Magnetismo e Ímãs

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Ímãs e Magnetismo 
 
01. O que é magnetismo ? 
 
Magnetismo é uma forma de energia que corpos ferrosos chamados ímãs 
apresentam e que pode ser convertida em outras formas de energia, tais como 
mecânica e elétrica. 
 
02. Constituição de um ímã e suas propriedades 
 
Um ímã é constituído, em grande escala de uso, de três elementos químicos que 
podem apresentar o magnetismo: o Ferro – Fe, o Níquel – Ni, e o Cobalto – Co (e 
todas as ligas que contenham um ou mais destes três elementos químicos). 
O minério ferro encontrado na Natureza, denominado hematita (Fe2O3) é processado 
em siderúrgicas e associado a um pequeno e variável teor de carbono constituindo-
se, a partir daí, o que se chama de aço. Este aço pode ter na sua composição, 
também, percentuais variados de níquel e cobalto. 
São propriedades do ímã a atração que ele exerce sobre materiais / substâncias da 
sua família, Fe, Ni e Co, a atração ou repulsão entre ímãs – em ambos os casos 
provocando movimentação mecânica e a geração de tensão em materiais 
condutores de corrente elétrica. 
O avanço tecnológico incluiu na composição química dos ímãs alguns elementos 
químicos do grupo “Terras Raras” da tabela periódica que, também, tem as 
propriedades magnéticas antes citadas. São exemplos: o neodímio, o lantânio, o 
disprósio, o térbio, o gadolíneo, o praseodímio e o samário. 
Todos os demais elementos químicos / substâncias conhecidos não tem as 
propriedades identificadas párea os ímãs. 
 
03. O ímã natural e uma classificação simples 
 
A magnetita (Fe3O4) é um minério de ferro que apresenta espontaneamente o 
magnetismo. É o ímã natural. É encontrado em jazidas à semelhança da hematita 
(Fe2O3 – minério base da fabricação do ferro fundido e do aço). A imensa maioria dos 
ímãs é fabricada pelo homem. São os artificiais. 
Os ímãs ainda podem ser temporários – os que apresentam magnetismo por tempo 
bastante limitado – e permanentes. Os permanentes, como o nome diz, mantém as 
propriedades magnéticas por tempos muito longos – muitos e muitos anos. 
 
04. Detalhes do ímã e do magnetismo 
 
O campo magnético é a região / zona em torno do ímã em que se percebe as 
propriedades magnéticas. O campo é formado por linhas de força – linhas invisíveis 
/ imaginárias – criadas (“inventadas”) para que se “veja o que não se enxerga”. 
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Estas linhas “saem” de uma das faces magnéticas do ímã – seu pólo Norte – indo 
para a outra face – o pólo Sul. 
 
 
 
O campo magnético e suas linhas de força são demonstráveis distribuindo-se limalha 
de ferro (ferro em pequenos grãos) sobre um ímã. 
 
 
 
Portanto, as linhas de força “se movimentam” do Norte para o Sul por fora do ímã. 
Por dentro dele, do Sul para o Norte. 
É interessante fazer uma analogia com a corrente elétrica que circula do (–) para o 
(+) pelo circuito e do (+) para o (–) por dentro do gerador. 
Exatamente no meio do ímã há uma linha imaginária – a linha Neutra. Ela será a 
separação, no ímã, das zonas de ação do pólo Norte e do pólo Sul. 
É nos pólos que se encontra a maior força magnética do ímã. E a força é a mesma 
nos dois pólos. 
Ao quebrar-se um ímã, resultará dois ou mais novos ímãs. Naturalmente, com 
menor força magnética. Não é possível separar um pólo Norte de um Sul. 
 
05. Lei básica do magnetismo 
 
A lei é simples: “Pólos magnéticos de nomes contrários se atraem e pólos de 
mesmo nome se repelem”. 
Não fazer confusão com a lei básica da Eletrostática que também se refere à atração 
e repulsão porém, de cargas elétricas e de sinais iguais e contrários. 
 
 
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06. O planeta Terra e a bússola 
 
O planeta Terra é um grande porém fraco ímã. Próximo do seu pólo geográfico Norte 
há um Sul magnético. No Sul geográfico há um Norte magnético. Um ímã qualquer 
pendurado por um fino barbante, permitindo-lhe o movimento de rotação, se orientará 
conforme o campo magnético terrestre e em acordo à lei básica. Será, pois, uma 
bússola improvisada. 
A bússola real é constituída de uma lâmina de aço especial magnetizada – uma 
lâmina ímã permanente – apoiada num eixo com baixo atrito, podendo girar com 
facilidade. A metade da lâmina que se orienta para o Norte terrestre é escurecida 
propositalmente, como forma de identificação. Abaixo da lâmina há um disco marcado 
com os pontos cardeais e, em boas bússolas, uma divisão em graus angulares. 
Assim, a chamada agulha magnética se orientará em acordo aos pólos magnéticos 
da Terra e à lei básica. Girando o disco marcado com os pontos cardeais e 
posicionando seu Norte embaixo da extremidade escurecida da agulha, sabe-se a 
posição de qualquer outro ponto cardeal. E, com a divisão da circunferência em 
graus, obtém-se uma orientação bem mais precisa. 
 
07. Conversão da energia magnética em mecânica 
 
Um ímã converterá sua energia / força de atração magnética em mecânica pelo 
movimento físico que fará acontecer em algum corpo ferroso da sua família, isto é, 
Fe, Ni, Co. Assim, estando o ímã fixado, provocará o movimento do corpo ferroso. Ou 
o contrário. O mesmo fenômeno ocorrerá entre dois ímãs: um fixado e o outro livre. 
Ou ambos livres. O movimento dos ímãs se dará por atração ou repulsão entre seus 
pólos magnéticos. 
O termo corpo ferroso tem o mesmo significado de corpo ferromagnético. 
Um ímã exercerá influência sobre corpos ferrosos ou sobre outros ímãs, quando 
estes estiverem “dentro” do seu campo magnético. Como a maior força se verifica 
junto aos pólos, quanto mais distante deles estiver o corpo ferroso ou ímã, menor a 
influência que se manifestará. 
A força mecânica surgida dependerá da força magnética do ímã e da massa do corpo 
ferroso. O mesmo ocorre pela atração / repulsão entre ímãs. Como já referido no 
parágrafo anterior, haverá, ainda, influência da distância entre as peças – ímã x 
corpo ferroso ou ímã x ímã. 
Enquanto o corpo ferroso estiver imerso, mergulhado, “dentro” do campo magnético 
do ímã, também será um ímã e se comportará como tal. Poderá, pois, influenciar 
outro corpo ferroso próximo, já que terá seu próprio campo magnético. Ao ser retirado 
da ação do ímã, poderá perder completamente o seu campo magnético – estará 
desmagnetizado ou ainda guardar o magnetismo ficando magnetizado. Na primeira 
opção terá sido um ímã temporário. Na segunda opção, resultará num ímã 
permanente. 
 
Obs.: é necessário reforçar que: 
 entende-se por ímã um corpo, uma peça, que tem magnetismo, que 
está magnetizado de forma permanente, isto é, durante muito tempo. 
 um material ferroso ou corpo ferroso ou material ferromagnético 
poderá ser ou estar magnetizado porém, de forma temporária, por pouco 
tempo. Será um ímã temporário e neste caso, não deveria receber o 
nome de ímã e sim de ímã temporário. 
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08. Conversão da energia magnética em elétrica 
 
Um ímã fará nascer uma tensão num material condutor quando este condutor for 
movimentado transversalmente ou mesmo de forma inclinada, “dentro” do seu 
campo magnético. O movimento do condutor deve se assemelhar ao movimento de 
uma faca que corta uma porção de macarrão. Pela analogia, deve ficar claro que o 
condutor deve “cortar” as linhas de força do campo magnético do ímã. 
Enquanto estiver “cortando” as linhas, provocará, em seu interior, uma movimentação 
de diversos elétrons livres que se deslocarão para uma das extremidades do 
condutor. Então, nesta extremidade, haverá excesso de elétrons; na outra, por 
consequência, haverá falta de elétrons. Tem-se, assim, a tensão. 
 
Se, ao invés de movimentar o condutor provocando o corte de linhas se fizer a 
movimentação do ímã, fixando-se o condutor, obter-se-á a mesma tensão. Entenda-
se: deve haver movimento de “um” em relação ao “outro”. 
Ao inverter-se o sentido do movimento, se inverterá a polaridade da tensão obtida. 
O mesmo ocorre se for invertida a posição dos pólos magnéticos. 
A partir desta constatação,o movimento em um único sentido produz tensão 
contínua, ou seja, com polaridade elétrica fixa. 
Fazendo-se o movimento com alternância de sentido, se gerará tensão alternada, 
ou seja, com polaridade elétrica alternada. 
O módulo da tensão dependerá da força magnética do ímã – quantidade de linhas 
de força do campo magnético, da velocidade do movimento e do número de fios 
condutores que “cortam” as linhas de força. 
 
09. Teoria explicativa do magnetismo 
 
A existência do magnetismo foi explicada pela teoria de Weber – Ewing, conhecida 
como a “teoria dos ímãs moleculares”. Ela estabelece que cada átomo de Fe, Ni e 
Co e suas ligas, tem seus elétrons girando em suas órbitas todos no mesmo 
sentido em torno do núcleo. Esta particularidade faz de cada um destes átomos um 
pequeno ímã. 
Mas, para que um corpo, um material seja um ímã, é necessário que todos os 
planos de giro dos elétrons – ou uma quantidade representativa deles – estejam 
alinhados da mesma maneira, numa mesma direção e sentido. No caso, de uma 
face do corpo em direção à outra face do mesmo corpo – os pólos do ímã. Assim, 
alinhados, os efeitos magnéticos destes átomos se somarão conferindo ao corpo 
as mesmas propriedades magnéticas de cada um dos “átomos-ímãs”, porém com 
muito mais intensidade. 
A magnetita – único ímã natural – tem os planos de giro alinhados numa certa 
quantidade. Os ímãs permanentes artificiais – construídos pelo homem – tiveram 
seus planos alinhados por um processo de magnetização e assim permaneceram. Os 
materiais ferrosos – ímãs temporários – também terão seus planos alinhados e 
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estarão magnetizados. Porém, cessado o processo que os magnetizou, desaparece a 
magnetização adquirida devido ao desalinhamento dos planos de giro dos elétrons – 
os planos voltam às suas posições primitivas. 
Esta teoria, nos dias atuais, está substituída e / ou complementada pela chamada 
teoria dos “domínios magnéticos”. Seu entendimento exige, no entanto, um 
conhecimento mais aprofundado da teoria atômica. E foge do escopo deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
10. Aplicações dos ímãs 
 
A aplicação do magnetismo produzido pelos ímãs ocorre em pequenos motores e 
geradores elétricos de CC, em alguns instrumentos de medida, como o 
quilowatthorametro tradicional, amperímetros e voltímetros para CC ou AC retificada. 
Também na separação de materiais Fe, NI, Co de outros não magnetizáveis, em 
bússolas para orientação – de uso nunca dispensado em aviões, navios e outros 
apesar de toda a modernidade tecnológica. 
Mais recentemente, em HDS de computador na movimentação / transporte de cargas 
de material ferroso em ambientes industriais etc. 
 
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O Eletromagnetismo 
 
 
01. O que é o eletromagnetismo ? 
 
O eletromagnetismo é o mesmo magnetismo apresentado pelos imãs só que, neste 
caso, é produzido pela corrente elétrica. Ou seja, quando os elétrons, que foram 
tornados livres, circularem de um ponto para outro de forma ordenada por um meio 
qualquer, um condutor, surge o “magnetismo elétrico”. 
 
02. Como ocorre o eletromagnetismo ? 
 
Sempre que uma corrente circular por um condutor, em torno dele e em toda a sua 
extensão, surgirá um campo magnético. E a força magnética deste campo é 
diretamente proporcional ao valor da corrente – quanto maior o módulo da corrente 
mais intenso é o campo magnético produzido. Além disso, havendo variação da 
corrente por qualquer motivo, também ocorrerá igual variação da intensidade do 
campo magnético. 
Este campo é formado por linhas de força que “giram” em posição transversal em 
torno do condutor. E à semelhança do campo de um ímã, quanto mais distante da 
superfície do fio, mais fraco será o campo magnético. 
 
A força magnética produzida por uma corrente condizente com a secção de um 
condutor é pequena e, por isso, de aplicação muito reduzida. Entretanto, enrolando-
se o fio no formato de bobina, o campo em torno de cada volta de fio se multiplicará 
pela quantidade de voltas de fio, produzindo uma força magnética bem maior. 
A bobina feita de fio condutor “enrolado” – a palavra técnica adequada é fio ou 
condutor bobinado – é, portanto, uma peça eletromagnética que apresentará as 
mesmas propriedades do ímã: basta que nela se aplique uma tensão e circule uma 
corrente. Seu nome técnico é solenóide. 
Cada volta de fio de uma bobina, de um solenóide, é denominada espira. 
 
03. Vantagem imediata da bobina, do solenóide 
 
A força magnética descoberta em torno do fio condutor foi tornada maior com a 
construção da bobina, seja ela de muitas ou poucas espiras. Agora, regulando-se a 
tensão aplicada, logo regulando a corrente, se obtém uma variação e um controle 
do campo magnético não disponível com o uso dos ímãs. Tal fato levou o uso das 
propriedades do magnetismo muito além das possibilidades limitadas dos ímãs. 
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Obviamente, a utilização de correntes de módulos variáveis deve ser compatível com 
a capacidade dos fios condutores empregados. 
 
04. A bobina e suas propriedades 
 
As figuras seguintes são uma espira e uma bobina, um solenóide, alimentadas por 
uma ECC circulando, daí, uma ICC. 
 
Nas faces circulares da espira e da bobina surgirão os pólos magnéticos: um Norte e 
um pólo Sul. Logo, em torno da bobina e de forma transversal ao enrolamento do fio, 
se estabelecerá o campo magnético com suas linhas de força. Exatamente na 
metade do comprimento da bobina – na metade da distância entre os dois pólos - 
estará a já conhecida linha Neutra. 
Genericamente usa-se, também, o termo eletro-ímã para identificar uma bobina. 
 
05. Polaridade magnética - Regra da mão esquerda – (sentido real da corrente) 
 
A posição dos pólos pode ser encontrada com o uso de uma bússola ou com o auxílio 
da mão esquerda: os quatro dedos da mão, do indicador ao minguinho, devem 
“abraçar” a bobina em acordo ao sentido da corrente que por ela circula; o dedo 
polegar aberto em ângulo de 90° com o indicador, indicará a face de “saída” das 
linhas de força do solenóide, ou seja, o pólo Norte. 
Para um condutor, os dedos da mão e o polegar devem ter sua função invertida 
 
Invertendo-se a polaridade da tensão aplicada inverte-se, também, o sentido da 
corrente e a posição dos pólos magnéticos. O mesmo ocorrerá se houver a inversão 
na ligação das duas extremidades de fio da bobina. Os dedos da mão esquerda que 
abraçam a bobina devem inverter sua posição “de abraço”, o que fará o polegar 
indicar o pólo Norte na outra face do solenóide. 
Alimentando-se a bobina com tensão alternada, sua polaridade magnética se 
inverterá sistematicamente na mesma velocidade da inversão da polaridade da 
tensão e do sentido da corrente. 
Convém salientar que a regra da mão, originalmente, usava a mão direita já que, na 
época da sua criação, o sentido da corrente pelos condutores era o convencional. Foi 
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inventada por Fleming e é denominada Regra de Fleming ou Regra da mão direita. A 
troca do sentido da corrente de convencional para real ou eletrônico exigiu a troca da 
mão direita pela esquerda. 
 
06. Conversão da energia eletromagnética 
 
No campo da Eletrotécnica, com o uso dos eletro-ímãs, se busca o chamado fluxo 
magnético – conjunto determinado de linhas de força. A partir dele se obterá força 
motora e tensão Assim funcionarão eletro-válvulas, eletro-freios diversos, 
alternadores e dínamos, motores elétricos, transformadores, reatores de lâmpadas 
fluorescentes e outras, interruptores eletromagnéticos os mais diversos, como os 
reconhecidos contatores, cigarras e campainhas, fechaduras elétricas, instrumentos 
de medição etc, etc. 
 
07. As grandezas básicas do eletromagnetismo 
 
07.1. Fluxo magnético 
 
A quantidade total de linhas de forçaproduzidas por uma bobina ou por um ímã é 
denominada fluxo magnético. É representado por: 
 
 Φ (letra grega “fi”, maiúscula) tendo por unidade o Weber - (Wb) 
 
Um fluxo magnético de 1 Wb contém, por definição, 100.000.000 – cem milhões - de 
linhas de força. Sendo as linhas de força invisíveis, somente se reconhecerá sua 
existência através de um efeito mensurável: 
 
Uma espira de fio é colocada “dentro” de um campo magnético criado por uma 
bobina alimentada por uma tensão / corrente variável: 
 
Quando este campo variar de uma quantidade de linhas existentes para 
zero linhas, em um segundo e ”fizer nascer” uma tensão de 1 volt na espira, aí 
ele terá variado de 1 Weber para zero. 
 
Obviamente, o mesmo vale para uma variação de zero para cem milhões de linhas. 
 
Numa bobina, o fluxo magnético será produzido pela força magneto-motriz. 
 
07.2. Força Magneto-motriz 
 
Da parceria bobina mais corrente elétrica vem a chamada 
 
 Força Magneto-motriz ............representação: fmm 
 unidade: Ampère . espira (Ae) 
 
Obs.: Em alguns livros a fmm é identificada por F. 
 
O nome estabelece, claramente, que a força magnética capaz de produzir fluxo 
magnético ou movimento motor é diretamente proporcional ao módulo da corrente – 
é ela que produz o campo magnético - e, também, diretamente proporcional à 
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quantidade de espiras da bobina. Duas espiras produzem o dobro da força 
magnética de uma espira etc. A partir daí tem-se a fórmula: 
 
fmm = I . N ou, na forma mais usada, fmm = N . I 
 sendo I o módulo da corrente (A) 
 e N = quantidade de espiras(e) 
 
Um exemplo: Uma bobina tem 300 espiras e por ela circula 0, 2 A. Qual sua fmm ? 
 
 fmm = N . I = 300 x 0,2 fmm = 60 Ae 
 
Uma outra bobina (ou outras) será capaz de produzir igual força magneto-motriz, 
tendo diferente quantidade de espiras e diferentes correntes. Igualmente, poderá ter 
forma construtiva diferente. Basta que seu produto ampère x espira seja igual. 
 
Usualmente, uma bobina será utilizada em conjunto com um núcleo ferroso pois, 
desta forma, se poderá obter fluxos magnéticos mais intensos do que se usando o 
ar como condutor de linhas de força. 
 
Obs.: É importante detalhar, neste ponto, como os diferentes elementos químicos, 
materiais / substâncias reagem quando submetidos a um campo magnético criado por 
uma bobina. Lembrar: num primeiro enfoque ficou estabelecido que o magnetismo 
envolve apenas FeNiCo e alguns “Terras Raras”. 
 
Baseado nesta premissa o ar, o vácuo e os não FeNiCo “mostram não perceber” as 
linhas de força de um campo, de um fluxo magnético. Não o tornam mais intenso. 
Não produzem um aumento no número de linhas de força. Daí serem considerados 
maus condutores de linhas de força, de fluxo magnético. Porém, examinados 
com mais cuidado técnico percebe-se, entre alguns elementos químicos, uma ligeira 
diferença quanto à percepção das linhas de força. Daí, faz-se uma diferenciação: 
 
a) Materiais diamagnéticos: são os que dificultam levemente a passagem das 
linhas de força, comparados com o vácuo. Cobre, prata, hidrogênio, chumbo, 
vidro, mercúrio e água são exemplos. Entram, neste grupo, algumas ligas 
metálicas como o latão (cobre + zinco). Lâminas de latão ou cobre são usadas 
em algumas máquinas elétricas como forma de “ajustar” a intensidade do fluxo 
magnético produzido, diminuindo seu valor para valores pretendidos. 
b) Materiais paramagnéticos: são os que fazem crescer ligeiramente o fluxo 
magnético criado pela bobina se comparados, também com o vácuo. São 
exemplos o ar, o oxigênio, o manganês, o cromo, a platina e o alumínio. 
c) Materiais ferromagnéticos: são os aumentam significativamente a 
quantidade de linhas de força produzidas pela bobina, ou seja, o fluxo 
magnético. Estão no grupo os FeNiCo e mais alguns “Terras Raras”. Por esta 
qualidade são reconhecidos como bons condutores de linhas de força. 
 
Fugindo do detalhe técnico mencionado em a) e b) considere-se, para fins práticos, 
que os ferromagnéticos são muito bons condutores de linha de força – reforçam, 
amplificam o fluxo magnético. Os demais são maus condutores para o fluxo. 
Considere-se, ainda, que o ar e o vácuo têm comportamento igual, ambos como 
maus condutores. 
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07.3. Intensidade de Campo Magnético ou Força Magnetizante 
 
A Força magnetizante ou Intensidade de campo magnético é a quantidade de 
força magneto motriz disponível para criar um campo magnético em cada metro de 
comprimento do circuito magnético. 
 
É representada por H tendo como unidade o Ae / m 
 
É calculada pela fórmula: H = fmm sendo ℓ (letra “ele” minúscula manuscrita) 
 ℓ o comprimento do circuito magnético 
 
Assim, diferentes comprimentos de bobina que produzam igual força magneto- motriz 
apresentarão diferentes forças magnetizantes (diferentes intensidades de campo). 
Tome-se como exemplo três bobinas de 200 espiras cada. 
 BobinaA = 0, 05 m BobinaB = 0, 10 m BobinaC = 0, 20 m 
A corrente circulante é a mesma: 0, 2 A. Logo, a força magneto-motriz é a mesma 
para as três: 
 fmm = N . I = 200 x 0, 2 A = 40 Ae 
Levando em conta os diferentes comprimentos, as forças magnetizantes serão: 
 
 Bobina A: .......HA = 40 Ae/ 0, 05 m = 800 Ae / m 
 Bobina B: ..............HB = 40 Ae / 0, 10 m = 400 Ae / m 
 Bobina C: .....................HC = 40 Ae / 0, 20 m = 200 Ae / m 
 
Fica bem visível que a concentração da força magneto-motriz torna a força 
magnetizante mais intensa. Ou, em outras palavras, quanto “mais espalhado” ou, no 
caso, “mais esticado” estiver o campo magnético, menor será a sua capacidade de 
produzir conversões em outras formas de energia. 
Se as bobinas forem montadas num núcleo de material ferroso, se repetirá a lógica 
anterior quanto à força magnetizante: ela se reduzirá na medida em que o 
comprimento médio do circuito for maior. Tome-se a bobina B como exemplo 
montando-a em dois núcleos ferrosos diferentes. Veja os desenhos: 
 
 
 
As forças magnetizantes serão: 
 Eletro-ímã A HA = fmm / ℓ = 40 / 0,16 HA = 250 Ae / m 
 Eletro-ímã B HB = fmm / ℓ = 40 / 0, 40 HB = 100 Ae / m 
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A diferença notável entre os dois casos, sem e com núcleo ferroso, é que com o 
núcleo ferroso o fluxo magnético circulante será muito mais intenso, circularão muito 
mais linhas de força, do que resultará um aproveitamento muito maior das qualidades 
magnéticas com o eletro-ímã com FeNiCo. 
Num outro enfoque, com comprimentos médios diferentes nos circuito magnéticos, 
pode-se obter a mesma força magnetizante. Logicamente, deverão existir forças 
magneto-motriz diferentes. Vamos usar os mesmos núcleos ferrosos anteriores 
porém com bobinas e correntes diferentes: 
 
Eletro-ímã A: 
50 espiras com 0, 4 A ; ℓMédio = 0, 16 m.......HA = 50 x 0, 4 / 0, 16 HA = 125 Ae / m 
Eletro-ímã B: 
250 espiras com 0, 2 A ; ℓMédio = 0, 40 m.. ..HB = 250 x 0, 2 / 0, 40 HB = 125 Ae / mEste conhecimento facilita o entendimento das razões que levam diferentes circuitos 
magnéticos – dimensões, módulos de corrente e número de espiras diversas – a 
apresentarem igual força magnetizante. Em outras palavras, a partir da mesma 
intensidade de campo magnético ou força magnetizante pode-se comparar e 
entender a diversidade das outras características: comprimento do núcleo ferroso, 
módulo da corrente e quantidade de espiras da bobina. 
 
07.4. Relutância magnética 
 
A dificuldade que os materiais / substâncias apresentam para a circulação das 
linhas de força, isto é, para a movimentação do fluxo magnético, é denominada 
relutância magnética. À semelhança da resistência elétrica, quanto menor a 
relutância magnética maior poderá ser o fluxo magnético. 
 
A sua representação é pela letra R sendo sua unidade Ae / Wb 
 
Já é sabido que os materiais / substâncias não FeNiCo são maus condutores de fluxo 
magnético, de linhas de força. Portanto tem elevada relutância magnética. 
Os ferromagnéticos, os FeNiCo, têm baixíssima relutância magnética. 
Enquanto que um caminho pelo ar pode ter relutância na casa dos milhares / milhões 
de Ae / Wb, o mesmo caminho por materiais magnéticos terá relutância na casa dos 
milésimos / milionésimos de Ae/ Wb. 
Se o fluxo magnético “puder escolher seu caminho”, sempre buscará os materiais 
magnéticos. Veja os desenhos que seguem: 
 
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Também é muito relevante entender que um fluxo magnético criado num material 
ferroso, ao ser obrigado a circular por um espaço de ar (não FeNiCo), não diminuirá 
sua quantidade de linhas circulantes no ar – apenas, a concentração havida no 
FeNiCo é que se modificará, “espalhando-se” aquela quantidade de linhas por um 
espaço muito maior, no caso, de ar. A quantidade de linhas por unidade de área é 
que ficará reduzida. 
Entenda-se, também o significado expresso na unidade Ae/ Wb: sendo o caminho 
magnético de relutância elevada, serão necessários muitos Ae para se fazer circular 
um Weber de fluxo magnético. 
 
Os diversos materiais magnéticos apresentam relutância diferente entre eles.. Tal fato 
está vinculado às suas composições químicas e físicas próprias e ao comprimento e 
à secção das partes que compõem o circuito magnético. Recorde-se a semelhança 
das variáveis com a resistência e a resistividade elétrica. A relutância tem uma 
fórmula de cálculo: 
 
 R = __ℓ __ sendo: ℓ o comprimento do material (m) 
 μ . S μ a permeabilidade magnética do material (Tesla . m / Ae) 
 S a secção do material (m2) 
 
Na sequência do assunto se abordará a chamada permeabilidade magnética. 
 
Reunindo as três grandezas apresentadas até o momento, fluxo magnético, força 
magneto-motriz e relutância, pode-se formular a chamada Lei de Ohm do 
eletromagnetismo, que estabelece: “O fluxo magnético que se manifesta num meio 
magnético é diretamente proporcional ao módulo da força magneto-motriz e 
inversamente proporcional ao módulo da relutância magnética”. E vem a fórmula: 
 
 Φ = fmm / R sendo: Φ (Wb), fmm (Ae), R (Ae / Wb) 
 
Exemplificando um caso: 
 
Por uma bobina com 500 espiras circulam 0, 5 A. A relutância do meio magnético é 
igual a 2 x 106 Ae / Wb. Qual o fluxo magnético que se estabelecerá ? Sabendo que 1 
Wb está definido como tendo cem milhões de linhas de força, quantas linhas se 
estabelecerão ? 
 
 Φ = fmm / R = (500 x 0, 5) / 2. 000. 000 ...... Φ = 0, 000 125 Wb ou 
 Φ = 125 μWb 
 
A quantidade de linhas será: 100. 000. 000 x 0, 000125 = 12. 500 linhas de força 
 
Os circuitos magnéticos são construídos, na sua imensa maioria, com os materiais 
ferromagnéticos buscando-se conduzir fluxos magnéticos intensos. Porém, também 
na maioria deles, há um ou mais espaços de ar entre os FeNiCo: os chamados entre-
ferro. Neste vazios ferrosos o fluxo magnético se espalha, deixa de estar 
concentrado e passa a ocupar uma área bem maior do que no ferro. Gera-se uma 
perda de energia / potência que deve ser compensada por um adicional de força 
magneto-motriz produzida pela bobina. 
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A relutância magnética do conjunto ferro + entre-ferro(s) deve ser considerada como 
um circuito elétrico série de diversos resistores. Determinam-se as relutâncias 
parciais e, após, faz-se seu somatório encontrando a relutância total, do conjunto. 
Sem pretender fazer cálculos – não é este o objetivo deste trabalho – pode-se 
comprovar que a força magneto-motriz para conduzir determinado fluxo por um entre-
ferro de um centímetro (1 cm) equivale a, aproximadamente, 80 % da força magneto-
motriz necessária para conduzir o mesmo fluxo pelo ferromagnético. 
É, pois, muito importante ter entre-ferros tão pequenos quanto possível nos 
circuitos magnéticos. 
 
 
 
Outra perda magnética a ser referenciada é a quantidade de linhas de força que se 
dispersam, na maioria, em torno da bobina e fora do ferromagnético. A figura anterior, 
bem à esquerda, mostra o fluxo de dispersão. Sua determinação é bastante 
complicada. O que se faz, de forma simples e prática, é compensar estas perdas pelo 
acréscimo de até 20 % no fluxo objetivado. Daí resultará um acréscimo igual na força 
magneto-motriz ou na secção magnética do ferromagnético utilizado. 
 
07. 5. Densidade ou Indução magnética 
 
Densidade ou Indução magnética é a quantidade de linhas de força existentes 
em cada unidade de área do material / substância. Ou seja, é uma fração do fluxo 
magnético que está contido em cada metro quadrado da secção total. 
 
Sua representação é B sua unidade é Tesla (T) e se define numericamente 
 
por B = Φ / S sendo Φ o fluxo magnético em Wb 
 e S a secção do caminho magnético em m2 
 
Fica claro que se terá 1 Tesla quando 1 Wb ocupar 1 m2 de secção no meio 
magnético. Ou seja, quando 100. 000. 000 (cem milhões) de linhas de força forem 
concentradas em 1 m2 de material magnético. 
É prático usar-se a densidade ou indução magnética como forma de comparar 
circuitos magnéticos de dimensões diferentes. Examine-se o exemplo: 
 
Dois núcleos ferrosos de secção retangular, o N1 e o N2, estão submetidos a dois 
fluxos: o N1 com 1, 2 Wb e o N2 com 2, 0 Wb. 
 14 
 
O núcleo N1 mede (0, 020 x 0, 015)m; .......Daí... S1 = 0, 020 x 0, 015 = 0, 030 m
2 
O núcleo N2 mede (0, 020 x 0, 025) m; .........Daí... S2 = 0, 020 x 0, 025 m = 0,050 m
2 
 
A densidade será: núcleo N1...... B1 = Φ / S1 = 1, 2 / 0, 030 ........B1 = 4. 000 Tesla 
 N2 ......B2 = Φ / S2 = 2, 0 / 0, 050 ...........B2 = 4. 000 Tesla 
 
Avaliados pela densidade magnética facilmente se verifica que ambos os núcleos, 
mesmo que tenham dimensões e contenham fluxos diferentes, possuem a mesma 
quantidade de linhas de força por unidade de área. 
A densidade ou indução magnética também servirá de indicador limite da quantidade 
de linhas de força por unidade de área estabelecida para os diferentes materiais 
ferromagnéticos normalmente usados. Este limite é denominado densidade ou 
indução máxima - BMÀX. 
 
É relevante destacar, neste momento do estudo, um enfoque mais técnico nem 
sempre considerado. 
Já se fez, neste trabalho, a referência de que os materiais ferromagnéticos são muito 
bons condutores de linhas de força, têm baixa relutância e / ou elevada 
permeabilidade magnética, ao contrário do ar, do vácuo e de outros não magnéticos. 
Para fins de facilitaçãono aprendizado do eletromagnetismo, a afirmação citada é 
cabível, perfeitamente aceitável e será renovada quando necessário. Entretanto, o 
que ocorre, em verdade, é que um campo magnético produzido por uma bobina 
montada sobre um material ferromagnético induz, faz “nascer”, neste FeNiCo, um 
novo campo magnético. Este novo campo, gerado no material ferroso, é mais 
intenso e se sobrepõe àquele produzido pela bobina, caracterizando-se, então, num 
reforço, numa amplificação do campo da bobina. É como se o núcleo FeNiCo fosse 
substituído por uma segunda bobina colocada dentro da primeira. Esta segunda 
bobina produziria, ativada pela primeira, um fluxo magnético bem mais intenso do que 
resultaria o reforço, a amplificação magnética conhecida. 
 
07.6. Permeabilidade magnética 
 
A permeabilidade magnética é a qualidade que os materiais apresentam para 
conduzir e, no caso dos FeNiCo, concentrar, reforçar o fluxo magnético. É um 
número obtido através da relação entre a densidade ou indução magnética com a 
força magnetizante ou intensidade de campo magnético.É representada por 
 
 μ – (letra grega “mi”, minúscula); unidade: Wb / Ae . m; A relação é: μ = B / H 
 
A permeabilidade magnética é uma grandeza característica própria de cada material. 
Tem semelhança com a resistividade elétrica dos condutores de corrente elétrica. 
Para o ar, os gases em geral e os não FeNiCo, seu valor é a unidade, isto é, μ = 1. 
Entenda-se, como já foi abordado, que estes materiais / substâncias não produzem 
nenhum reforço na quantidade de linhas de força produzidas pela bobina. 
Para os ferromagnéticos, os FeNiCo, a permeabilidade alcança valores variáveis de 
30 a mais de 6. 000 Wb / Ae . m. 
Os valores de permeabilidade obtidos pela relação mostrada geralmente são obtidos 
a partir de curvas de magnetização elaboradas para os diversos ferromagnéticos. 
 15 
 
 
Como mostram as curvas, a densidade magnética apresenta variações não 
constantes, nem sempre lineares, com o crescimento da força magnetizante 
produzida pela bobina. Isto impede o uso generalizado da fórmula a partir de valores 
conhecidos de força magnetizante e de permeabilidade. 
As propriedades magnéticas dos FeNiCo variam não só pela sua composição química 
como, também, pelas suas características físicas. Os processos de fabricação das 
peças magnéticas envolvem conformação mecânica a quente ou a frio – laminação, 
forjamento, estiramento - diversos tipos de tratamentos térmicos – têmpera, 
revenimento, recozimento etc, todos alterando a estrutura cristalina dos FeNiCo. 
Também é conhecido que o aumento da temperatura produz um enfraquecimento, 
um empobrecimento, das qualidades magnéticas – na média das composições físico-
químicas mais utilizadas, acima de 750° C, os ferromagnéticos perdem seu 
magnetismo. 
Todos esses fatores trazem, como consequência, variações nas propriedades 
magnéticas e dificuldades nos cálculos, não só da permeabilidade magnética, como 
do eletromagnetismo da parceria bobina + ferro 
 
08. Histerese magnética 
 
Histerese magnética é um atraso na desorientação dos ímãs moleculares que 
ocorre quando se faz a desmagnetização de um material ferromagnético 
previamente magnetizado. 
Esta conclusão é visível a partir de um ensaio cujos dados são levados a um 
diagrama a ser construído com a força magnetizante H na abcissa e a densidade 
magnética B na ordenada. Obviamente a força magnetizante será obtida pela força 
magneto-motriz produzida por uma bobina. 
Entenda-se, ainda: por razões didáticas, ao invés de se fazer referência a aumentos 
ou reduções da densidade magnética durante o processo, se descreverá o conjunto 
de linhas por metro quadrado da densidade como sendo um conjunto de ímãs 
moleculares da teoria explicativa de Weber-Ewing. 
 
Colocado o FeNiCo como núcleo de uma bobina ligada a uma CC, faz-se a 
magnetização aumentando lentamente a corrente, logo a força magnetizante. Na 
medida em que H cresce também cresce a densidade B. 
Acompanhe o andamento do ensaio examinando a curva que segue: 
 
 16 
 
Os ímãs moleculares (B) vão se orientando numa determinada quantidade para cada 
aumento da corrente / força magnetizante. Estes acréscimos de ìmãs moleculares 
orientados podem seguir linearmente ou conforme uma curva – as características 
físico – químicas do FeNiCo é que determinarão este comportamento. É certo que a 
partir de um ponto os acréscimos de ímãs moleculares orientados serão cada vez 
mais reduzidos. Até que não haverá mais acréscimos, ou seja, não há mais ímãs 
moleculares a serem orientados. Diz-se que o ferromagnético “saturou” - “não cabem 
mais linhas de força”. Qualquer novo aumento de corrente / força magnetizante fará 
apenas a bobina aquecer sem aumentar o magnetismo no material. 
Começa-se, então a desmagnetização, pela lenta redução da corrente / força 
magnetizante. Aí se observa que a quantidade de ímãs moleculares que se 
desorienta é menor, para cada redução da força magnetizante, comparado à fase de 
magnetização. Há, portanto, um atraso na desmagnetização do material. 
Cessada a força magnetizante, ainda ficam ímãs moleculares orientados. Ou seja, o 
material ficou magnetizado, se transformou num ímã. Esta magnetização 
denominada residual ou remanente ou remanescente e, também, chamada 
retentividade, poderá permanecer por um tempo curto ou longo, até muuuuiiiiito 
longo - (ímãs permanentes). Tudo dependerá das características físico-químicas do 
material. 
O atraso na desorientação dos ímãs moleculares, ocorrido na desmagnetização, é 
denominado histerese o que, em grego, significa atraso. 
As curvas adiante compõem o chamado laço de histerese. 
 
 17 
No 1º quadrante se mostra o que foi descrito. “Leia” o gráfico seguindo o texto. 
A curva tracejada, 1, é a da primeira magnetização. S1 indica o ponto de saturação 
na primeira magnetização. A curva cheia 2 é a da primeira desmagnetização sendo 
R1, na ordenada de B, a indicação do nível de remanência atingido. Perceba-se o 
atraso havido na desmagnetização 
No 3º quadrante, se inicia nova magnetização com o sentido da corrente invertido, 
logo, polaridade da bobina trocada. A remagnetização não se dá de imediato pois a 
força magnetizante deve eliminar, primeiro, o magnetismo residual anterior. F1 indica 
o nível da força coercitiva que teve de ser vencida. A partir do ponto F1 começa, 
então, a remagnetização efetiva no ferro, mostrada pela curva cheia 3. A curva cheia 
4 mostra a segunda desmagnetização onde o ponto R2 indica o nível do magnetismo 
remanente. Perceba-se que tem o mesmo valor de densidade magnética da primeira 
desmagnetização. 
A partir daí se faz nova remagnetização para completar o chamado ciclo de histerese 
– ver a curva cheia 5. Destaque-se o ponto F2 que mostra igual força coercitiva da 
primeira remagnetização. 
 
Cada ferromagnético, com sua composição físico-química particular, terá o seu laço 
de histerese. Nas figuras adiante, estão representadas três laços como exemplo de 
materiais ferromagnéticos diferentes 
 
a) a primeira, um “aço especial”, que pode servir como ímã permanente; exige 
maior força magnetizante, inclusive para atingir a saturação; tem histerese 
mais alta logo, também alta remanência, além de ter maior força coercitiva o 
que dificulta a desmagnetização. 
b) a segunda, de aço de baixo teor de carbono, chamado “aço doce”, típico de um 
ferroso comum usado como ímã temporário; magnetiza-se com facilidade, tem 
baixíssima histerese, também pequeno magnetismo residual, satura com 
menor força magnetizante – comparado ao caso anterior; ainda, pelo residual 
baixo tem pequena força coercitiva. 
c) a terceira, típica de um aço especial semelhante ao AlNiCo (aço de teor mais 
alto de carbono, contendo cobalto, níquel e alumínio) muito bompara ímãs 
permanentes; exige elevada força magnetizante, tem elevada histerese e 
elevado residual magnético; portanto, tem grande força coercitiva. 
 
O fenômeno histerese é um problema a ser controlado de forma eficaz quando se usa 
o eletromagnetismo – bobina + ferro – nas máquinas e outros equipamentos 
alimentados por tensão / corrente alternada. A constante inversão de polaridade da 
 18 
tensão / inversão de sentido da corrente, introduz uma perda de energia, de potência 
face à necessidade de se eliminar o magnetismo residual a cada remagnetização 
com polaridade trocada. Assim, devem-se buscar ferromagnéticos que apresentem 
baixa histerese logo, baixa remanência e, também, pequena força coercitiva. 
Usualmente são usados lâminas dos chamados aço ao silício – mais conhecidos 
como ferro silício – com teores de 1 a 3 %, as vezes até 5 %, de silício na sua 
composição. Também são feitos tratamentos térmicos mais especiais que garantirão 
melhor estrutura cristalina para o desempenho destes ferromagnéticos em CA. 
 
09. Processos de imantação e desimantação dos ferromagnéticos 
 
09. 1. Imantar ou magnetizar um material ferroso pode ser feito de três formas; 
 
a) Por contato físico direto com um dos pólos de um ímã permanente; 
b) Por indução, com o uso de um ímã permanente – lembrar: a indução ocorrerá 
quando o objeto ferroso for colocado “dentro” do campo magnético do ímã; 
c) Por indução, colocando o ferroso “dentro” do campo magnético criado por um 
solenóide, uma bobina, preferencialmente alimentada por tensão contínua. 
 
O magnetismo pode ou não permanecer no corpo ferroso. Como já foi estudado, esta 
definição fica por conta da composição físico-química do ferroso. 
Também vale lembrar que não há necessidade de “esfregar” o ímã no corpo ferroso, 
como se “diz por aí”. Basta colocar o ferroso “dentro” do campo magnético do ímã ou 
eletro-ímã. Acrescente-se que quanto mais próximo dos pólos ou quanto mais intenso 
for o campo do ímã, melhor poderá ser a imantação obtida. Também vale lembrar que 
uma fraca imantação obtida pode ser resultado das limitações do corpo ferroso, 
inclusive quanto à sua saturação. 
 
Em áreas de manutenção - oficinas-automotiva e outras - é comum que se imante, 
por necessidades próprias, uma chave de fenda. O processo é rudimentar e bastante 
simples. Fazem-se algumas espiras de um fio condutor isolado em torno da chave de 
fenda e fecha-se um rápido circuito nos terminais de uma bateria automotiva. A 
corrente é alta – a R do fio é muito baixa – o que favorece o objetivo. Está imantada a 
chave de fenda. 
 
09. 2. Desimantar ou desmagnetizar um ímã também pode ser feito de três formas: 
 
a) Por choques mecânicos, batidas, pancadas. “Bater com o ímã ou bater no 
ímã”. A agitação molecular transmitida para dentro do material pode produzir o 
desarranjo dos ímãs moleculares de forma a desimantá-lo. Não é um 
procedimento eficaz, ou seja, traz poucos resultados. Por outro lado, como 
ímãs são materiais muito duros, “secos”, corre-se o risco de quebrá-los. 
b) Colocando-o “dentro” de um campo magnético produzido por uma bobina 
alimentada por tensão alternada. Para se obter a desimantação, o ímã deve 
ser lentamente afastado da ação do campo da bobina. Lembre que a força 
magnetizante H irá diminuindo na medida em que o ímã é retirado. Também 
pode –se reduzir a tensão / corrente lentamente, desde que se disponha deste 
recurso, mantendo o ímã sem movimento. 
c) Por aquecimento do ímã em temperatura acima de ± 750° C. Este valor é uma 
referência média em função dos aços comumente utilizados. Aquecer aços em 
 19 
temperaturas como a indicada não produz nenhum dano físico ao material 
ferromagnético. Ele poderia ser re-imantado sem maiores problemas. 
 
10. 0. O Ponto Curie 
 
O Ponto Curie é um nível de temperatura a partir da qual cada ferromagnético perde 
suas propriedades magnéticas. Esta temperatura varia em acordo às diferentes 
composições químicas dos FeNiCo. Para que se tenha uma informação referencial 
estão indicadas a seguir os valores em °C do Ponto Curie para quatro casos 
relevantes: 
 a) Magnetita; 585° C ; b) Ferro: 770° C : 
 c) Níquel: 358° C: d) Cobalto: 1.140° C 
 
“Misturados” a outros elementos químicos, perde-se o valor referencial individual. A 
obtenção do Ponto Curie da liga ferrosa deverá ser por ensaio real. 
 
11. 0. Informações complemetares úteis 
 
a) Não há um isolante magnético conhecido. Qualquer fluxo confinado a um 
material ferroso envolverá alguma dispersão de linhas de força. 
b) A blindagem magnética existe pois se pode desviar um fluxo magnético por 
um ferromagnético de formato adequado e secção adequados. Os relógios de 
“ver horas”, antimagnéticos, usam um anel ferroso em torno do seu mecanismo 
como meio de desviar fluxos magnéticos. 
 
 
c) Os solenóides – palavra sinônima de bobina – podem ser utilizados com 
núcleos ferrosos móveis para fins de movimentação mecânica em eletro-
válvulas que abrem / fecham a circulação de fluídos diversos. E mantém a 
denominação “solenóide” mesmo com o núcleo ferromagnético. 
d) A maioria dos solenóides usados em eletro-válvulas tem núcleo ferroso de 
formato cilíndrico. 
e) Há solenóides com núcleos ferrosos móveis que possuem elevada força de 
tração. Além do movimento mecânico mais exigente, ao final de seu curso, 
devem fechar contatos de um circuito elétrico de corrente elevada; logo, bem 
pressionados. Nesta condição de trabalho, tem a extremidade interna do seu 
núcleo com assentamento cônico, o que lhe permite uma força magneto-
mecânica final maior. Mantém, também o termo “solenóide”. 
 20 
f) Há diversos acionadores de contatos elétricos, também de funcionamento 
eletromagnético. São conhecidos por relés, quando abrem-fecham circuitos 
de pequenas correntes e contatores, quando as correntes são de maior 
módulo e de uso mais industrial, com instalações trifásicas. 
 
 
 
 
 
g) O termo eletro-ímã é de uso geral. Todavia se aplica bastante para denominar 
os ímãs elétricos usados na movimentação de diversas cargas de material 
ferroso, bem como em sistemas de frenagem de elevadores, guinchos e outras 
máquinas pesadas. 
h) Os eletro-ímãs “mais fortes” (para a movimentação de cargas) tem núcleos 
ferromagnéticos de grande secção e pequeno comprimento. Linhas de força 
curtas. Assim, conseguem concentrar melhor a força magnética. 
 
 
 21 
i) Duas bobinas interligadas podem produzir campos magnéticos que se 
somarão ou que se subtrairão – se forem de mesma intensidade, ou a 
duplicam ou a anulam. O resultado final dependerá da forma como forem 
interligadas (lembrar regra da mão esquerda para determinar a polaridade 
magnética). 
 
 
 
j) Intensidades maiores de força mecânica a partir do eletromagnetismo são 
obtidas com o uso da tensão / corrente contínua. 
 
k) Nos dias de hoje há disponíveis ímãs permanentes para a movimentação de 
cargas com capacidades que chegam a 500 Kg. 
 
 
l) O ferrite é um não magnético que possui as mesmas propriedades dos 
ferromagnéticos. É um tipo de cerâmico cuja permeabilidade magnética está 
situada entre 50 e 3.000. Logo, é um bom condutor de linhas de força. É mais 
empregado em transformadores de rádio-freqüencia. 
 
__________________________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
Geração de Tensão por Magnetismo 
 
01. A Geração com Máquinas Girantes 
 
Um condutor “cortando” as linhas de força de um campo magnético é o princípio 
usado para as gerações de tensão em alternadores e dínamos. Para que o 
movimento do condutor ou eletro-ímã (ou ímã) possa ser mecanicamenteadequado e 
simples de ser executado, usa-se fixá-lo a um eixo apoiado por mancais. Logo, o 
movimento será giratório. 
 
02. Geração de Tensão Alternada Senoidal 
 
Para facilitar o entendimento, será usado um ímã fixo e um condutor (apenas um lado 
da espira do 1° desenho). E com este condutor, se dará uma volta dentro do campo 
magnético do 2° conjunto de desenhos. O giro é para a direita ou sentido horário. 
As linhas tracejadas são as linhas de força indo do pólo Norte para o Sul do ímã. As 
posições indicadas A e C correspondem ao movimento do fio um pouco antes até 
um pouco depois dos ângulos 0°, 180° e 360° (= 0°), respectivamente. Já as 
posições B e D são relativas ao movimento do fio em torno dos ângulos 90° e 
270°. 
Os gráficos mostram um conjunto de valores diferentes de tensão gerada – valores 
instantâneos - cada um correspondente a um ângulo em que o fio se encontra 
naquele momento, quando gira de 0° até 90°. Estes valores instantâneos já estão 
reunidos pela linha nos demais intervalos de ângulos. 
 
 
 
Ao se movimentar em torno de 0°, o fio se desloca paralelamente às linhas de 
força; a tensão é zero, pois não há corte de linhas. Na medida em que o fio se 
movimenta e passa pelo ângulo 1°, 2°, 5°, 20° etc, passa a cortar cada vez mais 
linhas. Então gera tensão. E de módulo crescente. Em torno de 90° corta o maior 
número de linhas possíveis. O seu movimento é perpendicular às linhas de força. 
Atinge o módulo mais elevado de tensão – denominada tensão de pico ou tensão 
máxima. 
 23 
Deste ângulo até 180° o corte de linhas diminui cada vez mais – e a tensão também. 
Em torno dos 180° o movimento é novamente paralelo às linhas e a tensão é zero. 
De 180° até 270°, o corte de linhas aumenta novamente, o mesmo acontecendo com 
a tensão. Só que o movimento do fio é invertido em relação ao deslocamento 
inicial. No desenho, o fio “subia” e agora “desce”. Este fato inverte a polaridade da 
tensão gerada. Ou seja, se inverte o movimento de elétrons dentro do condutor – 
eles “sobram” na outra extremidade do fio. A representação no gráfico deve ser, 
agora, no 4° quadrante. As tensões instantâneas geradas terão os mesmos módulos 
do movimento anterior já que o campo magnético é uniforme. 
De 270° até 360° repetem-se as tensões instantâneas com a polaridade invertida. 
A regra dos três dedos da mão esquerda, posicionados em dois planos 
perpendiculares a 90° graus um do outro, demonstram a polaridade em cada metade 
do movimento. 
 
O indicador aponta o sentido das linhas de força, o polegar indica o movimento do 
condutor e a posição do dedo médio dará o sentido da corrente que poderá circular 
(sentido real da I). A partir dela se terá a posição do (–) e do (+) no condutor. 
Em cada extremidade do condutor é ligado um anel coletor (ver a espira do 1° 
desenho). Sobre estes anéis se apóia uma escova ou carvão. Fica, assim, 
construído um contato elétrico deslizante. A escova, colocada num suporte 
adequado, será um terminal elétrico fixo com a polaridade produzida pela espira. Na 
primeira meia volta analisada, a polaridade da espira que passa na frente do pólo 
Norte é (–). Na outra meia volta, quando passa na frente do pólo Sul, a polaridade é 
(+). Assim, a polaridade da tensão produzida no condutor se alterna. 
 
A tensão alternada também é senoidal. Todos os valores instantâneos gerados 
correspondem, para cada ângulo, aos valores da função seno da Matemática. A 
expressão: Einstant = B . L . v . sen α dá os valores. B é a densidade magnética, L o 
comprimento do condutor que corta as linhas, v a velocidade linear do fio e sen α o 
valor da função seno relativa ao ângulo formado com a direção das linhas de força. A 
partir dessa fórmula se deduz que um aumento do módulo da tensão pode ser 
obtido pela maior indução magnética, maior comprimento do condutor que corta 
as linhas (maior número de espiras) e pela maior velocidade do movimento. 
 
03. Geração de Tensão Contínua 
] 
Ao invés de ligar cada ponta do condutor num anel coletor diferente, liga-se cada 
ponta numa metade de anel, uma isolada da outra. 
 24 
 
 
O desenho mostra que uma das escovas se apoiará naquela metade do anel que 
está ligado ao fio que passa na frente do pólo Norte. Esta escova terá a polaridade (–
). A outra metade do anel está ligada no fio que passa na frente do pólo Sul e será 
(+). Na continuidade do giro, os fios passarão na frente dos pólos opostos. Como 
cada metade de anel gira junto com seu fio respectivo, aquele fio que agora passa na 
frente do Norte terá sua ponta (–). E a escova, apoiada nesta metade de anel, 
continuará (–). 
A outra, de forma similar, continuará sendo (+). Com estas metades de anel, 
denominadas coletor laminado ou comutador, se obtém da máquina tensão / 
corrente contínua. No caso CC “pulsante”. Com mais espiras montadas em 
posições diferentes, acompanhadas cada uma delas por um par de segmentos de 
anel, se tornará a CC pulsante numa CC praticamente “pura”. É o dínamo de uso 
industrial. Veja o desenho que segue: 
 
 
 
 
 
 
 25 
04. Detalhes relevantes da Tensão Alternada Senoidal 
 
O primeiro deles envolve o necessário conhecimento e clareza de que a tensão / 
corrente alternada não é feita de um único módulo ao longo de um ciclo ou de 
muitos ciclos, ou seja, ao longo da sua geração. A análise do funcionamento do 
alternador demonstrou que os módulos mudam a cada nova posição que a espira 
assume ao girar dentro do campo magnético. Por outro lado, de forma aparentemente 
contraditória, um instrumento, seja analógico ou digital, medirá uma tensão ou 
corrente indicando um valor estável, um único valor. Tal ocorre porque o trabalho 
elétrico médio ocorrido durante a medição é que movimentará o ponteiro ou 
será indicado pelo digital. E este trabalho, traduzido em valores de tensão ou 
corrente, será idêntico àquele feito por uma tensão / corrente contínua pura. 
Adiante será definida esta tensão / corrente CA, de efeito igual a uma CC pura. Sua 
denominação é tensão alternada eficaz ou RMS. 
04. 1. Ciclo é o conjunto de valores instantâneos que são gerados com o movimento 
do único condutor (ou única espira), desde 0° até 360°. É uma onda senoidal 
completa e sem repetição. Girando o condutor adiante dos 360°, haverá repetição da 
senoidal. 
 
04. 2. Frequência é a quantidade de ciclos que o alternador produz em cada 
segundo. É representada pela letra “efe”, minúscula - f - e tem como unidade o Hertz 
(Hz). Lembrar: 1 Hz é um ciclo por segundo. 
 
04. 3. Período é o tempo necessário para que o alternador produza um ciclo. É 
representado pela letra “tê” maiúscula – T – e tem como unidade o segundo (s). 
Frequência e período são um o inverso do outro. Daí pode-se escrever que: 
 
 f = 1 e T = 1 
 T f 
 
04. 4. Frequencímetro é o nome do instrumento que mede a frequência. Ele pode 
ser de palhetas ou digital. 
 
04. 5. Osciloscópio é o instrumento capaz de medir o período (em segundos). O 
inverso deste tempo será a frequência (em Hertz). 
 
04. 6. Tensão / corrente de pico ou máxima é o módulo mais alto de tensão / 
corrente possível de ser atingido com o alternador. Lembrando: este é o valor 
instantâneo em 90° e em 270° visto anteriormente com um condutor. Esta tensão é 
identificada por EP ou EMÀX e a corrente por IP
 ou IMÀX. 
 
04. 7. Tensão / corrente média é o valor resultante da média aritmética de diversos 
valores instantâneos gerados e considerados num semi-ciclo (meia onda). Este valor 
é 0, 636 do pico ou máximo - ou 63, 6 % do pico. Vale esclarecer que a média 
aritmética de uma tensão ou corrente considerando todo o ciclo é zero – os valores 
instantâneos são iguais em cada posição angular, porém com sinais diferentes. 
 
04. 8. Tensão/ corrente eficaz ou RMS é o valor resultante capaz de produzir o 
mesmo trabalho elétrico que uma tensão / corrente CC pura. Relembrar consideração 
 26 
já feita na página anterior. Seu valor é 0, 707 do pico ou máximo – ou 70, 7 % do 
pico. 
 
Portanto: EEF = ERMS = 0, 707 EP ou IEF = IRMS = 0, 707 IP 
 
O valor 0, 707 é igual ao inverso da raiz quadrada de dois (√ 2). A relação pode ser 
reescrita, então:: 
 EEF = ERMS = EP / √ 2 e IEF = IRMS = IP / √ 2 . 
 
A denominação RMS vem do inglês “Root Mean Square” que significa Média 
Quadrática. Esta media foi desenvolvida para satisfazer matematicamente o que 
ocorre fisicamente. O valor eficaz ou RMS pode ser encontrado, então, “extraindo a 
raiz quadrada da soma de uma série de valores instantâneos considerados em meio 
ciclo, cada um deles elevado previamente ao quadrado”. Esta é a média quadrática. 
 
05. Complemento importante da geração de uma CA 
 
05. 1. Os instrumentos analógicos e digitais medem sempre os valores eficazes; 
 
05. 2. O osciloscópio, quando usado como voltímetro, permite medir os valores da 
tensão de pico e mostra o formato da onda gerada. Não permite medidas de corrente. 
Em certas ocasiões usa-se um chamado valor de pico a pico que é igual a duas 
vezes o pico – EPP = 2 . EP. O pico a pico, no entanto, não existe, não ocorre, já 
que cada pico é produzido num ângulo e num tempo diferente do outro. 
 
05. 3. Na frequência de 60 Hz, o período equivale a 1 / 60 = 0,01666...segundos. 
Logo, cada ciclo em 60 Hz leva 16,6 milisegundos para ser produzido. Em 
números redondos, para facilitar a memorização, 16 milisegundos. Este 
conhecimento será relevante quando da análise da defasagem da corrente em 
relação à tensão. 
 
05. 4. O alternador analisado tinha dois pólos magnéticos. A frequência que produzirá 
será diretamente proporcional à velocidade (n em RPM) e ao número de pares de 
pólos (p). Fazendo o ajuste das unidades minuto da velocidade e segundo da 
frequência com o número 60, pode-se escrever uma fórmula: 
 
 f = n . p / 60. 
 
Como exemplo: se p = 1 par (2 pólos) e a espira gira a 600 RPM, a frequência 
produzida será: f = 600 x 1 / 60. Portanto: f = 10 Hz. 
 
Para que o mesmo alternador produza 60 Hz, remonta-se a fórmula e a velocidade a 
ser usada será: n = 60 . f / p = 60 x 60 / 1. Logo, n = 3600 RPM. 
 
Se alternador tivesse quatro pólos = dois pares, produziria os mesmos 60 Hz girando 
a 1800 RPM. Se fossem oito pólos = quatro pares, seriam 900 RPM. 
 
05. 5. Uma tensão 220 V, usual na distribuição pelas concessionárias, será a 
chamada eficaz ou RMS. Terá, pois, um valor de pico √ 2 vezes maior, isto é, EP = 
311 V. E este valor ocorrerá duas vezes em cada ciclo. 
 27 
Qualquer isolante utilizado nesta tensão deverá suportar as tensões de pico. 
Obviamente, este fato é do conhecimento dos fabricantes. Tanto que os isolantes 
estão especificados pelos valores eficazes de tensão e não pelos de pico. 
 
Igualmente, qualquer módulo de corrente eficaz também terá seu valor de pico √ 2 
maior. E é perfeitamente suportada pelos condutores, contatos e outros componentes 
pelos quais circula. 
 
05. 6. Os números usados em cálculos de CA serão os eficazes. Os de pico ficam 
como conhecimento de sua existência e, eventualmente, de uso em situações 
específicas. Conclui-se que as falas e escritos serão sempre com os valores eficazes, 
não havendo necessidade de mencionar a palavra eficaz. 
Se os números forem referentes a valores de pico, será indispensável a 
referência. 
 
05. 7. O alternador estudado, com dois pólos = um par, produziu um ciclo em 360° 
mecânicos (1 volta). Como cada ciclo sempre será produzido em 360° elétricos – esta 
é uma definição – houve valores iguais em graus mecânicos e elétricos. Já com 
quatro pólos = dois pares (ver item d), o ciclo foi produzido em meia volta, isto é, aos 
360° elétricos corresponderam 180° mecânicos. Com oito pólos = quatro pares, o 
ciclo foi produzido em um quarto de volta. Logo, os 360° graus elétricos foram 
realizados em 90° mecânicos. 
 
___________________________________________________________________ 
 
06. Exercícios: 
 
06. 1. Determine os valores de pico das tensões e correntes eficazes dadas: 
 
01) 127 V 02)13. 800 V 03) 5 A 
 
04) 380 V 05) 42, 5 A 06) 0, 5 A 
 
06. 2. Determine a velocidade dos alternadores para uma f = 60 Hz: 
 
07) 10 pares de pólos 08) 39 pares de pólos 09) 16 pólos 
 
06. 3. Responda: 
 
10) Um osciloscópio indicou 64, 8 V de pico. Qual o valor eficaz ? 
 
11) Um voltímetro analógico indicou 122 V. Qual o valor eficaz ? 
 
12) Um amperímetro digital indicou 1, 5 A. Qual o valor de pico ? 
 
13) Sabe-se que o pico a pico é 1.320 V. Qual o valor eficaz ? 
 
14) Sabe-se que a IP é 6,36 A. Qual o valor RMS ? 
 
 
 28 
A Indução Eletromagnética – Lei de Faraday-Lenz 
Indutância / Reatância Indutiva 
 
Revisando o conceito de fluxo magnético e em que condições o campo magnético 
teria 1 Weber (cem milhões de linhas), conclui-se que é possível obter uma tensão 
sem produzir movimento mecânico do condutor ou do ímã / eletro-ímã. Bastaria fazer 
o fluxo magnético crescer ou decrescer na sua quantidade de linhas de força 
tendo o condutor “dentro” da zona onde acontece essa movimentação. 
Pode-se gerar tensão, a partir do magnetismo, de três maneiras diferentes: 
 
a) com o ímã ou eletro-ímã fixo e condutor em movimento mecânico; 
b) com o condutor fixo e ímã ou eletro-ímã em movimento mecânico; 
c) com o condutor fixo e um eletro-ímã cujo fluxo magnético se faz variar. 
 
Os dois primeiros procedimentos são os usados em geradores rotativos - 
alternadores e dínamos. O terceiro é usado em transformadores – equipamentos 
estáticos. 
O terceiro meio de gerar tensão também se manifestará em qualquer bobina 
que for alimentada por tensão / corrente variável, logo, com o campo magnético 
produzido também variável. 
 
01. Lei de Faraday – Lenz – A Indução Eletromagnética 
 
Faraday descobriu que é possível “fazer nascer”, induzir tensão em um condutor ou 
em uma bobina bastando variar o fluxo magnético que nela atua. A partir da sua 
descoberta, ficou conhecida a chamada indução eletromagnética. 
Faraday também descobriu as dependências que definem o módulo da tensão 
induzida. Daí montou uma fórmula matemática. 
A partir dos estudos de Faraday e em tempo posterior, Lenz descobriu que a tensão 
induzida faz uma oposição à tensão que foi aplicada. Assim, a tensão variável 
aplicada fez circular uma corrente variável que produziu um fluxo magnético variável; 
este fez “nascer” a tensão induzida. E esta se opõe àquela que a produziu. Fazendo 
uma comparação “humana”: a mãe – a tensão aplicada – fez nascer a filha – a 
tensão induzida. E a filha se coloca contra a mãe, se opõe a ela. 
Reunindo a descoberta de Faraday com a de Lenz, pode-se escrever a fórmula: 
 
 EC = – N . Δ Φ EC = tensão induzida (V) 
 Δ t N = n° de condutores (espiras) induzidos 
 Δ Φ = variação do fluxo magnético (Wb) 
 Δ t = tempo em que ocorre a variação de fluxo (s) 
 
 O sinal “menos” (–) indica a oposição da tensão àquela que foi aplicada. 
 
 Portanto, a lei da Indução Eletromagnética ou Lei de Faraday diz: 
 
“A tensão induzida em umabobina ou condutor será 
diretamente proporcional ao número de espiras induzidas, também diretamente 
proporcional à variação do fluxo magnético (quantidade de linhas que varia) e 
inversamente proporcional ao tempo em que ocorreu a variação do fluxo”. 
 29 
A descoberta de Lenz está expressa na lei de Lenz: 
“a tensão induzida se opõe, por seus efeitos, à causa que a produziu”. 
 
Em outras palavras pode-se dizer que a partir de uma Força Eletro-Motriz (FEM) se 
induz uma Força Contra Eletro-Motriz (FCEM). 
 
Neste trabalho será usada a terminologia E e EC. No estudo das máquinas elétricas, 
mais adiante, será mais comum a utilização da terminologia FEM e FCEM. 
 
02. A tensão induzida pela CA e suas repercussões 
 
No uso da tensão / corrente alternada, ocorre variação sistemática dos módulos de 
tensão, corrente e fluxo magnético. Assim, as bobinas a ela ligadas sofrerão uma 
tensão induzida. Esta situação será analisada em duas condições: 
 
a) com duas bobinas montadas, não interligadas eletricamente, no mesmo 
núcleo ferroso. 
 
Neste caso, a primeira bobina ligada a uma CA faz circular uma corrente que cria um 
fluxo magnético variável. Este fluxo “abraça” as duas bobinas e nelas faz nascer uma 
tensão induzida. 
Na segunda bobina, esta tensão será senoidal (como a tensão aplicada), porém com 
polaridade contrária de acordo com a lei de Lenz. Seu módulo será definido pela 
expressão de Faraday-Lenz. Isto significa que, se a segunda bobina tiver maior 
número de espiras do que a primeira, a tensão na segunda será maior do que a 
primeira. Se tiver menos espiras, a tensão na segunda bobina será menor. Esta 
montagem – duas bobinas no mesmo núcleo ferroso – originou o uso dos conhecidos 
transformadores. 
 
b) com apenas uma bobina montada no núcleo ferroso ou quando se examina a 
primeira bobina do caso anterior. 
 
 
O fluxo magnético “abraça” a única bobina (ou a primeira bobina do caso a)) e induz 
nela uma tensão em acordo à Faraday-Lenz. Esta tensão, também senoidal, se 
manifesta no mesmo número de espiras e se opõe à tensão aplicada, . Logo, tenta 
anular essa tensão. 
 30 
Entretanto, seu módulo nunca poderá ser igual ao da aplicada – se assim 
ocorresse, sendo iguais e se anulando, não haveria corrente elétrica nem fluxo 
magnético, E, nem tensão induzida. Ainda, como a bobina tem resistência elétrica, 
será necessária uma tensão, mesmo que pequena, para que a corrente circule e 
consiga produzir o fluxo magnético. Portanto, a tensão induzida na mesma bobina 
em que foi aplicada uma tensão CA, sempre será menor do que a tensão 
aplicada. 
 
02. 1. Adaptação da lei de Ohm 
 
A conclusão obtida na análise do caso b) leva, necessariamente, a uma revisão da lei 
de Ohm. A expressão I = E / R não atende esta nova realidade física. Deve ser 
modificada. Deve incluir a tensão induzida na própria bobina ligada à CA. Assim, 
fisicamente o módulo da corrente para os casos com bobinas será: 
 
 I = E – EC sendo EC a tensão induzida 
 R 
 
Esta “nova expressão de Ohm” é comprovada pela experiência que segue: 
 
a) uma bobina com diversas espiras tem sua resistência medida: R = 20 Ω; 
b) a bobina é colocada sobre um núcleo ferroso fechado com o formato U, I ; 
c) a corrente calculada para 120 V será: E = I / R = 120 / 20 ..................I = 6 A 
d) é ligada a 120 V, CC “pura” e tem a corrente medida:........................I = 6 A 
 
 Conclusão: a lei de Ohm I = E / R foi comprovada; a bobina criou um campo 
magnético estável e extremamente “forte”. entende-se que a bobina também limitou, 
pela sua resistência de 20 Ω, o módulo da corrente a 6 A. 
 
e) Agora aplica-se, na bobina,120 V CA senoidal; mede-se a corrente.....I = 0,020 A 
 
Conclusão: como o módulo da I medida é muito menor do que o calculado deve-se 
concluir pela existência de algo novo até então não considerado: no caso, a tensão 
auto-induzida da descoberta de Faraday-Lenz. 
 
Na continuação do experimento, começa-se a “abrir” o circuito magnético afastando-
se o ferro I do fechamento magnético com o U. Introduz-se ar no meio magnético. A 
corrente medida começa a aumentar. Retirando-se toda a peça I, aumenta mais 
ainda. Retira-se, então, a peça com o formato U. Fica apenas a bobina ligada (com 
núcleo de ar). O módulo da corrente chega a 4 A. 
Durante o experimento, em momento algum se modificou a resistência elétrica da 
bobina. Portanto, as alterações para maior do módulo da corrente se devem à 
redução do fluxo magnético – logo, da redução da variação do fluxo magnético – 
“mexeu-se” no Δ Φ da fórmula de Faraday-Lenz. 
Como consequência imediata, reduzida a variação de fluxo reduziu-se, também, a 
tensão induzida. 
Para melhor compreensão, será calculada a tensão induzida com o núcleo ferroso 
fechado – I = 0,020 A e, após, sem o núcleo ferroso. Para tal, se deduzirá o valor da 
tensão induzida EC na “nova lei de Ohm”: 
 
 31 
 EC = E – I . R = 120 – (0,020 x 20) = 120 – 0,4................ EC = 119, 6 V 
 
Assim, com o núcleo fechado, a bobina induziu em si mesma 119, 6 V. 
 
 EC = E – I . R = 120 – (4 x 20) = 120 – 80.......................................... EC = 40 V 
 
Sem o núcleo ferroso a bobina induziu em si mesma 40 V. 
 
E, faz-se a pergunta: “Em que condição a corrente CA poderia chegar aos 6 A da CC, 
isto é, sem a manifestação da tensão auto-induzida“? 
 
“Quando o campo magnético variável em torno de cada fio que constitui as 
espiras da bobina não puder induzir nas espiras vizinhas uma tensão. Pois é o 
formato de bobina dado ao fio que fez com que houvesse a indução de tensão 
na própria bobina. É, pois, a ação do campo magnético variável em torno de 
cada espira da bobina que induz nas espiras vizinhas a tensão”. 
 
Portanto, se o fio for desenrolado, se for “desmanchado” o formato de bobina do 
mesmo, se o campo magnético variável em torno de cada espira não alcançar mais 
(pela distância) as outras espiras, aí será possível obter em CA o mesmo 
comportamento da CC “pura “ 
 
Fica, então, evidente que a tensão auto-induzida é uma nova dificuldade para a 
circulação da corrente em CA. Impediu que a corrente chegasse a um valor 
maior, no caso do experimento, aos 6 A. 
 
Novamente, será usado uma analogia “humana”. Fazer uma bobina e agregar-lhe um 
núcleo ferroso objetiva obter campos magnéticos mais intensos. É como pretender 
“juntar os trapos” com a moça mais bonita do bairro e viver muito feliz. 
Só que surge a tensão induzida quando se usa a CA. Ou seja, se descobre que a 
mãe da garota vem morar junto. E ela é a “SOGRA”. Fica, então a questão: ou a 
bobina em CA com a EC (a moça linda com a SOGRA) ou sem campo magnético 
intenso e só na vida. 
As sogras vão me desculpar por “usá-las”. Mas, o objetivo é ajudar a aprender. 
 
O uso de bobinas em CA é muito grande: em transformadores, motores, relés de 
diversos tipos, contatores, cigarras, reatores de lâmpadas de descarga elétrica 
(fluorescentes, vapor de mercúrio, de sódio etc). E, geralmente, acompanhadas por 
núcleos ferrosos. O cálculo da tensão induzida para todas as bobinas encontradas no 
dia a dia da Eletrotécnica, pela expressão de Faraday-Lenz, é impraticável. Em 
especial, pela diversidade das composições físico-químicas dos núcleos ferrosos o 
que dificulta enormemente a quantificação do Δ Φ, a variação do fluxo magnético. 
Assim, a tensão auto-induzida, ao invés de ser tratada como uma tensão contrária, 
vai ser encarada como mais uma dificuldade para a ICA circular - além da já 
conhecida resistência elétrica. Esta nova dificuldade será denominada reatância. E 
por se tratar de uma reação provocada por uma bobina, também chamada de 
indutor, será reatância indutiva.O sentido da palavra reatância vem de reação, de ir contra). 
 
 32 
02. 2. Reatância Indutiva é a dificuldade que a corrente alternada enfrenta devido ao 
formato bobina dado ao fio, ao condutor. 
Será representada por X (reatância) e L (indutiva). Logo: XL Sua unidade de medida 
será, também, o Ω (Ohm). E........................não há instrumento que meça a reatância. 
Seu módulo se calcula pela fórmula: 
 
 XL = 2 . π . f . L sendo 2 π = 2 x 3, 14 (constante) 
 f = frequência da CA (Hz) 
 L = indutância da bobina (Henry) 
 
02. 3. Indutância é uma propriedade apresentada por qualquer condutor, em especial 
quando ele tem o formato de bobina, que é de induzir tensão em outro condutor ou 
bobina ou em si mesma. 
A propriedade de induzir tensão em outra bobina é denominada de indutância 
mútua. Quando a bobina induz nela mesma se denomina de auto-indutância. 
 
Como visto acima, a indutância é representada por L e tem como unidade o Henry. 
 
Quantitativamente, tem-se 1 Henry quando uma bobina induz em si mesma uma 
tensão de 1 V, sendo percorrida por 1 A em 1 segundo. Diz-se, neste caso, que a 
bobina tem auto-indutância de L = 1 Henry. 
 
Duas bobinas terão indutância mútua de 1 Henry quando uma é percorrida por 
uma corrente de 1 A por segundo e induz na outra a tensão de 1 V. 
 
A indutância de uma bobina, à semelhança da resistência elétrica, depende de 
características da própria bobina. São os fatores construtivos da bobina que 
determinam a qualidade de induzir mais ou menos tensão nela ou em outra e o tipo 
de núcleo que ela tem. São oito os fatores: 
 
a) número de espiras da bobina 
b) espaçamento entre as diversas espiras 
c) número de camadas de fio da bobina 
d) diâmetro da bobina 
e) diâmetro do fio usado na bobina 
f ) forma como foi enrolado o fio na bobina 
g) formato geral da bobina 
h) tipo de núcleo usado na bobina 
 
O fator de maior influência é o tipo de núcleo. Se for ar ou qualquer outro material não 
FeNiCo, será mau condutor de linhas de força: a bobina induzirá tensões pequenas. 
Se for FeNiCo, ferromagnético portanto, será um bom condutor de linhas, concentrará 
o fluxo magnético e induzirá tensões mais elevadas. O segundo fator de grande 
influência é a quantidade de espiras da bobina. Ambos os fatores citados estão 
diretamente envolvidos na expressão de Faraday-Lenz. 
Os demais têm influências bem menores. E não aparecem em fórmulas matemáticas 
pelo simples fato de que não há fórmulas que atendam os diferentes casos usados na 
vida elétrica. Resta, pois, a determinação da indutância por ensaios em laboratório. 
Nos casos de núcleos ferrosos fechados (com pequenos entre-ferros) e núcleos de 
 33 
formato toroidal (sem entre-ferros), pode-se, com boa precisão, determinar a 
indutância por meio da fórmula: 
 
 L = µ . N2 . S sendo µ = permeabilidade magnética do ferro 
 ℓ N2 = número de espiras da bobina 
 S = secção do núcleo magnético 
 ℓ = comprimento médio do caminho 
 magnético 
___________________________________________________________________ 
 
02. 4. Recordando detalhes e completando informações: 
 
a) Uma bobina ligada a uma CA apresentará duas dificuldades para a corrente 
circular: a resistência elétrica e a reatância indutiva. 
 A 1° se deve a............................... R = ρ. ℓ / S 
 A segunda se deve a ...............................................XL = 2 . π . f . L . 
 
O desenho de uma bobina, neste trabalho, deverá representar as duas dificuldades 
para a circulação da corrente. Na vida real, tanto a resistência como a reatância estão 
“misturadas” na bobina – começam na ponta inicial do fio e terminam na ponta final. 
No entanto, por razões didáticas, para facilitar o entendimento dos dois 
comportamentos, a resistência será separada da reatância na forma do desenho. 
Porém, ligadas eletricamente em série – lembre-se: a corrente que circula por elas é 
a mesma 
 Bobina Real Bobina Ideal (teórica – com R = 0) 
 
 
b) A maior parte das bobinas usadas em eletricidade tem núcleos ferrosos. 
Entretanto, sem o núcleo ferroso, a tensão auto-induzida se manifestará também. Só 
que, pela redução do fluxo magnético, os módulos da tensão induzida será bem 
menores, o que permitirá a circulação de correntes maiores. 
 
c) Um transformador pode ser construído com duas bobinas, sem núcleo ferroso. O 
fluxo magnético que entrelaçará as duas bobinas, como já enfatizado, será bem 
menor o que resultará em tensões induzidas de módulo pequeno, logo desempenho 
muito baixo. 
 
d) Um transformador na sua forma construtiva real, isto é, com duas bobinas e ferro, 
tem duas relações básicas envolvendo as tensões e as correntes com a quantidade 
de espiras em cada bobina. São teóricas pois não consideram as perdas no trafo, ou 
seja, consideram que ele tem 100 % de rendimento. 
 
 e ................. I1 . N1 = I2 . N2 
 34 
Conhecidas três incógnitas, acha-se a quarta. 
 
e) A indutância / reatância indutiva / (tensão induzida), como foi demonstrado, dificulta 
mais a circulação da corrente. No caso do ensaio relatado na pág. 29, para que a 
corrente circulante com CA chegasse aos 6 A da tensão CC, o módulo da tensão 
alternada deveria ser de absurdos 36. 000 volt. 
A observação feita não pretende dar ênfase aos números e sim aos efeitos 
produzidos pela tensão auto-induzida / reatância indutiva / indutância. 
 
f) Além da dificuldade maior para que a ICA circule, a reatância indutiva / indutância / 
tensão auto-induzida provoca outro efeito danoso: o atraso, no tempo, da 
movimentação da corrente em relação à movimentação da tensão. Este atraso 
caracteriza a chamada defasagem, o estar fora de fase. 
Este atraso varia de “levemente” acima de zero até “levemente” abaixo de 4, 15 
milisegundos, quando a frequência da tensão alternada é 60 Hz. 
 
O tempo de 4, 15 ms está associado ao ângulo de 90°, correspondentes a um quarto 
de ciclo da geração da ECA. Daí se dizer que o atraso da corrente em relação à 
tensão pode variar de levemente maior que 0° até levemente menor que 90°. Ou, 
usando outros números, dizer que o atraso é de 30° ou 50° etc. 
 
É relevante adiantar que o atraso provocado pela reatância indutiva da bobina é um 
atraso físico no tempo, logo, em unidades de tempo – milisegundos. Este atraso será 
convertido em graus para possibilitar considerá-lo nas fórmulas de cálculo como se 
verá adiante. 
 
O próximo capítulo inicia, exatamente, pelo assunto defasagem. 
___________________________________________________________________ 
 
 
02. 5. Auto-indução de tensão com Tensão Contínua 
 
Não é objetivo deste trabalho detalhar este tópico. Porém, é relevante saber que: 
 
a) Se a tensão contínua for “pura”, não há indução de tensão 
 
b) Havendo variações de módulo da ECC pura, especialmente se forem de maior 
amplitude e envolvendo módulos mais intensos, poderá haver indução de tensão. 
 
c) Tensões pulsantes de maior amplitude vão gerar correntes igualmente pulsantes 
que poderão induzir tensões. 
 
d) No fechamento e, em especial, na abertura de interruptores poderão surgir 
induções de tensão.Os arcos elétricos que surgem, entre os contatos, na abertura de 
circuitos poderão ser mantidos por tempo maior devido às tensão auto-induzidas. 
Este fenômeno também ocorre em alternada, todavia com menor intensidade. 
 
e) Nos automóveis há um transformador, a bobina de ignição, que opera com 
tensão / corrente contínua pulsante e fornece alta tensão para as velas de ignição. 
 
 35 
Defasagem / Impedância / Lei de Ohm em CA 
Resistências e Reatâncias Indutivas em Série e em Paralelo 
Potências em CA / Fator de Potência 
 
01. Defasagem em atraso, da corrente 
 
É um fenômeno físico associado, como já mencionado, à indução de tensão na 
própria bobina e que se opõe àquela tensão que foi aplicada. Esta indução ficou vista 
como uma nova dificuldade (XL) para a corrente circular. Para tornar clara a visão do 
atraso, da defasagem da corrente, vamos definir os módulos da resistência e da 
reatância indutiva com valores iguais, isto é R = XL. A frequência da CA será de 60 
Hz. Logo, o período respectivo será de 16,6 ms. Um quarto de período será de 4,15 
ms que, por facilidade, será “arredondado” para 4 ms. Examine-se, agora, a bobina, 
com núcleo de ferro, ligada ao alternador, em dois momentos: 
 
A fonte com sua tensão E “vê” o circuito fechado e faz 
circular, pela bobina, uma I ; esta cria um fluxo 
magnético variável Φ que induzirá uma EC na bobina: 
 
 
 
A tensão induzida EC, que se opõe, “vê” um circuito 
também fechado e tentará fazer circular uma IC que 
também vai se opor. A IC, vai “frear” a 
movimentação da I, já que não é possível haver 
duas correntes com sentidos diferentes circulando 
no mesmo fio no mesmo momento. 
 
 
 O resultado do atraso é mostrado nas 
duas senóides, uma da tensão E e 
 outra da corrente I, atrasada na sua 
 movimentação em relação à E. 
 
 
 
O atraso, no tempo, é de 2 mili-segundos, isto é, a corrente I chega ao seu valor de 
pico 2 ms após a tensão; chega ao zero 2 ms após a tensão etc. Este atraso 
permanecerá durante todo o tempo em que aquela bobina permanecer ligada. 
O atraso no tempo ser convertido em atraso angular (em graus). Lembrando que o 
ciclo foi gerado em 360 °, que correspondem a “arredondados” 16 ms, 4 ms se 
equivalem a 90° e 2 ms serão equivalentes a 45 °. 
Logo, a corrente circulante pela bobina estará defasada em atraso de 45 ° em relação 
à tensão. Ou, simplesmente, a corrente estará atrasada de 45° em relação à 
tensão. 
 
Se a mesma bobina, num exercício puramente teórico, não apresentasse nenhuma 
reatância indutiva: XL= 0 (nenhuma auto-indução de tensão), a corrente estaria em 
fase com a tensão – não haveria atraso O mesmo ocorre com os resistores há 
 36 
pouco estudados. Eles não defasam, não atrasam a corrente. Fazem-na estar em 
fase com a tensão. 
 
 
Se a bobina for real e a sua R for maior do que a sua XL, haverá atraso da corrente 
em ângulo maior do que 0° e menor do que 45°. 
Se a sua R for menor do que a sua XL, o atraso da corrente será maior do que 45° e 
menor do que 90°. 
Se a mesma bobina, num exercício puramente teórico, não apresentasse nenhuma 
resistência elétrica – R = 0, o atraso da corrente seria igual a 90 °, isto é, 4 ms. 
 
Revisando o que ocorre em CA com uma bobina real: 
a) A bobina tem uma R que depende do material, do comprimento e da secção 
do condutor utilizado; 
b) A tensão auto-induzida é uma nova dificuldade para a corrente circular e 
passa a ser considerada como uma reatância indutiva - XL – cujo valor é 
determinado pela frequência e pela indutância da bobina: XL = 2 . π . f . L ; 
c) A indutância da bobina é definida pelas suas características construtivas; 
d) A resistência não defasa a corrente em relação à tensão; 
e) A reatância indutiva defasa a corrente em atraso em relação à tensão. O 
atraso será variável entre maior do que 0° e menor do que 90°, dependendo 
dos valores da resistência e da reatância indutiva da bobina. 
 f) Se a bobina for ideal terá R = 0 e o atraso da corrente será de 90°. 
 
02. Impedância 
 
É toda a dificuldade que a corrente alternada deverá enfrentar para circular. 
O alternador, a fonte, “vê” todo o conjunto a ele ligado. Portanto verá a resistência e a 
reatância indutiva da bobina juntas. Lembrando do que foi estudado com os 
resistores, o gerador “vê tudo”. E este “tudo” deverá, agora, ser chamado de 
impedância. 
O termo resistência equivalente ou total não pode ser usado já que os efeitos das 
reatâncias são completamente diferentes dos efeitos das resistências / resistores. 
 
A Impedância é representada pela letra Z, sendo sua unidade o Ohm - Ω. 
 Não há instrumento de medição para a impedância. 
 
03. Lei de Ohm em CA 
 
A lei de Ohm deverá sofrer adaptações a esta nova realidade. Examinando a bobina 
real, encontra-se uma impedância (Z). 
 
Assim, a corrente que circulará será: I = E 
 Z 
 37 
Para a corrente circular pela resistência da bobina, será necessária uma tensão. 
 
Esta será a queda de tensão.......... E = I . R ; ao circular pela reatância indutiva 
haverá outra queda de tensão:................................. E = I . XL 
 
Portanto, a lei de Ohm se desdobrou em: I = E ; I = E ; I = E 
 R XL Z 
 
Atribuindo valores numéricos para a resistência, para a reatância e para a corrente, e 
ligando-a na fonte de alternada, poderemos desenvolver o seguinte raciocínio: 
 
 
I = 2, 4 A 
R = 40 ohms 
XL = 30 ohms. 
 
 
 
A bobina real, com as suas duas dificuldades desmembradas, é uma ligação em 
série de uma resistência com uma reatância indutiva. Portanto, poderemos usar as 
características dos circuitos série para o desenvolvimento: 
 
a) Queda de tensão na resistência: ER = I . R = 2,4 x 40................... ER = 96 V 
 
b) Queda de tensão na reatância: EL = I . XL = 2, 4 x 30 .................EL = 72 V 
 
 
04. 2ª lei de Kirchhoff e o diagrama vetorial 
 
A 2ª lei de Kirchhoff nos diz que deveremos somar as quedas de tensão para 
encontrar a tensão aplicada (ou total). Entretanto, vale lembrar que a resistência não 
produz atraso na circulação da corrente. Já a reatância, por ser “pura” ou “ideal”, 
atrasa a corrente de 90° (ou 4 ms) em relação à tensão. Assim, as duas quedas de 
tensão não ocorrerão no mesmo intervalo de tempo, ou seja, entre elas haverá uma 
defasagem de 4 ms (ou 90°) no tempo em que elas acontecem. Portanto, a soma 
das quedas deverá ocorrer, mas levando em conta esta diferença de tempo. 
 
Para melhor visualizar, lançaremos mão de três vetores. Um para a corrente, que é 
única já que o circuito é série e dois para as quedas de tensão. O vetor corrente será 
desenhado na horizontal, com qualquer comprimento, pois, sua utilização objetiva 
apenas servir de referência para os outros dois vetores: 
 
O vetor que representa a queda de tensão 
na resistência será desenhado em escala 
com seu valor de 96 V. Como a resistência 
não defasa a corrente, sua posição 
também será na horizontal, fazendo ângulo 
0° em relação ao vetor corrente. Logo, será 
desenhado sobre o vetor corrente. 
 
 
 38 
O vetor que representa a queda de tensão na 
reatância também será desenhado em escala. 
Mas, a corrente que passa pela reatância está 
atrasada em relação à sua queda de tensão de 
90° (4 ms). Portanto, seu desenho iniciará na 
origem do vetor corrente fazendo, com ele, um 
ângulo de 90°. Seu desenho será na vertical 
“para cima”.Estes vetores devem ser 
considerados giratórios e no sentido anti-horário. 
Assim, o vetor corrente fica visto atrasado de 90° 
em relação à sua queda de tensão 
 
Desenhados os vetores das quedas de tensão, podemos tratar de somá-las. Como se 
sabe, para esta soma será necessário desenhar antes o retângulo que “fecha“ a 
figura. Então, a diagonal que se inicia na origem dos três vetores e sobe na direção 
do vértice oposto é o vetor resultante, isto é, a tensão aplicada. 
 
Se os vetores das quedas foram desenhados 
com correção e o ângulo entre eles é, de fato, 
90°, basta medir o vetor resultante usando a 
mesma escala dos vetores das quedas. Este 
valor será a tensão aplicada ou total. É a 
solução gráfica. 
O cálculo matemático deverá envolver o 
triângulo retângulo formado pelos vetores 
“quedas” e o vetor resultante, com o uso do 
teorema de Pitágoras: “o quadrado da 
hipotenusa (a tensão aplicada) será igual à 
soma dos quadrados dos catetos (as duas 
quedas de tensão)”. 
 
Assim, ET
2 = ER
2 + EL
2 = 962 + 722 ..................................... ET = 120 V 
 
Recordando e reforçando: 
a) A defasagem entre a corrente e a queda de tensão na reatância é que 
determinou a necessidade de somar as quedas de tensão via teorema de 
Pitágoras. 
b) Por aquele atraso da corrente é que as duas quedas de tensão ficaram 
defasadas de 90° entre si – lembrar que a resistência elétrica mantém a 
corrente em fase. 
c) A 2° lei de Kirchhoff também teve de ser adaptada para a nova situação. 
Continua sendo a soma das quedas de tensão que será igual à tensão total ou 
aplicada. Só que a soma deverá ser vetorial usando-se a expressão do 
teorema de Pitágoras. 
 
Continuando o desenvolvimento, pode-se calcular o valor da impedância. No caso, há 
dois caminhos: 
a) Pela lei de Ohm em CA: 
 I = E ou seja: Z = E = 120 .....................Z = 50 Ω 
 Z I 2, 4 
 39 
b) Usando a característica do circuito série que estabelece “a soma das 
dificuldades”. Porém, esta soma deverá ser, também, vetorial (por Pitágoras): 
 
 Z2 = R2 + XL
2 ou seja: Z2 = √ R2 + XL2 = √ 402 + 302 .............. Z = 50 Ω 
 
Olhadas isoladamente, a resistência e a reatância indutiva tem comportamentos bem 
diferentes, mas perfeitamente definidos pelas adaptações feitas na lei de Ohm e na 2° 
lei de Kirchhoff. Há, ainda, a soma das dificuldades (também vetorial) para se definir o 
valor da impedância. É conveniente destacar que a impedância e a resistência 
equivalente ou resistor total são resultados equivalentes, cada qual na sua condição 
particular. 
A defasagem da corrente em relação à tensão, para a resistência e a reatância 
isoladamente está bem conhecida: a R não defasa (0°) e a Xl atrasa a I de 90°. A 
defasagem produzida pela impedância, como já se abordou no início da página 2, 
dependerá do módulo da R e da XL. 
O ângulo da defasagem poderá ser encontrado pelo uso do mesmo triângulo 
retângulo que permitiu a soma das quedas de tensão. Sobre o vetor “queda de tensão 
na resistência” se desenhará um vetor referente à resistência (também em escala). 
Sobre o vetor “queda de tensão na reatância” se desenhará um vetor referente à 
reatância (em escala). Com o desenho bem feito, o vetor “impedância” estará sobre o 
vetor “tensão total ou aplicada”. Já se tinha obtido antes um “triângulo das tensões”. 
Tem-se, agora, um “triângulo das dificuldades”. 
 
 
 
Recordando da Matemática, mais especificamente da Trigonometria: examinado o 
triângulo das tensões, vê-se que os vetores das “quedas de tensão” são os catetos 
do triângulo retângulo. O vetor “tensão total” é a hipotenusa. Algo similar ocorrerá 
olhando-se o triângulo das dificuldades: os catetos serão a resistência e a reatância e 
a hipotenusa será a impedância. Os ângulos diferentes de 90° do triângulo retângulo 
são dois. Entretanto apenas um interessa à Eletrotécnica: é o formado pelo vetor 
(cateto) “queda de tensão na resistência” e o vetor (hipotenusa) “tensão total”. Ou 
pela resistência (cateto) e a impedância (hipotenusa). 
 
Este ângulo será denominado “ângulo φ” - (letra grega “fi” minúscula). E a sua 
importância está caracterizada porque é ele que indica qual o ângulo de defasagem 
produzida na corrente, por influência da reatância indutiva. 
Entende-se que, quanto mais afastado ele estiver de 0°, maior será a influência da 
reatância indutiva. Lembrar que sendo XL = zero, não há defasagem – φ será zero°. 
Na hipótese teórica de que houvesse apenas XL (R = zero), o ângulo φ seria 90°. 
 
 40 
As funções trigonométricas seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg) é que darão 
as condições para que o ângulo φ seja conhecido. Sabe-se que: 
 
Cosseno (cos) = cateto adjacente ao ângulo considerado 
hipotenusa 
 
Seno (sen) = cateto oposto ao ângulo considerado 
hipotenusa 
 
Tangente (tg) = cateto oposto ao ângulo considerado_ 
 cateto adjacente ao ângulo considerado 
 
Usando os dados do exemplo anterior, descobriremos o ângulo φ: 
 
 No triângulo das dificuldades: R = 40 Ω; Z = 50 Ω;.....cos φ = cat. adj. = 40 = 0,80 
 hipot. 50 
 - o ângulo φ será buscado em tabelas ou nas calculadoras científicas:.. φ = 36, 87° 
 
 Poderia ser usada a função seno: sen φ = cat. op. = 30 ................. sen φ = 0,60 
 hipot. 50 
 - nas tabelas ou calculadoras, será encontrado o mesmo ângulo:. φ = 36, 87° 
 
 Poderia ser usada a função tangente: tg φ = cat. op. = 30 ................. tg φ = 0, 75 
 cat.adj. 40 
 - nas tabelas ou calculadoras, será encontrado o mesmo ângulo: φ = 36, 87° 
 
Usando o triângulo das tensões os números serão diferentes, mas o valor encontrado 
para a função será o mesmo – trata-se sempre do mesmo ângulo.. Este 
conhecimento permite, no entanto, que se encontre o valor do ângulo de defasagem 
por caminhos diferentes. O uso mais frequente das três funções é a cosseno. 
 
Sabe-se agora, então, que para os valores da R e da XL apresentados, a corrente 
circulante de 2, 4 A e está atrasada de 36,87° em relação à tensão. Usando-se uma 
regra de três, pode-se converter o atraso angular em tempo: 
 
 90° ----------------- 4,15 ms 
 36,87° --------------- X ms X = 1, 7 ms 
 
Assim, fica determinado que a corrente circula com um atraso de 1, 7 ms em relação 
à tensão aplicada no circuito. 
Este atraso no tempo introduzirá uma perda elétrica a ser conhecida na sequência 
deste assunto, cuja importância não pode ser desprezada. 
 
Obs.: É muito importante entender que a causa das alterações feitas nas leis de 
Ohm e Kirchhoff, se deve ao surgimento da reatância indutiva. É ela, com seu 
comportamento diferenciado, a “mãe” do conjunto de adaptações feitas. 
As características elétricas básicas dos circuitos série e paralelo não se 
modificaram. A Matemática é que teve de ser adaptada para a nova realidade 
física. 
Logo adiante, serão vistas as adaptações na produção das potências e no 
consumo da energia elétrica. 
 41 
Ainda com circuitos série, considerem-se duas bobinas reais em série ligadas a uma 
fonte de tensão alternada: Bobina A: RA = 42 Ω e XLA = 70 Ω 
 Bobina B: RB = 20 Ω e XLB = 120 Ω E = 120 V 
Deve-se buscar: ZA , ZB, ZT , I , as quedas de tensão em cada dificuldade e a queda 
de tensão em cada bobina real. Como são duas bobinas reais diferentes, haverá duas 
defasagens de corrente, uma em cada bobina, mais uma defasagem referente à 
corrente que sai da fonte e a tensão total. Portanto, devem ser encontrados três 
ângulos φ: o φA, o φB e o φT. 
 
 
 O primeiro passo para a resolução do problema é 
 encontrar a impedância de cada bobina: 
 
 ZA = √ RA
2 + XLA
2 = 422 + 702 =..................ZA = 81, 6 Ω 
 ZB = √ RB
2 + XLB
2 = 202 + 1202 =..............ZA = 121, 7 Ω 
 
O segundo passo será encontrar a impedância total do circuito, ou seja, encontrar a 
impedância equivalente ou total – ZT. Exatamente como no caso de diversos 
resistores ligados em série. o equivalente é um só cujo valor se equivale a todos. 
Porém, em se tratando de duas bobinas é necessário compreender que cada uma 
delas produz uma defasagem própria na corrente. E como, na grande maioria dos 
casos, aquelas defasagens tem ângulos diferentes entre si e, ainda, ambos 
diferentes de 0° e de 90°, não é possível a soma aritmética de ZA com ZB. 
 
Também não será possível somar ZA com ZB via Pitágoras – para isso, um dos 
ângulos deveria ser 0° e o outro 90°. A Eletrotécnica usa, rotineiramente, os 
“números complexos” para resolver esta soma. Esta solução matemática será 
estudada mais adiante. Será, então, utilizada uma solução alternativa: as duas 
resistências, uma de cada bobina, não defasam a corrente (φ = 0°). Pode-se 
somá-las aritmeticamente: 
 RAB = RA + RB = 42 +20 =..................... RAB = 62 Ω 
 
Ambas as reatâncias indutivas, uma de cada bobina, defasam a I de 90°. A soma 
pode ser aritmética: XLAB = XLA + XLB = 70 + 120 =.................... XLAB = 190 Ω 
 
Assim encontra-se uma bobina equivalente às duas. Agora se usa Pitágoras: 
 ZT = √ RAB
2 + XLAB
2 = √ 622 + 1902 =...................................ZT = 200 Ω 
 
O terceiro passo é encontrar o módulo da corrente: 
 I = E / ZT = 120 / 200.......................................... I = 0, 6 A 
 
A partir da corrente, calcula-se cada uma das quedas de tensão: 
 
Nas dificuldades internas de cada bobina: ERA = I . RA = 0, 6 x 42 =.......ERA = 25, 2 V 
 EXLA = I . XLA = 0, 6 x 70 = ..EXLA = 42, 0 V 
 ERB = I . RB = 0, 6 x 20 =...... ERB = 12, 0 V 
 EXLB = I . XLB = 0, 6 x 120 =.EXLB = 72, 0 V 
 
Devido à impedância de cada bobina: EA = I . ZA = 0, 6 x 81, 6 =........... 49, 0 V 
 EB = I . ZB = 0, 6 x 121, 7 =......... 73, 0 
 42 
Lembrar: as duas impedâncias produzem defasagens diferentes. Para que se possa 
“conferir” se a soma das quedas de tensão é, de fato, igual à tensão aplicada, usa-se 
o mesmo procedimento com o qual se encontrou a impedância total: soma-se 
aritmeticamente as quedas nas duas resistências: 
 
 ERAB = ERA + ERB = 25, 2 + 12, 0 =........................... ERAB = 37, 2 V 
 
Assim serão somadas, também, as duas quedas nas reatâncias: 
 
 EXLAB = EXLA + XLB = 42, 0 + 72, 0 =.......................... EXLAB = 114, 0 V 
 
Agora se soma, via Pitâgoras, as duas quedas, uma em cada bobina: 
 
 EAB = √ 37, 2
2 + 114, 2 =..................................................EAB = ET = 120 V 
 
Os ângulos de defasagem serão buscados via cosseno e quedas de tensão. 
 
Na bobina A: Cos φA = ERA / EA = 25,2 / 49, 0 =......................... Cos φA = 0, 50 
 Com tabela ou calculadora ...........................................φA = 59, 3° 
 
Na bobina B: Cos φB = ERB / EB = 12, 0 / 73, 0 =...............................Cos φB = 0, 16 
 φB = 80,8° 
 
No circuito: Cos φT = ERAB / EA = 37, 2 / 120, 0 = .............................Cos φT = 0, 31 
 φT = 71, 9° 
Com respeito aos ângulos de defasagem, compreenda-se que: 
 
 A corrente sai do gerador (adote-se o sentido horário no circuito desenhado) 
defasada em atraso de 71, 9° em relação à tensão total, pois a fonte “vê” a 
impedância total. E é ela que determina este atraso em função da influência do 
módulo da RT = RAB e da XLT = XLAB. 
 Ao circular pela bobina A, esta defasagem será de 59, 3° em relação à queda 
de tensão nesta bobina. 
 Ao circular pela bobina B, esta defasagem será de 80, 8° em relação à queda 
de tensão na bobina B. 
 Após a bobina B, voltando ao gerador, a corrente volta a defasar de 71, 9°. 
 
Como reforço do aprendizado, enfatize-se que: 
 
a) O cálculo aritmético pode ser usado quando a defasagem for apenas 0° ou 
apenas 90°. 
b) O cálculo via Pitágoras deverá ser usado quando a soma envolver 
defasagem de 0° e de 90°. 
c) Se as defasagens envolvidas forem diferentes de 0° e de 90°, a soma deverá 
ser feita em separado na forma aritmética: apenas o que está defasado 0°: 
apenas o que está defasado 90°: após reúne-se, via Pitágoras, as quantidades 
defasadas de 0° com as defasadas de 90°. 
d) Como já referido, em outro momento, será feito o aprendizado do uso dos 
números complexos, o que facilitará a resolução dos problemas de cálculo. 
 
 43 
05. Potências em Alternada 
 
05.1. Potência ativa, real, útil ou efetiva 
 
As resistências elétricas / resistores produzem a potência já conhecida e que, agora, 
assume um “sobrenome” (um deles) para se diferenciar. 
 
É representada por P . Sua unidade é o Watt (W) e é medida com o Wattímetro. 
 
Esta potência sempre se transformará em outras. Numa bobina real calcula-se por 
 
 P = ER . I P = I
2 . R P = ER
2 / R 
 
Havendo duas ou mais bobinas ligadas em série a tensão ER é a que se encontra na 
resistência de cada bobina. A potência ativa total será a soma aritmética das potência 
ativas parciais – lembrar que não há defasagem entre elas. 
 
 PT = P1 + P2 + P3 + .............. + Pn 
 
Há, também, o recurso de somar todas as quedas de tensão nas resistências e, após, 
tendo a ER TOTAL, multiplicá-la pela corrente. De forma similar, pode-se encontrar a RT 
e multiplicá-la pela corrente ao quadrado. 
 
05. 2. Potência Reativa 
 
As reatâncias indutivas produzem uma potência chamada reativa, de característica 
bem diferente da ativa, da real. 
 
É representada por Q . Sua unidade é o Volt.Ampère Reativo (VAR). 
 É medida por um Varímetro ou medidor de VAR. 
 
Esta potência não se transforma, diretamente, em outra. 
 
Vem do gerador, através da tensão / corrente, pedida pelas cargas, pelas bobinas, 
durante um intervalo de tempo e, após, retorna ao gerador num outro mas idêntico 
intervalo de tempo. No próximo intervalo de tempo é pedida novamente etc, etc. 
Sob o aspecto do aproveitamento elétrico da carga, detoda a instalação até o 
gerador e do próprio gerador, ela “ocupa espaço mas não se transforma em outra 
potência”. Lembrar da “sogra” daquele caso de amor exemplificado antes. O termo 
“reativa” caracteriza uma reação desta potência, voltando ao gerador. 
 
Devido a este comportamento é considerada uma perda elétrica inerente ao 
emprego das bobinas em CA. Por isto, será controlada e, em muitos casos, 
parcialmente compensada. Este estudo se fará um pouco mais adiante. 
 
Seu módulo será determinado pelas fórmulas adaptadas para este comportamento: 
 
 Q = EL . I Q = I
2 . XL Q = EL
2 / XL 
 
Havendo duas ou mais bobinas ligadas em série, a tensão EL é a que se encontra na 
 44 
reatância de cada bobina. A potência reativa total será a soma aritmética das 
potências reativas parciais – lembrar que cada uma delas está defasada de 90° em 
relação às potências ativas. Entretanto, entre elas, não há defasagem. 
 
 QT = Q1 + Q2 + Q3 + .............. + Qn 
 
Há, também, o recurso de somar todas as quedas de tensão nas reatâncias e, após, 
tendo a EL TOTAL, multiplicá-la pela corrente. De forma similar, pode-se encontrar a 
XL TOTAL e multiplicá-la pela corrente ao quadrado. 
 
 
05. 3. Potência Aparente ou Total 
 
De forma semelhante aos circuitos com resistores, haverá uma potência total que, 
agora, envolverá a impedância, ou seja, o conjunto resistência e reatância da bobina. 
 
Esta potência total chama-se Aparente. É representada pela letra S . 
 Sua unidade de medida será o Volt-Ampère (VA). 
 
Não há um instrumento específico para a sua medição. Mas, como a potência 
aparente é a total, basta medir-se a tensão aplicada (a tensão da fonte ou total) e a 
corrente circulante (no caso do circuito série é a única e, no paralelo, a ITOTAL). Daí 
multiplica-se uma pela outra. 
O formulário de cálculo é o já conhecido com a necessária adaptação. 
 
 S = ET . I S = I
2 . Z S = ET
2 / Z 
 
As resistências e as reatâncias têm 90° de defasagem entre si. Esta mesma 
defasagem vai ocorrer entre as potências real e reativa. Logo, cabe o recurso da 
soma das duas via Pitàgoras: 
 
 S2 = P2 + Q2..............ou..............S = √ P2 + Q2 
 
Para o caso de duas ou mais bobinas ligadas em série, não se pode usar o recurso 
de somar as potências aparentes parciais, nem aritmeticamente nem via 
Pitágoras. Lembrar que as bobinas podem produzir defasagens diferentes entre si e, 
ainda, diferentes de 0° e 90°. O recurso da soma virá a partir do aprendizado dos 
números complexos, em outro momento. 
Entretanto, é possível fazer-se a soma aritmética das diversas potências ativas; 
também, de forma aritmética, das diversas potências reativas. Enfim, via Pitágoras, 
faz-se a soma da potência ativa total com a potência reativa total. 
____________________________________________________________________ 
 
Reforçando o conhecimento: 
 
a) As resistências produzem P (W), isto é, potência real, ativa, util, efetiva. 
b) As reatâncias produzem Q (VAR), ou seja, potência reativa. 
c) As impedâncias produzem S (VA), isto é, potência aparente, (total) 
d) Uma carga, uma impedância Z, é ligada à CA. Recebe tensão, faz circular 
corrente e produz uma potência aparente (S). Esta potência aparente é dividida 
 45 
pela carga em potência real e em potência reativa. A real é transformada em outra 
forma de potência enquanto que a reativa é devolvida ao gerador. 
 Este ciclo operativo se repete enquanto a carga estiver funcionando. 
____________________________________________________________________ 
 
 Usando os dados do problema iniciado na página 41, duas bobinas reais em 
série, se pode demonstrar e exercitar o cálculo das potências produzidas: 
 
Recuperando os dados conhecidos: E = 120 V I = 0, 6 A 
 
Bobina A: 
R = 42 Ω ; XL = 70 Ω ; ERA = 25,2 V ; EXLA = 42 V ; ZA = 81,6 Ω ; EA = 49 V 
 
Bobina B: 
R = 20 Ω ; XL = 120 Ω ; ERB = 12 V ; EXLB = 72 V ; ZB = 121, 7 Ω ; EB = 73 V 
 
As potências produzidas em cada R e em cada XL será (com a fórmula E . I): 
 
PA =. ERA . I = 25, 2 x 0, 6 =...............PA = 15,1 W 
PB = .ERB . I = 12 x 0, 6 = ........................................ PB = 7, 2 W 
 PT = PA + PB. = 15, 1 + 7, 2 = ...................................PT = 22, 3 W 
 
QA = EXLA . I = 42 x 0, 6 = ........QA = 25, 2 VAR 
QB = EXLB . I = 72 x 0, 6 =... ...............................QB = 43, 2 VAR 
 QT = QA + QB = 25, 2 + 43, 2 = .................................QT = 68, 4 VAR 
 
A potência aparente em cada bobina será: 
 
Bobina A: SA = √ PA + QA = √ 15, 1
2 + 25, 22 = ............SA = 29, 4 VA 
Bobina B: SB = √ PB + QB = √ 7, 2
2 + 43, 22 = .....................................SB = 43, 8 VA 
 
A potência aparente de todo o circuito será: 
 
S = √ PT
2 + QT
2 = √ 22, 32 + 68,42 = ...........................................................S = 71, 9 VA 
 
Como complemento deste desenvolvimento, estão construídos a seguir dois 
diagramas vetoriais, uma para cada bobina, incluindo os vetores das potências. É 
importante rever as páginas 36, 37 e 38 para relembrar de como se constrói um 
diagrama. 
 
 
 46 
Nos diagramas vê-se, agora, o triângulo das potências. Com ele pode-se definir as 
três funções seno, cosseno e tangente utilizando os módulos das potências 
produzidas: 
 
a) cos φ = P / S b) sen φ = Q / S tg φ = Q / P 
 
Como exercício, calcule o cosseno da bobina A e da B, além do cosseno total, 
utilizando os módulos de potência encontrados. Compare, então, com os valores 
encontrados nas páginas 40 e 41. 
____________________________________________________________________ 
 
 
Recomendação muito importante: 
 
A partir do claro entendimento de que o uso de bobinas em tensão / corrente 
alternada trouxe novidades e modificações relevantes na forma de ver e calcular os 
parâmetros elétricos, também se fará necessário uma férrea disciplina que imponha o 
uso destes novos conhecimentos. 
Assim, serão evitados erros muito comuns, tanto no correr da aprendizagem quanto 
logo, logo no ambiente de trabalho. 
 
Portanto, até prova em contrário: 
 
a) A lei de Ohm deverá ser: I = E / Z; 
 
b) A potência produzida deverá ser: S = E . I ou S = I2 . Z ou S = E2 / Z 
 
Também, 
 
c) Resistências não defasam a corrente; 
d) Reatâncias “puras” defasam a corrente em atraso de 90°; 
e) Reatâncias indutivas “puras” não existem no mundo real: 
 (foram criadas para entendimento); 
f) Em cargas resistivas (apenas R) a impedância é igual à resistência; 
g) Nas cargas resistivas, pode-se usar a lei de Ohm I = E / R; 
___________________________________________________________________________ 
 
 
09. Circuitos Paralelos em CA, com Resistências e Reatâncias Indutivas Ideais 
 
A ligação de resistências e reatâncias em paralelo envolverá o mesmo conhecimento 
abordado nas ligações em série recém vistas. Haverá, no entanto, diferenças por 
conta das particularidades de um circuito em relação ao outro. 
No paralelo tem-se uma tensão e várias correntes somadas via Pitágoras. 
Com a lei de Ohm serão calculadas as correntes usando-se a única tensão dividida 
por cada resistência e / ou por cada reatância. 
 
A impedância do circuito será calculada com as fórmulas do paralelo, elevando-se 
ao quadrado cada uma das dificuldades– modelo Pitágoras. 
 47 
Diversas resistências e / ou diversas reatâncias podem ser transformadas numa só, 
equivalente, com as fórmulas do paralelo porém, aritmeticamente. 
A produção das potências vai ocorrer como no circuito série. Todavia, é necessário 
lembrar: a tensão é única para cada resistência e para cada reatância. A corrente é 
que será particular para cada R e para cada XL havendo, ainda, a corrente total. 
Examine-se um circuito e suas fórmulas 
 
 
IR = E / R ; IL = E / XL ; IT = E / Z ou IT
2 = IR
2 + IL
2 
 
1 = 1 + 1 ou Z2 = R2 . XL 
2 
 Z2 R2 XL
2 R2 + XL
2 
 
 P = E . IR ; Q = E . IL ; S = E . IT ou S = √ P
2 + Q2 
 
O cálculo do cos, do sen e da tg usando impedância, resistência e reatância exigirá a 
inversão das frações respectivas. Usando as correntes e potências, nada muda. 
 
 
cos φ = Z = IR = P ; sen φ = Z = IL = Q ; tg φ = = R = IL = Q 
 R IT S XL IT S XL IR P 
 
Neste estágio do conhecimento os circuitos em paralelo serão puramente teóricos. As 
resistências / resistores serão reais. As reatâncias indutivas serão ideais (sem 
resistência elétrica). 
 
Se duas ou mais impedâncias com defasagens diferentes entre 0° e 90° estiverem 
ligadas em paralelo, as suas correntes não poderão ser somadas nem 
aritmeticamente nem via Pitágoras. 
 
A melhor solução será pelos números complexos. Entretanto, sem os números 
complexos e com algum trabalho adicional – à semelhança do que se fez no circuito 
série - pode-se encontrar a corrente total. Mais adiante, voltaremos a esta solução. 
 
Exemplo de aplicação - teórico: 
Um circuito paralelo ligado a 120 V CA é composto por quatro ramais. No primeiro há 
um resistor de 60 ohm, no segundo uma reatância indutiva de 40 ohm, no terceiro 
ramal outra reatância indutiva, de 160 ohm e, no quarto ramal, um resistor de 300 
ohm. 
Determinar: 
a) Cada uma das correntes parciais e a total 
b) A impedância do circuito 
c) A potência ativa em cada ramal onde ela ocorre e a ativa total 
d) As potências reativas individuais e a reativa total 
e) A potência aparente do circuito, o cosseno “fi” e o ângulo de defasagem 
 48 
As correntes individuais: I1 = E / R1 = 120 / 60 = .................I1 = 2 A 
 I2 = E / XL2 = 120 / 40 = ................................ I2 = 3 A 
 I3 = E / XL3 = 120 / 160 = ................................I3 = 0, 75 A 
 I4 = E / R4 = 120 / 300 = ...............I4 = 0, 4 A 
 
Para a corrente total serão somadas aritmeticamente, antes, a I1 e a I4; será a IRT. 
Também serão somadas aritmeticamente a I2 e a I3: será a ILT. 
 
 IRT = I1 + I4 = 2, 0 + 0, 4 =....................... IRT = 2, 4 A 
 ILT = I2 + I3 = 3, 0 + 0, 75 = ........................................... ILT = 3, 75 A 
 
Agora as correntes IRT e ILT podem ser somadas via Pitágoras: 
 
 IT = √ IRT
2 + ILT
2 = 2, 4 2 + 3, 752 =.................. IT = 4, 45 A 
 
A impedância do circuito pode ser calculada pela lei de Ohm e pelas fórmulas do 
paralelo – a geral e a particular. Vamos calcular pelas três. 
 
Por Ohm: Z = E / IT = 120 / 4, 45 = ............................................Z = 26, 97 Ω 
 
Pelas fórmulas do paralelo é necessário encontrar, primeiro, a RT e a XLT. Não 
esqueça que a soma somente entre as Rs e somente entre as XLS deve ser aritmética 
mas, agora, com as fórmulas do paralelo: 
 
 RT = (R1. R4) / (R1 + R4) = (60 x 300) / (60 + 300) =.......... RT = 50 Ω 
 
 XLT = (XL2. XL3) / (XL2 + XL3) = (40 x 160) / (40 + 160) =.......................... XLT = 32 Ω 
 
A impedância será também com as fórmulas do paralelo, porém tudo ao quadrado. 
Iniciando com a fórmula do “um vezes o outro dividido por um mais o outro”: 
 
 Z2 = (RT
2. XLT
2) / (RT
2 + XLT
2) = (502 x 322) / (502 + 322)..... Z = √ 726 ..... Z = 26,95 Ω 
 
Agora, como treinamento, o mesmo cálculo pela fórmula geral: 
 
 1 / Z2 = (1 / RT
2) + (1 / XLT
2) = (1 / 502) + (1 / 322)........ 1 / Z2 = 3.524 / 2.560.000 
 
Invertendo as duas frações ...Z2 = 2.560.000 / 3.524 = 726....Z = √ 726......Z = 26,95 Ω 
 
É evidente que a solução mais simples é determinar a impedância pela lei de Ohm. 
 
A potência ativa acontecerá nos ramais 1 e 4, onde há as resistências: 
 
P1 = E. I1 = 120 x 2 =....... P1 = 240 W P2 = E. I2 = 120 x 0, 4 =....... P2 = 48 W 
 
A potência ativa total será a soma das duas: PT = P1 + P2 = 240 + 48 = .... PT = 288 W 
 
A potência reativa acontecerá nos ramais 2 e 3, onde há as reatâncias: 
 
Q2 = E. I2 = 120 x 3=....... Q2 = 360 VAR Q3 = E. I3 = 120 x 0,75 =........Q3 = 90 VAR 
 49 
A potência reativa total será: QT = XL2 + XL3 = 360 + 90 =.......... QT = 450 VAR 
 
A potência aparente do circuito será obtida pela soma vetorial (via Pitágoras) das 
potências real e reativa (as totais) ou pelo produto da tensão pela corrente total: 
 
 S = E. IT = 120 x 4, 45 =............................................................ S = 534 VA 
ou 
 S = √ PT
2 + QT
2 = √ 2882 + 4502 =....................................................... S = 534 VA 
 
O cosseno “fi” e o seu ângulo poderão ser determinados por três caminhos: 
 
Com as potências: cos φ = PT / S = 288 / 534 =............cos φ = 0,54...........φ = 57, 3° 
 
Com as correntes: cos φ = IRT / IT = 2,4 / 4, 45 =............cos φ = 0,54...........φ = 57, 3° 
 
Com as dificuldades: cos φ = Z / RT = 26, 95 / 50, 0..... cos φ = 0, 54......... φ = 57, 3° 
 
Observação: 
a) as potências parciais e as totais, tanto as ativas quanto as reativas, poderiam 
ser calculadas por qualquer uma das outras fórmulas da potência. 
b) Organizado um formulário completo, é comum haver mais do que um caminho 
para as diversas soluções a serem buscadas. 
____________________________________________________________________ 
 
09.1. Cosseno “fi” (cos φ) ou Fator de Potência (FP) 
 
No caso dos circuitos paralelos, que é a grande maioria das ligações feitas com as 
cargas em sistemas monofásicos, o cosseno φ, também denominado Fator de 
Potência – FP – ganha grande importância para o sistema elétrico como um todo. 
 
]Ele é o indicador do aproveitamento elétrico da carga ou da instalação, pois 
correlaciona a potência ativa, real, útil, efetiva – aquela que se transforma em 
outra - com a aparente – que é toda que o gerador deve fornecer, ou seja, a total. 
Transformado em porcentagem, o cos φ = 0, 54 do problema anterior, equivale a 54 
%; e indica um mau aproveitamento da potência total “pedida” pelas cargas. 
 
Praticamente, apenas a metade de toda a potência fornecida é transformada em 
outra forma de potência. Logo, há muita potência reativa – aquela quem vem da 
fonte pedida pela carga e, num intervalo de tempo posterior, é devolvida ao gerador. 
 
 
09. 2. Os Aparelhos / Equipamentos Elétricos e a “Visão” da Fonte de Tensão 
 
Os muitos aparelhos / equipamentos elétricos de uso cada vez mais disseminado nos 
dias que correm são “vistos”, eletricamente, pela fonte de tensão de forma bastante 
simplificada. Como já se enfatizou, a fonte vê o todo. Vê a impedância. 
Esta impedância pode ser uma resistência elétrica equivalente ou uma resistênciaequivalente ligada em série com uma reatância equivalente. Ou, simplesmente, uma 
resistência em série com uma reatância – uma simples bobina real. Portanto, 
independentemente da quantidade de componentes eletro / eletrônicos e da 
 50 
complexidade das suas interligações internas, ao ligar o aparelho a uma tomada, a 
uma rede elétrica, a fonte “vê” apenas o seu todo, a sua impedância. 
 
A grande maioria dos aparelhos / equipamentos elétricos, seja de uso residencial, 
seja de uso industrial, apresenta-se com sua impedância igual a uma resistência 
ou igual a uma resistência em série com uma reatância indutiva. Assim, ligados a 
uma tensão alternada, fazem circular uma corrente em fase com a tensão ou fazem a 
corrente circular em atraso em relação à tensão. São as denominadas cargas 
resistivas e / ou as cargas indutivas (reativa-indutiva). 
 
Abaixo estão relacionados alguns exemplos das chamadas cargas resistivas 
 
 a) Chuveiro e Cafeteira b) Forno c/ resistência para assados 
 c) Alisador de cabelos (“chapinha”) d) Ferro de passar roupa 
 e) Ferro de soldar (solda fraca com estanho) f ) Lâmpada halógena 
 g) Lâmpada incandescente h) Aquecedor a óleo 
 i) Forno industrial para tratamento térmico 
 
São exemplos de cargas indutivas ou reativa-indutivas 
 
a) Lâmpadas fluorescentes (tubular ou compacta), vapor de mercúrio, de sódio 
b) Motor elétrico (qualquer aparelho / equipamento que o utilize) 
c) Televisor, aparelho de som, Dvd, Toca CD 
d) Máquinas de solda ou de corte com eletrodos e arco elétrico 
 e) Forno de micro-ondas 
 f ) Fornos industriais a arco elétrico g) Fornos industriais de indução 
 
Os motores elétricos de indução monofásicos e trifásicos e a maioria dos 
equipamentos de uso industrial ou comercial de porte maior trazem na sua placa de 
características a indicação do seu fator de potência. Os reatores das lâmpadas 
fluorescentes tubulares, vapor de mercúrio e de sódio mais as fluorescentes 
compactas também apresentam aquela informação. 
Mais adiante, ainda neste trabalho, será abordado o tema correção do fator de 
potência, ou seja, como melhorar, compensar um baixo fator de potência em 
circuitos monofásicos. 
 
09. 3. Diagrama Fasorial (vetorial) em Circuitos Paralelos Teóricos 
 
É importante saber traçar um diagrama fasorial (vetorial) pois, até antes de efetuar 
cálculos, pode-se visualizar o comportamento de uma carga ou de uma instalação 
mais completa. Quando corretamente feito e interpretado, o diagrama facilita a 
visualização de como se distribuem as tensões, como circulam as correntes, como se 
manifestam as potências etc. 
 
Também é relevante trocar o nome do vetor para fasor. 
O motivo é justificado. Um vetor simboliza uma força existente que pode e, em muitas 
ocasiões, provoca movimentações. 
O fasor simboliza uma força em movimento que é a tensão. Relembrando a 
geração de uma tensão alternada, a cada milisegundo de tempo decorrido, o seu 
 51 
módulo – a sua força capaz de movimentar elétrons – se modifica. Daí a idéia da 
força em movimento. 
Pela íntima relação da tensão com a corrente ela, a corrente, mesmo não tendo a 
definição de força como a tensão, também será simbolizada pelo fasor. 
Por facilitação ao aprendizado e para simplificar discussões técnicas, também as 
potências, serão representadas por fasores. 
 
Os fasores tensão e corrente sempre estarão representando as respectivas 
ondas senoidais geradas pelos alternadores. Portanto, estarão em movimento ao 
longo do tempo, como as senóides. 
 
Seus desenhos são mais fáceis de fazer. Devidamente compreendidos, substituirão 
com largas vantagens as senóides. Mostrarão, de forma clara, as grandezas elétricas 
em fase e defasadas, com seus respectivos ângulos. 
Também permitirão encontrar resultados de forma gráfica, isto é, medindo os fasores. 
Logicamente, o desenho deve ser feito em escala. 
 
Ao representarmos as senóides ou as examinarmos num osciloscópio, percebemos a 
sua movimentação da esquerda para a direita ao longo do tempo. Os fasores 
reproduzirão este movimento quando os “enxergarmos” girando no sentido anti-
horário, ou seja, para a esquerda. Logo, um fasor que gira “atrás” de outro está 
atrasado em relação a ele. A seguir há o desenho de um fasor e, ao lado, um fasor 
corrente elétrica atrasado de 30° em relação a um fasor tensão. 
 
 
 
 
Para um aprendizado mais completo, vamos traçá-lo de duas maneiras diferentes: a 
primeira, apenas com as correntes em cada ramal, a corrente total e o ângulo de 
defasagem φ do circuito. Usaremos a escala 20 : 1 para os módulos das correntes. 
Siga as instruções para aprender a traçá-lo. 
 
1° diagrama: 
 
a) Traçar uma linha horizontal com 100 mm de comprimento. Coloque uma 
pequena seta na extremidade direita. Esta será o fasor tensão E. Como a 
tensão é única, pois o circuito é paralelo, seu comprimento não precisa seguir 
nenhuma escala. Basta que seja maior do que os outros fasores já que ele 
servirá de referência no diagrama. 
b) Da origem do fasor E e sobre sua linha, traçar um fasor corrente do primeiro 
resistor com comprimento de 40 mm; colocar a seta na extremidade direita. 
Será I1 . Este fasor, (esta corrente) estará em fase com o fasor tensão. 
c) A partir do final do fasor I1 traçar para baixo, em ângulo de 90°, uma linha com 
60 mm. Não esqueça a seta na sua extremidade inferior. Será o fasor I2 . Esta 
corrente está defasada em atraso de 90° em relação à tensão E. 
 52 
d) A partir do final do fasor I2 traçar uma linha horizontal com 8 mm com a seta no 
seu final. Este será o fasor I4 também em fase com a tensão E. Observe que 
este último fasor não está sobre o fasor tensão, mas sim abaixo dele – como 
e) ambos são paralelos no diagrama, entenda que o fasor tensão foi rebaixado de 
forma oculta, o que é perfeitamente válido. 
f) Do final do fasor I4 trace para baixo, em ângulo de 90°, o fasor I3 com 15 mm. 
Lembre que esta corrente está defasada em atraso de 90° em relação à 
tensão. 
g) A soma dos quatro fasores corrente no diagrama será obtida traçando-se uma 
linha a partir do início do fasor I1 até o final do fasor I3, o último a ser 
desenhado no diagrama. Este será o fasor IT. 
h) Colocada uma escala sobre o fasor IT deve ser encontrado o valor 89 mm. 
Dividindo-o por 20, a escala usada, encontra-se os 4, 45 A que o cálculo 
definiu. O ângulo formado pelo fasor IT com o fasor E é o ângulo φ do circuito. 
Medindo com um transferidor deve-se achar 57, 3°, valor encontrado no 
cálculo a partir da função cosseno. 
 
Analise o diagrama fasorial a seguir, traçado em acordo às instruções dadas. 
 
 
 
A 2ª maneira envolverá a corrente resistiva total, a corrente indutiva total, a corrente 
total do circuito e o ângulo φ de todo o circuito. Neste diagrama acrescentaremos, 
ainda, as potências ativa, reativa e aparente em seus totais. 
Para que o diagrama não fique muito grande usaremos a escala 15 :1 para as 
correntes e 1 : 7 para as potências. 
Para facilitar, encontre os valores em mm a serem usados no traçado do diagrama 
previamente usando as escalas escolhidas. 
 
2º diagrama 
 
a) Trace o fasor tensão com 100 mm na horizontal. 
b) Trace sobre o fasor tensão e a partir da sua origem o fasor IRT com 36 mm 
(lembre: E e IRT estão em fase). 
c) Trace para baixo a 90° e a partir do final de IRT, com 56 mm, o fasor ILT. 
 53 
d) Do início de IRT até o final de ILT trace o fasor IT. Medindo seu comprimento 
deve-se encontrar 66,8 mm que, divididos por 15 da escala utilizada, darão os 
4, 45 A encontrados no cálculo. 
e) Com o transferidor se encontrará o ângulo φ = 57, 3°. 
f ) Da origem do fasor tensão e sobre ele trace o fasor PT com 41 mm. 
g) Do final de PT trace para baixo a 90° o fasor QT com 64 mm. 
h) Junte o início de PT com o final de QT traçando o fasor S. Medindo-o deve-se 
encontrar 76,3 mm. Multiplicando-se pelo 7 da escala, tem-se os 534 VA do 
cálculo. Com o transferidor se confirma o ângulo φ = 57, 3°. 
 
Analise o diagrama fasorial a seguir, traçado em acordo às instruções dadas. 
 
 
____________________________________________________________________ 
 
 
Obs:. Aprendido o traçado do diagrama, você poderá dispensar a escala calculada 
para executá-lo. Basta traçar cada fasor com um comprimento visualmente 
proporcional ao valor encontrado nos cálculos. O importante é tornar visíveis as 
relações entre eles e as defasagens que os componentes produzem. 
____________________________________________________________________ 
 
 
10. Correção / Melhoria do Fator de Potência em Circuitos Monofásicos 
 Básico sobre Capacitores 
 
10.1. O fator de potência (FP) ou cosseno fi (cos φ) 
 
Como já abordado, é necessário enfatizar sua importância como indicador elétrico, 
pois demonstra quanto de toda a potência produzida por uma carga (S) é, de fato, 
transformada em outra(s) forma(s) de potência (P). Este indicador, além de 
calculável, consta da placa de características dos aparelhos / equipamentos elétricos 
e pode ser medido com um cosfímetro ou medidor de FP. 
 
Recorde-se: é resultado da influência das reatâncias indutivas que se manifestam 
sempre que bobinas e, em especial, bobinas com ferro são usadas com tensões / 
correntes alternadas. Elas são responsáveis pela potência reativa produzida pelas 
 54 
reatâncias – vem embutida na aparente que a rede deve fornecer e, após, é devolvida 
ao alternador. Ela não se transforma em outra forma de potência. Assim, deve ser 
considerada uma perda elétrica. Elevada potência reativa faz a potência aparente ser 
grande o que resulta em fator de potência baixo – ver as fórmulas : 
 
 cos φ = P / S e S = √ P2 + Q2 
 
Alguns cuidados especiais na construção das máquinas e equipamentos contendo 
aquelas reatâncias fazem o fator de potência ser melhor – mais próximo de FP = 1. 
Igualmente se deve lembrar que é a carga, o equipamento, que fará, pelas suas 
características, o reparte da potência aparente em ativa e em reativa. 
 
Toda a potência aparente (S) será usada ao longo do tempo em que a carga estiver 
em uso. Logo, deve-se falar em consumo de energia elétrica. Entretanto, a medição 
do consumo de energia não pode ser feita diretamente pela potência aparente x o 
tempo do equipamento ligado. Não há medidor para “energia elétrica aparente”. O 
processo é, então, separado em duas formas de medição de acordo com o tipo de 
consumidor. 
 
10. 2. Consumo de Energia Elétrica Ativa e Reativa 
 
a) Consumidores residenciais – Estes têm medida apenas a potência ativa 
utilizada multiplicada pelo tempo de utilização – é denominada energia elétrica 
ativa. Mede-se com o já conhecido quilowatthorametro, ou seja, o medidor de 
KWh. A energia elétrica reativa, resultado das cargas 
reativas do consumidor, não é medida. As concessionárias consideram o fator 
de potência deste tipo de consumidor como sendo FP = 1. Ele paga tão 
somente, portanto, a energia ativa utilizada. O preço do quilowatthora é mais 
alto do que o do outro tipo de consumidor. 
 
Obs.: Todas as definições relativas ao sistema tarifário do consumo de energia 
elétrica são política de Governo, do Federal, no caso. Esta política é levada a efeito e 
controlada pela Agência Nacional de Energia Elétrica – ANEEL. 
Este assunto deverá ser estudado com mais detalhes adiante. 
 
b) Consumidores Comerciais e Industriais – Estes têm dois medidores de 
energia elétrica (ou ambos incorporados no mesmo aparelho, neste caso, 
eletro-eletrônico): o quilowatthorametro ou medidor de KWh e o medidor de 
energia elétrica reativa ou medidor de KVARh. ......................... A energia ativa 
consumida é integralmente cobrada............................................A energia reativa 
pode não ser cobrada desde que o fator de potência, ao logo do período de 
medição, tenha estado igual ou maior do que 0, 92. Estando abaixo desde 
valor, será cobrada a energia reativa utilizada até o valor FP = cos φ = 0, 92. 
Este consumidor fica sujeito, ainda, a eventuais multas por ter um “cosseno fi” 
muito baixo. 
 
Entenda-se que a cobrança da energia reativa tem a sua lógica já que, além do 
alternador, todo o sistema de transmissão e distribuição – linhas, subestações, 
transformadores etc – devem gerar e entregar para a carga toda a energia / 
 55 
potência por ela solicitada (S), sendo obrigada a receber de volta a energia / 
potência reativa (Q) que ela mesma, a carga, pediu. 
 
Para o pagador da conta de energia elétrica, a reativa é uma despesa adicional. 
Daí o interesse em corrigir, melhorar o fator de potência tornando-o igual ou 
maior do que 0, 92, evitando-se a cobrança da energia reativa e as multas. 
 
Para o sistema elétrico como um todo, quanto mais próximo de 1 estiver o FP de 
todas as cargas a ele ligado, menor pode ser a potência aparente fornecida aos 
consumidores. Haverá, assim, disponibilidade de potência do sistema para 
fornecimento a outros eventuais consumidores. 
 
Para tornar mais clara esta idéia imagine que determinada indústria tem uma 
potência ativa de 112, 5 KW com fator de potência 0, 75. Calcula-se a potência 
aparente a ser fornecida pelo transformador que converte a AT em BT: 
 
 cos φ = P / S ......... logo S = P / cos φ = 112, 5 / 0, 75 ......... S = 150 KVA 
 
Se o fator de potência fosse o mínimo determinado pela ANEEL, 0, 92 – ou fosse 
corrigido / melhorado para 0, 92 – a potência aparente do transformador poderia 
ser : 
 cos φ = P / S ......... logo S = P / cos φ = 112, 5 / 0, 92 ......... S = 123 KVA 
 
Haveria, pois, 27 KVA de disponibilidade naquele transformador (ou sua potência 
aparente especificada poderia ser menor). Neste caso, a linha de AT teria folga 
para atender a outro(s) consumidor(es). 
 
Se o FP daquela indústria fosse 1, o trafo poderia ser de 112, 5 KVA. E a 
disponibilidade de potência seria maior, de 37, 5 KVA. 
 
Além das vantagens para o sistema elétrico como um todo o consumidor não 
pagaria a potência reativa que suas cargas produzem, nem ficaria sujeito às 
eventuais multas pelo cos φ baixo. 
 
A todas estas considerações deve-se acrescentar a redução do valor da corrente 
circulante pelas instalações elétricas que alimentam as diversas cargas . Lembrar 
que I = S / E. Se a potência aparente for menor, a corrente também será menor. 
Em instalações elétricas já existentes, haverá menores perdas de tensão nos 
condutores, nos transformadores etc, com consequente menor aquecimento – 
menor perda Joule - e melhoria no nível geral de tensão da instalação. 
Em redes elétricas a serem construídas, sendo a melhoria do FP planejada, pode-
se empregar condutores com menor secção, menor custo, menor ocupação nos 
eletrodutos etc. 
 
A melhoria / correção do fator de potência pode ser feita com dois tipos de 
componentes: os capacitores ou condensadores e os motores síncronos. 
Neste momento do aprendizado se abordará, apenas, a melhoria com os 
capacitores.e em instalações monofásicas. Mais adiante deverá ser estudada a 
correção com os motores síncronos e, também, com capacitores mas nas redes / 
instalações trifásicas. 
 56 
10. 3. O Capacitor ou Condensador – Constituição e Funcionamento 
 
O capacitor é um “armazenador de tensão”, constituídode duas placas ou lâminas 
metálicas, separadas por um isolante – também chamado dielétrico. Usualmente, 
estas lâminas são enroladas em espiral com o isolante entre elas, como se fosse um 
doce chamado “rocambole”. Assim se diminui seu tamanho físico. Duas de suas 
extremidades ficam eletricamente separadas no interior da espiral. Nas outras duas, 
as externas da espiral, há um terminal de saída em cada uma delas. 
 
Símbolos: Valor único Ajustável 
 
 
Ligado a uma tensão contínua, se carrega acumulando cargas elétricas – excesso 
de elétrons em uma das placas e falta de elétrons na outra, ou seja, acumula tensão 
até chegar ao mesmo nível da tensão aplicada. Neste momento, cessa a 
movimentação das cargas elétricas. Desligado da fonte que o carregou, pode-se 
medir a tensão “guardada”. 
 
A movimentação de cargas ocorre apenas no interior do dielétrico. De um de seus 
lados para o outro lado. Não haverá movimentação de elétrons através do isolante. 
Se esse trespasse de elétrons acontecer, fica o capacitor inutilizado. 
A “pressão” exercida pela tensão aplicada nas placas / lâminas é que transforma 
muitos elétrons do dielétrico em elétrons livres. Daí, tais elétrons se movimentam para 
a placa ligada ao borne (–) da fonte enquanto sua falta de elétrons fica na placa (+). 
Uma vez carregado com tensão, se poderia remover as placas / lâminas pois o 
excesso / falta de elétrons, está no dielétrico. As placas apenas servem de área de 
contato com o isolante. 
Num capacitor em bom estado – com o isolante de fato na condição dielétrica – a 
tensão pode permanecer “guardada” durante bastante tempo. O que o descarrega 
lentamente, com frequência, é a umidade do ambiente, que permite a tênue 
circulação de elétrons pelo ar, entre seus terminais. 
 
O teste de um capacitor deve ser feito com o uso de tensão contínua, carregando-
o até o seu limite de tensão e verificando seu tempo de descarga. Se este tempo for 
pequeno – o capacitor se descarrega rapidamente – está danificado. Deve haver um 
“vazamento” de corrente internamente, por falhas no seu dielétrico. 
 
A descarga de um capacitor não deve ser feita por contato direto entre seus terminais 
– a corrente de descarga pode ser elevada em função da quantidade de cargas 
acumuladas, podendo gerar arcos elétricos perigosos e destrutivos. Usa-se um 
resistor cujo valor se estabelece pela tensão que ele pode ter acumulado e se faz a 
descarga com corrente de módulo menor e controlado. Lembrar a lei de Ohm. 
 
Segurança – nunca manuseie um capacitor sem ter a certeza de que está 
descarregado. A tensão em seus terminais pode ser elevada – ver o tópico 
seguinte (capacitor em CA). Esta tensão pode provocar até choques elétricos 
com queimaduras graves e, inclusive, a morte da pessoa atingida. 
Use um voltímetro para a constatação. 
 57 
Um capacitor alimentado com uma tensão contínua de valor nominal fará com que, no 
momento do fechamento do circuito, circule uma elevada corrente – o capacitor tem 
tensão zero enquanto a fonte tem valor nominal. Porém, rapidamente, a tensão no 
capacitor cresce, com o que a corrente tem seu módulo imediatamente reduzido. E 
cessa assim que ambos, fonte e capacitor, tenha a mesma tensão. 
É recomendável que em ensaios / testes, capacitores que acumulem grandes 
quantidades de cargas elétricas sejam alimentados por tensão variável e crescente, 
para evitar as correntes altas ao “ligá-los” à tensão 
 
Ligado a uma tensão alternada ele se carregará quando do crescimento da tensão 
num semi-ciclo e se descarregará quando a tensão da fonte diminuir no semi-ciclo 
seguinte. Como, na sequência, há troca de polaridade da fonte e novo crescimento da 
tensão, ele se carrega novamente com polaridade invertida. E, em seguida, 
novamente se descarrega. Este comportamento – se carrega, descarrega, se 
carrega, descarrega - se repete durante todo o tempo em que ele estiver ligado à 
alternada. Colocando-se um amperímetro para CA em série com um dos terminais, 
sempre haverá indicação de corrente – na carga, a I tem um sentido e na descarga 
tem sentido contrário. Mas, sempre haverá corrente. 
É importante entender que, por haver a indicação permanente de corrente circulante, 
não necessariamente o capacitor está com seu dielétrico / isolante danificado. Seu 
estado deverá ser avaliado com tensão contínua. 
 
Ligado a CA, o capacitor se carregará com a tensão de pico daquela alternada. 
Logo, ligado a 127 VCA, ele se carregará com 179, 6 V. 
 Ligado a 220 VCA ele se carregará com 311, 1 V. 
 (Lembrar: EP = √ EEF, sendo √ 2 = 1, 414). 
 
Desligando-o da CA, o capacitor não necessariamente apresentará a tensão de 
pico. A interrupção da senoidal de alimentação irá ocorrer em qualquer ponto do ciclo, 
desconhecido para quem opera o desligamento. Assim, qualquer valor de tensão e 
polaridade é admissível. 
 
No uso normal em CA, a descarga do capacitor é feita sobre o próprio circuito. Este 
fenômeno faz com ele promova o adiantamento da corrente em relação à tensão. 
O ângulo desta defasagem é de, praticamente, 90°. Um efeito justamente contrário ao 
que fazem as bobinas ligadas em CA. 
Esta qualidade peculiar dos capacitores é usada, então, para diminuir o atraso das 
correntes que circulam pelos circuitos com bobinas. Diminuindo este atraso, 
diminui-se o ângulo φ e se melhora o fator de potência. 
 
10. 4. Principais Grandezas e Características do Capacitor 
 
a) Capacitância ou Capacidade – é um número que identifica sua capacidade de 
acumular cargas elétricas. 
 Representação: C Unidade de medida o Farad ou F. 
 
b) Tem-se 1 Farad (1 F) quando o capacitor acumular 1 Coulomb de cargas 
elétricas e apresentar 1 Volt de tensão entre seus terminais. 
Lembrar que 1 Coulomb é 6,28 x 1018 elétrons reunidos em excesso ou em falta. A 
“carga elétrica” é representada por Q. Portanto, se Q = 1 C, entende-se que uma face 
 58 
do dielétrico tem 6, 28 x 1018 elétrons em excesso e a outra face do mesmo dielétrico 
tem os mesmos 6, 28 x 1018 elétrons em falta. 
Ainda, se a tensão entre seus terminais for de 1 V, a capacitância do será de 1 F. 
 
A relação entre capacitância, quantidade de cargas e tensão é dada por: 
 
 C = Q logo, poderemos Q = C . E e E = Q 
 E escrever também: C 
 
Acumular 1 C de cargas elétricas com tensão de 1 V é bastante difícil. Como as 
tensões de uso nos capacitores na Eletrotécnica são bem maiores do que 1 V, a 
capacitância terá valores bem menores do que 1 F. 
São comuns capacitâncias de miliFarad (mF), microFarad (μF), nanoFarad (nF) e 
picoFarad (pF). 
 
A capacitância dos capacitores é definida pelos materiais envolvidos, em especial o 
dielétrico e, também, pela sua forma construtiva. Há uma fórmula que correlaciona as 
três variáveis principais: 
 
 C = k . S sendo k = constante dielétrica (depende do material) 
 4.π.e S = área de um lado de uma das placas 
 e = espessura do dielétrico 
 4π = constante 
 
Verifica-se pelo exame da fórmula que: 
a) quanto maior a área do dielétrico maior a capacitância do capacitor 
b) quanto mais fino for o dielétrico, maior a capacitância do capacitor 
 
Obviamente, quanto mais fino o dielétrico mais facilmente ele pode “furar”, sofrer 
dano pela tensão aplicada entre as placas. Portanto, a qualidade isolante do material 
usadocomo dielétrico, conhecida como rigidez dielétrica, é que pode fazer um 
capacitor de pequenas dimensões ter maior capacitância. 
Por sua vez, formato “rocambole” permite maiores áreas com dimensões gerais mais 
reduzidas. 
 
10. 5. Características de Composição 
 
Há, basicamente, dois tipos de capacitores fabricados, com uma exceção. 
 
a) Capacitores eletrolíticos são os também chamados“polarizados”. Como o 
nome indica, tem polaridade definida e são usados apenas em CC. A indicação 
(+) e (–) existe em seus terminais ou no seu invólucro - no mínimo, um dos 
sinais. Também é usual uma referência escrita ou via símbolos de CC para o 
tipo de tensão. Em geral tem, na sua composição, um composto químico. São 
os de maior capacidade e de grande utilização nos aparelhos eletrônicos. 
b) Capacitores secos, assim denominados tecnicamente, são os de uso em 
tensão alternada. Logicamente não tem indicação (+) e (–) em seus terminais. 
Apresenta, em seu invólucro, uma indicação de CA – ou palavra ou símbolo. 
c) Capacitores eletrolíticos para CA são a exceção à regra. Pelos materiais 
próprios usados na sua fabricação, têm uma característica eletroquímica que 
 59 
aceita a troca de polaridade sistemática da CA. Logo, qualquer terminal pode 
ser o (+) ou o (–). Estarão identificados por símbolo ou letras: ≈ (uma ou duas 
senóides), AC , CA , VCA , VAC ou pela palavra alternada. São usados em CA 
para partida e funcionamento de alguns motores elétricos de indução e para a 
correção do fator de potência. 
 
Segurança – os capacitores eletrolíticos com um ou dois dos sinais (+ ou –) não 
podem ter a polaridade invertida nem devem ser ligados em tensão alternada. 
Podem até explodir com evidentes danos a quem os está manuseando. 
 
10. 6. Dados de Placa 
 
a) Capacitância ou capacidade expressa em mF, μF, nF ou pF. Nos capacitores 
de maior porte usados para a melhoria do fator de potência – “bancos” para 
sistemas trifásicos – é comum a identificação em KVAR capacitivos. 
b) Tensão de utilização. Neste caso é indicada a sua tensão nominal de uso, 
porém na forma de limite, ou seja, para “até” 250 V ou para “até” 500 V. 
c) Tensão de ruptura. Este valor, quando consta no capacitor, informa qual a 
tensão que “rompe” o seu dielétrico, isto é, a tensão a partir da qual o capacitor 
fica inutilizado por dano no seu material isolante. É mais encontrado em 
catálogos ou sites de fabricantes. 
d) Tipo de tensão. Através dos sinais (+) e (–),no caso para ECC, ou para ECA 
através da senóide ou de VAC ou VAC etc. 
e) Eletrolítico. A informação consta pelo uso da palavra ou pelos sinais (+) e (–). 
 
Segue-se dois exemplos da identificação mais comum: 
 
 - capacitor A ...........150.000 μF / 100 V / eletrolítico / (sinal + no terminal) 
 - capacitor B ..........................10 μF / 250 VAC / eletrolítico 
 
Há capacitores cujo invólucro contém dois ou mais capacitores. Neste caso, além da 
indicação das diversas capacitâncias, há dois terminais para cada um deles. 
 
10. 7. Ligação de Capacitores em Série e em Paralelo 
 
Os capacitores podem ser ligados entre si na forma série, paralela ou mista. Assim se 
obtém variadas capacitâncias, tensões e quantidade de cargas acumuladas. 
A determinação da capacitância total ou capacitância equivalente será feita com as 
fórmulas dos resistores porém, com uma alteração importante. 
 
 a) Para capacitores ligados em série usam-se as fórmulas da associação paralela: 
 CT = C1 . C2 / C1 + C2 ou a fórmula geral: para capacitores iguais: CT = C . n 
 
b) Para capacitores em paralelo, usam-se as fórmulas da associação série: 
 CT = C1 + C2 + ......... + Cn. Para capacitores iguais: CT = C / n 
 
Na literatura geral de Eletricidade são encontrados exercícios envolvendo as 
associações em série, em paralelo e, também na forma mista. A partir das fórmulas 
básicas apresentadas na página 58, pode-se determinar a tensão final em cada 
associação (ET) e, igualmente, a quantidade total de cargas acumuladas (QT). 
 60 
10. 8. Comportamento do Capacitor ligado numa CA 
 
Os capacitores usados em tensão alternada serão considerados uma reatância, 
similar àquela produzida pelas bobinas, portanto uma dificuldade para a circulação da 
corrente. Todavia, com a característica particular de adiantar a corrente em relação à 
tensão e depender, além da frequência, da capacitância do capacitor. As fórmulas 
são: 
 XC = ___1____ Sendo: XC = reatância capacitiva em ohm (Ω) 
 2. π. f . C f = frequência (Hz) 
 C = capacitância em Farad (F) 
 
Ligado o capacitor na CA, sua corrente será determinada pela lei de Ohm adaptada 
para esta situação: IC = E 
 XC 
O capacitor produzirá uma potência reativa capacitiva que será determinada pelas 
fórmulas já conhecidas e adaptadas para este caso: 
 
 QC = E . IC ou QC = I
2 . XC ou QC = E
2 / XC 
 
Obs.: A letra C, na forma de índice, está acrescentada para se diferenciar a potência 
reativa capacitiva Q e a corrente capacitiva I daquelas que envolvem as bobinas. Se a 
tensão também tiver característica capacitiva, deve ser identificada como EC. 
 
10. 9. Problemas resolvidos: 
 
01) Um capacitor de 50 μF foi ligado a uma CA de 127 V / 60 Hz. Determinar a 
potência reativa capacitiva que produzirá. 
a) Calcula-se a sua reatância capacitiva. Antes é necessário converter 50 μF 
em F: .................................................................50 μF = 0,000 050 F 
 
b) Agora se calcula XC: XC = 1 / 2 π f C = 1 / 2 x 3,14 x 60 x 0,000 050 
 XC = 1 / 0, 01884 .....................................XC = 53 Ω 
 
c) A corrente será: IC = E / XC = 127 / 53 ......................................IC = 2, 4 A 
 
d) A potência reativa capacitiva será: 
 QC = E . IC = 127 x 2, 4 ........... QC = 304, 8 VAR 
 
Obs.: Independentemente dos números é necessário lembrar que a corrente 
encontrada está adiantada de 90° em relação à tensão. Igualmente é preciso 
entender que, pelo processo “se carrega, se descarrega etc”, a potência reativa 
capacitiva num quarto do ciclo é fornecida pela fonte para o capacitor e no 
quarto de ciclo seguinte é devolvida, pelo capacitor, para a fonte. 
 
02) Tem-se ligados em paralelo um resistor de 24 ohm e um capacitor cuja reatância 
capacitiva é de 40 ohm. A tensão é 120 V. Determinar todas as correntes, a 
impedância do circuito, todas as potências, o fator de potência e o ângulo de 
defasagem da corrente total em relação à tensão. Determine, ainda, o tempo de 
defasagem da corrente em relação à tensão. Faça o desenho do circuito e olhe para 
ele ao examinar a interpretação na Obs. adiante. 
 61 
 
a) A corrente pelo resistor será: IR = E / R = 120 / 24 ................... ........ IR = 5 A 
 
b) A corrente pelo capacitor será: IC = E / XC = 120 / 40 ....................... IC = 3 A 
 
c) A corrente total será: IT = √ IR
2 + IC
2 = √ 52 + 32 = √ 34 .................. IT = 5, 8 A 
 
d) A impedância do circuito será: Z = E / IT = 120 / 5, 8 A ............... Z = 20, 7 Ω 
 
e) A potência ativa será: P = E . IR = 120 x 5 .................................... P = 600 W 
 
f) A pot. reat. capac. será: QC = E . IC = 120 x 3 ....................... QC = 360 VAR 
 
g) A potência aparente será: S = E . IT = 120 x 5, 8 ....................... S = 696 VA 
 
h) O fator de potência será: cos φ = P / S = 600 / 696 ............... cos φ = 0, 86 
 
i) O ângulo de defasagemserá: ...........φ = 30, 7°, I adiantada em relação a E. 
 
j) A corrente circula 1, 42 segundos adiantada em relação à tensão. Este 
valor é obtido pela regra de três: 90° ≡ 4,15 ms; 30, 7 ° ≡ X. 
 
Obs.: Fazendo-se a adequada interpretação dos números encontrados e do 
fenômeno físico que ocorre, tem-se: 
 
a) A corrente pelo resistor está em fase com a tensão. 
b) A corrente no ramal do capacitor está adiantada de 90° em relação à tensão. 
c) A corrente total circulará com um adianto de 30, 7° o que equivale a atingir 
seu valor de pico 1, 42 ms antes do valor de pico da tensão. 
d) Em acordo às regras do paralelo, o valor da impedância (dificuldade total do 
circuito) é menor do que a menor das dificuldades parciais. 
e) O resistor produz 600 W de potência ativa, real, que se converte em outra 
forma de potência – no caso, em calor. 
f) Os 360 VAR de potência reativa do capacitor estarão distribuídos em cada 
ciclo da seguinte forma: no primeiro quarto de ciclo vem da fonte para o 
capacitor – é quando ele se carrega com tensão; no quarto de ciclo seguinte a 
potência é devolvida para a fonte – é quando ele se descarrega; no terceiro 
quarto de ciclo, agora com polaridade invertida, ela vem da fonte – quando o 
capacitor se carrega novamente com tensão porém, com polaridade invertida; 
finalmente, no último quarto de ciclo o capacitor se descarrega e a potência é 
novamente devolvida para a fonte. Como não há transformação da potência 
elétrica reativa em outra potência, deve-se considerá-la uma perda elétrica – 
como a potência reativa indutiva – produzida pelas bobinas. A diferença 
substancial é que a corrente está adiantada em relação à tensão. 
g) A fonte deverá fornecer a potência total solicitada pelas duas cargas – o 
resistor e o capacitor. São os 696 VA da potência aparente. Dela, no entanto, 
apenas os 600 W é que se transformam em outra potência. Ao contrário das 
bobinas que criam campos magnéticos úteis, nesta condição de utilização o 
capacitor “atrapalha”. Ele defasa a corrente – adianta-a em relação à tensão e 
introduz a perda elétrica já referida no item anterior. Esta potência / energia 
 62 
reativa vai ser medida pelo medidor de energia reativa. Como o FP é menor 
do 0, 92, haverá a cobrança pela concessionária. 
h) O FP do circuito está abaixo dos recomendados 0, 92 e é capacitivo. 
 
Obs.: Este circuito foi “montado” propositalmente para um melhor entendimento de 
como o capacitor se comporta em CA. Na vida real, este circuito não tem nenhuma 
utilização. Lembre que o resistor, sozinho, faz o seu trabalho de gerar calor, sem 
necessidade de ter a parceria com o capacitor, para “atrapalhar”. 
No exercício seguinte, ficará clara a ajuda do capacitor já que foi bem utilizado. 
 
03) Estão ligados em paralelo a 120 V um resistor de 20 ohm, uma bobina ideal, 
(“pura” – sem R) de 30 ohm e um capacitor de 80 ohm. No ramal do capacitor há um 
interruptor que pode desligá-lo da alimentação. Determinar as mesmas grandezas do 
exemplo anterior, porém com o interruptor do capacitor desligado. 
Após, ligar o interruptor e calcular as grandezas que terão seus valores alterados. 
Faça o desenho do circuito e examine-o durante o desenvolvimento dos cálculos e, 
depois, na interpretação dos resultados. 
 
03.1 – Com o interruptor do capacitor aberto: 
 
a) A corrente pelo resistor será: IR = E / R = 120 / 20 ............. ............... IR = 6 A 
 
 b) A corrente pelo indutor será: IL = E / XL = 120 / 30 ........................... IC = 4 A 
... 
 c) A corrente total será: IT = √ IR
2 + IL
2 = √ 62 + 42 = √ 52 .................... IT = 7, 2 A 
 
 d) A impedância do circuito será: Z = E / IT = 120 / 7, 2 ................... Z = 16, 7 Ω 
 
 e) A potência ativa será: P = E . IR = 120 x 6 .................................... P = 720 W 
 
 f) A pot. reat. indutiva será: QL = E . IL = 120 x 4 ........................ QL = 480 VAR 
 
 g) A potência aparente será: S = E . IT = 120 x 7, 2 ........................ S = 864 VA 
 
 h) O fator de potência será: cos φ = P / S = 720 / 864 ................ cos φ = 0, 83 
 
 i) O ângulo de defasagem será: .............φ = 33, 9°, I atrasada em relação a E. 
 
 j) A corrente circula 1, 56 segundos atrasada em relação à tensão. Este valor 
 é obtido pela regra de três: 90° ≡ 4,15 ms; 33, 9 ° ≡ X. 
 
Obs.: A semelhança do exercício anterior, o FP está abaixo de 0, 92, com 
consequente pagamento adicional da energia reativa. Há diferenças pela provável 
utilização do campo magnético criado pela bobina e pela corrente que, agora, está 
atrasada em relação à tensão. 
 
03.2 - Com o interruptor do capacitor ligado. 
 
Pelas características do circuito paralelo – cargas independentes - as grandezas que 
envolvem o resistor e a bobina não mudam. No capacitor circulará corrente e se 
 63 
produzirá potência reativa capacitiva - ambas devem ser calculadas. Também devem 
ser revistos os valores que envolvem o conjunto do circuito. 
É necessário destacar, ainda, que as correntes e potências reativas da bobina e 
do capacitor se opõem – a corrente da bobina está atrasada de 90° e a do capacitor 
está adiantada de 90°. Será necessário, pois, adaptar este somatório no teorema 
de Pitágoras. 
 
a) A corrente pelo capacitor será: IC = E / XC = 120 / 80................................ IC = 1, 5 A 
 
b) A corrente total será: IT = √ IR
2 + (IL - IC)
2 = √ 62 + (4 – 1, 5) 2 = √ 42, 25....IT = 6, 5 A 
 
c) A impedância do circuito será: Z = E / IT = 120 / 6, 5............................... Z = 18, 5 Ω 
 
d) A pot. reat. capacitiva será: QC = E . IC = 120 x 1, 5........................... QC = 180 VAR 
 
e) A potência aparente será: S = E . IT = 120 x 6, 5..................................... S = 780 VA 
 
 Por Pitágoras: S = √ P2 + (QL – QC)
2 = √ 7202 + (480 – 180)2 ........... S = 780 VA 
 
f) O fator de potência será: cos φ = P / S = 720 / 780.............................. cos φ = 0, 92 
 
g) A defasagem será: .....φ= 23, 1°,..... I atrasada (menos atrasada), em relação a E. 
 
h) A corrente circula 1, 07 segundos atrasada em relação à tensão. Este tempo é 
obtido pela regra de três: ............................................ ....90° ≡ 4,15 ms; 23, 1° ≡ X. 
 
Obs.: 1. Examinando os resultados obtidos com o capacitor ligado e comparados 
 com ele desligado, conclui-se: 
 
a) Houve uma melhora, uma correção, do fator de potência – corrente menos 
defasada em relação à tensão. 
b) A impedância do circuito aumentou. Resultou, então, uma redução da 
corrente total e, por consequência, uma diminuição da potência aparente (a 
total) enviada pela fonte. 
c) A potência ativa, real, aquela que se transforma em outra, que é a que se 
 objetiva, permaneceu a mesma. 
 d) A energia reativa, anteriormente cobrada, com FP = 0, 92 deixa de ser paga. 
 e) Passa a haver disponibilidade de potência para eventual outra utilização pois 
 a potência aparente necessária se reduziu. 
 
 2. A partir deste exemplo simples faça uma amplificação para um grande 
consumidor - uma indústria ou um grande centro comercial. A instalação de 
capacitores trará grande economia nas faturas de energia elétrica reativa e nas 
eventuais multas pelo baixo FP. 
Em instalações existentes haverá menor queda de tensão nos condutores devido a 
redução da corrente, com melhora da tensão da rede. Se a correção for prevista 
antes da execução das redes, poderão ser usados condutores de menor secção,eletrodutos de menor diâmetro etc. Igualmente poderá haver disponibilidade de 
potência tanto para o consumidor, como para a concessionária já que a potência 
aparente será menor. 
 64 
10. 10. Cálculo da Potência Reativa Capacitiva / da Capacitância do Capacitor 
 para uma Correção / Melhoria do Fator de Potência 
 
O cálculo da potência reativa que o capacitor deve produzir é direto e simples. 
 
A fórmula: QC = P. (tg φ1 – tg φ2) 
 
 sendo: QC = potência reativa capacitiva a ser produzida pelo capacitor em VAR 
 P = potência ativa, real, útil da carga ou circuito em W 
 φ1 = ângulo de defasagem atual da carga ou circuito em grau 
 φ2 = ângulo de defasagem pretendido para a carga ou circuito em grau 
 
Os ângulos serão obtidos a partir do cosseno φ atual e do cosseno φ pretendido. 
 
A capacitância do capacitor se obterá através das fórmulas da potência, da lei de 
Ohm e da reatância capacitiva. 
 
Exemplo. Um motor monofásico 2 CV / 127 V / rend. 78 % / cos φ 0,76 deve ter seu 
FP corrigido para 0,92. Determinar a potência reativa capacitiva e a capacitância do 
capacitor a ser instalado. 
 
a) Converte-se 2 CV = (PMEC) em (PEL): 2 CV = 2 x 736 W............PEL = 1. 472 W 
 
b) Com o rendimento se determina a P (potência ativa) fornecida pela rede: 
 P = 1. 472 / 0, 78..........P = 1. 887 W 
 
c) Do FP de placa (0, 76) busca-se o ângulo φ1 e a tg φ1 ......... 
 .................. φ1 = 40, 5° e tg φ1 = 0, 86 
 
d) Do FP 0, 92 se busca o φ2 e a tg φ2 :...................... φ2 = 23, 1° e tg φ2 = 0, 43 
 
e) Calcula-se QC = P. (tg φ1 – tg φ2) = 1. 472 x (0, 86 – 0, 43) ....... QC = 633 VAR 
 
Logo, a potência reativa a ser produzida pelo capacitor deve ser de 633 VAR. 
 
A capacitância será determinada como segue: 
 
f) A corrente no ramo do capacitor será: IC = QC / E = 633 / 127 ......... IC = 5, 0 A 
 
g) A reatância capacitiva será: XC = E / IC = 127 / 5, 0 .......................XC = 25, 4 Ω 
 
h) A capacitância será: C = 1 / 2π f XC = 1 / 2 x 3, 14 x 60 x 25, 4 ........................ 
 C = 0, 000 104 F......convertendo e arredondando ....C = 100 μF 
 
Como esta correção / melhoria do fator de potência é de um motor monofásico, a 
compra do capacitor é identificada pela sua capacitância e sua tensão de operação. 
No caso, se compraria um capacitor de 100 μF / 250 VAC / eletrolítico ou seco. 
 
Outro exemplo. Uma quadra de esportes está iluminada por doze lâmpadas de 
vapor de mercúrio (VM). No reator consta: 250 W / 220 V / FP 0, 65 / η 0, 70. 
 65 
Determinar o capacitor para a correção do FP para 0, 95. Calcular, também as 
correntes totais antes e depois da correção. 
 
a) Potência das doze lâmpadas: P12 = 12 x 250............................. P12 = 3. 000 W 
 
b) Potência ativa com o rendimento: P = 3. 000 / 0,70...................... P = 4. 286 W 
 
c) Potência aparente (total): S1 = P / cos φ1 = 4. 286 / 0, 65......... S1 = 6. 594 VA 
 
d) Corrente total sem o capacitor: IT1 = S1 / E = 6. 594 / 220................... IT1 = 30 A 
 
d) Ângulo φ1 e tg φ1.................................................... φ1 = 49, 5° e tg φ1= 1, 17 
 
e) Do cos φ2 = 0, 95 busca-se φ2 e tg φ2.................... φ2 = 18, 2° e tg φ2= 0, 33 
 
f) QC = P. (tg φ1 – tg φ2) = 4. 286 (1, 17 – 0,33)........................ QC = 3. 600 VAR 
 
g) Corrente no ramal do capacitor: IC = QC / E = 3. 600 / 220.............. IC = 16, 4 A 
 
h) Reatância capacitiva do capacitor: XC = E / IC = 220 / 16, 4 =........ XC = 13, 4 Ω 
 
i) Capacitância do capacitor: C = 1 / 2π f XC = 1 / 2 x 3, 14 x 60 x 13, 4........ 
 C = 0, 000 198 F..... convertendo e arredondando.... C = 200 μF 
 
i) Potência aparente com o capacitor: S2 = P / cos φ2 = 4. 286 / 0, 95.............. 
 ............. S2 = 4. 512 VA 
 
j) Corrente total com o capacitor: IT2 = S1 / E = 4. 512 / 220.............. IT1 = 20, 5 A 
 
Pelos resultados apurados neste exemplo, houve uma redução de ± 30 % no valor 
da potência aparente (a total) com consequente redução de, também, ± 30 % no 
valor da corrente total. 
Acrescente-se que a energia reativa anteriormente paga não precisará mais ser 
cobrada. 
 
Ficam bem evidentes os ganhos com a melhoria do fator de potência. 
 
Obs.: 1. No exemplo da correção do FP do motor elétrico, foi usado o rendimento de 
placa para determinar toda a potência ativa que a rede deve fornecer. Em muitos 
casos da vida real, é comum usar-se apenas a potência mecânica de placa do motor. 
Isto é válido porque o regime de trabalho efetivo do motor nem sempre exige sua 
potência total. Ele, comumente, está sobre-dimensionado. O regime variável de 
solicitação de potência pela carga mecânica também justifica esta escolha. 
Já no caso do exemplo envolvendo as lâmpadas deve-se considerar o rendimento. 
 2. Os cosfímetros tem indicações de FP indutivo – corrente atrasada – e FP 
capacitivo – corrente adiantada. Os analógicos, diferentes de outros medidores, não 
tem o zero na sua escala. O valor destacado é o 1, no centro de sua escala, que 
indica corrente em fase. Movimentando-se para a direita indicará valores menores do 
que 1 - até ± 0, 40 indutivo - e, para a esquerda, indicará até 0, 40 capacitivo. 
____________________________________________________________________ 
 66 
11. Exercícios com Cálculos em Tensão Alternada 
 Circuitos série e paralelo + Correção Cos φ 
 
Instruções: Estude o texto que segue e resolva os pedidos e problemas 
apresentados. Não esqueça de colocar a(s) resposta(s) na(s) linha(s) em destaque. 
 
Revisão de conceitos: 
Indutância é a propriedade que uma bobina apresenta de induzir tensão nela mesma 
ou em outra. Diz-se auto-indução ou mútua indução. Em CC, a indução de tensão só 
ocorrerá quando a corrente variar: ou porque é pulsante – assim a indução ocorre 
sempre - ou porque acontece nos momentos de ligar e desligar o circuito com a bobina. 
Em CA a indução acontece sempre – quatro vezes em cada ciclo. Quando é na 
própria bobina, a tensão induzida será sempre menor do que a tensão aplicada. E 
sempre será oposta. Se pudessem ser mostradas em um osciloscópio, a aplicada 
estaria crescendo no 1° quadrante enquanto que a induzida estaria crescendo no 4° 
quadrante – com polaridade contrária. 
Da tensão aplicada se diminuirá o valor da tensão induzida. Portanto, lembrando a lei de 
Ohm, ficará reduzido o módulo da corrente que cria o fluxo magnético que induz a 
tensão. Há, ainda, uma segunda consequência: acontecerá um atraso na 
movimentação da corrente em relação à tensão aplicada – a denominada defasagem. 
No caso da bobina ideal (teórica), o atraso será de 90 ° ≡ 4, 15 ms. Com a bobina real 
o atraso da I será 0°< φ < 90°. 
A tensão induzida na outra bobina terá a mesma polaridade da tensão induzida na 
própria bobina. Esta tensão pode ser mostrada num osciloscópio: estará oposta à 
aplicada na primeira bobina. O módulo da tensão na outra bobina poderá ser maior, 
menor ou igual á tensão aplicada – lembre que com as duas bobinas está-se lidando 
com um transformador. 
Dos oito fatores construtivos que determinam a indutância da bobina, dois são os que 
mais contribuem: o tipo de material que constitui o núcleo da bobina e o seu número de 
espiras. Com núcleo de FeNiCo, a capacidade da bobinainduzir tensão cresce 
significativamente em relação a qualquer outro material não FeNiCo – incluindo o ar. E 
quanto maior a permeabilidade magnética do FeNiCo, maior a indutância do conjunto 
bobina + núcleo, ou seja, maior é a capacidade de se induzir tensão. 
 
Indutância é L e sua unidade é Henry. 
 
Lei de Faraday-Lenz é a que trata da indução de tensão por meio eletromagnético. 
Está sintetizada na fórmula: EC = – N. Δ Φ / ∆t. Faraday descobriu e definiu que a 
tensão induzida é diretamente proporcional ao número de espiras da bobina e à 
variação do fluxo magnético. E é, ainda, inversamente proporcional à variação do tempo 
em que ocorre a variação do fluxo. 
 
Reatância Indutiva é a nova dificuldade que a corrente alternada enfrenta devido ao 
formato bobina dado para o condutor. É calculada pela fórmula XL = 2 π f L. 
Na verdade, a reatância indutiva é a tensão auto-induzida definida na lei de Faraday-
Lenz, que se opõe à tensão aplicada, reduz o módulo da corrente e a atrasa em relação 
à tensão. Olhe-se as duas fórmulas: a de Faraday-Lenz e a da reatância indutiva. 
Observe que da frequência se obterá o período – o tempo que o gerador leva para 
produzir um ciclo. Daí, como no ciclo senoidal há quatro variações de corrente e fluxo 
magnético, a variação de tempo se torna conhecida. E a indutância da bobina tem 
 67 
embutida no seu valor o número de espiras da bobina e a variação do fluxo magnético 
que ela vai produzir. 
Não há medidor para a reatância indutiva. 
 
Impedância é toda a dificuldade que uma bobina real vai apresentar para a corrente 
circular. Será composta da resistência ôhmica do fio da bobina e da reatância indutiva 
que o formato bobina – com ou sem núcleo FeNiCo – oferece. 
Calcula-se por Z2 = R2 + XL
2. 
Convém lembrar que a impedância Z é o equivalente da RT ou REQ daqueles casos 
estudados que tinham apenas resistores nos circuitos. Como as dificuldades R e XL têm 
causas completamente diferentes, são diferentes os seus nomes bem como o nome 
da dificuldade total. 
Não há instrumento de medida para a impedância. 
 
A Lei de Ohm em CA será, para qualquer caso, I = E / Z. 
 
Porém, se o aparelho elétrico tiver apenas resistência, XL = 0 (zero), a impedância será 
a própria resistência. Portanto, I = E / R. 
Em exercícios de aula e para compreender o fenômeno, pode-se considerar a bobina 
como ideal – com R = 0. Neste caso, a equação de Ohm será I = E / XL. 
 
A 1ª Lei de Kirchhoff, aplicável em circuitos paralelo, manterá a lógica da soma das 
diversas correntes para definir-se a corrente total. Entretanto, a soma deverá ser 
fasorial, geométrica, em outras palavras, via teorema de Pitâgoras, sempre que as 
correntes envolverem resistências e reatâncias, Logo, 
 IT
2 = IR
2 + IL
2
 
 
A soma de correntes apenas resistivas será aritmética – não há defasagem. Logo..... 
 ........................IRT = IR1 + IR2 +........+ IRn 
 
A soma de correntes apenas reativa-indutivas será, também, aritmética – todas 
estarão defasadas de 90°. Logo:................................................. ILT = IL1 + IL2 +........+ ILn 
 
O cálculo da impedância poderá ser feito: 
 a) Pela lei de Ohm, havendo a tensão e corrente total do circuito.................. Z = E / IT 
 
 b) Para paralelo entre R e XL 
 b1) com a fórmula geral usando-se a lógica de Pitágoras:.... 1 / Z2 = 1 / R2 + 1 / XL
2 
 b2) pela fórmula particular para duas dificuldades 
 (“um vezes o outro dividido por um mais o outro”) com a lógica de Pitágoras: 
 Z2 = R2. XL
2 / R2 + XL
2 
 b3) envolvendo apenas RS ou apenas XLS usa-se a fórmula geral ou a fórmula 
 particular para duas dificuldades, sem a lógica de Pitágoras, ou seja, usa-se as 
 fórmulas do paralelo aritmeticamente. 
 
Obs.: Neste momento do estudo, somente serão usadas bobinas ideais ligadas em 
 paralelo entre si e em paralelo com uma ou mais resistências. 
 
A 2ª Lei de Kirchhoff, aplicável em circuitos série, manterá a lógica da soma das 
diversas quedas de tensão para definir-se a tensão total. Entretanto, a soma deverá ser 
 68 
fasorial, geométrica, em outras palavras, via teorema de Pitâgoras, sempre que as 
quedas de tensão envolver resistências e reatâncias, Logo, 
 ET
2 = ER
2 + EL
2
 
 
A soma das quedas de tensão apenas resistivas será aritmética (não há defasagem). 
Assim,................................................................................... ERT = ER1 + ER2 +........+ ERn 
 
A soma das quedas de tensão apenas reativa-indutivas será, também, aritmética 
(todas estarão defasadas de 90°). Logo:............................... ELT = EL1 + EL2 +........+ ELn 
 
A impedância poderá ser obtida: 
 a) pela lei de Ohm, tendo-se a corrente e a tensão total do circuito:................ Z = ET / I 
 
 b) por Pitágoras quando houver uma R em série com uma XL: ................ Z
2 = R2 + XL
2 
 
 c) diversas RS pela soma aritmética – a defasagem é zero. 
 d) diversas XLS pela soma aritmética – a defasagem de todas é 90°. 
 
A Potência produzida pelas resistências será denominada real, ativa, útil ou efetiva. 
Simbolizada por P tem como unidade o Watt. É a potência transformável em outra: 
calor, ação química, luz, mecânica. Pode ser medida com o Wattímetro 
As bobinas ou indutâncias logo, reatâncias indutivas produzirão a potência reativa 
que não se transforma diretamente em outra potência. Num intervalo de tempo ela é 
absorvida da rede elétrica, da geração, carregando-se magneticamente; no intervalo 
seguinte é devolvida ao gerador: se descarregando magneticamente. Mesmo que não 
se transforme em outra deve ser gerada, enviada para a carga ocupando espaço nos 
alternadores, condutores, transformadores etc. 
É simbolizada por Q tendo como unidade o VAR. 
Pode ser medida com o Varímetro. 
 
A geração deve fornecer toda a potência exigida pela carga, pela impedância. Esta 
potência total chama-se aparente. É simbolizada por S e tem como unidade o VA. A 
potência aparente é obtida pela soma, por Pitâgoras, da real com a reativa: 
 S2 = P2 + Q2. 
Não há medidor para a potência aparente. 
É muito importante entender que, independentemente do circuito, se série ou paralelo, 
a potência aparente sempre será, também, o produto de toda a tensão por toda a 
corrente, ou seja, toda a potência produzida pela impedância: 
 
 a) no série, será: S = ET . I b) no paralelo, será: S = E . IT 
 
Além disso, podem ser usadas as outras fórmulas da potência: 
 S = I2. Z e S = E2 / Z 
 
Recordando: numa bobinareal (com R e XL) pode-se usar a queda de tensão em cada 
dificuldade da bobina para encontrar o módulo da potência que ela produz. 
 
Não esquecer: a) R produz P b) XL produz Q c) Z produz S 
Assim, nas resistências: P = ER. I ...............................nas reatâncias indutivas: Q = EL. I 
 
 69 
Com as outras fórmulas, teremos: P = I2. R e Q = I2. XL ou 
 P = E2 / R Q = E2 / XL 
 
O Fator de Potência (FP) que mostra o aproveitamento elétrico do circuito, também 
denominado “cosseno fi – cos φ” será definido pela relação (divisão) entre a potência 
real, ativa e a potência aparente:................................................. FP = cos φ = P / S 
 
O fator de potência também pode ser obtido: 
 
 a) nos componentes em série: FP = cos φ = R / Z ou cos φ = ER / ET 
 
 b) nos componentes em paralelo: FP = cos φ = Z / R ou cos φ = IR / IT 
 
A partir da fórmula de cálculo da potência aparente S = E. I e da relação do cos φ pode-
se concluir que:.......................................... 
 .................... P = S . cos φ e P = E . I . cos φ 
 
Significa que com os módulos da tensão e da corrente mais o fator de potência, se pode 
determinar a potência real que o aparelho / equipamento produz. Convém lembrar que a 
P se transforma em outra(s) potência(s). 
 
O valor do chamado rendimento ou eficácia ou eficiência determina quanto da 
potência P entregue pela rede se transforma em outra. Por exemplo: um motor elétrico 
transforma potência elétrica em potência mecânica – a que se quer – e, também, em 
potência calorífica - calor (que vem junto e não é aproveitada). Sendo o rendimento 0,80 
(ou 80 %), basta usar a fórmula PMEC = E I cos φ η para encontrar a potência mecânica 
(em Watt) produzida pelo motor. Aí, basta converter para CV. 
 
Os dados: tensão, corrente, cos φ = FP e rendimento = η constam da placa da 
maioria dos equipamentos / aparelhos elétricos usados no âmbito industrial. 
 
As funções “seno fi – sen φ” e “tangente fi – tg φ”, auxiliares para diversos cálculos, 
serão obtidas da seguinte forma: 
 
a) componentes em série: sen φ = XL / Z ou sen φ = EL / ET ou sen φ = Q / S 
 tg φ = Q / P 
 
b) componentes em paralelo: sen φ = Z / XL ou sen φ = IL / IR ou sen φ = Q / S 
 tg φ = Q / P 
 
Agora, a partir da fórmula de cálculo da potência aparente S = E. I e da relação do sen 
φ pode-se concluir que: 
 Q = S . sen φ e Q = E . I . sen φ 
 
Do cos φ, dado de placa, encontra-se o sen φ. Daí calcula-se a potência reativa. 
 
Obs.: É fácil perceber a grande quantidade de fórmulas disponíveis para os cálculos 
envolvendo os componentes em CA. É possível, no entanto, limitar-se ao uso das 
fórmulas básicas tais como: as da lei de Ohm, da potência fazendo o clássico E x I, as 
duas fórmulas de Kirchhoff e a relação do cosseno φ. 
 70 
Lembrar: conhecido um cosseno ou um ângulo φ, encontram-se as demais funções 
como uso da calculadora científica. 
 
Exercícios: 
 
Exemplo: Determinar a reatância indutiva de uma bobina cuja indutância é 20 mH, 
ligada a uma CA de 60 Hz. 
 
A fórmula é XL = 2 π f L ............... L, na fórmula é Henry. É necessário converter 20 mH 
Portanto: XL = 2 x 3,14 x 60 x 0, 020 XL = 7, 5 Ω 
 
Determinar a reatância indutiva dos seguintes indutores: 
 
01) 650 mH com CA 60 Hz Rta. ________ 
02) 1, 2 H com CA 50 Hz Rta. ________ 
03) 25 mH com CA 400 Hz Rta. ________ 
 
Determinar a frequência da CA que produziu a reatância indutiva dada: 
 
04) Indutância L = 12 H; Reatância Indutiva XL = 4. 521, 6 Ω Rta.________ 
05) L = 0, 325 H e XL = 376, 8 Ω Rta. ________ 
06) L = 0, 045 H e XL = 339, 12 Ω Rta. ________ 
 
Determinar a indutância sabendo-se a reatância indutiva e a frequência 
 
07) XL = 37, 68 Ω e f = 60 Hz Rta. ________ 
08) XL = 376, 8 Ω e f = 50 Hz Rta. ________ 
09) XL = 163, 28 Ω e f = 400 Hz Rta. ________ 
 
Calcule as impedâncias, o cos φ e determine o ângulo de defasagem das seguintes 
associações (faça o desenho de cada associação – se for o caso, consulte 
exercícios resolvidos em aula): 
 
10) R = 25 Ω em série com XL = 68 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
11) R = 12, 5 Ω em série com XL = 48 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
12) R = 470 Ω em série com XL = 95 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
13) Bobina A (R1 = 60 Ω e XL1 = 330 Ω) em série 
 com bobina B (R2 = 560 Ω e XL2 = 250 Ω) Rtas. _______ _______ ______ 
 
14) Em série R1 = 82 Ω com R2 = 220 Ω 
 com XL = 560 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
15) Em série R1 = 120 Ω com R2 = 20 Ω 
 com R3 = 45 Ω com XL = 560 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
16) Em série bobina A (R1 = 6 Ω e XL1 = 14 Ω) com 
 bobina B (R2 = 12 Ω e XL2 = 44 Ω) Rtas. _______ _______ ______ 
 71 
 
Obs.: Os exercícios 13 e 16 têm dois cos φ, dois ângulos de defasagem e duas 
impedâncias não calculadas: da bobina A e da bobina B separadamente. Só se pediu a 
Z, o cos e o φ da associação. Calcule, agora, a Z, cos φ e φ de cada bobina. 
 
13X) Bobina A _______ _______ _______ ; Bobina B _______ _______ _______ 
 
16X) Bobina A _______ _______ _______ ; Bobina B _______ _______ _______ 
______________________________________________________________________ 
 
17) Em paralelo R = 54 Ω com XL = 75 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
18) Em paralelo R = 180 Ω com XL = 40 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
19) Em paralelo R1 = 40 Ω com R2 = 24 Ω com XL = 60 Ω 
 Rtas. _______ _______ ______ 
20) Em paralelo R1 = 5 Ω comR2 = 20 Ω com 
 XL1 = 9 Ω com XL2 = 72 Ω Rtas. _______ _______ ______ 
 
Obs. Os últimos quatro exercícios são puramente teóricos (bobinas com R = 0). 
 
Resolva os exercícios seguintes conforme é pedido em cada um deles. Coloque, 
sempre, as unidades junto com as respostas. 
 
21) Uma resistência de 30 ohm está ligada em série com uma reatância indutiva de 50 
ohm a 230 V. Determine a impedância, a corrente, as duas quedas de tensão, o 
cosseno fi e o ângulo de defasagem que a impedância produz. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ ______ 
 
22) Um solenóide (uma bobina) com indutância de 0,5 H e resistência de 24 ohm é 
ligado a uma fonte de 120 V, 60 Hz. Calcule as potências real, reativa e aparente no 
solenóide, bem como seu fator de potência. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ 
 
23) Duas bobinas reais estão ligadas em série. A bobina A tem R = 8 ohm e XL = 40 
ohm. A bobina B tem R= 3 ohm e XL = 75 ohm. Calcule a impedância de cada bobina, a 
impedância do circuito, a corrente e a potência aparente do circuito. A tensão é 60 V 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ ______ 
 
24) Estão ligadas em paralelo uma resistência com duas bobinas ideais. A R = 40 ohm e 
as reatâncias são de 50 ohm e 80 ohm. Determine cada uma das quatro correntes, a 
potência aparente e o fator de potência do circuito. A tensão é 120 V. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ ______ ______ 
 
25) Uma bobina tem resistência de 40 ohm e indutância de 0, 318 H. Está ligada em 
série com um resistor de 22, 4 ohm. A fonte de CA é de 240 V / 25 Hz. Calcule a 
corrente, toda a potência real produzida, a potência aparente e o fator de potência do 
circuito. Rtas. _____ ______ ______ ______ 
 72 
26) Num circuito monofásico estão ligados um amperímetro, um voltímetro e um 
wattímetro que indicam 12 A, 120 V e 600 W. Determine o fator de potência, o ângulo de 
defasagem, a impedância e o valor da resistência que faz parte do circuito. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ 
 
27) Estão ligados em série a 61 V uma bobina real, (R = 5 Ω e XL= 80 Ω) e uma ideal 
com reatância indutiva de 22 ohm. Calcule a corrente e a potência real e a reativa. 
 Rtas. ______ ______ ______ 
 
28) Um circuito tem R= 55 ohm em paralelo com XL = 40 ohm ligados a 220 V. 
determine a corrente total, as potências ativa e aparente, o cosseno fi e o ângulo de 
defasagem. Rtas. _____ ______ ______ ______ ______ 
 
29) Um circuito paralelo tem R1 = 60 ohm, R2 = 15 ohm e XL = 20 ohm. Determine a 
corrente total, a impedância, a potência útil e a aparente e o FP. A tensão é 120 V. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ ______ 
 
30) Um circuito paralelo tem R1 = 35 ohm no ramal 1, uma XL2 = 20 ohm no ramal 2 e 
uma XL3 = 100 ohm no ramal 3. A corrente no 2° ramal é de 7 A. Determinar a tensão, a 
potência aparente e a impedância do circuito. 
 Rtas. ______ ______ ______ 
 
31) Uma bobina solicita uma corrente de 0, 25 A quando ligada a uma bateria de 12 V. 
Se for ligada a 120 V, a corrente será de 1 A. Qual a resistência e a reatância indutiva 
da bobina ? Rtas. ______ ______ 
 
 
32) Um relé ligado a 24 V CC faz circular 100 mA. quando acionado fechando seus 
contatos. Fazê-lo funcionar com CA exige 160 V. Qual a reatância indutiva que a bobina 
do relé apresenta na CA e qual a sua potência aparente ? 
 Rtas. ______ ______ 
 
33) Determinar a tensão de alimentação pra que uma corrente de 3, 53 A circule por 
uma bobina cuja R = 18 ohm e sua XL = 22 ohm. Rta. ______ 
 
34) Um circuito paralelo tem três ramais. No primeiro e no segundo ramal tem duas 
resistências iguais, cada um delas de 40 ohm. No terceiro ramal há uma reatância 
indutiva de 40 ohm. A corrente total é de 12, 3 A. Calcule a tensão de alimentação, a 
potência real e a reativa produzida. 
 Rtas. ______ ______ ______ 
 
35) Um circuito de proteção contra raios contém uma bobina de 21 ohm de reatância 
indutiva e 6 ohm de resistência elétrica. Qual a corrente que vai fluir se for alimentado 
com 110 V e qual a potência ativa produzida ? 
 Rtas. ______ ______ 
 
36) Uma tensão de 60 V em 1, 5 KHz é aplicada nos terminais de um alto-.falante de 
5. 000 ohm de resistência e 2, 12 H de indutância. Calcule a corrente e a potência real 
produzida. 
 Rtas. ______ ______ 
 73 
37) Uma indutância de 5 ohm de resistência e 12 ohm de reatância indutiva está ligada 
a uma CA de 117 V. Calcule as potências ativa, reativa e aparente produzidas. 
 Rtas. ______ ______ ______ 
 
38) Num circuito mediu-se 5 A, 120 V e cos φ = 0,90. Determine a sua impedância, a 
potência aparente, a útil e a reativa. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ 
 
39) Um componente elétrico de características indutivas produz 600 W. Mediu-se 3, 5 A 
com 220 V. Calcule suas potências aparente e reativa, seu cos φ e o ângulo φ. 
 Rtas. _____ ______ ______ ______ 
 
40) Num circuito CA foram lidos 5. 280 W, 220V e na placa do equipamento ligado 
consta FP 0, 80. Qual a impedância, a resistência e a reatância indutiva deste 
equipamento ? Rtas. ______ ______ ______ 
 
41) Numa instalação CA um varímetro indicou 360 VAR. A tensão é de 120 V e a 
corrente de 5 A. Encontre a potência aparente e o fator de potência desta instalação. 
 Rtas. ______ ______ 
 
42) Um equipamento ligado em CA é monitorado por diversos instrumentos: um indica 
60, 2 Hz, outro mostra 218 V, um terceiro indica 32, 5 KW, um quarto aparelho informa 
um número igual a 0, 82. Há, ainda, um medidor de KVAR que está desligado. Se 
houver condições, descubra qual a corrente e o que indicaria o medidor de KVAR.Rtas. ______ ______ 
 
43) Da placa de um motor elétrico monofásico foram tiradas as seguintes informações: 3 
CV / 220 V / Rend. 0, 78 / cos φ 0, 80. Qual a corrente que ele fará circular e quanto da 
potência que ele transforma será perdida, na sua maior parte na forma de calor ? 
 Rtas. ______ ______ 
 
44) Um conjunto de 20 lâmpadas de vapor de mercúrio de 400 W / 220 V cada iluminam 
um pátio de estacionamento. Sabe-se que o rendimento e o fator de potência de cada 
lâmpada, com o seu respectivo reator, são 0, 72 e 0, 65 respectivamente. Calcule a 
potência aparente, a corrente e a impedância do conjunto de lâmpadas. 
 Rtas. _______ _______ _______ 
 
45) Uma instalação comercial é iluminada por 50 luminárias fluorescentes. Cada 
luminária é composta por duas lâmpadas de 40 W cada. No reator das lâmpadas consta 
FP 0, 94; a tensão é 127 V. O rendimento do conjunto é 78 %. Determine a corrente que 
toda a instalação exige bem como o consumo, em kWh, para doze horas de 
funcionamento. 
 Rtas. ______ ______ 
 
46) Um motor monofásico produz 1, 5 CV com 122 V, FP 0, 72 e rendimento 0, 65. Qual 
a corrente que um amperímetro indicaria nesta condição ? Rta. ______ 
 
47) Um motor elétrico monofásico de 3 CV / 220 V / cos φ 0, 78 / Rend 0, 76 teve sua 
corrente medida encontrando-se 14, 5 A. Quantos CV está desenvolvendo se a tensão, 
o FP e o rendimento forem os indicados na placa ? Rta. ______ 
 74 
48) Os dados de uma lâmpada fluorescente compacta são: 20 W / 220 V / FP 0, 50. 
Fazendo o mesmo exame numa lâmpada incandescente encontramos: 100 W / 220 V. 
Determine para as duas a corrente, a potência aparente e a reativa. 
 
Rtas.: Fluorescente ______ ______ ______ Incandescente ______ ______ ______ 
 
49) Numa instalação foi feita uma medição e se encontrou: 220 V / 15 A / 3.300 W. Em 
outra medida, um tempo depois, constatou-se: 220 V / 25 A / 4. 800 W. Determine o 
fator de potência em ambos os casos. Rtas. _______ _______ 
 
50) Um varímetro indica 1. 700 VAR enquanto a carga produz 2. 740 W. Determine a 
potência aparente, o cos φ e a corrente. A tensão é 220 V. 
 Rtas. _______ _______ _______ 
______________________________________________________________________ 
 
Lembrete importante: tanto o indicador do rendimento como do fator de potência 
devem ter, SEMPRE, duas casas decimais com arredondamento técnico na segunda 
casa. 
______________________________________________________________________ 
 
 
Os exercícios que seguem envolvem o estudo e o conhecimento de “Correção de Fator 
de Potência + Capacitores”. 
 
Determinar a reatância capacitiva dos seguintes capacitores. 
 
51) 20 μF / 60 Hz ...................................................................................... Rta. _______ 
52) 400 nF / 60 Hz ...................................................................................... Rta. _______ 
53) 360 μF / 60 Hz ...................................................................................... Rta. _______ 
54) 10 μF / 1, 5 KHz.................................................................................. Rta. _______ 
55) 150 μF / 60 Hz ...................................................................................... Rta. _______ 
 
As três questões seguintes são circuitos série. Deve-se determinar a impedância, 
a corrente e o cos φ em cada um deles. 
 
56) E = 130 V / R = 12 ohm / XL = 20 ohm / XC = 15 ohm. 
 Rtas. _______ _______ _______ 
 
57) E = 216 V / 60 Hz / R = 50 ohm / XL = 120 ohm / XC = 30 ohm. 
 Rtas. _______ _______ _______ 
 
58) E = 60 V / 60 Hz / R = 120 ohm / XL = 265, 4 ohm / C = 10 μF. 
 Rtas. _______ _______ _______ 
 
Calcule o capacitor para melhorar o fator de potência para 0, 92 dos motores 
monofásicos a seguir relacionados. 
 
59) Motor 3 CV / 220 V / Rend. 75 % / FP 0, 78.......................................... Rta. _______ 
 
60) Motor ½ CV / 127 V / η 0, 75 / cos φ 0, 75 ........................................... Rta. _______ 
 75 
61) Motor 5 CV / 220 V / η 0, 79 / cos φ 0, 80 ........................................... Rta. _______ 
 
Dos três motores vistos determine agora a potência aparente antes e após a 
correção do fator de potência. 
 
62) Motor 3 CV ..........................................................................Rtas. _______ _______ 
 
63) Motor ½ CV Motor 3 CV ......................................................Rtas. _______ _______ 
 
64) Motor 5 CV Motor 3 CV .......................................................Rtas. _______ _______ 
 
65) Um conjunto de 30 lâmpadas fluorescentes compactas de 60 W / 220 / FP 55 % 
cada ilumina um salão. Calcular o capacitor que melhore o FP para 0, 95. Determine, 
ainda, a corrente antes e depois da correção e a potência reativa antes e depois de 
instalado o capacitor. 
 Rtas. _______ _______ _______ ________ _______ 
 
Responda as questões seguintes observando que as respostas devem ser curtas, 
não necessitando mais do que uma até seis palavras. 
 
66) No caso da melhoria do FP, a potência reativa indutiva não deixa de ser produzida. 
Porém, parte dela não é mais fornecida pela fonte – a S diminuiu. De onde vem, então, 
esta potência reativa ? 
 Rta.(duas palavras) ______________________. 
 
67) Feita a melhoria do FP, a corrente totalse reduz. Qual o motivo que leva, a partir 
deste fato, ao aumento da tensão na instalação ? 
 Rta (duas palavras) À menor perda de tensão ____________________. 
 
68) Durante o aprendizado que envolve a melhoria do FP, um futuro Técnico entendeu 
que esta correção, feita em sua casa, levaria a uma redução do seu consumo de 
energia elétrica. É certo que haverá a economia pretendida ? 
 Rta.(uma palavra) _________. 
 
69) Numa casa estão ligados no mesmo momento um chuveiro elétrico, uma torradeira, 
uma cafeteira, um secador de cabelo, a torneira elétrica, 4 lâmpadas fluorescentes 
tubulares, três lâmpadas incandescentes e um ferro de soldar com estanho. O fator de 
potência, neste momento é......................... 
 Rta.(uma palavra) ______________. 
 
70) Um detalhe não abordado nos Resumos Importantes envolve o FP capacitivo. Este 
pode tornar a tensão da instalação corrigida anormalmente elevada, podendo danificar 
componentes. Este fato se deve ao capacitor que se carrega com tensão................. 
 Rta.(uma palavra) maior do que a _____________. 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
______________________________________________________________________ 
 
 
 76 
ELETROTÉCNICA / ELETRICIDADE ..........................................................Gabarito 
 
Problemas com CA, circuitos série e paralelo monofásicos + correção FP 
Respostas na mesma ordem das perguntas. 
 
 
 
01) 245 Ω ............02) 376, 8 Ω............03) 62, 8 Ω.............04) 60Hz............ 05) 184, 6 Hz 
 
06) 1. 200 Hz................... 07) 0, 10 H......................08) 1, 2 H....................... 09) 0, 065 H 
 
10) 72, 4 Ω / 0, 35 / 69, 5° ..................................................11) 49, 6 Ω / 0, 25 / 75, 5° 
 
12) 479, 5 Ω / 0, 98 / 11, 5° ...............................................13) 849, 0 Ω / 0, 73 / 43, 1° 
 
13X) Bobina A : Z = 335, 4 Ω / cos φ = 0, 18 / φ = 79, 6° 
 Bobina B : Z = 613, 3 Ω / cos φ = 0, 91 / φ = 24, 5° 
 
14) 636, 2 Ω / 0, 47 / 62, 0°...............................................15) 589, 8 Ω / 0, 31 / 71, 9° 
 
16) 60, 7 ohm / 0, 30 / 72, 5°..........................................17) 43, 8 ohm / 0, 81 / 35, 9° 
 
16X) Bobina A : Z = 15, 2 Ω / cos φ = 0, 39 / φ = 67, 0° 
 Bobina B : Z = 45, 6 Ω / cos φ = 0, 26 / φ = 74, 9° 
 
18) 39,0 Ω / 0, 22 / 77, 3°....................................................19) 14, 6 Ω / 0, 97 / 14, 1° 
 
20) 3, 6 Ω / 0, 90 / 25, 8° 
 
21) 58, 3 Ω / 4, 0 A / 120 V / 200 V / 0,51 / 59, 3° 
 
22) 9, 5 W / 74, 8 VAR / 75, 3 VA / 0, 13 
 
23) 40, 8 Ω / 75, 1 Ω / 115, 5 Ω / 0, 52 A / 31, 2 VA 
 
24) 3, 0 A / 2, 4 A / 1, 5 A / 4, 9 A / 588 VA / 0, 61 
 
25) 3, 0 A / 576, 0 W / 731, 0 VA / 0, 79 
 
26) 0, 42 / 65, 2° / 10, 0 Ω / 4, 17 ohm...............27) 0, 6 A / 1, 8 W / 36, 7 VAR 
 
28) 6, 8 A / 880 W / 1. 496 VA / 0, 59 / 53, 8° 
 
29) 11, 7 A / 10, 3 Ω / 1. 200 W / 1. 404 VA / 0, 85 
 
30) 140 V / 1. 302 VA / 15, 1 Ω..........................................................31) 48 Ω / 110 Ω 
 
32) 1. 582 Ω / 16 VA..........................................................................................33) 100 V 
 
34) 220 V / 2. 420 W / 1. 210 VAR 
 77 
Continuação do gabarito de respostas – problemas com CA 
 
 
35) 5 A / 150 W........................................................................36) 0, 0029 A / 0, 042 W 
 
37) 405 W / 972 VAR / 1. 053 VA 
 
38) 24 Ω / 600 VA / 540 W / 261, 5 VAR 
 
39) 770 VA / 483 VAR / 0, 78 / 38, 7° 
 
40) 30, 0 Ω / 9, 2 Ω / 3. 960 VAR 
 
41) 600 VA / 0, 80.............................................................. 42) 181, 8 A / 22, 591 KVAR 
 
43) 16,1 A / 622, 8 W.............................................. 44) 17. 094 VA / 77, 7 A / 2, 83 Ω 
 
45) 43 A / 61, 538 KWh................................. ....46) 19, 3 A........................... 47) 2, 6 CV 
 
48) Fluorescente: 0,18 A / 39, 6 VA / 34, 3 VAR 
 
 Incandescente: 0, 45 A / 100 VA / zero VAR 
 
49) 1,00 / 0,87..................................................................50) 3. 225 VA / 0, 85 / 14, 7 A 
 
51) 132, 7 Ω........................................52) 6. 635 Ω...........................................53) 7, 4 Ω 
 
54) 10, 6 Ω........................................................................................................55) 17, 7 Ω 
 
56) 13 Ω / 10 A / 0, 92 ........................................................57) 103 Ω / 2, 1 A / 0, 49 
 
58) 120 Ω / 0, 5 A / 1, 00..................................................................................59) 60 μF 
 
60) 36 μF..................................61) 82 μF............................... 62) 3. 774 VA / 3.200 VAR 
 
63) 655 VA / 534 VAR...........................................................64) 5. 823 VA / 5. 063 VAR 
 
65) 113 μF / 14, 9 A / 8, 6 A / 2. 749 VAR / 587 VAR 
 
66) do capacitor 
 
67) nos condutores 
 
68) Não 
 
69) Indutivo 
 
70) eficaz 
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