
POPULAÇÃO (universo do estudo)
Parâmetros: π = ? µ = ?
Estimação de parâmetros
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O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros
AMOSTRA 
(dados observados)
AMOSTRA
POPULAÇÃO
ππππ = ?
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
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X1 X2 X3 ...Observações: p
ππππ = p ± erro amostral
Estimação de ParâmetrosEstimação de Parâmetros
População Amostra
σ 2
µ X
−−−−
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π
σ 2 S 2
P
Parâmetros Estatísticas
(estimadores)
Amostra
−−−−
População
Estimação de Parâmetros. Objetivo:Estimação de Parâmetros. Objetivo:
• Com base em uma amostra, estimar os parâmetros 
populacionais.
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S2
X
−−−−
P π = ?
σ2 = ?
µ = ?
Estimação de uma proporção Estimação de uma proporção ππ
• Estimador: proporção amostral, P
• Relação entre o parâmetro π e a estatística P
���� base para calcular o erro amostral
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• Considerar-se-á que a amostragem será (ou foi) 
aleatória simples.
Relação entre Relação entre ππ e P. Uma ilustraçãoe P. Uma ilustração
População
30%
contrários
Amostra aleatória com
n = 400 indivíduos
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70%
favoráveis
n = 400 indivíduos
Calcula-se P
Simulou-se 100 amostras desta forma
Histograma dos resultados das 100 amostras Histograma dos resultados das 100 amostras 
simuladassimuladas
0
5
10
15
20
F
re
q
ü
ê
n
c
ia
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Em geral, erro amostral < 0,05
Em geral, o intervalo P ± 0,05 contém π
0
0,64 0,66 0,68 0,7 0,72 0,74 0,76
Valor calculado de P
0,70
0,05 0,05
Estimação de parâmetrosEstimação de parâmetros
• Na prática, examinamos apenas uma amostra, resultando em um 
único valor para a estatística – uma estimativa. Porém, o 
conhecimento da distribuição amostral da estatística permite 
avaliarmos um limite superior para o erro amostral (margem de 
erro), com certo nível de confiança. 
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
erro), com certo nível de confiança. 
• A distribuição amostral de uma estatística é a distribuição dos 
possíveis valores dessa estatística, se examinássemos todas as 
possíveis amostras de tamanho n, extraídas aleatoriamente de uma 
população. 
• Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmente 
grande (n > 30, na maioria dos casos), tem-se:
– Os possíveis valores de P seguem uma distribuição (aproximada) 
normal com média e desvio padrão dados por:
Distribuição amostral de uma proporção PDistribuição amostral de uma proporção P
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
n
).(1
 = P
π−π
σ
πµ = P
Distribuição de PDistribuição de P
≈≈≈≈ 95%
ππππ
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ππππ ±±±± 1,96σσσσp
ππππ
• O desvio padrão da distribuição amostral de uma estatística é 
comumente chamado de erro padrão da estatística.
Erro padrão da proporçãoErro padrão da proporção
Na prática, estima-se o erro padrão da proporção
por:
n
)p.(1p
 = SP
−
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n
( )
1
1
−
−
⋅
−⋅
N
nN
 
n
PP
 = S p
Se o tamanho da população, N, for conhecido e não 
muito grande (N < 20n), então estima-se o erro padrão 
da proporção por:
Intervalo de confiança para Intervalo de confiança para ππ, , 
nível de confiança de 95%:nível de confiança de 95%:
P P + (1,96)⋅SP – (1,96)⋅S
Intervalo de 95% de confiança para π
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P P + (1,96)⋅SpP – (1,96)⋅Sp
E = margem de erro para 95% de confiança
Ver Exemplo 9.1
 
0 z -z 
Área = 
= n íve l de 
con fiança 
desejado 
Intervalo de confiança para Intervalo de confiança para ππ, , 
nível de confiança de 95%:nível de confiança de 95%:
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Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998
z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090
0 z -z 
PSzE ⋅=
EP ±Intervalo de confiança para ππππ: 
Margem de erro: 
Resultados do Exemplo 9.1:Resultados do Exemplo 9.1:
Intervalo de 95% de confiança para π
Intervalo de 99% de confiança para π
(60,0 ± 6,3%)
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60,0%
Intervalo de 95% de confiança para π
(60,0 ± 4,8%)
55,2%53,7% 64,8% 66,2%
Distribuição da média amostralDistribuição da média amostral
População dos salários dos empregados 
de certo setor da economia (N =1.000)
Distribuição de freqüências de médias 
de amostras de tamanho n = 100
µ=)(XE
1
)(
−
−
=
N
nN
n
XDP
σ
µ=)(XE
σ=)(XDP
Distribuição da média amostralDistribuição da média amostral
Intervalo que abrange, 
aproximadamente, 95% 
das médias amostrais de 
tamanho = 100 da 
população de N = 1.000 
saláriossalários
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Estimação de uma média Estimação de uma média µµ
• Estimador: média amostral,
• Estimativa do erro padrão:
n
X
X
∑
=
S
 =S
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• Se o tamanho da população, N, for conhecido e não muito grande (N < 
20n), então estima-se o erro padrão da média por:
n
 =SX
1−
−
⋅=
N
nN
n
S
S
X
Margem de erro na estimação de uma médiaMargem de erro na estimação de uma média
• Se a amostra for grande (n > 30):
� onde z vem da distribuição normal padrão
• Se a amostra for pequena (n < 30):
X
SzE ⋅=
StE ⋅=
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
• Se a amostra for pequena (n < 30):
� onde t vem da distribuição t com gl = n – 1
NOTA: Para n > 30, t ≅ z, assim, pode-se sempre usar t.
X
StE ⋅=
A distribuição A distribuição tt de Studentde Student
t com gl = ∞ (normal padrão)
t com gl = 3
f(x)
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
t com gl = 1
x0
A distribuição A distribuição t t dede StudentStudent
Como usar a Tabela Como usar a Tabela tt
(Tabela 5 do Apêndice)(Tabela 5 do Apêndice)
• Ilustração com gl = 9 e nível 
de confiança de 95%.
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ExemploExemplo
• Encontrar o valor de t para:
a) nível de confiança de 99%, com 19 graus de liberdade (amostra 
com 20 elementos)
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Resp. t = 2,861Ver exemplos 9.2 e 9.3
Exemplo 9.3Exemplo 9.3
• Para verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidentes de 
trabalho, foi realizado um estudo experimental, implementando esse 
programa em dez empresas da construção civil, escolhidas ao acaso, numa 
certa região. Os dados abaixo se referem aos percentuais de redução de 
acidentes de trabalho, nas dez empresas observadas.
• Estimar o parâmetro: µ = média da redução percentual de acidentes de 
trabalho, em todas as empresas da construção civil da região, que venham a trabalho, em todas as empresas da construção civil da região, que venham a 
serem submetidas ao programa preventivo. 
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Amostra Estatísticas 
20 15 23 11 29 
5 20 22 18 17 
Média: X = 18 
Desvio padrão: S = 6,65 
Tamanho de AmostrasTamanho de Amostras
• No planejamento de uma pesquisa, uma pergunta 
natural é:
– Qual é o tamanho da amostra necessário? (n = ?)
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• No que segue, considerar-se-á que a amostragem será 
aleatória simples.
Tamanho de amostraTamanho de amostra
• No caso de estimação de µ, podemos exigir erro 
amostral menor que um dado E0, isto é:
0EX ≤− µ
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0E
n
z ≤
σ
E
z
 n 
0
2
22
σ
≥
ou:
ou:
Tamanho de amostraTamanho de amostra
• No caso de estimação de π: 
4
1
)1.(2 ≤−= ππσ
 
 σσσσ
2
 = ππππ(1-ππππ ) 
1
⁄4 
Assim:
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 ππππ 
 0 
1
⁄2 1 E
ππz
 n 
0
2
2 )1( −
≥
Ver discussão no livro.
E
z
n 
4 0
2
2
=
Então, tomamos:
RESUMO: tamanho mínimo de uma amostra aleatória RESUMO: tamanho mínimo de uma amostra aleatória 
simplessimples
Parâmetro de interesse Valor inicial do tamanho da amostra
uma média (µµµµ):
uma proporção (ππππ):
E
z
 = n
0
2
22
0
σ
( )
E
z
 = n
0
2
2
0
1 ππ −
z2
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várias proporções (ππππ 1, ππππ 2, ...):
Tamanho da amostra
População muito grande
(N >20n):
População de tamanho N:
E0
E
z
 = n
4 0
2
2
0
0nn =
nN +
nN.
n = 
0
0
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 10 Cap. 10 –– Testes estatísticos de Testes estatísticos de 
hipóteseshipóteses
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Teste de hipótesesTeste de hipóteses
População / Universo de estudo
Hipóteses que se quer colocar à prova
Amostra
Dados que servirão de base para
aceitar ou rejeitar uma hipótese 
Amostragem Decisão do
teste estatístico
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Problema e hipóteses Problema e hipóteses –– um exemploum exemplo
• Problema: Na região em estudo, a propensão de fumar 
nos homens é diferente do que das mulheres?
• Hipótese nula, H0: A proporção de homens fumantes é 
igual à proporção de mulheres fumantes, na população 
em estudo. 
• Hipótese alternativa, H1: A proporção de homens 
fumantes é diferente da proporção de mulheres 
fumantes, na população em estudo. 
Discutir os conceitos
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
ExemploExemplo
• Suspeita-se que uma moeda não seja 
perfeitamente equilibrada (probab. de cara ≠
probab. de coroa ≠ 0,5).
• Parâmetro: π = probab. de cara
H0: π = 0,5 
H1: π ≠ 0,5
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Amostragem para o exemplo da moedaAmostragem para o exemplo da moeda
• Amostragem: n = 10 lançamentos da moeda.
• Estatística do teste: Y = número total de caras nos n = 10 
lançamentos.
• Amostra (após realizado os 10 lançamentos): 7 caras (3 coroas)
• Qual deve ser a decisão do teste? (Aceita H0 ou rejeita H0 em favor 
de H1?)
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Distribuição de referênciaDistribuição de referência
• O que pode ocorrer na amostra de n = 10 lançamentos, 
se H0 for verdadeira (moeda honesta)?
– Y tem distribuição binomial com n = 10 e π = 0,5. 
• A idéia é comparar o resultado observado (7 caras) com 
essa distribuição de referência.
– Se o resultado for muito “estranho” para essa distribuição, o 
teste rejeita H0.
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Distribuição de referênciaDistribuição de referência
• Distribuição da estatística Y = número de caras em 10 lançamentos 
da moeda, sob H0 (binomial com n = 10 e π = 0,5) 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
0 ,0 0 1 
0 ,0 1 0
0 ,1 1 7
0 ,2 0 5
0 ,0 4 4
0 ,2 4 6
0 ,2 0 5 
0 ,1 1 7
0 ,0 4 4
0 ,0 1 0
0 ,0 0 1
y 
p (y ) 
µ
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Valor pValor p
• O valor p aponta o quão estranho foi o resultado da 
amostra (no exemplo, 7 caras), se supusermos H0 a 
hipótese verdadeira (moeda honesta). 
• O valor p é calculado com base na distribuição de 
referência.
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Valor pValor p
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
0 ,0 0 1 
0 ,0 1 0
0 ,1 1 7
0 ,2 0 5
0 ,0 4 4
0 ,2 4 6
0 ,2 0 5 
0 ,1 1 7
0 ,0 4 4
0 ,0 1 0
0 ,0 0 1
y 
p (y ) 
µ
p = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10) =
= 0,001 + 0,010 + 0,044 + 0,117 + 0,117 + 0,044 + 0,010 + 0,001 =
= 0,344 (ou, 34,4%)
Valor p:
O teste deve rejeitar H0?
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Nível de significância do teste (Nível de significância do teste (αα ))
• É a probabilidade de o teste rejeitar H0, quando H0 for 
verdadeira (uma decisão errada!). 
• É comum usar α = 0,05 (α é arbitrado pelo 
pesquisador).
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Regra de decisão baseada no Regra de decisão baseada no valor pvalor p
p ≤ α rejeita H0 (prova-se H1)
(os dados mostram evidência que ...)
p > α aceita H0 (não se prova H1)
(os dados não mostram evidência que ...)
Discutir sobre a probabilidade de erro em cada uma
dessas decisões.
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Realidade
Ho verdadeira Ho falsa
Tipos de erros num teste estatísticoTipos de erros num teste estatístico
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Realidade
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitar
Ho
Rejeitar
Ho
D
e
c
i
s
ã
o
Tipos de erros num teste estatísticoTipos de erros num teste estatístico
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Realidade
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitar
Ho
Rejeitar
Ho
D
e
c
i
s
ã
o
O K
O K
Tipos de erros num teste estatísticoTipos de erros num teste estatístico
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Realidade
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitar
Ho
Rejeitar
Ho
D
e
c
i
s
ã
o
O K
E r r o
T i p o I
(α )
O K
Tipos de erros num teste estatísticoTipos de erros num teste estatístico
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Realidade
Ho verdadeira Ho falsa
Aceitar
Ho
Rejeitar
Ho
D
e
c
i
s
ã
o
O K
E r r o
T i p o I
(α )
O K
E r r o
T i p o II
( )β
Tipos de erros num teste estatísticoTipos de erros num teste estatístico
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Testesuni e bilateraisTestes uni e bilaterais
• Um teste pode ser unilateral ou bilateral, dependendo do 
problema em estudo. 
• Nos testes unilaterais, a probabilidade de significância é 
computada em apenas um dos lados da distribuição de 
referência. 
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ExercícioExercício
• Exercício 13 - Para testar se uma criança tem algum conhecimento 
sobre determinado assunto, foram elaboradas 12 questões do tipo 
certo-errado. A criança acertou 11. Qual é a conclusão ao nível de 
significância de 5%?
a) Formule as hipóteses em termos do parâmetro π = probabilidade de acerto 
de cada questão.
b) Qual é o número esperado de acertos sob H0.
c) Calcule o valor p.
d) Qual é a conclusão do teste ao nível de significância de 5%?
– Observe que se a criança está respondendo apenas pelo palpite (H0), 
então a chance de ela acertar uma questão é igual a chance de dar 
cara no lançamento de uma moeda honesta. 
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 11 Cap. 11 –– Testes de comparação Testes de comparação 
entre duas amostrasentre duas amostras
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Planejamento da pesquisa e análise Planejamento da pesquisa e análise 
estatísticaestatística
• A análise estatística dos dados depende: 
– da forma como a pesquisa foi conduzida (p. ex., experimentos 
que geram amostras independentes ou pareadas) e 
– do tipo de dados gerado pela pesquisa (variável-resposta 
quantitativa ou categórica)
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Planejamento do experimento:Planejamento do experimento:
amostras independentesamostras independentes
• Exemplo: experimento para comparação de dois métodos 
de ensino.
Crianças selecionadas para o experimento:
☺ ☺ ☺ ☺
☺ ☺☺ ☺
Método BMétodo A
Notas das crianças 
provindas do método B
Notas das crianças 
provindas do método A
Divisão aleatória
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Planejamento do experimento:Planejamento do experimento:
amostras pareadasamostras pareadas
• Exemplo: experimento para comparação de dois métodos 
de ensino.
Pares de 
indivíduos
similares:
☺
☺
Método A
Método B
...
Em ordem 
aleatória dentro 
de cada par.
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Planejamento do experimento:Planejamento do experimento:
amostras independentes X amostras pareadasamostras independentes X amostras pareadas
• Dados gerados
Nota Nota 
Par (método A) (método B)
1 X11 X21
2 X12 X22
... ... ...
n X1n X2n
Amostras independentes Amostras pareadas
Nota Nota 
(método A) (método B)
X11 X21
X12 X22
... ...
X1n1 X1n2
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Testes estatísticosTestes estatísticos
• Os testes estatísticos permitem avaliar se as diferenças 
observadas entre os dois grupos podem ser meramente 
justificadas por fatores casuais (H0), ou se tais diferenças 
são reais (H1). 
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Testes dos sinaisTestes dos sinais
• Amostra pareada
• Em cada par tem-se apenas uma avaliação qualitativa:
+ (diferença no par compatível com H1) ou
– (diferença no par ao contrário do que afirma H1)
• Hipóteses (π = probab. de + num dado par):
H0: π = 0,5 
H1: π ≠ 0,5 (podendo também ser unilateral)
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Exemplo 11.3(a)Exemplo 11.3(a)
• Com o objetivo de avaliar o efeito de um programa de 
treinamento sobre a produtividade dos funcionários de uma 
certa empresa, fez-se um estudo em que se observou a 
produtividade de uma amostra de funcionários antes e depois 
do programa de treinamento.
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Exemplo 11.3(a)Exemplo 11.3(a)
ANTES DEPOISTREINAMENTO
Melhorou
ou piorou?
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Exemplo 11.3(a)Exemplo 11.3(a)
• Hipóteses:
H0: π = 0,5
H1: π > 0,5
π = probabilidade melhorar (para um dado funcionário)
• Experimento com n = 10 funcionários, 
observados antes e depois do treinamento
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Exemplo 11.3(a)Exemplo 11.3(a)
Resultado do experimento:
• Dos 10 funcionários, 7 melhoraram.
– Qual é o valor-p?
– Qual é a conclusão?
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p = 0,172 ou 17,2%
Exemplo 11.3(a) :Exemplo 11.3(a) :
uso da distribuição binomialuso da distribuição binomial
valor esperado
por H0
x
0.0010.010
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.0100.001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Exemplo 11.3(a)Exemplo 11.3(a)
• Adotando α = 5%
• p = 17,2% > α ==> O teste aceita H0
• Não se pode afirmar que o programa de 
treinamento realmente aumenta a 
produtividade dos funcionários
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Teste t para dados pareadosTeste t para dados pareados
• Amostra pareada
• Em cada par tem-se uma avaliação quantitativa (medidas 
quantitativas da variável-resposta X)
• Supõe-se que a distribuição de X seja aprox. normal
• Hipóteses feitas em termos de médias (ou valores 
esperados):
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2 (podendo também ser unilateral)
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Exemplo 11.3(b)Exemplo 11.3(b)
ANTES DEPOISTREINAMENTO
De quanto
foi a 
variação?
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Hipóteses:
H0: µdepois = µantes
H1: µdepois > µantes
µantes: produtividade esperada antes do 
programa
µdepois: produtividade esperada depois do 
programa
Exemplo 11.3(b)Exemplo 11.3(b)
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Exemplo 11.3(b): Exemplo 11.3(b): amostrasamostras
Produtividade
Func. antes depois diferença
João 22 25 3
Maria 21 28 7
José 28 26 -2
Pedro 30 36 6
Rita 33 32 -1
Joana 33 39 6
Flávio 26 28 2
Paulo 24 33 9
Catarina 31 30 -1
Felipe 22 27 5
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Exemplo 11.3(b): Exemplo 11.3(b): amostrasamostras
Produtividade
Func. antes depois diferença
João 22 25 3
Maria 21 28 7
José 28 26 -2
Pedro 30 36 6
Rita 33 32 -1
Joana 33 39 6
Flávio 26 28 2
Paulo 24 33 9
Catarina 31 30 -1
Felipe 22 27 5
Média amostral das diferenças: 3,4
Desvio padrão amostral das diferenças: 3,81
n
D
D ∑=
1
22
−
−
= ∑
n
DnD
SD
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-2 0 2 4 6 8 10
A análise é feita com a variável
diferença: D = depois - antes
D: 3, 7, -2, 6, -1, 6, 2, 9, -1, 5
Valor esperado
de D, µD, sob H0
Exemplo 11.3(b): Exemplo 11.3(b): amostrasamostras
Média dos valores
observados de D:
4,3=D
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Estatística do testeEstatística do teste
S
n . D =t 
D
onde
n: número de pares (antes, depois) observados;
: média das diferenças observadas e
SD : desvio padrão das diferenças observadas
D
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3,4 = 
10
34 = 
n
D = D ∑ 3,81 = 
1 10
)(10).(3,4 246 = 
1 n 
D.n D = S
222
D −
−
−
−∑
Exemplo 11.3(b):Exemplo 11.3(b): resultadosresultados
Produtividade
Func. antes depois diferença
João 22 25 3
Maria 21 28 7
José 28 26 -2
Pedro 30 36 6
Rita 33 32 -1
Joana 33 39 6
Flávio 26 28 2
Paulo 24 33 9
Catarina 31 30 -1
Felipe 22 27 5
Média amostral das diferenças: 3,4
Desvio padrão amostral das diferenças: 3,81
2,82 = 
3,81
10 . 3,4 = 
S
n . D =t 
D
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Distribuição de referênciaDistribuição de referência
• Assumindo que D tenha distrib. normal, sob H0, t tem 
distrib. “t” com gl = n - 1.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
t
f(t)
Possíveis valores da estatística t
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0 t = 2,82
P = 0,010 (tabela t)
Distrib. de referência: t com gl = n - 1 = 9
Exemplo 11.3(b): Exemplo 11.3(b): obtenção do valorobtenção do valor--pp
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Exemplo 11.3(b):Exemplo 11.3(b): uso da Tabela tuso da Tabela t
p = 0,01
gl 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
...
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
...
Área na cauda superior
Amostras
 t = 2,82
gl = 9
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• O teste rejeita H0 ao nível de significância de 
5%.
• O programa de treinamento aumenta a 
produtividade dos funcionários
Exemplo 11.3(b): Exemplo 11.3(b): conclusãoconclusão
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Teste t para amostras independentesTeste t para amostras independentes
• Amostras independentes
• Variável-resposta X quantitativa)
• Supõe-se que a distribuição de X em cada grupo seja 
aprox. normal
• Supõe-se que as variâncias sejam aproximadamente 
iguais nos dois grupos
• Hipóteses feitas em termos de médias (ou valores 
esperados):
H0: µ1 = µ2
H1: µ1 ≠ µ2 (podendo também ser unilateral)
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Exemplo 11.7Exemplo 11.7
Problema: comparação de dois métodos de ensino.
H0: Em média, os dois métodos produzem os mesmos resultados;
H1: Em média, os dois métodos produzem resultados diferentes.
ou H0: µ1 = µ2 e H1: µ1 ≠ µ2
µ1: nota média de indivíduos submetidos ao método A de ensino;
µ2: nota média de indivíduos submetidos ao método B de ensino.
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Exemplo 11.7: Exemplo 11.7: o experimentoo experimento
Crianças selecionadas para o experimento:
☺ ☺ ☺ ☺
☺ ☺☺ ☺
Método BMétodo A
Notas das crianças 
provindas do método B
Notas das crianças 
provindas do método A
Divisão aleatória
(Grupo 1 de valores) (Grupo 2 de valores)
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Exemplo 11.7: Exemplo 11.7: amostrasamostras
Grupo 1 Grupo 2
45 45
51 35
50 43
62 59
43 48
42 45
53 41
50 43
48 49
55 39
Média 49,9 44,7
Variância 35,66 42,23
30 35 40 45 50 55 60 65
nota
método A
método B
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A importância da análise da variabilidadeA importância da análise da variabilidade
a) Evidência de grupos diferentes
b) Não evidência de grupos diferentes
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A estatística do testeA estatística do teste
onde 2
2
2
2
12 SSSa
+
=
( ) 221 2 aS
n
XX t = ⋅−
a) Se n1 = n2 = n b) Se n1 ≠ n2
n
 +
n
 .S
X X t =
a
21
21
11
−
( ) ( )
gl
Sn + Sn = Sa
2
2
21
2
12 11 ⋅−⋅−
gl = n1 + n2 – 2: gl = 2n - 2 e
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( ) ( ) 86,1
)95,38(2
1070,4490,49
2 221
=⋅−=⋅−
aS
n
XX t =
Exemplo 11.7: Exemplo 11.7: resultadosresultados
95,38
2
89,77
2
25,4264,35
2
2
2
2
12 ==
+
=
+
=
SSSa
Amostra 1 Amostra 2
n 10 10
média 49,9 44,7
variância 35,66 42,23
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Exemplo 11.7: Exemplo 11.7: uso da tabela tuso da tabela t
gl 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
...
18 0,688 1,33 1,734 2,101 2,552 2,878 
...
Área na cauda superiorAmostras
t = 1,86
gl = 18
 
0 t = 1,86 
Pela tabela t : 
área entre 0,025
e 0,05 
 
0 1,86 
Valor p entre
0,05 e 0,10 
-1,86 
Como o teste é
bilateral:
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Valor p > 0,05 (nível de significância α
adotado). 
Então o teste aceita H0 ao nível de 
significância de 5%.
Os dados não comprovam diferença entre os 
dois métodos de ensino.
Exemplo 11.7: Exemplo 11.7: conclusãoconclusão
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Teste tTeste t
• Ver, no livro, exemplo com amostras de tamanho 
diferentes (Exemplo 11.8).
• Ver, no livro, exemplos de teste t em estudos não-
experimentais (amostras obtidas em levantamentos por 
amostragem) (Exemplos 11.2 e 11.8).
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• Como medir e testar a significância da associação entre 
duas variáveis qualitativas (Capítulo 12)
• Como estudar a correlação entre duas variáveis 
quantitativas (Capítulo 13)
• Como construir modelos para o relacionamento entre 
duas variáveis (Capítulo 13)
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Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 12 Cap. 12 –– Análise de dados Análise de dados 
categorizadoscategorizados
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Comparação entre amostrasComparação entre amostras
• Comparação entre amostras em que a variável-resposta 
é qualitativa (categórica).
– Exemplo: comparação entre amostras de homens e de mulheres 
quanto ao tabagismo (fumante ou não-fumante) 
• Como testar, com base em amostras, se as populações 
que geraram as amostras têm a mesma distribuição de 
probabilidades em termos das categorias da variável-
resposta? (Teste de homogeneidade qui-quadrado)
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Análise de associaçãoAnálise de associação
• Existe associação entre duas variáveis se o conhecimento 
de uma altera a probabilidade de algum resultado da 
outra. 
– Exemplo: Clima (chuvoso ou ensolarado) e ir à praia (sim ou 
não)
• Como testar se existe associação entre duas variáveis 
qualitativas? (Teste de associação qui-quadrado)
• Como medir o grau de associação descrita pelos dados 
amostrais? (Coeficientes de associação)
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Teste de associação Teste de associação quiqui--quadradoquadrado
(equivalente ao teste de homogeneidade qui-quadrado)
• Exemplo 12.1: Existe associação entre sexo (homem ou 
mulher) e tabagismo (fumante ou não-fumante)?
• Hipóteses:
– H0: Sexo e tabagismo são variáveis independentes na população 
em estudo. 
– H1: Existe associação entre as variáveis sexo e tabagismo, na 
população em estudo. 
ou:
H0: πh = πm e H1: πh ≠ πm
πh = probabilidade de um homem ser fumante 
πm = probabilidade de uma mulher ser fumante
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Exemplo 12.1: Exemplo 12.1: os dadosos dados
(100)(100)(100)(%)
300100200Total
(56,7)(62)(54)(%)
17062108não-fumante
(43,3)(38)(46)(%)
1303892fumante
Total (%)femininomasculinoTabagismo
Sexo
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Exemplo 12.1: Exemplo 12.1: os cálculosos cálculos
 Sexo 
 Tabagismo masculino feminino Total 
fumante67,86
300
200130
=
×
=E 33,43
300
100130
=
×
=E 130 
não fumante 33,113
300
200170
=
×
=E 67,56
300
100170
=
×
=E 170 
 Total 200 100 300 
 
( ) ( )
( )ltotal gera
olunatotal da c inhatotal da lE = ×
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Exemplo 12.1: Exemplo 12.1: os cálculosos cálculos
( )∑ −=χ E
EO 22Estatística do teste:
 Sexo 
 Tabagismo masculino feminino 
fumante ( ) 328,0
67,86
67,8692 2
=
− ( ) 656,0
33,43
33,4338 2
=
− 
não fumante ( ) 251,0
33,113
33,113108 2
=
− ( ) 501,0
67,56
67,5662 2
=
− 
 
χ2 = 0,328 + 0,656 + 0,251 + 0,501 = 1,74 
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Distribuição de referênciaDistribuição de referência
• Sob H0, os possíveis valores de χ2 seguem uma 
distribuição qui-quadrado com graus de liberdade:
onde l é o número de linhas e c é o número de colunas 
da tabela.
• Supõe-se que as amostras sejam razoavelmente grandes 
(todas as freqüências esperadas pelo menos iguais a 
cinco).
( ) ( )11 −⋅−= cgl l
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VValoralor--pp
 
x
f(x) 
χ2 
valor p 
Amostra 
Ver Tabela 6 no apêndice do livro
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Exemplo 12.1: Exemplo 12.1: uso da Tabela uso da Tabela QuiQui--quadradoquadrado
Valor p entre 0,10 e 0,25. Portanto, o teste
aceita H0 ao nível de significância de 5%. 
x
f(x)
χ2 = 1,74
0,10 < valor p < 0,25
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Correção em tabelas Correção em tabelas 2 x 22 x 2
• No cálculo do qui-quadrado, subtrai-se 0,5 unidades na 
magnitude da diferença entre as freqüências observada e 
esperada, em cada casela.
( )
∑
−−
=
2
2 50
E
,EO
χ
Refazer o Exemplo 12.1
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Medidas de associaçãoMedidas de associação
• Um coeficiente de associação descreve, em termos das 
amostras observadas, o quanto os dados de duas 
variáveis se mostram associados.
• É uma medida descritiva da(s) amostra(s). Não é uma 
inferência como o teste qui-quadrado!
• Em geral, os coeficientes geram valores entre 0 
(independência) e 1 (associação perfeita)
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Coeficiente de contingênciaCoeficiente de contingência
χ
χ
2
2
+ n 
C = 
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Coeficiente de contingência modificadoCoeficiente de contingência modificado
)()1( 2
2
χ⋅−
χ⋅
+n k
kC* = 
onde k é o menor valor entre l (número de linhas da tabela) 
e c (número de colunas da tabela). 
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Exemplo: Exemplo: coeficiente de contingência modificadocoeficiente de contingência modificado
Tabagismo homem mulher
fumante 80 (40%) 40 (40%)
não-fumante 120 (60%) 60 (60%)
Total 200 (100%) 100 (100%)
Sexo
Amostra A
Tabagismo homem mulher
fumante 200 (100%) 0 (0%)
não-fumante 0 (0%) 100 (100%)
Total 200 (100%) 100 (100%)
Amostra B
Sexo
0 = 
300)+(01)(2
(0)(2)
 = 
⋅−
⋅C*
Independência!
 C* 1 = 
300)+(3001)(2
(300)(2)
 = 
⋅−
⋅
Associação perfeita!
Ver, no livro, outros coeficientes de associação.
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Estatística Aplicada às Ciências SociaisEstatística Aplicada às Ciências Sociais
Sexta EdiçãoSexta Edição
Pedro Alberto Barbetta
Florianópolis: Editora da UFSC, 2006
Cap. 13 Cap. 13 –– Correlação e Correlação e 
RegressãoRegressão
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CorrelaçãoCorrelação
• X e Y variáveis quantitativas
X Y
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CorrelaçãoCorrelação
• X e Y estão positivamente correlacionadas
quando elas caminham num mesmo 
sentido;
• Estão negativamente correlacionadas
quando elas caminham em sentidos 
opostos. 
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CorrelaçãoCorrelação
• Correlação não implica relação de causa-e-
efeito
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ExemploExemplo
• Amostra de municípios. Variáveis:
– DistCap: distância à capital da respectiva Unidade da 
Federação.
– EspVida: esperança de vida ao nascer
– MortInf: mortalidade (número médio de mortes em 
1.000) até um ano de idade.
– Alfab: taxa de alfabetização (percentagem da 
população adulta alfabetizada).
– Renda: renda per capita do município (R$).
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Tabela 13.1Tabela 13.1
125,7581,8237,0467,42167Ipaba (MG)
196,5190,4332,8168,6814Vespasiano (MG)
58,6859,7251,5762,45175Jandaíra (BA)
80,6969,9544,1864,4665Malhada dos Bois (SE)
264,5589,2815,6971,3683Paraíba do Sul (RJ)
150,6777,5416,6271,01486São José das Palmeiras (PR)
60,0065,8147,0863,6540Lagoa do Piauí (PI)
173,3883,3831,7168,10468Campo Erê (SC)
65,3479,3366,0558,9678Porto Rico do Maranhão (MA)
66,9663,6463,3259,58150Monção (MA)
74,7963,0056,5661,19278Nova Redenção (BA)
188,2986,2323,1967,99365Araruna (PR)
RendaAlfabMortInfEspVidaDistCapMunicípio
Fonte: Atlas de Desenvolvimento Humano (www.pnud.org.br/atlas) 
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Diagrama de dispersão:Diagrama de dispersão:
y
x
59
61
63
65
67
69
100 150 200 250 300 350 400
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Tabela 13.1Tabela 13.1 Diagramas de dispersão:Diagramas de dispersão:
Interpretar a correlação entre as duas variáveis.
50 150 250
60
70
80
90
Renda per capita (R$)
Ta
xa
 d
e 
al
fa
be
tiz
aç
ão
 (%
)
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Tabela 13.1Tabela 13.1 Diagramas de dispersão:Diagramas de dispersão:
Interpretar a correlação entre as duas variáveis.
60 65 70
15
25
35
45
55
65
Esperança de vida ao nascer
Ta
xa
 d
e 
m
or
ta
lid
ad
e 
in
fa
nt
il
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Tabela 13.1Tabela 13.1 Diagramas de dispersão:Diagramas de dispersão:
Interpretar a correlação entre as duas variáveis.
15 25 35 45 55 65
60
70
80
90
Taxa de mortalidade infantil
Ta
xa
 d
e 
al
fa
be
tiz
aç
ão
 (%
)
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Tabela 13.1Tabela 13.1 Diagramas de dispersão:Diagramas de dispersão:
Interpretar a correlação entre as duas variáveis.
5004003002001000
90
80
70
60
Distância à capital (km)
Ta
xa
 d
e 
al
fa
be
tiz
aç
ão
 (%
)
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Correlação não linearCorrelação não linear
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Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação
• Não deve depender da unidade de medida das variáveis
• Padronização (x, y) (x’, y’) para cada par de valores:
S
X x = x
x
−′
S
Y y = y
y
−′
Média dos valores de X
Desvio padrão dos valores de X
Média dos valores de XMédia dos valores de Y
Desvio padrão dos valores de Y
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Efeito da padronizaçãoEfeito da padronização
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
y
x
( )yx,
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PadronizaçãoPadronização
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2
y'
x'
(0, 0)
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Padronização Padronização -- Exemplo 13.1Exemplo 13.1
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Idéia de construção do Idéia de construção do CoefCoef. de Correlação de . de Correlação de 
PearsonPearson
Considere os produtos dos valores padronizados:
x’·y’
S
X x = x
x
−′
S
Y y = y
y
−′
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Sinais dos produtos dos valores padronizados:Sinais dos produtos dos valores padronizados:
Quadrante com
x’·y’ negativos
Quadrante com
x’·y’ positivos
Quadrante com
x’·y’ negativos
Quadrante com
x’·y’ positivos
x’
y’
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Sinais dos produtos dos valores padronizados:Sinais dos produtos dos valores padronizados:
x’
y’
Quadrante com
x’·y’ positivos
Quadrante com
x’·y’ positivos
0'' >⋅∑ yx
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Sinais dos produtos dos valores padronizados:Sinais dos produtos dos valores padronizados:
x’
y’
0'' <⋅∑ yx
Quadrante com
x’·y’ negativos
Quadrante com
x’·y’ negativos
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Sinais dos produtos dos valores padronizados:Sinais dos produtos dos valores padronizados:
x’
y’Quadrante com
x’·y’ negativos
Quadrante com
x’·y’ negativos
Quadrante com
x’·y’ positivos
Quadrante com
x’·y’ positivos
0'' ≈⋅∑ yx
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Idéia de construção do Idéia de construção do CoefCoef. de Correlação de . de Correlação de PearsonPearson
• Padronização (x, y) (x’, y’) :
( )
1
''
−
⋅∑
n
yx
r = Coef. de Correlação de Pearson::
S
X x = x
x
−′
S
Y y = y
y
−′
Mede a correlação linear entre X e Y.
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Exemplo 13.1Exemplo 13.1
( )
981,0
7
87,6
==
−
′⋅′∑
1n
yx
= r
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Valores possíveis de Valores possíveis de rr e interpretação da correlaçãoe interpretação da correlação
+1
0
-1
Sentido Força
Negativa
Ausência
Forte
Moderada
Fraca
Positiva
Fraca
ModeradaModerada
Forte
Valor
de r
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Matriz de correlações. Dados da Matriz de correlações. Dados da TabTab. 13.1. 13.1
Interpretar.
10,863-0,8600,8650,205RENDA
0,8631-0,6840,7180,087ALF
-0,860-0,6841-0,983-0,400MORTINF
0,8650,718-0,98310,337ESPVIDA
0,2050,087-0,4000,3371DISTCAP
RENDAALFMORTINFESPVIDADISTCAP
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Fórmula direta de calcular Fórmula direta de calcular rr
( ) ( ) ( )
( ) ( )2222 Y Yn X Xn
YX YXnr = 
∑−∑⋅∑−∑⋅
∑⋅∑−⋅∑⋅
Ver exemplo desses cálculos no livro (Tabela 13.3)
Ver, também, no livro:
- Teste de hipóteses sobre a correlação
- Correlação com variáveis indicadoras
- Correlação por postos
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Regressão linear simplesRegressão linear simples
• A análise de regressão é geralmente feita sob um 
referencial teórico que justifique a adoção de alguma 
relação matemática de causalidade. 
X Y
Variável independente ou
Variável explicativa
Variável dependente ou
Variável resposta
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• Predizer valores de uma variável dependente (Y) em 
função de uma variável independente (X).
• Conhecer o quanto variações de X podem afetar Y.
Regressão linear simplesRegressão linear simples
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Exemplos de regressão:Exemplos de regressão:
Preço do imóvel (R$)
Área construída do imóvel (m2)
Tempo de resposta do sistema 
(segundos)
Memória RAM do computador 
(Gb)
Número de defeitos nos produtosGasto com o controle da 
qualidade (R$)
Consumo (R$)Renda
Variável dependente 
(Y)
Variável 
independente (X)
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RegressãoRegressão
Amostra de observações
de (X, Y)
Conhecer o relacionamento
entre X e Y
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Regressão Regressão -- ModeloModelo
Y =
Predito por X, se-
gundo uma função Efeito aleatório+
Parâmetros
Regressão
Linear
Simples
eβ.xαy ++=
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Pressupostos do modelo de regressãoPressupostos do modelo de regressão
• Os erros (e´s) são independentes e variam 
aleatoriamente segundo uma distribuição (normal) com 
média zero e variância constante.
eβ.xαy ++=
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Estimativas dos parâmetros Estimativas dos parâmetros αα e e ββ
• Construção da equação de regressão com base nos dados:
160
164
168
172
176
180
160 164 168 172 176 180
Altura média dos pais ( X )
A
lt
u
ra
 d
o 
fil
h
o 
( Y
 ) 
bxay +=ˆ
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Estimativas dos parâmetros Estimativas dos parâmetros αα e e ββ
• Construção da equação de regressão com base nos dados:
bxay +=ˆ
( ) ( ) ( )
( )22 X Xn
YX YXnb = 
∑−∑⋅
∑⋅∑−⋅∑⋅
n
X bY a = ∑⋅−∑
(estimativa do beta)
(estimativa do alfa)
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Estimativas dos parâmetros Estimativas dos parâmetros αα e e ββ
• Construção da equação de 
regressão com base nos dados. 
Exemplo 13.5:
X Y X 2 X ·Y
164 166 26.896 27.224
166 166 27.556 27.556
169 171 28.561 28.899
169 166 28.561 28.054
171 171 29.241 29.241
173 171 29.929 29.583
173 178 29.929 30.794
176 173 30.976 30.448
178 178 31.684 31.684
1.539 1.540 263.333 263.483
Dados Cálculos
( ) ( ) ( )
( )22 X Xn
YX YXnb = 
∑−∑⋅
∑⋅∑−⋅∑⋅
n
X bY a = ∑⋅−∑
0,872 = 
1.476
1.287 = 
)(1.539 (263.333)9
(1.540)(1.539) (263.483)9
 = 2−⋅
⋅−⋅
b
22,00 = 
9
.539)(0,872).(1 1.540 = −a
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Estimativas dos parâmetros Estimativas dos parâmetros αα e e ββ
• Construção da equação de regressão com base nos dados. 
Exemplo:
164
166
168
170
172
174
176
178
180
160 165 170 175 180
Altura média dos pais (X)
A
ltu
ra
 d
o 
fil
ho
 (Y
)
xy 872,022ˆ +=
PEDRO A. BARBETTA – Estatística Aplicada às Ciências Sociais 6ed. Editora da UFSC, 2006.
Valores preditos e resíduosValores preditos e resíduos
x y Predito Resíduo
164 166 165,01 0,992
166 166 166,75 -0,752
169 171 169,37 1,632
169 166 169,37 -3,368
171 171 171,11 -0,112
173 171 172,86 -1,856
173 178 172,86 5,144
176 173 175,47 -2,472
178 178 177,22 0,784
xy 872,022ˆ +=
yye ˆˆ −=
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Valores preditos e resíduosValores preditos e resíduos
164 168 172 176
164
168
172
176
y
x
Resíduo associado ao oitavo 
elemento da amostra.47,175ˆ8 =y
1738 =y
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Variação explicada e nãoVariação explicada e não--explicadaexplicada
164 168 172 176
164
168
172
176
y
x
xy )872,0(22ˆ +=
164 168 172 176
164
168
172
176
y
x
11,171=y
Variação explicada
pelo modelo de regressão
Variação em relação à média 
aritmética (variação total)
Soma de quadrados devida ao 
erro aleatório:
Soma de quadrado total:
( )2∑ −= yySQT
( )2ˆ∑ −= yySQE
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Variação explicada e nãoVariação explicada e não--explicadaexplicadaSoma de quadrado total: ( )2∑ −= yySQT
Soma de quadrados do erro: ( )2ˆ∑ −= yySQE
Soma de quadrados da regressão: SQESQTSQR −=
Coeficiente de determinação:
totalvariação
explicadavariação
SQT
SQRR ==2
10 2 ≤≤ R
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Variação explicada e nãoVariação explicada e não--explicada. explicada. Exemplo 13.5Exemplo 13.5
x y
164 166 -5,11 26,11
166 166 -5,11 26,11
169 171 -0,11 0,01
169 166 -5,11 26,11
171 171 -0,11 0,01
173 171 -0,11 0,01
173 178 6,89 47,47
176 173 1,89 3,57
178 178 6,89 47,47
0 177
171,11
Média
y yy − ( )
2yy −
( )2∑ −= yySQTX = altura média dos pais
Y = altura do filho
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Variação explicada e nãoVariação explicada e não--explicada. explicada. Exemplo 13.5Exemplo 13.5
x y
164 166 165,01 0,992 0,98
166 166 166,75 -0,752 0,56
169 171 169,37 1,632 2,66
169 166 169,37 -3,368 11,36
171 171 171,11 -0,112 0,01
173 171 172,86 -1,856 3,46
173 178 172,86 5,144 26,42
176 173 175,47 -2,472 6,1
178 178 177,22 0,784 0,61
0 52
Preditos
ŷ yy ˆ− ( )2ŷy −
( )2ˆ∑ −= yySQE
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Variação explicada e nãoVariação explicada e não--explicada. explicada. Exemplo 13.5Exemplo 13.5
Fonte de variação Somas de quadrados
SQR = 125
SQE = 52
Variação total SQT = 177
Explicada por X pelo modelo de regressão 
(variação explicada )
Devida ao erro aleatório (variação não-
explicada )
70,6%ou 706,0
177
1252 ===
SQT
SQRR
Interpretar.