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DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO 
WWW.CLUBEDAESTRUTURA.COM.BR 
 
 
COM A NOVA NBR 6118/2014 
 
NOTAS DE AULA - REVISADA 2018 
 
PROF. RONILSON FLÁVIO DE SOUZA 
Engenheiro Civil 
Especialista em Estruturas 
MBA em Construção Civil 
 
 
 
 
Disciplina Estruturas de Concreto 1 e 2 
 
 
 
 
Setembro de 2018 
 
 
2 
 
 
Introdução 
 
O concreto armado como conhecemos, se comparado com o aço, que há milênios vem 
sendo utilizado pelo homem, é de certa forma um material recente. Como elemento 
estrutural o conceito de concreto armado é antigo, porém as pesquisas que realmente 
desenvolveram o material e consolidaram sua utilização datam de menos de 200 anos. 
Por volta de 1850 elementos cimentícios com utilização de aço para resistir a tração 
foram construídos, estes elementos eram chamados de “cimento armado”, somente por 
volta de 1920 a denominação passou a ser “concreto armado”. A primeira teoria sólida 
sobre o dimensionamento das peças de concreto foi realizada pelo Alemão E. Mörsch, 
professor da Universidade de Stuttgart, em 1902, a sua analogia de treliça para o 
dimensionamento a flexão de vigas é até hoje utilizada no mundo. Não demorou para que 
as normas de concreto armado fossem redigidas e implantadas em todo mundo. No Brasil 
o concreto armado vem sendo utilizado desde 1904 e, em pouco tempo, devido a sua 
versatilidade, foi incorporado de vez na engenharia de construção brasileira. Sendo 
considerado hoje o material mais utilizado como elemento estrutural no mundo. 
As normas mais importantes utilizadas no mundo são o C.E.B - Comitê Europeu de 
“Béton” (concreto), o A.C.I - Instituto Americano do Concreto, e aqui no Brasil a ABNT 
– Associação Brasileira de Normas Técnicas, em particular a NBR 6118/2014- Projeto de 
estruturas de concreto — Procedimento, que foi revisada em 2013 e aprovada e 2014. 
Esta norma que utilizaremos neste trabalho, juntamente, é claro, com as outras normas da 
ABNT que complementam o estudo do concreto armado. 
 
 
 
 
 
3 
 
Capítulo 1 - Tecnologia do Concreto Estrutural e Patologias 
 
O concreto estrutural pode ser dividido em três categorias, a saber: 
Concreto simples ou ciclópico: é aquele que não possui armadura (barras de aço para 
combater a tração). Segundo a NBR 6118 é classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto simples estrutural 
Elementos estruturais elaborados com concreto que não possuem qualquer tipo de armadura, ou que a 
possuem em quantidade inferior ao mínimo exigido para o concreto armado (item 3.1.2 NBR 6118/2014). 
 
Concreto Armado com armadura passiva: é aquele que possui armaduras para resistir as 
solicitações de tração, no entanto estas armaduras são tracionadas somente após a retirada 
do cimbramento (escoramento), e a peça passa a trabalhar fissurada, situação em que as 
tensões são transmitidas do concreto para a armadura e vice-versa. Segundo a NBR 6118 
é classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto armado 
Aqueles cujo comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e armadura, e nos quais não se 
aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização dessa aderência (item 3.1.3 NBR 
6118/2014). 
 
Concreto protendido ou com armadura ativa: é aquele cujas armaduras são pré-
tracionadas antes mesmo da retirada do cimbramento. Este procedimento imprime a 
seção fletida uma compressão uniforme reduzindo a tração no concreto e 
consequentemente diminuindo a fissuração das peças. Segundo a NBR 6118 é 
classificado da seguinte forma: 
 
Elementos de concreto protendido 
Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão, 
com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da 
estrutura, bem como propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no estado-limite último 
(item 3.1.4 NBR 6118/2014). 
 
Como pôde ser observado nas descrições acima, existem dois tipos de armaduras, as 
armaduras passivas, utilizadas no concreto armado convencional, aqui chamado 
4 
 
simplesmente de C.A. e as armaduras ativas que trabalham no concreto protendido ou 
C.P. 
 
Propriedades do concreto 
 
O concreto armado para fins estruturais pode ser considerado um material homogêneo e 
isotrópico. A NBR 8953/2015 (revisada) Classifica os concretos em normais, leves ou 
pesado/denso, em função de sua massa específica, neste curso trabalharemos apenas com 
o concreto normal cuja massa específica para efeito de cálculo (c) = 2500kg/m3 
(25kN/m3); 
O coeficiente de Poisson pode ser tomado com o valor médio de () = 0,2 e o coeficiente 
de dilatação térmica  = 10-5°C-1. Estes valores devem ser validados, sempre que 
possível, em ensaios de laboratório. No entanto podem ser utilizados nos projetos 
estruturais, desde que os materiais utilizados na preparação do concreto (agregados e 
aglomerantes - cimentos), estejam dentro das especificações normativas existentes para o 
concreto armado. Na NBR 12655/06 pode ser encontrado a descrição de todas as normas 
que regulamentam estes materiais. O módulo de elasticidade (E) do concreto depende do 
fck - resistência característica a compressão. 
 
 
Resistência à compressão do concreto - fck 
 
A resistência característica a compressão do concreto, fck, deve ser especificada em todos 
os projetos e seu valor deve ser avaliado em ensaio de compressão definidos na NBR 
ABNT NBR 5739:2007– Concreto - Ensaios de compressão de corpos-de-prova 
cilíndricos. A NBR 8953/2015 – Concretos para fins estruturais – Classifica os concretos 
em 3 grupos, sendo os grupos I e II concretos estruturais e um grupo de concretos não 
estruturais que seriam os (C10 e C15) fck 10 MPa e o 15 MPa. Os concretos do grupo I 
começam com o fck 20 MPa e vão até o fck 50 MPa (C20 a C50). Os concretos do Grupo 
II são considerados de alto desempenho e começam com fck 55 MPa e atingem até fck 
100 MPa (C55 a C100). 
A nova versão da NBR 8953/2015 classifica também os concretos pela sua 
trabalhabilidade, sendo criadas 5 classes: 
5 
 
- S10: concretos com consistência seca, que vão desde o abatimento 10 mm até 45 mm 
- S50: concretos pouco trabalháveis, que vão desde o abatimento 50 mm até 95 mm 
- S100: concretos de aplicação normal, que vão desde o abatimento 100 mm até 155 mm 
- S160: concretos plásticos aplicados por bombeamento, que vão desde o abatimento 160 
mm até 215 mm 
- S220: os concretos fluídos. 
Para fins estruturais a NBR 12655/2015 – Controle de Cimento Portland – especifica que 
a dosagem do concreto deve atender a requisitos de produção que variam com os níveis 
de controle no momento da dosagem. Para isso a norma estabelece três tipos de controle, 
a saber: 
A) Condição A (C10 até C100) 
O cimento e os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em 
massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos 
agregados; 
B) Condição B (C10 até C25) 
O cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante 
dispositivo dosador e os agregados medidos em massa. A umidade do agregado miúdo é 
determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O 
volume de agregado miúdo é corrigido através da curva de inchamento estabelecida 
especificamente para o material utilizado; 
C) Condição C (C10 e C15) 
O cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de 
amassamento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da 
estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistênciado concreto. 
 
Cálculo da resistência de dosagem 
A resistência de dosagem deve atender às condições de variação existentes durante a 
construção. Esta variabilidade medida pelo desvio-padrão Sd é levada em conta no 
cálculo da resistência de dosagem, segundo a equação: 
 
fcj = fck + 1,65 Sd onde: 
fcj é a resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias, em 
megapascals; 
fck é a resistência característica do concreto à compressão, em megapascals; 
6 
 
Segundo a NBR 12655, o desvio padrão para cada condição de preparo é: 
Condição A (C10 até C80) → Sd = 4MPa 
Condição B (C10 até C25) → Sd = 5,5MPa 
Condição C(1) (C10 até C15) → Sd = 7,0MPa 
 
1) Para as condições de preparo C nos concretos de 
15MPa o consumo mínimo de cimento é de 350kg/m3 de 
concreto (tabela 6 - NBR 12655/2006). 
 
 
É importante frisar que, em situações rotineiras de obras, estes controles não são 
atendidos quando o concreto é realizado na obra, com betoneiras. Se formos seguir ao “pé 
da letra” a normatização, somente poderíamos “rolar” na obra concretos com fck até 
25MPa. Além deste limite seria necessária a utilização de uma pequena estação de 
concretagem, fato que oneraria muito obras de pequeno porte. A recomendação é que 
para concretos com fck acima de 25MPa, sejam sempre utilizados concretos usinados. 
 
Resistência a Tração do concreto - fct 
A resistência a tração do concreto é muito pequena em relação a sua resistência 
característica de compressão, da ordem de 10 vezes menor, o valor deve sempre ser 
verificado por intermédio de ensaios de laboratório, ensaios de tração direta ou ensaios de 
compressão diametral, que estima a resistência do concreto através do fendilhamento do 
corpo de prova. Outro ensaio é a resistência a tração na flexão. 
 
 Tração direta - fct,m Compressão Diametral – fct,sp Flexão- fct,f 
 
A NBR 6118/2014, estabeleça que a resistência à tração direta fct vale aproximadamente 
0,9 fct,sp ou 0,7fct,f , contudo na falta destes ensaios a resistência a tração média pode ser 
calculada em função do fck, sendo o valor dado pelas expressões: 
 
7 
 
Para concretos de classes até C50: 
fct ,m = 0,3 fck
2/3 
Para concreto de classes C50 até C90: 
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) 
 Os valores mínimos e máximos (inferior e superior) de fct são iguais a: 
fctk,inf = 0,7 fct,m 
fctk,sup = 1,3 fct,m 
 
Módulo de Elasticidade - E 
Segundo a NBR 6118/2014, o módulo de elasticidade do concreto deve ser obtido através 
de ensaios. O comportamento do concreto na compressão não apresenta, como no aço, 
uma curva composta de uma fase elástica seguida de um patamar de escoamento, 
estricção e ruptura, no concreto a curva é parabólica, porém foi simplificada pela NBR 
em dois trechos, um parabólico seguido de um trecho reto, após a plastificação do 
material, e foi idealizado na nova NBR com a seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
Onde fcd = fck/1,4 e as deformações c2 (deformação específica de encurtamento do 
concreto no início do patamar plástico) e cu (deformação específica de encurtamento do 
concreto na ruptura) são calculadas pelas expressões: 
Para concretos até 50MPa 
c2 = 0,002 e cu = 0,0035 ( igual a NBR 6118/2003) 
 
Para concretos acima de 50MPa até o limite de 90MPa 










 −
+=
=
→














−−=
4
n
c2
c
c
100
fck90
23,41,4n:50MPafck
2n:50MPafck
ε
ε
110,85fcdσ
8 
 
 
 
 
Como o trecho elástico se apresenta na forma de uma parábola, o módulo de elasticidade 
do concreto para fins de cálculo pode ser estimado de duas formas. 
 
1º Módulo de elasticidade tangente na origem 
 
 
Neste caso o E é dado pela tangente de 0 e é calculado pela expressão: 
Para concretos com fck menor que 50MPa 
 
 
Para concretos com fck entre 50 e 90 MPa 
 
 
 
O valor de E é dado em função do tipo do agregado utilizado na preparação do concreto: 
E = 1,2 para basalto e diabásio 
E = 1,0 para granito e gnaisse (mais comum) 
E = 0,9 para calcário 
E = 0,7 para arenito 
 
 
 
 
 
( ) 530
6
50fck
1085
0020
,c2
,ε
−

+=
−
4
3
cu
100
90
1035
0026,0ε





 −

+=
−
fck
fck5600αEci E =
3
1
E
3 25,1
10
α105,21Eci 





+=
fck
9 
 
2º Módulo de elasticidade secante 
 
Este valor é estimado, a favor da segurança, traçando uma reta secante ao ponto em que a 
tensão representa uma deformação da ordem de m = 0,002 . O cálculo do Ecs é dado pela 
tangente do ângulo c. 
 
 
O valor de Ecs é 0,85Eci que é aproximadamente a diferença entre as inclinações das 
duas retas. No dimensionamento à flexão este é o valor do módulo de elasticidade que 
será utilizado. 
 
Propriedades do aço para concreto armado 
 
Os aços para concreto são ligas ferro-carbono com teor de carbono de até 2%, contendo 
apenas os elementos residuais resultantes do processo de fabricação (Mn, Si, P e S). 
Os aços podem ser do tipo doce, meio duros e duros, sendo que os aços do tipo doce 
possuem cerca de 0,25% de carbono e são utilizados na fabricação do aço CA 25. Os aços 
meio duros possuem teor de carbono entre 0,25% e 0,50%, e são utilizados na fabricação 
do aço CA 50. Por fim, os aços chamados duros com teor de carbono acima de 0,50% são 
utilizados na fabricação de cordoalhas para protensão. 
Em relação ao processo de fabricação dos aços são laminados a quente, onde sua forma 
final é obtida por laminação a alta temperatura (> 800 °C). Possui alta resistência 
mecânica, grande ductilidade e podem ser facilmente soldados. Podem também, serem 
trefilados a frio ou encruados, sua forma é obtida por trabalho mecânico (trefilação) em 
aços de menor resistência, sua resistência mecânica é obtida das tensões introduzidas no 
trabalho a frio. Estes aços possuem baixa dutilidade e não devem ser soldados. Nos 
projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR 
10 
 
7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto 
armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço 
em kN/cm2. Os diâmetros e seções transversais nominais devem ser os estabelecidos na 
NBR 7480(1996). 
A superfície das barras de aço pode ser lisa ou com mossas para conferir a barra alta 
aderência ao concreto. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação 
superficial mínimo, b, deve atender ao indicado na NBR 7480(1996). Para a NBR 6118 
(2014), a conformação superficial é medida pelo coeficiente 1, cujo valor está 
relacionado ao coeficiente de conformação superficial b , como estabelecido na tabela 
abaixo: 
 
( tabela 8.3 - NBR 6118/2014) 
 
A massa específica do aço de armaduras passivas pode ser adotada com o valor de 
7.850kg/m3. O Coeficiente de dilatação térmica, no intervalo de 20 °C e 150 °C pode ser 
tomado com o valor de 10-5/°C e o módulo de elasticidade (Ecs), na falta de ensaios, é 
igual a 210 GPa (21000kN/cm2). 
O diagrama de tensão e deformação do aço, pode ser simplificado pelo diagrama abaixo, 
cuja fase elástica se dá até o momento de deformação máxima s = 0,02 
 
Onde : 
fyk é a resistência característica ao escoamento 
11 
 
fyd é a resistência de cálculo ao escoamento, dada por fyk/s ( s é igual a 1,15) 
Como em todo aço carbono a resistência ao escoamento na tração é igual à resistência ao 
escoamento na compressão, bem como a resistência última na ruptura. 
 
Segueabaixo uma tabela de características de barras de aço para C.A. 
 
 
 
Classe de agressividade e patologias 
 
As patologias no concreto podem ser de origens físicas ou químicas: 
 
Físicas 
Erosão por abrasão: Desgaste da superfície do concreto em contato com o meio ambiente, 
muito comum em pisos e revestimentos de concreto. 
Erosão por cavitação: Desgaste ocorrido em canais de água ou outro tipo de líquido em 
alta velocidade, as bolhas de ar produzidas pela turbulência do escoamento, liberam 
bastante energia e afetam as camadas superficiais do concreto destes elementos 
estruturais. 
Deformações excessivas: Podem ser produzidas por recalques diferenciais de fundações 
ou mesmo por excesso de carga nas estruturas. A deformação lenta do concreto ao longo 
do tempo, provocada pela retração e fluência (será visto mais a diante), produzem 
patologias nas peças estruturais e principalmente nas alvenarias. 
Químicas 
Solubilização dos elementos de concreto por águas ácidas: Ocorre pela transformação do 
composto de cálcio existente no concreto por sais solúveis em água. A agressão só é 
possível se houver percolação de água pelos poros do concreto; 
f Polegada 3/16" 1/4" 5/16" 3/8" 1/2" 5/8" 3/4" 7/8" 1"
f mm 5.0 6.3 8.0 10.0 12.5 16.0 20.0 22.0 25.0
kg/m 0,154 0,245 0,395 0,616 0,963 1,579 2,466 2,984 3,854
0,196 0,312 0,503 0,785 1,227 2,011 3,142 3,801 4,909
ÁREAS DAS SEÇÕES EM cm
2
TABELA COM CARACTERÍSTICAS DE BARRAS DE AÇO PARA ARMADURAS DE CONCRETO ARMADO
P/ Barra
12 
 
Ação de águas Sulfatadas: Caracteriza-se pelo ataque ao componente Aluminato 
tricálcico (C3A), existente na pasta do cimento. Uma solução é a diminuição do C3A 
com a adição de óxido férrico, são os chamados cimentos resistentes a sulfatos - Cimento 
Portland CP (RS) 
Reação álcali-agregado: Ocorre devido a reação dos componentes alcalinos do cimento 
com componentes de certos agregados, produzindo uma reação expansiva. A reação 
expansiva mais importante é a álcali-sílica, que somente ocorrerá quando houver sílica 
reativa, álcalis e água suficiente para que possa ocorrer a expansão. A pozolana 
(microsílica) é um componente capaz de acelerar a reação dos álcalis com sílica ainda na 
fase de concreto fresco, consumindo os álcalis do cimento, evitando-se assim que a 
reação ocorra após o endurecimento do concreto. Esta é a base do chamado Cimento 
Pozolâmico CPIV. 
 
Corrosão da armadura 
 
A corrosão de amaduras de concreto se dá por um processo eletroquímico, em que a 
diferença de potencial elétrico entre as barras ou em pontos diferentes da mesma barra 
contribui para a movimentação de íons de um ponto para o outro, causando oxidação do 
metal ferroso (aço das barras). O fenômeno transforma o aço em óxido de ferro e é um 
fenômeno expansivo, daí o fato das camadas de cobrimento da armadura se romperem 
quando há oxidação avançada da armadura. As armaduras de aço dentro da massa de 
concreto são protegidas contra corrosão pelo fenômeno da passivação do aço. Devido a 
grande alcalinidade do meio em que está a armadura ( pH >12) a camada microscópica de 
óxido de ferro, chamada película passivadora, impede a dissolução dos íons de ferro 
tornando impossível a corrosão, iônica, que é a causa da ferrugem no aço. 
 
Os processos que abaixam o pH da estrutura, consumindo o hidróxido de cálcio da pasta 
de cimento e permitindo a destruição da película passivadora são: 
a) Carbonatação da camada de cobrimento; 
13 
 
b) Presença de íons cloreto ( Cl-) ou de poluição atmosférica muito alta; 
c) Lixiviação do concreto na presença de fluxos de água que percolem através de sua 
massa. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG 
Com a perda da camada pasivadora a armadura fica exposta a corrosão, lembrando que: 
“Para que ocorra a corrosão é necessário que existam oxigênio e água, na ausência de um 
destes dois componentes, mesmo se a camada passivadora estiver destruída não 
acontecerá a corrosão.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carbonatação → Corrosão generalizada Ataque por cloretos → Corrosão Localizada 
Figura apostila do Prof. J.M Calixto - UFMG 
 
A carbonatação é a percolação do gás carbônico através dos vazios da camada de 
cobrimento da armadura ao longo dos anos. O tempo que o gás carbônico demora para 
chegar até a armadura, e proporcionar a despassivação, depende diretamente da espessura 
da camada de cobrimento. O mesmo acontece com o ataque por cloretos, a despassivação 
por cloretos é sempre localizada e de grande intensidade, portanto mais agressiva que a 
carbonatação que ocorre ao longo de toda a armadura e com menor agressividade. 
Contudo as duas situações levam a degeneração da armadura por ferrugem. Vale 
14 
 
ressaltar que após a despassivação da armadura a corrosão é muito rápida, então deve-se 
projetar as cobrimentos de forma que a camada passivadora se mantenha intacta durante 
toda a vida útil da estrutura. Segue abaixo uma tabela com a relação entre o tempo de 
penetração do CO2 ou CL
- e a espessura de camada de cobrimento. 
 
A NBR 6118/2014 e a NBR 12655/2015 prescrevem uma série de medidas para a 
proteção da estrutura contra o ataque de agentes nocivos, dentre elas os limites de 
cobrimentos, o fck mínimo e a relação água cimento máxima para cada classe de 
agressividade ambiental. Segue abaixo as tabelas retiradas da norma. 
 
( tabela 6.1 - NBR 6118/2014) 
 
 
( tabela 7.1 - NBR 6118/2014) 
 
Profundidade de 
carbonatação ou 
penetração de íons 
cloreto
Tempo em 
anos
10 mm 5
15 mm 20
20 mm 50
25 mm 100
15 
 
 
( tabela 2- NBR 12655/2015) 
 
 
(tabela 7.2 - NBR 6118/2014) 
 
 
Para condições especiais de exposição, os concretos devem atender aos requisitos da 
tabela 2 da NBR 12655: 
16 
 
 
 
( tabela 2- NBR 12655/2015) 
Em casos especiais, que possam ser feitos ensaios, ou mesmo que se tenha os dados 
técnicos suficientes para a análise do ambiente aquoso agressivo que será submetido o 
concreto, a NBR 12655/2015 fornece tabelas que facilitam a análise da classe de 
agressividade que deverá ser utilizada no projeto. 
 
( tabela A.1- NBR 12655/2015) 
 
17 
 
 
( tabela 4- NBR 12655/2015) 
 
A NBR 12655/2015 estabelece que concretos estruturais não podem ser aditivados com 
materiais que possuem cloretos em sua composição, considerando a contribuição de todos 
os componentes no concreto deve-se atentar para os limites ( teor máximo de ions 
cloreto) constantes na tabela 5. 
 
 ( tabela 4- NBR 12655/2015) 
 
Outras medidas devem ser tomadas para garantir a longevidade da estrutura, detalhes 
arquitetônicos, como pingadeiras, execução de mísulas nos encontros de paredes 
estruturais de concreto, juntas de dilatação protegidas com elementos impermeabilizantes, 
entre outros. Contudo a NBR 14931:2003 - Execução de estruturas de concreto – 
Procedimento, define critérios para a execução das estruturas que visam garantir a 
18 
 
longevidade e a segurança das peças de concreto armado. Segue abaixo alguns dos 
principais itens que devem se atendidos em relação a estes requisitos de qualidade: 
Concretagem em temperatura muito fria 
A temperatura da massa de concreto, no momento do lançamento, não deve ser inferior a 
5°C. A concretagem deve ser suspensa sempre que estiver prevista queda na temperatura 
ambiente para abaixo de 0°C nas 48 h seguintes. 
Concretagem em temperatura muito quente 
Quando a concretagem for efetuada em temperatura ambiente muito quente (≥ 35°C) e, 
em especial, quando a umidade relativa do ar for baixa (≤ 50%) e a velocidade do ventoalta (≥ 30 m/s), devem ser adotadas as medidas necessárias para evitar a perda de 
consistência e reduzir a temperatura da massa de concreto. Imediatamente após as 
operações de lançamento e adensamento, devem ser tomadas providências para reduzir a 
perda de água do concreto. A concretagem deve ser suspensa se as condições ambientais 
forem adversas, com temperatura ambiente superior a 40°C ou vento acima de 60 m/s. 
Juntas de concretagem 
O concreto deve ser perfeitamente adensado até a superfície da junta, usando-se fôrmas 
temporárias, quando necessário, para garantir apropriadas condições de adensamento. 
Antes da aplicação do concreto, deve ser feita a remoção cuidadosa de detritos. Antes de 
reiniciar o lançamento do concreto deve ser removida a nata da pasta de cimento e feita a 
limpeza da superfície da junta, com a retirada do material solto. Pode ser necessário para 
se obter a aderência desejada o jateamento de abrasivos ou o apicoamento da superfície 
da junta, com posterior lavagem, de modo a deixar aparente o agregado graúdo. Nesses 
casos, o concreto já endurecido deve ter resistência suficiente para não sofrer perda 
indesejável de material, gerando a formação de vazios na região da junta de concretagem. 
Podem ser utilizados produtos para melhorar a aderência entre as camadas de concreto 
em uma junta de concretagem, desde que não causem danos ao concreto e seja possível 
comprovar desempenho ao menos igual ao dos métodos tradicionalmente utilizados. As 
juntas de concretagem, sempre que possível, devem ser previstas no projeto estrutural e 
estar localizadas onde forem menores os esforços de cisalhamento, preferencialmente em 
posição normal aos esforços de compressão. No caso de vigas ou lajes apoiadas em 
pilares, ou paredes, o lançamento do concreto deve ser interrompido no plano horizontal. 
19 
 
 
Tempo de permanência de escoramentos e fôrmas 
Escoramentos e fôrmas não devem ser removidos, em nenhum caso, até que o concreto 
tenha adquirido resistência suficiente para: 
a) Suportar a carga imposta ao elemento estrutural nesse estágio; 
b) Evitar deformações que excedam as tolerâncias especificadas; 
c) Resistir a danos para a superfície durante a remoção. 
d) “Se a fôrma for parte integrante do sistema de cura, como no caso de pilares e 
laterais de vigas, o tempo de remoção deve considerar os requisitos de cura” 
 
Cura do Concreto 
 “Cura é o conjunto de operações ou procedimentos adotados para proteger a superfície 
dos elementos estruturais (contra temperaturas muito altas ou muito baixas, impactos, 
desgastes prematuros, dessecação prematura) e, principalmente, evitar que a água usada 
no amassamento e destinada à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente 
pelas regiões superficiais do concreto.” 
(Figueiredo- 2008) 
“A cura é sempre necessária para evitar que a água usada no amassamento e destinada 
à hidratação do cimento evapore precocemente ao ambiente pelas regiões superficiais do 
concreto. A água é parte integrante do processo de pega e endurecimento, 
consequentemente não poderá ser perdida sob pena de deixar vazios e criar esforços de 
retração hidráulica. Desta forma, quando uma mistura corretamente dosada é seguida 
de cura úmida, durante os primeiros estágios de endurecimento será conferido ao 
concreto as melhores condições para se tornar um material de baixa permeabilidade, de 
baixa absorção de água, de alta resistência à carbonatação e à difusão de íons, e com 
resistência mecânica e durabilidade adequada.” 
(Fernandes – 2008) 
 
20 
 
O CEB – comitê europeu de concreto - recomenda para ao tempo de cura dos elementos 
estruturais uma relação entre a classe de agressividade, o clima na região da concretagem 
a sensibilidade do concreto ( relação água cimento). O gráfico abaixo pode ser utilizado 
com segurança para as estruturas usuais. 
 
 
Tempo de cura 
Aresta 1 = 1 a 3 dias 
Aresta 2 = 5 a 7 dias 
Aresta 3 = 10 a 14 dias 
 
 
Capítulo 2 - Análise estrutural – Segurança e Desempenho 
 
As ações em edifícios de concreto armado podem ser de origem permanente (g) ou 
variável (q). As cargas permanentes são advindas do peso próprio das estruturas e dos 
objetos e/ou equipamentos que compõem a estrutura, estas cargas não variam ao longo da 
vida útil do edifício, ou pelo menos, não poderiam variar. Já as cargas de origem 
variáveis, como próprio nome diz, são acidentais e ocorrem em ciclos alternados durante 
a vida da estrutura. As cargas acidentais são as sobrecargas de móveis, pessoas, ações de 
vento, sismos e outras que por ventura possam ocorrer na estrutura. O gráfico abaixo 
mostra o comportamento das ações, variáveis (sobrecarga e vento) e permanentes em uma 
estrutura. 
 
21 
 
De açor com a regra de Turkstra “O máximo efeito de uma combinação de ações se dará 
no instante em que uma das ações variáveis atingir seu valor máximo. O colapso se dá 
neste instante.” 
 
 
 
Método dos estados limites 
 
Estados limites últimos - E.L.U 
 
Estados limites últimos são aqueles relacionados com a segurança da estrutura. A 
ocorrência deste estado-limite significa sempre o colapso estrutural. Em uma estrutura de 
concreto armado deve-se verificar o E.L.U de esmagamento da seção de concreto, do 
escoamento por tração ou compressão do aço da Armadura e do cisalhamento da seção de 
concreto por solicitações tangenciais (esforços cortantes). Nos elementos submetidos a 
Flexão Simples a ruína e caracterizada no concreto quando atinge uma deformação 
específica c = 0,0035, e no aço das armaduras quando atinge uma deformação específica 
s = 0,010. Este limite de escoamento do aço se dá em função do esmagamento do 
concreto, pois sabemos que o aço possui ductilidade para se alongar com deformações 
muito superiores a esta. Contudo, para que estes estados limites não ocorram nas 
estruturas faz-se necessário um dimensionamento que leva em consideração a relação 
entre o carregamento e a resistência. No E.L.U os carregamentos ou ações são majorados 
e as resistências minoradas por um coeficiente de ponderação. A estrutura estará 
verificada se a solicitação de cálculo for menor que a resistência de cálculo, ou seja: 
22 
 
Sd ≤ Rd. Onde Sd é a somatória das ações com seus respectivos coeficientes de 
ponderação e Rd é a resistência da peça minorada com seus respectivos coeficientes de 
minoração. 
Os coeficientes de minoração e majoração das ações são dados pela tabela abaixo: 
 
(tabela 11.1 - NBR 6118/2014) 
 
(tabela 11.2 - NBR 6118/2014) 
 
O coeficiente f é utilizado para majorar a ação principal e o coeficiente f2 para minorar a 
ação secundária, quando se tem nas combinações de cálculo mais de uma ação variável. 
23 
 
No cálculo das combinações de e ações deve ser utilizado a NBR 6120/80 – carga para 
cálculo de estruturas de edificações – esta norma possui uma relação de valores 
característicos de ações permanentes e variáveis. Estes valores devem ser majorados ou 
minorados nas combinações de cálculo no E.L.U. A equação para o cálculo da 
combinação de ações em ELU é dada pela NBR 8681. 
 
 
Onde: 
Fgi,k são valores característicos de ações permanentes 
Fqi,k são valores característicos de ações variáveis principais 
Fqj,k são valores de característicos de outras ações variáveis 
 é o coeficiente de ponderação (tabelados) 
 é o fator de combinação (tabelados) 
 
Ação da água 
 
O nível d’água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao 
máximo possível compatível com o sistema de extravasão, considerando apenas o coeficiente f = 1,2, 
conforme NBR8681. Nas estruturas em que a água de chuva possa ficar retida deve ser considerada a 
presença de uma lâmina de água correspondente ao nível da drenagem efetivamente garantida pela 
construção. 
(item 11.4.1.3 NBR 6118/2014). 
 
( ) ( )
==
++
n
j
kqjojqjkqqi
m
i
kgigi FFF
2
,,1
1
, 
24 
 
Estados limites de Serviço - E.L.S 
 
O estado limite último, como visto anteriormente, será sempre utilizado para o cálculo da 
resistência da estrutura na situação mais extrema que a peça poderá ser solicitada em toda 
sua vida útil. Será visto mais tarde que para dimensionar a armadura da seção 
utilizaremos sempre o ELU. No entanto, as estruturas em geral, e em particular as de 
concreto, também devem ser verificadas em situação de serviço chamado aqui de Estado 
Limite de Serviço ou simplesmente ELS. As combinações de cálculo no ELS serão 
compostas sempre dos valores característicos das ações e da sobrecarga minorada em um 
determinado fator, denominado 1 ou 2, que são dados pela tabela 11.2 da NBR 6118. 
Já as combinações de cálculo variam conforme a característica das cargas e são dadas 
pela tabela 11.4 da NBR 6118. 
 
 
 
As peças de concreto armado devem ser verificadas em situação de serviço para as três 
situações abaixo: 
 
Estado limite de deformações excessivas; 
Estado limite de abertura de fissuras; 
Estado limite de vibrações excessivas; 
 
Todos estes estados têm a ver com o conforto e a durabilidade da estrutura e serão vistos 
mais adiante no curso. 
25 
 
 
Utilizaremos neste curso a combinação quase permanente de serviço, cuja expressão é: 
 
 
 
Nota: Para efeitos práticos considerar sempre o coeficiente 2 igual a 0,3 para edifícios 
residenciais, 0,4 para edifícios comerciais e 0,6 para edifícios industriais e bibliotecas. 
 
 
*** 
 
( )qgP 2ELS  +=
26 
 
 
Capítulo 3 – Deformações e esforços em vigas e lajes 
 
Como foi visto no capítulo anterior um dos estados limites de serviço mais importantes é 
o estado limite de deformação excessiva, portanto as estruturas de concreto, em particular 
as vigas e lajes devem ser dimensionadas para atender aos limites máximos de 
deformação ao longo de toda sua vida útil. A NBR 6118 fixa limites de deformação que 
devem ser observados, a tabela 13.3 trás os valores limites de deslocamentos verticais: 
 
 
Na prática, para edifícios usuais, o valor mais utilizado é l/250, portanto este limite será 
utilizado neste curso para todos os elementos a serem dimensionados nos exercícios, 
deixando claro que em situações de projeto a tabela acima deve ser utilizada para cada 
caso em particular, em função dos carregamentos e da característica da edificação. 
27 
 
 
Contra flecha 
 
A norma possibilita a adoção de contra flechas nas estruturas. A contra flecha é uma 
curvatura imposta a estrutura no sentido contrário a deformação do peso próprio, de tal 
forma que, ao se retirar o cimbramento a deformação imediata será a deformação elástica 
menos a contra flecha. Esta deformação imposta é feita por intermédio do 
posicionamento e nivelamento da fôrma, produzindo-se um arco contrário à deformação 
produzida pelas cargas gravitacionais na estrutura. O limite para contra flecha em 
estruturas de concreto é l/350, sendo l o valor do vão livre entre apoios. 
 
Deformações em Vigas de C.A. 
 
O cálculo exato da deformação em elementos de concreto armado sempre foi um grade 
desafio para os engenheiros, a grande disparidade entre os valores encontrados na prática 
e os valores calculados demonstra as incertezas sempre constantes no dimensionamento 
de elementos fletidos de concreto armado. Não é incomum encontrar em obras contra-
flechas “permanentes”, ou seja, calcula-se uma contra flecha e após a desforma tem se 
uma surpresa, a deformação imediata prevista não ocorre da forma que foi calculada. Por 
outro lado a situação também recorrente é a obtenção de flechas muito maiores que a as 
previstas, principalmente a deformação ao longo dos anos. O uso indiscriminado de 
softwares de computador por profissionais com pouca experiência em dimensionamento, 
ou mesmo com certo grau de relaxamento nas análises, vem contribuindo para o aumento 
das patologias provocadas por deformações excessivas em estruturas de concreto armado, 
fato preocupante nos dias atuais. 
O cálculo de deformações em elementos fletidos de concreto armado deve levar em 
consideração a rigidez equivalente da seção fissurada e ao longo dos anos os efeitos 
reológicos do concreto, fluência e retração, que contribuem para aumentar 
consideravelmente a deformação. Porém, não é incomum encontrar dimensionamentos 
que desconsideram estes efeitos, por desconhecimento ou mesmo negligência. 
 
 
 
 
28 
 
Rigidez equivalente 
 
Aprendemos no curso de resistência dos materiais que a flecha em uma viga é função da 
sua rigidez (produto do módulo de elasticidade do material pelo momento de inércia a 
flexão da seção) da carga, do vão livre e das condições de contorno da peça (engastada ou 
apoiada). Para o concreto armado todas estas variáveis são válidas e a equação da flecha é 
calculada da mesma forma que na resistência clássica. Porém, o concreto possui uma 
característica que o difere dos demais materiais, como por exemplo, do aço. A rigidez ao 
longo da viga não é constante. O módulo de elasticidade pode ser considerado constate e 
é sempre igual a Ecs (módulo secante), porém o momento de inércia varia com carga e a 
taxa de armadura que há na seção, e, portanto, não pode ser considerada bruta como no 
caso das estruturas de aço. 
Como já foi visto no capítulo 1 o concreto não possui resistência a tração, portanto 
sempre que uma seção submetida a flexão é carregada com um momento tal que a 
resistência a tração do concreto e atingida aparece na seção a primeira fissura. Esta 
fissura ocorre porque há a transferência de carga do concreto para a armadura, neste 
momento então não se pode mais dizer que a seção está trabalhando de forma “bruta”. Há 
uma parte da seção que está fissurada e não é capaz de atribuir rigidez a peça. Dizemos 
que a estrutura passou de “estádio”, ou seja, do estádio I, onde ainda as tensões são 
proporcionais às deformações e a estrutura não está fissurada, para o estádio II onde a 
estrutura fissurou e não se comporta segundo a lei de Hook, ou seja, não há um 
comportamento linear entre a tensão e a deformação. 
Com a diminuição da rigidez, a estrutura no estádio II , obviamente, irá se deformar mais, 
o segredo é saber o quanto mais e o quanto da inércia é perdida com a fissuração. Um 
pesquisador chamado Branson estudou o caso e formulou uma equação que nos permite 
estimar de forma aproximada uma rigidez equivalente ao longo de toda viga que se 
aproxima da situação real e é bastante segura para ser utilizada em dimensionamentos 
estruturais. A NBR 6118 recomenda a equação de Branson para a verificação do estado 
limite de deformação excessiva: 
 
 
 
ccsII
a
r
c
a
r
csEQ IEI
M
M
I
M
M
EEI 






















−+





=
33
1)(
29 
 
Onde : 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto 
Ic é o momento de inércia da seção bruta dado por bwh
3/12, sendo bw a base da viga e h a 
altura total; 
III é o momento de inércia da seção fissurada, que deve ser calculado levando em conta a 
taxa de armadura e a altura real da linha neutra após a fissuração. Este cálculo será visto 
mais adiante, neste momento tomaremos de forma aproximada o valor de III igual a 40%de Ic; 
Ma é o momento de serviço da estrutura calculado com a carga em ELS 
Mr é o momento que causa a primeira fissura na estrutura, chamado aqui de momento de 
fissuração. 
 
Cálculo do momento de fissuração 
 
 
 
e 
 
Onde: 
yt é a distância de fibra mais tracionada ao CG da seção e fct,m é a tensão média resistente 
a tração do concreto. 
A constante 1,5 é utilizada para seções retangulares, no caso de seções T (lajes 
nervuradas ou mesmo vigas calculadas como tal) esta constante é igual a 1,2 
 
Efeitos reológicos (retração e fluência) - deformação diferida no tempo 
 
Além do problema da fissuração, uma seção de concreto também sofre com o tempo a 
perda constante de água. A saída de água da seção produz retração hidráulica no concreto 
e esta retração aumenta o estado de fissuração, consequentemente diminuindo a rigidez 
ainda mais. Há também o efeito de fluência, que também está relacionado com a saída de 
água da estrutura, só que desta vez por causa da compressão constante provocada por 
cargas de longa duração. Estes dois fenômenos, principalmente a fluência aumentam em 
muito a deformação do concreto ao longo dos anos, este valor pode chegar a 3 vezes o 
valor da flecha imediata (elástica), portanto, devem ser considerados no cálculo da flecha, 
6
hbf51
Mr
6
hbw
y
I
como
y
If51
Mr
2
wmct
2
t
c
t
cmct =

= ,,
,
 :I estádio 
,
3
2
mct fck30f ,, =
30 
 
'


501
f
+
=
que passará a se chamar flecha diferida no tempo ou tempo infinito - f∞. De acordo com 
o item 17.3.2.1.2 da NBR6118, a determinação da flecha diferida no tempo para vigas de 
concreto armado, em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela 
multiplicação da flecha imediata - fe - pelo fator f: 
( ) ef1f f+=
 , sendo , e 
bd
As
='
 
  é um coeficiente função do tempo, calculado pela expressão: )()( 0tt  −= 
Sendo assim, com auxílio da tabela 17.1 da NBR 6118, tomamos o valor de t (tempo que 
se quer saber a flecha) e t0 (tempo que foi retirado o cimbramento) , que podem variar de 
0,54 para 15 dias até 2 para o tempo infinito. 
 
 
No momento em que estamos pré-dimensionado a estrutura ainda não sabemos a taxa de 
armadura, sendo assim a favor da segurança podemos, no pré-dimensionamento, definir a 
parcela 50’ = 0. 
Neste curso trabalharemos com a retirada do cimbramento acontecendo sempre aos 15 
dias e o cálculo da flecha no tempo infinito, com isso a flecha final (diferida no tempo) 
será igual a: 
( ) eeef 462f
01
5402
11f f,f
,
f =→





+
−
+→+=  
 
Ou seja, a flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior 
que a flecha elástica inicial - fe. 
 
Deformações em lajes retangulares de C.A. 
 
As lajes de concreto retangulares podem ser divididas em dois tipos, lajes armadas em 
uma direção e lajes armadas em duas direções. 
 
 
 
31 
 
Lajes armadas em uma direção 
 
As lajes armadas em uma direção são aquelas cuja carga da laje é distribuída, 
predominantemente, em apenas duas vigas, ou seja, não se comportam como placas, se 
comportam como vigas. Um exemplo clássico de lajes armadas em uma direção é a laje 
conhecida como pré-fabricada. Neste tipo de laje há apoio apenas em uma direção, na 
direção das vigotas, esta laje é uma laje tipo nervurada (será estudada em concreto II), 
cujo peso (g + q) é descarregado nas vigotas que por sua vez descarrega nas vigas de 
apoio. Porém, existem também as lajes maciças armadas em uma direção, este fato 
ocorre sempre que a relação entre um dos lados da laje e o outro é maior que 2. Este fato 
pode ser observado pela teoria das grelhas, desenvolvida por Marcus: 
Dado três tipos de lajes com o mesmo carregamento P e apoiadas nas quatro bordas, se 
igualarmos as fechas elásticas no ponto central de cada laje, considerando uma faixa de 
1m para cada lado (vigas bi apoiadas) teremos as flechas na direção 1 ( maior lado) e na 
direção 2 (menor lado), dadas pela equação clássica da resistência dos materiais: 
 
 
Sendo q1 o quinhão de carga na direção do maior lado e q2 o quinhão na direção de menor 
lado 
 
Para laje 3 temos: 
 
 
 
Para laje 2 temos: 
 
 
EI384
Lq5
f
4
2
2 =
EI384
Lq5
f
4
1
1 =
2
4
2
4
1
4
2
4
1
21 q1q10q10q
EI384
10q5
EI384
10q5
ff =→=→=→=
224
4
1
4
2
4
1
4
2
4
1
21 4,0
10
8
810
384
85
384
105
qqqqq
EI
q
EI
q
ff ==→=→=→=
32 
 
 
Para laje 1 temos: 
 
 
 
Observe que quanto maior a relação entre o lado de f1 e o lado de f2 menor a parcela de 
carga que sobra para q1, ou seja, quando a relação se distancia de 2, o quinhão de carga 
que descarrega na viga menor se aproxima de zero, por isso, a favor da segurança, sempre 
que esta relação for maior que 2 trataremos a laje armada em uma direção, jogando todo 
carregamento nas vigas maiores. Também para efeito de segurança não descarregaremos 
totalmente a viga menor, de forma prática atribuiremos a elas um carregamento de 25% 
da carga total. O cálculo da deformação neste tipo de laje é feito da mesma forma que 
nas vigas, utilizando as equações clássicas da resistência dos materiais para os três tipos 
possíveis de condições de contorno, e sempre na faixa de maior quinhão de carga, 
denominada aqui como sendo simplesmente lado a e o outro lado será o lado b. Assim, a 
relação b/a será sempre utilizada como parâmetro para o dimensionamento das lajes em 
uma e duas direções. 
Tipos de condições de contorno possíveis 
 
 
 
1º Caso: laje biapoiada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
ELS
e
IE
LP

=
384
5
f
4 
2º Caso: laje Apoiada e engastada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
ELS
e
IE
LP

=
185
f
4 
3º Caso: laje biengastada 
Equação da flecha elástica inicial: 
ccs
ELS
e
IE
LP

=
384
f
4 
 
224
4
1
4
2
4
1
4
2
4
1
21 06,0
10
5
510
384
55
384
105
qqqqq
EI
q
EI
q
ff ==→=→=→=
33 
 
Onde: 
Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto 
Ic é o momento de inércia da seção bruta dado por bh
3/12, sendo b um valor constante 
igual a 1m ou 100cm e h a altura da laje. 
 Para considerarmos o fato de parte da laje estar trabalhando no estádio II, devemos 
dividir a flecha elástica inicial por 0,7 (70% de EI). Isso não impossibilita o cálculo 
exato, pela equação de Branson, como visto na seção anterior. Sendo que para isto a laje 
deverá ser calculada por um processo exato (elemento finitos, por exemplo) para se 
determinar as regiões em que o concreto está no estádio I e as regiões em que está no 
estádio II. O processo é muito laborioso e na maioria dos casos leva a resultados 
próximos de 70% da rigidez, o que justifica a simplificação. 
A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a 
flecha imediata ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência e 
retração, similar ao que foi feito nas vigas. 
Lajes armadas em duas direções ou em cruz 
São aquelas cuja relação b/a é menor que 2. Neste tipo de laje o comportamento da 
estrutura é de placa, diferente da viga. A rigidez a flexão e acompanhada pela rigidez a 
torção e o sistema trabalha em conjunto conferindo a estrutura uma rigidez muito maior 
que no caso das faixas em uma direção. As flechas são menores e podem ser calculadas 
pela equação diferencialde placa: 
 
 
 
 
Onde: 
w é o deslocamento vertical (transversal à placa) 
x e y são a direções principais 
( )2
3
4
4
22
4
4
4
112
Eh
D
D
q
y
w
yx
w
2
x
w
−=→−=

+


+


34 
 
q é a carga por unidade de área 
D é a rigidez da placa 
Não é difícil perceber que o cálculo de deformação em placas deste tipo é muito 
complicado e envolve uma matemática pouco prática. Sendo assim, foram desenvolvidas 
diversas tabelas de lajes para facilitar o cálculo. Dentre elas a clássica tabela de Marcus 
que se utiliza da teoria das grelhas, conforme já visto anteriormente. E a Tabela de Bares, 
que utilizaremos neste curso. Bares deduziu os valores da equação da placa para diversas 
condições de contorno e relações de b/a, condensou seu trabalho em tabelas, tanto para o 
cálculo dos esforços quanto para calcular as flechas. 
 
Observe que Bares dividiu as lajes em função das condições de contorno (engastada e 
apoiada) em 6 grupos A até F. 
 
 
Para utilizar a tabela de Bares é importante mostrar que o lado a nem sempre é o lado 
menor. Para os casos B e E o lado a pode ser o maior vão, porém, com maior número de 
engastes. Por isso a tabela possui valores de b/a menores que 1, limitado é claro a 0.55, 
pois abaixo deste valor a laje deve ser considerada armada em uma direção. 
 
A C
D
E
F
a ≤ b
a ≤ b
a ≤ ba a
b
b b 
B
a
b
35 
 
Tipo
de
Laje
b/a fi fi fi fi fi fi
0,50 0,000 0,007 0,000 0,006 0,004 0,000
0,53 0,000 0,008 0,000 0,007 0,004 0,000
0,55 0,000 0,009 0,000 0,008 0,005 0,000
0,58 0,000 0,010 0,000 0,009 0,005 0,000
0,60 0,000 0,011 0,000 0,010 0,006 0,000
0,63 0,000 0,013 0,000 0,011 0,007 0,000
0,65 0,000 0,014 0,000 0,012 0,007 0,000
0,68 0,000 0,016 0,000 0,013 0,008 0,000
0,70 0,000 0,017 0,000 0,014 0,009 0,000
0,73 0,000 0,019 0,000 0,015 0,010 0,000
0,75 0,000 0,020 0,000 0,015 0,011 0,000
0,78 0,000 0,021 0,000 0,016 0,012 0,000
0,80 0,000 0,022 0,000 0,017 0,012 0,000
0,83 0,000 0,024 0,000 0,018 0,013 0,000
0,85 0,000 0,025 0,000 0,019 0,014 0,000
0,88 0,000 0,028 0,000 0,020 0,015 0,000
0,90 0,000 0,031 0,000 0,020 0,015 0,000
0,93 0,000 0,031 0,000 0,021 0,016 0,000
0,95 0,000 0,030 0,000 0,021 0,017 0,000
0,98 0,024 0,032 0,013 0,022 0,018 0,008
1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015
1,03 0,051 0,034 0,026 0,024 0,019 0,016
1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016
1,08 0,055 0,036 0,028 0,024 0,021 0,017
1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018
1,13 0,060 0,038 0,031 0,025 0,022 0,019
1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019
1,18 0,064 0,040 0,033 0,026 0,023 0,020
1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020
Tabela - Flecha Elástica em Lajes Retangulares (Bares)
 
36 
 
 
 
 
1,23 0,069 0,042 0,035 0,027 0,024 0,021
1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021
1,28 0,073 0,044 0,037 0,027 0,025 0,022
1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022
1,33 0,077 0,045 0,039 0,028 0,026 0,023
1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023
1,38 0,081 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024
1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024
1,43 0,085 0,048 0,042 0,029 0,027 0,025
1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025
1,48 0,089 0,050 0,044 0,029 0,027 0,026
1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026
1,53 0,092 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027
1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027
1,58 0,096 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027
1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027
1,63 0,099 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027
1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027
1,68 0,102 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028
1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028
1,73 0,105 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028
1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028
1,78 0,108 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028
1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028
1,83 0,111 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029
1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029
1,88 0,113 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029
1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029
1,93 0,115 0,057 0,053 0,030 0,029 0,029
1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029
1,98 0,118 0,058 0,055 0,030 0,029 0,029
2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 0,029 0,029
O valor da flecha é dada por: 
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão







=
3
4
hE
pa
ff
cs
i
37 
 
O valor da flecha imediata é calculado pela expressão: 
 







=
3
cs
4
ELS
i
hE
aP
fef
, observe que a tabela não foi feita com o valor do Momento de inércia 
Ic do concreto, sendo assim para considerarmos o efeito da possível fissuração da laje, da 
mesma forma que nas lajes em uma direção, utilizaremos o fator de minoração no cálculo 
do Ecs, multiplicando o valor do módulo de elasticidade por 0,7 ou seja, utilizando 70% 
da rigidez bruta. A equação será então: 
 









=
3
cs
4
ELS
i
hE
aP
fEf
 
7,0
fE
E
II
f
=
 
EIIf462 = ,f
 
Nota: para lajes nervuradas utilizaremos um fator de 30% da rigidez bruta, ou seja, para 
lajes nervuradas: 
3,0
fE
E
II
f
=
 
A flecha final que deve ser comparada a flecha limite deve ser 2,46 vezes maior que a 
flecha imediata acima ou flecha elástica para levar em consideração os efeitos da fluência 
e retração, similar ao que foi feito nas vigas. 
Nota: as lajes podem ter sua altura pré-dimensionada em função da flecha máxima 
deferida no tempo f∞, através de uma equação do 3 grau: 
0qgh250h 2
3 =+++− )'(,  
Onde: h é a altura desejada; g’ é a carga permanente menos o peso próprio da laje e  é 
dado pela expressão: 








=
−44 10af
Ef
i
csE
 
Para lajes maciças utilizar 70% da rigidez 
e para lajes nervuradas 30%. 
 
Lembrando que a flecha elástica que se deseja (fE) deve ser a flecha elástica no estádio II 
(fEII) dividida pelo coeficiente de fluência  = . 
 
Condições de Contorno 
A utilização da tabela de Bares torna imprescindível o conhecimento das condições de 
contorno da estrutura. A simples colocação de uma armadura negativa sobre a união de 
duas lajes pode torná-la engastada, como também a falta destes torna a ligação rotulada, 
por conseqüência a laje fica apoiada. Porém, deve-se também levar em consideração a 
capacidade física de uma laje engastar a outra, lajes muito pequenas sempre estarão 
engastadas nas lajes maiores, no entanto o inverso não é verdadeiro as lajes maiores 
38 
 
somente poderão ser consideradas engastadas se a dimensão da menor for suficiente para 
suportar os esforços deste engastamento. Segue abaixo uma regra prática de 
dimensionamento de lajes largamente utilizada: 
 
A regra mostra que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a 
distância D1 for maior que 1/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor 
poderá ser considerada engastada na maior. 
Outro fator importante é a existência de furos (aberturas) nas lajes. Estas aberturas 
também podem interferir no engastamento da laje. 
 
 
2
3
1
1 DD 
2
3
1
1 DD 
2
3
2
1 DD 
2
3
2
1 DD 
39 
 
 Observe que a laje maior somente poderá ser considerada engastada na menor se a 
distância D1 for maior que 2/3 da distância D2, caso contrário somente a laje menor 
poderá ser considerada engastada na maior. 
 
 
Determinação de esforços em vigas 
 
As vigas são elementos prismáticos sujeitos a flexão e às vezes a flexo-compressão, 
podendo ser contínuas ou simplesmente biapoiadas.Nos cursos de resistência dos 
materiais ou mesmo estruturas (isostáticas e hiperestáticas), os modelos para cálculo já 
vêm com a carga distribuída ou concentrada. O aluno não precisa se preocupar de onde 
vêm aqueles valores. Porém, a partir de agora toda aquela teoria estudada será preciso 
para resolver uma situação real de cálculo estrutural e a carga distribuída ou concentrada 
terá que ser determinada. Neste curso veremos como se procede o carregamento de vigas 
sob lajes armadas em uma direção e em cruz, sendo que para esta última utilizaremos a 
tabela de lajes de Bares. 
 
Vigas que suportam lajes unidirecionais 
Imaginemos uma laje pré-moldada de um edifício residencial, conforme figura abaixo, 
cujas vigotas descarregam nas vigas V1 e V2: 
 
40 
 
 
Corte AA 
Em uma faixa de 1m, temos as seguintes áreas: 
Vigotas 2 seções de 129cm2 
Capa 400cm2 
Reboco 250cm2 
Piso e contrapiso 250cm2 
Valendo da tabela da NBR 6120 atribuímos a cada área seu peso característico e 
encontramos o peso total em 1m2 de laje, exemplo: 
Vigotas 0,0129m2 x 1m x 25 kN/m3 = 0,3225kN 
Capa 0,04m2 x 1m x 25 kN/m3 = 1kN 
Piso e contrapiso 0,03m2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,63kN 
Reboco teto 0,025m2 x 1m x 21 kN/m3 = 0,525kN 
Enchimento de EPS possui peso desprezível 
Peso total 2,48kN/m2 
Como a laje descarrega em V1 e V2 basta calcular as reações de apoio de uma viga 
biapoiada na faixa de 1m, com o vão considerado, exemplo: 
 
 
As reações de apoio em V1 e V2 
2,48 x 3,5 /2 = 4,34 kN para cada viga. Como a carga foi calculada na faixa de 1m 
podemos afirmar que a laje descarrega na viga uma carga distribuída de 4,34kN/m. Além 
do peso das lajes devemos ainda considerar o peso próprio da viga (15 x 30), logo a carga 
total distribuída na viga será: 
 4,34 + (0,15 x 0,30 x 25) = 5,46kN/m. 
41 
 
 
Lembrando que esta carga distribuída está em seus valores característicos, devendo para 
efeito de cálculo em ELU ser majoradas em 40%. 
Vamos continuar o exemplo adicionando à viga os esforços de sobrecarga de 1,5kN/m2 e 
uma parede de alvenaria de 2,70m de altura. 
 
 Como a parede possiu 15cm de spessura e sua densidade é de 14kN/m3, podemos 
calcular o seu peso/m de viga: 
0,15m x 2,7m x 1m x 14kN/m3 = 5,67kN na faixa de 1m, ou simplesmente, 5,67kN/m 
Para adicionarmos a sobrecarga na estrutura temos que definir se a análise é em ELU ou 
ELS, então: 
Para ELS, como a edificação é residencial 2 = 0,3, logo : peso total é igual a 2,48 + 0,3 
x 1,5 = 2,93kN. A viga em ELS fica assim carregada: 
(2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 11,92kN/m 
Para o ELU o peso total é 2,48 + 1,5 = 3,98; como no ELU devemos majorar por 1,4, 
temos: 1,4 x [(3,98) x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 19,26kN/m 
Abaixo segue o esquema da viga V1 = V2 em ELS e ELU 
42 
 
 
 
Uma observação importante é que por este método as vigas V3 e V4 não seriam 
submetidas a nenhum esforço das lajes, seriam carregadas apenas com seu peso próprio e 
uma eventual carga de alvenaria. Porém, estudos já mostraram que mesmo em lajes 
unidirecionais, pré-moldadas ou maciças estas vigas acabam recebendo uma parcela da 
carga das lajes. Utilizaremos um método, a favor da segurança, que distribui para estas 
vigas 25% do carregamento das lajes. Portanto, considerando que sobre as vigas V3 e V4 
também há uma parede de alvenaria, o carregamento em ELS e ELU ficaria assim 
definido: 
ELS = (0,25 x 2,93 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25 ) + 5,67 = 8,08kN/m 
ELU = 1,4 x [0,25 x 3,98 x 3,5/2) + (0,15 x 0,30 x 25) + 5,67] = 11,95kN/m 
Abaixo segue o esquema da viga V3 = V4 em ELU e ELS 
 
 
 
Vigas que suportam lajes bidirecionais ou armadas em cruz 
Para este caso, da mesma forma que no cálculo da deformação, o efeito de placa que 
ocorre na estrutura distribui as cargas sobre as vigas através de quinhões diferentes em 
função das condições de contorno e da relação b/a. vários processos e tabelas são 
utilizados para este cálculo, a tabela de Bares, que utilizaremos utiliza o processo das 
43 
 
charneiras plásticas. Por esta teoria admite-se que a ruína ocorra com a formação de 
linhas de plastificação que transformam a laje em um sistema hipostático. No caso de 
uma laje simplesmente apoiada nos seus quatro lados 
 
As charneiras dividem a lajes em quatro figuras, dois triângulos e dois trapézios, e 
considera-se que cada “figura” descarrega em uma viga, os trapézios descarregam nas 
vigas maiores (lado b) e os triângulos nas vigas menores (lado a). Em função das 
diferentes condições de contorno (engastada e apoiada) teremos diversos tipos de 
charneiras com trapézios e triângulos maiores ou menores. Bares ensaiou diversas lajes e 
com diversas condições de contorno e formulou a tabela abaixo: 
 
45º
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipo
de
Laje
ra = 0,144
ra = 0,25
b/a rb ra r`b r``b r`b r``b rb r`a r``a rb
0,500 0,000 0,165 0,125 0,217 0,000 0,000 0,217 0,125 0,217 0,158
0,525 0,000 0,169 0,132 0,228 0,000 0,000 0,228 0,128 0,222 0,166
0,550 0,000 0,172 0,138 0,238 0,000 0,000 0,238 0,131 0,227 0,174
0,575 0,000 0,175 0,144 0,249 0,000 0,000 0,249 0,134 0,232 0,182
0,600 0,000 0,177 0,150 0,260 0,000 0,000 0,259 0,136 0,236 0,190
0,625 0,000 0,179 0,157 0,271 0,000 0,000 0,269 0,138 0,239 0,198
0,650 0,000 0,181 0,163 0,281 0,000 0,000 0,278 0,140 0,242 0,206
0,675 0,000 0,182 0,169 0,292 0,000 0,000 0,286 0,142 0,245 0,214
0,700 0,000 0,183 0,175 0,302 0,000 0,000 0,294 0,143 0,247 0,222
0,725 0,000 0,183 0,181 0,314 0,000 0,000 0,301 0,144 0,248 0,230
0,750 0,000 0,183 0,187 0,325 0,000 0,000 0,308 0,144 0,249 0,238
0,775 0,000 0,183 0,193 0,335 0,000 0,000 0,314 0,144 0,250 0,246
0,800 0,000 0,183 0,199 0,344 0,000 0,000 0,320 0,144 0,250 0,254
0,825 0,000 0,183 0,204 0,353 0,000 0,000 0,325 0,144 0,250 0,261
0,850 0,000 0,183 0,208 0,361 0,000 0,000 0,330 0,144 0,250 0,268
0,875 0,000 0,183 0,213 0,369 0,000 0,000 0,335 0,144 0,250 0,275
0,900 0,000 0,183 0,217 0,376 0,000 0,000 0,340 0,144 0,250 0,281
0,925 0,000 0,183 0,221 0,383 0,000 0,000 0,344 0,144 0,250 0,287
0,950 0,000 0,183 0,225 0,390 0,000 0,000 0,348 0,144 0,250 0,292
0,975 0,125 0,183 0,229 0,396 0,092 0,159 0,352 0,144 0,250 0,298
1,000 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303
1,025 0,256 0,183 0,235 0,408 0,188 0,325 0,360 0,144 0,250 0,308
1,050 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312
1,075 0,268 0,183 0,241 0,418 0,196 0,289 0,366 0,144 0,250 0,317
1,100 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,246 0,369 0,144 0,250 0,321
1,125 0,278 0,183 0,247 0,428 0,204 0,302 0,372 0,144 0,250 0,325
1,150 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329
1,175 0,288 0,183 0,252 0,437 0,211 0,364 0,377 0,144 0,250 0,333
1,200 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336
Tabela - Reações de Apoio em Lajes Retangulares
r`a = 0,183
r``a = 0,317
45 
 
1,225 0,296 0,183 0,257 0,445 0,217 0,375 0,383 0,144 0,250 0,339
1,250 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342
1,275 0,304 0,183 0,261 0,452 0,223 0,385 0,387 0,144 0,250 0,345
1,300 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348
1,325 0,312 0,183 0,265 0,459 0,228 0,395 0,391 0,144 0,250 0,351
1,350 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354
1,375 0,318 0,183 0,269 0,465 0,233 0,404 0,395 0,144 0,250 0,357
1,400 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359
1,425 0,325 0,183 0,272 0,471 0,238 0,412 0,399 0,144 0,250 0,362
1,450 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364
1,475 0,331 0,183 0,276 0,477 0,242 0,419 0,402 0,144 0,250 0,3671,500 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369
1,525 0,336 0,183 0,279 0,482 0,246 0,426 0,406 0,144 0,250 0,371
1,550 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373
1,575 0,342 0,183 0,281 0,487 0,250 0,433 0,409 0,144 0,250 0,375
1,600 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377
1,625 0,346 0,183 0,284 0,491 0,254 0,439 0,412 0,144 0,250 0,379
1,650 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381
1,675 0,351 0,183 0,286 0,495 0,257 0,445 0,414 0,144 0,250 0,383
1,700 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384
1,725 0,355 0,183 0,288 0,499 0,260 0,451 0,417 0,144 0,250 0,386
1,750 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387
1,775 0,359 0,183 0,291 0,503 0,263 0,456 0,419 0,144 0,250 0,389
1,800 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390
1,825 0,363 0,183 0,293 0,507 0,266 0,461 0,421 0,144 0,250 0,392
1,850 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393
1,875 0,367 0,183 0,295 0,511 0,269 0,465 0,423 0,144 0,250 0,395
1,900 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396
1,925 0,370 0,183 0,297 0,514 0,271 0,469 0,425 0,144 0,250 0,398
1,950 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399
1,975 0,374 0,183 0,298 0,517 0,274 0,473 0,427 0,144 0,250 0,400
2,000 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401
O valor da reação é dado por: R = r.p.a
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conceito para identificação das lajes é o mesmo utilizado para a tabela de flechas, visto 
no capítulo anterior, e o cálculo da reação em cada viga é feito multiplicando o 
coeficiente “r” da tabela pela carga P, distribuída na laje, e pelo lado “a”. É importante 
frisar que sempre será o lado a, mesmo se estivermos verificando a carga das vigas no 
lado b, pois a tabela foi confeccionada tendo como base o comprimento do vão livre de a. 
Coeficientes r, r’ e r’’ 
46 
 
Na tabela há três coeficientes distintos seguidos do índice a ou b, os índices 
correspondem ao lado que se está querendo verificar a reação, já os apóstrofos definem se 
há engastamento, dois apóstrofos, ou se não há engastamento, um apóstrofo. Quando os 
dois lados são iguais (engastado- engastado ou apoiado –apoiado), o coeficiente não leva 
apóstrofo, ou simplesmente linha, pois na engenharia não se utiliza o termo apóstrofo, e 
sim, “r linha” e “r duas linhas”. 
 
 
Prescrições da NBR 6118/2014 
 
Lajes maciças 
Nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço; 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço; 
c) 10 cm para lajes em balanço; 
d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; 
e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; 
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de l/42 para lajes de 
piso biapoiadas e l/50 para lajes de piso contínuas; 
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel. 
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem 
considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn, de acordo com o 
indicado na Tabela 13.2. 
rb
ra
r’’b
r’’a
r’b
r’a
47 
 
 
 
Determinação de esforços em lajes 
Para determinar os esforços nas lajes (momentos fletores em particular) faremos o mesmo 
processo utilizado para deformação, dividiremos as lajes em dois grupos, armadas em 
uma e em duas direções. Nas lajes unidirecionais a determinação dos momentos é similar 
ao cálculo de vigas. Para análise dos esforços nas lajes utilizaremos o método linear e 
elástico, há a possibilidade de cálculo rígido plástico para lajes retangulares, nestes 
processos o dimensionamento é normalmente mais econômico, pois permite uma rotação 
maior dos esgastamentos diminuindo a armadura para momentos negativos. Nas lajes 
convencionais de pequenos vãos (até 6m) os momentos negativos sempre são muito mais 
significativos que os positivos. Normalmente os momentos positivos acabam requerendo 
armadura mínima (como veremos mais adiante). Este fato justifica a consideração de 
plastificação dos engastamentos, pois neste caso os momentos positivos aumentam e os 
negativos diminuem, trazendo a economia requerida para os projetos. Porém, com a 
alteração recente da NBR 6118/2014, há uma maior preocupação com a questão da 
ductilidade da seção, diminuindo em muito os valores de profundidade da linha neutra na 
seção, principalmente para concretos mais resistentes e consequentemente que 
apresentam fratura mais frágeis. Neste caso a consideração de economia de aço citada 
acima pode não se caracterizar de fato na prática, portanto utilizaremos o método 
elástico-linear neste curso. 
 
 
 
 
 
48 
 
Segue abaixo as três situações possíveis e o formulário em regime elástico para as lajes 
unidirecionais maciças. 
 
 
No primeiro caso como não há momentos negativos o momento máximo é dado pela 
expressão: 
 
No segundo caso a laje é engastada e apoiada, e os momentos são dados por: 
 
 
O terceiro caso a laje e duplamente engastada, com isso os momentos são: 
 
 
As reações de apoio para o 2ª caso são dadas pelas expressões: 
 
 
 
Para o Caso 1 e Caso 3, como não poderia ser diferente as reações permanecem iguais 
wl/2 . 
Nota: no caso de cálculo de lajes a carga w é a carga P calculada em ELS ou ELU. 
Nas lajes armadas em duas direções (bidirecionais) utilizaremos a tabela de Bares para 
lajes em regime elástico. 
 
8
wL
a
2
=M
22,14
M
2wL
a =
24
M
2wL
a =
8
M
2wL
x =
12
M
2wL
x =
wLL
8
3
R = wLE
8
5
R =
49 
 
T
ip
o
d
e
L
a
je
 
b
/a
m
a
m
b
m
a
m
b
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a
m
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b
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m
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m
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m
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m
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m
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7
,5
O
 v
a
lo
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m
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2
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50 
 
Nesta tabela os coeficientes ma e mb são utilizados para calcular os momentos positivos 
nas direções a e b respectivamente. O momento de cálculo deverá ser a multiplicação do 
quadrado do vão a (sempre a, independente de o momento ser em a ou b) pela carga P 
dividida pelo coeficiente da tabela. Os momentos negativos são calculados pelos 
coeficientes na e nb. 
Haverá casos em que as lajes adjacentes possuem momentos negativos diferentes em 
função das dimensões ou mesmo das condições de contorno. Nestes casos poderá ser feita 
uma redistribuição de momentos. Nas lajes calculadas em regime elástico normalmente 
pode ser fazer esta redistribuição igualando os dois pela média ou com 80% do maior. 
Com isso haverá acréscimo de momento positivo no maior vão, em torno de 30% da 
diferença entre os momentos negativos. Apesar de ser uma possibilidade econômica, 
neste curso não abordaremos este assunto, será considerado para efeito de cálculo dasarmaduras o maior momento, exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso acima há um conflito de momentos sobre a viga V2, sendo assim para efeito de 
cálculo da armadura será utilizado o momento da laje 1 que é de 10kN.m, maior que o 
momento da laje 2. 
 
*** 
 
 
 
 
 
51 
 
Capítulo 4 – Flexão Normal Simples em Vigas de C.A. 
 
A flexão é dita normal quando o plano de ação do momento fletor (M) contém um eixo 
principal da seção transversal e é simples quando desacompanhada da força normal (N). 
Para o modelo de cálculo proposto neste curso cinco premissas devem ser consideradas: 
1) A verificação da resistência para uma dada seção deve ser feita em E.L.U – 
Estado Limite Último; 
2) As seções transversais permanecem planas após a flexão; 
3) A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a 
mesma do concreto em seu entorno; 
4) A resistência à tração do concreto deve ser desprezada; 
5) A deformação será considerada linear até a ruptura do material. 
 
 
 
 
Seja então uma barra prismática de concreto simples (sem aço), de comprimento L e 
carga w, cuja seção retangular é dada por bw x h, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Após a deformação aparecerá na seção uma região tracionada e uma região comprimida 
 
 
 
 
 
 
 
 
w
L
Tração
Compressão
52 
 
LNMd
MR
Tração
Compressão
x
Enquanto a viga não atingir o momento de fissuração a distribuição de tensões na seção é 
proporcional às deformações c  c e s  s. Dizemos então, que a viga está em regime 
elástico linear, a linha neutra corta o centro da seção e a peça está no estádio I; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o momento fletor atuante atinge o valor do momento de fissuração a seção passa 
a trabalhar no estádio 2, e as tensões não são mais proporcionais as deformações, a linha 
neutra não passa mais pelo centro da seção. O valor de x ( profundidade da linha neutra 
passa a ser menor que h/2. 
 
 
 
 
 
 
Como o concreto não oferece resistência à tração a tendência da peça é atingir o colapso. 
Pois a medida que a linha neutra vai subindo a fissuração vai aumentando e com o 
aumento da fissuração a parte comprimida fica cada vez menor. Quando a seção 
comprimida atingir o limite de resistência a viga se romperá por flexão. Para resolver 
este problema coloca-se na região de tração máxima da seção uma barra de aço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LN
MdMR
x < h/2
LN
MdMR
aço
x < h/2
s
c
53 
 
 
Se continuarmos aumentando o momento na seção, haverá um istante em que o concreto 
na região mais comprimida atingirá o limite de deformação c = 0,35%, daí para frente 
considera-se que a a tensão não mais aumentará no concreto e o diagrama torna-se uma 
parábula-retângulo a seção está agora no estádio III, ou seja em um estado limite último. 
 
 
 
 
 
 
 
Porque “em um ELU”, e não no ELU, o termo se justifica porque uma seção de concreto 
possui vários estados limites últimos, ou, vários domínios de deformação, como definido 
item 17.2.2 da NBR 6118: 
 
A figura da norma mostra as cinco possibilidades de ruptura 
 
Ruptura convencional por deformação plástica excessiva 
Reta “a” : tração uniforme; 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; 
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto 
εc < εcu e com o máximo alongamento permitido). 
LN
MdMR
aço
x < h/2
s
c máximo
54 
 
Ruptura convencional por encurtamento-limite do concreto: 
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εsyd); 
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (εs ≥ εyd); 
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; 
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; 
Reta “b”: compressão uniforme. 
Observe que para cada reta que divide os domínios há um limite alcançado para um dos 
materiais, ora do aço ora do concreto. E, também, um ponto entre os domínios 3 e 4 que 
o aço atinge seu limite de escoamento (s = syd) no mesmo instante que o concreto atinge 
seu limite de ruptura (c = cu). Esta é considerada uma situação ideal para o 
dimensionamento de peças sobre flexão simples, pois aproveita o máximo de cada 
material e ainda mantém a seção dúctil, fato importantíssimo para garantir a segurança na 
ruptura. Quando as peças são dimensionadas neste ponto (entre os domínios 3 e 4) e dito 
que a peça é normalmente armada e serão peças normalmente armadas que estudaremos 
neste curso. 
 
Ductilidade 
Antes de prosseguir na dedução das equações que possibilitam o equilíbrio da seção, 
abriremos um parêntese para entendermos o conceito de ductilidade. 
Segundo a Wikipédia “a ductilidade é a propriedade que representa o grau de deformação 
que um material suporta até o momento de sua fratura. Materiais que suportam pouca ou 
nenhuma deformação no processo de ensaio de tração são considerados materiais 
frágeis.” Pois é isso mesmo um material frágil se rompe de forma abrupta, “sem aviso”, 
já um material dúctil se deforma muito antes de romper, ou seja, “nos avisa antes de 
quebrar”. Para atender a esta característica de “informar que vai romper” é que as 
estruturas de concreto devem ser dimensionadas com alta ductilidade. Voltando a seção 
fletida, imaginemos que após a colocação do aço o momento fletor continue aumentando. 
Para que ocorra o equilíbrio da seção a força que traciona o aço (Rst) multiplicada pela 
seção de aço e o braço de alavanca Z deve ser igual a força que comprime o concreto 
multiplicada pelas áreas de concreto acima da linha neutra e o braço de alavanca Z, ou 
seja: 
 
55 
 
Rcc.bw.x.Z = Rst.As=Md 
 
 
 
 
 
 
Onde, 
bw é a largura da seção; 
Z a altura do braço de alavanca; 
Md o momento de cálculo solicitante; 
As a áreas de aço; 
x é a profundidade da linha neutra; e, 
Rcc a força no concreto e Rst a força no Aço. 
Matematicamente haverá sempre um par Rst e Rcc que equilibrarão a seção. Isso nos leva 
a falsa interpretação que podemos colocar aço nas vigas indefinidamente. No entanto, à 
medida que aumentamos a quantidade de aço tracionado na seção a linha neutra vai 
descendo e a ruptura vai ficado cada vez mais frágil, pois o concreto irá romper antes do 
escoamento do aço (ruptura sem aviso), daí a necessidade de estabelecer um limite para a 
profundidade da linha neutra. Há duas formas de limitar esta profundidade, uma é 
aumentando a seção de concreto, e a outra é colocando na parte comprimida da viga uma 
armadura de compressão (*) chamada de A’s. Com o aumento da densidade na parte 
comprimida da seção a linha neutra tende a se deslocar para cima estabelecendo a 
ductilidade desejada. 
 
 
 
 
 
(*) pelas mesmas justificativas já apresentadas anteriormente, a área de armadura 
comprimida A’s somada à área de armadura tracionada As (ambas efetivamente colocadas 
na peça) não podem superar a 4% da seção total da viga. Esta relação é denominada taxa 
de armadura da seção e é representada pela letra grega . 
 
LN
MdMR
aço
x < h/2
Rst
c máximo
Rcc
Z
LN
MdMR
aço
x < h/2
Rst
Rsc
Z
Rcc
%4
'

+
=
Ac
AA sese
56 
 
 
 
Cálculo da armadura tracionada As 
 
O cálculo da armadura é relativamente simples, pois bastaria utilizar as equações de 
equilíbrio de momento na seção, no entanto a grandeincógnita é profundidade da linha 
neutra. Observe que para calcular está profundidade seria necessário integrar as tensões 
no diagrama parábola retângulo o que tornaria a o cálculo muito laborioso. Com isso a 
NBR simplifica o diagrama tornando-o retangular com a profundidade da linha neura 
igual a x, sendo  = 0,8 para concretos até 50MPa, e para concretos de 50 até 90MPa, 
 = 0,8 – (fck – 50)/400). A profundidade x será simplesmente chamada daqui para 
frente de y. Ainda, para que tal hipótese possa ser utilizada a tensão máxima aplicada no 
concreto não pode ultrapassar αcfdc, com αc = 0,85 para concretos até 50MPa e para 
concretos de 50 até 90MPa, αc = 0,85 . [1,0 – (fck – 50) / 200]. 
Esta redução na tensão resistente do concreto se dá devido a combinação de três 
coeficientes de ponderação (FUSCO, 1994): 1º o fator 0,75 que leva em consideração a 
menor resistência que o concreto apresenta submetido a cargas de longa duração ( efeito 
Rüsche), já que o ensaio nos corpos de prova é realizado aplicando-se as cargas 
rapidamente até a ruptura; 2º o fator 0,95 que leva em consideração o formato do corpo 
de prova que não impede totalmente um estado transversal de coação de deformação, 
surgindo assim um estado triaxial de tensões, situação que aumenta a resistência a 
compressão do corpo de prova, fato que não ocorre na estrutura; 3º um fator de 1,2 que 
leva em consideração o aumento médio de resistência do concreto ao longo dos anos. O 
produto destes três fatores nos dá um valor próximo de 0,85 estipulado pela norma. Dito 
isso, o diagrama de tensões na seção passa a ter a seguinte configuração (trabalharemos 
neste curso com fck até 50MPa), primeiramente sem a consideração de armadura 
comprimida: 
 
LN
Rst= As x fyd
Rcc =fc x bw x y
d
d'
y=0,8x
bw
d
d'
Z
y/2
MR
0,85fcd
57 
 
Onde: 
bw é a largura da seção; 
Z a altura do braço de alavanca; 
MR o momento resistente de cálculo; 
As a áreas de aço; 
x é a profundidade da linha neutra; e, 
Rcc a força no concreto e Rst a força no Aço. 
d’ é a distância da face mais tracionada da seção até o centro de gravidade da armadura 
tracionada. 
d é a altura útil da seção e vale h-d’, e é uma das grandezas mais importantes no 
dimensionamento. 
Se equilibrarmos a seção em função dos valores de Rcc e Rst teremos: 
 
MR = As . fyd (d – y/2) e MR = bw . fc . y(d – y/2) , logo: 
 
As . fyd = bw . y . fc , então: 
 
Conforme foi dito anteriormente o problema se torna iterativo, pois a armadura As 
depende da profundidade y e a profundidade y depende da seção de aço As . Porém, graça 
aos matemáticos, podemos rearranjar a equação de equilíbrio da seção, dividindo ambos 
os termos por uma valor que torna o momento resistente MR adimensional (fc.bw.d
2): 
 
 
 
Chamamos o 1º termo de K, corresponde a parcela adimensional do momento solicitante, 
e o 2º termo de Kc que é a parcela resistente do concreto, ou seja, a parcela do momento 
fletor suportado pelo concreto, assim teremos: 
 
 
 
 
 
 Fazendo y/d igual  temos que 
 
yd
wc
s
f
.y.bf
A =
y/2) - y(d 
.d.bf
f . b
 = 
.d.bf
M
2
wc
cw
2
wc
R






−
==
2d
y
1
d
y
 =k
.b.df
M
kou
.b.df
M
k
c
2
c
d
2
c
R  Usado para o dimensionamento 
0=+→





− c
2
c k-
22
1 =k 
58 
 
Resolvendo a equação do 2º grau e tirando a raiz que valida valor de  = y/d menor que 
1, temos : 
 
Desta forma resolvemos o problema da profundidade da linha neutra. Como  = y/d e 
As . fyd = bw . y . fc , basta dividirmos ambos os termos da equação por d e resolver em 
função de As: 
 
 
Observe que o valor de kc foi substituído na expressão final por um k’. Isto se dá pelo 
limite máximo de profundidade relativa da linha neutra (x/d) que garante a ductilidade da 
seção. Este limite é dado pelo kLIM, e calculado com base nas deformações específicas 
dos materiais no limite dos domínios 3 e 4, como se segue: 
No limite entre dos domínios 3 e 4 a deformação específica do aço s = yd e a do 
concreto c = cu. Para concretos até 35MPa a NBR fixa o valor de cu em 0,0035, se 
considerarmos o aço CA50, o valor de yd é de 0,00207, então por semelhança de 
triângulo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A expressão nos mostra que para o aço CA50, bastaria uma profundidade relativa x/d da 
linha neutra de 0,628 para que a seção seja considerada normalmente armada, ou seja, o 
aço escoaria no momento que o concreto se rompe por esmagamento. Porém, para 
garantir ainda mais a ductilidade e a favor da segurança a NBR fixa a partir da nova 
revisão de 2014, os seguintes limites: 
a) x/d ≤ 0,45 - para concretos com fck ≤ 50 MPa; 
b) x/d ≤ 0,35 - para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. 
Caso (a) 
Como y = 0,8x e x/d deve ser no máximo 0,45 basta substituir o valor de y/d por 0,36 na 
equação de kc , resolver e encontrar o valor de k limite para concretos até 50MPa; 
c2k11α −−=
( )2k'11
f
dbf
A
yd
wc
s −−

=
6280,
d
x
xd
2,07
x
3,5
xd
ε
x
ε ydcu =→
−
=→
−
=
59 
 
 
 
Observe que este valor é menor que o valor anterior da NBR 6118/2003, que fixava a 
profundidade da linha neutra em 0,5 para concretos até 35MPa. Esta profundidade 
relativa exigia um kLIM de 0,32. Aparentemente a norma ficou mais restritiva, porém, vale 
lembrar que na faixa entre 35 a 50MPa o limite de x/d era de 0,4 e o KLIM de 0,268. 
Podemos então dizer que a revisão de 2014 “tirou com uma mão e deu com a outra”. 
 
Caso (b) 
Como y = 0,8x e x/d deve ser no máximo 0,35, basta substituir o valor de y/d por 0,28 na 
equação de kc , resolver e encontrar o valor de k limite para concretos até 90MPa; 
 
 
 
 Nota: A armadura tracionada calculada neste item é chamada de As1, já que havendo a 
necessidade de uma armadura comprimida está será chamada de As2 e a armadura total As 
a ser considerada é a soma As1+As2. 
A NBR 6118/2014 permite a redistribuição de momentos, reduzindo o momento negativo 
de um fator . Quando for efetuada esta redistribuição, reduzindo-se um momento fletor 
de M para δM, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha neutra 
nessa seção x/d, para o momento reduzido δM, deve ser limitada por: 
a) x/d ≤ (δ – 0,44)/1,25, para concretos com fck ≤ 50 MPa; 
b) x/d ≤ (δ – 0,56)/1,25, para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa. 
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
a) δ ≥ 0,90, para estruturas de nós móveis; 
b) δ ≥ 0,75, para qualquer outro caso. 
 
Cálculo da armadura comprimida As2 
 
Ficou claro que sempre que o concreto não for capaz de suportar a compressão sozinho 
devemos colocar uma armadura complementar, denominada A’s. Esta armadura é 
comprimida e é calculada pela diferença entre o limite de capacidade do concreto kLIM e o 
K real externo da seção. Voltando a equação de equilíbrio, desta vez considerando a 
componente Rsc = A’s x ’s temos: 
2950,
2
0,36
10,36 =kLIM =





−
240,
2
0,28
10,28 =kLIM =





−
60 
 
1,4
0,85fck
fc =






−





=





0,0035
'
d
d' s
lim

1
d
x
 
 
MR = bw . fc . y(d – y/2)+A’s . ’s . (d-d’) 
 
Se considerarmos que a tensão na armadura comprimida chegará ao limite de escoamento 
(*) do aço fyd e substituindo os valores já deduzidos anteriormente, basta resolver a 
equação em função de A’s, que neste caso ainda será chamada de As2:(*) geralmente para as seções normalmente armadas de vigas de concreto a tensão na 
armadura comprimida é igual a fyd. Porém, existem casos em que esta tensão pode ser 
menor que 1 o que levaria a um aumento do valor de A’s. Para os casos mais comuns com 
concretos até 50MPa e aço CA50, basta que a relação d’/d fique menor ou igual a 0,18. 
Caso contrário deve-se calcular a tensão na armadura comprimida pela equação abaixo: 
 
 
 
A tensão de compressão é dado pela lei de Hooke, ’s = ’s x Es e o valor da armadura 
de compressão A’s será dado pela divisão da área As2 pela relação  = ’s/fyd. 
 Finalmente obtemos o resumo das equações de cálculo das armaduras para vigas 
submetidas a flexão normal simples, e abaixo a tabela de mínimo para vigas ( NBR 6118). 
 Calculo de k 
 
2
wc
d
.d.bf
M
k =
 com e d = h –d’ 
Cálculo de As e A’s 
 
Para k < kLIM → 
( )






−
−


=→


=
d
d'
1
k'k
f
dbf
A
dbf
d'-dfA
 k'-k
yd
wc
s22
wc
yds2
( )2k11
f
dbf
A
yd
wc
s −−

=
61 
 






−
−


=
d
d'
1
k'k
f
dbf
A
yd
wc
s2
 
Para k > kLIM → 
 
As = As1+As2 e A’s = As2/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Furo em Vigas 
 
Um grande problema que encontramos na prática está relacionado com a necessidade de 
fazer furos em elementos fletidos como vigas. A solução deste problema passa 
simplesmente pela verificação da real posição da linha neutra, ou seja, se o furo estiver 
abaixo da linha neutra, está na região tracionada e a armadura de flexão não precisa ser 
alterada, no entanto, se o furo estiver acima da linha neutra, na região comprimida, 
passamos a ter um problema de redução da ductilidade da seção. Assim, basta calcular 
um novo k limite, e armar a seção com um A’s necessário para atender a este novo limite 
de profundidade da linha neutra. Exemplo: 
 
( )LIM
yd
wc
s1 2k11
f
dbf
A −−

=
62 
 
Calcular a armadura da viga abaixo com os furos para passagem de rede de esgoto. 
Verificar se os furos passam na profundidade e dimensão que foram projetados. 
 
 
 
Dados: 
fck = 25MPa 
ffuro = 12cm 
Md(ELU)= 28.000 kN/cm 
d’ = 3,5cm 
 
 
 
 
Cálculo de armadura longitudinal em Viga T 
 
As seções T ou L são muito comuns em concreto armado, uma vez que as lajes compõem 
a altura da viga e são solidárias na resistência a compressão. É necessário salientar que 
uma viga de concreto armado com seção T ou L, isto é, composta de uma nervura e uma 
mesa, somente poderá ser considerada no cálculo se a mesa estiver sendo comprimida, ou 
seja, em casos de momentos negativos, obviamente não se pode considerar a seção como 
T, e a seção deverá ser calculada normalmente com a largura bw. 
63 
 
Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama 
retangular simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (laje), ou seja y ≤ hf, a 
seção poderá ser tratada como retangular de largura bf . 
 
Determinação da Largura colaborante bf 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo a NBR 6118 , no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela 
largura bw acrescida de no máximo 10% da distancia “a” entre os pontos de momento 
fletor nulo, para cada lado da viga que houver laje colaborante. 




2
1
5,0
10,0
b
a
b




4
3
5,0
10,0
b
a
b
12bbb wf +=
31 bbbb wf ++=
ou
Viga interna
Viga de borda
64 
 
LN
Rst= As x fyd
Rcc =fc x bw x y
d
d'
y=0,8x
d
d'
Z
y/2MR
A’s
As
hf
bf
Simplificadamente, a distância “a” pode ser estimada, em função do comprimento L do 
tramo da viga, como se apresenta abaixo: 
viga simplesmente apoiada.............................................a = L 
viga com momento em uma só extremidade................ a = 0,75L 
viga com momento nas duas extremidades ...................a = 0,6L 
viga em balanço............................................................. a = 2L 
 
Flexão Normal Simples seção T ou L 
 
Para tiramos partido da contribuição da mesa na flexão, temos que ter certeza da posição 
da linha neutra na seção, para isso deveríamos calcular a armadura e através do momento 
de inércia da seção fissurada encontrar a altura real da linha neutra no estádio II. Porém, 
como ainda não temos a armadura, teremos que refazer as equações de flexão 
considerando as mesmas premissas e simplificações das seções retangulares. Só que desta 
vez utilizando a seção T e fixando a profundidade y = hf , obtemos então, uma nova 
equação para o k: 
 
 
 
 
 
 
 












−





−−=
2d
hf
1
d
hf
1
b
b
w
f
2dbf
M
k
wc
d
 
 
 
A parcela a corresponde ao momento externo aplicado na seção e a parcela b ao momento 
interno resistido pelas abas comprimidas da laje. Quando o valor de k = 0 é porque que o 
momento externo Md é igual ao interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da 
mesa, assim podemos deduzir que para valores de K igual ou menores que "zero" a linha 
neutra estará passando na mesa. Como o cálculo de flexão desconsidera a parte 
65 
 
KKKK L =→ ' 
LL KKKK =→ ' 
h xb retangular eção fsK → 0
21 AsAsAs += f
2
'
As
sA =
tracionada do concreto abaixo da linha neutra, podemos calcular a seção com o valor de 
bw igual a bf. 
Para os casos em que o valor de k é positivo, linha neutra passando abaixo da mesa, 
podemos utilizar a equação abaixo para calcular a armadura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*** 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












−+−−=
d
hf
1
b
b
2K'11
f
.dfc.b
As1
w
f
yd
w






−
−
=
d
d'
1
K'K
f
.dfc.b
As2
yd
w
66 
 
Capítulo 5 – Cisalhamento 
 
As peças fletidas, vigas, lajes ou mesmo pilares, podem estar sujeitas a esforços de força 
cortante, chamados solicitações tangenciais. 
“As vigas submetidas a um carregamento vertical qualquer, com ou sem força normal, estão trabalhando 
em flexão simples ou composta não-pura, sendo variável, nesta situação, o momento fletor, e sendo a força 
cortante, portanto, diferente de zero, surgindo na seção transversal, além das tensões normais, tensões 
tangenciais que equilibram o esforço cortante” ( CARVALHO -2008) 
É possível se ter em seções fletidas momentos fletores sem esforço cortante, mas o 
contrário não, sempre que houver cortante haverá necessariamente momento fletor. Este 
esforço cortante, por se tratar de um estado limite último, deve ser equilibrado na seção 
por um mecanismo resistente que levará em considerado a resistência do concreto a 
compressão e a resistência do aço a tração. 
 
Tensão de cisalhamento em uma secção de concreto 
 
Dada uma viga bi-apoiada, de comprimento L, submetida a uma carga distribuída w 
constante: 
 
 
A força cortante V máxima é e a força cortante V em qualquer ponto é 
 
onde dM é o momento fletor em um elemento infinitesimal de comprimento dx. 
 
 
 
 
 
 
 
Separando um elemento de altura h, largura b e comprimento dx em qualquer ponto, 
teremos: 
2
wl
dx
dM
67 
 
 
 
 
Efetuando o equilíbrio de forças horizontais abaixo da linha neutra, temos:Sabendo que a força T é a integral das tensões na área abaixo da linha neutra, 
 
 , como 
y
I
M
σ =
, reescrevemos a equação: 
 
Como a integral de y neste intervalo de área é o momento estático da seção em relação a 
LN, logo temos que: 
 
 
 
Substituindo o valor de T na equação de , temos: 
 
 
 
Se supusermos que o momento estático e o momento de inércia sejam constantes ao 
longo da barra, e sabendo que , podemos deduzir que: 
 
 
 
→+=+ dTTbdxT 
dx
dT
b
1
τ =





 
=→





=
I
yAi
dx
dM
b
1
τyAi
I
M
dx
d
b
1
τ
yAi
I
M
T =
=
Ai
σdAT =
Ai
ydA
I
M
T
Ib
yAiV
τ


=
dx
dM
V =
68 
 
As seções transversais usuais. Principalmente as retangulares e as seções T, possuem a 
máxima tensão de cisalhamento na fibra que contem o centro de gravidade da seção, local 
em que a relação entre o momento estático e a largura da seção transversal (b) é máxima. 
Fazendo Z* igual a I/Q, onde Q é o momento estático da seção, a tensão de cisalhamento 
na fibra mais solicitada (linha Neutra) é dada pela expressão: 
 
 
 
(*) Nota: Z é o braço de alavanca entre as forças de compressão e tração na seção. 
 
As seções de concreto normalmente trabalham no estádio II, ou seja, com momentos 
solicitantes acima do momento de fissuração, porém, a NBR 6118/2014, utiliza esta 
equação para verificação da tensão solicitante máxima 0d e define a altura Z igual a 0,9d 
(90% altura útil da seção). 
 
 
A NBR ainda simplifica a equação para verificação das solicitações no ELU, definindo a 
tensão de cisalhamento convencional de cálculo wd, dada pela equação abaixo: 
 
 
 
 
 
Z
=
b
V
τ0
db
V
τ
w
d
wd

=
db
V
,τ
w
d
0d

= 111
69 
 
Dimensionamento de vigas retangulares de C.A. submetidas ao cisalhamento 
 
Próximo da ruína de uma seção as fissuras provocadas pelas forças cortantes são 
inclinadas em direção ao ponto de carregamento, estas inclinações podem variar de 30° a 
45°. 
 
 
 
“Analogia da Treliça Clássica de Ritter-Mörsch, onde é suposto que uma carga aplicada 
num ponto qualquer de uma viga de concreto armado, chegue até os apoios percorrendo 
o caminho de uma treliça, formada por banzo superior comprimido constituído pelo 
concreto, o banzo tracionado pela armadura inferior.” 
 
Esquematicamente a treliça pode ser representada da seguinte forma: 
 
 
 
Onde o ângulo  é a inclinação da armadura tracionada transversal (estribos) e  é o 
ângulo de inclinação das bielas comprimidas 
 
 
70 
 
 
A distância entre diagonais comprimidas é, portanto, igual a: 
 
Z (cotg+cotg), onde Z é 0,9d. 
 
 
 
 Se observarmos uma seção delimitada por duas fissuras, podemos encontrar os 
mecanismos complementares de treliça (Vc) que resistem ao esforço cortante. Estes 
mecanismos trabalham juntamente com o Vsw ,esforço cortante resistido pela armadura 
transversal, e ambos conferem a estrutura a resistência última aos esforços de tração 
diagonal na seção. 
 
 
Onde: 
 
V = esforço cortante que atua na seção transversal; 
Vr = esforço cortante absorvido pelo efeito de pino da armadura de flexão; 
71 
 
Ve = esforço cortante absorvido pelo engrenamento dos agregados do concreto ao longo 
das fissuras; 
Va = componente do cortante que se direciona para os apoios. 
 
Então: Vc ≅ Vr+Ve+Va 
 
A NBR 6118/2014 leva em consideração a resistência destes mecanismos de treliça em 
seus modelos de cálculo, porém, considera apenas a resistência de engrenamento dos 
agregados, que é estimada com base na resistência a tração inferior do concreto. A tensão 
chamada de c0 é dada pela expressão: 
 
 
 
A força cortante resistente de cálculo relativa a ruína por tração diagonal, é a soma das 
duas parcelas resistentes da seção, a parcela correspondente ao mecanismo complementar 
de treliça e a parcela da armadura transversal (estribos). A força cortante resistente de 
cálculo de uma seção é chamada de VRd3 pela NBR6118, logo: 
Vsd ≤ VRd3 = Vc +Vsw 
Ainda deve-se verificar a capacidade resistente a compressão das bielas comprimidas 
sendo que a capacidade resistente - VRd2, depende do modelo de cálculo utilizado , 
Modelo I ou Modelo II, preconizados pela NBR 6118/2014 
 
Vsd ≤ VRd2 → verificação da biela comprimida de concreto. 
 
Modelo de cálculo I - Segundo a NBR 6118/2014 
 
Este modelo leva em consideração que as diagonais comprimidas estão a 45° de 
inclinação em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e a parcela Vc é 
constante ao longo do elemento, independente da variação da força cortante. 
 
 
 
 
 
41
60 ctk
,
f,
τ
inf,
c0 =
72 
 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto 
 
A tensão na biela de concreto pode variar com a inclinação dos estribos: 
Estribos a 90° 
 
Neste caso: 
 
 
Estribos a 45° 
 
Neste caso: 
 
Sendo: 
fcd a tensão resistente de cálculo a compressão do concreto ( fck/1,4) 
bw a largura da seção 
d é a altura útil da seção 
v2 é um fator de fragilidade que depende do fck, e é dado pela expressão: 
 
 com fck em MPa 
 
 
250
fck
1−=V2α
dbwfcdα0,27V V V2Rd2sd =
dbwfcdα0,54V V V2Rd2sd =
73 
 
Cálculo da armadura Asw 
 
Para estribos a 90° ( = 90°) 
Para o cálculo da armadura de cisalhamento Asw devemos levar em consideração a 
contribuição dos mecanismos resistentes de treliça Vc. Portanto a parcela da força 
cortante que deverá ser considerada para o cálculo das armaduras é dado por: 
 
 
Como VRd3 é no mínimo igual a Vsd podemos reescrever a equação: 
 
 
 
como 
 
 
então: 
 
Para um espaçamento S entre elementos de armadura transversal temos: 
 
 
 
 
Para S igual a 100 cm, ou seja, para possibilitar o cálculo dos estribos na faixa de 1m de 
viga, e fywd igual à fyd, As é igual a: 
 
 
VcV 3Rdsw −=V
VcVSdsw −=V
1,4
dbw0,6f
Vc
1,4
0,6f
τ
infctk,infctk,
c0

=→=
1,4
dbw0,6f
VV
infctk,
Sdsw

−=
ywd
sw
sw
f0,9d
VS
A


=
fyd0,9d
V1
A swsw


=
00
( ) →+





=  sengg cotcot0,9df
S
A
V ywd
sw
sw
74 
 
 Esta armadura calculada deve ser comparada com a armadura mínima de norma: 
 
 
 
Nota: como em uma seção de concreto há sempre estribos de 2 pernas, o valor de Asw 
deve ser dividido por 2 para calcular o espaçamento dos estribos. 
 
 
 Para estribos a 45° (  = 45°) 
 
 
 
 
 
 
Para S igual a 100 cm e fywd igual a fyd, As é igual a: 
 
 
Modelo de cálculo II - Segundo a NBR 6118/2014 
 
Este modelo leva em consideração que as diagonais comprimidas podem variar de 30 a 
45° de inclinação em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e a parcela Vc 
não é mais constante ao longo do elemento, esta parcela sofre uma redução com o 
aumento de Vsd. 
senαSbw
fyk
f
0,2A mct,sw(mín) =
2
Asw=sw/ESTRIBOA
( ) ( ) 707011seng1 ,0,9dfywd
S
A
cot0,9df
S
A
V swywd
sw
sw +





→+





= 
ywd
sw
sw
f1,27d
VS
A


=
fyd1,27d
V1
A swsw


=
00
75 
 
a) Verificação da compressão diagonal do concreto 
 
 
 
Para estribos a 90º 
Inclinação das Bielas = 30º 
 
 
Inclinação das Bielas = 45º 
 
 
Observe que para este modelo a resistênciada biela a compressão é menor que a 
resistência no modelo I. Mesmo para uma inclinação de  = 45º o valor da resistência é 
metade do valor do modelo I (0,27 para 0,54). Por outro lado, as taxas de armaduras são 
menores, como veremos adiante. 
Cálculo de Vc 
 
 , para Vsd = Vc 
 
Quando o valor de Vsd = VRd2,II , o valor de Vc deve ser tomado igual a 0 (zero), ou seja, 
"não se deve considerar nos cálculos a contribuição dos mecanismos 
complementares de treliça em dimensionamento de peças com a tensão solicitante 
igual a tensão resistente". 
Para valores intermediários o valor de Vc deve ser calculado por interpolação linear. O 
cálculo de Vsw para a depender de uma nova parcela Vc1: 
 
 
O valor de Vsw, necessário para o cálculo da armadura, é igual a: 
 
 
a) Cálculo da armadura Asw 
 
 
 
( ) gg cotcotsendbwfcdα0,54V V 2V2II-Rd2sd +=
dbwfcdα0,23V V2II-Rd2 =
dbwfcdα0,27V V2II-Rd2 =
1,4
dbw0,6f
Vc
infctk, 
=
( )  sengg cotcot0,9df
S
A
V ywd
sw
sw +





=
Vc1VV Sdsw −=
VcVc
V
V
sd
IIRd 





−= 1Vc1 ,2
76 
 
Para S igual a 100 cm e fywd igual à fyd 
 
Biela a 30° e Estribos a 90° (  = 90° e  = 30°) → 
 
 
 Biela a 30° e Estribos a 45° (  = 45° e  = 30°) → 
 
Redução da Cortante nos Apoios 
 
A NBR 6118-2014 possibilita a redução da força cortante máxima próximo aos apoios. 
A força cortante oriunda da carga distribuída pode der considerada, no trecho entre o 
apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, exemplo: 
 
 
Atenção: 
Esta redução não se aplica a verificação da biela comprimida, somente pode ser utilizada 
para o cálculo da armadura (Asw). 
 
Prescrições Complementares da NBR 6118/2014 
Diâmetro da armadura transversal Asw 
ft ≥ 5mm 
ft ≤ bw/10 
Espaçamento máximo dos estribos em função das tensões de cisalhamento solicitante wd 
e da tensão resistente da seção Rd : 
 
 
 
 
fyd1,56d
V1
A swsw


=
00
fyd1,74d
V1
A swsw


=
00
( )





 +
−=
2
dC
wVsdVsd máxd ,,Re
cm30d60S670 máx =→



,
dbw
V
,
dbw
Vsd Rd
cm20d30S670 máx =→



,
dbw
V
,
dbw
Vsd Rd
77 
 
 
Verificação de Cisalhamento em Laje 
 
As lajes maciças ou nervuradas, não precisam ter armadura de cisalhamento se for 
atendida a verificação abaixo: 
VSd ≤ VRd1 
 
Sendo: Vsd a força cortante solicitante máxima na laje e VRd1 a força cortante resistente, 
dada pela equação: 
 
 
Sendo: 
Rd = 0,25 fctd ( fctd = 0,21fck2/3/c) que é a tensão resistente de cálculo do concreto ao 
cisalhamento 
 
 
cp é a tensão produzida por carregamentos de protensão na laje, caso não haja protensão 
o valor pode ser tomado igual a “zero”. 
 
k é um coeficiente que tem os seguintes valores: 
a) Para elementos onde 50% da armadura inferior não chegam até o apoio: k = 1; 
b) Para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros; 
Lembrando que bw é sempre igual a 100 para lajes calculadas na faixa de 1m. 
 
 
( )( )cp1Rd1Rd σ15,0ρ402,1kτdbwV ++=
0,02
dbw
As
ρ1 

=
78 
 
Capítulo 6 – Torção em vigas retangulares 
 
A torção em vigas de concreto podem ser puras, ou seja, os elementos são acometidos 
apenas por esforços de torção (momento de torção), e no caso mais geral, acompanhada 
de esforços de cisalhamento e flexão. O dimensionamento deve ser realizado em ELU, e 
baseia-se na hipótese fundamental que o concreto não resiste a esforços de tração. 
Ficando a armadura de aço responsável para absorver tais esforços. A torção pode ser de 
equlíbrio ou de compatibilidade, sendo que no 1° caso a armadura de torção se torna 
obrigatória, podendo ser dispensada no 2º caso, exemplo: 
 
 
 
 
 
 
Nos casos acima o equilíbrio da estrutura depende do equilíbrio dos esforços de torção, 
portanto as seções das vigas devem ser calculadas e dimensionadas para resistir os 
esforços. 
 
Neste caso a estabilidade da estrutura não depende da resistência à torção, sendo, 
portanto, desnecessário o cálculo e dimensionamento da seção à torção. Basta que para 
isso a viga V2 seja dimensionada como bi apoiada, desta forma não haverá armadura de 
engastamento no apoio com a viga V1, a seção irá girar (fissurar) neste ponto, e não 
haverá transmissão de momento fletor. 
 
79 
 
 Dimensionamento da seção à torção 
 
Experimentos de laboratório mostraram que uma seção cheia retangular submetida a 
esforços de torção, na proximidade da ruptura (ELU), se comporta igualmente resistente a 
uma seção vazada com parede de espessura he . Sendo assim pode-se calcular a seção 
utilizando a teoria de cálculo e seção tubular de parede fina da resistência dos materiais. 
 
 
No caso da seção de concreto, após a fissuração, o comportamento da peça se assemelha 
a uma treliça espacial, com diagonais comprimidas e tirantes tracionados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Treliça Espacial em ELU Armadura de Torção 
 
 
 
80 
 
Exemplo – Contribuição do Prof. Calixto UFMG 
Verificar para a viga abaixo os esforços de torção produzidos pela marquise e calcular a 
armadura de torção necessária para o equilíbrio da seção em ELU. 
 
 
 
 
 
 
 
Dados: fck = 25MPa 
d’ = 3,5cm 
Momento no engastamento = 6,3kN/m 
Armadura longitudinal tracionada As = 5,72cm2 
Armadura de cisalhamento = Asw = 1,32cm
2/m , sendo wd = 0,0538 e wd2 = 0,355 
 
Cálculo de Tsd ( momento máximo de torção) 
 
 
Cálculo da tensão de cisalhamento produzida pela torção ttd 
 
 
 
6,3 kN.m/m
5,5m
mkNTsd .32,17
2
5,53,6
=

=
17,32
17,32
ee
td
hA
Tsd


=
2
100
Transformando kN.m para kN.cm
81 
 
Cálculo da área equivalente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 he = 7 
 
 
 
 
A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede 
equivalente he dada por: 
 
 
Onde: 
A é a área da seção cheia; 
u é o perímetro da seção cheia; 
c1 é a distância entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento 
estrutural. 
he = 7. 
a1 = 50 – 7 = 43cm 
a2 = 30 – 7 = 23 cm 
 
 
 
 
 
Voltando ao cálculo da tensão de cisalhamento produzida pela torção ttd 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
he
a2
a1 50
30
li
n
h
a
 m
é
d
ia
 
cm75321c2 == ,
2cm15003050A ==
( ) cm16030502U =+=
379
160
1500
U
A
,==
2
e cm9892343A ==
( ) cm13223432Ue =+=
2
td cmkN1120
98612
1003217
/,
,
=


=
2
2td cmkN34150
41
52
850
250
25
1250fcd
250
fck
1250 /,
,
,
,,, =











−





−=
ok! 2tdtd  
U
A
he
1c2he
82 
 
 
Deverá ser verificada também a solicitação máxima na seção, incluindo a tensão de 
cisalhamento, para isso a relação abaixo deverá ser atendida: 
 
 
 
 
Nota: Como a relação deu menor que 1, isso significa que a tensão de cisalhamento 
produzida pela força cortante na viga somada à tensão de cisalhamento produzida pela 
torção está abaixo da tensão resistente da seção (OK). Caso issonão ocorresse a seção 
deveria ser redimensionada. 
 
 
Cálculo da armadura adicional de cisalhamento e longitudinal 
 
Determinação do estribo A90 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta armadura deverá ser adicionada a armadura transversal já calculada para força 
cortante Asw, que foi fornecida no problema 
 
 
 
Determinação da armadura longitudinal AsL 
 
 
 
 
Esta armadura deverá ser colocada em volta da seção, como se fosse uma armadura de 
pele (costela), porém, com a função de combater a torção na viga. 
 
 
*** 
 
1480
3550
05380
34150
1120
1
wRd
wd
2td
td ++ ,
,
,
,
,




100
fydAe2
Tsd
A100sp
fydAe2
Tsd
s
A
90
90 

==

= 1m ou seja, /
mcm012
48439892
1001003217
A 290 /,
,
,
=


=
mcm333012321AAswA 290Totalsw /,,,)( =+=+=
2
sLsL cm662
48439892
1003217
132A
fydAe2
Tsd
UeA ,
,
,
=


=

=
83 
 
Capítulo 7 – Fissuração 
 
A fissuração é um fenômeno inevitável do concreto armado, devido a baixa resistência a 
tração do concreto. Toda peça tracionada de concreto armado, seja ela tirante ou viga 
fletida sofrerá o processo de fissuração. No entanto, a abertura de fissuras deve ser 
controlada para garantir a proteção das armaduras contra corrosão. Para garantir a 
preservação das armaduras, em estruturas bem projetadas, deve se atender a tabela 13.4 
da NBR 6118/2014, que é função da classe de agressividade ambiental. 
 
Tipos de Fissuras 
Fissuras não produzidas por cargas 
a) Fissura devido ao abatimento do concreto ainda plástico; 
b) Fissura devido a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos); 
c) Fissura devido a corrosão das armaduras; 
 
 
Fissuras produzidas por cargas 
 
 
Verificação do estado limite de fissuração se baseia simplesmente no controle da abertura 
estimada da fissura, wk, e é calculada pelas duas equações empíricas abaixo, uma leva em 
consideração a resistência do concreto a tração e a outra a contribuição da armadura na 
Tração
Flexão
Cisalhamento
84 
 
resistência à abertura. O valor de cálculo para a abertura wk prevista é o menor entre as 
duas. 
 
 
 
Onde: 
f é o diâmetro da barra em mm 
Es é o módulo de elasticidade do aço da barra kN/cm
2 
fct,m é a resistência média a tração do concreto, igual a 0,3fck
2/3 MPa 
1 é o coeficiente de conformação superficial da barra tracionada, que para barras de CA 
de alta aderência utilizadas no mercado é igual a 2,25 ( NBR 6118 - tabela 8.2 seção 
8.3.2) 
r é a taxa de armadura em relação a área envolvida Acr 
 
 Ase é a área de aço efetivamente colocada na seção. 
Acr é a região de concreto que envolve a armadura tracionada. 
 
(item 17.3.3.2 - NBR 6118/2014) 
 
f, s são definidos para cada área de envolvimento da barra tracionada. A área 
considerada para efeito de envolvimento da barra é de 7,5f da barra analisada. 
 
A tensão de serviço s na armadura deve ser calculada considerando a altura da linha 
neutra na seção no estádio II, porém, na prática pode-se calcular a tensão de serviço de 
forma aproximada pela expressão: 
 
 
 
mct
s
s
s
1k
f
3
E1512
w
,
)(
,


f
=






+= 45
4
E1512
w
rs
s
2k 


f
,
)(
Acr
Ase
r =
e
calyd
s
As
As
4,1
f
10,1σ =
85 
 
Onde: 
fyd é a tensão de escoamento do aço em kN/cm
2 (para o aço CA-50 é igual a 
43,48kN/cm2) 
Ascal é a área de aço em cm
2 calculada para seção (armadura tracionada) 
Ase é a área de aço em cm
2 efetivamente colocada na seção. 
A constante 1,10 é um fator de segurança que aproxima a tensão simplificada da tensão 
real calculada de forma exata no estádio II. 
Esta tensão efetivamente será muito importante para nosso curso, pois a norma permite o 
dimensionamento sem a verificação da abertura de fissuras para os casos de estruturas 
não expostas a ambientes muito agressivos (< CAA IV). Desde que limitemos a tensão de 
serviço na armadura aos valores constantes da tabela 17.2 da NBR 6118/2014. Quando 
não for possível limitar a tensão a estes valores, por motivos de excesso de armadura ou 
mesmo questões econômicas, devemos obrigatoriamente utilizar as equações de wk. 
 
 
86 
 
 
 
 
*** 
 
Capítulo 8 – Aderência e Ancoragem 
 
O modelo de cálculo de flexão de peças de concreto armado considera que uma seção de 
concreto somente poderá trabalhar de forma eficiente se as premissas de cálculo foram 
atendidas, dentre elas a que exige a perfeita aderência entre as barras tracionadas ou 
comprimidas e a pasta de cimento (concreto) que as envolve. 
“A deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do 
concreto em seu entorno”(NBR 6118/2014) , 
Se a aderência entre o concreto e o aço não for suficientemente forte para suportar os 
esforços de tração, o deslizamento da barra dentro da pasta do concreto ocasionará 
sempre o colapso da estrutura. O fendilhamento das regiões próximo ao ponto de 
deslizamento ocasionará o aumento das aberturas de fissuras e consequente perda de 
engrenamento dos agregados. Daí a necessidade de se calcular o comprimento de 
ancoragem, chamado de lb , e dar muita atenção ao detalhamento final da peça para que 
não ocorram erros de montagem. A aderência é a “alma” do concreto armado, sem 
aderência o “conceito de concreto armado” não existe. 
 
 
87 
 
Determinação do comprimento de ancoragem lb 
 
 
 
 
 
 
fbd é a tensão média de aderência constante, dada por: 
 
 
 
Para fck em MPA, barras de alta aderência e sempre menores que 32mm ( caso mais 
comum), podemos simplificar a equação: 
 
 
 
São consideradas situações de boa aderência as seguintes: 
Barras com inclinação superior a 45° em relação ao eixo longitudinal da peça; 
Para elementos estruturais com h < 60 com as barras localizadas no máximo 30cm acima 
da face inferior; 
Para elementos estruturais com h ≥ 60 com as barras localizadas no máximo 30cm abaixo 
da face superior; 
Fd(externa)
Fd(interna)
fbd
Concreto
Lb
1 1 1 2 2 3 3
1 barras 
lisas CA25
1,4 barras 
entalhadas 
CA 60
2,25
barras 
nervuradas
CA 50
1 para situações 
de boa aderência
0,7 para situações 
de má aderência
1 para 
f < 32mm
(132 - f)/100 
para f > 32mm
4
fydφπ
Fd
2
(ext)

=
πlbfφFd bd)( =int
fbd
fyd
4
φ
lb =
→

=
4,1
ηηηf
f
321ctk,
bd
inf 3
2
ctk, fck3,07,0f =inf
104,1
η25,2fck21,0
f 2
3
2
bd


=
88 
 
Por simplificação, neste curso, usaremos o valor de 2=1 (região de boa aderência) para 
todas as barras que combatem os momentos positivos e 2=0,7 (região de má aderência) 
para todas as barras que combatem os momentos negativos. 
 
Comprimento de Ancoragem necessário 
 
O comprimento de ancoragem lb é o comprimento básico de ancoragem, porém, este 
valor pode ser reduzido em função de alterações construtivas no tetalhamento, como 
exemplo: a colocação ou não de ganchos nas pontas das barras; a colocação de mais 
barras que as necessárias pelo cálculo ( Ase > Ascalc). Com isso pode-se valer do chamado 
comprimento de ancoragem necessário lbnec , cuja equação é: 
 
 
 
1 = 1 para barras sem gancho; 
1 = 0,7 para barras com gancho; 
 
 
 
 
 
Emendas de Barras 
As emendas podem ser: 
a) Por trespasse 
b) Por luvas (rosqueadas ou soldadas)c) Por soldas 
Trespasse 
Este tipo de emenda não é permitido para barras com diâmetros maiores que 32mm e nem 
para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente 
tracionada). 
 





=
cm10
φ10
L3,0
 Lsendo: L
As
As
LαL
b
bb
e
cal
b1(nec)b minmin
 
89 
 
 
 
Comprimento de Ancoragem do Trespasse 
 
 
 
ot é o coeficiente em função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, 
conforme tabela abaixo: 
 
Utilização de armadura transversal nas emendas por trespasse (amarração com estribos) 
Nos casos em que o f ≥ 16mm ou a quando a proporção de barras emendadas for maior 
ou igual a 25% do total de barras da seção, deverão ser colocadas barras transversais nas 
emendas, que atendam aos requisitos abaixo: 
a) Ser capaz de resistir a uma força igual à das barras emendada; 
b) Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais 
próximas de duas emendas for menor que 10f; 
c) Concentrar-se nos terços extremos das emendas; 
d) Nas emendas de barras comprimidas deverá haver uma barra posicionada a 4f da 
extremidade da emenda; 
 
 
 
 
 
 
% barras emendadas na 
mesma seção
≤ 20% 5% 33% 50%  50%
Valor de ot 1 1 1 18 0
Barras Tracionadas
SAst/2 SAst/2




 
=
cm20
φ15
Lbα3,0
 L sendo: LLbα
ot
ototnecotot minmin
L
90 
 
 
 
Ast = área da seção das barras emendadas 
loc,mín é o maior valor entre 0,6 lb, 15f e 200 mm. 
Emendas por solda 
 
Não será tratado neste curso, o item 9.5.4 da NBR6118/2014 trata de forma simplificada 
este assunto. 
 
Decalagem do diagrama de momento fletor 
 
Toda barra deve ser ancorada em região comprimida de uma seção, sendo assim, o início 
da ancoragem de uma barra deve ser sempre no limite do diagrama de momento fletor. 
Contudo, deve-se considerar além deste limite uma decalagem do diagrama, que é 
produzida em função da diferença entre o ponto que se calculou o momento e o ponto em 
que este esforço está atuando na armadura tracionada. Se voltarmos ao capítulo 5, 
veremos que em uma seção delimitada por duas fissuras, os mecanismos complementares 
de treliça levam os esforços do ponto calculado para uma distância “al” em direção ao 
apoio. Esta distância é chamada de decalagem e, somente após este ponto é que podemos 
iniciar a ancoragem. A NBR 6118/2014 traz em seu item 18.3.2.3.1 uma figura que 
exemplifica de “forma simplificada” esta decalagem: 
SAst/2 SAst/2
Barras Comprimidas
91 
 
 
 
A linha cheia Rsd, representa o diagrama de força de tração solicitante, que é proporcional 
ao diagrama de momento fletor, e a distância al (decalagem) pode ser simplificadamente 
expressa por: 
al ≥ 0,5 d, no caso geral; 
al ≥ 0,2 d, para estribos inclinados a 45°. 
Neste curso, como trabalharemos sempre com estribos a 90°, o valor de al será igual a 5d. 
 
Comprimento de ancoragem nos apoios e das armaduras negativas 
Toda barra que chegar até o apoio deverá ser ancorada dentro do pilar com o 
comprimento mínimo dado por: 
 
 
 
No caso de barras positivas, é obrigatória a chegada até os apoios de no mínimo 1/3 das 
barras, portanto, estas devem ser ancoradas dentro do pilar. As demais barras, que por 
questões práticas construtivas, também cegarem aos apoios não precisam ser ancoradas 
dentro do pilar. 
As armaduras negativas não necessariamente precisam ir até os apoios, basta que seja 
“coberto” o diagrama com as devidas decalagens e o lb necessário para que o 
dimensionamento se torne seguro. Existem diversas maneiras de calcular o comprimento 
das armaduras, e todas eles dependem da forma geométrica do diagrama de momento. 
Um método clássico largamente utilizado é dividir o diagrama em seções na mesma 





+
mm60
φ)5,5(r
l
necb
92 
 
quantidade de barras calculadas e distribuir as barras em cada seção. A forma parabólica 
do diagrama pode ser aproximada a um triângulo conforme exemplo abaixo para um 
conjunto de 4 barras negativas. 
 
Observe que cada barra possui um tamanho diferente. Este um método seguro e pode ser 
utilizado em projetos no intuito de economizar armaduras. 
Neste curso não utilizaremos este método, para efeito de simplificar as análises 
calcularemos todas as barras negativas com o mesmo tamanho. Dimensionando-as com o 
comprimento total entre pontos de momento nulo mais a decalagem (al) somada com o 
lbnec para cada lado, veja no exemplo abaixo o mesmo caso anterior para 4 barras 
negativas: 
 
Neste caso as 4 barras terão o mesmo tamanho igual a: 
L + 2 x al + 2 x lbnec 
*** 
 
 
93 
 
Apoio externos
Apoio Internos
Apoio esternos 
( tela soldada)
Apoio Internos
( tela soldada)





h2
cm20
e
Capítulo 9 – Disposições Construtivas Gerais de Armaduras Passivas 
 
Lajes 
As lajes podem ser armadas por meio de telas soldadas ou barras isoladas, sendo, 
portanto em ambos os casos necessário o atendimento à armadura calculada em ELU por 
metro linear da seção. 
Prescrições de Norma NBR6118 
 
Espaçamento máximo entre barras: 
 
 
Armadura secundária ou de distribuição: 
 
Ancoragens em apoios de extremidade e intermediários 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




 )(
,
As
principal
2
dist
As
5
1
cm90
94 
 
Em caso de aberturas em lajes, há uma concentração de tensões nas quinas das aberturas, 
sendo, portanto, necessário uma armadura de reforço nestes locais. 
 
 
Armaduras Negativas 
 
Os diagramas de momento negativos devem ser completamente cobertos pelas armaduras 
longitudinais tracionadas, estas armaduras deverão ser perfeitamente ancoradas com lb(nec) 
nas regiões comprimidas da seção da laje. Como esta distância não é muito fácil de ser 
determinada a norma estabelece uma fórmula prática de dimensionar os comprimentos. O 
comprimento Lo para cada lado da armadura negativa deverá ser de no mínimo ¼ do vão 
que produziu o momento fletor. 
 
 
Nota: Mesmo se os vãos das duas lajes forem diferentes, recomenda-se que seja feito a 
mesma dimensão paras os dois lados, afim de se evitar erros de montagem. 
2h + lb
Amadura reforço de aberturas mínimo 
de 3 barras com f = As (principal)
)(4
1
lajeL
95 
 
Exemplo típico de detalhamento de Laje
450 500
40
0
35
0
500
125
100
9
9
7
125
150
27N4-f6.3 - c/15 - 470
27N3-f6.3 - c/15 - 530
N1-f8.0 – 270 (27 un)
27N1- c/15 
N7-f8.0 – 220 (33 un)
23N3- c/15
33N2- c/12 
N2-f8.0 – 288 (33 un)
30
N
5-
f6
.3
 -
c/
15
 -
41
0
33
N
5-
c/
15
8N
6-
f5
.0
 –
c/
20
 -
39
5
33
N
8-
f6
.3
 -
c/
15
 -
37
0
33N
7-c/15 
N
eg
at
iv
os
N9-f5.0 – 60 (170 un)
N
9 -
C
/20
N
9 -
C
/20
N
9 -
C
/20
N9 - C/20N9 - C/20
N
9 -
C
/20
N9 - C/20
Quadro Resumo de Aço das Lajes 
Detalhe da armadura negativa
Armadura negativa da laje
Armadura Positiva da laje
Estribo da viga Armadura longitudinal da viga
f4.2 - corridos – suporte dos 
negativos
Viga
Laje
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96 
 
ah
av
c
tf
Lf
Detalhamento de Vigas
ah
av
A’s
As
Asw
h
bw
A
rm
ad
ur
a 
de
 p
el
e
A
rm
ad
ur
a 
de
 pel
e
c
d'
 =
 C
G
 d
a 
ar
m
ad
ur
a 
 A
s
d 
= 
h 
-d
’
Modelo de viga com armadura tracionada em baixo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arranjo das armaduras 
O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às 
condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao 
adensamento do concreto. Os espaçamentos devem ser projetados para a introdução do 
vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no 
interior do elemento estrutural. 
Barras curvadas 
O diâmetro interno de curvatura de uma barra da armadura longitudinal dobrada, para 
resistir à força cortante ou em nó de pórtico, não deve ser menor que 10f para aço CA25, 
15f para CA50 e 18f para CA60. 
Distribuição da armadura 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da 
seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
a) Na direção horizontal (ah): 
⎯20 mm; 
⎯ diâmetro da barra do feixe ou da luva 
⎯ 1,2 vezes a dimensão máxima característica do agregado graúdo. 
 
 
b) na direção vertical (av): 
⎯ 20 mm; 
97 
 
⎯ diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
⎯ 0,50 vezes a dimensão máxima característica do agregado graúdo. 
 
Armadura de pele (costela) 
A mínima armadura lateral deve ser 0,10% Ac,alma em cada face da alma da viga e 
composta por barras de alta aderência (η1 ≥ 2,25) com espaçamento não maior que 20 cm 
ou d/3. Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização da 
armadura de pele. 
Armadura de suspensão 
Nas proximidades de cargas concentradas transmitidas à viga por outras vigas ou 
elementos discretos que nela se apoiem ao longo ou em parte de sua altura, ou fiquem 
nela pendurados, deve ser colocada armadura de suspensão. Esta armadura deverá ter 
uma área de aço suficiente para transferir para parte superior da viga de apoio a totalidade 
da força cortante produzida pela viga apoiada. 
 
 
Sendo Rtt igual a cortante máxima de cálculo no apoio em ELU. 
A armadura de suspensão poderá ser composta pela continuidade da armadura 
longitudinal da viga suportada 
 
(Figura livro Técnica de armar as estruturas de concreto do Prof. Fusco) 
 
A armadura de suspensão poderá ser reduzida quando a viga suporte e a viga suportada 
coincidirem em sua face superior, em um valor de h1/h2 vezes Rapoio, conforme desenho 
abaixo. E em caso de excesso de armadura na região, o aço da armadura de suspensão 
poderá ser distribuído nas laterais da viga suporte conforme limites abaixo: 
 
fydAR sptt =
98 
 
 
(Figura livro Técnica de armar as estruturas de concreto do Prof. Fusco) 
 
*** 
 
 
 
99 
 
Capítulo 10 – Lajes Nervuradas. 
 
É chamada de laje nervurada a laje cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as 
quais podem ser colocados materiais não estruturais, chamados de materiais inertes, de 
modo a tornar plana a superfície inferior da peça. Algumas fôrmas possibilitam a 
construção de tais lajes mantendo os espaços, entre as nervuras, vazios, com isso pode-se 
reduzir ainda mais o peso da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
O objetivo principal na construção de lajes nervuradas é a economia de concreto e a 
grande redução de peso próprio da laje com obtenção de grandes vãos, entre 7 e 15m. 
 
Laje Nervurada Unidirecional – Pré-fabricada 
 
Um tipo de laje nervurada muito comum é a chamada laje pré-fabricada ou treliçada. 
Estas estruturas são lajes unidirecionais (armadas em uma direção) realizadas com 
vigotas pré-moldadas. O enchimento pode ser de ESP (Poliestireno Expandido ou 
100 
 
simplesmente Isopor), outros materiais utilizados são o bloco cerâmico ou celular ou até 
mesmo fôrmas reutilizáveis. A mesa, ou capa, é de concreto maciço e possui somente 
uma armadura de distribuição (tela) para combater a fissuração hidráulica do concreto. 
Estes tipos de lajes não se comportam bem em estruturas contínuas, isso devido a 
pequena espessura das mesas dificultando a colocação de armadura negativa. Porém, não 
quer dizer que em casos especiais , quando há uma necessidade de evitar possíveis 
fissurações sobre os apoios, estas armaduras não possam ser colocadas, contudo não deve 
ser levadas em consideração nos cálculos para o dimensionamento dos vãos. As lajes 
pré-fabricadas são largamente utilizadas no mercado, principalmente de moradias de 
baixa renda, devido a sua facilidade construtiva e do preço atrativo. 
 
Dimensionamento de uma laje pré-fabricada 
 
Da mesma forma que nas lajes maciças uma laje pré-fabricada pode ser pré-dimensionada 
pela equação da fecha elástica, já que são elementos biapoiados sujeitos a carregamento 
distribuído. O dimensionamento das vigotas deve ser feito no ELU calculando as 
nervuras como vigas T. 
 
 
Devido à complexidade da forma de uma nervura, o melhor caminho para pré-
dimensionar a estrutura é definindo as dimensões de todos os elementos e verificando se 
as dimensões pré-definidas passam ou não na flecha admissível, se passarem com muita 
folga, as dimensões podem ser reduzidas, se não, devem ser aumentadas. É um processo 
iterativo, porém, não difícil de ser realizados em planilhas eletrônicas. 
 
 
 
 
101 
 
Armaduras de cisalhamento 
Ver capítulo 5 – cisalhamento em lajes 
 
Calculo da carga P em ELS 
PELS= (g+2q) 
1º definir a geometria dos elementos da nervura: 
 
a) Largura entre eixos de vigotas (largura intereixo): esta largura é definida em 
função do material de enchimento que se quer colocar, no caso do EPS, permite-
se uma maior flexibilidade de dimensionamentos. Se o enchimento for de bloco 
cerâmico ou bloco celular as dimensões ficam fixadas pelos modelos disponíveis 
no mercado. No exemplo abaixo o EPS é quadrado com dimensões 12x25x25cm; 
b) bw das vigotas de 9cm (base 13 x 3 ) 
c) hf (altura da mesa ou capa) 4cm 
 
Nervura pré-definida 
 
 
Cálculo do peso Próprio 
Há várias maneiras de se calcular o peso/m2 de uma laje nervurada, utilizaremos aqui um 
processo simples que consiste em calcular um volume de um elemento constituído pelo 
eixo de duas vigotas, deste volume subtraímos o volume do enchimento e multiplicamos 
o resultado pela densidade do concreto. O peso final é denominado PESO DA 
102 
 
NERVURA que podemos convertê-lo por m2 dividindo o valor pela área de influência 
que foi calculado. 
A área de influência da nervura é composta por um recorte delimitado pelos valores de 
env x enh em planta: 
 
 
 
 
 
 
Verificação da flecha 
A flecha em uma laje nervurada é proporcional a flecha da laje se ela fosse maciça e a 
relação entre elas é dada pela razão entre o momento de inércia da laje maciça e o 
momento de inércia da nervura, assim a flecha elástica inicial é dado pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
Momento inércia da nervura 
Para facilitar o cálculo, e a favor da segurança a nervura pode ser aproximada a uma 
seção T com as dimensões abaixo: 
 
 
 
 
 
 
)(nervurada
(maciça)
(maciça)e
I
I
ff =
wwff
f
w
wwff
cg
hbhb
h
h
hbb
+






++






=
22
h
h
y
f
( )
( )
23
23
212
212






−++

=






−+

=
cgf
w
ww
ww
B
f
cgff
ff
A
yh
h
hb
hb
I
h
yhb
hb
I
BAT III +=
103 
 
Lajes nervuradas armadas em duas direções 
 
Uma laje nervurada em cruz poderá ser calculadacomo sendo uma laje maciça comum, 
desde que atenda a certos requisitos da NBR6118/2014. Uma atenção especial deve ser 
dada às lajes contínuas, nos apoios intermediários, a seção resistente é formada apenas 
pelas nervuras da laje, as quais aí funcionam como vigas de seção retangular, pois a mesa 
neste caso está na zona tracionada. Neste caso, o apoio da laje deve ser feito ao longo de 
uma nervura transversal. 
 
 
 
Como foi citado acima a NBR 6118/2014 prescreve uma regulamentação para 
dimensionamento de uma laje nervurada, seguem abaixo estas prescrições: 
a) A espessura da mesa, quando não houver tubulações horizontais embutidas, 
deverá ser sempre maior ou igual a 1/15 da distância entre as nervuras e não 
menor que 4cm. O valor mínimo absoluto da espessura da mesa deve ser de 4 cm 
mais o diâmetro da tubulação embutidas, se houver cruzamento de tubulação o hf 
da nervura deverá ser de 4+2, sendo  o diâmetro da tubulação em cm. 
b) A espessura das nervuras não deve ser inferior a 5 cm. Nervuras com espessura 
menor que 8 cm não devem conter armadura de compressão. 
c) Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 cm, pode 
ser dispensada a verificação da flexão da mesa. 
d) Para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 cm, exige-
se a verificação da flexão da mesa a as nervuras devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permite-se esta verificação como lajes (item 19.4.1 
NBR 6118/2014), se o espaçamento entre eixos de nervuras for menor que 90 cm 
e a espessura média das nervuras for maior que 12 cm. 
e) Para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior que 110cm, 
a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de vigas. 
104 
 
f) As lajes nervuradas armadas em cruz podem ser calculadas, para efeito da 
determinação dos esforços como laje maciça. 
 
Análise de Lajes Nervuradas em cruz 
Na determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio) de lajes 
nervuradas temos duas situações a considerar: 
 
Caso 1 – Laje nervurada com inércias iguais 
 
Neste tipo de laje as espessuras das nervuras e o espaçamento entre elas são iguais nas 
duas direções (env(a)=env(b)). Este tipo de laje pode ser calculado como sendo uma laje 
maciça comum, utilizando para tal qualquer tabela de lajes em regime elástico. Não 
podemos utilizar tabela em regime rígido plástico para cálculo de lajes nervuradas. 
 
 
Laje nervurada com inércias iguais env(b) = env(b), bw e he são iguais nas duas direções 
(bw é a espessura média da nervura e he sua altura) 
 
Caso 2 – Laje nervurada com inércias desiguais 
 
Neste tipo de laje as espessuras das nervuras e/ou o espaçamento entre elas são diferentes 
nas duas direções. Neste tipo de laje os esforços solicitantes são determinados utilizando-
se a “teoria das grelhas” que tem como princípio básico à compatibilidade das flechas das 
nervuras nas direções a e b. assim “quinhões de carga” são calculados para cada direção. 
Este procedimento reduz o problema da bi flexão das lajes em duas flexões ortogonais 
“independentes”. Desprezando-se, portanto o efeito benéfico dos momentos volventes 
que reduzem os momentos fletores positivos atuantes. 
105 
 
 
 
Laje nervurada com inércias iguais env(a) ≠ env(b), bw e he podem ou não iguais nas duas 
direções 
Neste curso trabalharemos somente com a as lajes nervuradas com inércias iguais e 
utilizaremos para cálculo dos esforços solicitantes a tabela de Bares de momentos fletores 
em regime elástico. Estudaremos o dimensionamento de lajes biapoiadas (tipo A da 
tabela) as demais lajes (contínuas) não serão tratadas neste curso. Utilizaremos também o 
catálogo de fôrmas da ASTRA para solucionar alguns exercícios propostos. 
 
 
Tipo
de
Laje
 
b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb
0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - -
0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - -
0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - -
0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - -
0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - -
0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - -
0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 17,7 - - - -
0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - -
0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - -
0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - -
1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4
1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4
1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9
1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6
1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5
1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5
1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5
1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5
1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5
1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5
2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
Tabela - Momentos Fletores, Regime Elástico
m
pa
M
2
=
n
pa
X
2
=
106 
 
 
(Tabela do catálogo da ASTRA) 
 
 
 
107 
 
Dimensionamento das lajes Nervuradas 
Como no caso de lajes unidirecionais o dimensionamento é feito considerando as 
nervuras como sendo vigas de seção “T”. 
 
O cálculo pode ser feito de forma similar ao anterior (lajes unidirecionais), retirando-se 
em planta uma área de influência igual a distância entre eixos das nervuras: 
 
A flecha é verificada com o auxílio da tabela de Bares para flecha elástica estudada no 
capítulo 3. 
 
*** 
108 
 
Capítulo 11 – Lajes Lisas e Cogumelos 
 
As lajes lisas ou cogumelos são lajes sem vigas, segundo a NBR 6118/2014 Lajes-
cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são 
apoiadas nos pilares sem capitéis. A análise estrutural de lajes lisas e cogumelo deve ser 
realizada mediante emprego de procedimento numérico adequado, por exemplo, 
diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de contorno. Nos casos das lajes em 
concreto armado, em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira 
regular e com vãos pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo 
processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar, em cada 
direção, pórticos múltiplos, para obtenção dos esforços solicitantes. 
 
 
 
 Laje lisa Laje Cogumelo 
Não estudaremos neste curso o método dos pórticos equivalentes, nossas lajes serão 
calculadas por processoexato utilizando o método de elementos finitos (apêndice 3) 
Vantagens das lajes Lisas 
1. Adaptabilidade a diversas formas ambientais; 
2. Simplificação das fôrmas e do cimbramento; 
3. Simplificação das armaduras; 
4. Simplificação da concretagem; 
5. Melhoria da qualidade final e diminuição de revestimentos; 
6. Redução da altura total do edifício; 
7. Simplificação das instalações prediais; 
8. Redução do tempo de execução. 
Desvantagens 
1. Elevados esforços de punção; 
2. Baixa rigidez do pórtico as ações horizontais; 
3. Elevado Custo. 
109 
 
 
Prescrições normativas para armaduras de lajes lisas ou cogumelo 
a) Diâmetro máximo da armadura h/8; 
b) Espaçamento máximo da armadura 2h ou 20cm; 
c) Armaduras secundárias de flexão devem ter seção transversal de área igual ou 
superior a 20% da área da armadura principal, com espaçamento entre barras não 
maior que 33cm; 
d) As armaduras positivas e negativas nas direções menos solicitadas não podem ter 
seção inferior a 25% das armaduras das direções mais solicitadas; 
e) Não utilizar diâmetro da armadura principal menor que 10mm; 
f) Deverá haver no mínimo 2 barras passando sobre os apoios, além das barras 
contra colapso progressivo; 
g) O comprimento das barras da armadura negativa deve ser no mínimo 0,35L para 
cada lado dos pilares; 
h) A armadura negativa de reforço das bordas deve ser no mínimo 0,25L além do 
eixo do pilar. 
 
Armadura contra colapso progressivo 
 
Para garantir a segurança da estrutura contra colapso progressivo de lajes, é obrigatório 
uma armadura inferior que passa pelo pilar atravessando o contorno crítico, denominado 
contorno C ( linha que delimita as arestas do pilar em contato com a laje), que deve estar 
devidamente ancorada além do ponto C’, ponto na qual as tensões tangenciais no 
concreto da laje já são devidamente suportadas pela resistência do concreto. A área da 
armadura de punção é dada pela expressão: 
 
 
 
Sendo Fsd o valor da força concentrada no ponto de apoio. 
 
yd
sd
CLP
f
F51
As
,
=
110 
 
 
Detalhe da armadura contra colapso progressivo 
 
(item 19.5.4 NBR 6118/2014) 
Altura mínima da laje 
Para atender a NBR 6118, no item 14.6.4.3 (ductilidade da seção), a profundidade 
relativa da linha neutra x/d deve ser no máximo 0,45. Este requisito da norma é atendido 
quando utilizamos o k limite de 0,295 para concretos até 50MPa e 0,24 para concretos de 
50 a 90MPa, sendo assim, para concretos dentro desta faixa, o valor de dmin é igual: 
 
 
 
 
 
Punção em lajes 
 
A punção é uma ruptura transversal, por cisalhamento, em torno de regiões relativamente 
pequenas submetidas a carregamentos localizados. A punção ocorre em maior frequência 
em lajes ou sapatas, devido à esbeltez das seções destas peças. No caso particular de 
lajes, principalmente lajes sem vigas, as chamadas lajes lisas ou cogumelos, o efeito de 
punções deve ser levado sempre em consideração nos cálculos. Na ruína por punção a 
força cortante é predominante, a laje se rompe por cisalhamento antes que a capacidade 
da laje a flexão seja atingida. É um tipo de colapso frágil, acontece abruptamente sem 
aviso e é extremamente perigoso. 








=→

=→

=
24,0bwf
Md
dMPa90fck50
295,0bwf
Md
dMPa50fck
dbwf
Md
k
cd
)(
cd
)(
2
cd
min
min
111 
 
 
Para se evitar a punção há 3 formas de resolver o problema 
a) Aumentar a espessura da laje (toda) ou na região dos apoios; 
b) Utilização de capitel, aumento da seção nas ligações laje-pilar; 
c) Colocar armaduras específicas (estribos) para combater o cisalhamento. 
Lembrando que a NBR 6118/2014 não permite que haja laje lisa sem armadura de punção 
quando o sistema de contraventamemto horizontal depender da rigidez das ligações entre 
laje e pilar 
Armadura de punção obrigatória 
No caso de a estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser 
prevista armadura de punção, mesmo que Sd seja menor que τRd1. Essa armadura deve equilibrar 
um mínimo de 50 % de FSd. (item 19.5.3.5 NBR 6118/2014). 
 
Método de verificação da punção de acordo com a NBR 6118/2014 
Determinação dos contornos críticos
 
 
112 
 
Dimensão dos contornos para pilares internos: 
Contorno C → u = perímetro do pilar 
Contorno C’→ u’ = perímetro do pilar + 4d 
Contorno C’’→ u’’ = perímetro do pilar + 4d+ 4p (p é a distância da face do pilar até a 
última linha de estribos e d é a atura útil da seção) 
 
Tensão de verificação nos contornos críticos 
A tensão resistente da compressão na diagonal do concreto é verificada indiretamente 
sobre uma superfície de controle normal ao plano da laje, situada ao redor da área 
carregada. Esta área e delimitada por um perímetro traçado a uma certa distância do 
ponto de ligação entre a laje e o pilar. A tensão atuante sd deverá ser menor que as 
tensões limites para cada caso: 
Rd1 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para que uma laje possa 
prescindir de armadura transversal para resistir a força cortante; 
Rd2 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo limite, para verificação da 
compressão diagonal do concreto da laje; 
Rd3 – Tensão de cisalhamento resistente de cálculo; 
Cálculo de rd1 é dado pela expressão: 
 
 
Com fck em MPa 
 é a taxa de armadura de flexão nas duas direções ortogonais sobre o pilar 
Sobre o pilar em lajes lisas haverá sempre uma armadura de flexão, nas duas direções, 
esta armadura é considerada no cálculo da punção através desta taxa de armadura. Que 
deve ser calculada a uma distancia 3d para cada lado a partir da face do pilar. Deve-se 
calcular as taxas x e y e definir a taxa  pela equação abaixo: 
 
 
Cálculo de Rd2 é dado pela mesma expressão da tensão resistente ao cisalhamento para 
bielas inclinadas a 45° (Capítulo 5), a expressão: 
 
 
Com fck em MPa 
( ) 3
1
1Rd fck100
d
20
1130 








+=  ,
yx  =
fcd270 v2Rd  ,= 





−=
250
fck
1v
113 
 
 
Cálculo da armadura Asw 
 
 
 
Simplificando a equação para estribos a 90°, temos: 
 
 
 
Onde: 
Sr é o espaçamento radial entre linhas da armadura de punção, e deve ser ≤ 0,75d; 
Asw é a área da armadura de punção em um contorno paralelo a C’; 
u' é o perímetro critico (C’); 
fywd é a resistência de cálculo para a armadura de punção, variando de 260 a 435MPa em 
função linear da altura da laje ( de 16 a 35cm) 
Nota: Para Asw ≤ 0 utilizar 0,5sd e rd1 = 0 (em atendimento a NBR 6118 item 
19.5.3.5) 
Com Sd, Rd1, fck e fywd em MPa 
 
Tensão Solicitante 
 
 
Verificação da biela comprimida Cálculo da armadura 
Onde: 
Fsd é a carga que produz o puncionamento (reação concentrada do pilar) 
Msd é o momento solicitante de cálculo; 
Wp é o módulo de resistência elástico no contorno crítico; 
K é um coeficiente que fornece a parcela do momento que produz cisalhamento na seção 
crítica 
u é o perímetro de contorno do pilar(C); 
u' é o perímetro critico (C’); 
( ) 







+








+=
du
senfA
S
d
51fck100
d
20
1100
ywdsw
r
3
1
Sd
'
,,

→








+=
'
5,1
3,1
1
uS
f
A
r
ywd
sw
Rd
Sd

dW
Mk
du
F
τ
p
SdSd
Sd1


+

=
dW
Mk
du'
F
τ
p
SdSd
Sd2


+

=
( )
ywd
rRdSd
sw
f
uS
A
95,1
'3,1 1 −=
114 
 
 
 
Para Pilares Retangulares Wp é dado por: 
 
No contorno C 
 
 
 
No contorno C’ 
 
 
 
Disposição da armadura de punção 
 
(Figura retirada do item 19.5.3.4 da NBR 6118/2014) 
 
 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
k 0,45 0,6 0,7 0,8
Valores de k em função de C1/C2
( )21
2
2
1
p CC
C
C
W +=
( ) ( ) ( ) ( )122121
2
2
1
p Cd216dC4CCCC
C
C
W +++++= 
115 
 
Laje lisa 
 
Modelar a laje lisa abaixo em programa de elementos finitos, calcular a armadura 
longitudinal negativa e positiva somente para os momentos máximos. Calcular armadura 
de punção para o pilar mais solicitado e a armadura contra colapso progressivo. 
 
Dados: 
fck 30MPa 
d’ = 3cm 
Piso = 1,2 kN/m2 
Sc = 4kN/m2 
Revest/forro = 0,5kN/m2 
Drywall = 0,3kN/m2 
Pé-direito 6m 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Verificação da flecha máxima 
 
Flecha admissível = L/250 = 450/250 = 1,8cm 
 
Flecha imediata medida no modelo 0,95cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
116 
 
f∞ = 2,46 x 0,95 = 2,34cm NOK! 
 
CF L/350 = 1,3cm → Aplicar contra-flecha de 1,5cm 
 
Armadura de flexão 
Momentos fletores na direção x 
 
Momentos Fletores na direção y 
 
 
 
*** 
117 
 
 
Capítulo 12 – Ações de Vento em Edifícios 
 
 
 
Fonte ABNT NBR 6123 
Velocidade Básica (Vo) 
 
É definida como a velocidade de uma rajada de três segundos excedida em média uma 
vez em 50 anos e medida a 10 metros acima do terreno em campo aberto. 
 
BH ± 35m/s 
 
118 
 
Velocidade Característica Vk 
 
Velocidade característica e a velocidade Básica (Vo) modificada pela topografia da região 
 
Vk = S1S2S3Vo 
 
Fator Topográfico S1 
a) Terrenos Planos ou fracamente acidentados S1 = 1 
b) Em vales profundos, protegidos de ventos de quaisquer direções S1 = 0,9 
c) Em taludes e morros nos pontos A e C S1 = 1.0 
No ponto B depende da altura medida a partir da superfície do terreno, Z, da 
diferença de nível “d” entre a base e o topo do talude ou morro e da inclinação média 
q do talude ou encosta do morro: 
 ≤ 3º → S1(Z) = 1 
6º ≤  ≤ 17º → S1(Z) = 1 + ( 2,5 – z/d ) tg ( – 3º) ≥ 1 
 ≥ 45º → S1(Z) = 1 + 0,31( 2,5 – z/d ) ≥ 1 
Para os pontos entre A e B e valores de inclinação entre 17° e 45° deve-se fazer 
interpolação linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator S1 e taludes e morros 
119 
 
Pressão dinâmica do vento qv 
 
 
 
 
 
 
Fator de Rugosidade S2 
 
Este fator leva em consideração o efeito combinado da rugosidade do terreno, da variação 
da velocidade do vento com a altura do terreno e das dimensões da edificação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
k mkN
1000
V6130
q /_
,
=
120 
 
Onde: 
 
Z é a altura da edificação a partir da superfície do terreno 
 
Categoria I: Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão, 
medida na direção e sentido do vento incidente. Exemplos: 
a) mar calmo; 
b) lagos e rios; 
c) pântanos sem vegetação. 
Categoria II: Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com poucos 
obstáculos isolados, tais como árvores e edificações baixas. Exemplos: 
a) zonas costeiras planas; 
b) pântanos com vegetação rala; 
c) campos de aviação; 
d) fazendas. 
 A cota média do topo dos obstáculos é considerada inferior ou igual a 1,0 m. 
 
Categoria III: Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como muros, poucos 
quebra-ventos de árvores, edificações baixas e esparsas. Exemplos: 
 granjas e casas de campo; 
a) subúrbios a considerável distância do centro, com casas baixas e esparsas. 
b) A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 3,0 m. 
 
Categoria IV: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos pouco espaçados, em zona 
florestal, industrial ou urbanizada. Exemplos: 
a) zonas de parques e bosques com muitas árvores; 
b) cidades pequenas e seus arredores; 
c) subúrbios densamente construídos de grandes cidades; 
d) áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas. 
 A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 10 m. 
 Esta categoria também inclui zonas com obstáculos maiores e que ainda não possam ser 
consideradas na categoria V. 
 
 
 
 
121 
 
Categoria V: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco 
espaçados. Exemplos: 
a) florestas com árvores altas; 
b) centros de grandes cidades; 
c) complexos industriais bem desenvolvidos. 
A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual ou superior a 25 m. 
 
 
 
Fator Estatístico S3 
 
Leva em consideração o tipo da edificação e o grau de segurança que requer. 
 
 
 
Em edificações impermeáveis (edifícios residenciais e comerciais comuns) onde a 
influência das pressões internas são desprezíveis no cálculo da estrutura, o valor da 
pressão total de vendo é dada pela expressão: 
 
 
Onde Ca é o coeficiente de arrasto 
 
qCq av =
122 
 
l1
l2
h
Z
Coeficiente de arrasto Ca 
vento de alta turbulência
Coeficiente de arrasto Ca para ventos de alta turbulência (adaptado da NBR 6123) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
123 
 
Análise Dinâmica Método Simplificado 
 
Se a edificação tiver seção transversal constante e distribuição de massa mais ou menos 
uniforme, aplica-se um método simplificado de cálculo, desde que a estrutura não 
ultrapasse150m de altura. Admite-se que, para a resposta dinâmica pelo método 
simplificado, basta a análise única do primeiro modo de vibração (modo fundamental). 
Para esse caso a expressão utilizada pela norma brasileira engloba tanto a resposta média 
quanto a amplitude máxima da vibração provocada pelo vento. Assim, a pressão exercida 
pelo vento é uma função contínua em relação a altura da edificação sobre o terreno. 
 
Velocidade de projeto Vp 
 
Vp = 0,69 VoS1S3 
 
 
 
 
Onde: 
 
 é uma constante que leva em consideração a forma da estrutura e o atrito entre o vento e 
a fachada da edificação 
 
 fator que leva em consideração a capacidade de amortecimento da estutura, também 
conhecida como damping. 
 
T1 é o período da oscilação e f1 a frequência em Hz 
 
Pressão do Vento Amplificada 
 
 
 
 
Onde: 
q0 e a pressão básica do vento em em KN/m
2 e Vp a velocidade em m/s 
 
 
1000
V6130
q
2
p
0
,
=
124 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
O expoente p e o coeficiente b dependem da categoria de rugosidade do terreno e são 
tabelados. O coeficiente de amplificação dinâmica , é função das dimensões da 
edificação, da razão de amortecimento crítico  e da frequência f em Hz. 
qvA = pressão de vento amplificada na fachada da estrutura 
p = 0,23 para Categoria IV 
b = 0,71 para categoria IV 
z = altura do ponto que se deseja calcular a força 
h = altura total da estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico para coeficiente de amplificação dinâmica  para terrenos da categoria IV 
 
2
pp2
0z b
p1
21
h
z
10
h
10
z
q q








++
+












+





= 

)(
qCCqq aazvA = )(
1800
f
Vp 
125Capítulo 13 – Pilares 
 
 
Os pilares são elementos responsáveis por receber as cargas das vigas ou lajes lisas e 
descarregar nos elementos de fundação. Normalmente são elementos prismáticos 
posicionados na vertical. Podem ser retangulares, redondos ou possuir qualquer outra 
forma, podem também serem vazados ou não, no entanto neste curso, trabalharemos 
apenas com pilares retangulares e redondos maciços. Segundo a NBR 6118/2014 a seção 
transversal de um pilar maciço, qualquer que seja a sua forma, não pode apresentar 
dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões 
entre 19cm e 14cm, desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem 
considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o 
indicado na Tabela 13.1 da norma. Em qualquer caso, não se permite pilar com seção 
transversal de área inferior a 360 cm2. 
 
Armadura longitudinal 
O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10mm e nem superior a 1/8 da 
menor dimensão da seção 
A armadura longitudinal mínima deve ser: 
As min = (0,15 Nd/fyd) ≥ 0,004 Ac 
Asmáx = 8,0% Ac 
A maior taxa de armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se 
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. Este requisito se 
dá em função do aumento considerável de carga que ocorre nas armaduras ao longo dos 
anos. O efeito de relaxamento do concreto em função da fluência e retração transfere ao 
aço uma grande parcela de tensão, inicialmente não considerada no cálculo. Este fato 
pode fazer a armadura do pilar, se for muito rígida (elevada taxa), escoar ainda em 
126 
 
serviço o que sempre se deve evitar, haja vistas que o escoamento do aço na seção é um 
estado limite último. 
As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir 
a adequada resistência do elemento estrutural. Em seções poligonais, deve existir pelo 
menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis barras 
distribuídas ao longo do perímetro. 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da 
seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos 
seguintes valores: 
a) 20 mm; 
b) diâmetro da barra, do feixe ou da luva; 
c) 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo. 
Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras. Quando 
estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na 
face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem 
do vibrador. O espaçamento máximo entre eixos das barras, ou de centros de feixes de 
barras, deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho 
considerado, sem exceder 400 mm. 
 
 
Armadura transversal 
 
A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por 
grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória 
sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. O diâmetro dos estribos em 
pilares não deve ser inferior a 5mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro 
equivalente do feixe que constitui a armadura longitudinal. 
 
 
 = diâmetro da barra longitudinal 
 
O espaçamento longitudinal entre estribos, medido na direção do eixo do pilar, para 
garantir o posicionamento, impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a 
e eixo





 seçãoda dimensão menor2
mm400
e





→





LL
t
4
1
mm5
ff
f
127 
 
costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais, deve ser igual ou inferior 
ao menor dos seguintes valores: 
a) 200 mm; 
b) menor dimensão da seção; 
c) 24f para CA25, 12f para CA50. 
 
Os estribos garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos 
e as por eles abrangidas, situadas no máximo à uma distância de 20ft do canto, se nesse 
trecho de comprimento 20ft, não houver mais de duas barras, não contando a do canto. 
Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou fora dele, deve haver estribos 
suplementares (grampos) 
 
 
Imperfeições geométricas 
 
Imperfeições Globais 
 
Na análise global das estruturas deve ser considerado um desaprumo dos elementos 
verticais conforme a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (item 11.3.3.4.1 NBR 6118/2014) 
 
 
 
 
 
 
 
128 
 
Imperfeições locais 
 
No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo 
ou da falta de retilineidade do eixo do pilar. 
 
 
 
(item 11.3.3.4.2 NBR 6118/2014) 
 
 
→ Hi = altura do pilar em metros 
 
 
Momento Mínimo de 1ª ordem 
 
 
Os efeitos das imperfeições locais nos pilares podem ser substituídos em estruturas 
reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem dado a seguir: 
 
 
 
Nd é a força normal solicitante de cálculo. 
h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. 
 
Estruturas de nós fixos e estruturas de nós móveis 
 
São consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, as estruturas cujos 
deslocamentos horizontais são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais de 2ª 
ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas 
estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem. 
 
200
1
H100
1
i
1 f
( )h0300150NM dd1 ,,min, +=
129 
 
As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos, e em decorrências dos efeitos globais de 2ª ordem são importantes (superiores 
a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nessas estruturas devem ser considerados 
tanto os esforços de 2ª ordem globais como os locais e localizados. 
 
Análise de estruturas de nós móveis 
 
 
Na análise estrutural de estrutura de nós móveis, devem ser obrigatoriamente 
considerados os efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física, e 
portanto, no dimensionamento devem ser obrigatoriamente considerados os efeitos 
globais e locais de 2ª ordem. 
 
Consideração aproximada da não linearidade física 
 
Para análise dos esforços globais de 2ª ordem, em estruturas reticuladas com no mínimo 
quatro andares, pode ser considerada a não linearidade física de uma maneira 
aproximada, tomando-se como rigidez dos elementos estruturais os valores seguintes: 
 
a) Lajes: (EI)sec= 0,3EciIc 
b) Vigas: (EI)sec= 0,4EciIc para A’s ≠ As e 
 (EI)sec = 0,5 EciIc para A’s = As 
c) Pilares: (EI)sec =0,8ECi.IC 
 
Onde: Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto (estádio I), incluindo, quando 
for o caso, as mesas colaborantes; e Eci é o módulo de elasticidade tangente na origem do 
concreto igual a: 
 
 
 
Dispensa da consideração dos efeitos globais de 2ª ordem 
 
Coeficiente  → para edificações de até de 4 pavimentos 
 
Para edificações de pequeno porte com até 4 pavimentos a NBR 6118 permite a solução 
aproximada através do parâmetro . 
 
 
 
 
fck5600Eci =
CCS
K
TOTAL
IE
N
H=
130 
 
Onde: 
Htotal é a altura total da edificação a partir da cota de arrasamento da fundação; 
Nk é somatória de todas as cargas verticais na edificação com seu valor característico; 
Ecs é módulo de elasticidade secante do concreto 
Ic é a somatória dos momentosde inércia dos pilares na direção considerada, podendo ser 
utilizado a rigidez de um pilar equivalente. 
 
O parâmetro a deve ser comparado com o valor de 1, que varia em função do número de 
pavimentos: 
 
 
Se o valor de  for menor que o valor de 1 a estrutura pode ser 
considerada de nós fixos. Caso contrário deve ser levado em 
consideração os esforços oriundos dos efeitos de 2ª ordem. 
 
Exemplo 
 
Para a edificação abaixo com 4 pavimentos verificar se é uma estrutura de nós fixos ou 
móveis utilizando o parâmetro  da NBR 6118. 
Dados 
a. Peso da Alvenaria 18kN/m3 
b. Piso 1,2 kN/m2 
c. Sobrecarga 1,5 kN/m2 
d. Sobrecarga Forro e revestimentos teto 0,5 kN/m2 
e. Peso próprio do concreto 25 kN/m3 
f. Pilares 20x40 
g. Vigas 15x40 
h. Laje maciça de h = 10cm 
i. Paredes de e = 15cm 
j. fck do concreto 25MPa 
k. Pé-direito estrutural (piso a piso) 3m 
 
Planta do apartamento Tipo 







=
=
=
=
=
604
503
402
301
1
,
,
,
,

131 
 
 
 
Nota: Distribuir em toda laje sobre a caixa de escada no último pavimento (região 
hachurada) um carregamento de 5kN/m2 de água. 
 
Solução 
 
O grande problema deste exercício está na dificuldade de se estabelecer o valor do 
momento de inércia Ic do prédio. É uma estrutura espacial com diversos pilares, vigas e 
lajes contribuindo para rigidez total. Neste caso utilizaremos um método chamado de 
“Rigidez pelo Pilar Equivalente”. Este método baseia-se na modelagem do pórtico em 
programa de elementos finitos e a verificação da deslocabilidade deste pórtico para uma 
carga horizontal qualquer, aplicada no topo do prédio. De posse do valor do 
deslocamento horizontal calcula-se uma rigidez equivalente conforme abaixo: 
Deslocamento verificado no pórtico foi de 9,9cm para uma carga horizontal de 500kN 
Altura do pórtico = 1200cm 
132 
 
 
Utilizando a equação de flecha elástica para vigas em balanço com uma carga na 
extremidade, temos: 
 
 
No próprio modelo de elementos finitos pegamos a somatória de cargas verticais: 
Nk = 13.388,8kN 
Resolvendo a equação do parâmetro  → 
 
 
Neste caso o prédio é de nós móveis, pois apresentou um coeficiente maior que 0,6, limite 
para 4 pavimentos. Deve-e então levar em consideração nos cálculos os efeitos de 
segunda ordem, ou, redimensionar o prédio enrijecendo a estrutura nesta direção. A 
simples concepção de engastamento dos pilares na fundação pode reduzir o deslocamento 
e proporcionar à estrutura a rigidez necessária para que seja de nós fixos, vejamos: 
 Deslocamento verificado no pórtico com a fundação engastada foi de 6,08 
9
33
10x129IE
EI3
1200500
99
EI3
PL
f ,, ==


===
810
10129
838813
1200
9
,
,
,.
=

=
133 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente z → para edificações acima de 4 pavimentos 
 
O coeficiente γz de avaliação da importância dos esforços de segunda ordem globais é 
válido para estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado 
a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, para cada caso de 
carregamento, adotando-se os valores de rigidez dados no item 15.7.3. da NBR 
6118/2014. 
Cálculo do coeficiente z 
 
 
 
 
910x447IE ,=
640
10447
838813
1200
9
,
,
,.
=

=
134 
 
Considerando uma condição de equilíbrio da estrutura na posição deformada, deduz-se 
para uma relação entre o momento de 2ª ordem e o momento de 1ª ordem a seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O coeficiente z de avaliação da importância dos esforços de 2ª ordem global é válido 
para estruturas reticuladas de no mínimo 4 andares. 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
M1,tot,d = momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças 
horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base 
da estrutura. 
M,tot,d = soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura , na 
combinação considerada, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais 
de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem. 
considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição z ≤ 1,1, e neste 
caso pode ser dispensada a consideração dos esforços globais de 2ª ordem. 
Para estruturas com z até 1,3 os esforços de 2ª ordem são muito significativos e por 
consequência devem ser levados em consideração nos cálculos. Neste caso o valor dos 
esforços em 1ª ordem devem ser majorados em 95% do valor de z(*). Para estruturas 
com z maiores que 1,3 esta solução aproximada não pode ser utilizada, devendo para tal 
ser feito uma análise rigorosa dos reais efeitos de 2ª ordem. 
 





 ++++
−
=
1
n3211
2
M
PPPP
1
1
M
M
 ....
ª
z
dtot1
dtot1
2
M
M
1
1
M
M


=








−
=
,,
,
ª






















−
=
dtot1
dtot
z
M
M
1
1
,,
,

135 
 
(*) Uma solução aproximada a determinação dos esforços globais de 2ª ordem consiste na 
avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) a partir da majoração dos esforços 
horizontais da combinação de carregamentos considerada, por 0,95 z. Esse processo só é 
válido para z ≤ 1,3. 
 
Análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
A análise global de 2ª ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, 
devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2ª ordem, ao longo dos eixos das 
barras comprimidas. Os elementos isolados, para fim de verificação local, devem ser 
formados pelas barras comprimidas, retiradas da estrutura com comprimento le, porém, 
aplicando-se às duas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2ª 
ordem. Podemos ter, então, as três situações distintas que podem ocorrer nos pilares: 
 
Para as três situações acima, constata-se que o caso (a) é a pior situação. Para este caso, o 
maior deslocamento transversal do eixo ocorre na seção central. Para o pilar do caso (b), 
o deslocamento máximo ocorre em uma seção mais próxima do extremo a, No caso (c), o 
deslocamento da seção central é nulo e, provavelmente, a ruína ocorrerá na seção de 
extremidade, sendo desprezível o efeito de segunda ordem local. O comprimento 
equivalente le, do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as 
extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: 
 
 
 


 +
=



ho
e
136 
 
Viga
Viga
h
lo l
 Onde: 
lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que 
vinculam o pilar; 
h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo; 
l = distância entre eixos dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o 
pilar; 
 
 
 
 
 
 
Nota: no caso de pilar engastado na base e livre no topo le = 2 l 
 
Dispensa da análise dos efeitos locais de 2ª ordem 
 
Os esforços locais de 2ª ordem (flambagem) em elementos isolados podem ser 
desprezados quando o índice de esbeltez  for menor que o limite 1. 
Onde: 
 
, para uma seção usual retangular de concreto → 
 
O valor de 1 depende de: 
a) A excentricidade relativa de 1ª ordem; 
b) A vinculação dos extremos da coluna isolada; 
c) A forma do diagrama de momento fletor de 1ª ordem; 
O valor de 1 é dado pela expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
e1 é a excentricidade inicial ( não inclui a excentricidadeacidental); 
h = dimensão da seção na direção considerada. 
 
bh
I
e=
h
463
bh
12bh
e
3
e  ,=→

= 
90
h
e
51225
35
b
1
1 





+
=


.
137 
 
O valor de b é dado pela expressão: 
 
 
 
 
Sendo: 1,0 ≥ b ≥ 0,4 
 
MA e MB são momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o 
maior valor absoluto ao longo do pilar e para MB o sinal positivo se tracionar a mesma 
face do pilar e negativo em caso contrário. 
Para pilares biapioados, com cargas transversais significativas ao longo da altura, ou 
submetidos a momentos menores ou iguais ao momento mínimo: 
b = 1,0 
 
Para pilares em balanço: 
 
 
 
 
MA é o momento no engaste e MC é o momento de 1ª ordem no meio do pilar. 
 
Observação: 
 
Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso 
de elementos pouco comprimidos com força normal menor que 0,10fcd x Ac, o índice de 
esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com índice de esbeltez superior a 140, na 
análise dos efeitos locais de 2ª ordem, devem-se multiplicar os esforços solicitantes finais 
de cálculo por um coeficiente adicional γn1 = 1 + [0,01.(λ – 140) / 1,4]. 
(Item 15.8.1 NBR6118/2014) 
 
Neste curso trabalharemos com pilares com índice de esbeltez até 90, mediamente 
esbeltos, e seção constante ao longo do eixo longitudinal. Este limite engloba a grande 
maioria dos pilares calculados para edificações usuais. 
 
 
40001400
M
M
4060 b
A
B
b ,,,,, →+= 
85001850
M
M
20800 b
A
C
b ,,,,, →+= 
138 
 
Cálculo da Excentricidade de 2ª ordem – e2 
 
Sempre que o valor da esbeltez  for maior que o limite 1 devemos calcular a 
excentricidade de flambagem, excentricidade de 2ª ordem (e2). A NBR oferece 4 
modelos de cálculo, a saber: 
a) Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada ( mais conservador ) pode ser 
utilizado com  até 90 
b) Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada (conservador, porém mais 
preciso que o anterior) pode ser utilizado com  até 90 
c) Método do pilar padrão acoplado a diagramas M,N, 1/r ( mais preciso que os 
anteriores ) pode ser utilizado com  até 140 sendo que para  acima de 90 deve 
ser considerado o efeito da fluência no pilar. 
d) Método geral (mais preciso) – Pode ser utilizado para pilares com  até 140 
Como vamos trabalhar neste curso com pilares mediamente esbeltos, ou seja com  
menor ou igual a 90, somente estudaremos os dois primeiros caos. 
1ª Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada 
A não linearidade física é considerada através de uma expressão simplificada de curvatura 
e a não linearidade geométrica da forma abaixo: 
 Dado pilar abaixo em balanço com uma carga P 
 
 
 Após a carga atingir o valor crítico de 
flambagem o Pilar se deformará e atingirá o 
equilíbrio na posição deformada. A 
excentricidade e2 pode ser deduzida a partir da 
suposição que a deformação da barra seja 
senoidal: 
 
 
 
 
 
le é o comprimento equivalente de flambagem do pilar 
 
Como y(x) é muito pequeno o valor da curvatura pode ser dado por: 
 
 
Derivando duas vezes a expressão y(x) 








= x
π
seney(x) 2
e2
2
(x)
2
dx
yd
r
1






139 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para x = l o valor da curvatura é: 
 
 
 
Curvatura aproximada (1/r) 
Em uma barra de concreto prismática submetida a flexão teremos uma relação linear 
entre a deformação das fibra mais comprimida e mais tracionada com a curvatura da 
seção:
 
Como os ângulos são muito pequenos, por semelhança de triângulos temos: 
 
 
 
 
 
 
Como a deformação máxima do concreto é c = 0,0035 e do aço s = fyd/Es, então: 
c + s ≈ 0,005 para aços CA50. Para levar em consideração a flexo-compressão o valor 
de d pode ser substituído por ( +0,5)h, sendo  a força normal adimensional dado por: 
 
 
 Nota: ( + 0,5) ≥ 1 
Momento utilizado no dimensionamento 






= x
ee 
π
cose
dx
dy
2
(x) 












−= xen
ee 
π
se
dx
yd
2
2
2
(x)
2 






=





x
ee  2
π
sene
π
r
1
22
2






=






 ee 2
π
sene
4r
1
22
2
10
2
e
2
2
e
2
e














=→=





r
1
r
1
ee
r
1
22
2

  Expressão da NBR 6118/2014 
( ) d
εε
r
1
dsεε
d
ds
r sc
sc
+
==
+
=
fcdhb
F
υ d

=
( )h0,5υ
0,005
r
1
+
=
 Expressão da NBR 6118/2014, para 
curvatura aproximada. 
=
=
r
0
r
1
140 
 
No dimensionamento a flexo-compressão, o pilar deverá resistir a um momento máximo 
dado pela somatória das componentes de 1ª ordem e 2ª ordem nas seções mais solicitadas 
ao longo de seu eixo (extremidades e central). O momento de cálculo será: 
 
 
Onde: 
Nd é a força normal solicitante de cálculo 
M1d,A é o momento de 1ª ordem de cálculo maior ou igual ao momento mínimo. 
e2 é a excentricidade de 2ª ordem (flambagem) 
b é o coeficiente função do momento fletor ao longo do pilar 
 
2ª Método do pilar padrão com rigidez k aproximada 
Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ ≤ 90, com seção retangular 
constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não linearidade 
geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da 
barra seja senoidal. A não linearidade física deve ser considerada através de uma 
expressão aproximada da rigidez. ( NBR 6118/2014) 
 
 
 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento 
de 1ª ordem pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 é a esbeltez do pilar na direção considerada. 
 
MRd,tot é o momento resistente considerando a armadura pré-dimensionada. 
 
Nota: O processo de dimensionamento pode ser feito de forma iterativa, escolhe-se uma 
armadura e calcula-se o momento solicitante máximo, ou: 
 
 
Através de uma equação do 2ª grau, cuja raiz positiva é o momento máximo na seção 
intermediária ( Msd,tot) 
2dA1d,btotald, eNMαM +=






−
=
ν
k
120
λ
1
Mα
M
2
A1d,b
totsd,
ν
hN
M
5132k
d
totRd,
aprox 





+=
141 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as variáveis já foram definidas nos itens anteriores. 
 
Verificação da Resistência na Flexão Composta Oblíqua 
 
“O dimensionamento de pilares submetidos à flexão oblíqua é um processo de 
verificações de envoltórias mínimas, que representam as imperfeições geométricas locais; 
pontos solicitantes, que representam as solicitações críticas a que o pilar esteja submetido 
(adicionadas ou não à excentricidade acidental); e envoltórias resistentes, obtidas por 
meio da contribuição da seção bruta de concreto e da armadura pré-definida.” 
Pinto, Vinicius Slompo - 2017 
Figura retirara da NBR 6118/2014 
 
 
 
 
 
0cbMaM2 =++
5ha =
A1d,b
2
ed
d
2 M5hα
320
LN
Nhb −−=
A1d,bd
2 MαNhc −=
142 
 
Para que uma seção seja dada como estável para o dimensionamento no ELU, deve-se 
criar duas envoltórias, uma solicitante e uma resistente. Qualquer ponto da envoltória 
solicitante deve estar obrigatoriamente dentro da Resistente. 
 
Em pilares com seção retangulara envoltória Resistente pode ser calculada pela 
expressão: 
1
M
M
M
M
1,2
yyRd,
yRd,
1,2
xxRd,
xRd,
=








+








 
Com MRd,x e MRd,x as componentes de momento resistente em flexão composta oblíqua e 
MRd,xx e MRd,yy as componentes resistentes em F.C.N. 
 
Situações Usuais de Projeto para Pilares 
 
Dependendo do seu posicionamento na estrutura, os pilares podem ser classificados como 
piares intermediários, pilares de extremidade ou pilares de canto. 
 
 
 
Pilar de Canto
Pilar Intermediário
Pilar de extremidade
143 
 
Modelo em elementos finitos mostra
que não há momento fletor no pilar
DMF
Pilar Intermediário: Os momentos que as vigas transmitem a esses pilares são pequenos 
e, em geral, podem ser desprezados. Quando os vãos da viga, adjacente ao pilar, forem 
muito diferentes entre si, ou quando houver significativa diferença no carregamento 
desses vãos, pode ser necessário considerar os momentos iniciais transmitidos pelas 
vigas. Dessa forma, um pilar intermediário está em uma situação de projeto de 
compressão centrada, a menos que por razoes construtivas, a força de compressão esteja 
atuando de forma excêntrica. 
Pilar de extremidade: Neste caso, os momentos transmitidos pelas vigas devem ser 
considerados. Dessa maneira, a situação de projeto é de flexo-compressão normal. 
Pilar de canto: Neste caso, os momentos são transmitidos pelas duas vigas que chegam 
ao pilar. Dessa maneira, a situação de projeto é de flexo-compressão oblíqua. 
Em teoria somente os dois últimos casos estariam sob ação de esforços combinados 
(momento fletor + força normal), porém, na prática todo e qualquer pilar que for 
dimensionado para concreto armado, exceto aqueles cuja esbeltez for menor que 35 (pilar 
curto) estarão sobre ações combinadas, haja vistas a aplicação de um momento mínimo 
de norma obrigatório nas duas direções. Então, se há momento mínimo haverá sempre a 
flexo-compressão. Segundo a NBR 6118/2014 um pilar com  ≤ 90 poderá ser calculado 
pelo método do pilar padrão com curvatura aproximada nas duas direções e verificado a 
resistência dentro de uma envoltória mínima, que engloba a resistência aos esforços de 
primeira e segunda ordem nas duas direções: 
 
Pilar Intermediário 
 
 
 
 
 
144 
 
Modelo em elementos finitos mostra que há
momento fletor em uma das direções do pilar
situaçãode flexo-compressãonormal
DMF
Modelo em elementos finitos mostra que há 
momento fletorem duas direções do pilar 
situação de flexo-compressãoobliqua
DMF
Pilar de extremidade 
 
 
 
 
 
Pilar de Canto 
 
 
 
Flexão Normal Composta -FNC 
 
A NBR 6118 permite a verificação da envoltória resistente através de dois cálculos de 
flexão normal composta (em torno de x e em torno de y). Lembrando-se do capítulo 4, as 
seções eram dimensionadas a flexão normal simples, ou seja, não havia força normal. No 
caso de pilares a solicitação é composta e a força normal interfere diretamente no cálculo 
das armaduras. No caso mais comum de pilares a seção é dimensionada no domínio 5, 
onde as duas armaduras estão comprimidas (As e A’s). Podem acontecer casos em que 
145 
 
uma das armaduras se encontra tracionada, pilares submetidos a elevados esforços de 
momento e força normal pequena, porém, não é comum, portanto estudaremos apenas os 
casos em que as duas armaduras estejam comprimidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Neste caso haverá sempre um indefinição em relação a posição da linha neutra, e , 
haverá também sempre um par de armaduras As+A’s que satisfazem o equilíbrio da seção. 
Como a solução se torna iterativa utilizaremos um ábaco que relaciona a força normal 
dimensional  e o momento fletor, também adimensional,  ambos em função de uma 
taxa de armadura . Para tal utilizaremos o ábaco de FNC do Montoya (apêndice 2). 
Cálculo da armadura simétrica através do ábaco de FNC 
 
Calcula-se a força normal adimensional: 
 
Calcula-se o momento fletor adimensional máximo na direção considerada: 
 
 
No ábaco encontra se a curva cuja taxa de armadura  atende a solicitação composta, e a 
área de aço total será: 
 
Como o ábaco foi constituído para uma armadura simétrica total igual a 2A, o valor da 
área de aço em cada face do pilar será Atotal/2. 
Observe que para o pré-dimensionamento da armadura podemos utilizar a equação do 
momento adimensional: 
 
 
 
cdc
sd
.fA
N
=
cdc
totd,
fhA
M
μ

=
fyd
fcdAcω
Atotal

=
cdctotRd, fhμAM =
146 
 
Capítulo 14 – Elementos especiais 
 
Em todo curso até agora, trabalhamos com a premissa que há uma linearidade na 
distribuição das deformações específicas na seção, que deve permanecer plana após a 
flexão, no entanto, há casos em alguns elementos de concreto, ou situações específicas de 
cargas pontuais em que a hipótese da seção plana não mais pode ser aplicada. A NBR 
6118/2014 chamam estas regiões de região D, as demais regiões da peça são chamadas de 
região B. a norma estabelece que em geral o limite entre as regiões B e D pode ser 
considerado localizado a uma distância h (altura da seção transversal do elemento 
estrutural considerado) da seção efetiva. os elementos podem possuir três tipos de 
descontinuidade, a saber: 
 
a) descontinuidade geométrica; 
b) descontinuidade estática; 
c) descontinuidade geométrica e estática. 
 
 
 
 
(figura 22.1 NBR 6118/2014) 
 
 
 
 
147 
 
a solução destes elementos pode ser feita por intermédio de programas de elementos 
finitos, por no estado-limite último de um elemento estrutural, ou de uma região D 
contida neste elemento, através de uma treliça idealizada, composta por bielas, tirantes e 
nós. Os tirantes são dimensionados com armaduras, ou arranjos de armaduras tracionadas 
e as bielas verificadas a compressão. Neste curso estudaremos o caso de cargas 
localizadas em vigas ( detalhe b2 da figura 22.1), sendo assim a NBR estabelece que seja 
verificado a "Tensão resistente máxima no concreto, em verificações pelos método de 
bielas e tirantes, em nós onde conflui duas bielas comprimidas e um tirante tracionado"; 
chamada de fcd3 
 
A armadura dos tirantes é dada pela equação: 
 
FSd é o valor de cálculo da força de tração determinada no tirante. 
 
Para a verificação de tensões de compressão máximas nas bielas e regiões nodais, será 
utilizado a equação abaixo: 
 
fcd3 = 0,72 αv2 fcd 
 
onde: 
 
 αv2 = (1 − fck / 250) e fck, expresso em megapascals (MPa); 
 
Atenção: toda armadura deverá ser ancorada no elemento B 
 
nota: caso haja necessidade de aumentar a capacidade resistente da biela comprimida a 
NBR 6118/2014 estabelece outras equações, porém, a análise do elemento deve ser mais 
rigorosa e não abordaremos neste curso. 
 
Para o caso de vigas com cargas pontuais, caso b2, a área de verificação da biela 
comprimida podes ser dada por: 
 
 
 
 
onde ao é a dimensão do pilar na direção longitudinal da viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fyd
Fsd
As =
bw
a
Ac o =
2
148 
 
Capítulo 15 – Vigas Parede 
 
Critério de Dimensionamento Prof. Ney Amorim e Ronaldo Azevedo. – DEES UFMG 
Os critérios de dimensionamento previsto neste trabalho conduzem a um resultado que 
possibilita armar a viga parede dando a estrutura uma resistência suficiente, sem que seja 
necessário a verificação das tensões solicitantes (análise feita em programa de elementos 
finitos). 
Segundo a NBR 6118/2014 São consideradas vigas-paredeas vigas altas em que a 
relação entre o vão e a altura l / h é inferior a 2 em vigas biapoiadas e inferior a 3 em 
vigas contínuas. Elas podem receber carregamentos superior ou inferior 
 
(Item 22.4.1 NBR 6118/2014) 
O comportamento estrutural das vigas-parede possui características específicas, 
destacando-se entre elas a ineficiência, seja à flexão, seja ao cisalhamento, quando 
comparadas com as vigas usuais. 
 
Viga parede biapoiada 
 
Determinação dos esforços no Banzo tracionado 
 
 
 
149 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O momento fletor máximo de cálculo (Mu) é o mesmo de uma viga convencional, neste 
caso wl2/8. A única diferença é que o comprimento l deve ser o maior dos valores 
abaixo: 
 
 
 
 
Onde: 
l0 é a distancia entre faces internas dos pilares e C a espessura do pilar na direção da viga. 
 
 
 
Deve-se calcular o braço de alavanca z, que é dado pela expressão: 
 
 
 
 
 
Se a relação l /h for menor ou igual a 1 o valor de z = 0,6 l 
 
A força ZU máxima no banzo tracionado será igual a: 
 
 
 
2
h



 +

o
o
151
C



,






+=
h
30,15hz

z
Mu
Zu =
150 
 
 
 
E a seção de aço no banzo, As, é dada pela expressão Zu / fyd. 
 
 
Nas vigas biapoiadas, como mostra a Figura 22.3 da NBR 6118/2014, essa armadura deve 
ser distribuída em altura da ordem de 0,15 h. 
 
 
 
 
 
A armadura horizontal e vertical mínima é de 0,075% x b por face, por metro. 
 
Verificação do concreto 
 
O concreto na região dos apoios não pode ser solicitado com tensão acima de 0,8fcd, e a 
carga de compressão (reação de apoio no pilar) deve ser multiplicada por um coeficiente 
de majoração de 2,1, sendo assim: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
R é a reação de apoio Pl/2 , e Ac é a área da seção do pilar. 
 
 
 
 
 
 
 
*** 
c(pilar)
u
A
2,1R
=P
1,4
fck
0,8σ PU
151 
 
Capítulo 16 – Elementos de Fundação 
 
Dimensionamento estrutural de tubulões 
 
Tubulão submetido a Compressão Simples 
 
Estes tubulões prescindem de armadura caso seja atendida a inequação abaixo 
 
 
 
 
Onde: 
P é a carga de compressão aplicada ( Ns) 
f = 1,4 e c = 1,6 → este valor se justifica em função das condições de concretagem 
o fck é dado em kN/cm2 e Ac é a áreas do fuste em cm2 
 
 
Caso a inequação acima não seja atendida devemos armar o fuste como um pilar curto 
≤35 , sendo assim o cálculo da armadura é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A armadura mínima e a transversal segue o mesmo critério de pilares” 
 
 
 
 
Fendilhamento no topo 
 
O fendilhamento ocorre no ponto de aplicação da carga no fuste. As tensões se 
regularizam a uma altura h do ponto de aplicação, que é igual a 1,2f (diâmetro do fuste) 
ou lb (comprimento de ancoragem dos arranques dos pilares). O dimensionamento desta 
região é feito como um bloco sobre uma estaca (será visto posteriormente) 
 
Tubulão submetido a flexo-compressão 
Ac
c
γ
fck85,0
P
f
γ 
( )
fyd
Ac
γ
fck85,0
P-γ
A
AsfydAc
γ
fck85,0
Pγ
c
f
s
c
f







=
+
152 
 
 
O cálculo do tubulão é feito como um viga em base elástica 
 
Método prof. José Miranda Tepedino 
O processo considera que a tensão no solo é proporcional ao deslocamento da peça 
naquele ponto. 
 
 
 
 
 
Cr é o coeficiente de recalque vertical no solo 
y é a deformação apresentada pela peça 
s é a tensão que a peça provoca no solo 
 
Cr = 5N para areias ou siltes arenosos e 3N para argilas ou siltes argilosos 
N = SPT na seção considerada e o resultado é dado em N/cm3 
Para obter-se o coeficiente de recalque horizontal (base elástica), deve-se desprezar as 
reações grandes que acontecem no nível do terreno e distribuir o coeficiente de recalque 
linearmente até uma profundidade l1 dada pela equação abaixo, a partir daí o coeficiente 
de recalque vertical se iguala ao coeficiente horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
E é o módulo de elasticidade do concreto; 
I é o momento de inércia da seção do fuste do tubulão; 
b é a largura do tubulão na direção do carregamento; 
Cr é o coeficiente de recalque vertical no solo. 
yCrσ =
4
1
bCr
EI4
l =
153 
 
A solução é laboriosa e 
deve ser feita com auxílio 
de computador
 
 
O princípio da viga em base elástica pressupõe que o fuste está apoiado no solo por meio 
de molas com rigidez k igual ao coeficiente de recalque Cr. O cálculo do momento 
máximo é feito pelo método dos deslocamentos com auxilio de programas de elementos 
finitos. 
 
 
 
 
 
 
 
“Simplificadamente, quando não há força horizontal significativa na cabeça do tubulão, 
pode-se calcular tubulão como um pilar circular de concreto armado” 
 
 
 
 
Dimensionamento Estrutural de Sapatas 
 
Dimensionamento Estrutural de Sapatas consiste na altura da seção da sapata e da 
armadura de tração necessária. 
 
Observe as duas situações abaixo, de elementos estruturais em balanço: 
 
 
rCk =
154 
 
 
 
Os dois elementos estão sujeitos a flexão e ao cisalhamento, porém o elemento de maior 
dimensão, ou seja a viga, necessita de estribos, porque possui uma quantidade maior de 
bielas comprimidas, que se formam em função das fissurações obliquas que ocorrem 
próximo a ruptura do elemento. e o outro elemento, o consolo curto, possui apenas uma 
biela comprimida, não sendo portanto, necessário a existência de estribos para combater 
os esforços de cisalhamento. 
O caso B, tem sua solução segundo o método das bielas comprimidas, semelhante ao 
cálculo de uma “mão-francesa”: L ≤ d ≤ 2L 
As sapatas cujas dimensões satisfaçam a equação L ≤ d ≤ 2L podem ser, por analogia, 
calculadas pelo método das bielas. 
Assim a sapata deve atender as seguintes relações geométricas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O rodapé ho e a inclinação q devem atender as seguintes relações: 
 
Caso A Caso B
4
oaad
−

4
obbd
−

2
obbd
−

2
oaad
−

24
oo aad
aa −

−
24
oo bbd
bb −

−
155 
 
d
aa
P
T
tg a 44
2
0−
== ( )
d
aaP
Ta
8
0−=
 
 
Devido a características semelhantes às de lajes, a sapatas deverão ter altura útil d que 
atendam a solicitações de punção: 
 
 
 
 
Cálculo da armadura pelo método das bielas 
 
 
 
 
 
 
 
 
P = carga no pilar 
Ta = força total de tração na direção do lado “a” da sapata 
 
 
 
 
 
Para a armadura do lado “b”, (Asb) basta alterar nas equações os valores de “a” para “b” e 
de “ao” para “bo” 
 
Cargas excêntricas (pilares transmitem momento a fundação) 
 
20
3

h
ho
 30
44
oaa −
triângulo de forças triângulo geométrico
hbAsa
f
Ta
Asa
yd
=

= 001,0
4,1
min
fcd0,85
P1,4
1,44d



156 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensões de contato de fundações rígidas pela teoria da elasticidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação anterior somente pode ser utilizada se a inequação abaixo for atendida, caso 
contrário haverá tração na sapata, fato que não pode ocorrer. 
 
 
 
 




 +

2
21
3
2
2



x
Iy
My
y
Ix
Mx
A
P
yx =),(
12
ba
Ie
12
ab
I
3
x
3
y

=

=
6
1
b
e
ae yx
+
P
M
ee
P
M
e
y
x
x
y ==
157 
 






−=
a
a
PZ 01 13,0 





−=
b
b
PZ 02 13,0






−

=
a
a
ba
Pmáx
t
0
1 14,0 





−

=
b
b
ba
Pmáx
t
0
2 14,0
fyd
Z
As
f 1
1

=

fyd
Z
As
f 2
2

=

Blocos de Coroamento 
 
Blocos sobre uma estaca ou um tubulão 
 
O cálculo é efetuado pelo método das bielas 
 
 
 
 
A altura “h” do bloco deve ser ≥ 1,2 x a ou Lb (arranque do pilar) 
 
Este tipo de bloco é calculado em função dos esforços de fendilhamento, provocado pelo 
caminhamento das tensões em direção à estaca. 
 
 
 
Se t1 e t2 < fck/25 (Resistência ao fendilhmanto do concreto), não seria necessário 
armar o bloco, porém o bloco será sempre armado com uma armadura dado pelas 
equações abaixo: 
 
 
 
 
 
Detalhamento da Armadura 
 
a>b
158 
 
e
d
N
T
=tan
d
ae
42tan
0−
=
 
 
Blocos sobre duas estacas 
 
Cálculo da distância entre estacas 
 
Efeito de grupo – Método da A.A.S.H.T.O - a capacidade de carga de um grupo de 
estacas é menor que a somatória das capacidades de cargas de estacas isoladas. Esta 
capacidade diminui a medida que as estacas se aproximam uma das outras. O método 
abaixo preconizado pela norma americana pode ser utilizado com segurança. 
 
 
 
 
Onde: 
h é a eficiência do grupo de estacas 
f é o ângulo em graus cuja tangente é 
f n é o nº de estacas em fila 
m é o número de filas de estacas 
 
 
 
 
As1 ou As2 ( o que for maior)





 −+−
−=
mn90
n1mm1n
1
)()(f
159 
 
db
máxb
= 2
Para blocos sobre duas estacas bb
pode ser tomado igual a largura do 
bloco.
dh
máxb
2
2
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A altura útil “d” deve atender a equação: 
 
 
 
 
Normalmente adota-se 0,5e 
 
A biela de compressão deve ser verificada com a carga Nb 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Detalhamento 
 
 
 
 
 
( )
d4
ae2N
TN
d
4
a
2
e
T
d
4
a
2
e
N
T 0
00
−
=→












−
=
−
=
fyd
T
As f

=

2
a
ed
4
a
2
e 00 −−
22
b NTN +=
( ) fcd
3
2
hb
Nb
bb
f
bielacd



=








+
+++

 
 
 
'
inf
cm15
2
d
R2
2
d
e
tff
160 
 
 
 
 
Armadura transversal 
 
 
 
 
 
 
 
Blocos sobre 3 estacas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A altura útil d deve atender a equação: 
Normalmente adota-se 0,5e 
Cálculo da armadura (na direção da força T) 
 
 
 
 
 
 
 
 
N é a carga na estaca mais carregada 
faceAs
8
1
t /=f
6
2a
3
3e
L 0−=
L2dL 
N
T
=tan
d
6
2a
3
3e 0−
=tan
( )
d6
2a3e2N
TN
d
6
2a
3
3e
T
d
6
2a
3
3e
N
T 0
00
−
=→












−
=
−
=
161 
 
As
As
As
fyd
T
As
f 
=

2
2
'
T
T =
fyd
T
As
f '
=

( )
d
aeN
T
4
22 0−=
1º caso 2º caso
 
 
 
 
 
Blocos sobre 4 estacas 
 
A altura útil “d” deve atender a equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As
As
As
3
3
'
T
T =
fyd
T
As
f '
=

fyd
T
As f

=

2
2e
d =
162 
 
 
 
*** 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º caso
2TT =''
163 
 
Apêndice 1 
 
Utilizando o AUTOCAD da AUTODESK para encontrar as propriedades físicas de uma 
seção 
O cálculo das propriedades geométricas de uma seção pode ser feito com auxílio de 
programa de desenho, como o AutoCAD. A utilização destes programas facilita muito o 
cálculo dos momentos de inércia nas duas direções e do centro de gravidade da seção 
bruta. Segue abaixo um exemplo de cálculo de uma seção de uma forma da para lajes 
nervuradas. 
 
Calcular o momento de inércia da seção e o centro de gravidade em relação a face 
superior da mesa colaborante. 
 
1) Desenhar a seção com uma P_line 
a. DRAW→Polyline 
2) Encontrar a origem do sistema cartesiano do AutoCAD 
a. Digitar “l” Enter 
b. Digitar “0” Tab “0” Enter 
c. O cursor vai se posicionar na origem do sistema, basta desenhar uma linha 
reta para marcar o local. 
d. Selecionar o desenho da seção no meio da face superior da mesa e mover 
até a origem (0,0) 
 
164 
 
3) DRAW→ Region 
a. Selecionar o desenho da seção 
b. O AutoCAD vai criar uma superfície dentro do desenho delimitado pela 
“polyline”. 
4) Finalmente basta solicitar as propriedades geométricas da seção pelo comando 
a. Tools → Inquiry → Region/Mass properties 
b. O AutoCAD apresentará, entre outros resultados, aqueles que realmente 
nos importa: 
Area: 450.8cm2 
Centroid: X: 0.0 Y: -6.0cm 
Radii of gyration: X: 8.6 Y: 14.5cm 
Ix: 16.685.6cm
4 
 
 
 
165 
 
Apêndice 2 
 
 
 
 
166 
 
 
167 
 
 
168 
 
Apêndice 3 - TABELA AUXILIAR DE FLECHAS E AÇÕES EM VIGAS – REGIME ELÁSTICO 
 
 
 
 
CASO A: VIGA BI-APOIADA 
 
 
CASO B: VIGA EM BALANÇO 
169 
 
 
 
 
 
CASO C: VIGA COM 3 APOIOS, CARREGAMENTO E VÃOS SIMÉTRICOS 
 
 
 
 
16
PL3
MB =
L
M
2
P
R BB +=
L
M
2
P
R BA −=
170 
 
 
 
 
Para o pré-dimensionamento a flecha máxima no balanço pode ser calculada como no caso B e a 
flecha máxima no vão entre os pilares pode ser calculada como no caso A para balanços (L2) 
menores que 1/3 de L1. Balanços maiores que 1/3 de L1, ou com cargas concentradas na ponta 
muito elevadas, devem ser verificados por métodos mais exatos como em programas de 
elementos finitos. 
 
CASO D: VIGA COM DOIS APOIOS E BALANÇO 
 
 
 
 
 
 
 
171 
 
 
Apêndice 4 - PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
Para pré-dimensionar uma seção retangular de concreto armado devemos levar em 
consideração os efeitos reológicos do concreto (retração e fluência) e a perda de rigidez ao 
longo da seção em função da fissuração. Para considerar a fissuração, iniciamos com um (EI)eq 
igual a 40%EcsIc. E para levar em consideração os efeitos reológicos, a flecha elástica no estádio II 
( fEII) deve ser igual ou menor que a flecha admissível dividida pelo fator de fluência  que pode 
ser tomado igual a 2,46 para estruturas carregadas aos 15 dias. 
 
Então, 
 
Para pré-dimensionar uma seção retangular basta substituir na equação de flecha da viga o valor 
de fEII pelo valor de fADM/2,46. Encontrar um momento de inércia necessário e calcular o valor de 
h que satisfaça a inércia requerida. 
 
Exemplo: 
 
Pré-dimensionar a seção da viga abaixo: 
Dados: fck 25MPa → Ecs = 2380kN/cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A favor da segurança a dimensão da seção pode ser igual a 17 x 51cm 
 
VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO COM A EQUAÇÃO DE BRANSON COM III IGUAL A 0,4IC 
 
 
Carga considerando o peso da Viga 
 
wELS = 17 + ( 0,17 x 0,51 x 25) = 19,17kN/m 
 
cm8130
462
2
462
f
2
250
500
250
L
f ADMADM ,
,,
==→===
( ) ( ) ( )8130238040384
5001705
Ic
Ic238040384
5001705
8130EcsIc40384
5001705
f
444
EII
,,
,
,
,
,
,
,


=→


==


=
4cm81178445Ic ,=
cm1550
17
1281178445
h
12
bh
Ic 3
3
,
,
=

=→=
172 
 
 
 
Ma = 19,17 x 52 ÷ 8 = 59,90kN.m → x 100 = 5990kN.cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VERIFICAÇÃO DA SEÇÃO COM A EQUAÇÃO DE BRANSON E COM III REAL 
 
Neste caso devemos levar em consideração a posição da linha neutra no estádio II puro. Para 
isso precisamos da armadura na seção. 
A posição da linha neutra é dada igualando-se os momentos estáticos abaixo e acima da linha 
neutra kd. 
Para esta seção e este carregamento a armadura As = 4,908cm2 
 
 
A posição da linha neutra kd é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
II Estádio.,
,
,
−=













= MacmkN372835
6
5117
10
2530
51
Mr
2
3
2
( ) 4
3333
EQ cm22310363207
12
5117
40
005990
372835
1
12
5117
005990
372835
2380EI ,..,
,
,
,
,
=













 















−+




 






=
cm75230
22310363207384
500191705
f
4
EII ,
,..
,
=


=
ok!,,, →== ADMfcm85175230462f
( ) 451de
Ec
Es
nkdnAs
2
kdb
d
2
w −=→−= onde
( ) ,,, d
2
k4790848248
2
kd17
8248
2380
21000
n −===
173 
 
 
0482035k3143
2
k17
d
2
d =−+ ,,
 
 
Resolvendo a equação do 2º grau temos uma única raiz positiva kd = 13,14cm 
 
 
O III real, pela teoria dos eixos paralelos, será então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação de Branson com III igual a 62509cm4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o resultado real ficou 1,3mm acima do valor admissível e a diferença em relação ao 
cálculo aproximado com III = 0,4Ic foi de 2,8mm, insignificante em se tratando de estruturas de 
concreto. É claro que se formos trabalhar com vigas de grandes vãos e sujeitas a grandes 
carregamentos o cálculo exato em programa de elementos finitos é mais recomendado. 
 
( )
( )2d
3
dw
II kdnAs
3
kb
I −+=
( )
( ) 42
3
II cm6250914134790848248
3
141317
I =−+= ,,,
,
( ) 4
333
EQ cm518042837462509
005990
372835
1
12
5117
005990
372835
2380EI ,
,
,
,
,
=























−+




 






=
cm86460
5180428374384
500191705
f
4
EII ,
,
,
=


=
cm13286460462f ,,, ==
174 
 
Tipo
de
Laje
b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb
0,500 0,0 0,0 122,1 50,9 0,0 0,0 103,2 64,5 215,6 80,8 0,0 0,0
0,525 0,0 0,0 107,2 48,7 0,0 0,0 92,3 63,1 188,4 77,0 0,0 0,0
0,550 0,0 0,0 92,2 46,5 0,0 0,0 81,4 61,6 161,2 73,2 0,0 0,0
0,575 0,0 0,0 82,4 45,1 0,0 0,0 74,2 60,9 143,4 70,5 0,0 0,0
0,600 0,0 0,0 72,6 43,6 0,0 0,0 66,9 60,2 125,6 67,8 0,0 0,0
0,625 0,0 0,0 65,9 42,7 0,0 0,0 61,9 60,2 113,5 66,0 0,0 0,0
0,650 0,0 0,0 59,2 41,7 0,0 0,0 56,9 60,1 101,4 64,2 0,0 0,0
0,675 0,0 0,0 54,5 41,2 0,0 0,0 53,3 60,5 92,8 63,1 0,0 0,0
0,700 0,0 0,0 49,7 40,6 0,0 0,0 49,7 60,8 84,2 61,9 0,0 0,0
0,725 0,0 0,0 46,2 40,4 0,0 0,0 47,0 61,6 78,0 61,3 0,0 0,0
0,750 0,0 0,0 42,7 40,1 0,0 0,0 44,3 62,3 71,8 60,6 0,0 0,0
0,775 0,0 0,0 40,2 40,1 0,0 0,0 42,3 63,4 67,2 60,3 0,0 0,0
0,800 0,0 0,0 37,6 40,1 0,0 0,0 40,3 64,5 62,5 60,0 0,0 0,0
0,825 0,0 0,0 35,6 40,3 0,0 0,0 38,8 65,9 59,0 60,1 0,0 0,0
0,850 0,0 0,0 33,6 40,5 0,0 0,0 37,2 67,2 55,5 60,1 0,0 0,0
0,875 0,0 0,0 32,1 40,9 0,0 0,0 36,0 68,8 52,8 60,5 0,0 0,0
0,900 0,0 0,0 30,5 41,2 0,0 0,0 34,8 70,4 50,0 60,8 0,0 0,0
0,925 0,0 0,0 29,3 41,8 0,0 0,0 33,8 72,2 47,9 61,3 0,0 0,0
0,950 0,0 0,0 28,1 42,3 0,0 0,0 32,8 74,0 45,7 61,8 0,0 0,0
0,975 12,0 12,0 27,1 43,0 20,0 20,0 32,0 76,0 44,0 62,6 30,0 30,0
1,000 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0
1,025 22,9 24,1 25,3 44,4 38,2 40,1 30,6 80,2 40,8 64,3 57,3 60,1
1,050 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2
1,075 21,0 24,2 23,9 46,0 35,0 40,3 29,4 84,8 38,3 66,3 52,4 60,5
1,100 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7
1,125 19,4 24,5 22,7 47,8 32,3 40,8 28,4 89,7 36,2 68,6 48,4 61,2
1,150 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6
1,175 18,0 24,9 21,7 49,9 30,0 41,4 27,5 94,9 34,4 71,2 45,1 62,2
1,200 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7
Tabela - Momentos Fletores, Regime Rígido Plástico
Apêndice 5 – TABELA DE BARES MOMENTO FLETOR EM LAJES RETANGULARES REGIME 
RÍGIDO PLÁSTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
175 
 
1,225 16,9 25,4 20,8 52,1 28,2 42,3 26,8 100,4 32,9 74,0 42,3 63,6
1,250 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4
1,275 16,0 26,0 20,1 54,4 26,6 43,3 26,2 106,2 31,6 77,0 39,9 65,0
1,300 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6
1,325 15,2 26,7 19,5 56,9 25,3 44,4 25,7 112,4 30,5 80,3 37,9 66,5
1,350 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4
1,375 14,5 27,4 19,0 59,6 24,2 45,6 25,2 118,8 29,6 83,8 36,2 68,4
1,400 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4
1,425 13,9 28,2 18,5 62,5 23,2 47,0 24,7 125,5 28,8 87,5 34,7 70,5
1,450 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6
1,475 13,4 29,1 18,0 65,4 22,3 48,5 24,4 132,5 28,1 91,4 33,4 72,8
1,500 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9
1,525 12,9 30,1 17,7 68,5 21,6 50,1 24,1 139,8 27,4 95,5 32,3 75,2
1,550 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4
1,575 12,6 31,1 17,4 71,8 20,9 51,8 23,8 147,3 26,9 99,8 31,4 77,7
1,600 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0
1,625 12,2 32,2 17,1 75,1 20,3 53,6 23,5 155,1 26,4 104,3 30,5 80,4
1,650 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8
1,675 11,9 33,3 16,8 78,6 19,8 55,5 23,3 163,2 25,9 109,0 29,7 83,3
1,700 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7
1,725 11,6 34,5 16,6 82,2 19,3 57,5 23,1 171,5 25,5 113,8 29,0 86,3
1,750 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8
1,775 11,4 35,8 16,4 85,9 18,9 59,6 22,9 180,1 25,2 118,8 28,4 89,4
1,800 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0
1,825 11,1 37,1 16,2 89,8 18,6 61,8 22,7 189,0 24,9 124,0 27,9 92,7
1,850 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3
1,875 10,9 38,4 16,0 93,8 18,2 64,1 22,6 198,1 24,6 129,3 27,4 96,0
1,900 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7
1,925 10,8 39,8 15,9 97,9 17,9 66,4 22,4 207,5 24,3 134,8 26,9 99,5
1,950 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3
1,975 10,6 41,3 15,7 102,1 17,7 68,8 22,3 217,1 24,0 140,5 26,5 103,2
2,000 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0
O valor do momento fletor positivo é dado por:
O valor do momento fletor negativo na direção de a ou b, se tiver, será dado por:
a é o vão com o maior número de engastes.
Caso o número de engastes seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão
21 pa
m
M =
ii MX .5,1=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
 
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