pa e pg

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ÁLGEBRA
		Bruno Fraga 
		ÍNDICE	
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ÍNDICE - APOSTILA 1
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Orientações para o aluno										02
Material de Aula					
Aula 1: Definição de PA										03
Aula 2: Exercícios de PA										03
Aula 3: Soma dos termos da PA finita								03
Aula 4: Definição de PG										04
Aula 5: Exercícios de PG										04
Aula 6: Soma dos termos da PG finita								04
Aula 7: Soma dos termos da PG infinita								04
Aula 8: Exercícios mistos de PA e PG								05
Teoria
Capítulo 1. Seqüências Numéricas									05
Exercícios											07
Capitulo 2. Progressão Aritmética									08
Exercícios											10
Capítulo 3. Progressão Geométrica									13
Exercícios											16
Complemento 1: Matemática Financeira 								19
Exercícios											22
Complemento 2: PA de ordem superior								24
	Exercícios											25
Complemento 3: Outras seqüências numéricas							26
	Exercícios											27
Questões para revisão										28
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		Bruno Fraga 
		RECOMENDAÇÕES	
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RECOMENDAÇÕES PARA O USO DO MATERIAL
Este material (bem como os demais desta frente) são divididos em duas partes. A primeira delas é denominada material de aula, e seu objetivo é facilitar a vida do aluno ao acompanhar as aulas. Além do apontamento do que será tratado em aula, há o enunciado das questões que serão resolvidas e um pequeno espaço para anotações ou questões extras. Na parte inferior da página há as orientações do aluno. Nelas estão explicitadas as sugestões de como o aluno deve manusear o material de casa. Essas orientações são divididas por áreas e devem ser seguidas conforme as instruções abaixo:
- Tarefa Básica: É aquilo que deve ser feito por todos os alunos. No caso daqueles que trabalham não será possível fazer muito mais do que isso, mas ao executar ao menos essa tarefa, ele se manterá em dia com a matéria. Os alunos que tiverem maior tempo disponível devem prosseguir para as próximas instruções.
- Humanas/Biológicas: Alguns vestibulares destas áreas cobram matemática nas fases dissertativas, geralmente com peso inferior às demais matérias. Isso quer dizer que o aluno precisa ter alguma noção de como se expressar matematicamente em uma prova aberta e o objetivo desta tarefa é garantir a ele esse mínimo conhecimento.
- Exatas: Sendo matemática um dos tópicos fundamentais nessa área, o aluno terá não só contato com questões dissertativas mas também outras que exijam profundo conhecimento do tema, como as demonstrações.
- ITA/IME: Provas de matemáticas destes institutos e de alguns outros (Escola Naval, por exemplo) são reconhecidas por seu alto grau de exigência. Assim, o aluno terá contato com questões dissertativas, demonstrações e tópicos específicos, que geralmente não estão nos cronogramas de outros vestibulares.
É primordial ao aluno ter paciência e seguir as instruções de maneira que facilite seu aprendizado. Começando sempre pela matéria básica, ele deve seguir para as orientações de Hum/Bio ou Exa, de acordo com sua área de preferência. Finalmente, se tiver interesse e tempo disponível (é importante que não se atrase em outras matérias) ele pode se dedicar às atividades focadas no IME e ITA.
Uma última recomendação: o aluno precisará sempre de bom senso no uso do material. A existência de textos complementares não faz com que eles sejam imprescindíveis. O aluno da área de humanas, por exemplo, tem muito mais a ganhar, pensando em termos do seu vestibular, lendo um texto complementar de Geografia do que um de Matemática. Isso não impede, por outro lado, que algum aluno desta área venha a se interessar por um ou outro tópico posto nos textos complementares e invista tempo neles para maior esclarecimento. O importante, fique bem frisado, é que isso não pode atrapalhá-lo em outra matéria que lhe seja prioritária.
SUGESTÕES PARA O ESTUDO
As orientações passadas ao fim de cada aula têm como objetivo melhorar o rendimento do estudo do aluno, fazendo-o aprender o máximo de conteúdo em um mínimo de tempo.
Porém, para aqueles alunos que necessitarem de mais conteúdo teórico ou de exercícios, duas são as sugestões:
I) Em bibliotecas (como a do próprio Casd) ou em sebos, o aluno pode encontrar materiais de qualidade e acessíveis. As seguintes coleções são as mais consagradas:
1. Fundamentos de Matemática Elementar – Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e outros - 10 volumes – Atual Editora.
Expondo de maneira bem didática os diversos conteúdos, e com muitos exercícios resolvidos e propostos, essa coleção é uma das mais elogiadas no ensino de matemática. Interessará para essa frente, os volumes 4 e 5.
2. Coleção do Professor de Matemática – Elon Lages, Augusto Morgado e outros – IMPA e VITAE
Apesar de serem voltados para aperfeiçoamento dos professores e não especificamente para o vestibular, o conteúdo da coleção é excelente. Interessam para essa frente os livros “Progressões e Matemática Financeira” e “Análise Combinatória e Probabilidade”.
3. Matemática – Manoel Paiva – 3 volumes
Apesar do detalhamento muitas vezes exagerado da matéria, apresenta um conteúdo bem completo. O nível dos exercícios deixa um pouco a desejar (destaque somente para os complementares). Interessará para essa frente o volume 2 somente.
4. Outras coleções com diversos volumes também são bem-vindas, pois costumam apresentar o conteúdo de maneira mais completa que os similares em 3 volumes ou volume único.
II) Necessitando o aluno de material específico (teoria e/ou exercícios) que não encontre em nenhuma destas referências, ou mesmo se desejar provas anteriores completas de alguma faculdade em específico, poderá solicitá-lo junto ao professor que, na medida do possível, procurará atendê-lo.
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		Bruno Fraga 
		MATERIAL DE AULA	
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PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
AULA 1
Tópicos de Aula
1. O que é uma Seqüência Numérica
2. O que é uma Progressão Aritmética (PA)
3. Lei de Formação da PA
Exercícios de Aula
01. O preço de um carro novo é R$ 15000,00 e diminui de R$ 1000,00 a cada ano de uso. Qual será o preço com 4 anos de uso?
02. Em uma progressão aritmética, o quinto termo vale 30 e o vigésimo termo vale 50. Quanto vale o oitavo termo dessa progressão?
03. Formam-se n triângulos com palitos, conforme a figura abaixo:
Figura 1 – Triângulos formados com palitos 
a) Qual o número de palitos usados para construir 10 triângulos?
b) Qual o número de palitos usados para construir n triângulos?
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
AULA 2
Tópico de Aula
1. Exercícios de PA
Exercícios de Aula
01. Se 
,... é uma progressão aritmética, determine x e calcule o quinto termo.
02. Determine uma PA crescente de três termos, sabendo que a soma destes termos é 3 e que o produto deles é 8.
03. (VUNESP-adaptado) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a partir de que mês a produção de B superará a produção de A?
04. Pedro emprestou a João uma quantia de R$ 5000,00 com juros simples de 2% ao mês. Se a dívida só for quitada 2 anos depois, qual será o valor pagão por João?
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
AULA 3
Tópico de Aula
1. Soma dos Termos de uma PA Finita
Exercícios de Aula
01. Calcule a soma dos termos da progressão aritmética 2, 5, 8, 11... desde o 25° até o 41° termo (incluindo este último),
02. Calcule a soma de todos os inteiros compreendidos entre1 e 300, que sejam múltiplos de 11.
03. (Puccamp 99) Um pai resolve depositar todos os meses certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$5,00 e aumentar R$5,00 por mês, ou seja, depositar R$10,00 no segundo mês, R$15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de
a) R$150,00			d) R$520,00
b) R$250,00			e) R$600,00
c) R$400,00
	
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
AULA 4
Tópicos de Aula
1. O que é uma Progressão Geométrica (PG)
2. Lei de Formação da PG
Exercícios de Aula
01. Determine o 14º termo da PG 
de razão q = 3, sabendo que a9 = 2.
02. Qual o quarto termo da PG
?
03. Interpole quatro meios geométricos entre 3 e 96, nesta ordem.
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
AULA 5
Tópico de Aula
1. Exercícios de PG
Exercícios de Aula
01. Determinar a PG de três termos, sabendo que o produto desses termos é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.
02. (ITA-88) Suponha que os números 2, x, y e 1458 estão, nesta ordem, em progressão geométrica. Desse modo o valor de x + y é:
a) 90 b) 100 c) 180 d) 360 e) 1460
03. O aumento anual da produção de automóveis de uma fábrica é de 3%. Em 1990, produziu 1 milhão de veículos. Qual foi a produção de 1993?
04. Calcular o montante de um capital de R$ 1000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 3 meses.
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
AULA 6
Tópico de Aula
1. Soma dos termos de uma PG finita
2. Produto dos termos da PG finita
Exercícios de Aula
01. A soma dos n primeiros termos de uma PG é 5115. Determine n sabendo que a1 = 5 e q = 2.
03. O crescimento anual nas vendas de calculadoras de uma fábrica é de 20%. No ano de 1986 a fábrica vendeu 20000 unidades. Qual foi o total de vendas no qüinqüênio de 1986 a 1990? Dado: (1,2)5 = 2,48832
03. Calcule o produto dos dezoito primeiros termos da PG 
.
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica: 
2. Humanas/Biológicas: 
3. Exatas: 
4. ITA/IME:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
AULA 7
Tópico de Aula
1. Soma dos termos de uma PG infinita
Exercícios de Aula
01. Calcular a soma dos infinitos termos da PG 
02. Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 m na segunda, 64 m na terceira e assim sucessivamente. Determinar o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de:
a) 480 m
b) 500 m
c) 600 m
03. Uma importante aplicação da soma infinita de PG é a determinação da fração geratriz de uma determinada dízima periódica. O objetivo deste exercício é você determinar por meio desta aplicação, a fração geratriz da dízima 0,141414...
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
PROGRESSÕES (PA e PG)
AULA 8
Tópico de Aula
1. Exercícios mistos de PA e PG
Exercícios de Aula
01. (Uel 94) Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os de ordem par formarão uma progressão 
a) aritmética de razão 2	
b) aritmética de razão 6
c) aritmética de razão 9	
d) geométrica de razão 3
e) geométrica de razão 6
02. Três números formam uma progressão aritmética de razão 11. Se ao primeiro termo é somado 6, ao segundo é subtraído 1 e o terceiro é dobrado, o resulta agora em uma progressão geométrica. Determine os termos da progressão aritmética
03. (Ufscar 2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que
a) ac = b2	b) a + c = 2b	c) a + c = b2
d) a = b = c	e) ac = 2b
04. (FUVEST-98) A seqüência an é uma PA estritamente crescente, de termos positivos. Então, a seqüência
, n ( 1, é uma:
a) PG crescente 
b) PA crescente
c) PG decrescente
d) PA decrescente
e) seqüência que não é uma PA e não é uma PG
Orientações para o aluno
1. Tarefa Básica:
2. Humanas/Biológicas:
3. Exatas:
4. ITA/IME:
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Bruno Fraga
CAPÍTULO 1 
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 
1. DEFINIÇÃO
A idéia mais intuitiva de seqüência numérica é a de um agrupamento numérico com alguma regra em sua formação. Assim, consideremos o conjunto dos números ímpares maiores que 11:
(13, 15, 17, 19, 21, 23...)
Trata-se de uma seqüência numérica, onde observamos que a partir do primeiro número escrito, basta somar duas unidades para obtermos o próximo número, e assim sucessivamente.
Outro exemplo de seqüência seria a dos chamados números primos (divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos): (2, 3, 5, 7, 11...) que possui também uma regra lógica na sua formação.
2. FUNÇÕES
Vamos elaborar melhor o conceito de seqüência através de mais um exemplo:
ER 01. Construir a seqüência que representa em ordem crescente os 5 primeiros números pares positivos.
Resolução
Tal seqüência é facilmente obtida: (2, 4, 6, 8, 10)
Diremos que essa seqüência possui 5 termos (números que a compõe) e utilizaremos a seguinte convenção de simbologia:
O primeiro termo, que é o 2, será representado por a1 (lê-se: a índice 1). Ou seja, a1 = 2.
Para os demais termos, teríamos:
a2 = 4, a3 =6, a4 = 8, a5 = 10.
Os índices indicam a posição do termo: a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, etc.
Poderíamos representar esta relação entre a posição e o valor do termo por meio de uma estrutura chamada diagrama de Venn (será vista com maiores detalhes na frente de Funções):
Figura 2 – Diagrama de Venn para a seqüência dos números pares
Na figura acima, a flecha que une o número 4, do conjunto A, ao número 8 do conjunto B, nos informa que o termo que ocupa a posição de número 4, ou seja, o 4º termo da seqüência, vale 8.
Pensando analogamente no caso da seqüência de números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...) teríamos o seguinte diagrama de Venn:
Figura 3 – Diagrama de Venn para a seqüência dos números primos
Mais uma vez estamos associando as posições dos termos aos seus valores (o termo da posição 1 vale 2, o da posição 6 vale 13, etc.)
Tal tipo de relação constitui o que chamamos de função (será visto com mais detalhes na frente de Funções) sendo o conjunto A chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio da função.
No nosso caso, o domínio (conjunto A) é constituído apenas de números naturais, infinitos ou apenas parte deles, pois se tratam das posições dos termos. Daí notamos a importância da ordem em que os termos estão dispostos já que a inversão da ordem entre dois termos quaisquer alteraria a relação acima.
Já o conjunto B, no caso de seqüências numéricas, pode conter quaisquer valores reais.
Sintetizando:
Seqüências numéricas são funções, cujo domínio é o conjunto dos naturais (ou um subconjunto dele) e o contradomínio é um subconjunto dos reais.
3. TIPOS DE LEI DE FORMAÇÃO
A partir da idéia de seqüência como função, podemos muitas vezes obter uma fórmula geral (ou regra) que nos permite obter os termos dessa seqüência. Sendo assim, nos casos a seguir usaremos a seguinte notação:
an representa o enésimo termo da seqüência
an+1 representa o próximo termo após o enésimo, também chamado de consecutivo.
é uma maneira abreviada de representar a seqüência (a1, a2, a3, ..., an, ...) expressando a idéia de que os índices dos termos são sempre números naturais. Algumas vezes utiliza-se simplesmente o símbolo (an).
Seqüência obtida por recorrência
Muitas seqüências sãodefinidas recursivamente (isto é, por recorrência), ou seja, por intermédio de uma regra que permite calcular qualquer termo em função do(s) antecessor(es) imediato(s).
Exemplos
a) A seqüência (an) dos números naturais ímpares 1, 3, 5, 7... pode ser definida por an+1 = an + 2 (
), com x1 = 1. Essa seqüência é um exemplo de progressão aritmética e será estudada no Capítulo 2.
b) A seqüência (an) dos números 3, 9, 27, 81,....; pode ser definida por an+1 = 3.an, (
), com a1 = 3. Essa seqüência é um exemplo de progressão geométrica e será estudada no Capítulo 3.
c) A seqüência (an) dos números 1, 1, 2, 3, 5, 8..., pode ser definida por an+2 = an + an+1 (
), com a1 = a2 = 1. Essa é chamada seqüência de Fibonacci e será detalhada no Complemento 3.
Observe que para definir uma seqüência por recorrência não basta conhecer a lei de formação. Por exemplo, a recorrência do exemplo (a) an+1 = an + 2 é satisfeita não apenas pelos números naturais ímpares mas também pela seqüência 4, 6, 8, 10,... dos pares começados por 4, ou 7, 9, 11, 13... dos ímpares a partir do 7 e para mais uma infinidade de seqüências onde a diferença entre um termo e o seu antecessor é igual a 2. Sendo assim, para determinarmos uma seqüência é preciso além de sua lei de formação, do conhecimento do(s) seu(s) primeiro(s) termo(s).
Seqüência em função da posição
É o caso da seqüência que fica determinada se cada an é expresso em função de sua posição.
Exemplo
Consideremos a seqüência 
tal que an = n² + 3. Para determinar os termos desta seqüência, basta atribuirmos a n os valores 1, 2, 3,... na igualdade an = n² + 3:
n = 1 
 a1 = 12 + 3 
a1 = 4
n = 2 
 a2 = 22 + 3 
a2 = 7
n = 3 
 a3 = 32 + 3 
a3 = 12
n = 4 
 a4 = 42 + 3 
a4 = 19
Portanto a seqüência é (4, 7, 12, 19, ...)
Seqüência através de uma propriedade
Uma propriedade p determina uma seqüência somente se existe uma única seqüência cujos termos satisfazem p.
Exemplo
Considere os nomes dos alunos de sua sala de aula escritos em ordem alfabética. A propriedade p, “ser nome de um aluno de sua classe e obedecer a ordem alfabética”, determina uma seqüência.
Observação
Os termos como os da seqüência dos números primos não possuem uma formula geral para serem obtidos. Nesse caso, ainda que conheçamos o critério para compor a seqüência (o número deve ser primo) não possuímos uma função que nos permita obtê-los.
ER 02. Se xn+1 = xn + 3 e x1 = 2, determine xn.
Resolução
Vamos substituir na fórmula dada, diversos valores para n:
x1 = 2
x2 = x1 + 3
x3 = x2 + 3
x4 = x3 + 3
xn-1 = xn-2 + 3
xn = xn-1 + 3
Observe agora o que ocorre se somarmos todas essas equações resultantes:
O x1 da primeira equação será cancelado pelo x1 da segunda (que está no outro membro), o x2 da segunda será cancelado pelo x2 da terceira equação, e assim sucessivamente, até que o xn-1 da penúltima equação será cancelado pelo xn-1 da última.
O que sobra, portanto? No primeiro membro apenas o xn não foi cancelado. No segundo membro, o 2 e todos os 3 não foram cancelados. Chegamos em:
xn = 2 + 
 = 2 + (n-1)3
Logo, xn = 2 + 3.(n–1)
ER 03. A soma Sn dos n primeiros termos da seqüência (a1, a​2, a3, a4,...) é dada por Sn = 2n + 5.
Assim, por exemplo:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
Sn = a1 +a2 + a3 + ... +an​
a) Determinar a soma dos seis primeiros termos da seqüência.
b) Determinar o primeiro termo da seqüência.
c) Determinar o sétimo termo da seqüência.
Resolução
a) Para obter a soma dos seis primeiros termos, que é o valor de S6, basta substituir n por 6 na fórmula dada:
S6 = 2(6) + 5 = 17
Logo S6 = 17
b) Dos exemplos do enunciado, verifica-se que S1 = a1. Ou seja, para obter o primeiro termo, basta calcular S1:
S1 = 2(1) + 5 = 7
Logo a1 = S1 = 7
c) Como S6 = a1 + a2 +a3 + a4 + a5 + a6 e
S7 = 
+ a7​ perceba que 
S7 = S6 + a7
Logo: a7 = S7 – S6
O valor de S6 foi calculado no item (a). 
Calculando S7, obtemos S7 = 2(7) + 5 = 19.
Assim: a7 = S7 – S6 = 19 – 17 = 2
EXERCÍCIOS
01. Na seqüência (3, 2, 5, 9, 6, 6, ...) identifique os termos a1, a2, a3, a6, a7.
02. Obtenha o valor de a1, a2 e a3 de uma seqüência (an) dada por an= 5n + 3.
03. Obtenha o 10° termo da seqüência an tal que 
an = n² + 2n.
04. Para a seqüência definida por an+2 = 2.an+1 + an, a0 = a1 = 1, determine a5.
05. Se an+1 = 2an e a1 = 3, determine an.
06. (FGV) A seqüência (yn) é tal que yn – yn-1 = 2n, para todo n natural, 
. Sabendo-se que y1 = – 1, o termo y4 é igual a:
a) 21	 b) 17	 c) 27	 d) 31	e) 51
07. A soma Sn dos n primeiros termos da seqüência (a1, a2, a3,...,) é dada por Sn = n² + 4 para todo n natural.
a) Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência.
b) Determine o primeiro termo da seqüência.
c) Determine o sexto termo da seqüência.
08. (Cesgranrio) A soma dos n primeiros termos de uma seqüência é dada por Sn= n(n+1). Então o vigésimo termo da sucessão é:
a) 420	 b) 380	 c) 60	d) 40	 e) 20
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CAPÍTULO 2 
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS 
1. INTRODUÇÃO
Progressão aritmética é uma seqüência de números, denominados termos, tais que a diferença entre cada termo, a partir do segundo, e o precedente é um valor constante chamado razão.
ER 04. Nas progressões aritméticas a seguir, obtenha o valor da razão.
a) (1, 6, 11, 16, ...)
b) (9, 7, 5, 3, ....)
c) (3, 3, 3, 3,...)
Resolução
a) Fazendo a subtração de um termo qualquer pelo seu anterior (antecedente), encontramos a razão:
r = 16 – 11 = 5
Comumente chamamos as progressões com razão positiva de crescentes.
b) r = 7 – 9 = – 2
As progressões aritméticas de razão negativa são chamadas de decrescentes.
c) r = 3 – 3 = 0
As progressões aritméticas de razão nula são chamadas de constantes ou estacionárias
2. TERMO GERAL
Sabemos que em uma PA obtemos um determinado termo a partir da soma do anterior com uma constante, chamada razão. Tal fato está esquematizado abaixo:
Assim, para passar do a1 para o a2 devemos somar uma razão, ou seja:
a2 = a1 + r
Por outro lado, observe que para passar do a1 para o a3, devemos somar duas razões:
a3 = a1 + 2r
Para passar do a2 para o a5 devemos somar três razões:
a5 = a2 + 3r
Raciocinando analogamente, para passar do a3 para o a10 deveríamos somar sete razões:
a10 = a3 + 7r
Sendo assim, para passar de um termo ap qualquer para um termo an, devemos somar (n – p) razões:
 an = ap + (n – p)rr 
Essa fórmula é denominada termo geral da PA. Porém, como comentamos anteriormente, geralmente definimos uma PA a partir da razão e de seu primeiro termo. Assim, alternativamente, teríamos:
 an = a1 + (n – 1)rr
ER 05. Exercício resolvido – perguntando número de termos
ER 06. Determinar a razão de uma PA cujo 4º termo é 7 e cujo 14º termo é 47.
Resolução
Temos: a14 = 47 e a4 = 7
Da fórmula do termo geral, temos:
a14 = a4 + (14 – 4)r
47 = 7 + 10r
r = 4
ER 07. Se a, b e c são, nesta ordem, termos consecutivos de uma PA, calcule o valor de b em função de a e c.
Resolução:
Sendo a o primeiro dos termos e r a razão desta progressão, teremos:
b = a + r 
 b – a = r
c = b + r 
 c – b = r
Se r = b – a e r = c – b, então:
b – a = c – b
 2b = a + c 
 
b = 
 
Conclusão: Em uma PA de três termos consecutivos, o termos do meio é a média aritmética dos outros dois.
ER 08. Inserir 5 meios aritméticos entre 2 e 3.
Resolução
Inserir 5 meios aritméticos entre 2 e 3 significa formar uma PA de 7 termos onde o primeiro é 2, o sétimo é 3, e os cinco do meio precisam ser determinados.
Para isso, basta descobrirmos a razão desta progressão: 
(2, __, __, __, __, __, 3)
a7 = a1 + 6r ( 
3 = 2 + 6r (
Logo a seqüência pedida é:
ER 09. (ENCE) A soma de 3 números em PA é 6 e seuproduto é – 24. Escrever a progressão.
Resolução
Um truque para problemas onde é dada a soma de um dos termos de uma PA limitada com um número ímpar de termos (e com poucos termos, preferencialmente) é escrevê-la em função do termo do meio. Neste caso, como são três termos, a PA ficaria (x – r, x, x + r)
Assim, como a soma destes termos é 6, temos:
x – r + x + x + r = 6
3x = 6 x = 2
Agora a PA fica (2 –r, 2, 2 + r)
Como o produto vale –24:
(2 – r).2.(2+r) = –24
4 – r² = – 12 
 r² = 16 
 r = 
 
São duas as PA’s possíveis: (6, 2, –2) e (–2, 2, 6)
Observação: Para o caso de uma PA de número par de termos, digamos quatro, usa-se um procedimento semelhante: (a – 3r, a – r, a + r, a + 3r). Atente para o fato de que aqui a razão é 2r.
ER 10. Verifique se a seqüência dada por an = 3n+1 forma uma PA.
Resolução
Devemos calcular o valor de an – an-1 = 
3n +1 – 3(n-1) – 1 = 3n + 1 – 3n + 3 – 1 = 3
Como a diferença entre um termo e seu antecessor é constante, trata-se realmente de uma PA 
3. SOMA DOS TERMOS
Histórico
Quando o grande matemático alemão Carl Gauss (1777-1855) tinha sete anos de idade, seu professor de matemática, chamado Büttner, incomodado com o barulho que a turma estava fazendo, propôs aos alunos que calculassem o resultado da soma de todos os números inteiros de 1 até 100, como forma de mantê-los ocupados por algum tempo.
Três minutos se passaram e Gauss apresentou ao professor a resposta correta para a soma: 5050. Curioso, o professor lhe questionou como ele conseguira realizar o cálculo tão rapidamente.
Gauss explicou que calculara inicialmente a soma do primeiro termo com o último, ou seja, 1 + 100, depois a soma do segundo com o penúltimo, 2 + 99, do terceiro com o antepenúltimo 3 + 98, e assim por diante até fazer 50 + 51, calculando um total de 50 somas, todas com resultado igual a 101.
Portanto o resultado seria 50 
 101 = 5050
Fórmula da Soma
Com raciocínio análogo ao de Gauss, podemos obter a soma dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3...). Chamemos de Sn tal soma. Assim:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an (I)
Como a adição é uma operação comutativa, podemos reescrever a soma como:
Sn = an + an-1 + an-2 +... + a1 (II)
Somando as equações (I) e (II) termo a termo:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) +...+ (an + a1)
No 2º membro observe que ao passarmos de um parênteses para o seguinte, a primeira parcela aumente de r e a segunda diminui de r, de modo que a soma permanece constante. Assim, todos os resultados são iguais ao primeiro, e como temos n parênteses:
2Sn = (a1 + an)n
Sn = 
ER 11. Qual é o valor da soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética 2, 6, 10,...?
Resolução
Trata-se de uma PA de razão r = 4 e a1 = 2.
A fórmula da soma procurada é S20 = 
Temos: a20 = a1 + 19r = 2 + 19
4 = 78
Portanto: S20 = 
 = 800
ER 12. Calcule a soma dos n primeiros números ímpares.
Resolução
Os n primeiros números ímpares formam a seguinte PA de razão 2: (1, 3, 5,..., 2n – 1).
A fórmula da soma procurada é Sn = 
Como a1 = 1 e an = 2n – 1, temos:
Sn = 
 = 
 = n2
Esse resultado está exemplificado abaixo:
S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Notação de somatório
Em alguns exercícios de somas (de termos de uma PA ou PG, por exemplo), é comum que apareça o símbolo (sigma), que significa somatório.
Tal simbologia tem como objetivo tornar mais sucinta a representação de uma soma que, se escrita por extenso, tomaria um espaço maior.
Para melhor compreensão desta notação, iniciaremos com um exemplo.
Exemplo
Observe a expressão 
. Ela é lida como “somatório de 2j, com j variando (dentro dos números naturais) de 1 até 5”. Para calculá-la devemos substituir a variável j por 1, 2, 3, 4 e 5 na expressão 2j que está no somatório e somar os resultados obtidos no final.
Assim:
j = 1 
2j = 2
j = 2 
2j = 4
j = 3 
2j = 6
j = 4 
2j = 8
j = 5 
2j = 10
Agora basta somar os resultados obtidos:
 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
Entre as propriedades do somatório que podem ser úteis neste momento estão:
P1. O índice do somatório é uma variável que pode ser substituída por qualquer letra
 
 Exemplo
=
P2. O somatório de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somatórios:
 
Exemplo
= 
+ 
c) Se no termo geral do somatório aparece um produto, em que um fator não depende do índice do somatório, então este fator pode “sair” do somatório.
 
Exemplo
= 
Observação
Na apostila 2, ao estudarmos as matrizes, recor-daremos tais propriedades e introduziremos mais uma além destas.
4. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA PA 
Se construirmos os gráficos an 
 n, de uma progressão aritmética, verificaremos que trata-se de uma reta, com o seguinte aspecto:
Figura 4 – Gráfico geral de uma progressão aritmética
Exemplo
Na PA (2, 5, 8, 11), temos:
a1 = 2, a2 = 5, a3 = 5, a4 = 11
Traçando o gráfico, teríamos:
Figura 5 – Gráfico da PA (2, 5, 8, 11)
Como o gráfico é uma reta, deduzimos que a PA é um caso de função afim, tipo de função que será estudada com detalhes na frente de Funções.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
09. Determinar o 61º termo da PA (9, 13, 17, 21,...)
10. Determinar a razão da PA (a1, a2, a3,...) em que 
a1 = 2 e a8 = 3.
11. Determinar o número de termos da PA (4, 7, 10,..., 136)
12. Obtenha o primeiro termo da PA 
tal que a1 + a7 = 10 e a3 + a4 = 5.
13. Verifique se é o não uma progressão aritmética as seguintes seqüências:
a) an = 1 – 3n, 
b) an = 
, 
14. Interpole seis meios aritméticos entre 4 e 67 nessa ordem.
15. Determine x, 
, de modo que a seqüência 
(1 – x, x – 2, 2x – 1) seja PA
16. Qual é a soma da PA finita (–30, –21, –12, ..., 213)?
17. Encontre a soma dos múltiplos de 11 compreendidos entre 100 e 300.
18. Determine o quinto termo da PA cuja soma dos n primeiros termos é dada por Sn = 2n2 + 6n
TREINAMENTO – 1ª FASE
19. (Uel - 95) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão aritmética cujo termo central é
a) 45	b) 52	c) 54	d) 55	e) 57
20. (EFOA) Se 
 e 
 são números inteiros e estão, nesta ordem, em progressão aritmética, então o produto 
 vale:
a)
 	b) 
 	c) 
 	d) 
 	e) 
 
21. (Fuvest-95) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três primeiros termos são (1 – a ), (– a) e
. O quarto termo desta P.A. é:
a) 2	b) 3	c) 4	d) 5	e) 6
22. (Vunesp 92) Um estacionamento cobra R$1,50 pela primeira hora. A partir da segunda, cujo valor é R$1,00 até a décima segunda, cujo valor é R$ 0.40, os preços caem em progressão aritmética. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, quanto gastará seu proprietário?
a) R$ 4,58		d) R$ 4,85	
b) R$ 5,41		e) R$ 5,34
c) R$ 5,14
23. (AFA-90) Quantos números NÃO múltiplos de 11 há no conjunto {x (
| 51 < x < 1500} ?
a) 1210			d) 1412	
b) 1318	 		e) nra
c) 1406
24. (AFA-88) A soma dos 15 primeiros termos da seqüência (-2, 1, 4, 7, ...) vale:
a) 260 b) 285 c) 330 d) 345
25. (UFF) Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o é 2. A soma dos termos dessa progressão é:
a) 13	b) 52	c) 102	d) 104	e) 112
26. (Uel - 96) Numa progressão aritmética de primeiro termo 1/3 e razão 1/2, a soma dos n primeiros termos é 20/3. O valor de n é:
a) 5	b) 6	c) 7	d) 8	e) 9
27. (Ufscar 2002) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale:
a) 0.	b) 1.	c) 2.	d) 3.	e) 4
28. (Ufrn 2001) A direção de uma escola decidiu enfeitar o pátio com bandeiras coloridas. As bandeiras foram colocadas em linha reta, na seguinte ordem: 1 bandeira vermelha, 1 azul, 2 vermelhas,2 azuis, 3 vermelhas, 3 azuis, e assim por diante.
Depois de colocadas exatamente 99 bandeiras, o número das de cor azul era:
a) 55	 b) 60	c) 50	 d) 45
29. (Uel 99) O número 625 pode ser escrito como uma soma de cinco números inteiros ímpares e consecutivos. Nessas condições, uma das parcelas dessa soma é um número:
a) menor que 120	d) divisível por 9
b) maior que 130	e) múltiplo de 15.
c) quadrado perfeito	
30. Considere um conjunto de circunferências cujas medidas dos raios, em milímetros, formam a progressão aritmética 20, 21, 22, 23, ... , 150. A respeito dessas circunferências, é correto afirmar:
(I) O total de circunferências é 130.
(II) O comprimento da maior dessas circunferências é 15 vezes o comprimento da menor.
(III) As medidas dos diâmetros dessas circunferências, em milímetros, da menor para a maior, formam uma progressão aritmética de razão 2.
(IV) A soma dos comprimentos de todas as circunferências, em centímetros, é 2227(
31. (Mackenzie 96) A soma dos elementos comuns às seqüências (3, 6, 9, ...) e (4, 6, 8, ...), com 50 termos cada uma, é:
a) 678	b) 828	c) 918	d) 788	e) 598
32. (Mackenzie 98) Sabendo que 3, 39 e 57 são termos de uma progressão aritmética crescente, então os possíveis valores naturais da razão r da progressão são em número de:
a) 2	b) 3	c) 4	d) 5	e) 6
TREINAMENTO – 2ª FASE
33. (UNIFEI) Numa progressão aritmética o quinto termo excede o primeiro de 36 e o sétimo termo é a média aritmética dos números 58, 82 e 76. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
34. (Fuvest 93) Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos.
a) Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A?
b) Quantos números de A não são múltiplos inteiros nem de 3 nem de 5?
35. (Fuvest 98) 500 moedas são distribuídas entre três pessoas A, B e C, sentadas em círculo, da seguinte maneira: A recebe uma moeda, B duas, C três, A quatro, B cinco, C seis, A sete, e assim por diante, até não haver mais moedas suficientes para continuar o processo. A pessoa seguinte, então, receberá as moedas restantes.
a) Quantas foram as moedas restantes e quem as recebeu? (Deixe explícito como você obteve a resposta.)
b) Quantas moedas receberam cada uma das três pessoas?
36. (UFRJ) Um painel contém lâmpadas vermelhas e azuis. No instante to = 0, acendem-se, simultaneamente, uma lâmpada vermelha e 43 azuis. A partir daí, de 2 em 2 segundos, acendem-se as lâmpadas vermelhas e apagam-se as azuis. O número de lâmpadas vermelhas acesas cresce em progressão aritmética de razão 4 e o de azuis decresce em progressão aritmética de razão -3. Em um determinado instante t1 , há o mesmo número de lâmpadas azuis e vermelhas acesas. 
a) Quantas lâmpadas azuis estão acesas nesse instante t1 ?
b) Determine t1 .
37. (Vunesp 98) Imagine os números inteiros não negativos formando a seguinte tabela:
a) Em que linha da tabela se encontra o número 319? Por quê?
b) Em que coluna se encontra esse número? Por quê?
38. (UFRJ-98) Num Ka Kay, o oriental famoso por sua inabalável paciência, deseja bater o recorde mundial de construção de castelo de cartas. Ele vai montar um castelo na forma de um prisma triangular no qual cada par de cartas inclinadas que se tocam deve estar apoiado em uma carta horizontal, excetuando-se as cartas da base, que estão apoiadas em uma mesa. A figura a seguir apresenta um castelo com três níveis. 
Figura 6 – Esboço do “castelo de cartas”
Num Ka Kay quer construir um castelo com 40 níveis. 
Determine o número de cartas que ele vai utilizar.
39. (Fuvest 97) Do conjunto de todos os números naturais n, n 
 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule a soma dos números que permanecem no conjunto.
40. (FGV-94) As progressões aritméticas a1, a2, ... e b1, b2, ...... têm razões respectivamente iguais a 3 e a 7.
a) Sabendo-se que a5 = b3, qual é o menor valor de r, superior a 5, para o qual existe s tal que ar = bs ?
b) Se os elementos comuns a essas duas progressões forem colocadas em ordem crescente eles formarão uma P.A. Calcule a razão desta P.A.
41. O menor ângulo de um polígono convexo é de 139( e os outros ângulos formam com o primeiro uma PA cuja razão é 2 graus. Demonstrar que o polígono possui 12 lados
43. Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em PA, nessa ordem, então, qual é o perímetro do quadrado?
44. Insira n meios aritméticos entre 1 e 
. Determine a razão da PA
TREINAMENTO IME/ITA
45. (ITA-00) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n, 
– 5n, 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo
a) [-2, -1]			d) [1, 2]
b) [-1, 0]			e) [2, 3]
c) [0, 1]
46. (IME-02) Calcule a soma dos números entre 200 e 500 que são múltiplos de 6 ou de 14, mas não simultaneamente múltiplo de ambos.
47. (AFA-88) O termo geral de uma progressão aritmética é 
 . A soma dos n primeiros termos da progressão vale:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 
48. (IME-75) A soma dos 50 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual a 200 e a soma dos 50 seguintes é igual a 2700. Calcule a razão da progressão e o seu primeiro termo.
49. (IME-90) Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede l. Sabendo que o maior ângulo excede o menor em 90º, calcule a razão entre os lados.
50. (ITA-93) Numa progressão aritmética com 2n + 1 termos, a soma dos n primeiros termos é igual a 50 e a soma dos n últimos é 140. Sabendo-se que a razão desta progressão é um inteiro entre 2 e 13, então seu último termo será igual a:
a) 34		 
b) 40		
c) 42		 
d) 48		
e) 56
51. (ITA-58) Provar que se em uma P.A. é tal que a soma dos n primeiros termos é igual a (n + 1) vezes a metade do enésimo termo então r = a1.
52. (ITA-80) Considere a progressão aritmética (x1, x2, …, xn) de n termos, n ( 2, cuja soma de seus termos é K. A soma da seqüência dos n valores y1, y2, …, yn definidos por yi = axi + b, i = 1, 2, …, n, onde a e b são números reais com a ( 0, é dada por:
a) K c) aK + nb e) anK
b) aK + b d) anK + nb
53. (IME-82) O quadrado de qualquer número par 2n pode ser expresso como a soma de n termos em progressão aritmética. Determine o primeiro termo e a razão desta progressão
54. (IME-99) Determine as possíveis PA’s tais que o resultado da divisão da soma dos seus n primeiros termos pela soma dos seus 2n primeiros termos seja independente de n.
55. Prove que para os temos de uma PA em que 0 não participa, têm-se a seguinte relação:
56. Prove que se os números a, b e c formam uma progressão aritmética então os números 
 também formam uma progressão aritmética.
57. São dados a soma S de três números em PA e a soma S’ dos quadrados desses números. Demonstre que os números são: 
, 
 e 
58. Prove que 
, 
 e 
não podem ser termos de uma mesma progressão aritmética.
59. Se
, calcule o valor de A+B.
60. Se numa PA a soma dos m primeiros termos é igual a soma dos n primeiros termos, m(n, mostre que a soma dos m+n primeiros termos é zero
ÁLGEBRA
Bruno Fraga
CAPÍTULO 3 
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
1. INTRODUÇÃO
Progressão geométrica é uma seqüência de números, denominados termos, tais que a razão entre cada termo, a partir do segundo, e o precedente é um valor constante chamado razão.
ER 13. Nas progressões geométricas a seguir, obtenha o valor da razão.
a) (1, 2, 4, 8, ...)
b) (81, 27, 9, 3, ....)
c) (3, -6, 12, –24, 48,...)
c) (3, 3, 3, 3,...)
d) (8, 0, 0, 0,...)
Resolução
a) Fazendo a divisão de um termo qualquer pelo seu anterior (antecedente), encontramos a razão:
q = 
= 2 
As progressões geométricas onde cada termo, a partir do segundo, é maior que o anterior são chamadas crescentes.
b) q = 
As progressõesgeométricas onde cada termo, a partir do segundo, é menor que seu antecessor são chamadas decrescentes.
c) q = 
 = –2
A razão negativa faz com que os termos oscilem entre positivos e negativos. Por tal motivo, essa progressão geométrica recebe o nome de oscilante.
c) q = 
 = 1
As progressões geométricas de razão unitária são chamadas de constantes ou estacionárias.
d) q = 
= 0. 
Esse tipo de progressão geométrica (somente o primeiro termo é não-nulo) é chamada de quase nula.
2. TERMO GERAL
A abordagem feita aqui é bem semelhante à realizada na obtenção do termo geral da PA.
Sabemos que em uma PG, obtemos um determinado termo pela multiplicação de seu antecessor por uma constante chamada razão. Tal fato está esquematizado abaixo:
Assim, para passar do a1 para o a2 devemos multiplicar uma vez a razão, ou seja:
a2 = a1.q
Por outro lado, observe que para passar do a1 para o a3 você deve multiplicar duas vezes a razão:
a3 = a1.q.q = a1.q2
Para passar do a2 para o a5 deve multiplicar três vezes a razão:
a5 = a2.q3
Raciocinando analogamente, para passar do a3 para o a10 deveríamos multiplicar a razão sete vezes:
a10 = a3.q7
Sendo assim, para passar de um termo ap qualquer para um termo an devemos multiplicar a razão (n–p) vezes:
 an = ap.qn–pr
Essa fórmula é denominada termo geral da PG.
Como geralmente a seqüência é definida a partir da razão e do seu primeiro termo, teríamos alternativamente:
 an = a1.qn-1r
ER 14. Obter o 10º e o 13º termos da P.G. (1, 2, 4,.8, ...).
Resolução
Para obter a razão basta dividir um termo pelo seu antecessor: q = 2.
Da fórmula do termo geral temos:
a10 = a1 . q9 = 1 . 29 = 512
a13 = a1 . q12 = 1 . 212 = 4 096
ER 15. Calcular o número de termos de uma PG onde a1 = 3, q = 2 e an = 1536.
Resolução
Sendo an = a1 . qn–1, vem:
1536 = 3. 2n–1 ( 512 = 2n–1 ( 29 = 2n–1 ( 
n – 1 = 9 ( n = 10
ER 16. Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para que se tenha, nessa ordem, três números em P.G.?
Resolução
Para que (x + 1, x + 9, x + 15) formem uma P.G., devemos ter
 (a divisão de um termo pelo seu antecedente é a razão) 
Logo:
(x + 9)2 = (x + 1) (x + 15) ( 
x2 + 18x + 81 = x2 + 16x + 15 ( 
2x = ( 66 ( x = (33.
ER 17. Inserir 3 meios geométricos, entre 3 e 48.
Resolução
Inserir 3 meios geométricos entre 3 e 48 significa formar uma PG onde o primeiro termo é 3, o quinto termo é 48 e os três termos do meio precisam ser determinados.
Para isso, basta obter a razão desta PG.
(3, __, __, __, 48)
Tem-se: a1 = 3 e a5 = 48, logo:
48 = 3 . q4 ( q4 = 16 ( q = ( 2.
Logo, as progressões formadas são:
(3, 6, 12, 48) e (3, – 6, 12, – 24, 48)
ER 18. Verifique se a seqüência an = 
, forma uma progressão geométrica
Devemos calcular a razão entre an e an-1.
Como a razão dada não é constante, então não se trata de uma PG.
3. SOMA DOS TERMOS DA PG FINITA
Suponhamos uma PG de n termos e razão q: 
(a1, a2, a3,...,an)
Calculemos a soma Sn dos seus n termos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an (I)
Multiplicando ambos os membros pela razão q:
Snq = a1q + a2q + a3q + ... +anq
Como a1q = a2, a2q = a3, a3q = a4 e assim sucessivamente, teremos:
Snq = a2 + a3 + a4 + ... + an+1 (II)
Fazendo (II) – (I):
Snq – Sn = an+1 – a1 (observe que os demais termos foram cancelados na subtração)
Sn (q –1) = a1qn – a1
Sn= 
ER 19. Calcule a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 52 até 526.
Resolução
As potências referidas formam a seguinte P.G. (52, 53, 54, ..., 526).
A soma desta PG finita é dada por:
S = 
4. PRODUTO DOS TERMOS DA PG
Suponhamos uma PG de n termos e razão q:
(a1, a1q, a1q2, ..., a1qn-1)
Calculemos o produto destes termos:
Pn = a1.a1q.a1q2.a1q3....a1qn
Como há n fatores iguais a a1 e utilizando propriedades das potências para os produtos das razões termos:
Pn =
Observe que o expoente de q apresenta uma PA de primeiro termo igual a um e razão igual a um também, possuindo n -1 termos.
A soma 1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) vale, portanto 
 = 
. Assim:
P = 
ER 20. Calcule o produto dos 11 primeiros termos da P.G. (1, (3, 9, ...)
Resolução
Do enunciado, temos:
a1 = 1; q = (3
A partir da fórmula do produto, obtemos:
P = 
 = 
 = 
= 
= – 355
5. SOMA DOS TERMOS DA PG INFINITA
O cálculo da soma dos infinitos termos de uma PG requer um cuidado especial, por lidar com conceitos comumente não abordados no ensino médio.
Iniciaremos com uma análise do comportamento da expressão 
quando vamos variando o valor de n dentro do conjunto dos números naturais:
 = 0,5; 
 = 0,25; 
= 0,125
 = 0,0625; 
= 0,03125; 
= 0,015625
Só com esse exemplos, já começamos a perceber que à medida que o expoente n vai aumentando, o valor da expressão vai diminuindo e se tornando cada vez mais próximo de zero.
Calculando para n = 10, por exemplo, temos:
= 0,0009765625
Assim, podemos nos aproximar do valor zero o quanto quisermos, bastando para isso tomar um valor de n suficientemente grande.
Dizemos, matematicamente, que quando n tende para o infinito, a expressão 
tende para zero. (Tender aqui é sinônimo de se aproximar o quanto quisermos)
Feita esta introdução, vamos calcular o valor aproximado da soma dos infinitos termos da PG (a1, a2, a3,...) de razão q, com –1 < q < 1.
Sabemos que a soma dos n primeiros termos da PG é dada por:
Sn= 
 = 
=
– 
Como –1 < q < 1, vimos (através do exemplo anterior) que qn tende para zero, na medida em que n tende para o infinito. Assim 
 também tenderá para zero. Portanto, à medida que eu aumento o valor de n, Sn tende para 
.
Simbolicamente, escrevemos que:
= 
 
Observação: 
 é o símbolo para infinito
ER 21. Calcular a soma dos termos da P.G. 
.
Resolução
Calculando a razão, obtemos
.
Como 
, é válida a fórmula da soma dos infinitos termos da PG.
Daí decorre: 
ER 22. Resolver a equação: 
2x+ 
Resolução
Trata-se de uma PG, onde a1 = 2x e q = 
.
Como 
, vale a fórmula da soma dos infinitos termos da PG:
2x + 
= 381
 = 381
3x = 381 ( x =1
6. INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA PG
De maneira semelhante ao que fizemos no caso das progressões aritméticas, podemos traçar o gráfico 
an 
n no caso das progressões geométricas.
Exemplo
Supondo a PG (1, 3, 9, 27), temos:
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 9, a4 = 27
Traçando o gráfico, teríamos:
Figura 7 – Gráfico da PG (1, 3, 9, 27)
Esse gráfico tem um formato de exponencial, um tipo de função que será estudado com detalhes na frente de Funções.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
61. Determine o 10º termo da PG (3, 6, 12,..)
62. Calcule a razão da PG 
 tal que a1 = 4 e a6 = 128.
63. Qual é o número de termos da PG (512, 256, 128,..., 
)?
64. Obtenha o primeiro termo da PG 
tal que a1 + a4 = 28 e a2 + a5 = 84.
65. Insira cinco meios geométricos entre 1 e 2, nesta ordem.
66. Qual é o valor de x para que a seqüência (x – 2, 2x – 4, x + 4) seja PG?
67. Verifique se é ou não uma progressão geométrica cada uma das seqüências a seguir:
a) an = 4.3n, 
b) an = 3n, 
68. Determine a soma dos dez primeiros termos da PG (2, -4, 8, -16,....)
69. Calcule o produto dos dez primeiros termos da PG (
,
 , 
 ,...)
70. Qual é a soma dos infinitos termos da PG (32, 8, 2, ...)?
TREINAMENTO – 1ª FASE
71. (FATEC) O 10º termo da seqüência (3645, 1215, 405, ...) é:
a) 5.3-3 
b) 3.5-3 
c) (5.3)-3
d) 5-1.33
e) 10935
72. O número de termos da P.G. (
,
, ..., 16
) é:
a) 9 	 b) 10	c) 11 d) 12		e) 13
73. (AFA) Quanto devemos adicionar a cada um dos números k + 3, k, k – 2 para que, nesta ordem, formem uma Progressão Geométrica?
a) 6 – k b) 6 + k c) 1 - 6k d) 1 + 6k
74. O número que se deve adicionara 2, 7 e 17 para que se tornem termos de uma P.G., nesta ordem, é:
a) 1	 b) 3	c) 5	d) 7	 e) (2
75. (MACK) Numa progressão geométrica de 50 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é o triplo da soma dos termos de ordem par. Se o primeiro termo é 9, o terceiro termo é:
a) 1	b) 3	c) 9 	d) 18 	e) 27
76. (Unb) Conta uma lenda que o rei de certo país ficou tão impressionado ao conhecer o jogo de xadrez que quis recompensar seu inventor, dando-lhe qualquer coisa que ele pedisse. O inventor, então, disse ao rei: "Dê-me simplesmente 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda casa, 4 grãos pela terceira, 8 grãos pela quarta e assim sucessivamente, até a 64.ª casa do tabuleiro". O rei considerou o pedido bastante simples e ordenou que fosse cumprido. Supondo que um grão de trigo tem massa igual a 0,05 g e que a produção mundial de trigo em 1997 foi de 560 milhões de toneladas, julgue os itens abaixo.
(1) O número de grãos de trigo devido ao inventor apenas pela 11ª casa do tabuleiro é menor que 1.000.
(2) Até a 30ª casa, seriam devidas ao inventor mais de 50 toneladas de grãos.
(3) A quantidade de trigo devida apenas pela 31ª casa corresponde à quantidade recebida até a 30ª casa acrescida de um grão.
(4) Seriam necessárias mais de 1.000 vezes a produção mundial de trigo de 1997 para recompensar o inventor.
77. (AFA-86) Se 
 , então x é igual a : 
a) 1/3	 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2
78. (UFMG-2004) A população de uma colônia de bactérias E. Coli dobra a cada 20 minutos. Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1000 bactérias por mililitro. Assim sendo, o tempo do experimento foi de:
a) 3 horas e 40 minutos
b) 3 horas
c) 3 horas e 20 minutos
d) 4 horas
79. (UEL) Na figura abaixo, o lado do quadrado maior mede 1 e os outros quadrados foram construídos de modo que a medida do respectivo lado seja a metade do lado do quadrado anterior.
Figura 8 – Quadrados em PG
Imaginando que a construção continue indefinida-mente, a soma das áreas de todos os quadrados será:
a) 4/3	b) 2	c) 3/2	d) 3	e) 15/8
80. (FUVEST – 2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
Figura 9 – Poligonal com segmentos em PG
a) 
			d) 
b) 
			e) 
c) 
81. (AFA-90) O produto dos 15 primeiros termos da progressão geométrica, de primeiro termo 1 e razão 10, vale:
a) 10105 	b) 10115 	c) 10125 d) 10135 
82. (FUVEST) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 
. Se o produto dos termos dessa progressão é 239, então o número de termos é igual a:
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
83. (FATEC) Se, em uma progressão geométrica, x é o primeiro termo, y é o termo de ordem 2n + 1, e z é o termo de ordem 3n + 1, então é verdade que
a) z3 = yx2 b) x3 = yz2 c) x3 = zy2 
d) y3 = xz2 e) y3 = zx2
84. A seqüência (a, a + b, 2a, ...) é uma P.A. e a seqüência (a, a + b, 2a + 4, ...) é uma P.G. O décimo termo da P.A. é:
a) 88	 b) 80	c) 96	 d) 40	e) 48
85. (VUNESP) A seqüência de números reais a, b, c, d forma, nessa ordem, uma progressão aritmética cuja soma dos termos é 110; a seqüência de números reais a, b, e, f forma, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 2. A soma d + f é igual a:
a) 96 b) 102 c) 120 d) 132 e) 142
86. (CESGRANRIO) O professor G. Ninho, depois de formar uma progressão aritmética de 8 termos, começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais, notou que o 2ª, o 4ª e o 8ª termos formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. G. Ninho observou ainda que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a:
a) 42 b) 36 c) 32 d) 28 e) 24
TREINAMENTO – 2ª FASE
87. (UFBA) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é igual a 7500, e o quarto termo é igual a 20% do terceiro. Determine o quinto termo da progressão
88. Seja a1, a2, a3, a4, a5, a6 uma progressão geométrica de razão r. Se a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 3124, e a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2343 , determinar r e a3
89. (FUVEST-99) Seja (an) uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 1 e razão q2, onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:
a) Determine o primeiro termo b2 em função de q 
b) Existe algum valor de n para o qual an = bn? 
c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm?
90. A soma de três números positivos em progressão aritmética é 30. Se esses números forem aumentados de 1, 4 e 14, respectivamente, os novos números estarão em progressão geométrica. Achar esses números.
91. (Unicamp) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:
a) O número total de questões da referida prova.
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova.
92. (UFPB-97) Seja an uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos é Sn = 3(2)n – 3. Determine o quarto termo dessa progressão.
93. (COVEST-99) Na ilustração abaixo, cada nova etapa é obtida conectando-se os pontos médios de lados adjacentes do quadrado menor obtido na etapa anterior. Se o lado do quadrado maior mede 20 cm, qual é o número inteiro que melhor aproxima a área, em cm2, do quadrado menor na quinta etapa.
 Figura 10 – Descrição da obtenção dos quadrados
94. (Covest-2000) Suponha que a população humana será de 6 bilhões de habitantes no final do ano 2000. Sabendo que a estimativa do crescimento populacional nas próximas décadas é de 1,8% ao ano, calcule o primeiro ano N em que a população ultrapassa 7 bilhões de habitantes. Indique o resto da divisão de N por 100.
95. Um micróbio, que se encontra na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, desloca-se de uma forma estranha: inicialmente, move-se retilineamente até o ponto (1,0). A seguir, dobra 90° à esquerda e caminha a metade do que andou anteriormente, atingindo o ponto
. Então, gira 90° à esquerda novamente e, caminhando sempre a metade do que andou anteriormente, atinge o ponto
. 
Deslocando-se, indefinidamente, dessa maneira, a posição do micróbio tenderá para o ponto P desse sistema cartesiano. Determine as coordenadas desse ponto.
96. (FGV-96) Um terreno vale hoje A reais e esse valor fica 20% maior a cada ano que passa (em relação ao valor de um ano atrás).
a) Qual o seu valor daqui a n anos? Qual a valorização sofrida ao longo do enésimo ano expressa em reais?
b) Daqui a quantos anos aproximadamente o valor do terreno triplica?
Nota: não é obrigatório efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados.
97. (FGV-95) A produção brasileira é, hoje, de 150 milhões de pessoas. Prevê(se que será de 250 milhões de pessoas daqui a 55 anos, em 2050.
Calcule a taxa anual média de crescimento da população brasileira no período mencionado, em percentagem ao ano. Observe que a taxa de crescimento de um ano se aplica sempre à população do ano anterior e que é constante durante todo o período considerado.
TREINAMENTO IME/ITA
98. (EN-81) O valor de
, n ( N, é: 
a) 
 b) 1. c) 
 d) 
	e) 
99. (EN-90) O limite da soma 1/31 + 2/32 + 1/33 + 2/34 + 1/35 + 2/36 + ... é:
a) 1/2	 b) 5/8	 c) 7/8 d) 8/9	e) 1
100. (IME-66)A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine esses números, sabendo que se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma P.G.
101. (ITA-71) O produto dos termos da seguinte P.G.: –
, 3, – 3
, …, –81
 é:
a) –
 			d) –
b) –
 			e) n.d.r.a
c) –
 
102. (ITA-53) Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q2, Q3, Q4, ..., Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcular, então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ..., Qn. 
103. (ITA-74) Seja a > 0 o 1( termo de uma progressão aritmética de razão r e também uma progressão geométrica de razão 
 A relação entre a e r para que o 3( termo da progressão geométrica coincida com a soma dos 3 primeiros termos da progressão aritmética é: 
a) r = 3a 			d) r = 
b) r = 2a 			e) nda
c) r = a 
104. (ITA-81) Se os três lados de um triângulo estão em progressão geométrica, então a razão desta progressão está compreendida necessariamente entre os valores:
a) 
e 
 
b) 
e 
 
c) 
e 
d) 
e 
 
e) 0 e 1 
105. (ITA) Seja (a1, a2, a3, ..., an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q > 0. O produto de seus termos é igual a 225 e o termo do meio é 25. Se a soma dos (n – 1) primeiros termos é igual a 2(1+q)(1+q²), então:
a) a1 + q = 16
b) a1 + q = 12
c) a1 + q = 10
d) a1 + q + n = 20
e) a1 + q + n = 11
106. (ITA-85) Seja f: ((( uma função satisfazendo f(x + (y) = f(x) + (f(y) para todo (, x, y ( (. Se {a1, a2, a3, …, an} é uma progressão aritmética de razão d, então podemos dizer que (f(a1), f(a2), f(a3), …, f(a4))
a) É uma progressão aritmética de razão d.
b) é uma progressão aritmética de razão f(d) cujo termo primeiro é a1.
c) é uma progressão geométrica de razão f(d).
d) É uma progressão aritmética de razão f(d). 
e) Nada se pode afirmar.
107. (IME-66) Entre os números 3 e 192 insere-se igual número de meios aritméticos e geométricos com razões r e q respectivamente. Sabe-se que o terceiro termo do desenvolvimento (1 + 1/q)8 em potências de 1/q é r/9q. Pede-se determinar as progressões.
108. (IME-81) Três progressões geométricas têm mesma razão q e primeiros termos diferentes a, b, c. A soma dos n primeiros termos da primeira é igual a soma dos 2n primeiros termos da segunda e também é igual a soma dos 3n primeiros termos da terceira. Mostrar que a relação que liga as razões b/a e c/a, em função somente de a, b, c é 
. 
109. (IME-85) Mostre que os números 12, 20 e 35 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica.
110. (IME-88) Três números cuja soma é 126, estão em progressão aritmética e outros três em progressão geométrica. Somando os termos correspondentes das duas progressões obtém-se 85, 76 e 84 respectivamente. Encontre os termos destas progressões.
111. (IME-88) Para cada n inteiro, n ( 1, defini-se a equação En por x2 – 15.22nx + 36.24n = 0.
a) Mostre que a seqüência, cujo k-ésimo termo é a menor raiz da equação Ek, é uma progressão geométrica.
b) Calcule a razão desta progressão.
c) Calcule a soma dos i primeiros termos desta progressão.
112. Provar que se uma P.G. apresenta am = x, an = y e ap = z, então se verifica a relação: 
x(n – p).y(p – m).z(m – n) = 1.
113. Provar que se a, b, c formam nesta ordem uma P.A. e uma P.G., então a = b = c.
114. Provar que se os números a, b, c, d formam nesta ordem uma P.G. então vale a relação (b – c)2 + (c – a)2 + (d – b)2 = (a – d)2.
115. Provar que em toda PG: 
116. Prove que os números 49, 4489, 444889, ... obtidos inserindo 48 no meio do termo anterior são quadrados de números inteiros.
ÁLGEBRA
Bruno Fraga
 COMPLEMENTO 1 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
1. DEFINIÇÕES
A operação básica da matemática financeira é o empréstimo. Alguém que dispõe de um capital C empresta-o para outra pessoa por certo período de tempo e, após esse período, recebe de volta seu dinheiro acrescido de uma remuneração J pelo empréstimo. Essa remuneração é chamada de juro. Seria uma espécie de aluguel pago pelo empréstimo do dinheiro.
A soma C + J será denominada montante, repre-sentada pela letra M. A razão i = 
, que é a taxa de crescimento do capital, será sempre referida ao período da operação e chamada de taxa de juros. 
Exemplo
Lúcia tomou um empréstimo de R$ 100,00. Dois meses depois, pagou R$ 140,00. Os juros pagos por Lúcia foram de R$ 40,00 e a taxa de juros é de 
= 0,40 = 40% ao bimestre. Observe que nesse problema, o capital é de R$ 100,00 e o montante, que é a dívida na época do pagamento é de R$ 140,00. 
O possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestá-lo para alguém, deve atentar para os seguintes fatores ao avaliar a taxa de remuneração para os seus recursos:
a) Risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar (“devolver”) o dinheiro.
b) Despesas: todas as despesas operacionais, con-tratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e efetivação da cobrança;
c) Inflação: índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo;
d) Ganho (lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos (“custo de oportunidade”); justifica-se pela privação, por parte do seu dono, da utilidade do capital.
2. JUROS SIMPLES
Em problemas de juros simples considera-se que a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial. São comuns em questões de vestibulares ainda que sejam praticamente inexistentes na vida real. O motivo será visto mais a frente.
Na resolução dos problemas a seguir, observe que é necessário tão somente a aplicação de algumas regras de três para obtenção das soluções.
ER 24. Qual o valor dos juros simples correspondentes a um empréstimo de R$ 100, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobra é de 3% ao mês?
Resolução
No primeiro mês, observamos a seguinte evolução do capital.
Ou seja, no início do 2º mês, o valor do montante é de R$ 103. 
Ao longo de todo o período do empréstimo, a taxa de juros (3%) incidirá sempre sobre o capital inicial (R$ 100,00), ou seja, o valor do juro mensal será sempre 3% de 100,00 = R$ 3,00
Assim, teremos na seqüência:
Como os juros em um mês são de R$3,00, então em 15 meses totalizarão R$ 45,00.
Observe que os montantes parciais estão em uma progressão aritmética de razão igual a R$ 3,00. Assim, se quiséssemos obter o valor do montante final, bastaria aplicar a fórmula an = a1 + (n – 1)r para a1 = 100, n = 15, r = 3, e calcular o valor de a15.
ER 25. Um capital de R$ 2500,00 aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 500. Determinar a taxa mensal de juros correspondente.
Resolução
Se em 10 meses, o juro foi de R$ 500,00, então em 1 mês o juro foi de R$50,00. Como i = 
, então:
i = 
 = 0,02 = 2% ao mês.
ER 26. Qual o capital que, à taxa de 2,5% ao mês, rende juros de R$ 18000,00 em 3 anos?
Resolução
Como 3 anos = 36 meses, então os juros foram de R$ 18000,00 em 36 meses. Isso equivale a um juro de R$ 500,00 por mês. Como i = 
, então:
0,025 = 
Logo C = R$ 200000,00. 
A partir dos exemplos anteriores, sendo J os juros simples obtidos por meio do empréstimo de um capital C por um período t, a uma taxa i de juros, temos:
No cálculo do montante após o período t, observamos que a evolução do dinheiro no caso dos juros simples se dá de maneira linear, e será modelada por uma progressão aritmética.
M = C(1+ it) 
3. JUROS COMPOSTOS
Problemas de matemática financeira do cotidiano são em sua grande maioria problemas de juros compostos. Nesse caso, conforme é natural, os juros não incidem sobre o capital inicial, e sim sobre o valor atual da dívida.
Exemplo
Manuel tomou um empréstimo de R$ 100,00, a juros de 10% ao mês. Após um mês, a divida de Manuel será acrescidade 10% de 100 = R$ 10,00, ou seja, será de R$ 110,00. No segundo mês, se Manuel ainda não tiver efetuado o pagamento, sua dívida será acrescida de 10% de 110 (valor atual da dívida) = R$ 11,00, ou seja passará a R$110,00 + R$11,00 = R$121,00. Finalmente se a dívida se estender por mais um mês, a dívida será acrescida de 10
% de 121 = R$ 12,10 passando a R$ 133,10
Esquematicamente, teremos:
121
 
Nesse caso, o montante ao fim de três meses é dado por M = 100.(1+ 0,1)3 = 100.(1,1)3 = R$ 133,10. Mais genericamente, um capital C emprestado por t períodos de tempo ao uma taxa i de juros compostos se transformará em um montante M dado por:
M = C.(1+ i)t
Portanto, os valores do capital crescem segundo uma progressão geométrica de razão (1+ i).
ER 27. Um capital de R$ 1000,00 rende R$ 300,00 após 5 meses. Qual a taxa de juro composto da operação financeira?
Resolução
Se J = R$ 300,00 então 
M = 1000 + 300 = R$ 1300,00
Como M = C(1 + i)t, então:
(1+i)5 = 
 
 (1+i)5 = 1,3
1+i = 
1,0539
Logo: i 
 0,0539 = 5,39% ao mês
Esse exercício mostra como, na maioria das vezes, ao resolver um problema de juros compostos, recaímos em contas difíceis de serem feitas sem calculadoras. Esse é, possivelmente, um dos motivos que leva a quase inexistência de problemas como esse em provas de vestibulares.
Nos casos a seguir, será útil a seguinte consi-deração:
A partir da fórmula M = C(1+i)t,visualizamos que uma quantia, hoje igual a C (presente), será transformada em M após t períodos de tempo (futuro). Ou seja, se quisermos calcular o valor futuro M de uma quantia C, basta calcularmos M(1+i)t, onde t é o tempo corrido da operação e i sua taxa de juros. Por outro lado, a partir do valor futuro M, obtemos o valor atual C pela divisão de M por (1+i)t.
Observe algumas aplicações importantes dessa idéia a seguir.
ER 28. Pedro tomou um empréstimo de 300 reais, a juros de 15% ao mês. Dois meses após, Pedro pagou 150 reais e, um mês após esse pagamento, Pedro liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?
Resolução
Observe os dois esquemas de pagamento abaixo. No primeiro deles a dívida é quitada no momento em que é contraída. O outro representa a opção escolhida por Pedro. Dizemos que esses dois esquemas são equivalentes.
Isso quer dizer que, para o dono do dinheiro, 300 reais na data 0 têm o mesmo valor que 150 reais dois meses depois, mais P reais no terceiro mês.
Figura 11 – ER 28: Pagamentos equivalentes
Pensando em termos da data presente (data 0):
- No primeiro pagamento o valor do dinheiro hoje é de R$ 300,00.
- No segundo pagamento precisamos calcular o valor atual dos R$ 150,00 e dos P reais. Como vimos antes, isso pode ser feito por:
C = 
 e C’ = 
Assim:
300 = 
+ 
P = R$ 283,76
Esse problema resume, por assim dizer, todos os problemas de matemática financeira da vida real.
ER 29. Suponhamos que, por meio de aplicações, o seu dinheiro rende em média 25% ao mês. Ao entrar em uma loja, você se depara com três opções de pagamento para a compra de um vestuário:
I) À vista, com 30% de desconto
II) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra
III) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Resolução
Trata-se de um exercício de grande importância na vida real. Como escolher adequadamente entre essas três propostas? A escolha ao acaso, pode trazer sérios prejuízos para a pessoa. Além disso, é preciso saber como incluir na sua operação, o valor que o dinheiro tem pra você (dado pelo rendimento mensal que ele possui).
Fixemos o preço do bem em R$ 30,00. Os esquemas de pagamento estão esquematizados abaixo:
Figura 12 – ER 29. Pagamentos equivalentes
No período 0, os valores do dinheiro para Pedro seriam os seguintes, em cada uma das opções:
Opção 1 – R$ 21,00
Opção 2 – Como o rendimento do dinheiro de Pedro é de 25%, então R$ 15,00 daqui a mês valem 
 = R$ 12,00 hoje, e R$ 15 daqui a dois meses valem R$ 9,60 hoje. Ou seja, nessa segunda opção o valor atual do dinheiro que ele gastará nas duas parcelas é dado por R$ 21,60.
Opção 3 – O valor atual do dinheiro gasto no pagamento dessas três parcelas é dado por 10 + 
+ 
= R$ 24,40.
Assim sendo, observamos que a opção em que ele está gastando menos dinheiro é a primeira, enquanto a que ele está gastando mais dinheiro é a última.
3. COMPARAÇÕES ENTRE OS JUROS
Encerrada a discussão preliminar de juros simples e compostos, faremos uma breve comparação entre os dois, considerando alguns poucos quesitos.
Importância
O vestibulando que estuda pensando exclusivamente nas provas que irá fazer, concluirá, sem muito pensar, que os juros simples são mais importantes para ele, que os compostos. De fato, conforme comentado anteriormente, os juros simples são muito mais comuns em provas do que os compostos. 
Por outro lado, aquele que se preocupa em tomar decisões conscientemente em sua vida cotidiana, precisará cedo ou tarde aprender algo sobre juros compostos, uma vez que é a forma como o mercado lida com operações financeiras.
Cálculo
Por meios dos exemplos dados, ficou claro que os cálculos realizados na resolução de problemas de juros simples são muito mais rápidos e fáceis de serem feitos que os de juros compostos. Essa é uma das explicações para o fato destes últimos serem tão raros em provas de vestibular. Porém, é preciso se atentar que, como alguns vestibulares começam a admitir o uso de calculadoras, a freqüência de questões de juros compostos tende a aumentar.
Taxas equivalentes
Em juros simples, uma taxa mensal de 10% é equivalente a uma taxa anual de 120%. Ou seja, a equivalência é obtida por regra de três. No caso de juros compostos, é diferente. Rendimentos mensais de 10% geram (1+0,1)12 de juros anuais.
Logo se I é a taxa anual então:
1 + I = (1,1)12
Rendimento
Comparando-se a fórmula de obtenção do montante no caso de juros simples, M = C + e no caso de juros compostos, M = C(1+i)t, podemos traçar os gráficos equivalentes a cada um deles em um plano carte-siano. Um esboço deste gráfico segue abaixo:
Figura 13 – Gráfico comparativo dos juros simples e compostos
O gráfico tem o seguinte significado: se a taxa de juros em questão é mensal, então em operações que durem menos de uma unidade de tempo (no caso, um mês), o montante por juros simples é maior que por juros compostos. A partir daí, o montante por juros compostos será sempre maior que o de juros simples. Por esse motivo, as operações financeiras na vida real são sempre de juros compostos, a menos que o prazo combinado para o pagamento do empréstimo seja inferior à uma unidade do tempo em questão.
EXERCÍCIOS
117. Calcule a que taxa mensal um capital de R$ 600,00 produziu juros simples de R$ 720,00 em 2 anos?
a) 5%	b) 8%	c) 9% 	d) 2%	e) 15%
118. Qual o juro simples produzido por um capital de R$ 50.000,00, à taxa de 2% ao mês, durante 1 ano?
a) R$ 10.000,00		d) R$ 15.000,00
b) R$ 11.000,00		e) R$ 8.000,00
c) R$ 12.000,00		
119. (Unicap-94) Determine a taxa anual para que um capital de CR$ 9.000.000,00 (nove milhões de cruzeiros reais) renda, em 5 meses, juros de CR$ 450.000,00 (quatrocentos e cinqüenta mil cruzeiros reais).
120. Cr$ 15.000,00 foram empregados à taxa de 10% ao ano e Cr$ 18.000,00 foram empregados à taxa de 5% ao ano. No fim de quantos anos os montantes serão iguais?
a) 2 anos			d) 5 anos
b) 3 anos			e) 6 anos
c) 4 anos				
121. Um comerciante, ao atender um cliente, sabia com antecedência que este iria pedir um desconto de 20% no preço da mercadoria. Como não era possível o desconto e para não deixar de atender o cliente, o comerciante raciocinou do seguinte modo: - “Fornecerei o preço aumentado de 20% do seu valor e, em seguida, darei o desconto que o cliente deseja“.
O comerciante, desta maneira, vendeu a mercadoria:
a) pelo valor inicial
b)4 % mais caro que o valor inicial
c) com um desconto de 2 % de seu valor inicial.
d) com um desconto de 24 % de seu valor inicial
e) com um desconto de 4 % de seu valor inicial.
122. (Unicamp) Uma pessoa investiu R$ 3000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 40 % do total investido e no segundo ela recuperou 30% do que havia perdido.
a) Com quantos reais ela ficou após os dois meses?
b) Qual foi seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, sobre o valor do investimento inicial?
123. (FGV) No Brasil, quem ganha um salário mensal menor ou igual a R$ 900,00 está isento do pagamento de imposto de renda (IR). Quem ganha um salário mensal acima de R$ 900,00 até R$1800,00 paga um IR igual a 15% da parte de seu salário que excede R$ 900,00; quem ganha um salário mensal acima de R$ 1800,00 paga um IR igual a R$ 135,00 (correspondente a 15% da parte do salário entre R$ 900,00 e R$ 1800,00) mais 27,5% da parte do salário que excede R$ 1800,00.
a) Qual o IR pago por uma pessoa que recebe um salário mensal de R$1 400,00?
b) Uma pessoa pagou um IR de R$ 465,00 em um determinado mês. Qual o seu salário nesse mês?
124. (UFMG-04) Um capital de R$ 30000,00 foi dividido em duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa de 12% anuais. Ao término de um ano, observou-se que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi de:
a) R$ 8000,00
b) R$ 4000,00
c) R$ 6000,00
d) R$ 10000,00
125. (EN-87) Ações de certa companhia valorizam-se 10% ao mês durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas ações obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximadamente igual a:
a) 40%	 b) 50% c) 55%	 d) 60% e) 70%
126. Uma loja oferece duas formas de pagamento a seus clientes: 10% de desconto sobre o preço anunciado se o pagamento for à vista, ou o preço anunciado, dividido em duas parcelas iguais: a primeira no ato da compra e a segunda no trigésimo dia após a compra.
A taxa mensal de juros efetivamente cobrada, no pagamento parcelado, é de:
a) 10%	 b) 15% c) 25% d) 30% e) 50%
127. Imagine uma pessoa que comumente investe seu dinheiro em uma caderneta de poupança, cujos rendimentos são de 5% ao mês. Para essa pessoa, qual seria a melhor entre as duas opções: 
a) Receber hoje R$ 100.000,00
b) Receber daqui a seis anos R$ 140.000,00
128. (FGV-97) Um terreno é vendido através de um plano de pagamentos mensais onde o primeiro pagamento de R$ 500,00 é feito um mês após a compra, o segundo de R$ 550,00 é feito 2 meses após a compra, o terceiro de R$ 600,00 é feito 3 meses após a compra e assim por diante (isto é, cada pagamento mensal é igual ao anterior acrescido de R$ 50,00).
a) Qual o total pago por um cliente que comprou o imóvel em 20 pagamentos?
b) Se o cliente tivesse pagado um total de 
R$ 86250,00, qual teria sido o número de pagamentos?
129. (FGV-99) Carlos adquiriu um aparelho de TV em cores pagando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é de R$ 600,00:
a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês?
130. (FGV-97)
Chama-se preço justo de uma ação (P) a uma taxa de retorno de 10% ao ano à expressão:
P = 
onde:
D1 é o dividendo esperado daqui a 1 ano
D2 é o dividendo esperado daqui a 2 anos
...................................................................
Dn é o dividendo esperado daqui a n anos
a) Qual o preço justo se os dividendos esperados forem todos iguais entre si e iguais a R$ 5,00?
b) Qual o preço justo se D1 = 5 e em cada ano o dividendo esperado for 7% superior ao dividendo esperado do ano anterior?
131. (FGV-00) 
a) O saldo devedor de um empréstimo de uma empresa A junto a um banco é hoje R$ 200 000,00. Este saldo diminui R$ 2500,00 por mês. 
Qual o saldo devedor daqui a t meses? 
b) Uma empresa B tem hoje um saldo devedor de R$ 300 000,00 e uma outra empresa C tem hoje um saldo devedor de R$ 250 000,00. O saldo devedor de B diminui R$ 6 000,00 por mês e o de C diminui R$ 2500,00 por mês. A partir de quantos meses (contados de hoje) o saldo devedor de B ficará menor que o de C?
132. (FGV-00) O salário líquido do Sr. Ernesto é R$ 3000,00 por mês. Todo mês ele poupa 10% de seu salário líquido e aplica essa poupança num fundo que rende juros compostos à taxa de 2% ao mês.
a) Qual seu saldo no fundo, no dia que fez o 2º depósito?
b) Quantos depósitos deverá fazer para ter um saldo de R$ 7289,00, no dia do último depósito? 
(indique apenas o resultado; não é preciso fazer os cálculos)
133. (FGV-96) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00 mais uma comissão de 5% sobre as vendas do mês.
Em geral, cada duas horas e meia de trabalho, ele vende o equivalente a R$ 500,00.
a) Qual seu salário mensal em função do número x de horas trabalhadas por mês?
b) Se ele costuma trabalhar 220 horas por mês, o que é preferível: um aumento de 20% no salário fixo, ou um aumento de 20% (de 5% para 6%) na taxa de comissão?
134. (UFMG-99) Um consumidor adquiriu deter-minado produto em um plano de pagamento de 12 parcelas mensais iguais de R$ 462,00, a uma taxa de juros de 5% ao mês. Ele pagou as 10 primeiras prestações no dia exato do vencimento de cada uma delas. Na data do vencimento da 11ª prestação, o consumidor decidiu quitar a última também, para liquidar sua dívida. Ele exigiu, então, que a última prestação fosse recalculada, para a retirada dos juros correspondentes ao mês antecipado, no que foi atendido.
Depois de recalculado, o valor da última prestação passou a ser de:
a) R$ 438,90
b) R$ 441,10
c) R$ 440,00
d) R$ 444,00
135. (UFMG-98) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento à vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um mês após a compra.
Paulo, ao invés de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupança, que lhe renderia 2% ao mês, nos próximos três meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestação.
Mostre que a opção de Paulo não foi boa, calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a última prestação.
136. (Unesp) O preço de tabela de um determinado produto é R$1000,00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine:
a) quanto o comprador teria ao final da aplicação;
b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta).
137. (Unicamp) Um vendedor propõe a um comprador de um determinado as seguintes alternativas de pagamento:
a) pagamento à vista com 65% de desconto sobre o preço de tabela;
b) pagamento em 30 dias com desconto de 55% sobre o preço de tabela.
Qual das duas alternativas é mais vantajosa para o comprador, considerando-se que ele consegue, com uma aplicação de 30 dias, um rendimento de 25% ?
138. Pedro tem três opções de pagamento na compra de vestuário.
a) À vista, com 3% de desconto.
b) Em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra.
c) Em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra.
Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 2,5% ao mês?
ÁLGEBRA
Bruno Fraga
 COMPLEMENTO 2 
PA DE ORDEM SUPERIOR 
1.DEFINIÇÕES
Vamos inicialmente definir o operador diferença, simbolizado por
. Sendo uma seqüência numérica (an) qualquer, definimos
.
PA de 1ª Ordem
Quando as diferenças entre os termos consecutivos de uma seqüência numérica forem constantes, então tal seqüência é uma Progressão Aritmética de 1ª ordem, ou apenas Progressão Aritmética.
Exemplo
(1, 4, 7, 10)
a1 = 1; a2 = 4, a3 = 7; a4 = 10
Efetuando-se as diferenças:
= a2 – a1 = 4 – 1 = 3
= a3 – a2 = 7 – 4 = 3
= a4 – a3 = 10 – 7 = 3
Anteriormente chamamos de razão essa diferença constante entre um termo e o seu antecedente. Esse foi o objeto de estudo do capítulo 2 desta apostila.
PA de 2ª Ordem
Quando as diferenças entre os termos consecutivos de uma seqüência numérica formam uma PA não estacionária, então tal seqüência é denominada Progressão Aritmética de 2ª ordem.
Exemplo
(1, 4, 9, 16, 25)
a1 = 1; a2 = 4; a3 = 9; a4 = 16; a5 = 25
= a2 – a1 = 4 – 1 = 3
= a3 – a2 = 9 – 4 = 5
= a4 – a3 = 16 – 9 = 7
= a5 – a4 = 25 – 16 = 9
Observe agora que as quatro diferenças calculadas não são constantes, e formam a PA (3, 5, 7, 9). Portanto a seqüência original (1, 4, 9, 16, 25) é uma Progressão Aritmética de 2ª ordem
PA de Ordem k
Se as diferenças entre os termos consecutivos de uma seqüência numérica formarem uma PA de ordem k – 1, então tal seqüência é denominada Progressão Aritmética de ordem k.
Exemplo
(1, 3, 19, 61, 141)
a1 = 1; a2 = 3; a3 = 19; a4 = 61; a5 = 141
= a2 – a1 = 3 – 1 = 2
= a3 – a2 = 19 – 3 = 16
= a4 – a3 = 61 – 19 = 42
= a5 – a4 = 141 – 61 = 80
Observe que as quatro diferenças calculadas formam a seqüência (2, 16, 42, 80). Para esta seqüência temos:
= a2 – a1 = 16 – 2 = 14
= a3 – a2 = 42 – 16 = 26
= a4 – a3 = 80 – 42 = 38
Agora as três diferenças formam a seqüência (14, 26, 38). Não é difícil verificar que se trata de uma progressão aritmética de 1ª ordem de razão 12.
Assim, constatamos o seguinte:
I) A seqüência (2, 16, 42, 80) é uma PA de 2ª ordem porque as diferenças entre seus termos consecutivos formam a seqüência (14, 26, 38) que é uma PA de 1ª ordem
II) A seqüência original (1, 3, 19, 61, 141) é uma PA de 3ª ordem porque as diferenças entre seus termos consecutivos formam a seqüência (2, 16, 42, 80) que, como vimos, é uma PA de 2ª ordem.
 
ER 30. Verifique se a seqüência (3, 58, 15, 32, 68) é aritmética e obtenha a sua ordem.
Resolução
É preciso calcular as diferenças entre os termos consecutivos da seqüência dada. Se os resultados formarem uma PA não estacionária, será uma PA de 2ª ordem. Se não for, prossegue-se até que isso eventualmente ocorra.
O processo está descrito abaixo:
Figura 14 – Cálculo das diferenças
Como foram preciso três passos até obtermos a PA não estacionária (3, 6 ,9), trata-se uma PA de 4ª ordem
2. TERMO GERAL 
Assumiremos, sem demonstração, a validade do seguinte teorema:
Os termos gerais da PA de ordem superior são polinômios em n, de grau igual à sua ordem:
PA de 3ª ordem ( an = an2 + bn + c
PA de 4ª ordem ( an = an3 + bn2 + cn + d
...
PA de kª ordem ( an = ank + bnk – 1 + ... + pn + q.
ER 31. Determine o 40º termo da seqüência 2, 5, 11, 20. 32, ...
Formemos as diferenças entre os termos consecutivos:
2 5 11 20 32 ..
 3 6 9 12 .... (PA não estacionária).
Logo, a seqüência dada é uma PA de 2ª ordem e seu termo geral é da forma an = an2 + bn + c.
Para determinar as constantes a, b, e c façamos n = 1, n = 2 e n = 3. Teremos:
	
Portanto, se o termo geral da seqüência dada :
O 40º termo será:
ER 32. Achar o termo geral da seqüência (1, 3, 11, 31, 69, ....)
Resolução
Iniciaremos novamente pelo cálculo das diferenças do termos consecutivos:
1 3 11 31 69 ....
 2 8 20 38 ....
 6 12 18 .... (PA não estacionária).
A seqüência dada é, então, uma PA de 3ª ordem e seu termo geral é da forma
an = an3 + bn2 + cn + d.
n = 1 ( a + b + c + d = 1
n = 2 ( 8a + 4b + 2c + d = 3
n = 3 ( 27a + 9b + 3c + d = 11
n = 4 ( 64a + 16b + 4c + d = 31
Resolvendo o sistema composto por essas quatro equações, encontraremos:
a = 1, b = – 3, c = 4 e d = – 1.
Logo, an = n3 – 3n2 + 4n – 1.
EXERCÍCIOS
139. Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a seqüência formada pelas diferenças entre termos consecutivos for uma progressão aritmética. Assinale a alternativa na qual se encontra parte de uma progressão aritmética de segunda ordem.
a) (0, 5, 12, 21, 23)
b) (6, 8, 15, 27, 44)
c) (-3, 0, 4, 5, 8)
d) (7, 3, 2, 0, -1)
e) (2, 4, 8, 20, 30) 
140. (MACK) Na seqüência numérica ( 4 , 7 , a3 , a4 , a5 , ...) , sabe-se que as diferenças bn = an+1 – an , n ≥1 , formam uma progressão aritmética de razão 2. Então a15 é igual a:
a) 172
b) 186
c) 200
d) 214
e) 228
141. A seqüência de números: 1, 4, 10, 19, ... satisfazem a condição de que a diferença de dois termos subseqüentes formam uma progressão aritmética. Encontre o n-ésimo termo e a soma dos n primeiros termos dessa seqüência.
142. Os números 1, 3, 6, 10, 15,... são chamados de números triangulares, nomenclatura esta justificada pela seqüência de triângulos.
Figura 15 – Números Triangulares
a) Determinar uma expressão algébrica para o n-ésimo número triangular;
b) Provar que o quadrado de todo número inteiro maior que 1 é a soma de dois números triangulares consecutivos.
143. Na questão anterior, vimos o que são os números triangulares. Além deles, existem também os números tetraedrais que são a seqüência (1, 4, 10, 20, 35,...). Qual seria o centésimo número tetraedral?
ÁLGEBRA
Bruno Fraga
 COMPLEMENTO 3 
OUTRAS SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS 
1. PROGRESSÃO MISTA
Progressão mista ou progressão aritmético-geométrica (PAG) é qualquer seqüência do tipo:
[a1, (a1+ r).q, (a1 + 2r).q2, (a1 + 3r).q3, ..., (a1 + (n - 1).r).qn-1]
Exemplo
(1, 2x, 3x2, 4x3, ... , nxn-1)
Um exercício interessante é o cálculo da soma dos termos acima. Para efetuá-la, basta multiplicar a soma pelo oposto da razão e somar o resultado obtido à soma já existente. Essa questão aparecerá como exercício na lista subseqüente.
2. PROGRESSÃO HARMÔNICA
Se os termos de uma seqüência estão em P.A., então os seus inversos formarão uma seqüência chamada de Progressão Harmônica (PH).
P.A.(a1, a2, a3, a4, ...) 
PH 
 = 
Exemplos 
a) (2, 4, 6, 8, 10) é uma P.A., logo (1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10) forma uma P.H.
b) No caso de uma progressão harmônica de três termos a, b e c, teremos:
P.H: (a, b, c)
PA
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.DSMT4 (o termo médio da PA é a média aritmética dos extremos)
Logo:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.DSMT4 
Assim, numa progressão harmônica de três termos, o termo médio é a média harmônica dos extremos.
3. SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI
Em 1202 Leonardo de Pisa, também conhecido por Fibonacci, formulou o seguinte problema: 
A partir de um casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais de coelhos existirão após 12 meses, supondo-se que: nenhum coelho morre, todo casal de coelhos tem um primeiro casal de filhotes com dois meses de idade e, após ter o primeiro casal de filhotes, gera um novo casal todo mês. 
Figura 16 – Crescimento do número de coelhos no tempo
Expandindo essa figura para os meses seguintes, não se torna difícil constatar que o número de casais de coelhos a cada mês é dado pela seqüência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... 
Indicando por Fn​ o número de casais de coelhos no enésimo mês, vale a seguinte fórmula de recorrência: 
�� EMBED Equation.DSMT4 
Se observarmos a razão entre um termoe o anterior, na seqüência de Fibonacci, obteremos os seguintes resultados:
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
Continuando a calcular, verificaremos que essa razão tende a ficar em torno de um mesmo número. Tal número, conhecido como 
(phi) vale:
Para verificação, basta supor que, como a razão entre um termo e seu anterior é aproximadamente constante, a seqüência de Fibonacci tem um comportamento semelhante ao de uma PG.
Supondo a1 = 1 e uma razão q para essa “PG de Fibonacci” e sabendo que an = an-1 + an-2 teríamos:
an-2q2 = an-2q + an-2, ou seja:
q2 = q + 1, cuja raiz positiva é:
Essa constante aparece, curiosamente, em vários outros lugares aparentemente desconexos com a seqüência de Fibonacci. 
Segmento Áureo
Dado um segmento AB qualquer, sempre é possível obter um D entre suas extremidades de tal modo que:
O segmento AD assim determinado é o que denominamos de segmento áureo.
O triângulo abaixo foi obtido através do corte de cada segmento na chamada razão áurea.
A riqueza estética desta divisão é tal que é comum encontrá-la em diversas situações: obras de arte, arquitetura, ou até mesmo na natureza:
a) O animal abaixo é chamado de Nautilus. As proporções de seu caracol seguem as razões áureas, como pode ser verificado na figura abaixo.
Figura 17 – Nautilus (Razão áurea na natureza)
No Parthenon Grego, o formato geral da construção é de um retângulo áureo.
Figura 18 – Parthenon Grego
Na figura a seguir, as diversas dimensões estão relacionados entre si de maneira constante igual a 0,618 (inverso do
)
Figura 19 – (Razão áurea nas artes)
A seqüência de Fibonacci tem sido objeto de continuada atenção na literatura matemática. Ainda hoje existe uma revista intitulada The Fibonacci Quarterly que trata de problemas que, de uma forma ou de outra, estão relacionados com esses números de Fibonacci. 
EXERCÍCIOS
144. (MACK.-79) Sendo S = 1 + 2x + 3x2 + ... 
(0 < x < 1), pode-se afirmar que:
a) S =
 		d) S = 
b) S = 
 		e) S = 
c) S = 
 
145. (ITA-77) Sendo Sk = 1 + 2x + 3x2 + ... + 
+ (k + 1)xk, onde x > 1 e k é um inteiro maior que 2, então, se n é um inteiro maior que 2,
a) 
 
b) 
c)
 
d) 
 
e) nenhuma das respostas anteriores.
146. (UNIFOR) Chama-se progressão harmônica uma seqüência de números tais que seus inversos constituem uma progressão aritmética. Assim sendo, se os três primeiros termos de uma progressão harmônica são 8, 5 e
, o seu sexto termo é
a) 4	b) 
	c) 3	d) 
	e) 2
147. Se os termos de ordem p, q, r de uma P.H. são a, b, c, respectivamente, demonstre que:
(q ( r)bc + (r ( p)ac + (p ( q)ab = 0
148. (Unesp 2002) Os coelhos se reproduzem mais rapidamente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a0 =1, a1 =1 e, para n 
 2, an = an-1 + an-2, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será
a) 13 	 b) 8	c) 6	 d) 5		e) 4
149. (Unicamp) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja 
 e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. 
150. (Unb) Uma seqüência de Fibonacci é uma sucessão de números (an) que satisfaz a relação an+2 = an + an+1, para 
. Seqüências deste tipo aparecem com freqüência em diversas proporções arquitetônicas desde a antigüidade greco-romana. Estreitamente relacionado com essas seqüências, o número árureo, representados pela letra grega, é a raiz positiva da equação 
2 – 
 – 1 = 0. 
Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem:
(1) Se (an) é uma seqüência de Fibonacci de números positivos então 
< 2, para todo 
.
(2) Se (an), 
, é uma seqüência de Fibonacci de números positivos cujos termos estão em PG de razão r, então r = 
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Bruno Fraga
REVISÃO 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
151. (Ufscar 2002) Uma função f é definida recursivamente como
		f(n + 1) = (5f(n) + 2)/5
Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é
a) 45 b) 50 c) 55	d) 60	 e) 65
152. (FUVEST-96) Os números reais sen (/12, sen a e sen 5(/12 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é:
a) 1/4 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
153. (Fuvest 2000) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A=(–a,0), B=(0,b) e C=(c,0), é igual a b, então o valor de b é:
a) 5 b) 4	 c) 3	d) 2	 e) 1
154. (Ufrs 97) As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6?
a) 
 b) 18 c) 
	 d) 24	 e) 30
155. (Vunesp 99) As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética crescente de razão r.
a) Mostre que as medidas dos lados do triângulo, em ordem crescente, são 3r, 4r e 5r.
b) Se a área do triângulo for 48, calcule r.
156. (Unirio 99) Considere uma progressão aritmética de 4 elementos cujo primeiro elemento é log 3. Sabendo-se que a soma destes elementos é log 5184, determine a razão desta seqüência.
157. (Ufc 96) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo.
158. (ITA-88) Sejam a, b e c constantes reais com a ( 0 formando, nesta ordem, uma progressão aritmética e tais que a soma das raízes da equação ax2 + bx + c = 0 é –
. Então uma relação válida entre b e c é:
a) c =
			
b) c = b(2 -
		 
c) c = b(
d) c = b
				
e) c = 
 159. Para quantos valores de (, sendo 0
(
2(, a seqüência (tg(, sec (, 2) constitui uma P.G.?
a) nenhum b) 1 c) 2 d) 4 e) infinitos
160. Calcular todos os ângulos x, em radianos, de modo que os números (sen x)/2, sen x, tg x formem uma P.G
161.(UFRJ-99) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão.
162. (COVEST-99) Se an é uma progressão geométrica de números reais positivos de razão 625, então log5an é uma progressão aritmética de razão r. Indique r.
163. (ITA-67) É dada uma progressão geométrica com 1.000 termos; a razão desta progressão é igual ao seu primeiro termo. A soma dos logaritmos neperianos dos termos desta progressão é 1.001.000. O primeiro termo da progressão é:
a) 2 b) 22 c) e1/2 d) e2 e) e
164. (ITA-71) A seguinte soma log 1/2 + log 1/4 + ... + log 1/2n com n natural, é igual a:
a) log (n + n3)/2 		d) 
b) (n + n2) log
 		e) N.d.r.a.
 c) – n(n + 1)2 log 2
 
165. (Unb) A Geometria Fractal é uma linguagem criada pelo matemático polonês Benoit Mandelbrot, no começo da década de 50. Mandelbrot criou essa geometria após observar padrões surgidos em diversas áreas, tais como no estrutura do ruído das comunicações telefônicas, na flutuação dos preços em operações do mercado financeiro e no estudo empírico da geometria dos litorais.
As figuras abaixo ilustram os três primeiros passos na construção de um fractal a partir de um quadrado de lado 
, sendo que a figura II representa um padrão desse fractal.
O procedimento pode ser descrito da seguinte maneira:
- Passo 1: Considere o quadrado representado na figura 1
- Passo 2: Dividindo-se três lados desse quadrado em três partes iguais, constroem-se outros três quadrados, conforme ilustra figura III.
O processo pode ser repetidoum número qualquer de vezes. 
Considerando 
 = 5 cm, determne, em cm², a área total da figura obtida no oitavo passo. Despreze a parte fracionária do resultado caso exista.
166. (FGV-98)
Dada a progressão geométrica infinita: 
(45, 15, 5, ...........)
a) Achar a soma de seus termos.
b) Obter o menor valor de n de modo que o enésimo termo an seja <
.
Adote os valores: log2 = 0,30 e log 3 = 0,48
167. Em um círculo de raio R inscreve-se um quadrado, neste quadrado inscreve-se um círculo, neste círculo um outro quadrado e assim sucessivamente. Calcular o limite da soma das áreas dos círculos.
168. Calcular os quatro ângulos de um quadrilátero, sabendo que os ângulos estão em PG e que o último é igual a nove vezes o segundo. 
169. (Unicamp-05) Um capital de R$ 12000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8% com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após 2 anos
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial.
Se necessário, use: 
 e
.
170. (Unicamp-99) Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p (t), o preço após t anos, pede-se:
a) a expressão para p (t);
b) o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use: 
 e 
.
� EMBED PBrush ���
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� PAGE �2�	Frente	CASD Vestibulares
	
CASD Vestibulares	Frente	� PAGE �3�
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