Maxi Educa - Matemática

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BASA 
Técnico Bancário 
 
1 - Números inteiros, racionais e reais. ................................................................................................ 1 
2 - Sistema legal de medidas. ............................................................................................................ 23 
3 - Razões e proporções. ................................................................................................................... 29 
4 - Divisão proporcional. .................................................................................................................... 36 
5 - Regras de três simples e compostas. ........................................................................................... 45 
6 - Percentagens. .............................................................................................................................. 59 
7 - Equações e inequações de 1.º e de 2.º graus. .............................................................................. 65 
8 – Sistemas de equações do 1º grau. ............................................................................................... 86 
9 - Funções e gráficos. ...................................................................................................................... 94 
10 - Progressões aritméticas e geométricas. ................................................................................... 118 
11 - Funções exponenciais e logarítmicas. ...................................................................................... 128 
12 - Juros simples e compostos: capitalização e descontos. ........................................................... 141 
13 - Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente. ........................ 153 
14 - Rendas uniformes e variáveis. .................................................................................................. 157 
15 - Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. ....................................................... 164 
16 - Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e 
investimento. ........................................................................................................................................ 174 
17 - Avaliação de alternativas de investimento. ............................................................................... 181 
18 - Taxas de retorno, taxa interna de retorno. ................................................................................ 190 
19 - Análise e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos. ........................................................ 196 
20 - Variância, desvio padrão, média, mediana e moda. .................................................................. 207 
Questões – Prova anterior ............................................................................................................... 225 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
1 - Números inteiros, racionais e reais. 
 
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No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero. 
 
 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números,..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
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Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
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Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-
13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9
 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 
9
 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8
 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 
3 8
 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 
3 27
= 3, pois 3³ = 27. 
(d) 
3 27
 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
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6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP) Para zelar pelos jovens internados 
e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades 
educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” 
e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a 
maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número 
inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC) Em um jogo de 
tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: 
 
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Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferençade 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
 
05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante 
uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era 
de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento 
naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes 
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, 
em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa 
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele 
levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
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09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no 
oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 
25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 15 
(E) 19 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D. 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C. 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D. 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E. 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D. 
420 : 35 = 12 meses 
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09. Resposta: D. 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E. 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 
 
2º - O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
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Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: existe um período. 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
Exemplos: 
 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 10 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99
512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é 
composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante 
período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 
0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3

 = 
2
3 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 sãonúmeros racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 11 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para 
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: q + 0 = q 
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o 
próprio q, isto é: q × 1 = q 
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de zero, existe : 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 12 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base 
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 13 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou 2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1 = 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0
= 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
O número 
9
100

 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10

 como 
3
10

, quando elevados ao 
quadrado, dão 
9
100
. 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
O número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Na escola onde 
estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm 
ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em 
cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais 
ela recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 14 
03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) De um total de 180 
candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O 
número de candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) Em um estado do 
Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma 
gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou 
faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$ 810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
Obtém-se 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 : 
(A) ½ 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 3 
 
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(𝐴) − 4; −1; √16; √25;
14
3
 
(𝐵) − 1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(𝐶) − 1; −4; 
14
3
; √16; ; √25 
(𝐷) − 4; −1; √16;
14
3
; √25 
(𝐸 ) − 4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-secerto número positivo x 
ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como 
resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 15 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Quando 
perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
03. Resposta: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
04. Resposta: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 16 
05. Resposta: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
 
06. Resposta: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é: −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Resposta B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Resposta: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Resposta: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Resposta: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 17 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa). 
 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Propriedades 
É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos 
de módulo, números opostos e números inversos (quando possível). 
 
Ordenação dos números Reais 
A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números 
Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤5 ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ; ] ; [ 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 18 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
Observações 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores 
em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem 
o sinal. 
c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com Números Relativos 
 
1) Adição e Subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 19 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20.É correto afirmar que: 
A) I, II e III são verdadeiras. 
B) apenas I e II são verdadeiras. 
C) I, II e III são falsas. 
D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 20 
06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP) Para 
numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por 
exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 
mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em 
mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS) Numa divisão com números inteiros, o resto 
vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. Assim, é 
correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 21 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Resposta: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Resposta: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Resposta: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Resposta: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 22 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Resposta: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Resposta: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Resposta: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 23 
 
 
SISTEMA DE MEDIDAS 
 
Sistema de Medidas Decimais 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
2 - Sistema legal de medidas. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 24 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades: 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 25 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
05. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 26 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
02. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
03. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
04. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
05. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
06. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
07. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 27 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
Não Decimais 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. 
A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 xEfetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, então 
acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 28 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) das 2 
para a coluna minutos. 
 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Questões 
 
01. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 
minutos para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma 
prova. Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
02. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 29 
03. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
03. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
 
 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
150
3600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
 
3 - Razões e proporções. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 30 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
Daniel teve o melhor desempenho. 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
- Razões Especiais 
 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção. 
Onde: 
 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 31 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
- Propriedades da Proporção 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo: 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
23
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 32 
- Problemas envolvendo razão e proporção 
 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 33 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) André, Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem apresentada, 
uma proporção. Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos mais novo que 
Carlos. Assim, a soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da 
universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a 
biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de 
livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. 
A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/ HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71 km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 34 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) Eu tenho duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra tem 
30 cm, portanto, a régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 35 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3
𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livrosLogo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro:2k 
Segundo:5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 36 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 
𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja, 2p = 5m 
 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588 
 
 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL 
 
Uma forma de divisão no qual determinam-se valores(a,b,c,..) que, divididos por quocientes(x,y,z..) 
previamente determinados, mantêm-se uma razão que não tem variação. 
 
Divisão Diretamente Proporcional 
 
- Divisão em duas partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um 
sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A + B = M, mas 
 
4 - Divisão proporcional. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 37 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
𝐴
𝑝
=
𝐵
𝑞
=
𝐴 + 𝐵
𝑝 + 𝑞
=
𝑀
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
 
 
 
Exemplos: 
1) Para decompor o número 200 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos 
o sistema de modo que A + B = 200, cuja solução segue de: 
 
𝐴
2
=
𝐵
3
=
𝐴 + 𝐵
5
=
200
5
= 𝟒𝟎 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q ; temos que A = 40.2 = 80 e B=40.3 = 120 
 
2) Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles 
é 40. Para resolver este problema basta tomar A – B = 40 e escrever: 
 
𝐴
8
=
𝐵
3
=
𝐴 − 𝐵
5
=
40
5
= 𝟖 
 
Fazendo A = K.p e B = K.q ; temos que A = 8.8 = 64 e B = 8.3 = 24 
 
 - Divisão em várias partes diretamente proporcionais 
Para decompor um número M em partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-
se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas x1 + x2 + ... + xn= M e p1 + p2 + ... 
+ pn = P. 
𝑥1
𝑝1
=
𝑥2
𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝑥1
𝑝1
=
𝑥2
𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛
=
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ 𝑝𝑛
=
𝑀
𝑃
= 𝑲 
Observa-se que partimos do mesmo princípio da divisão em duas partes proporcionais. 
 
Exemplos: 
1) Para decompor o número 240 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A + B + C = 240 e 2 + 4 + 6 = P. Assim: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑃
=
240
12
= 𝟐𝟎 
 
Logo: A = 20.2 = 40; B = 20.4 = 80 e C = 20.6 =120 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
480 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝐴
2
=
𝐵
4
=
𝐶
6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2.2 + 3.4 − 4.6
=
480
−8
= −𝟔𝟎 
 
Logo: A = - 60.2 = -120 ; B = - 60.4 = - 240 e C = - 60.6 = - 360. 
O valor de K é que proporciona a solução pois: A = K.p e B = K.q 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 38 
Também existem proporções com números negativos. 
Divisão Inversamente Proporcional 
 
 - Divisão em duas partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se 
decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, 
respectivamente, os inversos de p e q. 
Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A + B = M. Desse modo: 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
𝐴 + 𝐵
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀. 𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
 
 
 
Exemplos: 
1) Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se 
montar o sistema tal que A + B = 120, de modo que: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/3
=
𝐴 + 𝐵
1/2 + 1/3
=
120
5/6
=
120.6
5
= 144 
 
Assim A = K/p → A = 144/2 = 72 e B = K/q → B = 144/3 = 48 
 
2 - Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre 
eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A – B = 10. Assim: 
 
𝐴
1/6
=
𝐵
1/8
=
𝐴 − 𝐵
1/6 − 1/8
=
10
1/24
= 240 
 
Assim A = K/p → A = 240/6 = 40 e B = K/q → B = 240/8 = 30 
 
 - Divisão em várias partes inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, 
basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que x1 + x2 + ... + xn= M e além disso 
 
𝑥1
1/𝑝1
=
𝑥2
1/𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
1/𝑝𝑛
 
 
Cuja solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝑥1
1/𝑝1
=
𝑥2
1/𝑝2
= ⋯ =
𝑥𝑛
1
𝑝𝑛
=
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
1
𝑝1
+
1
𝑝2
+ ⋯
1
𝑝𝑛
=
𝑀
1
𝑝1
+
1
𝑝2
+ ⋯ +
1
𝑝𝑛
= 𝑲 
 
Exemplos: 
1-Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-
se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A + B + C = 220. Desse modo: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶
1/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/2 + 1/4 + 1/6
=
220
11/12
= 240 
 
A solução é A = K/p1 → A = 240/2 = 120, B = K/p2 → B = 240/4 = 60 e C = K/p3 → C = 240/6 = 40 
 
2-Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A + 3B - 4C = 
10, devemos montar as proporções: 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 39 
𝐴
1/2
=
𝐵
1/4
=
𝐶
1/6
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 3/4 − 4/6
=
10
13/12
=
120
13
 
 
logo A = 60/13, B = 30/13 e C = 20/13 
Existem proporções com números fracionários! 
 
Divisão em partes direta e inversamente proporcionais 
 
- Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a, c e d e inversamenteproporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais 
a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A + B = M e 
além disso: 
 
𝐴
𝑐/𝑝
=
𝐵
𝑑/𝑞
=
𝐴 + 𝐵
𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞
=
𝑀
𝑐/𝑝 + 𝑑/𝑞
=
𝑀. 𝑝. 𝑞
𝑐. 𝑞 + 𝑝. 𝑑
= 𝑲 
 
 
 
Exemplos: 
1) Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, 
inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções: 
 
𝐴
2/5
=
𝐵
3/7
=
𝐴 + 𝐵
2/5 + 3/7
=
58
29/35
= 70 
 
Assim A = K.c/p = (2/5).70 = 28 e B = K.d/q = (3/7).70 = 30 
 
2) Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, 
sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A – B = 21 
resolver as proporções: 
 
𝐴
4/6
=
𝐵
3/8
=
𝐴 − 𝐵
4/6 − 3/8
=
21
7/24
= 72 
 
Assim A = K.c/p = (4/6).72 = 48 e B = K.d/q = (3/8).72 = 27 
 
Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais 
Para decompor um número M em n partes x1, x2, ..., xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn e 
inversamente proporcionais a q1, q2, ..., qn, basta decompor este número M em n partes x1, x2, ..., xn 
diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, ..., pn/qn. 
A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que x1 + x2 + ... + xn = M e além disso 
 
𝑥1
𝑝1/𝑞1
=
𝑥2
𝑝2/𝑞2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛/𝑞𝑛
 
 
A solução segue das propriedades das proporções: 
 
𝑥1
𝑝1/𝑞1
=
𝑥2
𝑝2/𝑞2
= ⋯ =
𝑥𝑛
𝑝𝑛
𝑞𝑛
=
𝑥𝑛 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑝1
𝑞1
+
𝑝2
𝑞2
+ ⋯ +
𝑝𝑛
𝑞𝑛
= 𝑲 
 
Exemplos: 
1) Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e 
inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de 
forma de A + B + C = 115 e tal que: 
 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K.c/p e B = K.d/q. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 40 
𝐴
1/4
=
𝐵
2/5
=
𝐶
3/6
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
1/4 + 2/5 + 3/6
=
115
23/20
= 100 
 
Logo A = K.p1/q1 = (1/4)100 = 25, B = K.p2/q2 = (2/5)100 = 40 e C = K.p3/q3 = (3/6)100 = 50 
 
2) Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais 
a 2, 4 e 5, de modo que 2A + 3B - 4C = 10. 
A montagem do problema fica na forma: 
 
𝐴
1/2
=
𝐵
10/4
=
𝐶
2/5
=
2𝐴 + 3𝐵 − 4𝐶
2/2 + 30/4 − 8/5
=
10
69/10
=
100
69
 
 
A solução é A = K.p1/q1 = 50/69, B = K.p2/q2 = 250/69 e C = K.p3/q3 = 40/69 
 
Problemas envolvendo Divisão Proporcional 
1) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão de despesas mensais é 
proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, 
cinco. Se a despesa, num certo mês foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda? 
A) 320,00 
B) 410,00 
C) 450,00 
D) 480,00 
E) 520,00 
 
Resolução: 
Alda: A = 3 pessoas 
Berta: B = 5 pessoas 
A + B = 1280 
𝐴
3
+
𝐵
5
=
𝐴 + 𝐵
3 + 5
=
1280
8
= 160 
 
A = K.p = 160.3 = 480 
Resposta D 
 
2) Dois ajudantes foram incumbidos de auxiliar no transporte de 21 caixas que continham 
equipamentos elétricos. Para executar essa tarefa, eles dividiram o total de caixas entre si, na razão 
inversa de suas respectivas idades. Se ao mais jovem, que tinha 24 anos, coube transportar 12 caixas, 
então, a idade do ajudante mais velho, em anos era? 
A) 32 
B) 34 
C) 35 
D) 36 
E) 38 
 
Resolução: 
v = idade do mais velho 
Temos que a quantidade de caixas carregadas pelo mais novo: 
Qn = 12 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qn = k.1/24 → 12 = k/24 → k = 288 
A quantidade de caixas carregadas pelo mais velho é: 21 – 12 = 9 
Pela regra geral da divisão temos: 
Qv = k.1/v → 9 = 288/v → v = 32 anos 
Resposta A 
 
3) Em uma seção há duas funcionárias, uma com 20 anos de idade e a outra com 30. Um total de 150 
processos foi dividido entre elas, em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades. 
Qual o número de processos recebido pela mais jovem? 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 41 
A) 90 
B) 80 
C) 60 
D) 50 
E) 30 
 
Estamos trabalhando aqui com divisão em duas partes inversamente proporcionais, para a resolução 
da mesma temos que: 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
𝐴 + 𝐵
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀
1/𝑝 + 1/𝑞
=
𝑀. 𝑝. 𝑞
𝑝 + 𝑞
= 𝑲 
O valor de K proporciona a solução pois: A = K/p e B = K/q. 
Vamos chamar as funcionárias de p e q respectivamente: 
p = 20 anos (funcionária de menor idade) 
q = 30 anos 
Como será dividido os processos entre as duas, logo cada uma ficará com A e B partes que totalizam 
150: 
A + B = 150 processos 
 
𝐴
1/𝑝
=
𝐵
1/𝑞
=
150
1/20 + 1/30
=
150
1/20 + 1/30
=
150.20.30
20 + 30
=
90000
50
= 𝟏𝟖𝟎𝟎 
 
A = k/p → A = 1800 / 20 → A = 90 processos. 
 
Questões 
 
01. (Pref. Paulistana/PI – Professor de Matemática – IMA) Uma herança de R$ 750.000,00 deve ser 
repartida entre três herdeiros, em partes proporcionais a suas idades que são de 5, 8 e 12 anos. O mais 
velho receberá o valor de: 
(A) R$ 420.000,00 
(B) R$ 250.000,00 
(C) R$ 360.000,00 
(D) R$ 400.000,00 
(E) R$ 350.000,00 
 
02. (TRF 3ª – Técnico Judiciário – FCC) Quatro funcionários dividirão, em partes diretamente 
proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bônus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses 
quatro funcionários um deles já possui 2 anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 
6 anos trabalhados e o outro terá direito, nessa divisão, à quantia de R$6.000,00. Dessa maneira, o 
número de anos dedicados para a empresa, desse último funcionário citado, é igual a 
(A) 5. 
(B) 7. 
(C) 2. 
(D) 3. 
(E) 4. 
 
03. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma prefeitura destinou a quantia 
de 54 milhões de reais para a construção de três escolas de educação infantil. A área a ser construída 
em cada escola é, respectivamente, 1.500 m², 1.200 m² e 900 m² e a quantia destinada à cada escola é 
diretamente proporcional a área a ser construída. 
Sendo assim, a quantia destinada à construção da escola com 1.500 m² é, em reais, igual a 
(A) 22,5 milhões. 
(B) 13,5 milhões. 
(C) 15 milhões. 
(D) 27 milhões. 
(E) 21,75 milhões. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 42 
04. (SABESP – Atendente a Clientes 01 – FCC) Uma empresa quer doar a três funcionários um 
bônus de R$ 45.750,00. Será feita uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. 
Fortes trabalhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses e Srta. 
Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. Matilde recebeu a menos que 
o Sr. Fortes é 
(A) 17.100,00. 
(B) 5.700,00. 
(C) 22.800,00. 
(D) 17.250,00. 
(E) 15.000,00. 
 
05. (SESP/MT – Perito Oficial Criminal - Engenharia Civil/Engenharia Elétrica/Física/Matemática 
– FUNCAB) Maria, Júlia e Carla dividirão R$ 72.000,00 em partes inversamente proporcionais às suas 
idades. Sabendo que Maria tem 8 anos, Júlia,12 e Carla, 24, determine quanto receberá quem ficar com 
a maior parte da divisão. 
(A) R$ 36.000,00 
(B) R$ 60.000,00 
(C) R$ 48.000,00 
(D) R$ 24.000,00 
(E) R$ 30.000,00 
 
06. (PC/SP – Fotógrafo Perito – VUNESP) Uma verba de R$ 65.000,00 será alocada a três projetos 
diferentes. A divisão desse dinheiro será realizada de forma diretamente proporcional aos graus de 
importância dos projetos, que são, respectivamente,2, 4 e 7. Dessa maneira, a quantia que o projeto 
mais importante receberá ultrapassa a metade do total da verba em 
(A) R$ 2.500,00. 
(B) R$ 9.000,00. 
(C) R$ 1.000,00. 
(D) R$ 5.000,00. 
(E) R$ 7.500,00. 
 
07. (PC/SP – Atendente de Necrotério Policial – VUNESP) No ano de 2008, a Secretaria Nacional 
de Segurança Pública divulgou o Relatório Descritivo com o Perfil dos Institutos de Medicina Legal (IML) 
brasileiros. Nesse relatório, consta que, em 2006, as quantidades de IMLs nos Estados do Espírito Santo, 
de Minas Gerais, do Rio de Janeiro e de São Paulo eram, respectivamente, 2, 20, 9 e 64. Supondo-se 
que uma verba federal de R$ 190 milhões fosse destinada aos IMLs desses Estados, e a divisão dessa 
verba fosse feita de forma diretamente proporcional a essas quantidades de IMLs por estado, o Estado 
de São Paulo receberia o valor, em milhões, de 
(A) R$ 128. 
(B) R$ 165,5. 
(C) R$ 98. 
(D) R$ 156. 
(E) R$ 47,5. 
 
08. (UFABC/SP – TRADUTOR E INTÉRPRETE DE LINGUAGENS DE SINAIS – VUNESP) Alice, 
Bianca e Carla trabalharam na organização da biblioteca da escola e, juntas, receberam como pagamento 
um total de R$900,00. Como cada uma delas trabalhou um número diferente de horas, as três decidiram 
que a divisão do dinheiro deveria ser proporcional ao tempo trabalhado. Alice trabalhou por 4 horas, e 
Bianca, que trabalhou 30 minutos menos do que Alice, recebeu R$210,00. A parte devida a Carla foi de 
(A) R$400,00. 
(B) R$425,00. 
(C) R$450,00. 
(D) R$475,00. 
(E) R$500,00. 
 
09. (EMTU/SP – AGENTE DE FISCALIZAÇÃO – CAIPIMES) Uma calçada retilínea com 171 metros 
precisa ser dividida em três pedaços de comprimentos proporcionais aos números 2, 3 e 4. O maior 
pedaço deverá medir: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 43 
(A) 78 metros. 
(B) 82 metros. 
(C) 76 metros. 
(D) 80 metros. 
 
10. (METRÔ/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Repartir dinheiro 
proporcionalmente às vezes dá até briga. Os mais altos querem que seja divisão proporcional à altura. 
Os mais velhos querem que seja divisão proporcional à idade. Nesse caso, Roberto com 1,75 m e 25 
anos e Mônica, sua irmã, com 1,50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 
29.250,00. Decidiram, no par ou ímpar, quem escolheria um dos critérios: altura ou idade. Mônica ganhou 
e decidiu a maneira que mais lhe favorecia. O valor, em reais, que Mônica recebeu a mais do que pela 
divisão no outro critério, é igual a 
(A) 500. 
(B) 400. 
(C) 300. 
(D) 250. 
(E) 50. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
5x + 8x + 12x = 750.000 
25x = 750.000 
x = 30.000 
O mais velho receberá: 1230000=360000 
 
02. Resposta: D. 
2x + 7x + 6x + 6000 = 36000 
15x = 30000 
x = 2000 
Como o último recebeu R$ 6.000,00, significa que ele se dedicou 3 anos a empresa, pois 2000.3 = 
6000 
 
03. Resposta: A. 
1500x + 1200x + 900x = 54000000 
3600x = 54000000 
x = 15000 
Escola de 1500 m²: 1500.15000 = 22500000 = 22,5 milhões. 
 
04. Resposta: A. 
* Fortes: 12 anos e 8 meses = 12.12 + 8 = 144 + 8 = 152 meses 
* Lourdes: 9 anos e 7 meses = 9.12 + 7 = 108 + 7 = 115 meses 
* Matilde: 3 anos e 2 meses = 3.12 + 2 = 36 + 2 = 38 meses 
* TOTAL: 152 + 115 + 38 = 305 meses 
* Vamos chamar a quantidade que cada um vai receber de F, L e M. 
 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 
𝑳
𝟏𝟏𝟓
= 
𝑴
𝟑𝟖
= 
𝑭 + 𝑳 + 𝑴
𝟏𝟓𝟐 + 𝟏𝟏𝟓 + 𝟑𝟖
= 
𝟒𝟓𝟕𝟓𝟎
𝟑𝟎𝟓
= 𝟏𝟓𝟎 
 
Agora, vamos calcular o valor que M e F receberam: 
 
𝑴
𝟑𝟖
= 𝟏𝟓𝟎 
 
M = 38 . 150 = R$ 5 700,00 
𝑭
𝟏𝟓𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 
F = 152 . 150 = R$ 22 800,00 
Por fim, a diferença é: 22 800 – 5700 = R$ 17 100,00 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 44 
05. Resposta: A. 
M + J + C = 72000 
 
𝑀
1
1
8
=
𝐽
1
1
12
= 
𝐶
1
1
24
 = 
𝑀 +𝐽+𝐶
1
3+2+1
24
= 
72000
1
6
24
= 
72000 .24
6 .1
= 72000 . 4 = 288000 
 
A maior parte ficará para a mais nova (grandeza inversamente proporcional). 
Assim: 
 
8.𝑀
1
= 288000 
8.M = 288 000 → M = 288 000 / 8 → M = R$ 36 000,00 
 
06. Resposta: A. 
Temos que A + B + C = 65 000, por grau de importância temos: 
A = K.2 
B = K.4 
C = K.7 
Aplicando na propriedade da divisão proporcional: 
𝐴
2
+
𝐵
4
+
𝐶
7
=
𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2 + 4 + 7
=
65 000
13
= 5000 
 
Temos que K = 5000, aplicando acima, vamos descobrir o valor atribuído a cada um projeto: 
A = 5000 .2 = 10 000 
B = 5000.4 = 20 000 
C = 5000.7 = 35 000 
Como ele quer saber quanto o projeto de maior importância superou a metade da verba total, temos: 
Metade da verba total = 65 000/2 = 32 500 
Como o valor do projeto de maior importância é 35 000, logo 35 000 – 32 500 = 2 500 
 
07. Resposta: A. 
Temos que E + M + R + S = 190 milhões 
Então: 
𝐸
2
+
𝑀
20
+
𝑅
9
+
𝑆
64
=
𝐸 + 𝑀 + 𝑅 + 𝑆
2 + 20 + 9 + 64
=
190 000 0000
95
= 2 000 000 
 
Como queremos saber de o valor de São Paulo: 
S = 2 000 000 . 64 = 128 000 000 ou 128 milhões. 
 
08. Resposta: C. 
Alice: 4horas = 240 minutos 
Bianca: 3 horas 30 minutos = 210 minutos 
K: constante 
210.k = 210 
k = 1, cada hora vale R$ 1,00 
Carla: Y 
240 + 210 + Y = 900 
Y = 900 - 450 
Y = 450 
 
09. Resposta: C. 
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
4
=
171
9
= 19 
 
y = 19.4 = 76 ou 
2x + 3x + 4x = 171 
9x = 171 → x = 19 
Maior pedaço: 4x = 4.19 = 76 metros 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 45 
10. Resposta: A. 
Pela altura: 
R + M = 29250 
𝑅
1,75
 +
 𝑀 
1,50
=
 29250
1,75 + 1,5
=
29250
3,25
= 9000 
 
Mônica: 1, 5.9000=13500 
Pela idade 
𝑅
25
+
𝑀
20
=
29250
45
= 650 
 
Mônica: 20.650 = 13000 
13500 – 13000 = 500 
 
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
5 - Regras de três simples e compostas. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 46 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em umamesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 47 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
 
 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 48 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Manoel vendeu seu carro por 
R$27.000,00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do 
tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 49 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 50 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na latade tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 51 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 52 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 53 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. 
 
Exemplos: 
 1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 






300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 54 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Referências 
MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
Questões 
 
01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) O trabalho de varrição de 
6.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. 
Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, 
trabalhando por dia, o tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, 
trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa 
equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o 
calçamento de uma área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 
8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão paraatender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 55 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
04. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias 
em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Administração de Empresas – FCC) 
Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 
128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas 
por dia, terminariam a obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito 
autorizou a contratação de mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) 
trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam 
trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 56 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. 
Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias 
que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora 
a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
10. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde esta o x. 
M² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 57 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 58 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamenteproporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- 27 
 8 ------------------ 9 ----------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- x 
 8 ------------------ 9 ----------- 27 
 
𝑥
27
=
10
8
∙
8
9
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 59 
 72𝑥 = 2160 
 
 𝑥 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
10. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" 
se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
, = 10% 
6 - Percentagens. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 60 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
, = 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
- Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 61 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
- Aumento e Desconto Percentuais 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200%, equivale a multiplicá-lo por 3, pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
A)35% 
B)30% 
C)3,5% 
D)3,8% 
E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 62 
 
 - Aumentos e Descontos Sucessivos 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1, como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representao valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) Marcos comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse 
comprado o produto, com 25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 
15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% 
estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é 
igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 63 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) Quando calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60; 
(D) 169,50. 
 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC) O Relatório Setorial do 
Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 64 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A porcentagem 
que lhe sobrou do valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 65 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 =R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,...). 
Observe a figura: 
 
7 - Equações e inequações de 1.º e de 2.º graus. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 66 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a 
 
Termos da equação do 1º grau 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1 
2º membro composto pelo termo x e +7 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos: 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro: 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 67 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações 
feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os 
demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida 
igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do 
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. 68 
restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a 
quantia dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Um funcionário de uma 
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. 
Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Bia tem 10 anos a mais 
que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS) Em uma praça, Graziela 
estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da 
seguinte forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigo tem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
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. 69 
08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Dois amigos foram a uma 
pizzaria. O mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 
da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 
comido, a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 
3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 
anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, que por 
sua vez tinha o dobro daidade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, 
em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Respostas 
 
 01. Resposta: E. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Resposta: D. 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 70 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Resposta: A. 
 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Resposta: A. 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 71 
07. Resposta: B. 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Resposta: C. 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Resposta: E. 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Resposta: C. 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
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. 72 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 73 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 74 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relaçõesentre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 75 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P=0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 
Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} 
 
Referências 
www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAÍ/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja 
uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
 (A) 1. 
 (B) 2. 
 (C) 3. 
 (D) 0. 
 (E) 9. 
 
02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas 
raízes são 1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 
2º grau dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 76 
06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Temos que a raiz do 
polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Considere a seguinte 
equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que 
a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 
as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
(C) 1. 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² 
- 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D. 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 77 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B. 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A. 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B. 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
−34
2
= −17 (Não Convém) 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 78 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B. 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C. 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B. 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D. 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
 
10. Resposta: C. 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 79 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
 
S = P 
 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
INEQUAÇÃO DO 1º GRAU 
 
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. 
Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: 
 
ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. 
 
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A 
expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. 
 
Propriedades 
- Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo 
número aos seus dois membros. 
 
 
 
- Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 
1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros 
por um mesmo número positivo. 
 
 
 
2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um 
mesmo número negativo. 
 
 
O que é falso, pois -15 < -6. 
 
Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto 
verdadea partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo 
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra 
inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. 
 
Exemplo: 
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 
1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 80 
2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 
 
3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. 
-2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 
 
4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 
𝑥 ≥ −
15
2
 
 
Logo: 
U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} 
 
Vejamos mais um exemplo: 
 
Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R 
-5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por ( 
-1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da 
desigualdade) → x ≤ 2. 
S = {x є R | x ≤ 2} 
 
Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: 
y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) 
-5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. 
Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). 
 
 
 
Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( 
+ ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. 
 
- Inequações do 1º grau com duas variáveis 
 
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. 
As inequações podem ser escritas das seguintes formas: 
ax + b > 0; 
ax + b < 0; 
ax + b ≥ 0; 
ax + b ≤ 0. 
Onde a, b são números reais com a ≠ 0. 
 
- Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método 
prático: 
 
1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 
2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 
3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo 
satisfaz ou não a desigualdade inicial. 
 
3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence 
o ponto auxiliar. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 81 
3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele 
ao qual pertence o ponto auxiliar. 
 
 
Exemplo: 
Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. 
 
 
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. 
Verificamos: 
2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da 
inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). 
 
Referências 
www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √x < 7? 
(A) 13; 
(B) 26; 
(C) 38; 
(D) 39; 
(E) 40. 
 
02. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por 
questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno 
receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: 
(A) 3 questões 
(B) 4 questões 
(C) 5 questões 
(D) 6 questões 
(E) 7 questões 
 
03. (Tec. enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: 
(A) -2. 
(B) -3. 
(C) -1. 
(D) 4. 
(E) 5. 
 
04. (AUX. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, 
foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela 
apertou a tecla correspondente ao 6? 
(A) 88. 
(B) 87. 
(C) 54. 
(D) 53. 
(E) 42. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 82 
05. (CFSD/PM) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para 
que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: 
 
 
(A) 06. 
(B) 08. 
(C) 10. 
(D) 12. 
(E) 14. 
 
06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: 
(A) maior que 8. 
(B) 6. 
(C) 2. 
(D) 1. 
(E) 0. 
 
07. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB) 
Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 
 
(A) x > 2 
(B) x ≤ - 5 
(C) x > - 5 
(D) x < 2 
(E) x ≤ 2 
 
08. (UEAP – Técnico em Planejamento, Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CS-
UFG) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, R$ 100,00 para uma compra de batata e 
feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, respectivamente, na compra de batata e de feijão, a 
inequação que representa esta situação é: 
(A) X + Y > 100 
(B) X + Y ≤ 100 
(C) 
𝑋
𝑌
> 100 
(D) 
𝑋
𝑌
≤ 100 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 
9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. 
Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 
 
02. Resposta: D. 
Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – 
x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 
4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 
O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 83 
03. Resposta: C. 
4x + 2 – 2 > x -12 
4x + 2x – x > -12 +2 
5x > -10 
x > -2 
Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro 
é -1. 
 
04. Resposta: A. 
Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 
525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) 
-6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 
 
05. Resposta: B. 
Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 
6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 
6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 
11x + 10 > 80 
11x > 80 -10 
x > 70/11 
x > 6,36 
Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 
 
06 . Resposta: E. 
2x ≤ 3+3 
2x ≤ 6 
x ≤ 3 
Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero 
será ele mesmo. 
 
07. Resposta: B. 
3𝑥
2
+ 2 ≤
𝑥
2
− 3 →
3𝑥
2
−
𝑥
2
≤ −3 − 2 →
2𝑥
2
≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 
 
08. Resposta: B. 
Batata = X 
Feijão = Y 
O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), 
logo: 
X + Y ≤ 100 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: 
 
ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 
 
A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c, para que possamos determinar 
os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: 
y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. 
 
E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 84 
 
 
Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 
 
1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. 
Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 
𝑥 =
−10 ± √16
2.3
→ 𝑥 =
−10 ± 4
6
→ {
𝑥′ =
−10 + 4
6
=
−6
6
= −1
𝑥′′ =
−10 − 6
6
= −
14
6
= −
7
3
 
 
Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a 
mesma. 
 
 
Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a 
inequação, logo a solução para equação é: 
S= {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 
 
2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
𝑥 =
−(−4) ± √16
2
→ 𝑥 =
4 ± 4
2
{
𝑥′ =
4 + 4
2
= 4
𝑥′′ =
4 − 4
2
= 0
 
Graficamente temos: 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 85 
Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução 
que procuramos. Logo: 
S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Questões 
 
01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: 
(A) ∅ 
(B) R 
(C) {
1
3
} 
(D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥
1
3
} 
(E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠
1
3
} 
 
02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: 
(A) 60 
(B) 90 
(C) 120 
(D) 180 
(E) 360 
 
03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) =
1
√9−𝑥2
, é o intervalo: 
(A) [0; 9] 
(B) ]0; 3[ 
(C) ]- 3; 3[ 
(D) ]- 9; 9[ 
(E) ]- 9; 0[ 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Resolvendo por Bháskara: 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= (−6)2 − 4.9.1 
∆= 36 − 36 = 0 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
𝑥 =
−(−6)±√0
2.9
 
𝑥 =
6±0
18
=
6
18
=
1
3
 (delta igual a zero, duas raízes iguais) 
 
Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: 
 
 
 
S = {
1
3
} 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 86 
02. Resposta: E. 
(x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 
7x – x2 – 14 + 2x > 0 
- x2 + 9x – 14 > 0 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆= 92 − 4. (−1). (−14) 
∆= 81 − 56 = 25 
𝑥 =
−9±√25
2.(−1)
 
𝑥 =
−9±5
−2
  𝑥1 =
−9+5
−2
=
−4
−2
= 2 ou 𝑥2 =
−9−5
−2
=
−14
−2
= 7 
 
Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: 
 
 
a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 
3.4.5.6 = 360 
 
03. Resposta: C. 
Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da 
fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. 
- x2 + 9 >0 
As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. 
Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: 
 
A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ 
 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
- Definição 
Observe o raciocínio: João e José são colegas. Ao passarem por uma livraria, João resolveu comprar 
2 cadernos e 3 livros e pagou por eles R$ 15,40, no total dos produtos. José gastou R$ 9,20 na compra 
de 2 livros e 1 caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. 
No dia seguinte, encontram um outro colega e falaram sobre suas compras, porém não se lembrava 
do preço unitário dos livros. Sabiam, apenas que todos os livros, como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. 
Bom, diante deste problema, será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno 
com as informações que temos? 
Um sistema de equação do primeiro grau com duas incógnitas x e y, pode ser definido como um 
conjunto formado por duas equações do primeiro grau. Lembrando que equação do primeiro grau é aquela 
que em todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. 
8 – Sistemas de equações do 1º grau. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 87 
Exemplos de sistemas: 
 
 
{ Observe este símbolo. A matemática convencionou neste caso para indicar que duas ou mais 
equações formam um sistema. 
 
- Resolução de sistemas 
Resolver um sistema significa encontrar um par de valores das incógnitas x e y que faça verdadeira 
as equações que fazem parte do sistema. 
 
Exemplos: 
a) O par (4,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
{
x – y = 2
x + y = 6
 
 
x - y = 2 ; x + y = 6 
4 – 3 = 1 ; 4 + 3 = 7 
1 ≠ 2 (falso) 7 ≠ 6 (falso) 
A resposta então é falsa. O par (4,3) não é a solução do sistema de equações acima. 
 
b) O par (5,3) pode ser a solução do sistema 
{
x – y = 2
x + y = 8
 
 
x – y = 2 
x + y = 8 
Para saber se estes valores satisfazem ao sistema, basta substituir os valores em ambas as equações: 
x – y = 2 ; x + y = 8 
5 – 3 = 2 ; 5 + 3 = 8 
2 = 2 (verdadeiro 8 = 8 (verdadeiro) 
A resposta então é verdadeira. O par (5, 3) é a solução do sistema de equações acima. 
 
- Métodos para solução de sistemas do 1º grau. 
 
Método de substituição 
Esse método de resolução de um sistema de 1º grau estabelece que “extrair” o valor de uma incógnita 
é substituir esse valor na outra equação. 
Observe: 
{
x – y = 2
x + y = 4
 
Vamos escolher uma das equações para “extrair” o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecer 
o valor de acordo com a outra incógnita, desta forma: 
x – y = 2 → x = 2 + y 
Agora iremos substituir o “x” encontrado acima, na “x” da segunda equação do sistema: 
x + y = 4 
(2 + y) + y = 4 
2 + 2y = 4 → 2y = 4 – 2 → 2y = 2 → y = 1 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 88 
Temos que: x = 2 + y, então 
x = 2 + 1 
x = 3 
Assim, o par (3, 1) torna-se a solução verdadeira do sistema. 
 
Método da adição 
Este método de resolução de sistema do 1º grau consiste apenas em somas os termos das equações 
fornecidas. 
Observe: 
{
x – y = −2
3x + y = 5
 
Neste caso de resolução, somam-se as equações dadas: 
x – y = -2 
3x + y = 5 + 
4x = 3 
x = 3/4 
Veja nos cálculos que quando somamos as duas equações o termo “y” se anula. Isto tem que ocorrer 
para que possamos achar o valor de “x”. 
Agora, e quando ocorrer de somarmos as equações e os valores de “x” ou “y” não se anularem para 
ficar somente uma incógnita? 
Neste caso, é possível usar uma técnica de cálculo de multiplicação pelo valor excludente negativo. 
Ex.: 
{
3x + 2y = 4
2x + 3y = 1
 
Ao somarmos os termos acima, temos: 
5x + 5y = 5, então para anularmos o “x” e encontramos o valor de “y”, fazemos o seguinte: 
» multiplica-se a 1ª equação por +2 
» multiplica-se a 2ª equação por – 3 
 
Vamos calcular então: 
3x + 2y = 4 (x +2) 
2x + 3y = 1 (x -3) 
6x +4y = 8 
-6x - 9y = -3 + 
-5y = 5 
y = -1 
 
Substituindo: 
2x + 3y = 1 
2x + 3.(-1) = 1 
2x = 1 + 3 
x = 2 
 
Verificando: 
3x + 2y = 4 → 3.(2) + 2(-1) = 4 → 6 – 2 = 4 
2x + 3y = 1 → 2.(2) + 3(-1) = 1 → 4 – 3 = 1 
 
- Gráfico de um sistema do 1º grau 
 
Dispondo de dois pontos, podemos representa-los graficamente em um plano cartesiano. A figura 
formada por esses pontos é uma reta. 
Exemplo: 
Dado x + y = 4, vamos traçar o gráfico desta equação. Vamos atribuir valores a x e a y para 
acharmos os pontos no gráfico. 
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. 89 
 
 
Unindo os pontos traçamos a reta, que contém todos os pontos da equação. A essa reta damos o 
nome de reta suporte. 
 
 
Questões 
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em uma gincana entre as três equipes de uma escola (amarela, 
vermelha e branca), foram arrecadados 1 040 quilogramas de alimentos. A equipe amarela arrecadou 50 
quilogramas a mais que a equipe vermelha e esta arrecadou 30 quilogramas a menos que a equipe 
branca. A quantidade de alimentos arrecadada pela equipe vencedora foi, em quilogramas, igual a 
(A) 310 
(B) 320 
(C) 330 
(D) 350 
(E) 370 
 
02. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Os cidadãos que aderem voluntariamente à 
Campanha Nacional de Desarmamento recebem valores de indenização entre R$150,00 e R$450,00 de 
acordo com o tipo e calibre do armamento. Em uma determinada semana, a campanha arrecadou 30 
armas e pagou indenizações somente de R$150,00 e R$450,00, num total de R$7.500,00. 
Determine o total de indenizações pagas no valor de R$150,00. 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 22 
(D) 24(E) 18 
 
03. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – IDECAN) A razão entre a idade 
de Cláudio e seu irmão Otávio é 3, e a soma de suas idades é 28. Então, a idade de Marcos que é igual 
a diferença entre a idade de Cláudio e a idade de Otávio é 
(A) 12. 
(B) 13. 
(C) 14. 
(D) 15. 
(E) 16. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 90 
04. (PREF. NEPOMUCENO/MG – PORTEIRO – CONSULPLAN) Numa adega encontram-se 
armazenadas garrafas de vinho seco e suave num total de 300 garrafas, sendo que o número de garrafas 
de vinho seco excede em 3 unidades o dobro do número de garrafas de vinho suave. Assim, a 
porcentagem de garrafas de vinho seco dessa adega é igual a 
(A) 60%. 
(B) 63%. 
(C) 65%. 
(D) 67%. 
(E) 70%. 
 
05. (PETROBRAS - TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO) 
Maria vende salgados e doces. Cada salgado custa R$2,00, e cada doce, R$1,50. Ontem ela faturou 
R$95,00 vendendo doces e salgados, em um total de 55 unidades. 
Quantos doces Maria vendeu? 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 35 
(E) 40 
 
06. (TRT 6ª – ANALISTA JUDICIÁRIO –ADMINISTRATIVA – FCC) Para fazer um trabalho, um 
professor vai dividir os seus 86 alunos em 15 grupos, alguns formados por cinco, outros formados por 
seis alunos. Dessa forma, sendo C o número de grupos formados por cinco e S o número de grupos 
formados por seis alunos, o produto C⋅S será igual a 
(A) 56. 
(B) 54. 
(C) 50. 
(D) 44. 
(E) 36. 
 
07. (BANCO DO BRASIL – ESCRITURÁRIO – FCC) Dos 56 funcionários de uma agência bancária, 
alguns decidiram contribuir com uma lista beneficente. Contribuíram 2 a cada 3 mulheres, e 1 a cada 4 
homens, totalizando 24 pessoas. 
 A razão do número de funcionárias mulheres para o número de funcionários homens dessa agência 
é de 
(A) 3 para 4. 
(B) 2 para 3. 
(C) 1 para 2. 
(D) 3 para 2. 
(E) 4 para 5. 
 
08. (SABESP – ANALISTA DE GESTÃO I -CONTABILIDADE – FCC) Em um campeonato de futebol, 
as equipes recebem, em cada jogo, três pontos por vitória, um ponto em caso de empate e nenhum ponto 
se forem derrotadas. Após disputar 30 partidas, uma das equipes desse campeonato havia perdido 
apenas dois jogos e acumulado 58 pontos. O número de vitórias que essa equipe conquistou, nessas 30 
partidas, é igual a 
(A) 12 
(B) 14 
(C) 16 
(D) 13 
(E) 15 
 
09. (TJ/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VUNESP) Uma empresa comprou um 
determinado número de folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para 
facilitar a sua distribuição entre os diversos setores. 
Todo o material deverá ser entregue pelo fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. 
Se o fornecedor colocar 25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por 
caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 91 
(A) 2200. 
(B) 2000. 
(C) 1800. 
(D )2400. 
(E) 2500. 
 
10. SEAP – AGENTE DE ESCOLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIA – VUNESP) A razão entre o 
número de litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de soja vendidos por uma mercearia, nessa 
ordem, foi de 5/7. Se o número total de litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de 
litros de óleo de soja vendidos foi 
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172. 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Amarela: x 
Vermelha: y 
Branca: z 
x = y + 50 
y = z - 30 
z = y + 30 
 {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1040
𝑥 = 𝑦 + 50
𝑧 = 𝑦 + 30
 
Substituindo a II e a III equação na I: 
 𝑦 + 50 + 𝑦 + 𝑦 + 30 = 1040 
 3𝑦 = 1040 − 80 
y = 320 
Substituindo na equação II 
x = 320 + 50 = 370 
z=320+30=350 
A equipe que mais arrecadou foi a amarela com 370kg 
 
02. Resposta: A. 
Armas de R$150,00: x 
Armas de R$450,00: y 
 {
150𝑥 + 450𝑦 = 7500
𝑥 + 𝑦 = 30
 
x = 30 – y 
Substituindo na 1ª equação: 
 150(30 − 𝑦) + 450𝑦 = 7500 
 4500 − 150𝑦 + 450𝑦 = 7500 
 300𝑦 = 3000 
 𝑦 = 10 
 𝑥 = 30 − 10 = 20 
O total de indenizações foi de 20. 
 
03. Resposta: C. 
Cláudio :x 
Otávio: y 
 
𝑥
𝑦
= 3 
 {
𝑥 = 3𝑦
𝑥 + 𝑦 = 28
 
 𝑥 + 𝑦 = 28 
3y + y = 28 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 92 
4y = 28 
y = 7 x = 21 
Marcos: x – y = 21 – 7 = 14 
 
04. Resposta: D. 
Vinho seco: x 
Vinho suave: y 
 {
𝑥 + 𝑦 = 300 (𝐼)
𝑥 = 2𝑦 + 3 (𝐼𝐼)
 
Substituindo II em I 
2y + 3 + y = 300 
3y = 297 
y = 99 
x = 201 
300------100% 
201-----x 
x = 67% 
 
05. Resposta: C. 
Doces: x 
Salgados: y 
{
𝑥 + 𝑦 = 55 
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Resolvendo pelo método da adição, vamos multiplicar todos os termos da 1ª equação por -1,5: 
{
−1,5𝑥 − 1,5𝑦 = −82,5
1,5𝑥 + 2𝑦 = 95
 
Assim temos: 
0,5𝑦 = 12,5 
𝑦 = 25 ∴ 𝑥 = 30 
 Ela vendeu 30 doces 
 
06. Resposta: D. 
{
5𝐶 + 6𝑆 = 86
𝐶 + 𝑆 = 15
 
C = 15 – S 
Substituindo na primeira equação: 
5(15 – S) + 6S = 86 
75 – 5S + 6S = 86 
S = 11 
C = 15 – 11 = 4 
 𝐶 ∙ 𝑆 = 4 ∙ 11 = 44 
 
07. Resposta: A. 
Mulheres: x 
Homens: y 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 56 (. −
2
3
)
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
 
{
−
2
3
𝑥 −
2
3
𝑦 = −
112
3
2
3
𝑥 +
1
4
𝑦 = 24
 
Somando as duas equações: 
 
−
2
3
𝑦 +
1
4
𝑦 = −
112
3
+ 24 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 93 
mmc(3,4) = 12 
 
−8𝑦 + 3𝑦 = −448 + 288 
-5y = - 160 
y = 32 
x = 24 
razão de mulheres pra homens: 
24
32
=
3
4
 
 
08. Resposta: E. 
Vitórias: x 
Empate: y 
Derrotas: 2 
Pelo método da adição temos: 
 {
𝑥 + 𝑦 + 2 = 30. (−1)
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 {
−𝑥 − 𝑦 = −28
3𝑥 + 𝑦 = 58
 
 
2x = 30 
x = 15 
 
09. Resposta: D. 
Total de pacotes: x 
Caixas: y 
 
𝑥
25
= 𝑦 + 16 
 
25𝑦 + 400 = 𝑥 
𝑥
30
= 𝑦 
𝑥 = 30𝑦 
 
{
25𝑦 − 𝑥 = −400
𝑥 = 30𝑦
 
Substituindo: 
25𝑦 − 30𝑦 = −400 
−5𝑦 = −400 
𝑦 = 80 
𝑥 = 30 ∙ 80 = 2400 
 
10. Resposta: D. 
Óleo de milho: M 
Óleo de soja: S 
 
𝑀
𝑆
=
5
7
 7𝑀 = 5𝑆 
{
𝑀 + 𝑆 = 288 . (−7)
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
{
−7𝑀 − 7𝑆 = −2016 
7𝑀 − 5𝑆 = 0
 
 
−12𝑆 = −2016 
𝑆 = 168 
 
 
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. 94 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
9 - Funções e gráficos. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 95 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0).Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 96 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 97 
Noção de Função 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 98 
 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, 
é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x 
existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é 
ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 99 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
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. 100 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida 
por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma função 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
Observe que a reta de 
uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função 
crescente, que veremos 
mais à frente 
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. 101 
 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cadaelemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
Observe que a < 0, logo 
é uma função 
decrescente. 
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. 102 
Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também 
distintas no contradomínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos 
um elemento do domínio. 
 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao 
eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o 
que representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
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. 103 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente 
em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
Observe que nem todos os 
elementos do contradomínio tem um 
correspondente em x. Logo não é 
sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
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. 104 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
 
 
 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) diminuem. 
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. 105 
 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
 
 
 
 
Através do gráfico da função notamos que: 
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo 
x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
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. 106 
Estudo do sinal da função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
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. 107 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre a 
venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se 
R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 108 
à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale 
a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2.50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º graupassa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz 
de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 109 
07. (BRDE-RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o 
faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma não tenha 
prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 10.000,00 
(B) R$ 13.000,00 
(C) R$ 15.000,00 
(D) R$ 18.000,00 
(E) R$ 20.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa 
pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta 
Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas 
seu núcleo ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
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. 110 
02. Resposta: B. 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D. 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E. 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C. 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E. 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
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. 111 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
f(x) = c(x) 
 
2
3
 𝑥 > 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 > 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000 x = 
10000
1
6
  x = 60000 
 
Substituindo no faturamento temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Se tivermos um lucro de 60.000 – 40.000 de faturamento, logo o nosso faturamento mínimo é de 
20.000. 
Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. 
 
08. Resposta: C. 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C. 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 112 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente 
 
Exemplos: 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo: 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
 
 
 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinadapelo valor do a 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está 
voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste 
caso, no 0 (zero) 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas 
extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -
1/4 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 113 
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função 
definida por um polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
- Eixo de simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 114 
Coordenadas do vértice da parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
Exemplo: 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 115 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. 
 
Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2


 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da variação do sinal da função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em dois pontos distintos, e temos 
duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em um ponto e temos duas raízes 
iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não 
tangencia o eixo x em nenhum ponto e não 
temos raízes reais. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 116 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: 
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (-2,4), temos: 
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 
→ k = 2. 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva:1996 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e 
o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença 
entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) A figura ilustra um arco 
decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
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. 117 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR) A interseção entre os gráficos das 
funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D. 
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 
L(x)=-2x²+28x+40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B. 
C=0,81, pois é exatamente a distância de V 
F(x)=-x²+0,81 
0=-x²+0,81 
X²=0,81 
X=0,9 
A distância AB é 0,9+0,9=1,8 
 
04. Resposta: A. 
-2x+3=x²+5x-6 
X²+7x-9=0 
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. 118 
=49+36=85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
Y=-2.1,105+3=0,79Para x=-8,105 
Y=19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
2. Fórmula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
 
10 - Progressões aritméticas e geométricas. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 119 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 120 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
Sequência de Fibonacci 
 
O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: 
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, 
a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim 
por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo 
da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento 
de modelos explicativos de fenômenos naturais. 
Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida 
como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um 
retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo 
retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a 
figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam 
a sequência de Fibonacci. 
 
 
 
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, 
encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da 
sequência de Fibonacci. 
 
 
 
O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do 
edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma 
sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada 
retângulo áureo ou retângulo de ouro. 
 
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. 121 
 
 
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: 
𝑦
𝑎
=
𝑎
𝑏
 (1). 
 
Como: b = y – a (2). 
Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. 
Resolvendo a equação: 
 
𝑦 =
𝑎(1±√5
2
 em que (
1−√5
2
< 0) não convém. 
 
Logo: 
𝑦
𝑎
=
(1+√5
2
= 1,61803398875 
 
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 
 
𝜃 =
1 + √5
2
 
 
Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃é chamado retângulo áureo 
como o caso da fachada do Partenon. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 122 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯ … … … = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫 
𝐒𝐧 =
(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧
𝟐
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 123 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
an = a1.qn – 1 
𝐒𝐧 =
𝐚𝟏. (𝐪
𝐧 − 𝟏)
𝐪 − 𝟏
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 124 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
𝐒 =
𝐚𝟏
𝟏 − 𝐪
 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 
|𝐏𝐧| = √(𝐚𝟏. 𝐚𝐧)𝐧 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 125 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN) 
O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. 
A soma do segundo e quarto termos dessa sequênciaé igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 126 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC) Considere a sequência numérica 
formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são 
dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Respostas 
01. Resposta: A. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
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. 127 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
06. Resposta: E. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
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. 128 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 - Funções exponenciais e logarítmicas. 
 
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. 129 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos 
que: 
Ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um 
dos primeiros a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
X Y 
-3 1
8
 
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. 130 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
02. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos.03. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA) Em um período longo de seca, o valor médio de água presente em 
um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t é medido em 
meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
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. 131 
04. (CBTU- Assistente Operacional – FUMARC) Uma substância se decompõe segundo a lei Q(t) 
= K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
02. Resposta: A. 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
 
03. Resposta: A. 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
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. 132 
0,5t=3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
04. Resposta: A. 
 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 
Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 
Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 
512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log2 𝑥 = 3 
log𝑥 100 = 2 
7log5 625𝑥 = 42 
3log2𝑥 64 = 9 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Solucionando Equações Logarítmicas 
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: 
log2 𝑥 = 3 
 
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: 
log2 𝑥 = 3 ⟺ 2
3 = 𝑥 
 
Logo x é igual a 8: 23 = x ⇒ x = 2.2.2 ⇒ x = 8 
 
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 
é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome 
de condição de existência. 
 
log𝑥 100 = 2 
 
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. 
Então a nossa condição de existência da equação acima é que: x ϵ R*+ - {1} 
 
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença: 
log𝑥 100 = 2 ⟺ 𝑥
2 = 100 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 133 
Que nos leva aos seguintes valores de x: 
𝑥2 = 100 ⟹ 𝑥 = ±√100 ⟹ {
𝑥 = −10
𝑥 = 10
 
 
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de 
existência, já que -10 é um número negativo. 
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a 
condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1. 
 
7log5 625𝑥 = 42 
 
Neste caso temos a seguinte condição de existência: 
625𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
0
625
⟹ 𝑥 > 0 
Voltando à equação temos: 
7log5 625𝑥 = 42 ⟹ log5 625𝑥 =
42
7
⟹ log5 625𝑥 = 6 
 
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos 
temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se 
quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim: 
⇒ log5 𝑥 = 2 ⟺ 5
2 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = 25 
 
Lembre-se que: 
 log𝑏(𝑀. 𝑁) = log𝑏 𝑀 + log𝑏 𝑁 e que log5 625 = 4, pois 5
4 = 625. 
3 log2𝑥 64 = 9 
 
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: 
2𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
1
2
⟹ 𝑥 > 0 
 
E, além disto, temos também a seguinte condição: 2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2 
 
Portanto a condição de existência é: x ϵ R*+ - {1/2} 
 
Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição 
de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, 
este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos 
verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. 
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x: 
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e 
não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência 
do logaritmando 2x: 2x > 0 ⇒ x > 0 
 
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero 
que você veja. O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra 
diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0? 
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que 
seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não 
possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto 
solução da equação é portanto S = { }, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições 
de existência da equação. 
 
Função Logarítmica 
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, 
lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 134 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta 
x=0 
O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma 
função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta 
natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao 
gráfico da função inicial y=f0(x)=ln x ? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que sejadada pela expressão y=f2(x)=a.ln x onde a 
é uma constante real, a 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a 
constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo 
y=f3(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo 
os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y=a.ln(x+m)+k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente, 
y=a.ln(x+m)+k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
- em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o 
papel que x=0 exercia em y=ln x; 
- a seguir, no gráfico de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- por fim, o gráfico de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a é toda função f:R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 com a ϵ R*+ e a ≠ 
1. 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 135 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos 
da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
- Função Logarítmica Crescente 
 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 136 
Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valor de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
- Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 
10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
03. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, 
considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E) Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
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. 137 
04. (PETROBRAS-ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR - TRANSPORTE 
MARÍTIMO-CESGRANRIO) Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 
5. Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e 
disse ainda que a resposta à pergunta era dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A)log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
 
05. ( TRT - 13ª REGIÃO (PB) -ANALISTA JUDICIÁRIO - ESTATÍSTICA-FCC) Com base em um 
levantamento histórico e utilizando o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a 
equação para estimar a probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado 
equipamento em função do tempo (t), em minutos, em que as propriedades do equipamento são 
divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) = - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento 
forem divulgadas por um tempo de 15 minutos na mídia, então a probabilidade do equipamento ser 
vendido é, em %, de 
 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C) 72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS-CONHECIMENTOS BÁSICOS - TODOS OS CARGOS DE NÍVEL MÉDIO-
CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, 
pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. 
Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função 
y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse 
lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
 
Dadoslog 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C) 170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT-ANALISTA EM INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES-ESAF) Suponha que um técnico 
efetuou seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber 
que os valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática 
(logaritmo na base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida 
transformação logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
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. 138 
 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS-TÉCNICO DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO JÚNIOR-CESGRANRIO) Se y = 
log81 (1⁄27) e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A)1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
(D) 2 
(E)16 
 
09. (PETROBRAS-GEOFÍSICO JUNIOR-GEOLOGIA-CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo 
na base 10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A)2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS-TODOS OS CARGOS-CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a 
tecla log serve para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, 
apertamos a tecla log, o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com 
aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 * 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n * 2) = 3 * log 10 
log(n*2) = log 10 ^3 
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. 139 
2n = 10^3 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D. 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C. 
(x)=log2(x-2) 
Verificamos a condição de existência, daí x-2>0 
x>2 
Logo a reta x=2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B. 
8p=3 
23p=3 
 log23p=log3 
3p=(log3/log2) 
 p=(log3/log2).1/3 
 
3q=5 
q.log3=log5 
q=log5/log3 
3.p.q= 3. (log3/log2).1/3.log5/log3 = log5/log2 
 3.p.q/(1+3.p.q) 
 log5/log2/(1+log5/log2) 
 (log5/log2)/( log2/log2+ log5/log2) 
(log5/log2)/(log2+log5)/log2) 
 (log5/log2)/( log10)/log2) 
 (log5/ log10)= 
 log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03*t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60. p 
p = 0,625 
 
 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então: 
 i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
 (i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
 1/3 = 0,6 (x/88) 
 log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
 log 1 - log 3 = x/88 * log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 *. log 6/10 
 88 . (- 0,48) = X . [ log 6 - log 10 ] 
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. 140 
 6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
 como log10 na base 10 = 1. 
 
 - 42,24 = X . [ log 3 + log 2 - (1)] 
 - 42,24 = X . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
X = - 42,24 / - 0,22 
 X = (42,24 / 0,22) = 192 
X = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
 A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A. 
 
y = log (81) (1/27) 
 
y = -3log(81)(3) 
 
y = -3. 1/4 
y = -3/4 
 
x(-3/4) = 8 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
 
x-3 = 84 
 
1/x3 = 84 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
 
 Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
 
09. Resposta: C. 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
, onde 1 = log 10 
então: 
log (n .2) = 3 . log 10 
log(n.2) = log 10 3 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
 
 
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. 141 
10 Resposta: B. 
Log 6 = Log (2. 3) 
 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A*B) = Log A + Log B 
 
Então, Log (2*3) = Log 2 + Log 3. 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28 = Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2+Log 2+ Log 7 
Portanto: 
Log 2+ Log 3 + X = Log 2 + Log 2 +Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log 3 + X = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os , temos que: 
0,477 + X = 0,301+0,845 
X = 0,669 
 
 
 
JUROS SIMPLES1 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
Exemplo 
 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
1 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
12 - Juros simples e compostos: capitalização e descontos. 
 
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. 142 
Resposta 
 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatrovariáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
Exemplo 
 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
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45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
Questões 
 
01. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
02. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
03. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
04. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC) Em um contrato é estabelecido que uma pessoa 
deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. Esta 
pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, durante 
3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, ela 
resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o restante 
sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do montante 
desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 10.665,50, então 
a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 144 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
02. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
03. Resposta: C. 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
04. Resposta: C. 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
JUROS COMPOSTOS2 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
2 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 145 
Exemplo 
 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
 
Para resolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 146 
Resposta 
 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02= 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
 
Questões 
 
01. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
02. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
(E) 6 
 
03. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06; ln(1,03) = 0,03). 
 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 147 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
02. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
03. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
04. Resposta: B. 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
DESCONTOS 
 
Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data 
de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação. 
A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou 
um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença 
entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento. 
Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo 
determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja: 
 
Valor descontado = Valor nominal – Desconto 
 
As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros 
compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, 
restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo. 
Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto: 
(a) desconto "por dentro" (ou racional) e; 
(b) desconto "por fora" (ou bancário, ou comercial). 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 148 
Exemplo 
 
Ao resgatar uma duplicata dois meses, antes da data do vencimento (04/03/2005), o credor José da 
Silva (aquele que irá receber o valor da mesma) recebe uma quantia de R$ 460,00. 
A essa diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual) damos o nome 
de desconto. 
 
D = N – A 
Onde: 
D = desconto 
N = valor nominal 
A = valor atual 
 
O desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes do vencimento é maior, resultando 
num resgate de menor valor para o proprietário do título. O desconto é o contrário da capitalização. 
 
Comparando com o regime de juros, observamos que: 
 
- o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante; 
- o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital; 
- e o Desconto nos dá ideia de Juros. 
 
DESCONTOS SIMPLES 
 
Desconto Racional Simples (por dentro) 
 
O desconto racional, também denominado de desconto "por dentro", incorpora os conceitos e relações 
básicas de juros simples, conforme desenvolvidos no primeiro capítulo. Assim, sendo Dr o valor do 
desconto racional, C o capital (ou valor atual), i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto (número 
de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se a conhecida expressão de juros 
simples 
 
Pela própria definição de desconto e introduzindo-se o conceito de valor descontado no lugar de capital 
no cálculo do desconto, tem-se: 
 
Sendo N o valor nominal (ou valor de resgate, ou montante) e V o valor descontado racional (ou valor 
atual) na data da operação. 
Como: 
 
Tem-se: 
 
 
A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor 
nominal (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determinado prazo de antecipação (n). 
Já o valor descontado, conforme definição apresentada, é obtido pela seguinte expressão de cálculo: 
 
 
 
Observe, uma vez mais, que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples 
descritas no capítulo inicial. É importante registrar que o juro incide sobre o capital (valor atual) do título, 
ou seja, sobre o capital liberado da operação. 
A taxa de juro (desconto) cobrada representa, dessa maneira, o custo efetivo de 
todo o período do desconto. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 149 
Caso na hora da prova você não lembre a fórmula acima, basta lembrar as de juros simples e fazer as 
respectivamente as associações. 
 
Desconto Comercial Simples (por fora) 
 
Esse tipo de desconto, simplificadamente por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, 
proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações. Observe que, ao contrário dos 
juros "por dentro", que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação, ou seja, 
sobre o valor presente, o critério "por fora" apura os juros sobre o montante, indicando custos adicionais 
ao tomador de recursos. 
A modalidade de desconto "por fora" é amplamente adotada pelo mercado, notadamente em 
operações de crédito bancário e comercial a curto prazo. 
O valor desse desconto, genericamente denominado desconto "por fora" (Df)' no regime de juros 
simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica "por 
fora" contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é: 
 
Df = N . d . n 
 
 
O valor descontado “por fora” (Vf), aplicando-se a definição, é obtido:Vf = Nx(1 – d . n) 
 
 
Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada 
 
Em alguns casos teremos acréscimos de taxas pré-fixadas aos títulos, que são as taxas de despesas 
bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) cobradas sobre o valor nominal (N). Quando 
as mesmas aparecem nos enunciados, devemos soma-la a taxa de juros, conforme a fórmula abaixo: 
 
Df = N. (i.t + h) 
 
Onde: 
Df = desconto comercial ou bancário 
N = valor nominal 
i = taxa de juros cobrada 
t = tempo ou período 
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias. 
 
Temos ainda o valor bancário recebido, que nada mais é que: V = N – Db , na qual podemos escrever 
da seguinte forma: 
 
V = N – Db → V = N – N (i.t + h) → V = N.[ 1 - (i.t + h)] 
 
Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr) 
 
Algumas questões propõem a utilização dessa relação para sabermos o valor do desconto caso fosse 
utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa. 
A relação é dada por: 
 
Df = Dr . (1 + i.t) 
 
Referência 
NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
 
Questões 
 
01. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros 
simples de 12% a.m. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 150 
promissória. Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível 
em três meses. O valor da comissão é de: 
 
02. (FCC) Dois títulos são descontados em um banco 4 meses antes de seus vencimentos com uma 
taxa de desconto, em ambos os casos, de 2% ao mês. O valor atual do primeiro título foi igual a R$ 
29.440,00 e foi utilizada a operação de desconto comercial simples. O valor atual do segundo título foi 
igual a R$ 20.000,00 e foi utilizada a operação de desconto racional simples. A soma dos valores nominais 
destes dois títulos é igual a 
(A) R$ 53.600,00. 
(B) R$ 54.200,00. 
(C) R$ 55.400,00. 
(D) R$ 56.000,00. 
(E) R$ 56.400,00. 
 
03. O desconto simples comercial de um título é de R$ 860,00, a uma taxa de juros de 60% a.a. O 
valor do desconto simples racional do mesmo título é de R$ 781,82, mantendo-se a taxa de juros e o 
tempo. Nesse as condições, o valor nominal do rótulo é de: 
 
Respostas 
 
01. Resposta: 200 000. 
h = 0,04 
t = 3 
iB = 0,12 . 3 
AB = N . [1 - (iB + h)] 
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)] 
300 000 = N . [1 – 0,4] 
N = 500 000 
Vc = 0,04 . N 
Vc = 0,04 . 500 000 
Vc = 20 000 
 
02. Resposta: A. 
1º título - Dcs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 29440 
N1 = ? 
D = N – A 
Dcs = N.i.t → N – A = N.i.t → N – 29440 = N.0,02.4 → N – 29440 = N.0,08 → N – 0,08N = 29440 → 
0,02N = 29440 → N = 29440 / 0,02 → N = 32000 
 
2º título - Drs 
t = 4 meses 
i = 2% a.m 
A = 20000 
N2 = ? 
N = A (1 + i.t) → N = 20000 (1 + 0,02.4) → N = 20000 (1 + 0,08) → N = 20000.1,08 → N = 21600 
Como o enunciado da questão pede a soma dos valores nominais, então teremos: 
N1 + N2 → 32000 + 21600 = 53600. 
 
03. Resposta: 8600,22. 
Dc = 860 
Dr = 781,82 
Usando N = (Dc . Dr) / (Dc – Dr), 
N = (860 . 781,82) / (860 – 781,82) = 672365,2 / 78,18 = 8600,22 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 151 
DESCONTOS COMPOSTOS 
 
Desconto Racional Composto (por dentro) 
 
As fórmulas estão associadas com os juros compostos, assim teremos: 
 
Onde: 
D = Desconto Racional Composto 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Desconto Comercial Composto (por fora) 
 
Como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor), trocamos na fórmula o N pelo A e vice versa, 
mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo). 
 
 
 
Onde: 
N = Valor Nominal 
A = Valor Atual 
i = taxa 
t = tempo ou período 
 
Referência 
NETO. A. Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 12ed. Atlas, São Paulo. 
 
Questões 
 
01. (FCC) Dois títulos, um com vencimento daqui a 30 dias e outro com vencimento daqui a 60 dias, 
foram descontados hoje, com desconto racional composto, à taxa de 5% ao mês. Sabe-se que a soma 
de seus valores nominais é R$ 5.418,00 e a soma dos valores líquidos recebidos é R$ 5.005,00. O maior 
dos valores nominais supera o menor deles em 
(A) R$ 1.195,00. 
(B) R$ 1.215,50. 
(C) R$ 1.417,50. 
(D) R$ 1.484,00. 
(E) R$ 1.502,50. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 152 
02. (CESPE) Na contração de determinada empresa por certo órgão público, ficou acordado que o 
administrador pagaria R$ 200.000,00 para a contração do serviço, mais quatro parcelas iguais no valor 
de R$ 132.000,00 cada a serem pagas, respectivamente, no final do primeiro, segundo, terceiro e quarto 
anos consecutivos à assinatura do contrato. Considere que a empresa tenha concluído satisfatoriamente 
o serviço dois anos após a contração e que tenha sido negociada a antecipação das duas últimas parcelas 
para serem pagas juntamente com a segunda parcela. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. 
Se para o pagamento for utilizado desconto racional composto, a uma taxa de 10% ao ano, na 
antecipação das parcelas, o desconto obtido com o valor da terceira parcela será o mesmo que seria 
obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. (FCC) O valor do desconto de um título de valor nominal igual a R$ 15.961,25, resgatado 2 anos 
antes de seu vencimento e segundo o critério do desconto composto real, é igual a R$ 3.461,25. A taxa 
anual de desconto utilizada foi de 
(A) 11%. 
(B) 13%. 
(C) 14%. 
(D) 15%. 
(E) 16%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
t = 30 dias = 1 mês (1º título) e 60d = 2 meses(2º título) 
Drc 
i = 5% a.m = 0,05 
N1 + N2 = 5418 
A1 + A2 = 5005 → A1 = 5005 – A2 
Temos que o Drc é dado por : 
N = A (1 + i)t → N1 = A1 (1 + 0,05)1 e N2 = A2 (1,05)2 → N2 = A2.(1,1025) 
N1 + N2 = 5418 , substituindo teremos: 
A1 (1,05) + A2(1,1025) = 5418 , como temos que A1 = 5005 – A2 : 
(5005 – A2).(1,05) + A2(1,1025) = 5418 → 5255,25 – 1,05 A2 + 1,1025 A2 = 5418 → 
0,0525 A2 = 5418 – 5255,25 → 0,0525 A2 = 162,75 → A2 = 3100 e A1 = 5005 – 3100 = 1905 
N1 = 1,05 .1905 = 2000,25 e N2 = 1,1025. 3100 = 3417,75 
O maior é N2 e o menor N1 , assim faremos N2 – N1 = 3417,75 – 2000,25 = 1417,5 
 
02. Resposta: CERTO. 
Como ele pede para saber se antecipássemos o valor da 3º parcela em um 1 ano, termos: 
N = 132.000 
t = 1 
i = 10% a.a = 0,10 
- Para o Desconto Racional Composto: A = N / (1 + i)t 
A = 132.000 / (1 + 0,1)¹ → A = 132.000 / 1,1 
- Fazendo no Desconto Racional Simples: A = N / (1 + i.t) 
A = 132.000 / (1 + 0,1.1) 
A = 132.000 / 1,1 
Ao anteciparmos 3° parcela em um ano, o desconto obtido com o valor desta parcela será o mesmo 
que seria obtido se fosse utilizado desconto racional simples. 
 
03. Resposta: B. 
O termo real faz referência a racional. 
N = 15961,25 
t = 2 anos 
Drc = 3461,25 
i = ? 
D = N – A → 3461,25 = 15961,25 – A → A = 15961,25 – 3461,25 → A = 12500 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 153 
N = A (1 + i)t → 15961,25 = 12500.(1 + i)2 → (1 + i)2 = 15961,25 / 12500 → (1 + i)2 = 1,2769 → 1 + i = 
√ 1,279 → 1,13 = 1 + i → i = 1,13 – 1 → i = 0,13 → i = 13% 
 
 
 
TAXAS DE JUROS: EFETIVA, NOMINAL, PROPORCIONAIS, EQUIVALENTES, REAL E 
APARENTE3 
 
As taxas de juros são índices fundamentais no estudo da matemática financeira. Os rendimentos 
financeiros são responsáveis pela correção de capitais investidos perante uma determinada taxa de juros. 
As taxas serão incorporadas sempre ao capital. Taxa Efetiva 
 
São aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período de 
capitalização(valorização). Utilizado muito em caderneta de poupança. 
Exemplos 
 
 
- Uma taxa de 75% ao ano com capitalização anual. 
- Uma taxa de 11% ao trimestre com capitalização trimestral. 
 
Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir com 
unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!! 
 
 Taxa Nominal 
 
São aquelas cujas unidade de tempo NÂO coincide com as unidades de tempo do período de 
capitalização. 
Exemplos 
 
- 5% ao trimestre com capitalização semestral. 
- 15% ao semestre com capitalização bimestral. 
 
Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobrir a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa) 
 
Exemplo 
 
 
3 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
http://www.mundoeducacao.com/matematica/taxa-efetiva-taxa-real.htm 
 
13 - Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e 
aparente. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 154 
Como são 12 meses que existem no ano, então dividimos a taxa por 12, trazendo a taxa para o mesmo 
período da capitalização, tendo assim a taxa efetiva da operação. 
 
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente. 
 
 Taxas Proporcionais ou Lineares (regime de juros simples) 
 
São taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas sobre o mesmo capital ao mesmo período de 
tempo irão gerar o mesmo montante. 
 
Exemplos 
 
- 2% a.s é proporcional quantos % a.a? 
Como 1 ano tem 2 semestre 2%. 2(semestres) = 4% a.a 
- Uma taxa de 60% a.a geraria as seguintes taxas: 5% a.m (60%/12 meses);10% a.b (60%/6 
bimestres); 20% a.q(60%/3quadrimestres) .... 
 
 Taxas Equivalentes (regime de juros compostos) 
 
As taxas de juros se expressam também em função do tempo da operação, porém não de forma 
proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são ditas equivalentes. 
 
Exemplos 
 
- 24% a.a é equivalente a %a.m? 
Vamos aplicar o conceito acima, para resolução deste exemplo: 
(1+ia)=(1+im)12 (expoente na menor unidade de tempo) (1+0,24) = (1+im)12  1,24 = (1+im)12  Para 
retirar o expoente, basta fazermos a operação inversa da potenciação  √1,24 
12 = √(1 + 𝑖𝑚)12
12
 
√1,24 
12 = 1 + 𝑖𝑚 → 𝑖𝑚 = 1,24
1
12 − 1 
Algumas bancas informam o valor da raiz, outras deixam como está. 
 
√𝒂𝒎
𝒏
= 𝒂
𝒎
𝒏 
 
 Taxa Real, Aparente e Inflação 
 
Taxa Real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos. 
Taxa Aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais). 
Taxa de Inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra. 
 
Podemos escrever todas essas taxas em função uma das outras: 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii) 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 155 
Onde: (1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
 , independe da quantidade de períodos e do regime de juros. 
 
Exemplos 
 
1) Uma aplicação no mercado financeiro forneceu as seguintes informações: 
− Valor aplicado no início do período: R$ 50.000,00. 
− Período de aplicação: um ano. 
− Taxa de inflação no período de aplicação: 5%. 
− Taxa real de juros da aplicação referente ao período: 2%. 
Se o correspondente montante foi resgatado no final do período da aplicação, então o seu valor é 
(A) R$ 53.550,00. 
(B) R$ 53.500,00. 
(C) R$ 53.000,00. 
(D) R$ 52.500,00. 
(E) R$ 51.500,00. 
 
Observe que o período de aplicação é de 1 ano, então tanto faz utilizar o regime de juros simples ou 
compostos. 
C = R$ 50.000,00 
t= 1 ano 
ii = 5% = 0,05 
ir = 2% = 0,02 
M=? 
 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)  (1+ia) = (1+0,02).(1+0,05i)  (1+ia) = 1,02 . 1,05  (1+ia) = 1,071  
 ia = 1,071-1  ia = 0,071(taxa efetiva da operação) 
Aplicando a fórmula do montante: M = C.(1+i)t  M= 50 000.(1+0,071)1  50 000. 1,071  
M= 53.550,00 
Resposta: A. 
 
2) Uma pessoa investiu R$ 1.000,00 por 2 meses, recebendo ao final desse prazo o montante de R$ 
1.060,00. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 4%, então a taxa de inflação desse bimestre foi 
de aproximadamente 
(A) 1,92. 
(B) 1,90. 
(C) 1,88. 
(D) 1,86. 
(E) 1,84. 
Neste exemplo, está nos faltando saber o valor da taxa de juros aparente, mas com as outras 
informações do enunciado podemos chegar ao seu valor: 
C = 1.000,00 
M = 1.060,00 
t = 2 meses 
ir = 4% = 0,04 
ii= ? 
(1 + 𝑖𝑎) =
𝑀
𝐶
⇒ (1 + 𝑖𝑎) =
1060
1000
 ⇒ (1 + 𝑖𝑎) = 1,06 
 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑟). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ 1,06 = (1 + 0,04). (1 + 𝑖𝑖) ⇒ (1 + 𝑖𝑖) =
1,06
1,04
⇒ (1 + 𝑖𝑖) = 1,0192 ⇒ 
 
𝑖𝑖 = 1,0192 − 1 ⇒ 𝑖𝑖 = 0,0192 ⇒ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 100(𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙) ⇒ 1,92 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 156 
Questões 
 
01. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere as seguintes 
situações: 
I- Carlos comprou um produto que à vista custava R$ 1.000,00. Como ele não tinha todo esse valor, 
ele fez um plano de pagamento com 12 prestações iguais, de R$ 100,00 cada uma, sem entrada. 
II- Ana comprou o mesmo produto que Carlos, na mesma loja e com o mesmo preço à vista, mas fez 
o seguinte plano de pagamento: uma entrada de R$ 100,00 e mais 11 prestações de R$ 100,00 cada 
uma. 
 
Com base nessas situações, é possível afirmar corretamente que: 
(A) a taxa de juros do plano de Ana foi menor que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(B) a taxa de juros do plano de Ana foi igual à taxa de juros do plano de Carlos. 
(C) a taxa de juros do plano de Ana foi maior que a taxa de juros do plano de Carlos. 
(D) não há como comparar as taxas de juros dos planos de Ana e de Carlos. 
 
02. (TJ/PE- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTADOR-FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao 
trimestre, com juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, 
aproximadamente, 
(A) 21,7%. 
(B) 22,5%. 
(C) 24,8%. 
(D) 32,4%. 
(E) 33,7%. 
 
03. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de: 
(A) 12,5% trimestral. 
(B) 16% quadrimestral. 
(C) 25,5% semestral. 
(D) 36,0% anual. 
(E) 52% anual. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
I. Carlos: 12 . 100 = 1200 
II. Ana: 100 + 11 . 100 = 100 + 1100 = 1200 
Os valores são iguais, porém Carlos não deu entrada e Ana sim. Por isso, a taxa de juros do plano de 
Ana foi maior que a de Carlos. 
 
02. Resposta: B. 
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% 
a.m(taxa efetiva). 
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre. 
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 
0,225043 x 100  it= 22,5043% 
 
03. Resposta: C. 
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das 
questões vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado: 
4,25% a.m 
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada) 
Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta) 
Anual = 4,25.12 = 51% (errada) 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 157 
 
 
RENDAS UNIFORMES 
 
Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente para compor um 
capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais conceitos que baseiam os financiamentos 
ou empréstimos. Nessas rendas são realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos)para 
arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis, etc. 
As rendas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são aquelas em que todos os 
elementos já estão pré-determinados e podem ser classificados de acordo com o tempo, a variação dos 
elementos, o valor, o período do vencimento, etc. 
 
SÉRIE UNIFORME DE PRESTAÇÕES PERIÓDICAS 
 
Entende-se série uniforme de prestações periódicas como sendo o conjunto de pagamentos (ou 
recebimentos) de valor nominal igual, que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes, ao 
longo de um fluxo de caixa. Se a série tiver como objetivo a constituição do capital, este será o montante 
da série; ao contrário, ou seja, se o objetivo for a amortização de um capital, este será o valor atual da 
série. 
 
Classificação 
 
As séries uniformes de prestações periódicas mais importantes e que serão objeto de estudo desse 
capítulo são: 
 
Série Uniforme de Prestações Periódicas Postecipadas – caracteriza-se pelo fato de os 
pagamentos ocorrerem no final de cada intervalo de tempo, ou seja, não existem pagamentos na data 
zero. 
 
Série Uniforme de Prestações Antecipadas – caracteriza-se pelo fato de os pagamentos ocorrerem 
no início de cada intervalo de tempo, ou seja, a primeira prestação ocorre na data zero. 
 
Série Uniforme de Prestação Periódicas Diferidas – caracteriza-se pelo fato de existir uma carência 
entre a data zero e o primeiro pagamento da série. 
 
Observação: Note que as séries acima mencionadas, independentemente da sua classificação, estão 
inseridas no contexto de capitalização composta já vista anteriormente, ou seja, cada pagamento R será 
capitalizado ou descapitalizado à luz de uma taxa de juros i, durante certo período de tempo n. 
 
Série Uniforme de Prestações Periódicas Postecipadas 
 
Conforme foi dito anteriormente, esta série tem como característica principal o fato de que cada 
pagamento realiza-se no final de cada intervalo de tempo. Vimos também, que podemos calcular o 
Montante (S p) ou o Valor Presente (P p) da série em questão. Finalmente, devemos dizer que para o 
cálculo do montante da série, iremos nos utilizar do montante S do regime de capitalização composta, ou 
seja o Fator de Acumulação de Capital por Operação Única (F.A.C); em contrapartida, para o cálculo do 
valor atual da série, iremos nos valer do cálculo do desconto composto racional Ar, ou seja, o Fator de 
Valor Presente por Operação Única (F.V.P). 
 
Valor Presente Da Série (Pp) 
 
Dado o fluxo abaixo, podemos encontrar o valor atual do mesmo descontando ou descapitalizando 
cada valor r para uma mesma data. Por convenção, iremos escolher a data zero: 
 
14 - Rendas uniformes e variáveis. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 158 
 
 𝑃𝑝 =
𝑅
(1+𝑖)¹
+ 
𝑅
(1+𝑖)²
+ 
𝑅
(1+𝑖)³
+ ⋯ + 
𝑅
(1+𝑖)𝑛−1
+ 
𝑅
(1+𝑖)𝑛
 
 
colocando-se R em evidência, temos: 
 
 𝑃𝑝 = 𝑅[
1
(1+𝑖)1
+ 
1
(1+𝑖)2
+ 
1
(1+𝑖)3
+ ⋯ + 
1
(1+𝑖)𝑛−1 
+
1
(1+𝑖)𝑛
] 
 
É fácil notar que a expressão entre colchetes trata-se de uma progressão geométrica cujo 1° termo é 
𝑎1 = 
1
(1+𝑖 )
, cuja razão é 𝑞 =
1
(1+𝑖)
 e cujo n – ésimo termo é 𝑎𝑛 = 
1
(1+𝑛)𝑛
. 
Como sabemos, a soma de uma P.G é expressa por: 𝑠 = 
𝑎1−𝑎𝑛 . 𝑞
1−𝑞
 
 
Substituindo as variáveis nesta fórmula, temos: 
 
𝑃𝑝 = 𝑅.
1
(1 + 𝑖)
− 
1
(1 + 𝑖)𝑛
.
1
(1 + 𝑖)
1 − 
1
(1 + 𝑖)
 
 
𝑃𝑝 = 𝑅.
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛+1
𝑖
(1 + 𝑖)
 
 
𝑃𝑝 = 𝑅.
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
 
A relação acima nos permite, ainda, encontrar R dado P como segue: 
 
𝑅 = 𝑃𝑝 .
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 
 
Observação: A relação 
(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛 .𝑖
 é comumente chamada de Fator de Valor Presente por Operação 
Múltipla e será indicada por (FVPm). 
 
Fator de Valor Presente por Operação Múltipla 
 
Será indicada por (F.V.P.m.) sendo que, para algumas taxas i e alguns períodos de tempo n, já está 
calculado. 
 
Montante da Série (Sp) 
 
É a soma dos montantes de cada uma das prestações em uma determinada data. Isto posto, vamos 
determinar o montante da série na data n, imediatamente após a realização do último pagamento. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 159 
 
 
 𝑆𝑝 = 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−2 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−3 + ⋯ + 𝑅 (1 + 𝑖) + 𝑅 
 
Colocando-se R em evidencia e invertendo-se a ordem das parcelas, temos: 
 
 𝑆𝑝 = 𝑅 [ 1 + (1 + 𝑖) + ⋯ + (1 + 𝑖)𝑛−3 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + (1 + 𝑖)𝑛−1] 
 
Perceba que a expressão entre colchetes trata-se de um progressão geométrica onde o primeiro termo, 
a razão 𝑞 = (1 + 𝑖) e o último termo 𝑎𝑛 = (1 + 𝑖)
𝑛−1 
 
𝑆𝑝 = 𝑅 
1 − (1 + 𝑖)𝑛−1. (1 + 𝑖)
1 − (1 + 𝑖)
 
𝑆𝑝 = 𝑅 
1 − (1 + 𝑖)𝑛−1+1
1 − 1 − 𝑖
 
 
𝑆𝑝 = 𝑅 
1 − (1 + 𝑖)𝑛
−𝑖
 
 
𝑺𝒑 = 𝑹 
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
𝒊
 
 
Dessa fórmula, tiramos: 
 
𝑹 = 𝑺𝒑 
𝒊
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
 
 
Observação: O quociente 
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
 será chamado Fator de Acumulação de Capital por Operação 
Múltipla e será denominado por (F.A.C.m). 
 
Série Uniforme de Prestações Periódicas Antecipadas 
 
Vimos, pela definição, que esta série caracteriza-se pelo fato de que os pagamentos (ou recebimentos) 
sempre irão ocorrer no início do intervalo de tempo. Analogamente ás rendas postecipadas, podemos 
calcular o Valor Atual da série (Pa) através do desconto composto racional Ar, ou o Montante da Série 
(Sa), através do cálculo do montante S relativo à capitalização composta. 
 
Valor Presente da Série (Pa) 
 
Dado o fluxo abaixo, para se calcular o valor atual da série, procede-se de maneira idêntica ás rendas 
postecipadas, ou seja, descontam-se todas as parcelas para a data zero e, nesta data, as somamos: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 160 
 
 
 𝑃𝑎 = 𝑅 + 
𝑅
(1+𝑖)1
+ 
𝑅
(1+𝑖)²
+ 
𝑅
(1+𝑖)3
+ ⋯ + 
1
(1+𝑖)𝑛−1
 
 
Colocando-se e R em evidência, temos: 
 
 𝑃𝑎 = 𝑅 [1 + 
𝑅
(1+𝑖)1
+ 
𝑅
(1+𝑖)2
+ 
𝑅
(1+𝑖)3
+ ⋯ + 
1
(1+𝑖)𝑛−1
 ] 
 
E 
 
 
Note que a expressão E trata-se, como já vimos, do Fator de Valor Presente Por Operação Múltipla 
(F.V.Pm) de n-1 termos. Sendo assim, para que nós não tenhamos de desenvolver todo um novo 
instrumental matemático, com novas formulas e tabelas, iremos nos valer do fator anteriormente 
mencionado com o cuidado de, em relação á séries antecipadas, utilizamos um período a menos (o que 
ocorre na data zero). 
 
 
Montante de Série (Sa) 
 
É a soma dos valores dispostos ao longo do fluxo de caixa em uma determinada data. Visando 
uniformizar os procedimentos adotados ao longo deste texto, vamos Capitalizar os valores para a data n. 
 
 𝑆𝑎 = 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−(𝑛−2) + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−(𝑛−1) 
 
Colocando-se R em evidência e operando-se os expoentes, fica: 
 
𝑆𝑎 = 𝑅[ (1 + 𝑖)𝑛 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−1 + 𝑅 (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)1] 
 
Colocando-se o termo (1 + i) em evidência, temos: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 161 
𝑆𝑎 = 𝑅. (1 + 𝑖)[ (1 + 𝑖)𝑛−1 + (1 + 𝑖)𝑛−2 + ⋯ + (1 + 𝑖) + 1 ] 
 
E 
 
 
Note que a expressão E trata-se exatamente do (F.A.C.m.) Fator de Acumulação de Capital por 
Operação múltipla. Para efeito de uso do formulário existente, iremos um período de capitalização. Isto 
posto, devemos ter o cuidado de somar 1 à variável n e subtraí-la do resultado final. Matematicamente 
ficaria: 
 
Série Uniforme de Prestações PeriódicasDiferidas 
 
Finalmente, vamos estudar um conjunto de pagamentos (ou recebimentos) que ocorrem sempre após 
certo período de Carência, também chamado Prazo de Diferimento. 
 
Valor Atual da Série 
 
Em relação ao fluxo abaixo, vamos determinar o Valor Atual (Pd) na data zero: 
 
 
Note que a série ocorrida entre os períodos m e m + n tem comportamento idêntico ás Séries 
Postecipadas; daí pode-se calcular o Valor Atual (Pd) através do seguinte raciocínio: 
 
- Calculamos o valor atual Pp (séries postecipadas) na data m, ou seja, Pm = R (F.V.P.m) 
- Descontamos Pm através do desconto composto racional para a data zero por m períodos 
encontrando, dessa forma, o valor atual Pd. Matematicamente, teríamos: 
 
𝑃𝑑 = 
𝑃𝑚
(1 + 𝑖)𝑛
 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑃𝑚 = 𝑅 (𝐹. 𝑉. 𝑃𝑚) 
𝑃𝑑 =
𝑅. (𝐹. 𝑉. 𝑃𝑚)
(1 + 𝑖)𝑚
 
 
ou, ainda, 
 
𝑃𝑑 = 𝑅 [ 
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖 
 .
1
(1 + 𝑖)𝑚
] 
𝑃𝑑 = 𝑅 .
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛+𝑚. 𝑖
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 162 
Montante da Série 
 
Devido à inexistência de pagamentos e capitalizações durante o prazo de carência, para o cálculo do 
Montante (sd) de uma série diferida, proceda de forma análoga à série postecipada, ou seja, Sd = R. 
(F.A.C.m). 
 
Série Uniforme de Prestações Periódicas com parcelas Intermediárias. 
 
O assunto tratado aqui é bastante comum em relação ao mundo dos negócios, principalmente no que 
tange ao mercado imobiliário pois, nesse mercado, podem existir situações em que os pagamentos (ou 
recebimentos) dispostos ao longo de um fluxo de caixa preveem, além das prestações pré-estabelecidas, 
pagamentos intermediários. Nestes casos, para se encontrar o valor atual da série, devemos empregar 
os conceitos anteriormente vistos em relação à especificidade da série em questão e descontar as 
parcelas anteriores para a data zero somando, nessa data, tais valores ao valor atual da série. 
 
Exemplo 
 
Um apartamento está à venda nas seguintes condições: 
- $700,00 de sinal 
- 12 parcelas mensais e consecutivas de $3.500,00, sendo que a primeira ocorrerá 30 dias após o 
sinal; 
- 2 parcelas semestrais de $5.000,00 
 
Dada uma taxa de 11%ao mês, calcule o preço à vista do imóvel. 
 
Esquematicamente, teríamos: 
 
 
Note que as parcelas R dispostas entre as datas 0 e 12, tratam-se de prestações periódicas 
postecipadas. Isto posto, para encontrar o valor à vista do imóvel: 
- Calcule Pp = R. (F.V.Pm); 
- Desconte as parcelas intermediarias Ri para a data zero e some-as a Pp não esquecendo, ainda, de 
agregar à soma o valor do sinal ocorrido nessa data. 
V = Sinal + R.(F.V.Pm) + 
𝑅𝑖
(1+𝑖)𝑛
+ 
𝑅𝑖
(1+𝑖)𝑛
 
 
V = $700 + $3.500 . 
(1+0,11)12−1
(1+0,11)12.0,11
+ 
$5.000
(1+0,11)
6 + 
$5.000
(1+0,11)12
 
V = $700 + $22.723,24 + $2.673,20 + $1.429,20 
V = $27.525,64 
 
Referência 
http://www.iceb.ufop.br/demat/perfil/arquivos/0.051648001320632865.pdf 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 163 
Questões 
 
01. Em certa época, foi contraída uma dívida a qual foi paga em 18 pagamentos trimestrais iguais de 
$1.000,00 através de uma taxa de juros de 23% ao trimestre. Determinar o valor dessa dívida. 
 
02. Um investidor depositou $1.500,00 semestralmente para formar um pecúlio durante dez anos. 
Calcule o valor acumulado para uma taxa de 30% ao semestre. 
 
03. Calcule o valor atual de uma renda mensal antecipada, cujo valor da prestação é de $1.000,00, 
dada uma taxa de 2% ao mês durante dez meses. 
 
04. Calcule o montante de uma renda antecipada de 15 meses, com prestação mensais de $2.000,00 
à taxa de 9% ao mês. 
 
05. Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de $4.000,00 sendo que o 
primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Determine o preço à vista, dada uma taxa 
de 5% ao mês. 
 
 
Respostas 
01. 
R = $1.000,00 
i = 0,23 a.t. 
n = 18 trimestres 
Pp = ? 
Pp = 𝑅 .
(1+0.23)18−1
(1+0,23)18 .0,23
 
Pp = $1.000,00 (4,24312) 
Pp = $4.243,12 
 
02. 
R = $1.500,00 
n = 20 semestres 
i = 0,30 a.s. 
Sp = ? 
 
Sp = 𝑅 
(1+𝑖)𝑛
𝑖
 
Sp = $1.500 
(1+0,30)20−1
0,30
 
Sp = $1.500 . (630,16546) 
Sp = $945.248,19 
 
03. 
R= $1.000,00 
i = 0.02 a.m. 
n = 10 meses 
Pa = ? 
Pa = 𝑅. [ 1 + 
(1+𝑖)𝑛−1−1
(1+𝑖)𝑛−1 .1
] 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 164 
Pa = 𝑅. [ 1 + 
(1+0,02)9−1
(1+0,02)9 .0,02
] 
 
Pa = $1.000,00 (1 + 8,16224) 
Pa = $9.162,23 
 
04. 
R = $2.000,00 
i = 0,09 a.m. 
n = 15 meses 
Sa = ? 
Sa = 𝑅 [ 
(1+𝑖)𝑛+1−1
𝑖
− 1] 
 
Sa = $2.000 [
(1+0,09)16−1
0,09
− 1] 
 
Sa = $2.000 . (33,00340 – 1) 
Sa = $64.006,80 
 
05. 
R = $4.000,00 
i = 5% a.m. 
n = 8 meses 
m = 2 meses 
 
Pd = 
𝑅.(𝐹.𝑉.𝑃𝑚)
(1+𝑖)𝑚
 
 
Pd = 
𝑅.
(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛 .𝑖
(1+𝑖 )𝑚
 
 
Pd = 
$4000 
(1+0,05)8−1
(1+0,05)8 . 1
(1+0,05)2
 
 
Pd = 
$4.000(6,463213)
(1,102500)
 
 
Pd = $23.449,30 
 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 
 
Muito utilizado hoje quando se faz um empréstimo/financiamento, transações de pagamentos de 
compra de imóveis, entre outros, transações feitas a longo prazo. 
 
 - Alguns conceitos: 
 
Amortização (A)  é um processo que extingue dívidas através de pagamentos periódicos, é 
a extinção de uma dívida através da quitação da mesma. Parte da prestação que não incide juros. 
 
 
15 - Planos de amortização de empréstimos e financiamentos. 
 
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. 165 
Prestação (P)  É a amortização acrescida de juros. 
 
P = A + J 
 
Juros (J)  Taxa que incide sobre o saldo devedor do período anterior (note que quando trabalhamos 
com sistemas de amortização, estamos trabalhando com o regime de juros compostos). 
 
Postecipadas Algo que será realizado posteriormente. Em outras palavras você irá usar e depois 
pagar. 
 
Antecipadas O contrário de postecipada. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
 
Exemplo 
 
Para um empréstimo de R$ 10.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, qual será a sua tabela de 
amortização sabendo que serão pagas em 4 parcelas. 
 
 
1º Passo: Determinar o valor da cota de amortização: 
 
𝐴 =
𝐸
𝑛
⟹
10000
4
= 2500 
 
Em um sistema de amortização constante, as amortizações são iguais para todos os períodos: 
 
 
O período 0(zero), é o do valor do empréstimo/financiamento. 
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos. Observe que 
no período 4 o saldo é 0(zero), é onde temos a quitação total da dívida. 
 
2º Passo: Calcular o Juros para cada período. (Atenção: o Juros sempre irá incidir sobre o 
Capital/Saldo Devedor do período anterior.) 
 
Período 1 J = C.i.t (t=1)  J= 10000 . 0,05 .1  J = 500 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 0(período anterior) e não do Período 1. 
 
 
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. 166 
3º Passo: Calcular o valor da prestação para cada período. Lembrando que P= A+J 
 
Período 1 P = 2500+500  P = 3000 
 
 
4º Passo: Calcular o Juros para o Período 2. 
 
Período 2  J = C.i.t (t = 1)  J = 7500 . 0,05 .1  J = 375 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 1 (período anterior) e não do Período 2. 
 
 
5º Passo: Calcular o valor da prestação para cada período. Lembrando que P = A + J 
 
Período 2 P = 2500+375  P = 2875 
 
 
E vamos fazendo assim para cada período, temos: 
 
 
 
Principais características: 
- As cotas de amortização são iguais; 
- As prestaçõessão decrescentes; 
- Os juros são decrescentes; 
- As amortizações serão sempre constantes. 
- Nas colunas dos Juros e das Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão 
decrescente. 
 
 
 
 
 
 
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. 167 
Fórmulas do Cálculo da Prestação (Séries Postecipadas) 
 
 
Para séries antecipadas (com entrada), basta multiplicar o valor da prestação por 
𝟏
(𝟏+𝐢)
. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS OU TABELA PRICE (SAF) 
 
Exemplo 
 
Para um empréstimo de R$ 8.660,00 a uma taxa de 5% ao mês, qual será a sua tabela de amortização 
sabendo que serão pagas em 5 parcelas. Dado que FRC = 0,231. 
 
 
1º Passo: Determinar o valor da prestação 
 
Em um sistema de amortização francês, as prestações são iguais para todos os períodos, e é possível 
acha-la através da fórmula: 
 
Com isso podemos reescrever da seguinte forma, sabendo que 𝐹𝑉𝐴 =
1
𝐹𝑅𝐶
 : 
 
𝑬 = 𝑷.
𝟏
𝑭𝑹𝑪
→ 𝑬. 𝑭𝑹𝑪 = 𝑷 → 𝑭𝑹𝑪 =
𝑷
𝑬
 
 
Aplicando ao exemplo: 
 
E = P . FVA  𝐸 = 𝑃.
1
𝐹𝑅𝐶
  E .FRC= P  8660 . 0,231 = P  P = 2000,46 (vamos arredondar para 
2000.) 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 168 
 2º Passo: Calcular o Juros para cada período. (Atenção: o Juros sempre irá incidir sobre o 
Capital/Saldo Devedor do período anterior.) 
 
Período 1 J = C.i.t (t = 1)  J = 8660 . 0,05 .1  J = 433 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 0 (período anterior) e não do Período 1. 
 
3º Passo: Calcular o valor da amortização para cada período. Lembrando que P= A+J, logo A = P - J 
 
Período 1 A = 2000 - 433  A = 1567 
Com a Amortização já podemos descobrir o Saldo Devedor do Período 1. 
 
4º Passo: Calcular o Juros para cada período. 
 
Período 2 J = C.i.t (t=1)  J= 7093. 0,05 .1  J = 354,65 ∴ Observe que o juros incidiu sobre o 
capital do Período 1(período anterior) e não do Período 2. 
 
5º Passo: Calcular o valor da amortização para cada período. 
 
Período 2 A = 2000 – 354,65  A = 1645,35 
Com a Amortização já podemos descobrir o Saldo Devedor do Período 2. 
 
E vamos fazendo assim para cada período, temos: 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 169 
Obs.: Por estarmos trabalhando com números com vírgulas, podem ocorrer erros de aproximação, 
fazendo com que na coluna do Saldo Devedor ainda reste algum valor. 
 
Principais características: 
- As prestações são constantes; 
- Juros decrescentes; 
- Amortizações crescentes. 
- Na coluna Juros, temos uma PG (Progressão geométrica) de razão descrente. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM). 
 
Principais características: 
- A prestação é a média entre a do SAC e a do Sistema Francês. 
 
Para efetuar os cálculos basta utilizar todo os conceitos aprendidos acima. 
 
Referências 
SAMANEZ, C.P., Matemática Financeira, 3ª edição. São Paulo: Pearson-Prentice Hall, 2002. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
 
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO VARIÁVEL 
 
No sistema de amortizações variáveis (SAV), a devolução do financiamento não segue uma sequência 
que obedeça a um critério ou modelo matemático. Neste sistema, o devedor paga o principal, 
periodicamente por valores variáveis de acordo com a combinação realizada previamente com o credor. 
A única restrição consiste em que o somatório das parcelas de amortização seja idêntico ao valor do 
financiamento, enquanto os juros sobre o saldo devedor sejam pagos em cada período, juntamente com 
a parcela de amortização e, na hipótese de não estar prevista amortização em um determinado período, 
os juros, necessariamente, sejam pagos. 
 
Exemplo 
 
Supondo um financiamento de $ 50 mil a uma taxa de 12,0% a.a. e prazo de 12 meses, imaginando-
se que tenha sido combinado o fluxo de pagamentos seguinte: 
 
 
 
 
Referências 
http://www.premioabecip.org.br/2010/tema1/universitario/marcelo-dos-santos.pdf 
REZENDE, Teotonio Costa. Os sistemas de amortização nas operações de crédito imobiliário: a falácia da capitalização de juros e da inversão do momento de 
deduzir a quota de amortização. Rio de Janeiro: Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro, 2003. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 170 
SISTEMA AMERICANO DE AMORTIZAÇÃO 
 
O Sistema Americano de Amortização é um tipo de quitação de empréstimo que favorece aqueles que 
desejam pagar o valor principal através de uma única parcela, porém os juros devem ser pagos 
periodicamente ou, dependendo do contrato firmado entre as partes, os juros são capitalizados e pagos 
junto ao valor principal. Observe as planilhas demonstrativas desse modelo de amortização. 
 
Exemplo 1 
Um empréstimo de R$ 50.000,00 será pago através do sistema americano no prazo de 10 meses, a 
juros mensais de 3% ao mês. Veja: De acordo com o modelo de amortização americana, a quitação do 
empréstimo ocorrerá no último mês, então nos meses anteriores a pessoa irá pagar somente o valor 
dos juros. 
Juros = 3% de 50.000 = 1.500 
 
 
Observe que os juros do último período também são pagos pelo devedor. 
 
Exemplo 2 
Construa a planilha e determine o valor total dos juros pagos pelo empréstimo referente a R$ 
25.250,00, pagos pelo sistema americano durante 5 meses, a uma taxa de 2,5% ao mês. 
 
Juros mensais = 2,5% de 25.250,00 = 0,025 * 25.250,00 = 
 
 
O valor total dos juros é equivalente a R$ 3.156,25. 
 
Questões 
 
01. (Banco do Brasil – Técnico bancário – FCC) Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser 
devolvido em 5 prestações semestrais pelo Sistema de Amortizações Constantes (SAC) à taxa de 4% ao 
semestre. O quadro demonstrativo abaixo contém, em cada instante do tempo (semestre), informações 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 171 
sobre o saldo devedor (SD), a amortização (A), o juro (J) e a prestação (P) referentes a esse empréstimo. 
Observe que o quadro apresenta dois valores ilegíveis. 
 
Se o quadro estivesse com todos os valores legíveis, o valor correto da prestação P, no último campo 
à direita, na linha correspondente ao semestre 5, da tabela, seria de 
 (A) 170.300,00. 
(B) 167.500,00. 
(C) 166.400,00. 
(D) 162.600,00. 
(E) 168.100,00. 
 
02. (TRT 6ª REGIÃO- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTABILIDADE - FCC) Um empréstimo foi obtido 
com taxas de juros simples de 18% a.a., para pagamento em 12 prestações mensais, consecutivas, 
vencendo a primeira 30 dias após a obtenção do empréstimo. Sabendo-se que foi adotado, neste caso, 
o sistema de amortização constante (SAC) e que o valor principal do empréstimo era R$ 120.000,00, o 
valor da 8a parcela foi 
(A) R$ 9.750,00 
(B) R$ 10.600,00 
(C) R$ 10.750,00 
(D) R$ 12.000,00 
(E) R$ 11.250,00 
 
03. (UFGD – Analista Administrativo – Economia – AOCP) O sistema que consiste no plano de 
amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão 
aritmética, denomina-se 
 (A) Sistema de Amortização Misto. 
 (B) Sistema Price. 
 (C) Sistema de Amortização Constante. 
 (D) Sistema Americano com fundo de amortização. 
 (E) Sistema Alemão. 
 
04. (BNDES – Profissional Básico – Ciências Contábeis – CESGRARIO) Um cliente solicitará um 
empréstimo bancário e, para tirar suas dúvidas, antes de ir ao banco, contratou um consultor particular. 
Ele informou ao consultor que gostaria de que o empréstimo fosse nas seguintes condições: na prestação 
calculada, já estivesse incluída parte da amortização da dívida e que, no final da operação, tivesse pagado 
a menor quantidadede juros possível. Ele não tem restrições quanto ao valor das prestações. 
Baseando-se nas informações do seu cliente, qual sistema de amortização o consultor deve indicar? 
(A) Americano 
(B) Alemão 
(C) Francês (PRICE) 
(D) SAC (Amortização Constante) 
(E) SAM (Amortização Misto) 
 
05. (UFRB – Economista – FUNRIO) Sobre o sistema de amortização constante (SAC) e o sistema 
de amortização francês (SAF), é correto afirmar que: 
(A) no SAC as parcelas são decrescentes. 
(B) no SAF as parcelas são crescentes. 
(C) os juros são calculados sobre o valor da amortização em ambos os sistemas. 
(D) o pagamento total de juros é igual em ambos os sistemas. 
(E) o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é maior no SAC do que no SAF. 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 172 
06. (Pref. Florianópolis/SC – Auditor Fiscal de Tributos Municipais – FEPESE) Uma pessoa 
financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 216.000,00 em 9 anos. O pagamento será em prestações 
mensais e o sistema de amortização é o sistema de amortização constante (SAC). 
Sabendo que o valor da terceira prestação é de R$2.848,00, a taxa de juros mensal cobrada é de: 
 (A) 0,2%. 
 (B) 0,4%. 
 (C) 0,5%. 
 (D) 0,6%. 
 (E) 0,8%. 
 
07. (TRE/BA – Técnico Judiciário – CESPE/2017) Um banco emprestou a uma empresa R$ 100.000, 
entregues no ato, sem prazo de carência, para serem pagos em quatro prestações anuais consecutivas 
pelo sistema de amortização constante (SAC). A taxa de juros compostos contratada para o empréstimo 
foi de 10% ao ano, e a primeira prestação será paga um ano após a tomada do empréstimo. 
Nessa situação, o valor da segunda prestação a ser paga pela empresa será? 
(A) Superior a R$ 33.000,00. 
(B) Inferior a R$ 30.000,00. 
(C) Superior a R$ 30.000,00 e inferior a R$ 31.000,00. 
(D) Superior a R$ 31.000,00 e inferior a R$ 32.000,00. 
(E) Superior a R$ 32.000,00 e inferior a R$ 33.000,00. 
 
08. (ELETROBRAS – Contabilidade – FCC) O Banco Comitê S.A. emprestou para a empresa 
Empreende S.A. a quantia de R$ 1.000.000,00, por 3 anos, a taxa de juros de 2,5%, ao ano, com 
pagamentos anuais. O sistema de amortização pactuado é o sistema Price. Com base nos dados, o 
valor a ser registrado pela empresa, considerando que a mesma não pretende liquidar o empréstimo 
antecipadamente, é 
(A) o pagamento de três parcelas de R$ 374.137,17. 
(B) um total de juros pagos, pelo empréstimo de R$ 50.411,50. 
(C) uma amortização do valor principal, referente a terceira parcela de R$ 350.137,17. 
(D) uma amortização do valor da segunda parcela de R$ 25.000,00. 
(E) o pagamento de juros no valor de 8.539,93, relativos a primeira parcela. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Parcela 5 = Amortização 5 + Juros 5 
Juros 5 = Saldo devedor 4 x taxa de juros 
Juros 5 = 160.000 x 0,04 = 6.400,00 
 P5 = 160.000 + 6.400 = 166.400,00 
 
02. Resposta: D. 
SAC = P e J decrescente. 
i = 18% a.a /12 = 1,5% a.m. = 0,015 
A = E/n  120 000/12 = 10 000 
Vamos utilizar a fórmula do termo geral da PA 
Pn = P1 + (n - 1).r  P8 = P1 + 7.r , 
Onde: J1= 0,015 . 120 000 = 1800 
P1 = A + J = 10 000 + 1800 = 11 800 
r = - i.A = - 0,015 x 10 000 = - 150 
P8= 11 800 + 7.(- 150)  P8= 11 800 – 1050  P8 = 10 750,00 
 
03. Resposta: C. 
Como vimos no estudo dos tipos de Amortização, a única que apresenta esta característica é o Sistema 
de Amortização Constante (SAC). 
 
04. Resposta: D. 
Principais características: 
- As cotas de amortização são iguais; 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 173 
- As prestações são decrescentes; 
- Os juros são decrescentes; 
- As amortizações serão sempre constantes. 
- Nas colunas dos Juros e das Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão 
decrescente. 
 
05. Resposta: A. 
(A) correto 
(B) as parcelas são constantes 
(C) vimos que no SAC as amortizações são constantes. 
(D) Cada sistema tem um pagamento de juros diferentes. No SAC é em progressão aritmética e no 
SAF é em progressão geométrica. 
(E) Na verdade no SAF o saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é maior que no SAC, 
pois a amortização é crescente o que torna o saldo devedor menor a cada pagamento. 
 
06. Resposta: B. 
Sabemos que no SAC Amortizações são constantes: 
Sabemos que E = 216.000 
n = 9 anos x 12(mensal) = 108 parcelas 
A = ? 
𝐴 =
𝐸
𝑛
=
216000
108
= 2000 
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos: 
 
 
Sabemos a prestação do período 3 que é R$ 2.848,00. Lembrando que P = A + J, temos que para o 
período 3: 
P = A + J  2 848 = 2 000 + J  J = 2 848 – 2 000 = 848. O juros incide sobre o capital do período 
anterior que neste caso é o 2.O tempo é 1 
J = C.i.t  848 = 212 000.i.1  i = 848 / 212 000  i = 0,004 x 100%  i = 0,4%. 
 
07. Resposta: E. 
D = 100.000 
A = 100.000/4 = 25.000 
i = 10% a.a 
P2 = ?? 
 
P2 = A + J2 
P2 = 25.000 + (100.000-25.000) x 0,1 
P2 = 25.000 + 75.000x0,1 
P2 = 25.000 + 7500 
P2 = 32.500 
 
08. Resposta: B. 
Como é pela tabela Price, vamos encontrar primeiramente o valor da prestação 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 174 
1000000 = P.[
(1+0,025) 3−1
0,025.(1+0,025) 3
] =P. 
0,07689062
0,02692226
 = P. 2,856023 
 
P = 
1000000
2,856023
= 350137,24, este é o valor pago por prestação, vamos montar a tabela para descobrir o 
valor dos juros e da amortização. 
 
J = 25000 + 16871,57 + 8539,92 = 50411,49 
 
 
 
CUSTO EFETIVO4 
 
Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos, o custo efetivo, 
qualquer que seja o sistema de amortização adotado, é a própria taxa de juro considerada. O custo efetivo 
do exemplo ilustrativo geral, desenvolvido ao longo deste capítulo, é de 1400175% a.s. (ou: 30% a.a.), 
que representa a taxa contratada para a operação. 
Por outro lado, é comum as instituições financeiras cobrarem, além do juro declarado, outros tipos de 
encargos, tais como IOC (Imposto sobre Operações de Crédito), comissões, taxas administrativas etc. 
Estas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros, onerando o 
custo efetivo da operação. Nessas condições, torna-se indispensável a apuração do custo efetivo de um 
empréstimo, permitindo melhores comparações com outra alternativas. O cálculo do custo efetivo é 
desenvolvido pelo método da taxa interna de retorno. 
 
Planilha com Despesas Adicionais 
 
Ilustrativamente, admita que uma empresa tenha obtido um financiamento de $ 50.000,00 para ser 
amortizado em 4 prestações anuais de $ 12.500,00 cada. O financiamento foi concedido sem carência. 
O custo da operação é constituído de juros de 20% ao ano e IOC de 4,5% incidente sobre o valor do 
crédito e pago quando da liberação dos recursos. O banco cobra ainda uma taxa de 1,0% ao final de cada 
ano, incidente sobre o saldo devedor, a título de cobrir despesas administrativas de concessão do crédito. 
Pelos dados apresentados, pode-se elaborar a planilha financeira do financiamento levando-se em 
consideração as despesas adicionais de IOC e taxa administrativa. 
 
 
 
Para se achar a taxa interna de retorno do fluxo de caixa deve ser determinado i de tal forma que: 
 
 
4 FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2000. 
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1991. 
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1998. 
 
16 - Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, 
empréstimoe investimento. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 175 
 
 
47.750,00 = 
23.000,00
(1+i)
 + 
20.375,00
(1+i)2
 
 
17.750,00
(1+i)3
 + 
15.125,00
(1+i)4
 
 
Calculando-se: 
 
I = 23,7% a.a., que representa o custo efetivo de empréstimo, levando-se em conta os encargos 
adicionais cobrados. 
 
 
Planilha de Financiamento com Juros Pós- Fixados pela TJLP 
 
Admita um financiamento Finame de $700.000,00 a ser liquidado em 24 meses. O primeiro ano é de 
carência, sendo pagos somente os encargos financeiros ao final de cada trimestre. Após a carência, o 
tomador deve efetuar 12 pagamentos mensais pelo sistema francês de amortização, vencendo a primeira 
no 13º mês e as demais sequencialmente. A taxa de juros contratada para essa operação é a efetiva de 
5% a.a., que equivale a 0,4074% a.m., mais a TJLP. 
A TJLP é uma taxa de juros de longo prazo, instituída pelo Conselho Monetário Nacional, que tem 
como base de cálculo as médias de juros dos títulos públicos federais das dívidas externas e internas. O 
prazo de vigência dessa taxa é de três meses, sendo seu percentual geralmente divulgado pelo Banco 
Central no primeiro dia útil do período de sua vigência. A TJLP foi regulamentada pela Resolução nº 
2.121, de 30-11-94 do Banco Central do Brasil. 
Admita, ilustrativamente, que as taxas TJLP para cada um dos trimestres do prazo do financiamento 
sejam as seguintes: 
 
4º Trim.: 6,0% 
Quadro 10 Planilha Financeira com Juros e TJLP 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 176 
Saldo Devedor: Permanece constante ($700.000,00), pois os encargos financeiros são pagos ao final 
de cada trimestre; 
 
Amortização: Representa, para cada trimestre, a TJLP do período aplicada sobre o saldo devedor de 
$700.000,00, ou seja: 
1º Trim.: $ 700.000,00 x 6,8% = $ 47.600,00 
2º Trim.: $ 700.000,00 x 6,2% = $ 43.400,00 
3º Trim.: $ 700.000,00 x 7,7% = $ 53.900,00 
4º Trim.: $ 700.000,00 x 6,0% = $ 42.000,00 
 
Juros: Taxa efetiva de 5% a.a., equivalendo a 1,2272% a.t. Esse percentual é aplicado trimestralmente 
sobre o principal corrigido pela TJLP. Assim: 
1º Trim.: ($700.000,00 x 1,068) x 1,2272% = $ 9.174,60 
2º Trim.: ($700.000,00 x 1,062) x 1,2272% = $ 9.123,00 
3º Trim.: ($700.000,00 x 1,077) x 1,2272% = $ 9.251,90 
4º Trim.: ($700.000,00 x 1,06) x 1,2272% = $ 9.105,80 
 
Ao final da carência, o financiamento prevê 12 pagamentos mensais, corrigidos trimestralmente pela 
TJLP. Dessa maneira, para o 5º trimestre, as prestações são calculadas com base na formulação do fluxo 
de caixa padrão, conforme descrito no Capítulo 6, isto é: 
 
PV = PMT x FPV (i,n) 
 
700.000,00 = PMT x FPV (0,4074%,12) 
 
Resolvendo-se: 
PMT = $ 59.889,60 
 
No início dos próximos três trimestres (16º mês, 19º mês e 22º mês), as prestações, e também os 
demais valores da planilha financeira, são corrigidos pela TJLP publicada para o período, conforme consta 
do Quadro 12.11. Por exemplo, no 16º mês, tem-se: 
 
Prestação: $ 59.889,60 x 1,048 = $ 62.764,30 
Juros: ($ 528.188,60 x 1,048) x 0,4074% = $ 2.255,10 
Amortização: $ 62.764,30 - $ 2.255,10 = $ 60.509,20 
Saldo Devedor: ($528.188,60 x 1,048) - $ 60.509,20 = 493.032,40 
 
Para os demais trimestres, segue-se a mesma metodologia de cálculo. 
 
Questões 
 
01. Um empréstimo no valor de $ 420.000,00 foi concedido a uma empresa nas seguintes condições: 
- Taxa de Juros = 5% a.t.; 
- Amortização = pagamentos trimestrais 
- Prazo de Amortização = 3 anos 
 
Pede-se elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC e SPC, admitindo que: 
(A) Não haja carência 
(B) Haja carência de 2 trimestres 
 
02. Um empréstimo de $ 160.000,00 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio 
mediante pagamentos semestrais. A taxa de juros concentrada é de 24% ao ano, e não há carência. 
Pede-se construir a planilha de desembolso deste empréstimo pelo sistema de amortização misto. 
 
03. Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de $ 350.000,00. As condições 
de pagamento propostas são as seguintes: 
1º mês: $ 70.000,00 
2º mês: $ 50.000,00 
3º mês: $ 80.000,00 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 177 
4º mês: $ 60.000,00 
5º mês: $ 90.000,00 
 
Sendo de 2,5% ao mês a taxa corrente de juros, determinar o valor dos desembolsos mensais 
(amortização, juros e prestação) que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nessas 
condições. 
 
04. Um financiamento para capital de giro no valor de $ 2.000.000,00 é concedido a uma empresa pelo 
prazo de 4 semestres. A taxa de juros contratada é de 10% a.s. Sendo adotado o sistema americano para 
amortização desta dívida, e os juros pagos semestralmente durante a carência, calcular o valor de cada 
prestação mensal. Admita, ainda, que a taxa de aplicação seja de 4% a.s. Calcular os depósitos 
semestrais que a empresa deve efetuar neste fundo de maneira que possa acumular, ao final do prazo 
do financiamento (4 semestres), um montante igual ao desembolso de amortização exigido. 
 
05. Um empréstimo no valor de $ 80.000,00 será liquidado pelo sistema de amortização constante em 
40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada para a operação é de 4% ao mês. Determinar: 
(A) Valor de cada amortização mensal; 
(B) Valor dos juros e da prestação referentes ao 22º pagamento; 
(C) Valor da última prestação; 
(D) Valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10ª prestação. 
 
06. Um financiamento no valor de $ 900.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema 
francês. A taxa de juros contratada é de 2,8% ao mês. Determinar: 
(A) O valor de cada prestação mensal; 
(B) O valor da amortização e dos juros referentes ao 19º mês. 
 
07. Admita que em determinada data um banco conceda um financiamento a uma empresa com as 
seguintes condições: 
- Valor do financiamento: $ 60.000,00; 
- Prazo de amortização: 12 meses com carência de 6 meses. Durante a carência o mutuário paga 
trimestralmente somente os encargos de juros e comissão do banco; 
- Taxa de juros: 18% ao ano (taxa efetiva); 
- Sistema de amortização: SAC; 
- Comissão do banco: 0,2% a.m. calculado sobre o saldo devedor; 
- IOC: 6,9% sobre o valor do financiamento (principal) e descontado quando da liberação dos recursos 
do mutuário. 
 
Pede-se elaborar a planilha de desembolsos desse financiamento. 
 
Respostas 
01. 
(A). Planilha pelo SAC com e sem Carência 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 178 
Amortização = 
$ 420.000,00
12 Trim.
 = 35.000,00/ Trim. 
 
(B). Planilha pelo SPC com e sem Carência 
 
 
PMT = PV x 
1
FPV (i,n)
 
PMT = PV x 
1
FPV (5%,12)
 
 
PMT = $ 47.386,70 
 
02. 
 
Juros = 24% a.a. (√1,24 − 1 = 11,.36% a.s.) 
 
 
03. 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 179 
04. 
 
 
 
 O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de $ 470.980,00, 
isto é: 
 
PV = PMT x FPV (i,n) 
 
PV = PMT x 
(1+i)𝑛 −1
i
 
 
PMT = PV x 
i
(1+i)𝑛 −1
 
 
PMT = 2.000.000,00 x
0,04
(1,04)4 −1
 
 
PMT = 2.000.000,00 x 0,235490 = $ 470.980,00 
 
05. 
(A) 
Amort = 
PV
n
 
 
Amort = 
80.000,00
40
 = $ 2.000,00 
 
(B) 
𝐽𝑡 = 
𝑃𝑉
𝑛
 x (n – t + 1) x i 
 
𝐽22 = 
80.000,00
40
 x (40 – 22 + 1) x 0,04 
 
𝐽22 = 2.000,00 x 19 x 0,04 = $ 1.520,00 
 
PMT = Amort + Juros 
 
PMT = 2.000,00 + 1.520,00 = $ 3.520,00 ou 
 
PM𝑇22 = 
PV
n
 x [1 + (n – t + 1) x 1] 
 
PM𝑇22 = 
80.000,00
40
 x [1 + (40 -22 +1) x 0,004] 
 
PM𝑇22 = 2.000,00 x ( 1 + 0,76) = $ 3520,00 
 
 
 
Apostila geradaespecialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 180 
(C) 
 
PM𝑇40 = 
80.000,00
40 
 x [1 + (40 – 40 +1) x 0,04] 
 
PM𝑇40 = 2.000,00 x [1 + 0,04) = $ 2.080,00 
 
(D) 
S𝐷10 = 80.000,000 – (2.000,00 x 10) = 60.000,00 
 
06. 
(A) 
Prestação Mensal (PMT) 
PMT = PV x 1/FPV (i,n) 
PMT = PV x 
i
1−(1+i)−𝑛
 
PMT = 900.000 x 
0,028
1−(1,028)−30
 
PMT = 900.000 x 0,049709 = $ 44.738,10 
 
(B) 
Amor𝑡19 e 𝐽19 
Amor𝑡1 = Amor𝑡1 x (1 + i)
𝑡−1 
Amor𝑡1 = PMT – PV x i 
Amor𝑡1 = 44.738,10 – (900.000 x 0,028) = $ 19.538,10 
Substituindo: 
Amor𝑡19 = 19.538,10 x (1,028)
19−1 = $ 32.118,70 
𝐽𝑡 = S𝐷𝑡−1 x i 
S𝐷𝑡−1 = PMT x FPV (i, n – t) ) 
S𝐷19−1 = 44.738,10 x FPV (2,8%, 30 – 18) 
S𝐷18 = 44.738,10 x 10,073898 = $ 450.687,00 
Substituindo: 
𝐽19 = 450.687,00 x 0,028 = $ 12.619,20 
 
07. 
 
Comissão: 0, 2% a.m. ou 0,6% a.t. 
Mês 3 = Mês 6: 600.000,00 x 0,6% = $ 3.600,00 
IOC = 600.000,00 x 6,9% = $ 41.400,00 
Juros = 18% a. √1,18
12 – 1 =1,3888% a.m.; √1,18
4 – 1 = 4,2247% a.t. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 181 
 
 
AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO 
 
Conceitos 
 
Do ponto de vista da análise econômico-financeira, um projeto de investimento é qualquer atividade 
produtiva de vida limitada, que implique na mobilização de alguns recursos na forma de bens de produção, 
em determinado momento, na expectativa de gerar recursos futuros oriundos da produção. Esse tipo de 
conceituação pressupõe a possibilidade de quantificação monetária dos insumos e produtos associados 
ao projeto (NORONHA e DUARTE, 1995). 
 
Para Gitman (2001) na análise de qualquer projeto se faz necessário uma abordagem de viabilidade 
econômico-financeira. Para isso, se faz importante o entendimento do timing dos fluxos de caixa destes, 
ou seja, o valor do dinheiro no tempo, que é baseado na ideia deque uma unidade monetária hoje vale 
mais do que uma outra que será recebida em uma data futura. Isso explica porque deseja-se receber o 
quanto antes e pagar o mais tarde possível uma determinada quantia que não será reajustada ao longo 
do tempo. 
 
A análise e avaliação de projetos de investimento está intimamente ligada a gestão financeira que tem 
como principal objetivo a maximizar o valor do empreendimento, ou seja maximização da riqueza dos 
proprietários, que depende da distribuição no tempo dos fluxos de caixa de seus investimentos. 
 
Técnicas de Análise e Avaliação de Projetos de Investimento 
 
Existem diversas técnicas (também conhecidos como métodos) para realizar análise e avaliação de 
projetos de investimentos que consideram o valor do dinheiro no tempo e a verificação de oportunidades 
de obter resultados positivos por meio da avaliação dos fluxos de caixa. Por existirem várias áreas na 
avaliação existe também espaço para discórdia, entre estas: a estimativa dos fluxos de caixa e do custo 
de oportunidade. Ou seja, mesmo que os modelos de avaliação sejam quantitativos, a avaliação possui 
aspectos subjetivos. Isso faz com que, por exemplo, dois analistas possam através da utilização das 
mesmas técnicas chegar a conclusões diferentes com relação à avaliação de um projeto de investimento. 
 As abordagens mais comuns envolvem a interação de procedimentos de valor do dinheiro no tempo, 
considerações quanto ao risco e retorno e conceitos de avaliação para selecionar a riqueza dos 
proprietários, onde se destacam três principais técnicas: 
 
Período de Recuperação do Investimento (payback); 
Valor Presente Líquido (VPL); 
Taxa Interna de Retorno (TIR). 
 
Período de Recuperação do Investimento (Payback) 
 
Os períodos de payback são normalmente usados para avaliar propostas de investimento de capital. 
O período de payback é o tempo necessário para que a empresa recupere o investimento inicial em um 
projeto, calculado a partir das entradas de caixa. Quanto mais rápido o retorno, menor o payback e melhor 
o projeto. Assim, o payback sempre deve ser mensurado em tempo – dias, semanas, meses, anos -, 
quanto menor o tempo de retorno, mais interessante será o investimento. Essa técnica é bastante 
conhecida, sendo até repetida popularmente – “o tempo para recuperar o investimento” -, exatamente a 
ideia do payback. 
Empresas de grande porte costumam usar o período de payback para avaliar projetos de baixo valor, 
enquanto as pequenas costumam utilizá-lo para a maioria de seus projetos. A popularidade do método 
resulta da simplicidade de cálculo e do apelo intuitivo. Também é interessante por considerar os fluxos 
de caixa, e não o lucro contábil. 
 
 
 
17 - Avaliação de alternativas de investimento. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 182 
Critérios de decisão do Payback 
 
Quando usamos o período de payback para tomar decisões de aceita-rejeição, aplicam-se os 
seguintes critérios de decisão: 
• Se o período de payback for menor do que o período máximo aceitável de payback, aceitar o projeto. 
• Se o período de payback for maior do que o período máximo aceitável de payback, rejeitar o projeto. 
 
A duração do período máximo aceitável é fixado subjetivamente, com base em uma série de fatores, 
inclusive o tipo do projeto (expansão, substituição, renovação ou outros), percepção do risco do projeto e 
relação percebida entre o período de payback e o valor da ação. Trata-se, simplesmente, de um valor 
que se acredita que, em média, resultará em decisões de investimento geradoras de valor. 
O critério de decisão com o payback pode ser aplicado tanto a projetos únicos quanto a projetos 
concorrentes. 
 
- Projeto único: deve-se definir um tempo máximo aceitável. Após definido esse tempo, se o projeto 
tiver um payback inferior ao máximo aceitável, aceita-se o projeto, senão, rejeita-se. 
 
- Projetos Correntes: com dois ou mais projetos que são excludentes, deve-se escolher apenas o 
melhor, ou seja, o que tem menor payback, tendo, portanto, o retorno mais rápido. 
 
Atenção Candidato(a) 
Para que você possa compreender da melhor forma a aplicação da técnica de Payback, utilizaremos 
a aplicação no fluxo de caixa do Projeto A a seguir 
 
Fluxo de Caixa – Projeto A: 
Investimento Inicial (data zero) R$ 400.000,00 
Entradas de Caixa Operacionais: 
Ano 1: R$ 100.000,00 
Ano 2: R$ 150.000,00 
Ano 3: R$ 150.000,00 
Ano 4: R$ 250.000,00 
Ano 5: R$ 350.000,00 
 
Período máximo: O período máximo estipulado para o retorno do Projeto A é de 4 anos. 
 
Para facilitar o entendimento do Payback foi construída a tabela abaixo com o valor do investimento 
inicial, os períodos, o fluxo de cada período (as entradas ou saídas operacionais) e o valor acumulado 
dos fluxos de caixa. 
 
No momento em que o valor acumulado dos fluxos de caixa atingir o valor do investimento inicial, 
atingiu-se o payback, ou seja, o investimento retornou os recursos utilizados, ou ainda, “recuperou-se o 
capital investido”. 
O payback do projeto é de três anos, pois esse é o tempo necessário para retornar o valor do 
investimento inicial de R$ 400.000,00, sendo inferior ao período máximo estipulado. Com base nesse 
resultado o projeto A deve ser aprovado com base na técnica de payback. 
 
Principais falhas do payback 
 
Como principais falhas do Payback, podemos apontar: 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 183 
• Despreza o custo do dinheiro, ou seja, não compara o investimento realizado com possíveis ganhos 
em outros investimentos, tais como aplicações financeiras, podendo levar o investidor a escolher projetos 
de retorno muito mais longos do que seria necessário. 
• O payback considera que todos os investimentos analisados possuem o mesmo risco, desprezando 
a análise de risco de cada um. Assim, um investidor,utilizando o payback, pode escolher um projeto muito 
mais arriscado que outro, sem ter uma recompensa significativa no retorno por esse risco adicional, ou 
seja, ele não foi levado a fazer a escolha mais racional possível. 
• Não considera os fluxos de caixa após o período de payback, pois ele só analisa o investimento até 
este ser recuperado pelo investidor, ou seja, ao atingir-se o tempo de payback, cessa-se a análise, 
desprezando todos os fluxos de caixa posteriores. 
 
Taxa Mínima De Atratividade (Tma) 
 
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que a taxa 
de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior rentabilidade das 
aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para ser atrativa, deve render, no 
mínimo, esta taxa de juros. 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em questão, 
ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. 
Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o valor do 
investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, entendesse a média ponderada dos 
custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em questão. 
 
Qual deve ser a Taxa Mínima de Atratividade (TMA)? 
Existem algumas possibilidades bastante úteis para a definida: 
Taxa de retorno da aplicação financeira: supõe que o custo de oportunidade seja o de deixar os 
recursos aplicados em investimentos de baixo risco (renda fixa); 
Taxa de captação de empréstimos: supõe que a empresa não possua os recursos para investir e, 
assim, será obrigada a captar um empréstimo. Considera o custo de oportunidade de forma mais 
conservadora que a taxa de aplicação. 
 
Valor Presente Líquido (VPL)5 
O valor presente líquido, também conhecido pela terminologia Valor Atual, caracteriza-se, 
essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de caixa esperadas, 
descontadas à taxa mínima de atratividade. Em outras palavras, seria o transporte para a data zero de 
um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e desembolsos esperados, descontados à 
taxa de juros considerada. 
Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor positivo, 
mais atrativa é a proposta. 
 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 



 
Onde: 
𝐹𝐶𝑡 – valor presente das entradas de caixa; 
𝐼0 – investimento inicial; 
𝑘 – taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa); 
𝑡 – tempo de desconto de cada entrada de caixa; 
𝑛 - tempo de desconto do último fluxo de caixa. 
 
Exemplo 01) Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais 
excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos velhos 
e obsoletos. 
Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas. A 
primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $ 10.000, cujo 
resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, após os quais os 
equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda proposição foi a aquisição de 
 
5 http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Engecon2/CAP3EEA.pdf 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 184 
uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir os equipamentos existentes, cujo valor 
líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por 
ano, apresentando ainda um valor residual de $ 10.705 após dez anos. 
Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela 
gerência? 
 
1º Projeto - reforma geral da linha 
- Investimentos estimados em $ 10.000 
- Resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos, 
- Os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. 
 
2º Projeto - aquisição de uma nova linha de produção 
- Investimentos no valor de $ 35.000- para substituir os equipamentos existentes 
- ganhos de $ 4.700 por ano, 
- Valor residual de $ 15.705 após dez anos. 
- TMA para a empresa igual a 8% ao ano, 
 
1º Projeto – reforma geral da linha 
 
 
Portanto o VALOR PRESENTE LIQUIDO É DE R$ 3.420,16, este valor é considerado o Benefício 
líquido do projeto, pois já descontamos o valor do investimento total que foi de dez mil reais, e ainda o 
investidor terá uma TMA a 8% ao ano. 
 
Explicações da tabela: 
 
Coluna 1 –Datas - data zero em economia consideramos a data do Valor presente. 
As outras datas são exatamente a vida útil do projeto (maquinários e outros bens relacionados), 
 
Coluna 2 – Valores R$ - R$ 10.000,00 é o investimento – valor negativo para representar que este 
dinheiro sairá do caixa da empresa para o projeto. 
Os outros valores R$ 2.000,00 do ano 1 ao ano 10 é exatamente os valores de redução de custo se o 
projeto for implantado. 
 
Coluna 3 – Item – são a nomenclatura respectivas de investimentos e redução de custo – neste caso 
podemos também lançar como retorno dependendo do caso. 
 
Coluna 4 – Fator De Cálculo - o fator de cálculo utilizado para análise de investimento é baseado 
na metodologia de JURO COMPOSTO, lembra-se? 
É claro que esta formula é do montante, mas em nosso caso, neste item vamos usar somente o fator. 
)1( i
n
VPVF 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 185 
Então o que é fator de cálculo a juro composto? É exatamente - uma mais taxa elevado ao período 
respectivo, como segue: 
)1( i
n

 
 
Para que serve então o fator de cálculo? Serve para “trazer para a data presente um valor que está no 
futuro”! 
É evidente que se dividirmos um valor pelo seu respectivo fator teremos como resulta o valor presente. 
Se multiplicarmos teremos o respectivo valor futuro. Entendeu? Grande dica para concursos. 
 
Coluna 5 - VP – valor presente respectivo de cada ano, ou seja estamos calculando aqueles valores 
que a empresa terá no futuro, verificando qual será seu respectivo valor na data zero- valor presente, 
..ok.? 
)1( i
n
VF
VP


 
 
Coluna 6 – Saldos R$ – calculamos o respectivo saldo em cada ano. Ou seja, teremos que “pagar os 
investimentos efetuados pela empresa”, então temos que ir pagando de acordo com as entradas de caixa 
ou neste caso será a redução de custos, entendeu? 
Quando o saldo se transforma em positivo é sinal que conseguimos cobrir o valor dos investimentos, 
portanto fique alerta neste período temos a viabilidade do projeto. 
Podemos também utilizar a formula do valor presente líquido para cálculo direto: 
000.10....
08,1
000.2
08,1
000.2
08,1
000.2
08,1
000.2
08,1
000.2
5432
1
1


nVPL
n
t
 
 
000.10.....
469,1
000.2
36,1
000.2
259,1
000.2
166,1
000.2
08,1
000.2
1


nVPL
n
t
 
 
16,420.3000.1016,420.13 VPL
 
 
2º Projeto - aquisição de uma nova linha de produção 
 
 
Portanto o VALOR PRESENTE LIQUIDO É DE R$ 3.811,84, este valor é considerado o Benefício 
líquido do projeto, pois já descontamos o valor do investimento total que foi de dez mil reais, e ainda o 
investidor terá uma TMA a 8% ao ano. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 186 
000.35....
08,1
700.4
08,1
700.4
08,1
700.4
08,1
700.4
08,1
700.4
5432
1
1


nVPL
n
t
 
 
000.35.....
469,1
700.4
36,1
700.4
259,1
700.4
166,1
700.408,1
700.4
1


nVPL
n
t
 
 
84,811.33500024,811.38 VPL
 
 
Taxa Interna de Retorno – TIR 
 
A Taxa Interna de Retorno, ou TIR, é uma medida bastante utilizada no orçamento de capital. A TIR é 
uma medida da taxa de rentabilidade. Por definição, a TIR é uma taxa de desconto que iguala o valor 
presente dos fluxos de caixa futuros ao investimento inicial. Simplificando, a TIR é uma taxa de desconto 
que torna o VPL igual à zero. 
A TIR é um método similar ao VPL, ou seja, utiliza a mesma lógica de cálculo, contudo, apresenta os 
resultados em porcentagem, e não em valores monetários. Dessa forma, é bastante popular, uma vez 
que muitos investidores preferem mensurar retornos em porcentagens, e não em valores absolutos. Esse 
método também é conhecido por seu nome em inglês, ou seja, Internal Rate of Return, cuja sigla utilizada 
é IRR. 
 
Critérios de decisão da TIR 
 
A TIR encontrada no cálculo não é o suficiente para definir se um investimento deve ser aceito ou não, 
já que essa taxa pode ser alta ou baixa, dependendo do referencial adotado. 
Assim, da mesma forma que o VPL, faz-se necessário utilizar a TMA, taxa mínima de atratividade, 
parâmetro de comparação para aceitar ou não um projeto de investimento. Dessa forma, se: 
TIR > TMA – aceita-se o projeto; 
TIR < TMA – rejeita-se o projeto. 
 
A TIR deve ser usada em relação aos tipos de projetos, ou seja, projetos únicos ou projetos 
concorrentes, da seguinte forma: 
Projeto único: estabelecer uma taxa mínima de atratividade. Se a TIR for maior que a taxa mínima 
de atratividade, aceitar o projeto, se for menor, rejeitá-lo. 
Projetos concorrentes: calcular a TIR de cada projeto e escolher a maior, mas estabelecendo, da 
mesma forma que no projeto único, uma taxa mínima de atratividade. Caso as TIRs dos dois projetos 
sejam menores que essa taxa, o dois projetos devem ser rejeitados. 
 
De acordo com Hoji (2006), a TIR é uma taxa de juros implícita numa série de pagamentos (saídas) e 
recebimentos (entradas), que tem a função de descontar um valor futuro ou aplicar o fator de juros sobre 
um valor presente, conforme o caso, para trazer ou levar cada valor do fluxo de caixa para uma data focal 
(data base de comparação de valores correntes de diversas datas). Geralmente, adota-se a data de início 
da operação – momento zero – como a data focal de comparação dos fluxos de caixa (NETO, 2006). A 
soma das saídas deve ser igual à soma das entradas, em valor da data focal, para se anularem (HOJI, 
2006). 
 
A taxa interna de retorno, apesar de ser consideravelmente mais difícil de calcular à mão do que o VPL 
(Valor Presente Líquido – outro método de análise de investimentos) é possivelmente a técnica sofisticada 
mais usada para a avaliação de alternativas de investimentos. Como a TIR é a taxa de desconto que faz 
com que o VPL de uma oportunidade de investimento iguale-se a zero (já que o valor presente das 
entradas de caixa é igual ao investimento inicial), matematicamente, a TIR é obtida resolvendo-se a 
Equação 1 para o valor de k que torne o VPL igual a zero (GITMAN, 2002). 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 



 (01) 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 187 
0
1 )1(
0 I
TIR
FCn
t
t
t 



 (02) 
 
Onde: FCt – valor presente das entradas de caixa; 
𝐼0 – investimento inicial; 
𝑘 –taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa), será utilizada a 𝑇𝐼𝑅 – Taxa Interna de 
Retorno. 
𝑡 – tempo de desconto de cada entrada de caixa; 
𝑛 - tempo de desconto do último fluxo de caixa. 
 
Para realização do cálculo da TIR iremos utilizar os seguintes dados: 
 
Fluxo de Caixa do Projeto: 
Investimento Inicial (data zero) R$ 145.000,00 
Entradas de Caixa Operacionais: 
Ano 1: R$ 71.000,00 
Ano 2: R$ 74.000,00 
Ano 3: R$ 80.000,00 
Ano 4: R$ 50.000,00 
 
Nessa situação, o investimento requer somente um desembolso de caixa no momento inicial, e o 
cálculo da IRR é desenvolvido no momento inicial, e o cálculo da TIR é desenvolvido da seguinte maneira: 
 
145 = 
71.000,00
(1 + 𝑘)1
+ 
74.000,00
(1 + 𝑘)2
+ 
80.000,00
(1 + 𝑘)3
+ 
50.000,00
(1 + 𝑘)4
 
 
𝑇𝐼𝑅 (𝑘) = 33,09% 𝑎. 𝑎. 
 
Desta forma, a taxa interna de retorno calculada é de 33,09% ao ano. Isto significa que, ao se descontar 
os vários fluxos previstos de caixa por esta TIR, o resultado atualizado será exatamente igual ao montante 
do investimento (R$ 145.000,00), denotando se por conseguinte, a rentabilidade do projeto. 
 
A TIR e a Distribuição dos Fluxos de Caixa no Tempo 
 
Se o investimento em ilustração fosse realizado em duas parcelas (R$ 100.000,00 no ato e R$ 
45.000,00 no ano seguinte) e os benefícios de caixa começassem a ocorrer a partir do próximo ano, a 
taxa interna de retorno seria reduzida para 23,91% ao ano. 
 
A formulação para o cálculo da TIR apresenta-se: 
 
100 + 
45.000,00
(1 + 𝑘)1
= 
71.000,00
(1 + 𝑘)2
+ 
74.000,00
(1 + 𝑘)3
+ 
80.000,00
(1 + 𝑘)4
+ 
50.000,00
(1 + 𝑘)5
 
 
𝑇𝐼𝑅 (𝑘) = 23,87% 𝑎. 𝑎. 
 
Observa-se que a taxa interna de retorno decresce comparativamente à situação anterior devido ao 
diferimento mais que proporcional dos benefícios de caixa em relação ao padrão de dispêndio de capital. 
A taxa de desconto que produz um NPV = R$ 0 é a IRR do investimento. 
 
Atenção Candidato(a): 
O cálculo manual da TIR a partir da equação envolve uma técnica complexa de tentativa e erro que 
testa, logicamente, diversas taxas de desconto, até encontrar aquela que faz com que o valor presente 
das entradas de caixa do projeto seja idêntico ao investimento inicial (ou seja, VPL igual a R$ 0,00). Sendo 
assim você deverá substituir (𝑘) por um possível valor percentual da TIR até que seja de fato encontrado 
o correto, essa situação ocorre tanto para o cálculo da TIR com um único investimento inicial no fluxo de 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 188 
caixa, quanto para duas ou mais parcelas de investimentos como apresentado acima (A TIR e a 
Distribuição dos Fluxos de Caixa no Tempo). 
 
 
Questões 
 
01. (TRT 6ª REGIÃO – Analista Judiciário Contabilidade - FCC) Para comprar um carro, Maria 
realiza uma pesquisa em 3 Instituições Financeiras e obtém as seguintes propostas de financiamento: 
Instituição A: Entrada de R$ 7.900,00 + 1 prestação de R$ 8.240,00 para 30 dias após a entrada. 
Instituição B: Entrada de R$ 7.800,00 + 1 prestação de R$ 8.487,20 para 60 dias após a entrada. 
Instituição C: Entrada de R$ 7.652,80 + 2 prestações de R$ 4.243,60 para 30 e 60 dias após a entrada. 
Sabendo que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês, a proposta de financiamento 
(A) da instituição A é a melhor. 
(B) da instituição B é a melhor. 
(C) da instituição C é a melhor. 
(D) das instituições A e C são equivalentes. 
(E) das instituições A, B e C são equivalentes. 
 
02. (TRT 6ª REGIÃO – Analista Judiciário Contabilidade - FCC) Uma empresa está avaliando a 
compra de uma nova máquina por R$ 320.000,00 à vista. Estima-se que a vida útil da máquina seja de 3 
anos, que o valor residual de revenda no final do terceiro ano seja de R$ 50.578,00 e que os fluxos 
líquidos de caixa gerados por esta máquina ao final de cada ano sejam de R$ 99.000,00, R$ 150.040,00 
e R$ 99.825,00, respectivamente. Sabendo que a taxa mínima de atratividade é de 10%a.a., a compra 
da nova máquina. 
(A) apresenta valor presente líquido positivo. 
(B) apresenta valor presente líquido negativo. 
(C) apresenta valor presente líquido igual a zero. 
(D) apresenta taxa interna de retorno igual à taxa mínima de atratividade. 
(E) é economicamente inviável à taxa mínima de atratividade de 10%a.a. 
 
03. (IF-SC- Professor – Administração - IF-SC) Em se tratando das técnicas mais conhecidas de 
orçamento de capital, correlacione as colunas a seguir. 
(1) Técnica obtida subtraindo-se o investimento inicial de um projeto do valor presente de suas 
entradas de caixa, descontadas a uma taxa igual ao custo de capital da empresa. 
(2) Técnica que indica o tempo necessário para que a empresa recupere seu investimento inicial em 
um projeto, calculado com suas entradas de caixa; é considerada pouco sofisticada porque não leva em 
consideração explicitamente o valor do dinheiro no tempo. 
(3) Técnica que permite à empresa mensurar o percentual de retorno anual se concretizasse um 
projeto e se recebesse as entradas de caixa previstas; considerada uma técnica sofisticada de orçamento 
de capital, porque leva explicitamente em consideração o valor do dinheiro no tempo. 
( ) Payback. 
( ) Taxa interna de retorno. 
( ) Valor presente líquido. 
Assinale a alternativa que contém a ordem CORRETA de correlação, de cima para baixo 
(A) 3, 1, 2 
(B) 1, 3, 2 
(C) 2, 1, 3 
(D) 3, 2, 1 
(E) 2, 3, 1 
 
04. Uma organização fez um desembolso inicial de $ 3.000,00 esperando receber $ 700,00 ao final de 
um ano, $ 900,00 ao final de dois anos, $1.400,00 ao final de três anos e $ 1.700,00 ao final de quatro 
anos. Determine o seu VPL supondo uma taxa de atratividade é de 10% aa. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 189 
05. (CVM/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 
anos, valores em reais: 
 
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é 
de: 
(A) R$ 17.325,00 
(B) R$ 16.500,00 
(C) R$ 16.000,00 
(D) R$ 15.500,00 
(E) R$ 15.000,00 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
A questão se refere a VPL 
 
7900 +
8240
1 + 0,03
= 7900 + 8000 → 𝑉𝑃𝐿𝑎 = 15900 
 
 
 
7800 +
8487,20
(1 + 0,03)2
= 7800 +
8487,20
1,0609
= 7800 + 8000 → 𝑉𝑃𝐿𝑏 = 15800 
 
 
7652,80 +
4243,60
1 + 0,03
+
4243,60
(1 + 0,03)2
= 7652,80 + 4120 + 4000 → 𝑉𝑃𝐿𝑐 = 15772,80 
 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 190 
02. Resposta: A. 
 
 
Entradas – Saídas = Data 0 = VPL 
Na data 0: 
9900
1 + 0,1
+
150040
(1 + 0,1)2
+
150403
(1 + 0,1)3
− 32000 = 90000 + 124000 + 113000 − 320000 = 𝑉𝑃𝐿 = 7000 
 
VPL > 0 , o investimento é viável 
 
03. Resposta: E. 
(1) Técnica obtida subtraindo-se o investimento inicial de um projeto do valor presente de suas 
entradas de caixa, descontadas a uma taxa igual ao custo de capital da empresa. VPL 
(2) Técnica que indica o tempo necessário para que a empresa recupere seu investimento inicial em 
um projeto, calculado com suas entradas de caixa; é considerada pouco sofisticada porque não leva em 
consideração explicitamente o valor do dinheiro no tempo. PAYBACK 
(3) Técnica que permite à empresa mensurar o percentual de retorno anual se concretizasse um 
projeto e se recebesse as entradas de caixa previstas; considerada uma técnica sofisticada de orçamento 
de capital, porque leva explicitamente em consideração o valor do dinheiro no tempo. TIR. 
 
04. Resposta. 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 


 
 
 
05. Resposta: D. 
Sabendo que 
0
1 )1(
0 I
TIR
FCn
t
t
t 



 
Então 
 0 = 
0
1,1¹
 + 
9075
1,1²
+ 
10.648
1,1³
 - I0 
I0 = 7.500 + 8000 = 15.500 
 
 
 
TAXAS DE RETORNO E TAXAS INTERNAS DE RETORNO 
 
CONCEITOS6: 
TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (TMA) 
 
Os métodos de avaliação que serão apresentados, para efeito de avaliar méritos de alternativas para 
investimento, apresentam como principal característica o reconhecimento da variação do valor do dinheiro 
 
6 Assaf Neto – Livro Administração Financeira 
18 - Taxas de retorno, taxa interna de retorno. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 191 
no tempo. Este fato evidência a necessidade de se utilizar uma taxa de juros quando a análise for efetuada 
através de um deles. A questão é definir qual será a taxa a ser empregada. 
 
A TMA é a taxa a partir da qual o investidor considera que está obtendo ganhos financeiros. 
Existem grandes controvérsias quanto a como calcular esta taxa. Alguns autores afirmam que a taxa 
de juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros equivalente à maior rentabilidade das 
aplicações correntes e de pouco risco. Uma proposta de investimento, para ser atrativa, deve render, no 
mínimo, esta taxa de juros. 
Outro enfoque dado a TMA é a de que deve ser o custo de capital investido na proposta em questão, 
ou ainda, o custo de capital da empresa mais o risco envolvido em cada alternativa de investimento. 
Naturalmente, haverá disposição de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o valor do 
investimento, for superior ao custo de capital. Por custo de capital, entendesse a média ponderada dos 
custos das diversas fontes de recursos utilizadas no projeto em questão. 
 
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
Vamos analisar as taxas de retorno e taxas internas de retorno. Qual o significado de Taxa interna de 
Retorno? 
Esta taxa é muito utilizada na analise de viabilidade de projetos. 
A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês IRR (Internal Rate of Return), é uma taxa de desconto 
hipotética que, quando aplicada a um fluxo de caixa, faz com que os valores das despesas, trazidos ao 
valor presente, seja igual aos valores dos retornos dos investimentos, também trazidos ao valor presente.1 
O conceito foi proposto por John Maynard Keynes, de forma a classificar diversos projetos de 
investimento: os projetos cujos fluxos de caixa tivessem uma taxa interna de retorno maior do que a taxa 
mínima de atratividade deveriam ser escolhidos.1 
Assim, a TIR é a taxa necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus 
respectivos retornos futuros ou saldos de caixa gerados em cada período. Sendo usada em análise de 
investimentos, significa a taxa de retorno de um projeto. 
Por exemplo, utilizando uma calculadora financeira, encontramos para o projeto "P1" uma Taxa Interna 
de Retorno de 15% ao ano. 
Esse projeto será atrativo se a empresa tiver uma TMA menor do que 15% ao ano. 
A solução dessa equação pode ser obtida pelo processo iterativo, ou seja "tentativa e erro", ou 
diretamente com o uso de calculadoras eletrônicas ou planilhas de cálculo. 
 
A Taxa Interna retorno (TIR) 
 
É a taxa de atualização do projeto que dá o VPL nulo. 
A TIR é a taxa que o investidor obtém em média em cada período (ano, mês,...) sobre os capitais que 
se mantêm investidos no projeto, enquanto o investimento inicial é recuperado progressivamente. 
A TIR é um critério que atende ao valor de dinheiro no tempo, valorizando os cash-flows – Fluxo de 
caixa -atuais mais do que os futuros, constitui com a VPL e o PAYBACK atualizado os três grandes 
critérios de avaliação de projetos. 
Como o VPL – TIR é um metodo de analise de investimento derivado do VPL, segue a mesma regra, 
ou seja, A Taxa Interna de Retorno de um investimento pode ser 
1- Maior do que a Taxa Mínima de Atratividade: significa que o investimento é economicamente 
atrativo. 
TIR>TMA – PROJETO VIAVEL 
2- Igual à Taxa Mínima de Atratividade: o investimento está economicamente numa situação de 
indiferença. 
TIR=TMA – PROJETO PODERÁ SER VIAVEL 
3- Menor do que a Taxa Mínima de Atratividade: o investimento não é economicamente atrativo 
pois seu retorno é superado pelo retorno de um investimento com o mínimo de retorno já definido.Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 192 
TIR<TMA – PROJETO INVIAVEL 
Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior Taxa Interna de Retorno. 
Matematicamente, a Taxa Interna de Retorno é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas 
de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento. 
Desta forma, a TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do projeto 
seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo de capital do projeto 
 
Método da Taxa Interna de Retorno (TIR)7 
 
Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor presente 
das receitas torna-se igual aos desembolsos. Isto significa dizer que a TIR é aquela que torna nulo o valor 
presente líquido do projeto. Pode ainda ser entendida como a taxa de remuneração do capital. 
A TIR deve ser comparada com a TMA para a conclusão a respeito da aceitação ou não do projeto. 
Uma TIR maior que a TMA indica projeto atrativo. Se a TIR é menor que a TMA, o projeto analisado passa 
a não ser mais interessante. O cálculo da TIR é feito normalmente pelo processo de tentativa e erro, pois 
necessitamos de planilhas eletrônicas ou calculadoras financeiras para efetuar estes cálculos. 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros (desconto) que iguala, em determinado momento do 
tempo, o valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas de caixa. 
A TIR é usada como método de análise de investimentos, onde o investimento será economicamente 
atraente se a TIR for maior do que a taxa mínima de atratividade (taxa de retorno esperada pelo 
investimento). 
 A TIR também é utilizada na comparação entre dois ou mais projetos de investimentos, quando estes 
forem mutuamente excludentes. Neste caso, o projeto que apresentar o maior valor da TIR será o projeto 
economicamente mais atraente. 
O cálculo da TIR é um processo muito complexo quando calculado à mão, sendo normalmente 
calculado com o uso de calculadoras financeiras ou programas de computador. Entretanto, para efeito 
didático, não é possível exigir dos alunos que tenham uma calculadora financeira, visto que estas são 
normalmente de alto custo. Além disso, quando o aluno realiza o cálculo à mão, ele se familiariza mais 
com o conceito da TIR. 
Assim, neste trabalho está sendo proposta uma técnica de cálculo da TIR pelo método de tentativa e 
erro (proposta inicialmente por GITMAN, 2002), mas que terá um refinamento para melhorar o grau de 
precisão dos resultados em relação ao método original de Gitman (2002). Foram realizados testes com 
diferentes configurações de fluxo de caixa para testar o método, verificando-se que o método de tentativa 
e erro, embora mais lento do que quando se usa uma calculadora financeira ou um software de 
computador, produz resultados bastante precisos. 
 
De acordo com Hoji (2006), a Taxa Interna de Retorno (TIR) é conhecida também como taxa de 
desconto do fluxo de caixa. A TIR é uma taxa de juros implícita numa série de pagamentos (saídas) e 
recebimentos (entradas), que tem a função de descontar um valor futuro ou aplicar o fator de juros sobre 
um valor presente, conforme o caso, para trazer ou levar cada valor do fluxo de caixa para uma data focal 
(data base de comparação de valores correntes de diversas datas). Geralmente, adota-se a data de início 
da operação – momento zero – como a data focal de comparação dos fluxos de caixa (NETO, 2006). A 
soma das saídas deve ser igual à soma das entradas, em valor da data focal, para se anularem (HOJI, 
2006). 
Segundo Neto (2006), normalmente, o fluxo de caixa no momento zero (fluxo de caixa inicial) é 
representado pelo valor do investimento, ou empréstimo ou financiamento; os demais fluxos de caixa 
indicam os valores das receitas ou prestações devidas. 
Ainda de acordo com Hoji (2006), o conceito de TIR é utilizado para calcular a taxa de 
“i” quando existe mais de um pagamento e mais de um recebimento ou quando as parcelas de 
pagamento ou recebimento não são uniformes. 
O método da Taxa de Retorno, usado para análise de investimentos, assume implicitamente que todos 
os fluxos intermediários de caixa são reinvestidos à própria TIR calculada para o investimento. O critério 
de decisão, quando a TIR é usada para tomar decisões do tipo “aceitar-rejeitar”, é o seguinte: Se a TIR 
for maior que o custo de capital (taxa mínima de atratividade), aceita-se o projeto; se for menor, rejeita-
se o projeto. Esse critério garante que a empresa esteja obtendo, pelo menos, sua taxa requerida de 
 
7 GITMAN, 2002 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 193 
retorno. Tal resultado deveria aumentar o valor de mercado da empresa e, consequentemente, a riqueza 
dos seus proprietários (GITMAN, 2002). Entre duas alternativas econômicas com TIR diferentes, a que 
apresentar maior taxa representa o investimento que proporciona o maior retorno. A TIR não deve ser 
confundida com a taxa mínima de atratividade que o valor investido deverá proporcionar para que o 
investimento seja interessante (HOJI, 2006). 
 
A taxa interna de retorno, apesar de ser consideravelmente mais difícil de calcular à mão do que o VPL 
(Valor Presente Líquido – outro método de análise de investimentos) é possivelmente a técnica sofisticada 
mais usada para a avaliação de alternativas de investimentos. Como a TIR é a taxa de desconto que faz 
com que o VPL de uma oportunidade de investimento iguale-se a zero (já que o valor presente das 
entradas de caixa é igual ao investimento inicial), matematicamente, a TIR é obtida resolvendo-se a 
Equação 1 para o valor de k que torne o VPL igual a zero (GITMAN, 2002). 
 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 



 (01) 
 
0
1 )1(
0 I
TIR
FCn
t
t
t 



 (02) 
 
Onde: FCt – valor presente das entradas de caixa; 
I0 – investimento inicial; 
k – taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa); 
t – tempo de desconto de cada entrada de caixa; 
n - tempo de desconto do último fluxo de caixa. 
 
De acordo com Gitman (2002) a TIR pode ser calculada tanto por tentativa e erro como se recorrendo 
a uma calculadora financeira sofisticada ou a um computador. Como será demonstrado a seguir, o cálculo 
da TIR à mão, empregando-se a Equação 2, não é um trabalho fácil. 
Será demonstrada a abordagem de tentativa e erro, visto que o objetivo deste trabalho é demonstrar 
um método para cálculo da TIR a ser usado em sala de aula, onde a maioria dos alunos não têm acesso 
a uma calculadora financeira (normalmente de alto custo). 
Avaliação de alternativas de investimento em economia após a classificação dos projetos tecnicamente 
corretos é imprescindível que a escolha considere aspectos econômicos. E é a engenharia econômica 
que fornece os critérios de decisão, para a escolha entre as alternativas de investimento. 
Os principais métodos de avaliação que formam a base da engenharia econômica, e com eles 
podemos avaliar e escolher os melhores projetos são: 
 Método do valor presente líquido (VPL); 
 Método da taxa interna de retorno (TIR). 
 Método do PAY-BACK (PB). 
 
Os métodos VPL e TIR, são exatos, e equivalentes, não apresentam os problemas na análise e decisão 
e escolha do melhor projeto, no entanto o PAY-BACK descontado apesar de ser muito utilizado na 
avaliação de projetos ele não realiza o exato prazo de retorno do investimento. 
O método, que é muito utilizado, e que possui limitações do ponto de vista conceitual é o PAY-BACK 
ou método do tempo de recuperação do investimento. O método do PAY-BACK consiste simplesmente 
na determinação do número de períodos necessáriospara recuperar capital investido, ignorando as 
consequências além do período de recuperação e o valor do dinheiro no tempo. Normalmente é 
recomendado que este método seja usado como critério de desempate, se for necessário após o emprego 
de um dos métodos exatos. 
Estes métodos são equivalentes e indicam sempre a mesma alternativa de investimento, que é a 
melhor do ponto de vista econômico. Embora indicarem o mesmo resultado, existe é claro vantagens e 
desvantagens um em relação ao outro, e que serão comentadas a seguir. 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 194 
CRITÉRIOS ECONÔMICOS DE DECISÃO8 
 
Método do valor presente líquido (VPL) 
 
O método do valor presente líquido, também conhecido pela terminologia método do valor atual, 
caracteriza-se, essencialmente, pela transferência para o instante presente de todas as variações de 
caixa esperadas, descontadas à taxa mínima de atratividade. Em outras palavras, seria o transporte para 
a data zero de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos e desembolsos esperados, 
descontados à taxa de juros considerada. 
Se o valor presente for positivo, a proposta de investimento é atrativa, e quanto maior o valor positivo, 
mais atrativa é a proposta. 
 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 



 
Onde: FCt – valor presente das entradas de caixa; 
I0 – investimento inicial; 
k – taxa de desconto (igual ao custo de capital de empresa); 
t – tempo de desconto de cada entrada de caixa; 
n - tempo de desconto do último fluxo de caixa. 
 
 
 
Tir= 17,3% 
VPL = 7.171,30 
Explicações da tabela: 
 
Coluna 1 –DATAS - data zero em economia consideramos a data do Valor presente. 
As outras datas são exatamente a vida útil do projeto (maquinários e outros bens relacionados), 
 
Coluna 2 – VALORES - R$ 55.000,00 é o investimento – valor negativo para representar que este 
dinheiro sairá do caixa da empresa para o projeto. 
Os outros valores R$ 25.000,00 do ano 1 ao ano 3 é exatamente os valores de retorno se o projeto 
for implantado. 
 
Coluna 3 – ITEM – são as nomenclaturas respectivas de investimentos e redução de custo – neste 
caso podemos também lançar como retorno dependendo do caso. 
Coluna 4 – FATOR DE CÁLCULO - o fator de cálculo utilizado para análise de investimento é 
baseado na metodologia de JURO COMPOSTO, lembra-se? 
É claro que esta formula é do montante, mas em nosso caso, neste item vamos usar somente o fator. 
)1( i
n
VPVF 
 
 Então o que é fator de cálculo a juro composto? É exatamente - um mais taxa elevado ao período 
respectivo, como segue: 
)1( i
n

 
 
 
8 http://www.iepg.unifei.edu.br/edson/download/Engecon2/CAP3EEA.pdf 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 195 
Para que serve então o fator de cálculo? Serve para “trazer para a data presente um valor que está no 
futuro”! 
É evidente que se dividirmos um valor pelo seu respectivo fator teremos como resulta o valor presente. 
Se multiplicarmos teremos o respectivo valor futuro. Entendeu? Grande dica para concursos. 
 
Coluna 5 - VPS – valor presente respectivo de cada ano, ou seja estamos calculando aqueles valores 
que a empresa terá no futuro, verificando qual será seu respectivo valor na data zero- valor presente, 
..ok.? 
)1( i
n
VF
VP


 
 
Coluna 6 - SALDOS – calculamos os respectivos saldos em cada ano. Ou seja, teremos que “pagar 
os investimentos efetuados pela empresa”, então temos que ir pagando de acordo com as entradas de 
caixa ou neste caso será a redução de custos, entendeu? 
Quando o saldo se transforma em positivo é sinal que conseguimos cobrir o valor dos investimentos, 
portanto fique alerta neste período temos a viabilidade do projeto. 
 
Podemos também utilizar a formula do valor presente líquido para cálculo direto: 
 
Em concurso utilizamos um método ainda não comprovado cientificamente, mas que pode dar um 
parâmetro para as respostas corretas. Ou seja 
 
EXEMPLO 1: Fluxo de caixa de uma anuidade (entradas constantes). 
A seguir é apresentado um esquema de fluxo de caixa com investimento inicial no ano 
Zero. 
 
 
Dica para concurso: 
Taxa de retorno -Aproximação = média de retorno / investimentos =60/100 = 0,6 
Pegue este valor e dívida por dois ou seja 0,60/2 =0,3; portanto temos duas taxas de retorno taxa 
máxima = 0,6 e taxa mínima 0,3 
Faça agora a média entre as taxas máxima e a mínima, em alguns casos funciona. 
0,60+0,30=0,90 e agora dívida por 2 para acha a média aritmética das taxas que será igual a 0,45 = 
45% é uma taxa aproximada a TIR real que é de 47,2%, lembre-se que é uma alternativa não cientifica. 
 
 
Questões 
01) Uma organização fez um desembolso inicial de $ 3.000,00 esperando receber $ 700,00 ao final 
de um ano, $ 900,00 ao final de dois anos, $1.400,00 ao final de três anos e $ 1.700,00 ao final de 
quatro anos. Determine o seu VPL supondo uma taxa de atratividade é de 10% aa. 
02) (CVM/FCC) O esquema abaixo representa o fluxo de caixa de um investimento no período de 3 
anos, valores em reais: 
 
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. 196 
Sabendo-se que a taxa interna de retorno (TIR) é de 10% ao ano, o valor do desembolso inicial (D) é 
de: 
(A) R$ 17.325,00 
(B) R$ 16.500,00 
(C) R$ 16.000,00 
(D) R$ 15.500,00 
(E) R$ 15.000,00 
Respostas 
01) 
0
1 )1(
I
k
FC
VPL
n
t
t
t 



 
 
 
02) Resposta: D. 
Sabendo que 
0
1 )1(
0 I
TIR
FCn
t
t
t 



 
Então 
 0 = 
0
1,1¹
 + 
9075
1,1²
+ 10.648
1,1³
 - I0 
I0 = 7.500 + 8000 = 15.500 
 
 
 
TABELAS E GRÁFICOS 
 
O nosso cotidiano é permeado das mais diversas informações, sendo muito delas expressas em 
formas de tabelas e gráficos, as quais constatamos através do noticiários televisivos, jornais, revistas, 
entre outros. Os gráficos e tabelas fazem parte da linguagem universal da Matemática, e compreensão 
desses elementos é fundamental para a leitura de informações e análise de dados. 
A parte da Matemática que organiza e apresenta dados numéricos e a partir deles fornecer conclusões 
é chamada de Estatística. 
 
Tabelas: as informações nela são apresentadas em linhas e colunas, possibilitando uma melhor 
leitura e interpretação. Exemplo: 
 
Fonte: SEBRAE 
 
Observação: nas tabelas e nos gráficos podemos notar que a um título e uma fonte. O título é utilizado 
para evidenciar a principal informação apresentada, e a fonte identifica de onde os dados foram obtidos. 
 
19 - Análise e interpretação de tabelas e gráficos estatísticos. 
 
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. 197 
Tipos de Gráficos 
 
Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo 
período de tempo. 
Marcamos os pontos determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligados por 
segmentos de reta. Nesse tipo de gráfico, apenas os extremos dos segmentos de reta que compõem a 
linha oferecem informações sobre o comportamento da amostra. Exemplo: 
 
 
Gráfico de barras: também conhecido como gráficos de colunas, são utilizados, em geral, quando há 
uma grande quantidade de dados. Para facilitar a leitura, em alguns casos, os dados numéricos podem 
ser colocados acima das colunas correspondentes. Eles podem ser de dois tipos: barras verticais e 
horizontais. 
 
- Gráfico de barras verticais: as frequências são indicadas em um eixo vertical. Marcamos os pontos 
determinados pelos pares ordenados (classe, frequência) e os ligamos ao eixo das classes por meio de 
barras verticais. Exemplo: 
 
 
 
- Gráfico de barras horizontais:as frequências são indicadas em um eixo horizontal. Marcamos os 
pontos determinados pelo pares ordenados (frequência, classe) e os ligamos ao eixo das classes por 
meio de barras horizontais. Exemplo: 
 
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. 198 
Observação: em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela 
representada. 
 
Gráfico de setores: são utilizados, em geral, para visualizar a relação entre as partes e o todo. 
Dividimos um círculo em setores, com ângulos de medidas diretamente proporcionais às frequências 
de classes. A medida α, em grau, do ângulo central que corresponde a uma classe de frequência F é 
dada por: 
𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 
Onde: 
Ft = frequência total 
 
Exemplo 
 
 
Para acharmos a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples: 
400 --- 100% 
160 --- x 
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente. 
 
Aplicando a fórmula teremos: 
 
−𝐹𝑢𝑡𝑒𝑏𝑜𝑙: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 160 → 𝛼 = 144° 
 
−𝑉ô𝑙𝑒𝑖: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 120 → 𝛼 = 108° 
 
−𝐵𝑎𝑠𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 60 → 𝛼 = 54° 
 
 
−𝑁𝑎𝑡𝑎çã𝑜: 𝛼 =
360°
𝐹𝑡
. 𝐹 → 𝛼 =
360°
400
. 20 → 𝛼 = 18° 
 
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção 
da área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico 
será demarcada da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
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. 199 
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico: 
 
 
 
Pictograma ou gráficos pictóricos: em alguns casos, certos gráficos, encontrados em jornais, 
revistas e outros meios de comunicação, apresentam imagens relacionadas ao contexto. Eles são 
desenhos ilustrativos. Exemplo: 
 
 
 
Histograma: o consiste em retângulos contíguos com base nas faixas de valores da variável e com 
área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada retângulo é denominada 
densidade de frequência ou simplesmente densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da 
faixa. Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na construção do histograma, o 
que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes 
são utilizadas nas faixas. Exemplo: 
 
 
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. 200 
Polígono de Frequência: semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos médios das 
classes. Exemplo: 
 
 
 
Gráfico de Ogiva: apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal 
ascendente utilizando os pontos extremos. 
 
 
 
Cartograma: é uma representação sobre uma carta geográfica. Este gráfico é empregado quando o 
objetivo é de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas. 
 
 
 
Interpretação de tabelas e gráficos 
 
Para uma melhor interpretação de tabelas e gráficos devemos ter em mente algumas considerações: 
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. 201 
- Observar primeiramente quais informações/dados estão presentes nos eixos vertical e horizontal, 
para então fazer a leitura adequada do gráfico; 
- Fazer a leitura isolada dos pontos. 
- Leia com atenção o enunciado e esteja atento ao que pede o enunciado. 
 
Exemplos 
 
(Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades 
ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, 
industrialização e comercialização dos produtos. 
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: 
 
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). 
Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado) 
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do 
agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. 
Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de 
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006. 
D) 2003 e 2007. 
E) 2003 e 2008. 
 
Resolução 
 
Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no 
PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta 
do gráfico: em 2003 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, 
chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar. 
Resposta: C 
 
(Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros 
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos 
meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de 
setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar 
de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o 
aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo. 
 
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global 
em 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 202 
A)1995. 
B)1998. 
C) 2000. 
D)2005. 
E)2007. 
 
Resolução 
 
O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a 
resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e 
consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor 
será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. 
O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007. 
 
Resposta: E 
 
Mais alguns exemplos: 
 
1) Todos os objetos estão cheios de água. 
 
Qual deles pode conter exatamente 1 litro de água? 
(A) A caneca 
(B) A jarra 
(C) O garrafão 
(D) O tambor 
 
O caminho é identificar grandezas que fazem parte do dia a dia e conhecer unidades de medida, no 
caso, o litro. Preste atenção na palavra exatamente, logo a resposta está na alternativa B. 
 
2) No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos 
federais no período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
 
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. 203 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais. 
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais. 
(C) manteve-se constante nos quatro anos. 
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos. 
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais. 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D. 
 
Referências 
https://www.infoenem.com.br 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
Questões 
 
01. (Pref. Fortaleza/CE – Pedagogia – Pref. Fortaleza) “Estar alfabetizado, neste final de século, 
supõe saber ler e interpretar dados apresentados de maneira organizada e construir representações, para 
formular e resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de informações. Essa 
característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma demanda em abordar 
elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde os ciclos iniciais” (BRASIL, 1997). 
Observe os gráficos e analise as informações. 
 
 
 
A partir das informações contidas nos gráficos, é correto afirmarque: 
(A) nos dias 03 e 14 choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
(B) a quantidade de chuva acumulada no mês de março foi maior em Fortaleza. 
(C) Fortaleza teve mais dias em que choveu do que Florianópolis. 
(D) choveu a mesma quantidade em Fortaleza e Florianópolis. 
 
 
 
 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 204 
02. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional 
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen, 
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro, 
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações) 
 
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema penitenciário brasileiro por 
região em 2013. Nesse ano, o déficit relativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de 
vagas no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema penitenciário — registrado 
em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil 
habitantes. 
Com base nessas informações e na tabela apresentada, julgue o item a seguir. 
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se encontrava na região Sudeste. 
( )certo ( ) errado 
 
03. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) A distribuição de salários de uma empresa com 
30 funcionários é dada na tabela seguinte. 
 
Salário (em salários mínimos) Funcionários 
1,8 10 
2,5 8 
3,0 5 
5,0 4 
8,0 2 
15,0 1 
 
Pode-se concluir que 
(A) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários. 
(B) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salários. 
(C) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários. 
(D) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda total. 
(E) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda total. 
 
04. (TJ/SP – Estatístico Judiciário – VUNESP) Considere a tabela de distribuição de frequência 
seguinte, em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta dos dados. 
 
xi fi 
30-35 4 
35-40 12 
40-45 10 
45-50 8 
50-55 6 
TOTAL 40 
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor representa a distribuição de 
frequência da tabela. 
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. 205 
 
 
05. (SEJUS/ES – Agente Penitenciário – VUNESP) Observe os gráficos e analise as afirmações 
I, II e III. 
 
 I. Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, 
foi maior que 1000%. 
II. Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior. 
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à 
distância foi de 2 para 5. 
É correto o que se afirma em 
 
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. 206 
(A) I e II, apenas. 
(B) II, apenas. 
(C) I, apenas. 
(D) II e III, apenas. 
(E) I, II e III. 
 
06. (DEPEN – Agente Penitenciário Federal – CESPE) 
 
 
 
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue o item que se segue. 
Se os percentuais forem representados por barras verticais, conforme o gráfico a seguir, então 
o resultado será denominado histograma. 
 
( ) Certo ( ) Errado 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
A única alternativa que contém a informação correta com ao gráficos é a C. 
 
02. Resposta: CERTO. 
555----100% 
306----x 
X=55,13% 
 
03. Resposta: D. 
(A) 1,8*10+2,5*8+3,0*5+5,0*4+8,0*2+15,0*1=104 salários 
(B) 60% de 30, seriam 18 funcionários, portanto essa alternativa é errada, pois seriam 12. 
(C)10% são 3 funcionários 
(D) 40% de 104 seria 41,6 
20% dos funcionários seriam 6, alternativa correta, pois5*3+8*2+15*1=46, que já é maior. 
(E) 6 dos trabalhadores: 18 
30% da renda: 31,20, errada pois detêm mais. 
 
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. 207 
04. Resposta: A. 
A menor deve ser a da primeira 30-35 
Em seguida, a de 55 
Depois de 45-50 na ordem 40-45 e 35-40 
 
05. Resposta: E. 
I- 69,8------100% 
 781,6----x 
X=1119,77 
 
II- 781,6-680,7=100,9 
 
III- 
10
25
=
2
5
 
 
06. Resposta: ERRADO. 
Como foi visto na teoria, há uma faixa de valores no eixo x e não simplesmente um dado. 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA 
 
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os 
elementos de A. 
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o 
resultado da operação citada seja o mesmo diz – se, por definição, que x será a média dos elementos de 
A relativa a essa operação. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética. 
 
- Cálculo da média aritmética 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por 
definição: 
 
 
A média aritmética(x) dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus 
elementos, dividida pelo número de elementos n. 
Exemplos: 
1) Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13. 
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 
elementos, dividida por 5. Assim: 
 
𝑥 = 
3 + 4 + 6 + 9 + 13
5
↔ 𝑥 = 
35
5
↔ 𝑥 = 7 
 
A média aritmética é 7. 
 
2) Os gastos (em reais) de 15 turistas em Porto Seguro estão indicados a seguir: 
65 – 80 – 45 – 40 – 65 – 80 – 85 – 90 
75 – 75 – 70 – 75 – 75 – 90 – 65 
 
Se somarmos todos os valores teremos: 
 
20 - Variância, desvio padrão, média, mediana e moda. 
 
Apostila gerada especialmente para: renata lemmos 889.112.928-34
 
. 208 
𝑥 =
65 + 80 + 45 + 40 + 65+, , , +90 + 65
15
=
1075
15
= 71,70 
 
Assim podemos concluir que o gasto médio do grupo de turistas foi de R$ 71,70. 
 
Questões 
 
01. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) Na festa de seu aniversário em 2014, todos os sete filhos de João estavam 
presentes. A idade de João nessa ocasião representava 2 vezes a média aritmética da idade de seus 
filhos, e a razão entre a soma das idades deles e a idade de João valia 
(A) 1,5. 
(B) 2,0. 
(C) 2,5. 
(D) 3,0. 
(E) 3,5. 
 
02. (TJ/SC - Técnico Judiciário - Auxiliar TJ-SC) Os censos populacionais produzem informações 
que permitem conhecer a distribuição territorial e as principais características das pessoas e dos 
domicílios, acompanhar sua evolução ao longo do tempo, e planejar adequadamente o uso sustentável 
dos recursos, sendo imprescindíveis para a definição de políticas públicas e a tomada de decisões de 
investimento. Constituem a única fonte de referência sobre a situação de vida da população nos 
municípios e em seus recortes internos – distritos, bairros e localidades, rurais ou urbanos – cujas 
realidades socioeconômicas dependem dos resultados censitários para serem conhecidas. 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/censo2010/default.shtm 
(Acesso dia 29/08/2011) 
Um dos resultados possíveis de se conhecer, é a distribuição entre homens e mulheres no território 
brasileiro. A seguir parte da pirâmide etária da população brasileira disponibilizada pelo IBGE. 
 
http://www.ibge.gov.br/censo2010/piramide_etaria/index.php 
(Acesso dia 29/08/2011) 
O quadro abaixo, mostra a distribuição da quantidade de homens e mulheres, por faixa etária de uma 
determinada cidade. (Dados aproximados) 
Considerando somente a população masculina dos 20 aos 44 anos e com base no quadro abaixo a 
frequência relativa, dos homens, da classe [30, 34] é: 
 
 
(A) 64%. 
(B) 35%. 
(C) 25%. 
(D) 29%. 
(E) 30%. 
 
03. (EsSA - Sargento - Conhecimentos Gerais