Problemas propostos-Lista-01-c-MHS

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2. Um oscilador harmônico simples ´pode ser descrito pela seguinte equação diferencial: . 
 Considere as seguintes equações abaixo, onde A,  e  são constantes, e verifique se 
 elas descrevem um movimento MHS. 
a) 
b) 
c) 
0
2
2
 x
m
k
dt
xd
)βtω(Asenx  βtωAx  2 )βtω(iAex 
3. Um oscilador harmônico possui frequência  e amplitude A. 
a) Quais são os valores (módulos) da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual 
a energia cinética? 
 Resp: A/2;  A/2 
b) Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo e qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências 
consecutivas? Resp: 4 ; /2 
c) Quando o deslocamento é a metade da amplitude quais os valores das frações de energia cinética e 
energia potencial? Resp: 3/4 ; 1/4. 
1. Um objeto de massa m oscila em um movimento harmônico simples. Sabendo-se que a distancia 
máxima em relação ao ponto de equilíbrio é dada por A, que o período é T e que no instante t=0 o objeto 
está na origem, x=0, mas movendo-se na direção –x, mostre que (Obs: Estas equações são válidas para 
qualquer Oscilador Harmônico Simples): 
 
a) A equação do movimento pode ser dada por 
 
b) A velocidade máxima do objeto é: 
 
c) A aceleração máxima do objeto é dada por: 
 
d) A energia total do sistema pode ser dada por: 
)t
T
2
(Asen)t(x


T
A2
vmax


Aωamax
2 2
22
tot
T
mA2
E

Lista problemas sobre Oscilador Harmônico 
4. Sobre a superfície muito lisa de uma mesa se encontra uma mola, cuja a constante é de 16 N/m. Uma 
das extremidades da mola está fixada na mesa e na outra está presa um bloco de 2 kg que também 
repousa sobre a mesa. Um outro bloco (também de 2 kg) desloca sobre a superfície com velocidade de 8 
m/s e colide com o bloco preso à mola. Após a colisão os dois blocos permanecem grudados um no outro e 
o sistema começa a oscilar. Considerando t=0 e x=0 no instante da colisão, encontre a equação do 
movimento harmônico resultante. 
 Resposta: 
)t2(sen2)t(x 
5. Um tubo de secção transversal A é dobrado na forma de um U. Um fluido é 
 inserido no tubo ocupando um comprimento l. do tubo. O fluido é sugado de 
 um lado do tubo e então é solto resultando em um movimento oscilatório 
 (considere que não tem atrito). 
 Mostre que o período de osculação do movimento harmônico resultante é 
 dado por: 
g2
l
2T 
10. Mostre que para um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força do tipo F = - bv, oscilações 
 ocorrerão somente quando for satisfeita a condição b  2 km 
9. Quando deslocados da posição de equilíbrio, os dois átomos da molécula de H2 são submetidos a uma 
força restauradora do tipo F = - kx com a constante k = 580 N/m. Calcule a frequência de oscilação da 
molécula de H2. Obs: busque na literatura os dados que você precisará usar para resolver o problema. 
8. Um peso desconhecido é preso a uma das extremidades de uma mola e provoca uma elongação da mola 
 de uma distância L., na posição de equilíbrio. Mostre que, nestas condições, se o peso for colocado para 
 oscilar em MHS, o período de oscilação é o mesmo de um pendulo simples de comprimento L. 
 (Obs: considere a mola de massa desprezível). 
7. Um pendulo de 0,240 m de comprimento é deslocado lateralmente até um ângulo de 3,50º e então é 
liberado. 
a) Quanto tempo leva o peso do pendulo para atingir a velocidade mais elevada? 
b) Quanto empo levaria se o pendulo fosse liberado em um ângulo de 1,75º ? 
6. Um certo pêndulo simples possui na Terra um período igual a 1,60 s. Qual é o período na superfície de 
Marte? 
 
13. A figura ao lado mostra o movimento de um corpo, de massa 
 m = 2,00 kg, sobre uma superfície horizontal lisa e preso à uma 
 mola. Usando as informações constantes do gráfico determine: 
a) A constante de fase () do movimento. Resp: 3.864 rad 
b) Escreva a equação do deslocamento em função do tempo. 
c) Qual a constante de mola? 
d) Calcule a velocidade máxima. Resp: 3,14 m/s 
e) Calcule a aceleração máxima. Resp: 98,7 m/s2 
f) Quando exatamente o corpo estará na posição de equilíbrio mas 
 movendo-se para a direita? Resp: 0.027 s 
g) Onde exatamente se encontra o corpo no momento correspon- 
 dente ao ponto C? Resp: Posição = 0,10 m; Tempo = 0.277 s 
 
D
es
lo
ca
m
en
to
 (
cm
) 
11. O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico 
 amortecido. 
a) Usando as informações do gráfico faça uma estimativa dos valores da 
 frequência de oscilação (1) e do coeficiente de amortecimento 
 ( = -b/2m). (Dica: se necessário amplie a figura) 
b) Determine a frequência natural do MHS 
c) Determine o período de oscilação do oscilador amortecido. 
d) Escreva a equação para o oscilador amortecido. 
 
D
es
lo
ca
m
en
to
 (
cm
) 
14. O problema do “Bungee Jump” 
 Uma pessoa cuja massa é de 60,0 kg executa um salto de Bungee Jump com 
 uma corda elástica de comprimento natural de 9,00 m. Quando ele atinge a 
 parte mais baixa, a corda sofreu uma distensão de 18,0 m e ele se encontra 
 a 3,00 m do solo. 
a) Calcule a constante-de-mola dessa corda. Resp: 98 N.m-1 
b) Qual é a força máxima exercida sobre a pessoa? Resp: 1.2103 N 
c) Qual é a aceleração máxima sofrida pela pessoa? Resp: 20 m.s-2 
d) Depois de chegar à parte mais baixa do salto a pessoa tende a oscilar. Calcule 
 a frequência de oscilação considerando que o movimento fosse do tipo MHS. 
e) Normalmente em saltos de Bungee Jump observa-se uma constante de amor- 
 tecimento da ordem de 25 kg/s. Considerando esse valor, calcule a frequência 
 e o período da oscilação sofrida pelo nosso saltador. 
f) Seria possível fazer uma estimativa do tempo em que o individuo ficaria osci- 
 lando? Explique 
g) Considere agora, que uma outra pessoa ( adepta ao consumo farto de massas, 
 chocolates, doces , cerveja, etc..) pesando 120 kg, inadivertidamente toma 
 da mesma corda e decide pular !! Supondo que a corda e os cintos resistam 
 ao seu peso, analise com cuidado se essa pessoa correrá algum risco no seu 
 salto. 
 
15. Através de uma força de 4,0 N, um oscilador harmônico amortecido é deslocado de 0,2 m da sua 
 posição de equilíbrio. Em t =0 ele é solto (do repouso) e começa a oscilar. O movimento é então 
 registrado como mostrado no gráfico abaixo. Faça uma estimativa , mais precisa que você conseguir, 
 dos valores to período e da massa. Resp: T  3,1 s ; m  5,0 Kg 
16. Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de 
velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre os pontos é 36 cm. Calcule (a) o 
período, (b) a frequência e (c) a amplitude do movimento. R: . (a) 0,50 s; (b) 2,0 Hz; (c) 18 cm 
19. A figura ao lado mostra um bloco com 14,0 N de peso, que pode deslizar sem 
atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0° e está ligado ao alto do plano 
inclinado por uma mola, de massa desprezível, de 0,450m de comprimento 
quando relaxada, cuja constante elástica é 120 N/m. (a) A que distância do alto do 
plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? (b) Se o bloco é puxado 
ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o 
período das oscilações resultantes? R: . (a) 0,525 m; (b) 0,686 s 
17. A função x = (6,0 m) cos[(3π rad/s)t + π/3 rad] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. 
No instante t = 2,0 s, determine (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do 
movimento. (e)Qual é a frequência e (f) qual o período do movimento? R: (a) 3,0 m; (b) –49 m/s; (c) –2,7 × 
102 m/s2 ; (d) 20 rad; (e) 1,5 Hz; (f) 0,67 s 
18. Um oscilador é formado por um bloco com uma massa de 0,500 kg ligado a uma mola. Quando é posto 
em oscilação com uma amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o movimento a cada 0,500 s. Determine (a) 
o período, (b) a frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante elástica, (e) a velocidade máxima e (f) o 
módulo da força máxima que a mola exerce sobre o bloco. R: . (a) 0,500 s; (b) 2,00 Hz; (c) 12,6 rad/s; (d) 79,0 
N/m; (e) 4,40 m/s; (f) 27,6 N 
20. Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com 
k = 1000 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 50,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe 
uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Determine (a) a frequência do 
movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a 
amplitude do movimento. R: (a) 2,25 Hz; (b) 125 J; (c) 250 J; (d) 86,6 cm 
21. Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola com uma constante elástica de 1,3 N/cm e 
uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. R: 37 mJ 
22. Uma partícula de 10 g executa um MHS com uma amplitude de 2,0 mm, uma aceleração máxima de 
módulo 8,0 × 103 m/s2 e uma constante de fase desconhecida ϕ. Determine (a) o período do movimento 
(b) a velocidade máxima da partícula e (c) a energia mecânica total do oscilador. Qual é o módulo da força 
que age sobre a partícula no ponto no qual (d) o deslocamento é máximo? (e) O deslocamento é metade do 
deslocamento máximo? R: (a) 3,1 ms; (b) 4,0 m/s; (c) 0,080 J; (d) 80 N; (e) 40 N 
23. Uma mola, de massa desprezível, está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade 
inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição yi tal que a mola se encontra no 
estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição 
mais baixa 10 cm abaixo de yi. (a) Qual é a frequência das oscilações? (b) Qual é a velocidade do objeto 
quando se encontra 8,0 cm abaixo da posição inicial? (c) Um objeto de massa 300 g é preso ao primeiro 
objeto, após o que o sistema passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do primeiro 
objeto? (d) A que distância abaixo de yi está a nova posição de equilíbrio (repouso), com os dois objetos 
presos à mola? R: . (a) 2,2 Hz; (b) 56 cm/s; (c) 0,10 kg; (d) 20,0 cm 
24. Em um oscilador amortecido como o que está mostrado na figura ao lado, o 
bloco possui uma massa de 1,50 kg e a constante elástica é 8,00 N/m. A força de 
amortecimento é dada por –b(dx/dt), em que b = 230 g/s. O bloco é puxado 12,0 
cm para baixo e liberado. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude das 
oscilações resultantes diminua para um terço do valor inicial. (b) Quantas oscilações 
o bloco realiza nesse intervalo de tempo? 
 
 
 
25. A amplitude de um oscilador fracamente amortecido diminui de 3,0% a cada ciclo. Que porcentagem da 
energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo? R: 6,0% 
26. Em um circuito LC oscilante com L = 50 mH e C = 4.0 µF, considere que a corrente inicial seja máxima. 
Calcule o tempo necessário para o capacitor carregar completamente pela primeira vez. 
27. Considere um circuito LRC em série onde L= 2 mH. O capacitor é carregado com uma carga inicial 
q0 = 2 C e então o circuito é colocado para oscilar. Sabendo-se que o período da oscilação não amortecida 
é de T0 = 1 ms e o coeficiente de amortecimento é  = 0,8 s
-1 , pede-se: 
1) Escreva a equação da oscilação com todas as constantes numéricas. 
2) Calcule os valores da capacitância e da resistência. 
 
28. Uma esfera sólida de raio R flutua, em repouso, em um líquido cuja densidade é  com a metade de seu 
volume submerso. Quando a esfera é suavemente empurrada para baixo e então solta ela começa a oscilar 
harmonicamente. Mostre que, para estas condições, a frequência de oscilação pode ser calculada 
 
 por: onde g é a aceleração da gravidade. 
R
g
π
f
2
3
2
1

29. Considere que você queira construir um circuito LC para oscilar na frequência de 440 Hz e você tem um 
indutor de 2 H. a) Qual o valor de capacitância você deverá usar? (Resp: 6,5 x 10-2 F). b) Se o capacitor é 
inicialmente carregado até 5 V qual a carga de pico (máxima) no capacitor? (Resp: 0,33 C). c) Qual é a 
energia total no circuito? (Resp: 8,4 x 10-7 J) 
30. Um pendulo constituído de uma esfera presa a um fio de comprimento L é solto de uma posição  0, a 
partir do repouso. a) Considerando a aproximação para a validade de movimento harmônico simples 
mostre que a velocidade do pendulo ao passar por  = 0 pode ser calculada por . b) Usando 
a conservação da energia encontre essa velocidade exatamente para um ângulo qualquer (não somente 
para pequeno ângulo!!) e mostre que seu resultado está de acordo com o resultado do item a) quando  0 
for pequeno. c) Encontre a diferença entre o valor aproximado e o valor exato para  0 = 0,20 rad e L = 1.0 m. 
d) Encontre a diferença entre o valor aproximado e o valor exato para  0 = 1,20 rad e L = 1.0 m. e) Compare 
os resultados dos itens c) e d). O que você conclui? 
gLφvmax 0