Slides de Aula Geometria Plana

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Unidade I
GEOMETRIA PLANA
Prof. Joares Junior
Geometria euclidiana 
 A geometria é uma das mais antigas 
ciências da humanidade. Existem 
registros dela desde as mais remotas 
épocas das civilizações.
 A palavra “geometria” tem sua 
etimologia no grego, das palavras geo = 
Terra, metria = Medida. Assim, 
“geometria” significa medida da terra.
 Geometria estuda as formas, planas e 
espaciais, com as suas propriedades. 
 Se fundamenta em alguns axiomas, 
postulados, definições, teoremas e 
corolários.
Ponto, reta e plano
As representações de ponto, reta e plano 
são:
 ponto: letras maiúsculas latinas: 
A, B, C...
 reta: letras minúsculas latinas:reta: letras minúsculas latinas: 
r, s, t...
 plano: letras minúsculas gregas:
α, β, γ... 
Representação de ponto
Pontos A, B, e C representados por letras 
maiúsculas.
Representação de retas
Retas r, s, x, p, q, u, v representadas por 
letras minúsculas.
Planos
 Planos alfa, beta e gama representados 
por letras gregas minúsculas. 
Alguns axiomas da geometria plana
 Dois pontos determinam uma reta única.
 Duas retas com dois pontos em comuns 
são coincidentes.
 Dados dois pontos de um plano, a reta 
que os contém está contida no plano.que os contém está contida no plano.
 Três pontos definem um único plano.
 Duas retas paralelas não se cruzam.
 Duas retas que se cruzam o fazem em um 
único ponto.
Alguns axiomas da geometria plana
 Dois planos paralelos não têm nenhum 
ponto em comum.
 Uma reta é perpendicular a um plano se 
também o for a toda reta do plano que 
essa reta corta.
 A distância entre um ponto e um plano se 
mede sobre uma perpendicular ao plano 
que passe pelo ponto.
 A distância entre dois planos se mede 
sobre uma perpendicular a ambos.sobre uma perpendicular a ambos.
Segmentos de reta
Dados dois pontos distintos, a reunião do 
conjunto desses dois pontos com o 
conjunto dos pontos que estão entre eles é 
um segmento de reta.
Pontos colineares e semirretas
 Pontos colineares: são pontos que 
pertencem a uma mesma reta. 
 Na figura, os pontos A, B e C são 
colineares, pois todos pertencem à 
mesma reta r.
Pontos colineares e semirretas
 Semirreta: um ponto O sobre uma reta s 
divide esta em duas semirretas. 
 O ponto O é a origem comum às duas 
semirretas, denominadas semirretas 
opostas.
Pontos colineares e semirretas
 Segmentos consecutivos: dois 
segmentos de reta são consecutivos se, 
e somente se, a extremidade de um deles 
é também extremidade do outro, ou seja, 
uma extremidade de um coincide com 
t id d d tuma extremidade do outro.
Pontos colineares e semirretas
 Segmentos colineares: dois segmentos 
de reta são colineares se, e somente se, 
estão numa mesma reta.
Pontos colineares e semirretas
 Segmentos congruentes: são aqueles 
que têm as mesmas medidas. 
Símbolo: ≡
Assim AB ≡ CD
Pontos colineares e semirretas
 Segmentos adjacentes: dois segmentos 
consecutivos e colineares são 
adjacentes se, e somente se, possuem 
em comum apenas uma extremidade e 
não têm outros pontos em comum.
 MN e NP são adjacentes, tendo somente 
N em comum. 
 MP e NP não são adjacentes, pois 
existem outros pontos em comum.
Pontos colineares e semirretas
 Ponto médio: M é o ponto médio do 
segmento de reta AB se, e somente se,
M divide o segmento AB em dois 
segmentos congruentes, ou seja, AM ≡ 
MB. 
 O ponto médio é o ponto de equilíbrio de 
um segmento de reta.
Pontos colineares e semirretas
Retas paralelas: duas ou mais retas são 
ditas paralelas quando a sua interseção é 
no infinito: 
Assim r ∩ s = Ø.
Pontos colineares e semirretas
 Retas concorrentes: duas retas são 
concorrentes se possuem um único 
ponto em comum.
Pontos colineares e semirretas
 Retas perpendiculares: duas retas são 
ditas perpendiculares quando formam 
um ângulo reto.
t
As retas r e t são perpendiculares.
r
Interatividade
Observando indique a opção que descreve 
corretamente a figura abaixo: 
a) As retas r e s são perpendiculares e a reta j é 
transversal.
b) As retas r e s são transversais e a reta j é 
perpendicular. 
c) As retas r e s são perpendiculares e a reta j éc) As retas r e s são perpendiculares e a reta j é 
paralela.
d) As retas r e s são paralelas e a reta j é 
perpendicular.
e) As retas r e s são paralelas e a reta j
é transversal.
Resposta
Observando indique a opção que descreve 
corretamente a figura abaixo: 
a) As retas r e s são perpendiculares e a reta j é 
transversal.
b) As retas r e s são transversais e a reta j é 
perpendicular. 
c) As retas r e s são perpendiculares e a reta j éc) As retas r e s são perpendiculares e a reta j é 
paralela.
d) As retas r e s são paralelas e a reta j é 
perpendicular.
e) As retas r e s são paralelas e a reta j
é transversal.
Ângulos
 Para relacionar as retas no espaço, 
devemos conhecer suas “posições 
relativas”. 
 Para isso, usamos os ângulos.
 O ângulo geométrico é obtido pela uniãoO ângulo geométrico é obtido pela união 
de duas retas não colineares (que estão 
na mesma linha) partindo da mesma 
origem. 
Ângulos
 Dados três pontos não colineares A, O e 
B, chama-se ângulo AÔB a reunião de 
duas semirretas de mesma origem, não 
contidas numa mesma reta (não 
colineares). 
 O ponto O é chamado de vértice do 
ângulo, e as semirretas AO e OB
são chamadas lados do ângulo.
Ângulos opostos pelo vértice
 Dois ângulos são opostos pelo vértice se 
os lados de um deles são semirretas 
opostas aos lados do outro.
Ângulos adjacentes
 Ângulos adjacentes: dois ângulos 
consecutivos são adjacentes se, e 
somente se, não têm pontos internos 
comuns.
Ô
Bissetriz
 Chama-se bissetriz de um ângulo AÔB a 
semirreta com origem em O e que 
determina com os lados OA e OB dois 
ângulos adjacentes de mesma medida.
Ângulos agudos
 Ângulos agudos.
Ângulos obtusos
 Ângulos obtusos.
Ângulos retos
 São ângulos iguais a 90°. 
Ângulos complementares
 Se a soma de dois ângulos for igual a 
90°, podemos chamá-los de 
complementares. 
Ângulos suplementares
 Se a soma de dois ângulos for igual a 
180°, podemos chamá-los de 
suplementares.
Ângulos de duas retas paralelas a 
uma transversal
 Dadas duas retas paralelas 1 e 2, 
cortadas por uma transversal 3, os 
ângulos determinados por elas podem 
ser do tipo alternos ou correspondentes.
Ângulos alternos
 Os ângulos alternos podem ser do tipo 
internos ou externos. 
Ângulos alternos internos
 Os ângulos alternos internos são os 
pares (C e B) e (A e D)pares (C e B) e (A e D). 
Ângulos alternos externos
 Os ângulos alternos externos são os 
pares (C e B) e (A e D)pares (C e B) e (A e D).
Ângulos correspondentes e 
congruência
 Os ângulos correspondentes sempre são 
congruentes.
Interatividade 
Na figura, indique a opção que representa 
pares de ângulos alternos externos.
a) (2 e 8), (7 e 1)) ( ), ( )
b) (3 e 5), (6 e 4)
c) (2 e 1), (7 e 8)
d) (3 e 4), (6 e 5)
e) (2 e 7), (1 e 8)
Resposta
Na figura, indique a opção que representa 
pares de ângulos alternos externos.
a) (2 e 8), (7 e 1)) ( ), ( )
b) (3 e 5), (6 e 4)
c) (2 e 1), (7 e 8)
d) (3 e 4), (6 e 5)
e) (2 e 7), (1 e 8)
Planos e triângulos
 Um plano é minimamente traçado a partir 
de 3 pontos.
 E o triângulo é o polígono de menor 
número de lados e, ao mesmo tempo, o 
tipo de plano mais simples que se 
consegue desenhar.
 Na próxima aula, conheceremos mais 
sobre triângulos!
Triângulos
 Os triângulos são os planos mais 
simples que podem ser traçados e são o 
polígonode menor número de lados (três 
lados), que resulta da interligação de três 
segmentos de reta consecutivos não 
licolineares.
Elementos dos triângulos
 Vértices: são os pontos A,B e C.
 Lados: são os segmentos AB, AC e BC.
 Ângulos internos BAC, ACB e ABC.
 Os ângulos externos são adjacentes e 
suplementares dos ângulos internos.
 São eles α, β e γ.
Elementos dos triângulos
 Altura: é todo segmento que tem como 
ponto de partida um vértice qualquer do 
triângulo e encontra o lado oposto 
sempre na perpendicular.
Elementos dos triângulos
 Mediana: é um segmento com 
extremidades num vértice qualquer do 
triângulo e no ponto médio do lado 
oposto a este vértice.
Classificação dos triângulos em 
relação aos lados
Classificação dos triângulos em 
relação aos lados
Classificação dos triângulos em 
relação aos lados
Classificação dos triângulos em 
relação aos ângulos
Classificação dos triângulos em 
relação aos ângulos
Classificação dos triângulos em 
relação aos ângulos
Propriedades dos triângulos
Propriedades dos triângulos
Interatividade
AS
x
A
x
A
No triângulo abaixo, é bissetriz do 
ângulo  . Calcule os valores de x e de y, 
que são respectivamente:
33o
S
C B
y108o
S
33oC B
y108o
a) X = 69º e y = 39º) y
b) X = 69º e y = 69º
c) X = 39º e y = 39º
d) X = 39° e y = 69º
e) X = 72º e y = 72º
Resposta
x
A
d) X= 39º e y =69º
Resolvendo:
Sabemos que o ângulo A=2x
33o
S
C B
y108
o
X+33º + 108º = 180º
X = 39º
No triângulo ABS, temos:
X+ y + 72º = 180º
39º + y + 72º = 180º
Y = 69º
O triângulo retângulo
 Na geometria, o triângulo retângulo 
possui um ângulo reto e outros dois 
ângulos agudos. 
 É uma figura geométrica muito usada na 
matemática, no cálculo de áreas, 
volumes e no cálculo algébrico. 
O triângulo retângulo
 Se soubermos 2 lados ou 1 ângulo agudo 
e 1 lado do triângulo retângulo, não é 
difícil descobrir os outros lados e 
ângulos. 
 A área do triângulo retângulo é dada pela 
metade do produto dos lados menores.
Elementos do triângulo retângulo
Catetos:
 Os catetos são os menores lados do 
triângulo retângulo. Eles formam o 
ângulo de 90°.
O triângulo retângulo
 Este triângulo retângulo ABC é reto em A. 
Podemos indicar que:
Relações métricas do triângulo 
retângulo
Relações métricas do triângulo 
retângulo
 Assim, podemos deduzir algumas 
relações, chamadas de relações 
métricas, do triângulo retângulo.
A primeira relação é a mais fácil, já que 
estamos trabalhando com um triângulo 
retângulo; vem logo o teorema de 
Pitágoras, que é:
Congruência de triângulos
O conceito matemático de congruência de 
triângulos estabelece que dois triângulos 
são congruentes quando:
 cada lado de um dos triângulos é 
congruente ao seu correspondente (ou 
homólogo) no outro;
 cada ângulo de um triângulo é 
congruente ao seu correspondente (ou 
homólogo) no outro.
 Obs.: “Congruente” significa “que temObs.: Congruente significa que tem 
harmonia”, “tem proporções”.
Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)
Se dois triângulos tiverem ordenadamente 
congruentes dois lados e o ângulo entre 
esses lados, então podemos dizer que os 
triângulos são congruentes.
Caso ALA (Ângulo, Lado, Ângulo)
Se dois triângulos tiverem ordenadamente 
congruentes um lado e dois ângulos a ele 
adjacentes, então estes triângulos são 
congruentes.
Caso LLL (Lado, Lado, Lado)
Se dois triângulos tiverem ordenadamente 
os três lados congruentes, então podemos 
dizer que os triângulos são congruentes.
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se e 
somente se, tiverem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados 
homólogos proporcionais.
Razão de semelhança
Denominamos o número real k, que satisfaz 
as igualdades abaixo entre os lados 
homólogos, como a razão de semelhança 
dos triângulos:
Outra forma de representar:
Onde:
Exemplo
Vamos calcular o valor de X dados dois 
triângulos semelhantes.
Interatividade 
Agora você vai fazer sozinho. Calcule o 
valor de X dados dois triângulos 
semelhantes. 
Resposta 
A resposta correta é a letra “c”, pois se 
DE=8, DF=4 e AB=2, a representação correta 
seria: 
ATÉ A PRÓXIMA!