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APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 1 
 
 
 
 
 
 
 
4.1. - Razão e proporção. 
 
1. INTRODUÇÃO 
Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste de $ 80,00, 
como você reagiria? Acharia caro, normal, ou abaixo da expectativa? Esse 
mesmo valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria 
considerado insignificante, se se tratasse de um acréscimo no seu salário. 
 
Naturalmente, você já percebeu que os $ 80,00 nada represen-
tam, se não forem comparados com um valor base e se não forem ava-
liados de acordo com a natureza da comparação. Por exemplo, se a men-
salidade escolar fosse de $ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; 
afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário, 
mesmo considerando o salário mínimo, $ 80,00 seriam uma parte mínima. . 
 
A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos estabelecer 
regras para comparação entre grandezas. 
 
2. RAZÃO 
Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 20 habitantes, 5 
são analfabetos", "De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática", "Um dia 
de sol, para cada dois de chuva". 
 
Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma comparação entre 
dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segun-
do, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. 
 
Todas as comparações serão matematicamente expressas por um 
quociente chamado razão. 
 
Teremos, pois: 
De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. 
Razão = 
5
20
 
 
De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. 
Razão = 
2
10
 
 
c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. 
Razão = 
1
2
 
 
Nessa expressão, a chama-se antecedente e b, consequente. Outros 
exemplos de razão : 
 
Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor. 
Razão = 
1
10
 
 
Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas. 
Razão = 
6
6
 
 
 
3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3 partes de zinco. 
Razão = 
2
5
 (ferro) Razão = 
3
5
 (zinco). 
 
3. PROPORÇÃO 
Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas po-
dem ser expressas por razões de antecedentes e consequentes diferentes, 
porém com o mesmo quociente. Dessa maneira, quando uma pesquisa 
escolar nos revelar que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemá-
tica, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma 
escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verdade, estamos afirmando 
que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80. 
Escrevemos: 
10
40
 = 
20
80
 
 
A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de 
proporção. 
 
Na expressão acima, a e c são chamados de antecedentes e b e d de 
consequentes. 
 
A proporção também pode ser representada como a : b : : c : d. Qual-
quer uma dessas expressões é lida assim: a está para b assim como c está 
para d. E importante notar que b e c são denominados meios e a e d, 
extremos. 
 
Exemplo: 
A proporção 3
7
 = 
9
21
 , ou 3 : 7 : : 9 : 21, é 
lida da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9 está para 21. 
Temos ainda: 
3 e 9 como antecedentes, 
7 e 21 como consequentes, 
7 e 9 como meios e 
3 e 21 como extremos. 
 
3.1 Propriedade fundamental 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Se 6
24
 = 
24
96
, então 6.96 = 24 . 24 = 576. 
 
3.2 Adição (ou subtração) dos antecedentes e consequentes 
Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes está para 
a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente 
está para seu consequente. Ou seja: 
 
Essa propriedade é válida desde que nenhum denominador seja nulo. 
 
 
A razão entre dois números a e b, com b 

 0, é o quociente 
a
b
 , 
ou a : b. 
Dadas duas razões 
a
b
 e 
c
d
,
 com b e d 

 0, teremos uma 
proporção se 
a
b
 = 
c
d
. 
a
b
 = 
c
d
 ad = bc ; b, c 0 
 
d
c
 = 
b
a
 = 
d - b
c - a
ou 
 ,
d
c
 = 
a
 = 
d + b
c + a
 entao , = 
b
a
 Se
bd
c
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 2 
Exemplo: 
 21 + 7
12 + 4
 = 
28
16
 = 
7
4
 
21
12
 = 
7
4
 
21 - 7
12 - 4
 = 
14
8
 = 
7
4
 
 
 
4.2. - Grandezas proporcionais. 
 
1. INTRODUÇÃO: 
No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem números, tais co-
mo: preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, 
tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situa-
ções mensuráveis como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não 
é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por exemplo, 
está relacionado a dias de trabalho. Há pesos que dependem de idade, 
velocidade, tempo etc. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência 
entre grandezas proporcionais. 
 
2. PROPORÇÃO DIRETA 
Grandezas como trabalho produzido e remuneração obtida são, quase 
sempre, diretamente proporcionais. De fato, se você receber $ 2,00 para 
cada folha que datilografar, sabe que deverá receber $ 40,00 por 20 folhas 
datilografadas. 
 
Podemos destacar outros exemplos de grandezas diretamente 
proporcionais: 
 
Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dobrar a veloci-
dade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância percor-
rida. 
 
Área e preço de terrenos. 
 
Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada por ele. 
 
Assim: 
 
 3. PROPORÇÃO INVERSA 
Grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a 
mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Veja: Para uma 
tarefa que 10 operários executam em 20 dias, devemos esperar que 5 
operários a realizem em 40 dias. 
 
Podemos destacar outros exemplos de grandezas inversamente 
proporcionais: 
 
Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você dobrar a veloci-
dade com que anda, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o 
tempo do percurso pela metade. 
 
Número de torneiras de mesma vazão e tempo para encher um tanque, 
pois, quanto mais torneiras estiverem abertas, menor o tempo para comple-
tar o tanque. 
 
Podemos concluir que: 
 
Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de reconhecer a 
natureza da proporção, e destacar a razão. Considere a situação de um 
grupo de pessoas que, em férias, se instale num acampamento que cobra 
$100,00 a diária individual. 
 
Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa 
diária: 
 
 
Número de 
pessoas 
 
1 
 
2 
 
4 
 
5 
 
10 
 
 
Despesa 
diária ( $ ) 
 
100 
 
200 
 
400 
 
500 
 
1.000 
 
Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do número de 
pessoas é a mesma para o aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o 
número de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é 
portanto, uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de pes-
soas e despesa diária são diretamente proporcionais. 
 
Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quantia a ser gasta 
pelo grupo seja sempre de $2.000,00. Perceba, então, que o tempo de 
permanência do grupo dependerá do número de pessoas. 
 
Analise agora a tabela abaixo : 
 
 
Número de 
pessoas 
 
1 
 
2 
 
45 
 
10 
 
 
Tempo de 
permanência (dias) 
 
20 
 
10 
 
5 
 
4 
 
2 
 
Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de perma-
nência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma proporção inversa, ou 
melhor, as grandezas número de pessoas e número de dias são inver-
samente proporcionais. 
 
4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 
 
4. 1 Diretamente proporcional 
Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, 
sendo que A o fez durante 6 horas e B durante 5 horas. Como, agora, elas 
deverão dividir com justiça os $ 660,00 apurados com sua venda? Na 
verdade, o que cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional 
ao tempo gasto na confecção do objeto. 
 
No nosso problema, temos de dividir 660 em partes diretamente pro-
porcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B trabalharam. 
 
Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber, e 
de y o que B tem a receber. 
Teremos então: 
X + Y = 660 
 
 X
6
 = 
Y
5
 
 
Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de 
proporção. Assim: 
Duas grandezas São diretamente proporcionais quando, aumen-
tando (ou diminuíndo) uma delas numa determinada razão, a 
outra diminui (ou aumenta) nessa mesma razão. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, 
aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a 
outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. 
 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros 
números dados é encontrar partes desse número que sejam 
diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma 
reproduza o próprio número. 
 
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X + Y 
6 + 5
 = 
Substituindo X + Y por 660, vem: 
660
 = 
X
6 
 X = 
6 660 
11
 = 360
11

 
 
Como X + Y = 660, então Y = 300 
Concluindo, A deve receber $ 360,00 enquanto B, $ 300,00. 
 
4.2 Inversamente proporcional 
E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes diretamente 
proporcionais, mas sim inversamente? Por exemplo: suponha que as duas 
pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e 
vender por $ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 
dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O problema agora é 
dividir $160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5, pois deve 
ser levado em consideração que aquele que se atrasa mais deve receber 
menos. 
 
 
 
 
 
 
 
No nosso problema, temos de dividir 160 em partes inversamente pro-
porcionais a 3 e a 5, que são os números de atraso de A e B. Vamos forma-
lizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y o que B tem a 
receber. 
 x + y = 160 
 
 Teremos: x
1
3
 = 
y
1
5
 
 
Resolvendo o sistema, temos: 
x + y
1
3
 + 
1
5
 = 
x
1
3
 
x + y
8
15
 = 
x
1
3

 
Mas, como x + y = 160, então 
160
8
15 15
 = 
x
1
3
 x = 
160
8
 
1
3
   
 
 x = 160 
15
8
 
1
3
 x = 100   
 
 
Como x + y = 160, então y = 60. Concluindo, A deve receber $ 100,00 e 
B, $ 60,00. 
 
4.3 Divisão proporcional composta 
Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada pa-
ra pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo 
pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na 
primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 
12 homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando que os 
homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A empreiteira tinha $ 
29.400,00 para dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho. Como 
fazê-lo? 
 
Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. Trata-se aqui 
de uma divisão composta em partes proporcionais, já que os números 
obtidos deverão ser proporcionais a dois números e também a dois outros. 
 
Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, produzindo o mes-
mo resultado de 50 homens, trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na 
segunda turma, 12 homens trabalharam 4 dias, o que seria equivalente a 
48 homens trabalhando um dia. 
 
Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, de divisão 
diretamente proporcional a 50 (que é 10 . 5), e 48 (que é 12 . 4). 
 
Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes inversamente propor-
cionais a certos números é o mesmo que fazer a divisão em partes 
diretamente proporcionais ao inverso dos números dados. 
 
Resolvendo nosso problema, temos: 
 
Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira turma; y: a 
quantia que deve receber a segunda turma. Assim: 
x
10 5
 = 
y
12 4
 ou
 x
50
 = 
y
48
 
 
x + y
50 + 48
 = 
x
50
 

 
 
Como x + y = 29400, então 
29400
98
 = 
x
50
 
 x = 
29400 50
 15.000


 
Portanto y = 14 400. 
 
Concluindo, a primeira turma deve receber $15.000,00 da empreiteira, 
e a segunda, $ 14.400,00. 
 
Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada trabalho 
usando como unidade o homem-hora. O nosso problema é um exemplo em 
que esse critério poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria 
homem-dia. Seria obtido o valor de $ 300,00 que é o resultado de 15 000 : 
50, ou de 14 400 : 48. 
 
 
4.3. - Porcentagem. 
 
1. INTRODUÇÃO 
Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha vitrinas, 
freqüentemente se vê às voltas com expressões do tipo: 
• "O índice de reajuste salarial de março é de 16,19%." 
• "O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de 
18,55%." 
• "A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi de 381,1351. 
• "Os preços foram reduzidos em até 0,5%." 
 
Mesmo supondo que essas expressões não sejam completamente 
desconhecidas para uma pessoa, é importante fazermos um estudo organi-
zado do assunto porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é ferra-
menta indispensável para a maioria dos problemas relativos à Matemática 
Comercial. 
 
2. PORCENTAGEM 
O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números u-
sando a proporção direta. Só que uma das razões da proporção é um 
fração de denominador 100. Vamos deixar isso mais claro: numa situação 
em que você tiver de calcular 40% de $ 300,00, o seu trabalho será deter-
minar um valor que represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso 
pode ser resumido na proporção: 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais a outros 
números dados é encontrar partes desse número que sejam 
diretamente proporcionais aos inversos dos números dados e 
cuja soma reproduza o próprio número. 
Para dividir um número em partes de tal forma que uma 
delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta 
divida esse número em partes proporcionais a m . n e p . 
q. 
 
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40
100 300

x 
 
Então, o valor de x será de $ 120,00. 
Sabendo que em cálculos de porcentagem será necessário utilizar 
sempre proporções diretas, fica claro, então, que qualquer problema dessa 
natureza poderá ser resolvido com regra de três simples. 
 
3. TAXA PORCENTUAL 
O uso de regra de três simples no cálculo de porcentagens é um recur-
so que torna fácil o entendimento do assunto, mas não é o único caminho 
possível e nem sequer o mais prático.Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, inicialmente, dar 
nomes a alguns termos. Veremos isso a partir de um exemplo. 
Exemplo: 
Calcular 20% de 800. 
Calcular 20%, ou 20
100
 de 800 é dividir 800 em 100 partes e tomar 
20 dessas partes. Como a centésima parte de 800 é 8, então 20 dessas 
partes será 160. 
 Chamamos: 20% de taxa porcentual; 800 de principal; 160 de 
porcentagem. 
Temos, portanto: 
 Principal: número sobre o qual se vai calcular a porcentagem. 
 Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100 partes do principal. 
 Porcentagem: número que se obtém somando cada uma das 100 
partes do principal até conseguir a taxa. 
A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcularmos uma 
porcentagem de um principal conhecido, não é necessário utilizar a monta-
gem de uma regra de três. Basta dividir o principal por 100 e tomarmos 
tantas destas partes quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo. 
Exemplo: 
Calcular 32% de 4.000. 
Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40, que é a centésima par-
te de 4 000. Agora, somando 32 partes iguais a 40, obtemos 32 . 40 ou 1 
280 que é a resposta para o problema. 
Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar o resultado dessa 
divisão por 32 é o mesmo que multiplicar o principal por 32
100
 ou 0,32. 
Vamos usar esse raciocínio de agora em diante : 
 
 
 
 
 
 
4.4. - Regras de três simples. 
 
Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo com o uso da 
regra de três de maneira prática. 
Devemos dispor as grandezas, bem como os valores envolvidos, de 
modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. 
Assim: 
Grandeza 1: 
tempo 
(horas) 
Grandeza 2: distância percorrida 
(km) 
 
6 
 
8 
 
900 
 
x 
 
Observe que colocamos na mesma linha valores que se correspondem: 
6 horas e 900 km; 8 horas e o valor desconhecido. 
Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para indicar a na-
tureza da proporção. Se elas estiverem no mesmo sentido, as grandezas 
são diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversa-
mente proporcionais. 
Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o mesmo sentido, 
foi necessário responder à pergunta: "Considerando a mesma velocidade, 
se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a 
resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas são diretamente pro-
porcionais. 
Já que a proporção é direta, podemos escrever: 
 6
8
900

x
 
 
Então: 6 . x = 8 . 900 

 
x = 
7200
6
 = 1 200
 
Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8 horas. 
 
Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de três. 
 
Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre um certo 
espaço durante 8 horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o 
mesmo espaço com uma velocidade de 60 km/h? 
 
Grandeza 1: tempo 
(horas) 
Grandeza 2: velocidade 
(km/h) 
 
8 
 
x 
 
90 
 
60 
 
A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço percorrido, se au-
mentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" é negativa. Vemos, então, 
que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. 
Como a proporção é inversa, será necessário invertermos a ordem dos 
termos de uma das colunas, tornando a proporção direta. Assim: 
 
 60 
 
x 90 
 
Escrevendo a proporção, temos: 
8 60
90
8
60x
x  
 90
= 12
 
 
Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância em 12 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5. - Teoria dos conjuntos. 4.6. - Conjuntos numéri-
cos (números naturais, inteiros, racionais e irracio-
nais). 4.7. - Operações com conjuntos numéricos. 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
1. Conjunto dos números naturais 
Chamamos de conjunto dos números naturais, e indicamos com lN, o 
seguinte conjunto: 
lN = { 0; 1; 2; 3; 4; ...} 
 
2. Conjunto dos números inteiros 
Chamamos de conjuntos dos números inteiros, e indicamos com Z, o 
seguinte conjunto: 
Z = { ...; -2; -1; 0; 1; 2;...) 
 
Porcentagem = taxa X principal 
Regra de três simples é um processo prático utilizado 
para resolver problemas que envolvam pares de gran-
dezas direta ou inversamente proporcionais. Essas gran-
dezas formam uma proporção em que se conhece três 
termos e o quarto termo é procurado. 
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3. Conjunto dos números racionais: 
Chamamos de conjunto dos números racionais, e indicamos com Q, o 
seguinte conjunto: 






 0 q e Z q,p|
q
p
xQ
 
 
Observe que os números racionais são aqueles que podem ser escritos 
como quocientes de dois inteiros. 
 
Exemplos 
a) 
1
5
 =5; logo 5 

 Q 
b) 
5
2
 = 0,4 ; logo 0,4 

 Q 
c) 
6
15
 = 2,5 ; logo 2,5 

 Q 
d) 
3
1
= 0,333 . . . ; logo 0,333.. . 

 Q 
 
Observação: Números como 5, 0,4 e 2,5 são números racionais com 
representação decimal finita, ou seja, podemos escrevê-los, em sua forma 
decimal, com um número finito de algarismos. O número 0,333..., por sua 
vez, é um número racional com representação decimal infinita e periódica, 
ou seja, só podemos escrevê-lo, em sua forma decimal, com um número 
infinito de algarismos, embora, a partir de um determinado ponto, haja uma 
repetição de algarismos até o fim. 
 
Outro exemplo de número, que admite representação decimal infinita e 
periódica, é 2,35474747... 
 
Observação Importante 
Todos os números que tenham representação decimal finita ou infinita 
e periódica são números racionais, ou seja, pertencem a Q.. 
 
4. Conjunto dos números reais: 
Há números que não admitem representação decimal finita nem 
representação decimal infinita e periódica, como, por exemplo: 
n = 3,14159265... 
2
 = 1,4142135... 
3
 = 1,7320508... 
5
 = 2,2360679... 
Estes números não são racionais: n 

Q, 
2 
 Q, 
3

Q, 
5

 Q; e, por isso mesmo, são chamados de irracionais. 
 
Podemos então definir os irracionais como sendo aqueles números que 
possuem uma representação decimal infinita e não-periódica. 
 
Chamamos então de conjunto dos números reais, e indicamos com IR, 
o seguinte conjunto: 
IR = ( x Í x é racional ou x é irracional ) 
 
Como vemos, o conjunto IR é a união do conjunto dos números 
racionais com o conjunto dos números irracionais. 
 
Usaremos o símbolo estrela (* ) quando quisermos indicar que o 
número zero foi excluído de um conjunto. 
 
Exemplo: N * = { 1 ; 2; 3; 4; .. .} ; o zero foi excluído de N. 
 
Usaremos o símbolo mais (+) quando quisermos indicar que os 
números negativos foram excluídos de um conjunto. 
Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram excluídos de Z. 
 
Usaremos o símbolo menos ( - ) quando quisermos indicar que os 
números positivos foram excluídos de um conjunto. 
Exemplo: Z- = { ... ; -2; -1; 0 } ; os positivos foram excluídos de Z. 
 
Algumas vezes combinamos o símbolo (*) com o símbolo (+) ou com o 
símbolo (-) . 
Exemplos 
a) 
*Z
 = { 1; 2; 3; . .. } ; o zero e os negativos foram excluídos de Z. 
b) 
*Z
 = { ... ; -3; -2; -1 }; o zero e os positivos foram excluídos de Z. 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1. Conceitos primitivos 
Antes de mais nada devemos saber que conceitos primitivos são 
noções que adotamos sem definição. 
 
Adotaremos aqui três conceitos primitivos: o de conjunto, o de elemen-
to e o de pertinência de um elemento a um conjunto. Assim, devemos 
entender perfeitamente a frase: determinado elemento pertence a um 
conjunto, sem que tenhamos definido o queé conjunto, o que é elemento e 
o que significa dizer que um elemento pertence ou não a um conjunto. 
 
2. Notação 
Normalmente adotamos, na teoria dos conjuntos, a seguinte notação: 
 os conjuntos são indicados por letras maiúsculas: A, B, C, ... ; 
 os elementos são indicados por letras minúsculas: a, b, c, x, y, ... ; 
 o fato de um elemento x pertencer a um conjunto C é indicado 
com x e C; 
 o fato de um elemento y não pertencer a um conjunto C é 
indicado mm y t C. 
 
3. Representação dos conjuntos 
Um conjunto pode ser representado de três maneiras: 
 por enumeração de seus elementos; 
 por descrição de uma propriedade característica do conjunto; 
 através de uma representação gráfica. 
Um conjunto é representado por enumeração quando todos os seus 
elementos são indicados e colocados dentro de um par de chaves. 
 
Exemplo: 
a) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjunto formado pelos 
algarismos do nosso sistema de numeração. 
b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, 1, j,1, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, z ) 
indica o conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto. 
c) Quando um conjunto possui número elevado de elementos, 
porém apresenta lei de formação bem clara, podemos representa-
lo, por enumeração, indicando os primeiros e os últimos 
elementos, intercalados por reticências. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 
98 ) indica o conjunto dos números pares positivos, menores do 
que100. 
d) Ainda usando reticências, podemos representar, por enumeração, 
conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de 
formação bem clara, como os seguintes: 
 D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos números inteiros não 
negativos; 
 E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos números 
inteiros; 
 F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos números ímpares 
positivos. 
 
A representação de um conjunto por meio da descrição de uma propri-
edade característica é mais sintética que sua representação por enumera-
ção. Neste caso, um conjunto C, de elementos x, será representado da 
seguinte maneira: 
C = { x | x possui uma determinada propriedade } 
que se lê: C é o conjunto dos elementos x tal que possui uma 
determinada propriedade: 
 
Exemplos 
a) O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por 
descrição da seguinte maneira: A = { x | x é algarismo do nosso 
sistema de numeração } 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 6 
b) O conjunto G = { a; e ;i; o, u } pode ser representado por descrição da 
seguinte maneira: G = { x | x é vogal do nosso alfabeto } 
c) O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado por descrição 
da seguinte maneira: H = { x | x é par positivo } 
 
A representação gráfica de um conjunto é bastante cômoda. Através 
dela, os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores 
a uma linha fechada que não se entrelaça. Os pontos exteriores a esta linha 
representam os elementos que não pertencem ao conjunto. 
 
Exemplo 
 
Por esse tipo de representação gráfica, chamada diagrama de Euler-
Venn, percebemos que x 

 C, y 

 C, z 

 C; e que a 

 C, b 

 C, c 

 C, d 

 C. 
 
Exercícios resolvidos 
Sendo A = {1; 2; 4; 4; 5}, B={2; 4; 6; 8} e C = {4; 5}, assinale V 
(verdadeiro) ou F (falso): 
a) 1 

 A ( V ) 
b) 1 

 B ( F ) 
c) 1 

 C ( F ) 
d) 4 

 A ( V ) 
e) 4 

 B ( V ) 
f) 4 

 C ( V ) 
g) 7 

 A ( F ) 
h) 7 

 B ( F ) 
i) 7 

 C ( F ) 
 
l) 1

A ou 1

B ( V ) 
m) 1

A e 1

B ( F ) 
n) 4

A ou 4

B ( V ) 
o) 4

A e 4

B ( V ) 
p) 7

A ou 7

B ( F ) 
q) 7

A e 7 

B ( F ) 
 
Represente, por enumeração, os seguintes conjuntos: 
a) A = { x | x é mês do nosso calendário } 
b) B = { x | x é mês do nosso calendário que não possui a letra r } 
c) C = { x | x é letra da palavra amor } 
d) D = { x | x é par compreendido entre 1e 11} 
e) E = {x | x2 = 100 } 
 
Resolução 
a) A = ( janeiro ; fevereiro; março; abril; maio ; junho; julho ; agosto ; 
setembro ; outubro ; novembro ; dezembro ) . 
b) B = (maio; junho; julho; agosto ) 
c) C = (a; m; o; r ) 
d) D = ( 2; 4; 6; 8; ia ) 
e) E = ( 10; -10 ), pois 102 = 100 e -(-102) = 100 . 
 
4. Número de elementos de um conjunto 
Consideremos um conjunto C. Chamamos de número de elementos 
deste conjunto, e indicamos com n lcl, ao número de elementos diferentes 
entre si, que pertencem ao conjunto. 
Exemplos 
a) O conjunto A = { a; e; i; o; u } 
 é tal que n(A) = 5. 
b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } é tal que n(B) = 10. 
c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) é tal que n (C) = 99. 
 
5. Conjunto unitário e conjunto vazio 
Chamamos de conjunto unitário a todo conjunto C, tal que n (C) = 1. 
Exemplo: C = ( 3 ) 
E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0. 
Exemplo: M = { x | x2 = -25} 
O conjunto vazio é representado por { } ou por 

. 
 
Exercício resolvido 
Determine o número de elementos dos seguintes com juntos : 
a) A = { x | x é letra da palavra amor } 
b) B = { x | x é letra da palavra alegria } 
c) c é o conjunto esquematizado a seguir 
d) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) 
e) E é o conjunto dos pontos comuns às relas r e s, esquematizadas a 
seguir : 
 
 
Resolução 
a) n(A) = 4 
b) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de possuir dote letras, possui 
apenas seis letras distintas entre si. 
c) n(C) = 2, pois há dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C 
d) observe que: 
2 = 2 . 1 é o 1º par positivo 
4 = 2 . 2 é o 2° par positivo 
6 = 2 . 3 é o 3º par positivo 
8 = 2 . 4 é o 4º par positivo 
 . . 
 . . 
 . . 
98 = 2 . 49 é o 49º par positivo 
logo: n(D) = 49 
e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto 
comum. 
Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E é, portanto, unitário. 
 
6. Igualdade de conjuntos 
Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 são iguais, e indicaremos com A 
= 8, se ambos possuírem os mesmos elementos. Quando isto não ocorrer, 
diremos que os conjuntos são diferentes e indicaremos com A 

 B. 
Exemplos . 
a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} 
b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} 
c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} 
d) {a;e;i;o;u} 

 {a;e;i;o} 
e) { x | x2 = 100} = {10; -10} 
f) { x | x2 = 400} 

 {20} 
 
7. Subconjuntos de um conjunto 
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se 
todo elemento, que pertencer a A, também pertencer a B. 
 
Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estará 
"totalmente dentro" do conjunto B: 
 
Indicamos que A é um subconjunto de B de duas maneiras: 
a) A 

B; que deve ser lido : A é subconjunto de B ou A está contido 
em B ou A é parte de B; 
b) B 

 A; que deve ser lido: B contém A ou B inclui A. 
 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = {x | x é mineiro} e B = {x | x é brasileiro} ; temos 
então que A 

B e que B 

A. 
 
Observações: 
 Quando A não é subconjunto de B, indicamos com A 

 B ou B 

A. 
 Admitiremos que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 7 
8. Número de subconjuntos de um conjunto dado 
Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n elementos, então este 
conjunto terá 2n subconjuntos. ExemploO conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele terá 22 = 4 
subconjuntos. 
 
Exercício resolvido: 
1. Determine o número de subconjuntos do conjunto C = la; e; 1; o; u ) . 
Resolução: Como o conjunto C possui cinco elementos, o número dos 
seus subconjuntos será 25 = 32. 
 
Exercícios propostas: 
2. Determine o número de subconjuntos do conjunto 
C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } 
Resposta: 1024 
 
3. Determine o número de subconjuntos do conjunto 
C = 
1
2
1
3
1
4
2
4
3
4
3
5
; ; ; ; ;






 
Resposta: 32 
 
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
 
1. União de conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos união ou reunião de A com B, 
e indicamos com A 

B, ao conjunto constituído por todos os elementos 
que pertencem a A ou a B. 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a 
interseção dos conjuntos, temos: 
 
Exemplos 
a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} 
b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} 
c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c} 
 
2. Intersecção de conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interseção de A com B, e 
indicamos com A 

B, ao conjunto constituído por todos os elementos que 
pertencem a A e a B. 
 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a 
intersecção dos conjuntos, temos: 
 
Exemplos 
a) {a;b;c} 

{d;e} = 

 
b) {a;b;c} 

{b;c,d} = {b;c} 
c) {a;b;c} 

{a;c} = {a;c} 
 
Quando a intersecção de dois conjuntos é vazia, como no exemplo a, 
dizemos que os conjuntos são disjuntos. 
 
Exercícios resolvidos 
1. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t), determinar os 
seguintes conjuntos: 
a) A 

B f) B 

 C 
b) A 

B g) A 

 B 

 C 
c) A 

 C h) A 

 B 

 C 
d) A 

 C i) (A

B) U (A

C) 
e) B 

 C 
Resolução 
a) A 

 B = {x; y; z; w; v } 
b) A 

 B = {x } 
c) A 

 C = {x; y;z; u; t } 
d) A 

 C = {y } 
e) B 

 C={x;w;v;y;u;t} 
f) B 

 C= 

 
g) A 

 B 

 C= {x;y;z;w;v;u;t} 
h) A 

 B 

 C= 

 
i) (A 

 B) 

u (A 

 C)={x}

 {y}={x;y} 
 
2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: 
a) A

 B

C 
b) (A 

 B) 

 (A 

 C) 
 
Resolução 
 
3. No diagrama seguinte temos: 
n(A) = 20 
n(B) = 30 
n(A 

 B) = 5 
 
Determine n(A 

 B). 
Resolução 
 
Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B, 
estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, 
evidentemente, é incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma 
vez os 5 elementos de A n B; teremos então: 
n(A 

 B) = n(A) + n(B) - n(A 

 B) ou seja: 
n(A 

 B) = 20 + 30 – 5 e então: 
n(A 

 B) = 45. 
 
4. Conjunto complementar 
Dados dois conjuntos A e B, com B

A, chamamos de conjunto 
complementar de B em relação a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - 
B. 
 
Observação: O complementar é um caso particular de diferença em 
que o segundo conjunto é subconjunto do primeiro. 
 
Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o 
complementar de B em relação a A, temos: 
 
Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f} 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 8 
Observação: O conjunto complementar de B em relação a A é formado 
pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto é, para B se igualar a 
A. 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS 
 
Conhecemos o conjunto N dos números naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
.....,} 
 
Assim, os números precedidos do sinal + chamam-se positivos, e os 
precedidos de - são negativos. 
 
Exemplos: 
Números inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....} 
Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....} 
 
O conjunto dos números inteiros relativos é formado pelos números in-
teiros positivos, pelo zero e pelos números inteiros negativos. Também o 
chamamos de CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS e o representamos 
pela letra Z, isto é: Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... } 
 
O zero não é um número positivo nem negativo. Todo número positivo 
é escrito sem o seu sinal positivo. 
Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 
 
Então, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
N é um subconjunto de Z. 
 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA 
Cada número inteiro pode ser representado por um ponto sobre uma 
reta. Por exemplo: 
 
 
 ... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ... 
 ... C’ B’ A’ 0 A B C D ... 
 
Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o número zero. 
 
Nas representações geométricas, temos à direita do zero os números 
inteiros positivos, e à esquerda do zero, os números inteiros negativos. 
 
Observando a figura anterior, vemos que cada ponto é a representação 
geométrica de um número inteiro. 
 
Exemplos: 
ponto C é a representação geométrica do número +3 
ponto B' é a representação geométrica do número -2 
 
ADIÇÃO DE DOIS NÚMEROS INTEIROS 
1) A soma de zero com um número inteiro é o próprio número inteiro: 0 
+ (-2) = -2 
 
2) A soma de dois números inteiros positivos é um número inteiro posi-
tivo igual à soma dos módulos dos números dados: (+700) + (+200) = 
+900 
 
 3) A soma de dois números inteiros negativos é um número inteiro ne-
gativo igual à soma dos módulos dos números dados: (-2) + (-4) = -6 
 
4) A soma de dois números inteiros de sinais contrários é igual à dife-
rença dos módulos, e o sinal é o da parcela de maior módulo: (-800) + 
(+300) = -500 
 
ADIÇÃO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS 
A soma de três ou mais números inteiros é efetuada adicionando-se todos 
os números positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-
se a soma do número negativo. 
 
Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) = 
 (+17) + (-11) = +6 
 
 2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) = 
 (+5) + (-12) = -7 
 
 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
A adição de números inteiros possui as seguintes propriedades: 
 
1ª) FECHAMENTO 
A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro: (-3) + 
(+6) = + 3 

 Z 
 
2ª) ASSOCIATIVA 
Se a, b, c são números inteiros quaisquer, então: a + (b + c) = (a + b) + 
c 
Exemplo: 
(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2) 
(+3) + (-2) = (-1) + (+2) 
+1 = +1 
 
3ª) ELEMENTO NEUTRO 
Se a é um número inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a e 0 + a = a 
 
 Isto significa que o zero é elemento neutro para a adição. 
 
Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2 
 
4ª) OPOSTO OU SIMÉTRICO 
Se a é um número inteiro qualquer, existe um único número oposto ou 
simétrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a) 
 
Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0 
 
5ª) COMUTATIVA 
Se a e b são números inteiros, então: 
a + b = b + a 
 
Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) 
 -2 = -2 
 
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
Em certo local, a temperatura passou de -3ºC para 5ºC, sofrendo, por-
tanto, um aumento de 8ºC, aumento esse que pode ser representado por: 
(+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8 
 
Portanto: 
A diferença entre dois números dados numa certa ordem é a soma do 
primeiro com o oposto do segundo. 
 
Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4 
2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7 
3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7 
 
Na prática, efetuamos diretamente a subtração, eliminando os parênte-
ses 
 -(+4 ) = -4 - ( -4 ) = +4 
 
Observação: 
Permitindo a eliminação dos parênteses, os sinais podem ser resumidos do 
seguinte modo: 
( + ) = + + ( - ) = - 
- ( + ) = - - ( - ) = + 
 
Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6 
 - (+3) = -3 +(+1) = +1 
 
PROPRIEDADE DA SUBTRAÇÃO 
A subtração possui uma propriedade. 
 
FECHAMENTO: A diferença de dois números inteiros é sempre um 
número inteiro. 
 
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 9 
 
1º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS 
Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 
Exemplo: 
(+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6 
 
Logo: (+3) . (+2) = +6 
 
Observando essa igualdade, concluímos: na multiplicação de números 
inteiros, temos: 
(+) . (+) =+ 
 
2º CASO: UM FATOR É POSITIVO E O OUTRO É NEGATIVO 
Exemplos: 
1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 
 
ou seja: (+3) . (-4) = -12 
 
2) Lembremos que: -(+2) = -2 
(-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 
 
ou seja: (-3) . (+5) = -15 
 
Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: 
( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = - 
 
Exemplos : 
(+5) . (-10) = -50 
(+1) . (-8) = -8 
(-2 ) . (+6 ) = -12 (-7) . (+1) 
= -7 
3º CASO: OS DOIS FATORES SÃO NÚMEROS INTEIROS NEGATI-
VOS 
Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 
isto é: (-3) . (-6) = +18 
 
Conclusão: na multiplicação de números inteiros, temos: ( - ) . ( - ) = + 
 
Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20 
 
As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser resumidas na se-
guinte: 
( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = - 
( - ) . ( - ) = + ( - ) . ( + ) = - 
 
Quando um dos fatores é o 0 (zero), o produto é igual a 0: (+5) . 0 = 0 
 
PRODUTO DE TRÊS OU MAIS NÚMEROS INTEIROS 
Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = 
 (-20) . (-2 ) . (+3 ) = 
 (+40) . (+3 ) = +120 
 
2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) = 
 (+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = 
 (+6 ) . (-2 ) = -12 
 
Podemos concluir que: 
Quando o número de fatores negativos é par, o produto sempre é posi-
tivo. 
Quando o número de fatores negativos é ímpar, o produto sempre é 
negativo. 
 
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO 
No conjunto Z dos números inteiros são válidas as seguintes proprie-
dades: 
 
1ª) FECHAMENTO 
Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 

 Z 
Então o produto de dois números inteiros é inteiro. 
 
2ª) ASSOCIATIVA 
Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) 
Este cálculo pode ser feito diretamente, mas também podemos fazê-lo, 
agrupando os fatores de duas maneiras: 
(+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) 
 (+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 ) 
 -24 = -24 
 
De modo geral, temos o seguinte: 
Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, então: a . (b . c) = 
(a . b) . c 
 
3ª) ELEMENTO NEUTRO 
 Observe que: 
(+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4 
 
Qualquer que seja o número inteiro a, temos: 
a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a 
 
O número inteiro +1 chama-se neutro para a multiplicação. 
4ª) COMUTATIVA 
Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8 
 e (-4 ) . (+2 ) = - 8 
 
Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 ) 
 
Se a e b são números inteiros quaisquer, então: a . b = b . a isto é, a 
ordem dos fatores não altera o produto. 
 
5ª) DISTRIBUTIVA EM RELAÇÃO À ADIÇÃO E À SUBTRAÇÃO 
Observe os exemplos: 
(+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 ) 
(+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 ) 
 
Conclusão: 
Se a, b, c representam números inteiros quaisquer, temos: 
a) a . [b + c] = a . b + a . c 
 A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição. 
b) a . [b – c] = a . b - a . c 
 A igualdade acima é conhecida como propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à subtração. 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
CONCEITO 
Dividir (+16) por 2 é achar um número que, multiplicado por 2, dê 16. 
16 : 2 = ? 

 2 . ( ? ) = 16 
 
0 número procurado é 8. Analogamente, temos: 
1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12 
2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12 
3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12 
4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12 
 
A divisão de números inteiros só pode ser realizada quando o quocien-
te é um número inteiro, ou seja, quando o dividendo é múltiplo do divisor. 
 
Portanto, o quociente deve ser um número inteiro. 
 
Exemplos: 
( -8 ) : (+2 ) = -4 
( -4 ) : (+3 ) = não é um número inteiro 
 
Lembramos que a regra dos sinais para a divisão é a mesma que vi-
mos para a multiplicação: 
 ( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = - 
 ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = - 
 
Exemplos: 
( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 
(+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4 
 
PROPRIEDADE 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 10 
Como vimos: (+4 ) : (+3 ) 

 Z 
Portanto, não vale em Z a propriedade do fechamento para a divisão. 
Alem disso, também não são válidas as proposições associativa, comutati-
va e do elemento neutro. 
 
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS 
 
CONCEITO 
A notação 
(+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) 
 
 
é um produto de três fatores iguais 
 
Analogamente: 
( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) 
 
 
é um produto de quatro fatores iguais 
 
Portanto potência é um produto de fatores iguais. 
 
Na potência (+5 )2 = +25, temos: 
+5 ---------- base 
 2 ---------- expoente 
+25 ---------- potência 
 
0bservacões : 
(+2 ) 1 significa +2, isto é, (+2 )1 = +2 
( -3 )1 significa -3, isto é, ( -3 )1 = -3 
 
CÁLCULOS 
 
O EXPOENTE É PAR 
Calcular as potências 
(+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2)4 = +16 
( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 )4 = +16 
 
Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 
 
Então, de modo geral, temos a regra: 
 
Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. 
 
Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 
 
O EXPOENTE É ÍMPAR 
Calcular as potências: 
(+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 
isto é, (+2)3 = + 8 
( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 
ou seja, (-2)3 = -8 
 
Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 
Daí, a regra: 
 
Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. 
 
Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 
 
PROPRIEDADES 
 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 
 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 
 
Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e soma-
mos os expoentes. 
 
 QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 
( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 
 
Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo 
é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os 
expoentes. 
 
POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 
 
Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da pri-
meira potência e multiplicamos os expoentes . 
 
POTÊNCIA DE UM PRODUTO 
[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 
 
Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos 
cada fator ao expoente n. 
 
POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO 
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 
 e (+2 )5 : (+2)5 = 1 
 
 Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 
 
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 
 
Observação: 
 
Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa -( 3 )2 e portanto 
-32 = -( 3 )2 = -9 
enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 
Logo: -3 2 

 ( -3 )2 
 
CÁLCULOS 
 
O EXPOENTE É PAR 
Calcular as potências 
(+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto é, (+2)4 = +16 
( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto é, (-2 )4 = +16 
 
Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16 
 
Então, de modo geral, temos a regra: 
Quando o expoente é par, a potência é sempre um número positivo. 
 
Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9 
 
O EXPOENTE É ÍMPAR 
Exemplos: 
Calcular as potências: 
1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 
isto é, (+2)3 = + 8 
2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 
ou seja, (-2)3 = -8 
Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8 
 
Daí, a regra: 
Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base. 
Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 
 
PROPRIEDADES 
 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 
 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10 
 
Para multiplicar potências de mesma base, mantemos a base e soma-
mos os expoentes. 
 
 QUOCIENTE DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
(+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 
( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 11 
Para dividir potências de mesma base em que o expoente do dividendo 
é maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtraímos os 
expoentes. 
 
POTÊNCIA DE POTÊNCIA 
[( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 
 
Para calcular uma potência de potência, conservamos a base da pri-
meira potência e multiplicamos os expoentes . 
 
POTÊNCIA DE UM PRODUTO 
[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 
Para calcular a potência de um produto, sendo n o expoente, elevamos 
cada fator ao expoente n. 
 
POTÊNCIA DE EXPOENTE ZERO 
(+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 
 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 
 
Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 
 
Qualquer potência de expoente zero é igual a 1. 
 
Observação: 
Não confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa -( 3 )2 e portanto: 
-32 = -( 3 )2 = -9 
 
enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 
Logo: -3 2 

 ( -3 )2 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES 
 
DIVISIBILIDADE 
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
Ex.: O número 74 é divisível por 2, pois termina em 4. 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos 
seus algarismos é um número divisível por 3. 
 
Ex.: 123 é divisível por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 é divisível por 3 
 
Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5 
(ou quando termina em o ou 5). 
 
Ex.: O número 320 é divisível por 5, pois termina em 0. 
 
Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é 0 (ou 
quando termina em 0). 
 
Ex.: O número 500 é divisível por 10, pois termina em 0. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número natural é primo quando é divisível apenas por dois núme-
ros distintos: ele próprio e o 1. 
 
Exemplos: 
• O número 2 é primo, pois é divisível apenas por dois números dife-
rentes: ele próprio e o 1. 
• O número 5 é primo, pois é divisível apenas por dois números dis-
tintos: ele próprio e o 1. 
• O número natural que é divisível por mais de dois números diferen-
tes é chamado composto. 
• O número 4 é composto, pois é divisível por 1, 2, 4. 
• O número 1 não é primo nem composto, pois é divisível apenas 
por um número (ele mesmo). 
• O número 2 é o único número par primo. 
 
DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS (FATORAÇÃO) 
 
Um número composto pode ser escrito sob a forma de um produto de 
fatores primos. 
 
Por exemplo, o número 60 pode ser escrito na forma: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 
22 . 3 . 5 que é chamada de forma fatorada. 
 
Para escrever um número na forma fatorada, devemos decompor esse 
número em fatores primos, procedendo do seguinte modo: 
 
Dividimos o número considerado pelo menor número primo possível de 
modo que a divisão seja exata. 
 
Dividimos o quociente obtido pelo menor número primo possível. 
 
Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor número 
primo possível, até que se obtenha o quociente 1. 
 
Exemplo: 
60 2 
 
 0 30 2 
 
0 15 3 
 5 0 5 
 
 1 
Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 
 
Na prática, costuma-se traçar uma barra vertical à direita do número e, 
à direita dessa barra, escrever os divisores primos; abaixo do número 
escrevem-se os quocientes obtidos. A decomposição em fatores primos 
estará terminada quando o último quociente for igual a 1. 
 
Exemplo: 
 60 
30 
15 
5 
 1 
2 
2 
3 
5 
 
Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 
 
DIVISORES DE UM NÚMERO 
 
Consideremos o número 12 e vamos determinar todos os seus diviso-
res Uma maneira de obter esse resultado é escrever os números naturais 
de 1 a 12 e verificar se cada um é ou não divisor de 12, assinalando os 
divisores. 
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 
= = = = = == 
 
Indicando por D(12) (lê-se: "D de 12”) o conjunto dos divisores do nú-
mero 12, temos: 
D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 
Na prática, a maneira mais usada é a seguinte: 
 
1º) Decompomos em fatores primos o número considerado. 
12 
6 
3 
1 
2 
2 
3 
 
2º) Colocamos um traço vertical ao lado os fatores primos e, à sua di-
reita e acima, escrevemos o numero 1 que é divisor de todos os nú-
meros. 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
1 
 
3º) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e escrevemos o produto 
obtido na linha correspondente. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 12 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 
4º) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divisores já obti-
dos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem re-
peti-los. 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 4 
 
 
12 
6 
3 
1 
 
2 
2 
3 
x1 
 2 
 4 
 3, 6, 12 
 
Os números obtidos à direita dos fatores primos são os divisores do 
número considerado. Portanto: 
D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12} 
 
Exemplos: 
1) 
 
18 
9 
3 
1 
 
2 
3 
3 
1 
2 
3, 6 
9, 18 
 
 
D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18} 
 
2) 
 
30 
15 
5 
1 
 
2 
3 
5 
1 
2 
3, 6 
5, 10, 15, 30 
 
 
D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM 
 
Recebe o nome de máximo divisor comum de dois ou mais números o 
maior dos divisores comuns a esses números. 
 
Um método prático para o cálculo do M.D.C. de dois números é o cha-
mado método das divisões sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que 
consiste das etapas seguintes: 
1ª) Divide-se o maior dos números pelo menor. Se a divisão for exata, 
o M.D.C. entre esses números é o menor deles. 
2ª) Se a divisão não for exata, divide-se o divisor (o menor dos dois 
números) pelo resto obtido na divisão anterior, e, assim, sucessi-
vamente, até se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim determi-
nado, será o M.D.C. dos números considerados. 
 
Exemplo: 
 
Calcular o M.D.C. (24, 32)32 24 24 8 
 
8 1 0 3 
 
Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM 
 
Recebe o nome de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números o 
menor dos múltiplos (diferente de zero) comuns a esses números. 
 
O processo prático para o cálculo do M.M.C de dois ou mais números, 
chamado de decomposição em fatores primos, consiste das seguintes 
etapas: 
1º) Decompõem-se em fatores primos os números apresentados. 
2º) Determina-se o produto entre os fatores primos comuns e não-
comuns com seus maiores expoentes. Esse produto é o M.M.C 
procurado. 
Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18) 
 
Decompondo em fatores primos esses números, temos: 
12 2 18 2 
 6 2 9 3 
 3 3 3 3 
 1 1 
 
12 = 22 . 3 18 = 2 . 32 
 
Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36 
 
Observação: Esse processo prático costuma ser simplificado fazendo-
se uma decomposição simultânea dos números. Para isso, escrevem-se os 
números, um ao lado do outro, separando-os por vírgula, e, à direita da 
barra vertical, colocada após o último número, escrevem-se os fatores 
primos comuns e não-comuns. 0 calculo estará terminado quando a última 
linha do dispositivo for composta somente pelo número 1. O M.M.C dos 
números apresentados será o produto dos fatores. 
 
Exemplo: 
Calcular o M.M.C (36, 48, 60) 
36, 48, 60 
18, 24, 30 
 9, 12, 15 
 9, 6, 15 
 9, 3, 15 
 3, 1, 5 
 1, 1 5 
 1, 1, 1 
2 
2 
2 
2 
3 
3 
5 
 
 
Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720 
 
RAÍZ QUADRADA EXATA DE NÚMEROS INTEIROS 
 
CONCEITO 
Consideremos o seguinte problema: 
Descobrir os números inteiros cujo quadrado é +25. 
Solução: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25 
Resposta: +5 e -5 
 
Os números +5 e -5 chamam-se raízes quadradas de +25. 
 
Outros exemplos: 
Número Raízes quadradas 
+9 
+16 
+1 
+64 
+81 
+49 
+36 
+ 3 e -3 
+ 4 e -4 
+ 1 e -1 
+ 8 e -8 
+ 9 e -9 
+ 7 e -7 
+6 e -6 
O símbolo 
25
significa a raiz quadrada de 25, isto é 
25
= +5 
Como 
25
 = +5 , então: 
525 
 
 
Agora, consideremos este problema. 
Qual ou quais os números inteiros cujo quadrado é -25? 
Solução: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25 
Resposta: não existe número inteiro cujo quadrado seja -25, isto 
é, 
25
 não existe no conjunto Z dos números inteiros. 
 
Conclusão: os números inteiros positivos têm, como raiz quadrada, um 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 13 
número positivo, os números inteiros negativos não têm raiz quadrada no 
conjunto Z dos números inteiros. 
 
RADICIAÇÃO 
 
A raiz n-ésima de um número b é um número a tal que an = b. 
 
 
 
 
2325 
 
5 índice 
32 radicando pois 25 = 32 
 raiz 
2 radical 
 
Outros exemplos : 
3 8
 = 2 pois 2 3 = 8 
3 8
= - 2 pois ( -2 )3 = -8 
 
PROPRIEDADES (para a 

 0, b 

 0) 
1ª) pm pnm n aa : : 3 215 10 33  
2ª) 
nnn baba 
 
326 
 
3ª) 
nnn baba :: 
 
4
4
4
16
5
16
5

 
4ª) 
  m nnm aa 
 
  3 553 xx 
 
5ª) 
nmm n aa 
 
126 33 
 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM NÚMEROS INTEIROS ENVOLVENDO 
AS QUATRO OPERAÇÕES 
 
Para calcular o valor de uma expressão numérica com números intei-
ros, procedemos por etapas. 
 
1ª ETAPA: 
a) efetuamos o que está entre parênteses ( ) 
b) eliminamos os parênteses 
2ª ETAPA: 
a) efetuamos o que está entre colchetes [ ] 
b) eliminamos os colchetes 
3º ETAPA: 
a) efetuamos o que está entre chaves { } 
b) eliminamos as chaves 
 
Em cada etapa, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: 
1ª) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem. 
2ª) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem. 
3ª) Adição e subtração na ordem em que aparecem. 
 
Exemplos: 
1) 2 + 7 . (-3 + 4) = 
 2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9 
 
2) (-1 )3 + (-2 )2 : (+2 ) = 
 -1+ (+4) : (+2 ) = 
 -1 + (+2 ) = 
 -1 + 2 = +1 
 
3) -(-4 +1) – [-(3 +1)] = 
 -(-3) - [-4 ] = 
 +3 + 4 = 7 
 
4) –2( -3 –1)2 +3 . ( -1 – 3)3 + 4 
 -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 = 
 -2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 = 
 -32 – 192 + 4 = 
 220 
 
5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 = 
 (-288) : (+144) - (-125) : (+25) = 
 (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3 
 
6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = 
 (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) = 
 -3 - (- 5) = 
 - 3 + 5 = +2 
 
7) –52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 = 
 -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 = 
 -1 - (+1) –1 = -1 -1 –1 = -3 
 
8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 = 
 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = 
 +18 + (-5) - 4 = 
 + 18 - 9 = +9 
 
 
NÚMEROS NATURAIS 
 
A reta dos números naturais 
Consideremos uma régua numerada de 1 a 30. 
Nela estão representados os números naturais de 1 a 30, ou seja, o 
conjunto dos números naturais de 1 a 30. O conjunto dos números naturais 
é infinito e é assim representado: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9, 10, 11, 12, .........} 
 
 Sucessivas ampliações dos campos numéricos 
Você já tem algum conhecimento o respeito dos campos ou conjuntos 
numéricos com os quais iremos trabalhar nesta unidade. Mostraremos 
como se ampliam sucessivamente esses conjuntos, a partir do conjunto N, 
e também como se acrescentam outras propriedades para as operações 
como elementos dos novos conjuntos. 
 
O CONJUNTO N E SUAS PROPRIEDADES 
Seja o conjunto N: 
N = { 0, 1, 2, 3. ... , n, ...} 
 
Você deve se lembrar que este conjunto tem sua origem a partir de 
conjuntos finitos e eqüipotentes: a uma classe de todos os conjuntos eqüi-
potentes entre si associou-se o mesmo cardinal, o mesmo número e a 
mesma representação ou numeral. 
 
Propriedades das operações em N 
Para expressar matematicamente as propriedades das operações em 
N e nos sucessivos conjuntos, usaremos a notação usual e prática dos 
quantificadores. São eles: 
• x significa “qualquer que seja x é o quantificador universal e signi-
fica “qualquer que seja”; 
• x significo “existe x” é o quantificador existencial e significo “existe”. 
O símbolo  | x significa “existe um único x”. 
 
ADIÇÃO 
 
Fechamento 
 a, b  N, a + b = c  N 
 
Comutativa 
 a, b  N, a + b = b + a 
 
Associativo 
 a, b, c  N, a + (b + c) = (a + 
b) + c 
MULTIPLICAÇÃO 
Fechamento 
 a, b  N, a . b = c  N 
 
Comutativa 
 a, b  N, a . b = b . a 
 
Associativa 
 a, b, c  N, a . (b . c) = (a 
. b) . c 
baab nn 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 14 
 
Elemento Neutro 
 0  N, tal que  a  N 
a + 0 = 0 + a = a 
 
 
Elemento Neutro 
 1  N, tal que  a  N 
a . 1 = 1 . a = a 
 
Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição 
 a, b, c  N, a . (b + c) = a . b + a . c 
 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
 
Veja a operação: 2 + 3 = 5 . 
 
A operação efetuada chama-se adição e é indicada escrevendo-se o 
sinal + (lê-se: “mais") entre os números. 
 
Os números 2 e 3 são chamados parcelas. 0 número 5, resultado da 
operação, é chamado soma. 
2 

 parcela 
 + 3 

 parcela 
 5 

 soma 
 
A adição de três ou mais parcelas pode ser efetuada adicionando-seo 
terceiro número à soma dos dois primeiros ; o quarto número à soma dos 
três primeiros e assim por diante. 
3 + 2 + 6 = 
5 + 6 = 11 
 
Veja agora outra operação: 7 - 3 = 4 
 
Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a opera-
ção de subtração, que indicamos pelo sinal - . 
7 

 minuendo 
- 3 

 subtraendo 
4 

 resto ou diferença 
 
0 minuendo é o conjunto maior, o subtraendo o subconjunto que 
se tira e o resto ou diferença o conjunto que sobra. 
 
Somando a diferença com o subtraendo obtemos o minuendo. Dessa 
forma tiramos a prova da subtração. 
4 + 3 = 7 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Para calcular o valor de uma expressão numérica envolvendo adição e 
subtração, efetuamos essas operações na ordem em que elas aparecem na 
expressão. 
 
Exemplos: 35 – 18 + 13 = 
 17 + 13 = 30 
 
Veja outro exemplo: 47 + 35 - 42 - 15 = 
 82 - 42 - 15= 
 40 - 15 = 25 
Quando uma expressão numérica contiver os sinais de parênteses ( ), 
colchetes [ ] e chaves { }, procederemos do seguinte modo: 
 
1º Efetuamos as operações indicadas dentro dos parênteses; 
2º efetuamos as operações indicadas dentro dos colchetes; 
3º efetuamos as operações indicadas dentro das chaves. 
 
1) 35 +[ 80 - (42 + 11) ] = 
 = 35 + [ 80 - 53] = 
 = 35 + 27 = 62 
 
2) 18 + { 72 – [ 43 + (35 - 28 + 13) ] } = 
= 18 + { 72 – [ 43 + 20 ] } = 
= 18 + { 72 – 63} = 
= 18 + 9 = 27 
 
CÁLCULO DO VALOR DESCONHECIDO 
 
Quando pretendemos determinar um número natural em certos tipos de 
problemas, procedemos do seguinte modo: 
- chamamos o número (desconhecido) de x 
- escrevemos a igualdade correspondente 
- calculamos o seu valor 
 
Exemplos: 
1) Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31? 
Solução: 
 Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: 
x + 15 = 31 
 
Calculando o valor de x temos: 
x + 15 = 31 
 x = 31 - 15 
 x = 16 
 
Quando um número passa de um lado para outro da igualdade ele mu-
da de sinal. 
 
2) Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. Qual é esse núme-
ro? 
Solução: 
Seja x o número desconhecido. A igualdade correspondente será: 
x - 25 = 11 
 x = 11 + 25 
 x = 36 
 
Passamos o número 25 para o outro lado da igualdade e com isso ele 
mudou de sinal. 
 
3) Qual o número natural que, adicionado a 8, é igual a 20? 
 Solução: 
x + 8 = 20 
 x = 20 - 8 
 x = 12 
 
4) Determine o número natural do qual, subtraindo 62, obtemos 43. 
 Solução: 
x - 62 = 43 
 x = 43 + 62 
 x = 105 
 
Para sabermos se o problema está correto é simples, basta substituir o 
x pelo valor encontrado e realizarmos a operação. No último exemplo 
temos: 
x = 105 
105 - 62 = 43 
 
MULTIPLICAÇÃO 
 
Observe: 4 X 3 =12 
 
A operação efetuada chama-se multiplicação e é indicada escrevendo-
se um ponto ou o sinal x entre os números. 
 
Os números 3 e 4 são chamados fatores. O número 12, resultado da 
operação, é chamado produto. 
3 X 4 = 12 
 
 3 fatores 
 X 4 
 12 produto 
 
 
Por convenção, dizemos que a multiplicação de qualquer número por 1 
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é igual ao próprio número. 
 
A multiplicação de qualquer número por 0 é igual a 0. 
 
A multiplicação de três ou mais fatores pode ser efetuada multiplican-
do-se o terceiro número pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero 
pelo produto dos três primeiros; e assim por diante. 
 
3 x 4 x 2 x 5 = 
 12 x 2 x 5 
 24 x 5 = 120 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 
Sinais de associação 
O valor das expressões numéricas envolvendo as operações de adi-
ção, subtração e multiplicação é obtido do seguinte modo: 
- efetuamos as multiplicações 
- efetuamos as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. 
 
1) 3 . 4 + 5 . 8 - 2 . 9 = 
=12 + 40 - 18 
= 34 
 
2) 9 . 6 - 4 . 12 + 7 . 2 = 
 = 54 - 48 + 14 = 
 = 20 
 
Não se esqueça: 
Se na expressão ocorrem sinais de parênteses colchetes e chaves, e-
fetuamos as operações na ordem em que aparecem: 
1º) as que estão dentro dos parênteses 
2º) as que estão dentro dos colchetes 
3º) as que estão dentro das chaves. 
 
Exemplo: 
22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) - 3 . 7] – 8 . 9 } 
= 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) – 21] – 72 } = 
= 22 + { 12 + [ 84 – 21] – 72 } = 
= 22 + { 12 + 63 – 72 } = 
= 22 + 3 = 
= 25 
 
DIVISÃO 
 
Observe a operação: 
30 : 6 = 5 
 
Também podemos representar a divisão das seguintes manei-
ras: 
30 6 ou 
5
6
30

 
 5 
 
O dividendo (D) é o número de elementos do conjunto que dividimos o 
divisor (d) é o número de elementos do subconjunto pelo qual dividimos o 
dividendo e o quociente (c) é o número de subconjuntos obtidos com a 
divisão. 
 
Essa divisão é exata e é considerada a operação inversa da multiplica-
ção. 
SE 30 : 6 = 5, ENTÃO 5 x 6 = 30 
 
observe agora esta outra divisão: 
 
32 6 
 2 5 
32 = dividendo 
6 = divisor 
5 = quociente 
2 = resto 
 
Essa divisão não é exata e é chamada divisão aproximada. 
 
ATENÇÃO: 
1) Na divisão de números naturais, o quociente é sempre menor ou 
igual ao dividendo. 
2) O resto é sempre menor que o divisor. 
3) O resto não pode ser igual ou maior que o divisor. 
4) O resto é sempre da mesma espécie do dividendo. Exemplo: divi-
dindo-se laranjas por certo número, o resto será laranjas. 
5) É impossível dividir um número por 0 (zero), porque não existe 
um número que multiplicado por 0 dê o quociente da divisão. 
 
PROBLEMAS 
 
1) Determine um número natural que, multiplicado por 17, resulte 
238. 
X . 17 = 238 
 X = 238 : 17 
 X = 14 
Prova: 14 . 17 = 238 
 
2) Determine um número natural que, dividido por 62, resulte 49. 
x : 62 = 49 
 x = 49 . 62 
 x = 3038 
 
3) Determine um número natural que, adicionado a 15, dê como 
resultado 32 
x + 15 = 32 
 x = 32 - 15 
 x =17 
 
4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de obtermos 186? 
x – 112 = 186 
 x = 186 - 112 
 x = 74 
 
5) Quanto devemos subtrair de 134 para obtermos 81? 
134 – x = 81 
 - x = 81 - 134 
 - x = - 53 (multiplicando por -1) 
 x = 53 
Prova: 134 - 53 = 81 
 
6) Ricardo pensou em um número natural, adicionou-lhe 35, sub-
traiu 18 e obteve 40 no resultado. Qual o número pensado? 
x + 35 - 18 = 40 
 x= 40 - 35 + 18 
 x = 23 
 Prova: 23 + 35 - 18 = 40 
 
7) Adicionando 1 ao dobro de certo número obtemos 7. Qual é 
esse numero? 
2 . x +1 = 7 
2x = 7 - 1 
2x = 6 
x = 6 : 2 
x = 3 
O número procurado é 3. 
Prova: 2. 3 +1 = 7 
 
8) Subtraindo 12 do triplo de certo número obtemos 18. Determi-
nar esse número. 
3 . x -12 = 18 
3 x = 18 + 12 
3 x = 30 
x = 30 : 3 
x = 10 
 
9) Dividindo 1736 por um número natural, encontramos 56. Qual o 
valor deste numero natural? 
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1736 : x = 56 
 1736 = 56 . x 
 56 . x = 1736 
 x. 56 = 1736 
 x = 1736 : 56 
 x = 31 
 
10) O dobro de um número é igual a30. Qual é o número? 
2 . x = 30 
 2x = 30 
 x = 30 : 2 
 x = 15 
 
11) O dobro de um número mais 4 é igual a 20. Qual é o número ? 
2 . x + 4 = 20 
 2 x = 20 - 4 
 2 x = 16 
 x = 16 : 2 
 x = 8 
 
12) Paulo e José têm juntos 12 lápis. Paulo tem o dobro dos lápis 
de José. Quantos lápis tem cada menino? 
José: x 
Paulo: 2x 
Paulo e José: x + x + x = 12 
3x = 12 
x = 12 : 3 
x = 4 
José: 4 - Paulo: 8 
 
13) A soma de dois números é 28. Um é o triplo do outro. Quais 
são esses números? 
um número: x 
o outro número: 3x 
x + x + x + x = 28 (os dois números) 
 4 x = 28 
 x = 28 : 4 
 x = 7 (um número) 
 
3x = 3 . 7 = 21 (o outro número). 
Resposta: 7 e 21 
 
14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Marcelo tem bo-
linhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? 
Pedro: x 
Marcelo: x + 6 
x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 
2 x + 6 = 30 
 2 x = 30 - 6 
 2 x = 24 
 x = 24 : 2 
 x = 12 (Pedro) 
Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18 
 
EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES 
 
Sinais de associação: 
O valor das expressões numéricas envolvendo as quatro operações é 
obtido do seguinte modo: 
- efetuamos as multiplicações e as divisões, na ordem em que apa-
recem; 
- efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que apare-
cem; 
 
Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 = 
= 45 + 4 
= 49 
 
Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 - 6 . 5 : 10 = 
= 6 . 2 + 8 - 30 : 10 = 
= 12 + 8 - 3 = 
= 20 - 3 
= 17 
 
POTENCIAÇÃO 
 
Considere a multiplicação: 2 . 2 . 2 em que os três fatores são todos 
iguais a 2. 
 
Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma 23 (lê-se: dois ele-
vado à terceira potência), em que o 2 é o fator que se repete e o 3 corres-
ponde à quantidade desses fatores. 
 
Assim, escrevemos: 
23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores) 
 
A operação realizada chama-se potenciação. 
O número que se repete chama-se base. 
O número que indica a quantidade de fatores iguais a base chama-se 
expoente. 
O resultado da operação chama-se potência. 
23 = 8 
 3 expoente 
 base potência 
 
Observações: 
1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especiais de quadrado e 
cubo, respectivamente. 
2) As potências de base 0 são iguais a zero. 02 = 0 . 0 = 0 
3) As potências de base um são iguais a um. 
 Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1 
 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 
4) Por convenção, tem-se que: 
- a potência de expoente zero é igual a 1 (a0 = 1, a 

0) 
30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1 
- a potência de expoente um é igual à base (a1 = a) 
21 = 2 ; 71 = 7 ; 1001 =100 
 
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS 
 
1ª) para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e 
adicionam-se os expoentes. 
am . an = a m + n 
Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310 
 5 . 5 6 = 51 + 6 = 57 
 
2ª) para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e sub-
traem-se os expoentes. 
am : an = am - n 
 Exemplos: 
37 : 33 = 3 7 – 3 = 74 
510 : 58 = 5 10 – 8 = 52 
 
3ª) para elevar uma potência a um outro expoente, conserva-se base 
e multiplicam-se os expoentes. 
Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38 
 
4ª) para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a es-
se expoente. 
(a. b)m = am . bm 
 
Exemplos: 
(4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52 
 
RADICIAÇÃO 
 
Suponha que desejemos determinar um número que, elevado ao qua-
drado, seja igual a 9. Sendo x esse número, escrevemos: 
X2 = 9 
 
De acordo com a potenciação, temos que x = 3, ou seja: 
32 = 9 
 
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A operação que se realiza para determinar esse número 3 é chamada 
radiciação, que é a operação inversa da potenciação. 
Indica-se por: 
392 
 (lê-se: raiz quadrada de 9 é igual a 3) 
 
Daí , escrevemos: 
9339 22 
 
 
Na expressão acima, temos que: 
- o símbolo chama-se sinal da raiz 
- o número 2 chama-se índice 
- o número 9 chama-se radicando 
- o número 3 chama-se raiz, 
- o símbolo 
2 9
 chama-se radical 
 
As raízes recebem denominações de acordo com o índice. Por exem-
plo: 
 
2 36
 raiz quadrada de 36 
3 125
 raiz cúbica de 125 
 
4 81
 raiz quarta de 81 
 
5 32
 raiz quinta de 32 e assim por diante 
 
No caso da raiz quadrada, convencionou-se não escrever o índice 2. 
Exemplo : 
49 49 7 492   , pois 72
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01) Calcule: 
a) 10 - 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = 
c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 - 3 = 
e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 - 56 : 4 = 
g) 63 : 9 . 2 - 2 = h) 56 - 34 : 17 . 19 = 
i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 -12 : 4+1. 0 = 
 
Respostas: 
a) 8 
c) 24 
e) 11 
g) 12 
i) 8 
b) 11 
d) 60 
f) 76 
h) 18 
j) 21 
 
02) Calcule o valor das expressões: 
a) 23 + 32 = 
b) 3 . 52 - 72 = 
c) 2 . 33 - 4. 23 = 
d) 53 - 3 . 62 + 22 - 1 = 
e) (2 + 3)2 + 2 . 34 - 152 : 5 = 
f) 1 + 72 - 3 . 24 + (12 : 4)2 = 
 
Respostas: 
a) 17 
c) 22 
e) 142 
b) 26 
d) 20 
f) 11 
 
03) Uma indústria de automóveis produz, por dia, 1270 unidades. Se 
cada veículo comporta 5 pneus, quantos pneus serão utilizados 
ao final de 30 dias? (Resposta: 190.500) 
 
04) Numa divisão, o divisor é 9,o quociente é 12 e o resto é 5. Qual é 
o dividendo? (113) 
 
05) Numa divisão, o dividendo é 227, o divisor é 15 e o resto é 2. 
Qual é o quociente? (15) 
 
06) Numa divisão, o dividendo é 320, o quociente é 45 e o resto é 5. 
Qual é o divisor? (7) 
 
07) Num divisão, o dividendo é 625, o divisor é 25 e o quociente é 25. 
Qual ê o resto? (0) 
 
08) Numa chácara havia galinhas e cabras em igual quantidade. Sa-
bendo-se que o total de pés desses animais era 90, qual o núme-
ro de galinhas? 
Resposta: 15 ( 2 pés + 4 pés = 6 pés ; 90 : 6 = 15). 
 
09) O dobro de um número adicionado a 3 é igual a 13. Calcule o 
número.(5) 
 
10) Subtraindo 12 do quádruplo de um número obtemos 60. Qual é 
esse número (Resp: 18) 
 
11) Num joguinho de "pega-varetas", André e Renato fizeram 235 
pontos no total. Renato fez 51 pontos a mais que André. Quantos 
pontos fez cada um? (92 e 143) 
 
12) Subtraindo 15 ao triplo de um número obtemos 39. Qual é o nú-
mero? (18) 
 
13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 amigos. No final 
sobraram 2. Quantas balas coube a cada um? (16) 
 
14) A diferença entre dois números naturais é zero e a sua soma é 
30. Quais são esses números? (15) 
 
15) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 pon-
tos por exercício que erra. Ao final de 50 exercícios tinha 130 pon-
tos. Quantos exercícios acertou? (35) 
 
16) Um edifício tem 15 andares; cada andar, 30 salas; cada sala, 3 
mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas 
chaves diferentes serão necessárias para abrir todas as gavetas? 
(2700). 
 
17) Se eu tivesse 3 dúzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e fi-
caria com 100. Quantas balas tenho realmente? (69) 
 
18) A soma de dois números é 428 e a diferença entre eles é 34. Qual 
é o número maior? (231) 
 
19) Pensei num número e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual é o núme-
ro? (26) 
 
20) Qual o número que multiplicado por 7 resulta 56? (8) 
 
21) O dobro das balas que possuo mais 10 é 36. Quantas balas pos-
suo? (13). 
 
22) Raul e Luís pescaram 18 peixinhos. Raul pescou o dobro de 
Luís. Quanto pescou cada um? (12 e 6) 
 
PROBLEMASVamos calcular o valor de x nos mais diversos casos: 
 
1) x + 4 = 10 
Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da adição: 
 x = 10 - 4 
 x = 6 
 
2) 5x = 20 
Aplicando a operação inversa da multiplicação, temos: 
x = 20 : 5 
x = 4 
 
3) x - 5 = 10 
Obtêm-se o valor de x, aplicando a operação inversa da subtração: 
x = 10 + 5 
 x =15 
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4) x : 2 = 4 
Aplicando a operação inversa da divisão, temos: 
 x = 4 . 2 
 x = 8 
 
COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA 
 
Usando a letra x para representar um número, podemos expressar, em 
linguagem matemática, fatos e sentenças da linguagem corrente referentes 
a esse número, observe: 
- duas vezes o número 2 . x 
 
- o número mais 2 X + 2 
- a metade do número 
2
x
 
 - a soma do dobro com a metade do número 
2
2
x
x 
 
- a quarta parte do número 
4
x
 
 
PROBLEMA 1 
Qual o número que, adicionado a 15, é igual a 31? 
Solução: 
Seja x o número desconhecido 
A igualdade correspondente será x + 15 = 31 
 
Calculando o valor de x, temos: 
x + 15 = 31 
 x = 31 - 15 
 x = 16 
Resposta: o número procurado é 16. 
 
PROBLEMA 2 
Subtraindo 25 de um certo número obtemos 11. Qual é esse número? 
Solução: 
Seja x o número desconhecido 
 
A igualdade correspondente será 
x - 25 = 11 
Calculando o valor de x 
 
x - 25 = 11 
 x = 11 + 25 
 x = 36 
Resposta: o número procurado é 36. 
 
PROBLEMA 3 
Adicionando 1 ao dobro de certo número obtemos 7. Qual é esse nú-
mero? 
Solução: número desconhecido: x 
Equação: 2 . x + 1 = 7 
2 . x + 1 = 7 
 2x = 7 - 1 
 2x = 6 
 x = 6 : 2 
 x = 3 
Resposta: o número procurado é 3. 
 
PROBLEMA 4 
Subtraindo 12 do triplo de certo número obtemos 18. Determinar esse 
número . 
Solução: número desconhecido: x triplo desse número: 3x 
igualdade correspondente: 3x - 12 = 18 
Resolvendo: 
 3x - 12 = 18 
 3x = 18 + 12 
 3x = 30 
 x = 30 : 3 
 x = 10 
Resposta: 10. 
PROBLEMA 5 
Vera e Paula têm juntas 1.080,00 URV. Vera tem o triplo do que tem 
Paula. Quanto tem cada uma? 
Solução: 
x + 3x = 1080 
4x= 1080 
x =1080 : 4 
x= 270 
3 . 270 = 810 
 
Resposta: 810,00 e 270,00 
 
PROBLEMA 6 
Paulo foi comprar uma bicicleta e uma bola. Pagou por tudo 5.600,00 
URV. Quanto custou cada uma, sabendo-se que a bicicleta é seis ve-
zes mais cara que a bola? 
Solução: 
x + 6x = 5600 
 7x = 5600 
 x = 5600 : 7 
 x = 800 
 6 . 800= 4800 
 
Resposta: 4.800,00 e 800,00 
 
PROBLEMA 7 
Repartir 21 cadernos entre José e suas duas irmãs, de modo que cada 
menina receba o triplo do que recebe José. Quantos cadernos recebe-
rá José? 
Solução: 
 x + 3x + 3x = 21 
 7x = 21 
 x = 21 : 7 
 x = 3 
Resposta: 3 cadernos 
 
PROBLEMA 8 
Repartir $ 2.100,00 entre três irmãos de modo que o 2º receba o dobro 
do que recebe o 1º e o 3º, o dobro do que recebe o 2º. Quanto recebe-
rá cada um? 
Solução: 
 x + 2x + 4x = 2100 
 7x = 2100 
 x = 2100 : 7 
 x = 300 
300 . 2 = 600 
 300 . 4 =1200 
 
Resposta: $ 300,00; $ 600,00; $ 1200,00 
 
PROBLEMA 9 
A soma das idades de duas pessoas é 40 anos. A idade de uma é o 
triplo da idade da outra. Qual a idade de cada uma? 
Solução: 
3x + x = 40 
 4x = 40 
 x = 40 : 4 
 x = 10 
3 . 10 = 30 
 
Resposta: 10 e 30 anos. 
 
PROBLEMA 10 
A soma das nossas idades é 45 anos. Eu sou 5 anos mais velho que 
você. Quantos anos tenho eu? 
 x + x + 5 = 45 
 x + x= 45 - 5 
 2x = 40 
 x = 20 
20 + 5 = 25 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 19 
 
Resposta: 25 anos 
 
PROBLEMA 11 
Sua bola custou $ 10,00 menos que a minha. Quanto pagamos por e-
las, se ambas custaram $ 150,00? 
Solução: 
 
 
 
 x + x - 10= 150 
 2x = 150 + 10 
 2x = 160 
 x = 160 : 2 
 x = 80 
80 - 10 = 70 
 
Resposta: $ 70,00 e $ 80,00 
 
PROBLEMA 12 
José tem o dobro do que tem Sérgio, e Paulo tanto quanto os dois an-
teriores juntos. Quanto tem cada um, se os três juntos possuem $ 
624,00? 
Solução: x + 2x + x + 2x = 624 
6x = 624 
x = 624 : 6 
x = 104 
 
Resposta: 104,00; 208,00; 312,00 
 
PROBLEMA 13 
Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar a você 7 rosas 
e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho? 
Solução: x + 4 = 7 + 2 
 x + 4 = 9 
x = 9 - 4 
x = 5 
Resposta: 5 
 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
Os números racionais são representados por um numeral em forma de 
fração ou razão, 
a
b
, sendo a e b números naturais, com a condição de b 
ser diferente de zero. 
 
1. NÚMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado (a, b) de números 
naturais, sendo b 

0, corresponde um número fracionário 
b
a
 .O termo a 
chama-se numerador e o termo b denominador. 
 
2. TODO NÚMERO NATURAL pode ser representado por uma fração 
de denominador 1. Logo, é possível reunir tanto os números naturais como 
os fracionários num único conjunto, denominado conjunto dos números 
racionais absolutos, ou simplesmente conjunto dos números racionais Q. 
 
Qual seria a definição de um número racional absoluto ou simplesmen-
te racional? A definição depende das seguintes considerações: 
a) O número representado por uma fração não muda de valor quando 
multiplicamos ou dividimos tanto o numerador como o denomina-
dor por um mesmo número natural, diferente de zero. 
 Exemplos: usando um novo símbolo: 

 
 

é o símbolo de equivalência para frações 
 







30
20
215
210
15
10
53
52
3
2
 
b) Classe de equivalência. É o conjunto de todas as frações equiva-
lentes a uma fração dada. 
 
,
4
12
,
3
9
,
2
6
,
1
3
 (classe de equivalência da fração: 
1
3
) 
 
Agora já podemos definir número racional : número racional é aquele 
definido por uma classe de equivalência da qual cada fração é um repre-
sentante. 
 
NÚMERO RACIONAL NATURAL ou NÚMERO NATURAL: 

2
0
1
0
0
 (definido pela classe de equivalência que re-
presenta o mesmo número racional 0) 

2
2
1
1
1
 (definido pela classe de equivalência que re-
presenta o mesmo número racional 1) 
e assim por diante. 
 
NÚMERO RACIONAL FRACIONÁRIO ou NÚMERO FRACIONÁRIO: 

6
3
4
2
2
1
(definido pela classe de equivalência que re-
presenta o mesmo número racional 1/2). 
 
NOMES DADOS ÀS FRAÇÕES DIVERSAS 
a) decimais: quando têm como denominador 10 ou uma potência de 
10 = 
,
100
7
,
10
5
etc. 
b) próprias: aquelas que representam quantidades menores do que 1 
= 
,
7
2
,
4
3
,
2
1
 etc. 
c) impróprias: as que indicam quantidades iguais ou maiores que 1 = 
,
5
9
,
1
8
,
5
5
 etc. 
d) aparentes: todas as que simbolizam um número natural = 
20
4
5 4 , 
8
2
 , etc. 
e) ordinárias: é o nome geral dado a todas as frações, com exceção 
daquelas que possuem como denominador 10, 102, 103 ... 
f) frações iguais: são as que possuem os termos iguais =3
4
8
5
 = 
3
4
 
8
5
, 
 , etc. 
g) forma mista de uma fração: é o nome dado ao numeral formado 
por uma parte natural e uma parte fracionária; 






7
4
2
A parte na-
tural é 2 e a parte fracionária 
7
4
. 
h) irredutível: é aquela que não pode ser mais simplificada, por ter 
seus termos primos entre si. 
 
3
4
, , 
5
12
 
3
7
, 
etc. 
 
4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO, desde que não possua termos 
primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum. 
 
3
2
4:12
4:8
12
8

 
 
5. COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES. 
Para comparar duas ou mais frações quaisquer primeiramente convertemos 
em frações equivalentes de mesmo denominador. De duas frações 
que têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numera-
dor. Logo: 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 20 
4
3
3
2
2
1
12
9
12
8
12
6

 
(ordem crescente) 
 
De duas frações que têm o mesmo numerador, a maior é a que tem 
menor denominador. 
Exemplo: 
5
7
2
7

 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
A soma ou a diferença de duas frações é uma outra fração, cujo calculo 
recai em um dos dois casos seguintes: 
 
1º CASO: Frações com mesmo denominador. Observemos as figuras 
seguintes: 
 
 
 
 
 
3
6
 
2
6
 
 
 
5
6
 
Indicamos por: 
6
5
6
2
6
3

 
 
 
 
 
 
 
2
6
 
 
 
5
6
 
 
 
3
6
 
Indicamos por: 
6
3
6
2
6
5

 
 
Assim, para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, pro-
cedemos do seguinte modo: 
• adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denomi-
nador comum. 
• simplificamos o resultado, sempre que possível. 
 
Exemplos: 
5
4
5
13
5
1
5
3



 
3
4
9
12
9
84
9
8
9
4



 
 
3
2
6
4
6
37
6
3
6
7



 
 
0
7
0
7
22
7
2
7
2



 
 
Observação: A subtração só pode ser efetuada quando o minuendo é 
maior que o subtraendo, ou igual a ele. 
 
2º CASO: Frações com denominadores diferentes: 
Neste caso, para adicionar ou subtrair frações com denominadores di-
ferentes, procedemos do seguinte modo: 
• Reduzimos as frações ao mesmo denominador. 
• Efetuamos a operação indicada, de acordo com o caso anterior. 
• Simplificamos o resultado (quando possível). 
 
Exemplos: 
6
5
12
10
12
64
12
6
12
4
4
2
3
1
)1






 
8
9
24
27
24
1215
24
12
24
15
6
3
8
5
)2






 
 
Observações: 
Para adicionar mais de duas frações, reduzimos todas ao mesmo de-
nominador e, em seguida, efetuamos a operação. 
 
Exemplos. 
5
4
15
12
15
372
15
3
15
7
15
2
)




a
 
24
53
24
1232018
24
12
24
3
24
20
24
18
2
1
8
1
6
5
4
3
)





b
 
 
Havendo número misto, devemos transformá-lo em fração imprópria: 
 
Exemplo: 
2
1
3
5
12
3
1
6
7
3
5
12
19
6
28
12
5
12
38
12
28 5 38
12
71
12
  
  
  
 

 
 
Se a expressão apresenta os sinais de parênteses ( ), colchetes [ ] e 
chaves { }, observamos a mesma ordem: 
1º) efetuamos as operações no interior dos parênteses; 
2º) as operações no interior dos colchetes; 
3º) as operações no interior das chaves. 
 
Exemplos: 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 21 
12
11
12
6
12
17
2
1
12
17
2
1
12
9
12
8
2
4
2
5
4
3
3
2
)1























 
12
17
12
29
12
46
12
29
6
23
12
29
6
7
6
30
12
9
12
20
6
7
5
4
3
3
5
6
2
6
9
5
4
3
3
2
1
3
1
2
3
5)2





























































 
 
NÚMEROS RACIONAIS 
 
 
Um círculo foi dividido em duas partes iguais. Dizemos que uma unida-
de dividida em duas partes iguais e indicamos 1/2. 
onde: 1 = numerador e 2 = denominador 
 
Um círculo dividido em 3 partes iguais indicamos (das três partes ha-
churamos 2). 
 
Quando o numerador é menor que o denominador temos uma fração 
própria. Observe: 
 
Observe: 
 
Quando o numerador é maior que o denominador temos uma fração 
imprópria. 
 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
 
Duas ou mais frações são equivalentes, quando representam a mesma 
quantidade. 
 
 
Dizemos que: 
6
3
 
4
2
 
2
1

 
 
- Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar ou dividir o nu-
merador por mesmo número diferente de zero. 
Ex: 
6
3
 
3
3
 . 
2
1
 ou 
4
2
 
2
2
 
2
1

 
 
Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominador, 
por um mesmo número diferente de zero. 
 
Quando não for mais possível efetuar as divisões dizemos que a fração 
é irredutível. 
 
Exemplo: 
 
6
3
 
6
9
 
2
2
 : 
12
18
 Fração Irredutível ou Simplificada 
 
Exemplo: 
4
3
 e 
3
1
 
 
Calcular o mmc (3,4): MMC(3,4) = 12 
4
3
 e 
3
1
 =
   
12
34:12
 e 
12
13:12 
 temos: 
12
9
 e 
12
4
 
 
A fração 
3
1
 é equivalente a 
12
4
. 
 
A fração 
4
3
 equivalente 
12
9
. 
 
Exercícios: 
1) Achar três frações equivalentes às seguintes frações: 
1) 
4
1
 2) 
3
2
 
Respostas: 1) 
16
4
 , 
12
3
 , 
8
2
 2) 
12
8
 , 
9
6
 , 
6
4
 
 
COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
a) Frações de denominadores iguais. 
Se duas frações tem denominadores iguais a maior será aquela: que ti-
ver maior numerador. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 22 
Ex.: 
4
3
4
1
 ou 
4
1
 
4
3

 
 
b) Frações com numeradores iguais 
Se duas frações tiverem numeradores iguais, a menor será aquela que 
tiver maior denominador. 
Ex.: 
4
7
 
5
7
 ou 
5
7
 
4
7

 
 
c) Frações com numeradores e denominadores receptivamente di-
ferentes. 
Reduzimos ao mesmo denominador e depois comparamos. Exemplos: 
3
1
 
3
2

 denominadores iguais (ordem decrescente) 
3
4
 
5
4

 numeradores iguais (ordem crescente) 
 
Simplificação de frações 
 
Para simplificar frações devemos dividir o numerador e o denominadorpor um número diferente de zero. 
 
Quando não for mais possível efetuar as divisões, dizemos que a fra-
ção é irredutível. Exemplo: 
2
3
 
3
3
 
: 6
:9
 
2
2
 
: 12
:18

 
 
Fração irredutível ou simplificada. 
Exercícios: Simplificar 1) 
12
9
 2) 
45
36
 
Respostas: 1) 
4
3
 2) 
5
4
 
 
Redução de frações ao menor denominador comum 
 
Ex.: 
4
3
 e 
3
1
 
 
Calcular o mmc (3,4) = 12 
4
3
 e 
3
1
 =
   
12
34:12
 e 
12
13:12 
 temos: 
12
9
 e 
12
4
 
A fração 
3
1
 é equivalente a 
12
4
. A fração 
4
3
 equivalente 
12
9
. 
 
Exemplo: 
 
5
4
 ? 
3
2
 numeradores diferentes e denominadores diferentes 
= m.m.c.(3, 5) = 15 
15
(15.5).4 
 ? 
15
3).2:(15
=
15
12
 
15
10

(ordem crescente) 
 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES 
 
1) Adição e Subtração 
a) Com denominadores iguais somam-se ou subtraem-se os numera-
dores e conserva-se o denominador comum. 
Ex: 
3
8
 
3
152
 
3
1
 
3
5
 
3
2



 
5
1
 
5
34
 
5
3
 
5
4



 
 
b) Com denominadores diferentes reduz ao mesmo denominador de-
pois soma ou subtrai. 
Ex: 
1) 
3
2
4
3
2
1

 = mmc. (2, 4, 3) = 12 
12
23
12
896
 
12
(12.3).2 4).3:(12 2).1:(12




 
2) 
9
2
3
4

 = mmc. (3,9) = 9 
9
10
 
9
2 - 12
 
9
 9).2:(9 - 3).4:(9

 
 
 
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para multiplicar duas ou mais frações devemos multiplicar os numeradores 
das frações entre si, assim como os seus denominadores. 
 
Exemplo: 
10
3
 
20
6
 
4
3
 x 
5
2
 
4
3
 . 
5
2

 
Exercícios: Calcular: 
1) 
4
5
5
2

 2) 
3
4
2
3
5
2

 3) 













3
1
3
2
5
3
5
1
 
Respostas: 1) 
6
5
12
10

 2) 
5
4
30
24

 3) 
15
4
 
 
DIVISÃO DE FRAÇÕES 
 
Para dividir duas frações conserva-se a primeira e multiplica-se pelo in-
verso da Segunda. 
Exemplo: 
5
6
 
10
12
 
2
3
 . 
5
4
 
3
2
 :
5
4

 
 
Exercícios. Calcular: 
1) 
9
2
:
3
4
 2) 
25
6
:
15
8
 3) 













3
1
3
4
 : 
5
3
5
2
 
Respostas: 1) 6 2) 
9
20
 3) 1 
 
POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Eleva o numerador e o denominador ao expoente dado. Exemplo: 
27
8
3
2
3
2
3
33






 
 
Exercícios. Efetuar: 
1) 2
4
3






 2) 4
2
1






 3) 32
2
1
3
4












 
Respostas: 1) 
16
9
 2) 
16
1
 3) 
72
119
 
 
RADICIAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Extrai raiz do numerador e do denominador. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 23 
Exemplo: 
3
2
9
4
9
4

 
 
Exercícios. Efetuar: 
1) 
9
1
 2) 
25
16
 3) 2
2
1
16
9







 
Respostas: 1) 
3
1
 2) 
5
4
 3) 1 
 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL 
 
Numeração: Processo de representação dos números, utilizando-se 
símbolos e palavras. 
 
Sistema de numeração: É um sistema de contagem ou um conjunto 
de regras para indicarmos os números. 
 
Base de uma contagem: É o número de elementos do agrupamento 
que se faz para contar os elementos do conjunto. 
 
Ex.: Quando os palitos de uma caixa de fósforos são contados um a 
um, diz-se que foi empregada a base 1. 
 
Sistema de número decimal 
 
Principio da posição decimal: Todo algarismo colocado 
imediatamente à esquerda do outro, representa unidade de ordem, imedia-
tamente superiores a este (10 vezes maior) sendo que o primeiro algarismo 
à direita representa unidade simples. 
 
Características fundamentais: 
1) Base dez, na contagem. 
2) Os dez algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 8, 9, O para formarem os 
numerais. 
3) O princípio da posição decimal, para a colocação dos algarismos. 
 
Ordens: são as unidades, dezenas, centenas, milhares etc., também 
chamadas posições. 
 
Valor relativo ou posicional de um algarismo: É o número de 
unidades simples, dezenas, centenas, milhares, etc., que ele representa de 
acordo com sua posição no numeral. 
 
Valor absoluto de um algarismo: É o valor que ele representa quando 
considerado isoladamente. 
 
8 1 9 7 ORDENS 
7 = unidades – valor absoluto: 7, posicional: 7 
9 = dezenas – valor absoluto: 9; posicional: 90 
1 = centenas – valor absoluto: 1; posicional: 100 
8 = milhares = valor absoluto: 8; posicional: 8000 
 
Nota: Os números podem ser representados utilizando-se outras bases 
que não a base decimal; tais bases formarão novos sistemas numéricos 
onde seus elementos diferirão daqueles constituintes do sistema decimal. 
Tomando-se um número de determinado sistema como referencial, pode-se 
realizar mudança de base determinando o numeral que lhe será 
correspondente na nova base. 
 
Nota: símbolo “zero” serve para indicar as ordens vazias. Enquanto os 
algarismos de um a nove são chamados de algarismos significativos, “zero” 
(0) é chamado algarismo insignificativo. 
 
O conjunto dos números 1, 2, 3, 4, ........,n, que surgiram naturalmente 
de um processo de contagem reunido ao conjunto formado pelo “zero” (O), 
forma o conjunto dos números naturais, que se escreve: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ......., n, ............} 
 
BASE DE UM SISTEMA DE NUMERAÇÃO 
É o conjunto de nomes ou símbolos necessários para representar 
qualquer número. 
 
Base 7 - No sistema de base 7, os elementos de um conjunto são con-
tados de 7 em 7, por meio dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Contando-
se os 365 dias do ano de 7 em 7, obtemos o número de semanas num ano. 
 
Base 5 - No sistema de base 5 ou quinário, contamos de 5 em 5, em-
pregando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5. 
 
Base 2 - No sistema de base 2 ou binário contamos de 2 em 2, utili-
zando apenas os algarismos 0 e 1. 
 
Os computadores eletrônicos empregam o sistema binário, traduzindo 
o algarismo 1 por uma lâmpada acesa (circuito fechado) e o algarismo 0 por 
uma lâmpada apagada (circuito aberto). E a leitura dos números é feita no 
quadro do computador de acordo com o que as lâmpadas acusam. 
 
NÚMEROS DECIMAIS 
 
Toda fração com denominador 10, 100, 1000,...etc, chama-se fração 
decimal. 
Ex: 
100
7
 , 
100
4
 , 
10
3
 , etc 
 
Escrevendo estas frações na forma decimal temos: 
10
3
 = três décimos, 
100
4
= quatro centésimos 
1000
7
 = sete milésimos 
 
Escrevendo estas frações na forma decimal temos: 
10
3
 =0,3 
100
4
 = 0,04 
1000
7
 = 0,007 
 
Outros exemplos: 
1) 
10
34
 = 3,4 2) 
100
635
= 6,35 3) 
10
2187
 =218,7 
 
Note que a vírgula “caminha” da direita para a esquerda, a quantidade 
de casas deslocadas é a mesma quantidade de zeros do denominador. 
 
Exercícios. Representar em números decimais: 
1) 
10
35
 2) 
100
473
 3) 
1000
430
 
 
Respostas: 1) 3,5 2) 4,73 3) 0,430 
 
Leitura de um número decimal 
 
Ex.: 
APOSTILASOPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 24 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS 
 
Adição e Subtração 
Coloca-se vírgula sob virgula e somam-se ou subtraem-se unidades de 
mesma ordem. Exemplo 1: 
 
10 + 0,453 + 2,832 
 10,000 
 + 0,453 
 2,832 
 _______ 
 13,285 
 
Exemplo 2: 
47,3 - 9,35 
 47,30 
 9,35 
 ______ 
 37,95 
 
Exercícios. Efetuar as operações: 
1) 0,357 + 4,321 + 31,45 
2) 114,37 - 93,4 
3) 83,7 + 0,53 - 15, 3 
Respostas: 1) 36,128 2) 20,97 
3) 68,93 
 
Multiplicação com números decimais 
 
Multiplicam-se dois números decimais como se fossem inteiros e sepa-
ram-se os resultados a partir da direita, tantas casas decimais quantos 
forem os algarismos decimais dos números dados. 
 
Exemplo: 5,32 x 3,8 
5,32  2 casas, 
x 3,8 1 casa após a virgula 
______ 
 4256 
1596 + 
______ 
20,216  3 casas após a vírgula 
 
Exercícios. Efetuar as operações: 
1) 2,41 . 6,3 2) 173,4 . 3,5 + 5 . 4,6 
3) 31,2 . 0,753 
 
Respostas: 1) 15,183 2) 629,9 
3) 23,4936 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS DECIMAIS 
 
Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor e quando o 
dividendo for menor que o divisor acrescentamos um zero antes da vírgula 
no quociente. 
 
Ex.: 
a) 3:4 
 3 |_4_ 
 30 0,75 
 20 
 0 
 
b) 4,6:2 
 4,6 |2,0 = 46 | 20 
 60 2,3 
 0 
 
Obs.: Para transformar qualquer fração em número decimal basta divi-
dir o numerador pelo denominador. 
Ex.: 2/5 = 2 | 5 , então 2/5=0,4 
 20 0,4 
 
Exercícios 
1) Transformar as frações em números decimais. 
1) 
5
1
 2) 
5
4
 3) 
4
1
 
 
Respostas: 1) 0,2 2) 0,8 3) 0,25 
 
2) Efetuar as operações: 
1) 1,6 : 0,4 2) 25,8 : 0,2 
3) 45,6 : 1,23 
4) 178 : 4,5-3,4.1/2 
5) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4 
 
Respostas: 1) 4 2) 129 3) 35,07 
4) 37,855 5) 200,0833.... 
 
Multiplicação de um número decimal por 10, 100, 1000 
 
Para tornar um número decimal 10, 100, 1000..... vezes maior, desloca-
se a vírgula para a direita, respectivamente, uma, duas, três, . . . casas 
decimais. 
2,75 x 10 = 27,5 6,50 x 100 = 650 
0,125 x 100 = 12,5 2,780 x 1.000 = 2.780 
0,060 x 1.000 = 60 0,825 x 1.000 = 825 
 
DIVISÃO 
Para dividir os números decimais, procede-se assim: 
1) iguala-se o número de casas decimais; 
2) suprimem-se as vírgulas; 
3) efetua-se a divisão como se fossem números inteiros. 
 
Exemplos: 
 6 : 0,15 = 6,00 0,15 
 
000 40 
Igualam – se as casas decimais. 
Cortam-se as vírgulas. 
 7,85 : 5 = 7,85 : 5,00 785 : 500 = 1,57 
 
Dividindo 785 por 500 obtém-se quociente 1 e resto 285 
 
Como 285 é menor que 500, acrescenta-se uma vírgula ao quociente 
e zeros ao resto 
 2 : 4 0,5 
Como 2 não é divisível por 4, coloca-se zero e vírgula no quociente e 
zero no dividendo 
 0,35 : 7 = 0,350 7,00 350 : 700 = 0,05 
 
Como 35 não divisível por 700, coloca-se zero e vírgula no quociente e 
um zero no dividendo. Como 350 não é divisível por 700, acrescenta-se 
outro zero ao quociente e outro ao dividendo 
 
Divisão de um número decimal por 10, 100, 1000 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 25 
Para tornar um número decimal 10, 100, 1000, .... vezes menor, deslo-
ca-se a vírgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, três, ... casas 
decimais. 
 
Exemplos: 
25,6 : 10 = 2,56 
04 : 10 = 0,4 
315,2 : 100 = 3,152 
018 : 100 = 0,18 
0042,5 : 1.000 = 0,0425 
0015 : 1.000 = 0,015 
 
milhar cente-
na 
deze-
na 
Unidade 
simples 
déci-
mo 
centé-
simo 
milési-
mo 
 
1 000 
 
100 
 
10 
 
1 
 
0,1 
 
0,01 
 
0,001 
 
LEITURA DE UM NÚMERO DECIMAL 
 
Procedemos do seguinte modo: 
1º) Lemos a parte inteira (como um número natural). 
2º) Lemos a parte decimal (como um número natural), acompanhada 
de uma das palavras: 
- décimos, se houver uma ordem (ou casa) decimal 
- centésimos, se houver duas ordens decimais; 
- milésimos, se houver três ordens decimais. 
 
Exemplos: 
1) 1,2 Lê-se: "um inteiro e dois décimos". 
 2) 12,75 Lê-se: "doze inteiros e setenta e cinco 
 centésimos". 
3) 8,309 Lê-se: "oito inteiros e trezentos e nove 
 milésimos''. 
Observações: 
1) Quando a parte inteira é zero, apenas a parte decimal é lida. 
 
Exemplos: 
a) 0,5 - Lê-se: "cinco décimos". 
b) 0,38 - Lê-se: "trinta e oito 
 centésimos". 
c) 0,421 - Lê-se: "quatrocentos e vinte e um 
 milésimos". 
 
2) Um número decimal não muda o seu valor se acrescentarmos ou 
suprimirmos zeros â direita do último algarismo. 
Exemplo. 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 " ....... 
 
3) Todo número natural pode ser escrito na forma de número decimal, 
colocando-se a vírgula após o último algarismo e zero (ou zeros) a 
sua direita. 
Exemplos: 34 = 34,00... 176 = 176,00... 
 
 
 
4.8. - Verdades e mentiras. 4.9. - Sequências lógicas 
com números, letras e figuras. 4.10. - Problemas com 
raciocínio lógico, compatíveis com o nível funda-
mental completo. 
 
HISTÓRIA DA LÓGICA 
A história da lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóte-
les (384-322 a.C.) de Estagira (hoje Estavro), na Macedônia, não se conhe-
cendo precursores de sua obra, no mundo antigo. 
 
Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon, 
onde encontramos no capítulo Analytica Priora a parte essencial da Lógica. 
 
Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao ti-
po determinado que se denomina silogismo. 
Os componentes do silogismo aristotélico são sentenças universais ou 
particulares, afirmativas ou negativas, isto é , dos tipos seguintes: 
A: Todos os animais são mortais – universal afirmativa 
E: Nenhum animal é imortal – universal negativa 
I: Alguns homens são sábios – particular afirmativa 
O: Alguns homens não são sábios – particular negativa 
 
Os silogismo aristotélicos constam de duas premissas e uma conclu-
são: Num premissa "todo X é Y", X e Y são termos. 
 
Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e 
megáricos (Euclides de Megara – 400 A.C.). Esta lógica apresenta-se de 
modo diferente da aristotélica, pois, esta se liga ao Cálculo dos Predicados, 
ao passo que aquela se refere ao Cálculo Proposicional. Desenvolve as-
pectos não encontrados em Aristóteles. Pertence a essa escola, Zenão 
(336-204 A.C.) que fundou o estoicismo. Crisipo foi o lógico mais fértil 
dessa época. Filo, também, dessa escola, ensinou que um condicional 
verdadeiro é a que não tem antecedente verdadeiro e consequente falso, 
denominada, também, implicação material. Nesta escola, foram ainda 
dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e o "ou" exclusivo e que 
"se..então.." se define em função de "não" e do "ou". 
 
A Lógica moderna iniciou-se com a obra Investigation of the Laws of 
Thougt, de George Boole (1815 – 1864). Com isto deu novos rumos à 
Álgebra da Lógica. Paralelamente, Augustus De Morgan (1806-1871) 
desenvolveu, também, a Álgebra da Lógica. 
 
As ideias de Boole e De Morgan foram objetos de publicações impor-
tantes de Chales Sanders Peirce (1839-1914),nos Estados Unidos. 
 
Surge, então, Gottlob Frege (1848-1925), "o maior lógico dos tempos 
modernos", segundo Alonzo Church, com sua obra Begriffsschrift, onde 
pela primeira vez é desenvolvido axiomaticamente o Cálculo Sentencial, 
usando negação e implicação com conceitos primitivos, seis axiomas e 
regras de modus ponens e de substituição. 
Muitas ideias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encon-
tram-se em Peirce. 
 
A seguir vem Bertrand Russel a A.N. Witehead (1861-1947), com uma 
das mais importantes obras deste século Principia Matemática, em três 
volumes. 
Entre o grande número de lógicos atuais, mencionamos, Kurt Godel e 
Alfred Tarski. A Godel deve-se a primeira demonstração de completividade 
da Lógica elementar e da incompletividade de sistemas mais complexos, 
como a impossibilidade da existência de um sistema axiomático completo e 
consistente para a Aritmética usual. 
 
A Tarski deve-se muito no que respeita ao progresso dos estudos lógi-
cos. Dentre as suas contribuições, destaca-se, a definição semântica de 
verdade, que tem aplicações em numerosos campos da Matemática, com 
repercussões na Filosofia. 
 
É difícil dar hoje uma ideia da ampliação do campo de estudos da lógi-
ca, quanto às pesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um 
conhecimento preliminar ainda que intuitivo é necessário em quase todos 
os ramos de conhecimento. 
 
Sabe-se que a lógica teve sua maior desenvoltura na Filosofia, cami-
nhando pela Linguística, Matemática e Ciência da Computação. 
 
A Lógica na Ciência da Computação 
Segundo John Nolt (et al., 1991), "A lógica pode ser estudada de dois 
pontos de vista: a formal e a informal. Lógica formal é o estudo das formas 
de argumento, modelos abstratos comuns a muitos argumentos distintos. 
Lógica informal é o estudo de argumentos particulares em linguagem 
natural e do contexto no qual eles ocorrem." Cabe aqui ressaltar que os 
dois pontos de vista não são opostos, mas se complementam. 
 
Do ponto de vista da ciência da computação, que se trabalha com o 
sentido semântico dos operadores lógicos (princípio de bivalência - verda-
de, falso) a lógica formal predomina. 
 
Esta disciplina nos introduzirá no mundo da lógica computacional (Ci-
ência da Computação). Assim, veremos alguns conceitos e teremos a ideia 
da abrangência do mesmo. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 26 
Segundo o dicionário Aurélio, lógica significa "coerência de raciocínio, 
de ideias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência 
coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." 
 
Um outro conceito seria: a ciência das leis ideais do pensamento e a 
arte de aplicá-los corretamente no processo de investigação e demonstra-
ção da verdade. 
 
No nosso dia a dia nos deparamos com vários problemas, nos quais, 
usamos a "lógica" de forma "consciente" para resolvê-los, isto é, um racio-
cínio detalhista, minucioso, com bastante clareza, ou, raciocinamos de 
forma lógica sem tomarmos conhecimento, intuitivamente. Para que fique 
claro, criemos uma situação!!! 
 
Você está viajando e fura um pneu de seu carro. Encosta-o e para. Se-
rá que você é capaz de descrever todos os passos desde a parada do carro 
até o pneu trocado? 
 
Dê um tempo! Tente ... pegue uma folha e descreva passo a passo ... 
depois prossiga a leitura. 
 
Se você tentou, agora responda algumas perguntas: 
Você desligou o carro? 
Você ligou o alerta? 
Você tirou o sinto de segurança? 
Você abriu a porta do carro? 
Você puxou o freio de mão? 
Você levou a chave para abrir o porta-malas? 
Você verificou se o socorro estava cheio? 
 
Teríamos N detalhes que muitas vezes fizemos intuitivamente e não 
nos preocupamos com isso, no entanto, quando os descrevemos chegamos 
a esquecer muitos deles. A lógica seria a sequência detalhada e clara do 
fato. 
 
Quando alguém pergunta qual é a soma de 20 + 30, o resultado multi-
plicado por 4 e este resultado dividido por dois, você faz os cálculos "de 
cabeça", no entanto você geralmente segue um raciocínio, uma lógica, 
como: 
- Primeiro, obter o resultado da soma (20+30=50) que chamaremos 
de resultado 1. 
- Segundo, pegar o resultado 1 que é 50 e multiplica por 4 
(50*4=200) assim, chamaremos este de resultado 2. 
- Terceiro, pegar o resultado 2 que é 200 e dividir por 2 (200/2=100) 
que chamaremos de resultado 3. 
- Quarto, responder o resultado 3 para quem o perguntou, que neste 
caso é 100. 
 
Raciocínio Lógico 
Veja a seguinte charada!!! 
 
Existe um rio a ser atravessado por três pessoas que pesam 50, 50 e 
100 Kg. Para atravessar este rio, as três pessoas dispõe de uma canoa que 
leva no máximo 100 Kg por viagem. Esta canoa tem que ser conduzida, isto 
é, ela não anda sozinha. Eis a questão, como estas pessoas chegam no 
outro lado da margem? É um problema com resolução simples. 
 
Depois de resolver este problema ou alguém lhe mostrar a solução, vo-
cê é capaz de resolver problemas semelhante a este ou outros do gênero e 
até mais complexos. 
 
Esta é uma forma de "despertar" o Raciocínio Lógico. É impossível al-
guém lhe ensinar a lógica, pois ela já está em você, o máximo que se pode 
fazer é torná-la consciente. 
 
LÓGICA 
Com o aparecimento dos diversos sistemas filosóficos e depois de dis-
seminado pela Grécia antiga o gosto pelas teorias racionais abstratas, 
impôs-se a necessidade de uma ciência que disciplinasse a argumentação 
e o pensamento, estabelecendo critérios de validade e veracidade das 
proposições. 
 
Lógica é a ciência que tem por objeto determinar, entre as operações 
intelectuais orientadas para o conhecimento da verdade, as que são válidas 
e as que não são. Estuda os processos e as condições de verdade de todo 
e qualquer raciocínio. O conhecimento só é científico quando, além de 
universal, é metódico e sistemático, ou seja, lógico. Assim, a lógica se 
entende como método, ou caminho que as ciências trilham para determinar 
e conhecer seu objeto, e como característica geral do conhecimento cientí-
fico. 
 
Do ponto de vista didático, a lógica se alinha com a metafísica, a ética, 
a estética etc. como disciplina da filosofia. Assim entendida, chama-se mais 
propriamente lógica formal, pois não se aplica ao conteúdo do que enuncia, 
mas unicamente aos conceitos, aos juízos e raciocínios. 
 
Origens. A lógica foi desenvolvida de forma independente e chegou a 
certo grau de sistematização na China, entre os séculos V e III a.C., e na 
Índia, do século V a.C. até os séculos XVI e XVII da era cristã. Na forma 
como é conhecida no Ocidente, tem origem na Grécia. 
 
O mais remoto precursor da lógica formal é Parmênides de Eleia, que 
formulou pela primeira vez o princípio de identidade e de não contradição. 
Seu discípulo Zenão foi o fundador da dialética, segundo Aristóteles, por ter 
empregado a argumentação erística (arte da disputa ou da discussão) para 
refutar quem contestasse as teses referentes à unidade e à imobilidade do 
ser. 
 
Os sofistas, mestres da arte de debater contra ou a favor de qualquer 
opinião com argumentos que envolviam falácias e sofismas, também con-
tribuíram para a evolução da lógica, pois foram os primeiros a analisar a 
estrutura e as formas da linguagem. Foi sobretudo em vista do emprego 
vicioso do raciocínio pelos sofistas que o antecederam que Aristóteles foi 
levado a sistematizar a lógica. 
 
Sócrates definiu o universal, ou essência das coisas, como o objeto do 
conhecimento científico e, com isso, preparou a doutrina platônica das 
ideias. Ao empregar o diálogo como método de procura e descobrimento 
dasessências, antecipou a dialética platônica, bem como a divisão dos 
universais em gêneros e espécies (e das espécies em subespécies), o que 
permitiu situar ou incluir cada objeto ou essência no lugar lógico correspon-
dente. 
 
Lógica aristotélica. Aristóteles é considerado o fundador da lógica for-
mal por ter determinado que a validade lógica de um raciocínio depende 
somente de sua forma ou estrutura, e não de seu conteúdo. Introduziu a 
análise da quantificação dos enunciados e das variáveis, realizou o estudo 
sistemático dos casos em que dois enunciados implicam um terceiro, 
estabeleceu o primeiro sistema dedutivo ou silogístico e criou a primeira 
lógica modal, que, ao contrário da lógica pré-aristotélica, admitia outras 
possibilidades além de "verdadeiro" e "falso". 
 
No século II da era cristã, as obras de Aristóteles sobre lógica foram 
reunidas por Alexandre de Afrodísia sob a designação geral de Órganon. 
Inclui seis tratados, cuja sequência corresponde à divisão do objeto da 
lógica. Estuda as três operações da inteligência: o conceito, o juízo e o 
raciocínio. 
 
Conceito é a mera representação mental do objeto. Juízo é um ato 
mental de afirmação ou de negação de uma ideia a respeito de outra, isto é, 
da coexistência de um sujeito e um predicado. Raciocínio é a articulação de 
vários juízos. O objeto próprio da lógica não é o conceito nem o juízo, mas 
o raciocínio, que permite a progressão do pensamento. Em outras palavras, 
não há pensamento estruturado quando se consideram ideias isoladas. 
 
Em Perí hermeneías (Da interpretação), um dos tratados do Órganon, 
Aristóteles estuda a proposição, que é a expressão verbal do juízo. O juízo 
é verdadeiro quando une na proposição o que está unido na realidade, ou 
separa, na proposição, o que está realmente separado. A verdade é, assim, 
a adequação ou a correspondência entre o juízo e a realidade. Esse tratado 
procura principalmente determinar as oposições possíveis entre as proposi-
ções. 
 
A partir do juízo de existência ou de realidade, considerado primordial, 
Aristóteles estabelece as seguintes modalidades de oposição e de nega-
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 27 
ção: o animal é; o animal não é; o não-animal é; o não-animal não é. As 
proposições simples apresentam as mesmas modalidades. Outro tipo de 
proposições admite maior número de modalidades: o homem é mortal; o 
homem não é mortal; o homem é não-mortal; o homem não é não-mortal; o 
não-homem é mortal; o não-homem não é mortal etc. 
 
Os juízos se dividem de acordo com a qualidade, a quantidade, a rela-
ção e a modalidade. Quanto à qualidade, podem ser afirmativos ou negati-
vos. Os afirmativos sustentam a conveniência do predicado ao sujeito (o 
homem é racional), enquanto os negativos sustentam a não conveniência 
entre eles (o homem não é imortal). De acordo com a quantidade, os juízos 
podem ser de três tipos: universais, quando o sujeito é tomado em toda sua 
extensão (todo homem é mortal); particulares, quando o sujeito é tomado 
em parte de sua extensão (alguns homens são brasileiros); e individuais ou 
singulares, situações em que o sujeito é tomado no mínimo de sua exten-
são (Aristóteles é filósofo). 
 
Com relação à quantificação do sujeito, distingue-se a compreensão, 
que é o contéudo do conceito, e a extensão, que indica a quantidade de 
objetos aos quais o conceito se aplica. Quanto maior for o conteúdo, ou 
conjunto de atributos característicos do conceito, menor será a extensão. 
Por exemplo, o conceito "mesa" abrange todos os membros da classe. 
Quando se acrescenta o atributo "branca", aumenta-se a compreensão, 
mas limita-se a quantidade de mesas individuais a que se refere e diminui-
se a extensão. 
 
Do ponto de vista da relação, os juízos se distinguem em categóricos, 
hipotéticos e disjuntivos. No juízo categórico, o enunciado independe de 
condições (Aristóteles é grego); no hipotético, é condicional (se fizer bom 
tempo, sairemos); no disjuntivo, também condicional, a condição está na 
própria predicação (o objeto real é físico ou psíquico). 
 
De acordo com a modalidade, os juízos podem ser assertóricos, pro-
blemáticos e apodícticos. No juízo assertórico, a validade do enunciado é 
de fato e não de direito (o livro está aberto, mas poderia estar fechado); no 
problemático, a validade é apenas possível (talvez as injustiças sejam 
reparadas); no apodíctico a validade é necessária e de direito, e não de fato 
(dois mais dois são quatro). 
 
Raciocinar, em lógica, significa estabelecer uma relação necessária en-
tre duas proposições ou enunciados. No tratado Analysis próté (Primeiras 
analíticas), terceira parte do Órganon, Aristóteles estuda o silogismo, cuja 
doutrina criou, para estabelecer as condições fundamentais do conheci-
mento científico. O silogismo é "um argumento do qual, admitidas certas 
coisas, algo diferente resulta necessariamente de sua verdade, sem que se 
precise de qualquer outro termo". Aristóteles distingue o silogismo, ou 
dedução, da indução. A dedução vai do universal ao particular, e a indução 
do particular ao universal. Mesmo assim, compreende que a indução é no 
fundo silogística. 
 
No tratado do Órganon intitulado Análysis deutera (Segundas analíti-
cas), Aristóteles estuda a demonstração e a definição. A propósito, indica 
os temas possíveis da investigação científica: (1) o que a palavra significa; 
(2) o que o objeto correspondente é; (3) qual a essência desse objeto; (4) 
quais são suas propriedades; (5) por que tem essas propriedades. Assim, o 
método científico começa com a determinação de um objeto conhecido 
apenas pelo nome, e prossegue com a determinação da essência e da 
existência do objeto. 
 
A demonstração é um silogismo científico cujas premissas devem ser 
verdadeiras, primeiras, indemonstráveis e mais inteligíveis do que a conclu-
são e a causa da conclusão. Os princípios, ou pontos de partida do conhe-
cimento científico, são os axiomas e as teses das diversas ciências, subdi-
vididas em hipóteses e definições. Acrescentam-se ainda os postulados 
que, ao contrário dos tipos de proposição mencionados, só devem ser 
admitidos depois de demonstrados. 
 
A ciência consiste no encadeamento lógico das proposições que, to-
madas isoladamente, não poderiam ser conhecidas como verdadeiras. A 
rigor, a demonstração trata de evidenciar, por meio de mediações sucessi-
vas, o que é inicialmente admitido como simples hipótese ou suposição. 
Além da demonstração ou da prova, Aristóteles admite, como forma de 
conhecimento, os primeiros princípios, que excluem a demonstração. 
 
Perguntar o que é alguma coisa é perguntar qual é a essência dessa 
coisa, e responder à pergunta é expor essa essência em sua definição. 
Aristóteles classifica três espécies de definição: a indemonstrável (a unida-
de em aritmética, por exemplo); a definição causal ou real; e a definição 
nominal. A propósito da definição da espécie, recomenda: (1) só tomar 
como características de espécie os atributos que pertencem a sua essên-
cia; (2) apresentar os atributos em ordem, do determinável ao determinan-
do; (3) dar as indicações necessárias para distinguir o definido de tudo o 
que dele difere. A obediência a essas regras permitirá definir, pela indica-
ção do gênero próximo e da diferença específica, determinações que, por 
hipótese, devem conter a essência do objeto definido. 
 
Por consistir numa redução à evidência, a demonstração implica a a-
preensão dos primeiros princípios, indemonstráveis. No processo que 
conduz da percepção à ciência, Aristóteles vê que o primeiro momento é a 
memória ("persistência da percepção") e o seguinte éa experiência, que é 
a lembrança das percepções dos mesmos objetos e a abstração daquilo 
que apresentam em comum. A passagem do particular ao universal é 
possível porque o que se percebe no objeto particular não é o que o parti-
culariza, mas os caracteres que tem em comum com objetos semelhantes. 
Ao ascender a universais cada vez mais extensos, chega-se, pela razão 
intuitiva, aos primeiros princípios da ciência, os axiomas, as definições, os 
postulados e as hipóteses. Segundo Aristóteles, é por indução que se 
aprendem os primeiros princípios, pois é assim que a percepção produz o 
universal. 
 
Lógica na Idade Média. Traduzidos para o latim por Boécio, alguns tra-
tados da obra de Aristóteles passaram a ser usados, na Idade Média, no 
ensino da lógica, incluída nas disciplinas dos cursos de direito e teologia. A 
esterilidade criativa que predominou durante cerca de cinco séculos só foi 
interrompida no século XII com a dialética de Abelardo, teólogo eminente e 
controvertido, autor de Sic et non (Sim e não). 
 
Durante o século XII, traduções complementares do Órganon de Aristó-
teles acrescentaram tópicos desconhecidos da "velha lógica" que foram 
agrupados sob o nome geral de "nova lógica". No século XIII, houve uma 
cisão entre os lógicos: alguns aderiram à ortodoxia aristotélica, enquanto 
outros adotaram uma visão mais liberal e, nas escolas de artes e nas 
recém-criadas universidades, propuseram a lógica moderna. 
 
Guilherme de Sherwood e seu discípulo Pedro Hispano (posteriormente 
papa João XXI), autor do livro sobre lógica mais utilizado nos 300 anos que 
se seguiram, foram os principais representantes dessa nova tendência. 
Entre os lógicos do século XIV, deve-se pelo menos mencionar Guilherme 
de Occam, além de Jean Buridan e seu aluno Alberto da Saxônia. No 
século seguinte, Paulo Vêneto, teólogo agostiniano, produziu uma extensa 
obra intitulada Logica magna, usada como livro didático durante os séculos 
XV e XVI. 
 
No mundo grego, a tradição de parafrasear e comentar os tratados ló-
gicos de Aristóteles teve continuidade nas obras de João Filopono e Estê-
vão de Alexandria, neoplatonista do século VII, entre outros. Nos séculos XI 
e XIII, foram produzidos vários compêndios de lógica. 
 
Os árabes também cultivaram a lógica e, no início do século IX, já con-
tavam com traduções de alguns tratados do Órganon de Aristóteles. Entre-
tanto, a produção dos representantes da escola de Bagdá, surgida no 
século seguinte, quase toda perdida, foi criticada pelo filósofo Avicena, que 
a considerava exageradamente servil à doutrina de Aristóteles. Avicena 
defendeu uma linha mais independente e expressou seu conceito de lógica 
no livro Kitab al-shifa (O livro da cura). 
 
O valor da contribuição árabe ao desenvolvimento da lógica não é mui-
to grande, exceto pelo fato de ter mantido vivo o interesse na lógica aristo-
télica numa época em que, no Ocidente, era pouco divulgada. No mundo 
medieval, em que houve a lógica bizantina, a árabe e a escolástica, a 
vertente escolástica parece ter trazido as maiores contribuições. 
 
Lógica no Renascimento. A tradição da lógica medieval sobreviveu por 
mais três séculos após ter atingido a maturidade no século XIV. Entretanto, 
o clima intelectual que se estabeleceu no Ocidente com o advento do 
Renascimento e do humanismo não estimulava o estudo da lógica. O 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 28 
crescimento das ciências naturais também contribuiu para o abandono da 
lógica que, como disciplina dedutiva, cedeu lugar às pesquisas metodológi-
cas. 
 
Uma nova atitude em relação à lógica surgiu no século XVI com Petrus 
Ramus (Pierre de La Ramée), lógico antiaristotélico e reformador educacio-
nal. Ramus descreveu a lógica como a "arte de discutir" e distinguiu-a da 
gramática e da retórica que, a seu ver, concentravam-se nas questões 
relativas ao estilo. De acordo com Ramus, a lógica deveria tratar de concei-
tos, juízos, inferências e provas, nessa ordem de prioridade. Entre as 
inferências, incluía os silogismos categóricos e hipotéticos. 
 
As divisões da lógica sugeridas por Ramus foram adotadas pelos jan-
senistas Antoine Arnauld e Pierre Nicole, autores de La Logique: ou l'art de 
penser (1662), traduzido e publicado em inglês em 1851 sob o título The 
Port-Royal Logic (A lógica de Port-Royal). As duas primeiras de suas quatro 
partes trazem poucas contribuições originais, muito mais no campo da 
epistemologia que da lógica. A terceira, sobre o raciocínio, trata da validade 
dos silogismos. Na quarta parte, sobre o método, a obra Elementos de 
Euclides é recomendada como modelo do método científico. Como René 
Descartes, fundador da filosofia moderna, os autores insistiam que, em 
qualquer investigação científica, termos obscuros ou equívocos devem ser 
definidos; que somente termos perfeitamente conhecidos devem ser usa-
dos em definições; que somente verdades auto-evidentes devem ser usa-
das como axiomas; e que todas as proposições que não são auto-evidentes 
devem ser confirmadas com o auxílio de axiomas, definições e proposições 
já comprovados. Apesar de competir com uma concepção inteiramente 
nova da lógica apresentada por Leibniz, racionalista alemão, as ideias 
expostas pela lógica de Port-Royal mantiveram sua reputação durante o 
século XIX. 
 
Lógica moderna. Com Leibniz, no século XVII, teve início a lógica mo-
derna, que se desenvolveu em cooperação com a matemática. Leibniz 
influenciou seus contemporâneos e sucessores com um ambicioso plano 
para a lógica, que para ele deixava de ser "uma diversão para acadêmicos" 
e começava a tomar a forma de uma "matemática universal". Seu plano 
propunha uma linguagem universal baseada num alfabeto do pensamento 
(ou characteristica universalis), um cálculo geral do raciocínio e uma meto-
dologia geral. 
 
A linguagem universal, na visão de Leibniz, seria como a álgebra ou 
como uma versão de ideogramas chineses, formada de sinais básicos 
representativos de noções não analisáveis. Noções complexas seriam 
representadas por conjuntos apropriados de sinais que, por sua vez, repre-
sentariam a estrutura de noções complexas e, em última análise, a noção 
de realidade. 
 
Uma das contribuições mais positivas de Leibniz para o desenvolvi-
mento da lógica foi a aplicação bem-sucedida dos métodos matemáticos à 
interpretação da silogística aristotélica. Outra foi sua proposta de um "cálcu-
lo de adição real", em que demonstra que partes da álgebra são passíveis 
de interpretação não aritmética. Sua forma de interpretação se comprovaria 
adequada mesmo à intrincada regra da rejeição proposta para os silogis-
mos pelo polonês Jerzy Stupecki, da escola de lógica de Varsóvia, na 
década de 1940. 
 
Na segunda metade do século XIX, foram lançados os alicerces para 
os mais notáveis progressos da história da lógica. Merece menção a obra 
do matemático francês Joseph-Diez Gergonne, cuja grande inovação foi a 
expansão do vocabulário do silogismo e a proposição de novos tipos de 
inferência baseados na expansão. A axiomatização de seu trabalho, no 
entanto, coube ao lógico John Acheson Faris, de Belfast. Também trouxe-
ram contribuições importantes o metafísico escocês William Hamilton e os 
ingleses George Bentham, botânico, e Augustus De Morgan. 
 
Ainda no século XIX, as novas ideias de George Boole, matemático au-
todidata, representaram um grande progresso para a lógica. A chamada 
álgebra de Boole foi aprimorada por vários pesquisadores, entre eles o 
economista e lógico britânico William Stanley Jevons; o lógico, engenheiro 
e filósofo americano Charles Sanders Peirce; e o lógico e matemático 
alemão ErnstSchröder. Coube, porém, ao matemático e filósofo alemão 
Gottlob Frege estabelecer a relação entre os dois sistemas lógicos tratados 
por Boole, e outros importantes estudos relativos à teoria da linguagem e à 
redução da aritmética à lógica. Outra tendência no estudo da lógica e dos 
fundamentos da matemática foi introduzida pelo matemático e filósofo 
alemão Georg Cantor. 
 
Lógica no século XX. Quando, no início do século XX, Bertrand Russell 
se dispôs a mostrar que a aritmética era uma extensão da lógica, foi benefi-
ciado pelas pesquisas anteriores de Giuseppe Peano, matemático e lógico 
italiano que, no fim do século XIX e início do XX, questionara noções primá-
rias da aritmética. Após escrever The Principles of Mathematics (1903; 
Princípios da matemática), Russell produziu, em cooperação com o tam-
bém britânico Alfred North Whitehead, a monumental Principia Mathematica 
(1910-1913), que se tornou um clássico da lógica. A obra, em três volumes, 
reuniu os resultados das pesquisas sobre lógica e fundamentos da mate-
mática que vinham sendo realizadas desde a época de Leibniz e tornou-se 
o ponto de partida para a evolução da lógica no século XX. 
 
A visão da matemática como continuação da lógica, sem uma linha de-
limitadora clara entre as duas disciplinas, como defendeu Russell, chamou-
se logicismo. A essa abordagem se opõem o intuicionismo, associado aos 
nomes de Luitzen Egbertus Jan Brouwer, matemático holandês, e seu 
discípulo Arend Heyting, e o formalismo, fundado por David Hilbert. 
 
Bertrand Russell afirmou que há duas vertentes da pesquisa em mate-
mática: uma visa à expansão, e a outra explora os fundamentos. O mesmo 
se pode dizer sobre qualquer outra disciplina, mas na exploração dos 
fundamentos de uma ciência o pesquisador volta a encontrar a lógica, pois 
todas as ciências que pretendem descrever e comprovar algum aspecto da 
realidade fazem uso do vocabulário lógico. Isso quer dizer que a lógica, 
localizada no ponto mais alto de uma hierarquia de ciências, pode ser 
entendida como a mais abstrata e mais geral descrição da realidade. 
©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. 
SILOGISMO 
A doutrina do silogismo desenvolvida pelo filósofo grego Aristóteles no 
século IV a.C. constituiu até a era moderna o principal instrumento da 
lógica. 
 
Silogismo, segundo a definição de Aristóteles, é uma expressão propo-
sicional na qual, admitidas certas premissas, delas resultará, apenas por 
serem o que são, outra proposição diferente das estabelecidas anterior-
mente. O termo vem do grego syllogismós, que significa argumento ou 
raciocínio. Posteriormente, a terminologia tradicional passou a definir essa 
operação lógica como um argumento formado de três proposições -- duas 
premissas e uma conclusão -- que apresentam a forma "sujeito-predicado". 
 
Indubitavelmente, o silogismo é a forma mais simples de demonstração 
ou de argumento inferencial. É sempre precedido de uma pergunta: quer-se 
saber se um dado predicado convém ou não, necessariamente, a um 
sujeito. A resposta, quando está de acordo com as regras do silogismo, é 
rigorosa e necessariamente certa. O exemplo mais clássico é o seguinte: 
"Todo animal é mortal; todo homem é animal; logo, todo homem é mortal." 
 
As duas premissas, estruturadas segundo a fórmula "sujeito-
predicado", são denominadas maior e menor. Por meio delas, dois termos 
(maior e menor) são postos em relação com um terceiro (médio). No exem-
plo citado, "mortal" é o termo de maior extensão, e portanto o termo maior. 
O termo de menor extensão, chamado termo menor, é "homem". O termo 
médio, que contém ambos, é "animal". Por ser afirmativo, esse tipo de 
silogismo é chamado categórico e se baseia na lei de generalização do 
universal para o particular. Os termos que compõem cada premissa são 
sempre os mesmos -- maior e médio na premissa maior, menor e médio na 
premissa menor -- mas sua ordem pode mudar. O termo médio pode assu-
mir quatro posições diferentes, segundo as quais se definem as quatro 
"figuras" do silogismo. Tais figuras, em função do caráter e das combina-
ções de suas proposições (universais ou particulares, afirmativas ou negati-
vas) dão lugar aos 23 tipos de silogismo conhecidos como silogismos 
modais. 
 
Os chamados silogismos hipotéticos são mais complexos que os cate-
góricos e os modais, ainda que derivem das mesmas leis. A denominação 
se explica devido à ocorrência de premissas hipotéticas, que de acordo 
com sua forma podem ser condicionais ou disjuntivas. Uma formulação 
clássica de silogismo hipotético condicional seria, por exemplo: se P então 
Q; se Q então não R; logo, se P então não R. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 29 
A teoria silogística teve grande desenvolvimento durante a Idade Mé-
dia. A distinção entre os termos maior, menor e médio foi elaborada pelos 
pensadores escolásticos, que distinguiam três espécies de silogismo: 
regulares, irregulares e compostos. Os regulares se constituem dos três 
termos clássicos. Os irregulares e os compostos se caracterizam por terem 
termos implícitos (ocultos), ou por terem mais de três proposições. Um 
exemplo de silogismo irregular, conhecido como entimema, expressa-se na 
frase "penso, logo existo", na qual está subentendida a premissa maior, que 
poderia ser "tudo o que pensa existe". 
 
Os pensadores renascentistas, no entanto, assim como os racionalistas 
do século XVII, criticaram o silogismo como insuficiente e tautológico. Para 
eles, todas as conclusões se encontram implícitas nas premissas e portanto 
nada acrescentam ao conhecimento. A moderna lógica formal, contudo, 
reconheceu o valor histórico do silogismo como instrumento de formaliza-
ção e integrou os antigos esquemas silogísticos à lógica quantificativa e à 
lógica de classes. ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. 
 
LÓGICA MATEMÁTICA 
Por influência do pensamento de Aristóteles, a lógica dizia respeito, 
tradicionalmente, apenas às proposições da linguagem verbal. A partir do 
século XIX, no entanto, seus princípios foram aplicados à linguagem simbó-
lica da matemática. 
 
Lógica matemática é o conjunto de estudos que visam a expressar em 
signos matemáticos as estruturas e operações do pensamento, deduzindo-
as de um pequeno número de axiomas, com o propósito de criar uma 
linguagem rigorosa, adequada ao pensamento científico, da qual estejam 
afastadas as ambiguidades próprias da linguagem comum. Fundamenta-se 
na construção de sistemas formais, ou seja, modelos, para cuja definição 
se enunciam certos axiomas (conceitos básicos) e métodos de dedução ou 
demonstração. 
 
Evolução histórica. O termo "sistema" foi proposto por Laozi (Lao-tsé) 
500 anos antes da era cristã, ao dizer que "uma carroça é mais que a soma 
de suas partes", ou seja, que a relação entre os diversos elementos que 
formam a carroça faz com que ela tenha propriedades especiais e diferen-
tes da soma das propriedades de cada um de seus componentes em 
separado. Aristóteles já assinalara um princípio de abstração ao descrever 
sistema como um conjunto de funções, características e atributos que 
podem ser definidos. No entanto, o termo lógica matemática denota prefe-
rencialmente o conjunto de regras e raciocínios dedutivos elaborado a partir 
da segunda metade do século XIX. Mediante a eliminação das imprecisões 
e erros lógicos da linguagem comum e a adoção de critérios de formaliza-
ção e emprego de símbolos, a lógica formal converteu-se numa disciplina 
associada à matemática. 
 
Em 1854, George Boole descobriu que os conectivos, ou operadores, 
propostos por Aristóteles para as proposições (do tipo "e", "ou","não" etc.) 
seguiam regras similares às da soma e da multiplicação. Projetou, então, a 
chamada álgebra de Boole, que se baseia na lógica binária de "verdadeiro" 
e "falso" como alternativas para cada proposição. 
 
Pouco depois, Georg Cantor criou a teoria dos conjuntos e suas opera-
ções. Definiu conjunto como a união de objetos que satisfazem proprieda-
des exprimíveis, e conjunto de conjuntos como um novo conjunto que 
contém a si mesmo, sendo um de seus próprios elementos. Bertrand Rus-
sell detectou o paradoxo desse raciocínio e argumentou que um conjunto 
pertence à primeira categoria se não contém a si mesmo, e à segunda se 
contém a si mesmo como elemento. Assim, se o conjunto A tem como 
elementos os conjuntos da primeira categoria, não pode, por dedução, 
pertencer a nenhuma das duas categorias mencionadas, ainda que inicial-
mente se atribuísse uma categoria a cada conjunto. 
 
Ernst Zermelo formulou em 1904 um axioma de escolha sobre conjun-
tos não-vazios, isto é, que contêm elementos. Numa família de conjuntos 
não-vazios, qualquer que seja seu tamanho, pode-se escolher ao mesmo 
tempo um elemento de cada conjunto e considerar o conjunto A, que não 
podia pertencer a nenhuma categoria, como constituído desses elementos. 
Com esse axioma puderam ser demonstrados teoremas matemáticos 
clássicos carentes de lógica aparente, mas ao mesmo tempo começou a 
polêmica quanto à validade dos teoremas demonstrados com base nele, e 
a equiparação destes com aqueles que não necessitam desse axioma para 
sua demonstração. Enfim, tornou-se prática indicar se em determinado 
teorema havia sido usado ou não o axioma de escolha. 
 
Para Kurt Gödel, um sistema matemático que só fosse suficiente para a 
aritmética clássica seria necessariamente incompleto. Acrescentou que 
qualquer sistema pode ser coerente ao se lhe incorporar o axioma de 
escolha, e assim se mantém quando nele se inclui a negação desse mesmo 
axioma. A hipótese de continuidade geral também é coerente com a mate-
mática comum, que mantém a coerência quando se lhe acrescentam simul-
taneamente o axioma de escolha e a hipótese de continuidade geral. Essa 
hipótese propõe uma explicação provável de um fato ou série de fatos cuja 
verdadeira causa se desconhece. 
 
Sistemas e subsistemas lógicos. No século XX, define-se sistema como 
um conjunto cujos elementos estão em interação e no qual prevalecem as 
relações recíprocas entre os elementos, e não os elementos em si. Por sua 
própria natureza, sistema é um conjunto de partes, o que significa que pode 
ser analisado. O conjunto como um todo, porém, não pode ser obtido pela 
simples acumulação das partes. A trama das relações entre os elementos 
constitui a estrutura do sistema, ou, o que é a mesma coisa, o mecanismo 
de articulação de suas partes. 
 
As grandezas tomadas para descrever um sistema não são sempre as 
mesmas. Se uma delas se comporta de forma particular, deve ter proprie-
dades que suscitam tal comportamento e dêem lugar a certas regras de 
organização. Os sistemas têm limites precisos, de modo que é possível 
determinar sem ambiguidades se um elemento pretence a um ou a outro 
sistema. 
 
Os sistemas classificam-se em fechados, se não permutam matéria 
com o exterior, mesmo que haja permuta de energia para chegar ao equilí-
brio, e abertos, se podem permutar matéria e energia com o exterior e 
tendem à estabilidade. Os últimos se caracterizam por um comportamento 
não plenamente determinado por uma cadeia causal, nem por puro acaso. 
Os sistemas abertos tendem a se manter no estado em que melhor se 
adequam a possíveis perturbações. Essa tendência à estabilidade lhes 
permite alcançar um estado final característico a partir de estados iniciais 
distintos e caminhos diferentes. A atuação ou comportamento de cada 
subsistema ou componente de um sistema se difunde pelo sistema inteiro. 
Os sistemas são representados formalmente mediante modelos, e chama-
se simulação a geração de possíveis estados do sistema pelo modelo que 
representa. 
 
Conceitos de lógica matemática. O processo dedutivo matemático exi-
ge rigor. O modelo tradicional de um sistema consiste na apresentação das 
assertivas principais em forma de teoremas, como já o fizera Euclides na 
Grécia antiga. Formalmente, dá-se o nome de teorema a uma proposição 
cuja validade se prova por demonstração. Assim, os axiomas, que se 
definem como primeiros teoremas e se admitem sem demonstração, per-
tencem a uma categoria lógica diferente. Os teoremas se demonstram a 
partir de outros teoremas, mediante procedimentos de dedução ou indução 
nos quais se encadeiam consequências lógicas. A axiomática da matemáti-
ca, e das ciências em geral, constitui o elemento básico para a dedução de 
teoremas derivados, e a escolha adequada dos axiomas é um dos pontos 
mais delicados na elaboração dos modelos de qualquer sistema. Um con-
junto de axiomas é aceitável, do ponto de vista matemático, quando tem 
coerência lógica, o que implica que de um mesmo axioma não é possível 
deduzir dois teoremas contraditórios. 
 
Desenvolvendo certo raciocínio, conclui-se que, além dos axiomas, as 
próprias regras de dedução deveriam estar sujeitas a variações. Quando os 
axiomas e regras de dedução são abertos, fala-se de sistema matemático, 
ou formal, que exige que o sistema seja coerente uma vez estabelecido o 
método. Quando se pode demonstrar uma proposição ou sua negativa, o 
sistema é completo. Se um sistema que contém um teorema se altera, a 
mesma proposição, ou a que corresponde à nova entidade, passa a ser 
duvidosa ou inteiramente falsa. Mesmo que sua validade se mantenha, 
seria preciso uma nova demonstração, devido à possibilidade de que os 
axiomas ou as regras de dedução do sistema tenham perdido sua pertinên-
cia. 
 
As regras básicas da lógica matemática exigem a formulação de enun-
ciados, nos quais se definem previamente os conceitos da proposição, e 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 30 
predicados ou sentenças matemáticas que empregam os enunciados 
descritos anteriormente. 
A terminologia e a metodologia da lógica matemática tiveram, ao longo 
do século XX, importante papel no progresso das novas ciências da infor-
mática e cibernética. Desde as origens, elas adotaram as estruturas formais 
da lógica binária e da álgebra de Boole e empregaram a filosofia de enunci-
ado-predicado em suas proposições, numa axiomática e num conjunto de 
regras hipotético-dedutivas definidas previamente. ©Encyclopaedia Britan-
nica do Brasil Publicações Ltda. 
 
PROPOSIÇÃO 
Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é 
uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um 
dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos: 
1. Frases que não são proposições 
o Pare! 
o Quer uma xícara de café? 
o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada 
2. Frases que são proposições 
o A lua é o único satélite do planeta terra (V) 
o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) 
o O numero 712 é ímpar (F) 
o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) 
Composição de Proposições 
É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. 
Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha 
que tenhamos duas proposições, 
1. A = "Maria tem 23 anos" 
2. B = "Maria é menor" 
 
Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada 
de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a 
proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a 
alguns exemplos: 
1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA) 
2. "Maria não é menor"(não(B))3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) 
4. "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) 
5. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 
6. "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B) 
7. "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B)) 
8. "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) 
9. Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) 
10. Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => 
B) 
11. "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) 
12. "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C 
<=> não(B)) 
 
Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (nega-
ção), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> 
(equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que 
usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a 
proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é 
menor, uma vez que B representa Maria é menor. 
 
Algumas Leis Fundamentais 
Lei do Meio Excluido 
Um proposição é falsa (F) ou verdadei-
ra (V): não há meio termo. 
Lei da Contradição 
Uma proposição não pode ser, simul-
taneamente, V e F. 
Lei da Funcionalidade 
O valor lógico (V ou F) de uma propo-
sição composta é unicamente determi-
nada pelos valores lógicos de suas 
proposições constituintes. 
 
PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS 
Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem 
um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem 
juízos que formamos a respeito de determinados entes. 
Exemplo: 
a) a lua é um satélite da Terra; 
b) O sol é amarelo; 
c) Brasília é a capital do Brasil. 
 
Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, 
na Lógica Matemática 
• Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
• Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira 
ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um 
terceiro. 
 
Valores Lógicos das Proposições 
Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é 
verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. 
 
Valor Lógico Símbolo de Designação 
Verdade V 
Falsidade F 
 
Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de acordo os dois 
princípios supracitados). 
Exemplo: 
a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição: 
verdade (V) 
b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposição: falsidade 
(F) 
TIPOS DE PROPOSIÇÃO 
Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma ou-
tra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples 
são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas 
letras proposicionais. 
Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para 
representar uma proposição simples. 
Exemplo: 
p: Oscar é prudente; 
q: Mário é engenheiro; 
r: Maria é morena. 
 
Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação 
de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras 
maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais. 
Exemplo: 
p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; 
q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; 
r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. 
Observação: As proposições compostas são também denominadas 
fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar 
que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposi-
ções simples, escreve-se: P ( p, q, r ...); 
Conectivos - são palavras que se usam para formar novas proposi-
ções a partir de outras. 
Exemplo: 
P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; 
Q: NÃO vai chover; 
R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; 
S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; 
T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é equilátero. 
São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras que estão gri-
fadas, isto é "e", "ou", "não", "se ... então", "... se e somente se ..." 
 
TABELA VERDADE 
Proposição simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda 
proposição simples p,é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade 
(V) ou o valor lógico falso (F). 
p 
V 
F 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 31 
Proposição composta - O valor lógico de qualquer proposição com-
posta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples 
componentes, ficando por eles univocamente determinados. 
 
Tabela-Verdade 
É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógi-
co de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possí-
veis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as 
possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componen-
tes. 
 
Proposição Composta - 02 proposições simples 
Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas pro-
posições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições 
de valores lógicos a p e a q são: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois 
para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, 
e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição 
dos dois elementos V e F. 
 
Proposição Composta - 03 proposições simples 
No caso de uma proposição composta cujas proposições simples com-
ponentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, 
a q e a r são: 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 
Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de 
quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a 
segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, 
além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos 
ternários com repetição dos dois elementos V e F. 
 
Notação 
O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, 
exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. 
Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. 
Exemplos: 
p: o sol é verde; 
q: um hexágono tem nove diagonais; 
r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 
V(p) = F 
V(q) = V 
V(r) = F 
 
OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES 
Operações Lógicas Fundamentais 
Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operações sobre 
proposições, chamadas operações lógicas. As operações lógicas obede-
cem regras de um cálculo, denominado cálculo proposicional, semelhante 
ao da aritmética sobre números 
 
Negação 
Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada 
por "não p", cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falso e falsidade 
quando p é verdadeiro. 
Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p. 
Simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se 
lê "não p". O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, defini-
do pela seguinte tabela-verdade: 
p ~ p 
V F 
F V 
 
ou seja, pelas igualdades 
~ V = F e ~ F = V 
V (~ p) = ~ V(p) 
O valor lógico da negação de p é igual à negação do valor lógico de p. 
Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples, 
antepondo o advérbio "não" ao verbo da proposição dada. 
Exemplo: 
p : o sol é uma estrela 
~p : o sol não é uma estrela 
 
Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição 
dada expressões tais como "não é verdade que", "é falso que". 
Exemplo: 
q : Carlos é engenheiro 
~q : é falso que Carlos é engenheiro; 
~q : nãoé verdade que Carlos é engenheiro. 
~q : não acontece que Carlos é engenheiro. 
 
Conjunção 
Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição repre-
sentada por "p e q", cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposi-
ções p e q são verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. 
p q p q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
Disjunção 
Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição represen-
tada por p ou q, cujo o valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma 
das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições 
p e q são ambas falsas. 
p q p  q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Disjunção Exclusiva 
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição 
representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, 
mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é 
verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadei-
ras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas. 
p q  q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
Condicional 
Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposi-
ção representada por "se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no 
caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 32 
p q p  q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Bicondicional 
Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma pro-
posição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verda-
de(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade 
(F) nos demais casos. 
p q  q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Tabelas-verdade: Tautologia, Contradição e Contingência 
 
Construção de Tabelas - Verdade 
Dada várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-las pe-
los conectivos lógicos: 
Negação ~ 
Conjunção 
Disjunção 
Condicional 
Bicondicional 
 
e construir proposições compostas, tais como: 
P(p,q) = ~ p  (p  q) 
Q(p,q) = (p  ~ q)  q 
R(p,q,r) = (p ~ q r )  ~ (q  (p  ~ r)) 
 
Tabela Verdade de uma Proposição Composta 
Então, com o emprego das tabelas verdade das operações lógicas fun-
damentais é possível construir a tabela verdade esta que mostrará exata-
mente os casos em que a proposição composta será verdadeira (V) ou 
falsa (F), admitindo-se, como é sabido, que o seu valor lógico só depende 
dos valores lógicos das proposições simples componentes. 
 
Números de Linhas de uma Tabela Verdade 
O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta 
depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado 
pelo seguinte teorema: 
A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições 
simples componentes, contém 2 elevado a n linhas. 
Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, 
procede-se da seguinte maneira: 
a. determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer 
construir; 
b. observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se 
a forma das proposições que ocorrem no problema; 
c. aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema e-
xigir. 
 
Exemplo 
Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ~ q) 
p q ~ q p ~ q ~ ( ~ q) 
V V F F V 
V F V V F 
F V F F V 
F F V F V 
O uso de parênteses 
É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização 
das proposições, que devem ser colocados para evitar qual-
quer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p 
 q r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes 
proposições: 
(i) (p  q)  r 
(ii) p  ( q  r) 
 
que não têm o mesmo significado lógico, pois na (i) o co-
nectivo principal é " ", e na (ii), o conectivo principal é " ". 
 
Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a 
fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, 
ambiguidade alguma venha a aparecer. 
 
A supressão de parêntesis nas proposições simbolizadas se faz medi-
ante algumas convenções, das quais são particularmente importante as 
duas seguintes: 
 
A "ordem de precedência" para os conectivos é: 
(1º) ~ ; (2º)  e  ; (3º)  ; (4º)  
 
Portanto o conectivo mais "fraco" é "~" e o conectivo mais 
"forte" é " ". 
 
Assim, por exemplo, a proposição: 
pq  s  r 
é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma con-
junção. Para convertê-la numa condicional há que usar parên-
tesis: p (q  s  r) 
e para convertê-la em uma conjunção: (p q  s)  r 
 
Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente 
repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associa-
ção a partir da esquerda. 
 
Exemplo: 
((~ (~ (p  q))) (~ p) fica como ~ ~ (p  q )  ~ p 
 
TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTINGÊNCIAS 
Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja úl-
tima coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). 
Em outros termos, Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r...) cujo 
valor lógico é sempre (V) verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos 
das proposições simples componentes. 
 
Exemplos: 
i-
ca, conforme se vê pela sua tabela-verdade: 
p ~ p 
V F F V 
F V F V 
 
o-
gia. 
p ~ p p  ~ p 
V F V 
F V V 
 
Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja 
última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade). 
Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q, r,...) 
cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores 
lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ... Como uma tauto-
logia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa 
(F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa. 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 33 
p ~ p p  ~ p 
V F F 
F V F 
p ~ p p  ~ p 
V F F 
F V F 
 
Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta 
em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada 
uma pelo menos uma vez. 
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é 
tautologia nem contradição. As contingências são também denominadas 
proposições contingentes ou proposições indeterminadas. 
p ~ p p  ~ p 
V F F 
F V V 
Álgebra das proposições 
Equivalência Lógica 
Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou 
apenas equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ...), se as tabelas-verdade 
destas duas proposições são idênticas. 
Indica-se que a proposição P (p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q 
(p, q, r, ...) com a notação 
P (p, q, r, ...) 
Em particular, se as proposições P (p, q, r, ...) e Q (p, q, r, ...) são am-
bas tautológicas ou são ambas contradições, então são equivalentes. 
Equivalências Notáveis 
Propriedades da Conjunção 
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições 
também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F 
(falsidade). 
(a) Idempotente : p  p  p 
p p  p p  p  p 
V V V 
F F V 
 
(b) Comutativa : p  q  q  p 
p q p  q q  p p  q  q  p 
V V V V V 
V F F F V 
F V F F V 
F F F F V 
 
(c) Associativa : (p  q)  r  p  (q  r) 
p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r) (p  q) r  
p  (q  r) 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F F F F V 
V F F F F F F V 
F V V F F V F V 
F V F F F F F V 
F F V F F F F V 
F F F F F F F V 
As colunas 5 e 7 são equivalentes 
(d) Identidade: p  t  p e p  c  c 
p t c p  t p  c p  t  p p  c  c 
V V F V F V V 
F V F F F V V 
 
As colunas equivalentes são 1, 4 e 3, 5. 
 
Propriedades da Disjunção 
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições 
também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F 
(falsidade). 
(a) Idempotente : p  p  p 
p p  p p  p  p 
V V V 
F F V 
(b) Comutativa: p  q  q  p 
p q p  q q  p p  q  q  p 
V V V V V 
V F V V V 
F V V V V 
F F F F V 
(c) Associativa: (p  q)  r  p  (q  r) 
p q r p  q (p  q)  r q  r p  (q  r) (p  q)  r 

 p  (q  r) 
V V V V V V V V 
V V F V V V V V 
V F V V V V V V 
V F F V V F V V 
F V V V V V V V 
F V F V V V V V 
F F V F V V V V 
F F F F F F F V 
As colunas 5 e 7 são equivalentes 
(d) Identidade : p  t  t e p  c  p 
p t c p  t p  c p  t  p p  c  c 
V V F V V V V 
F V F V F V V 
As colunas equivalentes são 1, 5 e 2, 4. 
Propriedades da Conjunção e da Disjunção 
(a) Distributivas 
(i) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
p q r q  r p  (q  r) p  q p  r (p  q)  
(p  r) 
V V V V V V V V 
V V F V V V F V 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 34 
V F V V V F V V 
V F F F F F F F 
F V V V F F F F 
F V F V F F F F 
F F V V F F F F 
F F F F F F F F 
 
As colunas 5 e 8 são equivalentes 
(ii) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) 
p q r q  
r 
p  (q  
r) 
p  
q 
p  
r 
(p  q) 
(p  r) 
V V V V V V V V 
V V F F V V V V 
V F V F V V V V 
V F F F V V V V 
F V V V V V V V 
F V F F F V F F 
F F V F F F V F 
F F F F F F F F 
 
As colunas 5 e 8 são equivalentes 
(b) Absorção 
(i) p  (p  q)  p 
p q p  q p  (p  q) p  (p  q)  p 
V V V V V 
V F V V V 
F V V F V 
F F F F V 
 
As colunas 1 e 4 são equivalentes 
(ii) p  (p  q)  p 
p q p  q p  (p  q) p  (p  q)  p 
V V V V V 
V F F V V 
F V F F V 
F F F F V 
 
As colunas 1 e 4 são equivalentes 
(c) Regras de DE MORGAN (1806 – 1871) 
(i) ~ (p  q)  ~ p  ~ q 
p q p  q ~ (p  q) ~ p ~ q ~ p  ~ 
q 
V V V F F F F 
V F F V F V V 
F V F V V F V 
F F F V V V V 
As colunas 4 e 7 são equivalentes 
(ii) ~ (p  q)  ~ p  ~ q 
p q p  q ~ (p  q) ~ p ~ q ~ p  ~ q 
V V V F F F F 
V F V F F V F 
F V V F V F F 
F F F V V V V 
As colunas 4 e 7 são equivalentes 
Condicional 
p  q  ~ p  q 
p q p  q ~ p ~ p  q 
V V V F V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
 
As colunas 3 e 5 são equivalentes 
Argumentos e suas validades 
 
REPRESENTAÇÃO DE ARGUMENTOS USANDO O FLUXOGRAMA 
Introdução 
A quem interessa o estudo da lógica? Aos filósofos? Aos matemáticos? 
Aos homens de ciências? 
 
Proposta: analise as mensagens abaixo e seus argumentos. 
Ou você é a favor do presidente ou você é contra a reeleição. 
Você não é a favor do presidente. 
Conclui-se que: Você é contra a reeleição. 
Criança que tem brinquedo roletrex é feliz. 
A criança é feliz. 
Conclui-se que: A criança tem brinquedo roletrex. 
 
O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo in-
duz a pensar que o antecedente segue do consequente, ou o contrário. 
 
Vivemos no nosso dia-a-dia recebendo mensagens publicitárias através 
dos mais diversos meios e argumentando com nossos interlocutores a 
respeito dos mais diversos assuntos. Para que não caiamos prisioneiros de 
argumentos enganosos (as falácias) ou de frases ambíguas, faz-se neces-
sário um mínimo de conhecimento de lógica. Assim, podemos afirmar que o 
estudo da lógica interessa a todos. 
 
Definição de Argumento 
Consideremos a informação extraída da seção Ciência, do Jornal do 
Brasil, de 5 de julho de 1997, a respeito do pouso da sonda Pathfinder, em 
Marte. 
"Um sinal de rádio emitido pela nave para euforia dos cientistas que 
acompanhavam a missão do centro de controle indicou que a Pathfinder 
havia penetrado com sucesso na atmosfera marciana..." 
 
Podemos reconstituir esta informação da seguinte maneira: 
 Alguns cientistas acompanhavam a missão do centro de controle 
(NASA). 
 Um sinal de rádio foi emitido pela nave (para o centro de controle). 
 (O sinal de rádio) indicou que a Pathfinder havia penetrado com 
sucesso a atmosfera marciana. 
 Os cientistas ficaram eufóricos. 
 
Notemos nesta reconstituição que a afirmação "Os cientistas ficaram 
eufóricos" decorre das declarações anteriores. Temos, aí, um argumento. 
Sejam P1, P2,...,P e Q proposições quaisquer, simples ou compostas. 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 35 
Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada sequência fi-
nita P1, P2,...,P de proposições tem como consequência ou acarreta uma 
proposição final Q. 
 
As proposições P1, P2,..., P dizem-se as premissas do argumento, e a 
proposição final Q diz-se a conclusão do argumento. 
 
Um argumento de premissas P1, P2,...,P e de conclusão Q indica-se 
por: 
P1, P2,...,P e se lê: "P1P2,...,P acarretam Q". 
 
Na forma padronizada as premissas invocadas para "servir de justifica-
tiva", acham-se sobre o traço horizontal e a conclusão do argumento estará 
sob o mesmo traço horizontal. 
 
Validade de um Argumento 
Um argumento P1,P2,...,P Q diz-se válido se e somente se a conclusão 
Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1,P2,...,P são verdadei-
ras. 
 
Portanto, todo argumento válido goza da seguinte característica: A ver-
dade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. 
 
Um argumento não-válido diz-se um sofisma. 
 
Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é váli-
do(correto, legítimo) ou F se é um sofisma(incorreto, ilegítimo). 
 
As premissas dos argumento são verdadeiras ou, pelo menos admiti-
das como tal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumen-
tos e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões. 
 
A validade de um argumento depende exclusivamente da relação exis-
tente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado 
argumento é válido significa afirmar que as premissas são verdadeiras. 
 
Regras de inferência usadas para demonstrar a validade dos ar-
gumentos 
 
Regra de adição (AD): 
i) ii) 
Regra de simplificação (SIMP): 
i) ii) 
Regra da conjunção (CONJ): 
i) ii) 
Regra da absorção(ABS): 
 
Regra modus ponens(MP): 
 
Regra modus tollens(MT): 
 
Regra do silogismo disjuntivo(SD): 
i) ii) 
Regra do silogismo hipotéti-
co(SH): 
 
Regra do dilema construtivo(DC): 
 
Regra do dilema destrutivo(DD): 
 
Com o auxílio destas dez regras de inferência pode-se demonstrar a 
validade de um grande número de argumento mais complexos. 
A validade de qualquer argumento pode ser demonstrada, verificada e 
testada mediante Tabelas-verdade, Regra de Inferência, Equivalências e 
Fluxogramas. Nos deteremos, agora, nos fluxogramas. 
 
O fluxograma constitui um método alternativo para as Tabelas-verdade 
na verificação da validade de um argumento, no qual se ilustra o raciocínio 
utilizado. 
 
Neste método, para verificação davalidade de um argumento ou prova 
de um teorema, procede-se da seguinte maneira: 
1. consideram-se as premissas verdadeiras; 
2. aplicam-se as definições dos conectivos lógicos para determinar o 
valor lógico da conclusão que deverá se a verdade(V), para que o 
argumento seja válido ou o teorema provado; 
 
Caso ocorram situações em que não se possa determinar o valor lógico 
da conclusão, ou em que F = V(contradição), o argumento não é válido. 
 
O teste de validade de argumentos ou prova de teoremas mediante o 
uso do fluxograma pode ser feito pelo método direto ou indireto (por absur-
do). 
http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica 
 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
 
A argumentação é um instrumento sem o qual não podemos compre-
ender melhor o mundo nem intervir nele de modo a alcançar os nossos 
objetivos; não podemos sequer determinar com rigor quais serão os melho-
res objetivos a ter em mente. 
Os seres humanos estão sós perante o universo; têm de resolver os 
seus problemas, enfrentar dificuldades, traçar planos de ação, fazer esco-
lhas. Para fazer todas estas coisas precisamos de argumentos. Será que a 
Terra está imóvel no centro do universo? Que argumentos há a favor dessa 
ideia? E que argumentos há contra ela? Será que Bin-Laden é responsável 
pelo atentado de 11 de Setembro? Que argumentos há a favor dessa ideia? 
E que argumentos há contra? Será que foi o réu que incendiou proposita-
damente a mata? Será que o aborto é permissível? Será que Cristo era um 
deus? Será que criaremos mais bem-estar se o estado for o dono da maior 
parte da economia? Será possível curar o cancro? E a Sida? O que é a 
consciência? Será que alguma vez houve vida em Marte? 
Queremos respostas a todas estas perguntas, e a muitas mais. Mas as 
respostas não nascem das árvores nem dos livros estrangeiros; temos de 
ser nós a procurar descobri-las. Para descobri-las temos de usar argumen-
tos. E quando argumentamos podemos enganar-nos; podemos argumentar 
bem ou mal. É por isso que a lógica é importante. 
A lógica permite-nos fazer o seguinte: 
1) Distinguir os argumentos corretos dos incorretos; 
2) Compreender por que razão uns são corretos e outros não; e 
3) Aprender a argumentar corretamente. 
Os seres humanos erram. E não erram apenas no que respeita à in-
formação de que dispõem. Erram também ao pensar sobre a informação de 
que dispõem, ao retirar consequências dessa informação, ao usar essa 
informação na argumentação. Muitos argumentos inválidos não são enga-
nadores: são obviamente inválidos. Mas alguns argumentos inválidos 
parecem válidos. Por exemplo, muitas pessoas sem formação lógica aceita-
riam o seguinte argumento: 
Tem de haver uma causa para todas as coisas porque todas as coisas 
têm uma causa. 
Contudo, este argumento é inválido. A lógica ajuda-nos a compreender 
por que razão este argumento é inválido, apesar de parecer válido. O 
argumento é inválido porque ainda que a premissa seja verdadeira, a 
conclusão pode ser falsa. 
Retirado do livro O Lugar da Lógica na Filosofia (Plátano, 2003) 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO – VERDADES & MENTIRAS 
 
Nos enunciados abaixo, encontraremos uma série de declarações en-
trelaçadas entre si, e que, a princípio, não sabemos se são declarações 
verdadeiras ou mentirosas. Facilmente identificaremos que a questão é 
uma dessas, de “verdades & mentiras”. Vejamos uma delas abaixo: 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 36 
01) (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de 
um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per-
guntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
Armando: "Sou inocente" 
Celso: "Edu é o culpado" 
Edu: "Tarso é o culpado" 
Juarez: "Armando disse a verdade" 
Tarso: "Celso mentiu" 
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os ou-
tros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: 
a) Armando 
b) Celso 
c) Edu 
d) Juarez 
e) Tarso 
 
Sol.: Pois bem! Questão recente da Esaf, extraída de uma prova de ní-
vel superior. Percebemos que as cinco pessoas envolvidas na trama do 
enunciado (Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso) estão fazendo uma 
declaração! Que pode ser uma verdade ou uma mentira! Como procedere-
mos? 
O primeiro passo será, senão outro, relacionar todas as declarações 
feitas no enunciado. Façamos isso: 
 Armando: "Sou inocente" 
 Celso: "Edu é o culpado" 
 Edu: "Tarso é o culpado" 
 Juarez: "Armando disse a verdade" 
 Tarso: "Celso mentiu" 
Agora, veremos que, além das declarações, o enunciado dessas ques-
tões de “verdade e mentira” SEMPRE nos fornecerão alguma ou algumas 
INFORMAÇÕES ADICIONAIS! 
Estas informações adicionais serão a base do raciocínio que iremos 
desenvolver para resolver a questão! Em geral, são informações referentes 
às pessoas envolvidas na situação do enunciado, ou referentes ao número 
de pessoas que estariam mentindo ou dizendo a verdade, em suas decla-
rações! 
Procuremos nesse nosso enunciado, se há e quais são essas informa-
ções adicionais! 
 
Achamos? Claro. São as seguintes: 
1º) O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa. 
Podemos inclusive traduzir essa informação apenas como sendo: 
 Só há um culpado! 
 
E, teremos ainda: 
2º) Apenas um dos suspeitos mentiu e todos os outros disseram a ver-
dade. 
Traduziremos por: 
 Só há um mentiroso! 
 
Percebamos que, até aqui, nada fizemos, além de reunir os dados do 
enunciado, com os quais iremos trabalhar a nossa resolução. Mas esse 
procedimento é ESSENCIAL! 
Daí, transcrevendo novamente tudo o que vamos precisar para “matar 
a questão”, teremos: 
 
 INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 
1º) Só há um culpado. 
2º) Só há um mentiroso. 
 
 DECLARAÇÕES: 
1º) Armando: "Sou inocente" 
2º) Celso: "Edu é o culpado" 
3º) Edu: "Tarso é o culpado" 
4º) Juarez: "Armando disse a verdade" 
5º) Tarso: "Celso mentiu" 
Passemos à resolução propriamente dita! 
O que faremos agora é CRIAR UMA HIPÓTESE de verdades ou menti-
ras para as declarações que dispomos, partindo do que nos fornecem as 
informações adicionais. 
 
Acerca da verdade ou mentira das declarações, o que nos dizem as in-
formações adicionais? Ora, dizem-nos que haverá apenas um mentiroso! 
 
Logo, você pode perfeitamente criar a HIPÓTESE de que a pessoa que 
mente seja a primeira da fila (a que está fazendo a primeira declaração), no 
caso, o Armando. Se você está SUPONDO que o Armando está mentindo, 
restará perfeitamente claro que as demais pessoas estarão dizendo a 
verdade (uma vez que sabemos que só há um mentiroso)! 
 
Daí, para essa nossa PRIMEIRA HIPÓTESE, podemos até criar um 
esqueminha. Vejamos: 
 
 hipótese I 
 DECLARAÇÕES: 
1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira 
2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade 
3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade 
4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade 
5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade 
 
E agora, o que fazer? Ora, não podemos esquecer que essas atribui-
ções de VERDADE e MENTIRA que fizemos para cada declaração são 
apenas uma HIPÓTESE, uma SUPOSIÇÃO. Não sabemos ainda se esta 
HIPÓTESE será aquela que resolverá a questão! 
E como poderemos estar certos se esta hipótese servirá para nós? 
TESTANDO-A! 
É o que faremos agora. Iremos extrair as CONCLUSÕES desta nossa 
HIPÓTESE criada. Vejamos: 
 
hipótese I 
1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira 
2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade 
3º) Edu: "Tarso é o culpado" ---------------- Verdade 
4º) Juarez: "Armando disse a verdade" ---- Verdade 
5º)Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade 
 
CONCLUSÕES: 
 Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Ar-
mando está dizendo, então, concluímos que: Armando é culpado. 
 Da segunda declaração, extraímos que, se é VERDADE o que 
Celso está declarando, então, concluímos que: Edu é culpado. 
Ora, basta analisarmos estas duas primeiras conclusões, e já perce-
bemos que elas estão entrando em CHOQUE, estão INCOMPATÍVEIS, 
estão CONFLITANTES! E por quê? Porque uma das nossas INFORMA-
ÇÕES ADICIONAIS nos diz que SÓ HÁ UM CULPADO. 
Somente estas duas primeiras conclusões já nos levariam a dois cul-
pados pelo crime, o que não pode acontecer! 
Daí, descobrimos que A PRIMEIRA HIPÓTESE NÃO FUNCIONOU! 
Não é com ela que chegaremos à resposta da questão. E quando isso 
ocorrer, o que teremos de fazer, então? Teremos, obviamente, de passar a 
uma SEGUNDA HIPÓTESE! 
Se na primeira hipótese (que falhou), dissemos que o mentiroso era a 
primeira pessoa, podemos perfeitamente agora supor que quem disse a 
mentira foi a segunda pessoa da fila, aquela que fez a segunda declaração. 
Então, de acordo com essa nova hipótese, teríamos que: 
 
 (hipótese 
 descartada!) 
 
 hipótese I hipótese II 
1º) Armando: "Sou inocente" --------------- Mentira Verdade 
2º) Celso: "Edu é o culpado" --------------- Verdade Mentira 
3º) Edu: "Tarso é o culpado" --------------- Verdade Verdade 
4º) Juarez: "Armando disse a verdade" -- Verdade Verdade 
5º) Tarso: "Celso mentiu" ------------------- Verdade Verdade 
 
Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a nossa resolução, 
teremos que extrair dela as nossas conclusões. 
Teremos: 
CONCLUSÕES: 
 Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Ar-
mando está dizendo, então, concluímos que: Armando é inocen-
te. 
 Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Cel-
so está declarando, então, concluímos que: Edu é inocente. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 37 
 Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Edu 
está declarando, então, concluímos que: Tarso é culpado. 
 Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Jua-
rez está declarando, então, concluímos que: Armando diz a ver-
dade. Neste momento, temos que nos reportar ao ARMANDO, e 
confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está mesmo dizendo a ver-
dade! E aí? Armando diz a verdade ou não? Sim, ele diz. Então, 
esta nossa quarta conclusão está COERENTE com as demais. 
 Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o 
que Tarso está dizendo, então, concluímos que: Celso mentiu. 
Também aqui nos reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele 
de fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela nossa hipóte-
se em análise, Celso de fato mentiu. Deste modo, novamente, não 
achamos nenhuma INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e 
as demais. 
Feita essa análise, eu pergunto: as conclusões que extraímos da nossa 
SEGUNDA HIPÓTESE estão COMPATÍVEIS ENTRE SI? Estão de acordo 
com o que mandam as INFORMAÇÕES ADICIONAIS? Ou, ao contrário, 
estariam entrando em choque umas com as outras? Ora, observamos que 
as conclusões são COMPATÍVEIS, e estão plenamente de acordo com as 
informações adicionais do enunciado. Daí, diremos que esta segunda 
hipótese é a que de fato resolve a questão! 
 
Quem foi o culpado do crime? O culpado foi Tarso, e somente ele! 
Questão respondida! 
Uma observação: se, acaso, ao trabalharmos com a SEGUNDA HIPÓ-
TESE, houvéssemos chegado (como se deu com a primeira hipótese) a 
conclusões conflitantes entre si, e conflitantes com as informações adicio-
nais do enunciado, então teríamos que criar uma TERCEIRA HIPÓTESE, e 
passar a analisá-la, tal qual foi feito com as anteriores. E esse processo de 
criação da hipótese e análise das conclusões iria se repetir, até que che-
gássemos a uma hipótese da qual extrairíamos conclusões compatíveis, 
coerentes entre si, e que estariam de acordo com as informações adicionais 
do enunciado. 
Dito isso, podemos traçar uma sequência de passos, que podem ser 
úteis na resolução de qualquer questão de “verdade & mentira”. 
1º Passo) Transcrever todas as DECLARAÇÕES do enunciado; 
2º Passo) Transcrever todas as INFORMAÇÕES ADICIONAIS, que 
guiarão o nosso raciocínio, durante a resolução; 
3º Passo) Criar uma HIPÓTESE de verdades ou mentiras para as 
DECLARAÇÕES, tendo por base o que dispõem as INFORMA-
ÇÕES ADICIONAIS; 
4º Passo) Testar a HIPÓTESE criada, extraindo todas as conclusões 
dela oriundas, e comparando essas conclusões entre si, e em rela-
ção às INFORMAÇÕES ADICIONAIS. 
 Caso tais conclusões estejam compatíveis entre si, e compatíveis 
com as informações adicionais, então esta será a HIPÓTESE que 
resolverá, de fato, o nosso problema. 
 Caso contrário, se se verificar que as conclusões extraídas daque-
la HIPÓTESE são incompatíveis entre si, ou que vão de encontro 
ao que prescrevem as informações adicionais, então diremos que 
tal HIPÓTESE falhou! Não serviu para resolver a nossa questão! 
Nesse caso, CRIA-SE UMA NOVA HIPÓTESE, e reinicia-se o pro-
cedimento de análise (4º Passo). 
Só isso! 
Beleza, né não? 
Questãozinha garantida na prova! Um pontinho a mais pra gente co-
memorar! 
Passemos a mais um exemplo! 
02) (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles 
entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria 
saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: 
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. 
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. 
– “Foi a Mara”, disse Manuel. 
– “O Mário está mentindo”, disse Mara. 
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. 
 
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-
se logicamente que quem entrou sem pagar foi: 
a) Máriob) Marcosc) Marad) Manuele) Maria 
 
Sol.: Novamente temos aqui cinco pessoas envolvidas na situação do 
enunciado. Cada qual faz uma declaração, e nós não sabemos, a priori, 
quem está falando a verdade ou quem está mentindo. Daí, não resta dúvi-
da: estamos diante de uma questão de “verdades & mentiras”. 
 
Aliás, esse nome (“verdades & mentiras”) nem é um nome técnico. Eu 
é que tenho mania de dar nomes às coisas, e resolvi chamar assim... O 
importante é que você saiba identificar o tipo de questão, e como resolvê-la. 
Passemos aos nossos passos de resolução. 
 
Reunindo as DECLARAÇÕES e as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do 
enunciado, teremos: 
 
 INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 
1º) Só há um que entrou sem pagar. 
2º) Só há um mentiroso. 
 
 DECLARAÇÕES: 
1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel" 
2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" 
3º) Manuel: "Foi a Mara" 
4º) Mara: "Mário está mentindo" 
5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos" 
 
E chegou o momento de criarmos a nossa primeira HIPÓTESE. 
 
Sabendo que só há um mentiroso (informação adicional do enunciado), 
podemos dizer que quem mentiu foi, por exemplo, a primeira pessoa a fazer 
uma declaração. Neste caso, o Marcos. Daí, teríamos que: 
 hipótese I 
1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"-- Mentira 
2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade 
3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade 
4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade 
5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade 
 
Agora, para TESTAR A HIPÓTESE I, tiraremos dela as nossas conclu-
sões: 
 
CONCLUSÕES: 
 Da primeira declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Mar-
cos está dizendo, então,concluímos que: Foi o Marcos e foi o Manuel. 
 
Pronto! A análise desta HIPÓTESE I morre por aqui mesmo! Nem ire-
mos adiante! E por quê? Porque a nossa primeira conclusão já é INCOM-
PATÍVEL com o que nos diz a INFORMAÇÃO ADICIONAL do enunciado, 
segundo a qual somente uma pessoa entrou sem pagar. E a conclusão 
acima nos diz que quem entrou sem pagar foi o Marcos e foi o Manuel. 
Duas pessoas, portanto! E não pode! 
 
O que concluímos com isso? Que a primeira HIPÓTESE falhou! 
Criaremos, pois, uma segunda HIPÓTESE. Já que só há um mentiro-
so, vamos passar a MENTIRA agora para a mão da segunda pessoa da 
fila, qual seja, o Mário. Teremos, pois, que: 
 
 (hipótese 
 descartada!) 
 
 hipótese I hipótese II 
1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"---
- 
Mentira Verdade 
2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria" --------------- Verdade Mentira 
3º) Manuel: "Foi a Mara" -------------------------------- Verdade Verdade 
4º) Mara: "Mário está mentindo"------------------------ Verdade Verdade 
5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"----------------- Verdade Verdade 
 
Passemos às conclusões desta nova HIPÓTESE. Teremos: 
CONCLUSÕES: 
 Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que 
Marcos está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Marcos e 
não foi o Manuel. 
 Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Má-
rio está dizendo, então, concluímos que: Não foi o Manuel e não 
foi a Maria. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 38 
 Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Ma-
nuel está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara. 
 Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Mara 
está dizendo, então, concluímos que: Mário está mentindo. Aqui, 
como já sabemos, temos que parar, e procurar saber se o Mário 
está mesmo mentindo, ou se não está. E aí, de acordo com a nos-
sa hipótese II, o Mário está mesmo mentindo? SIM. Vemos, pois, 
que esta quarta conclusão está de coerente. Seguimos em frente! 
 Da última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Maria 
está dizendo, então, concluímos que: Foi a Mara ou foi o Mar-
cos. Isso quer dizer que um dos dois entrou no parque sem pagar. 
Ou um, ou outro! Vamos analisar o que nos dizem as demais con-
clusões que extraímos acima, acerca da Mara e acerca do Marcos. 
A primeira conclusão nos diz: “Não foi o Marcos”. E a terceira 
conclusão nos diz: “Foi a Mara”. Então está perfeito! Ou seja, essa 
nossa última conclusão (Foi a Mara ou foi o Marcos) está inteira-
mente de acordo, inteiramente compatível com as demais conclu-
sões. 
Enfim, percebemos que a segunda HIPÓTESE, que acabamos de ana-
lisar, forneceu-nos conclusões que não conflitaram entre si, e nem foram 
incompatíveis com as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado. Em 
outras palavras: a HIPÓTESE II funcionou! É ela quem nos dará a resposta 
da questão. E então, quem foi a pessoa que entrou sem pagar? Foi a Mara. 
Questão respondida! 
 
Façamos mais uma! 
03) (ESAF) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com 
Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados 
sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes 
declarações: 
Nestor: "Marcos é casado com Teresa" 
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" 
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" 
 
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa 
disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, 
respectivamente: 
a)Sandra, Teresa, Regina 
b)Sandra, Regina, Teresa 
c)Regina, Sandra, Teresa 
d)Teresa, Regina, Sandra 
e) Teresa, Sandra, Regina 
 
Sol.: Sem mais delongas, transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIO-
NAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES. Teremos: 
 
 INFORMAÇÕES ADICIONAIS: 
1º) O marido de Sandra mentiu. 
2º) O marido de Tereza disse a verdade. 
 
 DECLARAÇÕES: 
1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza" 
2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" 
3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra" 
Pois bem! Vamos criar a nossa primeira HIPÓTESE. Vamos supor, por 
exemplo, que o primeiro da fila, o Nestor, esteja dizendo a verdade. Veja-
mos: 
 hipótese I 
1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"-------- Verdade 
2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" ----------- 
3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"-------- 
 
Ora, segundo uma das INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, 
sabemos que aquele que diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, 
decorre que se estamos supondo (nesta primeira HIPÓTESE) que o Nestor 
disse a VERDADE, então teremos que Nestor é o marido de Tereza. Mas, 
se assim é, vejamos o que foi que o Nestor, falando a VERDADE, declarou: 
“Marcos é casado com Tereza”. 
Percebemos aí um choque de informações! A Tereza estaria sendo ca-
sada com o Nestor e com o Marcos. E não pode! 
Daí, resta-nos concluir que essa primeira HIPÓTESE falhou! Ou seja, 
constatamos que Nestor não pode estar dizendo a VERDADE. Partiremos 
para uma nova HIPÓTESE: a de que Nestor está mentindo! Teremos: 
 
 (hipótese 
 descartada!) 
 
 hipótese I hipótese II 
1º) Nestor: " Marcos é casado com Tereza"-- Verdade Mentira 
2º) Luís: "Marcos e casado com Regina" ----- 
3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"- 
 
Vamos lá! Agora estamos dizendo que o Nestor está falando uma 
MENTIRA. Segundo as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, a 
pessoa que mente é o marido de Sandra. Logo, a primeira conclusão nossa 
é a de que Nestor é marido de Sandra. 
Ora, como o Nestor está mentindo (segundo nossa hipótese II), então, 
pelo que ele declarou, concluímos que Marcos não é casado com Tereza. 
Ora, ora: se já sabemos que o Marcos não é casado com a Tereza e 
também não é casado com a Sandra (quem é casado com a Sandra é o 
Nestor), então só restou uma mulher para ser o par do Marcos. Quem? A 
Regina, obviamente. Daí, temos que a nossa segunda conclusão é que o 
Marcos é casado com Regina. 
Ora, ora, ora: vejamos as declarações acima! Tem alguém que está 
confirmando essa conclusão a que acabamos de chegar? Sim! O Luís está 
dizendo exatamente isso que já constatamos: “Marcos é casado com 
Regina”. Daí, percebemos que o Luís está dizendo a VERDADE! E se Luís 
diz a VERDADE, então, conforme as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do 
enunciado, ele (Luís) será o marido de Tereza. 
 
Pronto! Chegamos à definição dos três casais: 
 Luís é casado com Tereza; 
 Marcos é casado com Regina; e 
 Nestor é casado com Sandra. 
 
Questão respondida! Vamos pra saideira. 
04) (ESAF) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é 
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A 
condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja ver-
dadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: 
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. 
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 
 
Sol.: Essa é das fáceis! E questão igualzinha a essa aqui já caiu em 
mais de uma prova da Esaf. Portanto, fiquemos ligados! É um pontinho a 
mais garantido pra nós! 
O que temos que fazer aqui? Temos apenas que analisar uma frase. A 
seguinte: 
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” 
A coisa é bem simples: o que pode talvez entornar um pouco o caldo 
aqui nessa fraseé que o nosso cérebro costuma raciocinar com mais 
facilidade com declarações afirmativas do que com as negativas. 
Daí, o jeito mais fácil de compreender essa frase é transformando os 
“núcleos negativos” em “núcleos positivos” equivalentes! 
Ora, vamos identificar o que seria o primeiro “núcleo negativo” desta 
sentença. Acharam? Claro. São as palavras: “Não é verdade”. Pelo que 
poderíamos trocar esse “núcleo”, para que ele ficasse na afirmativa? Pode-
ria ser: “É mentira”. 
Percebamos que “Não é verdade” tem exatamente o mesmo significado 
de “É mentira”. A diferença é que um núcleo está na negativa (“não é 
verdade”) e o outro, na afirmativa (“é mentira”). 
Meio caminho andado! 
 
Resta encontrarmos o outro “núcleo negativo” da frase. Achamos? Cla-
ro: “Não dormem a sesta”. Como poderíamos dizer a mesma coisa, de uma 
maneira afirmativa? Poderíamos dizer, por exemplo: “Ficam acordados”. 
Observemos que tanto faz eu dizer “Não dormem”, como dizer “Ficam 
acordados”. São perfeitamente equivalentes! 
Agora, sim! Vamos transcrever a sentença trazida pelo enunciado e 
depois, reescrevê-la nos moldes das alterações que fizemos. Teremos: 
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta” 
“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados” 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 39 
Confira novamente que as duas frases acima são perfeitamente equi-
valentes entre si! 
 
Agora, veja como ficou mais fácil a compreensão. 
 
O que o enunciado quer? Ele quer que seja verdadeira essa sentença. 
 
Daí, para que seja mentira que todos os aldeões da aldeia fiquem a-
cordados, basta que apenas um deles, um dos aldeões, durma a sesta! 
É o que nos diz a opção C, que é a resposta da questão! 
 
Ficou claro? Todos entenderam? Entenderam mesmo? De verdade? 
Então, veja se você é capaz de matar essa frase abaixo: 
 
“Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras” 
 
Suponha que a questão lhe peça que você identifique qual a condição 
suficiente e necessária para que a frase acima esteja correta. 
 
E aí? Ora, e aí que você irá fazer da mesma forma que fizemos na re-
solução anterior. Ou seja, você vai tentar transformar os “núcleos negati-
vos” da sentença em “núcleos afirmativos” correspondentes! 
O “não é verdade” você troca por “É mentira”. 
E o “não são magras” você troca por “são gordas”. 
 
Daí, nossa nova frase, que é perfeita e exatamente correspondente à 
anterior, será: 
“É mentira que todas as pessoas daquela família são gordas” 
 
Daí, ficou muito fácil deduzir que, para que seja mentira que todas as 
pessoas daquela família sejam gordas, basta que uma delas seja magra! 
Seria esta a resposta desta questão. 
 
Ok! E só para ninguém dizer que eu resolvi tudo e não deixei vocês re-
solverem nada, eu apresento abaixo um pequeno simulado, só com ques-
tões de “verdades e mentiras”, todas elas elaboradas pela ESAF e cobra-
das em concursos recentes. O gabarito vem no final do simulado. 
Próxima aula, eu falarei sobre um assunto facílimo e que também está 
no programa do MPU, que é Diagramas Lógicos. 
Um abraço forte a todos e até a próxima! 
 
SIMULADO DE QUESTÕES DE “VERDADE & MENTIRA” 
 
 01) (ESAF) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs 
de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de 
Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati 
é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e 
Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é: se uma é 
tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número 
de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: 
a) 1 b) 2c) 3d) 4e) 5 
 
02) (ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 
a 3, cada uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das 
salas encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; 
finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas en-
contra-se uma inscrição: 
• Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da 
porta 2.” 
• Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas 
cuidado: não entres na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz 
dragão.” 
• Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há 
dragão algum.” 
 Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições 
é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, 
corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3 encontram-se, respecti-
vamente: 
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa 
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão 
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão 
d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro 
e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro 
03) (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os 
quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por 
uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, 
cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a 
outra falsa: 
• Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” 
• Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” 
• Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” 
 Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e 
o quarto colocados foram, respectivamente: 
a) André, Caio, Beto, Dênis 
b) André, Caio, Dênis, Beto 
c) Beto, André, Dênis, Caio 
d) Beto, André, Caio, Dênis 
e) Caio, Beto, Dênis, André 
04) (ESAF) Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre 
falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata 
um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontram 
outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a 
verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse 
que sim, mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação 
é correto concluir que: 
a) Y fala a verdade. 
b) a resposta de Y foi NÃO. 
c) ambos falam a verdade. 
d) ambos mentem. 
e) X fala a verdade. 
 
05) (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado 
a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes 
fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à 
esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sen-
tada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à 
direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sen-
tada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à 
direita são, respectivamente: 
a) Janete, Tânia e Angélica 
b) Janete, Angélica e Tânia 
c) Angélica, Janete e Tânia 
d) Angélica, Tânia e Janete 
e) Tânia, Angélica e Janete 
 
GABARITO: 01) D 02) E 03) B 04) E 05) B 
 
DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
História 
Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápida passada 
em sua origem. 
O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770, ao escrever 
cartas a uma princesa da Alemanha, usou os diagramas ao explicar o 
significado das quatro proposições categóricas: 
Todo A é B. 
Algum A é B. 
Nenhum A é B. 
Algum A não é B. 
Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John Venn (1834 – 
1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, utilizando sempre círculos. 
Desta forma, hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn. 
 
Tipos 
Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois diferentes 
conjuntos: 
 
 
Indica que um conjunto 
está completamente 
contido no outro, mas o 
inverso não é verdadeiro. 
APOSTILASOPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 40 
 
 
Indica que os dois con-
juntos tem alguns ele-
mentos em comum, mas 
não todos. 
 
 
Indica que não existem 
elementos comuns entre 
os conjuntos. 
 
Obs: Considere que o tamanho dos círculos não indica o tamanho rela-
tivo dos conjuntos. 
 
 
Exercício 
1) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que 
resolve o exercício: aquário, peixe, sardinha. 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
Solução: A resposta correta é a letra a) porque toda sardinha é peixe e 
não existe relação entre os dois com aquário. 
 
 
2) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que 
resolve o exercício: bebê, ser infantil, recém-nascido. 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
Solução: A resposta correta é a letra d) porque todo recém-nascido é 
bebê e um ser infantil e, todo bebê é um ser infantil. 
 
 
3) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que 
resolve o exercício: pó de café, cappuccino, café expresso. 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
Solução: A resposta correta é a letra c), onde o círculo do meio repre-
senta o pó de café. 
 
 
4) Considere as seguintes opções de diagramas e indique aquele que 
resolve o exercício: jovens, estudantes, bonitos. 
 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
Solução: A resposta correta é a letra b). 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Imagine que seu relógio adiante exatamente 4 minutos em 24 horas. 
Quando eram 7,30 da manhã, ele marcava 7 horas e 30 minutos e 
meio. Que horas estará marcando quando forem 12 horas do mesmo 
dia?: 
a) 12 horas, 1 minuto e 15 segundos; 
b) 12 horas e 1 minuto; 
c) 12 horas e 45 segundos; 
d) 12 horas e 30 segundos; 
e) 12 horas e 30 minutos. 
 
02. Quantas dezenas há no número 469?: 
a) nenhuma 
b) 4,6; 
c) 6; 
d) 6,9; 
e) 46. 
 
03. Quantos quartos de quilo existem em meia tonelada?: 
a) 500; 
b) 1000; 
c) 1500; 
d) 2000; 
e) 2500. 
 
04 O carro azul é maior do que o vermelho e o vermelho é menor do 
que o amarelo. Qual o maior dos carros?: 
a) o vermelho; 
b) o amarelo; 
c) o azul; 
d) o azul e o amarelo; 
e) impossível responder. 
 
05. O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este 
mais rapidamente do que o azul. Qual o carro que está se movimen-
tando com maior velocidade?: 
a) o amarelo; 
b) o azul; 
c) o vermelho; 
d) o vermelho e o azul; 
e) impossível responder. 
 
06. Para que haja uma representação teatral não pode faltar: 
a) palco: 
b) bilheteria; 
c) ator; 
d) auditório; 
e) texto. 
 
07. João e José têm, juntos, 125 anos. João tem 11 anos menos que 
Júlio e 7 mais que José. Quantos anos tem Júlio?: 
a) 83; 
b) 77; 
c) 71: 
d) 66: 
e) 59. 
 
08. Na série de números colocada a seguir, sempre que dois algarismos 
vizinhos somados proporcionem o total de 10, faça a soma. E indique 
o total geral desta forma encontrado. 
 35546322881374511246678791829: 
a) 45: 
b) 50: 
c) 60: 
d) 70: 
e) 80. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 41 
09 Qual o número que colocado no lugar do traço deixará o conjunto 
coerente?: 57 19 38 - 19 38 57 - 38 57 
a) 19; 
b) 35: 
c) 38; 
d) 57; 
e) 85; 
 
10 O time azul, jogando uma partida de futebol com o time verde, tem 
70% de possibilidade de ganhar, atuando durante o dia; mas sob a 
luz dos refletores, sua possibilidade (por motivos ignorados) desce 
para 20%, Qual sua possibilidade ganhar num jogo que terá, dos 90 
minutos regulamentares, 18 jogados ainda de dia e 72 disputados já 
com os refletores acesos: 
a) 80%; 
b) 60%; 
c) 50%; 
d) 45%; 
e) 30%. 
 
11. Qual o menor número de carros que nos permite armar o seguinte 
conjunto de afirmações: Nesta rua vimos passar 2 carros na frente de 
2, 2 atrás de 2 e 2 entre 2?: 
a) 12; 
b) 8; 
c) 6; 
d) 4; 
e) 3. 
 
12. Qual o número que, acrescido da 3, dá metade de 9 vezes um oitavo 
de 32?: 
a) 15; 
b) 16; 
c) 21; 
d) 27; 
e) 34; 
 
13. Esta a situação: Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala 
de aula: são Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. Marisa está 
numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao lado de 
Marina e Matilde, ao lado de Marisa 
 Este o esquema para responder: 
 Para quantidades Para nomes 
a) = 1 a) = Mariana 
b) =2 b) = Maria 
c) = 3 c) = Matilde 
d) = 4 d) = Marina 
e) = 5 e) = Marisa 
 
 
E estas as perguntas: 
Quantas estão entre Marina e Marisa?: 
14. Quem está no meio?: 
15. Quem está entre Matilde e Mariana?: 
16 Quem está entre Marina e Maria?: 
17 Quantas estão entre Marisa e Mariana? 
 
18 Imagine dois recipientes opacos, com a forma de garrafa de boca 
estreita, que vamos chamar A e B. E bolas brancas e pretas, que po-
dem ser colocadas nos recipientes e que irão ser retiradas como se 
fosse um sorteio . O problema é este: de qual recipiente você terá 
mais chance de retirar uma bola preta numa. primeira e única tentati-
va, havendo, em A 2 bolas pretas e 4 brancas em B 3 bolas pretas e 
7 brancas? Opções: 
a) do A; 
b) do B; 
c) é indiferente; 
d) impossível responder por falta de dados; 
e) impossível responder por estarem os dados mal colocados. 
 
19. O mesmo problema, com as mesmas opções anteriores: havendo, 
em A 4 bolas pretas e 8 brancas em B 6 bolas pretas e 12 brancas. 
20 ldem, havendo, em 1 bola preta e 3 brancas em B 2 bolas pretas e 5 
brancas. 
21 ldem, havendo, em A 6 bolas pretas e 10 brancas em B 3 bolas 
pretas e 6 brancas. 
 
22. Considere, agora, três recipientes, permanecendo o mesmo proble-
ma: havendo, em A 5 bolas pretas e 10 brancas em B 4 bolas pretas 
e 7 brancas em C 2 bolas pretas e 5 brancas. As opções, para este 
caso 22, são as seguintes: 
a) do A; 
b) do B; 
c) do C; 
d) é indiferente; 
e) é impossível responder. 
 
23. Indique entre as opções o melhor sinônimo: Para "pecúlio": 
a) roubo; 
b) porção; 
c) bens; 
d) herança; 
e) criação. 
 
24. Para "misantropia": 
a) religiosidade; 
b) sociabilidade; 
c) aversão; 
d) ira; 
e) caridade. 
 
25 Para "exasperação": 
a) alisamento; 
b) espera; 
c) evocação; 
d) exatidão; 
e) irritação. 
 
 
26 está para assim como está para 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
27 Uma família gastou 1/4 de seu salário mensal em alimentação e 1/3 
do restante em pagamento de prestações. Que porcentagem de salá-
rio lhe restou?: 
a) 15% b) 25%; c) 35%; d) 45%; e) 50%. 
 
28. 32 42 52...21 31 41.....40 50 _ 
a) 24; b) 30; c) 33; d) 60; e) 63. 
 
 
29. Sendo este quadro um código - linhas e colunas -, o que está repre-
sentando a fórmula 45551142? 
a) Ele; b) Fae; c) lNRl; d) Deus; e) Jesus. 
 
30. Descobriu-se num código, até então secreto, que o número 12=8=4 
realmente significava 9=5=1. Daí, como se espera que esteja escrito 
"revolução" : 
a) vibapegia; b) tgyqnxebq; 
c) obslirzxl; d) sfxpmvdbp; e) uhzroyfdr. 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 42 
31. 14 64 24 11 61 21 15 65 - 
a) 45; b) 26; 
c) 25; d) 22; e) 16. 
 
32. Afirmando que o fogo é "frio" e que o açúcar é "salgado", poderíamos 
dizerque o perito é alguém: 
a) inábil 
b) experimentado; 
c) sábio; 
d) prático; 
e) culto. 
 
33. Seguem-se alguns raciocínios (duas premissas e uma conclusão) 
que você deve julgar como verdadeiros ou falsos, isto é, se a conclu-
são é correta ou não, dadas como verdadeiras as premissas: 
1. A não é B 
 B não é C 
 logo, A não é C. 
2. Algum B é C 
 algum C é A 
 logo, algum A é B. 
3. Nenhum D é A 
 todo A é C 
 logo, nenhum D é C. 
4. Todo C é B 
 algum B é A 
 logo, todo A é C, 
5. Algum D é B 
 nenhum B é A 
 logo, algum D é A. 
 E assinale conforme as seguintes opções: 
a) Todos os raciocínios são falsos; 
b) Todos os raciocínios são verdadeiros; 
c) Apenas o terceiro é verdadeiro; 
d) Apenas os raciocínios 2 e 4 são falsos; 
e) Nenhum dos casos anteriores. 
 
34. Confira os raciocínios seguintes: 
1. Todo P é O 
 ora, R é P 
 logo, R é O. 
 
2. Todo R é S 
 ora, P não é S 
 logo, P não é R, 
 
3. Todo S é P 
 todo S é O 
 logo, algum P é O. 
 
4. Todo P é O 
 todo O é R 
 logo, P é R. 
 
5. Nenhum S é T 
 .....ora, R é T 
 .....logo, R não é S. 
 
 E assinale conforme as seguintes opções 
a) Todos os raciocínios são verdadeiros; 
b) São falsos os raciocínios 4 e 5; 
c) São verdadeiros apenas os de números 1 e 3; 
d) São falsos todos os raciocínios; 
e) Nenhum dos casos anteriores. 
 
35. O contrário do contrário de exato é: 
a) duvidoso; 
b) provável; 
c) inexato; 
d) errado; 
e) certo. 
 
36. Quantos cubos você 
necessária para repro-
duzir a construção apre-
sentada a seguir 
a) 60; 
b) 40; 
c) 32; 
d) 24; 
e) 16. 
 
37. E esta outra 
a) 10; 
b) 16; 
c) 17; 
d) 20; 
e) 24. 
 
 
38. Medo está para coragem assim como esperança está para: 
a) fé; 
b) cólera; 
c) desespero; 
d) tristeza; 
e) melancolia. 
 
39. Admitindo que cada quadra é percorrida em 5 minutos e que para 
atravessar uma rua sempre pelas faixas situadas junto às esquinas -
,você dispenderá 50 segundos, permanecendo 10 minutos em cada 
local, qual a sequência que você seguirá para ir, o mais rapidamente 
possível, de sua casa até a livraria, e voltar, passando, na ida ou na 
volta, pelo correio, pela panificadora, pela casa de lanches e pelo 
banco? 
CO = correio CL = casa de lanches 
 L = livraria P = panificadora 
 C = casa B = banco 
 
a) é indiferente; 
b) livraria - correio - casa de lanches - panificadora - banco; 
c) banco - panificadora - casa de lanches - livraria - correio; 
d) livraria - casa de lanches - panificadora - correio - banco: 
e) correio - panificadora - casa de lanches - livraria - banco. 
 
40. Fogo está para fumaça assim como velhice está para: 
a) mocidade; 
b) imaturidade; 
c) cansaço 
d) cãs; 
e) morte. 
 
41. Precoce está para cedo assim como tardio está para: 
a) inverno; 
b) manhã; 
c) serôdio; 
d) inoportuno; 
e) inicial. 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 43 
42. Direita está para esquerda assim como destro está para: 
a) ágil; 
b) esperto; 
c) sinistro; 
d) inábil; 
e) reto. 
 
43. Franco está para a França assim como Lira está para: 
a) Música; 
b) Mentiroso; 
c) Bulgária; 
d) Itália; 
e) Espanha. 
 
44 Há uma lesma que pretende subir um muro de 8 metros de altura - e 
ela sabe percorrer um caminho exatamente perpendicular. 
 Das 6 ás 18 horas, ela sobe 3 metros. Dai, descansa, e das 18 ás 6 
horas, desce, deslizando, 2 metros. 
 Tendo iniciado a subida ás 6 horas de uma segunda feira, quando 
atingirá os 8 metros? 
a) às 18 horas de sábado; 
b) às 6 horas de domingo; 
c) ás 18 horas de domingo; 
d) às 6 horas da segunda feira seguinte; 
e) ás 18 horas da segunda feira seguinte. 
 
45 O número que continua a sequência 12 34 56 
a) 65; 
b) 68; 
c) 75; 
d) 76; 
e) 78. 
 
46. São apresentados cinco raciocínios, isto é, algumas premissas, 
seguidas de uma conclusão. Aceitando como verdadeiras as premis-
sas, verifique se a conclusão é verdadeira ou não. 
1. Quadrados são figuras que têm ângulos. Esta figura não tem nenhum 
ângulo. Logo, esta figura é necessariamente um círculo. 
2. Se o mar é pequeno, a ilha é grande. Se o lago é médio, também a 
ponte é média. Mas, ou o mar é pequeno ou a ilha é média, nunca os 
dois juntos. Então, tanto a ponte como a ilha são médios. 
3. Eu moro entre o estádio e o centro da cidade. O estádio fica entre a 
rodoviária e o centro da cidade. Logo, eu moro mais perto do estádio 
do que da rodoviária. 
4. Somente quando domingo é lua cheia. Segunda é lua nova. Terça é 
lua cheia ou lua nova somente quando segunda não é lua nova. Lo-
go, quando domingo é lua cheia, Terça não é nem lua cheia nem lua 
nova. 
5. Enquanto rabanete for vermelho, alface será verde. Alface não sendo 
verde, o repolho será amarelo. Porém o repolho nunca será amarelo 
enquanto o rabanete for vermelho. Logo, desde que o repolho seja 
amarelo, a alface será verde. 
 Assinale conforme as seguintes hipóteses. 
a) todas as conclusões são falsas; 
b) são falsas as conclusões 2, 3 e 5: 
c) são verdadeiras as conclusões 1 e 2; 
d) são verdadeiras as conclusões 3 e 4; 
e) nenhum dos casos anteriores. 
 
47. O diretor de um presídio resolve dar uma chance a um condenado á 
morte e lhe propõe o seguinte: “Vá até o fim desse corredor e lá você 
encontrará duas portas, cada uma com um guarda. Uma delas con-
duz á câmara de gás e a outra á liberdade. Os guardas sabem onde 
vai dar cada uma das portas. Você tem o direito de fazer somente um 
pedido a um deles. Mas um dos guardas sempre faz o contrário do 
que lhe pedem e o outro sempre obedece cegamente. Que pedido 
deve fazer o prisioneiro para sair pela porta da liberdade?”. 
 
48. Quatro irmãs dividem uma herança de 70 milhões de maneira que 
cada uma recebe 3 milhões a mais que a irmã imediatamente mais 
velha. Quanto recebe exatamente cada uma das quatro?: 
 
49. Um rei, na iminência de contratar um cobrador de impostos, propõe a 
ele o seguinte problema: "Você tem aqui dez sacos cheios de moe-
das, todos iguais, mas um deles só contém moedas falsas. As ver-
dadeiras pesam 10 gramas cada uma e as falsas, 9 gramas. Você 
tem que descobrir qual é o saco que contém moedas falsas, usando 
uma balança de um prato só e fazendo apenas uma pesagem". O 
cobrador de impostos conseguiu passar no teste. Como? 
 
50. Polycrato pergunta a Pitágoras quantos alunos ele tem em sua 
escola. Pitágoras lhe responde o seguinte: 
- a metade estuda matemática 
- um quarto estuda ciências 
- um sétimo estuda filosofia 
- e há mais três mulheres. 
 Quantos são os discípulos de Pitágoras 
 
 
RESPOSTAS 
1) Se o relógio adianta 4 minutos em 24 horas, ou seja, em 1.440 
minutos, então ele adianta 10s por hora. Entre 7h30 e 12h temos 
4h30, ou seja, um adiantamento de 45s. Acrescendo estes 45s aos 
30s que o relógio já marcava às 7h30 teremos às 12h a marcação 12 
h/min e 15 segundos. 
2) No número 469 temos mais exatamente 46,9 dezenas, mas se 
considerarmos apenas os inteiros, temos então 46 dezenas. 
3) Para sabermos quantos quartos de kilo temos em meia tonelada 
basta dividirmos os 500 kg que equivalem a uma tonelada por 
0.25kg, que é um quarto de kilo. Assim sendo, temos 2.000 quartos 
de kilo em meia tonelada. 
4) É impossível responder qual é o maior dos carros, sabe-se apenas 
que o vermelho é o menor entre eles. 
5) O carro que dentre os três está se movimentando com maior rapidez 
é o amarelo. 
6) Para que haja uma representação teatral aquilo que absolutamente 
imprescindível é que exista um ator ou uma atriz. 
7) Chamando de x a idade de João, y a de José e z a de Júlio, teremoso seguinte sistema de equações: x + y = 125. Resolvendo por x = y + 
7 substituição encontraremos que João tem 66 anos. Portanto Júlio, 
que é 11 anos mais velho tem 77 anos. 
8) Teste fácil, cuja resposta correta é a letra D. 
9) Questão sobre lei de formação, que neste caso é começar a linha 
pelo segundo termo da linha anterior e terminá-la com o primeiro 
termo da anterior. Desta maneira o número a ser colocado no espaço 
em branco é 19. 
10) Para resolvermos este problema basta fazermos uma média ponde-
rada: durante 4/5 de jogo, ou seja, 80% é dia durante 20% de jogo à 
noite, ou seja, há o uso dos refletores. Basta multiplicarmos cada fra-
ção do jogo pela chance do time azul, ou seja, fazermos: 80% x 70% 
+ 20% x 20%, o que resulta em 60% de chance de vitória. 
11) O menor número de carros que nos permite armar o conjunto propos-
to é 6. Suponhamos que à frente dos 6 tenhamos os carros azuis; a-
trás destes os vermelhos e por último dois amarelos. Consequente-
mente teremos duas possibilidades para vermos passarem 2 na fren-
te de 2. Teremos 3 possibilidades de vermos 2 atrás de 2 e uma pos-
sibilidade de termos 2 entre 2. 
12) Um oitavo de 32 é 4. 9 vezes isto é 36. A metade de 36 é 18. Portan-
to o número que acrescido de 3 dá metade de 9 vezes um oitavo de 
32 é15. 
13) Devemos responder com a letra C pois há 3 moças entre Marina e 
Marisa. 
14) No meio das 5 encontra-se sentada Maria. 
15) Quem está entre Matilde e Marina é Maria, a que está no meio de 
todas. 
16) Entre Marina e Maria está sentada Mariana. 
17) Duas estão entre Marisa e Mariana: Matilde e Maria. 
18) No recipiente A a possibilidade de tirarmos uma bola preta é maior 
que no recipiente B, pois a fração 2/6 é maior que 3/10, pois em de-
cimais temos respectivamente 0,333... e 0,30. 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 44 
19) Neste caso é diferente porque a proporção de bolas pretas para o 
total é a mesma: 1 para 3. 
20) É maior agora a possibilidade de tirarmos uma bola preta do recipien-
te B, pois a fração 2/7 é maior que 1/4, em decimais, respectivamen-
te 0,285 e 0,25. 
21) A fração 6/16 é maior que 3/9, portanto no recipiente A a possibilida-
de de tirarmos primeiro uma bola preta é maior. 
22) A maior probabilidade de tirarmos uma bola preta em primeiro lugar é 
a do recipiente B, pois a fração 4/7 é a maior de todas e corresponde 
a uma chance de 57,14%. 
23) A definição mais exata de pecúlio é soma ou quantidade de dinheiro 
que alguém conseguiu acumular pelo seu trabalho e economia, po-
rém o sinônimo bens não é incorreto. 
24) Misantropia é um tipo de aversão, mais especificamente aversão 
social, aversão ao contato com pessoas. 
25) O sinônimo mais correto para exasperação é o contido na alternativa 
E: irritação. 
26) A figura que corresponde ao par de figuras anteriores se encontra na 
letra B, pois o que foi feito foi uma repetição do mesmo desenho ori-
ginal dobrado. 
27) Se a família gastou 1/4, então lhe restam 3/4. Gastando 1/3 do que 
restou, isso significa mais um quarto, pois 1/3 de 3/4 é 1/4. Desta 
maneira a família ainda dispõe de 50% do salário total. 
28) Pela lei de formação deste problema, repete-se o segundo número e 
substitui-se o primeiro pelo seu consecutivo. Assim sendo, o número 
que deve ser colocado no espaço é 60. 
29) Se é um quadro de linhas e colunas, então devemos analisar cada 
par de números, sendo o primeiro número do paro que designa a li-
nha e o segundo o que designa a coluna. Desta maneira a fórmula 
dada corresponde a Deus. 
30) Pelo código apresentado, cada termo deve ser substituído por outras 
três unidades inferiores. Assim as letras devem ser substituídas por 
outras que as precedem 3 vezes. Por exemplo d corresponde à letra 
a. Transcrevendo então resolução obteremos uma palavra análoga à 
contida na alternativa C. 
31) O número que deve ser colocado no espaço em branco é 25, de 
acordo com o estabelecido nas linhas anteriores à incompleta. 
32) Se as afirmações são ao contrário; então podemos dizer que o perito 
é alguém inábil. 
33) De acordo com o nosso raciocínio apenas a terceira afirmação é 
perfeitamente condizente. 
34) De acordo com nossa opinião todos os raciocínios apresentados 
estão corretos. 
35) O contrário do contrário de algo é o próprio algo. Portanto o contrário 
do contrário do exato é certo. 
36) São precisos 40 cubos para erguermos uma construção igual à 
apresentada. 
37) São precisos 20 cubos para fazermos uma construção análoga à 
desenhada no enunciado. 
38) As coisas estão com valor inverso, portanto esperança está para 
desespero, assim como medo está para coragem. 
39) Cremos que o itinerário contido na alternativa C é o que despende 
menor quantidade de tempo. 
40) Fogo está para fumaça assim como velhice está para cãs, ou seja, 
fumaça é um sinal de fogo assim como cãs o é de velhice. 
41) Precoce está para cedo assim como tardio está para serôdio. 
42) Destro é sinônimo de direito, que usa a mão direita. Portanto de 
acordo com a proposição feita devemos associá-lo a sinistro, que é a 
pessoa que usa a mão esquerda. 
43) Franco é a moeda da França, assim como a libra o é da ltália. 
44) se a lesma subir neste ritmo chegará ao topo do muro às 18 horas de 
sábado, quando deixará de escorregar porque já chegou ao topo. 
45) A sequência apresentada é uma P.A. de razão 22, portanto o quarto 
termo é 78. 
46) Acreditamos que apenas as posições lll e lV são verdadeiras, o que 
nos leva a assinalar a letra D. 
47) O condenado deve pedir a qualquer dos guardas que mande o outro 
mostrar a porta que conduz à morte e poderá, com toda a segurança, 
sair pela porta que o guarda indicar. Se ele se dirigir ao guarda do 
contra, ele >mandará o outro mostrar a porta da liberdade. E. na hi-
pótese de ele se dirigir ao guarda obediente, ele mandará o outro 
mostrar a porta da morte, mas a porta mostrada será a da liberdade. 
48) Da mais velha à mais moça: 13, 16, 19 e 22 milhões. 
49) Ele numerou as sacolas de 1 a 10 e tirou de cada uma delas tantas 
moedas quanto fosse o número da sacola. Pesou então todas as 
moedas. Se fosse verdadeiras, o resultado seria 550 gramas. A dife-
rença a menos desse peso indica quantas moedas falsas foram pe-
sadas. E o número de moedas é igual ao número da sacola de onde 
elas foram tiradas. 
50. Com efeito os homens reunidos fazem 
28
25
28
4714
7
1
4
1
2
1



 de toda a escola. Os 
38
3
 res-
tantes são compostos por três mulheres, donde - é igual a 1 estudan-
te. Portanto, a escola ter 28 alunos. 
 
 
TESTANDO RAPIDAMENTE SUA LÓGICA 
 
1. Escreva o número seguinte nessa sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 
a. ( ) 9 
b. ( ) 10 
c. ( ) 11 
d. ( ) 12 
e. ( ) 13 
1: E - Solução: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 
Logo: 5 + 8 = 13 
 
2. Escreva o número seguinte nessa sequência 0, 1 , 1 , 2, 4, 7, 13, 24, 
a. ( ) 44 
b. ( ) 45 
c. ( ) 46 
d. ( ) 47 
e. ( ) 48 
 
2: A - Solução: Cada termo é a soma dos três termos anteriores. 
Logo: 7 + 13 + 24 = 44 
3. Um missionário foi capturado por canibais em uma floresta. Os cani-
bais então fizeram-lhe a seguinte proposta: 
- Se fizer uma declaração verdadeira, será cozido com batatas. 
- Se fizer uma declaração falsa, será assado na churrasqueira. 
Como o missionário usará a lógica, podemos concluir que: 
a. ( ) será cozido 
b. ( ) será assado 
c. ( ) não poderá ser cozido nem assado 
d. ( ) será cozido e assado ao mesmo tempo 
e. ( ) Dirá: "É ruim, heim!!!" 
 
3: C Solução: Basta dizer:- Serei assado na churrasqueira 
 
4. O algarismo das unidades do número N =1 x 3 x 5 x 7 x 9 x ...... x 999 
a. ( ) 1 
b. ( ) 3 
c. ( ) 5 
d. ( ) 7 
e. ( ) 9 
 
4: C - Solução: Observe que todos os números do produto, são 
ímpares, e além disso o produto de qualquer número ímpar por 5 
termina com o algarismo 5. Logo a opção correta é: o algarismo 
das unidades é 5. 
 
5. Numa certa cidade, dez por cento das mulheres pensam que são 
homens e dez por cento dos homens pensam que são mulheres. To-
das as outras pessoas são perfeitamente normais. Certo dia todas as 
pessoas dessa cidade foram testadas por um psicólogo, verificando 
que 20% das pessoas pensavam que eram homens. Qual a porcen-
tagem real de mulheres? 
a. ( ) 75,5% 
b. ( ) 80,0% 
c. ( ) 85,5% 
d. ( ) 87,5% 
e. ( ) 95,5% 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 45 
5: D - solução: Sejam H e M o número de homens e mulheres. 
Então: O número de mulheres que pensam que são homens é 
M/10 
 O número de homens que pensam que são homens é 9H/10. 
Logo o total de pessoas que pensam que são homens é 
M/10+9H/10=2(M+H)/10 
 Daí M + 9H = 2(M + H), logo 7H = M. O problema quer a porcenta-
gem de mulheres M / (H+M) = 7 H / (H+7H) = 7/ 8=0,875 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO 
 
Os problemas seguintes requerem raciocínio para sua solução. A fim de 
provar que uma resposta é correta, uma vez encontrada, necessita-se 
de um raciocínio cujas premissas estejam contidas no enunciado do 
problema, e cuja conclusão seja a resposta ao mesmo. Se a resposta é 
correta, poder-se-á construir um raciocínio válido. 0 leitor é solicitado, 
ao trabalhar com estes problemas, a preocupar-se não só em encontrar 
as respostas corretas, mas em formular também os raciocínios que 
provem a correção das respostas. 
 
Daremos, a seguir, alguns exercícios resolvidos para que o candidato 
possa inteirar-se do funcionamento do assunto. 
 
Exercício 1 
Assinale a alternativa que não faz parte do conjunto dado: 
a) São Paulo 
b) Campinas 
c) Porto Alegre 
d) Santos 
e) Franca 
 
Resposta: C – São Paulo, Campinas, Santos e Franca são cidades do 
Estado de São Paulo, ao passo que Porto Alegre não é cidade do nos-
so Estado. 
 
Exercício 2 
Assinale o número que completa a sequência apresentada: 1, 3, 5, 7, 
9, ... 
a) 13 
b) 11 
c) 15 
d) 17 
e) 19 
 
Resposta: b – Os números 1, 3, 5, 7, 9 formam uma sequência, ou seja, a 
sequência dos números ímpares. Portanto, o próximo número é 11. 
 
Exercício 3 
REAL está para BRASIL assim como DÓLAR está para ................. 
a) Estados Unidos 
b) França 
c) Canadá 
d) Austrália 
e) Alemanha 
 
Resposta – A - Real é a moeda brasileira e dólar é a moeda dos Estados 
Unidos. 
 
Exercício 4 
O carro amarelo anda mais rapidamente do que o vermelho e este 
mais rapidamente que o azul. Qual o carro que está se movimen-
tando com maior velocidade? 
a) o amarelo 
b) o azul 
c) o vermelho 
d) o vermelho e o azul 
e) impossível responder 
 
Resposta – A – Lendo direitinho o enunciado vemos claramente que o 
carro amarelo anda mais depressa. 
 
Exercício 5 
Um tijolo pesa 1 quilo mais meio tijolo. Quanto pesam três tijolos? 
a) 5 kg 
b) 4 kg 
c) 4,5 kg 
d) 5,5 kg 
e) 3,5 kg 
 
Resposta C – Pelo enunciado, um tijolo pesa um quilo e meio. Portanto, 
três tijolos deverão pesar 3 x 1,5 = 4,5 kg. 
 
Enunciado para as próximas questões: 
Cinco moças estão sentadas na primeira fila da sala de aula: são 
Maria, Mariana, Marina, Marisa e Matilde. 
 
Marisa está numa extremidade e Marina na outra. Mariana senta-se ao 
lado de Marina e Matilde, ao lado de Marisa. 
 
Responda as perguntas: 
6 – Quantas estão entre Marina e Marisa? 
7 – Quem está no meio? 
8 – Quem está entre Matilde e Mariana? 
9 – Quem está entre Marina e Maria? 
10 – Quantas estão entre Marisa e Mariana? 
 
Se lermos direitinho o enunciado podemos concluir e fazer um desenho 
para ilustrar e assim responder a todas as perguntas: 
 
MARISA MATILDE MARIA MARIANA MARINA 
 
Respostas: 
6 – três 
7 – Maria 
8 – Maria 
9 – Mariana 
10 – duas 
 
Exercício 11 
Qual o número que falta no quadro a seguir? 
5 10 5 
6 14 8 
3 10 ...... 
 
Resposta: 7 – A soma dos extremos é o número central. 
 5 + 5 = 10 
 6 + 8 = 14 
 3 + 7 = 10 
 
 
Exercício 12 
Qual a palavra que não faz parte do grupo? 
a) LIVRO 
b) REVISTA 
c) JORNAL 
d) ENCICLOPÉDIA 
e) CARNE 
 
Resposta E – Os quatro primeiros são vendidos em livrarias e carne não. 
 
 
Exercício 13 
ALTO está para BAIXO, assim como GRANDE está para ................. 
a) nanico 
b) baixinho 
c) pequeno 
d) gabiru 
e) mínimo 
 
Resposta: C – O contrário de grande é pequeno. 
 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 46 
Exercício 14 
Assinale a alternativa que não tem as mesmas características das 
demais, quanto às patas: 
a) formiga 
b) aranha 
c) abelha 
d) traça 
e) borboleta 
 
Resposta – b – Aranha tem oito patas. As outras têm seis. 
Exercício 15 
Assinale qual destes animais, cujos nomes estão ocultos entre as 
letras, é o menor: 
a) OSÃBI 
b) TOGA 
c) LIVAJA 
d) ATOR 
e) RAFAGI 
 
Resposta: D – RATO (as outras: bisão, gato, javali, girafa) 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE VESTIBULARES 
 
01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é 
carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposi-
ções: 
a) ~q 
b) p ^ q 
c) p v q 
d) p " q 
e) p " (~q) 
 
 RESOLUÇÃO: 
a) Paulo não é paulista. 
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca. 
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca. 
d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca. 
 e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca. 
 
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo 
fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes propo-
sições: 
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. 
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano. 
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês. 
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 
 RESOLUÇÃO: 
a) p ^ q 
b) (~p) v p 
c) q " p 
d) (~p) ^ (~q) 
 
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então: 
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q; 
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q; 
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa; 
d) p =>q é falsa, qualquer que seja q 
e) n.d.a. 
 RESPOSTA: B 
 
04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". 
Pode-se concluir que: 
a) se x 3 antão y 7 
b) se y = 7 então x = 3 
c) se y 7 então x 3 
d) se x = 5 então y = 5 
e) se x = 7 então y = 3 
 RESPOSTA: C 
05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira: 
a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5) 
b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5) 
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5) 
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5) 
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2)) 
 RESPOSTA: A 
 
06. (UGF) A negação de x > -2 é: 
a) x > 2 b) x #-2 
c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 
 RESPOSTA: C 
 
07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: 
a) nenhum gato é pardo; 
b) existe gato pardo; 
c) existe gato não pardo; 
d) existe um e um só gato pardo; 
e) nenhum gato não é pardo. 
 RESPOSTA: C 
 
08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: 
a) o gato não mia e o rato não chia; 
b) o gato mia ou o rato chia; 
c) o gato não mia ou o rato não chia; 
d) o gatoe o rato não chiam nem miam; 
e) o gato chia e o rato mia. 
 RESPOSTA: C 
 
09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se 
concluir que: 
a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 
c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 
e) se A = 5 então B 2 
 RESPOSTA: C 
 
10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das 
afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única neces-
sariamente verdadeira é: 
a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; 
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; 
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; 
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; 
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. 
 RESPOSTA: C 
 
11. (UFF) Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente obedecida a 
seguinte ordem do prefeito: "Se não chover então todos os bares à 
beira-mar deverão ser abertos." Pode-se afirmar que: 
a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu. 
b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu. 
c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos. 
d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos. 
e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. 
 
RESOLUÇÃO: Sejam as proposições: P = "Choveu"; Não P = "Não 
choveu"; Q = "Os bares à beira-mar estão abertos"; Não Q = "Os bares à 
beira-mar não estão abertos". Observe a tabela verdade onde V = verdadei-
ro e F = falso. 
Não P Q Não P Þ Q Não Q P Não Q Þ P 
V V V F F V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
 
Temos que "Não P implica em Q" é equivalente a "Não Q implica em 
P", ou seja, se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu. Logo, (e) 
é a opção correta. 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 47 
QUESTÕES COMENTADAS 
 
1) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo 
de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Pergunta-
dos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
 Armando: "Sou inocente" 
 Celso: "Edu é o culpado" 
 Edu: "Tarso é o culpado" 
 Juarez: "Armando disse a verdade" 
 Tarso: "Celso mentiu" 
 Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os 
outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: 
a) Armando 
b) Celso 
c) Edu 
d) Tarso 
 
 Comentar essa questão é difícil, mas foi TARSO, porque se todos 
disseram a verdade, e apenas um mentiu, apenas UM dos dois que 
falaram que uma pessoa era culpado falou a verdade. Logo, se Tarso 
disse que Celso mentiu, e ele está tb falando a verdade, quem matou 
foi Tarso. 
 
2) Das seguintes premissas: A: "Bia é alta e patriota, ou Bia é educada". 
B: "Bia não é educada", conclui-se que Bia é: 
a) não alta e não patriota. 
b) alta ou patriota. 
c) não alta ou não educada. 
d) alta e patriota. 
 
 Bia é alta e patriota, ou Bia é educada (o conectivo OU indica PELO 
MENOS UM), ou seja, pelo menos um da minha sentença tem que 
ocorrer para que ela seja verdadeira, se eu nego que BIA não é E-
DUCADA, não quebra a condição, letra (D) correta 
 
3) O prefeito de um município, em campanha para reeleição, divulgou 
que, durante seu governo, o número de crianças na escola aumentou 
em 100%. Considere os comentários feitos por Pedro, João e André 
sobre esta afirmativa: 
 Pedro: “Agora temos muito mais crianças na escola.” 
 João: “Agora todas as crianças estão na escola”. 
 André: “Ainda existem mais crianças fora da escola do que crianças 
na escola”. 
 A única afirmativa de que podemos ter certeza ser verdadeira é: 
a) Se André está correto, então o prefeito mentiu. 
b) Se o prefeito disse a verdade, então João está correto. 
c) Se Pedro está correto, então André está errado. 
d) Se André está correto, então João está errado. 
 
 Resposta D. O prefeito NÃO afirmou que todas as crianças estão 
na escola. O prefeito disse que houve um aumento de 100%, is-
so significa que se a cidade tinha 100 crianças na escola, o nú-
mero agora é 110. Se André afirma que há mais crianças fora da 
escola, nem todas as crianças estão na escola, o que torna a a-
firmação de JOÃO falsa. 
 
4) A negação da sentença "se você estudou lógica, então você acertará 
esta questão" é: 
 a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica. 
b) você não estudou lógica e acertará esta questão. 
c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão. 
d) você estudou lógica e não acertará esta questão. 
 
 Para que o enunciado seja uma Negação... E como trata-se de 
uma implicação então... A primeira proposição deverá ser posi-
tiva e a segunda negativa... opção correta letra D. 
 
5) Se Joaquim não joga futebol, ele estuda. Se Joaquim joga futebol, 
ele faz amizades. Se Joaquim não estuda, ele não faz amizades. Se 
Joaquim faz amizades, ele não estuda. Então, conclui-se que Joa-
quim: 
a) joga futebol e faz amizades, mas não estuda. 
b) joga futebol, mas não faz amizades nem estuda. 
c) joga futebol e estuda, mas não faz amizades. 
d) não joga futebol, mas estuda e faz amizades. 
 
 A resposta é óbvia, pois basta somente tomarmos a intersecção 
de suas atividades. Veja: quando joga futebol, ele faz amizades 
e, consequentemente, não estuda. Quando estuda, não joga fu-
tebol e não faz amizades. Logo, a resposta é o ítem a. 
 
6) Uma das formas mais simples de argumentar consiste em duas 
frases, uma das quais é conclusão da outra, que é chamada premis-
sa. Dentre as opções a seguir, assinale aquela em que a associação 
está correta. 
a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos. 
Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a alunos e a profes-
sores. 
b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente primitivos. 
Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários deuses. 
c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6. 
Conclusão: N não é um número ímpar. 
d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as eleições presiden-
ciais. Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no interior do 
país. 
As únicas afirmações que estão diretamente relacionadas são as da alter-
nativa "C". Não existem múltiplos de 6 que sejam números ímpares. 
 
7) Em um clube, uma comissão, composta por três pessoas, será 
formada para gerenciar o clube até o fim de ano. Fernanda, Ivany, 
Carlos, Roberto e Manoel se apresentaram para formar a comissão. 
Porém há algumas restrições: 
• Ivany e Carlos se recusam trabalhar juntos. 
• Manoel só fará parte da comissão se Ivany também fizer. 
• A comissão não pode ser formada com pessoas do mesmo sexo. 
• Roberto e Manoel se recusam trabalhar juntos. 
 Quantas comissões podem ser formadas com 2 homens participan-
do? 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
 Somente uma comissão pode se formar com 2 homens, isto 
porque são em 3 participantes, se fossem 4 participantes pode-
riam se formar 2 comissões. 
 
8) Após uma reunião de negócios, foram trocados um total de 15 aper-
tos de mão. Sabendo que cada empresário cumprimentou todos os 
outros, qual o número de empresários que estavam presentes nessa 
reunião? 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 A resposta correta é a "C", se fosse 4 empresários teriam 
sido trocados 6 apertos, se fossem 5 seriam 10 apertos, se fos-
sem 7 seriam 21 apertos. 
 
9) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou 
sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria sa-
ber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: 
- "Não fui eu, nem o Manuel", disse Marcos. 
- "Foi o Manuel ou a Maria", disse Mário. 
- "Foi a Mara", disse Manuel. 
- "O Mário está mentindo", disse Mara. 
- "Foia Mara ou o Marcos", disse Maria. 
 Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, con-
clui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: 
 a) Mário 
 b) Marcos 
 c) Mara 
 d) Manuel 
 
 
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Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 48 
Levando em consideração que a primeira está correta: 
 Mário mente na segunda; 
 Manoel pode estar falando a verdade na terceira; 
 Mara diz a verdade ao dizer que Mário mente na quarta; 
 Maria diz a verdade ao dizer que foi o Marcos ou a Mara 
 Portanto a letra C é a correta. 
 
10) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica 
lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. 
I. Que belo dia! 
II. Um excelente livro de raciocínio lógico. 
III. O jogo terminou empatado? 
IV. Existe vida em outros planetas do universo. 
V. Escreva uma poesia. 
 A frase que não possui essa característica comum é a: 
a) IV. 
b) V. 
c) I. 
d) II. 
A característica lógica é que todas podem ocorrer, menos a IV 
pois não existe nada comprovado sobre vida em outros planetas 
 
PROVA SIMULADA FINAL 
 
01) Considere as afirmações: 
A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; 
B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; 
C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. 
A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite 
concluir que elas: 
a) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga 
b) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer 
Patrícia não seja uma boa amiga 
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não 
é uma boa amiga 
d) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga 
 
02) Na questão, observe que há uma relação entre o primeiro e o segun-
do grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro 
grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, 
aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Conside-
re que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e 
Y. 
 CASA: LATA: LOBO: ? 
 a) SOCO b) TOCO 
c) TOMO d) VOLO 
 
03) Uma das formas mais simples de argumentar consiste em duas 
frases, uma das quais é conclusão da outra, que é chamada premis-
sa. Dentre as opções a seguir, assinale aquela em que a associação 
está correta. 
a) Premissa: Os exames finais devem ser extintos. 
Conclusão: Os exames finais dão muito trabalho a alunos e a profes-
sores. 
b) Premissa: Os índios brasileiros eram culturalmente primitivos. 
Conclusão: Os índios brasileiros cultuavam vários deuses. 
 c) Premissa: N é um número inteiro múltiplo de 6. 
Conclusão: N não é um número ímpar. 
 d) Premissa: É possível que um candidato ganhe as eleições presiden-
ciais. 
 Conclusão: O tal candidato tem muitos eleitores no interior do país. 
 
04) Em uma carpintaria há mestres-carpinteiros e aprendizes. Os mes-
tres têm todos a mesma capacidade de trabalho. Os aprendizes, 
também. 
 Se 8 mestres juntamente com 6 aprendizes têm a mesma capacida-
de de produção de 6 mestres juntamente com 10 aprendizes, a ca-
pacidade de um dos mestres, sozinho, corresponde à de: 
a) 2 aprendizes. b) 3 aprendizes. 
c) 4 aprendizes. d) 5 aprendizes. 
 
 
05) Regina e Roberto viajaram recentemente e voltaram três dias antes 
do dia depois do dia de antes de amanhã. Hoje é terça-feira. Em que 
dia Regina e Roberto voltaram? 
a) Quarta-feira. 
b) Quinta-feira. 
c) Sexta-feira. 
d) Domingo. 
 
06) Considere as seguintes afirmativas: 
I. Todas as pessoas inteligentes gostam de cinema; 
II. Existem pessoas antipáticas e inteligentes. 
Admitindo-se que as afirmações acima são corretas, pode-se concluir 
que: 
a) todas as pessoas que gostam de cinema são inteligentes. 
b) toda pessoa antipática é inteligente. 
c) podem existir pessoas antipáticas que não gostem de cinema. 
d) as afirmações a, b e c são todas falsas. 
 
07) Considere uma pergunta e duas informações as quais assumiremos 
como verdadeiras. 
 Pergunta: Entre João, Nuno e Luís, quem é o mais baixo? 
 Informação 1: João é mais alto do que Luís. 
 Informação 2: Nuno é mais alto do que Luís. 
 Diante desses dados conclui-se que: 
 a) a primeira informação, sozinha, é suficiente para que se responda 
corretamente à pergunta, e a segunda, insuficiente. 
b) a segunda informação, sozinha, é suficiente para que se responda 
corretamente à pergunta, e a primeira, insuficiente. 
c) as duas informações, em conjunto, são suficientes para que se 
responda corretamente à pergunta, e cada uma delas, sozinha, é in-
suficiente. 
d) as duas informações, em conjunto, são insuficientes para que se 
responda corretamente à pergunta. 
 
08) Se Lucia é pintora, então ela é feliz. Portanto: 
a) Se Lucia não é feliz, então ela não é pintora. 
b) Se Lucia é feliz, então ela é pintora. 
c) Se Lucia é feliz, então ela não é pintora. 
d) Se Lucia não é pintora, então ela é feliz. 
 
09) Considere que, em um determinado instante, P passageiros aguar-
davam seu voo em uma sala de embarque de certo aeroporto. Na 
primeira chamada embarcaram os idosos, que correspondiam à me-
tade de P; na segunda, embarcaram as mulheres não idosas, cuja 
quantidade correspondia à metade do número de passageiros que 
haviam ficado na sala; na terceira, embarcaram alguns homens, em 
quantidade igual à metade do número de passageiros que ainda res-
tavam na sala. Se, logo após as três chamadas, chegaram à sala 
mais 24 passageiros e, nesse momento, o total de passageiros na 
sala passou a ser a metade de P, então na: 
 a) primeira chamada embarcaram 34 passageiros. 
 b) primeira chamada embarcaram 36 passageiros. 
 c) segunda chamada embarcaram 16 passageiros. 
 d) segunda chamada embarcaram 18 passageiros. 
 
10) Dizer que "André é artista ou Bernardo não é engenheiro" é logica-
mente equivalente a dizer que: 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 
 
11) Um trapézio ABCD, com altura igual a h, possui bases AB = a e CD = 
b, com a > b. As diagonais deste trapézio determinam quatro triângu-
los. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm por bases AB 
e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das diago-
nais do trapézio é igual a: 
a) (a + b)/2 
b) (a + b)h/2 
c) (a - b)h/2 
d) (a - b)/2 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 49 
12) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João, Pedro, 
Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi realizada em 
uma mesa retangular com dois lugares de cada lado oposto da mesa 
e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um lugar na 
mesa estava vago e este não estava perto do psicólogo. 
Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que: 
a) o lugar vago estava perto do Paulo. 
b) o lugar vago estava perto do José. 
c) o lugar vago estava perto do João. 
d) o lugar vago estava perto do Pedro. 
 
13) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, 
então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: 
 a) o jardim é florido e o gato mia 
 b) o jardim é florido e o gato não mia 
 c) o jardim não é florido e o gato mia 
 d) o jardim não é florido e o gato não mia 
 
14) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado 
em um teatro. Tâniasempre fala a verdade; Janete às vezes fala a 
verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à es-
querda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está senta-
da no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à 
direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sen-
tada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à 
direita são, respectivamente: 
a) Janete, Tânia e Angélica 
b) Janete, Angélica e Tânia 
c) Angélica, Janete e Tânia 
d) Angélica, Tânia e Janete 
 
15) Com a promulgação de uma nova lei, um determinado concurso 
deixou de ser realizado por meio de provas, passando a análise cur-
ricular a ser o único material para aprovação dos candidatos. Neste 
caso, todos os candidatos seriam aceitos, caso preenchessem e en-
tregassem a ficha de inscrição e tivessem curso superior, a não ser 
que não tivessem nascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 
35 anos. José preencheu e entregou a ficha de inscrição e possuía 
curso superior, mas não passou no concurso. Considerando o texto 
acima e suas restrições, qual das alternativas abaixo, caso verdadei-
ra, criaria uma contradição com a desclassificação de José? 
a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha de inscrição corre-
tamente. 
b) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil. 
c) José tem menos de 35 anos e curso superior completo. 
d) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil. 
 
16) Se Beatriz não é mãe de Ana, é tia de Paula. Se Beatriz é irmã de 
Flávio, é mãe de Ana. Se Beatriz é mãe de Ana, não é irmã de Flá-
vio. Se Beatriz não é irmã de Flávio, não é tia de Paula. Logo, Bea-
triz: 
a) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. 
b) é mãe de Ana, é irmã de Flávio e não é tia de Paula. 
c) não é mãe de Ana, é irmã de Flávio e é tia de Paula. 
d) é mãe de Ana, não é irmã de Flávio e não é tia de Paula. 
17) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos 
capacitados para a elaboração de determinado estudo: 5 diretores e 
7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados 
aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido es-
tudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo 
nível hierárquico está entre: 
a) 0,01 e 0,05. 
b) 0,06 e 0,10. 
c) 0,11 e 0,15. 
d) 0,16 e 0,20. 
 
18) Estava olhando para o Norte. Girei 90º para a esquerda e passei, 
portanto, a olhar para o Oeste. Girei 180º e depois girei 45º à es-
querda. Depois girei 90º à esquerda e, depois, 135º à direita. Passei, 
nesse momento, a olhar para o: 
a) Norte; 
b) Leste; 
c) Nordeste; 
d) Sudeste; 
 
19) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e 
é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o 
conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o 
barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O 
barão não sorriu. Logo: 
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. 
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. 
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. 
 
20) Antônio, Bento, Ciro e Dorival são profissionais liberais. Um deles é 
advogado, outro é paisagista, outro é veterinário e outro é professor. 
Sabe-se que: o veterinário não é Antônio e nem Ciro; Bento não é 
veterinário e nem paisagista; Ciro não é advogado e nem paisagista. 
A conclusão correta quanto à correspondência entre carreira e pro-
fissional está indicada em: 
a) advogado - Dorival 
b) paisagista - Dorival 
c) paisagista - Antônio 
d) advogado - Antônio 
 
21) Um psicólogo faz terapia de grupo com quatro pessoas: João, Pedro, 
Paulo e José. Em um determinado dia, sua sessão foi realizada em 
uma mesa retangular com dois lugares de cada lado oposto da mesa 
e com o psicólogo e Paulo nas cabeceiras. Sendo assim, um lugar na 
mesa estava vago e este não estava perto do psicólogo. 
Dado esse cenário, pode-se afirmar, com certeza, que: 
a) o lugar vago estava perto do Paulo. 
b) o lugar vago estava perto do José. 
c) o lugar vago estava perto do João. 
d) o lugar vago estava perto do Pedro. 
 
22) Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por 
segundo. Ao utilizar uma esteira rolante de 210 metros, que se mo-
vimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andan-
do no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter 
levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da estei-
ra. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a 
esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da 
esteira seria igual a: 
a) 1 minuto e 20 segundos. 
b) 1 minuto e 24 segundos. 
c) 1 minuto e 30 segundos. 
d) 1 minuto e 40 segundos. 
 
23) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo 
de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Pergunta-
dos sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: 
 Armando: "Sou inocente" 
 Celso: "Edu é o culpado" 
 Edu: "Tarso é o culpado" 
 Juarez: "Armando Disse a verdade" 
 Tarso: "Celso mentiu" 
 Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os 
outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: 
a) Armando 
b) Celso 
c) Edu 
d) Tarso 
 
24) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, 
sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. 
Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sa-
be-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo, e outro é cozi-
nheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma pes-
soa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas cha-
mam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tâ-
nia. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando 
mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 50 
O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozi-
nheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, 
que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar 
são, respectivamente: 
a) Regina e Sandra 
b) Tânia e Sandra 
c) Sandra e Tânia 
d) Regina e Tânia 
 
25) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será 
verdade que: 
a) todos não-artistas são não-atletas 
b) nenhum atleta é não-artista 
c) nenhum artista é não-atleta 
d) pelo menos um não-atleta é artista 
 
26) Os advogados Clóvis, Rui e Raimundo trabalham em agências 
diferentes de um mesmo banco, denominadas Norte, Sul e Leste. 
Exercem, não necessariamente nesta ordem, suas funções nos seto-
res de Financiamento, Cobrança e Ouvidoria. Sabe-se, ainda, que: 
• Clóvis e o advogado da Agência Leste não trabalham na Ouvidoria. 
• O advogado da Agência Norte não é Clóvis nem Rui. 
• Na Agência Sul, o advogado não trabalha na Ouvidoria nem no 
Financiamento. 
 É possível concluir que: 
a) Clóvis trabalha no setor de Cobranças da Agência Norte. 
b) Rui, o advogado da Agência Leste, trabalha no setor de Ouvidoria. 
c) nem Raimundo, nem Rui trabalham no setor de Financiamento. 
d) nas Agências Sul e Norte, os advogados não trabalham com Finan-
ciamento. 
 
27) Uma grande empresa multinacional oferece a seus funcionários 
cursos de português, inglês e italiano. Sabe-se que 20 funcionários 
cursam italiano e inglês; 60 funcionários cursam português e 65 cur-
sam inglês; 21 funcionários não cursam nem português nem italiano; 
o número de funcionários que praticam só português é idêntico ao 
número dos funcionários que praticam sóitaliano; 17 funcionários 
praticam português e italiano; 45 funcionários praticam português e 
inglês; 30, entre os 45, não praticam italiano. Com estas informações 
pode-se concluir que a diferença entre o total de funcionários da em-
presa e o total de funcionários que não estão matriculados em qual-
quer um dos cursos é igual a: 
a) 93 
b) 83 
c) 103 
d) 113 
 
28) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras às terças, 
quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, 
só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da se-
mana seria possível ela fazer a afirmação "Eu menti ontem e também 
mentirei amanhã."? 
a) Terça e quinta-feira. 
b) Terça e sexta-feira. 
c) Quarta e quinta-feira. 
d) Quarta-feira e sábado. 
29) Paulo, João, Beto, Marcio e Alfredo estão numa festa. Sabendo-se 
que cada um deles possui diferentes profissões: advogado, adminis-
trador, psicólogo, físico e médico. Temos: o advogado gosta de con-
versar com beto, Marcio e João, mas odeia conversar com o médico 
Beto joga futebol com o físico Paulo, Beto e Marcio jogam vôlei com 
o administrador Alfredo move uma ação trabalhista contra o médico. 
Podemos afirmar que Paulo é.... 
a) Paulo é o advogado, João é o administrador 
b) Alfredo é o advogado, Paulo é o médico. 
c) Marcio é o psicólogo, Alfredo é o médico 
d) Beto é o físico, Alfredo é o administrador 
 
30) Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum 
Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Grin-
gles é: 
a) Necessariamente verdadeira. 
b) Verdadeira, mas não necessariamente. 
c) Necessariamente falsa. 
d) Falsa, mas não necessariamente. 
 
31) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois 
cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada 
senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o 
número máximo de tentativas para abrir os cadeados é 
a) 518.400 
b) 1.440 
c) 720 
d) 120 
 
32) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades de Co-
rumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada ci-
dade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ôni-
bus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 
120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua viagem a 
90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou nenhuma pa-
rada no trajeto, podemos afirmar que: I - Quando os dois se cruza-
rem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o 
165. II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá 
andado mais tempo do que o 175. 
a) Somente a hipótese (I) está errada. 
b) Somente a hipótese (II) está errada. 
c) Ambas as hipóteses estão erradas. 
d) Nenhuma das hipóteses está errada. 
 
33) A hipotenusa de um triangulo retângulo mede 10 cm, e um de seus 
catetos mede 6 cm. A área deste triangulo é igual a: 
a) 24 cm2 
b) 30 cm2 
c) 40 cm2 
d) 48 cm2 
 
34) O menor complementar de um elemento genérico xij de uma matriz X 
é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que 
esse elemento se localiza. Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a 
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-
se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , então o menor complementar do e-
lemento y23 é igual a: 
a) 0 
b) -8 
c) -80 
d) 8 
 
35) Maria vai de carona no carro de sua amiga e se propõe a pagar a 
tarifa do pedágio, que é de R$ 3,80. Verificou que tem no seu porta-
níqueis moedas de todos os valores do atual sistema monetário bra-
sileiro, sendo: duas moedas do menor valor, três do maior valor e 
uma moeda de cada um dos outros valores. Sendo assim, ela tem o 
suficiente para pagar a tarifa e ainda lhe sobrarão: 
a) doze centavos. 
b) onze centavos. 
c) dez centavos. 
d) nove centavos. 
 
36) Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um técnico cons-
tatou que: 
 se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II, esta ficaria com 
46 transistores a mais do que a caixa I tinha inicialmente; 
 se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III, esta ficaria com 
30 transistores a mais do que a caixa II tinha inicialmente. 
 Se o total de transistores nas três caixas era de 183, então o número 
inicial de transistores em: 
a) I era um número par. 
b) II era um número ímpar. 
c) III era um número menor que 85. 
d) I e III era igual a 119. 
 
37) Para asfaltar 1 quilômetro de estrada, 30 homens gastaram 12 dias 
trabalhando 8 horas por dia, enquanto que 20 homens, para asfalta-
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 51 
rem 2 quilômetros da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, 
gastam x dias. Calcule o valor de x. 
a) 30 
b) 22 
c) 25 
d) 24 
 
38) Uma circunferência sobre um plano determina duas regiões nesse 
mesmo plano. Duas circunferências distintas sobre um mesmo plano 
determinam, no máximo, 4 regiões. Quantas regiões, no máximo, 3 
circunferências distintas sobre um mesmo plano podem determinar 
nesse plano? 
 a) 4 
 b) 7 
 c) 5 
 d) 8 
 
39) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à frente 
de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se 
uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu 
sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. 
Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolhes-
te, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu 
mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua 
escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das 
portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver 
a fera, e aproveitandose do que dissera o imperador, muda sua esco-
lha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; 
quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que 
não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Lu-
ís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a: 
 a) 1/2. 
 b) 1/3. 
 c) 2/3. 
 d) 2/5. 
 
40) Num concurso para preencher uma vaga para o cargo de gerente 
administrativo da empresa M, exatamente quatro candidatos obtive-
ram a nota máxima. São eles, André, Bruno, Célio e Diogo. Para de-
cidir qual deles ocuparia a vaga, os quatro foram submetidos a uma 
bateria de testes e a algumas entrevistas. Ao término dessa etapa, 
cada candidato fez as seguintes declarações: 
André declarou: Se Diogo não foi selecionado, então Bruno foi 
selecionado. 
Bruno declarou: André foi selecionado ou eu não fui selecionado. 
Célio declarou: Se Bruno foi selecionado, então eu não fui sele-
cionado. 
Diogo declarou: Se André não foi selecionado, então Célio foi. 
 
Admitindo-se que, das quatro afirmações acima, apenas a declara-
ção de Diogo seja falsa, é correto concluir que o candidato selecio-
nado para preencher a vaga de gerente administrativo foi: 
 a) Célio 
 b) André 
 c) Bruno 
 d) Diogo 
 
41) Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, 
foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no 
concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A e os 30 se-
guintes na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram 
calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado 
da turma A para a turma B. Com isso: 
 a) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. 
 b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. 
 c) As médias de ambas as turmas melhoraram. 
 d) As médias de ambas as turmas pioraram. 
 
42) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, 
independentemente da verdadedos termos que a compõem. Um e-
xemplo de tautologia é: 
 a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo 
 b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo 
 c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo 
 d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Gui-
lherme é gordo 
 
43) Na Consoantelândia, fala-se o consoantês. Nessa língua, existem 10 
letras: 6 do tipo I e 4 do tipo II. 
 As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t. 
 As letras do tipo II são: g, p, q, y. 
 Nessa língua, só há uma regra de acentuação: uma palavra só será 
acentuada se tiver uma letra do tipo II precedendo uma letra do tipo I. 
Pode-se afirmar que: 
 a) dhtby é acentuada. 
 b) pyg é acentuada. 
 c) kpth não é acentuada. 
 d) kydd é acentuada. 
 
44) A seção "Dia a dia", do Jornal da Tarde de 6 de janeiro de 1996, 
trazia esta nota: 
 "Técnicos da CETESB já tinham retirado, até o fim da tarde de on-
tem, 75 litros da gasolina que penetrou nas galerias de águas pluvi-
ais da Rua João Boemer, no Pari, Zona Norte. A gasolina se espa-
lhou pela galeria devido ao tombamento de um tambor num posto de 
gasolina desativado." 
 De acordo com a nota, a que conclusão se pode chegar a respeito da 
quantidade de litros de gasolina vazada do tambor para as galerias 
pluviais? 
 a) Corresponde a 75 litros. 
 b) É menor do que 75 litros. 
 c) É maior do que 75 litros. 
 d) É impossível ter qualquer ideia a respeito da quantidade de 
gasolina. 
 
45) Certo dia, durante o expediente do Tribunal de Contas do Estado de 
Minas Gerais, três funcionários Antero, Boris e Carmo executaram as 
tarefas de arquivar um lote de processos, protocolar um lote de do-
cumentos e prestar atendimento ao público, não necessariamente 
nesta ordem. Considere que: 
- cada um deles executou somente uma das tarefas mencionadas; 
- todos os processos do lote, todos os documentos do lote e todas as 
pessoas atendidas eram procedentes de apenas uma das cidades: 
Belo Horizonte, Uberaba e Uberlândia, não respectivamente; 
- Antero arquivou os processos; 
- os documentos protocolados eram procedentes de Belo Horizonte; 
- a tarefa executada por Carmo era procedente de Uberlândia. 
Nessas condições, é correto afirmar que: 
a) Carmo protocolou documentos. 
b) a tarefa executada por Boris era procedente de Belo Horizonte. 
 c) Boris atendeu às pessoas procedentes de Uberaba. 
d) as pessoas atendidas por Antero não eram procedentes de Uberaba. 
 
46) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não existiria. Lenin 
existiu. Logo, 
a) Lenin e Rasputin não existiram. 
b) Lenin não existiu. 
c) Rasputin existiu. 
d) Rasputin não existiu. 
47) Assinale a alternativa correspondente ao número de cinco dígitos no 
qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. 
O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segun-
do dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o quin-
to. 
 a) 17942 
 b) 25742 
 c) 65384 
d) 86421 
 
48) De quantos modos é possível formar um subconjunto, com exatamente 
3 elementos, do conjunto {1 ,2,3,4,5,6} no qual NÃO haja elementos 
consecutivos? 
a) 4 
b) 6 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 52 
c) 8 
d) 18 
 
49) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos 
são cronópios então pode-se concluir que: 
 a) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo. 
b) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. 
c) Todos os momorrengos são jaguadartes. 
d) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. 
 
50) Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm³ de volume, 3 
cubos pretos, cada um com 2 cm³ de volume e 1 cubo azul de 3 cm³ de 
volume. Retirando-se quatro objetos da urna, sem reposição, necessa-
riamente um deles: 
a) terá volume menor do que 3 cm³. 
b) terá volume maior do que 3 cm³. 
c) será uma bola. 
d) será azul. 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Princípio fundamental da contagem (PFC) 
Se um primeiro evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e um 
segundo evento, de k maneiras diferentes, então, para ocorrerem os dois 
sucessivamente, existem m . k maneiras diferentes. 
 
Aplicações 
Uma moça dispõe de 4 blusas e 3 saias. De quantos modos distintos 
ela pode se vestir? 
 
Solução: 
A escolha de uma blusa pode ser feita de 4 maneiras diferentes e a de 
uma saia, de 3 maneiras diferentes. 
 
Pelo PFC, temos: 4 . 3 = 12 possibilidades para a escolha da blusa e 
saia. Podemos resumir a resolução no seguinte esquema; 
 
Blusa saia 
 
 
 
 4 . 3 = 12 modos diferentes 
 
Existem 4 caminhos ligando os pontos A e B, e 5 caminhos ligando os 
pontos B e C. Para ir de A a C, passando pelo ponto B, qual o número de 
trajetos diferentes que podem ser realizados? 
 
Solução: 
Escolher um trajeto de A a C significa escolher um caminho de A a B e 
depois outro, de B a C. 
 
Como para cada percurso escolhido de A a B temos ainda 5 possibili-
dades para ir de B a C, o número de trajetos pedido é dado por: 4 . 5 = 20. 
 
Esquema: 
Percurso 
AB 
Percurso 
BC 
 
 
 4 . 5 = 20 
 
Quantos números de três algarismos podemos escrever com os alga-
rismos ímpares? 
 
Solução: 
Os números devem ser formados com os algarismos: 1, 3, 5, 7, 9. Exis-
tem 5 possibilidades para a escolha do algarismo das centenas, 5 possibili-
dades para o das dezenas e 5 para o das unidades. 
 
Assim, temos, para a escolha do número, 5 . 5 . 5 = 125. 
algarismos 
da centena 
algarismos 
da dezena 
algarismos 
da unidade 
 
 
 5 . 5 . 5 = 125 
 
Quantas placas poderão ser confeccionadas se forem utilizados três le-
tras e três algarismos para a identificação de um veículo? (Considerar 26 
letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 
 
Solução: 
Como dispomos de 26 letras, temos 26 possibilidades para cada posi-
ção a ser preenchida por letras. Por outro lado, como dispomos de dez 
algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9), temos 10 possibilidades para cada 
posição a ser preenchida por algarismos. Portanto, pelo PFC o número total 
de placas é dado por: 
 
Quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com os al-
garismos 1, 2, 3 e 4? 
 
Solução: 
Observe que temos 4 possibilidades para o primeiro algarismo e, para 
cada uma delas, 3 possibilidades para o segundo, visto que não é permitida 
a repetição. Assim, o número total de possibilidades é: 4 . 3 =12 
 
Esquema: 
 
 
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os al-
garismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 
 
Solução: 
01. B 
02. B 
03. C 
04. A 
05. D 
06. C 
07. C 
08. A 
09. C 
10. D 
11. C 
12. A 
13. C 
14. B 
15. D 
16. D 
17. B 
18. B 
19. C 
20. C 
21. A 
22. B 
23. D 
24. C 
25. D 
26. D 
27. A 
28. A 
29. B 
30. A 
31. B 
32. C 
33. A 
34. C 
35. A 
36. D 
37. D 
38. D 
39. C 
40. D 
41. C 
42. A 
43. D 
44. C 
45. B 
46. C 
47. D 
48. A 
49. A 
50. D 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 53 
Existem 9 possibilidades para o primeiro algarismo, apenas 8 para o 
segundo e apenas 7 para o terceiro. Assim, o número total de possibilida-
des é: 9 . 8 . 7 = 504 
 
Esquema: 
 
 Quantos são os números de 3 algarismos distintos? 
 
Solução: 
Existem 10 algarismos:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Temos 9 possibilida-
des para a escolha do primeiro algarismo, pois ele não pode ser igual a 
zero. Para o segundo algarismo, temos também 9 possibilidades, pois um 
deles foi usado anteriormente. 
 
Para o terceiro algarismo existem, então, 8 possibilidades, pois dois de-
les já foram usados. O numero total de possibilidades é: 9 . 9 . 8 = 648 
Esquema: 
 
Quantos números entre 2000 e 5000 podemos formar com os 
algarismos pares, sem os repetir? 
 
Solução: 
Os candidatos a formar os números são : 0, 2, 4, 6 e 8. Como os 
números devem estar compreendidos entre 2000 e 5000, o primeiro 
algarismo só pode ser 2 ou 4. Assim, temos apenas duas possibilidades 
para o primeiro algarismo e 4 para o segundo, três para o terceiro e duas 
paia o quarto. 
 
O número total de possibilidades é: 2 . 4 . 3 . 2 = 48 
 
Esquema: 
 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
Introdução: 
Na aplicação An,p, calculamos quantos números de 2 algarismos distin-
tos podemos formar com 1, 2, 3 e 4. Os números são : 
12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43 
 
 
Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro do 
agrupamento (12 

21) ou pelos elementos componentes (13 

 24). 
Cada número se comporta como uma sequência, isto é : 
 (1,2) 

(2,1) e (1,3) 

 (3,4) 
 
A esse tipo de agrupamento chamamos arranjo simples. 
 
Definição: 
Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se arranjo simples dos n 
elementos de /, tomados p a p, a toda sequência de p elementos distintos, 
escolhidos entre os elementos de l ( P 

 n). 
 
O número de arranjos simples dos n elementos, tomados p a p, é 
indicado por An,p 
 
Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
Aplicações 
1) Calcular: 
a) A7,1 b) A7,2 c) A7,3 d) A7,4 
 
Solução: 
a) A7,1 = 7 c) A7,3 = 7 . 6 . 5 = 210 
b) A7,2 = 7 . 6 = 42 d) A7,4 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840 
 
Resolver a equação Ax,3 = 3 . Ax,2. 
 
Solução: 
x . ( x - 1) . ( x – 2 ) = 3 . x . ( x - 1) 

 

 x ( x – 1) (x –2) - 3x ( x – 1) =0 

 x( x – 1)[ x – 2 – 3 ] = 0 
 
x = 0 (não convém) 
ou 
x = 1 ( não convém) 
ou 
x = 5 (convém) 
S = 
 5
 
 
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os 
algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? 
 
Solução: 
Essa mesma aplicação já foi feita, usando-se o principio fundamental 
da contagem. Utilizando-se a fórmula, o número de arranjos simples é: 
A9, 3 =9 . 8 . 7 = 504 números 
 
Observação: Podemos resolver os problemas sobre arranjos simples 
usando apenas o principio fundamental da contagem. 
 
 
FATORIAL 
Definição: 
Chama-se fatorial de um número natural n, n

 2, ao produto de todos 
os números naturais de 1 até n. Assim : 
n ! = n( n - 1) (n - 2) . . . 2 . 1, n 

 2 (lê-se: n fatorial) 
1! = 1 
0! = 1 
 
Fórmula de arranjos simples com o auxílio de fatorial: 
 
 
 
 
 
 
Aplicações 
Calcular: 
a) 5! c) 
! 6
! 8
 e) 
2)! - (n
! n
 
b) 
! 4
! 5
 d) 
! 10
! 10 ! 11 
 
 
Solução: 
5 ! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
5
! 4
! 4 5
 
! 4
! 5



 
A n ,p = n . (n -1) . (n –2) . . . (n – (p – 1)), 
 
  IN n p, e np
 
 
 
  lN np, e n p ,
! pn 
! n
A P,N 


 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 54 
56
! 6
! 6 7 8
! 6
! 8



 
 
12
! 10
111! 10
!10
! 10 ! 10 11
! 10
! 10 ! 11






 
  
 
nn
n


 2
! 2 -n 
! 2 -n 1 -n 
2)! -(n 
!n 
 
 
Obter n, de modo que An,2 = 30. 
 
Solução: 
Utilizando a fórmula, vem : 
 30
2)! - (n
! 2) - n ( 1) - n ( n
30
2)! - (n
! n
 
 n = 6 
n2 – n – 30 = 0 ou 
n = –5 ( não convém) 
 
Obter n, tal que: 4 . An-1,3 = 3 . An,3. 
Solução: 
 
   
 
   




! 1 - n 
! n
3
! 4 - n 
! 3 - n 4
! 3 - n 
! n
3
! 4 - n 
! 1 - n 4
 
 
  
 
 
 
21n n312n4
! 1 - n 
! 1 - n n
3
! 4 - n 
! 4 - n 3 - n 4


 
 
Obter n, tal que : 
4
! n
! ) 1n ( - ! ) 2 n (


 
 
Solução: 


4
! 
! n ) 1 n ( - !n ) 1n ( ) 2 n (
n
 
 
 
4
! 
 1- 2 n ) 1 n ( !n 
 


n
 
 
n + 1 = 2 

n =1 

 (n + 1 )2 = 4 
n + 1 = –2

n = –3(não convém) 
 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos os números de três algarismos distintos formados com 
os algarismos 1, 2 e 3. Esses números são : 
123 132 213 231 312 321 
 
A quantidade desses números é dada por A3,3= 6. 
 
Esses números diferem entre si somente pela posição de seus elemen-
tos. Cada número é chamado de permutação simples, obtida com os alga-
rismos 1, 2 e 3. 
 
Definição: 
Seja I um conjunto com n elementos. Chama-se permutação simples 
dos n elementos de l a toda a sequência dos n elementos. 
 
O número de permutações simples de n elementos é indicado por Pn. 
 
OBSERVA ÇÃO: Pn = An,n . 
 
Fórmula: 
Aplicações 
Considere a palavra ATREVIDO. 
 quantos anagramas (permutações simples) podemos formar? 
 quantos anagramas começam por A? 
 quantos anagramas começam pela sílaba TRE? 
 quantos anagramas possuem a sílaba TRE? 
 quantos anagramas possuem as letras T, R e E juntas? 
 quantos anagramas começam por vogal e terminam em 
consoante? 
 
 
Solução: 
a) Devemos distribuir as 8 letras em 8 posições disponíveis. 
Assim: 
 
Ou então, P8 = 8 ! = 40.320 anagramas 
 
 
b) A primeira posição deve ser ocupada pela letra A; assim, devemos 
distribuir as 7 letras restantes em 7 posições, Então: 
 
 
c) Como as 3 primeiras posições ficam ocupadas pela sílaba TRE, de-
vemos distribuir as 5 letras restantes em 5 posições. Então: 
 
 
d) considerando a sílaba TRE como um único elemento, devemos 
permutar entre si 6 elementos, 
 
 
e) Devemos permutar entre si 6 elementos, tendo considerado as letras 
T, R, E como um único elemento: 
 
 
Devemos também permutar as letras T, R, E, pois não foi especificada 
a ordem: 
 
Para cada agrupamento formado, as letras T, R, E podem ser dispostas 
de P3 maneiras. Assim, para P6 agrupamentos, temos 
P6 . P3 anagramas. Então: 
P6 . P3 = 6! . 3! = 720 . 6 = 4 320 anagramas 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 55 
f) A palavra ATREVIDO possui 4 vogais e 4 consoantes. Assim: 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES, COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
Dados n elementos, dos quais : 
1
 são iguais a 
 
 
 
 
2
 são iguais a 
 
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
r
 são iguais a 
 
 sendo ainda que: 
r2 1 . . .  
= n, e indicando-se por 
) . . . , ,(p r21n 
 o número das permutações simples dos n elemen-
tos, tem-se que: 
 
Aplicações 
Obter a quantidade de números de 4 algarismos formados pelos alga-
rismos 2 e 3 de maneira que cada um apareça duas vezes na formação do 
número. 
 
Solução: 
os números são 



3223 3232 3322
2332 2323 2233
 
 
A quantidade desses números pode ser obtida por: 
  números 6
1 2 ! 2
! 2 34
! 2 ! 2
! 4
P 2,24 



 
 
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra 
AMADA? 
Solução: 
Temos: 
 
Assim: 
 
  anagramas 20 
! 3
! 3 4 5
 
! 1 ! 1 ! 3
! 5
 p 1,1,35 


 
 
Quantos anagramas da palavra GARRAFA começam pela sílaba RA? 
 
Solução: 
Usando R e A nas duas primeiras posições, restam 5 letras para serem 
permutadas, sendo que: 
 
 
Assim, temos: 
 
  anagramas 60 
! 2
! 2 3 4 5
 p 1,1,25 


 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
Introdução: 
Consideremos as retas determinadas pelos quatro pontos, conforme a 
figura. 
 
Só temos 6 retas distintas 
 ,CD ,BC ,AB(
 
)AD e BD ,AC
por-
que
, . . . ,BA e AB DC e CD 
 representam retas coincidentes. 
 
Os agrupamentos {A, B}, {A, C} etc. constituem subconjuntos do 
conjunto formado por A, B, C e D. 
 
Diferem entre si apenas pelos elementos componentes, e são 
chamados combinações simples dos 4 elementos tomados 2 a 2. 
 
O número de combinações simples dos n elementos tomados p a p é 
indicado por Cn,p ou 






p
n
. 
 
OBSERVAÇÃO: Cn,p . p! = An,p. 
 
Fórmula: 
 
Aplicações 
calcular: 
a) C7,1 b) C7,2 c) C7,3 d) C7,4 
 
Solução: 
C7,1 = 
7
! 6
! 6 7
! 6 ! 1
! 7



 
C7,2 =
21
! 5 1 2
! 5 6 7
! 5 ! 2
! 7




 
C7,3 = 
35
! 4 1 2 3
! 4 5 6 7
! 4 ! 3
! 7




 
C7,4= 
35
 1 2 3 ! 4
! 4 5 6 7
! 3 ! 4
! 7




 
 
Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um conjunto de 5 
elementos? 
ossubconjunt 10
1 2 ! 3
! 3 4 5
! 2 ! 3
! 5
 C5,3 



 
 
obter n, tal que 
3
4
C
C
n,2
n,3

 
Seja l um conjunto com n elementos. Chama-se combinação sim-
ples dos n elementos de /, tomados p a p, a qualquer subconjunto 
de p elementos do conjunto l. 
1 13
D M A A,,A
 
{{{
1121
F R AA, G
 
1
11 11 a ., . . , a ,a a


 
2
2222 a , . . . ,a ,a a


 
r
rrrr a , . . . ,a ,a a


 
lN } n p, { e np ,
! ) p - n ( ! p
! n
 C p, n 
 
! . . . ! ! 
! n
) . . . , ,(p
r1
r21n  
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 56 
Solução: 

3
4
! n
! ) 2- n ( ! 2
 
) 3 - n ( ! 3 
! n
 
3
4
! ) 2 - n ( ! 2
! n
! ) 3 - n ( ! 3
! n
 
42-n 
3
4
! ) 3 - n ( 2 3
! ) 3 - n ( ) 2 - n ( 2 




 
 
 convém 
 
 
Obter n, tal que Cn,2 = 28. 
 
Solução: 


 56
! )2(
! ) 2 -n ( ) 1 -n ( 
28
)! 2 -n ( ! 2
!n 
n
n
 
 
n = 8 
n2 – n – 56 = 0 
 
 n = -7 (não convém) 
Numa circunferência marcam-se 8 pontos, 2 a 2 distintos. Obter o nú-
mero de triângulos que podemos formar com vértice nos pontos indicados: 
 
Solução: 
Um triângulo fica identificado quando escolhemos 3 desses pontos, não 
importando a ordem. Assim, o número de triângulos é dado por: 
56
! 5 . 2 3
! 5 . 6 7 8
! 5 ! 3
! 8
C8,3 



 
 
Em uma reunião estão presentes 6 rapazes e 5 moças. Quantas co-
missões de 5 pessoas, 3 rapazes e 2 moças, podem ser formadas? 
 
Solução: 
Na escolha de elementos para formar uma comissão, não importa a 
ordem. Sendo assim : 
escolher 3 rapazes: C6,3 =
! 3 ! 3
! 6
= 20 modos 
escolher 2 moças: C5,2= 
3! 2!
! 5
 = 10 modos 
 
Como para cada uma das 20 triplas de rapazes temos 10 pares de mo-
ças para compor cada comissão, então, o total de comissoes é C6,3 . C5,2 = 
200. 
 
Sobre uma reta são marcados 6 pontos, e sobre uma outra reta, 
paralela á primeira, 4 pontos. 
Quantas retas esses pontos determinam? 
Quantos triângulos existem com vértices em três desses pontos? 
 
Solução: 
a) C10,2 – C6,2 – C4,2 + 2 = 26 retas onde 
 
C6,2 é o maior número de retas possíveis de serem determinadas por 
seis pontos C4,2 é o maior número de retas possíveis de serem 
determinadas por quatro pontos . 
 
b) C10,3 – C6,3 – C4,3 = 96 triângulos onde 
C6,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados 
em uma das retas, pois pontos colineares não determinam triângulo. 
 
C4,3 é o total de combinações determinadas por três pontos alinhados 
da outra reta. 
 
Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é 
possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas? 
 
Solução: 
As retiradas podem ser efetuadas da seguinte forma: 
4 pretas e 3 brancas 

 C6,4 . C10,3 = 1 800 ou 
5 pretas e 2 brancas 

 C6,5 . C10,2 = 270 ou 
6 pretas e1 branca 

 C6,6 . C10,1 = 10 
 
Logo. 1 800 + 270 + 10 = 2 080 modos 
 
PROBABILIDADE 
 
ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO 
Suponha que em uma urna existam cinco bolas vermelhas e uma bola 
branca. Extraindo-se, ao acaso, uma das bolas, é mais provável que esta seja 
vermelha. Isto irão significa que não saia a bola branca, mas que é mais fácil 
a extração de uma vermelha. Os casos possíveis seu seis: 
 
Cinco são favoráveis á extração da bola vermelha. Dizemos que a proba-
bilidade da extração de uma bola vermelha é 
6
5
 e a da bola branca, 
6
1
 . 
 
Se as bolas da urna fossem todas vermelhas, a extração de uma verme-
lha seria certa e de probabilidade igual a 1. Consequentemente, a extração de 
uma bola branca seria impossível e de probabilidade igual a zero. 
 
Espaço amostral: 
Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito ás leis do acaso, chamamos 
espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrerem. 
Vamos indica-lo pela letra E. 
 
EXEMPLOS: 
Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima: 
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Lançamento de uma moeda e observação da face voltada para cima : 
E = {C, R}, onde C indica cara e R coroa. 
 
Lançamento de duas moedas diferentes e observação das faces voltadas 
para cima: 
E = { (C, C), (C, R), (R, C), (R, R) } 
Evento: 
Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Tome-
mos, por exemplo, o lançamento de um dado : 
ocorrência do resultado 3: {3} 
ocorrência do resultado par: {2, 4, 6} 
ocorrência de resultado 1 até 6: E (evento certo) 
ocorrência de resultado maior que 6: 

 (evento impossível) 
 
Como evento é um conjunto, podemos aplicar-lhe as operações entre 
conjuntos apresentadas a seguir. 
União de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se união de A e 
B ao evento formado pelos resultados de A ou de B, indica-se por A 

 B. 
n = 6 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 57 
 
Intersecção de dois eventos - Dados os eventos A e B, chama-se inter-
secção de A e B ao evento formado pelos resultados de A e de B. Indica-se 
por A 

B. 
 
Se A 

B =

, dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos, 
isto é, a ocorrência de um deles elimina a possibilidade de ocorrência do outro. 
 
Evento complementar – Chama-se evento complementar do evento A 
àquele formado pelos resultados que não são de A. indica-se por 
A
. 
 
 
Aplicações 
Consideraro experimento "registrar as faces voltadas para cima", em três 
lançamentos de uma moeda. 
Quantos elementos tem o espaço amostral? 
Escreva o espaço amostral. 
 
Solução: 
a) o espaço amostral tem 8 elementos, pois para cada lançamento 
temos duas possibilidades e, assim: 2 . 2 . 2 = 8. 
b) E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R,C), (R, C, R), (C, 
R, R), (R, R, R) } 
 
Descrever o evento "obter pelo menos uma cara no lançamento de duas 
moedas". 
 
Solução: 
Cada elemento do evento será representado por um par ordenado. 
Indicando o evento pela letra A, temos: A = {(C,R), (R,C), (C,C)} 
 
Obter o número de elementos do evento "soma de pontos maior que 9 no 
lançamento de dois dados". 
 
Solução: 
O evento pode ser tomado por pares ordenados com soma 10, soma 11 
ou soma 12. Indicando o evento pela letra S, temos: 
S = { (4,6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)} 

 

 n(S) = 6 elementos 
 
Lançando-se um dado duas vezes, obter o número de elementos do e-
vento "número par no primeiro lançamento e soma dos pontos igual a 7". 
 
Solução: 
Indicando o evento pela letra B, temos: 
B = { (2, 5), (4, 3), (6, 1)} 

 n(B) = 3 elementos 
 
PROBABILIDADE 
Sendo n(A) o número de elementos do evento A, e n(E) o número de e-
lementos do espaço amostral E (A 

 E), a probabilidade de ocorrência do 
evento A, que se indica por P(A), é o número real: 
 
OBSERVAÇÕES: 
Dizemos que n(A) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(E) o 
número de casos possíveis. 
Esta definição só vale se todos os elementos do espaço amostral tiverem 
a mesma probabilidade. 
A
é o complementar do evento A. 
 
Propriedades: 
 
Aplicações 
No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de obtermos cara 
em ambas? 
 
Solução: 
Espaço amostral: 
E = {(C, C), (C, R), (R, C), (R,R)} 

 n(E).= 4 
Evento A : A = {(C, C)}

 n(A) =1 
Assim: 
4
1
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 
 
Jogando-se uma moeda três vezes, qual a probabilidade de se obter cara 
pelo menos uma vez? 
 
Solução: 
E = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, 
R), (R. R, R)} 

n(E)= 8 
 
A = {(C, C, C), (C, C, R), (C, R, C), (R, C, C), (R, R, C), (R, C, R), (C, R, 
R) 

 n(A) = 7 
8
7
P(A) 
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 
 
(Cesgranrio) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por an-
dar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada 
um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é : 
2/5 c) 1/2 e) 2/3 
3/5 d) 1/3 
 
Solução: 
O número de elementos do espaço amostral é dado por : n(E) = C6,3 = 
! 3 ! 3
! 6
 = 20 
 
O número de casos favoráveis é dado por n (A) = 2 . 2 . 2 = 8, pois em 
cada andar temos duas possibilidades para ocupa-lo. Portanto, a probabilida-
de pedida é: 
5
2
20
8
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 (alternativa a) 
 
Numa experiência, existem somente duas possibilidades para o 
resultado. Se a probabilidade de um resultado é 
3
1
 , calcular a probabilidade 
do outro, sabendo que eles são complementares. 
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
Lógica A Opção Certa Para a Sua Realização 58 
 
Solução: 
Indicando por A o evento que tem probabilidade 
3
1
, vamos indicar por 
A
 o outro evento. Se eles são complementares, devemos ter: 
P(A) + P(
A
) = 1 
3
1
 
 + P(
A
) = 1 

 
8) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obtermos na 
face voltada para cima um número primo? 
 
Solução: 
Espaço amostral : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 

n(E) = 6 
Evento A : A = {2, 3, 5} 

 n(A) = 3 
Assim: 
2
1
)A(P
6
3
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 
 
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter soma dos 
pontos igual a 10? 
 
Solução: 
Considere a tabela, a seguir, indicando a soma dos pontos: 
 A 
 B 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
6 
1 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
2 
3 
 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
3 
4 
 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
4 
5 
 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
5 
6 
 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
 
11 
6 
7 
 
8 
 
9 
 
10 
 
11 
 
12 
 
Da tabela: n(E) = 36 e n(A) = 3 
Assim: 
12
1
36
3
) E ( n
) A ( n
 ) A ( P 
 
 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que: 
 
"A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual á soma das pro-
babilidades de A e B, menos a probabilidade da intersecção de A com B." 
 
Justificativa: 
Sendo n (A 

 B) e n (A 

 B) o número de elementos dos eventos A 

B e A 

B, temos que: 
n( A

B) = n(A) +n(B) – n(A

 B)

 
 





)E(n
)BA(n
)E(n
)B(n
)E(n
)A(n
)E(n
)BA(n
 
 

P(A 

 B) = P(A) + P(B) – P(A 

 B) 
 
OBSERVA ÇÃO: 
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, isto é: A 

 B =

, 
então, P(A 

 B) = P(A) + P(B). 
 
Aplicações 
Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma 
bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde? 
 
Solução: 
Número de bolas brancas : n(B) = 2 
Número de bolas verdes: n(V) = 3 
Número de bolas azuis: n(A) = 4 
 
A probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada 
por: 
P( B 

 V) = P(B) + P(V) - P(B 

 V) 
 
Porém, P(B 

 V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde 
são mutuamente exclusivos. 
 
Logo: P(B 

 V) = P(B) + P(V), ou seja: 
P(B 

 V) = 
9
5
)VB(P
9
3
9
2

 
 
Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um 
número par? 
 
Solução: 
O número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1. 
 
O número de elementos do evento número par é n(B) = 3. 
 
Observando que n(A 

 B) = 1, temos: 
P(A 

 B) = P(A) + P(B) – P(A 

 B)

 

P(A

B) = 
2
1
)BA(P
6
3
6
1
6
3
6
1

 
 
A probabilidade de que a população atual de um pais seja de 110 milhões 
ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é 8%. 
Calcular a probabilidade de ser 110 milhões. 
 
Solução: 
Temos P(A) = 95% e P(B) = 8%. 
A probabilidade de ser 110 milhões é P(A 

 B). Observando que P(A 

 B) = 100%, temos: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A 

 B) 

 

100% = 95% + 8% - P(A 

B) 

 
(A

B) = 3% 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu modifica a 
probabilidade que atribuímos a outro evento. Indicaremos por P(B/A) a proba-
bilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A (probabilidade condicional de 
B em relação a A). Podemos escrever: 
 
 
 
 
 
Multiplicação de probabilidades: 
A probabilidade da intersecção de dois eventos A e B é igual ao produto 
da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao 
primeiro. 
 
 
Em símbolos: 
 
P(A 

 B) = P (A) + P(B) – P(A 

 B) 
)A( n
)BA( n
)A/B(P


 
3
2
)A(P 
 
APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos 
LógicaA Opção Certa Para a Sua Realização 59 
Justificativa: 



)A( n
)BA( n
)A/B(P 


)E(n
)A( n
)E(n
)BA( n
)A/B(P
 
)A( P
)BA( P
)A/B(P


 
P(A 

 B) = P(A) . P(B/A) 
 
Analogamente: 
P(A 

 B) = P(B) . P(A/B) 
 
Eventos independentes: 
Dois eventos A e B são independentes se, e somente se: P(A/B) = P(A) 
ou P(B/A) = P(B) 
 
Da relação P(A 

 B) = P(A) . P(B/A), e se A e B forem independentes, 
temos: 
 
Aplicações: 
Escolhida uma carta de baralho de 52 cartas e sabendo-se que esta carta 
é de ouros, qual a probabilidade de ser dama? 
 
Solução: 
Um baralho com 52 cartas tem 13 cartas de ouro, 13 de copas, 13 de 
paus e 13 de espadas, tendo uma dama de cada naipe. 
 
Observe que queremos a probabilidade de a carta ser uma dama de ou-
ros num novo espaço amostral modificado, que é o das cartas de ouros. 
Chamando de: 
evento A: cartas de ouros 
evento B: dama 
evento A 

 B : dama de ouros 
 
Temos: 
 
 
 
 
Jogam-se um dado e uma moeda. Dê a probabilidade de obtermos cara 
na moeda e o número 5 no dado. 
 
Solução: 
Evento A : A = {C} 

 n(A) = 1 
Evento B : B = { 5 } 

n ( B ) = 1 
 
Sendo A e B eventos independentes, temos: 
P(A 

 B) = P(A) . P(B) 

 P(A 

 B) = 

6
1
2
1
 
P(A 

B) = 
12
1
 
 
(Cesgranrio) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo 
amarelo, outro é todo vermelho, e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo 
do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e 
mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e 
de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: 
a) 
2
1
 b) 
5
2
 c) 
5
1
 d) 
3
2
 e) 
6
1
 
 
Solução: 
Evento A : cartão com as duas cores 
Evento B: face para o juiz vermelha e face para o jogador amarela, tendo 
saído o cartão de duas cores 
 
Temos: 
P(A 

B) = P(A) . P(B/A), isto é, P(A 

B) =
2
1
 
3
1

 
P(A 

 B) = 
6
1
 (alternativa e) 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda. 
INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA 
Edgard de Alencar Filho 
Livraria Nobrel S/A 
São Paulo, SP 
 
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P(A 

 B) = P(A) . P(B) 
13
1
)A( n
)BA( n
)A/B(P 


 
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