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Profa Dra. Lígia Mallmann
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Matemática financeira: trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo.
 
 “Sabemos que o valor do dinheiro envolvido numa transação financeira não permanece constante durante o prazo da operação. Em geral, o valor na data inicial da operação é diferente do valor em qualquer outra data; isto é, o valor do capital envolvido numa operação financeira varia com o tempo.”
Obs.:O tempo é uma das variáveis chaves para a matemática financeira.
Taxa de juros: é o coeficiente que determina o valor do juro ou da remuneração de um determinado capital utilizado durante certo período de tempo.
Obs.: as taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo (mês, semestre, ano, etc....) e podem ser representadas de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária.
	Taxa percentual
	Taxa unitária
	1.5%
	0.015
	8%
	0.08
	18%
	0.18
	36%
	0.36
	130%
	1.30
	1200%
	12.0
Representação da taxa:
	Taxa mensal
	im 
	% a.m
	Taxa bimestral
	ib
	% a.b
	Taxa trimestral
	it
	% a.t
	Taxa quadrimestral
	iq
	% a.q
	Taxa semestral
	is
	% a.s
	Taxa anual
	ia
	% a.a
	Taxa do período
	ip
	% a.p
	Taxa diária
	id
	% a.d
Juro Exato: leva em conta no seu cálculo o período civil. É utilizado em operações financeiras de curto prazo onde o prazo (tempo) é contado em dias.
	
	- ano			= 365 dias
	- mês			= 30 ou 31 exceto fevereiro que pode ser 28 ou 29 dias
Juro Comercial: leva em conta no seu cálculo o período comercial.
	- ano		= 360 dias
	- semestre	= 180 dias
	- trimestre	= 90 dias
	- bimestre 	= 60 dias
	- mês		= 30 dias
Formas de calcular os juros
São duas as formas básicas a considerar na evolução do custo do dinheiro no tempo: o regime de capitalização simples (RCS) e o regime de capitalização composta (RCC).
Juros simples: remunera somente o capital.
Juros compostos: serão somados ao capital os juros de cada período e sobre o montante serão calculados os juros do período seguinte.
Independentemente do regime de capitalização, sempre existirão, em problemas da MF, alguns componentes básicos: capital inicial ou valor presente; juros e montante ou valor futuro.
Simbologia adotada
PV = principal, valor presente, valor atual, capital inicial.
FV = montante, valor de resgate, valor final, valor futuro.
n = número de períodos da operação – tempo.
i = taxa da operação (taxa unitária).
j = valor dos juros.
JUROS SIMPLES
Conceito: são os juros de cada período, calculados sempre em função do capital inicial empregado. 
Remunera somente o capital.
Juros não rendem juros.
O crescimento será linear ou em progressão aritmética
Não há capitalização.
Fórmulas
J = C i t
 i % para i unitária
 	 - juros
 		- valor presente
 		 - tempo
i = i 			 - taxa
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
 
 
 
	 
 
Exemplo:
	Um investidor aplicou, em 30/12/00, a importância de R$ 10.000,00 num fundo de investimento que lhe prometeu juros simples de 10% aa. Qual será o seu saldo ao final de cinco anos?
	Data
	Ano
	Saldo inicial de cada ano
	Juros de cada ano
	Saldo final de cada ano
	30.12.00
	0
	-
	-
	10.000
	30.12.01
	1
	10.000
	10.000 x 0,10 = 1.000
	11.000
	30.12.02.
	2
	10.000
	10.000 x 0,10 = 1.000
	12.000
	30.12.03
	3
	10.000
	10.000 x 0,10 = 1.000
	13.000
	30.12.04
	4
	10.000
	10.000 x 0,10 = 1.000
	14.000
	30.12.05
	5
	10.000
	10.000 x 0,10 = 1.000
	15.000
OU
FV = PV (1 + in) FV = 10.000 (1 + 0,10 x 5) 
FV = 10.000 x 1,5 FV = 15.000
Exercícios – juros simples
1 – Calcular o valor inicial de uma aplicação, efetuada pelo período de 1 ano à taxa de 8% a.m., cujo valor de resgate foi de R$ 2.940,00. 				 R: 1.500,00 
2 – Calcular o montante obtido pela aplicação de um capital de 10.000,00 pelo prazo de 12 meses à taxa de 5% a.m.							 R: 16.000,00
3 – Qual o montante de uma aplicação de R$ 12.000,00 efetuada pelo prazo de 8 meses à taxa de 4% a.m.								 R: 15.840,00
4 – Calcular o valor futuro de uma aplicação de um capital de R$ 8.000,00 pelo prazo de 2 anos à taxa de 24,56% a.t.							 R: 23.718,40
5 – Qual será o valor de resgate de uma aplicação de R$ 500,00 pelo prazo de 1,5 anos à taxa de 3,45% a.m. 									R: 810.50
6 – Qual o capital inicial de uma aplicação cujo valor final é de R$ 150,00 aplicado pelo prazo de 12 meses à taxa de 5% a.m.						 R: 93.75
7 – Calcular o valor principal de uma operação efetuada pelo prazo de 180 dias à taxa de 9,36% a m. e cujo valor de resgate é R$ 15.000,00.				 R: 9.605,53
8 – Calcular o valor inicial de uma aplicação cujo valor de resgate é R$ 2.000,00 à taxa de 25% a.t. pelo prazo de 1 ano.							 R: 1.000,00
9 – Calcular a taxa mensal de uma aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 6 meses cujo valor de regate foi de 16.000,00.						 R: 10% am
10 – Calcular a taxa mensal de uma aplicação de R$ 200,00 efetuada pelo prazo de 180 dias e cujo montante foi de R$ 368,00.					 R: 14 % am
11 – Um capital de R$ 150,00 foi aplicado pelo prazo de 8 trimestres e rendeu R$ 216,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação?				 R: 6 % am
12 – Calcular o prazo de uma aplicação de R$ 10.000,00 à taxa de 12% a.m., cujo valor de resgate foi de R$ 16.000,00							 	 R: 5 m
13 – Qual o prazo de uma aplicação de R$ 20.000,00 efetuada à taxa de 7% a.m. E cujo valor de resgate é de R$ 36.800,00.							 R: 12 m
14 – Um capital de R$ 250,00 foi aplicado à taxa de 80% a.a. e produziu um montante de R$ 400,00. Qual o prazo da aplicação?					 	 R: 9 m
15 – Um operário aplicou R$ 300,00 à taxa de 6% a.t. e ganhou R$ 360,00 de juros. Qual o prazo da aplicação?								 	 R: 20 t
16 – A soma de um capital e seus juros é de R$ 401,25 aplicado pelo prazo 1 ano, à taxa de 77% no período. Qual é o valor dos juros?					 	R: 174,55
17 – Um cliente economizou durante 3 anos, obtendo uma taxa de 4% a.a. E depois empregou a soma deste capital e juros na compra de uma casa. O aluguel desta casa rende R$ 460,00 por ano, o equivalente a 5% sobre o preço da compra. Que soma o cliente depositou no banco?							
18 – Necessitarei daqui há 14 dias de R$ 42.550,00 para saldar um compromisso. Quanto tenho que aplicar hoje, sabendo que o banco paga 6,5% a.m.?		 R: 41.297,31
19 – Durante quanto tempo um capital de R$ 8.400,00 renderá R$ 1.204,00 de juros, à taxa de 10% a.a.?									 R: 1 a 5 m 6 d
20 – Determinar o capital que à taxa de 7,2% a t., produz, em 157 dias, os juros de R$ 5.432,00?							 
21 – Qual a taxa de juro anual de uma aplicação de R$ 2.000,00 que, após dois anos, rendeu R$ 1.680,00 de juros.							 R: 42 % aa
22 – Calcular o valor dos juros de um financiamento de R$ 1.450,00, contratado a uma taxa de 22,5% ao trimestre, durante 48 dias.				 	 	R: 174,00
23 – Comprei uma bicicleta e paguei com um cheque pré-datado para 34 dias, no calor de R$ 204,00. Sabendo-se que a loja cobra uma taxa de 6,5% a.m., calcule o preço da bicicleta se fosse adquirida a vista.						 	R: 190,00
24 – Um capital ficou depositado durante 15 meses a taxa de 35% a.a.. A soma desse capital mais juros, no final desse período, foi reaplicado à taxa de 30% a.a., durante 8 meses e 20 dias. No final, foi resgatado R$ 120.000,00. Qual o valor do capital inicial aplicado?									 R: 68.612,26
25 – Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital paraque o juro seja igual a 5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% a.a.? 				 R: 20 a
26 – Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840,00 de juros em 24 meses, qual a taxa de juros trimestral?								 R: 5,25 % a t
27 – Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 2003. Se o resgate for efetuado 80 dias após, qual será o rendimento recebido pelo aplicador?									 R: 138,89
28 – O valor nominal de uma Nota Promissória é de 4.770,00. Qual é seu valor atual 3 meses antes do vencimento, considerando-se a taxa de juros de 24% a.a.? R: 4.500,00
29 – O valor de resgate de uma aplicação é o dobro do capital inicial. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 12,5% a.a, calcule o prazo da aplicação.		 R: 8 a
30 – Calcular o juro simples comercial e exato de um capital de R$ 2.800,00 aplicado à taxa de 30% a.a. por 222 dias.							R: 510,90
31 – Um banco anuncia que um investimento de R$ 9.523,80 rende em seis meses a quantia de R$ 1.047,62. De quanto será a taxa anual paga na operação?	 R: 22 % aa
32- Um capital aplicado por 1 ano, 2 meses e 15 dias, rendeu R$ 2.755,00 de juros. Ao final do período o aplicador não satisfeito com a taxa de 5% que o banco pagou na sua aplicação, resolveu investir o montante da operação mais R$ 3.445,00 na compra de um automóvel para locação. Após 40 dias o aluguel rendeu 20% do valor do automóvel. Calcule o valor da diária da locação.							R: 50,00
33 – Qual o prazo necessário para um capital de R$ 140,00 gerar um valor futuro de R$ 224,00, a juros de 6% a.m.? 								 R: 10 m
34 – Um investimento de R$ 50,00 rendeu, após 3 meses, R$ 18,00. Qual a taxa mensal do investimento?									 R: 12 % am
35 – Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:
R$ 35.000,00 vencíveis no fim de 3 meses;
R$ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.
Para saldar essas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em um banco que paga 66% a.a. de juros simples. Calcular o valor do capital que deve ser aplicado no banco de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimento. 						 R: 81.023,31
36 – Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 75.000 à taxa linear de 3,3% a.m. Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante de 92.325,00 e contrai nova dívida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo valor de R$ 49.600,00. 
Pede-se calcular:
o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos; 		 R: 7 m
a taxa de juros (mensal e anual) cobrada no segundo empréstimo.	 R: 28,8 % aa
37– Uma pessoa aplicou R$ 12.000,00 numa Instituição Financeira resgatando, após 210 dias, o montante de R$ 13.008,00. Qual a taxa de juros (mensal) que o aplicador recebeu?										 R: 1,2 % am
38 – O valor de resgate de um título é R$ 140 % maior que o valor da aplicação. Sendo de 30 % ao ano a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da aplicação. R: 56 m
39 – Uma Nota Promissória de R$ 14.000,00 é resgatada dois meses antes de seu vencimento. Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples é de 1,9 % ao mês?									 R: 13.487,47
TAXAS
Taxa linear: é aquela em que o valor dos juros é resultante de sua incidência sobre o capital inicial.
Ex.: Exercício no 1 anterior
Taxa nominal: é a taxa constante de um contrato de uma operação financeira. Geralmente não coincide com o período de capitalização do contrato.
Ex.: 12 % a.a. em 1 mês.....		1 % am
 24 % a.a. em 1 t ........		6 % at
Taxa proporcional: se diz que duas taxas são proporcionais quando houver uma proporção entre as taxas e seus respectivos períodos.
 
Ex.: 
Qual a taxa trimestral proporcional a 12 % aa. 
Taxa equivalente: duas ou mais taxas são ditas equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante um mesmo período de tempo, produzirem um mesmo montante, no final daquele prazo.
Ex.: 
No regime de juros simples:
24 % a.a. é proporcional a 2 % a.m.
No regime de juros compostos:
24 % a.a é proporcional a 1,81 % a.m
Taxa efetiva: é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização.
Ex.:
Uma taxa linear de 3,8 % a.m. corresponde a uma taxa efetiva anual de:
ie =[ (1 + 0,038)12 - 1 ]x 100 > ie = 56,45 % a.a.
JUROS COMPOSTOS
Conceito: São os juros calculados sobre o capital mais os juros produzidos, ou a capitalização do montante, a uma taxa dada, em determinados períodos de capitalização.
J = FV – PV
J = PV [ (1 + i)n – 1 ]
Ex.: Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,00, no final de 2 meses e meio, a uma taxa de 20% a.m.
J = 2.000[( 1+ 0,20 )2,5 ou 75/30 – 1 )]
J = 1.154,88
 
Cálculo do montante ( FV ):
FV = PV ( 1 + i )n ou FV = PV + j 
Ex.: Determinar o montante de R$ 3.000,00, a uma taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente, durante dois anos.
FV = 3.000,00 ( 1 + 0,02 )24 ou 720/30 
FV = 4.825,31 
Cálculo do capital inicial ( PV ):
 j
PV = _ FV___ ou PV = FV - j ou PV = 
 ( 1 + i )n ( 1 + i )n
Ex.: Determinar o valor principal de uma aplicação efetuada a uma taxa de 2% a.m. capitalizada mensalmente, durante 2 anos cujo montante é de R$ 4.825,31
PV = 4.825,31
 ( 1 + 0,02 )24 ou 720/30 PV = 3.000,00 
Cálculo da taxa ( i ):
 
Ex.: Qual a taxa efetiva anual de juros, que faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$ 2.000,00 de juros, em 3 anos e 6 meses?
 
 
 = 18,2864%
Cálculo do prazo ( n ): 
 
 
Ex.: Considerando um montante de R$ 640,00, um capital de R$ 20,00 e uma taxa de 100% a.a., calcule o período desta operação.
 
 
 
 
 n = 5 % a.a.
EXERCÍCIOS – Juros Compostos
1) Determinar o montante produzido por R$ 9.000,00 a uma taxa de 3% a.m., capitalizada mensalmente, durante dois anos. 	 R.: 18.295,15 
2) Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,00, no final de 2 meses e 20 dias, a uma taxa de 20% a.m. 	 R.: 1.252,22
3) Qual a taxa anual efetiva de juros, que faz com que o capital de R$ 8.500,00 produza R$ 2.000,00 de juros, em 4 anos e 3 meses? 	 R.: 5,097...% a.a.
4) Recebi R$ 798,60 após 3 meses de aplicação a 10% a.m.. O valor inicial dessa operação foi resultado de outra operação no valor de R$ 453,69, ao prazo de 60 dias. Qual a taxa desta operação? 				 R.: 14,99....% a.m.
5) Calcular o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00, sob as hipóteses abaixo:
22% a.a. em 5 anos 					 R.: 27.027,08
1,5% a.m em 45 dias						 R.: 10.225,84
3,46% a.b. em 6 meses 					 R.: 11.074,33
6) Quanto receberei se aplicar R$ 480,00 à taxa de 4% a.m., durante 3 meses e se o montante desta operação for reaplicado à taxa de 3% a.m, durante 4 meses?
										 R.: 607,69
7) Uma aplicação financeira de R$ 60.000,00, após 91 dias, gerou um montante de R$ 65.908,51. Qual a taxa anual desta aplicação? 		 R.: 45% a.a.
8) 8) Em quanto tempo um capital triplica de valor se aplicado a uma taxa de 2,5 % a.m.R 44,5 m
9) Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos, de 48% a.a., de forma que possa retirar R$ 1.000,00 no final do segundo mês e R$ 3.200,00 ao final do quinto mês. Qual o valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados? 				 R.: 3.654,48
10) Qual o investimento que podemos fazer hoje a uma taxa de 48% a.a. para que possamos receber R$ 30.000,00 ao final de cada um dos próximos 3 anos?
										 R.: 43.220,54
11) Determinar o valor creditado de uma aplicação financeira, no valor de 2.000,00, à taxa de 48% a.a., ao prazo de 33 dias. 		 R 2.073,18
12) No final de 120 dias, um cliente de uma loja deverá efetuar um pagamento de R$ 4.000,00, referente ao valor de uma compra efetuada hoje mais os juros devidos, correspondentes à taxa efetiva de 5% a.m.. Pergunta-se: qual o valor da compra? 									 R.: 3.290,81
13) Uma loja comercial está financiando um aparelho eletrônico no valor de R$ 1.200,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 1.511,65, no final de 90 dias. Qual a taxa efetiva mensal e anual cobrada pela loja ?
							 R.: 8% a.m. e 151,82% a.a.
14) Em que prazo um empréstimo de R$ 15.000,00 poderá ser quitado em um único pagamento de R$ 17.352,26, sabendo-se que o banco cobra uma taxa efetiva de 101,22% a.a.						 R.: 75 dias
15) Uma pessoa irá necessitar de R$ 12.000,00 daqui a 540 dias. Quanto deverá depositar hoje, em um fundo de investimento que remunera a taxa efetiva de 2% a.m. para obter o valor desejado ao final do prazo? 		 R.: 8.401,91
16) Determinar o rendimento de uma aplicação de R$ 3.000,00 nas seguintes condições:
i = 1,5% a.m. em 					 R.: 516,35
I = 3,5% a.t. em 275 dias 					 R.: 332,52
I = 5% a.s. em 2 anos 						 R.: 646,52
I = 4,5% a.q. em 1080 dias 					 	 R.: 1.458,29
17) A que taxa efetiva mensal um capital aplicado pode ser resgatado ao final de 1 ano pelo dobro do seu valor? 					 R.: 5,95% a.m.
18) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado à taxa efetiva de 2,75% a.m.				 R.: 448 dias
19) Calcular o rendimento de uma aplicação de R$ 88.000,00 efetuada pelo prazo de 5 meses à taxa efetiva de 4,5% a.m. 			 R.: 21.664,02
20) Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 40.000,00 que produz rendimentos de R$ 3.894,63 ao final de um quadrimestre.
										 R.: 2,35% a.m.
21) Uma aplicação de R$ 22.000,00 efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 2,4% a.m., um montante de R$ 26.596,40 em certa data futura. Calcular o prazo da operação. 				 R.: 8 meses
Referências
ASSAF NETO, Alexandre. Finanças corporativas e valor. 1. ed. São Paulo: Atlas, 2003. 609 p.
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de administração financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2014.
CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno H. Análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 2000.
CHIAVENATO, Idalberto. Gestão financeira: uma abordagem introdutória. Barueri: Manole, 2014.
FERREIRA, José Antonio Stark. Finanças corporativas: conceitos e aplicações. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira: essencial. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 610 p.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de administração financeira. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2010. 775 p.
GROPPELLI, Angelico A.; NIKBAKHT, Ehsan. Administração financeira. São Paulo: Saraiva, 1998. 535 p.
HOJI, Masakazu. Administração financeira e orçamentária: matemática financeira aplicada, estratégias financeiras, orçamento empresarial. 7. ed. São Paulo: Atlas, 2008. 565 p.
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