AME-AULA00 - AULA01

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CENTRO UNIVERSITÁRIO SANTO AGOSTINHO –UNIFSA
DIREÇÃO DE ENSINO
NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO - NUAPE
COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
ANÁLISE MATRICIAL DE 
ESTRUTURAS
LEONARDO DO NASCIMENTO CUNHA
MAIO-AULA 01
2019
INTRODUÇÃO;
GRAUS DE LIBERDADE;
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária);
MRD-MOLAS;
MRD-BARRAS;
MRD-TRELIÇAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
INTRODUÇÃO;
GRAUS DE LIBERDADE;
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária);
MRD-MOLAS;
MRD-BARRAS;
MRD-TRELIÇAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
INTRODUÇÃO
Mas o que é análise matricial de estruturas?
Qual a importância desse tipo de análise?
Qual a sua aplicação?
INTRODUÇÃO
1.0 Conceito:
Análise matricial, na verdade, é a nome dado a utilização
do Método da Rigidez Direta (MRD).
O MRD corresponde à forma matricial do método dos
deslocamentos (Hiperestática-Estabilidade II).
INTRODUÇÃO
1.0 Conceito:
O MRD é utilizado na análise de estruturas reticuladas:
Treliças planas;
Treliças espaciais;
Vigas;
Grelhas;
Pórticos Planos;
Pórticos espaciais
INTRODUÇÃO
1.0 Conceito:
O MRD é utilizado na análise de estruturas reticuladas:
Treliças planas;
Treliças espaciais;
Vigas;
Grelhas;
Pórticos Planos;
Pórticos espaciais
INTRODUÇÃO
Estruturas formadas 
por barras e nós
2.0 Aplicabilidade:
O MRD é utilizado como ferramenta básica no Método
dos Elementos Finitos (MEF).
O MEF é um dos métodos mais utilizados nos softwares
de engenharia no mundo inteiro.
INTRODUÇÃO
2.0 Aplicabilidade:
Exemplos de softwares comerciais que utilizam o MEF:
 Ansys;
 Abaqus;
 Sap 2000;
 Ftool;
 Cypecad;
INTRODUÇÃO
2.0 Aplicabilidade:
INTRODUÇÃO
FONTE:CYPECAD,2018 FONTE:https://suporte.altoqi.com.br
2.0 Aplicabilidade:
INTRODUÇÃO
FONTE:ACKEL; OTONI, 2015 FONTE:csiamericam.com.br
2.0 Aplicabilidade:
INTRODUÇÃO
FONTE:csiamericam/sap2000
INTRODUÇÃO;
GRAUS DE LIBERDADE;
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária);
MRD-MOLAS;
MRD-BARRAS;
MRD-TRELIÇAS.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
GRAUS DE LIBERDADE
Graus de liberdade são o número de movimentos rígidos
possíveis e independentes que um nó (corpo) pode
executar, ou seja, são as variáveis independentes
(incógnitas) no método da rigidez direta.
GRAUS DE LIBERDADE-(DOF)
Graus de liberdade são o número de movimentos rígidos
possíveis e independentes que um nó (corpo) pode
executar, ou seja, são as variáveis independentes
(incógnitas) no método da rigidez direta.
GRAUS DE LIBERDADE-(DOF)
Degree of Freedom-
DOF
GRAUS DE LIBERDADE
 Exemplo 01: (DOF-Node 1 and Node 2)
1 2
GRAUS DE LIBERDADE
 Exemplo 01: (DOF-Node 1 and Node 2)
u1
v1
θ1
u2
v2
θ2
1 2
GRAUS DE LIBERDADE
 Exemplo 02: (DOF-Node 1 and Node 2)
21
Obs.:
Para deslocamentos na direção x, têm-se graus de
liberdade do tipo:
Para deslocamentos na direção y, têm-se graus de
liberdade do tipo:
Para rotações , têm-se graus de liberdade do tipo:
GRAUS DE LIBERDADE
ui
vi
θi
Conhecendo-se os valores dos graus de liberdade, é
possível determinar todos os esforços internos, reações de
apoio, deslocamentos e diagramas de estado (D.M.F,
D.E.C e D.E.N);
Os graus de liberdade ou coordenadas generalizadas
caracterizam a configuração deformada da estrutura.
GRAUS DE LIBERDADE
Conhecendo-se os valores dos graus de liberdade, é
possível determinar todos os esforços internos, reações de
apoio, deslocamentos e diagramas de estado (D.M.F,
D.E.C e D.E.N);
GRAUS DE LIBERDADE
Da mesma forma que no método 
dos deslocamento, em 
hiperestática
INTRODUÇÃO;
GRAUS DE LIBERDADE;
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária);
MRD-MOLAS;
MRD-BARRAS;
MRD-TRELIÇAS.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária)
Para resolução de estruturas, sendo elas até hiperestáticas,
faz-se o uso de métodos energéticos, as quais se destacam:
P.T.V (Princípio dos Trabalhos Virtuais);
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total Estacionária);
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
Para o entendimento do P.E.P.T.E, faz-se necessário a
compreensão/revisão de energia potencial;
Para a análise de estruturas pelo P.E.P.T.E serão
enfatizados o trabalho realizado por forças conhecidas
como “conservativas”.
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
Para o entendimento do P.E.P.T.E, faz-se necessário a
compreensão/revisão de energia potencial;
Para a análise de estruturas serão enfatizados o trabalho
realizado por forças conhecidas como “conservativas”.
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
Forças, cujo o trabalho, só 
depende apenas do ponto 
inicial e do ponto final da 
trajetória.
1.0 Energia Potencial Gravitacional :
A força peso é uma força conservativa, a qual o trabalho realizado
por ela caracteriza-se:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
FONTE:PARENTE JUNIOR, 2018
Trabalho:
W1-2 = -P.Δy
Energia Potencial Gravitacional (V=P.y):
W1-2 = -P.Δy = -P.(y2-y1)
W1-2 = - ΔV 
1.0 Energia Potencial Gravitacional :
A força peso é uma força conservativa, a qual o trabalho realizado
por ela caracteriza-se:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
FONTE:PARENTE JUNIOR, 2018
Trabalho:
W1-2 = -P.Δy
Energia Potencial Gravitacional (V=P.y):
W1-2 = -P.Δy = -P.(y2-y1)
W1-2 = - ΔV 
Força constante em módulo, direção e 
sentido 
2.0 Energia Potencial Elástica :
A força elástica é outra força conservativa, a qual o trabalho realizado por
ela caracteriza-se:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
FONTE:PARENTE JUNIOR, 2018
Trabalho:
𝑾𝟏−𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝒌. (𝒔𝟐
𝟐 − 𝒔𝟏
𝟐)
Energia Potencial Elástica (U= k.s²):
W1-2 = -(U2 –U1)
W1-2 = - ΔU 
Fel F
Obs.:
A Energia Potencial Elástica (U ) é também conhecida como
Energia Interna de Deformação;
O conceito de Energia Potencial Gravitacional pode ser estendido
para outras forças, desde que estas forças sejam constantes
(módulo, direção e sentido).
Nestes casos (outras forças-constantes), pode ser definir o Potencial
das Forças Externas (V), como ΔV = -Wext
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
Obs.:
A Energia Potencial Elástica (U ) é também conhecida como
Energia Interna de Deformação;
O conceito de Energia Potencial Gravitacional pode ser estendido
para outras forças, desde que estas forças sejam constantes
(módulo, direção e sentido).
Nestes casos (outras forças-constantes), pode ser definir o Potencial
das Forças Externas (V), como ΔV = -Wext
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
Wext corresponde ao trabalho 
das forças externas, ou seja, 
força x deslocamentos
3.0 Energia Potencial Total:
Assim, em um sistema submetido a forças de natureza
conservativas como gravitacionais (forças constantes) e forças
elásticas, pode-se definir a Energia Potencial Total (Π):
Π = U + V
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
3.0 Energia Potencial Total:
Para análise energética, o importante é a variação da energia.
Mas como a energia potencial depende do referencial adotado
e geralmente adota-se a configuração inicial indeformada,
onde U1 = V1 = Π1 = 0, tem-se:
Π = Π (u1,u2,u3, . . ., un)
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
3.0 Energia PotencialTotal:
Para análise energética, o importante é a variação da energia.
Mas como a energia potencial depende do referencial adotado
e geralmente adota-se a configuração inicial indeformada,
onde U1 = V1 = Π1 = 0, tem-se:
Π = Π (u1,u2,u3, . . ., un)
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
A energia potencial total 
(Π) é função dos graus de 
liberdade(incógnitas)
3.0 Energia Potencial Total:
Assim, o princípio da Energia Potencial Total Estacionária diz
que:
“Entre todos os deslocamentos admissíveis, os deslocamentos
que correspondem ao equilíbrio são aqueles que tornam a
energia potencial total estacionária”
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
3.0 Energia Potencial Total:
Desta forma, o equilíbrio ocorre quando a energia potencial
total atinge um máximo ou mínimo (ponto estacionário), ou
seja:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
3.0 Energia Potencial Total:
Desta forma, o equilíbrio ocorre quando a energia potencial
total atinge um máximo ou mínimo (ponto estacionário), ou
seja:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
4.0 Exemplo:
Obter as equações de equilíbrio da estrutura abaixo (molas seguem a
lei de hooke):
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
FONTE:AUTOR, 2019
4.0 Exemplo:
Resolvendo, têm-se:
Sob forma matricial:
(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
.
𝑢1
𝑢2
=
𝐹1
𝐹2
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
𝜕Π
𝜕𝑢1
= 0 ∴ 𝑢1. 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑢2. −𝑘2 = 𝐹1
𝜕Π
𝜕𝑢2
= 0 ∴ 𝑢1. −𝑘2 + 𝑢2. 𝑘2 = 𝐹2
4.0 Exemplo:
(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
.
𝑢1
𝑢2
=
𝐹1
𝐹2
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
K
(Matriz de rigidez da estrutura)
4.0 Exemplo:
(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
.
𝑢1
𝑢2
=
𝐹1
𝐹2
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
u
(Vetor dos graus de liberdade)
4.0 Exemplo:
(𝑘1 + 𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
.
𝑢1
𝑢2
=
𝐹1
𝐹2
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
f
(Vetor das forças externas)
4.0 Exemplo:
O problema pode ser escrito da forma:
Onde:
K é a matriz de rigidez da estrutura;
u é o vetor dos graus de liberdade do sistema;
f é o vetor das forças externas
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
K.u = f
4.0 Exemplo:
O problema pode ser escrito também da forma:
Onde:
K é a matriz de rigidez da estrutura;
u é o vetor dos graus de liberdade do sistema;
g é o vetor das forças internas
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
g = f
E logo:
g = K.u
4.0 Exemplo:
Obs.: Observa-se que a matriz de rigidez é simétrica, logo para estruturas
com comportamento elástico, ou seja, conservativo é sempre simétrico
Onde:
Kij é o elemento da matriz de rigidez de linha i e coluna j ;
Kji é o elemento da matriz de rigidez de linha j e coluna i ;
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
𝐾𝑖𝑗 = 𝐾𝑗𝑖
INTRODUÇÃO;
GRAUS DE LIBERDADE;
PEPTE (Princípio da Energia Potencial Estacionária);
MRD-MOLAS;
MRD-BARRAS;
MRD-TRELIÇAS.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
MRD-MOLAS
1.0 Conceito
Conforme visto pelo método energético (P.EP.T.E), a obtenção da matriz
de rigidez da estrutura, permite-nos a obtenção dos graus de liberdade e
consequentemente a determinação dos esforços internos e reações.
Assim, o método da rigidez direta (MRD) é solução matricial para a
obtenção da matriz de rigidez, sem precisar utilizar os métodos
energéticos (P.E.P.T.E e P.T.V.)
MRD
2.0 Elemento de mola
Considerando inicialmente o elemento de mola abaixo:
MRD-Elemento de Mola
FONTE:PARENTE JUNIOR, 2018
-Deslocamentos nodais: u1 e u2
-Forças internas (elásticas): g1 e g2
2.0 Elemento de mola
Para a determinação da matriz de rigidez do elemento de mola, trabalhe-se apenas
com energia interna de deformação, já que é considerado apenas as forças
internas do elemento. Assim têm-se:
MRD-Elemento de Mola
𝑈𝑒 =
1
2
. 𝑘. 𝑠2 =
1
2
. 𝑘. (𝑢2 − 𝑢1)²
2.0 Elemento de mola
Utilizando o P.E.P.T.E. e sabendo que gi=fi
MRD-Elemento de Mola
𝑔1 =
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑢1
= 𝑘. (𝑢1 − 𝑢2)
𝑔2 =
𝜕𝑈𝑒
𝜕𝑢2
= 𝑘. (𝑢2 − 𝑢1)
2.0 Elemento de mola
Sob forma matricial, tem-se:
Logo, a matriz de rigidez (Ke) do elemento de mola é :
MRD-Elemento de Mola
𝑘 −𝑘
−𝑘 𝑘
.
𝑢1
𝑢2
=
𝑔1
𝑔2
Ke = 
𝑘 −𝑘
−𝑘 𝑘
2.0 Elemento de mola
Obs.: A matriz de rigidez do elemento de mola têm dimensions 2 x 2, pois
apresenta justamente 2 graus de liberdade.
Obs.: Cada grau de liberdade do elemento de mola corresponde a um grau
de liberdade da estrutura como um todo (global).
MRD-Elemento de Mola
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
A matriz de rigidez global da estrutura é formada pela
interação/agrupamento das matrizes locais (matriz de rigidez do
elemento)
Retomando o exemplo da figura abaixo:
MRD-Elemento de Mola
FONTE:AUTOR, 2019
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Esse sistema pode ser modelado da seguinte forma:
MRD-Elemento de Mola
10
u2
k1 k2
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Observa-se que em que apoio o nó do grau de liberdade é 0.
MRD-Elemento de Mola
10
u2
k1 k2
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Esse sistema é composto por dois elementos de mola:
MRD-Elemento de Mola
10
u2
k1 k2
Elemento de mola 1
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Esse sistema é composto por dois elementos de mola:
MRD-Elemento de Mola
10
u2
k1 k2
Elemento de mola 2
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Para a montagem da matriz de rigidez global, verifica-se as matrizes de
rigidez local e os graus de liberdade que a elas estão associados:
Elemento de mola 1:
MRD-Elemento de Mola
Graus de liberdade local 
k1
Graus de liberdade global 
0 1
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Sabendo que a matriz de rigidez do elemento 1 é:
K1 =
𝑘1 −𝑘1
−𝑘1 𝑘1
MRD-Elemento de Mola
0
0
1
1
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Elemento de mola 2:
MRD-Elemento de Mola
Graus de liberdade local 
k2
Graus de liberdade global 
1 2
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Sabendo que a matriz de rigidez do elemento 2 é:
K2 =
𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
MRD-Elemento de Mola
1
1
2
2
3.0 Montagem da matriz de rigidez global
Obs.: Os índices que estão indicados nas matrizes de rigidezes dos
elementos de mola 1 e 2, indicam a correspondente posição dos termos de
cada matriz de rigidez local na matriz de rigidez global.
MRD-Elemento de Mola
3.0 Montagem da matriz de rigidez global (K)
Assim, a matriz de rigidez global será a contribuição (adição) dos termos das
matrizes de cada elemento que constitue a estrutura, logo:
Inicialmente a matriz rigidez global é zerada :
K =
0 0
0 0
Contribuição do elemento 1 :
K1 =
𝑘1 −𝑘1
−𝑘1 𝑘1
K =
𝑘1 0
0 0
MRD-Elemento de Mola
0
0 1
1
3.0 Montagem da matriz de rigidez global (K)
Contribuição do elemento 2 :
K2 =
𝑘2 −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
K =
(𝑘1+𝑘2) −𝑘2
−𝑘2 𝑘2
MRD-Elemento de Mola
2
2
1
1
Exemplo:
P.E.P.T.E (Princípio da Energia Potencial Total 
Estacionária)
FONTE:BATHE, 1996
-PARENTE , E; MACÁRIO, Notas de aula: Análise II.
Fortaleza-UFC, 2018;
REFEÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS